Математический анализ волновой функции

1. Математическое моделирование и обработка данных

УДК 621.928.13

О В. Д. Анахин МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ

Исходная волновая функция приведена к математической модели для продольной бегущей регулярной волны, состоящей из волнообразных движений в виде двух гармоник, каждая из которых имеет разные частоты, амплитуды, ускорения и разность фаз гармонических колебаний. В результате возникает волновая асимметрия нелинейной механической системы, дающие новые представления о физической сущности явлений, обуславливающие их инновационное применение в ряде современных технологий. В статье приведены базовые принципы и методология математического подхода к исследованию бегущей волны в направлении своего распространения в результате асимметричности колебаний вибрирующей системы.

Ключевые слова: волновые функции; волновая асимметрия; продольная бегущая регулярная волна; амплитуда, частота, ускорение и разность фаз колебаний; асимметричность механической системы; волновые эффекты.

О V. D. Anakhin

THE MATHEMATICAL CONCEPTS IN THE ANALYSIS OF PERIODIC FUNCTIONS

This paper discusses the mathematical concepts involved in the analysis of vibration data which are essentially steady state time-varying processes. The basic objective of vibration data analysis may be achieved by various means to describe time-varying functions such as displacement, velocity, acceleration, and describes the principle characteristics of these functions. This paper is restricted to a description of the basic principles and techniques of data analysis which represented by the two sine waves, each having a different frequency and amplitude. The waveform is the sum of the two sinusoids whose frequency difference is an integral multiple of the lowest frequency. For complete definition of the waveform it is necessary to specify the phase angle between the two sine waves, and the ratio of the displacement amplitudes.

Key words: periodic functions; the waveform asymmetry; time-varying functions such as displacement, frequency, acceleration; the phase angle between the two sine waves; the asymmetric mechanical system; wavy effects.

Введение

При волновой асимметрии вибрирующей поверхности исходный материал движется в направлении распространения продольной или поперечной бегущей регулярной волны или отдельных волн импульсного характера. Основное условие возникновения исследуемого волнового эффекта -наличие асимметрии механической системы. При гармонических колебаниях закон колебаний поверхности вибрирующей системы будет совершенно симметричен и эффект в этом случае достигается при прямолинейной траектории колебаний под некоторым углом, отличным от нуля и от 90°. Такой эффект достигнут при разработке эффективной вибрационной технологии для разработки транспортно-разделительных процессов полезных ископаемых, минералов, порошкообразных материалов и извлечения ценных компонентов в ряде отраслей индустрии [1]. Волновую асимметрию можно достигнуть за счет распространения продольной бегущей волны, состоящей из двух гармоник с разностью фаз между двумя гармоническими волнами. В этом случае бегущая волнами как бы «несет» материал в направлении своего распространения. Продольная бегущая регулярная волна осуществляет транспортно-разделительный процесс бесшумно и практически без динамических нагрузок на структурные или конструктивные элементы технологического аппарата. В связи с поставленной проблемой использования асимметричного способа воздействия, названного структурной, или конструктивной, целью статьи является разработка математической концепции этого вида асимметрии, метода математического анализа процесса; задачей - установление принципиальных и функциональных характеристик и рассмотрение закономерностей процесса.

1. Анализ периодических функций

Математически, периодические функции, состоящие из двух гармоник и обуславливающие волновую асимметрию, когда материал перемещается в направлении распространения продольной бегущей регулярной волны, можно представить в виде [2]:

= -Лэтю^ + ср),

II = -AcQ[coscQt + ycos(2cot + <р)],

Ж = Асо 2[smcQt + 2ysm(2cQt + <р)], где - виброперемещение поверхности, и и Ж - соответственно виброскорость и виброускорение продольно вибрирующей поверхности, со -угловая частота, А и В - амплитуды смещений первой и второй гармо-

а в

ник, (р - разность фаз, у = — - отношение амплитуд.

А

Уравнение движения материала бегущей регулярной волной можно записать в общем виде:

Л

где g - ускорение силы гравитации, / - коэффициент трения.

При возникновении эффекта транспортирования скорость движения материала суммируется на всех этапах за период колебаний волны:

2л

2. Графический метод интегрирования

Согласно графическому методу, строят график безразмерной скорости вибрирующей поверхности как функцию безразмерного времени на отрезке периода колебаний и наносят прямые с наклоном

А2

При этом реальная скорость перемещения материала бегущей волной и кинетика разделения может быть описана следующей зависимостью в общем виде:

2 п

Научно обоснованный метод, графические изображения и соответствующие математические выкладки формул расчета в конечном виде приведены в статье [2].

3. Закономерности влияния параметров на регулировку процесса

Детальные исследования рассматриваемых процессов установили, что максимальная скорость транспортирования достигает при разности фаз гармоник (р = 0 ° или 2ж , минимальная - в диапазоне 60-90°; показатель у изменялся 0.1 1;о 2.0. Рост этой величины отношения амплитуды второй гармоники к амплитуде первой гармоники бегущей продольной волны ведет к росту максимального значения ускорения вибрирующей поверхности, т.е. к росту динамических нагрузок на конструктивные элементы. Величина у = 0.5 или у = 0,6 соответствует максимальной скорости транспортирования, безразмерный параметр коэффициента переда-V

чи — как функция параметра достигает максимума при у —> 0.5 при динамической нагрузке в диапазоне от 4 до 5g. Рассмотренные закономерности динамики колебательных движений распространения продольной бегущей продольной регулярной волны позволяют производить расчет основных элементов структурного и конструктивного, асимметричного и симметричного воздействия.

Графическая интерпретация по полученным формулам скорости позволяет описать динамику колебательных процессов, позволяют анализи-

ровать влияние различных параметров и оценивать режимы процесса для заданных условий. Система уравнений применима для расчета динамических параметров; расчеты по формулам скорости дают возможность обеспечить заданные скорости и ускорения, обеспечить выходные параметры колебаний. Для определения влияния этих факторов рассматриваются изменение амплитуд, частот, ускорений и других параметров. На рис. 1 и рис. 2 приведены типичные зависимости скорости транспортирования материала бегущей продольной волной при бигармоническом цик-

V 1ОГ m/sec

t .

У

s

а

А mpli tude mm 3

1 2 4

157 314 470 CO,rad/sec

Circular Frequency

Рис. 1. Зависимость скорости V от со

Рис. 2. Зависимость скорости V от ускорения Жт Повышение амплитуды колебаний пропорционально увеличивает скорость транспортирования (кривая 2, Рис. 1); численное значение скорости в зависимости от частоты колебаний изменяется по закону параболы (кривая 1). Из Рис. 2 видно, что скорость продольного перемещения мате-

риала бегущей регулярной волной зависит от максимального значения ускорения колебаний (кривая 1, при со = 157 с" ; кривая 2, при со = 314 с"1); при его постоянном значении транспортная скорость уменьшается с увеличением частоты со ; при постоянной угловой частоте возрастание максимального ускорения приводит к увеличению скорости транспортирования; коэффициент передачи скорости уменьшается с повышением величины максимального ускорения (кривая 3). Графическое изображение получили зависимости скорости V от других параметров: от коэффициента трения / ; от углов продольного и поперечного наклона вибрирующей поверхности; от угла вибраций (для гармонического цикла) и др. Сущность метода определения скорости V заключается в том, что для соответствующих параметров материала и колебаний по формуле (7) рассчитывается соответствующая скорость и строится диаграмма. Абсолютные значения скоростей, рассчитанные по формулам, идентичны экспериментам.

Заключение

Концепция объяснения распространения продольной бегущей регулярной волны, состоящей из двух гармоник, приводит к аргументированным выводам и правильности выбора метода познания закономерностей. Дальнейшее развитие этого направления следует осуществлять путем исследования отдельных волн импульсного характера с локально-постоянным ускорением колебаний для повышения производительности процесса. Оба метода имеют самостоятельное значение. Применение таких методов и соответствующих технологических установок перспективно, исходя из эффективности и экологических условий.

Литература

1. Анахин В. Д., Плисс Д. А., Монахов В. Н. Вибрационные сепараторы. - М.: Недра, 1991. - 157 с. (Производственно-практическое издание).

2. Анахин В. Д. Графоаналитический метод моделирования динамики систем с асимметричными колебаниями // Вестник Бурятского государственного университета. - 2012. - Выпуск В. - С. 223-229.

References

1. Anahin V. D., Pliss D. A., Monahov V. N. Vibracionnye separatory. -M.: Nedra, 1991. - 157 s. (Proizvodstvenno-prakticheskoe izdanie).

2. Anahin V. D. Grafoanaliticheskij metod modelirovanija dinamiki sistem s asimmetrichnymi kolebanijami // Vestnik Buijatskogo gosudarstvennogo universiteta. - 2012. - Vypusk B. - S. 223-229.

Анахин Владимир Дмитриевич, доктор технических наук, профессор, e-mail: anakhin@mail.ru.

Anakhin Vladimir Dmitrievich, doctor of technical sciences, professor, email: anakhin@mail.ru.