Применение коллокации в методе конечных элементов для трехмерного уравнения реакции – диффузии

26

Секция 2

3. Блохин А.М., Круглова Е.А., Семисалов Б.В. Оценка двух компонент погрешности численного решения задачи о неизотермическом течении полимерных растворов между двумя соосными цилиндрами // Журн. выч. мат. и мат. физ. 2018. Т. 58, № 7. C. 1099-1115.

Об использовании сопряженных операторов для численного решения трехмерных уравнений неразрывности и переноса

А. В. Вяткин\ Е. В. Кучунова2

1Институт вычислительного моделирования СО РАН

2Сибирский федеральный университет Email: vyatkin@icm.krasn.ru DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10049

В работе представлен явный численный метод из семейства полулагранжевых методов для решения трехмерного уравнения неразрывности. Алгоритм основан на расщеплении трехмерной задачи на три одномерных задачи и имеет первый порядок сходимости численного решения задачи к точному решению. На основе представленного численного метода сформирована матрица для поиска численного решения. С использованием сопряженных операторов теоретически подтверждено, что использование сопряженной матрицы позволяет построить численное решение переноса. Проведенные вычислительные эксперименты подтверждают сходимость построенного таких образом численного решения уравнения переноса к точному решению.

Исследование выполнено при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, Правительства Красноярского края, Красноярского краевого фонда науки в рамках научного проекта: "Численное моделирование формирования квазиустойчивых фигур, образованных многокомпонентой газовой смесью, вытекающей из промышленной дымовой трубы", проекта № 18-41-243006.

Применение коллокации в методе конечных элементов для трехмерного уравнения реакции - диффузии

Л. В. Гилева, Е. Д. Карепова, В. В. Шайдуров Институт вычислительного моделирования СО РАН Email: gileva@icm.krasn.ru DOI: 10.24411/9999-017A-2019-10050

Построены новые кубические прямоугольные эрмитовы элементы (двумерные и трехмерные), степени свободы которых содержат значения функции и ее вторых производных в узлах. Это позволяет применить коллокацию при решении некоторых задач, например, уравнения реакции-диффузии [1]. В результате удается исключить часть неизвестных из системы уравнений и тем самым уменьшить ее размерность. Доказано, что при этом сохраняется порядок сходимости приближенного решения, а именно, четвертый порядок в среднеквадратичной норме. Показано, что матрица редуцированной системы уравнений также является матрицей системы уравнений метода конечных элементов, но для элементов с меньшим числом степеней свободы. Это существенно упрощает построение редуцированной матрицы, поскольку ее элементы могут быть вычислены непосредственно, без использования элементарных преобразований строк исходной матрицы. Проведены численные эксперименты для двумерного уравнения реакции-диффузии с переменным коэффициентом и для трехмерного уравнения Пуассона. Их результаты подтверждают теоретические оценки.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 17-01-00270-а).

Список литературы

1. L. Gileva, E. Karepova, V. Shaidurov. The Application of a Special Hermite Finite Element Coupled with Collocation to the Diffusion Equation // Lecture Notes in Computer Science, 2019. V 11386, P. 44-55.