Нелинейная амплитудно-фазовая самомодуляция плоских релятивистски интенсивных электромагнитных волн в плазме

УДК 533.951

НЕЛИНЕЙНАЯ АМПЛИТУДНО-ФАЗОВАЯ САМОМОДУЛЯЦИЯ ПЛОСКИХ РЕЛЯТИВИСТСКИ ИНТЕНСИВНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН В

ПЛАЗМЕ

А. В. Боровский, А. Л. Галкин1, О. Б. Ширяев

Нелинейные плоские релятивистски интенсивные электромагнитные волны в плазме исследованы в рамках задачи Ахиезера - Половина. Построены аналитические приближенные решения этой задачи. Установлено, что определяющим физическим эффектом при распространении электромагнитных волн в плазме является их нелинейная амплитудно-фазовая самомодуляция.

Распространение плоских, в том числе релятивистски интенсивных, электромагнитных волн в холодной плазме описывается в рамках классической задачи Ахиезера Половина [1, 2]. В общем случае решения этой задачи могут быть получены численно. Для отдельных случаев, таких, как колебания малой амплитуды, чисто продольные колебания, монохроматические колебания с малой продольной составляющей, в [1,2] получены аналитические приближения. В [3] аналитически исследованы плоские электромагнитные волны линейной поляризации, фазовая скорость которых значительно превосходит скорость света. В работе [4] представлены результаты подробного численного исследования решений уравнений Ахиезера - Половина на фазовой плоскости. В [5] также рассмотрены волны малой амплитуды, соответствующие решениям уравнений Ахиезера - Половина, и кроме того, построены решения этих уравнений в пределе высоких амплитуд.

Аналитическое решение уравнений Ахиезера - Половина представляет интерес для прояснения физики распространения сильных электромагнитных волн в плазме. Кроме

1 Институт прикладной математики им. М. В. Келдыша.

того, для строго анализа задач рассеяния интенсивного лазерного излучения в плазме возникает потребность в точном (численном) решении уравнений Ахиезера - Половина, поскольку эти решения можно использовать в качестве опорных для анализа неустой-чивостей распространения лазерного излучения в плазме (см., например, [6, 7]).

Целью данной работы является численное и аналитическое исследование задачи Ахиезера - Половина. Рассматривается случай, когда фазовая скорость распространяющегося лазерного излучения превосходит скорость света на малую величину и впервые проводится построение асимптотических разложений этой задачи по соответствующему малому параметру. Получаемые таким образом решения описывают немонохроматиче ские волны. На основе полученных соотношений установлена адиабатическая связь меж ду локальными значениями амплитуды и частоты распространяющегося электромаг нитного поля и выведено дисперсионное соотношение, связывающее среднюю частот) поля и период плазменной волны.

1. Уравнения Ахиезера - Половина. Рассмотрим уравнения Максвелла и релятивистской гидродинамики электронной компоненты плазмы на фоне неподвижных ионов:

Здесь А и <р - векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля, нормиро ванные на тес2/е, р и п - продольная компонента импульса и плотность электронно]! компоненты плазмы, нормированные соответственно на тес и невозмущенную электронную плотность. Время и координаты нормированы на величины, обратные соог ветственно временной и пространственной собственным частотам невозмущенной плаз мы сор и Шр/с. Приведенные ранее уравнения записаны в кулоновской калибровке, в силу чего продольная компонента вектор-потенциала равна нулю.

Как показано в [1], отыскание решений данных уравнений, зависящих от одной переменной £ = а: —- где = (1 + б2)1/2 - фазовая скорость, а б - параметр, сводится к решению следующей задачи:

Ажх - Аи = -А, <рхх = п- 1, pí = (<р - 7) 7

п

XX

б2А^ + ПА,^,б)А = 0,

б^ + ^А, <¿>,6)^-1 =0,

При этом имеют место законы сохранения

е2|А4|2 + + W(A,y>,e) = Е = const,

J vTTe2^2 + е2(1 + |А|2) - tp ,

с L

AiA2$ — = М = const,

где Ai и Л2 - компоненты вектор-потенциала (А3 = 0 в кулоновской калибровке), а импульс и возмущения электронной плотности выражаются через векторный и скалярный потенциалы электромагнитного поля:

р = e~2[\J(p2 + е2(1 + |А|2) - yi + eV],

-3 | I I I I I I I I I | I I I I П I I I | I II I I I I I I | I I I I I I 1 I I | I I I I I I I I I | I I I I I I 1 I I |

О 10 20 30 40 50 60 ^

Рис. 1. Результаты численного решения задачи Ахиезера - Половина (1) - (3). Начальные условия: ¿1(0) = 1,2, Аи(0) = 5, <¿>(0) = 2, у?с(0) = 0, с = 0,1. -

На рис. 1 представлены результаты численного решения задачи Ахиезера Половина (1) - (3). Использованы следующие условия: Ai(0) = 1,2, Ai^(O) = 5, V'(O) = 2, <¿>¿(0) = 0, б = 0,1. Наблюдается концентрация электромагнитного излучения между гребнями электростатического потенциала (амплитудная модуляция), причем вся картина перемещается с фазовой скоростью q. Изменяется также частота осцилляции векторного потенциала между гребнями и минимумом скалярного потенциала (фазовая модуляция).

2. Линейно поляризованные электромагнитные волны. Рассмотрим распространение линейно поляризованных электромагнитных волн в плазме. Для этого положим Ai = 0, что может быть обеспечено соответствующим выбором начальных условий. В экспериментах по исследованию распространения мощных лазерных импульсов в плазме как правило используется линейно поляризованное излучение.

В случае, когда частота распространяющегося лазерного излучения намного превосходит плазменную частоту, фазовая скорость электромагнитных волн оказывается близка к скорости света, и параметр б является малой величиной. Нашей целью является построение асимптотик решений задачи (1) - (3) по малому параметру б. Для этого будем искать решения этой задачи в виде (см., напр., [8]):

оо

Ai

m=1

оо

= Е^ме.в),

m=1

вс = е~Ч

Здесь &(£) - дополнительная неизвестная функция. Подставляя (6) - (8) в (1) - (3), приравнивая нулю сомножители при различных степенях б и накладывая условие отсутствия секулярного роста по переменной 0, нетрудно получить следующие результаты: функция ф зависит только от £ и является решением уравнения

фи =

причем к(£) = а также

0 = е"1/г1/Ч,

U

В последнем соотношении константа д является параметром связи между электромагнитной волной и ленгмюровским откликом плазмы и определяется начальными условиями. Для уравнения (9) выполняется следующий закон сохранения:

ф\ + У{ф) = Е = сопзЬ,

У

Рис. 2. Скалярный потенциал у и огибающая а векторного потенциала, рассчитанные согласно уравнениям. (9) - (11). Начальные условия те же, что и в случае, изображенном на рис. 1.

На рис. 2 представлено приближенное решение для потенциала и огибающей амплитуды вектор-потенциала на основе уравнений (6) - (11) для тех же условий, которым соответствует рис. 1.

Аналогичные результаты были получены при решении несколько иной задачи построении теории распространения релятивистски интенсивных солитонов лазерного излучения в плазме. Численно эти солитоны, центральная часть которых также испытывает амплитудную и частотную самомодуляцию, были обнаружены в [9] (позднее это т

результат был воспроизведен в [10], также численно). Как отмечалось в этих работах, в пределе малых амплитуд в условиях солитонного режима распространения самомодуляция пропадает, и для солитона существует простое выражение в гиперболических функциях [11]. В [12] для описания таких солитонов в нерелятивистском пределе был применен метод ВКБ, а релятивистская теория распространения интенсивного лазерного излучения в плазме была построена в [13] при помощи этого лее метода.

Приближения высших порядков описывают генерацию гармоник в плазме. Их значение главным образом сводится к демонстрации возможности исключения секулярного роста в приближениях высших порядков, и в настоящей работе они не приводятся.

Интегральное выражение для периода медленных колебаний, генерируемых распространяющимся электромагнитным излучением, очевидным образом следует из соотно

Подставляя формулы (6) - (8) и (10), (11) в (4) и (5), получаем следующие выражения для продольной компоненты импульса и изменения плотности электронной компоненты плазмы:

т.е. электронная компонента плазмы дает медленный отклик на распространяющееся электромагнитное поле, а также испытывает вынужденные колебания на частоте второй гармоники поля.

С соотношениями (10), (11) связаны две простых аналогии. Заметим, что формально разлагая нелинейность в (1) по е2, нетрудно получить уравнение е2 А^ + <уэ-1 А = 0.

Во-первых, если предположить, что функция меняется плавно (а это предположение возникает естественно, так как разлагая по е2, мы получаем уравнение без сингулярных возмущений), то данное уравнение можно интерпретировать как задачу о маятнике Эйнштейна - осцилляторе с медленно меняющейся со временем частотой [14]. И хотя, в отличие от этой задачи, в нашем случае сдвиг частоты не задан явным образом, а определяется как решение дополнительного нелинейного уравнения, имеет место такая же связь между локальными значениями частоты &(£) = и амплитуды

а0 = дф1,/4(£): а^к — д2, и, таким образом, параметр связи д2 в нашей задаче является аналогом адиабатического инварианта в задаче о маятнике с медленно меняющейся частотой. Следует отметить, что так как сдвнг частоты распространяющегося лазерного импульса может быть зарегистрирован экспериментально, полученное соотношение

шений (12) - (13):

п - 1 = [ф~2 + (д2/2)ф~3/2 - 1]/2 - Ы2)2<Г3/2со820, р = ф{п- 1),

между частотой и амплитудой может быть использовано для диагностики процесса распространения лазерного излучения.

Во-вторых, приведенное выше уравнение аналогично уравнению Шредингера для частицы в потенциальной яме, причем параметр е играет роль постоянной Планка, а функция у-1 - квадрата импульса. В силу того, что эта величина в уравнениях Ахиезера Половина соответствует квадрату локального значения плазменной частоты, она не может быть отрицательной, а следовательно, в соответствующей квантово-механической системе нет точек поворота. В рамках данной аналогии выражения (10), (11), очевидно, соответствуют приближению ВКБ.

Как и в квантовой механике, для построенных нами приближенных решений имеют место условия квантования:

J = / (f>-l'2di = <f . d<f> = 27Гбm,

J J у/ф

где т >> 1 - целое число. Данное условие имеет смысл дисперсионного соотношения: осредненная по периоду локальная частота электромагнитного поля определяется выражением Ü = (J/eT) = (2тгт/Т).

Простейшим решением уравнения (9) является константа ф = ф0 > 1, которой соответствует электромагнитная волна вида U — — 1) sin(^/6V/^o). Неустойчивость этого решения, приведенного в [15], исследована в [3].

3. Циркулярно поляризованные электромагнитные волны. Циркулярно поляризованным электромагнитным волнам в плазме соответствуют приближенные решения задачи (1) - (3) вида Ai(£) = sin 0, А2(£) = дф^4{0 eos 0, а уравнение для ф и

соответствующий первый интеграл отличаются от (9) и (12), (13) тем, что в них входит соответственно д2 вместо д2/2 и 2д2 вместо д2. При этом в отклике электронной компоненты плазмы на распространяющуюся электромагнитную волну отсутствуют вторые гармоники: п — 1 = (ф~2 + д2ф~3/2 — 1)/2, а для импульса по-прежнему справедливо соотношение (15)).

Как и в случае линейной поляризации, существуют циркулярно поляризованные волны постоянной амплитуды:

Ах = ^ф2-ит(аеф1/2), Аг = у/ф2 - 1 cos(£/e^/2). •

Данное частное решение является не приближенным, а точным. Исследованию его неустойчивости посвящен ряд работ (см., напр., [6, 7]).

Таким образом, в данной статье получены численные решения задачи Ахиезера Половина (рис. 1) и ее приближенные аналитические решения (рис. 2). Анализ этих решений позволяет сделать вывод о сильной нелинейной амплитудно-фазовой модуляции плоских релятивистски сильных волн в плазме.

Работа частично финансировалась РФФИ (проекты N 96-02-16401 и 96-02-18264).

ЛИТЕРАТУРА

[1] А х и е з е р А. И., Половин Р. В. ЖЭТФ, 30, 915 (1956).

[2] А х и е з е р А. И. и др. Электродинамика плазмы. М., Наука, 1974.

[3] Мах Ciaire and Perkins F. Phys. Rev. Lett., 276, 1342 (1971).

[4] К a w Р. К., S e n A., and V а 1 e о E. J. Physica, 9D, 96 (1983).

[5] С h i а n A. C.-L., and С 1 e m m о w Р. C. J. Plasma Phys., 14(3), 505 (1975).

[6] S a k h а г о v A. S., К i г s а n о v V. I. Phys. Plasmas, 4(9), 3382 (1997).

[7] Б о p о в с к и й А. В., Галкин А. JL, К о р о б к и н В. В., Ширяев О. Б. Квантовая электроника, 24(10), 929 (1997).

[8] V е г h u 1 s t F. Nonlinear Differential Equations and Dynamical Systems (Springer-Verlag, 1990).

[9] К о з л о в В. А., Л и т в а к А. Г., Суворов Е. В. ЖЭТФ, 76, 148 (1979).

[10] К а w Р. К., S е п А., and Katsouleas Т. Phys. Rev. Lett., 68, 3172 (1992).

[11] К u e h 1 H. H. and Z h a n g C. Y. Phys. Rev. E, 48, 1316 (1993).

[12] Цинцадзе H. Л., Цхакая Д. Д. ЖЭТФ, 72, 480 (1977).

[13] Sudan R. N., D i m a n t Y. S., and S h i г у а e v О. B. Phys. Plasmas, 4(5), 1489 (1997).

[14] Ландау Л. Д., Л и ф ш и ц Е. М. Механика. М., Наука, 1965.

[15] Цинцадзе Н.Л., Цхакая Д. Д. Релятивистские нелинейные эффекты в плазме. Тбилиси, Изд-во Мецниерееба, 1989.

Институт общей физики РАН Поступила в редакцию 11 марта 1998 г.