Исследовательская работа &quot;Решение линейных уравнений&quot;

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Красногвардейская гимназия»

Исследовательская работа на тему:

Решение линейных уравнений

Выполнил:

Бахтияров Вадим, ученик 7а класса

Руководитель:

Бахтиярова Зулира Зиннуровна, учитель математики

с. Донское, 2020 г.

Содержание

Введение .......................................................................................................................... 3

1. Теоретическая часть............................................................................................. 5

1. Происхождение уравнений .................................................................................... 5

2. Линейное уравнение с одной переменной............................................................ 6

3. Исследование уравнений........................................................................................ 7

4. Способы решения линейных уравнений............................................................... 7

4.1. Метод "Пристального взгляда"_______________________________ 7

4.2.Решение линейных уравнений в начальной школе............................... 7

4.3.Алгоритм решения линейных уравнений.............................................. 9

5. Уравнения, приводимые к линейным.................................................................... 9

5.1.Нахождение общего знаменателя .......................................................... 9

5.2.Уравнения – пропорции........................................................................... 10

5.3.Уравнения вида

10

II. Практическая часть .............................................................................................. 12

1. Изучение потребностей учеников 7а класса в изучении данной темы............ 12

2. Диагностика умения решать уравнения............................................................. 12

3. Методическое пособие «Решение линейных уравнений с одной переменной (уравнений, сводящихся к линейным) 12

Заключение ..................................................................................................................... 14

Список литературы 15

Приложения ..................................................................................................................... 16

6.

Введение

Уравнения для меня важнее, потому что

политика — для настоящего,

а уравнения — для вечности

Альберт Эйнштейн

Алгебра, как искусство решать уравнения, зародилась очень давно в связи с потребностью практики, в результате поиска общих приёмов решения однотипных задач. Самые ранние, дошедшие до нас рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приёмы решения линейных уравнений. Теория уравнений интересовала и интересует математиков всех времён и народов, потому что уравнения играют важную роль для человека в повседневной жизни.

Я, испытывая трудности при изучении данного предмета, а в частности в изучении темы «Линейные уравнения с одной переменной» поставил перед собой цель – научиться решать уравнения с одной переменной.

Актуальность данной темы заключается в следующем:

· Класс линейных уравнений — первый в курсе алгебры, поэтому от характера его изучения в значительной мере зависит успешное освоение всей темы «Уравнения».

· Знание данной темы необходимо для успешной сдачи основного государственного экзамена

Объект исследования: линейные уравнения с одной переменной.

Предмет исследования: приёмы решения линейных уравнений с одной переменной, а также уравнений, сводящихся к линейным.

Гипотеза исследования: овладев приемами решения, мне будет легко решить любое линейное уравнение с одной переменной (или уравнение, сводящееся к линейному).

Цель работы: систематизировать линейные уравнения по их решениям, познакомиться с новыми приемами решения.

Цель определяет следующие задачи:

- проанализировать, что мне известно о линейных уравнениях из школьного курса математики;

- найти и изучить приемы решения линейных уравнений, а также уравнений, сводящихся к линейным;

- провести анкетирование среди одноклассников;

- создать методическое пособие, в котором представить обобщенный материал по данной теме.

Методы исследования:

- работа с литературой;

- работа в сети Интернет;

- сбор информации;

- наблюдение, анализ, обобщение.

I. Теоретическая часть

1. Происхождение уравнений

Кто и когда придумал первые уравнения? Что такое уравнение?

Уравнение – это равенство, содержащее неизвестное число, которое надо найти. Неизвестные числа в уравнениях принято обозначать с помощью маленьких латинских букв, например, p, t, u и т.п., но наиболее часто используются буквы x, y и z.

Задачи, приводящие к решению простейших уравнений, люди решали на основе здравого смысла. Еще 3-4 тысячи лет до нашей эры египтяне и вавилоняне умели решать простейшие уравнения, вид которых не был похож на современные.

Математика как наука родилась в Древней Греции. Греки унаследовали знания египтян, и пошли дальше. Алгебраические уравнения 1-й степени с одним неизвестным решали уже в Древнем Египте и Древнем Вавилоне. Вавилонские писцы умели решать и квадратные уравнения, а также простейшие системы линейных уравнений и уравнений 2-й степени. С помощью особых таблиц они решали и некоторые уравнения 3-й степени. В Древней Греции квадратные уравнения решали с помощью геометрических построений. Греческий математик Диофант (III в.) разработал методы решения алгебраических уравнений и систем таких уравнений со многими неизвестными в рациональных числах. Например, он решил в рациональных числах уравнение, систему уравнений, и т.д. (см. Диофантовы уравнения).

Большой вклад в развитие решения уравнений внес узбекский математик и астроном Мухаммед аль Хорезми (IX век). Кстати, название «алгебра» пошло от названия трактата Мухаммеда аль-Хорезми «Китаб аль-джебр валь-мукабала», где он дал общие правила для решения уравнений первой степени. Слово «аль-джебр» (восстановление), от которого алгебра получила своё название, означало перенос отрицательных членов уравнения из одной его части в другую с изменением знака. В алгебраическом трактате аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений.

Многие математики занимались решением уравнений. Одним из них был французский математик Франсуа Виет. Франсуа Виет жил в XVI веке. Он внес большой вклад в изучение различных проблем математики, астрономии, ввел буквенные обозначения в уравнении. Громкую славу Ф.Виет получил при короле Генрихе III во время франко-испанской войны. Испанские инквизиторы изобрели сложную тайнопись, благодаря которой они вели переписку с врагами Генриха III даже в самой Франции. Никто не мог найти шифр. Тогда обратились к Виету. Виет нашел решение за две недели непрерывной работы ключ к шифру, после чего Франция стала неожиданно выигрывать у Испании одно сражение за другим. Будучи уверенными, в том, что шифр разгадать невозможно, обвинили Виета в связи с дьяволом и приговорили к сожжению на костре. К счастью, он не был выдан инквизиторам и вошел в историю как великий математик. Более подробно познакомимся с Виетом в старших классах.

Алгебра как искусство решать уравнения зародились очень давно в связи с потребностью практики, в результате поиска общих приёмов решения однотипных задач. Самые ранние дошедшие до нас рукописи свидетельствуют о том, что в Древнем Вавилоне и Древнем Египте были известны приёмы решения линейных уравнений. Нильс Хенрик Абель (1802 – 1829) внес важный вклад в теорию уравнений. В 1824 году он опубликовал доказательство неразрешимости в радикалах общего буквенного выражения пятой степени.

Сейчас алгебра как наука значительно расширилась и усложнилась. Однако элементарная алгебра по-прежнему, как и во времена древних египтян, является наилучшим тренажёром для развития мышления. [6]

2. Линейное уравнение с одной переменной

Одним из самых простых и в то же время очень важных видов математических моделей реальных ситуаций являются линейные уравнения с одной переменной.

Решить линейное уравнение – это значит найти все те значения переменной, при каждом из которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Каждое такое значение переменной называют корнем уравнения.

Вообще линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида

[1]

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.

Разберёмся, сколько корней может иметь линейное уравнение? Количество корней зависит от значений a и b:

1)

, то корнем уравнения является любое число (бесконечное множество корней).

2)

, то ни одно число этому уравнению не удовлетворяет (уравнение не имеет корней).

3)

. Значит

(Уравнение имеет один корень).

3. Исследование уравнений

Можно провести исследование уравнения. Что это значит? Это значит рассмотреть все особые случаи, которые могут представиться при решении его, и уяснить значение этих случаев для той задачи, из условий которой уравнение составлено. При исследовании уравнения мы подходим более основательно, рассматриваем все особые случаи, которые могут встретиться при его решении. При самом решении уравнении, нашей основной задачей является найти значения переменной

Проанализировав теоретический материал учебника, я заметил, что он ограничен только общей теорией и алгоритмом решения простейшего линейного уравнения. Но этого недостаточно для решения задач разного уровня сложности. Поэтому на первом этапе работы я классифицировал методы решения линейных уравнений, опираясь на целесообразность применения тех или иных преобразований. В классификацию были включены также уравнения, решения которых сводится к линейным.

тип – преобразование уравнений (

тип – нахождение общего знаменателя (например,

)

тип – пропорция (например,

)

тип –

[7]

4. Способы решения линейных уравнений

4.1.Метод "Пристального взгляда"

Иногда корень уравнения можно легко увидеть, например, в уравнении

корень х = 1. [7]

4.2. Решение линейных уравнений в начальной школе

Решите уравнение

В данном уравнении x – неизвестный множитель.

Правило: Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель. [3]

Получаем:

Правила записи: чтобы писать математически грамотно решение линейного уравнение — каждое вычисление или преобразование надо делать с новой строки.

Проверка:

.

Ответ:

.

Решите уравнение

. В данном уравнении x — неизвестное слагаемое.

Правило: Для того, чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.

Ответ:

Решите уравнение

. В данном уравнении x – неизвестное вычитаемое.

Правило: Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.

Ответ:

Решите уравнение

. В данном уравнении x – неизвестное уменьшаемое.

Правило: Для того, чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Ответ:

Решите линейное уравнение

. Здесь x — неизвестное делимое.

Правило: Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Ответ:

.

Решите уравнение

. Здесь x – неизвестный делитель.

Правило: Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Ответ:

4.3.Алгоритм решения линейных уравнений

1. Раскрыть скобки, если они есть;

2. Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной — в другую;

3. Привести подобные слагаемые слева и справа от знака равенства;

4. Разделить полученное уравнение на коэффициент при переменной x. [1]

5. Уравнения, приводимые к линейным

Далее я хочу рассмотреть несколько типов уравнений, которые сводятся к линейным уравнениям.

5.1.Нахождение общего знаменателя

Алгоритм решения

1. Найти общий знаменатель всех дробей, входящих в уравнение (наименьшее общее кратное всех знаменателей).

2. Умножить каждый член в левой и правой частях уравнения на общий знаменатель.

3. Сократить получившиеся дроби.

4. Упростить левую и правую части уравнения (раскрыть скобки).

5. Перенести неизвестные члены уравнения в левую часть, а известные – в правую, изменив при этом их знак на противоположный.

6. Привести подобные слагаемые в левой части и найти значение правой части.

Получится линейное уравнение вида ax = b.

7. Найти значение x, разделив обе части уравнения на коэффициент при неизвестном a.

Пример:

Общий знаменатель всех дробей – 10

5.2.Уравнения – пропорции

Пропорцией называется равенство двух отношений:

или a : b = с : d.

При решении таких уравнений разумно пользоваться основным свойством пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних ее членов: ad = bc

Используя это свойство, решим уравнение:

5.3.Уравнения вида

Если раскрыть скобки, то получится уравнение, которое является квадратным. Решать квадратные уравнения мы сможем в 8 классе. Но данное уравнение можно рассмотреть с другой стороны. Мы видим, что в левой части уравнения представляет собой произведение двух множителей: первый множитель –

, второй множитель –

. Справа стоит нуль. Здесь нужно применить правило: Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Тогда либо первый множитель равен нулю, либо второй множитель равен нулю.

Наше уравнение примет вид: либо

либо

. В математике принято записывать так:

.

По отдельности решить каждое из этих уравнений, которое по отдельности является линейным, и записать ответ.

Ответ: 0,6; 6. (В данном случае уравнение имеет два корня. Первый корень – 0,6, второй корень – 3).

II. Практическая часть

1. Изучение потребностей учеников 7а класса в изучении данной темы

Для того чтобы выяснить актуальность исследуемой темы, мы решили провести опрос среди учащихся 7а класса. Опрос проводился посредством анкетирования. Респондентам были заданы вопросы. Математику назвали интересным предметом - 76% (10 учащихся) опрошенных, 38,5% (5 учащихся) оценили свои знания как хорошие, 38,5% (5 учащихся) – как удовлетворительные. (Приложение 1), 23% (3 учащихся) испытывают трудности при изучении предмета.

2. Диагностика умения решать уравнения

Для проверки имеющихся навыков мы провели диагностическую работу, в которую включили четыре уравнения. Уравнения были выстроены в порядке увеличения уровня сложности: первое уравнение было самым простым; во втором уравнении нужно было сперва раскрыть скобки; в третьем уравнении нужно было избавиться от дробных коэффициентов; четвертое уравнение являлось уже нелинейным.

В результате с первым уравнением справились все 13 учащихся. Второе уравнение правильно выполнили 10 учащихся. Третье уравнение выполнил 1 учащийся. Четвертое уравнение не выполнил никто.

Работы учащиеся показали, что существуют определённые сложности при решении уравнений. Основные ошибки: перенос слагаемых из одной части уравнения в другую, смена знака при переносе слагаемых и нахождение значения переменной; третье и четвертое уравнения вызвали сложность, т.к. были представлены в нестандартном виде.

Диагностика показала, что у меня и моих одноклассников есть пробелы в изучаемой теме. (Приложение 2). Думаю, если овладеть приемами решения, мне и моим одноклассникам будет легко решить любое линейное уравнение с одной переменной (или уравнение, сводящееся к линейному).

3. Методическое пособие «Решение линейных уравнений с одной переменной (уравнений, сводящихся к линейным)

Данное методическое пособие предназначено для учащихся 7-9 классов, испытывающих трудность при решении линейных уравнений с одной переменной (уравнений, сводящихся к линейным), а также для подготовки к итоговой аттестации.

В пособии представлен краткий теоретический материал по данной теме. Приведены примеры решения уравнений. К каждому типу уравнений приведены примеры для самостоятельной работы учащихся. (Приложение 3).

Заключение

Изучив математическую литературу в данной научной исследовательской работе, были проанализированы различные приёмы решения линейных уравнений с одной переменной. Также были решены поставленные задачи исследования: проанализирован материал школьного курса математики о линейных уравнениях; найдены и изучены новые приемы решения линейных уравнений; одноклассники узнали новые приемы решения линейных уравнений; проведен сравнительный анализ достижений в решении уравнений.

На основе поставленных задач и проведенных методов была достигнута поставленная цель по систематизации линейных уравнений, по их решениям, знакомству с новыми приемами решения.

Могу сказать, что теперь мне легче решать линейные уравнения, зная приемы решения. Тем самым доказана гипотеза, цель достигнута, задачи решены.

Список литературы

1. Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.1 / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – 23-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2019. – 263 с.:ил.

2. Алгебра. 7 класс. Учебник для общеобразовательных организаций. В 2 ч. Ч.2 / [А.Г. Мордкович и др.]; под ред. А.Г. Мордковича. – 23-е изд., перераб. – М.: Мнемозина, 2019. – 215 с.:ил.

3. https://repetitor-mathematics.ru/kak-reshat-lineynyie-uravneniya/

4. http://math100.ru/oge6/

5. http://oge.fipi.ru/os/xmodules/qprint/index.php?theme_guid=0A2243D019E2A3F84407BD957179EC00&proj_guid=DE0E276E497AB3784C3FC4CC20248DC0

6. https://урок.рф/library_kids/proishozhdenie_uravnenij_070127.html

7. https://school-science.ru/5/7/35043

8.

Приложения

Приложение 1

Анкета

1. Математика – интересный предмет?

Да

Нет

Не знаю

2. Мои знания по математике

Хорошие

Удовлетворительные

Неудовлетворительные

3. Почему я испытываю трудности по данному предмету?

Несерьезное отношение к учебе

Трудности при изучении учебного материала

Отсутствие интереса к данному предмету

Другое

Приложение 2

Диагностическая работа

Решите уравнения

1.

2.

3.

4.

Приложение 3.

Методическое пособие «Решение линейных уравнений с одной переменной

(уравнений, сводящихся к линейным)

для учащихся 7-9 классов

Теоретический материал

1. Линейное уравнение с одной переменной

Одним из самых простых и в то же время очень важных видов математических моделей реальных ситуаций являются линейные уравнения с одной переменной.

Решить линейное уравнение – это значит найти все те значения переменной, при каждом из которых уравнение обращается в верное числовое равенство. Каждое такое значение переменной называют корнем уравнения.

Вообще линейным уравнением с одной переменной х называют уравнение вида

Как распознать, является ли произвольное уравнение линейным или нет? Надо обратить внимание на переменную, которая присутствует в нем. Если старшая степень, в которой стоит переменная, равна единице, то такое уравнение является линейным уравнением.

Разберёмся, сколько корней может иметь линейное уравнение? Количество корней зависит от значений a и b:

4)

, то корнем уравнения является любое число (бесконечное множество корней).

5)

, то ни одно число этому уравнению не удовлетворяет (уравнение не имеет корней).

6)

. Значит

(Уравнение имеет один корень).

2. Исследование уравнений

Можно провести исследование уравнения. Что это значит? Это значит рассмотреть все особые случаи, которые могут представиться при решении его, и уяснить значение этих случаев для той задачи, из условий которой уравнение составлено. При исследовании уравнения мы подходим более основательно, рассматриваем все особые случаи, которые могут встретиться при его решении. При самом решении уравнении, нашей основной задачей является найти значения переменной

Проанализировав теоретический материал учебника, я заметил, что он ограничен только общей теорией и алгоритмом решения простейшего линейного уравнения. Но этого недостаточно для решения задач разного уровня сложности. Поэтому на первом этапе работы я классифицировал методы решения линейных уравнений, опираясь на целесообразность применения тех или иных преобразований. В классификацию были включены также уравнения, решения которых сводится к линейным.

тип – преобразование уравнений (

тип – нахождение общего знаменателя (например,

)

тип – пропорция (например,

)

тип –

3. Способы решения линейных уравнений

3.1.Метод "Пристального взгляда"

Иногда корень уравнения можно легко увидеть, например, в уравнении

корень х = 1.

3.2.Решение линейных уравнений в начальной школе (https://repetitor-mathematics.ru/kak-reshat-lineynyie-uravneniya/)

Решите уравнение

В данном уравнении x – неизвестный множитель.

Правило: Чтобы найти неизвестный множитель, надо произведение разделить на известный множитель.

Получаем:

Правила записи: чтобы писать математически грамотно решение линейного уравнение — каждое вычисление или преобразование надо делать с новой строки.

Проверка:

.

Ответ:

.

Решите уравнение

. В данном уравнении x — неизвестное слагаемое.

Правило: Для того, чтобы найти неизвестное слагаемое, надо от суммы отнять известное слагаемое.

Ответ:

Решите уравнение

. В данном уравнении x – неизвестное вычитаемое.

Правило: Чтобы найти неизвестное вычитаемое, надо от уменьшаемого отнять разность.

Ответ:

Решите уравнение

. В данном уравнении x – неизвестное уменьшаемое.

Правило: Для того, чтобы найти неизвестное уменьшаемое, надо к разности прибавить вычитаемое.

Ответ:

Решите линейное уравнение

. Здесь x — неизвестное делимое.

Правило: Чтобы найти неизвестное делимое, надо частное умножить на делитель.

Ответ:

.

Решите уравнение

. Здесь x – неизвестный делитель.

Правило: Чтобы найти неизвестный делитель, надо делимое разделить на частное.

Ответ:

3.3.Алгоритм решения линейных уравнений

1. Раскрыть скобки, если они есть;

2. Перенести слагаемые, содержащие переменную, в одну сторону от знака равенства, а слагаемые без переменной — в другую;

3. Привести подобные слагаемые слева и справа от знака равенства;

4. Разделить полученное уравнение на коэффициент при переменной x.

4. Уравнения, приводимые к линейным

Далее я хочу рассмотреть несколько типов уравнений, которые сводятся к линейным уравнениям.

4.1.Нахождение общего знаменателя

Алгоритм решения

1. Найти общий знаменатель всех дробей, входящих в уравнение (наименьшее общее кратное всех знаменателей).

2. Умножить каждый член в левой и правой частях уравнения на общий знаменатель.

3. Сократить получившиеся дроби.

4. Упростить левую и правую части уравнения (раскрыть скобки).

5. Перенести неизвестные члены уравнения в левую часть, а известные – в правую, изменив при этом их знак на противоположный.

6. Привести подобные слагаемые в левой части и найти значение правой части.

Получится линейное уравнение вида ax = b.

7. Найти значение x, разделив обе части уравнения на коэффициент при неизвестном a.

Пример:

Общий знаменатель всех дробей – 10

4.2.Уравнения – пропорции

Пропорцией называется равенство двух отношений:

или a : b = с : d.

При решении таких уравнений разумно пользоваться основным свойством пропорции: произведение крайних членов пропорции равно произведению средних ее членов: ad = bc

Используя это свойство, решим уравнение:

4.3.Уравнения вида

Если раскрыть скобки, то получится уравнение, которое является квадратным. Решать квадратные уравнения мы сможем в 8 классе. Но данное уравнение можно рассмотреть с другой стороны. Мы видим, что в левой части уравнения представляет собой произведение двух множителей: первый множитель –

, второй множитель –

. Справа стоит нуль. Здесь нужно применить правило: Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Тогда либо первый множитель равен нулю, либо второй множитель равен нулю.

Наше уравнение примет вид: либо

либо

. В математике принято записывать так:

.

По отдельности решить каждое из этих уравнений, которое по отдельности является линейным, и записать ответ.

Ответ: 0,6; 6. (В данном случае уравнение имеет два корня. Первый корень – 0,6, второй корень – 3).

Практическая часть

1. Тип – преобразование уравнений

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

11)

12)

13)

14)

15)

16)

17)

2. тип – нахождение общего знаменателя

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

3. тип – пропорция

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

4. тип –

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)