Некоторые условия устойчивости нелинейных неавтономных разностных систем

Сер. 10. 2012. Вып. 1

ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

ПРОЦЕССЫ УПРАВЛЕНИЯ

УДК 517.962.2

A. А. Султанбеков

НЕКОТОРЫЕ УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ НЕЛИНЕЙНЫХ НЕАВТОНОМНЫХ РАЗНОСТНЫХ СИСТЕМ

1. Введение. Одним из важных классов систем, описывающих динамические процессы и явления, являются разностные системы. Они применяются в теории управляемых систем с дискретными регуляторами [1], при исследовании нелинейных импульсных систем [2], а также при численном интегрировании дифференциальных уравнений [1, 3]. Кроме того, разностные системы широко используются при моделировании биологических процессов [4, 5].

Задача устойчивости имеет важное теоретическое и прикладное значение в силу неизбежного присутствия возмущений в моделях, описывающих сложные природные явления. Фундаментальные подходы в области исследования устойчивости для непрерывных систем были разработаны еще в конце XIX в. А. М. Ляпуновым [6]. Основным методом изучения нелинейных систем является прямой метод Ляпунова. В дальнейшем данный подход получил глубокое развитие в трудах И. Г. Малкина, Н. Н. Красовского,

B. И. Зубова и ряда других ученых [7-9]. Способы и алгоритмы исследования устойчивости непрерывных систем были распространены на системы разностных уравнений [1, 2]. Установлены условия устойчивости для линейных систем, разработан дискретный аналог прямого метода Ляпунова. С помощью аппарата функций Ляпунова доказаны теоремы об асимптотической устойчивости и неустойчивости по линейному приближению, изучена область асимптотической устойчивости нулевого решения нелинейных систем, определены условия равномерной диссипативности. Существенные результаты в исследовании устойчивости разностных систем достигнуты в работах А. Халанай, Д. Векслер, М. А. Скалкиной и многих других авторов [2, 10, 11].

Свойства решений разностных уравнений во многом аналогичны свойствам решений соответствующих дифференциальных уравнений. При переходе от непрерывных систем к дискретным актуальной является проблема сохранения устойчивости решений. Известно [1], что в некоторых случаях требуется коррекция разностных схем для обеспечения согласованности между свойствами решений непрерывных и дискретных уравнений. Коррекция заключается в построении консервативных численных методов,

Султанбеков Андрей Аркадьевич — аспирант кафедры управления медико-биологическими системами факультета прикладной математики—процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета. Научный руководитель: доктор физико-математических наук, проф. А. Ю. Александров. Количество опубликованных работ: 3. Научное направление: теория устойчивости. E-mail: andrey.sultanbekov@gmail.com.

© А. А. Султанбеков, 2012

основанных на модификации вычислительных схем путем введения управления, что приводит к усложнению вычислительных схем. Поэтому весьма важной является задача выделения классов систем, для которых сохранение качественных характеристик при переходе к дискретному виду имеет место без соответствующих коррекций.

В настоящей статье рассматриваются существенно нелинейные разностные системы, правые части которых представляют собой линейные комбинации степенных функций фазовых переменных. Предполагается, что на такие системы действуют нестационарные возмущения, которые входят в коэффициенты указанных линейных комбинаций, при этом средние значения возмущений равны нулю. С помощью дискретного аналога прямого метода Ляпунова доказываются теоремы об асимптотической устойчивости, показывается согласованность свойств, в смысле сохранения устойчивости, непрерывных и соответствующих им дискретных систем, находятся оценки времени переходных процессов для данных систем.

2. Постановка задачи. Пусть задана система дифференциальных уравнений

п

уз =53 /з У )' в =1,...,П,

3 = 1

где гзз - постоянные коэффициенты; функции / (уз) определены и непрерывны при \уз \ < Н (0 < Н < и обладают свойством уз/3 (уз) > 0 при уз = 0. Таким образом, рассматриваемая система имеет нулевое решение.

Уравнения вида (1) широко применяются при исследовании систем автоматического регулирования [12] и моделировании нейронных сетей [13].

Важной задачей, возникающей при изучении таких уравнений, является задача анализа устойчивости нулевого решения системы (1). Для получения условий устойчивости можно использовать систему нелинейного приближения.

Пусть функции /1(у1),..., /п(уп) представимы в следующем виде:

/з (Уз) = сз У? + 9(Уз3 = 1,...,п.

Здесь сз - постоянные коэффициенты, ¡з - рациональные числа с нечетными числителями и знаменателями и ¡з > 1, д(Уз)/у?' ^ 0 при Уз ^ 0. Не умаляя общности, будем считать, что ¡1 ^ ... ^ ¡п.

Тогда в качестве нелинейного приближения для (1) можем выбрать систему

п

уз =^3 Рзз У? > в = 1,...,п.

з=1

Пусть коэффициенты рзз = гззсз уравнений (2) удовлетворяют следующему условию.

Предположение 1. Существуют положительные числа А1,..., Хп, для которых квадратичная форма п

Ш

з,з'=1

отрицательно определена.

Известно [14], что при выполнении предположения 1 нулевое решение системы (2) асимптотически устойчиво, а функция

у{У) = уха^-—

1

Лз + 1

удовлетворяет условиям теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости [6].

Наряду с системой (2) рассмотрим возмущенную систему

n

= + bSj , S = l,...,n,

j=i

где функции bsj (t) непрерывны и ограничены при t ^ 0.

В работе [15] доказано, что в случае ограниченности при t G [0, интегралов f0 bsj(т)dr, s,j = 1,...,п, нулевое решение системы (5) асимптотически устойчиво. Если интегралы не ограничены, однако существует постоянная а, 0 < а ^ 1, такая, что

t

lim 7Z / bSj

t ta J

0

то для асимптотической устойчивости нулевого решения достаточно выполнения неравенства

(Mi ~ 1)(м» +1) (7]

" (М1 + 1)(М„-1)- [1>

Рассмотрим теперь разностную систему

n

xs

j=i

соответствующую системе дифференциальных уравнений (2), где h - шаг дискретизации (h > 0). Известно [16], что при выполнении предположения 1 (см. (3)) нулевое решение системы (8) асимптотически устойчиво при любом шаге дискретизации h, а функция (4) удовлетворяет условиям дискретного аналога теоремы Ляпунова об асимптотической устойчивости [10].

Пусть возмущенная система, соответствующая системе (8), имеет вид

n

Xs

j=l

Здесь функции bsj(k), s,j = 1,...,n, заданы и ограничены при k = 0,1,... . Положим

fc-i

fsj

m=0

В работе [10] доказано, что если функции ysj (k) ограничены при k = 0,1,..., то для любого h > 0 нулевое решение системы (9) асимптотически устойчиво.

Цель настоящей работы - ослабить условия на возмущения, при которых сохраняется асимптотическая устойчивость нулевого решения. Получим дискретный аналог условия (6) и покажем, что для данного класса систем имеет место согласованность свойств, в смысле сохранения устойчивости, непрерывных и соответствующих им дискретных систем. Кроме того, найдем оценки переходных процессов для таких систем.

3. Устойчивость возмущенной системы и оценки решений. Будем считать, что для коэффициентов psj в системе (8) выполнено предположение 1 и последовательность (10), вообще говоря, не является ограниченной. Однако существует число а, 0 < а ^ 1, такое, что

,lim =0, s,j = l,...,n.

к—ж ка

Теорема 1. При выполнении неравенства (7) нулевое решение системы (9) асимптотически устойчиво.

Доказательство. Функцию Ляпунова для системы (9) выбираем в виде

" xfs +1 "

V

s=1 s,j=1

Здесь Xi,.. .,Xn выбираются в соответствии с предположением 1.

Пусть nsj (0) = 0 и nsj (к) = ^sj (к)/ка для к = 1, 2,... . Функции nsj (к) ограничены

при к = 1,22,... и Um nsj (к) = 0.

к—

Для функции (12) при всех X G En и при к = 0,1,... имеем

nn

xfs + 1 - (к +1)ат (к) Y, Xs Г \xj\f < V <

s=1 s,j=1

nn

< a2y xf+1 + (к + 1)ат(к)У ^Г \rj \f,

s = 1 s,j=1

где a1,a2 - положительные постоянные; функция П1 (к) неотрицательная и стремится к нулю при к ^ ж.

Вычислим приращение функции V(к,Х) на решениях возмущенной системы. Получим

nX

AV = £ + 1) " xs3+1(k)) ~

s=1 Vs + 1

- h £ XsVsj (к + 1)xfs (к + 1)xf (к + 1) + Ну XsVsj (к)х^ (к)х? (к) =

s,j=1 s,j=1

nn

= h^Xs (Xs^+Qsk &Xs (к)Г°У (psj + bsj (к))хf (к) -

s = 1 j=1

n

- h Xs^sj (к + 1)(xf (к + 1)xf (к + 1)- xf (к)х^ (к)) -

s,j=1

- h £ Xsbsj (к)х^ (к)х^ (к) = h XsPsjxf (к)х^ (к) + s,j=1 s,j=1

+ hy^Xs ((xs W + Qsk &Xs (к)У' - xf m^Psj + bsj (к))хf (к) -s=1 j=1

- hJ2 Ъ(к + l)aVsj(к + 1)(x^s (к + 1)xjj (к + 1) - x^s (k)x^ (к)).

Здесь Ах8(к) = х8(к + 1) - х8(к), &зк е (0,1), в = 1,..., п.

Следовательно, найдется такое Н., что при (к)\\ < Н и для всех к = 0,1,... справедлива оценка

ДУ < -asY, xl^s (к) + (к + 1)аП2(к) Y, Xs (к)Гs Xj (к)\»> \х^(к)\

s = l s,j,i=l

где функция п^(к) неотрицательная и стремится к нулю при к ^ ж.

n n

s,j=1 s=1

n

Mi-1

Так как ^ \xs (к)\^s\xj (к)\^ < n^x2s^s (к), то

АУ < ^ х2^в (к) -о.з + п  (к + 1)ат(к)[^2 \хг(к)\

я=1 V \г=1 / /

Выберем произвольное число Н > 0. Тогда найдется такое положительное число а4, что при || < Н2 справедливо соотношение

Е xl^s > а4 Е

s,j=1 \s=1

\ /^гг + 1 rMs+ 1 1

Покажем, что существуют числа j,A и L такие, что для любого решения X(к) системы (9), начальные данные которого удовлетворяют условиям

ко > L, \xs

при всех к ^ ко справедливы оценки

x^^^1) < A/к, s = 1,...,n,

в которых а = (рn - 1)/(vn + 1).

Выберем числа y > 0 и A > 0 так, чтобы выполнялись неравенства

3а2 . 3а2 ( 3а2 7 < --, А > - -

ааза4ПГ аа,за,4 \ а1

Далее задаем L > 0 настолько большим, чтобы при к ^ L были справедливы следующие соотношения:

A / s у^1)

/ г, , ч + , +1) \

/ " Л4 + \ ai ™ тт^ту

'А\ (w+d^-1) \ а3

ш1.т) ! •

где 6 = шш{Н1, Н2}.

Для существования такого Ь достаточно, чтобы выполнялось неравенство (7).

Рассмотрим решение X(к) системы (9) с начальными данными, удовлетворяющими условиям (13). Пусть существует натуральное число к\, к\ > ко, такое, что при к = ко,...,к1 — 1 имеют место неравенства (14), а при к = к\ возможны два случая:

• справедливы оценки

\хэ

и хотя бы одна из них обращается в равенство;

• по крайней мере для одного 8 € {1,...,п} выполнено

\х„(к)\а(^"+1) > А/к.

В первом случае имеем

П О п

+ + к = ко,...,

п / ~ \ а+1

А У(к, Х(к)) < £ & (к) < , к = к0,...,к1~1.

Применяя лемму из работы [10, с. 67-68], получаем

щк1, Х(к1)) < Пко, Х(ко)) + 2Пко *(ко)Л * _ кЛ -

V 3а2 V 3о,2 I I

Так как функция V(к, Х(к)) при к = к1 удовлетворяет неравенству (16), то справедливо соотношение

(ааз04 /3а2 \ 1 \ (аа^а^ 1

—--- -г < к0

у 3а2 \ а1 ) А у у 3а2 ^п

Из условий выбора чисел 7 и А следует, что левая часть данного неравенства положительна, а правая - отрицательна. Приходим к противоречию.

Покажем, что второй случай тоже невозможен. Действительно, решение X(к, Хо, ко) системы (9) непрерывно зависит от начального положения Хо, причем X(к, 0, ко) = 0. Тогда найдется такое р € (0,1), что X(к, рХо,ко) удовлетворяет оценкам (14) при к = ко,..., к2 — 1, а в момент 0 < к2 ^ к1 удовлетворяет неравенствам (15) и хотя бы для одного в € {1, ...,п} выполнено равенство. Такие р и к2 должны найтись в силу того, что Xо удовлетворяет условию (13), и решение системы стремится к нулю для каждого фиксированного к при стремлении начального положения к нулю. Выше было показано, что данная ситуация невозможна. Теорема доказана.

Следствие 1. Пусть ¡л1 = ... = /лп. Тогда при а ^ 1 нулевое решение системы (9) асимптотически устойчиво.

Замечание 1. Если условие (11) на функции (к) рассматривать в качестве дискретного аналога условия (6) для системы дифференциальных уравнений, то теорема 1 согласуется с доказанной в [15] теоремой об асимптотической устойчивости нулевого решения соответствующей непрерывной системы.

Замечание 2. Полученные в теореме оценки (14) характеризуют скорость стремления решений, удовлетворяющих начальным условиям (13), к началу координат.

Замечание 3. При доказательстве теоремы 1 на Н не накладывалось никаких ограничений, тем самым асимптотическая устойчивость имеет место при всех Н > 0.

Покажем теперь, что если для коэффициентов системы (8) выполнены некоторые дополнительные условия, то ограничения на возмущения, при которых не нарушается асимптотическая устойчивость нулевого решения, можно ослабить.

Предположение 2. Пусть для любого рационального числа С ^ 1 с нечетными числителем и знаменателем существуют положительные числа Ах,... ,Хп, для которых функция

п

Ш ^) = ]Т Х*Р*з 4 3

отрицательно определена.

Условия существования таких Ах,..., Хп получены в [17]. Предположение 2 (см. (17)) накладывает более жесткие ограничения на разностные системы (8) по сравнению с предположением 1.

Зафиксируем число С ^ 1 с нечетными числителем и знаменателем. Тогда функцию Ляпунова для системы (9) выбираем в виде

" _ хСм*+1 " _

У

8=1 8,3=1

Здесь Хх,..., Хп определяем из предположения 2.

Для функции (18) при всех X € Еп и при к = 0,1,... имеем

пп

х^1 - (к + 1Тщ (к) \с\Х3\н < ^ <

8=1 8,3=1

пп

< х^'+1 + (к + 1)а ш(к) \х8\СМа Хз \*, 8=1 8,3=1

где а,1,а2 - положительные постоянные; функция а1 (к) неотрицательная и стремится к нулю при к ^ ж.

Вычислим приращение функции V(к,Х) на решениях возмущенной системы. Получаем

п А

АУ = ]Г + 1) - х^ + ^к)) -

8 = 1 + 1

- Н^2 ЪЪз (к +1)х^' (к + 1)3 (к + 1) + Н^2 Х8¥83 (к)х^' (к)^ (к) =

8,3=1 8,3=1

п

= Х8Р8з(к)х^ (к) +

8,3=1

пп

+ Н^Х8 ((х 8 (к) + ё 8Ь Ах8 (к))<"• - х<»' (к))^(Р8з + Ь8з (к))х? (к) -

8=1 3=1

- Н £ Л8 (к + 1)аЪз (к (к + 1)х? (к + 1) - х^' (к)х^ (к)).

Здесь Ах 8 (к) = х8(к + 1) - х8(к), О зк е (0,1), в = 1,..., п.

Следовательно, существует такое Н., что при (к)\\ < Н\ и для всех к = 0,1,... выполнено

АУ < -йз£ (к) + (к +1)а'П2 (к) £ |х8(к)|^ х (к)\^ \х^к)\^-1 +

-1

в = 1 в,3,г=1

+ (к +1)ащ(к)У Ык)1^-1\хз (к)\^ Ык)^ ,

8,3,1=1

где функция г}2(к) неотрицательная и стремится к нулю при к ^ж; аз - положительная постоянная.

Выберем произвольное число Н > 0. Тогда найдется положительное число см такое, что при || < Н2 справедливо соотношение

в,з=1 \я=1

\ СМп + 1 rCVs + 1 1

Можно показать, что при выполнении неравенства

а <

существуют числа Аа и Ь такие, что для любого решения X(к) системы (9), начальные данные которого удовлетворяют условиям

к0 > Ь, |жД/со)| <7/ко, а = \,...,п,

при всех к ^ ко имеют место оценки

|ж8(/г)| < А/к, в = 1 ,...,п.

Полученные оценки характеризуют скорость стремления решений к началу координат.

Функция д(С) = (С^п + 1)/(СИ1 + 1) монотонно возрастает на промежутке (0, +ж). Поэтому, чем большее выбрано значение параметра С, тем более широкую область допустимых значения для а получаем.

Таким образом, имеет место следующая теорема.

Теорема 2. В случае, когда ¡л1 < ¡лп, достаточным условием асимптотической устойчивости нулевого решения системы (9) является выполнение неравенства

М1

Если ¡л1 = ... = ¡лп, то достаточно, чтобы выполнялось условие а ^ 1.

Замечание 4. При ¡1 < ¡п неравенства (19) задают большую область допустимых значений для а, чем условия (7). В случае равенства ¡1 и ¡п области допустимых значений параметра а совпадают.

Замечание 5. Для любых положительных чисел < найдутся такие числа

А и Ь, что если решения удовлетворяют начальным условиям

_ / _ \ 1) к0^Ь, |х8(/г0)| < ) , в = 1,...,п,

то справедливы следующие оценки:

{А \ш>/(мп-1) |х8(/г)| < ) при к ^ ко, з = 1,...,п,

.к)

характеризующие скорость стремления решений к началу координат. 4. Пример. Пусть система (8) имеет вид

х1(к + 1) = х1 (к) +к( - х1/3(к) + ,

Х2

^ х3(к + 1) = х3(к) + - х\{к) +

где ц - положительное рациональное число с нечетными числителем и знаменателем. В рассматриваемом случае выполнено предположение 1 [17]. Таким образом, нулевое решение разностной системы (20) является асимптотически устойчивым. Теперь рассмотрим возмущенную систему

х1

^ х3(к + 1) = х3(к) + - 1 + 200( — 1)к) х3(к) + ^(Л)), соответствующую системе (20). Имеем

Ъи(к) = Швт(к), Ь22(к) = 500сов(тг^к), Ъ33(к) = 200(-1)й,

ЪЬз (к)=0 при в = ], в, о = 1, 2, 3. Известно [10], что при а > 1/2

к-1

к^ж ка

Ит — У^Ь^(к) = 0, в, 7 = 1, 2,3.

i=1

Возмущения представляют собой колебания, амплитуда которых превосходит коэффициенты рз^ в несколько раз, а их средние значения равны нулю.

Применяя теорему 1, получаем, что если ¡л > 5/3, то нулевое решение разностной системы (21) асимптотически устойчиво при любом шаге дискретизации к > 0.

В рассматриваемом примере выполняется и предположение 2 [17]. Пользуясь результатами теоремы 2, получаем, что при ¡л > 3/2 нулевое решение системы (21) асимптотически устойчиво при любом шаге дискретизации к > 0. Видно, что условия теоремы 2 задают большую область допустимых значений для ¡, нежели условия теоремы 1.

5. Заключение. В настоящей работе рассмотрены существенно нелинейные разностные системы, правые части которых представляют собой линейные комбинации степенных функций фазовых переменных. Предполагалось, что на исследуемые системы действуют нестационарные возмущения. Рассмотрен случай, когда возмущения входят в коэффициенты указанных линейных комбинаций, при этом их средние значения равны нулю. С помощью дискретного аналога прямого метода Ляпунова определены условия, при которых возмущения не нарушают устойчивости нулевого решения. Указанные результаты приведены в теореме 1. Доказано, что для рассматриваемого класса систем сохраняется свойство устойчивости нулевого решения при переходе от дифференциальных уравнений к соответствующим им разностным уравнениям. Найдены оценки времени переходных процессов для изучаемой системы. В теореме 2 показано, что при дополнительных ограничениях, накладываемых на невозмущенные системы, условия на возмущения можно ослабить. Тем самым, в каждом конкретном случае можно использовать результаты, которые лучше отражают качества системы.

Литература

1. Зубов В. И. Проблема устойчивости процессов управления. Л.: Судпромгиз, 1980. 253 с.

2. Халанай А., Векелер Д. Качественная теория импульсных систем /пер. с рум. М. И. Букатаря, Г. В. Ножака; под ред. В. П. Рубаника. М.: Мир, 1971. 312 с.

3. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

4. Смит Дж. М. Математические идеи в биологии /пер. с англ. А. Д. Базыкина; под ред. и с пре-дисл. Ю. И. Гильдермана. М.: Мир, 1970. 180 с.

5. Свирежев Ю. М., Логофет Д. О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука, 1978. 352 с.

6. Ляпунов А. М. Общая задача об устойчивости движения. М: Изд-во ОНТИ, 1935. 386 с.

7. Малкин И. Г. Теория устойчивости движения. М.; Л.: Гостехиздат, 1952. 432 с.

8. Красовский Н. Н. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М: Физматгиз, 1959. 212 с.

9. Зубов В. И. Устойчивость движения. М.: Высшая школа, 1973. 272 с.

10. Александров А. Ю., Жабко А. П. Устойчивость движений дискретных динамических систем. СПб.: Науч.-исслед. ин-т химии С.-Петерб. ун-та, 2003. 112 с.

11. Скалкина М. А. О связи между устойчивостью решений дифференциальных и конечно-разностных уравнений // Прикл. математика и механика. 1955. Т. 19, № 3. С. 287—294.

12. Летов А. М. Устойчивость нелинейных регулируемых систем. М.: Гостехиздат, 1955. 483 с.

13. Дудников Е. Е. Сеть нейронов с нелинейными обратными связями // Автомеханика и телемеханика. 1997. № 6. С. 64-73.

14. Зубов В. И. Асимптотическая устойчивость по первому, в широком смысле, приближению // Докл. РАН. 1996. Т. 346, № 3. С. 295-296.

15. Александров А. Ю. Некоторые условия устойчивости решений нелинейных неавтономных систем // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1: Математика, механика, астрономия. 1998. Вып. 2 (№8). С. 3-6.

16. Александров А. Ю., Жабко А. П. О сохранении устойчивости при дискретизации систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Сиб. матем. журн. 2010. Т. 51, № 3. С. 383-395.

17. Александров А. Ю., Платонов А. В. Построение функций Ляпунова для одного класса систем нелинейных дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения. 2007. Т. 43, № 10. С. 267-270.

Статья рекомендована к печати проф. А. П. Жабко. Статья принята к печати 20 октября 2011 г.