Численное и экспериментальное исследование входа в воду плоской пластины

________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XVIII 1987

№ 4

УДК 532.58

ЧИСЛЕННОЕ И ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ ВХОДА В ВОДУ ПЛОСКОЙ ПЛАСТИНЫ

Д. А. Теселкин, А. Ю. Тормахов

Приведены экспериментальные материалы о форме свободной поверхности жидкости при входе в воду пластины в плоском случае. Изложен алгоритм численного моделирования этого процесса, основанный на методе дискретных вихрей. Дано сравнение расчетных и экспериментальных результатов.

Исследования процесса проникания тел в жидкость начали интенсивно развиваться с конца двадцатых годов нашего столетия в связи с задачами посадки гидросамолетов. Рассмотрение начальной стадии погружения тела приводит к задаче об ударе, решение которой для клина предложено в работе [1]. Существенное развитие теория удара о поверхность жидкости получила в работах [2, 3]. Задача о дальнейшем движении тела в жидкости исследовалась во многих экспериментальных работах [4—6] и др. Однако в большинстве из них рассматривается вход в воду осесимметричных тел. Экспериментальных данных о плоскопараллельных течениях, представляющих особый интерес в связи с широким применением в гидродинамике гипотезы плоских сечений, в литературе практически нет.

В настоящей статье представлены экспериментальные данные о форме свободной поверхности жидкости при входе в воду плоской пластины. Изложен алгоритм численного решения этой задачи, основанный на методе дискретных вихрей [7]. Дано сравнение результатов математического и физического моделирования.

1. Для получения экспериментальных данных о форме поверхности жидкости в плоском случае при прохождении границы вода—воздух каким-либо телом была собрана установка, изображенная на рис. 1. Бак, в который наливается вода, состоит из плоских прозрачных плит (на одной из них нанесена сетка с шагом 20 мм). Между ними скользит испытуемое тело 1. Ширина его равна расстоянию между стенками бака, тем самым обеспечивается выполнение условий плоскопараллель-ности течения (исключено движение жидкости в поперечном направлении). Тело закреплено на штоке, который разгоняется пневматической пушкой и двигается через отверстие в направляющей пластине 2. На конце штока закреплена масса 3.

3___«Ученые записки» № 4

33

Число Фруда в задачах о проникании тела в жидкость обычно вычисляют по скорости тела в воздухе. Ясно, что вход тела в жидкость связан с потерей импульса, поэтому скорость тела в воздухе и в жидкости для плохообтекаемого тела будет различной. Масса М подбиралась таким образом, чтобы, во-первых, изменение скорости тела было достаточно малым, а, во-вторых, действие силы тяжести компенсировалось сопротивлением пластины, хотя бы в первые моменты времени, что позволило получить участок равномерного движения пластины в жидкости.

Проведен эксперимент для пластины длиной Ь = 60 мм при начальной скорости V = 2,1 м/с, масса М= 15 кг. Киносъемка производилась с частотой 290 кадров в секунду. Некоторые кадры полученной кино-граммы представлены на рис. 2. На каждом кадре нанесено время, прошедшее с момента касания телом поверхности жидкости. На 11-м кадре можно увидеть смыкание каверны, на 12-м — начало образования кумулятивного всплеска.

Вопрос о влиянии воздуха на форму всплеска удалось выяснить специально проведенным опытом. Тело, которое касалось поверхности жидкости и покоилось, приводилось в движение с помощью массы М, которая скользила по штоку до ограничителя, после чего тело практически мгновенно приобретало заданную скорость падения массы М. Для того чтобы граница жидкости была видна более отчетливо, на ее поверхность перед опытом была нанесена пленка ксилола толщиной 2 мм. Плотность ксилола близка к плотности воды, а коэффициент преломления отличается втрое. Поэтому удалось получить более чет-

кие фотографии, которые представлены на рис. 3„ До 7-го кадра движение , пластины происходит практически с постоянной скоростью 17=1,55 м/с. Из сравнения кинограмм на рис. 2 и 3 можно сделать вывод о том, что для чисел Фруда Fr = 2-^-3 воздух, вытекающий из-под пластины при ее приближении к поверхности жидкости, не влияет на движение всплеска и границы жидкости в целом.

2. Математическая постановка задачи и метод расчета. Пусть граница раздела а, в начальный момент времени совпадающая с осью Ох, разделяет плоскость на две области D4 и йг, заполненные идеальными несжимаемыми жидкостями с плотностями р4 и рг соответственно. Плоская пластинка S, изначально занимавшая отрезок (—I, I) оси Ох, в момент времени t = 0 начинает движение с постоянной скоростью V, направленной вертикально вниз (рис. 4, а).

Течение жидкости в областях Du D2 должно быть при этом потенциальным

*1,2(г- 0 “grad«ри(г, t),

причем потенциалы <pi,i(r,t) должны быть гармоническими функциями в областях Di, D2:

A*u(r* *) = 0> r€£>i.2

и удовлетворять следующим граничным условиям:

на твердой поверхности S — условию непротекания

— r^S;

на границе раздела о — условию равенства нормальных скоростей

д?и

дп дп ’ Г'~<3

и давлений

Ри

с двух сторон границы. Здесь и далее индексами 1а, 2а отмечены пре-

дельные значения величин при стремлении точки к а из области Du D2 соответственно.

Кроме того, возмущения должны убывать вдали от пластинки

К2(г> *)|, lv?i,2(r- 01 -О,' |г|->оо.

Предположим также, что скорости ограничены везде, включая кромки пластины,

IvTu^» 0l<°°. r£Di.i.

Потенциальное поле скоростей, удовлетворяющее перечисленным выше граничным условиям, будем моделировать, располагая по поверхностям S и а с шагом к пары дискретных вихрей равной по модулю и противоположной по направлению циркуляции Gs, Ст|. На рис. 4,6 показан фрагмент вихревой системы, причем совпадающие вихри из соседних пар для наглядности изображены отдельно. Такая вихревая система эквивалентна цепочке дискретных вихрей с циркуляциями Гг = Gi+i—Gi. Однако в данном случае удобнее проводить вычисления

Рис.

Рис.

б. .г

в)

Рис. 4

с циркуляциями пар вихрей б*. Использование пар дискретных вихрей позволяет, во-первых, упростить процедуру вычисления потенциала, индуцируемого вихревой системой, и, во-вторых, более компактно записать уравнение для определения интенсивности дискретных вихрей. Скорость и потенциал в точке тогда равны

N

ы\

V ЛГа

?(г, *) “ -2тХ05‘'(г’ °5г М +

/=1

/=1

где ——(Л 0 — соответственно скорость и по-

2т. 2 г.

тенциал, индуцируемые в точке г г-й парой вихрей единичной циркуляции на 5, о. Отметим, что потенциал пары вихрей совпадает с потенциалом слоя диполей интенсивности б,., распределенного на отрезке, соединяющем вихри г-й пары; он имеет скачок на указанном отрезке, т. е.

О/

91,1— 'Ра/Ч- ?2,1==<?а1-----

где <рв/ — среднее между двумя сторонами о значение потенциала.

Циркуляции пар вихрей (?$*, г= 1, 2, N, г=1, 2, ..., будем определять из соответствующих граничных условий:

на пластине — из условия непротекания (1) в контрольных точках Твг !

N

'£Щз!

/=1 1=1

на границе раздела — из динамического граничного условия (2). Используя интеграл Коши—Лагранжа [8], с учетом (5) получим

2

dt V dt 2 8

где

kp

Pi — P2

Pi + ?2

а символ означает дифференцирование в точке, принадлежащей вихревому слою а.

При ЭТОМ <ра{, v<JІ вычисляются в контрольной точке Т„1 по формулам (4), а

Ъ =

°i+1 -°i-i 2 h

Отметим, что при обезразмеривании по полуширине пластинки / и ее скорости V уравнение (7) сохраняет свой вид, но коэффициентом при у1 будет = —— , где Рг =* —-число Фруда.

V2 Рг2 у gl

Для определения положения а имеем обыкновенное дифференциальное уравнение

I

dt

= i

где г,! — радиус-вектор г-го вихря на о, t) — скорость, вы-

числяемая в соответствии с (4).

Уравнения (7) и (8) решались численно методом Эйлера с определением на каждом шаге по времени GSi из (6). Из особенностей применяемого алгоритма отметим следующие:

1) для устойчивости расчета требуется, чтобы безразмерный шаг по времени Ат был по крайней мере на порядок меньше шага дискретизации h;

2) для сохранения равномерного разбиения по о на каждом шаге по времени производилась перестройка вихревой системы с использованием линейной интерполяции;

d у .

3) для определения в правой части (7) на каждом шаге

по времени проводился следующий итерационный процесс; в пред-

d ю •

положении —~dt~ = в определялись G,i (t 4- М), по ним вычислялись

d 9 •

- dt в следующем приближении и т. д. Процесс сходился достаточно быстро (за 3—4 итерации достигалась точность 10—3).

3. Расчеты проводились в предположении, что плотность среды в области £>2 существенно меньше плотности среды в D\ (рг—^0, kf = 1). Это соответствует условиям эксперимента (kt =0,998). При этом из интеграла Коши—Лагранжа следует Р<х>, т. е. решается задача со свободной границей. Расчеты проводились при h = 0,2, Д.т =0,02.

На рис. 5, а представлена форма границы раздела, полученная при расчете входа пластины в невесомую жидкость (Рг-»-оо). В этом

а) \ I/

-------расчет ,Fr-<*>

-------точное решение задачи Кирхгофа

случае течение вблизи пластины в пределе при должно совпадать

с решением задачи Кирхгофа, сравнение с которым приведено при

т = = 10.

I

На рис. 5, б представлено сравнение формы границы раздела, полученной расчетом, с экспериментальными данными, приведенными на рис. 3. В целом совпадение расчета с экспериментом можно считать удовлетворительным за исключением области брызговых струй, которые в расчете не моделировались [условие (7)]. Кроме того, различие экспериментальных и расчетных данных объясняется тем, что течение жидкости в эксперименте ограничено боковыми стенками бака, а также не совсем равномерным движением пластины — имеется некоторое ускорение в вертикальном направлении и небольшие горизонтальные колебания, порождающие несимметричные возмущения на границах каверны.

ЛИТЕРАТУРА

1. Wagner Н. Uber Stoss- und Gleitforgange ап der Oberllache von Flussigkeiten, — ZAAM, Bd. 12, N 4, 1932.

2. Логвинович Г. В. Погружение тел в жидкость, удар и глиссирование. — Труды ЦАГИ, 1958, вып. 707.

3. Логвинович Г. В. Гидродинамика течений со свободными границами. — Киев: Наукова думка, 1969.

4. Логвинович Г. В. Начальное движение тела в жидкости с развитой кавитацией. — Сб. работ по гидродинамике. — М.: ЦАГИ, 1959.

5. Якимов М. Ю. Влияние атмосферы при падении тел на воду. —

Изв. АН СССР, МЖГ, 1973, № 5.

6. Васин А. Д. Автомодельное движение каверны и струй всплеска при симметричном погружении диска в жидкость. — Труды ЦАГИ, 1985, вып. 2272.

7. Белоцерковский С. М., Н и ш т М. И. Отрывное и безотрывное обтекание тонких крыльев идеальной жидкостью.—М.: Наука, 1973.

8. К о ч и н Н. Е., К и б е л ь И. А., Розе Н. В. Теоретическая гидромеханика.— М.: Физматгиз„ ч. I, 1963.

Рукопись поступила 13/II 1986 г.