Технология построения индивидуальных образовательных траекторий школьников на уроках математики в условиях введения новых ФГОС

И. Н. Киселёва, Н. Н. Храмова, М. А. Родионов

ТЕХНОЛОГИЯ ПОСТРОЕНИЯ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ

ОБРАЗОВАТЕЛЬНЫХ ТРАЕКТОРИЙ ШКОЛЬНИКОВ

НА УРОКАХ МАТЕМАТИКИ В УСЛОВИЯХ ВВЕДЕНИЯ НОВЫХ ФГОС

Аннотация. В статье представлены некоторые возможные способы построения индивидуальных образовательных траекторий школьников на основе рассмотрения различных способов решения задачи и видоизменения ее условия. В качестве примера приведен урок математики в 9 классе на тему «Подготовка к ГИА - решение задач II части модуля "Геометрия"». Особую актуальность предлагаемый подход приобретает в условиях введения новых ФГОС.

Ключевые слова: индивидуальная образовательная траектория, видоизменение задачной ситуации, подготовка к ГИА по математике.

На сегодняшний день в связи с введением ФГОС наблюдается коренной перелом в подходах к обучению подрастающего поколения. Для достижения целей, поставленных новыми стандартами, учителя активно применяют различные образовательные технологии, тем самым добиваясь создания развивающей образовательной среды, необходимой для полноценного раскрытия потенциала каждого ребенка, развития его способностей.

В число требований, устанавливаемых ФГОС к результатам освоения обучающимися образовательных программ на метапредметном уровне, наряду с другими входит и построение индивидуальной образовательной траектории (ИОТ) [1].

Анализ научных работ демонстрирует возрастающий интерес к построению ИОТ учащихся. В работах Е. С. Полат, Л. Н. Агаева, Е. А. Александровой, Л. В. Байбородовой, С. А. Вдовиной, А. В. Воронцова, Н. Ф. Ильиной, Т. В. Машковой, А. В. Мудрика, Н. В. Ры-балкиной, Л. Г. Семушина, А. Н. Тубельского, А. В. Хуторского, Н. Н. Суртаевой, Ю. Г. Юдиной, И. С. Якиманской и др. представлены психолого-педагогические подходы к пониманию термина «индивидуальная образовательная траектория» и предлагаются методы построения ИОТ студентов в системе непрерывного многоуровневого образования.

А. В. Хуторской рассматривает индивидуальную образовательную траекторию как персональный путь реализации личностного потенциала каждого ученика в образовании. Под личностным потенциалом ученика здесь понимается организованная совокупность его деятельностных, познавательных, творческих и иных способностей. Выявление, реализация и развитие данных способностей учащихся наблюдаются в процессе их образовательного движения по индивидуальным траекториям [2].

А. Б. Воронцов определяет ИОТ как «индивидуальный путь движения учащегося в какой-либо предметной области» в процессе какой-либо деятельности; Л. Н. Агаева останавливается на понимании индивидуальной траектории как совокупности учебных предметов, выбранных для освоения учащимися из учебного плана образовательного учреждения.

Обобщая различные подходы, можно сделать вывод, что индивидуальная образовательная траектория - это личностно ориентированная образовательная программа развития, позволяющая раскрыть и реализовать потенциал каждого учащегося, а также формировать личностные характеристики (творческую индивидуальность, ценностные ориентации) с учетом индивидуальных особенностей обучающихся.

Однако внедрение в образовательный процесс ИОТ - достаточно тяжелая задача. Одна из возникающих при этом проблем связана с невозможностью эффективного ис-

пользования ИОТ в рамках традиционной классно-урочной системы из-за временных ограничений, так как последняя не предполагает такую долю самостоятельности, как построение образовательного процесса на основе ИОТ. Именно поэтому их внедрение в образовательный процесс необходимо начинать с проектирования и реализации краткосрочных траекторий в рамках одного или нескольких уроков.

В основе построения индивидуальных образовательных траекторий могут лежать различные факторы. Мы начали с уровня овладения учащимися программным материалом. В указанном контексте индивидуальные образовательные траектории могут быть разделены на три уровня по степени сложности:

- первый уровень - базовый: траектории учащихся, нацеленные на изучение предмета на базовом уровне, только то, что заложено в стандарт. Учащиеся, выбирающие траектории этого уровня, в основном не обладают природной склонностью к изучению точных наук, и их мотивация сводится к необходимости сдавать ЕГЭ по математике, а точнее «перейти порог»;

- второй уровень - достаточный: траектории учащихся не выходят за рамки стандарта, однако предусматривают изучение материала на среднем либо высоком уровне сложности;

- третий уровень - продвинутый: индивидуальные траектории учащихся включают в себя обязательное усвоение материала, предусмотренного стандартом, на высоком уровне сложности.

Мы опираемся на ряд условий, определяющих эффективность нашей работы. В их число входят следующие:

- включение в активную познавательную деятельность каждого ученика;

- добровольность в выборе того или иного маршрута;

- возможность перехода ученика с одного маршрута на другой;

- результативность деятельности по каждому маршруту;

- обеспечение усвоения базовых знаний каждым учеником;

- создание ситуации успеха для работающих по каждой индивидуальной траектории.

При формировании комплекса рассматриваемых условий мы учитывали влияние

особенностей учебно-познавательной деятельности на мотивационную сферу школьников, условия эффективности организации их самостоятельной работы [3-5].

Рассмотрим организацию работы на примере одного из уроков математики в 9 классе на тему «Подготовка к ГИА - решение задач II части модуля "Геометрия"». Различные приемы организации повторения учебного материала в конце 9 класса описаны в [5]. Мы использовали решение задач несколькими способами, составление циклов математических задач [6, 7], видоизменение задачной ситуации [6] и др.

Тип урока - урок обобщения и систематизации знаний и способов деятельности.

Цель - организовать деятельность учащихся по воспроизведению, осмыслению и закреплению знаний и способов решения задачи, а также выявлению общего и особенного в усвоенном материале.

Методы: репродуктивный, проблемный, частично-поисковый, исследовательский.

Оборудование: компьютеры, мультимедийный проектор, экран, раздаточный материал - карточки с заданиями (табл. 1), учебник.

Описание формы работы на уроке: ученики естественным образом будут разделены на траектории в зависимости от уровня овладения программным материалом и межличностных отношений. Предполагается три уровня траекторий: базовая, достаточная и продвинутая. При этом каждая траектория также может быть пройдена на определенном уровне. В зависимости от достигнутого уровня выставляется оценка.

Изначально все учащиеся должны пройти базовую траекторию (условно обозначим как 1-й уровень на уроке), получив задачу, они делятся на тех:

1) кто может решить ее самостоятельно:

- без каких-либо подсказок;

- с некоторыми указаниями по поводу поиска решения;

- по полученному плану решения;

2) кто не сможет решить задачу самостоятельно (эта группа учащихся должна заполнить пропуски в готовом решении).

т-1 о о о ТТ

Базовая траектория считается пройденной, если учащиися решил задачу. Далее при желании и возможности ученик может проследовать по достаточной (2-й уровень) и продвинутой (3-й уровень) траекториям. Основная идея движения по ним - видоизменение условия задачи и по возможности решение полученных задач. Учащимся предлагается два варианта изменения задачи, они могут выбрать их или предложить свой вариант.

Варианты видоизменения задачи:

- первый вариант: замена основной фигуры (изменение вида треугольника);

- второй вариант: исключение некоторых данных из первоначального условия задачи;

- третий вариант: свой.

Задача, предлагаемая учащимся: найти радиус окружности, описанной около равнобедренного треугольника, если его основание и высота, проведенная к основанию, соответственно равны 3 и 8 см.

Возможные способы решения задачи (предлагаются учащимся только по требованию):

1) использовать подобие треугольников;

2) использовать формулу, связывающую радиус описанной окружности, стороны треугольника и его площадь;

3) используя теорему Пифагора для одного из прямоугольных треугольников на чертеже, ввести неизвестные и, составив уравнение, найти радиус описанной окружности;

4) применить обобщенную теорему синусов;

5) использовать теорему о пропорциональности отрезков пересекающихся хорд.

Таблица 1

Карточки, при необходимости выдаваемые учащимся на 1-м уровне

Способ решения

Карточка с указанием к решению

1

Решение задачи с помощью подобия треугольников

1. Найти боковую сторону треугольника.

2. Доказать подобие треугольников ВНС и ББО.

3. Составить соотношение, следующее из подобия, для сторон рассматриваемых треугольников.

4. Найти ВО, т.е. искомый радиус

Решение задачи с использованием формулы, связывающей радиус описанной окружности, стороны треугольника и его площадь

1. Найти боковую сторону треугольника.

2. Найти площадь треугольника.

3. Найти ВО, т.е. искомый радиус, воспользовавшись формулой для радиуса описанной окружности

Решение задачи с использованием обобщенной теоремы синусов

1. Найти боковую сторону треугольника.

2. Найти синус угла, противолежащего найденной стороне треугольника.

3. Для нахождения радиуса воспользоваться обобщенной теоремой синусов

2

Окончание табл. 1

1

Решение задачи с использованием теоремы Пифагора для одного из прямоугольных треугольников на чертеже

1. Для треугольника ОНС на рисунке записать теорему Пифагора.

2. Найти К описанной окружности

Решение задачи с использованием теоремы

о пропорциональности отрезков пересекающихся хорд

1. Записать теорему о пропорциональности отрезков пересекающихся хорд АС и ВК.

2. Найти К описанной окружности

2

На уроке каждый ученик, решив задачу, либо переходит к следующему уровню, либо на том же уровне решает ту же задачу, но другим способом. Во втором случае происходит повторение достаточно большого круга теоретических фактов из планиметрии, которые, кроме того, применяются школьниками в новых для них условиях. Например, явный интерес вызвал способ решения на основе теоремы о пропорциональности отрезков пересекающихся хорд. Наибольшей популярностью пользовался способ, основанный на составлении уравнения с помощью теоремы Пифагора.

В случае затруднений ученику дается карточка для заполнения пропусков в решении задачи (табл. 2). При этом учащийся всегда может вернуться к тому же уровню и попробовать свои силы в решении задачи другим способом.

Таблица 2

Карточки, соответствующие базовому уровню

Способ решения Карточка с указанием к решению

1 2

Решение задачи с помощью подобия треугольников в Дано: окружность (0; ОБ) /К ААВС - равнобедренный, / 1 \ \ ВН - высота, ВН = 3 см, АС = 8 см. 1 | Найти: ОВ \ °1\ / *>ешение: \/ П \/ Потеопеме ПигЬагопа: Таким образом, ВС = см. 2. Центром описанной окружности является точка пересечения серединных . Поэтому ± ВС и ВБ 1 = — = = см. 2 3. Рассмотрим АВБО и АВИС. ШВС - , /ВБО = /-ВИС = ° Таким образом, АВБО АВИС по 4. Из подобия треугольников получаем: = ~~ Подставляем числовые данные: — =—. ВО = = см

Продолжение табл. 2

1 2

Решение задачи с использованием формулы, связывающей радиус описанной окружности, стороны треугольника и его площадь Дано: окружность (О; ОВ) ААВС - равнобедренный, ВН - высота, ВН = 3 см, АС = 8 см. Найти: ОВ у/ /К \ Решение: / о \ ] По теореме Пифагора: Таким образом, ВС = см. 2. $АВС =—АС  = = см. 3. Радиус описанной окружности можно найти по формуле К2 = . 4в Так как по условию ААВС - , то = и, значит, формулу можно преобразовать к следующему виду: К2 =—. 4в Подставляем числовые данные К = см

Решение задачи с использованием обобщенной теоремы синусов Дано: окружность (О; ОВ) ААВС - равнобедренный, / 1\ N. ВН - высота, ВН = з см, АС = 8 см. / / 1 \р \ Найти: ОВ / °\ \ ) Решение: ГГп трпррмр ГГифягпря- Таким образом, АВ = см. 2. По определению синусом угла называют отношение катета к гипотенузе, таким образом, бш /.С = = — = . ВС гг АВ 3. По теореме синусов имеем = 2К. бш /С Выражаем К = = = см

Решение задачи с использованием теоремы Пифагора для одного из прямоугольных треугольников на чертеже . Дано: окружность (О; ОС) ААВС - равнобедренный, / 1\ \ ВН - высота, ВН = з см, АС = 8 см. \\ \ Найти: ОС. \ 1 Решение: Н —т* По теореме Пифагора ОС2 = (*) 2. По УСЛОВИЮ ВН = см. ОВ и ОС - описанной окружности, ОН = ВН - = 3 - . 3. Подставляем все полученное в (*): К2 =(3- )2 + 2 = 32 -2 3 + 2 + 2. Решив полученное уравнение, получаем К = см

Окончание табл. 2

1

Решение задачи с использованием теоремы

о пропорциональности отрезков

пересекающихся хорд

Дано: окружность

ДАВС - равнобедренный,

ВН - высота, ВН = 3 см, АС = 8 см.

Найти: ОС Решение:

1. По теореме о пропорциональности отрезков пересекающихся хорд АС и ВК имеем АО _____=__ ОК (*).

2. ДАВС - равнобедренный, поэтому высота ВО является________________

Тогда АО =_____=________см.

3. ОК = ВК -___= 2К -___.

4. Подставляем полученное в (*):

Решив полученное уравнение, находим К =______см

2

В плане методики работы с рассматриваемыми задачами на уроке мы использовали деятельностно-процессуальный подход к организации обучения школьников решению задач, который опирается на комплексное рассмотрение психофизиологического, психологического и дидактического аспектов образовательного процесса. При данном подходе основное внимание уделяется вопросам организации совместной деятельности учителя и учащихся при работе над задачей, возможностям адекватного управления этим процессом, правильности постановки вопросов учащимся [3].

На втором уровне предлагается рассмотреть возможность замены исходной фигуры в задаче на другую. Например, равнобедренный треугольник может быть заменен на

<-> <-> Т~|

равносторонний или произвольный треугольник. В первом случае появляются лишние данные, во втором - данных не хватает. В обоих случаях задача должна быть переформулирована и решена. На практике некоторые школьники предлагали заменить треугольник на четырехугольник

Целенаправленное и планомерное использование указанного подхода в учебном процессе, как нам представляется, в значительной степени повлияет на улучшение качества подготовки учащихся по математике.

Список литературы

1. ФГОС. Средняя школа. - иИ-Ь: http://www.ug.rU/new_standards/4

2. Хуторской, А. В. Развитие одаренности школьников: Методика продуктивного обучения : пособие для учителя / А. В. Хуторской. - М. : Гуманит. изд. центр Владос, 2000. - 320 с.

3. Родионов, М. А. Деятельностно-процессуальный подход к обучению школьников поиску пути решения математических задач : учеб.-метод. пособие для студентов и учителей математики / М. А. Родионов, Н. Н. Храмова ; под общ. ред. д-ра пед. наук, проф. М. А. Родионова. - Пенза : Изд-во ПГПУ им. В. Г. Белинского, 2007. - 28 с.

4. Храмова, Н. Н. Взаимосвязь характера реализации мотивационно ориентированной образовательной технологии и стилевых особенностей учебно-познавательной деятельности школьников / Н. Н. Храмова // Известия Пензенского педагогического университета имени В. Г. Белинского. Общественные науки. - 2012. - № 28. - С. 1100-1107.

5. Храмова, Н. Н. Организация повторения и домашней работы при обучении математике в основной школе : учеб. пособие для студентов и учителей математики / Н. Н. Храмова, М. А. Родионов. - Пенза : Изд-во ПГПУ им. В. Г. Белинского, 2004. - 90 с.

6. Родионов, М. А. Взаимосвязь теоретических и практических аспектов использования задач в обучении математике : пособие для учителей математики и студентов педагогических вузов / М. А. Родионов, Н. В. Садовников. - Пенза, 1997. - 86 с.

7. Родионов, М. А. Составление циклов геометрических задач как средство реализации гуманитарной составляющей профессиональной подготовки будущих учителей / М. А. Родионов, Е. В. Марина // Математический вестник педвузов Волго-Вятского региона. - Киров : Вятский гос. пед. ун-т, 2000. - С. 168-177.

Киселёва Ирина Николаевна

аспирант,

Пензенский государственный университет E-mail: shwi4kowa.irish@mail.ru

Храмова Наталья Николаевна

доцент,

кафедра алгебры и методики обучения математике и информатике,

Пензенский государственный университет E-mail: nat-khramova74@yandex.ru

Родионов Михаил Алексеевич

доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой алгебры и методики обучения математике и информатике, Пензенский государственный университет E-mail: do7tor@mail.ru

Kiseleva Irina Nikolaevna

postgraduate student, Penza State University

Khramova Natal'ia Nikolaevna

associate professor,

sub-department of algebra and methods of mathematics and informatics teaching,

Penza State University

Rodionov Mikhail Alekseevich

doctor of pedagogical sciences, professor, head of sub-department of algebra and methods of mathematics and informatics teaching,

Penza State University

УДК 371.30 Киселёва, И. Н.

Технология построения индивидуальных образовательных траекторий школьников на уроках математики в условиях введения новых ФГОС / И. Н. Киселёва, Н. Н. Храмова, М. А. Родионов // Вестник Пензенского государственного университета. - 2014. - № 1 (5). - С. 7-13.