Задача динамического синтеза для гармонического осциллятора как объекта управления

Выводы

Новизна. Впервые построен полный класс Ф-функ-ций с поворотами для объектов, имеющих пространственную форму круга и многоугольника.

Научные и практические результаты. Построенные Ф-функции позволяют строить математические модели оптимизационных задач геометрического проектирования, в которых объекты могут не только транслироваться, но и поворачиваться. Результаты работы могут быть использованы при решении задач упаковки, раскроя, покрытия, а также в робототехнике. Применение метода Ф-функций позволяет строить математические модели в виде задач математического программирования, а также применять эффективные методы локальной и глобальной оптимизации для решения задач геометрического проектирования.

Литература: 1. Lody A., Martello S., Vigo D. Recent advances on two-dimensional bin packing problems// Discrete applied mathematics. 2002. № 123. C. 379-396. 2. Dyckhoff H., Scheithower G., Terno J. Cutting and Packing// In Annotated Bibliographies in Combinational Optimization. Chichester. 1997. С. 393-412. 3. Стоян Ю. Г.,Яковлев С. В. Математические модели и оптимизационные методы геометрического проектирования. Киев: Наук. думка, 1986. 268 с. 4. Karen D., Rajasekhar I. An Incremental Algorithm for Translational Polygon Covering// Computer Science Technical Report. University of Massachusetts at Lowell.

2001. № 2001-1. 31 с. 5. Milencovich V. Rotational polygon overlap minimization and compaction// Computational Geometry. 1998. № 10. С. 305-318. 6. Stoyan Y., Terno J., Gil N., Romanova T., Ф-function for 2D primary objects// Studia Informatica, Paris, University. 2002. Vol. 2, № 1. P. 1-32. 7. Stoyan Y., GilM., Terno J., Scheithauer G., Romanova Т. Ф-function for complex 2D objects// 4OR Quarterly Journal of the Belgian, French and Italian Operations Research Societies. 2004. Т 2, № 1. Р. 69-84. 8. СтоянЮ. Г. Phi-function of non-convex polygons with rotations//Проблемы машиностроения, 2003. В. 6. No 1. С. 74-86. 9. Александрян Р.А., Мирзаханян Э.А. Общая топология. М.: Высш. шк., 1979. 336 с. 10. Stoyan Yu.G. Analytical description of interaction of point sets. Journal of mechanical engineering. 2001. V 4, N 1-2. P. 77-88. 11. Stoyan, Yu.G. Ф - function and its basic properties. Reports of National Academy of Sciences of Ukraine. 2001. Ser. A. N 8. P.112-117. 12. Пандорин О. К., Панкратов О.В., Новожилова М.В. Аналіз і складність алгоритму зображення однозв’язного не опуклого многокутника у вигляді об’єднання опуклих многокутників// Вісник запорізького державного університету. 1999. № 2. С. 79-83.

Поступила в редколлегию 20.07.2006

Рецензент: д-р техн. наук Романова Т.Е.

Злотник Михаил Викторович, младший научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАНУ им. А.Н. Подгорного. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Дм. Пожарского, 2/10, тел. раб. (0572) 95-95- 36.

УДК618.514.01:517.977.5

ЗАДАЧА ДИНАМИЧЕСКОГО СИНТЕЗА ДЛЯ ГАРМОНИЧЕСКОГО ОСЦИЛЛЯТОРА КАК ОБЪЕКТА УПРАВЛЕНИЯ

РАДИЕВСКИЙ А.Е.___________________________

В классе задач аналитического конструирования оптимальных регуляторов исследуется процедура разработки математического обеспечения задачи динамического синтеза для линейной модели гармонического осциллятора с демпфированием как объекта управления. Исследование базируется на положениях теории экстремальных задач.

1. Введение

Развитие механики тесно связано с изучением маятника [ 1 ]. Интерес к его изучению объясняется тем, что он был той математической моделью, при посредстве которой удалось проникнуть в различные аспекты теории колебаний, решить многие ее вопросы для объектов различной физической природы [2]. Последнее позволило понять и сформулировать основные законы механики [1]. Одной из разновидностей многообразия маятников является гармонический осциллятор с демпфированием.

Уравнение движения последнего как объекта управления (ОУ) можно записать в виде

d2x dx

-----+ a і-+ &0x = ku

dt2 1 dt 0 ’

где x - состояние; u - управление; a^a0 - параметры, а k - коэффициент усиления ОУ.

Задача динамического синтеза для гармонического осциллятора с демпфированием исследовалась, например, в [3-7], где в [3] исследование базируется на асимптотических методах, в [4] - на условиях минимума гамильтониана, в [5,6] - на графических методах, в [7] - на вариационных методах. В настоящей работе для ОУ (1) исследуется процедура динамического синтеза в классе задач аналитического конструирования оптимальных регуляторов (АКОР).

Целью настоящего исследования является разработка математического обеспечения процедуры структурного и параметрического синтеза для линейной модели гармонического осциллятора с демпфированием как ОУ.

2. Постановка и особенности задачи Выражение (1) можно записать в виде dx .

—=Ax+Вu dt

где x = (x1, x2) - матрица-столбец вектора фазовых

координат; A

0 1

- a0 - a1

В =

0

k '

РИ, 2006, № 3

33

Задача динамического синтеза в классе задач АКОР может быть сформулирована следующим образом. На движениях ОУ (2) необходимо определить алгоритм управления (АУ), который доставляет экстремум критерию качества

y Гю=--+

2 2 а 2 + ю2

-а^ 1

+ e (—----2C0S Qt -

а2 + ю2

а

2 2 ю

sin Qt)

J(u) = J (xRxT + mu2 )dt t0

Y^t) = 1 - e ^

Q

при ограничении

и граничных условиях

x

где R = diag||ri ||2 ; m - число; umax - заданное число; ti - конечный, не фиксированный момент времени; т - транспонирование.

Для задачи (2)-(5) можно исследовать два случая [4]:

1) а0 = (а2 + ю2), a1 = 2а (устойчивое решение);

2) а2 =-(а2 + ю2), а2 =-2а (неустойчвое решение), где а -коэффициент демпфирования, ю -собстен-ная частота.

Тогда для матрицы А корни ее характеристического уравнения получим в виде:

1) устойчивое решение - 2 = -а ± jro ;

2) неустойчивое решение - X2 2 = а ± jra .

3. Структурный синтез

АУ получим в виде [8]

umax , при L(t) > umax;

L(t) , при — umax < L(t) < uma — umax , при L(t) <—umax,

где L

= AT Y(t) - 2Rx(t0) при Y(t0) = 0, dt

решение которой

t t t

¥(t) = -2eA tJe-A TdxRx(t0) = -2K(t)Rx(t0).

0

Тогда для открытой области получим

L(t) = 0.5m-1BTT(t) = -m-1BTK(t)Rx(t0),

1 -,

Y22 (t) = ~ e ^Sin Qt,

ю ’

YГlеУCT. (t) =-

2а

22 а 2 + ю2

Т 2 2

а^ 2а а - ю

- e

22 а + ю

22 ю

y 22Гт^) = -^-2-+

22 а2 +ю2

✓ 1

+ e (—------—COS Qt +

а

22 а + ю

22 ю

Y^^OO = 1 - eKt(C0SQt-аSinQt),

ю

неуст.1 а • .

Y22 (t) =--e Sin Qt .

ю

Учитывая вид и порядок соответствующих матриц, получаем

uуст. (t) = -k(u1уст. (t)x1 (t0) + u^ (t)x2 (t0)) ,

uнеуст. (t) = -ktu^. (t)x1 (t0) + u2еуст. (t)x2(t0 )) , где

Sin Qt)

u(t ) =

u^t) =

+ e а1(—;r---—COS Qt +

22 а 2 + ю 2

а

22 а + ю

u^^t) =

22 ю

Sin Qt)

_ч

m

1 —

----e Sin Qt

Q

m

uf^t) =

, 1

+ e (—-----—COSQt -

22 а 2 +ю2

а

22 а +ю

22 ю

Sin Qt)

1

m,

где Куст'№ =|| Yуст'(t)l|2

кнеуст« =іі y :туст№ііі, y (t)=--

u^t) =

1 ot

----e Sin Qt

Q

m

2а

H v-/ і^ 5 11 2 . 2

J а +ю

22

2а а - ю . .

+ e

4. Структура синтезированного управляющего устройства

Уравнения движения синтезированной системы управления (СУ) запишем в виде

22 а + ю

22 ю

1

+

1

+

+

34

РИ, 2006, № 3

= Ax + Bsignumax ,

dt

dp = Ax - m-1BBTK(t)Rx(t0).

Для открытой области можно записать dx1

п і ^ п

dt 0 1 x1 0

dx2 а21 а22 x2 k

dt

применив преобразование Лапласа к которой, получим

x1

x2

X

k

или передаточную функцию

' Xu(p) 0

X21

где p-независимая переменная изображения.

Проведя необходимые структурные преобразования, окончательный вид передаточной функции синтезированной СУ для открытой области получим в виде

X(p) = X ОУ (p)X УПЧ (p) ,

здесь X ОУ (p) =

(2);

k

pi-А

X УПЧ (p) = Х 3(p) + Х 4 (p) + Х 5 (p) + Х 6(p) -

передатоная функция усилительно-преобразовательной части,

1

Xr(p) =

X3(p) = X6(p) = k 1

k ’

Xf^p) =

x;T(p) =

Xf^cp) =

p

1

p ((p-a)2-ю2).

m

m ? m

h

m.

L(t) и нелинейного элемента (НЭ) типа “ насыщение”

[9]. При постоянстве элементов матриц A и B ОУ (2) изменения АУ (6) пропорциональны изменениям параметров —, i є f1,2 ] критерия качества (3), которые могут быть классифицированы как управляющие параметры. Кроме того, в [ 9] показано, что изменения параметра m критерия качества (3) эквивалентны изменениям наклона характеристики НЭ в начальной точке и характеризуют изменения коэ ффициента усиления НЭ.

Пусть [Р1 ] - размерность управляющего воздействия,

р

[Р2 ] - размерность фазовой координаты x1(t К ІТЄГ

cek

р2

-размерность фазовой координаты x2 (t), [k ] = [a] = [co] =

р

1

cek

. Тогда из выражений для управляющих воздействий ( устойчивое и неустойчивое реше-

>2

2

Р1

=[k ],

>1 ' " 1"

l_P2 J _ k j

- передаточная функция ОУ

ние) получим [ш]уст. = [п]неуст. =

[r1 ]уст. =[r1 ]неуст. =[r2 ]уст. =[r2 ]неуст. =

6. Параметрический синтез

Задача параметрического синтеза рассматривается как задача такого выбора параметров i є [1,2 ]

критерия качества (3), при значении которых в процессе отработки требуемого задания обеспечивается устойчивое с наперед заданными показателями качества движение синтезированной СУ. Синтезированная СУ является нелинейной. Процессы в нелинейных СУ имеют те или иные особенности, причем факт наличия или отсутствия этих особенностей является функцией, в частности, начальных условий[10]. Задача (2)-(5) сформулирована как задача синтеза АУ, доставляющего экстремум критерию качества (3) при любых начальных условиях. Качество функционирования СУ, синтезированных в классе задач АКОР, обычно оценивается одним из “ вторичных” показателей качества при наличии ограничений на значения остальных[11]. Исходя из концепции двухэтапности реализации параметрического синтеза (построение

желаемого процесса и выбор параметров -^4 i є [1,2 ]

5. Качественное исследование синтезированного алгоритма управления

Структурная схема управляющего устройства, реализующая АУ (6), может быть представлена в виде последовательного соединения двух звеньев: линейного

критерия качества (3) из условия его воспроизведения [8]), желаемый процесс может быть задан в виде

dx ж

СДУ

dt

= A ж x, где x ж = (xfc, x^f) - матрица-стол-

бец вектора фазовых координат; матрица A ж является устойчивой, характеристический полином которой задается в классе стандартных переходных характе-

k

k

k

РИ, 2006, № 3

35

ристик, а его корни являются функцией среднегеометрического корня Q о [12]. Последнее позволяет связать аналитической зависимостью требуемый “вторичный” показатель качества и параметры —, і є [l,2 ]

критерия качества (3). Желаемый процесс представляется в дискретном виде и в каждой точке разбиения вычислиются желаемые значения фазовых координат. На каждом отрезке разбиения фазовой траектории реализуется оператор “элементарная операция” [13]. При этом предполагается, что на каждом отрезке разбиения фазовой траектории:

куст. (t) = -k2(e at(-cosrott(a +,ro ) - sin rot 22 2ro2

a2 - 3ro2 2ro3)

))

Тогда для устойчивого решения

2

, K ^(t) =

kj^t)

C ^(t) =

c!'!^) = e-at(cos rot + — sin rot),

ro

1

c^t) = — e at sin rot,

ro ’

2 + 2

c-T (t) = -a +ro e-at sin rot ro

"22т (1) = e at(cos rot--sin rot),

куг« = -k2(-

a

ro

2a

(a2 +ro2)2

2 2 2 2 _at / ta(a + ro ) + 4aro

+ e at(cosrot^^-—Г——--------------+

2ro2

- tro2 + 4a2ro2 -a

2ro3(a2 +ro2)2

куга) = -k2( 21c~9at(fcosrot

12

2 2 2 ta(a2 + ro2) - 2ro2

2ro2

tro2(a2 + ro2) + a(a2 + 3ro2t

- sin rot---і-----3 \ Г-------------))

2ro3

куст’(1) = -k2(e at(-cos rot

t

21

+ sin rot-

2ro

a4 - 4aro2 - ro

2ro3

2

+

-))

и для неустойчивого решения

2

C неуста) =

„ неуст. (

ci^-

K неуста) =

kjjeyCT. ^)

a

- величины параметров —, i є [ 1,2 ] критерия качества (3) являются постоянными;

- вид АУ определяется значением управляющего воздействия для правого конца отрезка разбиения в соответствии с зависимостью (6).

Решение СДУ (7) запишем в виде

x(t) = C(t)x(to) + m-1K(t)x(to).

cr^a) = eat(cos rot -— sin rot),

ro

c^a) = -eatsrn rot. ro

c

2 +2

неуст.(1) = -a +ro eatsin rot, ro

4^(1) = eat(cos rot + — sin rot),

кгуста) = -k2(-

ro

2a

(a2 +ro2)2

at, ta(a2 + ro2)2 + 4aro2

+ eat(-cos rot- v 7

2 / 2 2\2 2ro

+

- tro2 + 4a2ro2 +a

2ro3(a2 +ro2)2

kf^t) = -k2(.

2 2 2 at/ ta(a2 + ro2) - 2ro2

eat(-cos rot—^—t---------------

2ro2

tro

- sin rot------:r-—r.—Ц-------2))

2ro3

k^tt) = -k2(eat(-cos rot

t

V21

+

2ro2

4 . 2 4

a - 4aro - ro + sin rot----— -------—))

2ro3

^“(t) = -k2(eat(-cosrot

t t(a2 + ro2) 2ro2

+ sinrot-

a2 - 3ro2 2ro3)

)).

Для правого конца отрезка [x р,x р+1] разбиения фазовой траектории для выражений (8) можно записать

m-1K

Подставив в систему уравнений (9) желаемые значения фазовых координат и решив ее, получим

J*i

значения параметров —, i є [1,2] критерия качества (3). Если управляющее воздействие при найденных

значениях параметров —, i є [1,2] принадлежит открытой области, то они остаются без изменения. В

36

РИ, 2006, № 3

1

1

+

+

противном случае необходим пересчет. Разобьем отрезок [х р ,х р+1 ] фазовой траектории пополам. Можно записать систему уравнений

u(tр+і) = m-1БТК(1 р )Rx(tр),

u

где в левой части величина управлящего воздействия соответствует области насыщения.

Подставив в систему уравнений (10) желаемые значения фазовых координат и решив ее, получим значения

параметров —, і є [1,2] критерия качества (3). Проделав аналогичную процедуру для каждого отрезка разбиения фазовой траектории, получим закон изме-

J*i

нения параметров —, і є [1,2] критерия качества

в процессе отработки синтезированной СУ требуемого задания.

7. Принцип реализации синтезированного алгоритма управления

Пусть хж(to) = x(to), хж(t1) = x(t1). Тогда получим хж (t) = eAiKtxж (t0) или xж (t0) = (eA t)-1xж (t) .

Поэтому при x(t) = x ж (t) для открытой области получим L(t) = -m^Б^Д^е^)-1х ,

t- = (A - m-1BBTK(t)R(eAiKt)-1)x .

8. Заключение

В классе задач АКОР исследована процедура структурного и параметрического синтеза гармонического осциллятора с демпфированием как ОУ. Проведенное исследование для рассматриваемого класса задач позволило получить следующие новые результаты, имеющие научное и прикладное значение:

- в рамках единого подхода получено решение задачи структурного синтеза для двух возможных состояний (устойчивое и неустойчивое) рассматриваемого ОУ;

- реализовано аналитическое решение задачи структурного синтеза, что позволило определить размерности управляющих параметров и установить их связь с параметрами рассматриваемого ОУ;

- процедура параметрического синтеза реализуется на основе пакета прикладных программ “линейная алгебра”.

Практическая значимость результатов исследования определяется возможностью их использования в качестве математического обеспечения при проектировании СУ для рассматриваемого класса задач динамического синтеза.

Литература: 1. Мандельштам Л.И. Лекции по теории колебаний. М.: Наука, 1978. 470с. 2. Лойцянский Л.Г, Лурье А.И. Курс теоретической механики, т.2. М.: Госте-хиздат, 1954. 595с. 3. Моисеев Н.Н. Асимптотические методы в нелинейной механике. М.: Наука, 1969. 380с. 4. Атанс М., Фалб П Оптимальное управление. М.: Машиностроение, 1968.764с. 5. Андронов А.А., Витт А.А., Хай-кин В.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1981.568с. 6. Магнус К. Колебания. Введение в исследование колебательных систем. М.: Мир, 1982.303с. 7. Божко А.Е. Синтез оптимального управления колебательными системами. Киев: Наук. думка, 1990. 164с. 8. Радиевский А.Е. Динамический синтез в общей проблематике современной теории управления // Радиоэлектроника и информатика. 2004. №3. С.70-75. 9. Радиевский А.Е. Функциональноаналитический метод синтеза детерминированного регулятора // Оптимизация электромеханических систем с упругими элементами. Харьков: ИМиС, 1995. С.137-148. 10. Попов Е.П. Прикладная теория процессов управления в нелинейных системах. М.: Наука, 1973.584с. 11. Летов А.М. Динамика полета и управление. М.:Наука, 1969.360с. 12. Бесекерский В.А.,Попов Е.П. Теория систем автоматического регулирования. М.: Наука, 1972. 768с. 13. Моисеев Н.Н. Математические задачи системного анализа. М.: Наука, 1981.488с.

Поступила в редколлегию 14.06.2006

Рецензент: д-р техн.наук, проф. Кузнецов Б.И.

Радиевский Анатолий Евгеньевич, канд.техн.наук, с.н.с., заведующий лабораторией Харьковского НИИ комплексной автоматизации Минтопэнерго Украины. Научные интересы: математическая теория экстремальных задач, динамические задачи многокритериальной оптимизации. Адрес: Украина, 61003, Харьков, пер. Кузнечный, 2, тел. 731-35-67, 731-41-80.

УДК517.373:517.443:517.444:519.6

ОБ ОДНОМ МЕТОДЕ ВЫЧИСЛЕНИЯ 3D ДИСКРЕТНОГО ОБРАТНОГО ПРЕОБРАЗОВАНИЯ РАДОНА

ТЕВЯШЕВ А.Д., СМИРНОВА В.С.________________

Описывается численный метод нахождения обратного 3D дискретного преобразования Радона. Проводится оценка погрешности вычисления по данному методу. Разработанные и описанные методы и результаты могут быть использованы в реконструктивной томографии для восстановления объекта в пространстве R3 из некоторого набора его проекций.

1. Введение

В данной статье рассматривается один из методов нахождения 3D дискретного обратного преобразования Радона, который основан на использовании обратного псевдополярного преобразования Фурье.

Целью исследования является разработка метода нахождения 3D дискретного обратного преобразования Радона, который обеспечивает высокую точность при больших размерностях изображений.

Для достижения цели исследов ания были поставлены и реализованы следующие задачи:

1) изучение одного из численных методов нахождения 3D дискретного обратного преобразования Радона;

РИ, 2006, № 3

37