Диффузия вихревых колец в вязкой жидкости

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

Том XXXVIII 200 7 № 3 — 4

УДК 532.527

ДИФФУЗИЯ ВИХРЕВЫХ КОЛЕЦ В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

М. А. БРУТЯН

Рассматривается задача о диффузии вихревого кольца в вязкой несжимаемой жидкости. Для течения стоксовой жидкости получено точное аналитическое решение, а для течения навье-стоксовой жидкости получено асимптотическое решение при больших временах. Дается обобщение на случай диффузии бесконечной цепочки вихревых колец.

Возросший интерес к опасности, создаваемой спутными вихрями, образующимися за большими самолетами, а также развитие теории пространственных отрывных течений стимулировали исследования по одной из старейших тем в механике жидкостей: изучение течений с концентрированной завихренностью. Так как эти вихри могут быть интенсивными и существовать достаточно продолжительное время, очевидно, нужно уметь предсказывать структуру, положение и продолжительность существования таких вихрей. Обзор работ на эту тему можно найти, например, в [1].

Точное решение даже простейшей задачи о диффузии бесконечно тонкого изолированного вихревого кольца в вязкой жидкости неизвестно. Поэтому предлагаются различные приближенные подходы, в которых диффузия завихренности определяется из уравнений Стокса, а конвекция учитывается на следующем этапе тем или иным образом. Например, по найденной завихренности с помощью закона Био — Савара определяется поле скоростей, и вся продиффундировавшая область смещается в соответствии с найденным полем скоростей [2].

Рассмотрим диффузию вихревого кольца в стоксовой жидкости. Пусть центр кольца радиуса а расположен в начале цилиндрической системы координат (г, ф, z), причем ось г является осью симметрии. Диффузия описывается уравнением

дО

----= V

ді

^д2О 1 дО О д2О^

ч дг2 г дг г2 д22 ;

Здесь О = го1;У = (0, О, 0) — завихренность; ^ — время; V — коэффициент кинематической вязкости. Необходимо решить уравнение (1) с граничным условием

1г=0 у 7

и начальным условием

О| ,=0 =Г5

где Г — циркуляция вдоль произвольного контура, один раз охватывающего кольцо. Условие (3) выражает тот факт, что в начальный момент времени вихревое кольцо является бесконечно тонким. Для решения (1) удобно совершить преобразование Бесселя по г и Фурье по г:

Подставляя (4) в (1), получаем

Откуда

d  /2 2\

- = -va>(p + q ).

dt

Q = C

Граничное условие (2) выполняется автоматически, так как Ji(0) = 0. Из начального условия (3), совершая обратное преобразование Фурье — Бесселя, получаем:

Та

C(p, q) = — Ji(qa).

2п

Таким образом, (5) принимает вид:

Га г

Q

2n L

Подставляя (6) в (4) и вычисляя интеграл, получаем окончательное решение:

^ Га

Q = /—ГГ exP 4\/ nv t

z + a + r 4vt

2 \ f \ ra

где 11 — функция Бесселя 1-го рода от мнимого аргумента.

Рассмотрим некоторые частные случаи. В начальной стадии диффузии вихревого кольца

/— ех

г, а »у1 vt, поэтому, используя асимптотическую формулу х) ^ ------ при х^<х>, из

д/2п х

получаем:

4nvt V r

exp

z2 + (r - a2) 4vt

Как и следовало ожидать, вблизи вихревого кольца при

- -1

<<1 уравнение

тождественно совпадает с законом диффузии вихревой линии в вязкой жидкости [3]. В другом предельном случае больших времен а аналогично находим:

16л/л

5/2

exp

4vt

Выражение (9) совпадает с результатом, полученным Филлипсом [4], который изучал финальную стадию распада конечной вихревой области в вязкой жидкости.

По формуле (7) были проведены расчеты распределения завихренности О = О(г) в различные моменты времени при г = 0 (рис. 1). На рис. 2 изображено положение максимума завихренности в зависимости от времени. Следует отметить, что на начальной стадии диффузии

о

a

максимум завихренности смещается к центру кольца по закону гт ^ а — \^а, а на больших временах гт ^ >/2у7 .

В стоксовой жидкости изолированное вихревое кольцо неподвижно, в то время как в

1.5

0.5

- 4П а2\[к Г /'"Ч

\

-

] V. г_

. 1 , ^

гт а

V*

а

Рис. 1. Распределение завихренности О = О(г) в различные моменты времени при г = 0

0.5 1 1.5 2

Рис. 2. Положение максимума завихренности в зависимости от времени

Оценим скорость движения вихревого кольца в вязкой жидкости. На начальной стадии движения

а >>Т^ (это сделано в работе [5] с использованием закона (8) диффузии вихревой линии). На временах t: а2/у, вследствие диффузии, вихревое кольцо расплывается и становится трудным определить величину, которую следует считать скоростью движения этой вихревой области. Кроме того, на этих временах формула (7) справедлива только для стоксовой жидкости. В то же время формула

(9) является асимптотически верной при t >> а2/V и в навье-стоксовой жидкости, так как на

больших временах, ввиду малости характерных величин завихренности и скорости,

конвективными членами в уравнении Навье — Стокса можно пренебречь [4]. В этом случае, используя (9) и закон Био — Савара, можно получить все поле скоростей. В частности, для оценки скорости смещения можно использовать продольную скорость и в начале координат

и=

Га2

32ТП

ТО ТО

г2 ехр

( 2 2 г + а

4vt

0 —то

( г 2 + г 2 )3'2

где Р = пГа — импульс вихревого кольца.

При расчете осесимметричных отрывных течений иногда используется модель, в которой с тела периодически сходят вихревые кольца. Даже на начальном этапе, когда диффузией можно пренебречь, движение системы вихревых колец является весьма сложным. Например, в этой системе возможно замысловатое периодическое движение, известное как «чехарда» вихревых колец

[6]. На больших временах вихревые кольца диффундируют и образуют за телом вихревой след. Для оценки скорости течения в этом следе естественно рассмотреть задачу о диффузии бесконечной цепочки вихревых колец, расположенных вдоль оси г с шагом Ь. В стоксовой жидкости в силу линейности уравнения (1) искомое решение является суперпозицией решений

(7):

О =

Га

4\/Пу3Г3

ехр

( 2,2 \ / а + г

4vt

( г + пЬ)2 4vt

На больших временах V t >>а2 + Ь2 завихренность перестает зависеть от г, поэтому необходимо определить сумму:

( i2 2 b n

4vt

V /

Ввиду того, что Ь << vt, искомая сумма представляет собой римановскую сумму интеграла:

j exp

—ТО

В результате окончательно получаем:

4vt

V

’ = —vnvt.

b

Га

exp

( 2 ^ r

4vt

V /

Для этого распределения завихренности вновь можно найти скорость на оси г:

и = Р (лvt) 1.

4Ь

Заметим, что в отличие от (10) формулы (11) и (12) справедливы и в навье-стоксовой жидкости.

Из теоремы импульсов известно, что скорость на оси дальнего следа связана с сопротивлением ¥ тела, обтекаемого безграничной вязкой несжимаемой жидкостью, простым соотношением [7]:

U = -

F 4nv z

то

С другой стороны, эту скорость можно найти из (12), заменив t на z/ UTO, где UTO — скорость на бесконечности. Тогда получаем, что

P = Ft,

где t = b/ UTO — интервал времени между сходом вихрей. Этот ясный результат подтверждает согласованность предыдущих рассуждений. В заключение заметим, что полученные аналитические оценки могут оказаться полезными при изучении отрывного обтекания осесимметричных тел.

ЛИТЕРАТУРА

1. Widnall S. E. The structure and dynamics of vortex filaments // Ann. Review of Fluid Mech. 1975. V. 7.

2. Баскин В. И. О движении пространственной диффундирующей вихревой трубки в несжимаемой жидкости // ДАН СССР. 1965. Т. 165, № 6.

3. Бэтчелор Дж. Введение в динамику жидкости. — М.: Мир, 1973.

4. Phillips O. M. The final period of decay of non-homogeneous turbulence // Proc.

Cambr. Phil. Soc. 1956. V. 52, pt. 1.

5. Saffman P. G. The velocity of viscous vortex rings // Stud. Appl. Math. 1970. V. 49, N 4.

6. Брутян М. А., Крапивский П. Л. Движение системы вихревых колец в несжимаемой жидкости // ПММ. 1984. Т. 48, вып. 3.

7. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Механика сплошных сред. — М.: Гостехиздат,

1953.

Рукопись поступила 6/VI2006 г.

8б