О некоторых свойствах p-множеств ограниченно детерминированных функций

Краткие сообщения

УДК 511

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ P-МНОЖЕСТВ ОГРАНИЧЕННО ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ ФУНКЦИЙ

А. А. Родин1

В работе рассматриваются классы ограниченно детерминированных функций, в каждом состоянии которых реализуется функция из некоторого замкнутого класса D k-знач-ной логики (P-множества). Показано, что существует континуум предполных классов, содержащих произвольное P-множество. Также рассматривается задача о существовании критерия распознавания полноты систем, содержащих P-множества.

Ключевые слова: автоматные отображения, предполный класс, k-значная логика, критерий полноты.

Classes of deterministic finite functions are considered in the paper and each state of those functions realizes a function from some closed class D of k-valued logic (P-sets). It is proved that there exists continuum of precomplete classes C containing an arbitrary P-set. The problem of existence of a completeness criterion for systems containing P-sets is also considered.

Key words: automata mappings, precomplete class, k-valued logic, completeness criterion.

1. Введение. Пусть k ^ 2, обозначим через Pk множество всех ограниченно детерминированных (о.д.) функций, входные и выходные переменные которых определены на множестве бесконечных последовательностей, составленных из Ek, где Ek = {0,... ,k — 1}.

Будем считать, что на множестве Pk определена операция суперпозиции. Пусть M с Pk. Замыкание множества M относительно суперпозиции обозначим через [M]. Множество M с Pk называется полным, если [M] = Pk.

Известно [1], что критерий полноты в Pk может быть сформулирован в терминах предполных классов. Множество N с Pk называется предполным классом в Pk, если [N] = Pk, но для любой о.д. функции / / N выполнено [N u {/}] = Pk. Пусть M с Pk. Множество M является полным тогда и только тогда, когда M не содержится ни в одном из предполных в Pk классов.

Таким образом, число предполных классов является важной характеристикой эффективности этого критерия. В.Б. Кудрявцевым показано, что мощность множества предполных классов в Pk равна континууму [2]. Вместе с тем интерес представляет задача о числе предполных классов, обладающих некоторыми наперед заданными свойствами [3]. Имеет место теорема, обобщающая один из результатов [4].

Пусть D — произвольный замкнутый класс в Pk (k-значная логика). Введем понятие P-множества, порожденного классом D, — это множество ограниченно детерминированных функций, в каждом состоянии которых реализуется функция k-значной логики, принадлежащая D. Будем обозначать такое P-множество через P^. Одной из целей данной работы является доказательство следующего утверждения.

Теорема 1. Для всякого k ^ 2 и для любого замкнутого множества D с Pk существует континуум предполных классов в Pk, содержащих P-множество P^.

Пусть QD — совокупность всех подмножеств M множества P2, содержащих P^ и таких, что множество M \ P2 конечно. Рассматривается задача о существовании критерия распознавания полноты систем из Оказывается, что наличие этого критерия зависит от порождающего множества D. В статье приводятся результаты для различных порождающих множеств.

2. Основные определения. Пусть /(xi,... , xn) — о.д. функция из Pk, задаваемая системой канонических уравнений

9(1) = до, 9(* + 1) = ^(xi(i),...,x„ (t),q(t)), y(t) = ^(xi(i),...,x„ (t),q(t)),

где Q = {9o,9i,... ,9p} — множество ее состояний, а qo — ее начальное состояние. Функцию k-значной логики, реализуемую в состоянии 9i, обозначим через Fqi.

1 Родин Александр Алексеевич — асп. каф. математической теории интеллектуальных систем мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

tyman307@rambler.ru.

Пусть £ ^ 1, БД — множество слов длины составленных из Ек. Пусть г,^ £ {0,1,...,р}. Будем считать, что состояние qi ¿-достижимо из состояния qj, если найдутся такие а1,а2,...,ага £ БД, что (p(a1,...,an,qj) = qi

Пусть О — некоторое замкнутое множество функций к-значной логики. Тогда множество всех о.д. функций из Рк, таких, что каждая из функций принадлежит множеству О, обозначим

через Рд (Р-множество). Очевидно, что Р^ — замкнутое множество в Рк.

3. Доказательство теоремы 1. Не ограничивая общности, будем считать, что О содержит тождественную функцию ж(ж1) = Жь

Пусть Р1,Р2,... — последовательность всех простых чисел, больших трех, которая упорядочена по возрастанию. Пусть

Ь =

— последовательность чисел, таких, что mi £ {0,1} для любого г ^ 1.

Пусть о.д. функция д™4 (Ж1,Ж2) = У такова, что у(£) = Ж1(£), если £ = lpi + mi + 1 для некоторого I ^ 0, и У(£) = Ш(Ж1 (¿),Ж2(£)) в противном случае, где эд(ж!,ж2) — функция Вебба к-значной логики. Исходя из последовательности Ь, определим множество о.д. функций

Мь = Рк и № (Ж1,Ж2)}.

Покажем, что для любой последовательности Ь вида (1) замыкание множества Мь не совпадает с Рк. Пусть

N = (ж1 , Ж2) = уь...^8 (ж1 , Ж2) = уЛ

— произвольное конечное подмножество множества Мь \ Рд.

Покажем, что существует £ ^ 1, такое, что yj(£ + 1) = Ж1(£ + 1) для любого ] £ {1,... , в}. Возможны два случая. Пусть mil = ... = т^ = т. Тогда £ = (р^ . ..р^) + т.

Пусть теперь существует ] £ {1,...,в}, такое, что т^ = . Будем считать, что для некоторого й, 1 ^ й ^ в — 1, имеют место равенства

mil = ... = mid = 0, = ... = mis = 1.

Тогда

£ = (рп ...^)(р^+1-1)-(рм+1-1).

Из малой теоремы Ферма следует, что по модулю любого из чисел р^+1, ...,р число £ совпадает с единицей и делится на любое из чисел р^,... ,pid. Заметим, что существование такого £ также следует из китайской теоремы об остатках. Таким образом, из начального состояния любой о.д. функции, принадлежащей N и Рд, £-достижимы лишь такие состояния, в которых реализуются функции к-значной логики, принадлежащие О. Следовательно, этим свойством будет обладать и любая суперпозиция этих функций. А поскольку в каждой суперпозиции участвует лишь конечное число о.д. функций, то в замыкании не может оказаться о.д. функция, в каждом состоянии которой реализуется к-значная функция, не принадлежащая О. Поэтому [Мь] = Рк.

Рассмотрим объединение множеств Мь и Мь' для любых отличных друг от друга двоичных последовательностей Ь и Ь'. Тогда пусть эти последовательности различаются в г-м разряде. Это значит, что множеству Мь и Мь' принадлежат функции (Ж1,Ж2) и др.(Ж1,Ж2). Используя эти функции, несложно получить истинностную функцию Вебба Ш(Ж1,Ж2). Нетрудно видеть, что Рд и Ш(Ж1,Ж2) образует полную систему, поэтому [Мь и Мь'] = Рк. С другой стороны, отсюда следует, что любой замкнутый класс в Рк, содержащий множество Рд, расширяется до предполного.

Пусть Мь и Мь' — предполные классы, содержащие Мь и Мь' соответственно. Для любых отличных друг от друга последовательностей Ь и Ь' имеет место равенство [Мь и Мь' ] = Рк. Поэтому Мь = Мь'. Известно, что существует континуум последовательностей вида (1). Таким образом, мощность множества предполных классов, содержащих Р к , не менее чем континуум. Вместе с тем мощность всевозможных подмножеств множества Рк также равна континууму. Таким образом, теорема 1 доказана.

Замечание 1. При доказательстве теоремы мы предположили, что множество к-значной логики О содержит тождественную функцию ж(ж1 ) = Ж1. Пусть это не так. Тогда рассмотрим О' = [О и ж]. Понятно,

что Б' замкнуто и Б' = Рк, так как Б = Рк. Далее, очевидно, что Рк с Рд/. Поэтому если докажем, что существует континуум предполных классов, содержащих ,, то тоже будет содержаться в тех же самых классах. Следовательно, для множества Б теорема тоже будет верна. Итак, без ограничения общности можно считать, что х £ Б.

Замечание 2. Для функциональной системы, в которой присутствует операция обратной связи, утверждение теоремы 1 останется справедливым, а приведенное доказательство дословно переносится на новый случай.

4. Критерий распознавания полноты. Рассмотрим случай, когда к = 2. Пусть Б — некоторый класс Поста [5, 6], — совокупность всех подмножеств М множества Р 2 , содержащих Р-множество Р^ и таких, что множество М \ Р^ конечно.

Как было показано выше, в Р2 существует континуум предполных классов, содержащих Р^. Вместе с тем для некоторых классов Поста существует эффективный критерий распознавания полноты систем из Представляет интерес задача об отыскании всех таких классов Поста.

Теорема 2. Пусть Б содержит тождественную функцию алгебры-логики и одну из констант. Существует эффективный критерий для распознавания полноты множеств, принадлежащих совокупности .

Доказательство теоремы конструктивно. Ясно, что формулировка этого критерия будет зависеть от множества Б.

Отметим, что эффективный критерий был получен С.В. Алешиным [7] для случая, когда Б = {0,1, х,Х}.

В случае, когда Б £ {0,1}, из [1] следует, что эффективного критерия распознавания полноты не существует.

Таким образом, пока неисследованными остаются случаи, когда х € Б, 0,1 / Б. Несложно видеть, что если эффективный критерий существует для случая Бо = {х}, то он существует и для всех Б Бо. Поэтому случай, когда множество Б состоит только из тождественной функции, является основным. Для него имеют место следующие утверждения.

Теорема 3. Пусть 0(С) — совокупность всех подмножеств М множества Р2, содержащих Рд

0

и константную о.д. функцию С, таких, что множество М \ Рд0 конечно. Для каждой С оуществует эффективный критерий распознавания полноты систем из 0(С).

Пусть о.д. функции Со(х),^1(х) — нулевая и единичная задержка соответственно [1]. Обозначим

а = [{Со (х),^1 (х)}].

Теорема 4. Пусть д(х) € С, 0(д) — совокупность всех подмножеств М множества Р2, обладающих следующими свойствами:

1) М содержит Рд0 и {д};

2) множество М \ Ро конечно.

Тогда существует критерий распознавания полноты систем из 0(д).

Автор считает приятным долгом выразить благодарность научному руководителю профессору В. А. Бу-евичу, а также профессорам С.В. Алешину и В. Б. Кудрявцеву за внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Кудрявцев В.Б., Алешин С.В., Подколзин А.С. Введение в теорию автоматов. М.: Наука, 1985.

2. Кудрявцев В.Б. О мощности множеств предполных множеств некоторой функциональной системы, связанной с автоматами // Проблемы кибернетики. 1965. Вып. 13. 45-74.

3. Марченков С.С. О классах Слупецкого для детерминированных функций // Дискретн. матем. 1998. 10, вып. 2. 37-59.

4. Буевич В.А. Критерий полноты систем, содержащих все одноместные ограниченно детерминированные функции // Дискретн. матем. 2000. 12, вып. 4. 69-97.

5. Яблонский С.В., Гаврилов Г.П., Кудрявцев В.Б. Функции алгебры логики и классы Поста. М.: Наука, 1966.

6. Угольников А.Б. Классы Поста. М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2008.

7. Алешин С.В. Uber ein Vollstanig klits kriterium fur Automatenabildungen beruglich der Superposition // Rostoker Math. Kolloq. 1977. 5. 119-132.

Поступила в редакцию 20.06.2012