Ударное повышение давления при схлопывании изотермического кавитационного пузырька в вязкой жидкости

А.П.Васильев, А.С.Павлов

УДАРНОЕ ПОВЫШЕНИЕ ДАВЛЕНИЯ ПРИ СХЛОПЫВАНИИ ИЗОТЕРМИЧЕСКОГО КАВИТАЦИОННОГО ПУЗЫРЬКА В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ.

Рассматривается динамика кавитационного пузырька в вязкой изотермической жидкости под воздействием сил поверхностного натяжения, давления, инерции и вязкого трения . Получены расчетные соотношения для ударного повышения давления в жидкости, из которых следует, что в начальный момент времени на фронте ударной волны достигается давление более3000атм.

Уравнения динамики вязкой жидкости интегрировались численно методом Рунге-Кутта. Приводится сравнение результатов расчета с классической формулой Рэлея для времени схпопывания сферической полости в идеальной жидкости. Библ. 5, рис. 4.

Явление кавитации вот уже более ста лет привлекает неослабевающий интерес инженеров различных отраслей техники. С одной стороны, это связано со сложным характером физико-гидродинамических процессов, сопровождающих кавитацию, а с другой, - потребностью конструкторов в рациональном проектировании гидрооборудования [1]. В частности, особый интерес представляет защита элементов проточной части гидроагрегатов от кавитационной эрозии, а также различных кавитирующих поверхностей, например, гребных винтов.

Механизм кавитационной эрозии в настоящее время объясняют образованием в месте схлопнувшегося пузырька некоторого макрообъема, в котором в результате гидравлического удара кинетическая энергия жидкости перешла в упругую потенциальную энергию. Возникшая из-за этого неравновесная структура порождает ударную волну, взаимодействие которой с элементами конструкции гидроагрегата и приводит к выщербливанию металла, т.е. кавитационной эрозии [2].

Центральным вопросом в этой схеме кавитационной эрозии является определение ударного давления в жидкости в момент исчезновения парового пузырька.

Необходимо отметить, что гидродинамическая задача о схлопывании пузырька пара неоднократно рассматривалась различными авторами в рамках тех или иных допущений [3]. Классическим результатом в этой проблеме считается уравнение Рэлея и его решение для схлопывающейся в идеальной жидкости сферической полости:

Т =13 — а0В(5Д) , 3 у 2 Ар 0 6 2

лости, г^ - плотность жидкости, Вр- неравновесный перепад давлений, а0- начальныгй радиус сферыг, Б(х,у)-бета - функция.

Представляет интерес, с целью расчета ударного давления, исследование динамики кавитационного пузырька с учетом всех сил, обуславливающих его схлопывание.

Для решения указанной задачи считаем пузырек сферическим в процессе схлопывания, а поле скоростей в окружающей жидкости сфе-рически-симметричным [4].

Течение невесомой изотермической несжимаемой жидкости описывается обычными уравнениями неразрывности и импульсов:

V-

^ +

81 Р1

Пар в пузырьке считается покоящимся, давление в котором однозначно определяется температурой по уравнению Клапейрона-Клаузиуса с учетом поправки на кривизну межфаз-ной границы [5], причем теплота конденсации пара не меняет температуру жидкости.

Разместив сферическую систему координат {г,^} в центре пузырька и принимая во внимание одномерность сферически-симмет-ричного поля скоростей жидкости иДг), уравнения (2) и (3) преобразуем к виду:

8и

8и

8г

1 8Р1

= 0

1 8

^ + 6^ =-^ + ^(~| Г2^ 1--иг) .

81

8г

Р1 8г

8иг

8г I 8г

где Т- время схлопывания сферической по-

Из уравнения неразрывности следует, что г2и=соп81=а2и1а, где а-радиус пузырька, и - скорость жидкости на межфазной границе, поэтому поле скоростей в жидкой фазе имеет вид:

, ч ^ ,а А

6г

г г

Подставляя (4) в уравнение Навье-Стокса и интегрируя его по радиусу, получим распределение давления по жидкой фазе вокруг пузырька:

Рі ^ 5 , 2 \ 1 1 4 2 1

= с + ^(а °1*)—та °1а т

Рі 51 г 2 Г4

Для нахождения постоянной интегрирования обратимся к граничным

условиям на поверхности пузырька и на бесконечности [4]:

г = а:

«а

*2а

-< =-2-

da

dt а

Рі(иа -«1а ) = Р2а (иа -«2а ) = І ; г = ю : иі = 0 , Рі = рж .

Здесь 81агг и 82агг- нормальные напряжения на межфазной границе в жидкой и паровой фазах соответственно, 8- коэффициент поверхностного натяжения, иа- скорость межфазной границы, и2а- скорость пара на межфазной границе г1=г1а и г2=г2а- плотности жидкой и паровой фаз на межфазной границе, 8- коэффициент поверхностного натяжения жидкой пленки.

Для нормальных компонент тензора поверхностных напряжений в соответствии с принятой моделью пара и жидкости можно записать:

^2га =-Р2а =-Р2(Т) = С»™! ,

СТГаГ = -Ріа + 2ті

50і,

= -Ріа - 4тг

5г Уг=а ' а

С учетом этих выражений и условий (6) и (7) из интеграла (5) получим

Ьа^-Ь=|

р1 81 а 2 р1а а

При равновесии пузырька пара в своей жидкости всегда существует равновесный радиус, определяемый условием равенства сил:

Р2 - Р0,^ = 2

рі р1а 0

Схлопывание пузырька начинается, когда во внешней среде появляется избыток статического давления ёрГ , который удобно выразить через скачок давления на межфазной границе

Р2а - Рю _ р2а - р0,.

Рі

Рі

§Рю

Рі

- = 2-

^-2к-^

= 2(к - і)-

Ріа 0 Ріа 0 Ріа0

где к-параметр возмущения давления,

в дальнейшем к=сош1 Считаем, что массовый поток пара в жидкость обусловлен только его конденсацией на движущейся межфазной границе, тогда ]/г1=Ъиа, где Ъ=р2/(г1ЯтТ), Т-температура пара, Яш-удельная газовая постоянная,

Р 2а=Р 2(Т) = С0П^1.

Заменяя в уравнении (8) и1а=иа- ]/г1=иа(1-Ъ), приведем это уравнение к виду:

d2a

Р

Р2

dt2

-2

і-Р

_2________і_

Ріа2( і)і -р

а

- 4пі

dі

а2

- 2

і

Ріа(і)а0 і -р

Из этого уравнения при Ъ=п1=0 следует как частный случай уравнение Рэлея [3].

Если давление в паре р2<<рк - критического, то количеством движения за счет конденсации пара можно пренебречь в силу малости величины Ъ. Обычно эти условия имеют место во всасывающих патрубках насосов.

Уравнение (9) в силу его нелинейности может быть проинтегрировано численно, в частных случаях оно допускает аналитические решения, подобно решению Рэлея (1).

Задача Коши уравнения (9) может быть сформулирована так:

Ля

! = 0, а

Л!

т.е. схлопывание пузырька начинается из состояния покоя.

Ниже представлены результаты численного исследования динамики кавитационного пузырька. Интегрирование уравнения (9) проводилось методом Рунге-Кутта пятого порядка точности.

На рис.1 показаны графики зависимости времени схлопывающегося пузырька от текущего радиуса для различных значений параметра возмущения давления к= {10,50,100}.

Рис. 1. Зависимость времени (мс) схлопы-вания парового пузырька от радиуса (мм) для раз-

личных значений параметра к внешнего возмущающего давления.

Пересечение графиков с осью абсцисс дает полное время схлопывания пузырька, чем больше возмущающее давление, тем меньше время схлопывания пузырька. Если при к= 10 (давление 1,5 Па) время схлопывания составляет 0,75 мс, то при к= 100 (давление 15 Па) оно снижаеся до 0,24 мс. Начальный радиус пузырька принимался равным 1 мм, а параметры воды и водяного пара соответствовали температуре 200С. Необходимо отметить, что формула Рэлея (1) дает очень близкие значение времени схлопывания лишь при к>>1, но уже при к11 расхождения начинает нарастать и при к=0.1 составляет более 20%.

На рис.2 приведены графики зависимости скорости межфазной границы от текущего значения радиуса схлопывающегося пузырька для различных значений параметра

Скорость схлопывания napoBoso пузырька

500

(С

&

450

400

350

300

250

200

150

100

Г к := юо

1

\ к := 50

\ := ю

Y'

\\\

\Л

-

0.1 0.2

ляется термодинамически неустойчивой, поэтому наименьшим радиусом схлопывающегося пузырька следует считать не нулевой радиус, а критический.

При таком подходе были получены следующие значения скоростей схлопывания в момент исчезновения пузырька: иа={88;

2294;7622; 15911} м/с соответственно при к= {0,1; 10; 5 0; 10 0}.

При таких велинах течение жидкости становится сверхзвуковым и модель несжимаемой жидкости перестает перестает адекватно описывать реальный физический процесс.

На рис.3 приведены графики зависимости величины а2иа= А из уравнения неразрывности от текущего радиуса.

Рис.2. Зависимость скорости (м/с) схлопывания парового пузырька от текущего радиуса (мм) для различных значений параметра возмущения k.

Рисунок показывает, что весь процесс схлопывания пузырька условно можно разбить на две стадии: первая стадия 0,2aJ a(t) Ja0 характеризуется тем, что скорость межфазной границы при любом к почти линейно нарастает с уменьшением радиуса пузырька. На второй стадии 0Ja(t) J0,2a0 скорость начинает очень резко нарастать, достигая значений ~сотен и более метров в секунду.

При численном интегрировании именно этот участок приходилось проходить с очень мелким шагом по времени. Формально в точке а=0 нарушаются условия существования и единственности решения (в этой точке правая часть уравнения (9) становиться неограниченной), в связи с этим интегрирование заканчивалось не в нуле, а в точке а0/2*104.

Такой подход имеет и термодинамическое обоснование [5]. Известно, что обратный процесс- образование и рост пузырей в насыщенной жидкости - происходит не с нулевого радиуса, а с некоторого критического, равного размеру зародыша будущего пузырька. Для всех меньших радиусов двухфазная система яв-

Рис.3.

Зависимость величины А (м3/с) от радиуса пузырька (мм) для различных параметров к.

При а=0 и а=а0 это произведение обращается в ноль. Поскольку величина А определяет поле скоростей в окружающей жидкости, то вместе с А на границах интервала обратиться в ноль и скорость в жидкой фазе. Экстремальный характер зависимости А(а) показывает наличие максимума скорости в окружающей жидкости, в каждой её точке:

i2

Кинетическая энергия жидкости при этой скорости также достигает наибольшего значения:

Екин ) max = Jffc Р^ jdJdr = PPlULa*

0 0 0 2

После схлопывания пузырька кинетическая

энергия также становится равной нулю, однако, по закону сохранения энергии бесследно она не исчезает, а в результате гидравлического удара преобразуется в упругую энергию некоторого макрообъёма жидкости. Для оценки ударного повышения давления можно считать, что этим макрообъёмом является сфера У*=(4/3)ра*3. Закон Гука для изотермической сжимаемости позволяет рассчитать упругую потенциальную энергию:

ЛР (г) = Р = А(а) Р1_

’ _ Л . _ ЛІ

= _ Х^РЩх

где с- изотермический коэффициент сжимаемости, с=1пБ, Е- объёмный модуль упругости жидкости, Ртах - ударное повышение давления.

Приравнивая эти энергии, получаем нижнюю границу оценки ударного повышения давления:

Приняв допущение ,что

.. а2 _

пт — = 1 ,

г2

для верхней границы оценки ударного повышения давления получим:

ЛРУ

=

шах л •

Например, для пузырька с начальным радиусом а0=1 мм, схлопывающегося при к=50 , величина А*=1,5*10-6 м3/с ( рис. 3 ), а*=0,6 мм, г1=1000 кг/м3, Е=2,25*109 1/Па, и расчет по формуле (11) дает следующее значение ударного давления: р =3,12*108 Па= 3120 атм.

г шах 7

Возникшая в результате гидравлического удара неравновесная структура порождает ударную волну, давление на фронте которой убывает по закону:

Р (г) = Р

Ауд1А/ Ашах 2 ‘

г

Уже на расстоянии 10а* от центра исчезнувшего пузырька давление на фронте резко снижается до 3 атм и становится безопасным с точки зрения кавитационной эрозии. Таким образом, наибольшим разрушающим воздействием обладают пузырьки, схлопывающиеся вблизи от кавитирующей поверхности.

Оценку ударного повышения давления при схлопывании кавитационного пузырька можно можно провести и на основе закона сохранения импульса. Действительно, в момент исчезновения пузырька выделим вокруг начала координат сферу с малым радиусом г. Внутри этой сферы жидкость покоится и давление в ней равно БР . Эту сферу окружает сферический слой толщиной Бг с движущейся жидкостью и количеством движения К1=-

4рг2г1Бги1(г). Через время - время прохождения волной расстояния Бг- это количество движения будет равно нулю К2=0. Импульс сил давления, действующих по внутренней поверхности сферического слоя за это время составит ОР=4рг2БР Приравнивая импульс

силы изменению количества движения и учитывая, что с=0г/01;, для ударного повышения давления получим известную формулу Жуковского: Бр (г)=г1си1(г). Заменяя здесь скорость по уравнению неразрывности, получим

Так для пузырька, схлопывающегося при к=50, максимальная скорость составляет иашах=7622 м/с, и эта формула приводит к такому значению ударного давления (БРу)=1,14*1010 Па=114000 атм.

УСтоль значительные расхождения в результатах по формулам (11) и (12) говорит о неполноте чисто гидродинамического описания процесса в дополнение к уже сказанному о сжимаемости жидкости. Кроме того, в формуле (12) отсутствует характерный размер области с начальным ударным давлением, поэтому ничего нельзя сказать о давлении на фронте волны, в отличие от формулы (11).

На рис.4 показаны графики зависимости всех сил, входящих в правую часть уравнения (9), от текущего радиуса пузырька.

Рис.4. Зависимость сил (Н/кг) правой части уравнения (9) от радиуса пузырька (мм).

Данные графики говорят о том, что на различных стадиях процесса вклад сил различной физической природы неодинаков.

Так, из всех сил доминирующей является силы инерции присоединенных масс (3/2)иУ а, Н/кг.

На первой стадии схлопывания пузырька все другие силы - вязкого трения, поверхностного

натяжения и давления- много меньше силы инер-циии и плавно нарастают, благодаря увеличению скорости и уменьшению радиуса пузырька На второй стадии начинает резко нарастать сила вязкого трения, пропорциональная скорости межфазной границы, а также в меньшей степени и сила поверхностного натяжения. Возможно, что из-за диссипации энергии происходит разогрев поверхностного слоя жидкости, что вызывает интенсивное испарение воды в пузырек и происходит смягчение гидравлического удара на последней стадии схлопывания пузырька.

Проведенное исследование позволяет сделать вывод, что, не смотря на полученные оцен-

Список использованной литературы

1.Кнепп Р., Дейли Д., Хэммит Ф. Кавитация. М.: Мир, 1974.

2.Емцев Б.Т. Техническая гидродинамика.М.: Машиностроение, 1987.-438 с.

3. Волновая динамика газо - и парожидкостных сред/ В.Е.Накоряков и др./ М.: Энергоатомиздат, 1990.-245 с.

4. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. т.1, т.2. М.: Наука, 1987.-464 и 359 с.

5. Базаров И.П. Термодинамика. М.: Высшая школа, 1976.-447 с.

Статья поступила в редакцию 24.11.99г.

ки ударного повышения давления в жидкости, чисто гидродинамический подход не описывает реально протекающих процессов при схлопывании кавитационного пузырька. Полную информацию о подобном процессе можно получить в рамках совокупного описания гидродинамических, тепловых и концентрационных (массовых) полей.