Конструкция интерполяционного функтора в категории пар пространств Фреше с общим базисом

Владикавказский математический журнал 2014, Том 16, Выпуск 1, С. 68-79

УДК 517.982.23, 517.982.276

КОНСТРУКЦИЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННОГО ФУНКТОРА В КАТЕГОРИИ ПАР ПРОСТРАНСТВ ФРЕШЕ С ОБЩИМ БАЗИСОМ

М. А. Шубарин

В статье строится семейство интерполяционных функторов в категории интерполяционных пар пространств Фреше с общим абсолютным базисом и изучаются его свойства. Доказывается, что для этого семейства выполняется аналог теоремы о реитерации. В терминах этого интерполяционного функтора описаны некоторые типы пространств Кёте.

Ключевые слова: интерполяция линейных операторов, интерполяционный функтор, диагональный оператор, пространство Кёте.

1. Постановка задачи

1.1. Классическая теория интерполяции линейных операторов, разработанная в работах Н. Ароншайна, Э. Гальярдо, Ж.-Л. Лионса, А. П. Кальдерона, С. Г. Крейна, в первую очередь ориентируется на изучение линейных операторов, действующих в банаховых пространствах (обзоры интерполяционной теории в банаховых пространствах см. в [4-6, 11])- Ограниченность применимости этой теории, в первую очередь, связана с тем, что множество пространств, интерполяционных между парой пространств Фреше, в общем случае сводится к следующим пространствам: пространствам, образующим пару, их сумме и пересечению. Таким свойством, например, обладает пара А1 (= пространство функций, аналитических в единичном круге) и А^ (= пространство целых функций). Условия существования нетривиальных промежуточных и интерполяционных пространств для данной интерполяционной пары пространств Фреше были доказаны Н. Дойч [13].

Построение нетривиальной интерполяционной теории возможно, если сузить множество ограничений, налагаемых на промежуточное пространство в определении интерполяционного свойства [4, определение 4.2]. Для этого вместо рассмотрения всего пространства линейных непрерывных операторов, действующих в крайних пространствах, следует рассматривать его собственные подпространства. В качестве универсальной конструкции подобных подпространств можно взять пространство морфизмов в подходящей категории. Подобный подход к определению интерполяционного свойства рассматривался, например, в [9, 10].

В статье изучаются свойства интерполяционного функтора, определенного на категории интерполяционных пар пространств Кёте.

Приведем определения основных объектов, рассматриваемых в работе.

© 2014 Шубарин М. А.

1.2. В статье будут рассматриваться только пространства Фреше, в которых существует непрерывная норма и монотонные наборы норм (У  ||р), задающие топологию в них. Последнее означает, что

Пусть X, У — пространства Фреше. Будем писать X С У, если X — векторное подпространство в У и оператор вложения X в У непрерывен.

Бесконечную матрицу А = (аР;п)Р;пем называют матрицей Кёте, если для произвольного р найдется число С > 0 такое, что 0 < ар,п ^ Сар+1;п для всех п. Пространство Кёте К (А), определяемое матриц ей Кёте А = (аР;П)Р;Пем, определяется как векторное пространство

Набор норм (||  ||р) определяет в К (А) топологию пространства Фреше.

Матрицы Кёте А = (ар,п) и В = (Ьр,п) называют эквивалентными, если они определяют одно и то же пространство Кёте. Непосредственно проверяется, что эквивалентность матриц Кёте А = (ар,п) и В = (Ьр,п) равносильна следующему условию:

(Vр) (3 д = д(р)) (3 С > 0) ар,п Ьр ,п ^ Caq,n (V п).

Пусть X — пространство Фреше, топология в котором определяется набором норм (|  |р). Говорят, что последовательность / = (/п)+=1 элементов этого пространства является абсолютным базисом, если для произвольного ж е X найдется единственная числовая последовательность (ап)+=1 такая, что

1) ряд ^+=1 ап/п сходится к ж в топологии пространства X;

2) ^+=1 |ап| |/п|Р < для произвольного р.

Последовательность е = (еп)+=1, еп = (¿&,п)+=1 называют последовательностью ортов. Известно, что она является абсолютным базисом в произвольном пространстве Кёте. Всякое пространство Фреше, в котором есть абсолютный базис, изоморфно подходящему пространству Кёте.

1.3. В статье изучаются объекты теории интерполяции линейных операторов. Ниже приводятся необходимые определения из этой теории (которые цитируются по [4-6]).

Говорят, что пространства Фреше Xo и X! образуют интерполяционную пару (которую обозначают через X или [Xo,Xl]), если существует отделимое локально выпуклое пространство, в которое пространства Xo и Xl вкладываются непрерывно.

На множестве всех интерполяционных пар определены две операции — сумма и пересечение интерполяционных семейств.

Определение 1. Пусть дана X = ^0^1 ] — интерполяцинная пара пространств Фреше. Множество

X0 + X1 := {ж0 + ж1 : Жj е Xj, ] =0,1}

называют суммой семейства X.

Рассмотрим в Xo х Xl подпространство

Ь := {(ж0,ж1) е X0 х X1 : ж0 + ж1 = 0}.

Известно, что сумму Хо + Х1 данного семейства можно отождествить с фактор-пространством (Хо х Х1 )/£. Тогда каноническая сюръекция

к : Хо х Х1 ^ (Хо х Х^/Ь

индуцирует в Хо + Х1 топологию пространства Фреше.

Определение 2. Пусть Х = [Хо,Х1] — интерполяцинная пара пространств Фреше. Пространство Хо П Х\ называют пересечением семейства X.

Пусть [Хо,Х1 ] — интерполяционная пара пространств Фреше. Пространство Фреше Х называют промежуточным между Хо и Х1, если Хо П Х1 С Х С Хо + Х1 с непрерывными операторами вложения.

Последовательность / = (/п)+=1 будем называть обучим абсолютным базисом в интерполяционной паре пространств Фреше X = [Хо,Х1], если эта последовательность является абсолютным базисом в пространствах Хо П Х1, Х^-, ] = 0,1, и Хо + Х1.

Пусть даны интерполяционные пары пространств Фреше X = [Хо,Х1], У = [Уо,^]-

Определение 3. Пусть Т : Хо + Х1 ^ Уо + У1 — линейный непрерывный оператор. Говорят, что оператор Т действует из X в У, если для произвольного j = 0,1 сужение Т|х. оператора Т на пространство непрерывно действует из Х^ в у-, ] = 0,1.

Множество всех линейных операторов, действующих из X в V, обозначим через Ь(Х, У).

2. Категории интерполяционных пар с общим абсолютным базисом

2.1. Пусть Я — некоторая категория, объектами в которой являются локально выпуклые пространства, а морфизмами — линейные непрерывные операторы, действующие в этих пространствах. Объекты категории К будем называть Я-пространствами.

Пример. Объектами категории являются всевозможные интерполяционные пары пространств Фреше, а множество морфизмов Ь(Х, У) =: 5г(Х, У) совпадает с множе-

ХУ

Определение 4. Категорией интерполяционных пар пространств Фреше с общим базисом будем называть произвольную категорию к, если ее объектами являются пары вида X = (X,/) (которые будем называть ^-парами с общим базисом) такие, что

1. X = [Хо,Х1] — интерполяционная пара пространств Фреше с общим абсолютным базисом;

2. / = (/„) — общий абсолютный базис в паре X = [Хо,Х1].

Морфизмами в категории к являются диагональные операторы. Точнее, если Х = (X,/), У = (У,д) — объекты категории I, то морфизмами этой категории являются линейные непрерывные операторы Т : X —» У такие, что = 1пдп для произвольного п и подходящей числовой последовательности (¿„). Множество морфизмов категории I (действующих из X в У) обозначим через Af д(Х,У).

Пример. Объектами категории являются пары вида X = (X,/), в которых X = [Хо,Х1 ] — произвольная пара пространств Фреше, имеющая общий абсолютный базис / = (/«) _

Пример. Пусть НЫ — собственная подкатегория в образуемая произвольными парами вида X = (X, е), в которой

1. X = [К(А^), К(А^)] — интерполяционная пара пространств Кёте;

2. е = (еп) — базис ортов.

Через ieteo обозначим собственную подкатегорию в fete, объектами которой являются пары [K(A(0)),K(A(1))] такие, что K(A(0)) D K(A(1)).

В дальнейшем объекты ([K(A(0)),K(A(1))],e) и [K(A(0)),K(A(1))] будут отождествляться.

2.2. Предположим, что k — некоторая категория интерполяционных пар пространств Фреше с общим базисом.

Определение 5. Пусть X = ([X0,Xi],f), Y = {\Y0,Yi],g) — объекты категории i; пространства Фреше X, Y промежуточные, соответственно, между X0 и X1, Y0 и Y1 Будем говорить, что тройка [Хо,Х, Х\] является ^-интерполяционной относительно тройки [Yo,Y, Y\}1 если для любого оператора Т G I(X,Y) его сужение Т\х на пространство X непрерывно действует из X в Y. Будем говорить, что пространство X является ^-интерполяционным между Хо и Х\, если тройка [Хо, X, Х\ ] ^-интерполяционна относительно самой себя.

Условие, при котором пространство Фреше (в частности, пространство Кёте) интерполяционно между пространствами, образующими объект категории ft, найдено в [7, 8].

Теорема 1 [7, 8]. Пусть ([Хо, Xi], /) — объект категории ft и пространство Фреше X такие, что

1. X — промежуточное между X0 и X1;

2. X0 П X1 — всюду плотное векторное подпространство в X.

Кроме того, пусть (У  ||j;P), (У  ||p) — наборы норм, задающие топологии соответственно в Xj, j = 0,1, и X. Пространство X тогда и только тогда fi-интерполяционно между Хо X1

II/»IUI/X(p)<C max(Vn). j=0,1

Здесь (||  ||р) — набор сопряженных норм в X:

Следствие 1 [7, 8]. Предположим, что выполняются условия теоремы 1 и Xl С X С Xo. Тогда / — безусловный базис в X. Если, кроме того, Xo и Xl — ядерные пространства Фреше, то X также ядерно и / — абсолютный базис в X.

1

К (А) тогда и только тогда ЫЫ-интерполяционно между К(А^) и К(А^), когда

аг,п , аг,п ,,, N

-:— ^ С тах —р-— (V п).

а^(г),п а, ч

¿=0,1 ¥>(г),п

3. Конструкция интерполяционных функторов

3.1. Пусть к — категория пространств Фреше с общим базисом. Ковариантный функтор Р, действующий из к в будем называть I- интерполяционным функтором (ср., например, [2, п. 13]; [3, определение 1.2.2]; [10, определение 2.4.3]), если

1) каждой интерполяционной £-паре ([Xo,Xi],/) он ставит в соответствие пространство Фреше, промежуточное между Xo и Xi,

2) а каждому морфизму Т Е ?(Х, Y) (где Л . У — объекты данной категории) — морфизм T

Из определения ^-интерполяционного функтора следует, что пространство F(([Xo,Xi],/)) f-интерполяционно между Xo и Xi.

Интерполяционные функторы в различных категориях пространств Фреше строились Ш. И. Кадампаттой [2, 3], М. А. Шубариным [9, 10].

Через 9Т обозначим множество всех бесконечных семейств V = (у^) таких, что — бесконечны для всех k, попарно те пересекаются и ljfe=i vk = N.

Лемма 1. Пусть v = (vk) G N Для произвольной бесконечной последовательности у натуральных чисел выполняется только одно из следующих условий:

1) у С vi U ... U vko для подходящего ko;

2) в у существует бесконечное подмножество {nj} такое, что nj G vs(j) и s(j) ^ j ^

Построим интерполяционный функтор, конструкция которого носит комбинаторный характер.

Пусть V G 9Т. Обозначим через ttitv собственную подкатегорию в fete, объектами которой являются fete-пары [К(А^), К(А^)] такие, что

a

ap,n < CPaq,n.

Непосредственно проверяется, что feteo является собственной подкатегорией в htejj . Определение 6. Пусть V е ОТ, fete^-napa X = [К(А^), К(А^)]. Рассмотрим матрицу a = (ap,n), определяемую следующим равенством:

а [, n G vi U ... U Vp, ^

Р'П \aP<°n, n G vi U ... U Vp.

Положим &(X;V) = K(A^); V) := К (A).

Лемма 2. Пусть

1) [K(A(o)),K(A(i))]

— объект категории tete-p-;

2) A(j) = (apjn), A(j) = (cLp)n) — эквивалентные матрицы Кете, j = 0,1.

Если (ap>n), (ap,n) — матрицы, построенные с помощью формулы (2) соответственно по матрицам Кёте A(o), A(i) и

A

< Покажем, что при Сделанных ПредПОЛОжениях выполняются следующие условия:

ap,n < Cp a^>

ap,n < Cp a^(p),n

Из условий леммы 2 и неравенства (1) следует существование возрастающей функции ^ : N ^ N такой, что

Покажем, что условия (3) выполняются, если ф(-) = р(-).

Предположим, что существует р0 такое, что множество V := {п : ар0,п > ЯР0 а^((0)п} бесконечно. Если существует к0 такое, что множество V П бесконечно, то из определения матриц (ар,п), (ар,п) следует, что

аР1о),п > йро «^(р )>п, если к0 < р0, ар0),п > а^р0 < к0 < р(р0),

ар0)п

> ДР0 ^Ы.п' если р(р0) < к0

для произвольного п е V П Полученные неравенства противоречат условиям (5), (6), (7). Но тогда из V можно выбрать подпоследовательность V' = (пу) такую, что пу е

и к(?) ^ при ] ^ Снова получается противоречие: ар0),п^ > ЙР0 а^(р0)п. для

всех достаточно больших

Таким образом, неравенство (3) доказано, условие (4) доказывается аналогично. >

Теорема 2. Отображение X н-» <^(Х;Т7) определяет Ни^г-интерполяционный функтор.

< Фиксируем Меи-пары [К(А^), К(А^)] и [К(В^), К(В^)]. В силу леммы 2 всегда можно считать, что матрицы Кёте, определяющие эти пространства, удовлетворяют

следующим условиям ар ,п ^ ар+1 п, Ь( ,п ^ Ь(+1 п для всех ^ =0,1, р и п. Будем считать, что матрицы (ар, п)? (Ьр ,п) построены соответственно по парам матриц А(0), А(1) и в(0), по формуле (2).

Если р : N ^ N — произвольная возрастающая последовательность такая, что р(р) > р Для произвольного р. Предположим, что последовательность ф0 определяется условием (1). Рассмотрим последовательность ф, определяемую равенством ф(р) := р(ф0 (р)). Из определения 6 следует, что

Ьр,п а((р),т

5

ьр,п ь

4>

ьр,п ф(р),п

к ^ р; р < к ^ ф(р); ф(р) < к.

Поэтому из (1) следует (постоянная Ср определяется условием (1)), что

Ь

Ор.п ^о(р)'га < С„ шах < С„ шах

((р),п ^((0 ((р)),п ¥>((),п ^(г),п

для произвольных р, к и п е ^ таких, что р < к ^ р(р) Но тогда

Ь Ь

—- < шах —гтт- <

тах

((р),п ^(г),п

Из полученного неравенства и следствия 2 получается Мер- -интерполяционность [К(А(0)),К(А(0))] относительно [К(В(0)),К(В(0))]. >

Лемма 3. Если [К(А(о)),К(А(1)] — объект категории ЫЫ-^, то

¡) матрица (%,,„), определяемая формулой (2) но матрицам Кете (а рП), также является матрицей Кёте;

и) — пространство Фреше, промежуточное между Хо и Х\;

111) / = (/„) — абсолютный базис в 7).

Пусть V С N. Базисным подпространством в К(А), построенном по множеству V (которое обозначают через К (А; V)), называют замыка пие в К (А) линейной оболочки, натянутой на семейство (еп

Лемма 4. Предположим, что НЫ-р-нара X = [К(А^), К(А^)] такая, что в пространствах К(А(о)) и К(А(1)) нет нормируемых бесконечномерных базисных подпространств. Тогда и в пространстве V) нет нормируемых бесконечномерных базисных подпространств. В частности, это пространство ненормируемо.

< Предположим, что при сделанных предположениях в пространстве К (В) := ^(К(А^), К(А^);Т>) существует нормируемое подпространство К (В; г/). В этом случае найдется ро такое, что множество vq := {п £ V : < 6р0,п} бесконечно для произвольного д. По построению ^+1 С Vq. Применяя диагональный метод, построим последовательность п = (п) такую, что < С6Р0,п для произвольного д подходящего числа С > 0 и произвольного

Предположим, что п П бесконечно для некоторого ко- Всегда можно считать, что ро > ко и п С Искомое противоречие получается из следующего неравенства: ^ СДля произвольного д > ко, из которого в свою очередь следует, что пространство К(А(1); п) нормируемо.

Поэтому п П vq конечно для любого д. Всегда можно считать, что п £ и

) ^ при ] ^ Тогда а^П ^ Сар^п. для произвольного д и всех на-

чиная с некоторого места. В этом случае нормируемо пространство К(А(1); п), а это противоречит предположению.

Таким образом доказана ненормируемость пространства К (В; V) для произвольного бесконечного множества V С N >

3.2. Введем в ЭД бинарные отношения X (отношение частичного порядка) и ^ (ОТношение эквивалентности). Пусть I^ = (njík) £ ОТ, ] = 0,1. Будем писать Щ -< Щ, если

(V к) (3 т = т(к)) vо)fc С Vl)l и ... и V!,™, и 17о ~ если Т7\ < Щ и Щ -< щ.

Лемма 5. Если щ -< Щ, то

для произвольной £е1ео -пары X. Обратно, если непрерывное вложение (8) имеет место для произвольной £е1ео -пары X, то щ -< ^Т-

< Фиксируем Мео-пару [К(А^), К(А^)]. Обозначим через К (А) и К (В) соответственно правую и левую часть вложения (8). Условие (8) эквивалентно следующему условию:

Пусть щ -< Щ. Предположим, что условие (9) не выполняется. Из леммы 3 следует, что найдутся последовательность индексов V = (п) и ро такие, что для произвольного д неравенство а^^ ^ 2-16Р0;П^ выполняется для всех возможно начиная с некоторого.

Предположим, что V С Vl)l и ... и Vl)Шо для подходящего Ш0- Всегда можно считать, что ш0 < р0. Получается противоречие: ар0)п^ ^ 2—1 аР0),п^ -

Поэтому V С Vl,l и ... и Vl)m для произвольного ш. Тогда в V существует подпоследовательность V1 = (шу) такая, что шу е Vl)fc(j) и к(^) ^ при ] ^ Но тогда опять

(0) 1 (0) получается противоречие: а(0,п ^ 2 1 ар0>п^.

Пусть vo ^ Vl. При сделанном предположении найдется последовательность индексов

V = (пу) такая, что V С для некоторого к0 и пу е v1)S(j), в(^) ^ при ] ^

Тогда из (9) следует, что

(Vр)(3 д)(3 С)(У¿) а(1п < Са^..

При надлежащем выборе пространств К(А(у)) полученное неравенство не выполняет>

Следствие 3. Следующие условия равносильны:

1) Щ _ ___

2) X; г/о) = для произвольной НЫо -пары X.

Таким образом пространство <^(Х;Т7) однозначно (с точностью до отношения эквивалентности ~) определяется парой пространств X.

3.3. Вычислим пространство ^(Х,Т7) для конкретных пар пространств Кёте X. Предполагается, что а = (ап) — бесконечная большая последовательность положительных чисел, А = (Ап), Ап е (0,1], и = (^п), ип ^ 11) Е5(А, а) := К(А), 5 е (-то, 5р | 5, ар,п = ехр(5р + Ап)ап

2) Е5(а) := Е5(V, а) Vn = 0;

3) Е( А, а) := К (А), где аР)„ = ехр(-| + \пр)ап\

4) := К (А), где аР:П = ехр(-| + т т{цп,р))ап]

5) Ё(ц,а) := К (А), где аР:П = ехр(-± + та х(//п,р))ап.

Пространства Е(А, а) и ^(и, а) (называемые степенными пространствами первого и второго рода) были введены и изучались в работах В. П. Захарюты (обзор известных результатов и нерешенных проблем, связанных с пространствами этих типов см. в [12,

14])-

Лемма 6. Пространства Е(А, а) и Е?(А-1, а) (где А-1 := (А-1)) изоморфны.

< Утверждение следует из того, что отображение Т : Е(А, а) ^ Е?(А-1,а), Теп := ехр(-А-1)еп продолжается до изоморфизма рассматриваемых пространств. >

Степенные пространства первого и второго рода допускают несколько интерпретаций в рамках интерполяционной теории.

Лемма 7. При сделанных предположениях

а) = Е0 (и, а) П Е^ (а), ^(и, а) = Е0 (и, а) + Е^ (а). Искомые равенства следуют из соотношений

К (А(0)) П К (А(1)) = К (А), А =( тах арп у, К (А(0)) + К (А(1) ) = К (А), А =( т1п аруп),

выполняющихся для любой пары пространства Кёте [К(А(0)),К(А(1))].

Лемма 8. Пусть дана возрастающая последовательность (Д&) такая, что множества ^ := {п : Д& ^ < Д^+1} бесконечны, Д& > к для любого к, Д1 =1. Тогда V = £ ОТ и

^(Еоо^^о^а);») = Е(ц,а); а), Е^а); V) = Ё(ц,а).

< Покажем, что [Еоо(а), Ео(/л, а)] есть объект категории Ыи^г. Для произвольных р, к, р < к и п £ ^ верно неравенство

р - 1/р < Др - 1/д < Дк - 1/д ^ - 1/д,

где д > р выбрано так, что Др - р > 1/д - 1/р. Заметим, что это пара не будет объектом категории Мео-

Докажем первое равенство. Обозначим через К (А) левую часть доказываемого равенства. Из определения следует, что К (А) = Ф^(а), где

( ) \- 1/р, п £ Vl и ... и

Лр(п) = \ г

п £ v1 и ... и

Покажем, что Еа) С К(А). Предположим, что это не так. Тогда существует ро такое, что множество Nq := {п : шш(^п,д) - 1/д ^ ЛР0 (п)}. По построению N^+1 С Nq. Применяя диагональный метод, построим бесконечную последовательность V = (п) такую, что шш^^., д) - 1/д ^ ЛР0 (п) Для произвольного д и всех начиная с некоторого ^о(д)-Предположим, что V С Vl и ... и Всегда можно считать, что ко = ро- Тогда - 1/д ^ - 1/ро Для произвольных д > ко и ^ > ^о (д)- Получается противоречие. Но тогда из леммы 1 следует существование в V иодпоследовательности (т^) такой, что т^ £ ^и в(^) ^ при ] ^ Опять получается противоречие: д - 1/д ^ ро -1/ро для любо го д > ко  Таким образом доказывается непрерывно сть вложения Е а) С К (А). Непрерывность обратного вложения К (А) С Е а) доказывается анало гично. >

4. Теорема о реитерации

4.1. Для классических интерполяционных методов (вещественного и комплексного метода) доказывается ряд фундаментальных фактов (в первую очередь, теоремы плотности, двойственности и реитерации, обзоры известных фактов содержатся в [5]), делающие эти методы достаточно гибкими и удобными для дальнейшего применения. Для построенного в предыдущем пункте интерполяционного функтора теорема о плотности тривиализуется, так как этот метод применяется к пространствам с общим абсолютным базисом. Теорема двойственности в принципе не может быть сформулирована для этого метода, так как пространство, сопряженное к ненормируемому пространству Фреше, не метризуемо.

Пусть X = [К(А(о)), К(А(1))] — пара пространств Кёте такая, что К(А(о)) э К(А(1)). Для произвольного семейства V = (г/&) £ ОТ, Щ = {и^^) £ 9Т рассмотрим пространства К(В^) := ^(Х,Т7~) и К(В) := ^([К(В^), К(В^)\, V). Из определения 6 следует, что

, _/а£П, п £ N(1);

:=\ арП, п £ N

для произвольных р, п и

^ := и (V* п и (V* П ^Д

№ := и (V* П ^>Я)У У (V* П

,з>р *>р,з>р

Из леммы 5 следует, что К (В(1)) С К (В(0)). К паре [К (В(0) ),К (В(1))] применим функтор & (; V) и пространство К (В) определено корректно.

Пусть I — категория пар пространств Фреше с общим базисом. Будем говорить, что в категории I для функтора &(, ) выполняется теорема о реитерации, если для любой 1-пары [К(А^), К(А^)] и произвольных семейств Щ е 9Т (таких, что Щ -< Щ) и V £ 9Т найдется семейство г} £ 9Т (определяемое только семействами г/, г/д и Щ) такое, что К (В) = 3?(Х;Г1).

(Л

Лемма 9. Из определения семейств N следует, что для произвольного р

1) П0) П Жр(1) = 0, № и ^ = N

2) П № = 0 и = N. р р

Лемма 10. Пусть щ -< Щ. Для произвольного р найдется д = д(р) > р такое, что все элементы множества Хг(1), возможно, за исключением конечного числа, содержатся в Ж?(1).

< Пусть щ -< Т7\. Не ограничивая общности, можно считать, что г/од С г^д и • • • и

Из (11) следует, что

^ = и (V* П ^>Я)У и (V* П = и (V* П VM)U У (V* П У У (^+1 П С и (V* П ^>Я)У и (V* П и и (V?+1 П (V1>1 и ... ^+1)) С N+1.

Поэтому жг(1) С Жр(+)1.

Предположим, что найдется р0 такое, что множество Хг(1) \ Х^1 конечно для произвольного р. Отсюда и го (10) следует нормируемость пространства К (В) вне зависимости от выбора пространств К (А(0)) и К (А(1)).

Применим функторы и к паре [Ео(а), Е^^а)] (в которой а„ —> +оо,

п —> +оо). В силу леммы 4 пространства К(В^) = ^{Ео{а),Е00{а),Т7]) ненор-мируемы. Но тогда из леммы 4 следует ненормируемость пространства К (В) = К(В^), Щ), что противоречит сделанному выше заключению.

Теперь можно сформулировать и доказать искомое утверждение:

Теорема 3. В категории Ме0 для функтора &(, ) выполняется теорема о реитерации.

< Возьмем произвольную Мео-пару [К(А^°\ К(А^].

т/1 := щ := \ к > 1, бесконечно. По построению г} = (щ) е ОТ.

Рассмотрим матрицы Кёте В = (6р,п), В = (6Р;П), первая из которых определяется равенством (10) по семействам V = (у^) £ ОТ, = (у^ к) € ОТ, а вторая — следующим равенством

Ь := /аП1), п £ П1 и    и Пр, := \ (о) .

[аПп £ П1 и    и Пр.

Из определения семейства п = (Пк) £ N следует, что К (В) = К (В).

Учитывая произвольность пары [К (А(о) ,К (А(1) ], этими рассуждениями доказывается утверждение теоремы.

Литература

1. Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов.—М.: Мир, 1972.—259 с.

2. Кадампатта С. Н. Шкалы локально выпуклых пространств и продолжаемые базисы в пространствах аналитических функций: Дисс. ... канд. физ.-мат. наук.—Ростов н/Д, 1984.—250 с.

3. Кадампатта С. Н. Шкалы пространств аналитических функций // Изв. СКНЦ ВШ.—1975.—№ 4.— С. 64-68.

4. Крейн С. Г., Петунии К). И., Семенов Е. М. Интерполяция линейных операторов.—М.: Наука, 1978.-400 с.

5. Крейн С. Г., Семенов Е. М., Врудный К). А. Интерполяция линейных операторов // Итоги науки и техники. Сер. Мат. а нал из. -М.: ВИНИТИ, 1986.—T. 24.-С. 3-164.

6. Трибелъ X. Теория интерполяции. Функциональные пространства. Дифференциальные операто-ры.-М.: Мир, 1980.-664 с.

7. Шубарин М. А. Условия интерполяционности для семейств пространств Фреше // Владикавк. мат. журн.—2007.—Т. 9, вып. 2.—С. 57-65.

8. Шубарин М. А. Классы пространств, порождаемые интерполяцией диагональных операторов // Изв. вузов Сев. Кавк. региона. Сер. естеств. науки.—2006.—№ 1.—С. 24-26.

9. Шубарин М. А. Обобщенная теорема Ароншайна — Гальярдо.—М., 2007. Деп. в ВИНИТИ, № 446-В2007.

10. Шубарин М. А. Продолжение интерполяционных функторов в различных категориях пространств Фреше // Исследования по мат. анализу.—Владикавказ: ВНЦ РАН и РСО-А, 2008.—С. 229-238.— (Мат. форум. ЮФО. Т. 1).

11. Arouszaja N., Gagliardo Е. Interpolation spaces and interpolation methods // Ann. Mat. Pur. Appl.— 1965.—Vol. 68, ser. 4.-P. 51-117.

12. Aytuna A., Djakov P. В., Goncbarov A. P., Terzioglu T., Zaharmta V. P. Some open problem in the theory of locally convex spaces // Linear Topological Spaces and Complex Analysis I.—Ankara: Metu-Tubitak, 1994.-P. 147-165.

13. Deutsch N. Interpolation dans les espaces vectorieles topologiques localement convexes // Mémoires de la Société Mathématique de France.—1968.—Vol. 13.—P. 3-187.

14. Zaharmta V. Linear topologic invariants and their applications to isomorphic classification of generalized power spaces I I Turkish J. Math.-1996.-Vol. 20.-P. 237-289.

Статья поступила 22 мая 2013 г.

Шубарин Михаил Александрович Южный федеральный университет, доцент кафедры математического анализа РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: masl02@mail.ru

CONSTRUCTION OF THE INTERPOLATION FUNCTOR IN THE CATEGORY OF FRESCHET SPACES WITH COMMON BASIS

Shubarin M. A.

A family of interpolating functors in the category of pairs of Frechet spaces with common absolute basis is constructed and its properties are studied. A reiteration type theorem is proved for this family. In terms of this interpolation functor some types of Kothe spaces are described.

Key words: interpolations linear operators, interpolation functors, diagonal operators, Kothe spaces.