Невырожденные анормальные управления в субримановой задаче с вектором роста (2, 3, 5, 8)

ISSN 2079-3316 ПРОГРАММНЫЕ СИСТЕМЫ: ТЕОРИЯ И ПРИЛОЖЕНИЯ №4(35), 2017, с. 179-195

УДК 517.977

Е. Ф. Сачкова

Невырожденные анормальные управления в субримановой задаче с вектором роста

Аннотация. Рассматривается нильпотентная субриманова задача с вектором роста (2, 3, 5,8). Приводится описание канонических анормальных управлений. Получены формулы для соответствующих сопряженных векторов принципа максимума Понтрягина.

Ключевые слова и фразы: субриманова задача, анормальные управления, анормальные траектории.

Введение

Данная статья является продолжением исследования, начатого в статье [1], в которой были изучены вырожденные анормальные экстремальные пары в субримановой задаче с вектором роста (2, 3, 5, 8). В данной статье изучаются невырожденные анормальные экстремальные пары в этой задаче. Проинтегрирована вертикальная подсистема гамильтоновой системы принципа максимума Понтрягина в анормальном случае. Получено описание класса анормальных управлений.

Полученные результаты являются основой для исследования анормальных траекторий на нестрогую и строгую анормальность. Если множество нестрого анормальных траекторий непусто, то такие траектории целесообразно исследовать на оптимальность.

1. Постановка задачи и необходимые теоретические сведения

В этом разделе сформулируем задачу оптимального управления и принцип максимума Понтрягина для нее.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 17-11-01387). © Е. Ф. САЧКОВА, 2017

© Институт программных систем имени А. К. Айламазяна РАН, 2017 © Программные системы: теория и приложения, 2017

ЭС1: 10.25209/2079-3316-2017-8-4-179-195

1.1. Задача оптимального управления

Нильпотентная субриманова задача с вектором роста (2, 3, 5, 8) ставится как следующая двухточечная задача оптимального управления. Для двух заданных точек ж0, ж1 € К8 требуется найти решение задачи оптимального управления

(1) ж = и ,

(2) ж2 = и2,

(3) жз = ж2 --щ + 2 + ж -и2, 2 2,

(4) ж4 = 22 ж ^ +р ж -и2, 2 ^

(5) ж5 = 22 ж ^ +р ж 2 и ,

(6) же = з ж ~7Ти2, 6

(7) ж7 = 2 ж ж2 4 и 2 ж2 ж2 + 4 и2,

(8) ж8 = з ж2 6

(9) ж(0) = ж0, „ф ж( Т) = ж ,

(10) ' = 1 1 \/и2 + и2 ^ ^ шт;

ж = (ж1, . .., ж8) € К8, и = (иь и2) € К2.

Допустимые управления выбираются из класса измеримых и ограниченных на отрезке вектор-функций и(-) € Ьто([0, Т], К2), допустимые траектории — из класса липшицевых вектор-функций ж(-) € Ыр([0, Т], К8).

Задача оптимального управления (1)—(10) является простейшей нильпотентной субримановой задачей на четырехступенной группе Ли. Она задает нильпотентную аппроксимацию субримановой структуры общего положения в восьмимерном пространстве с двумерным управлением, в окрестности точки общего положения, см. [2].

Систему (1)—(8) можно переписать в векторном виде

ж = иХх(ж) + и2^2 (ж),

где Х\(х), Х2(х) суть следующие векторные поля на R8:

д х2 д ж2 + х\ д х1х\ д х3 д

(11) Х\ =

дх1 2 дх3 2 дх5 4 дх7 6 д х8'

д X! д xi + х\ д х\ д х\х2 д (12) ^2 = + +-Ö-1ЛГ + +

дх2 2 дх3 2 дх4 6 дхе 4 д х7 С помощью скобок Ли построим базис в алгебре Ли, порожденный полями Х\, Х-2'.

д д д [Хи Х2]= х3 = ^ + X!— + Х2 — + ОХ3 ОХ4 ОХ5

(13) +х2 ^ + ^ +х2 ^

2 дхв дх? 2 дх%'

д д д

(14) [Х1,Х3]= Х4 = ,— + Х1— + Х27~,

ОХ4 ОХц ОХ7

д д д

(15) [^2, Хз] = Х5 = — + Х1 — + Х2 ,

их^ их?

д

(16) [Х1,Х4]= Хе = ,—,

охб

(17) [Xi, Х4]

Xi, Х5

Хт = —,

дх7 '

д

(18) №,*б] = Х8 = —.

oxs

Последовательные степени распределения Д = span(Xi, Х2) имеют вид:

Д2 = Д + [Д, Д] = span(Xb Х2, Х3), Д3 = Д2 + [Д, Д2] = span(Xb ..., Х5), Д4 = Д3 + [Д, Д3] = span(Xi, ..., Х8), откуда видно, что распределение Д имеет вектор роста

(ё1шДж, ^шД2, а1шД3, ^шД4) = (2, 3, 5, 8), ж G R8.

В силу инвариантности субримановой задачи относительно левых сдвигов на группе Ли G = R8, можно считать, что начальная точка есть единичный элемент х° = 0, см. [1].

Существование оптимальных траекторий в субримановой задаче (1)—(10) стандартно следует из теорем Рашевского-Чжоу и Филиппова [3]. Стандартным образом также можно перейти от задачи

минимизации субримановой длины I к задаче минимизации действия

1 [т

J = - (м2 + ) dt ^ min . 2 J о

Первым этапом решения задачи оптимального управления является вычисление экстремалей с помощью принципа максимума Понтрягина.

1.2. Принцип максимума Понтрягина

Рассмотрим кокасательное расслоение пространства состояний Т*К8 = {(ж, ф)|ж € К8, ф € Т*К8}, будем обозначать его элементы Л = (ж, ф) € Т*К8. Определим функцию Понтрягина:

Л£(Л) = (ф, «А (ж) + М2^2(ж)) + 2 («2 + «2) ,

Л € Т * К8, и € К2, v € К.

Принцип максимума Понтрягина для рассматриваемой задачи формулируется следующим образом, см. [3,4].

Теорема 1.1. Если управление w(t) и соответствующая траектория ж(£) оптимальны, то существуют липшицева кривая Л(£) = (ж(*), ф(£)) € Т*К8 и число v € {-1, 0}, для которых следующие

условия выполняются для п.в. t € [0, Т]: <19» ф«)=- ж<"=

(20) ft^nWi)) = max К (Л{()),

4 ' «eR2

(21) (^Л(*)) = (0, 0).

Кривая Л(£) называется экстремалью, а удовлетворяющие условиям принципа максимума траектория ж(£) и управление w(t) называются экстремальными. Случай v = —1 называется нормальным, а случай v = 0 — анормальным.

2. Интегрирование вертикальной подсистемы гамильтоновой системы ПМП

В этом разделе вычислим с помощью принципа максимума Понтрягина семейство невырожденных анормальных траекторий сопряженного пространства для задачи оптимального управления, сформулированной в предыдущем разделе.

2.1. Интегрирование вертикальной подсистемы ПМП в анормальном случае

Введем линейные на слоях кокасательного расслоения гамильтонианы hi(X) = {ф, Xi(x)), X = (х, ф) е Т * R8, i = !,..., 8, тогда К(\) = Mihi(A)+ U2h2(X) + — (uf + и2). Гамильтонова система принципа максимума Понтрягина (19) в сопряженных переменных принимает вид, см. [3]:

h i = -h3U2,

h 2 = h3ui,

h3 = h^ui + h5U2,

(22) h 4 = h6ui + h7U2, h 5 = h7Wi + h8«2,

h 6 = h 7 = h8 = 0, i = MiXi(x) + U2 X2 (x).

Пусть v = 0. Тогда функция Понтрягина имеет вид h°(A) = uihi(X) + u2h2(X). Если u((t) + u2(t) = 0, то h°(A) = 0 и X(t) = const, то есть система (22) находится в состоянии равновесия.

Пусть uf(t) + u^(t) ф 0, тогда из (22) следует X(t) ф const. В этом случае из условия максимума (20) для h°(A) получаем равенства hi(A) = h2(A) = 0, дифференцируя которые, из первых двух уравнений системы (22) получим h^(X) = 0.

Будем рассматривать ненулевые управления м2 (i) + u2(t) ф 0.

Итак, в анормальном случае при условии u\(t) + u^(t) ф 0 подсистема гамильтоновой системы принципа максимума Понтрягина для сопряженных переменных hj, или вертикальная подсистема, принимает вид

hi = h2 = h3 = 0, h4 Mi + h5U2 = 0,

(23) h 4 = h6Ui + h7U2,

h 5 = h7Ui + h8U2, h 6 = h 7 = h8 = 0.

Рассмотрим уравнение системы

(24) ^4их + /5и2 = 0. Возможны следующие случаи:

1) невырожденный случай: /4 + /5 Ф 0,

2) вырожденный случай: /4 + /5 = 0.

В данной работе будем исследовать невырожденный случай (вырожденный случай рассмотрен в работе [1]). В работе [1] было дано следующее

Определение 1. Пусть даны управление и € Ьто([а, 6], Кт) и функция £ € Ыр([а, 6], [а, Ь]). Управление

и

называется обобщенной перепараметризацией управления и(£).

Согласно предложению 1 статьи [1] обобщенная перепараметризация анормальной экстремальной пары сохраняет свойство анормальности.

Из уравнения (24) находим следующее выражение управления через сопряженные переменные:

и1(*) = -в '(*)^(8(*)) = —«(^(вф),

и2(£) = в'(г)й4(в(г)) = «(¿)/4(в(£)),

(25) в(£) = [ «(0)^0, «(¿) €Ь~([0, Т], К), в : [0, Т] ^ [0,5].

0

Рассмотрим управления и1, и2 при а(£) ф 1:

и1(в) =

и2(в) = Д4(в).

Тогда система (23) примет вид

/1 = /-2 = /з = 0, и1 = —/5,

и2 = /-4,

(27) /14 = /7/4 — /е^5,

/-5 = /8/4 — /7/5, / е = / 7 = /-8 = 0.

Пусть начальное условие для системы (27) есть

(28) /(0) = /0 = 0.

Тогда задача Коши (27), (28) сводится к задаче Коши для автономного линейного ОДУ

<»>

с начальными условиями

(30) (М0),М0)) = (/4,/5).

Обозначим С =

/8 —/7

запишем кратко:

(31) Ь = СЬ, Ь(0) = Ь0. Будем рассматривать нетривиальный случай

(32) Ь0 = 0.

Заметим, что если Ь0 = 0, то решением задачи Коши (31) является неподвижная точка Ь(£) = (0, 0), £ € [0, Т].

Определение 2. Анормальные управления

(33) и!(в) = —/5(5), и2(в) = /4(в), в € [0, 5],

где (/4(в), /5(5)) есть решение задачи Коши (29), (30), назовем каноническими анормальными управлениями.

Заметим, что каноническое анормальное управление зависит от трех парамеров (/е, /7, /8) и от Ь0. Обозначим вектор параметров (/е, /7, /«)=Х, тогда запишем ис(£) = ис(£;х, Ь0).

Анормальная экстремаль Ас(в; х, Ь0) = (х(в; х, Ь0), фс(в; х, Ь0)), в € [0, 5], соответствующая каноническому анормальному управлению (33), имеет вид:

5

фс(в; х, Ь0) = ^ х, Ь0)^(х^; х, Ь0),х2(в; х, Ь0))+

i=4

00

+ £ ЪХ^Х1(з; х, Ь0), х2(а; х, Ь0)) = 0,

¿=6

х(з; х, Ь0) = /" -к5(в; Х, Ь0)^^; Х, Ь0),^; *, Ь0))+

0

+ кА(в; х, Ь°)Х2(х1(0; Х, Ь°),х2(в; х, Ь°)^в,

в в Х1(в; х, Ь0)= - к5(т; х, Ь0)3,т, Х2(в; Х, Ь0) = к4(т; х, Ь0)<1т.

00

Итак, результатом интегрирования гамильтоновой системы принципа максимума Понтрягина (ПМП) (22) в каноническом анормальном случае является каноническая анормальная пара (33)—(35) (ис(з; х, Ь0), Ас(в; Х, Ь0)), 8 € [0, в].

Определение 3. Управления

(36) и(Ь) = a(t)йc(t),

где йс(£) = мс(в(£)) есть перепараметризация управлений (33), в(£) есть параметризация (25), назовем обобщенными анормальными управлениями.

Заметим, что, вычислив канонические анормальные управления, можно описать, в силу произвольности функции а(Ь) ф 0, весь класс невырожденных анормальных экстремальных управлений.

Итак, результатом интегрирования гамильтоновой системы принципа максимума Понтрягина (22) в анормальном случае является анормальная пара (иа(Ь), \а(Ь)), где иа(Ь) есть управление (36), Ха(г) = Ас(в(г)), см. [1], в : [0, Т] ^ [0, 5].

2.2. Классификация анормальных параметров

Параметры х определяют собственные значения матрицы С и, следовательно, тип носителей сопряженных траекторий Ь(в;х, Ь0). Опишем множество параметров х в зависимости от знака det С = Д = —+ /е^8. Назовем случаи:

1. Д > 0 эллиптическим;

2. Д < 0 гиперболическим;

3. Д = 0 параболическим.

Пусть х+ суть параметры, соответствующие Д > 0; х- суть параметры, соответствующиеД < 0; х0 суть параметры, соответствующие Д = 0; х00 = 0 суть параметры, соответствующие Д = 0 и С = 0.

2.3. Семейство сопряженных эллиптических траекторий

Найдем решение задачи Коши (31) в эллиптическом случае

(37) Д > 0.

Поскольку все собственные значения матрицы С при Д > 0 чисто мнимые и различные: А1 = i(5, Л2 = —г(5, б = %/А, то решения системы (31), (37) имеют вид:

(38) и^у и ад ).

Пусть

(39) О = ^

(39) 0 = к /Ы .

Условие (32), то есть Ь0 = 0, имеет место. Несложно показать, что из условия Д = 0 и из определения вектора Ь0 = —СЬ0 следует, что 110 = 0.

Предложение 2.1. Определитель матрицы О отличен от нуля, если Д = 0.

Доказательство. Так как система функций Ь(£) = {/4(4), /5^)} является фундаментальной системой решений ОДУ (29), то вронскиан функций {/4(4), /5^)} всегда отличен от нуля, следовательно, det О =

(0)=0.

Следствие 2.1. В случае Д = 0 вектор-функции Ь(£) и Ь(£) являются линейно независимыми на отрезке [0, Т].

Из предложения 2.1 следует, что, если Д = 0, то (/°)2 + ^ /Д = 0, (/5)2 + (/5) /Д = 0. Перепишем решения системы (38) в виде

fft4(t) = Г! COs( (ft — <£>l), = Г2 cos((51 — ¥2),

(41) Г1 + (ft4)2/a, Г2 = ^(ft0)2 + (ft50)2/A.

Начальные фазы кривых ft.4(t) и ft-5(t) удовлетворяют соотношениям:

ft4 • ft 4

cosyi = —, sin^i = —4,

1 1

(42) ft5 . ft 5 cos^2 = —, sin^2 = ——,

2 2

£ = ^2 — ¥>1. Кривую (38) можно задать неявно:

(43) r|ft4 — 2гcos £ ft4ft5 + r2ft2 — (det)2g = 0.

В эллиптическом случае detQ = г 1Г2 sin(¥2 — ¥1) = гir2 sin£ = 0, откуда вытекает условие £ = 0, эт. Несложно показать, используя инварианты квадратичных форм второго порядка, см. [5], стр.152, что уравнение (43) задает на плоскости Oft.4ft5 эллипс, центрированный в начале координат. Действительно, вычислим инварианты квадратичной формы (43): (5+ = (detQ)2, на основании предложения 2.1 заключаем, что (5+ > 0, следовательно, кривая (43) есть центральная кривая второго порядка в эллиптическом случае; так как след S = г2 + г2 > 0, А+ = —(detQ)4 = 0 и А+S < 0, то кривая второго порядка (43) есть действительный эллипс. Поскольку коэффициенты при первых степенях ft.4 и ft.5 равны нулю, то центр эллипса находится в начале координат. Можно утверждать, что носителями траекторий (38) h(i; х+, h5) являются дуги эллипсов, центрированных в начале координат, выходящие из точек h5 =0.

Замечание 2.1. Система (31), (37) равносильна системе дуффе-ренциальных уравнений второго порядка, описывающей малые колебания сферического маятника:

или

АЛ =

Ь = -С2Ь.

Из предложения 2.1 следует, что начальные энергии маятников (Ь-4(£), Ь-5(£)) отличны от нуля и маятники всегда колеблются не в одной фазе и не в противофазе.

2.4. Семейство сопряженных гиперболических траекторий

Найдем решение задачи Коши (31) в гиперболическом случае

(45) А < 0.

Поскольку все собственные значения матрицы С при А < 0 действительны и различны: А1 = 6, Х2 = —6, 3 = у/|А|, то решения системы (31), (45) имеют вид:

(46) Ь(*) = Я1(1),

где Q есть матрица (39), =

Кривую (46) можно задать неявно:

(47) рпк1 + + Р22Ь25 — ^ Q)2 = 0,

где Рп = (Л°)2/А — (Ь5)2, Р22 = (Л-4)2/А — (Ь0)2, Р12 = Ь5 — Й^/А. Несложно показать, используя инварианты квадратичных форм второго порядка, см. [5, стр.152], что квадратичная форма (47) является гиперболой на плоскости ОЬ^Ь^. Действительно, вычислим инварианты квадратичной формы (47): 5- = — (det Q)2, на основании предложения 2.1 заключаем, что 6- < 0, следовательно, кривая (47) есть центральная кривая второго порядка в гиперболическом случае; так как А- = —(det Q)4 = 0, то кривая второго порядка (47) есть гипербола. Следовательно, можно утверждать, что носителями траекторий (46) Ь(*; х-, Ь0) являются дуги гипербол, выходящие из точек Ь0 = 0.

/еЬ ¿Л

иь бу .

2.5. Семейство сопряженных параболических траекторий

Найдем решение задачи Коши (31) в параболическом случае

(48) Д = 0, С = 0. Решение задачи Коши (31), (48) имеет вид:

(49) Ь(г) = (С + И)Ь0.

Носителями траекторий Ь(^х°, Ь0) на плоскости О/4/5 являются:

1. лучи /5 = к/4, выходящие из точек Ь0 =0, если СЬ0 = 0; к = 0 есть коэффициент пропорциональности векторов (/7, — /б) и (/8, —/7);

2. неподвижные точки Р = Ь0 = 0, если СЬ0 = 0.

2.6. Особый случай

Решение задачи Коши (31) в случае Д = 0, С = 0 ^ х00 = 0, Ь0 = 0, имеют вид:

(50) Ь(*;х00, Ь0)(*) = Ь(*;0, Ь0)(*) = Ь0.

Носителями траекторий на плоскости О/4/5 являются неподвижные точки Р = Ь0 = 0.

3. Сопряженные векторы в (2, 3, 5, 8)-задаче

В этом разделе будут приведены формулы для невырожденных канонических анормальных управлений в соответствии с классификацией параметров. Также будут получены формулы для сопряженных канонических анормальных векторов в субримановой (2, 3, 5, 8)-задаче.

3.1. Невырожденные анормальные управления

Пусть и есть семейство невырожденных анормальных управлений; класс управлений, соответствующих Д > 0, назовем эллиптическим и обозначим и+; класс управлений, соответствующих Д < 0, назовем гиперболическими и обозначим и_; класс управлений, соответствующих Д = 0, назовем параболическими и обозначим и0; класс управлений, соответствующих Д = 0 и С = 0, назовем особым и обозначим и». Приведем все классы канонических анормальных управлений.

• Эллиптический класс U+:

/ h0 ^ Х+) = - hg cos ¿í + — sin St

(51) V 5 ,

h 0

u2(t; x+) = h°í cos St +—4 sin St.

o

• Гиперболический класс :

uí(t; X-) = - | hg ch St + sh ¿í

(52) V 5

h o

иШ X-) = h4 ch St + sh St.

Параболический класс и§: если СЬ0 = 0, то

х0) = —(НкЬ — ЬбЬ^ + Ь0), л = 0, ^ «2(*; х0) = (Ь7Ь4 — + Ь0;

если Ch0 = 0, то

«í(í; х0) = -h0,

«2(*; х0) =

Класс особых управлений Ь^,:

(55) «?(*; х00 ) = «1М) = —

( ) «2(*;х00) = «2М) =

С помощью обобщенных перепараметризаций (36) канонических анормальных управлений (51)—(55) можно получить все множество анормальных управлений и = и+ и и- и ^0 и и00 в нильпотентной субримановой задаче с вектором роста (2, 3, 5, 8).

3.2. Сопряженные векоторы

Проинтегрируем подсистему (1), (2) в соответствии с классификацией параметров

х 1 = иКЦ х), (56) х2 = и2(Ь; х),

(Х1(0), Х2(0)) = (0, 0).

3.2.1. Эллипический случай

В случае эллиптических канонических анормальных управлений после интегрирования системы (56) получаем следующие функции:

= ( //°/Д — /0/А /соейN + /0/ДА

() и^У V—/4/Д Ы^У^ /4/ДУ .

Подставив функции (57) в выражения для векторных полей (11)—(18), получим вектор-функции х+, Ь0), = 1, . . . , 8.

Вектор сопряженных переменных в эллипическом случае имеет

вид:

фс(¿;х+, Ь0) =г 1 сов(Й — ^1)^4^; х+, Ь0)+

8

+ Г2 сое(й — х+, Ь0) + ^ /Д (¿; х+, Ь0).

¿=б

3.2.2. Гиперболический случай

В случае гиперболических канонических анормальных управлений после интегрирования системы (56) получаем следующие функции:

= /—//°/Д —/0/ <5N /сЬЙN + / /^/Д N

(59) Ы^У V /0/Д /4/<* ) Ц^У + V—/4/ДУ .

Подставив функции (59) в выражения для векторных полей (11)—(18), получим вектор-функции х_, Ь0), = 1, . . . , 8.

Вектор сопряженных переменных в гиперболическом случае:

^(¿;х_, Ь0) = ^/0 сЬЙ+ //0 вЬЙ^ ВДх_, Ь0)+

+ сЬЙ + ^вЬЙ^ ЗДх_,Ь0) + ^М^;х_,Ь0)

3.2.3. Параболический случай

В случае параболических канонических анормальных управлений после интегрирования системы (56) получаем функции, которые определяются начальным состоянием Ь0. Если СЬ0 = 0, то решения имеет

вид:

X! = -k/2(h7h0A - h6hl)t2 - h°t, к = 0,

(61) x2 = l/2(h7h0 - h6hg)t2 + h0At.

Подставив функции (61) в выражения для векторных полей (11)—(18), получим вектор-функции Fi(t; Х°, h0), i = l,..., 8.

Вектор сопряженных переменных в параболическом случае, если начальное состояние не принадлежит ядру оператора С, имеет вид:

(62) фс(1; X0, h°)=((hrh0 - h6h50)t + h0)Fo(t; X0, h0) +

+ (fc(h7h0 - h6h{i)t + h0)Fo(i; x0, h0)+ 8

+ ^ hiFi(t; x0, h0), к = 0.

i=6

В результате интегрирования системы (56) в параболическом случае, если С h0 = 0, получаем функции:

х\ = -bhh,

(63) ,0,°

Х2 = h0t.

Подставив функции (63) в выражения для векторных полей (11)—(18), получим вектор-функции Fi(t; X0, h0), i = l,..., 8.

Вектор сопряженных переменных в параболическом случае, если Ch0 = 0, имеет вид:

(64) >фс(t; х0, h0) =h°oFo(t;Х0, h0)+

8

+ h0^F°(t; x0, h0) + ^ hiFi(t; /, h0).

i=6

3.2.4. Особый случай

Траектории (xi(t), X2(t)) имеют вид (63). Подставив функции (63) в выражения для векторных полей (11)—(18), получим вектор-функции

Fi(t; x00, h0), i = 1,..., 8.

Вектор сопряженных переменных в особом случае, когда параметры h-6 = h.7 = h-8 = 0, имеет вид:

(65) фс(Р; x00, h0) =h0f0(i; X00, h0) + h°bF°(t; x00, h0).

4. Заключение

В данной работе проинтегрирована вертикальная подсистема га-мильтоновой системы принципа максимума Понтрягина в анормальном случае. Проведена классификация параметров. В соответствии с классификацией получены формулы сопряженных векторов. Описано множество невырожденных канонических анормальных управлений.

В следующей работе планируется разработать метод исследования анормальных траекторий на нестрогую анормальность, чему могут способствовать полученные в этой статье результаты.

Список литературы

[1] Ю. Л. Сачков, Е. Ф. Сачкова. «Вырожденные анормальные траектории в субримановой задаче с вектором роста (2, 3, 5, 8)», Дифференциальные уравнения, 53:3 (2017), с. 362-374. t 179>181>184>186

[2] A. Agrachev, D. Barilari, U. Boscain. Introduction to Riemannian and Sub-Riemannian geometry, 2015, URL: http://webusers.imj-prg.fr/~davide.barilari/Notes.php t 180

[3] А. А. Аграчев, Ю. Л. Сачков. Геометрическая теория управления, Физматлит, М., 2005, 392 с. t 181>182>183

[4] Л. С. Понтрягин, В. Г. Болтянский, Р. В. Гамкрелидзе, Е. Ф. Мищенко. Математическая теория оптимальных процессов, Физматгиз, М., 1961, 392 с. t 182

[5] П. С. Александров. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры, Наука, М., 1979, 612 с. t188,189

Пример ссылки на эту публикацию:

Е. Ф. Сачкова. «Невырожденные анормальные управления в субримановой задаче с вектором роста (2, 3, 5, 8)», Программные системы: теория и приложения, 2017, 8:4(35), с. 179-195.

URL: http://psta.psiras.ru/read/psta2017_4_179-195.pdf

Об авторе:

Елена Федоровна Сачкова

Закончила механико-математический факультет Московского государственного университета им. М. В. Ломоносова, кафедра дифференциальных уравнений. К.т.н., с.н.с. исследовательского центра процессов управления ИПС им. А.К. Айламазяна РАН. Область научных интересов — математическая теория управления

e-mail: efsachkova@mail.ru

Elena Sachkova. Nondegenerate abnormal control in sub-riemannian problem

with growth vector (2, 3, 5, 8).

Abstract. Nilpotent sub-Riemannian problem with growth vector (2,3,5,8) are considered. Canonical abnormal controls are described. Formulas for the corresponding conjugate vectors of the Pontryagin maximum principle are obtained. (In Russian).

Key words and phrases: sub-Riemannian problem, abnormal controls, abnormal trajectories.

References

[1] Yu. L. Sachkov, Ye. F. Sachkova. "Degenerate abnormal trajectories in a sub-Riemannian problem with growth vector (2, 3, 5, 8)", Differential Equations, 53:3 (2017), pp. 352-365.

[2] A. Agrachev, D. Barilari, U. Boscain. Introduction to Riemannian and Sub-Riemannian geometry, 2015, URL: http://webusers.imj-prg.fr/~davide. barilari/Notes.php

[3] A. A. Agrachev, Yu. L. Sachkov. Geometric control theory, Fizmatlit, M., 2005 (in Russian), 392 p.

[4] L. S. Pontryagin, V. G. Boltyanskiy, R. V. Gamkrelidze, Ye. F. Mishchenko. Mathematical theory of optimal processes, Fizmatgiz, M., 1961 (in Russian), 392 p.

[5] P. S. Aleksandrov. A course of analytic geometry and linear algebra, Nauka, M., 1979 (in Russian), 612 p.

Sample citation of this publication:

Elena Sachkova. "Nondegenerate abnormal control in sub-riemannian problem with growth vector (2, 3, 5, 8)", Program systems: Theory and applications, 2017, 8:4(35), pp. 179-195. (In Russian).

URL: http://psta.psiras.ru/read/psta2017_4_179-195.pdf

© E. F. Sachkova, 2017

(c Ailamazyan Program Systems Institute of RAS, 2017 (c Program systems: Theory and Applications, 2017

DOI: 10.25209/2079-3316-2017-8-4-179-195