Управление массовым составом и прозрачностью контрейла авиалайнера при помощи инжекции ионов в струи двигателей

Том XXXVII

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ

2006

№ 4

УДК 629.7.015.3.036:533.695.7

УПРАВЛЕНИЕ МАССОВЫМ СОСТАВОМ И ПРОЗРАЧНОСТЬЮ КОНТРЕЙЛА АВИАЛАЙНЕРА ПРИ ПОМОЩИ ИНЖЕКЦИИ ИОНОВ

В СТРУИ ДВИГАТЕЛЕЙ

А. В. КАШЕВАРОВ, А. Л. СТАСЕНКО

Рассмотрена простая кинетическая модель водного аэрозоля, образующегося в осесимметричной турбулентной струе двигателя сверхзвукового пассажирского самолета. Модель описывает массообмен и динамику капель, сталкивающихся за счет броуновских блужданий и увлечения турбулентными пульсациями несущего газа, при произвольном значении числа Кнудсена, что делает ее пригодной для любой высоты полета. Численно проиллюстрирована возможность управления размером микрокапель при помощи ввода в струю контролируемого расхода ионов, служащих дополнительными ядрами конденсации. Результатом такого управления может быть, например, увеличение прозрачности струи двигателя авиалайнера, и, следовательно, устранение искусственных облаков, образующихся на самолетных выбросах в интенсивно нагруженных коридорах полета и в окрестности больших аэропортов.

Исследование физико-химических процессов, происходящих в следе крупного гражданского самолета, и оптических свойств этих следов представляет интерес как с точки зрения экологии, так и вихревой безопасности интенсивно работающих аэропортов (например, [1 — 4]). В частности, управление оптическими характеристиками контрейлов может быть полезным в загруженных коридорах полета над участками Европейского континента, где нежелательно создавать искусственные облака, способные уменьшать поток солнечной радиации

[5, 6].

Суть физической идеи состоит в следующем. Как известно, наибольший коэффициент рассеяния частиц соответствует условию 2па/Х ~ 1. Следовательно, изменяя характерный размер частиц а, можно сделать прозрачным контрейл, который ранее был оптически толстым для излучения с характерной длиной волны X.

Одним из возможных способов увеличения прозрачности контрейла является увеличение числа ядер конденсации за счет инжекции в след ионов. Если считать, что вся масса паров воды

3

сконденсировалась на гетерогенных ядрах, то выполняется условие па = const; при этом каждая капля будет тем мельче, чем больше концентрация п этих гетерогенных ядер. В области релеевского рассеяния (а << X) объемная плотность рассеяния пропорциональна па6 = const • а3, т. е. сильно уменьшается с измельчением частиц.

Возможность управлять электрическим зарядом самолета привлекала внимание многих исследователей как в режиме квазинейтральной, так и униполярной струи (например, [7, 8]). В результате к настоящему времени, с одной стороны, можно считать хорошо разработанной теорию генерирования заряженных частиц самим самолетом или бортовым устройством, основанную на многочисленных экспериментальных и аналитических исследованиях вольт-амперных характеристик коронного разряда в движущейся среде с учетом разницы подвижностей положительных и отрицательных ионов, процессов зарядки частиц сажи, электрических токов выноса из реактивных двигателей.

Рис. 1. Схема струи с инжекцией ионов и заряженными каплями

С другой стороны, разработана подробная (и сложная) теория парных столкновений электрически нейтральных частиц в турбулентном несущем потоке [9 — 11]. Как правило, все эти исследования относятся к случаю вязкого стоксова обтекания достаточно крупных частиц (радиусы которых превышают длину свободного пробега молекулы) с поправкой на разреженность типа «параллельных проводимостей», использованной еще при классических опытах по измерению заряда электрона [12].

В настоящей работе численно исследована возможность измельчения капель, образующихся в результате гетерогенной конденсации водяных паров в струе двигателя, путем инжекции ионов. Прослежено влияние этого измельчения на оптические характеристики струи. Предполагается, что два сорта ионов, отличающихся только знаком электрического заряда, вводятся в струю по периферии сопла (рис. 1). Исследования проведены для модельного случая изобарической осесимметричной сверхзвуковой спутной струи, где авторами накоплен определенный опыт расчетов различных физико-химических процессов (см., например, [13, 14]), в том числе конденсации пара на электрически нейтральных ядрах и дальнейшей эволюции аэрозоля. Наличие заряженных частиц потребовало модификации модели кинетики водного аэрозоля.

1. Кинетика аэрозоля с заряженными частицами. В применении к струйно-вихревому следу самолета, простирающемуся на десятки и сотни километров, возникает необходимость учета большого количества «элементарных» процессов (изменения массы отдельной частицы из-за конденсации и испарения, увлечения ее турбулентными пульсациями, столкновения с другими частицами, коагуляции и, возможно, дробления). Вследствие необходимости описания множества этих процессов (при различных режимах обтекания частиц) в рамках единой системы уравнений, приемлемой для численных исследований, приходится прибегать к построению упрощенных моделей, основанных на ряде предположений, и пригодной для описания эволюции размеров частиц от нано- до микрометрового масштаба и при различных высотах полета.

Изложим вкратце вывод простейших кинетических уравнений. Скорость изменения концентрации нейтральных капель при столкновениях (и слиянии) равна

coll 1

= - 2 Knnnl - Kn+ nnn+ - Kn-nnn- + K±n+ n- •

В правой части этого выражения первое слагаемое описывает убыль концентрации за счет попарного слияния нейтральных капель, второе и третье — их убыль за счет слияния с заряженными каплями, последнее — образование новых нейтральных капель при слиянии частиц, несущих заряды противоположного знака.

Предполагая, что

Kn+ = Kn- = Kne, n+ = n- = njl

(условие квазинейтральности), приведем это уравнение к виду

coll

1 2

= — Knn< _ Knennne + K±\~ I •

Аналогично для концентрации заряженных частиц запишем

coll

= - 2 K++n+ - K± n+ n_ ,

coll

= — K n _ K± n+n , 2 ± +

что в предположениях (1) дает одно уравнение для суммарной концентрации заряженных капель

coll

= —rKee \ I _2K±\~e I , Kee - K++ - K- _.

При описании скоростей указанных «реакций» Knn, Kne, Kee, K± примем следующие предположения.

1) Характерные времена скоростной релаксации нейтральных х^ и заряженных TVe частиц малы по сравнению с «большим» газодинамическим временем та: тп,е << та ~ 2ra lua (здесь ra и ua — радиус и скорость истечения струи на срезе сопла, рис. 1).

2) Столкновения нейтральных частиц друг с другом происходят только за счет броуновских блужданий и турбулентных пульсаций несущего газа; при этом их относительная скорость

|AVnn| = J2VtQnn определяется коэффициентом 9nn =0ВП +'nn), заимствованным из работ

[9, 11], Qn =TVnjTt, Tt — временной масштаб турбулентности, Vt — средняя скорость турбулентных пульсаций.

3) Число Кнудсена для частиц Kn = lm l(2a) может быть произвольным (здесь lm — средняя

длина свободного пробега молекулы, зависящая от условий полета), поэтому характерные

V с а

времена скоростной релаксации т и массообмена т описываются выражениями типа «параллельных» проводимостей [13, 15, 16], асимптотически переходящими в формулы для континуального

(Kn >> 1) и свободномолекулярного (Kn << 1) обтекания шара.

4) Для моделирования электростатического взаимодействия заряженных частиц приняты следующие соображения.

Рассмотрим сближение двух одинаковых частиц, несущих заряды противоположного знака ±Ze, под действием кулоновской силы и при отсутствии турбулентности газа. В квазистатическом режиме уравнение для изменения расстояния между ними имеет вид

dr+

dt 4nr±2 me /2

(те/2 = т+т_/(т+ + т_) — приведенная масса, т+ = т_ = те).

—1/3

Проинтегрируем уравнение в пределах от г± = пе ' (среднего расстояния между частицами) до г± = 21 т + 2ае (момента соприкосновения слоев Кнудсена вокруг обеих частиц, рис. 1). В результате получим характерное время сближения частиц, протекшее между этими двумя состояниями

4пв,

,{ n_ _[2

Здесь во — диэлектрическая проницаемость вакуума.

Оценим это время для следующего набора параметров: ае = 10-7 м, пе = 1014 м-3, 2е = 1.6 • 10-19 Кл (элементарный заряд е0), 1т = 1.75 • 10-7 м, = 1.46 • 105 кг/м-с, р = 0.414 кг/м3

(высота полета 10 км). Имеем тУе = 5.8 • 10-7 с (определение см. ниже), те = (4/3)п • 10-18 кг,

т± ~ 50 с.

Видно, что время сближения частиц, несущих единичный элементарный заряд, много больше времени скоростной релаксации, что оправдывает принятое выше предположение о квазистатичности движения. Если говорить о продольном масштабе, то для сверхзвукового самолета рассмотренный процесс происходит на расстоянии нескольких километров за самолетом. Кроме того, это время существенно больше и характерного времени пульсаций несущего газа. Поэтому влиянием кулоновской силы на скорость сближения заряженных капель вплоть до соприкосновения их слоев Кнудсена можно пренебречь.

Однако дальнейшее движение двух сближающихся капель происходит в вакууме (по определению слоя Кнудсена); при этом кулоновская сила становится существенной. Считая, что в момент начала перекрытия слоев Кнудсена частицы имеют хаотически направленную относительную скорость |ДКее|, вызванную броуновским движением или турбулентными пульсациями,

в результате решения задачи Кеплера получим следующую оценку для характерного значения прицельного расстояния Ъ±.

( Ъ \2 72

±

V 2ае у

22 (. 1

1 + Пее , Пее = "---е |1 -

4пВ02аете|ДКее|2^ 1 + Кп

Это выражение предлагается учесть в виде поправочного множителя в ядре столкновений К±. Разумеется, такая «ступенчатая стыковка» режимов движения частиц в момент соприкосновения их слоев Кнудсена не является строгим описанием парного взаимодействия. Действительно, еще до этого момента функция распределения молекул по скоростям между сближающимися частицами перестает быть максвелловской. Кроме того, если при этом происходит конденсация пара на частицах, возникает экранный эффект, приводящий к дополнительной силе притяжения, учтенной, например, в [17].

Для описания столкновений одноименно заряженных частиц соответствующую поправку примем в виде.

^ее = (1 - Пее) [ 1 + 88п(1 - Пе)]/2;

выражение в квадратных скобках «отключает» эту поправку при Пее >> 1.

5) Сталкивающиеся капли сливаются друг с другом с вероятностью единица.

6) Дроблением капель в результате столкновений или обдува несущей средой пренебрегается.

7) Для оценки характерного временно масштаба турбулентности принято выражение Т = 0.19£г/вг, где — удельные кинетическая энергия пульсаций и скорость ее диссипации, безразмерный коэффициент 0.19 найден из прямого численного моделирования [18].

8) Столкновения нейтральных частиц с заряженными определяются упомянутыми выше

стохастическими процессами: 1Д¥пе1 = л/2 У# пе. При этом в коэффициенте столкновений за счет

7Г (о -о )2

турбулентных пульсаций вводится дополнительное слагаемое [19] 9 пе =. п е

3п 1 + (Оп +Ое )2

моделирующее рост вероятности столкновений с увеличением разности размеров сталкивающихся частиц. Как показали расчеты, оно достаточно хорошо аппроксимирует сложные зависимости, полученные в [10, 11] для описания частоты столкновения шаровых частиц разных размеров. Влиянием электростатического «изображения» заряженной частицы в нейтральной пренебрегается.

Выражения для коэффициентов увлечения частицы турбулентными пульсациями, используемые в настоящей работе, получены для случая континуального стоксова обтекания.

Они содержат отношения Оп = тП /тг, Ое = х^ /х{ характерных времен скоростной релаксации

шаровых частиц к интегральному временному масштабу турбулентности. Наше обобщение

V V

заключается в использовании в качестве хп , те интерполяционных выражений, пригодных для произвольного числа Кнудсена, вычисленного по радиусу частицы.

9) Поскольку массовая доля паров воды в струях двигателей на углеводородном топливе составляет несколько процентов (а массовая доля конденсата — и того меньше), обратным влиянием аэрозоля на характеристики потока пренебрегается.

10) Изменение массы отдельной частицы за счет конденсации пара или испарения с поверхности описывается уравнением:

dm,

-phase

= 4na, Pi

da,

phase

da,

-phase

a,[av

(j = n, e).

T

a

Здесь индекс у описывает как нейтральную, так и заряженную частицу; р/ = 103 кг/м3 — плотность воды, ау = ру/р — массовая доля пара, а^) — массовая доля пара, соответствующая условию его насыщения над поверхностью капли. В принципе, давление насыщающих паров над поверхностью капли растет с уменьшением ее радиуса и уменьшается при наличии внутри капли ионов или молекул кислот [20, 21]. В настоящей работе этими эффектами пренебрегается (что отчасти оправдано тенденцией указанных факторов компенсировать друг друга).

Характерное время фазовых переходов х°; учитывает любые значения числа Кнудсена 0 < Кп < да [16].

t = ^

4a,

ak < cv > Dv

< cv >=

^ , Kn, = A. n 2a,

1 =. 2Dv

' m

< c„ >

(j = n, e);

ак — коэффициент конденсации, — коэффициент диффузии пара.

В этих предположениях предлагаемая модель кинетики аэрозоля в осесимметричной струе имеет вид:

VV nn = 1 my d(nn ' P) 1 1 К nn К

V  V-=-rpvt-я-I - ^Knn--Kn

p rp dr V d r I 2 p

V V Ь = V rpv, M- K_ P I 11 - 2K.PI ^

p rpdr V dr I pV 2I pV 2

V VPn = ±A, rpvt

p rp dr

V  V— = -1 Ai rpvt

p rp dr V

d(pn / p) j - Kne

dr I ne e p

d(pe / p) j + Kn, —

dr I ne e p

% Pe_ 2 p

Pe_ 2 p

n p

n p

1Г :

phase

dm„

dm„

phase

где

Knn = 4na2nj2VtQnn, Kne =n(an + ae)2j2VtQne, Kee = 4na2e JlV^ee, K± = 4na2e4lVtfte&±,

ft =2 I— V^n + ftBr ftBr = 2

vnn _ . _ nn ? nn

квТ

3n 1+ Q„

3^V2Vt I

ft = 2 I 2 + ftBr ftBr = 2 ftee = 2J—--— + ftee J ftee =

e~=J 3П

't Vman

(Qn-^e )2

kBT

1 + Qn 1 + Qe 1 +

Qn,e = T n,e ! Tt, Tn,e = p/

2a

3n 1+ Q

,0Br QBr =

ne ne

3пТж

t Mmae

kBT

3nj2Vt

16

3 13л/П 3

Радиусы капель находятся из выражения

t №manae -1 "

4 3 ч

Pj = 3nPlnjaj J (j = n e)•

Отметим характерные черты безразмерных коэффициентов 9у5 = |АРу5|/(\/2^) (у, 5 = и, е). В случае у = 5 (частицы одинаковых размеров) слагаемое, описывающее разность скоростей двух частиц вследствие их броуновского блуждания, обратно пропорционально квадрату их радиусов и, следовательно, быстро убывает с увеличением размеров частиц. Слагаемое, относящееся к турбулентным пульсациям, зависит от отношения Оу характерных времен скоростной релаксации частиц и турбулентных пульсаций газа и достигает максимума при Оу = 1. Между этими двумя ветвями зависимости |А^5| от размеров частиц лежит минимум, соответствующий малой вероятности столкновений частиц. При у Ф 5 эта вероятность сильно возрастает (см. последнее слагаемое в квадратных скобках в выражении (3) для 9пе).

Подчеркнем еще раз модельный характер этой системы уравнений: в ней все нейтральные капли одинаковы, все заряженные капли также одинаковы (хотя и отличны по массе от нейтральных). Таким образом, эта система описывает локально-двухфракционный аэрозоль.

Легко показать, что она удовлетворяет закону сохранения массы. Складывая третье и четвертое уравнения системы (2), получим

V-V-

+ Pe 1 0 d

я 1 rPVt rp dr V

д r

dmn phase ne -|--— dme phase

_ dt _ P _ dt _

P

Видно, что изменение суммарной массовой плотности частиц происходит только за счет их турбулентной диффузии и массообмена с паром. Коагуляция частиц не изменяет суммарную плотность.

2. Результаты расчетов. Численное решение уравнений кинетики аэрозоля проводилось на «фоне» полей скорости, температуры и водности изобарической спутной струи, рассчитанной по методике [4] с привлечением стандартной к-г модели турбулентности. Расчеты проведены при следующем наборе входных параметров: Н = 10 км, М« = 1.2, га = 0.87 м, иа = 895 м/с, и« = 359 м/с, Та = 469 К, Т« = 223 К, ага = 0.0179, = 0.5ага(Т«), ак = 1. Эти параметры соответствуют режиму набора высоты перспективным СПС-2, рассмотренным в [22]. Для концентраций нейтральных частиц в начальном сечении задавался ступенчатый профиль, так что на срезе сопла ппа = 1013 м-3, а в атмосфере пп« = 0. Предполагалось, что заряженные частицы распределены по закону треугольника в кольцевом сечении сопла 0.8га < г < 1.2га (так что максимальное значение пеа = 1015 м-3 достигается при г = га).

Начальный размер частиц оценим из следующих соображений. Прежде всего, ионы в присутствии водяных паров будут довольно быстро гидратироваться, поскольку молекула воды обладает большим дипольным моментом рс1 = 6 • 10-30 Кл • м; радиус молекулы воды гт = 1.4 А.

Характерный радиус ионного кластера а* ограничим сверху условием: потенциальная

энергия связи диполя рс молекулы воды с центральным ионом кластера должна быть по абсолютной величине больше средней кинетической энергии молекул воды при температуре атмосферы, откуда

( \1/2

а:<\-^0РА-] .

с 14пв0 3кв7; /2У

Для условий полета получим а*< ~10-9 м. Следовательно, такой гидрат содержит ~100 молекул воды. Поскольку длина свободного пробега молекул воздуха, например, на высотах > 20 км имеет порядок /т ~ 10 6 м, эти гидраты находятся в свободномолекулярной среде, так что характерное время их образования можно оценить выражением

* 4Р/а*

Ру(СУ) '

Рис. 2. Радиальные распределения относительной концентрации (а) и радиусов нейтральных капель (б) (в отсутствии инжекции ионов) в поперечных сечениях

осесимметричной струи

Рис. 3. Радиальные распределения в случае инжекции ионов относительной концентрации и радиусов нейтральных (а, б) и заряженных (в, г) капель

Принимая для оценки ру ~ 10 3 кг/м3, (е^ ~500 м/с, получим хС ~ 10 5 с. Даже при скорости

струи иа ~ 103 м/с такие гидратированные ионы образуются уже на расстоянии нескольких сантиметров от выходного сечения сопла. Следовательно, именно они (а не «голые» ионы) могут рассматриваться в качестве исходного материала дальнейшей гетерогенной конденсации пара воды.

На рис. 2 — 4 приведены параметры струи с электрически квазинейтральным аэрозолем. Рис. 2 является «опорным» — на нем дано пространственное распределение концентрации и радиусов капель, образующихся на собственных ядрах конденсации, генерируемых двигателем. Видно, что турбулентная диффузия приводит к расширению области, занятой частицами (рис. 2, а); конденсационный рост капель начинается в кольцевой области (см. рис. 2, б, сечение х/га = 100), затем распространяется к оси и во внешнюю область струи, однако в недосыщенной атмосфере

происходит «обрезание» радиального распределения размера капель. В сечении струи х/га = 100 наблюдается уже почти ступенчатое распределение с радиусом капель ап > ~ 0.2 мкм (рис. 2, б).

Рис. 3 иллюстрирует влияние инжекции ионов с общей концентрацией пе = 2п+ = 2п_ = 1015 м-3. Видно, прежде всего, что концентрация нейтральных капель увеличилась по сравнению с предыдущим случаем (ср. рис. 3, а и 2, а) за счет коагуляции электрически заряженных капель с противоположным знаком заряда (см. последнее слагаемое в уравнении для пп). Этот же процесс приводит к тому, что концентрация заряженных капель (рис. 3, в) падает вдоль оси струи гораздо резче, чем нейтральных (уравнение для пе вообще не содержит положительных источников). Самым важным результатом (с точки зрения настоящей работы) является существенное измельчение образовавшихся капель (ср. рис. 3, б, г и 2, б) — их радиус уменьшился приблизительно втрое.

На рис. 4 приведено пространственное распределение плотности конденсата. Рис. 4, а соответствует «опорному» случаю (отсутствия добавочных ионов), рис. 4, б — плотности конденсата в нейтральной и заряженной фракциях аэрозоля. (Для наглядности масштаб вертикальной оси одинаков на всех рисунках.) Видно, что большую часть сконденсировавшейся воды приняли на себя заряженные капли (ср. рис. 4, б и в), хотя суммарная плотность конденсата почти не изменилась (см. рис. 4, а).

Далее приведены результаты расчета оптических характеристик струи с локально моно- и полидисперсным аэрозолем. Предполагается, что горизонтальная струя освещается солнечным излучением с планковским спектром рх при температуре Т = 6000 К (рис. 5, а). Рассматривается случай оптически прозрачной струи, когда применима гипотеза аддитивности вкладов всех частиц в рассеяние падающего излучения (в противном случае было бы необходимо решать уравнение переноса излучения внутри струи); переизлучением пренебрегается. Характеристики излучения, рассеянного отдельной частицей, вычисляется согласно теории Ми по программе, приведенной в [23]. Входной информацией для теории Ми является комплексный коэффициент преломления п%, зависящий от длины волны X электромагнитного излучения. Однако, поскольку основная часть энергии солнечного света заключена в видимой части спектра, примем постоянное значение п% = 1.33 + 7 • 10-8.

Рис. _____

спектральн____________________ ______________________ ________,__________ _______.... а ________ ....

нейтральных капель в отсутствии инжекции ионов и б, в — нейтральных и равномерно распределенного по^спектру падающего излучения; в — то же, умноженное на : , г заряженных капель

1 — в отсутствии инжекции ионов; 2 — приинжекцийионов Дпо вертикальным осям —

условные единицы)

Квантовыми эффектами, которые могли бы быть вызваны малыми размерами рассматриваемых частиц аэрозоля, в настоящей работе пренебрегается, поскольку эти эффекты существенны лишь при характерных диаметрах частиц менее 10-8 м [23].

На рис. 5, б приведена спектральная зависимость коэффициента рассеяния падающего излучения с длиной волны X и фиксированной амплитудой всеми частицами, находящимися в сечении х/га = 1000,

да

у Г 2

Qs ~ I п/(2жа]- /X)2лгаТ , (/ = п, е).

г=0

Видно, что максимум рассеяния излучения смещается в сторону меньших значений радиуса частицы (которые реализуются в случае квазинейтральной струи, рис. 3, б, г). Благодаря тому, что рассматриваемое сечение струи (х/га = 1000) почти равномерно заполнено каплями приблизительно одинакового радиуса (см. рис. 3, б, г), хорошо проявились дифракционные максимумы при малых значениях длины волны (и, следовательно, больших значениях дифракционного параметра 2па/Х).

Наконец, на рис. 5, в приведены спектральные зависимости рассеянного излучения с учетом спектральной зависимости падающего солнечного излучения

Работа выполнена в рамках Проекта 2249 Международного научно-технического центра.

ЛИТЕРАТУРА

1. Shumann U. On the effect of emission from aircraft engines on the state of the atmosphere // Ann. Geophys. — 1994. Vol. 12.

2. Вышинский В. В., Стасенко А. Л. Струйно-вихревой след самолета: проблемы экологии и безопасности полета // Математическое моделирование. — 1999. Т. 11, № 4.

3. Стасенко А. Л. Проблемы авиационной экологии // Энергия, журн. Президиума РАН. — 1999, № 7.

4. Кашеваров А. В., Потапов Ю. Ф., Стасенко А. Л. Влияние вида горючего на физико-химические свойства струй самолетов и распространение их компонентов в окрестности аэропорта // Ученые записки ЦАГИ. — 2001. Т. XXXII, № 3 — 4.

5. Jensen E. J., Toon O. B. The potential impact of soot particles from aircraft exhaust on cirrus clouds // Geophys. Res. Lett. — 1997. Vol. 24, N 24.

6. Boucher O. Air traffic may increase cirrus cloudiness // Nature. — 1999, N 397.

7. Bychkov V., Klimov A. Application of tesla and erosive discharge for removing of static charge on the airplane's surface // Intern. Conf. on Lightning and Static Electricity, 22 — 24 June 1999. Toulouse. — Paper No. 1999-01-2369.

8. Ватажин А. Б., Сафин И. Р., Холщевникова Е. К. Исследование различных режимов конденсации в изобарических турбулентных паровоздушных струях // Изв. РАН. МЖГ. — 2001, № 1.

9. Стернин Л. Е., Шрайбер А. А. Многофазные течения газа с частицами. — М.: Машиностроение. — 1994.

10. Д е р е в и ч И. В. Столкновения частиц в турбулентном потоке // Изв. РАН. МЖГ. — 1996, № 2.

11. Зайчик Л. Е. Оценка времени между столкновениями дисперсных частиц в турбулентном потоке // ТВТ. — 1998. Т. 36, № 3.

12. M i 11 i k a n R. A. The general law of fall of a small spherical body through a gas, and its bearing upon the nature of molecular reflection from surfaces // Phys. Rev. — 1923. V. 22, N 1.

13. Кашеваров А. В., Стасенко А. Л. Хемосорбция окислов азота каплями воды в спутной струе // Ученые записки ЦАГИ. — 1994. Т. XXV, № 3 — 4.

14. Кашеваров А. В., Потапов Ю. Ф., Стасенко А. Л. Осесимметричная спутная струя с физико-химическими процессами // Ученые записки ЦАГИ. — 1998. Т. XXIX, № 3 — 4.

15. Scherman F. S. A survey of experimental results and methods for the transition regime of rarefied gas dynamics // Raref. Gas Dynamics. V. 2 — NY—London: Acad. Press. — 1963.

16. Стасенко А. Л. Модели динамики и теплообмена шаровых частиц в газодисперсных и капельных потоках // Труды ЦАГИ. — 1983. Вып. 2220.

17. Кашеваров А. В., Коган М. Н., Кучеров А. Н., Стасенко А. Л. Создание канала просветления лазерным пучком в полидисперсной струе высотного самолета // Оптика атмосферы и океана. — 1997. Т. 10, № 12.

18. Sawford B. L. Reynolds number effects in Lagrangian stochastic models of turbulent dispersion // Phys. Fluids A. — 1991. Vol. 3, N 6.

19. Стасенко А. Л. Физическая механика многофазных потоков. — М.: Изд. МФТИ. — 2004.

20. Kulmala M., Laaksonen A., Korhonen P., Vesala T., Ahonen T., Barrett J. C. The effect of atmospheric nitric acid vapor on cloud condensation // J. Geophys. Res. — 1993. Vol. 98.

21. Савельев А. М., Старик А. М. Динамика образования сульфатных аэрозолей в струях реактивных двигателей // Изв. РАН. МЖГ. — 2001, № 1.

22. Васильев Л. Е., Попов С. И., С в и щ е в Г. П. Сверхзвуковой гражданский самолет второго поколения // ТВФ. — 1994, № 1 — 2.

23. Борен К., Хафмен Д. Поглощение и рассеяние света малыми частицами. — М.: Мир. — 1986.

Рукопись поступила 29/VI2005 г.