СПОСОБ МОДЕЛИРОВАНИЯ ПАРАМЕТРИЧЕСКИХ КОЛЕБАНИЙ И УСТРОЙСТВО ДЛЯ ЕГО РЕАЛИЗАЦИИ (ВАРИАНТЫ)
METHOD FOR SIMULATION OF PARAMETRIC OSCILLATIONS AND APPARATUS FOR IMPLEMENTATION THEREOF (VARIANTS)

Изобретение относится к экспериментальной технике и может быть использовано для демонстрации явления параметрического резонанса в технических (механических) системах, а также для экспериментальной проверки, аналитических оценок, динамической устойчивости многостепенных механических систем, нагруженных внешней возмущающей силой, имеющей периодическую составляющую.
В соответствии с теорией параметрических колебаний в таких системах, например, как рычажные механические системы или витые пружины, нагруженных внешней силой, имеющей периодическую составляющую, возможно возникновение резонансных колебаний, амплитуда которых неограниченно возрастает по времени, что может привести к выходу из строя механической системы [1, 2]. В частности, к таким системам, подверженным параметрическому резонансу, могут быть отнесены силоизмерительные стенды, предназначенные для испытания реактивных двигателей, для которых возникновение параметрического резонанса может привести к аварии стенда [3, 4]. Причиной возникновения периодических возмущений в стендах, предназначенных для испытания реактивных двигателей, являются акустические пульсации газа в камере сгорания двигателей.
Динамическая устойчивость механических систем зависит от их физических и геометрических характеристик, от параметров внешней возмущающей силы. Из-за математических сложностей критерии устойчивости таких систем получают, исходя из многочисленных допущений, что приводит к большим неточностям оценки границ областей параметрического резонанса. Для уточнения положения границ зон параметрического резонанса необходимы экспериментальные исследования по выявлению закономерностей параметрического резонанса, необходимы устройства для моделирования параметрических колебаний.
В качестве диалога устройства для моделирования параметрических колебаний в рычажной колебательной системе может быть взято устройство предрасположенное к параметрическим колебаниям в виде упругого стержня нагруженного на его конце следящей силой, создаваемой реактивной струей, например, работающего ракетного двигателя, как это показано на рис. 7.6 [5, с. 73]. Однако это устройство не обеспечивает варьирование параметров возмущающей силы и параметров рычажной колебательной системы, определяющих характер колебательных процессов в системе.
За прототип принят патент РФ на изобретение №2087211 [6].
Изобретение по патенту №2087211 [6] решает задачу создания устройства для моделирования параметрических колебаний в рычажной колебательной системе, которое обеспечивало бы варьирование, как параметров возмущающей силы, так и параметров возбуждаемой системы. При решении этой задачи возможно определение зон динамической устойчивости системы в зависимости от параметров возмущающей силы, геометрических и физических параметров рычажной системы.
Согласно изобретению это достигается благодаря тому, что устройство для моделирования параметрических колебаний в рычажной колебательной системе состоит из основания, источника возмущающей силы, имеющей периодическую составляющую, служащей для сжимающего воздействия на рычажную систему, и упругие связи рычажной системы с основанием. Источник возмущающей силы выполнен газодинамическим и состоит из выхлопной трубы, с размещенными в ней решетками для выравнивания потока газа. К выхлопной трубе подключены газоподводящие каналы с соплами на входе трубы. При этом, или геометрические параметры трубы выбраны из условия создания в ней пульсаций потока газа, или один из каналов содержит средства для обеспечения импульсивного режима работы сопла. Звенья рычажной системы соединены между собой упругими шарнирами и каждое из них снабжено перемещаемой по его длине массой, фиксируемой в любой точке звена. На свободном конце звена, близлежащего к источнику возмущающей силы, установлена сферическая преграда, за которой размещен конусный отражатель потока, а первое звено выполнено двухплечным и уравновешенно относительно его шарнирной опоры двумя упругими связями, одна из которых выполнена в виде пружины, а в качестве другой связи использован датчик силы. Возникающие под действием внешней возмущающей силы, имеющей периодическую составляющую, колебания рычага регистрируют с помощью датчика силы.
На стадии, предшествующей испытаниям, задаются параметры колебательной системы, в частности, вариацией точки закрепления датчика и компенсирующей пружины на рычаге, а также вариацией положением грузов на рычагах. Непосредственно в ходе испытаний могут варьироваться параметры внешней возмущающей силы.
Прототип имеет ряд конструктивных и методических недостатков, которые снижают точность и достоверность моделирования параметрических колебаний, целью которого является экспериментальное подтверждение работоспособности аналитических критериев оценки динамической устойчивости многостепенных механических систем, нагруженных внешней полигармонической силой. Это обусловлено, как использованием в конструкции устройства датчиков (датчика) силы, что создает дополнительную связь, налагаемую на рычаги устройства, так и сложностью способа задания внешней периодической силы, для реализации которого используется газодинамический блок с импульсным режимом работы выхлопных трактов.
Использование в конструкции устройства - прототипа датчиков силы (датчика силы) снижает достоверность оценки приведенных механических характеристик устройства, как расчетным путем, так и экспериментальным путем, что может быть обусловлено люфтами в узлах закрепления датчиков и упругих элементов на плечах устройства.
Использование в качестве узла - задатчика газодинамического блока не позволяет с необходимой точностью и достоверностью задать внешнюю возмущающую периодическую силу. Это обусловлено тем, что отличие расчетных значений параметров газодинамических процессов от экспериментальных результатов менее чем на 15% считается удовлетворительным, что абсолютно не приемлемо для оценки динамической устойчивости многостепенной системы, нагруженной внешней полигармонической силой.
От этих недостатков свободна механическая система, представляющая собой многостепенной гармонический «классический» осциллятор, нагруженный полигармонической силой, создаваемой электрическим двигателем, на оси ротора которого закреплен несбалансированный диск.
Электрический двигатель с несбалансированным диском позволяет, управляя скоростью вращения ротора двигателя и изменяя массу дисбаланса, с высокой точностью варьировать параметрами внешней периодической силой, действующей на осциллятор. Используя в устройстве несколько электрических двигателей постоянного тока с несбалансированными дисками, установленными на их роторы, можно моделировать внешнюю полигармоническую и полимодальную внешнюю силу.
В многостепенном гармоническом осцилляторе в качестве упругих элементов обычно используются витые пружины сжатия - растяжения, для которых сила упругости пропорциональна деформации пружины (закон Гука). Для моделирования параметрических колебаний в подобной системе необходимо реализовать нелинейный характер изменения силы упругости в упругом элементе от его деформации. Эта задача может быть решена, используя в качестве упругих элементов не витые пружины, а кривой брус, выполненный в виде дуги окружности.
Известно, что для описания напряженно-деформированного состояния кривых упругих брусьев малой кривизны можно пренебречь продольной деформацией и деформацией сдвига [7]. При выполнении упругого элемента в виде дуги окружности деформация (перемещение) концов дуги под воздействием приложенной к одному из концов дуги силой связаны с величиной силы уравнением
где: δ - перемещение, F - приложенная сила, ρ - радиус кривизны бруса, E - модуль упругости материала бруса, I - момент сечения инерции бруса, k - коэффициент, характеризующий характер закрепления концов кривого бруса.
При деформации кривого бруса (перемещение его концов друг относительно друга в плоскости продольной оси кривого бруса) изменяется радиус кривизны кривого бруса.
Упрощенная расчетная схема деформации кривого бруса приведена на фиг. 1
Если считать, что кривой брус, его продольная ось, является дугой окружности, то будем иметь из фиг. 1
Из (2-5) получим
Тогда из (1) с учетом (6) и условия
получим
Выражение (8) характеризует силу упругости, возникающую при деформации криволинейного бруса.
На фиг. 2 показана механическая колебательная система с упругим элементом в виде криволинейного бруса с внешней возмущающей гармонической силой.
Колебательная система состоит из динамической платформы 1, на которой одним из своих концов закреплен кривой брус 2, а другим своим концом он закреплен на неподвижном основании 3. Динамическая платформа 1 имеет возможность возвратно-поступательного движения по направляющим 4 с помощью роликов (подшипников) 5. На динамической платформе установлен электрический двигатель 6, на оси ротора которого установлен диск 7 с дисбалансом 8. При вращении ротора электродвигателя 6 с постоянной угловой скоростью ω на динамическую платформу 1 будет воздействовать периодическая сила
где m - масса дисбаланса, r - расстояние от центра масс дисбаланса до оси ротора.
Тогда дифференциальное уравнение колебаний динамической платформы 1 можно записать в виде:
ПР
где М - приведенная инерционная масса, η - приведенный диссипативный коэффициент системы, F - упругая (восстанавливающая) сила.
Подставив в (10) выражения (8) и (9), получим
или
Учитывая, что
получим
Уравнение (14) является уравнением Матье с правой частью. Тем самым, подпружиненная масса с упругим элементом в виде кривого бруса, нагруженная внешней периодической силой, предрасположена к параметрическому резонансу, характеристики которого определяются параметрами левой части уравнения (14). И, следовательно, устройство, схема которого приведена на фиг 2, позволяет моделировать параметрические колебания.
Приведенные характеристики устройства, схема которого приведена на фиг. 2, , могут быть определены по результатам статической и динамической градуировки системы, проводимой в соответствии с методиками, изложенными в [3]. В ходе испытаний устройства необходимо задавать определенные угловые скорости вращения ротора электрического двигателя постоянного тока 6, которые могут задаваться с помощью реостата, включенного в электрическую цепь питания двигателя. Реостат не показан на фиг. 2. При перемещении ползуна реостата будет меняться и величина напряжения в цепи питания двигателя, которая будет определять угловую скорость вращения ротора двигателя. Для определения величины напряжения в цепи питания электродвигателя в цепь введен вольтметр, непоказанный на фиг. 2. Для определения угловой скорости вращения ротора двигателя 6 в устройство введен узел измерения угловой скорости - стробоскоп, обозначенный на фиг. 2 позицией 9.
В ходе проведения статической и динамической градуировки устройства, схема которого приведена на фиг. 2, необходимо измерять характерные перемещения динамической платформы 1, величина которых δ может быть измерена с помощью видеокамеры 10. А «привязав» конкретное значение δ конкретному моменту времени, можно определить и характеристики колебательных процессов в устройстве, т.е. определить и момент возникновения в устройстве резонанса.
i
i
i
Более того, на устройстве, изображенном на фиг 2, можно смоделировать и изменение массы динамической платформы, что существенно влияет на динамическую устойчивость испытательного стенда, предназначенного для испытаний ракетных двигателей на твердом топливе (РДТТ) [4 с 236-250]. Установка на динамической платформе 1 (фиг. 2) нескольких двигателей с дисками, имеющими различные массы дисбалансов m и расположенных на разных расстояниях от осей роторов r при различных угловых скоростях вращения их роторов ω, позволяет смоделировать воздействие на динамическую платформу полимодального внешнего воздействия.
Известны различные оценки границ зон динамической устойчивости решений уравнения типа Матье, например, в виде диаграммы Айнса-Стретта [3, с. 93-96]. Аналогично известны различные оценки границ зон динамической устойчивости решений дифференциального уравнения с несколькими полигармоническими составляющими, так называемого уравнения Хилла [3, 150-155]. С помощью устройства, схема которого приведена на фиг. 2, можно экспериментально определить границы зон динамической устойчивости решений соответствующих дифференциальных уравнений для полученных в результате статической и динамической градуировки механических характеристик устройства, в зависимости от значений частотных и амплитудных характеристик внешней возмущающей силы, для чего варьируется частота вращения ротора двигателя (двигателей) 6 устройства.
Процессу испытаний устройства, схема которого приведена на фиг. 2, предшествует выполнение нескольких операций.
1. После сборки устройства в соответствии со схемой, приведенной на фиг. 2, и позиционирования его в вертикальной плоскости, закреплением на роторе двигателя 6 диска 7 с дисбалансом 8, определяются жесткостные (упругие) характеристики кривого бруса 2, для чего проводится статическая градуировка устройства. В ходе проведения статической градуировки к динамической платформе 1 прикладываются регламентированные силовые воздействия, например, за счет наложения на динамическую платформу 1 грузов известной массы. В зависимости от величины массы накладываемого груза будет осуществляться то или иное перемещение δ динамической платформы 1. При этом, если упругий элемент 2 работает в рамках закона Гука, то перемещение δ будет пропорционально величине веса накладываемого на динамическую платформу 1 груза, а коэффициент пропорциональности будет характеризовать жесткость С кривого бруса 2. Величина перемещения δ измеряется для каждого случая нагружения с помощью видеокамеры 10.
ПР
2. Далее проводится динамическая градуировка устройства, схема которого приведена на фиг. 2. Для проведения динамической градуировки устройства к динамической платформе 1 прикладываются импульсные силовые воздействия, результатом которых будут ее колебательные перемещения по направляющим 4 с помощью роликов (подшипников) 5. Характеристики колебательного процесса в устройстве такие как амплитуда колебаний, период колебаний и декремент затухания колебаний определяются по зависимости изменения перемещения δ в зависимости от времени. Исходя из полученной зависимости изменения амплитуды колебаний динамической платформы 1 с установленным на ней электрическим двигателем 6, и жесткости С колебательного контура, каковым является устройство, определятся приведенная масса системы М и коэффициент демпфирования η колебательного процесса.
3. Далее жестко фиксируется положение динамической платформы 1 (фиг. 2). После этого определяется рабочая характеристика (характеристики) установленного на динамической платформе I электрического двигателя 6 (двигателей). Рабочей характеристикой двигателя (двигателей) является функция (функции) изменения угловой скорости вращения ротора (роторов) двигателя (двигателей) от величины напряжения в цепи (цепях) питания двигателя (двигателей). Величина напряжения в электрической цепи питания каждого двигателя (двигателей) 6 определяется положением ползуна реостата, встроенного в электрическую цепь (цепи) питания двигателя (двигателей) 6. Для измерения напряжения в электрическую цепь (цепи) питания двигателя встроен вольтметр (вольтметры). Реостат (реостаты) и вольтметр (вольтметры) на фиг. 2 не показаны. Рабочая характеристика двигателя 6 строится по результатам замера дискретных значений напряжения в цепи питания электрического двигателя 6 и соответствующей этому напряжению угловой скорости вращения ротора. При этом угловая скорость вращения ротора двигателя 6 определяется по показаниям стробоскопа 9.
4. Исходя из определенных по результатам статической и динамической градуировки приведенных характеристик устройства, схема которого приведена на фиг. 2, по тем или иным аналитическим критериям динамической устойчивости механических аналогов конструкций определяются диапазоны опасных частот возмущающей внешней силы.
5. Далее снимается фиксация положения динамической платформы 1.
После выполнения выше перечисленных операций, устройство готово для проведения испытаний по оценке эффективности аналитических критериев динамической устойчивости механических колебательных систем.
Работает устройство следующим образом.
После подачи напряжения на электрический двигатель 6 (электрические двигатели) с помощью ползуна реостата (реостатов) меняется величина напряжение в цепи (цепях) питания двигателя (двигателей) 6, значение которого определяется по показаниям вольтметра (вольтметров) и визуально, или с помощью видеокамеры 10, фиксируется характер колебаний динамической платформы 1. По факту возникновения в устройстве, схема которого приведена на фиг. 2, резонанса, по показаниям вольтметра (вольтметров) и по рабочей характеристике электрического двигателя (двигателей) 6 определяется угловая скорость вращения ротора (роторов) двигателя (двигателей). Определенная таким образом угловая скорость вращения (угловые скорости вращения) ротора (роторов), соответствующая началу возникновения резонанса, будет определять минимальное значение угловой скорости вращения ротора, определяющей левую границу зоны динамической неустойчивости колебаний динамической платформы 1. Продолжая изменять с помощью ползуна (ползунов) реостата (реостатов) величину напряжения в цепи питания электрического двигателя (двигателей) 6 и фиксируя в момент выхода из резонанса системы величину соответствующего напряжения, а, соответственно, и частоту вращения ротора, определяется значение критической угловой скорости вращения ротора (критической частоты) двигателя 6, что определяет правую границу диапазоны изменения частоты внешней гармонической силы, действующей на динамическую платформу 1. По величине разницы значений критических угловых скоростей вращения ротора двигателя для левой и правой границ диапазона изменения резонансных частот, определенных по аналитическим критериям, и определенных экспериментально, судят об эффективности оценок зон динамической неустойчивости (устойчивости) колебательной системы.
Варьируя массой динамической платформы 1 можно определить зоны динамической устойчивости колебаний системы как функции ее приведенных параметров и значений частот внешней возмущающей силы.
Значительно более сложным является оценка эффективности аналитических критериев для определения границ зон динамической устойчивости для многостепенных механических систем, нагруженных полигармоническими силами. Это связано с математической сложностью получения таких критериев, а также с еще большей сложностью экспериментальной проверки их достоверности и эффективности. Последовательное соединение блоков с конструктивно-компоновочной схемой, приведенной на фиг. 2, позволит создать многостепенную механическую систему (степени свободы), нагруженную полигармоническими полимодальными внешними силами. Колебательные процессы в такой системе описываются системой дифференцированных уравнений с периодическими коэффициентами.
Схема двухстепенной механической системы приведена на фиг. 3.
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
1
2
Устройство содержит две динамические платформы 11 и 12, выполненные в виде контейнеров, в которые загружены расходные массы 17 и 18, например песок, причем контейнер 11 соединен с контейнером 12 упругим криволинейным брусом 13, а контейнер 12 соединен с основанием 25 посредством криволинейного упругого бруса 14. По направляющим 15 и 16, соответственно, контейнеры 11 и 12 могут совершать возвратно-поступательные движения по координатам δ и δ. Перемещения контейнеров 11 и 12 по направляющим 15 и 16 осуществляется посредствам подшипниковых (роликовых) узлов 19. На контейнере 11 установлены два электрических двигателя постоянного тока 20, на осях роторов которых закреплены несбалансированные диски 21 и 22 с соответствующими дисбалансами 23 и 24. Криволинейные брусья 13 и 14 могут отличаться как своими прочностными характеристиками (I и I; Е и Е) так и геометрическими характеристиками  и . Характер колебательных процессов по каждой из степеней свободы (переменные δ и δ) оценивается либо визуально, либо с помощью видеокамер 26 и 27. Обработав сигналы с видеокамер, можно определить не только амплитуды колебаний контейнеров 11 и 12 по координатам δ и δ, но и частоты этих колебаний. Вариации внешних периодических силовых воздействий реализуются управлением угловой скорости вращения роторов двигателей 20, несбалансированными массами 23 и 24 и их позиционированием (радиусы r и r) на дисках 21 и 22. Угловая скорость вращения роторов двигателей 20 определяется с помощью бесконтактных датчиков угловой скорости, например, стробоскопов 28. Исходя из свойств электрических двигателей постоянного тока, следует простота управления угловой скоростью вращения ротора двигателя с помощью простейшего реостата. Для каждого двигателя легко получить зависимость положения ползуна соответствующего реостата от угловой скорости вращения соответствующего ротора. Реостаты на фиг. 3 не показаны.
Как следует из схемы устройства, приведенной на фиг. 3, устройство позволяет моделировать в ходе экспериментов изменение массы динамических платформ за счет истечения из них песочных (сыпучих) масс через отводы 29 и 30 с регуляторами расхода 31 и 32, которые могут обеспечить постоянную скорость изменения массы динамических платформ 11 и 12 соответственно .
Тем самым устройство, схема которого приведена на фиг. 3 позволяет физически моделировать динамические процессы в двухстепенных механических системах, нагруженных двухгармонической внешней возмущающей силой. На устройстве, схема которого приведена на фиг. 3, можно проверить работоспособность аналитических критериев динамической устойчивости таких систем, аналогичных критериям, приведенным в [3. С. 147-149].
По аналогии с устройством, схема которого приведена на фиг. 2, перед проведением испытаний устройства, схема которого приведена на фиг. 3, необходимо выполнить ряд предварительных операций.
1
2
1. Для выбранных характеристик жесткости кривых брусьев 13 и 14 производится сборка устройства. Выбирается масса контейнеров 11 и 12 и масса засыпаемого в них песка 17 и 18. Выбираются характеристики внешней возмущающей силы, подбирая необходимые для эксперимента значения масс дисбалансов 23 и 24 и параметры их позиционирования r и r на дисках 21 и 22. После сборки устройства, оно готово к проведению статической и динамической градуировки экспериментального устройства.
1
2
2. Проводится статическая градуировка устройства, схема которого приведена на фиг. 3, и которое имеет две степени свободы с обобщенными координатами δ и δ. В ходе статической градуировки, по аналогии с вышесказанным для механизмом с одной степенью свободы, к динамическим платформам (контейнерам) 11 и 12, прикладываются регламентированные усилия, которые вызывают пропорциональные нагрузкам деформации криволинейных брусьев 13 и 14. Коэффициент пропорциональности деформаций криволинейных брусьев 13 и 14 зависит от величины прикладываемых к контейнерам 11 и 12 силовых усилий. Более того, в ходе статической градуировки можно определить и взаимное влияние степеней свободы друг на друга по аналогии с многостепенными силоизмерительными устройствами [3, с. 115-124]. Величины перемещений контейнеров 11 и 12 фиксируются с помощью видеокамер 26 и 27.
1
2
3. Для определения инерционных и демпфирующих характеристик для колебаний по первой и второй степени свободы устройства, схема которого приведена на фиг. 3, проводится динамическая градуировка устройства. В ходе динамической градуировки устройства на контейнеры 11 и 12 оказываются импульсные силовые воздействия. При импульсном силовом воздействии на контейнер 11 или 12 возникают колебательные процессы по обеим степеням свободы. Характеристики колебательных процессов определяется функциональными зависимостями изменения амплитуды колебаний перемещений δ и δ от времени, причем величины этих перемещений определяются с помощью видеокамер 26 и 27. Исходя из этих характеристик, определяются приведенные инерционные и демпфирующие характеристики для каждой из степеней свободы устройства, схема которого приведена на фиг. 3, по аналогии с [3, с. 129-133].
4. Далее определяются рабочие характеристики электрических двигателей 20 - зависимость изменения угловой скорости вращения роторов каждого из двигателей 20 в зависимости от величины подаваемого на конкретный двигатель напряжения. Изменение величины напряжения в каждой из цепей питания электрических двигателей осуществляется перемещением ползуна соответствующего реостата, которые не показаны на схеме, приведенной на фиг. 3. В каждую из цепей питания электрических двигателей 20 встроен вольтметр, которые также не показаны на фиг. 3. Угловая скорость вращения ротора конкретного электрического двигателя зависит от величины напряжения, подаваемого на статор двигателя, которая определяется по показаниям вольтметра, а угловая скорость вращения ротора определяется по показаниям бесконтактного датчика угловой скорости, например, стробоскопа 28. При определении рабочих характеристик электрических двигателей 20 жестко фиксируется положение контейнера 11.
После выполнения вышеназванных операций устройство, схема которого приведена на фиг. 3, устройство готово к проведению испытаний.
Испытания устройства состоят в воздействии двухмодальной периодической силой, создаваемой несбалансированными массами 23 и 24 при работе электрических двигателей 20. Характеристики обеих мод периодической составляющей силового воздействия на контейнер 11 обеспечивается управлением угловыми скоростями вращения роторов электрических двигателей с помощью реостатов, входящих в систему электроснабжения каждого двигателя. В ходе экспериментов возможна синхронизация вращения роторов электрических двигателей 20. В этом случае контейнер 11 будет нагружен внешней одномодальной периодической силой. В ходе экспериментов можно реализовать процесс изменения масс динамических платформ 11 и 12 путем удаления через отводы 29 и 30 и регуляторы расхода 31 и 32 песка из полостей контейнеров 11 и 12. Управляя работой регуляторов расхода 31 и 32 можно реализовать тот или иной закон изменения массы контейнеров 11 и 12. Управляя законами изменения инерционных характеристик системы (изменение масс контейнеров 11 и 12) можно смоделировать влияние изменения массы испытуемого ракетного двигателя твердого топлива на динамику испытательного стенда.
В ходе испытаний устройства могут варьироваться 4 характеристики устройства - угловая скорость вращения роторов электрических двигателей 20 и законы изменения массы динамических платформ 11 и 12. Варьируя в процессе испытаний этими параметрами визуально или с помощью видеокамер 26 и 27 (фиг. 3) определяют факт возникновения в системе резонанса (резкое увеличение амплитуды колебания), а числовые значения четырех варьируемых параметров в момент возникновения резонанса определяют границы зон динамической устойчивости колебаний механической системы нагруженной внешними периодическими силами.
Испытания устройства, схема которого приведена на фиг. 3, позволяет экспериментально определить зоны динамической устойчивости двухстепенных колебательных систем, нагруженных внешними полигармоническими силами. Зоны динамической устойчивости могут быть определены по аналитическим критериям, полученным тем или иным способом, примером могут быть названы критерии, например, приведенные в [3, с. 141-149]. Величина отклонения экспериментальных характеристик оценки динамической устойчивости системы, схема которой приведена на фиг. 3, от теоретических значений этих оценок позволит определить точность и достоверность (эффективность) аналитических критериев оценки динамической устойчивости.
Источники информации
1. Светлицкий В.А. Механика стержней: учебник для вузов в 2-х частях. 42. Динамика - М.: Высш. шк., 1987. - С. 218-230.
2. Хвингия М.В. Вибрации пружин М.: Машиностроение. - С. 216-242.
3. Черепов В.И. Идентификация силовых характеристик объектов машиностроения В.И. Черепов, Н.П. Кузнецов, В.И. Гребенкин. Москва - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика». - С. 200.
4. Кузнецов Н.П. «Испытание ракетных двигателей твердого топлива в двух частях. Часть вторая - стендовые огневые и лепные испытания» Н.П. Кузнецов, В.И. Черепов, А.Е. Калинников, А.Л. Ахтулов, В.А. Николаев, С.Н. Храмов, В.Г. Исаков, В.Г.Смирнов. Под общей редакцией Н.П.Кузнецова - Москва - Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2011. - С. 668.
5. Пановко Я.Г. Устойчивость и колебания упругих систем / Я Г. Пановко, И.И. Губанова. - М.: Наука, 1964. - 336 с.
6. Патент РФ на изобретение №2087211. «Устройство для моделирования параметрических колебаний МПК B06B 1/18 G01M 7/02» Кузнецов Н.П., опубл. 20.08.1997.
7. Курс сопротивления материалов. Часть первая, под общей редакцией И.М. Филоненко - Бородича. М.: Издательство физико-математической литературы, 1961. - 656 с.