Моделирование кинетики ионов при электрудоговом синтезе углеродных наноструктур

УДК 533.95

Г.В. Абрамов, А.Н. Гаврилов, Е.С. Татаркин МОДЕЛИРОВАНИЕ КИНЕТИКИ ИОНОВ ПРИ ЭЛЕКТРУДОГОВОМ СИНТЕЗЕ УГЛЕРОДНЫХ НАНОСТРУКТУР

В статье представлены результаты моделирования кинетики движения ионов в плазме электродугового разряда. Рассмотрен метод «крупных частиц» для численного решения уравнения Власова. По полученным результатам сделан вывод об атомной природе формирования фуллеренов и нанотрубок.

Наноструктура, плазма, фуллерен, нанотрубка

G.V. Abramov, A.N. Gavrilov, E.S. Tatarkin THE MODELING OF ION KINETIC IN ARC DISCHARGE SYNTHESIS OF CARBON NANOSTUCTURES

The results of modeling the kinetics of the ions in the plasma arc discharge. Particle-in-cell method for numerical solution of Vlasov equation. According to the results concluded that the atomic nature of the formation offullerenes and nanotubes.

Nanostructure, plasma, fullerenes, nanotubes

Практическое применение фуллеренов и нанотрубок ставит задачу получения их в требуемых количествах и с заданными качественными параметрами. Однако для достижения этой цели необходимо определить механизмы синтеза этих углеродных наноструктур. Одним из распространенных методов получения фуллеренов и нанотрубок является электродуговое распыление графитового анода в атмосфере инертного газа (аргона, гелия).

На данный момент существует две основных теории о механизме формирования наноструктур при электродуговом распылении: кластерная и атомная (ионная) теории [1].

Отсутствие единой точки зрения на данный момент делает актуальным вопрос о зоне формирования и механизме роста фуллеренов и нанотрубок при электродуговом синтезе. Малое межэлектродное расстояние, высокая температура плазмы, быстротечность процессов в ней и ряд других факторов не позволяют исследовать процесс образования наноструктур прямыми экспериментальными методами.

Поэтому авторами проведено исследование на основе математического моделирования, заключающееся в определении характера, параметров и зоны испарения атомов углерода с поверхности анода участвующих в формировании требуемой нанострукутры (фуллерен C60 или нанотрубка) в зависимости от её расположения на катоде.

Для определения условий и механизма синтеза фуллерена или нанотрубки в процессе электродугового распыления графитового электрода необходимо иметь возможность анализа динамики изменения состояния как всей системы в целом, так и отдельно взятых элементов. Поскольку речь идет о наночастицах, то и элементом в анализируемом процессе является атом как не делимая составляющая наночастицы [2].

Для моделирования плазмы на данный момент существует ряд следующих основных подходов - метод молекулярной динамики (ММД), метод Мотне-Карло, кинетическое описание, метод крупных частиц и магнитогидродинамическое описание (МГД). Но для отслежи-

вания динамики изменения состояния атомов подходят из них ММД, кинетическое описание и метод крупных частиц.

В ММД описание состоит в непосредственном численном расчете уравнений движения N частиц с учетом взаимодействия каждой частицы со всеми остальными. Это наиболее прямой, «лобовой» метод расчета систем многих тел. Цена точности метода зависит от количества операций, которые пропорциональны квадрату числа частиц (~М2), так как на каждом временном шаге помимо расчета положения каждой частицы необходимо рассчитывать N взаимодействий, имея в виду, что каждая из N частиц взаимодействует с N - 1 частицей. Для современного уровня вычислительной техники моделирование этим методом редкой плазмы достаточно трудоемкая задача для значимых объемов плазмы.

Кинетическое описание чаще используется для моделирования именно коллективных явлений, таких как колебания в плазме, неустойчивости и т.п. При этом следят не за отдельными частицами плазмы, а за функцией распределения, как она меняется во времени. Для этого решается дифференциальное уравнение Больцмана для функции распределения. В бес-столкновительном случае уравнение Больцмана превращается в уравнение Власова, которое численно решается достаточно просто. При учете столкновений возникают сложности не только с вычислением интеграла столкновений (правой части уравнения Больцмана), но и с численным решением систем уравнений с ненулевыми правыми частями.

Метод крупных частиц. На данный момент это очень широко используемый метод дискретного моделирования плазмы. Этот метод можно считать промежуточным между методом молекулярной динамики и кинетическим описанием, потому что, слежение происходит не за отдельными частицами и не за всеми частицами одновременно, а за группами находящихся в одном единичном объеме фазового пространства частиц. Каждая из таких групп рассматривается как одна макрочастица. По местоположению в фазовом пространстве достаточно большого количества макрочастиц восстанавливаются функция распределения и макропараметры плазмы. При этом необходимо следить за масштабом укрупнения, то есть числом макрочастиц, с тем, чтобы не нарушались критерии плазменного состояния [3].

Из выше указанных только метод крупных частиц позволяет описывать плазму как на уровне частиц, так и системы в целом с меньшими затратами вычислительных ресурсов из-за того, что расчет параметров системы ведется не по отдельным частицам, а по обобщенным макрочастицам.

Для проведения исследования применен метод крупных частиц со следующими допущениями: в плазме отсутствуют столкновения частиц; связь между атомами в наноструктурах типа С - С; начальный модуль скорости при прямом расчете испаряющихся атомов с поверхности анода принят 85 м/с, полученный исходя из температуры на торце анода 3500°С, каждый ион имеет одинаковый заряд.

Уравнение Власова является кинетическим описанием бессталкновительной плазмы, оно основано на уравнение Больцмана с поправкой на дальнодействующий характер куло-новских сил. Взаимодействие заряженных частиц в данном описании происходит на уровне самосогласованного электрического поля.

Уравнение Власова для каждой компоненты плазмы - ионов углерода, ионов гелия и электронов имеет вид:

д/ г д/ а г 1 гг д/

дЪ^ + ^д>а-1^

дг дг та с дФ

где /а(г, Ф, г) — функции распределения компоненты плазмы (а = е, с, к , е — электрон, с — ион гелия, к — ион углерода); Е, В — напряженность электрического и магнитного полей; аа, та — заряд и масса частицы; Ф — поле скоростей частицы; г — координаты частицы.

Для определения самосогласованного электрического поля используется уравнение Пуассона:

УЕ = —Лф = 4пр,

где ф(г, г) — потенциал самосогласованного электрического поля, р — плотность электрического заряда

Использование метода крупных частиц состоит в том, что фазовое пространство для каждой компоненты в начальный момент времени разбивается на ячейки. В соответствии с начальной функцией распределения каждой компоненты / (г, Ф,0) считается число частиц в каждой ячейке. Затем суммируются заряды всех частиц данного сорта, содержащиеся в одной ячейке, суммарный заряд присваиваются одной модельной частице данного сорта, которую помещают в узел сетки (рис. 1). Таким образом, получается не только начальное распределение макрочастиц, но и задается в каждом узле начальное значение плотности заряда и тока. Далее рассчитываются электрическое и магнитное поле по имеющимся значениям заряда и тока в узлах. После этого рассчитывается траектория движения частиц, их новое положение в фазовом пространстве в последующий момент времени. Таким образом, определяется текущая функция распределения. Затем заряды частиц вновь разносятся по узлам фазового пространства, и процесс повторяется.

Условия сходимости и адекватности решения уравнений (1), (2) методом крупных частиц [5]:

1. Шаг интегрирования должен быть много меньше минимального характерного времени процессов в плазме, то есть времени электронных колебаний (колебаний плазмы -Ленгмюровские волны):

Аг < 3,4/ .

2. Шаг сетки должен быть меньше радиуса Дебая:

Н < 0,2Х0.

Метод крупных частиц позволяет исследовать динамику изменения состояния системы из начального момента времени до любой точки, а так же из любой другой точки во времени, т.е. определенного состояния системы, в обратном направлении, определить прошлое состояние системы, т.е. функцию распределения /а(г,$,г).

Для определения начального состояния атомов формирующих фуллерены и нанотрубки необходимо воссоздать состояние системы на момент времени формирования. Для этого

необходимо: 1) провести расчет в прямом направлении от анода к катоду до момента форми-

рования наночастиц; 2) разместить фуллерены / нанотрубки на катоде; 3) запустить расчет в обратном направлении.

Этим предполагается, что к моменту времени гк на катоде будут сформированы фулле-рены и нанотрубки.

В представленной модели большое значение играет форма потока атомов с анода. При термическом распылении поток зависит от формы выгорания анода (экспериментальные данные), которая представлена на рис. 2.

Перед запуском расчета в обратном направлении необходимо определить начальные условия частиц перед формированием интересующих фуллере-нов и нанотрубок, т.е. до момента установления связи С-С. Так как мы провели расчет в прямом направлении, можем вблизи поверхности катода «собрать» фуллерен и нанотрубку путем перемещения атомов, долетевших до катода, в заданные точки согласно кристаллической решетке наноструктры.

Начальные условия для уравнения Власова-Пуассона при г = 0:

Рис. 2. Форма выгорания анода в виде «чашечки»

Рис. 1. Расчетная сетка: е - электрон; с+ - катион углерода; И+ - катион гелия

11 fe (f, k,0)dfdk = Ne

JJ fh (f, k,0)dfdk = Nh

II fc (f, k,0)dfdk = Nc

к

к

85 м/с,

к

0 м/с.

Исходя из условия квазинейтральности плазмы

11 f

где нижний индекс с, e, h соответствует компоненте плазмы - катиону углерода, электрону и катиону гелия; Ne - количество электронов (определяется из силы тока электрической дуги); Nc - количество катионов углерода (определяется по экспериментальным данным скорости выгорания анода); Nh - количество катионов гелия (определяется как Ne - Nc).

Г раничным условием является то, что частицы, вылетевшие за рамки расчетной сетки перестают участвовать в расчетах.

Нами проведены расчеты отдельно для фуллеренов и нанотрубок. По одной нано-структре размещали на торцевой поверхности катода - на краю (1) и ровно в центре (2). Диаметр электродов 10 мм, сила тока 150 А, расстояние между электродами 1,5 мм.

Для проведения вычислений применен малый вычислительный комплекс из 5 рабочих станций на базе облачной платформы Amazon Elastic Compute Cloud 2 (EC2) с распараллеливанием вычислений по открытой технологии OpenMPI [6]. Каждая рабочая станция рассчитывает заряд в узлах сетки, и изменяет скорость и положение частиц, ведет расчет только для части частиц K/5, где K - общее количество частиц в системе.

Анализ полученных результатов позволяет сделать предположение об атомной природе формирования углеродных наноструктур и обосновать разные режимы ведения синтеза для получения фуллеренов или нанотрубок. При неравномерном разогреве анода, происходит испарение отдельных атомов углерода участвующие в формировании фуллеренов (нанотрубок) из кристаллической решетки графита послойно, со всей поверхности торцевого среза анода, а не целых кластеров.

Рис. 3. Среднее отклонение частиц от оси наноструктуры, к которой они принадлежали при их движении от катода к аноду

Рис. 4. Испарение ионов с торца анода: а - для наноструктур 1; б - для наноструктур 2. Точки черного цвета - атомы нанотрубки; белого цвета атомы фуллерена;

белый контур торец анодам

Для проведения вычислений применен малый вычислительный комплекс из 5 рабочих станций на базе Интернет сервиса «Amazon EC2» для распараллеливания вычислений. Каждая рабочая станция рассчитывает заряд в узлах сетки, и изменяет скорость и положение частиц, ведет расчет только для части частиц K/5, где K общее количество частиц в системе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Абрамов Г.В., Гаврилов А.Н., Татаркин Е.С. Влияние газоплазменной струи в процессе электродугового испарения графитового электрода на формирование углеродных нанотрубок // Вестник Воронежской ГТА. Серия: Информационные технологии, моделирование и управление. Воронеж: ВГТА. 2010. № 2(44). С.60-63.

2. Цветков И.В. Применение численных методов для моделирования процессов в плазме: учебное пособие. М.: МИФИ, 2007. 84 с.

3. Хокни Р., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц: пер. с англ. М.: Мир, 1987. 640 с.

Абрамов Геннадий Владимирович -

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой «Математическое моделирование информационных и технологических систем» Воронежской государственной технологической академии

Г аврилов Александр Николаевич -

кандидат технических наук, доцент кафедры «Информационные и управляющие системы» Воронежской государственной технологической академии

Татаркин Евгений Сергеевич -

аспирант кафедры «Математическое моделирование информационных и технологических систем» Воронежской государственной технологической академии

Статья поступила в редакцию 10.02.12, принята к опубликованию 12.03.12