Расчет передаточных функций фильтров с равноволновыми на отрезке и на бесконечном полуинтервале амплитудно-частотными характеристиками

Системы телекоммуникации, устройства передачи,

приема и обработки сигналов

УДК 621.372.54

Е. Н. Червинский ЗАО "СИМЕТА"

Расчет передаточных функций фильтров с равноволновыми на отрезке и бесконечном полуинтервале амплитудно-частотными характеристиками

Представлен метод расчета передаточных функций (ПФ) фильтров, основанный на решении систем нелинейных уравнений. Исходными характеристиками являются порядок фильтра и неравномерность передачи цепи. Приведены структуры систем уравнений для расчёта ПФ полиномиальных, инверсных и квазиэллиптических фильтров нижних частот (ФНЧ). Определены число возможных решений и методики нахождения истинного решения, даны примеры расчета ПФ. Приведены соотношения между координатами экстремумов модулей ПФ, не зависящие от неравномерности передачи. Выполнено преобразование ПФ ФНЧ в ПФ фильтров верхних частот, полосно-пропускающих и полосно-заграждающих фильтров.

Передаточная функция, фильтр нижних частот, координаты экстремумов амплитудно-частотной характеристики, фильтр верхних частот, полосно-пропускающий фильтр, полосно-заграждающий фильтр

Принятая в литературе классификация электрических фильтров [1], [2] основана на способах аппроксимации идеальной характеристики фильтра в частотной области. Наиболее известны приближения с помощью рядов Тейлора (фильтры Баттервор-та), полиномов Чебышева (фильтры Чебышева первого рода и второго рода), эллиптических дробно-рациональных функций (эллиптические фильтры). Наличие таблиц аппроксимации частотных характеристик [3], [4] не всегда является достаточным условием для построения фильтра, удовлетворяющего заданным требованиям. Разработчик ограничен дискретностью задания неравномерности амплитудно-частотных характеристик (АЧХ) в полосе пропускания и минимального затухания в полосе задерживания. В частности произвольное изменение табличных коэффициентов, приводит к искажению АЧХ. Необходимым требованием является постоянство полосы пропускания при различных значениях неравномерности передачи. Очевидно, что наличие методики, позволяющей рассчитать фильтр высокого порядка, не прибегая к справочным данным, значительно упростило бы задачу проектирования фильтра с заданными характеристиками.

Возможен подход к синтезу АЧХ фильтров нижних частот (ФНЧ) без обращения к специальным функциям, основанный на определении параметров АЧХ в результате решения системы нелинейных © Червинский Е. Н., 2014

уравнений. Исходными параметрами являются порядок фильтра, неравномерность АЧХ в полосе пропускания (для полиномиального фильтра), минимальное затухание в полосе задерживания (для инверсного фильтра), неравномерность АЧХ в полосе пропускания и минимальное затухание в полосе задерживания (для квазиэллиптичесюго фильтра). По известному выражению АЧХ определяется передаточная функция (ПФ), по которой, в свою очередь, осуществляется синтез фильтра. Примеры синтеза фильтров по ПФ цепи приведены в [5].

Цель настоящей статьи - представление методики расчета ПФ фильтров с равноволновыми на отрезке и на бесконечном полуинтервале АЧХ по заданным исходным параметрам.

ПФ ФНЧ порядка п Нп (5н) и его АЧХ

Нп (юн) (% = ] н - мнимая часть нормированной комплексной частоты рн = он+] юн; юн = ю/юс , причем ю - текущая угловая частота; юс - угловая частота среза) запишем в форме произведений ПФ и АЧХ звеньев первого порядка и второго порядка1:

- для нечетных п:

1 Здесь и далее, если для конкретного значения п нижний предел произведения или суммы оказывается больше верхнего, произведения заменяются единицей, а суммы - нулем.

K (и-1)/2 „2 + a

Hn („и )= П 2 „н + **

„н + с0 Sh + biSH + Ci

K (n-1)2 Hn (<% ) = I „ „ П

i=1 - Ci )2 + b

2 ю2 i H

- для четных n:

n/2 s2 + a Hn („2 ) = K П 2 +1 + a

i=1 SH + biSH + Ci

Ф ImH - a Hn К ) = к П

-1- ( - с)+ Ц

2 2 ю„

где К, ц, Ь, Со, с - вещественные положительные числа.

Равноволновая на отрезке АЧХ. Положим в числителях сомножителей Нп (5н) (1), (2) 5н = 0.

Выполнив перемножение, получим ПФ Нп (5н) полиномиальных ФНЧ в виде отношения коэффициента К и полиномов степени п от нормированной переменной 5н :

Hn („2 ) = КРн

_n-1

где рн = „и + bn-1SH +'" + Vh + b0-

АЧХ полиномиальных ФНЧ n-го порядка представим следующим образом: - для нечетных n:

Hn к )=КЖн

- для четных n:

Hn к )=КЖч,

где

0нч =

ю.

(n-1)/2 n-1 .

и - X (-ОТ. j=1

'2 j-1 юн 2

,2 j-1

0ч =

п-1)/2 n-1 .

х (-от-j ь 2j юН. j=0

(n/2)-1 n-2 . „

юн - X (-от-~Jh j юн.

j=0

2

n 2 n .

X(-1) 2- Jb2 j -1 юНj -1 j=1

Верхний знак тильды указывает на то, что АЧХ Hn (юн) с параметрами K, b, равномерно приближает идеальную характеристику на отрезке [о, dH ] < 1 в полосе пропускания и монотонно

убывает в полосе задерживания. Неравномерность АЧХ, измеряемая в децибелах, определяется как

5 = 20lg [^max

где Hn (юн ) и Hn (юн ) - максималь-

max V max / min V min /

ное и минимальное значения функции Hn (юн) в точках с координатами юн и юн . соответ-

nmax nmin

ственно.

Неравномерность Hn (юн) (8) может быть выражена через значение Hn (0):

5 = 20|lg{Hn (0;>/[2 - Hn (0)]J Положим в (4), (5) юн = 0, тогда

5 = 20

lg [К/(2b0 - K)]

Нормированная ширина переходной области при выбранном значении 5 равна разности гн - ¿н, где гн > 1 - координата начала полосы задерживания, определяемая из условия

Нп (Гн ) Нптах (нтах ) 1.

Для определения 2п + 2 параметров ПФ полиномиального ФНЧ: п +1 коэффициентов К, Ьп-1, Ьп-2, ..., Ьо; п -1 частот экстремумов АЧХ юнI, 1 = 2, п; частот ¿н и гн запишем систему 2п + 2 уравнений: - при нечетном п:

5 = 201в [К/(2Ьо - К)],

Нп (ш) = 2 - К/Ъо, 1 = 2, 4, ...,

Нп (н 1 )= KIЪ0, 1 = 3 5

Нп (¿н ) = 2 - К/Ъо, Нп (1) = 1/72, Нп (Гн ) = К/Ъо -1, ¿Нп (юш-юш- = о, 1 = 2, 3, ..., п;

при четном п :

5 = 201в [(( - К))], Нп (©нг) 2 - К/Ъо, г = 2, 4,

Нп (©нг)= т, г = 3 5, ...,

'Нп & ) = К/Ъо,

Нп (1) = 1Д/2, Нп (н ) = 1 - К/Ъо, СНп (©нг©нг = 0, г = 2, 3, ..., п.

При составлении систем уравнений (9) (10) учитывается равенство отклонений Нп (сон) от 1 в экстремальных точках.

Системы (9), (10) имеют 2(п-1^2 решений

<->п/2 «

при нечетных п и 2 ' решений при четных п.

Все решения обеспечивают формирование требуемых АЧХ, однако только при одном из них все

нули знаменателя рн ( рн 0 =- он 0, рн(г, г +1) =

= -он г ± / ©н г, г = 1, 3, ..., п - 2 - при нечетных п;

рн(г, г+1)=-0н г ± ] нг, г =1, 3, п -1 - при четных п) (полюсы ПФ) лежат в левой полуплоскости переменной рн. Именно это решение является истинным, поскольку только в случае, когда полюсы ПФ образуют комплексно-сопряженные

пары в левой полуплоскости, линейная цепь является устойчивой [6].

Для проверки истинности решения найденные значения коэффициентов Ъп_у, Ъ п-2, ..., ¿0 необходимо подставить в уравнение

Р

и найти его корни рн0, рн1 2, Рн3 4, ••• . В табл. 1 приведено множество решений системы 14 нелинейных уравнений (п = 6) для определения параметров ПФ ФНЧ с равноволновой на отрезке [0, Сн ] АЧХ при 5 = 0.1 и корни уравнения (11). Истинным является решение номер 1, поскольку все корни полинома Р (%) имеют отрицательную вещественную часть.

К искомому решению можно перейти от любого решения системы уравнений, поставив перед вещественными частями полюсов ПФ знак "минус" и выполнив перемножение:

(% - рн 0 ) (% - рн1)(% - рн 2 ) х х(н -рн3)(н -рн4)- =

= (н + ^н0)( + 20н1 •н + °21 + ©^) х

х( + 2Он3 % + °н3 + ©н3.

Таблица 1

Параметр п = 6, 5 = 0.1

Номер решения

Значение

К 0.120267

Ъ5 1.565364 1.145926 0.419438 0 0 -0.419438 -1.145926 -1.565364

¿4 2.478987 1.910378 1.341769 1.253805 1.253805 1.341769 1.910378 2.478987

2.123756 1.599181 0.601623 0.453240 -0.453240 -0.601623 -1.599181 -2.123756

к 1.430783 1.186791 0.531192 0.393007 0.393007 0.531192 1.186791 1.430783

к 0.576021 0.522275 0.337883 0.284137 -0.284137 -0.337883 -0.522275 -0.576021

К 0.120963

©н 2 0.236628

©н3 0.457130

©н 4 0.646479

©н5 0.791772

©н 6 0.883107

К 0.914259

Гн 1.785496

Гн - сн 0.871236

рн1,2 -0.391 + /0.259 0.391 + /0.259

рн3,4 -0.286 + /0.707 0.286 + /0.707 -0.286 + /0.707 0.286 + /0.707

рн5,6 -0.105 + +/0.966 0.105 + +/0.966 -0.105 + +/0.966 0.105 + +/0.966 -0.105 + +/0.966 0.105 + +/0.966 -0.105 + +/0.966 0.105 + +/0.966

Таблица 2

п = 5

Область существования решений

Пара- 1 2 3 4

метр 5

0.1 0.5 0.1 0.5 0.1 0.5 0.1 0.5

Значение

К 0.217744 0.135343 0.217744 0.135343 0.217744 0.135343 0.217744 0.135343

¿4 1.535234 1.102552 0.948827 0.681414 0 0 -0.586407 -0.421137

¿3 2.147160 1.713133 1.418825 1.337485 0.968689 1.105322 1.140625 1.194001

¿2 1.635204 1.088927 1.132668 0.832282 0 0 -0.075435 -0.098446

¿1 0.862123 0.588403 0.725024 0.527912 0.187672 0.244348 0.050573 0.183857

¿0 0.216497 0.131557 0.216497 0.131557 0.216497 0.131557 0.216497 0.131557

Юн 2 0.272032 0.290584 0.272032 0.290584 0.272032 0.290584 0.272032 0.290584

Юн з 0.517435 0.552724 0.517435 0.552724 0.517435 0.552724 0.517435 0.552724

йн 4 0.712188 0.760759 0.712188 0.760759 0.712188 0.760759 0.712188 0.760759

Юн 5 0.837227 0.894326 0.837227 0.894326 0.837227 0.894326 0.837227 0.894326

Зн 0.880313 0.940350 0.880313 0.940350 0.880313 0.940350 0.880313 0.940350

гн 2.161715 1.525062 2.161715 1.525062 2.161715 1.525062 2.161715 1.525062

гн _ Зн 1.281402 0.584712 1.281402 0.584712 1.281402 0.584712 1.281402 0.584712

рн 0 -0.474 -0.341 -0.474 -0.341 -0.474 -0.341 -0.474 -0.341

^ _0.384 + _0.276 + _0.384 + _0.276 + 0.384 + 0.276 + 0.384 + 0.276 +

рн1,2 +/0.588 +/0.588 +/0.588 +/0.588 +/0.588 +/0.588 +/0.588 +/0.588

Искомые значения параметров ¿п_, ¿п_2, ..., ¿0 определяются как значения коэффициентов при переменной 5н в соответствующих степенях.

Каждое решение, являясь первым приближением при выбранных начальных условиях (значениях 8), задает свою область существования, характеризующуюся значениями вещественных частей корней рн I. В табл. 2 представлено множество реше-

ний системы 12 нелинейных уравнений (п = 5) для двух значений 5. Полученные решения различаются значениями коэффициентов Ь^. Истинная совокупность параметров приведена в области 1.

В табл. 3 приведены примеры решения систем уравнений (9), (10) для различных значений п и 5. Данные табл. 1-3 могут использоваться для предварительной локализации корней урав-

Таблица 3

п

Параметр 1 4 7 10

5

0.1 0.5 0.1 0.5 0.1 0.5 0.1 0.5

Значение

К 0.994341 0.973512 0.377886 0.251723 0.064705 0.036862 0.009264 0.004921

¿9 - - - - - - 1.612847 1.122406

¿8 - - - - - - 3.641506 3.053042

¿7 - - - - - - 3.955273 2.585753

¿6 - - - - 1.584495 1.115306 4.406682 3.232617

¿5 - - - - 2.787779 2.264475 3.231074 1.983222

¿4 - - - - 2.597079 1.699862 2.117230 1.390848

¿3 - - 1.484480 1.088830 2.074417 1.451703 0.976823 0.562062

¿2 - - 1.779147 1.419675 1.064153 0.644917 0.351455 0.209410

¿1 - - 1.129042 0.771073 0.377250 0.233227 0.079614 0.042825

¿0 0.988650 0.946284 0.380074 0.259180 0.064334 0.035831 0.009318 0.005067

Юн 2 - - 0.314943 0.347989 0.208232 0.215579 0.151374 0.154011

Окончание табл. 3

Параметр п

5

Значение

Юн3 - - 0.581939 0.643000 0.406022 0.420349 0.299020 0.304230

Юн 4 - - 0.760340 0.840120 0.583453 0.604040 0.439304 0.446958

Юн5 - - - - 0.731627 0.757443 0.568771 0.578680

Юн 6 - - - - 0.843114 0.872863 0.684232 0.696153

Юн 7 - - - - 0.912324 0.944515 0.782846 0.796485

Юн8 - - - - - - 0.862183 0.877204

Юн 9 - - - - - - 0.920290 0.936324

Юн10 - - - - - - 0.955737 0.972388

0.150888 0.330548 0.822986 0.909340 0.935786 0.968805 0.967650 0.984509

Г 'и 172.733858 33.819389 2.905918 1.839841 1.567845 1.262460 1.271940 1.127210

172.582970 33.488841 2.082932 0.930501 0.632059 0.293655 0.304289 0.142701

рн 0 -0.989 -0.946 - - -0.353 -0.248 - -

рн1,2 - - -0.525 + +/0.383 -0.385 + +/0.383 -0.318 + +/0.434 -0.224 + +/0.434 -0.249 + +/0.156 -0.173 + +/0.156

Рн 3,4 - - -0.217 + +/0.924 -0.159 + +/0.924 -0.220 + +/0.782 -0.154 + +/0.782 -0.225 + +/0.454 -0.156 + +/0.454

рн 5,6 - - - - -0.078 + +/0.975 -0.055 + +/0.975 -0.178 + +/0.707 -0.124 + +/0.707

рн 7,8 - - - - - - -0.115 + +/0.891 -0.080 + +/0.891

рн 9,10 - - - - - - -0.039 + +/0.988 -0.027 + +/0.988

нений системы при других значениях неравно- Экстремумы АЧХ полиномиальных ФНЧ.

мерности АЧХ, при этом дискрет изменения 5 не Положим в (2), (1) 5н = 0 и определим параметры должен превышать 0.5 дБ. ПФ ФНЧ третьего порядка из системы уравнений:

201в [К/(2соС - К)] = 5,

К/2 + ¿0 )^(н2 - ¿1) + ((1 Юн2 )2 ^ = 2 - Щ(С0С1),

к/3 + ¿о )^

К \д( + с0

К1

)[(( -¿1 )2 + (Мн)2] = 2-К/(С0€1), + ¿2 )[(1 - ¿1 )2 + ] = ^>/2,

К + ¿02

. . )) -¿1 )2 + (>н)2]= К/(С0¿1)-1,

[2 н2 Ч - 4 н2 (1 - ^2 )] (2 + ¿0) ) + 2 ^2 [(¿1 - ^2 ) + (( Юн2 )2

= 0,

2Ч{(^2 + ¿0 ^ - ^2)2 + (( Юн2)2_} 2 Юн3 Я - 4Юн3 (1 - Юн3(юн3 + ¿0 ) + 2Юн3 [(1 - Юн3) + (( Юн3)2

|{((3 + ¿0 ^ - Юн3) + (( Юн3)2 ]}

2

Решение системы при 5 = 0.1 дБ: К = 0.609863, с0 = 0.696054, Ь1 = 0.696054, С = 0.871157, «н 2 = 0.359011, «н 3 = 0.621825, ¿н = 0.718021, гн = 4.759022. Равенство коэффициентов <?0 и Ь при п = 3 не случайно: оно обеспечивает совместность уравнений системы, связывающих координаты экстремумов АЧХ, которые в результате подстановки ?0 = Ь примут вид

К + ¿12 )[(с1 " «н 2 ) +(¿1 «н 2 )2

= 2 - К/(С),

¿12С12 + ¿12 )х

х[(с1 - 3 ) + (Ь1 «н 3 )2 _ = 0

[¿12 -2

+ ((1 «н 2 )2 = 0

[¿12 -2(с1 - «^)^(«н23 + ¿12) + (с1 -«н3) +

+ (( «н 3 )2 = 0.

После определения корней трех нижних уравнений система (12) может быть переписана следующим образом:

К У(«н2 + ¿12 ) [(с1 - «н2 ) + (Ь1 «н2 )'

= 2 - К/(¿С),

[Ь2 -(( - «н 3 )] = 0,

[¿12 - (( - «н2 )][Ь2 -(( - 3 «н2 )]2 = 0,

Ь2 -(( - «н 3 )][Ь12 -(( - 3 «^ )]2 = 0,

откуда и следует совместность двух последних уравнений, а значит, и всей системы, при условии

«н 3

= л/3

Условие (13) выполняется для ФНЧ третьего порядка при любом значении 5. Координаты экстремумов равноволновой на отрезке АЧХ «ну, г = 2, 3, ..., п, и отрезок равномерного приближения йн ФНЧ более высоких порядков также связаны определенными соотношениями вне зависимости от неравномерности АЧХ (табл. 4).

Правомерность соотношений, приведенных в табл. 4, может быть проверена по данным табл. 1-3.

Обратимся к выражениям (1), (2). Перемножив сомножители знаменателя, представим ПФ ФНЧ п-го порядка, п = 2, 3, ..., как отношение произведения двучленов и многочлена степени п:

нп (н ) =

К (¿н + а1)(^ + а2 ).••(

_п-1

¿н+ак)

.

% + ¿п-1% + ••• + ¿1% + ¿0 Для переменной ак при четном п к = п/2, при нечетном п к = (п -1)/2. АЧХ имеют вид: - при нечетном п = 3, 5, ...:

нп («н ) = К

(п-1)/^ 2 \

П («н - а1) I=1

ЧОч;

- при четном п: нп («н )= К

П(«2 - а.

I=1

'Ж,

«н 2.

где Qнч и Qч определены формулами

соответственно, причем согласно системе обозначений для неполиномиальных ФНЧ символ "тильда" опущен.

Характеристики (15), (16) обращаются в ноль

в точках «н 10 = -¡¡а. В зависимости от значений коэффициентов К, а[ и ¿^ Нп (¿н) является ПФ инверсного ФНЧ Нп () или квазиэллиптического ФНЧ Нп (¿н).

Таблица 4

п «н 3/«н 2 «н 4/«н2 «н 5/«н 2 «н 6/«н 2 «н 7/ «н 2 «н «/«н 2 «н9/ «н 2 «н10/«н 2 Зн/юн 2

2 - - - - - - - - ^

3 - - - - - - - 2

4 1.847759 2.414214 - - - - - - 2.613126

5 1.902113 2.618034 3.077684 - - - - - 3.236068

6 1.931852 2.732051 3.346065 3.732051 - - - - 3.863703

7 1.949856 2.801938 3.513519 4.048917 4.381286 - - - 4.493959

8 1.961571 2.847759 3.624510 4.261973 4.735650 5.027340 - - 5.125831

9 1.969616 2.879385 3.701666 4.411474 4.987242 5.411474 5.671282 - 5.758770

10 1.975377 2.902113 3.757390 4.520147 5.171603 5.695718 6.079584 6.313752 6.392453

При четном n из (16) имеем: Hn (юнAmax) =

= lim Hn (юн) = K, откуда 5 = -20lgK.

юн ^ю

Обозначим [0, Гн ], 7н > 1 - отрезок нормированной частотной оси, на границе Гн которого АЧХ

спаДает до уровня Hn (Klmax ); [0, ¿н], ¿н <1 -

отрезок, определяемый из условия Hn () = = 1 - Hn (Гн). Разность Гн - йн есть нормированная ширина переходной области АЧХ ИФНЧ при выбранном значении минимального затухания 5.

Соотношения между координатами экстремумов равноволновой на отрезке [о, йн ] АЧХ Hn (ган ), приведенные в табл. 4, справедливы и для координат экстремумов нормированной рав-новолновой на отрезке АЧХ Hn н (сон ). Очевидно,

что вне зависимости от выбранного значения 5 при преобразовании (17) между координатами особых точек АЧХ ИФНЧ также сохранятся определенные соотношения (табл. 5.1 и 5.2, где kjro,

¿hrmax - нормированные на Тн координаты нулей

и максимумов АЧХ ИФНЧ соответственно).

Воспользуемся данными табл. 5.1 и 5.2 для составления системы уравнений ИФНЧ без обращения к уравнениям ФНЧ-прототипа. Неизвестными при расчете равноволновой на бесконечном полуинтервале \гн, ю) АЧХ Hn (ган) являются 2n + 2 параметров: K; iq, »2, ..., %;

, гн, нhmax . Система 2n + 2 уравнений ИФНЧ имеет вид: - при нечетном n:

(K/b0 )П a = 1; _ l=1

Hn (dH) = 1 -Hn (rH); H_n (1) = 1/V2; _

Hn

dHn ((hmax )) нhmax = 0; = kir0 %;

H hmax kh"max Гн ;

5 = -20lgHn ("н),

ПФ инверсного ФНЧ. АЧХ инверсного ФНЧ (ИФНЧ) монотонно спадает в полосе пропускания и имеет колебательный характер в полосе задерживания. В соответствии с общей методикой преобразования ФНЧ в ИФНЧ [7], квадрат модуля искомой ПФ может быть определен как

\Hn (sH )|2 = 1 - \Йп (V)|2, где |Hn (1/5н )| - модуль ПФ фильтра верхних частот (ФВЧ) Йп (1/5н), полученной из Йп (5н ) преобразованием 5н ^ 1/5н. АЧХ ФВЧ ЙПвч (юн ) равномерно приближает единичное значение на бесконечном полуинтервале [^нвЧ, , где й'нвч =

= l/Ин . Максимальные значения АЧХ ЙПвч

ФВЧ, прототипом которого является ФНЧ с равноволновой на отрезке частотной характеристикой, превышают единицу. Поскольку по условиям реализуемости квадрат модуля передаточной функции фильтра не должен принимать отрицательных значений в области положительных частот, Йп (сон) не может быть непосредственно преобразована в характеристику ИФНЧ.

Введем функцию Йп н (сон), равномерно отклоняющуюся на отрезке [о, с1н ], с1н < 1, от 1 в точках минимума и равную 1 в точках максимума. По определению Йп н (ган ) есть нормированная равноволновая на отрезке АЧХ, которая может быть преобразована в нормированную АЧХ

ФВЧ ЙпнВЧ (н)= |Йпн (V%)|, при этом:

\Йп

В соответствии с (17) Йп (0) = 1; локальные максимумы Йпнвч (юн) преобразуются в нули АЧХ Йп (сон) ИФНЧ в полосе задерживания с абсциссами юн/о (l = 1, 2, ..., п/2 для четных п, l = 1, 2, ..., (п -1)/2 для нечетных п), а локальные минимумы ЙпнвЧ (юн) - в равноволновые

локальные максимумы Йп (сон) с абсциссами шнh (h = 1, 2, ..., (п - 2)/2 для четных п,

n"max '

h = 1, 2, ..., (п -1)/2 для нечетных п). Минимальное затухание ИФНЧ в полосе задерживания (в децибелах): 5 = -20lgЙп (ганhmax).

где

h = 1, (n - 1У2; l = 1, (n -1)/2;

Таблица 5.1

n k1r0 = ¿н10/ Гн kir = roHi /rH 1 'max M 1max / M k2r0 = юн20/ rH k2r = юн2 /rH max max

2 72 - - -

3 1.1547005384 2 - -

4 1.0823922003 V2 2.6131259298 -

5 1.0514622242 1.2360679775 1.7013016167 3.2360679775

6 1.0352761804 1.1547005384 42 2

7 1.0257168633 1.1099162642 1.2790480077 1.6038754716

8 1.0195911582 1.0823922003 1.2026897739 72

9 1.0154266119 1.0641777725 1.1547005384 1.3054072893

10 1.0124651258 1.0514622242 1.1223262376 1.2360679775

Таблица 5.2

n k3r0 = h3„/ rH k3r = юн3 /rH k4r0 = ™н40/ rH = Юнд / rH ^'max M^max / M k5r0 = h5„/ rH

6 3.8637033052 - - - -

7 2.3047648710 4.4939592074 - - -

8 1.7999524463 2.6131259298 5.1258308955 - -

9 1.5557238269 2 2.9238044002 5.7587704831 -

10 72 1.7013016167 2.2026892646 3.2360679775 6.3924532215

при четном n:

(к/Ъ0 )П Щ = 1;

l=1

Hn (dH) = 1 -Hn (FH);

Hn (1) = 1/72,

Hn (Гн) = K; _

Hn (¿H hmax )= Hn (rH );

dH,

(н hmax )/d ¿H hmax = 0;

= k,r0 rH;

¿H hm

=k

hr rH;

5 = -20lg K.

где А = 1, (и - 2У2; I = 1, и/2.

В табл. 6 представлены решения систем (18), (19) для выборочных значений и и 5.

ПФ квазиэллиптического ФНЧ. АЧХ квазиэллиптического ФНЧ (КФНЧ) равномерно приближает единичное значение в полосе пропускания на отрезке [о, 4н ] и имеет равномерные пульсации на бесконечном полуинтервале [/н, <») в полосе задерживания. ПФ Нп (н) и

АЧХ Нп (юн) КФНЧ определяются выражениями (15) и (16) при ином по сравнению с ИФНЧ выборе коэффициентов К, щ, bj.

При равномерном отклонении АЧХ от 1 в обе стороны в полосе пропускания и равноволновом затухании в полосе задерживания имеем:

Hn (¿нq)-1 =1 - Hn(¿н5 ); Hn(rH ) = Hn (h hnax) ,

где Hn (roHq) и Hn (roHs) - максимальное и muhu-мальное значения функции Hn (юн) на отрезке [о, dH ] в точках с координатами ¿H q, и юн s соответственно, q, s = 1, 2, ...; ¿H h - абсциссы

н "max

локальных максимумов функции Hn (сон ) в полосе задерживания, причем h = 1, 2, ..., (n-2)/2 для четных n, а h = 1, 2, ..., (n -1)/2 для нечетных n. АЧХ Hn (сон) обращается в ноль в точках ¿н, =

= 7 щ (I = 1, 2, ..., и/2 для четных и, I = 1, 2, (и - 1)/2 для нечетных и. В экстремальных точках

Н (нд )/4 Ид = Н (И5 )/4 = 0;

Н (%А^ )/4 5н Атах = 0.

Неравномерность АЧХ в полосе пропускания определяется как 5 = 20^ минимальное затухание в полосе задерживания

Hn

5 =-20lgHn (¿нhmax ).

Неравномерность АЧХ 5 и минимальное затухание 5 выражаются в децибелах.

Система 3и +1 уравнений КФНЧ для определения неизвестных параметров К; а^, а2, •••,

ак; bn-1, bn-2, Ь0; нд, ён 5, 4н, Ъ,

юн а имеет вид:

Таблица 6

Параметр Значение

n 2 5 7 10

5 30 35 30 35 30 35 30 35

K 0.031623 0.017783 0.215774 0.131630 0.261471 0.153922 0.031623 0.017783

a 32.606961 57.225240 2.056891 2.422256 1.466461 1.608135 1.211647 1.271202

a2 - - 5.385010 6.341548 2.280286 2.500583 1.488862 1.562041

a3 - - - - 7.404042 8.119340 2.363992 2.480186

a4 - - - - - - 5.734857 6.016734

a5 - - - - - - 48.300453 50.674495

b - - - - - - 8.085461 7.915496

b - - - - - - 32.746437 31.347142

b - - - - - - 87.038386 81.601356

b - - - - 5.338984 5.213874 169.886117 155.395912

b - - - - 14.218190 13.580396 252.080597 225.849605

b - - 3.610746 3.533787 24.665622 22.952703 297.740268 258.621170

b - - 6.495463 6.235162 29.848545 27.169225 268.195720 228.430926

b - - 7.395317 6.908962 26.603949 23.301903 196.555872 159.464234

b 1.413164 1.413880 5.260606 4.824333 15.466655 13.280745 93.712278 75.108205

b 1.031123 1.017625 2.389995 2.021950 6.473691 5.025565 37.355144 26.701860

dH 0.513459 0.440327 0.817133 0.767016 0.890881 0.855888 0.941085 0.920075

rH 4.037757 5.349077 1.363992 1.480186 1.180614 1.236328 1.087196 1.113594

rH - dH 3.524298 4.908750 0.546860 0.713170 0.289733 0.380441 0.146111 0.193520

Hl0 5.710251 7.564737 1.434186 1.556360 1.210975 1.268123 1.100749 1.127476

юн, nlmax - - 1.685987 1.829611 1.310382 1.372221 1.143146 1.170903

H 2o - - 2.320562 2.518243 1.510062 1.581323 1.220189 1.249817

Юн 2 - - 4.413972 4.789983 1.893557 1.982916 1.343849 1.376479

н3о - - - - 2.721037 2.849446 1.537528 1.574861

юн 3 - - - - 5.305630 5.556008 1.849649 1.894560

н 40 - - - - - - 2.394756 2.452903

Юн 4 max - - - - - - 3.518242 3.603668

н5о - - - - - - 6.949853 7.118602

Рн 0 - - -1.470 -1.356 -1.881 -1.701 - -

рн1,2 -0.707 + +/0.729 -0.707 + +/0.720 -0.849 + +/0.907 -0.851 + +/0.838 -1.147 + +/1.039 -1.130 + +/0.925 -2.219 + +/0.895 -2.037 + +/0.733

Рн 3,4 - - -0.222 + +/1.002 -0.238 + +/0.994 -0.460 + +/1.084 -0.492 + +/1.048 -1.064 + +/1.383 -1.090 + +/1.262

рн 5,e - - - - -0.123 + +/1.011 -0.135 + +/1.008 -0.481 + +/1.225 -0.521 + +/1.185

рн 7,8 - - - - - - -0.216 + +/1.079 -0.240 + +/1.069

рн 9,10 - - - - - - -0.063 + +/1.009 -0.070 + +/1.008

i = 2, 4, ...,

- при нечетном п:

' Лп-IV2 /( _ Лп-IV2 ^ 5 = 201в к П а^ 2ьо - к П Щ _ l=1 / ^ l=l

Hn (<% г ) = 2 - K П

- _ -к /_

Hn (<%г ) = KП Щ1 /b0, i = 3 5 1=1 /

Hn (dн ) = 2 - K П щ ЬО, l=1 /

Hn (1) = 1Д/2,

Hn ((Атах )= Hn ((н ),

dHn (нг )/d Юнг = 0, i = 2, 3,. ..

Н (н hmax )) Юн hmax = 0

5 = -201вHn ((н).

- при четном п:

5 = 201§

( _ _п/2 ^ / _п/2

2Ьо - £ П а К П а

l=1 л 1=1

Нп (_н у ) = 2 - КП

I=1

а, Ъо

у = 2, 4,

Нп (н г ) = К П а1 b0, г = 3 5 1=1 /

Нп ) = К Ъо П Щ ,

/I I=1 У1

Нп (1) = 1/72,

Нп (н ) = К,

Нп

dHn (Юнг )/dюнг = 0, г = 2, 3, ..., П,

dHn (н hmax )) Юн hmax = 0,

5 = -201я К.

При решении приведенных систем уравнений для п > 6 могут возникнуть трудности. В этом случае следует воспользоваться представлением

Нп (юн) в форме (1), (2), после чего найти искомые коэффициенты Ъп-1, Ъп-2, ..., Ъо перемно-

2 ,

жением сомножителей вида % + С), % + bjSн + сг и приведением подобных членов. В табл. 7 при-

22

ведены примеры решения систем уравнений (20), (21) КФНЧ порядков п = 2, 5, 7, 10 для различных соотношений 5, 5.

Связи между характерными точками АЧХ КФНЧ, не зависящие от значений 5 и 5, записываются следующим образом:

¿нМнп = н10 /гн, 4/н(п-1) = Юн!^/гн ; .,

1™/201гн причетном n,

н 2 lЮн(n-lУ2ma7

при нечетном п.

Как видно из выражения (16), количество полюсов затухания КФНЧ четного порядка п равно п/ 2. В работе [5] показано, что такой КФНЧ не может быть реализован в виде фильтра лестничной структуры и для реализации количество полюсов затухания должно быть уменьшено. При уменьшении количества полюсов затухания КФНЧ на р единиц ПФ примет вид

Нп (н ) =

КП

I=1

•н + Ъп-1*н 1 + - + Ъ1% + Ъ0

Для определения 3п +1 - 2р неизвестных па-раметр°в К, ^, Ъп-1, ~bn-2, b0, Юнд, Юн•,

k - р > 1.

dн, гн, _н hmax, h = 1, k - р, из системы (21) следует исключить по р уравнений вида

Нп

И <Шп (Юн hmax )/d Юн = 0.

Общее число уравнений уменьшится при этом до значения 3п +1 - 2 р.

Для расчета ПФ других типов фильтров воспользуемся методом преобразования частоты [4].

ПФ фильтров верхних частот. Как отмечалось, ПФ ФНЧ может быть преобразована в ПФ ФВЧ. В табл. 8 приведены ПФ ФВЧ НПвч (5н),

полученные преобразованием типа 5н ^ V•н независимого переменного ПФ полиномиального ФНЧ (3). Там же представлены аналитические выражения АЧХ НПвч (юн) ФВЧ четного и нечетного порядков.

Выполнив преобразование частоты в выражении ПФ Нп (5н) общего вида (14), перейдем к ПФ

инверсного ФВЧ (ИФВЧ) и квазиэллиптического ФВЧ (КФВЧ). В табл. 8 ПФ и АЧХ этих фильтров

Таблица 7

Параметр п

5

5

Значение

К 0.017783 0.031623 0.088248 0.123789 0.084003 0.120065 0.017783 0.031623

а\ 49.446315 23.877850 1.582984 1.274531 1.125985 1.046836 1.015741 1.003761

а2 - - 3.319079 2.322275 1.355703 1.170400 1.040818 1.012984

а3 - - - - 2.979840 2.177613 1.150974 1.065114

а4 - - - - - - 1.705428 1.390890

а5 - - - - - - 9.469384 6.441460

% - - - - - - 1.638567 1.127211

% - - - - - - 4.881017 4.447124

% - - - - - - 5.976106 4.141947

%6 - - - - 1.624947 1.128859 8.897667 7.635233

%5 - - - - 3.405131 2.962658 8.067409 5.668623

%4 - - 1.576800 1.119080 3.583689 2.508415 7.504018 6.245189

%3 - - 2.428532 2.025251 3.529726 2.843532 4.763712 3.420410

%2 - - 2.048719 1.453836 2.328934 1.690035 2.838849 2.373007

% 1.212862 0.998632 1.260154 0.965409 1.128654 0.882192 1.033837 0.766523

% 0.884385 0.777455 0.461008 0.356144 0.379919 0.311379 0.351468 0.315926

н2 0.365309 0.506462 0.344023 0.408358 0.330665 0.396941 0.326312 0.394456

н3 - - 0.619701 0.705925 0.597771 0.687062 0.590052 0.682793

Юн4 - - 0.800822 0.874785 0.778545 0.854086 0.768914 0.848877

н5 - - 0.897331 0.952885 0.886236 0.937172 0.876245 0.931705

нб - - - - 0.944562 0.975135 0.935970 0.970048

Юн7 - - - - 0.972445 0.990939 0.967778 0.987177

н8 - - - - - - 0.984254 0.994695

Юн9 - - - - - - 0.992524 0.997937

юн10 - - - - - - 0.996329 0.999254

1н 0.515930 0.712429 0.926989 0.974884 0.980618 0.995212 0.997427 0.999606

7н 4.978944 3.473784 1.217913 1.103476 1.052281 1.018757 1.006731 1.001525

гн _ ^н 4.463014 2.761356 0.290925 0.128592 0.071663 0.023544 0.009034 0.001919

Юн1 н10 7.031807 4.886497 1.258167 1.128951 1.061124 1.023150 1.007840 1.001879

Юн, п1шах - - 1.409792 1.229744 1.092448 1.039733 1.011704 1.003201

н2о - - 1.821834 1.523901 1.164346 1.081850 1.020205 1.006471

Юн2 - - 3.281734 2.634354 1.325403 1.187093 1.037573 1.014135

н3о - - - - 1.726221 1.475674 1.072834 1.032043

юн3 шах - - - - 3.120639 2.554230 1.145958 1.074515

Окончание табл. 7

п

2 5 7 10

Параметр 5

0.1 0.5 0.1 0.5 0.1 0.5 0.1 0.5

5

35 30 35 30 35 30 35 30

Значение

щн40 - - - - - - 1.305920 1.179360

С0н4 тахх - - - - - - 1.701784 1.466230

н50 - - - - - - 3.077236 2.538003

рн0 - - -0.657 -0.527 -0.629 -0.512 - -

~ -0.606 + -0.499 + -0.372 + -0.250 + -0.362 + -0.244 + -0.533 + -0.413 +

Рн1,2 +/0.719 +/0.727 +/0.764 +/0.794 +/0.731 +/0.772 +/0.434 +/0.477

-0.088 + -0.046 + -0.112 + -0.055 + -0.208 + -0.120 +

рн3,4 +/0.982 +/0.986 +/0.950 +/0.964 +/0.868 +/0.901

рн5,6 - - - - -0.023 + +/0.996 -0.009 + +/0.997 -0.059 + +/0.970 -0.024 + +/0.982

-0.015 + -0.005 +

рн7,8 +/0.994 +/0.997

рн9,10 - - - - - - -0.003 + +/1.000 -0.001 + +/1.000

Таблица 8

Функция

Аналитическое выражение

ФВЧ

Нп ВЧ

К*../1 2 ьх ь +

Нп вч

п - четное

К

. 2 п . — - .

2(-Ш-^ / ../=1 -0 2/

. 2'

./=1 -0 .

Нп вч К ) п - нечетное

(п+1У2 ( ^.+1-2 /

(п-1)2 п-1 — 1 2 . /=1 —0

п-1

(-1)Т"

ИФвч, КФВЧ

нп вч

п - четное

К"п

—0 I=1

а;| *н + —

а

пЬ 1

'21Т +—1-

Нп вч

п - четное

Кп

—0 I=1

21

Щн--

а

п 2 п . — .

2(-1)2-<4 ./=1 —0 2/

п 2'

./=! —0 .

Нп вч

п - нечетное

К

(п- 1У 2

П

I=1

а;| *н + —

а

пь 1

' =1 —0 ' '

Нп вч

п - нечетное

КЩн ^2

I=1

2 1

а ^н--

а

Г(п+1) 2 п+1-2/ — +1 2.

1 2 (2/ /=1 —0

—0

(п-1)2 п-1-2/ — 1 2 . < 1 - п-1-2/

2 (-1) 2 с%

. /=1 —

п-1 (-11

'2 /

2

2

имеют общие обозначения Нп вч () и занные сомножители в выражениях Нп вч () и Нпвч (юн) соответственно, однако для ИФвч не- Нпвч (юн) следует исключить. Для ИФвч обходимо учитывать, что согласно первым урав- Н

'вч

при четных п,

нениям (18) и (19) ((/—0 )П а1 = 1, поэтому ука-

I =1

Нпвч (0) = 0 при нечетных п.

ПФ полосно-пропускающих фильтров. Для

перехода от ПФ ФНЧ к ПФ полосно-пропускаю-щего фильтра (ППФ) с центральной частотой Юд и с частотами среза юи (верхняя), ю/ (нижняя) выполним преобразование частоты:

% ^©

где = ] юн - преобразованная мнимая часть нормированной комплексной частоты (а^ = Ю0 -угловая частота, нормированная относительно центральной частоты юд ); © = юо/(юи -ю/ ) =

= 1 (юни - ю^/) - отношение, характеризующее

меру избирательности ППФ или его добротность (юни = юи/юд , юн/ = ю/ /юд - нормированные верхняя и нижняя частоты среза ППФ). Аналогично осуществляется переход к ПФ инверсного и квазиэллиптического ППФ (ИППФ и КППФ соответственно). При подстановке (22) степень полинома знаменателя ПФ ФНЧ-прототипа удваивается, поэтому степень полинома в знаменателе преобразованной ПФ всегда четная. В табл. 9 приведены ПФ Й'2п (4) и АЧХ Й2п (ю^ ) ППФ порядков 2п = 2, 4, 6, 8, 10, а также общие выражения для пф Н2п (4) и ачх Н2п (юн) ИППФ и КППФ порядков 2п = 4, 6, 8, 10.

Таблица 9

ППФ

2п = 2

Й2 Ю = (К/©)н/[£ + (¿0/©)4 +1 й 2 (юн) = (К/©к/л/(юн2 -1)2 +(о/©)2

2п = 4

Й 4Ю = ( К ©2) <7 [-н4 +(¿1/©)( -н3 + ) + (2 + Ъо/ ©2) <2 +1

Й4

2п = 6

Й 6

2

2п = 8

¿2 1 ©2 )

+(6 +4 ©2 +4' ©4, юн4+ -1 2 + (7 - юн) -(1 +©3

2п = 10

Й8Ю = —^

©ч

-н8 + ¿3 (7 + V

Й8(юн)=

К ю'н4

©2

Й1о ю = ( к/©5) -н5/&

-10

Здесь

Йш = -С +(¿4/ ©)( + < ) + (5 + ¿3/©2 )(*н + ^ )+( 4Ъа!© + Ь2/©3 )(<7 + 5н3 )-

+(ю+3Ъ3/©2 + ¿1 ©4 )(6 + <4 )+(/© +2Ь2/ ©3 + ьо/©5 )5 +1; Й1о (юн ) = ( К ©5) юн5/ ^0ю1о-

Здесь

еюю=[юно-(5+¿3/©2 )( - юн2 )+(ю+ъь/©2+©4 )( - юн4)-1]2 + 1-К©) ( + юн) - (© + ¿У ©3)( + юн3) + (© + 2^/ ©3 + ¿о/ ©5) юн5 ]2

ИППФ, КППФ

2п = 4

Й 4 (4 ) = К [ -н4 + (2 + ах/©2) -н2 + 1]/к + (¿1 / ©) (43 + 4) + (2 + ¿о/ ©2) -н2 +1 Й4 (юн) = К|юн4- (2 + а1 ©2)юн2 +1|/^[юн4-(2 + ¿о/©2)юн2 +1]2 +[((/©)(юн3- юн)]

Окончание табл. 9

ИППФ, КППФ

2п = 6

н 6(н) = |

*н5 +12+|21 *н3 +

Н6(юн)=|

,5 ( _ а1 | ,3 ,

юн-| 2 + |2 Iю" +С°"

/[*н6 +1 (н5 + *н) 3+12 ](*н4+*н2 )+| ^+|-) *н3+1 н6-13+]((-юн2 Н2+[((+юн )) н|н+

2п = 8

Н,

8 1, Лн

К +[4 + (а1 + а2 )/2 ](+ 42 ) + [6 + 2 (а1 + а2 )/2 + а1а2/ I4 ] 44 +1}

*н8+(—^|)(*:17+)+(4+—2/|2 )(*н6 + *н2)+(3—3/1+—1/|3 )(*н5 + *н3 )+(6+2—211 + )+1'

Н8(юн ) = к| юн8-[4 + (а + а2 )/2 ](юн6 + ю'н2 ) + [6 + 2 (а! + а2 )/2 + а^/14 ]ю'н4 + Ц.

Здесь

ею 8=к-(4+ь2/1 )((+юн2 )+(6+2—211+—у4 ))+1]2 +[(—|)(ю'н7-юн) - (3—3/1+—у! I3 )((-юн3 )]2

2п = 10

Здесь

Н10 (*н) = (К/ ){*;9 +[4 + (а1 + а2 )/2 ](^ + <3 ) + [6 + 2 (а1 + а2 )/2 + а1а2/14 ] <5 + <}/2^.

е*10=*н10+(—4/ ) (49+*н)+(5+—3 / 2) (*н8 + *н2)+(4—4/+—2 / 3) (*н7+*н3)+

+(10 + 3—з/12 + —1/14 )(( + ) + (6Ь4|I + 13 + —0/15)) +1;

Н10 (юн ) = (К/ )юн9-[4 + ( + а2 )/2 ](юн7 + ю'н3 ) + [6 + 2 ( + а2 )/2 + а^/14 ]юн5 + ю^^

ю10

Здесь

ею 10=[юн0-(5+2 )((-юн2 )+(ю+3-3! 2+ь,! 4 )((-< )-1]2 +

+[(4/)(Ю'Н9+юн) - (4—4/ +3)((+юн3 )+( +2—2/3+—0/5)) ]2

ПФ полосно-заграждающих фильтров. Преобразуем ПФ полиномиального ФНч п-го порядка Нп (*н) (3) в ПФ полосно-заграждающего

фильтра (ПЗФ) порядка 2п Н•2п (н) подстановкой *н ^ [(*н + V^н)] 1- Аналогично преобразуются ПФ ИФНч и КФНч (14) в ПФ инверсного ПЗФ (ИПЗФ) Н2!п (*н) и квазиэллиптического

ПЗФ (КПЗФ) Н2п (*н). Полоса подавления фильтра равна юв - юн, где юв и юн - верхняя и нижняя частоты среза, определяемые на уровне

1/72 модуля ПФ. Положительное число I есть отношение центральной частоты ю0 к ширине полосы подавления:

= <»0/(юв - юн)=/((.в -юн.н),

где а>н.в = щ/ю0 , юн.н = юн/ю0 - нормированные верхняя и нижняя частоты среза ПЗФ соответственно. Преобразованные ПФ и АчХ полиномиальных ФНч [Н'2п (*н ), Н2п ( юн )] и ФНч с полюсами затухания [Н2п (*н ), Н2п (ю н )] до 10-го порядка приведены в табл. 10. в соответствии с

Таблица 10

ПЗФ

2п = 2

Н 2'К) =

)+1

Н 2'

2п = 4

Н 4'(н) = (К/—0) (*н2 +1)2/{*н4 + [—/(—0) (3 + *н) + [2+V (Ьol2)] *н2 +1};

Н4'(ю н) = ((/—0)((-1) / -[2+1 (—02)]юн2+1} (б0)^('н3-юн)}

Продолжение табл. 10

ПЗФ

2п = 6

#6К) =

{к/Ьр )(2 +1)3

Н 6'(ю'н ) =

^н6 +[Ь1/({о©)](( + 5Н ) + [з + ¿Ж2 ))(( + ^н2 )+[2Ь1/ (¿0©) + 1/(Ьо©3 )] ¿н3 +1'

(к/Ь0) (сон2 -1)3

- [з + ¿2/

}2

2п = 8

Н 8'(н ) = -

(к/Ьо )(2 +1)4

Н8'Кн ) =

+А_ ( + 4)+|4+Уу |(6 + -н2) + |^+|(5 + 43) + |6+У2.+^ I ¿н4 +1

Ь ©V н н \ Ь ©2 ^ н н/ Ьо© ¿о©3^ н н> | ¿о©2 ¿о©4 I н

(к/Ъо )(( -1)4

Ьо©

Ьо©2

V

«н-14+(6+«н2

) + |6 + + 1 | «н +1

1 Ьо©2 Ьо©4

А

Ьо©

Ьо© ¿о©3

2п = 1о

Здесь

Здесь

Но К) = (К/Ь, )(н2 +1)5/2йо. Шо=У+[ь^/(Ьо©)^(^н9+¿н)+[5+¿У (Ьо©2 )](-н8+¿н2)+[ 4Ьт/((о©)+¿/(¿о©3)](¿н7+¿н3)+

+[1о + ((о©2) + Ъ/((о©4 )] (( + 44) + \_6kl (о©) + 263/(о©3) +1/ (о©5)] ^н5 +1;

Н"о к)=(к/Ьо )(со н2 -1))ТО^

б«1о = -\5 + ЬУ ((о©2 )]( - Ч2) +[Ю + 3Ь~7 (Ьо©2) + ЬА/(Ьо©4 )]( - <) - ^ + ^[Ь/(Ьо©)]^«9+«н )-[4Ь/(Ьо©)+ Ь,/(Ьо©3 )](+юн3 УН/((о©) + 2Й3/(Ьо©3) +1/ (Ьо©5)]

ИПЗФ, КПЗФ

2п = 4

Н 4' (¿н) = (V Ьо) {¿н4 + [2+1/ («!©2)] 42 +1}/ {¿н4 + (1/ Ьо) (43 + ¿н)+[2+1/ (¿о©2)] ¿н2 +1};

щ(«н) = [Ка11Ьо)|«н4-[2+1 (©2)]«н2+У -\/{«н4-[2+1/(Ьо©2)]«н2+1} +{[Ь1ЛЬо©)](«;3-«н)}

2п = 6

Н6' (н) =

(Ка1/Ьо )6 +[3 + 1/( а1©2)](44 + ^н2)+1}

Н 6' (« н ) =

*н6 + [Ь,ЛЬо©)]( + 4 )+[3+ьУ (Ьо©2 ))(( + ¿н2 )+[2Ь,ДЬо©)+1/ (Ьо©3 )] ¿н3 +1'

_(У¿о) 1« н6-[3 + V(а1©2)](«н4- « н2) -1_

^{«н6-[3 + Ъ2!

}2

2п = 8

Ка1^2

Н 8' (¿н ) = -

¿8 +(4+](( + ^н2

)( + ¿н2 ) + | 6 + 2 а

) у а1

а1 + а2

1 I '4 + 1

5н + 1

а^2©2 а1а2©4 1

Н8' (« н ) = -

+ьо©(*н7 + -н)+(4+ьо? +"2)+(¿о©+ьо^ )('н5 + )+(6+Ъ©:+ьо©

8-Г 4 + ) («н6+«'н2 ) + | 6 + 2 ^^ ) «н4+1

У а1а2© ) У а1а2© а1а2© )

4 | ¿н4 +1

«н8 - 4 +

)(«н6+«н2)+(6+

2Ь2 _

¿о©2 + ьо©4 гн

1 1 «н4+1

Ь (7 ' ) 13Ь1

— I «н - «н^ ^^^

¿о©

¿о© ¿о©3

¿3 )

-^г II «н - «н I

Ьо©3 н н/

Ь

о

Окончание табл. 10

ИПЗФ, КПЗФ

2n = 10

Здесь

Здесь

H10 К ) =

Ъ0

sH10 + f 5 - ^ + sH2 )+fl0 + 3 ^ + -^4 ]( + sH4 ) +1

Ü1Ü22 Ü1Ü24

Q's'w

Q's'10 = sH10 + [hi (¿0©)] (sH9 + sH) + [5 + hi (¿0©2)] (sH8 + sH2 ) + [4^1/(¿0©) + Ъз/(¿0©3 )] (sH7 + sH3 ) +

+ [10 + 3Ъ^ (¿0©2) + ¿4/(¿0©4 )](6 + sH4 ) + [бЪ^/(¿0©) + 2Ъз1 (¿0©3)+1/ (¿0©5 )] sH5 +1;

H10 (< ) = ^ <-f 5 + ^ 1((-coH2 ) + 3 ^+©2 + * 1(( -H4 )-

Ъ0 ^ ^1^2© J ^ ^1^2© ^1^2© J /

={<-[5+hi (Ъ0©2 )](( -coH2 )+[ю+3Ъ2/(Ъ0©2)+ъ7 (©4 )](н6-< )- 1}' +

(Ъ0©)](юН9 + H) - [4^/(¿0©) + ¿3/(¿0©3 )]((+H3 )+[6Ъ^/ (¿0©) + 2Ъ3/(¿0©3)+ V (¿0©5 )]]

(18) и (19) произведения вида (o )№ = 1,

l=1

поэтому при записи выражений H''n (£н) и

H'in (юн) сомножитель Кщй' ...ä^/bo следует исключить. Для ИПЗФ

H'n (0)= lim Hin «) = 1.

Из систем уравнений (9), (10), (18), (19), (20), (21) следует, что общим требованием для рассмотренных ФНЧ является независимость полосы пропускания от значений 5 и 5. Граничное

условие, накладываемое на АчХ, Нп (1) = ^>/2. При переходе к другим типам фильтров условия постоянства частот среза сохраняются.

При расчете ПФ ФНч с полюсами затухания возможно решение обратной задачи: синтез АчХ по заданному значению частоты максимального подавления помехи в полосе задерживания. Таких значений могут быть выбраны одно для ИФНч и два для КФНч. При решении обратной задачи параметрами, подлежащими определению при решении системы уравнений, являются 5 для ИФНч, 5 и 5 для КФНч.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Гутников В. С. Фильтрация измерительных сигналов. Л.: Энергоатомиздат. Ленингр. отд-ние, 1990. 192 с.

2. Улахович Д. А. Основы теории линейных электрических цепей: учеб. пособие. СПб.: БХВ-Петербург, 2009. 816 с.

3. Справочник по расчёту и проектированию ARC-схем / Букашкин С. А., Власов В. П., Змий Б. Ф. и др.; под ред. А. А. Ланнэ. М.: Радио и связь, 1984. 368 с.

E. N. Chervinsky Closed JSC "SIMETA"

4. Джонсон Д., Джонсон Дж., Мур Г. Справочник по активным фильтрам. М.: Энергоатомиздат, 1983. 128 с.

5. Червинский Е. Н. Реализация электрических фильтров лестничной структуры // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2013. Вып. 3. С. 24-37.

6. Матханов П. Н. Основы синтеза линейных электрических цепей. М.: Высш. шк., 1978. 208 с.

7. Лэм Г. Аналоговые и цифровые фильтры. Расчет и реализация. М.: Мир, 1982. 592 с.

Computation of transfer functions of filters with equiwave at the section and infinite half-interval amplitude-frequency characteristics

The method of computation of filters transfer functions (TF), based on the solution of systems of nonlinear equations is presented. Starting characteristics are the order of the filter and ripple of circuit transfer. Structures of the systems of equations for calculation of TF of the polynomial, inverse and quasi-elliptic low-pass filters (LPF) are given. The amount of possible solutions and techniques of finding of the true solution are defined, examples of calculation are made. The correlations between extreme coordinates of the TF modules which are independent from ripple of transfer are given. The transformation of TF of LPF to TF of high-pass filters, band-pass filters and band-rejection filters is fulfilled.

Transfer function, low-pass filter, extreme coordinates of amplitude-frequency response, high-pass filter, band-pass filter, band-rejection filter

Статья поступила в редакцию 12 августа 2014 г.