Метод коллокации для решения задачи дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом теле, расположенном в резонаторе

УДК 517.3, 519.6

М. Ю. Медведик

МЕТОД КОЛЛОКАЦИИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ ДИФРАКЦИИ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ВОЛН НА ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОМ ТЕЛЕ, РАСПОЛОЖЕННОМ В РЕЗОНАТОРЕ

Аннотация. Рассмотрена задача дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом теле, расположенном в прямоугольном резонаторе. Задача сведена к объемному сингулярному интегральному уравнению на теле. Рассмотрен численный метод коллокации для решения этого уравнения. Представлены расчетные формулы для матричных коэффициентов метода коллокации.

Ключевые слова: краевая задача, электромагнитная задача дифракции, интегральное уравнение, численный метод.

Abstract. The article examines a problem of electromagnetic field diffraction on a dielectric body located in a rectangular resonator. The problem is reduced to volume singular integral equation on the body. The author has considered a numerical collocation method for solving the equation and presented the formulas of matrix coefficients for the collocation method.

Key words: boundary value problem, electromagnetic scattering, integral equations, numerical method.

Введение

В статье рассматривается задача дифракции стороннего электромагнитного поля на локально неоднородном теле, помещенном в прямоугольный резонатор с идеально проводящими стенками. Это актуальная задача электродинамики. В связи с неоднородной структурой и сложной геометрией тела распределение электромагнитного поля внутри него сложно измерить экспериментально. Особенно острой является проблема определения электродинамического поля на сложной системе поверхностей и тел в резонансном диапазоне частот, возникающая при определении параметров нанокомпозитных материалов и наноструктур. Это приводит к необходимости применять методы математического моделирования и решать задачу численно с помощью компьютеров. При этом приходится решать трехмерные векторные задачи в полной электродинамической постановке. Для численного решения задачи возможно использование метода конечных элементов. Однако применение метода конечных элементов связано с большой вычислительной емкостью поставленной задачи. Для получения приемлемых результатов приходится строить достаточно мелкую сетку как внутри тела, так и за его пределами. Поэтому поставленная задача с трудом решается даже на самых современных суперкомпьютерах. Применение при решении дорогостоящих пакетов прикладных программ (Ansis, Quikwave и т.д.) также не дает удовлетворительных по точности результатов. От этих недостатков свободен метод объемных сингулярных интегральных уравнений. Здесь интегральное уравнение решается только внутри тела. Исследованием данной задачи занимался ряд авторов (A. Б. Самохин, Ю. Г. Смирнов, А. А. Цупак [1-3]).

1. Постановка задачи

Рассмотрим следующую задачу дифракции. Пусть в декартовой системе координат P = {х : 0 < xi < a, 0 < x2 < b, 0 < X3 < c} - резонатор с идеально

проводящей поверхностью дР . В резонаторе расположено объемное тело Q (Q с Р - область), характеризующееся постоянной магнитной проницаемостью Цо и положительной (3 X 3 )-тензорной функцией диэлектрической проницаемости є(х). Компоненты є(х) являются ограниченными функциями

в области Q, обратный тензор є 1 (х) существует в Q, и его компоненты также ограничены в Q [3].

Граница dQ области Q кусочно-гладкая. Будем также предполагать, что тело Q не касается стенок резонатора, dQ пдР = 0 . Вне Q среда изотропна и однородна с постоянными Єо (> 0), Цо (> 0).

Требуется определить электромагнитное поле E, Н є L ioc (Р) (и, следовательно, E, H є L (Q)), возбуждаемое в резонаторе сторонним полем с временной зависимостью вида exp(-iW), где ю - круговая частота. Источник стороннего поля - электрический ток jE є L2 ioc (Р) с компактным носителем в волноводе Р.

3

В области Р с R стандартные дифференциальные операторы grad, div, rot понимаются в смысле обобщенных функций.

Будем искать «слабые» (обобщенные) решения системы уравнений Максвелла:

rotH = -ІюєE + jE ,

rot E = ІЮЦоН, x є Р.

Для E, H должны выполняться краевые условия на стенках волновода:

Et ІдР = 0;

НтІдР = о.

Из соотношений (1)-(4) для поля E следует интегродифференциальное уравнение [3]

(є(у) Л

E(х) = Щ (х) + ко jge (r) -1 E(y)dy +

Q ^

v єо

Q

f є(у) Л

є,

+graddiv j

V

о j

Кроме того, представление E(х) в области Р \ Q имеет вид

( £(У\ Л

E(х) = Eо (х) + ко jge (r) -1 E(y)dy +

Q P"

+graddiv|ОЕ

б

-1

Е(у)ёу, хє Р \ б .

Поле Н выражается следующим образом:

Н (х) = Н 0 (х) - 7ЮЄ0ГОІ | ОЕ

б

-1

0

Е(у )<яу, хє Р,

где I - единичный тензор.

Компоненты диагонального тензора Грина ОЕ = diag (Е, ОЕ, ОЕ имеют вид [3]

2'(! + §0п) п=0т=1 а ' Ь ' ^пт ' ^ (пт ' ^) ^ а

оо оо

°в = ЕЕ'

кп ] . I кт ] I кп

• 0081 ---Х1 | • 8ІП | ~^~Х2 I • 0081 -у ІX

ОО оо

оЕ=ЕЕ

. I кт 1 (у пт Х3)•8Ь(у пт ( уз)) х3 < уз>

’ у2 1' [А (

2 '

I Ь Уі і |зЬ (упту3 )' 8Ц у пт (с хз) хз > уз;

кп 1 I кт і . I кп

Е • 8ІПI -------х1 І • 0081 ----------Х2 І • 8ІПI --------_у1 ІX

1т=0 а •Ь •Чпт •8Ь(пт •с) V а ) V Ь ) V а

8Ь(Уптх3 )" 8Ь( упт (с уз )) х3 < уз,

кт і I 8Ь

0081 ----у2 іХ^, , ,

Ь 1 [8Ь (птуз )• 8Ь (у пт (с х3 )), х3 > уз;

ОЕ=ЕЕ

кп і . І кт і . І кп

8ІПI х1 І • 8ІП ^ х2 І • 8ІПI—у ІХ

1 т=! а • Ь •Чпт • 8Ь (У пт • с ) V а ) V Ь ) V а

гЬ (у

пт х3 )оЬ (у пт (с уз)) х3 <уз,

X кт А I сг

Ь 2 ) !оЬ(Упту3 )•оЬ (У пт (с х3)) х3 >уз.

В этих выражениях

У пт

кп ]2 І кт ]2 , 2

а ]+ (т)- "о

при этом ветвь квадратного корня выбирается так, чтобы 1т упт > 0 .

Для применения численного метода [4, 5] проинтегрируем компоненты тензора Грина по параллелепипеду:

х1

х2

х3

П ІЦ = , (хЪ x2, х3): »1 ^ ^ »1 + 1, »2 ^ І2 + ! »3 ^ ^ »3 + 1 Г ,

І!

обозначим их через О/, О2, О3 , тогда

0 ^ ^ /’0 ( \ о) = — ЕЕ пт х2— 008 (пХі)• 8Іп (тХ2 )х

к п=1 т=1 п • т •Упт

х 8Іп (тН2 (»2 + 0,5))- 8Іп | -2 Н2) • 008 (п( (»1 + 0,5)) 8Іп ) ~Н~) +

+ 2~2ГЕ ^1°т

-2 = ° ^ ^ ^пт ( 3) • 8Іп(пХ1)•008(тХ2 )х

о1 =4 ЕЕ-

к п=1 т=1 п • т •Упт

х 8Іп ((1 ( + 0,5))-8Іп І — Н1 І • 008 (тН2 ( + 0,5))^Іп

тН2

пHО— Е /и0 (2хз) •8Іп (пХ1) 8Іп У (»1+ 0,5)) •8Іп 12 Н1];

к п=1 п •Уп0

о]=4 ЕЕ

/.пт ( х3 ) ---------8Іп

к п=1 т=1 п • т •Упт

(пХ1)• 8Іп (тХ2 )х

х8Іп(пН1 {¡1 + 0,5)) -8Іп| пН- ]8Іп(тН2 (»2 + 0,5))^ІпІ т—О— ).

Здесь

/пт (х3 ) =

-2 • 8Ь(уптх3 )• 8Ь

(

г™. ус --А - * ))•* [

Л

8Ь

, еслих] < »з^з ;

2 • 8Ь (пт (с - х3 ))) )У пт (х3 + »3*3 ) ] ^IУ пт (х3 - »3*3 )1

8Ь

2 •8Ь

8Ь

с -

Ь^з + *з + хз

х 8Ь

если

Мз < хз <(з + 1)*з;

28Ь

8Ь

8Ь

і *3 ]] н3

»3*3 + у і 8ЬI У пт —

если хз >(з + 1)*3,

/ 110т (х3 ) = 4 • /00т (х3 ) , /2п0 (х3 ) = 4 • /п0 (х3 ) ,

У

/пт

4' сЬ (уптХз)' ГИз ,

! / \ Ь111 Ьт л 1Ы1

(Упт ' с) V 2

У пт\с _ ¡3И3 _ — I , если х3 < ¡3И3;

4 ' сЬ(Упт (с _ х3 )) , Г Г Х3 _ ¡3Н3

^

8Ь У п

сЬ

х3 + ¡3И3

4 ' сЬ

X сЬ

2с _ х3 _ ¡3И3 _ И3

если

И3/3 < х3 <(/3 + !)И3;

4 ' сЬ (у пт '( _ х3 )) ) И3 1 , Г Г., И3

(Упт ' с) 'VУпт 2 | VУпт Vг3^3 + 2

если Х3 >(/3 + 1)3;

X = ^Х1 Х = Ш2 „ = ЛУ1 ^ =ПУ2 ТТ = ЯЙ1 тт = лИ2

XI =—,Х 2 = ~т~, 11 =—, 12 = ~г-, Т1 =—,Н 2 =_г-

а Ь а Ь а Ь

Х1 = 71И1, х2 = 72^ У1 = У2 = ¡2И2 ,

У пт

\2 / \2 лп 1 ( лт 1 , 2

— I +1 -Т-1 _ ^о2 .

а I V Ь I

12 3

Продифференцируем функции О/, О/ , О/ и вычислим вторые произ-

водные

Э 2О3

Э 2о1 Э 2О) Э 2О) Э2О2 Э 2О2 Э2О2 Э 2О3 Э2о3

ЭХ2 ’ ЭХ2ЭХ1 ’ ЭХ3ЭХ1 ’ Эх1Эх^ ЭХ2 ’ ЭХ3ЭХ2 ’ ЭХ1ЭХ3 ’ ЭХ2ЭХ3 ’

Эх

2

Для вторых производных имеем

Э2О/ =^8 у у ¡п°т (х3 )'п Эх? а

2- = -2уу пт'-' с08(пХ1)' sin (тХ2)х

Х1 а п=1т=1 т 'У

2

пт

X«т[тИ2 {¡2 + 0,5) I тН2 I'со«(Г1Н1 (/'1 + 0,5))т

пНл

Э2О

_ га га г0

Х- = ~ТУУ 7 3 ) ' sin(пХ1 )' С0«(тХ2 )х

Эх2 Эх1 аЬ л л У

х 1 п=1 т=1 I;

2

пт

Xsin(тН2 (¡2 + 0,5))' «тI — Н2 I'со«(п( (/'1 + 0,5))sin

пНл

Э 2О

га га

— = —УУ ^ /пт^З)' sin(п^1)' (тХ2 )х

2

пт

Xsin(m#2 (2 + 0,5))-sin| — — j• cos(n( ( + 0,5))" ) n—1 ^ •

2 1 1 ,)sin,

2 -j \ ^ y 2

э2of -sy y f— (хз) ) . ( X )x

5^=~ь y ^-yS— 'cos (nXi)-sln (—X2)X

1 A n=1 m=1 *nm

Xsin(n((i, + 0,5))sin| — H, I• cos(mH2(/'2 + 0,5))si") ——H2 ^

isin

2 *j v -v- ' >) y 2

Э2G72 -s y y f—m (х3 )m • ( X) , X )X

~~2 = 7Г yy----------- 2~ •sin (—X1 )•COs (mX2 )X

2 b n=1m=1 n -ynm

Xsin(n( (/'1 + 0,5))sin^-2H1 j• cos(mH2(/'2 + 0,5))sin^ m—2 , •

эG -sy y d_fim(хз) , ( X, , ( X )X

эх^=^b £ у-—^------------------sin (nX1 )sin (mX2 )X

D A n=1 m=1 * nm

Xsin (/'1 + 0,5) sin i—H1 | • cos(mH2 (/'2 + 0,5))si"' m—2 I •

isin

2 *j v -v- ' >) y 2

эG s y; y;d_flm(хз) , X) • ( X )X

——=—y y--------------•cos (nX1 )•sin (—x2 )x

Эх1 Эх3 ап , , m •v2

1 3 n=1 m=1 i.

nm

X sin («((/'1 + 0,5)) • sin y n—21 jj sin {mH2 (/’2 + 0,5))sin ^ m—2 j;

Э2G/3 s y y d _ flm (x3) • ( X ) , X )x

' = ЬП yy---------- .2 • sin (nX1 )•cos (mX2 )X

Эх2Эх3 bn , , n •v

2 3 n =1 m=1 n 1.

nm

Xsin(n—1 (/'1 + 0,5))•sin^n—1 jjsin(m—2 (/'2 + 0,5))sin^m—2 j;

Э2G/3 s y; y; d2_ flm (х3) • ( X ) X )X

2^ = ~2 yy-----------------2 • sin ( nX1 )• sin (mX2 )X

Эх3 n n=1 m=1 n• m •V

nm

Xsin( + 0,5)) • sin^n~~jsin(jmH2 (¡2 + 0,5))sin^mH2j •

Здесь d _ f°m (хз ) - значение первой производной по Х3 от функции fnm (хз ); d _/т (хз ) - значение первой производной по Х3 от функции /т (хз); d2_/Пт (хз) - значение второй производной по Х3 от функции

f т (хз ) ;

зз

^ _ /пт

^ _/пт

Г Г _2' «Ь

Упт | с ¡3И3 2 I ' ГУпт 2

если Х3 < /3Й3;

УптсЬ

УптсЬ

если

И3/3 < х3 <(/3 + 1)И3;

Л

\

если Х3 >(3 + 1)' Й3;

4упт«Ь (Уптх3 \ Упт 2 |сЬ Упт ^с ¡3И3 2 |

^

если Х3 < /3Й3;

УптсИ

Г 2^ (упт (с_/3И3 _И3 )) ^

Упт«Ь

^

если

И33 < х3 <(3 + 1)И3;

упт«Ь (у пт '(с х3 ))'

4 ' 6|Ь ^упт 2 | сЬ Упт ^¡3И3 + 2 |

если Х3 > (/3 +1);

4у птС^ (у птх3 [ у пт ^ J С^

7 П3

с-г3й3-у

если Х3 < /3А3;

Упт ^

Пу пт

ей (у

пт х3 ) (у пт

если

ЬН < х3 <(3 + !)й3;

4Уит^ [ Уп^^Т IсЬ

У пт ^ г3й3 + у ] Л

если

х3 >(( + 1)й3-

Уравнение (5) может быть решено различными численными методами. В данной работе был выбран метод коллокации, так как использование метода Галеркина влечет за собой более громоздкие выкладки.

2. Метод коллокации

Для уравнения Лф = / (ф, / е X) с линейным ограниченным оператором Л: X ^ X в гильбертовом пространстве X рассмотрим метод коллокации, который формулируется следующим образом. Приближенное решение фп е Xn определяется из уравнения РпЛфп = Рп/ . Здесь фп е Xn (Xn есть п -мерное подпространство пространства X), Рп : X ^ Xn - оператор проектирования на конечномерное подпространство, который определяется ниже.

Разобьем область 2 на элементарные подобласти б/ с кусочногладкими границами Э<2/ так, чтобы выполнялись условия б/ п 67 = 0 при

/ ^ 7 и 2 = и . Выберем в каждой подобласти б/ точку (узел) коллокации /

х/ . Рассмотрим базисные функции:

у = I1, хе а,

^ [0, Х^ .

Пусть подпространства Xn являются линейными оболочками базисных функций: Xn = «рап{у/,...,Уп} . Потребуем, чтобы для выбранных базисных функций выполнялось условие аппроксимации:

хєХп

Проектор Pn : X ^ Хп определим так: (Рпф)(x) = ф(x1 ), x є Q¡. Заметим, что при таком определении проектора не определены значения функций (Рпф)(x) при x є dQi, но это не будет важно, так как в нашем случае X = L2 . Уравнение РпАфп = Pnf эквивалентно следующему:

( Афп )( xJ ) = f ( xJ ), j = 1,..., п.

Представим приближенное решение в виде линейной комбинации ба-

п

зисных функций: фп = 2 с^ук . Подставив это представление в схему метода

к=1

коллокации, получим систему линейных алгебраических уравнений для отыскания неизвестных коэффициентов Ск :

п

2 Ск (Avk )(x ) = f (xj ), j = 1, ., п.

к=1

Рассмотрим теперь вопрос о построении схемы решения интегрального уравнения методом коллокации [4-7]. Будем формулировать метод для инте-

( !x - Î ^

гродифференциального уравнения (5). Предположим, что тензор

ê

обратим в Q , а компоненты тензора

функциями.

Введя обозначения

-Î

е0

являются ограниченными

1

J =

е0

E.

е0

перейдем к следующему уравнению:

Л«7 = |(х)У(х) _ £о | (х, у)У(у)оУ _

_ егаа &у | Ое

Представим это уравнение в виде системы трех скалярных уравнений:

3 2 ^ (х) _ ^0 | &Е (х, У)^ (У^У _

/=1 2

div* f Ge

OXi J

l Q

^ 12 3

Определим компоненты приближенного решения Jn = (Jn, Jn , Jn) следующим образом:

n n n

J'n = Iatfl(X). Jn = Iblfi2(x), j3 = ^ckfü(x),

k=1 k=1 k=1

где fk - базисные функции-«ступеньки».

Ниже проводится построение функций fk . Будем считать, что Q - параллелепипед: Q = {x: а < *1 <an, b < *2 <bn, c < X3 < cj} . Разобьем Q на элементарные параллелепипеды:

Пklm = {x : x1,k < X1 < x1,k+1, x2,l < xl < x2,l+1, x3,m < x3 < X3,m+1},

a2 - ai b2 - & c2 - c1

x1,k = a1 +------k, x2,l = b1 +------l, x3,m = c1 +-----------m,

n n n

где k, l, m = 0,..., n -1.

Запишем формулы для fklm , i = 1,2,3 :

/•г = J1, x klm,

[°, x £ nklm.

Построенное множество базисных функций удовлетворяет необходи-

3

мому условию аппроксимации в L2 = L2 х L2 х L2 .

Применим метод коллокации для параллелепипеда Q (рис. 1). Для этого произведем последовательный перебор всех точек коллокации для каждого из носителей.

Q

Рис. 1. Тело Q , разбитое на элементарные параллелепипеды n^m

Используя проинтегрированные компоненты функции Грина о\, G^,

г-3

иI и значение их вторых производных, вычислим значение матричных элементов. Расширенную матрицу, полученную из метода коллокации, удобно представить в блочной форме:

А 1А 3 Вл

А22 А23 В2

ч А31 А32 А33 В3 J

Элементы В£ и А^ определяются из соотношений:

в£ = 4

где координаты точки коллокации

Х/ = (ъxi2,Х/3 ), хИ = ( + О,5)/*!, Х-2 = ( + 0,5)h2, Хй = ( + 0,5)/гз ,

£,I = 1,2,3; /ь-2,/3, 71,72,7з = 0,...,п-1.

Таким образом, получены расчетные формулы для матричных коэффициентов метода коллокации для решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала. Решая систему линейных алгебраических уравнений для матрицы, составленной с использованием сетки, находим значения поля внутри фигуры. Используя субиерархический метод, можно вычислить значение поля на фигурах сложной формы [8-18]. Численные результаты для данной задачи будут представлены в отдельной статье.

Список литературы

1. Самохин, А. Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии / А. Б. Самохин. - М. : Радио и связь, 1998.

2. Смирнов, Ю. Г. Математические методы исследования задач электродинамики / Ю. Г. Смирнов. - Пенза : Информационно-издательский центр ПензГУ, 2009.

3. Смирнов, Ю. Г. Исследование электромагнитной задачи дифракции на диэлектрическом теле методом объемного сингулярного интегрального уравнения / Ю. Г. Смирнов, Д. А. Цупак // Журнал вычислительной математики и математической физики. - 2004. - Т. 44, № 12. - С. 2252-2267.

4. Васюиии, Д. И. Метод коллокации решения объемного сингулярного интегрального уравнения в задаче определения диэлектрической проницаемости материала / Д. И. Васюнин, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. -№ 3. - С. 71-87.

5. Медведик, М. Ю. Численное решение объемного сингулярного интегрального уравнения методом коллокации / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -

2009. - № 4. - С. 54-69.

6. Медведик, М. Ю. Применение ГРИД-технологий для решения объемного сингулярного интегрального уравнения для задачи дифракции на диэлектрическом теле субиерархическим методом / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2008. - № 2. - С. 2-14.

7. Смирнов, Ю. Г. О существовании и единственности решений обратной краевой задачи определения диэлектрической проницаемости материалов / Ю. Г. Смирнов, Д. А. Миронов // ЖВМиМФ. - 2010. - Т. 50, № 9. - С. 1587-1597.

8. Медведик, М. Ю. Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм и сходимость метода Галеркина в задачах дифракции электромагнитного поля на плоском экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. - 2004. - № 5. - С. 5-19. - (Естественные науки).

9. Медведик, М. Ю. Параллельный алгоритм расчета поверхностных токов в электромагнитной задаче дифракции на экране / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, С. И. Соболев // Вычислительные методы и программирование. - 2005. -Т. 6. - С. 99-108.

10. Антонов, А. В. Разработка web-ориентированного вычислительного комплекса для решения трехмерных векторных задач дифракции электромагнитных волн на основе субиерархических параллельных алгоритмов и ГРИД-технологий / А. В. Антонов, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2007. - № 4. -С. 60-67.

11. Медведик, М. Ю. Субиерархический параллельный вычислительный алгоритм для решения задач дифракции электромагнитных волн на плоских экранах / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов // Радиотехника и электроника. - 2008. - Т. 53, № 4. - С. 441-446.

12. Медведик, М. Ю. Численный метод решения псевдодифференциального уравнения в задаче дифракции в слоях, связанных через отверстие / М. Ю. Мед-ведик, И. А. Родионова, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 1. - С. 87-99.

13. Медведик, М . Ю . Субиерархический метод для решения псевдодифференци-ального уравнения в задаче дифракции в слоях, связанных через отверстие / М. Ю. Медведик, И. А. Родионова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 3. - С. 59-70.

14. Медведик, М. Ю. Субиерархический метод решения интегрального уравнения на плоских экранах произвольной формы / М. Ю. Медведик // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -

2009. - № 4. - С. 48-53.

15. Медведик, М. Ю. Численное решение задачи о распространении электромагнитных ТМ -волн в круглых диэлектрических волноводах заполненных нелинейной средой / М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов, Э. А. Хорошева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -

2010. - № 1. - С. 2-13.

16. Медведик, М. Ю. Субиерархический подход для решения объемного сингулярного интегрального уравнения задачи дифракции на диэлектрическом теле в волноводе методом коллокации / М. Ю. Медведик, Д. А. Миронов, Ю. Г. Смирнов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. - 2010. - № 2. - С. 32-43.

17. Гурина, Е. Е. Численное и аналитическое решение задачи дифракции электромагнитного поля на диэлектрическом параллелепипеде, расположенном в прямоугольном волноводе / Е. Е. Гурина, М. Ю. Медведик, Ю. Г. Смирнов //

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 2. - С. 44-53.

1S. Медведик, М. Ю. Субиерархический метод решения интегрального уравнения на поверхностях произвольной формы I Медведик М. Ю. II Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. -№ 3. - С. SS-94.

Медведик Михаил Юрьевич

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и суперкомпьютерного моделирования, Пензенский государственный университет

Medvedik Mikhail Yuryevich Candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, sub-department of mathematics and supercomputer modeling,

Penza State University

E-mail: _medv@mail.ru

УДК 517.3, 519.6 Медведик, М. Ю.

Метод коллокации для решения задачи дифракции электромагнитных волн на диэлектрическом теле, расположенном в резонаторе I

М. Ю. Медведик II Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2011. - № 2 (1S). - С. 2S-40.