Исследование проблемы насыщения критических размерностей составных операторов модели Крейчнана методом стационарной фазы

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Сер. 4. 2009. Вып. 3

УДК 539.12

М. В. Назаренко, М. Ю. Налимов

ИССЛЕДОВАНИЕ ПРОБЛЕМЫ НАСЫЩЕНИЯ КРИТИЧЕСКИХ РАЗМЕРНОСТЕЙ СОСТАВНЫХ ОПЕРАТОРОВ МОДЕЛИ КРЕЙЧНАНА МЕТОДОМ СТАЦИОНАРНОЙ ФАЗЫ *

Введение. Теория развитой турбулентности привлекает внимание учёных уже не первое столетие, и тем не менее, задача её теоретического описания далека от разрешения. Одним из подходов к теории развитой турбулентности является таковой, основанный на стохастическом уравнении Навье-Стокса ([1]). В этом подходе методами ре-нормгруппы было получено скейлинговое поведение. Однако интересной особенностью развитой турбулентности является ожидание явления так называемого «аномального скейлинга», при этом при описании спектральных характеристик необходимо учитывать особенности скейлинговых функций, определяемые, например, методами операторного разложения SDE [1, 2].

Принципиальным вопросом при этом является вычисление скейлинговых размерностей бесконечного семейства составных операторов, что представляет собой невероятно сложную задачу. Поэтому в качестве полигона при решении проблемы аномального скейлинга было предложено использовать более простую (но обладающую аналогичными свойствами) модель перемешивания пассивной примеси - так называемую модель Обухова-Крейчнана [3, 4].

В рамках этой модели в работе [5] было проведёно исследование структурных функций высокого порядка. Порядок функции рассматривался как большой параметр, в результате чего в рамках инстантонного похода был сделан вывод о существовании насыщения скейлинговой размерности структурных функций, что эквивалентно насыщению скейлинговых размерностей некоторого семейства составных операторов. Под насыщением понимается существование конечного пределе скейлинговых размерностей при стремлении к бесконечности N - номера оператора в семействе.

Проблема насыщения периодически освещается в литературе, например ей посвящена работа [6], где приводятся результаты численных экспериментов в модели Крейчнана в размерностях пространства 2 и 3.

Заметим однако, что двумерный случай модели Крейчнана принципиально отличается от случае ! > 2, а в трёхмерном случае авторам [6] удалось рассмотреть лишь случаи с N = 2, 4, 6, что явно недостаточно для уверенного заключения о существовании насыщения.

С другой стороны, в работе [5] не был проведён детальный анализ поправочных членов к ведущему приближению метода стационарной фазы и опущен вопрос их инфракрасной существенности. Поэтому нами была предпринята попытка исследования, по аналогии с работой [5], т. е. в рамках инстантонного подхода, скейлинго-вых размерностей наиболее инфракрасно существенных составных операторов методом квантово-полевой ренормгруппы. В результате показано, что инстантонный (метод

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ

© М. В. Назаренко, М. Ю. Налимов, 2009

стационарной фазы) подход к проблеме насыщения размерностей неприменим в инфракрасной области (где он использовался в работе [5]) и наталкивается на значительные сложности в ультрафиолетовой области, исследование которой необходимо для применения методов ренормгруппы.

Модель Крейчнана. Модель Крейчнана [4] описывает турбулентное перемешивание пассивной скалярной примеси, обозначаемой ф (х,£). Динамика примеси описывается уравнением

где дг = д/д - производная по времени, Vo - коэффициент диффузии, Д - оператор Лапласа, д - константа связи, дг = д/дхг - производные по координатам, V (х, £) - поле скорости, £ (х, £) - внешнее поле, подчиняющееся распределению Гаусса с нулевым средним и некоторой заданной парной корреляционной функцией.

Поле скоростей V (г, £) предполагается случайным, подчиняющимся распределению Гаусса с нулевым средним и коррелятором:

где д - константа связи, ! - размерность пространства, к - импульс, Р^

и (к) - операторы проектирования: (к) = к£кп/к2, Р^ (к) = — к£кп/к2;

а - параметр коррелятора, т - инфракрасный регуляризатор; £ - ультрафиолетовый регуляризатор, суммирование по повторяющимся значкам здесь и далее подразумевается.

В инерционной области т = 0, при этом (2) можно переписать в виде

Стохастическую задачу (1) можно рассматривать в рамках MSR-формализма [9]. При этом появляется дополнительное функциональное интегрирование по вспомогательному полю ф7. Ренормирование осуществляется введением лишь константы ренормировки ^м. Ренормированное действие имеет вид [7]:

здесь и далее тензорная свёртка и необходимые интегрирования подразумеваются.

Однако, как показано в работе [5], в MSR-переменных в данном случае инстантона не существует. Поэтому в работе [5] было предложено исследовать эту модель методом стационарной фазы в так называемых лагранжевых переменных.

дгф - VoДф + дді (уф) = £ (г, і),

Р£п (Хі,іі, Х2,І2) = ^ (хі ,іі) (Х2,І2)^

й^Р-?1 (х) = -Р— {сі - 1 + а + е) 5^ + є (а - 1):—— , є X2

где

21-ЕєГ

,л/2 Г (Я/О -4- с/94

Заметим, что Р регулярно по £ при £ ^ 0, т. е. Р|п (х) имеет по £ полюс первого порядка.

ф7Рр ф , уР 1V

5‘д = —---------\- ф (— <9(ф — дді (г’іф) + vZvAq>)-----^---

При этом функцию отклика в произвольном внешнем поле V (х, г) можно записать в виде

Для анализа аномального скейлинга необходимо рассматривать всевозможные составные операторы N -го порядка. Примером такого оператора с I производными является

где производные свёрнуты между собой некоторым образом. Записывая его в виде, аналогичном (3), получаем N -кратные интегралы по 01 и е1 с действием

После усреднения выражения с действием (4) по полю V получим интеграл с действием

и некоторым предэкспоненциальным множителем, зависящим от расстановки производных в изначально взятом составном операторе. Отметим, что при переходе от (4) к (5) константа ренормировки ^ сокращает расходимости, возникающие в (01 — е^

при г = j.

Заметим, что действие (5) совпадает с использованным в работе [5].

Инстантонный анализ. Приведем основные соотношения, полученные в работе [5]. При этом мы будем без потери общности считать, что го = 0.

Интересуясь константами ренормировки составных операторов, применим метод стационарной фазы к интегралу с действием (5). При этом, так как константы ренормировки не зависят от импульсов, можно вычислять рассматриваемые корреляционные функции в «симметричной точке» - считать, что все импульсы равны по модулю, компланарны и образуют правильный многоугольник. Заметим, что именно такая геометрия рассматривалась в работе [5], хотя там и не рассматривались константы ренормировки, а была сделана попытка найти асимптотики структурных функций. Уравнения стационарности данной модели имеют вид

С1 ()=Х1

С1(4о) = Хо

где М - нормировочный множитель:

С1 (£)=Х1

1

С1(4о) = Хо

^[<9ф(хо,го)]кф'(х1,г)ф'(х2,г)ф'(хз,г)...ф'(х^г)^,

N

N N

г=3

1=3

дтС + гд2^2

I

1=3

Их решение было найдено в [5] для случая, когда все е- и е- лежат в одной плоскости, использовались полярные координаты: е- ^ (с, фз), а е- ^ (с', фз), где ф3- = 2 (] — 1) п/М. Это решение определяется неявно из выражений

Гс^ скс I Гх ске

Уо \/аПхг + 2у Т Уд а/а_ОжЕ + 2у ’

0х дх (аВх£ + 2v) 1/2

Т у/а И с? (#) + 2т/,

где

1

£рЕ 3

3

2еДТГ(^И / 8+1 \

сТп Г

и регулярно при е ^ 0. Заметим, что при малых т имеем е?*

~ -Х|/ (2*Т).

Подстановка этого решения в действие (5) даёт

<?8‘ = — ( [ (1х

4Т \ У а/аИхЕ + 2\

\о /

В силу сказанного выше, это выражение не содержит полюсов по е и не даёт вклада в исследуемые константы ренормировки. Тем самым, константы ренормировки определяются флуктуационным интегралом.

Займёмся исследованием флуктуационного интеграла, используя стандартного разложение в виде однопетлевых диаграмм. Пропагаторы в этом случае определяются свободной теорией с действием

#о = v^2 с'2 — е|дте.

i=1 i=1

Для нахождения пропагаторов обратим ядро квадратичной формы с учётом нулевых граничных условий на поле 5е (в силу фиксированных граничных условий

на поле е). Введём обозначение ^8ф|? (т1) 5уп (т2^ = Siз5^СфУ (т1, Т2), где ф, ^ = с, с',

при этом пропагаторы имеют вид

^ , N |т1 — т21 т1 — т2 , т1т2

Ссс (XI, Т2 ) = V---------------- + У^Г“

? ? т 1

Осе’ (XI, Х2) = “© (Х1 “ х2)) +

Сс'с'

Вследствие галилеевой инвариантности ренормировки составного оператора (фN (х0, 40) ф' (х1,4) ... ф' (хп, 4)) в поперечном случае нет [8], однако вычисление с этими пропагаторами флуктуационного интеграла ведёт, как показано ниже, к появлению ультрафиолетовых расходимостей, причём всех порядков по е.

Традиционно флуктуационный интеграл представляется в виде однопетлевых диаграмм, в данном случае составленных из корреляторов скорости и приведённых выше пропагаторов. Среди этих диаграмм рассмотрим циклы составленные только из и Сс'с', т. е.

Д,

свёртка квадратичных форм подразумевается.

Здесь Сс'с' определяется в (11), (т3) — е^* (тк) ^ имеет полюс первого порядка

по е, и интегрирование по всем ^ ведётся от 0 до Т .В итоге, можно показать, что выражения типа (12) дают полюса по е всех порядков.

В чём причина такого поведения? Одной из причин появления этих новых расходимостей является неаналитичность рассматриваемого действия по полям. Обычно в методе стационарной фазы подразумевается аналитичность всех получаемых выражений около точки стационарности. В данном случае же рассматриваемое действие неаналитично по полям. В самом деле, рассмотрим разложение (е — е-) по полям 5е. Оно имеет вид

дкБу (е — е-) ^

дек

В точке стационарности действия каждая производная по е уменьшает степень е — е-?*, т. е. в ультрафиолетовой области степень переменной т, так как е?* (т3) « Х^т/Т при малых т. С другой стороны, появляющиеся при этом корреляторы (8е8е) и (8е8е') содержат слагаемые с т в первой и нулевой степени, соответственно. В итоге, рассмотрение производных (е — е-) порядка к > 1 ведёт к появлению ультрафиолетовых

расходимостей. Тем самым, конечны оказываются лишь выражения вида (13) с к =1.

Мы приходим к выводу, что в методе стационарной фазы надо требовать аккуратного учёта неаналитических вкладов. Поясним, что следует понимать в данном случае под неаналитическим вкладом. В соответствии со сказанным выше, в разложении члена е[Вь (е — е-) е- можно выделить три традиционных для метода стационарной фазы члена и неаналитический остаток:

где

с[Бу (е — е-) е- = 5с1 + 5$

й'с1 = с?А, (с?* - с?*) c'f + 5с(£>„ (С! - сл)8^ + с'ТЪВг' Ы

5е-

5е-5е-

С

55 = е{Ву (е1 — с -) с-

и

- с?£>„ (с?‘ - с?*) с? - 5с '£>„ (с! - сл)8с^ - ^

с.=с?г 5с)54

Заметим, что в 5е1 отсутствуют члены с производными Ву по с второго порядка и выше. Тем самым, 5е1 содержит традиционные для метода стационарной фазы члены, которые дают вклад во флуктуационный интеграл, а 55 представляет собой неаналитический остаток, неразложимый по вариациям полей. В связи с этим, мы будем учитывать 55 по стандартной квантово-полевой теории возмущений для интегралов такого рода.

Для построения обычной теории возмущений следует разложить функциональный интеграл от ехр(—5) по малому параметру д2/2 (5). Рассмотрим, например, получающуюся при этом поправку первого порядка Ц.:

с,(т)=Х,, с (т)=Х

и = J ОсО^Ос^с)с[Бу

с. (0)=с,(0)=0

где 5о - действие свободной теории в соответствии с (10). Используя равенство Ву (сх — с)) = / dxidxjdт5 (хх — сх) 5 (х) — с)) Ву (хх — X)), преобразуем (15) к виду

= J dxidxjdт J Ос'хОс)с'хВу (хх — X)) с) х

с. (т) X;, cj (т) = Xj с . (Т) = Х1, С1(т) = Х1

X J Ос\Ос)в~8° X J Ос\Ос)в-Б°.

[с I

Теперь можно явно взять интегралы по с^ и с^, где к = г,], получив, тем самым, выражение для поправки первого порядка обычной теории возмущений.

Применим подобную технику к неаналитическому остатку действия, т. е. к 55. При этом, множители типа 5с5с) дадут соответствующие корреляторы (5сх5с)} свободной теории. Заметим, что при этом обращается в нуль 3-е слагаемое в (14), так как

(5с;5с)}~5у.

Для доказательства существенности неаналитического вклада 55 достаточно оценить его в первом порядке обычной теории возмущений. Ему соответствует следующее аналитическое выражение.

(ххх)) Ву (хх — xj) — с/]) Ву (с?* — ^) +

c/stcst

+ (с?‘ - сГ) £

с1

где для краткости положено V = 1,

<Л = 1 рхп / х* + _ (Х1 ~ х0" + (Х.) _ Х.)Г

~~ г2+с1.(Т-Т)а I X Т-Х

и В'у (х) = дхВу (х). Напомним, что Ву(х) ~ жЕ/е.

Рассмотрим инфракрасную асимптотику и покажем существенность неаналитического остатка 55 в этом случае. В инфракрасном пределе мы имеем Хк ~ Т ^ ж. Будем использовать геометрию, рассмотренную при решении уравнений стационарности

(6) и (7), т. е. возьмём Хк = еь%/Т, к = i1 j, где все векторы еь лежат в одной плоскости, и вектор вк имеет в этой плоскости полярные координаты (е, ф^), ф^ = 2 (к — 1) п/Ы. Постараемся выделить явно во всех трёх слагаемых в (16) зависимость от Т и е. Мы собираемся показать, что в инфракрасном случае в (16) существенно только первое слагаемое, поэтому мы имеем право оценить ек* как ХкТ/т, а е'к* оценим по тем же причинам как — Хх/(2\Т) (см. (8)). Для явного выделения в (16) зависимости от Т в инфракрасном случае сделаем замены £ = т/Т, Кк = Хк/\/Щ", где к = i,j. При этом (16) перейдёт в

Т—d+е/2 г г т — 3— 2+е/2 р г

------- d,KidKj ф1пГ(К^)СЕ/2_1-------------------*1 dK.id.Kj <К,фп%Е-2-

где

Yinf =

(1 — СУ

• ехр

22 —к2 — к2 —

(ех - ^ - К;

XI =

2+е

2вш

СОЯ

*2 =

Сравним вклад от неаналитических членов - выражение (17) - с нулевым порядком теории возмущений, т. е. с ехр(2 |в|2)/Т3. Видно, что в выражении (17) два последних слагаемых являются несущественными из-за более низких степеней Т, а первое слагаемое более существенно, чем нулевой порядок, так как содержит дополнительное Те/2. Это оправдывает проведённую нами оценку ек* и е'к* сверху по модулю. В результате мы показали, что неаналитический остаток 55 является существенным в инфракрасном пределе А" ~ у/Т, Т ^ ж.

Займёмся теперь рассмотрением ультрафиолетового предела, т. е. рассмотрим выражение (16) при х —^ 0, Хг ~ \/т. Воспользуемся той же планарной геометрией, что и ранее. В рассматриваемом пределе ехр ^(Xi — х^2 + (Xj — Xj)2^ / (Т — т)^ и 1/ (Т — т)3 переходят в константы и выражение (16) становится пропорциональным

dxidxj dт

т2+3

(х^^-х/ (ЗД) К^-Х^т/Гр е 4 Т2 е

1

4

и

2

2

е

т

Xi-Xj

-------=4

T

E — 1

x

T

Первое слагаемое в квадратных скобках в (18) при ж* ~ х —> 0 ведёт себя как т1+е/2. Последние же два слагаемых ведут себя как те и отличаются множителем. Их сумма не обращается в нуль и тоже ведёт себя как те. Отсюда следует, что именно два последних слагаемых являются наиболее ультрафиолетово существенными. Тем самым, выражение (18) расходится при х —> 0, ж* = а/х. Значит, неаналитический остаток бй' является существенным и в ультрафиолетовом пределе.

Как результат в теории возмущений мы видим, что неаналитический является как инфракрасно, так и ультрафиолетово существенным, что невероятно затрудняет использование инстантонного подхода вместе с методом ренормгруппы и ставит под сомнение исследование инфракрасной области, проведённое в работе [5].

Заключение. В результате проделанного анализа мы приходим к выводу, что поправочные члены в методе инстантонного анализа, использованного в работе [5] инфракрасно существенны. Кроме того, использование инстантонного подхода с введением лагранжевых переменных в задаче о насыщении скейлинговых размерностей составных операторов приводит к значительным сложностям.

Статья [5] является, по сути, единственным обоснованием существования явления насыщения в модели Крейчнана. В результате наших исследований показано, что ин-стантонный анализ в модели Крейчнана в лагранжевых переменных, положенный в основу данной работы, приводит к необходимости аккуратного рассмотрения неаналитического - в смысле его вклада в пертурбативное вычисление флуктуационного интеграла - члена в разложении действия в окрестности точки стационарности. Показано, что данный член даёт инфракрасно существенный вклад во флуктуационный интеграл, что не было в полной мере учтено в [5].

Тем самым результаты [5] лишаются теоретического обоснования, и нами показано, что вопрос о существовании или несуществовании явления насыщения в модели Крейчнана (не говоря уже о конкретных значениях скейлинговых размерностей в этой модели) по-прежнему остаётся открытым. Также присутствие неаналитического вклада существенно усложняет исследование проблемы насыщения в модели Крейчнана методом ренормгруппы.

Литература

1. Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. СПб., 1998. 774 с.

2. Zinn-Justin J. Quantum field theory and critical phenomena. Oxford: University Press, 1989. 924 p.

3. Обухов А. М. К вопросу о геострофическом ветре // Изв. Акад. наук СССР. Сер.: Геогр. Геофиз. 1949. Т. 13. C. 281-306.

4. Kraichnan R. M. Small-scale structure of a scalar field convected by turbulence // Phys. fluids. 1968. Vol. 11. P. 945-953.

5. Chertkov M. Instanton for random advection // Phys. Rev. (E). 1997. Vol. 55. P. 2722-2735.

6. Celani A., Lanotte A., Mazzino A., Vergassola M. Universality and saturation of intermit-tency in passive scalar turbulence // arXiv:chao-dyn/9909038v1.

7. Adzemyan L. Ts., Antonov N. V. Renormalization group and anomalous scaling in a simple model of passive scalar advection in compressible flow // Phys. Rev. (E). 1998. Vol. 58. P. 7381-7396.

8. Антонов Н. В., Васильев А. Н. Критическая динамика как теория поля // Теор. мат. физика. 1984. Vol. 60. № 1. P. 59-71.

9. Martin P. C., Siggia E. D., Rose H. A. Statistical dynamics of classical systems // Phys. Rev. (A). 1973. Vol. 8. P. 423-437.

Принято к публикации 26 декабря 2008 г.