Математическое моделирование многослойных волноводных магнитодиэлектрических структур с полосковыми и щелевыми элементами на границах раздела сред

проще методов интерферометрии, поскольку не требуется формирования опорного пучка, что существенно упрощает оптическую установку.

Благодарности

Авторы благодарят кандидата физико-математических наук В. В. Лычагова, кандидата физикоматематических наук О. А. Перепелицыну, кандидата физико-математических наук Д. В. Лякина за помощь в экспериментальных исследованиях.

Работа выполнена при финансовой поддержке программы «Развитие научного потенциала высшей школы (2009-2011 гг.)» (проекты № 2.1.1/4973, 2.2.1.1/2950).

Список литературы

1. Джоунс Р., Уайкс К. Голографическая и спекл-интерферометрия / пер. с англ. М. : Мир, 1986. 328 с.

2. Франсон М. Оптика спеклов / пер. с англ. М. : Мир, 1980. 171 с.

3. Разумовский И. А. Интерференционно-оптические методы механики деформируемого твердого тела. М. : Изд-во Моск. гос. техн. ун-та, 2007. 240 с.

4. Резчиков А. Ф., Рябухо В. П. Высокоразрешающие интерференционные методы контроля рельефа поверхности и слоистой структуры изделий точного машиностроения и приборостроения // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010. Вып.1. С. 68-79.

5. Гужов В. И., Ильиных С. П. Компьютерная интерферометрия : учеб. пособие. Новосибирск : Изд-во Новосиб. гос. техн. ун-та, 2004. 252 с.

6. Schnars U, Jueptner W. Digital holography. SpringerVerlag, 2004. 164 p.

7. Baltiysky S., GurovI., De Nicola S., Ferraro P., Finizio A., Coppola G. Characterization of microelectromechanical systems by the digital holography method // The Imaging Science J. 2006. Vol. 54. № 2. P.103-110.

8. Дифракционная компьютерная оптика / под ред.

В. А. Сойфера М. : Физматлит, 2007. 736 с.

9. Горбатенко Б. Б., Гребенюк А. А., Максимова Л. А., Перепелицына О. А., Рябухо В. П. Спекл-фотография и голографическая интерферометрия с цифровой записью дифракционного поля в фурье-плоскости // Комп. оптика. 2010. Вып. 34, № 1. С. 69-81.

10. Горбатенко Б. Б., Рябухо В. П., Гребенюк А. А., Мысина Н. Ю., Максимова Л. А. Контроль микроперемещений методами цифровой голографической и спекл-интерферометрии // Вестн. СГТУ. 2010. Вып. 4(49). С. 14-24.

11. Laser speckle and related phenomena. Topics in Applied Physics / еd. J. C. Dainty. Berlin : Springer-Verlag, 1975. Vol. 9. 286 p.

12. Горбатенко Б. Б., Гребенюк А. А., Максимова Л. А., Рябухо В. П. Пространственный спектр (дифракционное гало) фурье-спеклограммы рассеивающего объекта // Комп. оптика. 2009. Т 33, № 1. С. 43-51.

13. Рябухо В. П., Горбатенко Б. Б., Максимова Л. А. Цифровая голография с виртуальной опорной волной // Изв. Сарат. ун-та. Нов.сер. 2008. Т. 8. Сер. Физика, вып. 2. С.11-23.

14. Горбатенко Б. Б., Максимова Л. А., Рябухо В. П. Восстановление голограммной структуры по цифровой записи фурье-спеклограммы // Опт. и спектр. 2009. Т. 106, № 2. С. 321-328.

15. Oppenheim A. V., Schafer R. W. Digital signal processing. New Jersey : Prentice-Hall, Inc. ; Englewood Cliffs, 1975. 416 p.

УДК 621.372

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ МНОГОСЛОЙНЫХ ВОЛНОВОДНЫХ МАГНИТОДИЭЛЕКТРИЧЕСКИХ СТРУКТУР С ПОЛОСКОВЫМИ И ЩЕЛЕВЫМИ ЭЛЕМЕНТАМИ НА ГРАНИЦАХ РАЗДЕЛА СРЕД

С. В. Алексутова

Саратовский государственный университет E-mail: aleksutova@list.ru

В работе изложен эффективный алгоритм моделирования сложных многослойных электродинамических систем с полосковыми и щелевыми элементами на границах раздела сред. Разработан подход к построению алгоритма автоматизированного проектирования подобных систем по заданной топологии поперечного сечения и параметрам системы.

Ключевые слова: математическое моделирование, распространение электромагнитных волн, дисперсионное уравнение, многослойные волноведущие структуры, полосковые линии, щелевые линии, метод Галеркина.

Mathematical Modelling Multilayered Waveguides

Magnitodielektrical Structures with Strip

and Slot Elements on Borders of Section of Environments

S. V. Aleksutova

The effective algorithm of modeling of difficult multilayered electrodynamics systems with strip and slot elements on borders of layers is presented. The approach to construction of algorithm of the automated designing of such systems by a given topology and parameters was developed.

© Алексутова С. В., 2011

Key words: mathematical modeling, propagation of electromagnetic waves, dispersion equation, multilayered waveguides structures, strip lines, slot lines, Galerkin's method.

Введение

Многослойные магнитодиэлектрические структуры с полосковыми и щелевыми линиями на границах сред используются при проектировании элементной базы различных высокочастотных устройств и систем в радиофизике, оптике и технике.

Использование строгих методов анализа и синтеза при моделировании означает применение алгоритмов на основе уравнений Максвелла и строгих решений уравнений движения. Несомненный интерес представляет расчет полей электромагнитных мод в многослойных магнитодиэлектрических волноводах, характер поведения дисперсионных кривых, особенности распространения волн [1, 2]. С расширением топологии волноведущих структур значительно рас-

ширяется спектр собственных волн, варьируется характер их поведения в частотном диапазоне. При этом расширяются возможности управления и выбора характеристик распространения волн при проектировании тех или иных устройств [3]. Одновременно усложняется задача построения строгих математических моделей для их численного исследования [4]. Решение подобных задач путем прямого сшивания полей на границах раздела сред ведет к значительному усложнению формулировки модели.

В данной работе предлагается эффективный подход к построению математических моделей подобных структур.

Построение математической модели

Рассмотрим многослойную магнитодиэлектрическую структуру с полосковыми и щелевыми линиями на границах раздела сред, поперечное сечение которой изображено на рисунке.

y

Î

Поперечное сечение многослойной магнитодиэлектрической структуры с полосковыми и щелевыми

линиями на границах раздела сред

Структура состоит из плоскопараллельных магнитодиэлектрических слоев толщиной di и проницаемостями г, ц , не ограниченных в направлении оси х и г. На границах раздела сред Іі может находиться по одному полосковому либо щелевому волноведущему элементу шириной wi. Плоскость 7OZ является продольной плоскостью симметрии системы, регулярной по оси г. Металлические поверхности si, образующие полосковые элементы и полуплоскости вне щелевых элементов, считаются бесконечно

тонкими, потери в металле и диэлектрике не учитываются.

Задача определения мод, имеющих распространение в рассматриваемой структуре, сводится к решению уравнений Максвелла с известными граничными условиями на границах раздела сред и границах рассматриваемой области. Учитывая однородность задачи в направлении оси г, будем искать решение уравнений Максвелла для полей Е и Н в виде зависимости от электрических и магнитных потенциалов Vе и Vк в виде [5]:

Ег = і-—Г (х,у) еі(ог—Я2),

Ех =

Еу =

Я

дуе 0)^0 Ні д Vі

к2 — Я 2

Н2 = і~і—— Vі (х, у) еі(аг —Я 2),

д х Я д у дVe С0^о Ні д Vі

і

д у Я д х

і

Нх =

НУ =

Я

дVh (0Є0 Є{ д Vе

д х Я д у дVh + 0Є0 Є; д Vе

і

д у Я д х

і

где в — неизвестное продольное волновое число, странства, к2 = к'^Єі /Іі к0 = 0)^Є0Н 0 ю— круговая частота, е0 , /и0 — электрическая и Сами потенциалы при этом удовлетворяют

магнитная проницаемости свободного про- волновым уравнениям вида

д

Л 2

+к2 —Я2

д х д у

Vе (х, у) = 0,

д

Л 2

+к2 —Я

д х2 д у

Vі (х, у) = 0.

Касательные компоненты полей на границе раздела сред подчиняются условиям:

Е + — Е — = 0, Е+— Е—= 0

Н+— Н— =—Л, Н+— Н — = Л

где индексы «+» и «-» определяют значения полей по разные стороны границы раздела сред; Jx, Jz, - компоненты плотности тока на металлической поверхности 5 границы раздела сред 1-.

Поиск решения задачи

Учитывая бесконечность структуры по оси X, применим к уравнениям (1)-(4) преобразование Фурье по переменной X в виде 1

Р

В результате полученных преобразований перейдем от исходной задачи к поиску решения уравнений в пространстве преобразований Фурье вида

~ к 2 - Я 2 ~ ~ к 2 — Я 2 ~

Ег = і-1—^Vе(а,у) е(аг—Я2), Нг = і-1—^Vі(а,у) еі(аг—Я2),

Еу =

Я

]аУе +

Я

°Н0 Ні д Vі Я д у

і

Н„ =

д1~е . °М0 Ні Vі

]а-------------Vі

ду

Я

е

і

Ну =

+ і а

Я д у

0Є0 Єі V е

д у

Ті

Vе (а, у) = 0,

ду

2 ' і

д у Я

г,2 Vі (а, у) = 0,

і

,і

2

2

2

2

д

д

2

где Vе и V - спектральные образы искомых потенциалов Vе и Vh, а - спектральный коэффициент разложения в преобразовании Фурье или постоянная распространения вдоль оси х, у2 =а2 +Р2 -е, .

Решения уравнений (7) для Vе и V в одиночном /-том выделенном слое могут быть записаны в виде :

уе (а у) = [ А(а) ^ку + в,(а) он /¡у],

~ (а,У) = [С,(а) якуу + (а) скуу].

Здесь А,, В(, С,, Д, - неизвестные амплитудные коэффициенты. Значения их определим из граничных условий для потенциалов Vе и Vh . Зададимся на границах /-л и /{ выделенного /-го слоя распределением электрического поля

Из условия согласования компонент электрического поля на границах слоя при у = у^ и у = yi получаем:

] к [4(а) як Ку- + в (а) ск Ку- ] = ,

у к [А(а) уу + В(а) ск уу ] = в;,, ]а [А(а) як уу-х + В,(а) ск уул ] +

+ 7, [С (а) ск уу- + (а) як уу,-х ] = ех{-Х,

Уа [А(а) уу, + в(а) ск уу{ ] +

+ у, [С(а) ск уу + Д(а) як уу> ] = ^.

Откуда находим:

А(а) = Ж-мм [е;‘-1(а)скг^ -(а)скку-], в (а) = щ-кш ~(а)як №-1- -1(а) як ],

С1 (а') (щ0

ав

(ех^кГгуг-1 - е^Уу ) -

к2-в: Д, (а) =--в

Щ10 ц.iYishYid.¡

ав

к -в

Подставлу (10в в (8), запишем выражения потенциалов Vе и Vк через амплитудные коэффициенты в слое:

V'6 (а, у) =

р

у (к, -в^ку^,

- У;гЯк7г (у - у,-1)]

Р

VІ (а, у) = [{е«-гскУ(у - у) -

-ехОкК(у - у^г)}

а в

к -в

{^,г-1Ск7г (у - у,) -

- еиск7(у - у-)}]

е Решения уравнений для потенциалов Vе и Vк многослойной структуры должны удовлетворять граничным условиям на границах раздела сред. Подставляя (11) с учетом (6) в (3) и (4), получаем следующее функциональное уравнение для /-той границы раздела сред :

4-+ 4 в + 4г+1ег+1 = 3,

образ Фурье распределения

электрического поля на границе / (/—/', /, /+1);

образ Фурье распределения тока на

металлической поверхности 1-той границы; Л» -квадратные матрицы второго порядка.

Функциональное уравнение связывает распределения полей е-х, у, ум на границах /-1, /, /+1 и тока у. на 1-той границе раздела сред. Для практической реализации метода эффективно формировать функциональное уравнение в таком виде, где в качестве неизвестных распределений полей у. на бесконечных границах раздела сред и токов у. на металлических полуплоскостях выступают распределения полей Д. на щелевых и токов Ц на полосковых линиях, имеющих конечные интервалы их распределения. Именно эти функции определены только на ширине волноведущего щелевого или полоскового элемента соответственно. Поэтому функциональное уравнение (12) будет иметь следующий вид для /-той границы со щелевым элементом :

Аа-г+ 4Л + = у.,

и для /-той границы с полосковым элементом :

ва-г У-г + Вц1, + Ва+Ам = У

е,-г =

1-1

Здесь Аіі—Х =

а

Ъ_

аа

— + — I г+л і г,.

Р +

а

+

і+\

а

і+\

Ъ

і+\

у гі гі+1 гі гі+1 у

Рі+х а

Яі+х Яі+х

а Ъ

Зі+х Яі+х

Вц—=А-1 • Ац—х ; Ва =А— ; В, +Х=А — • А,,+х ;

Рі =

кі —Я . _ =а . м = Щ,Н . * = аЄА

; Ъ ; мі п ; Ті

в ’ Р1 ’ '"i в в ’

я, = М у, як у. di; ^ = М у, т у, di; у, =а + /З2 - к2.

Использование базовых уравнений (13), громоздкие выкладки, запишем функциональ-

(1 4) позволяет построить общие функцио- ное уравнение для композиционной системы

нальные уравнения для всей многослойной общего вида для /-той границы со щелевым

структуры, изображенной на рисунке. Опуская элементом:

к+-1 к~+1

Ь%Е+ + У У + дж + У Я-Г + Г Е- = У..

к Ч ] *~'11 1 1] ] гк к 1 - у

]=,+г у=,-1

Для границы с полосковым элементом получаем:

к+-1 к - +1 Ъ Ек-+1 р+е ,+ВУ + У Ч, + рй- Ек

а

і=і +х

і=1—х

= а,

где операторы уравнений (15) и (16) являются комбинациями матриц А и В.

Здесь введены следующие обозначе-

ния

Е,і± Аіі±х

е=і

і± +х

а, = Н,+ + А,, + Н— , Н± = X

ы±х

Уи ±х = (Ви+х Ст е+х )---(Ві±2 і±хСі±хі±х ) , Уе і = (Вее+х Ст е+х )(Вт е+2Се+2 е+2 )•••(В і±х іСіі ) >

Сее =1 Ви+1 Ст 1+1 Ве+11 , ^ х ± 2, х ± 3,к, к +

С.+1 м = I, У" = I, I = , ± 1, .к, к ± + 1, где I - единичная матрица,

і± +х

і +І

і? ± = V в

іі± іі± +х і± Тхі

о„ = П

ы+х

£=і+х

Ті? = I—П(к±х Ті)(Віі±х Ум, Т— Уі±х Ві±„),

к=і +х

Уіі± +х =

Уі±К = (ТІ±1 і±х Бі±х і±2 ^(Ті±2 і±2 Бі±2 і±3 )  к(Ті+ц+хБ(+ц ) , У і = (БІ е+х Т1 т:х е+х )(Бе+х е+2ТЄ+2 е+2) -к( Б і ±х іТіі ) ,

і

Ytí±i — (Btt+\ Ttmil+i)(Bml+iTt+2l+2 (Bi±2i±iTi±u±i ) ,

-1

i-i

1 Bii+1 Ti +11+1 Bi+1 i

L — i ± 2, i ±3,..., h± +1, T — I, T+1+1 — I.

Уравнения (15), (16) позволяют получить эффективный алгоритм автоматизированного построения математических моделей подобных структур произвольной топологии. Построенный алгоритм сводит решение исходной задачи по расчету собственных волн к системе функциональных уравнений с числом уравнений, равным числу границ с волноведущими элементами:

М  X = У,

где X —

rWu Л W 2 i

i — 1,2,...p - вектор искомых

распределений соответствующих компонент полей Е и токов I на щелевых и полосковых

элементах соответственно, Y¡ —

распределений токов J —

Л

(Р2

вектор

e —

либо полей

Jx,

\ x J

вне волноведущих элементов.

Решение системы (17) проводится проекционным методом Г алеркина.

Для этого неизвестные распределения полей и токов на соответствующих волноведущих элементах представим в виде разложения в ряд по системе ортогональных функций в виде :

У &)

fY1 Л W2

где f1 n (t) —

X a[nf2 n

0

1

2 x i . w , ft — —, x < W, (18) w2

л/1 - t

Tn (t) ,

/2 п() = - у л/Т-Т2 ип (г), | г | < 1 ,

Тп (г), ип (г) - полиномы Чебышева I, II рода.

Применяя преобразование Фурье к (18) и подставляя в систему (17), путем проведения проекционной процедуры переходим к системе алгебраических уравнений относительно коэффициентов разложения искомых распределений полей и токов в следующем виде:

К  А = 0.

Элементы матрицы коэффициентов К линейной алгебраической системы (19) вычисляются по формуле

к%,„ — j Rp

2

2

где R jp (a, в) - элементы матричных операторов при функциях распределения на элементах wt в функциональных уравнениях (15), (16); J Jn - функции Бесселя; L,p —1,2; j,i —1,2,.,N; m, n —1,2,..., k¡; N - число волноведущих элементов в системе, kt - число учитываемых членов ряда в разложении.

Система (19) однородных уравнений имеет стандартное решение.

Из условия Detf K || — 0 получаем дисперсионное уравнение для определения искомых постоянных распространения в собственных волн в данном волноводе. Решение системы дает коэффициенты разложения в (18) и позволяет найти распределения полей и токов на волноведущих элементах, а также функции электрических и магнитных полей собственных волн в рассматриваемой структуре.

Заключение

В статье дается алгоритм математического моделирования многослойных волноведущих магнитодиэлектрических структур с полосковыми и щелевыми линиями на границах раздела сред магнитодиэлектриков. На основе строгого решения уравнений Максвелла, применения граничных условий для электромагнитных полей строится система функциональных уравнений относительно искомых функций распределения полей на щелевых и токов на полосковых линиях. Полученные результаты используются автором для создания систем автоматизированного моделирования подобных многослойных структур по виду заданной топологии моделируемой структуры.

^исок литературы

1. Голант Е. И. Новый подход к расчету вытекающих мод многослойных волноводных структур, основанный на точном методе конечных разностей // Письма в ЖТФ. 2005. Т. 31, вып. 24. C. 81-87.

2. Тихонравов А. В., Трубецков М. К. Новые задачи многослойной оптики // Радиотехника и электроника. 2005. Т. 50, № 2. С. 265-272.

3. Rodriguez-Berral R., Mesa F., Jackson D. R. Gap Discontinuity in Microstrip Lines : An Accurate

X

0

2

Semianalytical Formulation // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 2011. Vol. 59, № 6. P. 1441-1453.

4. Alecsutova S. V. Mathematical Modelling of Multilayered Waveguides with Non-Uniform Boundaries // Mogennpo-

вание в прикладной электродинамике и электронике : сб. науч. тр. Саратов : Изд-во Сарат. ун-та, 2007. Вып. 8.

С. 76-81.

5. Никольский В. В. Электродинамика и распространение радиоволн. М. : Наука, 1989. 544 с.

УДК 534.1:539.3

О ВЛИЯНИИ ГРАНИЧНЫХ УСЛОВИЙ НА ДИНАМИКУ ЧУВСТВИТЕЛЬНОГО ЭЛЕМЕНТА ПЬЕЗОГИРОСКОПА

В. Ю. Ольшанский, А. В. Серебряков*, И. Ф. Абитова

Институт проблем точной механики и управления РАН, Саратов *Энгельсский технологический институт

Саратовского государственного технического университета E-mail: olshanskiy_vlad@mail.ru; abitovaif@rambler.ru E-mail: bundzin@inbox.ru

Рассмотрены колебания в чувствительном элементе пьезогироскопа при измерении угловой скорости. Решена связанная задача электроупругости для системы упругих пьезокерамических пластин и присоединенной массы. Учитывалось наличие сил вязкости при деформациях пьезокерамики. Исследовано влияние условий закрепления пластин на амплитудно-частотные характеристики устройства.

Ключевые слова: сила Кориолиса, угловая скорость, пьезоэффект, электроупругость.

The Influence of the Boundary Conditions on ohe Dynamics of the Piezogyroscope’s Sensitive Element

V. Yu. Olshanskiy, A. V. Serebryakov, I. F. Abitova

There has been considered the fluctuations inside the sensitive element of the piezogyroscope while measuring the angular velocity. The coupled electroelasticity problem for the system of the elastic piezoceramic plates and associated mass has been solved. The presence of the viscous forces during the deformation was taken into consideration. There has been investigated the influence of the plate fixation on the amplitude-frequency characteristics of the device.

Key words: Coriolis force, angular velocity, piezoeffect, electroelasticity.

1. Объект исследования

Рассматривается пьезогироскоп - датчик инерциальной информации (ДИИ). Устройство предназначено для измерения угловых скоростей. Чувствительный элемент датчика состоит из двух взаимно перпендикулярных пластин и присоединённой к ним массы. Пьезокерамические пластины П1? П2 имеют толщины h1 = h2 = h. У каждой пластины одно из оснований закреплено, а другое находится в контакте с грузом массы М. Груз присоединен так, что на пластины передаются только нормальные механические усилия. На пластину П1 подаётся переменный ток. Вслед-

ствие этого в ней за счет обратного пьезоэффекта возбуждаются упругие волны, которые вызывают колебания присоединённой массы. При наличии угловой скорости переносного вращения присоединенная масса воздействует на пластину П2-За счет прямого пьезоэффекта в этой пластине генерируется электрический ток. Характеристики тока зависят от величины угловой скорости.

В настоящей работе, в рамках предложенной ранее модели ДИИ [1, 2], исследовано влияние на выходной сигнал различных условий закрепления пьезопластин. Представлена зависимость выходного тока от частоты возбуждающих колебаний и угловой скорости.

2. Математическая модель

Механические колебания в пластине П1 описываются перемещениями u1(x1,t) в направлении оси Ox1. Эти колебания передаются присоединённой массе. Когда ДИИ вращается с угловой скоростью ^ относительно инерциальной системы отсчета, на присоединенную массу действует кориолисова сила Fc = -2 M (^ х vr).

Так как период колебаний пластин мал и за один период угловая скорость D изменяется незначительно, рассмотрим стадию установившихся колебаний при D = const. Рассмотрим связанную задачу электроупругости. Используем уравнение механических колебаний при наличии вязкого трения

д 2и, _ ди, д2 и, , . _

k- + 2a= ^т, k = 1,2,

dt2

dt dx 2

уравнения (1) записаны в безразмерной форме.

© Ольшанский В. Ю., Серебряков А. В., Абитова И. Ф., 2011