УЧЕБНЫЙ ПРИБОР ПО ТЕОРЕТИЧЕСКОЙ МЕХАНИКЕ

Полезная модель относится к учебным и наглядным пособиям по теоретической механике и может быть использована в учебном процессе вузов, а его конструктивно-компоновочная схема - при проектировании измерительных приборов маятникового типа.
Известен учебный прибор для демонстрации брахистохроне и таутохронных свойств циклоиды, который позволяет экспериментально продемонстрировать свойства циклоидальной траектории как траектории наибыстрейшего спуска массивного шарика в поле силы тяжести, так и свойство независимости от точки старта отсчета времени скатывания шарика по этой траектории (RU 2029990 C1; G09В 23/06 1995). Этот учебный прибор представляет собой основание с подставкой, на которую опирается наклонная плита с поворотными направляющими пластинами. В пластинах циклоидальные в виде полной арки циклоиды и нециклоидальные прорези - траектории для скатывания двух идентичных шариков. Возможность поворота плиты из наклонного положения в горизонтальное позволяет демонстрировать синфазные колебания шариков на циклоидальных траекториях, амплитуды колебания шариков при этом будут различны, а периоды колебаний равны. Размещение пластины с нециклоидальной траекторией в зазоре между циклоидальной пластиной и плитой, а также обеспечение возможности поворота пластины вокруг оси, по мнению авторов, позволяет продемонстрировать наибыстрейший спуск по циклоидальной траектории из общей точки старта до любой точки пересечения с нециклоидальной траекторией.
Недостатками данного учебного прибора являются:
Поскольку шарик, скатывающийся без проскальзывания по траектории в прорезях пластин, совершает плоское движение, состоящее из движения центра масс шарика в поле силы тяжести и вращательного движения относительно собственного центра масс, то закон вращательного движения, определяющий время спуска по траектории, будет существенно зависеть от его момента инерции и трения качения поверхности шарика о поверхность прорезей пластины. Это потребует для теоретического определения времени спуска и периода колебаний достаточно сложных экспериментальных и теоретических исследований.
Применение в качестве траектории «наибыстрейшего спуска» полной арки циклоиды не позволяет продемонстрировать в значительном диапазоне углов наклона пластины с нециклоидальной траекторией выигрыш во времени спуска по циклоидальной траектории, так как шарик, двигаясь на восходящей ветви арки циклоиды, из-за изменения направления действия вектора силы тяжести и наличия трения качения будет интенсивно тормозиться и остановится, не достигнув верхней точки восходящей ветви циклоиды, в то время как шарик, скатывающийся по нециклоидальной траектории (наклонной прямой, дуге окружности и т.д.), будет монотонно разгоняться и продемонстрирует меньшее время спуска.
В конструкции учебного прибора не предусмотрено устройство для регистрации времени спуска по различным траекториям и измерения периода синфазных колебаний шариков по двум идентичным аркам циклоидальных траекторий, а предусмотрено только качественное сравнение получаемых результатов.
Наиболее близким по технической сущности и достигаемому результату является учебный прибор для сравнения гармонического движения точки с колебаниями математического маятника (Лекционные демонстрации по физике./ Под ред. В.И. Ивероновой. - М.: Наука, 1972, см. стр. 150, рис. 3.16). В этом учебном приборе перед проекционным фонарем, приготовленном для теневой проекции, располагается установка для демонстрации гармонических колебаний, содержащая горизонтально вращающийся диск, на краю которого закреплен стерженек с шариком. Диск приводится во вращение электродвигателем снабженным указателем его оборотов. Над центром диска к верхней горизонтальной перекладине вертикально установленной рамы подвешен другой массивный шарик, являющийся математическим маятником, представляющим собой шарик на нерастяжимой гибкой нити с верхним шарнирным подвесом. Оба шарика проецируются в теневой проекции фонарем на экран. Диск приводится во вращение с помощью электродвигателя с частотой колебания математического маятника. Недостатками данного учебного прибора являются:
Траектория движения шарика математического маятника реализуется только в виде дуги окружности, что является причиной увеличения периода колебаний с увеличением амплитуды нелинейных колебаний.
- В учебном приборе отсутствует устройство для изменения формы траектории движения шарика маятника, поэтому учебный прибор не обеспечивает постоянство периода колебаний при любых значениях угла отклонения маятника относительно вертикальной оси подвеса.
Задачей, решаемой в предполагаемой полезной модели, является обеспечение демонстрации экспериментального превращения математического маятника, совершающего нелинейные амплитуднозависимые колебания при углах отклонения от состояния покоя более чем на 5°, в таутохронный маятник, совершающий гармонические линейные колебания с постоянным периодом колебаний во всем диапазоне углов отклонения маятника.
Сущность полезной модели заключается в том, что для демонстрации гармонических колебаний математического маятника при малых углах отклонения до 5°, содержащем: вертикально установленную раму с верхней горизонтальной перекладиной; гибкую нерастяжимую нить, одним концом соединенную с перекладиной, другим - с металлическим шариком; установленный в нижней части рамы, вращающейся от электродвигателя диск, с одной стороны которого перпендикулярно плоскости качания маятника установлен проекционный фонарь, а с другой параллельно плоскости качания - экран для теневой проекции, дополнительно в точке соединения нити маятника к перекладине шарнирно закреплены два фрагмента конической поверхности вращения, образующая которой циклоида, а направляющие - окружности. Фрагменты конической поверхности фиксируются относительно вертикальной оси рамы двумя подвесами, соединенными одним концом с нижней частью фрагментов, другим - с рамой и фиксатором в точке их крепления. Фрагменты поверхности в опущенном состоянии соприкасаются с гибкой нитью в процессе колебаний, а в поднятом - обеспечивают свободное движение математического маятника. Для измерения угла отклонения нити маятника на поверхности вращающегося диска нанесена шкала в виде концентрических окружностей, а в металлическом шарике установлен лазерный указатель, световое пятно от которого проецируется на шкалу. Основание рамы учебного прибора опирается на регулируемые опоры и снабжено круговым уровнем.
На фигуре 1 изображен учебный прибор, общий вид. На горизонтальном основании 1 с регулируемыми опорами 2 и круговым уровнем 3 вертикально установлена рама 4. В верхней части рамы размещена горизонтальная перекладина 5, по центру которой шарнирно подвешены математический маятник на гибкой нити 6 с металлическим шариком 7 на конце нити и два фрагмента 8 конической циклоидальной поверхности вращения, зафиксированные относительно рамы подвесами 9 со стопорами 10. На основании 1 установлен вращающийся от электродвигателя с указателем оборотов (на чертеже не показаны) диск 11, с нанесенной на поверхность шкалой 12 угловых отклонений нити 6 маятника, а на краю поверхности вращающегося диска 11 закреплен вертикальный стерженек с шариком 13 на конце. Во внутренней полости металлического шарика 7 маятника и соосно его нити 6 установлен лазерный указатель 14. На основании 1 прибора с одной стороны диска 11 расположен проекционный фонарь 15, а с другой - экран 16 для теневой проекции.
На предлагаемом учебном приборе обучаемые выполняют два эксперимента.
Первый эксперимент посвящен демонстрации и изучению свободных гармонических колебаний математического маятника при углах его отклонения от состояния покоя до 5-10°, и нелинейных колебаний при углах отклонения более 10°.
Перед началом эксперимента, используя регулируемые опоры 2, горизонтируется основание 1 по круговому уровню 3. Фрагменты 8 конической циклоидальной поверхности поднимаются посредством подвеса 9 за пределы угловых отклонений нити 6 математического маятника, фиксируются стопорами 10, и включается проектор 15, при этом оба шарика 7, 13 проецируются на экран 16. Диск 11 приводится во вращение с помощью электродвигателя с частотой, равной частоте колебаний математического маятника. Когда проекция шарика 13, укрепленного на диске 11, будет занимать при своем движении крайнее положение, отпускается отклоненный до заданного углового положения по шкале 12 металлический шарик 7 маятника. В этом случае на экране 16 наблюдается движение проекции двух шариков нижнего 13, соответствующее гармоническому движению, и верхнего 7, отображающего колебания математического маятника. При точной подгонке частот вращения диска и колебаний маятника движение теней двух шариков будет синхронным, а поскольку при любых начальных угловых отклонениях маятника от 0 до 10° частота колебаний практически не меняется, то делается вывод, что колебания математического маятника в этом диапазоне углов является линейными и гармоническими.
м
Период Т малых колебаний математического маятника вычисляется по известной формуле:
где: a - длина нити маятника;
g - ускорение свободного падения.
м
э
Теоретическое значение периода Т колебаний сравнивается с экспериментальным значением периода Т, вращения вала электродвигателя
где n - число оборотов двигателя в минуту.
0
0
На втором этапе первого эксперимента шарик 7 на нити 6 математического маятника последовательно отклоняется на углы (ϕ равные 15, 30, 45, 60, 75°. Регулированием оборотов электродвигателя добиваются синхронности колебаний проекций шариков 7, 14 на экране 17 и вычисляют период вращения вала электродвигателя по формуле (1), который будет расти с увеличением угла ϕ отклонения нити 6 маятника. Теоретическое значение периода нелинейных колебаний математического маятника вычисляется по зависимости (2)
Второй эксперимент посвящен демонстрации превращения математического маятника в таутохронный маятник с постоянным периодом колебаний, совершающий линейные гармонические колебания. Для этого фрагменты 8 конической циклоидальной поверхности опускаются до контакта в верхней части фрагментов с нитью 6 и фиксируются в этом положении стопорами 10. Задавая различные начальные угловые отклонения маятнику и подстраивая под частоту колебаний маятника частоту вращения электродвигателя с диском 11, убеждаются в постоянстве периода свободных линейных гармонических колебаний маятника во всем диапазоне углов отклонения, т.е. в его таутохронности.
В связи с тем, что нить 6 маятника в процессе колебаний огибает поверхность фрагмента 8 по циклоиде, то и траектория движения металлического шарика 7 также будет представлять собой циклоиду. У классического математического маятника металлический шарик 7 совершает движение по дуге окружности. Рассматривая одну четверть периода колебаний, как время движения материальной точки в поле силы тяжести по этим траекториям, делается дополнительный вывод о свойстве циклоидальной траектории как траектории наиболее быстрого спуска.