О квадратичном показателе иррациональности ln 2

УДК 511

О КВАДРАТИЧНОМ ПОКАЗАТЕЛЕ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ ln2

А. А. Полянский1

В статье приводится новое доказательство теоремы о квадратичном показателе иррациональности ln2.

Ключевые слова: квадратичный показатель иррациональности ln2.

A new proof of the theorem on the non-quadraticity measure ln2 is given in the paper.

Key words: non-quadraticity measure ln2.

Для каждого числа a, не являющегося корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами, можно ввести характеристику того, насколько оно может быть приближено корнями квадратных уравнений. Эта характеристика, называемая квадратичным показателем иррациональности числа а, определяется как точная верхняя грань множества чисел к, таких, что неравенство \а — ß\ < H(ß)-K имеет бесконечное количество решений в квадратичных иррациональностях ß. Здесь H(ß) — это наибольший по модулю из целых коэффициентов неприводимого в Z[x] квадратного трехчлена, корнем которого является число ß. Обозначается квадратичный показатель иррациональности через ß2(a).

В статье [1] М. Хата доказал оценку ^(ln2) ^ 25, 0463.... Этот результат был улучшен Р. Марко-веккио в работе [2] следующим образом.

Теорема. Справедливо неравенство ^(ln2) ^ 15, 65142025 ....

Доказательство данной теоремы опиралось на новый способ построения приближений к ln 2: использовались двукратные несобственные комплексные интегралы. При этом применялся групповой метод Рина-Виолы, разработанный при оценивании показателя иррациональности значений дзета-функции Римана с(2), С(3) (см. [3, 4]).

В данной работе будет приведено другое доказательство теоремы. При этом будет рассматриваться однократный комплексный интеграл, а для оценки будет использоваться метод перевала в достаточно простой форме. Предложенное доказательство имеет схожие черты с доказательством иррациональности С(3) и оценкой показателя иррациональности для ln2 в работах Ю.В. Нестеренко [5, 6].

Пусть n,a,b — натуральные числа, b > 4a, и определен многочлен

ix + (b — 2a)n\fx + (b — a)n\/x + bn (x) = V (b — 4a)n Д (b — 2a)n Д bn

(x + 2an + 1)... (x + (b — 2a)n) (x + an + 1)... (x + (b — a)n) (x + 1)... (x + bn) = ((b-4a)n)! ((6 — 2a)n)\ (bn)! '

Рассмотрим интеграл

где z = 0, а вертикальная прямая L задается равенством Re С = cn, где —(b — 2a) < c < —2a, и проходится снизу вверх. Также мы полагаем, что (—z)-Z = e-Zln(-2:), где выбирается ветвь логарифма ln(—z) = ln \z\ + i arg z + in с условием \ arg z\ < 2n.

Предложение 1. Для любого z E C с условием 0 < \z\ < 1 справедливо равенство

I{z) = -\u{z) In2 2 + V{z) ln 2 - ^W

где функции U(z), V(z) и W(z) .задаются следующими равенствами:

3(b-2a)n . . j+i j+1 .

U(z) = - Y, M-k)zk= Y = £ (-1)fc_U(-fc)U-l

fc=bn+1 j=bn fc=bn+1

1 Полянский Александр Андреевич — асп. каф. теории чисел мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: psasha7stop@yandex.ru.

13 ВМУ, математика, механика, № 1

an 33(b-2a)n—1

V (z) = £ A'(—k)zk + £ b k=1 j=0 2an 3(b-2a)n-2

W(z) = £ A"(—k)zk + £ с k=l j=0

j+1

j+l

„^".^D-^i-i-.;'

k=l

j+l j+l z \ X ^ , _ \ 1 . // , , N / j

k- 1

z - 1

, cj ^

k=1

Ветвь логарифма выбирается в обеих частях (2) так, что

ln(—z) = ln z + in = ln \z\ + i arg z + in и \ arg z\ < 2n.

Доказательство предложения 1 основано на том, что данный интеграл равен сумме вычетов подынтегральной функции в целых точках ( = —k, где k > (b — 2a)n, после чего бесконечная сумма преобразуется к выражению (2) (подробности см. в предложении 1 в статье [6]).

Будем использовать обозначения: [x] и {x} — целая и дробные части числа x; dm — наименьшее общее кратное чисел, не превосходящих m; vp(r) — степень вхождения простого числа p в разложение рационального числа r на простые множители.

Обозначим через Q множество y, 0 ^ y < 1, таких, что при любом x выполняется неравенство

ß(x, у) = [x — 2ay] — [x — (b — 2a)y] — [(b — 4a)y] + [x — ay] — [x — (b — a)y] — [(b — 2a)y] + [x] — [x — by] — [by] ^ 1.

Также определим

= |простые p : p > д/З(b — 2a)n, | — | G f2 | ,

д = Пp, Ai = П p.

pES pES,p>(b-2a)n

Лемма 1. Пусть р £ Тогда верны следующие оценки:

1) для любого к из промежутка Ьп + 1 ^ к ^ 3(Ь — 2а)п + 1 верно ир(Л(—к)) ^ 1;

2) для любого к из промежутка (Ь — а)п + 1 ^ к ^ Ьп верно ир(Л'(—к)) ^ 0;

3) для любого к из промежутка (Ь — 2а)п + 1 ^ к ^ (Ь — а)п верно ир(Л"(—к)) ^ —1.

Доказательство. Обозначим х — к~1

и y =

п

р " * I р

Случай 1. При bn + 1 ^ k ^ 3(b — 2a)n + 1 имеем

A

bn

(k — 2an — 1)!

при этом p £ S, т.е. y £ Q. (k — an — 1)!

(k — 1)!

(к — (Ь — 2а)п — 1)!((Ь — 4а)п)! (к — (Ь — а)п — 1)!((Ь — 2а)п)! (к — Ьп — 1)!(Ьп)!'

Ввиду определения 2 справедливо неравенство ир(Л(—к)) = ¡л(х,у) ^ 1. Случай 2. При (Ь — а)п + 1 ^ к ^ Ьп имеем

(к — 2ап — 1)! (к — ап — 1)!

A'

kl

(к — (Ь — 2а)п — 1)!((Ь — 4а)п)! (к — (Ь — а)п — 1)!((Ь — 2а)п)! Поскольку при любых целых Ь,п,к и простом р верно равенство

— 1,

(к- ЩЬп-к)\

bn — k k — bn — 1

V V

рр

то ир(Л'(—к))= ц(х,у) — 1 ^ 0.

Случай 3. При (Ь — 2а)п + 1 ^ к ^ (Ь — а)п дважды используются тождества, аналогичные равенству (3); похожими рассуждениями получаем ир(Л"(—к)) ^ ¡л(х,у) — 2 ^ —1. Лемма доказана.

Лемма 2. Пусть т — натуральное число и Н(х) = Нт(х) = (ж+1)---(а:+"7-) _ Для любого целого к числа (тН'(к) и (Цт/2](тН"(к) целые.

Доказательство. Каждый многочлен Нт(х) целозначный, тогда многочлен Нт(х + к) тоже це-лозначный. Известно, что в этом случае Нт(х + к) = с^Н^(х), где с^ £ Z. Таким образом, достаточно

доказать лемму при х = 0. Ввиду равенств

H'm

£

j=l

x + j

Hm

1

1

У -:--:

lÄm x + i x + j

1

и

получаем Н'т{0) = Нт(0) 1 } = } и Я£(0) = 2Нт(0) И = 2 А" 0тсюДа

очевидно, что И'т(0) £ Z, а во втором случае достаточно доказать неравенство ир (С[т/2]Ст/(г~з)^ ^0. Понятно, что если для некоторого простого р имеет место ^(г) ^ ир (С[т/2]) (или для ^), то будет справедливо неравенство ир (С[т/2]dm/(г  ])) = (ир (С[т/2]) — Vp(г)) + (ир(ёт) - ир(])) ^ 0. А случай, когда ир(г) > иР {С[т/2]) и Ур(]) > ир (й[т/2]), невозможен, так как тогда [т/2] ^ т/2 < рир(41т/2})+1 = г ^ г < ] ^ т.

А это значит, что ] делится на рир(л[т/2])+1 и ] ^ 2рир(Л[т/2^)+1 = 2г. Получили противоречие: т/2 < г и 2г ^ т. Таким образом, лемма доказана.

Следствие из леммы 2. Для любого к £ Z имеем С^А'(к) £ Z и й(1^-2а)пСьпА"(к) £ Z. Лемма 3. Для любого к £ Z и 1 ^ к ^ 3(6 — 2а)п + 1

= и А2 = й^уЛ^А'Ч-к) е

Доказательство. Достаточно доказать, что ь*р(А1) ^ 0,^р(А2) ^ 0 для любого р £ 2. Так как равенство ¡л(х,у) = 0 выполняется для любого у £ [0; и ж = —(1 — Ъу)/2, то для любого у £ О выполняется Ьу ^ 1. Поэтому для всех р £ 2 верно р ^ Ьп и, следовательно, ир(с11п) ^ 1.

Если обозначим J = {2ап + 1,..., (Ь — 2а)п; ап + 1,..., (Ь — а)п; 1,..., Ьп} и ^ = Д{к}, то тогда для несократимой дроби ^ = ПРИ ~~ < к ^ 3(6 — 2а)п + 1 будет справедливо неравенство

^р(О) ^ 1, иначе мы получили бы р2 ^ | — к| ^ 3(Ь — 2а)п, что противоречит определению множества 2.

Аналогично для несократимой дроби -р = Т^к ' Т^к ПРИ ^п ^ ^ ^ 3(6 — 2а) п + 1 получаем

рр(Р) ^ 2. Теперь перейдем к доказательству требуемого утверждения. Случай 1: Ьп + 1 ^ к ^ 3(Ь — 2а)п + 1. Тогда получаем

А'(-к) = А(—к) ( Е А) = и А!'(-к) = 2А(-к) ( Е гЬ ' ГЬ ) = 2А(_А:)1

Так как г/р(4п) ^ 1,МА) = 1,ь,р(А(-к)) ^ 1(по лемме 1),ир(0) ^ 1, то ь>р(А{) = ир ^ 0.

Аналогично Vр(с1(ь-2а)пД1) ^ 1,^р(Сьп) ^ 1, ^р(Д) = 1, ир(А(—к)) ^ 1(по лемме 1),^р(^) ^ 2, следовательно, ир{А2) = ир [(1{ь_2а)пА1^А(-к)§) ^ 0.

Случай 2: 1 ^ к ^ Ьп. В этом случае нужно действовать аналогично. Следует только отметить, что при (6 — а)п + 1 ^ к ^ Ьп потребуется формула А"(—к) = А'(—к) -рг^ = А'(—к)^, а при

к ^ (Ьп+1)/2 неравенство очевидно ввиду симметричности многочлена А(х) = (—1)3(1-2а)пА(—(Ьп+1)— х). Лемма доказана.

Далее будут получены результаты об асимптотических свойствах и(1/2) и I(1/2). Предложение 2. Имеет место равенство

Ит 11п I [/(1/2)1 = 1п ( \

пЛ+оо п 1 К ' П и^о " 2а)2а(хо - а)а(Ь - 4а)ь"4«(6 - 2а)ь~^Ьь) ' 1 ;

где г0 > Ь — корень уравнения (г — 2а)(г — а)г = 2(г — (Ь — 2а))(г — (Ь — а))(г — Ь). Доказательство. Из формулы для и (г) в предложении 1 имеем

АГ (к) ~

и(1/2) = - Е М-к)2~к = - Е -¿21' ГДе = М-к)2~кк2.

к=Ьп+1 к=Ьп+1

Несложно показать, что существует некоторое число хо, не зависящее от п, такое, что

М = тах

1п+1^к

^4

Используя формулу Стирлинга (см. [7, § 12.31]) и тот факт, что Ьп < к ^ хоп, получаем

ln \A(k)\ = n(f (Л) - Л ln 2) + 0(ln n),

где b < A = £ ^ x0 и

(Л - 2а)Х-2а(Л - a)X-aЛх

/(Л) = In-

(Л - (b - 2a))X-(b-2a) (Л - (b - a))X-(b-a) (Л - b)X-b(b - 4a)b-4a(b - 2a)b-2abb' Находим точку максимума zo функции f (Л) - Л ln 2, и тогда

, w , ,7„м - ( (zo - (b - 2a))b-2a(zo - (b - a))b-a(zo - b)b \ .

ln M = max ln \A (к) < n In —. "—. /;,— " ,, + 0(\nn).

bn^xon 1 Wl \(zq -2a)2a(z0 - a)a(b - 4a)b~4a(b - 2a)b~2abb J v '

Для того чтобы оценить lnM снизу, рассмотрим число r = [zon], для которого выполняется неравенство \zq — т/п\ < 1 /п. Откуда / (£) -£1п2 = /(z0) - z0 ln2 + 0(1/п). Значит, lnM = n(/(z0) - z0 ln2) + O(lnn). Таким образом, ввиду оценок

1 1 е|г/(1/2)|<м Z ¥<м

к—bn+1

заключаем, что

lim — In I [/(1/2)1 = lim - ln\M\ = f(z0) - z0 In 2.

n^+те П n

Предложение 3. Если уравнение (z + 2a)(z + a)z = 2(z + (b - 2a))(z + (b - a))(z + b) имеет корень zi = c + iß, такой, что -(b - 2a) < c < -2a и ß ^ 0, то справедлива оценка

у 1, Irn/OM^I kl + (b - 2a)\b~2a\z\ + (b - a)\b~a\z\ + b\b

ümsup - In |/

Доказательство. Выберем такую прямую L, что Re ( = nc.

Преобразуем функцию Ф(£) (подынтегральная функция в равенстве (1)) при помощи элементарных свойств гамма-функции:

Г(С + (Ь - 2а)п + 1)Г(—С ~ 2an) Г(( + (6 - а)п + 1)Г(-( - an) Г(( + Ьп + 1)Г(-() ecln2~c^ ^ ~ Г((6 — 4а)п + 1) Г((Ь - 2a)n + 1) Г(6п + 1) (-1 )ап+1'

Будем считать, что Z = zn. Используя формулу Стирлинга, получаем Ф(£) = h(z)enf(z)(1 + 0(n-1)), где

ВД =

3 \ 1/2 3 (z + b)(z + (b - a))(z + (b - 2a)) \ '

n/ (-z)(-z - a)(—z - 2a)b(b - 2a)(b - 4a) f (z) = (z + b) ln(z + b) + (z + (b - a)) ln(z + (b - a)) + (z + (b - 2a)) ln(z + (b - 2a)) - z ln(-z)--(z + a) ln(—z - a) - (z + 2a) ln(-z - 2a)+z ln2 - zni - (b - 4a) ln(b - 4a) - (b - 2a) ln(b - 2a) - b ln b

и постоянная в O(n-1) не зависит от z.

Совершим замену ( = n(c + iu), тогда интеграл примет вид

/(1/2) = — [ Ф^du, где Ф!(u) = h{c + iu)enf(c+iu\ 1 + 0{п~1)). 2п J

—ж

Определим функции g(z) = Re f (z), G(u) = g(c + iu). Так как функции - arg(b + di) и arg(b - di) при фиксированном b > 0 убывают по d на R, то несложно видеть, что в точке u = ц = Im zi достигается

максимум О(п) при и £ М. Учитывая, что /С(21) = 0 (это верно ввиду условия на ¿1 в формулировке предложения), получаем

С(р) = д(г1) = И,е / (21) = 1п

'|-г1 + Ь\ь\гг + (5-а)|(ь~а)|-г1 + (6 - 2а)|(ь~2а)' \гг + 2а\2а\гг + а\а{Ъ - 4а)ь~4а(Ь - 2а)ь~2аЬь

= т.

Найдем £1 > 0 и €2 > 0, такие, что С(р + £1) < —1 и С (—£2) > 1, ибо С (и) — убывающая и стремящаяся к —2п на +то и к 4п на —то функция. Представим наш интеграл в виде суммы трех интегралов с той же подынтегральной функцией на промежутках (—то; —€2], [—€2; р + €1] и [р + €1; +то). Поскольку |Л,(г)| < 7п-3/2 для некоторого ^ > 0, то

п

— / Ф1 (и) Ли

-£2

< еп

При и ^ р + €1 верно неравенство С

п

— / Ф1 (и)<1и

< ) еп(о(и)-С(^+£1 ))си < еп°{р+^1) е(-(и-(р+^1))пг!и < еп

Аналогично получаем, что

Значит, II(1/2)| < 3епт, т.е.

-£2

п

— / Ф1 (и)йи

< е"

Нтвир — 1п \1(1/2)\ < т.

п^+те п

Предложение доказано.

Определим Рп,Яп,^п следующими равенствами:

3(Ь-2а)п

Д

. ап 3(Ь-2а)п-1

= 22™(1(ь_2а)пА1^У(1/2) = й{ь_2а)пАг^ + Е I ,

)п 1 Д СЬп

. к=1

2ап

3=0 3(1 -2а)п-2

Кп = 22а^{ь_2а)пА1^(1/2) = ^„Д^ * +22т

, к=1

Они целые ввиду леммы 3. Согласно (2), выполняются неравенства

1

|[/(1/2) 1п2 + 1/(1/2)| < -|/(1/2)|, |[/(1/2) 1п 2 — ^(1/2)1 <2 1 +- |/(1/2)|.

Е сз (—1)3+1|.

3=о

1п 2

Теперь мы готовы завершить доказательство теоремы. Выберем а = 8 и Ь = 81. Воспользуемся леммой 2.3 из работы [1] для троек целых чисел Рп, Qn, Кп.

Рассмотренное ранее в общем случае множество О при указанном выборе а и Ь совпадает с тем, что было получено Марковеккио в статье [2]:

О = [1/73; 1/49) и [2/73; 2/49) и ... и [69/73; 26/27) и [55/57; 79/81) и [56/57; 80/81).

3

Отсюда получаем в соответствии с леммой 6 из работы [2] следующее соотношение:

lim - In А = к = ip (80/81) - гр(56/57) + ... = 52,1849 ....

га^+те n

А так как Ai — произведение всех простых чисел с условием 65n ^ p и {n/p} Е Q, то А^бби. = dj3n. На основании асимптотического закона имеем

lim — In (Aid65n) = lim — 1пс?7з„ = 73, lim — In dein = 81-

га^+те n п^+те n га^+те n

Непосредственной подстановкой в формулы

lim - In\U(l/2)\ = 253,1613... , limsup - In\I(l/2)\ < -137, 8905 ... .

га^+те n га^+те n

Теперь

lim -ЫРп = 161n2 + 73 + 81 - к + lim - In\U(l/2)\ = 366, 0679 ... = a.

п^+теn п^+теn

Аналогично, используя соотношения (6), находим

max < lim sup — In | Pn In 2 + Qn |, lim sup — In | Pn In2 2 — En | 1 ^

^ га^+те n га^+те n )

< 161n2 + 73 + 81 - к + limsup-In |/(1/2)| < -24,9850... = -r,

га^+те n

откуда получаем по лемме 2.3 из работы [1], что //2(In 2) ^ 1 + ^ = 15, 6514.... Теорема доказана. Замечание 1. Выбирая a =1 и b = 7 и рассматривая последовательности

frn Im J(l/2) m2ndjnu(1/2) А 7г А

можно получить следующую оценку показателя иррациональности ln2 (см. [2, 6]): ^(ln2) ^ 3, 5745....

Замечание 2. Рассмотрим точки z с условиями 0 < \z\ < 1 и 0 < arg z < 2п. Применяя равенства (1) и (2), несложно получить

ш L A

Используя аналитическое продолжение, нетрудно проверить, что (7) будет справедливо (не учитывая среднее выражение) при всех z с условиями 0 < \z\ < 1 и \ arg z\ < 2п. А это в точности равенство, которое было выведено в статье [6] для оценки показателя иррациональности ln 2.

Автор выражает глубокую признательность Ю.В. Нестеренко за помощь в написании статьи. Результаты статьи получены при частичной поддержке РФФИ, грант № 09-01-00743.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hata M. C2-saddle method and Beukers' integral // Trans. Amer. Math. Soc. 2000. 352, N 10. 4557-4583.

2. Marcovecchio R. The Rhin-Viola method for log 2 // Acta arithm. 2009. 139. 147-184.

3. Rhin G, Viola C. On a permutation group related to Z(2) // Acta arithm. 1996. 77. 23-56.

4. Rhin G, Viola.C. The group structure for Z(3) // Acta arithm. 2001. 97. 269-293.

5. Нестеренко Ю.В. Некоторые замечания о Z(3) // Матем. заметки. 1996. 59, № 6. 865-880.

6. Нестеренко Ю.В. О показателе иррациональности числа ln2 // Матем. заметки. 2010. 88, № 4. 549-564.

7. Уитеккер Э.Т., Ватсон Дж.Н. Курс современного анализа. Ч. 2. M.: Физматгиз. 1963.

Поступила в редакцию 17.12.2010