Глобальная разрешимость некоторых полулинейных уравнений соболевского типа

ГЛОБАЛЬНАЯ РАЗРЕШИМОСТЬ НЕКОТОРЫХ ПОЛУЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ СОБОЛЕВСКОГО ТИПА

В работе с использованием методов теории вырожденных полугрупп операторов показано существование на заданном отрезке единственного сильного решения задач Коши и Шоуолтера для двух классов полулинейных дифференциальных уравнений первого порядка в банаховом пространстве, не разрешенных относительно производной. Абстрактные результаты проиллюстрированы на примере полулинейного уравнения Дзекцера.

Ключевые слова: уравнение соболевского типа, полулинейное уравнение, сильное

решение, полугруппа операторов.

1. Введение

Многие начально-краевые задачи для уравнений и систем уравнений в частных производных, моделирующих различные реальные процессы, могут быть исследованы в рамках задачи Коши:

и

для уравнения

Ь и

не разрешенного относительно производной [1-3]. Здесь Я и ^ — банаховы про-

странства, оператор Ь : Я ^ ^ линеен и непрерывен, кег Ь = {0}, М : ^шМ ^ ^ линеен, замкнут и плотно определен в Я, оператор N : \Ь0,Т] х Я ^ ^ нелинеен.

Условиям локального существования решения задачи (1), (2) посвящены многие работы Г. А. Свиридюка и его учеников (см., например, [1; 2]). Обусловлено это в частности тем, что рассматриваются уравнения, которые на ядре оператора Ь не являются дифференциальными и к ним может быть применена теорема о неявной функции.

Частным случаем уравнения (2) является уравнение

и

разрешенное относительно производной. Множественные результаты, касающиеся локальной и глобальной разрешимости задачи Коши для этого уравнения, содержатся в монографии [4]. Они касаются случаев, когда оператор 5' порождает аналитическую или сильно непрерывную С0-полугруппу операторов.

Цель данной работы — получить условия глобальной разрешимости задачи Коши для двух специальных классов уравнений вида (2) в смысле сильных решений, играющих важную роль, например, в теории оптимального управления распределенными системами, в том числе — соболевского типа [5; 6]. Помимо задачи

Коши будет исследована также задача Шоуолтера, часто даже более естественная в случае кег Ь = {0}. Условие Шоуолтера задается не для всего решения в начальный момент времени, а лишь для его проекции на фазовое пространство линейной части уравнения. Поэтому оно позволяет обойтись без достаточно громоздких условий согласования, необходимых при исследовании задачи Коши.

Для достижения поставленных целей будут использованы некоторые результаты, касающиеся вырожденных сильно непрерывных полугрупп операторов [7-9], и упомянутые результаты о глобальной разрешимости невырожденной задачи (1), (3) в смысле сильных решений с оператором 5, порождающим С0-непрерывную полугруппу [4].

В отличие от работ предшественников теоретический результат в первом из упомянтых специальных случаев допускает существование М-присоединенных векторов у оператора Ь.

Полученные абстрактные результаты проиллюстрированы на примере начально-краевой задачи для модифицированного полулинейного уравнения Дзек-цера.

2. Сильно (£, р)-радиальные операторы

Сначала коротко приведем используемые в дальнейших рассмотрениях результаты теории вырожденных полугрупп операторов, доказательство которых можно найти в [7; 8].

Пусть Я,  — банаховы пространства. Через С(Я; ) будем обозначать банахово пространство линейных непрерывных операторов, действующих из Я в  Если $ = Я, то обозначение сократится до С(Я). Множество линейных замкнутых операторов с областями определения, плотными в пространстве Я, действующих в , будем обозначать С 1(Я; $)• Множество операторов С 1(Я; Я) обозначим через С 1(Я)•

В дальнейшем предполагаем, что операторы Ь Е С(Я; ), М Е С 1(Я; ). Обозначим рь(М) = {ц Е С : (цЬ — М)-1 Е С(; Я)}, Я^(М) = (цЬ — М)-1Ь, ЬЦМ) = Ь(цЬ — М)-1, К+ = {а Е К : а > 0}, К+ = {0} и К+, N = {0} и N.

Определение 1. Пусть р Е М0. Оператор М называется сильно (Ь,р)-радиальным, если

(I) За Е К (а, +то) С рь(М);

(II) ЗК > 0 Уц Е (а, +то) Ун Е N

К

шах^КЯ^ЛОГ+^Иедь ||{^М))"(!'+1,11од)} < ц _ а)п{р+1,;

О

(III) существует плотный в $ линеал $ такой, что

\\м(цЬ — мгЧь^м)Г+*ц8« У* Е

при любом ц Е (а, +го);

К

\\Шм)Г1(рь - м}-1|\ОД;и) «

(^ - а)р+2'

Замечание 1. Эквивалентность этого, более простого определения сильной (Ь,р)-радиальности и того, которое было использовано в [7-9], доказана в [10].

Обозначим через Я0 (5°) ядро кегЯ^ Р)(М) (кегЬ^р)(М)), а через Я1 (51) -замыкание линеала ішЯ^ Р)(М) (ішЬ^ Р)(М)) в норме пространства Я (5)- Через Мк (Ьк) будем обозначать сужение оператора М (Ь) на ^шМк = Як П ^шМ (Як), к = 0,1.

Теорема 1 [7]. Пусть оператор М сильно (Ь,р)-радиален. Тогда

i) Я = Я° 0 Я1, 5 = 5° © 51;

ii) Ьк Є С(Як; 5к), Мк Є С 1(Як; 5к), к = 0,1;

iii) существуют операторы М-1 Є С(&°; Я°) и Ь-1 Є С(51; Я1); іу) оператор Н = М-1Ь° нильпотентен степени не больше р; у) существует сильно непрерывная полугруппа {и* Є £(Я) : Ь Є К+} уравнения Ьи = Ми;

(уі) оператор Ь-1М1 Є С/(Я1) является инфинитезимальным генератором

С°-непрерывной полугруппы {!]{ = и * Є £(Я1) : Ь Є К+}.

и1

Замечание 2. Проектор вдоль Я° на Я1 (вдоль 5° на 51) имеет вид

р = в- ііт (^(М))р+1, (д = в- ііт (ЬЛМ))р+1).

При доказательстве утверждения (іі) используется тот факт, что в условиях теоремы 1 выполняются равенства дЬ = ЬР, дМи = МРи для и Є &отМ.

3. Глобальное существование и единственность решения

Рассмотрим задачу Коши для полулинейного уравнения соболевского типа

Ьіі

и

где N : \Ь°,Т] х Я ^ 5 — нелинейный оператор.

Определение 2. Сильным решением задачи (4), (5) назовем такую дифференцируемую почти всюду на отрезке \Ь°,Т] функцию, для которой іі Є Ь1(Ь°,Т; X), выполняется условие (5) и при почти всех Ь Є \Ь°,Т] справедливо равенство (4).

Теорема 2. Пусть Я — рефлексивное банахово пространство, оператор М сильно (Ь,р)-радиален, оператор N : \Ь°,Т] х Я ^ 5 липшицев по двум переменным, imN С 51. Тогда для любого и° Є &отМ П Я1 задача (4), (5) имеет единственное сильное решение на [і°,Т].

Доказательство. Поочередно домножим уравнение (4) слева на Ь- 1Q и М-1 (I — Q), получим задачу Коши:

Ь = Бу + Ь-1QN

Нй = т + М-1

у

й

для пары функций і(ї) = Ри(ї), т(ї) = (I — Р)и(ї). Здесь использовано обозначение Б = Ь- М1, а также обозначения предыдущего параграфа.

Если imN С 5і, то (I — Q)N = 0, QN = N .В этом случае уравнение

(7) принимает вид Нй = т. В силу нильпотентности оператора Н, как нетрудно показать, это уравнение имеет только тривиальное решение т = 0 (см., например,

[8]). Отсюда и из (9) следует необходимость условия и° Є Я1.

Уравнение (6) в таком случае принимает вид

V = Бу + Ь-1N

Задача (8) для уравнения (10) имеет единственное сильное решение в силу теоремы 6.1.6 [4], поскольку по теореме 1 (уі) оператор Б порождает С°-непрерывную полугруппу, начальное значение Ри° = и° Є ^тБ = АотМ]^, а оператор Ь-^ : [Ь°,Т] х Я —— Я липшицев по двум переменным в силу ограниченности оператора Ь-1.

Теорема 3. Пусть Я — рефлексивное банахово пространство, оператор М сильно (Ь, 0)-радиален, оператор QN : \Ь°,Т] хЯ — 5 липшицев по двум переменным, для любых (Ь,и) Є \Ь°,Т] х Я выполняется равенство N(Ь,и) = N(Ь,Ри), кроме того и° Є &отМ,

Тогда задача (4), (5) имеет единственное сильное решение на \Ь°,Т].

Доказательство. Так как оператор М сильно (Ь, 0)-радиален, то в силу теоремы 1 (іу) Н = 0. Тогда система уравнений (6), (7) с учетом условий на оператор N примет вид:

т = —М-1^ — Q)N

і) = Бу + Ь-1QN

По теореме 6.1.6 [4] задача (8), (13) имеет единственное сильное решение

на [і°,Т], поскольку оператор Ь-1QN липшицев по двум переменным, а у(0) = = Ри° Є ^тБ.

Зная V, из (12) найдем т. Тогда решение исходной задачи

и = V — М-1^ — Q)N(Ь, у).

Отсюда следует необходимость условия согласования (11) на начальные данные.

Для уравнений вида (4) часто более естественной является не задача Коши, а задача с начальным условием

Ри

(см. [8]), в которой в начальный момент времени задается значение не всего решения, а только его проекции на образ разрешающей полугруппы. Такая задача в случае сильной (Ь, р)-радиальности оператора М редуцируется к системе (6), (7), снабженной лишь одним начальным условием (8). Поэтому необходимость в условии согласования (11) исчезает.

Теорема 4. Пусть Я — рефлексивное банахово пространство, оператор М сильно (Ь, 0)-радиален, оператор QN : [Ь°,Т] х Я — 5 липшицев по двум переменным, для любых (Ь,и) Є [Ь°,Т] х Я выполняется равенство N(Ь,и) = N(Ь,Ри), и° Є &отМ]_. Тогда задача (4), (14) имеет единственное сильное решение на [(° ,Т].

Результат об однозначной разрешимости задачи (4), (14), аналогичный теореме 2, не отличается от нее по форме.

Теорема 5. Пусть Я — рефлексивное банахово пространство, оператор М сильно (Ь,р)-радиален, оператор N : [Ь°,Т] х Я — 5 липшицев по двум переменным, imN С 5і. Тогда для любого и° Є &отМ1 задача (4), (14) имеет единственное сильное решение на [Ь°,Т] .

Замечание 3. Если банахово пространство Я не является рефлексивным, усилив условия на оператор N, можно аналогичным образом, используя теоремы 6.1.5 и 6.1.7 из [4], получить условия глобального существования классического решения и Є С1 ([Ь°,Т];Я)ПС([Ь°,Т]; ф) задачи (4), (5) или задачи (4), (14). (Здесь банахово пространство ф = (\отМ снабжено нормой графика ||и||э = ||и||и + ||Ми||#.) Для этого условие липшицевости оператора QN по двум переменным в теоремах 2-5 надо заменить на одно из следующих двух условий:

(А1) Отображение QN : [Ь°,Т] х Я — 5 непрерывно дифференцируемо.

(А2) Оператор Ь-1QN : [і°,Т] х ф ф равномерно липшицев в ф и для каждого и Є ф отображение QN(Ь,и) : [Ь°,Т] — ф непрерывно.

4. Пример

Пусть П С К™ — ограниченная область с границей дП класса Сж, п < 4,

д : К х П х К — К. Будем искать функцию г = г(х,Ь), определенную в цилиндре

П х [Ь°,Т], удовлетворяющую в нем равенствам

(Л — А)г*(х, Ь) = аАг(х, Ь) — вА2г(х, Ь) + (Л — А)д(Ь, х, г(х, Ь)), (х, Ь) Є П х [Ь°,Т],

г

Это начально-краевая задача для модифицированного уравнения Дзекцера, моделирующего эволюцию свободной поверхности фильтрующейся жидкости [11].

Здесь Л, а Е К, в Е К+ — параметры, характеризующие среду. Слагаемое (Л — А)д(Ь, х, г) играет роль внешней нагрузки, зависящей в том числе от скорости потока жидкости.

Редуцируем задачу (15)—(17) к задаче (4), (14). Положим Я = И2(П), $ = Ь2(П), АошМ = {и Е И4(П) : и(х) = Аи(х) = 0, х Е дП}, Ь = Л — А, М = а А — в А2.

Сильным решением в смысле определения 2 для задачи (15)—(17) является функция г : П х \Ь0,Т] ^ К такая, что для любого Ь Е \Ь0,Т] выполняется г(-,Ь) Е И2(П), которая дифференцируема по Ь почти всюду на \Ь0,Т] в смысле нормы И2(П), г Е Ь1(Ь0,Т; И2(П)), выполняются условия (16), (17) и на П х 1 — равенство (15). Здесь 1 — плотное множество в \Ь0,Т].

Теорема 6. Пусть п < 4, аЛ — вЛ2 = 0, д Е С3(\Ь0,Т] х П х К), функции (Л — А)дг,

(Л — А)ди ограничены на \Ь0,Т] х П х К, г0 Е И4(П) такое, что г0(х) = Аг0(х) =

0 для х Е дП, / г0(х)^к(х)йх = 0 при Лк = Л. Тогда задача (15)—(17) имеет п

единственное сильное решение на \Ь0,Т].

Доказательство. Пусть А : Ь2(П) ^ Ь2(П), Аи = Аи, ёошА = {и Е И2(П) : и(х) = 0, х Е дП}. Обозначим через {^к} множество собственных функций оператора А, соответствующих его собственным значениям {Лк}, пронумерованным по невозрастанию с учетом их кратности. Известно [7], что в данном случае при Л Е &(А), аЛ — вЛ2 = 0 оператор М является сильно (Ь, 0)-секториальным, а значит, и сильно (Ь, 0)-радиальным (см. [8]). При этом Я0 = = 8рап{^к : Лк = Л},

Я1 и З1 есть замыкания линеала врап{^к : Лк = Л} в норме пространства И2(П) или Ь2(П) соответственно. Поэтому условие (17) задает начальное значение не всего решения, а лишь его проекции на подпространство Я1. Следовательно, (17) — это условие Шоуолтера, а условия на функцию г0 в формулировке теоремы означают, что в абстрактной постановке в условии (14) и0 Е АошМ]^.

В случае п < 4 имеют место непрерывные вложения И2

||(Л — А)д(г,-^Шьт < \Л\\\д(Ь,,и(-))^ь2(п)+

+£

і=

п

+Е

д2

і=1

дх2 д 2

д

+2-Е

Ь2(^) і=1

д 2

дхіди

д(і, •,и^))и'

+

Ь2{П)

ди2

+ Е

Ь2 т і=і

^ |А| тах \д(і, х, и(х))\те81/2(О) + тах

д 2

і=1

хЄт

д2

дх2

д

+2

і=1

п

+Е

шах

хЕП

і=1

шах

хЕП

дхіди д2

д

и II +

І^ІІІ Ь2(П) +

ди2

д

и

Ь2

+

Ь2(П) тев1/2(П) +

2

2

+£

г=1

тах

хЕП

д

—дЦ,х,и

\и" II

I ^х1хЛ\ Ь2

мм 11 112

С с1 + С2\\и\\Н2 (П) + Сз\\и\\щ1

т

С1 + с2 ||и||н 2(п) + с4 IIи IIН 2 (п)•

Таким образом, мы имеем нелинейное отображение N : \Ь0,Т] х Н2(О,) ^ Ь2(О), действующее по правилу N(Ь,и)(х) = (Л — А)д(Ь,х,и(х)). Очевидно, что imN С С 1тЬ = З4.

Возьмем (Ь1,и1), (Ь2, и2) Е [Ь0,Т] х Н2(О) и получим

\\N (Ь1,и1) — N&,и2)\\ь2(П) = J |(Л — А)(д(Ь1,х,и1(х)) — д(Ь2,х,и2(х)))\ йх

п

2

[(Л — А)д(9Ь1 + (1 — 9)Ь2,х, 9и1(х) + (1 — 9)и2(х))]!вй9 йх С

о

п

1

х

С 2J \щ(х) — и2(х)\ х п

(Л — А)ди(9Ь1 + (1 — 9)Ь2,х, 9и1(х) + (1 — 9)и2(х))й9

йх+

+2\Ъ1 —

(Л — А)дг(9Ь1 + (1 — 9)Ь2,х, 9и1(х) + (1 — 9)и2(х))й9

йх С

С 2 вир (|(Л — А)д1(1,х,и)\‘ тев(П) + |(Л — А)ди(Ь,х,и)\2) х

(Ь,х,и)Е[Ьо,Т] хПх1

х ^1 — + \\и1 — и2\\Н2(П)) •

Это означает липшицевость по Ь и и оператора N.

Рефлексивность пространства Я = Н2 (О) известна. Таким образом, к задаче (15)—(17) можно применить теорему 5.

Замечание 4. Неограниченной функцией д, удовлетворяющей условиям теоремы 6, является, например,

д(Ь, х, и) = аг^ и — - 1п(1 + и2)^ •

Список литературы

1. Свиридюк, Г. А. Многообразие решений одного нелинейного сингулярного псев-допараболического уравнения / Г. А. Свиридюк // ДАН СССР. — 1989. — Т. 289, № 6. — С. 1315-1318.

2. Свиридюк, Г. А. Фазовое пространство начально-краевой задачи для системы Осколкова / Г. А. Свиридюк, М. М. Якупов // Дифференц. уравнения. — 1996. — Т. 32, № 11. — С. 1538-1543.

2

2

1

3. Свешников, А. Г. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа /

A. Г. Свешников, А. Б. Альшин, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер. — М. : Физмат-лит, 2007.

4. Pazy, A. Semigroups of Linear Operators and Applications to Partial Differential Equations / A. Pazy. — N. Y. : Springer-Verlag, 1983.

5. Федоров, В. Е. Оптимальное управление линейными уравнениями соболевского типа / В. Е. Федоров, М. В. Плеханова // Дифференц. уравнения. — 2004. — Т.40, № 11. — С. 1548-1556.

6. Fedorov, V. E. Solvability of start control problems for semilinear distributed Sobolev type systems / V. E. Fedorov, M. V. Plekhanova // Int. J. Mathematical Modelling and Numerical Optimisation. — 2010. — Vol. 1, № 3. — P. 153-167.

7. Федоров, В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов /

B. Е. Федоров // Алгебра и анализ. — 2000. — Т. 12, вып. 3. — С. 173-200.

8. Sviridyuk, G. A. Linear Sobolev Type Equations and Degenerate Semigroups of Operators / G. A. Sviridyuk, V. E. Fedorov. — Utrecht; Boston : VSP, 2003.

9. Федоров, В. Е. Обобщение теоремы Хилле - Иосиды на случай вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах / В. Е. Федоров // Сиб. мат. журн. — 2005. — Т. 46, № 2. — С. 426-448.

10. Федоров, В. Е. Свойства псевдорезольвент и условия существования вырожденных полугрупп операторов / В. Е. Федоров // Вест. Челяб. гос. ун. — 2009. — № 20 (158). — Математика. Механика. Информатика. — Вып. 11. — С. 12-19.

11. Дзекцер, Е. С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью / Е. С. Дзекцер // ДАН СССР. — 1972. — Т. 202, № 5. — С. 10311033.