Эргодические свойства стохастических динамических систем с бесконечно малым шумом

УДК 519.9

ЭРГОДИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА СТОХАСТИЧЕСКИХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С БЕСКОНЕЧНО МАЛЫМ ШУМОМ

В.Г. Шарапов

В статье изучается влияние бесконечно малого редкого шума на эргодиче-ские свойства стохастических динамических систем. Это влияние сравнивается с влиянием малого шума. Например, существует малый шум, приводящий точные стохастические динамические системы в неточные, а бесконечно малый шум всегда оставляет точные системы точными.

Пусть X — пространство Лебега, то есть вероятностное пространство, метрически изоморфное отрезку [0,1) с мерой Лебега. Стохастическая динамическая система — это четверка (X, F, ß, T), где (X, F, ß) — пространство Лебега, а T — сохраняющее меру преобразование, то есть это сюръективное отображение T : X ^ X такое, что VA е F T-1A е F и ß(T-1A) = ß(A).

Наиболее важными эргодическими свойствами стохастических динамических систем являются: неэргодичность, эргодичность, перемешивание, K-свойство (точность для эндоморфизмов).

Сохраняющее меру преобразование T называется эргодическим, если оно имеет только тривиальные инвариантные множества, то есть равенство T-1A = A возможно только при ß(A) = 0 или ß(A) = 1. Равносильные условия:

1) траектории точки x е X с вероятностью 1 плотны в X [1];

2) ß( и TnA =1 VA е F с ß(A) > 0 [2].

\n=0 /

Сохраняющее меру преобразование T называется перемешивающим, если lim ß(T-nA П B) = ß(A)  ß(B) VA, B е F.

n—

OO

g Сохраняющее меру преобразование T называется автоморфизмом, если оно вза-

*7 имно однозначно, и T-1 — также сохраняющее меру преобразование. g Сохраняющее меру преобразование T называется эндоморфизмом, если оно не

^ взаимно однозначно. Эндоморфизм T точный, если lim ß(TnA) = 1 VA е F с

g n—

g ß(A) > 0. Точный эндоморфизм является перемешивающим [3].

Будем говорить, что стохастическая динамическая система подвержена местно-. му малому редкому шуму или шуму 1-го рода, если преобразование T в отдельные из' моменты заменяется на другое преобразование S, мало отличающееся от T по мет-@ рике d(S, T) = ß{x : Sx = Tx}. Можно считать, что в эти моменты действует

преобразование T, а затем — преобразование S такое, что

^{х : Sx = x} < є

для некоторого є > 0.

Будем говорить, что стохастическая динамическая система подвержена равномерному малому редкому шуму или шуму 2-го рода, если вместо T действует S такое, что

Если в (1) и (2) вместо є поставить єп, n — номер шума, и предположить, что

єп ^ 0 при n ^ то, то шум будем называть бесконечно малым шумом.

Пусть T — точный эндоморфизм. Можно показать, см. [4], что для сколь угодно малого є ^ 0 и некоторого числа n можно выбрать измеримые множества E, TE, ...,Tn-1E так, чтобы было E = T-n+!(T”-1E) и ^(E) = ^(TE) = ... = ^(T”-1E) = є/2, E П TnE = 0. Заменяем на n-м шаге преобразование T на S, равное T на множестве X\(Tn—1 E U T-1E) и равным произвольным изоморфизмам Tn—1 E на E и T-1E на TnE. Это будет шум первого рода, который превращает точную стохастическую систему в неточную. Действительно, обозначим для удобства последовательные преобразования Tsm, Ts2m,..., где 3n0 такое, что TSm = Tn0, Tnm+1 = STn0, Tnm+2 = TSTn0,..., Ts2m0+2 = STn0 STn0, ...(для бесконечно малого шума такая последовательность записывается с заменой S на Sk, например, T2m+2 = S2T”0S1T”0). Тогда lim ^(T^E) = є вместо lim ^(T^E) = 1 и даже

n—x n—x

n—1

неэргодическую (lim ^( U Ts*mE) = п0є < 1).

n——<x ¿=0

Если же шум будет бесконечно малым, то так как єп ^ 0, какое бы малое множество A положительной меры не взять, при достаточно малом єп выполняется lim MTsnmA) = 1, то есть система остается точной.

ГО^-Х

2x i mod 1) + 1, 0 ^ x < I Теперь возьмем эндоморфизм T = ^ 2x ( mod 1 ) + |, 1 ^ x < 2 .

2x (mod|) , 2 ^ x < 1

Возьмем подмножество A меры £ отрезка [2, 1). Тогда T-1A С [0, 1), T-2A С [1, 2). Обозначим E = T-2A. Получим ^(E) = ^(TE) = ^(T2E) = £.

На третьем шаге будем считать S = T на X\(T2E U T-1E) и произвольный изоморфизм, переводящий T2E в E и T-1E в T3E. Тогда стохастическая система

становится неэргодической, так как lim ^( U Ts*mE) = 3£ = 1.

n^-x i=1

n

Если же взять бесконечно малый шум, то будет lim ^( U T*,mE) = 1, система

n^-x i=1

остается эргодической.

Пусть теперь шум состоит в том, что периодически меняются местами два отрезка [а*, b*], i = 1, 2, равной меры меньше £ >0. Применим этот шум к предыдущему примеру. Если оба отрезка [а*, b*], i = 1, 2, расположены в одном из множеств [0, 3) , [1, 2) , [2, 1), то система остается эргодической; если в разных, то система становится точной. Переход от малого шума к бесконечно малому не меняет действия шума.

{2x ( mod 1 j , 0 ^ x < 3

2x ( mod 1 j + 1, 3 ^ x < 2 .

2x (mod3) + 2, 2 ^ x < 1

Это неэргодический эндоморфизм с тремя эргодическими компонентами. Описанный выше бесконечно малый шум, заключающийся в перестановке интервалов [a, b], i = 1, 2, приводит к следующим результатам: если эти интервалы в одной эргодической компоненте, то эргодические свойства не меняются, если в разных компонентах, то эти компоненты объединяются в одну эргодическую компоненту и получается неэргодическая система с двумя эргодическими компонентами. Если же взять три отрезка [а, Ь] в разных компонентах, то путем периодических их перестановок можно получить точную стохастическую динамическую систему. Все эти свойства сохраняются при переходе от малого шума к бесконечно малому шуму.

Пусть Tx = x + a(mod1), а — иррациональное. При этом отображении траектория всякой точки x G X = [0,1) плотна в X, T — эргодическое. Фиксируем малое £ > 0 и большое натуральное число m. Пусть n0 — наименьшее число, для которого T”00 = n0a(mod1) находится на расстоянии, меньшем £ от какого-нибудь числа вида mm, 0 ^ k < m — 1. Тогда на n0 + 1-м шаге действует равномерный шум: Sx = x + mm — n0a(mod1). Тогда ST”00 = mm. Отсюда видим, что через n0 шагов действует S и ST”0ST”0 = 2“(mod). Очевидно, что траектория точки 0, а

значит и каждой точки пространства X имеет n0m точек и потому не плотна в X

и, следовательно, динамическая система не эргодическая.

Однако, если перейти к бесконечно малому шуму, то траектории точек станут плотными, и поэтому динамическая система останется эргодической.

Пусть теперь Tx = x + mm (mod1), m G N, 0 < k ^ m — 1. Эта динамическая система не эргодическая. Если возьмем малый равномерный шум Sx = x +1 (mod1), то динамическая система останется не эргодической. Если взять бесконечно малый шум, то есть Г------ 0, то система станет эргодической.

Таким образом, мы получили следующие результаты.

Бесконечно малый шум не меняет точность динамической системы в отличие от малого шума, который может точную систему сделать даже не эргодической.

Бывают случаи, когда переход от малого шума к бесконечно малому ослабляет действие шума, и наоборот, в случае равномерного шума усиливает действие шума.

Иногда переход от малого шума к бесконечно малому не меняет действия шума.

Summary

ERGODIC PROPERTIES OF STOCHHASTIC DYNAMICAL SYSTEMS WITH INFINITELY SMALL NOISE

V.G. Sharapov

In the paper influence of infinitely small seldom noise on ergodic properties of stochastic dynamical systems is considered. Action of infinitely small noise with action of small noise is compared. For example, under small noise exact system can become nonergodic, but under infinitely small noise it always remains exact.

76

В.Г. Шарапов. Эргодические свойства стохастических динамических систем

Список литературы

1. Халмош П.Р. Лекции по эргодической теории М.: ИЛ, 1959.

2. Шарапов В.Г. Эргодические эндоморфизмы пространства Лебега || Узбекский мат. журн. 1991. № 4. С. 65-69.

3. Рохлин В.А. Точные эндоморфизмы пространства Лебега || Изв. АН СССР. Сер. мат. 1961. № 4. Вып. 25. С. 499-530.

4. Шарапов В.Г. Эргодические свойства стохастических динамических систем с малым шумом II Вестн. ВолГУ. Сер. 1, Математика. Физика. Вып. 9. 2005. С. 77-80.