О множествах Мандельброта и Жюлиа для многочленов комплексной переменной

УДК 513

Секованов Валерий Сергеевич

Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова

О МНОЖЕСТВАХ МАНДЕЛЬБРОТА И ЖЮЛИА ДЛЯ МНОГОЧЛЕНОВ КОМПЛЕКСНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

В данной статье рассматриваются множеств Жюлиа и множества Мандельброта для полиномов комплексной переменной любой степени и исследуются их свойства.

Ключевые слова: множество Жюлиа, множество Мандельброта, орбита точки, фрактал.

В настоящее время интенсивно исследуются фрактальные множества на комплексной плоскости. Это связано с их использованием при создании математических моделей в физике, экономике и других науках. Большой интерес для исследователей представляют комплексные фракталы. Полезны комплексные фракталы и для реализации дидактических целей, поскольку математические исследования здесь органически переплетаются с разработкой алгоритмов, реализуемых с помощью современных информационных и коммуникационных технологий, включая параллельное программирование, что дает прекрасную возможность формирования креативности бакалавров, магистров, аспирантов и студентов.

Мы считаем, что данная статья может оказаться полезной в методическом плане, поскольку здесь материал излагается в той последовательности, в которой его можно использовать при чтении спецкурсов «Фрактальная геометрия и теория хаоса» и «Комплексная динамика».

Следует отметить, что множества Жюлиа и множество Мандельброта рассматриваются в известных автору учебных пособиях и монографиях [1-6] в основном для квадратичных отображений, а для многочленов, степень которых больше двух, даются только определения, приводится несколько задач и компьютерных экспериментов.

В настоящей статье мы рассмотрим множества Жюлиа и множества Мандельброта для полиномов f ф = zp + с, р > 2. Приведем сначала определения данных комплексных фракталов.

Определение 1. Множество Жюлиа для полинома комплексного переменного, f ф = zp + с, р > 2, обозначаемое J(/), определяется как

J (/) = д{ы: f (п)( ы) ^ да, п ^ да}, где д - граница области притяжения бесконечности,

а f (п)(Ы) = f (/(п-1)(z)),п = 2, 3,... .

Определение 2. Множество Мандельброта для функции комплексного переменного

р(т) = zp + С , р > 2, обозначаемое Мр, определяется как множество с комплексных точек (с е С), орбиты нуля которых ограничены. То есть точка с принадлежит множеству Мандельброта М ,

если последовательность {<р(п) (0)}^^=1 ограничена на комплексной плоскости.

Определение 3. Заполняющее множество Жюлиа для полинома комплексного переменного аф = zp + с, р > 2, обозначаемое J(/), определяется как множество точек г комплексной плоскости, орбиты которых ограничены (заметим, что множеством Жюлиа будет граница заполняющего множества Жюлиа).

Построить множества Жюлиа, так же как и множества Мандельброта, без использования компьютера практически невозможно, поскольку границы этих множеств сильно изрезаны. Однако есть и исключения. Например, при с = 0 заполняющим множеством Жюлиа будет круг единичного радиуса с центром в начале координат, а множеством Жюлиа - окружность, граница этого круга.

Обоснуем данное утверждение. Пусть /0(г) = 2Р, р > 2. Тогда ып = /0(п)(ы) = , п = 1,2,... . Если

Ы < 1, то Нт ып = 0, а при Ы > 1 11т ып = да . Если

п^да п^да

же Ы = 1, то |ып| = 1. Таким образом, заполняющим множеством Жюлиа действительно будет круг радиуса единица с центром в начале координат. Отметим, что при с, отличном от нуля, множество Жюлиа будет иметь фрактальную структуру.

Справедливы следующие теоремы 1 и 2, обобщающие соответственно теоремы 8.1.1, 8.3.3, доказанные в [2] для квадратичных полиномов комплексной переменной.

ТеоРема 1 Предположим, что f (7) = 2р + с, Шр (г| = \2р + А > |^р - С > |г|Ро - С > 2. Соглас-

где с < 2, а р > 2. Пусть и е С и ип = /с (и) для п = 1, 2, 3,... Если существует такое п0, что |г^ | > 2, то имеет место 11т ип = да . То есть орбита

п^да

ип = {/с<”)(ы)}дада=1 стремится к бесконечности и 2 не

принадлежит множеству Жюлиа J (/с).

Доказательство. Не нарушая общности рассуждений, будем считать, что Ы > 2 . Тогда

\/с (2)| > к+С > N

ІР-1

С

N -гг 2

\

. Рассмотрим функ-

I/

цию вещественной переменной ф( х) = хр--------,

х

х е [2; да). Имеем: р'(х) = (р - 1)хр-2 + -Ц. Следо-

х

вательно, при переменной х е[2; да) функция р(х) возрастает. Пусть |с| = 2 - 28,8 > 0. Тогда

1 I р—1 с 1 с ,

2 -П>2р -Т = 2р — 1 + ^ >1 + ^ . Таким об-

И 2

разом, |./с (Х)| > |И|(1 + 5).

\/с2)(иI = |/с(у)|>\у\(1 + 3)>И(1 + 3)2. Продолжая аналогичные рассуждения, получим для любого натурального п |/с(п) (и) > |и|(1 + 8 )п, что и заканчивает доказательство теоремы 1.

Обозначим п-ю итерацию функции

/с(и) = ир + с при фиксированномрчерез /{с"]р(и). Следствие 1. Предположим, что /]",р (и),

И > 1, |с| < 1. Тогда существует такое р0, что для каждого р > р0 орбита точки и стремится к бесконечности.

Доказательство. Так как |и| > 1, то существует

такое натуральное число р0, что Ир° — |с| > 2. Тогда при каждом р > р0

но теореме 1 последовательность {/{сп)р (и )}= стремится к бесконечности для каждого р > р0. По скольку орбита точки

отличается от

{2, /«р (2), /^ (2),..., /«р (2),...}

последовательности {/(")Р (2)|“^ только одним

первым членом, то она также стремится к бесконечности для каждого р > р0.

Теорема 2. Предположим, что /с (2) = 2Р + с,

где |с| > 2, 2 > |с| и р > 2. Тогда орбита точки 2

устремляется к бесконечности и С £ М .

Доказательство. Положим |с| = 2 + 8, 8 > 0. Далее имеем

/ (2) > |2р+А > |2|р - с > 12р -Н=И(2^1 -і)=

=2 (2 -1)( 2|р 2 +| 2р 3 +...+12+1)>

> N(2 -1)> N(с1 -1)=N(1+5)-

Положим /с (и) = у , где с > 2, И > |с| и |у| > |и|(1 + 5)> И > |с| > 2. Тогда имеем:

Таким образом,

Продолжая аналогичные рассуждения, получим неравенство |/с(п)(и)| > |и|(1 + 8)" для каждого натурального п. Следовательно, 11т /с(п) (и) = да.

п^да

Далее имеем /с (0) = с. Поскольку |с| > |с| > 2,

то согласно предыдущему рассуждению орбита точки с стремится к бесконечности. В таком случае к бесконечности будет стремиться и орбита нуля. Согласно определению множества Мандельброта точка с ему не принадлежит. Теорема 2 доказана.

Теорема 3. Пусть /с (и) = ир + с, р > 2. Тогда справедливы следующие утверждения:

а) если р > 2, р е N, то множество Мандельброта для функции /с (и) = ир + с симметрично относительно вещественной оси;

б) если р > 2 - четное число, то множество

Мандельброта для функции /с (и) = ир + с не симметрично относительно мнимой оси;

в) если р > 3 - нечетное число, то множество Мандельброта для функции /с (и) = ир + с симметрично относительно мнимой оси, а значит, центрально симметрично.

Доказательство. а) Мы убедимся, что

/с(п) (0)= /с;п) (0) для каждого натурального числа п.

Применим метод математической индукции по п, где п - номер итерации. При п = 1 имеем

/с (0) = с, а /- (0) = с и утверждение справедливо,

поскольку /- (0) = с = с = /с (0). Пусть теперь наше утверждение справедливо при п = k. То есть /с:11) (0)= /с(к) (0). Покажем тогда,

что

/(к+1’ (0) = /?+ч (0). Положим /}к ) (0) = у = рк ) (0).

Тогда /ск )(0) = у = /^) (0). Далее имеем:

/1к+1)(0) = / (/с(к }(0))= / (у ) = ур + с.

£к+1)(0) = /с (/(к Ь (0))=/ (у )=у

+ с =

= ур + с = ур + с.

Следовательно, /}к+1)(0) = /к+1)(0).

Таким образом, для каждого натурального

числа п /с(п)(0)= /с(п)(0). Покажем, что сеМп, тогда и только тогда, когда сопряженное число

се М„.

Действительно, /с

/(п) (0) = /-(л) (0) = / (п)(0). Замечаем,

и

что

{Л” )(0)}да=1 = {0, -1,0, -1,...}. °днако 1 г М 2к, ибо

для функции /1(и) = и 2к +1 орбита нуля

{/1(п)(0)}пп=1 = {>,1, 2, 22к +1, (22к + 1)2к +1,...} не ограничена.

Докажем в). Пусть с = с1 + iс2 и р = 2к +1,

к > 1. Введем обозначение с = -с1 + гс2. Заметив, что модули комплексных чисел с = с1 + гс2

и с = - с 1 + г с2 равны, покажем, что с е М 2к+1, тогда и только тогда, когда с е М 2к+1 .

Итак, пусть р - нечетно. Покажем сначала, что

/ сП) (0) = /іп)(0) для каждого натурального

числа

п, где /(и) = ир + с. Применим вновь метод математической индукции по п, где п - номер итерации. При п = 1 имеем /с (0) = с, а /I (0) = с . Сле-

с

довательно, наше утверждение справедливо. Предположим теперь, что утверждение справедливо при п= к. То есть /()(0)= /Ук^0). Покажем

с

тогда, что /с(к+1) (0)= /Ук+1)(0). Положим

с

/<к)(0) = у = , где у = у1 + гу2. Тогда

с

/с(%) = .у = /У }(0). Далее, используя бином

с

Ньютона и определение к + 1 итерации функции / (и) = ир + с, получим равенство (1):

\/сп)(0) = |/с">(0). Следовательно, последователь- /[с 1(0) = / с(/! 1(0)) = / с(у) = УР + с1 +гс2 =

ности

^/(и)(0)И=1 и {/<->(0)]:=1

одновременно схо-

дятся или расходятся и а) доказано.

Докажем теперь б). Пусть р = 2к, к > 1 - четное число. Найдем две точки, симметричные относительно мнимой оси, одна из которых принадлежит М2к , а другая не принадлежит. Заметим, что - 1еМ2к, поскольку для функции /_ 1(и) = и 2к-1 орбита нуля ограничена

= (Уі + іу2)р + сі + і с2 = ур1 У 2і ° + с>Р-1у^ + +С ур-2 у2і2+с; ур-3 у3і3+.

...+ср-3 у1 ур-3ір-3 + с;-2 уі2 У2р-2ір-2 + + СрР-1 у! ур2-1ір-1 + Срру0 урір + сі + іс 2.

Учитывая, что с = -с + с , получим равенство (2):

/г (0)=/7 (/() (0) )=/: р ^=;ур+с=

= (- у1 + іу2 )р - с1 + іс2 = Ср (- у1 )ру20і 0 +

+ср(- у1)р 1 у2і’1 + ср(- у1)р 2 у2і 2 +

+ср (- у1 )р-3 у23і3+.....+с;-3 (- у )3 у2р-3ір-3 +

+ с;-2 (- у1 )2 у2р-2ір-2 + с;-1 (- у1 )1 у2р-1ір-1 +

+ ср

Замечаем, что на четных местах в (1) и (2) стоят одночлены, не имеющие в своем составе мнимой единицы і. Занумеруем данные одночлены члены слева направо. Получим выражения (3):

0 / \р 0-0 .

= сруру2°і°, Ь = ср

\р-2 2-2.

а2 = СруГ2у2 2, Ь2 = Ср(- у1)р у2г ар-1 = ср-1у!ур-1гр-1, Ьр-1 = ср-1(- у, 11 ур-1гр-1;

ар+1 = с1 , ьр+1 =-с1.

Из соотношений (3) замечаем, что одночлены, стоящие на четных местах, имеют противоположные знаки. Рассуждая аналогично, нетрудно убедиться, что на нечетных местах стоят одинаковые одночлены. Таким образом, если -

нечетно,

получим /с(к+1)(0)= /<к+1)(0). Следова-

тельно, /с(п) (0) = /іп)(0) для каждого натурально-

го числа п.

Далее Vn є N из равенства /с

получаем, что /« (0) = /с (0). Поскольку

|/с(п) (0) =

то последовательности

И!  {/сп ’(0)):=1

одновременно сходятся или расходятся.

Таким образом, с е М , тогда и только тогда,

когда с е М , что и доказывает симметричность множества Мандельброта относительно мнимой оси при р = 2к +1, к > 1.

Далее, пусть с = с1 + гс2 е М . Согласно пункту а) теоремы 3 с = с1 - гс2 е М . Посколькур нечетно, то согласно пункту в) теоремы 3 множество Мандельброта симметрично относительно

у

мнимой оси. Тогда с = -с1 - с2г = - с е М . Теорема 3 доказана.

Теоремы 1 и 2 дают возможность глубже исследовать математические свойства множеств Жюлиа и множеств Мандельброта. Данные теоремы также позволяют разрабатывать эффективные алгоритмы для визуализации этих множеств на мониторе компьютера, без которого, как уже отмечалось, строить множества Жюлиа и множества Мандельброта (за редким исключением) невозможно.

Предложение 1. При каждом натуральном

р > 2 множества Мандельброта М находятся внутри или на границе круга радиуса 2 с центром в начале координат.

Доказательство. Пусть комплексное число с

такое, что |с| > 2. Тогда в силу теоремы 2 с г Мр. Покажем, что при некоторых значениях р точка с е М может находиться на границе круга с центром в начале координат и радиусом, равным 2. Действительно, пусть с = -2, р = 2. Тогда для функции /-2(и) = и2 -2 орбита нуля {0,-2,2, 2, 2,...} ограничена. Следовательно, с е М2. Видимо, это единственный случай. То есть не существует таких р ф 2, для которых граничная точка окружности с центром в начале координат и радиусом, равным 2, принадлежит М . Предложение 1 доказано.

Предложение 2. Заполняющее множество Жюлиа для функции /с (и) = ир + с, р > 2 непусто.

Доказательство. Пусть п - натуральное число. Рассмотрим уравнение /(п) ( и) = и , левая часть которого является многочленом степени рп, имеющим ровно рп корней: И1, и2, и3, ..., ир. Нетрудно заметить, что для корней уравнения выполняются следующие равенства: и2 = / (и1 ),

и3 = /(и2), ..., Ирп = /(2п-1), /(ирп) = И1. Таким

образом, орбита каждой точки и1 г = 1, рп ограничена. И, следовательно, каждая из них принадлежит заполняющему множеству Жюлиа. Объединение всех неподвижных точек функции /

п е N конечно или счетно, а следовательно, непусто.

Предложение 3. Если р > 2 - четное число, то множество Жюлиа для функции /с (и ) = ир + с центрально симметрично. Пусть 2 принадлежит заполняющему множеству Жюлиа. Тогда орбита

точки и: {и, z2 + с, (и 2 + с)2 + с,...} ограничена. Рассмотрим орбиту точки -2:

{- и, (- и)2 + с, ((- и)2 + с)2 + с,... }. Сравнивая полученные последовательности, замечаем, что они отличаются только первым членом. Следовательно, орбита точки -2 ограничена, и она принадле-

Рис. 1. Множество Мандельброта для функции /(2) = г3+ с

жит заполняющему множеству Жюлиа. Если точка -г принадлежит заполняющему множеству Жюлиа, то, рассуждая аналогично, нетрудно показать, что 2 также ему принадлежит. Предложение 2 доказано.

Компьютерные эксперименты показывают,

что множество Мандельброта М , порожденное

многочленом /с (2) = 2р + с, р > 2, состоит из доминирующей области, состоящей из р - 1 примыкающих областей (для р = 3 см. рис. 1). Покажем, что внутренность этой области соответствует точкам с, для которых сопутствующее множество Жюлиа имеет притягивающую неподвижную точку. Докажем это и построим границу данной области.

Пусть 2 есть притягивающая неподвижная точка. Тогда выполняются два условия:

1) /с

= р2Р 1 < 1.

Из условия 2) следует, что точки границы удов-

летворяют соотношению Щ2\

і і 1

р-1

1. Или же

рІр

. Тогда переменную 2 можно записать

в виде 2 =

Гр

Учитывая

р-(7~

е" (*), где г є [0; 2к\.

условия 1), (*) и

получим выражение

°Тр

1 = 1

ррІр

Г

„рі!

где

t е [0; 2ж], р > 2, которое является уравнением

границы основной области множества М .

Положив с = с1 + гс2, получим параметрическое уравнение данной линии:

1

cos г-

sin г -

cos рг р sin рг

где t е [0; 2к\, р > 2.

Найдем площадь Sp основной области множества Мандельброта М р:

2 =

е

Р —

2

1

с =

е

с=

с

2

Sp = 2 І —^ | sin t -

p І PiP I p

sin pt I І

—== (sin pt - sin t) dt =

piP1 7

sin2 pt

S„ =

sin pt sin t Jdt.

Вычисляя последний интеграл, получим: І

p,

p17

Заметим, что последовательность

І

’Ір

монотонно возрастает и предел ее равен единице. Таким образом, сопутствующее множество Жюлиа с притягивающей неподвижной точкой при достаточно большом р будет приближаться к кругу радиуса единица с центром в начале координат.

Это же предположение подтверждает и вычис-

ленная нами площадь Sв = -

І

-УР2

по-

скольку lim Sp = lim-

,—, ж + — I = ж - есть пло-

-171 р,

щадь круга радиуса 1.

Согласно следствию 1 при достаточно больших р (р > р0) и |с| < 1 точка г, модуль которой больше единицы, не принадлежит заполняющему множеству Жюлиа К£).

Заметим также, что

lim

І

І

рІр

pP-fp

для каждого t є[О; 2ж]. При p=3 получим:

І f cos 3t

С, = —1= | cos t--------

1 SI 3

І f . sin3tI , t є[О;2ж]. c =—j=| sint------------1

2 л/3 I 3

А обрамление М 3, у которого в сопутствующем заполняющем множестве Жюлиа будет неподвижная притягивающая точка, заполнит внутренность основной части множества Мандельброта, расположенной на рисунке 1.

Например, для функции fc (г) = г3 получим

одну притягивающую неподвижную точку г1 = 0 и две отталкивающие неподвижные точки

(г2 = 1 Г3 = -1).

Приведем таблицу (табл. 1) нескольких значе-

1 ( и ^ 1

ний функции: с = ^^I е" —— I.

Заметим, что данная линия простирается по

2

вещественной оси от -0,39 до

~ 0,39 Зу/3 '

Следует отметить, что согласно исследованным свойствам множеств Жюлиа и множеств Мандельброта алгоритмы их построения значительно сокращают число вычислительных операций.

Библиографический список

1. Морозов А. Д. Введение в теорию фракталов. - М.; Ижевск, 2002.

2. Кроновер Ричард М. Фракталы и хаос в динамических системах: пер. с англ. под ред. Т.Э. Крэнкеля. - М.: Постмаркет 2000.

3. Божокин С. В., Паршин Д. А. Фракталы и мультифракталы. - М.; Ижевск, 2001.

4. Шредер М. Фракталы, хаос, степенные законы: (миниатюры из бесконечного рая). - М.:

Таблица1

7Г

2

Р

= e

t О к 2 к Зж 2

СІ -Л- * О,39 3V3 О —^ * -О,39 3V3 О

С2 О 4 —;= * О,78 3V3 О 4 = и -0,78 3V3

Научно-издательский центр «Регулярная и хаотичная динамика», 2001.

5. Гринченко В.Т., Мацыпура В.Т., Снарс-кий А.А. Введение в нелинейную динамику. Хаос и фракталы. Изд. 2-е. - М.: URSS, 2007.

6. Пайтген Х.-О., Рихтер П.Х. Красота фракталов. Образы комплексных динамических систем: пер. с англ. под ред. А.Н. Шарковского. - М.: Мир, 1993.

УДК 636.2.082:591.421

Сиротина Марина Валерьевна

кандидат биологических наук Костромской государственный университет им. Н.А. Некрасова

mvsirotina@gmail.com

Баранов Александр Васильевич

доктор биологических наук Костромской НИИСХ Россельхозакадемии Knicx@kosnet.ru

ИЗУЧЕНИЕ ДЕРМАТОФЕНОВ КРУПНОГО РОГАТОГО СКОТА

В статье описана история изучения дерматофенов носогубного зеркала крупного рогатого скота в России и за рубежом. Обращается внимание на эпигенетические основы фенетики, отмечен вклад авторов в развитие фенетики крупного рогатого скота.

Ключевые слова: фенетика, носогубное зеркало, дерматоглифы, эпигенетика.

Фенетика - это научное направление, сформировавшееся в 70-е годы ХХ века на стыке генетики, классической зоологии и ботаники. Предметом фенети-ки является внутривидовая изменчивость, которая доводится до рассмотрения дискретных альтернативных признаков - фенов, а методы фене-тики основаны на вычленении различных фенов, количественном и качественном их изучении. По мнению А.Г. Васильева [4; 5], в последние годы всё яснее становится, что фенетика основана на популяционном анализе процессов развития (эпигенеза) и является своеобразным «популяционным окном» в онтогенез и морфогенез. Впервые эта мысль была сформулирована А.В. Яблоко-вым [20] и развивалась в работах его учеников и последователей.

Успехи молекулярной биологии в последние годы позволяют установить реальное существование эпигенетических механизмов и их роль в регуляции процессов функционирования генома и морфогенеза [5; 8; 19]. По мнению Б.В. Конюхова, «фенотип многоклеточного организма рассматривается сейчас не как мозаика признаков, контролируемых отдельными генами, а как общий продукт взаимодействия многих тысяч генов в онтогенезе». Следовательно, генотип развивающегося организма представляет собой эпигенетическую систему, а фены представляют собой «маркеры» особенностей организации про-

цесса «эпигенеза», то есть могут служить маркерами эпигенетической системы популяции. По мнению А.Г. Васильева [4], фены представляют собой результат дискретного осуществления в ходе развития последовательных или альтернативных шагов онтогенетических программ, лежащих в основе структурогенеза, и позволяют надёжно и устойчиво маркировать эпигенетическую специфику популяций и внутрипопуляционных групп.

У крупного рогатого скота в настоящее время выделено более 40 фенов. Среди них: дерматоглифы носогубного зеркала, вибриссы, форма завитков волос на некоторых частях тела, форма копытец, рогов, ноздрей, ушей, вымени, молочных колодцев, масть, форма и расположение отметин на туловище, конечностях и др., но наиболее перспективным направлением в фенетике крупного рогатого скота является изучение дерматофенов носогубного зеркала.

История изучения дерматоглифических узоров носогубного зеркала началась в 20-е годы ХХ века, когда вышел ряд работ, посвящённых этой тематике в Австрии, Англии, Германии, Японии, России. Основы фенетики дерматоглифов носогубного зеркала были разработаны на Украине А.Л. Трофименко в 70-е - 90-е годы прошлого века. Так, А.Л. Трофименко были проанализированы частоты дерматотипов у 14 пород крупного рогатого скота, сделаны выводы о породной специфичности распределения частот дер-