Развитие творческой составляющей образовательного процесса при преподавании математических дисциплин на примере использования метода аналогий

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ

DOI: 10.24143/2072-9502-2017-3-128-142 УДК [378.147.85:16]:51

И. В. Карпасюк, П. В. Ефимов

РАЗВИТИЕ ТВОРЧЕСКОЙ СОСТАВЛЯЮЩЕЙ ОБРАЗОВАТЕЛЬНОГО ПРОЦЕССА ПРИ ПРЕПОДАВАНИИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН НА ПРИМЕРЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МЕТОДА АНАЛОГИЙ

Приводится обзор различных методик повышения качества обучения и мотивации учащихся. Рассматриваются особенности метода аналогии и возможности его применения как эффективной образовательной технологии. Описывается использование метода аналогий в образовательном процессе при изучении студентами теории графов. Предлагается полученный с помощью метода аналогий способ описания графов посредством специальной функции и ее графика - декартова графа. Изучаются особенности декартова графа и выявляются основные закономерности, что позволяет сделать выводы о свойствах исходного графа, заданного традиционным способом. Вводятся две модификации декартова графа, обладающие определенной спецификой формы представления исходного графа и помогающие за счет этого провести его более подробное исследование. Доказываются утверждения, определяющие некоторые взаимосвязи характеристик исходного графа с характеристиками соответствующего декартова графа и его модификаций. Описывается компьютерная программа, предназначенная для моделирования графов в различных формах представления: в виде традиционной диаграммы, соответствующего декартова графа, а также его вершинной и осевой модификации.

Ключевые слова: образовательные технологии, метод аналогий, графы, декартова функция графа, декартов граф, вершинная модификация декартова графа, осевая модификация декартова графа.

Введение

В настоящее время ускорение процесса обновления знаний, усиление роли науки как основного источника экономического и социального прогресса, стремительное развитие информационно-коммуникационных технологий сделали пассивные методы обучения малоэффективными. Выпускник вуза теперь должен не только знать современные научные концепции и уметь решать стандартные задачи с применением имеющегося арсенала научно-технических средств, но и обладать высокой профессиональной мобильностью, самостоятельно ориентироваться в огромнейших объемах информации, вырабатывать собственные подходы к построению методов описания, анализа и решения нестандартных задач в сфере своей профессиональной деятельности. Именно поэтому инновационные процессы в образовании являются неотъемлемой частью общественного развития.

Многоуровневая система подготовки, принятая в современном высшем образовании [1, 2], направлена на приобретение учащимся профессионально значимых качеств личности, важнейшим из которых является способность к самостоятельному освоению новых видов деятельности [3]. Эти качества должны быть выработаны в процессе формирования общекультурных, общепрофессиональных и профессиональных компетенций.

В большинстве федеральных государственных образовательных стандартов высшего образования присутствует общекультурная компетенция, согласно которой каждый выпускник должен обладать способностью к самоорганизации и самообразованию [4, 5]. Для обеспечения этого требования учебный процесс должен быть организован таким образом, чтобы формировать у студентов творческое системное мышление, широкий кругозор, стремление к постоянному пополнению знаний.

Известны разные методики повышения качества обучения и мотивации учащихся к получению знаний. Например, использование сквозных примеров [6] в рамках одной или даже нескольких учебных дисциплин позволяет добиться цельности восприятия излагаемого учебного материала, продемонстрировать взаимосвязи между изучаемыми понятиями и методами, стимулировать студентов к самостоятельному поиску новых закономерностей и, как следствие, обеспечить их вовлеченность в учебный процесс с целью углубленного освоения соответствующих разделов дисциплины. Проектный метод обучения [7-9] повышает интерес студентов к дисциплине, побуждает их проводить изыскательские работы, учит самостоятельно работать с научной литературой и находить в ней необходимую информацию, дает возможность получить начальный опыт реальной работы над проектом.

Еще одним методологическим принципом, на котором основано успешное построение системы мотивации студентов с целью стимулирования интереса к учебе, является их вовлечение в научную деятельность. Участие в учебно-исследовательской работе развивает самостоятельность, культуру мышления, творческие способности учащихся. У студента, перед которым поставлена перспективная исследовательская задача, возникает потребность в освоении учебных курсов для достижения намеченной цели, а не только для сдачи экзаменов. Овладение научным методом познания способствует углубленному освоению учебного материала.

Одним из теоретических методов познания является метод аналогии. Метод аналогии -это логический прием, с помощью которого на основе сходства объектов по одним признакам делается вывод об их сходстве и по другим признакам. Аналогия опирается на объективные свойства и отношения предметов. Правило вывода по аналогии формулируется следующим образом: если два единичных предмета сходны в определенных признаках, то они могут быть сходны и в других признаках, обнаруженных в одном из сравниваемых предметов [10].

Следует отметить, что метод аналогии является не вполне строгим научным методом. Он не дает однозначного соответствия признаков сравниваемых объектов, в то время как классический научный метод требует однозначных определений. Аналогия приходит на помощь при недостатке знания. Не претендуя на точность, она помогает понять суть изучаемого явления [11]. Тем не менее, пользуясь аналогией при описании неизвестного объекта или явления, можно в дальнейшем дать его сугубо научное определение, а также строгое научное обоснование справедливости проведенной аналогии. Так, в математике по аналогии даются определения, доказываются теоремы, строятся методы и конкретные формулы.

Метод аналогии может быть весьма полезен при работе со студентами как в рамках учебного процесса, так и в руководстве их учебно-исследовательской деятельностью. Пользуясь этим методом, учащийся имеет возможность самостоятельно исследовать уже известный или неизвестный ему объект, выявляя новые закономерности и делая выводы о наличии или отсутствии у этого объекта тех или иных свойств. Полученные выводы в дальнейшем можно доказать теоретически или проверить эмпирически.

Постановка задачи

Рассмотрим применение метода аналогии как образовательной технологии при преподавании математических дисциплин. Для этого:

—используя метод аналогии, предложим альтернативные способы описания графов;

—рассмотрим свойства графов, представленных альтернативными способами;

— исследуем взаимосвязи характеристик графов, представленных в традиционной и альтернативных формах, доказав утверждения об их аналогичности;

— применим полученные результаты в образовательном процессе, разработав компьютерную программу для моделирования различных способов описания графов.

Методы и результаты исследования

В учебной литературе рассматриваются несколько способов задания графов [12-14]: с помощью диаграммы (графическое представление), списка ребер, матриц инцидентности

и смежности (вершин), списков смежности (вершин). Каждый из способов имеет свои преимущества и недостатки и бывает более или менее удобен для использования при постановке разных задач и реализации различных методов их решения. Все указанные способы задания графов востребованы на практике и позволяют легко переходить от одного способа задания к другому. Так, например, элементы списка смежности определенной вершины графа фактически указывают, напротив каких вершин должны стоять единицы в строке матрицы смежности этого графа, соответствующей данной вершине. Аналогично, пары вершин, составляющие элементы списка ребер графа, являются «координатами» единиц в матрице смежности данного графа. По матрице смежности графа легко построить его матрицу инцидентности и т. д.

Освоив технику построения графов с помощью указанных основных способов, а также переходы от одного способа задания к другому, легко заметить, что описывать графы возможно и другими способами, отличающимися от традиционно используемых. Например, по аналогии с матрицей смежности вершин, можно построить матрицу смежности ребер, применив похожие правила. Отличие этих матриц состоит в том, что размерность матрицы смежности ребер будет определяться количеством ребер графа, а единицы будут ставиться на пересечении тех строк и столбцов матрицы, у которых соответствующие им ребра имеют общую вершину.

Традиционно граф G определяется как совокупность двух множеств (V, Е) - множества вершин V = , i = 1, ..., п} и множества ребер Е = , ] = 1, •••> т}, элементами которого являются пары вершин из множества V: ^ = (vp,V), vp,V е^ ] = 1, ..., m. Если все пары

в множестве Е упорядочены, то граф называется ориентированным, если все пары не упорядочены - неориентированным, а если среди множества пар есть как упорядоченные, так и неупорядоченные, то граф называется смешанным.

Фактически, при обозначении ребер в виде пар помеченных вершин, смысловую нагрузку несут только их индексы (метки [15]), показывающие, вершины с какими порядковыми номерами определяют соответствующее ребро, а порядок их следования в паре указывает, какая из вершин является начальной, какая - конечной. Таким образом, если при обозначении вершин в парах учитывать только их индексы, это не приведет к утрате полезной информации о составе и строении графа. Например, обозначение ребра (V2, v5) будет эквивалентно записи (2, 5). Отсюда следует, что каждое ребро е = (ур, vq) графа можно задать парой натуральных чисел, определяющих номера соответствующих вершин из множества V:

e = (p, q), p, q е{1,2,..., n}: v, v eV.

При использовании подобной модификации описания ребер графа, по аналогии с декартовыми координатами (х, у) точек на плоскости, возникает идея задания графа дискретной функцией у = Дх), множеству точек {(х, у)} которой соответствует множество точек {(р, q)}, описывающих ребра графа по формуле (1). Назовем эту функцию декартовой функцией графа, а способ задания графа в виде графика, изображающего его декартову функцию, назовем декартовым графом.

Например, ориентированный граф, диаграмма которого представлена на рис. 1, а, имеет следующее множество дуг: V2),02, v3),(v3, v4),(v5, V4),06, V5),01; V6),03, V,,)}. Тогда

график его декартовой функции у = Д(х) будет иметь вид, приведенный на рис. 1, б. Специфической особенностью декартовой функции графа является то, что в общем случае она определяется неоднозначно.

О 1 2 г А 5 6 7

а б

Рис. 1. Пример задания графа диаграммой и точками на плоскости

x

Свойства декартовой функции и декартова графа. По построению все точки декартовой функции будут лежать в узлах квадратной сетки с единичным сеточным шагом и располагаться в первой координатной четверти (при условии последовательной нумерации вершин графа натуральными числами). При задании неориентированного графа списком ребер каждое ребро (не являющееся петлей) встречается в списке дважды - один раз в виде (р, q), второй раз -в виде р), поскольку неориентированное ребро эквивалентно паре противоположно направленных ориентированных дуг [13, 15]. Тогда множество точек декартовой функции неориентированного графа будет симметричным относительной прямой у = х. Действительно, это выполняется для любых пар точек вида (р, q) и р), поскольку изменение порядка следования элементов в паре фактически означает переобозначение координатных осей - ось абсцисс становится осью ординат, и наоборот. В случае если р = q, такая точка будет лежать на прямой у = х. Таким образом, петли при вершинах графа соответствуют точкам его декартовой функции, лежащим на прямой у = х.

На рис. 2, а приведена диаграмма неориентированного графа, на рис. 2, б - соответствующий декартов граф, а также график прямой К*) = z.

7 6

У • ••

К*) : 2 I О

X

/

е5

а

0 12 3 4 5 6 7

х,*

б

Рис. 2. Пример задания неориентированного графа

Поскольку в декартовом графе множество его точек эквивалентно множеству ребер исходного графа, то в случае наличия в графе изолированных вершин может возникнуть ситуация, когда информация о них будет утеряна (например, когда изолированными будут вершины с номерами, стоящими последними в упорядоченном по возрастанию списке). Чтобы избежать подобной ситуации, предлагается обязательно указывать номера таких вершин на координатных осях (и, возможно, каким-либо образом выделять их, например жирным шрифтом). Тогда присутствие числа в масштабной шкале координатных осей, которому не соответствует ни одна точка графика, будет означать наличие изолированной вершины с таким же номером.

Для ориентированного графа количество значений его декартовой функции, соответствующих одному значению аргумента, равно полустепени исхода вершины с этим номером, для неориентированного - степени такой вершины. Кроме того, в ориентированном графе количество одинаковых значений его декартовой функции равно полустепени захода вершины с номером, равным этому значению. Степень вершины с номером 7 в ориентированном графе равна общему количеству точек декартова графа, лежащих на прямых х = 7 и у = 7.

Если в декартовом графе все точки лежат выше (ниже) прямой у = х, это означает, что граф ориентированный (обратное утверждение неверно) и что во всех дугах номер конечной вершины больше (меньше) номера начальной вершины.

Строгое монотонное возрастание декартовой функции, все точки которой лежат выше прямой у = х, свидетельствует о том, что при сортировке значений первых координат точек по возрастанию их вторые координаты также будут отсортированы по возрастанию (а также о том, что граф ориентированный). В диаграмме такого графа все дуги будут идти из вершины с меньшим номером в вершину с большим номером, т. е. соответствующий граф будет являться топологически отсортированным [16]. Например, если точки декартова графа лежат на прямой у = х + 1 с шагом 1 по осям абсцисс и ординат, то данный граф является: — ориентированным графом без петель и кратных дуг;

— связным, но не сильно связным графом;

— простым путем;

— топологически отсортированным графом;

— ориентированным деревом (с корнем в вершине с номером 1).

Все эти выводы вытекают непосредственно из вида его диаграммы.

Вообще, любая несимметричность расположения точек графика декартовой функции относительно прямой у = х говорит о том, что этот граф ориентированный (либо смешанный, если хотя бы у одной точки графика есть симметричная относительно этой прямой пара).

Утверждение 1. Достаточным условием отсутствия контуров в ориентированном графе является расположение всех точек его декартова графа по одну сторону от прямой у = х.

Доказательство. Контуром в ориентированном графе называется его замкнутый путь [12, 17], т. е. последовательность его вершин и дуг, в которой каждые соседние элементы инцидентны, все дуги различны, и конечная вершина последовательности совпадает с ее начальной вершиной. Рассмотрим случай, когда все точки декартова графа располагаются выше прямой у = х. Множество таких точек принадлежит полуплоскости у > х. Поскольку каждая точка описывает дугу графа как пару определяющих ее вершин, то в этом случае во всех дугах номер конечной вершины у будет больше номера начальной вершины х. Для того чтобы путь замкнулся и стал контуром, необходимо, чтобы как минимум в одной дуге номер начальной вершины х был больше номера конечной вершины у. Это будет означать попадание соответствующей точки в полуплоскость у < х, т. е. в область ниже прямой у = х, что противоречит условию о расположении всех точек выше этой прямой и доказывает данный случай.

Аналогично доказывается случай, когда все точки декартова графа располагаются ниже прямой у = х (в полуплоскости у < х). Утверждение доказано.

Утверждение 2. Полному симметрическому графу [18], имеющему п вершин с их последовательной нумерацией от 1 до п, соответствует декартов граф, вершины которого заполняют все узлы равномерной сетки с единичным шагом, расположенной на квадрате с длиной стороны (п - 1), координаты левого нижнего угла которого равны (1, 1), а диагональю является отрезок прямой у = х.

Доказательство. В полном симметрическом графе для каждой пары вершин р и q существуют две дуги - (р, q) и р). Получается, что каждая из п вершин связана с каждой верп

шиной графа дважды (включая себя). Таким образом, имеем 2^ i = п(п +1) различных дуг.

/=1

В декартовом графе каждая дуга кодируется точкой с соответствующими координатами. Следовательно, всего имеется (п2 + п) точек. При этом все дуги, исходящие из вершины р, соответствуют точкам, лежащим на прямой х = р в узлах единичной сетки, начиная со значения у = 1 (в силу определения декартового графа). Аналогично, все дуги, входящие в вершину q, соответствуют точкам, лежащим на прямой у = q в узлах единичной сетки, начиная со значения х = 1. Для каждой пары вершин р и q петля р = q, где р, q = 1, ..., п, учитывается дважды. Таким образом, п точек дублируется, при построении графика такие точки накладываются друг на друга, поэтому количество точек декартова графа для полного симметрического графа должно быть равно п2.

В силу описанного выше построения точек декартова графа, они будут полностью заполнять все узлы единичной сетки, расположенной на квадрате, координаты левого нижнего угла которого равны (1, 1). Так как длина шага сетки равна 1, а количество точек на каждой стороне квадрата равно п, то длина стороны квадрата равна (п - 1), а количество точек, составляющих квадрат, равно п2, что соответствует найденному выше количеству точек декартова графа для полного симметрического графа.

Поскольку дуги вида (р, р) соответствуют точкам декартова графа, лежащим на прямой у = х, то эта прямая будет проходить по диагонали построенного квадрата (из его левого нижнего угла в правый верхний угол). Утверждение доказано.

На рис. 3, а приведена диаграмма полного симметрического графа с четырьмя вершинами, на рис. 3, б - соответствующий декартов граф, а также график прямой Д(г) = z.

Построим матрицу смежности (вершин) исходного графа G, транспонируем ее, а затем преобразуем в матрицу так, чтобы первая строка матрицы 5Т стала последней строкой мат-

рицы 3', вторая строка матрицы S - предпоследней строкой матрицы S' и т. д. Таким образом, ¡з' = ST+1 = 1, ... , п . Тогда каждому элементу s'i ] матрицы 3', равному единице, будут соответствовать точка декартова графа, построенного для графа G, с координатами (, у). На рис. 4, а приведен пример матрицы смежности 3 графа G, на рис. 4, б - матрица , на рис. 4, в - декартов граф, соответствующий графу G.

у  ***

№ ..

1

" 2 3

х,г

а б

Рис. 3. Пример задания полного симметрического графа

Таким образом, матрица (а следовательно, и матрица 3 исходного графа фактически визуализирует его декартов граф, т. е. является его матричным аналогом, и между ними существует взаимно однозначное соответствие, поэтому любые утверждения, касающиеся декартова графа, можно доказывать с помощью матрицы (или 3 с учетом соответствующих поправок на ее связь с ¡') по известным стандартным методикам.

Так, в этом случае для доказательства утверждения 1 необходимо упомянуть, что прямая у = х декартова графа соответствует главной диагонали матрицы Тогда расположение точек декартова графа по одну сторону от прямой у = х означает, что матрица 3 исходного графа является треугольной. Следовательно, любая степень такой матрицы 3 не содержит единиц на главной диагонали, поэтому исходный граф не будет содержать контуров [13]. Доказательство утверждения 2 сразу же вытекает из того, что в силу определения полного симметрического графа его матрица смежности будет состоять только из единиц.

(0 1 000 1V1 0000 0^

0 0 1 0 0 0

10 0 10 0 000000

0 0 110 0

0 0 0 0 1 0 3

а

0 0 0 0 0 1

0 0 1 0 1 0

0 1 0 0 1 0

1 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0

3'

б

5

у :

2 1 о

О I

2 3 4 5

х

в

Рис. 4. Пример матриц 3, 3' и соответствующего декартова графа

Итак, любые утверждения относительно тех или иных свойств графа, доказываемые с помощью его матрицы смежности, аналогичным образом могут быть перенесены на соответствующий ему декартов граф. Отсюда же следует особый статус прямой у = х в декартовом графе, которая соответствует в исходном графе главной диагонали его матрицы смежности, играющей важную роль в матричном анализе.

Вершинная модификация декартова графа. По аналогии с традиционным графом, содержащим описание и вершин, и ребер, возможно ввести в рассмотрение модификацию декартова графа, в которой учитываются не только ребра исходного графа, но и его вершины (вершинная модификация). Так как в декартовом графе каждое ребро исходного графа кодируется точкой, то вершина исходного графа, соединяющая смежные ребра, в вершинной модификации декартова графа может кодироваться отрезком, соединяющим точки, соответствующие этим смежным ребрам. Пример исходного графа и вершинной модификации его декартова графа приведен на рис. 5, а и 5, б соответственно.

О 1 2 3 4 5 6 7

x б

Рис. 5. Вершинная модификация декартова графа

Таким образом, вершинная модификация декартова графа представляет собой некий «антиграф», в котором ребра исходного графа становятся вершинами этого «антиграфа», а вершины исходного графа - его ребрами. В работе [19] рассматривается похожая модификация исходного графа, в которой ребра становятся вершинами и наоборот, называемая там смежностным графом. Отличие смежностного графа от вершинной модификации декартова графа состоит в том, что в смежностном графе вершины не привязаны к определенным точкам плоскости, тогда как в вершинной модификации каждая вершина имеет свои конкретные координаты.

Недостатком вершинной модификации декартова графа является то, что вершины в ней определяются в общем случае неоднозначно. Так, вершине у1 графа, изображенного на рис. 5, а, будут соответствовать отрезки (ребра вершинной модификации его декартова графа), соединяющие на рис. 5, б точки с координатами (1, 2) и (1, 6); (1, 2) и (3, 1); (1, 6) и (3, 1).

Кроме того, вершины исходного графа со степенью й < 2 [20] вообще не будут закодированы ребрами вершинной модификации декартова графа. О наличии вершин со степенью й = 1 будет свидетельствовать присутствие соответствующих чисел среди координат вершин декартова графа, а информация об изолированных вершинах исходного графа в вершинной модификации декартова графа будет присутствовать только в виде соответствующих отметок на координатных осях.

Общее количество ребер вершинной модификации декартова графа, соответствующее одной вершине со степенью й исходного графа, равно С, если исходный граф ориентирован,

и 2Сй, если он не ориентирован. Значительный прирост количества ребер вершинной модификации декартова графа даже при небольшом увеличении количества вершин исходного графа, а также невозможность располагать вершины декартова графа в произвольной точке плоскости, являются другими недостатками, затрудняющими практическое использование этого способа задания графа. Например, представленная на рис. 6, б вершинная модификация декартова графа для простого по структуре неориентированного графа, изображенного на рис. 6, а, является хотя и красивой, но весьма сложной для восприятия визуальной схемой.

а

4 5

а б

Рис. 6. Вершинная модификация декартова графа для неориентированного графа

Тем не менее вершинная модификация позволяет сформулировать ряд утверждений, устанавливающих некоторые аналогии с традиционным графом (которые легко продемонстрировать на конкретных примерах).

Утверждение 3. Ориентированному графу, представляющему собой простой путь, соответствует вершинная модификация его декартова графа, представляющая собой простую цепь.

Доказательство. В простом пути [12, 17], представляющем собой последовательность вершин и дуг графа, в которой любые соседние элементы инцидентны, а все дуги и вершины различны, каждая дуга инцидентна ровно двум вершинам, а каждая вершина (кроме первой и последней) - ровно двум дугам. В вершинной модификации декартова графа дуги исходного графа становятся ее вершинами, а вершины исходного графа - ее ребрами. Поскольку каждая вершина исходного графа (кроме первой и последней) однозначно описывается двумя смежными дугами, то в вершинной модификации декартова графа ей будет соответствовать только одно ребро. Первой и последней вершине в простом пути исходного графа инцидентно по одной дуге, соответственно, первое и последнее ребро в вершинной модификации декартова графа будут смежны только одному ребру каждое.

Так как порядок следования смежных элементов в последовательности вершин и ребер вершинной модификации декартова графа останется неизменным по сравнению с соответствующим путем исходного графа, и все эти элементы также будут различны, то данная последовательность будет представлять собой простую цепь. Утверждение доказано.

Пример простого пути в графе и соответствующей ему простой цепи в вершинной модификации его декартова графа приведен на рис. 7, а и 7, б соответственно.

5

*«*3

2 1 0

1 * с

Л >—

0 12 3 4 5 6 7

Рис. 7. Граф и вершинная модификация соответствующего декартова графа

Следствие из утверждения 3. Ориентированному графу, представляющему собой простой контур, соответствует вершинная модификация его декартова графа, представляющая собой простой цикл.

Доказательство. Согласно определению, простой контур - это замкнутый простой путь [12, 17]. Замкнув последнюю и первую вершины простого пути исходного графа, мы получим простой контур, в котором все вершины и дуги равноправны и нельзя выделить первую и по-

х

х

б

а

следнюю вершины с особыми свойствами, как в пути. Такой операции добавления в исходном графе дуги, связывающей две вершины, в вершинной модификации его декартова графа будет соответствовать операция добавления аналогичной вершины, а также двух ребер, определяющих первую и последнюю вершины исходного графа. Эти ребра свяжут добавленную вершину (добавленную к исходному графу дугу) с первой и последней вершиной цепи (первой и последней дугами исходного графа). В результате получится замкнутая цепь - цикл, который в силу построения будет простым и в котором вершины и ребра также станут равноправными с точки зрения их свойств. Следствие доказано.

Пример соответствующих преобразований для графа, изображенного на рис. 7, представлен на рис. 8.

а б

Рис. 8. Пример замыкания пути и соответствующей цепи

Утверждение 4. Каждой компоненте связности [13, 20] исходного графа, не являющейся изолированной вершиной, соответствует своя компонента связности вершинной модификации его декартова графа, и наоборот.

Доказательство. Изолированной вершине исходного графа в вершинной модификации его декартова графа не будет соответствовать ни точек, ни линий в координатной плоскости.

Предположим, что в исходном графе имеются две разные компоненты связности С] и С2 (не являющиеся изолированными вершинами), а в вершинной модификации его декартова графа им соответствует одна компонента связности Са. Следовательно, в Са будут присутствовать как минимум две связанные ребром еа вершины, соответствующие ребрам исходного графа, лежащим в разных компонентах связности С и С2. Тогда эти ребра в исходном графе должны быть инцидентны одной вершине, соответствующей ребру еа, но в этом случае они не могут лежать в разных компонентах связности. Получаем противоречие с исходным предположением.

Рассмотрим обратный случай. Пусть компоненте связности С исходного графа соответствуют две разные компоненты связности С и С вершинной модификации его декартова графа. Следовательно, любое ребро, принадлежащее компоненте связности С, не будет смежным ни с одним ребром из компоненты связности С (т. е. они не будут инцидентны одной вершине vd вершинной модификации декартова графа). Тогда соответствующие этим ребрам вершины исходного графа также не будут инцидентны одному ребру, соответствующему вершине Это означает наличие в компоненте связности С двух множеств вершин, не связанных друг с другом ребрами, что является противоречием.

Таким образом, двум разным компонентам связности исходного графа не может соответствовать одна компонента связности в вершинной модификации его декартова графа, и, наоборот, одной компоненте связности исходного графа не могут соответствовать две разные компоненты связности вершинной модификации его декартова графа. Утверждение доказано.

Утверждение 4 справедливо как для ориентированных, так и для неориентированных графов, т. к. при его доказательстве ориентация ребер графа не учитывалась.

Пример несвязного графа и вершинной модификации его декартова графа представлен на рис. 9, а и 9, б соответственно.

x

1 6

5

У

2 1 С

Л "г*.

^»—

0 1 2 3 4 5 6 7

X б

а

Рис. 9. Пример несвязного графа

Интересно отметить, что вершинная модификация декартова графа для полного графа совсем не обязательно будет являться полным графом. Так, например, в полном графе, изображенном на рис. 3 а, ребро (1, 2) и ребро (3, 4) не являются смежными, поэтому соответствующие этим ребрам вершины в вершинной модификации декартова графа не будут соединены ребром (которое должно соответствовать некоторой вершине исходного графа).

Осевая модификация декартова графа. Избежать недостатков вершинной модификации позволяет еще одна модификации декартова графа, назовем ее осевой модификацией. Суть ее состоит в следующем. Номера вершин исходного графа отмечаются точками на координатных осях (как на оси абсцисс, так и на оси ординат). Отрезком соединяются те точки (первая из которых расположена на оси абсцисс, вторая - на оси ординат), которым соответствует некоторое ребро (дуга) исходного графа. Пример подобного задания графа, изображенного на рис. 10, а, приведен на рис. 10, б.

1 6 5

у

2 1

О

Ч Ч

О V

о N

К X

0 12 3 4 5

Рис. 10. Осевая модификация декартова графа

При таком способе задания ориентированного графа на оси абсцисс располагаются начальные вершины дуг исходного графа, на оси ординат - конечные вершины. Таким образом, все множество вершин визуально разделяется на подмножества начальных и конечных вершин. Количество отрезков, у которых определенная точка на оси абсцисс является граничной, равно полустепени исхода соответствующей вершины исходного графа, а количество отрезков, у которых определенная точка на оси ординат является граничной, равно полустепени захода соответствующей вершины исходного графа.

При задании неориентированного графа (рис. 11, а) с помощью осевой модификации его декартова графа, каждое ребро (и, V) исходного графа задается в ней двумя отрезками: первый соединяет точки с координатами (и, 0) и (0, V), второй - точки с координатами (V, 0) и (0, и) (рис. 11, б). Назовем такие отрезки соответствующими.

X

б

а

WA >

0 12 3 4 5

б

Рис. 11. Осевая модификация декартова графа для неориентированного графа

Утверждение 5. Для неориентированного графа точки пересечения соответствующих отрезков в осевой модификации его декартова графа лежат на прямой у = х.

Доказательство. Рассмотрим соответствующие отрезки в осевой модификации декартова графа для некоторого ребра (и, у) неориентированного графа. Один из этих отрезков соединяет точки с координатами (и, 0) и (0, у), второй - точки с координатами (у, 0) и (0, и), где и, V - натуральные числа. Будем считать, что и Ф V (если и = V, то соответствующие отрезки совпадают и фактически представляют собой один отрезок, который описывает петлю исходного графа). Построим уравнения прямых, проходящих через указанные точки.

у - 0 х - и

Для первого отрезка имеем:

v - 0 0 - u

. Отсюда

v i \ v

y = —(u - x) = v--x.

u u

^ у - 0 х - V

Для второго отрезка имеем: -=-. Отсюда

и - 0 0 - V

uu

y = —(v - x) = u--x.

vv

Подставив (2) в (3), получим:

и 2 V 2

и -х = и - V . Отсюда получаем, что

иу

vu

v—x = u — x, uv

тогда

u v I

---I x = u - v

v u I

u + v

Подставив (4) в (3), получим

y = u

v u + v

u + v

u + v

u + v

Таким образом, из формул (4) и (5) следует, что у = х. Утверждение доказано.

Компьютерное моделирование. Была разработана компьютерная программа, предоставляющая возможность автоматизировать процесс задания графа всеми рассмотренными способами. Программа позволяет строить случайные графы с п вершинами и т ребрами и задавать графы нужной конфигурации путем редактирования матрицы смежности. В программе можно задавать ориентированные и неориентированные графы. При вводе новых рёбер для неориентированных графов матрица смежности автоматически корректируется так, чтобы она оставалась симметричной.

В программе формируются следующие виды графиков:

x

а

x=

2

2 2 u + uv - u uv

u uv

u

= u -

традиционная диаграмма графа;

- соответствующий декартов граф;

- вершинная модификация декартова графа;

- осевая модификация декартова графа.

Кроме того, для неориентированных графов выводится список точек пересечения отрезков осевой модификации декартова графа, соответствующих одному ребру исходного графа. Общий вид интерфейса программы с примером задания неориентированного графа приведен на рис. 12.

Рис. 12. Интерфейс программы для вывода разных способов задания графов Приложение создано с использованием языка программирования РуШопЗ.

Заключение

Все описанные способы задания графов могут служить хорошей иллюстрацией применения метода аналогий в образовательном процессе. Сопоставление этих способов с традиционными способами задания графов, их анализ и выявление различных закономерностей предоставляют обширное поле для творческой деятельности студентов, которая может быть направлена как в учебное русло (выполнение лабораторных работ, домашних заданий, подготовка рефератов и курсовых работ), так и в область студенческой НИР (выступления на конференциях, подготовка статей, математические кружки, олимпиадная работа и т. д.).

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. О реализации положений Болонской декларации в системе высшего профессионального образования Российской Федерации: Приказ Министерства образования и науки Российской Федерации от 15.02.2005 № 40. URL: http://base.garant.ru/6153160/.

2. Об образовании в Российской Федерации: Федеральный закон от 29.12.2012 № 273-Ф3. URL: http://www.consultant.ru/document/cons_doc_LAW_140174/.

3. Ольнева А. Б. Математическое образование в технических вузах // Изв. вузов. Северо-Кавказ. регион. Технические науки. 2006. Приложение к № 3. С. 167-174.

4. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования. Уровень высшего образования: бакалавриат. Направление подготовки: 09.03.01 «Информатика и вычислительная техника». Утвержден приказом Минобрнауки РФ от 12.01.2016 № 5. URL: http://fgosvo.ru/news/4/1783.

5. Федеральный государственный образовательный стандарт высшего образования. Уровень высшего образования: бакалавриат. Направление подготовки: 38.03.05 «Бизнес-информатика». Утвержден приказом Минобрнауки РФ от 11.08.2016 № 1002. URL: http://fgosvo.ru/news/5/1924.

6. Карпасюк И. В. Использование сквозных примеров как способ улучшения восприятия учебного материала студентами технического университета при изучении математических дисциплин // Интеграция мировых научных процессов как основа общественного прогресса: сб. материалов итог. Междунар. науч.-практ. конф. Вып. 8. Ч. 3. Казань, 2013. С. 98-105.

7. Битюк В. Л. Метод проектов как способ реализации задач компетентностно-ориентированного образования // Вестн. Астрахан. гос. техн. ун-та. 2011. № 1 (51). С. 83-86.

8. Алыкова О. М., Лихтер A. M., Смирнов В. В. Проектный метод как средство обучения студентов информационных специальностей (на примере раздела по курсу физики «Электричество и магнетизм») // Сб. тр. XXII Междунар. конф. «Новое в магнетизме и магнитных материалах» (г. Астрахань, 17-21 сентября 2012 г.). Астрахань: Изд. дом «Астраханский университет», 2012. С. 146-148.

9. Карпасюк И. В. Некоторые особенности и тенденции прикладной математической подготовки студентов технического университета, обучающихся по направлениям IT-профиля // Вестн. Астрахан. гос. техн. унта. Сер.: Управление, вычислительная техника и информатика. 2013. № 1. С. 187-193.

10. URL: https://www.filosofio.ru/filosofiya-nauchnogo-poznaniya/metody-nauchnogo-poznaniya.html (дата обращения: 02.11.2016).

11. Гиндилис Л. М. Аналогия как метод познания // Культурно-просветительский журнал «Дельфис». № 79 (3/2014). URL: http://www.delphis.ru/journal/article/analogiya-kak-metod-poznaniya (дата обращения: 03.11.2016).

12. Новиков Ф. А. Дискретная математика для программистов: учеб. пособие для вузов. СПб.: Питер, 2009. 384 с.

13. Судоплатов С. В., Овчинникова Е. В. Дискретная математика: учеб. для вузов. М.: Инфра-М; Новосибирск: НГТУ, 2005. 256 с.

14. Булычева Ю. В., Васильева Т. В., Карпасюк И. В. Сборник тестовых заданий по дискретной математике. Ч. 1: учеб. пособие. Астрахань: Изд-во АГТУ, 2014. 120 с.

15. Уилсон Р. Введение в теорию графов. М.: Мир, 1977. 208 с.

16. Асанов М. О., Баранский В. А., Расин В. В. Дискретная математика: графы, астроиды, алгоритмы. Ижевск: НИЦ «РХД», 2001. 288 с.

17. Асеев Г. Г., Абрамов О. М., Ситников Д. Э. Дискретная математика: учеб. пособие. Ростов н/Д: Феникс; Харьков: Торсинг, 2003. 144 с.

18. Кристофидес Н. Теория графов: алгоритмический подход. М.: Мир, 1978. 432 с.

19. Оре О. Теория графов. М.: Наука, 1980. 336 с.

20. Харари Ф. Теория графов. М.: Мир, 1973. 300 с.

Статья поступила в редакцию 28.05.2017

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Карпасюк Игорь Владимирович - Россия, 414056, Астрахань; Астраханский государственный технический университет; канд. физ.-мат. наук, доцент; доцент кафедры высшей и прикладной математики; ikarpasyuk@mail.ru.

Ефимов Павел Владимирович - Россия, 414056, Астрахань; Астраханский государственный технический университет; студент, направление подготовки «Прикладная информатика»; p1a9v9e7l@yandex.ru.

I. V. Karpasyuk, P. V. Efimov

DEVELOPMENT OF THE CREATIVE COMPONENT

OF THE EDUCATIONAL PROCESS IN THE TEACHING MATHEMATICAL DISCIPLINES USING ANALOGY METHOD

Abstract. The article presents an overview of various methods for improving the quality of teaching and motivating learners. Features of the analogy method and the possibility of its application as an effective educational technology have been considered. The use of the analogy method in the educational process in the course of studying graph theory by students has been described. Cartesian graph is proposed as a method obtained with the help of analogy method for describing the graphs by the auxiliary function. The features of the Cartesian graph are studied and the basic laws are revealed, which enable to draw conclusions about the properties of a corresponding traditional graph. Two modifications of the Cartesian graph have been introduced, possessing a certain specific form of representation of the graph and thus helping to carry out more detailed investigation of it. Statements about some relationships between the characteristics of the traditional graph and the corresponding Cartesian graph with its modifications are proved. A computer program is described for modeling graphs in various forms of representation: in the form of a traditional diagram, a Cartesian graph, vertex and axial modifications of the Cartesian graph.

Key words: educational technologies, analogy method, graphs, Cartesian function of a graph, Cartesian graph, vertex modifications of the Cartesian graph, axial modifications of the Cartesian graph.

REFERENCES

1. O realizatsii polozhenii Bolonskoi deklaratsii v sisteme vysshego professional'nogo obrazovaniia Rossiis-koi Federatsii [On the implementation of the provisions of the Bologna Declaration in the RF system of the tertiary education]. Prikaz Ministerstva obrazovaniia i nauki Rossiiskoi Federatsii ot 15.02.2005 № 40. Available at: http://base.garant.ru/6153160/.

2. Ob obrazovanii v Rossiiskoi Federatsii [To the problem of education in the Russian Federation]. Feder-al'nyi zakon ot 29.12.2012 № 273-FZ. Available at: http://www.consultant.ru/document/ cons_doc_LAW_140174/.

3. Ol'neva A. B. Matematicheskoe obrazovanie v tekhnicheskikh vuzakh [Mathematical education in technical universities]. Izvestiia vuzov. Severo-Kavkazskii region. Tekhnicheskie nauki, 2006, Prilozhenie k № 3, pp. 167-174.

4. Federal'nyi gosudarstvennyi obrazovatel'nyi standart vysshego obrazovaniia. Uroven' vysshego obrazovaniia: bakalavriat. Napravlenie podgotovki: 09.03.01 «Informatika i vychislitel'naia tekhnika» [Federal State educational standard of higher education. The higher education level: bachelor degree. The area of training: 09.03.01 "Informatics and computer science"]. Utverzhden prikazom Minobrnauki RF ot 12.01.2016 № 5. Available at: http://fgosvo.ru/news/4/1783.

5. Federal'nyi gosudarstvennyi obrazovatel'nyi standart vysshego obrazovaniia. Uroven' vysshego obrazovaniia: bakalavriat. Napravlenie podgotovki: 38.03.05 «Biznes-informatika» [Federal State educational standard of higher education. The higher education level: bachelor degree. The area of training: 38.03.05 "Business-Informatics"]. Utverzhden prikazom Minobrnauki RF ot 11.08.2016 № 1002. Available at: http://fgosvo.ru/news/5/1924.

6. Karpasiuk I. V. Ispol'zovanie skvoznykh primerov kak sposob uluchsheniia vospriiatiia uchebnogo mate-riala studentami tekhnicheskogo universiteta pri izuchenii matematicheskikh distsiplin [Using cross-cutting examples as a means of improving the mathematical disciplines perception by technical university students]. Inte-gratsiia mirovykh nauchnykh protsessov kak osnova obshchestvennogo progressa: sbornik materialov itogovoi Mezhdunarodnoi nauchno-prakticheskoi konferentsii. Iss. 8. Part 3. Kazan, 2013. P. 98-105.

7. Bitiuk V. L. Metod proektov kak sposob realizatsii zadach kompetentnostno-orientirovannogo obrazovaniia [Project method as a means of realization of problems of competence oriented education]. Vestnik As-trakhanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta, 2011, no. 1 (51), pp. 83-86.

8. Alykova O. M., Likhter A. M., Smirnov V. V. Proektnyi metod kak sredstvo obucheniia studentov infor-matsionnykh spetsial'nostei (na primere razdela po kursu fiziki «Elektrichestvo i magnetizm») [Project method as a means of teaching students studying computer science (using course in physics "Electricity and magnetism" as an example]. Sbornik trudov XXII Mezhdunarodnoi konferentsii «Novoe v magnetizme

i magnitnykh materialakh» (g. Astrakhan\ 17-21 sentiabria 2012 g.). Astrakhan, Izdatel'skii dom «Astrakhanskii universitet», 2012. P. 146-148.

9. Karpasiuk I. V. Nekotorye osobennosti i tendentsii prikladnoi matematicheskoi podgotovki studentov tekhnicheskogo universiteta, obuchaiushchikhsia po napravleniiam IT-profilia [Some characteristics and trends of applied mathematical training for students learning IT-specialities at technical university]. Vestnik Astra-khanskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. Seriia: Upravlenie, vychislitel'naia tekhnika i informatika, 2013, no. 1, pp. 187-193.

10. Available at: https://www.filosofio.ru/filosofiya-nauchnogo-poznaniya/metody-nauchnogo-poznaniya.html (accessed: 02.11.2016).

11. Gindilis L. M. Analogiia kak metod poznaniia [Analogy as a method of knowledge]. Kul'turno-prosvetitel'skii zhurnal «Del'fis», no. 79 (3/2014). Available at: http://www.delphis.ru/journal/article/analogiya-kak-metod-poznaniya (accessed: 03.11.2016).

12. Novikov F. A. Diskretnaia matematika dlia programmistov [Discrete mathematics for programmers]. Saint-Petersburg, Piter Publ., 2009. 384 p.

13. Sudoplatov S. V., Ovchinnikova E. V. Diskretnaia matematika [Discrete mathematics]. Moscow, Infra-M Publ.; Novosibirsk, NGTU, 2005. 256 p.

14. Bulycheva Iu. V., Vasil'eva T. V., Karpasiuk I. V. Sbornik testovykh zadanii po diskretnoi matematike [Collected testing tasks on discrete mathematics]. Part 1. Astrakhan, Izd-vo AGTU, 2014. 120 p.

15. Wilson R. J. Introduction to Graph Theory. Addison Wesley, 1996. 184 p.

16. Asanov M. O., Baranskii V. A., Rasin V. V. Diskretnaia matematika: grafy, astroidy, algoritmy [Discrete mathematics: graphs, astroids, algorithms]. Izhevsk, NITs «RKhD», 2001. 288 p.

17. Aseev G. G., Abramov O. M., Sitnikov D. E. Diskretnaia matematika [Discrete mathematics]. Rostov-on-Don, Feniks Publ.; Kharkov, Torsing Publ., 2003. 144 p.

18. Christofides N. Graph Theory: An Algorithmic Approach. Academic Press, New York, London, San Francisco, 1975. 415 p.

19. Ore O. Theory of Graphs. 1974. 279 p.

20. Harary F. Graph Theory. Addison-Wesley, Reading, MA, 1969. 284 p.

The article submitted to the editors 28.05.2017

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Karpasyuk Igor Vladimirovich - Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan State Technical University; Candidate of Physics and Mathematics, Assistant Professor; Assistant Professor of the Department of High and Applied Mathematics; ikarpasyuk@mail.ru.

Efimov Pave! Vladimirovich - Russia, 414056, Astrakhan; Astrakhan State Technical University; Student in the Direction of Applied Informatics; p1a9v9e7l@yandex.ru.