Задачи математического моделирования и исследования робототехнических систем

необходимо применение имитационных методов моделирования с использованием в качестве базового языка - языка транзакций, и создание на его основе универсальной имитационной модели, в которой заложен алгоритм функционирования сети, а структурные параметры сети задаются

исходными данными. Такой подход позволяет на базе существующего пакета прикладных программ имитационного моделирования автоматизировать процесс разработки, написания текста имитационной модели сети и анализ результатов, полученных в ходе проведения эксперимента.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Построение сетей интегрального обслуживания. Л.: Машиностроение, 1990. 332 с

2. Лохмотко В.В., Пирогов К.И. Анализ и оптимизация цифровых сетей интегрального обслуживания. Мн.: Навука i тэхн i ка, 1991. 192 с.

3. Давыденко В.П., Доронин Е.М., Лоскутов Н.Г.

Основы кибернетики. Л.: ЛВВИУС им. Ленсовета, 1980. С. 57-68.

4. Головкин В.В., Приходько А.Я и др. О технологии разработки специального математического и программного обеспечения АСУ // Концептуальные и методологические основы построения и функционирования автоматизированных систем. Науч.-тех. сб. 27 ЦНИИ, 1991. № 1. С. 3-10.

5. Снопелев Ю.М., Старосельский В.А. Моделирование и управление в сложных системах. М.: Сов. радио, 1974. 86 с.

6. Волкова В.Н. и др. Теория систем и методы системного анализа в управлении и связи. М.: Радио и связь, 1983. 134 с.

7. Полляк Ю.Г., Филимонов В.А. Статистическое машинное моделирование средств связи. М.: Радио и связь, 1988. С.18-56.

8. Шеннон Р. Имитационное моделирование систем - искусство и наука. М.: Мир, 1978. С. 123-138.

9. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учеб. для вузов. М.: Высш. шк., 1985. 272 с.

10. Альянах И.Н. Моделирование вычислительных систем. Л.: Машиностроение, 1988. 223 с.

11. Бусленко Н.П. Моделирование сложных систем. М.: Наука, 1978. 156 с.

12. Бусленко В.Н. Автоматизация имитационного моделирования сложных систем. М.: Наука, 1983. 240 с.

13. Кулешов И.А., Боев В.Д Основы моделирования систем связи и автоматизации на GPSS/PC. СПб., ВАС, 2001. 228 с.

14. Кулешов И.А., Боев В.Д Основы моделирования систем связи и автоматизации в Delphi 4. СПб., ВАС, 2004. 232 с.

15. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. Практикум: Учеб. пособ. для вузов / Изд. 2-е, перераб., доп. М.: Высш. шк., 2005. 295 с.

16. Сирота А.А. Компьютерное моделирование и оценка эффективности сложных систем / Мир программирования. Техносфера, 2006. 280 с.

17. Алгазинов Э.К., Сирота А.А. Анализ и компьютерное моделирование информационных процессов и систем. Диалог-МИФИ, 2009. 416 с.

УДК 681.3

Е.И. Игнатова

ЗАДАЧИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И ИССЛЕДОВАНИЯ РОБОТОТЕХНИЧЕСКИХ СИСТЕМ

Разработка роботов любого назначения (промышленных, космических, подводных, медицинских, военных, социальных) включает в себя проектирование их исполнительных систем (ИС) и систем управления (СУ) [11, 12, 16]. Основное функциональное назначение ИС - воспроизведение движений звеньев робота по траекториям, формируемым системой управления заданным движением схвата или другого рабочего органа.

Основной функцией СУ является формирование траекторий движения звеньев робота, обеспечивающих заданное движение схвата или другого рабочего органа. При компьютерном моделировании СУ роботами требуется осуществлять отладку алгоритмов управления и анализировать динамику в различных режимах работы. Однако вопросы исследования динамики СУ роботами различных типов по их адекватным моделям

освещены в литературе по робототехнике в недостаточной степени, поэтому довольно часто проектировщики используют линеаризованные модели приводных систем звеньев (ПСЗ) и упрощенные модели СУ в целом. Упрощенный подход к моделированию процессов, протекающих в многокоординатных СУ, не позволяет достоверно оценивать с помощью ЭВМ реально достижимые точностные показатели роботов.

Анализ ИС роботов

На рис. 1 представлена функциональная схема исполнительной системы манипуляционно-го робота, где обозначены: ИМ - многозвенный исполнительный механизм; МП - механические передачи; Д - двигатели; СП - силовые преобразователи.

Конструкции механических систем (МС) роботов различных типов (манипуляционных, мобильных, гуманоидных и др.) крайне разнообразны. В качестве приводов звеньев в настоящее время наиболее часто используются электроприводные системы постоянного и переменного тока, которые в совокупности с многозвенной МС типа манипулятора или шасси мобильного робота образуют многомерную ИС с взаимосвязанными каналами управления многокоординатным электромеханическим объектом [7]. В современных роботах приводные системы звеньев (ПСЗ) представляют собой цифровые системы автоматического управления (САУ) с микропроцессорной реализацией регуляторов.

На входы регуляторов приводных систем звеньев подаётся вектор входных воздействий б^), генерируемых (вычисляемых) устройством числового программного управления (УЧПУ) робота, пропорциональных программным значениям вектора обобщенных координат д(?). Формируе-

мый цифровыми или аналоговыми регуляторами вектор управляющих воздействий Ц7) посредством силовых преобразователей (усилителей мощности), преобразуется в вектор напряжений двигателей ид(?). С помощью МП векторы моментов Мд(?) и угловых скоростей ю(?) двигателей преобразуются в соответствующие векторы обобщенных сил Q(t) и координат д(?) звеньев робота. Вектор Е(() является вектором внешних сил и моментов, воздействующих на схват при выполнении роботом контактных операций.

Исполнительный механизм создаёт в рабочих координатах робота его текущий вектор состояния 5"с(0 в виде вектора проекций положения и ориентации схвата, а также проекций силы и момента, развиваемых схватом. Значения этого вектора зависят от типа кинематической схемы ИМ, которая определяет систему координат (СК), в которой работает робот. Наиболее сложную кинематику и динамику имеют роботы, работающие в вертикально-ангулярной СК.

Приводные системы звеньев представляют собой одномерные одно-, двух- или трёхконтур-ные САУ с соответствующими датчиками обратных связей, а ИС робота в целом является многомерной системой управления.

Позиционные следящие системы воспроизводят движения звеньев в позиционном и контурном режимах работы робота при входных воздействиях g ({), генерируемых системой программного

Ч

управления для движения схвата по траектории, которой соответствует вектор б(1). Основной функцией систем стабилизации скоростей двигателей ю(0 является поддержание их на уровнях, заданных входными воздействиями gm(t). Мо-ментные приводные системы используются при выполнении роботом контактных операций, когда требуется регулировать моменты на валах дви-

п Р

Регуляторы

и,

СП

цп {Мд, И/д}

Д

Датчики

Приводные системы звеньев

{О,Я)

МП

о

ИМ

Механическая система

Яс

Ф

Рис. 1. Функциональная схема ИС

гателей Мд(?) или непосредственно в шарнирах звеньев Q(t) на уровнях, заданных величинами соответствующих входных воздействий ^(0. В реально существующих ИС роботов: моментные приводные системы обычно являются внутренними контурами систем стабилизации скоростей двигателей;

системы стабилизации скоростей входят в состав позиционных следящих систем звеньев робота, как контуры скорости;

следящие системы звеньев совместно с механической системой образуют многомерную многосвязную ИС робота, являющуюся составной частью системы программного управления движением робота.

Одноконтурные приводные системы содержат единственный регулятор (момента, скорости или положения), а многоконтурные - несколько регуляторов.

Традиционно в литературе по робототехнике основное внимание уделяется моделированию многомерной нелинейной динамики МС с линеаризованным описанием процессов в ПСЗ [1, 5, 8, 9]. Вопросы анализа ИС с использованием адекватных нелинейных дискретно-непрерывных моделей ПСЗ освещены в недостаточной степени. Однако упрощенный подход к моделированию процессов, протекающих в ИС, не позволяет проектировщикам роботов достоверно оценивать с помощью ЭВМ их реально достижимые динамические и, особенно, точностные показатели.

При компьютерном проектировании ИС объектами моделирования могут быть: многозвенные МС без учёта ПСЗ; автономные одномерные ПСЗ; многомерные ИС в виде совокупности МС и ПСЗ.

На стадии предварительного проектирования основными задачами моделирования ИС, решаемыми с помощью ЭВМ, являются (рис. 2):

1) анализ кинематики МС на основе решения прямых и обратных задач (ПЗК и ОЗК);

2) анализ динамики МС без учёта динамики ПСЗ;

3) построение нагрузочных диаграмм ПСЗ при их энергетическом расчёте;

4) анализ переходных процессов в автономных ПСЗ;

5) оценка собственных точностных показателей ПСЗ;

6) моделирование ПСЗ с адекватным воспроизведением внутренних процессов в функциональных устройствах (в силовых и измерительных преобразователях, регуляторах и др.);

7) анализ взаимовлияния ПСЗ в многомерных ИС;

8) имитационное моделирование процессов функционирования ИС в различных режимах работы робота.

Эти задачи тесным образом связаны с синтезом регуляторов ПСЗ и оптимизацией их параметров. Для решения таких задач требуются компьютерные модели различных видов:

алгебраические и дифференциальные, описывающие нелинейную кинематику и динамику МС;

непрерывные и дискретно-непрерывные, воспроизводящие динамические процессы в ПСЗ с аналоговыми и цифровыми регуляторами;

логические и алгоритмические, имитирующие функционирование основных устройств ПСЗ и ИС в целом.

При компьютерном моделировании автономных ПСЗ они рассматриваются как замкнутые САУ со своей собственной нелинейной динамикой. Динамику ПСЗ с аналоговыми и цифровыми регуляторами можно описывать дифференциальными и разностными уравнениями, но более эффективно использовать структурные модели.

Моделирование МС

Решение ПЗК и ОЗК Анализ динамики МС

Моделирование автономных ПСЗ

Анализ переходных процессов в ПСЗ Оценка точностных показателей ПСЗ

Моделирование многомерных ИС

Расчёт нагрузочных диаграмм ПСЗ Анализ взаимовлияния ПСЗ

Моделирование процессов функционирования

Имитационное моделирование ПСЗ Имитационное моделирование ИС

Рис. 2. Задачи моделирования ИС

Структура полной модели ИС, как совокупности замкнутых ПСЗ с регуляторами, изображена на рис. 3, где МОУ - многомерный объект управления с взаимосвязанными каналами; О и q - векторы входных воздействий и выходных (обобщенных) координат соответственно; У- вектор или матрица обратных связей регуляторов.

Регуляторы

-2-Е-

—1> МОУ

Уос

Рис. 3. Структура многомерной модели ИС

Используя уравнение Лагранжа [2, 16], описывающее динамику Язвенной МС робота, и обозначив qт)т как 2#х 1 вектор переменных состояния Х(0 = (ХДО, Х2т(0)т, представим модель МС в форме Коши:

йх^)

dt

dX2(t) dt =

- Л-1(ХЩ—Б(Х(), Xß)) — C(X1(t)) + Q(t)],

откуда видно, что МС робота является многомерным нелинейным астатическим объектом управления.

При учёте инерционностей силовых преобразователей и двигателей в ПСЗ, а также упруго-стей в механических передачах, вектор состояния расширяется, и тогда полная многомерная модель объекта управления ИС описывается системой дифференциальных уравнений более высокого порядка:

Х)

- = F

где F(•) - нелинейная вектор-функция с размерностью, соответствующей вектору состояния Х^); и({) - Nx1 вектор управления (входов силовых преобразователей); /({) - вектор внешних возмущений; 0(^ - вектор нестационарных параметров, таких как изменяющиеся моменты инерции.

При линеаризации (2) динамика МОУ с квазипостоянными параметрами описывается системой линейных дифференциальных уравнений:

Х)

dt

= ЛГ X(t) + BU(t) + БШ

где Л , Б и Б — матрицы постоянных коэффици-

ентов.

Так как в модели МОУ одновременно описываются и медленные механические, и быстрые электрические переходные процессы, её динамика может оказаться жесткой.

Системы вида (2) и (3) будут жесткими, если собственные числа матрицы Якоби dF(X)/dX или матрицы Л существенно различаются Xmax>>Xmin (в 104—105 и более раз). Для апериодических процессов с постоянными времени т = —1А.;, жесткость может быть связана с большим их разбросом т <<т .

* min max

Компьютерное моделирование объектов с жесткой динамикой на длительных интервалах времени явными численными методами неэффективно по затратам машинного времени из-за ограничений на величину шага интегрирования по условиям устойчивости таких методов. Целесообразнее использовать неявные методы с автоматическим изменением шага интегрирования в процессе моделирования.

Синтез регуляторов ПСЗ обычно проводят по линеаризованным динамическим моделям одномерных ОУ невысокого порядка вида (3), где U(t) = u(t) и ft) =f(t) являются скалярными величинами, поэтому Б и Б — векторы постоянных коэффициентов.

u J

Методические вопросы моделирования ИС роботов с упругостями в механических передачах, звеньях и схвате рассмотрены в [4].

Исследование СУ роботами

В биотехнических СУ роботами, работающими в экстремальных условиях, целеуказания формируются с помощью специальных задающих устройств и соответствующих спецвычислителей [1, 2, 12, 16]. В таких системах человек-оператор представляет собой динамическое звено в контуре управления, т. к. он непосредственно управляет движением робота с помощью задающего манипулятора (в копирующих системах) или многостепенной управляющей рукоятки (в полуавтоматических системах).

На схеме копирующего манипулятора (рис. 4) звенья кинематически подобных задающего и исполнительного механизмов (ЗМ и ИМ) взаимосвязаны посредством обратимых следящих систем (ОСС), представляющих собой электрические валы двустороннего действия. Человек-оператор, прикладывая к схвату ЗМ вектор сил и моментов F(t), перемещает его звенья и формирует тем самым векторы обобщенных сил Q (t) и координат

т мъ

ЗМ Л-N

41-1/

0(0,<7(0

осс

/1-N ИМ

М-✓

5(0

ф

Задающий манипулятор Рабочий манипулятор

Рис. 4. Функциональная схема копирующего манипулятора

зд

Л (ЦЩЪ

ур

СВУ

-N ПСЗ -N ИМ

—к -V

>

Управляющее устройство Рабочий манипулятор

Рис. 5. Функциональная схема полуавтоматической СУ

#з(0. Через ОСС движения звеньев ЗМ копируются соответствующими звеньями ИМ с векторами обобщенных сил Q(t) и координат Вектором состояния рабочего манипулятора S(t) является вектор проекций положения и ориентации его схвата, который из-за неизбежных ошибок в ОСС может значительно отличаться от вектора состояния задающего манипулятора Sз(t). При выполнении рабочим манипулятором контактных операций на его схват дополнительно воздействует вектор внешних сил и моментов Г.

В полуавтоматической СУ (рис. 5) управляющая рукоятка (УР) и ИМ имеют разные кинематические схемы. Формируемые задающие сигналы, пропорциональные обобщенным координатам д(), скоростям dqз(t) или силам Qз(t), преобразуются специализированным вычислительным устройством (СВУ) в вектор входных воздействий 0((), подаваемых на ПСЗ рабочего манипулятора. В зависимости от используемого способа полуавтоматического управления - позиционного, скоростного или силомоментного, ПСЗ могут быть позиционными следящими системами, либо системами регулирования скорости или момента.

Системы программного управления обеспечивают движение звеньев робота в позиционном или контурном режимах, либо выполнение им контактных операций с непосредственным регулированием сил и моментов, развиваемых схва-том или другим рабочим инструментом [2, 12]. В общей структуре СПУ (рис. 6) многомерный объект управления (МОУ) с взаимосвязанными каналами представляет собой совокупность ИМ и

силовых частей ПСЗ; УП - управляющая программа; УЧПУ - устройство числового программного управления; 0[п] - вектор входных воздействий цифровых регуляторов; и(7) - вектор управления; У (0 - вектор или матрица обратных связей; S(t) - вектор выходных координат.

В контурном режиме движение схвата по заданной траектории программируется координатами базовых точек, а на участках между ними с помощью линейно-круговых (ЛК) или сплайн-интерполяторов (СИ) генерируются входные воздействия для ПСЗ, которые реализуют соответствующие программные движения.

пт

{5} _в[п]_Щ) <> 5(0

МОУ

Рис. 6. Общая структура СПУ

В системе (рис. 7) по заданным в УП значениям вектора состояния в базовых точках и скоростям на участках между ними с помощью цифрового линейно-кругового интерполятора (ЛКИ) генерируется в дискретном времени программная траектория движения схвата:

= + Д^п);

t = t1 + т0,

п п-1

где Т0 - период дискретности ЛК-интерполятора.

В процессе решения обратной задачи кинематики (ОЗК) формируются входные воздействия

УП

{Я}

лки

ад

озк

псз

П

=>

им

_ УЧПУ_______I I__Исполнительная система

Рис. 7. Функциональная схема СПУ с ЛК-интерполятором

УП

{5}

ОЗК

{Я}

СИ

да

УЧПУ

I

псз

скто

п пшь <

им

Исполнительная система

Рис. 8. Функциональная схема СПУ со сплайн-интерполяторами

на ПСЗ, выходы которых преобразуются в рабочие координаты схвата путём неявного решения исполнительным механизмом прямой задачи кинематики (ПЗК), зависящей от типа его кинематической схемы. В случае выполнения роботом контактных операций, вектор определяется не только программными значениями координат положения и углов ориентации схвата, но и проекциями силы и момента, которые должны развиваться схватом. При этом составляющие вектора S(t) будут зависеть также от текущих значений вектора проекций внешней силы Г(7) и внешнего крутящего момента М(0, действующих на схват.

В системе (рис. 8) до начала движения робота решается ОЗК для программных значений вектора состояния схвата в базовых точках, а затем с помощью цифровых сплайн-интерполяторов (СИ) вычисляются в дискретные моменты времени программные значения входных воздействий для ПСЗ с учётом заданных интервалов времени движения звеньев на участках траектории схвата:

); t = t 1 + Т0},

^ 1 \ п'^ п п-1 07 '

где Т0 - период дискретности СИ.

Сплайн-интерполяция применяется не только в контурных, но и в позиционных режимах работы СПУ для формирования оптимальных программных законов изменения обобщенных координат на участках разгона и торможения соответствующих ПС.

В представленных на рис. 7 и 8 системах осуществляется независимое управление ПСЗ без

учёта нелинейной многосвязной динамики ИМ робота. Такие СПУ с кинематическими алгоритмами управления в целом являются разомкнутыми, поэтому в них неизбежны контурные ошибки при воспроизведении траекторий схвата, особенно на участках движения с большой контурной скоростью.

В системах с многомерными динамическими алгоритмами повышение точности достигается за счёт компенсации действия на ПСЗ переменных нагрузок, обусловленных изменением приведённых моментов инерции и взаимовлиянием звеньев [2, 14-16]. Альтернативой таким системам служат СПУ с адаптивными ПСЗ.

Основными задачами моделирования СУ являются (рис. 9):

1) анализ динамики копирующих СУ с обратимыми следящими системами звеньев;

2) отладка алгоритмов и анализ динамики систем полуавтоматического управления;

3) оценка точностных показателей СПУ с линейно-круговой интерполяцией программных траекторий в пространстве рабочих координат схвата робота;

4) анализ СПУ со сплайн-интерполяторами программных траекторий в пространствах обобщенных координат звеньев;

5) исследование систем согласованного управления приводами звеньев с компенсацией динамики ИМ;

6) анализ динамических возможностей СПУ с адаптивными приводными системами звеньев;

7) исследование детерминированных или стохастических дискретных процессов, описывающих функционирование систем группового программного управления роботизированными технологическими комплексами (СУ РТК).

Для решения сформулированных задач необходимы компьютерные модели различных видов: кинематические (алгебраические), описывающие нелинейные алгоритмы программного управления;

динамические (дифференциальные), воспроизводящие нелинейные процессы движения многозвенных МС;

непрерывные и дискретно-непрерывные, описывающие линейные и нелинейные процессы в приводных системах с аналоговыми и цифровыми регуляторами;

алгоритмические, отображающие работу СПУ с интерполяторами различных типов;

логические и вероятностные, имитирующие дискретные детерминированные и стохастические процессы в СУ РТК.

Моделирование биотехнических СУ

Анализ динамики копирующих СУ Отладка алгоритмов п/а управления

Моделирование СПУ с кинематическими алгоритмами

Анализ СПУ с ЛК-интерполяторами

Анализ СПУ со сплайн-интерполяторами

Моделирование СПУ с динамическими алгоритмами

Исследование СПУ с компенсацией динамики ИМ

Исследование СПУ с адаптивными приводами

Имитационное моделирование СУ РТК

Исследование детерминированных дискретных процессов

Исследование стохастических дискретных процессов

Рис. 9. Задачи моделирования СУ

Для адекватного анализа динамических процессов в СУ манипуляторами и роботами и оценивания их реально достижимые точностные показатели в моделях силовых частей ПСЗ и регу-

ляторов необходимо учитывать характерные нелинейности - сухие трения, нечувствительности, элементы насыщения, квантование сигналов по уровню и др. [3].

Функционирование систем управления РТК характеризуется не траекториями движения схватов и рабочих органов, а логическими переходами роботов и другого технологического оборудования из одних установившихся состояний в другие. Происходящие дискретные события в таких системах, связанные со сменами состояний, могут описываться детерминированными или вероятностными законами [2, 13].

При исследовании дискретных процессов наиболее часто применяют три вида моделей:

1) конечно-автоматные, описывающие события таблицами логических переходов;

2) системы массового обслуживания (СМО), позволяющие анализировать стохастические процессы с законами распределения различных типов;

3) модели, использующие сети Петри, удобные для анализа сложных синхронных и протекающих параллельно асинхронных процессов, в т. ч. с учётом фактора времени.

Однако вопросы моделирования СУ РТК требуют особого рассмотрения. Им посвящены, в частности, работы [8, 10].

Для достоверности результатов компьютерного проектирования ИС роботов и СУ роботами необходимо использовать адекватные модели ПСЗ, воспроизводящие динамические процессы в них с достаточной для практики точностью.

Эффективным инструментом для решения задач моделирования РТС является пакет МА^АВ. Методики его применения для анализа ИС с использованием различных моделей МС и нелинейных дискретно-непрерывных моделей ПСЗ изложены в [5]. Методики компьютерного исследования биотехнических СУ и СПУ различных типов рассмотрены в [6].

Адекватное моделирование ИС и СУ позволяет исключить при проектировании роботов проведение дорогостоящих натурных экспериментов, а использование анимации даёт возможность визуально оценить контурные ошибки схвата, которые не определить аналитически или не измерить экспериментально.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Дистанционно управляемые роботы и манипуляторы / Под ред. В.С. Кулешова и Н.А. Лакоты. М.: Машиностроение, 1986.

2. Зенкевич С.Л., Ющенко А.С. Управление роботами. Основы управления манипуляционны-ми роботами: Учеб. для вузов. М.: Изд-во МГТУ, 2000.

3. Игнатова Е.И., Кочкарев Д.А. Особенности математического моделирования робототехнических систем// Экстремальная робототехника, нано-, микро- и макророботы. Матер. XX Междунар. науч.-техн. конф. Дивноморское, Россия, 2009.

4. Игнатова Е.И., Ростов Н.В. Методика компьютерного исследования динамики существенно гибких многомерных электромеханических систем // Робототехника для экстремальных условий. Матер. VI науч.-техн. конф. СПб.: СПбГТУ, 1996.

5. Игнатова Е.И., Ростов Н.В. Компьютерное моделирование исполнительных систем роботов: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2009.

6. Игнатова Е.И., Ростов Н.В. Компьютерное моделирование систем управления роботами: Учеб. пособие. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2009.

7. Кондратьев А.С., Лопота В.А., Юревич Е.И Робототехника и техническая кибернетика. Тенденции и перспективы развития // Научно-технические ведомости СПбГПУ 2003. № 2.

8. Лесков А.Г., Ющенко А.С. Моделирование и анализ робототехнических систем. М.: Машиностроение, 1992.

9. Лопота В.А., Юревич Е.И. Экстремальная робототехника и проблемы безопасности, актуальные проблемы защиты и безопасности. // Экстремальная робототехника. Матер. VII Всерос. науч.-практ. конф. СПб.: Изд-во НПО спецматериалов, 2004.

10. Моделирование робототехнических систем и гибких автоматизированных производств / Под ред. И.М. Макарова // Робототехника и гибкие автоматизированные производства. Кн. 5. М.: Высш. шк., 1986.

11. Морозов Б.И., Семенов ИМ., Юревич Е.И. Электромеханические исполнительные системы робототехники: Учеб. пособие / Под ред. Е.И. Юревича. СПб: СПбГТУ, 1994.

12. Морозов Б.И., Станкевич Л.А., Юревич Е.И. Системы управления роботами: Учеб. пособие. Л.: ЛПИ, 1987.

13. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем: Учеб. пособие. М.: Высш. шк., 2001.

14. Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника: Пер. с англ. / Под ред. В.Г. Градецкого. М.: Мир, 1989.

15. Шахинпур М. Курс робототехники: Пер. с англ. / Под ред. С.Л. Зенкевича. М.: Мир, 1990.

16. Юревич Е.И. Основы робототехники: Учеб. для вузов. СПб.: БХВ-Петербург, 2005.

УДК 681.3

Е.И. Игнатова, Н.В. Ростов

КИНЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ В МАТЕМАТИЧЕСКОМ МОДЕЛИРОВАНИИ РОБОТОВ

В робототехнике для анализа кинематики исполнительных механизмов (ИМ) широкое применение находят алгебраические векторно-матричные модели в представлении Денавита-Хартенберга, использующие однородные координаты. Методы аналитического решения прямых и обратных задач кинематики (ПЗК и ОЗК) с использованием таких моделей описаны в [2, 5-7]. Однако при компьютерном моделировании мани-пуляционных роботов более эффективными часто оказываются решения, получаемые итерационными методами.

Обсудим вначале общие формулировки прямых и обратных задач кинематики (ПЗК и ОЗК).

Прямые задачи кинематики

ПЗК о положении и ориентации схвата. По заданному N^1 вектору обобщенных координат звеньев:

q = 0?Р q2,..., qN)T

и известной 6^1 вектор-функции Ф('), соответствующей кинематической схеме ИМ робота, определяется 6x1 вектор состояния схвата:

= Ф^),

где ^ = (хс, ус, zC, фс, 0С, ^ - вектор линейных координат положения и угловых координат ориентации схвата.