Решение алгебраических задач с помощью теоремы косинусов

Список литературы 1. Справочник по элементарной математике. Москва, 1972 г. С. 284.

РЕШЕНИЕ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ КОСИНУСОВ

12 3

Рахимов Н. Н. , Тагирова З. Г. , Джумаев М. М.

1Рахимов Насриддин Номозович /Rahmov Nasriddin Nomozovich - преподаватель;

2Тагирова Зухра Гулямовна / Tagirova Zuxra Gulyamovna - преподаватель; 3Джумаев Максуд Мияссарович /Djumayev MaqsudMiyassarovich - преподаватель,

Академический лицей № 2 Самаркандский государственный университет, г. Самарканд, Республика Узбекистан

Аннотация: в статье указаны с помощью теоремы косинуса методы решения некоторых алгебраических задач. В каждом этюде приведены геометрические приемы решения задач. Они, как правило, не обладают для учащихся признаком привычности, но, как показывает опыт, легко ими воспринимаются. Благодаря интеграции «негеометрического» условия задачи и ее геометрического решения математические знания предстают перед учащимися как живая, динамичная система, способная решать задачи из других наук и практики. По существу, действует двусторонний процесс: обучение математике и обучение математикой. Некоторые задачи, дорогие коллеги, могут показаться вам сложными для выбора их в качестве упражнений на уроке, тогда можно рассмотреть их на факультативных занятиях.

Ключевые слова: теорема, треугольник, функция, уравнение, неравенство, система уравнений.

Известно, из теоремы косинусов верна следующая формула a2 = b2 + c2 — 2bccosa , где a, b и c -стороны треугольнике. Об этой теореме все ученики хорошо знают по школьному курсу геометрии.

Мы на этой статье покажем: с помощью теоремы косинусов можно не только решить геометрические задачи, но и можно решить алгебраические задачи.

Решить задачи в этом методе учеников ещё более интересовало на уроке математики.

1-задача. Найдите наибольшие значения функции

f (х) = V х2 + 9 — 4 х2 — хл/3 +1

Решение. Посмотрим треугольник ABC (1 рис.),

Рис. 1. Над рисунками найдем отрезок DB 12

здесь ZACB = 900, ZACD = 300, AC = x, BC = 3, CD = 1 и точка D расположена внутри треугольника ABC. В треугольнике АВС применяем теорему

Пифагора: AB = 4x^+9 .

В треугольнике ACD применяем теорему косинусов: AD = ^ x2 — xV3 +1. Тогда, max f (x) = max( AB — AD) = EB — ED = DB, этот способ выполнить только будет(из неравенство треугольнике) D е AB.

Из теоремы косинусов: DB = л/12 + 32 — 2 • 1 • 3 • cos600 = V7 .

Значит ответ: /max (x) = V7 . [1]

2-задача. Решить уравнение. 4x2 — 5xV2 + 25 Wx2 —12x72 +144 = 13 Решение. Рисуем ABC-прямоугольный треугольник и проводим CD-биссектрису (2 рис.).

Рис. 2. Изображение CD-биссектрисы Прямоугольные треугольники ADC и BDC, применять теорему косинусов,

возьмём результат AD = -Jx2 - 5x72 + 25 и BD = л/x2 -12x72 +144 . Известно, AB=AD+BD=13 и CD=x-биссектриса.

~ ^ 72 • AC • BC 72 • 5-12 6072 п 6072 hi

Тогда, CD = x =-=-=-. Значит, ответ: x = бил/2 . 111

AC + BC 5 +12 17 17

3-задача. Вычислить (без калькулятора и таблиц) sin18.

Рис. 3. Над рисунками найдем отрезок x

Рассмотрим сектор ОАВ окружности с центром в точке О и радиуса 1(центральный уголь равен 360). Проведём хорду АВ, на отрезке ОВ построим точку С так, чтобы АС = АВ, при этом Z АСВ= Z АВС=72°,

а Z САВ=36° (3-рисунок). Таким образом, ОС=АС. Пусть АВ=х, а СВ=1-х. Так как АС - биссектриса треугольника ОАВ, справедлива пропорция

1 X

- = — (биссектриса делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные к прилежащим сторонам), откуда х2+х-1=0, (х>0),

х = . По теореме косинусов: АВ2 = OA2 + OB2 - 2 • OA • OB • сов ZAOB

2

х2 = 1 +1 -2• сов360, х = л/2(1 -сов360) = 2в1п180. Тогда 51П180 = £ = ^-1.

2 4

Ответ: ^ -1. [2, 4] 4

4-задача. Для положительных х, у, г, а, Ь, с чисел верно следующее систем уравнений

2 2 2

х + ху + у = а

^2 + + ^2 _ ^2 Найти значение суммы ху+уг+гх.

2 2 2 7 + 2Х + X = С

Решение. Построить график соответственно условиям задачи (4 рисунок).

Рис. 4. Над рисунками найдем площадь треугольников AMB, BMC, AMC

Из теоремы косинусов будет x2+xy+y2=a2, y2 +yz+z2=b2, z2 +zx+x2=c2. Теперь площади треугольников BMC, AMC, AMB соответственно так

S2 , S3 ;

тогда будет S xy; = —yz; = — zx

1 4 J 2 4 J З4

/3

В этом случай ^ + S2 + S3 = SAB(-., то У— (xy + yz + zx ) =

Тепер найдем площадь треугольника ABC с помощью формулы Герона. ¡a + b + c a + b - c a + c - b b + c - a

2 2 2 2 Значит значение суммы xy+yz+zx равно

/3 i _

— (xy + yz + zx) = ^ y[(a+F+c(a~+~b—c)(aTc—b)(b+c—a) xy + yz + zx = ^(a + b + c)(a + b - c)(a + c - b)(b + c - aI [2, 3]

5-задача. Решить уравнение 42-2оозх +410 -боозх = 410 -6ооз2х, где х е (0;у).

Решение. Решим этого уравнение с теорему косинусов. Построим следующий рисунок (5 рисунок).

Рис. 5. Из условий задачи построим приблизительный рисунок

Аналогично, из рисунка BD = 42-2cosx ; DC = J 10 -6cosx; BC = V10-6cos2x. Из условий задачи BD+DC=BC. Значит точка D, принадлежащая отрезку BC. Поэтому отрезок AD будет биссектриса треугольника ABC.

Рис. 6. Из свойств биссектрисы найдем угол х Из свойств биссектрисы

^ = 2-АВ-АС-ео8х, С08Х = АР-(АВ + АС) = 1(1+3) = 2 . Ответ:х = агоооз2. [2, 4]

АВ +АС 2-АВ-АС 2-1-3 3 3

Задачи для самостоятельных работ.

№ 1. Найдите наименьшие значения функции /(х) = V1 + х2 — х + -\] 1 + х2 — х^/3 . № 2. Решить уравнение -\1х2 + 4 + 7х2 — Зхл/3 + 9 = 419.

Литература

1. Генкин Г. 3. Геометрические решения негеометрических задач: кн. для учителя. М.: Просвещение, 2007. 79 с.

2. Исраилов И., Пашаев З. Геометрия 1-часть. Учебник академического лицея. Ташкент. Издательство «Учитель», 2004.

3. Абдухамидов А. У., Насимов Х. А. и др. Алгебра и основы математического анализа. Учебник академического лицея. Ташкент. Издательство «Учитель», 2012.

4. Яковлев Г. Н., Купцов Л. П. и др. Всероссийские математические олимпиады школьников. Москва. Издательство «Просвещение», 1992.