Аксиоматическая постановка задачи для формирования математической модели диагностики бортовых комплексов оборудования воздушных судов

Ергалиев Д.С., Тулегулов А.Д., Ахмадия А.А.

Евразийский Национальный университет им. Л.Н. Гумилева, г. Астана

АКСИОМАТИЧЕСКАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ ДЛЯ ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДИАГНОСТИКИ БОРТОВЫХ КОМПЛЕКСОВ ОБОРУДОВАНИЯ ВОЗДУШНЫХ СУДОВ

Оценка состояния сложных систем бортового комплекса оборудования воздушных судов (БКО ВС) представляет собой многоитерационный процесс, лежащий в основе системы эксплуатации.

Организация сложного процесса эксплуатации БКО ВС, содержащего в себе процесс контроля технического состояния, требует создания диагностических систем управления этим процессом для реализации упреждающих технологий обслуживания. Исследование этих процессов управления в работе проводилось в рамках технической диагностики в терминах результирующего поведения системы БКО ВС. Решение проблемы оценки состояния этой системы проводилось, исходя из аксиомы, что система представляет совокупность функционально простых блоков, называемых ее образующими.

Подход будет основан на дедукции, а не индукции по результатам наблюдений. Для решения задач оценки состояния систем БКО ВС введем ряд начальных допущений, т. е. аксиом.

Выбирая аксиомы, будем вводить радикальные прощения. Основная цель в данной статье заключается в построение логической системы, по возможности простой, позволяющей прийти к результатам, которые отражали бы некоторые свойства обучаемости и памяти специалиста по техническому обслуживанию.

В нашем случае, наиболее важные аксиомы - это те, которые характеризуют среду, порождающую сенсорные входные сигналы. Последние будут предполагаться существенно структурированными и, как ниже будет показано в рамках теории образов, обладающими регулярной структурой.

Допущение о высокой структурированности среды с БКО, входящей в состав макросистемы « Техническая эксплуатация» - Р, относится к числу основополагающих.

Признаки ^формируются из частичных признаков различных типов. Для каждого типа v значениями подвектораау (g) будут булевы векторы конечной, но часто очень высокой размерности. Следовательно,

любая компонента fn(g) вектора av(g) может принимать лишь два значения: ИСТИНА и ЛОЖЬ; поэтому f± - бинарные признаки, а вектор av(g) интегрирует измеримые параметры для оценки состояния образующей g.

Тип признака может иметь различные физические интерпретации: приведем несколько примеров.

v =1: локализационный тип, характеризующий расположение отмеченной точки образующей g в про-

странстве R3.

v =2: ориентационный тип, характеризующий ориентацию g, например, с помощью двух углов или

единичного вектора.

v = З: объемный тип, указывающий множество, покрываемое g со стандартными расположением и ориентацией .

На основе этих трех типов признаков можно вычислить другие производные признаки, например, такие, как V(g) - множество в пространстве R3, покрываемое образующей g при заданной ориентации, и т. п. Кроме того, можно определять объем m[V(g)], наибольший диаметр g и площадь ее поверхности. Две последние характеристики представляют собой примеры инвариантных частичных признаков.

Из конечномерности и булевой природы вектора av (g) следует, что мы пользуемся некоторым конечным описанием микромира. Это не имеет значения для последующего - можно было бы пользоваться не прерывным описанием - это вопрос лишь математического удобства. Поскольку признаки будут иметь очень высокую размерность, различие кажется практически несущественным.

Если заданы две образующие g и g' и известны векторы av (g) иav (g') для v = 1, 2, то можно определить совместные производные признаки, такие, как угол, образованный двумя отмеченными осями образующих g и g' соответственно. Если g и g' имеют анатомическую интерпретацию, например плечо и предплечье гибкой куклы из палочек, то можно определить угол соединения в локте. Аналогично обстоит дело в случае производных признаков, включающих более чем две образующие.

v = 4: зрительный тип. Свет, порождаемый образующей g, будет характеризоваться двумя величинами - длиной волны и интенсивностью.

v = 5: звуковой тип. Он описывает высоту тона, силу и другие характеристики звука, издаваемого g.

v = 6: текстурный тип. Эти частичные признаки описывают автокорреляционные свойства распреде-

ления представленных в мелком масштабе высот на поверхности, ограничивающей множество V(g), или, что эквивалентно, спектральную функцию распределения.

v = 7: температурный тип. С помощью этого типа частичных признаков характеризуется тепло, из-

лучаемое образующей g проводимое от нее.

Для оценки состояния образующих и конфигураций введем следующие аксиомы.

Аксиома 1.Полное пространство признаков среды с БКО, в которой действует макросистема ТЭ - Р, представляет собой прямое произведение

A = A1 х A2 х A3 x

пространств признаков A , входящих в него систем, каждая из которых, в свою очередь, состоит из конечномерных булевых векторов ( fjV,l = 1,2,... ) .

Для представления инвариантностей постоянных взаимосвязей, существующих в БКО, в котором действует Q, введем отображения G^G -преобразования подобия. Они отражают то обстоятельство, что и системы БКО, и их комбинации существуют независимо от систем координат, используемых в пространствах признаков. В данном случае координаты представляют собой не просто некоторые координаты в опорном пространстве X=R3, т. е. физическом пространстве, но также и системы отсчета, используемые для представления.

Чтобы придать нашим рассуждениям конкретный характер, будем считать преобразования подобия ^группой переносов в R3или соответствующей подгруппой, но следует заметить, что можно вводить и преобразования других видов, например повороты (или некоторую их подгруппу) или равномерные изменения масштаба (или некоторую их подгруппу). Если к тому же время присутствует в структуре образа в явном виде, то преобразования подобия могут включать также время.

При этом потребуем, чтобы преобразования подобия ^удовлетворяли следующей аксиоме.

Аксиома 2. Группа преобразований подобия S являемся конечной в абелевой, сохраняем инвариантность индекса класса образующих a(g):

a

и отображаем каждое Av в Av.

Аксиома 3. Рассмотрим все конфигурации c=(glf g2,.., gn), регулярные относительно Я , где n - любое натуральное число. Под потенциальной средой будем понимать среду, состоящую исключительно из этих конфигураций:

C = b

n=1 П

Среда для Р не определяет целиком регулярность Я - эти правила лишь ограничивают возможные конфигурации множеством b (Я) , но не говорят нам о том, какова вероятность появления при техническом обслуживании той или иной конфигурации. Для уточнения этой ситуации требуется некоторая мера Q в пространстве конфигураций, позволяющая судить о них и о их состоянии относительно регулярных. Тогда следующая аксиома вводит Q.

Аксиома 4. Статистическая среда для Q задается как

C =

где Q - некоторая вероятностная мера, заданная на множестве b (Я) допустимых конфигураций.

Вид распределения вероятностной мерой Qна множестве b (Я) , определяет то, как Р будет исследовать свою среду. Так, Q будет встречать только те конфигурации, которые принадлежат носителю Q, и поэтому естественно ввести опыт P(exp(Q)):

ехр

Естественно, будем считать, что с течением времени регулярность Я не изменяется. Это означает, что потенциальная среда b (Я) не обнаруживает никаких тенденций, свойственных длительным периодам у временных рядов.

Если Q вообще не включает время, то мы будем говорить о стационарной статической среде. Конфигурации в таком случае будут получаться независимо из ехр(Р). При этом имеет смысл рассматривать вероятность того, что Q встретится с n объектами:

Яп = Q[#[з\дє c} = n],

а также условное распределение на bn (Я) для заданного числа образующих:

Qn

Если Р встречается с различными конфигурациями, то Q определяет частоту появления возможных конфигураций. Последовательные конфигурации можно рассматривать как некоторый случайный процесс

c(t), принимающий значения из b (Я) и характеризующийся кусочно-постоянными реализациями. Значения

c(t) тождественно независимо распределены в соответствии с Q при фиксированных значениях t, принадлежащих различным интервалам, на каждом из которых с(0 постоянен. Q является их безусловным

(одномерным) распределением. Вес, присвоенный некоторому определенному С є b(Я), будет тогда зависеть от того, сколько долго он может оставаться постоянным в процессе изучения.

Если некоторая конфигурация С =( g^, g2,..., gn) остается фиксированной в течении некоторого промежутка времени (t, t + At) , то она представляет статическую среду, причем если отрезок At мал, краткосрочную. Подобные конфигурации будут следовать одна за другой.

Аксиома 5.Функция конфигурации с (t) является кусочно-постоянной на временных интервалах длины At . Значение с (t)определяется аксиомой Е4.

Наблюдательные возможности Р будут выражены через отношение идентификации R.

Аксиома 6. Две регулярные конфигурации с и с', принадлежащие С є b (Я), идентифицируются по модулю R, если #(c)=#(c'), когда существует нумерация их соответствующих образующих такая, что gj = g i=1,2.., #(c), и когда их внешние связи одинаковы при использовании одинаковой нумерации.

Тогда b (Я) / R образуют алгебру изображений, и можно сформировать образы, которые Р наблюдает в идеальных условиях.

Переходя к конкретному языку для формализации знаний в Р, воспользуемся языком исчисления предикатов первого порядка.

Высказывания относительно С будут строиться на основе последовательного использования все более сложных комбинаций признаков. Простым высказыванием мы будем называть всякуюдизъюнкцию простых признаков

П = П

(n,j )єГ

где F - некоторое множество пар (n, j ) . В качестве соответствующих примеров приведем следующие простые высказывания на естественном языке:

«расположено в х1 или х2 или хз»;

Если П - простое высказывание, то его можно отождествить с его множеством истинности в G:

{g| П (g) = ИСТИНА} с G

Дизъюнкция признаков соответствует, конечно, объединению множеств. Тогда определенные совокупности объектов можно описать с помощью относящихся к ним высказываний.

В случае описания совокупности объектов, которые обладают набором разнотипных признаков необходимо ввести сложные высказывания.

В качестве первого шага введем сложные высказывания второго порядка как

C = C(g) = V [ f П(g) Л fm(g)] ,

где дизъюнкция берется по некоторому множеству F четверок (у І, m, j) • Такое высказывание позволяет справиться с последними двумя совокупностями объектов в (6.1.12), но нес первой. В более общем виде, мы определим сложные высказывания порядка ц как

C = C

Другими словами, работаем с логикой признаков порядка ц,за исключением того, что поменялось местами роли дизъюнкций и конъюнкций. Как хорошо известно, между конъюнктивными и дизъюнктивными нормальными формами булевых выражений существует двойственность. Эти формы связаны друг с другом через отрицание. Поскольку обе формы математически эквивалентны, то выбор одной из них - просто вопрос удобства. В нашем случае, однако, это важный вопрос, так как необходимо ограничить сложность формы либо в терминах дизъюнкций, как это сделано здесь, либо, наоборот, посредством ограничения конъюнкций. Тогда вопрос сводится к тому, что естественнее для описания С(0) -конъюнкция или дизъюнкция ограниченной сложности. Выбран второй путь, но следовало бы остановиться на этом подробнее. Значение ц характеризует структурную сложность высказывания, а мощность множества F характеризует числовую сложность высказывания С.

Все это относится к случаю единственной образующей и также, естественно, к одноатомной конфигурации. Для произвольной регулярной конфигурации

с =

и соответствующего ей идеального изображения определим сложные высказывания порядка ц в подпространстве конфигураций b (И)как

C = C

где F - некоторое множество значений (y,^, j^,V2, І 2, ‘І2,...Уц, Іm, jm) . Здесь диапазон значений I определяется типами признаков; для заданного v значение i самое большее равно размерности А, а j принимает значение между 1 и n=#(c).

РУ

При формировании высказываний типа (10) и (12) множество бинарных признаков Ф= {fy|

можно рас-

ширить за счет включения в него их отрицаний.

Высказывания самого общего вида записывается в соответствии (10) и (12) в зависимости от того, имеем ли мы дело с единственной образующей или конфигурацией, причем число признаков в конъюнкции не ограничивается. Тогда получим высказывания с неограниченной структурной сложностью.

Таким образом, рассматривая как исходные определенные предикаты -бинарные признаки, формируются более сложные предикаты. Это приводит непосредственно к исчислению предикатов первого порядка (при добавлении двух кванторов - квантора существования $ и квантора общности V) . Рассматривая некоторое высказывание в техническом смысле этого слова, в исчислении предикатов с переменными и

индивидуальными логическими постоянными и сопоставляя его G или b (И) , можно говорить об его истинности или ложности в среде БКО являющимся окружением для Р.

В качестве применения высказывания примеров рассмотрим следующие варианты:

Запишем высказывание, установившее, что две образующие g1 и g2 (параметры оценки состояния системы БКО) совпадают по одному, в частности, локализационному типу. Пусть, например, они совпадают на участке частотного спектра. Это можно представить как

V {[f у

поскольку при любом i обе образующие либо удовлетворяют этому признаку, либо нет. Высказывание имеет порядок ц= 2, так как в него входят парные конъюнкции. Здесь мы включили в высказывание отрицания признаков.

Для упрощения записи логических формул типа (13) мы будем писать f '= f" для булевых выражений

имея в виду, что символ «=» обозначает здесь отношение для парных признаков.

Другим примером использования кванторов существования и общности для некоторых высказываний В, заданного на множестве образующих G для каждой системы БКО, факт наличия в потенциальной среде БКО какой-либо системы или объекта, для которого это высказывание справедливо, представляется следующим образом:

подобным же образом, но заменив квантор $ квантором V, можно сформировать высказывание, утверждающее, что высказываниеВ справедливо для всех систем БКО.

Очень важным для оценки состояния объектов БКО является построение сложных высказываний с применением квантор общности, так например, если на G заданы два высказывания В1 и В2 и если предполагается, что В1 является следствием В2, то можно построить высказывание

В дальнейшем для целей диагностики нас будут интересовать отношения инвариантные относительно преобразований S /1/.

В результате предложенного в работе подхода может быть построено некоторое исчисление высказываний, позволяющих оценить состояние компонент, систем БКО ВС.

ЛИТЕРАТУРА

1. Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории.- М.: Мир, 1980. - 285 с.