Метод определения апостериорных оценок погрешностей в расчетах композитных оболочек с применением многосеточных конечных элементов

DOI: 10.24143/2072-9502-2018-4-16-25 УДК 519.65; 539.3

А. Н. Гришанов

МЕТОД ОПРЕДЕЛЕНИЯ АПОСТЕРИОРНЫХ ОЦЕНОК ПОГРЕШНОСТЕЙ В РАСЧЕТАХ КОМПОЗИТНЫ1Х ОБОЛОЧЕК С ПРИМЕНЕНИЕМ МНОГОСЕТОЧНЫ1Х КОНЕЧНЫ1Х ЭЛЕМЕНТОВ

Предложен численный метод определения апостериорных оценок погрешностей решений, построенных для композитных цилиндрических оболочек с применением трехмерных криволинейных многосеточных конечных элементов (МнКЭ). В основе предложенного метода лежит метод ZZ, предложенный О. С. Zienkiewicz и J. Z. Zhu, для оценки погрешностей решений в энергетической норме и норме L2. В отличие от метода ZZ в предлагаемом методе при построении «точных» решений используются МнКЭ, которые учитывают сложную форму, неоднородную и микронеоднородную структуру тел и образуют дискретные модели малой размерности. В качестве примеров проведен анализ оценок погрешностей перемещений и напряжений при расчете напряженно-деформированного состояния (НДС) трехслойных цилиндрических оболочек с вырезами и без вырезов при локальном нагружении. Показано, что расчет НДС с помощью МнКЭ порождает сходящиеся последовательности приближенных решений в норме L2. Из результатов расчетов с использованием среднеквадратичной погрешности для напряжений в каждом конечном элементе оболочки следует, что МнКЭ позволяют использовать для расчета НДС сколь угодно мелкие регулярные сетки дискретизации по всей области оболочки без необходимости сгущения сетки в локальных областях. Это приводит к простым алгоритмам расчета НДС с помощью МнКЭ и обеспечивает экономию ресурсов ЭВМ. В рассматриваемых примерах применение МнКЭ снижает размерность системы алгебраических уравнений МКЭ и уменьшает объем используемой памяти ЭВМ приблизительно в 1 500 и 8 • 104 раз соответственно в сравнении с конечно-элементной базовой моделью без использования МнКЭ.

Ключевые слова: апостериорные оценки погрешности, норма L2, дискретная модель, сходимость последовательности решений, упругость, цилиндрическая оболочка, многосеточные конечные элементы.

Введение

При решении физических задач широко используется метод конечных элементов (МКЭ). В механике деформируемого твердого тела с помощью МКЭ исследуется напряженно-деформируемое состояние (НДС) различных объектов, в частности оболочек, состоящих из однородных и композитных материалов [1-3]. Для расчета оболочек в последние десятилетия разработано большое число типовых конечных элементов (КЭ) [3-5]. В работах [6-8] рассмотрено проектирование и использование многосеточных КЭ (МнКЭ) для расчета однородных и композитных цилиндрических оболочек различной толщины. Исследована сходимость перемещений и эквивалентных напряжений, построенных с помощью МнКЭ, в характерных точках оболочек. Однако в ряде случаев возникает необходимость обобщенной оценки погрешностей (например в норме L2) полей перемещений и напряжений в конструкции. Это связано с тем, что погрешность решений является функцией координат и, кроме того, для различных точек области конструкции погрешности могут существенно (на порядок) отличаться. Поэтому мера интегральной погрешности [3] дает общую оценку точности решения и корректности выбранных параметров численных процедур, что важно для инженерных расчетов.

Теория апостериорного контроля точности приближенных решений, полученных с помощью МКЭ, интенсивно развивается уже несколько десятилетий [9-14]. Суть методов апостериорного контроля связана с количественной оценкой отклонения приближенного решения от неизвестного точного по исходным данным задачи и имеющемуся приближенному решению. Использование методов оценки погрешностей необходимы для гарантии достоверности проведенных вычислений с помощью численных методов решения краевых задач механики сплошных сред.

В построении апостериорных оценок при использовании МКЭ существует несколько подходов, которые рассмотрены в работе [15]. Наиболее широко распространенными классическими подходами являются методы взвешенных невязок и методы, основанные на сглаживании

приближенных решений. Основное достоинство таких методов заключается в относительной простоте их реализации при небольшом объеме вычислений, что позволяет применять их в инженерной практике численных расчетов. В работе [16] предложен вариант простого в реализации метода оценки погрешностей решений, связанной с конечно-элементной дискретизацией. Этот метод по фамилиям авторов О. С. Zienkiewicz и J. 2. в литературе называют методом оценки погрешностей 22. В работах [17, 18] проведен теоретический анализ предложенного способа оценки и показано применение этого подхода к расчету однородных пластин и оболочек.

Следует отметить, что существующие подходы и методы определения апостериорных оценок связаны с определением так называемого «точного» решения и , которое обычно определяется приближенно с помощью конечно-элементного решения щ данной краевой задачи. Поэтому полученное таким образом «точное» решение и имеет такой же порядок погрешности, как и приближенное решение щ. Кроме того, существующие процедуры определения «точных» решений трудно применять при расчете трехмерных композитных тел сложной формы. В этом случае при определении «точного» решения необходимо учитывать (в рамках микроподхода) неоднородную структуру и сложную форму тел, что приводит к построению дискретных моделей высокой размерности (порядка 107-1010) [6-8].

В данной работе на основе метода 22 разработан численный метод определения апостериорных оценок погрешностей решений, построенных с помощью трехмерных МнКЭ. В предлагаемом методе для приближенного решения и(р), построенного с помощью р-сеточных КЭ, в качестве «точного» решения и* используем приближенные решения и(р-а), (а = 1, ...,р - 1), построенные с использованием (р - а)-сеточных КЭ. Предлагаемый метод используется для анализа НДС линейно упругих трехмерных композитных цилиндрических оболочек.

Численный метод определения апостериорных оценок погрешностей

Рассмотрим основные положения предлагаемого метода на примере нахождения апостериорных оценок погрешностей приближенных решений, построенных для слоистой цилиндрической оболочки в случае применения трехсеточных КЭ (ТрКЭ) третьего порядка V3\ Трехсе-точный КЭ V состоит из М двухсеточных КЭ (ДвКЭ) V, каждый из которых, в свою очередь, состоит из N однородных односеточных КЭ (ОдКЭ) V-1-1 [6-8] (рис. 1).

уО)

Рис. 1. Структура ТрКЭ У

Как известно из [6-8], при построении ТрКЭ используются три вложенных сетки. Мелкая сетка порождена базовым разбиением области ТрКЭ, состоящим из ОдКЭ, который учитывает сложную неоднородную структуру и форму ТрКЭ. Крупные сетки применяются для понижения размерности базового разбиения ТрКЭ. При построении ТрКЭ V3 используются следующие соотношения:

К(р ) 5( р ) = Р( р ) (р = 1, 2, 3),

где

К(1) =| (В(1))т DBmdV; Р(1) = | (^(1))т F(1)-{ (^(1))т q(1)dS;

V V S

N N

к(2) =У (л(2))Т к(1)л(2)- р(2) =У (л(2))т р°)-

^^ V п ' п п ' ^^ V п ' п '

п=1 п=1

М М

к(3) =у (Л(3))Т К(2) Л(3); р(3) =У (Л(3))Т р(2);

^^ V т * т т ' ^^ V т ' т '

т=1 т=1

Кпч = (Гп(2))гК(1)Гп(2); Рп(1) = (Т(2))Тр(1); 5(1) = гпч4; = лп2)5(2);

КО, = (^у к р2) = (7;(3))Т р(2); 6(2) = 7ЧЗ)6(2); 6(2) = Л(3)5(3),

D - матрицы функций формы, деформаций, модулей упругости; Е(1), ц(1) - векторы объемных и поверхностных сил; V, S - область и поверхность КЭ V<1); Т(2), Т(3)- матрицы вращения; Кр) - матрицы жесткости; р(р), 8|р) - векторы узловых сил и перемещений в локальных системах координат 0Рхрур2р для КЭ Р (р = 1, 2, 3 - номера вложенных сеток). Индексы п = 1, ..., N и т = 1, ..., М определяют порядковый номер ОдКЭ в ДвКЭ и номер ДвКЭ в ТрКЭ. Матрицы

Лп(2), Л^ понижают размерность векторов перемещений в ДвКЭ и ТрКЭ (с помощью аппроксимирующих функций перемещений, построенных на крупных сетках ТрКЭ). Все векторы узловых перемещений 8п') КЭ Упт (п = 1, ..., N, представленные в системе координат 02х2у2^2, выражаются через вектор узловых перемещений 82)ДвКЭ V; все векторы узловых перемещений 81^ КЭ (т = 1, ..., М), представленные в системе координат ОхзУз?з, выражаются через вектор узловых перемещений

8(3) КЭ V3 Отметим следующие особенности МнКЭ.

1. Как показывают численные эксперименты, погрешность решения и(р) (р > 2) при использовании р-сеточных КЭ больше, чем погрешность решений и(р-а) (а = 1, ..., р - 1), построенных с использованием (р - а)-сеточных КЭ.

2. Процедура построения т-сеточного КЭ сводится к нахождению матрицы жесткости К(р) и вектора узловых сил р р-сеточного КЭ по уже найденным на предыдущем этапе расчета матрице К^ - 1) и вектору р(р - 1) (р - 1)-сеточного КЭ,р = 2, ..., т. Матрица К(1) и вектор р(1) (р = 1) отвечают ОдКЭ базового разбиения МнКЭ [6-8].

3. Более подробно процедура нахождения матриц жесткости К и вектора узловых сил р

изложены в работах [6, 7], где показано, что МнКЭ способны учитывать неоднородную и микронеоднородную структуру и сложную форму трехмерных тел. Процедура построения МнКЭ позволяет найти вектор перемещений в узлах мелкой сетки, связанной с ОдКЭ (р = 1), решая только систему линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) малой размерности, соответствующую узлам крупной сетки ТрКЭ (р = 3). Перемещения в ТрКЭ позволяют восстановить узловые перемещения в каждом ДвКЭ (р = 2), входящем в состав ТрКЭ, и далее в каждом ОдКЭ, входящем в ДвКЭ [6-8].

Рассмотрим основные положения предлагаемого метода. Приведем соотношения, которые необходимы для проведения апостериорного контроля точности приближенного решения, полученного с применением МКЭ [16, 18]. Эти соотношения будут использованы для оценки погрешностей решений, полученных с помощью МнКЭ. Введем следующие обозначения: о, и - тензор напряжений и вектор перемещений, которые являются точным решением дифференциальных уравнений трехмерной задачи теории упругости; он, ин - соответствующие конечно-элементные решения исходной задачи; е = и - ин; ес = о - он - погрешности перемещений и напряжений в расчетной области тела V. При использовании интегральных оценок погрешностей характеристик НДС широко применяются энергетическая норма и норма [1, 16-18]. В данной работе для оценки погрешностей приближенных решений используем норму L2.

Как известно, норма L2 погрешностей перемещений и напряжений е, ес определяется соотношениями

И¿2 = (\уеТе^У)1/2; К11 ^ = (I(еп)Тея^)1/2;

UI = (f uTudV)1/2; IIJ = (f (о)тodV)1/2.

NN¿2 J v IIIIL2 JV

Далее в тексте индекс Ь2 в обозначении нормы опускаем. Значение нормы погрешностей для всей области V, состоящей из N КЭ, складывается из суммы норм погрешностей ||е|| , ||ео|| , определенных для «-го КЭ, п = 1, ..., N т. е.

N N

И3 =214«; КГ =211 -Л 2.

п=1 п=1

Для оценки суммарной погрешности результатов, %, вводятся безразмерные параметры [16]

п=!41°°;

II и II

По=И100.

о

При численных расчетах значения п, По, %, в формулах (1), (2) определяются соотношениями [18]

11-11 11-Л

П---10°; п.--Л 2— 1°°.

Л\ 2 I 2\1/2 / 2 . 2\1/2

В работе [16] приведена формула для определения среднеквадратичного значения погрешности (удельного квадрата погрешности) напряжений в виде

Ао =

V V У

В расчетах по МКЭ погрешность (3) целесообразно использовать не для всей области конструкции V, а для каждого КЭ дискретной модели. Это позволяет корректировать выбранный закон дискретизации для получения допустимой погрешности в каждом КЭ. В этом случае среднеквадратичная погрешность в определении напряжения Аоп. в каждом КЭ, подсчитанная по формуле (3), должна быть меньше определенной допустимой величины Ао . Эта величина может быть выбрана в виде доли от максимально допустимого напряжения или от среднеквадратичного значения напряжения по всей конструкции. При этом сетка дискретизации является приемлемой для расчета с выбранным допустимым напряжением, если для всех элементов выполняется неравенство [16]

^ =4°^ < 1, n = 1, ..., N.

Ао

При нарушении неравенства (4) в каких-либо КЭ дискретной модели необходимо локальное измельчение сетки дискретизации в районе этих элементов или общее измельчение по всему телу для выполнения неравенства (4) по всей области V [3, 16].

Отметим, что точное решение исходной задачи для композитных тел сложной формы обычно неизвестно. В связи с этим в методе ZZ в приведенных выше формулах вместо точного решения о, u используется приближенное, так называемое «точное» решение u , о . В этом случае соотношения для погрешностей e, ec имеют вид

*

-« и - и; « о - .

Как правило, значения и , о определяются путем минимизации взвешенных невязок с применением значений о*, щ в предположении, что распределение напряжений выражается через те же функции формы, что и перемещения [16]. Для мелких разбиений наиболее простая

процедура определения и , о сводится к усреднению значений он, ин, при котором значения перемещений и и напряжений о для каждого узла дискретной модели тела являются средним значением перемещений и напряжений в соседних узлах. Отметим, что построенные по вышеизложенным процедурам метода ЪЪ «точные» решения и , о несущественно отличаются

от приближенных решений он, ин. Таким образом, возникает проблема разработки алгоритмов определения более точных решений и , о ,чем существующие. Кроме того, метод ЪЪ затруднительно использовать при расчете композитных тел. Применение МнКЭ позволяет определять решения и , о , которые значительно точнее приближенных решений он, ин.

В предлагаемом методе определения апостериорных оценок погрешностей, который особенно эффективен при расчете трехмерных тел сложной формы, имеющих неоднородную и микронеоднородную структуру, для приближенного решения и(р), построенного с помощью КЭ Ур), в качестве «точного» решения и используем приближенные решения и(р — а) (а = 1, ...,р - 1), построенные с использованием КЭ - а). Например, при использовании ТрКЭ можно принять и = и(2) или и = и(1), где и(1), и(2) — решения, полученные для оболочки с помощью ОдКЭ У{(1 или ДвКЭ У^2'.

Достоинства предлагаемого варианта построения «точных» решений состоят в следующем. Так как процедура определения решения ир и оценка погрешностей включает нахождение матриц К — а) и векторов Р(р — а), то это позволяет одновременно с нахождением и(р) строить решения

и(р — а) (а = 1, ..., р — 1), которые можно использовать для определения «точного» решения и . Это особенно важно для композитных тел, поскольку решения и(р — а) учитывают сложную структуру материала, что обеспечивает близость и к точному решению задачи и, повышают достоверность оценки погрешностей и используют дискретные модели тела малой размерности [6—8].

Следует отметить, что использование МнКЭ позволяет снизить размерность СЛАУ в 102—106 раз и снизить объем используемой памяти ЭВМ в 102—108 раз.

Результаты численных экспериментов

Рассмотрим модельную задачу деформирования 3-слойной упругой цилиндрической оболочки длиной 2L. Оболочка, защемленная с двух торцов, расположена в декартовой системе координат Оху2. При у = 0; 2L перемещения и = V = w = 0. Радиус оболочки по срединной поверхности R = 48, для толстой оболочки (Я / Н = 5) толщина оболочки Н = 9,6, для тонкой оболочки (Я / Н = 15) толщина Н = 3,2; длина 2L = 72. Слои оболочки представляют собой изотропные однородные тела толщиной Н / 3. Модули Юнга 3-х слоев (начиная с нижнего) равны 10, 50, 100 соответственно. Коэффициент Пуассона равен 0,3. На внешней поверхности оболочки 3L/4 < у < 5L/4 с углом раствора а = п/2, которая симметрична относительно плоскости Оху, действует равномерно распределенная сжимающая радиальная нагрузка = —0,1. В оболочке

имеются четыре выреза, симметричные относительно плоскостей Оху, Оуг и плоскости у = L, угол раствора каждого выреза а = п/2, длина — L/4 (рис. 2).

Рис. 2. Левая симметричная часть оболочки

Так как форма, нагружение и закрепление оболочки симметричны относительно плоскостей Oyz и у = L, то в расчетах используем 1/4 часть оболочки.

Базовые дискретные модели Rk оболочки состоят из криволинейных однородных

ОдКЭ 1-го порядка V-1-1. Сетка модели Rk имеет размерность т\ х т2к х тк, где

т\ = 432к + 1; т2к = 108к + 1; т3к = 18к + 1; к = 1, ..., 4, а т1к, т2к, т3к - размерности сетки в тангенциальном, осевом и радиальном направлениях оболочки. На базовых моделях Rk строятся многосеточные дискретные модели из ДвКЭ и ТрКЭ. При к = 1 ДвКЭ и ТрКЭ имеют характерные

размеры х 9h^1) х Н и 27^1 х к7hyl) х Н , где И = а^ ; Щ) = L /108 - размеры КЭ ^

по направлениям х, у, отвечающие дискретной модели Rl; а1 = п / 432; R - радиус нижней цилиндрической поверхности ОдКЭ Р^Ч

В ТрКЭ используются полиномы Лагранжа, которые имеют третий порядок по координатам х3, у3 и третий порядок по координате z3, что соответствует количеству слоев по толщине рассматриваемой оболочки. Как показывают численные эксперименты, если узлы крупных сеток ДвКЭ и ТрКЭ лежат на общих границах разномодульных слоев, то дискретные модели Rk обеспечивают быструю сходимость последовательности конечно-элементных решений.

В табл. 1, 2 представлены результаты расчетов оценок погрешностей пк, По,к, Ск по формулам (1), (к), (4) для полей перемещений и напряжений для толстых (R / Н = 5) и тонких (Я / Н = 15) трехслойных оболочек с вырезами и без них в случае последовательного измельчения сеток дискретизации, соответствующих четырем моделям Rk (к = 1, ..., 4).

Таблица 1

Результаты оценки погрешностей расчетов оболочки с вырезами для моделей Rk (R/H = 5; 15) при a = 0,05

R/H 5 15

Rt Ri R2 R3 R4 Ri R2 R3 R4

nt 1,847 3 0,623 4 0,275 3 0,19i 5 5,712 7 1,586 0 0,896 2 0,568 1

10,600 7 7,576 3 4,692 7 3,914 6 18,053 7 11,084 8 8,142 1 6,630 6

?* St 0,809 2 0,256 0 0,0912 0,052 7 1,640 8 0,404 4 0,173 0 0,102 2

Таблица 2

Результаты оценки погрешностей расчетов оболочки без вырезов для моделей Rk (R/H = 5; 15) при a = 0,01

R/H 5 15

Rt Ri R2 R3 R4 R1 R2 R3 R4

nt 0,791 8 0,373 2 0,030 2 0,016 1 1,293 4 0,425 2 0,161 1 0,090 6

n».t 6,154 0 4,538 8 1,591 8 1,168 8 9,795 3 5,244 7 3,428 8 2,572 2

с 0,225 2 0,125 9 0,016 2 0,009 1 0,585 9 0,124 6 0,051 5 0,028 9

При вычислении максимального значения £*к = max Ъ,п к по всем дискретным элементам

n=1,...,N п'

тела величина допустимого значения До в формуле (4) определяется соотношением

где а выбирается произвольно и задает величину доли среднеквадратичного значения напряжения во всем объеме V.

Как следует из расчетов, погрешности решений, построенные с помощью ДвКЭ V, меньше погрешностей решений, которые отвечают дискретным моделям, состоящим из ТрКЭ V3). В данном примере значения u*, о*, которые мы считаем «точными» решениями, отвечают решению, построенному с применением ДвКЭ V. В табл. 1, 2 значения nk, По,к для последовательностей решений, соответствующих моделям дискретизации Rk (к = 1, ..., 4), демонстрируют хорошую асимптотическую сходимость перемещений и напряжений при измельчении сетки

дискретизации (Н - сходимость [3]). Для толстой оболочки использование МнКЭ дает меньшую погрешность определения НДС оболочки, чем для тонкой оболочки. Появление в оболочечной конструкции вырезов ухудшает эффективность применения МнКЭ. Отметим, что уже модель дискретизации R1 ^ - для тонкой оболочки с вырезами) демонстрирует эффективность построенной

*

сетки дискретизации (< 1 для всех КЭ), т. е. ситуацию, когда значение среднеквадратичной погрешности найденных напряжений в каждом КЭ не превышает допустимого значения.

Дальнейшее измельчение сетки сопровождается снижением значений обобщенных параметров цк, по,к, что характеризует повышение точности определения НДС в исследуемой области конструкции.

Проведенные апостериорные оценки погрешностей полученных в расчетах перемещений и напряжений можно подтвердить проверкой сходимости последовательности решений в произвольно выбранной точке А оболочки. Результаты расчетов для дискретных моделей Rk (к = 1, ..., 4) представлены в табл. 3, где кк, ц>*к и ок, а - радиальное перемещение и эквивалентное напряжение в точке А для оболочки с вырезами и без вырезов соответственно.

Таблица 3

Прогибы и эквивалентные напряжения в точке А для оболочки с вырезами , ск) и без вырезов

R / H 5 15

Rk Ri R2 R3 R4 Ri R2 R3 R4

* wk 0,572 0 0,428 3 0,575 5 0,429 2 0,576 4 0,429 4 0,576 8 0,429 5 1,794 1 1,820 2 1,760 8 1,820 3 1,754 7 1,820 2 1,752 8 1,820 2

- k -w1,% 8 k - 0,608 2 0,209 7 0,156 1 0,046 6 0,069 3 0,023 3 - 1,891 2 0,005 5 0,347 6 0,005 5 0,108 4 0,0

* 0,665 5 0,614 6 0,693 8 0,635 8 0,702 2 0,641 7 0,706 3 0,644 7 1,778 1 2.247 8 1.741 2 2,263 4 1,732 5 2,269 3 1,729 1 2,272 4

8a,k - 4,079 0 3,334 4 1,196 2 0,919 4 0,580 5 0,465 3 - 2,119 2 0,689 2 0,502 2 0,260 0 0,196 6 0,136 4

Напряжения ок, ъ*к определяем по 4-й теории прочности. Значения относительных погрешностей 5и,,к, 5ок, %, находим по формулам

5о,к = 1001 а к -&к-11 / ак;

= 100 К - ^к-1 | /К; к = 2, ..., 4.

Значения , , %, рассчитываются по формулам, аналогичным (5), (6). Характер изменения величин 5К,к, 5о,к и к, 5о к, %, в табл. 3 демонстрирует быструю

сходимость эквивалентных напряжений ок, о к и перемещений Кк, . С точки зрения практики можно считать, что для тонкой оболочки перемещения и напряжения в точке А определены с погрешностью менее 0,2 %, для толстой оболочки перемещения в точке А определены с погрешностью менее 0,1 %, а напряжения - с погрешностью менее 0,6 %.

Численные эксперименты показывают, что если бы выбранная точка А являлась особой (концентратором напряжений), то сходимость последовательности решений была бы более медленной, а значения 5кк, 5ок, %, составляли бы более 10-12 %. Отсюда следует, что полный анализ погрешностей при расчете НДС и проведении прочностного расчета не может ограничиться оценкой погрешностей в норме L2, а требует анализа НДС в каждой особой точке оболочки.

Отметим эффективность применения МнКЭ с точки зрения экономии вычислительных ресурсов на примере оболочки без вырезов. Размерность базовой дискретной модели R4 равна 163 387 943 (более 1,63  108), ширина ленты СЛАУ - 94 760. Соответствующая трехсеточная модель имеет 110 012 узловых неизвестных, ширина ленты СЛАУ - 1 764. Реализация МКЭ для многосеточной модели снижает размерность СЛАУ приблизительно в 1 500 раз и требует в 8  104 раз меньше объема памяти ЭВМ, чем для базовой модели R4. Количество используемых КЭ уменьшается примерно в 52 500 раз.

Заключение

Из проведенных численных экспериментов следует, что использованные ТрКЭ порождают последовательности решений, которые асимптотически стремятся к точному решению данной задачи. Предложенный метод является эффективным средством апостериорной оценки погрешностей решений при использовании МнКЭ, и дополняет традиционный анализ допустимых напряжений и перемещений в отдельных точках конструкции.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Akin J. E. Finite element analysis with error estimators. Oxford: Elsevier Butterworth-Heinemann, 2005. 512 p.

2. Reddy J. N. Mechanics of laminated composite plates and shells. Theory and analysis. New York: CRC Press, 2004. 831 р.

3. Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., Zhu J. Z. The finite element method: its basis and fundamentals. Oxford: Elsevier Butterworth-Heinemann, 2013. 715 p.

4. Голованов А. И., Тюленева О. И., Шигабутдинов А. Ф. Метод конечных элементов в статике и динамике тонкостенных конструкций. М.: Физматлит, 2006. 392 с.

5. Кузьмин М. А., Лебедев Д. Л., Попов Б. Г. Расчеты на прочность элементов многослойных композитных конструкций. М.: Изд-во МГТУ, 2012. 341 с.

6. Матвеев А. Д., Гришанов А. Н. Расчет композитных цилиндрических оболочек с применением многосеточных элементов // Вестн. Сиб. гос. аэрокосм. ун-та. 2016. № 3. С. 587-594.

7. Матвеев А. Д., Гришанов А. Н. Трехмерные композитные многосеточные конечные элементы обо-лочечного типа // Изв. Алтайс. гос. ун-та. 2017. № 4. С. 120-125.

8. Matveev A. D., Grishanov A. N. Multigrid finite elements in the calculations of multilayer cylindrical shells // Siberian Journal of Science and Technology. 2018. N. 1. P. 27-36.

9. Gratsch T., Bathe K.-J. A posteriori error estimation techniques in practical finite element analysis // Computers and Structures. 2005. Vol. 83. P. 235-265.

10. Фролов М. Е. Реализация функционального подхода к апостериорному контролю точности решений трехмерных задач теории упругости // Науч.-техн. ведом. Санкт-Петерб. гос. политехн. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2011. № 2. С. 137-142.

11. Корнеев В. Г. Простые алгоритмы вычисления классических апостериорных оценок погрешности численных решений эллиптических уравнений // Уч. зап. Казан. ун-та. Сер.: Физ.-мат. науки. 2011. № 4. С. 11-27.

12. Фролов М. Е. О реализации контроля точности решений плоских задач теории упругости при помощи смешанных конечных элементов // Вычислительная механика сплошных сред. 2014. № 1. С. 73-81.

13. AinsworthM., Oden J. T. A posteriori error estimation in finite element analysis. New York: John Wiley & Sons, 2000. 240 p.

14. Szabo B., Babuska I. Introduction to finite element analysis: Formulation, verification and tion. New York: John Wiley & Sons, 2011. 364 p.

15. Babuska I., Whiteman J. R., Strouboulis T. Finite elements. An introduction to the method and error estimation. Oxford: Oxford University Press, 2011. 336 p.

16. Zienkiewicz O. C., Zhu J. Z. A simple error estimator and adaptive procedure for practical engineering analysis // Int. J. Numer. Methods Eng. 1987. Vol. 24. P. 337-357.

17. Ainsworth M., Zhu J. Z., Craig A. W., Zienkiewicz O. C. Analysis of the Zienkiewicz-Zhu a-posteriori error estimator in the finite element method // Int. J. Numer. Methods Eng. 1989. Vol. 28. P. 2161-2174.

18. Yunus S. M., Pawlak T. P., Wheeler M. J. Application of the Zienkiewicz-Zhu error estimator for plate and shell analysis // Int. J. Numer. Methods Eng. 1990. Vol. 29. P. 1281-1298.

Статья поступила в редакцию 04.09.2018

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Гришанов Александр Николаевич — Россия, 630073, Новосибирск; Новосибирский государственный технический университет; соискатель кафедры прочности летательных аппаратов; a_grishanov@ngs.ru.

A. N. Grishanov

METHOD OF DETERMINING A POSTERIORI ERROR ESTIMATION IN CALCULATIONS OF COMPOSITE SHELLS USING MULTIGRID FINITE ELEMENTS

Abstract. A numerical method of determining a posteriori error estimates of solutions created for composite cylindrical shells using multigrid finite elements (MFE) has been proposed. The suggested method is based on ZZ method proposed by O. C. Zienkiewicz and J. Z. Zhu for both energy norm and L2 norm of solution errors estimates. In contrast to ZZ method, the suggested method uses MFE that takes into account complex shapes, heterogeneous and micro-heterogeneous body structures and forms small dimension discrete models for creating «precise» solutions. To give examples there was carried out analysis of error estimates for displacements and stresses in calculation of stress-strain state (SSS) of three-layer cylindrical shells with and without cutouts under local loading. It has been stated that analysis of SSS using MFE causes converging sequences of approximate solutions in norm L2. Calculations that use mean square error for stresses in each finite element of the shell show that MFE allow to use arbitrarily small regular discretization grids all over the shell area without the necessity to tighten the grid in local areas for calculating SSS. This leads to simple algorithms of calculating SSS with the help of MFE and ensures considerable saving of computer resources. In the given examples the use of MFE decreases the dimension of the system of MFE algebraic equations and reduces computer memory volume by 1 500 and 8-104 times respectively, compared to the finite elements base model that doesn't use MFE.

Key words: a posteriori error estimates, L2 norm, discrete model, convergence of solution sequence, elasticity, cylindrical shell, multigrid finite elements.

REFERENSES

1. Akin J. E. Finite element analysis with error estimators. Oxford, Elsevier Butterworth-Heinemann, 2005. 512 p.

2. Reddy J. N. Mechanics of laminated composite plates and shells. Theory and analysis. New York, CRC Press, 2004. 831 p.

3. Zienkiewicz O. C., Taylor R. L., Zhu J. Z. The finite element method: its basis and fundamentals. Oxford, Elsevier Butterworth-Heinemann, 2013. 715 p.

4. Golovanov A. I., Tjuleneva O. I., Shigabutdinov A. F. Metod konechnyh jelementov v statike i dinamike tonkostennyh konstrukcij [FEM in statics and dynamics of thin-walled structures]. Moscow, Fizmatlit Publ., 2006. 392 p.

5. Kuz'min M. A., Lebedev D. L., Popov B. G. Raschety na prochnost' jelementov mnogoslojnyh kompozitnyh kon-strukcij [Strength analyses of elements of multilayer composite constructions]. Moscow, Izd-vo MGTU, 2012. 341 p.

6. Matveev A. D., Grishanov A. N. Raschet kompozitnyh cilindricheskih obolochek s primeneniem mnogosetochnyh jelementov [Analysis of composite cylindrical shells using multigrid elements]. Vestnik Sibir-skogo gosudarstvennogo ajerokosmicheskogo universiteta, 2016, no. 3, pp. 587-594.

7. Matveev A. D., Grishanov A. N. Trehmernye kompozitnye mnogosetochnye konechnye jelementy ob-olochechnogo tipa [3D composite multigrid finite elements of shell type]. Izvestija Altajskogo gosudarstvennogo universiteta, 2017, no. 4, pp. 120-125.

8. Matveev A. D., Grishanov A. N. Multigrid finite elements in the calculations of multilayer cylindrical shells. Siberian Journal of Science and Technology, 2018, no. 1, pp. 27-36.

9. Gratsch T., Bathe K.-J. A posteriori error estimation techniques in practical finite element analysis. Computers and Structures, 2005, vol. 83, pp. 235-265.

10. Frolov M. E. Realizacija funkcional'nogo podhoda k aposteriornomu kontrolju tochnosti reshenij trehmernyh zadach teorii uprugosti [Application of functional approach to a posteriori control of precise decisions of 3D problems of elasticity theory]. Nauchno-tehnicheskie vedomosti Sankt-Peterburgskogo gosudarstvennogo politehnicheskogo universiteta. Serija: Fiziko-matematicheskie nauki, 2011, no. 2, pp. 137-142.

11. Korneev V. G. Prostye algoritmy vychislenija klassicheskih aposteriornyh ocenok pogreshnosti chislen-nyh reshenij jellipticheskih uravnenij [Simple algorithms of calculating classical a posteriori error estimates in numerical solutions of elliptical equations]. Uchenye zapiski Kazanskogo universiteta. Serija: Fiziko-matematicheskie nauki, 2011, no. 4, pp. 11-27.

12. Frolov M. E. O realizacii kontrolja tochnosti reshenij ploskih zadach teorii uprugosti pri pomoshhi sme-shannyh konechnyh jelementov [On application of precision control of solving plane problems of elasticity theory using mixed finite elements]. Vychislitel'naja mehanika sploshnyh sred, 2014, no. 1, pp. 73-81.

13. Ainsworth M., Oden J. T. A posteriori error estimation in finite element analysis. New York, John Wiley & Sons, 2000. 240 p.

14. Szabo B., Babuska I. Introduction to finite element analysis: Formulation, verification and validation. New York, John Wiley & Sons, 2011. 364 p.

15. Babuska I., Whiteman J. R., Strouboulis T. Finite elements. An introduction to the method and error estimation. Oxford, Oxford University Press, 2011. 336 p.

16. Zienkiewicz O. C., Zhu J. Z. A simple error estimator and adaptive procedure for practical engineering analysis. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1987, vol. 24, pp. 337-357.

17. Ainsworth M., Zhu J. Z., Craig A. W., Zienkiewicz O. C. Analysis of the Zienkiewicz-Zhu a-posteriori error estimator in the finite element method. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1989, vol. 28, pp. 2161-2174.

18. Yunus S. M., Pawlak T. P., Wheeler M. J. Application of the Zienkiewicz-Zhu error estimator for plate and shell analysis. International Journal for Numerical Methods in Engineering, 1990, vol. 29, pp. 1281-1298.

The article submitted to the editors 04.09.2018

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Grishanov Aleksandr Nikolaevich - Russia, 630073, Novosibirsk; Novosibirsk State Technical University; Applicant of the Department of Aircrafts Strength; a_grishanov@ngs.ru.