Численно-аналитический метод построения трехмерных солитонов семейства модифицированных уравнений Кортевега де-Фриза

С. В. Жесткое, А. А. Романенко

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИИ МЕТОД ПОСТРОЕНИЯ ТРЕХМЕРНЫХ СОЛИТОНОВ СЕМЕЙСТВА МОДИФИЦИРОВАННЫХ УРАВНЕНИЙ КОРТЕВЕГА ДЕ-ФРИЗА

В работе развит численно-аналитический метод построения трехмерных солитонов для нелинейных уравнений в частных производных типа Кортевега де-Фриза.

Известно, что построение и анализ трехмерных солитонов является одной из актуальных проблем современной теории солитонов. Эта проблема связана с тем обстоятельством, что известные методы построения солитонных решений, такие как метод обратной задачи рассеяния и метод Хироты, сталкиваются со значительными трудностями. Поэтому развитие численно-аналитических методов является важной и актуальной задачей в теории многомерных солитонов.

Известно [1], что трехмерный солитон уравнения Кортевега де-Фриза (КДФ) был построен численно. Вопросы аналитического построения и математического обоснования существования трехмерных солитонов для уравнения КДФ и его модификаций в общем случае остаются открытыми.

В настоящей работе исследуется семейство обобщенных модифицированных уравнений КДФ вида

дФ д3 Ф д3 Ф д3 Ф д ^2т+и д

-+ а1—г + а2-- + а3-- + а4— (Ф2т+1) + а5—

д1 д 2 д2дх д 2ду д2 д2

где а1, а2, а3, а4, а5 - произвольные действительные числа, а т > 0. Решение уравнения (1) будем строить в виде

Ф = и

где с —скорость волны в направлении оси г. Подставив (2) в (1), получим

ди д3и д3 и д3и д , 2т+1ч д , 4т+к ~

-с-+ а —- + а2-- + а3-- + а4-

д£ 1 д£ 2 д£ д х2 3 д£ ду2 4 '5

Проинтегрировав один раз уравнение (3) и положив константу интегрирования равной нулю, найдем

д и д и д и 2т,1 4т+1 ^ / л\

-си + а —- + а2 —- + а3 —- + а4и т+1 + а5и = 0 .

1 д£2 2 дх23 ду24 5

Решение уравнения (4) будем строить в виде и = у(£х), = к1 х, £у = к2 У, где константы к1, к2 удовлетворяют соотношению

Тогда для функции V получим следующее уравнение:

Ау = pv-qv2m+1 -еу4т+1, р = —, д = е =

где

. д2 д2 д2 А =—- +—т + -

д£1 деу д£

Рассмотрим вопрос о существовании сферически симметричного солито-на, который подчиняется уравнению

ау=^+~=ру - ду2т+1 -^4т+1, г.

аг г аг *

Известно [1], что для такого солитона должны выполняться условия

у

Вопрос о существовании нетривиального решения задачи (6), (7) в строгой постановке является открытым.

Предположим, что при достаточно больших г можно пренебречь членом (2/ г )у'(г) по сравнению с у" (г) в уравнении (6). Тогда оно примет вид

^ = ру - ду2т+1 -8У4т+1.

аг

Проинтегрировав уравнение (8) с учетом условий (7), найдем

V =

4 ре

+ е У

Кт +1 ) 2т +1

1

2 т

е = ехр {-2л[ртг}, р > 0 .

Анализ выражения (9) показывает, что параметр д может быть любого знака и может обращаться в нуль. Параметр е может быть положительным и может обращаться в нуль, кроме того, он может быть и отрицательным при условии

77

ч > 0,

(т +1)2

>

2т +1

Функцию (9) можно принять за асимптотику солитона, так как она удовлетворяет условиям (7) и

(2/ г )у'(г ) Л кт^^--^ = 0.

Г^ш у"

Пусть г. — точка из [0, +ш) такая, что при г > г. можно использовать

асимптотическое представление (9). Тогда решение уравнения (6) можно продолжить гладким образом до точки г = 0, начиная с решения следующей задачи Коши:

ё2у 2 ёу

+--_ = ру — ду2т+1 — £ у4т+1,

ёг2 г ёг у(г ) = а, у' (г. ) = Ь

где а, Ь — значения асимптотической функции (9) и ее производной в точке г. . Задача (10) эквивалентна интегральному уравнению

( 1 1 ^ 1 Г

у

V Г Г у

г

15 ( () — чу2т+1 (5) — £ у4т+1 (5) ) Ж.

Применив к выражению (11) принцип сжимающих отображений [2], получим следующий результат. Пусть выполнены условия:

[р + (2т +1) |ч| К2т + (4т +1) £ К

[ рК + 2т+1 +|£ К

1

3г

3 3\ 1 I 2 2

г3 — г.3 +— Г 2 — г.2

< 1,

ш г — г. а + \b\rj-[ +

3г 1

3 3 Г — г

1

+ — 2

2 2 Г — Г

< К.

Тогда в области |г — г.| < 3, 0 < у < К, где ё — достаточно малое число, а К —

конечное число, уравнение (11) имеет единственное решение, которое можно построить методом последовательных приближений или численно.

Продолжая этот процесс, за конечное число шагов можно численно построить решение уравнения (6) на отрезке [0, г. ]. При этом значение у(0) подбирается так, чтобы график трехмерного солитона на отрезке [0, г. ] гладким образом переходил в график асимптотической функции (9). Отметим, что в точке г = 0 должно выполняться условие у'(0) = 0 . На рисунке представлены графи-

2

ческие зависимости v(r) решения задачи (6)-(7) для двух наборов параметров p, q, е и m = 1.

Для уравнения (5) можно построить трехмерный плоский солитон. Действительно, будем строить решение в виде

v = щ

где 8ь 82, 83, — произвольные действительные числа. Подставив (12) в (5), получим

Щ

Положим, что е12 +е2; +е32 = 1. Тогда уравнение (13) совпадает с уравнением (8). А это значит, что при % > 0 трехмерный плоский солитон совпадает с асимптотикой сферически симметричного солитона.

Отметим, что в работе [3] исследовано трехмерное обобщенное уравнение

КДФ.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЕ ССЫЛКИ

1. Захаров В. Е., Кузнецов Е. А. О трехмерных солитонах // ЖЭТФ. 1974. Вып. 2. С.594-597.

2. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчивости. М., 1967.

3. Волосевич А. В., Жесткое С. В., Романенко А. А. О существовании трехмерных солитонов обобщенного уравнения КДФ // Оптика неоднородных структур: Материалы республиканской научно-практической конференции. Могилев, 2004. С.86-90.

S. Jestokov, A. Romanenko

A NUMERICAL ANALYTICAL METHOD FOR CONSTRUCTING THREE DIMENSIONAL SOLITONS OF MODIFIED EQUATIONS OF KORTEWEG DE-VRIES

A numerical analytical method for constructing three-dimensional solitons for nonlinear partial differential equations ofKorteweg de-Vries type is developed.