Анализ точности приближений метода конечных суперэлементов Федоренко

МАТЕМАТИКА

J

УДК 519.632

C. А. Лазарева

АНАЛИЗ ТОЧНОСТИ ПРИБЛИЖЕНИЙ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ СУПЕРЭЛЕМЕНТОВ ФЕДОРЕНКО

Рассмотрен метод конечных суперэлементов Федоренко. Получены априорные оценки погрешностей метода и установлена его насыщаемость в пространствах Соболева. Выведено неравенство Джексона для МКСЭ-приближений. Исследование проведено на примере задачи Дирихле, результаты могут быть распространены на класс общих линейных эллиптических задач. Приведен пример численного расчета распределения электрического потенциала в проводящих объектах.

Ключевые слова: метод конечных суперэлементов, мелкомасштабные неоднородности, априорные оценки погрешности, насыщаемость.

Принципы метода конечных суперэлементов. Метод конечных суперэлементов (МКСЭ) впервые предложен в работах Федоренко и его коллег [1, 2]. Он входит в класс численных методов, основанных на декомпозиции области в сочетании с выбором особой аппроксимации решения. Приближенное решение МКСЭ заведомо обладает некоторыми свойствами, присущими рассматриваемой математической модели. Это позволяет решать ряд сложных вычислительных задач. В работах [1-7] эффективность МКСЭ подтверждена примерами расчетного анализа различных физических проблем. В настоящей работе рассмотрены задачи, которые характеризуются наличием множества резких особенностей, проявляющихся на малых пространственных масштабах. Такие особенности могут представлять собой как сингулярности самого решения, так и резкие неоднородности области расчета.

Рассмотрим, например, задачу Дирихле для дифференциального уравнения Лапласа в двумерной области П С К2 :

Расчетная область П — квадрат с исключенными из него кругами, радиус которых мал по сравнению с размерами П. Полагаем, что в окрестностях таких мелких отверстий сосредоточены все резкие сингулярности решения. Здесь и — искомая функция; дП — граница расчетной области; д — некоторая известная функция на дП.

Кратко опишем схему МКСЭ применительно к этой задаче. В МКСЭ подобно обычному методу конечных элементов (МКЭ) расчетная область П разбита на некоторое число подобластей, называемых суперэлементами. В отличие от МКЭ размеры суперэлементов

-Au = 0 в Q; u = д на dQ.

выбраны достаточно большими для того, чтобы каждое из мелких отверстий, исключенных из области, содержалось строго внутри одного суперэлемента.

Каждая базисная функция МКСЭ ФДх) единообразно задана в каждом суперэлементе Пк и является решением задачи Дирихле следующего вида [2-5]:

-ДФг = 0 в П;

Фг = фг на Б к = д Пк,

где граничные базисные функции ф^, заданные на границе суперэлемента Бк, принимают значения

1рг

в узлах суперэлемента Р], ] = 1,... ,п, включая возможную границу отверстия в данном суперэлементе, обозначенную через Р0; 8] — символ Кронекера. Узлы Р3 с индексами ] = 1,... ,п расположены только на границе суперэлемента — на его ребрах и в углах. С узлов на ребра границы суперэлемента функции <ф продолжаются некоторым стандартным интерполянтом — полиномиальным, кусочно-линейным, сплайн-интерполянтом и т.д. Предполагается, что функции Ф%(х), Ф] (х), определенные на одном и том же ребре соседних суперэлементов Пк и Пт, совпадают, т.е.

фг

для всех Бк П Бт = 0 и всех соседних суперэлементов Пк, Пт Ук,т.

Отметим, что сингулярности задачи в окрестностях отверстий учтены посредством базисной функции с нулевым индексом Ф0(х) в каждом суперэлементе. Остальные функции ФДх), г = 0, при наличии отверстия в суперэлементе Пк обращаются в нуль на его границе согласно (5). Если в суперэлементе отверстия нет, то Ф0(х) = 0.

Решение задачи внутри каждого отдельного суперэлемента будем искать при помощи построенного базиса

п

и

г=0

Таким образом определено приближенное решение МКСЭ и(х) во всей расчетной области П = икПк. Решение й(х) должно удовлетворять главному граничному условию (2) на дП

й(Рг) = д(Рг), УРг е дП.

Неизвестные значения щ разложения (7) определены с помощью схемы метода Бубнова-Галеркина при выборе функций Ф^ (х) в качестве базисных и пробных [3-7].

Анализ вычислительной точности МКСЭ выполнен в работах [5, 6]. Предложены различные варианты метода и подтверждена его расчетная эффективность для задач, содержащих резкие особенности в расчетной области как в двумерном, так и в трехмерном случаях.

В работах [3, 4] проведено теоретическое исследование МКСЭ, которое позволяет строить аппроксимации метода для широкого круга задач математической физики. Исследования опираются на общую запись формулы Грина и охватывают слабые решения класса задач, описываемых линейными эллиптическими уравнениями. Установлена связь аппроксимаций МКСЭ с проекционными методами и показано, что для сходимости метода на пространстве слабых решений необходимо и достаточно сходимости аппроксимаций, задаваемых в пространстве их следов на границах разбиения.

Большой интерес представляет вывод оценок погрешностей МКСЭ Федоренко и качественный анализ его аппроксимационных свойств. В настоящей работе получены априорные оценки погрешностей в шкале пространств Соболева HR(П). Этот вопрос связан с получением аппроксимантов повышенного порядка в МКСЭ и предполагает исследование сильных (и гладких) решений задачи. Установлена насыщаемость и получены точные оценки погрешностей в пространствах Соболева, выведены погрешности численного решения на соболевских классах функций. Исследование проведено на примере задачи Дирихле (1)-(2) в двумерном случае. Предложенный подход может быть распространен на класс общих линейных эллиптических задач. В заключение рассмотрен пример использования МКСЭ для задачи численного расчета распределения электрического потенциала.

Основные определения. Ниже получены априорные оценки погрешностей метода в норме пространства H*(П) [8]. Интерес представляет адаптация аппроксимаций МКСЭ для разрешения задач, к которым предъявлены повышенные требования гладкости в естественной для них шкале пространств Соболева HR(П), R > 1 [8]. Индекс R Е Z используем для целых значений показателя гладкости и s Е R либо r Е R — при вещественных. Исследование проведено в предположении достаточной гладкости функции граничного условия g и границы области дП для того, чтобы искомое решение принадлежало пространству Соболева HR(n) [9]. Далее использованы следующие обозначения: П — расчетная область; Sk — граница суперэлемента Пк; S = Uk Sk — совокупность всех суперэлементных границ; u — искомое и U — приближенное решение МКСЭ.

Внешняя граница суперэлемента Пк, обозначенная символом дПк или Sk, принадлежит классу C0 гладкости. При этом допустимо рассматривать лишь тот случай, когда Sk — многоугольная граница, либо

граница, состоящая из конечного числа гладких кривых, т.е. Бк = и 1к1, I = 1,... ,Ь. Интерес представляют те варианты МКСЭ, где граничные базисные функции ^ (4) на отрезках 1к1 заданы полиномами или сплайнами Лагранжа [5]. Введем необходимые определения.

Пространство всех полиномов порядка не выше V на отрезке 1к1 обозначим Р(1к1) [10]. На границе Б введем пространство Р (Б) = Л Р (1к1) как множество всех полиномов порядка не выше

v V

к,1

v

V на каждой из ее частей 1к1. Символом (Б) обозначим пространство всех сплайнов порядка не выше V, построенных при разбиении Б на (И — 1) отрезок длины |/к1|^ [10]. Полиномиальная интерполяция служит частным случаем интерполяции сплайнами, поэтому при ее рассмотрении вариант полиномиальной граничной интерполяции МКСЭ отдельно выделять не будем.

Аппроксимирующее пространство У^ (П) МКСЭ — это линейная оболочка, образованная всеми базисными функциями Ф^ МКСЭ (3)-(4) с граничной интерполяцией посредством сплайнов (Б), т.е.

^

Здесь след функции на Б определен равенством V = {7^у}К=1, КЕ — число суперэлементов в области. Оператор взятия следа 70, заданный на Ск) соотношением

Мки)

непрерывно действует из пространства Н 1(Пк) в Н 1/2(Бк) для всех к = 1... КЕ. При этом существует непрерывный оператор, обратный к и действующий из Н 1/2(Бк) в Н 1(Пк). Такой общий случай действия оператора 7° справедлив как для гладкой, так и для многоугольной или просто липшицевой границы Бк (см. [9, 11]). Определение (П) содержит также следующее условие:

7° V = 7°к V = 7°т V почти всюду на Бк П Бт

(для всех Бк П Бт = 0 и всех соседних суперэлементов Пк, Пт Ук,ш [12]). Аппроксимирующее пространство МКСЭ содержит его как главное условие, накладываемое на все базисные функции. Иногда, если это не вызовет недоразумений, будем использовать также символ 70, не обозначая при этом множество, на котором определена область значений оператора следа. Аналогично определим и аппроксимирующее пространство (П) МКСЭ, представляющее собой линейную оболочку, образованную базисными функциями МКСЭ с граничной интерполяцией посредством полиномов Р (Б).

В определение аппроксимирующего пространства не входят условия совместности функций в узлах Р] суперэлемента

на соседних отрезках /к; П 1кл = Р] = 0 границы Б У/,£ = 1,..., п, Ук = 1,..., КЕ. Условие (11), как правило, выполнено в схеме МКСЭ, поскольку оно введено в определение граничных базисных функций Фг(х) (см. (6)). Оно связано с расчетом базисных функций МКСЭ из задач (4)-(5) и заданием для них интерполянта фДх), непрерывного на всей границе Бк = и;/к;. Линейная оболочка таких базисных функций МКСЭ согласно определению и составляет аппроксимирующее пространство. Тем не менее условие (11) можно ввести без ограничения общности метода, если непрерывность искомой функции в окрестностях узлов суперэлемента заведомо известна, а все особенности задач заключены строго внутри суперэлементов. В частности, всегда для сильного решения и е Нв(П) при 8 > 2.

Отметим, что в определении (8) использован оператор Лапласа, определяющий гармоническую функцию в суперэлементе. Под гармоничностью некоторого слабого решения и е Н:(П) в произвольной области П будем понимать его удовлетворение уравнению Лапласа в обобщенной постановке

/ди

—^х = 0 Уу е Н!

дП

Далее как для слабого, так и для сильного решения продолжаем формально пользоваться кратким обозначением -Ди = 0.

Выражение (Уи, Уу)^2(П) в соотношении (12) задает непрерывную билинейную форму, соответствующую задаче (1)-(2) и обозначенную а (и, у) = (Уи, Уу)ь2(П), где П — расчетная область [3, 4, 9]. Она определяет энергетическое скалярное произведение и энергетическую норму задачи, совпадающие со скалярным произведением и нормой пространства Соболева Н:(П) (см., например, [13]):

а (и,у) = (уи Уу)ЫП) = К^Я^ а (и,и)1/2 = (Уи У^^П) = = Ци|я1(П). Пространство Н 1(П) есть энергетическое пространство задачи.

Оценка наилучшего приближения в Н 1(П). Исследование проводится в предположении, что коэффициенты системы Бубнова-Галеркина в схеме МКСЭ (7) вычислены точно. Тогда расчет коэффициентов приближенного решения и по методу Бубнова-Галеркина равносилен построению такой комбинации базисных функций, которая в метрике энергетического пространства Н 1(П) является наилучшим

приближением к и [13, 14]. При получении оценок нам не обязательно работать с аппроксимацией и. Достаточно найти в аппроксимацион-ном пространстве (П) (либо К (П)) хорошее приближение к и, тогда и будет еще лучше по энергетической норме. Для этой цели удобно взять интерполянт функции и, который обозначим через (и) (соответственно п у(и)):

11и - и11я1

^

В этом неравенстве константа С определена параметрами а и ^ соотношений непрерывности и эллиптичности исходного оператора [15]:

С = а/^,

где константы а, ^ такие, что

Величину е"(и) = т£ ^||и — у||я 1(П^ назовем наилучшим

приближением (или величиной наилучшего приближения) элемента и е НЛ(П) подпространством (П) С Н 1(П) в норме Н 1(П). Она представляет собой норму ошибки приближения функции и аппроксимирующим пространством МКСЭ (П), имеющую наименьшее значение. Назовем элементом наилучшего приближтия такую функцию 9 е К"(П), что (и) = (||и — у||я1(п)) = ||и — ^ячп). Определения соответствуют работам [10, 16, 17]. Аналогично введем е"(70и)1/2 = ^ (||т0и — эд||Я1/2(£)^ — наилучшее приближение

(величина наилучшего приближения) элемента 70и, определенного на Б, подпространством Р^(Б) С Н1/2 (Б) в норме пространства Н1/2 (Б).

Отображение п": Нк(П) ^ (П) каждому элементу и е Нл (П) ставит в соответствие его интерполянт п"(и) из класса (П) [10], а отображение п": Нг (Б) ^ Р^ (Б) каждому элементу 7°и е Нг (Б) ставит в соответствие его граничный интерполянт из Р^ (Б); п" — линейное непрерывное отображение, проектор на пространство (П) либо Р^ (Б) соответственно. Аналогично определяем отображение п^: Нг (!к;) ^ Р^ (1к;), ставящее каждому элементу 70и е Нг (!к;) на отрезке /к; С Б в соответствие его интерполянт класса Р^ (!к;). При полиномиальной граничной интерполяции справедливо соотношение для п ^: НЛ(П) ^ К(П), а также п^: Нг(Б) ^ Р^(Б).

Погрешностью метода на классе HR(H) назовем величину [10, 17, 18]

¿NHR

ueHR

Согласно [10, 17] считаем, что метод имеет насыщение (насыщаем) на классах HR(П), R > 1, если существует R0, для которого

1) lim sup Цм — nNм11 u0ч = 0 при R < R0;

N ^ ueHR

2) sup llu — иУ„ -i ,оч = o

ueHP

при R < P < R0;

3) при R0 < R существуют u £ HR(П) и не зависящая от v константа c> 0, такая, что llu — (u)||„г(0) > c • sup llu — u||„x(0).

Характерным свойством МКСЭ является возможность рассмотрения задачи (1)-(2) в некотором подпространстве энергетического пространства Н:(П) С H:(П). Оно снабжено дополнительным свойством гармоничности функций в каждом из суперэлементов Пк в отдельности:

^(П) =

= {v £ H:(П) : — Ду(ж)=0, x £ Пк, для всех Пк, k = 1,..., K^} .

Аппроксимирующее пространство МКСЭ (8) является подпространством данного пространства. Определение H1 (П) включает в себя условие (10):

ySv = v = v почти всюду на Sk П Sm,

для всех Sk П Sm = 0 и всех соседних суперэлементов Пк, Пт Vk, m. Перепишем определение (17) в эквивалентном виде:

Н^П) = jv:y0v£H 1/2(S), —Дv(x)=0, x £ Пк, для всех Пк,таких, что

ySv = 7Sk v = 7Sm v почти всюду на П Sm = 0,

k,m = 1,..., |.

Исследования настоящего раздела базируются на существовании изоморфизма между пространствами Н1(П) и H1/2 (S), описанного ниже. Можно утверждать однозначное соответствие между пространством всех гармонических функций из H1 (Пк) и пространством H1/2 (Sk) их следов на границе Sk с эквивалентностью соответствующих норм. Однозначное отображение устанавливается посредством

оператора следа yS (см. (9)), а именно оператор yS^ на классе гармонических функций из H ) сопоставляет такой функции u единственный элемент 70u £ H1/2 (Sk). Это следствие существования оператора yS^ на и однозначной разрешимости задачи Дирихле в пространстве H 1(Пк) с такими граничными данными [9, 15]. Результат справедлив как на гладкой, так и на многоугольной границе суперэлемента . При этом для однозначной разрешимости задачи Дирихле в пространстве H1(^) достаточно коэрцитивности соответствующей ей билинейной формы a (u, v), которая задает скалярное произведение в H1(^) и коэрцитивна на пространстве слабых решений. Легко убедиться [9, 19], что в классическом случае линейного эллиптического уравнения второго порядка для этого достаточно эллиптичности задачи в области суперэлемента .

Здесь и далее эквивалентность норм будем обозначать IHI^i(П) — — II7°^Ihi/2(S). В целом, A — B ^ 3c1,c2 = const : c1A < B < c2A, если A, B — некоторые выражения.

Для любой функции u £ H1 (П) имеем

Утверждение 1. Пусть (u) есть наилучшее приближение функции u £ HR(H) аппроксимационным пространством МКСЭ VN (П) по норме пространства H 1(П), а величина (y°u)1/2 есть наилучшее приближение ее следа 7°u в пространстве H1/2 (S) сплайнами

PN (S).

Тогда

С1 • eN

где c1, c2 - некоторые константы.

Действительно, согласно определению

а также (y°w)i/2 = inf ) (jlY°u — w||Hi/2(S)j . Поэтому из (20) может быть получено соотношение

(u)= vef — ЧП)) -

~ inf

v

eVN

где ы = 7% с учетом определения аппроксимационного пространства (8), связанного со сплайнами. Выражение (22) эквивалентно (21). Постоянные с1 и с2 определены константами неравенств вложения соответствующих пространств.

Введем следующие пространства

= {v : Y0v G HR-1/2(S), - Av(x) = 0, x G П, для всех П}

для любых R G Z, R > 1, k = 1,...,KE. При R =1 подразумевается определение (19) пространства Н^П). В определение HR(П) включим и условие (18). Рост показателя R характеризуется увеличением гладкости функций y0v G Hr-1/2(S) = ПHR-1/2(Ikl) из этого

пространства на всех гладких частях суперэлементных границ.

Поскольку для следа любой функции v из пространства HR(П) справедливо включение Y0v G Hr-1/2(S), то выполняется условие

HR

Обратное вложение при R =1 на границе класса C0 не имеет места. Кроме того, любая функция v G HR

llv^fiR

k

Здесь и далее ||y0v|hr-i/2(S) — условная запись. Для R =1, как и ранее, имеем эквивалентность ||v||h i(П) — ||Y0v|H1/2(S).

Для классов HR(n) аналогично определению (16) погрешностью метода на классе HR(n) назовем величину

¿NHR

= ¿NHr

70«eflr

с учетом (24), где r = R — 1/2.

Из вложения (23) следует справедливость неравенства

¿NHR

По аналогии с предыдущим определением понятия насыщаемости будем говорить, что метод имеет насыщение (насыщаем) на классах HR (П), r = R — 1/2, r = 1/2,3/2, 5/2,..., если существует r0, для которого

1) lim ¿NHR(П) = lim ¿NHr(S) =0 при r < r0;

N N

2) ¿NHs(S) = o(5NHr(S)) при r < s < r0;

3) при r0 < r существуют Y0u G Hr (S) и не зависящая от v константа c > 0, такая, что ||y0« — (y0u)||h 1 /2(S) > c • ¿NHro(S).

Насыщаемость. Неравенство Джексона. Согласно утверждению 1, для того чтобы провести оценку наилучшего приближения

(u) сверху, получив таким образом и оценку погрешности МКСЭ (см. (13)), необходимо оценить величину наилучшего приближения

(y°u)1/2. Далее мы так и поступим. Основным рабочим пространством выступит пространство H1/2 (S) всех следов функций из H 1(П).

В том случае, когда искомая функция u £ HR(n) с целочисленным индексом R = 1, 2,..., показатель гладкости следа 7°u изменяется в пределах соболевских пространств с дробными индексами на всех гладких частях границы Jk1 по отдельности так, что 7°u £ Hr (S), r = 1/2, 3/2,... Для гладкого искомого решения нам понадобится и соотношение (23): u £ HR(n) С HR(n).

Следующее утверждение справедливо как следствие соотношений (25) и определений насыщаемости для HR(n), HR(n).

Утверждение 2. Если МКСЭ насыщаем на классах HR(П) (в норме пространства H 1(П)), то он насыщаем и на классах Соболева HR(H).

Далее в настоящем разделе след функции y°u £ Hr (S) на S (т.е. ограничение u на границу S) будем обозначать символом u вместо 7°u для большей наглядности выкладок, т.е. полагаем, что некоторый элемент u определен только на S и u £ Hr (S).

Доказательство насыщаемости МКСЭ. Оценки погрешностей для v > r — 1. Докажем насыщаемость МКСЭ на классах Hr (S) в пространстве H1/2(S), r > 1/2. Аппроксимация задачи проводится пространством VN(П) МКСЭ, связанном с лагранжевыми сплайнами PN(S) на равномерной сетке.

Запишем неравенство Лебега [18]:

eN

где (u)1/2 = ||u — nN(u)||H 1/2(S) — ошибка интерполяции в пространстве H 1/2(S); eN(u)1/2 — величина наилучшего приближения. Отсюда следует

sup eN

«еяr

где Hr — погрешность метода на классе Hr. При этом нужно отметить, что || совпадает с ||пv|| и не зависит от N.

Рассмотрим верхнюю оценку (27). Задача получения оценки sup eN (u) 1/2 сводится к оценке величины наилучшего приближе-

«еяг

ния полиномами порядка не выше v на элементарном отрезке разбиения Jk :

Ke

sup eN

«еяr(S) «еяг(ifc) .=1 k

где е^(м)1/2 = inf (||и — ^||я1/2^ ) — величина наилучшего при-

v&Vv

ближения полиномами порядка не выше V в пространстве Н 1/2(/к).

Оценим величину еу (и)1/2, и € /&. Далее будем обозначать / = /^, опуская индекс.

Хорошо известно неравенство Джексона для оценки наилучшего приближения алгебраическими полиномами. Классическое неравенство выведено для и € С(/) [21, 22]. Используются также его обобщения на пространства Соболева НК (/) с целочисленными индексами К € Ъ [17]. При этом рассматривается норма пространств С(/) и Ь2(/) соответственно. Возможность обобщения неравенства на дробные пространства Соболева мало освещена в литературе. Докажем неравенство типа неравенства Джексона для оценки величины наилучшего приближения алгебраическими полиномами при и € Нг (/), г = 3/2, 5/2,..., в пространстве Н1/2 (/).

Для этого воспользуемся элементами теории интерполяционных пространств (в частности, выписанные ниже результаты получены при помощи К-метода Петре [23, 24]). Опорной точкой будет служить уже известная оценка величины наилучшего приближения е у (и)^2 для функции и € Нк (/), Я > 0, Я € Ъ, из пространства Соболева с целыми индексами в пространстве Ь2(/). Применяя элементы теории интерполяционных пространств, получим оценку величины наилучшего приближения для дробных пространств Соболева и € Нг (/), лежащих между Ь2(/) и Нл(/) : 0 < г < Я. Таким образом, искомая оценка будет получена для любого дробного соболевского пространства Нг (/), г > 0, при прочих условиях, необходимых для утверждения справедливости исходной классической оценки.

Утверждение 3. Пусть V > г — 1. Для любой функции и € Нг (/), г > 1/2, г € М, / С М1, справедлива оценка

е,(и) 1/2 < С1/2Мг1/2Мг1^21 + 1)г_1/2 11 |Г |и|нГ(1) ,

где константы Мг, Мг-1/2 зависят только от г. Через |/1 обозначена длина отрезка /.

1. Для начала введем необходимые определения.

Запишем определение К-функционала: V* > 0

К (и, *) = К (и, ¿2(/), Нл (/)) = ш£д [||и — ^ + * Ы^

Он позволяет определить набор интерполяционных пространств (Ь2(/),Нл(/))^ с индексом 0 < в < 1 следующим образом.

M

Интерполяционным пространством (¿2(/),Нд(/))^ , 0 < 0 < 1, назовем множество всех таких и € ¿2 (I), что величина

,2

;в = N "К (и,Л конечна.

Введенный К-функционал будет полезен в дальнейшем, поскольку описание интерполяционных пространств (¿2(/), Нд(/)) получено в теории интерполяции, а пара ¿2(/), Нд(/) является одной из классических. Такая характеристика выражается следующим простым равенством [23, 24]:

т.е. пространство (L2(J),Hr(J)) совпадает с (J), а нормы в них

гд .

эквивалентны.

Введем в рассмотрение отрезок /0 единичной длины. Отметим, что справедливы следующие соотношения при переходе от отрезка

/о = [0,1] к I = [0, |/1] :

|и|Яг(!0) = 111 / |иН(!) ;

НиНь2(1о) = 111 1 1Н1ь2(!) •

Это проверяется непосредственной подстановкой вида Ь = |/1 х и интегрированием выражений |м|Яг(!), ||и||Гг(/) с учетом того, что

Мяг(!) = ||и(г)Уь2(!) (см. также [17]).

2. Рассмотрим величину наилучшего приближения в пространстве

¿2

^ ;Г2 (!о) Vй |Г2(!0);

Запишем для нее известное неравенство Джексона в ¿2(/0) при и € Нд(/о), Л € 2 [17]. При V > Л - 1

^

(V + 1)д

Для упрощения записи обозначим далее п = V + 1.

3. Если ы — элемент наилучшего приближения некоторой функции д из Р(/0), то из (31) и определения К-функционала следует

Тогда

Е

n=1

n

1

^R

1

те

^ Кк(u,n-R)]2

n=1

n-

C учетом (29) имеем

те

^ n-R

n=1

^ [nReK(u,n-R)]2 < i [t-eк(M)]2 |

(l2(iq ),h r(io))e

Следовательно,

те

Е

n=1

n

-R

(L2(!o),H R(!o))e

Множество всех таких функций и € Ь2(/0), для которых конечна величина

Е

,n=1

n

1

"^R

1

n ce"-1(u)L2

1/2

образует аппроксимационное пространство А™ (/0) [24]. При этом из вложения А™(/0) С А™(/0) согласно [24, 25] следует справедливость неравенства

Е

n=1

n

1

^R

пв

1

n ce"-1(u)L2

> sup

n> 1

1

n C^n-1 (U)L2

где множество всех функций с конечной нормой, описываемой выражением sup [nR<9c1 , определяет аппроксимационное про-

n>1

странство A^f (J0) и одновременно характеризует en-1(u)L2 = O(n_Rf) как зависимость, монотонную по n [24, 25]. Из (32), (33) следует более слабое соотношение

nRf 1 en_i(u)l2 < |u|(L2(Io),HR(Io))e ,

или

en-1(u)L2 < Cn Re |u|(L2(Jo),HR(Jo))e ,

а с учетом эквивалентности норм

еп_1(и)Ь2 < Сп Ш |и|Яед(1о) ,

где, как и ранее, 0 < в < 1.

Таким образом, приходим к следующему утверждению:

Уи € Н(/0), Я € Z, выполнено

£n-1

2

2

2

1

2

2

2

2

Для любого нецелого показателя г = в Л, 0 < в < 1, справедливо соотношение

еп-1(м)ь2 < Сп-Г |и|яг(1о), Ум € Нг(/с), Л > г, Л € Отсюда с учетом замены п = V + 1 получаем

еv (u)l2 < C

1

(v + 1)r HHr(Je) , V« £ H'(10), при V + 1 > R > r.

4. Изначально нас интересует оценка величины (м)1/2-'

^Н1/2 = ^о) - и»Я1/2(1оО .

Поэтому запишем [25]

I II ^11 ||1/2 и и 1/2

|« - vHh1/2

откуда следует

е v

где постоянная c1/2 > 0.

1/2 1/2 I« - V^L2

Для u £ Hr (J0) согласно (34) имеем оценку

е v

а для оценки второго сомножителя с учетом того, что |м(1)|яг-1(1о) Н(1о),

= |«| HriT„\, имеем

ev(u)H1 (Je) = ev(«(1))L2(Je) < Mr-1 ^ |u|

1

n'

H r

при n > R, Vu(1) £ Hr-1(Jo).

В (35), (36) делаем замену в соответствии с пунктом 1 и переходим к исходному отрезку /:

ev (u) 1/2 < C1/2

Г 11 1/2 11

n' Mr_1 — - n' -1

1/2

Hr

ev(«) 1/2 < C1/2Mr1/2Mr1^21 щ-щ |J|r |«|

Hr(J) .

Возвращаясь к индексу V заменой п = V + 1, получаем требуемое неравенство.

Покажем с помощью уже доказанных соотношений насыщаемость метода.

Утверждение 4. Вариант МКСЭ, соответствующий сплайновой интерполяции на границах суперэлементов Б на равномерной сетке, имеет насыщение по гладкости в пространстве Н1/2 (Б) на классах Нг (Б), г > 1/2, г € М. Классом насыщения является Н17+1 (Б), порядком насыщения — О (^_г). При этом для V > г — 1 выполнены условия

г 1/2 л,1/2

N Mr1/2M1/21

|и - и||я 1 /2(s) < С^ (и) 1/2 < C (v + 1)r-1/2 |j|Г |u|Hr(S) <

1

Константы Mr, Mr-1/2 зависят только от r; константа Cv,r — от v и г; константа C определена соотношением (15).

1. Из утверждения 3 и соотношений (27), (28) легко показать сходимость метода на классах Hr (S):

lim Hr = 0 при r < ro = v +1. Из (27), (28) имеем

Hr < (l + ||nNУ) sup (u)i/2 = (l + ||) sup sup (u)i/2.

«енr

Тогда утверждение 3 дает

if Hr < (l + ||nN||) |и|нг |1 |r Mr1/2Mr1_/1 (v + 1)r_i/2. В этом выражении необходимо сделать замену

где |S| — суммарная длина всей границы S, (N — 1)/v — число отрезков Jk1, разбивающих эту границу, и |/1 = |/k11 Vk,/, поскольку разбиение равномерно. Такая замена следует непосредственно из способа построения сплайна порядка v на S [10]. Тогда при v > 1,r> 1/2 несложно получить следующий результат:

или

где константа зависит только от V и г. Порядок сходимости

О (^_г).

2. Покажем, что выполнено следующее требование в определении насыщаемости, а именно

3г0 : ^Н" = о Нг) при г < 8 < Г0 и Г0 = V + 1.

Запишем

5JH^

v > 1, s — r > 1/2. Здесь оценка сверху числителя ^ Hs взята из

Jv

первого пункта доказательства. Для оценки знаменателя Hr снизу использована оценка величины поперечника Колмогорова

inf sup (u)i/2, имеющая место как для целых, так и для дроб-

pn

ных классов Hr при r > 1/2 [17]:

Hr > sup (u)i/2 > f suP (u) i/2 > Ar , *

иеяг (s) (S) иеяг (s) (v + 1)'

с учетом соотношения (26). Константа Ar зависит только от r. Тогда из (38) с использованием замены (37) следует

¿wHr _ Ar s

Hs 1 w , , - Cv r ^--> 0 для r < s - v + 1.

Hr " v'r' s Ns-r

3. Осталось показать справедливость при г > V + 1 следующего предложения:

Зи € Нг (£) и не зависящая от V константа с > 0, такая, что

11« - П?(«)УЯ1/2(5) ^ «УNН^ 1.

Это следует непосредственно из насыщаемости сплайновой аппроксимации в пространстве с произвольным целочисленным индексом, например в пространстве Ь2, а именно согласно [18] можем указать такой элемент у € Нг ($), что ||у — п?(у)||£2 Тогда, исполь-

зуя интерполяционное неравенство [25], получаем

Ну — (у)|н 1/2 ^ «1/2 Ну — (у)|ь2 Ну — (у)Ня1 Л—

Тем самым по результатам пунктов 1, 2, 3 насыщаемость доказана.

4. Оценка погрешности приближенного решения не использует оценку интерполяции ||и — п?(«)||Я 1/2(5) из (26). Нужная нам оценка ||м — и||Я 1/2(5) следует непосредственно из результата утверждения 3 и ранее выписанного соотношения (13). При этом ||и — и||Я1/2(5) =

1к1

Следствие 1. Для оценки погрешности решения и € Нг, г > 1/2, г € М, при тех же условиях в более широком пространстве Ь2

справедливо соотношение

\и - u|L2(s) < CeN(u) 1/2 < C 11 |r (vM1)r Мя-

r

где константа С определена соотношением (15).

Замечание. Если рассматривать утверждение 4 только на полуцелых классах г = 3/2, 5/2,..., то класс насыщения — Н^+1/2(Б), V > 1.

Оценки погрешностей для случая V < г — 1. Ранее показан факт насыщаемости и получены оценки ошибок МКСЭ для случая V > г—1. Покажем оценки при V < г — 1, тем самым несколько уточнив эти результаты.

Результаты этого параграфа могут быть получены с использованием К-метода Петре аналогично тому, как это сделано в утверждении 3. Исходной точкой будет являться классическое неравенство для оценки величины наилучшего приближения вида [14, 26, 27]

^

для функции и € Нк(I), Я > 0, Л € из пространства Соболева с целыми индексами в пространстве Ь2(/).

Выведем оценку погрешности приближенного решения иным способом, с использованием обобщения леммы Брэмбла-Гильберта. В этом случае доказательство можно провести без использования уже известных соотношений типа (39). Важна и сама схема. Так или иначе, получение априорных оценок погрешностей при условиях, необходимых, чтобы получить аппроксимацию повышенного порядка точности, при рассмотрении стандартных методов может быть сведено к единому процессу.

Утверждение 5. Пусть Ь С Нг (I) — такое множество, что Ь < то и р € Ь ^ |р|Яг = 0 (или Ь = кег|- |Яг). Если функция f : Нг (I) ^ Нг (I) непрерывна, линейна и обладает свойством

Ур € Ь : f (р) = 0, тогда ЗС = С(I) : Уу € Нг (I) выполнено

И

1. Пусть у € Нг — произвольная функция. Поскольку по предположению f (у) = f (у + р) Ур € Ь, то можно записать

реь

2. Покажем, что ЗС = С(I):

реь

Пусть N = dim L и f, 1 < i < N, — базис двойственного к L пространства. В силу теоремы Хана-Банаха о продолжении линейных непрерывных функционалов существуют такие линейные непрерывные формы на Hr, обозначаемые опять f, 1 < i < N, что Vp G L имеем

/i(p) = 0 ^ p = 0.

N

Обозначим G(v) = |/»(v)|.

i=1

Если показать справедливость неравенства

то из него последует (41). Действительно, фиксируя v, мы всегда можем подобрать такой элемент q G L, что G(v + q) = 0. Тогда в силу (42) и принадлежности q G ker|^ |Hr = L имеем

peL

Методом от противного докажем справедливость неравенства (42). Предположим, что (42) не верно. Тогда существует такая последовательность {vn}^=1, vn G Hr, что

Отсюда следует

n—>oo

а из ограниченности {vn}^=1 в Hr — существование в Hr последовательности {wn}^=1, фундаментальной в Hr и удовлетворяющей (43).

I те

I те 7"/п=1

Обозначим ее снова . Как известно, Нг С Ь2, Ь2 — банахово

и Нг замкнуто в нем. Значит, последовательность сходится к

некоторому элементу v из Hr :

п^те H

Из (44) имеем lim

vn

= 0, а следовательно, v(r) = 0 и

L2

v G ker|- |Hr = L. Тогда, используя (43), получаем

/i(v) = lim /,(v„)flr = 0,

п^-те

откуда v = 0 в силу свойств линейных форм /¿. Это противоречит равенству ||v||Hr = 1 (см. (43)). Значит, неравенство (42) справедливо.

3. Окончательно, объединяя пункты 1, 2 доказательства, получаем выражение (40):

Замечание. Доказательство для случая Ь = Рк-1 и f € Нк (I), К € 2, дано в [27] (лемма Брэмбла-Гильберта). При соответствующей замене оно совпадает с полученным в утверждении.

Следствие 2. Пусть пу (и) : Нг (I) ^ Р^ (I), V + 1 < г, есть проекция на Рр (I). Тогда для всех и € Нг (I) справедлива следующая оценка погрешности интерполяции в пространстве Н1/2 (I) :

||и — (и)|я1/2(!) < С lI 1и1я ^+1(1) , где константа С = С (п^), откуда

^(и)Я1/2(!) < С |IГ+1 |и|я^+1(!) .

Из утверждения 5 при V + 1 = г, Ь = Р^ (I) с Н= Нг и

f (и) = [и — п^ (и)] получим

где через Е обозначен единичный оператор.

Теперь запишем утверждение 5 для и(1) € Hr-1(I) при Ь = = Р„_l(I) С Н^ = НГ-1, f(и(1)) = [и(1) — п„_ 1 (и(1))] :

u(1) - п^-1(м(1)}| < Ci(J) • ||E - nv-i||H-v |u(1)L v =

Поскольку п^ (и) € Р^(I), где Р^(I) — множество всех полиномов степени не выше V, то неравенства, полученные для V + 1 = г, сохраняют смысл и при показателе V +1 < г.

Зададимся конкретным отрезком !о = [0,1], для которого запишем полученный результат, а именно из интерполяционного неравенства и выведенных соотношений получим для пространства Н1/2 (!0):

у« € НГ(/о) ^(и)Я1/2(/о) < С(п*,^0) • |и|Яv+1(Io) . Тогда из соотношений

^(и)Я 1/2(!) < ||и — (и)|Я1/2(!) < С(п^> |IГ^ |и|Я'+1 (!).

Здесь константу С(п^) можно взять в виде С(п^) = ||Е — п^ ||Я-„—1, заметив, что C1(I0) = 1 для единичного отрезка !0.

Утверждение 6. Пусть вариант МКСЭ соответствует сплайно-вой интерполяции порядка не выше V на границах суперэлементов Б, разбиение Б равномерно с характерным шагом |!| суперэлементной

сетки. Тогда для оценки погрешности решения и £ Hr (S), r £ R, в пространстве H1/2 (S) при r > v + 1 справедливо соотношение

IIй - u!hi/2

Из соотношения (13) следует

где C' определена формулой (15).

Тогда при переходе от S к элементарному отрезку I имеем

dim

j=1

откуда, применяя результат следствия 2, получаем требуемое неравенство. При этом C = C'C(nv) и константа C(nv) соответствует введенной в следствии 2.

Отметим, что выведенные ранее оценки погрешности приближенного решения ||и — U||H 1/2(S) получены из обобщения неравенства Джексона без использования оценки интерполяции (см. утверждение 4). В данном случае используем оценку погрешности интерполяции ||и — п^(и) ||H1/2(S), отсюда и появление константы C(nv). Можно определить иную константу C. Используя следствие 2 и тот факт, что ||и — U||H 1/2(S) — const • ||и — U||Hv+1 (S), получаем также соотношение (45), где константа C есть константа неравенства вложения для пространств H1/2(S) и HV+1 (S).

Априорные оценки погрешностей решения МКСЭ в пространстве Hх(0). Сведем полученные результаты, обобщая их на область П. Основные оценки погрешностей получены как зависимые от гладкости следа и на границе S для пространств Hr (S). Ясно, что пространство HЛ(П) вложено в пространство всех функций из H 1(П), име-

ющих следы класса Hr(S) = П HR-1/2(Ikl) на S, (см. (23)). Поэтому

справедлива оценка

с учетом (24), где c = const. Изоморфизм между H1/2 (S) и Н1(П), выраженный соотношением (20), дает

11Y°U — Y°u||H 1/2(S) - ||и — U|H1(H). Принадлежность и, U £ Н1(П) С H 1(П) приводит к эквивалентности

УY°U — Y°U|H1/2

причем справедливо равенство

Учтем утверждение 2 и определение Нк(П). Тогда из соотношений (46)-(48) и утверждений 2, 4, 6 получим следующее утверждение.

Утверждение 7. Пусть МКСЭ соответствует интерполяции ла-гранжевыми сплайнами на границах суперэлементов Б, разбиение Б равномерно с характерным шагом сетки |! |. Тогда МКСЭ имеет насыщение по гладкости в пространстве Н 1(П) на классах Нв(П), в > 1, в € Л. Классом насыщения является Н^+3/2(П), порядком насыщения — 0(1/^в). Справедливы следующие априорные оценки погрешностей метода в пространстве Н1 (П).

При V > Л — 3/2 имеем

где константа С зависит от параметров исходного оператора и постоянных в неравенствах вложения, а Мд_ 1/2, Мл—3/2 зависят только от Л.

При V < Л — 3/2

где константа С зависит только от V, параметров исходного оператора и постоянных неравенств вложения.

Повышение порядка полиномов на суперэлементных границах повлечет за собой аппроксимант более высокой точности МКСЭ в пространстве Н 1(П) (для V > Л — 3/2). Это охарактеризовано полученными оценками. Применение МКСЭ позволяет разрешать задачи, содержащие мелкие сингулярности в расчетной области в пространстве слабых решений с погрешностями, оцениваемыми только относительно ограничений этого решения на гладких частях суперэлементных границ Б. Это не требует использования суперэлементных сеток, сгущающихся в окрестностях сингулярностей, и связано с выбором особых аппроксимирующих пространств. Тем не менее в случае аппроксимации при помощи МКСЭ производных решения в пространстве Н 1(П) такая ситуация изменится, а исследование потребует привлечения дополнительных фактов. Результаты по этому вопросу опубликованы в работе [28].

Пример численного расчета распределения электрического потенциала в проводящих объектах при помощи МКСЭ. Приведем пример применения метода конечных суперэлементов Федоренко для расчета распределений электрического потенциала и плотности тока в проводящих объектах. Материал проводника содержит малые диэлектрические поры. Рассмотрена трехмерная модель. Полное описание вариантов алгоритма МКСЭ применительно к поставленной задаче и полученных данных можно найти в работе [29].

Пусть образец занимает некоторую область S пространства, которую разделим на область П, занимаемую проводящим материалом, и области диэлектрических пор Символами дП и дш обозначим границы этих областей. Положим, что проводящий материал имеет проводимость а° и удельное сопротивление р° = 1/ст°.

Плотность электрического тока в материале подчиняется уравнению

div j = 0,

выражающему закон сохранения полного заряда.

Электрическое поле удовлетворяет уравнению rot E = 0 и является потенциальным.

Связь плотности тока j и напряженности поля E определяется свойствами вещества и выражается законом Ома

j = ^E.

В однородном проводнике а° = const, откуда div E = 0. Поэтому в нем потенциал и электрического поля удовлетворяет уравнению Лапласа

—Ди = 0, (x,y,z) £ П.

На границах раздела пор и проводника нормальные компоненты плотности тока и напряженности обращаются в нуль (изнутри, из подобласти П):

jn = 0 или En = 0,

К решению поставленной задачи для определения электрического потенциала и применен МКСЭ. На части границы области S± С д2 заданы значения потенциалов и = 0 и и =1, на оставшейся части — условия изоляции En = 0.

Расчетная область разбита на подобласти-суперэлементы плоскостями, перпендикулярными осям декартовой системы координат. Подобласти пор в материале расположены строго внутри суперэлементов. С узлов на каждую грань суперэлемента граничные базисные функции продолжены конечно-элементной интерполяцией решения с линейной, квадратичной или кубической функциями форм.

Значения модуля плотности и потенциала в сечениях области для материала с несколькими кубическими порами показаны на рис. 1 и 2. Область S представляет собой куб. На верхней грани куба задан единичный потенциал, на нижней — нулевой. При расчете использовано 53 суперэлементов и квадратичный способ граничной интерполяции. При использовании интерполянтов высокого порядка МКСЭ позволяет получить физически корректное решение на небольшом числе элементов.

Рис. 2. Потенциал п(х,у,г), х,у,г € О в сечении области х = 0,5

На примере задачи Дирихле исследовано применение МКСЭ Федо-ренко для решения общих линейных эллиптических задач. Получены априорные оценки погрешностей метода и установлена его насыщаемость в пространствах Соболева. Выведено неравенство Джексона для МКСЭ-приближений. Приведен пример численного расчета распределения электрического потенциала в проводящем объекте в трехмерной постановке.

Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (проект 09-01-00151).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1.Жуков В. Т., Новикова Н. Д., Страховская Л. Г., ФедоренкоР. П., ФеодоритоваО. Б. Метод конечных суперэлементов в задачах конвекции-диффузии / Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2001. -№ 8.

2. ФедоренкоР. П. Введение в вычислительную физику. - М.: МФТИ, 1994.

3. GalaninM., SavenkovE. Fedorenko finite superelement method as special Galerkin approximation // Mathematical Modelling and Analysis. - 2002. - V. 7, no 1. - P. 41-50.

4. ГаланинМ. П., Савенков Е. Б. К обоснованию метода конечных суперэлементов // Журн. вычисл. мат. и мат. физики. - 2003. - Т. 43, № 5. - С. 711-727.

5. G a l a n i n M., LazarevaS., SavenkovE. Fedorenko finite superelement method and its applications // Computational Methods in Applied Mathematics. -2007. -V. 7, no. 1. - P. 3-24.

6. G a l a n i n M., LazarevaS., SavenkovE. Numerical investigation of the finite superelement method for the 3D elasticity problems // Mathematical Modelling and Analysis. - 2007. - V. 12, no. 1. - P. 39-50.

7. G a l a n i n M., Savenkov E., Temis J. Finite superelements method for elasticity problems // Mathematical Modelling and Analysis. - 2005. - V. 10, No. 3. - P. 237-246.

8. С о б о л е в С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. - М.: Наука, 1988.

9. Л и о н с Ж. -Л., МадженесЭ. Неоднородные граничные задачи и их приложения. - М.: Мир, 1971.

10. Л о к у ц и е в с к и й О. В., Г а в р и к о в М. Б. Начала численного анализа. -М.: Янус, 1995.

11. Jerison J., Kenig C. E. The inhomogeneous Dirichlet problem in lipschitz domains // Journal of Functional Analysis. - 1995. - No. 130. - P. 161-219.

12. Showalter R. E. Hilbert space methods for partial differential equations // Electronic Journal of Differential Equations: Monographs, No. 1, 1994 (Original book of 1977).

13. М и х л и н С. Г. Численная реализация вариационных методов. - М.: Наука, 1966.

14. С т р э н г Г., Ф и к с Д ж. Теория метода конечных элементов. - М.: Мир, 1977.

15. О бэ н Ж. -П. Приближенное решение эллиптических краевых задач. - М.: Мир, 1977.

16. К о р н е й ч у к Н. П., Б а б е н к о В. Ф., Л и г у н А. А. Экстремальные свойства полиномов и сплайнов. - Киев: Наук. думка, 1992.

17. Б а б е н к о К. И. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. - М.: Наука, 1979.

18. Б а б е н к о К. И. Основы численного анализа. - М.: Наука, 1986.

19. М а з ь я В. Г. Граничные интегральные уравнения // Итоги науки и техники ВИНИТИ АН СССР. Сер. "Современные проблемы математики. Фундаментальные направления". - 1988. - Т. 27. - Ч. 2. - С. 131-288.

20. K o z l o v V. A., M a z ' y a V. G., R o s s m a n n J. Elliptic boundary value problems in domains with point singularities / American Math. Society, 1997.

21. Математическая энциклопедия: В 5 т. Т. 2: Джексона неравенство / Гл. ред. И.М.Виноградов. - М.: Советская Энциклопедия, 1977.

22. Н а т а н с о н И. П. Конструктивная теория функций. - М.-Л.: Изд-во техн.-теор. литерат., 1949.

23. БергЙ., ЛефстремЙ. Интерполяционные пространства. Введение. - М: Мир, 1980.

24. D e V o г e R. A. Nonlinear approximation // Acta Numerica. - 1998. - No. 7. -P. 51-150.

25. Т р и б е л ь Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. - М.: Мир, 1980.

26. Митчелл Э., У э й т Р. Метод конечных элементов для уравнений с частными производными. - М: Мир, 1981.

27. С ь я р л е Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач. - М.: Мир, 1980.

28. Лазарева С. А. Аппроксимационные свойства метода конечных суперэлементов Федоренко // Вычисл. технологии. - 2008. - Т. 13, № 8. Специальный выпуск. - С. 75-81.

29. Б о р о д а й В. Э., Г а л а н и н М. П., Лазарева С. А., Паршен-цев В. А., Шипилов А. В. Применение метода конечных суперэлементов для расчета распределений электрического потенциала и плотности тока в проводящих объектах / Препринт ИПМ им. М.В. Келдыша РАН, 2008. - № 17.

Статья поступила в редакцию 17.06.2008

Светлана Александровна Лазарева родилась в 1983 г., окончила МГТУ им. Н.Э. Баумана в 2007 г. Ассистент кафедры "Прикладная математика" МГТУ им. Н.Э. Баумана. Автор 15 научных работ в области вычислительной математики и математического моделирования.

S.A. Lazareva (b. 1983) graduated from the Bauman Moscow State Technical University in 2007. Assistant of "Applied Mathematics" department of the Bauman Moscow State Technical University. Author of 15 publications in the field of computing mathematics, methods of sampling, mathematical simulation.