Организация метапредметной деятельности старшеклассников при обучении геометрии

1УДК 372.851 ББК 74.26

ОРГАНИЗАЦИЯ МЕТАПРЕДМЕТНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ СТАРШЕКЛАССНИКОВ ПРИ ОБУЧЕНИИ ГЕОМЕТРИИ

И. М. Смирнова

Аннотация. В предлагаемой статье рассматривается одно из важных положений Федеральных государственных стандартов начального общего образования, основного общего образования и среднего общего образования. Это требования к результатам освоения названных программ. Наряду с личностными и предметными, к ним отнесены и относительно новые для отечественной школы метапредметные результаты. Рассматривается один из аспектов обозначенной проблемы, а именно организация соответствующей деятельности обучающихся. Особое значение в статье отводится роли и месту метапредметной деятельности старшеклассников в организации их общей учебной деятельности. Представляются понятия, связанные с метапредметной деятельностью учащихся, такие как метапредмет, метасодержание, метазанятие, метатема и т. п. Выделяются критерии для организации метапредметной деятельности старшеклассников. Приведенные теоретические положения проиллюстрированы геометрическими примерами.

Ключевые слова: метапредмет, метасодержание, метапредметная задача, метапредмет-ная деятельность, метазанятие, методика обучения математике.

ORGANIZATION OF META-SUBJECT ACTIVITIES OF HIGH SCHOOL STUDENTS IN LEARNING GEOMETRY

I. M. Smirnova

Abstract. The article examines one of the important provisions of the Federal state standards of primary general education, basic general education and secondary general education. These are the requirements for the results of the development of these programs. Along with personal and subject, they include relatively new for the national school meta-subject results. One of the aspects of the indicated problem is considered, namely, the organization of the corresponding activity of the students. Of particular importance in the article is the role and place of the meta-subject activity of high school students in the organization of their general educational activities. Concepts related to the meta-subject activity of students, such as meta-subject, meta-content, meta-lesson, meta-them, etc., are introduced. Criteria are singled out for organizing the meta-subject activity of high school students. The above theoretical positions are illustrated by geometric examples.

Keywords: meta-subject, meta-content, meta-problem, meta-subject problem, meta-subject activity, methods of teaching mathematics.

В действующих федеральных государственных стандартах начального общего образования, основного общего образования и среднего общего образования установлены требования к результатам освоения соответствующих программ. Наряду с личностными и предметными, выделены метапредмет-ные требования [1, с. 7]. К ним, помимо межпредметных понятий, универсальных учебных действий (это регулятивные, познавательные, коммуникативные - три из четырех, без личностных), отнесены также самостоятельность обучающихся в организации своей учебной деятельности, учебного сотрудничества не только с педагогами, но и со своими сверстниками, построение индивидуального образовательного маршрута.

В настоящее время довольно часто стало даже модным, современным использовать известный афоризм:

Скажи мне, и я забуду. Покажи мне, и я запомню. Дай мне действовать самому, и я научусь.

Замечу, что, на мой взгляд, без предварительных «скажи» и «покажи» вряд ли состоится какой-то качественный результат деятельности.

Начнем с практического примера. Рассмотрим многогранник, который называется ромбододекаэдр. Это двенадцатигранник, у которого все грани - равные ромбы. Его очень легко представить. Возьмем два равных куба и один из них разобьем на шесть равных пирамид. Их основаниями являются грани куба, а вершина общая, это - центр куба. Приложим эти пирамиды к граням другого куба таким образом, чтобы основания пирамид совместились с соответствующими гранями куба. Получится ромбододекаэдр.

Задача. Можно ли равными ромбододекаэдрами заполнить все пространство?

Другими словами, в задаче говорится о построении пространственного паркета из ромбододекаэдра. Ответ положительный: «Да, можно».

Проведем такой мысленный эксперимент. Заполним пространство равными кубами. За-

тем отметим их в шахматном порядке. Например, мысленно окрасим в черный и белый цвета. К граням каждого, например, черного куба прилегают шесть белых кубов. Каждый из этих белых кубов разобьем на шесть равных пирамид (как мы это сделали выше, при представлении ромбододекаэдра, и присоединим эти пирамиды к прилегающим к ним отмеченным кубам. При этом каждый отмеченный куб достроится до ромбододекаэдра.

Для тех, кто хочет еще с этим «повозиться», подумайте и нарисуйте многогранник, вершинами которого являются центры симметрий граней ромбододекаэдра, то есть точки пересечения их диагоналей. Как он называется? Сколько у него вершин, ребер и граней, каких граней?

Вопрос: «Можно ли рассмотрение такой проблемной ситуации, решение такой задачи охарактеризовать как организацию метапред-метной деятельности обучающихся?»

Родовое понятие здесь «деятельность», структуру которой в краткой форме можно представить следующим известным образом:

Потребность ^ Мотив ^ Цель ^ Действия ^ Результат.

Классическая теория деятельности, деятель-ностного подхода широко представлена в трудах наших великих предшественников, таких как Л. С. Выготский, П. Я. Гальперин, В. В. Давыдов, А. Н. Леонтьев, С. Л. Рубинштейн, А. А. Столяр, Л. М., Фридман и многих, многих других.

Напомню, что в учебно-методической литературе выделяются следующие основные видовые понятия деятельности: познавательная деятельность (ПД); учебная деятельность (УД); учебно-познавательная деятельность (УПД).

Условно их взаимосвязь можно представить так: УПД с УД с ПД.

Знак « с » означает «включает», «содержит». Таким образом, самым общим, или «широким», понятием в данном случае является познавательная деятельность, а самым «узким» - учебно-познавательная деятельность.

Вопрос: «В какое же место этой схемы следует определить, вписать метапредметную деятельность?»

Как известно, «мета» означает «за», «через», «над». Как правило, когда говорят об этом, ссылаются на историков, которые назвали первым

метапредметом «Метафизику» Аристотеля (IV в. до н. э.). Это название буквально означает то, что «после физики». Заметим, что сам ученый назвал свое сочинение «Первая философия» и в нем изложил учение об основных принципах бытия, а позже этот труд и был назван «Метафизика» [2, с. 7].

За прошедшее время появились различные термины с приставкой «мета». Назовем некоторые из них, как сейчас принято говорить, ключевые слова, связанные с обозначенной темой: метапредметная деятельность; метапредмет; метапредметное занятие; метасодержание; метазнания; метапонятия; метатема; метаметоды; метанавыки; метакомпетенции; метапредмет-ные требования и т. п.

В данном случае особый интерес представляют метапредметные требования к результатам освоения образовательных программ, которые, как было отмечено выше, прописаны в соответствующих федеральных государственных образовательных стандартах начального общего образования, основного общего образования и среднего общего образования.

Ясно, конечно, что метапредметная деятельность не должна сводиться только к формированию универсальных учебных действий (УУД). Важно, что вместе с «мета» есть и слово «предметная», то есть в организации такой деятельности нужно исходить из конкретного предмета, опираться на него.

Таким образом, в учебно-познавательной деятельности, где особо выделяется математическая деятельность, в нее, в качестве составной части, встраивается метаматематическая деятельность.

Чтобы дойти до сути в любом методическом вопросе, я для себя выделяю соответствующие критерии, которыми нужно руководствоваться. Это, так сказать, пункт отправления. Например, в работе [3] выделены критерии отбора содержания для предметных (математических) курсов по выбору. В силу своих специфических особенностей, на занятиях таких курсов создаются благоприятные условия для организации метапредметной деятельности обучающихся.

Интересно заметить, что по долгу службы пришлось много общаться с психологами, от бесед с которыми почерпнула большое число очень полезных и интересных сведений для

себя. В частности, при разработке некоторых практических, конкретных критериев, принципов, частей, параметров, компонентов, рекомендаций и так дальше мне советовали не увлекаться их количеством. Оптимально выделить 3-4 такие единицы, которыми, действительно, можно руководствоваться. Следуя этому совету, выделим три следующих критерия.

I. Критерий реализации принципа преемственности обучения. Это довольно значимый критерий. Ведь нам есть чем гордиться. Отечественной школой накоплен уникальный опыт, в том числе по внеклассной работе, или, как ее сейчас принято называть, внеурочной деятельности по математике. Сколько же там собрано, переходя на современный язык, мета-содержания и метаформ обучения математике. При этом заметим, что следует иметь в виду не просто содержание повышенной трудности математического материала, а содержание, имеющее принципиальное значение для понимания роли и места математики в окружающем нас мире, что по праву является метапредмет-ным аспектом обучения математике.

Например, историки математики называют первой логической задачей задачу про волка, козу и капусту. Это старинная задача, которая встречается в сочинениях, начиная с VIII в. Заключается она в следующем.

Задача. Некий человек хочет перевезти в лодке на другой берег волка, козу и капусту. В лодке может поместиться только человек и с ним или волк, или коза, или капуста. Известно, что в присутствии человека эти «друзья» не едят друг друга, а без него волк съест козу, а коза - капусту. При этом человек справился с поставленной проблемой. Как он это сделал?

С точки зрения метапредметности эту задачу можно охарактеризовать как метапредмет-ную, так как при ее решении «работают» общие приемы математической деятельности.

Назову лишь несколько фамилий выдающихся популяризаторов математической науки, которые должны звучать, должны оставаться с нами. Это В. Г. Болтянский, М. Гарднер, Е. И. Ингатьев, Б. А. Кордемский, Я. И. Перель-ман, Г. Штейнгауз, О. Д. Шклярский, Н. Н. Чен-цов, И. М. Яглом и многие, многие другие.

II. Критерий соответствия личности обучающихся. Сюда отнесем, во-первых, индиви-

дуальные особенности учащихся. В психологии есть даже специальный раздел, который называется «Дифференциальная психология». В нем накоплен значительный материал, в том числе экспериментальный и описательный, о вариативности как отдельных психических свойств человека (восприятия, внимания, воображения, памяти, мышления), так и сложных комплексных образованиях (характере, темпераменте, интересах, склонностях, мотивации и т. д.).

Во-вторых, это соответствие возрастным особенностям школьников. Поскольку в данном случае речь идет о старшей ступени общего образования, то из анализа возрастных особенностей старшеклассников следует, что в содержание обучения по математике, в частности по геометрии, нужно включать следующие ме-тааспекты [3, с. 10].

1. Исторические вопросы, сведения о жизни и творчестве выдающихся ученых прошлого, исторические задачи и проблемы, решение которых внесло значительный вклад в развитие математики.

2. Философские вопросы математики, связанные с познанием окружающего нас мира, роли и места в нем математики, в частности ее важного раздела - геометрии.

3. Приложение изученных теоретических результатов к решению именно прикладных задач.

4. Знакомство с некоторыми вопросами современной математики, жизни и творчества современных ученых-математиков.

Следующей важной частью личностного критерия является интерес учащихся к самой математике.

Здесь очень важно отметить неоднородность этого интереса. Даже у школьников, которые называют математику самым любимым или одним из самых любимых предметов, интерес к ней весьма дифференцирован. Одни предпочитают алгебру, другие - геометрию, что связано, как мы знаем, с соответствующим типом мышления. У ребят, которым больше нравится изучать геометрию, интерес к ней тоже разный. Анализ неоднократно проведенных соответствующих анкетирований, тестирований показывает, что одним учащимся больше всего интересно решать геометрические задачи, другим - доказывать теоремы, третьи предпочитают приложе-

ния геометрии, а четвертые увлекаются изготовлением моделей красивых геометрических фигур, например многогранников.

Вывод. Учителю при организации метапред-метных занятий, опираясь, конечно, на знание индивидуальных интересов своих учеников, нужно выбирать соответствующую дозировку различных компонентов учебного материала.

III. Критерий открытости методической работы педагога. Этот критерий имеет важное значение с точки зрения организации метазанятий. Назовем основные принципы такой работы.

1. Направленность каждого выделенного этапа занятия на формирование для конкретного учащегося своего собственного индивидуального образовательного маршрута.

2. Вариативность обучения, то есть каждому школьнику по возможности должен быть предоставлен выбор учебного материала в соответствии с его индивидуальными интересами, предпочтительными формами и методами работы и т. п. Старшим школьникам нужно дать большую самостоятельность в выборе как раз мета-предметного материала, дополнительно осваиваемого в соответствии со своими запросами.

3. Валидность обучения, означающая достаточно высокую значимость метаматематического материала для достижения результатов обучения, решения задач образования, воспитания и развития.

4. Успешность обучения, понимаемая нами в том, что у каждого ученика должен быть свой, пусть маленький, но собственный успех в обучении. Успех, как известно, рождает вдохновение, уверенность в своих силах. Задача учителя - помочь каждому ученику достичь такого своего успеха [4, с. 287].

Открытость методической работы педагога означает, что речь идет не только о понимании учениками целей обучения, но и о том, чтобы школьники представляли себе, почему, например, они рассматривают некоторую теорию или решают определенную задачу или чем хорошо предложенное индивидуальное задание и т. д. Ученикам должно нравиться построение занятий, их основные этапы, техника проведения каждого из них.

На метапредметных занятиях учащиеся могут стать непосредственными участниками ме-

тодической работы педагога, который подробно объясняет им цели своих методических действий, поступков, приемов. То, что вызывает неодобрение, неприятие класса, должно уйти из учебного процесса. На таких занятиях ненавязчиво складывается благоприятная обстановка для настоящего сотрудничества между всеми участниками образовательного процесса, организуется коммуникативная деятельность обучающихся.

Приведу пример из своей практики работы в школе. Несколько лет назад в своем старшем гуманитарном классе я объявила ребятам, что мы вместе будем писать учебник по стереометрии, что без их помощи (что соответствует действительности) хорошей книги не получится. Ребята активно включились в эту деятельность, ведь им предложили серьезное, взрослое, нужное дело. Не жалею времени на объяснение своих действий, так как это способствует подключению всего класса к активной учебной деятельности, и не жалею времени на то, чтобы помочь каждому ученику раскрыть себя. В том же классе (гуманитарном, историко-философском) три девочки не могли добиться значительных успехов на основных уроках. Но оказалось, что одна из них прекрасно делает модели многогранников, причем ей удавались сложные - модели полуправильных и правильных звездчатых многогранников (из разверток и геометрического конструктора), другая любит решать дополнительные занимательные задачи, а третья имеет прекрасную домашнюю библиотеку и с удовольствием представляет классу замечательные книги по математике. При таких достижениях невозможно назвать этих учениц «слабыми», как это часто бывает в школе. Если школьник, действительно, почувствует к себе такое отношение, он будет потерян для обучения математике, и в результате пострадает и основное, базовое, геометрическое образование в целом. В нашем классе тоже была ученица, которая в начале 10-го класса даже не пыталась ничего понять, твердо уверовав в свою полную неспособность к геометрии. Однако постепенно мы смогли переломить эту ситуацию, и произошло это на дополнительных, метапредметных, занятиях. Она смогла проявить себя в коммуникативной деятельности, оказавшись непревзойденной рассказчицей, знающей множество интересных математических историй.

Все это очень важно, так как, подчеркнуто в работе [5, с. 99], развитие личностных качеств обучающихся способствует формированию у них творческих способностей. Эта проблема является одной из приоритетных на современном этапе развития школьного образования, в том числе и математического.

Теперь вернемся к задаче о заполнении пространства равными ромбодододекаэдрами, представленной выше. Приведем соответствующее метапредметное содержание.

Во-первых, обращает на себя внимание тот факт, что форму этого многогранника придумал не сам человек, а создала природа в виде кристалла граната. Неслучайно этот многогранник даже получил название «гранатоэдр». Конечно, в связи с этим для старшеклассников, с одной стороны, занимательны истории драгоценных камней, легенды, связанные с ними, а с другой стороны, интересны и научные факты, которые изучаются, исследуются в специальной науке - кристаллографии. Почему, например, так привлекательны и красивы кристаллы? Их физические и химические свойства определяются их геометрическим строением. Замечу, что всегда очень успешно проходят ме-тапредметные занятия «Кристаллы - природные многогранники» [6, с. 60].

В связи со сказанным особо отметим, что значительный вклад в изучение форм кристаллов внесли работы выдающегося отечественного геометра и кристаллографа Е. С. Федорова. В 1890 г. он строго математически вывел все возможные геометрические законы сочетания элементов симметрии в кристаллических решетках, то есть симметрии расположения частиц внутри кристаллов. Он показал, что таких законов 230. Впоследствии, в честь ученого, они были названы федоровскими пространственными группами симметрии.

В метапредметной деятельности очень важным этапом является развитие интуиции обучающихся, опирающейся на их наглядные представления. Поясним сказанное на примере. Представляя учащимся кристалл граната, предлагаем им задачи, решаемые из наглядных соображений.

Для начала можно предложить учащимся просто нарисовать ромбододекаэдр. Увлекательно! А потом рассмотреть такие задачи.

1. Подсчитайте число вершин (В), ребер (Р) и граней (Г) ромбододекаэдра.

2. Имеются ли у ромбододекаэдра пары параллельных граней? Если да, сколько таких пар?

3. Сколько трехгранных и четырехгранных углов? Имеются ли другие многогранные углы?

4. Попытайтесь определить величину двугранных углов ромбододекаэдра.

5. Определите величину углов между несмежными гранями четырехгранных углов ромбододекаэдра.

Говоря об элементах симметрии кристалла граната, школьникам можно предложить следующие задачи, которые решаются, как и предыдущие, исходя из наглядных соображений.

1. Имеется ли у кристалла граната центр симметрии?

2. Имеются ли у кристалла граната оси симметрии? Если да, покажите их на модели ромбододекаэдра.

3. Сколько осей симметрии каждого типа?

4. Имеются ли у кристалла граната плоскости симметрии? Если да, сколько их?

Подчеркну еще раз, что представленные задачи решаются учащимися исходя из наглядных соображений, а не строгих математических доказательств. Поэтому ответы являются скорее предположениями о наличии или отсутствии тех или иных свойств данного многогранника. Вместе с тем ценность этих упражнений заключается в том, что учащиеся знакомятся с формой и свойствами ромбододекаэдра на наглядной основе, тем самым ненавязчиво развивается их геометрическая интуиция.

Конечно, затем будут предложены и серьезные задачи. Например:

1. Постройте ромбодододекаэдр с помощью куба.

2. Найдите углы граней ромбододекаэдра.

3. Найдите длину ребра ромбододекаэдра, построенного из единичного куба.

4. Найдите площадь поверхности ромбододекаэдра, построенного из единичного куба.

5. Найдите объем ромбододекаэдра, построенного из единичного куба.

(Ответы.

- S

2. sin 2 =—, откуда а~ 71о, где а - иско-2

мый угол.

2Ü. 4

зТ2

3.

4.

2

5. 1.)

4

Практический опыт работы в школе показывает, что такие метапредметные занятия, в нашем случае по геометрии, и организованная на них метапредметная деятельность учащихся способствует активизации всего процесса обучения геометрии в целом.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Федеральный государственный образовательный стандарт основного общего образования. - М.: Просвещение, 2011. - 63 с.

2. Хуторской А. В. Метапредметный подход в обучении: научно-методическое пособие. -М: Эйдос; Изд-во Ин-та образования человека, 2012. - 73 с.

3. Смирнова И. М. Критерии отбора содержания математических курсов по выбору // Наука и Школа. - 2014. - № 3. - С. 7-13.

4. Смирнова И. М. Педагогика геометрии: мо-ногр. - М.: Прометей, 2004. - 336 с.

5. Стулова Г. П. О формировании творческих способностей учащихся // Наука и Школа. -2015. - № 4. - С. 95-99.

6. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Многогранники. Элективный курс. 10-11 классы: учеб. пособие для общеобразоват. учреждений. -М.: Мнемозина, 2007. - 95 с.

REFERENCES

1. Federalnyy gosudarctvennyy obrazovatelnyy standart osnovnogo obshchego obrazovaniya. Moscow: Prosveshchenie, 2013. 63 p.

2. Khutorskoy A. V. Metapredmetnyy podkhod v obucheniyu: uchebno-metodicheskoe posobie. Moscow: Eidos"; Izd-vo In-ta obrazovaniya cheloveka, 2012. 73 p.

3. Smirnova I. M. Kriterii otbora soderzhaniy matematicheskikh kursov po vyboru. Nauka i Shkola. 2014, No 3, pp. 7-13.

4. Smirnova I. M. Pedagogika geometrii: monogr. Moscow: Prometey, 2004. 336 p.

5. Stulova G. P. O formirovanii sposobnostey uchashchikhsya. Nauka i Shkola. 2015, No 4, pp.95-99.

6. Smirnova I. M., Smirnov V. A. Mnogogranniki. Elektivnyy kurs.10-11 klassy: ucheb. posobie dlya obshcheobrazovat. uchrezhdeniy. Moscow: Mnemozina, 2007. 95 p.

Смирнова Ирина Михайловна, доктор педагогических наук, профессор, профессор Кафедры элементарной математики и методики обучения математике ФГБОУ ВО «Московский педагогический государственный университет», профессор кафедры высшей алгебры, элементарной математики и методики преподавания математики ГОУ ВО Московской области «Московский государственный областной университет» e-mail: i-m-smirnova@yandex.ru

Smirnova Irina M., ScD in Education, Professor, Elementary Mathematics and Methods of Teaching Mathematics Department, Moscow Pedagogical State University; Professor, Higher algebra, Elementary Mathematics and Methods of Teaching Mathematics Department, Moscow Region State University e-mail: i-m-smirnova@yandex.ru