Математические методы решения задачи маршрутизации мелкопартионных перевозок

^ЖаучнО-Технические^ведомости^СПбГПуб'^20

УДК 338.2

В.М. Никоноров

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ МАРШРУТИЗАЦИИ

МЕЛКОПАРТИОННЫХ ПЕРЕВОЗОК

В Российской Федерации, как и в других странах, грузовой автомобильный транспорт является одной из крупнейших базовых отраслей хозяйства. В связи с этим особую важность приобретает задача соответствия грузового автомобильного транспорта предъявляемым требованиям. Он должен отвечать своему назначению, эффективно удовлетворять потребности в перевозках.

Внедрение математических методов для решения задачи маршрутизации мелкопартионных перевозок позволяет повысить научный уровень экономических решений и соответственно обеспечить сокращение транспортных затрат. Применение математических методов в сфере управления работой грузового автомобильного транспорта особенно актуально, так как важнейшие показатели перевозки - среднее расстояние перевозки и длительность перевозки - означают сочетание пространственных и временных факторов.

Учитывать партионность при оценке экономической эффективности работы грузового автотранспорта рекомендовал еще Л.В. Канторович [8]. Мелкопартионная перевозка - это доставка небольших партий продукции от одного производителя (продавца) одним транспортным средством конечному числу разных грузополучателей. На мелкопартионные перевозки приходится всего 2 % транспортной работы, при этом транспортные затраты составляют 32 % [7].

Особенности мелкопартионных перевозок:

- непостоянное обеспечение полной загрузки автотранспортного средства (АТС) на всем маршруте следования;

- повышение тарифов перевозчиками из-за неполной загрузки АТС;

- как правило, небольшие расстояния между получателями и небольшой километраж всей перевозки;

- необходимость повышенного внимания рабочих при комплектовании партий, трудоемкость погрузо-разгрузочных работ.

Данные особенности обусловливают высокую себестоимость мелкопартионных перевозок. Возможности снижения себестоимости мелкопартионных перевозок имеют следующее соотношение: если принять сокращение транспортных затрат за 100 %, то из них 25 % приходится на рациональный выбор маршрутов и 75 % - на оптимизацию структуры парка АТС [5].

Реальные условия планирования работы АТС таковы, что наибольшая свобода имеется в выборе маршрутов движения АТС, но не в выборе вида автомашины. Следовательно, одна из основных задач, которую надо решить для снижения себестоимости мелкопартионных перевозок, - задача маршрутизации (Vehicle Routing Problem, VRP). Задачу маршрутизации можно сформулировать так: необходимо заданным парком автомашин наиболее эффективно доставить груз от отправителя к получателям с учетом ограниченного времени работы автомашины, ее вместимости, скорости [6].

Целесообразному сокращению объемов транспортной работы, повышению эффективности использования мощностей способствует рационализация схем перевозок наиболее транспортоемкой продукции (уголь, металл, руда, нефть, лесные и хлебные грузы). Исходными данными для решения этой задачи служат объемы производства и потребления продукции, возможные способы и маршруты ее доставки и соответствующие им затраты на транспортировку. В результате определяется схема оптимального прикрепления потребителей к поставщикам, при которой потребности грузополучателей будут полностью удовлетворены с минимальными суммарными затратами на перевозку [8].

В данном случае эффективность означает передвижение автомашин по кратчайшим маршрутам. Следовательно, решение задачи обеспечивает минимальные транспортные за-

Экономико-математические методы и модели

траты при минимизации общей протяженности маршрутов.

Цель нашего исследования - классифицировать математические методы решения задачи маршрутизации и выявить наиболее перспективные методы.

Основные методы решения задачи маршрутизации для мелкопартионных перевозок:

- динамическое программирование;

- целочисленное линейное программирование;

- метод «ветвей и границ»;

- методы локальной оптимизации;

- методы случайного поиска;

- эвристические методы:

- теория расписаний;

- имитационное моделирование [6].

Число математических методов, используемых для решения задачи маршрутизации, по-

стоянно увеличивается. Время появления этих методов представлено в таблице.

Задача маршрутизации - это КР-полная задача. Для того чтобы найти точное решение задачи маршрутизации, придется перебрать все возможные решения и выбрать лучшее из них. Это означает, что время решения такой задачи возрастает по экспоненте в зависимости от числа получателей груза. Поэтому ныне известные методы, обеспечивающие точное решение задачи маршрутизации, применимы для решения задач небольшой размерности. Это является основанием для применения эвристических или приближенных алгоритмов решения задачи маршрутизации, методов локальной оптимизации, методов случайного поиска, теории расписаний, имитационного моделирования.

Перечень и время появления математических методов для решения задачи маршрутизации

Метод Кто и когда предложил

Методы, обеспечивающие получение оптимального решения

I. Динамическое программирование Р. Беллман, М. Хелд, Р. Карп

II. Целочисленное линейное программирование С. Миллер, А. Таккер, Р. Землин

III. Метод «ветвей и границ» Дж. Литтл, К. Мурти, Ф. Шапиро

Методы, обеспечивающие получение приближенного решения

I. Методы локальной оптимизации 1. Алгоритм инверсий G. Groes

II. Методы случайного поиска 1. Микрорайонирование клиентов 2. Ситуационное планирование Б.В. Семенов

III. Эвристические методы 1. Экономизирующий метод 2. Метод суммирования по столбцам 3. Выбор по кратчайшей связывающей сети 4. Метод «метлы» 5. Метод Рена - Холлидея Г. Кларк, Дж. Райт

IV. Теория расписаний Д.М. Орлов

V. Имитационное моделирование Л.Б. Миротин, А.Г. Гольдин, Б.П. Безель

^ЖаучнО-Технические^ведомости^СПбГПуб'^20^

Рассмотрим наиболее известные методы решения задачи маршрутизации.

Эффективность математических методов решения задачи маршрутизации принято оценивать, применяя в качестве оселка задачу коммивояжера. Это простейшая задача развозки, которая формулируется следующим образом: автомашине требуется доставить груз от одного отправителя п получателям, не заезжая при этом дважды к одному и тому же получателю. При этом пробег должен быть минимальный.

Методы, обеспечивающие получение оптимального решения

1. Методы динамического программирования. Методы динамического программирования для решения задачи коммивояжера применили Р. Беллман [2], М. Хелд и Р. Карп. Основная идея этого метода заключается в следующем. Весь процесс вычислений разбивается на п + 1 стадий, где п - общее количество пунктов доставки. На каждой стадии к рассматривается пункт, номер которого равен номеру стадии. Для каждой дуги, выходящей из этого пункта, подсчитывается оценка (функция состояния) _ 1, и из всех оценок выбирается та, которая имеет минимальное значение. Соответствующая выбранной дуге комбинация пунктов проверяется на выполнение условий:

1) в каждый пункт входит только одна дуга;

2) из каждого пункта выходит только одна дуга;

3) в полученном фрагменте маршрута доставки груза нет подциклов (участков, замкнутых на себя).

Если на данной стадии все дуги нарушают эти условия, то производится возврат на одну стадию назад и принятая на этой стадии дуга (к - 1) - ] игнорируется и выбирается следующая по оценке к _ 1) _ , > ^к _ 1) _ у дуга. Если условия не нарушены хотя бы для одной дуги, то производится переход на одну стадию вперед. Вычисления заканчиваются, когда достигнута п + 1 стадия.

2. Методы целочисленного программирования. Методы целочисленного программирования (ЦП) для решения задачи коммивояжера применили С. Миллер, А. Таккер и Р. Землин [18]. В задачах маршрутизации мы имеем дело с дискретными ресурсами: у нас конечное целое число автомашин, конечное целое число получате-

лей. Возникает система линейных ограничений в пространстве целочисленных переменных, и мы имеем дело с задачей ЦП. В конце 1970-х гг. считалось успехом решение задачи из 100 городов и 10 000 бинарных переменных (матрица кратчайших расстояний 100 х 100).

3. Метод «ветвей и границ». Использование метода «ветвей и границ» для решения задачи коммивояжера впервые описано в работе [10]. На каждом шаге все множество путей коммивояжера разбивается на два непересекающихся подмножества, и для каждого подмножества определяется нижняя граница решения. Одно подмножество путей образует пути, которые включают дугу (г - ]), а другое - пути, которые эту дугу не включают. В процессе решения строится «дерево» вариантов, имеющее в каждой вершине две ветви. Если соответствующий одной из ветвей «дерева» вариант обхода пунктов имеет длину пути не большую, чем нижняя граница любого из неразбитых подмножеств, то этот путь является оптимальным. Если какое-либо неразбитое подмножество имеет нижнюю границу меньшую, чем длина найденного пути, то полученное решение и его нижняя граница запоминаются, а решение продолжается с того подмножества, которое имеет минимальную нижнюю границу. Процесс вычислений продолжается, пока не будет найден путь, длина которого не превышает нижних границ неразбитых подмножеств, или пройдены все пути.

Методы, обеспечивающие получение приближенного решения

1. Эвристические методы. Основная идея метода Кларка - Райта (он же экономизирующий метод, он же метод «функции выгоды») [15] заключается в преобразовании начальной системы маршрутов таким образом, чтобы каждое отдельное преобразование давало наибольшее улучшение.

Г. Кларком и Дж. Райтом в качестве показателя улучшения маршрутов предложена экономия пробега. Предположим, у нас есть два получателя г и ], которым требуется доставить товар. Можно доставить товар либо двумя радиальными маршрутами, либо одним кольцевым (см. рисунок).

В первом случае общий пробег составит:

Ь1 = 2/0,. + 2/0, .

4

Экономико-математические методы и модели.

Радиальный и кольцевой маршруты

Во втором случае общий пробег составит:

Ы2 = /о, + /, + /о, .

Экономия (функция выгоды) при применении кольцевого маршрута вместо двух радиальных:

/

Когда мы решаем задачу развозки мелкопартионных грузов, имеем п получателей. Составляем систему из п радиальных маршрутов {0, ,, 0}, где , = (1, 2, 3, 4, ..., п). Система радиальных маршрутов удовлетворяет условиям задачи развозки, но содержит много мелких маршрутов. Эту систему преобразовываем, постепенно объединяя маршруты (превращая радиальные маршруты в кольцевые). Маршруты объединяем с учетом значений функции выгоды, стремясь к наибольшему сокращению длины маршрутов.

2. Методы случайного поиска. Заказ грузополучателя постоянно меняется, тем не менее грузоотправитель хочет работать в условиях стабильности. Заказ грузополучателя рассматривается как случайная величина, проводится статистическая обработка заказов по набранной статистике, выявляются закономерности. Затем производится микрорайонирование клиентов [3, 14] или ситуационное планирование [16].

Микрорайонирование клиентов предусматривает объединение в группы грузополучателей, имеющих близкие графики завоза груза и находящихся в одном микрорайоне. Территория микрорайона может быть ограничена либо квадратом с диагональю 5-6 км, либо сектором с вершиной в пункте дислокации поставщика.

Основной принцип ситуационного планирования - выделение базовых транспортных ситуаций, чередованием которых можно воспроизвести все исходное множество ситуаций.

3. Методы локальной оптимизации. Сущность методов локальной оптимизации: берется любое

допустимое решение задачи и затем путем достаточно простых преобразований делается попытка его улучшить.

Хорошо известен «алгоритм инверсий» [17]. В имеющемся маршруте заменяются два звена на два новых звена. Маршрут остается замкнутым. Причем фрагмент маршрута надо будет пройти в направлении, противоположном исходному (инвертировать). Если длина маршрута в результате этой операции уменьшится, операцией инверсии следует пытаться улучшить и полученный новый маршрут. И так до тех пор, пока эта операция не станет невозможной.

4. Методы теории расписаний. Задача маршрутизации автомобильного транспорта по своей математической сущности ближе всего именно к задачам теории расписаний [6]. Одной из первых работ, посвященных решению задачи маршрутизации с позиций теории расписаний, стала [13]. Ее автор предложил решение задачи поставок бетона посредством составления почасового графика.

Также в работе [11] предложен алгоритм приближенного решения задачи о часовых графиках доставки стройматериалов на стройки.

Описание задачи перевозок грузов как специальной задачи маршрутизации приводится в работе [9].

5. Имитационное моделирование. Перспектив -ным методом решения задач маршрутизации является имитационное моделирование.

Так, в работе [12] имитируется процесс составления оптимальных маршрутов автомобилей при перевозке крупнотоннажных контейнеров в транспортном узле.

В работе [4] рассмотрены вопросы составления имитационных моделей, моделирующих перевозку продуктов.

Вопросы имитационного моделирования производственно-транспортных систем раскрывает работа [1].

Применение метода имитационного моделирования для решения задачи развозки мелко-

^жаучно-техническиеведомостиСПбГПУ.б'.^О^^.Экономические.науки

партионных грузов обусловлено следующими факторами:

- сложная структура маршрутов и временных окон погрузки и разгрузки создают сложный объект моделирования;

- заказы получателей продукции постоянно меняются во времени и пространстве, меняются соответственно и маршруты развозки мелкопартионных грузов;

- необходимость исследования в динамике процесса функционирования системы развозки мелкопартионных грузов.

По результатам проведенного исследования можно сделать следующие выводы:

- предложено классификационное дерево математических методов решения задачи маршрутизации;

- методы, обеспечивающие получение оптимального решения, работают для задач малой размерности (до 75 в случае метода «ветвей и границ»);

- методы, обеспечивающие получение приближенного решения, дают субоптимальное решение;

- на практике мелкопартионные перевозки подразумевают развозку продукции в соответствии с ассортиментом и часовыми графиками поставки. Эти дополнительные условия усложняют объект исследования и снижают эффективность приведенных методов. Наиболее эффективными становятся эвристические методы, в частности метод Кларка - Райта;

- к сожалению, за рамками статьи остались достаточно интересные методы - генетический алгоритм, метод имитации отжига.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Безель, Е.П. Имитация на персональных компьютерах работы транспортно-производственных систем [Текст] / Е.П. Безель, Л.Б. Миротин, Т.Е. Су-лейменов. - М.: МАДИ, 1993. - 160 с.

2. Беллман, Р. Применение динамического программирования к задаче о коммивояжере [Текст] / Р. Беллман // Кибернетический сборник. - 1964. -Вып. 9. - С. 219-222.

3. Воркут, А.И. Транспортное обслуживание тор-гово-оптовых баз [Текст] / А.И. Воркут и др. - Киев: Техника, 1985. - 112 с.

4. Геронимус, Ю.В. Имитационное моделирование производственно-транспортной системы [Текст] / Ю.В. Геронимус // Основные методические положения применения имитационного моделирования в экономических исследованиях: сб. ст. / под ред. К.А. Багри-новского. - М.: ЦЭМИ АН СССР, 1988. - 220 с.

5. Говорущенко, Н.Я. Основы управления автомобильным транспортом [Текст] / Н.Я. Говорущенко. -Харьков: Вища шк., 1978. - 224 с.

6. Житков, В.А. Планирование автомобильных перевозок грузов мелкими партиями [Текст] / В.А. Житков. - М.: Транспорт, 1976. - 112 с.

7. Житков, В.А. Методы оперативного планирования грузовых автомобильных перевозок [Текст] /

B.А. Житков, К.В. Ким. - М.: Транспорт, 1984. - 213 с.

8. Канторович, Л.В. Проблемы эффективного использования и развития транспорта [Текст] / Л.В. Канторович. - М.: Наука, 1989. - 304 с.

9. Ким, С.В. Об одной задаче составления графика [Текст] / С.В. Ким, Г.А. Крайнов, Е.В. Сурменов // Экономика и математические методы. - 1976. - № 4. -

C. 768-772.

10. Литтл, Дж. Алгоритм решения задачи коммивояжера // Экономика и математические методы

[Текст] / Дж. Литтл и др. - 1965. - № 1. - С. 94-107.

11. Мартин, Э. Алгоритм приближенного решения задачи о часовых графиках [Текст] / Э. Мартин // Механизация учета, отчетности и вычислительных работ. - Вып. 2. - М.: Статистика, 1967. - С. 83-84.

12. Миротин, Л.Б. Моделирование работы автомобильного транспорта при перевозках крупнотоннажных контейнеров в транспортном узле [Текст] / Л.Б. Миротин, А.Г. Гольдин, Б.П. Безель. - М.: МАДИ, 1989. - 55 с.

13. Орлов, Д.М. Составление почасовых графиков поставок бетона с учетом минимизации простоев бетономешалок и автотранспорта [Текст] / Д.М. Орлов // Оперативное управление производством: тез. докл. -Л.: ЛДНТИ, 1968. - 36 с.

14. Семенов, Е.В. Составление на ЭВМ графика подачи автомашин под погрузку и доставку готовой продукции в торговую сеть с одновременным подбором оптимальных маршрутов [Текст] / Е.В. Семенов и др. // Тр. ВНИИМП. - 1970. - Вып. 27. - С. 212-215.

15. Clark, G. Sheduling of vehicles from a central depot to a number of delivery points [Text] / G. Clark, J. Wright // Operational Research Quarterly. - 1964. -Vol. 12, no. 4. - P. 568-581.

16. Evans, S.R. The impact of a decision-support system for vehicle routing in foodservice supply situation [Text] / S.R. Evans, J.P. Norback // Operational Research Quarterly. - 1985. - Vol. 36, no. 4. - Р. 467-472.

17. Groes, G. A Method for Solving Travelling Salesman Problems [Text] / G. Groes // Operations Research. -1958. - Vol. 6, no. 5. - Р. 791-812.

18. Miller, C.E. Integer programming formulation of travelling salesman problems [Text] / C.E. Miller, A.W. Tucker, R.A. Zemlin // J. Assoc. Comput. Mach. -1960. - No. 4. - P. 326-329.