Приближения минимальными сплайнами максимального и минимального дефекта

УДК 519

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2006, вып. 1

И. Г. Бурова

ПРИБЛИЖЕНИЯ МИНИМАЛЬНЫМИ СПЛАЙНАМИ МАКСИМАЛЬНОГО И МИНИМАЛЬНОГО ДЕФЕКТА*

Полиномиальные минимальные интерполяционные сплайны подробно изучались в монографии [1]. Отличительная черта этих сплайнов заключается в том, что аппроксимация строится отдельно на каждом сеточном интервале в виде линейной комбинации базисных сплайнов с коэффициентами, равными значениям приближаемой функции в нескольких соседних узлах сетки. Выполняется свойство «точности» на полиномах заданной степени. В [1] получены оценки погрешности приближения полиномиальными минимальными интерполяционными сплайнами. Здесь же указан подход к построению неполиномиальных базисных функций максимального дефекта.

Тригонометрические, экспоненциальные и полиномиальные с дробными степенями сплайны минимального дефекта с носителем, занимающим от трех до семи сеточных интервалов на равномерной сетке узлов, получены в работах [2-8]. Там показана связь между построенными базисными сплайнами и широко известными полиномиальными В-сплайнами [9]. Гладкость базисных функций на две единицы меньше числа сеточных интервалов в носителе базисного сплайна. С помощью метода, предложенного в работе [10], построены приближения в виде линейной комбинации базисных сплайнов с коэффициентами, равными значениям приближаемой функции и ее нескольких производных в узлах сетки. Для построения приближения не требуется решения систем уравнений. Оценка погрешности тригонометрическими сплайнами минимального дефекта с помощью разложения по формуле Тейлора дана в [11]. Прием построения непрерывно дифференцируемых базисных сплайнов минимального дефекта с носителем, занимающим три сеточные интервала на неравномерной сетке, указан в работе [12].

В данной работе предложен подход к построению оценок погрешностей приближений, построенных с помощью сплайнов минимального и максимального дефекта и обладающих свойством «точности» на функциях чебышевской системы, с помощью решений ассоциированных дифференциальных уравнений. Здесь также дан общий подход к построению сплайнов минимального дефекта на равномерной сетке узлов, использованный в работах [2-8] для построения конкретных базисных сплайнов.

Автор выражает глубокую благодарность профессору И.К.Даугавету за идею по применению теории обыкновенных дифференциальных уравнений к получению оценки погрешности аппроксимации минимальными сплайнами.

1. Построение непрерывных базисных функций

Пусть I, в —целые неотрицательные числа, связанные соотношением I+ в = п, {ху } — упорядоченная по возрастанию сетка узлов на промежутке [а, Ь]. Функция и(х) задана в узлах сетки. Будем считать, что и € Сп[а,Ь]. Приближение и(х) для функции и(х) на промежутке [ху ,ху+1] строим по формуле и(х) = ^к и(хь)ши(х). Функции (х),

* Работа выполнена при частичной финансовой поддержке РФФИ (гранты №04-01-00692 и 04-01-00026) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант НШ 2268.2003.1).

© И. Г. Бурова, 2006

называемые базисными, будем находить из условий

и(х) — и(х) =0, и = фг(х), г = 1, 2,...,п,

где —чебышевская система функций на промежутке С [а,Ь] и ф €

\. Таким образом, приходим к системе уравнений

)шк (х) = Рг(х), г =1, 2,...,п.

к

При условии яирр ш2 = ,х^+1 \ количество уравнений в системе совпадает с количеством неизвестных. Система принимает вид

З + э

У^ ^г(хк )шк (х) = Рг(х), г = 1, 2,...,П.

к=з-1+1

Обозначим Ф(х) = (^\(х),..., фп(х))т. Предположим, что

Аз = ЛеЬ(Ф(хз-1+1),..., Ф(х^+э)) = 0,

тогда базисные функции шк(х) определяются однозначно. С помощью формул Крамера получим

шз-к(х) = д.еЬ(Ф(хз-1+1),...,Ф(хз-к-1), Ф(х), Ф(х^-к+1),...,Ф(х+ ))/Ай,

к = —в, — в +1, ...,1 — 1. Заметим, что в соответствии с результатами [1] при I > 1, в > 1 базисные сплайны шз непрерывны на промежутке [а, Ь\.

2. Построение решения ассоциированного дифференциального уравнения

Построим однородное линейное уравнение, имеющее фундаментальную систему решений ф1(х),...,фп(х). В соответствии с разделом 6.2.10 [13] для х € [хз-1+1,хз+э\ составим соотношение

Фlí)(x), Ф2í>(x), ... ФП '(х Предположим, что определитель Вронского

0(п) I

0.

Ш

Фl(x), Фl(x),

(п-1>

(п-1> (п-1>

ф2

(п-1>

фп

фп

(п-1>

отличен от нуля при х € [хз-1+1, хз+8\. Разлагая определитель по элементам последнего столбца и деля все члены полученного уравнения на Ш(х), получим искомое уравнение

Ьи = и(п>(х) +р1(х)и(п 1> (х) + ... + рп(х)и(х) = 0.

Построим теперь общее решение неоднородного уравнения Ьп = / (х) методом вариации произвольных постоянных. Положим

п(х) =53 С%(х)фг(х).

г=1

Для определения С^(х) в соответствии с [13] получаем систему п дифференциальных уравнений первого порядка:

п

^С&х)<р> (х)=0,

1=1

п

^СЦх)^к) (х)=0, к = 1, 2,...,п — 2,

г=1

г=1

Получаем

Ш (х) '

где Шп{(х) —алгебраические дополнения элементов п-й строки определителя Ш(х). Находим

где С\ —произвольные постоянные, а п — точка из промежутка [хз ,х^+1 ]. Итак,

^ V- ^ ГММ^^г Г ^

4х) = ! --А + 2_^Сцрг{х).

3. Оценка погрешности

Оценим \п(х) — п(х)\. Имеем при х € [хз,х^+1 ]

3 + 8

и(х) — п(х) ^^ и(хк )шк(х) — п(х) = к=3-1+1

3+в ( п /*Хк шш • (ь) / (ь) п \

к=3-1 + 1 ^=1 'п Ш

-Л -'п

Заметим, что ввиду аппроксимационных соотношений из п.1 верна цепочка равенств

3 + 8 П П 3 + 8 п

У^ <Лк (х)^2 С\щ (хк ) = ^ С шк(х)фг(хк )=^2 Сг^г(х).

к=з-1+1 г=1 г=1 к=з-1 + 1 г=1

Теперь

«м-„м-±( £ <*„>]пЫттл-1тт*

г=1 \к=з-1+1

ж

ж

Пусть п = X • Тогда

/ п З+в

\и(х) — и(х)\<\\1 ||[ж._!+1,ж.+а ] ^ тах ,\шк (х)\х

уг=1 к=з-1+1

хЕ[хл,хл+1]

х sign

Жпг

ж

зг +

Жпг

ж

зг

Если же положить п = х, то оценка принимает вид

п З+в

\и(х) — и(х)\<\Ьи\[х]_1 + 1,х3+3]^ У2 гшах ,\^к(х)\х

i=1 к=з-1+1

х sign

щ

зг.

х

4. О построении базисных сплайнов минимального дефекта

Построим на равномерной сетке узлов базисные сплайны шу (х), удовлетворяющие условиям яирршу = ], I + в = п, шу € Сп-2[а, Ь]. Введем п2 — 1 дополнитель-

ных параметров е^ в правую часть системы уравнений п. 1 для нахождения базисных сплайнов шу(х). Таким образом, на промежутке [ху,ху+1 ] имеем

З+в п

У^ Шк (х)^ (хк ) = ^2 еik фк(х), г = 1, 2 ...,п.

к=]-1+1 к=1

Аналогичные системы уравнений выписываем на соседних сеточных интервалах, содержащихся в носителе базисного сплайна. Параметры находим из условия ш^ (ху-в) = 0,

шЗг'\хз+1) =0, г = 0,1,...,п — 2, шу € Сп-2[хз-3, ху+1 ]. Так как количество параметров на один больше, чем требуется, один из параметров, например ец, можно положить равным единице. Для построения приближения и(х) на промежутке [ху,ху+1 ] воспользуемся методом, предложенным в [10].

Таким способом тригонометрические базисные сплайны минимального дефекта построены в работах [2-4]. Экспоненциальные сплайны минимального дефекта построены в работах [5-7].

5. Оценки погрешности тригонометрическими сплайнами

Пусть даны функции ^г

j+i

u(x) = и(Хк)Шк(x), x G [xj,xj+i], k=j-i

где из условия u(x) = u(x), u(x) = (x), i = 1, 2, 3, получаем

sin x Z3^1 sin x xj+1

-

sin Xj sin 2i+1

, ч sin sin ж

— -----

3 sin Xj-12 Xj sin '

Uj+1(x

sin x x3 sin x X] 1

2 2

sin ж,"+12 sin

Уравнение, имеющее данную фундаментальную систему решений ^ (x), i = 1, 2, 3, имеет вид u'"(x) +u'(x) = 0. Общее решение уравнения u'"(x) +u'(x) = f (x) записываем в виде

í'x x — t

u(x) = Cí + C2 sin(x) + C3 cos(x) +2 (u"'(t) + w'(í)) sin2-dt.

Jri 2

Пусть сетка узлов {xj} равномерная с шагом h. Имеем \wj(x)| < 1, |wj+i(x)| < 1, |wj_i(x)| < 0,14.

Если положим n = x, то нетрудно выписать достаточно грубую оценку погрешности

u(x) - u(x)| < K0h3\\u"' + u^\{x-ux,+1], К « 1,6.

После вычисления интегралов получаем оценку

u(x) - u(x)| < Ki\\u" + u'\\[xó_1xxó+1],

где Ki = \шj_l(x)|(x — xj_i — sin(x — xj_i)) + Шj(x)|(x — xj — sin(x — xj) + |wj+i(x)| (xj+i — x — sin(xj+i — x). Непрерывно дифференцируемые тригонометрические базисные сплайны с носителем, задаваемым значениями параметров l = 2,s = 1, построены в работе [2]. Там же рассмотрено приближение

j+i

u(x)=^2 (u(xk ) + tg(h/2)u'(xk)) Шк (x), x e [xj ,xj+i], k=j-i

где

cos(x — jh — h) — 1 cos(x — jh) — 1

2(cos(/i) — 1) ' 2(cos(/i) — 1) '

cos(h) — cos(x — jh — h/2) cos(h/2) "í(x) =-(ooe(ft) - 1)-•

Нетрудно видеть, что 1/2 < (x) < 0,75, 0 < Wj+i(x) < 1/2, 0 < Uj_i(x) < 1/2.

Если положим п = x, то получим достаточно грубую оценку погрешности приближения:

\u(x) — u(x)\ <K0h3\\u>" + u'Wx-!^], Ко « 4,25. Вычисляя интегралы, получаем оценку погрешности приближения:

( h j+1 x -х

\Цх) -и(х)\ <\\и"' + u'\\[x._ux.+l]i2tg- Y^ Uk(x)sin2Xk Х +

V k=j-i

+ &j-l(x) \x — xj-1 — sin(x — xj-l)\ + Mj (x) \x — xj — sin(x — xj )\ +

+ Wj+l(x) \xj+1 — x — sin(xj+1 — x)\^ .

Summary

I. G. Burova. Approximations by minimal splines of maximum and minimum defect.

The method of constructing the approximation errors by minimal splines of the maximum and minimum defect with exactness on Chebyshev system functions is suggested.

Литература

1. Бурова И. Г., Демьянович Ю. К. Теория миниимальных сплайнов. СПб. 2000. 316 c.

2. Бурова И. Г. О построении тригонометрических сплайнов // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 2. C. 9-14.

3. Бурова И. Г., Евдокимова Т. О. О гладких тригонометрических сплайнах второго порядка // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 3. С. 13-19.

4. Бурова И. Г., Евдокимова Т. О. О гладких тригонометрических сплайнах третьего порядка // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер. 1. 2004. Вып. 4. С. 12-23.

5. Бурова И. Г., Дюбина А. В. Приближения с помощью экспоненциальных сплайнов четвертого порядка и максимальной гладкости // Международный семинар «Супервычисления и математические вычисления». Саров. 5-8 октября 2004 г. C. 19-20.

6. Бурова И. Г., Дюбина А. В. Построение приближений экспоненциальными сплайнами. // Деп в ВИНИТИ N 221-В2005 от 15 февраля 2005. 12 с.

7. Бурова И. Г., Дюбина А. В. О построении экспоненциальных сплайнов // Труды XXXV науч конф. «Проблемы управления и устойчивость». СПб., 2004. С. 151-157.

8. Бурова И. Г., Демина А. Ф. Построение приближений с особенностью в нуле на неравномерной сетке // Деп. в ВИНИТИ N 220-В2005 от 15 февраля 2005 г. 11 с.

9. Завьялов Ю. С., Квасов В. И., Мирошниченко B. K. Методы сплайн-функций. М., 1980. 352 с.

10. Демьянович Ю. К. Биортогональная система для минимальных сплайнов и решения задач интерполяции // Докл. РАН 2001. Т. 377, №6. C. 739-742.

11. Бурова И. Г., Евдокимова Т. О. Об оценках аппроксимации тригонометрическими и полиномиальными сплайнами // Деп. в ВИНИТИ N 955-В2004 от 4.06. 2004. 12 с.

12. Бурова И. Г., Демьянович Ю. К. О сплайнах максимальной гладкости // Вестн. С.Петерб. ун-та. Сер 1. 2004. Вып 4. С. 3-11.

13. Матвеев Н. М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. СПб.; М.; Краснодар, 2003. 832 c.

Статья поступила в редакцию 25 мая 2005 г.

УДК 517.929

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2006, вып. 1

И. Е. Зубер, А. Х. Гелиг

ИНВАРИАНТНАЯ СТАБИЛИЗАЦИЯ ДИСКРЕТНЫХ НЕСТАЦИОНАРНЫХ СИСТЕМ С ВНЕШНИМ ВОЗДЕЙСТВИЕМ*

1. Введение. Задача инвариантной стабилизации заключается в обеспечении независимости выхода системы от внешнего воздействия при ограниченности остальных переменных. Основная трудность при решении этой задачи, как показано в обзоре [1], заключается в том, что даже для стационарных линейных систем скалярное управление может обеспечить альтернативно либо инвариантность, либо устойчивость. В работе [2] показано, что можно добиться инвариантной стабилизации, если рассматривать внешнее воздействие как один из входов регулятора. Полученное в [2] решение задачи существенно опирается на свойства линейности и стационарности рассматриваемой системы.

В предлагаемой статье рассматривается дискретная линейная нестационарная система управления с внешним воздействием. Для такой системы формируется двумерное управление, обеспечивающее инваринтную стабилизацию замкнутой системы.

2. Постановка задачи. Рассматривается дискретная линейная нестационарная система с внешним воздействием

xk+i = Ak хк + Ь\ui + b2kU2 + д'фк, = c*xk (к = 0,1, 2 ...),

где xk, bk, bk, c, g G Rm, ui G R1, u2 G R1, Ak —заданная равномерно ограниченная для всех к матрица, bk, bk заданные равномерно ограниченные для всех к векторы, фk — произвольная равномерно ограниченная скалярная функция, задающая внешнее воздействие, вектор наблюдения c и вектор распределения внешнего воздействия д заданы и предполагаются постоянными.

Предполагается, что допустимы управления вида

ki

Ui = Sk Xk,

u'2 = sk *Xk + ak,

где вектор-функции sk, sk и скалярная функция ak равномерно ограничены для всех к.

Задача заключается в построении управлений (2), (3), обеспечивающих выполнение условий

Vk+1 = ß°k

где ß — заданный ненулевой параметр, \ß\ < 1,

lim sup \\xk II < 70 lim sup \фk\, 70 > 0.

k—k—

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №05-01-00290) и Совета по грантам Президента РФ для государственной поддержки молодых российских ученых и ведущих научных школ (грант №2257.2003.1).

© И. Е. Зубер, А. Х. Гелиг, 2006

3. Основные результаты. Начнем с выбора вк и ак, обеспечивающих выполнение требования (4). С этой целью выразим ак из системы (1) и подставим в (1) соотношения (2), (3). Имеем

ак+1 = (с* Ак + с* Ьк вк + с* Ьк вк *)хк + с*Ь к ак + с* дфк.

Предполагаем, что для всех к > 0 Тогда, подставив в (6) выражение

ак =

*

с* д

*Ь

фк^

с* Ьк = 0.

2„_ с*{Ак + Ъ\8\*)+рс* —--

*Ь

получим соотношение (4). Итак, выбором ак и в| вида (8) обеспечено выполнение требования (4).

Перейдем теперь к определению вектора вк, обеспечивающего выполнение требова-

ния (5). Подставив значения в| * и а к из (8) в (1), перепишем уравнения (1) в виде

хк+1 = Акхк + Ьк вк *хк + д\фк,

где

Ьк = I-

Сделаем в системе (9) замену переменных

Ук = Ткхк,

где

Тк =

1

е* в

ет Вк е*т В-+1 Ак

1

е* В-1

ет Вк+т-1

П Ак+З

з=0

Вк = \\Ьк-1, Ак-Фк-2,..., Ак-зЬк-т-1\\ .

з=1

В [3] показано, что элементы матрицы Тк равномерно ограничены и

Ш \ЛеЬТк \ > 0,

к

если

Ш \detB,, \ > 0. к

В результате преобразования (10) система (9) примет вид

Ук +1 = А к Ук + епв*у к + д\ф к,

(15) 19

с

с

1

где

Ak — Tk+i AkT- i,

sk — sk T- ,

9 k — Tk+igk-

В [3] доказано, что матрица Ак является матрицей Фробениуса с функциональной нижней строкой:

Ак —

0 1 0 0

0 0 0

k

k

k

Положим

\\pi,---,pmII - \\а.\

Тогда система (15) примет вид

y-+i — Dyk + 9кФk,

где D —постоянная матрица Фробениуса с характеристическим многочленом Am — pmAm-1 — ... — pi. Выберем коэффициенты pi (i — 1,...,m) таким образом, чтобы матрица D имела вещественные различные собственные числа Ai,... ,Am. Обозначим через di (i — 1,..., m) собственные векторы матрицы D, соответствующие собственным числам Ai, и через gi (i — 1,..., m) —собственные векторы матрицы D*, соответствующие собственным числам Ai, нормированные таким образом, что d*gi — 1, d*gj — 0 (i — j). ПУсть

G — \\gi,.. .,gm\\, W — \\di,..., dm\\.

Следуя [4], возьмем функцию Ляпунова в виде

Vk — y*GG*yk — \\G*yk\\2.

В силу системы (17) справедливо соотношение

Vk+i — yk D* GG* Dyk + mk, где mk — 2^k9k*GG*yk. Спектральное представление матрицы D имеет вид

Поэтому

D — WAG*, где Л — diag(Ab...,Am).

D* GG* D — GЛW *GG*W ЛG* — GЛ2G*,

поскольку Ш*G = I ввиду нормировки векторов д.1. Оценим тк следующим образом:

И

где ц — положительный параметр, который будет выбран ниже. Из (18)-(21) вытекает оценка

Ук+1 < 5Ук + К^к,

где

1

ö =/л + ma,x \2к, х =-вир \\gl*G\\2, <рк = Ф1

1

i

2

3

Из неравенства (22) следует соотношение

Vn < SnVo + Kßn,

где ßn = Sn-Vo + ¿n-Vi + ... + Skpn-i-k + Sk-1^n-k + ... + S^n-2 + Pn-i. Выберем числа Xi и ц так, чтобы S < 1. Оценим ßn следующим образом:

ßn < Sk(Sn-1-k + ... + S + 1) sup Pi + (1 + S + ... + Sk-i) sup p <

i>1 i>n-k

Sk 1

< -,-7 sup^j + --- sup ifi.

1 — S i>i 1 — О i>n-k

Теперь по любому e > 0 фиксируем к столь большим, чтобы

Sk

--- sup^j < е.

1 — S i>1

Затем выберем N таким, чтобы при n > N выполнялась оценка

11

--Г sup Vi < --- lim sup ipn + e.

1 — S i>n-k 1 — S

Тогда при n > N из (23) вытекает неравенство

к

К. < önV0 + 'Ixe + --- lim sup ipn.

1 — S n—

В силу произвольности e получаем оценку

к 2 lim supV^ < --- lim sup ?/>„,

n—1 — S n—

из которой ввиду соотношений (10), (13) вытекает свойство (3). Таким образом получен следующий результат.

Теорема. Предположим, что управления ui и u,2 в системе (1) выбраны по формулам (2), (3), (8), (16) и выполнены условия (7), (14). Тогда любое решение системы (1) обладает свойствами (4), (5).

Summary

I. E. Zuber, A. Kh. Gelig. Invariant stabilization of discrete nonstationary systems with external action.

The linear discrete nonstationary control system with measurable external action is considered. The solution of the problem of synthesis of two-dimensional control, providing the invariant stabilization of closed system, is presented.

Литература

1. Кухтенко А. И. Обзор по теории инвариантности // Автоматика. 1984. №2. С. 3-13. 1985; №2. С. 3-14; №6. С. 3-14.

2. Якубович В. А. Универсальные регуляторы в задачах инвариантности и отслеживания // ДАН СССР. 1995. Т. 343. №2. С. 172-175.

3. Зубер И. Е. Стабилизация дискретных систем при управлении по выходу // Автоматика и телемеханика. 2003. № 3. С. 85-97.

4. Зубер И. Е., Якубович Е. Д. О модальном подходе к стабилизации дискретных нелинейных систем управления // Известия ВУЗ, 1989. №11. С. 35-37.

Статья поступила в редакцию 13 апреля 2005 г.