Деформация капли феррожидкости, лежащей на жидкой подложке, в однородном вертикальном магнитном поле

Конвективные течения..., 2015

ДЕФОРМАЦИЯ КАПЛИ ФЕРРОЖИДКОСТИ, ЛЕЖАЩЕЙ НА ЖИДКОЙ ПОДЛОЖКЕ,

В ОДНОРОДНОМ ВЕРТИКАЛЬНОМ МАГНИТНОМ ПОЛЕ

К. А. Бушуева, К.Г. Костарев, А.И. Шмырова

Институт механики сплошных сред УрО РАН, 614013, г. Пермь, Акад. Королева, 1

Экспериментально исследована деформация капли магнитной жидкости на жидкой подложке под действием вертикального магнитного поля. Показано, что с ростом напряженности поля капля вытягивается вдоль его направления. При достижении пороговых значений напряженности межфазная и свободная поверхности капли становятся неустойчивыми, что приводит к формированию пиков различной высоты. Обнаружено, что отношение соответствующих критических значений магнитной индукции определяется только отношением величин поверхностного натяжения на межфазной и свободной границах капли.

Ключевые слова: жидкая подложка, капля магнитной жидкости, феррожидкость, магнитное поле, поверхностное натяжение, неустойчивость поверхности.

ВВЕДЕНИЕ

В феррогидродинамике особую роль играют задачи о равновесных фигурах, вид которых определяется балансом магнитных сил и поверхностного натяжения [1]. В первую очередь к числу подобных задач относится описание эволюции формы капли феррожидкости, взвешенной в немагнитной среде и находящейся под действием внешнего магнитного поля [2]. Основной формой такой капли является эллипсоид, удлиняющийся вдоль поля с ростом его

© Бушуева К.А., Костарев К.Г., Шмырова А.И., 2015

Конвективные течения..., 2015

напряженности, в то время как поверхностное натяжение стремится сохранить сферический вид капли [3].

Для характеристики деформации взвешенных капель, как правило, используется соотношение полуосей эллипсоида. В качестве примера приведем исследование деформации микрокапель концентрированной фазы ферроколлоида в продольном магнитном поле, в ходе которого было показано, что это соотношение испытывает скачок при некотором критическом значении напряженности поля [4]. Причиной наблюдаемого явления служит большая магнитная проницаемость подобных капель.

В значительно меньшем числе исследований капля магнитной жидкости находилась на свободной границе несмешивающейся с ней жидкости, принимая более сложную, чем классический эллипсоид, форму. В частности, в [5] были изучены форма и движение капли магнитной жидкости на жидкой подложке во вращающемся магнитном поле. В качестве граничных условий для межфазной границы «жидкость - жидкость» рассматривалась непрерывность тангенциальных напряжений для капли, полупогруженной в жидкость подложки. Авторы не исследовали неустойчивость межфазной поверхности капли, приводящую к формированию пика, но отмечали, что это явление может повлиять на скорость перемещения капли по поверхности подложки.

При исследовании деформации капли магнитной жидкости, взвешенной в немагнитной жидкости, неизбежно возникает вопрос о величине межфазного поверхностного натяжения, которое в большинстве случаев определяется методом отрыва капли [2, 6]. Поверхностное натяжение микрокапельных агрегатов определяется по известным значениям диаметра капель и критическим значениям напряженности скачкообразного изменения их формы [4].

В [7] обнаружено, что поверхностное натяжение межфазной границы взвешенной капли магнитной жидкости, определяемое путем сопоставления смоделированной формы капли с экспериментальными данными, увеличивается с ростом напряженности приложенного магнитного поля. Показано, что при напряженностях поля свыше 12 кА/м наблюдается отклонение рассчитанной формы капли от экспериментальной ввиду того, что коэффициент поверхностного натяжения является функцией напряженности магнитного поля. Зависимость поверхностного натяжения от индукции магнитного поля позднее была подтверждена экспериментально - методом отрыва кольца [8].

144

Бушуева К.А., Костарев К.Г., Шмырова А.И. Деформация капли

Распад горизонтального слоя феррожидкости, расположенного на жидкой подложке, и особенности формирования упорядоченной системы капель под действием вертикального однородного магнитного поля были экспериментально изучены в работе [9]. Обнаружено, что возникавшие капли имели вид конусов, погруженных в жидкость подложки, с полусферической поверхностью на границе с воздухом. Количество капель определялось скоростью нарастания напряженности поля. При дальнейшем увеличении напряженности капли продолжали вытягиваться вдоль поля, причем их свободная поверхность пороговым образом также приобретала вид конусов. Показано, что значение критической напряженности для свободной поверхности капель зависит от их диаметра.

В данной работе для уточнения обнаруженных зависимостей формы капли от напряженности поля мы исследовали поведение отдельной капли как единичного элемента структуры, возникающей при распаде слоя феррожидкости.

1. МЕТОДИКА ЭКСПЕРИМЕНТА

В эксперименте использованы две феррожидкости на основе керосина, обладающие равной плотностью, но различной начальной магнитной восприимчивостью (р12 = 1.4 г/см3, %01 = 7.0,

С02 = 2.0, MS1 = 50 кА/м, MS2 = 36 кА/м), обозначенные далее как ФЖ № 1 и ФЖ № 2. Капля феррожидкости располагалась на жидкой подложке из перфтороктана C8F18 (р0 = 1.76 г/см3).

В качестве рабочей полости выбрана невысокая стеклянная кювета квадратного сечения со стороной D = 59 мм (рис.1). В ходе опыта кювета (2) помещалась на горизонтальную площадку между двумя катушками Гельмгольца диаметром 180 мм (1). Ось кюветы совпадала с осью катушек. Кювета заполнялась перфтороктаном (3). Измерение массы последнего и, соответственно, толщины его слоя в кювете проводилось путем взвешивания на электронных весах типа AnD EK 610i шприца с перфтороктаном до и после заливки в кювету (точность измерения 0.01 г).

Капля феррожидкости (4) помещалась на поверхность жидкой подложки с помощью механического дозатора Biohit Proline, позволяющего задавать ее объем V0 от 5 до 50 мкл с точностью 0.1 мкл. Капли большего размера создавались с помощью шприца с определением их объема путем взвешивания. Начальный диаметр капли, определенный как d0 = (6V0 / р)1/3, варьировался от 2.5 до

145

Конвективные течения..., 2015

8 мм. Напряженность H магнитного поля, создаваемого катушками, регулировалась с помощью стабилизированного источника питания GPR-7550 D. В ходе опыта сила тока, протекающего по катушкам, медленно увеличивалась - небольшими ступенями с выдержкой каждого значения тока в течение некоторого промежутка времени - для достижения квазистационарной формы капли. Изображение капли регистрировалось видеокамерами, установленными сверху и сбоку от кюветы (5, 6).

Все опыты выполнены при температуре окружающей среды (293 ± 1)K.

Рис. 1. Схема экспериментальной установки: 1 - катушки Г ельмгольца, 2 - кювета, 3 - жидкая подложка (перфтороктан), 4 - капля феррожидкости, 5, 6 - видеокамеры

2. РЕЗУЛЬТАТЫ

На рис.2 приведена серия фотографий, отражающих эволюцию формы капли феррожидкости в вертикальном однородном магнитном поле. В отсутствие магнитного поля капля имеет вид двух вертикальных осесимметричных полуэллипсоидов разной высоты, состыкованных в плоскости соприкосновения жидкой подложки и

146

Бушуева К.А., Костарев К.Г., Шмырова А.И. Деформация капли

воздуха, при этом больший эллипсоид погружен в жидкость подложки, в то время как меньший контактирует с воздухом (рис.2а).

При постепенном наращивании напряженности магнитного поля нижняя часть капли удлиняется до тех пор, пока поле не достигнет критического значения И* (рис.2б), после чего на межфазной поверхности капли появляется пик (рис.2в). При дальнейшем повышении напряженности высота пика увеличивается, и погруженная часть капли постепенно принимает форму конуса, который вытягивается вдоль поля (рис.2г). При следующем критическом значении напряженности И* свободная поверхность капли также испытывает неустойчивость, выраженную в формировании пика феррожидкости, обращенного вверх (рис.2д-е). При снижении напряженности изменение формы капли происходит в обратном порядке, причем исчезновение пиков наблюдается при меньших значениях напряженности.

г

в

д

е

Рис.2. Изменение формы капли с ростом напряженности магнитного поля И, кА/м : 0.0 (а), 1.0 (б), 1.3 (в), 2.1 (г), 2.6 (д) и 9.5 (е);

d0 = 2.24 мм

147

Конвективные течения..., 2015

Для характеристики деформации капли под действием магнитного поля выберем ее диаметр d , измеренный в плоскости контакта пер-фтороктана с воздухом, высоты hf и ht частей капли, расположенных, соответственно, выше и ниже плоскости контакта, а также ее суммарное удлинение h = hi + hf .

На рис.3 представлены зависимости высоты верхней и нижней частей капли, ее суммарного удлинения и диаметра от напряженности поля H . Изменение наклона кривых приведенных зависимостей в окрестности Н1 = 1.3 кА/м и Н2 = 2.6 кА/м происходит в процессе формирования пиков на межфазной и свободной поверхности капли соответственно.

Рис.3. Удлинение верхней hf (точки 1) и нижней hi (2) частей

капли, суммарное удлинение h (3) капли (а); диаметр d капли в зависимости от напряженности поля Н (б). Начальный диаметр капли do = 6.6 мм; Си = 7.0

Наиболее четко процесс изменения топологии капли отражается в поведении зависимости отношения высот ее нижней и верхней частей h / hf от напряженности поля для капель различного

начального диаметра (рис.4). Для выяснения общего вида зависимости каждая кривая нормирована на максимальное значение отношения h / hf . На рис.4 хорошо видно, что в исследованном диапазоне объемов капель неустойчивость их поверхности наблюдается практически при одних и тех же значениях напряженности поля. Такое поведение зависимости имеет, по-видимому, следующее объяснение.

148

Бушуева К.А., Костарев К.Г., Шмырова А.И. Деформация капли

Форма капли феррожидкости, находящейся в вертикальном магнитном поле в лабораторных условиях, определяется совместным действием трех механизмов - гравитации, магнитного поля и поверхностного натяжения. Последнее является единственным механизмом, препятствующим деформации капли. Величина стабилизирующего капиллярного давления определяется радиусами кривизны свободной и межфазной поверхности капли, а также ее радиусом в плоскости контакта жидкой подложки и воздуха. Основную роль играют два первых радиуса. В то же время известно [10], что даже существенная вариация массы небольшой - порядка капиллярного радиуса - капли, плавающей на поверхности более тяжелой жидкости, ведет к изменению ее высоты и горизонтального диаметра d без изменения радиусов кривизны ее поверхностей. Такая капля остается самоподобной вплоть до превращения ее центральной части в горизонтальное плато. Возникновение топологической неустойчивости капель феррожидкости разного объема при одних и тех же значениях напряженности поля как раз и является следствием этого самоподобия.

Рис.4. Нормированное отношение высот нижней и верхней частей капли h / hf в зависимости от напряженности поля для капель разных

начальных объемов: V0

Из анализа поведения зависимости h / hf = f (H) также следует,

что изменение кривизны поверхности при формировании пика сразу меняет характер деформации капли. Локальное падение капиллярного давления приводит к тому, что в эту область под действием

149

Конвективные течения..., 2015

магнитного поля устремляется феррожидкость, высвобождаемая из-за сокращения поперечного размера капли. Вследствие меньшего значения поверхностного натяжения на межфазной поверхности сначала формируется нижний пик (область А). Рост пика ведет к увеличению архимедовой силы, действие которой, равно как и увеличение капиллярного давления за счет сокращения радиуса капли в плоскости раздела сред, провоцирует развитие неустойчивости свободной поверхности капли. Возникновение верхнего пика (область Б) вызывает перераспределение потоков феррожидкости в капле - дальнейшее увеличение напряженности магнитного поля сопровождается ростом этого пика и, соответственно, увеличением объема верхней части капли. Одновременно снижается скорость роста нижнего пика и сокращается объем нижней части капли за счет уменьшения ее размеров в поперечном сечении. В конечном счете гидростатическое давление, создаваемое феррожидкостью, образующей верхний пик, достигает значения капиллярного давления, создаваемого кривизной свободной поверхности капли (область С), после чего опережающий рост той или иной части капли прекращается, капля начинает деформироваться пропорционально.

Рис.5. Отношение высот нижней и верхней частей капли h / hf в зависимости от начального объема V0 для капель ФЖ №1 и ФЖ №2 при H = 5 кА/м

Отметим, что предположение о снижении объема нижней части капли и росте объема ее верхней части после возникновения пика на свободной поверхности подтверждается результатами непосредственных измерений. С этой целью капля феррожидкости в маг-

150

Бушуева К.А., Костарев К.Г., Шмырова А.И. Деформация капли

нитном поле фотографировалась сбоку, после чего определялся вид кривой, аппроксимирующей боковую границу капли, и проводилось интегрирование для получения объема верхней или нижней части капли.

Необходимо также отметить, что, несмотря на самоподобие капли, величина ее начального объема все же играет свою роль, что проявляется в снижении отношения высот нижнего и верхнего пиков с повышением V0 (рис.5). Причина подобного снижения кроется в уменьшении капиллярного давления с ростом горизонтального диаметра капли.

Полученные экспериментальные данные по деформации капли на жидкой подложке частично повторяют результаты эксперимента, выполненного для капли на твердой подложке [11]. Основу для качественного сопоставления результатов создают специфические черты выбранной нами системы жидкостей, а именно: относительно небольшое различие в плотностях перфтороктана и феррожидкости, и двукратная разница в их поверхностном натяжении. Как следствие, капля феррожидкости в отсутствие магнитного поля оказывается почти полностью погруженной в перфтороктан, т.е. располагается по одну сторону от границы раздела сред. Кроме того, формально совпадают начальные стадии деформации капель на жидкой и твердой подложках: растущий вдоль поля эллипсоид, пороговое формирование локального пика, его рост и превращение в конус, включающий в себя всю боковую поверхность капли.

На рис.6 представлены экспериментальная зависимость относительного удлинения hi / h0 межфазной поверхности капли ФЖ №1

от магнитного числа Бонда Bm = m0M2d0 / 2s и теоретическая зависимость h / h0 = -(Bo /4) + ^J(Bo2 /16) + (Bm / 4), где

Bo = pg2R0 / s - традиционное число Бонда [11].

Как и ожидалось, качественное согласие полученных результатов наблюдается только до значения B*m, соответствующего возникновению верхнего пика, дальнейшее возрастающее расхождение кривых обусловлено возможностью деформации капли на жидкой подложке одновременно в двух направлениях.

Еще одной отличительной чертой поведения отдельной капли магнитной жидкости на жидкой подложке является сохранение ею единства формы даже в условиях сильной деформации, в то время как капля на твердой подложке распадается на две равные части по достижении определенной напряженности поля. Подобное удвое-

151

Конвективные течения..., 2015

ние числа капель наблюдалось и для капельной системы, возникающей в результате распада горизонтального слоя феррожидкости на жидкой подложке [9]. Отметим, однако, что достичь распада капли на жидкой подложке на две отдельные части все же можно, но для этого необходимо, чтобы время установления критической напряженности поля, превышающей Hf, было много меньше вязкого времени капли. В этом случае одновременно с развитием уже описанных типов неустойчивости свободной и межфазной поверхностей капли наблюдается и ее топологическая неустойчивость в виде пережатия в диаметральной плоскости.

Рис.6. Относительное удлинение h / h0 нижней части капли ФЖ № 1 в зависимости от магнитного числа Бонда Вт. Кривая - теория [11], точки - экспериментальные данные, соответствующие каплям феррожидкости различного объема V0, мм3: 20

Как указывалось выше, критические значения напряженностей и Hf проявляют слабую зависимость от начального диаметра капель d0, однако существенно изменяются при вариации магнитной восприимчивости феррожидкости. Последней зависимости удается избежать, если перейти к использованию магнитной индукции В = (1 + c)H . Действительно, на рис.7а хорошо видно, что

ВЦ и Вf практически совпадают для ФЖ № 1 и ФЖ № 2, несмотря на их различие в магнитной восприимчивости более чем втрое. Кроме того, Вi и Вf не изменяются с уменьшением начального диаметра капель вплоть до d0 £ 3 мм, когда поверхностные силы

152

Бушуева К.А., Костарев К.Г., Шмырова А.И. Деформация капли

начинают существенно преобладать над объемными (капиллярный радиус для выбранных феррожидкостей, граничащих с воздухом, составляет порядка 1.5 мм).

a

Рис.7. (а) Критические значения магнитной индукции B* (1, 3) и Bf (2, 4) в зависимости от начального диаметра d0 капли феррожидкости с С01 = 7.0 (1, 2) и Со2 = 2.0 (3, 4); (б) критическая напряженность H*

для отдельных капель (точки 2, рис.За) и капель структуры (5), возникающей в результате распада горизонтального слоя феррожидкости толщиной h = 1.47 мм в вертикальном однородном поле [9]

153

Конвективные течения..., 2015

С учетом последнего ограничения можно сделать вывод, что

В*

=

в;

для всех феррожидкостей с с = (2 - 7).

Принимая во внимание, что единственным механизмом, препятствующим деформации капли в магнитном поле, является поверхностное натяжение и что для случая отдельной капли отношение В* / В* не зависит от d0, можно предположить, что В* / В* представляет собой степенную функцию от отношения поверхностного натяжения на межфазной и свободной поверхности капли:

в;

-* = k (af /ai г B;

Для проверки этого предположения необходимо знать поверхностное натяжение на межфазной границе капли, однако согласно работе [12] для жидкостей, содержащих коллоидные частицы, покрытые слоем ПАВ, правило Антонова не применимо. Поэтому измерение поверхностного и межфазного натяжения используемых в эксперименте жидкостей, включая перфтороктан, было проведено с помощью тензиометрической установки Sigma 701 фирмы KSV методом отрыва кольца [13]. Измеренные значения поверхностного натяжения приведены в таблице.

Жидкость sf, дин/см S , дин/см 0"пфо , дин/см

ФЖ № 1 24.30 ± 0.03 5.14 ± 0.03 13.64 ± 0.01

ФЖ № 2 25.07 ± 0.01 6.53 ± 0.02 13.64 ± 0.01

Анализ приведенных в таблице данных позволяет сделать вывод, что выражение (2) имеет вид:

SL

в; \

и, соответственно, уточненное с его помощью отношение В; / В;= (2.18 ± 0.01) для ФЖ № 1 и В* / В; = (1.96 ± 0.01) для ФЖ № 2.

154

Бушуева К.А., Костарев К.Г., Шмырова А.И. Деформация капли

Как следует из сравнения, экспериментальное значение B* / B*

(1) хорошо согласуется с данными расчета по формуле (3), что открывает возможность определения поверхностного натяжения на межфазной границе магнитной жидкости, не прибегая к помощи тензиометрической установки.

В завершение отметим, что в работе [9] наблюдалась слабая зависимость H* от диаметра капель, образующих пространственную

структуру. Эта зависимость достаточно хорошо различима на рис.7б, на котором для сравнения приведены критические значения напряженности для развития неустойчивости свободной поверхности для капель, как отдельных, так и образующих пространственную структуру. Как следует из сравнения, приведенная зависимость присуща только капельной структуре и, по-видимому, обусловлена локальным изменением внешнего поля под воздействием системы капель.

Заключение. Выполненные исследования деформации капли магнитной жидкости на жидкой подложке позволили выявить специфику формирования и эволюции капельной структуры, возникающей в результате распада горизонтального слоя феррожидкости на жидкой подложке под действием вертикального магнитного поля. Так, показано, что изначально коническая форма капель, образующих упорядоченную структуру, зависимость напряженности поля, при которой развивается неустойчивость свободной поверхности капель, от их диаметра, а также эффект удвоения числа капель связаны с процессом трансформации слоя и взаимным влиянием капельной структуры и внешнего магнитного поля.

Продемонстрирована специфика формы капли магнитной жидкости и ее эволюции, связанная с наличием жидкой подложки. Возможность деформации всей поверхности капли приводит к последовательному развитию неустойчивости на ее межфазной и свободной поверхности и соответствующему перераспределению феррожидкости внутри капли между ее верхней и нижней (относительно границы раздела фаз) частями. Показано, что отношение критических значений магнитной индукции определяется только отношением величин поверхностного натяжения на межфазной и свободной поверхностях капли. Использование этой зависимости открывает хорошие перспективы для создания методики бесконтактного измерения межфазного поверхностного натяжения магнитных жидкостей.

155

Конвективные течения..., 2015

Работа выполнена при поддержке проектов РФФИ № 13-0196041 и № 14-01-96007, также проекта УрО РАН № 15-10-1-16

«Механика жидких растворов и суспензий в силовых полях».

СПИСОК БИБЛИОГРАФИЧЕСКИХ ССЫЛОК

1. Блум Э.Я., Майоров М.М., Цеберс А.О. Магнитные жидкости. Рига: Зинатне, 1989. 386 с.

2. Архипенко В.И., Барков Ю.Д., Баштовой В.Г. Исследование формы капли магнитной жидкости в однородном магнитном поле // Магнитная гидродинамика. 1978. P. 131-133.

3. Баштовой В.Г., Погирницкая С.Г., Рекс А.Г. К определению формы свободной капли магнитной жидкости в однородном магнитном поле // Магнитная гидродинамика. 1987. № 3. С. 23-26.

4. Bacri J.C., Salin D. Instability of ferrofluid magnetic drops under magnetic field // J. Phys. Lett. 1982. Vol. 43. P. 649-654.

5. Rolling ferrofluid drop on the surface of a liquid / V. Sterr, R. Krau, K.I. Morozov, et al. // New Journal of Physics. 2008. Vol. 10. P. 063029 (23).

6. Drozdova V.I., Skrobotova T.V., Chekanov V.V. Experimental study of the hydrostatics characterizing the interphase boundary in a ferrofluid // Magnetohydrodynamics. 1979. Vol. 15. P. 12-14.

7. Deformation of a hydrophobic ferrofluid droplet suspended in a viscous medium under uniform magnetic fields / S. Afkhami, A.J. Tyler, Y. Renardy, et al. // J. Fluid Mechanics. Vol. 663. P. 358-384.

8. Ho Je-Ee., Chen Da-Chih. Study the Ferro-Surface Tension on Magnetization Degree of Ferrofluid // Advanced Materials Research. 2013. Vols. 779-780. P. 101-104.

9. Bushueva C.A. Drop structures formed by ferrofluid in the uniform magnetic field // Magnetohydrodynamics. 2013. Vol. 49, No. 3-4. P. 598-602.

10. Братухин Ю.К., Макаров С.О., Теплов О.В. О равновесных формах и устойчивости плавающих капель // МЖГ. 2001. № 4. С. 3-12.

11. Баштовой В.Г., Рекс А.Г., Малик М. Деформация полуограниченной капли магнитной жидкости в магнитном и гравитационных полях // Наука и техника. 2014. № 3. P. 78-82.

156

Бушуева К.А., Костарев К.Г., Шмырова А.И. Деформация капли

12. Братухин Ю.К., Лебедев А.В., Пшеничников А.Ф. Движение деформируемой капли магнитной жидкости во вращающемся магнитном поле // Изв. РАН. МЖГ. 2000. № 1. С. 22-30.

13. Брацун Д.А., Мизев А.И., Трофименко А.И. Динамика формирования адсорбированной плёнки на поверхности многокомпонентных растворов ПАВ // Конвективные течения... Вып. 5. Пермь: ПГПУ, 2011. С. 61-77.

DEFORMATION OF FERROFLUID DROP, LYING ON A LIQUID SUBSTRATE, UNDER THE ACTION OF UNIFORM VERTICAL MAGNETIC FIELD

C.A. Bushueva, K.G. Kostarev, A.I. Shmyrova

Abstract. The deformation of ferrofluid droplet, lying on a liquid substrate, under the action of the vertical magnetic field has been studied experimentally. It has been shown that with increasing intensity of the field the droplet elongates along its direction. upon reaching a threshold value of intensity the interfacial and free surfaces of the drop become unstable, which results in the formation of peaks of different height. It has been found that the relation between the corresponding critical values of the magnetic field induction is determined only by the ratio of the surface tension at the interface to that at the free boundary of the drop.

Key words: liquid substrate, a drop of ferrofluid, ferrofluid, the magnetic field, the surface tension, surface instability.

157