Исследование метематической модели двухканальной сети случайного доступа

А.А. Назаров, С.А. Цой

ИССЛЕДОВАНИЕ МЕТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ДВУХКАНАЛЬНОЙ СЕТИ

СЛУЧАЙНОГО ДОСТУПА

В работе рассматривается двухканальная сеть случайного доступа. Предлагается ее математическая модель в виде двулинейной системы массового обслуживания, исследование которой выполнено методом асимптотического анализа с использованием общего подхода к исследованию марковских моделей сетей случайного доступа, который также описывается в данной работе.

Топология «шины» является, как правило, основной при создании компьютерных сетей связи, управляемых протоколами случайного множественного доступа [2,10]. При технической реализации таких сетей помимо основного канала связи прокладывается также резервный, который используется в исключительных случаях, путем переключения абонентских станций на резервный канал.

Несомненно представляют интерес теоретические исследования возможностей совместного использования двух каналов одновременно в сетях случайного доступа.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДВУХКАНАЛЬНОЙ СЕТИ СЛУЧАЙНОГО ДОСТУПА

В качестве математической модели двухканальной сети случайного доступа рассмотрим двулинейную систему массового обслуживания (СМО) [4,9], на вход которой поступает простейший поток заявок интенсивности X. Аналогичный подход рассмотрен в работах [5 - 8]. С вероятностью г поступившая заявка обращается к первому, а с вероятностью (1 - г) - второму прибору. Если соответствующий прибор занят обслуживанием другой заявки, то обе попадают в конфликт и переходят в источник повторных вызовов (ИПВ). От этого момента в каналах начинает распространяться сигнал оповещения о конфликте случайной продолжительности, имеющей экспоненциальное распределение с параметрами 1/а1 и 1/а2 для первого и второго каналов соответственно. Здесь а1 и а2 - средние значения времени распространения сигнала оповещения.

При этом возможны две ситуации:

1. Сигналы оповещения о конфликтах на первом и втором приборах физически неразличимы.

2. Сигналы оповещения о конфликтах на первом и втором приборах различимы.

Естественно, что во втором случае поступившая заявка обращается к тому прибору, для которого отсутствует сигнал оповещения о конфликте.

Заявки, обратившиеся к прибору во время распространения сигнала оповещения, переходят в ИПВ. Если заявка принята к обслуживанию, и в течение этого времени другие заявки к данному прибору не обращались, то обслуженная заявка покидает систему. Будем полагать, что время обслуживания имеет экспоненциальное распределение с параметром ц1 для первого и д2 - для второго приборов. После случайной задержки в ИПВ заявка вновь обращается к одному из приборов по вышеописанной схеме с повторной попыткой успешного обслуживания.

Состояния приборов определяется двумерным вектором (к1,к2), где ку = 0, если прибор свободен, ку = 1, если в нем обслуживается заявка и ку = 2, если

на приборе реализуется сигнал оповещения о конфликте. Состояние источника повторных вызовов определим величиной i - числом заявок в ИПВ. Состояние сети в целом определяется трехмерным вектором (kj,k2,i). Процесс ((t),k2(t),i(t)) изменения во времени состояния сети является марковским [1], поэтому для его распределения вероятностей

pklk2

можно выписать равенства

Poo (i, t + At) = (1 - (X + CTi))P00 (i, t) + Ц1Р0 (i, t) +

+H-2P01 (i, t) +--P20 (i, t) +---P02 (i, t) + o(At) ;

a Ü2

Pj0 (i, t + At) = (1 -(X + CTi + Hi )) Pj0 (i, t) +1^2 Pi (i, t) +

+гст (i +1) P00 (i +1, t ) + r XP00 (i, t ) +—P2(i,t ) + o(At ),

a2

P)1 (i, t + At ) = (1 - (X + CTi + ц 2 )) P01 (i, t ) + M-1pÎ1(i, t ) +

+(1 - r )ct(i +1)P00 (i +1, t) +-P21(i,t) +

a1

+(1 - r )XP)0 (i, t) + o(At) ;

P11(i, t + At ) = (1 - (X + CTi + ц1 +ц 2 )) P11(i, t ) +

+(1 - r)XP10(i, t) + (1 - r)ct(i + 1)P0(i + 1, t) +

+rXP01 (i, t) + rCT(i + 1)P01 (i + 1, t) + o(At) ;

P02 (i, t + At ) = (1 - (X + rCTi +1/ a2 )) P02 (i, t ) +

+(1 - r )XP01 (i - 2,t) + ^1P12 (i,t) + P22 (i,t) +

a1

+(1 - r )ct(i-1)P01(i-1, t) + (1 - r )XP02 (i-1, t) + o( At); p20 (i, t + At) = (1 - (X + (1 - r )CTi +1/a1 )) P20 (i, t) +

+rXp 0 (i - 2, t ) + |a2 P21 (i, t ) +—P22 (i, t ) +

a2

+rCT(i -1)P 0 (i -1, t) + rXP20 (i -1, t) + o(At) ;

P 2 (i, t + At ) = (1 - (X + rCTi + ц1 +1/ a2 )) P 2 (i, t ) + +rXP02 (i, t) + rCT(i +1)P02 (i +1, t) + (1 - r )XP 1 (i - 2, t) +

+(1 - r )CT(i -1)P1 (i -1, t) + (1 - r)XP12 (i -1, t) + o(At) ;

P21 (i, t + At) = (1 - (X + (1 - r)CTi + Ц2 + Va1 )) P21 (i, t) + +rXP 1 (i - 2, t) + rXP21 (i -1, t) + (1 - r )CT(i +1)P20 (i +1, t) + +rCT(i -1)P 1(i -1, t) + (1 - r)XP20 (i, t) + o(At) ;

P22(i, t + At ) = (1 - (X + У a1 +1/ a2 )) P22(i, t ) +

+rXP 2 (i - 2, t) + гст(i -1)P 2(i -1, t) + XP22 (i -1, t) +

+(1 - r )XP21 (i - 2, t) + (1 - r )ct(i -1)P21 (i -1, t) + o( At).

Выполнив несложные преобразования, получим, что распределение Ркк (I, () удовлетворяет следующей системе дифференциальных уравнений:

dPpo(i, t) dt

+ (Х+сті) Pqq (i, t) = Ц.1Р0О', t) + Ц P01 (i, t) +

+---------P20 ^, t) +-P02 ^, t) ;

ai a2

+ (X + CTi + ц) Pq (i, t) = Ц2 P1 (i, t) + +гст (i + 1) P00(i + 1, t) + r XPqq (i, t) +—P 2 (i, t),

dpo(i, t) dt

dPo1 (i, t) dt

+ (X+CTi + ц 2 )Pq1 (i, t) = ЦP 1(i, t) +

1

+(1 - r ) ct( /' +1) pqq (/' +1t) +— P21( ^ t) +

dP 1

dt

+(1 - r)XPqq(i, t);

+ (Х + сті + Ц1 +Ц2) P1 (i, t) = (1 - r )XP q (i, t) +

dPo2(i, t) dt

+(1 - r) ст( і +1) P 0 (i +1, t) + rXP01 (i, t) +

+гст(і + 1)P01 (i + 1, t);

+ (X + гсті +1 a2 )Pq2 (i, t) = (1 - r )XPq1 (i - 2, t) +

1

+M-1P12 (i,t) + —P22 (i,t) + (1-r)CT(i -1)Pq1 (i -1,t) +

+(1 - r) XPq2( і-1, t);

dpo

dt

+ (X + (1 - r) сті + У a1 )P20 (i, t) = rXP10 (i - 2, t) +

1

+Ц2 P21 (i, t) +—P22 (i, t) + гст(і -1) Pq (i -1, t) +

dP2(i, t) dt

+rXP,Q(i -1, t);

+ (X+гсті + Ц +1/ a2 )p2 (i, t) = rXPQ2 (i, t) +

+гст(і +1) PQ2 (i +1, t) + (1 - r )XP 1 (i - 2, t) +

+

2д/ + (x+(1 - r) сті+ц 2 + V a P (/, t) = dt

= rXP 1 (i - 2, t) + rXP21 (i -1, t) + (1 - r )XP2Q (i, t) + +(1 - r)ст(і +1)P2Q (i +1, t) + гст(і -1)P1 (i -1, t);

+ (X + V a + 1/ a2 ) P22 (i, t) = rXP 2 (i - 2, t) +

t)

дt

гст(1 -1)Р2 (I -1, /) + (1 - г)ХР!1(/- - 2, t) +

+(1 - г)ст(1 -1)Р,! (/ -1, t) + ХР22 (/ -1, t) .

При исследовании одноканальных сетей случайного доступа, функционирующих в стационарном режиме, были получены аналогичные системы уравнений. Для их решения применялся метод асимптотического анализа марковизируемых систем. Использование этого метода для системы (1) приводит к громоздким записям, выходящим за рамки научной публикации, поэтому, переходя к векторной форме, обозначим вектор-столбец

P(i, t) = {Pqq (i, t), Pq1 (і, t),Pq2 (І, t),Pq (i, t),P 1 (i, t),

P2 (i,t), P2Q(i,t), P21 (i,t), P22 (i, t)}

и матрицы A0(i), A1(i), B^i) и B2 определим таким образом, что систему (1) представим в виде

dP

dt

= Aq (і) P(i, t)+A1 (i +1) P(i +1, t) +

+В

Отметим, что аналогично (2) можно записать соответствующие системы уравнений, определяющих функционирование математических моделей и других сетей связи случайного доступа, поэтому нижеприведенный подход к исследованию математических моделей сетей случайного доступа имеет достаточно общий характер.

ОБЩИЙ ПОДХОД К ИССЛЕДОВАНИЮ МАРКОВСКИХ МОДЕЛЕЙ СЕТЕЙ СЛУЧАЙНОГО ДОСТУПА

Обозначим ст = 82, e.2t = т и покажем, что

х

є___Q ' '

8—>0

является детерминированной функцией,

82| (^82 )- х(т) у(т) = Пт---------------

8—0 8

- диффузионным процессом авторегрессии. Процесс изменений состояний каналов к (х/82) при 8 — 0 является дискретным марковским процессом независимым от процесса у(т).

Используя предельные процессы х(т) и у(т) для достаточно малых 8, рассмотрим процесс ¿(т) = х(т) +8у(т), который с точностью до о (8) совпадает с процессом 821 (тД2) и характеризует процесс изменения числа заявок в ИПВ. Покажем, что процесс ¿(т) является диффузионным, и найдем его коэффициенты переноса и диффузии.

Сформулированные результаты получим с помощью исследования системы (2), которая имеет место не только для рассматриваемой СМО, но также и для других сетей случайного доступа, математические модели которых можно представить в виде марковских СМО с источником повторных вызовов и конечным числом состояний канала.

Для получения указанных результатов в системе (2) выполним замену

82t = т; 821 = х

8

где х(т) - некоторая заданная функция, вид которой будет определен ниже, тогда систему (2) перепишем следующим образом:

8 2 дН (у, т, 8) -8х,(т) дН (у, т, 8) =

дт

ду

= Aq

2

a

a

2

Систему (4) будем решать в четыре этапа.

Первый этап

На первом этапе найдем распределения вероятностей значений процесса к(т). Для этого в системе (4) перейдем к пределу при 8 — 0, обозначив Н (у, т,0) = Н (у, т), и получим относительно вектора Н (у, т) однородную систему линейных алгебраических уравнений

К

где матрица К (х) имеет вид

К

и является инфинитезимальной матрицей интенсивностей переходов случайного процесса к(т). Из свойств таких матриц следует, что их строки линейно зависимы, так как

ЕТК

где Е - единичный вектор столбец. Следовательно, система (5) имеет нетривиальное решение, которое представим в виде

Н

где р(у,т) - скалярная функция, а вектор Я(х) определяется аналогично (5) однородной системой линейных алгебраических уравнений

К

Положим, что вектор Я(х) удовлетворяет условию нормировки

ЕТЯ

Тогда Я (х) имеет смысл распределения вероятностей значений процесса к(т), а р(у, т) является плотностью распределения вероятностей значений процесса у(т), ее вид будет определен ниже.

Отметим, что в силу равенства (8), процессы к(т) и у(т) стохастически независимы.

Покажем, что решение Я( х) системы (9), удовлетворяющее условию нормировки (10), существует и единственно.

Теорема 1. Решение Я( х) системы (9), удовлетворяющее условию нормировки (10), существует и единственно.

Доказательство. Для доказательства теоремы формально воспользуемся теоремой эргодичности. По инфинитезимальной матрице построим матрицу переходных вероятностей вложенной цепи Маркова с дискретным временем. Это реализуется исключением диагональных элементов матрицы К (х) и нормированием ее строк. Полученная матрица неприводима и непериодична, поэтому выполнены условия теоремы эргодичности, то есть, выполнены условия эргодичности для цепей Маркова с конечным числом состояний. Следовательно, существует единственное эрго-дическое распределение, которое для процесса с непрерывным временем определяется системой (9) и условием нормировки (10). Таким образом, решение

Я( х) однородной системы линейных алгебраических

уравнений (9), удовлетворяющее условию (10), существует и единственно.

Теорема доказана.

Еще раз подчеркнем, что приведенное доказательство использует теорему эргодичности не по существу, а чисто формально, так как распределение Я(х) зависит от значений функции х(т), следовательно, не является, вообще говоря, стационарным.

Второй этап

На втором этапе решения системы (4) найдем вид функции х = х(т).

Теорема 2. Функция х = х(т) является решением обыкновенного дифференциального уравнения [11]

х'

где матрица V (х) имеет вид

V

Доказательство. Функции в правой части системы (4) разложим в ряд по приращениям аргумента у

с точностью до о(8) и перепишем эту систему в виде

-8х'(т) дН(Т’ 8) = К (х + 8у)Н(у, т, 8) -

ду

дН

-8 V

ду

где матрица V(х), очевидно, имеет вид (12). Просуммируем все уравнения системы (13) и, учитывая свойство (7) матрицы К , получим

-8» (т)ЕТ = _8Е>(х) + 0(8) .

ду

ду

Поделив левую и правую части этого равенства на 8 и полагая 8 — 0, запишем

х•(т)ЕТ Щ'Ш! = ЕГУ(х)дН(у,^18>. ду ду

Подставляя в это равенство Н (у, т) в виде (8), получим

х'

дУ

ду

откуда, учитывая условие нормировки (10), получим обыкновенное дифференциальное уравнение

х'

определяющее вид функции х = х(т).

Теорема доказана. Третий этап

На третьем этапе найдем разложение функции Н (у, т, 8) в виде

Н

Теорема 3. Вектор И(у,т) является решением неоднородной системы линейных алгебраических уравнений

К

дЕ

дУ '

-К

где I - диагональная единичная матрица, а х'(т) определяется равенством (16).

Доказательство. Систему (13) перепишем в виде

К

у

и, подставив в это равенство разложение матрицы К(х+єу) вида К (х+єу) = К (х) + єуК'(х), получим К (х) Н (у, т, є) + єуК'(х) Н (у, т, є) =

= є[(х)-х'(т)І]Ну-тє)+о(є).

у

В это равенство подставим разложение (15), тогда К (х) Я( х) Е (у, т) + єК (х)И( у, т) + єуК'(х) Я( х) Е (у, т) =

= є[(х)-х'(т)/]Я(х)дЕ(y,т) +о(є) .

у

Учитывая равенство (9) и выполнив несложные преобразования, последнее равенство перепишем в виде

дЕ

К (х)Н( у, т) = [ (х) - х '(т) I ]Я( х)-

у

-уК'(х)Я(х)Е(у,т),

совпадающем с (16). Матрица К (х) неоднородной системы (16) имеет определитель, равный нулю, поэтому данная система линейных алгебраических уравнений имеет решение только тогда, когда ранг собственной матрицы К (х) системы совпадает с рангом расширенной матрицы.

В силу теоремы 1 ранг матрицы К(х) на единицу меньше ее размерности. Покажем, что уравнения неоднородной системы (16) линейно зависимы.

Суммируя все уравнения системы (16), получим

ЕТ К

- Ет К'(х) Я( х) уЕ (у, т) =

дЕ

ду "

= [етК

дЕ

ду "

-^г[еТК(х)}Я(х)уЕ(у,т).

где вектор А(1) (х) является решением системы

К

Доказательство. Выражение (17) подставим в систему (16), получим

К (х)И1'Г) (х)дЕ (y, т) + к (х) Я'(х) уЕ (у, т) +

у

+К (х) Я( х)С =

= [ (х) - х '(т)/]Я( х) дЕ (^У, т) - К'(х)Я( х) уЕ (у, т).

у

В силу (9) и (18) это можно переписать в виде К (х) Я'(х) уЕ (у, т) = -К (х)' Я( х) уЕ (у, т), откуда получим

(К(х)Я(х)) = 0 , которое выполняется тождественно в силу равенства (9). Следствие доказано.

Четвертый этап

На четвертом этапе найдем вид функции Е(у, т). Теорема 4. Функция Е(у, т) является плотностью распределения вероятностей значений диффузионного процесса авторегрессии и определяется уравнением Фоккера - Планка вида

дЕ(у, т) = / ТТ

дт

)- = -[ЕтУ(х)Я(х)) )уЕуут)) +

1-2ЕТ [Б(х)Я(х) - 2 (V(х) - х '(т)I)/г(1) (х)} >

д2 Е

>-----^,

ду 2

где матрица В(х) имеет вид

Б

а вектор Н('У)(х) является решением системы (18).

Доказательство. Функции в правой части системы (4) разложим в ряд по приращениям аргумента у

с точностью до о(82) , получим

„2 дН (у, т, 8) дН (у, т, 8)_

т

— єх'(т)-

ду

- = К (х+єу) Н (у, т, є) -

ёх

В силу равенства (7) левая часть равна нулю. В силу равенств (10) и (14) правая часть также равна нулю, следовательно, ранги соответствующих матриц совпадают, а система (16) имеет решение, определяемое с точностью до однопараметрического семейства векторов вида Я(х)С, где С - произвольная скалярная величина.

Теорема доказана.

Следствие 1. Решение И(у, т) системы (16) имеет вид

Н

ду

-8ду{V(х + 8у)Н(у, т, 8)} + 8-Б(х)д Н(у T, 8) +

ду 2 ду

+0(82),

где матрица Б(х), очевидно, имеет вид (20).

Сложив все уравнения этой системы и используя свойство (7) матрицы К , имеем

8 2 ЕТдН (у,т,8) - 8х (т) ЕТдН (у,т,8) =

т

-,т д

ду

= -єЕ — {V (х+єу) Н (у, т, є)} +

ду

+51 етщ х,д!Н<у^+о

2

ду2

Используя разложение V(х+єу) = V(х) + єу¥'(х), перепишем это равенство следующим образом:

є2ЕтдН(.у,т,є>_єх.(,)ет дН(у,т=

т

у

= -єEтV (х) дНуїє--є2 ЕV '( х)д{уН (у,т,є)} +

ду

ду

+є2 Ет Б( х)^^+о(є 2).

2 у 2

Подставляя разложение (17) функции Н (у, т, є).

получим

^ х) Е (у, Ієх •( т) етЯ( х)-дЕ <у,^

т

у

-є2- х ад ¿т?!^ =

ду

= -єETV

ду

ду

-є2 ETV'

д{уЕ (у, т)}

ду "

+є-ЕтБ(х)Я(х)д Е^т) + о(є2),

2 у 2

которое в силу условия нормировки (10) и дифференциального уравнения (14) перепишем следующим образом:

є2 дЕ (у, т) є2 Т7тдк(у, т) =

т

— є х '(т)Е

у

= -є! ¿ту-(х) -є2 ¿ту-'(х) Я( х)дЕуЕ <•у,т)} +

ду ду

+є-ЕтБ(х)Я(х)д Е^т) + о(є2).

2 у 2

Выполнив несложные преобразования, получим

дЕ<у,т! = -ет V

т

у

-є2 Ет V'

у

+2ЕтБ(х)Я(x)д-FУ^ .

2 у 2

Рассмотрев первое слагаемое в правой части этого равенства и подставив в него представление (17) вектора к( у, т), имеем

Ет

Як

ду '

--Ет (V(х)-х'(т)!)(1)(х)д Е^т) +

у 2

ч,д{уЕ (У, т)}

+Ет

у

Подставляя это выражение в (21), получим

=- ЕТу (х) Я'(х)-{уЕ (у т)} -

т у

-ЕТу'(х) Я( х) а^т»! -

у

-ЕТ (V(х)-х'(т)I)(1)(х)- Е(ут) +

у 2

+1 ЕтБ(х)Я(х)-2Е^т),

2 у 2

что, очевидно, совпадает с уравнением (19).

Теорема доказана.

Используя (11), коэффициент диффузии случайного процесса В( х) можно представить в виде

В2(х) = ЕТ {Б(х)Я(х) -

-2^

а для диффузионного процесса у(т) имеет место стохастическое дифференциальное уравнение [3]

/

ёу

где ^(т) - стандартный винеровский процесс.

Теперь рассмотрим для достаточно малых значений параметра 8 случайный процесс

¿

и докажем следующую теорему.

Теорема 5. С точностью до о(8) случайный процесс ¿(т) является решением стохастического дифференциального уравнения

dz

т.е. ¿(т) является однородным диффузионным процессом с коэффициентом переноса ETV(z)Я(z) и диффузии 82В2 (2) .

Доказательство. Дифференцируя равенство (24), получим

dz(т) = х'(т)ёт + 8ёу(т).

В силу (13) и (25) его правую часть перепишем в виде х'(т) ё т+8ёу(т) = ЕТ V (х) Я( х) ё т +

/

+8^ETV(х)Я(х)) уёт+8В(х)ём>(т) =

= {етV(х)Я(х) +8у(етV(х)Я(х)) }ёт + 8В(х)ём!(т) =

= ETV (х+8у )Я( х+8у)ё т + 8В( х+8у )ём>(т) + о(8) =

= ЕтV(¿)Я(2)ёт + 8В(¿)ём>(т) + о(8), следовательно, процесс ¿(т) с точностью до 0(8) удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению (25).

Теорема доказана.

Таким образом, для достаточно малых значений параметра 8 случайный процесс 821 (т/82) можно аппроксимировать однородным диффузионным процессом ¿(т), удовлетворяющим стохастическому дифференциальному уравнению (25).

Далее полученные результаты применим к исследованию вышеописанной двулинейной сети.

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ СОСТОЯНИЙ КАНАЛОВ В ДВУХКАНАЛЬНОЙ СЕТИ СЛУЧАЙНОГО ДОСТУПА

Для рассматриваемой системы (2) найдем компоненты Як к2 вектора Я(х). Для этого в явном виде

выпишем уравнение

(Х + х)Я00 = М-1Я10 + М2Я01 + Я20 + -^02 ,

г.§Я01 — М-1 Я11 + Я21, а1

гёЯи +М1Я11 = гgЯ0l,

- Я21 = г8Я11'; а

гёЯ02 — М1Я12 + Я22 , а1

гёЯ12 +М1Я12 — гgЯ02, Я22 — гёЯ12;

(1 г>8Я00 — М2Я01 + Я02 , а2

(1 - г >ЯЯ01 +М 2 Я01 = (1 - г > gЯ00,

—Я02 =(1 - г>яЯ01; а2

(Х + х +м2» Я01 =М1Я11 + Я21 +(1 -г )ХЯ00 +

+(1 - г) хЯ0,

1

Х + гх +---IЯ02 — (1 - г )ХЯ01 + (1 - г) хЯ01 +м1Я12 +

1

+----Я22 + (1 - г > ХЯ0

1

(Х + х + М1>Яю — М2Я11 + Я12 + гХЯ00 + гхЯ00 ,

а2

(Х + х + М1 + М2) Я11 — (1 — г )ХЯШ + гХЯ01 +

+

Х + гх+м1 + — IЯ12 — гХЯ02 + гхЯ02 + (1 - г)ХЯ11 +

+(1 - г) хЯи + (1 - г) ХЯ12,

Х +

+ Я22 + гХЯ20 ,

Х + (1 -г) х+М2 +— IЯ21 — (1 -г) ХЯ20 +(1 -г) хЯ20 +

(1 г>ёЯ10 — М2Я11 + Я12 , а2

(1 - г> gЯ11 +М2 Я11 — (1 - г > gЯ10,

- Я12 — (1 - г) ЯЯП; а2

(1 г>ёЯ20 — М2Я21 + Я22 , а2

(1 - г > §Я21 +М2 Я21 — (1 - г > gЯ20,

Я22 — (1 - г> 8Я21.

а2

Очевидно, что если некоторое решение Як^2 будет

удовлетворять данным системам, то это же решение будет удовлетворять системе (26). Все системы имеют нетривиальное решение, определенное с точностью до мультипликативной составляющей, в силу того, что их определители равны 0. Будем искать решение в

виде произведения Як^2 — Я/к1»Я(кг>. Разрешая эти системы и добавляя условие нормировки (10):

Я(2) —1

получаем

к1 —0

я01! —-

к2 —0

г% + М1

(щ> а + 2^+м/

+гХЯ11 + гхЯ11 + гХЯ21,

Х +----\---1Я22 — г ХЯ12 + гхЯ12 + (1 — г) ХЯ21 +

а1 а2)

+(1 - г > хЯ21 +ХЯ22 .

Для решения системы (26) преобразуем ее к следующему виду, с учетом замены g — Х + х :

г8Я00 — М1Я10 + Я20 , а1

гgЯl0 +М1Я10 — гgЯ00,

—Я20— гgЯlo; а1

Я(1) — -

(^> а + 2^+М1

Я?> — -

(^) а1

2 (^ )2 а1 + 2^ + М1

я02> —

(1- г > g +М2

((1-г)g) а2 + 2(1- г)g + М2

Я(2) —

Я(2) — 2

(1 - г) g

((1 - г)g) а2 + 2(1 - г)g + М2

((1- г) g )2 а2

((1-г)g) а2 + 2(1-г)g + М2

2

2

ИССЛЕДОВАНИЕ АСИМПТОТИЧЕСКОГО СРЕДНЕГО ЧИСЛА ЗАЯВОК В ИПВ ДЛЯ ДВУХКАНАЛЬНОЙ СЕТИ

По Теореме 2 процесс х(т), имеющий смысл асимптотического среднего нормированного числа заявок в ИПВ, является детерминированным, удовлетворяющим обыкновенному дифференциальному уравнению (11). Запишем данное уравнение для описанной двулинейной сети в явном виде

х'(т) = Х-

г (Х + х)^

(г(Х + х)) а + 2г(Х + х) + ц1

(1 - г)(Х + х) М2

((1 - г)(Х + х))2 а2 + 2(1- г)(Х + х) + М2,

Данное дифференциальное уравнение в зависимо -сти от параметров может иметь до 4 точек покоя. Особый интерес представляет ситуация, в которой уравнение имеет 4 точки покоя, две из которых будут

устойчивы. Устойчивые точки покоя будем называть точками стабилизации сети связи, а сеть связи бистабильной.

ИССЛЕДОВАНИЕ ДИФФУЗИОННОЙ АППРОКСИМАЦИИ ПРОЦЕССА ИЗМЕНЕНИЯ ЧИСЛА ЗАЯВОК В ИПВ ДЛЯ ДВУХКАНАЛЬНОЙ СЕТИ

По Теореме 5 процесс ¿(т), аппроксимирующий

случайный процесс Л(т/82) - нормированное число

заявок в ИПВ, является диффузионным и удовлетворяет стохастическому дифференциальному уравнению (25). Коэффициент диффузии для данного процесса определяется уравнением (22). Аналитическое выражение для него очень громоздко, поэтому в данной работе оно не приводится. Для задач большой размерности уравнение (22) позволяет определить коэффициент диффузии численно.

ЛИТЕРАТУРА

1. Баруча-Рид А.Т. Элементы теории марковских процессов и их приложения. М.: Наука, 1969. 511 с.

2. Бертсекас Д., ГалагерР. Сети передачи данных. М.: Мир, 1989. 544 с.

3. Гихман И.И., Скороход А.В. Стохастические дифференциальные уравнения. Киев: Наукова думка, 1968. 353 с.

4. ГнеденкоБ.В. Введение в теорию массового обслуживания. 2-е изд., перераб. и доп. М.: Наука, 1987. 336 с.

5. Назаров А.А. Асимптотический анализ марковизируемых систем. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991. 157 с.

6. Назаров А.А. Одышев Ю.Д. Исследование сетей связи с протоколом «синхронная Алоха» в условиях большой загрузки // Автоматика и вычислительная техника. 2001. № 1. С. 77-84.

7. Назаров А. А. Устойчивое функционирование нестабильных сетей связи с протоколом случайного доступа // Проблемы передачи информации. 1997. № 2. С. 101-111.

8. Назаров А.А. Шохор С.Л. Исследование управляемого несинхронного множественного доступа в спутниковых сетях связи с оповещением о конфликте // Проблемы передачи информации. 2000. № 1. С. 77-89.

9. Саати Т.Л. Элементы теории массового обслуживания и ее приложения. 2-е изд. М.: Сов. радио, 1971. 519 с.

10. Флинт Д. Локальные сети ЭВМ. М.: Финансы и статистика, 1986. 357 с.

11. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление: Учебник для физических и физико-математических факультетов университетов. 4-е изд. М.: Эдиториал УРСС, 2000. 320 с.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 30 апреля 2003 г.

+