Методологическая культура как основополагающий фактор совершенствования качества подготовки учителя математики

В ПОМОЩЬ ПРЕПОДАВАТЕЛЮ

© 2006 г. Т.И. Уткина

МЕТОДОЛОГИЧЕСКАЯ КУЛЬТУРА КАК ОСНОВОПОЛАГАЮЩИЙ ФАКТОР СОВЕРШЕНСТВОВАНИЯ КАЧЕСТВА ПОДГОТОВКИ УЧИТЕЛЯ МАТЕМАТИКИ

Введение государственного образовательного стандарта по математике и переход старшей школы на профильное обучение вызывает необходимость улучшения качества подготовки учителя математики и требует высокого уровня управления этим процессом.

Учитель математики в такой обстановке уже не может быть просто предметником. Он должен отличаться самостоятельностью в проектировании технологий обучения в соответствии с различными развивающими моделями, осознанностью выбора альтернативных учебных программ и учебников по математике, способностью создавать программы различных элективных и профильных курсов и их методическое обеспечение. Это актуализирует проблему подготовки учителя, владеющего методологией проектирования и конструирования целостного педагогического процесса. Методологическую грамотность дает овладение методологической культурой (МК).

В данном теоретико-экспериментальном исследовании МК выступает как основополагающий фактор совершенствования качества подготовки учителя математики к профессиональной деятельности. Нами она рассматривается как целостная, интегральная характеристика личности, обладающей фундаментальным общенаучным, методологическим знанием, системой ценностных ориентаций на творческое саморазвитие в профессиональной деятельности. Важным в структуре МК учителя математики является не только фундаментальное научное предметное знание, но и целостное представление о методологии процесса его освоения (способов получения). В деятельности учителя математики МК обеспечивает следующие функции: познавательно-мировозренческую, эвристичекую, исследовательскую, креативную, прогностическую. Включая такие компоненты, как самоанализ, самооценка, рефлексия, самоконтроль, МК является интегральным показателем качества подготовки учителя математики.

Рассматривая проблему непрерывного совершенствования качества подготовки учителя математики, мы учитывали и вопрос качества математической подготовки выпускников старшей школы. Параллельно формировались следующие модели: оценки качества математической подготовки выпускников гимназии; управления научно-методической деятельностью учителя математики в аспекте реализации развивающего обучения; оценки качества математической и методической подготовки будущего учителя математики; мониторинга качества его подготовки. Уточнялись эталонные значения показателей и уровней качества подготовки на довузовском, ву-

зовском и послевузовском этапах. С этой целью проводились исследования (на базе школ) по следующим темам: «Методические основы формирования общеучебных умений учащихся в условиях разнопрофильной гимназии» (школа № 23 г. Орска); «Методические основы развития образного и логического мышления учащихся разнопрофильной гимназии» (гимназия № 2 г. Орска); «Технологии развития общеучебных умений учащихся разнопрофильной гимназии»; «Методические основы интеллектуального развития учащихся разнопрофильной гимназии» (гимназия № 1 г. Новотроиц-ка); «Психолого-педагогические условия, средства и технологии подготовки учащихся к продолжению образования» (школа № 21 г. Орска); «Реализация компетентностного подхода в процессе развития общеучебных умений учащихся в условиях общеобразовательной школы» (школа № 23 г. Орска).

Исходными методологическими позициями в разработке моделей оценки качества математической подготовки выпускников школ (гимназий) с углубленным изучением математики; оценки качества математической и методической подготовки будущего учителя математики; оценки качества подготовки учителя математики; управления его научно-методической деятельностью - служили государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования по специальности «Математика», стандарт среднего общего образования по математике (профильный уровень) и принцип ориентации на развитие МК.

Модель оценки качества математической подготовки выпускников школ (гимназий) с углубленным изучением математики включает компоненты МК и характеризуется следующими требованиями:

1. Знание теорий содержательных линий школьного курса математики.

Эмпирически фиксируемыми проявлениями этого знания являются:

- раскрытие особенностей развития понятия числа (натурального, рационального, иррационального, действительного, комплексного);

- понимание практического использования алгебраических преобразований выражений;

- представление о теории равносильности уравнений, неравенств, их систем и совокупностей;

- раскрытие основ теории о функциях;

- знание основ дифференциального и интегрального исчисления и представление об использовании их в физике, математике, геометрии;

- знание свойств геометрических фигур и основных отношений (равенства, подобия) в геометрии;

- раскрытие основ теории векторной алгебры, теории геометрических преобразований, величин и их изменений;

- владение элементами аналитической геометрии и тригонометрии.

2. Умение применять методологические знания для овладения математикой.

Применительно к геометрии, алгебре и начал анализа необходимы умения самостоятельного овладения математическими понятиями, теоремами и их доказательствами. В соответствии с выделенным требованием измерители должны содержать задания на:

- выявление существенных свойств (признаков) понятия;

- выявление необходимых и достаточных свойств понятий;

- конструирование определения понятия;

- выявление связи и отношения данного понятия с другими понятиями;

- установление объема понятия;

- выявление структуры теоремы и ее вида (простая или сложная);

- установление взаимосвязи данной, обратной и противоположной теорем;

- выявление того, что такое «доказательство» в математике;

- выявление структуры доказательства;

- определение вида доказательства (прямое или косвенное);

- нахождение логических ошибок в рассуждениях;

- описание рассуждений по поиску доказательства;

- построение «цепочек» умозаключений.

3. Умение раскрывать содержание основных понятий школьной математики по обобщенному плану.

Фиксируемыми проявлениями этого умения являются:

- раскрытие развития понятия о числе по обобщенному плану;

- знание обобщенных подходов к решению уравнений, неравенств, их систем и совокупностей;

- знание обобщенных подходов к изучению функций, теории векторной алгебры и теории геометрических преобразований, измерений геометрических величин (длин, площадей, объемов и др.).

4. Знание основных понятий математики.

Необходимо знать понятия основных содержательных линий школьного курса математики (числовой, функциональной, геометрической), связи между ними, применение на практике.

5. Знание роли математики в познании окружающего мира.

Раскрытие связи математики с другими дисциплинами - физикой, химией, географией, гуманитарными предметами, а также показ роли математики в познании человека, природы и общественных явлений.

6. Знание методов математики.

Это:

- аксиоматический метод и его практическое использование в построении школьного курса геометрии, а также в построении неевклидовой геометрии;

- координатный метод и его практическое использование;

- метод геометрических преобразований и его практическое использование;

- метод уравнений и неравенств и его использование;

- математические модели и их использование;

- методы математического анализа и их использование.

7. Умение использовать методы познания.

Среди специфических для математики методов познания выделяются: индукция, дедукция, аналогия, систематизация, идеализация, абстрагирование, моделирование, наблюдение, аксиоматический метод.

8. Умение пользоваться различными методами (способами) решения задач и отыскание оптимального (наилучшего) решения.

Это видение перспективы применения изученных методов и способов к решению конкретной задачи и выбора наиболее рационального из них.

9. Знание элементов истории развития математики.

В качестве критериев отбора сведений из истории математики выступают их органическая связь с основными содержательными линиями курса математики.

10. Умение применять теоретические знания в решении задач.

Предлагаемые задачи представляют собственно стандарт математического образования - требования к математической подготовке профильного уровня.

В соответствии с выделенными требованиями разрабатываются диагностические материалы (измерители) и определяются количественные показатели в баллах по максимальному уровню для каждого элемента знаний и умений.

Методология системного подхода позволила выявить показатели уровня развития МК учителя математики, характеризующие также и уровень качества его подготовки к профессиональной деятельности по математическому и методическому аспектам. Математический аспект включает: 1) знание теорий содержательных линий математических курсов педвуза; 2) умение применять методологические знания для анализа содержательных линий математических курсов; 3) умение раскрывать содержание теорий содержательных линий математических курсов вуза по обобщенному плану; 4) знание основных понятий математических курсов вуза; 5) понимание роли математики в познании окружающего мира; 6) знание математических методов; 7) знание основных методов теории познания и умение применять их в математических рассуждениях; 8) владение различными методами решения математических задач; 9) знание методологии и истории развития теорий содержательных линий математических курсов вуза; 10) умение применять теоретические знания при решении математических задач.

Показателями по методическому аспекту являются: 1) знание теорий содержательных линий школьного курса математики; 2) знание основных методических подходов к изложению основных содержательных линий школьного курса математики; 3) умение раскрывать содержание основных разделов школьного курса математики по обобщенному плану; 4) знание основных понятий школьного курса математики; 5) владение технологиями раскрытия роли математики в познании окружающего мира в процессе пре-

подавания математики; 6) владение технологиями обучения математическим методам; 7) умение применять методы теории познания в обучении математике; 8) владение различными методами решения задач по школьному курсу математики; 9) знание методологии и истории развития содержательных линий школьного курса математики; 10) умение применять теоретические знания в решении задач школьного курса математики.

На основе этих показателей разработаны диагностические материалы по определению качества подготовки будущего учителя математики к профессиональной деятельности по указанным выше аспектам на различных этапах данного процесса. Надежность и обоснованность выбора показателей диагностики МК обеспечивались: соответствующей обработкой системы диагностических заданий (измерителей); сопоставлением данных, полученных помощью разных методов исследования; тщательным анализом данных результатов диагностики. Приведем примеры вариантов диагностических работ.

Вариант диагностической работы по геометрии

1. Что является предметом изучения аффинной геометрии?

2. Опишите схему проверки независимости аксиом в данном непротиворечивом списке. Укажите практическое применение этого требования.

3. Дайте определение аффинного преобразования и сформулируйте его свойства.

4. Приведите примеры аффинных преобразований.

5. Какие из нижеследующих теорем относятся к аффинной геометрии и какие не относятся к ней: теорема о средней линии треугольника; теорема о свойстве перпендикуляра, восстановленного к отрезку в его середине; теорема о равновеликости треугольников с равными основаниями и высотами; теорема, указывающая, в каких границах может изменяться длина третьей стороны треугольника с двумя данными сторонами; теорема об отношении отрезков, высекаемых на сторонах угла параллельными прямыми; теорема об отношении длин отрезков, на которые биссектриса треугольника делит противоположную сторону; теорема о равновеликости треугольников с равными углами и равными произведениями сторон, заключающих этот угол; теорема о средней линии трапеции.

6. Опишите суть метода аффинных преобразований в решении геометрических задач.

7. Перечислите, известные Вам, попытки доказательства V постулата Евклида.

8. Какова взаимосвязь аффинной и евклидовой геометрии.

9. Приведите доказательство теоремы о точке пересечения медиан треугольника методом аффинных преобразований.

10. а) Даны точки А, В, С, Д. Постройте пересечение прямых АВ и СД, не проводя прямой АВ.

б) В ортонормированном репере Я задано преобразование плоскости:

х'= -х - 4, у'= у + 3. Докажите, что f - движение. Определите его вид (найдите объекты, его определяющие).

Работа оценивается из общей суммы в 100 баллов (табл. 1).

Таблица 1

Вес каждого задания при подсчете баллов

№ задачи 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10а 10б Сумма

Максимальный балл 4 8 8 7 10 9 8 6 10 15 15 100

Вариант диагностической работы по теории и методике обучения математике

1. Выделите теоретические основы изучения линии уравнений и их систем в школьном курсе математики.

2. Опишите возможные методические подходы к обучению учащихся решению дробных рациональных уравнений. Выделите достоинства и недостатки каждого из них.

3. Перечислите основные вопросы, составляющие содержание линии уравнений и их систем.

4. Выделите основные понятия, встречающиеся в данной содержательной линии. Проведите логико-математический анализ их определений.

5. Как можно раскрыть роль математики в познании окружающего мира при изучении линии уравнений и их систем?

6. Вычисляя числовое значение выражения а + л/1 - 2а + а2 при а = 5, учащиеся получили разные ответы. Одни из них поступили так:

a +

Vi - 2a + a2 = a + ^(1 - a)2 = a +1 - a = 1. Другие, подставив вместо а

её значение, равное 5, получили: 5 + 41 -10 + 25 = 5 + 4 = 9 . Какой из этих ответов правильный и где ошибка? Как объяснить это ученикам?

7. Сформулируйте утверждение, обратное данному, и проверьте его истинность. «Прямая, параллельная основанию треугольника, отсекает от него треугольник, подобный данному».

8. Задача. В правильной треугольной призме АВСАВСц, АА^ = —^АВ.

V 5

Найти угол между прямыми АВ! и ВС1:

а) решите задачу разными методами;

б) обоснуйте возможность применения метода в каждом случае;

в) укажите наиболее рациональный метод.

Укажите, с какими сведениями из истории математики можно ознакомить учащихся при изучении данной содержательной линии. 10. Задача.

С двух аэродромов А и Б, расстояние между которыми 500 км, вылетают одновременно навстречу друг другу два вертолета. Через 1 ч 20 мин после

их встречи вертолет, поднявшийся с аэродрома А, садится на аэродром Б, а второй вертолет через 3 ч после встречи садится на аэродром А. Определить скорости вертолетов.

а) продемонстрируйте анализ условия задачи, поиск решения через фрагмент урока.

б) оформите решение задачи в соответствии с методическими требованиями.

в) осуществите проверку решения задачи одним из известных способов.

г) спрогнозируйте возможные затруднения в решении задачи.

Работа оценивается из общей суммы в 100 баллов (табл. 2).

Таблица 2

Вес каждого задания при подсчете баллов

№ задачи 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 Сумма

Максимальный балл 7 7 5 7 9 9 9 7 20 20 100

Особое место в структуре МК занимает рефлексия. Она рассматривается как особый вид исследовательской деятельности, позволяющей будущему и работающему учителю математики проектировать и прогнозировать самостоятельную учебную, учебно-исследовательскую и профессионально-исследовательскую деятельность, ведущую не только к развитию системы научного знания, но и методологического знания, постижению культуры и творческому саморазвитию в ней.

Среди задач, решаемых образовательными учреждениями, особо важным в современной социокультурной ситуации является формирование у будущих и работающих учителей и у учащихся рефлексии как важнейшего компонента МК. Этот вопрос представляет как теоретический, так и практический интерес.

Мы рассматриваем исследовательскую деятельность будущих (и работающих) учителей, школьников в качестве значимого аспекта решения этой задачи, поскольку именно в исследовательской деятельности имеются возможности для формирования того ментального опыта, который обеспечивает способность личности к творческому саморазвитию, овладению рефлексией как существенного компонента МК. Рефлексия в ее структуре задает новый стиль мышления.

Значительное место у нас уделено поиску технологий организации исследовательской деятельности учителей математики и учащихся. Концептуальная особенность этих технологий состоит в развитии МК учителя математики и школьников. Технологии опираются на следующие принципы: гуманизации, индивидуализации, открытости, интегративности, деятельно-стного и культурологического подходов. Структура технологии относительно исследовательской деятельности будущего (и работающего) учителя математики включает:

- формирование методологических знаний у студентов и учителей по проектированию и конструированию учебно-исследовательской деятельности учащихся;

- овладение студентами и учителями обобщенными методическими умениями управления учебно-исследовательской деятельностью учащихся.

Технология относительно учебно-исследовательской деятельности учащихся состоит из:

- формирования методологических знаний у учащихся по выполнению исследовательской деятельности (знания и умения целеполагания, планирования, анализа, самооценка);

- развития методологической культуры школьников относительно предъявления результатов исследовательской деятельности (культура оформления работы, выступления и т. д.).

Методическим средством рассматриваемых технологий является комплекс индивидуальных исследовательских заданий для учащихся с длительным сроком исполнения, курсовые и выпускные квалификационные работы - для студентов, индивидуальные исследовательские программы и научные отчеты - для учителей.

Эффективность описанных выше педагогических технологий организации исследовательской деятельности будущих (и работающих) учителей математики и школьников проверялась в опытно экспериментальной работе в ряде общеобразовательных учреждений городов Орска (школы № 21, 23, гимназии № 1, 2) и Новотроицка (гимназия № 1) в рамках исполнения научных исследований, прошедших государственную регистрацию во Всероссийском научно-техническом информационном центре. Актуализация вопросов развития МК в исследовательской деятельности студентов педвузов, учителей математики и школьников позволяет существенно поднять качество подготовки учителя математики.

В русле рассматриваемой проблемы нами совместно с управлением образования администрации г. Орска осуществлено исследование, ориентированное на выявление технологии по развитию МК одаренных учащихся и учителя математики в условиях специализированного математического лагеря, который функционирует в две сессии: летней и осенней. Суть технологии состоит в овладении учащимися, которые проявляют способности к математике, методологическими знаниями проектирования различных возможных решений задач олимпиадного характера, с одной стороны, а с другой - в развитии рефлексии учителя математики. Технология опирается на следующую систему принципов: управляемости, личностноориентирован-ного подхода к обучению, гуманизации, интегративности, открытости. Структура этой технологии включает: углубление представлений учащихся о математических методах; формирование методологических знаний у школьников по проектированию различных решений математических задач олимпиадного характера; овладение учащимися обобщенными знаниями по основным содержательным линиям школьного курса математики. Опреде-

лены задачи на каждом из этапов. Методическим средством является разработанная программа, состоящая из комплекса лекций и практических занятий по методологии решения математических задач. Общая трудоемкость программы - 72 часа, в ней представлены следующие разделы: метод геометрических преобразований в решении задач олимпиадного характера; приемы решения геометрических задач комбинаторного характера; метод векторов в решении задач олимпиадного характера; приемы решения задач с пентамино (на покрытие); метод графиков и графов в решении текстовых задач; методы решения и исследования уравнений (их систем и совокупностей) с параметрами; методы решения логических задач: о «рыцарях» и «лжецах», задачи, решаемые с помощью таблиц, на математическую запись числа; методы решения задач на делимость. Итоговой формы контроля реализации программы является олимпиада.

Результаты Всероссийской олимпиады школьников по математике (городской и областной туры) в 2001-2004 гг. подтвердили положительное влияние разработанной технологии на развитие компонентов МК учащихся и учителя математики.

В нашем исследовании также выявлена и апробирована эффективная технология геометрической подготовки учителя математики, ориентированная на развитие его МК. Концептуальная основа этой технологии состоит в раскрытии методов, применяемых для получения геометрических знаний, выделение аффинных, метрических, проективных и топологических свойств фигур, создание условий для развития МК у будущего учителя математики. Методическую основу технологии составляют системный, инте-гративный, личностно ориентированный и деятельностный подходы.

Фиксируемыми проявлениями компонентов МК применительно к процессу геометрической подготовки будущих учителей математики являются: умение применять методологические знания для изучения содержательных линий курса геометрии; умение оперировать обобщенными подходами изучения конкретных видов движений, подобий, аффинных, проективных и топологических преобразований; владение методами решения геометрических задач (векторным, координатным, геометрических преобразований); владение знаниями о роли геометрии в познании окружающего мира; понимание методологии конструирования технологий обучения решению задач практического содержания с использованием различных методов.

Особенность технологии состоит в том, что геометрические преобразования плоскости изучаются в связи с преобразованиями пространства.

Педагогический эксперимент показал, что МК может выступать систематизирующим фактором системы качества подготовки учителя математики.

Орский гуманитарно-технологический институт,

филиал Оренбургского государственного университета 20 января 2006 г.