Согласующее устройство "дискового" типа

УДК 624.318

Ю.В. Батыгин, А.В. Гнатов, И.С. Трунова

СОГЛАСУЮЩЕЕ УСТРОЙСТВО "ДИСКОВОГО" ТИПА

У рамках статті проведено аналіз електродинамічних процесів вузгоджувальному пристрої "дискового типу". Виконано обчислення коефіцієнта трансформації струму - основної електродинамічної характеристики розглянутого узгоджувального пристрою. Отримані результати проілюстровані чисельними оцінками для реальних ситуацій у практиці МІОМ.

В рамках статьи проведен анализ электродинамических процессов в согласующем устройстве "дискового" типа. Произведено вычисление коэффициента трансформации тока - основной электродинамической характеристики рассматриваемого согласующего устройства. Полученные результаты проиллюстрированы численными оценками для реальных ситуаций в практике МИОМ.

ВВЕДЕНИЕ

В практике магнитно-импульсной обработки металлов для повышения эффективности силового воз -действия на обрабатываемые объекты применяются, так называемые, согласующие устройства различного конструктивного исполнения (например, дисковые плоские, цилиндрические коаксиальные и др.) [1].

Согласующим устройством "дискового" типа является импульсный трансформатор тока, первичная обмотка которого выполнена в виде плоского много-виткового соленоида, размещённого между двумя идентичными проводящими компланарными дисками с одинаковыми радиальными разрезами. Диски являются вторичной обмоткой, к которой на краях разрезов подключается нагрузка.

Практическая работоспособность предлагаемого преобразователя определяется его геометрией, электрофизическими характеристиками конструктивных составляющих и амплитудно-временными параметрами токового импульса в первичной обмотке. Данное утверждение следует из феноменологических соображений и подтверждается выводами работ [2, 3], где исследованы процессы возбуждения вихревых токов в плоском металлическом листе магнитным полем одновиткового соленоида.

Цель настоящей работы - вычисление основной электродинамической характеристики согласующего устройства "дискового" типа - коэффициента трансформации тока, определяющего действенность и эффективность работы рассматриваемого устройства в целом.

РАСЧЕТ ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

Решение поставленной задачи выполним аналогично тому, как это было сделано в работах [2-4].

Для анализа электромагнитных процессов примем расчётную модель в цилиндрической системе координат, показанную на рис. 1. (ег, еф, е2 - направляющие орты).

При решении задачи примем следующие допущения:

• распределения плотности тока в первичной обмотке - 1 (плоская многовитковая катушка, число витков - w, внутренний радиус - Я\, внешний - Я2, толщина - g) принимаем равномерным;

• конструктивное исполнение первичной обмотки таково, что она "прозрачна" для действующих полей ^^-0), и не влияет на протекающие электромагнитные процессы;

• наличием радиальных разрезов в дисках согласно хорошо известной практике МИОМ [1, 4] можно пренебречь и считать, что имеет место аксиальная симметрия (З/Зф = 0, ф - азимутальный угол) и

симметрия системы относительно плоскости первичной обмотки г = 0;

• диски - 2 и 3 - одинаковы, выполнены из немагнитных листовых металлов толщиной с1 и электропроводностью у с достаточно большими поперечными размерами, они расположены на одинаковом расстоянии от витка индуктора - И;

• амплитудно-временные параметры тока в первичной обмотке /(/) таковы, что справедливо квазистационарно е приближение по Ландау: ю- 1/с << 1, ю - циклическая частота, с - скорость света в вакууме, I - характерный размер системы.

Рис. 1. Расчётная модель: 1 - первичная обмотка, плоский многовитковый соленоид; 2, 3 - вторичная обмотка, проводящие диски

Уравнения Максвелла для возбуждаемых составляющих вектора электромагнитного поля (Еф Ф 0, Нг,г ^ 0), преобразованных по Лапласу с учётом нулевых начальных условий, имеют вид

дНг

дг

дг

= УФ (p, ^г);

1 д

г дг

Жф

(г • г, г))= -н- о • р Н г ^ г,г);

дг

= Цо • р  Нг (р, г, г);

где р - параметр преобразования Лапласа; Е^(р,г,2) = = 1{Е^,Т,2)\; Нг ¿(р,Т,2) = 1{ИГ, ¿4,Т,2)\; ]^(р,Т,2) = = Ь{]у(г,г,г)}; цо - магнитная проницаемость вакуума.

В общем случае плотность тока в правой части уравнения (1) записывается в виде

Уф(P, г 2) =(Р '80 +У) • Еф(P, г, 2) + Уф/(P, r, 2), (4) где Уф,<г,г,2) - плотность стороннего тока в первичной обмотке

V (p, r, z) = f (r) • 77 (0.5g -1z\) И j(p)  f (r) -8(z);

g

j(p) - линейная плотность тока

I (p) • w _

3 z

2

3r

~^0 • p  j$i (p,r, z).

В металле дисков ze [h, (h + J)]

5 2 Em{p, r, z ) 3

V

1 d(

lr -Еф

r dr r

3 z 2 d r

-

3 2 E„

(p, r, z) d (

dr

1 -fr (r p,r,z ))]* 0.

Условию ограниченности радиального распределения Еф(р,г,2) из уравнений (5) - (7) при г = 0 и г = да удовлетворяет интегральное преобразование Фурье-Бесселя [5]

где ^1(^-г) - функция Бесселя первого порядка.

В соответствии с (8) уравнения (5) - (7) приводятся к обыкновенным дифференциальным уравнениям второго порядка [4]:

а) в пространстве между дисками, 2е [-к, к]

d 2 еАpA z)

dz‘

-Я 2• Ev{p,k,z)= K

где К(р,Х) = Цо;/(р) .ДЯ,); в соответствии с допущением о равномерном распределении тока в первичной обмотке -

ТО -^2

/(Я) = | /(г) • г • ёг = | J1 (Я • г)• г • ёг ,

0 Л1

б) в металле дисков, 2е [к, (к + ё)]

d 2 ЕФ

dz'

- q 2( p, ¿)-еф(p, я, z )=0

У( Р) =  .

S(z) - Дельта-функция Дирака; fr) - функция однородного радиального распределения тока в первичной обмотке, fr) = ц(г - Ri) - ^(r - R2); 'n(z) - ступенчатая функция Хевисайда; е0 - диэлектрическая проницаемость вакуума.

При решении поставленной задачи в принятой модели расчёта следует выделить области с однородными электрофизическими характеристиками.

Геометрическая и электродинамическая симметрия исследуемой системы (соответственно рис. 1) позволяет считать, что таковыми являются:

а) пространство между дисками ze [-h, h];

б) область металла идентичных дисков ze [h, (h + d)];

в) свободное полупространство с внешней стороны дисков ze [(h + d), да).

Из дифференциальных уравнений (1) - (3) с учётом выражения (4) в рамках принятых допущений получим уравнения для азимутальной компоненты напряжённости электрического поля E9(p,r,z) в выделенных областях.

В пространстве между металлическими дисками ze[-h, h], получаем, что

д 2 E_(p, r, z ) 5^1

где q(p, Я) = д/я 2 + p -^0 '7 - волновое число в ме-

талле с удельной электропроводностью у, в) вне дисков, ze [

d 2 ЕФ

^___

dz

-Я 2• E„(p,Я,z) = 0.

Общие интегралы уравнений (9) - (11) для выделенных областей имеют вид [5]:

а) в пространстве между дисками, 2е[-к, к], условию симметрии относительно плоскости г = 0 удовлетворяет функция:

Е,(!} (р, Я, 2) = С( р,Я) • сИ(Я2) + К(Р,1) X

V > У > я

х (77 (г) • 8И (Яг) + 0.5 • е_Аг ], где С(р,Х) - произвольная постоянная интегрирования;

б) в металле дисков, 2е [к, (к + ё)]:

Е<2)

+ В2(р, Я) • е~э(рД>(2-к), где Д12(р,Х) - произвольные постоянные интегрирования;

в) в пространстве вне системы, 2е[(к + ё), да), условию ограниченности при 2^-да удовлетворяет функция

е£3)

где В(р,Х) - произвольная постоянная интегрирования.

Из уравнения (3) с помощью (12) - (14) находим тангенциальную компоненту напряжённости магнитного поля

а) 2е[-к, к]

яГ1}( pA z) =

Я

C( p,Я) -sh^) +

-Xz

)

K (АЯ), я

p^0

х ^77 (z) • 8И(Яг) + 0.5 • e~

б) ze[h, (h + d)]

Hi2) (p, Я, z) = q(p,^) (d1 (p, Я) • eq(p,2)'(z_h) p^0

-D2(p, Я)• e-q(p,X)iz~h)),

в) ze[

Hi3)(p, Я, z) = --

p^0

• 5

Из условия непрерывности касательных компонент напряжённости электромагнитного поля на границах выделенных областей получаем системы алгебраических уравнений для определения неизвестных произвольных постоянных интегрирования в выражениях (12) - (17). г = к

С (р, X)  сИ(Хк) + К(А Х) • еХк =

2Х

= Dj( p, X) + D2 (p, X),

C (p, X). sh(Xh) + K^ • e™ = .

2X X

x(Dx(p,X) -D2(p,X)), z = h + d

Д( р, Х)е9( рХу1 + Б2( р, X )е~ 9( рХу1 = В( р, X),

(Д(р,Х)е9(рХ)Л -Б2(р,Х)е~9(рХ) 1) = (19) X ' ’

= - В( р, X).

В конечном итоге нас интересуют поля, возбуждаемые в металле экрана и заготовки.

Исключая С(р,Х) и В(р,Х) в системах линейных алгебраических уравнений (18) и (19), находим неизвестные произвольные постоянные интегрирования А(р,Х) и А(р,Х).

После соответствующих подстановок в формулы (13) и (16) и обратного преобразования Фурье-Бесселя записываем формулы для напряжённостей возбуждаемого электромагнитного поля в терминах продольной пространственной переменной, связанной собственно с диском.

ад

Е £2)

П

о С(p, Х> сИ(д( р, Х)(^ - й)) ]• Jl(Xг)йX

где

С( р, X) = 8И(^( р, Х)й) •

8И(ХЛ) + (п( р, X)/ х)2

х сИ(ХА)] + сИ(^( р, Х)й) • п( р, X)/ X • е^

ад

н!2>( р, г, о . № •( / (^)/(/--").(сі,(„( р, вд-й)) -

2 І С

П( рЛ>

-sh(q(p,Х)(^-й)) I-Jl(Xг) йХ.

С помощью выражений (4) и (20) вычисляем плотность вихревых токов, индуцированных в металле дисков

ад

1,(р.г, о = мі!. I_Ш_ р, >.х? - й)) -

2 •» С

п(рА>

сЫп(р,Х)(й)) I- Jl(Xг)dk.

J„(г,р> = -Ж Г 1р>• А1<р,>• >

Ф 2 К

/

где

4 (М) = [1 -(сЬ(9(М)'1 ) + ^4 ^ х

х 8И ( 9 ( р,Х)• 1 )^.

Предельный переход в формуле (23) для достаточно больших зазоров между соленоидом и дисками (идеализация, И^х) переходит в аналогичную зависимость, найденную для системы из плоского соле-

ноида над листовым металлом авторами работы [2].

Здесь так же, как и при понижении рабочих частот, "удаление" дисков от источника поля снижает их взаимное влияние на протекающие электромагнитные процессы для любых временных параметров возбуждаемых полей.

Интегрируя по радиусу ге[0,Я], Я - произвольный радиус окружности на диске, находим величину индуцированного тока в диске "условного" радиуса Я

ЦоУ Г р •1(р> • А1(p, ^>

.Г Р1

* п(

/ф (Я, р) = -^. 1

Ф 2 о п

X

йХ.

В выражении (24) перейдём в пространство оригиналов.

Для вычисления особых точек подынтегральной функции произведение продольного волнового числа на толщину листовой заготовки представим как мнимую величину

Подставляя (25) в знаменатель дроби выражения (24) и приравнивая его к нулю, получаем уравнение для величин рк

(вЬ(ХИ) - (Рк /(Х •1 ))2 сЬ(ХИ))- втСРк) +

+ е ХИ (ри/(X-1))со8(рк) = 0, (рк * 0).

После выполнения тождественных преобразований приводим (26) к виду, удобному для практического анализа

іиСРк > = -

2

Рк

(Хй) Рк ) У (Хй) Рк

-2ХИ

Как следует из (27) и представления (25), особыми точками функции комплексного переменного под знаком интеграла в выражении (24) являются простые отличные от нуля полюсы - рк

рк =

и

2 + (X-й )2 ) к = 1,2.

Интересно отметить, что при низких частотах токового импульса в первичной обмотке, когда I р^оу 1^0 и д(р,Х) и X, выражение (22) переходит в формулу для плотности индуцированного тока в одиночном листе тонкостенного металла [1]. Идентичность зависимостей вихревых токов для одного и двух металлических листов объясняется тем, что, в случае достаточно низких частот возбуждаемых полей, взаимное влияние дисков становится весьма несущественным.

Интегрируя по толщине [0,1], получаем ради-

альное распределение линейной плотности индуцированного тока в диске

где х = ц0у! -характерное время диффузии поля в металл листовой заготовки.

Далее, в соответствии с теоремой об оригинале дробно-рациональной функции и с теоремой обращения свёртки из выражения (24) находим соответствующую временную зависимость

р • 1

о-

о-

й • ^

йО( р, X) йр

1)

йі

* ерк -1.

р=рк

В конечном итоге, с использованием (29) после необходимых тождественных преобразований находим оригинал для индуцированного тока.

I,

,(Я,і) = - - •? ^(Рк,(Ы>> /(Х>(1 - Jо(Х-Я>)/к > д 7 й ^2(Рк,(Хй>,Л

,1)_, йі

й

о

р2+(^й >2

і

сГк,

где

е

е

^1

^

8Ь(ХИ) -

Рк

сЬ(ХИ) +

ХИ

- 5Ш(Рк ) •

Рк

еХИ + 2сЬ

йчх-1 )2)

р*+(А.1 )21

1С =

• е 50 'ф- 8Шф,

где ]т =

1т  М>

- амплитуда плотности тока,

1 У(г) 1 г

где

/к(х ф) =е 5<гф

е ~0ТЦ№к + х~1/(ют)-80

81П ф

)/М-

1+

= Ут  /к (x, Ф);

_(р 2 + х 2 )/(ют)-5 012 81И ф - с08 ф|ч- е

I ф (Я, г) = -

1т • V • 1

Я2 — Я]

'/

. Г Е1

/к (х, ф) • 1х,

х-Я^ 1

/(х) = ~2 | .у • му) • 1у;

х х-Я^ 1

р1 (Р к, х) =1 - (с°5 (Р к) -Р к Iх «п (Р к));

Е2 (Рк ,(^1), И) = с°8(Рк)1рЬ (х• )-(Р^х)2 сЬ (х • )н

С-Н/1)

с-И/1) , 2сЬ

Интересно отметить существование очевидных предельных переходов в свёртке выражения (30).

Дисперсионное уравнение (27) в терминах переменной - х принимает вид

2

1ё(Рк) = -

Рк___________

х Рк

е

И

-21 х-

1

0.

режиме резкого поверхностного эффекта (у^-гс) временная форма индуцированного и возбуждающего токов совпадают между собой. В режиме интенсивного проникновения поля (у^-0) индуцированный ток пропорционален производной возбуждающего тока.

Отмеченные предельные результаты полностью согласуются с выводами работ [2, 3]

Выражение (30) приведём к виду, удобному в практических вычислениях. Под знаком несобственного интеграла перейдём к новой безразмерной переменной интегрирования: х = (Х1). Также выполним преобразование временной зависимости.

В практике МИОМ функция времени плотности тока индуктора, как правило, имеет вид экспоненциально затухающей синусоиды, т.е.

](г) = ]„

и х Нр к х ^

+ — + —

. х Рк ,

Аналогичным образом, из выражения (24) найдём радиальное распределение индуцированного тока

3 ф (r,г) = -

1т • ™ Я2 ~ Я1

• Е1

/ (х);

^ х• 11-/к(х,ф)• 1х.

1т - амплитуда тока, 50 - относительный декремент затухания, ф = ю-г - фаза, ю - циклическая частота возбуждающего тока [1, 4].

С учётом принятого вида у(г) свёртка функций в выражении для плотности индуцированного тока -(30) будет равна

Выражение (30) в терминах исходных данных с учётом (31) принимает вид

где

Выражения (32) и (34) представляют собой аналитические решения поставленной электродинамической задачи о возбуждении индуцированного тока в одном диске. Выражение (32) следует удвоить. Это даст полную величину тока во вторичной обмотке из двух дисков рассматриваемого согласующего устройства.

ЧИСЛЕННЫЕ ОЦЕНКИ

Полученные результаты проиллюстрируем численными оценками для ситуаций, реальных в практике МИОМ [1, 4].

Положим, что

а) для первичной обмотки

м> = 20, И и 0.0025 м, Я\ = 0.015 м, Я2 = 0.075 м,

б) для вторичной обмотки

металл дисков - алюминий, у и 3.75-107 1/Ом-м, сталь электротехническая, у и 0.2-107 1/Ом-м, внешний радиус дисков - Я = Я2.

в) рабочая частота - / = 2 кГц, относительный декремент затухания - 5 = 0.25.

Вначале оценка корней дисперсионного уравнения (33).

Графическая иллюстрация образа Фурье-

Бесселевого преобразования для принятого радиального распределения тока в первичной обмотке дана на рис. 2.

Из графика на рис. 2 следует, что /(х)//тах << 1 уже для х > 0.3-0.35. Это означает, что при проведении вычислений можно считать х << 1. Корни дисперсионного уравнения определяются соответствующими зависимостями для рк.

Результаты расчётов индуцированных токов приведены на графиках рис. 3-5.

ВЫВОДЫ

1. В ходе проведенных вычислений была рассчитана основная электродинамическая характеристика согласующего устройства "дискового" типа - коэффициента трансформации тока. Его Максимальная величина составляет ~ 12^13.

2. Временные и амплитудные характеристики индуцированного тока определяются электропроводностью и толщиной металла вторичной обмотки (рис. 3 -рис. 5):

2

е

е

х

х

г

е

е

г

е

х

Рис. 2. Образ Фурье-Бесселя для принятого радиального распределения тока в первичной обмотке

Рис. 3. Ток первичной обмотки в отношении к максимуму, Jlomn. = Jl(9)/Jlm, ф = ЮГ - фаза

Диск вторичной обмотки

Рис. 4. Ток, индуцированный в одном диске, в отношении к максимуму тока первичной обмотки,

^2отн. = -^

Рис. 5. Ток, индуцированный в одном диске, в отношении к максимуму тока первичной обмотки, J2отн. = J2(ф)/Jlm, ф = юі - фаза, толщина алюминиевого диска - й = о.оо5 м, толщина стального диска равна эффективной глубине проникновения поля й и о.оо8 м

Первичная обмотка

Диск вторичной обмотки

Рис. 6. Радиальное распределение плотности тока, индуцированного в металле диска, в отношении к максимуму плотности тока первичной обмотки

грессивных технологий (научное издание). Том 1. Издание второе, перераб. и доп. Под общ. ред. д.т.н., проф. Батыгина Ю.В. / Ю.В Батыгин., В.И. Лавинский, Л.Т. Хименко. Харьков: Изд. "МОСТ-Торнадо", 2003. - 288 с.

5. Мэтьюз Дж. Математические методы физики / Дж. Мэтьюз, Р. Уокер. Пер. с англ. канд. физ.-мат наук В.П. Крайнова. М: Атомиздат, 1972. - 399 с.

Bibliography (transliterated): 1. Belyj I.V. Spravochnik po magnitno-impul'snoj obrabotke metallov / I.V. Belyj, S.M. Fertik, L.T. Himenko.

H.: Vischa shkola. 1977. - 189 s. 2. Batygin Yu.V. Osobennosti tokov, inducirovannyh nizkochastotnym polem odnovitkovogo solenoida v ploskih listovyh metallah / Yu.V. Batygin, V.I. Lavinskij, E.A. Chaplygin // Elektrotehnika i elektromehanika. - 2005. - №3. - S. 69-73. 3. Batygin Yu.V. Vihrevye toki v ploskih listovyh metallicheskih zago-tovkah / Yu.V. Batygin, E.A. Chaplygin // Elektrotehnika i elektromehanika. - 2006. - № 5. - S. 54-59. 4. Batygin Yu.V. Impul'snye magnitnye polya dlya progressivnyh tehnologij (nauchnoe izdanie). Tom

I. Izdanie vtoroe, pererab. i dop. Pod obsch. red. d.t.n., prof. Batygina Yu.V. / Yu.V Batygin., V.I. Lavinskij, L.T. Himenko. Har'kov: Izd. "MOST-Tornado", 2003. - 288 s. 5. M'et'yuz Dzh. Matematicheskie metody fiziki / Dzh. M'et'yuz, R. Uoker. Per. s angl. kand. fiz.-mat nauk V.P. Krajnova. M: Atomizdat, 1972. - 399 s.

x

0

0.4

0.8

r

R

R

R

• при уменьшении проводимости и толщины дисков снижается величина коэффициента трансформации и по сравнению с током первичной обмотки искажается его временная зависимость (рис. 4);

• для дисков с толщиной, близкой к величине скин-слоя, искажения временных и амплитудных параметров исчезают (рис. 5).

3. Из графической зависимости на рис. 5 следует, что местом наиболее эффективного токосъёма сигнала со вторичной обмотки является окружность по центру первичной обмотки согласующего устройства (г/Я и о.6).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Белый И.В. Справочник по магнитно-импульсной обработке металлов / И.В. Белый, С.М. Фертик, Л.Т. Хименко. X.: Вища школа. 1977. - 189 с.

2. Батыгин Ю.В. Особенности токов, индуцированных низкочастотным полем одновиткового соленоида в плоских листовых металлах / Ю.В. Батыгин, В.И. Лавинский, Е.А. Чаплыгин // Електротехніка і електромеханіка. - 2оо5. -№3. - С. 69-73.

3. Батыгин Ю.В. Вихревые токи в плоских листовых металлических заготовках / Ю.В. Батыгин, Е.А. Чаплыгин // Електротехніка і електромеханіка. - 2оо6. - № 5. - С. 54-59.

4. Батыгин Ю.В. Импульсные магнитные поля для про-

Поступила 20.04.2012

Батыгин Юрий Викторович, д.т.н., проф.

Харьковский национальный автомобильно-дорожный

Университет, кафедра физики

61002, Харьков, ул. Петровского 25

тел. (057) 7003653

e-mail: batygin48@mail.ru

Гнатов АндрейВикторович, к.т.н., доц.

Трунова Ирина Сергеевна

Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет, кафедра автомобильной электроники 61002, Харьков, ул. Петровского 25 тел. (057) 7003852, e-mail: kalifus@yandex.ru

Batygin Yu.V., Gnatov A.V., Trunova I.S.

A disk-type matching device.

Analysis of electrodynamic processes in a disk- type matching device is carried out in the article. Calculation of a current transformation ratio, the basic electrodynamic characteristics of the

matching device, is conducted. Results obtained are illustrated

with numerical evaluations of real-world situations in electromagnetic metal forming practice.

Key words - electromagnetic metal forming, transformation ratio, disk-type matching device, electrodynamic processes.