Модель червячной модульной фрезы

ОБРАБОТКА МАТЕРИАЛОВ РЕЗАНИЕМ

УДК 621.914.6.001.57

Модель червячной модульной фрезы

С. П. Андросов

В статье рассматриваются вопросы моделирования червячной модульной фрезы для нарезания цилиндрических зубчатых колес в пространственном отражении. Показана актуальность разработки аналитической 3D-модели червячной фрезы. Определены параметрические векторные уравнения основного червяка, винтовых стружечных канавок, режущих кромок и затылованных поверхностей зубьев фрезы. Разработана компьютерная программа для расчета и построения 3D-модели червячной фрезы с использованием объектно-ориентированного языка АсtionScript 3. Приводится пример расчета и построения 3D-модели червячной фрезы.

Ключевые слова: червячная фреза, винтовая поверхность зуба, моделирование, векторное уравнение.

В производстве цилиндрических зубчатых колес наибольшее распространение получил способ зубофрезерования червячными модульными фрезами за счет универсальности, высокой производительности и экономичности. Червячная фреза является многолезвийным инструментом со сложным профилем. Проектирование таких инструментов представляет собой трудоемкую задачу, решение которой требует использования вычислительной техники и создания САПР режущего инструмента. В работе [1] приводятся перспективные и актуальные направления САПР РИ, к которым, в частности, относятся использование методов математического моделирования и визуализация проектирования. Разработка пакетов прикладных программ для расчета сложного инструмента на ЭВМ позволяет резко сократить затраты конструкторского труда и повысить качество проектирования.

Относительно зубофрезерования следует отметить, что, несмотря на его широкую теоретическую проработку, в настоящее время существует ряд нерешенных вопросов в моделировании формообразования зубчатых колес. К ним относятся, например, анализ геометрии зубьев червячной фрезы, кинематический и силовой анализы процесса зубообработки с учетом всех пространственных движений

фрезы и заготовки. Это обусловлено тем, что в теории формообразования рассматривается плоская задача зацепления исходной производящей рейки фрезы и зубчатого колеса. Для исследования процесса формообразования в пространственном отражении требуются объемные модели, как червячной фрезы, так и зубчатого колеса. В связи с этим разработка аналитической ЭБ-модели червячной фрезы, позволяющей воспроизводить точную геометрию, выполнять исследование кинематики и динамики, а также решать вопросы формообразования при зубофрезеровании, является актуальной задачей.

Основным вопросом при расчете и моделировании червячных модульных фрез, как отмечается в работе [2], является определение профиля их зубьев. Для этого необходимо решить ряд задач в той последовательности, в которой формируется фреза как инструмент: записать уравнения поверхностей основного червяка; определить уравнения поверхностей винтовой стружечной канавки, образующей пространство для размещения стружки и переднюю поверхность зубьев; выразить уравнение режущих кромок зубьев; определить уравнение боковых затылованных поверхностей зубьев.

Для решения поставленных задач использовались методы дифференциальной геометрии

и средства объектно-ориентированного языка АсиопБспр! 3.

В работе [3] рассматриваются задачи определения уравнений винтовых поверхностей основного червяка фрезы в матрично-вектор-ной форме и разработки компьютерной модели основного червяка.

В настоящее время в производстве зубчатых колес наибольшее распространение получили червячные модульные фрезы, профилируемые и изготовляемые на основе исходного архимедова червяка [4]. Основной архимедов червяк представляет собой резьбовое изделие с трапецеидальным профилем резьбы в осевом сечении. Архимедова винтовая поверхность образуется при винтовом движении профиля. Сложное винтовое движение состоит из вращательного вокруг оси и поступательного движений профиля вдоль этой же оси.

Профиль основного червяка в осевом сечении показан на рис. 1. Профиль имеет три участка. Участки О1О2 и ОзО являются образующими правой и левой боковых винтовых поверхностей червяка. Участок О2О3 образует периферийную винтовую поверхность червяка.

В общем виде векторное уравнение, описывающее винтовые поверхности правоза-ходного основного червяка фрезы, имеет вид

Рис. 1. Профиль основного червяка:

ахС — угол профиля; Нс — высота профиля; вхс — толщина профиля; Я^ — радиус внутреннего цилиндра; Яс — радиус делительного цилиндра; Яас — радиус наружного цилиндра; у(Ь, п) и г(Ь, п) — координаты точки профиля

г (ь, п) =

-Я(Ь, п) Бт фю у(Ь, п) + атс Ф ю Я(Ь, п) СОБ фю 1

хю

Ую

2ю

_ 1 _

где ь — номер вектора; п — количество точек на векторе; Я(Ь, п) — текущий радиус; Rfс < Я(Ь,п) < Яас; угол фю — параметрический угол поворота винтовой поверхности относительно начального положения. Выражение аюсфю определяет проекцию вектора перемещения вдоль оси Ос^с (рис. 2). Величина ашс является винтовым параметром архимедова червяка.

Максимальное значение угла фю тах определяется по формуле

Ф

р

ю тах

атс

где Ьр — длина рабочего участка фрезы.

В работе [5] определены уравнения винтовых поверхностей стружечной канавки червячной фрезы. У фрезы, имеющей правоза-ходный червяк, стружечная канавка является левозаходной, при этом она располагается перпендикулярно к направлению винтовых поверхностей основного червяка.

На рис. 3 показан принцип образования винтовой стружечной канавки фрезы, заключающийся в повороте профиля канавки О1АВО2 на угол ф^. вокруг оси фрезы Ос^с и перемещением в направлении этой же оси. Поверхность стружечной канавки состоит из трех частей: О^АА'О!' — передняя поверхность зуба; ЛВВ'Л' — поверхность основания канавки; О2ВВ'О2' — поверхность спинки зуба.

В общем виде векторное уравнение, описывающее винтовые поверхности стружечной канавки червячной фрезы, имеет вид

где ф^. — параметрический угол поворота винтовой поверхности относительно начального положения. Выражение ащфш определяет

Я(Ь, п) бш фё хш

г (ь, п) = аш ф ш = Уш

Я(Ь, п) СОБ фю 2ш

_ 1 _ 1

2

М

т\1, п)

Хо

Оо

Рис. 2. Образование основного червяка 20

О

Г0, П

Х1 Ч/ Оо

Рис. 3. Образование винтовой поверхности стружечной канавки

проекцию вектора перемещения вдоль оси Оо^о. Величина ag является винтовым параметром стружечной канавки.

В работе [6] определено уравнение режущих кромок червячной фрезы. Форма режущей кромки червячной модульной фрезы находится как линия пересечения поверхности основного червяка и передней поверхности стружечной канавки. С учетом пересечения поверхностей основного червяка и передней поверхности стружечной канавки по режущим кромкам для любой точки кромки выполняется условие уи = уё = ус, где ус — координата режущей кромки. На этом основании

при совместном решении уравнений (1) и (2) получаем зависимость

х

у

ги>

Из выражения (Э) находим угол фс, определяющий положение точек режущих кромок:

Фс = ф

у

ю

аюо + ац

Уравнение режущих кромок принимает вид

г (Ь, п) =

- Я(Ь, п) в1п фс

у

V аюс + аш

Я(Ь, п) СОБ фс 1

В работе [7] определены уравнения боковых затылованных поверхностей зубьев червячной фрезы. Затылование зубьев фрезы производится для создания задних углов по всему контуру зубьев, что обеспечивает постоянство формы режущих кромок в радиальном направлении при переточке фрез. Для образования задней затылованной поверхности зубьев необходимо их режущим кромкам сообщить сложное движение, состоящее из равномерного вращения относительно оси фрезы и поступательного движения вдоль этой оси, а также равномерного поступательного радиального перемещения к центру фрезы. В результате происходит затылование по спирали Архимеда. Затылованная поверхность зуба фрезы описывается совокупностью кривых Архимеда.

При выводе уравнений учитывалось, что затылованные поверхности червячной фрезы не совпадают с поверхностями основного червяка [4]. Профиль зуба в осевом сечении у фрез с винтовыми стружечными канавками является несимметричным. Углы профиля а1 и аг левой и правой сторон имеют различные значения, причем они не равны углу профиля основного червяка ахс. Это объясняется тем, что затылование зубьев на обеих сторонах начинается и заканчивается неодновременно. Шаг затылованных поверхностей Рх для левой и правой сторон зуба также является различным. Для правозаходной фрезы шаги с левой и правой стороны определяются выражениями:

Рх1 = Р

хс

КР =

Рхс + Рш

Kz0,

где Рш — шаг винтовой стружечной канавки; 2с — число зубьев; К — величина затылова-ния, отнесенная к угловому шагу ^ зубьев фрезы.

Из выражений (6) следует, что винтовой шаг затылованных поверхностей для левой стороны меньше, а для правой стороны больше шага основного червяка фрезы Рхс. В результате задние углы на боковых режущих кромках не равны между собой. Значения углов профиля зуба в осевом сечении определяются по формулам:

К

^ щ = ^ ахс + — 2с;

Рш К

^ аг = ^ ахс - — 2с.

В результате векторные уравнения, описывающие левую и правую боковые винтовые затылованные поверхности зубьев фрезы, запишутся так:

г2,1 п) =

- Я(Ь, п) в1п фí + ДК в1п ф2

У

а„

а„,п + а„

+

гхс

ДР

х I

V

2 п

Г2, г (Ь, п) =

V юс

Я(Ь, п) в1п фí - ДК в1п ф2 1

-Я(Ь, п) в1п фí + ДК в1п ф2

ф 2

у

а

V аюс

+ а„

+

Рхс + ДРх

2 п

ф2

Я(Ь, п) в1п фí - ДК в1п ф2 1

Рхг = Рхс + Кр^ аг ,

где Рхс — осевой шаг основного червяка; Кр — радиальное перемещение затылованно-го резца за один оборот фрезы.

Значение радиального перемещения резца вычисляется по формуле

где ДРх1 = Кр tg а1; ДРхг = К^ш аь; ф2 — параметрический угол затылования (рис. 4), с < ф2 < ^с; Фí — угол, определяющий положение точек на затылованной поверхности зубьев фрезы, фí = фс = ф2; ДК — радиальное перемещение, соответствующее величине за-тылования поверхности зуба.

Угол затылования ф2 для различных значений текущего радиуса Я фрезы определяется из уравнения

Рис. 4. Определение угла затылования: ЕВБ^ — незатылованный зуб; £DD2G — затылованный зуб; ВЛ^1Е1 — стружечная канавка

(Я - \ф2 )еов ф2 = - с (Я - Ь1ф2 )б1п ф 2 + С1,

полученного при совместном решении уравнения кривой затылования ЕБЬ (рис. 4) и уравнения прямой, проходящей через две точки Л1(х1, У1) и В1(х2, У2) профиля зуба фрезы в торцевом сечении.

Параметры с и с1 уравнения (Ю) имеют значения:

изменяется от единицы до числа реек, равного числу зубьев фрезы 2о. Зубья каждой из реек поворачиваются на угол Ъ(к) = (к - 1)^о.

По оси Оо^о смещение точки О1 (см. рис. 2) каждой из реек определяется по формуле

5(k) =

Pn0

z0

Zo — Zi

c = —-—; ci = Zi — xic.

Xo — Xi

Векторные уравнения (5) и (9) описывают режущие кромки и задние затылованные поверхности первого зуба первой рейки червячной модульной фрезы.

Координата режущих кромок в направлении оси фрезы Оо^о второго и последующих зубьев первой рейки фрезы определяется выражением

y(i, j, n) = y (i, j — 1, n) + Pno,

где ] — номер зуба; Рпо — нормальный шаг зубьев.

Режущие кромки и затылованные поверхности зубьев других реек фрезы описываются следующим образом. Номер рейки к

В общем виде векторные уравнения для описания режущих кромок и затылованных поверхностей всех зубьев червячной фрезы определяются выражениями:

r (i, j, k,n) = [M1 ] r (i, n); rz, r (i, j, k, n) = [M1 ] rz, r (i, n); (14) rZ, l(i, j, k, n) = [M1 ] rZfl(i, n),

где [M1] — матрица преобразования поворотных движений против часовой стрелки относительно оси Oo^o и поступательных движений вдоль этой оси:

— sin g(k)] 0

0 5

cos g(k) ] 0 0 1

M1 =

cos g(k) ] 0

sin fc(k)]

0

0 1 0 0

Окончательно после необходимых преобразований уравнения режущих кромок и

Рис. 5. Затылованные зубья червячной фрезы

затылованных поверхностей зубьев червячной модульной фрезы принимают вид:

r (i, j, k, n) =

R(i, n) sin [фс + ^(k) ]

y [(i, j, k, n) ]

+ ô

aw0 + ag R(i, n) cos [фс + ^(k)] 1

rz, i (i, j, k, n) =

-R(i, n) sin ^ + £(k)]+ AK sin + £(k)]

/ \

y

aw0 + ag

Г Px0 - APxi ^

2 n

ф z + 5

R(i, n) cos [ф£ + ^(k) ]- AK cos [фz + ^(k)] 1

Z r (i, j, k, n) = R(i, n) sin [фф + £(k)] + AK sin [фз + £(k)]

y

^ /px0 + APxi ^

aw0 + ag

2n

фг + ô

R(i, n) cos [фг + ^(k)] - AK cos [ф0 + ^(k)] 1

Для расчета и построения трехмерной модели червячной модульной фрезы с затыло-ванными зубьями разработана компьютерная программа [8] с использованием средств объектно-ориентированного языка Action Script 3. На рис. 5 показаны затылованные зубья червячной фрезы. Главное окно компьютерной программы представлено на рис. 6.

Расчет и построение модели выполнялся по параметрам червячной фрезы 2510-4344, регламентируемым ГОСТ 9324-80 «Фрезы червячные чистовые однозаходные для цилиндрических зубчатых колес с эвольвентным профилем». Исходные данные: наружный диаметр фрезы dao = 125 мм; модуль зубьев то = 8 мм; высота зуба ho = 20 мм; высота головки зуба hao = 10 мм; длина фрезы L = = 132 мм; длина буртика l = 5 мм; число зубьев Z0 = 9; толщина зуба в нормальном сечении Sn0 = 12,566 мм; угол профиля а0 = 20°; угол наклона стружечной канавки Хт0 = 4 °26'; угол подъема винтовой линии на делительном цилиндре Хт0 = 4°26'.

Таким образом, получены параметрические векторные уравнения винтовых поверхностей основного червяка и стружечных канавок, режущих кромок и затылованных поверхностей

Рис. 6. Главное окно компьютерной программы червячной фрезы

зубьев червячной модульной фрезы. Разработана компьютерная ЭБ-модель червячной фрезы, которая имеет существенные отличия от известных твердотельных моделей [9, 1о], выполненных в графических редакторах с использованием инструментальных средств в виде эскиза с последующим его перемещением и вращением.

Предложенная трехмерная аналитическая модель позволяет определять точную геометрию зубьев фрезы. Запись уравнений в векторной форме дает возможность применить аффинные преобразования координат, необходимых для выполнения кинематического и силового анализа процесса зубообработки.

Результаты ЭБ-моделирования используются при решении обратной пространственной задачи формообразования при зубофрезерова-нии, когда по известному описанию поверхностей зубьев фрезы и кинематической схеме обработки определяется поверхность детали.

Литература

1. Петухов Ю. Е. Некоторые направления развития САПР режущего инструмента // СТИН. 2оо3. № 8. С. 26-Эо.

2. Иноземцев Г. Г. Проектирование металлорежущих инструментов. М.: Машиностроение, 1984. 272 с.

3. Андросов С. П., Браилов И. Г., Визигин Д. В.

Модель основного червяка фрезы для нарезания зубчатых колес // Вестн. Самарского аэрокосмического университета. 2012. № 1 (32). С. 63-70.

4. Кожевников Д. В. и др. Режущий инструмент. М.: Машиностроение, 2007. 526 с.

5. Андросов С. П. Модель стружечной канавки червячной модульной фрезы // Обработка металлов (технологии, оборудование, инструменты). 2012. № 2 (55). С. 43-49.

6. Андросов С. П. Уравнение режущих кромок червячной модульной фрезы / / Приволжский научный вестник. 2013. № 2(18). С. 4-7.

7. Андросов С. П. Моделирование затылования зубьев червячной модульной фрезы // Обработка металлов (технологии, оборудование, инструменты). 2013. № 3 (60). С. 41-46.

8. Андросов С. П., Визигин Д. В., Браилов И. Г. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ «Моделирование червячной модульной фрезы» № 2014611727, 10 февр. 2014 г.

9. Тахман С. И. Создание 3Б-модели процесса зубо-фрезерования // Вестник Курганского государственного университета. 2010. № 1. С. 118-120.

10. Проектирование и расчет металлорежущего инструмента на ЭВМ / Под ред. О. В. Таратынова. М.: МГИУ, 2006. 380 с.