Организация рефлексивного поиска пути решения математической задачи на основе деятельностно-процессуального подхода

№ 4 (28), 2013

Гуманитарные науки. Педагогика

УДК 372.851

М. А. Родионов, Е. В. Гусева

ОРГАНИЗАЦИЯ РЕФЛЕКСИВНОГО ПОИСКА ПУТИ РЕШЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ НА ОСНОВЕ ДЕЯТЕЛЬНОСТНО-ПРОЦЕССУАЛЬНОГО ПОДХОДА

Аннотация. Актуальность и цели. В теории и методике обучения математике ведущее место занимает методика работы с задачей. Анализ педагогических решений известных методистов показывает, что предложенные ими рекомендации не обеспечивают в должной мере актуализацию механизмов целепола-гания и рефлексии реализуемого поискового процесса (не намечена целостная цепочка действий, соответствующая той или иной поисковой доминанте; определены лишь возможные шаги решения, в достаточной мере не соотнесенные между собой). Соответственно, целью описываемого исследования является разработка методики работы с математической задачей, обеспечивающей непрерывность и последовательность реализуемого поискового процесса в рамках деятельностно-процессуальной стратегии обучения. Материалы и методы. Исследование возможностей применения деятельностного подхода к организации учебного поиска обусловило необходимость более четкой актуализации его процессуальной составляющей, до сих пор недостаточно конкретизированной в психолого-педагогических исследованиях. Сказанное проявилось в целесообразности вычленения в рамках деятельностного подхода его «учебно-поисковой проекции» в виде деятельностно-процессуального подхода к организации поисковой работы при решении задач, реализация которого может быть представлена в виде последовательного развертывания цепочки поисковых действий. Результаты. Конкретизировано положение о том, что методика работы с математической задачей с позиций деятельностного подхода должна предполагать необходимость явной актуализации процессуальной составляющей учебного поиска. Такая актуализация обеспечивается на основе специальной организации последовательности ориентировочно-исследовательских действий. Указанная позиция обусловила целесообразность введения в рассмотрение категории деятельностно-процессуального подхода, пример реализации которого представлен в тексте статьи. Выводы. Методика работы с математической задачей на основе деятельностно-процессуального подхода, предполагающая специальную актуализацию ориентировочно-исследовательской деятельности и поисковых действий, сопровождающих ее во внешнем плане, в отличие от традиционных поисковых схем, обеспечивает последовательную и непрерывную реализацию поискового процесса, придавая ему рефлексивный и мотивационно обусловленный характер.

Ключевые слова: рефлексия поискового процесса, деятельностно-процессуальный подход, обучение поиску пути решения математической задачи, ориентировочно-исследовательская деятельность.

M. A. Rodionov, E. V. Guseva

ORGANIZATION OF REFLEXIVE SEARCH OF SOLUTIONS TO MATHEMATICAL PROBLEMS ON THE BASIS OF ACTIVITY AND PROCEDURAL APPROACH

Abstract. Background. Methods of working with mathematical problem take a critical position in the mathematics training methodology. The analysis of pedagogical practice of well-known educators shows that their recommendations do not provide

Humanities. Pedagogy

205

actualization of mechanisms of goal-setting and reflection of the search process to the needed extent (the logical chain of actions, which fits to one or another search aim, is not determined; possible ways to solve the problem are only marked, but these steps don’t fully fit each other). Thus, the goal of this study is to work out the methodology to work with the mathematical problem. In the framework of the activity and procedural approach this methodology should make the search process logical and continuous. Materials and methods. The analysis of the activity approach options in learning search work shows the necessity to study its procedural part, which is not entirely characterized in psychological and pedagogical research works. When solving mathematical problems it is important to find out the so called «study-and-search view» of the activity approach in a form of the activity-procedural approach. Such work can be organized in a form of logical chain of search actions. Results. It is described in details that under the activity approach for the methodology for a mathematical problem it is necessary to use procedural search work on the basis of specially organized chain of search actions. This idea preconditioned the necessity of introduction of a category of the activity and procedural approach. The example of its usage is given in the article. Conclusions. In the framework of the activity and procedural approach the methodology for mathematical problems is a specially organized process of research activity and search actions, which follow it on the surface. It provides the logical and continuous search process due to its reflexive and motivated tone as opposed to other traditional tactics.

Key words: reflection of the search process, activity and procedural approach, teaching to search ways to solve mathematical problems, orientation and search activity.

С позиций деятельностного подхода учащийся, овладевая знаниями, одновременно овладевает и способами их приобретения [1-5]. При этом осознаются и знания, и способы деятельности, а присвоение знаний происходит в процессе направленной рефлексии, за счет которой «выделяются сами схемы деятельности - способы решения задач или рассуждения. Усвоение выступает как прямой продукт такого рефлексивного процесса» [6, с. 268]. Другими словами, при направленной рефлексии учащийся осознает «знание-вую» сторону образовательного процесса и структуру самой деятельности, ее каркас, придавая ей мотивационную обусловленность [7-9].

Как известно, в педагогической психологии выделяются два основных вида организации осознания учениками собственной деятельности - текущая и итоговая рефлексия. Текущая рефлексия связывается с выполнением каждого поискового действия, она вплетается в ткань предметного действия. В соответствии с моделью образовательного процесса на основе обратной связи при самоконтроле ученика и под контролем учителя учащийся осмысливает весь ход выполнения последовательной цепочки действий.

Итоговая рефлексивная деятельность обычно осуществляется учащимся после того, как учебно-познавательная задача решена. Прослеживая выполнение реализованных действий, учащийся осмысливает в целостном виде, как осуществленная последовательность действий обеспечивает поиск искомого.

Организация рефлексии ученика на уроке включает в себя следующие этапы:

1) остановка предметной (дорефлексивной) деятельности;

2) восстановление последовательности выполненных действий;

3) изучение составленной последовательности действий с точки зрения ее эффективности, продуктивности, соответствия поставленным задачам;

№ 4 (28), 2013

Гуманитарные науки. Педагогика

4) выявление и формулирование результатов рефлексии;

5) проверка гипотез на практике в последующей предметней деятельности.

Как видим, в данном случае за единицу образовательного процесса принимается действие, существенными компонентами реализации которого являются целеполагание и содержательная рефлексия. Данная позиция выдвигает на передний план процессуальную сторону учебной деятельности, что позволяет ввести в рассмотрение категорию деятельностно-процессуального подхода.

Для выделения существенных особенностей реализации предлагаемого подхода при организации поиска решения задач представляется целесообразным затронуть позицию известного ученого Л. М. Фридмана, который одним из первых отечественных педагогов сделал успешную попытку соотнести психологический и дидактико-методический аспекты проблемы обучения такому поиску. Отметим, что данная позиция впоследствии проявилась в той или иной мере в исследованиях ряда ведущих отечественных методистов (Ю. М. Колягин, Г. И. Саранцев, В. И. Крупич и др.), что позволяет нам рассматривать ее как традиционную.

При рассмотрении эвристических методов поиска способов решения нестандартных задач известный психолог Л. М. Фридман развивает «общую идею, лежащую в основе всех эвристик и эвристических схем: чтобы решить какую-либо новую задачу, надо свести ее к одной или нескольким ранее решенным задачам» [10, с. 116].

Предопределяя развитие этой идеи, он уточняет две категории: способ и метод. Под способом он понимает «совокупность действий для решения конкретной задачи, а под методом - общую схему эвристик - эвристическую схему, пользуясь которой, можно найти способы решения отдельных задач».

Ученый считает, что для решения школьных задач достаточно, чтобы ученик хорошо знал и умел пользоваться хотя бы следующими четырьмя методами, которые получили определенное развитие в процессе рассмотрения их в большинстве методических руководств:

1) метод разбиения задачи на подзадачи;

2) метод преобразования задачи;

3) метод моделирования;

4) метод введения вспомогательных элементов.

Рассмотрев методы решения не вполне стандартных задач, Л. М. Фридман, несколько модернизируя подход Д. Пойа [11], предлагает следующую схему поиска способа решения задачи поискового характера:

1. Получив задачу, следует произвести тщательный ее анализ и, если нужно, построить какую-то вспомогательную модель.

2. Установить, нельзя ли вычленить из нее путем разделения условий, требования или области задачи какую-то более простую задачу. Если можно, то надо разбить входную задачу на подзадачи, решив которые, будет либо полностью решена эта задача или во всяком случае существенно упрощена.

3. Если разбить задачу на подзадачи не удается, то надо выяснить, нельзя ли ее преобразовать в равносильную задачу, способ которой нам известен.

4. Если такое преобразование невозможно, то нельзя ли построить какую-то другую задачу, являющуюся моделью данной задачи, способ решения которой нам известен.

Humanities. Pedagogy

207

5. Если задача - плохо определенная, в ней имеются неопределенные неизвестные или неясная связь между данными и искомыми, то надо ввести столько вспомогательных элементов, чтобы задача стала строго определенной, и тогда применить один из указанных выше методов [10, с. 128-129].

Как мы видим, в данном подходе не актуализируются специальным образом механизмы рефлексии реализуемого поискового процесса. Сам этот процесс протекает по преимуществу стихийно, так как все рекомендации, представленные в схеме, весьма расплывчаты и не «привязаны» к какой-либо поисковой доминанте (не намечена цепочка действий, определены лишь возможные шаги решения, в достаточной мере не соотнесенные между собой).

Сравним теперь рассмотренный традиционный подход с процессуально-деятельностным на примере следующей задачи.

Задача Архимеда. «Две окружности, расположенные одна вне другой, заключены внутри третьей окружности, большей их обеих. Каждая из трех окружностей касается двух остальных, и их центры расположены на одной прямой. Отрезок общей касательной, проведенный к двум меньшим окружностям в их общей точке, заключенный внутри большей окружности, равен I. Найти площадь, заключенную внутри большей окружности и вне двух меньших» [10, с. 130].

Решение задачи процессуально-деятельностным способом представим в виде последовательного развертывания цепочки поисковых действий. Данное решение на уровне операций с распределением их между действиями и ориентировочно-исследовательской деятельностью показано на рис. 1, а чертежи к задаче - на рис. 2.

Решение

1. Построим чертеж (см. рис. 2). Обозначим радиусы большой и двух малых окружностей соответственно буквами Я, Т\, и г2. Искомую площадь обозначим буквой 5”. На основе формулы площади искомая площадь, заключенная внутри большей окружности вне двух меньших, запишется так:

5 = пЯ2 - ЛТ12 - пг22, или 5 = п

(ОИД 1, Оп 1, см. рис. 1).

2. Выразим искомую площадь через меньшее число неизвестных путем преобразования трехчлена (Я2 - Г12 - г22). Из чертежа следует, что 2Я = 2г + + 2г2. Значит, Я = г + г2. Но в равенстве (1) радиусы взяты в квадрате. Значит, последнее равенство следует возвести в квадрат:

Я2 = (г + Г2)2 = Г12 + Г22 + 2Г1Г2;

2ГГ = Я2 - Т? - Г22.

Искомая площадь теперь запишется так:

5 = 2пг\Г2

3. Но нам надо выразить 5 через I. Обозначив точку касания двух малых

окружностей и отрезка СВ буквой О и приняв во внимание теорему о касательной, мы можем записать, что СО = ОД = ^ I и что СО ± АВ. Однако

условий для определения через I все еще недостаточно (ОИД 2, Оп 6-7).

1

5 = ТТЙ2 — ТЕ Г2 — ТТГ2

2Й = 2 г* 4- 2 г2

Деление

Вынесение

общего

множителя

3

Я = г-1+ г2 Возведение в квадрат

. 5 = тт(Д2 — г2 — г22) | Подстановка

Д2 =

Перенос

+ г2 4- 2г1г2

5 = тт • 2г!г2

5 = тт —

Исходный чертеж О - точка касания АВ - диаметр' СО-

касательная г, - радиус Теорема о касательной

7

со = 00 =-

3 = п • 2гл г?

СО 1 АВ

Исходный чертеж АВ, СП Части

треугольника Дополнительные построения чертежа

<АВС-треугольннк ¿.С - вписанный/ АВ - диаметр

непрямоугольный треугольник

I

С°= -

АО, ОБ - отрезки диаметра Теорема о средней пропорциональной величине

© = 2|1 - 2г2

Возведение в квадрат Деление на 2

/2

2)1 г2 = — Подстановка

Рис. 1

№ 4 (28), 2013 Гуманитарные науки. Педагогика

Рис. 2

4. Достроим чертеж так, чтобы получилась известная нам фигура. Ее можно построить, принимая АВ И ОВ соответственно за основание и высоту треугольника. Соединив О с А и В, получим треугольник АВС. Учитывая, что угол С - вписанный и опирается на диаметр, можем сказать, что треугольник АСВ - прямоугольный (Д 2, Оп 8-9).

5. Теперь, по-видимому, условий достаточно, чтобы выразить S через I. Из рассмотрения треугольника АСВ вытекает связь между высотой СО и отрезками гипотенузы 2г1 и 2г2: высота является средней пропорциональной величиной между отрезками гипотенузы. На основе этого утверждения запи-

Г2

шем: | ^ | = 2г1  2г2. Преобразуем это выражение так, чтобы получить в правой части

2^Г2.

12

Подставив в выражение площади (2) вместо (3) —, получим искомый

8

12

результат: 51 = л— (Д 3, Оп. 10-12).

8

Как видим, представление решения задачи процессуально-деятельностным способом в предлагаемом виде отражает особенности структуры этого способа: выделены ориентировочно-исследовательская деятельность (ОИД 1, ОИД 2), действия (1-3) и операции (1-12). Реализованы три ветви системы операций с распределением их между ориентировочно-исследовательской деятельностью и действиями. Каждая ветвь заканчивается выражением искомой площади: исходное выражение площади последовательно преобразуется вплоть до выражения ее через известную величину I.

Поиск площади последовательно выступает в качестве ведущей идеи решения задачи. Знакомясь с представленным текстом, учащийся сумеет проследить, как осуществляется поиск решения задачи, как актуализируются известные им знания и как осуществляются преобразования в различных ситуациях решаемой задачи. Приведенные пункты позволят учащимся осознать на рефлексивном уровне весь ход решения задачи и план ее решения. Описанное решение представлено на рис. 1.

Рассмотрим теперь, как выглядит изложение решения задачи в монографии Л. М. Фридмана [10]. Это решение проведено на уровне операций, отраженных на схеме рис. 3. Действия или этапы решения здесь явно не выделены.

5 = ттД2 — тт г2 — ттг22

тт - общий множитель

6

Исходный _________ СО = -

чертеж

О - точка касания АВ - диаметр СО - касательная

3

Д = г± + г2 —7 Д2 = г2 + г22 + 2г1г2 Возведение / Перенос в степень

2Д = 2 г-1 + 2 г2

Деление

Д = + г2

10

(£) = 27-1 - 2Гг

Возведение в степень Деление

5 = тт

14

I2

5 = тт —

Рис. 3

Л/о 4 (28), 2013 Гуманитарные науки. Педагогика

Прослеживание операций по тексту изложения решения показывает, что вторая ветвь операций оказалась разорванной: после выполнения второй операции этой ветви выполняются операции третьей ветви, и лишь потом выполняются операции 3 и 4. Операции 8 и 9 (см. рис. 3), составляющие содержание эвристического приема ДПЧ, пропущены, треугольник АСВ вводится в готовом виде. Ветви операций организованы так, что поиск площади не выступает в качестве ведущей идеи решения задачи.

Представленная как бы «разорванная» траектория поиска в данном случае объясняется тем, что ориентировочно-исследовательская деятельность и действия в данной схеме явно не выделены. При этом в заключении изложения решения задачи отмечается, что в данном случае использованы сначала метод введения вспомогательных элементов, а затем метод преобразования. Оба метода в изложении решения задачи представлены, но они никак не соотносятся между собой, образуя, так сказать, некий «однородный массив».

Между тем метод преобразования достаточно сложен, он, как и метод введения вспомогательных элементов, развертывается в соответствии с определенной логикой на протяжении всего хода решения задачи. Как показывает опыт, осознать эту логику ученику достаточно трудно, если специально не выделяется глубинная основа решения задачи: ориентировочно-исследовательская деятельность и поисковые действия, реализующие ее во внешнем плане.

Процессуально-деятельностный же подход как раз и призван приучить школьников «видеть цель издалека», т.е. сделать учебно-поисковый процесс целенаправленным и по-настоящему рефлексивным.

Список литературы

1. Брушлинский, А. В. С. Л. Рубинштейн - основоположник деятельностного подхода в психологической науке / А. В. Брушлинский // Сергей Леонидович Рубинштейн. Очерки, воспоминания, материалы. К 100-летию со дня рождения. -М. : Наука, 1989.

2. Леонтьев, А. Н. Деятельность. Сознание. Личность / А. Н. Леонтьев. -Изд. 2-е. - М. : Изд-во полит. л-ры, 1977.

3. Маркова, А. К. Формирование учебной деятельности и развитие личности школьника / А. К. Маркова // Формирование учебной деятельности школьников. -М. : Просвещение, 1982.

4. Немов, Р. С. Психология : учеб. для студентов высших учебных заведений : в 2 кн. Кн. 1. Общие основы психологии / Р. С. Немов. - М. : Просвещение, 1994.

5. Рубинштейн, С. Л. Основы общей психологии : в 2 т. / С. Л. Рубинштейн. -М. : Педагогика, 1989. - Т. 11.

6. Хуторской, А. В. Современная дидактика : учеб. для вузов / А. В. Хуторской. -СПб. : Питер, 2001.

7. Shulman, L. Ways of seeing, ways of knowing, ways of teaching, ways of learning about teaching / L. Shulman // Journal of Curriculum Studies. - 1992. - № 28. -P. 393-396.

8. Родионов, М. А. Развитие самоконтроля в процессе обучения математике на основе организации мотивационно-обусловленного взаимодействия педагога и учащихся / М. А. Родионов, С. Ю. Варлашина // Вестник Поморского университета. - 2008. - № 12. - С. 295-298.

9. Родионов, М. А. Развитие поисковой активности школьников с использованием незавершенных задачных ситуаций / М. А. Родионов, Е. В. Гусева // Известия

№ 4 (28), 2013

Гуманитарные науки. Педагогика

Пензенского государственного педагогического университета имени В. Г. Белинского. Физико-математические и технические науки. - 2012. - № 30. - С. 518-523.

10. Фридман, Л. М. Теоретические основы методики обучения математике / Л. М. Фридман. - М. : Флинта, 1998.

11. Пойа, Д. Как решать задачу : пособие для учителей / Д. Пойа ; пер. с англ. В. Звонарёвой, Д. Белла ; под ред. Ю. Гайдука. - Изд. 2-е. - М. : Учпедгиз, 1961. - 207 с.

References

1. Brushlinskiy A. V. Sergey Leonidovich Rubinshteyn. Ocherki, vospominaniya, materia-ly. K 100-letiyu so dnya rozhdeniya. [Sergey Leonidovich Rubenstein. Essays, memoirs, materials. Commemorating 100th jubilee.]. Moscow: Nauka, 1989.

2. Leont'ev A. N. Deyatel’nost’. Soznanie. Lichnost’ [Activity. Consciousness. Personality]. Edition 2. Moscow: Izd-vo polit. l-ry, 1977.

3. Markova A. K. Formirovanie uchebnoy deyatel’nosti shkol’nikov [Formation of study activity of schoolchildren]. Moscow: Prosveshchenie, 1982.

4. Nemov R. S. Psikhologiya: ucheb. dlya studentov vysshikh uchebnykh zavedeniy: v 2 kn. Kn. 1. Obshchie osnovy psikhologii [Psychology: textbook for universities: in 2 books. Book 1. General fundamentals of psychology]. Moscow: Prosveshchenie, 1994.

5. Rubinshteyn S. L. Osnovy obshchey psikhologii: v 2 t. [Fundamentals of general psychology: in 2 volumes]. Moscow: Pedagogika, 1989, vol. 11.

6. Khutorskoy A. V. Sovremennaya didaktika: ucheb. dlya vuzov [Modern didactics: textbook for universities]. Saint Petersburg: Piter, 2001.

7. Shulman L. Journal of Curriculum Studies. 1992, no. 28, pp. 393-396.

8. Rodionov M. A., Varlashina S. Yu. Vestnik Pomorskogo universiteta [Bulletin of Po-morsky University]. 2008, no. 12, pp. 295-298.

9. Rodionov M. A., Guseva E. V. Izvestiya Penzenskogo gosudarstvennogo pedagogi-cheskogo universiteta imeni V. G. Belinskogo. Fiziko-matematicheskie i tekhnicheskie nauki [Proceedings of Penza State Pedagogical University named after V. G. Belinsky. Physical and mathematical and engineering sciences]. 2012, no. 30, pp. 518-523.

10. Fridman L. M. Teoreticheskie osnovy metodiki obucheniya matematike [Theory of mathematics teaching technique]. Moscow: Flinta, 1998.

11. Poya D. Kak reshat’ zadachu: posobie dlya uchiteley [How to solve problems: tutorial for teachers]. Edition 2. Moscow: Uchpedgiz, 1961, 207 p.

Родионов Михаил Алексеевич доктор педагогических наук, профессор, заведующий кафедрой теории и методики обучения математике и информатике, Пензенский государственный университет

E-mail: do7tor@mail.ru

Гусева Елена Валерьевна аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: e.guseva2010@yandex.ru

Rodionov Mikhail Alekseevich

Doctor of pedagogical sciences, professor,

head of sub-department of theory

and methods of mathematics

and informatics teaching, Penza

State University

Guseva Elena Valer'evna Postgraduate student, Penza State University

Humanities. Pedagogy

213

УДК 372.851 Родионов, М. А.

Организация рефлексивного поиска пути решения математической задачи на основе деятельностно-процессуального подхода / М. А. Родионов, Е. В. Гусева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Гуманитарные науки. - 2013. - № 4 (28). - С. 205-214.