Микромеханическая модель эволюции деформационного рельефа в поликристаллических материалах

УДК 539.3

Микромеханическая модель эволюции деформационного рельефа в поликристаллических материалах

В.А. Романова1, P.P. Балохонов1, А.В. Панин1,2, Е.Е. Батухтина1, M.C. Казаченок1, B.C. Шахиджанов3

1 Институт физики прочности и материаловедения СО РАН, Томск, 634055, Россия

2 Национальный исследовательский Томский политехнический университет, Томск, 634050, Россия

3 Национальный исследовательский Томский государственный университет, Томск, 634050, Россия

Предложена микромеханическая модель, описывающая формирование и эволюцию деформационного рельефа на поверхности поликристаллических материалов. Для учета деформационных процессов на микро- и мезоуровнях трехмерная поликристаллическая структура моделируется в явном виде с учетом кристаллографической ориентации зерен. Определяющие соотношения для описания отклика зерен построены на основе физической теории пластичности кристаллов, учитывающей анизотропию упругопластических свойств, обусловленную особенностями кристаллического строения. С использованием предложенной микромеханической модели численно исследованы процессы эволюции деформационного рельефа в микрообьемах поликристаллического алюминия и титана в условиях одноосного растяжения. Показано, что в обоих случаях можно выделить два характерных масштаба рельефных образований. На микроуровне нормальные смещения относительно свободной поверхности обусловлены появлением дислокационных ступенек в зернах, выходящих на поверхность, и относительным смещением соседних зерен друг относительно друга. Более развитый микрорельеф наблюдается в титане, что обусловлено высоким уровнем упругопластической анизотропии, характерной для ГПУ-кристаллов. Рельефные образования на мезоуровне представляют собой складки и кластеро-образные структуры, в формирование которых вовлекаются целые группы зерен. Для количественной оценки рельефных образований использован безразмерный параметр — интенсивность деформационного рельефа, отражающий степень отклонения формы поверхности от плоскости. Получена экспоненциальная зависимость интенсивности деформационного рельефа от степени деформации.

Ключевые слова: поликристаллическая структура, одноосное растяжение, деформационный рельеф, численное моделирование, теория пластичности кристаллов

Micromechanical model of deformation-induced surface roughening in polycrystalline materials

V.A. Romanova1, R.R. Balokhonov1, A.V. Panin1,2, E.E. Batukhtina1, M.S. Kazachenok1, and V.S. Shakhijanov3

1 Institute of Strength Physics and Materials Science SB RAS, Tomsk, 634055, Russia 2 National Research Tomsk Polytechnic University, Tomsk, 634050, Russia 3 National Research Tomsk State University, Tomsk, 634050, Russia

A micromechanical model has been developed to describe deformation-induced surface roughening in polycrystalline materials. The three-dimensional polycrystalline structure is taken into account in an explicit form with regard to the crystallographic orientation of grains to simulate the micro- and mesoscale deformation processes. Constitutive relations for describing the grain response are derived on the basis of crystal plasticity theory that accounts for the anisotropy of elastic-plastic properties governed by the crystal lattice structure. The micromechanical model is used to numerically study surface roughening in microvolumes of polycrystalline aluminum and titanium under uniaxial tensile deformation. Two characteristic roughness scales are distinguished in the both cases. At the microscale, normal displacements relative to the free surface are caused by the formation of dislocation steps in grains emerging on the surface and by the displacement of neighboring grains relative to each other. Microscale roughness is more pronounced in titanium, which is due to the high level of elastic-plastic anisotropy typical of hcp crystals. The mesoscale roughness includes ridges and cluster structures formed with the involvement of groups of grains. The roughness is quantitatively evaluated using a dimensionless parameter, called the degree of roughness, which reflects the degree of surface shape deviation from a plane. An exponential dependence of the roughness degree on the strain degree is obtained.

Keywords: polycrystalline structure, uniaxial tension, surface roughness, numerical simulation, crystal plasticity theory © Романова В.А., Балохонов Р.Р., Панин А.В., Батухтина Е.Е., Казаченок М.С., Шахиджанов B.C., 2017

1. Введение

Большинство конструкционных металлов и сплавов характеризуются поликристаллической структурой, формирующейся в процессе получения материалов. Хотя экспериментальные и теоретические исследования поликристаллических материалов имеют многовековую историю, целый ряд вопросов, связанных с многоуровневыми процессами деформации и разрушения, был сформулирован лишь в конце двадцатого столетия. Этому способствовало появление экспериментальных методик и приборов нового поколения, позволяющих получить принципиально новую информацию о поведении материалов в широком диапазоне масштабов и явлений, а также мощный прогресс в развитии вычислительной техники и численных методов.

Одна из актуальных проблем, привлекающих внимание физиков, механиков и материаловедов, связана с исследованием морфологических изменений, происходящих на свободной поверхности поликристаллических материалов в процессе нагружения. Эксперименты, проведенные для широкого ряда материалов в различных условиях нагружения, выявили целый спектр возможных сценариев развития деформационного рельефа. В общем случае деформационный рельеф в процессе нагружения эволюционирует на всей иерархии масштабных уровней [1, 2]. Наиболее мелкий масштаб связан с возникновением дислокационных ступенек в зернах, выходящих на поверхность. Микрорельеф, обусловленный экструзией и интрузией отдельных зерен относительно окружающего материала, часто называют эффектом апельсиновой корки [3, 4]. На мезоуров-не рельефные складки являются результатом коллективного смещения целых групп зерен [1, 5, 6]. Формирование выраженного макрорельефа происходит на стадии развитой пластической деформации и говорит о потере глобальной устойчивости и несущей способности материала [7, 8]. В ряде экспериментальных и теоретических работ было показано, что основной причиной антиплоских смещений на поверхности, свободной от действия внешних сил, является сложное напряженно-деформированное состояние, обусловленное наличием структурной неоднородности [9-13].

В большинстве случаев возникновение деформационного рельефа рассматривается как нежелательное явление. Помимо косметических дефектов, связанных с ухудшением отражательной способности поверхности, деформационный рельеф оказывает негативное влияние на характеристики сопротивления усталости, износу, коррозионному растрескиванию, отрицательно сказывается на адгезии и свариваемости и приводит к ухудшению физико-механических характеристик материала за счет локализации пластической деформации. Таким образом, для многих инженерных приложений актуальной проблемой является разработка эффективных мето-

дов подавления морфологических изменений на поверхности, по крайней мере, на определенных масштабах.

С другой стороны, деформационные процессы на поверхности связаны с эволюцией напряженно-деформированного состояния в объеме материала и историей нагружения, что может послужить основой для разработки методов неразрушающего контроля и предсказания жизнеспособности и остаточного ресурса материала. В этом контексте особая роль отводится мезоуров-ню, где в формирование рельефных складок вовлекаются не отдельные зерна, но целые конгломераты. Мезоуровень таким образом является связующим звеном между процессами микроуровня, где пластическая деформация обусловлена дислокационными механизмами, и макроуровня, где макролокализация пластической деформации предшествует разрушению. Сла-бовыраженный мезоскопический рельеф возникает уже на начальной стадии пластического течения и эволюционирует в процессе последующего нагружения вплоть до стадии предразрушения. Практически на всей стадии пластического течения мезоскопический рельеф хорошо диагностируется методами сканирующей и оптической микроскопии, причем такая диагностика не предъявляет высоких требований к качеству обработки поверхности. Таким образом, исследование мезоскопи-ческого рельефа может представлять наибольший практический интерес для разработки методов неразрушаю-щего контроля.

Как для разработки эффективных методов подавления деформационного рельефа в процессе нагружения, так и для разработки методов неразрушающего контроля на основе информации о морфологических изменениях на поверхности необходимо хорошо понимать механические и физические аспекты этого явления. Важным инструментом исследования в дополнение к экспериментальным методикам является численное моделирование, позволяющее в явном виде изучить взаимосвязь деформационных процессов на поверхности и в объеме материала при нагружении.

Настоящая работа продолжает цикл исследований эволюции деформационного рельефа на поверхности нагруженных материалов. Авторами экспериментально и численно были исследованы деформационные процессы на поверхности алюминиевых [11] и титановых сплавов [13] и стали [9, 12] в условиях одноосного растяжения. Для моделирования деформационного рельефа на микро- и мезоуровнях зеренная структура исследуемых материалов учитывалась в явном виде. В рамках развития предыдущих работ в настоящей статье предложена модель, в явном виде учитывающая кристаллографическую анизотропию зерен на микроуровне, связанную с кристаллическим строением материалов. Такой подход является принципиально важным при описании материалов, характеризующихся кристаллографи-

ческой текстурой, высоким коэффициентом упруго-пластической анизотропии и ограниченным набором систем скольжения. Численное моделирование формирования и развития деформационного рельефа в условиях одноосного растяжения проведено на модельных образцах поликристаллического алюминия и титана.

2. Математическая модель

2.1. Общая система уравнений в динамической постановке

Решение задач микромеханики с явным учетом внутренней структуры предъявляет высокие требования к вычислительным мощностям. С одной стороны, для воспроизведения деформационных процессов на микро- и мезоуровнях с требуемой степенью реалистичности рассматриваемый микрообъем должен содержать достаточное количество структурных элементов. С другой стороны, структурные элементы и приграничные области должны быть аппроксимированы достаточно подробно для обеспечения приемлемой точности решения задачи. Это обуславливает необходимость использования подробных сеток с большим количеством элементов. В связи с этим актуальной проблемой при решении задач микромеханики является минимизация вычислительных затрат без потери информативности и точности решения.

Одним из подходов, позволяющих существенно минимизировать требования к оперативной памяти, дисковому пространству и быстродействию, является решение квазистатических задач в динамической постановке. Таким образом осуществляется переход от неявных схем интегрирования к явным. С точки зрения вычислительных ресурсов явные методы имеют существенные преимущества при решении задач с любым типом нелинейности. В статической постановке равновесное состояние определяется путем итераций, число которых может быть достаточно большим в зависимости от степени нелинейности задачи. В этом случае явные методы, не требующие привлечения итеративных схем, имеют преимущество перед неявными методами. Нелинейность задачи может быть обусловлена различными

83

факторами, включая нелинейный отклик материала (например пластичность), геометрическую нелинейность расчетной области, нелинейные граничные условия и др. Как правило, задачи микромеханики с явным введением микроструктуры являются нелинейными даже в области упругого нагружения. В связи с этим моделирование квазистатического нагружения поликристаллических структур осуществлялось в динамической постановке с использованием явного метода конечных элементов.

Система уравнений механики деформируемого твердого тела в динамической постановке включает уравнения движения

PUi =Оу ,у,

уравнение неразрывности

и соотношения для скоростей полных деформаций

гу= 1

где и — компоненты вектора скорости; V = рр-1 — относительный объем; р0 и р — начальная и текущая плотность материала; Оу и г у — компоненты тензоров напряжений и полных деформаций; точка над символом обозначает производную по времени. Система уравнений (1)—(3) замыкается определяющими соотношениями, задающими связь между тензорами напряжений и деформаций.

2.2. Модель трехмерной поликристаллической структуры

Построение геометрической модели поликристаллического материала предполагает в явном виде определение зависимости физико-механических свойств от координат. Генерация поликристаллической структуры осуществлялась методом пошагового заполнения, описанным в [11]. Поликристаллическая структура, содержащая 1600 равноосных зерен, была сгенерирована на регулярной сетке с кубическими ячейками размером 200x75x200 и шагом 10 мкм (рис. 1). В численной реализации границы раздела между различными струк-

Рис. 1. Модель поликристаллической структуры

турными элементами проходят по узлам сетки, а физико-механические свойства материала задаются внутри элементов.

Группы контактирующих элементов с одинаковой кристаллографической ориентацией образуют зерно. В начальный момент времени все зерна имели одинаковые физико-механические характеристики (плотность, упругие модули, начальные напряжения сдвига, активирующие дислокационное скольжение, и др.) и отличались только ориентацией кристаллографических осей, которая оставалась постоянной в пределах зерна и менялась при переходе через межзеренную границу. Для задания кристаллографической ориентации зерен, наряду с глобальной системой координат (ГСК) Xi, связанной с геометрией образца (рис. 1, а), для каждого зерна вводилась локальная система координат (ЛСК) xi, связанная с направлением в нем кристаллографических осей (рис. 1, б, в). Ориентация локальной системы координат относительно глобальной задавалась через углы Эйлера, сгенерированные случайным образом, что отражает отсутствие кристаллографической текстуры.

2.3. Описание упругопластического отклика зерен в рамках теории пластичности кристаллов

Для учета анизотропии упругопластических свойств на микроуровне, связанной со строением кристаллической решетки, определяющие соотношения были построены на основе физической теории пластичности кристаллов [10, 14-17]. В рамках этой теории поликристаллический агрегат рассматривается как совокупность монокристаллов различной кристаллографической ориентации относительно глобальной системы координат. Такой подход является принципиально важным для материалов, характеризующихся ограниченным набором систем скольжения, выраженной текстурой и высокой степенью упругопластической анизотропии на уровне зерен.

В общем случае компоненты тензоров напряжений и деформаций связаны обобщенным законом Гука

где е — компоненты тензора упругих деформаций; Суп — тензор упругих модулей. С учетом представления тензора полных деформаций в виде суммы упругой ej и пластической ер составляющих:

еу =еу + ep

выражение (4) примет вид

= Cijki (% -epi )• (6) Если тензор скоростей полных деформаций, входящий в (6), однозначно определяется из соотношений (3), то для определения тензора пластических деформаций единого подхода не существует. В настоящее время для определения ер предложено большое количество моделей, построенных из феноменологических и физи-

= Cijkl &Id,

ческих соображений. Обзоры некоторых моделей приведены, например, в [16, 17]. В настоящей работе тензор скоростей пластических деформаций е?- определялся в рамках физической теории пластичности [15], в явном виде учитывающей кристаллографическую ориентацию зерен и, соответственно, систем скольжения, относительно системы координат образца:

& p =ЕУ (a)©f,

где у

скорость пластического сдвига в системе

скольжения а; — ориентационный тензор, задающий ориентацию системы скольжения а через компоненты векторов направления скольжения s¿а) и норма-

(а).

ли к плоскости скольжения m

©(а) = l(s}aVa) + s (аУа)).

В условиях квазистатического нагружения при комнатных температурах скорость пластического сдвига у(а) можно представить в виде зависимости от сдвигового

„.

напряжения т , действующего в данной системе скольжения, которое определяется как

Во многих работах [14-17] эта зависимость предло-

т(а) = ^(а)аут(а).

жена в виде степенного закона

Y(а) = Y о

г

г

sign т

.

где у о — начальная скорость сдвига, одинаковая для всех систем скольжения; V — коэффициент, определяющий скоростную чувствительность; т*а) — критическое значение сдвигового напряжения, при котором система скольжения становится активной. Значения у 0 и V подбирались таким образом, чтобы исключить скоростную чувствительность материала. Тестовые расчеты показали, что скорость нагружения не влияет на решение динамической задачи при значениях у0 ~ 0.1е (е —макроскопическая скорость деформации) и V—10.

В общем случае критическое напряжение сдвига, при котором начинается движение дислокаций в определенной системе скольжения, является функцией накопленной пластической деформации. Разными авторами предложены зависимости для определения т*а) различных материалов с учетом накопления дислокаций, двой-никования, дислокационного скольжения в других системах и большого количества других факторов [14-17]. Как правило, такие модели характеризуются большим количеством аппроксимационных коэффициентов и констант, определяемых из независимых экспериментов. При прямом моделировании с явным учетом зерен-ной структуры ряд явлений рассматривается автоматически и не требует специального описания через определяющие соотношения. К таким явлениям относятся концентрация напряжений и зарождение дислокационных дефектов у границ зерен, кристаллографический

V

поворот зерна (или его части) в процессе деформирования, локализация пластической деформации и т.д. Это позволяет использовать для описания т*а) более простые модели. В настоящей работе для определения т*а) была предложена феноменологическая зависимость в виде

т*а) =т0а) + k

Y Aa) =JlY|d t,

t

где Т0а) — начальное критическое напряжение сдвига в системе скольжения а. Второй член суммы описывает изотропное упрочнение в данной системе скольжения за счет накопления пластических сдвигов, k и b — аппроксимационные коэффициенты. Третий член суммы учитывает вклад зернограничного упрочнения через закон Холла-Петча. Здесь k1 — коэффициент зернограничного упрочнения; D — диаметр зерна, в численной реализации определенный как диаметр сферы такого же объема. Для моделирования упругоплас-тического поведения зерен алюминия и титана определяющие соотношения (4)-(11) были записаны с учетом особенностей кристаллического строения этих материалов.

Алюминий характеризуется гранецентрированной кубической (ГЦК) решеткой (рис. 1, б). В численной реализации направление кристаллографических осей xi было выбрано в соответствии со схемой, приведенной на рис. 1, б. В результате симметрии, характерной для кубических кристаллов, матрица упругих модулей алюминиевых кристаллов содержит 12 ненулевых модулей, из которых 3 являются независимыми: СШ1 = = 108 ГПа, С1122 = 61 ГПа и С2323 = 28 ГПа. Монокристаллы алюминия имеют 12 систем скольжения {111}(110), которые характеризуются одинаковым начальным критическим напряжением, необходимым для активации скольжения, Т0а) ~ 10 МПа. Аппроксима-ционные коэффициенты, входящие в (11), определялись из экспериментальных кривых нагружения для сплава A11570 с разным размером зерна: k ~ 150 МПа, b ~ 0.016, k = 1.6 МПа-м1/2.

Титан характеризуется гексагональной плотноупако-ванной (ГПУ) решеткой (рис. 1, в). В результате симметрии, характерной для ГПУ-кристаллов, матрица упругих модулей монокристалла титана содержит 12 ненулевых модулей, из которых 5 являются независимыми: С1111 = 162 МПа, С1122 = 69 МПа, С1133 = 92 МПа, С3333 = 181 МПа и С2323 = 47 МПа. В связи с геометрическими особенностями ГПУ-кристаллов, решетка которых представляет собой шестигранную призму, для ее описания используют 4 кристаллографических оси, одна из которых c является осью призмы, а три других ai лежат в плоскости основания под углом 120° относительно друг друга (рис. 1, в). В связи с тем, что определяющие соотношения сформулированы в декартовой

системе координат, в численной реализации вводится локальная прямоугольная система координат, ориентированная относительно кристаллографических направлений, как показано на рис. 1, в.

Титан характеризуется четырьмя основными системами скольжения: призматические {1010} (1210), базисные {0001}(1210), пирамидальные {10l1}(1210) и пирамидальные {10 11} (2 113). В результате симметрии ГПУ-кристалла существует несколько эквивалентных систем скольжения каждого типа: 3 призматических, 3 базисных, 6 пирамидальных (а) и 12 пирамидальных (c + а). Существенной особенностью титана является то, что различные системы скольжения характеризуются различными критическими напряжениями начала пластического течения. Литературные данные о величине критических напряжений в разных системах скольжения довольно противоречивы и в разных работах отличаются на порядок [18-20]. Однако все авторы отмечают, что критические напряжения на призматических плоскостях в два раза ниже, чем на базисных, и в три раза ниже, чем на пирамидальных. В связи с этим основными системами скольжения в титане являются призматические, где критические напряжения самые низкие. Вторичные системы скольжения — базисные. В поликристаллическом титане зерна с ориентацией кристаллографической оси с перпендикулярно направлению растяжения проявляют наибольшую склонность к скольжению. Зерна с ориентацией оси с параллельно нагрузке, напротив, остаются недеформированными или испытывают двойникование. В настоящей работе пирамидальное скольжение и двойникование в модели не учитывались.

2.4. Условия нагружения

Схема одноосного растяжения поликристаллической структуры приведена на рис. 1, а. На нижней поверхности задавались условия симметрии относительно оси X2. Боковые и верхняя поверхности считались свободными от действия внешних сил. Граничные условия, задающие одноосное растяжение вдоль оси X1, формулировались в скоростях:

UjXi=0 = -Ut, UllXi=Li = Ut,

где Ut — амплитуда скорости нагружения. Известно, что решение задачи в динамической постановке будет соответствовать квазистатическому решению при определенных условиях. В общем случае это условие минимизации волновых эффектов путем плавного приложения нагрузки и использование моделей материалов, не чувствительных к скорости нагружения. Для удовлетворения первого условия скорость нагружения наращивалась по линейному закону до заданной величины, а потом поддерживалась постоянной. Параметры нагру-жения, обеспечивающие совпадение динамического и статического решений с приемлемой точностью, опре-

86

делялись путем серии тестов, где варьировались предельное значение и время нарастания скорости до заданного амплитудного значения.

2.5. Особенности численной реализации

Определяющие соотношения (4)-(11) сформулированы относительно локальной кристаллографической системы координат, в то время как уравнения (1)-(3) и граничные условия решаются относительно глобальной системы координат (рис. 1, а). Формулы преобразования компонент тензора второго ранга при повороте системы координат имеют вид

Т* = ,

где Т* и Т- — компоненты тензора в новой и старой системе координат соответственно; — компоненты матрицы поворота, определяемой через углы Эйлера. При обратном переходе компоненты тензора определяются по формулам обратного преобразования

Т- = Щ—*.

В общем случае алгоритм численного решения краевой задачи (1)-(12) на каждом шаге по времени включает: решение уравнений (1)-(3) с учетом граничных условий относительно глобальной системы координат, определение компонент тензора скоростей полных деформаций в кристаллографической системе координат с помощью формул преобразования (13), решение определяющих соотношений (4)-(11) относительно кристаллографической системы координат методом итераций (для сходимости решения с точностью 8 = 10-7 доста-

точно 1-2 итерации) и определение компонент тензора напряжений в глобальной системе координат с помощью формул обратного преобразования (14).

3. Результаты моделирования

На рис. 2 показан деформационный рельеф на поверхности модельных поликристаллов алюминия и титана при различной степени растяжения. Поверхности приведены в одном масштабе и источник света расположен одинаково относительно поверхностей, что позволяет провести качественное сравнение сформировавшихся картин. Для количественных оценок на рис. 3 показана эволюция профилей поверхности вдоль и поперек оси растяжения (см. схему нагружения на рис. 1, а).

Поскольку расчеты для алюминия и титана проводились на одной и той же модельной структуре (рис. 1, а), отличия в картинах деформационного рельефа следует отнести за счет различного упругопластического отклика кристаллитов этих материалов. Двенадцать систем скольжения в алюминиевых кристаллах обеспечивают дислокационное скольжение практически при любой ориентации зерна по отношению к нагрузке. Таким образом, все зерна алюминия вовлекаются в пластическую деформацию уже на начальном этапе пластического течения. Существенно отличная картина наблюдается в поликристаллическом титане, где напряженно-деформированное состояние на микроуровне характеризуется выраженной неоднородностью, что является

Рис. 2. Рельеф на поверхности модельных поликристаллов алюминия (а, б) и титана (в, г) при деформации е = 2 (а, в) и 10 %

Рис. 3. Профили поверхности алюминия

характерной особенностью ГПУ-кристаллов с ограниченным набором систем скольжения. Зерна титана, имеющие неблагоприятную кристаллографическую ориентацию относительно оси нагружения, остаются упругими или вовлекаются в пластическую деформацию на более поздних стадиях нагружения, что согласуется с экспериментальными данными (рис. 4, в). Деформационная аккомодация таких зерен может проис-

ходить за счет их поворота как целого или пластического течения и поворота соседних зерен.

В общем случае зерно может одновременно испытывать дислокационное скольжение и поворот. Экспериментально отделить эти механизмы можно путем сравнения данных EBSD-анализа и металлографические изображения. В качестве примера на рис. 4 приведены экспериментальные данные для поликристаллического

Рис. 4. Экспериментальные данные EBSD-анализа

Рис. 5. Факторы Шмида для призматических систем скольжения

титана. Зерно 1 демонстрирует выраженное дислокационное скольжение и при этом не испытывает поворота кристаллической решетки (ср. рис. 4, а, б и в). При этом соседнее зерно 2 в процессе нагружения поворачивается как целое, оставаясь при этом упругодеформи-рованным (следы скольжения в этом зерне не наблюдаются). Остальные зерна испытывают и дислокационное скольжение, и поворот в той или иной степени.

Аналогичным образом были проанализированы результаты моделирования. В качестве примера на рис. 5 приведены карты факторов Шмида для призматических систем скольжения. До деформации оси локальных ориентаций внутри зерна направлены одинаково в каждой точке и изменяют направление только при переходе через границу. В процессе деформирования наблюдается разворот кристаллической решетки в отдельных зернах или в отдельных областях внутри зерна. Это свидетельствует о повороте зерна или его части как целого. Сопоставление карт факторов Шмида зерен (рис. 5, б) и распределения пластических деформаций (рис. 5, в) показало, что изменение кристаллографической ориентации в основном наблюдается вдоль меж-зеренных границ, в полосах локализации пластической деформации и прилегающих к ним областях.

В общем случае пластическое течение в зерне контролируется совокупностью факторов, одним из которых является кристаллографическая ориентация. Следует, однако, отметить, что прямой корреляции между кристаллографической ориентацией зерен по отношению к оси растяжения и степенью пластической деформации в них не было выявлено. В соответствии с физической теорией пластичности кристаллов, скольжение при более низком уровне напряжений происходит в зернах с наиболее благоприятной ориентацией по отношению к приложенной нагрузке. Количественно данная зависимость определяется законом Шмида, а способность зерна к скольжению — фактором Шмида, который определяется через углы между нормалью к плоскости скольжения и направлением скольжения и вектором приложенной нагрузки. Однако силы, приложенные к поверхности зерна на микроуровне, существенно от-

личаются от сил, приложенных к поверхности образца. В результате внутренней неоднородности напряженно-деформированное состояние в материале также крайне неоднородно. Фактически зерна в объеме материала находятся в условиях сложного нагружения и реальные значения фактора Шмида отличаются от значений, определенных относительно внешней силы. Таким образом, в значительной степени пластическая деформация зерен определяется локальными условиями их нагруже-ния, которые, в свою очередь, определяются условиями нагружения на границах микрообъема и деформационным поведением соседних зерен.

Несмотря на отличия упругопластического поведения поликристаллов алюминии и титана, можно выделить общие особенности деформационного рельефа, характерные для обоих материалов. Деформационные складки, сформированные на поверхности обоих материалов, демонстрируют два характерных масштаба, которые могут быть отнесены соответственно к микро-и мезоуровням (рис. 2, 3). На микроуровне деформационный рельеф формируется за счет смещения соседних зерен (или частей одного зерна) друг относительно друга перпендикулярно свободной поверхности (рис. 2, а, в). Микрорельеф начинает формироваться на стадии микропластической деформации, при уровне макроскопических напряжений ниже макроскопического предела текучести, и становится более выраженным с увеличением степени деформации. Наиболее интенсивное развитие микрорельефа наблюдается на начальной стадии пластического течения. В результате экструзии и интрузии отдельных зерен относительно окружающего материала границы зерен, выходящих на поверхность, становятся хорошо различимы уже на начальной стадии пластического течения (рис. 2, а, в).

Наряду с микрорельефом, на поверхности обоих материалов развиваются мезоскопические складки, образованные в результате нормальных смещений целых групп зерен. Ширина мезоскопических складок составляет несколько зеренных диаметров, что хорошо видно из сопоставления профилей поверхности

Рис. 6. Интенсивность пластической деформации (а) и деформационный рельеф, сформированный на поверхности поликристаллического алюминия при одноосном растяжении (б), е = 23 %

с зеренной структурой (рис. 3, д, е). Хотя мезоскопичес-кие складки появляются практически одновременно с микрорельефом, они становятся хорошо различимыми на более поздней стадии нагружения, когда их высота становится существенно больше, по сравнению с микросмещениями. Форма мезоскопических складок в целом сохраняется на протяжении всего процесса деформирования. Пики и впадины остаются на тех же местах, но эволюционируют с разной скоростью. На стадии развитой пластической деформации мезоскопические складки вносят наибольший вклад в развитие деформационного рельефа (рис. 6, б).

Распределения пластических деформаций демонстрируют два характерных масштаба локализации, непосредственно связанных с деформационным рельефом (рис. 6, а). Области локализации более мелкого масштаба связаны с пластическими сдвигами вдоль меж-зеренных границ, со смещениями и поворотами отдельных зерен. Более крупный масштаб связан с образованием областей локализации, охватывающих целые группы зерен и проявляющих тенденцию к формированию поперек оси растяжения (рис. 6, а).

Для количественной оценки рельефных образований в работах [11-13] был предложен безразмерный параметр (интенсивность деформационного рельефа), пред-

ставляющий собой отношение длины профиля поверхности к длине его проекции на плоскость:

= L- -1, L0

Рис. 7. Эволюция интенсивности деформационного рельефа в модельных поликристаллах алюминия и титана

где ¿г и ¿о — длины профиля поверхности и его проекции на плоскость. В трехмерном случае этот параметр определяется как площадь поверхности к площади ее проекции на плоскость. Чем больше форма поверхности отклоняется от плоскости, тем больше величина Кривые интенсивности деформационного рельефа для модельных поликристаллов алюминия и титана приведены на рис. 7. В обоих случаях кривые интенсивности деформационного рельефа демонстрируют нелинейный рост с увеличением степени деформации. При этом кривая для титана демонстрирует более быстрый рост, что говорит о более выраженном рельефе. В обоих случаях более высокая интенсивность деформационного рельефа получена для профилей, снятых вдоль оси растяжения.

4. Заключение

В работе предложена микромеханическая модель, описывающая формирование и эволюцию деформационного рельефа в поликристаллических материалах на микро- и мезоуровнях. Трехмерная поликристаллическая структура вводилась в модель в явном виде. Это позволило описать нелинейные эффекты влияния геометрической кривизны межзеренных границ на неоднородное напряженно-деформированное состояние в микрообъемах материала. Модель упругопластического отклика зерен с учетом анизотропии, обусловленной кристаллическим строением, строилась на основе физической теории пластичности кристаллов.

С использованием разработанной модели численно исследована эволюция деформационного рельефа в микрообъемах поликристаллического титана и алюминия в условиях одноосного растяжения. Показано, что в обоих случаях можно выделить два характерных масштаба рельефных образований. На микроуровне нор-

мальные смещения относительно свободной поверхности обусловлены появлением дислокационных ступенек в зернах, выходящих на поверхность, и относительным смещением соседних зерен друг относительно друга. Более развитый микрорельеф наблюдается в титане, что обусловлено высоким уровнем упругопласти-ческой анизотропии, характерной для ГПУ-кристаллов. Рельефные образования на мезоуровне представляют собой складки и кластерообразные структуры, в формирование которых вовлекаются целые группы зерен. Для количественной оценки рельефных образований предложен безразмерный параметр (интенсивность деформационного рельефа), отражающий степень отклонения формы поверхности от плоскости. Получена экспоненциальная зависимость интенсивности деформационного рельефа от степени деформации.

Работа выполнена в рамках проектов РФФИ №№ 17-08-00643 А (микромеханическая модель титана) и 16-01-00469-а (микромеханическая модель алюминия).

Литература

1. Raabe D., Sachtleber M, Weiland H., Scheele G., Zhao Z. Grain-scale micromechanics of polycrystal surfaces during plastic straining // Acta Mater. - 2003. - V. 51. - P. 1539-1560. - doi 10.1016/S1359-6454(02)00557-8.

2. Егорушкин B.E., Панин B.E., Панин A.B. Влияние многоуровневого

локализованного пластического течения на характер кривой «напряжение-деформация» // Физ. мезомех. - 2014. - Т. 17. - № 2. -С. 19-23.

3. Lee P.S., Piehler H.R., Adams B.L., Jarvis G., Hampel H., Rollett A.D.

Influence of surface texture on orange peel in aluminum // J. Mater. Process. Tech. - 1998. -V. 80-81. - P. 315-319. - doi http://dx.doi.org/ 10.1016/S0924-0136(98)00189-7.

4. Miranda-Medina M.L., Somkuti P., Bianchi D., Cihak-Bayr U., Bader D., Jech M., Vernes A. Characterization of orange peel on highly polished steel surfaces // Surface Eng. - 2015. - V. 31. - P. 519525.- doi 10.1179/ 1743294414Y.0000000407.

5. Shin H.J., An J.K., Park S.H., Lee D.N. The effect of texture on ridging of ferritic stainless steel // Acta Mater. - 2003. - V. 51. - P. 46934706. - doi 10.1016/S1359-6454(03)00187-3.

6. Wouters O., Vellinga W.P., van Tijum R., de Hosson J.T.M. Effects of crystal structure and grain orientation on the roughness of deformed polycrystalline metals // Acta Mater. - 2006. - V 54. - P. 2813-2821. -doi 10.1016/j.actamat.2006.02.023.

7. Деревягина Л.С., Панин B.E., Гордиенко А.И. Самоорганизация пластических сдвигов в макрополосах локализованной деформа-

ции в шейке высокопрочных поликристаллов и ее роль в разрушении материала при одноосном растяжении // Физ. мезомех. -2007. - Т. 10. - № 4. - C. 59-71.

8. Зуев Л.Б. Автоволновая модель пластического течения // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14. - № 3. - С. 85-94.

9. Панин А.В., Романова В.А., Балохонов P.P., Перевалова О.Б., Си-някова Е.А., Емельянова О.С., Леонтьева-Смирнова М.В., Карпенко Н.И. Формирование мезоскопических складчатых структур на поверхности поликристаллов стали ЭК-181 в условиях одноосного растяжения // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14. - 4. - С. 5768.

10. Guilhem Y., Basseville S., Curtit F., Stеphan J.M., Cailletaud G. Numerical investigations of the free surface effect in three-dimensional polycrystalline aggregates // Comp. Mater. Sci. - 2013. - V. 70. -P. 150-162. - doi 10.1016/j .commatsci.2012.11.052.

11. Romanova V.A., Balokhonov R.R., Schmauder S. Numerical study of mesoscale surface roughening in aluminum polycrystals under tension // Mater. Sci. Eng. A. - 2013. - V. 564. - P. 255-263. - doi 10.1016/j.msea.2012.12.004.

12. Romanova V., Balokhonov R., Zinovieva O. A micromechanical analysis of deformation-induced surface roughening in surface-modified polycrystalline materials // Meccanica. - 2016. - V. 51. - P. 359370.- doi 10.1007/s11012-015-0294-x.

13. Romanova V., Balokhonov R., Zinovieva O., Shakhidjanov V Numerical study of the surface hardening effect on the deformation-induced roughening in titanium polycrystals // Comp. Mater. Sci. -2016.- V. 116. - P. 96-102.

14. Needleman A. Computational mechanics at the mesoscale // Acta Mater. - 2000. - V. 48. - P. 105-124.

15. Diard O., Leclercq S., Rousselier G., Cailletaud G. Evaluation of finite element based analysis of 3D multicrystalline aggregates plasticity. Application to crystal plasticity model identification and the study of stress and strain fields near grain boundaries // Int. J. Plasticity. - 2005. - V. 21. - P. 691-722. - doi 10.1016/j.ijplas.2004.05.017.

16. Roters F., Eisenlohr P., Hantcherli L., Tjahjanto D.D., Bieler T.R., Raabe D. Overview of constitutive laws, kinematics, homogenization and multiscale methods in crystal plasticity finite-element modeling: Theory, experiments, applications // Acta Mater. - 2010. - V. 58. -P. 1152-1211. - doi 10.1016/j.actamat.2009.10.058.

17. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Прямые модели // Физ. мезомех. - 2011. -Т. 14. - № 5. - С. 5-30.

18. WangL, BarabashR.I, Yang Y., Bieler T.R., Crimp M.A., EisenlohrP, Liu W., Ice G.E. Experimental characterization and crystal plasticity modeling of heterogeneous deformation in polycrystalline a-Ti // Metall. Mater. Trans. A. - 2011. - V. 42. - P. 626-635.

19. Alankar A., Eisenlohr P., Raabe D. A dislocation density-based crystal plasticity constitutive model for prismatic slip in a-titanium // Acta Mater. - 2011. - V. 59. - P. 7003-7009. - doi 10.1016/j.actamat. 2011.07.053.

20. Becker H., Pantleon W. Work-hardening stages and deformation mechanism maps during tensile deformation of commercially pure titanium // Comp. Mater. Sci. - 2013. - V. 76. - P. 52-59. - doi 10.1016/j.commatsci.2013.03.028.

Поступила в редакцию 10.02.2017 г.

Сведения об авторах

Романова Варвара Александровна, д.ф.-м.н., внс ИФПМ СО РАН, varvara@ispms.tsc.ru Балохонов Руслан Ревович, д.ф.-м.н., внс ИФПМ СО РАН, rusy@ispms.tsc.ru

Панин Алексей Викторович, д.ф.-м.н., доц., зав. лаб. ИФПМ СО РАН, проф. ТПУ, pav@ispms.tsc.ru Батухтина Екатерина Евгеньевна, асп. ИФПМ СО РАН, batuhtina10902@mail.ru Казаченок Марина Сергеевна, к.ф.-м.н., нс ИФПМ СО РАН, kms@ispms.tsc.ru Шахиджанов Валерий Суренович, студ. ТГУ, arm3n1an@mail.ru