Приближенное решение гиперсингулярных интегродифференциальных уравнений

ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ ГИПЕРСИНГУЛЯРНЫХ ИНТЕГРОДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Аннотация. Предложен и обоснован метод механических квадратур для приближенного решения линейных и нелинейных гиперсингулярных интегро-дифференциальных уравнений с подвижными особенностями. Даны оценки погрешности и быстроты сходимости.

Ключевые слова: гиперсингулярные интегральные уравнения, метод механических квадратур, сходимость.

Abstract. Offered mechanical quadrature method for solution of linear and nonlinear hypersingular integro-differential equations. The value of error are received. The rapidly of the convergence are estimated.

Keywords: hypersingular integral equations, mechanical quadrature method, con-vergance.

1. Приближенное решение линейных гиперсингулярных интегродифференциальных уравнений на замкнутых контурах

Рассмотрим гиперсингулярное интегродифференциальное уравнение

где у - единичная окружность с центром в начале координат; p - натуральное число, p = 2, 3,...

Частными случаями уравнения (1) при p = 1 являются сингулярные ин-тегродифференциальные уравнения. Приближенные методы решения сингулярных интегродифференциальных уравнений предложены в работах И. В. Бойкова [1], И. В. Бойкова и И. И. Жечева [2]. Подробное изложение этих результатов приведено в монографии [3]. В данной работе, как и в работах [1-3], обоснование приближенных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений основано на общей теории приближенных методов Л. В. Канторовича [4]. Другой подход к построению и обоснованию приближенных методов решения гиперсингулярных интегральных уравнений предложен в работах [5, 6].

В качестве граничных условий в уравнении (1) возьмем следующие:

где V = max(m,l).

Будем считать, что коэффициенты и правая часть уравнения (1) удовлетворяют одному из следующих условий:

1) ak ^), k = 0,1,..., m, f (0 е Ha, hk ^, х) - удовлетворяет условию Гельдера Ha по первой переменной и принадлежит классу функций

Wp~1Ha по второй переменной, 0<а<1, k = 0,1,..,^

2) (t), f (t)eWrHa, k = 0,1, ..., m, hk(t,т) - принадлежит классу

функций WrHa по первой переменной и классу функций Wr+p 1Ha по второй переменной, 0< a< 1, k = 0,1,.., l.

Кроме того, будем считать, что функции ak(t), k = 0,1,..,m, hk(t,т), k = 0,1,.., l, f (t) периодические с периодом 2я по всем переменным.

Через Y = Нр (0 < Р < a) обозначим банахово пространство функций x(t), удовлетворяющих условию Гельдера с показателем Р, с нормой

II x(t)IIy =11 x(t)IIhr = max| x(t)| + sup I (1)-----(р2)!.

р tey (г1,г2)еу,f1itt2 111 -12 I

Через X обозначим банахово пространство функций непрерывно дифференцируемых до s -го порядка, производные s -го порядка которых удовлетворяют условию Гельдера На. Норма в пространстве X вводится формулой

II , (k ),ч, Ix( s)(t1) - x( S)(t2)I

II x(t)||X = ZmaxI x (t)I + sup --------------------------р-,

k=0 tey (V^Y,t1=zf2 111 -12 |

0< Р < a.

Пусть s = max(m,l + p -1). Тогда приближенное решение граничной задачи (1), (2) будем искать в виде полинома

n -1

xn

k=0 k=-n

Коэффициенты {ak} определяются из системы линейных алгебраических уравнений, которая в операторной форме имеет вид

K x = P

Ivn-A'n 'n

£ ak (t) x(nk )(t) + -L £jPn

k=0 k=0у

hk

(т-t)p

d т

= Pn [ f

где Рп (Рп) - оператор проектирования на множество интерполяционных

тригонометрических полиномов по узлам = е*к, = 2кп/

(= ™к, ц = (2к + 1)п/(2п +1)), к = 0,1,.2п.

Теорема 1. Пусть краевая задача (1), (2) однозначно разрешима и выполнены условия 1. Тогда при п таких, что д = А\п2п/па_°, система уравнений (4) однозначно разрешима и справедлива оценка

* * УЧ ™_О * *

II х _ хп ІІЯр- А\п2п/п р, где х и хп - решение краевой задачи (1), (2) и

системы уравнений (4) соответственно.

Доказательство. Прежде всего проведем обоснование разрешимости метода коллокации для краевой задачи (1), (2). Метод коллокации в операторной форме записывается в виде

К х = Р

^п^п *п

Так(ґ)хпк)(ґ) + £ 2-1М^.ат к=0 2и,-!

к=02лУ (х_ґ)р

= Рп[ /

Пользуясь определением гиперсингулярного интеграла, приведем краевую задачу (1), (2) и уравнение (5) к эквивалентному сингулярному интегро-дифференциальному уравнению и аппроксимирующей последнее по методу коллокации системе уравнений. В результате имеем

к=0

£ 1 (_1)р_ (•(%(ґ,х)х(к)(х))(р_1) =

к“02га' (Р _1)!

К = £°к

х _ ґ

К х = Р

п п п

£ак

к=0

+ £ 1 (_1)Р_1 Г (Ь(ґ,х)х(к)(х))ХР_1) ^х

^ 'І'ТГІ ^ __ 1 Л1 J

к=02га' (Р _1)!

х _ ґ

= Рп [/(ґ)].

Здесь через (Н(^, х)х(х))^.р 1)(х) обозначена производная (р -1) порядка по переменной х.

Продолжим преобразование уравнений (6), (7). Очевидно,

Кх = £ак

1

к=0

2л/ (р _ 1)!

х _ ґ

1+Р 2 1 гИ*

£ 2_ ГНк (ґ, х)х ^ ах = /(ґ), - 2л^ х _ ґ

к=0

У

К х = Р

Л^пЛп 2п

£ак(ґ)хпк)(ґ)+2 . ( 1)!

к=0 2л (р _1)!

1

I

х _ ґ

I+р_2

1 ґ%

к=0

ё х

х_ ґ

= Рп [ / (ґ)].

Здесь через ,х), к = 0,1,.,/ + р - 2, обозначены функции, по-

строение которых очевидно.

Уравнения (8) и (9) удобно представить в следующем виде:

Кх = £

к=0

ак (ґ) х( к )(ґ) + Ьк (ґ)— Г

УЛ7 *

1 гх(к)(х)ё х

2л/ •' х _ ґ

У

Г Ьк (ґ, х) х(к)(х)ё х

= /

К х = Р

•“п^п п

£

к=0

ак(ґ)х<пк) (ґ)+Ьк(ґ) 2- Гх ^ёх +

2Л7 * х _ ґ

+Г Ьк (ґ, х) хпк )(х)ё х

2лН х _ ґ

У

= Рп [/

Здесь при т < 5 коэффициенты а*(0 = 0, к = т + 1, т + 2,..., 5; при / + р - 1< 5 коэффициенты Ьк ^) = 0, к = / + р, / + р + 1, ..., 5. Коэффициент

.. Н (г, 0(-1)р-1 ,, ч

Ь + р -1(^ )=—---------, построение коэффициентов Ьк у ), Ьк у, х),

(р -1)!

к = 0,1,.,5, очевидно.

Преобразования, которые привели граничную задачу (1), (2) к граничной задаче (10), (2), тождественны. Граничные условия (2) выполнены для полиномов (3).

Таким образом, задача обоснования метода коллокации для краевой задачи (1), (2) сведена к обоснованию метода коллокации (11) для сингулярного интегродифференциального уравнения (10) с граничными условиями (2).

Метод коллокации для линейных сингулярных интегродифференци-альных уравнений обоснован в работе И. В. Бойкова и И. И. Жечева [2] (см. достаточно подробное изложение в [3]). Из результатов этих работ следует,

что при п таких, что д = А 1п п/па-Р <1, система уравнений (11) однозначно

* ** ^_Р * **

разрешима и справедлива оценка || х - хп ||< А 1пп/п р, где х и хп - решение краевой задачи (1), (2) и системы уравнений (11) соответственно.

Так как система уравнений (11) получена из системы уравнений (7) тождественными преобразованиями, то при указанных выше значениях п

система уравнений (9) однозначно разрешима и функция хп является ее решением.

Таким образом, доказано, что оператор К е [X, У] при граничных условиях (2) непрерывно обратим и при п таких, что д = А 1п п/па-Р < 1, оператор Кп е [Хп,Уп] непрерывно обратим.

Здесь через Хп с X обозначено множество полиномов вида (3) с нормой пространства X, а через Уп обозначено множество полиномов вида

£ а/

к=-п

с нормой пространства У (напомним [4], что символом [X, У] обозначается множество линейных ограниченных операторов, отображающих нормированное пространство X в нормированное пространство У ).

Для обоснования метода механических квадратур (4) оценим норму разности операторов Кп и Кп в метрике пространства Уп.

Очевидно,

II Кпхп Кпхп ІІУ _

Рп £ ^

к=0 у

Ьк

(т- Ґ У

ё т

где Рп = I -Рп, I - тождественный оператор. Вначале оценим норму

Рп к к (ґ, т)х(/)(т) ё т

J п _ У _ (т-ґ)Р _

Рассмотрим полином

Рп

I

К1 (ґ, т) хЦ )(т) (т- ґ)Р

ё т

Воспользовавшись определением гиперсингулярных интегралов, имеем

Рп

Iк/(ґ, т) ^(т) ё т

(т- ґ)Р

= Рп

= Рп

(Р-1)!

(Р -1)!

I

т-ґ

ё т

т-ґ

-------+ Рп

(Р-1)!

I

ё т

т-ґ

Рассмотрим первое слагаемое в правой части предыдущего выражения (остальные слагаемые рассматриваются аналогично).

Обозначим через Щ (^, т) тригонометрический полином наилучшего равномерного приближения степени (п - 5) по каждой из переменных к функции Ь ^, т). Тогда

(-1)Р-1 Г ' к (ґ, т) хЦ+Р -1)(т)' -Рп ' к/ (ґ, т) хЦ+Р-1)(т)'

(Р -1)! * _ У т-ґ т-ґ

ІІУ <

(р-1)!1 т-ґ п

(-1)р-1 г к (ґ,т)хп+р-1)(т)- Рп [К/(ґ,т)хЩ+р-1)(т)]

(Р -1)!

I

т-ґ

]ёт

п

+ II Рп

(-1) р- \ | Рп № (ґ, X)-к (ґ, X)) хП+р -1}(т)] а т

(Р -1)!

X-ґ

ІІУ +

Рп (-1)р -1 г ' Рп [(к (ґ, X)хЩ+Р-1)(х)] ' -Рп ' (к (ґ, X) хШ+р -1)(х)' ё X

(Р -1)! г X - ґ X - ґ

-1} +12 + /з +14.

Оценим каждое из выражений /1 - /4 в отдельности.

Для оценки /} заметим, что по известной теореме С. Н. Бернштейна

II 1/(,х) -111 (',х)||с< А 1пптах|[к/(*,х)], Е%-5[к/(^х)]}.

Отсюда следует, что функция ^, х) -к/ ( I, х)- /2/ ( I, х) входит в класс

Гельдера по переменной х с показателем 1/ 1п п и с коэффициентом

А 1ппЕп(к/), где Еп(к1) — 1пптах|еП[к/(^х)],ЕП[к/(^,х)]}. Поэтому

/1 <АЦх^Р-1)

Заметим теперь, что функция

х

является полиномом степени 2п по переменной х. Тогда, воспользовавшись формулой Гильберта для сингулярных интегралов и свойствами квадратурных формул наивысшей тригонометрической точности, имеем

Рп Г к ( ґ, X) х^+р -1)(X) ё 1 Г X- ґ = Рп Р

_ У А Уп _ У

к

х- ґ

ё х

Рп

•Рп Щ (ґ, X)хП+Р-1)(Х)] ёх

х- ґ

Из этой формулы следует, что

12 =0.

Оценим норму разности

Рп

| Рп [(к ( ґ, X) - к1 ( ґ, X)) хПП+р-1)(^]

ё X

X- ґ

< Ап$ \п1пЕ*

Возвращаясь к формуле (18), имеем

Рп

| РЛ к, (г, т) х—+* -1)(т)] а т

x-t

У

-

уп Рп р”» _ У

И

т-t

ё т

.

Для доказательства формулы (21) воспользуемся формулой Гильберта [7]:

1 Г = 1 I" ф(е—а )^ ——- ё а + — Гф(ега )ё а.

-3 т-1 п* 2 ^

Тогда

- Рп

П

I

Р—[Ъ1 ($, т) хЩ+*-1)(т)]

ё т

т-1

= 2- Рп 2-

2-

Ь (е—-, е—а)х—+*-1)(е—а)'

а-- ,

ctg-------ё а +

2

2-

— Г р— 2- ^

Н1 (е—-, е—а) х—+*-1)(е—а)'

ё а

= Т- Рп 2-

2-

I Р " Ьц

_ 0

- Р"

Ь(е—-,е—а)хП1+*-1)(ег—) (-)>ё—

а--

+Р-

I -Л м

2-

^ Г

2- >

Рс

1 и

Ь, (е—-, е—а) х(1+*-1)(е—а)'

ё а

= — Р -2- п

2-

Г р—( р° | 1 п И п ~И(е—-, е—а) х—+* -1)(е—а)"

* \ _ 0

(а) -

- Р"

ье,ею)х^-^(^) (-))ctg—2— ёа

а--

+Р -

2-

— Г рп° 2- ^ п " к (е—-, е—а) х—+*-1)(е—а) " ё а

_ 0

2- И, (е“, е,а) хЦ+*-|)(е,а )^ а- + 2- 2

+—Щ (в“, в'°) х 2п

™ віа)х(1+Р-1)(віа

ё а = Р1 п - |РпТ Н (і, т)х(п+р 1)(т) т-і ё т

_ У L 2

Из неравенств (16)-(21) следует, что

I <ЛгРЕп(И1 )1п2п || хп ||. Повторяя проведенные выше рассуждения, имеем

~

Рп К

_ У

(Н (і, т))(р-1) хП)(т)'

Т-Ґ

ё т

Из формул (12), (22), (23) следует оценка

|| Кпхп - Кпхп \\і< Ап-

Из оценки (24) следует, что при п таких, что д = Ап-(а-^)1п2п < 1, оператор Кп имеет левый обратный. Так как оператор Кп действует из конечномерного пространства Хп в конечномерное пространство Уп, то из существования левого обратного оператора следует существование обратного оператора К-1.

Близость решений уравнений (1) и (4) оценивается так же, как при исследовании сингулярных интегральных уравнений.

Теорема доказана.

Теорема 2. Пусть краевая задача (1), (2) однозначно разрешима и выполнено условие 2). Тогда при п таких, что А\п2п/пг-р+1+а-Р <1, система уравнений (4) однозначно разрешима и справедлива оценка

|| X* - х*||Яр< А1п2п/пг-р+‘+а-0

Доказательство теоремы 2 подобно доказательству теоремы 1 и поэтому опускается.

2. Приближенное решение нелинейных гиперсингулярных интегродифференциальных уравнений

Рассмотрим нелинейное гиперсингулярное интегродифференциальное уравнение

Ьх .

к=0

2пік=0У

где у - единичная окружность с центром в начале координат, р = 2,3,...

На функции ак (і,и) и Нк (і, т,и) наложены следующие условия:

1) функции ак (і, т), к = 0,1,..,т , имеют частные производные по второй переменной, и удовлетворяют условию Гельдера по обеим перемен-

ным. Функции Н£ (V, т, и), к = 0,1,..., /, имеют частные производные до (р -1) порядка по второй переменной и до р -го порядка по третьей переменной, причем функции Нк(V,т,и), к = 0,1,..., /, и их частные производные удовлетворяют условию Гельдера с показателем а по всем переменным;

2) функции а£(V,т), к = 0,1,..,т , имеют частные производные до р -го порядка по первой и второй переменной соответственно, причем как сами функции, так и их частные производные удовлетворяют условию Гельдера по обеим переменным. Функции Нк (V, т, и) к = 0,1,.,/, имеют частные производные г -го порядка по первой переменной, до (р + г - 1)-го порядка по второй переменной и до (г + р) -го порядка по третьей переменной, причем как сами функции, так и их частные производные удовлетворяют условию Гельдера с показателем а по всем переменным.

Частным случаем уравнения (25) при р = 1 являются нелинейные сингулярные интегродифференциальные уравнения. Приближенное решение нелинейных сингулярных интегродифференциальных уравнений исследовано в работах И. В. Бойкова [1], И. В. Бойкова и И.И. Жечева [8]. Подробное изложение этих результатов дано в монографии [3].

В качестве граничных условий для уравнения (25) возьмем равенства (2).

Приближенное решение уравнения (25) будем искать в виде полинома (3), коэффициенты которого определяются из системы нелинейных алгебраических уравнений

РиХи ~ Рп

т / 1

£ ак (V, хПк V)) + £ — \Рп

к=0 к=0 у

Нк

ё т

Рп [ /

Операторы Р и Р были введены в п. 1.

Для решения системы уравнений (26) воспользуемся методом Ньютона -Канторовича, который в операторной форме имеет вид

хт+1

где /п (V) = Рп [/(V)], Ь'п (х0) - производная Фреше (или Гато) на начальном элементе х0.

Для осуществимости метода Ньютона - Канторовича необходимо, чтобы существовал ограниченный обратный оператор [ Ь!п (х0)] 1. Нетрудно видеть, что производные Фреше операторов Ь и Ьп на элементе х0 имеют вид

Ь'(х0)х = £ Г дак (, ик) к=0

дик

£ гГ дНк

1

2га

хк (V) +

/

к=0

диь

=х(к)(

у

ик=х0

х

Ьп (х0) хп ~ Рп

т

£

к=0

дак (, ик) дик

(т-t)р

Л

ё т;

'ик=х0к )(t\

'2га£0^и

к=0 у

дкк

дик

^ х(к) Л-у,

=х0к)(

ик=хо

ё х

соответственно.

В случае, если оператор Ь'( х0) непрерывно обратим, обратимость оператора Ь'п (х0) при достаточно больших п, значения которых определены в условиях теорем 1 и 2, следует из этих теорем. Таким образом, при указанных значениях п итерационный процесс осуществим. Для сходимости этого процесса необходимо проверить выполнение условий теоремы 6.8 из главы «Введение» монографии [3]. Нетрудно видеть, что при достаточно хорошем начальном приближении х0, последовательность (27) сходится к решению * * * хп уравнения Ьпхп = /п. Близость решений х и хп уравнений (25) и (26) оценивается по такой же схеме, как и для нелинейных сингулярных интегральных уравнений (см. [3, с. 214]).

Таким образом, доказана справедливость следующих утверждений. Теорема 3. Пусть выполнены следующие условия:

*

1) уравнение (25) имеет единственное в некоторой сфере Б(х , 8),

*

8>0,решение х (V);

*

2) оператор Ь (х0) е [X, У \, х0 е Б(х , 8), непрерывно обратим;

3) выполнены условия 1.

Тогда при п таких, что д = А 1п3 п /па-^ < 1, система уравнений

*

имеет единственное решение хп и справедлива оценка

х - х„

< А 1п п / п

а-р

Теорема 4. Пусть выполнены следующие условия:

*

1) уравнение (25) имеет единственное в некоторой сфере Б(х , 8),

*

8>0,решение х (ґ);

2) оператор Ґ(хо) є[X, У ], хо є Б(х , 8), непрерывно обратим;

3) выполнены условия 2.

Тогда при п таких, что д = А 1п3 п /пг-р+1+а-р < 1 система уравнений

*

(26) имеет единственное решение хп и справедлива оценка

< А 1п3 п / пг - р+1+а-Р.

х - х„

X

Список литературы

1. Бойков, И. В. Принцип компактной аппроксимации в возмущенном методе Галеркина / И. В. Бойков // ДАН СССР. - 1974. - Т. 215. - № 1. - С. 11-14.

2. Бойков, И. В. К приближенному решению сингулярных интегродифферен-циальных уравнений 1 (линейные уравнения) / И. В. Бойков, И. И. Жечев // Дифференциальные уравнения. - 1973. - Т. 9. - № 8. - С. 1493-1502.

3. Бойков, И. В. Приближенное решение сингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков. - Пенза : Изд-во ПГУ, 2004. - 316 с.

4. Канторович, Л. В. Функциональный анализ в нормированных пространствах / Л. В. Канторович, Г. П. Акилов. - М. : Наука, 1959. - 684 с.

5. Бойков, И. В. Приближенное решение гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, Е. Г. Романова // International Conference on Computational Mathematics. - Novosibirsk, 2004. - Part first. - P. 411-417.

6. Бойков, И. В. Сплайн-коллокационный метод решения гиперсингулярных интегральных уравнений / И. В. Бойков, А. И. Бойкова // Вестник Харк. нац. унта, 2007. - № 775. - Вып. 7. - С. 36-49. - (Математическое моделирование. Информационные технологии. Автоматизированные системы управления).

7. Гахов, Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. - М. : Наука, 1963. - 640 с.

8. Бойков, И. В. К приближенному решению сингулярных интегродифферен-циальных уравнений 2 (нелинейные уравнения) / И. В. Бойков, И. И. Жечев // Дифференциальные уравнения. - 1975. - Т. 11. - № 3. - C. 562-571.

Бойков Илья Владимирович

доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет

E-mail: math@pnzgu.ru

Захарова Юлия Фридриховна

кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра высшей и прикладной математики, Пензенский государственный университет

E-mail: math@pnzgu.ru

Boykov Ilya Vladimirovich Doctor of physico-mathematical sciences, professor, head of sub-department of higher and applied mathematics,

Penza State University

Zakharova Yuliya Fridrikhovna Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, sub-department of higher and applied mathematics, Penza State University

УДК 517.392 Бойков, И. В.

Приближенное решение гиперсингулярных интегродифференци-альных уравнений / И. В. Бойков, Ю. Ф. Захарова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. -№ 1 (13). - С. 80-90.