Один из методов решения линейной засечки на эллипсоиде в системе геодезических координат

УДК 528.23

Н.А. Телеганов СГГ А, Новосибирск

ОДИН ИЗ МЕТОДОВ РЕШЕНИЯ ЛИНЕЙНОЙ ЗАСЕЧКИ НА ЭЛЛИПСОИДЕ В СИСТЕМЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ КООРДИНАТ

В статье рассматривается один из возможных способов решения линейной засечки на эллипсоиде в системе геодезических координат на средние расстояния.

N.A. Teleganov SSGA, Novosibirsk

ONE OF THE METHODS FOR SOLVING LINEAR INTERSECTION ON THE ELLIPSOID IN GEODETIC COORDINATE SYSTEM

The paper deals with one of the possible solutions of the ellipsoid linear intersection in the geodetic coordinate system for average distances.

Широкое применение в практике геодезических работ различных радиотехнических и спутниковых средств позволяет измерять с высокой

степенью точности расстояния между точками земной поверхности,

удалёнными друг от друга на сотни километров. А это значит, в настоящее время, представляется возможность и «наземным путем» передачи

геодезических координат с высокой точностью на значительные расстояния порядка 0.1К

Одним из методов решения такой задачи может служить линейная засечка на эллипсоиде.

Предлагаемый ниже способ

позволяет решать линейную засечку на

эллипсоиде в системе геодезических координат. Решение базируется на применении двух теорем: так

называемой «расширенной теоремы

Лежандра и теореме Клеро для геодезической линии эллипсоида.

Рис. 1

Условно решение этой задачи можно разбить на 3 этапа:

- Редуцирование на эллипсоид непосредственно измеренных

наклонных дальностей DA и DB (рис. 1);

- Вычисление углов из решения линейного сфероидического треугольника с применением расширенной теоремы Лежандра;

- Определение координат B,L точки Q и обратных азимутов ACa и ACb на основании теоремы Клеро.

Редуцирование на эллипсоид наклонных дальностей DA и DB осуществляется по известным формулам высшей геодезии. При этом, поправками за переход от длин нормальных сечений на эллипсоиде SA и SB к длинам геодезических линий из-за их малости можно пренебречь.

На втором этапе - решение сфероидического линейного треугольника ACB, сначала треугольник решается как плоский, а затем, применяя «расширенную теорему Лежандра» можно вычислить сфероидические углы -

Pi

pi=p i +е/3+е/60х к(т2-820+е/12х (ki-k)/k.

*

Здесь: в - плоский угол; е - сферический избыток; k - кривизна поверхности;

ki=1/R2i; k=(kA+kB+kc)/3; m2=(S2A+S2B+S2c)/3; e=p Po/R2x (1 + rn2/(8R2)); Po=VKp - Sc0(P - sb)(P - Sc) ; p=(Sa+Sb+Sc)/2.

Имея сфероидические углы - pi (i= A,B,C) и, применяя теорему Клеро для геодезических линий AC и BC на эллипсоиде:

Ni cos Bi sin Aic = - N^s 5e sin Aci (i=A,B),

можно из решения таких двух уравнений с двумя неизвестными найти обратный азимут и широту точки С:

Aca= arc ctg{ctg pe - (Nb cos^b sin^e) / (Na cos^a sin^Aesin/Je)}, Bc=arc tg{tg[arc C0s((NaC0sBa sinAAe)/(a sinA*eA))]Vl + e2 }

В этих формулах принято:

9 9 1/9

- N=a/(1- е sin В) - радиус кривизны первого вертикала;

- а, е2 - параметры эллипсоида;

- А*са= АсА±180.

Долгота точки С вычисляется по известным формулам [2,стр.110]:

Le= La+ AL,

AL= AX- sinAo(p1a+p2 sina cos(2a^a)+...},

AX= X2 - X1 ; p1,p2 - постоянные коэффициенты; a = a2 - a1; a1=arctg(tgÜA/cosAac); a2= arctg(tgUe / cos(Aca- 180)); Ao=arcsin(cosUAsinAAe); Xi = arctg(sinAo tgai) (i=1,2).

Формулы для вычисления обратных азимутов и широты являются строгими «замкнутыми», а формула вычисления долготы - ряд.

Для проверки теоретических выводов были выполнены сравнительные вычисления координат точки С и обратных азимутов при расстояниях ЭА=420км и DB=320m. Наибольшие расхождения составили: в широте - 0.005 ; в долготе - 0.004 ;

в азимутах - 0.03 .

При этом сравнение производилось по трем различным способам решения главной геодезической задачи на эллипсоиде для больших расстояний.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Морозов,В.П. Курс сфероидической геодезии [Текст] / В.П. Морозов.- М.: Недра,1979.- 296 с.

2. Телеганов,Н.А. Высшая геодезия и основы координатно-временных систем [Текст]/ Н.А. Телеганов, А.В. Елагин. - Новосибирск: СГГА, 2004. - 238 с.

© Н.А. Телеганов, 2010