О разрешимости краевой задачи с интегральным граничным условием по времени для уравнения нечетного порядка с меняющимся направлением времени

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2019. Том 26, № 1

УДК 517.946

О РАЗРЕШИМОСТИ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ ПО ВРЕМЕНИ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ НЕЧЕТНОГО ПОРЯДКА С МЕНЯЮЩИМСЯ НАПРАВЛЕНИЕМ ВРЕМЕНИ И. Е. Егоров, Е. С. Ефимова

Аннотация. Локальные краевые задачи для уравнений с меняющимся направлением времени исследовались во многих работах. Разрешимость нелокальных по времени краевых задач изучалась для параболических уравнений второго порядка. Для неклассического уравнения третьего порядка была рассмотрена регулярная разрешимость краевых задач с интегральными граничными условиями по времени. В данной работе в цилиндрической области пространства исследуется краевая

задача с интегральным граничным условием по времени для уравнения нечетного порядка с меняющимся направлением времени. При определенных условиях на коэффициенты уравнения и данные краевой задачи доказана регулярная разрешимость рассматриваемой нелокальной краевой задачи. В доказательстве регулярной разрешимости данной нелокальной краевой задачи используется вспомогательная локальная краевая задача для уравнения нечетного порядка с меняющимся направлением времени. Также для вспомогательной краевой задачи получена оценка сходимости, с помощью которой установлена оценка сходимости приближенных решений к точному решению рассматриваемой нелокальной краевой задачи.

БС! 10.25587/SVFU.2019.101.27242

Ключевые слова: интегральное граничное условие, уравнение с меняющимся направлением времени, неравенство, оценка.

1. Введение

Локальные краевые задачи для уравнений с меняющимся направлением времени исследовались во многих работах [1—8]. В [9-15] изучалась разрешимость нелокальных по времени краевых задач для параболических уравнений. В работах [16,17] рассмотрена регулярная разрешимость краевых задач с интегральными граничными условиями по времени для уравнения нечетного порядка. В [13] исследована нелокальная краевая задача для уравнения третьего порядка с меняющимся направлением времени, когда граничное условие по времени не является интегральным.

Результаты получены в рамках выполнения государственного задания Минобрнауки России (проект № 1.6069.2017/8.9).

© 2019 Егоров И. Е., Ефимова Е. С.

В настоящей работе изучается регулярная разрешимость краевой задачи с интегральным граничным условием по времени для уравнения нечетного порядка с меняющимся направлением времени [2-7].

2. Постановка краевых задач

Пусть О — ограниченная область в Кп с гладкой границей 7 класса С2, Ог = О х {Ь} для 0 < Ь < Т, Г = 7 х (0, Т).

В цилиндрической области Q = О х (0,Т) рассмотрим уравнение

2в+1 п д

Ьи = кг{х, £)Р\и — ——-

¿=1 г,^ =1 ^

Будем предполагать, что коэффициенты уравнения (1) достаточно гладкие ъ ъ выполнены условия

(-1)^23+1 (ж, 0) > 0, (-1)8к2з+1(ж, Т) > 0, X е О,

п

ац = а^, < ^ < Vж еО, € Нп, и > 0.

¿,¿=1

Пусть N(Ь) — заданная функция при 0 < Ь < Т и

т

N0 = 1 М(т) ¿т, 1

1 - N0 о

Нелокальная краевая задача. Найти решение и(ж, Ь) уравнения (1) такое, что

т

,

(3) 0

В\ч|<=0 = 0, г = 1, я; Щи1=т = 0, з = в + 1, 25. Пусть Жр8^) — анизотропное пространство Соболева с нормой [18]

1М1

и2 + №)2+и2

.¿=1

Для произвольной функции <^(ж) из Ж 2 (О) выполняется неравенство Пуанкаре — Фридрихса [18]

J <^2 ¿ж < Со У ¿

о г=1

8

И. Е. Егоров, Е. С. Ефимова

Пусть функция из является решением краевой задачи

(1)-(3). Тогда функция

т

^ —IN(т)и(х,т) ¿т

о

будет решением следующей краевой задачи.

Вспомогательная краевая задача. Найти функцию г>(ж,£), являющуюся в Q решением уравнения

Ьь = Ф

и такую, что для нее выполняются условия (2) и

Г>Н=0, ¿ = 0,я; ОЫ.=т,] = 3 + 1,2я,

где

Ф(х,ь) = У N(т)АХь(х,т) ¿г,

Л^^т) = ¿7 ) -ФМя.т).

1

3. Разрешимость вспомогательной краевой задачи

При N(£) = 0 в работе [6] доказано, что при определенных условиях на коэффициенты и правую часть уравнения (1) краевая задача (1), (2), (5) имеет единственное решение г>о(ж, £) из ^з'2^1^), причем справедлива оценка

1М|2,2»+1 < Со

где постоянная Со зависит от коэффициентов уравнения (1) и Со, Т.

Для любой функции V € нетрудно установить неравенство

где положительная постоянная С\ зависит лишь от ац(х), с(ж), г,] = 1 ,п.

Теорема 1. Пусть коэффициент с(х) > 0 достаточно большой и выполнены условия

( —1)в[2к2в — (2я + 1)&2в+н] > 5 > 0, ( — 1)в[2к2в + к^в+и] > 5 > 0,

д = СоС^|Т 1/2МNП^т) < 1, / € ^2од№), /(х, 0) = 0. Тогда краевая задача (4), (2), (5) имеет единственное решение ь(ж,£) из

Доказательство. Определим последовательность функций (ж, £)} из ЭД^'2^1^) как решение уравнения

Ььт = Ф(ж,ьт_1)+ /, т = 1, 2,...,

удовлетворяющее краевым условиям (2), (5). Отсюда получаем уравнение

- -ут) = Ф(х, угп — «т_х), которое позволяет применить неравенства (6), (7) к функции «т+1 — г>т:

||^т+1 — Ут\\2,2з+1 < СоУФ(ж, Ут — ^т_1)У < — «0^2,28+1-

Из последнего неравенства следует оценка

Чт

\\Ут+р - Ут\\2,2з+1 < г.-|К - У0\\2, 2«+1, Р= 1,2,....

1 — Ч

Стало быть, последовательность {г>т} фундаментальна в гильбертовом пространстве и предельная функция г>(х, £) будет искомым решением краевой задачи (4), (2), (5).

Для двух решений краевой задачи (4), (2), (5) из в силу нера-

венства (7) справедлива оценка

||«1 — и2||2,2з+1 < Ч|К — «2^2,23+1, из которой следует, что = г>2. Теорема 1 доказана.

Следствие 1. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда для решения г>(х,£) краевой задачи (4), (2), (5) справедлива оценка сходимости

1 — Ч

Доказательство. Переходя к пределу в неравенстве (8) при р то, получаем неравенство

Чт

V ~ Угп || 2 2з+1 < -Г-11^1 - || 2,2з+1 •

1 — Ч

В силу неравенств (6), (7), оценивая правую часть последнего неравенства, приходим к оценке сходимости (9). Следствие 1 доказано.

4. Разрешимость нелокальной краевой задачи

Положим

т

ит(х, £) = «т(х,£) + N^1N(т)«т(х,т) ¿т.

о

Теорема 2. Пусть выполнены все условия теоремы 1. Тогда краевая задача (1)-(3) имеет решение и(х,£) из пространства и справедлива оценка сходимости

1О

И. Е. Егоров, Е. С. Ефимова

Доказательство. Пусть v(x, t) — решение краевой задачи (4), (2), (5), гарантированное теоремой 1. Определим функцию u(x, t) по формуле

T

u

о

Очевидно, что u(x,t) будет решением краевой задачи (1)—(3) из пространства W22'2s+1(Q).

В силу определения функций um(x,t) из представления (1О), используя оценку (9), получаем оценку сходимости теоремы 2. Теорема 2 доказана.

Замечание 1. Условие q < 1 теоремы 1 заведомо выполняется, если функция N(t) достаточно мала по модулю. Единственность решения краевой задачи (1)—(3) требует дополнительных исследований [17].

ЛИТЕРАТУРА

1. Gevrey M. Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique // J. Math. Appl. 1914. P. 105-148.

2. Тepсeнов С. А. Параболические уравнения с меняющимся направлением времени. Новосибирск: Наука, 1985.

3. Егоров И. Е. О первой краевой задаче для одного неклассического уравнения // Мат. заметки. 1987. Т. 42, № 3. С. 403-411.

4. Егоров И. Е. Краевая задача для одного уравнения высокого порядка с меняющимся направлением времени // Докл. АН СССР. 1988. Т. 303, № б. С. 1301-1304.

б. Егоров И. Е., Фeдоpов В. Е. Неклассические уравнения математической физики высокого порядка. Новосибирск: Изд-во ВЦ СО РАН, 1995. б. Egorov I. E. On one boundary value problem for an equation with varying time direction //

Мат. заметки ЯГУ. 1998. Т. 5, вып. 2. С. 77-84. T. Егоров И. Е. О модифицированном методе Галеркина для параболического уравнения с меняющимся направлением времени // Узб. мат. журн. 2013. № 3. С. 33-40.

8. Олeйник О. А., Рад^вич Е. В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой. М.: Изд-во МГУ, 2010.

9. Кepeфов А. А. Нелокальные граничные задачи для параболических уравнений // Диф-ференц. уравнения. 1979. Т. 5, № 1. С. 74-78.

10. Chabrowski J. On nonlocal problems for parabolic equations // Nagoya Math. J. 1984. V. 93. P. 103-131.

11. Chabrowski J. On the nonlocal problem with a functional for parabolic equation // Funkcial. Ekvac. Ser. Intern. 1984. V. 27. P. 103-123.

12. Шeлyxин В. В. Задача со средним по времени данными для нелинейных параболических уравнений // Сиб. мат. журн. 1991. Т. 32, № 2. С. 154-1б5.

13. Львов А. П. Об одной нелокальной краевой задаче для уравнения третьего порядка с меняющимся направлением времени // Мат. заметки ЯГУ. 2002. Т. 9, вып. 2. С. 91-95.

14. Кожанов А. И. Нелокальная по времени краевая задача для линейных параболических уравнений // Сиб. журн. индустр. математики. 2004. Т. 7, № 1. С. 51-б0.

15. Либepман Г. М. Нелокальные задачи для квазилинейных параболических уравнений // Нелинейные задачи математической физики и смежные вопросы. В честь акад. О. А. Ладыженской. Т. 1. Новосибирск, 2002. С. 233-254.

16. Лукина Г. А. Краевые задачи с интегральными граничными условиями по времени для уравнения третьего порядка // Мат. заметки ЯГУ. 2010. Т. 17, вып. 2. С. 75-97.

1T. Кожанов А. И., Лукина Г. А. Нелокальные задачи с интегральным условием для дифференциальных уравнений нечетного порядка // Сиб. электрон. мат. изв. 201б. Т. 13. С. 452-4бб.

18. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

Поступила в редакцию 23 ноября 2018 г. После доработки 17 января 2019 г. Принята к публикации 1 марта 2019 г.

Егоров Иван Егорович, Ефимова Елена Сергеевна Северо-Восточный федеральный университет имени М. К. Аммосова, НИИ математики,

ул. Кулаковского, 48, Якутск 677000

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2019. Том 26, № 1

UDC 517.946

ON SOLVABILITY OF BOUNDARY VALUE PROBLEMS WITH INTEGRAL-TYPE BOUNDARY CONDITION FOR ODD-ORDER EQUATIONS WITH CHANGING TIME DIRECTION I. E. Egorov and E. S. Efimova

Abstract: Local boundary value problems for equations with changing time direction have been studied in many papers. The solvability of nonlocal in time boundary value problems was studied for second order parabolic equations. For a third-order non-classical equation, the regular solvability of boundary value problems with integral boundary conditions over time was considered. In this paper, in a cylindrical domain of Rn+1, we study a boundary value problem with an integral boundary condition in time for an equation of odd order with changing time direction. Under certain conditions on the coefficients of the equation and the data of the boundary value problem, the regular solvability of the nonlocal boundary value problem under consideration is proved. Proving the regular solvability of the given non-local boundary value problem, we introduce an auxiliary local boundary value problem for an equation of odd order with changing time direction. Also, for the auxiliary boundary value problem, a convergence estimate is obtained, which is used to establish an estimate of the convergence of approximate solutions to the exact solution of the nonlocal boundary value problem under consideration.

DOI: 10.25587/SVFU.2019.101.27242

Keywords: integral-type boundary condition, equation with changing time direction, inequality, estimation.

REFERENCES

1. Gevrey M., "Sur les equations aux derivees partielles du type parabolique," J. Math. Appl., 105-148 (1914).

2. Tersenov S. A., Forward-Backward Parabolic Equations [in Russian], Nauka, Novosibirsk (1985).

3. Egorov I. E., "On the first boundary value problem for one nonclassical equation [in Russian]," Math. Notes, 3, No. 3, 403-411 (1987).

4. Egorov I. E., "Boundary value problem for one nonclassical equation of higher order with varying time direction [in Russian]," Dokl. AN SSSR, 303, No. 6, 1301-1304 (1988).

5. Egorov I. E. and Fedorov V. E., Nonclassical Higher-Order Equations in Mathematical Physics [in Russian], Izdat. Vychisl. Tsentra SO RAN, Novosibirsk (1995).

6. Egorov I. E., "On one boundary value problem for an equation with varying time direction [in Russian]," Mat. Zamet. YAGU, 5, No. 2, 77-84 (1998).

7. Egorov I. E., "On a modified Galerkin method for a parabolic equation with alternating time direction," Uzbek Math. J., No. 3, 33-40 (2013).

8. Oleinik O. A. and Radkevich E. V., Second-Order Equations with Nonnegative Characteristic Form [in Russian], Izdat. MGU, Moscow (2010).

© 2019 I. E. Egorov, E. S. Efimova

9. Kerefov A. A., "Nonlocal boundary value problems for parabolic equations [in Russian]," Differ. Uravn., 5, No. 1, 74-78 (1979).

10. Chabrowski J., "On nonlocal problems for parabolic equations," Nagoya Math. J., No. 93, 103-131 (1984).

11. Chabrowski J., "On the nonlocal problem with a functional for parabolic equation," Funkcial. Ekvac. Ser. Int., No. 27, 103-123 (1984).

12. Shelukhin V. V., "A problem with time-averaged data for nonlinear parabolic equations," Sib. Math. J., 32, No. 2, 309-320 (1991).

13. Lvov A. P., "On one nonlocal boundary value problem for a third-order equation with varying time direction [in Russian]," Mat. Zamet. YAGU, 9, No. 2, 91-95 (2002).

14. Kozhanov A. I., "Nonlocal in time boundary value problem for linear parabolic equations [in Russian]," Sib. Zh. Ind. Mat., 7, No. 1, 51-60 (2004).

15. Liberman G. M., "Nonlocal problems for quasilinear parabolic equations [in Russian]," in: Nonlinear Problems of Mathematical Physics and Related Issues (In honor of acad. O. A. La-dyzhenskaya), 1, Novosibirsk, 233-254 (2002).

16. Lukina G. A., "Boundary value problems with integral boundary conditions in time for a third order equation [in Russian]," Mat. Zamet. YAGU, 17, No. 2, 75-97 (2010).

17. Kozhanov A. I. and Lukina G. A., "Nonlocal problems with an integral condition for differential equations off odd order," Sib. Electron. Mat. Izv., 13, 452-466 (2016).

18. Ladyzhenskaya O. A., Solonnikov V. A., and Uraltseva N. N., Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type [in Russian], Nauka, Moscow (1967).

Submitted November 23, 2018 Revised January 17, 2019 Accepted March 1, 2019

Ivan E. Egorov, Elena S. Efimova

M. K. Ammosov North-Eastern Federal University,

Institute of Mathematics,

48 Kulakovsky Street, Yakutsk 677000, Russia IvanEgorov51@mail.ru, OslamE@mail.ru