Математика и реальность: гносеологические проблемы математизации знания

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 7. ФИЛОСОФИЯ. 2014. № 1

ФИЛОСОФИЯ И МЕТОДОЛОГИЯ НАУКИ

В.Я. Перминов*

МАТЕМАТИКА И РЕАЛЬНОСТЬ: ГНОСЕОЛОГИЧЕСКИЕ

ПРОБЛЕМЫ МАТЕМАТИЗАЦИИ ЗНАНИЯ

В статье выявляются основные гносеологические вопросы, возникающие в связи с процессом математизации научного знания. Обосновывается положение, что разрешение этих вопросов требует перестройки философии математики, внесения в нее представлений о системности и телеологии.

Ключевые слова: пифагореизм, математическое предвосхищение, математическая гипотеза, полная математизация, фрагментарная математизация, системность, телеология.

V.Ya. P e r m i n o v. Mathematics and reality: gnosiological problems of mathematization of knowledge

The author reveals basic gnosiological questions which arise in connection with mathematization of scientific knowledge. It is shown that for solving these questions we should change the philosophy of mathematics by introducing ideas of systemacy and teleology.

Key words: pythagoreism, mathematical anticipation, mathematical hypothesis, full mathematization, fragmentary mathematization, systemacy, teleology.

Процесс математизации знания может рассматриваться в двух различных планах — в методологическом и гносеологическом. Первый план рассмотрения связан с практикой математизации. Здесь возникают трудности перехода от теоретических понятий к конкретному материалу, от языка абстракций — к языку, приемлемому для описания предметных отношений. Математики-прикладники достаточно много внимания уделяют этой теме. Здесь можно указать на живое и детальное исследование этих проблем в книге И.И. Блехмана, А.Д. Мышкиса и Я.Г. Пановко [И.И. Блехман и др., 2007].

В плане философской рефлексии появляются другие проблемы. Здесь мы ставим вопрос об истоках, целях и перспективах математизации. Наша задача — понять процесс математизации в связи с целями научной теории, ее предметом и стадиями развития. Понимание математизации на этом втором уровне до сих пор остается довольно неопределенным. Мы все еще продолжаем думать о ней

* Перминов Василий Яковлевич — доктор философских наук, профессор, профессор кафедры философии естественных факультетов МГУ имени М.В. Ломоносова, тел.: 8 (905) 599-90-14; e-ma;7:perminov_v@list/ru

в духе Галилея, согласно которому книга природы написана языком математики, и представляем себе процесс математизации как онтологически обусловленный и не имеющий никаких принципиальных ограничений. Предлагаемые ниже размышления направлены на то, чтобы показать, что этот метафизический и наивно оптимистический взгляд на математизацию знания должен быть существенно пересмотрен.

От Пифагора к Галилею

Важнейшее разделение пифагорейской философии состояло в разделении бытия на две части — на мир изменчивый, преходящий, данный в чувствах, и на мир неизменный, вечный, постигаемый только разумом. Этот второй мир — идеальный, неизменный, или мир-космос, и был для пифагорейцев истинным предметом математики. Положения математики непреложны и безусловно истинны, ибо математик берет их не из опыта, а из созерцания вечного Космоса. Математика является единственной подлинной наукой, содержащей в себе истину: науки, рассуждающие о чувственных вещах, могут содержать в себе только мнения. Греческое разделение «докса» и «эпистеме» проистекало из различия между чувственным миром и космосом и из разделения между математикой и знанием, основанным на опыте.

Ясно, что такое понимание математики предполагает наличие особого механизма познания, отличного от познания на основе опыта. Предполагается, что человеческий разум обладает способностью непосредственно созерцать идеальную структуру бытия и выражать ее в своих понятиях. Математический пифагореизм является в этом смысле первой версией теоретико-познавательного рационализма и априоризма. Мы видим здесь деление истин на подлинные, вечные и на истины-мнения, которые могут быть изменены изменением содержания чувственного мира. В своем понимании математики-пифагорейцы предвосхищают лейбницевское деление истин на необходимые и случайные истины и кантовское их деление на априорные и апостериорные.

Недостаточность такого понимания математики состояла в том, что математическое знание мыслилось как совершенно отделенное от чувственного мира и как неприложимое к этому миру. Для пифагорейцев и Платона это не создавало проблемы, поскольку они не ставили перед математикой каких-либо практических целей: они мыслили ее исключительно как средство для усовершенствования души и как метод построения философской картины мира. Использование математических пропорций и правильных многогранников в онтологии Платона не ставит задачи соедине-

ния математики с миром опыта и ее применения к выражению каких-либо эмпирических связей. Математика выступает у Платона как чисто умозрительная система представлений, полезная для формулировки столь же умозрительных философских построений.

Но уже Аристотель ищет объяснение того, «почему геометры говорят и правильно рассуждают о том, что на деле существует» [Аристотель, 1976, с. 326]. Понимание математики, к которому приходит Аристотель, противоположно пифагорейскому и платоновскому: математические представления рассматриваются не как существующие в умопостигаемом мире, а как результат упрощения и очищения чувственного опыта на основе абстракции. Математические понятия мыслятся Аристотелем как продукт предельного отвлечения от опыта. Физика, говорит он, отвлекается от всего, кроме движения, математика же отвлекается и от движения. «Геометр и исследователь чисел» рассматривают «отдельно то, что отдельно не существует» [там же].

Главное положение Аристотеля, лежащее в основе его философии математики, состоит в том, что математика — это наука, которая исходит из опыта и создает свои объекты посредством мысленного отвлечения от реальных свойств вещей. Математика, по Аристотелю, самая абстрактная из наук о природе, нацеленная на исследование меры, величины и порядка. Математика также говорит о реальном мире, но, в отличие от других наук, она ограничивается только самыми простыми и абстрактными его свойствами. Этим обстоятельством объясняется, по Аристотелю, и строгость математики. «И чем первее по определению и более просто то, о чем знание, тем в большей мере этому знанию присуща строгость (а строгость эта — в простоте)» [там же]. Специфические свойства математического рассуждения — однозначность и строгость — объясняются не созерцанием вечного космоса, а типом абстракции, с которым имеет дело математика. Несомненно, это более реальное и близкое к современному понимание математики как науки.

Наука XVII в. исходила в основном из аристотелевского понимания математики как наиболее абстрактной картины реальности. Но ученые теперь имеют дело уже не с опытом как таковым, а с физической теорией и с физической картиной мира, рисующей скрытый механизм реальных связей, наблюдаемых в опыте. Соответствующее изменение мы видим и в понимании математики. Математика относится уже не к феноменальному миру, не к опыту как таковому, а к структуре мира, к системе физических законов определяющих видимую реальность. Известное высказывание Галилея: «Книга природы написана языком математики» соотносит математику не с миром явлений, а с законами мира, объясняющими видимые движения вещей. 44

Но этот новый подход не приводит к устранению пифагореизма. Галилей, Декарт и Ньютон видят перед собой реальное движение, они нацелены на опыт и на природу, и в этом смысле они являются последователями Аристотеля. Но они нацелены на математическое описание законов реальности и не допускают здесь никакой альтернативы. Математика снова превращается в глубинную структуру мира, но это уже не пифагорейский космос, а окружающая нас природа. Физики XVII в. — последователи Аристотеля, но одновременно они — пифагорейцы и платоники в том смысле, что мыслят природу как идеальную систему движений, сотворенную в соответствии с точными математическими отношениями. Математическая физика, таким образом, зарождалась под существенным влиянием философии пифагореизма. Реальности приписывалась изначальная математичность и математика соединялась с ней как ее глубинная структура. Эта философия предельно оптимистична: если мир математичен сам по себе, то все его проявления должны быть подведены под принципы, выраженные на языке математики.

Разрыв между математикой и реальностью

Развитие математики в XVII, XVIII и в особенности в XIX в. принудило нас признать тот факт, что математические понятия не могут быть непосредственно соотнесены с реальностью. Аристотелевское объяснение математических предметов на основе абстракции столкнулось с трудностью уже в случае таких понятий, как отрицательное и иррациональное число. Длительные дискуссии об обосновании правила знаков для отрицательных чисел и обсуждение природы мнимых чисел показали, что опытного обоснования исходных понятий и операций не существует даже для понятий элементарной математики [В.Н. Молодший, 1959]. Никакой опыт не приближает нас к пониманию онтологической сущности мнимых чисел и бесконечно малых величин. Уже Лейбниц пришел к ясному осознанию того факта, что математические понятия скорее конструируются самим разумом, чем извлекаются из опыта на основе абстракции.

Показательным в этом отношении было развитие математики в XIX в. Принятие многомерных и неевклидовых геометрий, обобщенных алгебр, актуальных множеств Кантора было бы невозможным при требовании их соответствия какому-либо опыту. Математики XIX в., как и их предшественники, верили, что математика имеет глубинную связь с природой и должна быть плодотворной для наук о природе, но они уже не могли вслед за Аристотелем настаивать на том, что способность математических теорий прилагаться к миру опыта, обусловлена их опытным происхождением.

Постепенно осознавалось положение, что математика в действительности бесконечно шире опыта, что она в своих представлениях поднимается к конструкциям, которые в принципе не реализуемы в опыте. «Бесконечная делимость континуума, — писал Д. Гильберт, — это только идея, которая опровергается нашими наблюдениями над природой и опытом физики и химии» [Д. Гильберт, 1998, с. 434].

Можно было бы, как кажется, предположить, что математика, удаляясь от реальности в своих высших конструкциях, остается связанной с ней посредством исходных арифметических и геометрических понятий. Однако более глубокий анализ показал, что понятия этого последнего типа являются априорными представлениями самого сознания и их соотнесение с реальностью не менее проблематично, чем соотнесение с ней внутренних конструкций математики. Мы приходим к выводу, что в математике вообще нет места для представлений опыта: математические понятия являются либо априорными представлениями, либо логическими конструкциями. Мы приходим, таким образом, к идее онтологической фиктивности математики. Но это значит, что ни исследование структуры математических теорий, ни исследование их генезиса не может дать нам материала для оправдания их приложимости к описанию законов опытных наук.

Разрыв между математикой и реальностью обозначился и с другой стороны, а именно из нашего анализа структуры реальности. Постепенно стало осознаваться то положение, что природа ни в каком смысле не подогнана под математику. Можно было бы допустить, что в системе математических конструкций есть некоторая подсистема, направленная на физический мир, и таким образом мы могли бы оставить в силе пифагорейское допущение, что законы природы в конечном итоге должны найти адекватное выражение на языке математики. Но это положение невозможно обосновать. Более того, можно привести веские аргументы за то положение, что существуют природные связи, в принципе не допускающие математического описания.

Это положение в какой-то мере подтверждается уже реальной историей математизации. Математика показала свою согласованность с механикой и с другими физическими науками, но остановилась перед законами биологии, социологии и других системных и гуманитарных наук. Скажут, что биология и социология в настоящее время математизируются, и можно предполагать, что эта математизация будет приобретать все более значимый характер. Но здесь упускается из виду важное обстоятельство: в отличие от физики математизация в биологии и гуманитарных науках не затрагивает самих принципов теорий, она не охватывает сами теории

в целом, ограничиваясь применением математических моделей к некоторым частным объектам. Мы имеем дело в этих науках только с фрагментарной математизацией, которая радикально отличается от математизации в физике и показывает, что эти более сложные науки ставят некоторый принципиальный предел нашему продвижению к математическому описанию реальности.

Более глубокий анализ показывает, что неприложимость математики к описанию сложных процессов природы — не временное препятствие, а принципиальное затруднение. Истоки этого затруднения лежат в самой математике, а именно в логике синтеза ее производных понятий. Математические понятия аддитивны в том смысле, что входящие в них элементы не теряют своих первоначальных свойств из соединения данного понятия с другими понятиями в некотором более сложном определении. Натуральное число, присутствующее в определении понятия интеграла или канторов-ского множества, — это то же самое число, которое присутствует в элементарных арифметических действиях: оно не претерпело никаких содержательных изменений через включение его в понятие, находящееся за пределами арифметики. Нетрудно видеть, что именно на этом качестве математических понятий основано органическое соединение математики с механикой и другими физическими дисциплинами. В механике мы вводим принцип независимости движений, согласно которому сложное движение тела может рассматриваться как соединение простых движений без изменения свойств каждого из них. И в математике, и в физике мы видим выполнение одного и того же принципа, который можно назвать принципом аддитивности: сложные системы, составленные из простых элементов, не изменяют свойств этих элементов.

Главная особенность сложных систем реальности, биологических и социальных систем состоит в том, что они нарушают принцип аддитивности в соединении элементов. Именно это обстоятельство составляет основную онтологическую границу математизации. Движение материи в сложных сферах реальности не может быть схвачено в логике усложнения математических определений. Если бы некоторый гениальный ум дал строгое математическое описание всех объектов живой природы, то он не смог бы из этого описания сделать никаких выводов относительно будущего этой системы, ибо заведомо не существует математических операций, адекватных реальному ее изменению. Лапласовский демон бессилен в мире сложных систем. Логика синтеза математических понятий входит в неустранимое противоречие с реальным синтезом, протекающим в объекте исследования, обладающем большой сложностью.

Неоднократно высказывалась идея, что для математизации биологии должна быть создана особая математика, учитывающая

специфику сложных биологических систем. Такого рода гипотезы совершенно необоснованны. Принцип аддитивности в математике не может быть нарушен без разрушения оснований математического мышления вообще. Математика останется аддитивной в логике синтеза производных понятий, и в этом смысле она останется родственной только физическим наукам о природе.

Мы подходим, таким образом, к пониманию принципиальной ограниченности математического метода в описании природы. Математический метод будет лежать в основе описания неживой материи, т.е. в тех сферах реальности, в которых преобладает аддитивный синтез систем, но он не может быть преобладающим в сферах реальности, основанных на системности, телеономических и телеологических предпосылках. Мы можем с полной определенностью утверждать, что биология, социология, психология и весь комплекс дисциплин, связанный с системными и целевыми воззрениями на мир, навсегда останутся за пределами математического естествознания. Паскаль сомневался в том, что наука когда-либо сможет объяснить строение крыла бабочки. Здесь он, по-видимому, ошибался. Теория эволюции сделала важный шаг к анализу фактов совершенства живой природы. Не исключено, что все такого рода факты будут когда-то полностью объяснены на основе эволюционных и системных воззрений. Но теоретизация не есть математизация. Исходя из приведенных соображений, мы можем утверждать, что такого рода эволюционные и системные объяснения, даже если они возможны, никогда не будут математическими, проведенными на основе принципов, выраженных в полностью математизированной теории. Математическая аддитивность и системность не совместимы друг с другом. Есть все основания утверждать, что сложные явления природы, связанные с системностью и неаддитивностью, никогда не будут объясняться в теориях, подобных теориям математической физики.

Вопросы, на которые мы не можем ответить

Разрыв между математикой и содержательными науками, оформившийся в философии науки за последние три столетия, делает нетривиальной постановку вопроса об истоках и перспективах математизации знания. Современное понимание математики как иерархии формальных структур никак не обязывает математические теории быть приложимыми к чему-либо в мире опыта, современные представления о реальности не выдвигают на первый план аддитивные и заведомо математизируемые структуры. Пифагорейская философия, утверждающая органическое единство математики и реальности, уничтожена развитием самой математики, новая фи-

лософия математики не имеет никаких средств для восстановления этого единства.

Тем не менее мы имеем непреложный факт — усиливающийся в течении последних трех столетий процесс математизации знания, который в настоящее время расширился и вышел за пределы физики. Мы нуждаемся в новой философии математики, объясняющей этот процесс без опоры на мистические и метафизические предпосылки пифагореизма.

Основной вопрос, на который мы должны ответить, состоит в прояснении предпосылок математизации. Говорит ли факт математизации о некотором скрытом единстве математических конструкций и природы, о котором в мистической форме говорили пифагорейцы, или мы имеем дело с целевой установкой на реальность, которая лежит в самой математике? Или мы должны рассматривать наблюдаемое соединение «мира математического» и «мира экспериментального» как явление случайное, которое в некоторый момент может ослабеть или вообще исчезнуть?

Другой вопрос состоит в выяснении функции математизации или ее полезности для познания реальности. Мы должны понять, что дает математизация для системы развивающегося знания, почему ученый при прочих равных условиях предпочитает математическую форму законов и математическую форму вывода следствий из этих законов? Что получает научная теория, заменив свои содержательные доводы математическими формулами и их строгими преобразованиями? Можем ли мы признать верным известное утверждение Канта, что в каждой науке содержится столько истины, сколько в ней математики? Несомненно, прогресс математизации знания объясняется ее некоторой полезностью. Проблема состоит в том, чтобы охарактеризовать эту полезность в методологических понятиях. Пифагорейские объяснения, проистекающие из представления о математике как единственной истинной науке, не могут быть приняты.

Сложный вопрос, нуждающийся в прояснении, — это вопрос о степенях математизации. Классическая механика и другие теории теоретической физики полностью математизированы в том смысле, что и аксиомы этих теорий, все внутренние определения и все выводы из принципов представлены на языке математики. Другие теории — здесь можно указать на экономику, биологию — лишь частично затронуты математикой. Наконец, существуют теории, в которых математические рассуждения полностью отсутствуют. Важно выяснить, чем обусловлена эта разница в степени математизации. Прежде всего нужно объяснить существование полностью математизированных теорий. Мы не имеем пока никакого ответа на этот вопрос. Другой, относящийся к данной проблема-

тике вопрос, состоит в том, чтобы выявить препятствия, затрудняющие для большинства теорий достижение стадии полной математизации.

Сложные эмпирические теории, не достигшие стадии полной математизации и, по-видимому, не имеющие шансов ее достигнуть, тем не менее, как показывает опыт, содержат в себе фрагменты, поддающиеся математическому моделированию. Эти теории, таким образом, допускают частичную (фрагментарную) математизацию, или математизацию конкретного уровня. Гносеологическая проблема состоит в обосновании этой ситуации. Мы должны объяснить, почему теории, не математизируемые в своих принципах, оказываются математизируемыми в своих частных фрагментах и каковы перспективы такого рода математизации.

Один из самых трудных вопросов, относящихся к проблеме математизации, — это вопрос о том, почему математические теории, не связанные в своем происхождении с какими либо эмпирическими условиями, т.е. теории внутриматематические, как правило, находят впоследствии применение и становятся частью прикладной математики. Это повторяющееся явление в истории науки, которое можно назвать математическим предвосхищением или математическим опережением, было постоянным предметом методологического обсуждения на протяжении всего последнего столетия, но надо признать, что убедительного объяснения его мы пока не имеем.

В современной физике показывает все большую эффективность метод математической гипотезы, состоящий в том, что предварительно сформулированные математические уравнения становятся исходной базой для формирования самого содержания теории. Математическая теория оказывается здесь структурой, определяющей структуру новой физической теории. Математическая гипотеза и математическое предвосхищение свидетельствуют о некоторой скрытой гармонии между математическими и физическими структурами, которая не имеет убедительного объяснения в современной философии математики.

Важным является также вопрос о перспективах математизации и понимании этих перспектив. Пифагорейская философия математики предельно оптимистична в том смысле, что она не предусматривает границ использования математики или наличия сфер реальности, к которым математика оказалась бы неприложимой. Выше мы уже поставили под сомнение этот оптимизм, указав на сферу системных, неаддитивных и телеономических процессов. Проблема состоит в более глубоком теоретическом обосновании границ математизации.

Первичным и главным вопросом в объяснении математизации знания является вопрос об истоках и предпосылках этого процесса. Мы должны обосновать необходимость и расширяющийся характер математизации как определенной тенденции в развитии научного знания. Ни пифагореизм, ни эмпиризм, ни априоризм и никакая другая из существующих философий математики ни в какой мере не проясняют этого факта. Общие утверждения типа того, что книга природы написана языком математики или что в каждой науке содержится столько истины, сколько в ней математики, должны быть отброшены как поверхностные и лишь затемняющие суть дела.

Математическое предвосхищение

Мы начнем обсуждение этих проблем с прояснения феномена математического предвосхищения, анализ которого, как представляется, высвечивает центральную идею, важную для понимания процесса математизации в целом.

Математика обладает определенной свободой в построении своих внутренних объектов. На базе имеющихся объектов и операций из чисто формальных соображений могут быть введены другие объекты и операции, не связанные с интуитивной основой исходных объектов. Аналитическое выражение отношений трехмерного евклидового пространства уже приводит к идее многомерного пространства, законы которого понятны лишь формально, по аналогии с трехмерным случаем. Внутренние объекты математики вводятся с целью унификации математического знания и как средство решения задач, не разрешимых на первичном уровне объектов. Алгоритмы для вычисления корней третьей и четвертой степени не могли быть сформулированы без принятия мнимых чисел, операции с которыми вводятся лишь из соображения их непротиворечивости.

Способ введения внутренних объектов математики не предполагает какой-либо их связи с реальностью. Практика, однако, показывает, что эти объекты, как правило, находят эмпирическую интерпретацию и переходят в сферу образов, имеющих непосредственное прикладное значение. Математика, таким образом, в своем внутреннем развитии как бы предвосхищает потребности математического естествознания. На эту особенность взаимодействия математики и физики указывал еще Ф. Клейн в работе, посвященной применению проективных метрик в теории относительности [Ф. Клейн, 1914]. А. Эйнштейн в статье о Кеплере высказывал восхищение загадочной гармонией природы и мысли, благодаря которой геометрические фигуры, придуманные древними, а именно эллипс и гипербола нашли в Новое время реализацию в орбитах

небесных тел [А. Эйнштейн, 1965, с. 109]. Давид Гильберт видел в согласованности развития математики и физики проявление предустановленной гармонии Лейбница [Д. Гильберт, 1998, с. 460]. Касаясь связи между математикой и физикой, Н. Бурбаки в своей программной статье писал: «Основная проблема состоит во взаимоотношении мира экспериментального и мира математического. То, что между экспериментальными явлениями и математическими структурами существует тесная связь, — как кажется, было совершенно неожиданным образом подтверждено недавними открытиями современной физики, но нам совершенно неизвестны глубокие причины этого (если только этим словам можно приписать какой-либо смысл), и, быть может, мы их никогда и не узнаем» [Н. Бурбаки, 1963, с. 258]. Е. Вигнер [Е. Вигнер, 1968], рассматривая эту проблему, выделил в ней два основных вопроса: почему внутренние образы математики находят эмпирическую интерпретацию и почему использование этих образов приводит к формулировке законов природы, обладающих поразительной точностью?

Возможны различные подходы к объяснению этой особенности развития математики. Можно предположить, что мозг математика работает в некотором ритме, заданном самой природой, и что он в принципе не может создать себе никакой непротиворечивой схемы, которая не нашла бы применения в реальности. Такого рода натурфилософское объяснение математического предвосхищения было предложено французским философом А. Ламушем в его обширной «Теории гармонии» [A. Lamouch, 1951—1961, vol. I—IV; более детальное изложение концепции Ламуша см.: Е.А.Мамчур, 1967, с. 73—76]. А. Григорян видит истоки этого явления в более свободной динамике математического мышления, которое обгоняет физику в создании общих структур, необходимых для будущего применения. Предвосхищение запросов физики со стороны математики становится, с этой точки зрения, в высшей степени вероятным [А. Григорян, 1985, с. 121—122]. В.П. Визгин считает, что предвосхищающее развитие математических структур обеспечено в действительности условиями генезиса внутренней математики. По его мнению, становление каждой как угодно абстрактной математической концепции скрытым образом опосредовано некоторыми физическими соображениями и последующее использование этой концепции в физике представляет собой не что иное, как «возвращение долга» физике со стороны математики. Мистические стороны эффективности абстрактной математики, по мнению Визгина, немедленно исчезают при историческом анализе каждого конкретного случая, выявляющего физические интуиции, лежащие в основе становления абстрактного математического образа [В.П. Визгин, 1975, с. 35—37]. М. Штейнер считает, что про-

блема опережающего развития математики (он называет ее проблемой Вигнера) не может быть объяснена из некоторого единого основания. Он пишет: «Вигнер приводит убедительные примеры успеха, которые требуют объяснения, но он не доказывает, что эти примеры складываются в один феномен, требующий объяснения. Каждый успех — это история сама по себе, которая может иметь или не иметь объяснение» [M. Steiner, 1998, p. 631]. В другом месте он замечает: «Проблема Вигнера, не одна проблема: всякий непостижимый успех в использовании математики для уяснения физических феноменов есть отдельная проблема. Для каждого применения математической теории она решается через выявление условий, при которых эта теория используется» [ibid., p. 646].

Хотя все эти объяснения феномена математического предвосхищения выглядят правдоподобными, нетрудно видеть, что ни одно из них не может претендовать на подлинное объяснение. Натурфилософское обоснование, объясняющее наложение математических и физических структур некоторым универсальным ритмом природы, мистично и слишком оптимистично. В продуктах человеческого мышления ничуть не меньше ложных идей, чем истинных, и у нас нет никаких оснований предполагать, что человеческий мозг в силу своей генетической связи с миром может «предчувствовать» истинные структуры реальности.

Объяснение, предложенное Григоряном, подходит ближе к истине, но оно также недостаточно, так как не указывает всех факторов, определяющих тенденцию. То соображение, что математик, имеющий дело с чистыми формами, обгоняет физика в построении производных структур, является безусловно верным, но логическая возможность не есть реальная необходимость. Можно предположить сколь угодно длинный этап развития физики, в течение которого физик не сможет найти у математика ничего подходящего для себя и должен будет создавать необходимый ему математический аппарат исключительно собственными силами. Если математическое предвосхищение утверждается в качестве необходимой тенденции, то должны быть приведены дополнительные соображения, исключающие такого рода ситуацию. Метод историко-на-учного анализа, предложенный Визгиным, никак не приближает нас к решению проблемы. Для подавляющего числа абстрактных математических концепций он вообще не приложим, так как их становление определено внутренними задачами математики. И даже в тех случаях, где физические интуиции играли роль, их раскрытие в действительности мало что объясняет. Можно предположить, что механические перемещения и их композиции повлияли на формирование понятия группы, но как нам может помочь знание об этих

первичных интуициях для объяснения применения понятия группы в квантовой механике?

Позиция Штейнера выглядит уязвимой в том отношении, что она игнорирует основной вопрос, требующий объяснения. Исследуя условия применения неевклидовых геометрий к физике, мы должны потребовать, чтобы в физической теории имели место количественные отношения, требующие использования неевклидовых метрик. Если мы находим такие отношения, то, конечно, объясняем, почему геометрия Римана оказывается применимой к общей теории относительности, но такое объяснение не дает нам ответа на загадку, которая лежит в основе проблемы: почему математические структуры (в данном случае, неевклидова геометрия) появляются раньше запроса на них со стороны физики?

Адекватное обоснование эффективности абстрактной математики требует системного анализа, а именно рассмотрения математики и физики как двух саморазвивающихся систем, исторически приспосабливающихся друг к другу. Уже рассмотрение простых примеров математического предвосхищения показывает системную природу этого явления. Е. Вигнер в указанной выше статье приводит разговор двух приятелей: один из них, будучи статистиком, использует число п в расчетах роста народонаселения, другой задает ему «наивный» вопрос: какое отношение имеет численность народонаселения к длине окружности? Действительно, это совершенно различные области, и математик древности, вычисляя отношение длины окружности к ее диаметру, не мог подозревать такого широкого применения константы п, которое имеет место в современной науке. Количество таких «наивных» вопросов можно увеличить до бесконечности. Почему алгебра Буля, созданная для систематизации форм логического мышления, нашла приложение в электротехнике, почему аффинная геометрия оказалась интерпретированной как пространство цветов и стала математической основой цветоведения, почему одни и те же дифференциальные уравнения могут быть использованы как для исследования колебаний струны, так и для описания взаимодействия видов в биоценозах?

Ясно, что полифункциональность некоторого образа или объекта, созданного первоначально для некоторых определенных конкретных целей, не является явлением, специфическим для математики. Можно спросить также, почему наш обычный язык оказывается применимым для описания доселе не наблюдаемых явлений или почему техническую деталь, созданную для какого-либо одного типа механизмов, оказывается возможным использовать при конструировании совершенно другого типа механизмов. Аналогия с числом п здесь очевидна.

Говоря об универсальности математических образов, об их полифункциональности, мы затрагиваем некоторую общесистемную закономерность: во все этих случаях элемент системы, созданный для определенной цели, оказывается затем более универсальным, пригодным для других целей, предвосхищающим другие требования. Это значит, что рассматриваемое явление не специфически математическое и должно быть объяснено из особенностей функционирования искусственных систем вообще, которые создаются обществом. Сложность проблемы математического предвосхищения состоит в том, что она требует выхода за традиционные рамки философии математики. Математическое предвосхищение может быть объяснено только системно, исходя из статуса элементов в структуре математической теории как определенного рода искусственной приспособляющейся системы. Мы должны разделить прежде всего системы первичные и вторичные или приспособляющиеся. Природа, безусловно, первичная система, животный мир — система приспособляющаяся, физика — первичная система, математика — приспособляющаяся. Мы должны также разделить необходимые изменения системы, продиктованные ее запросами со стороны первичной системы и свободные изменения, которые создаются деятельностью субъекта в определенном поле возможностей. Из биологии известно, что наряду с необходимыми движениями животного, продиктованными актуальными требованиями среды, существуют движения произвольные, которые определены только «моделью потребного будущего». Свободное развитие при-способляюшейся системы в действительности не является свободным, оно направлено на достижение более удаленных целей системы [Н.А. Бернштейн, 1961, с. 86].

Если применить это положение к развитию математических образов, мы должны исходить из того, что математика по своей сущности — наука вторичная по отношению к физике. Мы должны принять, что во всех своих сферах она развивается в интенции на наиболее полное описание физической реальности. В актах математической деятельности мы можем разделить изменения необходимые, продиктованные актуальной практикой, и изменения относительно свободные, развивающиеся в интенции на будущее, в плане модели потребного будущего. Мы можем предположить наличие в системе математического творчества инстинкта будущего, который никогда не выражается в определенных понятиях и, тем не менее, направляет актуальные интересы математиков. Пуанкаре говорил, что в математике в любое время можно указать тысячи интересных задач, но математики всего мира сосредоточивают свое внимание на нескольких десятках из них. Эта ситуация может быть объяснена только из того допущения, что сознание матема-

тиков находится под влиянием некоторого высшего социального инстинкта и содержит в себе неявные критерии отбора более перспективных проблем. Если математика является вторичной понятийной системой по отношению к физике, то мы вправе допустить также, что эти критерии направлены на отбор понятий, перспективных с точки зрения их приложения к реальности. Но это значит, что явление математического предвосхищения проистекает прежде всего из скрытых критериев отбора, заложенных в самом процессе формирования внутренних образов математики.

Можно согласиться с той идеей, что явление математического предвосхищения обусловливается прежде всего тем обстоятельством, что чистая математика обгоняет физику в создании новых структур, вероятных для приложения. Но в действительности мы можем понять это явление как необходимую тенденцию только в том случае, если поймем тенденцию, идущую от самой математики, т.е. если учтем то обстоятельство, что сам процесс порождения новых структур в математике обусловлен критериями отбора, направленными на увеличение их содержательной значимости для будущей физики. Мы можем, таким образом, утверждать, что математическое предвосхищение обусловлено двумя факторами: логической связью математических и физических структур и отношением математики к физике как системы приспособляющейся к системе первичной. Это значит, что при объяснении этого феномена мы должны учитывать не только логическую связь между математическими и физическими объектами, но и внутреннюю предвосхищающуюся интенцию, реализующуюся в самой математике в процессе отбора перспективных объектов исследования. Мы должны, таким образом, войти здесь в сферу системного и телеологического объяснения.

Математическая гипотеза

Другим характерным феноменом современной математизации знания является математическая гипотеза. В.И. Кузнецов определяет математическую гипотезу как «предположительное изменение формы, вида, характера уравнения, выражающего закон изученной области явлений, с целью распространения его на новую, еще не изученную область в качестве присущего ей закона» [В.И. Кузнецов, 1975, с. 85—100]. В качестве простого примера использования математической гипотезы можно указать на подход Дирака к открытию позитрона. Теория движения электрона, предложенная Дираком в 1927 г., давала для энергии электрона выражение:

где с — скорость света, m — масса частицы, р — импульс. Отрицательная часть выражения первоначально не была принята в расчет вследствие казавшегося бесспорным положения, что энергия может быть только положительной величиной. Однако формальное выражение для энергии позволило Дираку предположить, что могут существовать отрицательные значения энергии, относящиеся к некоторой частице, энергетически противоположной электрону. Дирак дал математический расчет динамических характеристик этой предполагаемой античастицы, и в 1932 г. она была экспериментально обнаружена, получив название позитрона.

Эта история демонстрирует тот факт, что анализ математической формы теории сам по себе имеет эвристическую ценность и может существенно расширить видение скрывающейся за ней физической реальности. Именно из анализа метода атематической гипотезы А.Эйнштейн пришел к убеждению, что творческое начало в современной физике принадлежит математике.

Математическая гипотеза сходна с математическим предвосхищением, ибо в обоих случаях чисто формальные аспекты теории получают неожиданную реализацию на основе некоторого содержания. Разница состоит в том, что, в отличие от математического предвосхищения, которое происходит независимо от нас и лишь фиксируется нами как повторяющийся исторический факт, математическая гипотеза представляет собой осознанный методологический прием, имеющий своей целью достичь содержательного обогащения теории за счет манипуляции с существующими уравнениями. С гносеологической точки зрения, нам важно уяснить причину того, почему такой прием достаточно часто приводит к успеху.

Мы можем попытаться подойти к обоснованию математической гипотезы, опираясь на ее сходство с математическим предвосхищением. Как и в случае математического предвосхищения, в процессе применения математической гипотезы неформальная математическая структура получает содержательную интерпретацию. Мы не будем здесь входить в детальное обсуждение этой проблемы. Связь математической гипотезы с логикой математического предвосхищения позволяет допустить, что и то и другое явление может быть объяснено в системной философии математики, исходящей из понимания математического знания как развивающейся концептуальной системы, нацеленной на опережение запросов физики как первичной системы.

Феномены математического предвосхищения и математической гипотезы принципиально важны для нас в том отношении, что они указывают на глубинную телеологию, лежащую в основе процесса математизации. Анализ математического предвосхищения

позволяет нам уяснить то обстоятельство, что объяснение математизации невозможно без выхода в сферу системного и телеологического мышления. Важность математической гипотезы состоит в том, что она высвечивает теоретическую функцию математизации, а именно то обстоятельство, что полная математизация теории открывает перед ней возможность совершенствования своих принципов, опираясь на формальные свойства связанных с нею математических структур.

Истоки и цели математизации

Человеческое знание о мире стремится приобрести характер теоретических единств. Стремление к объяснениям на основе принципов проявилось сначала в математике и философии, а в Новое время сделалось формой развития всего научного знания. Мы поймем истоки математизации, если рассмотрим ее как явление, производное от теоретизации.

Стремление знания к теоретичности более фундаментально, чем стремление его к математизации. Любое знание теоретично, даже если это знание, заведомо не поддающееся математизации. Вопрос о том, зачем нужны теории, проще, чем вопрос о том, зачем нужны математизированные теории. Дело в том, что теория — универсальная форма систематизации знания, единственный в своем роде механизм для единообразного подхода к объяснению фактов. Теоретические принципы полезны нам в том отношении, что, будучи выявлены в своей необходимости, они обосновывают необходимость всех частных связей, подчиненных им в дедуктивном отношении.

Нетрудно видеть, что именно стремление к теоретической организации знания порождает и стремление к его математизации. Теоретическое знание нацелено на максимально полную дедукцию фактов из принципов, и оно естественно прибегает к логическим схемам умозаключения. Общая логика, однако, совершенно недостаточна для анализа системы содержательных посылок, ибо она опирается только на их логическую структуру и не включает в себя никакой информации об отношениях, специфических для данной теории. Очевидный прогресс, который привносит математизация в теорию, состоит в том, что к чисто логическим схемам вывода она прибавляет схемы собственно теоретические, связанные с математическими определениями. Математизированная теория важна прежде всего в том смысле, что она позволяет в большей мере реализовать основную цель всякой теории, а именно вывести из ее принципов большее количество следствий, чем это возможно на вербальном уровне, при использовании только общих принципов

логики. Математизация в этом смысле может рассматриваться как продолжение и максимальное углубление теоретизации.

Первая и основная цель применения математики к содержательной теории состоит в выявлении скрытой информации, содержащейся в ее принципах. Любая содержательная теория содержит в себе истинные следствия, не выявляемые на уровне вербального рассуждения, но выявляемые через использование специфических математических методов. Формулируя законы движения планет, Кеплер не подозревал, что они уже неявно содержат в себе закон всемирного тяготения и рассуждения на уровне общей логики, как мы сейчас понимаем, были недостаточны для того, чтобы выявить эту информацию. Придав математическую форму законам Кеплера, Ньютон получил необходимую связь между этими законами и законом всемирного тяготения. Иногда высказывается идея, что математизация не добавляет информации в содержательную теорию, а лишь унифицирует ее и упрощает ее структуру [см., например: M. Colyvan, 2009, р. 651]. Это положение надо признать верным, если имеется в виду полная информация, которая заключена в посылках теории, т.е то, что Поппер определяет как логическое содержание теории. Такая информация, конечно, не может быть увеличена посредством математизации. Но в практической плоскости мы сравниваем информацию, которую дает математизированная теория, с информацией, которая реально может быть получена в той же теории без использования математики. В этом случае мы должны будем признать рост информативности теории как следствие ее математизации, и в этом увеличении значимой информации состоит основная ценность математизации знания.

Но существует и другая цель математизации. Научная теория стремится к обретению математической формы не только для полного раскрытия заложенной в ней системы истин, но и для усиления своего эвристического потенциала. Анализ математической гипотезы показывает, что выявление формальной структуры теории включает новую систему эвристических принципов, способствующих ее расширению на другие сферы и формальному преобразованию ее уравнений. Здесь следует учесть и то обстоятельство, что математизация теории вводит ее в круг строгих теорий и неизбежно приводит к обновлению ее методов. Первичная математизация теории теплоты в работах Фурье привела к глубокому преобразованию всей этой теории под влиянием математических методов уже развитых для механики.

Истоки математизации заключаются не в том мистическом факте, что природа написана языком математики. В действительности эти истоки имеют не онтологическую, а гносеологическую природу: математизация в действительности есть только продолжение и

усиление теоретизации и ее истоки находятся в естественном стремлении всякой научной теории к максимальному выявлению содержащейся в ней информации. Понимание математизации как дополнения к теоретизации важно и в том отношении, что оно предохраняет нас от часто встречающегося преувеличения роли математизации в раскрытии истины. Кант, конечно, не прав, утверждая, что в каждой теории столько истины, сколько в ней математики. Биология, психология, медицина и многие другие теории уже давно зарекомендовали себя теориями безусловно продуктивными, хотя степень использования математики в этих теориях остается минимальной. Кант не учел того обстоятельства, что теоретизация может существовать и быть эффективной до всякой математизации и даже в условиях принципиальной ее невозможности. Он прав лишь в том, что степень истинности теории неизбежно повышается, если в ней появляются условия для использования математических методов.

Полная и фрагментарная математизация

Основная проблема математизации состоит в том, чтобы понять, почему разные теории в столь различной степени используют математику. Практика математизации научного знания выделила два ее типа, существенно отличающиеся друг от друга. Это классическая или полная математизация и современная или фрагментарная математизация. Примером полностью математизированной теории может служить классическая механика. Главной особенностью такого рода математизации является то, что в процессе ее реализации получают математическое выражение сами исходные принципы теории. Другая ее особенность состоит в том, что все содержательно значимые объекты этой теории получают определение в терминах математической теории. Третья важная особенность полной математизированной теории состоит в том, что она опирается на адекватные величины, представленные общезначимыми эталонами и общепринятыми процедурами их использования. Полностью математизированная теория обладает также такими свойствами, как однозначность выводов и точность предсказания. Мы имеем здесь дело с типом математизации, при котором содержательная теория и в своих аксиомах, и в своих производных положениях полностью погружена в систему математических определений и утверждений. Полная математизация реализуется для всех физических теорий. Хотя развертывание физической теории в отличие от теории математической не сводится к формальному выводу частных утверждений из аксиом (это развертывание опирается на содержательные модели и прибегает к использованию гипотез аё

hoc), тем не менее общая структура этого развертывания является математической: мы стремимся все частные утверждения сделать выводимыми из принципов.

Математизация за пределами физики, которая начала набирать силу в течение последнего столетия, имеет другой характер. Она не затрагивает принципов теорий и проявляется лишь в построении моделей для некоторых частных ситуаций, рассматриваемых в теории. В. Вольтера, создавая свою известную математическую модель борьбы за существование (1910), не ставил задачу сформулировать на математическом языке принципы эволюционной теории и строго ввести ее производные понятия. Он ограничил свое рассмотрение ситуацией сосуществования хищника и жертвы в замкнутом биоценозе и попытался написать дифференциальные уравнения, отражающие численный рост того и другого вида, исходя из того допущения, что в свободном состоянии оба этих вида размножаются по экспоненциальному закону [см.: В.Н. Тутубалин и др., 1999]. Этот ранний пример математизации в биологии характеризует стиль всей современной (неклассической) математизации. Неклассическая математизация не дает полностью математизированных теорий, она не указывает для содержательной теории родственной ей математической теории, подобно тому, как механика указывала на дифференциальные уравнения как на свою основу. Математизация знания за пределами физики по своей сути есть фрагментарная математизация, математическое моделирование частных объектов и ситуаций, выявляемых в теории.

Другая особенность математизации за пределами физики состоит в том, что она опирается, как правило, на неадекватные шкалы измерения. Мы вынуждены использовать здесь величины, которые не сводятся к эталонным величинам физики, и принимать приближенные процедуры измерения, которые могут быть оправданы только практической полезностью в определенных границах. Вследствие этих причин математический аппарат, используемый в моделях, сам по себе не гарантирует точности предсказания. Точность достигается здесь не строгостью выводов, а подгонкой параметров, о значениях которых у нас нет точной информации. В модели «хищник-жертва» Вольтерра мы предполагаем, что должно быть съедено некоторое определенное число зайцев для того, чтобы вырос один волк. У нас нет точных данных на этот счет, но соответствующие коэффициенты в модели Вольтерра могут быть для каждой местности подогнаны таким образом, чтобы соответствовать фактической численности поколения зайцев и волков, выявляемых косвенными методами (по количеству сданной пушнины и т.п.).

С методологической точки зрения, здесь возникают три вопроса.

1. Почему в ряде случаев оказывается возможной полная математизация содержательной теории? Почему физические теории являются полностью математизированными?

2. Почему за пределами физики не удается достигнуть полной математизации? Может ли такая математизация появиться со временем или она не может здесь появиться вообще?

3. Почему в теориях, принципы которых не допускают математического выражения, могут быть введены представления о процессах, допускающих математическое описание?

Ответ на первый вопрос вызывает большие трудности, ибо он связан с некоторой загадкой, которая пока никем не разъяснена. Рассматривая историю механики, мы видим некое удивительное совпадение математической идеи о функции и производной с физическими понятиями пути и скорости. Понятия функции и производной выросли внутри математики при осмыслении задач о построении касательной, нахождении экстремумов и вычислении площадей криволинейных фигур. Ньютон осознал, что эти понятия не только открывают путь к решению указанных математических задач, но и связывают между собой основные понятия, характеризующие движение. Именно вследствие этого необъяснимого совпадения внутренние связи механики получили предельно адекватное выражение в понятиях дифференциального исчисления.

Можно задать вопрос: могло бы случиться так, чтобы анализ движения потребовал совсем других понятий и дифференциальное исчисление, важное для математики, оказалось бы не востребованным для механики и для физики в целом? Приходится признать, что у нас нет возражений против такого возможного хода событий. Но это значит, что идеальная, или полная, математизация механики — это результат некоторого чудесного совпадения, которое мы вряд ли можем объяснить. Однако если полная математизация механики имеет место, то полная математизация других физических теорий является неизбежной и вполне себе объяснимой. Все физические теории вторичны по отношению к механике в том смысле, что они являются в своей форме только расширением механики, и ясно, что они могут быть построены не иначе, как в логике полной математизации.

Можем ли мы ожидать, что за пределами физики появятся полностью математизированные теории. Приведенные выше соображения приводят нас к отрицательному ответу на этот вопрос. Неполнота внефизической математизации объясняется не ее незрелостью, а спецификой ее объектов. Биология, социология, экономика, психология, история имеют дело со сложными неаддитивными связями, и принципы этих наук не могут быть адекватно выражены

в математических понятиях. Надежды на некоторую новую математику, более приспособленную к системным наукам, как уже сказано, совершенно не обоснованы. В структуре своих определений математика аддитивна, и по этой причине она, будучи идеально приспособленной для описания неживой природы, всегда останется чуждой системности, лежащей в основе биологии и гуманитарных наук.

Тот факт, что математики, моделирующие частные процессы в биологии социологии и психологии, не поднимаются до математического выражения общих принципов этих наук вполне себе объясним. В общих принципах этих наук в наиболее чистом виде выражается именно системная и телеологическая природа исходных представлений, не совместимая с понятиями математики. Наш общий вывод состоит в том, что полная математизация может существовать только в физике. Математизация всех остальных наук в силу системности их предмета осуждена на то, чтобы оставаться фрагментарной, моделирующей только некоторые частные ситуации, определяемые в этих науках.

В этом контексте приобретает смысл третий из поставленных выше вопросов: почему науки, принципы которых не поддаются математическому выражению, тем не менее могут выделять внутри себя фрагменты, допускающие математическое моделирование? Более естественной, как кажется, выглядела бы ситуация, когда теория, не допускающая математического выражения своих принципов, не допускала бы и математизации, относящейся к ее частным объектам. В действительности практика демонстрирует нам другое положение дел: частные связи, выявляемые в теории, могут моделироваться или математизироваться вне зависимости от возможности математического выражения ее общих принципов.

Здесь мы имеем дело с существованием определенного уровня всякой теории, который можно назвать элементарным или профи-зическим. Общие принципы биологической теории не могут быть выражены на математическом языке по той причине, что мы не можем здесь избежать телеологии или системности, которая является необходимым компонентом определения биологического объекта. Но конкретные аспекты этих объектов, выделяемые биологической теорией, могут не содержать этих специфически системных характеристик, приближаясь в этом смысле к объектам элементарного уровня сложности. Опускаясь до молекулярного уровня процессов жизни, биолог начинает рассуждать как химик и физик, и именно вследствие этого он открывает возможность математического моделирования. Работа А.Л. Чижевского о структуре движения крови в сосудах является математической в своей основе, хотя относится к анализу процессов в живом организме [А.Л. Чи-

жевский, 1959]. Ясно, что возможность математического описания обусловлена здесь тем, что процесс движения крови в сосудах может быть в достаточной степени изолирован от законов жизнедеятельности организма, не сводимых к понятиям гидродинамики. Если мы рассмотрим упомянутую выше модель «хищник-жертва» Вольтерра, то также увидим, что она становится возможной только вследствие того, что хищников и жертв можно отождествить с математическими множествами, увеличивающими число своих элементов в соответствии с экспоненциальным законом. Математическая модель для явлений вне физики становится возможной исключительно вследствие того, что выбирается аспект рассмотрения, изолированный от собственно системных и неаддитивных связей.

Наше общее заключение, таким образом, будет состоять в том, что любая как угодно сложная теория имеет элементарный (про-физический) уровень, на котором ее определения приближаются по своей простоте к определениям физики. В этом смысле математизация универсальна и охватывает все области знания и любая теория допускает определенную степень математизации. Наблюдаемый в настоящее время процесс выхода математического метода за пределы физики вполне объясним, и он будет продолжаться. Но ясно, что наличие такого рода математизируемого уровня в рамках онтологически сложной теории никак не означает, что эта теория на каком-то этапе своего развития может приобрести статус полностью математизируемой. Математизация знания онтологически ограничена, и онтологически сложные теории всегда будут довольствоваться лишь фрагментарной математизацией.

Необходимость новой философии математики

В течение многих столетий использование математики в науке освящалось пифагорейской философией математики. В этой связи можно привести четыре известных тезиса, принадлежащих ученым разных эпох: «Все есть число», «Книга природы написана на языке математики» и «Во всякой науке содержится столько истины, сколько в ней математики», «Весь предшествующий опыт убеждает нас в том, что природа представляет собой реализацию простейших математически мыслимых элементов». Первый тезис приписывают Пифагору, второй принадлежит Галилею, третий — Канту, четвертый — Эйнштейну. Можно добавить сюда высказывания многих других ученых последних двух столетий, которые являются пифагорейскими по своему духу.

В неявной форме пифагореизм присутствует и в современной науке. Ясно, что процесс математизации сам по себе поощряет и возрождает дух пифагореизма. Современное теоретическое есте-

ствознание постоянно демонстрирует тот факт, что классификация эмпирических феноменов достигается не на основе опыта, а через классификацию математических структур, что вполне согласуется с духом пифагореизма. Современные ученые, как и древние пифагорейцы, неколебимо верят, что только знание, достигшее математического оформления, является подлинно продвинутым и истинным. Интуитивно ясные, связанные с опытом представления о причинности, пространстве и времени вытесняются из современной науки и заменяются аналогами, далекими от здравого смысла и имеющими только математическое определение. Эта тенденция также поддерживает пифагорейское убеждение в том, что целью науки является раскрытие оснований мироздания, выразимых в понятиях математики.

Но эти факты все-таки не дают нам оснований считать, что философия пифагореизма истинна. Полушутливое допущение Штей-нера, которое он высказывает в конце указанной выше статьи, что может быть пифагореизм все-таки следует признать наиболее адекватной основой для понимания современной математизации, вряд ли может быть принято как соответствующее реальности. Если мы более внимательно посмотрим на процесс математизации, то увидим, что он одновременно и разрушает пифагорейские установки в самой их основе. Изложенные выше соображения уже дают возможность увидеть основные дефекты философии пифагореизма. Это относится прежде всего к пониманию истоков математизации. Ясно, что математизация представляет собой следствие теоретизации и в этом смысле имеет гносеологические предпосылки, не имеющие отношения к онтологии пифагореизма и к онтологии вообще. Ясно также, что мы уходим от ложного понимания прогресса математизации как захватывающего все новые области знания и превращающего все научные теории, независимо от их объекта, в дедуктивные системы, подобные механике. Анализ показывает, что математизация предметно ограничена и что она никогда не проникнет в основания теорий, имеющих своим объектом системные и телеологические закономерности. Мы выяснили, что математизация сложных теорий может осуществляться только как математизация их профизического уровня.

По структуре своих понятий математика органически связана только с физикой. Ее выход за пределы физики является искусственным и опирается исключительно на выделение профизиче-ских элементов в содержании сложных теорий. Мы можем математизировать в биологии только то, в чем мы можем усмотреть физический маятник или другую структуру, близкую к физическим представлениям. Специфически биологическое содержание, связанное с телеологией, системностью и неаддитивностью, навсегда

остается в стороне от математической формализации. Живая природа не построена по образцам математики, и книга природы, если брать ее в целом, безусловно, не написана на языке математики. Мы должны признать, что сложные науки непроницаемы для математики. Математизация как процесс бесконечна, но она заведомо не универсальна и не может претендовать на приведение к математической форме всякого знания о реальном мире. Исходя из логики математизации, мы можем утверждать, что подавляющий объем человеческого знания всегда останется на уровне содержательных определений и принципов.

Существуют науки, в принципе не подверженные математизации. К числу таких наук должна быть отнесена прежде всего философия. Математизация — это явление зрелой теоретичности, ее специфическое усиление. Но философия как наука выталкивает из себя фрагменты зрелой теоретичности, превращая их в самостоятельные науки. Философское мышление в принципе допарадиг-мально и заведомо нематематично. Философ может осуществлять логические дедукции, но он не может осуществлять математические дедукции. Математика может присутствовать в философии только в качестве образов, позволяющих иллюстрировать философские положения. Используя термин В.В. Налимова, можно сказать, что в философии допустима только метафорическая математизация. Мечта Лейбница о разрешении философских споров посредством вычислений является неосуществимой.

Пифагорейский тезис «Все есть число», таким образом, ложен в своем субъекте. Какими бы более богатыми математическими формами мы не заменяли число, они не смогут претендовать на охват всей реальности в силу ее принципиальной сложности. Онтологический тезис Галилея, таким образом, должен быть отвергнут. Математизация знания обусловлена исключительно ростом теоретичности знания, но не какой-либо предзаданностью реальности для математического описания. Безусловно, неверен и кан-товский тезис, связывающий истинность математической теории с наличием в ней математической основы. Ошибка Канта состоит в отсутствии ясного осознания того обстоятельства, что математизация является только дополнением к теоретизации и что теорети-зация может существовать и быть эффективной в плане кумуляции истинности до математизации и даже при принципиальной невозможности математизации.

Мы должны отказаться, таким образом, и от онтологической предпосылки пифагореизма, приписывающей всякой реальности предзаданную математичность, и от его методологической установки на математизируемость всякого знания. Хотя прогресс математизации неограничен, мы не имеем оснований предполагать,

что он предметно универсален и распространяется на любые типы знания.

Анализ процесса математизации знания ставит под сомнение и все другие концепции математики. Ни эмпиризм, ни априоризм, ни формализм не имеют предпосылок для объяснения этого процесса. Дело в том, что все эти концепции сосредоточены на прояснении специфики математики как таковой, и определения предмета математики, из которых они исходят, свободны от допущений о взаимодействии математики с науками об опыте. Для объяснения этого взаимодействия мы нуждаемся в некоторой принципиально новой философии математики. Наш вывод состоит в том, что эта новая философия должна быть основана на понятии системности. Ясно, что это понятие должно быть взято здесь не в формальном смысле, а в смысле динамической, исторически развивающейся системы, осуществляющей перспективный отбор своих внутренних элементов. Математика должна быть понята как специфический организм, приспособляющийся к своей естественной среде — к системе содержательных понятий. Пифагорейская пред-заданность реальности для математического описания заменяется в этом случае целевой предзаданностью самой математики в логике ее внутреннего развития. Требование взаимодействия математики с реальностью включается в само ее определение как системы понятий, направленной на дедуктивное развертывание содержательного знания.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Аристотель. Соч.: В 4 т. М., 1976. Т. 1.

Бернштейн Н.А. Пути и задачи физиологии активности // Вопросы философии. !961. № 6.

Блехман И.И., Мышкис А.Д., Пановко Я.Г. Прикладная математика: предмет, логика, особенности подходов. URSS. 2007.

Бурбаки Н. Архитектура математики // Бурбаки Н. Очерки по истории математики. М., 1963.

Вигнер Е. Непостижимая эффективность математики в естественных науках // УФН. 1968. Т. 94. Вып. 3.

Визгин Вл.П. Проблемы взаимосвязи математики и физики: Историко-математические исследования. М., 1975. Вып. ХХ.

Гильберт Д. Избр. труды: В 2 т. М., 1998. Т. 1.

Григорян А.А. Гносеологические основания эффективности математики: Дисс. ... канд. филос. наук. М., 1985.

Клейн Ф. О геометрических основаниях лорентцовой группы // Новые идеи в математике. СПб., 1914. Вып. 5.

Кузнецов И.В. Избр. труды по методологии физики. М., 1975.

Мамчур Е.А. Об эвристической роли «принципа простоты» в физическом познании: Дисс. ... канд. филос. наук. М., 1967.

Математическое моделирование в экологии: историко-методологи-ческий анализ. М., 1999.

Молодший В.Н. Основы учения о числе в XVII, начале XIX вв. М., 1959.

Тутубалин В.Н., Барабашева Ю.М., Григорян А.А. и др. Структурный анализ движущейся крови. М., 1959.

Эйнштейн А. Физика и реальность. М., 1965.

Colyvan M. Mathematics and the world // Philosophy of mathematics / Ed. A. Irving. Amsterdam, 2009.

Lamouch A. La Theorie' harmonique. P., 1951—1961. Vol. I—IV

Steiner M. Mathematics — application and applicability // The Oxford handbook on the philosophy of mathematics. Oxford University Press. 2005.