О передаче сосредоточенной силы на пластину

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И Том VI 1975

№ 5

УДК 629.7.015.624.073

О ПЕРЕДАЧЕ СОСРЕДОТОЧЕННОЙ СИЛЫ НА ПЛАСТИНУ

И. С. Галкина, В. И. Гришин

Методом конечною элемента исследуется распределение напряжений в пластине с поясом постоянного и переменного сечения при нагружении пояса растягивающей силой.

Решена обратная задача, приведена форма равнопрочной плоской накладки переменной толщины, устраняющей концентрацию напряжений в пластине.

Определение напряженного состояния в обшивке крыла самолета вблизи накладок, передающих внешние сосредоточенные усилия на обшивку, имеет важное практическое значение при расчете на прочность стыков крыла, а также при проектировании накладок крепления панелей для проведения экспериментальных работ. Эта задача становится особенно актуальной при расчете современных кессонных крыльев с толстыми обшивками, в которых трещины, возникающие в месте окончания накладок, могут значительно снизить несущую способность крыла в целом.

Задача об определении напряженного состояния в полубесконечной пластине, к которой нормально к границе присоединен стрингер, нагруженный на конце силой, впервые была исследована Рейснером [1]. Однако полученное в указанной работе разрешающее интегро-дифференциальное уравнение оказалось весьма сложным и не решено до сих пор. Позднее в работе [2] решены прямая и обратная задачи о передаче усилий от стрингера на бесконечную пластину и определены сечения стрингера по известному закону распределения напряжений в нем.

Ниже дано численное решение задачи о передаче сосредоточенной силы через оборванный стрингер на пластину конечной ширины, а из решения обратной задачи получена форма профилированной равнонапряженной накладки, не вызывающей концентрации напряжений в местах соединения ее с пластиной.

1. Используем метод перемещений с аппроксимацией конструкции элементами в виде треугольных пластинок, находящихся в плоском напряженном состоянии. Составляющие тензора напряжений ах, ау, тху внутри пластинки постоянны, а перемещения между ее вершинами меняются по линейному закону. Алгоритм метода и программа расчета приведены в работе [3].

Оценка точности метода проводится сравнением численного решения с известным точным решением задачи Фламана (см. [4]) о нагружении полуплоскости сосредоточенной силой и иллюстрируется на фиг. 1. Анализ результатов показывает, что с уменьшением шага аппроксимирующей сетки численное решение довольно быстро достигает точного.

Рассмотрим тонкую прямоугольную пластину длиной а, шириной 2Ь и толщиной 8, нагруженную через пояс длиной I. Площадь поперечного сечения пояса в начале пластины (^ = 0) равна 268. Будем считать, что смещения и пластины по линии х=а отсутствуют, а боковые кромки, т. е. точки на линиях у/Ь = + 1, могут быть либо свободны (у ф 0), либо заделаны (1» =0); здесь и и V — перемещения в направлении осей Ох и Оу соответственно. Учитывая симметрию как пластины, так и статических и кинематических граничных условий относительно оси Ох, рассмотрим 1/2 часть пластины, приведенной на фиг. 2. Количество делений аппроксимирующей сетки выберем 10x48 с неравномерным

шагом в обоих направлениях. Сетка размельчалась в областях, где ожидалась существенная концентрация напряжений. При этом пояс аппроксимируется одним рядом четырехугольных элементов, составленных из двух треугольных пластинок с двухосным напряженным состоянием.

На фиг. 2 для пояса постоянного сечения и пояса с линейно-убывающим от кромки пластины сечением, когда

Ж

F„=-------j---- при .*</;

Fn = О при х^>1,

приводятся значения коэффициента концентрации главного напряжения

¡г °1 шах

01 ~~ °Ср ’

Р ( °х + ау

где сср = -2^-, <¡1 тах — наибольшее главное напряжение I ot =--^---±

±у^г^.

0,5 1,0 Ь5 2,0 2,5 Х/Ь

На фиг. 3 показаны линии равных главных напряжений, полученные из расчета пластины. Из фиг. 2 и 3 следует, что наибольшие главные напряжения возникают в точке окончания пояса, и уровень их остается высоким даже при значительной длине пояса (11Ь = 3).

2. Решена обратная задача о нахождении формы накладки для уменьшения концентрации напряжений в пластине, подкрепляющей пластину так, что величина интенсивности напряжений

%

=]/' ах +

+ Зт

ху

характеризующая прочность пластин, не превышала бы допустимого напряжения [а].

При решении этой задачи воспользуемся итерационным процессом, описанным в [5], суть которого заключается в том, что на новой итерации г -}- 1 толщина 8*+1 6-го элемента определяется уравнением .

при ограничении 8ц_1 > [5], где [8] — допускаемая технологией изготовления толщина пластины.

Для ускорения сходимости итерационного процесса (1) введем по аналогии с методом верхней релаксации решения систем линейных уравнений (см. [6]) коэффициент о) и будем корректировать на каждом шаге итерационного процесса толщину 8*+1 следующим образом:

»,*)•

Исследование сходимости итерационного процесса (2) в зависимости от <о было выполнено на примере решения задачи об определении рациональной силовой схемы для передачи сосредоточенной силы. В качестве исходного прототипа принята пластина, приведенная на фиг. 1, с сеткой 13x13.

На фиг. 4 прослеживается изменение объема силовой схемы при увеличении числа итераций для различных коэффициентов релаксации ш. Видно, что введение коэффициента релаксации вносит в метод (1) с асимптотическим характером сходимости колебательную сходимость, которая при определенных значениях со ведет к более быстрому получению решения.

На фиг. 5 дана зависимость, связывающая количество итераций, коэффициент <й и процент отклонения е интенсивности напряжений а0 от допускаемого

значении [о]. Данный график, с одной стороны, подтверждает естественную закономер-

ность увеличения числа итераций в зависимости от уменьшения е,' с другой стороны, по нему легко подобрать оптимальное значение коэффициента релаксации io0pt> для которого процесс решения требует наименьшего количества итераций и, следовательно, наименьшего времени счета.

Метод расчета был применен к решению задачи о поиске формы равнонапряженной накладки, передающей нагрузку на пластину постоянной толщины 8. Результат, при котором о0 отличается от [о] не более чем на 10%, получен за пять итераций при о>=1,4. Форма накладки приводится на фиг. 6. Контур на-

кладки охватывает лишь те элементы, в которых толщина накладки больше толщины пластины на 10%. Объем накладки равен 1,2 ЬЪ.

3. Для оценки весовой эффективности конструкций, передающих сосредоточенную силу на панель, на фиг. 7 построена величина относительного веса панели

W:

+ Кв1

где — вес пояса; и^пл — вес пластины, воспринимающей равномерное растягивающее напряжение а* = [а]; —наибольший коэффициент концентрации

главных напряжений, взятый из фиг. 2.

Кромки, своїїодньї

I ,

Пояс переменного сечения Вес панеш с профилированной, накладной 0<6~ W

О 0J 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 1/Ь

Фиг. 7

Анализ результатов, приведенных на фиг. 7, показывает, что профилированная накладка значительно выцгрывает в весе по сравнению с поясами. При применении накладок в виде поясов длину последних не следует брать больше ширины пластины.

ЛИТЕРАТУРА

1. Reissner Е. Note on the problem of the distribution of stress in a thin stiffened elastic sheet. Proc. of the National Academy of Sciences, vol. 26, N 1.

2. Григолюк Э. И., Толкачев В М. Передача усилий от стрингера переменного сечения к пластине. Киев, »Проблемы прочности“, № 9, 1971.

3. Г р и ш и н В. И. Метод и программа расчета напряженно-деформированного состояния в упругих элементах конструкций с концентраторами напряжений. Труды ЦАГИ, № 1500, 1973.

4. Ф и-л о н е н к о-Б о р о д и ч М. М. Теория упругости. М., ГИФМЛ, 1959.

5. К о м а р о в А. А. Основы проектирования силовых конструкций. Куйбышев, КуАИ, 1967.

6. Г р и ш и н В. И. О концентрации напряжений в растянутой пластине с отверстием, подкрепленной центральным поясом. „Ученые записки ЦАГИ“, т. Ill, № 6, 1972.

Рукопись поступила 27f VI ¡974 г.