Тонкий круговой виток с разрезом над тонкостенным листом металла

УДК 624.318

A.B. Гнатов

ТОНКИЙ КРУГОВОЙ ВИТОК С РАЗРЕЗОМ НАД ТОНКОСТЕННЫМ ЛИСТОМ МЕТАЛЛА

Урамках статті проведено аналіз електромагнітних процесів, що збуджуються полем плоского "незамкнутого " кругового витка, розташованого над тонкостінним немагнітним листом металу. Отримано основні залежності для розрахунку просторово-часового розподілу вихрових струмів в розглянутій індукторній системі. За отриманими аналітичним співвідношенням проведені числові оцінки і побудовані об'ємні епюри амплітудно-просторового розподілу густини індукованого струму.

В рамках статьи проведен анализ электромагнитных процессов, возбуждаемых полем плоского "незамкнутого " кругового витка, расположенного над тонкостенным немагнитным листом металла. Получены основные зависимости для расчёта пространственно-временного распределения вихревых токов в рассматриваемой индукторной системе. По полученным аналитическим соотношениям проведены численные оценки и построены объёмные эпюры амплитудно-пространственного распределения плотности индуцированного тока.

ВВЕДЕНИЕ

Постановка проблемы. Для обработки металлов силами возбуждаемого магнитного поля широко применяются плоские одновитковые соленоиды [1-3].

Для существенного упрощения решения поставленной задачи по исследованию электромагнитных процессов, соленоиды представляются замкнутыми круговыми контурами. Это позволяет ввести условие аксиальной симметрии [4-6].

В реальных условиях виток не может быть замкнутым круговым контуром, поскольку он является элементом цепи, последовательно включаемым с источником мощности. То есть, виток - "незамкнут", он имеет разрез и функция, описывающая азимутальное распределение возбуждающего тока, терпит разрыв второго рода. Поэтому в дальнейшем одинаково справедливы термины "виток с разрезом" или "виток с разрывом". Аксиальная симметрия нарушается тем больше, чем больше расстояние между электрическими выводами к источнику мощности. Следовательно, широко применяемые симметричные модели расчёта реальных систем "виток - проводящий объект", основанные на их аксиальной симметрии, являются не совсем адекватными протекающим в них электромагнитным процессам.

Анализ основных достижений и публикаций.

Возбуждение вихревых токов в тонкостенных металлах, в отличие от случая массивных и достаточно хороших проводников, происходит в условиях интенсивного проникновения действующих электромагнитных полей. Т.е. проводник "прозрачен" для действующих полей. Исследование этих процессов для магнитно-импульсной обработки металлов (МИОМ) -задача, безусловно, весьма актуальная и практически значимая [7, 8].

Наиболее актуальными вопросами в МИОМ являются вопросы связанные с индукторными системами - инструментами магнитно-импульсного воздействия. Такие индукторные системы, как "одновитко-вый индуктор - проводящая среда", представляют собой типичные конструкции инструментов, например, как для раздачи и обжиму трубчатых заготовок, так и для плоской штамповки. Поскольку нарушение аксиальной симметрии формы источника поля - ин-

дуктора ведёт к искажению силового воздействия на обрабатываемый объект, то такое допущение ведёт к неадекватной формулировке задач проектирования инструментов. Последний фактор объясняет многие неудачные применения электромагнитных полей для решения насущных технологических проблем [9]. Отметим, что в научной периодике описаны приближённые методы решения подобных задач прикладной электродинамики, например, [10]. Их достоинства и недостатки в сравнении с классическими походами -предмет отдельной дискуссии. Что же касается рассматриваемых в данной работе вопросов, то в этих публикациях отсутствует необходимый для практики МИОМ анализ и выводы по изменению показателей действенности инструментов при нарушении аксиальной симметрии в их конструктивном исполнении.

Цель настоящей работы - расчёт пространственно-временного распределения вихревых токов, возбуждаемых полем плоского "незамкнутого" кругового витка, расположенного над тонкостенным немагнитным листом металла.

РАСЧЁТНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Расчётная модель представлена на рис. 1, где ег, ?ф, вг - направляющие орты координат в выбранной цилиндрической системе координат.

Примем следующие допущения.

• Бесконечно протяжённый в поперечных направлениях лист толщиной - ё выполнен из немагнитного металла с удельной электропроводностью - у.

• Виток индуктора расположен над поверхностью пластины на расстоянии - И, его радиус - Я, поперечные размеры настолько малы, что влияние металла витка на электромагнитные процессы несущественно, и, математически, расположение возбуждающего тока индуктора можно описать произведением дельта-функций Дирака ~ 5(г-И)-5(г-Я).

• В местах соединения витка (соответствующие токопроводы перпендикулярны к его плоскости) и источника мощности имеет место "разрыв" по азимуту, описываемый функцией

/

где ^(ф) - ступенчатая функция Хевисайда, 2ф0 - ве-

личина "разрыва" в витке, выраженная в терминах азимутального угла.

• По витку протекает азимутальный ток с плотностью - у¥у,г,ц>,1),

Уф 1

где у'(0 - амплитудно-временная зависимость, t - время.

Временные характеристики возбуждающего тока таковы, что ю-т<<1, где ю - характерная циклическая частота сигнала, т = ц0уё2 - характерное время диффузии в металлический лист [2, 11-14].

Примечание. Необходимо подчеркнуть, что допущение о форме возбуждающего тока с азимутальным разрывом первого рода исключает влияние токо-подводов к витку, но не противоречит требованию непрерывности линий тока - йг\ ^,г,ц>,г) = 0, фор-

мально следующему из системы уравнений Максвелла, записанной для нулевых начальных условий в [15]. Принятая модель расчёта предполагает их замкнутость в элементах разрядного контура (рис.1), частью которого является и виток, а не в пространстве между местами его подсоединения к источнику за счёт априори пренебрежимо малых токов смещения.

К источнику мощности

Виток индуктора

Рис. 1. Плоский "незамкнутый" виток над тонкостенным листом металла

Не останавливаясь на математических операциях по интегрированию уравнений Максвелла, запишем аналитическую пространственно-временную зависимость для линейной плотности азимутальной составляющей тока, индуцированного в тонкостенном листовом металле полем "разомкнутого" витка индуктора, полученную в [15].

I Е Еп(Ф0) \'1 п+1

(ЯК) - ./Л_1(ЯЯ)]>

0 п=0

_ р)

: [3п+\ (Яг) - Зп_х (Яг)] • р~ ХИ ^’ С08 (пф) йЯ,

X

где Еп (Ф0) =

2 • 8Ш

п- п

1 _^0_

п = 0,

3п(Яг) - функция Бесселя п-ого порядка, X - параметр преобразования.

Достоверность выражения (3) можно установить предельным переходом к зависимости, которая может быть получена из формул авторской работы для поля аксиально-симметричного витка над тонкостенным проводящим листом.

Так, для "замкнутого" витка с ф0 ~ 0 зависимость

(3) принимает вид:

4?у,,ф)-'-Я йут

Л

-ХИ

Я

йХ.

Результат (4) с точностью до обозначений совпада-ет с выражением для азимутальной компоненты вихревого тока, возбуждаемой тонким (ширина стремится к нулю) аксиально-симметричным витком [5, 7-9, 14].

Следует обязательно подчеркнуть, что временная зависимость индуцированного тока, так же, как и в случае витка без разреза, остаётся равной первой производной от возбуждающего тока индуктора.

ЧИСЛЕННЫЕ ОЦЕНКИ Зависимость (4) преобразуем к виду, удобному для проведения численных оценок.

Введём новую переменную интегрирования х = ЯК, Я = х/Я, йХ = 1/Я, хе [0, да].

Результат после необходимых преобразований запишем в виде относительной безразмерной величины -

3 <^)

Л

т-Я 2й 2

йУ^)

й

I ЕЕп (Ф0)[-/Й+1(х) - Зп-1(х)]р

0 п=0

й Л

1 - р

3

г г

п+1

С08 (пф) йх.

Для выполнения конкретных оценок примем те же исходные данные, что и ранее: Я=0.025 м, И=0.0025 м, й=0.001 м.

Результаты настоящих вычислений оформлены в виде объёмных эпюр, рис. 2-4, где 0 - угол "разрыва" в витке в относительных единицах. Здесь же для сравнения приведены аналоги, полученные ранее для идеально проводящей среды. Графические зависимости даны в относительных единицах с нормировкой на амплитуду индуцированного тока в аксиальносимметричной системе. "Провалы" на эпюрах соответствуют "разрывам" в витке.

0

х

Я

И

х

Я

х

1

0.75

0.5

0.25

0

1

0.75

0.5

0.25

0

Рис. 2. Объёмные эпюры амплитудно-пространственного распределения плотности тока, индуцированного аксиально-симметричным витком

0.6

\

0.3

0

Рис. 3. Объёмные эпюры амплитудно-пространственного распределения плотности тока, индуцированного витком с "разрывом", 0=0.2 в металле тонкостенного листа

Рис. 4. Объёмные эпюры амплитудно-пространственного распределения плотности тока, индуцированного витком с "разрывом", 0=0.5 в металле тонкостенного листа

ВЫВОДЫ

Проведенные вычисления приводят к следующим выводам.

• Проникновение действующего ПОЛЯ сквозь металл тонкостенного листа в конечном итоге приводит к "растеканию" индуцированного тока в поперечном направлении от области непосредственно под витком индуктора. Справедливость данного утверждения достаточно ярко иллюстрируется результатами расчёта для двух крайне противоположных идеализаций: "абсолютно прозрачный" проводник (а) и "абсолютно не прозрачный" (идеальный) проводник.

• При увеличении ширины "разреза" в случае тонкостенного листового металла амплитуда индуцированного тока непосредственно под витком индуктора падает существенно меньше, чем в случае идеального проводника.

• Физически, данный факт можно объяснить тем, что с ростом электропроводности индуцированный ток всё более концентрируется под витком, и нарушение его аксиальной симметрии отражается на амплитуде вихревых токов более значимо, чем в случае низкой электропроводности, когда снижение этой амплитуды уже имело место за счёт диффузионных процессов и сопровождающего "растекания" тока в поперечных направлениях.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Подольцев А.Д., Кучерявая И.Н. Элементы теории и численного расчёта электромагнитных процессов в проводящих средах / А.Д. Подольцев, И.Н. Кучерявая - К: ИЭ НАНУ, 1999. - 362 с.

2. Шнеерсон Г. А. Поля и переходные процессы в аппаратуре сверх сильных токов / Г. А. Шнеерсон. - [2-е изд.] -М.: - Энергоатомиздат, 1992. - 200 с.

3. Магнитно-импульсное притяжение листовых металлов -перспективное направление в развитии электромагнитной штамповки: XI Міжнародна науково-технічна конференція ["Проблеми сучасної елкгротехніки - 2010"]. (Київ 1-3 червня, 2010.) / Ю.В. Батигин, А.В. Гнатов. - К: Технічна електродинаміка, Тематичний випуск, 2010. - 4.1. - С. 175-180.

4. Батыгин Ю.В. Силы, действующие на тонкостенный проводник, в проникающем поле плоского одновиткового соленоида / Ю.В. Батыгин, А.Ю. Бондаренко А.Ю. // Технічна електродинаміка. - К: 2010. - № 1. - C. 9-14.

5. Туренко А.Н. Импульсные магнитные поля для прогрессивных технологий. Том 3. Теория и эксперимент притяжения тонкостенных металлов импульсными магнитными полями: монографія / А.Н. Туренко, Ю.В. Батыгин, А.В. Гнатов. - Харків: ХНАДУ, 2009. - 240 с.

6. Батыгин Ю.В. Вихревые токи в тонких металлических листах при магнитно-импульсной обработке металлов / Ю.В. Батыгин, В.И. Лавинский, А.Ю. Бондаренко // Электричество. - М.: 2009. - № 9. - С. 61-65.

7. Батыгин Ю.В. Особенности токов, индуцированных низкочастотным полем одновиткового соленоида в плоских листовых металлах / Ю.В. Батыгин, В.И. Лавинский, Е.А. Чаплыгин // Електротехніка і електромеханіка. - 2005. -№3. - С. 69-73.

8. Батыгин Ю.В. Вихревые токи в плоских листовых металлических заготовках / Ю.В. Батыгин, Е.А. Чаплыгин // Електротехніка і електромеханіка. - 2006. - № 5. - С. 54-59.

9. Батыгин Ю.В. Импульсные магнитные поля для прогрессивных технологий (научное издание). Том 1. Издание второе, переработанное и дополненное. Под общей редакцией д.т.н., профессора Батыгина Ю.В. / Ю.В Батыгин., В.И. Лавинский, Л.Т. Хименко. Харьков: Изд. "МОСТ- Торнадо". 2003. - 288 с.

10. Васецкий Ю.М. Приближённая модель для расчёта переменного магнитного поля произвольного контура с учё-том вихревых токов в проводящем полупространстве / Ю.М. Васецкий, Л.В. Городжа И.Л. Мазуренко - К.: Технічна електродинаміка, Тематичний випуск [Моделювання електронних, енергетичних та технологічних систем]. -1999. - Ч. 1. - С. 83-99.

11. Мэтьюз Дж. Математические методы физики / Дж. Мэтьюз, Р. Уокер. Пер. с англ. канд. физ.-мат наук В.П. Крайнова. М: Атомиздат, 1972. - 399 с.

12. Гнатов А.В. Расчет электромагнитных процессов в индукционной индукторной системе с массивным экраном конечной толщины / А.В. Гнатов // Електротехніка і електромеханіка. - 2009. - № 5. - С. 59-62.

13. Батыгин Ю.В. Цилиндрический виток конечной ширины с разрезом над идеально проводящим массивным проводником / Ю.В. Батыгин, А.В. Гнатов, Д.О. Смирнов // Електротехніка і електромеханіка. - 2011. - № 2. - С. 56-60.

14. Гнатов А.В. Прогрессивные технологии. Теория и эксперимент притяжения тонкостенных металлов импульсными магнитными полями: монография / А.В. Гнатов, Ю.В. Батыгин, А.Н. Туренко. - LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011. - 238 с.

15. Гнатов А.В. Электромагнитные процессы в индукторной системе с тонким круговым витком с разрезом над тонкостенным листом металла / А.В. Гнатов // Електротехніка і електромеханіка. - 2012. - № 5. - С. 51-55.

Bibliography (transliterated): 1. Podol'cev A.D., Kucheryavaya I.N. 'Elementy teorii i chislennogo rascheta 'elektromagnitnyh processov v provodyaschih sredah / A.D. Podol'cev, I.N. Kucheryavaya - K: I'E NANU, 1999. - 362 s. 2. Shneerson G. A. Polya i perehodnye processy v apparature sverh sil'nyh tokov / G. A. Shneerson. - [2-e izd.] - M.: -'Energoatomizdat, 1992. - 200 s. 3. Magnitno-impul'snoe prityazhenie listovyh metallov - perspektivnoe napravlenie v razvitii 'elektromagnit-noj shtampovki: HI Mizhnarodna naukovo-tehnichna konferenciya ["Problemi suchasnoi elktrotehniki - 2010"]. (Kiiv 1-3 chervnya, 2010.) / Yu.V. Batigin, A.V. Gnatov. - K.: Tehnichna elektrodinamika, Tematichnij vipusk, 2010. - Ch.1. - S. 175-180. 4. Batygin Yu.V. Sily, dejstvuyuschie na tonkostennyj provodnik, v pronikayuschem pole ploskogo odnovitkovogo solenoida / Yu.V. Batygin, A.Yu. Bondarenko A.Yu. // Tehnichna elektrodinamika. - K.: 2010. - № 1. - C. 9-14.

5. Turenko A.N. Impul'snye magnitnye polya dlya progressivnyh tehnologij. Tom 3. Teoriya i 'eksperiment prityazheniya tonkostennyh metallov impul'snymi magnitnymi polyami: monografiya / A.N. Turenko, Yu.V. Batygin, A.V. Gnatov. - Harkiv: HNADU, 2009. - 240s.

6. Batygin Yu.V. Vihrevye toki v tonkih metallicheskih listah pri mag-nitno-impul'snoj obrabotke metallov / Yu.V. Batygin, V.I. Lavinskij, A.Yu. Bondarenko // 'Elektrichestvo. - M.: 2009. - № 9. - S. 61-65.

7. Batygin Yu.V. Osobennosti tokov, inducirovannyh nizkochastotnym polem odnovitkovogo solenoida v ploskih listovyh metallah / Yu.V. Batygin, V.I. Lavinskij, E.A. Chaplygin // Elektrotehnika і elektromehanika. - 2005. - №3. - S. 69-73. 8. Batygin Yu.V. Vihrevye toki v ploskih listovyh metallicheskih zagotovkah / Yu.V. Batygin, E.A. Chaplygin // Elektrotehnika і elektromehanika. - 2006. - № 5. - S. 54-59. 9. Batygin Yu.V. Impul'snye magnitnye polya dlya progressivnyh tehnologij (nauchnoe izdanie). Tom 1. Izdanie vtoroe, pererabotannoe i dopolnennoe. Pod obschej redakciej d.t.n., professora Batygina Yu.V. / Yu.V Batygin., V.I. Lavinskij, L.T. Himenko. Har'kov: Izd. "MOSTTornado". 2003. - 288 s. 10. Vaseckij Yu.M. Priblizhennaya model' dlya rascheta peremennogo magnitnogo polya proizvol'nogo kontura s uche-tom vihrevyh tokov v provodyaschem poluprostranstve / Yu.M. Va-seckij, L.V. Gorodzha I.L. Mazurenko - K.: Tehnichna elektrodinamika, Tematichnij vipusk [Modelyuvannya elektronnih, energetichnih ta tehnologichnih sistem]. -1999. - Ch. 1. - S. 83-99. 11. M'et'yuz Dzh. Matematicheskie metody fiziki / Dzh. M'et'yuz, R. Uoker. Per. s angl. kand. fiz.-mat nauk V.P. Krajnova. M: Atomizdat, 1972. - 399 s.

12. Gnatov A.V. Raschet 'elektromagnitnyh processov v indukcionnoj induktornoj sisteme s massivnym 'ekranom konechnoj tolschiny / A.V. Gnatov // Elektrotehnika і elektromehanika. - 2009. - № 5. - S. 59-62.

13. Batygin Yu.V. Cilindricheskij vitok konechnoj shiriny s razrezom nad ideal'no provodyaschim massivnym provodnikom / Yu.V. Batygin, A.V. Gnatov, D.O. Smirnov // Elektrotehnika і elektromehanika. - 2011. - № 2. - S. 56-60. 14. Gnatov A.V. Progressivnye tehnologii. Teoriya i 'eksperiment prityazheniya tonkostennyh metallov impul'snymi magnit-nymi polyami: monografiya / A.V. Gnatov, Yu.V. Batygin, A.N. Turenko. - LAP LAMBERT Academic Publishing, 2011. - 238 s. 15. Gnatov A.V. 'Elektromagnitnye processy v induktornoj sisteme s tonkim krugovym vitkom s razrezom nad tonkostennym listom metalla / A.V. Gnatov // Elektrotehnika і elektromehanika. - 2012. - №5.-S.51-55.

Поступила 03.02.2012

Гнатов АндрейВикторович, к.т.н., доц.

Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет

кафедра автомобильной электроники

61002, Харьков, ул. Петровского 25

тел. (057) 7003852, e-mail: kalifus@yandex.ru

Gnatov A. V.

A thin circular turn with a cut above a thin-walled sheet metal.

Analysis of electromagnetic processes excited by the field of an open flat circular coil placed above a thin-walled sheet metal has been carried out in this article The basic relations for time-space distribution calculation of eddy currents in the considered inductor system have been derived. The obtained analytical relations have allowed making numerical evaluations and plotting threedimensional amplitude-space distribution diagrams of induced current density in the thin-walled sheet metal.

Key words - magnetic pulse metal working, inductor system, electromagnetic processes, thin-walled sheet workpiece, eddy-currents.