Модели хаотической динамики. Часть 8. Энтропийные инварианты

УДК 519.673

В. Х. Федотов, Н. И. Кольцов

МОДЕЛИ ХАОТИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ. ЧАСТЬ 8. ЭНТРОПИЙНЫЕ ИНВАРИАНТЫ

Ключевые слова: одномерные дискретные динамические системы, временные ряды, энтропия, квазихаос.

Рассчитаны оценки энтропии Колмогорова и показателя Ляпунова по наблюдаемым временным рядам для простых хаотических и квазихаотических моделей, в том числе для псевдослучайных и иррациональных моделей.

Keywords: one- dimensional discrete dynamical systems, time series, entropy, quasi chaos.

Estimates of Kolmogorov entropy and Lyapunov exponent on observed time series for the simple chaotic and quasi chaotic models, including pseudo-random and irrational models were calculated.

Введение

Экспериментально наблюдаемые

квазихаотические (предположительно случайные) динамические процессы, протекающие по неизвестным законам эволюции, не могут быть исследованы с помощью стандартных методов качественного исследования динамических систем. Входными данными для анализа таких процессов служат дискретные выборки (реализации) на определенном интервале времени (временные ряды, time series), носящие фрактальный (кусочно-линейный) характер. Результатами такого анализа могут быть только приближенные статистические оценки параметров временного ряда. На точность оценки параметров временного ряда влияют: дискретность наблюдений (измерений), число наблюдений, используемый инструментарий (косвенный, но важный фактор, связанный с принципом неопределенности Гейзенберга). Основной статистической характеристикой случайности является корреляция. Основными критериями неустойчивости и хаотичности дискретных систем являются показатели Ляпунова, фрактальная (дробная) размерность,

корреляционная энтропия (Колмогорова-Синая) и др. [1-7]. Теоретической базой алгоритмов исследования динамических систем по временным рядам является теорема Такенса [8], утверждающая, что для гладких динамических систем по наблюдаемому временному ряду одной фазовой переменной можно реконструировать модель аттрактора и оценить его хаотичность. Впервые такой подход был применен к временному ряду в экспериментах по исследованию конвекции Релея-Бенара [9]. Для негладких динамических систем вопрос о корректности такой реконструкции остается открытым.

В наших работах [10-13] приведены гладкие и негладкие (сингулярные) модели двух типов: а) удовлетворяющие основным критериям хаоса, но не демонстрирующие хаос (ненаблюдаемый хаос); б) не удовлетворяющие некоторым критериям хаоса, но демонстрирующие хаос при численном исследовании (наблюдаемый квазихаос). Некоторые из этих моделей приведены в табл. 1.

Таблица 1 - Одномерные модели хаоса

№ Модель Ожидаемая динамика Наблюдаемая динамика

1 Псевдослучайные числа Сложное автоколебание Псевдохаос

2 Иррациональные числа Vn, п, e и др. Хаос ?

3 Яма Xn+i=a | Xn |-1 Хаос Хаос

4 Xn+1 = Xn+e/(1/2-Xn) Монотонная Квазихаос

Вопрос о том можно ли считать эти одномерные или двумерные сингулярные модели (инварианты), описанные в этих и более ранних работах, истинным хаосом остается открытым. В связи с этим представляет интерес проверить хаотичность подобных моделей с помощью альтернативных методов вычисления их различных статистических характеристик. Ниже приведены численные оценки корреляционных критериев хаотичности (энтропии Колмогорова и размерности вложения), рассчитанные по наблюдаемым временным рядам, для простейших моделей динамических систем, способных демонстрировать нерегулярное поведение (хаос и квазихаос). Эти оценки позволяют разделить исследуемые процессы на своеобразные энтропийные инварианты и принимать более обоснованные заключения о хаотических свойствах динамических систем малоизвестной или неизвестной природы.

Результаты и их обсуждение

Многие динамические модели простейших хаотических (случайных) или квазихаотических (случайность которых не доказана строго) процессов описываются одномерными дискретными отображениями вида, [см., например, 4-13]

Хп+1 = Яе.,Хп),

где х - фазовая переменная; л=0,1,2,...,М - номер итерации (дискретное время); f - функция эволюции; х0 - начальное условие (н.у.); е>0 -параметр (шаг дискретизации). К моделям вида (1) сводятся многие задачи численного исследования динамических систем (стационарные модели, неоднородные модели и др.).

Неравновесные свойства определяются устойчивостью траекторий динамической системы, которая может определяться различным образом (по Пуанкаре, по Ляпунову и др. [6]). Для исследования случайных процессов наиболее показательной, со статистической точки зрения, является устойчивость по Ляпунову, которая характеризует не только одну траекторию (реализацию), а две (или несколько) соседних траекторий (ансамбль). Критерий неустойчивости траекторий модели (1) по Ляпунову может быть записан

Основным критерием хаотичности траекторий модели (1) является положительность единственного дискретного показателя Ляпунова [4-7]

I = 1/№+1)Тп 1п|/'Х )| > 0, п=о,..., N

который обеспечивает не только неустойчивость, но и многие другие признаки хаоса (непериодичность, перемешивание, затухающую корреляцию, положительную энтропию и др.). Величина положительного показателя является

количественной мерой хаотичности. Процессы с близкими показателями £ будем называть инвариантами хаотичности по Ляпунову.

В соотношения (2)-(3) входит аналитическое выражение для производной функции эволюции, явный вид которой может быть неизвестен. Соответственно, при этом неизвестны и различные характеристики динамической системы

X =

в которых могут присутствовать различные погрешности (шумы), обусловленные средой и инструментами измерений. Возникает вопрос о том, что представляют собой эти фрактальные данные -истинный хаос или квазихаос?

Для ответа на него воспользуемся теорией случайных процессов и корреляций [1-3]. Предварительно отметим, что если аппроксимировать временные ряды (4) какими-либо регрессионными зависимостями (что совсем нетрудно сделать формально, но трудно сделать корректно), то возникают дополнительные, часто существенные, ошибки (выбор вида регрессионной функции, сглаживания и вычислений). Следствием этого станет непредсказуемое искажение полученных оценок хаотичности. Альтернативной мерой хаоса служит энтропия Колмогорова-Синая (далее энтропия Колмогорова или просто энтропия), которая не требует построения регрессионных моделей. Энтропия Колмогорова связана с показателями Ляпунова, но в отличие от них, может быть вычислена непосредственно по наблюдаемой фрактальной динамике фазовой переменной (временному ряду). В одномерном случае энтропия Колмогорова Н равна единственному

положительному показателю Ляпунова. £ [4]

С = Н > 0.

Процессы с близкой энтропией Колмогорова будем называть энтропийными инвариантами хаотичности. Отметим также, что при использовании соотношений (2), (3) и (5) следует учитывать, что они «правильно» характеризуют неустойчивость и хаос только вблизи равновесий (в линейном приближении) и могут не работать в общем случае (эффект Перрона [7]). Кроме того, на практике, на результаты расчетов могут повлиять параметры дискретизации и алгоритмы вычислений из-за чего, наблюдаемое поведение может еще больше отличаться от ожидаемого теоретически.

Исследование случайных процессов существенно опирается на расчеты корреляционных характеристик (энтропии, размерности и др.), которые дают возможность количественно (но все-таки формально) оценить взаимозависимость различных сечений случайного процесса и степень его самоподобия (фрактальности, эргодичности). Случайные процессы сохраняют самоподобие только до определенного предела, т.е. характеризуются минимальным самоподобием или его полным отсутствием. Нижняя оценка энтропии Колмогорова H может быть вычислена с помощью корреляционной энтропии наблюдаемой реализации H2, которая, в свою очередь, может быть вычислена с помощью корреляционного интеграла методом реконструкции фазового пространства (метод Такенса) с использованием алгоритма запаздывания (delay time reconstruction) [4]

H2m(e) = lim lim ln(Cm(e )/Cm+1(e )) < H, m^<x>,

e^ü,

где m=1,2,3,... - размерность вложения; Cm -корреляционный интеграл для размерности m. Размерность вложения (embedding dimension) — наименьшая размерность фазового пространства, в которое вкладывается аттрактор динамической системы (соответствует наименьшему числу независимых переменных, однозначно

определяющему установившуюся динамику системы). Корреляционный интеграл с учетом алгоритма запаздывания для соответствующей размерности вычисляется непосредственно через число различных пар набора из N точек, расстояние между которыми не превышает e:

Cm

здесь 8

D2m(e) = lim ln[Cm(N,e)/lne], e^-ü. (8) Отметим, что существуют и алгоритмы прямого расчета максимального показателя Ляпунова по временному ряду, например [15]

1=Тк 1п

где р и ре'- начальное и конечное расстояние между парой точек; Т - интервал времени выхода из р'-окрестности пары точек. Однако они характеризуются более сложной реализацией и меньшей точностью.

Изложим кратко идею реконструкции аттрактора методом запаздывания и расчета корреляционной размерности и энтропии по наблюдаемой реализации, следуя [4-6]. Выбираем из N значений временного ряда т равноотстоящих по времени значений и определяем для них корреляционную размерность 02,т. Если измеренные данные истинно случайны (белый шум), то при возрастании т корреляционная размерность тоже возрастает (насыщения нет). Для детерминированных систем, сколь бы хаотичными они не казались, й2,т перестает возрастать (насыщается) начиная с некоторого т. Найденные значения й2,т и т принимаем в качестве искомых оценок. Уточним некоторые важные детали алгоритма. Вначале выбираем минимальную размерность вложения т=1 и стандартный временной шаг т=1 (задержка, ее оптимальное значение подбирается опытным путем). Строим т-мерный вектор значений Х в равноотстоящие запаздывающие моменты времени t, ¿-т, ¿-2т,..., ¿-(т-1)т - точку хк=(хК Хк-т, Хк-2т,, , Хк-(т-1)т,) в т-мерном пространстве, которая с течением времени перемещается по аттрактору. Перебирая значения к, получаем реконструированный фазовый портрет аттрактора. Вычисляем его фрактальную размерность 02,т. Повторяем этот процесс для больших значений т=1,2,3,... Наличие или отсутствие насыщения зависимости й2,т с ростом т считаем критерием детерминированности или недетерминированности соответственно. Величину &2,т, при которой наблюдается насыщение на уровне т, принимаем за уточненную оценку корреляционной размерности аттрактора. Отметим, что реконструированный портрет аттрактора можно визуально представить множеством его различных проекций из реального пространства неизвестной размерности в виртуальное пространство размерности т в двумерных (Хк, Хк-(т-1)т) или трехмерных координатах (аналоги сечения Пуанкаре). Если такая проекция не имеет более или менее четко выраженной геометрической структуры, то истинная размерность много больше т или все проекции почти одинаковы (белый шум). Если же проекция имеет достаточно четкую структуру, то истинная размерность близка к т (собственный портрет, возможно с наложенным шумом). Таким образом, корреляционный анализ аттрактора полезно сочетать с визуальным анализом различных графических зависимостей с учетом возможных погрешностей.

По описанному алгоритму была составлена программа (КОКЯАМ) для оценки корреляционных критериев хаотичности и визуального анализа по наблюдаемым временным рядам в среде МАТЛАБ [16], которая была проверена на различных

известных хаотических моделях - одномерном логистическом отображении xn+1 = 1-2xn при x0=1/3, N=5000, m=1,2,3,4,5, двумерном отображении Хенона xn+1=1-1.4xn2+0.3yn, уп+1 = хп при x0= у0=1, N=10000, m=1,2,3,...,12 и др. Для логистического отображения найденные значения составили m>3, D2»1.0, H2»0.6 для N=1000 и m>3, D2»1.3, H2»0.6 для N=5000. Эти оценки энтропии близки к теоретически вычисленным значениям показателя Ляпунова H > H2 » L+ »0.4, приведенным, например, в [6,13]. Для отображения Хенона найденные значения составили m>6, D2»1.3, H2»0.4 для N=1000 и m>10, Д>»1.25, H2»0.35 для N=10000. Это близко к результатам Гроссбергера-Прокаччиа m>10, D2»1.25, H2»0,33+0,2 для N=15000, приведенных в [4]. Для сравнения и повышения надежности результатов использовалась также программа фрактального анализа FRACTAN [17]. Анализ показал, что эта программа дает завышенные оценки H2»0.986 и H2»0.63 соответственно, что может привести к неправильной оценке хаотичности, особенно при малых значениях энтропии. Однако, по выходным файлам этой программы можно визуально (вручную) уточнить результаты расчетов.

Оценим хаотичность или квазихаотичность моделей табл. 1 и некоторых других, описанных нам в работах [10-13] с помощью программы KORRAN и визуального анализа результатов ее работы. Простейшими моделями хаоса в табл. 1 являются иррациональные числа V2 и др. Они не имеют явного представления вида (1) и представляют собой бесконечные непериодические дроби, которые не могут быть представлены в цифровых компьютерах. На практике, для имитации случайности, часто применяют генераторы псевдослучайных чисел (ГПЧ) на основе конгруэнтных отображений c полиномиальной правой частью xn+1=f(xn) mod m. Они являются разновидностями отображений вида (1), удовлетворяют многим статистическим тестам случайности (%2, частотный, спектральный, энтропийный и др. [18]), но являются периодическими (с циклами разной длины) и не могут считаться истинно хаотическими.

Пример 1 (псевдослучайные числа). Стандартный ГПЧ МАТЛАБ с равномерным распределением (встроенная функция RAND) описывается линейным отображением

xn+1=

При рациональных начальных условиях (н.у.) такие отображения дают только периодические последовательности. При иррациональных н.у. они становятся апериодическими и теоретически должны демонстрировать хаос, что проверить точно невозможно из-за бесконечности знаков иррациональных чисел. Оценим хаотичность этой модели с помощью корреляционных характеристик при следующих экспериментально подобранных (по степени заполнения е-окрестностей) значениях е=[0.00001,0.0001,0.001,0.01,0.1, 0.3,0.5,1.0] в формуле (7), см. рис. 1.

200 300 400 500

700 800 900 1 000

1) Зависимость Хп

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

3) Зависимость Н2,т(е) 4) Фазовый портрет

Рис. 1 — Генераторы псевдослучайных чисел МАТЛАБ при N=5000, т=1,2,3.....15

На рис. 1.1 показана исследуемая наблюдаемая зависимость (исходный временной ряд). На рис. 1.2 показаны зависимости величин корреляционных интегралов от размера е-окрестности при разных значениях размерности вложения т (в двойных логарифмических координатах; верхняя линия соответствует минимальной, а нижняя -максимальной размерности). Коэффициенты регрессии этих зависимостей, вычисленные для каждого т по формуле (8), дают монотонно растущую последовательность корреляционных размерностей й2,т и (0.41, 1.27, 2.25, 3.25, 4.27, 5.28, 6.24, 7.18, 8.20, 9.27,...). Соответствующая энтропия, вычисленная по формуле (6), показана на рис. 1.3 (верхняя линия соответствует минимальному, а нижняя - максимальному размеру окрестности; вертикальные разрезы соответствуют разным значениям т в порядке возрастания слева направо). Как видно, энтропия не стабилизируется четко ни на каком уровне. В результате для N=3000-5000 найденные оценки были примерно одинаковы и составили т>12, С>10, Н2и0-1.0. На рис. 1.4 показан двумерный фазовый портрет аттрактора. Как видно, он не имеет четко выраженной структуры, что свидетельствует в пользу белого шума (истинного хаоса). Для сравнения использовалась программа БИЛСТАМ, которая для N=10000 дала близкие оценки т>12, С2=10.3, Н2и0.7 соответственно. Таким образом, корреляционный анализ в целом подтверждает хаотичность модели (10). Однако это утверждение нельзя считать полностью однозначным из-за того, что нижняя граница энтропии близка к нулю.

Пример 2. Десятичные разряды иррациональных чисел образуют бесконечные непериодические последовательности (временные ряды) всего из десяти одноразрядных натуральных чисел на отрезке [0,9] и теоретически являются самыми простыми моделями хаоса. Однако, эти последовательности могут быть представлены в цифровых компьютерах только приближенно в виде

ограниченного подмножества рациональных чисел, что не позволяет проверить точно их хаотичность на практике. Оценим их корреляционные характеристики при следующих экспериментально подобранных (по степени заполнения е-окрестностей) значениях е=[1 2 3 4 5 6 7 8 9] в формуле (7), см. рис. 2.

0 200 400 600 800 1000 1200 1400 1600 1800

1) Зависимость Хп

2) Зависимость 1пСт

1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

3) Зависимость Н2,т(е) 4) Фазовый портрет

Рис. 2 — Десятичные разряды числа V2 при N=2048, т=1,2,3,4,5,6,7

Содержание рис. 2 аналогично содержанию рис. 1, т.е. на рис. 2.1 показана исследуемая наблюдаемая зависимость, а на рис. 2.2 - логарифмические зависимости величин корреляционных интегралов от е при разных т (верхняя линия соответствует минимальной, а нижняя - максимальной размерности; вертикальные разрезы соответствуют разным значениям т в порядке возрастания слева направо). Коэффициенты регрессии этих зависимостей, вычисленные для каждого т по формуле (8), дают монотонно растущую последовательность корреляционных размерностей йЪт и (0.61, 1.34, 2.02, 2.60, 3.10, 3.45, 3.64,.) не имеющую четкого предела. Соответствующая энтропия, вычисленная по формуле (6), показана на рис. 2.3 (верхняя линия соответствует минимальному, а нижняя - максимальному размеру окрестности). Анализ показал, что для N=2048 можно принять приблизительно следующие оценки т >5, 02>3, Н2и1.0. Фазовый портрет аттрактора не имеет четко выраженной структуры (см. рис. 2.4), что свидетельствует в пользу белого шума (истинного хаоса). Отметим, что сравнить эти результаты с программой БИАСТАМ не удалось, т.к. она выдает сообщение о недостаточности диапазона значений ряда (0-9). Таким образом, корреляционный анализ подтверждает хаотичность десятичных разрядов иррационального числа ^2. Учитывая большие значения е, для повышения достоверности оценок были проведены дополнительные расчеты корреляционных характеристик, пересчитанных на сумму их отклонений от среднего из чисел 0-9 и 4.6. В этом случае значения временного ряда становятся дробными, что позволят уменьшить е-окрестности

1.5

0.5

до приемлемого уровня малости е=[0.00001, 0.0001, 0.001, 0.01, 0.1, 0.3, 0.5, 1.0]. В результате этого преобразования энтропия уменьшилась примерно в десять раз Н2и0.1, а фазовый портрет приобрел четко выраженную структуру (остальные характеристики почти не изменились). Это означает, что хаотические свойства отклонений отличаются от свойств наблюдаемых значений и могут быть классифицированы как детерминированный хаос. Программа РЯАСТАМ в этом представлении также уже смогла оценить временной ряд и дала близкие оценки т >3, 02«3, Н2и0.3.

Пример 3 (Отображение «Яма»). Это простейшее кусочно-линейное хаотическое отображение, найденное и описанное нами в работе [13], описывается соотношением

Хп+1= а|Хл|-1, а=1.5, Х0=1/3. (11) Оценим корреляционные характеристики при следующих экспериментально подобранных значениях е=[0.00001,0.0001,0.001,0.01,0.1,

0.3,0.5,1.0] в формуле (7), см. рис. 3.

Соответствующие коэффициенты регрессии (в логарифмических координатах), вычисленные по

последовательность йЪт и (0.98, 1.00, которая быстро к единице. определенная по шести пар уровней

формуле (8), дают корреляционных размерностей 1.02, 1.03, 1.04, 1.04,...), стабилизируется близко Соответствующая энтропия, формуле (6), для каждой из т,т+1 показана на рис.3.3 (верхняя линия соответствует минимальному, а нижняя -максимальному размеру окрестности; вертикальные разрезы соответствуют разным значениям т в порядке возрастания слева направо). Как видно, уже начиная с малых размерностей энтропия хорошо стабилизируется на уровне Ни0.4, что совпадает с найденной теоретически нами в работе [13].

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

1) Зависимость Хп

0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

3) Зависимость Н2,т(е) 4) Фазовый портрет

Рис. 3 - Отображение «Яма» при М=10000, т=1,2,3,4,5,6,7

Проведенный анализ при различных объемах выборок N=1000-10000 показал одинаковые корреляционные оценки т >1, 02«1.03 Н2и0.4. Это подтверждает то, что модель (11) описывает

истинный хаос. Фазовый портрет аттрактора имеет четко выраженную структуру (см. рис. 3.4), что свидетельствует в пользу детерминированного хаоса. Таким образом, корреляционный анализ подтверждает хаотичность отображения «Яма». Для сравнения использовалась программа БЯАСТАМ, которая при N=0000 дала завышенную оценку энтропии т >1, 02«1.01, Н2и0.59, однако, анализ результатов ее работы позволяет считать, что оценка энтропии примерно такая же, как полученная по программе КОКЯАК

Пример 4 (Гипербола). Это нелинейное сингулярное отображение, описанное нами в [11], Хп+1= Хп+е/(1/2-Хп), е=0.001, Х0=0, (12) демонстрирует квазихаос, несмотря на то, что теоретически этого не должно быть. Его корреляционные характеристики при

е=[0.00001,0.0001,0.001,0.01,0.1, 0.3,0.5,1.0] в формуле (7), приведены на рис. 4.

1) Зависимость Хп

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

-0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5

3) Зависимость Н2,т(е) 4) Фазовый портрет

Рис. 4 - Отображение «Гипербола» при М=10000, т=1,2,3.....7

Соответствующие коэффициенты регрессии (в логарифмических координатах), найденные по формуле (8), дают последовательность корреляционных размерностей й2,т и (1.01, 1.06, 1.12, 1.13, 1.13, 1.13,.), которая быстро стабилизируется. Соответствующая энтропия, определенная по формуле (6) для каждой из шести пар уровней т,т+1, показана на рис.4.3 (верхняя линия соответствует минимальному, а нижняя -максимальному размеру окрестности; вертикальные разрезы соответствуют разным значениям т в порядке возрастания слева направо). Как видно, энтропия стабилизируется на уровне Ни0.2 (хотя четкой стабилизации может быть и нет), начиная с минимальной размерности. Проведенный анализ при различных объемах выборок N=3000-10000 показал одинаковые корреляционные оценки: т >1, 02и1.13, Н2и0.2, что позволяет идентифицировать этот режим как истинный хаос и уточнить результаты предыдущей работы [13], где этот режим назван квазихаотическим. Фазовый портрет аттрактора имеет четко выраженную структуру (см.

рис. 4.4), что свидетельствует в пользу детерминированного хаоса. Следовательно, корреляционный анализ подтверждает хаотичность отображения «Гипербола». Для сравнения, программа БИЛСТАМ при том же объеме выборки дала оценки т >4, 02«1.2, Н2«0.3, которые после анализа результатов ее работы, можно считать близкими к оценкам программы КОКЯЛМ.

Таким образом, в результате проведенного корреляционного и визуального анализа простых моделей хаоса и квазихаоса нами рассчитаны оценки энтропии Колмогорова, показателя Ляпунова и корреляционной размерности, а также построены фазовые портреты для достаточно представительных объемов выборок, позволяющие с помощью соотношения (5) оценить нижнюю границу положительного показателя Ляпунова, см. табл. 2.

Таблица 2 - Оценки энтропии и показателя

№ Модель Параметры H и L+ Ü2

1 Псевдослучайность RAND >0 >10

2 Иррациональность V2 >0.1 >3

3 Xn+1 = 3 xn -1 a=1.5 >0.4 «1.03

4 Xn+1= Xn+e/(C-Xn) 6=0.001 >0.2 и1.13

5 Xn+i = I axn+b | a=—1.5 >0.4 «1.03

6 Xn+i=|(C-Xn)e| 6=1.5 >0.4 «1.03

7 Xn+1 = 1 1 —Xn6 1 6=1.5 >0.4 «1.03

8 Xn+i = | 3Xn+b | a=—1.5 >0.4 «1.03

9 Xn+i = 3Xn+b a=—1.5 >0 «0.3

Проведенный анализ показал, что модели 2-8, приведенные в табл. 2 и описывающие согласно [1013] квазихаос, можно считать истинным (детерминированным) хаосом. Относительно моделей 1 и 9 этой таблицы нельзя сделать однозначных выводов об их хаотичности на основании оценок энтропии. При этом, модель 1 демонстрирует многие свойства истинного хаоса, причем очень близких к свойствам белого шума.

Модель 9 (неограниченно растущие автоколебания),

напротив, по-видимому, очень далека от любого

хаоса, но плохо поддается анализу из-за

ограниченности бесконечно растущей выборки.

Литература

1. АН. Колмогоров,. ДАН СССР, 124, 754-755 (1959).

2. Я.Г. Синай, ДАН СССР, 124, 768-771 1959).

3. Т. Андерсон, Статистический анализ временных рядов, М.Мир, 1976, 412 с.

4. Г. Шустер, Детерминированный хаос, М., Мир, 1988, 240 с.

5. М. Шредер, Фракталы, хаос, степенные законы. Ижевск, НИЦ «РиХД», 2001, 528 с.

6. С.П. Кузнецов, Динамический хаос. М., Физматлит, 2006, 356 с.

7. Г.А. Леонов Хаотическая динамика и классическая теория устойчивости движения, Ижевск, ИКИ, 2006, 216 с.

8. F.Takens, Detecting strange attractors in turbulence. In: Dynamical Systems and Turbulence. Lecture Notes in Mathematics: Springer-Verlag, 366-381 (1981).

9. B. Malraison at al., Comptes Rendus Acad.Sc.Paris, , C297, 209-217 (1983).

10. В.Х. Федотов, Н.И. Кольцов, Вестник Казан. технол. ун-та, 17, 13, 24-28 (2014).

11. В.Х. Федотов, Н.И. Кольцов, Вестник Казан. технол. ун-та, 17, 14, 68-74 (2014).

12. В.Х. Федотов, Н.И. Кольцов, Модели хаотической динамики. Часть 6. Квазиинварианты, Вестник Казан. технол. ун-та, 18. 1, 288-293.

13. В.Х. Федотов, Н.И. Кольцов, Модели хаотической динамики. Часть 7. Кусочно-линейные инварианты, Вестник Казан. технол. ун-та, 2014 (в печати).

14. Г.Корн, Т. Корн, Справочник по математике для научных работников и инженеров, М., 1974, 832 с.

15. A. Wolf, J.B. Swift, H.L. Swinney, J.A. Vastano, Physica, D 16, 285-317 (1985).

16. В. Дьяконов, В. Круглов, Математические пакеты расширения MATLAB. СПб, Питер. 2001. 592 с.

17. www.impb.ru/files.php. Программа FRACTAN. Институт Математических Проблем Биологии РАН, Пущино, Россия.

18. Д. Кнут, Искусство программирования. Получисленные алгоритмы. М., Мир, 1977, т. 2, 724 с.

© В. Х. Федотов - канд. хим. наук, доц. каф. информационных систем ЧувГУ, fvh@inbox.ru; Н. И. Кольцов -проф. каф. физической химии и ВМС ЧувГУ, koltsovni@mail.ru.

д-р хим. наук,

© V. Kh. Fedotov - Ph.D., associate professor of information systems department, Chuvash State University, fvh@inbox.ru; N. I. Koltsov - doctor of chemistry, professor, managing chair of physical chemistry and macromolecular compounds department, Chuvash State University, koltsovni@mail.ru.