О классах упорядоченных полугрупп отношений с диофантовыми операциями

СЕКЦИЯ МАТЕМАТИКИ

УДК 501.1

Н. Ю. Аншваева, Д. А Бредихин

О КЛАССАХ УПОРЯДОЧЕННЫХ ПОЛУГРУПП ОТНОШЕНИЙ С ДИОФАНТОВЫМИ ОПЕРАЦИЯМИ

Под алгеброй отношений мы понимаем упорядоченную пару (Ф, П), где Ф - множество бинарных отношений, замкнутое относительно некоторой совокупности Q операций над ними. Основы абстрактно-алгебраического подхода к изучению алгебр отношений были заложены в работах А. Тарского [1,2].

Операции над отношениями могут быть заданы с помощью формул логики предикатов первого порядка. Такие операции называются логическими. Важным классом логических операция является класс диофан-товых операций. Операция называется диофантовой [3,4] (в другой терминологии - примитивно-позитивной [5]), если она может быть задана с помощью формулы, которая в своей предваренной нормальной форме содержит лишь операцию конъюнкции и кванторы существования. Отношение теоретико-множественного включения С является стабильным относительно диофантовых операций, следовательно, всякая алгебра отношений (Ф, Q) с диофантовыми операциями может быть рассмотрена как упорядоченная (Ф, Q, с) этим отношением.

К числу диофантовых относится операция умножения отношений о. Эта операция является ассоциативной. Алгебра отношений вида (Ф, о) образует полугруппу отношений, и всякая полугруппа изоморфна некоторой полугруппе отношений. Существует ряд других ассоциативных диофантовых операций над отношениями, поэтому с точки зрения теории полугрупп естественно возникает задача изучения свойств этих операций.

Сосредоточим внимание на следующих ассоциативных операциях над отношениями, определяемых следующим образом. Для всякой пары бинарных отношений р и а, определенных па множестве U, положим

рш\а = {(u,v) Е U х U : (3s, t, w)(u, s) E р Л (t, w) E а};

рш2а = {(и, V) Е и х и : (Зй, I, ,ш)(з, Е р Л (ад, V) Е а};

рш3а = {(и, V) Е и х и : (Зw,t)(u, ад) Е р Л (и, £) Е а};

рш4а = {(и, V) Е и х и : (Зw, ^^^) Е р Л ^^) Е а}.

Для заданного множества О операций над бинарными отношениями обозначим через Я{О} (Я{О, с}) класс алгебр (упорядоченных алгебр), изоморфных алгебрам (упорядоченным алгебрам) отношений с операциями из О. Пусть Уат{О} (Уат{О, с}) - многообразие и ({О} (({О, с}) - квазимногообразие, порожденное классом Я{О} (Я{О, с}).

При изучении алгебр отношений, как правило, рассматриваются следующие проблемы.

1. Найти базис тождеств (квазитождеств) многообразия Уат{О} (квазимногообразия ^{О}) и выяснить вопрос о конечной базируемое™ этого многообразия (квазимногообразия).

2. Выяснить, является ли квазимногообразие ^{О} многообразием?

3. Найти систему элементарных аксиом для класса Я{О} и выяснить вопрос о его конечной аксиоматизируемости.

4. Выяснить, является ли класс Я{О} квазимногообразием (многообразием)?

Аналогичные проблемы формулируются для классов упорядоченных алгебр отношений.

Основные полученные результаты, касающиеся указанных выше проблем, приведены в следующих теоремах.

Теорема 1. Для упорядоченной полугруппы А = (А, •, <) следующие условия эквивалентны:

1. А принадлежит квазимногообразию (({ш\, с};

2. А принадлежит многообразию Уат{ш\, с}; А

Теорема 1*. Для упорядоченной полугруппы А = (А, •, <) следующие условия эквивалентны:

2 2 ху = х у = ху ,

хух = хху, х<х2, ху < х2.

1. А принадлежит квазимногообразию (({ш2, с};

2. А принадлежит многообразию Уат{ш2, с};

3. А удовлетворяет тождествам (1), (3) и тождествам

хуг = ухг,

ху < у2.

Теорема 2. Класс Я{ш\, с} не является квазимногообразием. Упорядоченная полугруппа А = (А, •, <) принадлежит классу Я{ш\, с} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям теоремы 1 и следующим аксиомам:

ху = х2 V у г = гу = у,

ху = х2 V у < г.

Теорема 2*. Класс Я{ш2, с} не является квазимногообразием. Упорядоченная полугруппа А = (А, •, <) принадлежит, классу Я{ш2, с} тогда и только тогда, когда она удовлетворяет условиям теоремы 2 и следующим аксиомам:

ху = у2 V хг = гх = х,

ху = у2 V х < г.

Теорема 3. Класс Я{ш3, с} образует многообразие в классе всех упорядоченных полугрупп и совпадает с классом Я{ш4, с}. Упорядоченная полугруппа (А, •, <) принадлежит классу Я{ш3, с} (Я{ш4, с}) тогда и только тогда, когда она коммутативна и удовлетворяет тождествам (1), (3), (4)-

Теорема 4. Класс Я{ш3, П} образует многообразие и совпадает с классом, Я{ш4, П}. Алгебра (А, •, Л) типа (2, 2) принадлежит, классу Я{ш3, П} (Я{ш4, П}) тогда и только тогда, когда (А, •) - коммутативная полугруппа, удовлетворяющая тождеству (1), (А, Л) - полурешетка и выполняются тождества

х Л х2 = х,

ху Л х2 = ху,

х

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Tarski A. On the calculus of relations // J, Symbolic Logic, 1941, V, 4, P. 73 -89,

2. Tarski A. Some methodological results concerning the calculus of relations // J, Symbolic Logic. 1953. V. 18. P. 188 -189.

3. Бредихин Д. А. О квазитождествах алгебр отношений с диофантовыми операциями // Сиб. мат. журн, 1997. Т. 38. С. 29-41.

4. Бредихин Д. А. Об алгебрах отношений с диофантовыми операциями // Докл. РАН. 1998. Т. 360. С. 594-595.

5. Bôner F., Pôschel F. R. Clones of operations on binary relations // Contributions to general algebras. 1991. V. 7. P. 50-70.

УДК 514.133

Jl. В. Бессонов, Л. Н. Ромакина

ИЗОБРАЖЕНИЕ ПРОСТЫХ КОВРОВ НА ПРОСТОМ 4-КОНТУРЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОЙ ПЛОСКОСТИ ПОЛОЖИТЕЛЬНОЙ КРИВИЗНЫ

В статье [1] (см. также книгу [2, гл. 4]) в геометрии гиперболической плоскости H положительной кривизны построено особого вида разбиение простого 4-контура, так называемое диссекториалъное разбиение, в результате которого на простом 4-контуре возникают объекты, не имеющие аналогов в классических пространствах постоянной кривизны, в частности, простые ковры. В данной работе предложен способ изображения простых ковров.

Напомним, что с каждым простым 4-контуром плоскости H можно связать его основной инвариант, Д, |Д| G I = (0; 1), равный отношению, в котором точка пересечения противоположных сторон 4-контура делит его ребро, считая от эллиптической вершины. В случае прямого 4-контура |Д| = 1/2.

Параболическую прямую, проходящую через центр простого 4 -контура, называем диссектрисой. Две диссектрисы разбивают простой 4-контур F па две пары конгруэнтных в паре простых 4-контура. Причем основной инвариант Д1 (До) контуров F/, F2 (Fj, Fq) разбиения, гиперболические (эллиптические) диагонали которых принадлежат ги-

F

ным инвариантом Д контур a F:

I Д1 1= a = ^