Практическая часть к экзамену по дисциплине &quot;Высшая математика &quot; для обучающихся на отделении ППССЗ

Практическая часть к экзамену по дисциплине «Высшая математика»

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 1.

2. Пример:. Найти матрицу

, если

.

Решение.

.

3. Найти предел функции.

.

Решение: Имеем неопределенность вида

.Для ее раскрытия разложим числитель и знаменатель на множители и сократим на общий множитель x + 2, который при x → -2 не равен нулю. В результате неопределенность будет раскрыта.

.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 2.

2. Вычислить неопределенный интеграл

.

Решение:

Для того, чтобы привести интеграл к табличному преобразуем подынтегральное выражение согласно свойствам степеней:

далее, применяя табличный интеграл для степенной функции

при

, получим

Ответ.

3. Решить систему линейных уравнений методом Гаусса

.

Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.

Выполненные элементарные преобразования: (1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –1. (2) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Вторую и третью строки поменяли местами. Обратите внимание, что на «ступеньках» нас устраивает не только единица, но еще и –1, что даже удобнее. (3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на 5.(4) У второй строки сменили знак (умножили на –1). Третью строку разделили на 14.Обратный ход:

Ответ:

.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 3.

2.

Вычислить неопределенный интеграл

.

Решение.Для нахождения данного неопределенного интеграла воспользуемся таблицей интегралов, формула № 12:

. Искомый интеграл равен

3.Определить наибольшее и наименьшее значения функции на указанном отрезке: y=−3

+6

[ −2,2].

Решение. Найдем точки экстремума заданной функции на отрезке [−2,2] и значение функции на концах этого отрезка:

y′=−12

+12x=12x(−

+1) =−12x (x−1)(1+x).

y′=0⇒

=−1,

=0,

=1.

y′>0⇒y∈(−1,0)∪(1,∞);

y′<0⇒y∈(∞,−1)∪(0,1).

Производная y′ меняет знак с "+" на "−" в точках

= -1 и

=1. Производная y′ меняет знак с "−" на "+" в точке

Таким образом в точках

=−1 и

=1 функция имеет максимум, а в точке

=0 − минимум. Найдем значения функции во всех найденных точках экстремума и на концах заданного отрезка.

y(−2)=−3⋅16+6⋅4=−24;

y(−1)=−3⋅1+6⋅1=3;

y(0)=0;

y(1)=−3⋅1+6⋅1=3;

y(2)=−3⋅16+6⋅4=−24.

Выбирая наибольшее и наименьшее значение получаем ответ.

Ответ: m=ymin=−24; M=ymax=3.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 4

2.Вычислить

и

, если

.

Решение. Так как

, а

, то произведение возможно и результатом операции умножения будет матрица

, а это матрица вида

. Вычислим элементы матрицы

:

Итак,

.

Найдем теперь произведение

. Так как количество столбцов матрицы

(первый сомножитель) не совпадает с количеством строк матрицы

(второй сомножитель), то данное произведение неопределенно. Умножить матрицы в данном порядке невозможно.

Ответ.

.

В обратном порядке умножить данные матрицы невозможно, так как количество столбцов матрицы

не совпадает с количеством строк матрицы

.

3.Вычислить неопределенный интеграл

.

Решение. Для решения этого неопределенного интеграла будем использовать табличный интеграл (№13) "высокий логарифм":

Тогда в нашем случае

Ответ.

.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 5

2. Вычислить определитель

методом треугольников.

Решение.

Ответ.

3.Вычислить неопределенный интеграл

.

Распишем подынтегральную функцию, используя формулу для куба разности

Далее, согласно свойствам неопределенного интеграла, разобьем интеграл на сумму (разность) интегралов, каждый из которых будет табличный

. Все подынтегральные функции являются степенными, используя табличный интеграл для степенной функции

а также учитывая тот факт, что константу можно выносить за знак интеграла, получим:

ответ:

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 6

2. Вычислить неопределенный интеграл

.

Решение :Преобразуем подынтегральную функцию. Для этого распишем котангенс с помощью тригонометрических формул

.

Далее для числителя будем использовать основное тригонометрическое тождество:

поделим почленно числитель на знаменатель, в итоге получим:

используя свойства интегралов, преобразуем интеграл разности в разность интегралов:

.

Используя таблицу интегралов, в итоге получаем :

.

3. Найти минор

к элементу

определителя

.

Решение. Вычеркиваем в заданном определителе вторую строку и третий столбец:

,тогда

Ответ.

.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 7

2. Разложив по первой строке, вычислить определитель

.

Решение.

Ответ.

.

3. Решить систему уравнений с помощью матричного метода:

.

Решение. Матрица A=

невырожденная, так как

Det A

=21+10=31≠0. Таким образом, система имеет единственное решение X=

B. Найдем обратную матрицу

:

Найдем алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы A:

=

⋅7=7;

A12=

⋅2=−2;

A21=

⋅(−5)=5;

A22=

⋅3=3.

Отсюда находим присоедененную матрицу:

=

.

=

=

.

=

Ответ: x=16; y=7.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 8

2. Вычислить определитель

приведением его к треугольному виду.

Решение. Сначала делаем нули в первом столбце под главной диагональю. Все преобразования будет выполнять проще, если элемент

будет равен 1. Для этого мы поменяем местами первый и второй столбцы определителя, что, согласно свойствам определителя, приведет к тому, что он сменит знак на противоположный:

Далее получим нули в первом столбце, кроме элемента

, для этого из третьей строки вычтем две первых, а к четвертой строке прибавим первую, будем иметь:

Далее получаем нули во втором столбце на месте элементов, стоящих под главной диагональю. И снова, если диагональный элемент будет равен

, то вычисления будут более простыми. Для этого меняем местами вторую и третью строки (и при этом меняется на противоположный знак определителя):

Далее делаем нули во втором столбце под главной диагональю, для этого поступаем следующим образом: к третьей строке прибавляем три вторых, а к четвертой - две вторых строки, получаем:

Далее из третьей строки выносим (-10) за определитель и делаем нули в третьем столбце под главной диагональю, а для этого к последней строке прибавляем третью:

Ответ.

3.Вычислить неопределенный интеграл методом внесения под знак дифференциала

.

Решение: Внесем под знак интеграла

так, чтобы полученный многочлен под знаком интеграла совпадал со знаменателем

В результате, получили табличный интеграл №4, который в свою очередь равен

Ответ:

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 9.

2. Исследовать на сходимость ряд

, используя признак Даламбера.

=

Решение.

=

=

=

=0

Следовательно ряд сходится.

3. Используя формулу Муавра, вычислить следующие выражения:

Решение. Запишем число z=1+i в показательной форме: r=

=

=

Поскольку число z находится в первой четверти, то

tgφ=

=

=1. И φ=

. Таким образом, мы можем записать число z=1+i в показательной форме: z=

.

. Теперь, используя формулу Муавра можно найти

:

=

= =32

=32 (cos

+i sin

)=32i.

Ответ:

=32i.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 10

2. Найти неопределенный интеграл методом замены переменной

.

Решение.

Введем замену и полученный интеграл находим как интеграл от экспоненциальной функции

Введем обратную замену

Ответ:

3.Найти производные 2-го, 3-го и n-го порядков от функции :y=

Решение.

y′=(

)′=

=

=

y′′=

=2

(

=2

=2

y′′′=(2⋅2

)′=2⋅2⋅

(−1)=2⋅2⋅3

.

y(n)=2n!(1−x)−n−1.

Ответ: y(n)=2n!(1−x)−n−1.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 11

2.Выполните действия с комплексными числами в алгебраической форме.

–

Решение.

–

=

–

=

-

=

=

i =

Ответ:

i.

3. Найти ранг матрицы

Решение: ранг матрицы не превосходит минимальной размерности, то есть, трёх. В матрице есть ненулевые элементы, значит, ранг не менее единицы.

Максимальный порядок ненулевого минора равен трём
Ответ:

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 12

2.Исследовать на сходимость ряд ,используя признак Даламбера.

. Решение: Используем признак Даламбера:

Таким образом, исследуемый ряд сходится.

Составляем отношение .
(2) Избавляемся от четырехэтажности дроби.
(3) Рассмотрим выражение в числителе и выражение в знаменателе. Мы видим, что в числителе нужно раскрывать скобки и возводить в четвертую степень: , чего делать совершенно не хочется. Проанализируем старшие степени: если мы вверху раскроем скобки , то получим старшую степень . Внизу у нас такая же старшая степень: . По аналогии с предыдущим примером, очевидно, что при почленном делении числителя и знаменателя на у нас в пределе получится единица. Или, как говорят математики, многочлены и – одного порядка роста. Таким образом, вполне можно обвести отношение простым карандашом и сразу указать, что эта штука стремится к единице. Аналогично расправляемся со второй парой многочленов: и , они тоже одного порядка роста, и их отношение стремится к единице.

3. Вычислить определитель с помощью вынесения множителей из строк

и столбцов

.

Решение:

(1) Из первой строки вынесли 13, из второй строки вынесли 2, из третьей строки вынесли 5.
(2) Из второго столбца вынесли –7.
(3) Разложили определитель по первому столбцу.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 13

2. Исследовать график функции

на выпуклость, вогнутость и перегибы.

Решение: 1) Функция терпит бесконечные разрывы в точках

, и это обстоятельство крайне важно для решения задачи.

2) Найдём критические точки второй производной.

В результате получена одна критическая точка:

.

3) Отметим на числовой прямой две точки разрыва, критическую точку и определим знаки второй производной на полученных интервалах:

Напоминаю важный приём метода интервалов, позволяющий значительно ускорить решение. Вторая производная

получилась весьма громоздкой, поэтому не обязательно рассчитывать её значения, достаточно сделать «прикидку» на каждом интервале. Выберем, например, точку

, принадлежащее левому промежутку, и выполним подстановку:

Теперь анализируем множители:

Два «минуса» и «плюс» дают «плюс», поэтому

, а значит, вторая производная положительна и на всём интервале

.

Закомментированные действия несложно выполнить устно. Кроме того, множитель

выгодно игнорировать вообще – он положителен при любом «икс» и не оказывает влияния на знаки нашей второй производной.

Ответ: график функции

является вогнутым на

и выпуклым на

. В начале координат (ясно, что

) существует перегиб графика.При переходе через точки

вторая производная тоже меняет знак, но они не считаются точками перегиба, так как функция

терпит в них бесконечные разрывы.

3.Найти обратную матрицу для матрицы

.

Решение.

1) Сначала находим определитель матрицы.

. В том случае, если определитель матрицы равен нулю – обратной матрицы не существует.

В рассматриваемом примере, как выяснилось,

, а значит, всё в порядке.

2) Находим матрицу миноров

.

Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица

, то есть в данном случае

.
Возвращаемся к нашей матрице

Сначала рассмотрим левый верхний элемент:

.
Как найти его минор? А делается это так: мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

Оставшееся число и является минором данного элемента, которое записываем в нашу матрицу миноров:

Рассматриваем следующий элемент матрицы

:

Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:

То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:

Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы

.

3) Находим матрицу алгебраических дополнений

.

В матрице миноров нужно поменять знаки у двух чисел:

– матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы

.

4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений

.

– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы

.

5) Ответ.

Вспоминаем нашу формулу

Таким образом, обратная матрица:

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 14

2.Решить систему по формулам Крамера.

Решение: Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ:

.

3.Студенческая группа состоит из 23 человек, среди которых 10 юношей и 13 девушек. Сколькими способами можно выбрать 2-х человек одного пола?

Решение: в данном случае не годится подсчёт количества сочетаний

, поскольку множество комбинаций из 2-х человек включает в себя и разнополые пары. Условие «выбрать 2-х человек одного пола» подразумевает, что необходимо выбрать двух юношей или двух девушек, и уже сама словесная формулировка указывает на верный путь решения:

способами можно выбрать 2-х юношей;

способами можно выбрать 2-х девушек.

Таким образом, двух человек одного пола (без разницы – юношей или девушек) можно выбрать:

способами.

Ответ: 123.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 15

2.Решить однородную систему линейных уравнений

Решение: чтобы решить однородную систему необходимо записать матрицу системы и с помощью элементарных преобразований привести её к ступенчатому виду. Обратите внимание, что здесь отпадает необходимость записывать вертикальную черту и нулевой столбец свободных членов – ведь что ни делай с нулями, они так и останутся нулями:

(1) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –2. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –3.

(2) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.

Делить третью строку на 3 не имеет особого смысла.В результате элементарных преобразований получена эквивалентная однородная система

, и, применяя обратный ход метода Гаусса, легко убедиться, что решение единственно.

Ответ:

3. Найти общее решение ДУ

.

Решение: Сначала приводим линейное уравнение к родному виду

:

Уравнение кажется простым, но впечатление может быть обманчивым. Не редкость, когда «страшное» ДУ на самом деле оказывается несложным, а «легкое» на вид вызывает затруднения. Проведем замену:

Составим и решим систему:

.

Из первого уравнения найдем

:

– подставим найденную функцию во второе уравнение:

Интеграл берется по частям. Вспоминаем формулу интегрирования по частям:

. Но, вот незадача, буквы

и

у нас уже заняты, и использовать те же самые буквы в формуле – не есть хорошо. Что делать? Используем ту же формулу, но с другими буквенными обозначениями. Можно выбрать любые другие буквы.Интегрируем по частям:

Таким образом:

Ответ: общее решение:

.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 16

2. Студент знает ответы на 25 экзаменационных вопросов из 60-ти. Какова вероятность сдать экзамен, если для этого необходимо ответить не менее чем на 2 из 3-х вопросов?

Решение: итак, расклад таков: всего 60 вопросов, среди которых 25 «хороших» и, соответственно, 60 – 25 = 35 «плохих». Ситуация шаткая и не в пользу студента. Давайте узнаем, насколько хороши его шансы:

способами можно выбрать 3 вопроса из 60-ти (общее количество исходов).

Для того чтобы сдать экзамен, нужно ответить на 2 или 3 вопроса. Считаем благоприятствующие комбинации:

способами можно выбрать 2 «хороших» вопроса и один «плохой»;

способами можно выбрать 3 «хороших» вопроса. По правилу сложения комбинаций:

способами можно выбрать благоприятствующую для сдачи экзамена комбинацию 3-х вопросов (без разницы с двумя или тремя «хорошими» вопросами).

По классическому определению:

– вероятность того, что студент сдаст экзамен.

Ответ:

3. Вычислить предел используя правило Лопиталя:

.

Решение: Получить ответ «обычными» методами непросто, поэтому для раскрытия неопределённости «бесконечность на бесконечность» используем правило Лопиталя:

Таким образом, линейная функция более высокого порядка роста, чем логарифм с основанием большим единицы

и т.д.). Разумеется, «иксы» в старших степенях тоже будут «перетягивать» такие логарифмы. Действительно, функция

растёт достаточно медленно и её график является более пологим относительно того же «икса».

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 17

2. Составить уравнение касательной к графику функции

в точке с абсциссой

.

Уравнение касательной составим по формуле

1) Вычислим значение функции в точке

:

2) Найдем производную. Перед дифференцированием функцию выгодно упростить:

3) Вычислим значение производной в точке

:

4) Подставим значения

,

и

в формулу

:

3. В некотором регионе в результате многолетнего статистического исследования установлена вероятность рождения мальчика

. С какой вероятностью можно утверждать, что среди следующей тысячи новорожденных, относительная частота появления мальчика отклонится от соответствующей вероятности не более чем на 0,02?

Решение: используем формулу

По условию:

Таким образом:

– искомая вероятность.

Напоминаю, что значения функции Лапласа можно найти по соответствующей таблице .

Ответ:

.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 18

2. Найти общее решение дифференциального уравнения

Решение: Данное дифференциальное уравнение имеет вид

.

Понижаем степень уравнения до первого порядка:

Или короче:

, где

– константа

Теперь интегрируем правую часть еще раз, получая общее решение:

Ответ: общее решение:

3. Исследовать ряд на сходимость

.

Решение: В общий член ряда входит множитель

, а значит, нужно использовать признак Лейбница

1) Проверка ряда на знакочередование. Обычно в этом пункте решения ряд расписывают подробно

и выносят вердикт «Ряд является знакочередующимся».

2) Убывают ли члены ряда по модулю? Необходимо решить предел

, который чаще всего является очень простым.

– члены ряда не убывают по модулю. К слову, отпала надобность в рассуждениях о монотонности убывания.

Вывод: ряд расходится.

Как разобраться, чему равно

? Очень просто. Как известно, модуль уничтожает минусы, поэтому для того, чтобы составить

, нужно просто убрать с крыши «проблесковый маячок». В данном случае общий член ряда

. Убираем «мигалку»:

.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 19

2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

,

,

,

.

Решение: Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа. Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО. При построении чертежа используем следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить поточечно, с техникой поточечного построения можно ознакомиться в справочном материале. В данной задаче решение может выглядеть так.
Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение

задает ось

.

На отрезке

график функции

расположен над осью

, поэтому:

Ответ:

3. Найти предел

.

Решение: Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком предела
Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.

Получена неопределенность вида

, которую нужно устранять.

Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности

используем метод умножения числителя и знаменателя на опряженное выражение.

Вспоминаем нашу нетленную формулу разности квадратов:

И смотрим на наш предел:

Что можно сказать?

у нас в числителе уже есть. Теперь для применения формулы осталось организовать

(которое и называется сопряженным выражением).

Умножаем числитель на сопряженное выражение:

Обратите внимание, что под корнями при этой операции мы ничего не трогаем.Хорошо,

мы организовали, но выражение-то под знаком предела изменилось! А для того, чтобы оно не менялось, нужно его разделить на то же самое, т.е. на

:

То есть, мы умножили числитель и знаменатель на сопряженное выражение.
В известной степени, это искусственный прием.Умножили. Теперь самое время применить вверху формулу

:

Неопределенность

не пропала (попробуйте подставить тройку), да и корни тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще, ее можно превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить тройку под корни:

Число, как уже отмечалось ранее, лучше вынести за значок предела.

Теперь осталось разложить числитель и знаменатель на множители и сократить «виновников» неопределённости, ну а предел константы – равен самой константе:

Как должно выглядеть решение данного примера в чистовом варианте?
Примерно так:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 20

2. Исследовать ряд на сходимость

.

Используем признак Лейбница:

1)

Данный ряд является знакочередующимся.

2)

– члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий:

, значит, убывание монотонно.

Вывод: Ряд сходится.

3. Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов: четыре с 1-го, пять со 2-го, семь с 3-го и четыре с 4-го. Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или третьего склада.

Решение: всего получено магазином: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 ящиков.

В данной задаче удобнее воспользоваться «быстрым» способом оформления без расписывания событий большими латинскими буквами. По классическому определению:

– вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 1-го склада;

– вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 3-го склада.

Бесконечных «хвостов» после запятой тут нет и не ожидается, поэтому можно работать с десятичными дробями – компактнее будет запись.

По теореме сложения несовместных событий:

– вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с первого или третьего склада.

Ответ: 0,55

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 21

2. Решим систему по формулам Крамера.

, значит, система имеет единственное решение.

Ответ:

.

3. Найти действительную и мнимую часть функции

Решение: так как

, то:

Ответ:

– действительная часть,

– мнимая часть.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 22

2. Исследовать функцию и построить график.

Решение: проведём исследование функции:
1) Функция определена и непрерывна на всей числовой прямой,

.

, значит, данная функция не является четной или нечетной.
Функция непериодическая.

2) Асимптоты графика, поведение функции на бесконечности.
Так как функция непрерывна на

, то вертикальные асимптоты отсутствуют.

, значит, наклонные асимптоты также отсутствуют.

, функция не ограничена снизу.

3) Точки пересечения графика с координатными осями, интервалы знакопостоянства функции.
График

проходит через начало координат.
С осью

Определим знаки

:

, если

,

, если

.

4) Возрастание, убывание, экстремумы функции.

– критические точки.
Определим знаки

:

возрастает на

и убывает на

.
В точке

функция достигает максимума:

5) Выпуклость, вогнутость, перегибы графика.

– критические точки.
Определим знаки

:

График функции является выпуклым на

и вогнутым на

.
В обеих критических точках существуют перегибы графика.

6) Найдем дополнительные точки:

Выполним чертёж:

3. Найти неопределенный интеграл

.

Решение:

Проведем замену:

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 23

2. Найти предел

.

В наличии неопределённость

и приём решения уже знаком – нужно разделить числитель и знаменатель на «икс» в старшей степени.

Старшая степень числителя равна двум. Знаменатель…. Как определить старшую степень, если многочлен под корнем? МЫСЛЕННО отбрасываем все слагаемые, кроме самого старшего:

. Константу тоже отбрасываем и выясняем старшую степень знаменателя:

. Она тоже равна двум. Таким образом, числитель и знаменатель одного порядка роста, а значит, предел равен конечному числу, отличному от нуля.

Почему бы сразу не узнать ответ? В числителе и знаменателе МЫСЛЕННО отбрасываем все младшие слагаемые:

. Таким образом, наши функции не только одного порядка роста, но ещё и эквивалентны на бесконечности.

Оформляем решение:

Разделим числитель и знаменатель на

3. Среди изделий, произведенных на станке-автомате, в среднем бывает 60% изделий первого сорта. Какова вероятность того, что среди 6 наудачу отобранных изделий будет:

а) от 2 до 4-х изделий первого сорта;
б) не менее 5 изделий первого сорта;
в) хотя бы одно изделие более низкого сорта.

Вероятность производства первосортного изделия не зависит от качества других выпущенных изделий, поэтому здесь идёт речь о независимых испытаниях. Старайтесь не пренебрегать анализом условия, а то может статься – события-то зависимые или задача вообще о другом.

Решение: вероятность зашифрована под проценты, которые, напоминаю, нужно разделить на сто:

– вероятность того, что выбранное изделие будет 1-го сорта.
Тогда:

– вероятность того, что оно не будет первосортным.

а) Событие «Среди 6 наудачу отобранных изделий будет от 2 до 4-х изделий первого сорта» состоит в трёх несовместных исходах:

среди

изделий будет 2 первосортных или 3 первосортных или 4 первосортных.

С исходами удобнее разделаться по отдельности. Трижды используем формулу Бернулли

:

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

– вероятность того, что среди 6 наудачу отобранных изделий будет от 2 до 4-х изделий первого сорта.

Решение можно было записать и «одной строкой», что мы, впрочем, сделаем в следующем пункте:

б) Событие «Среди 6 наудачу отобранных изделий будет не менее 5 изделий первого сорта» состоит в 2-х несовместных исходах: первосортных изделий будет пять или шесть.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:

– искомая вероятность.

в) Вероятность того, что «Среди 6 наудачу отобранных изделий будет хотя бы одно изделие более низкого сорта» удобно найти через вероятность противоположного события («Все изделия будут первосортными»), которая уже известна:

– вероятность того, что среди шести отобранных изделий окажется хотя бы одно низкосортное.

Ответ:

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 24

2.Исследовать ряд на сходимость

Решение:

Мы видим, что общий член ряда полностью находится под степенью, зависящей от

, а значит, нужно использовать радикальный признак Коши:

Таким образом, исследуемый ряд расходится.

Оформляем общий член ряда под корень.
(2) Переписываем то же самое, только уже без корня, используя свойство степеней .
(3) В показателе почленно делим числитель на знаменатель, указывая, что
(4) В результате у нас получилась неопределенность . Здесь можно было пойти длинным путем: возвести в куб, возвести в куб, потом разделить числитель и знаменатель на «эн» в старшей степени. Но в данном случае есть более эффективное решение: можно почленно поделить числитель и знаменатель прямо под степенью-константой. Для устранения неопределенности делим числитель и знаменатель на (старшую степень).
(5) Собственно выполняем почленное деление, и указываем слагаемые, которые стремятся к нулю.
(6) Доводим ответ до ума, помечаем, что и делаем вывод о том, что ряд расходится.

3. Найти неопределенный интеграл.

Решение:

Методом неопределенных коэффициентов разложим подынтегральную функцию в сумму элементарных дробей:

Комментарий: в правой части у нас нет слагаемого с

, поэтому в первом уравнении системы ставим справа ноль.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 25

2. Дано комплексное число

. Записать данное число в алгебраической форме (т.е. в форме

).

Приём тот же самый – умножаем знаменатель и числитель на сопряженное знаменателю выражение. Снова смотрим на формулу

. В знаменателе уже есть

, поэтому знаменатель и числитель нужно домножить на сопряженное выражение

, то есть на

:

3. Найти неопределенный интеграл

.

Решение:Для вычисления этого интеграла введем универсальную тригонометрическую замену:

тогда искомый интеграл примет вид

Делая обратную замену, окончательно получим

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 26

2. Умножить матрицы

Решение:

3. Найти предел

Если мы замечаем в пределе синус, то это нас сразу должно наталкивать на мысль о возможности применения первого замечательного предела.

Сначала пробуем подставить 0 в выражение под знак предела (делаем это мысленно или на черновике):

Итак, у нас есть неопределенность вида

, ее обязательно указываем в оформлении решения. Выражение под знаком предела у нас похоже на первый замечательный предел, но это не совсем он, под синусом находится

, а в знаменателе

. В подобных случаях первый замечательный предел нам нужно организовать самостоятельно, используя искусственный прием. Ход рассуждений может быть таким: «под синусом у нас

, значит, в знаменателе нам тоже нужно получить

».
А делается это очень просто:

То есть, знаменатель искусственно умножается в данном случае на 7 и делится на ту же семерку. Теперь запись у нас приняла знакомые очертания.Когда задание оформляется от руки, то первый замечательный предел желательно пометить простым карандашом:

Что произошло? По сути, обведенное выражение у нас превратилось в единицу и исчезло в произведении:

Теперь только осталось избавиться от трехэтажности дроби:

ответ:

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 27

2. Решить систему с матричным методом

Решение: Запишем систему в матричной форме:

, где

Пожалуйста, посмотрите на систему уравнений и на матрицы. По какому принципу записываем элементы в матрицы, думаю, всем понятно. Единственный комментарий: если бы в уравнениях отсутствовали некоторые переменные, то на соответствующих местах в матрице

нужно было бы поставить нули.

Решение системы найдем по формуле

. (Согласно формуле нам нужно найти обратную матрицу

и выполнить матричное умножение

. Обратную матрицу найдем по формуле:

, где

– транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы

.

Сначала разбираемся с определителем:

Здесь определитель раскрыт по первой строке.

Внимание! Если

, то обратной матрицы не существует, и решить систему матричным методом невозможно. В этом случае система решается методом исключения неизвестных (методом Гаусса).

Теперь нужно вычислить 9 миноров и записать их в матрицу миноров

Справка: Полезно знать смысл двойных подстрочных индексов в линейной алгебре. Первая цифра – это номер строки, в которой находится данный элемент. Вторая цифра – это номер столбца, в котором находится данный элемент:

То есть, двойной подстрочный индекс указывает, что элемент

находится в первой строке, третьем столбце, а, например, элемент

находится в 3 строке, 2 столбце

В ходе решения расчет миноров лучше расписать подробно, хотя, при определенном опыте их можно приноровиться считать с ошибками устно.

Порядок расчета миноров совершенно не важен, здесь я их вычислил слева направо по строкам. Можно было рассчитать миноры по столбцам (это даже удобнее). Таким образом:

– матрица миноров соответствующих элементов матрицы

.

– матрица алгебраических дополнений.

– транспонированная матрица алгебраических дополнений.

Теперь записываем обратную матрицу:

Ни в коем случае не вносим

в матрицу, это серьезно затруднит дальнейшие вычисления. Деление нужно было бы выполнить, если бы все числа матрицы делились на 60 без остатка. А вот внести минус в матрицу в данном случае очень даже нужно, это, наоборот – упростит дальнейшие вычисления. Осталось провести матричное умножение. Умножать матрицы можно научиться на уроке Действия с матрицами. Кстати, там разобран точно такой же пример.

Обратите внимание, что деление на 60 выполняется в последнюю очередь.
Иногда может и не разделиться нацело, т.е. могут получиться «плохие» дроби. Что в таких случаях делать, я уже рассказал, когда мы разбирали правило Крамера.

Ответ:

3. Магазин получил продукцию в ящиках с четырех оптовых складов: четыре с 1-го, пять со 2-го, семь с 3-го и четыре с 4-го. Случайным образом выбран ящик для продажи. Какова вероятность того, что это будет ящик с первого или третьего склада.

Решение: всего получено магазином: 4 + 5 + 7 + 4 = 20 ящиков.

В данной задаче удобнее воспользоваться «быстрым» способом оформления без расписывания событий большими латинскими буквами. По классическому определению:

– вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 1-го склада;

– вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с 3-го склада.

Бесконечных «хвостов» после запятой тут нет и не ожидается, поэтому можно работать с десятичными дробями – компактнее будет запись.

По теореме сложения несовместных событий:

– вероятность того, что для продажи будет выбран ящик с первого или третьего склада.

Ответ: 0,55

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 28

2.Пример. Приняв шаг

, построить интерполяционный полином Ньютона для функции

, заданной таблицей

1

1,05

1,1

1,15

1,2

1,25

1,3

-3

-3,685

-4,445

-5,285

-6,207

-7,218

-8,321

Решение. Составляем таблицу разностей (таблица 1).

Так как разности третьего порядка практически постоянны, то в формуле (3) полагаем

. Приняв

,

, будем иметь:

,

или

,

где

. Это и есть искомый интерполяционный полином Ньютона. Таблица 1

1

1,05

1,1

1,15

1,2

1,25

1,3

-3

-3,685

-4,445

-5,285

-6,207

-7,218

-8,321

0,685

0,76

0,84

0,922

1,011

1,103

-0,075

-0,08

-0,082

-0,089

-0,092

0,005

0,002

0,007

0,003

Полученный полином дает возможность прогнозирования. Достаточную точность получаем при решении интерполяционной задачи, например,

Точность падает при решении экстраполяционной задачи, например,

.

3.Найти предел

Сначала попробуйте решить его самостоятельно.

Окончательное решение примера может выглядеть так:

Разложим числитель на множители:

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное выражение

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 29

2. Упростить выражение

, если

. Представить результат в тригонометрической форме и изобразить его на комплексной плоскости.

Решение: итак, требуется подставить

в «страшную» дробь, провести упрощения, и перевести полученное комплексное число в тригонометрическую форму. Плюс чертёж.

Как лучше оформить решение? С «навороченным» алгебраическим выражением выгоднее разбираться поэтапно. Во-первых, меньше рассеивается внимание, и, во-вторых, если таки задание не зачтут, то будет намного проще отыскать ошибку.

1) Сначала упростим числитель. Подставим в него значение

, раскроем скобки и поправим причёску:

Напоминаю, что в ходе преобразований используются совершенно бесхитростные вещи – правило умножения многочленов и уже ставшее банальным равенство

. Главное, быть внимательным и не запутаться в знаках.

2) Теперь на очереди знаменатель. Если

, то:

Заметьте, в какой непривычной интерпретации использована формула квадрата суммы

. Как вариант, здесь можно выполнить перестановку

под формулу

. Результаты, естественно, совпадут.

3) И, наконец, всё выражение. Если

, то:

Чтобы избавиться от дроби, умножим числитель и знаменатель на сопряженное знаменателю выражение. При этом в целях применения формулы разности квадратов

следует предварительно (и уже обязательно!) поставить отрицательную действительную часть на 2-ое место:

А сейчас ключевое правило:

НИ В КОЕМ СЛУЧАЕ НЕ ТОРОПИМСЯ! Лучше перестраховаться и прописать лишний шаг.

На завершающем шаге произошло хорошее сокращение и это просто отличный признак.

Обозначим наше достижение буквой

Представим полученный результат в тригонометрической форме. Вообще говоря, здесь можно обойтись без чертежа, но коль скоро, требуется – несколько рациональнее выполнить его прямо сейчас:

Вычислим модуль комплексного числа:

Если выполнять чертёж в масштабе 1 ед. = 1 см (2 тетрадные клетки), то полученное значение легко проверить с помощью обычной линейки.

Найдём аргумент. Так как число расположено во 2-й координатной четверти

, то:

Угол элементарно проверяется транспортиром. Вот в чём состоит несомненный плюс чертежа.

Таким образом:

– искомое число в тригонометрической форме.

Выполним проверку:

, в чём и требовалось убедиться.

Незнакомые значения синуса и косинуса удобно находить по тригонометрической таблице.

Ответ:

3. Разложить функцию в ряд Маклорена. Найти область сходимости полученного ряда.

Эквивалентная формулировка: Разложить функцию в ряд по степеням

Решение незамысловато, главное, быть внимательным.

Конструируем наш ряд. Плясать начинают, как правило, от функции, разложение которой есть в таблице:

.

В данном случае

:

Раскрываем наверху скобки:

Теперь умножаем обе части на «икс»:

В итоге искомое разложение функции в ряд:

Как определить область сходимости? Чем постоянно проводить очевидные рассуждения, проще запомнить: разложения синуса, косинуса и экспоненты сходятся при любом действительном значении

(за исключением, конечно, тех случаев, когда, например,

– см. комментарии к табличным разложениям). Домножение

на «икс» не играет никакой роли в плане сходимости, поэтому область сходимости полученного ряда:

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 30

2. Вычислить приближенно

, заменяя приращения функции ее дифференциалом.

Решение: Пожалуйста, перепишите в тетрадь рабочую формулу для приближенного вычисления с помощью дифференциала:

Начинаем разбираться, здесь всё просто!На первом этапе необходимо составить функцию

. По условию предложено вычислить кубический корень из числа:

, поэтому соответствующая функция имеет вид:

. Нам нужно с помощью формулы найти приближенное значение

.Смотрим на левую часть формулы

, и в голову приходит мысль, что число 67 необходимо представить в виде

. Как проще всего это сделать? Рекомендую следующий алгоритм: вычислим данное значение на калькуляторе:

– получилось 4 с хвостиком, это важный ориентир для решения.

В качестве

подбираем «хорошее» значение, чтобы корень извлекался нацело. Естественно, это значение

должно быть как можно ближе к 67. В данном случае:

. Действительно:

.

Примечание: Когда с подбором

всё равно возникает затруднение, просто посмотрите на скалькулированное значение (в данном случае

), возьмите ближайшую целую часть (в данном случае 4) и возведите её нужную в степень (в данном случае

). В результате и будет выполнен нужный подбор:

.

Если

, то приращение аргумента:

.

Итак, число 67 представлено в виде суммы

Далее работаем с правой частью формулы

.

Сначала вычислим значение функции в точке

. Собственно, это уже сделано ранее:

Дифференциал в точке находится по формуле:

– тоже можете переписать к себе в тетрадь.

Из формулы следует, что нужно взять первую производную:

И найти её значение в точке

:

Таким образом:

Всё готово! Согласно формуле

:

Найденное приближенное значение достаточно близко к значению

, вычисленному с помощью микрокалькулятора.

Ответ:

3. Решить систему линейных уравнений

Решение: Запишем расширенную матрицу системы и с помощью элементарных преобразований приведем ее к ступенчатому виду.

Выполненные элементарные преобразования:
(1) Первую и третью строки поменяли местами.
(2) Ко второй строке прибавили первую строку, умноженную на –6. К третьей строке прибавили первую строку, умноженную на –7.
(3) К третьей строке прибавили вторую строку, умноженную на –1.
В результате элементарных преобразований получена строка вида

, где

, значит, система несовместна.
Ответ: решений нет.

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 31

2.Вычислить произведение

Решение:

(1) Согласно свойству

перемещаем числовой множитель вперёд. Сами матрицы переставлять нельзя!

(2) – (3) Выполняем матричное умножение.

(4) Здесь можно поделить каждое число 10, но тогда среди элементов матрицы появятся десятичные дроби, что не есть хорошо. Однако замечаем, что все числа матрицы делятся на 5, поэтому умножаем каждый элемент на

.

Окончательный ответ лучше оставить в виде

, хотя, в принципе, годится и внесение дроби:

. Ответ:

3. Вычислить предел по правилу Лопиталя

Решение: Предел можно предварительно упростить, избавившись от косинуса, однако проявим уважение к условию и сразу продифференцируем числитель и знаменатель:

ЭКЗАМЕНАЦИОННЫЙ БИЛЕТ № 32

2. Исследовать ряд на сходимость

Используем признак Лейбница:

Решение: 1)

Данный ряд является знакочередующимся.

2)

– члены ряда убывают по модулю. Каждый следующий член ряда по модулю меньше, чем предыдущий:

, значит, убывание монотонно.

Вывод: Ряд сходится.

Исследуем ряд на абсолютную сходимость:

Анализируя начинку ряда, приходим к выводу, что здесь нужно использовать предельный признак сравнения. Скобки в знаменателе удобнее раскрыть:

Сравним данный ряд со сходящимся рядом

. Используем предельный признак сравнения.

Получено конечное число, отличное от нуля, значит, ряд

сходится вместе с рядом

.

Исследуемый ряд сходится абсолютно.

3. Найти неопределенный интеграл

.

Решение: Преобразуем подынтегральную функцию, используя вначале формулу для синуса двойного угла

а затем, формулу для понижения степени