Аналитическое исследование на наличие бифуркационных явлений при течении нелинейно-вязких жидкостей в каналах сложной геометрии

УДК 536

Р. Р. Кантюков, М. С. Тахавиев, Р. В. Лебедев, С. А. Лившиц, С. В. Шенкаренко

АНАЛИТИЧЕСКОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ НА НАЛИЧИЕ БИФУРКАЦИОННЫХ ЯВЛЕНИЙ

ПРИ ТЕЧЕНИИ НЕЛИНЕЙНО-ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЕЙ В КАНАЛАХ СЛОЖНОЙ ГЕОМЕТРИИ

Ключевые слова: теплообмен; уравнения движения и сохранения энергии; реологические сложные среды; тепловой взрыв;

характеристическое уравнение; бифуркация.

Рассмотрение бифуркационных явлений при ламинарном течении нелинейно-вязких жидкостей в трубах и каналах с использованием разработанных математических моделей стационарного теплопереноса.

Keywords: heat exchange; hydrodynamic equations and heat exchange; complicated rheological fluid; thermal explosion;

characteristic equation; bifurcation.

Consideration of occurrence bifurcation phenomena at laminar current of nonlinear viscous liquids in pipe and channels with use of the developed mathematical models stationary in heat-transfer.

Худяевым С.И. аналогичные Семеновым, но ньютоновской

В 1928 году академик Н.Н. Семенов опубликовал работу, в которой описывалось явление, в последствии получившее название «тепловой взрыв в газовых средах». В 1965 году Бостанджиняном С.А., Мержановым А.Г. и были получены уравнения, уравнениям, предложенным уже для течения вязкой жидкости. Большинство

исследователей, принимая постановку задачи, при которой в потоке жидкости возникает высокая плотность энергии, что приводит к резкому нарастанию температуры. Рассматривая

конденсированные системы необходимо отметить, что более корректно говорить не о самом явлении теплового взрыва (интерпретация данного явления предполагает рассмотрение газовых систем), а о области возможного возникновения резкого изменения температуры и физических параметров среды, которые характеризуются неоднозначностью решения системы уравнений движения и сохранения энергии.

В связи с необходимостью решения различных прикладных проблем возникающих при проектировании и эксплуатации

теплоэнергетических установок задача исследования процессов теплопереноса при ламинарном течении ньютоновских, делатантных и псевдопластичных химически реагирующих жидкостей в трубах и каналах выдвинулась на передний план. Для решения поставленной задачи аналитического исследования на возможность возникновения области бифуркации при теплопереносе нелинейно-вязких сред были приняты следующие допущения:

Рассматривается несжимаемая жидкость, р =сош1; течение жидкости стационарное, ламинарное со сформировавшимися профилями скорости и температуры, обладающее или симметрией относительно плоскости (для щели), или осевой симметрией (для круглой трубы и коаксиального канала); массовые силы пренебрежимо малы; теплофизические

характеристики жидкости, за исключением вязкости, меняются незначительно; перенос теплоты

вдоль основного направления движения среды за счет теплопроводности мал по сравнению с вынужденным переносом в этом же направлении; реологическое поведение сред определяется наличием нелинейно-вязких свойств.

В качестве реологической модели рассматривается модель Кутателадзе-

Хабахпашевой, позволяющая в зависимости от меры

структурной стабильности в описывать реологическое поведение неньютоновских структурно-вязких сред со свойствами (в > 0) вязкопластичности, (в < 0) дилатансии. Кроме

того, при в = 0 модель описывает ньютоновскую вязкую жидкость

в

U = eh

1

Аь) е * где т = u(/2 - напряжение сдвига; Д , A

9q предэкспоненты;

g = А) + В;

2

среднее

значение между

энергией активаций вязкого Bœ при т ^ 0 и т —^ ;

течения 0 соответственно. Я - газовая постоянная; Т -значение абсолютной температуры потока; 12-второй инвариант тензора скоростей деформации.

Для проведения исследований в щелевом канале была получена система уравнений совместно с граничными условиями. й ( dV Л dP

— г* /~\т*» о1~ "V г- I _ ¿1 И I

dx IU dx I dz

- const,

:

¿dT + U2 + Qo  К • Exp

Тепловые граничные условия первого рода:

x = -h V = 0, Т = T1 = const, x = h V = 0, T = T, = const

Тепловые граничные условия третьего рода:

x = -h V = 0, ¿\-\ = -a1 (T - T ), dx

со

: = h V = 0, 1-1 —1 = -«! (T - T1), dx

Kg =14,:

DM =9,76-10"10

м2/с,

здесь x , z - текущие координаты; 2h -ширина щели; V - скорость; T - температура жидкости; коэффициенты теплопроводности

и динамической вязкости; /2 - второй инвариант тензора скоростей деформации; 0 - тепловой эффект; к0 - константа скорости; Е - энергия

активации химической реакции; R - газовая постоянная.

Для проведения исследований в круглой трубе и коаксиальном канале выбрана цилиндрическая система координат и представлена постановка задачи уже в этих координатах. Система уравнений движения и сохранения энергии имеет следующий вид:

dz z dP

— + — = — = const,

dr г dz

{d^ + 7fH'2 +°o-*o ЕхРТ%т) = 0

Здесь r, z - текущие координаты; T -температура; P - давление; т -напряжение сдвига; 1, Д -коэффициенты теплопроводности и динамической вязкости; Q0, к0, E -тепловой эффект, константа скорости и энергия активации химической реакции соответственно; - газовая постоянная.

Тепловые граничные условия первого рода: r = r, v = 0, T = T= const

Тепловые граничные условия третьего рода:

г = П v = 0, X^dy-aT-Т,)

На границе каналов были приняты гидродинамические условия прилипания.

v\sk = 0

Метод решения представленных систем уравнений основывается на разложении температурных функций в ряды Тейлора и составлении соответственно вместо системы дифференциальных уравнений системы

алгебраических, которая методом подстановки, преобразуется в одно характеристическое уравнение.

Графическая интерпретация решения характерестического уравнения, описывающего течение полиметакрилата марки В2 10% в круглой цилиндрической трубе, коаксиальном и плоском щелевом канале, представлено на рис.1 - 3.

Для полиметакрилата марки В2 10%, в рассматриваемом диапазоне изменения температур определены следующие размерные параметры: р =790 кг/м3, Ср =3,134 кДж/(кг-°К), 1=0,4443

кДж/(м-°К-с), J0 =0,5 мас.%, Л^0=100 мас. %,

к0 =1,9110-4 1/(мас.%-с), Е =23,95 кДж/(моль),

/77=2,02, /7=1,05, 00 =13,1 кДж/моль, Д=96000

1/(Па-с), A =96000 1/(Па-с), К =67800 1/(Па-с),

кДж/моль,

/^=2,126-10-10 м2/с, £/0 = 16,8-10-3 1/(мас.%-с),

Е1 =38,32 кДж/(моль), КК =13600 1/(Па-с),

Кв=3,01 1/(Па2-с), В0 =10,4 кДж/(моль), =10,4

кДж/(моль), Кв =13,7 кДж/(моль), радиус трубного

сечения принят г = 0.01 м, коэффициент теплоотдачи а = 1310 Дж/(м2-°К), Т0 - начальная температура потока и Тг - температура стенки канала.

Представленные результаты

свидетельствуют о наличии критических режимов течения, которые характеризуются

неоднозначностью решения характеристических уравнений, что может приводить при определенных наборах параметров к нерасчетным режимам работы теплотехнологического оборудования.

Результаты численных расчетов проведенных в работе и представленных на рис. 1 -3 хорошо согласуются с литературными данными [1-2].

Рис. 1 - Графическое решение системы (7-8) для полиметакрилата марки В2 10%, с учетом диссипативного и химического источника тепловыделения для круглой трубы То = 413 К, Т1 =418 К; а) при тепловых граничных условиях первого рода б) при тепловых граничных условиях третьего рода

Рис. 2 - Графическое решение уравнения (7-8) для полиметакрилата марки В2 10%, с учетом диссипативного и химического источника тепловыделения при задании на обеих границах канала тепловых граничных условий первого рода для коаксиального цилиндрического канала. Т0 =403 К, Т1 =415 К

Литература

1. С. А. Бостанджинян, А.Г. Мержанов, С.И. Худяев. «О Гидродинамическом тепловом взрыве» // Доклады Академии наук СССР 1965, т. 163 №1 с. 133-136

2. Ю.Г. Назмеев, С.А. Лившиц. «Бифуркационный анализ уравнения энергии при ламинарном течении вязкой жидкости в коаксиальном канале» //Труды Академэнерго Казань, 2005. № 1 С. 3-7.

Рис. 3 - Графическое решение системы (2) для полимеров метакрилата марки B2 10%, с учетом диссипативного и химического тепловыделения, для случая плоскопараллельного течения в зазоре между двумя пластинами. 7"0 =423 К, Тх

=428 К а) при тепловых граничных условиях первого рода б) при тепловых граничных условиях третьего рода

© Р. Р. Кантюков, к.т.н., заместитель главного инженера по эксплуатации магистральных газопроводов, ООО «Газпром трансгаз Казань», r-kantyukov@tattg.gazprom.ru; М. С. Тахавиев, нач. инженерно-технического центра, ООО «Газпром трансгаз Казань», m-tahaviev@tattg.gazprom.ru; Р. В. Лебедев, к.т.н., начальник службы по информационному обеспечению инженерно-технического центра, ООО «Газпром трансгаз Казань», r-lebedev@tattg.gazprom.ru; С. А. Лившиц, к.т.н., доц. каф. экономики и организации производства, КГЭУ, semen19772004@mail.ru; С. В. Шенкаренко, зам. начальника технического отдела, ООО «Газпром трансгаз Казань», s-shenkarenko@tattg.gazprom.ru.

© R. R. Kantyukov, Ph.d in Engineering Science, deputy chief engineer for oil trunk pipelines operations, limited liability company «Gazprom transgaz Kazan», r-kantyukov@tattg.gazprom.ru; M. S. Tahaviev, chief of engeneering and technical center, limited liability company «Gazprom transgaz Kazan», m-tahaviev@tattg.gazprom.ru; R. V. Lebedev, information support service chief, limited liability company «Gazprom transgaz Kazan», r-lebedev@tattg.gazprom.ru; S. A. Livshic, candidate of science, docent, of Kazan state power engineering university, semen19772004@mail.ru; S. V. Shenkarenko, technical department chief assistant, limited liability company «Gazprom transgaz Kazan», s-shenkarenko@tattg.gazprom.ru.