Выражения для расчета потоков самоиндукции и взаимоиндукции, наводимых током, протекающим в тонкой металлизированной полоске

О.М. Булгаков,

доктор технических наук, доцент

В.В. Лупандин,

Воронежский государственный университет

С.А. Петров

ВЫРАЖЕНИЯ ДЛЯ РАСЧЕТА ПОТОКОВ САМОИНДУКЦИИ И ВЗАИМОИНДУКЦИИ, НАВОДИМЫХ ТОКОМ, ПРОТЕКАЮЩИМ В ТОНКОЙ МЕТАЛЛИЗИРОВАННОЙ ПОЛОСКЕ

На частотах свыше 300 МГц индуктивные составляющие импедансов радиоэлектронных компонентов оказывают влияние на усилительные и частотные свойства ВЧ и СВЧ радиоэлектронных устройств. Поэтому повышение точности расчетов малосигнальных параметров схем твердотельных ВЧ и СВЧ усилителей мощности, обусловленных явлениями самоиндукции и взаимоиндукции в системах соединений, обеспечивает в конечном итоге повышение достоверности прогнозирования коэффициентов усиления по мощности и оптимальное проектирование межкаскадных согласующих цепей.

Планарные (полосковые) системы соединений привлекательны для разработчиков высокочастотных радиоэлектронных устройств тем, что обеспечивают лучшую воспроизводимость электрофизических параметров и более пригодны для автоматизации процессов сборки. Однако формулы (индуктивностей, волновых сопротивлений и др.), применяемые для расчетов индуктивностей полосок металлизации [1—3], не отличаются высокой точностью, так как получены с учетом упрощений для некоторых предельных случаев и не учитывают конечные размеры и особенности геометрии контуров, образованных такими полосками.

Рассмотрим проводник в виде тонкой металлической полоски длиной I и шириной ', по которому протекает ток с комплексной амплитудой I, наводящий поток взаимоиндукции в плоском прямоугольном контуре площадью Их1 (рис. 1), параллельном плоскости полоски. В общем случае плоскости проводника и контура расположены на расстоянии к2 одна от другой; И0 — расстояние между смежными параллельными прямыми контура и проекцией проводника на плоскость контура.

N N-1 1

Рис. 1. К расчету потока самоиндукции от тока, протекающего по тонкой полоске металлизации

Представим полоску рядом N параллельных проводников квадратного сечения. Величина магнитного потока в контуре равна сумме потоков, наводимых каждым проводником:

N —

Ф Ир = £ Ф,; N = -,

где ё — высота сечения проводника. При условии равномерного распределения плотности тока по сечению проводника [4]:

^1 +V12 +

^1 +-\/12 + (Н1 + Н11 + Г0 ) ^ '(ки + Г0 ) 1

Здесь г0 = ё/2 — радиус проводника круглого сечения, «вписанного» в проводник квадратного сечения, Ь0 — расстояние между смежными краями проводника и контура; т = 4р 10-7 Гн /м — магнитная постоянная в СИ.

Нщ =7(к2 + Г0 )2 + ((21-1 >0 + к )2 - Г0;

Н1 =у1 (Н2 + г0 ) 2 + ((21 - \)Г0 + Н1 + Н) 2 -л/(Н2 + г0 )2 + ((21 - 1)г0 + Н1 )2 + Г0

Произведение второго и третьего сомножителей в (2) представляют собой геометрический индуктивный фактор (ГИФ) [5] прямолинейного проводника круглого сечения по отношению к прямоугольному контуру, расположенному по отношению к проводнику в соответствии с рис. 1.

Устремим высоту сечения полоски к нулю: с1). Такая ситуация характерна для высоких и сверхвысоких частот (£>300 МГц), когда распределение тока по сечению проводника определяется скин-эффектом, т.е. оттеснением тока к периферии сечения. Толщина скин-слоя а, в котором сосредоточено 63,21% тока, для алюминиевых и золотых проводников на частоте 1=1 МГц составляет менее 2,7 мм. Таким образом, в первом приближении можно считать, что высокочастотный ток, протекающий по проводнику прямоугольного сечения шириной ', сосредоточен в пределах тонкой полоски с высотой сечения ё=2а <<'. Тогда дискретная координата 1- го проводника становится непрерывной: (21-1) г0 у, Н2+г0^ Н2, а суммирование в (1) заменяется интегрированием по переменной у. В результате аналитическое выраже-

Ф, = I

ёт01

2р-

1 +

(Н + К + Г0 )2

-11+

(К + Г0 )2

+1п

2

2

I

I

ние для геометрического индуктивного фактора тонкой металлической прямоугольной полоски длиной I и шириной w будет выглядеть следующим образом:

1+

а

h2 + (у+ho + h)2 + ro

I к\ + (у+ко)2

+

+ ln-

l + ~\J / + (j h: + (y + ho + h) + Го

4h2 + (y + h0 + h)2 -V h2 + (y + h0)2 + Г

h)2 + Г0 ) j '

dy .

Для компактной записи результата интегрирования введем алгебраический оператор:

— \ (p[j12 + h2 + Р2 -"\/h2 + Р2 )-/2 l«(p W12 + h2 + P2 )+ h2 lh.

2

Г A

ln

p + l2+h2 + p2 11

f*- + p h22 + p2 Jj

+

+1

pin

V v

2 , „2

Vh2 + P

l + ^J l2 + h22 + p2

+h2

Г Г -1

arctg

Vh2 J

- 2arctg

p +1 + ^j l2 + p2 + h|

J

Тогда выражение (3) запишется в компактном виде:

Fn —m [i(h + ho + w) - l(h + ho) - l(ho + w) + l(ho)].

2pw

На рис. 2 приведены рассчитанные по формуле (5) зависимости ГИФ полоски металлизации длиной 1=5 мм, шириной ^=0,4 мм, от ширины контура при условии й<<м>.

1,

o,

o,

o

5

io 15 2o 25 3o 35 4o 45 h, мм

1

4

Рис. 2. ГИФ проводников прямоугольного сечения:

- к2 = 0,5 мм, к0 = 0 мм; 2 — к2 = 1мм, ко = 0 мм; 3 — к2 = 1 мм, ко = 0,5 мм;

к2 = 1,5 мм, к0 = 0,5 мм

Частным случаем взаиморасположения проводника и контура является их нахо-

2

l

h

2

1

ждение в одной плоскости Ь2=0. Тогда выражение (3) упростится и примет вид

1)+Ьк )|,

К =-тР \Р(к + к0 + 2)-Р(к + к0 )-Л + 1)+Ь(к0 )] , 2р

(

- р^12 + р2 -р)-/21п

( (

р1п

V V

I+-/У2 + р2

//

где Др)= - рк/12 + р2 -р)-/21п|р+л/12 + Р2)+1

На рис. 3 для сравнения приведены зависимости ГИФ полосок металлизации, рассчитанных по формуле (6).

Из рис. 3 четко отслеживается, что при увеличении расстояния между контуром и проводником в горизонтальной плоскости ГИФ проводника уменьшается.

10

15

20

25

30

35

40

45 И, мм

Рис. 3. ГИФ проводников прямоугольного сечения:

1 — И0 = 0 мм; 2 — И0 = 2 мм; 3 — И0 = 5 мм;4 — И0 = 10 мм

Рассмотрим случай, когда 1>>1 , характерный для монтажа радиоэлектронных компонентов на полимерных подложках, тогда формула (6) может быть заменена более простым приближенным выражением.

2 Л (

* °,1 • Д)1

п = Р

(

0,5 • к •

V V

к •

11 + I2 +1

к

1 + ~2

I2

-15-1 • 1п

( к +^ 2 1 к 1+—2 I2

к+ 1 к •

11

+ 7.5-к- 1п

( к +-1 2 1 к 1+—2 12

к+ 1 к •

к •(22 + к) к ц1 +—Ц—+Т

М I2 I

12

0,1 • 1

Введем функцию относительной погрешности приближенного выражения:

Б*

5 = -— 1.

Б

0

I

На рис. 4 приведены зависимости величины 5 от ширины контура. Как следует из графиков рис. 4, погрешность выражения (8) относительно исходной формулы для рас-

чета ГИФ (7) для рассмотренных размеров проводников и контуров не превышает 6%.

Погрешность выражения (8) для 4 < l < 5 мм и w = 0,15,... ,0,25 мм лежит в пределах -

0,06 < 5 < 0,02 для h < 10мм. С увеличением ширины контура до 25мм значение 5 при тех же размерах полоски монотонно увеличивается от 0,02 до 0,15. Таким образом, погрешность вычисления ГИФ по формуле (8) определяется не столько отношением w/l, из условия малости которого получена рассматриваемая формула, сколько отношением h/l. Если опустить пятое слагаемое выражения (8), то получим более упрощенное выражение, в котором погрешность для 4 < l < 5 мм и w = 0,15, .,0,25 мм лежит в пределах -0,01 < 5 < 0,15 для h < 10мм.

0 1 2 2! 4 5 6 7 8 9 Ь, мм

Рис. 4. Зависимость относительной погрешности приближенного выражения (8) от ширины контура: 1 — I = 4 мм, w = 0,25 мм; 2 — I = 5 мм, w = 0,25 мм; 3 — I = 4

мм, w = 0,2 мм; 4 — I = 5 мм, w = 0,15 мм

Таким образом, приближенные выражения для расчета ГИФ (8) могут применяться в инженерных расчетах индуктивностей планарных соединений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Данилин В.Н. Аналоговые полупроводниковые интегральные схемы СВЧ / В.Н. Данилин, А.И. Кушниренко, Г.В. Петров.— М.: Радио и связь, 1985.— 192 с.

2. Антенны и устройства СВЧ / под ред. Д.И. Воскресенского.— М.: Радио и связь, 1981.— 432 с.

3. Калантаров П. Л. Расчет индуктивностей: Справочная книга / П. Л. Калантаров, Л.А. Цейтлин.— Л.: Энергоатомиздат, 1986.— 488 с.

4. Булгаков О.М. К расчету индуктивности контуров, ограниченных проводниками прямоугольного сечения / О.М. Булгаков, Б.К. Петров // Вестник Воронежского института МВД России. — Вып.2(21).— С. 17—21.

5. Булгаков О.М. Композиционные модели индукционных взаимодействий в мощных ВЧ и СВЧ транзисторах / О.М. Булгаков, Б.К. Петров. — Воронеж: Воронежский государственный университет, 2005. — 253 с.