Одноосные равновесные ориентации на притягивающий центр симметричного сплюснутого орбитального гиростата с упругим стержнем

Механика

всего лишь в 2, 3 раза, тогда как при обычном резонансе вынужденных колебаний линейной системы амплитуда колебаний уменьшается тоже в шесть раз, а наличие демпфирования всегда уменьшает резонансную область [6]. Эффект расширения резонансной области вследствие шестикратного увеличения линейного демпфирования связан с увеличением амплитуды Ao колебаний маятников (рис. 4, б).

На рис. 4, в приведены зависимости генерируемых частот ~, ю2 от частоты параметрического возбуждения ю. Как видно, частота ю 2 с

которой колеблется рабочий орган, остается практически постоянной и приблизительно равна единице (в относительных единицах) на всем диапазоне изменения частоты возбуждения. Это достигается особенностями и настройкой комбинационного резонанса 5) « ую , ю2 «1. Однако, как показывает график, имеется расхождение величины частоты 52. Это происходит из-за нелинейности системы. При увеличении коэффициента демпфирования и величина частоты колебаний рабочего органа может быть еще больше.

Как показывают резонансные кривые, параметрические колебания не имеют критического максимума и представляют собой плавные кривые. Это достигается наличием обратной связи (беговая дорожка замкнута), которая не позволяет машине идти в «разнос».

Заключение

Таким образом, исследования параметрических колебаний вибромашины с применением ро-торно-маятникового привода показывают возможность радикального снижения энергозатрат, повышения надежности, ресурса машин, а также эф-

фективности работы за счет использования наиболее интенсивных резонансных режимов работы. Это дает новый импульс созданию помольных машин для производства тонкодисперсных материалов и нанопорошков, используемых практически во всех отраслях промышленности.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Вибровозбудитель : пат. № 2072660 Рос. Федерация : МКИ В 06 В 1/16 / В.И. Антипов. № 94008295/28 ; заявл. 05.03.1994 ; опубл. 27.01.1997, Бюл. № 3.

2. Способ возбуждения резонансных механических колебаний и устройство для его осуществления (варианты) : пат. № 2410167 Рос. Федерация : МКИ В 06 В 1/16 / В.И. Антипов и др. заявл. 07.12.2009 ; опубл. 27.01.2011, Бюл. №3.

3. Антипов В.И., Денцов Н.Н., Кошелев А.В. Динамика параметрически возбуждаемой вибрационной машины с изотропной упругой системой // Фундаментальные исслед. 2014. № 8. Ч. 5. С.1037-1042.

4. Шмидт Г. Параметрические колебания. М. : Мир, 1978. 336 с.

5. Антипов В.И., Денцов Н.Н., Кошелев А.В. Энергетические соотношения в вибрационной машине на многократном комбинационном параметрическом резонансе // Вестник Нижего-род. гос. ун-та им. Н.И. Лобачевского. 2013. № 5. С. 188-194.

6. Кошелев А.В. Экспериментальное исследование эффективности работы параметрического резонансного привода // Фундаментальные исследования. 2014. № 11. Ч. 5. С. 996-999.

УДК 531.36

Чайкин Сергей Васильевич,

к. ф.-м. н., н. с., Российское государственное бюджетное научное учреждение «Институт динамики систем и теории управления им. В. М. Матросова СО РАН»,

тел. 8(3952)45-30-32, e-mail: schaik@yandex.ru

ОДНООСНЫЕ РАВНОВЕСНЫЕ ОРИЕНТАЦИИ НА ПРИТЯГИВАЮЩИИ ЦЕНТР СИММЕТРИЧНОГО СПЛЮСНУТОГО ОРБИТАЛЬНОГО ГИРОСТАТА

С УПРУГИМ СТЕРЖНЕМ

S. V. Chaikin

ONE AXIS STABLE ORIENTATIONS TO ATTRACTING CENTER FOR SYMMETRICAL OBLATE ORBITAL GYROSTAT WITH AN ELASTIC BEAM

Аннотация. Изучается в ограниченной постановке движение по кеплеровой круговой орбите в центральном ньютоновском поле сил симметричного сплюснутого стационарного гиростата. В корпусе гиростата по оси его симметрии жестко защемлен одним концом однородный прямолинейный в недеформированном состоянии упругий стержень, на свободном конце которого находится точечная масса. Упругий нерастяжимый стержень для простоты постоянного кругового сечения и единичной длины в процессе движения системы совершает малые пространственные колебания. При этом пренебрегаем нелинейными относительно перемещений точек стержня членами в тензоре инерции системы. Рассматривается так называемая полуобратная задача: при каком кинетическом моменте маховика среди относительных равновесий системы - состояний покоя относительно орбитальной системы координат - имеется такое, при котором произвольно заданная в связанной с корпусом гиростата системе координат ось была бы коллинеарна местной вертикали. В

таких, вообще говоря, нетривиальных равновесиях (когда упругий стержень деформирован) гиростатический момент системы будет зависеть и от деформации упругого стержня. Проводится дискретизация задачи - разложение перемещений точек стержня в результате его упругой деформации по заданной счетной системе функций пространственных координат точки с неизвестными коэффициентами, зависящими от времени, приводятся значения лагранжевых координат, определяющих деформацию стержня в этих равновесиях и значение гиростатического момента, обеспечивающего наличие интересующего равновесия.

Ключевые слова: орбитальный сплюснутый симметричный гиростат, круговая орбита, центральное ньютоновское поле сил, упругий стержень, точечная масса, одноосная ориентация.

Abstract. The motion of the symmetrical oblate stationary gyrostat on Keplerian circular orbit in Newtonian central field of forces is studied in the restricted formulation. The rectilinear in the undeformed state elastic beam is rigidly clamped by one end in the body of gyrostat along its axis of symmetry. The point mass is on a free end of beam. Inextensible elastic beam for the simplicity of constant circular crossection performs infinitesimal space vibrations in the process of system motion. With that we neglect nonlinear terms in system's tensor of inertia with respect to displacements of points of the beam. It is considered the next (so-called semiseinver) problem: under what inner moment of gyrostat among its relative equilibriums (the states of the rest in orbital coordinate system) there exists such equilibrium when arbitrary chosen axis in the associated with the gyrostat's body coordinate system coincides with the local vertical. In such, generally speaking, nontrivial (when elastic beam is deformed) equilibria the inner moment will depend on deformation of elastic beam. Both the values of inner moment provided that equilibria and Lagrange coordinates defined the beam's deformation in that equilibriums are given under discretization of problem.

Keywords: orbital oblate symmetrical gyrostat, circular orbit, central Newtonian field of forces, elastic beam, point mass, one axis orientation.

Постановка задачи

Рассмотрим в ограниченной постановке задачи [1] движение вокруг притягивающего центра по кеплеровой круговой орбите в центральном ньютоновском поле сил осесимметричного сплюснутого стационарного гиростата [2], в корпусе которого защемлен одним концом (на расстоянии а' от центра масс системы) однородный прямолинейный в

недеформированном состоянии упругий стержень постоянного кругового сечения (р - погонная плотность стержня) и единичной длины. В недеформированном состоянии ось стержня направлена по оси симметрии гиростата. На свободном конце стержня имеется точечная масса величины М. Стационарный гиростат есть твердое тело, в котором зафиксирована ось вращающегося с постоянной относительной угловой скоростью вокруг собственной оси симметрии уравновешенного маховика. Данная механическая система является достаточно распространенной моделью при изучении различных вопросов движения реальных объектов (см., например, [3, 4]). При этом зачастую относительные равновесия, но чаще их свойства весьма различаются для вытянутого и сплюснутого орбитальных гиростатов (см., например, [5, 6]).

Для описания движения системы вводятся те же правые системы координат, что и в [2]. Система орбитальных координат Оук

с полюсом О в мгновенном центре масс системы и ортами осей а, в, у соответственно; орт в направлен по нормали к плоскости орбиты, у - по радиус-вектору мгновенного центра масс (местной вертикали) относительно притягивающего центра. Постоянный вектор угловой скорости вращения трехгранника орбитальной системы координат

относительно инерциального пространства w = ш >0; R - радиус круговой орбиты движения центра масс O, L - характерный размер системы, m - ее масса. Система координат 0ххк с ортами осей i k (k = 1,2, 3) жестко связана с корпусом гиростата; O - центр масс недеформиро-ванной системы, а оси координат совмещены с ее главными центральными осями инерции. Q -вектор угловой скорости трехгранника O х относительно 0ук. Пусть параметр s е [0,1] определяет точку на оси стержня. Считаем, что в процессе движения нерастяжимый стержень подвергается малым пространственным изгибным деформациям в соответствии с гипотезами Кирхгофа: сечения стержня не деформируются, пренебрегаем их кручением и изменением нормали поперечного сечения относительно нормали этого же сечения в недеформированном положении стержня. Пусть также в осях O х задан произвольным образом (9 е (0, л), D mod2 п произвольные) орт у : У! = cos D sin 9, у2 = sin D sin 9, y3 = cos 9. Полагая заданным орт у, ответим на следующий вопрос: имеются ли при этом условии у системы относительные равновесия и при каком гиростатическом моменте?

Для описания деформаций упругого звена системы используем локальную систему координат с ортами {f k}, орт f 3 располагается вдоль оси недеформированного стержня, проходящей через точку O, направлен от нее и f3 = i3. Если орты трехгранника O х повернуть вокруг O х на угол D, то орт ^ перейдет в f .В осях f} компоненты орта у есть [y]^=(sin 9,0, cos9)r. Радиус-вектор произвольной точки стержня,

Механика

определяемой до деформации относительно точки О вектором г, после деформации будет определяться относительно мгновенного центра масс системы О выражением (г + u (V, 5) - г 0), где u (V, 5) - вектор перемещения в результате упругой деформации соответствующей точки оси стержня, через которую проходит поперечное сечение, содержащее упомянутую произвольную точку;

1

г0 = т 1 |р u (V, - радиус-вектор точки О

0

относительно точки О. Далее пренебрегаем величиной г0 , т.е. считаем, что точки О и О совпадают. Метод учета перемещения мгновенного центра масс в рассматриваемой задаче приводится в [7]. Сформулируем используемые в работе предположения (ср. [2]).

1. Вектор упругого перемещения точки 5 оси стержня представ им в виде

u(t, s) = £ (q œ х œ(s)f1 + q fX f(s) f 2) =

p=0

=£ ~

2 да

n = — £ ~ ~ ~ ,

^^ np In lp> 2 n,p=1

~ = Л2 M 5 ,

np n n np

Л2=-

EIb

P

где Ли (Мп) - частота (приведенная масса), соответствующая форме хи (5), Е1 - жесткость стержня на изгиб, очевидно, что Л < Л < • - Также естественно полагать, что потенциальная энергия упругих деформаций во все время движения остается ограниченной. Если ввести новые переменные qn (V) = (~ии )1/2 ~п (V) и, соответственно, фя (5) = (ет )-1/2 фя (5) , то из ограниченности энергии заключаем, что д(?) = (^, д2 ,•..) принадлежит гильбертову пространству /2 бесконечных последовательностей. Следует отметить, что Л >1 и Л }е /1 и, стало быть, {л-2 }е /2 [10].

3. Пренебрегая величинами порядка (Е/Я)3 и выше, используем известное приближенное выражение для потенциальной энергии гравитационных сил [1]

где q2p+1 (t) = q», Ф2р+,(s) = X(»f,; p = 0,1,...; i = 1,2. Заметим, что обобщенные координаты ~2i i(t) определяют упругие перемещения вдоль оси f , a q2k(t) вдоль оси f2, к = 1, 2,. Функции параметра s, удовлетворяющие соответствующим краевым условиям (один конец стержня жестко закреплен, другой, имеющий точечную массу M, свободен), представим в виде [8, 9]

X n

- (chbn + cosbn)(shbns - sinbns)).

Величины bn,n = 1,2,... - корни уравнения 1 + cospchp = (M/m )P x (cospshp - sinpchp) = 0 ,

при этом нормировка функций такова, т. е. Ли

1

выбирается так, что jpxB (s)xp (s)ds +

0

+ Мхn (1)Xp (1)= Mn5np, Mn = 1, Mc - масса стержня. Вообще в работе скалярное произведение любых соответствующих функций g (s) и

1

h(s), s е [0,1], есть (g, h) = jp g (s)h(s)ds + Mg(1) h(1).

0

2. Потенциальная энергия малых упругих деформаций определяется выражением

П = +1 ю2(3yJy - tr J). g R 2

Здесь ц - произведение гравитационной постоян-ной на массу притягивающего центра, J -тензор инерции системы относительно мгновенного центра масс.

4. Центральный эллипсоид инерции гиростата и всей недеформированной системы является эллипсоидом вращения. В осях Охк матрица компонентов тензора инерции системы [^ ]х = diag , , ^), при этом = ^ < .

В соответствии с представлением (1) ^ц) = |((г + и)2Е - (г + и): (г + п))йт =

= J 0 +£qn(t )J n + £ qnqpJ p,

п=1 и, р=1

где J 0 - тензор инерции недеформированной системы относительно точки О, Е - единичная матрица размера 3 х 3, двоеточие означает диадное про-изведение векторов. Далее в выражении для J(q) будем пренебрегать вторым бесконечным рядом, формально полагая J = 0 для любых п,

р. Матрицы компонентов тензоров ^, ^ приведем в локальной системе координат с ортами {^ }(ср. [9]), которая, напомним, получается из осей Охк, если последние повернуть вокруг Ох3

n=1

на угол D, при этом орт новой оси Ox[ совпадает с f3, орт оси Ox[ с f, а направляющие косинусы ортов осей Oxk и Oxk, очевидно, есть (ср. [11]) cos(f, ) = cos D, cos(f, i2) = sin D, cos(f, i3) = 0, cos(f, ) = - sin D, cos(f, ) = 0, cos(f, i2 ) = cos D, cos(f, i3) = 1, cos(f, i3) = cos(f, i2) = 0,

[J0 ]f = [Jo ]x = ^g^ J 2, J3),

[J2k ]f jk

0 0 0

0 0 -1

0 -1 0

[j 2k-1 ]F

Jk

0 0 -1

0 0 0

-1 0 0

a J(<?)ß = -na, Y J(<*)ß = -nY /4,

qn + «2(3у J n (q ) Y - trJ n (q) - P J n (q ) P) /2 = 0, (9) n = 1,2,...

Пусть в относительном равновесии, которое определяется переменными «с крышкой», орт Р = Р составляет некоторый (пока неизвестный) угол ф (следует иметь ввиду, что по определению

YР = 0 и значит | 9 - л/21< ф < л-1 9 - л/21) с неде-формированной осью упругого стержня, т. е. с ортом f3. Рассмотрим прямоугольный сферический треугольник (см. рис. 1), образованный ортами f3, Р, (Y х f2), разрешая который [13, с. 53], получаем цепочку равенств

sin (90 ° - A) = cos A = tg b • tg (90 ° - c) =

= tg

Здесь

jk = A;V + s Xk(s)).

Относительные равновесия

Известно, что дифференциальные уравнения движения системы (уравнения в работе не используются и поэтому не приводятся) в рассматриваемом случае допускают интегралы направляющих косинусов и интеграл типа Якоби [12]. Наличие интегралов движения позволяет воспользоваться теоремой Рауса [13, 14] для получения уравнений, определяющих

стационарные движения (в нашем случае одноосные равновесные ориентации на притягивающий центр корпуса гиростата), и для изучения их устойчивости в смысле Ляпунова (для исследования устойчивости применима метода, изложенная в [11]). Приведем вид этих уравнений [2, 12] и найдем их соответствующие решения, полагая, что мы можем выбирать нужным образом гиростатический момент системы, чтобы в относительном равновесии (если таковое будет существовать) [у]^ = (cos Dsin 9, sin Dsin 9, cos 9) (исследования значений 9 = 0, л; получаются из результатов [2] при J = J < J, d = 0, в [2] d -угол между Ox3 и f). Это так называемая полуобратная задача о существовании одноосной равновесной ориентации системы на притягивающий центр (напомним, что орт у задает направление от притягивающего центра на мгновенный центр масс системы, находящийся на кеплеровой круговой орбите).

a J (q)Y = 0,

— -9 I ctg ф = ctg 9 ctg ф,

при этом sin A = (±)1ЛД - cos2 A =

= (±)lA/l - ctg29 ctg2ф. Здесь b = л/2 -9; угол c есть неизвестный угол ф; sin 9 Ф 0, sin ф Ф 0.

Рис. 1

Замечание 1. Считаем, что sin 9 Ф 0, cos ф Ф 0, sin ф Ф 0. Случаи sin в = 0 (при этом, очевидно, cos ф = 0, ф = л/2, 3л/2); cos ф = 0; sin ф = 0 (при этом, очевидно, 9 = л/2) здесь не рассматриваются, так как исследования равновесий для этих вариантов расположения ортов у и

Р непосредственно получаются из результатов [2] при условии J = J, d = 0. Очевидно, что в осях {f t } компоненты соответствующих ортов есть:

(±)0 a 1 = (±)i cos ф cos 9д/ tg^- ctg29,

(±)0 a2 = cos ф/sin 9, (±)0 a 3 = (+)1 cos фsin 9y¡ tg^- ctg29; у = sin 9, у2 =0, уз = cos 9;

Механика

(±)0 ß3 = cos ф, (±)0 ßj = - sin фссе A = -ctg 0 cos ф, (±)0 ß2 = sin фsin A = (±)^sin2 ф- ctg20cos2 ф =

=

Подставляя значения компонентов (6), (11) (далее везде полагаем (±)0 = (+), случай (±)0 = (-) исследуется аналогично) в уравнение (9), с учетом (10) получаем следующие выражения для qn : 2

Jk ю

-q2k_J + 3(sin 0,0, cos 0) x

( 0 0 - 11

0 0 -1 0

0 0

+

/ V 2

( sin 01 0

cos 0

+

^ - cos ф ^ 0

= 0

ctg 0 cos фу <?2k-1 = &2Jk (3 sin 0 cos0 + ctg0 cos2 ф) = = (02Jk(3sin 0cos0 + sin <pcos^ctg0ctg^) = = Ю2 j (3sin 0cos0 + sin фcosфcosA).

(0 0 0 1

2

Jk ю

-q2k + 3

0 0 -1 0 -10

(sin 01 0

Vcos0у

- (-ctg0 cos ф,

(±)^sin2 ф - ctg20 cos2 ф,cos ф) x r 0 1

= 0

— (

cos ф

v(+)^sin2 Ф- ctg2e cos2 ф y

4 2k = (+)iю2 Л Vsin2 ф - ctg2e cos2 ф cos ф = = (+)jЮ2 jk^ 1 - ctg2ectg2фsin фcos ф =

= ю2 jk sin фcosфsin A

Замечание 2. В соответствии с выражениями (10) и (12), (13) убеждаемся в справедливости принципа суперпозиции: значение q2k_l(q2k) есть сумма значения этой величины от влияния сил гравитации и значения от влияния сил инерции, точнее, их проекции на ось f (на ось f 2) [2].

Теперь уравнение (7), записанное в проекциях на оси {f k}, приводит нас к следующей

цепочке эквивалентных уравнений для определения угла ф

(cos фsin e)((±)iхsin ecos e,i, (+)хsin2e) x

(J sin 01 ( (0 0 -11

0 + £ q 2k - 1Jk 0 0 0 +

V J cos 0/ k=1 V V- 1 0 0 /

+ £ßlkJk

k=1

(0 0 0 11 0 0 -1 0 -10

/у

( sin 01

0

Vcos 0у

2m„2 ,

= 0

((±) xsin 0 cos0,1,(+) xsin20)ю x

да

< £j [- (3 sin 0 cos 0 + ctg0

cos2 ф) x

k=1 (

cos

01

0 sin 0

(

(+)1cos2 ф- x

0

- cos 0 0

Y

x (±) x sin2 0 cos 0(J - J ) = 0 Ö x[( J1 - J3)sin2 0 cos 0 + cos2 ф cos 0- (3sin20 + cos2ф^га0(cos20 - sin20)] = 0 ^ xsin20 cos 0[Jj - J3 - 3cos 20 + 2cos2ф] = 0 ^

да

k=1

x = 7 tg^- ctg20 =0 cos 0 = 0, параметр (угол) ф - произвольн ый ^ J - J3 -3cos20 + 2cos2ф = 0

{ф = arctg

{0 = л/2; угол ф- произвольн ый параметр; A = л/2 },

{J - J3 < 3cos 20 < J - J3 + 2,

cos2 ф = (3 cos 20 + J3 - J )/2}.

Замечание 3. Очевидно, что < в силу

да

условий Д2 = ^ < и > 0; для равновесий

к=1

(14'), (14) угол А вычисляется в соответствии с (10); каждое из относительных равновесий (14'), (14''), (14) реализуется при определенных значениях кинетического момента маховика, пример вычисления которого дается ниже; если заданный угол 6 и параметры задачи не удовлетворяют соотношениям

x

x

x

x

x

x

x

x

< cos 29< 2 Jil , J„ < 5!

3

3

то равновесий, определяемых по (11) условиями (14), т. е. предыдущими неравенствами и выражениями

(ф = ф! = arccos^ (3 cos 29 + J31 )/2, v ф = ф2 = arccos(—(3 cos 29 + J3 ¡ )/2}, (14) у орбитального гиростата не будет. Здесь

J = J—J

J 31 = J 3 •

Замечание 4. Для полноты картины выражения (14'), (14''), (14), определяющие соответствующие одноосные равновесные ориентации системы на притягивающий центр, следует дополнить однопараметрическим (параметр - угол A при D = 0) семейством тривиальных (так как стержень не деформирован) относительных равновесий, изученных в [2] (при условии: J2 = J < J3, и угол между f и осью Ox3 d = 0), которые мы исключили из рассмотрения условием sin 9 ф 0 (см. замечание 1).

На примере одноосных равновесных ориен-таций, определяемых системой уравнений (14'), вычислим в осях {f t} компоненты гиростати-ческого момента к/а = обеспечивающего наличие у системы этих равновесий. Каждый трехмерный вектор можно разложить по любым трем, не равным друг другу, некомпланарным векторам. В соответствии с (8), (11),

к/а = (па)а + (nP)P + (nY) Y = (—«J(q)P)х

х ((±Х cosejsin2ф — cos2ф^29 х х f1 + cos ф f2/sin 9 (+)1 sin ^Tsiñ^^—cos2^ctg29 х х f3) + (nP)(—cos ф ctg9f1 + (±)^sin2 ф — cos2 ф ctg29 х

х f + cos ф^ ) — 4

при этом nP = v — P J(q)P является некоторым произвольным параметром вслед за произвольным вещественным параметром v [2].

При к = 0 в (14'), ф = ±(я/2 — 9); из (11) = а3 =0, а2 =1; уг =sin 9, у2 =0, у3 =cos 9,

Pj = — cos9, P2 = 0, P3 = sin9; в соответствии с (12), (13) (ниже n = 1, 2,...),

Ъп-1 = а2 j (3 sin 9 cos 9 + ctg9 cos2 (л/2 — 9)) = = а2 J 4 cos9 sin 9,

J n '

q2n = (+X v2Jn (sin2(±(^/2 — 9)) — — ctg29 cos2(±(^/2 — 9)))1/2 = = (+)1 а2 jJ cos2 9 — ctg 29sm2 9 = 0. Теперь вычислим в осях {f t }

J(q) P =

[Ja]F +^2а2j sin 29

000 v—1 0 0 yy

cos

0 sin 9

(— J cos 9| 0

v J3 sin 9

+

2а2 sin 29^ j

(— sin 9| 0

cos 9

á JP = 0; p Jp = J, cos29 + J3 sin29 + 2а2 sm229£j2;

Y J p = (J — Jl) sin 9 cos 9 + 2а2 sin 29 cos 29^ j.

n=1

да

Далее используется обозначение S = ^J, где ряд

n=1

в правой части является сходящимся (см. [8]). Таким образом, в осях { f }

k/а = n = (—(v — J P)cos(±(n/2 — 9))ctg9 —

— 4Y J P sin 9)f + ((v — p J P)cos(±(rc/2 — 9)) —

— 4YJ P cos 9)f3 == (—(v — J1 cos2 9 — J3 sin2 9 — — 2а2 sin2 (29) • S) cos9 — 4(а2 sin (49) • S +

+ (J3 — J.)sin 29/2) sin 9)f + ((v — J cos29 — J sin29 —

— 2а2 sin2(29)S )sin 9 — 4 cos 9(а2 sin(49)S +

+

Для того чтобы в связанной системе координат Ox получить компоненты гиростати-

ческого момента системы, обеспечивающего наличие рассмотренной нетривиальной одноосной равновесной ориентации на притягивающий центр орбитального гиростата с упругим стержнем с массой на свободном конце, достаточно учесть, что f = cos D • + sin D • i2, f = — sin D • +

+ cos D • i2, f = i3. Аналогично при к = 1 в (14'),

ф = я±

У = sin 9, у2 =0, у 3 = cos 9; р = cos 9, P2 = 0, P3 = — sin 9; a¡ = a2 =0, a2 = —1; а в соответствии с (12), (13) получаем q2n_1 = а24cos9sin9jn, q2n = 0. Для рассматриваемого случая в осях { f }

х

n=1

V

х

n=1

n=1

да

Механика

J(q) в =

f j cose 1

v- j sin e,

+ 2ю2 sin 2e • S

f sin e 1 0

v- cose,

a J в = 0; в J в = J cos2 e + J sin2 e + 2ю2 sin22e • S;

Y J в = -(J3 - J )sin e cos e - 2ю2 sin 2e cos2e • S. Учитывая выражение (2.9), в осях fk теперь

k/ю = n = ((V - Ji cos2 e - J3 sin2 e - 2ю2 sin22e)x cose + 4(So2 sin 4e + (J - J )sin 2e/2)sin e)f +

+ (-(v - Ji cos2e - j, sin2 e - 2ю2 sin2 2e) sin e +

+ 4(So2 sin 4e + (J - J )sin 2e/2)cose)f. Сравнивая выражение (18) с (16), замечаем, что для того, чтобы имелась нетривиальная одноосная равновесная ориентация на притягивающий центр гиростата (17), гиростатический момент, оставаяь равным по величине моменту (16), должен быть противоположно ему направленным.

Замечание 5. Вообще говоря, гиростатиче-ский момент, обеспечивающий наличие у системы соответствующей одноосной равновесной ориентации на притягивающий центр, определен с точностью до некоторого вещественного параметра V. Такая же ситуация имеет место и для орбитального гиростата без упругих элементов. Этот параметр можно выбирать, преследуя различные цели. Например, его можно выбирать нужным образом для обеспечения достаточных условий устойчивости по Ляпунову изучаемых одноосных равновесных ориентаций системы на притягивающий центр (см., например, [8, 9]) или для обнуления каких-либо выражений в (16), (18).

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 15-08-06680-а) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ (НШ-8081.2016.9).

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Белецкий В.В. Движение искусственного спутника относительно центра масс. М. : Наука, 1965. 416 с.

2. Чайкин С.В. Влияние сил инерции и гравитации на деформацию упругого стержня, защемленного в корпусе орбитального гиростата // Сибир. журн. индустр. математики. 2015. Т. XVIII, № 4. С. 88-97.

3. Демин В.Г., Марков Ю.Г., Миняев И.С. О движении спутника, несущего вязкоупругую штангу с грузом на конце, на круговой орбите // КИ. 1988. Т. XXVI, Вып. 3. С. 366-373.

4. Hunt J.W., Ray J.C. Flexible Booms, momentum wheels, and subtle gravity-gradient instabilities // AIAA papers. 92-1673. 1992. P. 1-9.

5. Чайкин С.В., Банщиков А.В. О гироскопической стабилизации относительных равновесий орбитального осесимметричного гиростата // Матем. моделирование. 2013. Т. 25, № 5. С. 109-122.

6. Банщиков А.В., Чайкин С.В. Анализ устойчивости относительных равновесий вытянутого осесимметричного гиростата средствами сим-вольночисленного моделирования // Космические исследования. 2015. Т. 53, № 5. С. 414420.

7. Белецкий В.В., Чайкин С.В. Учет перемещения центра масс гиростата с упругим стержнем при анализе устойчивости семейства его равновесий // Вестник МГУ им. М.В. Ломоносова. Сер.: Мат. механика. 2006. № 1. С. 42-47.

8. Лебедев Н.Н., Скальская И.П., Уфлянд Я.С. Сборник задач по математической физике. М. : ГИТТЛ, 1955. 420 с.

9. Meirovitch L. Liapunov Stability Analysis of Hybrid Dynamical Systems in the Neighborhood of Nontrivial Equilibrium // AIAA Journal, 1974. Vol. 12, № 7. P. 889-898.

10.Чайкин С.В. Устойчивость нетривиальных относительных равновесий гиростата с упругим стержнем с массой на конце // МТТ. 2005. Вып. 35. С. 189-198.

11. Чайкин С.В. Устойчивость семейства нетривиальных равновесных ориентаций на притягивающий центр гиростата с упругим стержнем // Прикл. математика и механика. 2004. Т. 68, № 6. С. 971-983.

12. Набиуллин М.К. Стационарные движения и устойчивость упругих спутников. Новосибирск : Наука, 1990. 217 с.

13. Routh E.J. The Advanced part of a Treatise on the Dynamics of a System of Rigid Bodies. L.: Macmillan, 1884. 343 p.

14. Вильке В.Г. Аналитические и качественные методы механикм систем с бесконечным числом степеней свободы. М. : Изд-во МГУ, 1986. 192 с.

15. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для научных работников и инженеров). М. : Наука, 1977. 832 с.

0