Моделирование поведения кольцевой пластинки при импульсном нагружении

УДК 510.67 К.З. Хайрнасов

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ КОЛЬЦЕВОЙ ПЛАСТИНКИ ПРИ ИМПУЛЬСНОМ НАГРУЖЕНИИ

Приведена методология и алгоритмы процесса деформации кольцевой пластинки в коническую оболочку при действии импульсного давления. В качестве метода исследования применяется метод конечных элементов. Приведенные методология и алгоритмы позволяют исследовать большие перемещения пластинки при действии динамических нагрузок.

Ключевые слова: деформирование кольцевой пластинки, динамическое нагружение, импульсное давление, метод конечных элементов.

K.Z. Khairnassov

THE MODELLING OF THE COLLAR PLATE BEHAVIOR DURING THE IMPULSIVE LOADING

There are designed methodologies of calculation and algorithms of process deformation cycles plane in conic shell under impulse pressure. As a method of designing there were used finite-element methods. The worked out methodology and algorithms allows researcher to process large displacement under dynamic loads. Comparing of theoretical and experimental results is successful.

Key words: deformation of the collar plate, dynamic loading, impulsive pressure, finite element technique.

В статье рассматривается процесс деформирования кольцевой пластинки в коническую оболочку при действии динамического, нормального давления, в общем случае переменного по радиусу пластинки. Такие задачи возникают при формовании оболочечных конструкций из плоских заготовок. Формование оболочечных конструкций из плоских заготовок с использованием динамического нагружения выгодно отличается от статического тем, что в процессе динамического нагружения удается избежать появления потери устойчивости и соответствующего волнооборазования материала заготовки вследствие повышения уровня критических нагрузок при динамических нагрузках, иными словами, некоторые детали можно получить, применяя только динамическое нагружение.

Также к преимуществам динамического нагружения относится и возможность управления процессом деформирования. Управляющими факторами являются: величина и форма импульса, место его приложения к заготовке и.т.д.

Поскольку рассматриваются значительные деформации, то в теоретической формулировке необходимо учитывать как упругое, так и неупругое поведение материала. Точность численного решения оценивается путем сравнения с экспериментальными данными для кольцевых пластин при действии импульсно-магнитного поля [1, 2]

1 Теория

Придерживаясь единого методологического подхода, кольцевая пластинка моделируется совокупностью кольцевых конечных элементов, соединенных по узло-

вым окружностям с аппроксимациеи перемещении в направлении нормали, кольцевом и радиальном направлениях в виде полиномов от радиального расстояния и рядов Фурье в кольцевом направлении. Уравнения движения, описывающие нелинейную динамическую реакцию, получаются из уравнении Лагранжа. При этом в выражении энергии деформации удерживаются нелинеИные члены относительно перемещении и их производных, вплоть до четвертого порядка включительно, поскольку, как показали результаты исследования [3-6] их учет очень существенен для получения точных результатов. В выражении кинетической энергии учитывается влияние инерции вращения.

Есть несколько подходов к решению нелинеИных задач [4]. В данноИ работе применяется метод суть которого заключается в том, что нелинеиные члены помещаются в правую часть уравнении движения и рассматриваются как дополнительные обобщенные члены, вычисляемые по значениям обобщенных координат, полученным на предыдущем шаге нагружения или по экстраполированному значению обобщенного перемещения, вычисленному по результатам нескольких предыдущих шагов нагружения, по формулам:

Выражение для энергии деформации ортотропнои оболочки можно выписать в виде

U = 2 Сі"2 + C2Se + 1VseC\SsSe + °\Є1в

+DX2 + D2X0 + 2vs0D1XsX0 + G2Xs0]rdsd0

После постановки выражении для деформации срединнои поверхности в уравнение (1) энергию деформации можно записать в виде

U = U + U

л н

где Ua - линеИная часть энергии деформации, она совпадает с выражением (6) и UH - нелинеИная часть энергии деформации, обусловленная нелинеИностью в соотношениях «деформации-перемещения» [7] .

"" = es + i(ís + е2з}, "0 = e0 + 2 (<13 + е2з}, "s0 = es0 + 2 el3e23

x = ~mss ~ust _^2 uCOs2 ’ Хв = (-Швв + ve cos-rms sin-u$sr sinVr2

r

l 2

X „ = (-rrn _ +&„ sin-иф r + rv cos--±-sin2)/r

As0 v s0 0 ^ 0rs s ^2

e = и - м>ф , e0= (v0 + и sin + w cos)/ r, e 0= (u0++ rv + v sin)/ r

s s S 0 0 S0 0 s

el23 = 2(ms + Ф)2, e223 = T2(m0~ v COs)2, e323 = 772 0 v sin-rvs)s

2r 16r

s

= -(&s + us); ф0 = ~(rn0 -vcos)/r

В уравнениях (3) обозначено , Єд, є д деформации срединной поверхности по соответствующим координатам; , Хд, X д " деформации кривизны; Є13’ Є23 " Углы поворота вокруг координатных линий; г - радиус оболочки; ф , фд - углы наклона меридиана к оси оболочки, и угол в окружном направлении; Є33 - «кручение» срединной поверхности.

и = 2 Ц [(е5+^|3) Л| 1 (еу + й|3) + 2(еу + е|3) Л12(ев + е23) + 2(еу + е|3 ^ ^ 3(ев + ^зе23) +2(е!+е123) В 4к!+2(е!'+е2з) В1 5К+2(е*+е23) В1 6кв+(ев+е23) Л22(‘в+‘^3)+

+2(ев+е223) Л23(ев+е13е23) +2(ев+е23) В24к*+2(е9+е223) В25кк+2(ев+е23)В26кв+ +(е0+е1 3й23) Л33(е5й+е13е23)+2(е»й+е| 3й23) В>4*у+2( ев+1 3е23)В!5 V +(е!в+‘13е23>В3бКв+КП44К+2К045кв+2к^04бКв+Кв°55Кв+2квП5бКв+

+Кв°6бКв^^8 <4)

Перепишем выражение

л н н

и2 = 2 Я МЛ + 2еуЛ12ев + 2еЛэе0 + 2еЛ4К+ 2еуВ15кв + 2еАлв+

+евЛ12е6 + 2евЛ23ев + 2е0В24Ку + 2е0В25К0 + 2евВ26кв + es6Л33es6 +

+2еЛК + 2евВ35кв + евВ36кв к44ку + к45кв + к46кв + +кв°55кв + 2ке°56куд + кв°66кв^

и3 =1 |Г (2е Л е2 + 2е Л е2 ) + 2е Л е2 + 2е Л е е + 2е Л е2 +

н 2 5 1113 у 12 23 в 12 13 у 13 13 23 50 13 13

+2е123В14Кк + 2е123В15Кв + 2е1зВ16Кув + 2евЛ22е223 + 2евЛ23е13е23 +

2 2 2 2 +2е _Л„„^„ + 2е^„В^ „к +2е^„В^ ,к+2е^„В^ к л+2е +

в 23 23 23 24 у 23 25 в 23 26 в в 33 13 23

+2е е В к + 2е е В к + ее В к )ёБ

13 23 34 у 13 23 35 в 13 23 36 в

и4 = 2 ^ (е123 Л11е?3 + 2е123 Л12е23 + 2е123 Л13е13е23 +

+е23 Л22е23 + 2е23 Л23е13е23 + е13е23 Л33е13е23)^

В формулах (5-8) верхний индекс и обозначает квадратичную составляющую обобщенных перемещений в выражении энергии деформации, при подстановке в уравнение равновесия (6) эта составляющая энергии деформации образует линейную часть уравнения.

Энергия деформации представленная в уравнениях (7) и (8) образуют нелинейные слагаемые, соответственно, кубическое и четвертой степени в выражении энергии деформации. При подстановке у уравнение равновесия (9) определяют квадратичное и кубическое нелинейные члены относительно обобщенных перемещений. Как показали предварительные исследования, учет кубических нелинейных составляющих в выражении энергии деформации является необходимым при решении задач динамического нагружения, для получения достоверного решения.

Уравнения равновесия, описывающие нелинейную динамическую реакцию, получаются из уравнений Лагранжа (9) и эти уравнения применимы как к линейным, так и нелинейным системам. При условии, что члены, характеризующие энергию деформации и работу, выражены через обобщенные координат, и их производные во времени и вариации.

—^_+^ = 0

Ж • д{д} д{д}

Подставляя (5) в (9) и перенося в правую сторону величины соответствующие нелинейным слагаемым, получаем уравнения равновесия в виде

[М ]{*} + [К ]{д} = {0} - {0 “ }-К ]{д} - {0Р }

[М ] =—Г ] ]" П и 2 + у1 + + + вв 1в I —л\-матрица масс

д д

[К ] = = — {[Г елал м}-

1 1 дд Здш >

{0} = -дд {(и + РуУ + Ру,м>')—л}- вектор внешних сил {0} = —{(и + Руу + Р^^—Л}- вектор внешних сил

матрица жесткости

г)Т /”3 р)Т I Р)

{0нл } = —«. +—«. =—( +8Н Ввл +8Н Ввн )}-1 ’ дд дд дд'пк } >

геометрически

нелинейный член

[Ко ] = д— {(н!ач + аннан )^н —л}-матрица начальных напряжений [0' ]=|- +^.н)—л}

" нач.''- начальное напряжение (преднапряжение).

Рассмотрим решение динамических уравнений (10) для осесимметричных конечных элементов. Перемещения для решения задачи осесимметричных конечных элементов представляются в виде (11) ряда Фурье:

1 -1] д'+ 7д’

0081в

'=!

= 1

, 357 2.Г | ( 2э2 ^ | ( 357 2У

1-Т+—\д2+15-Т+Идз +{1Г+Т]д+1-Т+71 д7

сое ¡в

При нахождении П3н и П4н перемещение ш принимаем в виде

=Е

1 " 1] д2 + 1д‘

С0Б ¡в

w

I=0

1=0

При таком представлении перемещений уравнение движения справедливо для любой гармоники, при наличии связи между гармониками, фигурирующими в последнем члене.

При решении нелинейных уравнений нет необходимости в разделении на задачу определения исходного состояния, характеризуемого членами ... и задачу устойчивости, как это делается при использовании статического критерия устойчивости. Критические нагрузки определяются по предельным точкам или по точкам разветвления нелинейного решения (точкам бифуркации решения).

Такое различие перемещений допустимо использовать, так как они удовлетворяют условию непрерывности п-1 производной на границе между элементами, при условии, что внутренняя энергия является функцией 1-й производной перемещений

Нелинейные члены для элемента определяются путем взятия частных производных от выражения (7), (8) энергии деформации, соответствующего нелинейностям по обобщенным координатам.

Это дает для Ul + U4н.

где п - номер гармоники, а ш=1,2,...,8.

Принятые функции перемещений позволяют разделить переменные в уравнениях (11) и удовлетворить требованию периодичности по кольцевой координате в .

В результате подстановки уравнений (11) в уравнения (3) получаем

Здесь ех, ев, єю, є13, є23 - линейные деформации и повороты для гармо-

ник і являются функциями только от меридионального расстояния в.

Например,

После постановки (. ) в (. ) при вычислении частных производных интегрирования по длине производиться независимо.

Поскольку произведения тригонометрических функций с волновыми числами 1. ], к могут быть представлены суммой (разностью) тригонометрических функций с волновыми числами

[5].

п

п

п

е = £< соєЮ; єє = £еЮ005іЮ єю = £5іпЮ;

і=0

і =0

і =0

п

п

Єї

13

£ ЄзС05 Ю; Є23 =£ є2зС°8 Ю;

і=0

і =0

к-)-і, к-}+1, к+]+і

приведенные соотношения отличны от нуля при равенстве нулю соотношений (16). В противном случае они тождественно равны нулю.

При вычислении членов четвертого порядка малости выражения (8) образуют структуры.

Н7 = соб(& + ] + ' - п)в, Н8 = соб(& + ] + ' + п)в.

Выражения (19) отличны от нуля при выполнении тех же условий, что и для выражения (17). То есть если к ± у ±' ±п = 0 , и равны нулю в противном случае.

Таким образом, интегралы по углу в можно вычислить точно, тогда как интегрирование по длине элемента включает множество операций и требует большого объема памяти на компьютере. Поэтому в вычислительной программе было сделано допущение о том, что интегралы по длине меридиана элемента вычисляются путем разбиения этого меридиана на отдельные участки.

Подставляя (11) в (14) и подсчитывая значения деформации в центре элемента, получаем линейные деформации е[, е'в, е'в, е^, е23 в виде

008 кв 00Б їв008 10008 пв = - [Н1 + Н 2 + Н 3 + Н 4 + Н 5 + Н 6 + Н 7 + Н 8]

8

Бій кв Бій їв бій ів бій пв =1 [-Н1 - Н2 + Н3 + Н4 + Н5 + Н6 - Н7 - Н8] 8

00Б кв бій їв бій ів 00Б пв = — [-Н1 + Н2 + Н3 - Н 4 + Н 5 - Н6 - Н7 + Н8]

8

00Б кв 00Б ївБіи і в бій пв = — [-Н1 + Н 2 + Н 3 - Н 4 - Н 5 + Н 6 + Н 7 - Н8]

8

Н1 = 00Б(к - ] - і - п)в, Н2 = 00Б(к - ] - і + п)в, Н3 = 00Б(к - ] + і - п)в, Н4 = 00Б(к - ї + і + п)в, Н5 = 00Б(к + ї - і + п)в, Н6 = 00Б(к + ї - і + п)в,

Подставляя (15) в (13), и используя прием интегрирования участка по координате, изменяющейся в меридиональном направлении, получаем,

-- А де' с'ке;3е;3 +^'"^4 I—пг+

Л де' --- деп

Ск4е2з +Ув,С1'пе13е{3 )-в + 2^^

дПъ ди4 г I

н +______^ ___ т X X

2 і_0 ї_0

дч: дд:

д€

д€

2Сії"еіеі + 2у Єії"еіеї + 2Єії"еі еї

А^1 ЄіЄ13Т'і 1 ЄвЄ23

2с‘ї"е‘еї + 2^ С‘ї"е‘еї + 20‘їпе‘ еї

2 2^ тіу0 1 еіе13 т гл-'1 і:

гі Т Т Т

2 і_0 ї_0 к_0

де—1

дчт

деп

23

дд"

т

С2^”е'е/,е,к, +| у.вСУк" + 20Ук" |е'е'е!

де1п3

дд"

т

де23

дд”

1 т

где гт - значение радиуса в середине элемента, еI, е'в, е'в, е'3, е'23 значения линейных

деформаций вычисленные в средней точке элемента

Индексы констант Сг, С2, Ог указывают на то, что эта константа умножена на интеграл от некоторой тригонометрической функции. Так, например

С'1кп _ С, | 00Б ів 00Б їв 00Б кв 008 пв Св

С чкп _ с, 100Б і в бій їв бій кв бій пвсів

черта над і, ], к или п означает, что функция косинуса должна быть заменена на функцию синуса, т.е.

и _—иь Ж}гСгСв

{сГ3 } _

1.1 Матрица геометрической жесткости

Для решения задач устойчивости и динамики преднапряженных конструкций в линеаризованной постановке требуется определять матрицу геометрической жесткости.

Матрица геометрической жесткости представляет собой линеаризованную часть нелинейной компоненты и3 энергии деформации, полученную путем введения допущения о том, что известна зависимость внутренних силовых факторов от действия внешних нагрузок. Линеаризованную часть энергии деформации можно записать в виде

и _ N0 Ц е^^Св + Ц е(2)гСуСв +

2 ^ 1 вв ^ 2

(М0 +у М , ,

+ 12_Ж_в-Ж +„2{ + -вв

гdsd в Ґ2 008 ф

Через N , N

ss

вв’

М

М

вв

обозначены начальные усилия и моменты, ф -

угол в меридиональном направлении.

Дифференцируя это выражение по обобщенным перемещениям, получим матрицу геометрической жесткости [ Ка ]

д и

ё

= 2

К

д д ь

1.2 Вектор внешних сил

Вектор внешних сил характеризует работу внешних поверхностных нагрузок на возможных перемещениях и находится на основе вариационного принципа из выражения

ф = \{Р}{и}сА

где {Р}, {и} вектор внешних сил и вектор перемещений.

Вектор внешних сил определяется путем дифференцирования выражения (27) по обобщенным перемещениям.

Т =-дф

дЧ,

1.3 Матрица масс

При решении динамических задач необходимо учитывать силу инерции конструкции. Эту функцию в методе конечных элементов выполняет матрица масс. Если

материал имеет плотность р и поле скоростей задается вектором и, V, н . Тогда

кинетическая энергия конструкции представляется в виде

ґ.

л

и+v+ н+1 в +Вг

Я Я в в

<1У

где 13, 1в - моменты инерции сечения; , вв - углы поворота нормали.

Подставляя перемещения и, V, ш из уравнения (11) в соотношение (29), получаем

и +

в

и +

в

+ (Н)2 + I в + Iввв

я я вг в

Rdsdв

Кинетическая энергия многослойной оболочечной конструкции состоящей из слоев с различными физико-механическими характеристиками получается путем дифференцирования кинетической энергии слоев.

Матрица масс определяется дифференцированием кинетической энергии по обобщенным скоростям

д.=[м ]{*;1

д д ^

точка над буквой здесь и далее означает дифференцирование по времени. где М ]=Л {л( и2 + V2 + w2 + в, I, +Ро ^ СА| - матрица масс

Рассмотрим геометрические и физические зависимости для многослойных оболочек в методе приведенных жесткостей.

Матрицы упругих коэффициентов для ортотропного материала, оси ортотро-пии которого совпадают с осями координат, при плосконапряженном состоянии имеют вид

{о} = [ Е ]{в}

би е„ °

[Е]= е21 е22 0 0 0 е61

В ={

= {£ , В

5 Ь

где

Е

11 1 -УЬУв5

= {о , о

8 в

Е уп 8 08

Е V ь 8 80

12 1 -^вЬ

1

Е

22 1 -^вЬ

Уравнение (32) после подстановки соотношений {4 = {В° } + 2 {к} представляется в виде

{ст} =

б

и

б

{к}

12

где { В°} - деформации срединной поверхности, { к

°)

изменения кривизны.

Учитывая, что к/2

{И} = 1 {о^ {И}Т =

-к/2 Х У ХУ

к/2

{М}= 1 {о}2С2, {М}Т =

-к/2 Х У ХУ

Проинтегрируем выражение (35) по толщине оболочки, тогда усилия и моменты представляются как

В° к

" N" ' А В"

М В

к/2 2 ¡А ., В , С } = 1 б

I У У Л -к/2 >

Если коэффициенты матрицы (32) постоянны в каждом из слоев пакета, то, проинтегрировав выражение (37), получим

\=% е»<к‘- кк -1> '• >=|Д6

Ви =Е ец(К- к2-1) 1=и,«

¿V =е - к3 -1=>,2,6

А.., В.., Б.. - выражают соответственно мембранные, изгибно-мембранные и из-

ч ч ч

гибные жесткости

Матрица упругопластических деформаций находится из соотношения

{ст} = Еуп {^Ь где

О} = {о ,о ,о т ,т ,т } - вектор столбец напряжений

^ х ' у ' 2 Ху ' У2 Х2 у Г > Г

{г} = {ех,еу, в вуу, , вх2 } - вектор столбец деформаций

[Е ]{А}[А][Е ]Т

[ Еу» 1 =

[Е ]-

Н + [4]Т [Е ]{4}_

- упругопластичный модуль

И = 6х!сг -а ,а -а ,а -а ,2т ,2т ,2т }

х о' у о' г о * ху ' уг' хг у

а +а +а

Х ух

Н = Е х ЕТ

Е - ЕТ

где Е, ЕТ модули упругости и пластичности, соответственно.

3

Система дифференциальных уравнений решается методом Рунге-Кутта с автоматическим выбором шага нагружения по заданной точности. За начальный прогиб принимается вектор перемещений, полученный из решения задачи собственных частот колебаний пластинки идентичной исследуемой и уменьшенной стреле прогиба в 10-8 раз. И так как начальный прогиб не влияет на конечный результат [8] в качестве начального прогиба принимается первая форма колебаний плоской кольцевой пластинки. Решение задачи больших перемещений и деформаций распадается на несколько этапов. При достижении прогибов порядка толщины пластинки от исходного состояния, матрицы масс, жесткости и вектор обобщенных внешних сил пересчитываются с учетом достигнутого уровня напряженно-деформированного состояния и изменившейся геометрии пластины.

Рис. 2. Деформация кольцевой пластинки под действием импульсной нагрузки

Процесс вычисления продолжается до потери устойчивости пластины. За критерий потери устойчивости принимается нагрузка, при которой происходит резкое возбуждение гармоники отличной от нулевой. Полученные решения были использованы при расчете динамических процессов отбортовки, вытяжки без прижима и вытяжке в матрице с коническим заходом. Наблюдалось согласование теоретических и экспериментальных [1, 2] результатов. Степень деформации до потери устойчивости в операциях глубокой вытяжки, по сравнением со статической, увеличилась на 15-20%, а в операциях отбортовки до 50%. В экспериментах, для исследования механизма динамического деформирования применялась высокоскоростная съемка со скоростью 120000 кадров в секунду. Основным результатом исследования явилась возможность управления процессом потери устойчивости тонкостенных пластинок и оболочек при больших пластических деформациях в условиях динамического нагружения.

Сравнительные эксперименты по статическому деформированию заготовок давлением резины показали, что импульсное нагружение позволяет увеличить предельную степень деформации до разрушения на (50-90)%.

Расхождение всех экспериментальных данных с данными численного решения задач, как правило, не превышало (10-20)%.

Выводы

1. Исследование механизма динамического деформирования пластин и оболочек позволяет управлять им с целью увеличения предельной степени деформации до разрушения или потери устойчивости.

2. Аналитический механизм деформирования целесообразно исследовать численными методами, например, методом конечных элементов

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Хайрнасов К.З., Юдаев В.Б., Фаворин В.Н. Динамика и устойчивость пластин при больших деформациях. Труды II Всесоюзного симпозиума «Устойчивость в механике деформируемого твердого тела». - Калинин, 1986. - 10 с.

2 Хайрнасов К.З., Юдаев В.Б., Фаворин В.Н. Поведение импульсно нагруженных пластин при больших деформациях. Труды Международной конференции по механике разрушения Китай, Пекин, 1987, 9 с.

3 Стриклин Д.. Наваратна Д., Пиан Т. Усовершенствование расчета оболочек матричным методом перемещений. - Ракетная техника и космонавтика, 1986, т. 4, №6, с. 253 -254.

4 Стриклин Д.. Хейслер В., Риземанн В. Оценка методов решения задач строительной механик, нелинейность которых связана со свойствами материала и или геометрией. -Ракетная техника и космонавтика. 1978, т. 11, №3, с. 45 - 56

5 Стриклин Д. И др. Нелинейное динамическое исследование оболочек вращения матричным методом перемещений. /Д. Стриклин, Д. Мартинес, Д.Теллерсон, Д.Хонг,

B.Хейслер. - Ракетная техника и космонавтика, 1971, №4, с. 108 - 118

6 Стриклин Д.И др. Расчет оболочек вращения матричным методом перемещений в нелинейной постановке. /Д. Стриклин, Д. Хейслер, Н. Макдуголл, Ф.Стеббинс. - Ракетная техника и космонавтика, 1968, т. 6, №12, с.108 - 117

7 Муштари Х.М., Галимов К.З. Нелинейная теория упругих оболочек. Казань: Тат-книгоиздат, 1957. - 431с.

8 Образцов И.Ф., Вольмир А.С., Хайрнасов К.З. Тороидальные оболочки: запаздывающие катастрофы при динамическом нагружении. //Докл. АН СССР. 1982. т.266. №6. -

C. 1343-1346. ЕШ

— Коротко об авторе -----------------------------------------------------

Хайрнасов К.З. - кандидат технических наук, доцент кафедры «Высшая математика», Московский государственный горный университет. ud@msmu.ru

---------------------------------- ДИССЕРТАЦИИ

ТЕКУЩАЯ ИНФОРМАЦИЯ О ЗАЩИТАХ ДИССЕРТАЦИЙ ПО ГОРНОМУ ДЕЛУ И СМЕЖНЫМ ВОПРОСАМ

Автор Название работы Специальность Ученая степень

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ГОРНЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

ЖДАНКИН Сергей Сергеевич Обоснование метода квалиметриче-ской оценки потерь нефти при недропользовании на основе многоуровневой системы их формирования 25.00.16 к.т.н.