Параметрический анализ исходных данных задач начертательной геометрии

РАЗДЕЛ III

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ. СИСТЕМЫ АВТОМАТИЗАЦИИ ПРОЕКТИРОВАНИЯ

УДК 514.185.2

ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ ИСХОДНЫХ ДАННЫХ ЗАДАЧ НАЧЕРТАТЕЛЬНОЙ ГЕОМЕТРИИ

О. Б. Ильясова, И. К. Шелков

Аннотация. Представлен алгоритм решения задач начертательной геометрии посредством параметрического анализа исходных данных с использованием аппарата исчислительной геометрии, который позволяет проверить корректность заданных условий, определить число решений и найти оптимальный графический алгоритм решения.

Ключевые слова: алгоритм, математический подход, формализованный аппарат, параметрический анализ.

Основные понятия

При решении задачи по начертательной геометрии, возникает ряд вопросов, связанных с постановкой задачи, например, «Правильно ли сформулирована задача? Корректно ли заданы условия? Достаточно ли их? Сколько решений имеет задача, а может и вообще не имеет?», так как многие не могут понять интуитивно и с помощью логических рассуждений, что должно получиться в ответе.

Параметрический анализ задач НГ позволяет ответить на вышеперечисленные вопросы, так как является своеобразной проверкой заданных условий на достаточность, совместность условий и определения числа решений задачи. Также дает возможность достаточно обоснованно и математически строго подходить к решению задачи, выбирая оптимальный алгоритм решения и определяя количество возможных ответов.

Для детального понимания вышесказанного, введем несколько определений.

Совместность условий - возможность одновременного удовлетворения искомого объекта заданным условиям, то есть возможность одновременного выполнения этих условий.

Параметр - это одно простое условие, накладываемое на элемент множества. Ими могут служить независимые числовые величины, которые позволяют выделить геометрический объект из п - параметрического мно-

жества объектов в заданной системе параметризации.

п - параметрическое множество - множество объектов, для выделения одного из которого необходимо связать п - параметров. Понятие параметр тесно связано с таким понятием, как размерность. В геометрии размерность - это количество независимых параметров, необходимых для описания состояния объекта, или, другими словами, для определения его положения в неком абстрактном пространстве.

Система параметризации - совокупность заданных геометрических элементов (примитивов) и геометрических условий, которые ставят в соответствие каждому объекту набор параметров [1].

Параметрический анализ. Параметрическое число объекта. Для определения параметрического числа объекта используется формула Грассмана:

=

где п - размерность пространства, т- размерность искомого элемента.

В качестве примера подсчитаем параметрическое число для основных объектов трехмерного пространства, а именно для точки, прямой и плоскости, далее называемых 0-плоскость, 1-плоскость и 2-плоскость:

- значение т для 0-плоскости в трехмерном пространстве равно 0, следовательно

= (3 - 0)(0 +1) = 3,

а значит, точка в Е3 имеет параметрическое число равное трем.

- параметрическое число 1-плоскости определяется уравнением

Б1 = (3 -1)(1 +1) = 4.

- для 2-плоскости уравнение имеет вид:

Б23 = (3 - 2)(2 +1) = 3

Параметрическое число условий. Размерность обобщенного геометрического условия определяется по формуле [2]:

(2п - т)(т + 1) т

=----------2-----------^ а

2 I=0 ,

где п - размерность пространства, в котором рассматривается инцидентность,

т- размерность объекта, удовлетворяющее обобщенному условию инцидентности,

а, - нижние индексы в символьной интерпретации условия.

Для примера разберем некоторые условия инцидентности, накладываемые на объекты трехмерного пространства.

1,0

Прямая проходит через точку: е3 0

= (2.3 -1)(1 +1) - 3 = 2

Q// = p// т

,

2

10

2р

^31 - прямая пересекает кривую второго порядка

Q = (2 . 3 - 1)(1 + 1 - 4 = ^

1а 2

-10

^31 - прямая параллельная плоскости

где p// - значение степени параллельности,

п - размерность пространства, в котором рассматривается условие параллельности,

m и q - размерности параллельных элементов.

Согласно формуле (3) размерность условия параллельности прямой (т = 1) и плоскости (q = 2) в пространстве Е3 (п = 3),

при p// = 1 определится следующим образом:

Q// = 1 • 1(3 - 1 - 2 + 1 • 1) = 1.

Представим алгоритм решения задачи:

1. Расчет размерности (параметрического числа) объекта. Его размерность может быть найдена по формуле 1.

2. Расчет размерности (параметрического числа) заданных условий по формуле 2.

3. Проверка достаточности исходных данных и корректности заданных

условий. Если размерность объекта и размерность условия равны, то задача задана корректно и заданных условий достаточно для решения.

4. Проверка условий на совместность. Другими словами, одновременное удовлетворение искомого объекта этим условиям.

5. Определение числа решений задачи.

6. Графоаналитическое представление алгоритмов решения задачи.

Определение наиболее оптимального алгоритма путем перебора условий.

Рассмотрим алгоритм решения задачи на частном примере.

Задача. Через точку А провести прямую, пересекающую окружность b и параллельную плоскости BCD (рис. 1).

Рис. 1. Исходные данные к задаче

1. Расчет параметрического числа объекта. Искомым объектом задачи является прямая (1-плоскость). По формуле Грассмана (1) определяем, что множество прямых евклидова пространства четырехпараметрично.

В\ = (3 - 1)(1 + 1) = 4 .

Из этого следует, что для получения искомой прямой на множество прямых трёхмерного пространства необходимо наложить условия, суммарная размерность которых равна четырем.

2. Расчет параметрического числа геометрических условий.

В задаче можно выделить три условия. Для расчета воспользуемся формулой (2) и (3).

Условие 1: Прямая параллельна плоского

СТИ (поле прямых) е31 =1.

Условие 2: Инцидентность прямой пространству Е3 и проходящей через заданную в нем точку. Данное условие инцидентности

10

определяет связку прямых езо =2.

Условие 3: Прямая пересекает окружность

10

2 ез1 =1.

3. Проверка достаточности условий. Условия достаточны в том случае, если

размерность искомого многообразия равна сумме размерностей условий. Размерность прямой равна 4, сумма размерностей условий равно 1 +2+1 =4. Размерности равны, следовательно, заданных условий достаточно.

4. Проверка условий на совместность. Рассмотрим произведение заданных условий:

~10 • е10 • 2е10 = е10 • 2е10 = 2е10

е31 ^30 ^^31 20 31 10

~10

При перемножении СИМВОЛОВ е31 (пере-

10

секающиеся прямые) и 630 (прямая, прохо-

10

дящая через точку) получим &20 - пучок прямых. Перемножим полученный символ на

2„10

2°31 (пересечение прямой и кривой второго 2р10

порядка), получим 2^10 (прямая, пересекающая заданную прямую и проходящая через заданную точку). Это говорит о том, что

условия совместны (нижние и верхние индексы совпадают).

5. Определение числа решений. Коэффициент при «ешке» равен двум,

следовательно, задача имеет два решения.

6. Графическая реализация.

Данный этап позволит выявить оптимальный (наиболее короткий, простой в построении) алгоритм решения рассматриваемой задачи путем перебора различных последовательностей выполнения заданных условий [3]: Первый алгоритм: (У1ПУ2) ПУ3.

Для его выполнения первым действием будет выполнение произведения условий:

~10 10 _ 10

e31 " ^30 ^20 , что означает построение

прямых, проходящих через данную точку и параллельных заданной плоскости. Результатом этого построения будет пучок прямых, проходящих через точку A и параллельную плоскости BCD.

На комплексном чертеже (рис. 2) данный этап реализуется построением прямой с параллельной к плоскости BCD, проходящую через точку А. Для выполнения этого действия необходимо выполнить замену плоскостей проекций для преобразования плоскости общего положения в частное. Построенная прямая с будет одной из прямых, задающих искомое множество.

Второе действие [4]:

в10 • 2е10 _ 2е10 «

20 31 е10 - выбор из построенно-

го множества, прямых, пересекающих заданную окружность b и проходящих через заданную точку А.

. (У1ПУ 3)|~|У 2

Второй алгоритм:

Для выполнения построения второго алгоритма необходимо будет выполнить произ-

— 10 2 10

ведение условий езі ' 2 Є зі это произведение указывает на то, что данный алгоритм графически не реализуем, поскольку мы не можем провести прямую через точку, не имея условия прохождения через точку в первом произведении условий.

Третий алгоритм: <У21>3)0*1.

10 2 10 _ 10 £30 '2^31 _ ^20 - пучок прямых

- прямая, пересекающая заданную прямую и проходящая через заданную точку

Заключение

Параметрический анализ задач начертательной геометрии позволяет перед решением задачи проводить анализ заданных объектов и условий, определять количество и размерность искомых объектов и главное, найти оптимальный для выполнения решения конкретной задачи алгоритм построений.

Библиографический список

1. Волков В. Я. Графические оптимизационные модели многофакторных процессов: монография / В. Я. Волков, М. А. Чижик. - Омск: ОмГИС, 2009. - 101 с.

2. Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования: учебник / В. Я. Волков, В. Ю. Юрков, К. Л. Панчук, Н. В. Кайгород-цева. - Омск: Изд-во СибАДИ, 2010. - 253 с.

3. Сборник задач и упражнений по начертательной геометрии (к учебнику "Курс начертательной геометрии на основе геометрического моделирования") / В. Я. Волков, В. Ю. Юрков, К. Л. Панчук, Н. В. Кайгородцева - Омск: Изд-во СибАДИ, 2010.- 73 с.

4. Чижик М. А., Волков В. Я., Сурженко Е. Я. Программное обеспечение для построения графических оптимизационных моделей многофакторных процессов: Вестник СибАДИ № 5 (27) / Чижик М. А, Волков В. Я., Сурженко Е. Я.- Омск: СибАДИ, 2012, С. 95

PARAMETRIC ANALYSIS INITIAL DATA OF

TASKS OF DESCRIPTIVE GEOMETRY

O. B. Ilyasova, I. K. Shelkov

An algorithm for solving the problems of scriptive geometry by the parametric analysis of raw data using the apparatus of enumerative geometry, which allows you to cheek the correctness of the specified conditions, to the number of solutions and find the best graphics solution algorithm.

Ильясова Ольга Борисовна - канд. техн. наук, доцент кафедры начертательной геометрии, инженерной и компьютерной графики Сибирской государственной автомобильно-дорожной академии. Основное направление научных исследований

- многомерная исчислительная геометрия, конструирование поверхностей. Общее количество публикаций - 17. e-mail: ilyasovaolga@mail.ru

Шелков Иван Константинович - студент-исследователь факультета «НСТ» Основное направление исследований - многомерная исчислительная геометрия. Общее количество публикаций - 0. e-mail: ifan_146@mail.ru