Георадиолокация: элементы методологии и аппроксимационной теории

УДК 550.837

Георадиолокация: элементы методологии и аппроксимационной теории

/0.4. Ним

Обсуждаются методологические подходы развития импульсного георадиолокационного зондирования (PJI3) как метода прикладной геофизики.

Приводится решение прямой задачи импульсного электромагнитного зондирования горизонтально-слоистой диэлектрической среды как математической модели теоретического обеспечения технологии георадиолокации.

Предлагаются математические модели инженерного решения обратной задачи георадиолокации. Рассматриваются вопросы повышения строгости решения прямой задачи для горизонтально-слоистой среды и учёта частотной дисперсии диэлектрической проницаемости в импульсном режиме.

Approaches of the development of Impulse Georadar Sounding as a method of applied geophysics are discussed in this article. The solution of the direct task of Electromagnetic Sounding of horizontal-layer environment as a mathematic model of theoretical maintenance of Georadar Technology is represented.

The mathematical models of engineering solution of the returned task of Georadar are proposed. The questions ofseverity increase of the direct task solution for horizontal-layer environment counting the frequency dispersion of dielectric permittivity under Impulse regime are considered.

Георадиолокация, или георадиолокационное зондирование (РЛЗ), - область прикладной геофизики, объектом которой является геологическая среда. В настоящее время теоретической и технологической базой РЛЗ служат теория распространения радиоволн в однородной непоглощающей среде и радиолокация - область радиоэлектроники, нацеленная на обнаружение и слежение объекта - цели в однородной диэлектрической среде радиотехническими средствами. Причем среда распространения радиоволн не является объектом исследования в отличие от объекта геофизики. Стремление использовать эффективность собственно радиолокации для изучения геологической среды привело к технологии подповерхностной георадиолокации [1] или георадара [2] - синонимы РЛЗ, но методологический подход при решении геофизических задач стал развиваться с позиций теории отраженных волн и радиолокации [1-5].

Несмотря на успехи такого развития, этот путь технологически остается «эмпирическим», особенно при решении обратных задач геофизики, что существенно снижает возможности метода при исследовании поглощающих и/ или неоднородных сред. В значительной степени эти вопросы могут быть сняты при решении прямых и обратных задач георадиолокации как метода геофизики с соответствующим аппаратурным и технологическим обеспечением [1-11, 14, 15]. Прежде всего,это от-

НИМ Юрий Александрович, д.г.-м.н., зав. каф. ГРФ ЯГУ

носится к конкретизации способов возбуждения электромагнитных волн определенной поляризации с вытекающими отсюда технологическими следствиями, т.к. пространственно-временной тип возбудителя и приемника определяет избирательность объекта, методику наблюдения и интерпретацию экспериментальных данных.

Следуя теории и практике электромагнитных зондирований, в частности технологии зондирования методом переходных процессов (ЗМПП), рассмотрим прямую и обратную задачу РЛЗ применительно к непоглощающему объекту высокочастотного зондирования горизонтально-слоистой среды при ее импульсном возбуждении вертикальным магнитным диполем [10-12]. Такая постановка вопросов (частные модели) следует из современного состояния РЛЗ, в основу которого положена теория распространения и рассеяния электромагнитных волн в диэлектрической среде, с одной стороны, а с другой - из необходимости технологического обеспечения определения геологических объектов с различной диэлектрической проницаемостью [1-6, 12-15]. Элементы более общей теоретической модели собственно РЛЗ, рассматривающие вопросы исследования сред с комплексной электропроводностью (поглощающих сред), в большей степени соответствуют геологическим объектам и приведены в работе [14].

Проблема рассеяния и дифракции электромагнитных волн является одной из классических задач, она постоянно привлекает внимание исследователей, поскольку развитие радиотехники, элект-

ротехники и радиолокации и их применение непрерывно расширяется, а практические запросы вынуждают искать новые пути теоретического анализа применительно к конкретным областям практических приложений [1-5,14]. Одну из таких областей представляет георадиолокация, собственное теоретическое обеспечение которой как импульсного высокочастотного метода геофизических исследований почти отсутствует [1-5,14]. Это объясняется не только слабым вниманием исследователей к этому вопросу, но и трудностями строгого анализа прямых и обратных задач зондирования в формах, доступных для технологичных реализаций [1-5, 7-14]. В таких случаях, как известно, прибегают к приближенным (упрощенным) моделям теоретического анализа с сохранением основных особенностей оригинала [8, 10-14]. Относительно технологии з9ндирования таким упрощением является аппроксимация горизонтально-слоистой среды системой плоскостей с эквивалентными оригиналу параметрами [10-12]. В рассматриваемом случае каждый слой геологического разреза мощностью /л, диэлектрической проницаемостью £п аппроксимируется плоскостью с эквивалентной соответствующему слою продольной диэлектрической проницаемостью Ип [12]. При этом

Ц, = Ит£п£п при еи-+со, е„->о, где п = 1,2,...Л

Применяя спектральный метод решения электродинамической задачи при импульсном возбуждении, вертикальный магнитный диполь с моментом м = М0е~'°", ориентированный по оси г, поместим в начало цилиндрической системы координат (г, (р, г) на расстояние "Ь" от первой плоскости горизонтально-слоистой системы, состоящей из N слоев "Оп ", последовательно отстоящих друг от друга на расстояние йп Здесь для удобства построения математической модели межпластовое расстояние с номером йп соответствует слою "Оя" за исключением начального слоя со - циклическая частота, I - время, / - мнимая единица. Вводя вектор-потенциал поля А2, соотношением Ер = го1Аг всоответствии с цилиндрической симметрией электромагнитного поля, как известно, каждый слой £>л будет описываться уравнением Гельм-гольца:

где к2 — со2 е/и; ц- магнитная проницаемость вакуума.

Раскрывая оператор Лапласа для единственной

значимой компоненты Az и вводя мнимую единицу для последующих преобразований, получим: divgradAz=

Умножая обе части уравнения на элемент длины "£ " элементарного объема, вместо объемной дивергенции получим поверхностную, а в правой части - параметр "D" вместо " £ ":

Div

дАг dZ

I =

Поскольку собственные источники поля системы "Оп" отсутствуют, а поле на слоях "О" имеет конечное значение, то

5AW 5А?>

= (ico)2 juDÁ

дг дг

где оцифровкой (1), (2), (1,2) указаны соответствующие функции поля с обеих сторон границы.

Формальное выведенное методом математической теории поля соотношение (4) представляет граничное условие на вырожденном диэлектрическом слое. Такое же соотношение выводится по известным классическим схемам [8, 11,14]. Если пренебречь диэлектрической проницаемостью межплас-товой среды (воздух) по сравнению с рассматриваемой системой 'Т> ", то в качестве описания этой

П 7

среды может быть описано уравнение Лапласа:

УЧ = 0.

Второе граничное условие, согласно теореме единственности, имеет классический вид [8,11,14].

= (б) Известны также краевые условия [8]: при А"—> оо, Л2„_> 0; при г-» 0, Ат ш^М/Аяг. (7) Опуская известные детали решения уравнения Лапласа, а также применения обратного преобразования Фурье-Лапласа к решению электромагнитной задачи в гармоническом режиме [8,10,14].

Представим импульсное электромагнитное поле во временной области в виде:

4,(0 =

цМ д _,

4 n dt

e~amch

4,(0 = -

juM д тггт 2т 4тг dt ¡ nD

[(ch(at)-l]J0(mr)dm,

где Л0(тг) - функция Бесселя нулевого порядка аргумента (тг), т - переменная разделения,

a = 2h + z, а =

2т /¿D

XV2

Поскольку ск(а1) --Мехр

Г 2*0 /

1 V») V

2т

N1/2

= -«хр

/•ехр

' т(л

V ;

/лИ

то выражения (8) становятся табличными и приобретают вид:

4(0

_ /лМ д ~ Ал дг

Л1/2

гхг2

где

г,'=[г2 + (а'+ а)]У\ =

Второй интеграл вычисляется представлением гиперболического косинуса через экспоненциальные функции:

—3^2 г-

3/2

Учитывая обстоятельство, что всегда выполняется условие

\/м£> !

представляется в виде:

4(0 =

цМ 15 г

Мгу2

1

4я- гуг д( *2-А2 ~ 4тгй I (

где

1= ь

/Дг;А=(2Л + г)/г

Отсюда £ =

ЭЛ.

м

Приведем это уравнение к виду:

г2Е: М

В2Н2Ег^2 - ИМ[/ -Е/ = 0,

где м =

Измеряя поле на временах t¡ и получим два уравнения, аналогичных (20) из решения которых получим:

Н =

цМ

8 пЕу*

А

АЕ

VI

И£/).

^Д

цгМ А

где

АЕ9=Е¥ Д(я/) =

Формулы для определения параметров диэлектрического слоя можно получить исходя из решения прямой и обратной задачи с меньшими упрощениями.

Так, представляя выражение (8) с учетом (15), через экспоненциальные функции получим:

4,(0 =

цМ 8 л

2Л + г- К

цй

2Н + г+ </

цВ

3/2

откуда £„(/) =

ъм

8 лОгъ

_\ 4

Измеряя поле на двух временах, ^и и решая полученную систему уравнений, находим:

£> =

( . \

/2 —12 '/ 1М

2 М1/4

Г1/4

4/3

где Д

£1/4 \ <р ;

м = Ж

8лгг

3 '

Л =

Г <, 1 2 Г

\MDrj

2/,

,5/4

При скважинных исследованиях или георадиолокационном просвечивании параметры диэлектрического слоя определяются из выражения (8) по подобной схеме. Так, поле под пластом представляется в виде:

4,(0 =

м

8я-£>

Г- V

1

1

3/2

3/2

+ Г'

зм

8ят £>

где г = 2/

При измерении поля на временах / и /,4 / из

получим:

£ =

4/3

Г2-Г2, 1 ;+1

2//гМ1/4А

/ещ

где

г =

//

Л

2 , _ +

V4 ъ

цгВ

5/4

1/2

Г1/4

Г1/4 Г1/4

8яг

Для определения параметров многослойной среды необходимо в расчетные отношения ввести соответствующие поля рассматриваемой модели по аналогии со схемой показаний в работе [10].

Теперь рассмотрим импульсное электромагнитное поле при N=2. Повторяя процедуру решения уравнения Лапласа в каждой из сред, разделенных плоскостями £>пи используя табличные интегралы обратного преобразования Лапласа-Карлсона [16] в каждой из сред, будем иметь:

/лМ 8 ^ _.яи г ПР( а ск-Ш-ск-Ы

4,(0=-

4 тс Э*

|е'ат£>г

+

2 ш ^отр сИ-Ы-сИ- Ш

яд

Ь -а

а2 -Ъ

Ь = -

2тП

I 1/2

1-о-^Г] .

Для конструирования решения прямой задачи при Ы=п рассмотрим выражение (22), описывающее поле в наиболее значимых технологических вариантах - наземном и воздушном.

Представим выражение (22) в виде линейной системы относительно поля первого слоя и совокупности полей взаимодействия по аналогии с апробированной рекурсивной схемой, приведенной в работе [10]:

4,2 (0 = ^^-)е-атсИ(аМ(тг)<1т Ал Зг

+

/лМ д "г

+---\е

4л дг

1«

х

а22ск{а^)-Ь1сЪ{Ъ2 О

+

+

2т оГсНЬ20гсКа20^сКа {)

М&1

ь2 ~2

-а

Здесь цифровыми индексами обозначено количество слоев "£>" в разрезе.

Учитываем запаздывание и последовательность отражений, а также суперпозицию электромагнитных полей, при наличии одного слоя с эквивалентными им параметрами. Тогда, учитывая, что первый член суммы рекурсивного выражения (23) описывает поле только первого пласта, поле трех слоев 'Т)" представим в виде:

В - П рх П + О е'х

где £>пр = 1 -, £>отр = 1 2 -.

А?

Д - 02е~

¿2,(0 =

цМ д % 2т g2 т2 сИ  Ы - сИ • Ш

4я д1 { ?

Ь2 -а1 Jl¡ (тг)с1т

J0 (тг )<1т

мм "г Ь  яИ  а1 - а • ¡И  Ы

аЬ

. ,. иМ "г „ 4т2 Ь  йН-Ш - а  ¡Н-Ы Т , ч, 4ж ' Ц аЬ

где = 1 + е~"г, х2=2(Н + г),

Чг

4^(0 = 4,2(0+

/иМ д ° 4 я 8(,

ат I /-.ПР

Д

а\сИ

„2 А2

2« _ £)ОТР сй(Ь30 -с/1(аз0

Ja(mr)dm,

где знак 22 обозначает сумму параметров двух последних слоев 'Т>".

Учитывая рекуррентный характер выражений (23,24), при наличии в разрезе n слоев "£)" будем иметь:

4» (0 = 4,г» п(0 + —— кат 1яи 4лг ^ ^

D

ПР

a2„ch

<-к

+

2т

^.К-о

~Ch{axYn-xt)

т\ ОТР ch

bi-a

п п

J0 (mr)dm,

megn=\-e-xx„=2m(Hn-h)t

dotP =.

л0ТР _ 'L"4 "

Д v , - D e~x"

£>lV .-D„e~x-

Dng„

а

2/w

XV2

K^n =

2w

D.

Z-i

1/2

Для наглядности и краткости формулу (25) можно представить в виде:

д ¡лМ

Лгп

F„

г(я",) Ы 4тг где Рп(т,1,г)~ интеграл в выражении (25).

Если объект РЛЗ содержит вещества, свойства которых характеризуются поверхностной и/или объемной поляризацией (к примеру, вода, лед), то на технических частотах (частотах, применяемых в практике РЛЗ и других высокочастотных методах разведочной геофизики) возникает дополнительное электромагнитное поле, обусловленное запаздыванием атомов и молекул вещества принимать ориентировку возбуждающего поля и/или накоплением зарядов на поверхностях раздела ("частотная дисперсия"). Этот факт описывается, как известно, соответственно теорией Дебая и эффектом Максвелла-Вагнера, в которых без учета проводимости диэлектрическая проницаемость представляется в виде [1, 3, 7, 18,19, 20]:

1 + icox

где ех = lim s', при со —» - динамическая диэлектрическая проницаемость, т - время релаксации.

1 + üJ г

2 2 ' т

_(S0SX)(OT

1+со2т2

Представляя знаменатель в виде р2 — а2, где р = ico' а = + — и пРименяя обратное преобра-т

зование Лапласа-Карлсона, получим выражения для действительной и мнимой составляющей диэлектрической проницаемости во временной области:

Re б' - еп

\-ch

V т)

+ £„ch

V т)

= e0-ch

V ^;

(«О"*.)»

¿„с'= -

СТт

±>/.

М

V г) t

sh

'±L'

V Г у

= £0-(е0-£«.)е

Второе слагаемое приобретает физический смысл при >0, т. е. при высоких частотах или больших значениях т, что соответствует теории Дебая и экспериментальному факту влияния частотной дисперсии на переходной процесс. При ¿-»оо физический смысл, согласно теории Дебая, имеет лишь ехр (— 1, и тогда диэлектрическая проницаемость приобретает статическое значение, действительное при со—>0.

Вводя комплексную форму соотношения (27) в ограниченное условие (4) с учетом соотношений В'п = £•' 1п и Б" = £"1п, повторив процедуру определения вектор-потенциала горизонтально-слоис-той среды, получим соотношения подобные (14, 16,17,22,21,22,24,26) с подстановкой равенства П" /

/ I

При решении обратной задачи по значениям поля левой или правой асимптотики определяются соответственно .0" или по формуле (18).

Таким образом, в расчетных формулах учитывается комплексная диэлектрическая проницае-

мость, проявляющаяся в высокочастотном поле или на малых временах импульсного режима, или при исследовании гетерогенных сред, свойства которых характеризуются поверхностной или объемной поляризацией [20]. Выводы:

1. В связи с тенденцией практического применения георадиолокации при решении геологических задач возникли вопросы методологического и теоретического обеспечения PJI3 как геофизического метода - высокочастотного импульсного электромагнитного зондирования, ответы на которые помогут существенно расширить сферу применения метода и увеличить его эффективность.

2. Для теоретического обеспечения технологии PJI3 как метода прикладной геофизики целесообразно (и даже необходимо) использовать известную электродинамическую аппроксимационную модель горизонтально-слоистой среды, позволяющую решать прямые и обратные задачи импульсного электромагнитного зондирования в технологически реализуемых формах.

3. Рассмотрен аналитический способ вывода граничного условия на диэлектрической границе на основе анализа однородного уравнения Гельмгольца.

4. Решена прямая задача РЛЗ для диэлектрической горизонтально-слоистой среды в форме, реализуемой для численных расчетов и моделирования.

5. Предложены аналитические способы определения параметров среды в виде расчетных формул с учетом алгоритмов расчета поля для многослойной среды.

6. Показана модель учета частотной дисперсии и предложено выражение для комплексной диэлектрической проницаемости в режиме переходного процесса.

Литература

1. Финкельштейн М.И., Кутев В.А., Золотарев В.П. Применение радиолокационного подповерхностного зондирования в инженерной геологии. М.: Недра, 1986. 128 с.

2. Davis J.L., Annan А.Р. Ground-penetrating radar for higtresolusion mapping of soil and rock stratigraphy // Geophysics, 1989 vol.37, p. 531-551.

3. Alvarez R. Complex dielectric permittivity in rocks: a method for its measurements and analysis // Geophysics, 1973 vol.38, p. 920- 940.

4. Омельяненко A.B. Научно-методические основ георадиолокации мерзлых горных пород: Дис... д.т. Якутск: ИГДС СО РАН, 2001. 343 с.

5. Международная научно-практическая конфере1 ция «Георадар-2004» // Геофизический вестник. 200-№ 4.С. 4-7.

6. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М Наука, 1973. 342 с.

7. Петровский АД. Радиоволновые методы в пох земной геофизике. М.: Недра, 1971. 224 с.

8. Кауфман A.A. Введение в теорию геофизически методов. Ч. 2. Электромагнитные поля. Пер. с англ. М Недра, 2000. 483 с.

9. Ваньян Л.Л. Основы электромагнитных зондиро ваний. М.: Недра, 1965. 108 с.

10. Ним Ю.А. Основы приближенной теории элект розондирования методом переходных процессов // Гео логия и геофизика. 1989. №3. С. 134-141.

11. Шейнман С.М. Об установлении электромагнит ных полей в земле // Прикладная геофизика. М.: Недра 1947. Вып. №3. С. 5-55.

12. Ним Ю.А. Аппроксимационная модель рассеяния электромагнитного поля горизонтально-слоистой диэлектрической среды при импульсном внешнем возбуждении вертикальным магнитным диполем // Тезисы докладов Всероссийской конференции «Космо- и геофизические явления и их математические модели». Якутск: Изд-во Якутского ун-та, 2002. С. 22-24.

13. Кинг Р., Тай-цзунъ У. Рассеяние и дифракция электромагнитных волн. Пер. с англ. М.: ИЛ., 1962. 193 с.

14. Ним Ю.А. Технологичная модель теории импульсного электромагнитного зондирования горизонтально-слоистой среды комплексной электропроводности // Проблемы прогнозирования, поисков и изучения месторождений полезных ископаемых на пороге XXI века. Воронеж: ВГУ, 2003. С. 591-594.

15. Нефедов Е. И. Дифракция электромагнитных волн на диэлектрических структурах. М.: Наука, 1973.342 с.

16. Дитпкин В.А. Прудников А.П. Справочник по операционному исчислению. М.: Высшая школа, 1965.466 с.

17. Градштейн Н.С., Рыжик ИМ. Таблица интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971.1108 с.

18. Кожевников НО. Влияние частотной дисперсии диэлектрической проницаемости на результаты измерений в методе переходных процессов. Деп. в ВИНИТИ. В91.20 с.

19. Фролов А.Д. Комплексная диэлектрическая проницаемость мерзлых грунтов // Итоги фундаментальных исследований криосферы Земли в Арктике и Субаркти-ке: Сб. науч. трудов / Ред. Е.С. Мельников. Новосибирск: Наука, 1977. С. 102-109.

20. Хиппель А.Р. Диэлектрики и волнь/Пер. с англ. М.: ИЛ., i960. 438 с.

-ффф-