О динамике звуковых волн в трубке с эластичными стенками, заполненной пузырьковой жидкостью

Физика

УДК 534.2., 01.02.05

О ДИНАМИКЕ ЗВУКОВЫХ ВОЛН В ТРУБКЕ С ЭЛАСТИЧНЫМИ

СТЕНКАМИ, ЗАПОЛНЕННОЙ ПУЗЫРЬКОВОЙ ЖИДКОСТЬЮ

Я.Р. Баязитова\ И.К. Гималтдинов2

Предложена теоретическая модель, описывающая динамику акустических волн в двухфазной жидкости в трубке с эластичными стенками. Учитывается радиальная инерция стенок трубки.

Ключевые слова: акустическая волна; эластичность; двухфазная жидкость; фазовая скорость; коэффициент затухания.

Введение

Первые работы по акустическому анализу двухфазных жидкостей отмечены еще в конце XX века. Советскими учеными под руководством И.С. Кольцовой были проведены экспериментальные исследования затухания ультразвуковых волн в маловязких жидкостях с газовыми пузырьками, полученными электролитическим методом, результаты исследований отражены в работе [1]. Обнаружено, что в области резонанса пузырьков концентрационная зависимость коэффициента дополнительного затухания является функцией от частоты, причем до резонансной частоты и после резонансной частоты концентрационная зависимость коэффициента дополнительного затухания линейна. Данные, полученные учеными, в дальнейшем служили ориентиром для теоретических исследователей в этой области, опубликовавших свой труд в работах [2-5] и др.

В данной статье проведен акустический анализ волн в двухфазной жидкости, распространяющихся в трубке с эластичными стенками, выявлены некоторые особенности динамики звуковых волн.

Рассмотрим одномерные волновые возмущения, распространяющиеся в трубке малого радиуса, заполненной пузырьковой жидкостью. Стенки трубки считаем эластичными.

На рис. 1 представлено схематическое изображение системы, которое иллюстрирует трубку толщиной И, длиной Ь и радиусом а0 (Ь>> а0). Возмущения в системе возникают вследствие воздействия давлением по торцу трубки.

Рис. 1. Схема задачи

Основные уравнения

Запишем основные уравнения для описания движения волн в пузырьковой жидкости в трубке с эластичными стенками с учетом радиальной инерции. Макроскопические уравнения сохранения масс, числа пузырьков, импульсов в односкоростном приближении имеют вид:

d(PiS) + d(PUS) = 0

dt dx

d(nS) | d(nvS) = o

dt

dx

4PVS) + djpv S) =_S dp

dt dx dx

Запишем кинематические соотношения для газожидкостной смеси:

a+ ag = 1,

1 Баязитова Яна Разифовна - аспирант, кафедра прикладной математики и механики, Башкирский государственный университет, филиал в г. Стерлитамаке.

E-mail: yana.bayazitova@mail.ru

2 Гималтдинов Ильяс Кадирович - доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой прикладной математики и

механики, Башкирский государственный университет, филиал в г. Стерлитамаке.

Рг =р°а,

Р=Р* +Р1,

4 з , .

а* =—па п

* 3

где Б - площадь поперечного сечения, п - число пузырьков, и - скорость, а - радиус пузырьков, - объемное содержание фазы, р{ - плотность фазы.

Жидкость считаем акустически сжимаемой, газ - калорически совершенным:

р, = Ро + с2

р*=Р0ЯТ*,

где р1 - давление жидкости, р0 - начальное давление жидкости, С1 - скорость звука в жидкости, р^ - давление газа, Я - газовая постоянная, Т^ - температура газа.

При описании радиального движения будем полагать, что жидкость несжимаема, скорость радиального движения складывается из двух слагаемых:

da

w =----, w = +№а .

dt

Компонента wR описывается уравнением Релея-Ламба, соответствующим пульсациям одиночного сферического пузырька в безграничной несжимаемой жидкости:

dwR 3 2 wR

а—Я +о w^ + 4^/ — = ^1---------,

dt 2 а р,0

где Уг - кинематическая вязкость жидкости.

Добавка wA определяется из решения задачи о сферической разгрузке на сфере радиуса а в

несущей жидкости в акустическом приближении: wA =~рт—ртз.

Рг

Уравнение для давления внутри пузырьков записывается в виде:

Ф* = 3ур0 da 3(у-1)д dt а0 dt а0 где у - показатель адиабаты для газа.

Уравнение для интенсивности межфазного теплообмена после линеаризации примет вид:

( дТ*

д =-Ля

V дг ,

V /

Р

а

V ао )

То-

Температура газа в пузырьках меняется по закону: Т„ = —^

g Ро

В случае учета инерционных свойств стенок трубки считаем, что радиус трубки меняется по закону:

Р№{(Ьо + ко )2 - ьо2 = Ь(Р -Ро)-{Ь -Ьо 1,

д 2 і Ьо

где рк - плотность материала трубки, Ьо - начальное значение внутреннего радиуса трубки, ко

- толщина стенки трубки, Е - модуль Юнга.

В случае пренебрежения инерцией стенок трубки при относительно небольших изменениях площади сечения трубки используем формулу связи избыточного давления в трубке и площади поперечного сечения в виде:

л Ек

АРі =-2 А5 -

2ао

Начальные и граничные условия

Для инициирования волны в системе на границе 2 = 0 воздействует жесткий ударник по закону:

uo(t) =

Au0 exp

f f t _ t* /2 2 2 ^

К к t* / 6 у у

О < t < t*

0, t > и

где Ли0 - амплитуда скорости, и - характерная протяженность импульса. На поверхности раздела фаз запишем уравнение теплового баланса

л

дТЧ = 2 1 =л

f dTЛ

dr

К У

Так же на поверхности раздела фаз (г = а0) зададим следующие граничные условия для системы:

да

э7

Tg = Tl = Та,

wl = wg = w ,

Кроме того

dr

= 0 (r = 0), T = 0 (r = ~).

Линеаризованная система уравнений:

Для линеаризации уравнений будем считать, что изменение параметров по времени и координате происходит с минимальным скачком их соответственных значений.

Из уравнения масс (1) с учетом кинематических соотношений (4)-(6), условия (7) и уравнения сохранения числа пузырьков (2), после линеаризации и некоторых преобразований получено соотношение:

00

а,

2 dpl0 3аloаgoPlo da аl0pl0 dS

l o'

dt

+

dv

дГ S0 dt 0Pl0 dx

Продифференцируем уравнение (10) по времени; уравнение импульсов (3) после линеаризации продифференцируем по координате, подставим его в (10). В результате преобразований име-

аЯ) d 2pl d 2pl 3^0аg0pl0 d 2a аloplo d 2S

C2 dt2 dx2

+

= 0,

ut ил a0 dt2 S 0 dtz

где S = Jib2.

Полученное уравнение при отсутствии пузырьков (а 0 = 0) и неизменной площади поперечного сечения (S = const) совпадает с обычным волновым уравнением.

Уравнения пульсационного движения пузырька (8) и изменения радиуса трубки (9) после линеаризации принимают вид:

0 d2a' . vlpl00 da . .

aopio—г + 4^°— = pg _pt

dt2 a0 dt g

pw ((bo + ho)2 _ bo2 )d-^ = bo pl _ b .

Уравнение состояния:

Pg = p g0 + Tg P„r\ p0^ T„A

b0

Уравнения тенлонроводности:

a

0

p0 С dTl = _2 d PloCl ~sT=r d

(

2lr

dTl

2 UT

dr

(r> ao):

po С dTgL = r-2 d PgoCg dt -r dr

(

з 2 dTg 2gr -£

(r < a0)-

Уравнение для давления в газе:

dPl dt

3yp0 da 3(Y_1)Л f dT 2

a0 dt

+

dr

К У a

Результаты расчетов

Решение нриведенной системы уравнений (11)—(17) ищем в виде затухающей бегущей волны pl, a, и, pg exp[(Kx_ot)i\, T = T(r)exp[(Kx_О)i], b = bm exp[(o)i],

о

K = k + ia, Cp =°,

pk

где K - волновое число, (О - частота возмущений, 8 и Cp - соответственно коэффициент затухания и фазовая скорость. Подставляя (18) в нриведенную выше систему уравнений (11)—(17) и сокращая на эксноненту, имеем:

K22 = аО + За oq, 0a0

w) С (ao2°2 + 4vli°)Plm

2nb0 аl0pl0

Eh

К bo

0 _pw

2 u2\ 2 b02 ) w2

0 \ Am = p _ p

plm Pgm ,

2

a02 d

2 dTl

y2T =-i- г2-1 I (r > ao),

>*2 dr К dr

y2T = a,g _э_

yg g r2 dr

,.2 dTg

dr

ygT^ = _3YygTo^m _

I _n ygpgT0 , .

II _Y )-f^ (r < ao),

’ pgo

Am 3(Y_ 1) f dTg

pg 0

К dr у

a=

a=ao

I  2, \1/2 2g Л

Уі = (_i°a0 /Xi) , Xg = , Xl = ~oj—

pg0cg pl0cl

л

& І =Л

К dr у a

f dJg ^

dr

Ку

Tg = Tl = To, (r = a0 ) ,

dTg

g _

где с/ - тенлоемкость жидкости.

Численный анализ

Расчеты проводились для следующих физико-химических параметров системы. Вода: У1 = 3,6 -103 м2/с, сг = 4200 Дж/кг-К, р1 = 103 кг/м3, X = 0,6 м-кг/К-с3, Сг = 1500 м/с, р0 = 105 Па. Воздух: ря = 105 Па, а = 0,001, X = 0,026 м-кг/К-с3, р = 1,29 кг/м3, с = 1006 Дж/кг-К. Труба

a

0

О

a

0

0

имеет следующие геометрические параметры: Ь0 = 2 • 10 2 м, И0 = 5 • 10 3 м. Материал трубы -

поликарбонат: р5 = 1200 кг/м3, Е = 2,13 109 Па.

Для случая пузырьковой жидкости результаты расчетов представлены в виде графиков, выражающих зависимость коэффициента затухания 8 от частоты О.

Рис. 2. Зависимость фазовой скорости Ср от частоты о

Рис. 3. Зависимость коэффициента затухания 8 от частоты о

На рис. 2. представлены зависимости фазовой скорости Ср от частоты О для двухфазной

жидкости. На рис. 2, а, б черная сплошная линия (1) соответствует случаю распространения акустических волн в трубке с «жесткими» стенками, штрихпунктирная линия (2) на рис. 2, а - случаю распространения акустических волн в трубе, стенки которой обладают инерционными и эластичными свойствами. Случаю распространения звуковых волн в безынерционной эластичной трубке соответствует пунктирная линия (3) на рис. 2, б. Видно, что в низкочастотной области (Ю<^ЮК ) равновесная скорость акустических волн в пузырьковой среде (310 м/с), находящейся в трубке с «жесткими» стенками, чуть выше значения аналогичного параметра для волн в трубке с податливыми стенками, которая принимает значение 266 м/с вне зависимости от учета радиальной инерции стенок трубки. Радиальная инерция стенок трубки оказывает значительное влия-

ние на скорость и коэффициент затухания при частотах О, превышающих частоту Минаерта Ос : на рис. 2, а видно, что кривая (2) терпит разрыв вблизи частоты СО = 4,43-104 с-1, таким образом, для акустических волн в двухфазных системах, находящихся в эластичной трубке, стенки которой обладают радиальной инерцией, свойственна полоса непропускания - диапазон частот, при которых акустические волны не распространяются. Полоса непропускания в нашем случае составляет 0,02-104 с-1. Далее по рис. 2, а кривая в области высокочастотных колебаний (о>> Ос) выходит на стационарное значение фазовой скорости, называемое замороженным, которое близко к скорости звука в чистой жидкости (1500м/c). Этого же значения достигает фазовая скорость после небольшого скачка по кривой (1). Для кривой (3) значение замороженной скорости значительно ниже - достигает 490 м/с .

На рис. 3, а, б представлены графики, выражающие коэффициенты затухания акустических волн в двухфазной жидкости, находящейся в трубе с «жесткими» стенками (1), эластичными стенками, обладающими массой (2), эластичными стенками без радиальной инерции (3). Очевидно наличие полосы непропускания для пунктирной кривой (2), идентичной наблюдаемой на рис. 2, а. В случае акустических волн в двухфазной жидкости в безынерционной эластичной трубке (линия 3) коэффициент затухания при частотах, превышающих частоту Минаерта (Ос, оказывается меньше значений, соответствующих случаю акустических волн в двухфазной жидкости в «жесткой» трубке (линия 1).

По результатам исследований сформулировали следующие выводы:

1) для динамики акустических волн в двухфазных жидкостях, находящихся в трубке с эластичными стенками, обладающими радиальной инерцией, существует полоса непропускания. Значение фазовой скорости в низкочастотной области ниже аналогичного параметра для акустических волн в пузырьковой жидкости, распространяющихся в трубке с «жесткими» стенками. К тому же значения замороженных скоростей в обоих случаях едины;

2) в низкочастотной области значение фазовой скорости акустических волн в пузырьковой жидкости в трубке с эластичными стенками, не обладающими радиальной инерцией, несколько ниже, а коэффициент затухания близок по значению аналогичному параметру для акустических волн в пузырьковой жидкости в трубке с «жесткими» стенками. А в высокочастотной области фазовая скорость и коэффициент затухания акустических волн в трубке с эластичными стенками без радиальной инерции значительно ниже аналогичных параметров для акустических волн в пузырьковой жидкости в «жесткой» трубке.

Литература

1. Ослабление ультразвуковых волн в маловязких жидкостях с газовыми пузырьками/ И.С. Кольцова, Л.О. Крынский, И.Г. Михайлов, И.Е. Покровская // Акустический журнал. - 1979.

- Т. 25, № 5. - С. 725-731.

2. Нигматулин, Р.И. Проявление сжимаемости несущей жидкости при распространении волн в пузырьковой среде // Р.И Нигматулин, В.Ш. Шагапов, Н.К. Вахитова / Докл. АН СССР. - 1989.

- Т. 304, № 5. - С. 1077-1081.

3. Commander, K.W. Linear pressure waves in bubbly liquids: Comparison between theory and experiments / K.W. Commander, A. Prosperetti // J. Acoust. Soc. Am. - 1989. - Vol. 85, № 2. - P. 732746.

4. Гафиятов, Р.Н. Акустические волны в двухфракционных смесях жидкости с парогазовыми пузырьками/ Р.Н. Гафиятов // Труды института механики. Материалы V Российской конференции с международным участием «Многофазные системы: теория и приложения», посвященной 20-летию со дня основания Института механики им. Р.Р. Мавлютова УНЦ РАН (Уфа, 2-5 июля 2012). - 2012. - Т. 1, № 9.- С. 65-69.

5. Levitsky, S. Sound propagation in viscoelastic pipe with liquid-bubble mixture / S. Levitsky, R. Berman, J. Haddad // Acoust. Paris. - 2008. - P. 4385-4390.

Поступила в редакцию 15 сентября 2014 г.

Bulletin of the South Ural State University Series "Mathematics. Mechanics. Physics” _________________2014, vol. 6, no. 4, pp. 13-19

SOUND WAVES DYNAMICS IN A TUBE WITH ELASTIC WALLS FILLED WITH BUBBLY LIQUID

Ya.R. Bayazitova^, I.K. Gimaltdinov2

The paper offers a theoretical model describing the dynamics of acoustic waves in two-phase fluid placed in a tube with elastic walls. Radial inertia of the tube walls was considered.

Stop band for the dynamics of acoustic waves in two-phase liquid placed in a tube with elastic walls having radial inertia was found. Phase velocity value in the low-frequency region is less than the phase velocity value for acoustic waves in a bubbly liquid in a tube with rigid walls. The values of frozen velocities in both cases are the same.

In a low-frequency region the value of the phase velocity of acoustic waves in a bubbly liquid in a tube with elastic walls with non-radial inertia is lower. The damping coefficient is almost the same as the one for acoustic waves in a bubbly liquid in a tube with rigid walls. In a high-frequency region phase velocity and damping coefficient of acoustic waves in a tube with elastic walls without radial inertia is much lower than the ones for acoustic waves in a bubbly liquid in a tube with rigid walls.

Keywords: acoustic wave; elasticity; two-phase fluid; phase velocity; damping coefficient.

References

1. Kol'cova I.S., Krynskij L.O., Mihajlov I.G., Pokrovskaja I.E. Akusticheskij zhurnal. 1979. Vol. 25, no. 5. pp. 725-731. (in Russ.).

2. Nigmatulin R.I., Shagapov V. Sh., Vahitova N.K. Dokl. AN SSSR. 1989. Vol. 304, no. 5. pp. 1077-1081. (in Russ.).

3. Commander K.W., Prosperetti A. Linear pressure waves in bubbly liquids: Comparison between theory and experiments. J. Acoust. Soc. Am. 1989. Vol. 85, no. 2. pp. 732-746.

4. Gafijatov R.N. Akusticheskie volny v dvuhfrakcionnyh smesjah zhidkosti s parogazovymi puzyr'kami (Acoustic waves in two fractional mixtures of liquid with steam bubbles). Trudy instituta mehaniki. Materialy V Rossijskoj konferencii s mezhdunarodnym uchastiem «Mnogofaznye sistemy: te-orija iprilozhenija», posvjashhennoj 20-letiju so dnja osnovanija Instituta mehaniki im. R.R. Mavljutova UNC RAN, Ufa, 2-5 ijulja 2012. (Science papers of the Institute of Mechanics. Proceedings of the V All-Russian conference with international participation "Multiphase Systems: Theory and Applications”, devoted to the 20th anniversary of the founding of the Institute of Mechanics of R.R. Mavlyutov USC RAS, Ufa city, July 2-5, 2012. Vol. 1, no. 9. pp. 65-69. (in Russ.).

5. Berman R., Haddad J. Sound propagation in viscoelastic pipe with liquid-bubble mixture. Acoust. Paris. 2008. pp. 4385-4390.

Received 15 September 2014

1 Bayazitova Yana Razifovna is Post-graduate Student, Applied Mathematics and Mechanics Department, Branch of Bashkir State University, Sterlitamak, Russia.

E-mail: yana.bayazitova@mail.ru

2 Gimaltdinov Il'yas Kadirovich is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, General of Applied Mathematics and Mechanics Department, Branch of Bashkir State University, Sterlitamak, Russia.