Гидроупругость виброопоры с трехслойным упругим стержнем с несжимаемым заполнителем

ПРОБЛЕМЫ ЕСТЕСТВЕННЫХ НАУК

УДК 531.381

Л.И. Могилевич, В.С. Попов, С.А. Анциферов

ГИДРОУПРУГОСТЬ ВИБРООПОРЫ С ТРЕХСЛОЙНЫМ УПРУГИМ СТЕРЖНЕМ С НЕСЖИМАЕМЫМ ЗАПОЛНИТЕЛЕМ

Исследована задача гидроупругости применительно к гидродинамической виброопоре с непроницаемыми стенками, ширина которых значительно больше их длины. Определено распределение давления в слое жидкости, находящейся в зазоре между вибратором (представляющим собой твердую полоску) и статором (представляющим собой упругую трехслойную балку-полоску (стержень) с жестким заполнителем). Найдены амплитудная частотная и фазовая частотная характеристики рассматриваемой виброопоры, вычислены ее резонансные частоты.

L.I. Mogilevich, V.S. Popov, S.A. Antsiferov

VIBRATION SUPPORT HYDROELASTICITY WITH A THREE-LAYER ELASTIC ROD WITH UNCOMPRESSIBLE FILLER

The article researches the problem of hydro elasticity applied to the hydrodynamic vibration support, with impenetrable walls, their length being much bigger than their width. The distribution of the pressure in the liquid layer in the clearance between the vibrator (a solid strip) and the stator (an elastic three layer beam-strip with solid filler) are defined. The amplitude frequency characteristic and phase frequency characteristic of the given vibration support are found; also its resonance frequencies are calculated here.

В настоящее время все большее распространение в различных инженерных сооружениях и изделиях получают трехслойные конструкции, которые состоят из двух несущих слоев и заполнителя, обеспечивающего их совместную работу. Применение данных трехслойных упругих конструкций позволяет обеспечивать минимальные весовые показатели при сохранении достаточной жесткости и прочности. Вопросам статики и динамики трехслойных упругих элементов конструкций посвящено достаточно много работ, например, сошлемся здесь на обзор, представленный в [1]. Однако работ, посвященных исследованию гидроупругости трехслойных конструкций, практически нет.

В предлагаемой работе исследуется задача гидроупругости применительно к гидродинамической виброопоре с непроницаемыми стенками, длина которых значительно меньше

их ширины. Рассматривается распределение давления и силовых динамических характеристик слоя жидкости при вынужденных течениях вдоль зазора между вибратором (представляющим собой твердую плоскость), совершающим гармонические колебания, и статором (представляющим собой упругую трехслойную пластину со свободным опиранием). Учитываются силы инерции движения вязкой несжимаемой жидкости и упругие свойства трехслойного статора. Найдены амплитудная частотная и фазовая частотная характеристики рассматриваемой виброопоры.

1. Рассматривается сдавливание тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости в рабочем зазоре виброопоры, условно представленной на рисунке. При этом считаем, что абсолютно твердая стенка I (вибратор) совершает гармонические колебания (с частотой ю) в вертикальном направлении относительно стенки II (статора), представляющей собой трехслойную упругую пластинку с толщинами к\ и к2 упругих слоев 1 и 2 соответственно и 2с несжимаемого заполнителя 3, со свободным опиранием. Длина вибратора I и статора II равна 21, значительно меньше их ширины Ь >> 21. В направлении оси у эти плоскости можно считать неограниченными и все производные по у значительно меньшими производных по х. Система координат х, у, г связывается со срединной плоскостью заполнителя. Ширина зазора к между статором и вибратором значительно меньше их длины 21 >> к.

Закон движения вибратора имеет вид

г = Щ) = к0 + гт/

здесь ко - среднее значение к; гт - амплитуда колебаний стенки I в вертикальном направлении; ю - частота колебаний стенки I; ^ - время; ДюО - закон движения.

Между статором II и вибратором I находится вязкая несжимаемая жидкость (истечение которой в направлении оси у отсутствует), динамика которой в двумерном случае описывается системой уравнений Навье-Стокса и неразрывности [2] в безразмерных переменных:

y2 Re

8 U, ~8r

y = ^ << 1, 1 = l

"8U 5 _ 8t

Re

V ( z +11 U. 1

z , Re

_ m

ho

+ 1

8U z

8U.

U.—X+Uz 5 85, z

- + U z

8U z

8Ux 8P

8P

"8X

+ y2

82 Ux 8 2U,

8X2

+

h02 w

t = w t.

8Z

x=x,z=

2 8Uc y 2—+

8X2 z - c - h1

К

8U z

8Z2

X

8X2 , 8U x

8U z

8X 8Z

= 0,

l

ux = zm wT" U5 =

u = zm wU,

z,

pv zm w

P = Po + , m2 P ho У

здесь х, г - декартовы координаты; их, иг - проекции вектора скорости жидкости на оси координат; р - давление; р0 - уровень отсчета давления; р, V - плотность и коэффициент кинематической вязкости жидкости; у, 1, Яе - параметры, характеризующие задачу. 8

v

0

Для краевых условий системы ( 1 .2) учитывается, что скорость жидкости на вибраторе и статоре совпадает со скоростями этих стенок [3, 4, 5]

U.= 0,Uz=— x z dt

при Z = 1 + 1 f

TT um дU wm дW wm

UE=y—-, Uz=—m- при z = 1 W

дг z

г ст 'г 5т г

т т т

где перемещения срединной плоскости верхнего слоя 1 статора в направлении оси Ох и Ое представлены в форме и = ити(X,т), ^ = (X,т).

Условия свободного истечения жидкости в направлении оси х ив противоположном направлении принимают вид для давления

P = 0 при Х = 1; —=0 при Х = 0 .

дХ

Второе условие является условием симметрии задачи и заменяет условие Р = 0 при £ = -1.

В рассматриваемой постановке трехслойная пластинка представляет собой трехслойный стержень (или балку-полоску) с несжимаемым жестким заполнителем 3, в котором нормаль остается прямолинейной, не изменяет своей длины, но поворачивается на некоторый дополнительный угол ф. При этом деформации считаем малыми [1]. Прогиб ^ срединной плоскости заполнителя в этом случае остается таковым и для остальных точек всех слоев. Таким образом, для пакета используется гипотеза ломаной нормали. На краях стержня предполагается наличие жесткой диафрагмы, препятствующей относительному сдвигу слоев, так что относительный сдвиг в заполнителе ф обращается в ноль на краях (а = ±1). Заполнитель считаем легким, то есть пренебрегаем его работой в тангенциальном направлении [1].

Уравнения динамики статора - трехслойного стержня с жестким легким заполнителем без учета обжатия и инерции вращения нормали в слоях, а также без учета даламберовой силы инерции в продольном направлении имеют вид [1]:

d2u д 2ф S3w

a1 —2 + a б —2 " a7 —- = -Pzx дх дх дх 2

d2j d3w a6 2 + a2 —2 - a3 —- - a5j = 0, дх2 дх2 дх

д3ф

a7 —з + a3 —3 - a4 дх дх

д 2u

д u

д4w

д 2w

4 - m0'

= - Pzz .

сх4 " 5 При этом введены обозначения:

т0 = т1 + т2 + 2 т8 = р1 ^ + р2 к2 + 2р3 с; а1 = К+ ^ + К+И2 + 2 К3+с;

K++

2

+ K+ h2 + ^ K3+c

K++,

c + -

1

+ K2h2 |c + 2 h2 V | K3+ c2

a4 = K1+ h ^c2 + chj +1 h2 j + K2+ h2 ^c2 + ch2 +1 h22j + 2K3+c3 •

a5 = 2 G3 c, a6 = c [K1+ h - K2+ h2 J a7 = K1+

c + -

и учтено, что

P =pv zm ^^ x

гх 7

h0 У

Pzz =- p0 -

дС

+ У

2 дис

h0 У2

дХ P - 2 y2

л

при С = 1 — W =—w;

pvz w i _ - о дUz

m

дС

л

при С = 1—W =_w.

2

a2 = c

a3 = c

2

1

1

- K+ h c + - h

22

2

2

2

z

z

m

m

z

z

m

m

емной деформации; к = 1, 2, 3 - номер слоя; K+ = Kk + —Gk.

Кроме того, обозначены: рк - плотность материала; G¿, К — модули сдвиговой и объ-

4

—I

3

Краевые условия свободного опирания:

си дп -л-1 п о\

— =—=—-=0 при х=± I.

сх сх

Одно из условий, например при х = —I, можно заменить условием симметрии:

сМ С3—

и = —= 0 при х = 0 .

сх сх3

2. Для тонкого слоя жидкости у <<1. В нулевом приближении по у уравнения динамики жидкости (1.2) и соответствующие граничные условия (1.3) упрощаются, т.к. в них можно положить у = 0.

Далее предполагаем, что перемещения вибратора значительно меньше ширины зазора между статором I и вибратором II, но одного порядка с прогибом —. Следовательно 1 = о(1), гт1—т = 0(1). Тогда в нулевом приближении по 1, полагая:

Р=Р0 +1Р1 +..., их=их0 + Ш?1 + .,иг=иф + +... ,

получим задачу механики жидкости в виде уравнений

си.0 СР с2иХ0 СР, сиХ0 си

Яе-=+-, ^=0, -^+—= 0

с* сх сс 2 ас сх ас

и граничных условий:

их0 = 0, и= ^ при с = 1; и%0 = 0, ис0 = ^^при с = 0;

а * с*

сР

Рс=0 при х = 1; -Р=0 при х = 0.

0 сх

При этом напряжения со стороны слоя жидкости на статоре принимают вид:

Р =ру2тю сих0 Р =-_ Рпгтю Р

Ргх~ , , Ргг_ , 2 Р0

К У сС 5=0 К У 5=0

и очевидно, что Р22 >> Ргх, следовательно, касательным напряжением Ргх можно пренебречь, полагая его равным нулю в уравнениях (1.5) с принятой точностью по у. Решение задачи динамики жидкости (2.1), (2.2) при гармоническом законе движения вибратора имеет вид:

Р, = 2

2 ^ а *2 а * 0 гт х 01 с*2 с* 0

Здесь введены обозначения [4]:

e(w)=VRe/2, a(w)= g(w) = -1 е2(ш)^Ц, r =1 + r = ^

r12 + r22 6 r12 + r22 e

r3 =-she(w)/(che(w) + cose(w)), r4 = sine(w)/(che(w)+cose(w)).

Очевидно, что a 1,2, а g 1 при e0, для сильно вязкой жидкости и малых частотах w, и a 1, а g(1/6)e при e¥, для маловязкой жидкости и больших частотах w.

3. Полагая правую часть первого уравнения системы (1.5) равной нулю в силу условия

D ^ D dw

Pzx << Pzz, находим связь u, j с —:

дх

д2u , д3w д2ф , д3w „ , —2 = b1—2, —2т = b2—-, х = Хl, дх2 дх дх2 дх

и уравнение для определения w:

1 , , , ч д4 w д2 w

— (a7 b1 + a3 b2 - a4)— - m0 ^ = p0 +

pvw Г 1

h0 y2 [ 2

2 e2 a d2 f 12 g d

df+it dtl+

Xi 2e2a д2w 12g дw ,

J "д2" + 1 X

^ ¡^, где ¿1 = 2"7 т.6, Ъ2 = "7:6. (3.1) ] а1 а2 - а6 а1 а2 - а6

Учитывая краевые условия (1.8), решение уравнения динамики статора (3.1) представим в виде:

¥ 2 т +1

W = ^^ («О^2^1 РХ .

т=0 2

2 m + 1

Разложим все функции от X, входящие в формулу Pzz (2.3), в ряды по cos-pX и с

учетом (3.2) получим:

Pzz =£ Га, pvw

"=o\(2m+1) p Г 0 h0 y2

2

(2m+1)p

2e2a d2h +12g dh w2 dt2 w dt

pvw

h0 У2

2

(2m+1) p_

2С2e2a d2R" +12g dR"

4

w

2

dt

2

w dt

2m +1 х

cos-p —.

2l

Подставляя (3.2) в (3.1), принимая во внимание при этом (3.3) и обозначив

О = (а4 - а7 Ъ1 - а3Ъ2) 1, получим:

"С 2m +1

1 2 m +1 x « d Rm 2m +1 x

—R cos-pX-Xm0-— cos-pX =

£ 2 s 0 dt2 2 s

= XX 4(-1)" m=o(2 m +1) p

d2 f

p0 - Mmzmdtl - 2 Km Z"

df dt

2m+1

cos-pX +

2

+ z

m=0

M

d2 R"

It2

+ 2K

dR

dt pvw

m 2m +1 cos-pX .

d2 Rm

Учитывая, что-— = -w2 Rm, Mm = _

d t2 h0y2

2

(2 m +1) p

, 2K = ^ M,„

w2

2 e2 a

Wm = ( 2"1 p I = Wm -(m0 + Mm)w2, и приравнивая коэффициенты при cos 2"+1 pX ,

будем иметь

С" Rm + 2 K„

d Rm

4(-1)m

dY dt2

p0 - MmZm^,4- - 2 KmZm

df dt

и (2 т +1) р

Находим частное решение, соответствующее гармоническому закону вибрации (1.1):

Rm =

4(-1)m+1 (2m +1) p

+

pq £ + Mm A(w) 2m +1 2l '

"o + Mm

zm sin

2

4

X

2

Здесь амплитудная частотная характеристика и фазовые частотные характеристики ух, у2 определены формулами:

„ ч m0 + Mm M2m ш4 + 4K2m ш2

л I_ и_m m_m_•

( M i (Cm)2 + 4K2 ш2 '

m * \ / m

2 Km ш

_rr

C

2K ш

12 g

V = -arctg m ' V = -arctg m = -arct^- 2

M_ ш2 2 e2a

При этом Л(0) = 0, lim = 1. Следовательно:

w = X

4(-1)"

m=u(2m +1) p

^и Я

2m +1 2l '

- + .

Mmш4 + 4K2m ш2 . , ' ^2 I 4 KL2 sin

(Cm )2 + 4 Km ш2

2m +1

cos-X .

2l

4. Найденное решение позволяет провести исследование резонансных частот колебаний виброопоры и предложить подходы для разработки высокоэффективных виброопор. Например, анализ амплитудной частотной характеристики позволяет сделать вывод, что уменьшение среднего значения толщины слоя жидкости к0 и увеличение вязкости V приводит к подавлению резонансных колебаний статора, так как увеличивается сопротивление течению жидкости в тонком зазоре.

Проведем расчет резонансных колебаний основной моды при т=0 при параметрах [1,3, 4]: Ло/2/=0,09; ^/21=0,02; с/21=0,09; ^/21=0,04; 1=1 м; р=1,84 103 кг/м2; р1 =р2=

=2,7-103 кг/м3;

-,10

рз =2,15103

кг/м3; v=2,510-4

м2/с;

G1 = G2 = 2,671010 Па; G3=9-10' Па;

Кх = К2= 8-10 Па; К3 = 4,7109 Па.

Расчет резонансных колебаний статора с использованием формулы (3.6) дает одну резонансную частоту < = 93,58 рад/с при этом^(ю1) = 99,81.

Переходя к однослойному стержню из такого же материала, что и несущие слои, такой же толщины, что и трехслойный, получим резонансную частоту ю2= 1090,46 рад/с, при этом А(<в2) = 347,54.

Если заменить слой жидкости водой с р = 103 кг/м3 и V = 10-6 м2/с, то для трехслойного стержня получим: ю3= 116,666 рад/с, при этом А(ю3) = 2137,102. Переход к однослойному стержню для рассматриваемого случая дает следующий результат: ю4= 1352,05 рад/с при этом А(<) = 7371,6.

Приведенные расчеты показывают, что в виброопоре с трехслойным стержнем, в указанной постановке, наблюдается одна резонансная частота, как и при использовании однослойного стержня. При этом коэффициенты динамичности виброопор с однослойным стержнем оказываются большими, чем виброопор с трехслойным стержнем. При использовании в виброопоре жидкости с меньшей плотностью и вязкостью резонансные частоты незначительно возрастают, а коэффициенты динамичности растут очень сильно. Таким образом, в рассматриваемых виброопорах наиболее выгодным является использование трехслойной пластины с несжимаемым заполнителем и жидкости с высокой вязкостью, что приводит к облегчению конструкции и эффективному демпфированию резонансных колебаний.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 06-08-00043а.

ЛИТЕРАТУРА

1. Старовойтов Э.И. Локальные и импульсные нагружения трехслойных элементов конструкций / Э.И. Старовойтов, А.В. Яровая, Д.В. Леоненко. Гомель: БелГУТ, 2003. 367 с.

4

2. Кочин Н.Е. Теоретическая гидромеханика / Н.Е. Кочин, И.А. Кибель, Н.В. Розе. М.: Физматгиз, 1963. Т. 1. 727 с.

3. Андрейченко К.П. О динамике взаимодействия сдавливаемого слоя вязкой несжимаемой жидкости с упругими стенками / К.П. Андрейченко, Л.И. Могилевич // Известия АН СССР. Механика твердого тела. 1982. № 2. С. 162-172.

4. Могилевич Л.И. Прикладная гидроупругость в машино- и приборостроение / Л.И. Могилевич, В.С. Попов. Саратов: Изд-во Сарат. гос. агр. ун-та им. Н.И.Вавилова, 2003. 156 с.

5. Аэрогидроупругость конструкций / А.Г. Горшков, В.И. Морозов, А.Т. Пономарев, Ф.Н. Шклярчук. М.: Физматлит, 2000. 591 с.

Могилевич Лев Ильич -

доктор технических наук, профессор кафедры «Высшая математика»

Поволжского филиала Российского государственного

открытого технического университета путей сообщения, г. Саратов

Попов Виктор Сергеевич -

доктор технических наук,

профессор кафедры «Гидравлика, гидравлические машины и водоснабжение» Саратовского государственного технического университета

Анциферов Сергей Александрович -

аспирант кафедры «Высшая и прикладная математика» Поволжского филиала Российского государственного открытого технического университета путей сообщения, г. Саратов

УДК 51:371; 510.662; 681.3

В.Е. Фирстов

СТОХАСТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ПОСТРОЕНИЯ ИНФОРМАЦИОННОГО ПРОСТРАНСТВА ДЕДУКТИВНОЙ ТЕОРИИ И ОПТИМИЗАЦИЯ ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКОЙ РАБОТЫ В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИКИ

Предлагается стохастическая модель построения дедуктивной теории в виде ветвящегося марковского процесса, который реализуется в соответствующем информационном пространстве. В рамках данной стохастической модели получается корректное обоснование критериев оптимизации для эффективной стратегии исследовательской работы в области математики.

V.E. Firstov

THE STOCHASTIC MODEL BY THE INFORMATION SPACE OF DEDUCTIVE THEORY FORMATION AND OPTIMIZATION OF THE RESEARCH

WORK IN MATHEMATICS

The stochastic model of deductive theory as branching Markov process is offered here. This process realized in corresponding information space. At present, stochastic model formed optimal strategy of the investigations in mathematics.

13