Учебно-исследовательские задачи в подготовке бакалавров-математиков

применение информационных технологии в преподавании математических дисциплин в высшей школе

УДК 51(07) + 004.9

А.В. Букушева

учебно-исследовательские задачи в подготовке бакалавров-математиков

Рассматривается связь дисциплины «Компьютерная геометрия и геометрическое моделирование» с другими геометрическими дисциплинами, приводятся примеры учебно-исследовательских задач, решаемых с использованием систем компьютерной математики.

Ключевые слова: обучение компьютерной геометрии, системы компьютерной математики, математика и компьютерные науки, исследовательские задачи.

I. В рамках высшего образования занятие исследовательской деятельностью становится обязательным условием освоения основной образовательной программы. В «Концепции развития математического образования в Российской Федерации» определяется одно из главных условий развития системы высшего образования - вовлеченность преподавателей и студентов в фундаментальные и прикладные исследования. Студенты, изучающие математику, включая информационные технологии, должны решать творческие учебные и исследовательские задачи

Под учебно-исследовательской деятельностью обучающихся понимается учебная деятельность по приобретению практических и теоретических знаний с преимущественно самостоятельным применением научных методов познания, что является условием и средством развития у обучающихся творческих исследовательских умений. Структуру учебно-исследовательской деятельности определяют следующие компоненты: учебно-исследовательская задача, учебно-исследовательские действия и операции, действия контроля и оценки [6, с. 69].

Учебно-исследовательская задача занимает промежуточное положение между учебной задачей, алгоритм решения которой неизвестен только студенту, и научно-исследовательской задачей, которая формулируется самим исследователем, способ решения которой, чаще всего, неизвестен, а её решение дает объективно новые знания. Такие учебно-исследовательские задачи могут выступать в учебном процессе вуза определенным аналогом исследовательских задач в науке.

[10, с. 7].

© Букушева А.В., 2015

Использование пакетов прикладных программ в геометрии не только способствует визуализации геометрических объектов, но и позволяет выходить на новые уровни исследовательских задач.

Проблеме применения информационных технологий в преподавании математических дисциплин в высшей школе посвящены публикации В.И. Глизбург, В.А. Далингера, В.П. Дьяконова, Ю.Г. Игнатьева, Т.В. Капустиной, М.П. Лапчика, В.Р. Майера, М.И. Рагулиной, Е.К. Хеннера и других. Основной идеей внедрения информационных технологий в структуру физико-математического образования является компьютерное моделирование, «при этом компьютерное моделирование следует осуществлять в среде систем компьютерной математики, а соответствующие курсы формировать как исследовательские, направленные на построение математических и компьютерных моделей, в ходе создания которых студенты будут овладевать необходимыми фундаментальными знаниями по предметам и учиться их практическому применению» [8, с. 472].

Первые пакеты программ аналитических вычислений появились в 60-70-х гг. ХХ столетия. Первоначально такие пакеты выполняли узкопрофессиональные задачи и были предназначены для реализации на больших ЭВМ. Первые системы символьной математики, пригодные для работы на ЭВМ и рассчитанные на широкого пользователя, появились в 80-х гг. В конце 80-х гг. такие системы назывались системами компьютерной алгебры. В настоящее время такие системы принято называть системами компьютерной математики.

Одними из первых монографий, посвященных регулярному применению систем компьютерной математики в математическом моделировании были монографии А. Грея, посвященные применению МаШешайса к проблемам дифференциальной геометрии и теории обыкновенных дифференциальных уравнений.

В настоящее время пакеты прикладных программ используются не только при решении численных задач, но и при доказательстве теорем. Системы компьютерной математики используются в решении математических проблем в работах Д.С. Воронова, О.П. Гладуновой, Е.С. Корнева, М.В. Куркиной, Е.Д. Родионова, Я.В. Славолюбовой, В.В. Славского, Н.К. Смо-ленцева, Л.Н. Чибриковой и др.

Компьютерные методы решения задач активно проникают в многочисленные приложения современной геометрии: инженерное дело, дизайн, распознавание образов и т.п. Компьютерная геометрия занимается общим компьютерным моделированием, связанным с визуализацией геометрических моделей [9]. Дисциплина «Компьютерная геометрия и геометрическое моделирование» изучается студентами, обучающимися по направлению «Математика и компьютерные науки», в 7-м семестре.

Дисциплина «Компьютерная геометрия и геометрическое моделирование» связана с другими дисциплинами, входящими в учебный план бакалавров. Приступая к изучению компьютерной геометрии, студенты, с одной стороны, уже должны по существу обладать знаниями геометрии и топологии. Решаемые в курсе компьютерной геометрии задачи предполагают наличие знаний предметной области, а именно, студент должен иметь хорошее представление об основных геометрических фигурах: фигурах первого и второго порядков, фигурах вращения и т.д. Студент должен знать об основных инвариантах кривых и поверхностей - кривизне и кру-

чении. С другой стороны, в процессе усвоения компьютерной геометрии, студенты не только лучше начинают понимать уже изученный ранее материал, но и приобретают принципиально новые знания. Например, студент хорошо владеет основными понятиями групп и алгебр Ли, но решаемая им задача о классификации четырехмерных алгебр Ли формирует принципиально новые представления студента о строении конечномерных алгебр Ли.

На четвертом курсе бакалавры-математики получают возможность изучения геометрических курсов, таких как «Гладкие многообразия и управляемые системы», «Группы и алгебры Ли», «Симплектическая геометрия и гамильтоновы системы». В этой связи дисциплина «Компьютерная геометрия и геометрическое моделирование» играет особую роль. Перечислим некоторые из аспектов, демонстрирующих важность компьютерной геометрии как одной из составляющих геометрического блока дисциплин [1]:

1. Дисциплина «Компьютерная геометрия и геометрическое моделирование» является связующим звеном геометрического блока: использование прикладных программ позволяет студенту взглянуть на ранее изученный материал с единой точки зрения. В качестве примера можно указать на задачу классификации трехмерных алгебр Ли. Решая эту задачу, студент сталкивается с необходимостью одновременно использовать объекты всех изучаемых ранее геометрических дисциплин.

2. Студент получает возможность получить довольно ясную картину современных геометрических исследований и тем самым приобщиться к исследованиям, проводимым на кафедре геометрии Саратовского государственного университета.

3. В рамках компьютерной геометрии осуществляется объединение теории и практики: изученные в других геометрических дисциплинах понятия находят применение в задачах математического моделирования реальных процессов аналитической механики и физики.

Практические занятия по дисциплине «Компьютерная геометрия и геометрическое моделирование» проводятся с использованием системы компьютерной математики Wolfram Mathematica. Для подготовки к практическим занятиям по дисциплине «Компьютерная геометрия и геометрическое моделирование» студентам рекомендуется использовать интернет-ресурсы [2].

На практических занятиях по компьютерной геометрии решаются, в частности, следующие задачи [3, 4, 9]: вычисление кривизны и кручения кривой, нахождение первой и второй квадратичных форм поверхностей, главных кривизн поверхностей, восстановление кривой по ее натуральным уравнениям и нахождение геодезических на поверхностях вращения и т.д. Для организации самостоятельной внеаудиторной работы студентов используются свободно распространяемые пакеты прикладных программ (Maxima, GeoGebra).

Приведем примеры разноуровневых задач.

Задачи репродуктивного уровня позволяют оценивать и диагностировать знание фактического материала (базовые понятия, алгоритмы, факты) и умение правильно использовать специальные термины и понятия, узнавание объектов изучения в рамках определенного раздела дисциплины. Например:

а) построить изгибание: простого куска цилиндра на простой кусок плоскости; простого куска плоскости на простой кусок конуса; катеноида в геликоид; ленту Мебиуса в квадрат;

б) на гиперболическом параболоиде визуализировать прямолинейные образующие, проходящие через динамически заданную точку поверхности; положение точки задать двумерным слайдером; изучить взаимное положение образующих одного семейства.

Задачи реконструктивного уровня позволяют оценивать и диагностировать умения синтезировать, анализировать, обобщать фактический и теоретический материал с формулированием конкретных выводов, установлением причинно-следственных связей. Например: а) нахождение и визуализация: локсодром на поверхностях; геодезических на поверхностях; б) дана сфера; вычислить кратчайшее расстояние между точками; изобразить сферу, точки (динамически их меняя), дугу между точками, вывести на экран расстояние между точками.

Задачи творческого уровня позволяют оценивать и диагностировать умения, интегрировать знания различных областей, аргументировать собственную точку зрения. Например: а) изобразить индикатрису Дюпена на торе; б) для данной поверхности визуализировать геодезическую, выходящую из данной точки в данном направлении. Обеспечить динамическое изменение точки, направления и длины геодезической. Изучить поведение геодезических на поверхности вращения (визуализировать теорему Клеро об угле между геодезической и меридианом); в) изобразить одномерную группу Ли на двумерном торе; г) построить: минимальные поверхности и присоединенные к ним; кривые Бертрана.

Использование пакетов прикладных программ позволяет решать сложные геометрические задачи, в которых используются понятия разных дисциплин. Дисциплина «Компьютерная геометрия и геометрическое моделирование» предназначена не только для того, чтобы интегрировать в единое целое ряд геометрических дисциплин, изучаемых студентами, но и способствовать более глубокому изучению каждой из этих дисциплин. Остановимся на исследовании тех связей, которые объединяют компьютерную геометрию с дисциплиной «Гладкие многообразия и управляемые системы».

II. Важную роль в понимании человеком того, как устроен окружающий его мир, сыграла геометрия [7]. Родоначальниками геометрии как систематической науки являются древние греки, перенявшие у египтян ремесло землемерия и измерения объёмов тел и превратившие его в строгую научную дисциплину. Основой этой дисциплины является евклидова геометрия. Сейчас евклидова геометрия представляет собой активно развивающуюся науку. Более 150 лет назад Н.И. Лобачевский открыл одну из первых неевклидовых геометрий, называемой нами геометрией Лобачевского. Великим событием стало открытие Декартом в XVII в. координатного метода позволяющего изучать отношения между геометрическими объектами методами алгебры. Метод координат лежит в основе появившейся вскоре дифференциальной геометрии, где геометрические фигуры и преобразования все ещё задаются в координатах, но уже их геометрические свойства изучаются методами математического анализа. Одним из разделов дифференциальной геометрии является риманова геометрия, появившаяся на пути обобщения евклидовой геометрии. Основным объектом римановой геометрии являются гладкие многообразия - «склеенные кусочки» евклидовых пространств. Основное предназначение риманова пространства с прикладной точки зрения - быть моделью (конфигурационным пространством) динамической системы. Движение материальной точки моделируется кривой риманова многообразия. Эти кривые являются геодезическими риманова пространства. Нахождение явных уравнений геоде-

зических является важной задачей современной дифференциальной геометрии. С аналитической точки зрения уравнения геодезических представляют собой дифференциальные уравнения второго порядка, интегрирования которых сопряжено с большими трудностями. Эти уравнения допускают интегрирование в квадратурах лишь в частных случаях, а именно соответствующее конфигурационное пространство должно обладать некоторыми дополнительными свойствами.

Основным предметом изучения дисциплины «Гладкие многообразия и управляемые системы» являются динамические системы, заданные на многообразиях с дополнительными тензорными структурами. Особый интерес представляют многообразия с заданными на них полями метрического тензора - риманово многообразие. Римановы структуры являются хорошей моделью для многих интересных задач механики и физики. Особый интерес с точки зрения приложения геометрии к естествознанию представляют собой геодезические риманова многообразия. Геодезическая - является кратчайшей или прямейшей с геометрической точки зрения и оптимальной траекторией движения некоторой механической системы. На евклидовой плоскости класс «прямейших» совпадает с классом кратчайших. То же самое можно сказать про известные многообразие: сфера, цилиндр и другие поверхности евклидова трехмерного пространства. Ситуация усложняется, если на движение механической системы наложить неинтегрируемые связи. С геометрической точки зрения наложение неинтегрируемых связей означает задание на многообразие гладкого распределения такого, что геодезическая (траектория движения механической системы) должна всюду касаться этого распределения. Нахождение таких геодезических представляет собой сложную задачу, решение которой не всегда может быть достигнуто при использовании компьютерных программ, определяющих явное выражение искомых переменных - координат точек, зависящих от параметра - в квадратурах.

Понимание геометрической составляющей решаемой задачи, позволяет обойти возникающие при этом трудности с помощью задания подходящей системы координат. В качестве примера рассмотрим движение материальной точки, моделируемое геодезической трехмерного риманова многообразия. Кинетическая энергия изучаемой динамической системы задается с помощью метрического тензора риманова многообразия. В самом общем случае в произвольной выбранной системе координат этот тензор имеет вид:

(§,) =

^§11 §12 §13^ §21 §22 §23 §31 §32 §33

Предположим, что на динамическую систему наложена неинтегрируемая линейная связь. Геометрически это означает, что на римановом многообразии (конфигурационном пространстве системы) определяется дополнительная тензорная структура: гладкая 1-форма. Тогда, как известно, уравнение соответствующей геодезической в специально выбранной системе координат записывается следующим образом:

\ха+ГаЬсхЬхс =0,

| х" = -ГдХа.

В общем случае данная система не является интегрируемой в квадратурах. В этом случае для упрощения и последующего интегрирования системы используются качественные методы, к которым можно отнести метод специализации используемой системы координат. Выбор еще более удобной системы координат, по отношению к той, в которой записаны уравнения (1), возможен не всегда. Такая возможность появляется, в частности, в том случае, когда некоторые из вариантов конфигурационного многообразия принимают специальный вид. Например, обращение в нуль тензора Схоутена значительно упрощает вид системы (1), что позволяет проинтегрировать, получив решение систем в квадратурах.

Рассмотрим пример движения частицы единичной массы с кинетической энергией, задаваемой римановой метрикой специального вида:

(Si,) =

fi +y2

0

У

0 У

1 0 0 1

Л

12 3

Для удобства в программе запишем х =х, х =y, х =z. Используя программу Wolfram Mathematica, находим коэффициенты связности, затем тензор кривизны данной метрики [5].

In[1]:= g = MatrixForm[{{1 + y^2, 0, y}, {0, 1, 0}, {y, 0, 1}}].

In[2]:= gin = Inverse[{{1 + yA2, 0, y}, {0, 1, 0}, {y, 0, 1}}] // MatrixForm.

Получим обратную матрицу (g1):

Ollt[2J.'Vbta(trKF5rnr =

1 Q -y

0 1 0

-У Q l-i'"

In[3]:= var = {x, y, z}.

Пользуясь формулой Г, =1 gkl

1 2

(Sgij dsn dgi^

cX dxJ dx'

, задаем два массива Cr1 и Cr2, где Cr1

вычисляет dSL +дЖ JlL, Cr2 - Г, .

dx1 dxj dxl

In[4]:= Cr1 = Array[, {3, 3, 3}]; In[5]:= Cr2 = Array[, {3, 3, 3}]; In[6]:= Do[ Cr1[[i, j, k]] =

1/2 (D[g[[1, i, k]], var[[j]]] + D[g[[1, j, k]], var[[i]]] -D[g[[1, i, j]], var[[k]]]), {k, 3}, {j, 3}, {i, 3}] In[7]:= Do[ Cr2[[l, i, j]] =

Sum[gin[[1, l, k]] Cr1[[i, j, k]], {k, 3}], {j, 3}, {i, 3}, {l, 3}] In[8]:= MatrixForm[Cr2] // FullSimplify

Пользуясь формулой Йщ =

дП дГ,

щ + Г™ -!% , задаем массив г.

дхк дх-1п[9]:= г = Аггау[, {3, 3, 3, 3}]; 1п[10]:= Бо[г[[1, 1, к, ]]] =

Б[Сг2[[1, 1, ]]], уаг[[к]]] - Б[Сг2[[1, 1, к]], уаг[[]]]] + Биш[Сг2[[1, т, к]] Сг2[[т, 1, ]]], {т, 3}] -Бит[Сг2[[1, ш, ]]] Сг2[[ш, 1, к]], {ш, 3}], {1, 3}, {], 3}, {к, 3}, {1, 3}] 1п[11]:= МаШхЕогш[г] // Еи1181шрНГу

Подстановка найденных коэффициентов связности в систему (1) позволяет получить систему дифференциальных уравнений, не допускающую явного интегрирования в квадратурах. Для решения задачи введем новую систему координат, задавая неголономное поле базисов в соответствии с равенствами ё\ = а\ - ус ^, ё2 = д2, ё^ = д^. В этом равенстве векторные поля ё\, ё2 задают гладкое распределение ранга 2, содержащее касательные векторы к искомым геодезическим. В новых неголономных координатах равенство (2) примет более простой вид:

Г1 о

(§-) =

У

л

о 1 о 0 0 1

Заключаем, что полученная нами риманова метрика обладает нулевым тензором кривизны Схоутена. Для этого случая уравнение геодезических имеет вид:

хя =0, Lx3 = -ух}.

Решаем эту систему.

In[12]:= DSolve[{x''[t] == 0, y''[t] == 0, z'[t] + y[t] x'[t] == 0}, {x, y, z}, t] Out[12]:= {{x^Function[{t},tC[1]+C[3]], y^Function[{t},tC[2]+C[4]], z^Function[(t},-1/2tA2C[1]C[2]-tC[1]C[4]+C[5]]}},

Полагая C[1]=C[2]= 1 и C[3]= C[4]=C[5]=0, графиком параметрических уравнений будет парабола.

In[13]:= ParametricPlot3D[{t, t, -(1/2) tA2 }, {t, -10, 10}, Axes -> None, Boxed -> False].

Из приведенных примеров следует, что эффективность использования компьютерной геометрии при решении творческих задач в значительной степени подкрепляется возможностью использования качественных методов в процессе постановки и исследования проблем, возникающих в предметной области - геометрии, топологии, теоретической механике и т.д.

Использование систем компьютерной математики позволяет решать сложные геометрические задачи, проводить занятия на качественно новом уровне. Учебно-исследовательские задачи по компьютерной геометрии можно использовать как инструмент формирования новых знаний, умений и навыков, что позволит будущему бакалавру-математику владеть способностью использовать методы математического и алгоритмического моделирования при решении теоретических и прикладных задач.

Список литературы

1. Букушева А.В. Место компьютерной геометрии в подготовке бакалавров-математиков // Современные информационные технологии и ИТ-образование [Электронный ресурс]: сборник научных трудов X Юбилейной международной научно-практической конференции / под ред. В.А. Сухомлина. - М.: МГУ, 2015. - 1 электрон. опт. диск (CD-ROM). - С. 272-275.

2. Букушева А.В. Использование Интернет-ресурсов в обучении компьютерной геометрии // Информатизация образования: теория и практика: сборник материалов международной научно-практической конференции (20-21 ноября 2015 г., г.Омск); под общей ред. М.П. Лапчика. - Омск: Полиграфический центр КАН, 2015. - С. 71-74.

3. Букушева А.В. Использование систем компьютерной математики для решения геометрических задач сложного уровня // Информационные технологии в образовании: материалы VI Всероссийской научно-практ. конф.. - Саратов: Наука, 2014. - С. 76-77.

4. Букушева А.В. Решение учебно-исследовательских задач с использованием систем компьютерной математики // Информационные технологии в образовании: Материалы VII Все-росс. научно-практ. конф. - Саратов: Наука, 2015. - С.185-187.

5. Букушева А.В. Использование Mathematica для описания геометрии динамических систем // Математика и ее приложения: фундаментальные проблемы науки и техники: сборник трудов Всероссийской конференции, Барнаул, 24-26 ноября 2015. - Барнаул : Изд-во Алт. ун-та, 2015. - С. 248-249.

6. Далингер В.А. Информационно-коммуникационные технологии в учебно-познавательных исследованиях студентов // Высшее образование сегодня. - 2012. - №11. - С. 6772.

7. Игошин В.А., Кузин А.М., Баренбойм М.Н. О квазипланиметрии // Труды Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е. Алексеева / НГТУ им. Р.Е. Алексеева. - Н. Новгород, 2014. - № 3 (105). - С. 300-308.

8. Игнатьев Ю.Г., Самигуллина А.Р. Информационные технологии изучения физико-математических курсов на основе математического моделирования в системе компьютерной математики // Известия Смоленского государственного университета. - 2012. - №4(20). - С. 471481.

9. Компьютерная геометрия: практикум: учебное пособие / Иванов А.О., Ильютко Д.П., Носовский Г.В., Тужилин А.А., Фоменко А.Т. - М.: БИНОМ, Интернет-университет информационных технологий. 2010. - 392 с.

10. Концепция развития математического образования в РФ [Электронный ресурс] // Министерство образования и науки Российской Федерации - URL: минобрнау-ки.рф/документы/3894