КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЦЕЛОСТНОСТИ ИНФОРМАЦИИ НА ИХ ОСНОВЕ

closely related to a more general concept - the autonomy of operation. From an operational point of view, onboard autonomy can be viewed as a migration offunctionality from the ground to the flight segment. At the same time, one of the most important functions of the ground segment is to maintain the operable state of the SSC by monitoring the regular operation of the SS and prompt responses to the failures and failures of the onboard equipment, as well as to previously not considered anomalous situations. Configuration and reconfiguration planning of OS of the SS is an integral attribute of autonomous SS, and the higher the level of autonomy, the more tasks are assigned to the system that implements the configuration and reconfiguration planning. At the same time, the high-quality performance of the target functions of the small spacecraft with limited information about the composition and influence of disturbing factors, with a given or unknown cyclogram for the implementation of various modes of operation, requires increasing the reliability and survivability of the use of the onboard control complex of the small spacecraft, which is part of the automated control system of the small spacecraft. This article presents a universal method for planning the configuration and reconfiguration of the motion control system of a small spacecraft under the conditions of an unknown cyclogram for the implementation of attitude modes with limited onboard resources.

Key words: motion control and navigation system, small spacecraft, configuration and reconfiguration planning technique, changing orientation modes, parametric structure genome.

Umarov Alexander Bakhtiyorovich, postgraduate, vka@mil.ru, Russia, St. Petersburg, Mozhaisky Military Space Academy

УДК 519.718

DOI: 10.24412/2071-6168-2022-12-371-380

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА И ОБЕСПЕЧЕНИЕ ЦЕЛОСТНОСТИ ИНФОРМАЦИИ

НА ИХ ОСНОВЕ

Р.В. Фадеев, И.О. Повчун, Г.Е. Русов, А.А. Лучко, П.А. Новиков, С.А. Диченко, Д.В. Самойленко

Рассматривается способ обеспечения целостности информации на основе теоретико-числовых преобразований в комплексной плоскости в информационных системах различного назначения, функционирующих в условиях деструктивных воздействий злоумышленника и возмущений среды функционирования. Обеспечение целостности информации, обрабатываемой в рассматриваемых системах, в современных условиях их применения и функционирования осложняется стремительным и непрерывным ростом ее объема при ограниченности ресурсов. Поэтому требуется разработка новых механизмов защиты информации, при этом расходование общих ресурсов системы должно базироваться на системном подходе к обеспечению их эффективности.

Ключевые слова: информационные системы, защита информации, контроль и восстановление целостности информации, комплексные числа.

Комплексные числа на сегодняшний момент прочно вошли в арсенал методов исследования окружающего нас мира - от теории элементарных частиц до космологии [1-3].

С XIX-го века комплексные числа стали неотъемлемой частью практически всех разделов физики. Главной особенностью этих чисел является то, что с их помощью можно легко и просто решить задачи, принципиально нерешаемые в рамках математики вещественных чисел. Особенно актуальным этот вопрос был в тех разделах классической физики, где результаты расчёта непосредственно проверялись экспериментом. Например, это можно увидеть на примере импеданса (Z) - комплексного полного сопротивления электрической цепи [4]. Если придать току и напряжению комплексную форму, то закон Ома для сложной цепи, содержащей кроме омического сопротивления ещё конденсатор и катушку индуктивности, сохраняет свой традиционный вид. Но теперь формула закона Ома будет содержать новое сопротивление в виде комплексного числа:

U = ZI = (iL + R) I,

где i - мнимая единица; U- напряжение; L - индуктивность; с - частота; R - омическое сопротивление; I - электрический ток.

Ещё одной важной отраслью, в которой комплексные числа имеют значительную роль - это безопасность информации в информационных системах и обеспечение их целостности [5, 6].

С учётом новых тенденций при совершенствовании существующих и разработке новых механизмов обеспечения целостности информации в информационных системах [7-17] представлен способ контроля и восстановления целостности данных, основанный на теоретико-числовых преобразованиях в комплексной плоскости, широко применяемый в настоящее время при компенсации известных деструктивных воздействий злоумышленника и возмущений среды функционирования [18-26].

Поле комплексных чисел. Рассмотрим множество элементов вида а + Ь1, где а и Ь - вещественные числа, а I - символ, называемой мнимой единицей. На множестве этих символов введены следующие операции:

сравнение: а1 + Ь1/ = а2 + Ь2/;

сложение: (а1 + Ь/) + (а2 + Ь2г) = (а1 + а2) + (Ь1 + Ь2)/;

умножение: (а1 + Ь1') ' (^ + ^) = (а1а2 - Ь1Ь2) + (а1Ь2 + а2Ь1)'. Элементы указанного вида с введенными операциями называются комплексными числами. Множество комплексных чисел обычно обозначается буквой Z, а элементы этого множества - буквой г.

Вещественное число а называется вещественной частью комплексного числа а + Ы и обозначается Re(a + Ы) или Re2, а Ь - его мнимой частью и обозначается 1т(а + Ь) или 1т(г).

Числа а + Ы и а — Ы называют комплексно-сопряженными, оно обозначается как г = а — Ь/. Рассмотрим некоторые свойства комплексно-сопряженных чисел [1-3]:

2 = 2; 21+22 = 21 + 22; г1*г 2 = 21**22; г1/ г 2 = 21/22; г + 2 = 2Яе(г); г * 2 = а2 + Ь2.

Геометрическая интерпретация комплексного числа. Комплексному числу а + Ы можно сопоставить точку М(а, Ь) координатной плоскости и, наоборот, каждой точке плоскости М(а,Ь) можно

сопоставить комплексное число а + Ы .

Можно рассматривать комплексные числа как точки плоскости, которая называется комплексной плоскостью (рис. 1а). Ось абсцисс называют действительной осью, а ось ординат - мнимой.

Часто комплексное число интерпретируют как вектор (рис. 1б), направленный из начала координат в точку М (а, Ь). Точке 0(0,0) соответствует нулевой вектор или число (0 + 0/).

Сложение комплексных чисел, введенное в их определении, полностью согласуется со сложением векторов по правилу параллелограмма (рис. 1в).

/

b VI

\

0 а

/ 4Y

b A v\

/

s

0 a Л

/

i +h, •-V

A r — /

/

p. ¿fl V-i

0 «I a,+ a. Л

а) б) в)

Рис. 1. Схема с изображениями комплексного числа

Модулем комплексного числа называется длина вектора, соответствующего этому числу. Для модуля z используют обозначение |z|. Используя формулу для длины вектора, получим |z| =-у/a2 + b2 .

Аргументом комплексного числа z Ф 0 называется угол между положительным направлением действительной оси и вектором z, причем, в правой системе координат угол считается положительным, если он измеряется против часовой стрелки, и отрицательным, если измерение угла производится по часовой стрелке. Для числа z = 0 + 0/ аргумент не определяется.

Аргумент числа z обозначается Arg(z) или р. Аргумент комплексного числа определяется не однозначно. Значения аргументов комплексного числа a + bi можно найти из следующего соотношения: tg (р) = —.

a

Сравнение целых комплексных чисел. Комплексное число A = a + bi будет кратно комплексному числу m = p + qi, если частное A / m является целым комплексным числом. Иначе говоря, так как:

A = a + bi = (a + bi )•( p + qi) = ap + bq bp - aq

m p + qi p2 + q2 p2 + q2 p2 + q2

i

то A / m будет целым числом в том и только том случае, когда:

ap + bq = 0 (mod p2 + q2 j; bp - aq = 0 (mod p2 + q2j.

372

Если эти соотношения не выполняются, то A не делится на m. Пусть S = e + f таково, что A — S делится на m, тогда можно написать, что A = S (mod m) или S является вычетом A по модулю m.

Пусть A = a + bi, m = p + qi и выполняются следующие сравнения:

ap + bq = ( xp + yq)(mod p2 + q2); bp — aq = ( yp — xq)(mod p2 + q2), тогда A = (x + yi)(modm). Разделим число A — (x + yi) на m, получим:

A — (x + yi) (a — x) + (b — y) i m p + qi

= (a—x )• p + (b—y )• q + (b—y)-p—(a — x)-q .

2 2 2 2 p2 + q2 p2 + q

Для того чтобы в результате деления получилось целое комплексное число должны иметь место сравнения:

(a — x) p + (b — y) q = 0 (mod p2 + q2); (b — y) p — (a — x) q = 0 (mod p2 + q2).

Таким образом, при выполнении этих соотношений число x + yi является вычетом числа A по модулю m .

Хотя для комплексных чисел не определены понятия «больше» и «меньше», однако представляется возможным определить понятие наименьшего вычета. Основная идея такого определения состоит в том, что поскольку определение комплексного вычета опирается на систему вещественных сравнений, то потребовав, чтобы xp + yq и yp — xq были соответственно наименьшими вычетами по модулю

p2 + q2, получим вполне определенное комплексное число x + yi, которое естественно называть наименьшим вычетом числа A по модулю m. Иначе говоря предполагается, что

xp + yq < p2 + q2 — 1; yp — xq < p2 + q2 — 1.

При этом следует различать наименьшие вычеты и абсолютно наименьшие вычеты. В первом случае предполагается, что xp + yq и yp — xq являются целыми положительными числами, не превосходящими p2 + q2 — 1. Во втором случае предполагается, что эти величины могут быть как положитель-

2 + 2

ными, так и отрицательными, но не превосходящими по абсолютной величине числа p_.

2

Если найдены наименьшие вычеты выражений ap + bq и bp — aq :

r = ( ap + bq)(mod p2 + q2); r' = (bp — aq)(mod p2 + q2), то наименьший вычет числа A по модулю m равен:

rp- rq rp + rq .

x + yJ = 2,2 +

p + r p2

J

Геометрическая интерпретация системы вычетов. Как было описано выше комплексные числа представляются точкой на плоскости. Выберем прямоугольную декартову систему координат с осями X, У и единицей масштаба е и проведем две системы прямых, параллельных осям соответственно X , У и отстоящих одна от параллельной ей другой на расстоянии е . Начало координат обозначим через О. Тогда точки пересечения этих прямых будут изображать целые комплексные числа.

По оси абсцисс будут откладываться значения вещественных частей комплексного числа, а по оси ординат - значения мнимых частей. Таким образом, точка М с координатами (р, q) изображает

комплексное число р + qi. Прямая ОМ представляет величину . Сама норма N представляется площадью квадрата, построенного на прямой ОМ (квадрат ОШМ). Здесь ОЯ = ОМ = Ж = ЬМ = ^ (рис. 2).

Если всю плоскость покрыть такими квадратами (проведением прямых, параллельных соответственно ОМ и ОЯ, на расстояниях JN одна от другой), то вершинам этих квадратов будут соответствовать числа, кратные р + qi. Так, из условия перпендикулярности ОЯ к ОМ следует, что точке Я

соответствует число — q + pi и частное ^ + рг = i. Вследствие параллельности ОМ и ЯЬ точке Ь

р + qг

будет соответствовать число (р — q) + (р + q) г и соответствующее частное будет равно 1 + г. Пронуме-

руем прямые, параллельные ОЯ и ОМ, номерами 0 (прямая ОЯ), 1,2,...,I,—1, —2,..., —I и 0 (прямая ОМ), 1,2,..., 5, —1, —2,..., .

Пусть дана вершина такого квадрата, образованного I прямой, параллельной ОЯ, и 5 прямой, параллельной ОМ. Точке Т будет соответствовать число

I (р + qг) + 5 (—q + pг) = (1р — sq) + + 5р)г и частное от деление этого числа на р + qi равно I — sг.

Что касается точек, лежащих внутри какого-либо квадрата или на его сторонах, но не совпадающих с его вершинами, то они представляют числа, не делящиеся на данный модуль р + qi.

Пусть даны два каких-либо квадрата Г и А. Наложим эти квадраты один на другой так, чтобы их соответствующие вершины совпали. Внутренние точки этих квадратов, совпавшие при таком наложении - конгруэнтны. Отсюда вытекает следующее свойство: числа, изображенные конгруэнтными точками, сравнимы между собой по модулю р + qi.

Возьмем в качестве одного из квадратов квадрат ОЯЬМ, вершина О которого совпадет с началом координат. Второй квадрат будем полагать таким, что его вершина Т , соответствующая при наложении 0, изображает число (1р — sq) + (^ + 5р) г. Пусть некоторая внутренняя точка Ж квадрата

ОЯЬМ изображает число А = а + Ы. тогда конгруэнтная ей точка будет изображать число В = ( 1р — sq + а ) + (^ + 5р + Ы) г. Разность же В — А = ( 1р — sq) + (^ + 5р) г, как показано выше, делится на р + qi. Следовательно В = А( mod р + qг).

Таким образом, полная система наименьших вычетов по модулю т = р + qi может быть получена геометрически построением квадрата со стороной .Ч/N = , проходящим через точку О, и

перечислением всех целых комплексных чисел, представляемых внутренними точками этого квадрата [27-29]. Для модулей с взаимнопростыми р и q характерно то, что на сторонах квадрата не оказывается

целых точек. Если р и q имеют общие множители, то целые точки содержатся также и на сторонах

квадрата.

Способ обеспечения целостности данных на основе теоретико-числовых преобразований Гаусса. Теорема Гаусса. Каждое целое комплексное число сравнимо с одним и только одним вычетом из

ряда 0,1,2,.,N — 1 по комплексному модулю т = р + qi, норма которого равна N = р + д и для

которого р и q являются взаимно простыми числами. Эта теорема устанавливает изоморфизм между

комплексными числами и их вещественными вычетами.

Таким образом, каждому комплексному наименьшему вычету x + yi по модулю m = p + qi, норма которого равна N = p2 + q2 соответствует вещественный вычет h. Этот вещественный вычет вычисляется по формуле:

x + y(uq — vp) = h (mod N),

где v и u такие, что up + vq = 1.

Выражение uq — vp, посредством которого устанавливается соответствие между комплексным и вещественным вычетом по модулю m = p + qi, является коэффициентом изоморфизма и обозначается как р. Таким образом, можно написать: x + yp = h(modN).

Информация, обрабатываемая и подлежащая защите в рассматриваемых информационных системах, представляется в виде блоков данных M  ( j = 12... n) и может быть интерпретирована с по-

J 5 5 5

мощью теоремы Гаусса, как множество элементов вида: A = a + bi. Даны два массива данных:

- исходный массив данных M , представленный отдельными блоками данных M, который

содержит целевую информацию и отправлен для обработки в систему;

- массив G с элементами G,, полученный после обработки информации в системе в условиях

деструктивных воздействий.

Наименьшие вычеты любого комплексного числа a + bi можно определить следующим способом:

С помощью геометрического построения. Точка M с координатами (p, q) изображает комплексное число p + qi. Прямая OM представляет величину -y/N = -\jp2 + q2 (рис. 3). Сама норма N представляется площадью квадрата, построенного на прямой OM (квадрат ORLM).

/ чу

> %

/ N N, м

/ /

К ч V j /

ч N / \

о

Рис. 3. Геометрическое представление комплексных чисел Таким образом, полная система наименьших вычетов по модулю т = р + qi может быть получена геометрическим построением квадрата со стороной , проходящим через точку О, и перечислением всех целых комплексных чисел, представляемых внутренними точками этого квадрата.

Способ обеспечения целостности данных на основе теоретико-числовых преобразований Гаусса представлен на рис. 4.

Разбор способа обеспечения целостности данных поясняется на следующем примере. Например, в информационную систему на обработку отправлен текст: «SpiderMan» с соответствующим ему цифровым кодом (массив данных Ы):

Ы = [83 112 105 100 101 114 77 97 110].

После его обработки в условиях деструктивных воздействий на выходе получен следующий цифровой код (массив G):

О = [83 112 105 100 105 114 77 101 110].

Соответствующим полученному цифровому коду текстом является: «SpiderMen».

В результате деструктивных воздействий произошло искажение информации, то есть нарушение целостности блоков данных, подлежащих защите.

Для контроля целостности данных с признаками её нарушения представим массивы Ми О в комплексной форме с помощью фундаментальной теоремы Гаусса. Для этого выбирается норма N, которая должна быть больше максимального элемента в массиве М . Выберем норму N = 130, соответствующий ей модуль т = 9 + 7/. Найдем полную систему вычетов с помощью геометрического построения (рис. 5).

ы ы

м„

Целевая информация

Информация после обработки и хранения

Представление блоков данных в комплексной форме

+ + 1 1

а2 ап й, Ь2 к

4 4 4 1 4 4

Формирование матриц

..   I , .'

Формирование избыточных блоков

л.

-»В

Ошибка

Восстановлен и с;

I

Ф О

= 0

А,

Ошибок нет

11рнбавка к- ошибочному элементу результат разности строк _матриц и _

Рис. 4. Схема способа обеспечения целостности данных на основе теоретико-числовых

преобразований Гаусса

/ V

\

\

\

\

\

N

\

N

\

\

\

N

1

N

0 г

Рис. 5. Полная система вычетов по модулю т = 9 + 7/ Таким образом, получаем следующую систему вычетов.

Полная система вычетов по модулю т = 9 + 7/

Мнимая часть

1/ 21 3/ 4/

1/ -1 + 21 -2 + 3/

1 + 1/ 21 -1 + 3/

1 + 2/ 3/

2 + 2/ 1 + 3/

2 + 3/

3 + 3/

Как видно из таблицы систему вычетов можно сгруппировать по мнимой части, что в дальнейшем позволит экономно хранить данные. Далее представим комплексными числами вещественные, используя теорему Гаусса. Найдем вещественное представление для числа 5 + 12i, используя следующую формулу:

х + y(uq — vp) = h (mod N),

где v и u такие, что up + vq = 1.

Найдем v и u, 9u + 7v = 1, откуда v = 4 и u = —3. Далее решим следующее сравнение:

5 +12(—3 • 7 — 4 • 9) = h(mod130); 5 +12(—57) = h(mod130); —679 = h(mod130); h = 101.

Таким же образом ищем остальные представления.

Затем запишем полученные массивы в матричной форме, в результате получаем матрицу:

A

complex

B.

' 7 + 5i 9 + 7i 4 + 6i Л

1 + 11i 6 + 9i 2 + 4i

12 + 5i у: 8 + 14i 4 + 13i y

' 7 + 5i 9 + 7i 4 + 6iЛ

1 + 11i 4 + 6i 2 + 4i

v12 + 5i 6 + 9i 4 + 13i y

complex

которая соответствует массиву G .

Далее формируются матрицы и 8В, суммы элементов строк матрицы Лсотр1ех и Всотр1ех соответственно. Элементы матриц ОЛ и ОВ состав-

Da и DB. Элементы матриц SA и SB составляют

ляют суммы элементов диагоналей матрицы A и B

А complex complex

Sa =

A B

соответственно. В результате получаем:

' 20- l-18iN '20 + 18iЛ

9 + 24i ' Sb = 7 + 21i

v 24 + h 32i y v 22 + V -27i ,

' 4- f- 6i Л ( 4- + 6i Л

11- f11i 11- + 11

17 н h 27i ' Db = 15- h24i

9 + 25i 7 + 20i

v 12 + 5i y v 12 + 5i y

Da =

Для обнаружения и локализации ошибки нужно вычесть строки избыточных блоков SЛ и ОЛ из строк избыточных блоков SB и ОВ соответственно. Результат разности SЛ и SB : ( 20 +18/) - (20 +18/') = 0, следовательно, ошибки нет; (9 + 24/) - (7 + 21/) = 2 + 3/ Ф 0, следовательно, ошибка во второй строке; ( 24 + 32/) - (22 + 27/) = 2 + 5/ Ф 0, следовательно, ошибка в третьей строке; Результат разности ОЛ и ОВ : (4 + 6/) - (4 + 6/) = 0 - ошибки нет; (11 +11/) - (11 +11/) = 0- ошибки нет;

(17 + 27/) - (15 + 24) = 2 + 3/ Ф 0, следовательно, есть ошибка; (9 + 25/) - (7 + 20/) = 2 + 5/ Ф 0, следовательно, есть ошибка; (12 + 5/) - (12 + 5/) = 0 - ошибки нет.

Ошибочный элемент находится на пересечении строки и диагонали, то есть при обработке текста ошибка возникла в следующих элементах а22, а32. Для исправления ошибки, возникшей при приеме

текста, требуется к ошибочному элементу прибавить результат разности избыточных блоков SЛ и SB :

Ь22 = (4 + 6/) + (2 + 3/) = 6 + 9/; Ъ32 = (6 + 9/) + (2 + 5/) = 8 +14/.

377

В результате исправления ошибки получим матрицу:

( 7 + 5i 9 + 7i 4 + 6i Л

в

complex

1 + Iii 6 + 9i 2 + 4i 12 + 5i 8 + 14i 4 + 13i

которая полностью соответствует матрице A , . Переведем элементы матрицы B , и запишем в

complex complex

виде массива

G = [83 112 105 100 101 114 77 97 110]. и в результате получим цифровой код (исходный массив данных), соответствующий тексту «SpiderMan».

Таким образом, рассмотрено понятие комплексных чисел и сферы их применения человеком. В частности, рассмотрен и разобран на примере способ обеспечения целостности данных на основе теоретико-числовых преобразований Гаусса. Данный способ обеспечения целостности информации позволяет контролировать целостность данных без введения дополнительной контрольной информации, прямо пропорциональной объему увеличиваемых данных.

Список литературы

1. Djuraeva N.M., Arzieva S.I., Norov G.M. Methods for solving some types of integrals using complex numbers // Вестник науки и образования. 2022. № 4-2 (124). С. 11-15.

2. Понтрягин Л.С. Обобщения чисел. М.: Наука, 1986. 120 с.

3. Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм: Учебное пособие. М.: Высшая школа, 1983. 463 с.

4. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. М.: Высшая школа, 1996. 528 с.

5. Сопин К.Ю., Повчун И.О., Диченко С.А., Самойленко Д.В. Обеспечение целостности данных на основе теоретико-числовых преобразований Гаусса // Проблемы информационной безопасности. Компьютерные системы. 2022. № 2 (50). С. 20-29.

6. Соколов М.В., Чечин И.В., Новиков П.А., Диченко С.А. Контроль целостности данных на основе правил построения кодов с неравной защитой символов // Автоматизация процессов управления. 2022. № 2 (68). С. 53-61.

7. Samoylenko D., Eremeev M., Finko O., Dichenko S. Protection of information from imitation on the basis of crypt-code structures // Advances in Intelligent Systems and Computing. 2019. Т. 889. С. 317-331.

8. Dichenko S.A., Finko O.A. Controlling and restoring the integrity of multi-dimensional data arrays through cryptocode constructs // Programming and Computer Software. 2021. Т. 47. № 6. С. 415-425.

9. Dichenko S.A. An integrity control model for multidimensional data arrays // Automatic Control and Computer Sciences. 2021. Т. 55. № 8. С. 1188-1193.

10. Диченко С.А. Модель контроля целостности многомерных массивов данных // Проблемы информационной безопасности. Компьютерные системы. 2021. № 2 (46). С. 97-103.

11. Алямкин А.В., Дорофеев А.А., Шевцов Н.И., Зубарев Я.И., Голояд М.В., Диченко С.А. Программная реализация и исследование способа обеспечения целостности многомерных массивов данных // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2022. № 5. С. 81-88.

12. Стариков Т.В., Сопин К.Ю., Диченко С.А., Самойленко Д.В. Криптографический контроль целостности данных по правилам построения кода Рида-Соломона // Проблемы информационной безопасности. Компьютерные системы. 2022. № 1 (49). С. 58-67.

13. Сопин К.Ю., Диченко С.А., Самойленко Д.В. Криптографический контроль целостности данных на основе геометрических фракталов // Проблемы информационной безопасности. Компьютерные системы. 2022. № 1 (49). С. 85-95.

14. Стариков Т.В., Сопин К.Ю., Диченко С.А., Самойленко Д.В. Модель контроля целостности данных на основе правил построения кода Рида-Соломона // Автоматизация процессов управления. 2022. № 1 (67). С. 98-105.

15. Самойленко Д.В., Финько О.А. Обеспечение целостности информации в группе беспилотных летательных аппаратов в условиях деструктивных воздействий нарушителя. // Вопросы оборонной техники. Серия 16: Технические средства противодействия терроризму. 2017. № 5-6 (107-108). С. 2027.

16. Тали Д.И., Финько О.А. Криптографический рекурсивный контроль целостности метаданных электронных документов. Часть 3. методика применения // Вопросы кибербезопасности. 2021. № 1 (41). С. 57-68.

17. Тали Д.И. Методика криптографического рекурсивного 2-d контроля целостности метаданных файлов электронных документов, обрабатываемых автоматизированными информационными системами военного назначения, на основе технологии цепной записи данных // Вопросы оборонной техники. Серия 16: Технические средства противодействия терроризму. 2020. № 9-10 (147-148). С. 5462.

18. Диченко С.А. Модель угроз безопасности информации защищенных информационно-аналитических систем специального назначения // Вопросы оборонной техники. Серия 16: Технические средства противодействия терроризму. 2022. № 1-2 (163-164). С. 64-71.

19. Сухов А.М., Герасимов С.Ю., Еремеев М.А., Якунин В.И. Математическая модель процесса функционирования подсистемы реагирования системы обнаружения, предупреждения и ликвидации последствий компьютерных атак // Проблемы информационной безопасности. Компьютерные системы. 2019. № 2. С 6-64.

20. Сухов А.М., Крупенин А.В., Якунин В.И. Методы анализа и синтеза исследования эффективности процессов функционирования системы обнаружения предупреждения и ликвидации последствий компьютерных атак // Автоматизация процессов управления. 2021. № 4 (66). С. 4-14.

21. Сухов А.М. Подход к упреждению комплексных компьютерных атак в автоматизированной системе специального назначения / Труды ВКА. 2017. Выпуск 658. С. 62-77.

22. Шеметов О.П., Чечин И.В., Диченко С.А., Самойленко Д.В. Анализ информационно-технического воздействия на информационные системы специального назначения // Вопросы оборонной техники. Серия 16: Технические средства противодействия терроризму. 2022. № 7-8 (169-170). С. 77-84.

23. Самойленко Д.В. Повышение информационной живучести группировки робототехнических комплексов в условиях деструктивных воздействий злоумышленника // Автоматизация процессов управления. 2018. № 2 (52). С. 4-13.

24. Ямашкин С.А., Ямашкин А.А. Интеграция, хранение и обработка больших массивов пространственно-временной информации в цифровых инфраструктурах пространственных данных // Современные наукоемкие технологии. 2021. № 5. С. 108-113.

25. Клеменков П.А., Кузнецов С.Д. Большие данные: современные подходы к хранению и обработке // Труды Института системного программирования РАН. 2012. Т. 23. С. 143-158.

26. Блейхут Р. Теория и практика кодов, контролирующих ошибки: пер. с англ. М.: Мир, 1986.

576 с.

27. Finko O., Samoylenko D., Dichenko S., Eliseev N. Parallel generator of q-valued pseudorandom sequences based on arithmetic polynomials // Przeglad Elektrotechniczny. 2015. Т. 91. № 3. С. 24-27.

28. Samoylenko D.V., Eremeev M.A., Finko O.A., Dichenko S.A. Parallel linear generator of multivalued pseudorandom sequences with operation errors control // SPIIRAS Proceedings. 2018. № 4 (59). С. 3161.

29. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.: Просвещение, 1966. 283 с.

Фадеев Роман Викторович, сотрудник, roma-70594@yandex.ru, Россия, Краснодар, Краснодарское высшее военное училище им. С.М. Штеменко,

Повчун Иван Олегович, сотрудник, Powchun2014@yandex.ru, Россия, Краснодар, Краснодарское высшее военное училище им. С.М. Штеменко,

Русов Герман Евгеньевич, сотрудник, grusov1999@gmail.com, Россия, Краснодар, Краснодарское высшее военное училище им. С.М. Штеменко,

Лучко Антон Антонович, сотрудник, anton.luchko@mail.ru, Россия, Краснодар, Краснодарское высшее военное училище им. С.М. Штеменко,

Новиков Павел Аркадьевич, канд. техн. наук, сотрудник, novikov.p.ark@yandex.ru, Россия, Краснодар, Краснодарское высшее военное училище им. С.М. Штеменко,

Диченко Сергей Александрович, канд. техн. наук, сотрудник, dichenko.sa@yandex.ru, Россия, Краснодар, Краснодарское высшее военное училище им. С.М. Штеменко,

Самойленко Дмитрий Владимирович, д-р техн. наук, сотрудник, 19sam@mail.ru, Россия, Краснодар, Краснодарское высшее военное училище им. С.М. Штеменко

COMPLEX NUMBERS AND ENSURING THE INTEGRITY OF INFORMATION BASED ON THEM

R.V. Fadeev, I.O. Povchun, G.E. Rusov, A.A. Luchko, P.A. Novikov, S.A. Dichenko, D.V. Samoylenko

The method of ensuring the integrity of information on the basis of number-theoretic transformations in the complex plane in information systems for various purposes operating under conditions of destructive influences of an attacker and disturbances of the functioning environment is considered. Ensuring the integrity of the information processed in the systems under consideration, in modern conditions of their application and functioning, is complicated by the rapid and continuous growth of its volume with limited resources. Therefore, it is necessary to develop new information protection mechanisms, while spending the total resources of the system should be based on a systematic approach to ensuring their effectiveness.

Key words: information systems, information protection, control and restoration of information integrity, complex numbers.

Roman Viktorovich Fadeev, employee, roma-70594@yandex.ru, Russia, Krasnodar, Krasnodar Higher Military School named after S.M. Shtemenko,

Povchun Ivan Olegovich, employee, Powchun2014@yandex.ru, Russia, Krasnodar, Krasnodar Higher Military School named after S.M. Shtemenko,

Rusov German Evgenievich, employee, grusov1999@gmail. com, Russia, Krasnodar, Krasnodar Higher Military School named after S.M. Shtemenko,

Luchko Anton Antonovich, employee, anton.luchko@mail.ru, Russia, Krasnodar, Krasnodar Higher Military School named after S.M. Shtemenko,

Novikov Pavel Arkadievich, candidate of technical sciences, employee, novikov.p.ark@yandex.ru, Russia, Krasnodar, Krasnodar Higher Military School named after S.M. Shtemenko,

Dichenko Sergey Alexandrovich, candidate of technical sciences, employee, dichenko.sa@yandex.ru, Russia, Krasnodar, Krasnodar Higher Military School named after S.M. Shtemenko,

Samoylenko Dmitry Vladimirovich, doctor of technical sciences, employee, 19sam@mail.ru Russia, Krasnodar, Krasnodar Higher Military School named after S.M. Shtemenko

УДК 681.586.787; 681.5.033.23

DOI: 10.24412/2071-6168-2022-12-380-385

РЕЗУЛЬТАТЫ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ ПРИВОДОМ КОНИЧЕСКОГО СКАНИРОВАНИЯ

Н.В. Ивахно, А.В. Гладких

Статья посвящена анализу результатов математического моделирования систем управления приводом конического сканирования радиолокационной станции, включая результаты экспериментальных исследований, полученных при моделировании на специальном стенде. Приведены алгоритм основного цикла работы программы управления и подпрограмма обработки прерывания таймера, осуществляющие реализацию модели.

Ключевые слова: фазовая автоподстройка частоты, электропривод, микроконтроллер, экспериментальный стенд, цифровая синхронизация, генератор опорного напряжения, задающая частота, двигатель, привод конического сканирования.

При построении обзорно-поисковых, сканирующих систем комплексов военного назначения широко используются электроприводы с фазовой синхронизацией, в основе построения к оторых лежит принцип фазовой автоподстройки частоты вращения (ФАПЧВ) [1,2], которые позволяют обеспечить высокие точностные характеристики системы в широком диапазоне регулирования угловой скорости.

В цифровых системах ФАПЧВ практически все функции управления осуществляются встроенными интерфейсами [3,4]. Рассмотрим систему управления следящим электроприводом стабилизации частоты вращения, структурная схема которой представлена на рис. 1.

На вход системы поступает импульсный задающий сигнал, определяющий требуемые частоту и фазу сканирования. Микроконтроллер по поступающим сигналам с датчиков, установленных на валу нагрузки (генератор опорных напряжений (ГОН) и частотный датчик (ЧД)), производит автоподстройку частоты вращения к задающей и формирует ШИМ сигнал для управления электродвигателем [1,4]. Для обеспечения точной подстройки по частоте и фазе сигнала, в данной схеме объединены два контура ФАПЧ, один из которых производит подстройку по фазе к задающему низкочастотному сигналу, второй - по частоте к высокочастотному сигналу, частота которого пропорциональна частоте задатчика, причем коэффициент пропорциональности соответствует количеству меток на лимбе частотного датчика (пЧД). ГОН формирует гармонический сигнал, пропорциональный углу поворота нагрузки.

С помощью встроенных блоков захвата (САР1, САР2 и САР3) микроконтроллер определяет заданный период вращения нагрузки (Тзад), период вращения ЧД ( Тцд ) и период ГОН соответственно, с точностью, определяемой быстродействием микроконтроллера (обычно порядка 10нс).

380