Применение функций сплайн-Понтрягина - Виленкина - Крестенсона при формировании сигналов OFDM

УДК 621.391

ПРИМЕНЕНИЕ ФУНКЦИИ СПЛАЙН-ПОНТРЯГИНА - ВИЛЕНКИНА - КРЕСТЕНСОНА ПРИ ФОРМИРОВАНИИ СИГНАЛОВ OFDM С.Н. Агиевич, А.А. Пономарев, Д.И. Коробкин

Предлагаются теоретические результаты синтеза сигналов в базисах функций сплайн-Понтрягина -Виленкина - Крестенсона. Обосновывается их применение при формировании сигналов OFDM

Ключевые слова: синтез сигналов, функции сплайн-Понтрягина - Виленкина - Крестенсона, OFDM

В системах инфокоммуникационного взаимодействия (ИКВ) основой передачи

информации являются радиосигналы. С одной стороны, учитывая, что в настоящее время в большинстве задач фильтрации и демодуляции, решаемых в ходе приема и передачи сообщений, активно применяются цифровые методы обработки, то целесообразно использовать дискретные формы описания радиосигналов. С другой стороны, непрерывная природа радиосигналов предполагает континуальных формы их представления.

Указанные противоречия стимулируют поиск компромиссных решений, одно из которых видится в использовании сплайнов, являющихся согласно определению в [1] непрерывными функциями, но построенных на основе дискретных данных.

По сравнению с классическим подходом к аппроксимации дискретных данных, в частности, на основе различных полиномов, сплайн-функции обладают, по крайней мере, несколькими

очевидными преимуществами [1]:

улучшенными свойствами аппроксимации; удобством реализации построенных на их

основе алгоритмов с использованием методологии цифровой обработки сигналов (ЦОС);

незначительностью влияния ошибок округления (в отличие от классических методов аппроксимации), возникающих в ходе вычислений; свойством сглаживания мест разрывов.

Среди многообразия существующих в настоящее время сплайн-функций целесообразно рассмотреть те, которые имеют максимальную гладкость с позиций наличия непрерывных производных, как наиболее отвечающих природе радиоизлучений. В первую очередь к таковым следует отнести сплайны дефекта 1.

Развитие теории построения сплайнов привело к появлению математического аппарата, названного сплайн-гармоническим анализом (СГА) [2... 5].

Методы СГА являются связующим звеном между непрерывным анализом и его аналогом в дискретном представлении. В основе каждого из

Агиевич Сергей Николаевич - СТЦ, канд. техн. наук, тел. 8-812-333-53-95, доб. 215

Пономарев Александр Анатольевич - ВАС им. С.М.

Буденного, адъюнкт, тел. 8-906-240-24-91

Коробкин Дмитрий Игоревич - ВАИУ, канд. техн. наук,

тел. 8-908-131-74-34

194

них лежат соответственно непрерывные и дискретные экспоненциальные функции (ДЭФ).

Поскольку базис ДЭФ является частным случаем базиса Виленкина - Крестенсона функций (ВКФ) [2], то можно, используя их, перейти к новому виду представления сигналов. Между тем, дополнительное рассмотрение базисов ВКФ показало, что если использовать в качестве параметра модуль с разными значениями, то можно выйти на семейство еще большего разнообразия базисов, и тем самым изначально увеличить их структурную скрытность по отношению к ДЭФ за счет увеличения возможных комбинаций.

Учитывая, что декомпозицией чисел с различным модулем занимался Понтрягин [6], то новый класс функций можно определить как Понтрягина - Виленкина - Крестенсона функции, (ПВКФ). Увеличение возможных комбинаций нового класса функций по отношению к ВКФ характеризует рис. 1, показывающий, что для

исходных значений длин базисных функций равных 100 такое увеличение достигнет более чем в 30 раз. Причем с увеличением длины базиса указанный рост принимает экспоненциальный характер. Сущность такого перехода поясняется следующим: среди целых чисел длин базиса существуют такие, которые подлежат факторизации, тем самым, расширяя возможности комбинаций представления функций. Так число 12 можно представить семью вариантами возможных комбинаций сомножителей, рис. 1.

11 @713 ©0Q6 17 (is) I9 © - ВКФ

23 ^4^5^603^8 29 ^0

31 37

41 47 (48)1 491(50

©@ 53 ©@@©@ 59 © 6" 3x2 6x2

61 (б^(6^Тб^(б^(б^ 67

7

17

(12) - ПВКФ

71 72 73

Г81/32 83 Г84'

6: 2x3 12: 2 x6

3x2 6x2

2x3x2

10:2x5 2x2x3

5x2 3x2x2

4x3

3x4

91 92 93 94 95 96 97

Рис. 1. Возможные варианты длин базисных ПВКФ Обобщение методов СГА на функции ПВКФ открыло дополнительные возможности для обработки сигналов. Поскольку новые базисные сплайн-Понтрягина - Виленкина - Крестенсона функции (СПВКФ) получены из ПВКФ и сплайнов, и, следовательно, обладают их свойствами. К

89 9

таковым следует отнести непрерывную природу (сплайны) и наличие большого количества базисов. Указанные свойства открывают возможность разработки новых средств ИКВ с повышенной структурной скрытностью.

Целью настоящей работы является разработка аналитической модели сигнала OFDM, которая позволяет повысить его структурную скрытность.

Основу теоретических положений СГА с использованием СПВКФ составляют следующие их свойства.

Пусть имеется пространство гладких функций - периодических сплайнов дефекта 1 [1]. Любой

сигнал Sp (t) из этого пространства может быть

построен из В-сплайнов Mp (t) порядка р и заданной степени гладкости р-1:

Sp

N к

где qk - некоторые коэффициенты, N -количество отсчетов сигнала. При этом Ml(f) -однопериодический единичный импульс единичной энергии.

Введем пространство pvc GП периодических сплайнов (здесь PvC - признак ПВКФ, p - порядок

сплайна дефекта 1, n - номер базисной функции) и распишем видоизмененное выражение:

pvcSp (t)=-1 Z,qkMp (t © tk) =

N'

1

= N Z Mp (t © tk )Z PVC (n, k ) pvcF„ (q) =

N к * „

= Z pvcFn(q)-ZPVC(n,k)Mp(t©tk) =

n N к

-Z PVC ^n PVC mn

n n

(t) -1Z PVC (n, к) Mp (t 0 tk );

N

1 п к

РУС (п, к) = ехр(/ 2тс^ —!-!-);

г=1 LI

L1, L2, •••, Ll - модули представления чисел старший, Ll - младший разряды); I - количество

разрядов представления числа; РУС(п, к) -

комплексное сопряжение РУС(п, к); 0 - сдвиг

по

PVC

модулю 1

*I;

PVC ^n PVC Fn (z)/ PVCUn ;

Up-

PVCU n '

-PVCF,(Mp) - 1/NZPVC(n,k)Mp(tk);

p _ PVC "ln

up (t) -

<(t) un

,p

PVC n

Из (2) видно что появились новые функции шрп{1) и РУсир(:). Рассмотрим свойства

PVC n \ s “ PVC^ n PVC mn (t) •

Свойство 1

PVC™Pn [tl/N) - PVC(nl)PVC< (t) • Доказательство:

PVCmp (t 0l / N) -

*l

1

- N Zpvcn i)mp

f к © l Л t 0-

* N

- pvc(n,l)NZ^Pvc(n,,)Mpft 0-N^J -

- pvC (nl) pvcmp (t).

к N.

Свойство 2.

PVCml (t) - N-периодические по отношению

Доказательство:

При l = N

PVC n

mp (t 0N/N) - PVC(n, N)pVcmpn (t) -

* l

PVC n

pft\- ™p/

- PVC(ft,0)pvcmn(t)-pvcmP(t). Свойство 3.

Справедливы выражения:

а) j Pvcmp(t)pvcmhr (t)dt -5

p+b

7/

r PVC n 5

1

б) NZ PVCmp(tk) тГ (tk) - Kpvcupub • N к

Доказательство а):

j PVCmp (t)PVCmt (t)dt -

Z PVC cn (PVC mn \vc '-n V"V

Cn (тЬ ) -

PVC(n,t)pvcmpn (t)dt x|^1 PVC (n, t) PVCmb (t )dt

40 if 1

Zj S„jPVC(n,t)Mp[t0 tk)dt

V 0

tk - (p/2+k)/N;

'cn- pvc f„ (z);

к

n

x

X

n

к

5;;Iрус(п, і)мь[і ік р

=^ (5у )(5;у„ь )=^5; 2 русУі:і =

= 5г' пр+ъ

г РУС п 3

где РУС(п, ^) - континуальные функции ПВКФ, РУСУР - коэффициенты Фурье в базисе

РУС (п, I).

Из доказательства следует, что сплайны РУСтР(1-) образуют ортогональный базис

пространства РУС С^.

Доказательство б):

N ^)тЪ (1к) =

= ХРУС Кп К ({к ))РУСКп (тЪ ({к )) = 5

¿рус Свойство 4

Сплайны

интерполируют

> г р Ь

^ 11 и

}прус п рус г

ъ 2Ы ^ РУС (п, і ), а

' цР

РУС п

именно:

РСтРп (I/N) = РУС(п,I/N). Доказательство:

_р [ Р

= РУС (п, I / N) рус*

2 N

= РУС(п,I/N)русК . Свойство 5.

Свертка ра1тРр •ра1 тг (і) = ра1 тРр+ 5п.

а).

Г 5гп

Доказательство непосредственно следует из 3, Доказанные выше свойства показывают, что

РУС к

(1) есть разложение сигнала РУСїР (і ) по базисным функциям РУСтр(і) или Русип (і ).

Теорема 1

Сплайны

тр

РУС "1п

(і )/і,

и2,р образуют

РУС п

ортонормированный базис пространства С1р .

Доказательство:

Из 3, а) следует:

I рус тп (і Vл!

и ^ р тр

РУС п РУС"1 г

(і )Ц

Следствие 1.

При = ... = Д1,

справедливо

русЇР (і )=в„ Sр (і ) =2

ВКФ п ВКФ п

иРп (і ).

Доказательство:

При равенстве модулей разрядов представления чисел ц1 ПВКФ переходят в ВКФ,

I

1 п к ^пк'1

РУС (п, к) = ехр(у 2лУ^) = =

1=1 Ll

2п

= ВКФ(п, к), где Ж = ехр(]—), откуда и

Ll

следует искомый результат.

Следствие 2.

При L = N, I = 1, Ж = ехр(/ N),

справедливо

„сї- (і ) =вкф їр (і ) = „ф Sр (і ) = 2 с,и; (і ).

Доказательство следует из следствия 1 и следствия 1 теоремы 1 в [5].

Следствие 3.

При L = N I = 1, р ^ го

имеем

Ііт їР (і ) = 2 с„е

2п]'пі

Раг

Доказательство следует из следствия 1, следствия 1 теоремы 1 в [5] и выражения (16) в [7]. Следствие 4.

Из (2) при L = N, I = 1, р ^ го следует:

ї (<) = 2 с.иКг).

Пример системы базисных функций РУсир(і) показан на рис. 3. На рис. 2 показана система ПВКФ, из которой они получены.

?г..........И...........

і—і і...; І...; і....: і*..:

Г—-------------------Г-

Г"Ч*1 г"і г

Г—І і—І ----

[ «—* _______________1,

/*•*!

и:

Ь£Ік

ь

...і”'?

г... г*ч.п г*

ІИ«І ^ІЧІ «1МІ

ь.

і_________Зиій___________Ї£ії>_____іаагі____

і«, ....і Г іяажі Шшжм£ \міД

Рис. 2. Функции Понтрягина - Виленкина - Крестенсона

X

п

п

п

п

п

if................:................: it

ib

Ж

48 96

чУ^чУ\У\/

ч /\ /\ V V

so

,А/

ib-

48 96

\УЧ/\/

fc

48 96

?г.......:.......

48 96

}кУ\/\/У^

48 96

ІЬ...--..--..--..

-С

.}t

it

96 *'------

it

itz

48 96

jlWWWN

48 96

}к/\У\/'У'"\

48

it...................:.........

96

it ІГ--.....

_______''

A L /*•*

*»./ %.«* 48 96

^----------—--------------•--------

Рис. 3. Функции сплайн-Понтрягина - Виленкина -Крестенсона

В классических системах связи в качестве модулируемого колебания используются функции sin(t) или C0s(t), представляющих мнимую и реальную части экспоненциальной функции. Однако в общем случае выбор базиса может быть произвольным. Следовательно, в качестве элементарных базисных функций, в том числе, могут быть использованы и СПВКФ.

Аналитически сигнал с OFDM описывается следующим выражением [8]:

N — 1

s(t) = 2 Re[V2Tr An e}Ф ej2nf"‘],

n=0

где fn- n-ая поднесущая частота из N возможных; An и фп - амплитуда и фаза n-ого комплексного символа канального алфавита, предназначенные для манипуляции n-ой поднесущей.

Тогда аналитическое выражение для OFDM сигнала в базисе СПВКФ может быть записано в следующем виде:

N-1

PVC

где

Sp (t) = 2 Re

п PVC w n

UP

up (t) =

mP

up

uP

PVC n

m

PVC n

'(<) = N 2 PVC (n, k )MP (t ett),

up =

PVC n PVC

k

=pvcFp (Mp) = N 2 PVC(n, k )MP (tk),

N k

1 n k

PVC(n, k) = exp(j2n2—), n = 1..R. 1=1 Д

0 < t < T, T < т < T,

Ц1, Ц2,

представления чисел (ц - старший, ці - младший

разряды); I - число разрядов представления числа, А - амплитуда сигнала, РУС - признак базисной функции ПВКФ; п - номер базисной функции (физический смысл - частота в базисе ДЭФ), Я -размерность сигнала (количество амплитуд,

используемых для формирования сигнала), Т -длительность символа сигнала, ф - фаза, Тд -длительность информационной посылки в пределах фиксированного базиса.

Следует отметить, что при /=1 модуль представления числа д равен длине базисной функции N (д=Л) и гладкость функции (порядок сплайна дефекта 1) (р-1)^, а в качестве

модулируемого используется сигнал,

сформированный на основе СОб(^) , то приходим к классическому аналитическому выражению радиосигнала в терминах ДЭФ:

lim

р^ад” і =1

PVC

Sp (I) = 2 Re

I—A є]Фпє]2%fnt

где n = 1.. R, 0 < t < T.

На рис. 4 и 5 представлены сигналы OFDM сформированные в базисах СПВКФ и ДЭФ. Функции с 150 по 200 модулировались сигналом ФМ-4 с параметрами несущей: д = [3,5,7], р = 4 (рис. 4) и д = 105, р = 4 (рис. 5). Временные представления сформированных сигналов показаны на рис. 4а и 5а. Здесь непрерывной линией изображены вещественная, а пунктиром - мнимая части.

Амплитудные спектры тестовых сигналов при одинаковой скорости передачи, полученные в ДЭФ, представлены на рис. 46, 56. А спектры,

сформированные в базисе СПВКФ - на рис. 4в. Следует отметить, что для третьего тестового сигнала спектр в базисах ДЭФ и СПВКФ будут одинаковыми, поскольку базис ДЭФ является частным случаем СПВКФ при Д = N .

08 Об

Г\ 0Е б) \ 06 в)

04 04

0 21

kLLl

Рис. 4. Фрагмент сигнала OFDM в базисе СПВКФ (^=[3,5,7],р=4): а) временные диаграммы вещественной и мнимой части; б) спектр в базисе СПВКФ; в) спектр в базисе ДЭФ

197

п=0

п=0

Рис. 5. OFDM сигнал в базисе ДЭФ (^=[105], р=4): а) временные диаграммы вещественной и мнимой части; б) спектр в базисе СПВКФ; в) спектр в базисе ДЭФ

Из анализа результатов на рис. 4 и 5 можно заключить, что спектр в базисе ДЭФ сигнала OFDM сформированного в базисах СПВКФ занимают более широкую полосу, однако в своем базисе он так же компактен, следовательно, классические помеховые воздействия на предлагаемый сигнал будут оказывать менее значительное влияние.

Важной особенностью синтезируемых сигналов является то, что с ростом значения модуля ц1 эффективная полоса частот уменьшается. А спектральная плотность равномерно распределяется в частотном диапазоне.

Таким образом, с учетом проведенного анализа можно сделать следующие выводы. Во-первых, базисные функции СПВКФ, характеризуемые параметром p, остаются гладкими на всем интервале что позволяет излучать в эфир сигналы OFDM, сформированные на их основе. Во-вторых, количество базисных функций СПВКФ, лежащих в основе аналитической модели (2), на порядки выше ДЭФ, что открывает широкие перспективы по их использованию для повышения скрытности, рис. 6.

Представленные практические и теоретические результаты позволяют сделать заключение что, применение сигналов OFDM, сформированных на основе СПВКФ, позволяет повысить скрытность инфокоммуникационного взаимодействия.

Особенностью формируемых сигналов является то, что их обработка доступна как методами гармонического анализа, так и методами СГА. Это позволяет использовать такие сигналы уже в существующих средствах связи.

Реализация предлагаемых подходов видится в рамках специального программного обеспечения.

вариантов базисных функций от разряда длины функций в двоичной системе счисления для базисов ДЭФ, СВКФ и СПВКФ

Литература

1. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В. Л. Методы сплайн-функций. М.: Наука, 1980. 352 с.

2. Трахтман А.М., Трахтман В.А. Основы теории дискретных сигналов на конечных интервалах. М.: Советское радио, 1975. 208 с.

3. Zheludev V.A. Periodic splines, harmonic analysis and wavelets in signal and image representation in combined spaces, wavelet // Anal. Appl., 7 / eds Y.Y. Zeevi and R. Coifman. Academic Press, San Diego, CA, 1998. P. 477-509.

4. Желудев В.А. Периодические сплайны и быстрое преобразование Фурье // Вычислительная математика и математическая физика. 1992. Т. 32, № 2. С. 179-198.

5. Агиевич С.Н. Сплайн-Виленкина - Крестенсона функции в представлении сигналов // Научное приборостроение. - 2002, том 12, № 1. С.79-89.

6. Понтрягин Л.С. Непрерывные группы. 3-е изд., испр. - М. Наука, 1973. С. 519.

7. Агиевич С.Н., Алексеев А.А., Глушанков Е.И. Модели сигналов в базисах сплайнов дефекта 1 и оценивание параметров радиоизлучений // Радиоэлектроника (Известия вузов). 1995. T. 38, № 4. С. 3-16.

8. Proakis, John G. Digital communication. - NY.: McGrawHill. 2008. - 1150 c.

Специальный технологический центр

Военная академия связи им. С.М. Буденного

Военный авиационный инженерный университет

APPLICATION OF FUNCTIONS SPLINE-PONTRYAGIN - VILENKIN - CHRISTENSON IN THE FORMATION OFDM SIGNALS S.N. Agievich, A.A. Ponomarev, D.I. Korobkin

The theoretical results of the syntheses signal are offered in base spline-Pontryagina - Vilenkina - Krestensona functions. Substantiates their application to the formation of OFDM signals

Key words: synthes signals, spline-Pontryagina - Vilenkina - Krestensona functions, OFDM