Наноантенна терагерцового диапазона на основе углеродных нанотрубок, химически модифицированных азотом или бором

9. Mao, D.M. Heteronuclear rare-gas dimer bonding: Understanding the nature of the Rydberg states that dissociate to the highest energy level of the Xe* (5d) manifold [Text] / D.M. Mao, X.K. Hu, Y.J. Shi, R.H. Lipson // J. Chem. Phys.- 1999.- Vol. 111.- № 7.- P. 2985-2990.

10. Tsuchizawa T. Interatomic potentials of the C1 and D0+ states of XeNe, XeAr, and XeKr as studied by tunable vacuum ultraviolet laser spectroscopy [Text] / T. Tsuchizawa, K. Yamanouchi, S. Tsuchiya // J. Chem. Phys. - 1990. - Vol. 92. - Iss. 3. - P. 1560-1567.

11. Piticco, L. Structure and dynamics of the electronically excited C 1 and D 0+ states of ArXe from highresolution vacuum ultraviolet spectra [Text] / L. Piticco, M. Schäfer, F. Merkt // Journal of Chemical Physics. -

2012. - Vol. 136. Iss. 7. - P. 074304/1-074304/15.

12. Hickman, A.P. Interatomic potentials for excited states of XeHe and XeAr [Text] / A.P. Hickman, D.L. Huestis, R.P. Saxon // J. Chem. Phys.- 1992.- Vol. 96.-№ 3.- P. 2099-2113.

13. Lipson, R.H. Toward a global and causal understanding of the unusual Rydberg state potential energy curves of the heteronuclear rare gas dimers [Text] / R.H. Lipson, R.W. Field // J. Chem. Phys.- 1999.- Vol. 110.- № 22.-P. 10653-10656.

14. Ralchenko, Yu. NIST Atomic Spectra Database (version 3.1.5) [Электронный ресурс] / Yu. Ralchenko, A. E. Kramida, J. Reader // National Institute of Standards and Technology, Gaithersburg, MD.-2008. - Режим до-

УДК 539.149

П.Н. Дьячков, И.А. Бочков

НАНОАНТЕННА ТЕРАГЕРЦОВОГО ДИАПАЗОНА НА ОСНОВЕ УГЛЕРОДНЫХ НАНОТРУБОК, ХИМИЧЕСКИ МОДИФИЦИРОВАННЫХ АЗОТОМ ИЛИ БОРОМ

В настоящее время физика наноструктур является одной из наиболее интенсивно развивающихся отраслей науки и техники. Интерес к исследованию наноструктур вызван не только стремлением к дальнейшей миниатюризации устройств современной электроники, но также множеством принципиально новых физических и химических явлений, наблюдаемых в наноструктурах и не имеющих аналогов для макроскопических объектов. Особый интерес как с точки зрения фундаментальных исследований, так и с точки зрения практических приложений в опто- и наноэлектронике представляют нетривиальные оптические свойства наноструктур. Это привело к выделению особого направления научных исследований, находящегося на стыке оптики, физики твердого тела, химии и материаловедения.

Нетривиальный отклик наноструктур при их взаимодействии с электромагнитным полем обусловлен особенностями их электронной структуры. В частности, при достаточно малых размерах нанообъектов квантовый размерный эффект для элементарных возбуждений вдоль одного или нескольких измерений объекта может стать существенным, что приводит к квантованию энергии квазичастицы вдоль данного измерения. Поскольку вероятности переходов зависят от плотности конечных состояний, уменьшенная размерность сильно влияет на процессы рассеяния в наноструктурах, а, следовательно, и на процессы их взаимодействия с электромагнитным излучением.

Новый тип углеродных Ш-наноструктур, называемых углеродными нанотрубками (УНТ), был синтезирован Сумио Ииджимой в 1991 году. УНТ представляет собой полую

цилиндрическую углеродную макромолекулу, расположение атомов углерода на поверхности которой можно представить, свернув полоску графена (монослой графита) в цилиндр вдоль вектора, соединяющего эквивалентные узлы кристаллической решетки графена (носит название «вектор хиральности»). Целочисленную пару индексов (т, п), которые представляют собой коэффициенты разложения вектора хиральности по базисным векторам кристаллической решетки графена, используют для характеристики геометрии УНТ. Последние обладают уникальной электронной структурой. В частности, в зависимости от направления и длины вектора хиральности, УНТ могут быть металлами (т = п), узкозонными полупроводниками с шириной щели порядка нескольких сотых электронвольт (т — п = 3q, где q — целое; т =£ п) или полупроводниками с шириной запрещенной зоны порядка 1 эВ (в остальных случаях). Эта особенность делает перспективным создание на основе УНТ элементов на-ноэлектронных цепей. Зонная структура УНТ меняется при приложении к ним статических электрических или магнитных полей, а также механических напряжений. При этом продемонстрирован фазовый переход металл — полупроводник. Возможность модуляции ширины запрещенной зоны УНТ путем помещения УНТ в статические электрические и магнитные поля или приложения к ним механических воздействий [1] позволяет трансформировать оптически непрозрачный материал в оптически прозрачный и наоборот, а также создавать оп-тоэлектронные устройства с перестраиваемой рабочей частотой.

Следует отметить, что при исследовании взаимодействия электромагнитного излучения с УНТ в работах [1, 2] для вычисления зонной структуры УНТ использовался метод линейной комбинации атомных орбиталей (ЛКАО) и приближение свернутых зон. Однако из расчетов зонной структуры кристаллов известно, что метод ЛКАО хорошо воспроизводит валентную зону, но не зону проводимости, так как стандартный ЛКАО-базис не включает делокализован-ных состояний. Поэтому представляет интерес объединить электродинамические методы расчета электромагнитного отклика УНТ [1, 2] с более точным методом расчета зонной структуры — методом линеаризованных присоединенных

цилиндрических волн (ЛПЦВ) [3]. Данный метод представляет собой распространение на системы с цилиндрической геометрией метода линейных присоединенных плоских волн — одного из наиболее точных в теории зонной структуры объемных твердых тел. В этом способе расчетов для построения электронного потенциала используется приближение локальной плотности для обменного взаимодействия. Каждый атом системы окружается сферой, где потенциал считается сферически симметричным, а в пространстве между сферами он считается постоянным и выбирается за начало отсчета энергии. В УНТ движение электронов ограничено цилиндрическим слоем толщиной порядка удвоенного атомного Ван-дер-Ваальсова радиуса элементов, что учитывается введением двух непроницаемых для электронов цилиндрических барьеров: внешнего и внутреннего. Электронный спектр системы определяется свободным движением электронов в межатомном пространстве между цилиндрическими барьерами и рассеянием электронов на атомных центрах [3, 4]. С помощью метода ЛПЦВ зонные структуры и плотности электронных состояний изолированных нехиральных одностенных и двухстенных УНТ, а также нехиральных одно-стенных УНТ, погруженных в полупроводниковую матрицу, были изучены в работах [5 — 8]. Для полупроводниковых УНТ (п, 0) предсказаны осцилляции ширины запрещенной зоны как функции диаметра нанотрубок [6]. Установлено, что делокализация электронов металлической УНТ в область матрицы сохраняет ее металлические свойства, но приводит к сдвигу состояний в высокоэнергетическую область и росту плотности состояний на уровне Ферми. В полупроводниковых УНТ под влиянием матрицы происходит их металлизация [7]. Отмечено, что межслоевое взаимодействие приводит к более сильному возмущению зонной структуры внутренней стенки по сравнению с внешней [8]. Существенный шаг в развитии метода ЛПЦВ сделан в работе [9], где реализован метод расчета электронных спектров хиральных УНТ. При этом учтены их винтовая и вращательная симметрия, благодаря чему резко повысилась сходимость электронных состояний в зависимости от числа базисных функций.

В настоящее время существует большой интерес к созданию на основе УНТ наноантенн терагерцового и ИК диапазонов. Среди возможных применений наноантенн можно выделить создание эффективного электрического контакта между наноустройствами и макромиром и беспроводное соединение с нанодатчиками. Возможность использования УНТ в качестве наноантенн была продемонстрирована теоретически [9] и экспериментально [10]. При этом была предсказана низкая антенная эффективность данных устройств [9]:

П = рг/ р.п « 10-5 - 10-6,

где Р, Р п — мощности, излученная и поглощенная антенной соответственно.

Таким образом, вопрос повышения антенной эффективности данных устройств является весьма существенным.

В данной статье мы предлагаем в качестве метода увеличения антенной эффективности легирование УНТ атомами азота и бора. В разделе «Зонная структура химически модифицированных УНТ» методом ЛПЦВ рассчитывается зонная структура металлических УНТ, в которых несколько атомов углерода замещается атомами азота или бора. В следующем за ним разделе «Линейная проводимость УНТ» в рамках полуклассической модели динамики электронов проводится расчет линейной проводимости химически модифицированных УНТ. Для изучения влияния химической модификации УНТ на антенные характеристики затем решается задача рассеяния плоской электромагнитной волны на УНТ с учетом краевых эффектов и вычисляется антенная эффективность УНТ. И наконец, с помощью флуктуационно-диссипационной теоремы вычисляется мощность теплового излучения УНТ. Демонстрируется, что замещение 8 % атомов углерода в УНТ атомами азота или бора приводит к увеличению проводимости, антенной эффективности и мощности теплового излучения УНТ.

Зонная структура химически

модифицированных УНТ

Рассмотрим изолированную УНТ, в которой один или два атома углерода в каждой элементарной ячейке заменены атомами азота или бора. В связи с тем, что с точки зрения

антенных применений существенны только металлические УНТ, ограничимся рассмотрением УНТ типа «кресло» с индексами хиральности вида (т, т). Для расчета зонной структуры данных УНТ был использован метод ЛПЦВ [2]. При этом для сохранения трансляционной симметрии вдоль оси УНТ предполагалось, что в каждой элементарной ячейке замещаются эквивалентные атомы углерода. В связи с тем, что УНТ представляет собой полый цилиндр, предполагалось, что движение электронов между маффин-тин-сферами ограничено двумя бесконечно высокими потенциальными барьерами. Использование данного приближения делает расчет УНТ зависящим от двух параметров — радиусов внешнего и внутреннего потенциальных барьеров, значения которых подбирались таким образом, чтобы воспроизвести ширину валентной зоны УНТ (5,5), предположив, что она совпадает с шириной валентной зоны графита. В результате были получены следующие значения радиусов внутреннего и внешнего барьеров [28]: Ясп — 1,38 А и Ясп + 1,27 А, где Ясп — радиус УНТ. Для остальных УНТ зонная структура рассчитывалась при данных значениях радиусов внутреннего и внешнего барьеров. Результаты расчетов зонной структуры для УНТ типа «кресло» (6,6), элементарная ячейка которой содержит 24 атома углерода, представлены на рис. 1,а.

На рис. 1,б—д представлены результаты расчета зонной структуры УНТ (6,6), в которой один или два атома углерода в каждой элементарной ячейке заменены одним (обозначены Ш, 1В) или двумя (2^ 2В) атомами азота или бора. Таким образом мы рассматриваем УНТ, в которых доля примесей составляет соответственно 4 и 8 %. Следует отметить, что в настоящее время экспериментально реализованы методики, позволяющие получать УНТ, в которых вплоть до 15 % (20 %) атомов углерода замещены атомами бора [11] (азота [12]). В связи с тем, что атом азота имеет пять валентных электронов, его внедрение в УНТ приводит к добавлению электронов и соответственно уровень Ферми смещается вверх в зону проводимости, по сравнению со случаем УНТ без примесей. Внедрение трехвалентного атома бора, напротив, приводит к добавлению дырок и смещению уровня Ферми вниз в валентную зону. При этом следует отметить, что внедрение атомов бора приводит к более сильному смещению уров-

к

Рис. 1. Зонные структуры УНТ (6,6) без примесей (а) и содержащих примеси Ш (б), 2N (в), 1В (г), 2В (д). Уровень Ферми обозначен жирной прямой линией

ня Ферми (~ 3 эВ), чем внедрение атомов азота (~ 0,3 эВ). Энергии уровня Ферми для различных типов УНТ приведены в табл. 1. Как видно из представленных данных, легирование приводит к изменению количества зон, которые пересекает уровень Ферми, что приводит к увеличению плотности электронных состояний на уровне Ферми. Таким образом, можно ожидать, что химическое модифицирование УНТ приведет к увеличению низкочастотной линейной проводимости, что, в свою очередь, положительно скажется на увеличении антенной эффективности легированных УНТ, по сравнению с чистыми.

Таблица 1

Зависимость положения уровня Ферми УНТ (6,6) от примеси

Примесь , эВ

- 25, 25

Ш 25,61

2N 25,70

1В 22,42

2В 22,21

N В — атомы азота и бора

Линейная проводимость УНТ

В данном разделе для расчета влияния химической модификации УНТ на линейную проводимость будет рассмотрено взаимодействие УНТ с монохроматической электромагнитной волной частоты ю, распространяющейся перпендикулярно оси УНТ, вектор электрической напряженности которой направлен вдоль оси УНТ:

Ег = Е0(е + е —ш ).

При этом предполагалось, что частота м меньше частоты переходов между сингулярно-стями Ван Хова в плотности электронных состояний УНТ. Данное требование выполняется, в частности, для терагерцового диапазона. В этом случае отклик электронной подсистемы УНТ на приложенное внешнее электрическое поле может быть описан с помощью полуклассической модели динамики электронов [13, 14]. Также было использовано приближение времени релаксации для интеграла столкновений [14]. В рамках полуклассической модели предполагается, что движение электронов в твердом теле описывается классическим уравнением Больцмана для электронной функции распределения f (¿, К). При этом дисперсионный закон для электронов вычисляется с использованием методов квантовой теории твердого тела [2].

Уравнение Больцмана было решено методами теории возмущений. Так как нас интересовала только линейная проводимость, мы ограничились первым порядком по теории возмущений. Решение уравнения Больцмана применялось для вычисления плотности осевого тока, индуцированного в УНТ внешним электрическим полем. Используя определение линейной проводимости а = j0/E0, где j0 — амплитуда плотности тока, индуцированного в УНТ, мы получили следующее выражение для линейной проводимости УНТ [14]:

а = -

(Г

АМ ад л,

(2пЙ)2(Iю-1/т)Яс„ * дк дк

где е — заряд электрона, % — постоянная Планка; суммирование по индексу 5 означает суммирование по всем зонам УНТ, а интегрирование проводится по первой зоне Бриллюэна.

Для расчета дисперсионного закона электронов в УНТ еДК) использовался метод ЛПЦВ [2]. Следует, однако, отметить, что для зон, энергия которых превышает энергию Ферми на несколько десятых электронвольт и более, значения функции распределения Ферми Fs(k) стремятся к нулю. Также для зон, энергия которых меньше энергии Ферми на несколько десятых электронвольт и более, значения функции распределения Ферми Fs(k) стремятся к единице, а их производная по волновому вектору соответственно стремится к нулю. В связи с этим вклад в сумму, входящую в выражение (1), дадут только те зоны, которые пересекают уровень Ферми, а интегрирование проводится по квазиимпульсам, таким что

|е(К) — < 0,1 эВ.

Следует отметить, что выражение (1) было получено в модели бесконечно длинной УНТ, то есть пренебрегалось влиянием краев УНТ на электромагнитный отклик. Данное приближение справедливо в случае, когда длина УНТ гораздо больше, чем длина волны облучающего поля. При этом проводимость, вычисляемая с использованием выражения (1), представляет собой проводимость на единицу длины УНТ.

Результаты вычислений проводимости УНТ типа (6,6) без примесей, а также Ш УНТ, 2N УНТ, 1В УНТ, 2В УНТ представлены на рис. 2. Видно, что внедрение атомов бора в УНТ приводит к увеличению проводимости как для случая 1В УНТ, так и для случая 2В УНТ, в то время как при внедрении атомов азота наблюдается снижение проводимости для случая Ш УНТ. Уменьшение проводимости для случая внедрения одного атома азота объясняется тем, что смещение уровня Ферми в этом случае вверх в зону проводимости приводит к уменьшению количества энергетических зон, которые уровень Ферми пересекает (см. рис. 1,б). Таким образом, можно сделать вывод, что для увеличения проводимости УНТ легирование бором более эффективно, чем легирование азотом.

Антенные характеристики химически модифицированных УНТ

Для исследования антенных свойств легированных УНТ мы учли влияние краевых эффектов на взаимодействие УНТ с электромагнитным полем. При этом учет краевых эффектов

Рис. 2. Расчетные частотные зависимости реальной (а) и мнимой (б) частей комплексной проводимости УНТ (6,6) без примесей (1) и содержащих примеси Ш (2), 2N (5), 1В (4), 2В (5).

Время релаксации т = 3-10-12 с

производился только электродинамически. Предполагалось, что УНТ имеет достаточную длину для того, чтобы влиянием ее краев на зонную структуру можно было пренебречь. Было рассмотрено рассеяние плоской электромагнитной волны на углеродной нанотрубке длины L. С этой целью была решена краевая задача для уравнений Максвелла с двухсторонними импедансными граничными условиями, учитывающими реалистичную электронную структуру УНТ. Учет электронной структуры осуществлялся посредством использования линейной проводимости, вычисленной в предыдущем разделе, при формулировке граничных условий. С помощью векторной теоремы Грина краевая задача была сведена к интегральному уравнению Фредгольма первого рода для плотности осевого токаj(z), индуцированного на поверхности УНТ. Интегральное уравнение было решено численно методом квадратур. Ограничиваясь рассмотрением полей только в дальней зоне, для случая облучения УНТ электромагнитным полем, длина которого много больше длины УНТ, электромагнитный отклик УНТ можно описать с помощью поляризуемости, определяемой выражением:

а = -

2кiRc

L/2

I ] №.

0 -ш

На рис. 3 представлены результаты вычисления поляризуемости УНТ (6,6) без примесей, а также с двумя атомами азота или бора, заменившими в каждой ячейке два атома углерода. Видно, что спектры поляризуемости УНТ в терагерцовом диапазоне имеют ярко выраженные резонансные линии. Это резонансы поверхностных волн на краях УНТ, которые определяются из условия L•Reh - пп, где п — целое число, h — волноводное волновое число поверхностной волны.

Очевидно, что положение резонанса будет определяться не только типом УНТ, но также и ее длиной. В связи с этим в дальнейшем мы будем называть эти резонансы геометрическими. Мы продемонстрировали антенный эффект в УНТ, который заключается в том, что отклик антенны на внешнее электромагнитное излучение максимален при подходящем согласовании длины антенны и длины волны облучающего поля.

Необходимо отметить, что внедрение примесей смещает положение резонансов, а также их усиливает. Следовательно, легирование УНТ

а)

б)

1т а, 1Е-13 см3

4-

3 -

2-

1-

10

—

20

—г~

30

1т а, 1Е-13 см3

0Д5-

0Д0-

0,05-

0,00

со

ТГц 40

50

60

—I-1-1

70 со, ТГц

Рис. 3. Расчетные частотные зависимости поляризуемости УНТ

Таблица 2

Влияние примесей на основные параметры резонанса и эффективность антенн на основе УНТ

Примесь Основные параметры резонанса Антенная эффективность П, 10—5

м, ТГц !та, 10—14 см3

I II I II I II

— 18,22 51,5 36,3 1,33 6,5 53

Ш 14,00 39,59 27,8 1,02 2,3 18

2N 21,22 59,96 42,1 1,55 12 96

1В 19,38 54,80 38,6 1,42 8,4 67

2В 23,67 67,16 47,3 1,74 19 151

I, II — первый и второй резонансы

улучшает их антенные характеристики. Для более детального исследования влияния примесей на характеристики антенны на основе УНТ мы рассчитали антенную эффективность на частотах, соответствующих частотам геометрических резонансов. В длинноволновом режиме антенная эффективность УНТ будет эквивалентна эффективности дипольной антенны длины L с сопротивлением ^/пна единицу длины:

П =

L / X

L / Х + 3сЯарX / (8п)2

где X — длина волны облучающей электромагнитной волны, с — скорость света в вакууме, КЛр = ^[1/2^].

Результаты вычислений антенной эффективности представлены в табл. 2. Как видно

из этой таблицы, внедрение двух примесных атомов бора на элементарную ячейку УНТ приводит к существенному (в три раза) увеличению эффективности антенн на основе УНТ. Таким образом, можно сделать окончательный вывод о том, что введение атомов примесей служит эффективным способом улучшения характеристик антенн на основе УНТ.

Тепловое излучение УНТ

Проблема электромагнитной совместимости будущих наноэлектронных устройств на основе УНТ в настоящее время еще мало исследована, хотя ее решение существенно для их эффективного функционирования. Для решения данной проблемы необходимо знать источники возможных шумов в данных устройствах. Одним из возможных источников помех является тепловое излучение УНТ. В данном разделе была рассчитана мощность теплового излучения УНТ длины L и температуры Т. Для расчета характеристик теплового излучения УНТ была использована флуктуационно -диссипационная теорема в форме Каллена — Велтона [ 14]. Было показано, что в длинноволновом пределе в данной зоне мощность теплового излучения УНТ будет иметь следующий вид:

1ю = ир

4Йю41т [а]

Зс3 [ехр(Пю/^Т)-1]

где ир — единичный вектор сферического базиса с началом координат в геометрическом центре УНТ.

Результаты вычисления мощности теплового излучения УНТ с примесями и без них представлены на рис. 4. При вычислениях длина УНТ предполагалась равной 1 мкм, а температура — 300 К. Видно, что спектры мощности теплового излучения УНТ также имеют резонансный характер. При этом положения резонансов в спектрах мощности теплового излучения совпадают с их положениями в спектрах поляризуемости. Следовательно, хотя на резонансах интенсивность сигнала антенн на основе УНТ будет наибольшей, шум на резонансах тоже сильно возрастает. И в связи с тем, что значение мощности теплового излучения снижается с увеличением номера резонанса медленнее, чем значения поляризуемости, отношение сигнал/шум будет расти с увеличением этого номера. Соответственно, наибольшая эффективность антенн на основе УНТ будет достигнута на частоте первого геометрического резонанса.

Рис. 4. Расчетные зависимости мощности теплового излучения УНТ

Наличие резонансов в спектрах теплового излучения УНТ позволяет рекомендовать их в качестве тепловых наноантенн. В этом случае возбуждение антенны будет осуществляться путем нагрева УНТ постоянным электрическим током, а модуляция сигнала — посредством нагрева УНТ переменным электрическим током. Из данных, представленных на рис. 4, видно, что при химическом модифицировании УНТ мощность теплового излучения на резонансе сильно возрастает. Таким образом, можно рекомендовать внедрение примесей для улучшения эффективности тепловых антенн на основе УНТ.

Итак, в работе объединены методы расчета функций электромагнитного отклика УНТ с методом ЛПЦВ-расчета ее зонной структуры.

Данные методы применены к исследованию влияния химической модификации УНТ атомами бора или азота на антенные характеристики УНТ. Продемонстрировано, что 8 %-е замещение атомов углерода атомами бора и азота приводит к существенному увеличению проводимости УНТ и ее антенной эффективности. Показано, что легирование УНТ положительно сказывается на эффективности тепловых наноантенн на основе УНТ.

Все результаты были получены в ходе выполнения государственного контракта № 16.513.11.3051 в рамках ФЦП «Исследования и разработки по приоритетным направлениям развития научно-технологического комплекса России на 2007—2013 годы».

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Slepyan, G.Ya. High-order harmonic generation by conduction electrons in carbon nanotube ropes [Text] / G.Ya. Slepyan, S.A. Maksimenko, V.P. Kalosha, [et al.] // Phys. Rev. A. - 2001. - Vol. 63. - P. 053808.

2. D'yachkov, P.N. Augmented waves for nanomateri-als [Text] / P.N. D'yachkov // in Encyclopedia of Nano-science and Nanotechnology. — Vol. 1; ed. by H.S. Hal-wa. — Valencia, California: Americal Scientific Publishers, 2004. - P. 191-212.

3. Дьячков, П.Н. Электронное строение и применение нанотрубок [Текст] / П.Н. Дьячков. - М.: Бином-Лаборатория знаний, 2011. - 448 с.

4. D'yachkov, P.N. Electronic structure and interband transitions of metallic carbon nanotubes [Text] / P.N. D'yachkov, H. Hermann, D.V. Kirin // Appl. Phys. Lett. - 2002. - Vol. 81. - P. 5228.

5. D'yachkov, P.N. Electronic structure and interband transitions of semiconducting carbon nanotubes [Text] / P.N. D'yachkov, H. Hermann // J. Appl. Phys. - 2004. -Vol. 95. - P. 399-401.

6. D'yachkov, P.N. Electronic structure of embedded carbon nanotubes [Text] / P.N. D'yachkov, D.V. Makaev// Phys. Rev. B. - 2005. - Vol. 71. - P. 081101(R).

7. D'yachkov, P.N. Linear augmented cylindrical wave method for calculating the electronic structure of double - wall carbon nanotubes [Text] / P. N. D'yachkov, D.V. Makaev// Phys. Rev. B. - 2006. - Vol. 74. - P. 155442.

8. D'yachkov, P.N. Account of helical and rotational symmetries in the linear augmented cylindrical wave meth-

od for calculating the electronic structure of nanotubes: Towards the ab initio determination of band structure of (100, 99) tubule [Text] / P.N. D'yachkov, D.V. Makaev // Phys. Rev. B.—2007. - Vol. 76. - P. 195411.

9. Hanson, G.W. Fundamental transmitting properties of carbon nanotube antennas [Text] / G.W. Hanson // IEEE Trans. Anten. Propagat. - 2005. - Vol. 53. - P. 3426.

10. Li, W. Large scale synthesis of aligned carbon nanotubes [Text] / W. Li, H. Zhang, C. Wang, [et al.]// Science. - 1996. - Vol. 274. - P. 1701.

11. Bondarev, I.V. Spontaneous decay of excited atomic states near a carbon nanotube [Text] / I.V. Bondarev,

G.Ya. Slepyan, S.A. Maksimenko // Phys. Rev. Lett. -2002. - Vol. 89. - P. 115504.

12. Stanciu, C. Experimental and theoretical study of third-order harmonic generation in carbon nanotubes [Text] / C. Stanciu, R. Ehlich, V. Petrov [et al.] // Appl. Phys. Lett. - 2002. - Vol. 81. - P. 4064 - 4066.

13. Ашкрофт, Н. Физика твердого тела [Текст] /

H. Ашкрофт, Н. Мермин. - М.: Мир, 1979. - 395 с.

14. Лифшиц, Е.М. Статистическая физика. Ч. 2. Теория конденсированного состояния [Текст] / Е.М. Лифшиц, Л.П. Питаевский. - М.: Физматлит, 2001. - 420 с.

15. Shuba, M.V. Electromagnetic wave propagation in an almost circular bundle of closely packed metallic carbon nanotubes [Text] / M.V. Shuba, S.A. Maksimenko, A. Lakhtakia // Phys. Rev. B. - 2007. - Vol. 76. -P. 155407.