Рассеяние плоской звуковой волны однородным термоупругим сплошным цилиндром

УДК 539.3:534.26

РАССЕЯНИЕ ПЛОСКОЙ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ ОДНОРОДНЫМ ТЕРМОУПРУГИМ СПЛОШНЫМ ЦИЛИНДРОМ

Н.В. Ларин

Получено аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на однородном изотропном термоупругом сплошном цилиндре. Представлены результаты расчетов частотной и угловой зависимостей амплитуды рассеянного звукового поля в дальней зоне. Исследовано взаимовлияние теплового и механического полей в цилиндре на рассеяние звука. Показано, что степень этого влияния зависит от физико-механических характеристик материала цилиндра.

Ключевые слова: дифракция звука, термоупругий цилиндр.

Изотермический процесс дифракции звука на сплошных прямых круговых цилиндрах бесконечной длины рассматривался в ряде работ. При этом в одних работах материал цилиндра полагался однородным, изотропным, упругим. Например, исследовалось рассеяние звука цилиндром в случае нормального падения на него плоской звуковой волны [1] и в случае наклонного падения [2, 3]. Рассмотрены случаи падения волны с геометрией, отличной от плоской [4, 5]. В других работах рассматривался цилиндр из неоднородного материала. Так, исследовано рассеяние полоской звуковой волны, падающей нормально на цилиндр, плотность материала которого линейно меняется по радиусу цилиндра [6]. Решена плоская задача дифракции звука на цилиндре, который имеет произвольное поперечное сечение и материальные параметры, зависящие от одной координаты [7]. Еще часть работ посвящена дифракции звука на многослойных цилиндрах. В частности, рассмотрен случай нормального падения плоской звуковой волны на дискретно-слоистый цилиндр [8]. Исследовано рассеяние плоской звуковой волны абсолютно жестким цилиндром, покрытым непрерывно-неоднородным упругим слоем [9]. Решены задачи дифракции плоской и цилиндрической звуковых волн на однородном упругом цилиндре с непрерывно-слоистым упругим покрытием [10,11]. На основе результатов, полученных ранее [10], показана возможность взаимозамены покрытия, состоящего из системы однородных упругих слоев непрерывно-слоистого покрытия [12, 13].

Исследованиям дифракции звука на термоупругих телах цилиндрической формы посвящено небольшое число работ. Найдено решение задачи дифракции цилиндрических звуковых волн на радиально-слоистой трансверсально-изотропной термоупругой цилиндрической оболочке [14]. Показано существенное влияние термоупругости материала рассеивателя на его характеристики звукоотражения в задаче дифракции плоской звуко-

вой волны, наклонно падающей на непрерывно-слоистый термоупругий полый цилиндр [15]. Решена задача о рассеянии звука абсолютно жестким теплопроводящим цилиндром с непрерывно-слоистым термоупругим покрытием [16].

Ниже решается задача дифракции плоской звуковой волны, падающей нормально на однородный изотропный термоупругий сплошной цилиндр, находящийся в невязкой теплопроводной жидкости.

1. Постановка задачи. Рассмотрим неподвижный бесконечный сплошной цилиндр радиуса а, находящийся в жидкости. Однородный изотропный термоупругий материал цилиндра характеризуется плотностью р, упругими постоянными Ламе 1 и т, температурным коэффициентом линейного расширения ат, коэффициентом теплопроводности 1т, объемной теплоемкостью се. Источники тепла в цилиндре отсутствуют. Полагаем, что окружающая цилиндр жидкость является сжимаемой невязкой теплопроводной и однородной с плотностью р у, скоростью звука с, отношением удельных теплоемкостей при постоянных давлении и объеме у, кот

эффициентами температуропроводности % , температурного расширения

т т

а , теплопроводности 1 . Считаем, что в невозмущенном состоянии цилиндр и жидкость имеют одинаковую постоянную температуру то.

Пусть из жидкости на цилиндр перпендикулярно его оси вращения падает плоская звуковая волна. Выберем прямоугольную систему координат х, у, г с началом в точке О таким образом, что координатная ось Ох является осью вращения цилиндра (рис. 1) и направление волнового вектора падающей волны совпадает с направлением оси Ох.

Потенциал скоростей падающей волны

¥ = А ехр[/(к1Г - Ш)] = А ехр[/(£1х - Ш)],

где А - амплитуда волны; к1 - волновой вектор; г - радиус-вектор; ш -круговая частота; £1 =Шс - волновое число. Временной множитель ехр(-;Ш) в дальнейшем опускаем.

При падении звуковой волны, распространяющейся в невязкой теплопроводной жидкости на термоупругий цилиндр, возникают отраженные от него звуковая и тепловая волны. Кроме того, происходит малая деформация цилиндра, которая сопровождается изменением его температурного поля.

Определим отраженные от термоупругого цилиндра и возбужденные в нем волновые поля.

2. Решение задачи. Свяжем с прямоугольной системой координат цилиндрическую систему координат г, ф, г, в которой выражение для потенциала ¥ имеет вид

У (г, ф) = А exp \jk\r cos ф). Последнее выражение может быть представлено следующим образом [17]:

где Ап = Ain\ Jn{x) - цилиндрическая функция Бесселя порядка п. Здесь и всюду далее, если не оговорено иное, суммирование ведется по п от -

ДО сю.

Рис. 1. Геометрия задачи

Поскольку возбуждающее волновое поле не зависит от координаты ^, а бесконечный цилиндр является однородным изотропным, то от координаты ^ не будут зависеть ни отраженные от цилиндра, ни возбужденные в нем волновые поля. Кроме того, будет отсутствовать смещение частиц термоупругого цилиндра по координате z.

В случае установившихся колебаний потенциалы скоростей отраженных от цилиндра звуковых Ч^ и тепловых волн - решения уравнений Гельмгольца [18]

ДЧ'у + kj^Vj = 0, 7 = 1,2.

Здесь

к2=цТ( 1 + 0,ЛГ =

coy .i7

л1/2

где ~ волновое число тепловых волн. При этом скорость частиц жидкости V, акустические давление р и температура Т определяются по формулам [18]

у = ёга<1(Ч/ + Ч/1+Ч/2), р = /'сор/(Ч/ + Ч/1 +Ч*2),

Т =

а

соу

1

2 со

С учетом условий излучения на бесконечности [19]

Ч'у =о

чл/гу

ЗУ, ( 1 Л

7 =4

д г

чл/гу

при г

; 7=1,2

0)

функции 4х! и будем искать в виде

(г,ф) = I(/с7/-У',(Р, у = 1,2,

где Нп (х) - цилиндрическая функция Ганкеля первого рода порядка п.

Определять волновые поля, возбужденные в однородном изотропном термоупругом цилиндре, будем на основе линейной связанной динамической задачи термоупругости [20]. Представим вектор смещения и частиц термоупругого цилиндра в виде

и = ¿га<1

Потенциалы смещения Ф1? Ф3 - решения следующих уравнений [20]:

^Фj+к2jФj =0, АФ3 + К3Ф3 =0; 7 =1,2,

где к^ и к2 - волновые числа продольных термоупругих волн; К3 - волновое число поперечных упругих волн. При этом [20]

к} = 11 + 6

со

Здесь

6 = %, =—, кт =Лг(1 + 0» Лт = к] <7 РХт

С1 =

\Х + 2[х

> =

> Хт

(ЗХ + 2ц)2а 2Г0 (к + 2ц)се 194

где Щ и к^ - волновые числа продольных упругих и тепловых волн соответственно; о\ и ех - скорости продольных и поперечных упругих волн соответственно; Ст - коэффициент температуропроводности материала цилиндра; е - параметр связанности.

В двумерном случае отлична от нуля лишь составляющая векторного потенциала Ф3 , направленная вдоль оси Ох. Представим функцию Ф 3 в виде

Ф 3 =Ф 3

где е г - орт оси Ох.

В силу представления (6) векторное уравнение (3) сводится к одному скалярному уравнению Гельмгольца

ДФ3 + к 2 Ф 3 = 0.

Скалярные функции Фт (т = 1,2,3) с учетом условия ограниченности, требующего ограниченности решений дифференциальных уравнений (3), (7) внутри цилиндра, будем искать в виде

Ф т

Коэффициенты , А2П, В1П, В2П, В3П разложений (1) и (8) подлежат определению из граничных условий, которые заключаются в равенстве нормальных скоростей частиц термоупругой среды и жидкости на поверхности цилиндра, равенстве на ней нормального напряжения и акустического давления, отсутствии касательного напряжения, в непрерывности акустической температуры и теплового потока на этой поверхности:

д0 т дТ

г = а: - /юиг = уг , огг = -р, оГф = 0, 0 = Т, 1т — = 1 —.

у дг дг

Здесь нормальная компонента скорости частиц жидкости уг определяется выражением

д

Уг =-№ + 4*1 +^2 ), дг

а компоненты тензора напряжений охщ в цилиндрических координатах связаны с компонентами тензора деформаций ехщ и возмущенной температурой цилиндра 0 соотношениями Дюгамеля - Неймана [20] огг = 2дегг + 1ё1уц - (31 + 2д)«т0, огф = 2дегф,

где

диг 1

- = —— е = —

"гг дг ' Ф 2

1

г

ди

г

и ф

V

ди ф + ^

дг

0 = 1+2т

(31 + 2т)а т

дф

к2

195

При этом на основе представления (2) составляющие вектора смещения и принимают вид

д(Ф1 +Ф2 ) 1 дФ3 1 д(Ф1 +Ф2 ) дФ3

иг —

+

и ф =

дг г дф у г дф дг

Используя приведенные выше формулы, выразим компоненты тензора напряжений огг и огф через функции Ф1 , Ф2 и Ф3 :

2

о гг = I'

у=1

д 2 Ф у

2т—у +

дг

2

2|к2 - (1 + 2|)к2 ]ф у

К

г дф

дФ!-1 ф 3

дг г

о

гф

2| I _Э_

г у=1 дф

дФу - 1 дг г

Ф у

т

д 2ф 3 1 д 2ф 3 1 дФ 3

дг

г2 дф2

дг

С помощью всех граничных условий, используя условие ортогональности экспонент, для каждого индекса п = 0,±1,±2,... построим систему пяти линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов А1п, А2п, Вы, В2п, В3П:

мс = ь

1г =а

где

С =

т

М =

м $

; а, р = 1,2,...,5

Здесь

Ъ1п = к1 ^п

г г1

М

2^)= /шр fИn

(п) . 2|

\ ' — 1И_'_

25

Мл;' = т

к 3 ^^ 3 г)-1 п

М 3у = 0, М 3п )+2 = ш 21 [к ^

3,у+2

1куг ^п 1куг\ г

м 3п)=-т

к2^

2

г

г

М4п =-Х уИп (куг), М4п)+2 = р ¿п (к уг), М$= 0

у п\"7

4,у+2

М 5у =-1т X ]к у И ¡{к у г), М 5п)+2 =1 т р у к ¿'п (к уг), М 5п)= 0

5,у+2 196

у к у4

г

г

а1 сА

со

2

V У

/

7 (3?1 + 2|1)аг

Штрихом обозначена производная функции по аргументу.

Из построенной системы (9) определяем ^, ^2/? > В\п> > п • В результате получаем аналитическое описание дифракционных волновых полей вне и внутри термоупругого сплошного цилиндра по формулам (1) и (8) соответственно.

3. Результаты расчетов. Рассмотрим дальнюю зону акустического поля. Используя асимптотическую формулу для цилиндрической функции Ганкеля первого рода при больших значениях аргумента [21]

7 = 1.006, хТ =1.43х10"7м2/с, ат = 2.1х10~41/К, хт = 0.59Вт/(мК), Го =293К). Амплитуда падающей волны полагалась равной единице, а термоупругие материалы цилиндров определялись физико-механическими характеристиками, приведенными в таблице [14]. Там же представлены значения параметра связанности г, рассчитанные по формуле (5).

Для оценки влияния учета связанности полей деформации и температуры в уравнении (4) на величину |^(ср)| вычислительный эксперимент проводился и для термоупругих цилиндров при нулевых значениях параметра связанности. При 8 = 0 выражение (4) принимает вид

Таким образом, если предположить, что термоупругая связь отсутствует, то уравнение (4) описывает распространение двух видов продольных волн, из которых один, связанный с к^, близок к чисто упругой волне, а другой, связанный с к 2, сходен по своему характеру с чисто тепловой

из равенства (1) при ] - \ находим

где

^ =£/, к2 =кт.

[20]. Кроме того, расчеты выполнялись и при изотермическом процессе волнового взаимодействия упругого цилиндра с окружающей его жидкостью.

Физико-механические характеристики материалов

Физико-механические характеристики материала Материал

Алюминий Поливинилбутираль

р, кг/м" 2700 1070

X, Н/м2 5.3хЮ10 3.9х109

р,Н/м2 2.6хЮ10 9.8х108

аТ, 1/К 25.5x10-6 2.3хЮ~4

Хт, Вт/(м-К) 236 0.2

се,Дж/(м3-К) 2.3х10б 1.2х106

е 0.035 0.411

1.2 Ж

0.8

0.4

0

К л

8

кха 12

Рис. 2. Зависимость амплитуды обратного рассеяния звука от волнового числа для алюминиевого цилиндра

На рис. 2 и 3 для цилиндров из алюминия и полимерного материала (поливинилбутираля) соответственно представлены зависимости амплитуды обратного рассеяния звука |^(л)| от волнового числа к\а в интервале 0 < к\а < 12. Здесь и далее на рис. 2, 3 сплошная линия соответствует расчетам с учетом термоупругой связи, пунктирная линия - расчетам при

198

г = 0, а кривые, рассчитанные для случая изотермического процесса, неразличимы с кривыми, построенными при отсутствии термоупругой связи. Последнее говорит о том, что при описании волновых полей в цилиндре уравнениями несвязанной задачи термоупругости процесс рассеяния звука однородным термоупругим сплошным цилиндром близок к изотермическому. Похожий вывод был сделан ранее [22]. На каждом из рисунков видно различие в характеристиках обратного рассеяния звука, обусловленное эффектом связанности поля деформации и температурного поля в цилиндрах. При этом для цилиндра из полимера, обладающего большим значением параметра связанности по сравнению с алюминием, это различие заметнее.

к\а 12

Рис. 3. Зависимость амплитуды обратного рассеяния звука от волнового числа для цилиндра из полимерного материала

180е

Рис. 4. Полярная диаграмма направленности для алюминиевого цилиндра

199

На рис. 4 и 5 для цилиндров из алюминия и поливинилбутираля соответственно представлены полярные диаграммы направленности |^(ф)|,

рассчитанные для 0<ф<180° при фиксированном значении к\а = 6. Все

диаграммы должны быть продолжены симметрично прямой 0...1800. Стрелкой показано направление падения плоской звуковой волны. Видно, что термоупругая связь в цилиндрах может заметно влиять на угловое распределение амплитуды рассеянной ими звуковой волны.

90°

.......I.............../

Рис. 5. Полярная диаграмма направленности для цилиндра из полимерного материала

Таким образом, анализ результатов расчетов показывает, что учет связанности полей деформации и температуры дает возможность выявить новые особенности протекания процесса рассеяния звука однородным термоупругим сплошным цилиндром.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 16-41-710083) и Министерства образования и науки РФ (государственное задание № 1.1333.2014К).

Список литературы

1. Faran J.J. Sound scattering by solid cylinders and spheres // Acoust. Soc. Amer. 1951. V. 23. № 4. P. 405 - 420.

2. Лямшев Jl.M. Рассеяние звука упругими цилиндрами // Акустический журнал. 1959. Т. 5. Вып. 1. С. 58 - 63.

3. Flax L., Varadan V.K., Varadan V.V. Scattering of an obliquely incident acoustic wave by an infinite cylinder // J. Acoust. Soc. Amer. 1980. V. 68. №6. P. 1832 - 1835.

4. Lee F.A. Scattering of a cylindrical wave of sound by an elastic cylinder // Acustica. 1963. V. 13. №3. P. 26-31.

5. Li Т., Ueda M. Sound scattering of spherical wave incident on a cylinder // J. Acoust. Soc. Amer. 1990. V. 87. № 5. P. 1871 - 1879.

200

6. Безруков А.В., Приходько В.Ю., Тютекин В.В. Рассеяние звуковых волн упругими радиально-слоистыми цилиндрическими телами // Акустический журнал. 1986. Т. 32. № 6. С. 762 - 766.

7. Коваленко Г.П. К задаче о дифракции акустической волны на неоднородном твердом теле // Акустический журнал. 1987. Т. 33. № 6. С.1060 - 1063.

8. Шендеров Е.Л. Излучение и рассеяние звука. Л.: Судостроение, 1989. 304 с.

9. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850 - 857.

10. Толоконников Л.А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. Вып. 2. Ч. 2. С. 265 - 274.

11. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. Вып. 3. С. 202 - 208.

12. Толоконников Л.А., Ларин Н.В. Моделирование дискретно-слоистого покрытия упругого цилиндра радиально-неоднородным слоем в задаче рассеяния звука // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2014. Вып. 2. С.194 - 202.

13. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим цилиндром с дискретно-слоистым покрытием // Прикладная математика и механика. 2015. Т. 79. Вып. 2. С. 242 - 250.

14. Ларин Н.В. Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородной трансверсально-изотропной термоупругой цилиндрической оболочке // Вестник Тульского государственного университета. Серия Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тула: Изд-во ТулГУ, 2007. Вып. 1. С. 58 - 64.

15. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном термоупругом цилиндрическом слое, граничащем с невязкими теплопроводными жидкостями // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73. Вып. 3. С. 474 - 483.

16. Ларин Н.В. Рассеяние звука твердым цилиндром с неоднородным термоупругим покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2015. Вып. 3. С.154 - 164.

17. Скучик Е. Основы акустики. Т.2. М.: Мир, 1976. 542 с.

18. Толоконников Л. А., Ларин Н.В. Рассеяние звука неоднородными термоупругими телами. Тула.: Изд-во ТулГУ, 2008. 232 с.

19. Зоммерфельд А. Дифференциальные уравнения в частных производных физики. М.: ИЛ, 1950. 456 с.

20. Коваленко А. Д. Основы термоупругости. Киев.: Наук. думка, 1970. 308 с.

21. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.: Физ-матгиз, 1963. 358 с.

22. Ларин Н.В. Прохождение звука через однородный термоупругий плоский слой // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. Тула: Изд-во ТулГУ, 2015. Вып. 3. С. 145 - 153.

Ларин Николай Владимирович, канд. физ.-мат. наук, доц., Iatrinaelena mail.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет

SCATTERING OF A PLANE ACOUSTIC WAVE BY AN UNIFORM THERMOELASTIC SOLID CYLINDER

N. V. Larin

The analytic solution of the problem of the diffraction of a plane acoustic wave by an uniform isotropic thermoelastic solid cylinder was obtained. The results of calculations of the frequency and angular dependences of the amplitude of the scattered sound field in the far zone are presented. The coupling between the thermal and mechanical fields in the cylinder on the scattering of sound was investigated. It is shown that the extend of this effect depends on the physical-mechanical characteristics of the material.

Key words: diffraction of sound, thermoelastic cylinder.

Larin Nikolay Vladimirovich, candidate of physical and mathematical sciences, do-cent, Larinaelen@mail. ru, Russia, Tula, Tula State University