Безытерационный расчет динамических процессов в электрических цепях с нелинейными реактивностями

Конопльов К. Г., Олейніченко Н.Н. Новий метод розрахунку вищих гармонік при імпульсному регулюванні синхронних генераторів.

Отримано аналітичні вирази фазної напруги генераторів і коефіцієнтів несинусоїдальності залежно від форми імпульсів напруги збуджень і вищих гармонік.

Ключові слова: синхронний генератор, імпульсне регулювання збудження, вищі гармоніки напруги.

Konoplyov K., Oleynichenko N. New method of higher harmonics calculation at pulse control of synchronous generators.

Analytical expressions are derived for generators phase voltage and unsinusoidality coefficients depending on the form of excitation voltage pulses and higher harmonics.

Key words: synchronous generator, excitation pulse control, voltage higher harmonics.

УДК 621.3

Л. Н. Канов канд. техн. наук Севастопольский национальный технический университет

БЕЗЫТЕРАЦИОННЫЙ РАСЧЕТ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЯХ С НЕЛИНЕЙНЫМИ РЕАКТИВНОСТЯМИ

Предлагается методика расчета динамических режимов электрических цепей, содержащих нелинейные индуктивности и емкости. Методика основана на явных методах интегрирования дифференциальных уравнений и требует на каждом шаге решения просчета линейной цепи, что сокращает время расчета по сравнению с обычно применяемыми итерационными методами. Методика иллюстрирована расчетом процесса включения трансформатора.

Ключевые слова: безитерационный расчет, электрические цепи, динамический режим, нелинейная реактивность, явные методы интегрирования, включение трансформатора.

Введение

Расчеты динамических режимов в нелинейных электромагнитных цепях применяются при проектировании и моделировании электротехнических систем. Для таких расчетов в сложных цепях с крутыми характеристиками нелинейных элементов используются зарубежные и отечественные программные продукты, такие как NAP, PSpise, MatLab Simulink, COLO [1] и др., решение в которых производится на основании неявных методов интегрирования дифференциальных уравнений. В этих методах вычисления на каждом шаге расчета сопровождаются итерационным процессом определения переменных, скорость сходимости которого зависит от начальных приближений и свойств цепи. Время расчета, поэтому может быть большим. Неудачный выбор начальных приближений приводит к отказу решения. Явные методы в таких расчетах имеют меньшую точность. В обычной ситуации отсутствия или невозможности получения нормальной формы дифференциальных уравнений на каждом шаге здесь также возникает необходимость итерационного расчета нелинейной цепи постоянного тока, как и при применении неявных методов.

Вместе с тем, существует круг задач, для решения которых применение явных методов оправдано. Эти задачи связаны с расчетом режимов в цепях, содержащих только реактивные из нелинейных элементов. К таким задачам относятся, например, расчеты переходных процессов в трансформаторах, реакторах [1, 2]. В этих условиях для нежестких задач явные методы мало уступают неявным, и в них отсутствуют отмеченные затруднения, характерные для неявных методов.

В жестких задачах подобного типа явные методы применяются совместно с неявными для получения начальных приближений итерационного процесса на каждом шаге. Кроме того, явные методы позволяют получать значения переменных на нескольких первых шагах расчета, без которых неявный многошаговый метод не может стартовать.

Отличительными особенностями применения явных методов к рассматриваемым задачам является возможность безытерационного расчета процесса на шаге, что сокращает время расчета, и отсутствие необходимости составления дифференциальных уравнений цепи. Эти особенности связаны с построением и последующим расчетом линейных схем постоянного тока, число

© Л. Н. Канов 2010 р.

которых определяется принятым явным методом интегрирования.

Целью статьи является обоснование применения явных методов для численного безытерационного расчета динамических режимов электромагнитных цепей, нелинейность которых обусловлена лишь реактивными элементами.

Материалы исследования

Покажем применение одношагового явного метода, основанного на разложении правой части уравнения х ' = /(х, /) в ряд Тэйлора [3]. Решение х(/) в момент /п+1 имеет вид:

x(tn+l) = x(tn) + hф(xn, tn, h),

к к2

где ф(х, /, к) = х' (/) + —х"(/) + “3“х "' (/) +.... Номер N

последнего удерживаемого слагаемого в (1) определяет порядок метода и его точность 0(к^). Затруднением в применении метода является необходимость вычисления производных от правой части ф(х, /, к). В [4] предложен способ рекуррентного вычисления слагаемых, входящих в функцию ф , однако в условиях отсутствия нормальной формы уравнений цепи применение этого способа затруднено.

Покажем возможность применения метода ряда Тейлора к рассматриваемому кругу задач. Уравнение нелинейной индуктивности имеет вид:

Lii = u(i, t),

где Ь = Ь(/)- дифференциальная индуктивность. Необходимые производные /",/" ,/"" ,...,/(N) в выражении (1) получаем путем последовательного дифференцирования уравнения (2):

u’ = L’i’ + Li";

," Т " 4' I Л Т ' 4" I Т V•

u — L i + 2L i + Li ;

u"" = L" i" + 3L" i" + 3L i" + Li

и далее по аналогичной структуре с биномиальными коэффициентами. В выражениях

L' = Li; L" = Lti  (i")2 + L1i"; L"" = L111  (i')3 + 3Liii"i" + Lti""; ...

d 2 L

вычисляются в соответ-

Т Л т

где А- = — ; т„ = 2 .

аі Жі2

ствии с принятой аппроксимацией вебер - амперной характеристики. Аналогичные соотношения имеют место для нелинейной емкости с уравнением Си' = і, где С = С (и) - дифференциальная емкость.

Напряжения на индуктивностях иь и токи емкостей С и их производные в момент /п определяются путем последовательных расчетов исследуемой цепи, в которой индуктивности заменяются источниками

тока, численно равными 1ь, /ь, /'ь,... а емкости - источниками ЭДС ис, и'с, и'С , ... . В линейных индуктивностях и емкостях ь" = Ь" =... = 0; С = С =... = 0. Источники тока и ЭДС заменяются постоянными источниками, равными своим значениям и производным

соответствующего порядка в момент /п .

Таким образом, для расчета процесса на шаге следует N раз рассчитать линейную схему постоянного тока, что снижает затраты времени по сравнению с итерационной процедурой и делает расчет независимым от выбора начальных приближений переменных. Алгоритмы автоматизированного расчета линейных схем постоянного тока реализуются простыми программными средствами. Приемлемая точность решения достигается при N = 4...5 [5]. Ввиду простой структуры

уравнений (3), (4) N может быть увеличено.

Среди явных методов, в которых не требуется вычисления производных (3), (4), выделим метод Дорма-на-Принса [4], который предоставляет возможность управления шагом. В соответствии с этим методом для нелинейной индуктивности (2) на каждом шаге необхо-

киЬ (/Ьп, /п ) .

димо вычислить 7 коэффициентов: kl =-

L

huL (iLnl, tn +0,2h) , huL (iLn2, tn +0,3h) .

k2 =------------------—:------------ ; k3 = _

k4 =

kб =

L

huL

huL

L

8

k5 = •

huL

L(iLn5) 1Lnl = 1Ln + 0,2kl ;

k7 =

L

J'

1Ln2 = 1Ln +

где

3kl + 9k2 40

44к, 56к2 32к3

/Ьп3 = /Ьп +----------------------------------------1-; остальные значения

ьп3 ьп 45 15 9

приведены в приложении А. Окончательная величина тока 1ь на шаге определяется значением /ьп7 , также

приведенным в приложении. Величина /Ьпб служит для управления шагом. Аналогичные соотношения справедливы для нелинейных емкостей.

Для расчета напряжений на нелинейных индуктивностях и токов в нелинейных емкостях на каждом шаге необходимо последовательно рассчитывать 7 линейных

8

ISSN1б07-б7б1

«Електротехніка та електроенергетика» №2, 2010

схем постоянного тока, в которых индуктивности заменяются источниками тока со значениями

/ьп, /ьп1,..., гьпб , а емкости - источниками ЭДС

исп, исп1,.., испб . Источники тока и ЭДС учитывают -

ся постоянными значениями в моменты: /п ; /п + 0,2к;

8 ,

+ 0,3к ; + 0,8к ; +—к ; /п+1; /п+1. Точность ме-

9

тода оценивается 0(к ).

Расчет вспомогательных линейных схем постоянного тока можно использовать и при применении многошаговых методов. Применение к нелинейной индуктивности (2) полуявного метода прогноза - коррекции Адамса-Башфорта-Маултона с фиксированным шагом

[б] для вычисления /п+1 дает выражение:

И_

24

9иЬ Отп+Ь ґп+1)

Л

+ 1пк

. В правой час-

Т

ти этого выражения -т п+1 предварительно оценивает-

ся 1Ь п+1 = 1п +

55иТ

- + і

пр

, где величины

гпк, гпр приведены в приложении А. Аналогичные соотношения выполняются для нелинейной емкости.

На каждом шаге для получения прогноза

п+ъ ис п+1 необходимо рассчитывать линейную схему, где индуктивности заменены источниками тока /ьп, а емкости - источниками ЭДС исп. Затем эта схема рассчитывается еще раз с источниками п+l, ис п+1

для получения окончательных значений п+l, ис п+1.

В первый раз независимые источники тока и ЭДС учитываются в момент /п, во второй - в момент /п+1. Как

показано в [4], точность метода определяется 0(кр+1),

где р < к ; к = 4 .

Аналогично для расчета динамических режимов в цепях с нелинейными реактивностями линейные схемы постоянного тока применяются при использовании других явных методов (Рунге-Кутты, Фехлберга) с сохранением присущим им условий сходимости и точности.

Пример расчета

Рассмотрим расчет процесса подключения трансформатора к источнику питания, рис. 1, где га, гв, гс -сопротивления линии; гндБ, гнвс, гнса - сопротивления нагрузки. Магнитную систему трансформатора по фазам полагаем несвязанной; вебер-амперную харак-

теристику фазы определим выражением Ф(Р), где

МДС

ев гв

^1В С

г„АВ

^2ВС

^нВС

і "" 1 ] 1 фазы

^2СА

гнСА

Р = + ^2^2 ; Щ, - число витков обмоток фазы;

= 2 дФ

дифференциальные индуктивности ьдф 1 = м1 "др;

2 дФ

Ьдф 2 = ^2 —— ; коэффициент взаимной индукции

дР

дФ

М дф = ^1^2----. Напряжение на первичной обмотке

дР

фазы имеет вид и = (Ь81 + Ьдф і) С- + Мдф С2;

на вто-

,т т ^аі2 аі1

ричной - и2 = (1,2 + Ьдф 2^~2 +Mдф—t, где

аґ аґ

Ь^, 2 - индуктивности рассеяния.

Рис. 1. Схема включения трехфазного трансформатора

Расчетная линейная схема постоянного тока изображена на рис. 2, на котором вместо индуктивностей помещены источники постоянного тока

• АВ, • ВС, 31СА, •2 АВ, •2 ВС, •2 СА ; взаимные индуктивности учитываются управляемыми источника-

г. е1 ав = мдф АВ

сі

2 АВ . „ = М Ж1 АВ и

— ; 62 АВ = Мдф АВ— и далее по фазам с очевидной заменой индексов. Управ -ляющие напряжения этих источников, равные производным токов, снимаются с источников тока:

и1 АВ = (Ьї1 + Ьдф1 АВ ) ;и2 АВ = (Ь2 + Ьдф2 АВ ) ^

и т. д. В начальный момент времени все источники тока полагаются нулевыми, в соответствии с чем определяются индуктивности и коэффициенты взаимной индукции.

На рис. 3 изображены результаты расчета процесса включения трансформатора на трехфазное напряжение промышленной частоты при Ем = 51В . Сопротивления линии приняты по 0,1 Ом; сопротивления

а

2 АВ

Рис. 2. Расчетная схема постоянного тока

нагрузок по 100 Ом; первичные обмотки имеют по 100 витков, вторичные - по 150 витков; индуктивности рассеяния первичных обмоток - по 30 мГ н, вторичных -по 60 мГ н. Вебер-амперная характеристика магнитной цепи фазы аппроксимирована зависимостью

Ф(Р) = а • агС£(ЬР) + сР при а = 3 -10-4; Ь = 0,2; с = 4 • 10“7. Момент включения соответствует начальной фазе 0,05 • п для источника єа .

і, А1

20

10

0

-10

-20

0 0,05 0,10 t>c

Рис. 3, а показывает искажения формы токов первичных обмоток; в фазе А наблюдается всплеск намагничивающего тока іа . Форма магнитного потока фазы АВ показана на рис. 3, б, на котором выделяются

интервалы насыщения сердечника. Расчет рассматриваемого процесса для контроля также был выполнен в среде MathCad путем непосредственного интегрирования систем нелинейных дифференциальных уравнений для фазных токов обмоток. Результаты расчета показали соответствие вышеприведенным графикам процесса. Подготовка решения, предполагающая составление уравнений в нормальной форме, требует затрат времени, быстро нарастающих при усложнении схемы.

Вывод

Для моделирования динамических режимов в электромагнитных цепях с нелинейными реактивностями на основании явных методов интегрирования предложено применение ряда линейных схем постоянного тока на шаге процесса. Это позволило исключить итерационный процесс и сократить время расчетов с использованием простых программных средств, а также избавиться от необходимости составлять дифференциальные уравнения цепи в нормальной форме.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Тиховод С. М. Система компьютерного моделирования динамических процессов в нелинейных магнитоэлектрических цепях // Технічна електродинаміка. - 2008. - № 3. - С. 16-23.

2. Лучко А.Р. Имитационное моделирование электромагнитных процессов в магнитосвязанных электрических цепях / А. Р. Лучко, Т. В. Попова // Електротехніка та електроенергетика. - 2009. - № 1. -С. 16-22.

3. Современные численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений ; [ под ред. Дж Холла, Дж. Уатта]. - М. : Мир, 1979. - 312 с.

4. Хайрер Э. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Нежесткие задачи / Э. Хайрер, С. Нёрсетт, Г. Ваннер. - М. : Мир, 1990. - 512 с.

5. Чуа Л.О. Машинный анализ электронных схем: Алгоритмы и вычислительные методы / Л. О. Чуа, Пен-Мин Лин. - М. : Энергия, 1980. - 640 с.

6. Мэтьюз Д. Г. Численные методы. Использование МАТЬАВ / Д. Г. Мэтьюз, К. Д. Финк. - М. : Издат. дом «Вильямс», 2006. - 720 с.

10

ISSN1б07-б7б1

«Електротехніка та електроенергетика» N°2, 2010

Приложение А

Вспомогательные величины для метода Дормана-Принса

19372k 253б0^ б4448£, 2l2k4

iLn4 = iLn +------------------+----------------

Ln4 б5б1 2187 б5б1 729 ’

90l7k1 355k2 4б732£3 49k4 5l03k5

1Ln5 = 1Ln + -----T!- + + '

31б8 33 5247 17б 18б5б ’

35k1 500k3 l25k4 2l87k5 1k

IlП6 = iLn +------+-------+------------------+------

Lnб Ln 384 1113 192 б784 84 ’

5l79k1 757lk3 393k4 92097k5 187kб k7

ijn7 = ijn +----------------------------------------------+-+-+-+-

Ln/ L 57б00 1бб95 б40 339200 2100 40 '

Вспомогательные величины для метода Адамса-Башфорта-Маултона

5uL

ink =-------------------+------------------•

L(ijn-l) L(ijn-2) ’

59uL

i ________——

np

L

Стаття надійшла до редакції 15.05.2010 р.

Після доробки 18.05.2010 р.

Канов Л. М. Безітераційний розрахунок динамічних процесів у електричних колах з нелінійними реактивностями

Пропонується методика розрахунку динамічних режимів електричних кіл, що містять нелінійні індуктивності і ємності. Методика заснована на явних методах інтегрування диференціальних рівнянь і вимагає на кожному кроці вирішення прорахунку лінійного ланцюга, що скорочує час розрахунку в порівнянні із зазвичай вживаними ітераційними методами. Методика ілюстрована розрахунком процесу включення трансформатора.

Ключові слова: безітерационньїй розрахунок, електричні кіли, динамічний режим, нелінійна реактивність, явні методи інтеграції, включення трансформатора.

Kanov L. Noniterative calculation of dynamic processes in electric circuits with nonlinear reactances The procedure of calculating dynamic modes of electric circuits containing nonlinear inductances and capacitances is proposed. The procedure is based on the explicit methods of differential equations integration and requires calculating a linear circuit at every solving step, decreasing the computation time as compared to usual iterative methods. The method is illustrated by calculation of the transformer activation process.

Key words: uniterationly calculation, electric circuits, dynamic mode, nonlinear reactivity, obvious methods of integration, including of transformer.

її