О роли физико-химических процессов в задачах моделирования гиперзвуковых течений разреженного газа

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ И АГ И

Том XII

198 1

№4

УДК 533.6.011.8

О РОЛИ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ЗАДАЧАХ МОДЕЛИРОВАНИЯ ГИПЕРЗВУКОВЫХ ТЕЧЕНИЙ РАЗРЕЖЕННОГО ГАЗА

В. Н. Гусев, В. П. Провоторов, В. В. Рябов

На основании данных, полученных при решении конечно-разностным методом уравнений вязкого ударного слоя и полных уравнений Навье—Стокса совместно с уравнениями физико-химической кинетики, рассмотрены вопросы моделирования гиперзвуковых течений вязкого газа вблизи затупленных тел с учетом неравновесных процессов вращательной релаксации, диффузии, диссоциации и ионизации. Исследовано влияние различных параметров подобия на локальные тепловые и весовые характеристики. Показано выполнение бинарного закона подобия для тупых тел в переходном режиме обтекания.

Осуществить полное моделирование гиперзвукового полета летательного аппарата в существующих аэродинамических трубах в настоящее время не представляется возможным. В связи с этим экспериментальные исследования гиперзвуковых течений разделяют на гидродинамические, обусловленные изменением чисел Маха и Рейнольдса, и исследования эффектов реального газа, обусловленных большой энергией потока.

Очевидно, что такое разделение существенно упрощает техническую задачу реализации гиперзвуковых потоков в лабораторных условиях. Однако и при таком разделении неполное моделирование по всем критериям подобия требует дополнительной информации, на основании которой может быть определен вид зависимостей искомых безразмерных величин от тех критериев, которые имеют различные значения на модели и натуре.

Иногда такая информация может быть заимствована из сформулированных в различных областях течений законов подобия. Она позволяет определить такие системы критериев подобия, влиянием отдельных параметров в которых можно пренебречь. При гиперзвуковых скоростях потока выбор таких систем при частичном моделировании, обусловленном изменением чисел Маха и Рейнольдса, рассматривался в работе [1].

В некоторых случаях дополнительная информация может быть получена из теоретических расчетов. Используя решения модельных задач, всегда можно оценить степень влияния отдельных критериев подобия на искомые безразмерные переменные, выделить из них основные и сократить тем самым их общее число в последующих экспериментальных исследованиях. Для термодинамически совершенного газа такой анализ, основанный на результатах параметрических расчетов обтеканця простых тел, был проведен в работах [2, 3].

Такой подход позволил достаточно эффективно исследовать гиперзвуковое обтекание тел от свободномолекулярного до сплош-носредного режимов обтекания. К настоящему времени в этой области накоплен обширный экспериментальный и расчетный материал по аэродинамическим и тепловым характеристикам широкого класса тел. На основании этих данных выявлены основные закономерности изменения этих характеристик при изменении основных критериев подобия. Показано, что во многих интересующих нас случаях влияние отдельных критериев подобия на аэродинамические и тепловые характеристики широкого класса тел становится несущественным, если исходная система критериев подобия включает в себя число Ие0, в котором коэффициент вязкости вычисляется по температуре торможения Т0.

Использование теоретических результатов в качестве дополнительной информации в задачах моделирования становится особенно важным при учете различных физико-химических процессов, происходящих в воздухе.

К ним относятся возбуждение поступательных, вращательных и колебательных степеней свободы молекул, а также диссоциация^ химические реакции и ионизация. Времена релаксации для возбуждения и установления равновесия для указанных процессов сильно различаются. Это обстоятельство позволяет схематизировать задачу и рассматривать каждый из релаксационных процессов отдельно, предполагая, что легко возбуждаемые степени свободы находятся в термодинамическом равновесии, а более медленные релаксационные процессы — „заморожены11. При малых отклонениях течения от равновесного или „замороженного" состояний такой подход позволит определить границы применимости сформулированных ранее условий частичного гидродинамического моделирования. Для сильно затупленных тел, обтекаемых гиперзвуковым потоком разреженного газа, результаты таких исследований приведены ниже.

1. Со стороны сплошной .среды учет физико-химических процессов в переходной области, лежащей между свободномолекулярными и сплошносредными режимами обтекания, естественно начинать с таких энергоемких процессов, как диссоциация, химические реакции и ионизация, поглощающих до 75% энергии потока. При учете этих процессов обычно используется схема предельно тонкой ударной волны, на фронте которой выполняются классические соотношения Гюгонио, с примыкающей к ней зоной релаксации (см., например, [4]). В зависимости от протяженности этой зоны различают два предельных случая. Если ее размер существенно меньше характерного размера обтекаемого тела, течение будет равновесным, в противном случае — замороженным. Между ними лежит область неравновесных течений.

5—.Ученые записки” № 4

65

Проведенные по этой схеме оценки показывают, что для окрестности критической точки граница „замороженной11 диссоциации достигается при числе Не0«30 [1]. Однако при этом значении числа Ие0 ударную волну уже нельзя рассматривать как разрыв непрерывности, на котором выполняются соотношения Гюгонио, а влияние вязкости уже не будет ограничено тонким пограничным слоем. Возмущенное поле течения перед телом становится сплошь вязким. При исследовании таких течений наряду с физико-химическими необходим учет диссипативных процессов во всей возмущенной области. I

Трудности получения численных решений системы полных уравнений Навье—Стокса с учетом кинетики химических реакций, идущих в воздухе, приводят к необходимости привлечения приближенных теорий, например, двухслойной модели вязкого ударного слоя Ченга, которая описывает общий случай гиперзвукового обтекания затупленного тела, включая режимы полностью „разма-занного" и классическ9го пограничного слоев. К настоящему времени с помощью этой модели выполнено значительное число работ, посвященных численному исследованию неравновесных течений в вязком ударном слое вблизи критической точки тупого тела (см. библиографию [4]). Значительно меньшее их число относится к исследованию неравновесного вязкого ударного слоя вдоль образующей тупого тела [5, 6]. Используемые в дальнейшем результаты численных расчетов были взяты из [6].

Система уравнений, описывающая течение в неравновесном вязком ударном слое, записывалась в общей системе координат, связанной с нормалью к поверхности обтекаемого тела,. Предполагалось выполнение следующих граничных условий: а) на поверхности тела задавались условия прилипания и температура поверхности Тт {влияние скольжения и температурного скачка было исследовано на примере течения совершенного газа), концентрации компонентов рассматриваемой смеси воздуха соответствовали идеально каталитической и некаталитической поверхностям; б) на внешней границе ударного слоя задавались обобщенные условия Ренкина—Гюгонио.

В качестве модели воздуха при высоких температурах рассматривалась смесь из девяти компонентов (02, Кт2, N0, О, N. О^, Ы+, N0+, е~). Данные о константах равновесия и обратных реакций были заимствованы из работы [4].

При вычислении коэффициентов переноса использовались приближенные формулы Уилке и Мейзона, в которых коэффициенты переноса отдельных компонентов воздуха рассчитывались по значениям й-интегралов, приведенных в работе [7]. Погрешность при определении по этим формулам коэффициентов вязкости и теплопроводности не превышала 10%. Числа Шмидта полагались постоянными, равными 0,5 и 0,25 соответственно для нейтральных и заряженных частиц.

При численном интегрировании система уравнений неравновесного вязкого ударного слоя преобразовывалась к новым переменным, аналогичным переменным Дородницына—Лиза. Полученная в результате такого преобразования система уравнений и граничных условий решалась численно на ЭВМ конечно-разностным методом. При этом использовалась четырехточечная неявная разностная схема повышенного порядка аппроксимации, разработанная

в работе [8] для численного интегрирования уравнений ламинарного пограничного слоя.

Наличие неравновесных процессов существенно усложняет задачу моделирования. В общем случае оно становится возможным лишь для одинаковых смесей при полном совладении условий обтекания. Однако с ростом высоты полета характерные длины релаксации физико-химических процессов растут, и течение вблизи тела приближается к „замороженному* состоянию. При небольших отклонениях от этого состояния свойства воздуха будут мало отличаться от соответствующих свойств термодинамически совершенного газа./Поэтому при моделировании таких течений в переходной области целесообразно воспользоваться сформулированными ранее гидродинамическими условиями подобия и на основании параметрических расчетов обтекания- простых тел посмотреть, как они выполняются при малых отклонениях течения от „замороженного* состояния. Основной критерий подобия Ке0 в этом случае будет вычисляться по „замороженному" значению температуры Т0.

Рассмотрим этот вопрос при наличии.неравновесных процессов диссоциации и ионизации. Для параболоида вращения результаты численных расчетов давления р = и%, трения т = 2т/рос

и теплового потока д = 2д/рсои3х, вдоль образующей тела 5 = приведены на рис. 1 сплошными линиями. При первой космической скорости и0о = 7,8 км/с и радиусе затупления /? = 1 м выбранные значения числа Не0 = 47,3 и 1,49 и температурного фактора

4 ==7\/Г0 = 0,033 и 0,016 соответствуют полету аппарата на высотах 90 и 110 км. Значение плотности роо при вычислении числа Йе0 определялось по стандартной атмосфере (ГОСТ—4401—64). На этом же рисунке штриховыми линиями даны значения р, х и <7 для термодинамически совершенного газа с отношением удельных теплоемкостей -(==1,4. Сравнение показывает, что влияние неравновесных процессов диссоциации и ионизации на локальные характеристики элемента поверхности затупленного тела в переходной области оказывается несущественным. Лишь для трения при числе Яе0 = 47,3 максимальное отличие доходит до 28%.

Влияние неравновесных процессов диссоциации и ионизации становится в переходной области более существенным при изучении структуры течения перед телом. Это иллюстрируется приведенным на рис. 2 распределением температуры Т = 2срТ1и200 по нор-

мали n = nlR к телу на нулевой линии тока. Расчеты показывают, что лишь при Re0 = 0(l) пространственное распределение параметров вблизи тела приближается к „замороженному11. При больших значениях числа Re0 эти отклонения становятся значительными и гидродинамическое моделирование полей течений в этом случае теряет смысл.

Влияние неравновесных процессов на пространственное распределение параметров потока можно учесть, если предположить, что в рассматриваемых здесь течениях, близких к „замороженным", процессы рекомбинации несущественны. В этом случае при приближенном моделировании можно воспользоваться законом бинарного подобия рю R = const. Для невязкого газа его справедливость

Рис. 2

в аналогичных ситуациях неоднократно проверялась [4]. Посмотрим, как он выполняется в рассматриваемом случае при малых значениях числа Re0.

В соответствии с бинарным законом подобия при одних и тех же физических свойствах газов условия моделирования будут соблюдены, если вместо одного Re0 = const будут выполнены два условия роо/? = const и Мсо= const. Расчеты, проведенные для нулевой линии тока при йсо = 7,8 км/с, poo R = 5,35-10~7 кг/м2 (Re0 = 7,33) и двух значениях радиуса затупления /?=1 м и 0.005 м, показали,, что распределения параметров потока и концентраций компонентов воздуха в этих двух случаях достаточно хорошо коррели-руются. Результаты этих расчетов для температуры Т и концентрации электронов А^, приведены на рис. 2 (полые кружки**£*=1 м„ полые треугольники -~R = 0,005 м).

В приведенных исследованиях неравновесного вязкого ударного слоя использовались условия при отсутствии скольжения на поверхности тела. В то же время известно [5, 9], что в случае совершенного газа учет скорости скольжения и скачка температуры при малых числах Рейнольдса приводит к заметному снижению теплового потока и напряжения трения. Прямой учет этих условий в нашем случае провести не удается из-за отсутствия выражений для скольжения и скачка температуры для многокомпонентной реагирующей смеси. Однако при малых отклонениях течения от „замороженного" состояния это влияние можно оценить на примере термодинамически совершенного газа. Для критической точки при натурных значениях температурного фактора

результаты расчетов числа Стантона = ?/срРооМоо(7’0 — Тш) в зависимости от числа Ие0 представлены на рис. 3 штриховыми линиями (кривая 1 — без учета, кривая 2 — с учетом скольжения и скачка температуры на поверхности тела). Здесь же сплошной линией приведены натурные значения числа Стантона, полученные с учетом процессов диссоциации и ионизации, но при отсутствии скольжения на поверхности тела, а также экспериментальные данные, заимствованные из работы [10].

Так как скорость скольжения и скачок температуры на поверх-

/У — 1 , \ 1/2

ности пропорциональны . влияние граничных условии

скольжения будет увеличиваться по мере роста температурного фактора Если в натурных условиях С 1) снижение теплового потока в критической точке за счет скольжения доходило до 15% лишь при числе Не0 = 1,49 (рис. 3), то в трубных условиях (^,^0,3), как показывают расчеты, оно уже при Йе0 = 7,33 составляет 30%. Аналогичную тенденцию в поведении теплового потока в критической точке при изменении температурного фактора показывает и приведенный на рис. 3 эксперимент. Интересно отметить, что при таком же изменении температурного фактора в свободномолекулярном пределе разница в тепловом потоке не превышает 6%.

В условиях трубного эксперимента влияние граничных условий скольжения на поверхности тела становится еще более заметным при изучении структуры течения перед телом. Результаты таких расчетов при Ие0 — 7,33, ^ = 0,315 для давления р=р[рос , плотности р/рот и температуры Т/Т0 вдоль нулевой линии тока, полученные в пристеночной области течения путем численного решения уравнений вязкого ударного слоя, приведены на рис. 4 (короткие сплошные линии — без учета, короткие штриховые — с учетом скольжения и скачка температуры на поверхности). Для температуры и плотности различия в их значениях на поверхности тела доходят до 40%.

В связи с использованием модели вязкого ударного слоя с граничными условиями скольжения при столь малых значениях числа Ие0 представляет интерес сопоставить полученные резуль-

таты с другими данными, например, с расчетами, выполненными с помощью полных уравнений Навье—Стокса. Применимость последних в переходной области неоднократно подтверждалась результатами численных решений кинетического уравнения Больцмана (см., например, [3]). В нашем случае сравнение полученных данных в поле течения с аналогичными результатами расчетов системы полных уравнений Навье—Стокса [11] приведено на рис. 4. Наибольшие отклонения в распределении параметров при использовании модели вязкого ударного слоя при малых значениях числа Re0 наблюдаются здесь вдали от стенки из-за нарушения условия р — const вдоль нулевой линии тока. Для распределения

• ----- ’ ч . . ' - -

параметров по поверхности тела соответствие между аналогич-ными данными достаточно хорошее [6]. Все это указывает на возможность использования модели вязкого ударного слоя с граничными условиями скольжения при исследовании гиперзвукового обтекания сильно затупленных тел в переходной области при малых чисдах Яе0.

До сих пор все приведенные выше результаты расчетов относились к случаю, когда поверхность обтекаемого тела была идеально каталитической. Посмотрим, как изменятся условия обтекания при переходе к некаталитическим поверхностям. Результаты расчетов показывают, что степень каталитической активности поверхности практически не влияет на распределения давления и трения по телу. Последние продолжают мало отличаться от соответствующих значений р и т для термодинамически совершенного газа с ртношением удельных теплоемкостей 1,4 (см. рис. 1). Гидродинамические условия моделирования для этих переменных в переходной области будут достаточными.

Наибольшее влияние неравновесные процессы диссоциации и ионизации в зависимости от степени каталитической активности поверхносги оказывают на теплопередачу и распределение концентраций компонентов воздуха. Как показывают расчеты, для этих переменных оно распространяется до чисел Re0 = 0 (1), и о степени этого влияния можно судить по приведенным на рйс. 3 значениям числа Стантона в критической точке тела в зависимости от числа Re0 (штрихпунктирная линия). Вычисления были проведены при «со — 7,8 км/с й J?=l м. Так же как и для идеально каталитических поверхностей, условия моделирования для этих переменных будут выполнены при соблюдении бинарного закона подобия. На рис. 2 это иллюстрируется зависимостью концентрации электронов Ne вдоль нулевой линии тока при их = 7,8 км/с, рю /? = = 5,35-10-7 кг/м2 для некаталитической поверхности (темные кружки— /?=1 м, темные треугольники — = 0,005 м).

2. По мере роста высоты полета из-за размытия ударной волны и воздействия охлажденной поверхности обтекаемого тела процесс диссоциации в возмущенной области течения становится несущественным. Неравновесные процессы последовательно переносятся на колебательные, вращательные и поступательные степени свободы молекул, поскольку для их возбуждения требуется на несколько порядков меньшее число столкновений молекул, чем при диссоциации. В действительности все эти различные процессы в воздухе протекают совместно, однако их одновременный учет при гипер-звуковом обтекании тел потоком разреженного газа в настоящее время не представляется возможным. Как правило, каждый из них рассматривается отдельно.

При обтекании затупленных тел в условиях, близких к рассмотренным, процесс колебательной релаксации в рамках справедливости модели вязкого ударного слоя исследовался в работе [12]. Проведенный в ней анализ показал, что ее влияние на теплопередачу к телу в натурных условиях при tw <1 пренебрежимо мало. Заимствованные из этой работы значения числа Стантона для критической точки приведены на рис. 3 треугольниками. При одних и тех же значениях числа Re0—102 они мало отличаются от соответствующих значений для термодинамически совершенного газа С отношением удельных теплоемкостей 7=1)4. При меньших значениях числа Re0 такие сведения отсутствуют.

В области, примыкающей к свободномолекулярной, при гипер-звуковом обтекании тел необходимым становится учет таких неравновесных процессов, как поступательная и вращательная релаксация. При их изучении наряду с кинетическими уравнениями [13, 14] широко используются уравнения Навье —Стокса [15—17]. Приводимые ниже результаты численных расчетов были получены на основании последних двух работ. Полная система уравнений Навье—Стокса, дополненная соответственно уравнениями диффузии и релаксации [4], при граничных условиях скольжения и скачка температуры решалась численно итерационным методом Зейделя для консервативной конечно-разностной схемы, основные черты которой описаны в работе [11]. Выбранные при расчетах режимы обтекания сферы соответствовали условиям эксперимента в вакуумных аэродинамических трубах (7'0=103 К). Влияние рассматриваемых неравновесных процессов здесь будет наибольшим.

В режиме гиперзвуковой стабилизации следующая из уравнений Навье—Стокса .система гидродинамических критериев подобия

включает число Яе0 = роо «оо число Прандтля Рг={>-ср/\, температурный фактор 1Ю—Т^Т0, отношение удельных теплоемкостей 7 = ср/су, показатель степени ш в законе изменения коэффициента вязкости от температуры р.-— Т"1, коэффициенты аккомодации а£. Из уравнений диффузии и релаксации к ним добавляются число Шмидта 5с = [х/рД термодиффузионное соотношение (3, отношение молекулярных весов е компонентов смеси, релаксационный параметр — /7Тя/р«/?, равный отношению характерного времени

релаксации к характерному гидродинамическому времени, показатель степени пг в законе изменения времени вращательной релаксации тд от температуры /7тд~Гт.

Условия моделирования для таких течений будут выполнены при равенстве всех этих критериев подобия. Однако такое полное моделирование при гиперзвуковом обтекании тел не всегда необходимо. Как показывают теоретические и экспериментальные исследования [3], в режиме гиперзвуковой стабилизации для термодинамически совершенного газа влияние отдельных критериев подобия на аэродинамические и тепловые характеристики сильно затупленных тел оказывается несущественным. Посмотрим, как изменятся эти условия моделирования при наличии неравновесных процессов диффузии и вращательной релаксации.

Для недиссоциированного воздуха, представляющего собой смесь газов с малой разницей в молекулярных весах (компонентов), влияние процессов диффузии на гиперзвуковое обтекание сильно затупленных тел будет незначительным. Для смеси кислорода с азотом по проведенным расчетам [17] оно приводит к увеличению концентрации кислорода в критической точке сферы и повышению адиабатической температуры стенки по сравнению со случаем обтекания однокомпонентным газом. Соответствующие отличия в распределении давления по поверхности затупленного тела и в коэффициенте сопротивления не превышают 3—5%. Значительное влияние процессов диффузии следует ожидать для смеси с большим различием в массах компонентов. Этот эффект можно использовать при их разделении [17].

При малых числах Ре0, когда ударная волна перед телом достаточно размыта, существенно неравновесными становятся вращательные степени свободы молекул. За счет значительного отставания удельной вращательной энергии от кинетической температуры увеличиваются по сравнению с равновесным случаем поступательная температура газа и толщина возмущенной области течения перед телом. Результаты такого сравнения для азота даны на рис. 5. На нем сплошными линиями приведено распределение поступательной 7уГ0 (кривые 1) и равновесной Т/Т0 (кривые 2) температур на нулевой линии тока перед сферой при Моо = 6,5, *да = 0,3 и двух значениях числа Ре0 = 7,33 и 47,3. Здесь же дано распределение неравновесной вращательной энергии азота е^ = 8^/^0Г0 (кривые 3; /?0 — газовая постоянная).

При Ре0 = 47,1 влияние вращательной релаксации локализовано вблизи фронта ударной волны. По мере уменьшения числа Иер неравновесная зона течения распространяется на всю возмущенную область. При этом неравновесное возбуждение вращательных степеней свободы приводит к уменьшению удельного теплового потока на стенку. О его величине можно судить по приведенным на рис. 6 значениям числа Стантона по поверхности сферы.

Расчеты проводились при Re0=14,4, Моэ=6,5, ^ = 0,34 (сплошные линии —равновесные значения, штриховые — с учетом вращательной неравновесности). Полученная разница оказалась незначительной (около 5%).

На этом же рисунке результаты численных расчетов по распределению числа Стантона по поверхности сферы сравниваются с экспериментальными данными [18]. Последние были получены в вакуумной аэродинамической трубе при тех же' значениях параметров Re0; Moo и tw: Соответствие между экспериментальными и расчетными данными вполне удовлетворительное.

Расчеты также показали, что неравновесный характер обмена энергией между поступательными и внутренними степенями свободы оказывает слабое влияние на процесс передачи импульса элементу поверхности (рис. 6). Соответствующие различия в распределении давле-

Щ1! |В рассмотренных выше случаях набегающий на модель сверхзвуковой поток газа предполагался равновесным. Однако при течении газа в сильно недорасширенных струях, которые широко используются в вакуумных аэродинамических трубах при аэродинамическом эксперименте, из-за резкого падения плотности и кинетической температуры в течении расширения вращательные степени свободы будут „замораживаться11, и набегающий на модель поток становится неравновесным (е^00> ^°о)-

Результаты численных расчетов для сферы, обтекаемой неравновесным потоком азота при Ре0 = 7,33, Мсо = б,5 и ^ = 0,3, приведены на рис. 5

соответствует одному из режимов течения в сильно недорасши-ренной струе. Все влияние неравновесности сосредоточено в передней части возмущенной области. Параметры течения вблизи тела остаются неизменными.

1. Гусев В. Н. О гиперзвуковом моделировании, обусловлен-

ном изменением чисел Маз^а и Рейнольдса. „Ученые записки ЦАГИ“, т. X, № 6, 1979. \

2. Галкин В. С., Николаев В. С. О моделировании вязких гиперзвуковых течений в вакуумных аэродинамических трубах. „Ученые записки ЦАГИ*, т. 1, № 4, 1970.

3. Гусев В. Н., Ерофеев А. И., Климова Т. В., Пере-пухов В. А., Рябов В. В., Толстых А. И. Теоретические и экспериментальные исследования обтекания тел простой формы гиперзвуковым потоком разреженного газа. Труды ЦАГИ, вып. 1855, 1977.

4. Агафонов В. П., В е р т у ш к и и В. К., Г л а д к о в А, А., Полянский О. Ю.'Неравновесные физико-химические процессы в аэродинамике. М., „Машиностроение", 1972.

5. Davis R. Т. Hypersonic flow of a chemically reacting binary mixture past a blunt body. AIAA Paper № 70—80S, 1970,

6. Провоторов В. П., Рябов В. В. Исследование гиперзвуковых течений в тонком вязком ударном слое- при наличии неравновесных процессов диссоциации и ионизации. „Ученые записки ЦАГИ“, т. XII, № 5, 1981.

7.-Соколова И. А. Коэффициенты переноса воздуха в области температур от 3000 до 25000 К и давлений 0,1; 1; 100 атм. ПМТФ, 1973, № 2.

8. Петухов И. В. О численном интегрировании уравнений ламинарного пограничного слоя. ДАН СССР, т. 132, N° 2, 1960.

9. Брыкииа И. Г. -Применение метода последовательных приближений к решению уравнений вязкого ударного слоя с учетом скольжения на поверхности. Аэродинамика гиперзвуковых течений при наличии вдува. М., Изд. МГУ, 1978.

10. Гусев В. Н., Никольский Ю. В. Экспериментальное исследование теплопередачи в критической точке сферы в гиперзвуковом потоке разреженного газа. „Ученые записки ЦАГИ*, т. II, № 4, 1971.

11. Молодцов В. К., Рябов В. В. О применимости уравнений Навье — Стокса для описания сверхзвукового течения разреженного газа около сферы. „Ученые записки ЦАГИ", т. X, № 6, 1979.

12. Schubert В. S. Vibrational nonequilibrium stagnation shock layers at hypersonic speed and low Reynolds number, „Int. J. Heat Transfer", vol. 21, 1978.

13. Ларина И. H., Рыков В. А. Влияние вращательных степеней свободы молекул на потоки энергии в разреженном газе. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1977, № 5.

14. Горелов С. Л., Ерофеев А. И. Влияние внутренних степеней свободы на обтекание пластины гиперзвуковым потоком разреженного газа.» „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1978, № 6.

15. Залог и н Г. Н. Вращательная релаксация азота в вязком ударном слое при малых числах Рейнольдса. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1977, № 4.

16. Рябов В. В. Численное исследование обтекания сферы азотом с учетом вращательной релаксации. „Изв АН СССР, МЖГ“, 1980, № 2.

17. Рябов В. В. Численное исследование сверхзвукового обтекания сферы бинарной смесью газов. Динамика разреженных газов. Труды VI Всесоюзной конференции, 1980.

18. Ардашева М. М., Климова Т. В., Первушин Г. Е., Черникова Л. Г. Применение двухслойного термоиндикаторного покрытия для исследования теплопередачи в вакуумных трубах. „Ученые записки ЦАГИ“, т. X, № 6, 1979.

Рукопись поступила 15\1 1980 г.