Баллистическое и временное обеспечение космических аппаратов на различных орбитах

УДК 629.78

И.Н. Карцан, Е.С. Жукова, Р.В. Карцан

Баллистическое и временное обеспечение космических аппаратов на различных орбитах

Рассмотрено баллистическое и временное обеспечение космических аппаратов на различных орбитах.

Ключевые слова: космический аппарат, навигационный параметр, вектор состояния.

Применение сигналов космических навигационных систем ГЛОНАСС и GPS для навигационного и временного обеспечения космических аппаратов (КА) на низких орбитах к настоящему моменту стало общепринятым. Как в международной практике, так и в Российской Федерации имеется опыт размещения и успешной эксплуатации навигационных приемников сигналов космических навигационных систем ГЛОНАСС/GPS на борту КА, находящихся на низких орбитах. Разработан и опробован в условиях орбитального полета низколетящих спутников ряд образцов навигационной аппаратуры. Условия применения систем ГЛОНАСС и GPS для навигации космических аппаратов на высоких орбитах отличаются наличием разрывного навигационного поля, больших перерывов в сеансах измерений и меньшим энергетическим потенциалом навигационной радиолинии между спутником и навигационными КА в силу большего расстояния между ними по сравнению с низкоорбитальным потребителем. Постоянно возрастает интерес к применения космических навигационных систем ГЛОНАСС и GPS для координатно-временного обеспечения спутников, размещенных на геостационарной и высокоэллиптической орбитах.

Исходя из существующих в настоящее время методик, возникла необходимость в разработке новой методики высокоточного определения текущих параметров движения КА на всех типах орбит.

В качестве измеряемых навигационных параметров выступают кодовая псевдодальность и радиальная псевдоскорость (либо доплеровское смещение) между КА и НКА КНС ГЛОНАСС и GPS [1, 2].

Как показала практика использования НАП в составе зарубежных КА, размещенных на высокоэллиптических и геостационарных орбитах, а также на переходных орбитах, на данных высотах обеспечивается прием навигационных сигналов НКА КНС ГЛОНАСС и GPS.

Измеряемые навигационные параметры записываются следующим образом. Геометрическая дальность между КА и навигационными спутниками записывается в форме

Dgeom

=\ r(trsv ) — rnka (ttrans ) \= V(r(trsv ) — rnka (ttrans ),r(trsv ) — rnka (ttrans )), где r(trsv) = (X(trsv ),Y(trsv),Z(trsv)) - координаты КА на момент проведения измерения tmw ;

rnka (ttrans ) = (Xnka (ttrans ),Y nka (ttrans X Znka (ttrans )) - координаты НКА в инерциальной экваториальной геоцентрической системе координат (ИЭГСК) на момент излучения навигационного сигнала с борта НКА ttrans .

При этом предполагается, что бортовые шкалы времени КА и НКА синхронизированы и не имеют начального расхождения, а также отсутствует уход задающего генератора бортовой шкалы времени КА.

Величина trsv - tfrans - это время распространения навигационного сигнала между КА и НКА и

в первом приближении может быть записана в виде

t t = Dgeom (trsv ,ttrans ) trsv — ttrans = C ’

где C - скорость распространения радиоволн в вакууме.

Измеренная псевдодальность между КА и НКА записывается в следующей форме [і]:

Dmeans

где Отеат (?ГЯУ ,^гат) - измеренная псевдодальность между КА и НКА на момент времени приема сигнала на ?ГУ ; Dgeom - геометрическая дальность между КА и НКА на момент времени ?ГЯУ ; с -скорость распространения радиоволн в вакууме, с = 299754 км/с; Д? - величина расхождения БШВ КА относительно системных шкал времен КНС ГЛОНАСС/ОРБ; &Барр - аппаратурная

погрешность измерения псевдодальности; ^>^ос1 - остаточная погрешность измерения

псевдодальности, обусловленная погрешностями знания эфемерид НКА и ухода шкалы времени НКА относительно системной ШВ КНС.

Из данных параметров наибольшую погрешность в измерение псевдодальности вносит величина расхождения БШВ КА и НКА Д?. Ее значение определяется нестабильностью бортового задающего генератора шкалы времени КА.

Величина расхождения БШВ КА и системных шкал времен КНС ГЛОНАСС/ОРБ обусловлена следующими факторами:

- погрешностью начальной синхронизации временных шкал КНС и КА;

- уходом частоты задающего генератора БШВ НАП.

Медленноменяющаяся часть ухода частоты характеризуется средним (на некотором заданном интервале) относительным отклонением частоты - долговременной нестабильностью

4=^-3-,

/и

где /н - номинальное значение частоты, /р - среднее значение частоты задающего генератора на заданном интервале.

Геометрическая радиальная скорость между КА и НКА ГЛОНАСС/ОРБ получена дифференцированием выражения (1) по времени и записывается в следующей форме:

Тг

Vgeom

Dgeom

где г(?г$у ) = (Х(?ГЯУ ),У (?ГЯУ X% (? ГЯУ ),^Х(?ГЯУ ),КУ (?ГЯУ ),У^(?ГЯУ )) координаты и вектОр скорости КА на момент проведения измерения ?гяу ; гпка (??гапя ) = (Хпка (??гапя ),Упка (??гапя ),%пка (??гапя ),^хпка (??гапя ), Уу(?гат ),Угпка (?гат)) - координаты и вектор скорости НКА в ИЭГСК на момент излучения навигационного сигнала с борта НКА ??гапя.

На практике измеренная радиальная псевдоскорость между КА и НКА записывается в следующей форме [6]:

^

где Vgeom - геометрическая радиальная скорость между КА и НКА на момент времени ?ГЯУ ; с -

скорость распространения радиоволн в вакууме, с = 299754 км/с; ------- - скорость расхождения

&

БШВ КА относительной системной шкалы времени КНС ГЛОНАСС; ^арр - аппаратная погрешность измерения радиальной псевдоскорости; - остаточная погрешность измерения радиаль-

ной псевдоскорости, обусловленная погрешностью эфемерид НКА и уходом шкалы времени НКА относительно СШВ КНС.

Скорость расхождения бортовой шкалы времени является случайной величиной с нормальным распределением и среднеквадратическим отклонением, увеличивающимся со скоростью 10-9 м/с. Эквивалентное значение изменения псевдоскорости составит 0,3 м/с. Поэтому для исключения этой сложно моделируемой составляющей предлагается использовать разность измерений радиальной псевдоскорости между КА и парой НКА вместо прямого измерения радиальной псевдоскорости.

В качестве вектора определяемых параметров (вектора состояния) выступают координаты и вектор скорости КА, заданные в виде кеплеровых элементов:

Ч =

где а - большая полуось орбиты КА, км; e - эксцентриситет орбиты КА, б/р; г - наклонение

орбиты КА, рад; О - долгота восходящего узла орбиты КА, рад; ш - аргумент широты перигея орбиты КА, рад; Е - эксцентрическая аномалия орбиты КА, рад.

В предлагаемой методике, основанной на измерении псевдодальностей между КА и НКА КНС, измерения разности псевдодальностей и псевдоскоростей проводятся между КА и как минимум двумя НКА. При этом в моменты отсутствия данных измерений производится прогнозирование вектора кинематических параметров КА на основании последнего полученного апостериорного вектора состояния. В моменты наличия измерений для определения вектора состояния КА используется многоканальный последовательный фильтр Калмана для нелинейных моделей движения и измерения, позволяющий определять вектор состояния КА по измерениям псевдодальностей и псевдоскоростей между КА НКА рабочего созвездия с числом не менее двух по модифицированным формулам:

Ч00 = Ч0(?0Х

р00 = Ро

Сі

= ї (Ч(і ),і),

Фк-1) = Ч к-1к-Ъ Чкк-1 = Ч(ік ), Ркк-1 = 5фкк-1Рк-1к -1Фкк-1 + Qk,

Р0(ік ) = Ркк-1,

Ч 0(ік ) = Ч кк-ъ У і (ік) = Ь (ік ,Ч і (ік))+V (ік),

Рі (ік) = Рі-1 (ік) - Рі-1 (?к )иГ (ік )(Кі (ік)+Ні (ік )Рі-1 (ік )иГ (ік ))-1 Ні (ік )Рі -1 (ік),

Чі (ік) = Чі-1 (ік) + Рі (ік )и[ (ік )К,-1 (ік )(У і (ік) - Ь (ік ,Чі-1 (ік))), і є 1,...,М,

Чкк = ОМ (ік),

Ркк = РМ (ік X

где Р00 = Р0 (і0) - априорная ковариационная матрица априорного вектора состояния КА на начальный момент времени і0 ; 400 = Ч0 (і0) - априорный вектор состояния (6) КА на начальный момент времени і0 ; ї(ч(і),і) - правая часть уравнений движения КА, по которым производится прогнозирование его вектора состояния; Чк-1к-1 - апостериорный вектор состояния КА на момент времени ік-1; Ч(ік-1) - вектор состояния КА на момент времени і к-1; Чкк-1 - прогноз апостериорного вектора состояния КА на момент времени ік после обработки всех измерений на моменты времени і0,...,ік-1; Ч(ік) - вектор состояния КА на момент времени ік; Рк-1к-1 - апостериорная ковариационная матрица апостериорного вектора состояния КА на момент времени ік - после обработки всех

А дЧ

измерений на моменты времени і0,...,ік-1; Фкк-1 =-----------------------------матрица частных производных от век-

дЧ

тора состояния КА на момент времени ік по вектору состояния КА Чк-1к-1 на момент времени ік-1, рассчитывается по следующей формуле:

Фкк -1 =

0

1

0

0

0

0 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0

0 0

3 Ц (ік - ік-1) 5ІП Ек - 5ІПЕк-1 0 0 0 1- ек-1С08Ек-1

2 ч «5-1 (1 - Єк-1^Ек ) 1 - Єк-1С0І5Ек 1 - ек-1С0І5Ек

где Ч(ік) = (а(ік),е(ік),і(ік),П(ік),(ік),Е(ік))-(<%,ек,ікРк,к,Ек) - вектор состояния КА на момент времени ік; Ч(ік-1) = (а(ік-1),е(ік-1),і(ік-1),^(ік-1),а(ік-1Х Е(ік-1)) = (ак-1,ек-1,ік-1,^к-1,

а к-1, Ек-1) - вектор состояния КА на момент времени ік - .

Данная формула получена исходя из того, что на малых интервалах времени движение КА с учетом всех возмущений практически совпадает с кеплеровым движением спутника; Ркк-1 - прогноз ковариационной матрицы апостериорного вектора состояния КА на момент времени ік после обработки всех измерений на моменты времени і0,...,ік-1; 5 - коэффициент усиления ковариационной матрицы; 0_к - матрица шумов модели движения КА; Р0 (ік) - априорная ковариационная матрица априорного вектора состояния КА на момент времени ік; (0 (ік) - априорный вектор состояния КА на момент времени ік до начала обработки всех измерений на момент времени ік ; (г-1 (ік),іє1,...,М - апостериорный вектор состояния КА на момент времени ік после обработки (і-1) измерения; Чі (ік ),і є1,...,М - апостериорный вектор состояния КА на момент времени ік после обработки і измерений; уг- (ік ),і є1,...,М - вектор размерности 2 из разности измеренных псевдодальностей и радиальных псевдоскоростей между КА и НКА рабочего созвездия на момент времени ік, имеющий следующий вид:

где Бт (ік), (ік) - т -я и і -я измеренные псевдодальности между КА и НКА, ¥т (ік), V (ік) -

т -я и і -я измеренные радиальные псевдоскорости между КА и НКА; Уі(ік)єN(0,Яг-(ік)), іє1,...М

- шум разностей измеренных псевдодальностей и радиальных псевдоскоростей между КА и НКА рабочего созвездия с числом не менее двух, гауссовский случайный вектор размерности той же, что и У і (ік), с нулевым математическим ожиданием и ковариационными матрицами Яі (ік) соответственно; Кг- (ік) - ковариационная матрица шума і-й разности измеренных псевдодальностей и радиальных псевдоскоростей между КА и НКА рабочего созвездия с числом не менее двух на момент времени ік; Ь (ік ,Чі-1 (ік)) - функция модели измерений, по которой рассчитывается значение измеряемого параметра на основании полученного после обработки і -1 измерения апостериорного вектора состояния космического аппарата-потребителя Чі-1 (ік). Данная функция рассчитывается по следующим формулам:

где От^еот (?£), ,^еот (?£) - расчетные дальности между КА и т -м и I -м навигационными

спутниками соответственно, рассчитываемые по формуле (1), Бт^gеот (?£), ,geom (?£) - расчет-

ные радиальные скорости дальности между КА и т -м и I -м навигационными спутниками соответственно, рассчитываемые по формуле (4). При этом координаты и вектор скорости КА рассчитывается на основании вектора Чг -!(?£), а координаты и вектор скорости навигационных спутников рассчитываются на основании их эфемерид, полученных в навигационной аппаратуре потребителя.

ру состояния КА. Рг-1 (ік) - прогноз ковариационной матрицы апостериорного вектора состояния КА на момент времени ік после обработки (і -1) измерения; Рг- (ік) - ковариационная матрица апостериорного вектора состояния КА на момент времени ік после обработки і измерений; Ь (ік ,Ч і-1 (ік)) - функция модели измерений, по которой рассчитывается значение измеряемого параметра на основании полученного апостериорного вектора состояния КА (і-1(ік), рассчитывается по формуле (22); М - общее количество разностей измеренных псевдодальностей и радиальных

нг

дч

матрица частных производных от функции модели измерения по векто-

И.Н. Карцан, Е.С. Жукова, Р.В. Карцан. Баллистическое и временное обеспечение космических аппаратов 23

псевдосокоростей на момент времени ік ; Ркк - ковариационная матрица оценки вектора состояния КА на момент времени ік после обработки всех М измерений; Чкк - апостериорный вектор состояния КА на момент времени ік после обработки всех М измерений.

Уравнения (7)—(19) получены следующим образом. Измерения обрабатываются фильтром Кал-мана, рекуррентным по номеру канала, а не по времени. Уравнения модели движения и модели измерения записываются в следующем виде соответственно:

Чі

У і

іє1,...,М ,

где Чі-1 (ік) - вектор состояния КА на момент времени ік после обработки (і -1) измерения;

Чі (ік) - вектор состояния КА на момент времени ік после обработки і измерений.

Соответствующий фильтр Калмана записывается в следующем виде:

Р0(ік ) = Ркк -1,

% (ік ) = Чкк-1,

У і (ік) = Ьі (ік ,Чі (ік))+V (ік),

Рі (ік) = Рі-1(ік) - Рі-1(ік )НТ (ік )(Иі (ік) + Ні (ік )Рі-1(ік )НТ (ік ))-1 Ні (ік )Рі-1(ік),

Чі (ік) = Чі-1 (ік) + Рі (ік )НТ (ік )И-1 (і к )(У і (ік) - Ь (ік ,Чі-1 (ік))), і Є 1,...М,

Матрица шумов модели движения 0_к представляет собой матрицу с ненулевыми диагональными элементами, соответствующими погрешностям прогнозирования положения КА за счет погрешности прогноза вектора состояния КА (к-1к-1 на момент времени ік относительно истинного вектора состояния КА.

Ковариационные матрицы шумов разностей измеренных псевдодальностей между КА и НКА, Иі (ік Xі є^... ,М представляют собой матрицы размерности 2*2 , в которых по главной диагонали находятся величины, равные априорной дисперсии шума разностей измеренных псевдодальностей и радиальных псевдоскоростей между КА и НКА, а остальные элементы - нули.

Матрица частных производных Фкк-1 от вектора состояния КА ч(ік) на момент времени ік по вектору состояния КА ч(ік-1) на момент времени ік-1 уравнений модели движения рассчитывается по формуле

Ф дЧ

Фкк -1 =——-.

д

Матрица частных производных Ні (ік) от функции модели измерений по априорному вектору

состояния КА (і (ік) после обработки і измерений на момент времени ік рассчитывается по

формуле

Ні

д(і

Таким образом, в каждый момент времени вектор состояния последовательно уточняется по всем М каналам, где каждый канал соответствует измерению разности псевдодальности между КА и НКА. При таком подходе априорный вектор состояния КА-потребителя Ч0(ік) = Чкк-1 является спрогнозированным значением с предыдущего шага:

ССі) = ї (Ч(і ),і ),

аі

Ч(ік-1) = Чк-1к-1,

Чкк-1 = Ч(ік).

Апостериорный вектор состояния КА (кк на момент времени ік получается как результат работы фильтра Калмана, рекуррентного по каналам после обработки всех разностей измеренных псевдодальностей на момент времени ік :

Чкк = чм (ік X

а соответствующая ковариационная матрица апостериорного вектора состояния КА записываются в следующем виде:

Ркк = РМ (ік ).

Здесь для расчета спрогнозированного значения с предыдущего шага используется либо модель движения КА с учетом второй зональной гармоники (если интервал времени между поступлениями измерений не превышает некоторого заранее заданного значения), либо полная модель движения КА (при перерывах в сеансах измерений).

Использование данной методики позволит обеспечить определение координат и вектора скоро -сти космических аппаратов в автономном режиме функционирования без привлечения наземных сил и средств, что позволит значительно упростить управление и эксплуатацию спутников, а также повысит эффективность их функционирования за счет более точного баллистического и временного обеспечения.

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации. Соглашение №14.В37.21.1957.

Литература

1. Соловьев Ю.А. Системы спутниковой навигации. - М.: Эко-трендз, 2000. - С. 115-246.

2. Липкин И. А. Спутниковые навигационные системы. - М.: Вузовская книга, 2001. - С. 65128.

Карцан Игорь Николаевич

Начальник отдела учебного военного центра

Сибирского государственного аэрокосмического университета (СибГАУ), Красноярск Тел.: 8 (391) 2-91-91-67 Эл. почта: kartsan@sibsau.ru

Жукова Екатерина Сергеевна

Аспирант каф. безопасности информационных технологий СибГАУ Тел.: 8 (391) 2-91-91-67 Эл. почта: kartsan@sibsau.ru

Карцан Руслан Владимирович

Студент 2-го курса СибГАУ Тел.: 8 (391) 2-91-91-67 Эл. почта: kartsan@sibsau.ru

Kartsan I.N., Zhukova E.S., Kartsan R.V.

Ballistic and time maintenance of space vehicles in various orbits

This article discusses the interim and ballistic supply of space vehicles in different orbits. Keywords: satellite, navigation option, state vector.