Структура течения невязкого газа в окрестности изолированной критической точки

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ Том XIII 198 2

№ 2

УДК 532.526.2.011.7

СТРУКТУРА ТЕЧЕНИЯ НЕВЯЗКОГО ГАЗА В ОКРЕСТНОСТИ ИЗОЛИРОВАННОЙ КРИТИЧЕСКОЙ ТОЧКИ

И. В. Петухов

Определена структура установившегося регулярного течения невязкого совершенного газа в окрестности изолированной критической точки растекания на поверхности затупленното тела во втором приближении с учетом завихренности течения.

Знание структуры течения невязкого газа в окрестности критической точки необходимо при рассмотрении задачи численного расчета пространственного пограничного слоя. В имеющейся литературе при рассмотрении внешнего течения в окрестности критической точки на затупленном теле обычно используется решение в первом приближении, впервые, по-видимому, рассмотренное в [1] в предположении о безвихренности течения. Определим течение как регулярное в точке, если в этой точке поле скорости разложимо в ряд Тейлора, и регулярное, если оно регулярно в любой точке. Содержание работы [1] можно рассматривать как решение в первом приближении для регулярного течения в окрестности изолированной критической точки, поскольку отсутствие вихря в этой точке является следствием регулярности течения. Примеры нерегулярных завихренных течений в критической точке рассмотрены в [2].

В настоящей работе исследована структура установившегося регулярного течения невязкого совершенного газа в окрестности изолированной критической точки на затупленном теле во втором приближении с учетом завихренности течения. В приложении к задаче пространственного пограничного слоя результаты работы позволяют более детально исследовать течение в окрестности критической точки, а также позволяют с большей точностью определить начальные значения для численного расчета пограничного слоя на всей поверхности тела.

1. Общий характер течения на поверхности тела с изолированной критической точкой. Рассмотрим установившееся течение

і

невязкого газа около некоторого пространственного тела, ограниченного гладкой поверхностью F. Имеем

«Х<« = —gradр + grad

divS—------—grad р,

где c«=rotw — вектор вихря, и — вектор скорости, « = \и\, р~давление, р — плотность.

Вычисляя rot от обеих частей уравнения (1.1), получим

ш ^iV w + ~J~ X Srac* Р' 0*3)

Здесь и ниже приняты тензорные обозначения при суммировании: ^’—криволинейные координаты; а1—контравариантные со-

— — —

ставляющие вектора а — a1 rt; г^дг/дх1— векторы координатного

репера; г — радиус-вектор, отсчитываемый от критической точки Р, i — 1, 2, 3. В выражениях вида as и (а)5 буква s означает индекс и степень соответственно.

3 точке Р, где и —О, из (1.1) —(1.3) имеем

grad/? = О,

div# —О,

=

дх1 V '

Пусть о)^6 0 в точке Р. Тогда из (1.6) следует, что и~0 вдоль вихревой линии, проходящей через точку Р. Следовательно: а) критическая линия совпадает с вихревой линией; б) в изолированной критической точке Р

;=о.

Ниже ограничимся рассмотрением случая изолированной критической точки растекания на поверхности F.

Общая картина обтекания описывается следующим образом. Имеется присоединенная линия тока L, не принадлежащая к F и упирающаяся в точку Р; из точки Р берут начало все линии тока на поверхности F. Следовательно, любой параметр течения, который не меняется вдоль линии тока, имеет одно и то же значение на L и на F.

Для совершенного газа имеем

PIPa —

где i — теплосодержание, * — показатель адиабаты. Индексом „0“ внизу отмечены параметры торможения.

Параметры торможения g0, рассматриваемые на L и на F, принимают значения g в точке Р.

Из сказанного следует, что grad^0, а с учетом (1.8), (1.9) и grad^ равны нулю в точке Р. В частности, в точке Р имеем

gradP = 0.

Далее из (1.8) и (1.9) следует

gradf p^pgradF i,

где grad*- g означает ортогональную проекцию grad# на касательную плоскость к поверхности F или градиент скалярного поля g на F [3].

Из (1.1), (1.9) и (1.11), получаем, что на поверхности F

•« = 0,

где — проекция на нормаль к F.

Таким образом, при обтекании тела с изолированной критической точкой растекания имеем: а) в точке Р градиенты всех скалярных газодинамических величин равны нулю; б) поверхность тела F является вихревой поверхностью, причем точка Р является критической и для вихревого поля.

Решение задачи в первом приближении определяется на основе уравнений (1.5) и (1.7), справедливых с погрешностью порядка и.

Пренебрегая в системе (1.2), (1.3) членами порядка {uf и учитывая

(1.4), (1.7), (1.10), наряду с (1.5) получим

, да = 0>

сЬе* дх1

>

где вместо и подставлено решение из первого приближения. Решение во втором приближении определяется на основе (1.5) и (1.13). Ниже эти приближения рассмотрены применительно к затупленному телу.

2. Решение задачи в первом приближении. Введем декартовы прямоугольные координаты х1> причем координатная плоскость является касательной к^в точке Р.

Решая систему (1.5) и (1.7), получим

и2 — и\х2> и,г*=и\:с3,

й} + и*+и|=0. . '

Здесь направления осей х1, х2 выбраны таким образом, чтобы они совпадали с главными направлениями течения [1] или с главными направлениями линий тока на Р. Все три координатные оси совпадают с главными линиями тока. Таким образом, в изолированной критической точке: а) присоединенная линия тока ортогональна поверхности тела б) на поверхности Р существуют две главные линии тока, взаимно ортогональные в точке Р.

В рассматриваемом случае изолированной критической точки растекания на Р имеем с учетом

и\>0, и|>0, и|<0.

Ниже для определенности примем: и\'^-и\. Уравнение линии тока на Г имеет степенной вид

х2 = А

где X = иЦи\\ X > 1.

Прн рассмотрении картины течения на поверхности Р в рамках первого приближения показатель X должен быть подчинен условию X < 2. Из (2.4) следует также, что при X > 1 координаты х1, х2 являются величинами разного порядка вдоль линий тока:

*1 = г*, х\ = г*

Здесь и ниже е = &* г*, к* — характерная величина для кривизны главных линий тока, г* — малое фиксированное расстояние от точки Р.

Для графической иллюстрации течения введем безразмерные координаты х, у порядка единицы

х=хг!х\, у=х2!х%.

Пусть значения = 2) описывают вокруг точки Р

некоторую замкнутую кривую в малой окрестности точки Р в зависимости от полярного угла 6

*£ = *и0

Течение рассматривается в области, ограниченной кривой (2.7). Уравнение (2.4) примет вид

У /У о 1=3 (-*/*•о)х.

В плоскости х, у картина течения не зависит от г. Можно

убедиться, что выбор формы кривой (2.7) не влияет на картину

линий тока в плоскости л:, у. Ниже примем: х0 = со5ф; у0 = б1п

А-/; с=0 90°

Картины течения на рис. 1 и 2 определяют два типа критической точки растекания на /\ геометрическая структура которых аналогична известным типам особых точек дифференциальных уравнений [4]; а) вырожденный узел (Х*=»1); за главные линии тока можно взять две любые взаимно ортогональные линии тока; картина течения симметрична относительно точки Р; б) узел со степенной особенностью (Х> 1); имеются только две главные линии тока, причем одна из них является линией растекания, а вторая-линией стекания; картина течения симметрична относительно главных линий тока.

3. Решение задачи во втором приближении. Построим решение задачи во втором приближении. Из (1.13) и (2.1) получим = £=1,2,3, где (о? удовлетворяют уравнениям

Равенства (3.2) эквивалентны условию (1.12). Равенства (3.3) показывают, что направление оси х8 совпадает с направлением присоединенной вихревой линии. Из (3.2) —(3.4) следует, что при X > 1 главные направления вихревых линий на р совпадают с главными направлениями линий тока.

•}(«* —л|) = О, А, г-1, 2, 3. Из (3.1) с учетом (2.3) следует

Выражение для составляющих скорости имеет вид

uk~uhkxk + —g—и* jc* дс/, k = 1,2,3,

где = и с учетом

“!i + “2i + 4l = °. а12 + и1г + “з2 = °. “!з + “а + “зз = 0-

Далее из (3.2), (3.3) следует

в}2 = в?,, и|, = <,

и|2 = *4,, в|, = 4,.

Кроме того, из (3.4) при \ > 1 имеем

. й|, = и|2, й]3 = и .

В случае безвихревого течения все индексы у коэффициентов ufj перестановочны:

k> 2» 3.

Рассмотрим геометрическую картину течения. В общем случае имеются три главные поверхности тока, пересекающиеся в точке Р и взаимно ортогональные в этой точке. Линии пересечения этих поверхностей образуют главные линии тока.

Ниже каждый из индексов р, q, г принимает значения 1, 2, 3 и отличен от другого. Суммирование по этим индексам не производится. Координата хт вдоль главной поверхности тока определяется уравнением

=4- %Р хр хр+2ьихР х“+хЧ х")-

Здесь brppy Ьгрд, bTqq являются коэффициентами второй квадратичной формы на поверхности.

Рассмотрим для определенности уравнение поверхности тела

*3 = 4- Х'х' + 2*3, x'x' + b^x1 X2).

Обозначая х?.^дхъ1дх*} г= 1, 2, получим

х\ = Ь\х х1 + Ь\2х\ х1 = Ь*пх' + Ь%>х\

На поверхности F имеем

иг=вх\их-\-x\u?.

Используя в (3.12) выражения (3.5), (3.10), (3.11), получим при г = 3 и аналогично при г = 1,2

'и,рр = -“РКр' '•-•.2,3, рфг,

“и = — г—1,2,3, рфг, чфг, рф Ч-

Выражения (3.13), (3.14) получены на основе общей геометрической картины течения, указанной выше. Эту же картину течения

можно получить из выражений (3.5) при условии, что или

А-5? иг>0;(~0

71

Рис. 3

что Х = 2 и «^ = 0. При Х = 2 и и\хф0 первой главной поверхности тока не существует, и все формулы, где фигурируют коэффициенты Ъ\р ^э, следует изъять. В этом случае уравнения линий тока на поверхности Р имеют вид

х1 — Xх хх 1п ,

и2 х0

где ^ — параметр: 0<|хЛ<оо.

С учетом (2.5) примем

1 ^ 1 I «II |

X* X, - Г* £, в — — 2~" Г

и2

Уравнение (3.15) в координатах (2.6) примет вид

у =* ± 2хх 1п ~ ,

где знак в правой части берется в зависимости от знака и\г

Соответствующая этому случаю картина течения показана на рис. 3. Эта картина не зависит от е и определяет критическую точку растекания, аналогичную узлу с логарифмической особенностью; на Т7 имеется только одна вторая главная линия тока, относительно которой картина течения симметрична.

4. Картина течения на поверхности тела в окрестности критической точки. Ниже рассмотрим картину течения на поверхности ^ (3.10), С требуемой точностью выражения (3.5) при к = 1, 2 примут на этой поверхности вид

и* и\х* + х1 + х2 + и$2 х*х2)} к =1,2,

где с учетом

и\\ “ ^22 ~ ^33* а%1= ' ^11 ~ ЙЭЗ»

«22= ^22» ^11 =

С учетом (3.7), (4.2)—(4.4) все коэффициенты «* из (5.1) могут быть выражены через геометрические параметры &*., где и — кривизна ортогональной проекции соответственно второй и первой главной линии тока на плоскость -*3,— 0; Ь\ъ и Ь\^—кривизна ортогональной проекции присоединенной линии тока на плоскость л;2 — 0 н соответственно.

Вектор кривизны А* присоединенной линии тока направлен по касательной к Р

кь — &зз + Ь\ьг 2,

^ — ^СОБб, 6|^ = ^£81П0.

—У- ——*• —¥•

Здесь £* = |кь\> 6 — угол между кь и гх> отсчитываемый от гх против часовой стрелки.

С учетом

м “11 + «22 . я _ “22 + “И

33 Ъи\ 4- 2и| 5 33 ~ 3«2 + 2«! ‘

Можно показать, что составляющие и2 на поверхности Р совпадают с контравариантными составляющими вектора скорости в связанной с поверхностью Р системе координат х1, х2 (ЗЛО). С другой стороны, выражения (4.1) для и2 на поверхности Р имеют тот же вид, что и выражения (3.5) на плоскости х3=0. Отсюда следует, что при рассмотрении течения на поверхности Р во втором приближении эта поверхность может быть заменена касательной плоскостью л:8 —0. В частности, произвольные системы координат, связанные с поверхностью Р, и их преобразования могут рассматриваться иа касательной к этой поверхности плоскости .х3=0. Отметим также, что, как это видно из (4.2), (4.3), форма поверхности Р, так же как и наличие завихренности, непосредственно не сказываются на структуре течения на этой поверхности.

Рассмотрим картину линий тока на Р. Случай Х = 2, иС\х ф 0 [см. (3.15)] и близкие к нему исключим из рассмотрения. Определим линии тока в общем случае разложения (4,1), где не связаны соотношениями (3.7), (4.2), (4.4). В общем случае сохраняют смысл лишь выражения (4.3).

Введем новую систему координат г1, г3

хк —

Ниже пренебрегаем малыми величинами второго порядка по сравнению с единицей. В соответствии с этим, например, в членах второго порядка можно заменять гк на хк. Положим

= ^22> «11 = Ьп>

«И ” ‘ == (^12 * «а)/^2>

«22 = 2 * 2«2ї ^ “ (иі2 «1>/"Ь

где съ с2 — произвольные константы.

Из (4.5), (4.6) следует, что главные линии тока изображаются в плоскости z1, z3 прямыми г2 = 0 и zx = 0. Контравариантные

составляющие wi, w2 вектора и в системе z1, z2 примут вид wk = ~u\zkc, где 1 + сх z1 -f с2 г2. Следовательно, картина линий тока во втором приближении имеет тот же вид в плоскости Z1, г3, что и картина линий тока в первом приближении в плоскости X1, X2.

Вводя параметр t, получим:

z1 — Zqz* = zg

zj = zi cos <j>, zj -• z2 sin <}>,

где аналогично

zl^xl^r^ z2 = r#

и с учетом

** = r*

В плоскости л1, х2 уравнения линий тока в параметрической форме задаются соотношениями

21=*!, Z*=Z2(t)\

где

х1 = zj t, 0<*<1.

Используя эти выражения в членах второго порядка из

^ - е\\ -1 , е22

*г = ~f (х')г + 4 (<)’ (0Х+1 + -f (2?)!

где обозначено

->-ф-^

г0

>1 — Лі!_2 --12- е2 = __2 Л12

'п *} 4 * *22 4 *

Уравнение в форме х2~я:2^1) получается при подстановке t из (4.12) в (4.13). Это уравнение не зависит от выбора с1 и с2.

Рис. 5

С ростом X при X > 4/3 некоторые члены в выражении (4.13) становятся пренебрежимо малыми. С учетом (4.9), (4.10) имеем

1) при 4/3 < 3/2

=4- *?, (^)3 + 4- I2 - Хе’п х> + еЪ г§ №1; (4-15>

2) при 3/2 <Х < 2

*3 = 4~ Ьп + г1 (0х (1-----------------y eh х1}

3) при 2 •< X < 3

Для Х>3 нужны приближения более высоких порядков.

При построении линий тока в плоскости я, у (2.6) уравнения (4.12), (4.13), (4.15) —(4.17) следует привести к безразмерному виду с учетом (4.9) — (4.11), где е — Ниже обозначено:

На рис. 4 и 5 изображены линии тока при следующих значениях параметров: рис. 4—X = 3/2, ^ = 0, &эз=—1, i = 2, е = 0,05; рис. 5— Х= 5/2, b\i = 2, в = 0,05. При е -*0 картина течения на рис. 4 переходит в картину течения на рис. 2, а картина течения на рис. 5— в изображение первой главной линии тока.

5. Течение в окрестности критической точки При X =» 1. Исследуем подробнее случай Х=*1. Используя уравнения линий тока (4.5)—(4.8), можно получить с учетом (4.14) следующее выражение для кривизны линии тока в точке Р в зависимости от начального угла наклона ф:

kg = b\j cos3 — е\х cos2 <i> sin 4» 4- f?22cos t ~ ^22sin3 Ф*

В выражении (5.1) кривизна kg положительна, если вектор кривизны направлен в сторону возрастания ф, и отрицательна в противном случае.

Ниже полагаем, что хотя бы один коэффициент из (5.1) отличен от нуля.

Уравнение линии тока с начальным углом 4* удобно записать в форме v = 0,5&£ (т:)2, где г, v— система координат, полученная поворотом исходной системы JC1, х2 на угол (Ь. В исходной системе координат будем иметь

При й^ = 0 линия тока описывает прямую линию.

Приведем следующие определения.

Линией разделения назовем линию тока £^. = 0, при переходе через которую йк меняет знак. Пусть переход совершается в сторону увеличения ф. Тогда линия разделения является линией растекания или линией стекания при изменении знака с минуса иа плюс или с плюса на минус соответственно.

Линией экстремума назовем линию тока, которой соответствует локально-экстремальное значение ке: — Линия экстре-

мума является линией минимума или линией максимума при локально-минимальном или локально-максимальном значении кё соответственно.

х1 = т cos <!> — 0,5kg (т)2 sin ф, |

х2 — х sin ф -f- 0,5kg (т)а cos ф. f

li

Из (5.1) следует: йтк^й^т (<]> -+ тс) = — с1т к81<1$т (ф), т = 0,1,2,.... Последние соотношения показывают, что линия разделения или линия экстремума проходит через точку Р, причем точка Р делит каждую из них на две части: линию растекания и линию стекания или линию минимума и линию максимума соответственно.

Прямая — 0 может быть либо линией разделения, либо линией экстремума. Рассматривая (5.1) при ^ = 0 как кубическое уравнение относительно Ф или с^Ф, можно убедиться в наличии лишь трех возможностей: а) имеется одна прямая, которая соответствует одному простому или трем одинаковым корням; эта прямая является линией разделения; б) имеются две прямые, одна из которых соответствует одному простому, а другая—двум одинаковым корням; первая из них является линией разделения, а вторая — линией экстремума; в) имеются три прямые, каждая из которых соответствует простому корню; все эти прямые являются линиями разделения. Таким образом, существует либо одна, либо три линии разделения и соответственно либо одна, либо три линии растекания и стекания.

Вышеизложенное справедливо в общем случае (4.1), (4.3). Используя (3.7), (4.2), (4.4), получим с учетом (4.14):

Типичные картины течения соответственно для случаев одной . и трех линий разделения изображены на рис. 6 и 7. Эти картины построены в плоскости ху у (2.6) на основе (5.2), (5.3). Линия растекания изображена сплошной, а линия стекания — штриховой линией. Вектор кривизны присоединенной линии тока изображен штрихпунктирной линией. За ось х принята линия разделения Ь\х — 0. В качестве взят модуль кривизны присоединенной линии

тока. В этом случае Ь1з = соз0, Йз—втб, где 0 — угол наклона вектора кривизны присоединенной линии тока к оси х. Положим 622== 2,5<з соб 0. Картины течения на рис. 6 и 7 соответствуют значениям: рис. 6 — 6 = 165°, о —е = 0,2; рис. 7 — 8 = 30°, <з==1 + + 1/1/3, е = 0,1. При е ->• 0 обе картины течения переходят в картину течения, показанную на рис. 1.

6. Уравнения пограничного слоя в окрестности изолированной критической точки. Рассмотрим уравнения пограничного слоя на поверхности Р затупленного тела с изолированной критической точкой растекания. В произвольной системе координат х1, х2 на Р имеем

1 д в  дргу дх° дг

Здесь gax — коэффициенты первой квадратичной формы на F; G — ^1^22 ~ —символы Кристоффеля на F [3]; индексом е

внизу отмечены параметры течения во внешнем потоке; индексы, обозначенные греческими буквами X, а и т, принимают значения 1 и 2.

Уравнение (6.3) можно упростить, используя (1.11):

( - <3* . di \ die  да да” . д /, di \ /£. .ч

р(“+ '^г) = Ре Is + ~дГ~дГ+ -ж (* sf)• <6-4>

Выясним, как можно упростить уравнения пограничного слоя в окрестности критической точки в рамках второго приближения. В уравнении (6.4) можно принять ie = const и пренебречь диссипативным членом:

-If+-зг) 4-}

Рассматривая уравнения (6.1), (6.2) в системе координат х1, х2 на поверхности F (ЗЛО), можно убедиться, что с относительной погрешностью (г&*)2 эти уравнения принимают тот же вид, что и на плоскости х3 — 0:

. -^!г + -^г- = °, <6.6)

„ ^ , да‘ * da>i , д ( \ , , о ,,, ,,

Р“"-^г + Р-аГ=Р«“; -j-r+ Ж^-дт)' Ы1'2' <6-7>

Таким образом, в рамках второго приближения уравнения пограничного слоя могут быть выписаны на плоскости, касательной к F в критической точке Р; геометрия поверхности F в окрестности точки Р не сказывается на форме этих уравнений. При переходе к криволинейной системе координат в окрестности точки Р вид общей записи (6.1), (6.2) сохраняется, но упрощаются формулы преобразований, которые имеют тот же вид, что и на плоскости.

Пусть решение системы (6.5)—(6.7) для поля скорости определено в виде (4.1) [без учета (3.7), (4.2), (4.4)], где и являются функциями z. Тогда картина течения в плоскости г = const может быть определена на основе формул из разд. 4 и 5.

На основе полученных результатов можно более детально исследовать картину течения в пограничном слое в окрестности критической точки, а также более точно определить начальные значения для численного расчета пространственного пограничного слоя на всей поверхности тела.

ЛИТЕРАТУРА

1. Howarth L. The boundary layer in three dimensional flow.

Part II. The Flow near a Stagnation Point. Philos. Mag., vol. 42,

N 335, 1951.

2. Хэйз У. Д. Вихревые течения невязкой жидкости вблизи критической точки. ПММ, VII—VIII, т. 28, № 4, 1964.

3. Рашевский П. К. Курс дифференциальной геометрии.

Глава VII, ГИТТЛ, М., 1956.

4. Степанов В. В. Курс дифференциальных уравнений. Гостехиздат, 1945.

Рукопись поступила 13/XI 1980 г.