Конечные деформации искусственного спутника Земли в плоскости орбиты

глядность - доступный чувству зрения и вообще чувствам, часто употребляется в смысле «осязательный», «конкретный», в противоположность отвлеченному». «Наглядность - сила, развивающая внимательность, мышление, она придаёт эмоциональную окраску познанию» [Сухомлин-ский В. А., 1979-1980, Т. 2. С. 538]. Все эти трактовки ясно дают понять, что наглядность - это «готовый» образ, качество созданного образа, соответствует схеме «субъект-объект», а визуализация- это процесс создания образа, соответствует схеме «объект - модель - субъект».

Выводы о визуализации. Как показывает опыт изучения стереометрии учащимися ПУ, использование визуализации способствует:

• Развитию познавательного интереса к стереометрии за счет реализации межпредметных связей. Это обусловлено той необходимостью, что интерес к профессии выше, чем к геометрии.

• Решению практических задач. Без визуализации многие профессиональные задачи решить практически невозможно, так как сварщик должен не только математически высчитать, но и наглядно представить объект выполнения. В процессе работы будущий сварщик будет постоянно сталкиваться с объемом и формой сварной конструкции, с площадью металла и толщиной металла, с весом сварной конструкции, диаметром электрода и силой тока, поэтому профессионально-ориентированные задачи являются актуальными в процессе развития компетентностного подхода в математике.

• Созданию образа восприятия, которое необходимо при выполнении сварной конструкции. Только визуальное представление (в виде образа воображения, рисунка, фотографии, чертежа), дает возможность изготавливать сварную конструкцию.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Александров, Д. А. Геометрия и приложения / А. Д. Александров. - Новосибирск: Наука, 2006. - lii + 748 с. - (Избранные труды. Т. 1).

2. Вербицкий, А. А. Компетентностный подход и теория контекстного обучения / А. А. Вербицкий. - М.: ИЦ ПКПС. - 2004. - 84 с.

3. Дорибидонтова, А. А. Визуализация теоретических фактов как средство взаимосвязи геометрии с профессиональными дисциплинами / А. А. Дорибидонтова, М. Г. Макарченко // Вестник ТГПИ. Физико-математические и естественные науки. - 2009. - № 1. - 194 с.

4. Костюк, Н. В. Развитие у обучающихся позитивной мотивации к профессиональному образованию // Образование. Карьера. - 2004. - № 3.

5. Новые педагогические и информационные технологии в системе образования : учеб. пособие / сост. Е. С. Полат и др.; под ред. Е. С. Полат. - М.: Академия, 2002.

6. Проблемы теории и практики обучения математике : сб. науч. тр. Международ. науч. конф. «64 Герце-новские чтения» /под ред. В. В. Орлова. - СПб.: Изд-во РГПУ им.А. И. Герцена, 2011. - 288 с.

УДК 531.38 ББК 22.21

А. А. Илюхин

КОНЕЧНЫЕ ДЕФОРМАЦИИ ИСКУССТВЕННОГО СПУТНИКА ЗЕМЛИ

В ПЛОСКОСТИ ОРБИТЫ1

Аннотация. В работе исследованы нелинейные колебания гравитационного искусственного спутника Земли в плоскости орбиты. Указаны возможные положения равновесия и исследована устойчивость по части переменных.

Ключевые слова: искусственный спутник Земли, стержень, равновесие, устойчивость.

A. A. Ilyukhin

FINITE DEFORMATION OF AN ARTIFICIAL EARTH SATELLITE IN THE ORBIT PLANE

Abstract. We have investigated of nonlinear oscillations of a gravitational satellite in the orbital plane of the Earth. The possible position of equilibrium and stability of the variables studied.

Key words: artificial Earth satellite, core, balance, stability.

1 Данная работа выполнена при финансовой поддержке государственного задания Министерства образования и науки РФ ФГБОУ ВПО «ТГПИ имени А.П. Чехова» по проекту № 1.1885.2011, тема: «Математическое моделирование статики и динамики гибридных механических систем и идентификация их параметров», научный руководитель А. А. Илюхин.

Гравитационные спутники Земли представляют, как правило, гибридную систему, состоящую из абсолютно твердых и деформируемых частей. Наиболее простые конструкции спутника, либо его свойства на некоторых этапах полета (например, до развертывания солнечных батарей и антенн) можно с достаточной точностью на этапе стабилизации полета представить как систему двух тел (приборная часть и стабилизатор), соединенных достаточно длинными упругими стержнями. Предельный случай, когда вместо стержней используют тросы (малой изгибной жесткости) в данной работе не будет рассматриваться. Плоскость орбиты спутника сориентирована так, что источники основных возмущений приводят к дополнительным перемещениям частей системы, в основном, в плоскости орбиты спутника. В силу того, что тела удалены друг от друга за счет большой длины стержня достаточно далеко, то можно вместо тел в рамках первого приближения рассматривать материальные точки и пренебречь влиянием моментов сил инерции тел на устойчивость системы. Предполагается, что стержень имеет конечную изгибную жесткость, и поэтому потенциальная энергия деформации сопоставима по величине с другими составляющими общей энергии. В тоже время кинетическую энергию колебаний стержня считаем пренебрежимо малой по сравнению с кинетической энергией абсолютно твердых частей. Из этих предположений следует, что в работе будем рассматривать широкоамплитудные колебания в окрестности прямолинейного положения равновесия, а вибрациями стержня будем пренебрегать. Предполагаемый порядок величин будет учтен при составлении уравнений движения. В качестве основных уравнений выведем уравнения Лагранжа 2-го рода. Для этого необходимо выбрать обобщенные координаты, определяющие положение данной механической системы. Абсолютную систему координат Охуг выберем в центре Земли, направив оси Ох и Оу в плоскости орбиты спутника. Кроме

того, выберем орбитальную систему координат ОхХхухгх с началом Ох координат в центре масс спутника: ось ОхХх направим из центра масс Ох спутника в центр Земли О; ось Охух располагаем в плоскости орбиты перпендикулярно оси ОхХх в сторону движения спутника; ось О^х дополняет две данные оси до трехмерной правой системы координат. Свяжем со спутником еще одну систему координат ОхХ2у^2 . Ось ОхХ2 направим из точки Ох через материальную точку

Мх, лежащую во внешней части орбиты; ось Оху 2 - лежит в плоскости орбиты, а ось О^2 дополняет эти две оси до правой декартовой системы координат.

Введем следующие обозначения: х - расстояние от Ох до материальной точки Мх массы тх, у - угол между осями ОхХх и ()]X 2. К - расстояние от центра масс Ох спутника до центра О масс Земли, у - истинная аномалия, В - жесткость стержня на изгиб в плоскости Охх2у2, ? - время, т, т2 - массы концевых тел.

Так как на концах находятся сосредоточенные массы, то со стороны материальных точек на стержень будут действовать только концевые силы, а концевые моменты будут отсутствовать. Причем эти силы равны по величине и противоположны по направлению, так как стержень считаем невесомым (точнее говоря, массой стержня по сравнению с массой концевых тел пренебрегаем). В

этом случае точка Мх в системе координат, связанной с концевой силой, имеет координату Х 0,

определяемую равенством [4]:

х0— /

Е к

2--1

^ к

где Е к и Е к - полные нормальные эллиптические интегралы Лежандра первого и второго рода, к - эллиптическая амплитуда. Воспользовавшись тем, что точка О1 - центр масс спутника, получим выражение для координаты х через эллиптическую амплитуду к в орбитальной систе-

ме координат:

тЛ х=-—

тх+т2

Е к

2-

^ к

Поле тяготения Земли будем считать ньютоновским. Выражение для силовой функции, определяющей действие гравитационного поля Земли на спутник, можно записать в виде [1]

и= ¡л

{ \

т, тп

—— +—-

уОМх OM2J

где / - гравитационная постоянная, М - масса Земли. С учетом связей между расстояниями ОМ, и ОМ2 для функции и получим:

и=

/итх

+ х2 + 21ЪСС0ВУ

+ -

/ит2

\

„9 ТУ1Л 9 _ ТУ1Л у,

Я2 +—^х2-2^Кхсоь у

тп

тп

В формуле (3) учтено, что т}Х} + 111.2Х2 — 0 (для удобства записи Х1 = X).

Потенциальная энергия V упругой деформации стержня (3) также выражается через нормальные эллиптические интегралы Лежандра первого и второго рода [2]

Г = ^ к I

Е к - 1 -к2 ^ к

Запишем кинетическую энергию системы:

т

где = Яег

Т = щ 2

^' ™ (' 2 т,+т^ 1 т

Я+г

+ -

2

Я+г

л 1 "Ч 4

Я+--L щ+т2 г

2 2 т,

/<=/<сг+1>Мсу1

• ф

Я2 =Я2 + у2Я2, г=хе

' 1 х

Г1 =Хех + У+У Хеу7, Г1 =Х +

-2 2

У+уI X

В приведенных равенствах обозначено: ех, еу - орты осей Ох 1, Оу 1, а е^, е орты осей О1х2, О1 у 2.

Таким образом, кинетическую энергию системы можно представить в следующем виде:

щ +т2 ( \ \ 2 | 1 т1 , 2 1 2 /и.

В качестве обобщенных координат, определяющих положение механической системы выберем переменные Я, у,у,х. Уравнения Лагранжа второго рода

( \ дТ

% % %' ' '

1

Г \2

с учетом конкретных обозначений каждой из обобщенных переменных примут вид:

4%1Х + т2 4(1Х + т2

^з =Х :

т1 ^

— Щ + Г,

т2

Чл =У-

т1 ^

—^ +т т,

+ х2 + 2,Нхсозу J

/ш2\ И---хсозу

т2

2 т- 2 тх 2

Я + —ух -2^-Лесовода, »г.

= 0

А.

!-х1у = С

ГПг.

у+у \ х

12 +Х2

рпл —-х-Лсо ъу

»г, 9 „ »г, »г, »г,

•• •• \ 9 / * *

¡лт^К эт ^

- + — = 0

^ + Эх 2

¡ит^ эт ^

= 0

[?2 +х2 +21{хсо$,у I Перейдем в этой системе к безразмерным переменным:

т1

ОТ, 9 „ /А/, ^

Я +—^Х2 -2—1-Яхсозу

т,

Ро

А

' т21

Я = ЯЧ, Х = х'1,

т1=тт2, да2=1 , / = —,

Ро

/л = /л'1ър1 , В = В'т213оР1 В' = 1 тогда

с/2

ё ё с/

При записи уравнений в безразмерном виде штрихи опустим и получим окончательный безразмерный вид системы уравнений движения ИСЗ:

^7 + 1

\ • .V I 2А'лсох;'^ | • /» V 2т11хсо*у~_

= 0

+ /ИГ2 V

С

¡т^ + хсоъу

рт^-хсяъу^

|2+х2|2 + от2х2 -2тЯхсо^у1

дУ Л. 1^2

^ ах ^ >

2

2

3

2

4р + \ух + /Msmy

1

1

|?2 +т2х2 -2Rmxcosy 2

+х2 +2Rxcosy2

= 0

Система дифференциальных уравнений (6) является достаточно громоздкой и сложной.

д¥

Кроме того, она содержит неявные сложности за счет того, что производная - не выражается в

дх

явном виде как функция х и поэтому при интегрировании системы придется пользоваться выражением для V их через эллиптические интегралы Лежандра Е к и Е к .

Условия относительного равновесия. Найдем условия, при которых система дифференциальных уравнений будет иметь стационарный режим движения. Для чего положим:

• ••

х = х = у = у = R = R- v = 0 Ограничения (7) приводят к совокупности равенств: /raC + xcosf"] jud-mxcosy^

J' • .v" • 2A'.vcos,v^ |'-«/Y 2/»A'.vcos;'^

= iti + l ~y2R,

R'

+ mx v = -

C

/tfw^ + xcos/

+

/ш ipx - R cos у

J' • .v" • 2A'.vcos,'_ |'-«/Y 2/»A'.vcos/_

1 1

4p + \yx + /jRsmy

dV £ л^'г n + — = тщг + 1 v R,

3 dx

+m2x2-2mRxcosy^\ J • .v • 2A'.vcos;'^ Из второго уравнения системы (8) получим:

= 0.

R = v = 0

А из четвертого уравнения с учетом равенств (9) приходим к следующему условию:

т-1 х

cos у =-

2R

Подставив значение COS у в первое уравнение системы (8), получим значение для скорости изменения истиной аномалии:

v2 =

+тхг\

Условия (8) и (9) приводят к равенству

8V_ дх

= 0,

которое означает, что в стационарном режиме полета упругий стержень является прямолинейным. Найдем значение координаты х для прямолинейного стержня. В этом случае стержень недефор-

мирован и О центр масс спутника. Учет растяжимости стержня не влияет на устойчивость системы, так как в этом случае несколько увеличивается его жесткость В [3]. По определению коор-

динаты х и безразмерных переменных получаем, что х = система допускает следующее стационарное решение:

С 1

1

т + 1

-. Таким образом, получаем, что

т — 1 1 cos у = —--=

24(1 + 1

т + 1

т +1 r2+_

R = -

m + l

4ti + \

С4

2 1 2 ju m + l

— т

1

m

Кроме решения (10) возможно еще одно решение:

sin у = 0, у = як, к <=Z

Это вертикальное расположение спутника, т. е. стержень расположен по местной вертикали в точке Ох. Рассмотрим случай у = 0. (случай у — л эквивалентен рассматриваемому при

замене Ш на —). При условии у = 0 система (8) принимает вид: т

/ит

R + .

= 4ti + \y2R

+ тх2 V -

C

m + 1

/лт

И

R + x 3 R-mx ^ m dx

1 dV á --= 4¡i + \y

Из системы уравнений (11) определяются значения переменных v,x,R, соответствующих

стационарному решению. Заметим, что:

dv

- при сжатии стержня -< 0,

дх

1 дУ Л

- при растяжении стержня ( х >-) производная -> 0.

т +1 дх

Из последнего уравнения системы (12) получаем:

R + x R-mx т дх

1 dv

--= f¡l +1 у X

1. Если х > 0, то правая часть в равенстве (16) - положительна так же, как и левая. Но

разность

/л

М

R + x

R-mx

<0

дУ

поэтому производная -> 0 при х > 0 . Значение х > 0 соответствует тому, что прямоли-

дх

нейный стержень растянутый. Сжатым он при х > 0 не может быть.

2. Если х < 0 , то правая часть уравнения (12) - отрицательная и, следовательно, отрицательна ее и левая часть. Так как при л: < 0 справедливо неравенство

/л /л

>0

R + x

R-mx

dV

то из условия (16) следует -< 0. Имеем случай сжатого стержня.

дх

Устойчивость положения относительно равновесия. Исследуем устойчивость по части переменных стационарных решений по переменным относительного движения х и у при помощи обобщенной функции Раусса [5]. Так как система консервативная, то для исследования устойчивости движения, соответствующего стационарному решению, можем использовать интеграл энергии:

Н =V + ^4ti+l\\R2 + v2 R2 \ +^min+1

/лт

/Л

sJr2 +х2 +2Rxcosy sJr2 +m2x2 -2mRxcosy

- const

mx

x

2

Из второго уравнения (11) найдем производную V циклической обобщенной координаты V и исключим ее из интеграла (13). Тем самым, получим интеграл энергии для приведенной системы:

Н =— т+ 1СЯ2 + тх2 Н—тт+1

цт

г>2 2

Я х

; 1

2 Г

Я тх

С2

М

^Я2 + х2 + 2Яхсо$у {я2 +х2 -2Яхсо$

2 т+1 2 + тх 2

г + V = const

Вычислим вторые производные функции Н по переменным у, у , х,х при условии у = 0. ;/ :

д2Н ~дуГ

д2Н д2Н

= ¡лтЯх

1

1

Я-тх

К2х3

Я + х

>0 ,

С2т Я2-3тх2

дх т +1 л

°2н Л. п

-= ?и»г +1 > 0 :

• —;

2 , 2 таг

-2 /лт-

1

Д + х

-2(лт2

1

Я-тх

д2Н д2Н д2Н д2Н д2Н д2Н

- 0

о/бх дхду 8x8 х

Для устойчивости решения по переменным X и у на исследуемых стационарных решениях достаточно, чтобы все главные миноры матрицы Гесса были положительными:

( д2Н

ду2 д2 Н

2Н 2Н 2Н

д2Н

дудх

2Н

дуох д2Н д2Н

дуду ду2 дхду дхду д2Н д2Н д2Н д2Н

дудх

дхду

дх2

2Н 2Н 2Н 2Н

дудх дхду дхдх дх

0

д2 н

о о

о 0

д2 н

дх2

о

о о

о

д2 н

дх2,

Так как матрица Гесса имеет диагональный вид, то для устойчивости достаточно потребо-

д2Н

вать положительность всех элементов. Нетрудно видеть, что

ду2

> 0 при л: > 0,

ду дх2

Таким образом, для устойчивости решения, когда стержень сжат (петля), по переменным X и у необходимо потребовать, чтобы выполнялось неравенство:

с12У С2т Я2 -Зтх2

>

2 ¡.т 2/лт2

с1х2 т +1 л2+тх2

где х и Я удовлетворяют равенствам:

/лт ¡л

Я + х

Я-тх

С2Я

Я + х

Я-тх

т +1 Я + тх

тх

дх2

з

3

2

2

/I /I | 1 йУ С2х

Я + х Я-х т ¿/х т + \ Я2+тх2

Случай прямолинейной формы равновесия. Для стационарного решения в случае «гантели» из условия устойчивости следует, что неравенство (14) и равенства (15) и (16) должны выполняться как и в случае «петли». Заметим, что для растягиваемого стержня вид потенциальной энергии V упругой деформации уже другой, так как в этом случае удается выразить V через х. Используя закон Гука для изотропного однородного стержня, неравенство (14) и два уравнения (15) и (16) примут вид:

, 2 „„ С2х Я2-Зтх2 2т и 2т2и т + \ ЕБ >--- +-—- +

т +1 11  шх ' Д + х3 Я-тх3

т/л /л С2Я

+

2 2 2 Я + х Я-тх т +1 Я2+тх2

/л /л т +1 г -, Сх

Е5[ т +1 х-1]:

2 2 I ч» > л. ** л. I 2

Я + х Я-тх т т + \ я2+тх2

где Е - модуль Юнга для материала, из которого выполнен стержень, а Б - площадь поперечного сечения стержня.

Исследуем на устойчивость первое стационарное решение:

д2Н _ 3 /да т-\2-4Я2 т + \ 2

д? Ат + 1Ъ Я2+ тх2 2

Для оценки знака второй производной ^ ^ необходимо сравнить Я2 и _—_1_. Так

ду 4 т +1

2

как ———1— меньше 0,25, а величина Я2, как было установлено ранее больше 0,25, то произ-4 т +1

д2Н

водная - - отрицательная. Следовательно, уже первый минор матрицы Гесса будет отрица-

ду2

тельным. Поэтому требование о положительности всех главных миноров матрицы Гесса для функции Н, необходимое для устойчивости исследуемого решения, не выполняется.

Вывод. Решение, описывающее положение относительного равновесия в виде «петли» является неустойчивым.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Белецкий, В. В. Движение спутника относительно центра масс / В. В. Белецкий. - М.: МГУ, 1975. -332 с.

2. Илюхин, А. А. Пространственные задачи нелинейной теории упругих стержней / А. А. Илюхин. - Киев: Наукова думка, 1979. - 216 с.

3. Илюхин, А. А. Задача растяжения - сжатия естественно закрученного стержня в рамках моментной теории упругости / А. А. Илюхин, А. К. Попов // Механика твердого тела. - 2011. - Вып. 41. - ИПММ НАНУ. - С. 175 - 186.

4. Попов, Е. П. Теория и расчет гибких упругих стержней / Е. П. Попов. - М.: Наука, 1986. - 296 с.

5. Румянцев, В. В. Об устойчивости движения по отношению к части переменных // Вестник Московского университета. - (Математика, механика). - 1957. - № 4. - С. 9-16.