Исследование зависимости коэффициента трения в системе «Рельс-колесо» как функции параметров материала и нагружения

Исследование зависимости коэффициента трения в системе

«рельс - колесо» как функции параметров материала и нагружения

В.Л. Попов1’ 2, С.Г. Псахье2, Е.В. Шилько2, А.И. Дмитриев2, К. Кноте3, Ф. Бухер3, М. Эртц3

1 Падерборнский университет, Падерборн, D-33095, Германия 2 Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634021, Россия 3 Берлинский технический университет, Берлин, D-10623, Германия

Методом подвижных клеточных автоматов исследованы процессы, протекающие в поверхностном слое твердых тел при трении. Рассмотренная модель учитывает процессы упругой и пластической деформации контактирующих тел, а также процессы многократного выкрашивания и последующего «приваривания» частиц износа. Показано, что относительное движение твердых тел приводит к формированию локализованной вблизи поверхности трения турбулентной граничной зоны, в которой протекают интенсивные процессы механического перемешивания. Исследована зависимость коэффициента трения, возникающего в результате неупругих процессов в граничной зоне, от параметров материала (предел упругости, предел прочности, упругие модули, плотность, вязкость) и нагружения (скорость скольжения, нормальное давление). Численное моделирование показывает, что коэффициент трения зависит только от двух безразмерных комбинаций названных параметров. Проанализированы условия нагружения в реальных железнодорожных контактах и вычислен коэффициент трения в контакте «рельс - колесо» как функция температуры.

1. Введение

Целью настоящей работы является исследование зависимости коэффициента трения скольжения в паре «железнодорожное колесо - рельс» от параметров материала и нагружения. Известно, что в движущемся контакте тела, катящегося по плоской поверхности, всегда имеются области, в которых относительное движение тел отсутствует (области схватывания), и области, в которых происходит относительное скольжение [1]. Закон трения скольжения определяет существенным образом максимальный момент силы, который может передаваться через железнодорожное колесо [2, 3]. Он определяет также условия возникновения неустойчивостей стационарного качения. Последние ведут, с одной стороны, к усилению акустического излучения и уровня шума, а с другой стороны, могут приводить к макроскопической деформации рельса и колеса (так называемой полиго-низации колес) [2-4]. Исследование силы трения скольжения как функции параметров нагружения и материала имеет, таким образом, фундаментальное значение для решения ряда актуальных инженерных проблем железнодорожной техники.

Трение является процессом, вообще говоря, включающим упругие взаимодействия, пластическую дефор-

мацию и процессы разрушения на многих масштабных уровнях. В настоящей работе мы ограничимся рассмотрением таких трибологических систем1, в которых чисто упругие взаимодействия между микронеоднородностями поверхности не дают существенного вклада в силу трения. Как показано в [5], для этого необходимо, чтобы так называемая упругая корреляционная длина системы была намного больше размера тела. Это условие практически всегда выполнено для «жестких» тел (например изготовленных из материалов с модулями упругости, типичными для металлов) с размерами трибологического контакта порядка нескольких сантиметров. Отсутствие упругого вклада в силу трения означает, что будь тела абсолютно упругими и абсолютно гладкими (в смысле отсутствия трения на микроуровне), макроскопическая сила трения была бы равна нулю. Это свойство обусловлено тем, что упругие силы, действующие со стороны микронеоднородностей одного тела на микронеоднородности другого тела, направлены случайным образом; в случае абсолютно жесткого тела (каковым можно считать любое тело с размерами меньше

1 Систем, в которых происходит относительное движение твердых

тел, сопровождаемое процессами трения и износа.

© Попов В.Л., Псахье С.Г., Шилько Е.В., Дмитриев А.И., Кноте К., Бухер Ф., Эртц М., 2002

упругой корреляционной длины) происходит их усреднение и макроскопическая сила трения равна нулю. Оценки показывают, что в случае системы «железнодорожное колесо - рельс» упругая корреляционная длина намного превышает размеры области контакта (порядка 1 см). Физическая природа сил трения для названных контактов поэтому находится на более низком масштабном уровне и, по-видимому, связана с процессами неупругого деформирования поверхностных объемов.

Для формулировки адекватной модели процессов трения в контакте «рельс - колесо» необходимо определить характерный масштабный уровень, на котором протекают процессы, ответственные за формирование силы трения. Как и многие другие технические поверхности, поверхности железнодорожных рельсов и колес имеют микронеоднородности на многих масштабных уровнях. Экспериментальные исследования показывают, что это самоподобные в широком интервале масштабов поверхности, которые могут быть отнесены к классу фрактальных1 [6, 7]. Это означает, что как размер области контакта, так и распределение давления в контакте зависят от точности, с которой определяется микрорельеф поверхности. Так, если мы будем исходить из модели абсолютно гладких и упругих колеса и рельса, то придем к решению, впервые полученному Герцем [1]. С учетом фрактальной структуры поверхностей реальный контакт происходит в существенно меньших областях микрометровых размеров2 [6, 7]. Переход на еще более низкий (нанометровый) масштабный уровень привел бы к дальнейшему уменьшению «реальной площади контакта» и росту «реального давления» в наноконтактах. На этом уровне протекают интенсивные процессы пластической деформации материала. Поскольку чисто упругие взаимодействия на более высоких масштабных уровнях, как было пояснено выше, приводят к исчезающе малому коэффициенту трения, мы можем заключить, что именно масштабный уровень, на котором мы покидаем область применимости теории упругости и переходим в область интенсивной пластической деформации поверхностных объемов материала определяет силу трения в рассматриваемых системах.

Исходя из вышесказанного, мы ограничиваем наш анализ моделированием процессов, происходящих на субмикронном уровне. Мы рассматриваем единичный

1 Так, поверхности железнодорожных колес и рельсов обнаруживают фрактальную структуру в интервале длин волн от 0.3 мм до 1 см [7].

2 В чисто упругой задаче о контакте фрактальных поверхностей реальная площадь контакта оказывается равной нулю, а давление в реальных областях контакта — бесконечно большим [8]. Реальные тела, однако, не являются идеально упругими и в них область реального контакта и максимальное давление в микроконтактах определяется твердостью: давление в микроконтактах не может существенно превышать твердость материала. Это ограничение приводит к контактам с размерами, лежащими в микрометровом диапазоне.

микроконтакт с типичными размерами порядка нескольких микрометров [6]. Из этой микроскопической области мы выделяем столь малый участок (с линейными размерами порядка ста нанометров), что давление на нем может рассматриваться как постоянное. Задача данной работы состоит в изучении неупругих процессов (пластической деформации и разрушения) в этих суб-микрометровых областях и определении сил трения, возникающих в результате названных неупругих процессов.

2. Численная модель

Для моделирования процессов в поверхностных слоях мы используем метод подвижных клеточных автоматов [9, 10]. В этом методе среда представляется в виде ансамбля дискретных элементов — подвижных клеточных автоматов, которые характеризуются непрерывными переменными, положением центра масс, величиной пластической деформации и псевдовектором поворота, а также дискретными переменными, характеризующими связность соседних автоматов. Принципы записи уравнений движения для системы клеточных автоматов и задания взаимодействий между ними описаны в [9].

В рассматриваемом случае моделируемый объект состоял из четырех частей (рис. 1):

- верхний слой автоматов представлял абсолютно твердое, недеформируемое тело, которое в различных численных экспериментах двигалось в горизонтальном направлении со скоростями V от 1 до 10 м/с;

- два промежуточных слоя с изначальной шероховатостью, лежавшей в нанометровом диапазоне представляли поверхностные области контактирующих тел;

- нижний слой представлял собой неподвижную опору.

V = const

Р = const

!!!!!!!!!!!!!

112.5 нм

О X

Рис. 1. Исходная структура, размеры и условия нагружения моделируемого фрагмента

Таблица 1

Параметры модельного материала

Модуль Юнга Е = 206 ГПа

Коэффициент Пуассона со 0. = >

Плотность р = 7 800 кг/м3

Предел упругости а у1 = 51-306 МПа

Предел текучести а у2 = 80-480 МПа

Деформация на пределе текучести в у2 = 0.015

Предел прочности (на растяжение) а0 = 92-552 МПа

Деформация разрушения (при растяжении) в с = 0.04

Вязкость П = 0.41 Па-с

На все элементы верхнего слоя действовала постоянная нормальная сила, отвечающая давлениям Р от 0.5 до 26 МПа. Диаметр автоматов составлял в различных численных экспериментах 2.5-10 нм. Их упругие свойства отвечали стали с модулем Юнга Е = 206 ГПа и коэффициентом Пуассона V = 0.3. Предел текучести а у1 и предел прочности по отношению к растяжению а0 варьировались соответственно в пределах 80-480 и 92-552 МПа. Важным параметром, определяющим стабильность процессов пластической деформации и существенно влияющим на характерные размеры поверхностной области интенсивной пластической деформации, является вязкость. Введение вязкости необходимо уже из формальных соображений обеспечения стабильности численной процедуры. Феноменологическая вязкость отражает процессы диссипации при деформации, протекающие благодаря электронным и фононным возбуждениям в твердом теле. В численной модели предполагалось, что между несвязанными, но находящимися в контакте автоматами действуют «вязкие» силы, пропорциональные относительной скорости движения. На левой и правой границах фрагмента использовались периодические граничные условия. Начальная шероховатость задавалась в явном виде. Она, однако, не сказывалась на результатах моделирования. Использованные параметры материала приведены в таблице 1 (определение прочностных параметров см. рис. 2).

3. Возникновение граничного «квазижидкого» слоя

Численные эксперименты показывают, что уже в течение первых наносекунд после начала относительного тангенциального движения тел шероховатости обеих поверхностей интенсивно деформируются и разрушаются, а на временной шкале порядка 100 нс устанавливается динамическое равновесие в системе. Возникает выраженный граничный слой, в котором происходят

8у2 £с £

Рис. 2. Определение характеристических параметров материала

процессы деформации, разрушения и повторного восстановления связности элементов, а также интенсивное перемешивание. Движение в слое напоминает турбулентное движение жидкости (рис. 3). По этой причине мы называем его «квазижидким» слоем. Подчеркнем, что названный слой не является жидким в термодинамическом смысле. Квазижидкий слой остается локализованным вблизи изначальной поверхности трения и не распространяется в более глубокие области контактирующих тел.

Характерная толщина слоя зависит от параметров системы, прежде всего от эффективной вязкости системы автоматов. В наших расчетах вязкость использовалась как подгоночный параметр и выбиралась таким образом, чтобы толщина слоя соответствовала экспериментально наблюдаемым значениям [10]. Конкретный вид начальной шероховатости не сказывается на результатах моделирования.

4. Зависимость коэффициента трения от параметров нагружения и материала

4.1. Зависимость от нормального давления

На рис. 4 представлена типичная зависимость средней тангенциальной силы (силы трения) от приложенного нормального давления. В представленной серии давление принимало значения 1, 3, 5, 9, 15, 20 и 26 МПа при неизменной скорости скольжения V = 5 м/с. Сила трения в первом приближении растет пропорционально нормальному давлению. Таким образом, закон Амонто-на [5] приближенно выполнен. Отметим, что сила трения вначале движения несколько больше установившегося значения. Динамика коэффициента трения после установления контакта представляет самостоятельный интерес, поскольку продолжительность контакта двух микронеоднородностей микрометрового размера может быть сравнима со временем нестационарности коэффициента трения. Детальное исследование переходных процессов выходит, однако, за рамки данной работы. В

Рис. 3. «Мгновенные снимки» структуры квазижидкого слоя для гипотетического материала с пределом прочности а0 = 92 МПа: давление Р = 1 (а); 26 МПа (б). Скорость в обоих случаях равна 5 м/с. Скобками выделена зона квазижидкого слоя

дальнейшем мы рассматриваем только установившееся значение силы трения.

Предметом нашего анализа является исследование сравнительно слабой зависимости коэффициента трения как от давления, так и от других параметров нагружения и материала. Для установления этой зависимости нами были проведены 36 численных экспериментов, в которых при неизменных значениях коэффициента Пуассона и характеристических деформаций в у 2 = 0.015 ив с = 0.04 варьировались все остальные параметры (давление, скорость, плотность, модуль Юнга, вязкость, предел прочности). При варьировании предела прочности изменялись также предел упругости и предел текучести (пропорционально пределу прочности).

4.2. Зависимость от скорости скольжения

С точки зрения исследования устойчивости трибологических систем особый интерес представляет зависимость коэффициента трения от скорости. Типичная зависимость, полученная в наших численных экспери-

ментах при нормальном давлении 15 МПа, представлена на рис. 5. Рост коэффициента трения с ростом скорости был зафиксирован нами и при других давлениях. Отметим, что коэффициент трения покоя был всегда больше коэффициента трения скольжения. Таким образом, при начале движения коэффициент трения сначала скачком уменьшается и затем монотонно возрастает.

4.3. Аналитическая аппроксимация коэффициента трения

Некоторые заключения о функциональной зависимости коэффициента трения от параметров материала и нагружения можно сделать уже на основании анализа размерностей. Действительно, коэффициент трения есть безразмерная величина; он, следовательно, может зависеть только от безразмерных комбинаций параметров системы. Можно показать, что из параметров материала и параметров нагружения (Е, а 0, р, V, Р, п) невозможно составить ни одной безразмерной комбинации, содержащей вязкость. Это означает, что коэффи-

5 10 15 20 25 Р, МПа

Рис. 4. Зависимость силы трения от давления Р на стадии приработки Рис. 5. Зависимость коэффициента трения от скорости при давлении

(первые сто наносекунд) и в стационарном состоянии. Скорость Р = 15 МПа для гипотетического материала с пределом прочности

скольжения 5 м/с а 0 = 92 МПа

циент трения не может зависеть от вязкости1. Анализ размерностей показывает, что скорость V и плотность р могут входить в выражение для коэффициента трения только в комбинации рv . Отсюда следует, что коэффициент трения в общем случае может быть представлен как функция трех независимых комбинаций параметров2 (Е, а0, р, V, Р). Эмпирическая обработка результатов численных экспериментов показала, однако, что в исследованной нами области параметров число независимых переменных может быть сокращено до двух: оказывается возможным представить коэффициент трения (с точностью около 3.5 %) как функцию двух безразмерных параметров

р V2 Е

РЕ

а0

Так, изменение параметров (Е, а 0, р, V, Р, п) при неизменных значениях параметров к1 и к2 в серии из 10 численных экспериментов привело к статистическому разбросу 3.4 %, что подтверждает гипотезу о зависимости коэффициента трения только от параметров к1

и К 2.

Поскольку мы не располагаем теоретической моделью, дающей форму аналитической зависимости коэффициента трения от параметров нагружения, мы аппроксимировали численные данные (34 точки численного эксперимента) простейшей рациональной функцией вида

ц = ц 0 + Ц

1 + Ьк1

+ ц 2

1

1 + СК0

качественно отражающей основные черты искомой зависимости. Оптимизация методом наименьших квадратов приводит к следующим численным значениям параметров:

ц 0 = 0.15, ц = 0.0442, ц2 = 0.3243,

Ь = 0.195, с = 0.00212.

Точность аппроксимации составляет 9 %. Зависимость (2) представлена на рис. 6, а. Степень точности аппроксимации (2) можно оценить при «взгляде» на поверхность, представленную на рис. 6, а, и точки, полученные в численном эксперименте, «вдоль поверхности» (рис. 6, б).

Численные данные дают основание предполагать, что при очень малых давлениях коэффициент трения

1 А тем самым и от толщины квазижидкого слоя, которая оказывается примерно пропорциональной вязкости.

2 Коэффициент Пуассона и деформация разрушения оставались в

используемой нами серии численных экспериментов постоянными. Коэффициент трения, вообще говоря, может быть функцией также и этих безразмерных параметров как независимых переменных.

К1

Рис. 6. Зависимость коэффициента трения от безразмерных параметров к1 и к2: аналитическая аппроксимация

резко падает3. Нахождение единой аналитической аппроксимации для всего интервала давлений представляется сложной математической задачей. По этой причине при построении аппроксимации (2) не учитывались точки, лежащие в области малых давлений. Соответственно полученная аналитическая зависимость применима только при К 2 > 2.

Как будет показано ниже, условия нагружения в контакте «рельс - железнодорожное колесо» таковы, что параметр К1 часто мал и может быть положен равным

3 Такая зависимость не является физически неожиданной: в пределе Р ^ 0 коэффициент трения должен обратиться в нуль. Падение коэффициента трения происходит, однако, в узком интервале малых давлений.

а

К

Рис. 7. Зависимость коэффициента трения в пределе малых скоростей от безразмерного параметра к2 = PE/о0

нулю. В этом случае коэффициент трения может быть представлен как функция только параметра к 2:

1 + ск0

или

0.3243

1 + 0.00212 РЕ/а0 '

Зависимость коэффициента трения от параметра к 2, определяемая этим соотношением, представлена на рис. 7.

5. Прикладное исследование в случае контакта «колесо - рельс»

Оценим типичные условия нагружения в трибологической системе «железнодорожное колесо - рельс». Ниже мы различаем три уровня рассмотрения, упомянутых во введении: макроуровень, уровень микроаспери-тов и наноуровень.

5.1. Макроуровень

На макроуровне мы имеем задачу об упругом контакте колеса и рельса, рассматриваемых как абсолютно упругие тела, ограниченные гладкими поверхностями. Как известно, контактная область колеса и рельса обычно имеет форму эллипса с отношением полуосей порядка единицы. При типичной нагрузке на колесо порядка 50-100 кН и радиусе колеса порядка 0.5 м диаметр контактной области достигает порядка 0.01 м («герцевский контакт»). Максимальное значение давления достигается в центре контакта и равно по порядку величины 500 МПа. При скорости качения 50 м/с и типичных значениях проскальзывания от 2 до 10 % мы приходим к типичным скоростям скольжения в области контакта от 1 до 5 м/с.

5.2. Уровенъ асперитов

Во втором приближении учтем тот факт, что поверхности колеса и рельса представляют собой шероховатые поверхности. Типичная длина волны поверхностной неоднородности составляет порядка 10 мкм, а их высота 0.1 мкм. Расчеты реальной поверхности контакта и давления в микроконтактах, проведенные для контактов с экспериментально измеренной шероховатостью [3, 6], показывают, что реальная площадь контакта составляет от 0.2 до 0.5 от номинальной площади. Соответственно максимальные давления в контактах на микроуровне достигают от 1000 до 2 500 МПа. Отметим, что последнее значение соответствует твердости рельсовой стали (порядка 3о 0 [11]). Это означает, что рассмотрение задачи об упругой деформации на уровне еще более мелких неоднородностей не имеет физического смысла, поскольку на более низком (субмикронном) масштабном уровне протекают интенсивные процессы пластической деформации. Именно поэтому дальнейшее движение в направлении субмикронного уровня мы продолжаем в рамках динамической модели на основе подвижных клеточных автоматов. При этом давления и скорости, полученные на микроуровне, служат граничными условиями для задачи наноуровня.

5.3. Наноуровенъ

Использование полученных выше оценок давления в микроконтактах в сочетании с упругими и прочностными характеристиками рельсовой стали, используемой Deutsche Bahn AG (таблица 2), показывает, что безразмерные переменные к1 и к2 принимают в данном случае значения из следующих интервалов:

к1 = 0...0.25, к2 = 0...1533.

Таким образом, для реальных контактов аргумент к1 принимает малые значения и в первом приближении может быть положен равным нулю. Для исследования контактов «колесо - рельс» поэтому может быть использована аппроксимация (4), (5).

Отметим, что как теоретический анализ, так и непосредственные численные расчеты показывают, что рас-

Таблица 2

Параметры рельсовой стали как функция температуры

Температура T, °с 20 200 300 400 600

Предел текучести оp0.2, МПа 510 533 528 408 244

Предел прочности о m, МПа 922 877 978 875 409

Деформация разрушения 8, % 10.4 6.65 6.11 16.07 24.5

Р(о, С)СТН а

4 - I

2 ~ " 1 X = 1 см

1.5 -

1 - 1

0.5 -

0 1 1 1 1 1 1 I — 2 4 6 а/ан

Р(а, Остн _! б

С = 100

1 - X = 0.01 см

0.5 -

0 —I 1 1 г-^ 2 4 6 а/ан

Р(а, Остн _ в

С = 400 —

1 - X = 0.0025 см

0.5 -

0 2 4 6 а/ан

Рис. 8. Функция распределения вероятности Р(а, £) обнаружить заданное давление а в контакте железнодорожного колеса и рельса с реальной (экспериментально измеренной) шероховатостью (данные из работы [6]). Функция распределения зависит от длины волны А, на которой происходит обрезание фурье-спектра профиля поверхности с целью дальнейшего решения упругой контактной задачи. Отношение макроскопического размера контакта к граничной длине волны есть «параметр масштабирования» £ (значение £ = 1 соответствует предположению об абсолютно гладкой поверхности контакта). Приведенные три распределения соответствуют обрезанию спектра на длинах волн соответственно 1, 0.01 и 0.025 см. Чем более мелкие шероховатости принимаются во внимание, тем больше максимальные значения давлений, достигаемых в контактах, и тем более равномерным является распределение вероятностей в области средних давлений. Нижний рисунок соответствует распределению давлений на субмикрометровом уровне, рассматриваемом в нашей статье. В первом приближении распределение вероятностей в этом случае можно считать равномерным на интервале от нуля до твердости материала

пределение вероятностей обнаружить заданное давление в контакте двух фрактальных поверхностей становится тем более равномерным, чем на более низкий масштабный уровень мы спускаемся [7, 8]. Так, на масштабном уровне, на котором пиковые давления достигают твердости материала, распределение вероятностей имеет представленный на рис. 8 вид. Считая в первом приближении распределение давлений однородным

на интервале от нуля до твердости 3а0, мы можем произвести усреднение зависимости (5):

За 0

/За 0

Интеграл в числителе определяет полную силу трения, а интеграл в знаменателе — полную силу нормального давления; их отношение есть макроскопически наблюдаемый коэффициент трения. В результате усреднения мы приходим к не зависящему от давления выражению для коэффициента трения, эмпирически представляемому следующей зависимостью:

- 0.15 +1020— Е

-2 • 107

а0

-1.6 • 106

а0

2

1п

2.5 • 105 + 159Е а0

Отметим, что зависимость коэффициента трения от скорости дается согласно (2) простым аддитивным (не зависящим от давления) членом. Поэтому полная зависимость коэффициента трения от материальных параметров и скорости скольжения в предположении равномерного распределения давлений может быть записана как

| = 0.15 +1020—^ - 2 • 107 Е

а

2

-1.6 • 10(

+ 0.0442

а0

1п

2.5 • 105 + 159Е

Р^2Е/а0

1 + 0.195 pv 2 Е/а;

Если предположение о равномерном распределении давлений не выполнено, то надо использовать более общее выражение (5).

5.4. Зависимостъ коэффициента трения от температуры

Температура Т не входит в число параметров, непосредственно определяющих механическое поведение, а тем самым и коэффициент трения рассматриваемой системы. Она поэтому может влиять на коэффициент трения только посредством температурной зависимости механических параметров. Обратимся к анализу усредненного коэффициента трения (9). Он не зависит от давления. Для системы «колесо - рельс» он, как было установлено выше, практически не зависит также и от скорости и является функцией только отношения а 0 / Е к модулю Юнга. Только изменение этих величин в результате изменения температуры может вести к изменению коэффициента трения. Наиболее сильно зависит

+

а

Рис. 9. Зависимость предела прочности рельсовой стали на растяжение от абсолютной температуры Т

Рис. 10. Теоретическая зависимость коэффициента трения рельсовой стали от абсолютной температуры

от температуры предел прочности материала. Воспользуемся данными о температурной зависимости предела прочности, приведенными в таблице 2. Предполагая, что уменьшение прочности при повышении температуры связано с «включением» термоактивированных процессов пластической деформации, можно аппроксимировать экспериментальные данные зависимостью:

а 0 =

а1, т < Т0

£Т 1п

10

Г ио1т

уе~0/" +д/(\|/еио/Т )2

+1

V

, Т > То.

Наилучшее приближение экспериментальных значений зависимостью (10) достигается при следующих значениях параметров: а1 = 925.7, Т0 = 663, и0 = 3 074, \ = = 5.936, у = 0.0023. Зависимость (10) при данных значениях параметров и экспериментальные точки приведены на рис. 9.

Подставляя (10) в (8), получим зависимость коэффициента трения рельсовой стали от температуры, представленную на рис. 10. В области температур до 700 К зависимость коэффициента трения от температуры отсутствует. Коэффициент трения, однако, существенно понижается при повышении температуры на величину порядка 1 000 К и более. Насколько реальным является возникновение таких температур в микроконтактах?

При ответе на этот вопрос следует различать среднюю температуру, развивающуюся в герцевском контакте при однократном «прокате» колеса, и пиковые температуры в микроконтактах. Повышение средней температуры в контакте, согласно оценкам работы [12], обычно не превышает 150 К, абсолютная температура достигает таким образом максимум 450 К. О каком-либо существенном влиянии температуры на коэффициент трения в этом случае говорить не приходится.

Пиковые значения температуры в микроконтактах могут достигать существенно больших значений (порядка 1000 К) [13] и могут существенным образом вли-

ять на коэффициент трения. Количественная оценка этого влияния требовала бы самосогласованного решения задачи о тепловыделении и распространении тепла в микроконтактах с коэффициентом трения, определяемым полным уравнением (2). Метод усреднения (7), а тем самым и основанные на нем уравнения (8), (9) в этом случае не применимы. Решение соответствующей самосогласованной задачи выходит за рамки данной работы.

6. Заключение

Основной результат данной работы выражен уравнением (2), определяющим зависимость коэффициента трения на субмикрометровом уровне от двух безразмерных аргументов, в свою очередь зависящих от материальных параметров (плотности, прочности и модуля Юнга) и параметров нагружения (давления и скорости скольжения). Мы нашли, что коэффициент трения существенным образом определяется динамическими процессами в поверхностных нанослоях, которые образуются и поддерживаются в области контакта в течение всего процесса относительного движения контактирующих тел. Зависимость коэффициента трения только от двух независимых аргументов к1 и к 2 (1) не следует из анализа размерностей и явилась неожиданным эмпирическим фактом, требующим теоретической интерпретации.

Подчеркнем, что зависимость (2) получена при ряде упрощающих предположений. Напомним основные из них.

- Уравнение (2) действительно только в интервале 2 < к2 < 1800. Нижний предел этого интервала определяет минимальные значения к2, использованные для получения аппроксимации (2), верхний предел определяет исследованный интервал значений параметра к 2 (отметим, что при к2 = 1800 был проведен только один расчет; наиболее полно исследованная область лежит в интервале 2 < к 2 < 620).

- Коэффициент Пуассона считался равным 0.3, а деформация разрушения при активном нагружении 4 %. Эти значения типичны для многих металлов. Напротив, для полимеров и особенно резины типичны существенно отклоняющиеся значения коэффициента Пуассона и деформации разрушения.

- Мы рассматривали трибологические системы с линейными размерами существенно меньше упругой корреляционной длины. Это справедливо для интересующих нас контактов с размерами порядка 1 см в случае металлических материалов, однако не выполняется в случае «мягких» материалов типа резины.

- При моделировании предполагалось, что контактирующие материалы являются однородными. Соответственно все элементы среды, а также их прочностные и упругие характеристики были идентичны. Это предположение очевидно не выполнено для многих сплавов и сталей. Мы предполагаем, что в результате возникновения динамического граничного слоя влияние неоднородностей структуры нивелируется. Необходимо, однако, дополнительное исследование этого вопроса.

Второй важный результат касается макроскопического коэффициента трения, наблюдаемого в контакте поверхностей со случайной (фрактальной) шероховатостью. Мы привели аргументы в пользу того, что в этом случае вероятность найти в контакте заданное давление примерно равномерно распределена в интервале от нуля до твердости материала (по порядку величины равной утроенной прочности по отношению к одноосной деформации). Усреднение коэффициента трения по этому распределению приводит к коэффициенту трения, зависящему только от отношения прочности материала к модулю Юнга а0/Е и параметра к1 =р^2е/а^ . Эти выводы справедливы только в пренебрежении температурными эффектами в микроконтактах.

Следует отметить несомненную важность рассмотрения динамических процессов пластического дефор-

мирования и разрушения на наноуровне, которые, на наш взгляд, являются ключом к исследованию механизмов трения в реальных трибологических системах.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (грант № 00-15-96174).

Литература

1. Johnson K.L. Contact Mechanics. - Cambridge University Press, 1985.- 452 p.

2. Nielsen J.B. Evolution of rail corrugation predicted with a non-linear wear model // J. Sound and Vibration. - 1999. - V. 227. - No. 5. -P. 915-933.

3. Knothe K., Wille R., Zastrau B.W. Advanced contact mechanics - road and rail // Vehicle Systems Dynamics. - 2001. - V. 35. - No. 4-5. -P. 361-407.

4. Popov V.L., KolubaevA.V Generation of surface waves during external

friction of elastic solid bodies // Tech. Phys. Lett. - 1995. - V 21. -No. 10. - P. 812-814.

5. Persson B.NJ. Sliding friction. Physical Principles and Applications. -

New York: Springer Verlag, 2000. - 516 p.

6. BucherF., KnotheK., TheilerA. Normal and tangential contact problem

of surfaces with measured roughness // Wear. - 2002 (в печати).

7. Persson B.NJ., Bucher F, Chiaia B. Elastic contact between randomly rough surfaces: comparison of theory with (exact) numerical results // J. Chem. Phys. - 2002 (в печати).

8. Persson B.NJ. Elastoplastic contact between randomly rough surfaces // Phys. Rev. Lett. - 2001. - V. 87. - No. 11. - P. 116101.

9. Попов В.Л., Псахье С.Г. Теоретические основы моделирования упругопластических сред методом подвижных клеточных автоматов. I. Однородные среды // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - №2 1. -С. 17-28.

10. Попов В.Л., Псахье С.Г, Жерве А., Кервальд Б., Шилько Е.В., Дмитриев А.И Износ в двигателях внутреннего сгорания: эксперимент и моделирование методом подвижных клеточных автоматов // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - № 4. - С. 73-83.

11. Cottrell A.H. The mechanical properties of matter. - New York: John Wiley & Sons, 1964. - 430 p.

12. Ertz M., Knothe K. Einfluss von Temperatur und Rauheit auf den Kraftschluss zwischen Rad und Schiene // ZAMM. - 2001. - B. 81. -S. 57-60.

13. Popov VL., Rubzov V, Kolubaev A.V Blitztemperaturen bei Reibung in hoch belasteten Reibungspaaren // Tribologie und Schmierungs-technik. - 2000. - Nb. 6. - S. 35-38.