Потенциальные свойства аппроксимационного градиента

Математические структуры и моделирование 2000, вып. 6, с. 12-20

УДК 517.5

ПОТЕНЦИАЛЬНЫЕ СВОЙСТВА АППРОКСИМАЦИОННОГО ГРАДИЕНТА

С.И. Бигильдеев

Approximate gradient is used for investigation of extremal properties of nondifferential functions. In this paper approximate gradient is presented as convolution operator of investigated function and some weight function. The connection between this concept and garmonic analysis is established. Proposed interpretation of approximate gradient demonstrates it connection with Riesz transformation. It is shown that approximate gradient is the gradient of Poisson integral, Bessel and Riesz potentials when the weight function is specially chosen.

Введение

Понятие аппроксимационного градиента было введено В.Д. Батухтиным и Л.А. Майбородой [1]. Решая прикладные задачи недифференцируемой и разрывной оптимизации, они предложили исследовать экстремальные свойства недифференцируемой функции нескольких переменных с помощью градиента линейной функции, имеющей наименьшее среднеквадратическое отклонение вблизи рассматриваемой точки исследуемой функции.

В случае дифференцируемой функции этот вектор будет являться среднеквадратической аппроксимацией ее градиента, а при стягивании области интегрирования в точку будет с ним совпадать. Когда же функция не является дифференцируемой, то аппроксимационный градиент определяется неоднозначно и представляет собой интегральный оператор, зависящий от того, по какой мере и по какой области осуществляется интегрирование.

Исследования последних двадцати лет, проводимые В.Д. Батухтиным, Л.А. Майбородой и их учениками, показывают, насколько эта достаточно простая идея оказалась плодотворной и эффективной при исследовании экстремальных свойств функций.

С одной стороны, являясь в определенном смысле аналогом градиента дифференцируемой функции, аппроксимационный градиент позволил создавать аппарат, обобщающий классический анализ и методы численного решения задач недифференцируемой оптимизации, в которых он играл соответствующую роль. И первоначальное развитие основной идеи осуществлялось в этом направлении. Был получен ряд интересных теоретических результатов, которые послужили основой для написания монографий [1,2]. На базе теории были

© 2000 С.И. Бигильдеев

E-mail: sbig@math.cgu.chel.su Челябинский государственный университет

Математические структуры и моделирование. 2000. Вып. 6.

13

созданы достаточно эффективные численные методы решения разрывных экстремальных задач, не имеющие аналогов ни у нас в стране, ни за рубежом

С другой стороны, неоднозначность определения аппроксимационного градиента позволяет создавать методы оптимизации, основанные на идеях выпуклого анализа и многозначных отображений. Это направление представляется достаточно перспективным. Оно позволяет расширить понятие дифференцируемости, распространяя его и на класс суммируемых функций, дифференциальные свойства которых более размытые, чем у выпуклых и локально липшице-вых функций.

Такой подход к анализу экстремальных свойств суммируемых функций естественным образом вписывается в исследования в этой области, В этом направлении получен ряд интересных результатов [5-7], Была установлена связь с субдифференциалом Ф, Кларка, с производными Соболева и усреднением по Стеклову, с дифференцированием г, I/ п гармоническом смыслах. Часть этих результатов еще не отражена в публикациях,

В настоящей работе аппроксимационный градиент представлен как интегральный оператор свертки исследуемой и так называемой весовой функции. Здесь установлена связь этого понятия с гармоническим анализом, В предлагаемой интерпретации преобразования Рисса градиенты интеграла Пуассона и бесселевых потенциалов представляют собой аппроксимационные градиенты при соответствующем выборе весовой функции,

1. Основные понятия

Обозначим через | s | евклидову норму вектора s, а Вг - шар радиуса г с центром в начале координат и введем несколько понятий.

Определение 1. pr{s) = pr{\ s |) - весовая функция, если

1° для Vr > 0 pr(s) > О Vs е Rn, 0 < dr = - J \ s \2pr(s)ds < оо и рг может

Rn

иметь особенность только в нуле, т, е, pr е L°°(A) - для любого измеримого множества А, для которого 0 0 А;

2° для любой суммируемой финитной функции ( supp р - компакт) [8] такой, что p(s) = о(| s |) при | s |—>• 0 выполняется:

В дальнейшем множество весовых функций будем обозначать буквой Р, Отметим, что во 2° пункте определения для Vr > 0 Jr < оо. Действительно, для функции р с указанными свойствами Зс, 0<с<ооиЗо>5>0 такие, что supp р С Ва и | p(s) \< с | s | Vs G В$. Представим интеграл в виде суммы двух интегралов:

[3,4].

-|- J<2r;

где

14

С. И. Бигильдеев. Потенциальные свойства ...

Но интеграл hr ограничен постоянной с, а

d

’hr < -J- || Pr IUoo

в силу неравенства Гельдера [8].

Условие принадлежности весовой функции пространству L х (. 1) в пункте 1° определения сужает множество весовых функций, но расширяет множество функций р, для которых можно применять свертку с весовой функцией.

Нетрудно заметить, что пункт 2° будет выполнен, если для Vr > О supp pr С Вг.

Действительно, в этом случае для любой функции р из этого пункта

— J | s | p(s)pr(s)ds = — / | s | p(s)pr(s)ds

Я™

<

ЫО

s | o(| s |)pr{s)ds = o(l) при r —>• +0, так как здесь dr = ^ f | s \2pr(s)ds.

\s\<r

Следующее утверждение дает более общее достаточное условие того, что функция является весовой.

1

< — dr

dr

s О

s\<r

Предложение 1. Пусть функция pr удовлетворяет условиям пункта 1° определения, 1 и для, любого измеримого множества А такого, что 0 0 А выполняется:

1

dr

при г —) +0. Тогда, функция рг является, весовой.

Доказательство. Пусть суммируемая финитная функция p(s) = о(| s |) при | s |—У 0 и su,pp р С Ва для некоторого а, > 0,

Тогда для V: > 0 Т) = г)(:) > 0 н <) < а такое, что | p{s) |< | | s \ для Vs е Bs.

Так же, как в (1), интеграл представим в виде суммы интегралов и J-ir- В силу оценки (2) и условия (3) на функцию pr lim J\r = 0, Выберем г* > 0

г^-+0

и настолько малое, что hr < § для любого г е (0; г*),

В результате Jr < | + | = е для 0 < г < г* = г*(е) и, следовательно, 3 lim Jr = 0,

г—S-+0

Определение 2. Пусть / - с компактным носителем суммируемая функция по мере Лебега на всем пространстве Вп, т,е, / 6 Ll(Rn). Аппроксимационным градиентом функции / в точке х будем называть интегральный оператор свертки

aT(f)(x) = К * f = f К(s)f(x + s)ds,

1

Математические структуры и моделирование. 2000. Вып. 6.

15

где ядро K(s) = j-spr(s), pr G Р.

Рассмотрим некоторые примеры весовых функций и интегральных операторов, связанных е аппроксимационным градиентом,

В работах [1,2] аппроксимационный градиент определяется на функциях Рг($), которые задают вероятностную меру, сосредоточенную в шаре Вг. При этом не требуется, чтобы функции рг зависели только от | s |, Однако, как показано в [6], более сложная зависимость функции рг от вектора s может привести к тому, что при г —>• +0 аппроксимационный градиент не будет принадлежать суб дифференциалу даже для выпуклой функции /, Если же pr(s) = pr(\ s |), то для локально липшицевой функции / при (у, г) -д (х, +0) аппроксимационный градиент ar(f)(y) -Д £ G dcif(x), где dcif(x) - субдифференциал Ф, Кларка [6].

Как будет показано ниже, данное здесь определение аппроксимационного градиента позволяет его рассматривать как некоторое семейство преобразований функции /, Прежде всего рассмотрим интеграл Пуассона,

2. Интеграл Пуассона

Интеграл Пуассона представляет собой свертку следующего вида [9]:

и(х, г) = / Pr(t) f(x — t)dt = Pr * f,

EX

где r > 0, Pr(t) - пуассоновское ядро,

Pr

Cnr

(I t |2 +r2) 2

n + 1 5

7Г 2

Г - гамма-функция.

Интеграл Пуассона дает решение задачи Дирихле для Д”+1 = {(.г. г) : х G Rn, г > 0} : найти гармоническую функцию на Д”+1, граничным значением которой на Rn является f(x).

Свойства пуассоновского ядра детально изучены. Напомним некоторые из них [10]:

1) Pr(t) > 0.

2) J Pr(t)dt = -Ргл(0) = 1, где P^'(t) = е-21Г1*1г - преобразование Фурье,

Еп

3) Pr е Lp(Rn), 1<р<оо.

4) Если / G Lp(R.n) при 1 < р < оо, то Аи = 0 т.е. и - гармоническая функция в Щ+1.

5) lim u(x,r) = f(x) п.в, для / G Lp(Rn), 1 < р < оо. Если р < оо, то

г^-+0

II и(х, г) — f(x) ||LV—Ь 0 при г —У 0,

Осуществляя замены переменной интегрирования t = ^sns = y^x, можно соответственно для интеграла Пуассона получить:

и

ВТ

ВТ

х) f(y)dy.

16

С. И. Бигильдеев. Потенциальные свойства ...

Так как

dPr

---------- = “------------Д±з\Уг ~ И),

dxi

то

ди с„г

stf{x + s)------------s+irds.

OXi J | <5 |2 +r2) 2

Rn

Функция pr(s) = c”r^+^+3 > 0 и dr = - f I s 12pr(s)ds = 1, Действительно,

" (IsP+r2) 2 П J

Rn

s \2pr(s)ds = cJn

Rn

I I 2 2

где c = cnr(n + 1); /„ = J -----|s| n+3 ds = J------'dp J do\ do - мера

Rn (|s|2+r2)T“ 0 (p2+r2)T“ 5

n

Лебега на единичной сфере S = {I е И" : / = 1 } и / do = //(>') = [11],

Для интеграла Jn получим:

к‘2> 7 = Г~1

0 Л °П 1 I п+3

2тг2 У (т2 + 1) —

Т'

в+1

dr

t2 /0 ур (п + 2 1

—^dt = (2 г) fj

*» ** «) = { ^ ^ - полная бета-функция

Так как Г(т + 1) = тГ(т) и Г(|) = л?, то

\2 Г \ 7 т С„г(п + 1)2тг2 , ! /п 1

s | pr(s)ds = cJn

Rn

Щ) s? 77 + 1,-

Г

а? г(§) Г(а±1+1) Г(1) Г(|) П±1Г(П±1) "

И (1Г = 1 .

Чтобы доказать, что функция pr{s) = спг(»+1Ц является весовой, оета-

“ (1312 Ч~Г2 ) 2

лось проверить выполнение пункта 2° определения 1, Эта функция удовлетворяет условиям предложения 1, Действительно, при любом г > 0 функция рг( | s |) непрерывна и монотонно убывает по | s |, Для любого фиксированного о > 0 рг(о) -Д 0 при г —>• +0, a dr = 1. Следовательно, для любого измеримого множества А : 0 0 А будет выполнено || рг ||l°°(.4) = j5r(inf | л |) —У 0 при

г —>• +0 в силу задания нормы в классе функций L°° [12],

Сомножители, не зависящие от s, в весовой функции могут быть отброшены. Функцию Pr(s) = (| s |2 +г2) 2 назовем пуассоновской весовой функцией.

Математические структуры и моделирование. 2000. Вып. 6.

17

Таким образом, интеграл Пуассона представляет собой потенциал аппроксимационного градиента, вычисленного на пуассоновской весовой функции, В следующей части статьи будет показано, что подобными потенциалами являются и потенциалы Рисса,

3. Преобразования Рисса

Преобразованиями Рисса [13] называются следующие интегральные операторы для функции / G Lp(Rn) и 1 < р < оо:

Rj(f)(x) = cn J | у^/(« - V)dy,

Rn

где j = 1, n,

p

= д±1

7Г 2

При n = 1 преобразование Рисса совпадает с преобразованием Гильберта [14]:

НЦ)М = i f

К J У

R

Преобразования Рисса представляют собой ограниченные линейные операторы для 1 < р < оо. Они не сохраняют классы ограниченных и суммируемых на всем пространстве функций [9].

Потенциалами Рисса ( 0 < a < п ) называются следующие операторы свертки:

+(/)(+ = \*-у Г+“ 1Шу.

Rn

где у{а

тгТ2°Т

Г(2Цр) '

Формальное дифференцирование потенциалов Рисса дает:

dla

Уз ~

^ - У

____

In—а+2

f(y)dy

Rn

П

а

у

In—а+2

f(x + s)ds.

Я™

Следовательно, по крайней мере для бесконечно дифферен-

цируемой функции / с компактным носителем.

Однако

1

In—а+2

ds = const / р2р " 2+apn ldp = const ра |2°= оо

Я™

о

18

С. И. Бигильдеев. Потенциальные свойства ...

для любого a > 0, т,к, ядра потенциалов Риееа недостаточно быстро убывают на бееконечности.

Потенциалы Риееа приводят к очень элегантным и полезным формулам и обладают рядом замечательных свойств. Но они имеют и существенный недостаток, Их важность прежде всего состоит в том, что они играют роль «сглаживающих операторов», В то время как локальное поведение (| д; |—>- 0 ) ядер | , |-п+« вполне подходит для этой цели, глобальное их поведение (| х |—>• оо ) хуже и приводит к неудобствам, возрастающим е ростом а, Недостаточное убывание ядер преобразований Риса при | я: |—У оо порождает у них особенность не только в нуле, но и на бесконечности. Этого недостатка нет у бесселевых потенциалов, которые будут рассмотрены ниже,

С учетом сказанного, весовыми функциями Риееа-Гильберта назовем следующие сосредоточенные в шаре Вт функции:

, ч Г I s \-п+а~2 если s Е Вг

Pr(s) = < п , „ ,

4 [ 0, если s Вг

для которых

^ ± /

п J

вт о

1

= r^1 const j t^Ht = г*-1 const < оо.

о

При а = 1 компоненты аппроксимационного градиента для рассматриваемой весовой функции будут отличаться только на знак от преобразований Риееа, сели supp / С Вг (х),

4. Бесселевы потенциалы

Бесселевы потенциалы [15] также представляют собой свертки £sa(f) = Ga * /, (а > 0), Ядра потенциалов задаются следующей формулой:

ОО

~ / Ч /, 1 f тЩ2 s „(=n+a'\dS

Ga(x) = (47г) 2—£ s £ 2 .

К К Г (f) J 5

о

Они обладают рядом замечательных свойств. Так, для Vn > 0, Ga Е Ll

и j Ga(x)dx = 1, Они достаточно быстро убывают при | я: |—У оо: я™

-п+а—2

ds

const J р2рп

1 —n+a—2 г

dp

Ga(x) = О (rcW) ,

где с > 0, а при Рисса:

я: |—У 0 имеют такую же асимптотику, что и ядра потенциалов GJx) = -1— I х Р+“ + о (I х \-п+а) .

7

Математические структуры и моделирование. 2000. Вып. 6.

19

Для ядра Ga имеем

ас„

dxj

(Ал) 2

2тг

/ , / тф-аД Д (-n+a\ d5

гМ(^Уз^Хз) J ' ^ 1 2 Ы

и

где

а^-

Sjf(x + s)pr(s)ds,

Я"

pr(s) = (4тг) 2

2тг

г2г

- ТМ2 - Д Д -та+оД dS 1 „

| I 4Т Д 2 1— = —р1

oz г1

> О

для любых a > 0 и s е При этом

Sjfid s |)

aCg

dsj

и

s |2pr(s)ds = J sj—pi ^ds = J TjPi(r)d,T

Rn Rn

+oo

TjPi(r)dTj I dr

n—1

r3d-^d.T3 1 drn-1

OTj

Rn~1 Voo

Rn-1 \ -oo

7 \

-TjGa(r) + J (r,,i : I drn \

Rn-1 \ -OO /

где j - любое число от 1 до n, a Tj и т”-1 - ортогональные составляющие вектора т.

Учитывая нормировку и асимптотику бесселевых ядер, получим:

Tj О (rclTl) К + / Ga(r)drj dr" ' = / GJr)dr = 1

я™-1

RX

Пункт 2° определения 1 для данной функции pr(s) также выполняется в силу предложения 1, Это следует, как и в случае пуассоновского ядра, из монотонности />,. как функции от | s | и из асимптотики бесселевых ядер на бесконечности, которая будет совпадать с асимптотикой функции рг при г-э 0 и фиксированном | S \.

Сомножители, не зависящие от s, в весовой функции могут быть отброшены. Поэтому весовыми функциями Бесселя назовем следующие функции:

/ , / - Щ!2 - s ( -n+оД dS

Pr(s) = j £ Sr2 l 4* 6У 2

о

20

С.И. Бигильдеев. Потенциальные свойства ...

где a > 0,

В результате мы видим, что и бессолевые потенциалы, как и интеграл Пуассона и потенциалы Риееа, представляют собой потенциалы аппроксимационного градиента для весовых функций специального вида.

Литература

1. Батухтин В.Д., Майборода Л.А. Оптимизация разрывных функций. М.: Наука. Гл.ред.физ.-мат.лит., 1984.

2. Батухтин В.Д., Майборода Л.А. Разрывные экстремальные задачи. C.-П.: Гиппократ, 1995.

3. Батухтин В.Д., Бигильдеев С.И., Бигильдеева Т.Б. Численные методы решения разрывных экстремальных задач, // Изв.РАН. Теория и системы управления. 1997. N3. С.113-120.

4. Batukhtin V.D., Bigil’deev S.I., Bigil’deeva Т.Б. Approximate Gradient Methods and the Necessary Conditions for the Extremum, of Discontinuous Functions // Nonsmooth and Discontinuous Problems of Control and Optimization (NDPCO’98). Proceeding volume from the IF AC Workshop. Chelyabinsk. June 1998. P.25-34.

5. Бигильдеев С.И. Аппроксимационная, производная, как многозначное отображение // Вести. Челябинского гос. ун-та. Сер. «Математика, механика.» 1996. №1(3). С.21-33.

6. Бигильдеев С.И., Рольщиков В.Е. Свойства, аппроксимационного градиента, в зависим,ост,и, от, весовой, функции // Изв.РАН. Теория и системы управления. 1997. №4. С.89-94.

7. Бигильдеев С.И. Существенная, оптимизация функций // Оптимизация численных методов: Труды межд. конф., поев. 90-летию со дня рожд. С.Л. Соболева. / Отв.ред. М.Д. Рамазанов. Уфа: ИМВЦ УНЦ РАН, 2000. 4.1. С.40-50.

8. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления, функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1975.

9. Стейн И.М. Сингулярные интегралы и, дифференциальные свойства, функций. М.: Мир, 1973.

10. Stein Е.М., Weiss G. Introduction to Fourier Analysis on Euclidean Spaces. Princeton, 1971.

11. Мысовских И.П. Интерполяционные куба,m,урн,ы,е формулы. М.: Наука, 1981.

12. Рисе Ф., Секефальви-Надь Б. Лекции, по функциональному анализу. М.: Мир, 1979.

13. Riesz М. L’integrale de Riemann-Liouville et le probleme de Cauchy // Acta Math. 1949. №81. P.1-233.

14. Wevl H. Bemerkungen zum Begriff der Different,ialquotienten gebrochener Ordnung // Vier. Natur. Gesellschaft. Zurich. 1917. №62. P.296-302.

15. Aronszajn N., Smith K.T. Theory of Bessel potentials // I, Ann. Inst. Fourier. 1961. №11. P.385-475.