К вопросу об асимптотических разложениях рациональных мнемофункций

28

Трулы БГТУ, 2016, № 6, с. 28-30

УДК 517.982.45

Т. Г. Шагова

Белорусский государственный технологический университет

К ВОПРОСУ ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИХ РАЗЛОЖЕНИЯХ РАЦИОНАЛЬНЫХ МНЕМОФУНКЦИЙ

Рассмотрена задача аппроксимации обобщенных функций новыми обобщенными функциями

построены асимптотические разложения, главным членом которых является 8-функция с бесконечно большим коэффициентом. В работе показано, что равенство, представленное в монографии [1], имеет место только для аппроксимаций определенного вида.

Ключевые слова: аппроксимация, мнемофункция, рациональная мнемофункция, асимптотическое разложение.

T. G. Shagova

Belarusian State Technological University

ON THE ASYMPTOTIC EXPANSIONS OF RATIONAL MNEMOFUNCTIONS

The problem of generalized functions approximation by new generalized functions (mnemofunc-tions generated by rational functions) is considered in the article. They form a subalgebra in the algebra of new generalized functions and their asymptotic expansions have a special type. The approximations of distributions 8 and P(1 / x) by mnemofunctions generated by rational functions are considered. Asymptotic expansions were built for such mnemofunctions and their behavior was investigated.

Asymptotic expansions for 82 and ) which are not defined as generalized functions, were obtained.

The major term of these expansions is 8-function with infinitely large coefficient. It was shown that the equality given in the monograph [1] holds only for approximations of special type.

Key words: approximation, mnemofunction, rational mnemofunction, asymptotic expansion.

Введение. В связи с невозможностью введения ассоциативного всюду определенного произведения обобщенных функций стала развиваться теория новых обобщенных функций. В рамках данной теории рассматриваются новые объекты, которые обладают основными свойствами обобщенных функций, но в то же время допускают корректно определенную операцию умножения, т. е. образуют алгебру. Практически все эти конструкции основаны на некоторой аппроксимации обобщенных функций семейством гладких функций /Е(х), зависящих от малого параметра е. Поскольку по своему построению новые обобщенные функции сохраняют информацию о способе их получения из гладких, то для таких объектов начали использовать название мнемофункции (от слова «тпето» - память) [2].

Связь мнемофункций с классическими обобщенными функциями устанавливается с помощью понятия ассоциированности. Будем гово-

рить, что обобщенная функция u е ß'(R) ассоциирована с мнемофункцией f(x) и что f есть регуляризация функции u, если

для любой функции фе ß(R). Будем обозначать (/1) ~ u.

С позиции ассоциированности понятие произведения обобщенных функций возникает достаточно естественно. Произведением функций u, v е D'(R), ассоциированных с мнемофункциями (fl) и (gl) соответственно, будем считать обобщенную функцию w, ассоциированную с произведением мнемофункций (f g1). Однако для семейства (f1 g1) может не существовать ассоциированной обобщенной функции, что частично преодолевается за счет того, что для мнемофункций часто существуют асимптотические разложения в пространстве D'(R) вида

Т. Г. Шагова

29

Е£ки

к>

я'(К).

к=-»

С точки зрения асимптотических разложений произведением обычных обобщенных функций можно считать асимптотическое разложение произведения ассоциированных мнемофункций.

Особый интерес вызывают мнемофункции, порожденные рациональными функциями, т. е.

Р

мнемофункции вида /е (х) = —---, которые

д

будем в дальнейшем называть рациональными. Такие мнемофункции образуют подалгебру в алгебре обобщенных функций, и их асимптотические разложения имеют специальный вид. Поэтому в данной работе рассматриваются рациональные мнемофункции и их асимптотические разложения.

Основная часть. Академиками А. Н. Тихоновым и А. А. Самарским была получена общая формула нахождения асимптотических разложений интегралов, зависящих от параметра, основанная на методе последовательных разложений [3]. С точки зрения теории мнемофункций эта формула дает асимптотическое разложение мнемофункций вида /е (х) = /(х / е), так называемых самоподобных мнемофункций. С помощью этой формулы были построены асимптотические разложения ряда рациональных мненофункций. Рассмотрим некоторые из них.

Пусть /(х) = —;—1——. Тогда семейство

п

функций / (х) = 1 /I х I = 1

е' V е } п е2 + х2

задает ап-

проксимацию 5-функции. И асимптотическое разложение имеет вид

п

Е (-1)к е2к

к=0

1Р

1

2 к +2

+

(2к)!

Существует много других аппроксимаций 5-функции. Асимптотические разложения таких семейств имеют главный член, равный 5, и отличаются младшими членами. Например,

функция /1(х) =  ^

разложение:

3л/2

п

п

•Е (-1)к е4к

к=0

+ е3 Р

Ее асимптотическое

5

(4к)! + (4к + 2)! +

4 к+4

Функцию 1/ х аппроксимирует семейство

функций, порожденное g (х) =--

1 + х 2

асимптотический ряд:

. Тогда ее

ех

е2 + х2

Е (-1)к е2к

к=0

Р

„2 к+1

+ еп5(2к+1}

Следует отметить, что асимптотические разложения рациональных мнемофункций имеют специальный вид: коэффициентами таких разложений могут быть только 5-функция и ее производные или степенные функции.

В монографии П. Антосика, Я. Микусин-ского и Р. Сикорского «Теория обобщенных функций: секвенциальный подход» [1] для квадратов функций 5 и Р (1/ х) приведено следующее равенство:

1 ( 1

п

1 1

2 2 п х

Поскольку выражения 52 и I —

как

обобщенные функции не определены, левая часть формулы, очевидно, не имеет смысла. В то время, когда правая часть равенства определена в пространстве обобщенных функций. Формальное доказательство этого выражения дано в [1]. Рассмотрим это равенство с позиции мнемофункций. В качестве аппроксимаций 5 и Р (1/ х) возьмем рациональные функции

1х / ( х) =—,-^ и g (х) =-

„ „ соответствен-

п

но. Асимптотические разложения мнемофунк-ций, порожденных данными, были приведены ранее. Найдем асимптотические разложения, соответствующие квадратам мнемофункций. Для наглядности выпишем только несколько первых членов разложений:

(/ )2=е V е /(х

е V е

+1- р

п

л

+

5

1

е-2п 2п 2! 2п 4!

+

- +...;

Ы2=1 (1 g V х

е V е V е Зпе 5

л

р ^ I -

2е2 Р

1

+...

2 2! V х-

Подставив эти разложения в равенство, видим, что главный член разности будет следующим:

30

К вопросу об асимптотических разложениях рациональных мнемофункний

т. е. 5-функция с бесконечно большим коэффициентом. Отсюда следует, что с точки зрения теории мнемофункции выполнимость данного равенства зависит от способа аппроксимации. Для того, чтобы это равенство выполнялось, следует аппроксимировать 5 и Р (1/ x) рациональными функциями, удовлетворяющими равенству: j f2(x)dx = П- j g 2(x)dx.

Заключение. В ходе работы были получены асимптотические разложения некоторых рациональных мнемофункций. Коэффициентами таких разложений могут быть только функция 5 и ее производные, а также степенные функции. Рассмотрены некоторые аппроксимации обобщенных функций 5 иР (1/ x) и построены их асимптотические разложения, а также построены разложения мнемофункций, соответствующих квадратам функций 5 и Р(1/x). Главным членом таких разложений является 5-функция с бесконечно большим коэффициентом.

Литература

1. Антосик П., Микусинский Я., Сикорский Р. Теория обобщенных функций: секвенциальный подход. М.: Мир, 1976. 312 с.

2. Антоневич А. Б., Пыжкова О. Н., Третьякова Л. Г. Асимптотические разложения для произведений базовых обобщенных функций // Труды Института математики НАН Беларуси. 2000. Т. 5. С.18-31.

3. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Асимптотическое разложение интегралов с медленно убывающим ядром // Доклады Академии наук СССР. 1959. Т. 126, № 1. С. 26-29.

References

1. Antosik P., Mikusinskiy Ya., Sikorskiy R. Teoriya obobshchennykh funktsiy: sekventsial'nyy podkhod [The theory of generalized functions: sequential approach]. Moscow, Mir Publ., 1976. 312 p.

2. Antonevich A. B., Pyzhkova O. N., Tret'yakova L. G. Asymptotic expansions for products of basic distributions. Trudy Instituía maíemaíiki NAN Belarusi [Proceedings of mathematical institution of NASB], 2000, vol. 5, pp. 18-31 (In Russian).

3. Tikhonov A. N., Samarskiy A. A. Asymptotic expansions of integrals with slowly decreasing kernel. Doklady Akademii nauk SSSR [Reports of the USSR Academy of Sciences], 1959, vol. 126, no. 1, pp. 2629 (In Russian).

Информация об авторе

Шагова Татьяна Григорьевна - магистр физико-математических наук, ассистент кафедры высшей математики. Белорусский государственный технологический университет (220006, г. Минск, ул. Свердлова, 13 а, Республика Беларусь). E-mail: tanya.shagova@gmail.com

Information about the author

Shagova Tat'yana Grigor'evna - Master of Physical and Mathematical Sciences, assistant lecturer, the Department of Higher Mathematics. Belarusian State Technological University (13a, Sverdlova str., 220006, Minsk, Republic of Belarus). E-mail: tanya.shagova@gmail.com

Поступила 11.03.2016

П П

Что и требовалось показать. Однако если в качестве аппроксимации

42

5-функции взять функцию f (x) =

п

, то

первые члены асимптотического разложения, соответствующего квадрату мнемофунции:

1

1 „2 I x

\

-5 + -

5

+

2V2ne 2V2n 2!

e3 5

+

2л/2л 4!

+...

И если P (1/ x) будем аппроксимировать функцией g (x), то

/ г \2 1 / \2 - 2 5

^-f1e)--J (ge) ~-2

п

2пе п2

-Л р í-11+...,