Функции Грина для двухкомпонентного тела со слабо искривленной границей раздела

И. Д. Волков, М. А. Греков

ФУНКЦИИ ГРИНА ДЛЯ ДВУХКОМПОНЕНТНОГО ТЕЛА СО СЛАБО ИСКРИВЛЕННОЙ ГРАНИЦЕЙ РАЗДЕЛА*

1. Введение. Под функциями Грина в теории упругости понимают напряжения и перемещения, возникшие в твердом теле при действии сосредоточенной силы, а также при любом сосредоточенном воздействии, в частности, краевой дислокации. Эти функции называют также фундаментальным, или сингулярным решением. В общем трехмерном случае эти функции составляют тензоры Грина [1], которые играют важную роль при переходе к граничным интегральным уравнениям [2, 3] для решения краевых задач. Разумеется, речь идет, прежде всего, о функциях Грина, выраженных в явном виде через элементарные функции.

Что касается слоистых структур, то в двумерной постановке в явном виде получены решения для одиночной силы [4-6], одиночной краевой дислокации [7, 8] и периодической системы сил [6, 9] и дислокаций [9], действующих в соединенных полуплоскостях из различных материалов. Все эти сингулярные решения построены для случая плоской границы раздела. Вместе с тем на определенном масштабном уровне граница раздела двух сред по разным причинам не является плоской. В ряде случаев рельеф поверхности раздела формируется под воздействием процесса образования покрытий при окислении [10] или плазменном напылении [11, 12]. При некоторых условиях межфазная граница имеет тенденцию становиться неплоской в силу стремления к термодинамически равновесному состоянию, обеспечивающему минимум суммы энергии деформации и поверхностной энергии [13, 14].

Целью данной работы является построение приближенных выражений для функций Грина, отвечающих действию сосредоточенной силы или краевой дислокации, когда граница раздела имеет слабое отклонение от плоской формы.

2. Постановка задачи. Рассмотрим двухкомпонентное упругое тело, находящееся в условиях плоской деформации или плоского напряженного состояния. За исключением достаточно малого слабо искривленного участка межфазная поверхность данного композита является плоской. Это позволяет сформулировать соответствующую двумерную задачу теории упругости для плоскости комплексного переменного г = Х1 + гх2, состоящей из двух полуограниченных областей = {г : И,е (г — £) = 0, ( — 1)к 1т (г — £) > 0} (к = 1, 2). Граница раздела этих областей Гс (рис. 1) определяется уравнением

Функция / (xi) непрерывна и |f(xi)| < l, |//(xi)| < M (M = const), а на Гс имеют место условия идеального сцепления

z = Z = xi + ieg(x i),

где

u-(Z)= u+(Z), ^-(Z) = (Z), Z e rc

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-00274).

© И.Д.Волков, М.А.Греков, 2007

q2 У 2 ^2 X2 ‘ Г с

^7?t n I

Qj \Р

vi> A

Хл

Рис. 1. Сосредоточенная сила Р (краевая дислокация Ь) около криволинейной межфазной границы.

Здесь u± = lim u(z), а± = lim а(z), u = u1 + iu2, а = апп + Іап, u1, u2 — компо-

z—Z ±i0 z—Z ±i0

ненты вектора перемещений соответственно вдоль осей x1 и х2; апп, ап — нормальное и касательное усилия на площадке с нормалью n (в (2) вектор n перпендикулярен к Гс в точке Z, а направление вектора t совпадает с положительным направлением касательной к Гс). Орты n, t определяют правую систему координат n, t.

В точке z1 Є 01 действует сосредоточенная сила P = (P1, P2) или имеет место краевая дислокация с вектором Бюргерса b = (b1, b2) (рис. 1).

Напряжения а^- и угол поворота и удовлетворяют следующим условиям на бесконечности:

lim а^- (z) = 0, lim и(z) = 0.

3. Основные соотношения. В соответствии с принципом суперпозиции [15] решение задачи будем искать в виде

/\ г/\ 0, г £ 02, , ч Г/Ч 0, г £ 02, , ч

ст

1ст1 (г), г £ , [и1 (г), г £ ^,

где ст1 (г), и1 (г) — усилия и перемещения, возникающие в однородной плоскости с упругими свойствами среды 01 при действии силы или при наличии дислокации в точке г1; ст Г(г), и Г(г) — усилия и перемещения, возникшие в двухкомпонентной плоскости при отсутствии в ней внутренних источников возмущения и наличии скачков усилий Дст Г = стГ+ — стГ- и перемещений Ди Г = иГ+ — иГ- на границе раздела Г Г.

Подставив (4) в (2), находим

Аа c = а1, Au c = u1.

Введем следующие обозначения:

С( ) = / ст(г) Пк = 1, С ( ) = / стС(х) Пк = 1,

| о,, _ Сс(г,а) < ^ис ^

Г/к — —Хк, I г1к — —Хк,

( ст1 (г), П1 = 1,

С1

VI--* ь

где кк = (3 — ^)/(1 + ) при плоском напряженном состоянии, кк = 3 — 4^ при

плоской деформации; ^ и ^ — соответственно коэффициент Пуассона и модуль сдвига среды 0,к- Дифференцирование в (6) производится в направлении вектора 1, который составляет с осью х угол а, отсчитываемый от оси х против часовой стрелки.

Из (4) и (6), очевидно, следует

С

Здесь 5к1 = 1 при к =1 и 5к1 = 0 при к = 2.

Согласно [16] для функции СГ(г а) имеет место соотношение

Сс

Здесь Фк(г) — функции, голоморфные вне Гс и Гс; Гс = {г : г = £}. Черта сверху

означает комплексное сопряжение, штрих — производную по аргументу.

Функция ^1(2, а) является функцией Грина для однородной изотропной плоскости с упругими свойствами среды и, согласно [15], определяется по формуле

игл Т7Л2 ^ ^

са) — 1±------— 11А\ —— — л. ——, £ £ 1,

г — Х1 аг аг

где

Ыг)=1п^—^, к2

х — х — х\

При этом при действии сосредоточенной силы

М = *и Н= Р Р = Р1+гР2,

2п

а при наличии краевой дислокации

Л1 = —1, Н = , ,, 6 = 61 +*62-

П

Применим к соотношениям (10) оператор с1/с1г = д/дг-\-е~2гад/дг. Тогда равенство (9) принимает вид

Нщ НХіЄ-2іа-Н Не-2іа{г-г і) г — г\ ~2 — ~х\

6-1

Перейдем в (8) к пределу при г ^ £ Є Гс, считая, что а ^ ао, где ао —угол между положительным направлением касательной к Гс в точке £ и осью жі. Тогда равенства (5) при учете очевидного соотношения

= -2іа0 _ і 2*Є

1---------' , .

1 + *єд/

приводят к двум краевым условиям относительно функций Фк, которые запишем в виде следующего одного равенства

т2Ф1

— 2*е^

2*е^/

1 + *£^/

'ГП2 Ф1Ю - 'ГП1 Ф2

+

'ГП2^1(0 - 'ГП1 Ф2(0

= Ш2С1

— 2*£^(Ж1) Ш2Ф1 (О — Ш1Ф2+(0

где Ф±(С)= Пт Ф(г), С £ Гс V £ £ Гс. Равенство (15) отвечает первому условию в

(2) при значениях тк = ^к, Пк = —кк (к =1, 2) и второму при тк = Пк = 1.

Представим функции Фк (г) в виде разложений по степеням малого параметра е:

&к(г) = У2 ^-гФкп(г), к =1,2,

п!

п=0

а граничные значения функций Фкп(г) и их производных на Гг и Гг — в виде соответствующих рядов Маклорена в окрестности ж 2 = 0, рассматривая переменную ж1 как параметр

♦Ью = £ фы(С) = ±

,, -П7 М-

т=0 т=0

Кроме того, в силу (1), (14) и малости величины е, имеем

С1(С,а0) = ^ (жье)=]Т При учете (16)—(18) и разложения

д'

т=0

г! де'

(жь0).

1

1 + *е#'

соотношение

X) (—*е£Т , М < 1

то то

V- V

п!

п=0 т=0

(V 1)тт2ф1’т )(ж1) + т1П2Ф2" )(ж0) —

(т2П1Ф1гП )(ж1) + ( —1)тт1Ф2" )(ж1^ —

-2(-1ГМх1) (т2Ф(“+1)-(Ж1) -т1Ф^+1)+(х1)) -

+

е

0

т!

— 2( —1)т*е^/(ж1) | ( — *е^/(ж1^^ | X

и'=0

х | (т2Ф(1™)(х1)-Ш1Ф^)(Х1)) + (тзФ^^Ж!)-т1Ф^}(ж1)) -

-р / / V у-~^ / /

”= £ ^7а^р(11’0)'

т=0

ж1 £ ( — те, +те).

Приравнивая в (19) коэффициенты при е” (п = 0, 1, ...) нулю, приходим к бесконечной последовательности краевых задач Гильберта:

Яю(ж1) = т2^(ж1, 0) = т2^1(ж1, 0),

где

к!

— ( т2П1ф1' (ж1) + ( —1)кт1ф2' (ж1^ —

(( —1)кт2ф1' (ж1)+ т1П2Ф2' (ж0) —

к™. <Ъ(к) I

-2{-1)к 1к

к-‘ V %Цгг- (№1))’*

1<^<к

(к — .?)!

т2ф1т ^) (ж1)—т1(2к—я?+1)ф2!5) (ж1^ +

(к - Л/

т

т2

ж1 £ (—те, +те), к = п — т, п =1, 2, . ..

д”

+ т2 —^(*ь0),

Заметим, что Пт Нп(ж1) = 0 для всех п, поскольку $(ж1) = 0 при |ж11 > I и

Пт ^(ж1, е) = 0.

Введем обозначения

Н”

#1”(ж1), тк = Пк = 1,

тк = Мк , ^к =

(к = 1, 2).

Кк

0

х

Тогда краевое условие (20) может быть записано в виде следующих двух:

Согласно [15] решение задачи (23), (24), удовлетворяющее условиям (3), имеет вид

{^^1п{г) + ^{г) 1тг>0

I М2 + М1К2 ’ ’

Ф1”

+/, 1т2<0,

М1 + М2 К1 ’

где

7"« = 2Ы тгг Л- <26>

Ограничимся далее нулевым и первым приближением.

4. Нулевое приближение. Используя свойства интеграла типа Коши [17], из (13), (20), (21) и (26) находим

2 - 21 ’ 1п12>0, (—Ц2Х11о{г), 1п12>0,

1о

- 7НХ^~ + Н^г1 —*2\ 1т2<0, [ц210(г), 1т2 < 0.

. 1 — 21)

Подставив (27) в (25), получим выражения для комплексных потенциалов в нулевом приближении:

{—М2/0(г), 1тг> 0, Г (М2 + 1)/0(г), 1т г> 0,

Ф20

—М1/0(г), 1тг< 0, [(М1 + 1)/0(г), 1тг< 0.

Здесь

,, М— 1 МК1 — к2 М2

М1 = —-------, М2 =-------------, /х=—.

1 + Мк М + К2 М1

Заметим, что потенциалы (28) отвечают действию сосредоточенной силы (при выполнении равенств (11)) или краевой дислокации (при выполнении равенств (12)) в композите с прямолинейной границей раздела Гг.

5. Первое приближение. Выпишем основные формулы для нахождения комплексных потенциалов Фц и Ф21. Из (21) имеем

#1(ж1) = —|*#(ж1) ( — т2Ф'ю(ж1)+ тщ2Ф20(ж1^ — (т^-^Ф'ю^) — т1Ф20(ж^ —

-2(т2Ф/1о(ж1) - т1Ф'^)(х1)^ -21д,(х1) (т2Ф10(х1) - т1Ф2о(х1)^ +

+

Полагая в равенстве (13) г = а = ао, с учетом (1), (14) получим

д д

_ Шщд{хг) _ 2г

е=о (хх — г\)2 XI—гТ (хх-г^)2

2Ш

(ж! - гх)3

(ж! - г{)2

Из (27) и (28) следует

Ф+о (Х1) = -

М2Я

(XI - гх)2'

, Ф10 (х1 ) = -М1

Я А 1 2Я

Используя выписанные соотношения (27)-(31), можно по формулам (25) найти выражения для потенциалов Ф11 и Ф21, если определена форма искривленного участка границы раздела, т. е. функция f.

В качестве примера рассмотрим локальное искривление границы Гс, форма которого определяется равенством

Х2 = еДж!) = е1

На рис. 2 представлены графики функции f при д = 2 и д = 8 (соответственно кривые 1, 2). Заметим, что при д = 2 точки х1 = ±I являются угловыми точками Гс. Производная д'(х) в этих точках терпит разрыв. При д > 2 граница Гс гладкая.

Рис. 2. Вид функций f, определяющих искривленную форму границы раздела.

Из (26)-(28) и (29)-(31) следует, что для того, чтобы получить выражения для потенциалов Ф11 и Ф21, необходимо найти следующие функции:

1 1

_1_ г л = _1_ г <а

1 2т У (Ь — а)2 Ь — ъи’ 2 2т ] (£ — а)3 Ь — ъи’

-1 -1

Рз(г) = _1_ [ _А_

2т У (^ — а) £ — ю -1

•

(£ — а)2 £ — ш ’

где а = г\/1 или а = /I, ги = г//, Н(Ь) = /(И)/1.

1

Выражения для интегралов в (33) можно получить в явном виде при любом целом показателе степени д, однако в общем случае при четном д они слишком громоздки. Поэтому приведем здесь функции ^ при д = 2т + 1 (т =1, 2, ...). На основании свойств интеграла типа Коши с учетом (32) находим

Fi

( —1)'

(w2 - 1)mX(w) c11

C12

(w — a)2

— a (w — a)2

— Q2m-1

F2(z) =

c21

c22

C23

(w — a)3

w — a (w — a)2 (w — a)3

— Q2m-2

2

w(w2 — 1)m 1X (w) c31

3

2m-

F4

( —l)m(2m + 1) 2

w(w2 — 1)m 1X (w) C41

C42

(w — a)2

w — a (w — a)2

— Q2m-2

.

В соотношениях (34) ветвь функции X(и;) = л/го2 — 1 определяется равенством л/г = 1, — полином степени к — главная часть в разложении на бесконечности пер-

вого слагаемого в квадратных скобках, соответствующего функции ^ (_?’ = 1, 2, 3, 4),

C12 = (a — 1)mX (a), C11 = (2m + 1)a(a — 1)m X (a), C23 = C12, C22 = C11,

C21 = ^(2m+ l)(2ma2 - l)(a2 - l)m~2X(a), c3i = aci2, c42 = c3b c4i = [•

Через функции Fj в явном виде выражаются интегралы /1, /2, и вслед за этим, согласно формулам (25), потенциалы Фц, Ф21. Затем с учетом (6)—(8) и разложений (16) находятся и сами функции Грина (напряжения и перемещения), которые определяются функцией G. Последняя, в силу (7), (8) и (16), в первом приближении равна G = Go + eG1. Функция Go отвечает нулевому приближению, в котором граница раздела совпадает с осью Ж1.

Для изучения характера изменения напряжений на искривленном участке границы раздела и сравнения этих напряжений с напряжениями на прямолинейной границе были проведены соответствующие расчеты в первом и нулевом приближении в предположении, что выполнены условия плоской деформации. Рассмотрена сосредоточенная сила P (P1 = 0, P2 = — Р < 0), действующая в точке Z1 = — i вдоль оси Ж2. Коэффициенты Пуассона взяты равными V1 = V2 = 0,3. В этом случае величина ц равна отношению модулей Юнга сред (^ = E2/E1). В (32) принято q = 2, е = 0,3.

Полученная картина распределения напряжений на криволинейном участке и прилегающих к нему прямолинейных участках межфазной границы, а также на прямолинейной границе, представлена на рис. 3.

В отличие от контактных усилий ann и ant, напряжения att терпят разрыв при переходе через Гс. На рис. 3 приведены графики предельных значений этих напряжений а++ и а— на Гс, где а± = lim att при Z G Гс, вектор t направлен по касательной к Гс в

z^Z±i0

точке Z. Интересно отметить, что на некоторых участках границы раздела напряжения а++ и а— имеют разные знаки в одной и той же точке.

Как и следовало ожидать, слабое искривление границы раздела приводит к ослаблению контактных усилий в средней части искривленного участка, поскольку он находится дальше от сосредоточенной силы, чем прямолинейный участок, соответствующий

2

2

wa

wa

и

1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 ххИ -1-5 '1 -°'5 0 05 1 ХХИ

Рис. 3. Распределение напряжений на границе раздела в нулевом (пунктирные линии) и первом (сплошные) при относительной жесткости сред ^ = 3 (а) и ^ = 1/3 (б).

нулевому приближению. Вычисления показывают, что при аналогичном искривлении в противоположную сторону эффект оказывается обратным. Из рисунков видно, что вне искривленного участка границы нулевое и первое приближения сближаются.

Заметим, что угловые точки границы XI = ±1 являются сингулярными точками напряжений, поэтому в первом приближении напряжения неограничены в окрестностях

этих точек. Аналогичное поведение напряжений было выявлено в работе [18] в окрестности угловых точек границы полуограниченной области при действии продольных усилий вдали от искривленного участка.

Для более полного представления о влиянии относительной жесткости композита на напряженное состояние границы раздела построены зависимости напряжений в середине искривленного участка границы (0, е1) от величины ^ (рис. 4). При ^ = 0 граница раздела двух сред Гс превращается просто в границу среды 0,1, а при ^ ^ то упругая среда 01 контактирует с жесткой. Соответствующие предельные значения напряжений приведены в таблице.

Напряжения в середине искривленного участка границы

ч Нулевое приближение Первое приближение

&пп & nt °tt nn О nt °tt

0 0 0 -0,637 0 0 0 -0,302 0

oo 0,495 0 0,212 0,141 0,313 0 0,134 0,075

В заключение хочется отметить, что если форма искривленного участка определяется функцией f = I (1 — (x1/1)2)3/2 Qm(x1), где Qm — полином степени m, то для функций Fj в (33) также имеют место простые выражения, аналогичные (34). Таким образом, в первом приближении функции Грина могут быть выписаны в явном виде для достаточно общей формы локального криволинейного участка гладкой границы раздела двух сред.

Summary

I.D. Volkov, M. A. Grekov. Green’s functions for bonded dissimilar materials with a slightly curved interface.

The 2-D model of two-component elastic composite with a slightly curved interface is considered. The concentrated force and/or edge dislocation acts in one of the component. The solution of both problems is represented in a form of series expansion of complex potentials in terms of power of a small parameter on the base of the perturbation technique. The algorithm for deriving the complex potentials of any-order accurate solution in a closed form has been developed for a wide range of local perturbed curves. Some basic formulas are given for the first-order solution when a local deviation of the interface from the straight one is described by power functions. The stress distribution at the curvilinear interface of a certain form is analyzed for the case of concentrated force.

1. Работнов Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979. 744 с.

2. Михлин С. Г., Морозов Н. Ф., Паукшто М. В. Интегральные уравнения теории упругости. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1994. 272 с.

3. Греков М. А., Еременко Н. Г. О функциях Грина для упругих сред // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела. СПб.: СПбГУ, 2003. Вып. 7. С. 265274.

4. Frasier J. T., Rongved L. Force in the plane of two joined semi-infinite plates // Trans. ASME. Ser. E. J. Appl. Mech., 1957. Vol. 27. N4. P. 582-584.

5. Dundurs J. Force in smoothly joined elastic half-planes // J. Eng. Mech. Division. Proceedings of the ASCE, 1962. Vol. 88. EM5. Pt. 1. P. 25-40.

6. Линьков А. М. Комплексный метод граничных интегральных уравнений теории упругости. СПб.: Наука, 1999. 382 с.

7. Head A. K. Proc. Phys. Soc. London, Sect. B 66, 1953. P. 793.

8. Mura T. The continuum theory of dislocations // Advances in materials research. N.Y.: Interscience Publ., 1968. Vol. 3. P. 1-107.

9. Греков М. А., Моисеева Н. Б. Фундаментальные периодические решения уравнений теории упругости для соединенных разномодульных полуплоскостей // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1, 1998. Вып. 4. С. 75-78.

10. Liu Y. Y., Nateso K. The adherence of nickel oxide on nickel during high-temperature oxidation // Mat. Res. Soc. Symp. Proc. Vol. 119, Adhesion in Solids. Reno, 1988. С. 213-221.

11. Steeper T. J., Rotolico A. J., Nerz J. E. et al. Experimental studies of air plasma sprayed alumina coatings // Ceramic Coatings (ASME Winter Annual Meeting, MD-Vol. 44). New Orleans, 1993. 139.

12. Пух В. П., Байкова Л. Г., Звонарева Т. К. и др. О возможности защиты высокопрочного стекла алмазоподобным покрытием // XIV Петербургские чтения по проблемам прочности. СПб., 2003. С. 217-218.

13. Gao H. A boundary perturbation analysis for elastic inclusions and interfaces // Int. J. Solids Struct., 1991. Vol. 28. С. 703-725.

14. Kung H., Chang H., Gibala R. Interfacial structures of MoSi2-Mo5Si3 eutectic alloys // Structure and Properties of Interfaces in Materials (Mat. Res. Soc. Symp. Proc. Vol. 238). Pittsburh, 1992. С. 599-604.

15. Греков М. А. Сингулярная плоская задача теории упругости. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2001. 192 с.

16. Греков М. А. Метод возмущений в задаче о деформации композита со слабо искривленной границей раздела // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1, 2004. Вып. 1. С. 81-88.

17. Мусхелишвили Н. И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука. 1966. 708 с.

18. Греков М. А., Макаров С. Н. Концентрация напряжений у слабо искривленного участка поверхности упругого тела // Изв. РАН. Сер. Механика тв. тела. 2004. №6. С. 53-61.

Статья поступила в редакцию 15 марта 2007 г.