Решение плоской контактной задачи методом конечных элементов

Решение плоской контактной задачи методом конечных элементов

А.М. Филипов , М.В. Хоменко

1 ВолгГАСУ, Волгоград 2 Государственный университет по землеустройству, Москва

Аннотация: В настоящей работе предложен способ решения плоской контактной задачи методом конечных элементов. Представлены алгоритмы определения контактирующих пар узел - ответная поверхность и формирования глобальной матрицы жесткости для программного комплекса Mathcad.

Ключевые слова: решение контактной задачи, плоское напряженно деформированное состояние, метод конечных элементов, Mathcad.

Периодически в расчетной практике возникает ситуация, когда необходимо более точно определить зону приложения нагрузки - решить контактную задачу [1,2]. Решение этих задач возможно в аналитическом [3,4] и численном варианте [5,6]. Известные программные комплексы имеющие возможность анализа контактного взаимодействия не всегда применимы ввиду имеющихся каких-либо особенностей. В данной статье авторами рассматривается численное решение плоской контактной задачи методом конечных элементов (МКЭ) взаимодействия пряди каната 15К7 с телом бетонной оболочки (далее основной конструкции) при выполнении преднапряжения конструкции без последующего инъецирования каналообразователя. Тип контактного взаимодействия - узел-поверхность, тип конечных элементов (далее КЭ) - линейный трехузловой [7,8].

Постановка задачи заключается в следующем: в результате натяжения преднапрягаемой арматуры (канат 15К7) происходит надавливание прядей на стенку каналообразователя. При этом в теле основной конструкции возникают вертикальные и горизонтальные перемещения, и, соответственно, деформации exx, Syy, exy и напряжения ax, ay, Txy. Перемещения по нормали к поверхности контакта совпадают из условия непроникновения одного из контактирующих тел (далее домена) в другое [5,9], по касательной к

поверхности зоны контакта - из условия равновесия действия сил трения между контактирующими поверхностями, тогда для контактирующих поверхностей:

где, ысШ , усШ - горизонтальное и вертикальное перемещение штампа соответственно, игагё, уагё - соответственно горизонтальное и вертикальное перемещение тела основной конструкции. Т.е. при выполнении расчета с применением МКЭ необходимо связать перемещения соответствующих узлов обоих доменов, а так как расчет проводится итерационным способом, то, соответственно, необходимо выполнять обновление связей между узлами на каждой итерации в соответствии с перемещениями, полученными на предыдущей итерации.

Определение контактирующих узлов можно рассмотреть на примере рис. 1. В данном случае контактирующие узлы штампа имеют номера 2.12.5, ответной поверхности - 1.1-1.4. Первоначально, для каждого узла штампа на основе текущих координат узлов обоих доменов производится поиск элемента, с которым он, предположительно, может взаимодействовать. В рассматриваемом примере: для узла 2.1 - элемент с узлами 1.1 и 1.2, для 2.2 и 2.3 - элемент с узлами 1.2 и 1.3, для 2.4 и 2.5 - элемент с узлами 1.3 и 1.4. Далее определяется расстояние между узлом поверхности штампа и соответствующей точкой на ответном элементе (+У1.+У5 соответственно), при сравнении которого с допустимой величиной отклонения в расстояниях - соц, определяется статус контактного взаимодействия: узел поверхности штампа контактирует с ответной поверхностью или нет, а так же коэффициент линейной интерполяции. Одним из вариантов взаимного расположения узлов может быть ситуация, когда переместившись, узел контактной поверхности штампа попадает в пространство во внутреннее пространство основной конструкции на расстояние, превышающее соц, т.е.

описанный выше алгоритм покажет в качестве результата отсутствие контактного взаимодействия (см. рис.1 узел 2.4). В этом случае существует два решения:

- поиск токи пересечения элементов, содержащих данный узел с соседними элементами ответной поверхности;

- сравнение знаков У, соседних узлов, в этом случае всем узлам контактирующей поверхности штампа, находящимся на расстоянии от ответной поверхности не превышающим сгоц, назначается фиксированное значение У,.

Второй вариант представляется более предпочтительным с точки зрения объемов вычислений.

Описанный выше алгоритм реализован в системе Mathcad [10] в виде функции, ее листинг приведен на рис.2. Было принято, что исходя из соразмерности размеров КЭ контактирующих поверхностей обоих доменов, каждый узел любой из рассматриваемых поверхностей связан с двумя узлами ответной, а так же, что величина значения с0ц = 0,001 мала для внесения в результат расчета ощутимой погрешности. Возвращаемый функцией массив имеет число строк, равное числу узлов, и 4 столбца - это 2 пары значений: узел ответной поверхности - к-нт линейной интерполяции.

2.1 2.2 2.3 2.5

Расстояние между узлами доменод для поиска базможного контакта

Рис. 1 - схема определения статуса контактного взаимодействия узлов штампа и ответной поверхности

и

Рис. 2 - листинг функции определения контактного взаимодействия На основании данных, возвращаемых функцией с_сп1;(), строится глобальная матрица жесткости. Листинг данной функции приведен на рис.3.

и

Рис. 3. - листинг функции формирования глобальной матрицы жесткости Используемые массивы и переменные:

1. Ae - массив, содержащий площади КЭ;

2. В - массив, содержащий матрицы градиентов КЭ;

3. Е - вектор, содержащий значение модуля упругости КЭ

4. БЬ - массив с номерами узлов для элементов, участвующих в расчете;

5. V - вектор, содержащий значения к-нта Пуассона КЭ

6. Б - вектор закреплений, значение 1 указывает на закрепление соответствующего номера узла по соответствующему направлению

7. - переменная, указывающая на начало перечисления узлов в описании элемента (обычно равна 6).

Сетка КЭ рассматриваемой задачи представлена на рис.4.

II 3 7 10 1 3 17 20 23 27 30 33 37 40 43 47 50

Рис. 4. - Общий вид сетки КЭ рассматриваемого фрагмента конструкции. Желтым цветом показан домен каната преднапряжения (штампа), зеленым -

домен основной конструкции. Имеет размеры 50х50мм, форма штампа, имитирующего канат преднапряжения упрощена с сохранением формы контактирующей поверхности. Характеристики материалов: - Еь = 30 ГПа, V = 0,2;

J

- Es = 210 ГПа, v = 0,3.

Приложенное давление по верхней плоскости штампа 6,3 МПа. Граничные условия по наружным поверхностям рассматриваемого фрагмента - симметрия в направлении соответствующей оси. Расчет выполняется итерационно, состоит из 20 итераций.

Результаты расчета представлены ниже на рис.5 а, б. Данные результаты совпадают с аналогичным численным экспериментом, проведенном в программном комплексе Autodesk Simulation Mechanical 2013.

Рис. 5. - Результаты расчета: а - напряжения по Мизесу, б - относительные

деформации по Мизесу

Литература

1. Бескопыльный А.Н., Веремеенко А.А. Задача о статическом внедрении конического индентора в область с радиальными начальными напряжениями // Инженерный вестник Дона, 2012, №4 (часть 2) URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1368

2. Чмшкян А.В. Взаимодействие конического штампа с неоднородным основанием // Инженерный вестник Дона, 2012, №4 (часть 2) URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1391

3. Александров В. М., Чебаков М. И. Аналитические методы в контактных задачах теории упругости. М.: Физматлит, 2004. 302 с.

4. Джонсон К., Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. 509 с.

5. Fischer-Cripps, A.C., 2007. Introduction to Contact Mechanics. SpringerVerlag US, 248 p.

6. Wriggers, P. and T.A. Laursen, 2008. Computational Contact Mechanics. Springer, 248 p.

7. Сабоннадьер Ж.К., Кулон Ж.Л. Метод конечных элементов и САПР: Пер. с франц.. М.: Мир, 1989. 190 с.

8. Singiresu, S.R., 2011. The Finite Element Method in Engineering. Elsevier UK, 726 p.

9. Александров В. М., Чебаков М. И. Введение в механику контактных взаимодействий. Ростов-на-Дону: ООО "ЦВВР", 2007. 116 с.

10. Очков В.Ф. Mathcad 14 для студентов и инженеров русская версия. СПб.: БВХ-Петербург, 2009. 512 с.

References

1. Beskopyl'nyy A.N., Veremeenko A.A. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2012, №4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1368

2. Chmshkyan A.V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2012, №4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4p2y2012/1391

3. Aleksandrov V. M., Chebakov M. I. Analiticheskie metody v kontaktnykh zadachakh teorii uprugosti [The analytical methods in contact problems of the theory of elasticity]. M.: Fizmatlit, 2004. 302 p.

4. Dzhonson K., Mekhanika kontaktnogo vzaimodeystviya [Contact mechanics]. M.: Mir, 1989. 509 p.

5. Fischer-Cripps, A.C., 2007. Introduction to Contact Mechanics. SpringerVerlag US, 248 p.

6. Wriggers, P. and T.A. Laursen, 2008. Computational Contact Mechanics. Springer, 248 p.

7. Sabonnad'er Zh.K., Kulon Zh.L. Metod konechnykh elementov i SAPR: Per. s frants. [Finite Element Method and CAD: Trans. from France]. M.: Mir, 1989. 190 p.

8. Singiresu, S.R., 2011. The Finite Element Method in Engineering. Elsevier UK, 726 p.

9. Aleksandrov V. M., Chebakov M. I. Vvedenie v mekhaniku kontaktnykh vzaimodeystviy [Introduction to contact mechanics]. Rostov-na-Donu: OOO "TsVVR", 2007. 116 p.

10. Ochkov V.F. Mathcad 14 dlya studentov i inzhenerov russkaya versiya [Mathsad 14 for students and engineers Russian version]. SPb.: BVKh-Peterburg, 2009. 512 p.