Правило исчерпания предела выносливости объекта для случая аддитивно-мультипликативной модели нестационарного стохастического процесса

УДК 621. 81: 539.4

А.О. Подвойский, В.Е. Боровских

ПРАВИЛО ИСЧЕРПАНИЯ ПРЕДЕЛА ВЫНОСЛИВОСТИ ОБЪЕКТА ДЛЯ СЛУЧАЯ АДДИТИВНО-МУЛЬТИПЛИКАТИВНОЙ МОДЕЛИ НЕСТАЦИОНАРНОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО ПРОЦЕССА

Изучается структура вероятностной модели деградационного процесса. Обосновывается инвариантность вероятностной модели относительно класса стохастической функции времени.

Рассматривается модификация правила исчерпания, позволяющая с помощью искусственных нейронных сетей учитывать локальные во времени всплески напряжений в элементах конструкций.

Вероятностная модель, нестационарный стохастический процесс, нейронная сеть.

A.O. Podvoyskiy, V.E. Borovskikh OBJECT ENDURANCE LIMIT EXHAUSTION RULE FOR THE CASE OF ADDITIVE-MULTIPLICATE MODEL OF NON-STATIONARY STOCHASTIC PROCESS

The structure of likelihood model degradation process is studied. Invariance of likelihood model concerning a class of stochastic function of time is proved. One updating of a rule of the exhaustion is considered, allowing by means of artificial neural networks to consider local in time splashes in pressure.

Likelihood model, non-stationary stochastic process, neural network.

Реальные системы (биологические, экономические, социальные, технические, триботехнические и другие) представляют собой сложные стохастические системы, свойства которых изменяются с течением времени, а потому и процессы, совершающиеся в этих системах, являются стохастическими. Надо сказать, что случайные процессы (СП), регистрируемые в эксперименте, очень редко отвечают стационарной гипотезе (гипотезе о неизменности свойств объекта), поэтому прогностические модели, удовлетворяющие требованиям адекватности (здесь под адекватностью понимается соответствие свойств модели свойствам изучаемого объекта) и эффективности, должны учитывать нестационарную компоненту поля стохастических возмущений, т.е. уметь предсказывать поведение процесса с реономными компонентами.

Замечание: за актуальность реономного направления выступает тот факт, что существующие методы прогнозирования усталостной долговечности работают главным образом в рамках упомянутой выше стационарной гипотезы, т. е. аппроксимируют реальный сложноструктурный процесс процессом стационарным или квазистационарным [1], а между тем известно, что стационарность - это математическая абстракция, «искажающая реальное положение вещей» [2].

В настоящей статье предлагается удовлетворяющая требованию реономности вероятностная модель деградационного процесса (ВМДП), описывающего квазимонотонное ухудшение параметров качества системы в поле нестационарных возмущений

о-1 =а-1-1)'

о(г >°-1

“ч

1

Г а г' V

1 —'1о*

о-1 ' ™ 0 г у

1< ]<й

где о-1) - предел выносливости на шаге к; о -1-1) - предел выносливости на шаге (к-1),

о-1 = о,5. о-х; о-1 - предел выносливости объекта при симметричном цикле; о*(г) -

к=1

стохастический процесс; т1(ш2) - котангенс угла наклона левой (правой) ветви модифицированной кривой усталости Беренова (МКБ); N - абсцисса точки перегиба МКБ; а - корректирующий множитель; с - интенсивность деградационного процесса; q -число повреждающих выбросов; ё- число выбросов в пределах уровня о(^,(к = 1, q).

Замечание: стохастический интеграл |о*(г)ёг в соотношении (1) вводится так же,

как и обычный римановский [3]: пусть СП о*(г) определен на Т ^ Я.1. На отрезке [а;Ь] е Т построим некоторое разбиение а = г0 < г1 <... < гп-1 < гп = Ь , а на каждом из

промежутков этого разбиения выберем произвольную точку т е [гг-1, гг),(/ = 1, п); теперь

если при п ^ ^ и тах(гг - гг-1) ^ 0,(г = 1, п) существует предел в среднеквадратическом

1.1.т. 2 о*(тi) • (гг - гг-1) = п, не зависящий от способа разбиения {г} и выбора точек {тг}, то

1< ] <п

СП называется среднеквадратически интегрируемым на [а; Ь], а случайная величина п называется его среднеквадратическим интегралом.

ВМ (1) можно рассматривать как дискретный преобразователь (ДПР), который по реализации СП строит траекторию деградационного (рис. 1): если энергия выброса (ЭВ) Wj превышает пороговую wth ЭВ, то предел выносливости мгновенно снижается на величину До-к) = о-к-1) -о-к), в противном случае предел выносливости снижается лишь по окончании выброса, энергия которого превышает wth.

Рис. 1. Реализация СП и траектория деградационного процесса

Для того чтобы провести расчет на прочность по критерию многоцикловой (число циклов ^106) или гигацикловой (число циклов >109) усталости в рамках предлагаемой ВМДП, необходимо прежде решить задачу идентификации класса СП, т.е. выяснить, какими особенностями обладает структура СП, может ли этот процесс быть аппроксимирован стационарным и какую ошибку вызовет аппроксимация.

Замечание: реализацию СП можно получить либо моделированием по

вероятностным характеристикам, либо экспериментально, например, методом тензометрии.

Определение статистических характеристик СП возможно либо по одной реализации процесса, либо по ансамблю реализаций. В зависимости от сведений, касающихся наличия той или иной совокупности признаков процесс может быть отнесен к тому или иному классу различной полноты [4]. Так, например, по наличию (отсутствию) связей между средним по аргументу и средним по множеству различают эргодические и неэргодические процессы: если вероятностные характеристики процесса, полученные усреднением по времени, равны аналогичным характеристикам, найденным усреднением по ансамблю реализаций, то говорят, что СП обладает свойством эргодичности (является эргодическим), в противном случае процесс называют неэргодическим; в зависимости характеристик СП от выбора начала отсчета времени различают стационарные (в узком смысле, в широком смысле) и нестационарные процессы: если конечномерные

распределения процесса инвариантны относительно временного сдвига, то СП называют стационарным в узком смысле, процесс называют стационарным в широком смысле, если его моменты первых двух порядков не зависят от временной координаты, нестационарным называют процесс, характеристики которого зависят от начала отсчета времени. Возможна также классификация по типу областей существования, по типу законов распределения, по свойствам приращений СП и т.д. [4].

Классификация (в традиционной постановке) - это необходимый предварительный этап исследования СП с целью выявления их свойств до проведения основной статистической обработки, поэтому в некотором смысле классификация должна отражать алгоритм анализа изучаемого процесса [5]. Учитывая последнее обстоятельство, А.М. Прохоренков и Н.М. Качала [5] с помощью аппарата нечеткой логики разработали классификацию СП по одной реализации. В качестве классификационных признаков были выбраны класс процесса, вид нестационарности, законы изменения математического ожидания и дисперсии.

Классификация на основе нечеткого логического вывода осуществляется по базе правил, которая может быть представлена в виде системы уравнений [5]

номером ір (і = 1, кі); кі - количество строчек-конъюнкций, в которых выход у

оценивается значением 3; wij є [0, 1] - весовой коэффициент правила с номером ір.

В качестве решения выбирают класс с максимальной степенью принадлежности [5]

где символом * обозначен вектор значений классификационных признаков исследуемого процесса.

Процедура классификации повторяется дважды: 1) определяется класс СП по математическому ожиданию, 2) определяется класс СП по дисперсии.

Таким образом, предлагаемая классификация позволяет выявить:

- класс СП (стационарный, нестационарный),

- вид СП (аддитивный, мультипликативный, аддитивно-мультипликативный),

- тип детерминированной компоненты.

Если задача идентификации не чувствительна к точности решения, то класс СП, так сказать, в первой итерации можно определить с помощью «визуального» экспресс-анализа по восстановленной фазовой траектории процесса [6].

^ у = , (і = 1, т),

р=1 j=1

или через функции принадлежности [5]

р=1 }=1 _

где ё - классы; г'гр - нечеткий терм, которым оценивается переменная *) в строке с

у* = тах[^ ,1(X *), х *),..., |^,т(х *)],

Определив классификационные характеристики СП, можно перейти к моделированию этого процесса (СП, как правило, допускают представление в виде аддитивно-мультипликативной модели).

В данном случае задача сводится к построению реализации некоррелированного эквидистантного временного ряда с заданной плотностью распределения ординаты.

Для этого сначала с помощью линейного конгруэнтного генератора (встроенный генератор равномерно распределенных псевдослучайных чисел random высоким качеством не отличается!) [7]

yj =

где a - множитель; y0 - ключ процесса; с - инкремент; m - модуль (период генератора), получим равномерный белый шум (РБШ), а затем методом обратных функций - СП с заданной плотностью распределения (рис. 2).

Замечание: период генератора m очень чувствителен к параметрам а и с, поэтому, выбирая значения этих параметров, следует придерживаться рекомендаций, приведенных

в [3].

Аддитивно-мультипликативная модель (АММ) стохастического процесса имеет вид [8] ~

x

где ^(t) - математическое ожидание стохастического процесса; n(t) - дисперсия стохастического процесса; ~ (t) - стационарный центрированный стохастический

процесс.

Рис. 2. Реализации: 1 - гауссовский процесс; 2 - РБШ

Рис. 3. Реализации: 1 - аддитивный нестационарный СП; 2 - мультипликативный нестационарный СП; 3 - аддитивно-мультипликативный нестационарный СП

Варьируя параметры АММ, можно получать реализации СП с различными классификационными характеристиками (рис. 3).

Возвратимся к ВМДП: на вход ДПР (1) поступает непрерывный СП произвольной структуры ах(0, на выходе ДПР образуется одномерный сепарабельный стохастически

непрерывный СП с независимыми приращениями, т.е. если СП ах(^) не имеет разрывов, то преобразование (1) всегда возможно. Таким образом, ВМ инвариантна относительно структуры непрерывного СП в том смысле, что дискретное преобразование имеет место как для стационарного, так и для нестационарного, как для широкополосного, так и для узкополосного СП.

Теперь рассмотрим одну модификацию правила исчерпания предела выносливости для случая аддитивно-мультипликативной модели нестационарного СП.

Метод обратных функций, метод кусочно-линейной аппроксимации, метод Неймана и другие моделируют изоструктурные процессы, т.е. процессы с однородной структурой, реальные же СП, как правило, однородной структурой не обладают, т.е. содержат так называемые локальные всплески (аномальные сигналы) (рис. 4).

При моделировании СП по статистическим характеристикам локальные всплески (ЛВ) учитывать необходимо, потому как эти всплески достаточно сильно влияют на процесс накопления необратимых повреждений структуры материала (если ЛВ вызывается, к примеру, пуском двигателя, то на осциллограмме напряжений за восьмичасовую рабочую смену таких ЛВ может быть несколько десятков).

Влияние аномальных сигналов в рамках ВМДП (1) можно учесть с помощью так называемых искусственных нейронных сетей (ИНС), моделей, которые строятся по принципу организации и функционирования их биологических прототипов-сетей нервных клеток (нейронов) мозга [6]. Даже многослойные ИНС прямого распространения обладают рядом полезных свойств (обучаемость, способность к обобщению, к абстрагированию и т.д.). Так, «пропустив» через ИНС эргодический СП с ЛВ, можно «научить» ее прогнозировать момент времени всплеска и его характеристики (мощность, продолжительность и т. д.).

Рис. 4. Реализация СП с локальным всплеском

Замечание: «обучающий» процесс, т.е. СП, настраивающий ИНС на различного рода аномалии, обязательно должен быть непрерывным на множестве Т ^ Я.1.

Выводы: предложенная ВМДП в отличие от существующих оперирует не плотностью распределения процесса, а реализацией последнего, что позволяет в терминах одной обобщенной модели описать все многообразие форм нестационарности и, как следствие, различные механизмы накопления повреждений.

ЛИТЕРАТУРА

1. Подвойский А.О. Правило исчерпания предела выносливости объекта в условиях стохастической изменчивости поля напряжений / А.О. Подвойский, В.Е. Боровских // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2009. № 3 (41). Вып. 2. С. 156-160.

2. Болотин В.В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций / В.В. Болотин. М.: Машиностроение, 1984. 312 с.

3. Миллер Б.М. Теория случайных процессов в примерах и задачах / Б.М. Миллер, А.Р. Панков. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002. 320 с.

4. Романенко А.Ф. Вопросы прикладного анализа случайных процессов / А.Ф. Романенко, Г. А. Сергеев. М.: Советское радио, 1968. 255 с.

5. Прохоренков А.М. Использование методов нечеткой логики для определения классификационных характеристик случайных процессов / А.М. Прохоренков, Н.М. Качала // Вестник МГТУ. 2006. Т. 9. № 3. С. 514-521.

6. Безручко Б.П. Математическое моделирование и хаотические временные ряды /

Б.П. Безручко, Д. А. Смирнов. Саратов: ГосУНЦ «Колледж», 2005. 320 с.

7. Гулд Х. Компьютерное моделирование в физике: в 2 ч. / Х. Гулд, Я. Тобочник; пер. с англ. М.: Мир, 1990. Ч. 2. 400 с.

8. Харкевич А.А. Борьба с помехами / А.А. Харкевич. М.: Наука, 1965. 275 с.

Подвойский Александр Олегович - Podvoyskiy Aleksandr Olegovich -

ассистент кафедры Junior Research Staff Member

«Теория механизмов и детали машин» of the Department of «Theory of Mechanisms

Саратовского государственного and Machine Parts»

технического университета of Saratov State Technical University

Боровских Валентин Ефимович - Borovskikh Valentin Efimovich -

доктор технических наук, профессор кафедры Doctor of Technical Sciences,

«Теория механизмов и детали машин» Professor of the Department

Саратовского государственного of «Theory of Mechanisms and Machine Parts»

технического университета of Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 27.01.10, принята к опубликованию 25.03.10