О поле рассеяния в плоскослоистом волноводе

ISSN G868-5886

НАУЧНОЕ ПРИБОРОСТРОЕНИЕ, 2GG2, том 12, № 3, с. 93-98

ОРИГИНАЛЬНЫЕ СТАТЬИ

УДК 534.23 © Б. П. Шарфарец

О ПОЛЕ РАССЕЯНИЯ В ПЛОСКОСЛОИСТОМ ВОЛНОВОДЕ

Приведены выражения, позволяющие рассчитывать результирующее поле непрозрачного акустического излучателя, а также поле рассеяния неоднородности, находящейся в зоне Фраунгофера, в плоскослоистых волноводах. В обоих случаях полагается известной амплитуда рассеяния неоднородности. Ограничение на однородность водного слоя снято, за исключением слоя, включающего в себя неоднородность.

ВВЕДЕНИЕ

Задачам рассеяния звука на неоднородностях в условиях наличия границ, в том числе и в случае, когда сам излучатель является рассеивателем, посвящено достаточное количество работ. Укажем лишь на последние по времени публикации [1-15]. Важное прикладное значение в этом ряду задач занимают задачи рассеяния на неоднородностях в условиях наличия поверхности и дна [1, 4, 5, 10,

11, 13, 14.]. Эти работы отличаются наличием существенного ограничения — в них полагается справедливым допущение об отсутствии влияния границ и неоднородностей среды на амплитуду рассеяния неоднородности. В работе [15] учтено влияние границ волновода на результирующую амплитуду рассеяния, однако среда полагается однородной.

В настоящей работе получены выражения для результирующего поля непрозрачного излучателя с учетом рассеяния на нем излученного им первичного поля, а также для поля рассеяния на неоднородном включении, находящемся в зоне Фраунгофера поля нормальных волн, излученных сторонним излучателем в стратифицированном волноводе. При этом остается только одно ограничение — изменения свойств среды в пределах области, занятой рассеивателем, пренебрежимо малы.

Поставим задачу. Пусть непрозрачный излучатель, рассеивающий излученные им самим волны, или рассеиватель, на котором рассеиваются приходящие волны, находится в плоскослоистом волноводе. Пусть слой жидкости минимальной толщины Дг = 2к, включающий в себя рассеиватель, является однородным. По всей остальной толщине волновода свойства жидкости могут меняться. Необходимо найти суммарное поле в первом случае и поле рассеяния — во втором.

T і(К ,) - | П(\ p, К s) exp(2 ja(£p)zo )Vi (O, £p

D2

ПОЛЕ НЕПРОЗРАЧНОГО ИЗЛУЧАТЕЛЯ

Для решения поставленной задачи воспользуемся полученными в работе [12] выражениями, связывающими суммарную амплитуду рассеяния с диаграммной функцией (дф) источника первичных волн. Напомним постановку задачи, принятую в этой работе. В однородном полупространстве с границей г = 0 (ось 0z направлена вниз), характеризующейся коэффициентом отражения ^1(0,^) (первый аргумент, равный нулю, говорит

о том, что функция V рассматривается при г = 0), находится непрозрачный излучатель с дф первичного поля Д. 0(£), і = 1,2, который как рассеиватель характеризуется амплитудой рассеяния Тт 1 (£ р , £, ), 1, т = 1,2 . Физический смысл последней функции таков. При падении на рассеиватель плоской волны с волновым вектором кр = (£ ,ат) единичной амплитуды и нулевой

фазы в точке геометрического центра рассеивателя (х0, у0, г0) снизу (т = 1) или сверху (т = 2) возникает рассеянная волна с амплитудой рассеяния Ттг (£ , £ж). При 1 = 1 поле рассеяния рассматривается выше, а при 1 = 2 — ниже неоднородности. Здесь кж = (£ ж ,а1)— волновой вектор

рассеянного поля; |кр| = |к^ = к = т/с — волновое число; а1 = (-1)1 (к2-£2)1/2 и

%= |£| = (к2х + к2у )1/2— вертикальная и горизонтальная составляющие волнового вектора соответственно. Тогда справедливы следующие выражения [12]

) ОМ ^ = Д 01

а

Т 2

Т 1

Если представить ситуацию таким образом, что исходный излучатель звукопрозрачен, а поле рассеяния, обусловленное наличием границы, создается неким вторичным излучателем, то дф Д^(£) последнего связана с функциями Ti (£) следую-

ДЧ£) = ТД£) - Д°(£),

щим образом

Д1(£) = Т2 (£).

Легко показать, что в однородном случае справедливо следующее тождество

УД г,$) = ехр(2]а(^) г >^(0,$).

Т

-| ПК р • £, )УД г 0, г р) ас р =

а

= Д 01(£,),

2 Т1

= | т22(£ р, £, УД г 0, С р) к р.

Совершенно аналогично тому, как это сделано в [12] , могут быть получены выражения в ситуации, когда рассматривается полупространство г е (-^, Н], Н > г0 > 0, когда граница г = Н с коэффициентом отражения У2(Н,£) находится под излучателем-рассеивателем

>р>£2^0>Ьр) (с \ р =

р р а(Ср) р

Г 2 -

I Т12(£ р, £, )У2( Г0, С р )-

Здесь V (г, — коэффициент отражения на

горизонте г . Учитывая

= Д 02(£,),

Т 1(£,) =

ас р.

а(Ср) р

Дф Д] (£), . = 1,2, вторичного излучателя, обусловленного нижней границей, определяется следующим образом: Д1(£) = Т 1(£),

Д2(£) = Т 2(£) - Д 02(£).

Рассмотрим далее ситуацию, когда излучатель-рассеиватель находится в жидком плоскослоистом волноводе глубиной Н со следующим распределением волнового параметра по глубине

к (г) =

ю

с

к (г), к2 (г),

г є [0, г0 - И], г є [г0 + И,Н],

к0 = к1 (г0 - И) = к2 (г0 + И), г є (г0 - И, г0 + И).

Здесь к — величина, превышающая или равная половине вертикального размера излучателя-рассеивателя, геометрический центр которого находится в точке (0,0, г0).

Для решения задачи необходимо рассмотреть два гипотетических полупространства. Первое — с границей г = 0 , коэффициентом отражения У и распределением волнового параметра

,, ч \к\(г), г е [0, ^ - к]

к (г) = < и второе — с грани-

г е

цей г = Н, коэффициентом отражения У2 и распределением волнового параметра

к0, ге (-те,г0 + к),

к2(г), ге [г0 + к,Н].

Тогда выражения (1а), (2а) остаются справедливыми для первого полупространства, а выражения (4), (5) — для второго полупространства. Известно [16, с. 285], что коэффициенты отражения УДг0,|) и У2(г0,|), фигурирующие в этих выражениях, могут быть выражены через функции (г,£), ] = 1,2, являющиеся решениями следующей поперечной задачи

(д2 /д£2 + к2(г) -¥)2г (г,1) = 0, ] = 1,2,

где Хх( г, Л) удовлетворяет краевому условию на границе г = 0 , а X2(г, Л) — на границе г = Н

У- (г0Л) =

= a

а((г0,0) + (-1)]-1 ]д2г (г0Л)/дг ’

] = 1,2.

Здесь а( гйЛ) = (к 2( ^)-£2)1/2.

После подстановки У1 и У2 из (7) соответственно в (1а), (1б) и (4), (5) могут быть получены дф вторичных источников Д. и Д1, ] = 1,2, обусловленных однократным учетом соответственно верхней и нижней границ рассматриваемого волновода с распределением волнового параметра (6). Далее для получения совокупной диаграммной функции излучателя-рассеивателя, состоящей из суммы исходной дф излучателя Д. и суммарной амплитуды рассеяния непрозрачного излучателя Д], ] = 1,2, обусловленной многократным влиянием неоднородностей (границ и неоднородностей среды), должна быть использована техника, описанная в работе [15], заключающаяся в следующем. Вторичный излучатель, обусловленный однократным влиянием верхней границы с дф Д1 (нижний индекс ] для удобства опущен), вызовет рассеяние на реальном излучателе, обусловленное влиянием нижней границы, что создаст вторичный

излучатель с дф Д2 (двойка в верхнем индексе говорит о двукратном участии границ в образовании данного вторичного излучателя, черта снизу — о том, что данный вторичный излучатель обусловлен влиянием нижней границы). Дф Д может быть получена с помощью выражений (4), (5), (7). При этом в правой части интегрального уравнения (4) должна фигурировать функция Д1 .

Аналогично дф Д2 вторичного излучателя, обусловленного влиянием верхней границы и наличием вторичного излучателя с дф Д , вычисляется с помощью выражений (1а), (1б), (7), причем в правой части интегрального уравнения (1а) должна фигурировать функция Д\ . Совершенно аналогично рекуррентно могут быть найдены дф всех последующих высших вторичных источников. Таким образом, результирующая дф первичного и рассеянного полей характеризуется следующей суммой

Д = Д0 + Д1 + Д2 + ...

Здесь Д1 = Д1 + Д1, Д2 = Д2 + Д2 и т.д.

Исходя из физических соображений можно утверждать, что ряд (8) должен сходиться, однако в каждом конкретном случае волновода, излучателя-рассеивателя, частоты и геометрии задачи необходимо оценивать ошибку при оценке ряда (8) конечной суммой. В работе [15] приведены такие оценки для случая идеального волновода и сферического рассеивателя.

РАССЕЯНИЕ НА НЕОДНОРОДНОМ ПАССИВНОМ РАССЕИВАТЕЛЕ

К описанной выше схеме сводится и случай, когда на рассеиватель падает первичная волна, излученная другим источником, по отношению к которому рассеиватель находится в зоне Фраунгофера, и нормальные волны в слое, заключающем рассеиватель, можно представить как совокупность квазиплоских волн. Тогда первичное поле однородных нормальных волн и 0 в области расположения рассеивателя имеет следующую асимптотику:

N

и0 =

п =1

где щ( г,0п), 0п 2 — собственные функции и собственные значения задачи

(д2/д£2 + к2(г)-%2)щ(г,0) = 0 с соответствующими краевыми условиями на границах г = 0 и г = Н.

Пусть (г,ф, г,) — координаты геометрического центра рассеивателя; (0, г0)— координаты геометрического центра источника первичного поля. Исходя из предположения о локальной однородности слоя П0 = {х,у е Я2,г е [zs - к,zs + к]} , где 2к — вертикальный размер рассеивателя, можно записать [17]

¥( гЛп) =

= а+ ехр( ]ап (^)(г - ^)) +

+ а~п ехР

г е [г, - к, г, + к],

где

а± =

= 2 . * )

2 а

ап(г) = (к2(г)-£2п)12. Полагая, что в зоне Фраунгофера множитель ехр(]Лпг) достаточно точно описывает горизонтальную составляющую

плоской волны в окрестностях рассеивателя и, подставляя (10), (11) в (9), имеем

ехР

,Л/2

[ ехР( 7(к+(х - х,))) + Ь- ехр( 7(к-(х - х,)))], х Єй 0

где К = спа+п , к± = (Лп Ф ±а(г*)) — волновые векторы плоских волн, обусловленных полем (9) и приходящих на рассеиватель; X = (х, у, г) — координаты текущей точки; X, — координаты геометрического центра рассеивателя.

Сумма плоских волн (12) вызывает первичное поле рассеяния с совокупной амплитудой рассеяния, которая, очевидно, равна

Д0,] (5 з) =

= 2 {еХР(]ЛпГ) х

.„1/2

X

[Ьп+[ (£ *п, I s, к о) + ЬпТ/ (£ *п, £ s, к 0)]}

і = 1,2.

Здесь £ п = Лп ,ф) — горизонтальная составляющая волнового вектора падающей волны; £ж = Лх,ф:!) — горизонтальная составляющая волнового вектора рассеянной волны (отсчет угла (р:! осуществляется относительно точки геометрического

центра рассеивателя); величины, индексованные буквой ,, относятся к рассеянному полю; аргумент

к0 в функциях Т'т(5*п,5з,к0), т = 1,2, говорит о том, что соответствующие функции должны быть рассчитаны в однородном пространстве с волновым числом к0 . Отметим, что первый аргумент

функций Т'т (5 *п, 5 з, к0) — 5 *п принимает значения на дискретном , а второй — 5 з на непрерывном множествах.

После получения первичной амплитуды рассеяния (13) может быть запущен механизм расчета полного поля рассеяния, описанный в первой части статьи, где роль дф первичного поля Д. исполняет функция Д0 (5 з) из (13).

После вычисления результирующей дф излучателя-рассеивателя Д. либо амплитуды рассеяния в случае пассивного рассеивателя Д,. может быть

рассчитано его поле в рассматриваемом волноводе. Так, например, поле нормальных волн имеет вид [18]

1П 5 М+ (г Л )^2(Л )А (г Л V (г, Лп ) ехр( Л£пг - п / 4)Л я 1/2,

г п=1 а„ (г ) Ып

где

д

А±(2,1П) =¥(*Лп)]ап(г)±щ'г(?ЛП); Nп = ¥(и,Лп)(АЛ) + яЛЖИЛ)); Я (Л) — входной адмитанс нижней границы.

и

0

Выражение (14) описывает оба рассмотренных в статье случая: излучателя-рассеивателя и пассивного рассеивателя. В первом случае в (14) и — первичное поле, , ] = 1,2 , — суммарная

дф, во втором — это соответственно поле рассеяния и совокупная амплитуда рассеяния Д{ = Д;

г — аппликата геометрического центра соответствующего рассеивателя, а г отсчитывается от этого центра.

Отметим, что в случае если ограничиться нулевым приближением для совокупной амплитуды рассеяния в виде (13), то (14) сведется к полученным ранее в работах [11, 13, 14] выражениям.

ПРИМЕР ВЫЧИСЛЕНИЯ АМПЛИТУДЫ РАССЕЯНИЯ

В заключение приведем выражение (13) для случая рассеивателя в виде абсолютно мягкой сферы и идеального волновода. Амплитуда рассеяния такой сферы равна [19]

Т (Ъф.Ъ.ф,,) = А +

+ В(С08#С08$, + 8ШС08(ф - ф, )),

А = -я0 + 3 к2 Д03 + ]кя0;; В = -к2 Д03,

где Я0 — радиус сферы.

Элементарные вычисления дают

тГ^(в,v,вs,vs) = T2l(в,p,вs,ps) = A + B(- cos в cos в!1 + sin в sin в!1 cos(p -ps ))'| ^(в, р ^s^s) = ^(Лф ^s^s) = A + B(cos в cos вs + sin в sin вs cos(p - ps)) J

П

ф,ф, е [0,2^]; в,в, е [0,у- ]<»).

Здесь в,ф,в,,ф, — сферические координаты векторов к на сфере радиусом к0 при изменении Л е [0, те).

Полагая ф = 0 в

n=I

,Ps ) = £ exp

n=I

c

I/2 n

w(Zs, —n)(A + B sin Л„ sin вs) - ¥ 2 (Zs,—n) B cosPs

jan

W( Zs , —n )(A + B sin Л„ sin вs ) + ¥ Z (Zs ,—n ) B cos Ps

jan

Здесь вп = аге8Іи Л . в случае идеального

к0

волновода с абсолютно мягкой верхней и жесткой нижней границами, когда первичное поле создается точечным источником, находящимся на глубине г0, константы сп равны

І 18п . .

cn = ^J — sin(anz0)exp( - jn/4). H

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В работе получены выражения, позволяющие решать задачи дифракции на излучателях и пассивных рассеивателях практически для любых случаев регулярных океанических волноводов с единственным ограничением на однородность слоя Q0, содержащего неоднородное включение. В случае, если слой Q0 не является однородным, можно воспользоваться результатами работы [17], где приведены условия, при которых Q0 с малой погрешностью можно считать однородным.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белов В.Е., Горский С.М., Зиновьев А.Ю., Хиль-ко А.И. Применение метода интегральных уравнений к задаче о дифракции акустических волн на упругих телах в слое жидкости // Акуст. журн. 1994. Т. 40, № 4. С. 548-560.

2. Gaunaurd J.C., Huang H. Acoustic scattering by a spherical body near a plane boundary // J. Acoust. Soc. Amer. 1994. V. 96. N 6. P. 25262536.

3. Gaunaurd J.C., Haung H. Sound scattering by a spherical object near a hard Flat Bottom // IEEE

Transactions on Ultrason. Ferroelectr. and Frequency control. 1996. V 43, N 4. P. 690-700.

4. Елисеевнин В.А., Тужилкин Ю.И. Дифракция звукового поля на плоском прямоугольном вертикальном экране в волноводе // Акуст. журн. 1995. Т. 41, № 2. С. 249-253.

5. Sarkissian A. Extraction of a target scattering response from measurements made over long ranges in shallow water // J. Acoust. Soc. Amer. 1997. V. 102, N 2. P. 825-832.

6. Bishop G.C., Smith J. Scattering from an elastic shells and a round fluid—elastic interface: Theory // J. Acoust. Soc. Amer. 1997. V. 101, N 2. P. 767788.

7. Bishop G.C., Smith J. Scattering from rigid and soft targets near a planar boundary: Numerical results // J. Acoust. Soc. Amer. 1999. V. 105, N 1. P.130-143.

8. Yang S.A. A boundary integral equation method for two-dimensional acoustic scattering problems // J. Acoust. Soc. Amer. 1999. V. 105, N 1. P. 93-105.

9. Martin Ochmann. The full-field equations for acoustic radiation and scattering // J. Acoust. Soc. Amer. 1999. V. 105, N 5. P. 2557-2564.

10. Athanassoulis G., Prospathopoulos A. Treedimensional scattering from a penetrable layered cylindrical obstacle in a horizontally stratified ocean waveguide // J. Acoust. Soc. Am. 2000. V.107,N 5. P.2406-2417.

11. Григорьев В.А., Кацнельсон Б.Г., Кузькин В.М., Петников В.Г. Особенности дифракции акустических волн в стратифицированных звуковых каналах // Акуст. журн. 2001. Т. 47, № 1. С.44-51.

12. Зацерковный А.В., Сергеев В.А., Шарфа-рец Б.П. Использование амплитуды рассеяния для решения задач дифракции волн в полупространстве // Акуст. журн. 2001. Т. 47, № 5. С. 650-656.

n

13. Белькович В.М., Григорьев В.А., Кацнельсон Б.Г., Петников В.Г. О возможностях использования акустической дифракции в задачах мониторинга китообразных // Акуст. журн. 2002. Т. 48, № 2. С. 162-166.

14. Кузькин В.М. Дифракция звука на неоднородности в океаническом волноводе // Акуст. журн. 2002. Т. 48, № 1. С. 77-84.

15. Шарфарец Б.П. Использование метода диаграммных функций для расчета поля рассеяния в однородных акустических волноводах // Научное приборостроение. 2001. Т. 11, № 3. С. 52-61.

16. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 344 с.

17. Кузькин В.М. Об излучении и рассеянии звуковых волн в океанических волноводах // Акуст. журн. 200І Т. 47, № 5. С. 678-684.

18. Шарфарец Б.П. Поле направленного излучателя в слоисто-неоднородном волноводе // Акуст. журн. І985. Т. ЗІ, № І. С. ІІ9-І25.

19. Морс Ф.М. Фешбах Г. Методы теоретической физики. М.: Изд-во Иностр. лит-ры, i960. Т. 2. 860 с.

Санкт-Петербург

Материал поступил в редакцию 24.06.2002.

ABOUT THE FIELD OF SCATTERING IN A PLANE-LAYERED WAVEGUIDE

B. P. Sharfarets

Saint-Petersburg

The expressions allowing one to calculate the resulting field of an opaque source, and also the field of scattering of a heterogeneity for located in the Fraunhofer zone for plane-layered waveguides are given. In both cases the amplitude of scattering of the heterogeneity is needed to be known. The restriction on uniformity of a water layer is removed except for the layer containing a heterogeneity.