Исследование потоков заявок в двухфазной системе массового обслуживания с неограниченным числом приборов и повторными обращениями

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2018 Управление, вычислительная техника и информатика № 45

УДК 519.872

Б01: 10.17223/19988605/45/6

М.А. Шкленник, А.Н. Моисеев

ИССЛЕДОВАНИЕ ПОТОКОВ ЗАЯВОК В ДВУХФАЗНОЙ СИСТЕМЕ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ С НЕОГРАНИЧЕННЫМ ЧИСЛОМ ПРИБОРОВ

И ПОВТОРНЫМИ ОБРАЩЕНИЯМИ

Рассматривается двухфазная система массового обслуживания с неограниченным числом приборов

на каждой фазе и возможностью повторного обращения заявок к каждой из фаз. Исследуется многомерный случайный процесс, описывающий потоки заявок, поступающие на фазы системы. Получено аналитическое выражение для производящей функции исследуемого процесса в нестационарном режиме, позволяющее определить его вероятностные характеристики.

Ключевые слова: двухфазная система массового обслуживания с неограниченным числом приборов; повторное обслуживание; производящая функция; произвольное время обслуживания; метод предельной декомпозиции.

В теории массового обслуживания решение значительного числа задач проводится в предположении, что входящий поток заявок является стационарным и имеет распределение Пуассона. В большинстве случаев это предположение подтверждается статистическим анализом реальных потоков [1]. Также пуассоновские процессы могут быть использованы для аппроксимации процессов в случае наблюдения достаточно большого числа независимых потоков [2-6].

Большинство задач теории массового обслуживания для моделей с простейшим входящим потоком и экспоненциальным распределением времени обслуживания были решены еще в ХХ в. В 1956 г. Б.А. Севастьянов решил задачу Эрланга для систем с произвольной функцией распределения времени обслуживания МЮ/К [7, 8] и показал, что, что при N ^ да распределение числа занятых приборов сходится к пуассоновскому. В 1969 г. Л. Такач [9] показал, что количество клиентов в системе МЮ/да имеет распределение Пуассона в стационарном режиме, которое зависит от средней скорости поступления заявок и среднего времени обслуживания вызовов. В работах [10, 11] доказано, что число занятых приборов в системе М/М/да имеет распределение Пуассона. В работе [12] проведено исследование суммарного потока заявок в системе М/М/да с повторным обслуживанием. Исследование процессов числа заявок в многофазных системах и сетях массового обслуживания с рекуррентным обслуживанием представлено в работах [13-15].

Однако исследованию потоков в системах массового обслуживания (СМО) с неограниченным числом обслуживающих приборов с произвольным временем обслуживания, а также многофазных СМО с возможностью повторного обращения заявки в систему посвящено не так уж много работ. В [16] проведено исследование суммарного потока заявок в однофазной системе с входящим ММРР-потоком и повторными обращениями. В работе [17] для исследования системы МЮ1/да предложен метод предельной декомпозиции. В работе [18] методом предельной декомпозиции исследованы суммарный и двумерный потоки обращений к системе МЮ1/да. В работах [19-21] исследованы потоки обращений в двухфазных СМО с неограниченным числом приборов на каждой фазе и повторными обращениями. В настоящей работе предлагается метод предельной декомпозиции для анализа различных потоков в двухфазной СМО с неограниченным числом обслуживающих приборов и возможностью повторного обращения заявки к любой фазе системы.

1. Математическая модель

Рассмотрим двухфазную систему массового обслуживания с неограниченным числом обслуживающих устройств на каждой фазе (рис. 1). На вход системы поступает простейший поток заявок

с параметром X. Время обслуживания заявок на первой фазе независимо и имеет одинаковое распределение для каждого прибора с произвольной функцией распределения Д(х). По завершении обслуживания на первой фазе заявка с вероятностью г и может обратиться к первой фазе для повторного обслуживания, либо с вероятностью Т\г может перейти на вторую фазу, либо с вероятностью (1 - г 11 - г 12) может покинуть систему. На второй фазе время обслуживания также имеет одинаковое распределение для каждого прибора с произвольной функцией распределения В2(х). По завершении обслуживания на второй фазе заявка с вероятностью Г21 может обратиться к первой фазе для повторного обслуживания, либо с вероятностью Г22 может повторно обратиться ко второй фазе, либо с вероятностью (1 - Г21 - Г22) может покинуть систему.

Bi

Я 1-Г11-

/ r

Bi

B2

B2

X

Рис. 1. Двухфазная система массового обслуживания с обратной связью

Введем следующие обозначения:

l(t) - число обращений к системе из внешнего источника (первичные заявки), реализованных к моменту времени t;

ni2(t) - число обращений ко второй фазе системы после обслуживания на первой фазе;

nii(t) - число повторных обращений к первой фазе системы после обслуживания на первой фазе;

«2i(t) - число повторных обращений к первой фазе системы после обслуживания на второй фазе;

«22(0 - число повторных обращений ко второй фазе системы после обслуживания на второй фазе.

Пусть в начальный момент времени система была пуста. Ставится задача исследования многомерного случайного процесса {l(t, N), «ii(t, N), nu(t,N), «2i(t, N), «22(t, N)}, описывающего потоки заявок в системе.

2. Метод предельной декомпозиции

Входящий поток заявок, интенсивность которого равна X, разделим на N независимых потоков по полиномиальной схеме с равными вероятностями. Интенсивность каждого такого потока будет равна X/N. Определим для заявок каждого из полученных потоков единственную однолинейную двухфазную линию обслуживания с отказами (рис. 2). В этой системе заявки, поступающие в период времени, когда хотя бы одна фаза линии занята, не обслуживаются (теряются).

X/N

Г21

Г11 -*-

1-Г21-Г22

Рис. 2. Однолинейная двухфазная СМО с отказами

Нетрудно доказать, что при N ^ да вероятностью потерь заявок можно пренебречь, и тогда характеристики исходной системы будут сходиться к суммарным характеристикам совокупности N однолинейных двухфазных СМО. Итак, задача нахождения распределения вероятностей числа обращений в двухфазной бесконечнолинейной СМО сводится к решению задачи нахождения распределения вероятностей числа обращений в однолинейной СМО с отказами.

3. Исследование однолинейной двухфазной СМО с отказами

В описанной выше однолинейной системе будем рассматривать многомерный случайный процесс {IЩ, Щ, п\г($, Щ, пг($, Щ, «22(Л описывающий число обращений, реализованных за время t в систему извне, с первой фазы на первую фазу, с первой на вторую фазу, со второй на первую и со второй на вторую фазу соответственно. Введем производящую функцию данного многомерного процесса в виде:

да да да да да

g (Х, у 11, у 12, У 21, У 22, N = ХХ X X X Х'Уп УП2 УП1 У22 •, «1, «12, «21, «22, N .

1=0 «11 =0 «12 =0 «21 =0 «22 =0

Докажем следующее утверждение.

Теорема. Пусть функции/к(х,у\\,у\2,у2\,У22, (), к = \, 2 определяются следующими преобразованиями Фурье-Стилтьеса:

да

ф1 (а Х Уп, У12, У 21, У22 ) = | е"ХЧ/ ( x, Угг, Уг2, У2г, У 22, * ) =

о

__XВ* (а )_

х|(1" г22 У22В2*(а)) • ^ х " ^^Т22 (1" 1^-Угг) + у Г21У21 ^ +

+ В*

да

Ф2(a,x,Угг,Уг2,У2г,У22) = |^"ЧЛ (x,Угг,Уг2,У2г,У 22^) =

о

_XВ* (а )_

х|(1 - ТпУпВ*(а)) • (^-Т22Т12У12 - ^ - Т22У22)) +

+В*

да

где Вк*(а) = |е]ШйВк (t) - преобразование Фурье-Стилтьеса от функции распределения В (I) времени

о

обслуживания на фазах системы, к = 2; г = (1 - ги )(1 - г22) - г12г21. Тогда производящая функция

g(x, у\\, у\2, у2\, У22, ^ N многомерного случайного процесса {¡(^ N), п\\(^ N), п\2^, N), П2\(}, N), П22^, в двухфазной однолинейной системе с повторными обращениями к фазам имеет вид:

g(Х,У11,У12,У21,У22,*,Я) = 1 + -1 •!(Х - 1)Х* + [Т11(У11 - 1) + Т12(У12 - 1)]|/1(Х,Уl1,Уl2,У21,У22,№ +

Я I о

+[%

о )

Доказательство. Поскольку процесс {¡(1, Щ, пц(1, п^О, N), П22^, N)} не является

марковским, введем в рассмотрение дополнительные переменные: процесс к(?) - состояние линии обслуживания, т.е. если к-я фаза линии занята, то к(0 = к, к = 1, 2, а если линия свободна, то к(0 = 0; г(1) - длина интервала времени от момента t до момента окончания текущего обслуживания, если линия занята.

Процесс {к({), ¡(^ пц(^ пи^, n2l(t, N), n22(t, z(t)} является марковским. Распределение вероятностей этого процесса обозначим следующим образом:

- Ро(1, П11, П12, П21, П22, t, N) = P{k(t) = 0, ¡(^ N = ¡, nll(t, N) = П11, П12^, N = П12, n2l(t, N = П21, n22(t, N) = П22} - вероятность того, что в момент времени t линия свободна и к этому моменту к системе обратилось I заявок из внешнего источника, пц заявок обратилось для повторного обслуживания с первой фазы на первую, П12 заявок обратилось с первой фазы на вторую, П21 заявок обратилось повторно к первой фазе после обслуживания на второй фазе, п22 заявок повторно обратилось ко второй фазе системы после обслуживания на второй фазе системы;

- Рк(1, П11, П12, П21, П22, t, N) = P{k(t) = к, ¡(t, N1 = ¡, nll(t, N = П11, nl2(t, N = П12, n2l(t, N) = П21, П22^, N = П22, z(t) < z}, к = 1, 2, - вероятность того, что в момент времени t занята к-я фаза системы, к этому моменту к системе обратилось I заявок из внешнего источника, пц заявок обратилось для повторного обслуживания с первой фазы на первую, п12 заявок обратилось с первой фазы на вторую, п21 заявок обратилось повторно к первой фазе после обслуживания на второй фазе, п22 заявок повторно обратилось ко второй фазе системы после обслуживания на второй фазе системы, и остаточное время обслуживания заявки, находящейся в системе, меньше г.

Для распределения вероятностей многомерного процесса {к{(), ¡(^ К), пц(^ К), п^О, n2l(t, N), п22^, z(t)} составим прямую систему дифференциальных уравнений Колмогорова.

дР0Ц, пи, п12, п21, п22, г, К) п _ Пц, п12, п21, п22,0, г, N)

----(1 - Г1 1 - Г12)-;-+

от дz

ч дР

дг N

ар(/,Пц,П2,П21,П22,z,г,К) _ ар(/,П1,П2,П21,П22,z,г,N) _

а &

дР(I,п.,п,,п71,п„,0,г,N) Я л ,, , .пп, .

--1( , 11, ^^ 22, , , ) +-Ро(1 -1,Пц,П12,п21,п22,г,N)Д(z) +

дz N

ог_ЛдР1(1, П11 - 1 ^ П21, П22 , 0 ^ ^ , „ д ,_,дР2(/, nl2, П21 - 1 n22,0, ^ N) «ч

+Г11В1

дz дz

ар,(/,П1,П2,П21,П22,z,г,Ю _ дР2(1,пП,П12,П21,П22,z,г,N) _

&

дР2

+ (z .......У +

дz дz

+г В ф дР2(1, П11, П12 , П21, П22 - 1, 0, ^ N) (6) 22 2 дz

Начальные условия для системы (4)-(6) запишем в виде:

10, если / > 0,Пх > 0,и12 > 0,и21 > 0,и22 > 0,

P0(l, nll, ^ П2Р n22,0, N), п

[Д(N), если I - п^ - П2 - % - п22 - 0,

10, если I > 0,П\ > 0,П2 > 0,п21 > 0,п22 > 0, Р (/, П1, П2, П21, П22, z,0, Ю - <

(z,если I - п^ - П2 - % - п22 - 0, к -1,2,

где Rо(N), Я1(г, ^(г, N - стационарное распределение вероятностей занятости фаз в однолинейной СМО, удовлетворяющее условию нормировки:

Д, ^) + ^ (да, N) + ^ (да, N) -1.

Введем следующие функции:

да да да да да

gо ( Х Уш У12, У 21, У 22, t, Я) = ХХ X X X Х'Уп У1222 У21 У222 ••о(1, «11, «21, ^ t, Ю ,

/=о «11 =о «12 =о «21 =о «22 =о

да да да да да

gk{x, У^ У12, У21, У22, г N) = XX X X X х1Уи У12 у«- у222 • Рк^П^^ ^ Ю), к = \,2.

/=о «11 =о «12 =о «21 =о «22 =о

Тогда, из уравнений (4)-(6) следует, что эти функции удовлетворяют уравнениям

д gо(x, Уl1, Уl2, У 21, У 22, *, Ю _п г _ _ gl( Х уп, Уl2, У 21 , У22А *, Ю) , ^ (1 Г11 Г12) + от &

4-П г г д g2(x, У^ У12, У21, У22ДЪ Ю) Х „ , л, л, л, л, , т ПЛ

+

дг N

9 gl(x, УП, Уl2, У21, У 22, г Ъ Ю = д gl( Х Уl1, У12, У 21, У 22, г Ъ Ю) _ б* &

-д g1( Х, У„, у12,у21, у22,°, Ю) хВ1( 2) gо( х, У11, У12, У21, У22 , N) +

дг N

+ г л, р{_Лд gl(x, У11, У12 , У21, У22 , 0, t, Ю) , _ ,, Д д g2( Х, уп, У12 , У21, У 22 , ° t, Ю) ,оч

+Г11у11В1\2 ) - + Г21у21В1

дг ог

д g2(x, Ут Уl2, У 21, У 22, г Ъ Ю = д g2( Х, УП, У12, У21, У22, г Ъ Ю) _ дг &

дg2(x, Уl2, У 21, У22Д Ю) , , .. д Г-Лд1( Х, Ут У12, У 21 , У22,0, ^ Ю) , - + '12 У12 В2( 2) - + дг дг

+^В,

дг

Начальные условия для системы (7)-(9) имеют вид:

g0( Х, Уl1, У12 , У21, У22,0, Ю) = *о( Ю ,

gk(x,У^Уl2,У21,У22,z,0, Ю = Кк(2,ю) , к = ^ 2 В работе [22] показано, что

X 1 — Т г

^г,N) = ---221(1 -Вх{и))йи,

Ю г о

г, N) = !• ^ } (1 - В2^ ,

N г •>

где г =(1 - ги )(1 - Г22) - Г12Г21.

Тогда

X 1

Ко( N) = 1 - ДДда, N) - Я2О», N) = 1 --• - [(1 - '22)61 + г12ь2 ],

N г

где Ь\ и Ь2 - математические ожидания времени обслуживания на первой и второй фазах соответственно.

Решение системы уравнений (7)-(9) будем искать в виде:

gо

gk

где ^о(^), и ^г(-) - некоторые функции, не зависящие от N.

Подставив выражения (10), (11) в систему (7)-(9), получим систему уравнений для функций -^о(-) и ВД, к = \ 2:

дР0

-—- (1 - Г11 - Г^/Лх Уы У^ У21, У 22 , О -

дг

-

дРМУыУ12,У21,У22,z,г) = дРАхУ™У12,У21,У22,z,г) , ?иХВ

+

д /2(x, Ущ У12 , У21, У 22 , z, г) = д /2( X Уш У12 , У21, У 22, ^ г) + дг дг

+

где Л(х,у„,у,,У,,У„,г)-е"'(У"'У2"У22Дг). к = 1, 2,

дz

с начальными условиями:

Р

Р

Решая дифференциальные уравнения (13) и (14) в частных производных первого порядка, найдем вид функций Р\(х, уп, у 12, У21, У22, г, t) и ^(х, уп, у 12, У21, У22, г, t):

А, 2+г г

Р1(х У11, У12 , У21, У22 , z, г) - - (1 - Г22 ) | (1 - В1 (и№и + |[—хВ1 (z + г - ^ +

Г 0 0

+

-

2*

z+г

— Г

Р (X Уш У12, У21, У22, z, г)- Г2 I(1 - +

Г

г

+| [Г12 У12 В2

0

Из уравнения (12) несложно найти вид функции Ро(х, уп, уи, У21, У22, t): Р0( x, Ут У12, У 21 , У 22, г)- —

1_Г22 ь + ^ ь + г

г

г

-

0 0

Тогда, учитывая (10), (11), получаем

§ ( X Ут У12, У 21, У 22, z, г, N)- 1 - -1 Р0( Ут Уl2, У 21, У 22 , г) +

+ Р

При г ^да выражения (17), (18) примут вид:

—

Р( х, У11, У12, У21, У22, г)--(1 - г22)Ь; +—хг +

г

г г

+ (Г11У11 - х)(x,У11, У12,У21,У22, № + Г2хУ21 | Л (x, У11, У12, У21, У22, № ,

0 0

—

Р2 (X У11, У12, У21, У22, г) - - Г12Ь2 +

Г

г г

+г12У12\Л1(x,У11,У12,У21,У22,№ + (Г22У22 -1)\/2(XУ11,У12,У21,У22,№ .

Тогда, учитывая (20), производящая функция g(x, уц, У12, У21, У22, t, Ы) многомерного случайного процесса {/(X Ы), пп(£ Ы), nl2(t, Ы), Ы), П22^, Ы)} в двухфазной однолинейной системе с повторными обращениями к фазам имеет вид:

Я (х' Уш У12' У21' У 22' М) =

= 1 + Тт ' ПХ " ^ + [Г11(У11 " 1)1 + Г12(У12 " ^ 1 /1(х'У11'У12'У21'У22' ^ + М I о

о

+ [Г21 (У21 - 11 + Г22 (У22 - 11 ] I /2 (х' У11' У12' У21' У22' ^ [ + 0(N ) ,

0 ]

что совпадает с выражением (3) теоремы.

Для нахождения неизвестных функций /1(х, уц, У12, У21, У22, 0 и /2(х, уц, У12, У21, У22, t) продифференцируем равенства (17) и (18) и рассмотрим их при г = 0. Получим систему интегральных уравнений для функций/1(х, У11, У12, У21, У22, t) и Дх, У11, У12, У21, У22, 0:

"(1 - Г22) I

/(X У11 ' У12 ' У 21 ' У22 ' *) = Х

Г

+Г1 У1Ь1

о о

Г

/2 (Х' У11' У12 ' У21' У22 ' *) = Х~ (1 - В2(*) ) +

Г

г г

+Г12У12 1Ь2 - 5)/

о о

где Ъ^) и ¿2(0 - плотность распределения времени обслуживания на первой и второй фазах соответственно.

Решение системы интегральных уравнений (21)-(22) относительно неизвестных функций /1(х, У11, у 12, У21, У22, t) и 7г(х, У11, у 12, У21, У22, t) можно найти, используя преобразование Фурье-Стилтьеса вида:

Фк («'х' У11' У12' У21' У22) = Т/к (Х'У11'У2'У21'У22' *) е*"Л =

о д*

да

= Iе^^Ук(х'У11'У12'У21>У22>О, к = 1, 2-

о

Тогда из системы уравнений (21)-(22) можно получить систему для функций ф1(а, х, уц, У12, У21, У22) и ф2(а, х, У11, у 12, У21, У22):

(Г1^_У11В1*(а) - 1;»ф1(а' х' У11' У12' У21' У 22 ) + Г2^.У21В1*(а)Ф2(а' х' У11' У12' У21' У22) =

X

=--

Г

Г12У12В2 (а)ф1 (а' х' У11' У12' У21' У22 ) + (Г22У22В2 (а) - 1)ф2 (а' х' У11' У12' У21' У22) = X »

=--

Г

дВк

где В*(а) = ^е*"с1г = |е]а1Ък(г)Ш , к = 1,2.

о д о

Решая систему (23)-(24), получим выражения (1) и (2) для функций ф1(а, х, уц, У12, У21, У22) и ф2(а, х,У11,у 12,У21,У22), определяющие вид функций/1(х,уп,у 12,У21,У22, t) иуг(х,уп,у 12,У21,У22, t). Теорема доказана.

4. Исследование двухфазной СМО с неограниченным числом приборов и повторными обращениями на каждой фазе

Определим совместную производящую функцию многомерного процесса {/(0, «п(0, «12(0, «21(0, «22(0}, описывающего потоки в двухфазной системе с неограниченным числом линий и повторными обращениями на каждой фазе, в виде:

да да да да да

G(x,yu,y12,y21,y22,t) = ££ £ £ £ xlyyn2yn22 -Р(/,«п,«12,«21,«22,i).

/=0 % =0 % =0 ni =0 Пг =0

Тогда, в силу независимости однолинейных систем, рассмотренных выше, производящая функция G(x, уц, у 12, у21, У22, 0 определяется выражением

6(х,уи,у12,y2¡,у22,0 = g(х,уп,у12,у21,у22,г,К)К =

N ^да

= Нт I1 + -1 •](х - + [гп( уп - 1) + г12 (У12 - 1)] I /1( x, yn, Уl2, У 21, У22, № +

N ^да^ N [ 0

г 1 2 ЛК

+ [Г21

= ехр I ( х - 1) Я? + [гп (У а - 1) + ГХ2 (У12 - 1)] I /1( X У11, У12, У21, У 22, № +

I 0

+ [Г21 (У21 - 1) + Г22 (У22 - 1)]|/2(X, У11, У12, У21, У22, № 1 •

0 )

Так как совместная производящая функция многомерного распределения вероятностей процесса {/(0, «п(0, «12(0, «21(0, «22(0} не равна произведению производящих функций одномерных распределений, то очевидно, что потоки не являются независимыми, поэтому анализ таких потоков требует их совместного рассмотрения.

Заключение

0

у

В настоящей работе рассмотрена математическая модель обслуживания заявок в неоднородной двухфазной системе массового обслуживания M/GI/œ ^ GI/œ с возможностью повторного обращения заявки к любой фазе системы. Методом предельной декомпозиции получено аналитическое выражение для производящей функции многомерного потока обращений заявок к фазам системы. Полученное выражение может быть использовано для определения вероятностных характеристик компонент рассматриваемого многомерного потока.

Полученные результаты могут быть использованы для анализа потоков в различных социально-экономических системах, где имеет место повторное обращение клиентов к системе при различных условиях, например в торговых или страховых компаниях, а также в технических системах распределенной обработки больших данных и облачных сервисах.

ЛИТЕРАТУРА

1. Brown L., Gans N., Mandelbaum A., Sakov A. Statistical Analysis of a Telephone Call Center // A Queueing-Science Perspective. Journal of the American Statistical Association. 2005. V. 100. P. 36-50.

2. Neuts M.F. The infinite-server queue with Poisson arrivals and semi Markovian services // Operations Research. 1972. V. 20, No. 2. P. 425-433.

3. Хинчин А.Я. Работы по математической теории массового обслуживания. М. : Физматлит, 1963. 236 с.

4. Ососков Г.А. Одна предельная теорема для потоков однородных событий // Теория вероятностей и ее применения. 1956. Т. 1, № 2. С. 274-282.

5. Григелионис Б.И. Об асимптотическом разложении остаточного члена в случае сходимости к закону Пуассона // Литовский математический сборник. 1962. Т. 2, № 1. С. 135-143.

6. Григелионис Б.И. О сходимости сумм ступенчатых случайных процессов к пуассоновскому // Теория вероятностей и ее применения. 1963. Т. 8, № 2. С. 189-194

7. Севастьянов Б.А. Эргодическая теорема для марковских процессов и ее приложение к телефонным системам с отказами // Теория вероятностей и ее применения. 1957. Т. 2, № 1. С. 106-116.

8. Севастьянов Б.А. Формулы Эрланга в телефонии при произвольном законе распределения длительности разговора // Труды Третьего Всесоюз. матем. съезда. 1956. М. : АН СССР, 1959. Т. 4. С. 68-70.

9. Takacs L. On Erlang's formula // Annals of Mathematical Statistics. 1969. V. 40. P. 71-78.

10. Kleinrock L. Queueing systems. New York : Wiley Interscience, 1975. V. 1: Theory. 417 p.

11. Кёнинг Д., Рыков В.В., Штоян Д. Теория массового обслуживания. М. : Моск. ин-т нефтехим. и газовой промышленности, 1979. 112 с.

12. Моисеева С.П., Морозова А.С., Назаров А.А. Исследование суммарного потока обращений в бесконечно линейной СМО с повторным обслуживанием // Вестник Томского государственного университета. 2006. № 290. С.173-175.

13. Назаров А.А., Моисеев А.Н. Исследование открытой немарковской сети массового обслуживания GI-(GI|<»)K с высокоинтенсивным рекуррентным входящим потоком // Проблемы передачи информации. 2013. Т. 49, вып. 2. С. 78-91.

14. Моисеев А.Н., Назаров А.А. Асимптотический анализ многофазной системы массового обслуживания с высокоинтенсивным рекуррентным входящим потоком // Автометрия. 2014. Т. 50, № 2. С. 67-76.

15. Моисеев А.Н., Назаров А.А. Бесконечнолинейные системы и сети массового обслуживания. Томск : Изд-во НТЛ. 2015. 240 с.

16. Melikov A., Zadiranova L., Moiseev A. Two Asymptotic Conditions in Queue with MMPP Arrivals and Feedback // Communications in Computer and Information Science. 2016. V. 678. P. 231-240.

17. Назаров А.А., Моисеева С.П., Морозова А.С. Исследование СМО с повторным обращением и неограниченным числом обслуживающих приборов методом предельной декомпозиции // Вычислительные технологии. 2008. Т. 13, № 55. С. 88-92.

18. Моисеева С.П., Ананина И.А., Назаров А.А. Исследование потоков в системе M/GIA» с повторными обращениями // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2009. № 3 (8). С. 56-66.

19. Ананина И.А. Исследование суммарного потока обращений в двухфазной бесконечнолинейной СМО с повторными обращениями // Научное творчество молодежи : материалы XIV Всерос. науч.-практ. конф. Томск : Изд-во Том. ун-та, 2010. Ч. 1. C. 3-5

20. Моисеева С.П., Захорольная И.А. Математическая модель параллельного обслуживания кратных заявок с повторными обращениями // Автометрия. 2011. Т. 47. № 6. С. 51-58.

21. Ананина И.А. Математическая модель процесса изменения дохода торговой компании, расширяющей свое присутствие на рынке // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2011. № 2 (15). С. 5-14.

22. Shklennik M., Moiseeva S., Moiseev A. Analysis of Queueing Tandem with Feedback by the Method of Limiting Decomposition // CCIS. 2017. V. 800. P. 147-157.

Поступила в редакцию 12 февраля 2018 г.

Shklennik M.A., Moiseev A.N. (2018) ANALYSIS OF CUSTOMERS FLOWS IN THE INFINITE-SERVER QUEUEING TANDEM WITH FEEDBACK. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie vychislitelnaja tehnika i informatika [Tomsk State University Journal of Control and Computer Science]. 45. pp. 48-58

DOI: 10.17223/19988605/45/6

The paper presents the study of a two-stage infinite-server queueing system with feedback. The arrival process is a stationary Poisson process with the rate equals to X. Service times at the first stage are independent and identically distributed (i.i.d.) with an arbitrary distribution function Bi(x). After a completion of the service at the first stage, the customer may return back to the first stage for a new service with the probability r11 or it may move to the second stage with the probability r12 or it may leave the system with the probability (1 - m - Г12). Service times at the second stage are i.i.d. with an arbitrary distribution function B2(x). When the service at the second stage is completed, the customer may return to the first stage with the probability r21 or it may get a new service at the second stage with the probability r22 or it may leave the system with the probability (1 - r21 - r22).

The problem is to study multidimensional stochastic process describing the flows of requests in the system.

The method of limiting decomposition is used for the study. We divide the arrival process in the considered tandem into N independent processes according to a polynomial scheme with identical probabilities. As the rate of the original arrivals was equal to X,

then the intensity of each generated Poisson process will be equal to UN. After that we construct a single-line tandem for each of these arrival processes to serve their customers. The considered single-line two-stage queueing tandem is a system with loses, that is, the customers arrived during a period of any stage busyness are not servicing (they are lost). The total probability characteristics of the independent one-line systems constructed in this way coincide with the corresponding characteristics of the original infinite-server system if N ^ <».

It is shown that the generating function of multidimensional stochastic process {/(f), «ii(f), «12(f), «21(f), «22(f)} is as follows:

G(xyu,y12,y21,y22,f) = expJ(x-1)Xt + [rn(yn -1) + ruOh -1)]J fi(x,yu,,= ^22=s)ds +

I 0

t

[r21(y21 - 1) + r22(y22 -1)]Jf2(XУl1,Уl2,y2UУ22,s)ds 0

where for functions fi(x, yii, yi2, y2i, y22, f), k = 1, 2 analytic expressions of Fourier-Stieltjes transformations are obtained.

The obtained results can be used for the analysis of flows in different social and economic systems, where there is a repeated circulation of customers to the system under different conditions, for example, in trading or insurance companies, as well as in technical systems for distributed processing of big data and cloud services.

Keywords: infinite-server queueing tandem; feedback; generation function; method of limiting decomposition.

SHKLENNIKMariya A/exa«drov«a (National Research Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: Shklennikm@yandex.ru

MOISEEVA/exa«der Niko/aevich (Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, National Research Tomsk State University, Tomsk, Russian Federation). E-mail: moiseev.tsu@gmail.com

REFERENCES

1. Brown, L., Gans, N., Mandelbaum, A. & Sakov, A. (2005) Statistical analysis of a telephone call center. A Queuei«g-Scie«ce Perspective. Jour«a/ of fhe America« Sfafisfica/Associafio«. i00. pp. 36-50. DOI: i0.ii98/0i62i450400000i808

2. Neuts, M.F. (i972) The infinite-server queue with Poisson arrivals and semi Markovian services. Operafio«s Research. 20(2). pp. 425-433. DOI: i0.i287/opre.20.2.425

3. Khinchin, A.Ya. (i963) Rabofypo mafemaficheskoy feorii massovogo obs/uzhiva«iya [Works on the mathematical theory of queuing]. Moscow: Fizmatlit.

4. Ososkov, G.A. (i956) A limit theorem for flows of similar events. Theory of Probabi/ify a«d Ifs App/icafio«s. i(2). pp. 248-255. DOI: i0.ii37/ii0i020

5. Grigelionis, B.I. (i962) Ob asimptoticheskom razlozhenii ostatochnogo chlena v sluchaye skhodimosti k zakonu Puassona [Accuracy of approximation of a superposition of renewal process by a Poisson process]. Lifovskii Mafemaficheskii Sbor«ik II(2). pp. i35-i43.

6. Grigelionis, B.I. (i96i) On the convergence of sums of random step processes to a Poisson process. Theory of Probabi/ify a«d IfsApp/icafio«s. 8. pp. i77-i82. DOI: i0.ii37/ii080i7

7. Sevastyanov, B.A. (i957) An ergodic theorem for Markov processes and its application to telephone systems with refusals. Theory of Probabi/ify a«dIfs App/icafio«s. 2. pp. i04-ii2. DOI: i0.ii37/ii02005

8. Sevastyanov, B.A. (i956) Formuly Erlanga v telefonii pri proizvol'nom zakone raspredeleniya dlitel'nosti razgovora [Erlang Formulas in Telephony under an Arbitrary Law of the Distribution of the Duration of a Conversation]. In: Abramov, A.A. & Nikolskiy, S.M. (eds) Trudy Tref'ego Vsesoyuz«ogo mafemaficheskogo s"ezda [Proceedingd of the Third All-Russian Mathematics Congress]. Vol. 4. Moscow: USSR AS. pp. 68-70.

9. Takacs, L. (1969) On Erlang's formula. A««a/s ofMafhemafica/Sfafisfics. 40. pp. 7i-78. DOI: i0.i2i4/aoms/ii77697805

10. Kleinrock L. (i975) Queuei«gsysfems. Vol. i. New York: Wiley.

11. König, D., Rykov, V., & Shtoyan, D. (i979) Teoriya massovogo obs/uzhiva«iya [Queueing models (Markov models and Markovization methods)]. Moscow: Institute of Petrochemical and Gas Industry.

12. Moiseeva, S.P., Morozova, A.S. & Nazarov, A.A.

13. Nazarov, A.A. & Moiseev, A.N. (20i3) Analysis of an open non-Markovian GI-(GI|<»)K queueing network with high-rate renewal arrival process. Prob/emy Peredachi I«formafsii -Prob/ems of I«formafio« Tra«smissio«. 49(2). pp. i67-i78. (In Russian).

14. Moiseev, A.N. & Nazarov, A.A. (20i4) Asymptotic analysis of a multistage queueing system with a high-rate renewal arrival process. Opfoe/ecfro«ics, I«sfrume«fafio« a«dDafaProcessi«g. 50(2). pp. i63-i7i.

15. Moiseev, A.N. & Nazarov, A.A. (20i5) Besko«ech«o/i«ey«ye sisfemy i sefi massovogo obs/uzhiva«iya [Infinite-server queuing systems and networks]. Tomsk: NTL.

16. Melikov, A., Zadiranova, L. & Moiseev, A. (2016) Two Asymptotic Conditions in Queue with MMPP Arrivals and Feedback. CCIS. 678. pp. 231-240.

17. Nazarov, A.A., Moiseeva, S.P. & Morozova, A.S. (2008) Analysis of queueing system with unlimited number of servers and feedback by the method of limiting decomposition. Vychislitel'nye tekhnologii - Computation Technologies. 13(55). pp. 88-92. (In Russian).

18. Moiseeva, S.P., Ananina, I.A. & Nazarov, A.A. (2009) Research of streams in system M|GI|<» with repeated references the method of limiting decomposition. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika -Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 3(8). pp. 56-66. (In Russian).

20. Ananina, I.A. (2010) [Analysis of total flow of customers in queueing tandem system with unlimited number of servers and feedback by the method of limiting decomposition]. Nauchnoe tvorchestvo molodezhi [Scientific creativity of youth]. Proc. of the 14th All-Russian Conference. Tomsk, April 15-16, 2010. Tomsk. pp. 3-5. (In Russian).

20. Moiseeva, S.P. & Zakhorolnaya, I.A. (2011) Mathematical model of parallel retrial queueing of multiple requests. Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing. 47(6). pp. 567-572. DOI: 10.3103/S8756699011060276

21. Ananina, I.A. (2011) Mathematical model of the income change process of the trading company expanding the presence in the market. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 2(15). pp. 5-14. (In Russian).

22. Shklennik, M., Moiseeva, S. & Moiseev, A. (2017) Analysis of queueing tandem with feedback by the method of limiting decomposition. CCIS. 800. pp. 147-157.