Mathematical model of rolling elastic wheel over deformable ground

Выводы

Предложенная методика вычисления моментов инерции составляющих систему масс в единой системе координат позволяет представить математическое описание движения объекта в виде системы уравнений, что повышает точность математического моделирования. Использование кинематических характеристик подвески дает возможность избежать сложного математического описания работы ее направляющих элементов.

Приложение 1.

Обозначения и индексация переменных, входящих в уравнения:

IX, 1у, Iг - моменты инерции в первоначальной системе координат;

Iх,, 1у,, 1г, - моменты инерции в новой системе координат;

X, у , z' - соответствующие смещения осей новой системы координат относительно первоначальной;

Р, Руг, Рхг - произведения инерции в первоначальной системе координат;

Рх,у,, Руг,, Рх,2, - произведения инерции в новой системе координат;

Т - кинетическая энергия системы; и - потенциальная энергия системы; Я - диссипативная функция Релея; Qi - обобщенная сила;

qi - обобщенная координата;

^ - обобщенная скорость;

1Х0, 1у0, 120 и Рху0, Рхг0, Руг0 - моменты инерции и произведения инерции подрессоренной массы относительно осей х, у , г; х0, у0, г0 - координаты центра подрессоренной массы;

Ух, Уу, Уг, р , г, у - линейные и угловые скорости по соответствующим осям координат;

qi - возможное перемещение подрессоренной массы; ^ { - возможное перемещение неподрессоренной массы; ] - номер неподрессоренной массы; Р№ - сила аэродинамического сопротивления;

Я , Яп], Яг] - продольная (боковая, вертикальная) реакция ] -го колеса;

Рх]- - эквивалентный силовой фактор, вводимый при разрыве подвески, действующий в

направлении соответствующей оси; Оа - вес автомобиля;

Ма - обозначение центра масс автомобиля;

М] - крутящий момент ] -го колеса;

М5] - момент сопротивления повороту ] -го колеса;

Мср] - момент сопротивления развалу ] -го колеса.

Математическая модель качения эластичного колеса по деформируемому

грунту

к.т.н., с.н.с. Чистов М.П., Наумов А.Н. МГТУ «МАМИ», 21 НИИИАТМО РФ

Статья посвящена описанию взаимодействия эластичного колеса с деформируемым грунтом. В приведенной математической модели сделан ряд допущений, позво-

ляющий значительно упростить соответствующие инженерные расчеты.

В общем случае взаимодействие колеса с полотном пути можно разделить на 3 части: механика поверхности движения, механика колеса и шины, механика взаимодействия колеса с дорожно-грунтовым основанием. Данная статья посвящена краткому описанию взаимодействия эластичного колеса с деформируемой поверхностью движения и получению основных формул, характеризующих этот процесс.

В результате взаимодействия колеса с поверхностью движения образуется соответствующая зона контакта, представляющая собой пространственную поверхность. С целью упрощения задачи рассмотрения процессов взаимодействия колеса с поверхностью движения предполагается, что контактные напряжения по ширине контакта постоянны. Таким образом, задача переходит из трехмерного пространства в двухмерное, т.е. от рассмотрения контактной поверхности, характеризуемой тремя координатами, переходят к рассмотрению контактной двухмерной линии.

Учитывая, что параметры грунта крайне нестабильны и могут изменяться в значительных диапазонах в течение дня, с целью снижения трудоемкости инженерных расчетов целесообразно использовать упрощенную форму контактной линии взаимодействия колеса с грунтом.

В математической модели качения одиночного эластичного колеса по деформируемому грунту, разработанной М.П. Чистовым совместно со специалистами 21 НИИИ АТ МО РФ [1], были приняты следующие допущения:

рассматриваемое равномерное качение по ровному горизонтальному участку грунта со скоростью около 1 м/сек.;

нормальное напряжение или давление в контакте колеса с грунтом определяется законами механики грунтов через глубину погружения элементов беговой дорожки колеса и распределяется равномерно по всей ширине контакта беговой дорожки;

положение и величина плоской зоны контакта определяется хордой экваториальной окружности шины с высотой сегмента, равной ее радиальному прогибу, а нормальное давление по всей площади этой зоны принимается равномерным;

криволинейная зона располагается от входа беговой дорожки в контакт с грунтом до плоской зоны и принимается цилиндрической формы со свободным радиусом колеса г;

изменение (увеличение) ширины шины в контакте с грунтом при ее прогибе вследствие незначительного влияния этого изменения на глубину погружения колеса в грунт для современных шин регулируемого давления с протектором высокой проходимости не учитывается;

увеличение глубины образуемой колеи при появлении горизонтальных сил (в зависимости от режима качения) определяется в функции поправки на буксование колеса;

расстояние от поверхности недеформируемого грунта до плоской зоны постоянна (глубина погружения колеса при качении) соответствует глубине образуемой колеи.

Схема качения эластичного колеса по деформируемому грунту представлена на рис. 1, где: Н- глубина колеи, гш - прогиб шины, Вк - ширина беговой дорожки колеса.

Криволинейная зона контактной линии располагается от входа беговой дорожки в контакт с поверхностью движения и принимается цилиндрической формы со свободным радиусом колеса г.

Расстояние от поверхности недеформируемого грунта до плоской зоны контакта равно глубине образуемой колеи Н.

По теореме Пифагора длина плоской части контактной линии:

Рис. 1. Расчетная схема движения эластичного колеса по деформируемой поверхности

движения при гк < гк0

Исходная зависимость, уточняющая общеизвестное уравнение М.Н.Летошнева по определению вертикального давления в контакте колеса с грунтом через коэффициент кч снижения нормального удельного сопротивления грунта вдавливания на глубину Нр от скольжения, выглядит следующим образом:

/ \ д

' Н + г... - кл

д = 102ц кдр н

р

V НР

где: рг - удельное сопротивление грунта смятию колесом на глубину Нр;

д - степенной коэффициент изменения указанного сопротивления по глубине вдавливания;

Нр = 0,01 м - глубина погружения штампа, определяющая удельное сопротивление грунта смятию рг.

Из анализа результатов экспериментальных исследований качения колесных движителей по деформируемым грунтам для указанного поправочного коэффициента предлагается эмпирическое выражение:

кч = 1 - tк

при S6 > 0

при S6 < 0

= =

Гк 0 - Гк

' к 0

S6 =

Гк - Гк 0

В формулах (4) и (5) гк0 - радиус качения без буксования, гк - радиус качения в текущем режиме.

Радиус качения эластичного колеса без буксования:

л/2г • г - г2

V ш ш

Гк 0 =

arcsin

z - z

ш ш

С учетом принятой расчетной схемы (рис. 1) и допущениями вертикальная реакция в

криволинеинои части контактной линии

H+z,„

H+z,„

R« = { dRZK = { qBK dx.

В плоской зоне qn = const и Rzn = qn  Fn, где Fn - площадь плоской зоны контакта. Условие равновесия вертикальных сил, действующих на колесо:

G = R,, R = R, + R„

к z 5 z zк zn

RZK = 102ц kqP г Вк

H + z,,, - h

H.

r - h

p J

«¡2rh - h'

dh

Rzn = 102MKpF

f H V

qr г n

v HP J

С учетом выражений (9) и (10) уравнение (8) можно записать в виде:

r-h

G -102^ kqP

Вкк i

H+z„f H + z. - h Y

H

PJ

V2rh - h''

rdh +

г у

' H A

v H, J

F

= 0.

Площадь плоской зоны контакта:

Fn =(2 - 0,215kF ))2rz„ - z2 ,

где кр - поправочный коэффициент площади отпечатка шин, который может быть выражен

зависимостью:

kF =

r - 0,5d 2r

где: с1 - посадочный диаметр шины,

гпр - радиус кривизны профиля беговой дорожки шины.

В полученном уравнении (11), если задаваться пробуксовкой sб, остаются два неизвестных: Н и г ш.

Для их определения необходимо составить второе уравнение, которое можно получить из выражения вертикальной реакции в плоской зоне и радиального прогиба гш :

Я

= —,

с z - 102цk p

ш ш qr.

( V ' H л

v HP J

К = 0.

r

к

z

z

„

„

z

„

ш

Значения текущей радиальной жесткости шин в функции давления воздуха рв [5]:

Сш = К • й[к2

где: К1, К 2, К3 - коэффициенты уравнения регрессии, рв - давление воздуха в шине.

Полученные уравнения (11) и (15) позволяют по вертикальной нагрузке на колесо определить глубину образуемой колеи Н и прогиб шины гш с учетом влияния на них продольных сил (через пробуксовку колес) и давления воздуха в шинах. На базе указанных уравнений можно вывести формулы для определения продольных сил, а также крутящего момента и сопротивления качению колеса при его взаимодействии с грунтом.

Для нахождения продольных сил целесообразно воспользоваться известным из механики грунтов законом Кулона, который с уточнениями Я.С. Агейкина [2, 4] по коэффициентам насыщенности и очищаемости протектора, а также с учетом среза грунта торцевыми ребрами грунтозацепов выглядит следующим образом:

ттах = [ш + (1 - кн >£Ф0 ] + с0к0

(1 - К ) + 2(1 - кнт )-?-

К

Д

здесь: кн, к0 - коэффициенты насыщенности и очищаемости протектора, кш - коэффициент трения материала шины о грунт, Ф0 и с0 - угол внутреннего трения и удельного сцепления грунта, кнт - коэффициент насыщенности протектора по торцу шины,

¥т и Ед - площади торца (бокового кольца шины) по высоте боковых ребер грунто-

зацепов и беговой дорожки шины в контакте с грунтом. Для упрощения формул примем:

к Н к ш +(1 - кн УёФ 0 = ^ ,

С0 к 0

к

к

д

= кс-

2пгВк,

где: ЬтГ, 1Г и 1ТГ - высота грунтозацепов в торце, его шаг и ширина посередине высоты. С учетом вышеизложенного формула (19) примет вид:

В уравнениях

к

к -

"нт - '

-Г

2пгИтг, Кд ?

кс = С0к 0

(1 - кн) + г

С

1 - Ьг.

-Г

Л

К

В„

V т у

Таким образом, получена возможность определения максимального по сцеплению тан-

т

генциального напряжения тах, с помощью которого через накопленный сдвиг и относительный сдвиг можно определить развиваемую колесом максимальную силу тяги. Однако как максимальное, так и текущее значение т зависит от относительного сдвига Хсд элементов беговой дорожки, а при Хсд = 0 т = 0.

Для выражения текущих значений т через закон Кулона и соответствующий сдвиг можно воспользоваться методом интерполяции сплайнами кривой т(Хсд). При этом использование кубических сплайнов позволяет получить максимальное приближение рассматриваемой функции к экспериментальной с обеспечением упомянутых выше условий. В общем виде эта функция выражена как

x = otgyA{Xcó) + kcB(Хсд),

А(Хсд ) =

0,4

1 -

X

сд

бт

-1,4

1-

X

сд

бт

+1 при Хсд < ^б

В(ХСд ) =

1 ПРи S бт < Хсд < 1

3(1 -|Хсд|)2 2(1 -| Хсд\)3

ПРи S бт < Хсд < 1.

(1 -Хсд|)2 (1 -|Хсд|)3 0 при Хсд > 1

К криволинейной зоне контакта а = dRr и т = dRT . Соотношение (23) примет вид:

dRT = dRrtgy • А

Учитывая, что dRZK = dRr cos a + dRT sin a, получим выражение для определения эле-

ментарной радиальной составляющей:

dRZK - kcB(Xcд Увк sin ada

cos a + tgy • sin a • А

dR =

dRK =

Тогда dRT =

Принимая во внимание, что dRXK = dRT cos a - dRr sin a, получим:

+ kBfc )rBK cos da.

сое а + ^^ А

В плоской зоне контакта в соответствии с принятыми допущениями и расчетной схемой нормальное давление в контакте:

а = qzn = 102^ kg р

' Я ^

V Я .

с z ш ш = const.

F.

Из уравнения

^ = А

Из полученных уравнений можно получить суммарную продольную силу (реакцию) в контакте колеса с поверхностью движения:

Рк = = К +

При этом положительные значения суммарной продольной реакции Rx соответствуют развиваемой колесом при соответствующем буксовании силе тяги Рк и отрицательные - толкающей силе.

Значения крутящего момента на колесе будут складываться из моментов от элементарных вертикальных сил dRz с соответствующим им плечом по оси Х в криволинейной МКкк и плоской М^п зонах, от горизонтальных (продольных) элементарных сил dRx с плечом по оси Z, а также момента сопротивлению шин.

Мк = + МКп + MRXк + MRXn + М/ш .

Составляющие крутящего момента можно выразить следующим образом:

F

MRZk = r jdrzk sia

az

a F

MRXk = r j drxk cos a ,

3

2

МяХп = К

с 2

МКгп =-Щш -А^,

Рп

М/ш = /шН СшН 2ш

В уравнении (38) /шН и сшН - коэффициенты сопротивления качению и радиальные жесткость с номинальным значением давления воздуха в шине,

1.785

-42ггш - гш , А^ = 0.215^ - гIВ

^ 2

Полученное математическое описание процесса прямолинейного качения эластичного колеса по деформируемому грунту при известных нагрузочных и размерных параметрах колеса, показателях жесткостных характеристик и характеристик протектора его эластичной шины, а также механических параметрах грунта, позволяет расчетным путем определять все показатели этого качения, например, в функции буксования колеса.

Так, коэффициент сопротивления качению колеса можно получить по следующим формулам [3]:

р = Мка- Рка-Гк = Мк Р

р/к =—г-:-= ~— Рк,

а-гк гк

м. - Р

, = _1 = / = / + Рш = . .

^ к У гк У ш'

2 2 2

Из выражений, описывающих качение одиночного колеса, можно вывести математическую модель движения автомобиля.

Экспериментальные исследования с определением показателей качения эластичного колеса по деформируемой поверхности движения, проведенные в 21 НИИИ АТ МО РФ, подтверждают корректность вышеуказанных выражений и свидетельствуют о возможности их использования при построении математической модели прямолинейного движения автомобиля.

Литература

1. ВЧ 63539 «Исследование путей повышения проходимости армейских многоцелевых автомобилей по деформируемым грунтам», отчет о НИР, 1997 г., инв. № 7869

2. Агейкин Я.С. Проходимость автомобилей. - М.: Машиностроение, 1981, 232 с.

3. Фалькевич Б. С. Теория автомобиля. - М.: Машиностроение, 1963, 239 с.

4. Барахтанов Л.В., Беляков В.В., Кравец В.Н. Проходимость автомобиля. - Н. Новгород, Нижегородский гос. техн. ун-т., 1996, 200 с.

5. Чистов М.П., Коваленко А. Н. Расчетное определение некоторых характеристик автомобильных шин. Рукопись депон. В НИИИавтопрома 14.12.84 № 1127 ап -84 ДЕП. 1984, 12с.

Технологическое решение проблемы эксплуатационного дисбаланса гибких

роторов турбоагрегатов

к.т. н. Корнеев Н. В.

МГТУ «МАМИ»

В статье рассмотрены основные принципы и разработана новая технология вибростабилизации гибких роторов турбоагрегатов. Разработан и создан уникальный стенд для вибростабилизации. Приведены результаты экспериментальных исследований.

Стабильность геометрии ротора, т.е. неизменность его геометрии в процессе эксплуатации, существенно влияет на его эксплуатационный дисбаланс и определяется множеством факторов, среди которых важную роль играют внутренние напряжения в его конструкции