Обобщенные решения начально-краевой задачи для уравнения гиперболического типа на геометрическом графе

ВЫСШАЯ МАТЕМАТИКА ПРИКЛАДНАЯ МАТЕМАТИКА

УДК 517.954

ОБОБЩЕННЫЕ РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНО-КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА НА ГЕОМЕТРИЧЕСКОМ ГРАФЕ А. С. Волкова

Рассматриваются обобщенные решения начально-краевой задачи для гиперболического уравнения 2-го порядка на произвольном геометрическом графе. Такие решения определяются с помощью интегральных тождеств, заменяющих собой уравнения, начальные и граничные условия. При этом указываются пространства, в которых предполагается отыскание обобщенных решений, и приводятся условия однозначной разрешимости таких задач. Полученные результаты являются основополагающими при исследовании задач граничного управления колебаниями сетеподобных конструкций, состоящих из систем струн или стержней, а также при изучении метаболизма клеток.

Ключевые слова: обобщенные решения, начально-краевая задача, теорема единственности и существования.

Введение. В представленной работе изучается начально-краевая задача для уравнения 2-го порядка гиперболического типа с распределенными параметрами на геометрическом графе. Центральная идея, определившая все содержание настоящей статьи, состоит в

применении используемых в [1] подходов к анализу таких задач и обобщении известных классических утверждений об однозначной

разрешимости начально-краевых задач. Основная особенность исследования, привнесенная геометрической структурой графа, состоит в преодолении сложностей, естественным образом возникающих во внутренних узлах графа, где дифференциальное уравнение заменяется иными соотношениями, называемыми условиями

согласования или трансмиссии [2], [3] (в [4] — условия сопряжения), а также [5, 6].

Волкова Анна Сергеевна, аспирант кафедры уравнений в частных производных и теории вероятностей, Воронежский государственный университет;

Россия, г. Воронеж,

тел.: 8-919-231-97-89, e-mail: volan100@mail.ru

© Волкова А. С., 2013

При получении условий существования обобщенных решений начально-краевой задачи предпочтение отдается спектральному методу не только потому, что сравнительно легко преодолеваются сложности, порожденные геометрией графа. Во многом этому послужили результаты, приведенные в монографии [3], связанные прежде всего с возможностью разложения по обобщенным собственным функциям краевых задач, что предопределило применимость метода Г алеркина в его классической форме при доказательстве теоремы существования обобщенных решений начально-краевой задачи — решение получается как предел галеркинских приближений. Доказательство теоремы единственности для уравнения гиперболического типа основано на априорной оценке обобщенных решений. Полученные результаты исследования являются основополагающими при анализе задач граничного управления колебаниями сетеподобных

конструкций, состоящих из систем струн или стержней, а также при изучении метаболизма клеток биологических структур.

1. Основные понятия и обозначения. Здесь и ниже используются понятия и обозначения,

принятые в [2], [5] и [6]. Все рассмотрения используют произвольный связный ограниченный ориентированный граф Г, допускающий наличие циклов.

Обозначим через V множество узлов £ графа Г : ЗГ — множество граничных, J(Г) — множество внутренних узлов (V = ЗГ и J (Г)); Г0 — объединение всех ребер (длина каждого ребра равна 1), не содержащих концевых точек (Го= Г \ V); Гт = Го X (0, Т) (Г, = Го х (0, ,)),

ЗГт = ЗГх (0, Т).

Ориентацию и параметризацию ребер у графа Г введем следующим образом [2]. Предположим вначале, что Г является деревом с корнем £0. Для любого узла £ є V длина пути, соединяющего корень £0 с £, является целым неотрицательным числом, обозначим его через | £ | и назовем порядком узла £ ; пусть V<у) = {£ є V :| £ |= V} — множество узлов порядка V. Если ребро соединяет два узла £' и £” (I £' 1<1 £” |), то £' — начало, £” — конец этого ребра: ребро выходит из узла £ и входит в узел £ . Каждое ребро у рассматривается как отрезок [0,1] и параметризуется параметром х є [0,1], при этом х = 0 соответствует концу, а х = 1 — началу ребра, чем и определяется ориентация на у . Пусть теперь Г - произвольный граф, содержащий циклы. В каждом цикле фиксируется ребро и ему принадлежащий узел. Формальное разъединение ребер графа по таким узлам, оставляющее граф связным, превращает его в «дерево», корень £0 которого фиксируется из числа граничных узлов. Ориентация и параметризация, а также нумерация узлов и ребер полученного графа приведены выше.

Для каждого узла £ є J(Г) через R(£) обозначим множество ребер, выходящих из £ (ориентированных «к узлу £ »), г(£) — множество ребер, входящих в узел £ (ориентированных «от узла £ »). Сужение функции /(х) (/(х,,)) на ребро у будем обозначать через /(х)у (/(х,,)у). Интеграл от функции / (х) (/ (х,,)) по области Г (или Гт) понимается как сумма интегралов по всем ребрам:

|/ (х)й?х = / (х)у ііх

Г у у

| / (х, Ґ)йхй, = / (х,,) ёхМ;

Гт у ух

или

на протяжении всей работы рассматриваются измеримые функции и используется интеграл Лебега.

Введем необходимые пространства. Обозначим через £2(Г) пространство функций,

суммируемых с квадратом на Г, через ^2

и ^2 (Гт). Норма в пространстве ^2 (Г) определяется скалярным произведением

йи(х,,) &>(х,,)'

(u, v),^) = j( u( x, t )v( x, t) + -

dx

dx

dx,

в ^2(Гт) —

произведением и имеет вид

У и 11

аналогичным скалярным

'Ц(ГТ )_

u (x, t) + l

Далее,

через

( du( x, t) V dx

,2,0

2^ A dxdt

обозначим

пространство функций и(х,/) из L2(ГT), имеющих обобщенную производную первого порядка по х, принадлежащую L2 (Гт); норма в IV1’0 (Гт) определяется скалярным произведением

= I I u(x, t)v(x, t) +

2,0

dx

dx

dxdt.

Рассмотрим билинейную форму

a

du

dx dx

+ b

dx

при х, изменяющихся внутри каждого ребра у графа Г (х еГ0); коэффициенты а(х), Ь(х) — фиксированные измеримые ограниченные на Г функции, суммируемые с квадратом. Форме L(U’ ^) соответствует дифференциальное выражение

d ( du(х)^

(Ьи)(х) =----1 а(х)-----I + Ь(х)и(х),

dx ^ dx )

если а(х) имеет ограниченную обобщенную производную первого порядка, а и( х) —

обобщенные производные на Г0 до второго порядка включительно. Представление L(U’ ^) формально получено однократным

интегрированием по частям слагаемого

—— (а( х)du( х)) в интеграле

dx йх

|(£и)(х)^(х)йх , ^(х) е С” (Г0),

2

Зі

С0; (Г0) — пространство финитных бесконечно дифференцируемых на Г0 функций, С; (Г0) плотно в L2 (Г).

Сформулируем необходимые в дальнейшем утверждения, доказанные в работе [3].

Теорема 1. Если функция и(х) є Ж'(Г) такова, что для фиксированной функции f (х) є L2(Г) имеет место Ь(и,л)/^dx = 0 при

Г

любой л(х) є С; (Г0), тогда для каждого

du

фиксированного ребра у є Г сужение а(х)у---------

dx

непрерывно в концевых точках этого ребра.

Из теоремы следует, что в пространстве Ж2(Г) есть множество О функции и(х) є С (Г) (С (Г) — пространство непрерывных на Г

функций), удовлетворяющие соотношениям

X а

du(1)у

du (0)у

у  , = X а(0)у. ,

1 dx у єг(|) 1 dx

во всех узлах £ е J(Г); замыкание в норме №2 (Г) множества функций из О, равных нулю во всех узлах £ еЗГ , обозначим через №2 0 (а, Г).

Билинейной формой L(u, л) определяются обобщенные собственные функции фи (х) класса №2 (Г) как ненулевые элементы пространства №20 (а, Г), удовлетворяющие тождеству L(u, л) = Х(и, л) при любой "л е №'°(а, Г) и некотором значении X = Хи (Хи — собственное значение).

Теорема 2. 1. Собственные значения {Хи} и собственные функции {фп (х)}, определяемые билинейной формой L(u, л), вещественны. 2. Если коэффициент а(х) в форме L(u, л) существенно положителен на Г, то собственные значения {Хи} за исключением конечного числа первых положительные и имеют конечную кратность. 3. Система собственных функций {фи(х)} образует ортонормированный базис в пространствах L2 (Г) и №20 (а, Г) (в нормах L2 (Г) и №2 (Г) ).

Введем необходимое для анализа начальнокраевой задачи подпространство пространства

№2(Гт).

Обозначим через О0 (а, ГТ) множество

функций u(х, t) е №2(Гг), чьи следы определены на каждом сечении ГТ плоскостью t - t0 (t0 е [0,Т]) как элементы L2(Г) и непрерывны по t в норме L2(Г)), при этом u(х, t) равны нулю во всех узлах

£ є ЗГ и удовлетворяют аналогичным (2) соотношениям

Зи(1, Оу Зи(0, t)у

X а

=Я

У Зх

є

'1 Зх

для всех узлов £ е J(Г).

Замыкание множества О0(а, ГТ) по норме (2), обозначим №2°(а,ГТ): №2°(а,ГТ) с №2(ГТ). По мере необходимости будут введены другие пространства и их подпространства с интересующими нас свойствами.

Специфика обобщенных решений, определяемых с помощью интегральных тождеств, заключается в изменении пространственной переменной х на графе Г , что требует особого внимания в использовании соотношений (3) при интегрировании функций по частям на графе. Приведем учитывающее указанную особенность утверждение, которое будет использовано в получении априорных оценок различного типа начально-краевых задач.

Лемма 1. Пусть ^х,0,у

(замыкание в норме №2’°(Гт ) множества гладких функций, удовлетворяющих соотношениям (3) для всех узлов £ е J(Г) и для любого / е [0, Т], а также равных нулю вблизи ЗГх[0,Т]) и выполнены следующие предположения: 2) существуют

da

ограниченная обобщенная производная

dx

^ _ З2и

обобщенные производные ——;— и ——— из

Зх2

ЗtЗx

Зу

L2 (ГТ); 2) производная ---------------— для любого

Зt

фиксированного / е [0, Т] непрерывна во всех узлах £ е J(Г) и равна нулю во всех узлах £ еЗГ . Тогда справедливо равенство

(Ц а(х) Зuu(х!) 4ха -

Г Зх ^ Зх ) Зt

ГТ

Зu

Зх ЗtЗx

dxdt.

Доказательство. В соответствии с выбранной на графе Г ориентацией занумеруем узлы следующим образом: ЗГ = {£0,£2,...,£ },

£2 е V(1), а £ }, у > р + 2, занумерованы в порядке

возрастания 1 £ у 1; ,1(Г)-{£ р+^ £ р+2,..., £га }.

Аналогично занумеруем ребра: ук, к = 1, р +1 — граничные ребра (у р+1 = [^ £ р+1]) у к =[£к. , £к ],

к = р + 2, т , к1 < к — внутренние ребра.

у

у

1

Т

Интегрирование по частям интеграла

( Ц а(х) А<*

Г дх ^ дх ) д!

ГТ

по переменной х приводит к соотношениям вида

(Ц а(х) ол -

• дх ^ дх ) д!

T m дu

= jXa( x).

0 k=1

'<k дx

дt

-1 a

дu(x,t) d2v(x,t) дx дtдx

dxdt.

ду

Так как сужения функции ----------------- равны

д!

нулю во всех граничных узлах, то имеет место равенство:

T m Du

k

lk дx

дt

'k-dt |0 =

jXa

0 k=1

T

= J Za(1)r

lk дх

дt

-a

дм(0,t)yp+i дv(0,t)4

p+l дх

дt

dt +

m

t-j X a

0k=p+2

дм

<k

lk дx

дt

Сумма интегралов в правой части равенства суть сумма интегралов от значений сужений слагаемых во всех внутренних узлах графа Г, поэтому это выражение можно представить в виде суммы по всем ^ е J(Г) и, учитывая

- 1 ду

непрерывность сужений функции ----------:--- во всех

внутренних узлах

Dt

ду(1, t)^ = dv(0, t^, =

дt дt A

= A (t) для

любого узла £е J(Г) и для любого ! е [0, Т]), получить

T m du

jXa

0 k=1

'<k dx

(

X j

?єJ (Г)0

X a

V^R

Du(0, t). j - X a(0). j

дt Du(1, t),

yj dt

л

у єг

yJ dx

A, (t )dt = 0;

равенство нулю достигается в силу выполнения условий (4). Отсюда вытекает равенство нулю

Тт ди( х,!) ду(х,!) 1

интеграла (^р(х)у_----------- — --——-& |0, что и

дх

dt

завершает доказательство.

2. Однозначная разрешимость начальнокраевой задачи для уравнения гиперболического типа. Для уравнения

д2и(х,!) д( , „ ди(х,!) ^ ,,, , „

-----2----~1 а

dt2

дх

dx

рассмотрим задачу нахождения решения и( х,!) в

области Гт, удовлетворяющего соотношениям (3) во всех внутренних узлах графа Г , начальным

du

u \t=0 = Ф(хХ ^7 |t=0 = V(х)х є Г dt

и краевому

и |дГ -0,0 < ! < Т

условиям; здесь ф( х) еУ2‘0(а, Г), у( х) е £2(Г), /(х,!) е £21(ГТ) (пространство £21(ГТ) состоит из всех элементов L1 (ГТ) с конечной нормой

;1(Г )= j(jf 2(х, t)dx)dt),

коэффициенты а( х), Ь( х) — измеримые

ограниченные функции на Г , а именно:

0 < а„< а

Определение. 1 Обобщенным решением класса ^2

называется функция и(х,!) е^20(а, ГТ), равная ф(х) при ! - 0 и удовлетворяющая интегральному тождеству

ди

л-

dt

dt

+a

дх дх

- (у(х)л(х, 0)ёх + ( f (х,!)л(х,!}йхй!

Г ГТ

для любых л(х,!) е И^2 0 (а, ГТ) (0 (а, ГТ), состоит из элементов ^20 (а, ГТ), равных нулю при ! - Т .

Лемма 2. Для решений и е

(пространство функций и( х,!) из ^20(а, ГТ),

. . л д2и

имеющих обобщенные производные

дх2

из L2(ГT)) задачи (4)—(6) при выполнении

d2u

dt2

предположений (7) имеет место оценка

T

L

T

У

ЗЗ

тах

Сє[0,ї ]

и2(X,С)+

+а

ди( х, С) дх

ди

дС

2 Л Л1/2 йх / /

< Сі(^у[г((У) + С^ОЦ/||^ дг().

Замечание. Для доказательства леммы 2

_ /лч ди

необходимо умножить равенство (4) на ------------ и

дt

результат проинтегровать по х є Г .

Теорема 3. Для любых ф(х) є Ж210(а,Г), у(х) є Ц2(Г) и /(х, t) є Ц21(ГТ) при выполнении предположений (7) начально-краевая задача (4)— (6) имеет обобщенное решение из Т20(а, ГТ,).

Доказательство. Возьмем систему обобщенных собственных функций {фк (х)} в Т2 0 (а, Г), ортонормированную в L2 (Г) (утверждение 3 теоремы 2).

Приближенное решение и' (х, ї) будем искать

в виде и'

'(х, 0 = ХСГ (0ф* (х) из

соотношений

д2и'

дt2

ф,(х)+

+

ди'

+ Ь

дх дх

= |/(х, ї)ф, (х)йх (I = 1, ').

ск

где

ф'

суть коэффициенты

сумм

(х) = Хф^фк (х), аппроксимирующих при

к=1

N ^ да функцию ф(х) в норме Wl (Г). Равенства

(10) являются системой линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка для неизвестных с^ ^) (к = 1, N), разрешенной

относительно

й2сЫ dt2

Коэффициенты ее суть

ограниченные функции, а правые части принадлежат Ll(0,T). Система (10) однозначно разрешима при

начальных данных (11), причем

є Ц (0, Т). Для

иы справедлива оценка (9). Действительно, умножая каждое из равенств (10) на свое сИ (t) и суммируя

по I от 0 до N, придем к равенству

д2иЫ(х,ї) диЫ(х,ї) + ( ) диЫ (х, ї) д2и'(х,ї) +

I а (х) " " " I

дї2

дї

дх

дїдх

Ы „ диЫ (х, ї) .

+Ь(х)и (х, ї)-------:-----|йх =

дї

ди' (х, ї) дї

йх,

из которого получено неравенство (9). Левая часть (10), учитывая первое предположение (7), оценивается снизу, правая часть — мажорируется постоянной, не зависящей от N :

/ 2 /((и' (х,' ))2 ♦[^) +(диЫР

2

йх <

< с(ї) [Уф 11т2,0(Г) + II ^ I Ц2 (Г) ї є [0, Т]

ІІЦ2,

и при ї = Т

Ц

< с *.

В силу (12) из последовательности {и"7}

можно выбрать подпоследовательность {и^ |,

i = 1,2,..., слабо сходящуюся в ^2(ГТ) и равномерно по t в норме L2(Г) к некоторому элементу и е ^2 0 (а, ГТ). Покажем, что функция и(х,^ есть обобщенное решение задачи (4)-(6). Начальное условие и |t=0 = ф(х) будет выполнено в силу сходимости им' (х,() к и(х, () в L2(Г) и того,

что им' (х,0) ^ф(х) в L2(Г). Для доказательства справедливости тождества (8) для и(х, ^ , умножим каждое из соотношений (10) на свою функцию gl (t) 6^2(0, Т), gl (Т ) = 0, полученные равенства

просуммируем по всем I от 1 до N и проинтегрируем по t от 0 до Т. После этого в первом члене левой части (10) проведем интегрирование по частям и приходим к тождеству

л-

ди (х, ї) дц (х, ї) дї дї

. .ди'

+а( х)------—1 +

дх дх

+ Ь (х)и ' (х, ї )ц' (х, ї)) йхйї --/и' (х, 0)ц' (х, 0)йх = / / (х, ї )ц' (х, ї )йхйї,

Г ГТ

справедливому для любой функции

2

+

+

и

ц" (х, t) = X?I (t)Фl (х).

I=1

Совокупность таких ц" обозначим через М„. Перейдем в (13) к пределу по выбранной

выше подпоследовательности |м"' (х, при

фиксированной ц" е Ш„. Это приведет к тождеству (8) для предельной функции и(х, 0 еW 20(а, ГТ) при любой ц" е М" .

да

Так как " плотно в W^o(a, Гт),

"=1

следовательно, (8) будет выполняться для при любой ц( х, t) ей/20(а, ГТ), т. е. и( х, t) есть обобщенное решение начально-краевой задачи (4)-(6). Для полученного решения и(х, ^ справедливо неравенство

II11 ^2(ГТ) - с (Т) х

1ф IW2ocr) + IIу I L2

Покажем, что начально-краевая задача (4)— (6) не может иметь двух различных решений класса ^(а, Гт).

Теорема 4. В предположениях теоремы 3 начально-краевая задача (4)—(6) имеет не более одного обобщенного решения из пространства

<о(а, Гт).

Доказательство. Пусть задача (4)—(6) имеет два обобщенных решения и1, и2 єГ‘о(а, Гт), тогда их разность и = и1 - и2 принадлежит ^20(а, Гт) и удовлетворяет тождеству (8) с f = у = 0 и при t = 0 обращается в нуль. Возьмем в этом тождестве

ц( x, t) =

0, т< t < ,,

t

[u(x,QdС,0 < t < т

с произвольной фиксированной х е [0, Т]. Ясно, что ц( х, t) ей/20(а, ГТ) и имеет обобщенные производные цх = их е L2 (Гх) и цх е L2 (Гх), кроме того, ц, цх и и являются элементами L2 (Г), непрерывно зависящими от / е [0, Т ].

Библиографический список

1. Ладыженская, О. А. Краевые задачи математической физики / О. А. Ладыженская. — М.: Наука, 1973. — 408 с.

Подставляя ц(x, t) в (В) (/ = у = 0), получим

д2ц

— a( x) -

дt2

дt

дtдx Dx

—Ь(х) ^ ц(х, t)^ dxdt = 0

и после интегрирования первых двух слагаемых, учитывая цt(х,0) = цх(х,х) = и(х,0) = 0, а также в силу (7), получаем

дt

дx

2

dx <

<b I

^^(x, t) Л2 2,

^) +^2

dxdt.

Для почти всех х е Г справедливо

х х ( t V

|ц2(х,t)dt = П |и(х,Qd^ dt <

0 0 Чх У

х х х

< |(х — ^\и2(х,C)d^ < х2|и2(х,£

0 t 0

дц

и, учитывая -----------— = и

дх

преобразуется к виду

|и 2( х, х)dx — Ь(1 + х2) |и 2( х, t )dxdt +

bja

дп

ЙГ

dx < 0,

которое при умножении на exp

f т )

[(1 +12)dt и V 0 У

последующего интегрирования от 0 до т принимает вид

Ґ

exp

b [(1 +12)dt J |u 2(x, t)dxdt-

+[exp —b|(1 + t2)dtldC[a(x)f д^(x,0) J dx < 0.

V o

Dx

Отсюда следует равенство нулю на Гх обоих д^

слагаемых, т. е. и2 (x, t) = 0 и-------— = 0 . Учитывая

дх

произвольность выбора х е [0, T], получаем и( х, t) = 0 почти всюду на Гт .

References

1. Ladyzhenskaya, O. A. Kraevye zadachi matematicheskoj fiziki / O. A. Ladyzhenskaya. — M.: Nauka, 1973. — 408 s.

т

X

z

2

2. Юрко, В. А. Введение в теорию обратных спектральных задач / В. А. Юрко. — М.: Физматлит, 2007. — 384 с.

3. Провоторов, В. В. Краевые задачи для уравнений с распределенными параметрами на графах / В. В. Провоторов, О. А. Махинова. — Воронеж : Научная книга, 2013. — 133 с.

4. Лионс, Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными / Ж.-Л. Лионс. — М.: Мир, 1972 . — 412 с.

5. Волкова, А. С. Фредгольмова разрешимость в классе Ш22 задачи Дирихле для уравнения эллиптического типа на графе-звезд / А. С. Волкова // Математика и ее приложения. — 2011. — 1 (8). — С. 15—28.

6. Волкова, А. С. Задача граничного управления сложносочлененной упругой системой струн / А. С. Волкова // Системы управления и информационные технологии. — 2012. — № 4 (50). — С. 79—83.

2. Yurko, V. A. Vvedenie v teoriyu obratnyx spektral'nyx zadach / V. A. Yurko. — M.: Fizmatlit, 2007. — 384 s.

3. Provotorov, V. V. Kraevye zadachi dlya uravnenij s raspredelennymi parametrami na grafax / V. V. Provotorov, O. A. Maxinova. — Voronezh : Nauchnaya kniga, 2013. — 133 s.

4. Lions, Zh.-L. Optimal'noe upravlenie sistemami, opisyvaemymi uravneniyami s chastnymi proizvodnymi / Zh.-L. Lions. — M.: Mir, 1972 . — 412 s.

5. Volkova, A. S. Fredgol'mova razreshimost' v klasse zadachi Dirixle dlya uravneniya e'llipticheskogo tipa na grafe-zvezd / A. S. Volkova // Matematika i ee prilozheniya. — 2011. — 1 (8). — S. 15—28.

6. Volkova, A. S. Zadacha granichnogo upravleniya slozhnosochlenennoj uprugoj sistemoj strun / A. S. Volkova // Sistemy upravleniya i informacionnye texnologii. — 2012. — № 4 (50). — S. 79—83.

GENERALIZED SOLUTIONS OF THE INITIAL-BOUNDARY PROBLEM FOR THE EQUATION OF HYPERBOLIC TYPE ON A GRAPH

Volkova A. S.,

PhD student,

Voronezh State University;

Russia, Voronezh, tel.: 8-919-231-97-89, e-mail: volan100@mail.ru

In this paper we consider the generalized solutions of initial-boundary value problem for hyperbolic problem second order on an arbitrary geometric graph. These solutions are defined by the integral identities, substituting the equations, initial and boundary conditions. In this case, specify the space in which it is supposed finding generalized solutions and provides conditions for the unique solvability of such problems. The obtained results are fundamental in the study of problems of boundary control of oscillations set of similar structures, consisting of systems of strings or rods, as well as in the study of the metabolism of the cells of biological structures.

Keywords. Generalized solutions, initial-boundary value problem,, existence and uniqueness theorems.