Нелинейные локализованные магнитоупругие волны

УДК 539.3

В.И. Ерофеев, А.О. Мальханов

Нижегородский филиал Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН, Нижний Новгород, Россия

НЕЛИНЕЙНЫЕ ЛОКАЛИЗОВАННЫЕ МАГНИТОУПРУГИЕ ВОЛНЫ

Системы динамических уравнений магнитоупругости для стержня, пластины и упругой трехмерной среды приведены к эволюционным уравнениям относительно продольной деформации. Продемонстрирована возможность формирования интенсивных пространственно-локализованных магнитоупругих волн (уединенные волны деформации в стержне; двумерные квазипло-ские волновые пучки в пластине; трехмерные квазиплоские волновые пучки в упругой проводящей среде).

Ключевые слова: магнитоупругость, волна, нелинейность, локализация.

V.I. Erofeyev, A.O. Malkhanov

A.A. Blagonravov Mechanical Engineering Institute,

Russian Academy of Sciences, Nizhny Novgorod, Russia

NONLINEAR LOCALIZED MAGNETOELASTIC WAVES

System dynamic equations magnetoelasticity for rods, plates and elastic three-dimensional environment are to evolution equations with respect to the longitudinal strain. Demonstrated the possibility of the formation of intense space-localized magnetoelastic waves (solitary waves of strain in the rod; quasiplanar dimensional wave beams in a plate, three-dimensional quasiplanar wave beams in an elastic conductive medium).

Keywords: magnetoelasticity, wave, nonlinearity, localization.

Современные проблемы науки и техники стимулируют создание и развитие теории сопряженных полей различной физической природы. Одной из интенсивно развивающихся областей этой теории является электромагнитоупругость, изучающая взаимодействие механических и электромагнитных полей в материалах и конструкциях. Теория электромагнитоупругого взаимодействия развивается сегодня по нескольким направлениям. Основные из них:

1) магнитоупругость (и магнитотермоупругость) электропроводящих неферромагнитных тел в постоянном внешнем магнитном поле [1, 2];

2) магнитоупругость магнитоактивных, в том числе пьезомагнитных, ферромагнитных и магнитострикционных сред [3, 4];

3) электроупругость пьезоэлектрических и электрострикционных сред [5, 6].

Результаты, о которых речь пойдет в данной статье, получены в рамках первого из упомянутых выше направлений. Здесь предполагается, что упругое деформируемое электропроводящее тело находится в начальном постоянном магнитном поле и электромагнитное взаимодействие между телом и полем осуществляется посредством пондеро-моторных сил Лоренца, входящих в уравнения движения упругой среды, и обобщенного закона Ома для материальной частицы, движущейся в магнитном поле.

Системы динамических уравнений магнитоупругости для стержня, пластины и упругой трехмерной среды приведены к эволюционным уравнениям относительно продольной деформации. Продемонстрирована возможность формирования интенсивных пространственно-локализованных магнитоупругих волн (уединенные волны деформации в стержне; двумерные квазиплоские волновые пучки в пластине; трехмерные квазиплоские волновые пучки в упругой проводящей среде).

1. Математические модели

При выводе системы уравнений магнитоупругости предполагается, что упругое деформируемое электропроводящее тело находится в начальном постоянном магнитном поле и электромагнитное взаимодействие между телом и полем осуществляется посредством пондеро-моторных сил Лоренца. Токами смещения пренебрегается. Считается, что свободные электрические заряды отсутствуют.

Таким образом, уравнения магнитоупругости имеют вид

д2 и и и и 1 Г и

Р------^ + М) ёГа^ М + ЦД М + Е нел н-------------------------

д г 4я

го1 Н х Н

V У

дН

-----= го1

д г

ди и

хН

дг

с2 и +—Д Н. 4яо

Здесь и - вектор перемещений; X, ц - модули упругости (константы Ламе) второго порядка; р - плотность материала; Н - напряженность

магнитного поля; а - проводимость; с - скорость света в вакууме. Вектор Енел включает в себя слагаемые, обусловленные учетом упругой нелинейности.

Для однородной нелинейно-упругой пластины, находящейся во внешнем магнитном поле, система уравнений магнитоупругости получается из общей системы (1.1) путем применения метода приведения трехмерных уравнений теории упругости к двумерным уравнениям равновесия или динамики пластин. Этот метод заключается в выражении напряженно-деформированного состояния в произвольной точке тела через новые величины, заданные вдоль срединной поверхности пластины. При этом переход от бесконечного числа степеней свободы

в направлении нормали х ± = (у,г) к конечному числу степеней свободы (конечному числу мод) осуществляется путем аппроксимации смещений многочленами. Она производится, как правило, по степеням поперечных координат, и в качестве малого параметра выступает относительная толщина пластины 2кгк, где к - полутолщина пластины, кг -

нормальная компонента волнового вектора.

Система уравнений магнитоупругости (1.1) для модели, описывающей продольные колебания стержня (в этом случае преобладает продольная компонента вектора перемещений их ) и учитывающей как

кинетическую энергию толщинных колебаний, так и потенциальную энергию сдвиговых деформаций, имеет вид

дг2

х - с2 с0

1+

V

ба1 дих Е дх

д их д

д х2

дх

2 (д2

д их _ с2 д их 2 с

V

дг1

дх

2

+

+-

1

4пр

дИ„

дН дИу

И2^- _ Ну—у дх д х

= 0,

2

с

д2 И

дг 4па дх

= 0,

Н

дг

дН

д2и

х +дИУ дих

2 д2Н

дхдг дх дг 4%а дх

г и д2их

— + Иу----------х

дг дхдг

+

дИ дих

с2 д2И

дх дг 4%а дх

= 0,

= 0.

Здесь V - коэффициент Пуассона, я = /~ полярный радиус инерции’ Л = Ж У2 + 2 2) дР - полярный момент инерции, ¥ - площадь пор

перечного сечения стержня, е = ц(3Х +2ц) - модуль Юнга,

X + ц

Е 3Х С

а1 = — + — + А + В (1 - 2v) + -3(1 - бV) - коэффициент упругой нелинейности, с = Е - скорость распространения продольной волны в стержне, 0 V/Р

с = /ц/ - скорость распространения сдвиговой волны в стержне.

т \/Р

2. Локализованные нелинейные магнитоупругие волны в стержне

Предполагается, что суммарное магнитное поле состоит из его постоянного значения и возмущений, появляющихся в результате взаимодействия с полем деформаций:

И = И0п + к,

где п - вектор нормали к поверхности стержня, к - малое возмущение магнитного поля.

Полагаем, что внешнее постоянное магнитное поле с напряженностью И0 направлено под произвольным углом 0 < ф < 2л к направлению распространения продольной волны. Тогда соотношение для вектора перемещений, вектора поправки к магнитному полю и вектора суммарного магнитного поля примет вид

и =

где кх, ку, к2 - компоненты вектора малого возмущения магнитного поля.

Методом многих масштабов система уравнений магнитоупруго-сти

ди ттди д3и „д2и

аи--------+ р—г— 5—т = 0,

дг дх дх дх

где коэффициенты а, р, 8 содержат напряженность магнитного поля, проводимость и модули упругости второго и третьего порядков, а коэффициент 8 имеет обратно пропорциональную зависимость еще и от проводимости материала а. Кроме того, коэффициенты зависят от угла ф .

Уравнение (2.3) носит название уравнения Кортевега-де Вриза-Бюргерса. Оно имеет решение в виде локализованной волны (кинка):

и - А ехр ( £) весЬ2 ^2^ (х - 2а) о =

352 . а гг „ 4 2

а ----------, А - —, V - 2а, А - —.

25р а ‘ £о

а

3р'

Для конденсированных сред в магнитных полях до 10 Тл скорость волны Альфвена меньше скорости распространения продольной волны [7], поэтому изменение параметров представлено на интервале

,2

- скорость волны Альфвена: величина,

0 < А/ 2 < 1, где сА -

4лр

прямопропорциональная напряженности внешнего постоянного магнитного поля.

Анализ зависимостей параметров кинка от напряженности внешнего магнитного поля показывает, что с увеличением напряженности

внешнего магнитного поля амплитуда и скорость локализованной волны убывают, в то время как ее ширина возрастает (рис. 1).

В результате исследования влияния ориентации внешнего магнитного поля на параметры кинка обнаружено, что амплитуда и скорость принимают максимальное значение, когда внешнее Рис. 1. Зависимость параметров кинка от

напряженности внешнего магнитного поля магнитное поле параллельн° направлению распространения кинка

( ф - 0, л ) и принимает минимальное значение, когда поле перпендику-

лярно направлению распространения волны

_ к Зк

V9' 2’Ту

. Ширина же,

наоборот, принимает максимальное значение, если внешнее поле ортогонально направлению распространения волны и принимает минимальное значение, когда поле сонаправлено с направлением распространения волны.

Если стержень является идеальным проводником, то в эволюционном уравнении (2.3) можно пренебречь слагаемым с коэффициентом 8, поскольку значение проводимости а близко к бесконечности. Эволюция магнитоупругой волны в этом случае будет описываться уравнением Кортевега-де Вриза, допускающим локализованное решение в виде солитона отрицательной полярности:

А

и _-

сИ2

ч

ЗУ

5 _ х - уг, А _ У, А _. а

12Р

' Аа

Исследование влияния магнитного поля на параметры солитона дает следующие результаты: с ростом напряженности амплитуда и ширина солитона возрастает, а его скорость убывает (рис. 2).

Анализ зависимостей параметров солитона от ориентации внешнего магнитного поля показывает, что амплитуда и ширина принимают максимальное значение, когда внешнее магнитное поле перпендикулярно направлению распространения солитона ^ к Зкл ф_

0,65

0,55-

0,45

и принимают ми-

“А, К, А

/А

— А

— К

^ "

0 0,2 0,4 0,6 0,8 1 Са/ /с„

Рис. 2. Влияние магнитного поля на параметры солитона

V 2 2 у

нимальное значение, когда поле параллельно направлению распространения волны (ф_ 0, к ). Скорость же наоборот принимает максимальное значение, если внешнее поле параллельно направлению

распространения волны и принимает минимальное значение, когда иоле ортогонально направлению распространения волны.

4. Двумерные и трехмерные локализованные нелинейные магнитоупругие волны

Рассматривается распространение продольной волны в однородной нелинейно-упругой пластине, находящейся во внешнем магнитном поле. Предполагается, что пучок продольных волн распространяется вдоль оси х. Пучок считается ограниченным, слаборасходящимся и близким к плоской волне. Рассматривается область, в которой параметры нелинейности, дисперсии и дифракции имеют одинаковый порядок ( ~ 8) .

Внешнее постоянное магнитное поле с напряженностью Н0 имеет произвольную ориентацию в пространстве, определяемую углами 0<0< л, 0< ф <2л. Вектор перемещений, вектор малого возмущения магнитного поля и вектор суммарного магнитного поля имеют вид

позволяющие привести систему уравнений магнитоупругости в первом приближении по 8 к эволюционному уравнению относительно про-

H =

где u, v - проекции вектора перемещений на оси х и у.

Вводятся лучевые координаты

£ _ x — ct; ц _ єx; % _ л/єу

и новые функции

u _ u; v _Vsv;

Hz _Hz;Hx _^єНх;Ну _^Ну,

дольной деформации U _ д

где коэффициенты содержат напряженность магнитного поля, проводимость и модули упругости второго и третьего порядков, а коэффициент 5, как и ранее, обратно пропорционально зависит еще и от проводимости материала. Все коэффициенты зависят еще от углов 0 и ф.

Уравнение (3.5) соединяет в себе известные модельные уравнения Хохлова-Заболотской-Кузнецова (получается при р = 0) и Кадом-цева-Петвиашвили (при 5 = 0).

Аналитическое решение уравнения (3.5) имеет вид

25 ар

V V 2

1 5 , 6 53 5Ву к,2 ,

где к0 = —, к2 =--------------------------------------------------т- н-—, к1 - произвольная постоянная, при

0 5 р 2 125 р2 5

,2 6 54 ,

этом к1 >---------3. С помощью (3.6) проанализированы изменения ам-

625 ур3

плитуды и ширины волнового пучка вдоль каждой из координат в зависимости от величины внешнего магнитного поля. Показано, что с ростом напряженности внешнего магнитного поля амплитуда волнового пучка убывает. В то же время ширина пучка вдоль каждой из координатных осей возрастает с увеличением величины магнитного поля, причем вдоль продольной координаты ^ ширина пучка на порядок больше, чем вдоль поперечной % (рис. 3, 4):

Рис. 3. Амплитуда волнового пучка Рис. 4. Ширина пучка

Проанализированы изменения амплитуды А и ширины пучка вдоль каждой из координатных осей в зависимости от ориентации внешнего

2

магнитного поля. На рис. 5 изображена поверхность А , которая представляет собой зависимость амплитуды волны от углов 0 и ф.

Из рисунка видно, что с ростом угла ф на отрезке

0, -2

ампли-

туда волны убывает. При 0 = 0, п она принимает минимальное значе-

-

ние и не зависит от величины угла ф. При 0 = — амплитуда волны при-

нимает максимальное значение. С ростом угла 0 на отрезке

0,-2

ам-

плитуда волны возрастает, а в зависимости от угла ф принимает свое максимальное значение при 0 = 0, п. Амплитуда при ф = П, 3п принимает минимальное значение и не зависит от величины угла 0.

Рис. 5. Зависимость амплитуды волны от углов 0 и ф

Численное моделирование двумерных волновых процессов, описываемых уравнением (3.5), проведено в [8].

Для квазиплоского слаборасходящегося волнового пучка, распространяющегося в трехмерной упругой среде, введены безразмерные переменные

их иу и2

и , V-——, - 2

X ' у ' 2 - СІ

х ----,у =——,2 ------,і

&Аё &Аё &Аё Аё Ad Аё А^

и лучевые координаты: £, = х - , ц = гх , X = л/ву , С = \[ёг , позволяю-

щие привести систему уравнений магнитоупругости (1.1) в первом

приближении по а к одному скалярному уравнению для осевой деформации и -

д_

0^

0 2и

ди ттзи _

-----ь аи------ь В

0Л 0^ 0^2

+ Ї1

0 2и

0 2и

0 2 + ^2 2 0Х 0С

- 0,

где коэффициенты содержат напряженность магнитного поля, проводимость и модули упругости второго и третьего порядков, Л - безразмерный масштаб волны, Лd - длина волны, где с - характерная скорость, заранее неизвестная.

Если внешнее постоянное магнитное поле с напряженностью Но имеет произвольную ориентацию в пространстве, которая определяется углами 0 < 0 < п, 0 < ф < 2п, то вектор суммарного магнитного поля в рассматриваемом случае имеет компоненты (3.2), а коэффициенты в (3.8) будут зависеть еще и от углов 0 и ф.

Уравнение (3.8) совпадает с известным в теории нелинейных волн трехмерным уравнением Хохлова-Заболотской-Кузнецова. Решение этого уравнения имеет вид

и - А - БШ

аБ

-------^ +

2р

1

-х +

4у1 V 4у

2арБ

где А, В - произвольные постоянные.

С ростом напряженности внешнего магнитного поля, ширина волнового пучка (3.9) вдоль оси ^ уменьшается, в то время как вдоль координатных осей ^, £ возрастает. Ширина вдоль поперечной координаты % сначала убывает, затем начинает возрастать. Однако в силу ска-

с.

занного выше об интервале изменения величины

практический

интерес представляет только участок, где ширина пучка вдоль оси х убывает. Отметим, что значения ширины волнового пучка вдоль оси на три порядка больше, чем значения ширин волнового пучка вдоль осей х и £, и на шесть порядков больше, чем значения ширины (которую можно рассматривать, как поправку порядка в к ширине вдоль оси £) вдоль оси

2

На (рис. 6, 7) изображены сечения поверхности (ф,0), которая

представляет собой зависимость ширины волнового пучка вдоль оси от углов 0 и ф, плоскостями ф = const и 0 = const.

С ростом угла ф на отрезке

О, -2

ширина волнового пучка вдоль

оси ^ убывает. При 0 = 0, п она принимает минимальное значение и не зависит от величины угла ф. При 0 = п ширина волнового пучка вдоль оси ^ принимает максимальное значение. С ростом угла 0 на отрезке ширина волнового пучка вдоль оси ^ возрастает, а в зависимо-

О, -2

сти от угла ф принимает свое максимальное значение при ф = 0, п. Ширина пучка вдоль оси ^ при ф = П, 3^ принимает минимальное значение и не зависит от величины угла 0.

Рис. 6. Зависимость ширины волнового Рис. 7. Зависимость ширины волнового

пучка вдоль оси от угла 0 пучка вдоль оси от угла ф

Зависимости ширин волнового пучка вдоль остальных координатных осей от ориентации магнитного поля качественно похожи на рассмотренные выше, с той лишь разницей, что значения углов, при которых ширины принимают минимальные и максимальные значения, могут не совпадать с этими значениями для ширины волнового пучка вдоль оси

Следует отметить, что в отличие от стержня для пластины и упругой среды относительная степень влияния ориентации магнитного поля к его напряженности существенно больше.

Более подробно содержание публикуемой работы изложено в статьях [11-15].

Работа выполнялась при поддержке РФФИ (грант № 09-08-00188).

Библиографический список

1. Амбарцумян С. А., Багдасарян Г.Е., Белубекян М.В. Магнито-упругость тонких оболочек и пластин. - М.: Наука, 1977. - 272 с.

2. Багдасарян Г.Е., Даноян З.Н. Электромагнитоупругие волны. Ереван: Изд-во Ереван. гос. ун-та, 2006. - 492 с.

3. Новацкий В. Электромагнитные эффекты в твердых телах. -М.: Мир, 1986. - 160 с.

4. Можен Ж. Механика электромагнитных сплошных сред. - М.: Мир, 1991. - 560 с.

5. Tzou H.S. Piezoelectric Shells. - Dordrecht: Kluwer, 1993. - 480 p.

6. Rogacheva N. The Theory of Piezoelectric Plates and Shells. -Boca Raton: CRC Press, 1994. - 260 p.

7. Селезов И.Т., Корсунский С.В. Нестационарные и нелинейные волны в электропроводящих средах. - Киев: Наукова думка, 1991. - 200 с.

8. Нелинейные локализованные продольные волны в пластине, взаимодействующей с магнитным полем / В.И. Ерофеев, А.И. Земля -нухин, В.М. Катсон, А.О. Мальханов // Вычислительная механика сплошных сред. - 2010. - Т. 3, № 4. - С. 5-15.

References

1. Ambarcumjan S.A., Bagdasarjan G.E., Belubekjan M.V. Magnitou-prugost of thin covers and plates [Magnitouprugost' tonkih obolochek i plastin]. Moskow: Nauka, 1977. - 272 p.

2. Bagdasarjan G.E., Danojan Z.N. elektromagnitouprugie of a wave [Jelektromagnitouprugie volny]. Erevan: Izd-vo EGU, 2006. - 492 p.

3. Novackij V. Electromagnetic effects in firm bodies [Jelektromag-nitnyejeffekty v tverdyh telah]. Moskow: Mir, 1986. - 160 p.

4. Mozhen Zh. Mehanika of electromagnetic continuous environments [Mehanika jelektromagnitnyh sploshnyh sred]. Moskow: Mir, 1991. - 560 p.

5. Tzou H.S. Piezoelectric Shells. Dordrecht: Kluwer, 1993. - 480 p.

6. Rogacheva N. The Theory of Piezoelectric Plates and Shells. Boca Raton: CRC Press, 1994. - 260 p.

7. Selezov I.T., Korsunskij S.V. Non-stationary and nonlinear waves in electrospending environments [Nestacionarnye i nelinejnye volny v jelek-troprovodjawih sredah]. Kiev: Naukova dumka, 1991. - 200 p.

8. Erofeev V.I., Zemljanuhin A.I., Katson V.M., Mal’hanov A.O. Nonlinear the localized longitudinal waves in a plate cooperating with a magnetic field [Nelinejnye lokalizovannye prodol'nye volny v plastine, vzaimodejstvujuwej s magnitnym polem]. Vychislitel'naja mehanika splosh-nyh sred, 2010. - Vol. 3, No. 4. - P. 5-15.

Об авторах

Ерофеев Владимир Иванович (Нижний Новгород, Россия) -доктор физико-математических наук, профессор, заместитель директора по научной работе Нижегородского филиала Института машиноведения им. А.А. Благонравова РАН (603024, г. Нижний Новгород, ул. Белинского, д.85, e-mail: erf04@sinn.ru).

Мальханов Алексей Олегович (Нижний Новгород, Россия) -кандидат физико-математических наук, научный сотрудник Нижегородского филиала Института машиноведения им. А.А.Благонравова РАН (603024, г. Нижний Новгород, ул. Белинского, д.85, e-mail: alexey.malkhanov@gmail.com).

About the authors

Yerofeev Vladimir Ivanovich (Nizhny Novgorod, Russia) - Doctor of physical and mathematical sciences, professor, deputy director on scientific work of A.A. Blagonravov Mechanical Engineering Institute, RAS (603024, 85, Belinsky’s street, Nizhny Novgorod, e-mail: erf04@sinn.ru).

Malhanov Alexey Olegovich (Nizhny Novgorod, Russia) - Candidate of physical and mathematical sciences, research assistant of A.A. Blagonravov Mechanical Engineering Institute, RAS (603024, 85, Belinsky’s street, Nizhny Novgorod, e-mail: alexey.malkhanov@gmail.com).

Получено 3.06.2011