Численное решение обратной задачи неизотермической фильтрации в нефтяном пласте

УДК 517.958:532

В. Р. Гадильшина, И. Т. Салимьянов

ЧИСЛЕННОЕ РЕШЕНИЕ ОБРАТНОЙ ЗАДАЧИ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ ФИЛЬТРАЦИИ

В НЕФТЯНОМ ПЛАСТЕ

Ключевые слова: обратная задача, неизотермическая фильтрация, вертикальная скважина, фильтрационные и

теплофизические параметры.

Предложен численный алгоритм для оценки фильтрационных и теплофизических параметров пласта по кривым изменения температуры и давления на забое скважины после ее пуска.

Key words: inverse problem, nonisometric filtration, vertical well, filtration and thermophysicalparameters.

A numerical algorithm to estimate the filtration and thermophysical parameters of the reservoir with the respect to temperature and pressure curves down the hole after its start is proposed.

Введение

Задачи определения фильтрационных и теплофизических параметров нефтяных пластов по результатам измерений давления и температуры в скважине принадлежат к классу обратных задач подземной гидродинамики. Отличительной чертой этих задач, связанных с исследованием математических моделей нефтяных пластов, является то, что характер дополнительной информации определяется возможностями промыслового эксперимента. Другим фактором, который необходимо учитывать при решении обратных задач, является наличие погрешностей в экспериментальных данных. Термодинамические исследования скважин и пластов позволяет определить ряд теплофизических параметров пласта и насыщающих его жидкостей [1,2]. Гидродинамические методы исследования скважин позволяют оценивать фильтрационно-емкостные свойства пластов [3,4,5].

В данной работе решается задача определения теплофизических и фильтрационных параметров пласта, а также пластовой температуры и давления на основе методов регуляризации. В качестве исходной информации используются кривые изменения температуры и давления, замеренные на забое скважины после ее пуска.

Постановка задачи

Рассматривается обратная задача определения коэффициента проводимости к//, коэффициента Джоуля-Томсона е, пластового давления рк и пластовой температуры Тк в случае,

когда процесс неизотермической фильтрации жидкости к вертикальной скважине в круговом пласте описывается системой уравнений:

Р

dp 1 d ( k dp r dr \и dr

8

dt

r e (rc, Rk ), t > 0,

dT 1 d ( . dT Л k dp (dT dp

l-=--1 Xr-1 + pcf--— I-+ e —

dt r dr ^ dr J / dr \dr dr

dp

+ Pmcs^ltt ' r e (rc ' Rk ^ t >

p(r,0) = pt, T (r,0) = T, r e [r, Rt ], и граничными условиями

2жИк ( dp

U \ dr

Q + C 8p , ( Xr

dt I dr

p (Rk, t) = pk, T (Rk, t) = Tk

с начальными

Дополнительно известны изменения температуры и давления на забое скважины р(г) и д(г) с некоторыми погрешностями ^ и £2. Уравнение (1) описывает фильтрацию слабосжимаемой жидкости

в круговом пласте, уравнение (2) - изменение температуры в пласте с учетом кондуктивного и конвективного переносов тепла, дроссельного эффекта и адиабатического расширения жидкости. Здесь р = р(г, г),, Т = Т (г, г) - распределение давления и температуры в пласте, г - радиус скважины, Як - радиус контура питания, Н -толщина пласта, С - коэффициент влияния объема ствола скважины, Q - дебит скважины, т -пористость пласта, с, = трег +(1 - т)с8р8 -объемная теплоемкость пласта, с/ - удельная теплоемкость жидкости, сх - удельная теплоемкость среды, р - плотность жидкости, - плотность среды, Л - теплопроводность пласта, Т] -коэффициент адиабатического расширения жидкости. Коэффициент влияния объема ствола скважины характеризует изменение объема жидкости в затрубном пространстве при пуске или остановке скважины. Данный коэффициент связывает скорость притока жидкости из пласта со скоростью изменения давления в стволе скважины.

Численное решение

Краевая задача (1)-(5) решается численно на основе метода конечных разностей на сгущающейся к скважине логарифмической сетке. Построение такой сетки осуществляется с пом(2о)щью преобразования координат и = 1п г .

В области ^ = {Ъгс = ис < и < ик = ЬКк, 0 < 1 < г}

0

+

вводятся сетки узлов

Qh = { ui = и0 + ih, h = (uN - u0)/N},

aT=\tj , 0 = t0 < tl < ... < tM = t eXp , tj - j =Tj },

и полагаются

Pi = p{u,, tj /, Т/ = T (u, tj).

Разностная схема, аппроксимирующая задачу (1)-(5), строится на основе интегро-интерполяционного метода[]:

\

(pj - Pij -1 ) 1Г

г1 h

Т/ - Tj- А

tj h2

Pj+1 - Pj

'PCfai+1)2 h

Pi+1 - PJi - Pi - Pi-1

ai+У2 , ai-V2 ,

т+1 - pj+1 - Pj ^

- + s-

h h

\ /

+ e2u-mpcfvPl' - Pi , i = 1, N -1, j = 1M, г

n

p o = Pk, t 0 = тк, i=g:N ,

2яИа,

Pi - P0 12 h

= ^

А(Тj - Tj) = o, j = 1,M pN = Pk, Tnj = тк, j = 1M.

Разрыв функции k(r) находится в узле r = ri, в силу этого коэффициенты схемы вычисляются по формуле ai±1/2 = ((±1 + kt )/2^. Системы алгебраических уравнений (6)-(10) решаются последовательно с использованием метода прогонки.

Один из основных подходов к решению обратной задачи основан на сведении ее к следующей задаче: минимизировать функционал

J (у) = j Ы() - Т (, t /)2 + s2 (g(t) - p(rc , t /)2 }й,

0

где у = (у',у2,у3,у4), mt <у' <Mt, mt,Mt - const, у1 = s, у2 = k/у3 = Tk, у4 = pk, когда процесс

тепломассопереноса в пористой среде описывается системой (1)-(5).

Итерационная последовательность для минимизации функционала (6) строится на основе метода Левенберга-Марквардта. Новые значения переменных минимизации на k-й итерации вычисляются по следующей формуле: ук+1 =ук -(H + ahE)-1 VJ,

где H = ATA - приближенная матрица Гессе,

A = {dJi / ду1} - матрица чувствительности, ak -параметр Марквардта, VJ - градиент функционала. Ji = (¿(t) - Т (rc, ti ))2 + s2 (^ (t) - p(rc, ti))2,

Критерием остановки служит выполнение хотя бы одного из условий:

J (Уk+1) - J (у t )| < а,, || VJ (Уk )|| < а2, где а 2 -заданные числа.

Т = 300 К,

k

Результаты расчетов

Естественное температурное поле вокруг действующей скважины, как правило, бывает нарушено за счет теплообмена движущегося потока флюида с окружающей средой. В работе [3] предлагается графоаналитический метод определения пластовой температуры по данным изменения температуры на забое скважины. При использовании кривой восстановления температуры требуется знание распределения температуры в пласте в момент остановки скважины. Эта информация не может быть получена экспериментально, а также не может быть достаточно точно вычислена (обратная ретроспективная задача). Поэтому данной работе рассматривается задача интерпретации результатов термогидродинамических исследований после ввода скважины в эксплуатацию.

Анализ численного решения обраГЗой задачи проводится на модельном примере. Рассматривается пуск вертикальной скважины, эксплуатирующей круговой нефтяной пласт,8) с параметрами:

с, = 1800 Дж/кг-К, с = 800 Дж/кг-К,

1 !

р{ = 800 кг/м3, рх = 2700 кг/м3, т = I

] = 0.014 К/МПа, е = 0.4 К/МПа, рк =10 МПа, гс = 0.1 м, Як =100 м, Н =Ц0)м, С = 0.7 м3/МПа, к = 0.05 мкм2, ^ = 25 мПа-с, / = 10"41/МПа, б = 10 м3/сут, г' = 100 сут.

Численное решение задачи (1)-(5) проводится на пространственно-временной сетке 100 х 100 узлов. Из решения прямой задачи находятся модельные кривые изменения давления и температуры, которые используются в качестве исходной информации для решения обратной задачи. Далее анализируется решение обратной задачи с использованием кривых изменения давления и температуры, заданных с погрешност(1ям1)и

^(0 = ?(0 + а, С*г(*) = С(*) + а, где

= 0.01К, 32 = 0.01 МПа,  - случайная величина, распределенная по равномерному закону на отрезке [-1,1]. Результаты численных экспериментов показали (рис. 1,2), что предложенный метод сходится и устойчив относительно погрешностей исходных данных.

2,0

1,6

1,2

0,8

0,4

0,0

0 1 2 3 4 5 6 7 Рис. 1 - Сходимость итерационного процесса

c,e

Таблица 1 - Результаты расчетов для скв. № 2030

Рис. 2 - Кривые изменения температуры:  - с возмущениями, — - вычисленная

Далее рассматривается интерпретация результатов термогидродинамических

исследований, проведенных в вертикальной скважине № 2030 месторождения РТ. Измерения проводились с помощью глубинного прибора, где регистрировались изменения давления и температуры после пуска скважины.

Данные о пласте: Як =100 м, Н = 3.6м, д = 9.21 м3/сут, р = 1.15 • 10"41/МПа, С = 0.3 м3/МПа, г = 0.06 м, т = 0.2, с1 = 1.5 • 106 Дж/ м3К.

Результаты расчетов приводятся на рис. 3,4 и в таблице. На графиках представлены наблюдаемые и вычисленные кривые изменения давления и температуры, которые были получены из минимизации функционала-невязки (11).

7 -6 : 5 : 4 : 3 ^ 2 : 1

р, МПа

О

0,01

0.1

1

10

1сут

Рис. 3 - Скважина №2030. Кривые изменения давления: I - наблюдаемая, II - вычисленная

Параметр Значение

s, К/МПа 0.32

k / 103, мкм2/мПа-с 6.35

Tk ,°C 24

pk, МПа 7.32

Данные результаты согласуются с результатами, полученными при интерпретации кривой изменения давления [5] и кривой изменения температуры [6].

Заключение

Предложен численный метод, позволяющий определять фильтрационные и теплофизические параметры пласта, используя одновременно данные изменения давления и температуры на забое вертикальной скважины.

Литература

1. Чекалюк, Э.Б. Термодинамика нефтяного пласта. - М.: Недра, 1965. - 238 с.

2. I. M. Kutasov, L. V. Eppelbaum. Determination of formation temperature from bottom-hole temperature logs-a generalized Horner method// J. Geophys. Eng, 2, p. 90-96.

3. Бадертдинва Е.Р. Оценивание коллекторских свойств слоистых систем при нестационарной фильтрации// Вестник Казан. технол. ун-та.. - 2006. - №4. - С.236-242.

4. Бадертдинова Е.Р., Харлампиди Х.Э., Салимьянов И.Т. Определение фильтрационно-емкостных параметров пласта и трещины гидравлического разрыва, полученной на основе технологии с использованием проппанта с полимерным покрытием // Вестник Казан. технол. ун-та. - 2011. - №2. - С.91-97.

5. Хайруллин М.Х., Хисамов Р.С., Шамсие

в М.Н., Фархуллин Р.Г. Интерпретация результатов гидродинамических исследований скважин методами регуляризации. - М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2006. - 172 с.

6. Бадертдинова Е. Р., Хайруллин М. Х., Шамсиев М. Н. Термогидродинамические исследования вертикальных нефтяных скважин // Теплофизика высоких температур. - 2011. - Т. 49. - №5. - С.795-798.

Рис. 4 - Скважина №2030. Кривые изменения температуры: I - наблюдаемая, II - вычисленная

© В. Р. Гадильшина - н.с. ИММ КазНЦ РАН, venera_gadilshina@mail.ru; И. Т. Салимьянов - к.т.н., доцент каф. ИПМ КНИТУ, inisal@yandex.ru.

© V. R. Gadilshina, research associate IME KazSC RAS, venera_gadilshina@mail.ru, I. T. Salimyanov, Candidate of Engineering Sciences., Associate Professor of chair. IAM KNRTU, inisal@yandex.ru.