Влияние скачков уплотнения на критическую скорость изгибно-крутильного флаттера аэродинамического профиля

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГ И

Том XXI 1990

№ 6

УДК 533.6.071.1

РАСЧЕТНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ РАСХОДНОГО ДИФФУЗОРА В ПЕРФОРИРОВАННОЙ РАБОЧЕЙ ЧАСТИ АЭРОДИНАМИЧЕСКОЙ ТРУБЫ

А. Н. Толмачев

В рамках одномерной математической модели изучается стационарное течение газа в перфорированной рабочей части аэродинамической трубы. Рассматриваемый подход отличается тем, что основные законы сохранения (массы, энергии и импульса) записываются для элементов рабочей части в интегральном виде. В результате получена методика численного расчета, позволяющая производить вычисления при любых числах М1, в том числе весьма близких к 1, что при обычной дифференциальной постановке задачи является затруднительным. Рассматриваемая система уравнений замыкается при помощи предположения, что равенство суммарного расхода газа через перфорацию и расхода отсасываемого газа достигается на дозвуковых режимах соответствующей подстройкой давления в камере, окружающей рабочую часть. На сверхзвуковых режимах это равенство достигается изменением положения скачка (или системы скачков) уплотнения в рабочей части. Анализируется вид граничных условий на перфорированной стенке и приводится сравнение расчета с экспериментальными данными. Показывается, что рассмотренная математическая модель позволяет описать такие эффекты, как возникновение расходного сопла и расходного диффузора в перфорированной рабочей части.

Рабочие части с перфорированными стенками нашли широкое применение в современных аэродинамических трубах. Это связано с тем, что они оказывают существенно меньшее влияние на обтекание модели по сравнению с рабочими частями других типов. В настоящей работе рассматривается перфорированная рабочая часть, помещенная в камеру, из которой может производиться принудительный отсос газа (рис. 1).

В работе [1] показано, что перфорация позволяет существенно снизить вредную интерференцию трубы. Если перфорированный участок расположен на выходе из сопла, то в результате перетекания газа через отверстия перфорации образуется дополнительное «расходное сопло», дающее возможность плавно регулировать число М в рабочей части. В предположении потенциального течения получены уравнения и граничные условия для продольных и поперечных щелей перфорации.

Рис. 1

л

Рк

са =

р

=>=^‘

Подобные подходы, основанные на отыскании некоторого потенциала, очень широко используются в настоящее время при описании течений в перфорированных рабочих частях (см., например, [2—6]).

Другой способ расчета приводится в работе [7]. Течение газа рассматривается в рамках одномерной теории. Для канала с проницаемыми стенками записываются уравнения сохранения массы, энергии и импульса. Параметры потока определяются в результате решения соответствующей системы дифференциальных уравнений. Кроме того, в работе [7] анализируется устойчивость течения на дозвуковых и сверхзвуковых скоростях, влияние проницаемости и угла наклона стенок рабочей части. Показано, что результаты расчетов расходного сопла хорошо согласуются с экспериментальными данными.

Помимо расчетных исследований перфорированных рабочих частей, имеется большое количество работ по экспериментальному их изучению (см., например, [8, 9]).

В работе [8], в частности, показывается, что при увеличении степени отсоса газа из камеры, окружающей рабочую часть, происходит снижение потерь полного давления в рабочей части. Это снижение потерь объясняется появлением в конце рабочей части «расходного диффузора» — зоны повышенного давления, где за счет вытекания воздуха в камеру происходит интенсивное торможение потока.

Таким образом, к настоящему моменту имеется достаточно обширный как теоретический, так и экспериментальный материал, касающийся перфорированных рабочих частей. Следует, однако, отметить, что в упомянутых выше математических моделях не отражены некоторые важные особенности течения газа в рабочих частях с проницаемыми стенками. В частности, в этих моделях не описывается возникновение расходного диффузора.

В настоящей работе предпринята попытка создания одномерной математической модели, позволяющей качественно объяснить ряд явлений, имеющих место в перфорированных рабочих частях.

1. На поток воздуха в перфорированной рабочей части оказывают влияние три вида воздействий: а) перетекание газа через отверстия

перфорации; б) непараллельность стенок рабочей части. (Обычно стенки раскрыты на угол <р = 0,5-М°, но в расчетах этот угол берется несколько меньшим из-за необходимости учета толщины вытеснения пограничного слоя); в) воздействие трения о стенки.

Записав дифференциальные уравнения сохранения массы, энергии и импульса, и произведя некоторые преобразования, можно получить известное условие обращения воздействий [10]:

¿А

<1х

_‘НтН

с1х

С

Хз

О йх 7 + 1

где К — приведенная скорость, ^ — площадь проходного сечения, б — массовый расход газа, £ — коэффициент сопротивления, /) — гидравлический диаметр рабочей части, т(А)—газодинамическая функция, у — показатель адиабаты.

Однако в трансзвуковой области, представляющей наибольший интерес, пользоваться этим соотношением неудобно, поскольку при приближении к критической скорости знаменатель в правой части стремится к нулю. Попытаемся получить необходимые нам соотношения другим способом, а именно: будем рассматривать вместо дифференциальных элементов рабочей части малые элементы конечной длины.

Аппроксимируя распределение параметров по длине элементов, запишем для них уравнения сохранения массы, энергии и импульса в интегральной форме. Таким образом, получим способ расчета параметров на малых элементах, который, по сути, является разновидностью метода конечных элементов.

Итак, рассмотрим элемент рабочей части конечной длины Ах (рис. 2). Сечение 1 соответствует входу в элемент, а сечение 2 — выходу. Предположим, что на участке 1—2 расход, скорость и давление газа, а также площадь поперечного сечения распределены по линейному закону. Поскольку длина элемента Ах мала, эти предположения представляются вполне допустимыми. Запишем для рассматриваемого элемента уравнения сохранения массы, энергии и импульса:

0,=в.-|

1

2 2 с,Тг+ ^-=СрТ2 + ^- = срТ0,

2 (2) в2 и2 + | и. (х) —¿~Х) йх—в! и, = р{ —р2Г2 +

1

1

Бп

гв}ет

0,1

йX

Рис. 2

где и —скорость газа, ср — удельная теплоемкость газа при постоянном давлении, р — давление, Т, Т0 — статическая температура и температура торможения, ^тр—сила трения. Индексы 1, 2, «п» обозначают соответственно сечения 1,2 и перфорацию.

В соответствии с работой [11] силу трения можно представить следующим образом:

о ____г 01и1Ах /оч

тр — *• 20 ‘ ' '

Коэффициент £ может быть определен, например, на основании данных работы [12]. В расчетах значение этого коэффициента бралось равным 0,01.

Поскольку было принято предположение о линейном распределении параметров по длине элемента, третье уравнение системы (2) с учетом первого уравнения перепишем так:

Обозначим Р = Р1/Р2 и поделим обе части на Сгруппировав члены, получим:

где Я — газовая постоянная, р — плотность газа, то с учетом второго уравнения системы (2) можно записать:

Умножив обе части на и2 и перенеся все члены в левую часть, получин квадратное уравнение относительно «г:

Решая это квадратное уравнение, можно найти скорость газа в сечении 2, зная параметры в сечении 1 и зная величину расхода газа через перфорацию. Однако в расчетах удобнее пользоваться не физической скоростью газа, а его приведенной скоростью X. С учетом того* что

О, (1 + 4^) «2 - АО <*+£>. - О, и1 =рх Рх-р2Р2 +

и 1 СДл: 20

где

Поскольку:

рр = р ЯТР О р ир

ЯТ

и

Аи\ — Ви2 + С = О,

<4>

где

6—«Ученые записки» № 6

м

.можно получить квадратное уравнение относительно кг, аналогичное уравнению (4):

¿4)-2 — 2 + С = О,

где

1+1 2 + Д/7

__ __

Итак:

^-2 ~ “Ь АХ

В ± Ув* — 4АС 2 А

Знак плюс перед корнем соответствует сверхзвуковому решению, а знак минус — дозвуковому. В случае звукового режима течения подкоренное выражение обращается в ноль. Таким образом, в отличие от уравнения (1) соотношение (5) позволяет производить расчет в трансзвуковом диапазоне при скоростях, сколь угодно близких к к= 1.

Определив величину приведенной скорости, далее легко рассчитать остальные параметры потока:

Однако система уравнений (5) — (8) еще не является замкнутой, поскольку не известен расход газа через перфорацию Аб. Кроме того, -необходимо ввести дополнительные условия, касающиеся вида решения — дозвукового или сверхзвукового.

Для определения расхода через перфорацию требуется задать вид граничного условия на стенках рабочей части. Если перепад давления на стенках невелик, и течение газа через отверстия перфорации носит медленный и вязкий характер, в качестве граничного условия можно использовать так называемый «закон Дарси», полученный первоначально для течения через пористые среды:

где V — нормальная по отношению к стенкам составляющая скорости; р — статическое давление газа в рабочей части; рК — давление в камере, окружающей рабочую часть; /?пр — «параметр проницаемости» перфорированных стенок.

(6>

Рч — Рг ВТ2.

Индекс оо здесь относится к параметрам невозмущенного потока на входе в рабочую часть. Кроме того, как показано в работе [2], если размер отверстий значительно превышает толщину стенок, условие Дарси остается справедливым и при больших перепадах давления, поскольку задача в этом случае сводится к обтеканию решетки профилей с малым углом атаки. В работе [3] приведены результаты экспериментальных исследований, из которых следует, что для тонких стенок с большими круглыми отверстиями имела место почти линейная зависимость между и и (р — рк). В то же время для стенок с малыми отверстиями (диаметр которых был равен толщине стенки) эта зависимость носила скорее параболический характер. Следовательно, перетекание газа в этом случае было похоже на обычное истечение из отверстия, для которого при условии несжимаемости газа справедлив закон Бернулли:

где £п — коэффициент, учитывающий потери полного давления при перетекании газа через отверстия перфорации.

В случае сжимаемого газа удобнее оперировать с приведенной скоростью перетекания газа через отверстия перфорации Лп. После некоторых преобразований можно получить следующее соотношение (см., например, [11]):

где <7(ЛП) —газодинамическая функция расхода; —коэффициент, учитывающий потери полного давления; \ = рк/р — в случае перетекания газа из рабочей части в камеру (р>рк), у = Р/Рк — в противоположном случае (р<рк).

Результаты экспериментальных исследований показывают, что при работе с принудительным отсосом перепад давления рк/р может достигать величин порядка 0,7-ь0,8. Соответствующие значения Ли оказываются равными 0,6-н 0,7 и выше. Такие скорости перетекания требуют учета сжимаемости газа, и, следовательно, в этом случае нужно применять формулу (11), которая, в целом, является более универсальной, чем формула (10).

Таким образом, при малых перепадах давления на перфорированных стенках или же при больших относительных размерах отверстий перфорации расход газа, перетекающего из рабочей части в окружающую камеру и обратно, может быть рассчитан по формуле:

где значение V определяется по соотношению (9). Здесь р — плотность перетекающего газа; Л^р — суммарная площадь сечения струек перетекающего газд на участке длиной Ах.

При больших перепадах давления и при малых относительных размерах отверстий перфорации для вычисления расхода может быть применена формула:

где значение <7(Ап) определяется по соотношению (11). Здесь р0 — полное давление перетекающего газа; Я — газовая постоянная.

Знак плюс или минус зависит от направления перетекания. В случае перетекания газа из камеры в рабочую часть его полное давление равно давлению в этой камере: Ро=Рк• Если же газ перетекает из рабочей части в камеру, то возможны два варианта:

а) если пограничный слой на стенках рабочей части имеет достаточную толщину, а интенсивность перетекания не слишком высока, можно предположить, что газ из рабочей части перетекает в окружающую камеру целиком из пограничного слоя. В этом случае в качестве полного давления нужно взять статическое давление газа в рабочей части: ~р0=р;

б) если же толщина пограничного слоя мала

Суммарная площадь сечения струек перетекающего газа определится следующим образом:

Д^стр — !^сж I» °п

где ¡хсж — коэффициент сжатия струйки при истечении из отверстия;

/п — периметр перфорированных стенок в данном сечении;

0п = тг2 — коэффициент перфорации: отношение суммарной площади ст отверстий на стенке по всей площади стенок.

Поскольку статическое давление газа не является постоянным по длине рабочей части, то перепад давления на перфорированных стенках может существенно изменяться. Поэтому в ряде случаев при расчете течения газа, по-видимому, будет требоваться комбинированное граничное условие, состоящее из формулы (12) на участке с малым перепадом давления и из формулы (13) на участке с большим е?о перепадом. Координату сечения, в котором осуществляется переход от одного граничного условия к другому, можно приближенно определить исходя из следующих соображений.

Предполагая, что в переходном сечении скорость перетекания и не претерпевает тангенциального разрыва, сжимаемость газа еще не сказывается и перетекание происходит из пограничного слоя, можно приравнять значения V, вычисленные по формулам (9) и (10). Отсюда определится критический перепад давления:

Л 2 (Р и)2х

Р'П Апр

Эта формула, однако, не совсем удобна, поскольку плотность газа р в переходном сечении заранее не известна. Записывая соотношение для элементарного расхода через перфорацию, мы получаем более определенный критерий смены граничных условий:

ЛГ- Ър 2(ри)тоД^Тр Д(7 ртгЛ/*СТр - ~

^пр

Наложим теперь дополнительное условие на систему уравнений (5)—(8) и (12) — (13). Этим условием будет равенство суммарного расхода газа через перфорацию и расхода отсасываемого из камеры газа:

1^Х = 0°- = £отсО*,

о

где / — длина рабочей части;

^отс — массовый расход отсасываемого из камеры газа; Є* — массовый расход через критическое сечение сопла; &отс — — коэффициент отсоса.

Будем считать, что на дозвуковых режимах условие (15) выполняется за счет автоматической подстройки давления в камере, окружающей рабочую часть — рк. В случае же сверхзвуковых режимов такое предположение принято быть не может. При наличии звукового сопла перепад давлений рк/ро определяет число М в рабочей части. Поэтому при заданном сверхзвуковом числе М величина рк не может регулировать расход газа через перфорацию. Будем считать, что на этих режимах регулятором расхода служит прямой скачок уплотнения, возникающий в рабочей части.

Таким образом, рассмотренную систему уравнений необходимо решать итерационно, на дозвуковых режимах, подбирая величину рк, а на сверхзвуковых режимах отыскивая положение скачка уплотнения.

Если в рабочей части присутствует модель, то все полученные соотношения остаются в силе, только изменяется коэффициент В, используемый для нахождения приведенной скорости %2 в уравнении (5). Он будет выглядеть следующим образом:

В = \

,1+1 2 + Д/7

+ 4Т • X!

где сх — коэффициент сопротивления модели; /м — длина модели; —на участке, где установлена модель; ^м = 0—на осталь-

г 1

ных участках; — характерная площадь модели.

2. В рамках одномерного подхода представляется весьма затруднительным теоретически рассчитать коэффициенты £п, &п и [хсж в формулах (9), (10), (11) и (14). При попытках таких расчетов обычно вводятся различные упрощающие предположения, суживающие область применения полученных соотношений. Так, например, в работе [11] получена формула для коэффициента сжатия струи (хсж в частном случае истечения газа через насадок Борда. В работе [7] получено соотношение для параметра проницаемости в предположении ма-

йр

лости величин (р — рк), ¿х и (М2—1)- В рассматриваемом нами варианте, когда имеется принудительный отсос газа из перфорированной рабочей части, вышеуказанные предположения не выполняются. Поэтому здесь нельзя применить упомянутые теоретические подходы, и значения искомых коэффициентов должны определяться экспериментально. Следует отметить, что в граничных условиях (12) и (13) данные коэффициенты встречаются не по отдельности, а в комбинациях:

^пр-М-сж, •7=1 ¿п'^сж- Следовательно, для замыкания всей системы V

уравнений достаточно определить только эти комбинации коэффициентов. Это позволяет уменьшить количество неопределенных параметров задачи.

Для сравнения результатов расчетов с экспериментальными данными были использованы результаты работы [8]. В этой работе экспериментально исследовалось течение газа в перфорированной рабочей части размером 0,18X0,18X0,5 м. На всех четырех стенках рабочей части применялись съемные перфорированные панели с коэффициентами перфорации 0П=2%, 5% и 10% (соответствующие диаметры отверстий перфорации были равны: ¿=1,3; 2 и 2,8 мм при толщине стенки 6 = 5 мм). Боковые стенки были установлены вертикально, а верхняя и нижняя образовывали угол 0,5° с осью трубы. Испытания проводились без модели в рабочей части.

Сравнение экспериментальных и теоретических результатов показало, что наилучшее их согласование имеет место при следующих диапазонах изменения рассматриваемых комбинаций коэффициентов:

а) в случае гипотезы перетекания газа из пограничного слоя:

(ро=р):

Дпр • !*сж = 1 >2-5-2,1, кп  ^сж « = 0,6 ч- 0,7;

У

б) в случае гипотезы перетекания газа из ядра потока

Дпр • }*сж = 0,6-5-1,4, 6Л • р.сж яа - 0,2 0,35.

При соответствующих значениях коэффициентов расчетные кривые распределения давления по длине рабочей части для этих двух случаев-отличались весьма незначительно. С ростом коэффициента перфорации 0П численные значения рассматриваемых комбинаций коэффициентов увеличивались. Влияние числа М потока оказалось небольшим.

На рис. 3 показаны расчетное и экспериментальное распределения статического давления по длине рабочей части на дозвуковом режиме (М=«0,8) при двух значениях коэффициента отсоса: &0тс=0,196 (кривые 1, 2, 3) и АОтс = 0,09 (кривая 4). Кривая 1 соответствует граничному условию (12), кривая 2 — граничному условию (13) и кривая 3— комбинированному граничному условию. В последнем случае переход от граничного условия (12) к условию (13) осуществлялся при перепаде давления рц/р — 0,82 (х»1,9). Как видно из графиков, комбинированное граничное условие позволяет лучше, чем условия (12) и (13) по отдельности, описать характер экспериментальных данных.

На рис. 4 показаны аналогичные распределения статического давления на сверхзвуковом режиме (М«*1,2).

Как можно видеть, расчетные и экспериментальные данные указывают на образование в конце рабочей части зоны повышенного давления — расходного диффузора, в котором поток тормозится за счет перетекания части газа в камеру. На сверхзвуковых режимах расчеты указывают на образование в начале рабочей части расходного сопла, в котором поток ускоряется до сверхзвуковой скорости.

На рис. 5 представлено расчетное распределение расхода газа через перфорацию. Как видно из графика, на дозвуковом режиме газ сначала перетекает из камеры в рабочую часть, а затем, на конечном, участке, перетекает из рабочей части в камеру. Таким образом, возникает циркуляция газа вокруг перфорированных стенок. Это явление можно объяснить следующим образом. Как уже было отмечено, поток

т

в рабочей части испытывает три вида воздействий: расход через стенку, изменение геометрии стенки и воздействие трения. В зависимости от относительной величины рассмотренных воздействий поведение потока может различаться. Если воздействие из-за раздвижения стенок является определяющим, то на начальном участке рабочей части дозвуковой поток будет тормозиться, а его статическое давление будет возрастать. Следовательно, уменьшится перепад давлений между камерой и рабочей частью, а значит, будет уменьшаться и расход втекающего из камеры газа. На каком-то участке этот расход станет равным нулю, а затем изменит знак. На следующих участках первые два типа воздействия будут приводить к дальнейшему торможению потока и повышению его статического давления. Как видно из рис. 5, именно эта картина течения реализуется в нашем случае.

В принципе, возможны и другие режимы течения газа на дозвуковых скоростях. Если, например, давление в камере, окружающей рабочую часть, достаточно мало, газ из рабочей части начнет вытекать в эту камеру сразу же после выхода из сопла. Такой режим течения возможен при больших коэффициентах отсоса или при отрицательных углах раскрытия стенок рабочей части. Циркуляция газа вокруг перфорированных стенок при этом не возникает.

Как видно из графиков, при увеличении коэффициента отсоса длина расходного диффузора увеличивается. На дозвуковых режимах это связано с уменьшением давления в камере, окружающей рабочую часть. При этом увеличивается перепад давления между рабочей частью и камерой. Поэтому перетекание газа в камеру начинается раньше, а общий расход перетекающего газа увеличивается. На сверхзвуковых режимах газ перетекает в камеру в основном на двух участках: в начале и в конце рабочей части — в расходном сопле и в расходном диффузоре. Если из камеры отсасывать ровно столько газа, сколько нужно для образования расходного сопла, расходный диффузор не будет образовываться. Если же отсасывается больше газа, чем нужно, в рабочей части появляется скачок уплотнения. Газ за скачком будет иметь повышенное давление. Поэтому он начнет перетекать в камеру, окружающую рабочую часть. При дальнейшем увеличении отсоса скачок будет сдвигаться против потока, увеличивая размер зоны с повышенным давлением, и, тем самым, увеличивая общий расход газа через перфорацию.

Отличие расчетных и экспериментальных данных на сверхзвуковых режимах можно объяснить тем, что в рабочей части, по-видимому, реализуется не прямой скачок уплотнения, а система косых скачков.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гродзовский Г. Л., Никольский А. А., С в и ще в Г. П., Таганов Г. И. Сверхзвуковые течения газа в перфорированных границах. — М.: Машиностроение, 1967.

2. Me дер П., В у д А. Влияние типа стенок околозвуковой аэродинамической трубы на характер течения. «Механика». Сборник переводов и обзоров иностранной периодической литературы. — М.: Изд. иностр. лит-ры, 1957, т. 44, № 4.

3. Goethert В. Flow establishment and wall interference in transonic wind tunnels. — «Transonic testing techniques» (cymposium), New York, 1954, (IAS SMF Fund Paper N FF-12).

4. Б ы p к и н А. П., Межиров И. И. Численное исследование индукции проницаемых стенок рабочей части аэродинамической трубы малых скоростей. — Ученые записки ЦАГИ, 1977, т. 8, № 6.

5. Carbonaro M. Review of some problems related to the design and operation of low speed wind tunnels for V/Stol testing —AGARD Report, 1973, N 601.

6. Быркин А. П., Верховский В. П., М е ж и р о в И. И. Расходные профилированные трансзвуковые сопла. — Ученые записки ЦАГИ, 1987, т. 18, № 4.

7. Н е й л а н д В. М. Околозвуковое течение газа в аэродинамической трубе с проницаемыми стенками. «Проблемы моделирования в аэродинамических трубах». Т. 2. Сборник трудов международного семинара. Новосибирск, 25—29 июля 1988 г. — Новосибирск: СО АН СССР, 1989.

8. Лыжин О. В., П а с о в а 3. Г. Экспериментальное исследование расходного диффузора трансзвуковой аэродинамической трубы. — Ученые записки ЦАГИ, 1979, т. 10, № 4.

9. Борисов С. Ю., Искра А. Л., Лыжин О. В., Пасо-fl а 3. Г. Экспериментальное исследование трансзвуковой аэродинамической трубы с отсосом при различных углах установки перфорированных панелей рабочей части.—/Ученые записки ЦАГИ, 1982, т. 13, № 4.

10. Вулис Л. А. Термодинамика газовых потоков.— М.: Энергоиз-дат, 1950.

11. Христианович С. А., Гальперин В. Г., Миллионщиков М. Д., Симонов Л. А. Прикладная газовая динамика/Под ред. С.'А. Христиановича.— М.: БНИ ЦАГИ, 1948.

12. Идельчик И. Е. Справочник по гидравлическим сопротивлениям. — М.: Машиностроение, 1975.

Рукопись поступила 11/Х 1989