Соотношения вариационного метода расчета тонкостенных стержней комбинированного профиля

УДК 539.3

М. Н. Серазутдинов, М. Н. Убайдуллоев

СООТНОШЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО МЕТОДА РАСЧЕТА ТОНКОСТЕННЫХ СТЕРЖНЕЙ

КОМБИНИРОВАННОГО ПРОФИЛЯ

Ключевые слова: тонкостенный стержень, напряжения и деформации, принцип Лагранжа, вариационный метод.

В статье представлены элементы теории тонкостенных стержней закрытого профиля, изложен вариационный метод, позволяющий с использованием простейших соотношений для компонент деформаций представить принципа Лагранжа для стержней, поперечное сечение которых составлено из прямолинейных и криволинейных.

Keywords: thin-walled rods, сombinetprofil, stresses and deformations, Lagrange principle, variational method

The article presents the elements of the theory rods with a thin-walled closed profiles , the method, which allows to present principle Lagrange for rods with cross sections consisting of rectilinear and curvilinear sectors based on the simple relations for components of deformation.

Как известно, к тонкостенным стержням комбинированного профиля относятся стержни, поперечное сечение которых состоит из открытых и закрытых профилей. Для расчета стержней открытого и закрытого профилей используются теории, одни и те же гипотезы [1-3], за исключением того, что в теории стержней закрытого профиля принимается дополнительная гипотеза о равномерном распределении касательных напряжений по толщине стенки.

Вариационные соотношения, формулы для вычисления перемещений, деформаций, напряжений и внутренних усилий для тонкостенных стержней открытого и закрытого профиля приведены в [2-3].

В этих работах компоненты напряженно-деформированного состояния вычислялись с использованием декартовой системы координат Oxyz, с ортами i, j, k и с осью Ox , перпендикулярной к плоскости поперечного сечения (Рис. 1). На срединной поверхности профиля в точках M( yм, zM) вводилась локальная декартова система координат, c осями М yt , М zt, направленными по касательной и по нормали к срединной поверхности (Рис. 1). Орты этих осей - ix , t , n . Полагается что n = t х ix . Направляющие косинусы осей М yt , М zt обозначены как ty ,tz , Oy,nz .

Используются векторы перемещения и углов поворота поперечного сечения стержня:

U = u1 (x )i + u2 (x) j + u3 (x )k;

Ф = Ф1 (x)i + Ф2 (x)j + Ф3 (x)k , где u1(x), u2(x), u3(x) - перемещения точки О в направлении осей Ox, Oy, Oz , Ф1(x), Ф2 (x), фз(x) - углы поворота поперечных сечений стержня относительно этих осей.

Для описания перемещений в системе координат M ytzt вводится, двумерный вектор

V (x, y, z) = v(x, y, z) t + w(x, y, z) n . Здесь v(x, y, z), w(x, y, z) - перемещения точек профиля в направлении осей M yt и Mzt , соответственно.

Рис. 1

Обозначим величины V (х, у, г), w (х, у, г) и перемещения и (х) в направлении оси Ох , для стержня открытого профиля как

V0 (х, у, г), wo (х, у, г), и0 (х), а закрытого -

V3 (х, у, г), w3 (х, у, г), и3 (х).

Считаем, что модули упругости и сдвига материала являются переменными величинами, зависящими от длины дуги S срединной линии профиля Е(в) = Е0в'(в), в(в) = в0д'(в).

В соответствии с принятыми гипотезами получаются следующие результаты.

Для точек Мп (у, г), лежащих на оси Мг1,

начало которой расположено точке М(ум, гм) (Рис. 1), координаты у, г вычисляются по формулам у = ум + г^г, г = гм - г^у. Перемещения

открытого профиля определяются с использованием соотношений:

Vо (х,у,г) = и2(х) + иэ(х) (г +

+ Ф1(х) [у (г - г (у ],

(х, у, 2) = и2(х) ^ - из(х) /у --Ф1(Х) [у + 2гг ]

и0(X, у, 2) = X) + 2ф2 (X) -

- УФз(X) -р(X) ю (в) Перемещения для участков закрытого профиля находятся по формулам:

V3 (X, у, 2) = и2(X) (у + из(Х) +

+ Ф1(^ [м (2 - 2м (у ]

П3 (X, у, 2) = и2(X) ^ - из(X) (у -

-Ф1(x) [м (у + 2м (2 ] и 3(X, у, 2) = и1(X) + 2ф2 (X) -- уфз(X)-Р(X) [ю (5)-О* (в)],

где Р(х) - функция меры депланации; в

ю (в) = | р(в) Св - секториальная площадь профиля;

Iк в

о:I (в) = О Ь

о 4 я (в) ОД О = ! р(5) * = <р<5) *

(: - периметр закрытого профиля),

р = р(в) = RpM п = ум (2 - 2М гу - проекция радиуса вектора точки М на нормаль п к линии ОМ в этой

А3 ^

точке (Рис. 2); ¡к = О2 / -; Л(в) - толщи-

0 д

на стенки.

Я

РМ

О1

О1

Рис. 2

В поперечном сечении тонкостенных стержней возникают нормальные ст x и касательные

т напряжения

^ = Е 8 X

т = Су xyt ' xyt

Деформации вычисляются в локальной системе координат Му( 2( с использованием формул теории упругости:

= ди = = ди дч 8 ="дX; ^^ =Уxs = зУ+"дх • Для отрытого профиля продольные дефор-

мации

X) С

dx

- + 2

dx

- у-

dx

dx

ю (в).

Возникающие в открытом профиле касательные напряжения представляются в виде суммы [2]

к

т = т = т + т „„ Чу, ^^Xyt ^ ''Ф, '

где т - постоянное по толщине стенки среднее как

сательное напряжение, тXy( - напряжение чистого

кручения, распределенное по толщине стенки по линейному закону. Показано, что

= Су т = С (У + к У \у,) =

= т + т

к;

у du2 <x) , + С(из(x) , + СЫx) р(у _ ) + У XУ =-3- (у +-3- (2 + —1-р(у м , 2м ) +

' ^ dх

dх

dх

+ ф2<X) -фз(X) гу -Р(X)р(ум , 2м ) +

+к * díф1<x> 2, •

Сх ' к * = 2 .

Для стержней закрытого профиля справедливы соотношения (2), а деформации вычисляются по формулам [3]:

8 = X) + 2Сф2< X)

dx

- + 2-

dx

-у^-^ [ю (в)-О:(в)],

dx dx 1 *

у = Си2 <x) Сиз<x) . +

У ^ = Сх

Сх

[ум (2 - 2м (у ]Ф2(X) -

-Фз< X) гу -р< х)

р(в) -

¡X

О д

Для описания напряженно-

деформированного состояния стержня с комбинированным профилем используем основные результаты, полученные для открытых и закрытых профилей. Полагаем, что на участках открытых профилей справедливы соотношения вида (1, 3, 4), а для закрытого - (2, 3, 5). Однако, чтобы использовать указанные соотношения для определения напряженно-деформированного состояния стержня с комбинированным профилем, следует внести некоторые дополнения. Необходимо, чтобы перемещения точек стержня были неразрывными при переходе от участков открытых профилей к закрытому. Для удовлетворения этого требования используем условие равенства перемещений в точках пересечения срединных линий открытых и закрытого профилей.

На рис. 3 показан участок открытого профиля АВ сопряженный с закрытым профилем СД. Полагаем, что условие равенства перемещений должно выполняться в точке пересечения срединных линий профилей Мк (ук, 2к). Для поперечных перемещений стержня должны выполняться условия

ч 0 <х ук, 2к) = ч 3 у к, 2к),

(X, ук, 2к) = п3 (X, ук, 2к), а для продольных перемещений -

з

8 X =

u о (х, yk, zk) = u3 (х, yk, zk ) .

C

Рис. 3

При использовании соотношений (1), (2) условия (6) выполняются. В этом легко убедится, учитывая, что ук = ум, гк = гм и записывая выражения V о (х, ук, гк), V3 (х, ук, гк),

wо (х, ук, гк) , w3 (х, ук, гк) в единой локальной системе координат. При этом можно использовать локальную систему координат Мку( г( , для срединной линии закрытого, либо для срединной линии открытого профиля.

Подставляя в равенство (7) выражения для

и" , u

(1), (2), получаем

- ß(х) cc (sk) = - ß(х) [с (sk) - n3L (sM)]

где вк - координата длины дуги в в точке Мк (ук, гк) закрытого профиля (предполагается, что

начальная точка отсчета длины дуги находится на закрытом профиле).

Чтобы удовлетворить условию непрерывности перемещений

следует добавить слагаемое с0(х), которое будет различным на каждом из участков открытого профиля.

С учетом (8), получается

с0 (х) =Р(х) (вМ) . Следовательно, для отрытых участков профиля нужно полагать

и 0(X, y, z) = U1 (x) + Z(¡>2 (x) - УФэ (x) --ß( х) [cd (s)- n3L (sM )].

Здесь в^1 - длина дуги закрытого профиля в точке пересечения срединных линий закрытого и открытого профиля. Например, для поперечного сечения стержня, показанного на рис. 4 имеется четыре участка открытого профиля (к = 1,2,3,4). В точке М 2 (к = 2 ), длина дуги в% = О1М1 + М1М2 , а в точке М3 (к = 3 ), = О1М1 + М1М2 + М2М3 .

Составляющие поперечных перемещений вычисляются по формулам

V (х,у,г) = и2(х) (у + иэ(х) (г +

+ Ф1(Х) [ Ум tz - ZM ty + (1 - К30) zt ]

w (х,У,Z) = и2(X) tz -иэ(X) ty -

-Ф1(Х) [Ум ty + zM tz ]

М1

О1 М4

М2

Мз

Рис. 4

Для определения компонент деформаций, с учетом (10), (11), (5), (4), можно использовать следующие выражения:

о = х) + гс1ф2

dx

+ z-

dx

.-y.

dx

dß( х) dx

[ c

Y xyt =У +У xyt

где

Y= ^ ty+lUdixl tz + dM p(s)+

d^ y dх dх

+Ф2 (x) tz -Фэ(x) ty -

-ß

p(s) - К3

Г

1 V

Q g

+ (1 - к 30 ) k * ^Ф^И dх

С учетом (3), (12), нормальные напряжения вычисляются по формуле

x = E0e

du1

+ z-;--У ~

dx

dx dx dx

.

Выражение для касательных напряжений имеют следующий вид:

Т xyf = GYxyf = G(Y +Ykxyt ) =T +Tk

xyt

где

X = E0g

du2( x) du3(x) + ly lz

Сх

Сх

+ ÍÍ^M p(s) + Ф2 (x) tz -Фз(x) ty-

Сх

(

-ß

p(s)- к3

Г

I V

Л

Q g

= Eo g

(1 -к30) k

* Сф1( x) Сх

Представим основные вариационные соотношения в случае, когда модули упругости и сдвига материала стержня являются переменными величинами, зависящими от длины дуги s срединной линии профиля:

E(s) = E0e* (s), G(s) = G0g (s).

+

z:

t

z

X

Используем принцип Лагранжа:

SU -SW = 0 .

Здесь SU = J Ц SUA dA dl - вариация потенци-lc A

альной энергии деформации стержня, UA - удельная потенциальная энергия, S W - вариация работы внешних сил, C, A - длинна и площадь поперечного сечения стержня.

Для вычисления интегралов, содержащихся в условии (16), применим численное интегрирование.

Обозначим координаты точек срединной поверхности на линии yt = 0 через (y,, z,), длину дуги, которая соответствует точке M - Sj, координаты точки M - через (yм,, zMi), а соответствующую zt координату - zti.

С учетом (12 - 15), для точек (y,, zj), лежащих на оси Mzt

ст х (y,, zj) = Eoe *(s,) e x (y,, zj) ,

x (y, ,z i) = G(s ,) у xyt (y , ,z/) =

= go9 * (s) [y (yм, zm )+уXyt z)];

'dui

s x

dx

- + z ,

dx

- y i

d9a

dx

dx

(со (s,) - к30QL (s,) -

Y

- (1- к30) QL

du2

dx

dx

tz +

dx

-p(s,) +

+Ф2 (x) tz -Фэ(x) ty -

-ß

p(s,) - к3

r

I V

Q g

YxK, (zö) = (1 - к30) k

dф1

zt.

, , dX

Удельная потенциальная энергия деформации стержня в точке (y,, z ) 1

UA (У I,z i) = 2 [CT x (y I , zZ) s x (У I.zi) +

+ Vf (y i, zi) Yxyf (y/' z )]-Вариация удельной потенциальной энергии деформации

8Ua (y i, z ,) = [ сx(y,, zi) 5sx(y „ z ,) +

y z .1

"xy^J xyt ' y z'11

При использовании численного интегриро-

+ тxy. (УР z i )5Yxyt (уh z i)]-

вания

SU = JJ SUa dA = £SUa

A ,=1

Здесь I - число точек интегрирования, g , -весовые множители, зависящие от квадратурной формулы, применяемой для численного интегриро-

вания, а также от размеров и формы поперечного сечения стержня.

С учетом равенств (17), (18), получаем

SU = SUa (Y„ z,)g , j dl =

JI Z [стx (y /, z ,) Se x (У/, z ,) +

lc I 1=1

>h z i)] g i jd;

т xy( <у ¡, 21) §у ¡у, <у ь2 1) я 1 \С1

Используя выражения для компонент внешних сил [2,3] и для перемещений (10, 11), вариацию работы распределенных и сосредоточенных в точках внешних сил, моментов и бимоментов можно представить в следующем виде:

5W = J [f (x)5u1(x) + F2 (x)5u2(x) + F3(x)5u3(x)-

+ F3

к

+ Z [F1k5u1 (xk ) + F2k5u2 (xk ) + F2k5u2 (xk )] +

k=1

+ Z Mj 5ф1( xj) + M2 j 5ф2( xj )-j=1

+ M3j5ф3(xj) - MB"5ß(xj)].

Здесь m.

10 (X) = Ц [ 9зЛ <X, у, 2) (ум + (1 - К30 ) 2, ,2 ) -

Л

- цА (X) (2м - (1 - К30 ) 2(,у )]СА,

< (X) = Л цА (X, у, 2)[ ю (5) - К30О: в) -Л

- (1 - К30) о: (вм )]сА ,

Ц1А (X, у, 2), ЦА (X, у, 2) - проекции действующих в поперечном сечении внешних сил, на оси Ox и О2, соответственно, М^0, - аналогичные т™,

, сосредоточенные момент и бимомент, действующие в точках с координатой Xj. Обозначение

других величин, входящих в (19), представлено в статьях [2,3].

Отметим, что при вычислении внутренних сил и напряжений следует использовать численное интегрирование. В каждой точке интегрирования компоненты напряжений и деформаций определять в локальной декартовой системе координат Му,2, .

Нормальные напряжения в поперечных сечениях стержня, можно определять с использованием Гука:

~ Си1< X ) Сф2< X ) Сфз

сx = E0e

dx

+z

dx

- y-

dx

.

- "ddxг)

На основе закона Гука (14) для касательных напряжений, вариационным методом с достаточной точ-

ностью определяются интегральные характеристики напряженного состояния - внутренние силы и моменты. Чтобы описать распределение касательных

напряжений тху (в) = т(в) + ткХу1 (в) в поперечном

сечении стержня, необходимо использовать более точную формулу для т(5), которую можно получить из уравнений равновесия отсеченного элемента стержня.

Литература

1. Сливкер В.И. Строительная механика. Вариационные основы. Учебное пособие. - М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 2005. - 736 с.

2. Серазутдинов М.Н. Вариационные соотношения теории тонкостенных стержней открытого профиля.// Вестник Казанского технологического университета. 2013 г. Т. 16, № 5. С. 216 - 223.

3. Серазутдинов М.Н. Вариационный метод расчета тонкостенных стержней закрытого профиля.// Вестник Казанского технологического университета. 2013 г. Т. 16, № 20. С. 249 - 255.

© М. Н. Серазутдинов - д-р физ.-мат. наук, проф. зав. каф. теоретической механики и сопротивления материалов, КНИТУ, serazmn@mail.ru; М. Н. Убайдуллоев - канд. техн. наук, доцент каф. теоретической механики и сопротивления материалов, КНИТУ, madgidpwn@rambler.ru.

© M. N. Serazutdinov - doctor of physics-mathematical science, professor, KNRTU, serazmn@mail.ru; M. N. Ubaidulloyev - candidate of technical sciences, KNRTU, madgidpwn@rambler.ru.