Контактная задача со свободной границей для балки и дискретного упругого основания

Вестник Сыктывкарского университета. С ер Л. Вып. 13.2011

УДК 539.3

КОНТАКТНАЯ ЗАДАЧА СО СВОБОДНОЙ ГРАНИЦЕЙ ДЛЯ БАЛКИ И ДИСКРЕТНОГО УПРУГОГО ОСНОВАНИЯ1

Е. И. Михайловский, В. В. Миронов, В. Р. Подоров

Исследуется влияние учета поперечных сдвигов на решение контактной задачи для балки и системы упругих опор одностороннего действия. Дано обобщение на случай балок, изгибаемых по теории С.П.Тимошенко, метода перебора множеств активных опор, основанного на доказательстве единственности решения нелинейной контактной задачи, и уравнений аналитического варианта т.н. теоремы о трех моментах.

Ключевые слова: контактная задача, свободная граница, балка, дискретное основание, поперечные сдвиги, обобщенная реакция.

Предисловие. В Сыктывкарском университете в течение длительного времени проводились исследования по проблеме прочности и долговечности горизонтальных автоклавов строительной индустрии на хоздоговорной основе с НПО „Волгоцеммаш" (см., например, [1, 2]). Из опыта эксплуатации автоклавов выявлен факт отхода корпуса автоклава от ряда опор из-за вертикального перепада температур. Для приближенного вычисления реакций опор автоклав рассматривается как балка, свободно лежащая на системе опор, активная часть которых заранее неизвестна и определяется общим напряженно-деформированным состоянием конструкции. Для решения задачи в такой постановке был разработан метод перебора множеств активных опор, основанный на доказательстве единственности искомого множества [3].

В развитие темы аналитический вариант известной теоремы о трех моментах был обобщен на случай многопролетной цилиндрической обо-

1Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 09-01-00178-а

© Михайловский Е. И., Миронов В. В., Подоров В. Р., 2011.

лочки [4, 5] с использованием установленных в работе [6] интегральных свойств простого краевого эффекта.

Метод перебора вариантов активных опор и оболочечный вариант теоремы о трех моментах в совокупности обеспечивают решение обсуждаемой контактной задачи.

Несколько позднее был разработан метод обобщенной реакции для решения контактных задач с неизвестной областью взаимодействия, которые в случае сплошной области возможного контакта естественно называть задачами со свободной границей [7, 8]. В данной работе показано, что единственность множеств активных опор сохраняется и при использовании теории балок, учитывающей поперечные сдвиги по модели С.П. Тимошенко. Выведены уравнения аналитического варианта теоремы о трех моментах для названной уточненной теории балок.

Проведен достаточно широкий численный эксперимент по исследованию влияния учета поперечных сдвигов на решение контактных задач для многоопорной балки.

1. Метод обобщенной реакции

Рассмотрим контактную задачу для шарнирно опертой по краям балки, длиной /, свободно лежащей на системе из п точечных упругих опор с координатами 0 < Х\ < ... < хп < I и испытывающей действие поперечной нагрузки д(х) (рис. 1).

Рис.1. Расчетная схема балки на дискретном упругом основании

Краевая задача о поперечном изгибе шарнирно опертой балки с учетом сдвигов по модели С.П.Тимошенко допускает следующую формулировку [9]:

Е1ы1У = я-11у, (1.1)!

го(0) = го(1) = 0, М(0) = М(1) = 0. (1.1)2

Здесь

Е, V - модуль Юнга и коэффициент Пуассона материала балки; 5, / - площадь поперечного сечения и его момент инерции относительно горизонтальной оси, проходящей через центр тяжести сечения; М(х) -изгибающий момент:

М = -Е1

ф(х) - дополнительный угол поворота поперечного сечения по модели С.П.Тимошенко; ( )'=с1( )1&х.

С тем, чтобы исключить дифференцирование нагрузки, введем вспомогательную функцию W{x) следующим образом:

уо^ЦГ -К2^" ^Ь^.

На основании равенств (1.1)х и (1.2) функция W{x) удовлетворяет уравнению

ЦГ1У = д(х)/Е1. (1.3)х

При этом изгибающий момент определяется так:

М = —Е1уо" - = -ЕШ" + к\(ЕШ1У - я) = -ЕШ\

вследствии чего граничные условия шарнирного опирания (1.1)2 принимают вид

0) = = 0, 0) = = 0. (1-3)2

Функция Грина для краевой задачи (1.3) определяется формулой

С

где в(х — £) - функция Хевисайда:

е(х-о = 11> х>? . 1 ; [О,

Применим теорию Тимошенко к балке, расчетная схема которой представлена на рис. 1. Так как множество активных (Д^ > 0) опор заранее, вообще говоря, неизвестно, рассматриваемую задачу следует

классифицировать как контактную с неизвестной областью взаимодействия. Формулировка этой задачи сводится к следующей системе равенств и неравенств [7, 8]:

п

EIWIV = q(x) - Y^ RiKx -i=1

w( 0) = W(l) = 0, w"( 0) = w'\l) = 0; (1.5)i

Ri > 0, W(xí) - < 0, Ri[w(xi) - = 0. (1.5)2

Здесь wг° - вертикальное перемещение несущего элемента г-ой опоры: = c~[lRi] Ci - жесткость г-ой опоры; S(x — £) - дельта-функция Дирака.

Используя функцию Грина, находим

1 Г1 1 п

В частности, для случая q(x) — qo = const имеем

1 -n,

w{x) = ыёУ"2lx"+ l"x)" m

j=i

Отсюда с учетом формулы (1.2) следует, что

1 п

w(x) = ^гМ2 + 1х - х2 + 12 h%)x{l -х)-—У] RjL0G(x, xj), (1.8) 24:1Í/I h/1 J

3=i

где

LoG(x, о = \{x - o3e(x - 0 - ^Ц^*3 + -о bib

- h%[{x - oe

Условия (1.5)2 можно записать в виде следующих существенно нелинейных уравнений (т.н. уравнений обобщенных реакций [8]):

= [Щ - aEl(w° - w(xí)]+ = [(1 - aElc~l)Ri + aElw(xi)]+,

a> 0, i G 1 : n.

Здесь и далее /(я)+ означает положительную срезку функции /(х): /(я)+ = гаах{0,/(х)}.

Для решения системы уравнений (1.10) безальтернативными, видимо, являются итерационные методы. В частности, метод простых итераций (МПИ) применительно к системе (1.10) определяется соотношениями

> = [а^-(12 + 1хг - х2г + 12к2)хг(1 - хг) +

п

^=1

Ь0С(хг,х,) = С(хг,х,) - НЦ(хг - х,)в(хг - - Гг(1 - X:,.)] (1.11) и реализуется по следующей схеме:

дг(0) = о,

Я- (X -,-(.1 ~~1Хп X• г 24/4 г

12 Нф)Х1{1

/ П

Я^ = [п^ + [1 - аЕ^Я^ - а^Я^ЬоС(хг,х3)}

з=1

г е 1 : п, к е 2 : ос.

2. Теорема о трех моментах

Итерационный процесс (1.12) можно не реализовывать до получения значений контактных реакций с требуемой точностью. Достаточно установить гарантированное множество активных опор, а затем в соответствии с принципом отвердевания применить теорему о трех моментах, с тем, чтобы проследить влияние учета поперечных сдвигов.

Выведем аналитический вариант рекуррентных соотношений теоремы о трех моментах для балки, изгибаемой по Тимошенко.

Рис.2. К доказательству теоремы о трех моментах

В аналитической форме рекуррентные соотношения теоремы о трех моментах получаются путем решения краевых задач

£М(х) _ с1X2

(РМ(х 1) М{х) = —Е1(

-Ъ-г{х)-М(0) = М{и_1) = М,-= -и(ж1);М(0) = МЬМ(Ь) = Мт;

(%Х (%Х (%Х

Ц0) = 1) = 0;

М(хг) - ---——);

йх\ с1х\ п с1х\

ии( 0) = = о

/лБ

и подстановкой полученных решении в условие непрерывности угла поворота поперечного сечения балки при переходе через г-ую опору:

где

0\х = 1{-! ~ $|ж1=(Ь

Д <1и)

е = -— + ф

ах

(нижний индекс у параметров и функций означает номер пролета балки, на котором они определяются). Введем в рассмотрение функцию

с использованием которой решения задач (2.1), (2.2) можно представить в виде

М(х) = -Sl^x) + S'i^k-i)-^- + Мг_! + (Mi - М^)-^-,

Ч-1 Ч-1

M{Xl) = -S';

ч ч

Если моменты М(х) и М(х\) известны, то реакция Ri определяется по формуле

_dM(xi) dM{x),

^Ч Ц/г xi=0 Ц/г 7 xi=0 7

axi ах

Ч — 1 ч

--^-

Ч — 1 ч

Далее интегралы уравнений (2.3), (2.4) относительно функций прогиба с учетом формул (2.7) можно записать в виде

3 2

EIw(x) + /i^'.iOr) = Si-!{х) - S-^ik-1)^— - Mi_iy-

X^

-(Mi - Mi_i)-— + fliX + 02, EIw(xi) + hlSl(Xl) = Si(Xl) - Sl(k)^- - МгХЛ-

з

-

6/г

На основании граничных условий (2.3), (2.4) и соотношения (2.6) сразу заключаем, что = 62 = 0, и далее находим

al — — 1-Si-l(h-l) + ^¿-1(^-1)"^ +

Ч-1 4-1 О

Z о

h = ^SKk) - + + мЛ +

Li Li Ь 2 О

Используя теперь соотношения (2.3), (2.4) и (2.6), получим = + «з, -ф{х\) = + Ь.

На основании закона Гука имеет место формула [9]

с помощью которой находим

Яг = <21*1=0 - = ^8(гр\Х1=о ~ =

= /лБфз - 03) + ^ 1

ИЛИ

=

Подставляя ъи'(х), уо'^Хх), ^(хх) в условие (2.5), учитывая при

этом формулы (2.10), (2.12) для констант Ьх, а3 — 63 и исключая из полученного равенства Щ с помощью формулы (2.8), окончательно получаем следующие соотношения:

Мг_!/г_!( 1 - аг_г) + Мг(/г_!(2 + аг_г) + 1г(2 + аг)) +

б б +М4+1и(1 - щ) = ГЗД) - —

Н Ц — 1

где

+6^;_1

6 Л?, 6 Л?, ,

= = ^

Ч-г 1 Ч

Формулы (2.13) и составляет содержание теоремы о трех моментах для балки, изгибаемой по теории С.П. Тимошенко. При Нф = 0 соотношения (2.13) переходят в соответствующие зависимости классической теории изгиба балок [5].

Замечание. Для балки тонкостенного кольцевого поперечного сечения в случае известного множества активных опор можно применять оболочечный аналог теоремы о трех моментах, основные соотношения которого имеют вид [5]

(1 - + 2ВД_1(1 + А-1> + 1г( 1 + /Зг)} +

+(1 - 2/Зг)Вг+11г = ЗД)Г - + б^^)-

Н Н—1

-(1 - - (2 + ^-1)^-1(^-1)^-1 + Ъ-^-Лк-М

6

6

г2

ч-\1

где Вг - изгибающие моменты в опорных сечениях;

# = 6(1 + г/)Д2Д2, ъ = Зг/Д2Д2, г е 2 : п - 1;

-ОД = 1[ (х-

q{x) - интенсивность поперечной нагрузки; г - номер пролета балки.

Если моменты, действующие в опорных сечениях, известны, то реакции опор вычисляются по формуле

3. Метод перебора множеств активных опор

В рамках сдвиговой теории Тимошенко сформулируем метод перебора вариантов для расчета реакций упруго податливых опор шарнирно опертой балки, свободно лежащей на этих опорах. Краевая задача для названной балки имеет вид [9]

Н Н—1

+у{В1+1-Вг), г £ 2 : п — 1.

к

к=1

III I/ 9 ГЛ

го - 1р + п.фф = 0; Ц0) = ю(1) = 0, 1щ"(0) + ф'(0) = гп"(1) + ф'(1) = 0.

(3-1)1

(3-1)2

Граничные условия (3.1)2 выполняются, если положить

оо

оо

Обозначим множество номеров активных опор через [К]. Тогда второе слагаемое в левой части уравнения (3.1)1 можно записать в виде

ке[к]

Раскладывая нагрузку в ряд Фурье:

оо

я(х) = У^ дт эт

т=1

2 Г1

Ят — у / д

I «/о

в соответствии с формулами (3.1) — (3.4) получаем

^ 2 _>

= ~ Ш1 ^

/се [к]

где

сг0(х) = > -—^-втт+х,

Л т1 т=1 *

сгЦх) = > ----А-Бтт*х.

, т1 т=1 *

Учитывая, что = с^(х^), г Е окончательно на основании (3.5) имеем

Я/с^Д, + у ЯкСТк

/се [к]

В связи с тем, что заранее неизвестно, от каких опор отходит балка, можно использовать алгоритм перебора множеств активных опор [К]. При этом для каждого варианта [К] должны быть выполнены условия:

- односторонности действия опор

Яг > 0 \/г Е [К]] (3.7)1

- совместности прогиба и реакции

wi<0 при ГЦ = 0 Уг Е [К]. (3.7)2

Алгоритм перебора вариантов активных опор основан на предположении, что их совокупность, удовлетворяющая условиям (3.7), является единственно возможной. Принимая во внимание, что система уравнений (3.1) является нелинейной, следует убедиться в единственности ее решения.

Предположим, что при одних и тех же параметрах конструкции и условиях её нагружения краевая задача

9' = в'

обеспечивает единственность решения рассматриваемой краевой задачи. Очевидно, что из (3.8) следует равенство изгибающих моментов М{х) = М(х).

Отсюда получаем

Як —

¿М, ¿М,

|ж=Ж/г+0 7 \х=Х}г— О

с1х с1х

~~ ¿х |ж=ж/г+0 ¿х |ж=ж/г_0 ~~ ^ '

где к £ 1 : п - реакции активных упругих опор:

Як = ски)к, Як = скуок.

Таким образом, из выражений (3.9), (3.97) следует равенство прогибов балки над опорами

и)к+ = Ук е 1 : п

Вычитая продифференцированное второе уравнение (3.1)1 из первого, получим

п

-¡лБф' = 5 - скЫ+5(х - хк) к=1

или

п

^(ф' - ф') = - йк+)5(х - хк) = 0,

к=1

т.е.

ф'

Наконец, из условия (3.8) имеем

" ' Т' ГЛ

ш — ш — гр — гр — О,

следовательно справедливо равенство ъи — уо — Ах + где А, В - константы. Однако в соответствии с граничными условиями (3.1)2 следует положить А — В — 0. Тем самым приходим к искомому результату

IV ( х ) = ъи( х ).

Теперь докажем от противного справедливость условия (3.8), при котором краевая задача (3.1) имеет единственное решение, т.е. предположим, что в' ф в'.

Введем в рассмотрение функцию

1 п 1 п (ги

Ф(гиь .., гуп) = - скЫкЫк+ = - ^2 п '

к=1 к=1 I '

> ° .

тк< 0

Функция Ф £ Яп является выпуклой и непрерывно дифференцируемой по всем переменным, причем на основании (3.12) имеем

<9Ф

-— = скгик+.

диик

Условие выпуклости дифференцируемой функции можно записать так:

п

Ф

/с=1

Справедливы также следующие легко проверяемые неравенства:

0'2 _ = _ + _ ¿у > 20> _ ^

ф2 -ф2> 2ф

Полная потенциальная энергия для рассматриваемой задачи имеет вид [9]

1 Г1 п

П(ги, <ф) = - [ЕЮ'2 + - дм + ^ с^2 -

2 г=1

На основании соотношений (3.14), (3.15) интегрированием по частям с учетом уравнений (3.1) получаем

П(ги, ф) - П>

л

п

+ Ск^°к йк)йк+5(х - хк)](1х = к=1

= [ [Е1в' (-и)" +гп") - д(ии - гп) +

Л

п

+ ски)к+(уо — и))5(х — хк)]с1х+ к=1

+ [ [Е19'(ф' - ф') + ^(ф - ф)]йх = ¿о

Г1 ~ п

= I [—М" - д + ^ скъик6(х - хк)]{ги - ъи)с1х+

^ к=1

+ [ (-М' + - ф)(1х = 0 Jo

или

> П

Меняя в приведенных выше рассуждениях местами функции с тильдами и без них, будем иметь

Щгй, ф) > П

Из несовместимости неравенств (3.16) и (3.17) следует справедливость равенства (3.8).

4. Результаты численного эксперимента

Авторами проводился довольно обширный численный эксперимент с использованием балок различных стандартных профилей, который показал, что при учете поперечных сдвигов по модели Тимошенко множество активных опор, вообще говоря, шире, чем рассчитываемое по классической теории.

Это обстоятельство было вполне ожидаемым, так как учет поперечных сдвигов приводит к уменьшению жесткости балки.

Приведем здесь результаты численных расчетов для наиболее показательного случая балки кольцевого поперечного сечения (ГОСТ 10704-91, профиль D х s = 215 х 4; Е = 2.1 • 106 кГ/см2, v = 0.28, / = 3122.24 см4, S = 27 см2).

Принимались следующие варьируемые параметры: I = 800 см, Cj = = 2 • 1015 кГ/см, q = 25 кГ/см.

Параметр шага а метода обобщенной реакции подбирается путем проведения предварительного численного эксперимента, результаты которого показаны в табл. 1 соответственно для классической теории балок, основанной на гипотезе И.Бернулли (£?), и для теории, уточненной по Тимошенко (Т).

Таблица. 1. Выбор параметра a для метода обобщенной реакции

a Число итераций

В Т

5•10"8 3912 6910

1 • Ю-7 1831 3395

2 • Ю-7 812 1538

4 • Ю-7 102 467

6•10"7 32 163

6.1 • Ю-7 29 161

6.5 • 10"7 53 170

7-10"7 81 303

С тем, чтобы четче оттенить различие решений по классической и по уточненной теориям, рассматривались следующие два случая симметричного расположения опор относительно середины балки:

г) по две дополнительные опоры вблизи каждого из концов шарнир-но опертой балки;

И) одна опора в середине балки и две вблизи от нее.

Результаты вычислений реакций по различным методикам представлены в табл. 2 и 3.

Таблица 2. Результаты расчетов для балки кольцевого сечения

Метод расчета Координаты расположения опор

х0 = 0, х5 = 800 х\ = 135, Х4 = 665 ж2 = 220, ж3 = 580

Метод обобщенной реакции (классическая теория) 1678.98 0 8321.02

Метод обобщенной реакции (теория Тимошенко) 1618.46 200.02 8181.52

Теорема о трех моментах (классическая теория) 1678.98 0 8321.02

Теорема о трех моментах (теория Тимошенко) 1618.46 200.02 8181.52

Оболочечный аналог теоремы о трех моментах 1686.96 0 8313.04

Метод перебора вариантов (классическая теория) 1678.98 0 8321.02

Метод перебора вариантов (теория Тимошенко) 1618.68 199.29 8182.03

Таблица 3. Результаты расчетов для балки кольцевого сечения

Метод расчета Координаты расположения опор

хо = 0, х4 = 800 XI = 270, х3 = 530 ж2 = 400

Метод обобщенной реакции (классическая теория) 2721.61 7278.39 0

Метод обобщенной реакции (теория Тимошенко) 2746.32 7102.38 302.62

Теорема о трех моментах (классическая теория) 2721.61 7278.39 0

Теорема о трех моментах (теория Тимошенко) 2746.32 7102.38 302.62

Оболочечный аналог теоремы о трех моментах 2726.82 7273.18 0

Метод перебора вариантов (классическая теория) 2721.61 7278.39 0

Метод перебора вариантов (теория Тимошенко) 2746.24 7102.88 301.75

Рис.3. Прогиб балки для случая четырех подкрепляющих опор

На рис. 3 и 4 иллюстрируется различие линий изгиба по классической и уточненной теориям.

/ ш Ъ) ^ ___^_у ^

* / ^ / V /

^ / V /

Рис.4. Прогиб балки для случая трех подкрепляющих опор

Литература

1. Михайловский Е.И., Никитенков В.Н. Прочностный анализ и оптимизация элементов конструкции автоклавов строительной индустрии. - Отчет о НИР. 1983. Ч.1.- 117 с. Ч.2.- 200 е.- Деп. ВИНИТИ, инв. № 028300337558.

2. Михайловский Е.И., Никитенков В.Н. Создание отраслевой подсистемы САПР „Горизонтальный автоклав" (автоматизация инженерных расчетов на стадии технического проектирования). - Отчет о НИР. 1990. Ч.1.- 262 е.- Деп. ВИНИТИ, инв. № 0286.0082222

3. Михайловский Е.И., Никитенков B.JI., Тарасов В.Н. Определение реакций упруго податливых опор одностороннего действия под сосудами давления // Строит, мех-ка и расчет сооружений.- 1986.-№3.- С. 54-58.

4. Михайловский Е.И., Никитенков B.JT. Аналог теоремы о трех моментах в теории оболочек // Прикладная механика.- 1984.- Т.20.-№.- С. 65-70.

5. Новожилов В.В., Черных К.Ф., Михайловский Е.И. Линейная теория тонких оболочек.- JL: Политехника, 1991.- 656 с.

6. Михайловский Е.И. Расчленение грничных условий на подкрепленном крае оболчки // Исслед. по упругости и пластичности. - JI. : Изд-ео Ленингр. ун-та, 1969. - С. 321-326.

7. Михайловский Е.И., Тарасов В.Н. Метод решения контактных задач с неизвестной областью взаимодействия . - Новожиловский сб. (сб. трудов, посвящ. 80-летию акад. В.В.Новожилова). - СПб: Судостроение, 1992. - С. 17-26.

8. Михайловский Е.И., Тарасов В.Н. О сходимости метода обобщенной реакции в контактной задаче со свободной границей // РАН. ПММ. - 1993. - Т. 57, вып. 1. - С. 128 - 136.

9. Михайловский Е.И. Математические модели механики упругих тел. - Сыктывкар: Изд-во Сыкт. ун-та, 2007.- 516 с.

Summary

Mikhailovskii Е. I., Mironov V. V., Podorov V. R. Contact free boundary problem for beams and discrete elastic foundation

The influence of the accounting of transverse shifts on the solution of contact problem for beams and supports of the unilateral action. A generalization to the case of beams, bent on the theory of Timoshenko, the method of enumeration of sets of active supports, based on the proof of the uniqueness of solutions of the nonlinear contact problem and the equations of the analytical version of the so-called theorem of three moments. Keywords: contact sum, free boundary, beam, discrete foundation, transverse shears, generalized reaction

Сыктывкарский государственный университет Поступила 1.03.2011