Обучение решению олимпиадных задач в педагогическом вузе

ОБУЧЕНИЕ РЕШЕНИЮ ОЛИМПИАДНЫХ ЗАДАЧ В ПЕДАГОГИЧЕСКОМ ВУЗЕ

© Яковлев И.В.*, Качурина Т.В.*

Лесосибирский педагогический институт - филиал Сибирского федерального университета, г. Лесосибирск

В статье авторами описан многолетний опыт работы по организации обучения студентов и школьников решению олимпиадных задач по математике.

Воспитание и обучение одаренной личности в настоящее время становится все более актуальной задачей. Потребности школы в квалифицированных кадрах, способных удовлетворить запросы современной школы в этом плане неуклонно растут.

Приобщение студентов к олимпиадному движению способствует решению двух задач. Во-первых, развивает творческое мышление будущего учителя. Кроме того, если учитель решил обучать школьников решению олимпиадных нестандартных задач, повышать свой уровень, ему необходимо умение решать эти самые задачи, находить множество различных способов их решения.

В последние годы большое распространение, как одна из форм активизации научного творчества студентов, получили очные и заочные студенческие олимпиады по математике. Предлагаемые на таких олимпиадах задачи носят нестандартный характер и требуют от студента не только прочных знаний по программе, но и, как правило, изобретательного, творческого подхода. Они иллюстрируют в упрощенной форме ту или иную глубокую математическую идею.

Задача вуза, как известно, состоит, не только в том, чтобы передать студенту определенную сумму знаний, но и в том, чтобы научить его творчески мыслить, подготовить к жизни и профессиональной деятельности в будущем. Практика показывает, что научить студентов творческому характеру мышления с помощью традиционных форм учебного процесса не всегда представляется возможным. Необходимым условием формирования такого мышления является непосредственное участие студентов в различных формах исследовательской деятельности, в том числе и в олимпиадах различного уровня.

В Лесосибирском педагогическом институте - филиале Сибирского федерального университета для подготовки студентов - участников олимпиад - проводится факультатив «Решение олимпиадных задач по математике».

* Старший преподаватель кафедры Высшей математики и информатики.

* Учитель математики высшей категории МОУ СОШ № 5 г. Лесосибирска.

На занятиях студенты решают задачи по различным разделам школьной и высшей математики: комбинаторика, инварианты и полуинварианты, графы, задачи на делимость, логические задачи, принцип Дирихле, геометрические задачи, последовательности, неопределенные уравнения, задачи на построение, графики функций, индукция, задачи с параметрами и др.

В школе учащиеся обучаются решению олимпиадных задач на занятиях элективного курса.

По разделу «Теория чисел» можно предложить следующие задачи.

Задача 1. Докажите, что есть бесконечно много натуральных чисел, не являющихся суммой трех квадратов.

Решение: Слово «бесконечно много» в теории чисел имеет свой особый смысл. Обычно за ним кроется какой-то класс сравнимости по модулю, т.е. множество чисел, дающих один и тот же остаток от деления на данное число. Докажем, что в данной задаче подойдет модуль 8. Какие же остатки по модулю 8 могут давать квадраты? Значение квадрата по модулю 8 однозначно определяется значением самого числа по модулю 8. А всевозможных значений по модулю 8 - конечное число (8 штук), поэтому их можно все перебрать.

Мы получим, что квадраты по модулю 8 дают только остатки 0, 1 и 4 (обычная ситуации - очень многие точные степени по очень многим модулям дают не все возможные остатки). Теперь найдем всевозможные остатки сумм трех квадратов: 0 + 0 + 0 = 0, 1 + 1 + 1 = 3, 4 + 4 + 4 = 4, 0 + 0 + 1 = 1, 0 + 1 + 1 = 2, 0 + 0 + 4 = 4, 0 + 4 + 4 = 0, 1 + 1 + 4 = 6, 1 + 4 + 4 = 1, 0 + 1 + 4 = 5 (все равенства - по модулю 8). Есть 0, 1, 2, 3, 4, 5 и 6... а остатка 7 нет. Значит, все бесконечное множество чисел вида 8k+7 непредставимо в виде суммы трех квадратов, ч.т.д.

Так полученный результат показывает неразрешимость неопределенного уравнения: х2 + y2 + z2 = 8t - 1, так как правая часть сравнима с -1 или 7 по модулю 8.

Задача 2. Докажите, что степень двойки не может оканчиваться четырьмя одинаковыми цифрами.

Решение: Отсеем постепенно возможные варианты цифр. Ясно, что степень двойки четная, и поэтому должна оканчиваться на четную цифру, а также не делится на 10 и поэтому не оканчивается на 0. Степень двойки делится на 4, поэтому рассмотрим числа из двух последних цифр. 22 и 66 на 4 не делятся, поэтому остаются цифры 4 и 8. Проверим делимость на 8 (нужно число из трех последних цифр) и на 16 (здесь нужны 4 последние цифры). 444 на 8 не делится, а 8888 делится на 8, но не на 16, поэтому отметаются и эти два случая, ч.т.д.

Задача 3. Вася написал на доске пример на умножение, а Петя заменил в нем цифры буквами (стандартно: разные цифры - разными буквами, одинаковые цифры - одинаковыми). Получилось ab  cd = eeff. Докажите, что один из них ошибся.

Решение: eeff делится на 11 (используем признак или замечаем, что в частном будет еОДТогда, т.к. 11 простое, то на 11 делится ab или cd. Но они, согласно признаку, не могут делится на 11 - противоречие, ч.т.д.

Задача 4. Найдите все натуральные числа, которые увеличиваются в 9 раз, если между цифрой десятков и цифрой единиц вставить 0.

Решение: Представим такое число в виде 10-a + b (b - цифра единиц, а а может состоять из нескольких и даже многих цифр). Если перед b вставить 0, то получится 100-a + b. По условию тогда 100-a + b = 9-(10-a + b) = = 90-a + 9-b. Отсюда 10-a = 8-b, т.е. 5-a = 4-b. 4 и 5 взаимно просты, поэтому 5 | b. Если b = 0, то a = О - и число 0 не натуральное, а если b = 5, то a = 4, и искомое число 45.

Задача 5. В файле хранятся 2003 единицы и 232 нуля. Программа читает из файла два произвольных числа, стирает, и записывает на их место

0, если они были равны, и 1, если нет. Программа запускается многократно. В конце в файле остается только одно число. Чему оно равно, 0 или 1?

Решение: Несмотря на то, что вариантов действия программы очень много, мы можем установить ответ однозначно. Что может прочитать программа за каждый отдельный запуск? Либо 0 и 0 (и записать 0), либо 0 и 1 (и записать 1), либо 1 и 1 (и записать 0). В первых двух случаях сумма всех чисел в файле не меняется, в последнем - уменьшается на 2. В любом случае, четность этой суммы остается прежней. Исходно сумма была 2003-1 + 232-0 = 2003 -нечетная, значит, и в конце будет нечетная. Но в конце остается только одно число - оно и равно сумме всех - поэтому оно нечетное. А так как в файле бывают только нули и единицы, то это 1.

Задача 6. В стране серобуромалинии 27 серых, 32 бурых и 45 малиновых хамелеонов. Когда встречаются два хамелеона разных цветов, они оба перекрашиваются в третий цвет. Могут ли когда-нибудь все хамелеоны стать одного и того же цвета?

Решение: Ну где же тут у нас числа? Наверное, количества хамелеонов серого, бурого и малинового цвета. Как же они изменяются? Либо (A, B, C) переходит в (A - 1, B - 1, C + 2) - встречаются серый и бурый хамелеоны и перекрашиваются в малиновый цвет, либо в (A - 1, B + 2, C - 1) - серый и малиновый в бурый, либо, наконец, в (A + 2, B - 1, C - 1) - бурый и малиновый в серый. Сумма всех трех, конечно, сохраняется, но это нам не поможет. А что поможет установить, могут ли два количества из трех стать нулями? Скорее, разности - кстати, еще один из базовых видов инвариантов. Между теми двумя числами, которые уменьшились на 1, разность не поменяется, зато разность между ними и третьим изменится ровно на 3. То есть по модулю 3, все попарные разности неизменны. Значит, инвариант - значения попарных разностей по mod 3. Если какая-то разность в конце стала нулем (а так будет, если два количества станут нулями), то исходно она делилась на 3. Но разности между исходными количествами на 3 не делится. Значит, не могут все хамелеоны стать одного и того же цвета.

Задача 7. Есть три программы. Одна по файлу с числами X и У создает файл с числами X + 1 и У + 1, вторая по файлу с четными числами X и У создает файл с числами X / 2 и У / 2, третья по двум файлам с числами X, У и У, 2 создает файл с числами X, 2. Все старые файлы сохраняются. Исходно есть 1 файл с числами (5, 19). Можно ли с помощью этих программ получить файл с числами (1, 2004)?

Решение: Где жг искать инвариант? С суммой чисел в файле как-то сложно, потому что третья программа изменяет ее непонятно как. В том смысле, что зная суммы чисел в двух входных файлах, мы не можем определить сумму чисел в выходном файле. С разностью чисел в файле все лучше: первая программа не меняет разность ((X + 1) - (У + 1) = X - У), вторая - делит ее на 2 (X / 2 - У / 2 = (X - У) / 2), а третья - складывает разности (X -2 = (X - У) + (У - 2)). Исходный файл (5, 19) можно пропустить только через первую программу и получить файл (6, 20). Из него можно дальше делать последовательность (7, 21), (8, 22) и т.д., а можно запустить вторую программу и получить файл (3, 10). Из него можно сделать последовательность (4, 11), (5, 12) ... (19, 26). Потом можно запустить третью программу на (5, 19) и (19, 26) и получить файл (5, 26). Посчитаем разности: 5 - 19 = -14 = 6 - 20 = 7 - 21 = 8 - 22 = 3 - 10 = -7 = 4 - 11 = 5 - 12 = ...

= 19 - 26; 5 - 26 = -21. Что же общего у чисел -14, -7, -21? Конечно, они все на 7 делятся. Вот пусть эта делимость и будет инвариантом. Действительно, когда разность не меняется, то и делимость сохранится; когда разность делится на 2, то делимость на 7 не исчезнет (2 и 7 взаимно просты); а когда разности, делящиеся на 7, складываются, то сумма тоже делится на 7. Понятно, что, имея вначале файл с разность чисел, делящейся на 7, мы только такие разности и будем получать. Но разность 1 - 2004 = -2003 на 7 не делится, и такой файл мы получить не сможем.

Задача 8. Фигура «крокодил» ходит по клетчатой доске на 3 клетки в одном направлении и одну в перпендикулярном (почти как шахматный конь, только конь ходит не на 3, а на 2 клетки). Докажите, что нельзя пройти крокодилом с какого-то поля на соседнее (по стороне) с данным.

Решение: Раскрасим доску в шахматном порядке. Тогда (нетрудно убедиться) крокодил при своем ходе не меняет цвет клетки, на которой стоит. А соседняя клетка, увы, другого цвета, ч.т.д.

Задача 9. Докажите, что шахматную доску нельзя замостить 15-ю

прямоугольниками 1 х 4 и одной фигурой вида | | .

Решение: Шахматная раскраска тут не поможет. Она не отличает особую фигуру от прямоугольника: и в ней и в них ровно 2 белых и 2 черных клетки. И ничто не противоречит тому, что доску можно замостить 16-ю фигурами с таким свойством. Попробуем другую раскраску, скажем, «матрас». Тогда в прямоугольнике 1 х 4 то ли 0, то ли 2, то ли 4 черные клетки

(смотря как он лежит). А в особой фигуре - то ли 1, то ли 3. Короче, там -четное, здесь - нечетное. А сумма 15 четных чисел и одного нечетного нечетна и не может поэтому быть равна 32 (числу черных клеток на шахматной доске), ч.т.д.

Одна из задач данного факультатива - подготовить выпускников физи-ко -математического факультета ЛПИ - филиала СФУ к проведению элективных курсов по решению олимпиадных задач. Они должны не только уметь разработать программу такого курса, но и оказать методическую помощь учащимся при подготовке к олимпиадам различного уровня.

На факультете, кроме того, проводятся олимпиады по математике в очной и заочной форме. Заочный тур, как правило, включает в себя решение задач по разделам: элементарная математика, алгебра, геометрия, математический анализ. Очная олимпиада проводится в индивидуальной и групповой форме. Командное соревнование носит название «Мозговой штурм». Здесь каждая академическая группа готовит свою задачу для соперников, предоставляя свое решение задачи. Побеждает команда решившая большее число задач соперников. Победители индивидуального зачета входят в состав команды, представляющей вуз на межвузовских олимпиадах по математике и методике обучения математике.

Слова математика Дж. Пойа «Решение задач - практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепьяно; научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь» в полной мере можно отнести к обучению решению олимпиадных задач.

Решение олимпиадных задач развивает творческое и вариативное мышление и тем самым способствует развитию интеллекта и повышению уровня фундаментальности знаний.

Список литературы:

1. Пойа Д. Математическое открытие. - М.: Наука, 1976. - 235 с.

2. Пойа Д., Килпатрик Д. Сборник задач по математике Стэнфордского университета. - М.: НО Научный фонд «Первая исследовательская лаборатория им. Академика В.А. Мельникова», 2002. - 97 с.