О представлении произведений в виде суммы степеней линейных форм

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Хелемский А.Я. Метрическая свобода и проективность для классических и квантовых нормированных модулей // Матем. сб. 2013. 204, № 7. 127-158.

2. Hogbe-Nlend H. Bornologies and functional analysis. North-Holland Mathematics Studies (Book 26). North-Holland, 1977.

3. Маклейн С. Категории для работающего математика. М.: Физматлит, 2004.

4. Хелемский А.Я. Гомология в банаховых и топологических алгебрах. М.: Изд-во МГУ, 1986.

Поступила в редакцию 02.04.2012

УДК 519.95

О ПРЕДСТАВЛЕНИИ ПРОИЗВЕДЕНИЙ В ВИДЕ СУММЫ СТЕПЕНЕЙ ЛИНЕЙНЫХ ФОРМ

О.Б. Гашков1, Е. Т. Шавгулидзе2

Доказано, что произведение n независимых комплексных переменных можно тождественно выразить в виде суммы m = 2n-1 слагаемых, являющихся n-ми степенями линейных форм от этих переменных, причем при любом m < 2n-1 подобного тождества с m слагаемыми, являющимися n-ми степенями линейных форм, не существует.

Ключевые слова: линейные формы, одночлены, представление в виде суммы степеней, нижние оценки.

We prove that the product of n complex variables can be represented as a sum of m = 2n-1 n-powers of linear forms of n variables and for any m < 2n-1 there is no such identity with m summands being nth powers of linear forms.

Key words: linear forms, monomials, representation as sum of powers, low bounds.

Широко известно тождество xy = ((x + y)2 — (x — y)2)/4, позволяющее выполнять умножение, если доступна таблица квадратов. Этот прием использовался для умножения несколько сот лет назад как альтернатива применению логарифмов. Менее известно, что если есть таблица кубов, то можно выполнять умножение трех чисел по формуле

xyz = ^{{x + y + zf -{x + y-zf -{x-y + zf -{y + z- xf).

Эту формулу можно обобщить и на случай вычисления произведения n переменных с помощью операций сложения, вычитания и возведения в n-ю степень. Для любого поля, характеристика которого больше n (или нулевая), справедливо тождество

Х1...хп = £ (-1Г+-+*»(Ж1 + (-1Гх2 + ... + (-1Г'хп)п.

' а2=0,1,...а„=0,1

Для его доказательства заметим, что в каждом из 2n-1 слагаемых

(xi + ( —1)СТ2 Х2 + ... + ( — 1)an Xn)n

имеется моном и!(-1)°"2+---+°"пх\ .. .хп, который после умножения на ( — 1)СТ2+—+ап превращается в моном и\х\... хп, а после вычисления суммы перед мономом будет коэффициент 2п-1и\. Остается проверить, что

1 Гашков Сергей Борисович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. дискретной математики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: sbgashkov@gmail.com.

Шавгулидзе Евгений Тенгизович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. математического анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: shavgulidze@bk.ru.

остальные мономы хЩ1 .. -Х^, т < п, входят в эту сумму с нулевыми коэффициентами. Действительно, для любого такого монома найдется либо переменная хг, г > 1, не входящая в него, либо переменная хг, г > 1, входящая в него в квадрате. В обоих случаях коэффициент, с которым входит в любое слагаемое (х1 + (—1)°2Х2 + ... + ( — 1)°™хп)п этот моном, не зависит от индекса аг. Значит, после умножения на (—1)°2+...+°п зависимость от индекса аг при фиксированных остальных индексах а^, ] — г, проявляется в смене знака при изменении значения а г. Поэтому, группируя вместе пары слагаемых, отличающиеся только значением индекса аг, получаем, что сумма каждой такой пары слагаемых равна нулю, а значит, и вся сумма 2п_1 слагаемых равна нулю, т.е. коэффициент при любом мономе х^ .. .хЩ^, т <п, в сумме

^ ( —1)°2(х1 + ( —1)°2х2 + ... + ( —1)°™хп)П ст2=0,1,...ст„=0,1

равен нулю, что и доказывает рассматриваемое тождество.

Из него следует, что в произвольном поле характеристики нуль можно представить моном х1. ..хп в виде линейной комбинации 2п_1 линейных форм 1г от тех же переменных:

2П-1

х1 . . . хп — ^ ^ аг1п .

г=1

Очевидно, что в поле С (или любом алгебраически замкнутом поле) в указанном тождестве можно считать, что аг — 1, в поле М можно использовать только коэффициенты аг — ±1, а при нечетном п — только коэффициенты аг — 1.

Возникает вопрос: каково наименьшее число т, для которого справедливо тождество

т

х1... хп — ^ ^ аг1п, г=1

где 1г — линейные формы от переменных х1,... ,хп? Эта задача встала перед первым из авторов настоящей заметки в середине восьмидесятых годов прошлого века в связи со следующим вопросом: какова наименьшая сложность формулы, построенной над базисом В — {х + у,х2} и {ах : а € М}, состоящим из операций сложения, возведения в квадрат и умножения на произвольный скаляр, и вычисляющей функцию х1 ...хп?

Понятие формулы над базисом В и ее сложности определяется индуктивно стандартным образом (как, например, в [1-3]). Любая переменная по определению является формулой; если Фг — формулы, то Ф1 + Ф2 тоже формула; если Ф — формула, то Ф2 и аФ при любом а € М тоже формулы. Сложность формулы — это число всех входящих в нее символов переменных (можно определить сложность формулы как число входящих в нее базисных операций, но это определение, по существу, совпадает с данным). Сложность функции — это минимальная сложность реализующей ее формулы.

Индуктивно можно построить формулу в базисе В сложности 0(п2), реализующую произведение х1 ...хп. Для этого представим х1 . ..хп в виде произведения

УlУ2, У1 — х1 ...х\п/2\, У2 — х\п/2\+1 ...хп, выразим уг формулами Фг сложности

0(п2), П1 — [п/2\, П2 — \п/2], П1 + П2 — п,

и выразим У1У2 формулой

^((Ф1+Ф1)2-(Ф1-Ф1)2).

Сложности рассматриваемых формул связаны неравенством Ь(Ф) ^ 2(Ь(Ф1) + Ь(Ф2)), откуда следует неравенство Ь(п) ^ 2(Ь(\п/2\) + Ь([п/2\)), где Ь(п) — сложность реализации произведения х1 ...хп формулами в данном базисе В. По индукции легко показать, что Ь(п) — п2 при п — 2к. В общем случае по индукции можно проверить, что Ь(п) < База индукции очевидна. Для обоснования шага индукции

достаточно убедиться в справедливости неравенств

л 9т2 - 1 9(2т)2 - 1 о (л9т2 - 1 9(2т + I)2 - 9(4т + I)2 - 1 4 ~~ ^ ~~ . 2 I 4 — — ) ^

8 ' V 8 8 / 8

2 ^9(т + I)2 - 1 + 9(2т + I)2 - 1\ < 9(4т + З)2 - 1

8 8 8

Заметим, что доказательство этой оценки, по существу, совпадает с доказательством оценки сложности реализации линейной булевой функции Х\ ф . .. ф Xn формулами в базисе {&, V, или последовательно-параллельными контактными схемами (см. [4]). В [5] для последней задачи доказана нижняя оценка L&y-(n) ^ n2.

Естественно предположить, что подобную нижнюю оценку можно доказать и для случая реализации произведения xi ...xn формулами в базисе B = {x + y, x2} U {ax : a E R}.

Для случая реализации схемами это неверно, так как очевидно, что Lb(n) = O(n).

Аналогичную задачу можно рассматривать и для произвольного базиса Bk = {x+y, xk}U {ax : a E R}. Например, при k = 3 справедлива оценка Lb3 (n) = O(n}og312). Можно изучать подобные задачи и для базиса {x + y, 1}U {ax : a E R}, состоящего из произвольного нелинейного многочлена и множества линейных функций (доказано, что в этом базисе выразим любой многочлен).

При попытке решить задачу о сложности вычисления произведения xi. ..xn формулами в базисе B = {x + y,x2} U {ax : a E R} и возникла задача о наименьшем числе линейных форм li, таких, что некоторая линейная комбинация их n-х степеней будет равна xi ...xn. Представление в виде суммы степеней линейных форм в современной терминологии есть реализация схемами (формулами) глубины два в базисе B.

Первый автор относился к задаче о представлении произведения суммами степеней как к олимпиад-ной и предлагал ее частные случаи на студенческие и школьные олимпиады, но в общем виде доказывать нижнюю оценку не умел. В конце 1980-х гг. второму автору это удалось сделать. Для олимпиад задача показалась слишком сложной, а смысла в публикации тогда никто из авторов не усмотрел.

Недавно первому автору стало известно, что в [6] рассматривалась эта (и чуть более общая) задача и было доказано, в частности, что число слагаемых в любом тождестве

x1 ... xn - п+...+ias,

где li — аффинные формы, не меньше 2n/(d +1), а в [7] доказано, что число слагаемых в любом тождестве

xi ...xn = QT + ... + QSs,

где Qi — многочлены степени не выше d, удовлетворяет неравенству lns = Q(n/2d)+O(dlnn), в частности при d =1 получается нижняя оценка s ^ 2n(n). В [6, 7] упоминается работа [8], в которой указано семейство из 2n-i линейных форм (по-видимому, совпадающее с указанным выше в нашей статье), знакопеременная сумма n-х степеней которых равна произведению n переменных.

Поэтому первый автор решил подготовить эту заметку. Пришлось восстановить доказательство, так как своевременно оно не было записано. По-видимому, оно близко к доказательству, найденному более тридцати лет назад вторым автором.

Теорема. Для произвольного поля, характеристика которого больше n или равна нулю, минимальное число линейных форм li от переменных xi,..., xn, линейная комбинация n-х степеней которых совпадает с произведением xi ...xn, равно 2n-i.

Доказательство. Верхняя оценка была дана выше. Докажем нижнюю оценку. Пусть

s

xi . . . xn — ^ ^ ailn , li — ai,ixi + . .. + an,ixn, Ъ — 1,...,s,

i=i

есть линейная комбинация n-x степеней линейных форм над произвольным полем F, а ai E F. Докажем, что s ^ 2n-i. Допустим, что s < 2n-i, и получим противоречие. Рассмотрим векторы Vk = (ak i,..., ak s) E Fs, k = 1,... ,n. Применяя операцию покомпонентного умножения векторов, введем в рассмотрение также 2n-i векторов

n n_1 n_1 n_2 n_2 2 2

V-í, v-y V2,..., V-y Vn, Vn V2V3, ...,Vn Vn-iVn, ..., Vi V2 . . . Vn-i, ..., Vi V3 ...Vn,Vi ... Vn,

где во все произведения сомножители V2,...,Vn входят не выше, чем в первой степени, и все остальные векторы

V^ . . . VÍ¿m , 1 ^ i i < ... <im ^ n, ¡I i + ... + ¡J,m = n, m <n. Для произвольного вектора w = (wi,... ,ws) E Fs обозначим ^S= i aiWi через \w\. Очевидно, что

j=i

для любых векторов ej и коэффициентов \j.

m m

J2xj ej =J2 xj \ej \ j=

Раскрывая скобки в указанной формуле для Х\ ...хп и приравнивая коэффициенты, будем иметь \у?1 ... у?т| = 0 при т ^ п — 1. Полагая

I ь1 ьт I 1

^¿1,... ,ьт = < туь1 ...ут,

отсюда, в частности, получаем, что ^¿1.....¿т \ = 0 при т < п — 1, но |w2.... п\ = 1/п!. Действительно, коэффициент при х?1 ...х?т в слагаемом аь1П равен (с точностью до множителя) аьу?1 ...у?т(г), где

х х 1 ¿1 ¿т ь к ' ¿1 Ьт 4 / '

У?1 ... (г) есть г-я компонента вектора у?1 ... у. Суммируя, находим, что коэффициент при х?Ц ... х?^ в сумме £аь 1'П равен \у?1 ... у?^ \. Он равен нулю во всех случаях, кроме т = п, когда он отличен от нуля.

Докажем, что вектор 'Ш2...,п есть линейная комбинация векторов

у?1 ... у?т, 1 = г1 < ... <гт ^ п, т <п. Тогда, согласно указанным выше равенствам и свойству линейности

m

/ , ^j ej j=l

будем иметь |^2.... п\ = 0, что ведет к противоречию, доказывающему теорему.

Осталось доказать существование линейной комбинации с указанным выше свойством. Для этого рассмотрим два возможных случая. Пусть все векторы ,Шь1.....¿т € Ея, где т < п — 1, линейно независимы. В этом случае их количество 2п_1 — 1 ^ в, поэтому они образуют базис в пространстве Епри этом на самом деле 2п_1 — 1 = в и вектор W2.... . п является их линейной комбинацией, что и требовалось доказать.

Нужно еще рассмотреть второй (более сложный) случай, в котором множество векторов w¿1.....¿т, где т < п — 1, линейно зависимо. Возьмем их нетривиальную линейную комбинацию, равную нулевому вектору. Можно оставить в ней только векторы с ненулевыми множителями . Выберем из них вектор Wj1....¿т с максимальным т = М < п — 1 (или один из таких). Его можно выразить в виде линейной комбинации остальных векторов вида w¿1.....¿т, т ^ М. Если у вектора у1 г-я координата у1(г) = 0, то у всех рассмотренных векторов г-я координата тоже нулевая. Удалим такие координаты из этих векторов. Укороченный указанным способом вектор ^^ 1 ^ будет выражаться через укороченные таким же способом векторы w'il ¿т, т ^ М, в виде линейной комбинации с теми же коэффициентами. Поделив в

рассмотренных векторах каждую j-ю компоненту на vП M (j) = 0, получим векторы w'( im, m ^ M, у которых компоненты выражаются в виде

vM-m(j)Vii (j) Vim (j ).

Вектор w'-1 jM выражается через векторы w"i\, , im, m ^ M, в виде линейной комбинации с теми же коэффициентами. Восстановим в каждом из этих векторов удаленные нулевые компоненты. Полученные векторы размерности s по-прежнему обозначаем w" ¿m ,m ^ M Вектор w'-1 jM выражается через векторы wi1 ^, m ^ M, в виде линейной комбинации с теми же коэффициентами. Рассмотрим набор чисел 1 = к\ <   < kn-M, не равных ни одному из чисел j\,    ,jM Умножим все векторы w" im, m ^ M, на вектор Vk1    Vkn_M  Получим вектор

Vki  Vkn-Mw'L... jM = V1 Vn = w2,... ,n

и (отличные от него) векторы

Vkl  Vkn-M К, ... , im = Vi11    Vit , il =1,t<n

Этот вектор w2 ,... ,n выражается через указанные векторы в виде линейной комбинации с теми же коэффициентами. Значит, и во втором рассматриваемом случае нужная нам линейная комбинация построена. Из ее существования выше было выведено противоречие. Теорема доказана.

И. С. Сергеев заметил, что фактически было доказано также, что число вхождений символов данной переменной в формулу вида

n

Х\    Xn — +  + lm, li — li(xl,    , Xn) — ^ ^ ai,jxj,

j=l

не меньше чем 2п-1, откуда следует, что сложность формулы указанного вида не меньше 2п-1п и все эти оценки достижимы. Сформулированное утверждение является в какой-то степени аналогом теоремы о том, что сложность реализации линейной булевой функции Х\ ... ^ хп дизъюнктивными нормальными формами (ДНФ) равна 2п-1п, а число конъюнкций в кратчайшей ДНФ для линейной функции равно 2п-1. Аналогия усилится, если заметить, что при Хг = ±1 можно представить Хг в виде (—1)ш, уг £ {0,1}, тогда

х 1 ...Хп = (-1)У1-Уп.

Еще несколько замечаний. В случае полей малой сравнительно с п характеристики тождество типа Х1 ...хп = ¡п +... + ¡п, где ¡г — линейные многочлены, может и не существовать (например, при п, равном порядку поля).

Представляет интерес решение подобной же задачи для произвольного монома, произвольного однородного многочлена и вообще произвольного многочлена, например, над полем нулевой характеристики. Очевидно, что любой моном степени п от т переменных можно при любом ( ^ п представить в виде линейной комбинации не более чем 2Л-1 аффинных форм, возведенных в степень ( Отсюда следует, что любой однородный многочлен степени п от т переменных представим в виде линейной комбинации не более чем 2п-1 (п+™-1) линейных форм, возведенных в степень п. Оценку для числа линейных форм можно улучшить, заметив, например, что х2 ... х^2 можно представить в виде линейной комбинации (3п/2-1 — 1)/2 линейных форм вида Х1 ± Х1 ± Х2 ± Х2 ± ... ± хп/2 ± хп/2, возведенных в степень п. Например,

(Х1Х2)2 = (1/12)((Х1 + Х2)4 + (Х1 — Х2)4 — 2х4 — 2Х4 ).

В [9] (см. также [10]) показано, что существует такое представление, состоящее из (п + 1)т линейных форм. В [11] дано другое доказательство той же оценки (задача предлагалась на студенческой олимпиаде без требования получить оценку числа слагаемых).

При т = П(п) оценка 2п-1 лучше, а при малых т лучше оценка (п + 1)т.

При п = 2 указанная задача совпадает с задачей о представлении квадратичной формы от т переменных в виде суммы квадратов. Как известно, число слагаемых в таком представлении не больше т, и эта оценка достижима.

При т = 1 легко доказать, что любой многочлен степени п одной переменной х можно представить в виде линейной комбинации биномов (х + к)п, к = 0,1,... ,п. Достаточно заметить, что разность к-го порядка для одночлена хп, равная

хп — (1) (х + 1)п + ... + (—1)к (х + к)п,

есть многочлен степени п — к, в частности константа п! (и любая константа) представима в виде линейной комбинации биномов (х + к)п, к = 0,1,...,п, поэтому любой многочлен первой степени представим в виде линейной комбинации этих биномов, любой многочлен второй степени тоже представим и т.д., т.е. линейное пространство многочленов степени п имеет базис (х + к)п, к = 0,1,... ,п.

Так как представление

/ (х) = + ЪгУ

г=1

содержит 2в параметров ai,Ъi, а многочлен /(х) определяется п + 1 коэффициентами, то при 2в < п + 1 представление указанного вида существует только у многочленов о коэффициентами из М, образующих множество меры нуль в пространстве всех многочленов степени п над М. Поэтому нижняя оценка для в в этом случае имеет вид (п + 1)/2. При нечетном п Дж. Дж. Сильвестр доказал в XIX в. (см. [10]), что для почти всех многочленов /(Х) степени п существует представление в виде линейной комбинации

(п+1)/2

/ (х)= £ о*(х + Ъг)п,

i=1

причем существуют многочлены, у которых минимальное число слагаемых в подобном представлении в > (п + 1)/2.

Все рассмотренные задачи представляют интерес и в случае конечных полей.

В заключение заметим еще, что похожая по формулировке на рассмотренную здесь задачу проблема представления натурального числа в виде суммы минимального количества степеней натуральных чисел и ее варианты являются классическими в теории чисел (проблема Варинга).

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ, гранты № 11-01-00508, 11-01-00792а.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гашков С.Б. Об одном методе получения нижних оценок сложности монотонных вычислений многочленов // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1987. № 5. 7-13.

2. Гашков С.Б. О сложности вычисления некоторых классов многочленов нескольких переменных // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1988. № 1. 89-91.

3. Гашков С.Б. О параллельном вычислении некоторых классов многочленов с растущим числом переменных // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1990. № 2. 88-92.

4. Яблонский С.В. Реализация линейной функции в классе П-схем // Докл. АН СССР. 1954. 94, № 5. 805-806.

5. Храпченко В.М. О сложности реализации линейной функции в классе П-схем // Матем. заметки. 1971. 10, № 1. 83-92.

6. Chen X., Kayal N, Wigderson A. Partial derivatives in arithmetic complexity // Foundations and Trends in ТЬеогейса1 Computer Science. 2010. 6, N 1, 2.

7. Kayal N. An exponential lower bound for the sum of powers of bounded degree polynomials // Electronic Colloquium on Computational Complexity. 2012. Report 81.

8. Fisher I. Sums of like powers of multivariant linear forms // Math. Mag. 1994. 67, N 1. 59-61.

9. Sonnenschein H. A representation for polynomials in several variables // Amer. Math. Monthly. 1971. 78, N 1. 45-47.

10. Прасолов В.В. Многочлены. М.: МЦНМО, 2000.

11. Студенческие олимпиады по алгебре на мехмате МГУ 2006-2011. М.: МЦНМО, 2012.

Поступила в редакцию 01.10.2012

УДК 517.518.126

ОБОБЩЕННЫЕ ПРОИЗВОДНЫЕ И ИНТЕГРАЛЫ ТИПА ЧЕЗАРО-ПЕРРОНА. I

А. В. Дергачёв1

Рассматривается ряд эквивалентных определений чезаровской Ck-производной и Ck P-интеграла, обладающих более удобными свойствами, чем классические определения Бер-киля. В частности, устанавливаются дескриптивные характеристики мажорантных и ми-норантных функций Чезаро-Перрона и связь чезаровских верхних и нижних производных с аппроксимативной производной.

Ключевые слова: чезаровские производные, интеграл Чезаро-Перрона, аппроксимативные производные, VBG-функции.

Several equivalent definitions of Cesaro Ck-derivative and CkP-integral are shown to behave better than the original definition by Burkill in certain cases. For instance, a certain descriptive characterisation of Cesaro-Perron major and minor functions is obtained, and relations between Cesaaro upper and lower derivatives and approximate derivatives of a function are established.

Key words: Cesaaro derivatives, Cesaaro-Perron integral, approximate derivatives, VBG functions.

Шкала дифференцирования и интегрирования Чезаро-Перрона была впервые построена в статье Беркиля [1]. В работе [2] с учетом поправок в [3] продемонстрирован ряд замечательных свойств этой

1 Дергачёв Артём Владимирович — асп. каф. теории функций и функционального анализа мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: artem@dxdy. ru.