Межпредметные понятия и формирование универсальных учебных действий при изучении математики

О. А. Иванова

Победитель конкурса поддержки публикационной активности молодых исследователей

МЕЖПРЕДМЕТНЫЕ ПОНЯТИЯ И ФОРМИРОВАНИЕ УНИВЕРСАЛЬНЫХ УЧЕБНЫХ ДЕЙСТВИЙ ПРИ ИЗУЧЕНИИ МАТЕМАТИКИ

Автор уточняет формулировку межпредметных понятий, рассматривает связь между формированием межпредметных понятий и овладением универсальными учебными действиями (УУД).

Ключевые слова: межпредметное понятие; соподчинённые понятия; универсальные учебные действия.

O. Ivanova

Interdisciplinary Concepts and Development of Universal Learning Actions in Learning Mathematics

This article examines the relationship between the development of interdisciplinary concepts and mastery of universal learning actions.

Keywords: interdisciplinary concept, subordinated notions, universal learning activities.

Освоение учащимися межпредметных понятий и овладение универсальными учебными действиями (УУД) — основные мета-предметные образовательные результаты согласно Федеральным Государственным образовательным стандартам (ФГОС) второго поколения.

Существуют четыре категории УУД: познавательные, коммуникативные, личностные и регулятивные. УУД представляют собой способы деятельности, применимые не только в рамках образовательного процесса, но и при решении проблем в реальных жизненных ситуациях, в других предметных областях. Межпредметные понятия, на первый взгляд, также встречаются в различных учебных дисциплинах и, возможно, в реальных жизненных ситуациях. Какая связь между УУД и межпредметными понятиями? Как изучение межпредметных понятий влияет на формирование УУД у школьников? Чтобы ответить на эти вопросы, необходимо выяснить, какие понятия считать

межпредметными и в чём особенность их изучения на уроках математики. В разных учебных дисциплинах можно выделить понятия, часть термина у которых совпадает. Например, понятия «корень», «корень уравнения», «корень слова». Кажется, что это и есть межпредметные понятия: ведь они изучаются на разных школьных дисциплинах и часть термина этих понятий совпадает. Проведенный нами анализ научной литературы не дал однозначного ответа на этот вопрос. В глоссарии ФГОС, методической, философской литературе нет четкого определения межпредметных понятий, поэтому надо договориться, что мы будем понимать под ними.

Понятие является объектом рассмотрения различных наук — логики, философии, психологии, поэтому существуют различные его трактовки.

В математике, в частности, в школьной, чаще всего используется логический подход к трактовке понятия [2]. С точки зрения ло-

гики, любое понятие может быть охарактеризовано термином (имя, языковое выражение, знак понятия), смыслом (способ, которым может быть задано понятие) и значением (тот реальный предмет, который обозначен термином понятия) [3]. Терминами математических понятий мы обозначаем объекты, которые изучает математика; значениями понятий являются идеальные объекты; смысл понятий может быть передан определением, системой аксиом, признаком, описанием свойств объектов, существенных для понятия [2].

Например, значения понятий «система уравнений», «кровеносная система» и «солнечная система» — различные, исключают друг друга. Такие понятия в логике называют соподчинёнными. Соподчинённые понятия принадлежат более общему родовому понятию и являются подчинёнными ему. Объём родового понятия содержит в себе объёмы всех подчинённых ему понятий. А содержание родового понятия представляет совокупность общих свойств подчинённых понятий. Выделим общие свойства понятий «система уравнений», «кровеносная система» и «солнечная система»: 1) рассматривается множество объектов; 2) объекты находятся в отношениях и связях друг с другом; 3) образуют определённую целостность. Совокупность этих свойств представляет с логической точки зрения понятие (в данном случае — понятие «система»), и его целесообразно назвать межпредметным. А понятия «кровеносная система», «система уравнений» и т. д. являются подчинёнными межпредметному понятию «система» и соподчинёнными между собой. Таким образом, общий смысл соподчинённых понятий образует содержание межпредметного понятия, а все значения этих понятий образуют объем межпредметного понятия [1].

Определенные таким образом межпредметные понятия не являются предметной целью изучения математики, да и большинства учебных предметов. Целью изучения на разных предметах являются понятия,

подчиненные межпредметному и соподчиненные между собой. Но сформировать понятие, подчинённое межпредметному вне связи с межпредметным, невозможно, поэтому будем говорить о формировании межпредметных и подчинённых им понятий. Соподчинённые понятия, помимо общих свойств, имеют специфичные свойства. Рассмотрим понятия «числовая функция» и «функции государственных органов». Согласно современной трактовке в математике, функция — это соответствие (правило, закон) между элементами двух множеств, при этом каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого множества. А под функциями государственных органов понимаются их конкретные полномочия. На первый взгляд, может показаться, что у этих понятий нет общих свойств, ведь говоря о функциях го -сударственных органов, явно выделяем только одно множество. Но никакое действие не существует без объекта, который это действие выполняет. Поэтому, рассматривая функцию вне математики, можно выделить и второе множество, заданное неявно, — множество объектов, которые обладают этими функциями (или совершают эти действия). Недаром вне математики говорят о функциях чего-то или кого-то, например, функции членов предложения, функции лёгких. Таким образом, рассматривая «функции государственных органов», можно выделить два множества: множество органов (например, законодательные, исполнительные и судебные) и множество полномочий органов.

Выделим общие свойства понятий, подчинённых межпредметному понятию «функция»: 1) заданы два множества; 2) установлено соответствие (правило, закон) между элементами этих множеств. Причём элементу одного множества может соответствовать несколько элементов второго множества (у судебных органов власти — несколько функций: конституционный контроль, правосудие и т. д.). Это — свойство,

специфичное для многих «функций», о которых мы говорим вне математики: функции родителей, функции именительного падежа и т. п. А для «числовой функции» специфичным является свойство единственности: каждому элементу одного множества соответствует единственный элемент другого множества. Проведённый нами эксперимент показал, что большинство учащихся, даже те, которые уже изучили «функцию» на уроках алгебры, понимают под функцией какое-либо действие или назначение предмета. А большинство таких «функций»

свойством единственности не обладают. Поэтому у некоторых детей на уроках алгебры могут возникать проблемы с усвоением этого свойства.

Например, рис. 1 является графиком

функции, а рис. 2 — графиком функции не является. В обоих случаях выделено два множества — множество Х и множество У, с помощью графика установлена связь между ними. Но на втором графике видно, что числу 4 (элементу множества Х) ставится в соответствие больше одного элемента множества У.

Рис. 1

Очень часто учащиеся считают график 2 графиком функции. Связано это с тем, что у понятия «функция» есть соподчинённые понятия, с которыми дети часто встречаются в жизни и на других предметах и которые свойством единственности не обладают.

Наличие специфичных свойств делает понятия, подчинённые межпредметным, трудными в усвоении. Но специально организованная работа со специфичными свойствами будет способствовать овладению учащимися таким УУД, как рефлексия деятельности.

Таким образом, межпредметные понятия связаны с УУД не только тем, что применяются в различных предметах и жизненных ситуациях, но и тем, что формирование у учащихся межпредметных понятий влияет на освоение ими УУД. Чтобы ответить на вопрос, какие именно УУД формируются, обратимся к выделенным нами этапам формирования межпредметных и подчинённых им понятий [1].

Рис. 2

Кратко перечислим эти этапы:

1) выявление субъектного опыта учащихся; 2) формирование у учащихся обобщённого представления (предпонятия) о межпредметном понятии; 3) демонстрация специфики понятия данной предметной области, подчинённого межпредметному, введение определения предметного понятия, подчиненного предметному.

В процессе формирования у учащихся межпредметных и подчинённых им понятий за счёт предъявления различных форм заданий дети учатся выражать свои мысли, ставить вопросы, прогнозировать результат и т. д. Это способствует формированию регулятивных и коммуникативных УУД.

Подробно на формировании перечисленных УУД в данной статье останавливаться не будем. Остановимся на познавательных УУД, так как они более других связаны с формированием межпредметных понятий. Рассмотрим каждый этап формирования

межпредметных и подчинённых им понятий с точки зрения формирования познавательных УУД.

На первом этапе необходимо выявить содержательную составляющую субъектного опыта: ведь термин или часть термина вводимого понятия, подчинённого межпредметному, встречались ребёнку в жизни или на других учебных предметах. Выявляется субъективный смысл понятия, и на этой основе вводятся новые понятия, что показывает связь их с опытом ребенка, значимость в окружающем мире. Далее этот смысл обогащается различными объективными (научными) смыслами. Таким образом, на первом этапе введения понятия формируется такое личностное УУД, как смыслообразование.

Рассмотрим второй этап — формирование обобщённого представления о межпредметном понятии на примере значимого в математике понятия «отношение». Чтобы сформировать предпонятие, необходимо сформировать у ученика образы, адекватные понятию, и научить выделять свойства, существенные для понятия.

Например, при изучении темы «Отношения» в 6 классе на уроке математики учащимся может быть предложено следующее задание.

Даны модели объектов: 1) две игрушки: курица и цыплёнок; 2) фотография, на которой мальчик дарит цветы девочке; 3) тетрадный листок, на котором записана обыкновенная дробь; 4) графическое изображение Солнечной системы; 5) комната, в которой наведён порядок.

Что общего в объектах? Есть ли среди моделей лишняя? Можно ли применить ко всем объектам слово «отношение»?

Понятие «отношение» — межпредметное понятие, поэтому имеет широкую область применения. То есть учитель может выбрать для заданий такого типа объекты, хорошо знакомые детям. Это позволит учащимся самостоятельно выделить свойства, существенные для каждого объекта, а затем и общие свойства «отношений»: 1) в отноше-

ние вступают минимум два объекта; 2) объекты связаны друг с другом (взаимное расположение, взаимодействие, сравнение). Таким образом, формирование межпредметных понятий неразрывно связано с формированием познавательного УУД — умением выделять свойства. Как показал проведённый нами эксперимент, при выполнении задания учащиеся обыкновенную дробь считают лишним объектом, не относят к отношениям. После того, как дети выделили свойства, существенные для межпредметного понятия «отношение», им предлагается проверить, является ли дробь отношением.

Таким образом, переходим к третьему этапу формирования межпредметных и подчинённых им понятий — к формированию понятия, подчинённого межпредметному. Чтобы выяснить, является ли дробь отношением, надо проверить выполнение свойств, существенных для понятия «отношение». Действительно, в отношение вступают два объекта — два числа; есть связь между объектами: взаимное расположение (над чертой, под чертой), взаимодействие (числитель делится на знаменатель, если меняется числитель, то меняется и знаменатель во столько же раз — основное свойство дроби), сравнение (во сколько раз числитель больше или меньше знаменателя). Таким образом, дробь — это отношение. В процессе проверки выполнения свойств у детей формируется познавательное УУД — умение относить объект к понятию. Выделив вместе с учителем специфичные для математики свойства «отношений» (объекты — два числа; связь — частное), дети могут самостоятельно сформулировать определение: отношением двух чисел называют их частное. Учащиеся осваивают познавательное УУД — умение определять понятие. На этапе закрепления целесообразно предложить задание, в котором даны несколько объектов, взятых из математики и других дисциплин, среди которых есть отношения, и предложить учащимся выбрать

Анализ особенностей транснационального и международного образования в высшей школе

объекты, которые: а) являются отношениями; б) являются отношениями в математике. При выполнении задания дети учатся относить объект к понятию, а это — познавательное УУД.

Таким образом, в процессе формирования межпредметных и подчинённых им понятий школьники осваивают познавательные УУД: учатся выделять свойства, существенные для понятия, определять понятия и относить объект к понятию.

Понятие «отношение» — не единственное межпредметное понятие, подчинённое которому изучается на математике. Таких понятий достаточно много: функция, круг, линия, координаты, корень и т. д. Систематическая работа с такими понятиями, включающая реализацию на уроках этапов формирования межпредметных и подчинённых им понятий, способствует овладению учащимися универсальными учебными действиями, в первую очередь — познавательными.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Подходова Н. С., Иванова О. А. Проблемы формирования межпредметных понятий при изучении математики // Письма в Эмиссия.оффлайн, 2013.

2. Подходова Н. С. Методика формирования междисциплинарных понятий (на примере обучения математике): Уч.-метод. пособ. СПб.: Изд-во РГПУ им. А. И. Герцена, 2006. 176 с.

3. Фреге Г. Логика и логическая семантика. М.: Аспект Пресс, 2000.

REFERENCES

1. Podhodova N. S., Ivanova O. A. Problemy formirovanija mezhpredmetnyh ponjatij pri izuchenii mate-matiki // Pis'ma v Jеmis-sija.offlajn, 2013.

2. Podhodova. N. S. Metodika formirovanija mezhdisciplinarnyh ponjatij (na primere obuchenija mate-matike): Uch.-metod. posob. SPb.: Izd-vo RGPU im/ A. I. Gertsena, 2006. 176 s.

3. Frege G Logika i logicheskaja semantika. M.: Aspekt Press, 2000.

Е. Е. Раша

Победитель конкурса поддержки публикационной активности молодых исследователей

АНАЛИЗ ОСОБЕННОСТЕЙ ТРАНСНАЦИОНАЛЬНОГО И МЕЖДУНАРОДНОГО ОБРАЗОВАНИЯ В ВЫСШЕЙ ШКОЛЕ

Статья обращена к проблеме трансформации университетских образовательных программ, в связи с возросшей потребностью высшего образования отвечать международным требованиям. При возрастающей мобильности студентов, преподавателей и образовательных программ, транснациональные (трансграничные) и международные программы оказывают влияние на трансформацию университетского образования.

Ключевые слова: транснациональное (трансграничное) образование, международное образование, трансграничная мобильность, трансформация университетского образования.

E. Rasha

Analysis of Transnational and International Higher Education Characteristics

The article considers the problem of the transformation of university education programs due to the increased need to meet international requirements. With the increasing mobility of