Частотный метод исследования чувствительности режима слежения в релейных автоколебательных системах

2. Минчук С.В., Горячев О.В. Нелинейная математическая модель бесконтактного двигателя постоянного тока, основанная на анализе картины магнитостатического поля // Известия ТулГУ. Технические науки. Вып.З: в 5. Тула: Изд-во ТулГУ, 2010. 4.1. С. 183-186.

S. V. Minchuk, O. V. Goriachev

CREATION OF NONLINEAR MATEMATICAL MODEL OF PERMANENT MAGNET SYNCHRONOUS MOTOR (PMSM) BASED ON FIELD MODEL

In article the technique of creating a nonlinear mathematical model of permanent magnet synchronous motor based on the analysis of patterns of the magnetostatic field is considered.

Key words: permanent magnet synchronous motor, the magnetostatic field, finite element method (FEM).

УДК 681.5.01

C.B. Моржова, acn., (4872)35-38-35, svetlana-morzliova@mail.ru,

H.B. Фалдин, д-р техн.наук., проф.,

ЧАСТОТНЫЙ МЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ РЕЖИМА СЛЕЖЕНИЯ В РЕЛЕЙНЫХ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ

Рассматривается чувствительность режима слежения релейных систем к изменению параметров объекта управления.

Ключевые слова: релейная система, чувствительность, режим слежения, линеаризация, частотный метод.

Важнейшей характеристикой релейной системы, как и вообще любой системы автоматического управления, является точность воспроизведения системой входных сигналов.

Универсальным методом исследования точности режима слежения в релейной системе является метод моделирования, когда динамика системы моделируется на ЦВМ или АВМ. Однако метод моделирования требует значительных затрат времени и его невозможно использовать на этапе синтеза, когда приходится анализировать большое число вариантов. Поэтому для релейных систем немаловажное значение приобретают простые приближенные методы исследования режима слежения.

Релейные автоматические системы обычно проектируются таким образом, чтобы частоты входного сигнала и автоколебаний были разнесены в десять и более раз. В этом случае входной сигнал можно рассматривать как медленно меняющуюся (по отношению к автоколебаниям) функцию времени и можно говорить о линеаризации «автоколебаниями» релейного элемента и других нелинейностей.

Настоящая работа посвящена способу исследования чувствительности режима слежения, основанному на частотном методе линеаризации.

Рассмотрим релейную систему, изображенную на рис. 1. Здесь а -некоторый изменяющийся параметр объекта управления.

Рис. 1. Структурная схема релейной системы

В [1] было показано, что для данной релейной системы коэффициент передачи линеаризованного релейного элемента определяется равенством

Kь

2^

к=1

Пусть имеет место возмущение 8а некоторого параметра а. В этом случае с точностью до величин порядка малости не выше первого передаточная функция Щя, а) может быть представлена в виде

дЖ(я,

Ж($,а + 8а) = Ж(я,і

8а..

Кроме того, полупериод автоколебаний также претерпевает изменение на величину

8Т = Кі 8а.

т

Здесь Ка - коэффициент чувствительности полупериода к изменению параметра а [2].

Таким образом, коэффициент передачи релейного элемента при наличии возмущения 8а задается равенством

Кр

2 £

к=1

или с точностью до величин порядка малости не выше первого:

К?{а + 8а) =

2£(-1)‘К*0Г(йй/Г,о) + ^^

-8а

к=1

дШ(Ык/Т, ( дs

/Т2)5 а

1

По определению производной

дК„(а) Кр(а + 5а) - К„\

—-------= пт —-—

5а—>0 Ґ

5а

= 1І1П

5а—>0

д}¥(іпкІТ,і

дэ

2^(-1)ЛБ1е }¥(тк/Т,а) +

V к=1 V

д!¥ (іпк/ Т, і да

5а -

/т2)Ъа

\\~1 со л

2^(~ї)к КеЖіїпк/Т,

-і Л

/у

V &=1

1

5а

Упростив это равенство, получим

21 (-1)'

£=1

Яе

дї¥(іпк/Т.

да

Яе

дї¥(іпк/Т. дэ

іпк Т К

2 т^Т а

4

£(-1)*Ке(Ж(т£/7\<

Лг=1

Равенство (2) задает чувствительность линеаризации частотным способом. Очевидно, коэффициент передачи релейного элемента для возмущенной системы можно представить в виде выражения

Далее, аналогичным образом определяем производную передаточной функции и производную передаточной функции по ошибке замкнутой линеаризованной системы по параметру а. Передаточные функции невозмущенной и возмущенной замкнутых систем задаются соответственно равенствами

Ж

\ + УУ{$,а)К?{аУ

?,а + 5а)

Ж

1 + Ж

Для передаточных функций невозмущенной и возмущенной замкнутых систем по ошибке справедливы зависимости

Ж8<ла) = 1-Ф<ла),

1¥е

2

Теперь определим искомые производные с учетом величин порядка малости не выше первого:

' дКр\

Ф0,<

Нт —

5ос->0 5а

Ж(5,а)^Р(а) + Ж(5,«

5а +

дЩя,і

К

Р'

1 + Ж0,аКр(а) + Ж(>,і

дК

Р<

5а +

дЩя,(

К

Р

Окончательно получим ЭФ (я, а

1¥

1 + 1¥

W(s, і

дК

Р

+

дW(s, і

К

Р

да (1 + Ж(б',а)КР(а))2

Аналогичным образом легко установить, что

дК

р(

+

дЖ(х,<

К

Р1

да

да

{\ + 1¥^,а)Кр{а)У Итак, рассмотренные передаточные функции для возмущенной системы могут быть определены равенствами

ЭФ^

Ж (5, а + 5а) = Ж (5,

+

і +

-5а,

дЩ (л,< да

-5а.

Полученные результаты позволяют весьма просто исследовать режим слежения возмущенной системы.

Рассмотрим пример. На рис. 2 представлена упрощенная структурная схема релейного автоколебательного газового рулевого привода. В ней не учитываются некоторые присущие газовому приводу нелинейности. Здесь введены следующие обозначения: и - выходной сигнал релейного усилителя мощности, а - угол отклонения якоря электромеханического преобразователя от нейтрального положения, р - разность давлений в полостях силового цилиндра, х - величина перемещения поршня из нейтрального положения.

Рис. 2. Упрощенная модель автоколебательного газового

рулевого привода

Параметры математической модели привода имеют следующие значения: А=27, Ъ = 0, к\ = 0,01, То = 0,002с, Т\ = 0,025с, к2 = 1,9108с, Т2 =

0,00106с, £3 = 3,927104, / = 107728,35. Выполним исследование чувствительности режима слежения газового привода к изменению параметров Т\ и &2. Режим слежения будем характеризовать амплитудой установившейся ошибки отработки сигнала^ = жтсо? (я = 0,1,а> = 1).

Вначале определим чувствительность режима слежения к изменению параметра Т\. Передаточная функция объекта управления имеет вид

!Ге(*,Т1) = к1к2кз(Т0Т2*5+(Т1Т2 + Т0)*4 + (Т2 + Т1 +Т0(к2к3к4 + Т2С))*3 +

+ (1 + Т\ (*2*3*4 + Т2С) + '/(/')'2 + (*2*3*4 + Т2С + '/| ().' + С)-1.

В соответствии с [1] легко вычислить коэффициент передачи релейного элемента в номинальном режиме работы £р(Г1)=565,515.

Далее, находим производную дЖ{8,Т1)/дТ1, а затем из соотношения (2) - величину дКр{Т1)/дКр(Т1). Значение амплитуды ошибки слежения за сигналом у = жтсо? определяется равенством

Ж*

,ті)+дЖ^Ті)Щ

дЪ

Здесь передаточная функция по ошибке /\) задается равенст-

вом

Жг(*,Т1) =

1

1 + Ж

а ее производная дЖе{8,Т1)/дТх - зависимостью (5), если в ней положить а = Т\.

Задаваясь различными значениями ЪТ\ и 8^2, построим зависимости 8тах(§Л/Л) и втах(5к?/к?) и сопоставим их с результатами моделирования. На рис. 3 сплошной линией показаны аналитические результаты, полученные с помощью равенства (8), а штриховой - результаты численного моделирования. Как видно из графиков, погрешности не превышают 5 %.

«.03

ССЙІ

едя-

о.оа*

&ДО Ій.Сг-6

ми.

МП

«.01

; : ;

\

: 1 і і н

; :

1 і і

ЭИ

С'.ПЗ!

4ХІВВ

С-ЙМ

£‘.Щ2

' ЭЙ і

ь :пн

лигін ВДЧ йОС 5 01

!

"

1111 1

3  ' _

6T.fr г%

Рис. 3. Значения ошибки слежения при различных отклонениях Т/ и к2

Полученные результаты позволяют весьма просто анализировать чувствительность режима слежения релейной системы к изменению параметров объекта управления. Использование предлагаемых методов на этапе синтеза делает возможным свести задачу проектирования малочувствительных к изменению параметров релейных систем к решению сравнительно несложной задачи конечномерной оптимизации. Следует иметь в виду, что если при оптимизации системы не контролировать ее чувствительность, то можно получить систему, которая (из-за высокой чувствительности) оказывается неработоспособной.

Список литературы

1. Методы классической и современной теории автоматического управления. Том 1. Математические модели, динамические характеристики и анализ систем автоматического управления / под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. 656 с.

2. Моржова С.В. Анализ чувствительности автоколебаний в релейных системах. Приборы и управление: сборник статей молодых ученых. Вып. 7 / под общ. ред. Е.В. Ларкина. Тула: Изд-во ТулГУ, 2009. С. 101— 108.

S. V. Morzhova, N. V. Faldin

THE FREQUENCY METHOD OF INVESTIGATION OF RELAY FEEDBACK SYSTEMS TRACKING MODE SENSITIVITY

The sensitivity of relay feedback system tracking mode to the plant parameters variations is considered.

Key words: relay feedback system, sensitivity, tracking mode, linearization, frequency method.

УДК 533.623

О.О. Морозов, канд. техн. наук, доц.,

ХАРАКТЕР ДВУМЕРНОГО ИЗОЭНТРОПИЧЕСКОГО ТЕЧЕНИЯ ГАЗА НА ВЫХОДЕ УПРАВЛЯЕМОГО СОПЛА

Проведен анализ изоэнтропического течения совершенного газа через плоское управляемое геометрическое сопло (ПУГС) с непроницаемыми непрофилированными стенками постоянной длины методом характеристик, для уточнения математической модели течения по соплу и выбора схемы сотового блока, обеспечивающего равномерность параметров потока в рабочей камере управляемой аэродинамической трубы.

Ключевые слова: плоское управляемое сопло, изоэнтропическое течение совершенного газа, картина течения, метод характеристик.

Проведен анализ изоэнтропического течения совершенного газа через плоское управляемое геометрическое сопло (ПУГС) с непроницаемы-