Математическое моделирование физических полей в функционально-градиентных материалах

№ 5 травень 2011

Висновки. За результатами досліджень можна зробити такі висновки:

1. Зі зростанням змінних параметрів міцність конструкції зменшується;

2. За всіма варіантами міцність із забезпеченістю 0.99865 на перевищує міцність, яка була розрахована відповідно до діючих нормативних документів;

3. Коефіцієнт безпеки для розглянутої конструкції не перевищує нормативний, що вказує на те, що елемент є надійним, задовольняє умові міцності при врахуванні міцнісних характеристик матеріалів та геометричних характеристик елемента.

Розроблений алгоритм дозволяє визначити міцність конструкції та врахувати нормовану та фактичну змінності міцності матеріалів, геометричні характеристики елемента і може бути використаний для оцінки надійності позацентрово стиснутих залізобетонних елементів.

ВИКОРИСТАНА ЛІТЕРАТУРА

1. Вентцель Е. С. Теория вероятностей. - М.: Наука, 1968. - 350 с.

2. Савицкий Н. В. Основы расчета надежности железобетонных конструкций в агрессивных средах / Дисс. докт. техн. наук. - ДИСИ - НИИЖБ, 1994. - 400 с.

3. Тищенко Е. А. Надежность перекрытий из мелкоразмерных железобетонных элементов по прочности сечений, нормальных к продольной оси / Дисс. канд. техн. наук: 05.23.01. - Днепропетровск, 2002. - 120 с.

4. Шевченко Т. Ю. Прогнозування надійності залізобетонних конструкцій логіко-імовірнісним методом / Дисс. канд. техн. наук: 05.23.01. - Д., 2008. - 174 с.

5. ГОСТ 8829-94. Изделия строительные бетонные и железобетонные заводского изготовления. Методы испытании нагружением. Правила оценки прочности и жесткости и трещиностойкости. - М.: МНТСК, 1998. - 27с.

6. СНиП 2.03.01-84*. Бетонные и железобетонные конструкции / Госстрой СССР. - М.: ЦИПТ Госстроя СССР,1989. - 80 с.

УДК 539.3

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ФИЗИЧЕСКИХ ПОЛЕЙ В ФУНКЦИОНАЛЬНО-ГРАДИЕНТНЫХ МАТЕРИАЛАХ

А .А. Дисковский, к. т. н., доц ., Е. И. Прудько, к. т. н., асс.

Ключевые слова: функционально-градиентные материалы, асимптотический метод осреднения, стационарное температурное поле.

Постановка проблемы. Функционально-градиентные материалы (ФГМ) — сплавы, состоящие из твёрдых зёрен и металлической связки, содержание которых непрерывно изменяется в объёме материала. В результате ФГМ-материалы обладают свойствами как твёрдого сплава, так и металла, то есть имеют высокую твердость и большую ударную вязкость. Благодаря этим свойствам, а также высокой термической стойкости, ФГМ-сплавы могут эффективно использоваться в военной технике, металлообработке, горнодобывающей, перерабатывающей промышленности и т. д. [Википедия]. Современные технологии создания функционально-градиентных материалов с заданными свойствами обуславливает необходимость заранее представлять, какую структуру должен иметь создаваемый материал с тем, чтобы обладать требуемыми свойствами. Решение проблемы опирается на эффективное моделирование физических полей в неоднородных материалах с произвольно изменяющимися по одной или нескольким координатам свойствами.

Анализ последних исследований и публикаций. Различные поля: деформаций,

напряжений, температур в конструкциях из функционально-градиентных материалов описываются дифференциальными уравнениями с квазипериодическими коэффициентами. Для решения дифференциальных уравнений с периодическими коэффициентами был разработан асимптотический метод осреднения, например, в работах [1; 2]. В работе [3] этот метод применяется для расчета периодически неоднородных композитных материалов с учетом микромеханических эффектов. В работах [4; 5] были предложены модификации метода осреднения для расчета квазипериодических структур. Эти модификации применимы и для расчета физических полей в функционально-градиентых материалах.

25

Вісник ПДАБА

Целью статьи является оценка точности и определение области применимости предложенного в работе [4] метода при расчете полей в функционально-градиентных материалах. Для этого рассматривается частная задача, допускающая точное решение.

Изложение материала.

1. Постановка задачи, точное решение. Рассмотрим стационарное температурное поле в стержне из функционально-градиентного материала при наличии источников, распределенных по закону q(x). Это поле описывается следующей краевой задачей:

d {a №

dx у _ є

du

dx

q(x),

u(0) = u(1) = 0.

Здесь a(x) - коэффициент теплопроводности, периодическая функция с периодом 1; є<<1; f ( x) - функция, характеризующая градиентность материала. При этом градиентность

достигается за счет функциональной переменности размеров зёрен. Нетрудно найти приближенное выражение для переменного шага ячеек неоднородности T (x):

є = A f (x) « f '(x)A; T = Ax

f '(x) '

Таким образом, если f'(x) > 1, то шаг неоднородностей уменьшается, если 0 < f'(x) < 1 -увеличивается. Если f ’ (x) ~1, градиентность материала можно считать малой.

На рисунке 1 показано, как меняются границы ячеек неоднородности x1,x2,x3,... для произвольно заданной функции y = f (x), прямая 1 (y = x) соответствует регулярной

структуре.

Рис. 1 Номограмма изменения границ ячеек неоднородности

Из рисунка 1 и формулы

при которых количества ячеек неоднородности будет постоянным:

f

f ’

Решение уравнения (1) легко находится двукратным интегрированием:

u С> +J q(x)dxdx + C ,

J ҐЛ*)Л 2

є

где Cj, С2 - произвольные постоянные интегрирования, определяемые из граничных условий (2).

Отметим, что хотя решение уравнения (1) и получено в квадратурах (5), но входящие в это выражения интегралы не находятся аналитически для многих функций a(x) и f(x). При этом

26

№ 5 травень 2011

получить численное решение также затруднительно, во всяком случае, для доступных математических пакетов, из-за быстрой изменяемости функции . Предлагаемое ниже

асимптотическое решение таких недостатков лишено.

2.Асимптотическое решение. Асимптотическое решение краевой задачи (1), (2) для периодически неоднородной среды было получено в работе [1] с помощью метода

осреднения. Ниже для решения этой задачи применяется модификация этого метода для квазипериодической среды [4]. При этом будем предполагать, что градиентность материала мала:

Введем две переменные: п = х и %

f '

, которые будем считать независимыми. Тогда

є

производная по х запишется так:

d-А + fЬ)6

dx дп £ д% ’ ^

и вместо исходного обыкновенного дифференциального уравнения (1) получаем уравнение в частных производных. Его решение будем искать в виде разложения

и = и0

где и0,и1 - периодические по % функции с периодом 1.

Подставляя выражения (7), (8) в уравнение (1) и приравнивая члены при одинаковых степенях £, приходим к следующей рекуррентной системе уравнений:

А

д% _ _

д

a

д%

= 0;

f '(п)д%

i(%dUL

v’ д%

+ -

д%

,(%fn

дп

f '2 (п)—

уид%

\д 2ип

а(%)ди2

. д% _

+f

= 0; а(%)дП

дп

+ аЩ~

дп

f '

ди1

+

+ а(%)П = fa) дп

Из первого уравнения системы (9) следует, что и0 = и0 (ri). С учетом этого второе уравнение можно записать так:

Отсюда

f d а(%-р- _ д% _ = ^ (%)ди0 dq дп

ди1 1 ди0 . С1

д% Г

Постоянная интегрирования С1 (ц) определяется из условия периодичности функции

по%:

( ) Л dUo л

Ci (п) = а~Г~, а = dц

~\-1

1 а 1d%

ди1

Исключая производную —- из третьего уравнения системы (9), получаем:

д%

и

і

f '2 (п)д%

д%

ди2

і—2

д%

+ f '(пІа ^ '

+ а-

д2и

дп J дп2

= q •

27

Вісник ПДАБА

Применим к уравнению (11) процедуру осреднения, подействовав на каждый член

уравнения оператором j(...)d<^. Первые два слагаемых тогда обращаются в нуль в силу их

о

периодичности и, окончательно имеем:

д 2u0

і___0

дП

= q(n) •

Для уравнения (12) должно быть поставлено граничное условие:

и0 = 0 при п=0, 1.

Задача (12), (13) называется осредненной задачей. Она описывает тепловое поле в такой однородной среде, свойства которой близки к эффективным свойствам исходной неоднородной. Для периодически неоднородной среды это показано в работе [1]. Ниже это утверждение проверяется для квазипериодической среды.

В уравнении (12) не отражается кварегулярность неоднородностей, т. е. градиентность материала, и оно совпадает с осредненным уравнением, полученным в работе [1] для периодически неоднородной среды. Кварегулярность же учитывается при определении первой поправки к осредненному решению, которую находим из уравнения (10):

ui = f '(пУ1 J|a- a - 1j + C2 П) ’

где C2 находится из граничных условий задачи. Далее из уравнения (11) можно найти и2 и

т. д.

З.Примеры расчета, оценка точности. Асимптотические решения рассматриваемой задачи (1), (2) для периодической среды, приведенные в работах [1; 2], получены в общем виде, без числовых примеров. Это затрудняет наглядную оценку точности полученных решений и анализ влияния на неё величин, входящих в уравнение (1) параметров. Ниже приводятся числовые примеры расчета данной задачи для квазипериодической среды с помощью решения, описанного в пункте 2.

Подберем такой коэффициент теплопроводности, который легко интегрируется:

a =

_______1_______

1 + z sin22nnf (x)’

где n = 1/є = 1, 2,...; параметр z характеризует «величину» неоднородностей - соотношение величин характеристик, в данном случае коэффициентов теплопроводности, зёрен и материала связки. Отметим, что градиентность материала может обеспечиваться также и с помощью переменности этого параметра. Такой функционально-градиентный материал, при z = z(x) и f(x) = x, рассматривался в работе [5].

В дальнейшем принимается, что n = 5, при этом получаем десять осцилляций коэффициента а. Отметим, что в реальных конструкциях из функционально-градиентного материала таких осцилляций значительно больше, и это только повышает точность асимптотического подхода. Функция f(x), характеризующая градиентность, должна удовлетворять условиям (3), (4). В частности, эти условия будут выполняться если:

f(x) = ax2 + ^x, а+р= 1; 0<2ax+p ~1 на [0,1].

График коэффициента теплопроводности при z=1; f(x) = 0.4 x2 + 0.6 x приведен на рисунке 1

градиентности: f(x) = 0.4 x2 + 0.6 x; z=1

28

№ 5 травень 2011

На рисунке 2 приведено сравнение точного решения (5) и u0 решения

2

осредненного уравнения (12) при z=1; f(x) = 0.4 x + 0.6 x.

Рис. 2. Сравнение точного решения (кривая 1) и осредненного решения (u0 - кривая 2) при z=1; f(x) = 0.4 x + 0.6 x

Погрешность осредненного решения u0 существенно зависит от «величины» неоднородности, с ростом z погрешность увеличивается. Это показано на рисунке 3 при z = 5 и на рисунке 4 при z = 10

Рис. 3. Сравнение точного решения (кривая 1) и осредненного решения и0 (кривая 2) при z = 5

Рис. 4. Сравнение точного решения (кривая 1) и осредненного решения и0 (кривая 2) при z = 10

Таким образом, при немалой «величине» неоднородности в асимптотическом решении надо учитывать уточняющие поправки uh u2... .

При этом, как показано на рисунке 5, учет уже первой поправки и1 , определяемой по формуле (14), дает решение, которое практически совпадает с точным, настолько, что точное решение приходится изображать точками.

29

Вісник ПДАБА

Рис. 5. Сравнение точного решения (изображено точками) и уточненного осредненного

1

решения u0 +— u1 при z = 5 n

Причем, как показано на рисунке 6, точность решения u0 + 1u1 мало зависит от

«величины» неоднородности.

n

Рис. 6. Сравнение точного решения (изображено точками) и уточненного осредненного

решения u0 + 1u1 при z = 10 n

Ограничение на величину градиентности (6) существенно влияет на точность асимптотического решения. Рассмотрим f(x) = x2, z = 1, в этом случае условие (6) вблизи левой границы не выполняется. График коэффициента теплопроводности при рассматриваемых параметрах приведен на рисунке 7.

Рис. 7 Коэффициент теплопроводности при большой градиентности: f(x) = x2; z = 1

На рисунке 8 приведено сравнение точного решения (5) и u0 решения осредненного уравнения (12) f(x) = x2, z = 1.

30

№ 5 травень 2011

Рис. 8. Сравнение точного решения (кривая 1) и осредненного решения и0 (кривая 2) при f(x) = X, z = 1

Причем погрешность осредненного решения и0 не улучшается и при учете поправок и1, и2... . На рис. 9 показано сравнение точного решения и уточненного осредненного решения 1

и0 +—и1 при f(x) = X, z = 1.

Рис. 9. Сравнение точного решения (кривая 1) и уточненного осредненного решения

1 2 и0 +—иг (кривая 2) при f(x) = x , z = 1 n

Из рисунка 9 видно: как только градиентность коэффициента а уменьшается, а это происходит у правого края, точность асимптотического решения увеличивается.

Выводы. Проведенные исследования показали высокую эффективность применения разработанной в [4] модификации асимптотического метода осреднения для расчета различных полей в конструкциях из функционально-градиентного материала. При этом точность осредненного решения зависит от величины неоднородности - соотношения величин характеристик зерен и связывающего материала. Учет первой поправки к осредненному решению дает решение, близкое к точному для любой величины неоднородности. На точность асимптотического решения существенное влияние оказывает также величина градиентности. Метод дает хорошие результаты только для малой градиентности, в случаях, когда шаг неоднородности мало меняется на протяжении длины ячейки неоднородности.

Можно ожидать, что описанный метод исследования полей в ФГМ будет эффективен также и для решения более сложных задач: более высокого порядка, нелинейных, и т. д.

ИСПОЛЬЗОВАННАЯ ЛИТЕРАТУРА

n

1. Большаков В. И., Андрианов И. В., Данишевский В. В. Асимптотические методы расчета композитных материалов с учетом внутренней структуры. Днепропетровск: Пороги, 2008. - 196 с.

2. Andrianov I. V., Manevitch L. I., Oshmyan V. O. Mechanics of Periodically Heterogeneous Structures. Springer-Verlag, Berlin, 2002. - 386 p.

3. Andrianov I., Awrejcewicz J., Diskovsky A. Design of the non- homogeneous quasi regular structures. Advanced Problems in Mechanics of Heterogeneous Media and ThinWalled Structures. Dnipropetrovs’k, ENEM, 2010. - Р. 7 - 18

31

Вісник ПДАБА

4. Andrianov, I. V., Awrejcewicz, J., Diskovsky, A. A. Homogenization of quasiperiodic structures. Trans. ASME J. Vibr. Acoustics, 128 (4), 2006. - Р. 532 - 534.

5. Bakhvalov N., Panasenko G. Homogenization: Averaging Processes in Periodic Media. Mathematical Problems in Mechanics of Composite Materials, Kluwer, Dordrecht, 1989. - 352 p.

УДК 534.1

УСТОЙЧИВОСТЬ И КОЛЕБАНИЯ СОСТАВНЫХ СТЕРЖНЕЙ С УПРУГИМИ ШАРНИРАМИ

А. А. Брынза, к. т. н., доц.

Ключевые слова: упругие шарниры, обобщенные функции, свойство попарного сближения собственных частот при уменьшении жесткости упругого шарнира.

В работе рассматривается устойчивость и колебания составных стержней с упругими шарнирами. Подобные системы встречаются в машиностроении и строительстве, и их расчет является актуальной задачей. Для расчета составных стержней с упругими шарнирами применяется численно-аналитический метод, основанный на применении обобщенных функций.

1. Рассмотрим устойчивость составного стержня, состоящего из отдельных стержней одинаковой жесткости, соединенных между собой упругими шарнирами (рис. 1). Упругую постоянную этой связи обозначим kM . Ее можно определить как величину момента, который необходимо приложить к узлу, чтобы взаимный поворот концов примыкающих к нему стержней был равен 1.

Рис. 1. Упругий шарнир с жесткостью kM

Пусть такие шарниры имеются в сечениях х = Lt(i = 1,...,n) составного стержня.

Заменим дифференциальное уравнение изогнутой оси стержня системой уравнений

EI

EI0

где EI(х) - изгибная жесткость балки, EI0 - жесткость при х Ф Lt, Mх(х) - изгибающий момент.

Перемещение у(х) в общем случае может быть представлено в виде [1]:

у

i=1

где ~(х) - некоторая непрерывная в точках х = Li(i = 1,2,...,n) функция, имеющая

непрерывную первую производную по х в этих точках; Av (Lt) = v (Ц + 0) - v (Ц - 0) -

взаимный угол поворота сечений справа и слева от i - го шарнира, а

V Т , / т , А^'(х - Li) при х > Li „ „

Av (х - Lt )а0( х - Li) = < - линейный сплайн.

[ 0 при х < Lt

Дифференцируя соотношение (1.2) дважды по х, получаем

v '' = v '' + ZAv (Ц)а 1( х - Li),

i=i

где <71(х - Lt) - импульсивная функция первого рода или 5-функция Дирака.

Подставляя это значение в равенство (1.1), находим:

32