О бифуркациях экстремалей уравнения Кармана

Вестник Воронежского института МВД России №3 / 2015

О.Ю. Данилова,

кандидат физико-математических наук

С.А. Телкова,

кандидат педагогических наук, доцент

О БИФУРКАЦИЯХ ЭКСТРЕМАЛЕЙ УРАВНЕНИЯ КАРМАНА

ABOUT BIFURCATION OF EXTREMALS OF KARMAN’S EQUATION

Описаны bif-расклады для ключевой функции, полученной по схеме конечномерной редукции, для уравнения Кармана при наложении интегрального ограничения. Получены новые бифуркационные эффекты.

The bif-decomposition for key function, obtained by finite-dimensional reduction, for Karman’s equation with the presens of the integral restriction are described. New interesting bif-effects are obtained.

Введение. Пластины, для которых справедливы все четыре гипотезы Кирхгоффа, получили название тонких жестких пластин. Такие пластины имеют широкое распространение в строительстве. Если для пластины справедливы только первые две гипотезы Кирхгоффа, то они называются тонкими гибкими пластинами. Гибкие пластины широко применяются в машиностроительных конструкциях. В настоящей работе описано закри-тическое поведение продольно сжатой и шарнирно закрепленной на крае прямоугольной пластины с интегральным ограничением на конфигурацию пластины в виде неравенства. Равновесные конфигурации пластины описываются уравнениями Кармана [1]. Уравнения Кармана необходимы при анализе устойчивости любых тонких пластин. Кроме того с их помощью можно установить, к какому классу пластин относится данная конструкция. Рассматривается случай двухмодового вырождения, ранее исследованный в работах [2,3]. В статье применяется метод, основанный на функционально-аналитическом подходе [4], в соответствии с которым равновесия пластины отвечают точкам локального минимума функционала полной энергии пластины на некотором пространстве функций E. Наличие интегрального ограничения в этой схеме приводит к необходимости исследования функционала в окрестности краевой вырожденной критической точки [5] (то

есть критической точки, лежащей на краю области jj (owdxdy > 0 ). Исследование такой

Qa

задачи посредством одной из схем конечномерной редукции (схемы Ляпунова —

87

Информатика, вычислительная техника и управление

Шмидта [6]) сводится к анализу поведения (ключевой) функции двух переменных, представляющей собой возмущение функции с особенностью двумерной сборки, четной по каждой переменной.

Бифуркации экстремалей уравнения Кармана без наложения ограничения.

Равновесное состояние упругой прямоугольной пластины, продольно сжатой и шарнирно закрепленной на краю, описывается уравнениями Кармана (промасштабированными) [1]:

у

Aw - \w,p\ + Awxx

? 1

A ф + — \w, w\ = 0

при краевых условиях

Aw = w = Ay=y = 0|5^ .

Здесь A — гармонический оператор Лапласа, [ w,ф] = ф + фф. — 2w фф,, w —

функция прогиба пластины, ф — функция напряжения пластины, А — параметр

нагрузки, Q=[о, й]х[0,1]— область определения функций w и ф, интерпретируемая как геометрическая форма ненагруженной пластины.

Если исключить из уравнения ф , то получим краевую задачу для редуцированного уравнения Кармана

1

A2w + 1'\w, A 2\w,w\\ + Awxx = 0,

Aw = w = 0

5Q„

Через A—1 в уравнении (3) обозначается оператор Грина ф ^ ф, где ф — решение уравнения Пуассона Aф = ф, ф |5Q = 0 .

Уравнение (3) является уравнением Эйлера — Лагранжа экстремалей функционала V

V(x,A) =1 (| Aw|2 — А| wx |2)+ 11 A-1\w, w\|2. 2 8

Здесь |w|2 = yj(w, ^ , где (у) — скалярное произведение в L2 (Qa), то есть

\w2 := JJ w(x, y)2 dxdy.

Q,

Пусть E0 — пространство функций ф гельдеровского класса C “ (Qa), удовлетворяющих краевому условию Aф = ф = 01 ю , F0 — подпространство функций ф

в пространстве F = C 0+a(Qa) , удовлетворяющих условию согласования

ф(0,0) = ф(а,0) = ф(0,1) = ф(а,1) = 0.

Вторая степень оператора Лапласа действует изоморфно из пространства Е0 на пространство F. Обозначим через Е банахово пространство {wе H4; A2wе F} с нормой

88

Вестник Воронежского института МВД России №3 / 2015

W\\ '=

WE '

A2 w

C °+а (Qа

где H4

)

пространство соболевских функций W класса

W4

удовлетворяющих условию Aw = W = 0 |ю . Тогда левая часть уравнения (3) задает гладкое фредгольмово отображение из E в F . Обозначим его f (w, Л).

Функционал (5) инвариантен относительно инволюций J, J2:

V (J (w, Л)) = V (J 2 (w, Л)) = V(w, Л),

J2 (w*)(x, у) = w(a - x, y), J = - J2.

Через функционал (5) в теории упругих оболочек оценивается устойчивость равновесных состояний: состояние устойчиво, если оно реализует точку локального минимума функционала (5). Потеря устойчивости происходит при переходе Л через критическое значение (верхнюю критическую нагрузку):

Л (a) = sup

У 52v

Л:

dw>1

(0,Л)(Н,h) > 0,Л < Л,h ф 0,h е E

Верхняя критическая нагрузка непрерывно и кусочно гладко зависит от длины a пластины. Разрыв производной от Л (а) происходит в точках

а„

+1), m = 1,2,... При а = ат и Л = Лт := Л* (ат ) в нуле уравнение Кармана

при краевых условиях (2) имеет двумерное вырождение. В нуле теряется устойчивость по двум модам:

е, = 2sin

^тлх^

V а J

sin( лу), е2 = 2sin

(m + 1)лх

а

sin( лу).

Анализ соответствующих закритических равновесий сводится к изучению критических точек ключевой функции W, получаемой по редуцирующей схеме Ляпунова — Шмидта [3, 6]

W

ы:ыеО*

(при (Л, а), достаточно близких к (Ли, аи)). Здесь О2 и О — достаточно малые окрестности нулей в R2 и E* = ^ы е E: ^ и, е= (и, е^ = 0|.

Более того

W

где Ф(^, , Л, а) — решение уравнения f (^ е + е2 + и, Л) = 0, определяемое теоремой о неявной функции. Здесь

2

f (w,^> = f (w,^>- Дf (w,^),ej)ej.

j=1

Между критическими точками W и V существует взаимно однозначное соответствие. Соответствующие друг другу точки имеют одинаковые кратности (числа Мил-нора) и индексы Морса.

Локальный анализ (7) успешно осуществляется благодаря тому, что имеет место представление:

89

Информатика, вычислительная техника и управление

1 2

W

где а ,а — собственные значения оператора А2 + Я

i, j=1

^ 2 кдх у

, отвечающие собствен-

ным векторам «, в2

hjj = -

j,j 8

А ,^2] ,j = 1,2,

-1г п\ , 0 | A-1r

2

hu = h2,1 = 1 ((A-1[e„ еДА-1^, ^ + 2|A-1[e,, ^l2).

Для коэффициентов h , из разложения (8) при m < 10 выполняется соотноше-

ние [2]

h1,2 >tJh1,1h2,2 .

2

Неравенство (9) означает положительную определенность формы h. Д.Д. в положи-

i,j=1

тельной четверти плоскости R2.

Ключевую функцию (8) можно переписать в виде

W

где С > 2 (следует из неравенства (9)).

Пусть Е — бифуркационное множество функции W . Множество R3 \ 2 разбивается на зоны — компоненты связности. С каждой точкой Д = (Д, Д, с) £ 2 и принадлежащей одной компоненте связности свяжем тройку целых чисел bif (Д) = {p, q, r}, изображающую количество минимумов, седел, и максимумов (данную тройку назовем bif-раскладом.

Теорема 1. [8] При Д £ 2 имеют место следующие и только следующие bif-расклады: (1,0,0), (2,1,0), (2,2,1), (4,4,1).

Случай наличия интегрального полуограничения. Наложим дополнительное условие на функцию прогиба w в виде следующего интегрального ограничения

jjG)(x, y)w(x, y)dxdy > 0,

^а

где rn(a-x, y)=rn(x,y), rn(x, 1-y)=w(x,y).

Пусть m = 1,а = а1 = л/2,Я = Я = ЯЯ(а^. Тогда уравнение Кармана в нуле имеет двумерное вырождение. Пластина в прямолинейном состоянии теряет устойчивость по двум модам:

« = e11 = 2sin

V а у

sin ю,

90

Вестник Воронежского института МВД России №3 / 2015

2лх

e2 = e21 = 2sin —— sin^y.

, V a

Обозначим ei = со, ~2 = ^2.

Редуцируя задачу V(w) ^ extr, w e£по схеме Ляпунова — Шмидта [6], получаем задачу W(~) ^ extr,~ eR2 , где

W(4i,4i) = inf _ v (£~ + & ~2 + ~),

u :u ,u ±Й2

при условии ^ > 0, так как

~1 = ( w, w) = Ц QJwdxdxy > 0.

Q,

Ключевая функция W приводится к виду

~( Л1 ,Л2 ) = 1 (pirii2 + Р2Л2 )+ Л? + drj? Л2 + л2 + ...,Л1

> 0.

Условие ~ > 0 означает, что в рассматриваемой задаче появляются краевые особенности [5].

Из результатов работы [7] следует, что ключевые функции W и W гладко эквивалентны. Следовательно, d = С > 2 (следует из соотношения (9)).

При наличии края bif-расклады ключевой функции W удобно описывать посредством матрицы 2 х 3 :

f А Я I3 ^

В(Р) = 1 2 3 ,

Vm1 m2 m j

в которой , , — число краевых минимумов, седел, максимумов соответственно, а

m , m , m — количество обычных минимумов, седел, максимумов (то есть располо-

женных внутри области).

Теорема 2. [8] При Р £ Е все возможные bif-расклады для задачи W(r\) ^ extr, при условии e > 0 описываются следующими шестью матрицами

f 1 0 0 V 0 1 0V 2 1 0 ^

.° 0 0/

f 0 2 1V 2 0 1V 2 0 Л

V0 0 0у

V1 0 0J

V1 0 0J

V0 1 0J

120

j

Доказательство основано на вычислении критических точек при параметрах, принадлежащих зонам R3 \ Е , и исследовании характера критических точек.

Из этой теоремы вытекает описание бифуркационной картины для функционала V. Пусть теперь наложено ограничение

Я°сх , y)w(х, y)dxdy > с.

Qa

Тогда, редуцируя задачу V(w) ^ extr, w eE по схеме Ляпунова — Шмидта, получаем задачу W(^)^-extr,^ ei?2, |j >с.

91

Информатика, вычислительная техника и управление

Ключевая функция приводится к виду, эквивалентному (12).

Теорема 3. [8] При ft все возможные bif-расклады для задачи W'(r\) ^ extr,

при условии Т]х>с описываются следующими 18 матрицами

с1 0 0 ^ с 0 1 0 ^ С 2 1 0 ^ С1 0 01 С 0 1 0 \

V0 0 0 , h 0 0 , \ 0 0 0 , ’ 11 1 0, ’v 2 1 0 /

С 2 0 Г| с 0 2 Г| С1 0 01 С 0 2 11 С0 1 01

V 0 1 0 , ’ V1 0 0, ’ V1 2 1J V 2 1 0 , ’ V2 2 Ъ

с 2 0 Г| С 0 3 0 ^ С2 1 01 С0 2 11 С1 0 01

V1 2 0 , ’ V 2 1 1 , V1 2 1 , V 2 2 V3 4 ъ

с 0 3 0 ^ с 0 1 01 с 2 1 01

V 3 2 1 , ’ V 4 4 ’ 3 V3 4 Ъ

При доказательстве теоремы используются следующие правила: если линия уровня функции W касается в точке а границы области снаружи и gradW направлен внутрь

рассматриваемой области, то а является для W точкой минимума, если же gradW

направлен наружу, то а — точка максимума, в седловой точке линия уровня касается ребра изнутри. К точкам, лежащим внутри области, применяются обычные правила.

В этом случае появляется новый бифуркационный эффект: сосуществование на крае трех седел.

Пусть теперь наложено ограничение

jjG)(x, y)w(x, y)dxdy > 0:

где co = aex + be2.

Тогда задача V(w) ^ extr, w eEсводится к задаче W(<~) ^ extr,<j e R2,

a^x + b^2 > 0 . Ключевая функция приводится к виду

ЩЪ,Ъ) =1 (fti^7i2 + ft id 2 )+ ^7i4 + drj^rj^ +rjAi + ...,d > 2,

с ограничением p ~ + q ~ > 0 .

Теорема 4. [8] При ft все возможные bif-расклады для задачи W(х\) ^ extr, при условии p~ + q~ > 0 описываются следующими 6 матрицами:

с 1 0 01 С1 2 01 С 0 1 01

V 0 0 0, h 0 0 , 0 0

с 1 1 11 1 1 11 С 0 2 11

V1 1 0 V 2 2 0 V 2 1 0 ,.

В этом случае возникает новый бифуркационный эффект: сосуществование на крае одновременно максимума, минимума, седла.

92

Вестник Воронежского института МВД России №3 / 2015

ЛИТЕРАТУРА

1. Вольмир А. С. Гибкие пластины и оболочки. — М.: Гостехиздат, 1956. — 343 с.

2. Holder E. J., Schaeffer D. Boundary conditions and mode jumping in the Karman Equations/ SIAM J. Math. Anal. — 1984. —V. 15, N 3. — P. 446—457.

3. Сапронов Ю. И. Двумодовая бифуркация решений уравнения Кармана // Дифференциальные уравнения. — 1989. — Т. 25, №6. — С. 1078—1081.

4. Красносельский М.А., Забрейко П.П. Геометрические методы нелинейного анализа. — М.: Наука, 1975. — 512 с.

5. Арнольд В. И. Критические точки функций на многообразии с краем, простые группы Ли Bk,Ck,F и особенности эволют // Успехи матем. наук. — 1978. — Т. 33. — Вып. 5(203). — С. 91—105.

6. Сапронов Ю.И. Конечномерные редукции в гладких экстремальных задачах // Успехи матем. наук. — 1996. — Т. 51. — Вып. 1. — С. 101—132.

7. Царев С.Л. Глобальное сравнение эквивариантных конечномерных редукций для гладкого G-инвариантного функционала // Тр. матем. фак-та (новая серия). — Воронеж: ВГУ, 1998. — Вып. №3. — С. 73—76.

8. Данилова О.Ю. Бифуркации экстремалей симметричных фредгольмовых функционалов в краевых особых точках: дис. ... канд. физ.-мат. наук. — Воронеж: Изд-во ВГУ, 2002. — 125 с.

REFERENCES

1. Volmir A. S. Gibkie plastinyi i obolochki. - M.: Gostehizdat, 1956. - 343 c.

2. Holder E. J., Schaeffer D. Boundary conditions and mode jumping in the Karman Equations/ SIAM J. Math. Anal. - 1984. - V. 15, N 3. - P. 446-457.

3. Sapronov Yu. I. Dvumodovaya bifurkatsiya resheniy uravneniya Karmana // Differ-entsialnyie uravneniya. — 1989. — T. 25, #6. — S. 1078—1081.

4. Krasnoselskiy M.A., Zabreyko P.P. Geometricheskie metodyi nelineynogo analiza. — M.: Nauka, 1975. — 512 s.

5. Arnold V. I. Kriticheskie tochki funktsiy na mnogoobrazii s kraem, prostyie grup-pyi Li i osobennosti evolyut // Uspehi matem. nauk. — 1978. — T. 33. — Vyip. 5(203). — S. 91—105.

6. Sapronov Yu.I. Konechnomernyie reduktsii v gladkih ekstremalnyih zadachah // Uspehi matem. nauk. — 1996. — T. 51. — Vyip. 1. — S. 101—132.

7. Tsarev S.L. Globalnoe sravnenie ekvivariantnyih konechnomernyih reduktsiy dlya gladkogo G-invariantnogo funktsionala // Tr. matem. fak-ta (novaya seriya). — Voronezh: VGU, 1998. — Vyip. #3. — S. 73—76.

8. Danilova O.Yu. Bifurkatsii ekstremaley simmetrichnyih fredgolmovyih funktsionalov v kraevyih osobyih tochkah: dis. ... kand. fiz.-mat. nauk. —Voronezh: Izd-vo VGU, 2002. — 125 s.

93

Информатика, вычислительная техника и управление

СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ

Данилова Ольга Юрьевна. Доцент кафедры высшей математики. Кандидат физико-математических наук.

Воронежский институт МВД России.

E-mail: danilova_olga@hotmail.com

Россия, 394065, Воронеж, проспект Патриотов, 53. Тел. (473) 200-52-15.

Телкова Светлана Анатольевна. Доцент кафедры высшей математики. Кандидат педагогических наук, доцент.

Воронежский институт МВД России.

E-mail: tsa76@inbox.ru

Россия, 394065, Воронеж, проспект Патриотов, 53. Тел. (473) 200-52-15.

Danilova Olga Yur’evna. Assistant professor of the chair of Higher Mathematics. Candidate of Physical and Mathematical Sciences.

Voronezh Institute of the Ministry of the Interior of Russia.

E-mail: danilova_olga@hotmail.com

Work address: Russia, 394065, Voronezh, Prospect Patriotov, 53. Tel. (473) 200-52-15.

Telkova Svetlana Anatolyevna. Assistant Professor of the chair of Higher Mathematics. Candidate of Sciences (Pedagogics), Assistant Professor.

Voronezh Institute of the Ministry of the Interior of Russia.

E-mail: tsa76@inbox.ru

Work address: Russia, 394065, Voronezh, Prospect Patriotov, 53. Tel. (473) 200-52-15.

Ключевые слова: конечномерная редукция; ключевая функция; bif-расклад.

Key words: finite-dimensional reduction; key function; bif-decomposition.

УДК 517.9

94