Вычисление распределений локальных токов и полей в слоистых средах в условиях квантового эффекта Холла

УДК 537.7 ББК В. 22

М. Ю. Малакеева

г. Чита, Россия В. Е. Архинчеев

г. Улан-Удэ, Россия

Вычисление распределений локальных токов и полей в слоистых средах в условиях квантового эффекта Холла

Рассмотрено протекание тока в условиях квантового эффекта Холла, исследован вопрос о формировании значения эффективной холловской проводимости в средах с границами. Установлено, что в этом случае эффективная холловская проводимость принимает ненулевое значение. Показано, что оно обусловлено протеканием холловского тока через конечное число сингулярных точек (в нашей модели это углы на стыке фаз).

Методом конформных преобразований получены локальные распределения токов и полей в слоистых средах со смещением полос в шахматном порядке.

Ключевые слова: квантовый эффект Холла (КЭХ), эффективная проводимость, конформное преобразование, условие Коши-Римана, слоистые среды.

M. Yu. Malakeeva

Chita, Russia

V. Ye. Arkhincheev

Ulan-Ude, Russia

Calculation of Local Current and Field Division in the Stratified Medium under Quantum Hall Effect Conditions

The current percolation has been considered in the medium with boundaries under Quantum Hall Effect conditions. It has been shown that in that case the effective Hall conductivity possessed a non-zero value due to percolation of the Hall current through the finite number of singular points (in our model these are corners at the phase joints).

Within the conformal transformation method, local distributions of current and field were found in layered media, in which regions are shifted in a staggered order.

Keywords: Quantum Hall Effect (QHE), effective conductivity, conformal mapping, Cauchy-Riemann conditions, layered media.

1. Введение

При исследовании протекания тока в средах с границами одной из основных проблем является проблема нахождения эффективной проводимости. В двумерном случае благодаря дуальной симметрии уравнений постоянного тока были получены точные результаты для эффективной проводимости. К ним относятся теорема Келлера [13, с. 548] и общий подход, развитый в работах Дыхне [5, с. 111]. Было показано, что эффективная проводимость двухфазной среды с проводимостями фаз и на пороге протекания (при равных концентрациях фаз) равна:

о*

При произвольных концентрациях фаз было установлено дуальное соотношение для эффективной проводимости:

0

108

© Малакеева М. !Ю., Архинчеев В. Е., 2011

где е = x — xc - отклонение от порога протекания xc = 1/2. В работах [6; 7] методом конформных преобразований были найдены также локальные распределения токов и полей в двоякопериодических структурах. Было также показано, что формула (2) имеет смысл стационарной точки преобразований Дыхне [1, с. 951].

В общем случае были установлены нижняя и верхняя границы для эффективной проводимости:

< — >_1< ае << сг > •

а

Здесь < а > означает среднее значение величины а . Для установления граничных значений для эффективной проводимости было рассмотрено выражение для джоулева тепла [4, с. 265]:

Q = vJ р’ё) dV = Ё) = ае^2-

Если подставить в подынтегральное выражение формулы (4) вместо локального электрического тока его среднее значение, то получим нижнюю границу в формуле (3). И наоборот, если вместо локального электрического поля подставить среднее значение для поля, то получим верхнюю границу в формуле (3). Уточнения полученных границ связаны с дальнейшими предположениями о симметрии задач ( подробнее см [10]).

Однако вышеизложенные рассуждения не применимы для исследования вопроса о локальных распределениях токов и полей в неоднородной двумерной среде в условиях квантового эффекта Холла: ахх = 0, axy = const. Как известно в этом случае электрический ток всегда перпендикулярен электрическому полю:

j = axe [Пе] .

Здесь П - единичный вектор, направленный перпендикулярно двумерной плоскости по магнитному полю. Поэтому джоулево тепло при протекании тока в режиме КЭХ всегда равно нулю.

Q = 0.

Т. е. холловские фазы являются бездиссипативными. Следовательно, вопрос о значении холлов-ской проводимости в условиях КЭХ не может быть исследован описанным выше способом, поскольку необходимо учитывать особенности протекания тока в условиях квантового эффекта Холла.

Особенности протекания тока в режиме квантового эффекта Холла исследовались во многих работах как экспериментально, так и теоретически, причем исследования проводились в том числе и с помощью макроскопических уравнений электростатики на основе метода Дыхне [2; 12], см также

[14; 11].

Важно отметить еще одну характерную особенность протекания тока в режиме квантового эффекта Холла. Дело в том, что из обычных граничных условий непрерывности тангенциальных компонент электрического поля eit = е21 и нормальных компонент электрического тока jin = j2n при протекании тока в режиме КЭХ вытекают новые граничные условия:

j1n = j2n = °.

Другими словами, холловский ток не может пересекать границу раздела фаз и всегда обтекает неоднородности за исключением конечного числа сингулярных точек. Поэтому на первый взгляд кажется, что холловская проводимость в средах с границами раздела фаз всегда должна обращаться в ноль из-за невозможности протекания через границы фаз. Как будет показано в работе, проводимость отлична от нуля и соответственно возникает вопрос о механизме протекания тока и формировании холловской проводимости.

Целью настоящей работы является исследование протекания тока в условиях КЭХ, вычисление локальных распределений токов и полей методом конформных преобразований.

2. Методы теории функции комплексного переменного в двумерных задачах проводимости

Чтобы понять, как локальные поля и токи распределены в слоистых средах с межфазными границами в условиях квантового эффекта Холла, рассмотрим модель, состоящую из слоистых сред со смещением слоев относительно друг друга в начале координат (рис. 1).

Для нахождения локальных распределений токов (полей) в слоистых средах со смещением полос в шахматном порядке в начале координат будут использованы методы теории функции комплексного переменного. Для этой цели переформулируем проблему проводимости в терминах теории функции комплексных переменных [7; 8; 9].

Перейдем в плоскость комплексного переменного г = х + іу и введем комплексные выражения для двумерных электрических токов и электрических полей:

3

z) = e

X

_ 3+3 .  _з - 3

Зх — 0 , Зу —

Здесь к = 1, 2. Такое представление величин возможно для функций, удовлетворяющих условиям Коши-Римана. Легко проверить выполнение этих условий для введенных выше функций электрических токов и полей. Действительно, одно из условий Коши-Римана дает уравнение неразрывности тока:

дз(к) д№

дx c3y

а второе условие следует из уравнения rote = 0, равносильного для сред с кусочно-непрерывной проводимостью уравнению rotj = 0 :

дjXk) _ дjy

ду дх

Аналогично уравнения rote = 0 dive = 0, второе из которых следует из уравнения divj приводят к условиям Коши-Римана для компонент электрического поля:

деХк) _ def], деХк) _ де{к)

ду дх ’ дх ду

Вид этих условий объясняет наличие отрицательного знака перед мнимыми частями функций 3(г) и е(г). Закон Ома в магнитном поле также может быть представлен в комплексной форме:

Л*) = 1 °]/3кЕ

В последнем соотношении учитывается эффект Холла. Степень влияния магнитного поля на распределение электрических токов в сплошной среде определяется величиной параметра Холла в, равного отношению циклотронной частоты ш к частоте столкновений электронов V: в = ш/у. Параметр Холла вк так же, как и электропроводность а к, изменяясь дискретно, принимает различные значения (к=1, 2) в смежных ячейках.

О

3. Конформное отображение плоскости 2 на плоскость £

Вследствие имеющейся геометрической симметрии во всех одноцветных ячейках картина поля двоякопериодически повторяется, поэтому достаточно рассмотреть элементарную ячейку, состоящую из двух прилегающих полубесконечных полос с различными проводимостями. Пусть на рис. 1 это будут ячейки аЬсй и аЬс'й'(Ьс = Ьс' = Ь) Ниже мы построим конформное отображение внутренних областей прилегающих полуполос с проводимостями и на нижнюю и верхнюю полуплоскости. В нашем случае такое отображение осуществляется функцией:

Здесь cosh (x) - гиперболический косинус, L - ширина полосы.

После отображения полуполоса abcd перейдет в нижнюю, а полуполоса abc'd' - в верхнюю полуплоскость с разрезом (-то, 1) на оси ОС. Соответствие точек отображения показано на рис. 2, а вычисления координат отображенных точек приведено в приложении l.

Рис. 2. Соответствие точек при конформом отображении

4. Решения граничной задачи в матричном виде

Граничные условия также сохраняются и на плоскости £ = С + ІП для электрического тока 2(к) (£) = ^к) (С, п) — у'Пк) (С, п). На различных частях оси ОС они имеют различный вид:

21 — 21 =0,22 — 22 =0,

на Ьі, включающее в себя лучи [6а), [ос!), [о'!'). Черта над функцией указывает на комплексное сопряжение.

21 + 21 = 0, 22 + 22 = 0,

на Ь2, включающее в себя лучи [Ьо], [Ьо'].

Таким образом, исходные начальные граничные условия сведены к граничной задаче Римана для кусочно - непрерывной функции 2 (С). Коэффициенты граничной задачи терпят скачки на оси ОС в точках Ь, о, О . Как следует из граничных условий в задаче имеются четыре неизвестные функции: 2к,2к, к = 1, 2. В соответствие с [7, с. 164] представим функции 22,2 і в виде функций от их комплексно сопряженных величин 21 , 2 2 . Введем кусочно-аналитическую вектор-функцию:

*М£§Ылм)

На оси С она принимает предельные значения Ф+ (С) = ( ); Ф (С) = \ +

з+

3-

Введенная функция удовлетворяет условию симметрии:

Ф

Соответственно, на оси 0£ эта функция принимает значения:

Л+ !е\ -

Ф+

lll

и

Таким образом, вышеуказанные граничные условия формулируют векторно-матричную краевую задачу Римана. Кратко она записывается в виде:

В исследуемом нами случае протекания тока в режиме КЭХ эти матрицы имеют простой вид. На интервале Ь1

Векторно-матричная краевая задача Римана (19) в общем виде не имеет решения, поэтому для решения необходимо провести соответствующую диагонализацию матриц граничных условий и привести их к стандартным скалярным краевым задачам. Для этого введем новую кусочнонепрерывную аналитическую функцию:

Здесь М-матрица, совпадающая с матрицей С1 на отрезках —то <£< —1 и 0 <£< 1 оси 0£. В результате преобразований для этой функции получим следующие граничные условия:

Это означает, что на этом интервале функция аналитически продолжима из одной плоскости в другую. На остальной части действительной оси из интервала Ь2 получим:

Дальнейшее упрощение задачи можно получить редукцией ее к задаче с матрицей диагонального типа. С этой целью введем еще одну функцию равенством: Ф(С) = SF(С).

Здесь матрица Б подбирается так, чтобы диагонализовать матрицу границ условий на участке Ь2 . В результате получим систему из двух независимых граничных задач Римана.

Согласно алгоритму диагонализации матриц вычислим собственные значения, которые определяются из уравнения: ||АЕ — М-1С2|| =0.

Здесь Е - единичная матрица.

В исследованном нами случае КЭХ собственные значения имеют простой вид и равны: А12 = — 1. Таким образом, исходная краевая задача Римана в матричном виде сведена к паре скалярных задач Римана в следующем виде:

Решение краевых задач (26) строится в классе функций, допускающих интегрируемые особенности в узловых точках а, Ь, с(с') и й(й'). Используется теория скалярной краевой задачи Римана [17, 18]. В нашем случае, решения краевых скалярных задач Римана имеют следующий вид:

ф+ (С) = Оіф- = (С),

где коэффициент Сі есть матрица Сі = -р

а на интервале Ь2

если 1ш (() > 0, если 1ш (() < 0.

Ф+ (С) = Ф (С) на интервале Ь1.

Ф+(С) = С2М-1Ф-(С).

Ф1(С) = A1.F1 (С), Ф2(С) = А2F2(С).

Ф1(С) = А^1 (С), Ф2 (С)= A2F2(С).

F

(С - 1) (С +1)11/2

с .

Напомним, что переменная £ связана с исходной переменной г соотношением (12). Далее возвращаемся к исходной вектор функции. Определим фазы коэффициентов С\, С2. Согласно условиям симметрии коэффициенты удовлетворяют соотношениям:

Таким образом, согласно формулам (28)—(30), компоненты эффективного тензора холловской проводимости равны:

Здесь I =< X(Z) >=< X-1(С) > .

Во-первых, как можно видеть из формул (31), компоненты тензора холловской проводимости определяются через константы |C1|, |C2| и не равны друг другу в общем случае: apxy = <7^.

Во-вторых, значения константы |Ci|, |C2| определяются условиями на бесконечности. В качестве примера рассмотрим два вида условий на бесконечности.

1) Пусть задано среднее значение тока на бесконечности.

Ji = const, Jy = 0 В этом случае из формулы получим:

Поэтому следующее соотношение получается: |С1 = |С2|. В случае равенства этих констант среднему геометрическому значению

Это значение соответствует решению с постоянным электрическим током.

2) Рассмотрим второе условие, когда задано электрическое поле на бесконечности. В этом случае получим:

Таким образом, получаем выражения для локальных токов:

Я

Модули коэффициентов С1, С2 определяются внешними токами (полями). А именно,

<31 > + < 32 >= Ъ — = С1 < х(С) > +С2 < х-1(С) >

< ei > + < Є2 >= Ex - iEy = pXl)Ci < X(Z) > + pX2y C2 < X-1(Z) > .

Введем тензор эффективной холловской проводимости:

IRe

IIm

Im

Re

.C1)^ a. J2)

(|Ci I + |C21) 2cos (п/4) I = Jx, (|Ci I - |C21) 2sin (п/4) I = Jy = 0.

получим выражение для компоненты тензора:

Поэтому следующее соотношение получается:

В случае равенства этих констант следующим значениям:

ТИ' 1^1 = 4.

рху рху

получим выражение для компоненты тензора:

1^11 = -

ству =< °хУ >= \

Это значение соответствует решению с постоянным электрическим полем.

5. Заключение

В настоящей работе исследован вопрос о формировании ненулевого значения эффективной холловской проводимости в условиях квантового эффекта Холла. Показано, что оно обусловлено протеканием холловского тока через конечное число сингулярных точек. Согласно результатам вычислений, задание условий на бесконечности определяет характер протекания тока через сингулярные точки - в нашей модели это углы на стыке фаз. Существует две возможности протекания краевых холловских токов. Первая их них - протекание краевого тока последовательно из первой во вторую фазу через угловые контакты. Этот результат соответствует решению с постоянным током на бесконечности (33). В такой же системе возможно, однако и другое решение, когда задано среднее поле на бесконечности (35). В этом случае краевые холловские токи текут отдельно - каждый по своей фазе с проникновением через углы полуполос, расположенных в шахматном порядке.

Полученные результаты могут быть использованы для описания постоянной Холла в режиме сильных магнитных полей.

Приложение

Соответствие точек при конформом отображении

Найдем координаты отображение точек в комплексной плоскости £ = £ + гц-

При z = а = (ос; 0), г = ос, £а = cosh (^) = е ь +2е—— = -—^-------------- = ос;

г . — г п , — О

При г = Ь = (0; 0), г = 0, Сь = е +е = = 1;

LiZ- . -LiZ- гтг , -гтг

При z = с = (0; L), г = Li, £с = -------^--------- = -—^----- = costy = —1;

При z = d = (ос; L), г = ос + Li, Qd = е Г+2е—— = 5—2—^------2— = е°° costy = —ос;

, -Li-f- , LiZ- -i7T , i7T

При z = с = (0; — L), z = — Li, (с/ = -----------^--= -—^— = costy = —1;

_ e°oe-^+e°oe^

При z = d! = (ос; —L), z = ос — Li, ^

Список литературы

1. Архинчеев В. Е. О неподвижных точках, инвариантах преобразований Дыхне и устойчивости решений задач эффективной проводимости // Письма в ЖЭТФ, 199S. Т. бТ. НТ-S. С. 9б1-9бS.

2. Архинчеев В . Е ., Батыев Э . Г . // Sol. St. Commun, 19S9. Vol. І2. P. і059-і060.

3. Балагуров Б. Я. Соотношепия взаимности в двумерной теории протекания // Журнал экспериментальной и теоретической физики, 19S1. Т. S1. Выи. 2(S). С. ббб—бТ1.

4. Дыхне А. М. О вычислении кинетических коэффициентов сред со случайными неоднородностями // Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1967. Т.52. № 1. С. 264-266.

б. Дыхне А. М. Проводимость двумерной двухфазной системы // Журнал экспериментальной и теоретической физики, 1970. Т. 59. № 1. С. 11Q—11 б.

б. Емец Ю. П. Преобразование симметрии двухмерной двухкомпонентной электропроводной системы // ЖЭТФ, 19S9. Т. 96. С. 701-711.

Т. Емец Ю. П. Электрические характеристики композиционных материалов с регулярной структурой. Киев: Наукова думка, 19S6. 191 с.

5. Лаврентьев M. A., Шабат Б. В. Методы теории функций комплексного переменного. М., 1973. 716 с.

9- Маркушевич А- И- Краткий курс теории аналитических функций- Наука, М., 1978- 416 с.

10- Фокин А- Г- Макроскопическая проводимость случайно-неоднородных сред- Методы

расчета // Успехи физических наук, 1996- 166 б- В- 10- 1069-109311- Cabo Montes de Osa A-, D- Martinez-Pedrera, Phys, Rev- B, 2003- V- 67, 245310-

12- Dykhne A- M-, Ruzin I- M-, Phys- Review B, V- 50, P- 2369 (1994)-

13- Keller J- B- , J-Math- Phys- 1964- V- 5, P- 54814- Kivelson S-, Dung-Hai Lee, Shou-Cheng Zhang, Phys- Rev- B, 1992- V- 46, P- 2223-

Рукопись поступила в редакцию 28 апреля 2011 г.