Динамика модели самолета на маятниковом подвесе в потоке аэродинамической трубы

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXVI 1995 №3-4

УДК 533.6.071.082.013.2

ДИНАМИКА МОДЕЛИ САМОЛЕТА НА МАЯТНИКОВОМ ПОДВЕСЕ В ПОТОКЕ АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЫ

М. Г. Гоман, Е. Н. Колесников, С. П. Усолъцев

Приведены результаты качественного исследования особенностей динамики модели самолета, расположенной на маятниковой подвеске в потоке аэродинамической трубы. В зависимости от ряда параметров подобия построены области неустойчивости равновесных режимов, выявлены условия возникновения автоколебательных и авторотационных режимов движения.

Одним из перспективных направлений исследования аэродинамических характеристик летательных аппаратов в настоящее время является использование установок с подвижными управляемыми моделями, которое позволяет осуществлять как моделирование возмущенного движения, так и накопление измерений для идентификации аэродинамических характеристик.

Подобные механические системы обеспечивают подвижность с ограниченным числом степеней свободы, которое может изменяться от единицы (установка с освобождением подвижности только по тангажу, крену или рысканию) до шести (моделирование свободного полета). В результате частичного ограничения подвижности могут возникать специфические особенности взаимодействия движений, приводящие к возникновению неустойчивых режимов движения, не свойственных свободному полету. Подобный случай, в частности, описан в работе [2], в которой изучалась динамика модели самолета с двумя степенями свободы по крену и рысканию.

Стремление к более адекватному моделированию аэродинамических характеристик и движения модели, особенно на режимах с большими углами атаки, приводит к необходимости освобождения центра масс модели. Хорошо известно, например, что фиксированность центра масс модели при аэродинамических испытаниях методом вынужденных колебаний не позволяет получить раздельно вращательные и нестационарные производные аэродинамических коэффициентов [1].

В настоящей статье рассматривается один из возможных вариантов реализации подвижности модели как по всем угловым степеням свободы, так и частичной подвижности центра масс. Для этого предлагается использовать маятниковую подвеску модели на трехстепенном угловом шарнире. Подобная механическая система является существенно нелинейным объектом высокой размерности. Поэтому как разработка такой системы, так и планирование экспериментов на ней требуют проведения качественного исследования особенностей динамики и изучения областей устойчивости для различных режимов возмущенного движения.

В данной статье рассмотрен случай плоского движения такой системы и проведен подробный качественный анализ динамических особенностей системы с двумя степенями свободы.

1. Уравнения продольного движения модели на маятниковом подвесе.

Рассмотрим упрощенный случай движения модели, когда подвес не отклоняется из вертикальной плоскости, а модель вращается только по тангажу (рис. 1). Расположим начало инерциальной системы координат Ов точке крепления подвеса в рабочей части аэродинамической

трубы (АДТ) (шарнир подвеса), а начало связанной с моделью системы координат ОХУ — в точке крепления подвеса к модели (шарнир модели). Будем считать, что подвес невесом и подвержен только продольной деформации, а центр масс модели имеет координаты (хс,ус) в связанной системе отсчета.

Рис. 1. Схема установки свободных колебаний на маятниковом подвесе

Положение модели в АДТ характеризуется тремя величинами: длиной подвеса г, углом отклонения подвеса 0 и углом тангажа модели 9 (поскольку движение модели преимущественно происходит в задней полуплоскости, угол отклонения подвеса будем отсчитывать от отрицательного направления оси О^Х^). Эти величины будут использоваться

в качестве обобщенных координат для описания динамики рассматриваемой системы.

Координаты центра масс модели в инерциальной системе отсчета выражаются через обобщенные координаты следующим образом:

Для математического описания движения модели на маятниковом подвесе воспользуемся уравнениями Лагранжа [3]. Кинетическая энергия модели складывается из энергии центра масс и энергии вращения модели относительно центра масс:

где сог = 9. При переходе к обобщенным координатам кинетическая энергия выглядит следующим образом:

где т — масса модели.

Потенциальная энергия модели в поле тяжести записывается следующим образом:

Обобщенные силы, действующие по двум степеням свободы в рассматриваемой механической системе, определяются аэродинамической силой Я, аэродинамическим моментом Мг, действующими на модель,

силой натяжения подвеса Т и моментом вязкого демпфирования в шарнире подвеса Ма и выражаются следующим образом:

где Кг и — соответственно радиальная и тангенциальная компоненты аэродинамической силы, Хи У — проекции этой же силы на оси связанной системы координат. Для аэродинамической силы и момента воспользуемся обычным представлением для их коэффициентов [1]:

= г совО + хс сов9 - ус віп 9, = г віпв + хс віп9 + ус сов9.

2 ’

2

П = mgyg = /и^(гвт0 + хс втЭ + ус сов9).

Ог = + Т,

бв = г^в+

С?» = Мг + (хс7 - усХ),

где

= сх

(5 — отклонение органа продольного управления). Вводя новую переменную т| = 0 + 9, можно записать выражения для радиальной и тангенциальной компонент аэродинамической силы:

Rr = qS^Cy sin ri + сх cos rj], Rq = qS\cy cos ti - cx sin r|J.

В итоге уравнения Лагранжа:

±9L_SL_n

dt dr dr r ’

dt 50 90

^ 9L _ 9L _ „ dt as 59 "

где L = К - П дает следующие уравнения движения системы:

mr + т[хс sint) + ус cosri]9 + т[хс cost) - ус sinr)]92 - тг В2 + mg sin0 =

= qS\cy sin г) + cx cost]] + T, mr2B + mr[xc cosr\ - yc sin ti]9 + 2mrrQ - mr[xc sin ц + yc cost|]92 +

л-mgr cos 0 = qSr\vy cos r\ - cx sin ti] + Md,

m[xc sin r\ + yc cost|]r + mr[xc cosri - yc sin ri]0 + + m(x% + y2 )jd +

+2m\xc cos t] — yc sin r|]r0 - mr [xc sin ti + yc cos t|]02 +

+mg[xc cos9 - yc sin 9] = qS[bamz + xccy + yccx\

В случае абсолютно жесткого подвеса уравнения движения упрощаются, поскольку можно положить г = г = 0. Вводя переменную X = 0 и учитывая, что шг = 9, получаем следующую систему из двух дифференциальных уравнений (из второго и третьего уравнений системы (7)):

mr2% + mr\xc cost] - ycsin-q]coz - mr[дсс sin r| + ус cosr^jco2 + mgr cos0 =

= qSr[cy cos r| - cx sin t|] + Md,

mr [xc cos ц-ус sin л]х + + mixc + >c)]“ z~mr [xc sin r\ + yc cos t\]x2 +

+mg [xc cos 9 — yc sin 9 ] = qS [ bamz + xccy + yccx ]

и выражения для силы натяжения подвеса (определяется из первого уравнения системы (7)):

Т = m[xc sin т\ + yc cos т|]шг + m[xc cosri - yc sin ті]©2 - mry? + +mg sin 0 - qS^Cy sin t| + cx cos ті].

Проекции вектора воздушной скорости модели (скорости модели относительно потока) в инерциальной системе координат определяются собственной скоростью модели и скоростью не набегающего потока:

vxg - Xg + ^ = Ц) + rxsine,!

Vyg = yg = fXco&Q j

(в предположении x2 + угс «г2). Переход к связанной системе координат осуществляется с помощью поворота на угол 9:

vx = vxg cos 9 + cos 9,1

vy = -v^ sin 9 + Vyg cos 9.1

Угол атаки выражается через компоненты вектора скорости в связанной системе координат следующим образом:

а =

-arcsin^-,

v

arcsrn -

-7tJsignVj,,

vx > 0, vx <0,

где V = ^г»2 +1»2 .

Безразмерные уравнения движения. Для достижения большей общности результатов последующего анализа преобразуем уравнения (8)—(12) к безразмерному виду. Для этого введем следующие безразмерные переменные и параметры подобия:

- ba — Ъа - v

% = % — , “г=сог > v= — щ Ч) Ч)

Y Т - p&jq к - *d

1 — , * — ( у mg m a pSvQbl’

2m Fr_ v0 p Sba ’ gba ’ к ~ f2 ’ mb' a

_ xc - Ус xc = ~T~ > Ус = ¥-> "a va 4*p и і»»

При этом уравнения движения (8) преобразуются к следующему безразмерному виду (дифференцирование ведется по безразмерному времени):

0;-|-[хссо8л-ус8тг1]шг - -|[хс вт л + Ус сое л]ш2 +

2 —

+ 2РгС°80 = 008Л ~ °х ^ Л1+

г[хс СОЙ г] — Ус 8ш л]х + [у* + х2 + Ус Ю* - -уК «П Л + Ус сое ц]%2 +

772

+ сое» - ус втЭ] = ^-[/^ + хссу + уссх].

После перехода к безразмерным величинам выражения для силы натяжения подвеса (9) и воздушной скорости (10) приобретают следующий вид:

Т =йг

2 2 —[хс вш л + ус сое л]юг + [Зсс сое л - Ус 8Ш л]©^ - ОС ~

^2

^Су вт л + сх сое л]

+ вшб,

Переход к связанной системе координат осуществляется через соотношения (11). Из (12) получается выражение для угла атаки:

а =

-агсят-

агсвт-

л

Щпиу,

их > О,

иV < 0.

В случае когда шарнир модели расположен в центре тяжести {хс = ус = 0), уравнения существенно упрощаются, тогда

г =

2 г

у2(су сое л - сх вш л) - -^-сов© + ^г-% * Бг г

V2

=

2Уг

-шг

2. Качественный анализ установившихся режимов. Уравнения (13) с учетом соотношений (15), (16) образуют автономную нелинейную систему четвертого порядка, зависящую от ряда безразмерных параметров подобия. Качественное исследование особенностей динамики рассматриваемой системы в основном проводилось с использованием диалогового пакета программ КРИТ, разработанного для исследования нелинейных динамических систем [5].

При анализе ряд основных безразмерных параметров варьировался в некотором диапазоне, например, ц, = 150 + 500, Fr = 100 + 600, г = 2 + 8, некоторые параметры не изменялись: хс =ус = 0, кц = 0, jz = 0,616.

Аэродинамические характеристики модели соответствуют компоновке самолета нормальной схемы с крылом умеренной стреловидности и

малого удлинения: с“ = 0,06, с"г = 10, cj = 0,006, m“ = -0,005, = -5,

т* = -0,0075 (все угловые переменные измеряются в градусах).

Предметом качественного исследования рассматриваемой динамической системы в основном являлось изучение равновесных состояний и их устойчивости при изменении балансировочного положения модели и основных параметров подобия. В результате исследования были выявлены специфические особенности рассматриваемой механической системы, заключающиеся в возможности существования автоколебательных и авторотационных режимов движения. Поэтому часть исследования была посвящена изучению и этих классов установившихся движений.

Равновесные состояния. Для случая расположения шарнира модели в центре масс стационарные решения легко получаются из (17), если приравнять правые части нулю: % = az=0, и = 1, 0О = а0, где балансировочный угол атаки а0 определяется из условия сбалансированности модели по тангажу: /мг(а0,ф) = 0.

Угол отклонения подвеса можно получить из условия х = 0:

• М-

-сх Sin ад + Су cosag -Ц-

tge0 =----------------:----^,

сх COSa0 + Су SU1 ад

где сх = сх(а0,ср), Су = су(a0,cp), ф — отклонение стабилизатора.

На рис. 2 приведены результаты расчета балансировочных зависимостей в плоскости параметров (а0,90)при различных значениях числа Фруда Fr = 100, 300, 500 и ц. = 150. «Всплытие» модели в область с положительными значениями угла наклона маятникового подвеса 0 > 0 происходит при определенных значениях балансировочного угла атаки а0 и числа Fr (скорости потока). При меньших значениях Fr для «всплытия» требуется больший балансировочный угол атаки а0. Так, например, при Fr = 100 «всплытие» модели вообще невозможно. Первоначальное увеличение угла наклона подвеса при возрастании балансировочного угла атаки сменяется его уменьшением. Это связано с умень-

Рис. 2. Влияние числа Фруда на балансировку и устойчивость системы

шением проекции подъемной силы на направление, перпендикулярное набегающему потоку.

Не все равновесные положения модели устойчивы. Анализ собственных чисел линеаризованной системы уравнений в окрестности равновесных положений показывает, что при определенных условиях, в частности на участках «всплытия» модели, равновесные положения становятся колебательно неустойчивыми.

На рис. 3 приведен пример корневого годографа системы (17) при изменении балансировочного угла атаки ад при значениях параметров Рг = 300, ц = 150. Пара корней вблизи мнимой оси (со» 1,5) соответствует маятниковой форме движения, другая пара корней (и « 3) — движению модели относительно центра масс. Видно, что существует диапазон углов атаки, в котором происходит потеря устойчивости маятниковой формы движения.

1т*>

10 -

-3

-1

А

-5

-10

Рг-300

г-Ч

1 Ке

V ОИд = 0 А Оо

° 10,5°

32о

Рис. 3. Корневой годоіраф системы по углу атаки

Область колебательной неустойчивости равновесных положений в плоскости параметров (ао,0о) на рис. 2 выделена штриховкой. При малых числах Фруда система остается устойчивой во всем диапазоне углов атаки. Начиная с некоторого значения числа Бг появляется область углов атаки, в которой система становится колебательно неустойчивой, при этом с увеличением Бг эта область расширяется.

На рис. 4, а, б, в показаны переходные процессы при ступенчатом отклонении стабилизатора. При этом конечное положение стабилизатора может соответствовать различным значениям балансировочного угла атаки. Так, например, во втором случае (рис. 4, б) положение стабилизатора соответствует балансировочному углу атаки, при котором положение равновесия неустойчиво (точка в заштрихованной зоне рис. 2), а в первом (рис. 4, а) и третьем случаях (рис. 4, в) — устойчивому равновесию (балансировочный угол атаки находится соответственно ниже и выше области неустойчивости). Видно, что время затухания переходного процесса для малых углов атаки (рис. 4, а) существенно выше, чем для больших (рис. 4, в). А в случае, когда равновесное состояние колебательно неустойчиво (рис. 4, б), устанавливается режим автоколебаний со значительной амплитудой изменения угла наклона маятникового подвеса.

На рис. 5, а показана область статической неустойчивости система в плоскости параметров (а0,Рг)для двух значений длины подвеса г = 4 и г = 8. Видно, что с ростом числа Фруда область неустойчивости смещается в сторону меньших углов атаки. Влияние длины подвеса на область неустойчивости незначительно и появляется только при малых значениях Бг.

На рис. 5, б, в, г показаны границы области колебательной неустойчивости в плоскости (г,а0) для различных значений ц и Бг. Существуют две различные области колебательной неустойчивости. Первая располагается в диапазоне больших углов атаки а0 « 20+ 30°и относительно малых значений длины подвеса г < 3,5. Вторая расположена в

Рис. 4. Переходные процессы при различных ступенчатых отклонениях стабилизатора

зоне малых углов атаки а0 < 10°, и ширина ее ос-диапазона практически не зависит от длины подвеса при г >2. При достаточно большой длине подвеса положение области неустойчивости по углу атаки остается практически неизменным для одинаковых значений ц/Тг.

Рг=500

ц=150

і-----------1-----------1____________і

ОС о

30°

20°

10°

В),

рг=т Ъ 11=1*0 2Г

_і_

—>г) г '0

Рис. 5. Зависимость области неустойчивости от числа Фруда и длины

подвеса

Автоколебательные режимы движения. Как видно из рис. 4, б, в случае неустойчивого стационарного решения переходный процесс сводится к периодическому решению, и в системе устанавливается автоколебательный процесс. При этом имеется значительная область начальных условий, из которой реализуется сходимость к этому автоколебательному режиму.

Возникновение и исчезновение автоколебательного режима движения в точках потери устойчивости стационарного решения в системе (17) происходят по схеме бифуркации Андронова — Хопфа [4]. В начальной стадии амплитуда резко нарастает, убывание амплитуды имеет более пологий характер.

На рис. 6 приведены результаты расчета периодических решений системы (17) с использованием метода точечных отображений Пуан-

Л?°

15°

Рис. 6. Зависимость параметров колебательного предельного цикла от балансировочного угла атаки

каре [5]. Величины амплитуды установившихся колебаний по углам 0 и 9 и безразмерного значения периода колебаний Т приведены в зависимости от величины балансировочного угла атаки а0. Амплитуды колебаний достигают своего максимального значения при балансировочном угле атаки, при котором стационарное решение имеет максимальную степень неустойчивости. Несмотря на то что амплитуда установившихся колебаний по 0 весьма велика, размах колебаний по тангажу и углу атаки незначителен.

На графике переходных процессов (рис. 4, б) хорошо ввдно различие между колебаниями по углу атаки и тангажа, что может быть использовано для раздельной идентификации нестационарной и вращательной

производных аэродинамических коэффициентов, например и /я“г.

Авторотационные режимы движения. Цикличность фазовой координаты 0, т. е. -я < 0 < л, означает, что модель на маятниковом подвесе может совершать вращательные движения. Качественное исследование динамической системы (17) выявило существование замкнутых фазовых траекторий, охватывающих цилиндрическое фазовое пространство по переменной ©.Устойчивые замкнутые траектории такого типа соответствуют авторотационным режимам вращения модели вокруг шарнира подвеса.

На рис. 7 приведены изменения параметров —- углов атаки а и тангажа $, угла отклонения подвеса 0, безразмерной скорости относи-

Рис. 7. Вращательный предельный цикл

тельно потока V , коэффициента тангенциальной составляющей аэродинамической силы (5) се =Ле /^5 = с>,со8(0 + 9)-с>,5Іп(0 + 9) и безразмерной работы аэродинамической силы

г

А = J V2 св 0 (іт о

на протяжении одного периода авторотационного режима движения. Как видно из рисунка, для этого режима 0 <0, угол атаки минимален в нижней точке вращения 0 - -90° (модель идет «против потока») и мак-

симален в верхней точке 0 = 90° (модель идет «по потоку»). Смена знака тангенциальной составляющей происходит практически в нижней и

верхней точках вращения, что говорит о преобладающем вкладе подъемной силы по сравнению с сопротивлением (се < 0 соответствует работе аэродинамической силы на ускорение вращения, св > 0 — на замедление). Зависимость А (7) иллюстрирует тот факт, что в установившемся цикле работа всех сил в течение периода равна нулю (для работы силы тяжести это очевидно, сила натяжения подвеса перпендикулярна движению и работы не совершает, а равенство нулю работы аэродинамической силы видно из рисунка). На рис. 8 приведена эпюра тангенциальной составляющей суммы аэродинамической силы и силы тяжести (величина тангенциальной проекции, отложенной по направлению к центру вращения) в зависимости от угла отклонения подвеса.

На рис. 9 приведена область существования вращательного цикла в плоскости параметров (а0,Рг) для двух значений длины подвеса г - 4 и 8. Увеличение длины подвеса приводит к значительному расширению области существования цикла.

Рис. 8. Эпюра тангенциальной составляющей действующих на модель сил в зависимости от угла отклонения подвеса

Рис. 9. Область существования вращательного цикла

На границе области существования происходит рождение пары циклов, один из которых устойчив, а второй — апериодически неустойчив. Интересным является участок в районе а0 * 12°,Бг » 400, где имеет место сборка Уитни, т. е. при одном и том же значении параметров одновременно существуют два устойчивых периодических решения.

Из сказанного выше можно сделать следующие выводы:

1. Разработана математическая модель движения модели самолета на маятниковом подвесе в потоке аэродинамической трубы для плоского случая движения в вертикальной плоскости.

2. Проведен анализ устойчивости равновесных положений модели при различных значениях относительной плотности модели, числа Фруда и длины подвеса. При достаточно большой длине подвеса (г > 4Ьа) существует зона колебательной неустойчивости в области относительно малых углов атаки. Потеря устойчивости наступает в районе перехода подвеса в верхнюю полуплоскость и продолжается вплоть до точки максимального подъема подвеса. ^Размер области неустойчивости в основном определяется отношением ц/Fr и практически не зависит от длины подвеса.

3. При колебательной потере устойчивости возникает предельный цикл с большой амплитудой колебаний подвеса. При этом амплитуда колебаний по углу атаки незначительна. Эффективным средством стабилизации системы в области неустойчивых равновесных состояний может являться демпфирование маятниковой подвижности подвеса.

Автоколебательный режим может быть использован для раздельной идентификации нестационарной и вращательной производных аэродинамических коэффициентов.

4. При возможности кругового отклонения маятникового подвеса в системе при определенных условиях могут существовать устойчивые авторотационные режимы движения модели, которым соответствуют замкнутые фазовые траектории, охватывающие цилиндрическое фазовое пространство по циклической переменной 0. Амплитуда колебаний по углу атаки в авторотационном режиме значительно выше, чем в автоколебательных режимах движения системы. Исследованы механизм возникновения, область существования, а также начальные условия, необходимые для возбуждения авторотационных режимов. Увеличение длины подвеса приводит к увеличению области существования авторотационных режимов.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 94-01-00508).

ЛИТЕРАТУРА

1. Бюшгенс Г. С., Студнев Р. В. Аэродинамика самолета. Динамика продольного и бокового движения. — М.: Машиностроение.— 1979.

2. Гоман М. Г., У с о л ь ц е в С.П.,Храбров А. Н. Динамика модели самолета в аэродинамической трубе с подвижностью по крену и рысканию // Ученые записки ЦАГИ, данный номер.

3 . Лурье А. И. Аналитическая механика. — М.: Наука,— 1961.

4. Арнольд В. И. Дополнительные главы теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.: Наука.— 1978.

5. Goman М., Khramtsovsky A. KRIT, Scientific Package. User Guide, version 2.43.— 1993, TsAGI.

Рукопись поступила 5/11995 г.