Регуляризация задачи построения капитальных производственных функций по данным об инвестициях и проверка устойчивости производственных характеристик

Регуляризация задачи построения капитальных производственных функций по данным об инвестициях и проверка устойчивости производственных характеристик The regularization method for constructing capital production functions using data on investments and verification of stability of the production

characteristics

Крылов Владимир Павлович

Аспирант

Ульяновский государственный университет

kvp88emm@mail.ru Krylov Vladimir Pavlovich

Postgraduate Student Ulyanovsk State University

Аннотация: Развивается подход В.К. Горбунова и А.Г. Львова (2012) к построению капитальных производственных функций (ПФ) по информации об инвестициях. В уравнения динамики капитала вводится дополнительно коэффициент реализуемости инвестиций, представляющий долю реального использования выделенных производственных инвестиций. Для снижения вычислительной сложности задач МНК предлагается метод регуляризации задачи оценивания параметров модели Горбунова и Львова на основе использования экспертной информации о показателях динамики фондов. Приводятся тестовые результаты для проверки устойчивости основных производственных характеристик от возмущения исходных данных с использованием метода регуляризации и без.

Abstract: The paper develops the approach of V.K. Gorbunov and A.G. Lvov (2012) to construction of capital production functions (PF) over the information about investments. The factor of a realizability of the investments is entered, in addition, into the equation of capital dynamics, which represents a share of real use of the allocated capital investments., The regularization method of the

problem of estimation of parameters of Gorbunov and Lvov model via use of the expert information about indicators of dynamics of funds is offered in order to decrease computing complexity of the least square method. Test results are given to verify the stability of the basic production characteristics of the disturbance source data using the method of regularization and without.

Ключевые слова: Капитальные производственные функции, псевдочёрный ящик, эффективные основные фонды, регуляризация, устойчивость

Keywords Capital production functions, pseudo-black box, effective funds, regularization, stability

Задача оценивания расширенного набора параметров капитальной производственной функции Y = F (K, L; w), где валовой выпуск моделируемого производственного объекта Y определяется уровнем использования

эффективных фондов (капитала) K и труда L, а переменная w = ( wx ,...,Wp) представляет вектор параметров соответствующего класса ПФ, выбираемый из некоторого множества W с Rp пространства параметров данного класса функций и динамики фондов

K =

где начальное значение эффективного капитала Kj, норма амортизации m, коэффициент реализуемости инвестиций r и их освоения - \, является сильно нелинейной и может оказаться вычислительно плохо обусловленной даже для простейшего класса функций Кобба-Дугласа (КД) [12]:

AKaLe, w =

Другие классы ПФ, такие как функция постоянной эластичности замещения (ПЭЗ):

A

с ограничениями (А, л) > 0, -1 <рф 0, 0 < v < 1; функция Джири [13]:

A

с ограничениями на параметры (А,а,Р) >0, и на область определения K > max{ 0, y} , L > max{0, 5} ; функция Солоу:

A

Общего вида ограничений на параметры функции Солоу, обеспечивающих её возрастание и квазивогнутость, неизвестно.

Среди параметров разных классов ПФ (1)-(4) в абсолютной форме имеется масштабный параметр А. Заметим, что его увеличение приводит к пропорциональному увеличению расчётного выпуска Y = F(K, L). Выпуск Y также возрастает, но нелинейно, при росте показателя используемых фондов

K. В соответствии с динамикой фондов (1) их значения {KV...KT} возрастают с

ростом искомого начального показателя K 0. Таким образом, оцениваемые

параметры А и K0 определяют выпуски {Y0,...YT} однонаправленно, и близкие значения этих выпусков могут получаться при существенном разнонаправленном варьировании параметров (A, K0. Рост одного из них может быть компенсирован убыванием другого так, что выпуски изменятся достаточно мало. Соответственно, мало изменится значение невязки

1 T

z) = 7+7 D Y - F

T + 1 t=0

что и предопределяет неоднозначную разрешимость задачи относительно данных параметров.

Нетрудно понять и аналогичную компенсирующую связь между параметрами амортизации m, реализуемости инвестиций r и освоения инвестиций £. Увеличение m влечёт снижение количества фондов (при сохранении других параметров). Но это снижение может быть компенсировано ростом реализуемости инвестиций r, ускорением ввода

новых фондов, т.е. ростом £, а также ростом параметров А и ко. Таким образом, в подпространстве параметров ( а, к 0, т, г, существует некоторое

множество, различным элементам которого (при остальных фиксированных параметрах w) соответствуют примерно одинаковые (с точностью до вычислительных погрешностей) значения минимизируемой функции Ю. Это предопределяет возможную неоднозначность приближённого решения задачи оценки параметров ПФ вместе с показателями амортизации, освоения инвестиций и начального количества эффективных фондов. Подробно задача построения ПФ с реконструкцией эффективных фондов описана в следующих работах [3, 7]

Вычислительная задача с неединственным или неустойчивым относительно погрешностей данных решением является некорректно поставленной [10]. Данный вид задач нуждается в доопределении на основе дополнительной информации об искомом решении, или же регуляризации. Из-за неоднозначного толкования понятия регуляризации некорректной задачи будем понимать под этим, следуя [1, 2], переход к задаче выбора из множества решений семейства задач, эквивалентных по точности исходных данных, решения, ближайшего к заданному экспертному решению. При этом «множеством решений семейства задач, эквивалентных по точности исходных данных», в соответствии с принципом Дж. Форсайта эквивалентности вычислительных погрешностей погрешностям исходных данных, можно считать множество приближённых по функционалу минимумов решаемой экстремальной задачи.

Экспертное решение в рассматриваемой задаче - это заданный набор параметров г = («,К «р,Ko, т г,£), который обозначим

г - =

Параметры списка (7) имеют разную природу относительно проблемы моделирования производства. Производственная функция Р(к, - ^ и её

параметры w являются формальным математическим объектом типа «псевдо-чёрного ящика», а остальные параметры (к т, г,|) имеют

содержательный смысл и допускают внемодельную оценку. В соответствии с работой [7] назовём эти переменные экономическими параметрами. Если экономические параметры (все или некоторые) имеют надёжную оценку, то это упрощает задачу. На первом этапе можно их закрепить и оценивать оставшиеся. На втором этапе закреплённые параметры можно освободить, но ввести дополнительный критерий - близость освобождённых параметров к их экспертным значениям. При этом дополнительный критерий должен быть вторичным (подчинённым) относительно основного МНК-критерия (6).

Задачу комплексного оценивания параметров 2 = (А,к ,тг,£) можно решать в два этапа. На первом этапе следует закрепить все или часть экономических параметров, используя их экспертные оценки, и на втором этапе решать задачу двухкритериальной лексикографической минимизации. Первый и основной критерий оптимальности - это исходный функционал 2). Второй, подчинённый критерий - это расстояние освобождённых

параметров из списка (к0, т, г,|) от соответствующих компонент экспертного набора (7).

Определим подчинённый функционал второго этапа

щ,( 2,2ехр) = вк

к Л

1 - кЦ +вт

К0 )

В данном случае параметры 0 = (0К,0т,0Г0) представляют из себя двоичные

(булевы) переменные, принимающими значения: 0 или 1. Значение 0- = 0 соответствует исключению параметра к из списка оцениваемых на втором этапе параметров 2, т.е. сохранению его экспертного значения к0 = к0ехр. Значение 0к = 1 соответствует включению параметра ко в список оцениваемых параметров. Аналогичный смысл имеют двоичные параметры

2

(вт,вг,в^) для экономических параметров (т,г,£). При этом полный набор

оцениваемых экономических параметров (Ko, тг,£) представляется вектором в = (1,1,1,1). Вариант закреплённых параметров (т, г, представляется

вектором в = (1,0,0,0). Первое слагаемое в (8) приведено к относительному виду для того, чтобы вклад отклонения начального капитала от экспертного значения в суммарную меру был одного порядка с вкладом отклонений остальных параметров.

Лексикографическая минимизация в нашем случае означает, что из множества приближённых решений исходной задачи условной минимизации (главного) функционала г) следует выбрать решение, доставляющее

минимум вспомогательному функционалу юв (г, гехр). Такая концептуально и алгоритмически сложная задача может решаться методом сведения к серии однокритериальных задач с помощью свёртки критериев [11]. Мы модифицируем стандартную схему свёртки критериев, придав ей структуру вспомогательной задачи метода продолжения по параметру [9]. Для этого введём функционал свёртки критериев (6) и (8) в виде1

^тв

и поставим задачу его минимизации при условии (1).

Аппроксимация решения лексикографической задачи требует решения серии задач минимизации (9), начиная с малых значений Т , при которых

минимум будет близок по проблемным компонентам к набору (КГ5, техр, г^^хр) , и последовательном росте Т до значения 1 или близкое к единице. Эта стратегия соответствует методу продолжения по параметру. Следовательно, параметр свёртки Т можно считать также параметром продолжения, и решать регуляризованную задачу алгоритмом [3], заменив минимизируемый функционал невязки г) функционалом свёртки ^в(г).

1 В стандартной схеме свёртки критериев (Фёдоров, 1979) используются иерархически согласованные

штрафные коэффициенты, стремящиеся к бесконечности.

Осуществляя переход от простой к более сложной производственной функции с большим числом параметров обусловленность задачи МНК может ухудшаться. При этом следует накладывать дополнительные требования на новый класс функций. Если новый класс отличается от предыдущего добавлением нового параметра или двух параметров (как в случае перехода от КД к функции Джири), то на значения новых параметров следует наложить ограничение. Общий способ, утвердившийся в методах решения некорректно поставленных задач, заключается во введении стабилизирующей добавки с малым параметром регуляризации. В нашем случае роль такой регуляризации - сдержать уклонение искомых оценок параметров новой производственной функции от их начальных значений, определяемых из условий совпадения ПФ нового и предыдущего классов.

Поставленная задача очевидным образом сводится к индексной форме преобразованием, описанным в работе [5]. При этом уравнение динамики (1) делится на величину ко (оцениваемый параметр задачи) и вводятся индексы

инвестиций ^ = ^к - доли годовых инвестиций относительно начальной

оценки производственных фондов. После решения соответствующей задачи МНК в индексной форме параметры производственных функций в абсолютной форме восстанавливаются по формулам, указанным в статье [4, 5]. Основные аспекты регуляризации задачи построения капитальных ПФ по данным об инвестициях были изложены на XVI Байкальской международной школе-семинаре "Методы оптимизации и их приложения"[6, 8].

Производственная функция в абсолютной форме Р(к, I) позволяет вычислять характеристики производства [4, 5]: средние эффективности факторов Y / к и Y / I, предельные эффективности Эр (к, I)/ Эк и Эр (к, l)/ эl, их отношения - факторные эластичности

= дР

к = Эк  к ~ д 1п к ' l = д!  I ~ д 1п к '

а также две характеристики замещения - предельную норму замещения

, dF( K, L) dF( K, L) STK (K, L) =—K—L-L:— LK[ ' dL dK

и эластичность замещения

d

aLK (K, L) : =-^, F (K, L) = const.

K/L Slk d ln Slk ' ' ' J

Сумма факторных эластичностей Mkl =£k + £l является эластичностью производства по масштабу.

Оценка характеристик производства, как содержательных показателей, для нас является главным по сравнению с оценкой параметров, которые лишь выступают инструментом аппроксимации таблично заданной функции с заданными аналитическими свойствами (монотонность, вогнутость). Для задачи (9) стандартный эконометрический подход не применим. На тестовом примере проверим устойчивость характеристик производства относительно 1% возмущения исходных данных с использованием метода регуляризации (9) и без.

Подобрана ПФ ПЭЗ:

Y = 0.2

Kt = (1 - m)Kt + r[%It + (1 -%)It _J, где K0 = 450.962, m = 0.07, r = 0.7, S = 0.8. Смоделированы исходные данные (таблица 1).

Таблица 1. Исходные данные

Y K L

1 109.431 450.962 51.937

2 113.902 451.633 65.128

3 119.309 456.357 80.309

4 124.947 465.946 93.384

5 130.568 479.646 102.777

6 139.012 496.861 121.251

7 138.671 507.438 107.692

8 144.431 519.729 119.323

9 150.687 532.995 132.492

10 158.689 550.591 149.136

На основе выбранной ПФ (10) рассчитаны основные характеристики производства, представленные в таблице 2.

Талица 2. Характеристики производства - эталон

п Y / L У / К ЭУ / дL эу / дк ¿к SLK

1 2.107 0.243 0.355 0.226 0.168 0.932 1.570 1.176 1.1

2 1.749 0.252 0.303 0.234 0.173 0.927 1.297 1.176 1.1

3 1.486 0.261 0.264 0.241 0.178 0.922 1.095 1.176 1.1

4 1.338 0.268 0.242 0.247 0.181 0.919 0.980 1.176 1.1

5 1.270 0.272 0.231 0.250 0.182 0.918 0.926 1.176 1.1

6 1.146 0.280 0.212 0.256 0.185 0.915 0.829 1.176 1.1

7 1.288 0.273 0.234 0.251 0.182 0.918 0.934 1.176 1.1

8 1.210 0.278 0.222 0.255 0.184 0.916 0.873 1.176 1.1

9 1.137 0.283 0.211 0.259 0.186 0.914 0.816 1.176 1.1

10 1.064 0.288 0.200 0.263 0.188 0.912 0.759 1.176 1.1

Полученные результаты в таблице примем за эталон. Проведем оценку основных ПФ (2)-(5). По невязке (6) выберем самую худшую (КД) и лучшую (Солоу) ПФ. К данным функциям применим 1% возмущение исходных данных и посчитаем средневзвешенное относительное отклонение математических ожиданиий характеристик производства от эталона на основе 30 циклов. К функции Солоу с 1% возмущением применим метод регуляризации по экономическим параметрам. В таблице 3 представлены основные результаты на устойчивость.

Таблица 3. Основные результаты на устойчивость

КД Солоу КД Солоу Солоу, метод регуляризации (9), т от 0 до 0.99

Возмущение исходных данных 0% 0% 1% 1% 1%

Средневзвешенное относительное отклонение от эталона, %

У / L 0.020 0.020 0.133 0.116 0.498

У / к 41.580 7.406 98.641 23.977 4.907

дY / дL 2.368 0.115 5.435 14.246 12.491

дУ / дк 45.986 7.172 127.603 12.768 0.860

¿ь 2.446 0.146 5.322 14.134 12.425

¿к 3.213 0.120 2.638 8.645 4.046

^ьк 28.450 6.724 25.311 11.011 11.802

°ьк 14.966 0.102 14.966 2.046 0.072

Vкь 2.793 0.111 3.057 4.909 5.428

Метод регуляризации экономических параметров наглядно показал возможность существенного снижения отклонения от эталонного значения характеристик производства связанных с капиталом.

Автор благодарит научного руководителя В.К. Горбунова за внимание и помощь в работе.

Библиографический список

1. Горбунов В.К. О регуляризации экстремальных задач // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1991. Т. 32. № 2. - С. 235-248.

2. Горбунов В.К. Регуляризация нелинейных некорректных задач с параметризованными данными // Нелинейный анализ и нелинейные дифференциальные уравнения / Ред. Треногин В.А. и Филиппов А.Ф. -М.: Физматлит. 2003. - С. 418-447.

3. Горбунов В.К., Львов А.Г. Построение производственных функций по данным об инвестициях // Экономика и матем. методы. 2012. Вып. 2, -С. 95-107.

4. Горбунов В.К. Производственные функции: теория и построение : учебное пособие / В. К. Горбунов. - Ульяновск : УлГУ, 2013. - 84 с.

5. Горбунов В.К. О размерностной проблеме в экономике: производственная функция как «псевдо-чёрный ящик» // Журнал экономической теории. 2014. №1, - С. 199 - 212.

6. Горбунов В.К., Крылов В.П., Львов А.Г. Оценка эффективных фондов методом производственных функций // XIV Апрельская международная научная конференция по проблемам развития экономики и общества. Книга 1. - М.: Издательский дом высшей школы экономики, 2014. С.173-183.

7. Горбунов В.К., Крылов В.П. Построение производственных функций по данным об инвестициях // Представлено в Журнал проблемы прогнозирования. 2014.

8. Горбунов В.К., Крылов В. П. Регуляризация задачи построения капитальных производственных функций по информации об инвестициях // XVI Байкальская международная школа-семинар "Методы оптимизации и их приложения". - Иркутск: Институт систем энергетики им. Л.А. Мелентьева СО РАН, 2014.С.148-148.

9. Ортега Дж. Рейнболдт Дж. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными - М.: Мир. 1975.

10.Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука. 1986.

11.Фёдоров В.В. Численные методы максимина. М.: Наука. 1979.

12.Cobb G.W., Douglas P.H. A theory of production // American Economic Review. - December, 1928. P. 139 - 165.

13.Geary R.C. A note on "A constant-utility index of the cost of living" // Review of Economic Studies. 1950. V. 18, No 1, P. 65 - 66.

References

1. Gorbunov V.K. O regulyarizatsii ekstremal'nykh zadach // Zhurnal vychislitel'noy matematiki i matematicheskoy fiziki. 1991. T. 32. № 2. - S. 235-248.

2. Gorbunov V.K. Regulyarizatsiya nelineynykh nekorrektnykh zadach s parametrizovannymi dannymi // Nelineynyy analiz i nelineynye

differentsial'nye uravneniya / Red. Trenogin V.A. i Filippov A.F. - M.: Fizmatlit. 2003. - S. 418-447.

3. Gorbunov V.K., L'vov A.G. Postroenie proizvodstvennykh funktsiy po dannym ob investitsiyakh // Ekonomika i matem. metody. 2012. Vyp. 2, - S. 95-107.

4. Gorbunov V.K. Proizvodstvennye funktsii: teoriya i postroenie : uchebnoe posobie / V. K. Gorbunov. - Ul'yanovsk : UlGU, 2013. - 84 s.

5. Gorbunov V.K. O razmernostnoy probleme v ekonomike: proizvodstvennaya funktsiya kak «psevdo-chernyy yashchik» // Zhurnal ekonomicheskoy teorii. 2014. №1, - S. 199 - 212.

6. Gorbunov V.K., Krylov V.P., L'vov A.G. Otsenka effektivnykh fondov metodom proizvodstvennykh funktsiy // XIV Aprel'skaya mezhdunarodnaya nauchnaya konferentsiya po problemam razvitiya ekonomiki i obshchestva. Kniga 1. - M.: Izdatel'skiy dom vysshey shkoly ekonomiki, 2014. S.173-183.

7. Gorbunov V.K., Krylov V.P. Postroenie proizvodstvennykh funktsiy po dannym ob investitsiyakh // Predstavleno v Zhurnal problemy prognozirovaniya. 2014.

8. Gorbunov V.K., Krylov V. P. Regulyarizatsiya zadachi postroeniya kapital'nykh proizvodstvennykh funktsiy po informatsii ob investitsiyakh // XVI Baykal'skaya mezhdunarodnaya shkola-seminar "Metody optimizatsii i ikh prilozheniya". - Irkutsk: Institut sistem energetiki im. L.A. Melent'eva SO RAN, 2014.S.148-148.

9. Ortega Dzh. Reynboldt Dzh. Iteratsionnye metody resheniya nelineynykh sistem uravneniy so mnogimi neizvestnymi - M.: Mir. 1975.

10. Tikhonov A.N., Arsenin V.Ya. Metody resheniya nekorrektnykh zadach. M.: Nauka. 1986.

11. Fedorov V.V. Chislennye metody maksimina. M.: Nauka. 1979.

12. Cobb G.W., Douglas P.H. A theory of production // American Economic Review. - December, 1928. P. 139 - 165.

13. Geary R.C. A note on "A constant-utility index of the cost of living" // Review of Economic Studies. 1950. V. 18, No 1, P. 65 - 66.