Дифференциальное исчисление в прикладных задачах

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ В ПРИКЛАДНЫХ ЗАДАЧАХ

© Кармановская Т.В.*

Мурманский строительный колледж им. Н.Е. Момота, г. Мурманск

Ключевые слова: дифференциальное исчисление, дифференцирование, прикладная направленность математики, практическая направленность математики, производная, критические точки.

Математика на протяжении всей истории человеческой культуры всегда была ее неотъемлемой частью; она является ключом к познанию окружающего мира, базой научно-технического прогресса и важной компонентой развития личности. Математические знания и навыки необходимы практически во всех профессиях, прежде всего в тех, которых связаны с естественными науками, техникой, экономикой. Но математика стала проникать и в области традиционно «нематематические» - управление государством, медицину, лингвистику и другие. Несомненна необходимость применения математических знаний и математического мышления в любой специальности, настолько важно математическое образование для профессиональной деятельности в наше время.

Одним из моментов в модернизации современного математического образования (выполнение требований ФГОСТ) является усиление прикладной направленности курса математики не только в школе, но и в учреждениях НПО и СПО, то есть осуществление связи его содержания и методики обучения с практической направленностью. Проблема прикладной направленности обучения математике на всех этапах ее становления и развития была связана с множеством вопросов, часть из которых не решена до сих пор. Проблема прикладной направленности математики динамична по своему содержанию и в силу постоянного развития математической теории, прогресса ЭВМ, расширения области человеческой деятельности. Даже будучи однажды решенной, она с каждым новым витком истории будет требовать переосмысления и корректировки. Об этом нужно не забывать. Предугадать все аспекты применения математики в будущей деятельности обучающихся практически невозможно. Научно-техническая революция во всех областях человеческой деятельности предъявляет новые требования к знаниям, технической культуре, общему и прикладному характеру образования. Это ставит перед современным образованием новые задачи совершенствования образования и подготовки обучающихся к практической деятельности.

Прикладная и практическая направленность обучения - одна из содержательно-дидактических линий, тесно связанная с другими линиями (функциональной, числовой и пр.) курса математики.

* Преподаватель математики и экономики.

Рассмотрим прикладную направленность в дифференциальном исчислении.

Дифференциальное исчисление, раздел математики, в котором изучаются производные и дифференциалы функций и их применения к исследованию функций.

Формула производной встречается нам ещё в 15 веке. Великий итальянский математик Тартальи, рассматривая и развивая вопрос - на сколько зависит дальность полёта снаряда от наклона орудия - применяет её в своих трудах. Дифференциальное исчисление зародилось в математике еще в XVII в. Сформировалось оно в ряде сочинений И. Ньютона и Г.В. Лейбница. Вырабатывались элементы будущего дифференциального исчисления при решении задач, которые в настоящее время и решаются с помощью дифференцирования. Ньютон пришёл к открытию дифференциального исчисления при решении задач о скорости движения материальной точки в данный момент времени. Производная и различные изложения с её применением стали встречаться в работах Галилео Галилея, Декарта, французского математика Роберваля и англичанина Грегори. Большой вклад по изучению производной внесли такие умы, как Лопиталь, Бернулли, Лангранж и др. В то время такие задачи были трех видов: определение касательных к кривым, нахождение максимумов и минимумов функций. Первый в мире печатный курс дифференциального исчисления опубликовал в 1696 г. Лопиталь. Этот курс состоит из предисловия и 10 глав, в которых излагаются определения постоянных и переменных величин и дифференциала, объясняются употребляющиеся обозначения dx, dy и др.

Дифференциальное исчисление широко применимо в настоящее время, например, в экономическом анализе. Они помогают точно спрогнозировать данные об изменениях в экономических процессах. Используя их, можно совершенно точно просчитать, как изменить экономические процессы в нужном направлении. Формула позволяет увидеть планируемые действия, понять их необходимость, тем самым, помогая изменить экономическую ситуацию в целом.

1. Понятие производной.

Производная относится к разделу математического анализа. Термин «производная» произошло от французского слова derivve, который ввел Ж. Лагранж и он же ввел современное обозначение её.

При решении различных задач геометрии, механики, физики и других отраслей знания возникла необходимость с помощью одного и того же аналитического процесса из данной функции y = fx) получать новую функцию, которую называют производной функцией (или просто производной) данной функции fix) и обозначают символом:

У' = f(x) или —

Ньютон называл производную флюксией, а саму функцию - флюентой.

Определение: Производной y' = f(x) данной функции y = fx) при данном x называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента при условии, что приращение аргумента стремится к нулю, если, конечно, этот предел существует, т.е. конечен. Таким образом,

у,/ ч 1- f(x+ Дг)- f(x) . 1- Ay f (x) = lim —--—или У = lim —.

Ax Ax

Операция нахождения производной называется дифференцированием.

2. Геометрический смысл производной.

Геометрический смысл производной заключается в следующем: производная функции в точке x0 равна угловому коэффициенту касательной к графику функции, проведенной в точке с абсциссой x0.

Задача. Найти угловой коэффициент касательной к графику функции fx) = х3, в точке с абсциссой x0 = 1.

Решение:

Угловой коэффициент касательной вычисляется по формуле:

k = f(xo) /(x) = (x3)' = 3x2 k = Z(xo) = f(1) = 3-12 = 3

Ответ: k = 3.

3. Физический смысл производной.

Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y = fx) в точке x0 - это скорость изменения функции Дх) в точке x0.

Задача. Пусть материальная точка движется по закону: s(t) = -t3 + 6t2 + 37t + 30

Найти наибольшую скорость точки и момент времени, в которой скорость наибольшая.

Решение:

Найдем область допустимых значений для аргумента t. Так как должно выполняться неравенство s(t) > 0. Имеем:

-t3 + 6tz + 37t + 30 > 0 -(t + 1)(t + 3)(t - 10) > 0

Решая неравенство методом интервалов получаем t е (-œ; -3] u [-1; 10]. Учитывая, что t > 0, получаем t е [0; 10].

Найдем скорость используя формулу производной пути по времени:

v(t) = s'(t) = (-t3 + 6Î2 + 37t + 30)' = -3tz + 12t +37

Исследуем полученную функцию на отрезке [0; 10]. Найдем критические точки функции v(t):

v'(t) = (-3t2 + 12t +37)' = -6t + 12 v'(t) = 0, -6t + 12 = 0 t = 2

Вычисляем значение исследуемой функции в критической точке и на концах заданного отрезка [0; 10]:

v(0) = -3-02 + 12-0 + 37 = 37 v(2) = -3-22 + 12-2 + 37 = 49 v(10) = -3-102 + 12-10 + 37 = -143

Следовательно максимальное значение скорости v(2) = 49.

3. Задачи алгебры.

Задача. Сумма двух положительных чисел равна 10. Найти возможное наибольшее произведение таких чисел.

Решение:

Обозначим положительные числа a и b.

Их произведение обозначим P = a - b.

По условию задачи 10 = a + b, следовательно b = 10 - a. Подставляя в произведение получим:

P = a(10 - a) = 10a - a2

Исходя из условия задачи получаем, что область допустимых значений для a интервал (0; 10).

Исследуем функцию P(a) на наибольшее значение. Вычислим ее производную:

P'(a) = (10a - a2)' = 10 - 2a

Найдем критические точки, приравняем производную функции P(a) к нулю:

10 - 2a = 0 a = 5

Найденная критическая точка принадлежит заданному интервалу (0; 10). Найдем значения производной слева и справа от критической.

P'(4) =10 - 2-4 = 2 > 0 P'(6) =10 - 2-6 = -2

Производная функции P'(a) слева направо меняет знак с «+» на «-», следовательно в точке a = 5 функция достигает максимума. Так как на интервале (0;10) это единственная критическая точка, следовательно наибольшее значение произведения P(a) достигается при a = 5. Вычислим b = 10 - 5 = 5.

Найдем P = 5-5 = 25. Ответ: 25.

Производная применяется при определении следующих понятий в математике - уравнение касательной, точки экстремума функции, наибольшее и наименьшее значение функции. 4. Задачи по экономике.

Задача. Функция спроса имеет вид QD = 100 - 20p, постоянные издержки TFC составляют 50 денежных единиц, а переменные издержки TVC на производство единицы продукции - 2 денежные единицы. Найти объём выпуска, максимизирующий прибыль монополиста. Решение:

Прибыль есть выручка минус издержки:

П = TR - TC

где выручка вычисляется по формуле:

TR = p-Q

p - цена за единицу продукции; Q - объем выпущенной продукции. Издержки вычисляются по формуле:

TC = TFC + TVC

где TVC - переменные издержки; TFC - постоянные издержки.

Найдем цену за единицу продукции:

20p = 100 - Q ^ p = 5 - Q. Р Q Р 20

Подставляя в формулу (1), получим следующее:

П (Q) = ^ 5 - Q j Q - (50 + 2Q) = -Q2 + 60Q -1000 ^ max. Найдем производную:

n'(Q) = -2Q + 60

Приравнивая производную к нулю, получим:

-2Q + 60 = 0 ^ Q = 30

Вычисляя производную слева и справа от точки Q = 30, получим:

П'(25) = -2-25 + 60 = 10 П'(35) = -2-35 + 60 = -10

Мы видим, что при переходе через точку Q = 30, производная функции меняет знак слева направо с плюса на минус, и в ней функция прибыли достигает максимального значения.

Таким образом, объем выпуска продукции, максимизирующий прибыль, равен 30 единицам продукции.

Из выше сказанного можно сделать вывод:

- применение дифференциального используется при решении математических задач различного характера,

- производная является важнейшим инструментом в изучении экономики, позволяющим углубить геометрический и математический смысл экономических понятий, а также выразить ряд экономических законов с помощью математических формул,

- прикладная направленность производной многогранна и достойна особого внимания при изучении различных дисциплин.

Список литературы:

1. Абросимов Б.Ф. Способы и методы поиска решения задач.

2. Государственный образовательный стандарт.

3. Закон РФ «Об Образовании».

4. Колягин Ю.М. О прикладной и практической направленности обучения математике.

5. Кочетков С.А. Алгебра и начала анализа. Т. 1-2.

6. Симонов А.С. Экономика на уроках математики.

7. Тихонов А.Н. Рассказы о прикладной математике.

8. Шапиро И.М. Использование задач с практическим содержанием в обучении математике.

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ СПЕКТРАЛЬНОГО АНАЛИЗА ДЛЯ ВОЗМУЩЕННОГО ОПЕРАТОРА ЛАПЛАСА

© Кинзина И.И.*, Шеметова B.B.*

Магнитогорский государственный университет, г. Магнитогорск

Приведены результаты вычисления собственных чисел оператора, который получается возмущением второй степени оператора Лапласа на прямоугольнике. Вычисления производились двумя методами: методом регуляризованных следов и методом Бубнова-Галеркина.

Ключевые слова: спектральный анализ, дискретный самосопряженный возмущенный оператор, регуляризованный след, собственные значения оператора.

* Доцент кафедры Математических методов в экономике, кандидат физико-математических наук, доцент.

* Доцент кафедры Математического анализа, кандидат физико-математических наук.