Периодические процессы в релейных автоколебательных системах с цифровым управлением

УДК 681.5.01

ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ В РЕЛЕЙНЫХ АВТОКОЛЕБАТЕЛЬНЫХ СИСТЕМАХ С ЦИФРОВЫМ УПРАВЛЕНИЕМ

С.В. Феофилов, А.В. Козырь

Предлагается методика точного определения симметричных периодических процессов, возникающих в цифровых автоколебательных релейных системах. Рассмотрены автоколебательные системы с двух и трехпозиционным релейным элементом, работающие в дискретном времени. Показано, что процессы, протекающие в цифровых релейных системах, могут существенно отличатся от непрерывных аналогов. Приведены численные примеры.

Ключевые слова: автоколебания, предельный цикл, цифровое управление, фазовый годограф.

Во многих случаях при создании системы управления предпочтительным оказывается использование релейных регуляторов. Системы с двухпозиционным релейным элементом обладают многочисленными преимуществами, такими как простота конструкции, настройки и эксплуатации. При этом они позволяют получать высокие динамические характеристики, поскольку управляющий сигнал в них изменяется практически мгновенно, и объект всегда подвержен максимальному управляющему воздействию. Системы с трехпозиционными релейными элементами (присутствует нулевой уровень) имеют большую гибкость, так как в периодическом движении имеют дополнительный параметр выходного сигнала, его скважность, что позволяет управлять амплитудой автоколебаний независимо от их частоты, а это зачастую необходимо на практике.

В настоящее время большинство систем управления проектируется в цифровом виде. Кроме того, в промышленности массово происходит процесс модернизации устаревших изделий и переход на новую элементную базу к цифровым системам управления. Это обусловлено возможностью просто реализовывать сложные законы управления, кроме того, по сравнению с аналоговым вариантом, значительно повышается надежность систем, появляется большая гибкость в настройке и улучшаются массо-габаритные показатели. Однако введение микроконтроллера в контур управления, кроме многочисленных преимуществ, имеет и существенный недостаток. Это неизбежная дискретность управляющего сигнала как по времени, так и по уровню. Таким образом, в конструкторских бюро и на предприятиях существует реальная потребность в прикладных методах, которые бы позволяли осуществлять анализ и проводить синтез релейных

систем с цифровым управлением. В настоящей статье рассматривается задача нахождения параметров всех возможных периодических движений в рассматриваемых системах. Без ее решения невозможны дальнейшие этапы: синтез и оптимизация.

Как показывает анализ литературы, сегодня не существует методов, которые позволяли бы выделить все возможные периодические решения и точно определить их параметры. Начальные работы по исследованию релейных систем, работающих в дискретном времени можно отнести к 6070-м гг. прошлого века. Первые теоретические результаты, посвящённые исследованию нелинейных импульсных систем, основывались на методе фазовой плоскости [1]. Полученные методы представляют собой достаточно сложную вычислительную процедуру и в большинстве случаев применимы лишь к системам невысокого порядка. В работах [2 - 5] в различных вариантах был предложен точный метод определения возможных периодических движений в нелинейных дискретных системах. Данные методы были основаны на численном решении системы нелинейных уравнений, где порядок системы определялся количеством тактов дискретизации на периоде возможных колебаний. Данный подход связан с серьезными вычислительными трудностями, а также не дает явной зависимости параметров колебаний от параметров дискретной системы. К исследованию симметричных периодических режимов, возможных в нелинейных импульсных системах, в работах [6,7] был применен метод гармонического баланса с определёнными изменениями. Метод фазового годографа также был распространён на класс цифровых автоколебательных следящих систем [5]. Однако, предложенный подход в неполной мере позволяет учесть все специфические особенности, возникающие в автоколебательных системах при введении импульсного элемента. Более полный исторический обзор методов исследования релейных систем можно найти в [8].

Сегодня в большинстве случаев анализ релейных систем с цифровым управлением, синтез корректирующих устройств, оценка показателей качества выполняется в непрерывном времени без учета дискретизации сигналов по времени и уровню. Достоверность результатов проектирования цифровых систем управления подтверждается, как правило, по непрерывной модели при высоких частотах дискретизации, однако обеспечение такой частоты на практике не всегда целесообразно или возможно. Введение дискретизации, кроме того, может приводить к качественным изменениям в поведении релейных систем.

Применение разрабатываемой теории для конкретных технических систем может быть весьма разнообразным. Классическим объектом исследования являются различные следящие релейные автоколебательные приводы (пневматические, газовые, гидравлические). Они широко использу-

ются в различных областях техники, начиная отрулевых устройств высокодинамичных летательных аппаратов и заканчивая системами стабилизации и наведения полезной нагрузки.

В настоящей работе рассматриваются релейная система с линейным устойчивым объектом управления. Структурная схема для случая непрерывных систем приведена на рис. 1.

Рис.1. Структурная схема автоколебательной РСУ

На рис.1 у - выходная координата, Прел - сигнал управления. Управляющее устройство представляет собой двухпозиционный либо трехпози-ционный релейный элемент с амплитудой Пр и гистерезисом Ь,ЛЬ, статическая характеристика приведена на рис. 2. Математическое описание ОУ может быть представлено в виде передаточной функции Ыф

иУК' ад

а

б

Рис.2. Статическая характеристика: а- двухпозиционный

к/ к/ ^ к/ к/ к/

релейный элемент; б-трехпозиционный релейный элемент

Будем рассматривать представление линейной системы в пространстве состояний

х = Ах(г) + ви (г),

у

137

где А()- матрица непрерывной системы, Шш[А()] = п X п, п - количество

переменных состояний, В()- матрица управления непрерывной системы,

Шш[В()] = п X1, С() - вектор формирования выхода, Шш[С()] = 1X п.

Далее будет рассматриваться дискретная модель ОУ с экстраполя-тором нулевого порядка (ЭНП). 7-передаточная функция ОУ имеет вид

1М. = ЖОУ

и

где У (I), и (I) - 7-преобразование входного и выходного сигнала соответственно, ^Гоу (I) = (1 -1_1) Z {1-^ОУ (£))}. Дискретный ОУ можно пред-

£

ставить в виде разностного уравнения

х[к +1] = Фх[ к ] + Ти [ к ],

у[к ] = Сх[ к ].

Предполагается, что дискретизация не влияет на управляемость и наблюдаемость системы и выполняется условие: (Ф, Т)- управляемы, (С, Ф)- наблюдаемы. Из теории линейных импульсных систем известно преобразование непрерывной системы с ЭНП в дискретную модель

Ф = еАТ*,

Т = | еА^В,

0

где Т8 - период дискретизации. Если существует обратная матрица А -1, то справедливо равенство

Т = А-1

Матрицы Ф и Т можно определить с помощью численного решения уравнений (1). Замкнутая структурная схема релейной системы с дискретным ОУ приведена на рис. 4.

Рис. З.Релейно-импульсная система управления

Далее будут рассмотрены только простые, симметричные автоколебания, когда за один период происходит два переключения релейного элемента. Методы точного определения автоколебательного режима в системе

138

на рис.1 рассмотрены во многих работах. Предметом настоящего исследования являются периодические колебания, возникающие в релейных системах управления с дискретным ОУ (рис.4).

В работе метод фазового годографа распространяется на релейные системы с цифровым управлением. Для выявления отличий процессов в релейно-импульсных системах приведем кратко основные положения метода определения симметричных простых автоколебаний в релейных системах с непрерывным временем, основанного на фазовом годографе (ФГ) релейной системы [3].

Рассматрим релейную систему, представленную на рис. 2. Периодическое движение будет задаваться фазовым вектором * * * *

х = (х 1,х 2,. .,х п), соответствующим переключению релейного элемента с «минуса» на «плюс». Каждому периоду автоколебаний будет соответствовать единственное периодическое решение системы (1), т.е. каждому периоду 2Т в фазовом пространстве х будет соответствовать единственная

точка х (Т). В общем случае динамику системы можно описать в виде сХ

— = F(xo ,и, ^). Тогда основное уравнение ФГ будет иметь вид Л

**

х

* * * *\

ФГ релейной системы есть векторная функциях (Т) = (х 1,х 2,. .,х п), выделяющая все возможные симметричные периодические (периода 2Т ) движения в автономной РСУ.

Возможные автоколебания в системе с двухпозиционным релейным элементом определяются из условия

Г *

С • х (Т) = -Ъ,

с**Й<о.

Л

В случае, если А-1 существует, ФГ можно задать в матричном виде

Сх* = С

Решение уравнения (9) даст точное значение периода возможных автоколебаний. Если обратная матрица не существует, то выражение (9) можно записать в виде

Сх* = С(1 - еАТ )-1У = -Ъ,

Т - А

где У = |е Л вычисляется численным интегрированием.

о

Условие единственности переключения релейного элемента задается неравенством

Ж )

> 0 " Г е (0, Т).

х(0)=х

Выражения (9),(10) определяют условия существования симметричных автоколебаний в системе (1). В общем случае уравнение (7) можно решать числено.

Управляющий сигнал с выхода реле представлен на рис. 4.

Рис.4. Периодический сигнал с выхода реле

Параметры (Т, у) возможного периодического движения определяются системой условий

г *

Сх (Т, у) = -Ь,

т*

йС (Т,у)ъ*(Т,у) < 0,

йх

Сх (Т, у) = -1Ь, **

йС

**

йх

ъ (Т, у) > 0,

* *

где х (Т, у), ъ (Т, у) - значения в периодическом движении соответственно выходной величины х(/) и ее производной х(/), соответствующие пере** **

ключению релейного элемента с нуля на плюс, а х (Т, у), ъ (Т, у) - значения фазовых координат, соответствующие переключению релейного элемента с плюса на ноль.

Фазовый годограф в данном случае вычисляется по следующим зависимостям:

х*(Т, у) = (Е + еАТ)-1 еАТА-1 (е-АуТ - Е)Биге/

**

ъ

= -е-А(1-у)Т х*(Т ,у),

х (Т, у) = -е

**

**

z (T,g) = A • x (Tg) + BUrei.

Рассмотрим определение автоколебаний в релейных системах с дискретным ОУ, структурная схема такой системы приведена на рис.4. Дискретизация по времени приводит к тому, что реле может переключаться только в дискретные моменты времени (рис. 5).

Рис.5. К условиям переключения реле в системес дискретизацией

по времени

Таким образом, в релейно-импульсной системе существует априори неизвестная задержка переключения релейного элемента, которая зависит от периода дискретизации, начальных условий и от свойств системы.

Предположим, что в такой системе имеется простой симметричный периодический режим с периодом N = 2М. Состояние системы, при котором происходит переключение реле с минуса на плюс, обозначим как *

х [0].

Т.к. периодический режим симметричный, то с учетом

* * М * —1 М

х [0 + М] = —х [0] = ФМх [0] — (Ф — I) 1(ФМ — 1)Чирел,

х*[0] =

Движение системы на полупериоде определяется следующим выражением:

М * М—1 . х[М — 1] = ФМх [к] — I ФJЧирел =

7=0

= ФМ х[к ] —

к = 0...М.

Отличительной особенностью исследования предельного цикла в релейно-импульсных системахявляется то, что состояние системы в момент переключения реле может не принадлежать поверхности переключения (первое условие в равенстве 8), а находиться в некоторой окрестности. Таким образом, все возможные предельные циклы, возникающие в таких

системах, определяются системой условий

*

Сх [М] >-Ь, *

Сх [М -1] < -Ь.

Алгоритм поиска всех возможных периодических движений можно

представить в следующей последовательности действий. Задается вектор

*

полупериода М = 1,2,3,.... Для каждого значения Мвычисляетсях [0], используя (12). С помощью равенства (13) определяется состояние системы черезМ тактов. Если условие (14) выполняется, то в системе возможны свободные симметричные периодические движения с периодом N = 2МТ*. Для того чтобы такие колебания наблюдались на практике, необходимо, чтобы они были устойчивыми.

Если в непрерывных РСУ автоколебания определялись единствен*

ной точкой Сх Т), то в дискретном случае предельный цикл определяет**

ся двумя точками Сх [М] и Сх [М -1]. При определении возможных свободных колебаний в релейно-импульсной системе по непрерывной модели необходимо учитывать фазовое запаздывание, вызванное дискретизацией,

х(г) = еА(г-еТ*)х[кТ,], к = (0,1,2,..., 0 < е < 1),г = кТ* + еТ

* * * А Т 1 *

Прие = 0, Сх [кТ*] = Сх

Учи-

АТ „»..

тывая, что е * = Ф, справедливо равенство

* * 1 * Сх

Для определения всех возможных периодических движений в дискретной РСУ необходимо построить семейство ФГ в зависимости от

*

0<е< 1 (15) и определить все точки пересечения с прямой Сх (Т0,е) = -Ь . Точки, принадлежащие сетке дискретизации, будут соответствовать возможным периодам автоколебаний в дискретной РСУ.

Рассмотрим определение свободных симметричных периодических движений в трехпозиционных релейных системах. Количество тактов дискретизации на период колебаний, как и раньше, обозначим М, а количество тактов, соответствующих положительному уровню сигнала на выходе реле обозначим N.

По аналогии с непрерывным случаем предположим, что в дискретной системе существует симметричный периодический процесс с периодом повторения 2М. Обозначим состояние дискретной системы, при кото*

ром реле переключится с нуля на плюс х [М, N], а переключение с плюса

**

на ноль х [М, N]

*

Для определения х [М, N] рассмотрим движение системы (3) на полупериоде М при входном сигнале и [к, Т, ] = иге1 • (1[к, Т, ] - 1[М - N, Т, ]), где Т- период дискретизации, а к = 1..М. Не ограничивая общности, далее

будем считать, что матрица непрерывной системы А невырожденная:

У-1

х[к, Т ] = О кх*[М, N] - £ Ог ¥ и [кТ ] =

г=0

= Окх*[М, N] - Ок(Оk-N - Е)(О - Е)-1 ¥и[к,Т], (16) ] = 1...М - N.

Периодические колебания обладают симметрией, то есть

*

х[М, Т, ] = -х [М, N]

х[М, Т, ] = -х*[М, N] = Фкх* [М, N] - Фк (Фк-N - Е)(Ф - Е)-1 ¥Ц[к, Т, ].(17) Исключая из выражения (17) х [М, N] получим

х*[М,N] =

**

Так как точка х [М, N] вычисляется при входном сигнале

**

и [к, Т, ] = -иге1 • 1[ N, Т ], то для х [М, N ] справедливо равенство

** - N *

х [М, N] = -Ф Л • х [М, N]

Условия существования симметричного периодического процесса в трехпозиционной релейной системе можно представить в следующем виде:

г *

Сх (М, N) <-6,

*

Сх

Сх** (М, N -1) <-1Ъ,

Сх** (М, N -1) >-1Ъ. Тогда алгоритм поиска всех возможных периодических движений можно задать в виде следующего алгоритма.

1. Задается вектор значений возможного полупериода автоколебаний М .

2. Задается вектор значений параметра скважности управляющего сигнала N = 1...М .

3. Проверяется выполнение условий(20).Если условиявыполняются, то в системе возможны периодические движения с параметрами М, N.

Рассмотрим определение периодических движений в автономной релейно-импульсной системе с двухпозиционным и трёхпозиционным релейным элементом. Объект управления задается передаточной функцией

^ , (5) =___Параметры реле ирел =10,

7 ^

Ь = 0,1, 1 = 1. Период дискретизации Т8 = 0,01(с.).

Рассмотрим определение периодических движений в системе с двухпозиционным релейным элементом. На рис. 7, а представлены фазовый годограф релейной системы для непрерывноговремени(9) и семейство фазовых годографов для релейно-импульсной системы (15)(рис.6, б).

б

Рис.6. Фазовый годограф:а - определение периодических процессов в непрерывной системе; б - определение периодических процессов

в релейно-импульсной системе

Зададим вектор возможных значений полупериода автоколебаний в

дискретной системе М = 1...100. Для каждого значения М вычислим

* *

х [М](12)и х [М -1]. Система условий (14) выполняется для М = 36 и М = 37.

Используя выражение (15), построим семейство ФГ для исследуемой системы. На рис. 7 видно, что в непрерывной системе существует один симметричный предельный цикл Т0 = 0, 3455 с , а дискретной системе

а

б

Рис. 7. Графические зависимости: а - определение периодических процессов в непрерывной системе; б - определение периодических процессов в дискретной системе

Определим периодическиеколебаниядлярассмотренного ОУ с трех-позиционным релейным элементом (см. рис. 3, б). Также зададим вектор возможных значений полупериода автоколебаний М = 1..100 и параметра скважности сигнала N = 1..М . Для каждого сочетания параметровМ, N

х*(М, N), х*(М -1, N), х**(М, N), х**(М, N -1) (16-19) и проверим выполнение условия (20).Приданном периоде дискретизации в системе возможны следующие режимы:

первый режим - М = 33, N = 29, второй режим - М = 34, N = 30, третий режим - М = 34, N = 31.

145

л

Аналогично двухпозиционным системам можно построить область возможных режимов автоколебаний для трехпозиционной релейной системы, на рис.7, б показана область R возможных периодических режимов. Как видно из рис. 7, б, области R принадлежат найденные выше три режима.

Заключение. В работе рассмотрены методы определения предельных циклов в релейных системах с цифровым управлением. Показано, что процессы, протекающие в таких системах, могут существенно отличаться от непрерывного случая. При проектировании автоколебательной системы управления в непрерывном времени и последующем переходе к дискретной модели, необходимо учитывать влияние дискретизации. В цифровых автоколебательных системах в отличие от непрерывного случая возможны несколько устойчивых периодических движений. За основу было взято понятие фазового годографа.Эффективность полученных методов подтверждена на модельном примере.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ проект № 1808-01141.

Список литературы

1. Pai M.A. Oscillations in Nonlinear Sampled-Data. AIEE Transactions, 1963.P. 355-362.

2. Цыпкин Я.З. Релейные автоматические системы. М.: Наука, 1974.576 с.

3. Анализ и статистическая динамика систем автоматического управления: учебник / под ред. Н. Д. Егупова. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2000. Т. 1. 748 с.

4. Juillard J., Colinet E. Using Tsupkin's approach for the study of class of mixed-signal non linear systems // IEEE Transactions on circuits and systems - I: regular papers.2006. Vol. 53.No.12.

5. Феофилов С.В. Периодические движения в релейных системах с цифровым управлением. Мехатроника, автоматизация, управление. 2006. №5. С. 11-17.

6. Цыпкин Я.З., Попков Ю.С. Теория нелинейных импульсных систем. М.: Наука, 1973. 416 с.

7. Bazanella A.S., Parraga A. Limit cycles in sampled - data relay feed back systems // IEEE Transactions on Automatic Control, Springer. 2016.

8. Феофилов С.В., Козырь А.В. Современное состояние и перспективы развития теории релейных систем автоматического управле-ния//Мехатроника, автоматизация, управление. 2017. №9. C. 589 - 596.

9. Actuation of resonant MEMS using short pulsed forces / E.Colinet, J.Juilard, S.Guessab, R. Kielbasa // Sens. Actuat. A: Phys. 2004.Vol. 115. P. 118-125.

10. Zhanfie Wang, Zhihong Li, Wengao Lu. A new self-oscillation loop for MEMS vibratory gyroscopes // IEEE Transactions on Control Systems Technology, 2007. Vol. 13, No. 2. P. 1046-1049.

11. A novel pulsed digital oscillator (PDO) for MEMS /M.Dominguez, J.Pons-Nin, J.Ricart,A.Bermejo, E. Figueras-Costa// IEEE J. Sens. 2005.Vol. 5.No. 6.P. 1379-1388.

12. Gorreta S., Fernandez D. Pulse digital oscillators for electrostatic MEMS // IEEE Transactions on circuits and systems-I: regular papers.2012. Vol. 59. No.12.

13. Malas A., Chatterjee S. Modal self-excitation in a class of mechanical systems by nonlinear displacement feedback // Journal of vibration and con-trol.2016. P.1-13.

Феофилов Сергей Владимирович, д-р техн. наук, доцент, svfeofilov@,mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Козырь Андрей Владимирович, аспирант, Kozyr_A_V@mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

SELF-OSCILLATION IN SAMPLE-DATA RELAY FEEDBACK SYSTEMS

S.V. Feofilov, A.V. Kozyr

The technique of accurately determining symmetric periodic processes arising in sample data self-oscillating relay feedback systems. Self-oscillating systems with two and three-position relay elements operating in discrete time are considered. It is shown that the processes occurring in digital relay systems can differ substantially from continuous analogues.

Key words: self-excited oscillations, phase locus, digital relay systems.

Feofilov Sergey Vladimirovich, doctor of technical sciences, docent, svfeofi-lov@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University,

Kozyr Andrey Vladimirovich, postgraduate, Kozyr_A_V@mail.ru, Russia, Tula, Tula State University