Технология критического мышления при изучении темы «Введение в вероятность»

ББК 74.580.2+22.11р УДК 378.147 Т 52

Н.В. ТОЛПЕКИНА

N.V. TOLPEKINA

ТЕХНОЛОГИЯ КРИТИЧЕСКОГО МЫШЛЕНИЯ

ПРИ ИЗУЧЕНИИ ТЕМЫ «ВВЕДЕНИЕ В ВЕРОЯТНОСТЬ»

TECHNOLOGY CRITICAL THINKING TO STUDY TOPICS «INTRODUCTION TO PROBABILITY»

В статье представлен опыт использования технологии критического мышления через чтение и письмо в процессе обучения высшей математике: рассматриваются основные методические приемы работы по технологии критического мышления, разработанные автором средства обучения по изучаемой темы.

The paper presents the experience of using the technology of critical thinking through reading and writing in teaching further mathematics. The author describes the basic techniques of applying the technology of critical thinking and presents some materials helping to teach the topic «Introduction to probability».

Ключевые слова: технология критического мышления, метод Инсерт, разбивка на кластеры, синквейн, вероятность события.

Keywords: technology of critical thinking, Insert method, a breakdown in clusters, a cinquain, the probability of the event.

Социально-экономические преобразования в обществе закономерно вызвали инновации в профессиональном образовании. Безусловно, знания имеют ценность только тогда, когда информация критически осмыслена, творчески переработана и применяется в различных видах деятельности. Это имеет большое значение для перехода к экспериментированию новых идей и педагогических решений [2, с. 5].

Критическое мышление - это поиск здравого смысла: как рассудить объективно и поступить логично, с учетом как своей точки зрения, так и других мнений, умение отказаться от собственных предубеждений.

Занятие в технологии развития критического мышления через чтение и письмо состоит из трех фаз:

1. Вызов.

2. Осмысление или реализация смысла.

3. Рефлексия или размышление.

Все они предполагают активное участие студентов в образовательном процессе. Задачей первой стадии занятия является пробуждение интереса к изучаемой теме, актуализация знаний по теме и определение направления дальнейшего изучения или целеполагание. На стадии осмысления происходит знакомство с новой информацией. Важно на этом этапе организовать работу с новым материалом таким образом, чтобы студенты отслеживали собственное понимание новой информации. Задача стадии рефлексии - встроить новые знания в систему имеющихся сведений по теме, выработать отношение к

ней и, если необходимо, наметить пути дальнейшего поиска по теме. Таким образом, на каждой стадии студенты выполняют ряд задач и в итоге достигают определенных образовательных целей.

По технологии развития критического мышления через чтение и письмо студенты 1 и 2 курсов факультетов психологии и управления изучали тему «Введение в теорию вероятностей». Каждому студенту было предложено заполнить дневник, который состоял из трех разделов:

1) предмет теории вероятностей (лист 1);

2) основные понятия теории вероятностей (лист 2);

3) вычисления вероятностей (лист 3).

В предложенном дневнике были использованы основные методические приемы работы: метод Инсерт; разбивка на кластеры; Синквейн; перепутанные логические цепочки.

Работа с Разделом 1 дневника (лист 1) строится по методу Инсерт.

Метод Инсерт

I - interactive: самоактивизирующая «У» - уже знал;

N - noting: системная разметка «+» - новое;

S - system: для эффективного «-» - думал иначе;

E - effective: чтение и размышление «?» - думал иначе;

R - reading;

T - thinking.

При чтении текста студенты на полях расставляют пометки (желательно карандашом, если же его нет, можно использовать полоску бумаги, которую помещают на полях вдоль текста).

Лист 1

Раздел 1. ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

А) Охарактеризуйте в нескольких фразах понятия «случайное явление» и «теория вероятностей».

Б) Прочитайте текст. ПРЕДМЕТ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

(Приложение 1).

По ходу чтения текста обозначьте свое понимание данного материала с помощью специальных пометок:

Знаком «галочка» (V) отмечается в тексте информация, которая вам уже известна. При этом источник информации и степень достоверности не имеет значения.

Знаком «плюс» (+) отмечается новое знание, новая информация.

Знаком «вопрос» (?) отмечается то, что осталось непонятным и требует дополнительных сведений, вызывает желание узнать поподробнее.

Знаком «восклицательный знак» (!) отмечается то, что вызывает сомнение, что было бы интересно обсудить, сравнить с мнением других.

В) Заполните таблицу, обозначив в ней результаты изучения текста:

V + ? !

Лист 2

Раздел 2. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

А) Перечислите, какие понятия теории вероятностей Вы знаете, и какие из них, по вашему мнению, являются основными.

Б) Прочитайте текст. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (Приложение 2).

В) Представьте прочитанный текст в виде кластеров (кластеры (блоки идей) или «грозди» - это графический способ организации учебного материала). Для этого выделите смысловые единицы различного ранга и представьте их в графической форме, учитывая связи между ними.

Лист 3

Раздел 3. ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

А) Перечислите, какие существуют определения вероятности.

Б) Прочитайте текст. ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ (Приложение 3).

В) Заполните «Двойной дневник», в котором в первой колонке записываются фрагменты текста, содержащие, по вашему мнению, ошибки

Цитата из текста Комментарии к цитате

Пометки должны быть следующие: «V» если то, что вы читаете, соответствует тому, что вы знаете; «-» если то, что вы читаете, противоречит тому, что вы уже знали, или думали, что знали; «+» если то, что вы читаете, является для вас новым; «?» если то, что вы читаете, непонятно, или же вы хотели бы получить более подробные сведения по данному вопросу.

После чтения текста с маркировкой студенты заполняют маркировочную таблицу Инсерт, состоящую из 4-х колонок. Причем заполняется сначала 1-я колонка по всему тексту, затем 2-я и т.д.

Работа с Разделом 2 дневника (лист 2) строится по методу разбивки на кластеры.

Разбивка на кластеры. Это педагогическая стратегия, которая помогает студентам свободно и открыто думать по поводу какой-либо темы. Она требует выделения лишь тех структур, которые дают возможность стимулировать размышления о связях между идеями. Это нелинейная форма мышления. Разбивка на кластеры используется как на этапе вызова, так и на этапе рефлексии в основном для стимулирования мыслительной деятельности до того, как определенная тема будет изучена более тщательно, но может применяться и в качестве средства для подведения итогов.

Студенты факультета психологии составили кластер (рис. 1) на этапе подведения итогов по теме «Вероятность события».

Рис. 1. Кластер «Вероятность события»

Работая с разделом 2, студенты факультета управления составили кластер (рис. 2) на этапе подведения итогов по теме «События».

Работа с Разделом 3 (лист 3) ориентирована на применение новых полученных знаний в систему имеющихся сведений по теме, выработать отношение к ней и научиться видеть их практическую значимость, а если необходимо, наметить пути дальнейшего поиска необходимых знаний и умений по изучаемой теме. Для этого студентам предлагается заполнить «Двойной дневник», в котором в первой колонке записываются фрагменты или цитаты из текста, содержащие, по мнению студента, ошибки в обозначениях, вычислениях, неточности и т.д. Во втором столбце дневника студент должен исправить найденную ошибку или неточность на правильный, по его мнению, вариант. Студентам были предложены примеры с различными ошибками: вычислительными, неверное употребление терминов и обозначений (Приложение 3).

Организовать эффективную рефлексивную деятельность студентов позволяет включение в учебную деятельность

Рис. 2. Кластер «События»

Слово «синквейн» происходит от французского, обозначающего «пять». Это стихотворение, состоящее из пяти строк, которое используется как способ синтеза материала. Лаконичность формы развивает способность рефлексировать информацию, излагать мысль в нескольких значимых словах, емких и кратких выражениях. Способность резюмировать информацию, излагать сложные идеи, чувства и представления в нескольких словах - важное умение. Оно требует вдумчивой рефлексии, основанной на богатом понятийном запасе.

План написания синквейна следующий:

1. Первая строка - тема стихотворения, выраженная одним словом, обычно именем существительным;

2. Вторая строка - описание темы в двух словах, как правило, именами прилагательными;

3. Третья строка - описание действия в рамках этой темы тремя словами, обычно глаголами;

4. Четвертая строка - фраза на тему синквейна из четырех слов, выражающая отношение автора к данной теме;

5. Пятая строка - одно слово - синоним к первому, на эмоциональном или филосовско-обобщенном уровне повторяющее суть темы [1, с. 133].

Приведем пример синквейна, который составили студенты 1 курса факультета психологии по завершению изучения темы «Вероятность события»:

Вероятность.

Геометрическая, статистическая.

Оценивает, колеблется, попадает.

Количественная оценка возможности события.

Отношение (Оценка).

Критическое мышление, способное выдвинуть новые идеи и увидеть новые возможности, весьма существенно в качестве инструмента для переработки сложной информации; способа оценки понятийного багажа студентов; средства развития творческой выразительности, что позволяет организовать по-новому процесс обучения.

Литература

1. Аношина, Р.Е. Синквейн как способ организации рефлексивной деятельности студентов [Текст] / Р.Е. Аношина, Н.В. Толпекина // Проблемы управления качеством образования в вузе: сборник статей Всероссийской научно-практической конференции. - Пенза: РИО ПГСХА, 2006. - С. 131-134.

2. Гмурман, В.Е. Теория вероятностей и математическая статистика [Текст] / В.Е. Гмур-ман. - 10-е изд., стер. - М.: Высш. шк., 2004. - 479 с.

3. Райер, Г. Современные технологии профессионального обучения [Текст] / Г. Райер, Е. Лопанова, Т. Рабочих // Учеб.-метод. пособие. - Омск: Омскбланкиздат, 2001. -89 с.

Приложение 1

Задача любой науки, в том числе и экономической, состоит в выявлении и исследовании закономерностей, которым подчиняются реальные процессы. Найденные закономерности широко применяются на практике - в планировании, управлении и прогнозировании.

Теория вероятностей есть математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях.

Случайное явление - это такое явление, которое при неоднократном воспроизведении одного и того же опыта протекает каждый раз несколько по-иному. Примерами могут служить выпадение количества очков при бросании игральных костей, попадание артиллерийского снаряда в намеченную цель, последняя цифра номера наудачу выбранной страницы книги.

Очевидно, что в природе, технике и экономике нет явлений, в которых не присутствовали бы элементы случайности. Речь идет о массовых однородных случайных событиях (явлениях). Оказывается, что достаточно большое число однородных случайных событий (явлений) независимо от их конкретной природы подчиняется определенным закономерностям, а именно вероятностным закономерностям. Знание закономерностей, которым подчиняются массовые случайные события (явления), позволяет предвидеть, как эти события будут протекать. Например, хотя нельзя наперед определить результат одного бросания монеты, но можно предсказать, причем с небольшой погрешностью, число появлений «герба», если монета будет брошена достаточно большое число раз. При этом предполагается, конечно, что монету бросают в одних и тех же условиях.

Существует два подхода к изучению этих явлений. Классический подход, когда выделяются основные факторы, определяющие данное явление, а остальными (второстепенными, случайными) пренебрегают. Так выявляется основная закономерность, свойственная данному явлению, позволяющая однозначно предсказать результат по заданным условиям. Другой подход к изучению явлений состоит в том, что элемент неопределенности, свойственный случайным явлениям и обусловленный второстепенными факторами, требует специальных методов их изучения. Разработкой таких методов занимается тео-

рия вероятностей. Итак, предметом теории вероятностей является изучение вероятностных закономерностей массовых случайных событий (явлений).

Методы теории вероятностей широко применяются в различных отраслях естествознания и техники: в теории надежности, теории массового обслуживания, в теоретической физике, геодезии, астрономии, теории стрельбы, теории ошибок наблюдений, теории автоматического управления, общей теории связи и во многих других теоретических и прикладных науках. Теория вероятностей служит также для обоснования математической и прикладной статистики, которая в свою очередь используется при планировании и организации производства, при анализе технологических процессов, предупредительном и приемочном контроле качества продукции и для многих других целей.

В последние годы методы теории вероятностей все шире и шире проникают в различные области науки и техники, способствуя их прогрессу.

Краткая историческая справка. Первые работы, в которых зарождались основные понятия теории вероятностей, представляли собой попытки создания теории азартных игр (Кардане, Гюйгенс, Паскаль, Ферма и другие в XVI-XVII вв.).

Следующий этап развития теории вероятностей связан с именем Якоба Бернулли (1654-1705). Доказанная им теорема, получившая впоследствии название «Закона больших чисел», была первым теоретическим обоснованием накопленных ранее фактов.

Дальнейшими успехами теория вероятностей обязана Муавру-Лапласу, Гауссу, Пуассону и др.

Новый, наиболее плодотворный период, связан с именами П.Л. Чебы-шева (1821-1894) и его учеников: А.А. Маркова (1856-1922) и А.М. Ляпунова (1857-1918). В этот период теория вероятностей становится стройной математической наукой. Ее последующее развитие обязано в первую очередь русским и советским математикам (С.Н. Бернштейн, В.И. Романовский, А.Н. Колмогоров, А.Я. Хинчин, Б.В. Гнеденко, Н.В. Смирнов и др.) [2, с. 15-16].

Приложение 2 ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ ТЕОРИИ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Наблюдаемые нами события (явления) можно подразделить на следующие три вида: достоверные, невозможные и случайные.

Достоверным называют событие, которое обязательно произойдет, если будет осуществлена определенная совокупность условий S. Например, если «в сосуде содержится вода при нормальном атмосферном давлении и температуре 25°», то событие «вода в сосуде находится в жидком состоянии» есть достоверное. В этом примере заданные атмосферное давление и температура воды составляют совокупность условий S.

Невозможным называют событие, которое заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий S. Например, событие «вода в сосуде находится в твердом состоянии» заведомо не произойдет, если будет осуществлена совокупность условий предыдущего примера.

Случайным называют событие, которое при осуществлении совокупности условий S может либо произойти, либо не произойти. Например, если брошена монета, то она может упасть так, что сверху будет либо герб, либо надпись. Поэтому событие «при бросании монеты выпал «герб» - случайное.

Каждое случайное событие, в частности выпадение «герба», есть следствие действия очень многих случайных причин (в нашем примере: сила, с которой брошена монета, форма монеты и многие другие). Невозможно учесть влияние на результат всех этих причин, поскольку число их очень велико и законы их действия неизвестны.

Выше событие названо случайным, если при осуществлении определенной совокупности условий 5" оно может либо произойти, либо не произойти. В дальнейшем, вместо того, чтобы говорить «совокупность условий 5 осуществлена», будем говорить кратко: «произведено испытание». Таким образом, событие будет рассматриваться как результат испытания.

Пример 1. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на четыре области. Выстрел - это испытание. Попадание в определенную область мишени -событие.

Пример 2. В урне имеются цветные шары, из урны наудачу берут один шар. Извлечение шара из урны есть испытание. Появление шара определенного цвета - событие.

События называют несовместными, если появление одного из них исключает появление других событий в одном и том же испытании.

Пример 3. Из ящика с деталями наудачу извлечена деталь. Появление стандартной детали исключает появление нестандартной детали. События «появилась стандартная деталь» и «появилась нестандартная деталь» - несовместные.

Несколько событий образуют полную группу, если в результате испытания появится хотя бы одно из них.

Другими словами, появление хотя бы одного из событий полной группы есть достоверное событие. В частности, если события, образующие полную группу, попарно несовместны, то в результате испытания появится одно и только одно из этих событий.

Пример 4. Приобретены два билета денежно-вещевой лотереи. Обязательно произойдет одно и только одно из следующих событий: «выигрыш выпал на первый билет и не выпал на второй», «выигрыш не выпал на первый билет и выпал на второй», «выигрыш выпал на оба билета», «на оба билета выигрыш не выпал». Эти события образуют полную группу попарно несовместных событий.

События называют равновозможными, если есть основания считать, что ни одно из них не является более возможным, чем другое.

Пример 5. Появление «герба» и появление надписи при бросании монеты - равновозможные события. Действительно, предполагается, что монета изготовлена из однородного материала, имеет правильную цилиндрическую форму, и наличие чеканки не оказывает влияния на выпадение той или иной стороны монеты.

Вероятность - одно из основных понятий теории вероятностей. Существует несколько определений этого понятия. Приведем определение, которое называют классическим. Далее укажем слабые стороны этого определения и приведем другие, позволяющие преодолеть недостатки классического.

Рассмотрим пример. Пусть в урне содержится 6 одинаковых, тщательно перемешанных шаров, причем 2 из них - красные, 8 - синие и 1 - белый

шар. Очевидно, возможность вынуть наудачу из урны цветной (т.е. красный или синий) шар больше, чем возможность извлечь белый шар. Можно ли охарактеризовать эту возможность числом? Оказывается, можно. Это число и называют вероятностью события (появление цветного шара), Таким образом, вероятность есть число, характеризующее степень возможности появления события.

Поставим перед собой задачу дать количественную оценку возможности того, что взятый наудачу шар цветной. Появление цветного шара будем рассматривать в качестве события А. Каждый из возможных результатов испытания (испытание состоит в извлечении шара из урны) назовем элементарным исходом (элементарным событием). Элементарные исходы обозначим через

01, о2, ..., и т.д. В нашем примере возможны следующие 6 элементарных исходов: о1 - появился белый шар; о2, о3, - появился красный шар; о4, о5, о6 - появился синий шар. Легко видеть, что эти исходы образуют полную группу попарно несовместных событий (обязательно появится только один шар) и они равновозможны (шар вынимают наудачу, шары одинаковы и тщательно перемешаны).

Те элементарные исходы, в которых интересующее нас событие наступает, назовем благоприятствующими этому событию. В нашем примере благоприятствуют событию А (появлению цветного шара) следующие 5 исходов:

02, з, (О4, О—, б-

Таким образом, событие А наблюдается, если в испытании наступает один, безразлично какой, из элементарных исходов, благоприятствующих А; в нашем примере А наблюдается, если наступит ( 2, или ( з, или ( 4, или (о5, или о6. В этом смысле событие А подразделяется на несколько элементарных событий (о2, о3, о4, о5, о6); элементарное же событие не подразделяется на другие события. В этом состоит различие между событием А и элементарным событием (элементарным исходом).

Отношение числа благоприятствующих событию А элементарных исходов к их общему числу называют вероятностью события А и обозначают через Р(А). В рассматриваемом примере всего элементарных исходов 6; из них 5 благоприятствуют событию А. Следовательно, вероятность того, что взятый

шар окажется цветным, Р(А) равна —. Это число и дает ту количественную

6

оценку возможности появления цветного шара, которую мы хотели найти. Дадим теперь определение вероятности. Вероятностью события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов п к общему числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов т, образующих полную группу. Итак, вероятность события Р(А) определяется форму-п

лой Р(А) = —, где п - число элементарных исходов, благоприятствующих А;

т

т - число всех возможных элементарных исходов испытания А.

Здесь предполагается, что элементарные исходы несовместны, равно-возможны и образуют полную группу. Из определения вероятности вытекают следующие ее свойства:

Свойство 1. Вероятность достоверного события равна единице.

Действительно, если событие достоверно, то каждый элементарный исход испытания благоприятствует событию. В этом случае т = п, следователь-

п

но, Р(А) = — = 1. т

Свойство 2. Вероятность невозможного события равна нулю. Действительно, если событие невозможно, то ни один из элементарных исходов испытания не благоприятствует этому событию. В этом случае п = 0,

следовательно, Р(А) = — = 0.

т

Свойство 3. Вероятность случайного события есть положительное число, заключенное между нулем и единицей.

Действительно, случайному событию благоприятствует лишь часть из

общего числа элементарных исходов испытания. В этом случае 0 < п < т, зна-

п

чит, 0 < — < 1, следовательно, 0 < Р(А) < 1. т

Итак, вероятность любого события удовлетворяет двойному неравенству. Относительная частота наряду с вероятностью принадлежит к основным понятиям теории вероятностей. Относительной частотой события называют отношение числа испытаний п, в которых событие появилось, к общему

числу фактически произведенных испытаний т. Таким образом, относитель-

п

ная частота события А определяется формулой W(А) = —, где п - число пот

явлений события, т - общее число испытаний.

Сопоставляя определения вероятности и относительной частоты, заключаем: определение вероятности не требует, чтобы испытания производились в действительности; определение же относительной частоты предполагает, что испытания были произведены фактически. Другими словами, вероятность вычисляют до опыта, а относительную частоту - после опыта.

Длительные наблюдения показали, что если в одинаковых условиях производят опыты, в каждом из которых число испытаний достаточно велико, то относительная частота обнаруживает свойство устойчивости. Это свойство состоит в том, что в различных опытах относительная частота изменяется мало (тем меньше, чем больше произведено испытаний), колеблясь около некоторого постоянного числа. Оказалось, что это постоянное число есть вероятность появления события.

Таким образом, если опытным путем установлена относительная частота, то полученное число можно принять за приближенное значение вероятности.

Пример 6. По данным шведской статистики, относительная частота рождения девочек за 1935 г. по месяцам характеризуется следующими числами (числа расположены в порядке следования в месяце, начиная с января): 0,486; 0,489; 0,490; 0,471; 0,478; 0,482; 0,412; 0,484; 0,485; 0,491; 0,482; 0,473.

Относительная частота колеблется около числа 0,482, которое решено принять за приближенное значение вероятности рождения девочек.

Заметим, что статистические данные различных стран дают примерно то же значение относительной частоты.

Классическое определение вероятности предполагает, что число элементарных исходов испытания конечно. На практике же весьма часто встре-

чаются испытания, число возможных исходов которых бесконечно. В таких случаях классическое определение неприменимо. Уже это обстоятельство указывает на ограниченность классического определения. Отмеченный недостаток может быть преодолен.

Наиболее слабая сторона классического определения состоит в том, что очень часто невозможно представить результат испытания в виде совокупности элементарных событий. Еще труднее указать основания, позволяющие считать элементарные события равновозможными. По этой причине наряду с классическим определением вероятности используют и другие определения, в частности статистическое определение: в качестве статистической вероятности события принимают относительную частоту или число, близкое к ней. Например, если в результате достаточно большого числа испытаний оказалось, что относительная частота весьма близка к числу 0,4, то это число можно принять за статистическую вероятность события.

Чтобы преодолеть недостаток классического определения вероятности, состоящий в том, что оно неприменимо к испытаниям с бесконечным числом исходов, вводят геометрические вероятности - вероятности попадания точки в область (отрезок, часть плоскости и т.д.).

Пусть отрезок I составляет часть отрезка L. На отрезке L наудачу поставлена точка. Это означает выполнение следующих предположений: поставленная точка может оказаться в любой точке отрезка L, вероятность попадания точки на отрезок I пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от его расположения относительно отрезка L. В этих предположениях вероятность попадания точки на отрезок I определяется равенством .. длина I

Р( А) =-.

длина Ь

Пример 7. На отрезок ОА длины £ числовой оси Ох наудачу поставлена точка В(х). Найти вероятность того, что меньший из отрезков ОВ и ВА имеет длину, большую 3. Предполагается, что вероятность попадания точки

на отрезок пропорциональна длине отрезка и не зависит от его расположения на числовой оси.

Решение: Разобьем отрезок ОА точками С и D на 3 равные части. Требование задачи будет выполнено, если точка В(х) попадет на отрезок CD дли-

I I 1

ны —. Искомая вероятность Р = —: I = —.

3 (3) 3

Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G. На фигуру G наудачу брошена точка. Это означает выполнение следующих предположений: брошенная точка может оказаться в любой точке фигуры G, вероятность попадания брошенной точки на фигуру g пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G, ни от формы g. В этих предположениях вероятность попадания точки в фигуру g определяется равенством Р = Площадь g : Площадь G [2, с. 17-28].

Приложение 3

ВЫЧИСЛЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ

Пример 1. Набирая номер телефона, абонент забыл одну цифру и набрал ее наудачу. Найти вероятность того, что набрана нужная цифра.

Решение: Обозначим через А событие - набрана нужная цифра. Абонент мог набрать любую из 10 цифр, поэтому общее число возможных элементарных исходов равно 10. Эти исходы несовместны, равновозможны и образуют полную группу. Благоприятствует событию А лишь один исход (нужная цифра лишь одна). Искомая вероятность равна отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к числу всех элементарных исходов;

Р( А) =10 = 10.

Пример 2. Отдел технического контроля обнаружил 3 нестандартные детали в партии из 80 случайно отобранных деталей. Какова вероятность появления нестандартных деталей?

Решение: По определению относительная частота появления нестан-

3

дартных деталей будет равна Р( А) = —. Таким образом, статистическая ве-

80

3

роятность появления нестандартных деталей равна Р( А) = —.

80

Пример 3. На плоскости начерчены две концентрические окружности, радиусы которых 5 и 10 см соответственно. Найти вероятность того, что точка, брошенная наудачу в большой круг, попадет в кольцо, образованное построенными окружностями. Предполагается, что вероятность попадания точки в плоскую фигуру пропорциональна площади этой фигуры и не зависит от ее расположения относительно большого круга. Решение: Площадь кольца

Sg = тт(102 -52) = 75л

Площадь большого круга

Искомая вероятность

SG =2•10-л =20л.

Р = ^ = 3,75л . 20л

Пример 4. Брошена монета. Появление «герба» исключает появление надписи. События «появился герб» и «появилась надпись» - совместные.

Пример 5. Стрелок произвел выстрел по цели. Обязательно произойдет одно из следующих двух событий: попадание, промах. Эти два совместных события образуют полную группу.

Пример 6. Появление того или иного числа очков на брошенной игральной кости - неравновозможные события. Действительно предполагается, что игральная кость изготовлена из однородного материала, имеет форму правильного многогранника, и наличие очков не оказывает влияния на выпадение любой грани.