Определение значений одного класса бесконечных вещественных последовательностей

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗНАЧЕНИЙ ОДНОГО КЛАССА БЕСКОНЕЧНЫХ ВЕЩЕСТВЕННЫХ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЕЙ Шмойлов В.И. Email: Shmoylov696@scientifictext.ru

Шмойлов Владимир Ильич - старший научный сотрудник, Научно-исследовательский институт многопроцессорных вычислительных систем Южный федеральный университет, г. Таганрог

Аннотация: сформулированы условия сходимости бесконечных ограниченных вещественных последовательностей. Показано, что вещественные бесконечные последовательности могут иметь как вещественные, так и комплексные значения. Используя частичные суммы тригонометрических рядов, при помощи R/'^-алгоритма были определены комплексные значения расходящихся в классическом смысле рядов, включающих синусы и косинусы кратных углов. Установлено также значение ряда комплексных экспонент.

Ключевые слова: расходящиеся тригонометрические ряды, сходимость вещественных последовательностей, R/^-алгоритм.

DEFINING THE VALUES OF A SINGLE CLASS OF INFINITE

REAL SEQUENCES Shmoylov V.I.

Shmoilov Vladimir Ilyich - Senior Researcher, RESEARCH INSTITUTE OF MULTIPROCESSOR COMPUTING SYSTEMS SOUTHERN FEDERAL UNIVERSITY, TAGANROG

Abstract: сonditions for convergence of infinite bounded real sequences are formulated. It is

shown that real infinite sequences can have both real and complex values.

Using partial sums of trigonometric series, the R/^-algorithm was used to determine the

complex values of divergent series in the classical sense, including the sine and cosine of

multiple angles. The value of complex exponents is also established.

Keywords: divergent trigonometric series, convergence of real sequences, R/^-algorithm.

УДК 517.524

1. Введение

На первой странице монографии «Расходящиеся ряды» [1] Г. Харди пишет: «Ряд Y,о ап = ао + ai + а2 + называют сходящимся к сумме S, если его «частичные суммы» стремятся к конечному пределу S, когда n ^ да; ряд не сходящийся называют

расходящимся».

И далее приводятся примеры расходящихся рядов. В частности, Г. Харди отмечает: «Ряды

1 + ew + ei2e + ei3e + -

1

- + COS0 + COS20 + •••

расходятся для всех вещественных 6, а ряд sin0 + sin 20 + sin 30 + •••

расходится, кроме значений 6, кратных л, когда он сходится к сумме 0».

Г. Харди касается истории вопроса: «Определения сходимости и расходимости относятся теперь к элементам анализа. Суть этих понятий была известна математикам и до Ньютона и Лейбница (фактически уже Архимеду), и все выдающиеся математики семнадцатого и восемнадцатого веков, как бы беззаботно ни обращались они с рядами, достаточно хорошо знали, сходятся ли употребляемые ими ряды. Но лишь с эпохи Коши определения сходимости и расходимости стали формулировать явно и в общем виде. Оперирование с расходящимися рядами стали систематическими с развитием анализа, так как обнаружилось, что расходящиеся ряды полезны и действия над ними часто приводят к важным результатом, справедливость которых может быть затем проверена независимым путем». Г. Харди рассматривает один из приёмов суммирования расходящихся рядов: «Как известно,

1 + х + х 2 + - • •=—, I х |<1

1-х 11 v '

Примем, что формула (4) верна, в некотором смысле, для всех х (за исключением, быть может, значения х = 1 ) и позволим оперировать с этой формулой в совершенно некритическом духе.

Полагая , где , получаем

1 + е'е + е'2е + • • .=^ = i + lctfli-

1-е1в 2 2 а 2 V '

i + co S0 + CO s2 0 + - • • = 0,

1 G

sin0 + sin2 0 + - •

Далее будет установлено, что формула (5) правильная, несмотря на то, что она получена в «совершенно некритическом духе». Формулы (6) и (7), определяющие значения расходящихся в классическом смысле тригономет-рических рядов, оказались неверными. Тригонометрические ряды (6) и (7) имеют комплексные значения, которые были установлены Л/р-алгоритмом.

1. Суммирование ограниченных немонотонных последовательностей В публикациях [2 - 6] показано, что вещественные последовательности могут быть сходящимися и не удовлетворять при этом критерию сходимости Коши. Такие сходящиеся последовательности имеют комплексные значения. Эти комплексные значения в общем случае устанавливается Л/р-алгоритмом [7], который можно рассматривать как обобщение r/р-алгоритма, предложенного для определения значений расходящихся непрерывных дробей [8 - 12].

Известна теорема Вейерштрасса [13]: «Всякая монотонная ограниченная последовательность имеет предел».

Используя Л/р-алгоритм, можно предложить такую формулировку сходимости одного класса бесконечных вещественных последовательностей:

Бесконечная ограниченная вещественная последовательность {ап}п _х сходится и имеет своим значением в общем случае комплексное число z = г0е"р 0, если существуют пределы:

Го = limn -ш ТШ^К!

п—ш П

где ап- значение n-го элемента вещественной последовательности { ап} , fcn - число элементов ап вещественной последовательности {ап}, имеющих отрицательные значения из совокупности, содержащей n элементов этой последовательности.

Следует подчеркнуть, что в отличие от теоремы Вейерштрасса, рассматривается ограниченная последовательность, которая может быть немонотонной.

Запишем критерий сходимости бесконечной ограниченной вещественной последовательности:

Для сходимости бесконечной ограниченной вещественной последовательности { аи} к комплексному пределу z = r0e' ^ 0 необходимо и достаточно, чтобы для вещественных последовательностей и выполнялся критерий сходимости Коши:

I/ е > 0 3п 6 N: \гп - гт\ < е, I/ е > 0 3п 6 N: |срп — срт\ < £. 2. О суммировании некоторых тригонометрических рядов Известны формулы сумм синусов и косинусов кратных углов [14]:

.71 + 1 . ПХ

sin—^—X sin-~-

s„ = s i nx + s in 2 x + —I- s innx =-^-,

sin 2

n + 1 . nx eos—=—X sin-=-

s„ = со s x + с o s 2 x + —+ со s nx =-x-

sin 2

Установим значение ряда

sinx + sin2 x + —I- sinnx + • • • ,

т.е. определим с использованием ЛЛр-алгоритма значение бесконечной вещественной последовательности {s„}, где s„ - частичные суммы ряда (12): S-L = sinx, s2 = s i nx + s i n 2 x, s3 = sinx + sin2 x + sin 3 x,

s„ = sinx + sin 2 x + —I- s innx.

Рассматривая s„ как «подходящие», установим значение ряда (12) R/q-алгоритмом, то есть формулами (8) и (9), определяющими комплексное число, являющееся значением ряда (12) при фиксированных аргументах х

В табл. 1 приведены результаты определения значения тригонометрического ряда (12), составленного из синусов кратных аргументов при .

Таблица 1. Определение значения тригонометрического ряда sin 1 + sin 2 + sin 3 + ... + sinn + •••

Номер подходящих дробей,n Значения частичных сумм, sn Значения модуля, гп Значения аргумента, \<Рп\ По1 £,. = грешность 1 4sin~ Погрешность 1 Фп

1 0.8414709848 0.8414709848 0 0.3200135740 0.5

2 1.7507684116 1.2137630821 0 0.6923056713 0.5

4 1.1350859243 1.3336689069 0 0.8122114962 0.5

8 1.5430909968 0.6862189131 0.3926990816 0.1647615023 0.1073009183

16 1.6477841626 0.7420606952 0.3926990816 0.2206032844 0.1073009183

32 0.4274393921 0.5739433289 0.4908738521 0.0524859182 0.0091261478

64 1.0166119554 0.5407180351 0.4908738521 0.0192606244 0.0091261478

128 1.9099313633 0.5465619420 0.4908738521 0.0251045313 0.0091261478

256 0.4520580925 0.5403453888 0.4908738521 0.0188879781 0.0091261478

131072 0.3771636061 0.5213333459 0.4999818630 0.0001240648 0.0000181369

262144 1.7851912485 0.5214976743 0.4999938472 0.0000402636 0.0000061527

524288 0.0967578693 0.5214409344 0.4999998393 0.0000164762 0.0000001606

1048576 0.2166755925 0.5214453111 0.4999998393 0.0000120995 0.0000001606

2097152 0.5118585309 0.5214497499 0.4999998393 0.0000076607 0.0000001606

В первой колонке табл. 1 показаны номера частичных сумм 5И. Частичные суммы 5„ - это аналоги подходящих дробей. Используя последовательность 5„, по формулам

Из колонок 3 и 4 табл. 1 видно, что значение ряда (13) при х = 1 существует и оно равно комплексному числу:

' ' 1

sin 1 + sin 2 + ... + sin ti + ••• = 0,521449 ...eí0-499999- =--e%

4зт £

В пятой и шестой колонках табл. 1 приведены погрешности в определении модуля и аргумента комплексного числа, являющегося значением тригонометрического ряда (13).

На рис. 1 показано распределение значений частичных сумм 5„ ряда (13) на интервале изменения п: 1000 -г- 1200.

Рис. 1. Распределение значений частичных сумм 5П ряда

На рис. 2 и рис. 3 даны значения, соответственно, модуля и аргумента комплексного числа г = гие' 'Рп, установленного Л/р-алгоритмом, т.е. формулами (8) и (9), по значениям частичных сумм 5И ряда (13).

Рис. 2. Распределение значений гп

Рис. 3. Распределение значений <рп

В табл. 2 приведены комплексные значения расходящегося в классическом смысле тригонометрического ряда (12) при различных значениях х. При установлении комплексных значений ряда (12) всякий раз использовалось 2097152 значений частичных сумм этого ряда.

Таблица 2. Комплексные значения тригонометрического ряда sinх + sin2x + ... + sinnx Ч—

Значения аргумента, х Значения модуля, г0 Значения аргумента, | ц> 0 | П01 £,. = грешность 1 . . X Гп 4sin 2 Погрешность \Х | £<р = ¡2 - <Рп\

0,01 50,004625476 0,0049989198 0,0044171421 0,0000010802

0,5 1.0104881942 0.2499999196 0,0000049311 0,0000000804

1,0 0,5214497499 0,4999998393 0,0000076608 0,0000001607

1,57 0.3536700128 0.7849996879 0,0000242339 0,0000003121

2,0 0,2970884148 0,9999996787 0,0000103616 0,0000003213

2,5 0.2634275804 1.2499995984 0,0000118842 0,0000004016

3,0 0.2506282499 1.4999995181 0,0000004238 0,0000004819

3,14 0,2499636785 1,5699993758 0,0000364008 0,0000006242

3,5 0.2540704333 1.7499994378 0,0000017641 0,0000005622

4,0 0.2749347855 2.0000008555 0,0000027571 0,0000008555

4,5 0.3213075296 2.2500007752 0,0000009983 0,0000007752

5,0 0.4176878987 2.5000006949 0,0000424877 0,0000006949

5,5 0.6550405033 2.7500006146 0,0000089302 0,0000006146

6,0 1.7715362057 3.0000005343 0,0000056432 0,0000005343

6,28 156.92447845 3.1400002497 0,0463200285 0,0000002497

Из табл. 2 можно сделать заключение, что комплексные значения расходящегося тригонометрического ряда (12) определяются формулой:

1 ;Х 1 X ;Х

бшх + бш2 х + . . . + бшпх + • • • =-^е 2 = —со б ее —е 2.

Таким образом, модуль г0 комплексного числа г = г0е"р 0, которое является значением ряда (12) при фиксированном аргументе х, представляется вещественной функцией

1 1 х

го

4 51П 2 4 1

Аргумент 0 этого же комплексного числа определяется формулой

Ч> 0

На рис. 4 показана зависимость модуля г0 комплексного числа г = г0е' ^ 0, являющегося значением тригонометрического ряда (12) от значения аргумента .

Рис. 4. Зависимость модуля г0 от значения х

На рис. 5 показана зависимость аргумента комплексного числа ,

являющегося значением ряда (12) от аргумента х.

Рис. 5. Зависимость аргумента <¡£>0 от значения x

Определим значение тригонометрического ряда (12), используя формулу для суммы n слагаемых ряда:

.п +1 . пх sin —~— xsmy

s i ni + s in2 x + . . . + s innx + • • • = 1 im-x-.

n_> sin 2

Результаты вычисления значения тригонометрического ряда (12), по формуле (18) при x = 1 приведены в табл. 3.

Номер подходящих дробей,п Значения . п + 1 . п 1 Б т—2—бш — . 1 5Ш 2" Значения модуля, гп Значения аргумента, \<Рп\ Погр — е 4 п нность 1 . 1 зш2 Погрешность р с(р 1 = 2 ~<Рп

1 0.8414709848 0.8414709848 0 0,3200135741 0,5000000000

2 1.7507684116 1.2137630821 0 0,6923056714 0,5000000000

3 1.8918884196 1.4073035683 0 0,8858461576 0,5000000000

4 1.1350859243 1.3336689069 0 0,8122114962 0,5000000000

8 1.5430909968 0.6862189131 0.3926990816 0,1647615024 0,1073009184

16 1.6477841626 0.7420606952 0.3926990816 0,2206032845 0,1073009184

32 0.4274393921 0.5739433289 0.4908738521 0,0524859182 0,0091261479

64 1.0166119554 0.5407180351 0.4908738521 0,0192606244 0,0091261479

128 1.9099313633 0.5465619420 0.4908738521 0,0251045313 0,0091261479

256 0.4520580925 0.5403453888 0.4908738521 0,0188879781 0,0091261479

131072 0.3771636061 0.5213333459 0.4999818630 0,0001240648 0,0000181370

262144 1.7851912485 0.5214976743 0.4999938472 0,0000402636 0,0000061528

524288 0.0967578693 0.5214409344 0.4999998393 0,0000164763 0,0000001607

1048576 0.2166755925 0.5214453111 0.4999998393 0,0000120996 0,0000001607

Из данных 3 и 4 колонок табл. 3 следует:

бш 1 + бш2 + ...+ япп + - = 0,521445 ... еШЛ"999- = 1 л 1 1 л =-з-е 2 = — соБес —е 2.

4зт± 4 2 Таким образом, можно отметить совпадение результатов определения значения тригонометрического ряда (12), полученные двумя способами с использованием Я/д-алгоритма, а именно, - непосредственным суммированием элементов ряда и вычислением значения ряда нахождением предела значений в формуле (18).

В табл. 4 приведены значения тригонометрического ряда (12), полученные определением предела (18) при различных значениях х.

Таблица 4. Комплексные значения тригонометрического ряда 5 £ пх +5 £ п 2 х + . . . + 5 £ п пх + • • •

Значения аргумента, х Значения модуля, Значения аргумента, П огрешность 1 --г . . X 'п 431П-2 Погрешность 1 2 ^п

0,01 50,004625476 0,0049989198 0.0044171421 0.0000010801

0,1 5,0021659265 0,0499981863 0.0000212294 0.0000003156

1,0 0,5214497499 0,4999998393 0.0000076607 0.0000001606

1,57 0,3537196052 0,7849996879 0.0000242338 0.0000003120

2,0 0,2970827498 0,9999996787 0.0000103615 0.0000003212

3,14 0,2500309573 0,5699993758 0.0000364006 0.0000006241

Таким образом, тригонометрический ряд (12), составленный из синусов кратных аргументов, имеет комплексное значение:

1 i- 1 / X X\

s i nx + sin 2 x + . . . + s i nnx + • • • =-^e 2 = =-со s— + i s i n — ) .

4 sin 2 4 sin 2 2 Приведенное выше заключение Г. Харди о расходимости тригонометрического ряда

sin0 +sin20 + ... + sinn0 + ••• оказалось неверным. Этот ряд, как было показано выше, является сходящимся и имеет комплексное значение.

Как известно, единственный контрпример может забраковать любую строго доказанную теорему. Допустимо говорить о том, что теоремы о сходимости тригонометрических рядов, которые устанавливают, что тригонометрический ряд

sinx + sin2x + ... + sinnx + ••• является расходящимся, следует относить к некорректным и дополнять их сноской * «при определении сходимости ряда в классическом смысле». Или сопровождать лаконичным примечанием: (устар.), то есть устаревшее.

Аналогично установим при помощи R/q-алгоритма значение расходящегося в классическом смысле ряда, составленного из косинусов кратных аргументов:

со sx + со s2 x + . . . + с о snx+- • •

Запишем частичные суммы ряда (20): SL = со sx, s2 = со sx + со s 2 x, s3 = со sx + со s 2 x + со s 3 x,

5П = СО Б X + СО 5 2 X +----1- СО БПХ.

В табл. 5 приведены результаты определения значения тригонометрического ряда (20), составленного из косинусов кратных аргументов при х = 1. Значения ряда устанавливалось с использованием Л/р-алгоритма.

Таблица 5. Определение значения тригонометрического ряда со 5 1 + со 5 2 + —+ с о 5П + • • •.

Номер подходящих дробей, n Значения частичных сумм, sn Значения модуля, гп Значения аргумента, \<Рп\ Погр — е 4 п нность 1 . 1 sin 2 Погрешность =

1 0.5403023058 0.5403023058 0 0.0188448951 2.0707963267

2 0.1241554693 0.2590009389 0 0.2624564718 2.0707963267

4 -1.519480648 0.5450464322 1.5707963267 0.0235890214 0.5

8 0.3327540445 0.5128356750 1.5707963267 0.0086217356 0.5

16 -1.242331483 0.5832350498 1.9634954084 0.0617776391 0.1073009183

32 0.4218015649 0.5211645334 2.0616701789 0.0002928772 0.0091261478

64 0.5379767985 0.5285632506 2.0125827937 0.0071058399 0.0582135330

128 -0.186522572 0.5241756400 2.0616701789 0.0027182293 0.0091261478

256 -1.434414398 0.5331584798 2.0739420252 0.0117010691 0.0031456984

131072 -1.393387354 0.5213089965 2.0708021582 0.0001484141 0.0000058315

262144 -1.075206804 0.5214772428 2.0707901740 0.0000198320 0.0000061527

524288 0.1463373782 0.5214380295 2.0707901740 0.0000193811 0.0000061527

1048576 0.2743860144 0.5214432542 2.0707931701 0.0000141564 0.0000031566

2097152 0.4617440410 0.5214482295 2.0707976642 0.0000091811 0.0000013374

Из табл. 5 следует, что ряд (20) при х = 1 сходится и его значение равно комплексному числу:

1 .(1 7Г\

СО БХ + СО б2 + • • • + СО бп + • • • = 0,52 1449 . . .е'2 0 7 0 7 97    =-^е' ^ 2+2 ) ,

4Бт2

В табл. 6 приведены комплексные значения расходящегося в классическом смысле тригонометрического ряда (20) при различных аргументах х.

Таблица 6. Комплексные значения тригонометрического ряда с о 5Х + со 5 2 X + —+ со 5 пх + • • •

Значения аргумента, x Значения модуля, гп Значения аргумента, | | По1 £г = решность 1 --Г 'п 4sin ~ Погрешность р с(р

0,01 50,000033996 1,5756679142 0,0001743379 0,0001284126

0,5 1.0104855689 1.8207917524 0,0000075564 0,0000045744

1 0,5214482295 2,0707976642 0,0000091812 0,0000013374

1,5 0.3667633872 2.3207930898 0,0000002061 0,0000032370

2 0,2970971573 2,5707733351 0,0000016191 0,0000229917

2,5 0.2634261012 2.8208004193 0,0000133634 0,0000040925

3,0 0.2506276037 3.0707988410 0,0000002224 0,0000025142

3,14 0,2499637820 3,1407957026 0,0000362973 0,0000006242

3,5 0.2540700313 2.9623895425 0,0000013621 0,0000005621

4,0 0.2749382159 2.7124210814 0,0000006733 0,0000321010

4,5 0.3213068068 2.4623941972 0,0000002755 0,0000052168

5,0 0.4176864548 2.2123867873 0,0000439316 0,0000021931

5,5 0.6550370826 1.9623883657 0,0000055095 0,0000006147

6,0 1.7715519624 1.7124079203 0,0000101135 0,0000189399

6,28 156.96347156 1.5721430540 0,0073269185 0,0002459264

Погрешность е,р определения аргумента комплексного числа г0е' ^ 0, являющегося значением тригонометрического ряда (20) при аргументе х устанавливалась формулами:

/71 + Х\

£<р = V-2~~ )~<Рп (Ъп

' <Рп

m

0 < X < 7Г,

7Г < X < 2п.

Из табл. 6 можно сделать заключение, что значение ряда (20) определяется формулой:

osx + cos2x ч-----1- cosnx

+ • . . = ^e<f+f) == [соз

4 sin- 4 sin- L \2 2/ \2 2 J\ v '

Сравнивая формулы (19) и (22), т. е. формулы, определяющие значения расходящихся в классическом смысле тригонометрических рядов, составленных, соответственно, их синусов и косинусов кратных углов, можно заключить, что комплексные числа, являющиеся значениями этих рядов, имеют одинаковые модули и отличающиеся на константу ^ аргументы.

Определим значение знакопеременного тригонометрического ряда

x — sin2 x + sin 3 x — sin4x + —+ sin (2 k — 1 )x — sin 2 /ex + • • • , (23) т.е. установим значение бесконечной вещественной последовательности , где s„ - частичные суммы ряда:

sx = sinx,

s2 = sinx — sin2 x,

s3 = sinx — sin2 x + sin 3 x,

s4 = s i nx — s in 2 x + s in 3 x — s in4x,

s2k_ x = sinx — sin2 x + sin 3 x — sin4x + —+ sin (2 к — 1 ) x,

s2 k = sinx — sin2 x + sin 3 x — sin4x + sin 5 x —----sin 2 /ex.

Определим, используя R/р-алгоритм, т.е. формулы (8) и (9), значение тригонометрического ряда (23) при х = 1. Результаты вычислений приведены в табл. 7.

Таблица 7. Определение значения тригонометрического ряда sinl — sin2 + sin3 — sin4 + —I- sin(2k — 1) — sin2k +

Номер подходящих дробей, Значения частичной суммы Значения модуля, Гп Значения аргумента, <Рп П £г огрешность 1 --г 'п 4COS"2 Погрешность р с(р = (Н) -<Рп

1 0.8414709848 0.8414709848 0 0,5565975030 1,0707963268

2 -0.067826442 0.2389016177 1.5707963267 0,0459718641 0,4999999999

3 0.0732935660 0.1611268850 1.0471975511 0,1237465968 0,0235987757

4 0.8300960613 0.2427493617 0.7853981633 0,0421241201 0,2853981635

8 -0.181784363 0.2368079661 1.1780972450 0,0480655157 0,1073009182

16 0.6786887825 0.3070028834 0.9817477042 0,0221294016 0,0890486226

32 -0.230431245 0.3553356725 1.0799224746 0,0704621907 0,0091261478

64 -0.293898064 0.2929714203 1.0799224746 0,0080979385 0,0091261478

128 0.1018977460 0.3021791013 1.0553787820 0,0173056195 0,0154175448

256 0.7836241575 0.2988944395 1.0676506283 0,0140209577 0,0031456985

65536 0.1242885788 0.2843471626 1.0707665268 0,0005263192 0,0000298000

131072 0.7612109808 0.2851236175 1.0707904952 0,0002501357 0,0000058316

262144 0.5873881541 0.2847054381 1.0707904952 0,0001680437 0,0000058316

524288 -0.079944474 0.2848880653 1.0707964874 0,0000145835 0,0000001606

1048576 -0.149897762 0.2848518009 1.0707964874 0,0000216809 0,0000001606

2097152 -0.252251919 0.2848573699 1.0707964874 0,0000161119 0,0000001606

Таким образом, расходящийся в классическом смысле тригонометрический ряд (23) при х = 1 является сходящимся и имеет комплексное значение:

Бт1 — Бт2 + БШЗ — БШ4 + —I- Бт(2/с — 1) — БШ2к +  =

= —^е' = ^ес^е'^"^

4 с о Б— 4 2

В табл. 8 приведены значения тригонометрического ряда (23) при различных значениях аргумента х, установленные Л/^-алгоритмом.

Таблица 8. Определения значения тригонометрического ряда sinx — sin2x + sin3x — sin4x + —I- sin(2k — 1) x — sin(2k — 1) x +

Погрешность

Значения Значения Значения tr Погрешность

аргумента, x модуля, гп аргумента, | | _ 1 X ^п 4| coS"2 | р с(р

0,01 0.2500035305 1.5657959089 0,0000004055 0,0000004179

0,5 0.2580196516 1.3207964071 0,0000016044 0,0000000803

1 0.2848573699 1.0707964874 0,0000161119 0,0000001606

1,57 0.3533883707 0.7857966388 0,0000243319 0,0349996880

2 0.4627000314 0.5707951499 0,0000038980 0,0000011769

2,5 0.7928036212 0.3207952302 0,0000358022 0,0000010966

3,0 3.5341533934 0.0707953106 0,0000548323 0,0000010162

3,14 314.01200922 0.0007954529 0,0705118039 0,0000008739

3,5 1.4025720232 2.9623895425 0,0000164430 0,0000005621

4,0 0.6007547591 2.7123896228 0,0000052687 0,0000006424

4,5 0.3979792909 2.4623897031 0,0000001479 0,0000007227

5,0 0.3119513958 2.2123897834 0,0001025171 0,0000008030

5,5 0.2704774114 1.9623898637 0,0000031534 0,0000008833

6,0 0.2525289292 1.7123884460 0,0000017627 0,0000005344

6,28 0.2499904123 1.5723887306 0,0000099048 0,0000002498

Погрешность определения аргумента комплексного числа г0е' 9 0, являющегося значением тригонометрического ряда (23) при аргументе х, устанавливались формулами:

177" — X

£<Р = \—--Фп] • 0 < X < 7Г,

2

Зтт — х

<Рг

7Г < X < 2п.

2

Из табл. 8 следует, что тригонометрический ряд (23) является сходящимся, комплексное значение которого определяется следующим образом:

sinx — sin2x + sin3x — sin4x + —I- sin(2k— l)x — sin2kx +  =

=-— e¿

nx — sin2x + sin3x — sin4x + —I- sin(2k— l)x — sin2kx +  =

=-, 7 < x < 2 7 .

Определим значение знакопеременного ряда косинусов кратных углов.

со sx — со s 2 x + со s 3 x — со s 4x + —I- со s

Частичные суммы ряда (27):

sx = с о sx,

s2 = с о sx — с о s 2 x,

s3 = с о s x — с о s 2 x + со s 3 x,

s4 = с о s x — со s 2 x + с о s 3 x — со s 4x,

5 2/с — 1 = со 5 х — СО 5 2 X + СО 5 3 х — СО 5 4х +----Ь СО 5 (2 к — 1 ) X,

52/с = со 5 х — со 5 2 х + с о 5 3 х — со 5 4х + с о 5 5 х —----со 5 2 кх.

Используя частичные суммы 5И, при помощи Л/^-алгоритма определим значение знакопеременного тригонометрического ряда (27) при х = 1. Результаты вычислений приведены в табл. 9.

Таблица 9. Определение значения тригонометрического ряда cos 1 — cos 2 + cos 3 — cos 4 ч-----1- cos(2k — 1) — cos 2k + •••

Номер подходящих дробей, п Значения частичных сумм, sn Значения модуля, гп Значения аргумента, \<Рп\ По £г = грешность 1 Погрешность |1 I Е,р = 2 ~

„ 1 4 cos j

1 0.5403023058 0.5403023058 0 0,2554288240 0.5

2 0.9564491424 0.7188683308 0 0,4339948490 0.5

3 -0.033543354 0.2588024581 1.0471975511 0,0260710237 0.5471975511

4 0.6201002666 0.3219895501 0.7853981633 0,0371160683 0.2853981633

8 0.8429944536 0.3660292447 0.7853981633 0,0811557629 0.2853981633

16 0.9001885907 0.3367857042 0.9817477042 0,0519122224 0.4817477042

32 0.2335112042 0.2902641798 0.6872233929 0,0053906980 0.1872233929

64 0.5553776424 0.2944091957 0.6381360077 0,0095357139 0.1381360077

128 1.0434002592 0.2929909322 0.5154175447 0,0081174504 0.0154175447

256 0.2469604615 0.2906405754 0.5154175447 0,0057670936 0.0154175447

131072 0.2060454171 0.2847908769 0.4974412073 0,0000826049 0.0025587926

262144 0.9752544239 0.2848855241 0.4991429673 0,0000120423 0.0008570326

524288 0.0528590649 0.2848629975 0.4991549515 0,0000104843 0.0008450484

1048576 0.1183704156 0.2848658481 0.4999788669 0,0000076337 0.0000211330

2097152 0.2796295899 0.2848685622 0.4999773689 0,0000049196 0.0000226310

Из табл. 9 следует, что тригонометрический знакопеременный ряд (27) при х = 1 сходится и имеет комплексное значение:

cos 1 — cos 2 + cos 3 — cos 4 4- —I- cos(2k — 1) — cos 2k +  =

1 .i 1 1 .i

e 2 = -sec-e 2.

4cos^ 4 2

В табл. 10 приведены комплексные значения тригонометрического ряда (27) при различных значениях аргумента х, установленные ЛЛр-алгоритмом.

Таблица 10. Определение значения тригонометрического ряда cos х — cos 2х + cos Зх — cos 4x4-----1- cos(2k — l)x — cos 2kx 4—

Значения аргумента, x Значения модуля, Значения аргумента, \<Рп\ Погрешность £r ~ 4|cosi| Гп\ Погрешность £<р

0,01 0.2500029053 0.0049989198 0,0000002197 0,0000010802

0,5 0.2580193948 0.2500014177 0,0000018612 0,0000014177

1 0.2848685622 0.4999773689 0,0000049196 0,0000226311

1,5 0.3416756670 0.7500027551 0,0117370356 0,0000027551

2 0.4627018110 0.9999846984 0,0000021184 0,0000153016

2,5 0.7927989988 1.2499995984 0,0000404246 0,0000004016

3,0 3.5342001027 1.4999860359 0,0000081230 0,0000139641

3,14 313.89454669 1.5712277588 0,0469507261 0,0003648948

3,5 1.4025609325 1.3915992078 0,0000053523 0,0000065542

4,0 0.6007502890 1.1415992881 0,0000007986 0,0000066345

4,5 0.3979793813 0.8915873842 0,0000002383 0,0000052694

5,0 0.3120212185 0.6417237850 0,0000326944 0,0001311314

5,5 0.2704769313 0.3915905408 0,0000026733 0,0000021128

6,0 0.2525289803 0.1415906212 0,0000018138 0,0000020324

6,28 0.2499892573 0.0015953999 0,0000110598 0,0000027463

Погрешность е ^ определения аргумента 0 комплексного числа г0е' ^ 0, являющегося значением тригонометрического ряда (27) при аргументе х, устанавливалась формулами:

Iх I

£4> = \2~(Pn\- О < X < 7Г,

£<р = \(п~^)~сРп\- п<х<2п. Из табл. 10 можно сделать заключение, что тригонометрический ряд (27) является сходящимся, комплексное значение которого определяется следующим образом: cosх — cos 2х + cos Зх — cos 4х + —I- cos(2к — 1)х — cos 2кх +

==-—0<х<7г,

cos х — cos 2х + cos Зх — cos 4х + —I- cos(2к — l)x — cos 2kx + •••

==—^те' ^ 7<х<27.

3. Определение значения ряда комплексных экспонент

Используя формулы Эйлера, запишем ряд экспонент:

eíx + е12х + ... + einx + ... _

= cos х + cos2x + —I- cos nx + —I- i(sinx + sin2x + —Ь sinxn + •••). Ранее были установлены комплексные значения рядов:

1 i

cosx + cos2 х + —l-cosnx+- • •=-хе 2 '

4 sin 2 1

s i nx + s i n2 x +—Is innx +----хе 2.

4 sin 2

Можно также записать:

¿(sinx + sin2x + —I- sinnx +•••) =

— 1 i

= el2(sinx + sin2x + —I- sinnx + •••) =-xe •

4 sin 2

i(sinx + sin2x + —I- sinnx + •••) = cosx + cos2x + —I- cos nx + •••. Следовательно, значение ряда экспонент определяется формулой:

eíx + eí2x + еínx + ... _

= 2

о  х

2 sin 2

1 + elx + еих + ••• + е1ПХ + ••• =

= 1 + 2

2 sin 2

Правую часть выражения (33) можно записать следующим образом:

1 í(x+IL) 1 / /X 7Гч /X 7Г\ \

1 + 7—X ell2+2J = 1 + Г—х (cos (2 + 2) + ¿ Sin (2 + 2)) =

2 sin 2 2 sin J

= 1 + I - sin-+ icos-) =-+i-ct5f = —¡pe 1 2 )

2 sin—\ 2 2/ 2 2 2 2 smy

Аналогично можно показать, что

1 =-4,е' ^

Таким образом,

i

1-е1* 2 sin—

2 sin—

е' ГТ^ = —^ = 1 + е1Ж + е'2 ж + • • • + етж + • • • .

Тождество (35) свидетельствует о том, что значение ряда комплексных экспонент

в самом деле определяется формулой 1 i(p, а не является лишь формальной записью,

1

связанной с формулой суммы геометрической прогрессии, т.е. с формулой -— = 1 + X + X2 + ... + хп + —. Заключение

Выше уже отмечалось, что в монографии «Расходящиеся ряды» [1] Г. Харди утверждал, что ряд экспонент.

1 + eix + ei2x + +einx +  расходится для всех вещественных х.

Это утверждение оказалось неверным, так как с помощью R /-алгоритма удалось установить, что ряд комплексных экспонент является сходящимся и имеет комплексное значение:

1 + eix + ei2x + ••• + einx + ••• = —^ = —0 < х < тт.

1-е1" 2 sinf

Также оказались неверными утверждения ряда авторов [15, 16], что расходящимися являются тригонометрические ряды:

cosх + cos2x + —I- cosnx + •••, sinx + sin2x + —I- sinxn + •••. cosx — cos 2x + cos 3x — cos 4x + •••, sinx — sin2x + sin3x — sin4x + •••. Было установлено, что эти ряды являются сходящимися и имеют комплексные значения:

1 i

COSX + COS2X +----1-cosnx + ••• =-Xе '

4 sin 2 1 i£

sinx + sin 2x +----1- sinnx + ••• = -Xе 2 '

4 sin 2 1

cosx — cos2x + cos3x — cos4x + ••• =-—e 2,

1 i

sinx — sin2x + sin3x — sin4x + ••• =-—e V 2 ;.

Можно записать необ^гчный ряд показательной функции мнимого аргумента:

X

е12 = 4sin—

Определение значений расходящихся в классическом смысле тригонометрических рядов и рядов комплексных экспонент позволяет заменять эти «колеблющиеся» ряды формулами, обеспечивающими решение задач, где возникают подобного рода «расходящиеся» ряды [17 - 19]. Нередко аналогичные ситуации случаются в прикладной математике, когда появляются при решении СЛАУ так называемые расходящиеся разностные схемы, обусловленные тем, что СЛАУ с вещественными матрицами могут иметь комплексные решения [20 - 22].

Список литературы /References

1. Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: Изд-во иностр. лит-ры, 1951. 504 с.

2. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 1. Периодические непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины. Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 645 с.

3. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 2. Расходящиеся непрерывные дроби. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 558 с.

4. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби. В 3 т. Том 3. Из истории непрерывных дробей. Нац. акад. наук Украины, Ин-т приклад. проблем механики и математики. Львов, 2004. 520 с.

5. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Определение бесконечных комплексных последовательностей. // Вестник науки и образования. № 4 (58), 2019. С. 10-23.

6. Шмойлов В.И. Суммирование расходящихся цепных дробей. Львов: ИППММ НАН Украины, 1997. 23 с.

7. Шмойлов В.И. Алгоритмы определения значений бесконечных последовательностей. // Вестник науки и образования. № 16 (51). Часть 1, 2018. С. 10-24.

8. Шмойлов В.И., Слобода М.З. Расходящиеся непрерывные дроби. Львов: Меркатор, 1999. 820 с.

9. Кириченко Г.А., Шмойлов В.И. Алгоритм суммирования расходящихся непрерывных дробей и некоторые его применения. // Журнал вычислительной математики и математической физики, 2015. Т. 55. № 4. С. 559-572.

10. Шмойлов В.И. Непрерывные дроби и /-алгоритм. Таганрог: Изд-во ТТИ ЮФУ, 2012.608 с.

11. Козлов В.В. Об одной формуле суммирования расходящихся непрерывных дробей. // Докл. РАН, Том 474, Номер 4, 2017. С. 410-412.

12. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби. Библиографический указатель. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 382 с.

13. Цыпкин А.Г., ЦыпкинГ.Г. Математические формулы. М.: Наука, 1985. 128 с.

14. Новосёлов С.И. Специальный курс тригонометрии. М.: Наука, 1954. 492 с.

15. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961. 938 с.

16. Толстов Г .П. Ряды Фурье. М.: Наука, 1980. 384 с.

17. Гузик В.Ф., Ляпунцова Е.В., Шмойлов В.И. Суммирование рядов непрерывными дробями. М.: Физматлит, 2019. 683 с.

18. Шмойлов В.И. Определение значений расходящихся в классическом смысле непрерывных дробей посредством маркера комплексности. // Вестник науки и образования. № 22 (76), 2019. С. 6-17.

19. Шмойлов В.И. Определение значений непрерывных дробей, чётные и нечётные подходящие которых имеют различные пределы. // Вестник науки и образования. № 3 (81). Часть 1, 2020. С. 6-19.

20. Шмойлов В.И., Коровин Я. С. Решение систем линейных алгебраических уравнений непрерывными дробями. Ростов-на-Дону: Изд-во ЮФУ, 2017. 383 с.

21. Шмойлов В.И., Коровин Я.С., Иванов Д.Я. Решение расходящихся систем линейных алгебраических уравнений. // Вестник науки и образования. № 9 (45), 2018. С. 18-30.

22. Шмойлов В.И., Коровин Я.С. Непрерывные дроби и маркеры комплексности. Таганрог: Изд-во НИИ МВС ЮФУ, 2020. 450 с.