Об определении линейных законов неоднородности цилиндрического упругого слоя, имеющего наименьшее отражение в заданном направлении при рассеянии звука

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 54-62

Механика ^

УДК 539.3:534.26

Об определении линейных законов неоднородности цилиндрического упругого слоя, имеющего наименьшее отражение в заданном направлении при рассеянии

звука *

Н. В. Ларин, С. А. Скобельцын, Л. А. Толоконников

Аннотация. Рассматривается задача об определении линейных законов неоднородности цилиндрического упругого слоя, имеющего наименьшее отражение в заданном направлении при рассеянии плоской звуковой волны. На основе аналитического решения прямой задачи построен функционал, выражающий интенсивность отражения, и предложен алгоритм его минимизации. Получены аналитические выражения, описывающие механические параметры неоднородного слоя.

Ключевые слова: рассеяние, звуковые волны, неоднородный упругий цилиндрический слой, законы неоднородности.

Рассеяние звуковых волн неоднородными упругими круговыми цилиндрическими телами рассматривалось в работах [1-16]. При этом решались прямые задачи.

Значительный интерес представляет обратная задача по определению законов неоднородности для непрерывно-неоднородного упругого тела, которые обеспечивали бы требуемое звукоотражение.

Настоящая работа посвящена нахождению линейных законов неоднородности цилиндрического изотропного упругого слоя, обеспечивающих наименьшее отражение в заданном направлении при рассеянии плоской звуковой волны.

Рассмотрим бесконечный неоднородный изотропный упругий цилиндр радиуса Т\. Цилиндр имеет концентрическую полость радиуса г2.

* Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 13-01-97514) и Министерства образования и науки РФ (государственное задание № 1.1333.2014К).

Свяжем с цилиндром прямоугольную и цилиндрическую системы координат x,y,z и r, р, z. Координатные системы введены таким образом, что координатная ось z является осью вращения цилиндра.

Материал цилиндрического слоя характеризуется плотностью р и модулями упругости Л и ц. Полагаем, что модули упругости описываются дифференцируемыми функциями цилиндрической радиальной координаты r, а плотность — непрерывной функцией координаты r: р = р(г), Л = Л(г), ц = ц(г). Окружающая цилиндр и находящаяся в полости жидкости являются идеальными. Их плотности и скорости звука соответственно равны pi, С1 и р2, С2.

Пусть из внешнего пространства на цилиндр перпендикулярно оси z и в направлении оси x падает плоская монохроматическая звуковая волна, потенциал скоростей которой в цилиндрической системе координат запишется в виде

Ф0 = А0 exp[i(k1r cos р — wt)],

где Ао — амплитуда волны; ki = w/ci — волновое число во внешней области; w — круговая частота; t — время.

Воспользуемся решением прямой задачи о рассеянии плоской звуковой волны полым упругим неоднородным цилиндром с жидким заполнителем, которое получаем как частный случай из решений задач, рассмотренных в

[3, 9].

Рассматриваемая задача является двумерной. Волновые поля во внешнем пространстве, упругом теле и его полости не зависят от координаты z. Временной множитель е~ш1 в дальнейшем будем опускать.

Потенциал скоростей рассеянной волны представляется в виде

Фs(r,p) = AnHn(k\r) cos up,

n=0

где Hn(x) — цилиндрическая функция Ганкеля первого рода порядка n, An — коэффициенты, определенные из граничных условий.

Рассмотрим дальнюю зону акустического поля. Используя асимптотическую формулу для цилиндрической функции Ганкеля первого рода при больших значениях аргумента [17]

находим

где

Hnihf)«ДТexp [г (kir - Т -

\[2rexp ь (kir - (p),

Фs = W—(

2 ^

F(p) = -) (-i)nAn cos up.

Теперь обратимся к решению обратной задачи.

Введем безразмерные величины

г* _ ^ р* _ а* _ р* _ р

' _ 7, Р _ , А _ \ , Р _ ,

Л Ро АО Ро

где Л _ Г1 — г2 — толщина цилиндрической оболочки, р0, А0, р0 — некоторые характерные величины.

В дальнейшем индекс звездочка у всех безразмерных величин будем опускать.

Предположим, что функции р(г),А(г) и р(г) аппроксимированы многочленами первой степени относительно безразмерной переменной г, то есть будем рассматривать линейные законы неоднородности упругого слоя:

р

Построим функционал Ф, определенный на классе линейных функций р(г), А(г), р(г) и характеризующий рассеивающую способность тела в направлении полярного угла р

Ф[р.А,р]_ ^Аг2

Найдем такие значения коэффициентов р(к),

А(к) , р(к) (к _ 0,1) функций р(г), А(г), р(г), при которых функционал Ф достигает минимального значения для фиксированного угла р.

Для функций р(г), А(г), р(г), определенных на отрезке [г2,г1], введем ограничения

а0 < р(0) + р(1)г < а1, в0 < А(0) + А(1)г < въ

70 < р

где а^-, вз, 7? 0 _ 0,1) — некоторые положительные константы.

Геометрически (рис. 1) каждое из неравенств (2) вида Ь0 ^ /(г) ^ Ь1, где /(г) _ а(0) + а(1)г, задает в прямоугольной декартовой системе координат с горизонтальной осью г и вертикальной осью / бесконечное множество отрезков лежащих в прямоугольной области

0(а(0), а(1)) _ {(г, /)| Г2 < г < п, 60 < /(г) < 61},

концы которых (точки А и В ) принадлежат прямым г _ г2 и г _ гь Здесь под парой коэффициентов

(а(0) , а(1)) подразумеваем каждую из пар (р(0),р(1)), (А(0),А(1)), (р(0),р(1)), а под Ь0 и Ь1 — соответствующие границы. Область 0(а(0),а(1)) является областью определения законов неоднородности.

/

к

о

Рис. 1. Область определения законов неоднородности

Пусть точка А имеет координаты (г2, /2), а точка В — координаты (п, /1). При этом / € [60,61] (0 _ 1, 2). Тогда из системы уравнений

а

+ а^г,- _ /

находим

а(0) _ г1/2 — г2/1 а(1) _ /1 — Л

г1 — г2

г1 — г2

Задавая разные значения ординат /1 и /2 из отрезка [Ь0, Ь1 ] и вычисляя с помощью соотношений (3) коэффициенты а(0) и а(1), будем получать разные линейные законы неоднородности материала слоя /(г).

Нахождение неизвестных величин р(к), А(к) , р(к) (к _ 0,1), удовлетворяющих условиям (2) и минимизирующих функцию

Ф(р(0), р(1), А(0), А(1), р(0), р(1)),

осуществим с помощью следующей вычислительной процедуры.

Разобьем правую (отрезок ЕЕ) и левую (отрезок СБ) границы области О на N1 и N2 равных частей соответственно. Таким образом, для величин / Ц = 1, 2) на отрезке [60,61] введем равномерную сетку с узлами

/Ь = Ьо + ¿Л-, Н = , Ь = 0,!,-••,N С/ = 1,2).

Далее, используя соотношения (3), рассчитываются (N1 + 1)(^ + 1) пар коэффициентов (а(0),а(1)), которые определяют (^ + 1)(^ + 1) законов неоднородности материала слоя /(г) = а(0) + а(1)г для области О(а(0),а(1)).

Разбивая правую и левую границы каждой из трех областей О(р(0), р(1)), О(А(0), А(1)), О^,^) способом описанным выше, для каждой области получим пары коэффициентов (р(0),р(1)), (А(0), А(1)), (^(0),^(1)).

Методом перебора последовательно для каждой тройки пар вычисляем значение Ф и определяем наименьшее из них. После чего фиксируем коэффициенты (к = 0,1), соответствующие этому

наименьшему значению.

При реализации предложенного алгоритма рассматривался неоднородный упругий цилиндрический слой толщиной Н = 0.05 м. При этом п = 1.05 м, Г2 = 1 м. Вне и в полости цилиндра находится вода (р1 = р2 = 1000 кг/м3 , С1 = С2 = 1485 м/с). Полагалось, что амплитуда падающей волны А0 = 1, характерная плотность р0 = 1070 кг/м3, характерные модули упругости А0 = 3.9  109 Н/м2, = 9.8  108 Н/м2 (используемые характерные величины имеют порядок соответствующих величин у полимеров). Расчеты проводились для волнового размера слоя к1Н = 3 и при фиксированных углах наблюдения р = 5/36п и р = п/2.

При расчетах полагалось, что а0 = в0 = 70 = 0.5 и а1 = в1 = 71 = 1.5. При таких значениях границ неравенств (2) в каждом интервале [60, 61] его длина равна значению средней точки интервала. Это обеспечивает достаточно широкий диапазон изменения функций р(г), А(г), ^(г), когда максимально возможные значения функций больше минимально допустимых значений в три раза.

Были проведены расчеты для случая, когда правая и левая границы каждой из областей

О(р(0),р(1)), О(А(0), А(1)), О^0^«) разбивались на четыре части (N1 = N2 = 4). На рис. 2 для одной из областей О представлены линейные законы неоднородности, которые участвовали в описанной выше процедуре перебора.

Всего же при расчетах во всех трех областях в процедуре последовательного перебора было задействовано 56 линейных законов неоднородности материала цилиндрического слоя.

В таблице приведены результаты расчетов. Для каждого из исследуемых углов наблюдения для сравнения в первой строке представлены значения, соответствующие однородному материалу слоя, а во второй строке — неоднородному материалу. Видно, что найденные законы неоднородности

материала упругого цилиндрического слоя обеспечивают уменьшение величины Ф по сравнению с однородным материалом примерно на порядок.

Результаты расчетов

р(°) р(1) А(°) а(1) м(°) м(1) Ф

5/36п 1 0 1 0 1 0 2.52 • 10-2

5/36п -7.5 0.4 0.5 0 -3.5 0.2 5.21 • 10-3

п/2 1 0 1 0 1 0 1.16 • 10-2

п/2 -7.5 0.4 0.5 0 -3.5 0.2 2.04 • 10-3

Таким образом, были определены законы неоднородности цилиндрического упругого слоя, обеспечивающие наименьшее значение амплитуды рассеяния в дальней зоне при заданном волновом размере слоя.

Согласно (1) при р = 5/36п наименьшее отражение со значением Ф = = 5.21  10-3, достигается при следующих законах неоднородности:

p(r) = -7.5 + 0.4r, A(r) = 0.5, ^(r) = -3.5 + 0.2r.

Как показали расчеты, при р = п/2 наименьшее отражение со значением Ф = 2.04  10-3 достигается при тех же законах неоднородности.

Заметим, что приведенный выше способ определения законов неоднородности можно распространить на случай, когда механические характеристики материала неоднородного цилиндрического слоя аппроксимируются многочленами второй степени.

Список литературы

1. Безруков А.В., Приходько В.Ю., Тютекин В.В. Рассеяние звуковых волн упругими радиально-слоистыми цилиндрическими телами // Акуст. журн. 1986. Т. 32. № 6. С. 762-766.

2. Коваленко Г.П. К задаче о дифракции акустической волны на неоднородном твердом теле // Акуст. журн. 1987. Т. 33. № 6. С. 1060-1063.

3. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем // Акуст. журн. 1995. Т. 41. № 1. С. 134-138.

4. Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на неоднородном анизотропном полом цилиндре // Оборонная техника. 1998. № 4-5. С. 11-14.

5. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических волн на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке // Оборонная техника. 1998. № 4-5. С. 9-11.

6. Толоконников Л.А. Резонансное рассеяние звука трансверсально-изотропной неоднородной цилиндрической оболочкой // Известия ТулГУ. Серия: Геодинамика, физика, математика, термодинамика, геоэкология. 2006. № 3. С. 106-114.

7. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 61-70.

8. Толоконников Л.А., Романов А.Г. Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородном полом цилиндре в вязкой жидкости // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 151-160.

9. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном термоупругом цилиндрическом слое, граничащем с невязкими теплопроводными жидкостями // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73. Вып. 3. С. 474-483.

10. Толоконников Л.А., Садомов А.А. О дифракции звука на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке в слое жидкости // Изв. ТулГУ. Серия: Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12. Вып. 5. С. 208-216.

11. Толоконников Л.А., Романов А.Г. Дифракция звуковых волн на неоднородном упругом полом цилиндре в слое жидкости с жесткими границами // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2009. Вып. 1-2. С. 3-10.

12. Толоконников Л.А., Романов А.Г. Распространение звука в волноводе в присутствии неоднородной цилиндрической оболочки произвольной толщины // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 161-176.

13. Толоконников Л.А. Дифракция звука на трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке произвольной толщины в волноводе с акустически мягкими границами // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 154-163.

14. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850-857.

15. Толоконников Л.А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 2-2. С. 265-274.

16. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 202-208.

17. Справочник по специальным функциям / под ред. М. Абрамовица, И. Стигана -М.: Наука, 1979. 832 с.

Ларин Николай Владимирович (larinaelen@mail.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Скобельцын Сергей Алексеевич (skbl@rambler.ru), к.ф.-м.н., доцент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Толоконников Лев Алексеевич (tolokonnikovla@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

About definition of linear laws of heterogeneity of the cylindrical elastic layer having the least reflexion in the set direction at sound scattering

N. V. Larin, S. A. Skobeltsyn, L. A. Tolokonnikov

Abstract. The problem about definition of linear laws of heterogeneity of the cylindrical elastic layer having the least reflexion in the set direction at scattering of a plane sound wave is considered. On the basis of an analytical solution of a direct problem the functional expressing intensity of reflexion is constructed, and

the algorithm of its minimisation is offered. The analytical expressions describing mechanical parametres of an inhomogeneous layer are received.

Keywords: scattering, sound waves, non-uniform elastic cylindrical layer, heterogeneity laws.

Larin Nikolay (larinaelen@mail.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Skobeltsyn Sergey (skbl@rambler.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Tolokonnikov Lev (tolokonnikovla@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 21.10.2014