Установившееся течение вязкой жидкости в кольцевой трубе гидравлического скиммера

В.А. Павловский, В.И. Таровик

ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Санкт-Петербург

УСТАНОВИВШЕЕСЯ ТЕЧЕНИЕ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В КОЛЬЦЕВОЙ ТРУБЕ ГИДРАВЛИЧЕСКОГО СКИММЕРА

Объект и цель научной работы. Целью работы является создание физико-математической модели разрабатываемого инновационного технического средства для ликвидации локализованных подо льдом аварийных разливов нефтепродуктов - гидравлического скиммера, который гибким коаксиальным трубопроводом соединен с судовым технологическим комплексом. Объектом исследования являются параметры ламинарного и турбулентного течения воды в кольцевом канале, который используется для подачи нагретой до высоких температур воды в осевой трубопровод с целью повышения температуры собранных скиммером нефтепродуктов.

Материалы и методы. В работе использована /-модель турбулентности, позволяющая выполнять расчеты установившегося течения вязкой несжимаемой жидкости в трубах и каналах с гидравлически гладкими стенками как при больших, так и при малых числах Рейнольдса.

Основные результаты. Получены первые интегралы для профиля скорости и меры турбулентности, представляющие собой трансцендентные уравнения. Это позволяет свести рассматриваемую задачу к решению системы алгебраических уравнений. Приведено сравнение результатов расчетов профилей скорости и коэффициентов сопротивления с экспериментальными данными, полученными другими авторами.

Заключение. Результаты исследования дают возможность сформировать теоретическое обоснование для инженерно-технических и проектных решений при создании судового технологического комплекса по ликвидации подледных аварийных разливов нефтепродуктов.

Ключевые слова : течение в кольцевой трубе, вязкость, /-модель, динамическая скорость, число Рейнольдса, перепад давления, дифференциальные уравнения, граничные условия, профиль скорости, расход, коэффициент сопротивления.

Авторы заявляют об отсутствии возможных конфликтов интересов.

Для цитирования: Павловский В.А., Таровик В.И. Установившееся течение вязкой жидкости в кольцевой трубе гидравлического скиммера. Труды Крыловского государственного научного центра. 2017; 2(380): 42-48.

УДК 532.51 DOI: 10.24937/2542-2324-2017-2-380-42-48

V.A. Pavlovsky, V.I. Tarovik

Krylov State Research Centre, Moskovskoe shosse 44, St. Petersburg, Russia

SETTLED FLOW OF VISCOUS FLUID IN THE CIRCULAR DUCT OF THE HYDRAULIC SKIMMER

Object and purpose of research: The purpose of this work is to develop a physical & mathematical model for the hydraulic skimmer, an innovative vehicle currently under development, intended to recover the emergency spills of oil products contained under the ice. The skimmer will be connected with the technological system of the mother ship by a flexible coaxial line. The paper studies the parameter of the water flow, laminar and turbulent, in the circular duct serving to provide hot water into the axial duct so as to heat the oil products recovered by the skimmer.

Materials and methods: The work applies f-model of turbulence that allows settled flow calculation for a viscous incompressible fluid in the pipes and ducts with hydraulically smooth walls at both high and low Reynolds numbers.

Main results: The first integrals (transcendental equations) have been obtained for the speed profile and the turbulence measure, which allows reducing this problem to a system of algebraic equations. The paper compares the calculation results for speed profiles and resistance coefficients versus the experimental data obtained by other authors.

Conclusion: The results of the study allow making a theoretical justification for technical engineering and design solutions in developing the technological system to be installed aboard ship for recovery of the emergency spills of oil products under ice.

Keywords: current in the circular duct, viscosity, f-model, dynamic speed, Reynolds number, pressure gradient, differential equations, boundary conditions, speed profile, flow rate, resistance coefficient.

Author declares lack of the possible conflicts of interests.

For citations: Pavlovsky V.A., Tarovik V.I. Settled flow of viscous fluid in the circular duct of the hydraulic skimmer. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2017; 2

УДК 532.51 DOI: 10.24937/2542-2324-2017-2-380-42-48

Перспективным направлением обеспечения экологической безопасности акваторий является использование технологий и технических средств, предназначенных для мониторинга и ликвидации разливов нефтепродуктов. Этому вопросу уделяется большое внимание, разработаны технологии, актуальные для безледовых условий, в том числе для сбора нефтепродуктов с водной поверхности, ликвидации разливов нефти в прибрежной зоне, а также для сбора донных отложений частиц нефтяных осадков. В условиях активного освоения нефтегазовых месторождений на российском арктическом шельфе стало уде -ляться большое внимание также и технологиям, предназначенным для ликвидации разливов нефтепродуктов в ледовых условиях в акваториях морских нефтегазовых сооружений. Мероприятия по очистке сезонно замерзающих акваторий представляют собой сложные морские операции, а в областях с высокой степенью сплоченности ледовых полей технические проблемы и проблемы оперативного управления проведением работ по очистке акваторий от нефтяных загрязнений многократно возрастают. Используемое сегодня оборудование, в частности, с применением механических скиммеров, не даёт решения задачи ликвидации подледных разливов в ледовых полях высокой сплоченности. Поэтому необходимо развитие адекватных технологий и технических средств для работы в условиях российского арктического шельфа.

Одной из возможных технологий сбора разливов нефтепродуктов в ледовых условиях является использование комплекса, в состав которого входят:

судно, предназначенное для ликвидации разливов нефти (ЛРН), с расположенным на его борту технологическим блоком;

гибкий трубопровод коаксиального типа для передачи собранных нефтепродуктов на судно;

телеуправляемый подводный аппарат - буксировщик гибкого трубопровода и носитель приемного устройства - скиммера;

приемный гидравлический скиммер. Ответственным блоком комплекса является гидравлический скиммер, предназначенный для сбора разлившихся нефтепродуктов, сконцентрированных в подледных ловушках. Двухфазная жидкость, состоящая из воды и нефтепродуктов, через скиммер попадает в коаксиальный трубопровод, и далее транспортируется для сепарации на судно ЛРН. После сепарации нефтепродукты сжигаются, а полученная энергия используется для нагрева технологической воды с последующей подачей её в скиммер. Первичный электрический нагрев скиммера и использование нагретой технологической воды позволяет избежать образования нефтяных и парафиновых пробок в транспортном трубопроводе. На рис. 1 показана проектная схема работы комплекса, в котором качество работы гидравлического скиммера имеет ключевое значение,

, гидравлическим

1 - сепаратор; скиммер

2 - нефтепродукты; 5,7 - вода;

4 всасывающий пасос;

j устройство сжигания

нефтепрдуктов и HaipeBa воды;

6 - нагнетающий насос;

8 - наконечник скиммера с электрическим нагревом;

9 - гибкий термоизолированный райзер; 10- гибкий трубопровод;

11 - нагретая вода; 12- двухфазная жидкость

Рис. 1. Схема работы комплекса для подледного сбора нефтепродуктов с использованием гидравлического скиммера

Fig. 1. Operation of the hydraulic skimmer-based system for recovery of oil products under ice. Flow chart

телеуправляемый подводный аппарат

собираемые нефтепродукты \ \

гидравлическим скиммер

==; п скиммер в сепаратор

1 скиммер

поэтому необходимо построение физико-математической модели работы скиммера и коаксиального транспортного трубопровода.

Примем, что течение нагретой воды гидравлического скиммера происходит в зазоре между двумя неподвижными соосными цилиндрами бесконечной длины с радиусами R1 и R2 (внутреннего и внешнего цилиндров соответственно) под действием постоянного по длине градиента давления dp dz = const < 0. В этом случае течение является двухпараметриче-ским, зависящим от двух параметров - числа Рейнольдса и отношения радиусов . Схема течения показана на рис. 2.

При решении задачи целесообразно использовать цилиндрическую систему координат, массовыми силами пренебрегаем. В силу установившегося характера течения имеется лишь одна компонента скорости - продольная u = u (r) , зависящая

от одной радиальной координаты Г .

Для рассматриваемой задачи уравнение движения сплошной среды в напряжениях [1, 2], справедливое для любого режима течения, имеет вид

dp 1 d , ч

—— +--(rz) = 0.

dz r dr

Интеграл этого уравнения - выражение для касательного напряжения т - можно записать в виде

^r + а|-1 ) 1

2 dz

1 dp z = —— r +< 2 dz

скорости v* = И/2

dp

dz

R2 p, где p

массовая

плотность жидкости, закон распределения касательных напряжений по сечению потока можно записать в следующем виде:

z = pv21 -"Л + — |,

"П.

где ц = г/ - безразмерная радиальная координата, 8 < ц < 1, 5 = А2.

Для ламинарного режима течения касательное напряжение подчиняется закону вязкого трения Ньютона [1]:

du

z = ц—, dr

где ц - динамическая вязкость, которая может быть представлена через кинематическую вязкость V в виде ц = pv . Вводя в рассмотрение безразмерную и

скорость V = —, этот закон можно записать в виде

z = p-

v v* dv

R2 dп

где а - безразмерная постоянная интегрирования, которая ищется в процессе решения задачи. После введения в рассмотрение условной динамической

Сравнение правых частей выражений (3) и (5) приводит к дифференциальному уравнению, описывающему ламинарное движение жидкости в кольце -вом канале:

- = ReJ-П+— I,

d" è П

Рис. 2. Течение в кольцевой трубе Fig.2. The current in the circular duct

где Re* - число Рейнольдса, вычисленное по дина мической скорости v*:

R2V,

Re* =-

Интегрирование этого уравнения дает выражение для профиля скорости в виде

v = Re* | + — lnП

+ C.

Для нахождения двух постоянных интегрирования - величин а и С - следует использовать условия прилипания

v

V

"Л = 8,v = 0 П = 1, V = 0

которые приводят к следующим их значениям:

(52 -1). 2lnS .

C = - Re, 2 *

v = -

Re*

1 - n2 - (1 - s2)^

ln 5

= 1

= 4 J_

¥

dp r2

dz Ц

dp R2

dz

1 - n2 - (1 - 52)-^'

ln 5

R2 - r2 +

ln l-L

R

ln l R

R

1 0

v = —^[1 - n2 - 2alnn] ,

где величина а определена выражением (9). Максимальная скорость достигается при л = -у/а :

Re,

Vmax [ - a + a ln a]-

1

Q =| u2nrdr = 2^R2v*| vndn.

Подстановка выражения (12) дает значение расхода в виде

Re

Отсюда средняя по сечению канала скорость после деления на площадь этого сечения "Е (1 - 82) записывается следующим образом:

Тогда выражение для безразмерного профиля скоростей принимает вид

UV

v*

Re* 4

(

1 - 2a

1 +

252

-ln 5

В предельном случае течения в прямой круговой

трубе, когда 5  0

a  0 , имеем vср = 1vm

что

а в размерном виде, учитывая определения величин Re, и v,,

и следовало ожидать. После нахождения средней скорости можно найти число Рейнольдса по этой скорости и коэффициент сопротивления. Число Рейнольдса, вычисленное по эквивалентному диаметру канала ёэ = 2Е2(1 - 5) и средней скорости, можно выразить через Re* следующим образом:

Re =

2ucp .(R - R) 2R

2"cp

(1 - 5) =

Этот метод решения задачи с помощью введения в рассмотрение безразмерных величин Re* и V* приводит к тому же результату для профиля скорости, что и приведённый в монографии [3]. Видно, что при 5  0 имеет место течение в прямой круговой трубе с профилем Пуазейля .

Безразмерный профиль скоростей также можно записать в следующем компактном виде:

= 2(1 -5)Re* vcp,

а коэффициент сопротивления определить выражением

ct =

dp R2

dz Puc2p

Это решение справедливо для ламинарного режима течения, когда число Рейнольдса меньше критического, которое можно принять равным

Re,ф = 2000.

Для турбулентного режима можно воспользоваться /-моделью [4], которая позволяет описывать внутренние течения несжимаемой вязкой жидкости при произвольных числах Рейнольдса. Эта модель даёт для рассматриваемой задачи следующую систему уравнений:

Объемный расход по сечению кольцевого канала можно найти, вычисляя интеграл

Ц

1 d ( duл l r— 1 +

dp + l , dz (1 - f) r dr ^ dr

ц du df

(1 - f)2 dr dr

0

1 d ( df"] Y ( f)( df

ц--1 r— + ц v —

r dr ^ dr 0 (1 - f Д dr

-p(1 - f) dpdildu = 0. dz dr dr

a

ср

5

Здесь £ = £ (г) - безразмерная скалярная величина (мера турбулентности), 0 < £ < 1;

, ч 2а+р

^( £) =--Г—тг ; а = 2,5 и р = 8,5 - феноме-

а + р

нологические константы. Все величины в этих уравнениях понимаются как осреднённые по Рейнольдсу (очевидно, для ламинарного режима течения осред-нённые и мгновенные значения величин совпадают). Первое уравнение системы является уравнением движения, а второе уравнением переноса функции £ .

Систему уравнений (18) можно привести к безразмерному виду, вводя в рассмотрение безразмерную координату ц и безразмерную скорость

V = и/ V* :

1 1 d Г dv

2Re* + -------1 п— I +

* (1 - /) п d" è ' d" 0

dv +—

dП

£(1- £) = 0;

id in £+£ +

П dn l 'dn J (1 - f)è dn 0

+2Re* (1- £)£= 0. *V J d" dn

а на внешней стенке, при г = А2 (ц = 8) :

Т= РV2 (-1 + а).

Тогда динамическими скоростями для ц = 8 и ц = 1 будут величины

s а -8 + —

, v*2 = v.J-1 + a.

Соответствующие числа Рейнольдса, вычисленные по этим динамическим скоростям, определим в виде

v?, • R2

Re*! = -

v* • v

-= Re*

s a -8 + — 8

Re*2 =

v;2 • R2

v • v

= Re* -1 + a .

В итоге граничные условия задачи согласно [4] следует записать в виде

П = 8 , v = 0, £ = 0, d£

dv d"

= Re*j, — = Re*i/ (a + ß) dv

П = 1,v = 0, £ = 0,— = d"

= -Re*2 ,£ =-Re*^(a+ ß).

Течение определяется двумя параметрами - Ые* и 8. Первым интегралом уравнения (19) является выражение

^ = Re..[-n + — k- £), d" *è ПJV J

В этих уравнениях Re* = R2v*/ v - число Рейнольдса, вычисленное по динамической скорости v*.

Запишем краевые условия задачи, которыми являются условия равенства нулю величин u и £ на стенках цилиндров, а также условия на производные этих величин. Касательное напряжение на внутренней стенке, при r = R1 (n = 8) :

Zw1 = pv21-8 + — I,

интегрирование уравнения (20) дает:

Re*

Г 2 Л

—a-ln п+C 2

y

a £

- ß ln (1 - £).

Постоянные интегрирования a и C можно найти из условий £ = 0 на стенках:

C = 2; — = 1 (82 - 1)/ln8.

2 2

В результате выражение, связывающее функцию £ и координату п , принимает вид

iRe,f(1 - п2 )-(1 - 52 ) щп

a £

-ßln (1- £ ).

Интегрирование (22) с учетом (23) приводит к следующему профилю скоростей, удовлетворяю -щему условиям прилипания:

v = ß £ - a ln (1 - £).

Рис. 3. Профили скоростей и и функции f при 5 = 0,0625 jj~ для различных чисел Рейнольдса: 7-Re =10; 0,8

2- Re =10000; 3- Re =327000

О 4

Fig. 3. Speed profiles and '

f-functions at 5 = 0.0625 for different Reynolds numbers: 7 -Re =10; Re =10000; 0,2

3- Re =327000

л°\ / \° л

2 /

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1

Значения функции / здесь берутся в зависимости от поперечной координаты ^ по соотношению (23). Для каждого значения параметров Ке* и 8 можно выполнить расчёт профиля скорости, и далее, используя формулу (24), где безразмерная средняя скорость определяется выражением

2 1

V. = л-8лЬу ,

(1 - 8 ) 8

можно выразить число Рейнольдса по средней скорости через Ке* по формуле (16) . На рис. 3 приведены результаты расчётов профилей скорости и функции / при 8 = 0,0625 при различных числах Рейнольдса, причем для Ке = 327000 у профилей скорости показаны экспериментальные точки [5].

На рис. 4 приведены результаты расчета коэффициента сопротивления, определяемого выражением (17), для ламинарного режима течения согласно формуле (15), а для турбулентного - с использованием формулы (25).

Там же для сопоставления показаны опытные точки работы [5] для 8 = 0,562 .

Видно, что /-модель при малых значениях числа Рейнольдса дает результаты, близкие к получаемым на основе использования уравнений Навье - Стокса. Это означает, что ее можно использовать при приближенных расчетах для описания как турбулентных, так

и ламинарных режимов течения, исключая сравнительно узкую зону переходного режима.

Построенная математическая модель течения позволяет выполнить расчет характеристик течения в кольцевом зазоре между двумя коаксиальными неподвижными цилиндрами и тем самым оценить затраты энергии при прокачивании в нем жидкости.

Рис. 4. Расчетные кривые сопротивления:

1 - б = 0,0625 ; 2 - б = 0,562 на фоне опытных точек [5]. Сплошные линии соответствуют турбулентному режиму течения согласно /-модели, пунктирные - ламинарному согласно формуле

Fig. 4. Calculated resistance curves: 1 - б = 0,0625;

2 - б = 0,562, in comparison with experimental points [5]. Solid lines correspond to the turbulent flow as per /-model, dotted lines correspond to the laminar flow as per Formula

Log wCf

1

V 2

2 3 4 5 Log10Re

Библиографический список

Reference

1. Путеводитель Прандтля по гидроаэродинамике. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2007.

2. Новожилов В.В., Павловский ВА. Установившиеся турбулентные течения несжимаемой жидкости. СПб.: Издательство СПбГУ, 2012.

3. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1989.

4. Павловский В.А. Об одной чисто феноменологической теории, альтернативной гипотезе пути перемешивания // Физическая механика. Модели механики сплошной среды. Вып. 7. СПб.: СПбГУ, 1998. С. 21-35.

5. Брайтон Д., Джонс П. Полностью развитый турбулентный поток в каналах кольцевого сечения // Теоретические основы инженерных расчетов. 1964. № 4. С.240-242.

Сведения об авторах

Павловский Валерий Алексеевич, д.т.н., профессор главный научный сотрудник ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, д. 44. Телефон: 8 (812) 415-45-58. E-mail: V.A.Pavlovsky@gmail.com

Таровик Владимир Иванович, к.т.н., главный научный сотрудник ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196158, Россия, Санкт-Петербург, Московское шоссе, д. 44. Телефон: 8 (812) 415-46-81. E-mail: V_Tarovik@ksrc.ru

About the authors

Pavlovsky, Valery A., Doctor of Technical Sciences, Professor, Chief Researcher, KSRC, address: 44, Moskovskoye sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: 8 (812) 415-45-58. E-mail: V.A.Pavlovsky@ gmail.com

Tarovik, Vladimir I., Candidate of Technical Sciences, Chief Researcher, KSRC, address: 44, Moskovskoye sh., St. Petersburg, Russia, post code 196158. Tel.: 8 (812) 41546-81. E-mail: V_Tarovik@ksrc.ru

Поступила: 10.02.17 Принята в печать: 19.04.17 © В. А. Павловский, В.И. Таровик, 2017