Собственные частоты и собственные формы колебаний нагруженной вращающейся шины

УДК 531/534:534.1

И. Ф. Кожевников

Вычислительный центр им. А. А. Дородницына Федерального исследовательского центра «Информатика и управление» Российской академии наук

Собственные частоты и собственные формы колебаний нагруженной вращающейся шины

На базе аналитической модели исследуются собственные частоты (СЧ) и собственные формы (СФ) колебаний вращающейся нагруженной шины в окрестности стационарного режима качения без проскальзывания.

Ключевые слова: малые колебания, собственные частоты, собственные формы, аналитическая модель, радиальная шина.

I. F. Kozhevnikov Dorodnicyn Computing Centre, FRC CSC RAS

Natural frequencies and mode shapes of vibrations of a loaded rotating tyre

Natural frequencies (NF) and mode shapes (MS) of vibrations of a loaded rotating tyre about the steady-state regime of rolling without slipping are investigated using an analytical model.

Key words: vibrations, natural frequencies, mode shapes, analytical model, radial tyre. 1. Введение

Задача построения быстрых моделей, которые симулируют сложные динамические явления с требуемой точностью и одновременно не выдвигают больших требований к вычислительным ресурсам, актуальна в настоящее время. Одна из таких моделей радиальной шины, позволяющая аналитически проанализировать динамические эффекты, возникающие при качении, была предложена в работах В. Г. Вильке и И. Ф. Кожевникова [1—6]. В этой модели предполагается, что механическая система состоит из двух частей: деформируемой и недеформируемой. Недеформируемой частью колеса является диск 0, который представляется абсолютно твёрдым телом (рис. 1). Деформируемой частью колеса является шина, поверхность которой состоит из гибкой ленты (бандажа) 3, контактирующей с опорной поверхностью, и двух боковин 1, 2, которые соединяют бандаж с диском колеса. При деформациях бандажа, который моделируется в недеформированном состоянии круговым цилиндром радиуса r и высоты 21, рассматриваются нелинейные условия нерастяжимости корда (волокна, армирующие бандаж). Боковые поверхности, которые моделируются в недеформированном состоянии частями двух торов, тоже армированы и представляют из себя мембраны. Помимо этого предполагается, что они снабжены материалом, который описывается согласно модели несжимаемой резины Муни-Ривлина. Используя данную аналитическую модель, были исследованы СЧ и СФ колебаний вращающейся нагруженной шины в предположении, что угловая скорость вращения постоянна, а качение по плоскости происходит без проскальзывания.

© Кожевников И. Ф., 2017

© Федеральное государственное автономное образовательное учреждение высшего образования «Московский физико-технический институт (государственный университет)», 2017

2. Модель колеса с армированной шиной

Введём неподвижную систему координат OX1X2X3. Бандаж шины контактирует с опорной плоскостью OX1X2. Начало подвижной системы координат СХ1Х2Х3 поместим в центр масс диска точку С с координатами (Xi,X2,Xs) в неподвижной системе (рис. 1). Обозначим через l¿ орты осей OXi неподвижной системы координат, а через e¿ — орты осей Cxi подвижной системы координат. Положение бандажа можно определить двумя поворотами на углы /Зо,@ относительно осей OX3 и Cx2. Для фиксированных во и в положение точек бандажа определим в виде

r3(p,£,í) = £Xili +Гз(во)Г2(^) (rei+Í&2 +rY,Ui(^,(,t)eA ,

i=1 V i=1 J

Г2 (§) =

cos § 0

0 sin §

1 0

— sin § 0 cos §

Гз(во) =

cos в0 — sin в0 0 sin в0 cos в0 0 0 0 1

где $ = 9+<; параметр £ е [—1; 1], при этом значение параметра £ = 1 (£ = —1) соответствует линии соединения бандажа с первой (второй) боковиной, значение £ = 0 соответствует срединной линии бандажа 10; гЩ(<,£^) — координаты вектора перемещения точки бандажа в подвижной цилиндрической системе координат.

Рис. 1. Модель колеса с армированной шиной

Используя нелинейные условия нерастяжимости волокон, армирующих бандаж, получаются следующие соотношения:

и = и = w(t), и3 = —г(<,г),

выражающие зависимость функций Uk от радиальной ги, касательной гг (рис. 1) и боковой компонент вектора перемещений ги(<,£)е1 + ^(¿)е2 — гг(<,£)ез точек 1о в подвижной системе координат СХ1Х2Х3. Данные соотношения показывают, что круговой цилиндр (недеформированное состояние) трансформируется в цилиндрическую поверхность (деформированное состояние) с образующей, заданной плоской деформированной линией 1о, и семейством ортогональных ей прямых. Линия 1о при этом нерастяжима:

д

2(и + г') + (и + г')2 + (г — и')2 = 0, ' = д.

д<

Область контакта бандажа с опорной плоскостью OX1X2 представляется прямоугольником постоянной ширины 21 и переменной длины, определяемой двумя функциями pi(t),p2(t) (рис. 1). Особенность состоит в том, что данные функции неизвестны заранее, и их нужно определить из уравнений движения. Не ограничивая общности, можно предположить, что линия lo совпадает с осью OX\ (это означает, что угол во = 0). Таким образом, можно определить перемещения точек lo в зоне контакта L\ = [pi(t), ф2(t)]. Будем также считать, что X2 = 0 и, следовательно, w = 0, что означает, что центр масс диска не смещается вбок. Пусть колесо катится без проскальзывания и без подпрыгивания. Это означает, что скорости точек lo в зоне контакта Li равны нулю. Применим вариационный принцип Гамильтона-Остроградского:

t2

¡(ST + SA)dt = 0,

ti

где кинетическая энергия колеса T представляет из себя сумму кинетической энергии абсолютно жесткого диска и кинетической энергии деформированной шины. Вся масса шины сосредоточена в линии lo с линейной плотностью р. Работа сил 5A на возможных перемещениях имеет сложную структуру:

SA = 5Af + 5AP + 5N1 + SN3 + SN6.

Здесь 5Af — работа продольной силы, вертикальной нагрузки и крутящего момента, приложенных к диску колеса, работа 5Ap — работа потенциальных сил (работа давления на возможных перемещениях и вариация потенциальной энергии растяжения резины), работы 5Ni, SN3 — работы реакций связей (движение без проскальзывания, без подпрыгивания в зоне контакта), работа 5Ng — тоже работа реакции связи (условие нерастяжимости срединной линии бандажа), имеющая следующую структуру:

SN6 = j \(<р, t)^(1 + u + v')(Su + Sv') + (u' — v)(Su' — Sv)j dp,

L2

где L2 = [ф2(t), 2n + pi(t)] описывает свободную поверхность шины, множитель Лагранжа Л = Л(ф, t) определяет натяжение lo. В результате применения вариационного принципа получается система четырнадцати уравнений движения, которая имеет следующую структуру: три уравнения Лагранжа второго рода с неопределёнными множителями (особенность уравнений — наличие интегральных членов от функций u, v и их производных), четыре уравнения движения в частных производных, три уравнения связей и четыре динамических граничных условия. При нахождении u, v также необходимо учесть кинематические граничные условия.

3. Малые колебания шины

Теперь поставим задачу о малых колебаниях шины в окрестности стационарного режима. Пусть угловая скорость вращения колеса Q постоянна, тогда

X1 = rQ, X3 = const, в = Q.

Перейдём от переменной ф к переменной а = ф + Qt — п/2, тем самым осуществив переход от лагранжева описания к эйлеровому. Функции, определяющие деформации линии lo, зону контакта и множитель Лагранжа представим в следующем виде:

u(p,t) = U (а) + Uvib(a,t), v(p,t) = V (а) + Vvib(a,t), Л(ф^) = Л°(а) + Л^а,^,

п

ак (г) = а°°+а^ь к (t), а°к = ф°к (t) + Qt — = const, фк (t) = —Q,

где первая часть U(а), V(а), Л°(а), ак функций описывает стационарный режим качения без проскальзывания, а вторая часть и^ь(а, t), ^¡ь(а, t), Л^ь(а, t), а^ьк(t) функций

описывает колебания в окрестности этого стационарного режима. Теперь границы зоны контакта описываются функциями а^), а2(Ь) (рис. 1). Функция У^ъ удовлетворяет следующему уравнению и граничным условиям:

рг3к''ь — рг3Кш + 2рг3О!/(3ь) + 2рг3 ПУ^ + аоУ^ + + а2Кш = 0,

УаЪ(а1+2п +а¥1Ъ1)=0, У^(а°1+2п+ауШ1)=0, Ууш(а£+ау1Ъ2)=0, К';ъ(а^+аУ1Ъ2) = 0.

Здесь ао, а1, а2 — постоянные коэффициенты, которые зависят от геометрии шины и внутреннего давления. При нахождении СЧ колебаний зону контакта можно считать постоянной, тогда граничные условия в (1) заменяются следующими соотношениями:

ПшК+2п) + КшК+2пКш 1 - КшК+2п) = 0, КшЮ + УшККш 2 - КшЮ=0,

КшК+2п) +^Ъ(а°+2п)а*Ъ 1 - +2п) = 0, УшЮ + УшККш 2 - УшЮ=0.

Для упрощения записи в дальнейшем будем использовать аи вместо а°к. Используя метод разделения переменных (метод Фурье), представим

Кш

Здесь ш — это циклическая частота. Подставив данное выражение в (1), получим

аоХ(4) + 2рг3ПшХ(3) + (а1 — рг3ш2)Х" + 2рг30ш1Х' + (а2 + рг3ш2 )Х = 0.

Решение данного уравнения имеет следующую структуру:

Х (а) = О^1" + С2ёр2а + 03еРза + 04еР4а,

где коэффициенты р1, р2, Р3, Р4 удовлетворяют характеристическому уравнению четвертой степени:

аор4 + 2рг3 Пш'р + (а1 — рг3ш2)р2 + 2рг3Пш\р + (а2 + рг3 ш2) = 0,

которое решается методом Феррари, а коэффициенты 01, 02, 03, 04 определяются, в свою очередь, из граничных условий:

01еР1(а1+2п) + 02еР2 (а1+2п) + о3еРз(а1+2п) + О^"1 +2п) = 0, О^1"2 + 02еР2а2 + 033ерз№2 + 04еР4"2 = 0,

01р1еР1(а1+2п) + 02Р2еР2(а1+2ж) + 03Р3ерз(а1+2п) + 04Р4еР4(а1+2п) = 0, 01Р1еР1а2 + О2Р2 еР2а2 + 03Р3еР3 а2 + О4 Р4еР4"2 = 0

в виде

01 = е"Р1(а1+2п^ (Р4 — Р3)еР2(Аа-2п) — (Р4 — Р2)еРз(Аа-2п) + (Р3 — р2)еР4(Аа-2п)) О^,

02 = е-Р2(а1+2п) (— (Р4 — Р3)еР1(Аа-2п) + (Р4 — Р1)еРз(Аа-2п) — (Р3 — Р1 )еР4(Аа-2п)) 05,

03 = е-Рз(а1+2п) ( (Р4 — Р2)еР1(Аа-2п) — (Р4 — Р1)еР2(Аа-2п) + Р — р1)еР4(Аа-2п)) О^,

04 = е-Р4(а1+2п) (— (Р3 — Р2)еР1(Аа-2п) + (Р3 — р1)еР2(Аа-2п) — (р2 — Р1 )еРз(Аа-2п^ 05,

где С5 — произвольная константа. Однородная система (3) имеет ненулевое решение, если её определитель равен нулю:

/

= е

(Рз - Р1)(Р4 - Р2) (в(р2+Р4)(Аа-2п) + е^+РзК^-2^ --(Р3-р2)(р4-Р1) (е(р1+р4)(Аа-2ж) +е(р2+рз)(^а-2п)) -

-

0.

Здесь Аа = а2 - а^ Таким образом, мы получили частотное уравнение (5), из которого и определяются СЧ: V = ш/(2п). Если по оси абсцисс отложить угловую скорость вращения колеса О, а по оси ординат отложить значения СЧ, соответствующих данной угловой скорости, то получится график зависимости СЧ от угловой скорости. Пример такого графика представлен на рис. 2 для Аа = 0.3 рад. Можно заметить, что при увеличении угловой скорости СЧ убывают. Также на рис. 2 представлено увеличение области частот в окрестности 100 Гц, где можно увидеть любопытный эффект «разбегания» частот.

Рис. 2. СЧ как функции угловой скорости вращения для Аа = 0.3 рад

Что касается СФ, то, зная СЧ, по аналитическим формулам вычисляются Р1(ш), Р2(ш), Р3(ш), Р4(ш) и, следовательно, по формулам (4) коэффициенты С1, С2, С3, С4. Если соотношение (2) переписать в виде

Уу1ъ(а,г)=[со8(шг)Ке(Х(а))-8т(Ш)1т(Х(а)))^соъ^^тХ(а))+8т(Ш)Ке(Х(а))) ,

тогда вначале покажется странным, что добавка У^\ъ(а,Ь), связанная с колебаниями, к касательной составляющей вектора перемещений имеет действительную и мнимую части. Но

на самом деле мнимая СФ Im(X(а)) переходит в действительную СФ Re(X(а)) и наоборот:

0) = Re(X(а)) +iIm(X(а)), (a, = -Im(X(а)) +iRe(X(а)),

что означает, что есть только одна СФ, например Re(X(а)), но она поворачивается. В качестве примера на рис. 3 показан поворот второй СФ, отвечающей частоте колебаний 95 Гц. для Да = 0.3 рад и угловой скорости вращения диска Q = 175 рад-с"1.

Рис. 3. Колебания на частоте 95 Гц второй СФ нагруженной шины, вращающейся с угловой скоростью Q = 175 рад-с-1 для Да = 0.3 рад

Рис. 4. Траектория движения точки срединной линии бандажа нагруженной вращающейся шины при частоте колебаний 114 Гц и угловой скорости вращения диска О = 50 рад-с-1 для Да = 0.3 рад

Если перейти в невращающуюся подвижную систему координат с началом в центре масс диска точке С (система Кёнига), то можно в этой системе изобразить (рис. 4) траекторию движения точки срединной линии бандажа, при условии, что угловая скорость вращения диска О = 50 рад-с"1, а частота колебаний составляет 114 Гц.

Литература

1. Вильке В.Г., Кожевников И.Ф. Качение колеса с армированной шиной по плоскости без проскальзывания // Прикладная математика и механика. 2001. Т. 65, вып. 6. C. 944-957.

2. Вильке В.Г., Кожевников И.Ф. Об одной модели колеса с армированной шиной // Вестник Московского университета. Серия 1. Математика. Механика. 2004. Вып. 4. C. 37-45.

3. Вильке В.Г., Кожевников И.Ф. Качение колеса с армированной шиной по плоскости с проскальзыванием // Прикладная математика и механика. 2004. Т. 68, вып. 6. C. 1010-1024.

4. Кожевников И.Ф. Колебания свободной и нагруженной шины // Прикладная математика и механика. 2006. Т. 70, вып. 2. C. 250-256.

5. Kozhevnikov I.F. The steady-state cornering of a wheel with a reinforced tyre with slipping // Acta Mechanica. 2011. V. 217, I. 3-4. P. 347-362.

6. Kozhevnikov I.F. Vibrations of a rolling tyre // Journal of Sound and Vibration. 2012. V. 331, I. 7. P. 1669-1685.

References

1. Vil'ke V.G., Kozhevnikov I.F. The rolling of a wheel with a reinforced tyre along a plane without slip. Prikladnaya Matematika i Mekhanika. 2001. V. 65, I. 6. P. 944-957. (in Russian).

2. Vil'ke V.G., Kozhevnikov I.F. A model of a wheel with a reinforced tyre. Vestnik Moskovskogo Universiteta. Seriya 1. Matematika. Mekhanika. 2004. I. 4. P. 37-45. (in Russian).

3. Vil'ke V.G., Kozhevnikov I.F. The rolling of a wheel with a reinforced tyre along a plane with slipping. Prikladnaya Matematika i Mekhanika. 2004. V. 68, I. 6. P. 1010-1024. (in Russian).

4. Kozhevnikov I.F. The vibrations of a free and loaded tyre. Prikladnaya Matematika i Mekhanika. 2006. V. 70, I. 2. P. 250-256. (in Russian).

5. Kozhevnikov I.F. The steady-state cornering of a wheel with a reinforced tyre with slipping. Acta Mechanica. 2011. V. 217, I. 3-4. P. 347-362.

6. Kozhevnikov I.F. Vibrations of a rolling tyre. Journal of Sound and Vibration. 2012. V. 331, I. 7. P. 1669-1685.

Поступила в редакцию 06.07.2017