Установившиеся колебания составных тел

В1СНИК ПРИАЗОВСЬКОГО ДЕРЖАВНОГО ТЕХН1ЧНОГО УН1ВЕРСИТЕТУ 2000 р. Вип.№10

УДК 539.3:534.121.1

Гофман М.Н."

УСТАНОВИВШИЕСЯ КОЛЕБАНИЯ СОСТАВНЫХ ТЕЛ

Дан обзор работ по расчетам напряженного состояния при установившихся колебаниях изотропных и анизотропных составных тел для различного вида силового погружения, с учетом влияния физически нелинейных и неоднородных свойств материалов. Рассмотрены крутильные колебания тел вращения Цилиндр, конус, полусфера), продольные колебания пластинок, поперечные колебания плит, радиальные колебаниях сфер. Работы выполнены на кафедре теоретической и прикладной механики Приазовского государственного технического университета.

Практически любые детали машин испытывают динамические нагружения. Наиболее широкий класс таких нагружений и приводящихся к ним вследствие внутреннего трения - установившиеся колебания. С другой стороны, требования развивающихся отраслей техники приводят к необходимости наиболее полного использования прочностных свойств материалов. Для этого, в случае использования тел в агрессивных средах и в ряде других случаях целесообразно выполнять тела составными. Материалы, составляющих тело областей, могут обладать различными механическими характеристиками. Поэтому важной задачей при проектировании конструкций является исследование напряженно-деформированного состояния, определение собственных частот при колебаниях составных элементов конструкций и подбор более рациональных конструктивных параметров.

В настоящее время имеется значительное количество статей, монографий и учебников, посвященных развитию методов решения и решению конкретных динамических задач деформирования элементов конструкций. Анализ этих работ позволяет выделить следующие математические методы решения задач о колебаниях: интегральные преобразования, метод разделения переменных, метод плоских волн, метод рядов, конечно - разностный метод, метод конечных элементов и другие.

В статье [1] предложено уравнения вынужденных колебаний решать разложением смещения в ряд по степеням параметра инерции. Автор этим методом на примере балки в виде клина предлагает определять собственные частоты. Если решение обрывается, то для лучшей аппроксимации используется метод цепных дробей.

Независимо A.C. Космодамианским [2] также предложено для решения задач установившихся колебаний использовать малый параметр, зависящий от механических характеристик материала и частоты нагружения. В этом случае решение сводится к рекуррентной последовательности задач, причем в нулевом приближении имеем статическую задачу, решение которой или известно или может быть найдено известными методами. В [3] указанный метод обобщается для случая составных тел.

Дальнейшему развитию этого метода применительно к задачам колебаний составных тел и посвящен настоящий обзор.

Крутильные колебания тел вращения. Рассмотрим упругое однородное составное тело, ограниченное несколькими коаксиальными поверхностями вращения и плоскостями торцов. Каждая из областей изготовлена из различных материалов, обладающих ортотропными свойствами, причем ось анизотропии совпадает с продольной осью вращения Oz и плоскости изотро-

"ПГТУ, канд. физ.-мат. наук, доц.

пии, проходящие через каждую точку тела, нормальны к этой оси. Области спаяны или склеены по соответствующим поверхностям без предварительного натяга. На тело действуют поверхностные усилия, распределенные по наружным поверхностям и нормальные к оси анизотропии. По торцам распределены усилия, приводящиеся к скручивающему моменту Mt. Все нагрузки пульсируют с круговой частотой ю и вызывают установившиеся колебания тела.

Пусть поперечные сечения не искривляются и перемещения в радиальных направлениях отсутствуют, то есть каждое поперечное сечение поворачивается вокруг оси, не изменяя своего диаметра. В этом случае

и = w = 0, v = v(r,z}- О

Тогда первое и третье уравнения системы уравнений колебаний, записанной в цилиндрической системе координат, удовлетворяются тождественно, а второе удобно записать, введя функцию перемещений ¥ = v/r:

д V f 3 д¥ t 2д2Ч? ^ ра>2Н2Г

дг2 r & dz2 G3

Здесь г, г - безразмерные координаты, отнесенные к параметру Н, g2 = A44/A«, = G/Gi; Gb G3 - модули сдвига для плоскостей продольных и поперечных сечений соответственно. Решение уравнения (2) будем искать в виде

ОС

п=0

где е = рсо:Н2/Оз - малый безразмерный параметр.

Подставив разложение (3) в уравнение (2) и приравняв коэффициенты при одинаковых степенях параметра е, получим уравнения вида

<?У„ 3&ГЛ 2 03*» " =

а-2 г & о*2 1-^-/. »>0.

В нулевом приближении при определении имеем статическую задачу, решение которой для ряда тел вращения (цилиндр, конус, полусфера) в случае изотропных свойств материалов приведены в [4], а для анизотропных тел вращения, но частного случая закрепления в [5].

В статье [6] рассмотрены простейшие случаи крутильных колебаний кольцевого цилиндрического стержня, скручиваемого боковой нагрузкой. Рассмотрены случаи крутильных колебаний сплошного цилиндра, когда нагрузка приложена к его торцам и распределена по линейному закону и когда распределена линейно по одному из торцов и равномерно по боковой поверхности. Исследованы крутильные колебания полого круглого цилиндра нагрузкой, приложенной равномерно на боковых поверхностях и линейно по одному из торцов. В этих случаях функция перемещений может быть представлена с помощью элементарных функций.

В статье [7] решение задачи крутильных колебаний цилиндрического вала обобщается на случай вала, выполненного из любого числа слоев, выполненных из ортотропных материалов с различными характеристиками. Рассмотрен случай, когда по боковым поверхностям цилиндра приложены касательные усилия, распределенные по его длине по произвольному закону. Один из торцов жестко защемлен, а другой свободен от закрепления и нагрузки. Построены аналоги функций податливости при кручении вала, которые эффективно использовать, если число слоев составляющих цилиндр велико. Приведены зависимости удельной энергии деформации от частоты нагружения и вдоль радиуса сечения для четырехслойных, двухслойных и однослойных валов.

В работе [8] кратко дан анализ существующих методов исследования произвольных колебаний конечных цилиндрических валов, а в [9], [10] предложено решение рассмотренных выше задач для случая неустановившихся колебаний. Внешнее нагружение представляется в виде ряда Фурье и решение строится для каждой гармоники. Для каждой гармоники в решении удается перейти от бесконечных сумм к элементарным функциям и функциям Бесселя.

Зв

В работах [11], [12] сделаны попытки применить метод разложения в ряд по параметру к задачам кручения валов некруглого поперечного сечения, в частности к валам прямоугольного поперечного сечения.

В статье [14] предлагается решение задачи о крутильных колебаниях изотропных конических стержней в случае нагружения боковой поверхности касательными усилиями произвольной интенсивности и скручивающими моментами на торцах. Рассмотрены частные случаи нагружения: крутильные колебания конуса моментом, приложенным на торце, и линейной нагрузкой по боковой поверхности и крутильные колебания усеченного конуса моментами, приложенными на торцах.

В статье [15] рассматриваются установившиеся крутильные колебания многослойных усеченных конусов под действием произвольно распределенных по боковой поверхности касательных усилий. Представив интенсивности нагрузок, приложенных к боковым поверхностям, в виде степенных рядов, получим систему линейных алгебраических уравнений для определения неизвестных постоянных. Рассмотрены десятислойные, двухслойные и однослойные конуса для которых представлены графики зависимостей удельной энергии деформации от частоты нагружения, количества слоев, вдоль радиуса сечения и образующей конуса.

В статье [16] обобщаются полученные ранее результаты на случай конуса, выполненного из ортотропного материала, для произвольного случая распределения касательных усилий по боковой поверхности. В выражении для функции перемещений удается перейти от бесконечных сумм к элементарным функциям и функциям Бесселя. Для частных случаев нагружения, аналогично [14], приведены графики зависимостей удельной энергии деформаций от частоты нагружения и постоянной анизотропии, позволяющие наблюдать явление резонанса.

В статье [17] рассмотрена задача о крутильных колебаниях полой полусферы под действием произвольно приложенной на ее поверхности нагрузки. Переходя к специальной системе координат, строим решение в произвольном приближении. Решение получено в виде бесконечных сумм, в которые входят производные от сферических полиномов Лежандра и конической функции. Внешнее нагружение раскладывается в соответствующие ряды и после удовлетворения граничным условиям, получена система алгебраических уравнений для определения неизвестных постоянных. Для частного случая нагружения исследуется зависимость удельной энергии деформации от частоты нагружения, по дуговой координате, по радиусу полусферы, от радиуса ее внутренней поверхности.

В статье [18] аналогичная задача решена для случая полусферы, выполненной из различных изотропных материалов.

Продольные колебания пластинок.

Рассмотрим упругое однородное тело, ограниченное цилиндрическими поверхностями и плоскостями торцов. Пусть его поперечное сечение состоит из криволинейных колец ^ = 1,..., К), ограниченных гладкими контурами (т = 0, ..., К). Области изготовлены из однородных различных и изотропных материалов. Кольца спаяны или склеены по соответствующим поверхностям без предварительного натяга. На тело действуют поверхностные усилия, распределенные по цилиндрической поверхности и нормальные к оси тела. Все нагрузки пульсируют с частотой со и вызывают установившиеся колебания тела.

Предположим, что длина тела бесконечна и усилия, распределенные по боковым поверхностям, в проекции на ось г равны нулю и не меняются по длине. Тогда составляющие тензора напряжений и компоненты вектора перемещений в таком теле не зависят от координаты х. Уравнения плоской теории упругости в перемещениях имеют вид:

к-1дгдг к — I ^ 2/л

Здесь к = 3 - 4у в случае плоской деформации и к = (3 - у)/(1 + v) в случае плоского напряженного состояния, когда имеем тонкую пластинку, V - коэффициент Пуассона, и = 2ц(и + гу) ~ комплсксишначная функция перемещений.

Решение этого уравнения будем искать в виде

п=0

где £ = рссгН2/2ц - малый безразмерный параметр. Н - некоторый характерный размер области.

Подставляя разложение (6) в равенство (5) и приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра е, получим уравнения:

2* д2Ц„ | 2 д2и„_\0,п=0

к-1 дгдг к-1 дг2 \~ип_1 / Н2 , п>0'

В нулевом приближении при определении Ц, имеем статическую задачу, методы решения которой изложены в [19], [20].

В статьях [21]. [22] изложенный выше метод был реализован для исследования установившихся продольных колебаний изотропной пластинки, в первой работе при решении волнового уравнения, а во второй - при решении уравнений в перемещениях. Рассмотрены случаи нагружения нормальной и касательной нагрузкой. Проведены численные исследования для пластинок из двух областей. Представлены графики, характеризующие зависимость напряжений и удельной энергии деформации от геометрических и жесткостных параметров, а также от частоты нагружения.

В статье [23] решена задача, рассмотренная выше, но с учетом неравномерного температурного поля. Функция температуры выражается через функцию комплексного переменного, которая определяется из условий на границах областей. Для круглой пластинки исследовано влияние частоты нагружения и температуры на удельную энергию деформации.

В статье [24] предложен подход к решению затухающих колебаний пластин. Представляя специальным образом компоненты вектора перемещений и дважды применяя метод разложения по параметру, сводим задачу к решению систем линейных алгебраических уравнений. Для кольцевой пластинки построены графики зависимостей удельной энергии деформации от времени для различных значений коэффициента сопротивления.

В работах [26] - [28] рассмотрен случай, когда материалы областей обладают физически нелинейными свойствами согласно [25]. Для решения задачи используется метод последовательных приближений. Проведено сравнение решения в нулевом приближении (линейная задача) и в первом приближении. Рассматривается случай плоской деформации и плоского напряженного состояния. Показано влияние нелинейности свойств материала на характеристики колебаний.

В статье [29, 30] дано обобщение решения задачи установившихся продольных колебаний составных круглых пластинок под действием нагружения произвольной интенсивности. Задача решается с помощью аппарата теории функций комплексного переменного, что делает возможным использовать полученные решения и для тел, ограниченных другими контурами. Исследованы пластинки, состоящие из двух колец под действием нагрузки, имеющей четыре оси симметрии. Построены графики зависимостей удельной энергии деформации от частоты нагружения, отношения модулей сдвига материалов, радиуса внутренней окружности и вдоль дуговой координаты. Дан анализ полученных результатов.

В статье [31] рассмотрен случай продольных колебаний составных пластинок с большим числом составляющих их колец. Построены аналоги функций податливости, применение которых эффективно в случае, когда пластинка состоит из большого числа колец, а также в случае, когда нужно исследовать напряженно-деформированное состояние не всей пластинки целиком, а какого-либо из колец или группы колец. Приведены распределения удельной энергии деформации по радиусу пластинки и от частоты нагружения для пластинки, состоящей из пяти колец. Проведено сравнение с пластинками, выполненными из одного материала.

В статье [32] рассмотрены установившиеся колебания составной пластинки, области ко-

торой выполнены из материалов механические характеристики которых зависят от координат. Для решения используется метод последовательных приближения. В каждом приближении задача решается с использованием комплексных переменных. Зависимость модуля сдвига от координат принята такой: @ — ехр[а(¿г)п]> гДе а и п ~ произвольные постоянные. Для

пластинки, состоящей из двух колец, получены зависимости удельной энергии деформации от частоты нагружения и от постоянной, характеризующей степень неоднородности материала.

В работах [33], [34] решение предыдущей задачи используется в случае, когда число областей, составляющих пластинку велико. Для пластинки, состоящей из пяти круговых областей, исследовано распределение удельной энергии деформации от частоты нагружения и влияние неоднородности свойств материала.

В работе [35] показана возможность использования метода разложения в ряд по параметру для исследования установившихся продольных колебаний круглых пластинок, ослабленных симметрично расположенными отверстиями.

В статье [36] рассматриваются продольные колебания пластин, материалы которых обладают цилиндрически анизотропными свойствами. Задача решается в полярной системе координат. Построены аналоги функций податливости. Для пластины, состоящей из пяти областей, построены графики зависимостей радиальных и тангенциальных напряжений по радиусу пластинки и от частоты нагружения. Проведено сравнение с пластинками , выполненными из одного материала

В статье [37] проведено сравнение решения, полученного методом разложения в ряд по степеням параметра £, и известного решения с использованием функций Бесселя для цилиндрически анизотропных пластинок. Показано, что полученные решения могут быть преобразованы к функциям Бесселя. Для пластинки, состоящей из двух колец с различными механическими характеристиками, приведены графики распределения удельной энергии деформации от частоты нагружения и вдоль радиуса пластины для различной степени анизотропии. Поперечные колебания плит.

Рассмотрим составную плиту переменной толщины Ь, поперечное сечение которой состоит из областей 5] {] = 1, 2...., К), ограниченных контурами Ьт (т = 0, 1. .... К). Составные

части плиты изготовлены из однородных различных изотропных или анизотропных материалов. Они спаяны или склеены по соответствующим боковым поверхностям без предварительного натяга. Эти части плиты нагружены произвольной поперечной нагрузкой (^(х,у). пульсирующей с частотой со и вызывающей установившиеся колебания всей плиты.

Принимая гипотезу Кирхгофа о прямых нормалях, получим следующие уравнения

относительно прогиба для плит постоянной толщины:

анизотропная плита с одной плоскостью упругой симметрии

д4 у/ д4м/ д4 уч

Ви + 4016 -£_ + 2(В12 + 2й66 )-£— +

дх4 дх^ду дх 1ду~

д3™ т„ д*у»

+ 4В26 -:1—7 + = Ч + Ф^2^ ;

дхсу ду

ортотропная плита

д4м/ __ д4ы д4\1/ , 2

дх

изотропная плита

&с* ' дх2ду2 ' ду"

=

В О

д2 д2

где изгибные жесткости Р определяются через постоянные материала, у = —_-ь

дх' ду2

Переходя к комплексным переменным уравнение (10) запишем в виде

дг'дг2 16В 16В

Аналогичные зависимости получены и в цилиндрической системе координат.

Решение этих уравнений будем искать в виде

п = 0

где £ - рЬогН4/! 60 - безразмерный параметр для уравнения (11). Н - некоторый характерный размер области. Проделав иреооразования описанные выше, получим рекуррентную последовательность уравнений, нулевое приближение которых представляет собой статическую задачу.

В статье [38] приведено решение задачи об установившихся колебаниях составных изотропных плит. Задача решается с использованием функций комплексной переменной. Для двухслойной кольцевой плиты, внутренний контур которой защемлен, а внешний свободен, находящейся под действием нагружения постоянной интенсивности, построены графики изменения удельной энергии деформации от частоты нагружения и вдоль радиуса в сравнении с плитой из одного материала.

В статьях [39], [40] решена задача об осесимметричных поперечные колебания составных тонких круглых плит, материалы областей которых обладают цилиндрической анизотропией. Задача решается в полярной системе координат. Построены аналоги функций податливости. Численное исследование проведено для плиты, состоящей из двух областей. Построены графики изменения радиальных и тангенциальных изгибающих моментов по радиусу плиты и от частоты нагружения. Проведено сравнение с плитой, выполненной из одного материала.

В статье [41] обобщается решение предыдущей задачи на случай произвольного закона нагружения составных круглых плит. Исследована плита, состоящая из двух колец, у которой внешний контур принимался свободным, а внутренний - жестко защемлен. Построен график изменения прогиба от частоты нагружения.

В работах [42] - [44] рассматриваются поперечные колебания плит, состоящих из нескольких скрепленных между собой прямоугольных полос, изготовленных из различных орто-тропных материалов. Предполагается, что две грани плиты свободно оперты, а на двух других граничные условия произвольны. В нулевом приближении имеем задачу Мориса-Леви. Проведены численные расчеты для плиты, состоящей из трех полос с двумя защемленными гранями. Показаны графики изменения прогиба в центре плиты от частоты колебаний.

В статье [45] дается решение задачи об установившихся колебаниях составных плит переменной толщины, материалы которых обладают цилиндрической анизотропией. Рассмотрен случай, когда толщина каждого кольца может меняться по степенному закону. Численные исследования проведены для плит, состоящих из двух колец с различными законами изменения толщины. Для этих случаев приведены графики изменения максимальных значений радиального изгибающего момента от частоты нагружения. Радиальные колебания сфер.

Рассмотрим составную сферу, состоящую из областей SJ 0 = 1, 2,..., К), ограниченных радиусами (т — 0, 1, ..., К), Слои сферы изготовлены из однородных различных сферически анизотропных материалов. Они спаяны или склеены по соответствующим поверхностям без предварительного натяга. Внешний и внутренний контуры сферы нагружены произвольной нагрузкой, пульсирз'ющей с частотой ю и вызывающей ее установившиеся колебания.

Для определения напряженно-деформированного состояния такой сферы для каждой из областей запишем уравнения движения в сферической системе координат в случае центральной симметрии:

трансверсально изотропная сфера:

и = 0.

Здесь Ау (1 j = 1,2^.3) - упругие постоянные

п

изотропная сфера

д и 2 гН1 и пт

и = 0.

Здесь X, ц - постоянные Ламе. Снова представляя перемещение в виде

и=0

где е = рюгН2/(Я, + 2ц) - безразмерный параметр, Н - некоторый характерный размер об-

ласти, получим рекуррентную последовательность уравнении.

В статье [46] решена задача центральносимметричных колебаний многослойной сферы. Решение в нулевом приближении получено методом последовательных приближений. Получены выражения аналогов функций податливости для данной задачи, которые эффективно использовать в случае, когда число слоев велико. Для двухслойной сферы приведены графики распределения удельной энергии деформации вдоль радиуса и от частоты нагружения. Дано сравнение с однослойной сферой.

В статье [47] дано решение аналогичной задачи в случае, когда слои сферы выполнены из различных трансверсально изотропных материалов. Получены выражения аналогов функций податливости для данной задачи. Для трехслойной сферы представлены графики распределения удельной энергии деформации вдоль радиуса и от частоты нагружения. Дано сравнение с однослойной сферой.

В статье [48] рассматриваются установившиеся колебания многослойной сферы, слои которой выполнены из неоднородных материалов. Рассмотрен случай, когда модули сдвига слоев пропорциональны заданной степени расстояния от центра сферы. Как частный случай рассмотрен случай сферы, выполненной из однородных материалов, для которой удается записать решение в виде тригонометрических функций. Исследована двухслойная и четырехслойная сферы, для которых построены графики изменения удельной энергии деформации от частоты нагружения и вдоль радиуса сферы для различных показателей неоднородности материалов.

В статье [49] дан обзор работ, выполненных по установившимся колебаниям сфер с учетом анизотропных и неоднородных свойств материалов слоев, температурных воздействий. Построены аналоги функций податливости для этих задач. Приведены числовые результаты для различных случаев свойств материалов.

В работах [50], [51] рассмотрен случай произвольного по времени нагружения составных изотропных сфер. Предлагается внешнее нагружения разложить в ряд Фурье и находить решение аналогично [48] по каждой гармонике, которое может быть представлено в элементарных функциях. Приведены графики зависимостей удельной энергии деформации вдоль радиуса сферы в определенный момент времени и максимальной удельной энергии деформации от времени. Проведено сравнение для двухслойной и однослойной сфер.

Предложенный метод решения задач установившихся колебаний может быть применен для любых составных тел, составленных из областей с различными механическими характеристиками и при действии любого вида нагружения. Использование аналогов функций податливости позволяет эффективно решать задачи с большим числом областей, а также в случае исследования части тела. Метод дает возможность не только исследовать напряженное состояние

Выводы

тел, возникающее при их колебаниях, но и приближенно находить собственные частоты колебаний используя зависимости характеристик напряженно-деформированного состояния от частоты нагружения.

Перечень ссылок

1. Каунтс Д. Об использовании цепных дробей для определения собственных частот неоднородных упругих тел//Труды ASME. Сер.Е. Прикл. механика.-1970.-№3.-С.284-286 .

2. Космодамганський О.С. Цикгпчш коливання багатозв'язкових тш // Bích. АН УРСР.-1988 -N4.-С. 12-26.

3. Гофман М.Н., Космодамианский A.C. Использование метода малого параметра для решения задач установившихся колебаний составных тел // 2-я регион, науч.-техн. конф: Тезисы докладов. - Мариуполь, 1993.-С. 109.

4. Арутюнян Н.Х., Абрамян Б.Л. Кручение упругих тел.-М.: Физматгиз, 1963.-688 с.

5. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропных тел.-М.: Наука, 1977,-416 с.

6. Гофман М.Н., Космодамианский A.C. Крутильные колебания кольцевого цилиндрического стержня, скручиваемого боковой нагрузкой // Сопротивление материалов и теория сооружений: Респ. межвед. науч.-техн. сб.-Киев, 1991,-Вып. 58.-С. 24-27.

7. Гофман М.Н., Космодамианский A.C. Об установившихся крутильных колебаниях многослойного ортотропного вала//Прикл. механика.-1993.-Т.29.-№11.-С.35-41.

8. Гофман М.Н., Широченко 77.77. Методы исследования произвольных колебаний конечных цилиндрических валов // 4-я регион, науч.-техн. конф: Тезисы докладов.-Мариуполь, 1997-С.78.

9. Гофман М.Н., Широченко 77.77. Неустановившиеся крутильные колебания валов под действием равномерной боковой нагрузки и линейной на торцах // Вестник Приазов. гос. техн. ун-та: Сб. науч. тр.-Мариуполь, 1997.-Вып.З.-С. 116-119.

10. Гофман М.Н., Широченко 77.77. Неустановившиеся колебания цилиндрических валов под действием произвольной нагрузки // 5-я регион, науч.-техн. конф: Тезисы докладов,- Мариуполь, 1998.-С.54.

11. Урбанський P.O., Гофман М.Н. Усталеш крутильш коливання складених некруглих вал1в // М1жнар. ciMn. укр. шж. механ. у Львова Тези допов.-1993.-С.228.

12.Гофман М.Н, Урбанський P.O. Використання методу малого параметра для дослщження неусталених крутильних коливань складених стрижшв прямокутного перетину // Всеукр.наук. конф. "Розробка та застосування математ. метод1в в наук -техн ..." -Льв1в, 1995.-С.27-28.

13. Гофман М.Н. Моделирование установившихся крутильных колебаний составных тел вращения//Межд. конф. "Моделирование и исследование устойчивости систем".-Киев, 1997.-С.45.

14. Гофман М.Н., Космодамианский A.C. Крутильные колебания конических стержней при произвольной боковой нагрузке // Проблемы прочности,-1998,- №3.-С.62-68.

15. Гофман М.Н. Установившиеся крутильные колебания многослойных усеченных конусов // Прикл. механика.-1998.-Т.34.-№>3.-С.64-68.

16. Гофман М.Н. Крутильные колебания ортотропных конусов при произвольной боковой нагрузке // Теоретическая и прикладная механика: Респ. науч.-техн. сб.-Донецк, 1999,- Вып. 29. -С. 110-117.

17. Гофман М.Н. Крутильные колебания полусферы при произвольной боковой нагрузке // Теоретическая и прикладная механика: Респ. науч.-техн. сб.-Донецк, 1998,-Вып. 28,-С. 98-107.

18. Гофман М.Н. О крутильных колебаниях многослойной полусферы при произвольной боковой нагрузке//Межд. конф. "Математика в индустрии".-Таганрог, 1998.-С. 106-107.

19. Мусхелишвили НИ. Некоторые основные задачи математической теории упругости,- М.: Наука, 1975.-707 с.

20. Космодамианский A.C. Плоская задача теории упругости для пластин с отверстиями, вырезами, выступами.-Киев: Вища школа, 1975.-227 с.

21. Гофман М.Н., Космодамианский A.C. Установившиеся колебания составного плоского кольца//Деп. в УкрНИИНТИ,- 13.05.88.-N1188-vK88.-ll с.

22. Гофман М.Н., Космодамианский A.C., Кравцов A.M. Продольные колебания составной изотропной пластинки // Теоретическая и прикладная механика: Респ. науч.-техн. сб. -Донецк, 1989,-Вып. 20.-С. 63-67.

23. Гофман М.Н, Космодамианский A.C. Продольные установившиеся колебания пластин с учетом неравномерного температурного поля // Деп. в УкрНИИНТИ,- 13.06.88.-N1480-vK88.-9 с.

24. Гофман М.Н, Космодамианский A.C. О продольных затухающих колебаниях пластин // Прикл. механика.-1991-Т.27.-№1.-С. 124-127.

25. Каудерер Г. Нелинейная механика.- М.: Мир, 1961. - 778 с.

26. Космодамианский A.C., Гофман М.Н., Урбанский P.E. Колебания составных физически нелинейных пластин // 3-я Всес. конф. по нелинейной теории упругости: Тезисы докл.- Сыктывкар, 1989.-С. 197-198.

27. Космодамианский A.C., Гофман М.Н., Урбанский P.E. Установившиеся продольные колебания составных физически нелинейных пластин // Проблемы прочности.-1991,- №3.-С.24-27.

28. Гофман М.Н. Установившиеся колебания составных физически нелинейных пластинок // 16 Miedz. Symp. Nayk. Stud.i Mlod. Prac. Nauki: Tom 3,-Zielona Gora, 1994.-C.39-42.

29. Гофман М.Н. Установившиеся продольные колебания составных пластинок под действием произвольного нагружения // Вестник Приазов. гос. техн. ун-та: Сб. науч. тр.- Мариуполь, 1997. -ВЫП.З.-С.Ш-115.

30. Гофман М.Н. Неосесимметричные продольные колебания составных пластинок // Межд. конф. "Современные проблемы концентрации напряжений". - Донецк, 1998.-С.61-64.

31. Космодамианский A.C., Гофман М.Н. Установившиеся продольные колебания составных плоских пластинок с большим числом составляющих их колец // Доклады АН УССР. Сер. А. Физ. - мат. и техн. науки - 1989.-N9.-С. 46-50.

32. Гофман М.Н. Установившиеся продольные колебания неоднородных составных пластинок // Теоретическая и прикладная механика: Респ. науч.-техн. сб.-Донецк, 1993,-Вып. 24.-С. 75-80.

33. Гофман М.Н, Космодамианский A.C. Колебания составных неоднородных пластинок, состоящих из большого числа колец // 3-я регион, науч.-техн. конф: Тезисы докладов. - Мариуполь, 1995.-С.75.

34. Гофман М.Н. Продольные колебания неоднородных пластинок, состоящих из большого числа колец//ВестникПриазов. гос. техн. унлга: Сб. науч. тр.-Мариуполь, 1995.-Вып.1.-С. 128-132.

35. Гофман М.Н. Установившиеся продольные колебания круглых пластинок, ослабленных симметрично расположенными отверстиями // 5-я регион, науч.-техн. конф: Тезисы докладов.-Мариуполь, 1998.-С.55.

36. Гофман М.Н, Космодамианский A.C. Установившиеся продольные колебания составных цилиндрически анизотропных пластин // Теоретическая и прикладная механика: Респ. науч,-техн. сб.-Донецк, 1991,- Вып. 22.-С. 30-34.

37. Гофман М.Н, Графов В.В. К решению задачи об установившихся продольных колебаниях составных цилиндрически анизотропных пластинок // Вестник Приазов. гос. техн. ун-та. Сб. науч. тр.- Мариуполь, 1998.-Вып.6.-С.349-352.

3i. Космодамианский A.C., Гофман М.Н. Установившиеся колебания составных изотропных плит//Теоретическая и прикладная механика: Респ. науч.-техн. сб.- Донецк, 1990 - Вып. 21.-С. 51-55.

39. Гофман М.Н, Космодамианский A.C. Осесимметричные поперечные колебания составных тонких круглых плит, обладающих цилиндрической анизотропией // Прикл. механика.-1990-Т.26.-№12.-С.89-94.

40. Гофман М.Н, Космодамианский A.C. Осесимметричные поперечные колебания составных тонких круглых плит, обладающих цилиндрической анизотропией // Прикл. механика.-1991.-Т.27.-№4.-С.57-62.

41. Гофман М.Н., Космодамианский А.С. Поперечные колебания составной цилиндрически-анизотропной плиты под действием произвольной нагрузки // Доклады НАН Украины,-1992-№2.-С.35-37.

42. Гофман М.Н. Поперечные установившиеся колебания составных плит // 1-я регион, науч,-техн. конф: Тезисы докладов.-Мариуполь, 1992.-С.44.

43. Гофман М.Н. Установившиеся колебания составных анизотропных прямоугольных плит // 2-я регион, науч.-техн. конф: Тезисы докладов,-Мариуполь, 1993.-С. 112.

44. Гофман М.Н. Установившиеся поперечные колебания составных прямоугольных орто-тропных плит // Проблемы прочности,-1994,- №7.-С.67-70.

45. Гофман М.Н. Установившиеся поперечные колебания составных цилиндрически анизотропных плит переменной толщины // Теоретическая и прикладная механика: Респ. науч.-техн. сб.-Донецк, 1992 - Вып. 23.-С. 92-95.

46. Гофман М.Н, Космодамианский А.С. Установившиеся центральносимметричные колебания многослойной сферы // Прикл. пробл. прочн. и пластичн: Всес. межвуз. сб.- Горький, 1991,-Вып. 47.-С. 82-85.

47. Гофман М.Н, Космодамианский А.С. Установившиеся колебания многослойной трансвер-сально изотропной сферы // Доклады АН УССР. Сер. А. Физ. - мат. и техн. науки,- 1990.-N7.-C. 40-44.

48. Гофман М.Н, Космодамианский А.С., Урбанский Р.Е. Установившиеся колебания неоднородной многослойной сферы // Доклады АН УССР. Сер. А. Физ. - мат. и техн. науки,- 1991,-N4.-C. 37-41.

49. Гофман М.Н. Установившиеся колебания составных сфер // Applied Mechanics and Engineering.-1995 . - V. 1 .-№ 1 .-С. 117-143.

50. Гофман М.Н. Неустановившиеся колебания многослойной изотропной сферы // 3-я регион, науч.-техн. конф: Тезисы докладов,-Мариуполь, 1995.-С.78.

51. Гофман М.Н, Космодамианский А.С. Неустановившиеся колебания многослойной сферы // Доклады НАН Украины.-1996.-№5.-С.43-47.

52. Гофман М.Н, Карпенко Т.Н. Установившиеся колебания цилиндрической оболочки, контактирующей с жестким бандажом //Прикл. механика.-1990.-Т.26.-№8.-С. 109-111.

Гофман Михаил Наумович. Канд. физ.-мат. наук, зав. кафедрой теоретической и прикладной механики, окончил Днепропетровский государственный университет в 1980 году. Основные направления исследований - разработка методов расчета напряженно-деформированного состояния составных тел при их колебаниях с учетом анизотропных, неоднородных и физически нелинейных свойств материалов; разработка методов расчета напряженно-деформированного состояния составных валов сложного поперечного сечения при кручении и изгибе.