Об основном законе фотоупругости

Механика

УДК 539.3; 620.171.5

ОБ ОСНОВНОМ ЗАКОНЕ ФОТОУПРУГОСТИ

Г. З. Шарафутдинов1

Рассматриваются зависимости между фиксируемыми в поляризационно-оптическом методе исследования напряжений оптическими величинами (порядками полос изохром и параметрами изоклин) и механическими величинами (напряжениями и деформациями). На основе полученного точного решения задачи о сжатии диска вдоль диаметра и экспериментальных исследований дается анализ этих зависимостей и приводится наиболее предпочтительная форма основного закона фотоупругости.

Ключевые слова: метод фотоупругости, разность хода, изохромы, изоклины, напряжения, деформации, соотношения связи между оптическими и механическими величинами.

The polarization-optical method is used to study stresses and to fix the optical quantities (the orders of isochromatic fringes and the isoclinic parameters) and the mechanical quantities (stresses and strains). The dependencies between these quantities are considered. The problem of disk compression along its diameter is solved exactly. These dependencies are analyzed on the basis of this exact solution and the experimental data. The most preferred form to express the basic law of photoelasticity is discussed.

Key words: photoelasticity method, path difference, isochromatic fringes, isoclinic line, stresses, strains, relations between the optical and mechanical quantities.

1. Поляризационно-оптический метод исследования напряжений (обобщенно — фотоупругость) является одним из наиболее информативных экспериментальных методов механики деформируемого твердого тела (МДТТ). В течение своего двухсотлетнего развития метод прошел многие стадии — от задач линейной теории упругости до физически и геометрически нелинейных задач МДТТ. Различные направления метода фотоупругости в соответствии с областью применения получили название метода фотопластичности, линейной и нелинейной фотовязкоупругости, анизотропной фотоупругости и т.п. Перспективы дальнейшего использования поляризационно-оптического метода видятся нам в разработке методов нелинейной фотоупругости, в первую очередь в задачах теории конечных и больших деформаций. Метод фотоупругости может быть эффективен при исследовании трещин, будучи единственным экспериментальным методом изучения напряженного состояния в зоне развития внутренней трещины.

2. Метод фотоупругости базируется на явлении двойного лучепреломления, обусловленном возникающей при деформировании материала оптической анизотропией. Материалы, обладающие таким свойством, называются оптически чувствительными. В свою очередь оптическая анизотропия определяется тензором диэлектрической проницаемости. Основные соотношения фотоупругости, выводимые при помощи решения задачи на собственные значения, в конечном итоге приобретают вид [1]

Z2 Z2 Z2

Г

5 =

ш J(Vi ~ »72) dz = J {V^i-\/«2) dz = J(ni-n2)dz,

zi zi zi

dip _ (/in - K22)2 + 4/if2 d K12 dz (nil ~ K22)2 dz Kn — K22'

где 5 — относительная разность хода, возникающая вследствие двойного лучепреломления на слое конечной толщины, заключенном в промежутке [z\, Z2]; c — скорость света в вакууме, и — частота используемого света; щ, Kj(Ki), Щ (i,j = 1, 2) — волновые числа, компоненты (главные значения) тензора диэлектрической проницаемости и показатели преломления соответственно; ф — параметр изоклины.

1 Шарафутдинов Геннадий Зиатдинович — доктор техн. наук, проф., вед. науч. сотр. НИИ механики МГУ, e-mail:

sharaf@imec.msu.ru.

При распространении плоской монохроматической волны света в тонкой пластинке в направлении нормали к ней обычно полагают, что два первых главных направления тензора диэлектрической проницаемости расположены в срединной плоскости пластинки, а его компоненты и главные значения не зависят от третьей координаты г. Выражение для относительной разности хода в этом случае примет вид

6 = (л/«1 - л/кг)^ = {пг - п2)к,

где Н — толщина пластинки, а в силу малой толщины пластинки параметр изоклины вдоль пути распространения света остается постоянным.

Относительная разность хода 5 с высокой точностью определяется при помощи различного рода компенсаторов. Практически приемлемую точность дает и метод полос при наблюдении и фиксации параметров двойного лучепреломления с помощью полярископов. В этом случае относительная разность хода выражается через порядки полос изохром т, определяемые соотношением

(д/ЙГГ - (п1-п2)Н

т = —--— = ---——,

Л Л

где Л — длина волны используемого монохроматического света. Так, например, если порядок т равен 10, что характерно для многих случаев практического применения метода фотоупругости, то ошибка определения порядка полосы, особенно при использовании светлого поля полярископа, не превысит 3-5%.

Поскольку в оптическом диапазоне длина световых волн заключена приблизительно в пределах от 400 до 700 нм, а толщина пластинки имеет порядок 1 см, то ясно, что изменение показателей преломления имеет порядок 10_3-10_4, когда порядок величины показателя преломления По равен 1. Исходя из этих оценок, соотношение (1) запишем в виде

(«1

т = --г-^—.

2 п0\

Соотношение (2), если связь между тензором напряжений а^ и тензором диэлектрической проницаемости к^ принять в виде прямой пропорциональной зависимости, приводится к основному закону фотоупругости в форме закона Вертгейма [2]

1,0 а0 т

<71 - <72 = ,

1,0 а »

где а О — цена полосы материала по напряжениям.

3. Определение "цены" полосы материала производится в тарировочных опытах, в качестве которых обычно выбирают одноосное растяжение стержня, чистый изгиб балки или сжатие диска по диаметру, т.е. задачи, в которых главные значения компонент тензора напряжений Ст1, а2 или их разность легко находятся [3]. Например, при растяжении тонкого стержня прямоугольного поперечного сечения силой Р1 имеем

р1 п 1,0 Рг

<71 = —Г, <72 = и, а0 =-,

аН ат

где а — ширина стержня, а при сжатии диска силой Р2 вдоль диаметра О в соответствии с классическим решением имеем

< \ 8Р2 1,0 8Р2

где индекс с указывает на то, что значение соответствующей величины берется в центре диска.

Для численного определения "цены" полосы материала по напряжениям были проведены эксперименты, в которых измерялась относительная разность хода в растягиваемом стержне и в сжимаемом вдоль диаметра диске. Тарировочные образцы изготовлялись из одного и того же листа оптически чувствительного эпоксидного компаунда. Материал имеет следующие характеристики: модуль Юнга Е = 3,5-103 МПа, коэффициент Пуассона V = 0,36.

Измерения относительной разности хода при растяжении стержня в первом случае и при сжатии диска во втором производились при помощи компенсатора Бабине. Полученные в этих экспериментах показания прибора, характеризующие относительную разность хода, переводились в порядки полос изо-хром, соответствующие основной линии спектра ртутной лампы — 546,1 нм. В используемом приборе одному порядку полосы изохромы соответствует показание компенсатора, равное 458. Для каждого из

тарировочных образцов была проведена серия экспериментов с шагом приращения нагрузки 100 Н. Зависимости порядков полос изохром т от величины приложенной силы Р для растягиваемого стержня представлены на рис. 1, а в центре сжимаемого по диаметру диска — на рис. 2.

На рис. 1 приведены результаты пяти экспериментов. Они показаны отдельными маркерами; усредненная зависимость — сплошной линией. Пунктирная линия представляет собой прямую, соединяющую начало системы координат и конечную точку усредненной зависимости. Аналогичным образом на рис. 2

показаны результаты четырех экспериментов при диаметральном сжатии диска.

На основании экспериментальных данных, полученных по приращениям измеряемых величин, была определена "цена" полосы

материала по напряжениям. Она оказалась равной 1,1 и см

1,105 МПа--в первом и втором случае соответственно, где п.п. —

п.п.

порядок полос.

4. Значения "цены" полосы материала по напряжениям, полученные при растяжении стержня и при диаметральном сжатии диска, оказались практически равными. На этом основании, например в [3], было сделано заключение о справедливости закона Вертгейма (3) в случае плоского напряженного состояния.

Этот вывод вполне корректен, если не принимать во внимание приближенный характер решений задач плоского напряженного состояния [4]. Точное решение задачи о сжатии диска в виде ряда приведено в [5]. Сопоставляя полученное в этой работе решение с приближенными решениями в виде конечного соотношения [6] и в виде ряда [7], заключаем, что точное выражение для разности главных напряжений в центре диска имеет вид

Рис. 1

(^1 - а2)с =

8Р2

пБН(1 + V)'

Тогда уточненное значение "цены" полосы материала выражается соотношением

1,0

=

8Р2

Рис. 2

7гОтс(1 + 1/)' ^

Видно, что правые части обоих выражений в соотношении (4) должны быть разделены на (1 + V). Используя приведенные выше экспериментальные данные, находим, что

"цена" полосы материала, определяемая при диаметральном сжатии диска, равна 0,812 МПа-

см

в то

см

п.п.

п.п.

время как при растяжении стержня ее значение равно 1,1 МПа-

В силу существенного различия значений "цены" полосы материала по напряжениям, получаемых в разнотипных экспериментах, заключаем, что закон Вертгейма в форме (3) использовать не следует. Рассмотрим основной закон фотоупругости в форме

£1 - £2

1,0 £0 т

Тг '

где — "цена" полосы материала по деформациям. В силу закона Гука и при учете (5) имеем

1,0

~ Е

8Р

2

пБтгЕ

Отсюда находим £^0 = 3,157 - 10 4 см/п.п.

Точно так же при растяжении стержня получаем

1,0

-1,0 _ Со

Ьп —

Р1

£0

Е атЕ

и численное значение £д0 = 3,143 - 10 4 см/п.п.

"Цены" полосы материала по деформациям в разнотипных экспериментах практически совпадают, что свидетельствует о необходимости применения соотношения связи между механическими величинами и порядками полос изохром в форме выражения (6). Поэтому при выводе основного закона в методе фотоупругости будем исходить из прямой пропорциональной зависимости между тензорами деформаций еij и диэлектрической проницаемости Kj с коэффициентом пропорциональности C, не зависящим от упругих характеристик материала и от вида напряженного состояния: еij = CKj. Отсюда имеем

(ei — е2) sin 2а = C(ki — k2) sin 2p, (ei — е2) cos 2а = C(ki — к2) cos 2p,

где а — угол, характеризующий главные направления тензора деформаций в плоскости пластинки. Поделив одно из этих соотношений на другое, получим

а = p ± п/2.

Таким образом, соотношения (6) и (7) являются основными соотношениями метода фотоупругости.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Шарафутдинов Г.З. Об основах метода интегральной фотоупругости //Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1995. № 5. 70-79.

2. Фрохт М.М. Фотоупругость. М.; Л.: Гостехиздат, 1948. Т. 1; 1950. Т. 2.

3. Дюрелли А., Райли У. Введение в фотомеханику. М.: Мир, 1970.

4. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М.: Наука, 1975.

5. Шарафутдинов Г.З., Шейн А.Л. Решение задачи о сжатии диска в трехмерной постановке // Изв. РАН. Механ. твердого тела. 2009. № 3. 143-150.

6. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966.

7. Ван Цзи-де. Прикладная теория упругости. М.: Физматгиз, 1959.

Поступила в редакцию 06.09.2010

УДК 539.3:534.1; 539.4:624.07

УСТОЙЧИВОСТЬ СТЕРЖНЕЙ С ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТЬЮ ПРИ СЖАТИИ РАСПРЕДЕЛЕННОЙ НАГРУЗКОЙ

В. И. Горбачев1, О. Б. Москаленко2

Рассматривается неоднородный по длине стержень с переменным поперечным сечением. Стержень сжимается распределенной вдоль оси переменной продольной нагрузкой. В работе рассматривается случай потери устойчивости прямолинейной формы равновесия стержня, при котором наряду с прямолинейной возможна искривленная форма. Критическое сочетание жесткости и продольной силы получается с помощью интегрального представления решения исходного уравнения устойчивости с переменными коэффициентами через решение такого же уравнения с постоянными коэффициентами. В интегральное представление входит функция Грина исходного уравнения, которая вычисляется методом возмущений. Проводится сравнение расчетов по полученным формулам с ранее известными точными решениями уравнения устойчивости для различных частных случаев.

Ключевые слова: упругость, устойчивость, неоднородный стержень, метод осреднения.

A variable cross-section bar is considered. The bar is not uniform in length. The bar is compressed by a variable longitudinal force distributed along its axis. The stability loss of the

1 Горбачев Владимир Иванович — доктор физ.-мат. наук, проф. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vigorby@mech.math.msu.ru.

2 Москаленко Ольга Борисовна, — асп. каф. механики композитов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: olga@moskalenko.org.