Расчёт на жёсткость пластины, подкреплённой рёбрами, на упругом основании методом Бубнова-Галёркина

Расчет на жесткость пластины, подкрепленной ребрами, на упругом основании методом Бубнова-Галёркина

Е.Э. Кадомцева1, А.Н. Бескопылъный1, Я.А. Бердник2

'Академия строительства и архитектуры Донского государственного технического университета, Ростов-на-Дону 2Южный федеральный университет, Ростов-на-Дону

Аннотация :В работе рассматривается изгиб пластины на упругом основании. Пластина в плане имеет прямоугольное очертание. Материал пластины изотропный. Пластина подкреплена рёбрами жёсткости, направленными параллельно сторонам пластины. Учитывается, что рёбра жёсткости, параллельные разным сторонам, имеют разные жёсткости на изгиб и кручение. За расчётную схему принимается ортотропная пластина, имеющая различные цилиндрические жёсткости в двух взаимно перпендикулярных направлениях, параллельных подкрепляющим рёбрам. Упругое основание принимается Винклеровским, т.е. считается, что реакция основания прямо пропорциональна прогибу пластины в каждой точке. За неизвестные НДС принимается прогиб пластины. Для определения прогиба используется метод Бубнова - Галёркина. Прогиб берётся в виде разложения в ряд с неизвестными коэффициентами по функциям, удовлетворяющим граничным условиям. Для определения неизвестных коэффициентов получена система линейных неоднородных алгебраических уравнений. Рассмотрен случай действия внешней нагрузки и реакции основания, передающихся на пластину через рёбра жёсткости.

Ключевые слова: Пластина, рёбра, упругое, основание, изгиб, прогиб, Бубнов-Галёркин, ортотропная, прямоугольная, распределённая нагрузка.

Расчёт различных конструкций из армированных элементов имеет широкое применение при проектировании железобетонных строительных сооружений [1-5].

Рассматривается прямоугольная пластина с рёбрами жёсткости, направленными параллельно краям пластины, нагруженная распределённой нагрузкой, перпендикулярной срединной плоскости (Рис. 1).

Пластинка рассматривается как конструктивно ортотропная. Дифференциальное уравнение изгиба ортотропной пластинки на упругом основании имеет вид [6,7]:

=0<х> У) - ™<х> у)'

£1/1 г, Г> , ^2/2 г, Г> , 1 2 кр. , /1кр

где = 0+-^- , = Э +

3 2К а1

Б - Цилиндрическая жёсткость пластинки, Ь,1/1и Е2]2 - жёсткость при изгибе рёбер, /2кр. и Лкр.- моменты инерции при кручении рёбер, w(x, у) - прогиб пластины.

Перейдём к безразмерным переменным ^ следующей заменой

X у О,

^ — - , ^ — - , X— - . Учитывая дифференциальные зависимости

¡к

1 д

к

1 д

к

119

к

1к

дхк ак д^к ' дук Ьк д^к ' дхтдук~т ат Ьк~т д^к д$шдг\

следующем виде:

01Ц-Т +20зЯ2 ^ ц ) - ч ) ].

к-т

получим (1) в

илщз

у у' к >.

Рис.1

Решение принимается в виде двойного ряда: w ^ ) = (£, где безразмерные координаты, w(£, ц) -

функция, удовлетворяющая всем граничным условиям пластинки, Атп -неизвестные коэффициенты.

Функциональное уравнение метода Бубнова - Галёркина [8] для пластинки, подкреплённой рёбрами жёсткости, на упругом основании примет вид:

И

Д* Г1 + 2D3¿ дг]4 -

a4[q(l-n)--awtf,-n) = 0. k, í = 1,2,3,...

После подстановки w (f, r¡) в (3) получим:

Eoo V"го л ff in ^ wmn

tfv) , on 12 " vvmn vvmn

m=l¿n=l¿m„JJA j^l-^- +2D3A ^^ ++D2A -—--

aA[q(¿,v¡) - awmntf,il ) ]}wkl(^,rj)dA = 0. k, I = 1,2,3,...

Получили систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных Атп:

Xm=lün=l Вк1ПАтп = 4kt k, ¿ = 1,2,3,.

где " JJ^ -^- + + -^-+

+a4awmn(£ rj )} wkltf, rftdA, qkl = ffA q((, rj) wkltf, rj)dA.

Если распределённая нагрузка и действие упругого основания передаются на пластинку через рёбра жёсткости [9,10], то

4ki (у) = E?=i Ь± /0Й q(x, y)wkl (х, у) dx =

= М ¡o1 q(f, v) wti

Як1 O) = iSi ai ¡o v У) (*, y)^ =

= £?=i Ьах ¡Q q((,v)wkl((,v) dT],

=£?=i M J^ q(£ rj)wkl(£, + + ba± f^ q((, rj)wkl(Z, rj) dr¡,

Н Инженерный вестник Дона, №3 (2016) ivdon.ru/ru/magazine/arcliive/n3y2016/3699

ГГ Гп d4Wmn((,y) т2д4™тп (ta) , , п 14 d4Wmn(^)1 ... ^ XJ, ,

+ aAab1a f^ wmn((,rj)wkl(£,rj) + + ESi a4aba1 f^ wmn((, q)wkl((, y) dt),

где а — длина ребра параллельного оси х, b -длинаребрапараллельногооси у,

аг — расстояниемеждурёбрамипаралельнымиоси х, Ъг — расстояниемеждурёбрамипаралельнымиосиу,

п±- число рёбер параллельных оси x,n2- число рёбер параллельных оси у.

Определив Атп из системы линейных алгебраических уравнений, найдём выражение прогиба пластинки w (f, rj).

Литература

1. Кадомцева Е.Э., Моргун Л.В. Учёт влияния отличия модулей упругости на сжатие и растяжение при расчёте на прочность армированных балок с заполнителем из фибропенобетона. // Инженерный вестник Дона, 2013, № 2 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1655/.

2.Кадомцева Е.Э.,Бескопыльный А.Н. Расчёт на прочность армированных балок с заполнителем из бимодульного материала с использованием различных теорий прочности. // Инженерный вестник Дона, 2013, № 4 URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/2125/.

3. Кадомцева Е.Э.Прочность при ударе по составной балке. "Строительство 2009", Материалы юбилейной международной научно- практической

конференции / Ростовский государственный строительный университет -Ростов-на-Дону: редакционно-издательский центр РГСУ, 2009, -C. 41.

4. Моргун В.Н., Курочка П.Н., Богатина А.Ю., Кадомцева Е.Э.,

Моргун Л.В. К вопросу о сцеплении стержневой арматуры с бетоном и фибробетоном. Ж. «Строительные материалы», 2014, №8. - С.56-59.

5. Моргун Л.В., Богатина А.Ю., Кадомцева Е.Э. О поведении фибропенобетона при изгибе армированных балок. Бетон и железобетон -взгляд в будущее: научные труды I Всероссийской (П Международной) конференции по бетону и ж/б (Москва, 12-16 мая 2014) в 7 т. Т.3. Арматура и системы армирования. Фибробетоны и армоцементы. Проблемы долговечности. Москва: МГСУ, 2014. - С.151-157.

6. Филин А.П. Прикладная механика твёрдого деформируемого тела. Т.1. -М. изд-во" Наука", Гл. ред. физ.-мат. литературы, 1981.-832 с.

7. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трёх томах. Под общей редакцией Биргер И.А. и Пановко Я.Г. Т.2. - М., изд-во " Машиностроение", 1988.- с.464.

8. Мышкис А.Д. Прикладная математика для инженеров. Специальные курсы. - М. изд-во "Физматлит", МАИК «Наука/Интерпериодика», 2007. -687 с.

9. Shukla S.K. Shallow foundations in geo synthetics and their applications. -Editor Thomas Telford, London. 2002. pp. 123-163

10. Yin J.H. Comparative modeling study on reinforced beam on elastic foundation // ASCE Journ. of Geotechn. and Geoenvironmental Engineering. -2000. Vol. 126, № 3. pp. 265-271.

References

1. Kadomceva E.E., Morgun L.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, № 2. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n2y2013/1655/.

2. E.E. Kadomceva E.E., Beskopyl'nyj A.N. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2013, № 4. URL: ivdon.ru/magazine/archive/n4y2013/2125/.

3. Kadomceva E.E. Stroitel'stvo 2009.Materialy yubilejnoj mezhdunarodnoj nauchno- prakticheskoj konferencii. Rostovskij gosudarstvennyj stroitel'nyj universitet. Rostov-na-Donu: redakcionno-izdatel'skij centr RGSU, 2009, p. 41.

4. Morgun V.N, Kurochka P.N.,Bogatina A.U., Kadomceva E.E., Morgun L.V. Stroitel'nye materialy. Mezhdistsiplinarnyy zhurnal. 2014. №8. pp. 56-59.

5. Morgun L.V., Bogatina A.U., Kadomceva E.E.Beton i zhelezobeton-vzglyad v budushchee: nauchnyetrudy I Vserossijskoj (P Mezhdunarodnoj) konferencii pobetonu i zh/b (Moskva, 12-16 maya 2014) v 7 t. T.3. Armatura i sistemy armirovaniya. Fibrobetony i armocementy. Problemy dolgovechnosti. [Concrete and reinforced concrete - glance at future: proceedings of I all-Russian (II International) conference on concrete and reinforced concrete (Moscow, 12-16 may 2014) 7 T. T. 3. Valves and system reinforcement. The fiber-reinforced concrete and amazement. Durability problems.] Moskva: MGSU, 2014. Pp.151157.

6. Filin A.P. Prikladnaya mekhanika tvyordogo deformiruemogo tela. [Applied mechanics of solid deformable body]. T.1. Moskva:izd-vo" Nauka", Gl. red. fiz.-mat. literatury, 1981.832 p.

7. Prochnost', ustojchivost', kolebaniya. Spravochnik v tryohtomah. Pod obshchej redakciej Birgerl.A. i Panovko YA.G.. [Strength, stability, oscillations. Handbook in three volumes. Under the General editorship of Birgerl. A. and Panovko YA.G.] T.2. Moskva: izd-vo" Mashinostroenie", 1988. 464 p.

8. Myshkis A.D. Prikladnaya matematika dlya inzhenerov. Special'nye kursy. [Applied mathematics for engineers. Special courses] Moskva: izd-vo "Fizmatlit", MAIK «Nauka/Interperiodika», 2007.687 p.

9. Shukla S.K. Shallow foundations in geosynthetics and their applications. Editor Thomas Telford, London. 2002. pp. 123-163

10. Yin J.H. Comparative modeling study on reinforced beam on elastic foundation // ASCE Journ. of Geotechn. and Geoenvironmental Engineering. -2000. Vol. 126, № 3. pp. 265-271.