О методологии отражения элементов современной алгебры в содержании математической и методической подготовки будущих учителей

ПЕДАГОГИКА И ПСИХОЛОГИЯ

УДК 378.016:512+ 371.13:51

Е. А. Перминов

О методологии отражения элементов современной алгебры в содержании математической и методической подготовки

будущих учителей

В статье на основе анализа роли современной алгебры в математической культуре и системного подхода в научных исследованиях исследуется методология отражения элементов современной алгебры в содержании математической и методической подготовки будущих учителей. Основой этой методологии являются элементы современной алгебры, играющие фундаментальную роль в их профильном обучении совместному использованию дискретных и непрерывных математических моделей, математическим основам информатики, реализации вычислительных процессов, метапредмет-ном (надпредметном) подходе в профильном обучении в школе.

The article is devoted to the research in the methodology of reflection of elements of modern algebra in the content of mathematical and methodological training of future teachers. The research is based on the analysis of the role of modern algebra in mathematical culture and on the system approach in research investigation. This methodology is grounded on the elements of modern algebra playing a fundamental role in teaching joint use of discrete and continuous mathematical models, mathematical foundations of informatics, implementation of computing processes, metadiscipline approach in profile training at school.

Ключевые слова: методология, математическая и методическая подготовка, будущий учитель.

Keywords: methodology, mathematical and methodological training, future teachers.

В последние десятилетия в содержании подготовки студентов многих специальностей все большее отражение находят идеи и методы современной алгебры, известной также под названием общей, или абстрактной, алгебры. Это вызвано тем, что современная алгебра стала одной из наиболее важных и бурно развивающихся областей математики. Как отмечается в [1], роль абстрактной алгебры «в современной математике исключительно велика, и существует объективная тенденция к дальнейшей "алгебраизации" математики». В последние десятилетия «сфера ее применения расширяется столь стремительно, что иногда поговаривают об "алгебраической чуме", охватившей не только математику, но и другие науки» [2]. Сейчас уже трудно перечислить все естественные, технические, экономические и некоторые другие науки, в которых используются те или иные результаты исследований современной алгебры. Например, ее методы и разрабатываемые на их основе средства используются всюду, где возникает потребность в организации больших объемов данных и реализации вычислительных процессов в самых различных областях науки и производства.

Идеи и методы современной алгебры оказались эффективными в исследованиях даже в плохо формализованных, но очень важных прикладных областях, в которых обнаруживается отсутствие для исследуемых реальных ситуаций или объектов сколько-нибудь адекватных математических моделей, на базе которых можно было бы вести расчеты и получать количественные и качественные выводы. Например, получил широкое признание алгебраический подход в исследованиях в области обработки и распознавания информации (в том числе видеоинформации). Язык современной алгебры играет ведущую роль в математических основах системного подхода, имеющего фундаментальное методологическое значение в исследованиях многих наук [3].

© Перминов Е. А., 2014

Как следует из изложенного, элементы современной алгебры играют важную роль в профильном обучении в школе и поэтому их необходимо отразить в содержании математической и методической подготовки будущих учителей.

1. О методологии отражения элементов современной алгебры в содержании математической подготовки. Историко-философский анализ развития математики показывает, что идеи и методы достижения современной алгебры наиболее ярко отразились в таких проявлениях современной «всечеловеческой» математической культуры, какими являются математическое моделирование, дискретная математика и вычислительные процессы [4]. Они оказывают наибольшее воздействие на математическое образование и в том числе на структуру и содержание математической подготовки будущих учителей различных профилей подготовки и поэтому играют важную роль в исследуемой нами методологии.

Анализ труднообозримого многообразия видов и методов математического моделирования показывает, что фундаментальную роль в математическом моделировании играет понятие алгебраической системы (структуры), возникшее в результате применения к алгебре методов математической логики [5]. Напомним, что алгебраической системой называется множество с определенными на нем операциями и отношениями данного типа. При этом тип операции - число элементов, к которым она применяется, а тип отношения - число элементов, состоящих в отношении.

Как оказалось, трактовка понятия математической модели как алгебраической системы играет такую же системообразующую роль в классификации видов математического моделирования в самых различных науках, какую играет понятие атомного веса элемента в классификации химических элементов в таблице Менделеева. Важной разновидностью алгебраической системы являются такие алгебры, как полугруппы и группы, кольца и полукольца, модули, поля, решетки и др., играющие все возрастающую роль в предметной подготовке не только будущих учителей математики и информатики, но и учителей физики, химии, биологии и некоторых других предметов. В частности, об этом свидетельствуют многочисленные важные приложения элементов теории полугрупп в разработке математических моделей в биологии и социологии, теории групп - в физике, химии и т. д.

Можно привести многочисленные примеры того, что в содержании математической подготовки будущих учителей наряду с понятием алгебраической системы важным методологическим ориентиром являются такие понятия абстрактной алгебры, как понятия отношения, эквивалентности, частичного порядка, гомоморфизма, конгруэнции, изоморфизма (т. е. важной «меры» сходства математических моделей) и многие другие, играющие фундаментальную роль в математическом моделировании с использованием компьютера.

Как показывает анализ предмета и функций современной дискретной математики [6], абстрактная алгебра играет фундаментальную роль в современной дискретной математике. Например, основным содержанием раздела прикладной дискретной математики с названием «Математические основы информатики и программирования» являются формальные языки и грамматики, алгоритмические системы, языки программирования, структуры и алгоритмы обработки данных, теория вычислительной сложности (см. тематику журнала «Прикладная дискретная математика»). Далее, в современной теории формальных языков, образующих «ядро дискретной математики» [7], доминирующим является алгебраический подход, в котором существенно используется аппарат, базирующийся на понятии полугруппы и алгебраической структуры полукольца и их свойств.

Наряду с алгебраическими структурами в дискретной математике доминирующими являются порядковые структуры и логические, алгоритмические, комбинаторные схемы (в общенаучной терминологии средства, методы математического познания) [8]. Многие понятия абстрактной алгебры и их свойства стали терминологической основой языка этих структур и схем. Например, алгебраической структурой с двумя бинарными алгебраическими операциями является решетка, которая известна как основная порядковая структура, определяемая как частично упорядоченное множество. В свою очередь в основе логических средств, методов познания (в частности, законов правильных рассуждений) лежит алгебра высказываний как разновидность алгебраической структуры. Наконец, понятия кольца формальных степенных рядов, алгебры Коши и Блиссара играют фундаментальную роль в языке комбинаторных схем (комбинаторики), являющихся неотъемлемой частью основ аппарата информатики и смежных областей.

Таким образом, терминология современной алгебры оказывает важное воздействие на формирование языка доминирующих в дискретной математике структур и схем, как установлено, играющих «фундаментальную роль в качественном анализе проблем математического моделирования, в систематизации информации по интересующей проблеме, ее структуризации, представлении имеющихся знаний в виде, удобном для последующего решения проблем» [9]. Игнорирование этого воздействия является одной из причин возникновения впоследствии самых живучих ошибок математического моделирования - тех, что остаются не замеченными в процессе итогового анализа и тестирования результатов моделирования и доходят до этапа внедрения его результатов. В частности, это - ошибки в использовании программного обеспечения. К сожалению, «рекламный звон вокруг инструментов и методов - это чума индустрии ПО. Большая часть усовершенствований средств и методов приводит к увеличению производительности и качества примерно на 5-35%. Но многие из этих усовершенствований были заявлены как дающие преимущества на "порядок"» [10].

Современная алгебра играет фундаментальную роль не только в разработке математических основ программирования (что уже было отмечено ранее), но и в создании и эксплуатации средств передачи и обработки информации, автоматизированных систем для реализации вычислительных процессов, обеспечивающих функционирование сложных систем управления технологическими процессами, энергетическими и другими важными системами. В частности, ее идеи и методы сыграли фундаментальную роль в разработке теории автоматов, лежащей в основе разработки автоматизированных систем управления. При этом автомат определяется как многоосновная модель (алгебраическая система [11]), заданная на трех конечных множествах с определенными на них двумя бинарными алгебраическими операциями. Классификация автоматов осуществляется с помощью отображений многоосновных алгебраических систем, которые являются гомо- и изоморфизмами.

Как следует из изложенного, основой методологии отражения элементов современной алгебры в содержании математической подготовки будущих учителей и особенно учителей математики и информатики являются элементы современной алгебры, играющие фундаментальную роль в их профильном обучении совместному использованию дискретных и непрерывных математических моделей, математическим основам информатики и реализации вычислительных процессов.

Анализ математической и методической литературы для учителей показывает, что в исследуемой методологии важным ориентиром являются межпредметные связи современной алгебры и других научных дисциплин, изучение которых предусмотрено в математической, естественнонаучной и профессиональной подготовке. Например, в математической подготовке будущих учителей физики и химии фундаментальную роль играют межпредметные связи теории групп и дисциплин «Строение вещества», «Физико-химические методы анализа» [12].

В исследуемой нами методологии важным ориентиром также являются уже перечисленные ранее понятия языка современной алгебры, а также понятия линейной и нечеткой алгебр и другие, которые (как уже отмечалось) играют ведущую роль в математических основах системного подхода в научных исследованиях, в частности в исследовании временных, динамических, стационарных крупномасштабных, сложных и других систем во многих науках [13].

Отметим, что важнейший вклад в постановку преподавания современной алгебры в педагогических вузах внес выдающийся алгебраист, один из главных создателей современной теории коммутативных групп профессор Л. Я. Куликов.

2. О методологии отражения элементов современной алгебры в содержании методической подготовки. В методической подготовке будущих учителей в рамках доминирующей компетентностной парадигмы фундаментальное значение имеет формирование методически компетентного учителя. К сожалению, здесь основное внимание к сегодняшнему дню оказалось сосредоточенным на подготовке будущего учителя к овладению методикой обучения учащихся решению продуктивных и творческих задач в рамках одного предмета, а нередко даже в пределах той или иной изучаемой темы. В условиях усиливающейся интеграции математики и других наук это - локальный уровень формирования методической компетенции. Он характеризуется как готовность применить полученные методические знания только в узких рамках изучаемого учащимися предмета или темы, чего явно недостаточно

для формирования методической готовности будущего учителя к принятию эффективных решений в различных учебных ситуациях с использованием межпредметных связей. Поэтому в методической подготовке будущего учителя всё возрастающую роль играют метапред-метные (надпредметные) знания и умения, формируемые в процессе изучения различных дисциплин.

Метапредметные математические знания и умения, играющие фундаментальную роль в исследованиях в естественных, технических, экономических и других науках, имеют ценность не только для студента, но и для окружающего его социума, мира, человечества. Поскольку эти идеи и методы выходят далеко за рамки математических дисциплин, то на их основе будут достигаться метапредметные результаты как в математической, так и в методической подготовке будущих учителей.

Таким образом, в методической подготовке будущего учителя важным методологическим ориентиром являются те элементы современной алгебры, которые необходимы для реализации метапредметного (надпредметного) подхода в профильном обучении учащихся элементам математического моделирования, дискретной математики и теории вычислительных процессов. Поэтому среди метапредметов для учащихся должны быть не только ме-тапредмет «Знак», «Обучение схематизации» и т. д. [14], но и метапредметы «Приглашение в абстрактную алгебру», «Изоморфизм (равенство) математических моделей», «Отношения порядка и эквивалентности», «Группы симметрий» и некоторые другие. Изучение таких ме-тапредметов будет способствовать углублению представлений школьников о современной математической культуре и развитию их абстрактного мышления.

В настоящее время в методической подготовке будущих учителей недостаточное внимание уделяется методике развития абстрактного мышления учащихся на основе языка абстрактной алгебры. В развитии этого вида мышления необходимо уйти как можно дальше от длившейся многие тысячелетия эпохи именованных натуральных чисел (эпохи «мамонтов»). На основе понятий абстрактной алгебры метапредметного характера необходимо формировать методические умения будущих учителей демонстрировать учащимся посильные их восприятию элементы «нечисловой» математики, позволяющие уйти от изучения «довлеющих рекомендаций с установившимся инструктивным материалом» [15]. Очевидно, что в изучении довлеют свойства чисел и «инструкции» по тождественному преобразованию привычных алгебраических выражений. По этой причине при изучении такого наглядного понятия нечисловой математики, как решетка [16], или пятиэлементного поля [17] пусть учащимся покажется удивительным, например, что может быть а + а = а(ауа = а) или 2^3 = 1 соответственно.

Важную роль в вариативной методической подготовке будущих учителей математики играют специализированные курсы. В качестве такого курса в вариативной методической подготовке учителей, предполагающих работать в классах физико-математического профиля, можно предложить курс «Элементы теории решеток» [18], благодаря которому на основе уже упоминавшегося наглядного понятия решетки возникает возможность изучения со школьниками основных понятий современной абстрактной алгебры.

Отметим, что в последние десятилетия опубликован целый ряд книг для учителей, в которых весьма удачно нашли свое отражение те или иные элементы современной алгебры. В первую очередь здесь следует отметить книгу [19], в которой впервые опубликовано доступное для школьников изложение понятия кольца остатков, группы (движений на плоскости). Доступное для них изложение понятий полугруппы, группы, кольца, поля и решетки и др. имеется в ряде других книг (см. литературу в [20]). Таким образом, уже можно констатировать существование методики элективного обучения школьников тем или иным элементам современной алгебры, имеющей важное значение в формировании метапредметных знаний и развитии их абстрактного мышления.

Примечания

1. Математическая энциклопедия: в 5 т. Т. 1. М.: Сов. энцикл., 1979. Стб. 117.

2. Фрид Э. Элементарное введение в абстрактную алгебру. М.: Мир, 1979. С. 7.

3. Мессарович М., Такахара Я. Общая теория систем: математические основы. М.: Мир, 1975. 312 с.

4. Глушков В. М. Кибернетика. Вопросы теории и практики. М.: Наука, 1986. 888 с.; Садовничий В. А. Математическое образование: настоящее и будущее: докл. на Всерос. конф. «Математика и

общество. Математическое образование на рубеже веков». Дубна, сентябрь. 2000. М.: МЦНМО, 2000. 664 с.

5. Мальцев А. И. Алгебраические системы. М.: Наука, 1970. 392 с.

6. Перминов Е. А. Методические основы обучения дискретной математике в системе «школа-вуз»: монография. Екатеринбург: Изд-во РГППУ, 2006. 237 с.

7. Белоусов А. И., Ткачев С. Б. Дискретная математика: учеб. для вузов. М.: Изд-во МГТУ им. Н. Э. Баумана, 2001. С. 5.

8. Перминов Е. А. О методологии реализации дискретной линии в интеграции содержания математической и профессиональной подготовки будущих учителей информатики // Вестник Вятского государственного гуманитарного университета. 2012. № 4(3). С. 75-79.

9. Там же. С. 78.

10. Гласс Р. Факты и заблуждения профессионального программирования / пер. с англ. СПб.: Символ-Плюс, 2007. С. 23.

11. Мальцев А. И. Указ. соч.

12. Кобычев В. Б., Витковская Н. М. Основы теории групп для химиков: учеб.-метод. пособие. Иркутск: Иркут. гос. ун-т, 2006. 52 с.

13. Мессарович М. Указ. соч.

14. Громыко Н. В. Смысл и назначение метапредметного подхода / НИИ инновационных стратегий развития общего образования. URL: ug.ru/uploads/files/method_article/90/1; Математическая энциклопедия: в 5 т. Т. 1.

15. Красовский Н. Н. Математическое моделирование в школе // Известия УрГУ. Екатеринбург, 1995. № 4. С. 12-24.

16. Перминов Е. А. О курсе "Элементы теории решеток" в вариативной методической подготовке будущих учителей математики // Математика и компьютерное моделирование в исследованиях студентов и школьников: материалы Всерос. молодежной науч.-практич. конф. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2013. С. 19-22.

17. Перминов Е. А. Дискретная математика: учеб. пособие для 8-9-х кл. сред. общеобразоват. шк. Екатеринбург: ИРРО, 2004. 206 с.

18. Перминов Е. А. О курсе "Элементы теории решеток" в вариативной методической подготовке будущих учителей математики.

19. Гусев В. А. Внеклассная работа по математике в 6-8 классах / В.А. Гусев, А. И. Орлов, А. Л. Ро-зенталь. М.: Просвещение, 1984. 286 с.

20. Перминов Е. А. Дискретная математика.

Notes

1. Encyclopedia of Mathematics: in 5 vols. Vol. 1 Moscow: Sov. Entsikl. 1979. P. 117.

2. Frid E. EHlementarnoe vvedenie v abstraktnuyu algebru [An elementary introduction to abstract algebra]. Moscow: Mir. 1979. P 7.

3. Messarovich M., Takahara J. Kibernetika. Voprosy teorii i praktiki [General systems theory: the mathematical foundations]. Moscow: Mir. 1975. 312 p.

4. Glushkov V.M. Kibernetika. Voprosy teorii i praktiki [Cybernetics. Theory and Practice]. Moscow: Nauka. 1986. 888 p.; Sadovnichii V.A. [Mathematical Education: Present and Future: report at the All-Russia. conf. "Mathematics and Society. Mathematical Education at the turn of the century" Dubna, September. 2000] Moscow: MCCME. 2000. 664 p.

5. MaltsevA.I. Algebraicheskie sistemy [Algebraic Systems]. Moscow: Nauka. 1970. 392 p.

6. Perminov E.A. Metodicheskie osnovy obucheniya diskretnoj matematike v sisteme «shkola-vuz»: monografiya [Methodical bases of learning discrete mathematics in the "school-high school": monograph]. Ekaterinburg: RGPPU Publ. 2006. 237 p.

7. Belousov A.I., Tkachev S.B. Diskretnaya matematika: ucheb. dlya vuzov[Discrete Mathematics: Textbook for universities]. Moscow: Publ. of MSTU of Bauman. 2001. P. 5.

8. Perminov E.A. O metodologii realizatsii diskretnoj linii v integratsii soderzhaniya matematicheskoj i professional'noj podgotovki budushchikh uchitelej informatiki[On methodology of the discrete lines in the integration of mathematical content and the training of future teachers of computer] // Vestnik Vyatskogo gosudarstvennogo gumanitarnogo universitetaHerald of Vyatka State University of Humanities, 2012, № 4 (3), pp. 75-79.

9. Ibid. P. 78.

10. Glass R. Fakty i zabluzhdeniya professional'nogo programmirovaniya[Facts and Fallacies of professional programming] / Translated from English. St. Petersburg: Symbol-Plus. 2007. P. 23.

11. MaltsevA.I.. Op. cit.

12. Kobychev V.B., Vitkovskaja N.M. Osnovy teorii grupp dlya khimikov: ucheb.-metod. posobie[Fundamentals of group theory for chemists]: tutorial. Irkutsk: Irkut. State. University Publ. 2006. 52 p.

13. Messarovich M. Op. cit..

14. Gromyko N.V. Smysl i naznachenie metapredmetnogo podkhoda [Meaning and purpose of a meta-approach] / NII innovatsionnykh strategij razvitiya obshchego obrazovaniya - Research Institute of Innovative Strategies of general education. Available at: ug.ru/uploads/files/method_article/90/1; Encyclopedia of Mathematics: in 5 vols. Vol. 1.

15. Krasovskii N.N. Matematicheskoe modelirovanie v shkole [Mathematical modeling in school] // Izvestiya UrGU - News of USU, Ekaterinburg, 1995, № 4, pp. 12-24.

16. Perminov E.A. O kurse "EHlementy teorii reshetok" v variativnoj metodicheskoj podgotovke budushchikh uchitelej matematiki[On the course "Elements of the theory of lattices" in variant methodical preparation of future mathematics teachers] / / Matematika i komp'yuternoe modelirovanie v issledovaniyakh studentov i shkol'nikov: materialy Vseros. molodezhnoj nauch.-praktich. konf. - Mathematics and computer modeling studies of students and schoolchildren: Proceedings of All-Russia. youth scientific-pactical. conf. Kirov. VyatSHU Publ. 2013. Pp. 19-22.

17. Perminov E.A. Diskretnaya matematika: ucheb. posobie dlya 8-9-kh kl. sred. obshcheobrazovat. shk[Discrete Mathematics: Textbook for 8-9 grades of general sch. Ekaterinburg: IRRO. 2004. 206 p.

18. Perminov E.A. O kurse "EHlementy teorii reshetok" v variativnoj metodicheskoj podgotovke budushchikh uchitelej matematiki[On the course "Elements of the theory of lattices" in variant methodical preparation of future mathematics teachers].

19. Gusev V.A. Vneklassnaya rabota po matematike v 6-8 klassakh[Class work in mathematics in grades 6-8] / V.A. Gusev, A.I. Orlov, A. L. Rosenthal. Moscow: Prosveshcheniye. 1984. 286 p.

20. Perminov E.A. Diskretnaya matematika[Discrete Math.]

УДК 378.147.88:338.24

О. В. Тарбеева

Профессионально ориентированная научно-исследовательская деятельность будущих менеджеров как средство формирования их информационно-коммуникационной компетентности

В статье рассматривается профессионально ориентированная научно-исследовательская работа (деятельность) будущих менеджеров, ее сущность, функции: мотивационная, методологическая, организационная, креативная, воспитательная; виды: индивидуальные (традиционные) и групповые (инновационные). В процессе этой работы в вузе формируется информационно-коммуникационная компетентность студентов, которая является основой профессиональной компетентности будущих менеджеров.

The article considers the job-oriented research work (activity) of the future managers, its essence, function (motivational, methodological, organizational, creative, educational), species (individual (traditional) and group (innovation)). In this process, the emerging information and communication competence of students, which is the basis of professional competence of future managers in the course of their vocational training in high school.

Ключевые слова: профессиональная компетентность, профессионально ориентированная научно-исследовательская деятельность, информационно-коммуникационная компетентность, будущий менеджер.

Keywords: professional competence, professionally oriented research activities, information and communication competence, future manager.

Основой Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования (ФГОС ВПО) как стандарта нового поколения, реализующего вузовские основные образовательные программы, является компетентностный подход к ожидаемым результатам высшего образования. Реализация этих стандартов объективно

© Тарбеева О. В., 2014 120