Радиационный нагрев снежного покрова

УДК 536.3

А. М. Тимофеев

Радиационный нагрев снежного покрова

СВФУ им. М.К. Аммосова, г. Якутск, Россия

Аннотация. В рамках нестационарного радиационно-кондуктивного теплообмена проведен численный анализ теплового состояния поглощающей, излучающей и рассеивающей среды, формирующегося под действием падающего внешнего излучения и конвективного теплообмена с внешней средой. Учитывается также теплообмен с полубесконечной непрозрачной подложкой, на которой располагается слой полупрозрачного материала. Расчеты выполнены при значениях определяющих параметров задачи, типичных для снежных покровов в зимнее время. Спектральный состав падающего радиационного потока приблизительно соответствует прямому и рассеянному солнечному излучению, достигающему поверхности земли. Для решения радиационной части задачи используется модифицированный метод средних потоков (СП-метод), с помощью которого учитываются зависимость оптических свойств от длины волны падающего излучения, анизотропное рассеяние, отражательная способность границ слоя. Выполненный анализ показал, что оптические свойства и тепловое взаимодействие с подложкой оказывают заметное влияние на температурное поле в полупрозрачной среде, что свидетельствует о важности точной и надежной количественной оценки различных оптических факторов при решении задач прогноза теплового состояния снежных и ледовых покровов. В предложенной модели теплового взаимодействия падающего селективного излучения с полупрозрачной средой получили подтверждение такие явления, присущие снежному слою, как высокое значение альбедо, подповерхностный нагрев, радиационное выхолаживание поверхности.

Ключевые слова: нестационарный теплообмен, радиационно-кондуктивный, полупрозрачная среда, анизотропное рассеяние, отражение, тепловое излучение, селективность, численное моделирование, снег и лед.

DOI 10.25587/SVFU.2018.63.10542

A. M. Timofeev

Radiative Heating of Snow Cover

M.K. Ammosov North-Eastern Federal University, Yakutsk, Russia

Abstract. An analysis of a thermal state of absorbing, emitting and scattering medium, which is formed due to incident external radiation and convective heat exchange with an ambient environment was performed numerically within the framework of non-stationary radiative-conductive heat transfer. In addition, the heat exchange with a semi-infinite opaque substrate was taken into account. Calculations

ТИМОФЕЕВ Айал Михайлович - д. ф.-м. н., профессор кафедры теплофизики и теплоэнергетики ФТИ СВФУ.

E-mail: am.timofeev@s-vfu.ru

TIMOFEEV Ayal Mikhailovich - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor of the Department of Thermophysics and Thermal Engineering Institute of Physics and Technologies M.K. Ammosov North-Eastern Federal University.

are performed for governing parameters typical for the snow cover in winter. The spectral composition of the incident radiation flux corresponded approximately to direct and scattered solar radiation reaching the earth's surface. To solve the radiation part of this problem, a modified average flux method was used, which took into account dependence of optical properties on a wavelength, anisotropic scattering, and reflectance of boundaries of a layer. The analysis showed that optical properties and thermal interaction with the substrate have a significant influence on the temperature field in a semitransparent medium, indicating the importance of accurate and reliable quantitative assessment of the various optical factors when solving problems of prediction of the thermal state of ice and snow covers. Such phenomena inherent to a snow layer as a high value of albedo, subsurface heating, radiative cooling of the surface were confirmed in the developed model of the thermal interaction of the incident selective radiation with a semitransparent medium.

Keywords: nonstationary heat transfer, radiation-conduction, semitransparent medium, anisotropic scattering, reflectance, thermal radiation, selectivity, numerical simulation, snow and ice.

Введение

Прогноз теплового состояния снежного и ледового покровов земной поверхности становится все более актуальным в связи с глобальным потеплением климата. Снег представляет собой пористую полупрозрачную среду. Специфика и сложность исследований теплопереноса в пористых полупрозрачных материалах состоит в том, что в них одновременно имеют место все три вида теплопереноса: кондуктивный - через твёрдую фазу, составляющую каркас материала, радиационный и конвективный - в системе газ - твердая фаза. Вклад каждого из перечисленных видов в суммарный теплоперенос зависит от химического состава, физической структуры материала, уровня и градиентов температуры в материале, давления газовой среды, в которой используется материал.

Одним из основных факторов, формирующих температурное поле снежно-ледовой толщи, является солнечное излучение [1-3]. Падающий радиационный поток претерпевает граничное отражение, объемное поглощение и рассеяние, переизлучение. При этом оптические свойства снега и льда характеризуются сильной зависимостью от длины волны излучения, в частности сильным поглощением в инфракрасном спектре, в то время как коротковолновое (солнечное) излучение может проникать в него на глубину десятков сантиметров. Снег имеет высокую отражательную способность, также известную как альбедо. Альбедо снега (отношение отраженного потока излучения к падающему) может достигать значений, близких к единице в видимой части спектра, в то время как в инфракрасной области его значения невелики. Причем граничное отражение снежного слоя незначительно, а большая отражательная способность его достигается благодаря объемному рассеянию [2-4].

Процессы взаимодействия теплового излучения со снежно-ледовой толщей в большинстве работ, посвященных данной проблеме, анализируются на основе сильно идеализированных моделей (учет излучения в тепловом балансе на поверхности слоя, описание переноса излучения на основе закона Бугера, без учета собственного излучения и эффектов многократного отражения и рассеяния, без учета зависимости оптических свойств от длины волны излучения). В то же время следует отметить, что задачи нагрева полупрозрачного тела внешним падающим излучением исследуются давно и достаточно интенсивно. Отметим, например, работы [5-10], при этом в [5-6] представлены обзоры по данной проблематике. В большинстве указанных исследований используются более строгие подходы к учету влияния излучения на теплообмен в оптически неоднородной среде, применимые к проблемам теплофизики льда и снега.

В настоящей работе численно моделируется нагрев снежного покрова в рамках радиационно-кондуктивного теплообмена в плоском слое поглощающей, излучающей

и рассеивающей среды, на верхнюю границу которого падает внешнее излучение. Также на внешней границе задано условие конвективного теплообмена с окружающей средой, имеющей температуру Т . Температура нижней поверхности Т1 формируется под действием пропущенного слоем излучения и отвода тепла теплопроводностью в подложку. В данной работе в отличие от предыдущих подобных постановок задачи учитывается тепловое влияние подложки (температура на нижней поверхности слоя находится в процессе решения задачи). Кроме того, выполнен детальный анализ действия внешнего источника излучения с неоднородным распределением энергии излучения по спектру в условиях зависимости поверхностных и объемных оптических свойств полупрозрачного материала от длины волны излучения.

Постановка задачи и метод решения

На рис. 1 показана физическая схема и система координат. Постановка задачи включает в себя уравнение нестационарного теплопереноса в плоском слое:

{ ^гп \

ср

дТ_ ~дг

д ду

7 дТ г

А--q

ду

с начальным:

и граничными условиями:

/ = 0: Т = Т

дТ

У = 0: -Х^ = а(ТА -Т) + ^ ду

7 = I: Т = Т.

Здесь температура подложки находится из известного решения для полуограниченного тела с заданным на границе тепловым потоком q¡ [11]:

т = Т + ^

11 „

^ Л С р{

Х1 ^ Х]Л J

41 =

г ,дт

4 -а—

ду

у=I

где индекс I относится к параметрам подложки. В данной постановке задача является сопряженной, но поле температуры в полубесконечной подложке (кроме поверхностной температуры) не представляет практического интереса.

Поле излучения в слое определяется уравнением переноса:

/ \(т ,г) +1 (т ,у) = (1 -ч К2 К (Т)р(у, у ') ,у') ¿у',

/! Т / •>

0 < т < т

0v '

-1 <7< 1,

с граничными условиями

т = 0: к (у) = РЛУ)К (У) + -Н1 -ру(у*)) К(у ), 7> 0

Рис. 1. Физическая схема и система координат

1

Т : IV(У) = (Т) + 2гу| 1+ 0)^/, у< 0.

Здесь I - спектральная интенсивность излучения, в нижнюю (у > 0) и верхнюю (у < 0) полусферу:

/.+ и I- -

интенсивности излучения

110 IIV (т, у^у = | IV (т, у^у +1IV (т, у)йу,

-1

где у - косинус угла между направлением распространения излучения и осью координат у, 1Ьу (Т) - функция Планка излучения черного тела, Ту = ^у и Тцу = kVl - спектральная оптическая глубина и толщина слоя, / - толщина слоя (характерный размер), =ау + ¡Зу - спектральный коэффициент ослабления, ССУ и 0 - спектральные коэффициенты поглощения и рассеяния, 0)у = Д, / ку - спектральное альбедо однократного рассеяния (число Шустера), п - спектральный показатель преломления, и Гу - спектральная полусферическая диффузная излучательная и отражательная способности нижней границы, связанные между собой соотношением £у = 1 — , pv - спектральная индикатриса рассеяния, которая постулируется в виде [12]:

L

Pv

1=0

где у0 - косинус угла между падающим у' и рассеянным у лучами, Р1 - полином Лежандра порядка I Индекс V (частота) обозначает спектральную величину, индекс V Б относится к области непрозрачности спектра среды.

Запишем систему (1)-(4) в безразмерном виде:

^ = ^ - Sк 0 < Г < 1,

дFo дУ дУ

Fo = 0: в=а

0'

дй

Y = 0: -— = В

Y = 1: д = д1,

где

01 =е0 + 2К

С л дв

Sk  Ф--

V дY J

^о ' л)1'2.

Г=1

Здесь Y = у /1 и 6 = Т / Т* - безразмерная координата и температура, Т* - определя-

I Хер ^ Хг 4аГ?/

ющая температура, к= - - параметр сопряженности, го =-^, =-,

а1 Р1 СР1 Х

Bi = — - числа Фурье, Старка, Био соответственно. Я

Для решения радиационной части задачи используется модифицированный метод средних потоков (СП-метод) [5]. Эквивалентная уравнению (7) система уравнений СП-метода имеет вид:

Граничное условие (8) на поверхности раздела сред учитывает пропускание падающего потока Ф* и отражение в двух зонах: в области полного внутреннего отражения и внутри конуса преломления [13]:

*2 *2

ту = 0: фу+ =

п п

где значение коэффициента отражения Д, может быть рассчитано по формулам Френеля для идеальной поверхности.

На нижней границе (9) учитывается собственное излучение поверхности и диффузное отражение падающего потока излучения:

т„ = т0„: ф; = £уФ0у /4 + гуф;.

Здесь

1

2п { К

- безразмерные плотности полусферических потоков,

1

I КТ^У^У | ¿у Щ

0

- коэффициенты переноса, которые являются функционалами решения и находятся в

процессе итерационного решения.

п21 " -1

ф = ь

среднии косинус угла рассеяния,

_ 1 2

- безразмерная плотность потока равновесного излучения.

Я = 2 } р (у)у ^

Из решения радиационной задачи определяются плотность интегрального потока излучения

ии

ф = { (ф;-ф; ^V

и дивергенция потока падающего излучения

а ф

— = Т (1- ч Ыф 0у - («К - «К ))аv,

фигурирующие в уравнениях (12) и (16).

Краевая задача (12)-(15) решается конечно-разностным методом с использованием стандартной неявной схемы. Ввиду ее нелинейности используется метод итераций [7]. Метод решения радиационной задачи (17)-(20) подробно описан в работе [5].

Анализ результатов

Расчеты выполнены при следующих значениях определяющих параметров задачи: Т* = -500С, Т0 = ТА = -200С, Sk =0.1, В1 = 1. Выбранные значения определяющих параметров типичны для снежных покровов в зимнее время. Спектральный состав падающего потока излучения моделируется трехполосной системой: в диапазоне длин волн от 0 до 0,75 мкм (ультрафиолет и видимая часть спектра) qv = 172 Вт/м2, от 0,75 до 3 мкм (ближний и средний инфракрасный диапазон) qv = 140 Вт/м2 , от 3 мкм и более (дальний инфракрасный диапазон) qv = 140 Вт/м2 (табл.). Границы первых двух диапазонов и значения потоков излучения соответствуют приблизительно прямому и рассеянному солнечному излучениям, достигающим поверхности земли, третьего -излучению небесного свода.

Оптические свойства снежных покровов в зависимости от структуры и загрязненности могут варьироваться в довольно широких пределах. Для снега пористой структуры граничное отражение практически отсутствует. Поверхностное поглощение существует лишь для теплового излучения с длиной волны выше 2-3 мкм, для которого снег является непрозрачной средой, близкой по своим свойствам к абсолютно черному телу [2]. Рис. 2 демонстрирует поведение полей температуры и радиационных потоков для следующих значений оптических параметров: пу= 1 (пористая среда), а>= 0.95 (сильно рассеивающая среда), р = 0.063 (коэффициент отражения идеальной поверхности для льда). Коэффициент отражения на подложке гу принимался равным 0,1. Слой среды считался непрозрачным в дальнем инфракрасном (т0у= да) и оптически толстым (т0у= 10) в ближнем и среднем инфракрасном диапазоне спектра. Для коротковолнового диапазона оптическая толщина варьировалась от 0,1 до 10.

Таблица

Спектральный состав падающего излучения

№ диапазона Длина волны

1 0 - 0,75 4-1014 - да 172

2 0,75 - 3 Ы014 - 4-1014 140

3 3 - да 0 - 4-1014 140

Рис. 2. Распределение температуры (слева) и радиационных потоков (справа) в слое в различные моменты времени в зависимости от оптической толщины:

а) = (0.1,10,х ); Ь) ^ = (1,10,х ); с) ^ = (10,10,х ). к = 1; сплошные линии - изотропное рассеяние, пунктирные - аниизотропное рассеяние, штрих-пунктирные - значение падающего потока излучения. Здесь и далее: 1 - Fo = 0.01, 2 - Fo = 0.3, 3 - Fo = 0.7, 4 - Fo = 1.4, 5 - Fo = 1.7.

Видно, что формирование температурного поля в среде имеет сложный характер в зависимости от ослабления излучения в слое. В случае малых оптических толщин в коротковолновом диапазоне, когда падающее внешнее излучение глубоко проникает в толщу среды, быстрее и сильнее нагреваются области возле подложки (рис. 2а). С

увеличением оптической толщины, когда поглощение падающего излучения происходит во внутренних слоях, область перегрева соответственно смещается в сторону верхней границы (рис. 2с).

Поле излучения в отличие от температурного поля практически не меняется со временем (рис. 2, справа), так как формируется в основном проникающим внешним излучением в коротковолновом и ближнем инфракрасном диапазоне спектра. В то же время собственное объемное излучение среды почти полностью отсутствует из-за того, что его максимум находится при данных температурах в дальнем инфракрасном диапазоне, т. е. в области непрозрачности спектра.

Рассеяние является основной причиной ослабления излучения в снежном слое. Как видно из рис. 2, результирующий радиационный поток в слое имеет заметно меньшие значения по сравнению с падающим потоком (штрих-пунктирные кривые). Снижение величины результирующего радиационного потока вызвано увеличением его полусферической компоненты ф-, направленной в противоположную сторону, то есть в этом случае происходит сильное высвечивание из слоя в сторону падающего излучения, обусловленное объемным рассеянием. Следовательно, происходит повышение альбедо (отражательной способности слоя), увеличивающееся с ростом оптической толщины, и снижение уровня температур в слое.

Штриховыми кривыми на рис. 2 и рис. 3 приведены результаты расчетов для максимально вытянутой трехчленной индикатрисы рассеяния (£ = 0,5773) [12]. Сильное анизотропное рассеяние вперед, как видно, приводит к увеличению результирующего радиационного потока и, соответственно, к повышению температуры слоя.

Т<°с>

5 _ -  - "

1

Тс"с) 5

______

од 07 о. а ос

Щ и

ол ал од

Т

...... .........

г-1 1

В.* ом и»

Рис. 3. Тепловое влияние подложки а) ^ = (0.1,10,^ ); Ь) т„, = (1,10,<х>); с) тт = (10,10,<х> ), к = 0.3; сплошные линии - изотропное рассеяние, пунктирные - анизотропное рассеяние

т

Рис. 4. Распределение температуры в различные моменты времени для непрозрачной среды.

Сплошные линии - к =1, пунктирные линии - к =0,3.

Следует отметить, что при продолжительном времени облучения или увеличении падающего потока излучения температура может достигать положительных значений, но в данной модели не учитывалось влияние фазовых превращений и вызванных ими структурных изменений в слое. Целью работы, как уже отмечалось выше, была оценка влияния оптических факторов на формирование температурного поля в полупрозрачной пористой среде под воздействием падающего внешнего излучения. Как видно из рис. 2 и рис. 3, максимальные температуры наблюдаются не на верхней границе, а в глубине снежного слоя, то есть в расчетах его теплового состояния нужно учитывать не поверхностный, а внутриобъёмный фазовый переход. Таким образом, в данной модели подтверждаются такие природные явления, как подповерхностное таяние и нагрев снежных масс, образование ледяных линз. Здесь можно привести в качестве примера наблюдения известного мерзлотоведа П. Я. Шевцова, когда в Центральной Якутии ранней весной при интенсивной солнечной радиации имело место образование внутриобъемных ледяных прослоек в толще снега; при этом таяние на поверхности не регистрировалось, а температура воздуха даже днем была около -20 оС [2].

Рис. 3 демонстрирует влияние подложки на температурное поле в слое. Если материал подложки является более плотным и теплопроводным (уменьшается параметр сопряженности к), то увеличивается сток тепла теплопроводностью из снежной толщи в основание, и уровни температуры снижаются. При этом наиболее заметное снижение температуры происходит в случае малых оптических толщин (рис. 3а), когда энергия падающего излучения без ослабления проникающего в глубь среды в основном расходуется на нагрев нижних слоев, где тепло отводится в сторону подложки. Для среды с большой оптической толщиной тепловое влияние подложки ослабевает, так как энергия падающего излучения идет в основном на нагрев самой среды (рис. 3с).

Для регулирования теплового режима снежно-ледовых покровов на их поверхность могут наноситься искусственные покрытия, например, зачернение углем, песком или непрозрачная пленка. В этом случае действие падающего излучения проявляется только на поверхности снежной толщи. На рис. 4 приведены результаты расчетов для непрозрачного слоя при различных значениях параметра сопряженности для степени черноты, соответствующей выбранному значению Д, = 0.063. Температурные кривые ожидаемо имеют максимальные значения на верхней границе и монотонно снижаются к нижней. Из сравнения рис. 2(3) и рис. 4 следует, что имеются существенные различия

в формировании температурных полей в полупрозрачной и непрозрачной средах. В полупрозрачной среде благодаря проникающему внешнему излучению в первую очередь подвергаются нагреву внутренние слои. При этом из-за переизлучения может происходить выхолаживание поверхности снежного покрова (рис. 2(3)a и рис. 2(3)b).

Заключение

На основании полученных результатов можно сделать следующие выводы: формирование температурного поля в полупрозрачной пористой среде, каковой является снег, имеет сложный характер в зависимости от интенсивности объемного ослабления падающего излучения в разных участках спектра, от условий радиационного теплообмена на поверхности, от теплового влияния подложки. С практической точки зрения, в частности для прогноза теплового режима снежно-ледовых покровов, важным моментом является точная и надежная количественная оценка влияния оптических факторов на температурное поле в полупрозрачной среде. В настоящем исследовании были продемонстрированы возможности модифицированного метода средних потоков (СП-метода) применительно к задачам расчета поля излучения в полупрозрачной среде с селективным объемным ослаблением падающего излучения. Данный метод заслуживает внимания тем, что позволяет учитывать такие важные физические процессы, как собственное излучение среды, анизотропное рассеяние, отражение и преломление на границе раздела сред и при этом минимизировать объем вычислительных работ.

В предложенной модели радиационно-кондуктивного теплообмена получили подтверждение такие явления, присущие снежному слою, как высокое альбедо, подповерхностный нагрев, радиационное выхолаживание поверхности. Селективность задачи учитывалась в данной работе с помощью трехполосной модели. Для более точной модели требуются подробные сведения относительно спектральных оптических свойств снежного покрова, получение которых на данный момент является довольно затруднительным ввиду большой погрешности их определения в процессе нагрева. В то же время можно сказать, что качественная картина теплообмена при такой интерпретации выдержана правильно, но количественная оценка нуждается в дальнейшем уточнении.

Л и т е р а т у р а

1. Munnekel P. K. et al. The role of radiation penetration in the energy budget of the snowpack at Summit, Greenland // The Cryosphere. - 2009. - Vol. 3. - Pp. 155-165.

2. Красс М. С., Мерзликин В. Г. Радиационная теплофизика снега и льда. - Л.: Гидрометеоиздат, 1990.

3. Warren S. G. Optical properties of snow // Rev. Geophys. Space Phys. - 1982. - Vol. 20. - Pp. 67-89.

4. Malinka A., Zege E., Heygster G., Istomina L. Reflective properties of white sea ice and snow // The Cryosphere. - 2016. - Vol. 10. - Pp. 2541-2557.

5. Рубцов Н. А., Тимофеев А. М., Саввинова Н. А. Комбинированный теплообмен в полупрозрачных средах. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2003.

6. Петров В. А., Марченко Н. В. Перенос энергии в частично прозрачных твердых материалах. - М.: Наука, 1985.

7. Timofeev A. M., Zhirkov O. N. Simulation of Radiative-Conductive Heating of Semitransparent Layer on Semi-infinite Substrate // AIP Conference Proceedings. - 2017. - Vol. 1907, 030043.

8. Galaktionov A. V., Stepanov S. V. Effect of radiation on strongly-scattering ceramics // High Temperature. - 1990. - Vol. 28. - Pp. 105-110.

9. Matthews L. K., Viskanta R., Incropera F. P. Combined Conduction and Radiation Heat Transfer in Porous Materials Heated by Intense Solar Radiation // Journal of Solar Energy Engineering. - 1985. - Vol. 107, No. 1. - Pp. 29-34.

10. Song B., Viskanta R. Deicing of solids using radiant heating // Journal of Thermophysics and Heat Transfer. - 1990. - Vol. 4, No. 3. - Pp. 311-317.

11. Carslaw H., Jaeger J. Conduction of Heat in Solids. 2 edition, Oxford University Press, USA, 1959.

12. Evans L. B., Chu C. M, Churchill S. W. The effect of anisotropic scattering on radiant transport // Transactions of the ASME. J. Heat Transfer. - 1965. - Vol. 87, No 3. - Pp. 381-387.

13. Rubtsov N. A., Timofeev A. M. Presentation of the boundary conditions in the problem of radiation heat exchange in multilayer systems // Thermophysics and Aeromechanics. - 1998. - Vol. 5, No. 4. - Pp. 435-440.

R e f e r e n c e s

1. Munneke1 P. K. et al. The role of radiation penetration in the energy budget of the snowpack at Summit, Greenland // The Cryosphere. - 2009. - Vol. 3. - Pp. 155-165.

2. Красс М. С., Мерзликин В. Г. Радиационная теплофизика снега и льда. - Л.: Гидрометеоиздат, 1990.

3. Warren S. G. Optical properties of snow // Rev. Geophys. Space Phys. - 1982. - Vol. 20. - Pp. 67-89.

4. Malinka A., Zege E., Heygster G., Istomina L. Reflective properties of white sea ice and snow // The Cryosphere. - 2016. - Vol. 10. - Pp. 2541-2557.

5. Рубцов Н. А., Тимофеев А. М., Саввинова Н. А. Комбинированный теплообмен в полупрозрачных средах. - Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2003.

6. Петров В. А., Марченко Н. В. Перенос энергии в частично прозрачных твердых материалах. - М.: Наука, 1985.

7. Timofeev A. M., Zhirkov O. N. Simulation of Radiative-Conductive Heating of Semitransparent Layer on Semi-infinite Substrate // AIP Conference Proceedings. - 2017. - Vol. 1907, 030043.

8. Galaktionov A. V., Stepanov S. V. Effect of radiation on strongly-scattering ceramics // High Temperature. - 1990. - Vol. 28. - Pp. 105-110.

9. Matthews L. K., Viskanta R., Incropera F. P. Combined Conduction and Radiation Heat Transfer in Porous Materials Heated by Intense Solar Radiation // Journal of Solar Energy Engineering. - 1985. - Vol. 107, No. 1. - Pp. 29-34.

10. Song B., Viskanta R. Deicing of solids using radiant heating // Journal of Thermophysics and Heat Transfer. - 1990. - Vol. 4, No. 3. - Pp. 311-317.

11. Carslaw H., Jaeger J. Conduction of Heat in Solids. 2 edition, Oxford University Press, USA, 1959.

12. Evans L. B., Chu C. M, Churchill S. W. The effect of anisotropic scattering on radiant transport // Transactions of the ASME. J. Heat Transfer. - 1965. - Vol. 87, No 3. - Pp. 381-387.

13. Rubtsov N. A., Timofeev A. M. Presentation of the boundary conditions in the problem of radiation heat exchange in multilayer systems // Thermophysics and Aeromechanics. - 1998. - Vol. 5, No. 4. - Pp. 435-440.

^iMSr^Sr