СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СОСТАВЛЯЮЩИХ ВЕКТОРА СКОРОСТИ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ЗЕМНЫХ СТАНЦИЙ И ИЗЛУЧАЮЩЕЙ ОПОРНОЙ РЕПЕРНОЙ СТАНЦИИ
METHOD FOR DETERMINING THE ORTHOGONAL COMPONENTS OF THE VELOCITY VECTOR OF A SPACECRAFT USING EARTH STATIONS AND A RADIATING KEY REFERENCE STATION

Изобретение относятся к области космонавтики, а именно к технике выполнения траекторных измерений и определения параметров орбиты космического аппарата (КА), и может быть использовано на наземных и бортовых комплексах управления полетом КА для точного определения текущих параметров движения КА.
Известен способ определения ортогональных составляющих вектора скорости КА [1]. Для реализации данного способа последовательно выполняют следующие действия:
размещают на позициях с известными координатами приемную радиотехническую станцию (ПРТС) и не мене трех передающих опорных реперных станций (ПОРС);
0
принимают и записывают радиосигналы КА совместно с метками времени с помощью ПРТС и указанных ПОРС в момент времени t;
передают из каждой ПОРС в ПРТС записанные радиосигналы КА совместно с метками времени;
с помощью корреляционной обработки измеряют значения частотных сдвигов между радиосигналами, записанными ПРТС и каждой из ПОРС;
рассчитывают разности радиальных скоростей КА относительно ПРТС и каждой из ПОРС;
вычисляют составляющие вектора скорости КА используя указанные разности радиальных скоростей.
К недостатку способа [1] относят относительно-невысокую точность определения ортогональных составляющих вектора скорости КА, обусловленную необходимостью синхронной записи радиосигналов КА с помощью ПРТС и не менее трех ПОРС.
Известен способ определения ортогональных составляющих вектора скорости КА [2]. Для реализации данного способа последовательно выполняют следующие действия:
размещают на позициях с известными координатами приемопередающую радиотехническую станцию (ППРТС) и не мене двух излучающих опорных реперных станций (ИОРС);
0
в момент времени t синхронно излучают тестовые радиосигналы с помощью ППРТС и указанных ИОРС;
принимают и записывают тестовые радиосигналы после их ретрансляции КА с помощью ППРТС и указанных ИОРС;
с помощью корреляционной обработки измеряют значения частотных сдвигов между переданными и принятыми радиосигналами для ППРТС и каждой из ИОРС;
рассчитывают радиальные скорости КА относительно ППРТС и каждой из ИОРС;
передают из каждой ИОРС в ППРТС рассчитанное значение радиальной скорости;
вычисляют ортогональные составляющие вектора скорости КА используя рассчитанные радиальные скорости.
К недостатку способа [2] относят относительно-невысокую точность определения ортогональных составляющих вектора скорости КА, обусловленную необходимостью синхронной излучения и записи тестовых радиосигналов КА с помощью ППРТС и не менее двух ИОРС.
Из известных способов наиболее близким аналогом (прототипом) предлагаемого способа по технической сущности является способ определения ортогональных составляющих вектора скорости основного космический аппарат (ОКА) [3]. Для реализации данного способа последовательно выполняют следующие действия:
размещают на позиции с известными координатами ПРТС;
выбирают смежный космический аппарат (СКА) с известными значениями координат;
выбирают земные станции (ЗС), размещенные на земной поверхности на позициях с известными координатами;
вычисляют координаты ОКА;
принимают и записывают с помощью НРТС радиосигналы ЗС после их ретрансляции ОКА и СКА;
измеряют значения номиналов частот радиосигналов ЗС после их ретрансляции ОКА и СКА;
рассчитывают значения номиналов частот радиосигналов излучаемых каждой из ЗС;
рассчитывают расстояния от каждой из ЗС и ПРТС до ОКА;
вычисляют составляющие вектора скорости ОКА используя указанные расстояния и частотные сдвиги радиосигналов системы.
Недостатком способа прототипа [3] является относительно-невысокая точность определения ортогональных составляющих вектора скорости ОКА, обусловленная отсутствием возможности выбора нужного количества ЗС с максимальными взаимными удалениями.
Техническим результатом при использовании заявленного способа является повышение точности определения ортогональных составляющих вектора скорости ОКА за счет совместного использования земных станций и ИОРС.
K
K
K
2
2
2
0
0
H
H
H
0
Указанный технический результат достигается тем, что в известном способе определения ортогональных составляющих вектора скорости КА (по патенту №2750753) включающим: размещение ПРТС на позиции с известными координатами x, y, z, выбирают начальные значения параметров орбиты ОКА, ортогональных составляющих вектора скорости которого необходимо определить, выбор СКА с известными координатами х, у, z, имеющий общий участок диапазона частот на линии "вверх" с ОКА и общую зоны покрытия с зоной покрытия ОКА, выбор земных станций, значения номиналов излучаемых частот которых входят в диапазоны частот на линии "вверх" ОКА и СКА и каждая из ЗС находится в зонах покрытия ОКА и СКА, прием в момент времени t с помощью ПРТС радиосигналов, переданных ЗС и ретранслированных ОКА и СКА, вычисление на основе частотных сдвигов радиосигналов системы, известных координат ПРСТ и ИОРС, предварительно заданных частот сдвига рабочих частот ОКА  и СКА  ортогональных составляющих вектора скорости ОКА  в момент времени t, дополнительно устанавливают на земной поверхности ИОРС на позиции с известными координатами x, y, z, принадлежащими одновременно зонам покрытия ОКА и СКА в момент времени t.
1
1
1
Вычисляют координаты ОКА х, у, z.
0
H
Излучают в момент времени t тестовый радиосигнал ИОРС со значением номинала частоты ƒ. Принимают тестовый радиосигнал с помощью ПРТС после его ретрансляции ОКА. Измеряют в ПРТС K за счет корреляционной обработки радиосигналов номинал частоты тестового радиосигнала ИОРС после его ретрансляции ОКА .
Для каждой n-й ЗС с известными координатами  где n=1…N - номер ЗС, N≥2, измеряют в ПРТС K за счет корреляционной обработки радиосигналов значения номиналов частот  и  принятых радиосигналов после их ретрансляции ОКА и СКА соответственно.
K
K
K
2
2
2
0
Рассчитывают значения радиальных скоростей  СКА относительно каждой из n-й ЗС и ПРТС соответственно на основе известных координат ПРТС x, y, z, координат х, у, z и ортогональных составляющих вектора скорости  СКА в момент времени t, координат не менее двух ЗС
n
Вычисляют значения номиналов частот излучаемых каждой n-й ЗС ƒ используя измеренные значения номиналов частот  принятых радиосигналов n-х ЗС после их ретрансляции СКА, рассчитанные доплеровские сдвиги частот на входе  и на выходе  СКА за счет его сближения или удаления с или от n-й ЗС и ПРТС, заданную частоту сдвига рабочей частоты СКА
K
K
K
H
H
H
1
1
1
0
Рассчитывают расстояния  от и n-х ЗС, ИОРС и ПРТС до ОКА на основе известных координат ПРТС x, y, z, ИОРС x, y, z, ЗС  и вычисленных координат ОКА x, y, z в момент времени t.
K
K
K
H
H
H
2
2
2
n
n
Вычисляют ортогональные составляющие вектора скорости ОКА  по известным координатам ПРТС x, y, z, ИОРС x, y, z, ЗС и СКА х, y, z, известным ортогональным составляющим вектора скорости СКА  заданной частоте сдвига рабочей частоты ОКА  рассчитанным значениям номиналов частот излучаемых каждой n-й ЗС ƒ, номиналу частоты тестового радиосигнала ИОРС после его ретрансляции ОКА  расстояниям  от и n-х ЗС I, ИОРС Н и ПРТС K до ОКА.
Выбирают земные станции и устанавливают ИОРС так, чтобы взаимные расстояния между n-й и m-й ЗС, где m=1…N, m≠n и расстояния между n-й ЗС и ИОРС были максимальными.
H
Значение номинала излучаемой частоты ƒ тестового радиосигнала входит в диапазоны частот на линии "вверх" для ОКА и СКА.
K
K
K
H
H
H
2
2
2
2
0
n
Благодаря перечисленной новой совокупности существенных признаков, за счет использования ПРТС K на позиции с известными координатами x, y, z, ИОРС Н на позиции с известными координатами x, y, z, СКА S с известными координатами х, у, z и ортогональными составляющими вектора скорости  в момент времени t, а также ЗС I, размещенных на земной поверхности на позициях с известными координатами  где n=1…N - номер ЗС, N≥2 достигается цель изобретения: повышение точности определения ортогональных составляющих вектора скорости КА.
Заявленные изобретения поясняются чертежами, на которых показаны:
на фиг. 1 - структурная схема системы определения ортогональных составляющих вектора скорости ОКА с использованием двух ЗС и ИОРС;
на фиг. 2 - схема алгоритма расчета ортогональных составляющих вектора скорости ОКА с использованием двух ЗС и ИОРС;
на фиг. 3 - схема выбора ЗС, выбора значения номинала частоты тестового радиосигнала ИОРС с учетом диапазонов частот на линии "вверх" ОКА и СКА, а также номиналов излучаемых частот ЗС;
на фиг. 4 - схема выбора ЗС и выбора района установки ИОРС с учетом зон покрытия ОКА и СКА;
на фиг. 5 - пример схемы топологии размещения двух ЗС и ИОРС.
Теория полета КА, или, как ее еще называют, астродинамика, небесная механика, космическая баллистика, основана на законах И. Кеплера и законе всемирного тяготения И. Ньютона.
В первом приближении движение КА представляется как невозмущенное - такое движение, которое происходило бы только под влиянием силы притяжения Земли по закону Ньютона, т.е. точно соответствует задаче двух тел (Земля - КА) в небесной механике. Это движение называется движением по Кеплеровой орбите, так как подчиняется трем законам Кеплера [4].
Достоинством Кеплеровой орбиты является простота вычисления координат и вектора скорости К А в прогнозируемый момент времени. Это предопределило широкое использование элементов Кеплеровой орбиты. В настоящем изобретении элементы Кеплеровой орбиты КА выступают в качестве априорных данных об КА. С помощью этих элементов ориентируют приемные антенны ПРСТ на КА. Кроме того элементы Кеплеровой орбиты КА служат для устранения двузначности определения координат КА.
Недостатком Кеплеровой орбиты является относительно низкая точность определения координат и вектора скорости КА, которая недостаточна для выполнения ряда прикладных задач, например, для корректировки движения КА.
Более точно движение КА описывается с помощью возмущенной орбиты [4, 5], которая задается:
1
1
1
0
каноническими параметрами КА, включающими координаты КА x, у, z и ортогональные составляющие вектора его скорости  в начальный момент времени t,
факторами, приводящими к отклонениям КА от идеальной (Кеплеровой) орбиты и называемыми возмущающими факторами.
Например, для геостационарного КА достаточно учитывать только три фактора, приводящих к отклонениям КА от идеальной (Кеплеровой) орбиты - влияние Солнца, Луны и нецентральности гравитационного поля Земли.
При прогнозе координат КА размещенных на других (не геостационарных) орбитах дополнительно учитывают ряд факторов, приводящих к отклонениям КА от идеальной (Кеплеровой) орбиты. В качестве таких факторов, например, для КА на низких орбитах выступают: влияние сопротивления атмосферы Земли, светового давления, притяжения планет и др.
0
Таким образом, определение ортогональных составляющих вектора скорости КА  в начальный момент времени t с высокой точностью является важной задачей, которая решена в заявленном техническом решении.
1
2
На фиг. 1 цифрами обозначены: 1 - ОКА; 1.1 - расстояние между ОКА и первой ЗС  1.2 - расстояние между ОКА и ПРСТ  1.3 - вектор скорости ОКА  1.4 - угол  между направлениями на первую ЗС и вектором  1.5 - угол  между направлением на НРТС и векторами  1.6 - радиальная скорость ОКА в направлении первой ЗС  1.7 - радиальная скорость ОКА в направлении ПРТС  2 - СКА; 2.1 - расстояние между СКА и первой ЗС  2.2 - расстояние между СКА и ПРСТ  2.3 - вектор скорости ОКА  2.4 - угол  между направлениями на первую ЗС и вектором  2.5 - угол  между направлением на НРТС и векторами  2.6 - радиальная скорость СКА в направлении первой ЗС  2.7 - радиальная скорость СКА в направлении ПРТС  3 - ПРСТ K; 4 - ИОРС H; 5 - линия горизонта; 6.1 - первая ЗС I; 6.2 - вторая ЗС I.
0
K
K
K
H
H
H
2
2
2
2
0
n
Система определения ортогональных составляющих вектора скорости ОКА  в момент времени t содержит: ПРТС K с известными координатами x, y, z, ИОРС Н с известными координатами x, y, z, СКА S с известными координатами х, у, z и ортогональными составляющими вектора скорости  в момент времени t, а также N≥2 выбранных ЗС I, n=1…N (см. фиг. 1) на позициях с известными координатами  излучающие радиосигналы в направлении ОКА и СКА.
1
n
2
n
1
n
2
Для каждой n-й ЗС возможно ввести обозначения:  - расстояния между ОКА S и n-й ЗС I;  - расстояния между СКА S и n-й ЗС I;  - радиальные скорости ОКА S в направлении n-ю ЗС I,  - радиальные скорости СКА S в направлении n-ю ЗС  - углы между направлениями на n-ю ЗС и векторами  соответственно.
На фиг. 1 помимо ИОРС Н представлено две ЗС, как минимально необходимое количество ЗС для однозначного одномоментного определения ортогональных составляющих вектора скорости ОКА  по предлагаемому способу.
1
2
1
2
n
H
1
2
Основополагающей предпосылкой настоящего изобретения является наличие помимо ОКА S, через который организуется канал связи между земными станциями, СКА S, который способен ретранслировать те же самые радиоизлучения что и ОКА, но с большим ослаблением и другой частотой переноса. Таким образом, возможно получение за счет корреляционной обработки радиосигналов значения номиналов частот  принятых радиосигналов после их ретрансляции ОКА S и СКА S соответственно для каждой из выбранных n-й ЗС I. Кроме того, в настоящем изобретении используют значения номиналов частот  принятого тестового радиосигнала, предварительно излученного ИОРС Н на частоте ƒ, после его ретрансляции ОКА S и СКА S соответственно.
0
1
2
n
Для определения ортогональных составляющих вектора скорости ОКА  в момент времени t используют значения номиналов частот  и  принятых радиосигналов после их ретрансляции ОКА S и СКА S соответственно, обусловленные различными радиальными скоростями ОКА и СКА относительно каждой из n-й ЗС I и ПРСТ K [6]. Дополнительно используются значения номиналов частот  обусловленные различными радиальными скоростями ОКА и СКА относительно ИОРС Н и ПРСТ K.
K
K
K
2
2
2
2
0
2
n
На основе известных координат НРТС x, y, z, координат х, у, z и ортогональных составляющих вектора скорости  СКА S в момент времени t, координат ЗС  рассчитывают значения радиальных скоростей  СКА S относительно каждой из n-й ЗС I и НРТС K соответственно.
K
K
K
2
2
2
2
0
H
H
H
2
На основе известных координат НРТС x, y, z, координат х, у, z и ортогональных составляющих вектора скорости  СКА S в момент времени t, координат ИОРС Н x, y, z рассчитывают значение радиальной скорости  СКА S относительно ИОРС Н.
2
n
2
n
Используя значения радиальных скоростей  СКА S относительно каждой из n-й ЗС I и НРТС K, значения номиналов частот  принятых радиосигналов после их ретрансляции СКА S, известных ортогональных составляющих вектора скорости СКА  заданной частоты сдвига рабочей частоты СКА  вычисляют значения номиналов частот излучаемых каждой n-й ЗС ƒ.
K
K
K
H
H
H
1
1
1
H
n
n
Вычисляют ортогональные составляющие вектора скорости ОКА  по известным координатам НРТС x, y, z, координатам ЗС координатам ИОРС Н x, y, z, координатам ОКА x, y, z, заданной частоте сдвига рабочей частоты ОКА  известной частоте излучаемого тестового радиосигнала ИОРС ƒ, измеренными номиналам частот  и  рассчитанным значениям номиналов частот излучаемых каждой n-й ЗС ƒ, рассчитанным расстояниям  от ИОРС Н, n-х ЗС I и НРТС K до ОКА.
Для одномоментного и однозначного определения ортогональных составляющих вектора скорости ОКА необходимо использование ИОРС и двух ЗС. Дальнейшее увеличение количества ЗС будет приводить к повышению точности определения ортогональных составляющих вектора скорости ОКА.
0
В качестве примера в приложении А представлен алгоритм определения ортогональных составляющих вектора скорости ОКА с использованием ИОРС и двух ЗС. Выходными результатами представленного алгоритма выступают составляющие вектора скорости ОКА  в момент времени t.
H
1
12
На фиг. 3 в качестве примера представлена схема выбора ЗС, а также номинала частоты излучения тестового радиосигнала ИОРС ƒ с учетом диапазонов частот на линии "вверх" ОКА  и СКА , а также диапазонов частот ЗС F…F, расположенных в районах зон покрытия ОКА  и СКА  По оси абсцисс на фиг. 5 отложены частоты ƒ, по оси ординат - амплитуды А.
1
11
5
12
5
11
1
7
1
7
Анализ схемы (фиг. 3) показывает, что в диапазон частот на линии "вверх" ОКА  входят диапазоны частот ЗС F…F, а в диапазон частот на линии "вверх" СКА  входят диапазоны частот F…F ЗС. Таким образом, одновременно в диапазоны частот на линии "вверх" ОКА  и СКА , входят диапазоны частот ЗС F…F. На схеме (фиг. 5) введены обозначения указанных ЗС - I…I, а также значений номиналов их излучаемых частот - ƒ…ƒ.
1
2
1
2
3
4
5
6
7
На фиг. 4 цифрами обозначены: 1.8 - зона покрытия ОКА Ω, 2.8 - зона покрытия ОКА Ω; 4 - ИОРС H; 6.1 - первая ЗС I; 6.2 - вторая ЗС I; 6.3 - первая ЗС I; 6.4 - вторая ЗС I; 6.5 - первая ЗС I; 6.6 - вторая ЗС I; 6.7 - вторая ЗС I.
1
2
На фиг. 4 в качестве примера представлена схема выбора ЗС с учетом зон покрытия ОКА Ω и СКА Ω.
1
1
2
4
6
2
1
2
3
4
7
1
2
1
2
4
Анализ схемы (фиг. 4) показывает, что в зоне покрытия ОКА Ω находятся ЗС I, I, I, I и ИОРС H, а в зоне покрытия СКА Ω находятся ЗС I, I, I, I, I и ИОРС H. Таким образом, одновременно в зонах покрытия ОКА Ω и СКА КА Ω находятся ЗС I, I, I, и ИОРС H.
n
n
При выборе ЗС учитывают топологию размещения всех ЗС I и ИОРС H от которой зависит точность определения ортогональных составляющих вектора скорости КА  Под топологией размещения ЗС I и ИОРС понимают их взаимное расположение на поверхности Земли. При этом в качестве важных показателей при выборе ЗС выступают взаимные расстояния  между n-й и m-й ЗС, где m=1…N, m≠n и расстояния  между n-й ЗС и ИОРС, которые должны быть максимальными.
1
2
H
12
7
Сопоставляя фиг. 3 и фиг. 4 для определения ортогональных составляющих вектора СКА  выбирают ЗС I и I. В качестве номинала частоты излучения тестового радиосигнала ИОРС ƒ выбрана средняя частота диапазона F, поскольку, как видно на фиг. 4 ЗС I, невозможно выбрать для реализации заявленного способа.
1
2
На фиг. 5 цифрами обозначены: 4 - ИОРС H; 5 - линия горизонта; 6.1 - первая ЗС I, 6.2 - вторая ЗС I; 7.1 - расстояние между ИОРС и первой ЗС  7.2 - расстояние между ИОРС и второй ЗС  7.3 - расстояние между первой и второй ЗС
1
2
На фиг. 5 в качестве примера представлена схемы топологии размещения двух ЗС I, I и ИОРС Н. Указанные ЗС выбирались так, что бы взаимные расстояния  были максимальными.
Имитационное моделирование на основе программ для ЭВМ [7, 8] заявленных способов показало возможность повышения точности определения ортогональных составляющих вектора скорости ОКА  по сравнению со способом прототипом на 10…15%.
Источники информации
1. Агиевич С.Н., Беспалов В.Л., Дедовская Э.Г., Матюхин А.С., Подъячев П.А., Севидов В.В. Способ определения параметров орбиты искусственного спутника Земли с использованием приемных опорных реперных станций. Патент №2702098 МПК G01S 5/00 (2006.01). Бюл. №28 от 04.10.19. Заявка №2018127491 от 25.07.18.
2. Агиевич С.Н., Ватутин В.М., Матюхин А.С., Модин М.И., Севидов В.В. Способ определения параметров орбиты искусственного спутника Земли с использованием приемо-передающих опорных реперных станций. Патент №2708883. МПК G01S 5/00 (2006.01). Бюл. №35 от 12.12.19. Заявка №2018134855 от 01.10.18.
3. Агиевич С.Н., Андросов В.В., Калуцкий Р.П., Коновалов В.Е., Луценко С.А., Севидов В.В., Харченко В.Е. Способ определения ортогональных составляющих вектора скорости и способ определения координат космического аппарата с использованием земных станций. Патент на изобретение №2750753, опубл. 02.07.2021. Бюл. №19.
4. Машбиц Л.М. Компьютерная картография и зоны спутниковой связи, - 2-е изд., перераб и доп. - М.: Горячая линия - Телеком, 2009. - 236 с.
5. Волков Р.В., Малышев СР., Симонов А.Н., Севидов В.В. Определение канонических параметров спутников-ретрансляторов по радиосигналам опорных реперных станций // Труды Военно-космической академии им. А.Ф. Можайского. 2016. Вып. 655. С. 88-92.
6. Волков Р.В., Саяпин В.Н., Севидов В.В. Модель измерения временной задержки и частотного сдвига радиосигнала, принятого от спутника-ретранслятора при определении местоположения земной станции // T-Comm: Телекоммуникации и транспорт. 2016. Том 10. №9. С. 14-18.
7. Волков Р.В., Саяпин В.Н., Севидов В.В. Модель движения искусственного спутника Земли // Программы для ЭВМ. Базы данных. Топологии интегральных микросхем. 2016. №2. С. 112.
8. Севидов В.В. Определение координат и параметров движения источника радиоизлучения на основе разностно-временных и разностно-доплеровских измерений // Программы для ЭВМ. Базы данных. Топологии интегральных микросхем. 2015. №11. С. 2.
Приложение А
Алгоритм определения ортогональных составляющих вектора скорости ОКА с использованием двух ЗС и ИОРС
2
2
2
2
0
n
H
H
H
Для определения ортогональных составляющих вектора скорости ОКА  возможно использовать ПРТСK, СКА S с известными координатами х, у, z, и ортогональными составляющими вектора скорости  в момент времени t, а также не менее двух выбранных ЗС I, размещенных на позициях с известными координатами  и ИОРС размещенную на позиции с известными координатами x, y, z (см. фиг. 1.)
В качестве примера в настоящем приложении представлен вариант с двумя ЗС (n=1…2) и ИОРС как минимально необходимого состава для однозначного одномоментного определения вектора скорости ОКА
1
1
1
Предполагается, что координаты ОКА х, у, z - рассчитаны в соответствии с одним из известных способов [1-3].
n
С помощью корреляционной обработки радиосигналов в ПРТС K измеряют значения номиналов частот  принятых радиосигналов n-х ЗС после их ретрансляции ОКА и СКА, а также значения номиналов частот  принятых радиосигналов n-х ЗС I после их ретрансляции ОКА и СКА.
Для номиналов частот  справедливы аналитические выражения:
n
n
n
где ƒ - значения номиналов частот излучаемых каждой n-й ЗС I;  - доплеровские сдвиги частот на входе ОКА и СКА соответственно за счет их сближения (удаления) с (от) n-й ЗС I;  - заданные частоты сдвига рабочих частот ОКА и СКА соответственно;  - доплеровские сдвиги частот на выходе ОКА и СКА соответственно за счет их сближения (удаления) с (от) ПРТСK.
Для номинала частоты принятого тестового радиосигналы ИОРС  справедливо аналитическое выражение:
H
где ƒ - значение номинала частоты тестового радиосигнала излучаемого ИОРС;  - доплеровский сдвиг частоты на входе ОКА за счет его сближения (удаления) с (от) ИОРС Н;  - доплеровский сдвиг частоты на выходе ОКА соответственно за счет его сближения (удаления) с (от) ПРТС K.
Предполагают, что нестабильности генераторов частот ОКА и СКА известны и компенсируются. Влияние других эффектов на изменение частоты, например, гравитационный и релятивистский эффекты в рамках рассматриваемой задачи, пренебрежимо мало и поэтому не учитывают.
Для расчета ортогональных составляющих вектора скорости ОКА  с использованием двух ЗС и ИОРС разработан алгоритм, схема которого представлена на фиг. 2.
0
K
K
K
1
1
1
2
2
2
2
0
H
H
H
n
На этапе 1 производят ввод исходных данных, в качестве которых выступают: момент времени измерения t; координаты ПРТС x, y, z; координаты ОКА х, у и z; координаты х, у, z и ортогональные составляющие вектора скорости  СКА S в момент времени t; координаты двух ЗС  координаты ИОРС x, y, z; значения частот сдвига рабочих частот  ОКА и СКА соответственно; значения номиналов частот  принятых радиосигналов n-х ЗС I после их ретрансляции ОКА и СКА соответственно.
2
n
На этапе 2 рассчитывают значения радиальных скоростей  СКА S относительно каждой из n-й ЗС I и ПРТС K соответственно.
2
Для значений радиальных скоростей  СКА S возможно записать формулы:
Согласно теореме о скалярном произведении векторов [6] справедливы равенства:
Модуль вектора скорости СКА  равен:
а расстояния от и n-х ЗС и ПРТС до СКА рассчитывают, как
Уравнения (А.4) и (А.5) с учетом (А.6)…(А.10) преобразуют к виду:
n
n
На этапе 3 рассчитывают значения номиналов частот ƒ излучаемых каждой n-й ЗС I.
2
n
Доплеровские сдвиги частот на входе  и на выходе  СКА S за счет его сближения (удаления) с (от) n-й ЗС I и ПРТС K возможно представить в виде:
n
Для расчета значений номиналов частот излучаемых каждой из ЗС ƒ выражения (А.2) с учетом уравнений (А.11) и (А.12) преобразуют к виду:
n
1
На этапе 4 рассчитывают расстояния  от и n-х ЗС I, ИОРС H и ПРТСK до ОКА S по формулам:
На этапе 5 вычисляют ортогональные составляющие вектора скорости ОКА
1
n
Доплеровские сдвиги частот на входе  и на выходе  ОКА S за счет его сближения (удаления) с (от) n-й ЗС I и ПРТС K возможно представить в виде:
1
Доплеровские сдвиги частот на входе  и на выходе  ОКА S за счет его сближения (удаления) с (от) ИОРС Н и ПРТС K возможно представить в виде:
1
Для значений радиальных скоростей  ОКА S возможно записать формулы:
Согласно теореме о скалярном произведении векторов [6] справедливы равенства:
Модуль вектора скорости ОКА  равен:
Уравнения (А.20)…(А.22) с учетом (А.23)…(А.26) преобразуют к виду:
Выражения (А.1) и (А.3) с учетом уравнений (А.13)…(А.29) для двух ЗС и ИОРС, преобразуют в систему линейных уравнений:
где коэффициенты при переменных и свободные члены равны:
Систему из трех линейных уравнений с тремя неизвестными (А.30) решают одним из известных методов, например, методом Крамера. Результатом решения системы уравнений (А.30) выступают ортогональные составляющие вектора скорости ОКА
0
На этапе 6 осуществляют вывод результатов, в качестве которых выступают ортогональные составляющие вектора скорости ОКА  в момент времени t.
В общем случае, когда количество ЗС N>2, алгоритм определения ортогональных составляющих вектора скорости ОКА  остается прежним, с той лишь разницей, что система уравнений (А.30) будет содержать более трех уравнений. Тогда такую систему уравнений решают, например, методом наименьших квадратов.