Эффективное уравнение турбулентной диффузии в трещиновато-пористой среде

УДК 517.956.8

А.В. Зубкова, С.А. Саженков

Эффективное уравнение турбулентной диффузии в трещиновато-пористой среде*

A.V. Zubkova, S.A. Sazhenkov

Effective Equation of a Turbulent Diffusion in a Cracky-Porous Medium

Изучается уравнение переноса массы в трещиновато-пористой среде на микроскопическом уровне, т.е. на уровне пор. Проводится усреднение начально-краевой задачи для этого уравнения, как результат устанавливаются две модели, описывающие предельные эффективные режимы для различного вида конвекции.

Ключевые слова: конвекция-диффузия в пористых средах, метод усреднения, многомасштабные модели геофизики.

The mass transfer equation in a cracky-porous medium on a microscopic level, that is, on the pore level, is considered. The homogenization procedure for the initial-boundary value problem for this equation is worked out. As results, two essentially distinct effective regimes are established, depending on characters of turbulence of velocity distributions. Key words: convection-diffusion in porous media, homogenization, multi-scale geophysical models.

Постановка задачи. Рассматривается начально-краевая задача для уравнения переноса примеси в трещиновато-пористой среде с учетом молекулярной диффузии и большой по отношению к размерам трещин и пор скоростью переноса массы. Считается, что трещиноватопористая структура является периодической. Уравнение переноса примеси — это трехмерное линейное (по отношению к концентрации примеси) параболическое уравнение, зависящее от малого параметра. Малый параметр е — это отношение характерных размеров трещин и рассматриваемого трещиновато-пористого континуума в целом. Также е — это отношение характерных размеров пор и трещин. Отсюда, естественно, следует, что отношение характерных размеров пор и всего трещиновато-пористого континуума имеет порядок е 2.

В изучаемой задаче вектор скорости переноса массы задан. Тот факт, что вектор скорости является большим по отношению к размерам трещин и пор, выражается в том, что конвективное слагаемое в уравнении диффузии-конвекции представляет собой дробь с малым знаменателем ек, к = 1, 2. Периодичность структуры означает, что конвективное слагаемое — периодическая по пространственным переменным вектор-функция.

Сейчас приведем точную формулировку задачи, продолжим обсуждение ее физического смысла и сделаем замечания о новизне и значимости

* Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 10-01-00447 и Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 годы (контракт 02.740.11.0617).

получаемых результатов.

Задача D—C. В пространственно-временном цилиндре QT := Q х (0, T), где Q С R3 — ограниченная область с гладкой границей, T = const > 0, требуется отыскать распределение концентрации примеси u = u(x,t) в несущем фильтрующемся через трещиновато-пористую среду потоке, удовлетворяющее уравнению диффузии-конвекции

uf + ^аЕ  Vxue = DqAxu£,

начальным данным

ue|t=o = u0

и однородному граничному условию ue |an = 0.

В постановке задачи Do — заданный постоянный положительный коэффициент молекулярной диффузии; £ — положительный малый параметр, смысл которого пояснен выше, перед формулировкой задачи D—С; —rdf — вектор скорости

£

фильтрации, в котором

£ £2

где а(х, у, г) — заданная гладкая (скажем, из класса С1 по совокупности переменных) вектор-функция, являющаяся 1-периодической по переменным у и У, удовлетворяющая условиям соле-ноидальности

divxa = div„a = divza = 0

и условию однородности среднего значения по переменной У на периоде Z = (0,1)3:

j a(x, y, Z) dz = 0.

Показатель степени k равен 1 или 2 в зависимости от масштаба турбулентности. С физической точки зрения, при k = 1 имеем большие колебания поля скоростей на уровне трещин, в то время как на уровне пор движение происходит в относительно регулярном режиме. При k = 2 существенно турбулентный режим возникает уже на уровне пор.

Для того чтобы сформулировать понятие обобщенного решения и результат о корректности задачи D-C, введем определения пространств обобщенных функций согласно [1].

Через V2(Qt) обозначим банахово пространство, состоящее из элементов соболевского пространства финитных на границе dQ функций из W20’1(Qt), имеющих конечную норму

0<t<T

Через V20,1(Qt) обозначим подпространство V2(Qt), состоящее из функций, имеющих значения на сечениях Q х {t} в смысле следов из подпространства L2(Q), и при этом отображения t ^ u(^,t) являются непрерывными отображениями отрезка [0, T] в пространство L2(Q).

Определение 1 Обобщенным решением ue = ue(x, t) задачи D-C называется функция из пространства V20i1(Qt), удовлетворяющая интегральному равенству

/ D0Vxue • V^ dxdt+

Qt

Н—^ J (ае  Vхие)Ф dx dt =

Qt

= / dxd

Qt ^

при любых Ф € C 1(Qt), обращающихся в нуль в окрестности сечения {t = T} и границы dQ.

Согласно известной теории начально-краевых задач для линейных параболических уравнений 2-го порядка [1] справедливо следующее

Утверждение 1 (Разрешимость задачи D— C. Равномерные оценки). При любом фиксированном £ > 0, при любой заданной функции u(x,0) = u0(x), удовлетворяющей оценке (2), задача D-C имеет единственное обобщенное решение ue(x, t).

Более того, это решение подчиняется следующим равномерным по е оценкам:

1. имеет место принцип максимума

0 < ме

2. имеет место энергетическое неравенство

где с* и ст — это константы, не зависящие от е.

Утверждение 1 констатирует корректность задачи о переносе массы на микроскопическом уровне, т.е. на уровне, на котором различаются в пространстве отдельные поры и трещины. С практической точки зрения этот результат не является удовлетворительным, поскольку размеры пор и трещин весьма малы по сравнению с размерами, которые имеют интерес в технологических процессах. С точки зрения технологических процессов, невозможно адекватное численное моделирование на микро- или мезоскопических уровнях даже на суперкомпьютерах, потому что размеры пор и трещин измеряются в милли-, микро-и нанометрах (см., например: [2, р. 2.4.2]), а размеры трещиновато-пористых сред, как то: подземных углеводородных пластов, артезианских бассейнов — имеют размеры порядка сотен метров и километров.

В связи с этим наблюдением нами рассматривается и решается следующий вопрос: «Каким является предельный режим, возникающий в задаче Б-С при стремлении е к нулю?».

Это означает, что решается задача гомогенизации, иными словами, задача нахождения эффективных механических характеристик, описывающих изучаемый континуум на макроскопическом масштабе.

Точные результаты гомогенизации для задачи Б-С будут сформулированы далее.

Отметим, что уравнения вида (1) давно вызывают интерес специалистов в области математической физики и, в частности, в теории усреднения. Данное исследование является продолжением работ Вейнана [3] и Маклафлина, Папаниколау и Пиранно [4], в которых изучаются уравнение типа (1) с конвективным членом -а (х, — ] и задача

ее

гомогенизации для такого уравнения. Работы [3] и [4] хорошо согласуются с теорией фильтрации на двух масштабах, с физической точки зрения на масштабах пор и всего континуума. Задача гомогенизации в них решена, т. е. построены предельные уравнения, описывающие поведение эффективной концентрации и = Иш и£. Для исследования применены метод формальных асимптотических разложений [5] и метод многомасштабной сходимости Аллера-Бриана [6]. Также стоит

отметить статьи Аллера, Панкратовой и Пятницкого [7] и [8]. В них метод ф.а.р. применяется к уравнению вида (1) с к = 1 и а, не зависящим от г, при том, что условия соленоидальности поля скорости и равенства нулю среднего значения поля скоростей на микроскопическом масштабе не накладываются. Получен ряд качественных результатов, в том числе выведены уравнения для главного члена асимптотического разложения.

В нашем исследовании одновременно использовались методы ф.а.р. и многомасштабной сходимости Аллера-Бриана. В итоге получены две гомогенные модели, существенно различные при к = 1 и к = 2.

Случай к=1. Результат в случае к = 1 достигается приложением метода Аллера-Бриана, изложенного в работе [6], посвященной исследованиям многомасштабных моделей. В теории Аллера-Бриана имеет место следующая [6, следствие 3.4]

Лемма 1 Для любых ф Є Ср отображений

'ТО

рег

1 г ( X X \ / X

_иі_

г = 1,2,3, равномерно по е ограничено в Н 1(0).

Как обычно, через Н-1(^) обозначается сопряженное к Нд(П) пространство функционалов.

При любой достаточно гладкой функции ф из леммы 1 следует, что

—аєиє  '\7хфс1,х(й

є

<

< є

И-1

< єСіС2І^хф||С ^ 0.

є—0

В силу этого предельного соотношения немедленно выводим, что эффективное распределение концентрации и* = следующей задачи.

Задача А. Требуется найти и* € У20,1^т), удовлетворяющую уравнению

- Ііт п£ служит решением

£—— 0

^0,1/

п* = ДоДжи*, начальным и граничным условиям

п

|і=о = п (X), п*|эп = 0.

Задача А — это начально-краевая задача для линейного уравнения теплопроводности с постоянными коэффициентами. Ее корректность утверждается классической теорией уравнений математической физики.

Завершая этот параграф, сделаем очевидное наблюдение: в случае к = 1 доминирует диффузионный процесс, конвективные члены отсутствуют.

Случай к=2. Формулировка результата. Приступим к изучению случая к = 2, который весьма нетривиален. Для этого воспользуемся методом формальных асимптотических разложений, описанным в книге Бенсуссана, Лионса, Папаниколау [5]. Рассмотрим иЕ в виде:

є є2

є є2

є є2

+ Є2М(2) +є3и^ (х,-,^,і) +

є є2

+ є4гД4)

семейство

є є2

где п, п(і) — 1-периодические по у, У

Самый важный результат работы — это

Теорема 1 Главный член п формального асимптотического разложения (12) является решением задачи Б.

Задача Б. Требуется найти усреднённое (эффективное) распределение концентраций п = п(Х, £), удовлетворяющее эффективному уравнению баланса массы

п + ги • Ухп — ДоДхп + А : У^п = 0

с краевыми и начальными условиями

п|4=о = п0

Здесь (Д0! — А) — матрица диффузии; А^ =

а*и(1) ) — коэффициент турбулентной диф-

7 / У

фузии; тк = ( а

скоростей.

(1)'

дхі

эффективное поле

У х2

— поле скоростей на микроскопическом уровне. Оно находится из задачи на ячейке С, которая вводится ниже посредством формул (35)— (37).

Следующее утверждение устанавливает корректность задачи Б.

Теорема 2 Матрица диффузии = Д01 — А(х) является строго положительно определенной с гладкими компонентами. И компоненты вектора эффективной скорости конвекции и (X) также гладкие.

Соответственно, задача Б является корректной начально-краевой задачей для линейного уравнения конвекции-диффузии с гладкими коэф-

п

1

п

2

є

Случай к=2.

теорем 1 и 2. Обозначим

Доказательство

А£ - "БТ + Е ( ----------°°

1 8 л 82 \

°Щ)'

Приравнивая соответствующие коэффициенты при степенях е, получим иерархическую систему уравнений

4 : а • У^и = и;

В силу формулы взятия производной сложной функции справедливы тождества

9х.

9 19

дхН £ дуг

1 9 л,-,^ _ _ ,

+ ^Г

х ^ У = “,2

' • (Ууи + У2и(1)) =

= ^оУ2 •

' • (ужи + Ууи(1) + У2и(2)) =

= ^оУу • (Ууи + У2и(1)) +

+ ^оУ2 •

92 / . х X \

^гФг • •/]

- 1 д2 \9ж2 ^ £ дх^дуг

1 92 1 92 1 92

+ е2 ду2 + е2 дхгдгг + е3 дугдг^ 1 92

х _+ У= -,2

Ввиду этих выражений можем представить оператор Ае следующим образом:

Ае = е 4А + е 3А + е 2Аз + е 1^4 + А5,

где

А1

А =

Е

г=1

3

Е

8 п 82

аг~\-------^0 Т“2

9г 9г2

1

д д2

аи^ ^о~л т;

9у 9уг9гг

Аз = Е

9 ( 92 92

аг~----------^О | +

' 9х,-

А4 = А5 =

“Е СС

9у2 9х*9г*

92

9х* 9у*’

_э___г, а2

а* 2^*=1-^оЭж2 •

С учетом представлений (12) и (19)—(23) уравнение (1) примет вид:

е-4А1и + е-3(А2 и + А1и(1)) + е-2(А3и+

+ А2и(1) + А1 и(2)) + е-1(А4 и + А3и(1) +

+ А2 и(2) + А1и(3)) + (А5 и + А4и(1) +

+ А3и

е-1 : а • (Ухи(1) + Ууи(2) + У2и(3)) =

= ^оУу • (у*и + Ууи(1)) +

+ £оУ2 •

+^(у,„(2> + у„ »(3> + у и(4>) =

= ^оАжи + ^оУу • (ужи(1) + Ууи(2)) +

+ ДоУ2 •

ек (к > 1) : ....

Рассмотрим уравнение (25), где X и у — параметры:

а

и — 1-периодическая по г.

Это эллиптическое уравнение в силу классического результата теории эллиптических уравнений [9, гл. III, §1, т. 1.3] имеет единственное решение и = и(Х, у, £).

Выберем и(1) в виде

и(1)(х, у, г, t) =

Еик1)

х,у,г)^и^^'^ +й

к=1

Тогда из (26) следует

9ук

9и

3 9ик1) 9и

г=1

9у* ^ 9^* 9ук

к=1

п А 9 / 9и Л 9и(1) 9и = 0о1^я7. \ я^ + 2^

1 9г* 9у* ^ 9^* 9ук

3

е

3

е

ее

2

е

е

е

е

3

3

Это равенство можно переписать в эквивалентном виде

I - 9м

ду.

а>е

дг?

.

Оно гарантированно будет выполняться при

любых значениях и в том случае, если функции

, и2 и и служат решениями уравнений

Л Л

/ , 0,і I (5іД; Н------

і=і V

ду-

3 д2и

1

ду2 ’

к = 1, 2, 3.

Следуя стандартной в теории гомогенизации процедуре, сформулируем проблемы отыскания функций и/(1) (к = 1, 2, 3) в виде задач на ячейке. Задача С.

ай + а •У= А>Дг1^, к = 1, 2, 3,

Ц1 — 1-периодическая по У,

V

то получим

J п(1) + Азп) йУ =

Е1 дп ^—л

аі яг + Е

к=1

9Е^1} 9м

дуг дук

+

д2п дЦ/ (1)\

+

дукду* ду

Имеем

ду2 к= дуД ду дуй

дп дп

а*— = (а*)г — = О,

д X і д X і

с дї7 ^ , х дї7

уа,-,Ь = Ыг- = 0,

йУ = 0.

дуД ду дук

0.

^и(1^ =0. (37) Следовательно,

Согласно теореме [9, гл. III, §1, т. 1.3] мы можем утверждать следующее.

Лемма 2 Задача (35)-(37) имеет единственное решение и(1) € С2+“(^).

Подставим выражение (31) в (27), получим

дп

ЕЧГ+Е

=1

ди{к1] ди дуг дук

д2п

ду ду

+

дії(1) дп(2) \

+ --------+

дуі

9м

дуД ду* ду ду к )

д / дп дп(2) \

^ 9у V дхі 9у В терминах А':

А2п(1) + Азп = —А1п(2).

Интегрируем по У Так как

Е^оЙ+Е

дї^ \ дп сч^А- ) —+

і= 1

ду2 к^\ ду* /г ду к

д 2 г

=1

Лемма 3 Уравнение (41) имеет эллиптический тип.

Доказательство. Рассмотрим

А? = ^0% — (.

Из (35) следует J (ак + а • У ї(1)) фйУ+

+ ї(1) • V*фйУ =0,

где ф — 1-периодическая по У. Возьмем ф := и7(1). Получим

А1п(2) йУ

(а*!'(1)^ = — |(а • V*їГ))' йУ—

3 х дп(2) ^ д2п(2)\ ^

сц—--------_Ро ^ 0 I аг = 0,

£

г=1

ду*

ду2

— !*(1) •У^ ' йУ

3

3

3

3

Тогда

а' = £0^- + а • у* и(1)и(1) йУ+

+ ^У* їі1) •У* ' йУ.

Возьмем У Є М 3. Имеет место цепочка равенств

3

Е А1 е* е- =

*,'=1 3 г

= £0|У|2 + Е а •у* (ї^е*) (ї'1' йУ+

*'=1 2

3 Г

+ Е / ^У* (ї^е*) •У* 'Є-) йУ =

*'=1 г

3 2

£0ІУІ2 + Е /(а•у*ф)фйу+

*,-=1 г

в которой обозначено Ф := ^ І^Єа и учтено

что

к=1

J(в • УгФ)Ф <іУ = J в • ^г~2~ ^ =

Г Ф

= - (с!іужа)— = 0,

г

J £0|У*Ф|2 йУ > 0.

Следовательно, А1 > 0.

В силу 1-периодичности п по У задача (41) имеет единственное решение [9, гл. III, §1, т. 1.3]

Тогда

п = п(х, і).

(X, у, У, і) = І(1)(х, у).

Выберем п(2) в виде:

-(2)(ж,у,У,і) = ^2/и^\х,у,х) (ди^^ + а

дї

к=1

V дxk

+

дук

+ г/

Тогда из (27) следует

" ' 9м дйЫ

дуг

Е/ дп

аі 7^ +

*=1

дxi

3

- +

д№\

к=1

^ П д2ї(2^ дп дї(1Л

° + /

Л / 9м 9гу(1Л / 9[/^2)'

§ (ЗЇГ + ) “• Г“+

где к=1,2,3.

Последнее равенство гарантированно выполняется при каждом к = 1, 2,3, если и(2) — решение системы

ак + а • У2и

ик — 1-периодическая по У,

и^) ^ = 0.

Система (47)—(49) является задачей на ячейке 2. Она точно совпадает с задачей на ячейке С. Подставим (43) и (44) в (28):

]Г а. (+ дик]

дп дії,

*,к=1

дxi

ду*

9жй + дук

+

і ^(2)^2^1} | дй{2) | ^(3Л

й дукдуі дуі 9 у \

Лп (д2ї(1) 3

ЕМ ^2 + Е

*=1

к=1

ду \ ду*

+

+

дй™'

\ и^)дУх і Эм

дxk V

дук у к дукду* ду

В терминах операторов А- (см. формулу (18)): А2п(2) + А3п(1) = —А1п(3) — А4п. (51) Так как

А1п(3) йУ

3 х дп(3) ^ д2п(3)\ ^

я?;—-------------_Ро ^ 0 I аг = 0,

£

*=1

ду-

ду2

3

А4п йу йУ

3 д2п

_Оо ^— с],у с],г = О,

*=1

дхідуі

J ! А4п(1) йуйУ

3 д21/

?>г*г*#Л_0 «*>

то

J(А2п(2) + А3п(1)) йУ = 0.

С учетом того, что Г дії

дxi

і' дії(2) ^ Л аг= а, ——------= О,

ду*

9м ас/,

ду* \ ду* \ дxk дук

д11{2) д2и{к1]

к к (1г = 0.

йУ = 0,

ду* дук ду*

имеем

3

ЕМ

,к=1

д2и

+ (

дї

ду* /г Vдxk

дп

+

дІ (1Л / (2) \ д2І(1)'

+ дуй ) + \ к /г дукдуі

= 0.

Матрица

Л27' = Яойд -

строго положительно определена согласно преды-

дущим рассуждениям, так как уравнение для и^ тт

такое же, как для и^ .

Следовательно, в силу 1-периодичности и

по у

и (1)(х, У) = и (1)(х).

Значит,

n(1)(X, у, у, і) = і/(1)(X),

<9гі(4) 1 дг*

получим

д2п

А) ^2 ^

J ^ ^А3п

Е

*=1

дп

в»,—--------ио [ —^—Ь ——-— ] +

дx*

+ М( — -^0 7^2"

ду2 дхідг.

д2п

йУ йУ = 0,

дx* дxk

дxkдxi

дІ

+ -----О о—о—^-------Оі

дx*

п д2їк2) дп п д2п

- В о» » — + й4 - А)тг^

дx*дz* дxk

ду2 дxk ду2

йУ йУ = 0.

дx2

Так как

дї1

‘^йг * = У у

У 2 У 2

йУ йУ = 0,

п д2ік2) дп До а 2 а— ^ ^ = °> ду* дxk

д2їк(2) дп

-Оп ——^^----<Іг = О,

дx*дz* дxk

к=1

9хк

Из (29), с учетом того, что

J ! А^и(3) ^У =

У 2

то окончательно выводим

дп дї

дxk

+ (а,V?'

дxг / дxk дx.

/ Ух2

*к

д2п

У х2

+

3

Е

*=1

дп

ві~ -Ос

ду*

ду*ду*

йУ йУ = 0,

+ М*_-С,0^2^0’

т.е. искомое уравнение (13). Этим мы завершаем доказательство теорем 1 и 2.

и

а

а

Библиографический список

1. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. — М., 1973.

2. Bear J. Dynamics of Fluids in Porous Media.

— New York, 1988.

3. Weinan E. Homogenization of linear and nonlinear transport equations, Communications in Pure and Applied Mathematics // Comm. on Pure and Appl. Math. — 1992. — 45.

4. McLaughlin D.W., Papanicolaou G. C., and Pironneau O.R. Convection of microstructure and related problems // SIAM J. Appl. Math. — 1985.

— 45.

5. Bensoussan A., Lions J.-L., Papanicolaou G. Asymptotic analysis of periodic structures. — NH, 1978.

6. G. Allaire, M. Briane Multiscale convergence and reiterated homogenisation // Proc. R. Soc. Edinb. — 1996. — 126A.

7. I. Pankratova, A. Piatnitski Homogenization of convection-diffusion equation in infinite cylinder // Networks and Heterogeneous Media. — 2011. — 6 (1).

8. G. Allaire, I. Pankratova, A. Piatnitski Homogenization and concentration for a diffusion equation with large convection in a bounded domain // to appear in Journal of Functional Analysis. Internal report, CMAP, Ecole Polytechnique. — May, 2011. — n. 713.

9. Ладыженская О. А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. — М., 1973.