Решение задачи о больших упругопластических деформациях методом конечных элементов

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Физико-математические пауки

УДК 539.3

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О БОЛЬШИХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЯХ МЕТОДОМ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Р. Л. Давыдов, Л. У. Султанов

Аннотация

Настоящая работа посвящена разработке и численной реализации методики исследования напряженно-деформированного состояния упруго-пластических тел с учетом больших деформаций. Использована процедура пошагового пагружепия. Пространственная дискретизация основана па методе конечных элементов. С помощью предложенной методики решены задачи об упругопластическом деформировании трубы и растяжении стержня круглого сечепия.

Ключевые слова: конечные упругопластические деформации, аддитивное разложение полных деформаций, линеаризованные физические соотношения.

Введение

В работе рассматривается вопрос построения алгоритма численного решения задачи о больших упругопластических деформациях. В [1 4] приведены результаты исследования процесса деформирования нелинейно упругих тел и настоящая работа является продолжением этих работ. Кинематика среды описывается левым тензором Коши Грина (мера Фингера). напряженное состояние определяется тензором истинных напряжений Коши Эйлера. При решении задачи с учетом пластических деформаций используется ассоциированный закон течения и аддитивное представление полных деформаций скорости. Алгоритм решения основан на методе пошагового пагружепия с итерационным уточнением на шаге нагружения. Разрешающее уравнение получено путем линеаризации уравнения виртуальных мощностей, при выводе физических соотношения используется выражение потенциала упругих деформаций. Численная реализация основана на методе конечных элементов (МКЭ). используется восьмиузловой изопараметрический конечный элемент. Предложенная методика апробирована на решении задачи об упругопластическом деформировании трубы. Проведено сравнение с аналитическим решением. Рассмотрена также задача о растяжении круглого стержня с образованием шейки, результаты решения которой имеют хорошее совпадение с результатами, полученными другими авторами.

1. Кинематика среды. Уравнение в скоростях напряжений

В качестве тензоров, описывающих деформацию и скорость деформации, используются тензор градиента деформации ), мера деформации Фингера

ди'

(В) = (^) • (^)Т, тензор пространственного градиента скорости (К) = тг~ (еге^) =

дуз

• -1 1 Г Т1

= (!•) • (^) 1, тензор деформации скорости (¿) = ^ (К) + (К) , где и - компоненты вектора скорости и, у^ - компоненты радиус-вектора И, е» - орты декартовой системы координат (здесь и далее точкой обозначено скалярное произведение).

Напряженное; состояние описывается с помощью тензора нстннных напряжений (Я) = ац (е^ец), определенного в актуальном состоянии.

Для решения задач с учетом физической нелинейности (в первую очередь задач пластического деформирования) широко используются формулировки разрешающих вариационных уравнений в скоростях деформаций и напряжений. Такие уравнения могут быть получены дифференцированием по времени уравнения принципа виртуальных мощностей в актуальной конфигурации [о, 11]

J (Я) • (6<1) ¿0 = ^ f • 5и (10, + ! р • 5и ¿Б,

где 0 - текущий объем, Ба - часть поверхности, та которой заданы усилия, ^ р -векторы объемных и поверхностных сил соответственно, операция свертки

тензоров.

После линеаризации (1) получим уравнение в скоростях напряжений

¿0

' + * f

• 6и ¿0

р+ *р

5и ¿Б,

где * = ) - относительное изменение объема.

2. Определяющие соотношения

Используя выражение потенциальной энергии упругой деформации Ш, получим определяющие соотношения [1—3]. В качестве аргументов функции Ш примем компоненты тензора меры деформации Фингера, то есть

Ш = Ш (Бц),

тогда тензор напряжений Коши Эйлера будет выражаться в следующем виде:

<Я> = >и*Г- (Ш = > (

Для изотропного материала, свойства которого не зависят от направления, функция удельной потенциальной энергии деформации должна зависеть лишь от инвариантов соответствующих тензоров:

Ш = Ш (11В ,12В ,1зв ) ,

тогда тензор напряжении можно выразить как

2

дШ д1

1 в

дШ д1

2в

[11В (1) - (Б)]

дШ 81~

з в

1зв (б

-1\

Линеаризуя соотношение (3) получим выражение для скорости напряжений Коши Эйлера:

/ая V дБ

1 'Б

Б

(ав ) + *

<БЬ (Ш

Б

- 1(Б). (

V дБ )

= (ЛЕ) • • (¿) + (Н) • (Я) + (Я) • (Н)т - (Я) 11,,

2

где введено обозначение

4 ( д2Ш ,

(Л^)= 7 (Б) \ ^ (Б) •

Или

где

Моделирование упругопластических деформаций основано на аддитивном

представлении полной деформации скорости, то есть

(¿) = (¿е) + (¿р),

где (¿е) - упругая составляющая, а (¿р) - пластическая.

Предполагается справедливость ассоциированного закона течения [5, 11]

о=* (Ж).

где ,Х - скорость пластических деформаций, Ф - функция текучести.

Рассмотрим в качестве критерия упругого деформирования условие Губера Мизеса, которое для изотропной среды допускает обобщение в виде

Ф = а< - ат

где аi - интенсивность напряжений, ат (х) _ предел текучести, х _ параметр упрочнения.

Тогда, используя (5), пластическую деформацию скорости можно записать следующим образом:

<-)=* (£)=* (§)=3 ^

3. Метод проецирования напряжений на поверхность текучести

Пусть имеется два бесконечно близких напряженных состояния к и к+1. По известным параметрам к-го состояния определим (к + 1)-е по следующей формуле:

(к+1Я) = (кЯ) + (кЯ)Д* = (кЯ) + [(кЯТг) + (кН) • (кЯ) + (кЯ) • (кН)Т - 1ы(кЯ)]Д* =

к,, <3

("Ч) - *-

2к+1с

+ (кН) • (кЯ) + (кЯ) • (кН) - 1ы(кЯ) Д*,

где Д* - приращение параметра (времени), определяющее переход о предыдущего состояния к последующему.

Запишем последнее соотношение в следующем виде:

3* ~

2аi

Здесь

так называемый тензор «пробных» напряжений. Уравнение (6) определяет снос напряжений на поверхность текучести [6].

4. Общий алгоритм решения

Для решения поставленной задачи используется метод последовательных на-гружений. Процесс деформирования представляется в виде последовательности равновесных состояний. Переход от предыдущего состояния к последующему происходит путем приращения нагрузки [4. 5. 11].

В качестве базового на шаге нагружения используется уравнение в скоростях напряжений (2) в совокупности с линеаризованными физическими соотношениями (4).

В итоге имеем разрешающее уравнение на к-м шаге нагружения

I • (кЛ) •

+ 2(кЕ) • • [(5Н)Т • (кН) + (кН)Т • (<5Н)] - [ ^ • ки]Г • 5и} ¿П+ + I {кЬ*п • (кН)Т - [к ^ • к5и ¿Б = I * • 5и ¿V + ^ к 1 П • 5и ¿Б-

Пк Б'

I

Так как решаются квазистатические задачи, то можно перейти от скоростей к приращениям, например, по формуле и = Ди/АЬ (и принять = 1 ). Решая уравнение (8), получим вектор перемещений, который определяет конфигурацию на (к + 1)-м шаге нагружения

к+у = У + Дк пг

и напряженное состояние

к+1ау = + кдц Д£.

Далее для учета пластических деформаций применяем метод проецирования напряжений

(кЕт+1) = (Ет) - (Е'т).

Для дискретизации системы уравнений (8) используется метод конечных элементов на основе восьмнузлового элемента [4, 5, 7, 11]. В итоге для ш-й итерации па к-м шаге нагружения имеем

кКДкит = ДкР + кН - кБт,

где к Бт - вектор дополнительных напряжений.

5. Физические соотношения и разрешающее уравнение для материала 2-го порядка

Рассмотрим пример построения физических соотношений для следующего потенциала упругих деформаций:

W = А+2М- 3)2 + м (1ib - 3) - М (12B - 3),

где А , м _ параметры Ляме.

Получим выражение для скорости изменения напряжений Коши Эйлера:

(¿) = (ЛЕ) • • (d) + (h) • (Е) + (Е) • (h)T - (Е) lid,

где

Подставнв фнзнческне соотношения (11) в уравнение в скоростях напряжений (2). получим разрешающее уравнение

(d) • •(Л) • •(¿d) + 1( Е) • • (¿h)T • (h) + (h)T • (¿h) - [Vy • u]f* • ¿u j dQ+ + / {tn • (h)T - [Vy • u]tn} • ¿u dS = / f* • ¿u dV + / tn • ¿u dS.

6. Численные примеры

В настоящей работе в качестве базового используется произвольный восьмиуз-ловой конечный элемент, применяется МКЭ с численным интегрированием. Система линейных алгебраических уравнений на к-м шаге нагружения имеет вид

[кК] {Дки} = {ДкР} + {кН} - {к5} .

6.1. Упругопластическое деформирование толстостенной трубы.

Рассмотрим задачу определения напряжений в толстостенной длинной трубе, находящейся под воздействием осесимметричпого давления р при упругопластическом деформировании в геометрически линейной постановке (плоская задача) (рис. 1). Внутренний радиус трубы а = 14 см, внешний Ь = 2 см, модуль упругости Е = = 2-106 кг/см2 , коэффициент Пуассона V = 0.3. Материал полагаем идеально пластическим, критерием пластичности служит условие Губера Мизеса (5). Функция изотропного упрочнения имеет вид

^т (х) = °т.

Из аналитического решения найдено отношение внутреннего давления к пределу текучести р/ат = 0.7208, при котором радиус пластической зоны с =1.5 см [10].

Так как задача обладает двумя плоскостями симметрии, рассматривалась лишь четверть трубы с соответствующими граничными условиями (рис. 2): в силу того, что задача плоская, исключаем осевые смещения всех узлов.

Задача является физически нелинейной, но деформации малы, поэтому она решалась за один шаг по нагрузке. Труба разбивалась на 20 элементов по ширине и 20 элементов по окружному направлению (рис. 3).

На рис. 4 показана пластическая зона деформированной трубы, на рис. 5 распределение радиальных и окружных напряжений в трубе по отношению к пределу текучести.

Рис. 1. Толстостенная труба

Рис. 2. Четверть трубы с граничными условиями

Рис. 4. Пластическая зона дефор-Рис. 3. Копечпоэлемептпая сетка „

мировашюи труоы

(7 <7Т

Рис. 5. Распределение радиальных и окружных напряжений в трубе

6.2. Упругопластическое растяжение круглого стержня. Рассмотрим задачу растяжения круглого стержня со следующими параметрами: Е = = 6.4134 мм, Ео = 0.982Е мм, Ь = 26.667 мм. Отметим, что для конкретизации места образования шейки в центре стержня задается снижение радиуса на 1.8%.

Рис. 6. Геометрия и копечпоэлемептпая дискретизация

Рис. 7. Интенсивность пластических деформаций

- 1.5324 1.4008

1.гбзз

Щ13П

1. 0!!б1

е.еиа

0. 743 0. 6114

<1.4796

а. 118? 0.Я167

е.0Р51

Критерием пластичности служит условие Губера Мизеса (5). Функция нелинейного изотропного упрочнения имеет вид [8. 9]

ат(х) = °~т + Нх + (ато - ат)(1 - е-&х).

Параметры материала: Е = 206.9 ГПа, V = 0.29, ато = 0.715 ГПа, ат = 0.450 ГПа, Н = 0.129, 5 = 16.93.

Коночноэломонтная дискретизация половины стержня представлена на рис. 6. На торце задаются перемещения. Так как задача обладает тремя плоскостями симметрии, рассматривалась восьмая часть стержня с соответствующими граничными условиями. На рис. 7 приведена интенсивность пластических деформаций для конечного положения, на рис. 8 диаграмма «сила перемещение». Максимальная зона пластических деформаций возникает в месте образования шейки. Из рис. 8 видно, что решение, полученное с помощью предложенной методики, имеет хорошее совпадение с результатами решения других авторов.

F80!

70-

60-

50-

40-

30-

20-

10-

0

0

2

3

4

5

6

7

W

Рис. 8. Диаграмма «сила перемещение торца»: сплошная кривая решение по описанной методике, о - решение [8], Д - решение [9]

В работе предложена методика численного исследования изотропных материалов с использованием левого тензора Коши- Грина, для которых физические соотношения задаются с помощью функции упругого потенциала. Получены линеаризованные определяющие соотношения и разрешающее уравнение. В качестве примера рассмотрен материал 2-го порядка, выбрано соответствующее выражение потенциальной энергии упругой деформации. Критерием прочности служит условие Губера-Мизеса с упрочнением. Пластическое деформирование моделируется с помощью метода проецирования напряжений на поверхность текучести с итерационным уточнением текущего напряженно-деформированного состояния. Численная реализация основана на методе конечных элементов на базе восьмиуз-лового полилинейного элемента. Решены тестовая задача о деформировании толстостенной трубы и задача об упругопластическом растяжении круглого стержня. Результаты расчетов демонстрируют работоспособность предложенной методики исследования нелинейных задач.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты JV2 12-01-00955, 12-01-97026, 12-01-31212).

R.L. Davydov, L.U. Sultanov. Numerical Investigation of Large Elastic-Plastic Deformations by Finite Element Method.

The present paper deals with the development and implementation of numerical methods for investigating the stress-strain state of elastic-plastic solids with large deformations. An incremental loading technique is used. Spatial discretization is based on the finite element method. Using the proposed procedure, the problem of elastic-plastic deformations of a pipe and the problem of tension of a round bar are solved.

Key words: finite elastic-plastic deformations, additive decomposition of total strains, linearized physical relations.

Заключение

Summary

Литература

1. Голованов А.И., Коиопле.в Ю.Г., Султанов Л.У. Числешюе исследование конечных деформаций гиперупругих тел. I. Кинематика и вариационные уравнения // Учен, зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2008. Т. 150, кп. 1. С. 29 37.

2. Голованов А.И., Конопле.в Ю.Г., Султанов Л. У. Числешюе исследование конечных деформаций гиперупругих тел. II. Физические соотношения // Учен. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2008. Т. 150, кп. 3. С. 122 132.

3. Голованов А.И., Конопле.в Ю.Г., Султанов Л.У. Числешюе исследование конечных деформаций гиперупругих тел. III. Постановки задачи и алгоритмы решения // Учен. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2009. Т. 151, кп. 3. С. 108 120.

4. Голованов А.И., Конопле.в Ю.Г., Султанов Л.У. Числешюе исследование конечных деформаций гиперупругих тел. IV. Копечпоэлемептпая реализация. Примеры решения задач // Учен. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2010. Т. 152. кп. 3. С. 115 126.

5. Голованов А.И., Султанов Л. У. Числешюе исследование больших упругопластиче-ских деформаций трехмерных тел//Прикл. механика. 2005 Т. 41. Л'6. С. 36 43.

6. Уилкинс A4.Л. Расчет упругопластических течений // Вычислительных методы в гидродинамике. М. Мир. 1967. С. 212 263.

7. Bonet J., Wood R.D. Nonlinear continuum mechanics for finite element analysis. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1997. 283 p.

8. Schroder J., Cruttmann F., Löblein J. A simple ortliot.ropic finite elasto-plasticity model based on generalized stress-strain measures // Comput. Mecli. 2002. V. 30, No 1. P. 48 64.

9. Eidel В., Cruttmann F. Elastoplastic ortliot.ropy at finite strains: multiplicative formulation and numerical implementation // Comp. Mater. Sei. 2003. V. 28, No 3 4. P. 732 742.

10. Малинин H.H. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение. 1975. 400 с.

11. Голованов А.И., Султанов Л. У. Исследование закритического упругопластического состояния трехмерных тел с учетом конечных деформаций // Изв. вузов. Авиац. техника. 2008. 4. С. 13 16.

Поступила в редакцию 08.10.12

Давыдов Руслан Лаврентьевич аспирант кафедры теоретической механики Казанского (Приволжского) федерального университета.

E-mail: ruslan.davydovemail.ru

Султанов Ленар Усманович кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры теоретической механики Казанского (Приволжского) федерального университета.

E-mail: Leñar. Sultanov Qkpfu.ru