Обучение математике на основе когнитивно-визуального подхода

УДК 371.335:51

ОБУЧЕНИЕ МАТЕМАТИКЕ ИА ОСНОВЕ КОГНИТИВНО-ВИЗУАЛЬНОГО ПОДХОДА

В.А. Далингер

В статье раскрыты психолого-педагогические и дидактико-методические основы когнитивно-визуального подхода к обучению математике. Этот подход строится на активном и целенаправленном использовании резервов визуального мышления, он предполагает перенос приоритета с иллюстративной функции наглядности на ее познавательную функцию, тем самым обеспечивая перенос акцента с обучающей функции на развивающую.

Ключевые слова: правополушарные учащиеся (визуалы, кинестетики); левополушарные учащиеся (аудиалы); функциональная асимметрия полушарий головного мозга; визуальное мышление; обучающая среда; когнитивно-визуальный подход.

Анализ школьной практики обучения учащихся математике показывает, что основной упор учителя делают на логическое мышление, то есть на работу левого полушария головного мозга: иначе говоря, в обучении имеет место «левополушарный крен». По исследованиям же психологов известно, что до 80 % информации человек получает через зрительный канал. Что же касается математики, то уместно привести здесь слова великого К. Гаусса: «Математика - наука не столько для ушей, сколько для глаз».

Школьные методики развивают главным образом левое полушарие, игнорируя вторую половину умственных возможностей ребенка.

В отечественной психологической литературе особенность процесса восприятия характеризуется ведущей сенсорной системой; выделяются правополушарные учащиеся (визуалы, кинестетики) и левополушарные учащиеся (аудиалы).

Ученые говорят о разграничении полушарий по типу решаемых задач (речевые, вербальные -пространственные, образные) и по способу обработки поступающей информации. Такое деление условно, так как речь идет не о последовательной работе полушарий, а об их относительной активности при решении той или иной задачи.

Учителя проводят поиск активных методов обучения, которые адекватны целям развивающего обучения. В этом процессе проницательный учитель спрашивает не «что с моим учеником?», а «что блокирует способности моего ученика к обучению?»

Чаще всего учитель основывается на своих собственных предпочтениях в сфере преподавания и когда эти предпочтения не совпадают с учебными предпочтениями учащихся, возникает конфликт стилей. Бетти Лу Ливер отмечает, что «ориентированная на ученика система преподавания, требующая от ученика внимательного отношения к стилям обучения, выходит за рамки метода, за рамки учебника, за рамки классной комнаты и даже за рамки учителя, так как ориентирована на источник успеха или неуспеха в обучении - на самого учащегося» [3, с. 7].

Итак, встает проблема: «Как сделать обучение математике таким, чтобы оно строилось на сбалансированной работе и левого, и правого полушарий головного мозга, то есть на разумном сочетании логического и наглядно-образного мышления?»

В контексте рассматриваемой проблемы интересно высказывание Б. М. Владимирского, отмечающего, что «учить надо не лучше. Учить надо иначе... Вновь возникающие специализированные языки приводят к новым схемам понимания, менее связанным с речью, но в большей мере ориентированным на зрительные образы, форму и цвет» [5, с.4].

Мы предлагаем строить процесс обучения математике на основе когнитивно-визуального (зрительно-познавательного) подхода к формированию знаний, умений и навыков, что позволяет максимально использовать потенциальные возможности визуального мышления. Одно из основных положений данного подхода - широкое и целенаправленное использование познавательной функции наглядности. Реализация когнитивно-визуального подхода в процессе обучения учащихся математике позволяет сконструировать визуальную учебную среду - совокупность условий обучения, в которых акцент ставится на использование резервов визуального мышления учащегося. Эти условия предполагают наличие как традиционных наглядных средств, так и специальных средств и приемов, позволяющих активизировать работу зрения.

Одним из достоинств когнитивно-визуального подхода является то, что он учитывает индивидуальные особенности учащихся и, в частности, особенности работы левого и правого полушарий головного мозга. Учет функциональной асимметрии полушарий головного мозга в практике обучения математике становится сегодня еще более актуальным.

Проблема рационального использования двух качественно различных сфер человеческого мышления и есть отражение общих проблем, стоящих перед школьным математическим образованием;

учение математике должно в равной степени использовать качественно различные с человеческого мышления. А. Г. Мордкович провозглашает два лозунга, относящихся к обучению школьной математике: «Меньше схоластики, меньше формализма, меньше жестких моделей, меньше опоры на левое полушарие мозга! Больше геометрических иллюстраций, больше наглядности, больше правдоподобных рассуждений, больше мягких моделей, больше опоры на правое полушарие головного мозга!» [13, с. 4].

А. Л. Сиротюк отмечает: «До сих пор многие специалисты переоценивают роль левого полушария и логического мышления в становлении мыслительной деятельности ребенка. А такая продукция правого полушария, как интуиция, ритм, создание образов и др., в современной школе, к сожалению не ценится. Школьные методики развивают главным образом левое полушарие, игнорируя вторую половину умственных возможностей ребенка. Однако известно, что именно правое полушарие связано с развитием творческого мышления ребенка» [17, с. 223].

Современные психолого-педагогические исследования проблемы формирования и развития визуального мышления учащихся концентрируются вокруг следующих вопросов: операции и закономерности невербального мышления; проблемы зрительного восприятия; механизмы, характеристические особенности визуального мышления; динамика формирования математического образа; проблемы передачи информации и распознавание образа; психофизиологические механизмы восприятия информации доминантным и субдоминантным полушариями головного мозга.

Проблема реализации принципа наглядности в обучении математике может получить принципиально новое решение, если удастся найти такое методическое обеспечение деятельности ученика, которое позволит включить функции его визуального мышления для получения продуктивных результатов в овладении математическими понятиями, для усиления развивающей функции математики. Использование наглядных образов в обучении может превратиться из вспомогательного, иллюстрирующего приема в ведущее, продуктивное методическое средство, способствующее математическому развитию учащихся. Язык образов является основным средством наглядности при изучении математики, позволяющий осознанно оперировать с понятиями и умозаключениями, закреплять и «оживлять» их в памяти.

Проблема формирования и развития визуального мышления учащихся является, несомненно, актуальной и требует для своего разрешения, как общих подходов, так и выхода за рамки «чистой дидактики», учета современных достижений не только психологии, педагогики, философии математики, но и психофизиологии, поэтому создание общей теории формирования и развития визуального мышления учащихся вызывает необходимость конструирования учебной деятельности школьников на более широкой теоретической основе, нежели это принято в настоящее время.

Невозможно обойтись без наглядности при оперировании абстрактными математическими объектами. Великий математик Д. Гильберт по этому поводу писал: «В математике, как и вообще в научных исследованиях, встречаются две тенденции: тенденция к абстракции ... и ... тенденция к наглядности, которая ... стремится к живому пониманию объектов и их внутренних отношений» [6, с. 33].

В настоящее время широкое распространение получил термин «визуальное мышление», то есть зрительно-наглядное, означающее, как пишет Р. Арнхейм, «мышление посредством визуальных (зрительных) операций» [2, с. 98].

Основную функцию визуального мышления психологи усматривают в его способности упорядочивать значения образов. Р. Арнхейм полагает, что никакую информацию о предмете не удастся непосредственно передать, пока этот предмет не будет представлен в структурно ясной форме. «В ходе такого мыслительного процесса запутанная и бессвязная ситуация с неопределенными отношениями структурно перестраивается, организуется и упрощается, пока наградой разума за труд не станет образ, который делает знание видимым» [1, с. 25].

Связь визуального мышления с внешней практической деятельностью описывается с помощью уточненной концепции интериоризации. Умственная деятельность, согласно этой концепции, при определенных условиях поэтапно осуществляется, отталкиваясь от внешней предметной деятельности. Можно выделить три этапа формирования идеального образа сознания. Первый - снятие операционной копии с объекта, его моделирование в системе предметно-практических операций. В этом случае форма эталонного предмета как бы превращается в форму деятельности, функционально отражающую внешний предметный мир. На втором этапе внешнепредметные действия превращаются во внутренние. Рождается интеллектуальная деятельность, которая есть уже оперирование не с реальными объективными предметами, а с их умственными репрезентациями. Этот этап может быть представлен как процесс превращения формы деятельности в форму предмета, существующего не в виде материального объекта, а в виде образа, помеченного знаком. Третий этап характерен для вербального и

интетического мышления.

Обратим внимание на то, что нельзя смешивать образы, которые рождаются в результате действий визуального мышления, с различного рода иллюзиями зрения. Во-первых, существуют дефекты зрения, во-вторых, следует учитывать общие закономерности зрительных ощущений и взаимосвязь зрительных ощущений с таким психологическим процессом, как установка, в-третьих, ограничения нормального ощущения, а также инерция зрения, вызывая зрительные иллюзии, могут помешать вскрыть сущность явлений действительности. Иллюзия зрения - это не результат активности субъекта (за исключением установки), а лишь следствие ограниченности зрения.

В отличие от вербального мышления, визуальное мышление носит явно выраженный наглядный характер. Прежде, чем говорить о специфике наглядности визуального мышления, обсудим проблему наглядности вообще. Оставаясь актуальной, проблема наглядности продолжает интересовать ученых и исследуется ими с разных сторон.

Этой проблемой занимались следующие ученые: В.Н. Березин, В.Г. Болтянский, М.Б. Волович, В.И. Евдокимов, П.А. Карасев, Т.Н. Карпова, Е.И. Смирнов, Л.М. Фридман и др.

Наглядность играет в процессе обучения непосредственные и опосредованные функции. К непосредственным функциям относятся: познавательная, управление деятельностью учащихся, интерпретационная, эстетическая, непосредственности рассуждений. К опосредованным функциям следует отнести такие: обеспечение целенаправленного внимания учащихся, запоминания и повторения учащимися учебного материала, реализация прикладной направленности.

Успешность обучения учащихся математике, как показал наш эксперимент, напрямую зависит не только от того насколько успешно авторы учебника и учитель использует наглядность в процессе обучения теоретическому материалу, но и насколько эта наглядность работает в системе задач.

М. И. Башмаков и Н. А. Резник по поводу используемой на уроке наглядности отмечают: «Каждый учитель использует на уроке наглядный материал - формулы и чертежи на доске, рисунки и схемы на экране, плакаты и таблицы на стенах, модели и образцы в руках у учеников. Первая цель учителя состоит в том, чтобы ученик смотрел на предъявляемые ему зрительные образы. Этой цели достичь легко. Вторая цель состоит в том, чтобы ученик смотрел и видел то, что заложено в этих образах. Культура зрительного восприятия требует такого же длительного и серьезного воспитания, как культура письма и речи» [4, с. 4].

Понятие наглядности значительно изменилось в сравнении с первоначальным. «Сейчас наглядность рассматривается не только на конкретном, но и на абстрактном уровне и в процессе деятельности, - отмечает В. Д. Шадриков, - однако единого подхода к понятию наглядности не выработано, определения наглядного обучения не дается, нет характеристики составляющих его компонентов, недостаточно исследована специфика наглядного обучения математике» [14, с. 213].

Нужно отметить, что ряд известных ученых и их последователей считают наглядную форму выражения знания его примитивизацией, низшей ступенью. У противников визуализации научного знания существует аргумент, согласно которому сущность объекта нельзя выразить наглядно.

Такая точка зрения принадлежит А. Лангу, написавшему одну из немногочисленных работ, специально посвященных проблеме наглядности [12]. Это мнение мы считаем ошибочным. На наш взгляд, исследователь здесь смешивает понятия невозможности и неумения наглядного изображения сущности. Наглядные образы создаются для того, чтобы просто и ясно представить сущность объекта. Конечно, не всякий образ способен отразить сущность объекта полностью, но ведь далеко не всякая теория обладает таким качеством.

Результаты экспериментов, проведенных В.А. Крутецким [11], показывают, что создание образов объектов математики на основе их наглядных изображений (условно-символических записей, графиков) протекает неодинаково у разных учащихся. Уже в процессе восприятия графика или записи алгебраического выражения обнаруживаются яркие индивидуальные различия. Одни учащиеся детально фиксируют все их конкретные особенности (числовые значения, вид переменных, особенности написания и др.), а потом объединяют их в единое целое. Другие охватывают общую схему записи или графика (характер связей и отношений, последовательность операций, форму кривой и т. п.), а потом как бы наполняют ее деталями. Имеет место своеобразная формализация математического материала в процессе его восприятия, усмотрение в конкретном математическом выражении или задаче их формальной структуры, когда ученик отвлекается от конкретных значений и воспринимает в первую очередь лишь чистые отношения между величинами.

По-разному происходит мысленная обработка данных. Исследованиями Е. Б. Шияновой [18] были выявлены своеобразные способы такой обработки. Одни учащиеся сразу выделяют в записи (графике) наиболее значимые для решения элементы, включают их в различные системы рассмотрения,

ереосмысливают их, объединяют в комплексы, фиксируют семантически более важные части (з: операций, скобки, наклон кривой, ее положение относительно начала координат и т. п.). Они как бы с места выделяют структуру записи, устанавливают существенные соотношения между ее компонентами, независимо от формы их конкретного выражения и особенностей написания; вычленяют своеобразные смысловые математические структуры, т. е. комплексы взаимосвязанных, находящихся в функциональной зависимости математических величин, как единое целое, не теряя при этом из виду всех данных задачи, создают на этой основе ее целостно-расчлененный образ.

Другие учащиеся делают это медленно, поэтапно, без четких критериев анализа, путем поэлементного сравнения всех знаков записи (графика). Они часто затрудняются в распознавании алгебраических объектов, изображенных нестандартно.

Как показывают результаты психологических исследований индивидуальные различия проявляются не только в характере восприятия материала, но и в легкости, свободе создания на его основе образов, оперирования ими. Одни школьники хорошо «видят» образ и могут им свободно манипулировать в уме, не обращаясь к исходной наглядной опоре, т. е. одинаково хорошо фиксируют образ и преобразуют его. Другие учащиеся испытывают в этом большие трудности. Как показывают наши данные, некоторые школьники не могут долго удерживать в памяти сложные образы записей (графиков) - они как бы рассыпаются, расплываются, теряют свою структуру. Для таких учащихся характерно постоянное обращение к наглядной опоре. Они по нескольку раз переписывают заданное алгебраическое выражение, применяют специальные приемы, помогающие восстанавливать и сохранять различные части записи (графика): закрывают пальцами, придерживают ручкой отдельные части, пытаются что-то писать или чертить в воздухе. Некоторые школьники допускают повторение уже проделанных операций, не замечают пропуска некоторых операций, путают последовательность их осуществления. Ошибки такого рода связаны, по-видимому, с трудностями оперирования образом схемы решения, т. е. набором операций в определенной последовательности.

Одно из главных направлений нашего исследования напрямую связано с новыми способами передачи информации, т.е. конструированием новой среды обучения (или обучающей среды). Это направление задала H.A. Резник [15], которая из множества вопросов, связанных с формированием обучающей среды нового типа, выделяет следующие:

• роль зрения, как инструмента, отвечающего за восприятие и обработку поступающей информации;

• полиграфические приемы, обеспечивающие продуктивную работу зрения;

• методическое обеспечение этой среды;

•организация гипертекстовых связей и интерактивных режимов работы в такой среде.

Реализация когнитивно-визуального подхода предполагает создание визуальной учебной среды -совокупности условий обучения, в которых акцент ставится на использовании резервов визуального мышления. Эти условия предполагают наличие как традиционных наглядных средств, так и специальных средств и приемов, позволяющих активизировать работу зрения с целью получения продуктивных результатов. К основным требованиям конструировании визуальной учебной среды мы относим:

• лаконичность представления информации;

• точность воспроизведения ее структуры и элементов;

• акценты на главные детали образов;

• использование трех языков представления учебных знаний (геометрического, символического, словесного);

•учет возможностей и индивидуальных особенностей в восприятии визуальной информации.

Когнитивно-визуальный подход направлен на воспитание «математического зрения»; учитель должен постоянно заботиться об организации зрительной информации, а ученик должен научиться анализу этой визуальной информации.

При работе с материалом по математике у учащихся создаются образы двоякого рода: образы условно-символические и образы графические. И те, и другие образы неодинаковы по своей полноте и обобщенности. Графические образы относительно конкретны, они дают возможность одномоментно охватить все особенности изображения (форму кривой, ее расположение и т. п.) и, благодаря целостности восприятия, создать достаточно полное представление об изображаемом объекте: о виде зависимости (линейная, квадратичная, синусоидальная), ее характере (возрастающая, убывающая), экстремальных точках и пр.

Условно-символические образы, в отличие от графических, отражают характер отношений и операций, их последовательность и поэтому не дают полного представления об объекте, которое может быть получено только на основе их многократных преобразований в различных направлениях.

Каковы же механизмы функционирования визуального мышления учащегося при работТ**! визуальной информацией?

Н. А. Резник, идеи которой мы разделяем, описывает это так: «Предварительно бегло рассматривая изображение (формулу, рисунок, отрывок учебного текста), учащийся перемещает взгляд от одной детали к другой, сравнивает их, возвращаясь к основным фрагментам, анализирует отдельные элементы. Повторение отдельных этапов, неоднократное совершенствование навыков визуальной деятельности направлены на распознавание и формирование целостной системы, отвечающей поставленной задаче. Такая система быстро восстановится, сработает всякий раз, когда возникает необходимость, даже по истечении значительного времени. Знаковая материализация учебного материала, которая присуща начальному этапу действий визуального мышления, позволяет организовывать, направлять зрительное восприятие ученика» [16, с. 74].

Такая работа позволяет опустить большинство из промежуточных логических операций, провести представление факта или его доказательство визуально без подробного текстового описания. И это естественно, поскольку, как пишет М. Иден, «... те образы, которые можно видеть, поддаются изучению значительно легче, чем эфемерные образы, воспринимаемые слуховой или сенсорной системами» [10, с. 247], и как говорил Д. Гильберт: «Руководствуясь непосредственным созерцанием, мы сможем уяснить многие ... факты ... и благодаря этому ... изложить в наглядной форме методы исследований и доказательств» [6, с. 6].

В реализации когнитивно-визуального подхода к обучению математике большую роль играют визуализированные задачи.

Визуализированной назовем задачу, в которой образ явно или неявно задействован в условии, ответе, задает метод решения задачи, создает опору каждому этапу решения задачи либо явно или неявно сопутствует на определенных этапах ее решения. Предназначение визуализированных задач -формирование визуального образа, который помогает разрешать возникающие проблемы. Визуализированные задачи позволяют передать информацию об учебных возможностях, определенных особенностях умственной деятельности учащихся и тем самым служат инструментарием для диагностики учебных и личностно значимых качеств, а также являются одним из основных инструментов реализации когнитивно-визуального подхода к обучению математике.

Классифицируя визуализированные задачи по их функциям в процессе обучения, мы выделяем следующие группы задач: предварительные дидактические визуализированные задачи; последующие дидактические визуализированные задачи; визуализированные задачи с развивающими функциями; познавательные визуализированные задачи; визуализированные задачи с прикладными функциями.

Задачи с дидактическими функциями используются для подготовки школьников к введению нового материала и при его закреплении: они отрабатывают прямое применение изученной теории. Познавательные задачи преследуют цель отработать и углубить основное содержание изучаемого материала. Решение таких задач доводится у каждого учащегося до навыка. Задачи с познавательными функциями задают уровень усвоения той или иной темы школьного курса математики. Задачи с развивающей функцией - это те, решение которых требует определенных знаний и умений, явно не предусмотренных программой. Эти задачи, в первую очередь, направлены на развитие мышления учащихся, но их решение у всех школьников не должно доводиться до навыка.

Конечно, визуализация не снимает проблемы обучения школьников навыкам дедуктивного мышления, но целенаправленное и систематическое подключение резервов визуального мышления при работе со специально подобранным материалом для формирования навыков дедуктивного вывода бесспорно помогает этому. Активность визуального мышления ученика в процессе доказательства будет способствовать формированию эвристических приемов и повышению уровня логической строгости.

Использование визуализированных задач поднимает важную проблему обучения в средней школе -проблему организации поисковой учебной деятельности учащихся. Особый вид поиска - визуальный поиск, важнейшим инструментом которого является «воспитанное и организованное» зрение.

Визуальный поиск - это процесс порождения новых образов, новых визуальных форм, несущих конкретную визуально-логическую нагрузку и делающих видимым значение искомого объекта или его свойства. Исходной позицией такого процесса являются запас готовых, известных учащемуся визуальных образов, структура и элементы информации, визуально обозримые связи между ними. Визуализированные задачи служат средством формирования навыков визуального поиска.

Созданная нами методика направлена на формирование умения активно воспринимать и перерабатывать визуальную математическую информацию. Выделим три этапа активного зрительного восприятия.

Первый из них выступает как анализ структуры информации. Этому этапу дол соответствовать два важнейших параметра - нацеленность учащихся на активное (продуктивное!) восприятие и специальная организация учебного материала. На втором этапе (на материале уже имеющейся информации) происходит создание новых образов. При этом умственные усилия ученика направлены на формирование целостной системы, отвечающей задаче, поставленной исходным условием. Третий этап по своим целям и учебным возможностям мы отнесли к поисковой деятельности. Любая формула, рисунок или законченный фрагмент текста подразумевает подсказку. Таким образом, на сенсорном уровне восприятие достигает понимания, внезапного проникновения в сущность.

Выделим основные положения разработанной методики обучения математике, построенной на основе когнитивно-визуального подхода:

• Визуальное мышление связано с формированием устойчивых зрительных образов (понятий) и овладением различными мыслительными операциями над ними, аналогичными таким общим процессам, как абстрагирование, отделение главного от второстепенного, структурирование, логические рассуждения и др. При правильном и планомерном использовании и развитии визуального восприятия эта сторона мышления становится вполне самостоятельной (деятельной) по отношению к процессу мышления вообще.

• Активное и целенаправленное использование резервов визуального мышления в процессе обучения основано на выборке устойчивых образов в учебном материале с акцентом на «первичность» образа, на немедленную и возможно более точную зрительную ассоциацию с абстрактным понятием, предшествующую словесному описанию.

• Сущность обучения, строящегося на когнитивно-визуальной основе, состоит в переносе приоритета с иллюстративной функции наглядности на ее познавательную функцию, тем самым обеспечивая перенос акцента с обучающей функции на развивающую.

• Реализация когнитивно-визуального подхода предполагает целенаправленное и систематическое использование наглядности на каждом из этапов учебного процесса: мотивационно-ориентировочном, исполнительно-деятельностном, контрольно-оценочном. Использование наглядности предполагает реализацию ее таких функций, как: непосредственные (познавательная, управление деятельностью учащихся, интерпретационная, эстетическая, непосредственности рассуждений); опосредованные (обеспечение целенаправленного внимания учащихся, запоминания и повторения учащимися учебного материала, реализация прикладной направленности).

• Визуальное представление математических понятий, зрительное восприятие их свойств, связей и отношений между ними позволяют достаточно быстро и наглядно развернуть перед учащимися отдельные фрагменты теории, акцентировать внимание на узловых моментах процесса решения задачи, сформировать и распространить обобщенный алгоритм практических действий, вовлечь полученные знания и приобретенные умения в процесс познания других областей знаний.

Когнитивно-визуальная методика обучения учащихся математики предусматривает:

• ориентацию курса на развитие визуального мышления учащихся;

• овладение учащимися приемами визуализации, графической интерпретации и математической символикой;

• использование когнитивно-визуальной графики;

• внедрение специально разработанного комплекса визуализированных задач;

• внедрение эффективной компьютерной поддержки;

• конструирование визуальной учебной среды.

Разработанная методика обучения математике предполагает организацию процесса обучения в визуальной учебной среде, при которой учитель не преподносит содержание в готовом виде, а лишь регулирует мыслительную и вербальную деятельность учащихся, направляя их тем самым к самостоятельному описанию новых представлений и понятий.

Новые информационные технологии в процесс обучения математике должны способствовать усилению продуктивной функции наглядности, позволять отображать на экране формируемые понятия в форме, наиболее адекватной определению, вскрывающей их содержательную сторону. При этом используемый наглядный материал должен включаться в активную, преобразующую деятельность учащихся, способствуя тем самым формированию соответствующих образов и переводу их в абстрактно-логический план.

Компьютерные средства в обучении математике, не имеющие аналога в традиционных дидактических средствах, должны обеспечивать конструирование визуальной учебной среды, в которой учащиеся под руководством учителя и самостоятельно будут создавать и оперировать графическими образами математических объектов. Среди всех возможностей использования компьютерных средств

три обучении учащихся в визуальной учебной среде особо значимы: существенное увеличение объ графической информации, предъявляемой учащемуся; визуализация математических объектов, их свойств; замена определения понятия, данного в сжатой, лаконичной форме, процедурой получения понятия; преобразование математических объектов; передача инициативы учащемуся в процессе знакомства с математическими объектами.

The paper deals with psychological, pedagogical, didactical and methodological principles of cognitive-visual approach to teaching mathematics. This approach is based on the active and purposeful use of visual thinking. It presupposes shift of preferences from the illustrative function to the cognitive one, thus providing shift of the focus from the educational function to the developing one. Key words: students with right active hemisphere (visual and kinesthetic learners); students with left active hemisphere (auditory learners); functional asymmetry of brain hemispheres; visual thinking; educational environment; cognitive-visual approach.

Список литературы

1. Арнхейм P. Визуальное мышление // Зрительные образы: феноменология и эксперимент. Душанбе, 1971. С. 25.

2. Арнхейм Р. Визуальное мышление // Хрестоматия по общей психологии. Психология мышления / Под ред. Ю.Б. Гиппенрейтер, В. В. Петухова. М.: Изд-во МГУ, 1981. С. 97-107.

3. Бетти Лу Ливер. Обучение всего класса. М: Новая школа, 1995. 48 с.

4. Башмаков М. И., Резник Н. А. Развитие визуального мышления на уроках математики // Математика в школе. 1991. № 1. С. 4-8.

5. Владимирский Б. М. Компьютерные учебники: анализ конструкции и психофизиологические требования информатики // Компьютерные инструменты в образовании. 2000. № 1. С. 3-8

6. Гильберт Д., Конн-Фоссен С. Наглядная геометрия / Пер. с нем. С. А. Коменского. 3-е изд. М.: Наука, 1981. 44 с.

7. Далингер В. А. Геометрия помогает алгебре // Математика в школе. 1996. №4. 6с.

8. Далингер В. А. Теоретические основы когнитивно-визуального подхода к обучению математике: монография. Омск: Изд-во, ОмГПУ, 2006. 144 с.

9. Далингер В. А. Формирование визуального мышления у учащихся в процессе обучения математике. Омск: Изд-во ОмГПУ, 1999. 157 с.

10. Иден М. Другие задачи распознавания образов и некоторые обобщения // Распознавание образов. Исследование живых и автоматических распознавающих систем / Пер. с анг. Л. И. Титомира; Пред. крусск. изд. И. Л. Пинскера. М: Мир, 1970. С. 246-281.

11. Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. М.: Просвещение, 1968. 432 с.

12. Ланг А. П. О понятии наглядности и ее роли в процессе познания и обучения. Таллин, 1967. 83 с.

13. Мордкович А. Г. Методические проблемы изучения элементов математического анализа в общеобразовательной школе // Математика в школе, 2002. № 9. С. 2-12.

14. Подготовка учителя математики: Инновационные подходы: Учеб. пособие / Под. ред. проф. В. Д. Шадрикова. М.: Гардарики, 2002. 383 с.

15. Резник Н. А. Методические основы обучения математике в средней школе с использованием. средств развития визуального мышления: Дис. на соиск. уч. степ, докт. пед. наук. -Мурманск, 1997.

16. Резник Н. А. Технология визуального мышления / Сб. Информационная среда обучения, автор-составитель М. И. Башмаков. СПб.: Свет, 1997. С. 68-83.

17. Сиротюк А. Л. Нейропсихологическое и психофизиологическое сопровождение обучения. М.: ТЦ Сфера, 2003. 288 с.

18. Шиянова Е. Б. Индивидуальные различия в образном мышлении школьников при усвоении алгебры // Возрастные и индивидуальные особенности образного мышления учащихся / Под. ред. И. С. Якиманской; Науч.-исслед. ин-т общей и педагогической психологии Академии пед. наук СССР. М.: Педагогика, 1989. С. 95-112.

Об авторе

Далингер В.А. - заведующий кафедрой теории и методики обучения математике Омского государственного педагогического университета, доктор педагогических наук, профессор, dalinger@omgpu.ru