Реконструкция полости в упругом стержне

УДК 539.3

РЕКОНСТРУКЦИЯ ПОЛОСТИ В УПРУГОМ СТЕРЖНЕ

© 2006 г. О. В. Бочарова, А. О. Ватульян, Р. С. Жарков

In job the research of a return task about identification of a cavity in a core is carried out at excitation longitudinal and cross of fluctuations. The amendments to resonant frequencies are constructed, on the basis of which the problem of identification of a cavity of small volume can be solved, the numerical method of research of direct and return tasks based on the device of the integrated equations is offered.

Введение

Задачи идентификации дефектов в упругих телах имеют большое значение. Наиболее распространены полости и трещины, являющиеся концентраторами напряжений. Их наличие в твердых телах в значительной степени снижает прочность конструкций, поэтому своевременное выявление дефектов такого вида позволяет предотвратить глобальное разрушение. Выявление дефектов в упругих телах может осуществляться при помощи анализа волновых процессов, возникающих в телах под действием нагрузки. Процедура идентификации дефекта осуществляется на основе решения некоторой обратной задачи.

В настоящей работе изучаются обратные задачи идентификации полости в стержне при анализе его продольных и изгибных колебаний.

Постановка прямой задачи о колебаниях неоднородного стержня

Рассматриваются задачи об установившихся продольных и поперечных колебаниях с частотой а прямолинейного упругого изотропного стержня длины l с полостью под действием периодической во времени силы. Наличие полости моделируется зависимостью площади F и момента инерции J поперечного сечения от продольной координаты x.

Прямая задача: зная функции F(x) и J(x), найти смещение точек стержня как функцию частоты колебаний.

Соответствующие краевые задачи после отделения временного множителя е1Ш имеют вид [1]: для продольных колебаний (задача 1); поперечных - (задача 2):

(F (x)u') ' + k 2 F (x)u = 0 u (0) = 0 , EF(l)u (l) = -P ,

k2

c2 =

настоящей работе предлагается общий подход при анализе таких задач, основанный на аппарате интегральных уравнений.

Сведение задач к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода и их численная реализация

Дифференциальные операторы в уравнениях задач (1) являются операторами 2 и 4-го порядков соответственно с переменными коэффициентами, поэтому решение краевых задач (1) в общем случае законов изменения F (х) и J (х) может быть построено лишь численно. Сведем краевые задачи (1) к интегральным уравнениям Фредгольма 2-го рода с кусочно-непрерывными ядрами [4], считая функции F(х) и

J (х) кусочно-непрерывными на отрезке [0, I ]:

t(x) = k JK(x,s)u(s)ds + f (x), 0

K (x, s) =

F (s)S-d^-,

0 F

F (s)J-dL.

0 F

0 < s < x

x < s < l

f (x) = - P x

E 0 F

K (x, s) =

F (s) J 0

F(s)J 0

J

J

dg, 0 < s < x

;

dg, x < s < l

(((х)и"(х))(1) = 0, (( (х)и"(х))' (I) = -Р, где Е - модуль Юнга; р - плотность материала стержня.

Постановка прямой задачи и асимптотический анализ продольных и поперечных колебаний стержня в случае малой полости были рассмотрены в [2, 3]. В

Г (х) = Р х (х£ £

Е 0 J

Для решения (2) будем использовать метод колло-каций [5], заменяя интегралы их приближёнными значениями по квадратурным формулам. Удовлетворяя интегральное уравнение в наборе точек в соответствии с методом коллокаций, сведём задачу к решению линейной алгебраической системы относительно узловых неизвестных.

и(х1) = к2 2 СуК(х1,х})и(х}) + /(х1), 1 = 1,2...N . 7 =1

Здесь х1 - узловые точки; и(х1)- узловые неизвестные; Су - коэффициенты квадратурной формулы

(в настоящей работе использовалась квадратурная формула Симпсона [5]). Решая систему одним из численных методов, определяем узловые неизвестные.

N

c

Метод тестировался на примере постоянного поперечного сечения F(x) = F = const, J (x) = J0 = const. При этом решение краевых задач (1) известно и имеет вид [1]

P sin

u( x) = -

EF0k cos

,

EJ0i V2

где i4 = k2

лости: n( x) = \ ' [a, b] с [0, l ].

[= 0, x g [a, b]

Далее считаем сечения стержня подобными и подобно расположенными. В этом случае выполняется соотношение (при условии (4)):

J

где a - некоторая постоянная; Jo - момент инерции сплошного стержня.

Считая собственные формы колебаний и собственные частоты величинами мало меняющимися, будем разыскивать их в виде: 2

u = uo +sui + o(s ) ,

Л4=Л4+£А + o

2 2 2 К = к0 + еК1 + о(е ) .

Подставляя представления (4)-(6) в уравнения задач 1, 2 при P = 0 (1) и используя условие ортогональности правой части соотношения при е1 к собственным формам колебания для стержня без полости, получим формулу, определяющую поправки к собственным частотам:

k2 b

k1n — -2-" Jn

Jo

V (x) = -2 (chx + cos x), V2 (x) = -2 (shx + sin x);

V3 (x) = 2 (chx - cos x), V4 (x) = -2 (shx - sin x);

V + V4 - известные функции Крылова [1].

Тестирование показало высокую точность метода

вне окрестностей резонансных частот (менее 1 % уже при 10 разбиениях).

Другой способ тестирования метода связан с вычислением резонансных частот. Из результатов численного анализа следует, что с увеличением числа элементов приближенное значение монотонно стремится к точному, а погрешность определения первых трех резонансных частот составляет менее 1 % при небольшом числе элементов (порядка 20-30). Отметим также, что чем выше частота, тем больше элементов разбиения нужно брать, для того чтобы вычислить ее с той же точностью, что и низшие резонансные частоты.

Асимптотический анализ резонансных частот

Построим аналитические поправки к резонансным частотам в случае малой полости в рамках метода возмущений [2, 6]. В [2] приведена общая схема получения поправок. Применим этот подход в случае стержня.

Наличие малой полости определяет зависимость площади поперечного сечения от продольной координаты в виде:

F

где s - малый параметр; Fo - площадь сечения сплошного стержня; r¡(х) — положительная функция с компактным носителем, моделирующая наличие по-|> 0, x е [a,b]

i1n -

Un Jn( x)u0 n ( x ) dx

a_

l

Ju0n(x)dx

Здесь , М)п - собственные частоты соответственно продольных и поперечных колебаний стержня без полости; uon - собственные формы изгибных колебаний стержня без полости. Как видно из формул (7), поправки к собственным частотам продольных колебаний стержня могут иметь разные знаки в зависимости от положения полости в стержне, тогда как поправки к собственным частотам поперечных колебаний всегда положительны.

Введём безразмерные частоты продольных и поперечных колебаний: у = к/ , к = М . В табл. 1, 2 приводятся значения поправок уц и Кц к первой собственной частоте стержня, ослабленного сферической полостью, вычисленные согласно формулам (7) и из метода коллокаций в зависимости от координаты центра полости. При расчетах брались следующие значения параметров: стержень кругового поперечного сечения радиуса R = 0,1/; радиус полости г = 0,1К ; N = 30 - количество разбиений в формуле Симпсона (10 разбиений на участке, содержащем полость; 20 -на сплошных участках); с - координата центра по-

лости; s — r 2 / R 2 .

Таблица 1

—^—— Метод 0,2 0,5 0,9

Асимптотическая формула -4,90- 10-2 0 б,49 • 10-2

Метод коллокаций -4,88 • 10-2 1 •10-2 5,23 • 10-2

Таблица 2

^^^^^ с/l Метод 0,25 0,5 0,75

Асимптотическая формула б,2б • 10-3 7,б0 • 10-2 2,8б • 10-

Метод коллокаций б,24 • 10-3 7,50 • 10-2 2,85 • 10-

Постановка обратной задачи о восстановлении геометрических характеристик поперечного сечения стержня по известному смещению на торце

Обратная задача: зная функцию смещения на торце стержня и (/, к) = /(к) в некотором диапазоне частот [кь к2], восстановить функцию п(х), через кото-

рую определяются геометрические характеристики поперечного сечения стержня.

Постановка обратной задачи имеет вид: Задача 3

(F(x)u') ' + k2F(x)u = 0 , u (0) = 0 ,

EF(l)u (l) = -P , u(l,k) = f (k), k £ [kj,k2].

Задача 4

^ (х)и" )'' - к2 F (х)и = 0, и (0) = и' (0) = 0 , (9) и'' (I) = 0, J(I)и"(I) = -Р , и(1,к) = /(к), к е [к1,к2].

Изучим вопрос о единственности решения обрат -ных задач 3, 4.

Теорема 1. Если отрезок [[,к2] не содержит резонансных частот, решение задачи 3 единственно.

Доказательство. Пусть задача (8) имеет два решения: и1(х, к), Fl(x) и и2 (х, к), Fг (х). Составим дифференциальное уравнение относительно разностей у(х, к )= и1(х, к )- и 2 (х, к), б(х) = Fl(x)- F2 (х), которое будет иметь вид

((ху) + к 2F2(x)v = -((х)и1) - к 20(х)и1. (10) Кроме того, имеем следующие дополнительные граничные условия

у

F2

Поскольку и1 (х, к)- аналитическая функция от к и отрезок [[, к2 ] не содержит резонансных частот, правая часть дифференциального уравнения (10) - аналитическая функция от к и, следовательно, в силу известных свойств решений дифференциальных уравнений [7], у(х, к)- аналитическая функция от к . Тогда в силу граничных условий (11) у(х, к) = 0. Таким образом, для нахождения функции Q( х) получим задачу Коши

((х)и1) + к2Q(х)и1 = 0 , Q(()и1((,к) = 0 . (13) Поскольку и1((, к ) 0 , то из (12) следует, что Q(l)= 0 . Интегрируя уравнение (13), получаем Q = 0 и теорема единственности доказана.

Теорема 2. Если отрезок [[,к2] не содержит резонансных частот, решение задачи 4 единственно.

Доказательство. Предположим обратное, что в постановке (9) задача имеет два решения: и1(х, к), Fl(x), Jl(x) и и2 (х, к), F2 (х), J2 (х).

Введём обозначения: у(х, к ) = и1(х, к)- и2 (х, к), Q(x) = Fl(x)- F2 (х), я(х) = J1 (х)- J2 (х). Относительно введенных функций можно составить следующее дифференциальное уравнение, (преобразовав исходное уравнение (9):

(Jl(x)v" )" - к2^(х> = -(((х)и2)" + к2Q(x)u2 . (14) Кроме этого, имеем следующие дополнительные условия для функции V (х, к):

v

Так как и2 (х, к) - аналитическая функция от к, а отрезок [к1, к2 ] не содержит резонансных частот, то и правая часть уравнения (14) есть также аналитическая функция от к , и в силу общих свойств решений диф-

ференциальных уравнений v(x, к) - аналитическая функция от к. В силу граничных условий (15) получаем, что v(x, к) = 0 . Уравнение (14) принимает вид:

(((х)и2) = к^(х>2 . Обозначим: 0(х,к) = Л(х)и2. Тогда для О(х, к) имеем следующие граничные условия: О(/, к) = 0, О'(I, к) = 0 . Рассуждая аналогично предыдущему, получаем О(х, к) = 0.

Функция и2 (х, к) и ее вторая производная не равны тождественно нулю, откуда следует Q(x) = 0 , я(х) = 0 , и теорема 2 доказана.

Линеаризованная постановка обратной задачи

Задачи 3 и 4 относятся к классу коэффициентных обратных задач и являются нелинейными и некорректными [8, 9]. В общем случае они приводятся к решению систем нелинейных операторных уравнений. При наличии малой полости в стержне появляется возможность осуществить линеаризацию и сформулировать линейные интегральные уравнения для нахождения функции п(х).

Будем искать решение задач 3, 4 в виде разложе-

2

ния по параметру е и = и0 + и + о(е ).

Подставляя это разложение и представления (4), (5) в исходные задачи (8), (9), приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях параметра е , сформулируем следующие краевые задачи

для продольных колебаний

е0 :u0 + k2u0 = 0, u0(0) = 0, u'0(l) = -—

E

е1: uj + k\ = (u0n(x))' - k2u0n(x), u1 (0) = 0, uj(l) = n(l)u0(l), для поперечных колебаний

е0 : u0IV -Л0 = 0,

u0(0) = 0, u0(0) = 0, u0(0) = 0, u'0 (l) = -

P

е1: uIVi -Ä4uj = -Л4ц(x)u0(x).

P

EJ0

м1(0) = 0 , м!(0) = 0 , u[(l) = 0, uf(l) = 0 . Здесь U0 - решения задач для стержня без полости, определяемые согласно (3).

Умножая уравнения при е1 на соответствующие % и интегрируя по частям на отрезке [0, l ], а также учитывая граничные условия, получаем интегральные уравнения Фредгольма 1-го рода для определения функции l

П( x): f (к) = U0(l, к) -J K (x, к )n( x)dx, к e [кь k2]. 0

Для продольных колебаний ядро имеет вид

P0

K (x, k) =-

F0 cos2 kl

-cos2kx, а для поперечных -

K (x, k) =

J0 u2 (x, k ). J 0

Отметим, что решение уравнения Фредгольма 1-го

ь

рода с гладким ядром вида Аи =|К(х,^)и(^)ds=/(х),

а

х е [с, d] является некорректной задачей [8, 9] и требует регуляризации. Один из методов решения некорректных задач - метод регуляризации А. Н. Тихонова, основанный на минимизации стабилизирующего функционала.

Проведенные численные эксперименты показали, что метод Тихонова дает хорошие результаты только в том случае, когда известен отрезок, на котором локализована полость. Если носитель неизвестен, будем отыскивать геометрические характеристики полости в более узком классе, например в классе сферических полостей. На основании (7) введем в рассмотрение поправки к

соответствующим резонансным частотам: Дк

2 2

Ak = ki - k0i

2

koi

дЛ = tf - Ai

= —Jn(x)cos(2koix)dx, l o

l

4

Jn(x) ио (x)dx о_

i

J u0i (x)dx

o

Тогда для сферической полости n(x) = 1 -

2

, 8 r c

Ak =- з - cos(2koi — ).,

A = 4 r • 4 (c) 3 l J u(ji (x)dx

Al = cos(2k01 c/l) Ak2 cos(2k02 c/l ) а поперечных

i

Al

u01

i

J u01(x)dx

J u02

(18) имеет вид c =-

l arccos(±—,

Ak

"A—+3) A*

n

причем выби-

Здесь М, к^, ^, ^ - резонансные волновые числа соответственно для стержня с полостью и без нее.

(х _ с )2

с _ г < х < с + г , где с, г - соответственно координата центра и радиус полости.

Производя замену х = с + гх в формулах (16) и раскладывая подынтегральную функцию в ряд по малому параметру г , затем удерживая члены первого порядка малости, получаем следующие соотношения для поправок:

Зная поправки к первым двум резонансным частотам при наличии полости, можно составить уравнение для нахождения координаты центра полости. Для продольных колебаний оно имеет вид

рается знак «+», если Д[ < 0 , и знак «-», если > 0.

Уравнение (19) решается численно. Находя c из уравнений (18), (19), легко найти r из соотношений (17). Если c < 0,78l, решение (19) находится единственным образом, в противном случае требуется дополнительная информация для обеспечения единственности.

Численные результаты по решению обратной задачи

Проведена серия вычислительных экспериментов по определению параметров полости при анализе продольных и поперечных колебаний стержня. На рис. 1, 2 приведены результаты по восстановлению полостей по методу Тихонова для известного отрезка-носителя полости, на рис. 3, 4 - отрезок-носитель находится в соответствии с формулами (17)-(19). Приняты следующие обозначения: a - большая полуось эллипсоидальной полости; b - малая полуось. Разбиение в методе коллокаций неравномерное, со сгущением на полости.

На рис. 1 представлены для задачи 3 результаты восстановления функции n(x) для эллипсоидальной полости ( a = 0,2l ; b = 0,01l ; c = 0,4l при ке [0;0,6]). Здесь и ниже сплошной линией изображен график функции n( x) для исходной полости; квадратиками -для восстановленной. При решении интегрального уравнения 1-го рода принято N = 20 ; параметр регу-

—7

ляризации а = 8 10 .

'/

0.01-0.Û03 O.ÜOB-0.004-

0.002

0.25

D 3  35 0.4 Рис. 1

.45 0.5 0.55

Отметим, что (18), (19) - трансцендентные уравнения относительно параметра с. Решение уравнения

На рис. 2 представлены для задачи 4 результаты восстановления функции п(х) для сферической полости (г = 0,1Л; с = 0,5/; Ме [0,6;1,2]; N = 30; а = 10_13).

На рис. 3 представлены для задачи 3 результаты восстановления функции п(х) для эллипсоидальной полости (а = 0,01/; Ь = 0,02/; с = 0,4/ при к е [0;0,6]). При решении интегрального уравнения 1-го рода принято N = 20 ; параметр регуляризации а = 6 10 .

x

A

П

о.оов

0.006

0.004

0.002

0 5

Рис. 2

0.012

ЛОВ

0.002

П

0.73

0.74

0 75

Рис. 4

0.7Б

0.77

0.04-

0.03-

0.02-

0.01-

0 0.39 0.395 0.4 0.405 0.41 0.415

Рис. 3

На рис. 4 представлены для задачи 4 результаты восстановления функции п(х) для эллипсоидальной полости (а = 0,011; Ь = 0,021, с = 0,751, 2 е [0,6;1,2],

N = 30, а = 10-11).

Отметим, что погрешность восстановления объема полости в обоих случаях не превосходит 3 %.

Предложенный метод позволяет идентифицировать полости малого относительного размера в стержнях при анализе продольных и поперечных колебаний.

Работа выполнена при частичной поддержке РФФИ, код проекта 05-01-00734 и гранта Президента Российской Федерации по поддержке ведущей научной школы НШ - 2113. 2003.1.

Литература

1. Филиппов А.П. Колебания деформируемых систем. М., 1970.

2. Ватульян А.О. //Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Спецвыпуск. 2004. С. 19-23.

3. Бочарова О.В., Жарков Р.С. Математическое моделирование, вычислительная механика и геофизика: Труды III школы-семинара. Ростов н/Д, 2004. С. 50-54.

4. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М., 1976.

5. Бахвалов Н.С. Численные методы. М., 2002.

6. Акуленко Л.Д., Костин Г.В. Метод возмущений в задачах динамики неоднородных упругих стержней // ПММ. 1992. Т. 56. Вып. 3. С. 452-464.

7. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М., 1969.

8. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев С.В. Экстремальные методы решения некорректных задач. М., 1988.

9. ДенисовА.М. Введение в теорию обратных задач. М., 1994.

Ростовский государственный университет

14 июня 2005 г.

х

х