"Введение в модулярные формы и функции: теория и приложения"

С. Ягунов, "Введение в модулярные формы и функции: теория и приложения"

"Введение в модулярные формы и функции: теория и приложения"

Анонс.

Изучая алгебраическую геометрию или комплексный анализ, мы довольно быстро понимаем фундаментальное значение, которое для всей области в целом играет пучок дробно-рациональных/мероморфных функций на пополненной комплексной плоскости/проективной комплексной прямой. Помимо своего фундаментального значения, этот объект обладает также достаточно простым устройством --- большинство вопросов сводятся к изучению кольца однородных комплексных многочленов, градуированного степенями.

Модулярные функции --- суть те же мероморфные функции, но на комплексных кривых специального вида, а модулярные формы (различных весов) на этих кривых аналогичны однородным многочленам на комплексной проективной прямой. Оказывается, что пространства модулярных форм каждого веса конечномеры и существуют алгоритмы для вычисления из базисов. Такое "хорошее поведение" модулярных форм делает их теорию, располагающуюся на границе математического анализа и алгебры, чрезвычайно элегантной.

Помимо своей внутренней красоты, модулярные формы/функции обладают многочисленными приложениями в самых различных областях математики. Уже давно известна их польза для нахождения сумм делителей, вычисления количества представлений чисел в виде сумм квадратов, нахождения числа классов квадратичных форм. В прошлом веке выяснилось и ключевое значение модулярных форм при исследовании функции Рамануджана (задающей число разбиений числа в сумму слагаемых), в доказательствах иррациональности значения дзета функции Римана от 3 и Большой Теоремы Ферма.

Коэффициенты разложений Фурье модулярных форм дают нам много новых целочисленных констант (например, 1728, 196884 и т.д.), иногда появляющихся в самых неожиданных местах. Например, в связи с размерностями представлений самой большой спорадической простой группы. Эта область известна как Monstrous moonshine.

Уже в этом веке возникли многочисленные связи с дифференциальными уравнениями и математической физикой, теорией струн.

Конечно, невозможно рассказать обо всем этом в нашем кратком курсе. Однако, мы попробуем разобраться с основными определениями и классическими результатами в теории модулярных функций/форм, что послужит для заинтересованных слушателей основой для дальнейшего изучения предмета.

Уровень сложности.

Курс рассчитан на широкий круг слушателей, обладающих знаниями в объеме обязательных матмеховских курсов алгебры и анализа (ТФКП).

Организация.

Курс будет проводиться в смешанном формате. Часть лекций будет прочитана в zoom, часть --- очно. Несмотря на это, мы будем рады видеть также "удаленных" слушателей. Мы будем стараться, по возможности, предоставить удаленный доступ ко всем лекциям. Расписание курса будет установлено в зависимости от возможностей участников. На странице

регистрации

отметьте, пожалуйста, какие варианты вам наиболее удобны. Предполагается начать на неделе 13-18 марта. Ссылка на zoom сессию будет отправлена на ваш email адрес.

Регистрация.

Для получения информации о месте и времени проведения занятий, пожалуйста, зарегистрируйтесь

здесь.