Моделирование колебаний морской стационарной платформы при случайном волнении

УДК 62.752, 531.31

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 4

П. Е. Товстик, Т. М. Товстик, В. А. Шеховцов

МОДЕЛИРОВАНИЕ КОЛЕБАНИЙ МОРСКОЙ СТАЦИОНАРНОЙ ПЛАТФОРМЫ ПРИ СЛУЧАЙНОМ ВОЛНЕНИИ

Колебания морской стационарной платформы моделируются нелинейной системой с одной степенью свободы. Исследуется движение платформы под действием гармонического или случайного волнения. Для построения приближенного установившегося решения используются либо метод гармонической линеаризации, либо метод статистической линеаризации. Погрешность приближенного решения оценивается путем сравнения с численным решением.

1. Введение. Исследование динамики глубоководных морских стационарных платформ под действием волнения является одним из необходимых этапов их расчета [1, 2]. В работе рассматривается моноблок, динамика которого может быть описана нелинейной системой с одной степенью свободы [1, 3]. В этих работах при построении установившегося решения уравнение колебаний интегрируется численно как для гармонического, так и для случайного волнения. В последнем случае необходимо моделировать стационарный случайный процесс, описывающий волнение. Для дробно-рациональной спектральной плотности алгоритм моделирования описан в [4, 5], при этом получается эргодический процесс. Однако аппроксимировать реальную спектральную плотность волнения (см. формулу (2.6)) дробно-рациональной функцией оказывается затруднительным. Поэтому для моделирования используется метод канонических разложений [6], приводящий к неэргодичному процессу. Численное интегрирование дает одну реализацию случайного процесса, описывающего перемещение платформы. В связи с неэргодичностью для нахождения его вероятностных характеристик нужно построить несколько реализаций. Поэтому ниже с использованием метода статистической линеаризации [7, 8] построено приближенное аналитическое решение задачи, которое сравнивается с численными решениями, получающимися при моделировании процесса возмущения.

По сравнению с рассмотренной в [3] модель платформы несколько упрощена. Из нелинейностей задачи, подвергаемых статистической линеаризации, сохранены лишь две: нелинейность скоростной составляющей волнового воздействия (см. формулу (2.3)) и нелинейность взаимодействия стойки с грунтом (см. формулу (2.2)).

Для сравнения методом гармонической линеаризации построено также приближенное аналитическое решение для синусоидальных волн.

2. Уравнение колебаний. Уравнение колебаний платформы возьмем в виде

Здесь ^

© П. Е. Товстик, Т. М. Товстик, В. А. Шеховцов, 2005

учитывает вязкоупругие силы сопротивления [9], причем —частота колебаний. Через /1(^1) обозначена нелинейно упругая восстанавливающая сила, которую с учетом свойств грунта возьмем в виде [10]

/1(^1) = ехА 1 +

-1/и

где е — линейная жесткость, /* = ех* —предельное значение горизонтальной нагрузки, п — параметр (см. рис. 1). Ниже рассматриваем случай п = 2.

Рассмотрим воздействие плоских гравитационных волн малой амплитуды. Сила (^ 1, X1) давления воды складывается из инерционной и скоростной составляющих и имеет вид [2, 11]

^

где ^(¿1) и ад^) —скорость и ускорение воды на поверхности, р — плотность воды, — скорость воды относительно платформы, V и $ — объем и площадь сечения тела, С и Су —безразмерные коэффициенты инерционного и скоростного сопротивлений. Ниже считаем С^ = 2, Су = 1.2 (см. [2, 13]).

При гармоническом волнении свободная поверхность волны малой амплитуды а и длины Ь, движущейся в горизонтальном направлении у, описывается выражением

г

где д — ускорение свободного падения. Для такой волны (при у = 0) горизонтальные проекции скорости и ускорения частиц воды равны соответственно

V = а^1 бШ^^), 1 = аш\ сов^^).

При случайном стационарном волнении свободная поверхность воды (при у = 0) описывается стационарным процессом (1(^1), спектральная плотность которого ^1(^1) предполагается заданной. В соответствии с рекомендацией [12] возьмем ее в виде

2

= —'Ф

и>1

2

где а"2 —дисперсия волнения, Ш1 —средняя частота волнения, связанная со средней длиной волны по формуле (2.4) (см. рис. 2).

При переходе к безразмерным координатам изменим масштаб времени ¿1 таким образом, чтобы частота воздействия волн стала равной 1. При гармоническом волнении перемещение х\ отнесем к амплитуде волны а, а при случайном волнении — к величине а = а/2. Последнее соотношение принято для удобства сравнения случайного волнения с гармоническим, ибо среднеквадратичное значение функции аэт^!^) равно а/а/2. Тогда уравнение (2.1) примет вид

^2Х + 6Х + /

где

2 с х1 ¿1 х а

t = LV1t1, ш =—, = —, х=—, 6 = —, }{х) = ---— , 6 = —.

^о т а е (1 + |6Х|п)1/п х*

П

Рис. 1. График функции fi (xi )/f*. Рис. 2. Спектральная плотность.

Здесь шо — частота малых свободных колебаний, ш — безразмерная частота возмущения, а точкой обозначено дифференцирование по новому времени t. Для гармонического волнения возмущающая сила

F

где P0 и Pi — безразмерные коэффициенты:

= = CvpSawj^^

c 2c

а для случайного волнения —

F{t,x) = Po№ + Fv{ti), P, = Pi

vT

причем спектральная плотность (V) процесса £(Ь) и дисперсии процессов £(Ь) и £(Ь) равны соответственно

1 С1 С

Бс

2 I 2 '

— ОС

Рассмотрим платформу с приведенной массой т = 1500 т, укрепленную на цилиндрической стойке диаметром Р = 5 ми высотой Н = 250 м (высота Н непосредственно в расчет не входит, а используемая здесь модель глубокой воды пригодна при длинах волн Ь < 2Н = 500 м). Пусть частота малых свободных колебаний (о = 0.785 1/с. Для этих данных находим Ро = 0.416, Р\ = 0.0318 а, где а — амплитуда волнения в метрах. В соответствии с формулами (2.9) величины Ро и Р1 должны были бы зависеть от частоты (¿>1. Однако это не так. Дело в том, что уравнение (2.1) было получено в результате применения метода Бубнова—Галеркина и получается при интегрировании сил давления воды по высоте стойки. В связи с тем, что скорость частиц воды убывает с глубиной к по закону в-кк, эффективные объем V и площадь Б в формулах (2.9) пропорциональны 1/к или длине волны Ь, а частота волнения (1 в силу формулы (2.4) пропорциональна 1 / л/Ь.

Параметры Ь, а, 6, х* в процессе анализа будем менять. Уравнение (2.1) является модельным и предназначено для обсуждения методов линеаризации. Более точные модели рассматриваются в [1, 3]. Построение установившегося численного решения уравнения (2.7) несложно как при гармоническом, так и при случайном волнении. Целью

работы является построение приближенного аналитического решения и оценка его точности путем сравнения с численным решением.

3. Синусоидальное волнение. Приближенное периодическое решение уравнения (2.7) при возмущающей силе (2.8) ищем в виде

x(t) = x0 sin г, г = t — а,

где амплитуда колебаний x0 и сдвиг фазы а неизвестны. Для их определения используем метод гармонического баланса. После подстановки (3.1) в (2.7) разлагаем левую и правую части (2.7) в ряды Фурье по г и приравниваем коэффициенты при sin г и при cos г. В результате получим систему уравнений относительно x0 и а:

8 8 /о

3п 3п

где

1 f2n

/о(жо) = - / f(xo sill z) sin zdz

n J 0

A = \/l — 2xq sin a + Xq .

х0(1-3(Ьх0)2/8 + (Ьх0)4/7г

1 + (bx0)5/4

Здесь /0(х0) —результат осреднения за период нелинейной функции /(х), а приближенное выражение в правой части получено с использованием аппроксимации Паде.

Рис. 3. Амплитудно-частотные характеристики (АЧХ).

На рис. 3 представлены зависимости амплитуды х\ = ахо периодических колебаний от частоты волнения и (или связанной с ней по формуле Ь = 2пд/(и0и)2 длины волны). Принято х* = 10 и рассмотрены два значения амплитуды волны а = 3 и а = 7 и два значения коэффициента сопротивления 5 = 0 и 5 = 0.1. Сплошными кривыми показаны зависимости, полученные при решении системы (3.2), а пунктиром — при численном

интегрировании системы (2.7). В последнем случае, начиная интегрирование с нулевыми начальными условиями х(0) = Х(0) = 0, из-за наличия затухания через некоторое время выходим на периодический режим.

При а = 3 погрешность приближенного решения меньше, чем при а = 7. При 6 = 0 виден слабый резонанс на обертоне ( « 1/3, который не улавливается приближенным решением. Нелинейность силы /(х) относится к типу мягких нелинейностей, при которых резонансная частота меньше частоты ( = 1 линейной системы (для которой /о(хо) = хо). При большем уровне нелинейности (а = 7) больше и смещение резонансной частоты. Воздействие волн оказывает не только возмущающее, но и демпфирующее влияние, поэтому и при 6 = 0 амплитуды колебаний при резонансе конечны.

4. Случайное волнение. Метод статистической линеаризации. При использовании метода статистической линеаризации предполагаем, что случайные функции х(Ь) и £(Ь) в (2.7) и (2.10) распределены по нормальному закону с неизвестными дисперсиями и коэффициентами корреляции (математические ожидания этих функций равны нулю). В соответствии с этим методом (см. [7]) нелинейную функцию /(х) в (2.7) заменяем линейной функцией С1х, а функцию Еу (£,х) в (2.10) — функцией С2С — сзх. Коэффициенты с^ находим из условия минимизации дисперсии разностей

/

В результате

= ^ и Х ПХ)^ ) 1 + 1.86| + 9.3066' 61 = —

где аХ —неизвестная дисперсия процесса х(Ь). Для приближенного представления интеграла в (4.2) опять использована аппроксимация Паде.

Пусть двухмерная плотность вероятности величин £ и х равна

< Л 1 ( 1 (С2 2гС±

МС,х) = ---ехр -—-2Т —--+ — Ь 4-3

2тгасаЛл/1 - г2 ^ 2

где дисперсия а2 процесса £(Ь) приведена в (2.11), а дисперсия а2 процесса х(Ь) и коэффициент корреляции г процессов £(Ь) и х(Ь), равный г = Е (Ь)х(Ь)^ /(а^ах), неизвестны.

Коэффициенты с2 и сз равны соответственно

1 /*œ /*œ * * 4Pi / \ / ч 1/2

с2 = — / / С Fv(Ç,x)f2(C,x) dÇdx = —=J— (а; - гсгЛ ) (а2 - 2гсг;сгй + cr| ) J-œJ-œ v s / v z s /

1 œ œ _ _ 4P1 ^ ч 1/2

c3 = — / / xFv

ai J-œJ-œ V2na:i \ V V z z y

После линеаризации вместо (2.7) приходим к линейному стохастическому уравнению

uP"X + Sx + cix = Po Q + C2Z — C3X,

из которого находим спектральную плотность Бх(у) процесса х(Ь):

р 21/ 4 + ^2

^ = . Лгл-и^^сМ-

Неизвестные величины ах, ах, г, входящие в коэффициенты е^, определяем из системы уравнений

/• Ж /• ж

аХ = 2 Бх(и) ¿V, аХ = 2 V2 Бх(и) ¿V,

ио J 0

га;- а

(^-^2)2+^(5 + 03)2 ^^

Для решения системы (4.7) используем метод итераций и метод движения по параметру ш. Введя вектор неизвестных у = {у(1), у(2), у(3))} = {ах, а-, г}, запишем систему уравнений в виде у = ](у, ш). Тогда итерации вплоть до сходимости выполняются по формуле

уп+1 = /

Расчеты показали, что для принятых ниже значений параметров (см. п. 5) как при ш < 1.6, так и при ш > 2.2 итерационный процесс (4.8) сходится к единственному решению. Двигаясь малыми шагами по параметру ш, в качестве начального значения уо на следующем шаге берем корень у(ш) из предыдущего шага. При приближении к интервалу 1.6 < ш < 2.2 сходимость последовательности (4.8) замедляется, а затем уже не имеет места. В этом интервале изменения ш для нахождения корней системы (4.7) был использован метод Ньютона со сменой ведущего параметра. Рассматриваем систему трех уравнений (4.7) как систему с четырьмя равноправными параметрами ш, ах, а-, г и считаем заданным тот из них, который меняется наиболее быстро на кривой у(ш). В результате решения оказыается, что в некотором диапазоне изменения параметра ш (в рассматриваемом ниже примере — при 1.81 < ш < 2.06) функции у(г)(ш), % = 1, 2, 3, неоднозначны (см. рис 4). Одна из ветвей кривых у(%) (ш) имеет вертикальную касательную (при ш = 1.81) и точку возврата (при ш = 2.06). Впрочем, эти особенности кривых у(г)(ш) являются следствием погрешностей, вносимых при статистической линеаризации, и не проявляются при численом моделировании.

5. Моделирование случайного процесса. Используемый метод моделирования стационарного случайного процесса С(¿) основан на его каноническом разложении [6, 7]. Представим процесс С(¿) в виде суммы гармонических слагаемых

п

ССО = л/Рк

к=1

где

1\ —

^ =

Здесь Vk —равномерно расположенные частоты из интервала v(0) < V < v(1), где интервал (V(0), v(1)) выбирается таким образом, что воздействием на систему частот, лежащих вне этого интервала, можно пренебречь. В (5.1) и щ —независимые случайные величины с нулевым средним значением и единичной дисперсией. Считая, что эти

величины распределены по нормальному закону, для их моделирования используем формулы

& = а'к сов^тго^), щ = ^J-2\og а'к вт^тго^),

где а'к и а— независимые случайные величины, равномерно распределенные на промежутке [0,1]. Множители р^ обеспечивают примерное совпадение спектральных плотностей процессов £(£) и £(£). Аппроксимация улучшается с увеличением числа слагаемых п и длины частотного интервала (у(0), V(1)) (при этом возрастает и время счета).

Для каждого набора случайных чисел , щ, к = 1,...,п, при численном интегрировании уравнения (2.7) получаем реализацию процесса х(£). Как и при гармоническом волнении, через некоторое время выходим на стационарный режим.

Рассмотрим пример, на котором проведем сравнение приближенного решения, построенного методом статистической линеаризации, с результатами моделирования. Пусть в уравнении (2.7) а = 3, х* = 10, 5 = 0.1. При моделировании по формулам (5.1), (5.2) берем частотный интервал (у(0), V(1)) = (0.4, 10) и разбиваем его на п = 200 равных частей. Численное интегрирование уравнения (2.7) проводим с нулевыми начальными условиями х(0) = х(0) = 0. В результате статистической обработки реализации процесса х(£) при 20 < £ < 200 находим оценки неизвестных величин системы (4.6): дисперсии процесса а^, дисперсии скорости аХ и коэффициента корреляции г процессов х(£) и С(£).

Рис. 4 Параметры колебаний при случайном волнении.

На рис. 4 в частотном диапазоне 0.2 < и < 2.5 точками показаны значения указанных величин, полученные при статистической обработке численного решения. Сплошными линиями показаны результаты решения системы (4.7). Обращаем внимание на неоднозначность решений этой системы в некотором диапазоне частот. В то же время численное решение не приводит к двум стационарным процессам с различными параметрами. Рис. 4 позволяет судить о точности метода статистической линеаризации. При и < 1 и при и > 2 точность может считаться удовлетворительной для технических приложений. Укажем для сравнения, что для синусоидального волнения метод гармонической линеаризации при и > 1 более точен, чем при и < 1.

6. Обсуждение погрешностей линеаризации. Уравнение (2.7) содержит две нелинейных функции: функцию нелинейной упругости }(х) и функцию (£, х), описывающую скоростную составляющую волнового воздействия. Рассмотрим сначала только одну нелинейность }(х), и пусть для простоты }(х) = х + в х3. Тогда приходим к уравнению типа Дуффинга:

х + —X + х +

и

Известно [14], что при гармоническом возбуждении п(Ь) = вт(шЬ) АЧХ а(ш) в некотором диапазоне частот может иметь две устойчивых ветви. Метод гармонической линеаризации, при которой нелинейное слагаемое вх3 заменяется на (3/4)вахх, где а — амплитуда колебаний, для

а < 0.95 в1/5

также дает две устойчивых ветви функции а(ш). Это значит, что в окрестности резонанса ш = 1 линеаризация не искажает качественную картину поведения АЧХ. В то же время линеаризация не описывает резонанса на субгармонике (см. рис. 3 при ш « 1/3). Условие (6.2), при котором функция а(ш) неоднозначна, выполнено лишь для достаточно малых сил сопротивления или для достаточно больших уровней нелинейности. По-видимому, для рассматриваемых выше значений параметров условие, аналогичное (6.2), не выполнено, ибо функции а(ш) на рис. 3 однозначны.

Пусть теперь п(Ь) — стационарный случайный процесс. В этом случае роль АЧХ играет зависимость дисперсии стационарного процесса решения от средней частоты возбуждения (ах (ш)). Применение метода статистической линеаризации дает возможность построить функцию ах(ш), не прибегая к статистическому моделированию процесса п(Ь) и к последующему численному интегрированию. Оказывается, что в некоторой области параметров функция ах(ш) неоднозначна. Этот результат находится в явном противоречии с результатами численного моделирования (см. [15]). Следовательно, метод статистической линеаризации приводит к ошибочным качественным выводам в случаях, когда он приводит к неоднозначной АЧХ.

Перейдем к обсуждению линеаризации функции Еу (Ь, X), которая объединяет в себе как роль возбудителя колебаний, так и роль их демпфира. Линеаризация позволяет разделить эти роли как при гармоническом, так и при случайном волнении. В обоих случаях функция Еу заменяется на разность ехС — езХ, где коэффициенты ех и ез находятся их условия минимума среднеквадратичной ошибки этой замены. В случае гармонического волнения линеаризация приводит к результатам, удовлетворительно согласующимся с численным решением (см. рис. 3).

Иная картина наблюдается для случайного волнения. Здесь функция ах(ш), найденная в результате статистической линеаризации, оказалась неоднозначной в области частот, примерно вдвое превосходящих частоту свободных колебаний системы. Результаты численного моделирования (см. рис.4) приводят к однозначной функции ах(ш), следовательно, линеаризация искажает качественную картину АЧХ. Как и для уравнения Дуффинга (см. [15]), здесь погрешности статистической линеаризации связаны, по-видимому, с ошибочностью допущения о нормальном респределении процесса решения х(Ь). Оценка одномерной плотности распределения для х(Ь) не проводилась.

В то же время для ряда значений ш наблюдается удовлетворительное совпадение результатов, полученных при линеаризации, с численными результатами (см. рис.4). Кроме того, в результате линеаризации получено приближенное выражение (4.6) для спектральной плотности решения Бх^), построение которой при численном моделировании затруднительно.

Summary

P. E. Tovstik, T. M. Tovstik, V. A. Shekhovtsov. Simulation of the mariner offshore platform vibrations under wave excitation.

The stationary vibrations of the mariner offshore platform under action of the harmonic or the random wave excitation are studied. The platform is simulated by the nonlinear system with one degree of freedom. The methods of harmonic linearization and of statistic linearization are used to construct the approximate steady-state solution. The error of the approximate solution is estimated by the comperison with the numerical solution.

Литература

1. Шеховцов В. А. Случайные нелинейные колебания опорных блоков морских стационарных платформ. СПб.: Изд. С.-Петерб. архитект.-строит. ун-та, 2004. 246 с.

2. Халфин И. Ш. Воздействие волн на морские нефтегазопромысловые сооружения. М.: Недра, 1990.

3. Товстик П. Е., Шеховцов В. А. Математические модели динамики морских стационарных платформ. Одиночная консоль // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 1, №1. 2005. С..

4. Franclin J. N. Numerical simulation of stationary and non-stationary Gaussian random processes // SIAM Rev. 1965. Vol.7. N1. P. 68-80.

5. Товстик Т. М. Об оценке параметров корреляционной функции стационарного случайного процесса // Кибернетика. 1975. Вып. 6. С. 131-136.

6. Ермаков С. М., Михайлов Г. А. Статическое моделирование. М.: Наука, 1982. 206 с.

7. Пугачев В. С. Теория случайных функций. М.: Физматгиз, 1960. 884 с.

8. Случайные колебания / Под ред. С. Крендалла. М.: Мир, 1967. 356 с.

9. Сорокин Е. С. К теории внутреннего трения при колебаниях упругих систем. М.: Гос-стройиздат, 1960. 131 с.

10. Колесников Ю. М., Курилло С. В., Левачев С. Н. Исследование и расчет свайных фундаментов сооружений, возводимых на континентальном шельфе // Расчет морских гидротехнических сооружений, взаимодействующих с грунтами оснований и засыпок. М., 1984.

11. Алешков Ю. З. Теория взаимодействия волн преградами. Л., 1990.

12. Proc. 2 Int. Ship Structure Congress. Delft, 1964.

13. Шлихтинг Г. Теория пограничного слоя. М.: Наука, 1974. 712 с.

14. Вибрации в технике. Т. 2. М.: Машиностроение, 1979. 351 с.

15. Товстик П. Е., Товстик Т. М. Уравнение Дуффинга при стационарном случайном возбуждении // Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. №1. 1997. С. 95-102.

Статья поступила в редакцию 23 июня 2005 г.