Особенности диагонализации матрицы гамильтониана Нильссона в цилиндрическом базисе

Вестн. Ом. ун-та. 2007. № 1. С. 6-16.

УДК 539.142.2

А.А. Малых, Г.Д. Адеев

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

ОСОБЕННОСТИ ДИАГОНАЛИЗАЦИИ МАТРИЦЫ ГАМИЛЬТОНИАНА НИЛЬССОНА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ БАЗИСЕ

Schroedinger equation is solved by diagonalization of Nilsson’s Hamiltonian matrix. The set of eigenvectors of the axially symmetrical deformed harmonic oscillator is used as a basis of representation. Matrix elements of all operators involved are calculated by means of creation and destruction operators. Individual single-particle energies are calculated as a function of deformation. Some of the features of calculations carried out are considered, namely pseudo-crossings of levels associated w ith AN = ±2.

Введение

Впервые задача нахождения одночастичного спектра нуклонов и соответствующих волновых функций была решена Нильссоном [1]. Его знаменитая схема одночастичных уровней в деформированном потенциале сыграла неоценимую роль в развитии ядерной спектроскопии. После развития Струтинским метода оболочечной поправки [7; 8] и обобщения потенциала Нильссона на случай произвольных мульти-польных деформаций [2] на основе указанной модели были получены впечатляющие результаты для сильно деформированных ядер. В частности, были сделаны первые оптимистичные оценки, касающиеся острова стабильности сверхтяжелых ядер в районе 2 = 114.

Главное, в этих работах было предсказано существование острова стабильности сверхтяжелых ядер с большими временами жизни. В последнее десятилетие усилиями экспериментальных лабораторий в России, Германии, США и Японии были синтезированы самые тяжелые элементы конца периодической системы вплоть до 2 = 118, которые живут достаточно долго, в согласии с оценками, сделанными на основе нильссоновской модели [2].

В оригинальной работе Нильссона уравнение Шредингера решалось методом диагонализации энергетической матрицы в сферическом базисе. Однако для случая больших (делительных) деформаций, характерных для распада тяжелых и сверхтяжелых ядер, такой выбор базиса не является оптимальным, на что указывалось уже в учебниках и монографиях [8; 9]. Более удачным в этой ситуации является использование цилиндрического базиса. Изложению деталей и техники расчетов в этом базисе посвящено данное исследование.

1. Гамильтониан Нильссона Модифицированный гамильтониан Нильссона имеет следующий вид:

Н = Н0 + С18 + Я

© А.А. Малых, Г.Д. Адеев, 2007

где

= -

2m 2

Д + '2 Ю

есть гамильтониан трехмерного анизотропного аксиально-симметричного гармонического осциллятора; второе слагаемое — Об описывает спин-орбитальное взаимодействие. Гамильтониан Нильссона в своем исходном виде [1] не содержал

дополнительного слагаемого П12, оно было введено позднее с целью добиться корректного воспроизведения последовательности одночастичных уровней в частном случае сферической формы ядра. Кроме того, данное слагаемое обеспечивает ослабление потенциала вблизи поверхности ядра, тем самым делая поведение модельного потенциала более реалистичным.

Учет этого модифицирующего члена

П12 приводит к нарушению эквидистантности больших осцилляторных оболочек; для устранения этого эффекта в гамильтониан был введен дополнительный корректировочный член N

В<12 > „ = В-

который равен среднему по большой оболочке значению оператора [2].

Традиционно гамильтониан Нильссона записывают в несколько измененном виде

Н = Нп -

кнОо [2ЇІ + л(Ї2 -<Ї2>„)]

с параметрами к и л, определенными следующим образом:

С 2В

-> л = -

к = —

С

2Йю о

Описанная выше модификация гамильтониана позволила использовать одни и те же значения параметров к и ц для всех больших оболочек, в то время как при решении задачи с немодифици-рованным гамильтонианом приходилось использовать разные пары значений (к, ц) в зависимости от номера большой оболочки.

Каждая эквипотенциальная поверхность аксиально-симметричного анизотропного гармонического осциллятора является эллипсоидом вращения. В рассматриваемом модельном приближении одна из них совпадает с поверхностью

ядра; соответственно, ядро рассматривается как эллипсоид с уравнением

х2 + у2 72

----2Г- + ~ =1 •

а с

Полуоси а и с связаны с радиусом Я недеформированного сферического ядра обычным образом:

о „ Ю, „

а = -7-Я, с = — Я.

Юо Юо

Зависимости частот от параметра квадрупольной деформации задается следующими соотношениями:

ю1=ю0

ю2 =юй

Зависимость Ю0(е) определяется традиционно из условия равенства объема деформированного ядра объему ядра сферического:

4 2 4 0 3

— па с = — пЯ 3 3

или эквивалентно

Отсюда с учетом (8) и (9) следует

ю(є) = Юо

, 1 2 2 з

1 —є----------є

3 27

Параметр е не очень удобен для записи выражений матричных элементов, в связи с этим мы также будем пользоваться альтернативным параметром а , определенным следующим образом: ю а

а =-

В ряде работ [3; 4] наряду с оператором орбитального момента Ї = г х р рассматривается альтернативный оператор Г , определенный в виде

тюо

одночастичный потенциал,

где и (г ) входящий в Н0; таким образом

Г =-/Йа~2/3(удг -а2іду),

Г = -йа~2/3(а2гдх - хд ),

Г = -іЛа 2/3(хду -удх).

В настоящей статье мы не будем останавливаться на детальном рассмотре-

3

о

2

1/3

о, с

нии особенностей применения этого оператора.

2. Цилиндрический базис

Цилиндрический базис представляет собой набор собственных волновых функций, общих для гамильтониана Н0 аксиально-симметричного деформированного гармонического осциллятора и оператора

Г проекции орбитального момента на ось

симметрии.

Волновая функция базисного состояния характеризуется квантовыми числами N, «, Л и £ и факторизуется следующим образом:

2

где

КЛ> = К

й

тоо

1/4 £2

е~т Н,_ (О,

л[ЇП

Хх — спиновая компонента волновой

2,Е

функции; Ь (р2) и Нп (£) — полиномы

Лагерра и Эрмита соответственно; константы нормировки:

1

Кл =

«2

2п2!

N = -

(«+Л)!’ ЩЇ7!

Обозначение квантовых чисел традиционное: N — главное квантовое число, « — осцилляторное квантовое число по

оси симметрии г, п, , п2 — квантовые числа двумерного осциллятора в плоскости, перпендикулярной оси симметрии; £ соответствует проекции спинового момента на ось г .

Волновая функция нуклона представляется в виде разложения по базисному набору:

| Ппа> = 2 акп2Л£ | К^Л£Х

где квантовые числа О и п — проекция полного момента нуклона и четность соответственно, а— набор параметров деформации (в данном случае он состоит всего из одного параметра а). Для ука-

занных выше квантовых чисел справедливы следующие соотношения:

N = п± + п2,

О = Л + £.

Вообще, квантовых чисел О и п недостаточно для однозначной идентификации одночастичного состояния. При малых деформациях, когда форма ядра близка к сферической, состояния могут характеризоваться квантовыми числами п, I и ] (см. [9, 10, 12]). Вырождения,

имеющие место в случае сферической

симметрии ядра, по мере деформации снимаются таким образом, что энергии состояний увеличиваются с ростом О. При больших деформациях в разложении (21) появляется одна доминирующая компонента | А£> , квантовые числа N ,

пг и Л которой уже однозначно характеризуют одночастичное состояние. Они называются асимптотическими квантовыми числами и имеют прямой физический смысл; для них сформулированы приближенные правила отбора при в- и у -переходах, которые с достаточно хорошей точностью выполняются в эксперименте [7; 11].

3. Матричные элементы Собственные состояния гамильтониана (2) характеризуются осцилляторными

квантовыми числами п..

п и п , кото-

х 7 у г -

рые являются собственными числами соответствующих операторов числа частиц

Кк = 4ак,

Операторы ак дующим образом:

1

ак определяются сле-

а ] = ик

Я

л/2

1 д

скхк------------т

ск к.

1 д" скхк +—т ск к

где

тОк

й

Эти операторы эрмитово сопряжены друг другу и удовлетворяют следующим коммутационным соотношениям:

[ак , а/] = ака1 - а/ак =$ы,

[ак, а] = [а1 а/] =0.

ск =

Таким образом, подразумевая под |0> вакуумное состояние, можно записать:

ах |0> = ау | 0> = а21 0> = 0,

> = (ах !пу !пг!) 2 х

х

Операторы координат и проекций импульса связаны с а и а] следующими простыми соотношениями:

х =

Р* = і

й

2тюх

тюх Й

(а] + ах),

-ах).

Аналогичные соотношения справедливы для у - и г -компонент.

Рассмотрим двумерный изотропный осциллятор (ю±=Юх =Юу) в плоскости,

перпендикулярной оси г . Оператор полного числа частиц для него обозначим

N1 = Nх + Ny:

N± = а]ах + а]ау.

Нас интересует вопрос построения собственных векторов, общих для операторов N1 и 1г. Можно выбрать другое

представление, соответствующее полному набору коммутирующих наблюдаемых, и ввести следующие операторы:

А] =

А =

К

г;

л/2

А] = а1

А0 = а7 .

])

Эти операторы удовлетворяют коммутационным соотношениям, тождественным (28) и (29):

[Лг, ЛI ] = АГЛ] — Л:Лг = 8Г,,

[Лг, А ] = [Л1, Л1 ] = 0;

Г, 5 = +, —, 0.

Операторы Л1 и Л можно считать

операторами рождения и уничтожения квантов типа (+), операторы А- и А —

операторами рождения и уничтожения квантов типа (-); согласно этой интерпретации операторы

представляют число квантов

соответственно. Поскольку соотношения коммутации (38) и (39) идентичны соотношениям (28) и (29), задача построения общих собственных векторов операторов N+ и N— идентична задаче построения

общих собственных векторов операторов Nх и Ny. Следовательно, операторы N+ и

N— обладают спектрами собственных

значений, состоящих из целых неотрицательных чисел

п1 = п+ = 0,1, 2,3,..., п2 = п—= 0,1, 2,3,... и образуют полный набор: каждой паре квантовых чисел (п+, п— ) соответствует

единственный (с точностью до постоянного множителя) собственный вектор.

Исходя из сказанного выше, можно записать:

А+ |п+) = (п+ +1)2 |п++1>, а + \п +>=ап +)2 и +- 0’ А- |п } = (п- + 1)2|п- + 1),

Л — \п — ) = (п —)2 |п — — 1^.

Из (30) и (31) следует, что векторы

|п+,п—} = (п+ !п— !) 12 х

х

образуют полную ортонормированную последовательность общих собственных векторов операторов N и N—. Выразив

и оператор проекции момента

12 =—/й(хду — удх) через операторы Л и А, можно легко убедиться в том, что

и

N^ = N++ N-, 1г / й = N+ - ^

п, + Л

2

п =

N = А А

Ввиду того, что п—> 0, возникает дополнительная связь п± и Л:

Л = п±, п^ — 2, п^ — 4, ... 1 или 0.

п + =

Поскольку N+ и N— образуют полный набор, их сумма N1 и разность 1г / й также обладают этим свойством. Это позволяет записать искомый вектор в виде

±Л) = \/((п, +Л)/2)!((аі -Л)/2)! х

х( А+ ) пі+Л)( А! ) пі-Л) 00>.

С учетом этого, а также правила фаз для спиновой волновой функции, полный базисный вектор можно записать так [13]:

’іЛ£) = (-1)'

С)

(п, -Л )/2

(п, + Л)/ 2

л/пГТ >/[(пі+Л)/2^!

\ (п, -Л)/2

,1оо^1 £>.

(а- )(

7[(п±— Л)/2]!

Чтобы получить конечные выражения для матричных элементов нелокальной части потенциала, необходимо выразить соответствующие операторы в терминах операторов Л и А.

Рассмотрим общий принцип получения выражений для матричных элементов на примере оператора спин-орбитального взаимодействия 1« . Нетрудно убедиться в том, что его можно записать в виде

11 = /

— 1 (Р— Рг — гР — )СТ+ + >

где операторы р+, р+ и <г+ определяются следующим образом:

1

р± = +^/2(х ± іу ^

р ± = +

ТТ

ТТ 5± =+72 (х ± І!У),

а 5'к (к = х, у, г) — операторы соответствующих проекций спина.

Воспользовавшись определениями (24)-(26), а также соотношениями (32), (33) и выразив операторы координат и проекций импульса, получим следующее выражение для оператора спин-орбитального взаимодействия:

11 = (А+ А+ - А- А-) 5г +

+ а2 {[(1 -а) А+ +(1 + а)А-]А0

- [(1 + а) А+ + (1 - а) А- ] А0} 5- -

+ а2 {[(1 - а) А- + (1 + а) А+ ] А0 -[(1 + а) А- +(1 -а) А+] Ао} 5+

При работе с цилиндрическим базисом для записи правил отбора матричных элементов базисные векторы часто обозначают как | Л£, иногда используется

обозначение | піпг Л£. Это не вполне удобно, поскольку из вида оператора 11 явно следуют правила отбора по квантовым числам п2 и пг, а не по п, и пг (или N

и п7), которые надо дополнительно пересчитывать. Поэтому с практической точки зрения удобнее всего использовать правила отбора именно по квантовым числам пг и п2 (и, разумеется, по Л и £).

Оператор 11 обладает следующими ненулевыми матричными элементами: диагональным элементом Л£Й2 и недиагональными элементами, представленными в табл. 1. Аналогичным образом можно получить матричные элементы оператора I2, выражения для которых представлены в табл. 2.

х

Т а б л и ц а 1 Матричные элементы (/ й2 ) п' Л ' I ' |1«| п± п2 АЕ); I ' = -Е, Л ' = Л + 2Е

п -1 г п2 +1

п2 - АА'

п2 - 21 ВА

Примечание: А = Еахп ^п~Л, А ' = ^п2 + Л + Е +1/2, В = Еа1/2^(пг +1)/2, В '= ^/п2 -1 +1/2.

Т а б л и ц а 2 Матричные элементы (1/ Н2 )(и| Ч ЛЕ |І2 |п± пг АЕ^

п2 - 2 пг п2 + 2

п2 +1 АА ’ (1 + а)2 2а - - СА (1 -а)2

п2 - АВ ’

п2 -1 АС (1 -а)2 - ВС ’ (1 -а2) СС' (1 + а)2

Примечание: А = -у[п~(п~-ґ) /2а, А ' = -^( п2 +1)( п2 + Л +1), В = ( 2пг +1) /2а, В' = 2п2 +Л +1,

С = --/(п~+1)(7+2) /2а, С ' = -^п2 (п2 + Л).

Правила отбора для і2 таковы, что приводят к дополнительному правилу отбора по главному квантовому числу N :

[N ± 2.

4. Детали расчетов и некоторые результаты

Правило отбора (58) указывает на то, что матрица гамильтониана является бесконечно большой. Один из основных вопросов, возникающих в данном контексте - это вопрос о сходимости значений энергий индивидуальных уровней в зави-

симости от количества больших осцилля-торных оболочек, учитываемых при расчетах [3; 6]. Результаты расчетов выявляют очень хорошую сходимость значений энергии; при расчетах диагонализации подвергалась не вся матрица гамильтониана, а ее подматрицы, соответствующие заданным значениям проекции момента О и четности п. Так, для состояний с положительной четностью исследования проводились вплоть до N = 14, для состояний с отрицательной четностью -до N = 13 . Некоторые результаты приведены в табл. 3.

Т а б л и ц а 3

Сходимость отдельных уровней энергии некоторых подпространств ГР как функция числа больших оболочек, учтенных при расчетах

11 % II С} % II 00 о II (N1 II II Л.

(1/2)+ 1,49843209 1,49843209 1,49843209 1,49843209 1,49843054 1,49843054

3,05763551 3,05763191 3,05763190 3,05763190 3,05761804 3,05761804

3,46195343 3,46194431 3,46194427 3,46194427 3,46192706 3,46192706

3,79920444 3,79919865 3,79919862 3,79919862 3,79918843 3,79918843

4,61866115 4,61218209 4,61211842 4,61211778 4,61203742 4,61203742

5,09225473 5,08414133 5,08404464 5,08404354 5,08396607 5,08396607

5,32879452 5,31988041 5,31975161 5,31974989 5,31966347 5,31966346

5,78613474 5,77979017 5,77970153 5,77970020 5,77963809 5,77963809

6,20701032 6,11752947 6,09040111 6,08956261 6,08915131 6,08914886

6,20403438 6,20400286 6,20400243 6,20397483 6,20397483

6,77404838 6,75554465 6,75489820 6,75463793 6,75463592

6,92170839 6,88968723 6,88852687 6,88814277 6,88813945

7,36299171 7,34286469 7,34181935 7,34148723 7,34147844

7,70675302 7,53157608 7,45101002 7,44353492 7,44278342

8,23063996 8,21925048 8,21884382 8,21867833 8,21867531

(5/2)+ 3,54226396 3,54226009 3,54226007 3,54226007 3,54225262 3,54225262

4,94765358 4,94002487 4,93993838 4,93993743 4,93985574 4,93985574

5,68420228 5,67617399 5,67607761 5,67607650 5,67601271 5,67601271

5,95714582 5,95402700 5,95399060 5,95399005 5,95396366 5,95396366

6.33691063 6,30906616 6,30818164 6,30777621 6,30777381

7,19507974 7,16623439 7,16525013 7,16489780 7,16489537

7,37249231 7,35051914 7,34959405 7,34928825 7,34928373

7,68464679 7,60615567 7,59890131 7,59819594

8,12951291 8,11648414 8,11611966 8,11596463 8,11596347

8,47500991 8,46973484 8,46960313 8,46954104 8,46954025

8,69651960 8,63612936 8,62806480 8,62629584

8,83893200 8,75861370 8,74561661 8,73803107

(9/2)+ 5,48238748 5,47930688 5,47928085 5,47928060 5,47926120 5,47926120

6,75298235 6,73256253 6,73197490 6,73171573 6,73171446

7,77857086 7,76116221 7,76069392 7,76052953 7,76052856

8,00611333 7,99774444 7,93827650 7,93247049 7,93196127

8,00756804 8,00059931 8,00052591 8,00052336

9,17085238 9,10967997 9,06263001 9,03497477

9,31258374 9,22671490 9,11285082 9,11028931

9,27352661 9,26897556 9,26870681

10,34462995 10,32092546 10,31800324 10,31759060

10,52912354 10,53045492 10,51200947

10,63375894 10,62496529 10,62577487 10,62568690

Примечание: значения энергии даны в единицах /к^0(е). Значение параметра деформации е = 0.3; х = 0.0637, ц = 0.42.

+ + + +

От-СЧСО

СОЮЧГСО

сосососо

Т- омм о ю о-^о со со

К)

6,0

5,5

5,0

[640+]

[402+]

0,0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

Б

Рис. 1. Протонные уровни положительной четности для 50 < Z < 82; х = 0.0635, Iі — 0.60

Как уже было сказано, учет слагаемо-

го -О

в гамильтониане позволяет

использовать универсальные для всех оболочек значения параметров к и /л. Тем не менее значения этих параметров различны для нейтронов и протонов; также они варьируются для различных областей массовых чисел и изменяются между значениями

К = 0,0633, |>и = 0,491,

[кр = 0,0688, у^р = 0,558. для редкоземельных и актинидных ядер и

К = 0,0633, О = 0,491,

п 5 5 ' п 5 5

кр = 0,0688,

ілр = 0,558.

для ядер из области А = 100___140 [2].

Значение большого осцилляторного

О

кванта й0 обычно определяется из условия соответствия среднеквадратичного радиуса, рассчитанного в рамках оболочечной модели правильному значению радиуса ядра. Традиционно используемое значение

О

Й0 = 41А~1/3 МэВ дает величину среднеквадратичного радиуса для протонов на 5.. .10 % меньше соответствующей величины для нейтронов. Поэтому обычно используют

О

несколько различные значения На0 для протонов и нейтронов, вводя изотопическую зависимость этой величины. В настоящей работе используются следующие значения:

£

Рис. 2. Протонные уровни отрицательной четности для < Z < В2\ я = 0.0635, М — 0.60

МэВ

МэВ (нейтроны).

Расчет схемы одночастичных уровней проводился с учетом первых 12 больших осцилляторных оболочек. На рис. 1 приведена схема уровней, обладающих положительной четностью; значения параметров к = 0,0637 и /л = 0,42 соответствуют нейтронной системе ядра из области редкоземельных элементов. Аналогично для той же области ядерных масс на рис. 2 приведена схема уровней, обладающих отрицательной четностью.

Учет связи состояний с Д N = ± 2 приводит к тому, что уровни с одинаковыми значениями проекции момента и четно-

сти не пересекаются. При изменении

параметра деформации два уровня с одинаковыми значениями сближаются, подходят друг к другу и начинают расходиться. Точка максимального сближения двух уровней называется точкой квази-или псевдопересечения. Наиболее сильное смешивание компонент с ДN = ± 2 происходит в малой окрестности точки квазипересечения. За пределами этой малой окрестности структура уровней остается точно такой же, как если бы имело место реальное пересечение этих уровней. Если же указанной связью больших оболочек пренебречь, то эффект квазипересечения уровней не наблюдается [3; 11].

Каждый отдельный энергетический уровень может испытывать такие квази-

пересечения неоднократно, в зависимости от того, какие состояния образуют базисный набор. Это значит, что в областях деформаций между точками квазипересечения уровень может обладать различной асимптотикой; иначе говоря, в разложении (21) волновой функции нуклона доминирующая компонента базисного набора может быть различной для разных интервалов деформаций.

В качестве иллюстрации рассмотрим одну из точек квазипересечения уровней (7/2)+ (см. рис. 3). В данном конкретном случае в расчетах учитывалась связь больших осцилляторных оболочек Д N = ± 2 вплоть до N = 6 включительно; поэтому базисный набор образуют следующие шесть состояний: 1404 -), 1413 +), 1604 -),

1613 +),1624 -) и1633 +).

є

є

є

Рис. 4. Поведение волновых функций одночастичных уровней в окрестности точки псевдопересечения

Заключение

Рис. 3. Точка псевдопересечения уровней (7/2)+

На рис. 4 приведены зависимости квадратов коэффициентов разложения волновых функций от параметра деформации £ (для уровня «А» — сверху, для “В» — снизу). На рисунках видно, что уровень «А» имеет асимптотику [404 -] до псевдопересечения

и [6 3 3 + ] после него, в то время как уровень «В» характеризуется асимптотикой [6 3 3 +] до псевдопересечения и [404-] -

после.

Рассмотрено численное решение уравнения Шредингера с гамильтонианом Нильссона; спектр значений энергии и волновые функции рассчитывались для различных диапазонов параметра деформации методом диагонализации матрицы гамильтониана в так называемом асимптотическом базисе. Исследовано поведение уровней энергии и волновых функций в зависимости от наличия либо отсутствия в базисном наборе волновых функций с различными значениями главного квантового числа. Отдельно рассмотрен эффект псевдопересечения уровней энергии состояний с одинаковыми значениями проекции полного момента и четностью в узких диапазонах значений параметра

деформации; проведено исследование поведения волновых функций в соответствующих диапазонах деформации.

При получении аналитических выражений для матричных элементов всех операторов использовался формализм вторичного квантования.

Использованный для диагонализации матрицы гамильтониана цилиндрический базис является весьма удобным не только для решения уравнения Шредингера в случае больших деформаций отдельного ядра; применение этого представления является, пожалуй, единственным компромиссным вариантом при решении уравнения Шредингера с двухцентровыми потенциалами, описывающими делящееся ядро. С точки зрения технической реализации рассмотренного метода решения уравнения Шредингера цилиндрический базис также обладает рядом преимуществ по сравнению со сферическим базисом: большей экономичностью, то

есть меньшими затратами машинного времени, а также отсутствием избыточно сложных аналитических выражений, например коэффициентов векторного сложения.

Авторы выражают благодарность А.Е. Гегечкори, Ю.В. Анищенко за помощь при подготовке рукописи к печати.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Nilsson S.G. // Mat. Fys. Medd. Dan. Vid. Selsk. 29. No. 6. 1955 (Деформация атомных ядер. М.: Атомиздат, 1967).

[2] Nilsson S.G. et al. // Nucl. Phys. A131. 1, 1969.

[3] Quentin P., Babinet R. // Nucl. Phys. A156. 365, 1970.

[4] Andersen B. L. // Nucl. Phys. A162. 208, 1971.

[5] Пашкевич В.В., Струтинский В. М. // ЯФ. 9. 56, 1969.

[6] Boisson J.P., Piepenbring R. // Nucl. Phys. A168. 385, 1971.

[7] Ring P., Schuck P. The nuclear many-body problem. Springer-Verlag, 1980.

[8] Бор О., Моттельсон М. Структура атомного ядра. Т. 1. Одночастичное движение. М.: Мир, 1971; Т. 2. Деформация ядер. М.: Мир, 1977.

[9] Айзенберг И., Гоайнер В. Модели ядер. Коллективные и одночастичные явления. М.: Атомиздат, 1975.

[10] Айзенберг И., Грайнер В. Микроскопическая теория ядра. М.: Атомиздат, 1976.

[11] Соловьев В.Г. Теория атомного ядра. Ядерные модели. М.: Энергоиздат, 1981.

[12] Гепперт-Майер М., Йенсен И.Г.Д. Элементарная теория ядерных оболочек. М.: Изд-во ин. лит., 1958.

[13] Мессиа А. Квантовая механика. Т. 1. М.: Наука, 1978.

[14] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. Т. III. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. М.: Физматлит, 2002.