Усреднение по углам облучения в двумерной скалярной задаче дифракции

Усреднение по углам облучения в двумерной скалярной задаче дифракции

Впервые рассмотрено моделирование усредненных по углам облучения характеристик рассеяния волн при помощи метода диаграммных уравнений (МДУ). Этот метод продемонстрировал свою эффективность при решении широкого круга задач теории дифракции, рассеяния и распространения волн. Ранее подобное усреднение проводилось только при помощи метода Т-матриц (МТМ). Одно из преимуществ МДУ состоит в том, что он, как и МТМ, позволяет выполнять усреднение по ориентациям частиц аналитически. При этом МДУ применим к решению задач дифракции для значительно более широкого класса геометрий частиц, и обеспечивает более высокую точность вычислений, чем МТМ. Приведены расчеты усредненных характеристик рассеяния для импедансных бесконечных цилиндров при помощи МДУ и МТМ. Сравнение МДУ с МТМ показало, что МДУ более устойчив к ошибкам округления при численной реализации его алгоритма на ЭВМ при одном и том же числе гармоник Фурье в представлении диаграммы рассеяния и выбранной численной квадратуре вычисления интегралов.

Демин Д.Б., Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И.,

МТУСИ

Введение

В работе рассмотрена двумерная скалярная задача дифракции волн на одиночном рассеивателе, представляющем собой бесконечный цилиндр произвольного сечения. В качестве методов ее решения рассматривались МДУ и МТМ. Идея МДУ применительно к скалярным задачам рассеяния волн имедансными и диэлектрическими телами была впервые сформулирована в работах [1-2]. МТМ, предложенный Уотерменом [3, 4], хорошо себя зарекомендовал и в настоящее время широко используется при решении задач дифракции волн [5], возникающих в оптике, радиофизике, радиоастрономии и др. [5-6]. Популярность этого метода объясняется, в частности, тем, что при решении задачи дифракции легко получить связь между коэффициентами разложения падающей и рассеянной волн по сферическому базису в виде простого соотношения:

с = Та,

где а и С - векторы коэффициентов разложения по сферическому базису падающей и рассеянной волн соответственно, Т - матрица перехода, зависящая от краевых условий, размера и формы частицы, ее диэлектрических свойств, но не зависящая от угла падения волны. Это позволяет легко вычислять усредненные характеристики рассеяния, которые определяют, в частности, усредненное рассеяние группой частиц одинаковой формы, хаотично распределенных в пространстве [6]. Такие характеристики, например, как усредненная рассеянная мощность мелких частиц в атмосфере полезны в метеорологии.

В работах [7, 8] было, однако, показано, что МТМ корректен лишь при условии, что геометрия рассеивателя относится к классу рэлеевских тел, т.е. таких, у которых все особенности аналитического продолжения дифракционного поля лежат внутри сферы, вписанной в рассеиватель [9]. Класс таких геометрий достаточно узок. Например, в двумерном случае, эллипс является рэлеевской фигурой при соотношении полуосей, не превышающем у/2

МДУ относится к численно-аналитическим методам и позволяет получать решение краевой задачи дифракции в виде, аналогичном (1), но при этом он применим при значительно менее жестких ограничениях на геометрию рассеивателя, чем МТМ. МДУ позволяет получить, в принципе, с наперед заданной точностью решение задачи дифракции на так называемых слабо невыпуклых телах [1-2]. Это такие тела, у которых особенности аналитической деформации границы рассеивателя вовнутрь расположены ближе к началу координат, чем особенности аналитической деформа-

ции границы во внешнюю по отношению к рассеивателю область. Все выпуклые тела входят в этот класс геометрий. В работе [10] приведен пример расчета диаграммы рассеяния сплюснутого сфероида с отношением полуосей 40:1, которая практически совпала с диаграммой тонкого диска такого же диаметра. Методом же Т-матриц подобную задачу невозможно решить со сколько-нибудь приемлемой точностью.

Отметим, что МДУ применим в строгой постановке лишь к телам с аналитической границей (это, разумеется, справедливо и по отношению к МТМ). Однако МДУ может быть применен и для тел с изломами границы (т.е. с нарушениями аналитичности ограничивающего их контура или поверхности) [11], но уже не с наперед заданной, а лишь с некоторой ограниченной, но вполне приемлемой точностью. В работе [12] было дано объяснение этого обстоятельства с привлечением идеи продолженных граничных условий [13].

Детальное сравнение МДУ от МТМ было выполнено в работе [14]. Здесь укажем лишь основные отличия МДУ от МТМ при вычислении усредненных характеристик рассеяния по углам облучения для задачи дифракции на рассеивателе с импедансным краевым условием на границе.

Постановка задачи

Пусть на бесконечный цилиндр (см. рис. 1) с образующей, параллельной оси Ог, и с направляющей 5 падает первичное электромагнитное поле £°, Н°. Рассматривался случай Е-

поляризации, когда вектор электрической напряженности Е имеет только одну составляющую, параллельную образующей цилиндрического тела. Примем, величину Е. равной функции и, которая не зависит от координаты вдоль оси цилиндра. Пусть на границе цилиндра имеет место следующее импедансное краевое условие (условие Леонтовича):

г ди'

дп

= 0.

где I — величина импеданса на границе (направляющей) 5 ; к = (0-^£п/.1п и 4" - волновое число и волновое сопротивление (импеданс) соответственно во внешней среде; и = II" +М1 - полное поле вне цилиндра, и" - первичное, а

и' - (вторичное) рассеянное поля. Дифракционное поле и' удовлетворяет уравнению Гельмгольца

Ди1 +к2и' =0,

а также условию излучения Зоммерфельда на бесконечности Пт

и может быть представлено вне границы 5 по формуле Грина

Здесь в0(г,г') = — //0,:,(*|г-г'|) - функция Грина свобод-41

ного пространства в двумерном случае.

і ди

I

-J

х *(<Р) ’

.і 4Ж ,

Ф І =1 , тгЛу ) /£«•

бУ^г>' = -н"

и, кроме ТОГО,

А=_Ц'р{9)±_£Ш±

дп к((р) ^ дг р(<р) дер

Так как на I! г = ги < тіп р

V

НІ2'

/»=-«

Теперь из (6) - (9) получим

2У.(*б>^р(Лх

о

**

я=-оо

Отсюда следует, что

рЦ Я?’^))-^,р(<р)Н';\кр(*))+,-!^Н';\кр(<р)) | к***=

Рис.1. Геометрия задачи

Формулировка метода Т-матриц

В МТМ используется известное соотношение нулевого поля [4, 5]

||М(П д^и _^Ю.СЛр Пуч> + мо(?) = а

гей,

где О - область, офаниченная 5, а дифференцирование производится в направлении внешней (по отношению к О ) нормали.

Введем следующие обозначения:

= -{-!)"е‘щ\ п=0,± и_

Положим

Л<Р) = Іьае'т\

"Ж

тогда из (10) получим следующую систему алгебраических уравнений

£ Я»А =а„> я = 0,±1............

т=-<с

в которой

4 дп'

Ж' = к((р'у)<р\

где г = р((р) - уравнение границы 5 .

С учетом введенных обозначений (5) и краевого условия (2)в виде

л и/

, г = 1@у.

я?)

ап=-(-і)"е-"«°.

В области г > г] = гпах р

<р

Н£\к | г -Г |) = £ J„

интефальное уравнение нулевого поля для рассматриваемого нами случая будет иметь следующий вид

Поэтому при г > /*, имеем

2* С

и'(г) = р(^') //<г,(А:|г-г'|)-о I

причем

00

и\г)= ^с„Н?(кг)е‘»,

IV дн“\к\г-?'\) к дп'

іі(р'.

к дп

г 61,

где £ - некоторая простая замкнутая кривая внутри 5 .

Переход к МТМ основан на выборе в качестве X окружности радиуса г = , целиком лежащей внутри 5 [4].

Пусть первичное поле ип(г) - плоская волна, тогда в цилиндрической системе координат имеем:

н"

где СП - неизвестные коэффициенты разложения дифракционного поля и' в ряд Фурье. После подстановки (14) и (16) в (15) придем к следующей системе для нахождения коэффициентов с„

с = У О Ь , п = 0,± 1.

п / ^ Ы-пт т» ’ ’

И»-«

причем

в„„= Ьмф>У-^1

НігніУр

’скр.

В мафичных обозначениях алгебраическая система (12) может быть записана следующим образом

ИЬ - а .

В результате, из

Таким образом, мы выразили коэффициенты разложения С рассеянного поля через коэффициенты а падающего поля. Матрица

Т = £)Н-'

и называется Т-матрицей, а описанная техника решения краевой задачи дифракции — методом Т-матриц.

Формулировка МДУ

В МДУ используется совсем другой подход. Основной его идеей является вывод интегрального (в трехмерном случае - интегрально-операторного) уравнения относительно диаграммы рассеяния, т.е. функции, определяющей рассеянное поле в дальней зоне, и последующей алгебраизаци-ей этого уравнения с выбором того или иного базиса. Так, всюду в /?~ \ Ви (где Ви - выпуклая оболочка особенностей продолжения поля и внутрь рассеивателя, Вп с О ) поле к\г,(р) представимо следующим интегралом плоских волн (интегралом Зоммерфельда) [1]:

« я/ 2+Ло

С =С° + У й С ,

п п пт ту

где

*-41

IV

к

Р

Р

Г

р(<р)Гг(кр(ч>)) + | \е-К**'**'-*' "'с/ц,

Р

-л/ 2-/*>

где g((p) - диаграмма рассеяния волнового поля и занная с ним асимптотическим равенством

( \

*%(ср) + 0

. I 2 -Лг*!-

и (Ч^е 4

и кгу-

/7, т — —оо,оо.

Из

где I - единичная матрица.

Таким образом, соотношение (27а) позволяет, как и соотношение (1а), выразить коэффициенты Сп через величины

с'', которые хотя и не являются коэффициентами разложения падающей волны по цилиндрическому базису, но, как и коэффициенты ап в МТМ только они зависят (функционально) от

угла !р0 падения первичной плоской волны.

Как видно из (28а), для нахождения вектора С в МДУ необходимо обращать матрицу с заметно более сложными выражениями для матричных элементов, чем в МТМ. Однако при этом обратная матрица (/ — О 1 по существу уже является Т -матрицей, связывающей вектор С коэффициентов, характеризующих падающую волну, с вектором С коэффициентов рассеянной волны, в то время, как в МТМ для получения Г-матрицы необходимо еще выполнить перемножение матриц (хотя и заметно более простых) и Н . Представ-| | Жч/ +Ч'Ь^<Р')соа1'~Р'(<Р'№ПЧ'\ •——{/Х<р)со^-</>)-яяет, таким образом, интерес произвести сравнение скорости

и точности вычислений по обоим методам.

- р'(!р)%т(а- <р))}ех[{- 1кр(<р')( соя// - cos.lt/>' - 1р))\1щ1<р.

(23) Усреднение по углам облучения

где Пусть частица облучается плоской волной, падающей под

^(^=1Ь(^)11-^(^^)со8^-^)-^)«1п^-^))им,,'1с<,5*’ ^//лУчайными Углами Я» Распределенными с плотностью

4 » I К((Р) I /V

распределения вероятностей и’(,(р0). Тогда можно рассчи-

Используя асимптотику для функции Ганкеля Н„ в (3) с учетом (21) получим:

1 I

4 \дп' дп'1

Далее, подставляя (20) в (22) и учитывая (8) и краевое условие (1). придем к следующему интегральному уравнению второго рода относительно диаграммы рассеяния [1]:

а'°

дг р(ср) дер

Подставляя в (23) вместо диаграммы %((р) ее разложение (в соответствии с (16)) в ряд Фурье

тать усредненные по углам облучения характеристики рассеяния частицы. Так, средняя по углам (ри диаграмма рассеяния может быть найдена по формуле:

£(<*»= Хс/е'"' ,

и используя известное интегральное представление для функции Ганкеля

« ;г/2+/ао

На\х) = — ,

получим алгебраическую систему второго рода относительно неизвестных коэффициентов разложения С„ диаграммы рассеяния ^(<р):

где скобки ( ) означают усреднение по углам (ра.

Из (1) следует, что (с) = Г<а), а из (27а), что

(с) = (/-С)'(с").

Таким образом, необходимо лишь рассчитать усредненные величины (а') и ^с° ^. Например, в случае равномерно-

1

(13) и (29) соответственно получим:

го распределения, т.е. когда w(<pa) = — при є[0, 2л) из где С = — lc°c°’d(o

2/г тР J " р ™

(с°) = у- у- J[/4v>)cos(^-<р„) + р\<р)ьт{(р-<р„)]X

Задача теперь свелась к вычислению коэффициентов С . С использованием формул (29) будем иметь:

= ~~ \М |р(о')со8(аг -ч>0) + р\а)ът(а-ч>0))х

*\j,(kp{(p))—~{ p(<p)J‘„(kp(<p)) +

inp'W Р

xiJJkpia))-

W

к

p

"Jctx

=~ ]f\<p\jSkp(4>))-^jyP(<py\(kp((p))+'-^^Jn(kp(<p)^Jl(kp(<p)y'‘vJii> "

jt/7( /?)cos(/? -</>„) + p\P) sin(/? - <p0 )]x

Рассмотрим способ усреднения интегральных характеристик рассеяния. Известно, что интегральный поперечник рассеяния пропорционален величине

2л

Учитывая (25), получим

p

f

1 ft >

=— \\g(<p)\ cl<p

Интегрируя, получим:

I ao 2*

с =-У

тГ Z- J

/? >соМ Д-л. )*VPjp

ikp(a)J[(kp(a)) +

P

x\jjkp(a))-

W

к

P

P

I»

X II - ikp

P

Из(1) имеем

Iе-12=117’«7’Яв)-

т р

где верхний знак "звездочка" означает комплексное сопряжение.

Теперь, усредняя по углам облучения, из (35)-(37) получим

,2* .2»

— [*I с Р 4<рп = УУТ Г—\а ас1<рп-

J ) 1 " 1 1—1 пп' "Р ] " Р

1--^— ( *(Р){

*\Jp(kp(P))-Окончательно

p

jje"

(<*')= Х(Ы2)= ZІ

п=—ж «=-•хт=—л /?=-«

2я

Далее, так как = -(-/')V"'"W| (см.(13)), то

7“ j<wM> --Ц-/Г' le-«~p*d(Po = Smi

о О

Таким образом, из (36Н39) окончательно имеем:

(КГ) = y-’/ic„i2 d(pa=j}Tj,

W=Z(KI2)=Z l\rj

где (сг^ ^ - усредненный по углам падения первичной волны интегральный поперечник рассеяния тела.

Результаты численных исследований

Для начала рассмотрим задачу дифракции, для которой оба метода (МТМ и МДУ) применимы, т.е. задачу дифракции па рассеивателе, удовлетворяющем гипотезе Рэлея.

Рассмотрим, задачу дифракции плоской волны, распространяющейся под углом <ра = 0, на рэлеевском эллиптическом цилиндре с полуосями ка = 8, кс — 11. Здесь уравне-

(40) ние границы 5 в декартовой системе координат определяется следующей формулой: х2/с2 +у2/а2 = 1 •

Системы (1а) и (27) являются бесконечными, при численном решении выполним их усечение, ограничив диапазон изменения /ним величиной N. В результате получим для МДУ и МТМ системы размером (2N + 1)х +1).

Для оценки точности расчетов по двум методам будем проверять оптическую теорему для поглощающих тел, со-

Аналогично, для нахождения величины (ст ) с помо- гласно которой сумма интегрального поперечника рассеяния

щью техники МДУ необходимо сначала вычислить величи- а. и интегрального поперечника поглощения (Tuh, равна (в

ны | сп Г (см. (27а)):

1с-|2= X 'L^-GrLd-Gr^cy;-

двумерном случае) со знаком минус реальному значению диаграммы в направлении падения волны, т.е.

Я.+Яы* =-М«

Усредняя по углам облучения <р0, по аналогии с формулой (38), получим

_1_

2 л

где [15]

c/V

}kj2#0= X ~СУ™У -gy£Сщ

В случае МТМ также было установлено, что а _ у|с |*

««-А1

(см. (36)), что может быть использовано и в МДУ.

На рис. 2 приведена диаграмма рассеяния указанного выше эллипса в логарифмической шкале при IV = 0 (условие Дирихле) и А'= 20, при этом на оси ординат отложена вели-

чина Ю-Ы<т(0>)/Л) (Я — длина падающей волны), где <т(<р) - это двухпозиционный поперечник рассеяния, определяемый по формуле

•1: * \А

а(</>)= Пт2л7--

В случае падающей единичной плоской волны из формулы (50) имеем

(511

Л

Отсюда видно, что величина сг{(р)1 А безразмерна. Когда значение IV = 0 или | IV |= оо поглощение внуфи цилиндра отсутствует, это означает, что ОаЫ = 0 . Учитывая это, соотношение (48) примет такой вид

])£(И ^ = “Ке(£(^>))’ (48а*

1л п

что принято называть оптической теоремой для не поглощающих тел.

вой части. Отметим, что расчеты по формуле (36) полностью соответствуют левой части формулы (48а). Третий столбец таблицы соответствует усредненной величине (сг,)- Четвертый столбец для каждого из методов в таблице 1 - это время расчета диаграммы рассеяния, а через дробь указано общее время, зафаченное на расчет диаграмм, а также усреднения по углам облучения. Видно, что скорость сходимости (при различных N ) и точность расчета у МДУ выше, чем у МТМ, но время расчета в 2-2.5 раза больше для вычисления диаграммы и почти в 10 раз больше - для усреднения.

Таблица I

МДУ МТМ

/V <7 (л.ч.) СТ (п.ч.) И /, С СТ (л.ч.) СТ (п.ч.) (*} /. с

18 92482105046 92482189501 1059474747888 3.3/123 9248094124 92481486КЗ 1059427341 1.3

20 92482105045 92482101884 10.59474748125 35/13 5 9248190146 9248198331 10594(^205 1.6

25 92482105045 92482105045 1059474748126 4.1/163 9248210456 9248210478 1059474742 2

60 90 120

<0,

Рис. 2. Диаграмма рассеяния эллиптического цилиндра

На рис. 3 приведена усредненная по углам облучения (рп диаграмма рассеяния ^(<ра)\ цилиндра. Как видно, диаграмма симметрична относительно углов (р^— 0, 90°, что

отвечает симметрии самого эллипса, о

Рис. 3. Диаграмма рассеяния эллиптического цилиндра (*о = 8, кс = 11), усредненная по углу облучения %

Из рис. 2-3 видно, что оба метода дают одну и ту же диа-фамму. Чтобы увидеть различия в расчетах, в таблице I приведены результаты проверки оптической теоремы для не поглощающих тел, при этом первый столбец для <тг соответствует левой части формулы (48а), а второй - пра-

Время вычислений зависит от величины N и значительно меньше зависит от размеров и геомефии рассеивателя, поэтому на время, приведенное в табл. I можно ориентироваться и при решении других задач дифракции. При небольших значениях N время вычислений в обоих методах примерно одинаковое. Но по мере увеличения N время вычислений в МДУ становится заметно больше (примерно в 2 раза) чем в МТМ. Это объясняется тем, что в МТМ необходимо (2М + 1):

раз вычислять довольно простые интефалы (13) и (18), а в МДУ (2# + 1): раз необходимо вычислять интеграл (28) намного более сложного вида, а также 2А' + 1 раз - интефал (29). Кроме того, при использовании техники усреднения в МТМ никаких дополнительных расчетов делать не фебуется, т.к. усредненные характеристики определяются только значениями Т-мафицы. В отличие от этого, в МДУ приходится дополнительно вычислять еще (2Ы + 1): интегралов вида (44) или (46), каждый из которых есть произведение однократных интефалов.

Как уже отмечалось, область применимости МДУ - любые слабо невыпуклые тела -намного шире, чем область применимости МТМ - только рэлсевские тела. Это является еще одним неоспоримым преимуществом МДУ. Для иллюстрации этого факта выполним аналогичные исследования для задач дифракции на рассеивателях, не удовлетворяющих гипотезе Рэлея.

В качестве первого примера рассмофим задачу дифракции плоской волны, распросфаняющейся под углом (рп =90°.

на эллиптическом цилиндре с полуосями /го = 5, /те = 10. На рис.4-5 приведены, соответственно, обычная и усредненная диаграммы рассеяния при IV = -/ (идеальное поглощение внуфи тела) и N = 20. В табл. 2 приведены результаты проверки обобщенной оптической теоремы (соотношение (48)) и расчеты усредненного поперечника рассеяния, полученные при помощи МДУ и МТМ при различных N.

Из табл. 2 видно, что в МДУ с ростом N имеет место сходимость результатов, в то время как МТМ не позволяет добиться высокой точности (выше, чем Ю1). Диаграмма МДУ при N=16 фафичсски совпала с «эталонной», которая была вычислена при помощи «модифицированного» метода нулевого поля (см.[14]) и здесь не приводится. Различия между диаграммами МТМ и МДУ на рис. 4 едва заметны «на глаз», что говорит о том, что МТМ позволил получить диаграмму «похожую» на эталонную, но его погрешность на 6 порядков больше, чем его погрешность для рэлеевского эллипса с такой же большей полуосью.

20

Т-Сотт, #11-2012

Наконец, на рис. 8-9 и в табл. 4 приведены результаты расчета характеристик рассеяния при падении плоской волны под углом <рп =90". на цилиндр, в сечении которого лежит суперэллипс с полуосями ка = 5, кЬ=\0 Значение импеданса было взято равным И7 =-1000, что соответствует жесткому краевому условию. Граница суперэллипса в декартовой системе координат определяется следующей фор-

2т 2т

мулой: ____+У_____1, где т - коэффициент закругления (/и

с2" а2”

был выбран равным 8, так как при таком т эта фигура практически совпадает с прямоугольником).

Ф.

Рис. 8. Диаграмма рассеяния суперэллипса

Ф.

Рис. 9. Диаграмма рассеяния суперэллипса, усредненная по углу облучения (ра

Видно, что диаграмма, полученная с помощью МТМ, сильно отличается от диаграммы, полученной при помощи МДУ (N=16), при этом оптическая теорема в МДУ выполняется с точностью 0.01. В МТМ <т ,, не стремится к нулю, как в МДУ при больших N, что должно быть при выбранном значении импеданса. Отсюда следует, что МТМ

действительно неприменим к нсрэлесвским телам, а увеличение N только ухудшает ситуацию.

Таблица 4

iV о-. ^ahs О-.+^А, -Re(g(p0)) (->

18 МДУ МТМ 4.843501 5.606278 -0.059505 -0.596337 4.783995 5.009941 4.783787 5.008659 8.834838 8.638535

19 МДУ МТМ 4.779313 5.486449 -0.041470 -0.514262 4.737842 4.972186 4.736684 4.969947 8.757170 8.634215

20 МДУ МТМ 4.753567 5.567629 -0.013898 -0.562193 4.739668 5.005436 4.737349 5.005702 8.740052 8.653434

21 МДУ МТМ 4.754900 5.357114 -0.003604 -0.433848 4.751295 4.923265 4.755517 4.922538 8.697458 8.668988

Итак, сравнение МДУ и МТМ показало, что МДУ безоговорочно выигрывает у МТМ по точности вычислений и области применимости, платой за это, однако, является увеличение времени вычислений.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 12-02-00062).

Литература

1. Кюркчан А.Г. Об одном новом интегральном уравнении в теории дифракции. ДАН, 1992. Т. 325, №2. С. 273-279.

2. Кюркчан А.Г. Об одном методе решения задач рассеяния волн прозрачными препятствиями. ДАН, 1997, т.352, № 2.

С. 180-183.

3. Waterman Р.С. Matrix formulation of electromagnetic scattering. - Proc. IEEE. 1965, v.53, pp. 805-812.

4. Waterman P.C. New formulation of acoustic scattering. J. Acoust. Soc. Amer. 1969. V. 45. pp. 1417-1429.

5. Колтон Д., Кресс P. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния,-М.: Мир, 1987,-312 с.

6. Mishchenko M.I., Travis L.D., Lacis А.А. Scattering, absorption and emission of light by small particles. Cambridge: Cambridge University Press. 2002.

7. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Учет особенностей аналитического продолжения волнового поля при использовании методов нулевого поля и Т-матриц. - Электромагнитные волны и электронные системы. 2008, т. 13, №8. - С. 78-86.

8. Кюркчан Л.Г..Смирнова Н.И. О решении задач дифракции волн методами нулевого поля и Т-матриц. - Ежегодник РАО, 2008. Вып. 9. Акустика неоднородных сред. - С. 176-187.

9. Лис.и.ним В.Ф., Кюркчан А.Г. Аналитические свойства волновых полей. - М.: Изд-во МГУ, 1990, 208 с.

10. Кюркчан А.Г., Клеев А.И. Использование априорной информации об аналитических свойствах решения в задачах электродинамики и акустики. РЭ. 1996. Т. 41. №2. - С. 162-170.

11. До Дык Тханг, Кюркчан А.Г. Эффективный метод решения задач дифракции волн на рассеивателях, имеющих изломы границы. Акустический журнал. 2003. Т. 49. № I. - С. 51-58.

12. A.G.Kyurkchan, N.I.Smirnova. Solution of wave diffraction problems by method of continued boundary' conditions combined with pattern equation method. // Proc. of the Xlh Conference on Electromagnetic & Light Scattering, 17-22 June, 2007. Bodrum, Turkey, pp. 93-96.

13. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Решение задач дифракции волн методом продолженных граничных условий. Акустический журнал. 2007. Т. 53. № 4. - С. 490-499.

14. Кюркчан А.Г., Смирнова Н.И. Методы Т-матриц и диаграммных уравнений решения задач дифракции. Электромагнитные волны и электронные системы. 2010. Т. 15, № 8. -С. 27-32.

15. Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. - М.: Мир, 1986,660 с.