Сопротивление при медленном движении эллипсоида

9. Шеннон К. Работы по теории информации и кибернетике.

— М.: Иностранная литература, 1963. —829 с.

10. Галлагер Р. Теория информации и надежная связь. — М.: Советское радио, 1974. — 720 с.

11. Ihara S. Capacity of mismatched gaussian channels with and without feedback // Probab. Theory Relat. Fields. —1990. —V. 84. — № 4.

— C. 453-471.

12. Липцер Р.Ш. Оптимальное кодирование и декодирование при передаче гауссовского марковского сигнала по каналу с бесшумной обратной связью // Проблемы передачи информации.

— 1974. —Т. 10. — № 4. —С. 3-15.

13. Arimoto S. Information-theoretical considerations on estimation problem // Inform. Control. — 1971. —V. 19. — № 2. — P. 181-194.

14. Tomita Y., Ohmatsu S., Soeda T An application of the information theory to estimation problems // Information and Control. — 1976.

— V. 32. — № 2. —P. 101-111.

15. Демин Н.С., Короткевич В.И. О количестве информации в задачах фильтрации компонент марковских процессов // Автоматика и телемеханика. — 1983. — № 7. — С. 87—96.

16. Демин Н.С., Короткевич В.И. Об уравнениях для шенноновского количества информации при передаче марковских диффузионных сигналов по каналам с памятью // Проблемы передачи информации. —1987. — Т 23. — № 1. — С. 16-27.

17. Каллианпур Г Стохастическая теория фильтрации. — М.: Наука, 1987. —318 с.

18. Липцер Р.Ш., Ширяев А.Н. Статистика случайных процессов.

— М.: Наука, 1974. —696 с.

19. Розовский Б.Л. О формуле Ито-Вентцеля // Вестник МГУ. Серия матем. механ. —1973. — № 1. — С. 26—32.

20. Ocone D., Pardoux E. A generalized Ito-Ventzel formula // Ann. Inst. Henri Poincare. —1989. —V. 25. — № 1. — P. 39-71.

УДК 532.58

СОПРОТИВЛЕНИЕ ПРИ МЕДЛЕННОМ ДВИЖЕНИИ ЭЛЛИПСОИДА

И.В. Дудин, Р.К. Нариманов

Томский государственный университет E-mail: rin@ftf.tsu.ru

На основе применения преобразования простого растяжения-сжатия указана методика распространения решений задач, связанных с течениями несжимаемой вязкой жидкости в присутствии сферы, на варианты, когда сфера заменяется трехосным эллипсоидом. Решена задача о медленном обтекании эллипсоида, указана простая расчетная формула для его сопротивления. Показано удовлетворительное совпадение с литературными данными, соответствующими предельным случаям.

Введение

Некоторые задачи, связанные с интегрированием уравнений Навье-Стокса

V VV - vx rot v = -Eu Vp - R— rotrot v, div v = 0,

или их упрощений, в случаях присутствия твердого или жидкого объекта в виде сферы единичного радиуса успешно решены путем использования функции тока

у/=2 a2f

a =% i +nj + Zk = a[i cos6 + sin0( j cosф + k sin ф)].

При этом от функции f(a) требуется, чтобы она удовлетворяла уравнению

rot rot rot v=rot rot rot rot

что в общем случае влечет за собой представление f

При различном наборе констант интегрирования в (4) функция тока (2) будет обеспечивать кинематические картины течения как во внутренних (вихри Адамара-Рябчинского-Хилла, с2=с3=0), так и во внешних (с4=0) областях. Для внутренних течений ускорение является консервативным вектором, и давление находится из полных уравнений

движения Навье-Стокса; в идеальном внешнем потоке (с2=0) давление определено интегралом Бернулли, а во внешнем вязком оно находится из уравнений Стокса.

Ниже обсуждается проблема распространения отмеченных и других решений на случай замены сферы трехосным эллипсоидом. Сопротивление эллипсоида вращения при его медленном движении было найдено в [1] по теории ньютоновского потенциала притяжения. В [2] предпринята попытка определить сопротивление набегающему потоку вязкой жидкости трехосного эллипсоида при параллельности потока и одной из полуосей путем использования преобразования простого растяжения-сжатия, при котором сфера переводится в эллипсоид и наоборот.

В общем случае трехосный эллипсоид имеет бесконечно много сопротивлений, что зависит от его ориентации к набегающему потоку. Поэтому исследование выполняется в предположении, что орты /, у, к декартовой системы координат жестко связаны с главными центральными осями эллипсоида

который в тексте будет фигурировать в виде уравнения

Л =т, Л —, =

L

L'

L

rot v = -—(f ’+4a lf ')V xa,

где L - линейный масштаб, используемый при обезразмеривании системы Навье-Стокса, а в качестве х, y, z участвуют теперь безразмерные координаты. Используется линейный переход от размерного радиуса-вектора 7 к безрамерному

- ~ fT х ~ У ~ z г

o=^i +nj +Zk =— 1 +— j +— к

Л Л2 Л3

по схеме преобразования простого растяжения-сжатия

? = xi + y + zk = aXi + b—j + c—k = L (\fy + X2nj + Л3^к), a b c

r . -

— = Лст, L

Л =

0

Л—

0

rot rot v = --

(a(f' + 4a-1 f')' + 2( f' + 4a'1 f')) V -

-(a V)a~\f + 4a^x f') 'a

Особое внимание уделено нахождению решения системы:

Vp + rot rot v = 0, div v = 0, rot rot rot v = 0

в переменных вектора о в области 1<о<<» при условии прилипания v (1)=0. Необходимо отметить, что возможное решение в переменных е, П, Z не является универсальным, что можно пояснить следующим примером. Линейное уравнение движения свидетельствует о том, что давление p является гармонической функцией. Но, например, функция

_ 2

е -3 Х f X2 У2 Z 2 ^ 2

p=«° =4i+?

в пространстве е, П, Z является гармонической и теряет это свойство в пространстве x, y, z, если Х1ф^1фХ3 (V2p(e,n,Z)=0, V2p(x,y,z)^0). Из этого следует, что система (5) при v(£,q,Z), p(^,n,Z) не отражает законы гидромеханики в обычном понимании, и ее возможные решения при данной зависимости дают лишь приблизительную информацию о реальном явлении.

Обтекание эллипсоида. Скоростное поле

и поле давления

Если эллипсоид находится под углом атаки, то скорость набегающего потока F(|F|=1) удобно представить в виде разложения:

V = V1 + VJ + V—к, V2 + У22 + V2 = 1.

С тем, чтобы удовлетворить уравнению несжимаемости, скоростное поле ищется в виде:

v = = -2rot(fVxa), f = f (о), о2 =е2 +n2 + Z",

dt 2

где f(a) выбирается из требования выполнения последнего уравнения системы (5).

Расшифровка операторов пространственного дифференцирования показывает, что

v = i f+2 of —^(0 V)°"f о,

rot rot rot v = 2[( f"+ 4 a 1 f ') " + 4 a '(f"+ 4 a 1 f ') '] V xcr, rot(v x rot v) = — ~(a V)a-1f (f" + 4a-1f r)'V x0.

Теперь видно, что третье условие (5), соответствующее требованию (3), будет выполнено, если функция f(a) удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению:

(f" + 4a-1 f ’)" + 4a-1 (f" + 4a- 1f')'= 0,

что в общем случае приводит ее к представлению по (4). Заодно легко просматриваются варианты для исполнения полного уравнения Гельмгольца, получаемого после применения к первому соотношению из (1) операции ротирования.

Если при внешнем обтекании потребовать, чтобы при a=1 поверхность объекта (в пространстве х, y, z им служит эллипсоид, а в пространстве е, п, Z — сфера) была поверхностью тока и на ней осуществлялось прилипание, а вдали от него было

ч т7 f_ da dr v (^) = V I v = — ф —

^ dt dt

то (4) примет вид:

f i 3 —i 1 _з

f = 1 —a +—a ,

2 2

а это приводит к тому, что скоростное поле представится равенствами:

«= ''(l—3 a"1 — 1 a'3 — 3 {2a-3(1—a-2) ] —

— ^ V2 ena (1 —a_2) — - V3 ei?a_3(1 — ° 2),

п =— 4 V ena-\1 —a-2) +

+V2

—4 V3 nZa— (1 — a-2),

Z =— 4 V eZa-3(1 — a-2) — -J V3nZa-\1 —a-2) +

+V3 f1 — - a-1 —1 a-3 — - Z2a-3 (1 — a-2) \

3 ^ 4 4 4 j

А поскольку теперь

rot rot v = 2(a-3V — 3(a V) a-5cr) = — V((o V) a- 3),

то из закона движения по Стоксу поле давления будет определено формулой

Р = -—(aV )a~

2

По форме система равенств (6) и (7) выглядит совершенно одинаково как для эллипсоида, так и для сферы. Но в первом случае надо читать:

S-x,n-Z,Z-A \S- x,n-bZ- z

A

а во втором:

A,

-Z r -z

х У г 2

ь = — ,П =—, ь =—,

Я Я Я

где а, Ь, с, Я - соответственно полуоси эллипсоида и радиус сферы. Вполне понятно, что при наличии только одной составляющей скорости набегающего потока, направленной вдоль оси эллипсоида, формулы упрощаются, а для сферы они воспроизводят известное [1] решение Стокса.

Еще раз следует отметить, что найденные поля (6) и (7) для обтекания эллипсоида не являются вполне достоверными, так как безразмерная система (5) при учете масштабов а, Ь, с будет выглядеть несколько по иному. Вопрос о степени достоверности найденного решения можно выяснить после вычисления сопротивления взятых объектов.

Сопротивление сферы и эллипсоида

Сопротивление состоит, как известно, из двух слагаемых - сопротивления от давления F(p)=-\pd¡l и сопротивления трения F(y)=2\ydS. Здесь через dS обозначен направленный по нормали поверхностный элемент объекта, а через у - тензор скорости деформации, компоненты которого в силу отмеченных особенностей скоростного поля выглядят совершенно одинаково для сферы и эллипсоида. На самой поверхности (при a=1) они запишутся в виде формул:

Y а = \ ^(1 S") - V2 П- У3 SZ),

Ynn= f(Vn(1 -2^2) + V2 S(1 -2n2) -2УЪ SnZ),

Yz = f(V Z(1 - 2S2) - 2V2 SnZ + V3 S(1 - 2Z2)),

Ynn= fn( - Vj Sn + v2q -n2) - v3nO,

Ynz = J (-2Vj SnZ + V2 Z (1 - 2n2) + V3 n (1 - 2Z2)),

Yzz = f Z(-Vj SZ- VnZ+ Vj(1 -Z2)).

При этом давление на поверхности принимает значение:

p = - 2 a V = -J (V S + V2 n + V Z).

При производстве процедур по интегрированию необходимо учесть, что

S = cos6, n = sinocos ф, Z = sin 6 sin ф; 0 <6 < п,0 <ф < 2п,

благодаря чему поверхностные элементы берутся в виде записей для сферы и эллипсоида соответственно

dS - (S i +n j +Zk)sin6d6dф, dS - (A2AS i + A1A3n j + AA2Z k) sin6 d6 dф.

Исполнение процедур по вычислению приводит к результатам для сферы Р

и для находящегося под углом атаки эллипсоида

Р(р) = 1п(Х2Хъ У1 г + А1А3 У2 ] + Х1Х2 У3 к),

Р(у) = уп[(4А2А3 + 3А1(А2 + Х3))У11 +...] (по циклу),

Р(Р, Y) = "бп[(ЗА2Л, + Я1(Я2 + Х3))У11 +...] (по циклу).

Итоговая информация в размерных величинах получается после умножения соответств_ующих_вы-ражений на размерные комплексы /л\¥а\Я, /л\¥а\Ь, благодаря чему она фиксируется формулами:

Р (Р, Y) = 6п/иЯУа,

(36с + а(Ь + с))У1аг +

+(3ас + Ь(а + с))У2а]-+(3аЬ + с(а + Ь))У3юк

соответственно для сферы и эллипсоида. Для варианта обтекания без угла атаки, например, при У,= У„1 итоговые формулы понятным образом упрощаются и принимают вид:

X* - бп/jRV^, X* - -6п vV° (3bc + a(b + c)).

Обычно сравнение сведений по сопротивлению производится путем введения эквивалентной сферы, радиус которой Я=Я(а,Ь,с,Ь) получается в результате совпадения сил X* и X* из формул (8), что дает

ЬЯа = 1[3Ьс + а(Ь + с)].

Индекс подчеркивает, в направлении какой из главных центральных осей инерции движется эллипсоид. Здесь масштаб обезразмеривания Ь остается неопределенным, и способы его выбора нуждаются в дополнительных обоснованиях. Наиболее простым (напрашивающимся) выбором этого линейного размера является равенство Ь=Я, что влечет за собой

Ra2 - 5[3bc + a(b + c)],

парал-

здесь и далее предполагается, что полуось лельна направлению набегающего потока.

Но следует заметить, что такой выбор размера Ь в случаях вырождения эллипсоида в пластины, когда преобразование координат перестает работать, вряд ли можно считать оправданным. Например, по теории потенциала притяжения известно [1], что предельные выражения для сил сопротивления плоского круглого диска (радиуса Ь), движущегося в направлениях, перпендикулярном своей плоскости и параллельном ей, соответственно равны

32

X-—vbV, 3

X - 16^bV,

что при сравнении с эквивалентной сферой означает

¡0,57.

R-А ж 0,85, R - Í6S

b 3п b 9п

Рисунок. Отношение эффективного радиуса сопротивления к величине полуоси: а) поперечной направлению движения, б) параллельной направлению движения

В то время как из (9), в случае а=0 и Ь=с, соответствующем варианту движения диска перпендикулярно своей плоскости, имеем

Я = >Яу

Ь 5

а при а=Ь и с=0, что соответствует движению параллельно плоскости диска:

Яа л/5

= -— = 0,7746,

Ь

-= 0,4472.

Я = -

4 ^1(3+2е).

Из [3] данная величина при е>1 равна:

2е

2е -1

е2 -1

V2

1п

: + Уе2 -1

: --\/е2 -1

а при е<1:

V = 8 6 = 3

1

2е 1 -е2

2(1 - 2е2) агс1Е '^1-^аГС1ё

На рисунке, а приведено сравнение формулы (9) с данными [3] при различных значениях е при движении эллипсоида вдоль оси симметрии. В случае движения поперек направления оси симметрии следует положить а=Ь и ввести е=с/а. Тогда (9) дает

Я - а Ч5<4е+1Х

Согласно [3] при е>1:

Попутно можно отметить, что по [1] сопротивление диска при движении в ортогональном к своей плоскости направлении в полтора раза больше, чем в -продольном, а по (9) это отношение составляет У3=1,732.

Подобно [3] для течения, параллельного оси симметрии (при Ь=с), введем отношение длины к диаметру е=а/с. Из (9) отношение эффективного радиуса к величине поперечной полуоси будет

а при е<1:

1

е2 -1

+—ш 1п(е+) (е2 -1)3/2

2е - 3

1 -е2 (1 -е2)32

е2)

На рисунке, б приведено сравнение при различных значениях е в случае движения тела поперек оси симметрии. Как видно, (9) дает всюду заниженные результаты при хорошем совпадении для тел, мало отличающихся от сферических. Следует отметить, что при е^0 формулы (10) и (11) соответствуют диску, движущемуся в потоке, перпендикулярном своей плоскости, а формулы (12) и (13) -диску, движущемуся параллельно своей плоскости.

Полученная информация о сопротивлении при значительных отличиях полуосей а, Ь, с от радиуса сферы Я, существенно расходится с имеющимися теоретическими сведениями. Объясняется это, по-видимому, тем, что использованная система (5), записанная с применением изотропного обезразме-ривания, некоторым образом отличается от той, которая получается при неизотропном обезразме-ривании. Это обстоятельство приводит к тому, что введенная функция /(а) должна иным образом зависеть от аргументов Ь, П, С

Заключение

Таким образом, решена задача о медленном обтекании эллипсоида, мало отличающегося от сферы, указана формула для расчета его сопротивления.

1

1

Использованные обозначения

к -вектор скоростей, Ей - число Эйлера, Ке - число Рейнольдса, р - давление, \у - функция тока, в - сферическая координата, ф - потенциал, а, Ь, с - полуоси эллипса, Ь, П, С- криволинейные координаты, х, у, г - декартовы координаты, л - динамическая вязкость, X*, X. - силы сопротивления, - элемент поверхности.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ламб Г. Гидродинамика. - М.: Гостехиздат, 1947. -928 с.

2. Дудин И.В., Нариманов Р.К. Сопротивление медленно движущегося в вязкой жидкости трехосного эллипсоида // Препринт № 37. - Томск: Изд-во ТГУ, 2000. -11 с.

3. Хаппель Д., Бреннер Г. Гидродинамика при малых числах Рейнольдса. - М.: Мир, 1976. - 630 с.

УДК 536.46

К ВОПРОСУ НАХОЖДЕНИЯ ПОСТОЯННОЙ МАРКШТЕЙНА

К.О. Сабденов

Томский политехнический университет E-mail: sabdenov@k21.phtd.tpu.ru

На примере простой модели показано, что уравнения горения допускают решения со смещенными профилями температуры и участвующей в реакции горения концентрации вещества. Скорость искривленного пламени определяется однозначно, а длина Маркштейна оказывается существенно больше, чем в ранних теориях. Это позволяет, по меньшей мере, на порядок расширить область гидродинамической устойчивости по числу Рейнольдса.

Пытаясь объяснить, почему ламинарное пламя в газе устойчиво к гидродинамическим возмущениям Дж. Маркштейн предположил, что скорость пламени ип зависит от кривизны К его фронта [1]. Когда фронт обращен выпуклой стороной к горючей смеси ип уменьшается, а если вогнутой - увеличивается. Это означает, что изогнутый под действием возмущений фронт пламени стремится принять плоскую форму. В предложенной формуле Маркштейна

ип = ип0

где ип0 - скорость пламени с плоским фронтом, присутствует неопределенная величина 1м размерности длины (постоянная Маркштейна). Им же были сделаны первые попытки экспериментального определения этой величины. Дальнейшие теоретические поиски [2-5 и др.] приводили к выражению постоянной Маркштейна в виде отношения коэффициента температуропроводности газа к на скорость иП

к

I =к

1м и“'

Но в этом случае объяснение гидродинамической устойчивости пламени ограничено. Эксперименты показывают устойчивость пламени при числах Рейнольдса Ке, по меньшей мере, на порядок превышающих критическое значение КеС1, которое следует из формул (1) и (2).

Кроме указанного Маркштейном механизма, приводящего к устойчивости пламени, может иметь место случай ухода возмущений из рассматриваемой области горения [3]. Дело в том, что в экспериментах пламя, как правило, занимает ограниченное пространство (пламя горелки Бунзена или в трубе, свечи). Эти виды пламени имеют касательную составляю-

щую скорости газа к поверхности горения, благодаря чему гидродинамические возмущения или затухают на стенках, или уходят в свободное пространство из области горения прежде, чем они успевают заметно вырасти [3]. Но такие явления наблюдается при достаточно больших числах Рейнольдса.

Механизм ухода возмущений не объясняет полностью наблюдающуюся гидродинамическую устойчивость пламени. Если основываться только лишь на таком механизме и на формулах (1, 2), то мы уже при относительно небольших числах Рейнольдса (Ке -10...100) должны были видеть пламя с непрерывно колеблющимся фронтом. В реальности это не имеет место: колебание фронта, свидетельствующее о наличии гидродинамической неустойчивости, возникает внезапно и при больших числах Рейнольдса (Ке ~103).

Дальнейшие пути объяснения гидродинамической устойчивости пламени можно искать в самой теории ламинарного горения. Предложенные в работах [2-5] способы нахождения 1м, несмотря на их математическую строгость расчетов, не исключают существования других подходов. Дело в том, что если в теории Зельдовича-Франк-Каменецкого одномерного пламени с плоским фронтом его скорость движения определяется единственным образом [5], то скорость распространения искривленного пламени без привлечения дополнительного физического принципа не является однозначно определенной [6, 7]. Это обстоятельство приводит к неожиданному результату при исследовании неодномерной диффузионно-тепловой устойчивости пламени [8]. Использование известной [5] схемы анализа на основе формулы (1) и без привлечения