О плоских тонких упругих стержнях с быстроменяющимися периодическими характеристиками

Механика

УДК 531.01

О ПЛОСКИХ ТОНКИХ УПРУГИХ СТЕРЖНЯХ С БЫСТРОМЕНЯЮЩИМИСЯ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ХАРАКТЕРИСТИКАМИ

Е.И. Кугушев1, Д. И. Сабитов2

Рассматривается расположенный в плоскости тонкий упругий стержень, свободная форма которого представляет собой периодическую кривую. Показывается, что при постоянной нагрузке в пределе с ростом до бесконечности частоты функции, описывающей свободную форму стержня, его равновесная форма стремится к равновесной форме тонкого прямолинейного стержня. Решение рассматриваемой задачи проводится в рамках обоснования применимости моделирования пространственных форм кольцевых молекул ДНК тонким прямолинейным упругим стержнем.

Ключевые слова: тонкие упругие стержни, слабая сходимость, пространственные формы ДНК.

A thin elastic rod in a plane is considered. The free form of the rod is described by a periodic curve. It is shown that, under constant loads, its equilibrium form tends to the equilibrium form of a thin rectilinear rod when the frequency of the function describing the free form increases infinitely. The problem under study is solved on the basis of modeling the spatial annular DNA molecules by a thin rectilinear elastic rod.

Key words: thin elastic rods, weak convergence, spatial DNA forms.

Молекула ДНК — это длинный двухнитевой биополимер, сворачивающийся в пространственные структуры, исследование которых является важной задачей молекулярной биологии [1]. При математическом анализе этих структур применяется модель, в которой нить ДНК представляется тонким упругим стержнем, изгибающимся под действием внешних сил [2]. Считается, что свойства стержня не изменяются вдоль длины, изгибные жесткости одинаковы во всех направлениях и в свободном состоянии он прямолинейный. В то же время реальная молекула ДНК больше напоминает двойную нить, в свободном состоянии принимающую форму винтовой линии. По сравнению с длиной молекулы (до нескольких сантиметров) шаг витка (3-4 А) и толщина ДНК (20 А) незначительны. Поэтому использование упрощенной прямолинейной модели считается допустимым. В данной работе рассматривается вопрос о ее применимости. Проблема ставится следующим образом. Допустим, у нас есть тонкий упругий стержень общего вида, геометрия которого очень быстро периодически меняется вдоль его оси. Устремляем этот период к нулю, масштабируя соответствующим образом геометрическую форму, и сохраняем действующие нагрузки. Если форма такого стержня будет стремиться к форме прямолинейного стержня при тех же нагрузках, то это означает, что использование модели с прямолинейным стержнем является корректным. Рассматривается постановка, когда стержень принимает только плоские формы. Показывается, что использование модели тонкого прямолинейного стержня в этом случае корректно.

1. Равновесные формы плоского стержня с быстроменяющимися периодическими характеристиками. Пусть тонкий упругий стержень длины L расположен на плоскости Oxy. Осевые линии напряженного и ненапряженного стержней обозначим (хш(в),уш(s)) и (Хош(в),уош(s)) соответственно, где s — натуральный параметр (длина) вдоль осевой линии. Обозначим через (s) угол наклона касательной осевой линии к оси абсцисс, а через (s) — такой же угол наклона оси ненапряженного стержня. Все эти углы определены с точностью до своего начального значения при s = 0. Здесь и > 0 — частота повторения формы, имеющая следующий смысл.

1 Кугушев Евгений Иванович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kugushev@keldysh.ru.

Сабитов Денис Иджадович — асп. каф. теоретической механики и мехатроники мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: sabitodi@yandex. ru.

При единичной (и = 1) частоте повторения формы положим ^>oi(s) = h(s), где h(s) — некая заданная 2п-периодическая функция. Для любой частоты и > 0 возьмем стержень со свободной формой, которая описывается функцией ф0ш (s) = h(us). Она получается из формы исходного стержня сжатием плоскости Oxy в и раз. В самом деле, Х0ш = cos ф0ш = cos h(us), у0ш = sin ф0ш = sin h(us). Проведя замену времени т = us, получим

(1(иХ0Ш ) , , , , (1(иУ0Ш ) 7 / \ . , Ч

-;- = COS п

(т (т

Значит, иХ0ш(т) = Х01 (т), иу0Ш(т) = У01(т), что и требовалось показать. Таким образом, для стержня в свободном состоянии при и ^ разброс осевой линии по у (т.е. "толщина") уменьшается до нуля, но форма осевой линии сохраняется.

Для краткости изложения будем считать, что стержень однородный, т.е. его жесткость A(s) = A = const. К концам стержня приложены силы, которые на левом конце имеют координаты Fx, Fy, а также изгибающий момент M. Уравнения равновесия стержня [3] запишем в следующем виде:

фш - ф0Ш = fx sin - fy cos , фш

где fx = Fx/A, fy = Fy¡A, m = M/A. Поместим начало стержня в начало системы координат, т.е. Х0ш(0) = У0ш(0) = 0, Хш(0) = уш(0) = 0. Развернем систему координат так, чтобы ось Ox проходила в положительном направлении через точку (Х01 (2п),у01(2п)). Тогда

2п 2п

Х01 (2п) = J cos h(s)ds > 0, у01 (2п) = J sin h(s)ds = 0. 0

Покажем, что форма стержня при и — будет стремиться к форме, которую примет прямолинейный (фо (в) = 0) стержень под действием тех же нагрузок. При изучении предельных уравнений равновесия тонкого упругого стержня мы будем использовать некоторые свойства слабой сходимости, которые изложены в п. 2.

Рассмотрим последовательность ип — Ей отвечают последовательности углов наклона осевых

линий свободного состояния фоп(в) = Н(шпв) и осевые линии напряженного состояния (хп(в), уп(в)). Все эти функции гладкие и х2п + у2п = 1, т.е. производные хп, уп ограничены, а так как мы рассматриваем задачу на ограниченном отрезке в € [0, Ь], то и координаты хп(в), уп(в) будут ограничены. В соответствии с критерием Арцела найдется подпоследовательность ипк, такая, что хпк, упк сходятся равномерно к некоторым функциям х(в), у(в). Для краткости записи будем считать, что равномерно сходятся сами последовательности: хп ^ х, уп ^ у. Из свойства 4 п. 2 следует, что хп и уп слабо сходятся к х и у соответственно.

Осевые линии стержня сходятся к кривой (х(в), у(в)). Покажем, что она удовлетворяет уравнениям равновесия однородного прямолинейного стержня под нагрузкой. Будем теперь для краткости писать и — подразумевая под этим, что ип — при п — Проинтегрируем (1) по в два раза

от 0 до в, имея в виду, что ф0ш(в) = и2к(ив) и хш(0) = уш(0) = 0. Получим фш (в) = (в) + Н(ив), где

(в) = с + тв + (¡хуш(г) - ¡ухш (г)) (М, с = фш (0) - Н(0) = ф1(0) - Ь(0). Значит, о

х„ = С«

уш = sin(фш(в)) = со(@ш(в)) sin(h(uв)) + sm(@ш(в)) cos(h(uв)).

Поскольку последовательность функций (s) равномерно сходится к в(s) = c+ms+ (fxy(t) — fyX(t)) dt

J 0

при и ^ то и cos(e^) ^ cos(e), sin(e^) ^ sin(e). В силу свойства 7 п. 2 последовательности

1 /*2п 1 /*2п

sin(h(us))) и cos(h(us))) сходятся слабо к с\ = — / cosh(s)ds = Xoi(2ir)/2ir > 0 и — / sinh(s)ds =

2n J0 2n J0

yoi(2n)/2n = 0.

В правой части уравнений (2) каждое слагаемое состоит из двух сомножителей. Один сходится равномерно, другой — слабо. Их произведение сходится слабо. Следовательно, правые части уравнений (2) сходятся слабо к cos(e)ci и sin(e)ci соответственно. Левые же части сходятся слабо к X и y. Значит, почти

всюду x = cos(@)ci, y = sin^ci. Введем новые обозначения: т = cis, A = ciA, ^(0) = c = ^i(ü) — h(0), m = M/A, fx = Fx/A, fy = Fy/А, тогда

T

x = cos(<p(T)), y = sin(0(T)), ф(т) = ф(0) + тт + j(fxV(t) — fyX(t)) dt,

0

где ()' = d/dT. Дважды продифференцировав по т последнее уравнение, получим ф"ш = f x sin фш — fy cos фш, т.е. уравнение равновесия (1) для прямолинейного (po(s) = 0) стержня под действием таких же сил и моментов, но имеющего иные жесткость A, угол наклона осевой линии в левом конце ф(0) и длину L = Lc1.

Мы рассмотрели случай, когда форма свободного стержня имеет период T = 2п. Здесь ci = Xoi(2n)/2n. Общий случай сводится к исходному заменой координат x — X = 2nx/T, y — Y = 2ny/T, s — S = 2ns/T. Тогда X0i(2n) = 2nx(T)/T и, значит, ci = x0i(T)/T.

Подводя итог изложенному в этом разделе, можно утверждать, что использование прямолинейной модели для плоского случая корректно, поскольку форма периодически криволинейного стержня под нагрузкой стремится к форме прямолинейного стержня при устремлении частоты повторения формы к бесконечности. Жесткость же предельного стержня связана с исходной жесткостью соотношением A = Axoi (T)/T, где T — период повторения формы исходного свободного стержня, xoi(T) — длина проекции периодического участка стержня на ось Ox.

Пусть, например, стержень имеет в свободном состоянии форму синусоиды: x(t) = t, y(t) = sin(t).

/•2тг

Тогда А = 2ж А/ / л/Т + cos2 tdt ~ 0,82236A. Таким образом, если амплитуда синусоиды мала, а частота 0

велика, то средняя жесткость стержня будет составлять ~ 0,82236 жесткости материала, из которого он изготовлен.

2. Слабая сходимость в ограниченном смысле. При изучении предельных уравнений равновесия тонкого упругого стержня в п. 1 мы использовали некоторые свойства слабой сходимости, которые излагаются в данном разделе.

Рассмотрим пространство L2(a,b) функций, суммируемых с квадратом на отрезке [a,b]. Последовательность функций {fn(x)}, fn £ L2, слабо сходится к функции f £ L2, если для любой функции g £ L2

rb rb

существует интегральный предел: / g(x)fn(x) dx — g(x)f (x) dx при n — Мы будем пользоваться J a

ся слабой сходимостью в ограниченном смысле, накладывая следующие ограничения: 1) рассматриваются только равномерно по n ограниченные почти всюду последовательности {fn(x)}; 2) существование интегрального предела требуется только для функций f (x) и g(x), ограниченных почти всюду на [a,b].

Введем еще два определения. Если интегральный предел выполняется только для функций g, непрерывных на [a,b], то будем говорить о слабой сходимости на непрерывных функциях. Если интегральный предел выполняется только для гладких функций g £ Ci(a,b), непрерывных на отрезке [a,b] вместе со своей производной, то будем говорить о слабой сходимости на гладких функциях. Нам понадобится несколько свойств слабой сходимости в ограниченном смысле.

Свойство 1. Слабая сходимость на непрерывных функциях эквивалентна слабой сходимости в ограниченном смысле.

Доказательство. Пусть fn слабо сходится к f на непрерывных функциях. И пусть g(x) измерима и \g(x)\ ^ K(g), \f (x)\ ^ K(f), \fn(x)\ ^ L почти всюду. Из теоремы Лузина [4] следует, что для любого f > 0 можно найти непрерывную функцию c(x), такую, что c(x) = g(x) на некотором множестве П, мера которого не более чем на f меньше полной меры, т.е. mesn > (b — a) — f, и, кроме того, \g(x)\ ^ K(g) при x £ [a,b]. Тогда выполнено неравенство

g(x)Afn(x) dx

<

c(x)Afn(x) dx

+

b

J(g(x) - c(x))Afn(x) dx

где Afn = fn — f .В правой части этого неравенства первый член при n ^ стремится к нулю по условию. Поскольку mes {[a, b] \ П} < ц и \g(x)\ ^ K (g), \c(x)\ ^ K (g) почти всюду, то второй член

b

b

оценивается следующим образом: ь

/ (д(х) - с(х))Д/п(х) (х

(д(х) - с(х))Д/п(х) (х

[а,Ь]\П

< 2^К(д)(К(/) + Ь).

Для любого £ > 0 выберем положительное ц < е/[4К(д)(К(/) + Ь)] и найдем с(х). Выберем N так,

, /Ь

чтобы для всех п > N выполнялось , ь ,

с(х)Д/п(х) (х

< £/2. Тогда для всех п > N будем иметь

д(х)Д/п(х) (х

< £/2.

Свойство 2. Слабая сходимость на гладких функциях эквивалентна слабой сходимости на непрерывных функциях и, следовательно, эквивалентна слабой сходимости в ограниченном смысле.

Доказательство. Утверждение сразу следует из того, что гладкие функции на [а, Ь] всюду плотны в пространстве непрерывных функций на [а, Ь].

Свойство 3. Рассмотрим измеримые функции, ограниченные почти всюду на [а,Ь] константой К:

|/п(х)| ^ К, \Нп(х)| ^ К, \/(х)| ^ К, |Н(х)| ^ К, п = 1, 2,____Если /п = Нп почти всюду на [а,Ь] и /п

и Нп слабо сходятся к / и Н соответственно, то /(х) = Н(х) почти всюду на [а,Ь].

Доказательство. Возьмем измеримую, ограниченную почти всюду функцию д(х) = sign(/(х)-Н(х)), где sign(c) — обычная функция знака числа с. Тогда из слабой сходимости в ограниченном смысле имеем

ь ь ь

0 = У д

(х.

Значит, /(х) - Н(х)| = 0 почти всюду.

Свойство 4. Пусть функции /п(х), х € [а,Ь], п = 1,2,..., непрерывно дифференцируемы и удовлетворяют условию Липшица с некоей константой К. Если последовательность /п сходится при п — к функции /(х) 'равномерно на [а,Ь], то предельная функция удовлетворяет условию Липшица с той же константой (значит, она абсолютно непрерывна) и последовательность производных слабо в ограниченном смысле сходится к ее производной.

Доказательство. Переходя к пределу при п — и фиксированных х и у в неравенстве

|/п(х) - /п(у)| < К^ - у|, получаем первую часть утверждения. Пусть д(х) — гладкая функция на [а, Ь]. Тогда

ь ь ь

/9(х) ш. *г = „и - / ^ /„(*) ,1, М -1

/(х) (х.

Отсюда вытекает слабая сходимость производных на гладких функциях, а значит, и слабая сходимость в ограниченном смысле.

Свойство 5. Если последовательность непрерывных функций дп(х), п = 1, 2,..., сходится к функции д(х) равномерно на отрезке [а,Ь], а последовательность функций /п(х), п = 1, 2,..., слабо в ограниченном смысле сходится к функции /(х), то последовательность дп(х)/п(х) слабо в ограниченном смысле сходится к функции д(х)/ (х).

Доказательство. Утверждение очевидно следует из того, что для любой ограниченной измеримой ¡ь ¡ь ^ь

функции Н(х) имеем / (Ндп/п - Нд/) (х = Н/п(дп - д) (х + Нд(/п - /) (х.

•у а 'У а 'У а

Свойство 6. Пусть 7

имеем J 7(их) (х = J 7(их) (х — 0, где £(и) — 0 — дробная часть от целочисленного деления Ь - а

аа

на период: Ь - а = кТ/и + £(и), £(и)| < Т/и. Покажем, что 7(их) слабо сходится к нулю при и —

Гь

Допустим, что это не так, тогда существует гладкая функция /(х), такая, что I(/) = / /(х)7(их) (х не

а

сходится к нулю при и ^ Гладкую функцию можно с любой точностью приблизить ступенчатыми.

Значит, существует ступенчатая функция g(x), для которой I(g) не сходится к нулю при и ^ Но на

Xi+1 Xi+1

каждой ступеньке имеем g(x) = „ = CODSt, x, < x < x,+1. Поэтому / „xh„ dx = g, f (ux)dx „ 0

при и ^ Мы пришли к противоречию.

Свойство 7. Пусть в(x), x Е R, — T-периодическая функция, тогда в(ux) слабо сходится к

1 rT

1 Г

— / ß(x) dx при uj —+оо на любом фиксированном отрезке [а, Ь]. T Jo

1 Г

Доказательство. Утверждение вытекает из свойства 6 для 7(ж) = ß{x) ß(x) dx.

T Jo

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 07-01-00663, 08-01-00042 и 06-0801574).

Авторы весьма признательны И.Л. Антонову, Ю.Ф. Голубеву и А.В. Карапетяну за полезные обсуждения данной работы.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Льюин Б. Гены. М.: Мир, 1987.

2. Benham C.J. Geometry and mechanics of DNA superhelicity // Biopolymers. 1983. 22, N 11. 2477-2495.

3. Попов Е.П. Нелинейные задачи статики тонких стержней. Л.; М.: ОГИЗ, 1948.

4. Натансон И.П. Теория функций вещественной переменной. М.: Наука, 1974.

Поступила в редакцию 13.09.2006 После доработки 16.04.2008

УДК 539.546

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ ГИДРОРАЗРЫВА В ВИДЕ БЕГУЩЕЙ ВОЛНЫ

В. Р. Тагирова1

Получены решения типа бегущей волны для системы уравнений, описывающей распространение трещины гидроразрыва в пористой среде. Единственным искомым решением является сепаратриса интегральных кривых на плоскости "глубина просачивания -ширина трещины". Найдены необходимые зависимости расхода и давления жидкости, задаваемые на входе в трещину. В предельных случаях, когда преобладает процесс распространения трещины либо процесс фильтрации, ширина трещины и глубина просачивания жидкости в грунт связаны между собой степенными законами.

Ключевые слова: гидравлический разрыв, бегущие волны, фильтрация.

Solutions to the system of equations describing the propagation of hydraulic fracture cracks in a porous medium are obtained in the travelling wave form. The only sought solution is the separatrix of integral curves on the "penetration depth-crack width" plane. Some necessary dependencies that should be given at the crack inlet are found for the fluid flow rate and the fluid pressure. The crack width and the penetration depth are related by power laws in the limiting cases when the crack propagation processes or the penetration processes are dominant.

Key words: hydraulic fracture, traveling waves, fluid penetration.

Технология образования трещины гидроразрыва в грунте широко применяется в нефтяной и газовой промышленности. Основные модели распространения трещины под напором жидкости приведены в [1—4].

1 Тагирова Василина Рифовна — асп. каф. волновой и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vtaghirova@gmail.com.