Математическое образование: духовное измерение

В. МОРОЗ, доцент Курский государственный университет

Сердцевиной трансформаций, связанных со вступлением человечества в «информационную» эру, стало логико-математическое «точное» знание и основанное на нем образование. Именно они часто рассматриваются как оплот технократизма, на них возлагается ответственность за дегуманизацию и дегуманитаризацию культуры ХХ века. «Засилье» математики и точных наук многими расценивается как главная причина «бездуховности» современной цивилизации.

Дело, однако, не в логико-математическом знании как таковом: разграничительная линия, отделяющая гуманитарное и негуманитарное (техническое, технологическое), проходит отнюдь не между отдельными видами деятельности, а внутри каждой из них.

Дегуманитаризация, исключение человека из научной картины мира - общая тенденция развития техногенной цивилизации, пик которой пришелся на вторую половину ХХ века. Между тем с массовым внедрением компьютеров во все сферы человеческой деятельности выявилась неустранимость другой составляющей культуры - гуманитарной, смысловой, «субъективной».Сред-ством преодоления технократизма должен быть отнюдь не отказ от компьютеризации, а адекватная оценка ее роли в общекультурном пространстве и эффективное ее использование, что невозможно без соответствующего пропорционального развития духовного «измерения» культуры.

Именно гуманитаризация призвана вернуть математике «человеческое» лицо (В.И. Арнольд), она является средством гуманизации математического знания, способствующим формированию полноценного образа математики как одного из ценнейших феноменов духа.

В контексте образования гуманизация предполагает выявление связей и взаимодей-

Математическое образование: духовное измерение

ствий учебных дисциплин с общечеловеческой культурой, создание определенной «культурной ауры» вокруг предмета изучения, а также его философское осмысление.

Вычленение и актуализация гуманитарного потенциала математики реализуется в таких направлениях ее гуманитаризации, как анализ роли математики в контексте культуры, специфика проявления «человеческого фактора» в процессе математического доказательства, исследование феномена интуиции в математическом познании, анализ взаимовлияния и взаимодействия собственно математики и работ в области ее истории и методологии и т.д.Раскроем некоторые из этих направлений.

(1) Математика как феномен культуры

Речь идет в первую очередь о попытках увидеть в математике не просто мощный аппарат для разрешения пусть и весьма значимых, но все же прикладных (в смысле утилитарности) проблем, но и нечто включенное, «вписанное» (причем самым естественным образом) в общекультурный контекст человеческой деятельности. Такой подход предполагает рассмотрение математики в тесной взаимосвязи с религией, искусством, философией и даже организацией общественной жизни.

Так, в пифагорейско-платонической традиции проявились основные культурные доминанты античности, а именно: вера в способность человеческого разума постичь тайны природы, видение мира как структурированного целого - космоса, который есть одновременно порядок и гармония, понимание красоты как целостности, соразмерности (пропорциональности), упорядоченности.

Рационалистическая версия философско-математического синтеза, представлен-

132 Высшее образование в России • № 7, 2005

ная в трудах Р. Декарта, Б. Спинозы, Г. Лейбница, отражает дух и стиль мышления Нового времени, точно описанные Уильямом Джеймсом в работе «Прагматизм»: «Когда были открыты первые математические, логические и физические закономерности, первые законы, проистекавшие из этих открытий, ясность, красота и упрощение настолько захватили людей, что они уверовали в то, будто им удалось доподлинно расшифровать непреходящие мысли Всемогущего. Его разум громыхал громовыми раскатами и эхом отдавался в силлогизмах. Бог мыслил коническими сечениями, квадратами, корнями и отношениями и геомет-ризовал, как Евклид. Бог предначертал законы Кеплера движению планет, создал закон синусов, которому свет должен следовать при преломлении... Бог измыслил архетипы всех вещей и придумал их вариации, и когда мы открываем любое из его чудесных творений, то постигаем его замысел в самом точном предназначении».

В целях гуманитаризации математического образования целесообразно изменить сам стиль изложения дисциплин математического цикла, т.е. изучение определенных разделов (к примеру «Интегральное и дифференциальное исчисление», «Элементы теории множеств», «Неевклидовы геометрии») провести через погружение математического материала в историко-философскую и социокультурную атмосферу, проследить влияние философских концепций соответствующих эпох на становление математических теорий. Пути подобного изложения математики намечены А.Ф. Лосевым в «Диалектических основах математики». Нет сомнения, что продолжение и развитие лосевских начинаний благотворно повлияет на раскрытие гуманитарной составляющей математического знания.

(2) Использование математических моделей для исследования реальности

Используя математические образы многоугольника и круга и учитывая их динами-

ку, Николай Кузанский проясняет мысль, что «ученое незнание» есть процесс восхождения к истине путем непрестанного углубления понятий о ней, никогда не завершающийся, так как человеческий ум несоизмерим с Божественным бытием, подобно тому, как мера многоугольника никогда не сравняется с мерой круга. Вписанный многоугольник, стремящийся совпасть с кругом, - символ «ученого незнания», которое есть осознание структурной диспропорции между конечным человеческим разумом («мерой прямоугольника») и бесконечностью («мерой круга»), в которую он включен и к которой стремится.

Понятийный аппарат теории множеств позволяет П.А. Флоренскому получить новые аргументы в пользу действенности мировоззрения, основанного на аритмологии и монадологии бугаевского типа. Далее, одна изважнейшихтеоремтеории множеств о равномощности целого и его части у бесконечных множеств помогает мыслителю философски углубить понятие единства макрокосма и микрокосма. Математические результаты из области геометрии и теории точечных множеств истолковываются о. Павлом как аргументы в пользу онтологического превосходства иконы над светской живописью. Понятие «фокуса», используемое в геометрической оптике, помогает Флоренскому раскрыть идею об «орудийной» природе сознания и разума, изложенную им в работах «Ното faber» и «Продолжение наших чувств». Работа «Мнимости в геометрии» прекрасно демонстрирует плодотворность мысли философа о том, что математика и естествознание не являются самодостаточными, замкнутыми в себе специальностями, а составляют органическую часть всего комплекса духовной культуры.

В.В. Налимов, рассматривая философствование как конструирование специфического поля смыслов, предложил применить при анализе этого поля математический аппарат теории вероятностей, в частности, теорему Бейеса и логику, в которой нет закона исключенного третьего. Всякое по-

нимание есть понимание «через свой фильтр». Философское размышление - это в первую очередь новое прочтение и появление фильтра нового типа. Умение менять свой фильтр, обладать сразу несколькими фильтрами - это свидетельство многомерности философа, его творческих возможностей.

(3) Математика как методология исследований в области истории и теории культуры

Сразу вспоминается теория обратной перспективы, которая, согласно П.А. Флоренскому, лежит в основе создания икон в православной церкви. Проанализировав множество примеров «отклонения иконописного изображения от законов прямой перспективы», примеров «неправильностей и наивностей» в иконе, о. Павел делает вывод, что все они не случайны и происходят отнюдь не от неумения древних мастеров; в них выражены художественные закономерности специфической системы изображения. Особенность иконописи помогает человеку войти в контакт с «горним», вечным - через икону «высвечивается» иной мир. «Обратная перспектива», свойственная изображениям в иконе, позволяет выразить связь земного и вечного, «дольнего» и «горнего», она утверждаетонтологическоеедин-ство бытия и реальности.

При рассмотрении указанного направления гуманитаризации математики уместно привести пример из книги немецкого живописца, графика и математика А. Дюрера «О человеческой пропорции», вышедшей в свет в 1528 году. Систематизируя накопленные к тому времени знания о количественных отношениях форм красивого человеческого тела, он показал, что его красота выражается «золотым сечением». В частности, Дюрер определил, что в этой пропорции рост человека делится линией пояса, а также линией, проведенной через кончики средних пальцев опущенных рук, нижней частью лица - ртом и т.д. П.А. Флоренский в работе «Понятие формы» дает философ-

ское обоснование этому математическому соотношению, повсеместно обнаруживаемому как в природе, так и в человеческой культуре, и признает за ним онтологический статус.

Возьмем еще один «срез» рассматриваемой проблемы. Как известно, наукой о числах в древности называли музыку. Античные мыслители роднили ее с арифметикой, геометрией, астрономией. Именно математика дала ответ на вопрос: «Какие тоны следует положить в основу музыкальной шкалы?» Речь идет конкретно об алгебре иррациональных величин и теории логарифмов. Известно, что около 1700 года немецкий ученый и музыкант А. Веркмейстер предложил логарифмически равномерную шкалу из двенадцати звуков и создал первое фортепьяно с таким строем. С тех пор все композиторы сочиняют музыку по единой системе. Ее возможности неисчерпаемы, а союз математики и музыки преподносит все новые и новые сюрпризы. Например, в последнее время к созданию музыкальных пьес стали привлекаться электронно-вычислительные машины. А.Ф. Лосев в работах по философии музыки, признавая теснейшую связь музыки с числом, числовыми отношениями, математикой в целом и ее отдельными теориями, показал, что музыкальная форма является реализацией диалектического соотношения числа и времени.

(4) Ценностный потенциал математической деятельности

Сама природа математики предоставляет богатые возможности для воспитания у занимающихся ею чувства прекрасного. Гармония, пропорциональность, симметрия, порядок, последовательность, периодичность, а также определенное чередование порядка и беспорядка (как, например, у фрактальных образований) придают математическим объектам эстетическую привлекательность. Более того, стремление соединить «с минимумом слепых формул максимум зрячих мыслей» (Г. Минковский) все-

134 Высшее образование в России • № 7, 2005

гда отличает творчески работающего математика: «чувство того, что гармоничное и простое не может оказаться обманчивым, владеет исследователем и в математических, и в других истинах» (Д. Пойа).

Еще в античности «мир чисел» привлекал пифагорейцев своим многообразием, строгостью, совершенством законов, красотой построения. Числа древними греками мыслились не только абстрактно, но и конкретно («зримо») - в виде рисунка из камешков, разложенных на песке. Числа-камешки раскладывались в виде правильных геометрических фигур, а сами фигуры определенным образом классифицировались. Так появились числа, которые сегодня мы называем фигурными: линейные (простые числа), плоские, телесные, треугольные, квадратные, пятиугольные и другие. В пифагорейском наследии мы находим числа «дружественные» (сумма правильных делителей одного из них равна другому числу, и наоборот; сейчас их в бесконечном мире натуральных чисел обнаружено свыше тысячи пар).

Основные категории, исследуемые П.А. Флоренским, - форма, бесконечность, ритм, антиномичность, пространственность - являются одновременно математическими и эстетическими. Эстетический аспект математических конструкций является определяющим в сближении математики и музыки, математики и поэзии в философско-математических работах А.Ф. Лосева и А. Белого.

Красота в математике - это не какое-то вспомогательное, дополнительное свойство, а одна из ее характерных особенностей. Как всякая подлинная красота, математическое действо обладает магическим обаянием, оно способно создать в нас ощущение прикосновения к тайне, а порой и религиозный восторг. И тех, кто интересуется математикой ради нее самой, приближается к ней с чистой любовью, ради ее собственно красоты, она награждает результатами практической важности.

(5) Роль математики в формировании цельного мировоззрения и построении целостной картины мира

Стоит вспомнить, что многие ученые не были специалистами узкого профиля: П.А. Флоренский - математик, электротехник, специалист по истории искусства, автор трудов по методологии математики, религиозный философ; академик Н.Н. Лузин - создатель дескриптивной теории множеств и одновременно человек с необычайно широким кругом как научных, так и философских и общекультурных интересов. Л. Брауэр, основатель интуиционизма, всерьез увлекался музыкой, литературой, историей культуры. Вспомним немецкого математика Ф. Хаусдорфа, который писал пьесы, шедшие на профессиональной сцене (под псевдонимом Поль Монтре); Н. Винера, автора не только двух автобиографических книг, но и романа «Искуситель»; нашего выдающегося соотечественника, создателя «воображаемой» (не-аристотелевой) логики Н.А. Васильева, который был известным поэтом. Этот список, демонстрирующий важность гуманитарной компоненты в математической деятельности, может быть продолжен.

Следует подчеркнуть, что болезненный для ХХ века разрыв между естественнонаучным знанием и гуманитарной культурой не является абсолютным, так как «культура в целом имеет символическую природу» (Ю.М. Лотман). Математика, понимаемая П.А. Флоренским как символическое описание, может выступить в качестве идеальной универсалии современной культуры (подобно «Дао» в культуре Древнего Китая), наличие которой позволит преодолеть раздробленность знания и обосновать единую картину мира.

В данном контексте хочется обратить внимание на так называемые «всюду разрывные функции», открытые еще в XIX веке К. Вейерштрассом, но отвергнутые математиками того времени по эстетическим

соображениям. После работ Бенуа Мандельброта (т.е. через сто лет) эти «патологически некрасивые» функции оказались великолепным аппаратом для представления новых геометрических фигур - фракталов, которые в настоящее время признаются наиболее подходящими для описания многих объектов (очертаний береговых линий, извилин рек, изломанных поверхностей горных хребтов, раскидистых ветвей деревьев, разветвленных сетей кровеносных сосудов и нейронов и т.д.).

Изложенные факты свидетельствуют о справедливости интуитивных прозрений Н.В. Бугаева, П.А. Флоренского, Н.Н. Лузина, видевших в прерывных функциях основу для построения новой картины действительности и обращавших особое внимание именно на «всюду не дифференцируемые» функции. В настоящее время изучение фракталов меняет привычные представления людей об окружающем мире и

вместе с тем помогает постичь мир в его развитии.

Взаимодействие философии и математики подтверждает мысль, что наука не только и не столько познает мир, сколько расширяет и углубляет незнание его. «Са-кральность» математики Пифагора, «невыразимость» Единого в философии неоплатонизма, «ученое незнание» Н. Кузанско-го, антиномии «чистого» разума И. Канта, исходная мировоззренческая установка П. Флоренского - «в мире есть неведомое», представление Мира как Теста и как Тайны в концепции В. Налимова - яркие свидетельства того, что мыслители, представившие различные варианты философско-математического синтеза в своем творчестве, прокладывали путь к осознанию непостижимого величия мироздания, активно используя на этом пути математические средства.

Подписка - 2005

Подписку на «Вузовские вести» можно оформить в любом отделении связи по каталогу Агентства «Роспечать» «Газеты. Журналы. Российские и зарубежные» до 15 числа подписного месяца:

32276 (для индивидуальных подписчиков),

25776 (для предприятий).

В Агентстве «Книга-сервис»:

45460 (для индивидуальных подписчиков), 10391 (для предприятий).

Какой будет высшая школа в ближайшей и отдаленной перспективе? Этот вопрос сегодня волнует многих. И именно на него будут давать ответы авторы нового альманаха «Высшая школа XXI века».

В тематических выпусках получат освещение проблемы модернизации и качества высшего образования. Подписчиков ждет актуальная информация Министерства образования и науки РФ, профильных Комитетов Государственной Думы и Совета Федерации, рассказы о различных конкурсах и книжных новинках, а также новостях студенческого спорта.

Подписной индекс в «Роспечати» 83201.

В Агентстве «Книга-сервис» - 11778.