Решение задачи генерирования случайных автокоррелированных временных рядов методами непараметрической статистики

Решение задачи генерирования случайных автокоррелированных временных рядов методами непараметрической статистики

Иванча Александр Г ригорьевич

Аспирант кафедры информационных систем в экономике Саратовского государственного социально-экономического университета,

Ключевые слова: временные ряды, генерация временных рядов, автокорреляция, непараметрическая статистика, имитационное моделирование.

Аннотация: в статье предлагается методика генерации

автокоррелированных временных рядов при решении задачи имитационного моделирования деятельности коммерческого банка.

Непараметрическая статистика - сравнительно новое направление математической статистики [3]. Она затрагивает те проблемы, которые не могут быть разрешены в рамках классической параметрической статистики -статистика малых выборок, исследование случайных величин с непараметрическими распределениями плотности вероятности значений, т. е. когда функцию плотности распределения вероятностей значений нельзя выразить, используя небольшое число параметров.

В [1] при решении задачи управления банковской ликвидностью нами предложена модель (1), которая позволяет рассчитать величину банковской ликвидности в L(ti) в каждый момент времени ti:

Цti) = Овм0 + Dn

где Оут0 - неснижаемый остаток на счетах «до востребования», Dn(ti) -сумма всех принятых банком депозитов, Dout(ti)- сумма всех депозитов,

возвращенных банком вкладчикам (с процентами), Kn(ti)- сумма всех кредитов, возвращенных банку (с процентами), Kout(ti) - сумма всех выданных кредитов, Mn(ti)- сумма полученных банком для пополнения ликвидности межбанковских кредитов, Mout(ti) - сумма возвращенных банком межбанковских кредитов (с процентами).

Для расчета выражения (1) используем методы имитационного моделирования. Поэтому введем в модель (1) случайную функцию Ovm(tt). При этом, возникает проблема программного генерирования случайного временного ряда Ovm (ti).

В имитационном эксперименте, как правило, используют функцию плотности вероятности распределения ее значений Ф( Ovm), при генерации

последовательностей случайных чисел. Это распределение может быть параметрическим, либо некоторым экспериментально найденным непараметрическим распределением.

Однако, случайные временные ряды остатков на счетах «до

востребования» Ovm (ti) обладают существенными автокорреляционными

свойствами, что необходимо учитывать при генерировании случайных временных рядов.

Проблема генерирования случайных автокоррелированных временных рядов затронута в единичных работах [2,4]. Причем эти результаты относятся, только к параметрическим рядам. Рассмотрим вопрос о возможности применения этих результатов в данном случае.

Наиболее тесная автокорреляционная связь, имеет место для ряда Ovm(ti) при лаге = 1 [4]. Если учитывать только эту ближнюю

автокорреляционную связь, то соотношение для расчета Ovm (ti) запишется в виде:

Ovm

где Оут( ti _1) - предыдущее значение временного ряда, Оут -

среднее значение временного ряда Оут (ti), V - коэффициент

автокорреляции для временного лага 1, (7ут - среднеквадратичное

отклонение ряда, Т] - случайное число, распределенное по нормальному

закону (Т — 0,ат — 1).

Далее будем обозначать реальный ряд остатков на счетах «до востребования» (показан на рис. 1) как R-ряд, а ряд, полученный путем программного генерирования по формуле (2) с использованием нормальной функции распределения - как ряд (Рис. 2). При генерировании Т~

ряда в (2) подставляем параметры реального ряда: Оут, (7ут, Г1 .

Рис. 1 Временной Я-ряд остатков на счетах «до востребования»

Рис. 2 Сгенерированный Т] -ряд

Исследуемый R-ряд является (в силу ограниченности временного

отрезка N) выборкой из некоторой генеральной совокупности, представляющей собой гипотетический временной ряд с бесконечным числом членов. Если же мы хотим использовать в имитационной модели программно-сгенерированный временной Т -ряд, то мы должны доказать,

что оба этих ряда - R-ряд и Т-ряд - принадлежат к одной генеральной

совокупности. Это тем более важно доказать, поскольку соотношение (2), которое мы применили при генерировании Т -ряда основано на

предположении принадлежности рядов к параметрическому семейству (в соотношении (2) нормальное распределение).

Таким образом, мы должны задать в программу генерирования ряда по

формуле (2) следующие параметры реального ряда R-ряда: Среднее Оут =

368,484 млн. руб., <7ут = 86,113 млн. руб., коэффициенты автокорреляции

Г1 = 0,566, г2 = 0,497, г3 = 0,329.

Для сравнения реального и искусственно сгенерированного временных рядов применим методы непараметрической статистики. Проверим с помощью тестов непараметрической статистики гипотезу об однородности двух выборок - R-ряда и Т-ряда, т.е. гипотезу о принадлежности этих двух

выборок к одной генеральной совокупности. Основные концепции и предположения, лежащие в основе каждого из тестов, подробно изложены в литературе, например в [3].

Используем модуль Nonparametric Statistics (Непараметрическая

статистика), инструментальной системы STATISTICA.

Применим тесты Sign test («Тест знаков»), Уилкоксона и Фридмана.

Тест Sign test показал, что вероятность ошибиться при отвержении гипотезы о принадлежности двух этих выборок одной генеральной

совокупности равна p = 0,031704. Кроме того, число отрицательных членов ряда составляет 57,2%, что довольно далеко от теоретических 50%.

Тест Уилкоксона дает вероятность ошибки p=0,1091 при отвержении гипотезы о принадлежности двух этих выборок одной генеральной

совокупности. Тест Фридмана дает вероятность ошибки при отвержении гипотезы о принадлежности двух этих выборок одной генеральной

совокупности p < 0,0268.

Таким образом результаты всех трех тестов подтверждают вывод о неудовлетворительной имитации Т] -рядом реального R-ряда.

Заменим в соотношении (2), ряд нормально распределенных случайных чисел т на ряд случайных чисел, распределенных по тому же

эмпирическому закону, что и R-ряд.

Обозначим случайное число, распределенное по тому же закону, что и R-ряд через ^, а ряд, который получится в результате применения

соотношения (2), в котором Т заменено на ^, через ^ - ряд. Для задания

^ -распределения использовалась кусочно-линейная аппроксимация, найденная с использованием гистограмм функции плотности распределения вероятностей значений реального временного ряда R-ряда. Соотношение (2) теперь запишется следующим образом:

Ovm

При генерировании - ряда в (3) подставляем параметры реального

ряда: Ovm , avm , ri (Рис. 3).

Рис. 3 Сгенерированный ^ -ряд (по оси ординат - млн. руб., по оси

абсцисс -номер дня).

Параметры сгенерированного с использованием взятой из реального

ряда функции плотности распределения ^ -ряда близки к параметрам R-ряда: среднее значение ^ = 365,948 млн. руб.; среднеквадратическое отклонение С^ = 74,729 млн. руб., коэффициенты автокорреляции г'ц =

0,589; '2^ = 0,33; г3^ = 0,177 (таблица 1).

Табл. 1 Сравнение параметров реального R -ряда и сгенерированного

% - ряда

Среднее значение, млн. руб. Средн. квадр. откл., а, млн. руб. Коэф. автокорреляци и Гі Коэф. автокорреляци и Г2 Коэф. автокорреляци и Гз

R - ряд 368,484 86,113 0,566 0,497 0,329

ряд 365,948 74,729 0,589 0,330 0,177

Применим тесты непараметрической статистики для сравнения R-ряда и % -ряда.

Тест Sign test показывает, что вероятность ошибиться при отвержении гипотезы о принадлежности двух этих выборок одной генеральной

совокупности равна р = 0,744824. К тому же число отрицательных членов ряда составляет 51,27%, что гораздо ближе к теоретическим 50%, чем в случае сравнения R-ряда и ц-ряда. Тест Уилкоксона показывает, что

вероятность ошибиться при отвержении гипотезы о принадлежности двух этих выборок одной генеральной совокупности равна р=0,962017 . Согласно тесту Фридмана, вероятность ошибиться при отвержении гипотезы о принадлежности двух этих выборок одной генеральной совокупности равна р < 0,6962 .

Таким образом, можно сделать вывод о том, что £ -ряд достаточно близок по совокупности своих свойств реальному R-ряду.

Нами приведено сравнение для одного примера R-ряда. Однако аналогичные расчеты показали, что £ -ряды, сгенерированные формуле (3), хорошо имитируют свойства самых различных временных рядов остатков на счетах «до востребования».

Сравним, используя тесты непараметрической статистики, £ -ряд с Ц -

рядом. Как и следовало ожидать, вероятность принадлежности £ -ряда и ц-

ряда к одной генеральной совокупности очень мала. Отметим, что результаты, полученные этими совершенно разными тестами очень близки (таблица 2).

Табл. 2 Проверка трех временных рядов тестами непараметрической статистики

R-ряд, Sign test R-ряд, Wilcoxon test Т -ряд, Sign test Т -ряд, Wilcoxon test % -ря^ Sign test % -ря^ Wilcoxon test

R-ряд 0,031 0,109 0,744 0,962

Т- ряд 0,031 0,109 0,117 0,129

%- ряд 0,744 0,962 0,117 0,129

Рассмотрим применение других тестов непараметрической статистики для проверки однородности реального R -ряда и сгенерированного £ -ряда.

Согласно тесту Wald-Wolfowitz вероятность ошибиться при отвержении гипотезы о принадлежности двух этих выборок одной генеральной совокупности лежит в диапазоне от p = 0,5803 до p = 0,6122.

Согласно тесту Mann-Whitney вероятность ошибиться при отвержении гипотезы о принадлежности двух этих выборок одной генеральной совокупности равна p = 0,951.

Тест Колмогорова-Смирнова ограничивает снизу вероятность p ошибиться при отвержении гипотезы о принадлежности двух этих выборок одной генеральной совокупности. Расчеты показали, что p > 0,10.

Согласно тесту Kruskal-Wallis вероятность ошибиться при отвержении гипотезы о принадлежности двух этих выборок одной генеральной совокупности p = 0,9518.

Согласно медианному тесту, вероятность ошибиться при отвержении гипотезы о принадлежности двух этих выборок одной генеральной совокупности менее p = 0,5807.

Таким образом, полученные результаты по оценке однородности выборок R-ряд и % -ряд позволяют использовать развитый в статье метод генерации автокоррелированных последовательностей случайных чисел (в данном случае - временных рядов) при решении задачи имитационного моделирования деятельности коммерческого банка.

Литература

1. Бочаров Е.П., Иванча А.Г., Е.В. Данилова. Оценка ликвидности коммерческого банка методами эконометрики и имитационного моделирования./ Прикладная информатика №3(21) 2009 Стр 18-27

2. Лоу А.М., Кельтон В.Д. Имитационное моделирование. В серии «Классика Computer Science». 3-е издание. - Санкт-Петербург: ПИТЕР, 2004. - 846 с.

3. Орлов А.И. Эконометрика. Учебник. М.: «Экзамен», 2002.

4. Рыжиков Ю. И. Имитационное моделирование. Теория и технологии. -СПБ: КОРОНА принт, 2004. - 380 с.