Прогнозирование экстремальных событий на основе анализа многомерных разнотипных временных рядов

Вычислительные технологии

Том 15, № 5, 2010

Прогнозирование экстремальных событий на основе анализа многомерных разнотипных

временных рядов*

Г. С. Лбов, М.К. Герасимов Институт математики СО РАН, Новосибирск, Россия e-mail: max_post@ngs.ru

Разработан метод построения логико-вероятностных моделей для прогнозирования экстремальных событий, например, чрезвычайной ситуации природного или техногенного характера. Для прогнозирования экстремальных событий применяются многомерные разнотипные временные ряды, т. е. изменяющиеся во времени как количественные, так и качественные характеристики. В рассматриваемом методе используется взвешенное расстояние (мера близости) в пространстве разнотипных переменных. Для нахождения оптимальных весов предложен метод адаптивного поиска приближенного значения глобального экстремума функции на симплексе.

Ключевые слова: экстремальные события, взвешенное расстояние, многоэкстремальная оптимизация.

Введение

Существующие методы прогнозирования экстремальных событий ориентированы на анализ числовых временных рядов (см., например, [1, 2]). Однако, с нашей точки зрения, любое экстремальное событие связано с определенным сочетанием набора значений разнотипных переменных, измеренных в разные моменты времени. Поэтому при анализе и прогнозировании реальных экстремальных событий и явлений необходимо учитывать следующие особенности:

— методы прогнозирования должны использовать комплексное описание, содержащее как можно более полную информацию обо всех факторах, потенциально влияющих на возникновение экстремальных событий;

— реальные данные представляют собой многомерные временные ряды, которые могут одновременно включать числовые, бинарные и символьные последовательности;

— задачу следует решать в условиях, когда имеющиеся ряды имеют относительно малую длину;

— экстремальные ситуации по своей сути являются редкими событиями, поэтому количество соответствующих им прецедентов в эмпирической информации мало по отношению к общему объему выборки.

Как показывают теоретические и экспериментальные исследования, наиболее подходящим подходом для решения прикладных задач, характеризующихся указанными

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты № 09-07-12087-офи-м, 10-01-00113а и 08-07-00136а) и междисциплинарного интеграционного проекта СО РАН № 83.

особенностями, является построение логико-вероятностных моделей [3, 4] изучаемых объектов или явлений. Логико-вероятностные модели строятся в классе логических решающих функций от разнотипных переменных и представляются списком логических закономерностей ("знаний"), отражающих внутренние причинно-следственные связи сложных объектов или явлений и обладающих достаточно высокой прогнозирующей способностью. Такого рода закономерности близки к естественному языку логических суждений, что допускает совместную обработку результатов статистического анализа и знаний экспертов,

В данной работе для прогнозирования экстремальных событий предложен метод ло-гико-вероятноетных моделей, В разделе 1 дана формальная постановка задачи, в разделе 2 описывается метод предсказания возникновения экстремальных ситуаций, в разделе 3 рассматривается метод оценки количественного показателя экстремальных событий, использующий взвешенное расстояние в пространстве разнотипных переменных. Для нахождения оптимальных коэффициентов-весов предложен метод адаптивного поиска приближенного значения глобального экстремума функции на симплексе (разделы 4 и 5), В разделе 6 приведен пример решения прикладной задачи прогнозирования экстремальных гидрологических событий,

1. Постановка задачи

Рассматривается некоторый процесс, потенциально приводящий к экстремальным событиям, Пусть имеется N различных реализаций наблюдаемо го процесса а1,...,аг, ..., ат (каждая реализация аг представляет собой многомерный разнотипный временной ряд). Предполагается, что в последовательные моменты времени ¿1,..., ¿^, ... ,Ьт проведены измерения по набору переменных X = {Х1,..., X,..., Хп}, Данный набор может одновременно содержать количественные и качественные переменные. Имеется целевая количественная переменная У, превышение определенного порога которой в будущий момент времени ¿т+1 означает экстремальную ситуацию. Таким образом, для анализа имеется обучающая выборка

У = {х\(и),х)(и),хгп(и),уг) , 1=1Ж » = Т7Т,

где ж* (¿„) — значение переменной Х^ для реализации аг в момент времени уг = У (аг) — значение целевой перемен ной У для реализаци и аг в момент времени ¿т+1. Обозначим хг(Ь1,) = [хг1(11,),..., ж* (¿1/),..., хгп(Ьи ^.Предполагается, что многомерный случайный процесс таков, что в предысториях (жг(^),..., хг^),..., жг(£т)) существуют закономерности, отражающие возникновение экстремальных событий,

аг

переменной У и отнесены к одному из К классов, К > 2 (например, У — уровень воды в реке, классы — "наводнение", "половодье", "норма", "маловодье"). Обозначим через 7г номер класса для реализации аг, через 1к = {¿¡7г = к} — множество номеров реализаций соответствующего класса, к = 1, К, Будем для определенности полагать, что экстремальные события относятся к первому классу, а события, наиболее близкие к ним по

У

Пусть для новой реализации а* измерены наблюдения по набору X в моменты времени ¿1,..., ¿и,..., ¿т. Для реализации а* необходимо оценить вероятность возникновения экстремальной ситуации в момент времени ¿т+1 (первая задача) и, если вероят-

У

Р(£(¿1),..., х(^),... ,х(Ьт),у) неизвестно и, следовательно, необходимо оценить его на основе анализа обучающей выборки.

Особенность рассматриваемых задач прогнозирования, кроме разнотипности переменных, состоит в том, что количество наблюдений экстремальных событий в эмпирической информации по отношению к общему объему выборки мало, а возможные потери от ошибочного предсказания отсутствия экстремального события достаточно велики.

Введем следующие обозначения: О3 и Оу — области определения переменных Х3

п

и У соответственно, О = П О3 — пространство разнотипных переменных,

3 = 1

п

Назовем множество Е С О прямоугольной областью, если Е = Л Е3, где Е3 =

3 = 1

[а3 ,вз] — некоторый интервал, если Х3 — количественная переменная, Е3 — некоторый

Х3

набором значений,

2. Прогнозирование экстремальных событий

Особенностью первой поставленной задачи является то, что для построения решающей функции распознавания необходимо использовать трехмерную таблицу "объект—свойство—время", тогда как в стандартных методах распознавания применяются двумерные таблицы "объект—свойство". Поэтому в данной работе используется способ построения решающей функции распознавания в два этапа, причем на каждом этапе решение строится по двумерной таблице "объект—свойство" [4].

Этап 1, Для каждого момента времени /,,. V = 1. /'. выполним следующие действия:

1) из таблицы V выделим двумерную таблицу

V]; = (х1 (¿г/) , . . . , (¿г/) , . . • , Хп(кЬ1/) , 'У') , 2=1,

2) с помощью алгоритма распознавания образов (например ЬЕР [4]) получим логическую решающую функцию ¡и. Этой функции соответствует пара (аи,г„(аи)), где аи = {Е^,..., ЕХ,..., Е^} — разбиение пространства О на прямоугольные области, Ги(и) _ набор решений для разбиения аи\ гу(а1,) = {г^,..., гХ,..., г^}, гХ — номер класса для множества ЕХ .

Этап 2, После выполнения этапа 1 построены Т решающих правил V = 1,Т, и соответствующие разбиения пространства И. Введем для каждого ¿г,, и = 1 , Т, новую номинальную переменную ^^ ^ ^^^^^^^^ опреде ления DZv = {1,...,х,..., Ми}. Будем считать, что переменная ^приняла знач ение := Zv (аг) = х, если точка хг(^) € ЕХ-Это преобразование позволяет многомерную реализацию (хг(^),..., хг(^),...,хг(Ьт)) представить в виде символьной последовательности (¿1,... ,..., ггт),

Учитывая преобразование х ^ г, трехмерному массиву данных V ставим в соответствие двумерную таблицу

цг) = (4,...,4,...,4,у), г = Ш

С помощью алгоритма распознавания образов построим логическую решающую функцию ¡(^), Этой функции соответствует пара (а^ ),Г(Z)(a(Z))), где

а^) = {Е)^,..., Е^, ..., ЕМ )} - разбиение проетр анства Б^) = П Dzv, г^ =

^ ' v=(

|г(^,..., г^),..., тМт(м) ~ номер класса для множества ЕКаждому множеству

Е^) из а^) ставятся в соответствие отноеительные частоты Р)™,..., Р™,..., Рк Для всех К образов.

Таким образом, реализации а* то наблюдениям (х*(£(),..., х*(^),..., х*(Ьт)) можно поставить в соответствие множество Е^ и, следовательно, наиболее вероятный номер класса г^) (номер с максимальной относительной частотой), а также оценки вероятностей принадлежности в момент времени Ьт +( к тому или иному классу.

3. Оценка количественной характеристики экстремальных событий

Прямое оценивание количественного показателя экстремального события затруднительно ввиду малого числа таких событий в обучающей выборке. Поэтому для решения второй поставленной задачи предлагается следующая идея. Все предыстории (хг(£(),..., xг(tv),..., хг(Ьт)) (т. е. реализации аг) можно упорядочить по потерям и соответственно упорядочить подобласти, к которым принадлежат рассматриваемые реализации. Сравнивая степени близости оцениваемой предыстории к областям истинности найденных закономерностей, можно оценить значение целевой переменной У, Для этого необходимо ввести понятие расстояния (меры близости) между множествами в многомерном пространстве разнотипных переменных, причем можно использовать меры, предложенные в работах [5-7], В данной работе применяется способ задания расстояния между прямоугольными областями в многомерном разнотипном пространстве [6].

п _

Пусть Е1 С И и Е2 С И — прямоугольные области, Ев = П ЕЕ| С з = 1,2,

3=)

Для этих множеств введем расстояние

Р

или, по аналогии с евклидовым расстоянием,

р

\

(р,- (Е),Е)))2

3=)

где 0 < Аз- < 1, Аз- = 1. Величины рз-(Е),Е)) задаются в зависимости от типа пере-

менной:

з=(

/

=-¡7777—, если Х^ — качественная переменная,

Р з

МБ) г

МБ)

где ^(Е) — мера множества Е, г

если X з — количественная переменная,

12 з

А + в) а) + в)

2

2

если Е| = в = 1, 2,

Для нормировки от 0 до 1 и выполнения свойств расстояния необходимым и достаточным является условие 0 < в < 1/2 [6],

Пусть у — порог, превышение которого целевой переменной означает экстремальную ситуацию. Обозначим

у = таху\ = г = ТД1.

i=l,m у-у

Для определенности будем полагать, что в построенном решении /^) экстремальным событиям соответствуют множества Е^), т, е, г^) = 1 т €{1,..., М}, Рассмотрим набор переменных Z(т) С ..., Zv,..., ^^}, информативных для описания множества Е(™), т. е, переменная Zv € Z(т), если (Е^))и = DZv. Каждой переменной из набора Z (т) соответствует момент времени влияющий на возникновение экстремальных событий, Для переменной Zv € Z (т) определим в соответствующей решающей функции / множества второго масса, т. е, множества ЕХ такие, что гХ = 2,

Найдем взвешенное расстояние между объектами первого (т, е, экстремальными событиями) и второго классов. Будем использовать следующую гипотезу: существует такой набор значений коэффициентов А3- (весов), при котором мера различия экетре-

Х

У

р ({хг(^)}, ЕХ) ~ Дуг для г € /1.

А3

шимся ранее экстремальным событиям оценить количественную характеристику прогнозируемой экстремальной ситуации.

Для формализации гипотезы введем функционал

ЯА1,...Л,...,Ап)= £ £ ^Х(АЬ...А-,...,Ап),

г^ez(т) х|гХ=2

где ^Х(А1,..., А3,..., Ап) = £ (р({хг(^)}, ЕХ) - Дуг)2.

ге/1

Заметим, что область значений коэффициентов А1,..., Ап (обозначим ее через Л) представляет собой многомерный симплекс

п

Л= {А = (Аь...,Ап): X]А3 = 1, А3 > 0, 3 = 1,...,га} С Кп.

3 = 1

При других способах задания расстояния (меры близости) между объектами могут быть получены другие многомерные области значений коэффициентов.

Для нахождения оптимальных коэффициенте в-весов А3, j = 1 ,п, минимизирующих функционал далее предложен метод адаптивного поиска приближенного значения глобального экстремума функции на симплексе.

Процедура оценки количественной характеристики экстремального события осуществляется следующим образом.

а*

ции /(^ следует, что будет экстремальное событие и (г*,..., г*,..., г*) € Е^), то по каждому из указанных множеств ЕХ можно сделать частную оценку

УХ « У + Р ({хг(^)},ЕХ) • (у - у).

Определим весовые коэффициенты частных решений: ^Х =1 — ^Х/|/( |. После получения всех частных решений можно сделать общий прогноз:

Е Е шХУХ

v|ZveZ(m) х|гХ=2

V* = Y

Е Е

v\ZvgZ(m) х|rX=2

4. Метод многоэкстремальной оптимизации на симплексе

Если не вводить ограничений на класс функций, то в соответствии с теоремой об отсутствии бесплатного завтрака (No Free Lunch Theorem) различные алгоритмы поиска глобального экстремума функции имеют одинаковую среднюю эффективность [8, 9]. Поскольку свойства функции F(Л) в прикладных задачах неизвестны, то при решении указанной оптимизационной задачи можно применять только слабые ограничения на класс оптимизируемых функций, В данной работе используются достаточно общие свойства класса {F(Л)} в виде некоторой "разумной" гипотезы, приведенной ниже.

Для нахождения оптимальных коэффициентов-весов будем использовать модификацию метода поиска приближенного значения глобального экстремума функции (ADAPT [3, 4, 10]), Отметим, что метод ADAPT является развитием метода СПА [11]. Модификация метода ADAPT, предлагаемая в работе, заключается в том, что область поиска представляется в виде симплекса.

Рассмотрим функцию F(Л), Л £ Л, Обозначим Л* = argminAeA. F(Л). Пару (Л\ F(Лг)) будем называть испытанием. Под алгоритмом поиска приближенного значения глобального минимума функции понимается некоторая процедура последовательного планирования N испытаний с целью нахождения минимально возможного значения функции, Общее число испытаний N разбивается на R групп: N = N + ... + Nr.

т

Обозначим через Nт = Ni — число испытаний, проведенных за т шагов поиска

i= 1

(под шагом поиска понимается проведение Ni пспытаний), т = 1,...,R, Первая группа испытаний планируется таким образом, чтобы для любого E С Л число испытаний,

N1V

соответствующее множеству Е, было примерно равно у^д^—' г,п,е ~ объем области E. Другими словами, точки Л1,..., Л^1 планируем таким образом, чтобы они были максимально равномерно распределены по множеству Л,

Для вычисления объемов в предлагаемом методе используется метод Монте-Карло, Как показано в работе [12], этот метод эффективен для вычисления многомерных интегралов, в частности объемов. Кроме того, метод Монте-Карло позволяет определить объемы и более сложных, чем симплекс, областей.

Пусть проведено NT пспытаний (т = 1,..., R — 1) и получена соответствующая таблица vT = {Л\ F(Л^}, i = 1,..., Nт, С помощью варианта алгоритма LRP для аппроксимации функций (см., например, [4]) построим наилучшую регрессионную функцию fT

в классе логических решающих функций. Функции /Т соответствует некоторое разбиение множества Л ат = (Е1,..., ЕМт}, Множеетва ЕТ имеют вид

ЕТ = (А € Л: < Лз < 4,-, ] = 1,..., п} .

Будем использовать следующую гипотезу: вероятность достижения глобального минимума функции в области Е зависит от числа проведенных испытаний, объема множества Е и результатов проведенных ранее в точках множества Е испытаний, ПредЕ

и меньше по сравнению с другими областями полученные при испытаниях значения функции, тем больше вероятность достижения глобального минимума в этом множестве.

Введем вспомогательную функцию

«*(*)= (1^)2» 0<*<1, 0 < 6 < оо.

Выбор данной функции определяется следующими ее свойствами:

1) при Ь = 0 получаем кь(г) = 1;

2) при Ь > 0 имеем монотонно убывающую функцию по г;

3) чем больше значение параметра Ь, тем больше скорость убывания функции по г;

1

4) J = 1 при люб ом Ь, о

Эти свойства функции кь(г) позволяют формализовать используемую гипотезу. Заметим, что в качестве функции кь(г) можно выбрать любую функцию, удовлетворяющую указанным свойствам. Зададим функцию

и

ки= [ кьШх= (Ь+1)и 0<и<1. у к ' 1 + Ьи - -

о

Определим вероятности рТ проведения испытания в множеетвах Е£, £ = 1,..., Мт. Обозначим через Е]¡п минимальное значение функции Е при проведенных испытаниях в множестве ЕТ. Пуст ь Е^п < ... < Е^М" - По ос и г последовательно будем откладывать величины равные относительным объемам соответствующих множеств:

V

г ) - у м

т. е, вначале откладывается относительный объем наилучшего множества ЕТ1, которому соответствует Е^п, затем относительный объем второго по порядку множества ЕТ2, которому соответствует Е^2п, и т. д. Таким образом, отрезок [0,1] на ос и г разбивается на

г

МТ отрезков [гг-1, гг], г = 1,..., МТ (будем полагать, что г0 = 0). Обозначим иг = ^

з=о

г = 0,..., МТ. Вероятности рТ определяются по формуле

и «¿-1

= - к*""1 = [ къШг - [ къШг =

Таким образом, чем больше объем множества Е£ и меньше но мер г, определяющий номер этого множества в порядке ЕI1,..., Е1Мт, тем больше вероятность ргт (согласно указанной выше гипотезе). Зададим линейную зависимость параметра Ь от числа проведенных испытаний Мт, т.е. на (т + 1)-м шаге поиска будем использовать величину Мт

Ът = -^-Ьтах- Величина Ьтах определяется из следующих соображений. После проведения всех испытаний

V

достаточно мала, т, е, 7 = —у(А)— ~ ^апРимеР' Р\и = 0.95, а 7 = 0.05, Величина Ьтах определяется из соотношения

7

( \ [ ( (^тах + 1)7

Р 7 = / къ{г)<1г = ——г-.

] 1 + Ьтах7

5. Исследование эффективности метода оптимизации

Предложенный алгоритм поиска приближенного значения глобального минимума функции на симплексе был проверен на ряде тестовых функций:

1) /i(x) = cos 2nxi + cos 3пх2 + cos 6nx3;

2) /2(х) = 100(x1 - x2)2 + 100x3x4;

3) /3(x) = (x1 - 0.6)2 + (x2 - 0.3)2 - cos(18x1 - 10.8) - cos(18x2 - 5.4) - cos(20x3 - 2);

4) /4(x) = (xi - 0.3)2 + (x2 - 0.4)2 + (хз - 0.1)2 + (x4 - 0.2)2;

5) /5(x) = -100x1x2x3.

Можно показать, что глобальный минимум функции /1(х) на симплексе достигается при х1 = п/2, х2 = п/3, х3 = п/6; /2(х) — при х1 = х2, х3 V х4 = 0 /3(х) — при х1 = 0.6, х2 = 0.3 х3 = 0.1 /4(х) — при х1 = 0.3 х2 = 0.4, х3 = 0.1 х4 = 0.2; /5(х) — при x1 = x2 = x3 = 1/3

Для каждой функции проведено многократное моделирование (100 запусков алгоритма), В табл. 1 приводятся некоторые результаты тестирования. Обозначим для каждой функции число испытаний через N, истинное значение глобального минимума через Fmin, найденное среднее приближенное значение глобального минимума через Fmin. Кроме того для каждой функции приводится величина а*, вычисленная по формуле

/V100 (F • - Fi )2

* _ . / Z—п=1V тш 1 mm) 100

Таблица!. Результаты исследования метода оптимизации на тестовых примерах

/ F  1 mm p* min (7* F°  mm (7° N

fl(x) -3 -2.94 0.12 -2.87 0.17 150

/2(я) 0 0.34 0.51 0.53 0.73 40

Ых) -3 -2.89 0.15 -2.79 0.25 200

h(x) 0 0.015 0.020 0.018 0.022 60

h(x) -3.70 -3.63 0.10 -3.60 0.13 60

Таблица2. Результаты исследования метода оптимизации на функции

/б

F* min (7* F°  min (7° N

-0.80 0.21 -0.80 0.21 200

-0.86 0.17 -0.83 0.18 300

-0.91 0.11 -0.85 0.16 400

где ¡п — приближенное значение глобального минимума, найденное при г-м запуске алгоритма. Для сравнения также приведены значения Е0;п и а0 для случайного поиска без адаптации при том же числе испытаний.

Рассмотрим функцию /б(ж) = — ехр(—2р) Ш8(400р), где

р = л —1/3)2-

Данная функция характеризуется большим числом локальных экстремумов, "резкими" перепадами положительных и отрицательных значений и малым объемом отрицательной подобласти (около 0,000035 от объема симплекса), в которой достигается глобальный минимум Ет;п = —1, Результаты приведены в табл. 2,

Для сравнения тестовые функции были исследованы средствами МА'П.АВ при случайных значениях начальной точки. Результаты показали, что на "простых" функциях /2) /4 и /5 был найден глобальный минимум, В то же время на более сложных функци-

/1

при 100 запусках 14 раз был найден глобальный минимум Ет¡п = —3 и 42 раза найдено значение Ет¡п = —1.76. Для функции /6 при 100 запусках наилучшим результатом были значения — 0.80 (три раза) и —0.71 (четыре раза).

6. Пример решения прикладной задачи

Методы, разработанные в рамках данного подхода, были применены для прогноза экстремальных ситуаций на реках Сибири [13, 14], В частности, оценивалось возникновение в марте экстремальной по маловодью ситуации в контрольной точке "Барнаул", Были обработаны среднемесячные данные замеров стока р. Обь за период с 1937 по 1990 г. Использовались следующие дополнительные характеристики: температура воздуха и количество выпавших осадков за сентябрь и октябрь предыдущего года (станции "Он-гудай" и "Волчиха"), Для контроля рассматривались данные с 1991 по 2000 г. За этот период сток р. Обь в марте колебался от 191 до 590 м3/е и наблюдалось одно маловодье (1998 г.). Разработанными методами было верно предсказано маловодье 1998 года и сделан неверный прогноз маловодья на 1999 год, В остальные годы правильно предсказано отсутствие маловодья.

Приведем некоторые из полученных закономерностей,

3/

3/

Наша оценка стока в марте 1998 г, имела величину 254 м3/е, реальный сток составил 251 м3/с.

Для сравнения была построены различные регрессионные модели. Результаты показали преимущество предложенного подхода. Так, для регрессионной модели оценка

3/

Необходимо подчеркнуть, что имеющаяся информация представляет собой числовые (количественные) временные ряды, тогда как разработанные методы могут быть использованы для решения более общих задач, в которых информация об исследуемых событиях описывается как количественными, так и качественными характеристиками.

Заключение

Экстремальные события, как правило, вызываются уникальными комбинациями сложных причинно-следственных зависимостей, поэтому число соответствующих прецедентов мало по отношению к общему объему выборки, при этом возможные потери от экстремальных событий достаточно велики. Применение логико-вероятностных моделей для построения решающей функции прогнозирования дает возможность оценить не только вероятность появления экстремальных событий, но и само значение заданной целевой количественной характеристики. Для этого использовано взвешенное расстояние (меры близости) в разнотипном пространстве. Предложен метод поиска приближенного значения глобального экстремума функции для нахождения оптимальных коэффициентов-весов, позволяющий прогнозировать даже уникальные события, когда величина целевой функции превышает значения, достигавшиеся ранее. Результаты решения тестовых и прикладных задач показали эффективность данного метода прогнозирования экстремальных событий.

Список литературы

[1] Hallerberg S., Brocker J., Kantz H. Prediction of extreme events // Lecture Notes Earth Sei. 2008. Vol. 112. P. 35-59.

[2] Denny XL. Hunt L., Miller L., Harley C. On the prediction of extreme ecological events // Ecological Monographs. 2009. Vol. 79, No. 3. P. 397-421.

[3] Лвов Г.С. Методы обработки разнотипных экспериментальных данных. Новосибирск: Наука, 1981. 160 с.

[4] Лвов Г.С., Старцев а Н.Г. Логические решающие функции и вопросы статистической устойчивости решений. Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1999. 212 с.

[5] Загоруйко Н.Г. Прикладные методы анализа данных и знаний. Новосибирск: Институт математики СО РАН, 1999. 268 с.

[6] Лвов Г.С., Герасимов М.К. Введение расстояния между логическими высказываниями в задачах прогнозирования // Искусств, интеллект. 2004. № 2. С. 105-108.

[7] Викентвев A.A. Расстояние на высказываниях экспертов и мера опровержимости (информативности) высказываний с помощью моделей некоторых теорий // Докл. 12-й Всероссийской конф. "Математические методы распознавания образов". М.: МАКС Пресс, 2005. С. 60-63.

[81 Wolpert D.H., macready W.G. No Free Lunch Theorems for Search / Techn. Rep. SFI-TR-95-02-010. Sante Fe. 1995.

[91 Wolpert D.H., Macready W.G. No free lunch theorems for optimization // IEEE Trans. Evolut. Comp. 1997. Vol. 1(1). P. 67-82.

[101 Лвов Г.С., Бериков В.Б., Зенкова H.A. Экспериментальное сравнение алгоритмов адаптивного поиска глобального экстремума функции // Тр. учредит, конф. междунар. ассоциации "Нетрадиционные методы оптимизации". Красноярск, КИКТ, 1992.

[Ill Лвов Г.С. Выбор эффективной системы зависимых признаков //Вычисл. системы. 1965. Вып. 19. С. 21-34.

[121 Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло) / Н.П. Бусленко, Д.И. Голенко, U.M. Соболь, В.Г. Срагович, Ю.А. Шрейдер. М.: Гос. изд-во физ.-мат. литературы, 1962. 332 с.

[131 Лвов Г.С., Бериков В.Б., Герасимов М.К. Прогнозирование экстремальных гидрологических ситуаций на основе анализа многомерных временных рядов и экспертных знаний // Тр. междунар. науч. конф. "Экстремальные гидрологические события: Теория, моделирование и прогнозирование". М.: ИВП РАН, 2003. С. 26-30.

[141 Лвов Г.С., Герасимов М.К. Прогнозирование экстремальных ситуаций на основе совместного анализа временных рядов и экспертных высказываний // Научный вестник НГТУ. 2007. № 3(28). С. 13-24.

Поступила в редакцию 26 января 2010 г., с доработки — 23 апреля 2010 г.