Модели оценки рыночного риска в рамках методики VaR: рандомизированная коллокация и GARCH(1,1)

Модели оценки рыночного риска в рамках методики VaR: рандомизированная коллокация и GARCH(1,1) Шандра Марина Игоревна

Аспирантка кафедры математического моделирования экономических процессов ФГОБУ ВПО «Финансовый университет при Правительстве Российской Федерации» e-mail: shanm@yandex.ru

Аннотация: В данной работе сравниваются результаты оценки

рыночного риска, полученные с использованием стандартного показателя SAVaR в рамках модели GARCH(1,1) и показателя RMVaR в рамках модели рандомизированной коллокации. Сравнение проводилось по критериям «средний неиспользованный риск» и «средний непокрытый риск».

Ключевые слова: Мера риска, VaR, рыночный риск, аналитический метод, GARCH, логарифмическая доходность, рандомизированная коллокация, средний неиспользованный риск, средний непокрытый риск.

Market risk assessment models within the framework of VaR methodology: randomized collocation and GARCH

Shandra Marina I., post-graduate student, Department of mathematical simulation of economic processes, FSFEI of HPE "Finance University under the Government of the Russian Federation"

The summary: In this work compared the results of market risk assessment getting with use of standard risk measure SAVaR within the framework of GARCH(1,1)-model and risk measure RMVaR within the framework of randomized

collocation. Comparison was done by criteria of average unused risk and average uncovered risk.

Key words: risk measure, VaR, market risk, analytical method, GARCH, logarithmic profit, randomized collocation, average unused risk, average uncovered risk.

Введение

Управление рыночным риском (и оценка рыночного риска как основного этапа этого процесса) является важным элементом системы управления рисками современного коммерческого банка. Оценка рыночного риска заключается в определении значения рискового капитала, с заданной вероятностью покрывающего потенциальные потери от реализации рыночного риска.

Методика Value-at-Risk (VaR), или стоимость под риском, стала особенно широко применяться в последние годы и в настоящее время используется в качестве единого унифицированного подхода к оценке рыночного риска международными банковскими и финансовыми организациями. Например, Банк международных расчетов (BIS) применяет VaR в качестве основы при установлении нормативов величины собственного капитала относительно рисков банка.

Для оценки рыночного риска могут использоваться различные модели VaR, что означает необходимость поиска оптимальной для банка модели. В данной работе для оценки рыночного риска, используется стандартный показатель SAVaR в рамках модели GARCH(1,1) и показатель RMVaR в рамках модели рандомизированной коллокации (РК) [2].

1. RMVaR и модель рандомизированной коллокации

Показатель RMVaR (Risk Measure) — максимально возможная величина изменения стоимости актива (потерь) с заданной вероятностью на рассматриваемом временном горизонте:

Для формализованного представления данного показателя введем

следующие обозначения: An — значение финансового индекса в момент

2

t = п, k — период упреждения, Ап+к — левая граница доверительного интервала уровня (1 - а) для будущей стоимости актива Лп+к:

р{Ап +к < Ап+к }= 1 - а.

С учетом введенных обозначений:

RMVaR = Ап Ап+к С1)

Алгоритм оценки рыночного риска с применением рандомизированной коллокации имеет следующую формализацию [2]:

RMVaR = Ап[1 - ехр {а6 - ^р '<€е }l,

где

Аі60 при Щ -1

^рит

а€° = сан,н  скк  к

— оценка приращения «логарифмической» прибыли за период упреждения в рамках чистой коллокации,

лН = т  к + см *  с-

— оценка приращения «логарифмической» прибыли за период упреждения в рамках параметрической коллокации,

т

к = (*1,*2,. .,кп) — значения уровней стационарного динамического ряда «логарифмической» прибыли, с математическим ожиданием т и автоковариационной функцией С*к, зависящей только от лага,

а/6'

л* И крит,

АН6 при \ц > tк

кг Ч

0 при і =0

, Аі . .

1п —— при і > 0

Аі-і Р

Сн ЛЯ — вектор взаимных ковариаций значений Н, I = 1,...,п

стационарного динамического ряда и значения линейного функционала ЛЯ,

— оценка математического ожидания стационарного случайного процесса «логарифмической» прибыли.

Оценка дисперсии ошибок прогнозирования значений финансовых индексов в рамках рандомизированного алгоритма (1)-(5) определяется по правилу [1]:

^2 = САН,АН-САНк  Скк  Ск, АН

— в случае применения чистой коллокации,

= к  °т + ЛН - СЛНк  Скк  Ск,ЛН +

+ 8 1 &£  !Т  £Т -2к &/  !т  £Т

— в случае параметрической коллокации. В формулах (6) и (7) используются обозначения:

Сан АН — оценка дисперсии значения функционала АН:

Сан,ан = анан(с**(т))= І Іс^(і-)),

і=1)=1

=(іт  ск*  і )-1

— дисперсия оценки /6,

8 = Н = сАН к  с-к

Дробь Стьюдента для данной модели принимает вид

t=< .д1т  с- . I),

где

<2 = [(Н-/€ I)т  С- {н-м I)]/(п-1),

п — число наблюдений.

Обобщение формулы (2) для портфеля финансовых инструментов имеет вид:

RMVaR = Ап

1-ехрІ ХТ  АН() ЛХТёееХ

где

Aln — стоимость портфеля, включающего l финансовых инструментов в момент времени t = n,

X — l- мерный вектор столбец долей финансовых инструментов в портфеле,

(Cee — оценка автоковариационной матрицы ошибок прогноза приращений логарифмической прибыли для инструментов, включённых в портфель (диагональная матрица),

A#1)— l - мерный вектор столбец прогнозов приращений логарифмической прибыли финансовых инструментов, включённых в портфель.

2. SAVaR и модель GARCH Для сравнения с показателем RMVaR введем показатель SAyaR (Standard Analytical VaR) - меру риска методики VaR, рассчитываемую аналитическим методом. В рамках аналитического метода используется предпосылка о нормальном законе распределения членов последовательности «логарифмической» прибыли, с параметрами:

E{h, } = 0, Var {к, } = а2,

для однодневного горизонта. Формула для расчета показателя SAyaR в случае

одного актива для периода упреждения k = 1 (один день) имеет вид

SAVaR = AnZ1-aGn + к ,

где An — стоимость финансового актива в момент t = n,

Z1-a - квантиль нормального распределения, соответствующая уровню доверия (1- а).

on+k - прогнозируемая волатильность доходности актива.

Как видно из формулы (10), при расчете показателя SAVaR прогноз волатильности является основной проблемой. Волатильность доходности можно оценить по историческим данным: как на основе выборочной дисперсии, так и с использованием моделей, учитывающих вариацию дисперсии во времени. Одной из популярных моделей прогноза волатильности является обобщенная авторегрессионная модель условной

гетероскедастичности GARCH (Generalized AutoRegressive Conditional Heteroskedastic model), предложенная в 1986 г Т. Боллерслевом.

В модели GARCH(p,q) предполагается, что волатильность an зависит от

hli, i < p и от a?- j, j < q [5]:

= а0 + Ъ аЛ- i + Ъ Р ja2- j ,

i=1 j=1

где а0 > 0, аt > 0, Р j > 0. На практике, как правило, достаточно взять р=1,

q=1. Реже используют GARCH(1,2) или GARCH(2,1). В простейшем варианте GARCH(1,1) для оценки волатильности используется следующая формула:

а2 = а0 + аЛ-1 + plа2-l,

где а0 > 0, а1 > 0, Р1 > 0.

3. Показатели точности и эффективности модели

Эффективность модели в рамках методики VaR оценивается при помощи ряда показателей, которые строятся на основе бинарной функции потерь [3]:

BL =

1, если Lt > VaRt,

О, если Lt < VaRt,

где VaRt — VaR инструмента, рассчитанный за t-ый временной интервал исторических данных, Lt = At-1 - At — дневной убыток по активу на момент t. Данная функция учитывает только факты наличия превышения потерь без учёта величины превышения. В качестве статистики берется среднее значение бинарной функции потерь на тестовой выборке. При уровне достоверности (l - а) чем ближе значение статистики к а, тем модель точнее.

Оценка эффективности модели в рамках методики VaR может быть выполнена при помощи таких показателей, как средний непокрытый риск и средний неиспользованный капитал.

Превышение значения VaR означает, что зарезервированного рискового капитала не хватило для покрытия убытков и банку необходимо

изыскивать дополнительные средства, что зачастую связано с дополнительными издержками. С другой стороны, модель, завышающая степень риска, приводит к излишнему зарезервированному капиталу, что экономически неэффективно.

Средний непокрытый риск позволяет оценить степень недооценки риска моделью, что приводит к занижению резервируемого капитала, и вычисляется по формуле [3], [4]:

Lt -VaRt L 1 если BLt = 1

VaRt ’ 1 ’

0, если BLt = 0.

Среднее значение данной функции F и является средним непокрытым риском. Данная статистика анализирует только относительные величины превышений, не учитывая частоту их появления.

Средний неиспользуемый капитал показывает, насколько в среднем оценка VaR превышает реализовавшиеся прибыли/убытки, т.е. характеризует неиспользованный рисковый капитал (завышение резервов). Функция потерь при этом имеет вид [3], [4]:

VaRt - Lt

если BL = 0

VaR' t ’

t

0, если BLt = 1.

Этот критерий становится еще более важным для банков, так как согласно рекомендациям Базельского комитета они должны резервировать капитал, равный 3 VaR. Поэтому даже небольшое улучшение эффективности по данному критерию может принести значительную выгоду.

Предыдущие два показателя можно проанализировать вместе, разместив на двумерной плоскости соответствующие точки, каждая из которых характеризует модель с точки зрения средней величины непокрытого риска и средней величины неиспользуемого капитала, резервируемого для покрытия возможных убытков. По полученным графикам определяются парето-оптимальные модели. Парето-оптимальной

моделью считают такую модель, которая в сравнении с другими моделями дает меньшую величину непокрытого риска и неиспользованного капитала.

4. Результаты вычислений Сравним результаты оценки рыночного риска, полученные с использованием показателя RMVaR в рамках рандомизированной коллокации (РК) и показателя SAVaR в рамках модели GARCH(1,1), для финансового индекса РТС по ежедневным значениям (цены закрытия) за 2010 г. (11.01.2010 — 30.12.2010). Прогнозы выполнены по выборочным данным объёмом 20 наблюдений, уровень доверительной вероятности — у = 1 -a = 0,95, период упреждения k=1, число прогнозов — 228.

GARCH(1,1)-модель с остатками, распределенными по нормальному закону, строилась в среде MATLAB с использованием специальных процедур Econometrics Toolbox.

Результаты вычислений для двух рассматриваемых моделей приведены на рисунке 1.

----Fact

----RM

----SA-

GARCH

Рис. 1. Оценка рыночного риска на основе показателей SAVaR и КМ^Я В таблице 1 приводятся значения показателей, характеризующих

точность и эффективность анализируемых моделей: BL — среднее значение бинарной функции потерь (11); F — средний непокрытый риск — это среднее значение функции (12); G — средний неиспользуемый капитал — средняя величина функции потерь, вычисляемой по формуле (13). Полужирным курсивом выделены минимальные значения.

Таблица 1. Показатели точности и эффективности моделей

Модель BL F О

RMvaR (РК) 3,07% 0,6% 108,6%

SAvaR -О^СН(1,1) 5,70% 1,9% 108,8%

Показатель BL, характеризирующий частоту превышения

фактическими убытками зарезервированного капитала на покрытие

рыночных рисков, для модели РК ниже, чем для модели GARCH(1,1), следовательно, модель РК более точная.

Показатель F, характеризующий нехватку капитала,

зарезервированного на покрытие рыночного риска, ниже для модели РК, чем для модели GARCH(1,1), следовательно, модель РК является более эффективной по критерию занижения риска.

Показатель О характеризует завышение резервов и говорит о том, что оценка рыночного риска в рамках модели РК превысила фактические убытки на 108,6%, в рамках модели GARCH(1,1) — 108,8%. Зарезервированный рисковый капитал не приносит дохода, поэтому желательно, чтобы его значение было как можно меньше. Даже незначительное улучшение критерия О может принести значительную выгоду. Оптимальный результат по данному критерию показывает модель РК.

Рис. 2. Многокритериальный анализ моделей

Многокритериальный анализ был выполнен в Microsoft Excel по двум критериям: средний непокрытый риск F и средний неиспользуемый капитал G, и показал, что парето-оптимальной является модель рандомизированной коллокации, так как у нее минимальное значение по обоим критериям F и G , что хорошо видно на рисунке 2.

Заключение

Сравнительный анализ показывает, что по всем трем использованным критериям (частота превышений, занижение риска и завышение резервов) модель рандомизированной коллокации является наиболее эффективной. Также по результатам многокритериального анализа модель рандомизированной коллокации получается парето-оптимальной.

Таким образом, для оценки потенциальных потерь из-за реализации рыночного риска наиболее точной и оптимальной в плане минимизации величины требуемого капитала под покрытие рыночных рисков является модель рандомизированной коллокации по сравнению с моделью GARCH(1,1).

Библиографический список

1. Бывшев В.А., Бабешко Л.О. Алгоритм прогнозирования финансовых индексов в рамках стационарной модели Kолмогорова-Винера// Монография «Финансовая математика». - М.: ТЕИС, 2001. —с. 156-165.

2. Бывшев В.А., Бабешко Л.О., Шандра М.И. Оценка риска максимальных потерь в рамках рандомизированной коллокации. «Управление риском» — М., 2009. — № 4. — с.44-50.

3. Меньшиков И.С., Шелагин Д.А. Рыночные риски: методы и модели. Научное издание. - М.: Вычислительный центр РАН, 2000.

4. Милосердов А.А., Герасимова Е.Б. Рыночные риски: формализация, моделирование, оценка качества моделей. — Тамбов. Изд-во ТГТУ, 2004.

5. Ширяев А. Н. Основы стохастической финансовой математики. Том 2.

- М.: ФАЗИС, 1998.