Вычисление подграфа максимальной псевдоплотности

На основании проведенных исследований нами доказана следующая теорема.

Теорема. Пусть функции P(x,y,u,v), Q(x, y, u, v) дважды непрерывно дифференцируемы по всем аргументам, P > p0 > 0, Q > q0 > 0, ф(х), y(x) е С(2)(^). Тогда задача Коши (1), (2) для системы Франкля в гиперболическом случае при 0 < y < Y* имеет единственное ограниченное, диф-ференцируемоерешение u(x, y), v(x,y) е е при этом функции u(x, y), v(x, y) определяются из системы интегральных уравнений (14).

СПИСОК J

1. Франкль, Ф.И. Избранные труды по газовой динамике [Текст] / Ф.И. Франкль. — М.: Наука, 1973. — 712 с.

2. Рождественский, Б.Л. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике [Текст] / Б.Л. Рождественский, Н.Н. Яненко. — М.: Наука, 1968. - 592 с.

3. Alekseenko, S.N. A basic scheme to investigate two first order quasi-linear partial differential equations [Текст] / S.N. Alekseenko // Analytical and Approximate Methods / H.-P. Blatt, R. Felix, L.G. Lelevkina, M. Sommer (Eds.) International Conference at the Kyr-gyz-Russian-Slavic University. Bishkek — Aachen: Shaker Verlag. — 2003. — P. 1 — 14.

4. Алексеенко, С.Н. Локальное существование ограниченного решения системы Франкля в гиперболическом случае [Текст] / С.Н. Алексеенко, Т.А. Шемякина, К.Г. Круц // Исследования по ин-тегро-дифференциальным уравнениям. — Бишкек: Илим, 2006. — Вып. 35. — С. 142—147.

5. Шемякина, Т.А. Построение расширенной характеристической системы для системы Франкля в гиперболическом случае [Текст] / Т.А. Шемякина // Труды Средне-Волжского матем. об-ва: докл. III Междунар. науч. школы. — Ульяновск, 2007. —Т. 9. — № 1. — С. 264—273.

Итак, полученные в данной работе результаты свидетельствуют об эффективности применения метода дополнительного аргумента к исследованию условий разрешимости и построению численных решений для систем квазилинейных дифференциальных уравнений в частных производных первого порядка.

Автор выражает благодарность ведущему научному сотруднику профессору А.П. Качалову из лаборатории математических проблем геофизики ПОМИ им. В.А. Сте-клова РАН за полезные дискуссии.

6. Шемякина, Т.А. Условия существования и дифференцируемости решения системы Франкля в гиперболическом случае [Текст] / Т.А. Шемякина// Журнал Средне-Волжского матем. об-ва. — 2011. — Т. 13.- № 2.- С. 127-131.

7. Шемякина, Т.А. Численное решение задачи Коши для системы Франкля на основе метода дополнительного аргумента [Текст] / Т.А. Шемякина // Матер. XVII Междунар. конф. по вычислительной механике и современным прикладным программным системам (ВМСППС'). -М.: Изд-во МАИ-ПРИНТ, 2011. - С. 669-672.

8. Алексеенко, С.Н. Построение расширенной характеристической системы уравнений для частного случая системы Франкля эллиптического типа [Текст] / С.Н. Алексеенко, Т.А. Шемякина // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. - 2009. - №3 (83). - С. 73 -82.

9. Шемякина, Т.А. Примеры решения задачи Коши для некоторых вариантов системы Франкля эллиптического типа [Текст] / Т.А. Шемякина // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. - 2011. - № 4 (134). -С. 191-197.

УДК 519.1

А.М. Магомедов, Т.А. Магомедов ВЫЧИСЛЕНИЕ ПОДГРАФА МАКСИМАЛЬНОЙ ПСЕВДОПЛОТНОСТИ

Среди основных направлений исследований в теории графов паросочетания занимают одно из основных мест. Тесные связи теории

паросочетаний с задачами о раскрасках и назначениях с оптимизационными проблемами и задачами расписаний привлекают к ней много-

численных исследователей. При этом широко используются конструкции и подходы из теории NP-полных задач. Как известно, методы теории графов успешно используются для исследования задач расписаний (см., например, [1, 2]).

В данной работе паросочетания выступают в качестве связующего звена между задачей вычисления псевдоплотности графа и задачей о непрерывном расписании минимальной длительности.

В статье используются обозначения и определения, принятые в монографии [3].

Задача вычисления псевдоплотности графа

Максимум отношения числа ребер к числу вершин подграфа графа G обозначим через density(G). Наименьшее целое число, не меньшее, чем density(G), будем называть псевдоплотностью графа G и обозначать ps(G). В работе [4] построен алгоритм, который позволяет для графа G= (V, E) (|V| = n, |E| = /) вычислять density(G) за время

M(n,n + l)logn,

Такое построение справедливо в том и только в том случае, если ребро e¡ и вершина Vj инцидентны в графе G.

Пусть ) обозначает множество вершин, смежных в графе G1 с вершинами множества S с Х1. Тогда, очевидно,

ps(G) =

max-

\s\

* с xl\r1(S )|

где М(х, у) — время нахождения пропускной способности минимального разреза в сети с х вершинами и у ребрами.

Особенностью принятого в уже упомянутой работе [4] подхода является внимание лишь к мощностным характеристикам графа (п и I), в то время как индивидуальные особенности графа никак не влияют на качество алгоритма, и даже весьма простая структура графа не способствует улучшению приведенной оценки.

В следующем разделе изложен подход к вычислению ps(G), а точнее — к проверке неравенства ps(G) < р для заданного натурального р. В заключительном разделе показано применение предложенного подхода к проверке условий существования непрерывного расписания.

Сведение задачи к вычислению паросочетаний в двудольных графах

Для заданного графа

G=

построим двудольную интерпретацию графа Gx = (Хх, 71, Е1):

Х1 = {хР ...,х1}; 71 = {у^ .,Уп};

йв1 х = е X; (х, у3) е Ех.

Для целого положительного р определим граф

G

следующим образом: положим X(р) = Х1 и выполним замену каждой вершины у е^ и всех инцидентных ей в графе G1 ребер (хх,у), ..., (хк,у) на конструкцию из р новых вершин у1;..., ур е Y(р) ирк новых ребер:

Х,у)еЕ(р); } = 1,...,к; I = 1,..., р.

Множество вершин, смежных в графе G(р) с вершинами множества S с X(р), обозначим Г( ). Поскольку

то условия

\Г( p)(S )\= p\rx(S )\, |S|

< p

VS с X1

\ri(S )\

равносильны условиям

— < 1 VS с X , \г( p)(S )\ -

которые, согласно теореме Холла [1], являются условиями существования в графе (3) полного паросочетания множества X(p) с множеством Y(p). Таким образом, вычисление ps(G) сводится к определению в множестве {1, ..., n} наибольшего элемента p, для которого в графе (3) существует полное паросочета-ние множества X^) с множеством Y^). Применение дихотомии приведет к появлению в оценке сомножителя logn , аналогичного сомножителю в оценке (1).

Напомним, что вычисление максимального паросочетания в двудольном графе из k вершин

может быть выполнено за время O

5 Л

к2

[5].

Применение к задаче оптимизации расписания

Пусть исходные данные к расписанию обслуживания п требований в системе из I приборов заданы в виде графа (2). Если = (ук, ^), то обозначим щ = (у,к); семейство наборов юг-, / = 1,..., I, обозначим П . Каждый прибор i должен выполнить точно одну операцию с каждым из требований (необязательно различных) из набора щ. Предполагается, что длительность каждой операции равна единице, порядок выполнения операций произволен (условия предшествования отсутствуют); кроме того, запрещается одновременное обслуживание одним прибором более одного требования и одного требования - более чем одним прибором.

Задача о существовании непрерывного расписания, соответствующего исходным данным. Существует ли матрица TизI строк и А столбцов с элементами из множества {0,1, 2,..., п}, такая, что ненулевые элементы в каждом столбце матрицы попарно различны, в каждой i-й строке ненулевые элементы образуют набор щ и располагаются в соседних ячейках строки?

(Через А обозначена максимальная степень вершины в графе б).

И н т е р п р е т а ц и я . Если Т у = к , то при к > 0 прибор i в момент времени j выполняет операцию над требованием

при к = 0 прибор i в момент времени j не обслуживает ни одного требования.

При I > 2 и отсутствии ограничений на количество требований, предписанных отдельным приборам, в работе [6] доказана NP-полнота задачи о существовании непрерывного расписания (см. также [7]).

Приведем равносильную формулировку задачи в терминах реберной раскраски графов: требуется проверить возможность раскраски А цветами ребер двудольного представления Gl = (Е1) графа б так, чтобы

для каждой вершины х1 е X цвета инцидентных ребер отличались точно на единицу;

для каждой вершины у у е Yx все инцидентные ребра имели разные цвета.

Вопросы NP-полноты проблемы в общем виде рассмотрены в работе [8]. Для четных А непрерывное расписание всегда существует [9]. Мы рассматриваем случай, когда А нечетно, А = 2 р +1. Развернутый обзор по данному вопросу можно найти в работе [10].

Для непрерывного расписания введем следующие обозначения: N (П') - количество различных чисел в наборах из подсемейства П ' с П; П' - подсемейство, образованное в П ' наборами, один из элементов каждого из которых расположен в столбце с номером 2г; [ = 1,..., р . Легко видеть, что

I=1,..., р

Другими словами, для существования непрерывного расписания необходимо выполнение условий

p Vn 'сП.

N

Эти условия равносильны условиям (4). Таким образом, мы показали, что проверка условий (5) сводится к вычислению ps(G). Кроме того, условия (5) являются и достаточными для существования непрерывного расписания; случай р = 2 рассмотрен в работе [11], а случай произвольного натурального р - в работе [12].

Итак, в работе рассмотрено применение нового подхода к эффективному вычислению подграфа с максимальной псевдоплотностью для решения задачи о непрерывном расписании.

Работа выполнена при финансовой поддержке средствами Технического задания № 1.1923.2011 1949.2011.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Even, S. On the complexity of timetable and integral multi-commodity flow problems [Text] / S. Even, A. Itali, A. Shamir // SIAM J. on Comp. — 1976. — Vol. 5. — No. 4. — P. 691—703.

2. Магомедов, А.М. Расслоение множества ребер двудольного графа [Текст] /А.М. Магомедов // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Физико-математические науки. — 2010. — № 4 (109). — С. 150 —155.

3. Свами, М. Графы, сети и алгоритмы [Текст] / М. Свами, К. Тхуласираман. — М.: Мир, 1984. — 454 с.

4. Goldberg, A.V. Finding a maximum density subgraph [Текст] / A.V. Goldberg / / Technical Report Identifier: CSD—84—171. — 12 p.

5. Hopcroft, J.E. An nA5/2 algorithm for maximum matching in bipartite graphs [Текст] / J.E. Hopcroft, R.M. Karp // SIAM J. Comput. — 1973. — Vol. 2. — P. 225—231.

6. Танаев, В.С. Теория расписаний. Многостадийные системы [Текст] / В.С. Танаев, Ю.Н. Сотсков, В.А. Струсевич. - М.: Наука, 1989. - 328 с.

7. Магомедов, А.М. Непрерывное расписание для специализированных процессоров без отношения предшествования [Текст] / А.М. Магомедов // Вестник Московского энергетического института. — 2009. — № 5. — С. 14—17.

8. Визинг, В.Г. Жесткая раскраска инциденторов неориентированного мультиграфа [Текст] / В.Г. Визинг // Дискретный анализ и исследование операций. — 2005. — Сер. 1. — Т. 12. — № 3 — С. 48—53.

9. Магомедов, A.M. Уплотнение расписания с директивным сроком, кратным количеству занятий каждого преподавателя [Текст] / А.М. Магоме-

дов // Математические заметки. — 2009. — № 1.-C. 65-72.

10. Визинг, В.Г. Задача раскраски инциденторов мультиграфа [Текст] / В.Г. Визинг, А.В. Пяткин // Матер. Рос. конф. «Дискретный анализ и исследование операций». Новосибирск, 28 июня — 2 июля 2004 г. — Новосибирск: Изд-во Ин-та математики, 2004. — C. 6—11.

11. Магомедов, А.М. Условия существования непрерывных расписаний длительности пять [Текст] / А.М. Магомедов, А.А. Сапоженко // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 15. Вычислительная математика и кибернетика. — 2010. — Т. 34. — № 1. — С. 39—44.

12. Магомедов, A.M. Условия существования непрерывных расписаний [Текст]: автореф. дис. ... д-ра ф.-м.н. / А.М. Магомедов // М.: ВЦ РАН. — 2011. — 30 с.

УДК 531

М.Р. Петриченко

РАСЩЕПЛЯЮЩИЕ РАЗЛОЖЕНИЯ В ПРЕДЕЛЬНЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ ОБЫКНОВЕННЫХ КВАЗИЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

Решение предельных задач для обыкновенных уравнений с помощью рядов известно как метод разложения по параметру. В задачах с физико-механическим содержанием роль параметра играет какой-либо масштаб предельной задачи. Важную роль играют предположение о малости (о порядке малости) параметра разложения, определение радиуса сходимости по параметру функционального ряда, а также метод (аналитического) продолжения решения за пределы круга сходимости. Первое предположение использует, как правило, физическую интуицию исследователя. Определение радиуса сходимости ряда по параметру связано с изучением предельных значений коэффициентов-функций разложения. Наибольший интерес для приложений представляет продолжение решения. Изучение сходимости разложений по малому параметру и техника вычисления периодических решений га-мильтоновых систем с параметром по Пуанкаре

приводится в известном курсе К.Л. Зигеля (см.

[1], с. 169—185). О решениях, представляемых рядами, в исторической ретроспективе подробно написано в главе XVI известного учебника

[2]. Принципиально новый подход к проблеме продолжения решений предложен С. Каплуном. Теорема продолжения Каплуна утверждает следующее [3]: пусть/(х; е) — функция, заданная на множестве Е, D/) = Е, и такая, что

Тогда

f (х, е) — 0, Vx еЕ.

£—^+0

3 Ее, mes(E£AE) <с(е) — 0

£—+0 е.

/(х, е) ^ 0, Ух еЕе.

Иначе говоря, в теореме Каплуна речь идет о продолжении функции на более широкое множество без увеличения нормы. Согласно