Об экспоненциальной дихотомии решений задачи Коши для системы дифференциально-разностных уравнений с постоянными коэффициентами

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2011. № 4. С. 45-49.

УДК 517.9

Е.М. Назарук, А.М. Романовская

ОБ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ ДИХОТОМИИ РЕШЕНИЙ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНО-РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ С ПОСТОЯННЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

Исследуется дихотомия решений задачи Коши для указанного в названии статьи класса систем с любым набором запаздываний сведением к такой же задаче для разностного уравнения в банаховом пространстве. Установлен критерий дихотомии в терминах расположения на плоскости нулей детерминанта некоторой матрицы. Приведен иллюстрирующий пример.

Ключевые слова: любой набор запаздываний, разностная задача Коши, компактный оператор, описание спектра, дихотомия спектра, спектральные проекторы.

1. В последние десятилетия в теории устойчивости интенсивно изучается тип поведения динамических систем, получивший название «экспоненциальная дихотомия». Фундаментальные результаты по этой проблематике для систем X = А()X и их бесконечномерных аналогов получены в 60-е, 70-е гг. прошлого века [1-4], получены приложения к теории динамического хаоса, теории автоматического управления, теории усреднения дифференциальных операторов с быстро осциллирующими коэффициентами [5-8]. В последние 20 лет существенно продвинута эта теория для уравнений в банаховом пространстве с неограниченным оператором А(/) на базе методов теории полугрупп ([9-12], см. также ссылки в [11]). В [13] развит метод расчета на устойчивость и дихотомию систем с постоянной матрицей А большой размерности, возникающих при конечномерной аппроксимации систем с распределенными параметрами, основанный на отщеплении инвариантных подпространств малой размерности, отвечающих наиболее близким к мнимой оси точкам спектра. Получено приложение к анализу асимптотического поведения решений краевых задач для гиперболических систем с постоянными коэффициентами. В [14] исследован аналог свойства экспоненциальной дихотомии для гиперболических систем с двумя независимыми переменными, получивший название «экспоненциальная расщепляемость», в качестве определения принят тип поведения фундаментальной матрицы, наблюдаемый «в эксперименте» в случае постоянных коэффициентов при выполнении некоторого спектрального условия. Получено приложение к проблеме глобального усреднения для гиперболических уравнений [15]. Эти исследования продолжены в [16]. Вышедшие в последние 3 года работы [17-20] посвящены разработке, в рамках прямого метода Ляпунова, эффективно проверяемых признаков дихотомии для подклассов линейных дифференциальных и разностных систем с почти периодическими по времени коэффициентами. Эти результаты являются новыми и в периодическом случае.

В данной работе исследуется экспоненциальная дихотомия решений задачи Коши для подкласса дифференциально-разностных сис-

© Е.М. Назарук, А.М. Романовская, 2011

систем. Подход состоит в сведении этой задачи к задаче Коши для разностного уравнения вида xn+1 = Гxn в банаховом пространстве, где оператор Г (в случае системы с одним запаздыванием) либо некоторая его степень - компактный оператор. Это позволяет свести вычисление спектра Г к вычислению нулей детерминанта некоторой матрицы. Дихотомия решений задачи Коши является следствием дихотомии спектра Г - распада на две компоненты, лежащие внутри и вне окружности \Л\ = 1.

Далее | • | - эрмитова норма в С* .

2. Рассмотрим задачу Коши

Лемма. Пусть целое г > 0 таково,

m

Х(і) = Ax(t) + ^В*х(1 - ak ), х: |^а, да) ^ Сл

*=1

Х1 М=^ єЕ

постоян-

Здесь 0 < а1 <... < ат = а, А,Вк ные матрицы порядка N Е - банахово

пространство С ([0, а]) ^ СN с нормой

|р|| = тах р^ )|. Задача (1) имеет единственное решение х(1), получаемое последовательным решением задачи Коши для систем вида Х = Ах + /п на отрезках

[а + па1, а + (п + 1)а1 ], п є Ъ+, гладкое на (а, да). Обозначим

хп (і) = х(1 + па1), t є [0,а], п є Ж+. Равенства (1) равносильны набору

соотношений

Хп+1(0 - Ап+1(0=Евкхп(t+а - акX t є[а - аl, a],

к=1

*„+1(0 = хп(+а1), tє[0,а-а1], Хo(t) = р0єЕ.

Применение на [а - а1, а] формулы для решений системы вида Х - Ах = / [3,

с. 105] с учетом хп+1 (а - а1) = хп (а) дает: задача (1) равносильна задаче Коши

[ Х0 = р є Е, где оператор Г: Е ^ Е дается формулой

ГрО + аД 1: є[0, а - а1 ],

Г Р = і г і

ІГ0р, і є [а - а1, а]

1 т

Г0р = | вА(‘-Т)^Вкр(т + а1 -ак)ёт + )р(а ).

а-а к=1

А

что

(г - 1)а1 < а < га1.

Тогда оператор Гг компактен.

Доказательство. Из (3), (4) нетрудно получить: при любой р є Е

Г0РЦ-1Н, 1 є[0а - (Г - 1)аі],

Г^=!____, . і є[а - ка1, а - (к - 1)а^

1+(кк = 1, г -1

Г0П-к Р

Отсюда следует требуемое.

Построим матрицу-функцию

А

Теорема 1. I. Спектр оператора Г состоит из точки Х = 0 и не более чем счетного множества собственных значений, при этом внешность любого круга

|Л| < 5 содержит конечное множество

собственных значений.

II. Собственные значения оператора Г даются формулой

Х = е^, ёа А(£) = 0,

где А(£) -матрица (5). Соответствующие собственные функции имеют вид

р

где А(£)а = 0, / є С *, / * 0.

Доказательство. Утверждение I следует в случае г = 1 в (4) из свойств спектра компактного оператора в банаховом пространстве ([21], с. 275, 285), в случае г < 1 - из компактности оператора Гг и теоремы Данфорда об отображении спектра.

Пусть р(1 ) - собственная функция оператора Г : Гр = Хр, р * 0. Подставляя в (3), получим:

Хр(ї) = р(1 + аД і є[0, а - а ],

1 1

Хр(1 ) = Г0р, і є [а - а1, а].

В случае г = 1 а - а1 = 0 равенство (8) принимает вид Хр(0) = р(а),

Хр{і) = ел

I е Ат В1р

, і є [0,а].

Дифференцируя (9) по і , последовательно найдём

+е

Хр) (і ) = (ХА + В1)р, р(1 ) = е( А+Х-В1) р(0),

р(‘) = Х~У А+К 1ю ‘р(а).

Отсюда, в частности, следует р(а) Ф 0. Подстановка 2 = еа (учтено X Ф 0 ), ‘ = а даёт:

(1-е-аЛ («)р(а) = 0, где Д(^) - матрица (5) при г = 1. Отсюда, с учетом теоремы об отображении спектра и формулы (10), следуют равенства

(6Ь (7) при / = р(а).

В случае г > 1 а - а1 > 0, поэтому первое равенство (8) возможно, если

р(‘) = ер /, X = е"11 (‘ е [0, а] при некоторых

^ е С, / е С^, / Ф 0. Подставляя во второе равенство (8), выполняя дифференцирование по ‘ и умножая обе части равенства на е~|('+<11), получим: Д(^) / = 0, тем самым det Д(£) = 0.

Теорема доказана.

Из (7) попутно следует: каждому собственному значению (6) отвечает не более N линейно независимых собственных функций.

Будем называть уравнение (6) характеристическим уравнением для системы (1).

3. Решение задачи Коши (2) дается формулой

х = Гпр, п е Ъ+.

П Т ’ +

Будем говорить, что имеет место экспоненциальная дихотомия решений задачи Коши (1), если фазовое пространство Е распадается в прямую сумму подпространств

Е = Е1 + Е2, Ек ф{0}

так, что для решений эквивалентной задачи Коши (2) с оператором (3) имеют место при некоторых /и, V > 0 оценки

Еч ІІТ^п II ^ V

' 2 ^ Г рр < це

ТЕОРЕМА 2. Для того, чтобы имела место экспоненциальная дихотомия решений задачи Коши (1), необходимо и доста,-точно, чтобы1 множество корней характеристического ура.внения (6) не пересекалось с мнимой осью и при этом хотя бы один корень лежал в полуплоскости ЯеХ > 0.

Доказательство. Обозначим <т( Г), ^(Г) соответственно спектр и множество

собственных значений оператора Г. В силу первой части теоремы 1

о

Требование теоремы 2 означает, с учетом второй части теоремы 1 и формулы (13), распад спектра Г

о

где ак - непустые множества, лежащие соответственно внутри и вне окружности |Х = 1 на положительном расстоянии от нее, при этом в силу теоремы 1 множество 02 конечно: при некотором р< 1

О ={Хео(Г), Х<р}, 1

! -> |Хк| > . (15) 02 = {, ---К }е ^ ГХ Р

Распад (14) влечет (см. [3], с. 71) распад (11) фазового пространства в прямую сумму инвариантных подпространств Ек = РкЕ, где проекторы Рк вычисляются по формуле Рисса:

Р1 =П I (Хі - г)-1 йх,

2т Х=Р

р =1-р 1 2 1 1 15

I - единичный оператор в Е , при этом спектр сужения оператора Г на подпространство Ек - множество ак. С учетом этого формула Рисса

Гпр = — I Хп(ХІ-Г)-1рйХ, р єЕ1, 2пі 1

Х=р

дает, после перехода к оценке нормы интеграла, первую оценку (12) при

1

ц = р тах, Х=р

(ХІ - Г)-1

V = 1п-

р

Да-

лее, оператор Г, рассматриваемый на инвариантном подпространстве Е2, имеет ограниченный обратный Г-1 со спектром {х -1,-х;1}, |Х‘| <р. При р єЕ2 имеем

р = (Г-1)п Гпр = — I Хп (XI-Г-1)-рйХ. 2пі ХХ

х=р

Выполняя оценку сверху нормы инте-

грала и выражая отсюда

Г пр

, получим

вторую оценку (12) при том же V и и2 = (ршаХ|2=р (XI-Г-1))-1. Обозначая

и = шах(и, и2), получим оценки (12) в окончательном виде.

Достаточность доказана. Невыполнение требований теоремы 2 означает: либо ^(Г) лежит целиком внут-

+

ри окружности X = 1, либо существует Хе 5(Г) с модулем 1. В первом случае в

(11) Е, = Е, Е2 ={0} и не выполняется требование Ек Ф {0}. Пусть имеет место второй случай и р(‘) - соответствующая собственная функция : Гр = Хр, рФ 0.

Имеем:

Г пр\=\Хпр\

= сот‘ Ф 0. С

другой стороны, предполагая выполненным разложение (11), (12), получим:

р = р1 + р2, рк е Ек, откуда следует: либо

1|г>Н 0 при п ^ да (случай р2 = 0), либо 11Гпр ^ да при п ^ да (случай р2 Ф 0). Теорема доказана.

Пример. Рассмотрим задачу Коши X(‘) = х | ‘ - — | + х(‘ -1), х : [1, да) ^ С

V 2У

х1 [0Д] = р(‘) е Е.

Е = С([0,1] ^ С), А = 0,

Здесь 1

В1 = В2 = 1, а1 = а2 = а = 1,

Гр =

/2

р(т)+р| Т-

1

ёт+р1),

характеристическое уравнение (6) имеет вид

/ (г, ег) = 0,

г = Л

2

/ (г,) = 2г + 2 + .

В силу теоремы о нулях целой функции вида /(г,ег), где /(г,) - полином без главного члена (см. [22]) , уравнение

(18) имеет счётное множество корней. Вычисления дают: полоса

Яе^е

^ 5 1 - 2/п—, — 4 2

не содержит корней

уравнения (18), в полуплоскости Яе> 0 имеется единственный корень <^0 е ^‘2’,1^У . Тем самым выполнены требования теоре-

мы 2, и для решений задачи Коши (16) имеет место свойство экспоненциальной дихотомии: прямое разложение (11) с

оценками (12). При этом в разложении

(14) спектра оператора (17) множество

О - лежащее в круге |Х< 5 счётное множество пар X, X с предельной точкой 0, множество о2 состоит из одной точки

X = е^0 = е2, подпространство Е2 в (11) -собственное пространство оператора (17), отвечающее собственному значению

Х0 : Е2 = {ф = се^°‘, С е с} , проекторы Рк,

реализующие разложение (11), даются формулами

Рр = р(‘) - е*°(‘-1)р(1), Р2р = е^°(‘-1)р(1).

г 1

С учетом <д0 >— нетрудно получить:

2

4

оценки (15) верны при р = -5, тем самым

, 5

оценки (12) верны при V = 1п 4.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Массера Х. Л., Шеффер Х. Х. Линейные дифференциальные уравнения и функциональные пространства. М. : Мир, 1970. 458 с.

[2] Хартман Ф. Обыкновенные дифференциальные уравнения. - М.: Мир, 1970. - 720 с.

[3] Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М. : Наука, 1970. 534 с.

[4] Красносельский М. А., Бурд В. Ш., Колесов Ю. С. Нелинейные почти периодические колебания. М. : Наука, 1970. 371 с.

[5] Аносов Д. В., Синай Я. Г. Некоторые гладкие динамические системы // Успехи математических наук. 1967. Т. 22. № 5 (137). С. 167-172.

[6] Розенвассер Е.Н. Показатели Ляпунова в теории линейных систем управления. М. : Наука, 1977. 344 с.

[7] Жиков В. В. Некоторые вопросы допустимости и дихотомии. Принцип усреднения // Изв. АН СССР. Серия матем. 1976. Т. 40. № 6. С. 1380-1408.

[8] Левитан Б. М., Жиков В. В. Почти периодические функции и дифференциальные уравнения. М. : Изд-во МГУ, 1978. 205 с.

[9] Баскаков А.Г. Полугруппы разностных операторов в спектральном анализе линейных дифференциальных операторов // Функциональный анализ и его приложения. 1996. Т. 30. № 3. С. 1-11.

[10] Баскаков А. Г., Пастухов А. Н. Спектральный анализ операторов взвешенного сдвига с неограниченными операторными коэффициен-

тами // Сиб. матем. журнал. 2001. Т. 42. № 6. С. 1231-1243.

[11] Баскаков А. Г. Спектральный анализ дифференциальных операторов с неограниченным операторными коэффициентами, разностные отношения и полугруппы разностных отношений // Изв. РАН. Серия матем. 2009. Т. 73. № 2. С. 3-68.

[12] Chicone C., Latushkin Y. Evolutional semigroups in dinamical systems and differential eguations. Providence, R. I.: AMC, 1999. 361 c.

[13] Годунов С. К., Жуков В. Г., Феодоритова О. В. Метод расчета инвариантных подпространств для симметрических гиперболических уравнений // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 2006. Т. 41. № 6. С. 1019-1031.

[14] Романовский Р. К. Экспоненциально расщепляемые гиперболические системы с двумя независимыми переменными // Мат. сб. 1987. Т. 133. № 3. С. 341-355.

[15] Романовский Р. К. Усреднение гиперболических уравнений // Докл. АН СССР. 1989. Т. 306. № 2. С. 286-289.

[16] Романовский Р. К., Бельгарт Л. В. Об экспоненциальной дихотомии решений задачи Коши для гиперболической системы на плоскости //

Дифференциальные уравнения. 2010. Т. 46. № 8. С. 1125-1134.

[17] Романовский Р. К., Бельгарт Л. В. Дихотомия решений задачи Коши для почти периодической гиперболической системы на плоскости // Докл. АН ВШ РФ. 2010. № 2 (15). С. 14-24.

[18] Романовский Р. К., Бельгарт Л. В. Об экспоненциальной дихотомии линейных систем с почти периодической матрицей // Сиб. мат. журнал. 2009. Т. 50. № 1. С. 190-198.

[19] Романовский Р. К., Бельгарт Л. В. Об экспоненциальной дихотомии линейных разностных систем с почти периодической матрицей // Ма-тем. заметки. 2008. Т. 84. № 4. С. 638-640.

[20] Романовский Р. К., Бельгарт Л. В. Об экспоненциальной дихотомии решений систем линейных разностных уравнений с почти периодическими коэффициентами // Изв. ВУЗов. Математика. 2010. № 10. С. 51-59.

[21] Люстерник Л. А., Соболев В. И. Элементы функционального анализа. М. : Наука, 1965. 520 с.

[22] Понтрягин Л. С. О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1942. Т. 6. С.115-134.