Критерии существования циклов в квадратичных двумерных системах

Г. А. Леонов

КРИТЕРИИ СУЩЕСТВОВАНИЯ

ЦИКЛОВ В КВАДРАТИЧНЫХ ДВУМЕРНЫХ СИСТЕМАХ*

1. Введение

Возможна ли бифуркация одновременного рождения циклов в окрестности двух состояний равновесия двумерных квадратичных систем при изменении одного скалярного «управляющего» параметра? Положительный ответ на этот вопрос содержится в настоящей статье.

Исследование циклов двумерных квадратичных систем последнее столетие стимулировалось 16-й проблемой Гильберта и различными ее вариантами [1-6].

Новые возможности для развития асимптотических методов исследования циклов квадратичных систем открылись с появлением дробно-квадратичных преобразований, приводящих любую двумерную квадратичную систему к уравнению Льенара специального типа с разрывными нелинейными функциями [7-9]. Такие возможности демонстрируются в настоящей статье.

Объединение элементов прямого метода Ляпунова, методов усреднения и теории бифуркаций позволило получить критерии существования малых циклов в окрестностях стационарных точек. Здесь предложен новый подход к вычислению первой ляпу-новской величины [10], который не привлекает аппарат нормальных форм и снижает требования к гладкости системы.

Использование искусственно созданного разрыва, построение семейств трансвер-сальных прямых и специальных функций ляпуновского типа также привело к критериям существования циклов.

Переход от квадратичной системы к уравнению Льенара выявил интересные симметрии, открывшие возможность «почти автоматически» доказать существование некоторого «дополнительного» цикла.

2. Критерии существования малых циклов в окрестностях стационарных точек

Рассмотрим уравнение

2 + г = и

Лемма 1 [11]. Решение уравнения (1) с начальными данными 2(0), 2(0) определяется формулой

t t

z(t) = т d т in si (т) u( 1 о z( cos t + z(0) + и(т )cos т dT t in si

о J о

‘Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (грант №07-01-00151), Программы Dutch Russian research cooperation NWO и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант № НШ-4609.2006.1).

© Г. А. Леонов, 2007

3l

2(і) = —2(0)8Іп і + и(т) 8Іп тйт 8Іп і + и(т) СОЯ Т^Т 008 і.

/

/

0

0

Рассмотрим уравнение

ж + ^(ж, є)ж + С(ж, є) = 0

или эквивалентную ему систему

ж = у

У = —^(ж, є)у — С(ж, є).

Здесь е — положительное число, ^(ж, 0) = /(ж), С(ж, 0) = 0(ж), /(хо) = ^(жо) = 0 и в некоторой окрестности точки жо, 0 функции ^(ж, е) и С(ж,е) являются гладкими функциями.

Теорема 1. Если выполнены неравенства

где же — нуль функции С(ж, є) в окрестности точки ж = жо, то существует число єо > 0 такое, что для всех є Є (0, єо) система (4) имеет цикл.

Доказательство. Введем обозначение 2(і) = ж(і) — ж0 и положим

Не умаляя общности Здесь можно принять, что 01 = 1.

Рассмотрим вначале случай, когда е = 0 и 2(0) — малая величина.

Здесь, используя гладкость функций ^ и С, построим приближения решений системы (4) на конечном интервале, следуя первому методу Ляпунова.

Первым приближением решения 2(4) системы (4) является функция

Уравнением, определяющим второе приближение 22(4) решения 2(4), будет следующее уравнение:

/"(жо)д/(жо) < //(жо)д"(жо), д'(жо) > 0, ^(же,є) > 0,

/ (ж) = /і (ж — жо) + /2 (ж — жо)2 + 0((ж — жо)3), д(ж) = ді(ж — жо) + #2 (ж — жо)2 + 0((ж — жо)3).

2і(і) = 2(0) 008І.

Отсюда следует, что при 2(0) = 0 выполнено равенство

^2 (t) = —z(0) sint + z(0)2 ^^(sin t)4 —

— ^(1 — (cost)3) SHlt + ^(1 — (cost)3) cost —#2 ^sint — -(sint)3^ cost

Из последнего выражения следует, что второе время пересечения T > 0 решением x(t),y(t) системы (4) с начальными данными x(0), у(0) = 0 прямой у = 0 (рис. 1) удовлетворяет соотношению

T — 2п + O ((x(0) — xo)2) .

.y- x(7) ^

U(0) x0 / x

Рис. 1.

Рассмотрим далее функцию

(X \ 2 x

У + / f (z)dz ) + 2 / g(z)dz.

X0 / X0

Легко видеть, что для производной функции V вдоль решений системы (4) выполнено равенство

X

V^(x,y) — —2g(x) у f (z)dz —

X0

= — /i(^ — *o)3 — (^з^2 (x ~ ж°)4 0((x ~ ^o)5).

Отсюда и из соотношений (6), (7) получим равенство

T

V(x(T), у(Т)) - V(x(0), 0) = - J hz2(t)3 + 0/2 + hg^j z2(t)4) dt + 0(z(О)5) =

o

2п

= —z(0)4 J ^/2 + fl92^j (cost)4 + 3/i(cost)2 ^-(sint)3 cost + (l — (cost)3) cost+ o

^ ^1—(cost)3) sint—^2 ^sint— i(sint)3^ sint^ dt+0(z(0)5) = — ——^^^-z(0)4+0(z(0)5).

Отсюда и из теоремы о непрерывной зависимости решений системы (4) от параметра следует, что для достаточно малого по отношению к величине |2(0)| параметра е > 0 имеет место неравенство

V

(см. рис. 1). С другой стороны, состояние равновесия ж = же , у = 0 системы (4) при малых е > 0 является устойчивым фокусом. Из этих двух фактов и следует существование цикла системы (4) в некоторой малой окрестности точки ж = же, у = 0 (рис. 2).

Рис. 2.

Следствие 1. Если выполнены неравенства

/"

то существует число єо < 0 такое, что для всех є Є (єо, 0) система (4) имеет цикл.

3. Асимптотические оценки, основанные на использовании точек разрыва коэффициентов уравнения Льенара

Рассмотрим систему (4) с є = 0 и

/

д{х) =А

где А, В, в, Ь, Л — положительные числа и выполнены условия

в>А^і —1 < <7 < 1.

Легко видеть, что в точках ж і =0, ж2 = —В/ А выполнены соотношения

/ (жі) = д (жі) = / (ж2) = д (ж2) = 0, д /(жі) = ЛВв29-3, д "(жі) = 2Лв(2<?-4) (Ав + В6(2^ — 3)),

д\х2) = ХВ 29 3 , = 2Л (2' ^ (А/З - ВЪ(2д - 2)),

/(ж,) = Бв1-2, /''(ж,) = 2в*-3 (Ав + БЫ,, — 2)),

Лч) = _в (^)"\ Л«, = 2(“^),-’(„- ъвь-лт.

Поэтому для выполнения условий (8) достаточно потребовать, чтобы

F

Здесь же — нули функции С(ж,е) в окрестностях точек ж, и ж2 .

Для системы (4) с е = 0 и функциями (9), (10) имеют место следующие простые результаты.

Лемма 1. На множествах

{же (-|,(’), !, = -с},

где С е [0, Ав(1-1)], и

{ж > 0, у = —С},

где С > Ав(1-1), справедливо неравенство у > 0.

На множествах

И-!-!)—

где

АБ — вА\

С

0, А

V А

-

Б

ж <- —, у = С где

выполнено неравенство у < 0.

Для доказательства первой части леммы достаточно заметить, что из второго уравнения системы (4) с е = 0 и функциями (9), (10) на множестве {ж е (—в/Ь, 0), у = —С} имеем

у = (Аж + Б)ж|в + Ьж|1-2 ^С — А(в + Ьж)(1-1)^ > 0,

если С е [0,Ав(1-1)].

Остальные утверждения леммы доказываются аналогично.

Лемма 2. Любое решение системы (4) с начальными данными ж(0) = 0, у(0) > 0 пересекает при увеличении 4 множество {ж > 0, у = 0}. Любое решение системы (4) с начальными данными ж(0) = —Б/А, у(0) < 0 пересекает при увеличении 4 множество {ж < —Б/А, у = 0}.

Докажем первое утверждение леммы. Для этого рассмотрим ляпуновскую функцию

/ X \ - X

V (ж,у)= (у + У / (2)^2! +2J 0(2)Й2.

и

V = —20(ж) / /(2)Й2.

На множестве {ж > 0, у > 0} при ж2 + у2 ^ го выполнены соотношения

V < 0, V(ж, у) > 0, Нш V(ж, у) = +го.

Последнее вытекает из условия —1 < , < 1.

Из условий (13) по теореме Барбашина—Красовского [12, 13] следует стремление к нулю любого решения ж(4), у(4), удовлетворяющего неравенствам ж(4) > 0,у(4) > 0 при всех 4 > 0. Но последнее невозможно для траекторий из первого квадранта. Полученное противоречие доказывает первое утверждение леммы. Второе утверждение доказывается аналогично.

Из лемм 1 и 2 вытекает, что для системы (4) с е = 0 и функциями (9), (10) справедливо расположение траекторий, показанное на рис. 3.

Рис. 3.

Рассмотрим теперь решения системы (4) с начальными данными

ж

и с начальными данными

ж(0) = —

у(°) = А

ЬБ — вА У1-1)

Из леммы 1

ж

X

и в случае

ВВ

х

(см. рис. 4).

Рис. 4.

Из приведенных здесь рассуждений вытекает следующий результат. Теорема 2. Для решений системы (4) с начальными данными

ж

и

В

ж

существуют числа ті > 0 и т2 > 0 такие, что

ж(ті) = 0, у (ті) < у (Ті) < у (0), ж(і) =0 V і Є (0,ті),

ж

(см. рис. 5).

Хорошо известно [7-9], что двумерная квадратичная система

ж = аі ж2 + Ьі жу + сі у2 + аі ж + ві у, у = а2 ж2 + Ь2 жу + С2 у2 + а2 ж + в2 у,

где, не умаляя общности, принимается сі = 0, приводится к системе вида (4) с

ґ (ж, є) — [—(Ьі ^2 — 2аі С2 + аі Ьі )ж2 — (&2 ві + Ьі в2 —

— 2аіС2 + 2аіві)ж —

и

/й2 ж2 + «2 ж (Ь2 ж + в2 )(а, ж2 + а, ж) С2 (а, ж2 + а, ж)2\ 2о /1СЧ

0<а:'£) = “ ------------

Здесь , = — с2/Ь,, и предполагается, что Ь, =0.

Пусть в системе (16) а, = а2 = с, = 0, Ь, = в, = с2 = 1, Ь2 = —1, а, = 1/3 — е, а2 = в2 = —1/3. Легко видеть, что здесь

F (ж, е) = (ж2 + 2(1 — е)ж + е) 11 + ж|-3,

Ст

2

Г(0) = Г(-2) = -Ю, д'(0)=д\-2) = -.

В окрестности ж = 0 имеем же =0, а в окрестности ж = —2 имеет место равенство же = —2 — 3е + о(е).

Ясно, что для же = 0

F (же, е) = е,

а для же = —2 — 3е + о

т-1/ \ 11е + о

Таким образом, из следствия 1 вытекает, что при достаточно малых е < 0 система

(1 А

X = Ху + I-------£ \ X + у,

V3 /

2 1 1

у = -ху + у - -х- -у

имеет не менее двух циклов. При этом каждое из двух состояний равновесия окружает по одному циклу.

Этот же результат следует из теоремы 2.

4. Обратное преобразование квадратичной системы к уравнению Льенара

Как уже отмечалось в предыдущем параграфе квадратичная система (16) может быть преобразована к системе (4) со специальными функциями / и д.

Поставим теперь вопрос о том, когда существует обратное преобразование. Другими словами, когда для уравнения

X + ¥

где

¥(х) = (Ах + В)х|х + 1|9 2,

С(ж) = (Сіх3 + С2Ж2 + С3Ж + С4)х

(х + 1)3 ’

существует квадратичная система (16), для которой выполнены соотношения (17) и (18)? Здесь будем предполагать, что сі =0 и а і = —в2.

Предложение 1. Пусть 61 = 0, ві = 0, а і = 0. Тогда, не умаляя общности, можно принять, что в системе (16) 6і = аі = ві = 1.

Для доказательства этого факта сделаем замену

[Зі— «і_ ї

х = —х, у = -—у, і = —.

6і 6і аі

В новых переменных первое уравнение системы (16) запишется в виде

- С*і/?1а1_2 --- - -

Х= ----;----X + Х'У + X + у. и

6і

Предложение 2. Для коэффициентов А, В, (_?’ = 1, .. ., 4), ц уравнения (20) существуют соответствующие коэффициенты аі,6і = 1, аі = 1, ві = 1, 2,62,С2 = —ц, а2,в2 = —1 системы (16) тогда и только тогда, когда

(В “ ((1 - д)В + (Зд - 2)А) = 2С2 - 3С\ - С3,

(2ц — 1)2 (В-А) (2</ — I)2

(В + 2(ц — 1)А) = С2 — 2Сі — С4.

Здесь

2ц — Г

а2 = —(ц + 1)а]_ — Ааі — Сі,

62 = —А — аі(2ц + 1), а2 = ^2 — 2аі + А(аі — 1) + (2Сі — С2). Эти соотношения сразу следуют из равенств (17) и (18).

5. Описание общего случая бифуркации одновременного рождения циклов в окрестности двух состояний равновесия

Рассмотрим систему (4) с функциями (17) и (18). Здесь в общем случае можно ПрИНЯТЬ, что С1 = 0, 61 = 1, «1 = 1, Д. = 1.

Для существования бифуркации рождения цикла в окрестности х = у = 0 необходимо, чтобы для невозмущенной системы (скалярный «управляющий» параметр е = 0) выполнялось условие а. = —в2, т. е. в = -1.

Необходимо также, чтобы в другом состоянии равновесия (х = Х2, у = 0) выполнялось условие

/

Здесь

Введем теперь величины

Х2 ——------7^-----~~------------г—.

£1 = / "(0)д/ (0) — / / (0)д"(0),

^2 = / "(х2)д / (х2) — / / (х2)д"(х2).

В общем случае можно принять, что £1 = 0, £2 = 0.

Необходимым условием рассматриваемой бифуркации в случае общего положения являются также неравенства д/(0) > 0, д/(х2) > 0.

Изменим теперь параметры «1, в2, «2 следующим образом:

«1 = 1+ Р1е, в2 = —1+ Р2е, «2 + Рзе.

Здесь р- — некоторые числа, которые удовлетворяют соотношениям

Р1 [(62 х2 + в2)(х2 + 1) — 2с2х2(а1х2 + «1)] + Р2(а1х2 + «1)(х2 + 1) . .

и =--------------------------------------------------------------------’ р2)

Р1 + Р2 = £1,

Система (23), (24) разрешима относительно р1 и р2, если С2 = —1/2.

Если р- удовлетворяют соотношению (22), то для состояния равновесия возмущенной системы имеем

хе = х2 + 0(е2).

Отсюда и из (23), (24) следует, что для рассматриваемого случая выполнены либо условие теоремы 1, либо следствие 1.

Таким образом, происходит бифуркация одновременного рождения циклов в окрестностях двух состояний равновесия при изменении одного параметра е.

При численном поиске циклов квадратичных систем представляется целесообразным зафиксировать параметры системы (16) так, чтобы выполнялось «1 = — в и (21). В этом случае малым возмущением можно добиться существования двух малых циклов. При таких малых возмущениях большие предельные циклы не исчезают и поэтому из численного поиска больших предельных циклов, давшего некоторое число циклов К, сразу следует, что система имеет К + 2 цикла.

G. A. Leonov. Existence cycles in two-dimensional quadratic systems.

The existence of bifurcation of simultaneously arising cycles in the vicinity of two equilibrium states of two-dimensional quadratic systems with one scalar parameter changing is proved.

Литература

1. Hilbert D. Mathematical problems. Bull. Amer. Math. Soc. 1902. Vol. 8. P. 437-479.

2. Lloyd N. G. Limit cycles of polynomial systems — some recent developments // New Direction in Dynamical Systems. Cambridge University Press, 1988. P. 192-234.

3. Blows T. R., Perko L. M. Bifurcation of limit cycles from centers and separatix cycles of planar analytic systems. SIAM Review, 1994. Vol. 36. N 3. P. 341-376.

4. Ilyashenko Yu. Centennial history of Hilbert’s 16th problem Bulletin of the AMS. 2002. Vol. 39, N3. P. 301-354.

5. Гринь А. А., Черкас Л. А. Экстремумы функции Андронова—Хопфа полиномиальной системы Льенара // Дифференциальные уравнения. 2005. Т. 41, №1. C. 50-60.

6. Арнольд В. И. Экспериментальная математика. М.: Фазис, 2005. 63 c.

7. Леонов Г. А. Семейства трансверсальных кривых для двумерных систем дифференциальных уравнений. Вестник СПбГУ. Сер. 1. Вып. 4. 2006. С. 48-78.

8. Leonov G. A. Two-Dimensional Quadratic Systems as a Lienard Equation // Differential Equations and Dynamical Systems. 1997. Vol. 5. N 3/4. P. 289-297.

9. Леонов Г. А. Проблема оценки числа циклов двумерных квадратичных систем с точки зрения нелинейной механики // Украинский математический журнал. 1998. Т. 50. №1. С. 4857.

10. Баутин Н. Н. Поведение динамических систем вблизи границ устойчивости. М.: Госте-хиздат, 1949.

11. Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1984. 270 с.

12. Барбашин Е. А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. 214 с.

13. Yakubovich V. A., Leonov G. A., Gelig A. Kh. Stability of Stationary Sets in Control Systems with Discontinuous Nonlinearities. Singapore: World Scientific, 2004. 334 p.

Статья поступила в редакцию 15 марта 2007 г.