Скользящее усреднение на основеминимизации невязки в формуле Эйлера-Маклорена

Информационные технологии

УДК 519.65+519.644.2

СКОЛЬЗЯЩЕЕ УСРЕДНЕНИЕ НА ОСНОВЕ МИНИМИЗАЦИИ НЕВЯЗКИ В ФОРМУЛЕ

ЭЙЛЕРА-МАКЛОРЕНА

Ю.Я. Агранович, Н.В. Концевая, С.Л. Подвальный, В.Л. Хацкевич

В данной работе решена задача минимизации невязки в формуле Эйлера-Маклорена. Решение используется для определения параметров окна скользящего суммирования в сглаживании временных рядов. Приведены результаты численных экспериментов

Ключевые слова: сглаживание, скользящее усреднение, оптимизация интервала, кубическая кривая

Временные ряды , описывающие динамику социально-экономических показателей, являются крайне зашумленными, в связи с этим, применение методов их моделирования и прогнозирования нецелесообразно без предварительной очистки исходных данных. Данная работа направлена на разработку методов статистической обработки временных рядов, в частности, речь пойдет о сглаживании рыночных показателей.

Сравнительная простота в использовании методов сглаживания определяет основные недостатки их качественного применения. Результаты усреднения зависят в первую очередь от размера интервала усреднения и, во-вторых, собственно, от самого метода. Ранее авторами был разработан метод для определения весовых коэффициентов при усреднении [1,2], позволяющий улучшить качественное распознавание

существующих закономерностей временного ряда [1, с. 71-76]. В этой статье решаются вопросы оптимизации самого интервала усреднения.

В данной работе ставится задача определения оптимального интервала усреднения, базирующаяся на основе теоремы Эйлера-Маклорена. Такой подход позволит, как будет показано в дальнейшем, проводить скользящее усреднение при изменяющемся окне усреднения.

Воспользуемся формулой суммирования, связывающей частные суммы ряда с интегралом и производными его общего члена:

£ f

k=a 2 k=1 2k!

Агранович Юрий Яковлевич - ВГТУ, д-р физ.-мат. наук, профессор, e-mail: agvrva@vandex.ru, тел.

243-77- 18

Хацкевич Владимир Львович - ВЗФЭИ, д-р техн. наук, профессор, e-mail: okp.voronehz@vzfei.ru, тел.

252-45-34

где Б2к - числа Бернулли.

Рассмотрим следующую задачу: будем искать такой интервал интегрирования, когда невязка обращается в нуль, т.е. чтобы сумма значений функции в целых точках была равна интегралу от функции на рассматриваемом интервале. Иными словами, в формуле Эйлера-Маклорена мы будем считать величиной невязки сумму с числами Бернулли.

Можно показать, что для четных степеней полинома остаток, вообще говоря, отличен от нуля и задача не имеет решения, а для полинома третьей степени центр отрезка интегрирования совпадает со средним арифметическим от корней исходного многочлена. Задача для многочлена пятой степени сложнее, причем размер интервала интегрирования и его центр также зависят от средних арифметических корней и симметрических многочленов от них. Пусть задан многочлен 5-й степени:

Тогда

P

P( (x)=5ax4 + 4bx3 + 3cx2 + 2dx+e ,

P(( (x) = 5  4ax3 + 4  3bx2 + 3  2cx + 2d ,

P™ (x>=5  4  3ax2 + 4  3  2bx+3  2c ,

Понятно, что P5 (x) = const., поэтому в ряд с числами Бернулли не попадает. В пределах z £ x £ y имеем:

2!

5a(y4 -z4> + 4b(y3-z3> + +3c(y2-z2> + 2d(y- z>

+ .-± [5  4  3a(y2-z2 >+4  3  2b(y- z>]= 0, 4!

Факторизуем (2) по (y-z> :

+

Б_

2!

5а(у + х)(у2 +х2) + 4Ь(у2+ + ух + х2) + 3с(у+х) + 2ё

Б

+ [5 • 4 • 3а(у +х) + 4 • 3 • 2Ь]= 0.

4!

Пусть

у + х 2

=V. Таким образом, V - центр

отрезка интегрирования. Тогда:

у2 + х2 = (у+г)2 - 2ух=4V2 - 2ух.

У ~ 2

Полагая далее --------=и , получим следующие

тождества:

т=

у - х .

у ’

Таким образом,

и + V = у ; V - и = х .

2ух=2(у 2 - и2),

у2 +12 = 4у2 -2у2 + 2и2 = 2у2 + 2и2 = 2(у2 + и2) .

Уравнение (3) в новых переменных (и,у) принимает вид:

Б

10av(u2 + V2) + 2Ь(и2+ + 3v2) + 3^ + ё

1,

-4_ /30 _ 1

' ' -2 16 5 ’

преобразовать:

+ -4 [5av + Ь]= 0,

то (6) можно

2[5av + Ь]и2 = -

10av3 + 6Ьv2 +

+ (3с - a)v + Ь/5 + ё

Здесь V - абсцисса центра отрезка интегрирования, а и - половина длины этого отрезка.

Соотношение (7) определяет кубическую кривую с вертикальной асимптотой в точке равной среднему арифметическому корней исходного многочлена:

Ь 1 + х2 + х3 + х4 + х5

a 5 5

Расчетная формула для кубической кривой в терминах средних арифметических:

(V - х)и2 =-

— 1 х

V3 - 3ху2 + (3х----------------^ +-х

10 10

Здесь: х - среднее арифметическое корней; х -

среднее арифметическое попарных произведений корней; х - среднее арифметическое произведений по три.

Таким образом, мы неожиданно обнаруживаем, что средние от корней кубической параболы совпадают со средними от корней исходного многочлена. Можно показать, что это свойство присуще не только многочленам пятой степени, но также любым многочленам нечетных степеней, начиная с третьей. Более того, заметим также, что все значения симметрических многочленов от корней кубической параболы аффинно выражаются через симметрические многочлены от корней исходного многочлена. При этом величина неоднородности определяется отношением чисел Бернулли.

В качестве исходной базы были выбраны дневные котировки (цены открытия) валютного курса и8БЯРУ за 200 дней на разных временных интервалах. Исследование предлагаемого метода скользящего усреднения включало следующие этапы:

• Для исходных данных рассчитываются аппроксимирующий полином пятой степени, параметры которого определяются МНК.

• Используя коэффициенты полученного полинома, определяются параметры кубической кривой, отображающей связь между центром интервала усреднения и размером интервала.

• В дальнейшем, полученную кубическую кривую можно выбирать как номограмму для оптимизации центра интервала и собственно ширины интервала сглаживания.

Данная задача была реализована в пакете МЛТЬЛБ. На первом рисунке представлены результаты моделирования временного ряда полиномом:

Рис. 1. Аппроксимация исходного ряда полиномом

пятой степени

На рис. 2 представлена кубическая кривая, определяющая размер окна сглаживания в зависимости от центра интервала. На

+

горизонтальной оси - номер наблюдения, по вертикальной оси изображен размер половины ширины интервала усреднения.

-200'---------1--------и----------1---------1

0 50 100 150 200

Рис.2. Ширина интервала сглаживания в зависимости от центра интервала На заключительном этапе исследования

проведено сглаживание исходного ряда с

изменяющимся окном усреднения. На рис.3 представлены исходный временной ряд и

сглаженный с помощью предлагаемого метода.

112

1 21 41 61 81 101 121 141 161 181

— фактический курс — сглаженный

Рис.3. Исходный ряд и результаты сглаживания

Метод скользящего усреднения с изменяющимся окном сглаживания позволяет в большей степени абстрагироваться от изменений в середине ряда за счет увеличения размера окна сглаживания и максимально точно отобразить динамику крайних уровней. Вместе с тем, полученный сглаженный ряд отображает общее направление динамики процесса и может быть использован для последующего моделирования динамики исходного показателя.

Авторы благодарны фонду РФФИ за финансовую поддержку настоящих исследований, работа поддержана грантом РФФИ № 11-06-00217

Литература

1. Агранович Ю.Я. и др. Метод

многоугольных чисел в процедуре сглаживания временных рядов и приложения к исследованию финансовых рынков / Ю. Я. Агранович,

Н.В. Концевая, В.Л. Хацкевич // Экономика и математические методы, т. 46; вып.3 (2010), с. 71-81.

2. Агранович Ю.Я. и др. Сглаживание временных рядов показателей финансовых рынков на основе многоугольных чисел / Ю.Я. Агранович, Н. В. Концевая, В. Л. Хацкевич // Прикладная эконометрика, № 3 (19) 2010, с.3-8.

3. Ю. В. Матиясевич Альтернативы формуле Эйлера-Маклорена для вычисления бесконечных сумм / Ю. В. Матиясевич // Матем. заметки, 88 №4 (2010), с. 543-548.

Воронежский государственный технический университет Всероссийский заочный финансово-экономический институт

MOVING AVERAGE ON THE BASIS OF MINIMIZATION OF THE DISCREPANCY IN THE EULER-MACLAURIN FORMULA

Yu.Ya. Agranovich, N.V. Kontsevaya, S.L. Podvalny, V.L. Khatskevich

In article the minimization problem of the residual for Euler-MacLaurin formula are solved. This solution to use for find of parameters window sliding summation in the smoothing of time series. Results of numerical experiments are discussion

Key words: the smoothing of time series, sliding averaging, interval optimization, a cubic curve