О ГОМОМОРФИЗМАХ ЛИНЕЙНЫХ (АЛИНЕЙНЫХ) КВАЗИГРУПП И ИХ ПАРАСТРОФОВ

УДК 512.548

О ГОМОМОРФИЗМАХ ЛИНЕЙНЫХ (АЛИНЕЙНЫХ) КВАЗИГРУПП И ИХ

ПАРАСТРОФОВ

ДАВЛАТБЕКОВ АКИМБЕК АВАЛБЕКОВИЧ

кандидат физико-математических наук, и.о заведующий кафедрой алгебры и теории чисел ТГПУ им. С. Айни, Душанбе, Таджикистан

Аннотация. В данной работе исследовано линейные квазигруппы и их парастрофы рассмотрены следующие аспекты: эндоморфизмы и гомоморфизмы линейных квазигрупп и их парастрофов. Найти связь класс линейных квазигрупп с известными тождествам Бола. Ключевые слова: примитивная квазигруппа , эндотопия, эндоморфизм, парастроф, левый элемент Бола, правый элемент Бола.

Одним из задач теории квазигрупп, как и теории других алгебраических систем, является изучение и описание морфизмов квазигрупп.

Напомним, что тройка Т = (а, Д, у) отображения квазигруппы (2, •) в себя называется эндотопией квазигруппы (2, •), если выполняется равенство

у

для любых х, у е 2.

В случае, когда а =Д = у, то тройка Т = (у =у = у) эндоморфизмом квазигруппы (2, •). Очевидно, что множество всех эндотопий квазигруппы (2, •) образуют полугруппу с единицей. Обозначим эту полугруппу через Еиг ((, •).

Гомоморфизмом квазигруппы (2, •) и (2', о) называют такие отображения р: 2 ^ 2' , что р(х • у) =р(х) ору) для всех х, у е 2. Подконгруэнцей квазигруппы (2, •) понимают эквивалентность в такую, что из авЬ следует а • свЬ • с, с • авс • Ь для всех а, Ь, с е 2. Конгруэнция в называется нормальной, если из а • свЬ • с как и из с • авс • Ь следует авЬ [1]. Как известно каждому гомоморфизму р множество квазигруппы (2, •) сопоставить конгруэнцию в по правилу авЬ тогда и только тогда, когда рра =рЬ, причем такую, что

р2 = ^^. Поэтому изучение гомоморфизмов квазигрупп с точностью до изоморфизма эквивалентно изучению конгруэнции квазигрупп.

Все необходимые сведения о эндотопиях, эндоморфизмах и гомоморфизмах квазигрупп можно найти в работах [2-3].

Квазигруппа (2, •) называется линейной над группой (2, +), если (2, •) имеет вид х • у = рх + ^ у + с , где р,у е ЛШ (2,+), с - фиксированый элемент множество. Квазигруппа (2, •) называется линейной слева (справа) над группой (2, +), если (2, •) имеет вид х • у = рх + Ду + с (х • у = ах + у + с), где Д (соответственно а ) - подстановка множества 2, ре ЛШ2,+) е ЛШ2,+)), с — фиксированый элемент множество 2 [3]. Квазигруппа (2, •) называется алинейной над группой (2, +), если (2, •) имеет вид х • у = р х + щ у + с , где р,у е ЛаШ (2,+), с — фиксированый элемент множество. Квазигруппа (2, •) называется алинейной слева (справа) над группой (2, +), если (2, •) имеет вид х • у = рх + Ду + с (х • у = ах + \ру + с), где Д (соответственно а ) - подстановка

множества Q, (ре Аааш(&,+) ({ е Лааи1&,+)), с - фиксированый элемент множество Q

[3].

Теорема 1.8.1. [4] Преобразование (является гомоморфизмом квазигруппы (&, •) в квазигруппу (&, о) тогда и только тогда, когда выполняются следующие условия:

!) Р& = Р, = & Р, 2) ре = ео р

где / (х)- х = х • е(х) = х, /о (х)- х = х • е° (х) = х. При выполнении этих условий

РЬх = Ь°р х Р, РЯх = К х Р-Определение 1. [5] Элемент а е & произвольной квазигруппы (&, •) называется левым элементом Бола, если имеет место

а-

где а = а.

еа

Определение 2. [5] Элемент Ь е & произвольной квазигруппы (&, -) называется правым элементом Бола, если имеет место

где /ьЬ = Ь.

Определение 3. Элемент а, Ь е & произвольной квазигруппы (&, -) называется элементом Бола, если имеет место (3) и (4).

Теорема 1. [6] В линейной справа квазигруппе (&, -) : х - у = ах + {у элемент а е & является левым элементом Бола, тогда и только тогда, когда выполняется следуюшая условия

{ = е.

Теорема 2. В линейной справа квазигруппе (&, -) : х - у = ах + {у элемент а е & является левым элементом Бола, если { = е и сушествует отображение Я— ЬааЯааЬ— = а множества & такая, что

Р =

энтотопия квазигруппы (&, -) .

Доказательство. Из теоремы 1 [6] следует, что левое (правое) часть тождество (3) равно аа + {¡ах + аа + {у = аа + {ах + аа + {у, то есть (&, -) является левым элементом Бола. Тогда

Ьха{хх + Ьха{ у = ЬааКаУХх + { у ,

х +у = Яц/еа ЬааЯааЬ- + Ь— ,

Отсюда

Т =

где Я—ЬааЯ.ааЬ- = а . Как известно из [7] , любая эндотонипия группы (&, +) имеет вид:

Т =

где <е Еnd(2, +) , а, Ь - фиксированные элементы множество (2, •) , Ьа х = а + х,

Яа х = х + а левая и правая трансляции группы (2,+).

Если произвольная эндотопия квазигруппы (2, •) то из [4]

следуют, что Р = Т 1 $Т , где Т = (Я-\ — , Ь1 , £) , ^ = (Ьа , ЯЬ , ЬаЯЬ )<>

= {к^РааКа^- Ьа< ^в^'аЯ— ^—а , ЦО, ЯЬ< Ьаа , Ьа ЯЬ<) .

Обратно. Пусть Р = ^—аКа^ Ьав Я-ваЬ—1 ^ Ь—а , ЯЬвЦаа , Ьа ЯЬв)

- эндотопия линейной справа квазигруппы (2, •) . Нужно доказать, что а — левый элемент Бола. Имеем

Ке^ааКа^аРаЯ Я-еЦ1Ь—а —-х + —у)= <——х + —у ,

где <= Я--еЦаа~ааЦ11  После раскрытия равенство (6) получим аа + (——х + (аа + — у)) = (аа + (-ах +—а))+ —у или а•(х•(а• у)) = Я-(а•(х• а))• у, что и требовалось доказать.

Если в

является эндоморфизмом квазигруппы (2, •) , где — е Е^(2,+), а— подстановка множество 2, Ца х = а + х, Ка х = х + а левая и правая трансляция группы (2,+). Теорема 3. Пусть (2, •) и (2, о) - линейные справа над группой (2, +) квазигруппы: х • у = — х + — у и х о у = — х + —2 у , элемент а е 2 является левым элементом Бола, если

— = е и —I = е и существует отображения Я- в^а аЯ—¿Т^ =<а и Я— в^—аЁ—а^ =<, то

отображение у —гомоморфизм квазигруппы (2, •) и (2, о): у (х • у) = у х о у у. Тогда у можно представит в виде:

у Ь—,а Я—,а Ь—2аЯ—2а Ь— у Ь—2а Я—2аЬ—,аЯ—2а Ь— Ь—2— у Ь—2—2 Ьа ЯЬ< .

Доказательство. Действительно, пусть у (х • у) = у х о у у. Тогда

у(Ц—,а Яс, „ Ь—аЯ—а Ц— х + Ь—,-у) = Ьа Я— „ Ь— аЯ—а Ц— у х + Ь—, а у у ,

a1

у(X + у) La2a Ra2а La2aRa2a La у a RaxaLaxaRaia La X ^ La2a у a2 у '

то есть (Ь-^а Я(аа Ь^И-! Ь—1 у Ь^а Каа^а^ , 2с у , у)е ЕШ (2,+) . Но любая эндотопия группы (2, +) имеет вид Т =(La<,яb<,Ьаяь<). Следовательно

Ьа< = Ь——аа Я-1аа Ь-2аЯ-2а Ь— у Ь-аа Я-1аЬа^щ^ Ь- , ЯЬ< = Ь—- у Ь-1-2 , = у . Откуда

у Ь—,а Я—,а Ь—2аЯ—2а Ь— у Ь—аа Я—ааЬ—,аЯ—1а Ь— Ь—2— у Ь—а—2 Ьа ЯЬ< .

Следствие 1. Пусть (2, •) и (2, о) - линейные справа над группой (2, +) квазигруппы: х • у = ( х + 3 у и х о у = р2 х + 3 у , элемент а е 2 является элементом Бола, если р\ = е и р\ = е и существует отображения <= Ь— fЯplЪЬ^ь Я—, и

<2 = Ьр2/ьЯр2ЬЬрг] 1 ь , то отображение у —гомоморфизм квазигруппы (2, •) и (2,о): у (х • у) = у х о у у . Тогда у можно представит в виде:

у = Я~ 1 у я = Ь- / Я, ЪЬР ЬЯ~1 7 Я Г 1 Я-1Ьр / = Ьа ЯЬа

р2 ь А ь а р2 !ь РгЬ Р 2ь р2 ь р1 ь р ь р ь р1 1ъ а Ь

Доказательство. Действительно, пусть у (х - у) = у х о у у. Тогда

уЯ1 х + Г' К Г .Я- у) = Я' 1 у х + Ь- , К Г Я1 у у,

' 4 Р1 Ъ Р /Ъ А Ь А Ь А о' ' Р2 ъ' Р2 /Ъ р2Ь р 2Ь Р2 ъ' ^ '

у(х + у) = Я 1 у Я х + Ь- , ЯЛ ЪЬЯ Я1 у Я ? 1 Я- 1Ьш,у,

' 4 ' Р2 ъ ' А ъ Р2 /ъ Р2ъ Р 2ъ Р2 ъ' А ъ Р\ ъ Р1 ъ Р /ъ-г '

то есть (Я?-1 уЯ , Ь— , Яд ьЬ„ ЬЯ~1 уЯ Ь- Я- Ь , , у)е Ет(&,+). Но любая эндотопия

V Р2 ъ ' Р1Ъ ' Р2 / Ъ Р2Ь Р 2Ь Р2 Ъ' Р1 ъ Р1 ъ Р1 ъ Р1 / Ъ, ' > ^' '

группы +) имеет вид Т =(Ь аа,ЯЬа,Ьа ЯЬа) . Следовательно

Г а = Я- у Я , Я, а = Яп .Ьв НЯ- у Я Ь- Я~1 ЬгпГ , Г я а = у Откуда

а р2 ъ' р1 ъ' Ь Рг !ъ Р2Ь Р 2ь р2 ъ' р1ъ р1ъ р1ъ Р ]^ЬаЯЪа Г . Откуда

у = Я?-1 у Я? = Ь- / ЯР ЬЬР ЬЯ- у Я Ь- Я?- Ьр / = Ьа ЯЬа

р2 ь р ь а р2 1ь р2 0 Р 20 р2 ъ' р ь р1ь р1ь р1 1ь а о

Пусть (&, -) и о) - линейные слева над группой +) квазигруппы: х - у = р х + Д у и х о у = р х + Р2 у с условиями рР = е и р\ = е являются элементом Бола, если существуют

отображения Т1 = ¿(а ЯГраЯра у Ьра Я^ЬраЯр^ Га и

Т2 = Я(аа аЯра у Гра Яр!аГ-аЯраа Га , т° отображение у - гомоморфизм квазигруппы (&, -) и о): у (х - у) = у х о у у. Тогда у можно представит в виде:

у = Ь—а ЯР1аа ЬР2аЯр2а Ь- у Ьр1а Яр1 аЬ--аЯр1аа Ьа = Ь—а у Ьра2 = Ьа ЯЬа .

Следствие 2. Пусть (&, -) и о) - линейные над группой +) квазигруппы:

2 2 2 2

х - у = Р х + { у и х о у = р2 х + {2 у с условиями рр ={р = е и р2 ={2 = е являются

элементом Б°л^ если существует отображения тх = L^aRfiaL~1 уL^La и

= Ь(а Я(аа ЬраЯра Ь( у Ьра Я(аЬР-аЯ^ Ьа , то отображение у - гомоморфизм квазигруппы

(&, -) и о): у (х - у) = у х о у у. Тогда у можно представит в виде:

Операция (\) или (-)-1: х \ у = 2 ^ х - 2 = у у (соответственно, (/) или - (-): х / у = 2 ^ 2 - у = х) называется правой (соответственно, левой) обратной операцией для операции (-), а квазигруппы (&, \)) и /) - правой и соответственно левыми обратными квазигруппами для квазигруппы -). Если квазигрупповая операция обозначается через А,

то её правая (левая) обратная операция обозначается через А- (соответственно, - А). Каждой квазигруппе (&, -) соответствуют примитивная квазигруппа [1] или эквазигруппа [8] -,/,\), то есть алгебра с тремя операциями, удовлетворяющие четырем тождествам:

, А 1 )(а, -1(А-1)), а)1 ), и А'), где А*(х,у) = А(у,х), причем

А*(- (а- )) 1 = 1 ((а 1) 1). Очевидно, что если В)е ^ А _А, то ^ А = ^ в . Иногда сами операции парастрофов будем называть парастрофами.

1трас1 Б^г 8ЛГ 2019 - 5.П ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

2020 - 5.497 181 2019 - 0.172

Теорема 4. Пусть (2, А— ) и 2, В 1) - парастрофы линейной квазигруппы над группой (2, +) квазигруппы (2, А ): А(х,у)=р х + с + — у , уе ЕМ(2,+), где А— (х, у) = З—1хр1 х + 3—а1сх + — у и В— (х, у) = З—~2р2 х + З—~2с2 + — — 2 у. Тогда эндоморфизм у группы (2, +)является гомоморфизмом квазигруппы (2, А 2) в квазигруппы (2, В 1) тогда и только тогда

у з—а1рх = з—21(2у , у З—— = З—:— у, уЗ -а1 ус, = З^с.

Доказательство. Отображение у е ЕМ(2,+) и у (х • у) = у х о у у. Тогда

у{з—ахр х + + — — а у) = З—21ру х + З——1ус2 + — — 2 уу,

у 1—а1рх х + у 1 — а1^ +у— — 2 у = 1 ——1р2у х + З — ~2у с2 + —— 2 у у . Положим в последнем равенстве х = у = 0; у = З——1ус2. Теперь если х = 0, то

у—а у = —~22 уу или у— Л = — ~12 у , если у = 0, то у 1—ахр2 х = З—~2р2ух или у 1—а1р2 = 1—21р2у. Обратно,

у(х • у) = у{з—ахр2 х + з—ахс2 + ——а у )=з—ахр2 х + у з—ахс2 +у—у = = З—21р2у х + З—21ус2 + ——2 2 у у = у(х о у) . Следствие 3. Пусть (2, — а) и (2, 1 в) - парастрофы линейной квазигруппы над группой (2, +) квазигруппы (2, А ): А(х, у )=р х + с + — у , уе ЕМ (2,+), где —1 А(х, у) = р1— 1 х + Зрх с + Зр~у и —1 В(х, у) = р1— 1 х + 1ррУсх + Зр—у. Тогда

эндоморфизм у группы (2, +)является гомоморфизмом квазигруппы (2, 2а) в

квазигруппы (2, 1 В) тогда и только тогда

у р— = (2 у, у= ¿Рг—у, у = 3РгГсг

Доказательство следствие 3 как доказательство теоремы 4.

Следствие 4. Пусть (2, А 2) и (2, В 1) - парастрофы линейной квазигруппы над группой (2, +) квазигруппы (2, А ): А(х,у)= р х + с + — у А— (х,у) = З—1хр х ++— у и В— (х,у) = З—~2р2 х + З—~2с2 +— — 2 у. у —гомоморфизм квазигруппы (2, А— ) и

(2, В 1 ): у (х • у) = у х о у у . Тогда у можно представит в виде:

у = Я—1 ЬаЗс2 З—2р2 Ьа 5 1 — 2Р— Я— = —2 ЯЬ 5—2 = ЬаЯЬ 5

Следствие 5. Пусть (2, — а) и (2, 1 в) - парастрофы линейной квазигруппы над группой (2, +) квазигруппы (2, А ): А(х, у) = р х + с + — у — А(х, у) = р1 х + Зр—хсх + Зр—у и

—1 В(х,у) = р 1 х + Зр—хсх + Зр—у у — гомомор-физм квазигруппы (2, — а) в (2, — В): у (х • у) = у х о у у . Тогда у можно представит в виде:

у = ЯЗр —1 Ьа5с2 3р2р2 Ьа 5 р— ^ 1 = 3 р— — 2 ЯЬ р1 —2 5 = ЬаЯЬ 5 -

' 2 2 Зр 1с

Замечание. Аналогичным образом можно представить любой гомоморфизм алинейных квазигрупп и их парастроф.

ЛИТЕРАТУРА

1. Белоусов В.Д. Основы теории квазигрупп и луп \ Москва.: Наука 1967. 223 с.

2. Бегларян В.А. К теории гомоморфизмов в квазигрупах \ диссертация - Ереван 1981. 85.С.

3. Давлатбеков А.А. Автоморфизмы, эндоморфизмы и конгруэнции обобщенных линейных квазигрупп \ диссертация -душанбе 2019. 87.С.

4.Табаров, А.Х. Гомоморфизмы и эндоморфизмы линейных и алинейных квазигрупп\\ Дискретная математика, РАН. -2007.- Т. 19. № 2. - С.67-73.

5.Дудрик, Н.Н. Автотопии CI-квазигрупп (скрещенно-Обратимых квазигрупп). Вестник Приднестровского университета. Серия естественных наук. - 2014.- №3. - С. 67 - 72.

6. Об автотопиях, антиавтотопиях линейных (алинейных) квазигрупп и их парастрофов\\ Вестник Таджикского национального университета. Серия естественных наук.- 2022. №2. -С.153 - 162.

7.Головко И.А. Эндотопии в квазигруппах // Резюме докладов Всесоюзного симпозиума по теории квазигрупп и ее приложениям. Сухуми, 1968, C. 14-15.

8.Щукин К.К. Действие группы на квазигруппе. Кишинев, КГУ, 1985, 91 с.