Об оценке среднего рациональных тригонометрических сумм специального вида и ее приложениях

ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК

Том 14 Выпуск 4

УДК 511

ОБ ОЦЕНКЕ СРЕДНЕГО РАЦИОНАЛЬНЫХ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ СУММ СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА И ЕЕ ПРИЛОЖЕНИЯХ

А. Н. Васильев

Аннотация

В работе изучены некоторые свойства распределения членов обобщенной последовательности Фибоначчи по бесквадратному модулю и получены следствия из этих свойств.

Ключевые слова: обобщенная последовательность Фибоначчи, тригонометрические суммы, плотность множества.

UPPER BOUND FOR QUADRATIC MEAN OF SPECIAL RATIONAL EXPONENTIAL SUMS AND THEIR APPLICATIONS

A. N. Vassilyev

Abstract

In this paper we obtain some arithmetic properties of generalized Fibonacci sequence and consider their applications.

Keywords: Generalized Fibonacci, exponential sums, set’s density.

В первой части работы мы рассмотрим обобщенную последовательность Фибоначчи и докажем верхнюю оценку для среднего квадратического рациональных тригонометрических сумм по обобщенным числам Фибоначчи. В определенном смысле эта оценка отражает ряд арифметических свойств указанной последовательности, а именно, распределение ее членов по модулю любого бес-квадратного числа.

Во второй части будет приведено опирающееся на доказанную в первой части оценку решение одной аддитивной задачи, связанной с обобщенной последовательностью Фибоначчи.

1. Свойства обобщенной последовательности Фибоначчи

Последовательность Фибоначчи, как известно, задается следующим образом: р = 1,Р2 = 1,Рп+2 = Рп+і + Рп. Обобщенная последовательность Фибоначчи задается тем же рекуррентным соотношением и двумя начальными натуральными членами, то есть: С\ = а,С2 = Ь, Сп+2 = Сп+\ + Сп, где а, Ь - натуральные числа. Вторую последовательность на протяжении всей работы будем считать наперед заданной.

Пусть, на протяжении всей работы, d - бесквадратное (не делящееся ни на какой квадрат простого) натуральное число, большее 1 и взаимно простое с числами а, Ь и с числом (а2 + аЬ — Ь2) (это экзотическое условие будет мотивировано позже). Через р будем обозначать, как обычно, простое число. В первой части это будут простые, взаимно простые с числами а, Ь и с числом (а2 + аЬ — Ь2). Во второй части простые, выступающие делителями какого-нибудь d, также будут предполагаться удовлетворяющими этому дополнительному условию.

Введем малый d—период последовательности Фибоначчи

Аналогично, большой d—период обобщенной последовательности Фибонач-

(периодичность по любому модулю доказывается просто).

Аналога малого d—периода может не существовать (например, если а =

Выделим необходимые нам свойства последовательности Фибоначчи в следующую лемму:

Лемма 1.

і ^) = шіп {т : т ^ 1, d \РТ }

и большой d—период последовательности Фибоначчи

Т ^) = шіп {Т : Т ^ 1, Рп+т = Рп (mod d) У и} .

чи есть

Т ^) = шіп {Т : Т ^ 1, Єп+т = Сп (mod d) Уи}

2, Ь = 1, d = 5).

Б) Рп+т

В1) ^ Рп і (^ \и;

В2)

Д) d = Р1Р2 ...рз ^ г ^) = [г р), г р) ,г р)];

^ г (р) |(а — в) или г (р) |7 ^ г (р) |(а — в) т;

Доказательство. Свойства А, Б, В1, В2, Г, Д хорошо известны (см., например, [1] и [2]).

Докажем два оставшихся свойства.

Начнем с Е1. По свойству Б имеем: Га+1 = ГаГ1_1 + Га+1Г1, Гр+1 = ГвГ1_1 + Гв+1Г1, поэтому из сравнений

следует, что р |(Га+1 — Гв+1) Г1, откуда р Г или р |(Га+1 — Гз+1) .Из р Г, согласно свойству В1, следует, что г (р) |7, а из р |(Га+1 — Гв+1), согласно свойству В2, следует, что Т (р) |(а — в), откуда, согласно свойству Г, г (р) |(а — в).

Теперь докажем свойство Е2. Пусть d = р1р2 .. .рз. Из сравнений

{ Га = Гв

\ Га+1 = Гр+1

для любого рг ^ следуют сравнения

откуда для всякого рг ^ по свойству Е1 имеем: г (рг) |(а — в) 7, что, согласно свойству Д, означает, что г ^) |(а — в) 7. Лемма доказана.

Теперь докажем некоторые свойства обобщенной последовательности Фибоначчи.

Лемма 2.

А) Оп = аГп_2 + ЪРп_1;

{

Га = Гв

Га+1 = Рв+1

{

Га = Гв

Га+1 = Гв+1 (mod рг) ’

Б) Т' (d) Т (d);

В) г (^ Т' (d);

Г) г (d) ^ Т' ^) ^ Т ^) ^ 4г (d);

Д1) { 0С+а = Св!т(тос1 р) ^ г (р) | (а — в) или г (р) |т ^ г (р) | (а — в) 1;

Д2) { г) =* г^ — в>?

Доказательство. Первое соотношение хорошо известно.

Соотношение Б доказывается тривиально.

Соотношение Г следует из соотношений Б, В и соотношения Г леммы 1.

Соотношение Д2 вытекает из соотношения Д1.

Докажем пункт Д1. Используя соотношение А, имеем:

{

aFa-2 + bFa-l = aF— + bFp-l

aFa+Y-2 + bFa+Y-l = aFp+1-2 + bFe+7-l

Далее используем соотношение Б леммы 1 и получаем:

aFa-2 + bFa-l = aFp-2 + bFp-l

и

a (Fa-2FY-l + Fa-lFY) + b (Fa-lFY-l + FaFY) =

= a (Fe-2FY-l + Fe-lFY) + b (Fe-lFY-l + FeFY) (mod p),

что преобразуется к виду: aFa-2 + bFa-l = aFp-2 + bFp-l (mod p) и

Fj-l (aFa-2 + bFa-l) + Fy (aFa-l + bFa) =

= Fy-i (aFe-2 + bFp-l) + F7 (aFp-l + bFp) (mod p),

откуда:

{

aFa-2 + bFa-l = aFp-2 + bF-

F7 (aFa-l + bFa) = Fy (aF— + bFp) (mod p) '

Отсюда либо р , что, согласно пункту В1 леммы 1 означает, что г (р) |7, либо

{

aFa-2 + bFa-l = aFp-2 + bFp-l

aFa-l + bFa = aFp-l + bFp (mod p) ’

что преобразуется к виду

{

a

b

и приводится с помощью правила Крамера в поле вычетов по модулю р к

{

Fa-2 — Fp-2 = 0

Fa-l — Fp-l = 0

поскольку

det ^ a а + ь ^ = a2 + ab — = 0 (mod p),

откуда по свойству В2 леммы 1 T (p) |(а — в) и, следовательно, t (p) |(а — в) • Теперь докажем пункт В.

Поскольку 0\ = G\+T'(d) (mod d) и G2 = C2+T'(d) (mod d), то по свойству Д2 t (d) IT1 (d) • Лемма доказана.

Далее, рассмотрим A (d,u) = a\ + a2, + • • • + ad, где ak — количество членов конечной последовательности G\, G2,..., Gu, сравнимых с k по модулю d. Используя аппарат тригонометрических сумм, нетрудно вывести соотношение

1 ,d

A (d,u) =

a=l

u

2niaGn

Є d

E

n=l

Следующая теорема является конечной целью первой части. Для краткости, t (d) = t,T (d) = T, T (d) = T.

Теорема 1. Для u ^ T имеет место оценка A (d,u) ^ B (d,u), где

3u — 2, если u < \ft + 1

B (d, u) = ^ 7u2t-4, если y/t +1 ^ u ^ 14 .

14u2t-8, если tг < u ^ T

Если u > T, то A (d, u) ^ 56u2t-8.

Доказательство. Для удобства разобьем доказательство на несколько шагов.

1. Зафиксируем k, 1 ^ k ^ d.

Пусть 1 ^ jl < • • • < jak ^ u — все j, для которых Gj = k (mod d).

Обозначим bh = jh+l — jh, 1 ^ h ^ ak — 1, bh ^ 1. Тогда bl +-+ bak-l =

jak — jl < u — 1.

Пусть 1 ^ pl < • • • < ps — все различные числа, встречающиеся в последовательности bl,... , bak-l. Имеем:

ss

^v Hv ^ ^ у cv

v=l v=l

2. Зафиксируем V.

Пусть 1 ^ Н\ <    < Н^ ^ ак — 1 — все индексы Н, такие, что Ьк = р% Согласно пункту Д2 леммы 2, поскольку

{

Gjhi = Gjhi+i

Gjhi+1 = Gjhi+i+i

2

и jhi+1—jhi = jhi+1 + 1 —jhi+1, то tI (jhi+1 — jhi) {jhi+1 — jhi) , откуда Pv (,jhi+1 — jht) t для всех 1 ^ i ^ cv — 1. Следовательно,

Cv — 1

i=1

и, значит, cv ^ (u 1Pv + 1.

3. Итак, имеем:

(jhi+1 — jhi) ^ u — 1

i=1

Cv « (U P" + 1

^ ] Cv pv ^ u — 1

5

1 + Cv

v=1

ak

v=1

Пусть теперь ,ш (д) — количество таких V, что си = д. Поскольку все р<и различны, то

и —

v v v v

v=1 v: Cv=q

откуда w (q) ^ 2. С другой стороны,

i 5 V"1 „ „ 5 t (cv — 1) „

u 1 S5 / Cv pv 5 / , / -i \ Cv 4

v=1

v

=1

поэтому

Cv (cv — 1) ^

(u — 1)2

v=1

4. а) Рассмотрим случай, когда и < л/t + 1.

Рассмотрим все пары индексов (n1 ,n2), такие, что 1 ^ n1 < n2 ^ и и Gn1 = Gn2 (mod d). Если среди них найдутся две различные пары (n1,n2), (n 1, n 2), для которых n2 — n1 = n 2 — n 1, то, согласно пункту Д2 леммы 2, t I(n2 — n1) (n' 1 — n1), откуда t ^ |(n2 — n1) (n' 1 — n1)| ^ (u — 1)2 < t — противоречие. Значит, все разности индексов в таких парах различны. А теперь посчитаем количество всех таких пар, и, соответственно, всех разностей индексов в них. Таких разностей ровно

Е

k=1

ak (ak — 1) 2 '

P

v

Но всех возможных значений разности индексов в указанном промежутке ровно и — 1. Следовательно,

Е

k=l

ak (ak — 1) 2

в u — 1,

откуда А (в, и) = а"1 + а2, +    + а2л ^ 3и — 2.

б) Теперь рассмотрим случай, когда и ^ лД + 1.

Тогда все cv в ^ + 1, откуда

Е w (q) в £ )*

^ и-1 . ^ ^ и-1 , ^ /

в 4ut 4.

Далее,

ak

І+

s(u — І)2

+ s^Cv, v=l

отсюда

и, значит,

cv ~ “ в “Г +

s2 s(u — 1)2

4

v=l

Получаем для всякого к:

ak

1З

І + 2_^ cv в 5ut г + 2u21

Зб

1,2 t 8 .

v=l

Имеем:

A (d, u) = a2 + a2 + ••• + a2d ^ (a1 + ••• + ad) • max ak ^ и • {but 4 + 2u21 .

Согласно свойству Г леммы 2, t ^ T' ^ T ^ 4t. Тем самым, если \Д +1 ^ u ^ t

. , { 1 2 5 \ о 1

A (d, u) ^ u • (5ut" 4 + 2u2t-П ^ 7u2t~ 4.

то

Если же tг < u в T/, то

/ i З б \ _бб oi

A (d,u) в u • (5ut-г + 2u21-8 j в 7u21-8 в 14u2t-8.

s

v

2

И, наконец, если u > T/, то, исходя непосредственно из определения A (d,u), получаем:

Теорема доказана.

2. Аналог теоремы Романова для обобщенных чисел Фибоначчи

В 1934 году Н. П. Романов доказал ([3]), что сумма множества простых чисел и множества натуральных степеней фиксированного целого числа а ^ 2 образует множество положительной плотности (в смысле плотности по Шни-рельману), иными словами,

(через cardX обозначено количество элементов множества X).

В дальнейшем были получены некоторые аналоги этой теоремы. Например, в 1951 году П. Эрдеш (P. Erdos) заменил ([4]) в теореме Романова степени am значениями многочлена с целыми коэффициентами от степени, то есть f (am), где f - не равный константе многочлен с целыми коэффициентами.

В. Н. Чубариковым была поставлена задача получения аналога теоремы Романова для чисел Фибоначчи. В неопубликованной к настоящему времени работе "On the sum of a prime and a Fibonacci number" , выложенной в архиве (arXiv: 1011.0173v1 [math.NT] 31 Oct 2010) и поданной в журнал International Journal of Number Theory, К. Ли (Lee K. S. Enoch) приводит доказательство этого аналога.

Здесь мы доказываем более общую теорему, используя другой подход, а именно, опираясь на оценку, полученную в первой части.

Теорема 2. Сумма множества простых чисел и множества обобщенных чисел Фибоначчи (наперед заданных) имеет положительную плотность (по Шнирельману), то есть

lim I —card {n : n в x, n = p + am} I > 0

lim I —card {n : n в x, n = p + Gm } > 0.

Доказательство. Наше доказательство будет проведено в духе доказательства теоремы Романова, приведенном на стр. 191-197 в [5]. Сформулируем несколько лемм из [5], которые нам понадобятся.

Лемма 3. ([5], стр. 60): Пусть b — четное целое ненулевое число. Имеет место оценка

card {p : p ^ x, \p + b\ — простое} ^ c\—2- TT ( 1---) .

ln2x ,, V p p\b 4 '

Здесь константа c1 — абсолютная, то есть не зависит от b.

Лемма 4. ([5], стр. 28) Существует такая константа c2 > 0, что

П

pJ

p^x

П (“ + f) = O (ln N) .

n=l \ pnJ

Лемма 5. (следствие из предыдущей леммы) Пусть pn - n-ое простое число. Тогда

N

(l +

A pn

n=\ 4

Лемма 6. Обозначим

f (n) = f (n, x) = card {(p, Gm) : p ^ x, Gm ^ x, p + Gm = n} .

Если существует такая константа c3, что для всех x ^ x0 (то есть начиная с какого-то фиксированного x0) справедливо неравенство

^ f 2 (n,x) ^ c3 ^ f (n,x),

n^x n^x

то существует такая константа c4 > 0, что для всех x ^ x0 справедливо неравенство

card {n : n ^ x, f (n, x) > 0} ^ c4x.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство аналогично рассуждениям, приведенным в [5] на стр. 192).

Имеем:

V f (n, x) ^ card <p : p ^ • card \ Gm : Gm ^ ^ c5-^  c6 lnx = c7x,

У 2 J I 2 J ln x

n^x

откуда из неравенства о среднем арифметическом и среднем квадратическом f (n, x) ^ (card {n : n ^ x, f (n, x) > 0})2 I f2 (n, x) 1 ^

n^x \n^x /

11 2

^ (card {n : n ^ x, f (n, x) > 0})2  c3  I У. f (n, xM ,

\n^x /

следовательно,

cj

card {n : n ^ x, f (n, x) > 0} ^ — x = c4x,

c3

что и требовалось. Лемма доказана.

Лемма 7. Ряд

у'_______1__

^ <d»"

где £ > 0, сходится. S' означает суммирование по бесквадратным числам.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Доказательство аналогично рассуждениям, приведенным в [5] на стр. 196:

Имеем:

у'______L_ = у (1 у' “

^ d(t (d))£ ^ I ne ^ d

d>2 У У >> n=2 у t(d)=n

Пусть

cn = у'd f (x) =x_£, C (x)= у у'd

t(d)=n 2<n^x t(d)=n

Каждое d встречается в C (x) не более одного раза, все d \ P,

P = П Fn < 2x2,

n

2<n^x

отсюда

с

d\P р\Р ' ' п^х2 ' Рп '

(согласно лемме 2.3).

Применяем преобразование Абеля (см., например, [6], с. 224):

^ 5(£(5))£ ^ ( и£ ^ с1

£^2 ^ ^ п 2<п^Х \ )=п

Ш ^- 2 £x-l-£C (x) dx + C (X) X-^ = O (1) .

Лемма доказана.

Итак, для фиксированных mi,m2 ^ 2, таких, что mi = m2 и Gmi, Gm2 ^ x, получаем (согласно лемме 2.1):

card {(pi,p2) : pi,p2 ^ xp - p2 = Gm2 - Gmi } ^

^ ci^ 2 П f1-----1 ^ c^T~2T 9 (Gm2 - Gmi) ,

ln2x ,, -LJ- , V p/ ln2x

p\

где

g (*) = П {' + P)-

p\k V

Пусть теперь S = S (x) — число решений уравнения

pl - p2 = Gm2 - Gml

в множестве

{(Pl,P2,Gml ,Gm2): Pl,P2,Gml, Gm2 в x;; ml,m2 ^ 2 } ,

а

U (x) = max {n : Gn в x} ,

тогда

Vf 2 (n,x) в S (x) в c^^x2r V g(G m2 — Gml) + Cgx.

ln x

nвx ml,m2^[2,U (x)], ml=m2

Согласно лемме 5, для завершения доказательства теоремы достаточно показать, что

L g (G m2 — Gml) в Cloln2x.

ml,m2£[2,U (x)], ml=m2

Далее ^2' означает суммирование по бесквадратным числам (включая единицу, когда другое не оговорено), взаимно простым с числами a, b и с числом (a2 + ab — b2). Применяя теорему 1, находим, что

П (l + р) ^ г g (Gm2 — Gml) в

p\ab(a2+ab—b2) ml,m2£[2,U (x)], ml=m2

в г г' l=

ml,m2^[2,U

= г'І г і в

^x ml,m2&[2,U

в г1A (d U (x)) =(U (x))2 + г \A (d U (x)) =

dвx 2вЛв^

(U (x))2+ Е dA (d,U (x))+ Y! 2A {d'U {x)) <

d: 2^d^x, U(x)<^/t(d) + i d: 2^d^x, U(x)'^^Jt(d)+i

1 d

^ (U (x))2 + у' 1 (3U (x) - 2) +

d: 2-^d^x, U(x)<^/t(d)+i + d56(U (x))2(t (d))-8 ^(U (x))2 + 3U (x) ^ d+

d: 2^d^x, U(x)^y/t(d) + i 2^d^x

+56(U (x))2£ ---------------------1 ^ ciiln2x,

d>2

d

что и требовалось.

Теорема доказана.

Автор благодарит своего научного руководителя В. Н. Чубарикова за ценные замечания.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Воробьев Н. Н. Числа Фибоначчи. М.: Наука, 1978. 144 с.

2. ГашковС.Б., ЧубариковВ. Н. Арифметика. Алгоритмы. Сложность вычислений. М.: Дрофа, 2005. 319 с.

3. Romanoff, N. P. (Романов Н. П.) Uber einige Satze der additiven Zahlen-theorie // Math. Ann. 1934. Vol. 109. P. 668-678.

4. Erdos, P. On some problems of Bellman and a theorem of Romanoff // J. Chinese Math. Soc. 1951. Vol. 1. P. 409-421.

5. ПрахарК. Распределение простых чисел. М.: Мир, 1967. 511 с.

6. Архипов Г. И., Садовничий В. А., ЧубариковВ. Н. Лекции по математическому анализу. М.: Высшая школа, 1999. 694 с.

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова, Казахстанский филиал Поступило 30.09.2013