АНАЛИЗ В НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ G-СЕТИ С ОБХОДАМИ СИСТЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЗАЯВКАМИ

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2020 Управление, вычислительная техника и информатика № 52

УДК 519.872

DOI: 10.17223/19988605/52/8

Д.Я. Копать, М.А. Маталыцкий

АНАЛИЗ В НЕСТАЦИОНАРНОМ РЕЖИМЕ ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОЙ G-СЕТИ С ОБХОДАМИ СИСТЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ ПОЛОЖИТЕЛЬНЫМИ ЗАЯВКАМИ

Проведено исследование открытой экспоненциальной сети массового обслуживания (СеМО) с однолинейными системами массового обслуживания (СМО). СМО характеризуются наличием обходов, положительными заявками и возможностью поступления в них отрицательных заявок. В сеть поступает два независимых простейших потока заявок. Первый поток образуется из обычных (положительных) заявок, второй - из отрицательных заявок, поступление каждой из которых в систему уничтожает в ней ровно одну положительную заявку в очереди, если таковые в ней имеются. Отрицательные заявки не требуют обслуживания, обслуживание положительных заявок в системах сети осуществляется в соответствии с дисциплиной FIFO. Положительные заявки с зависящей от состояния узла вероятностью при направлении в нее присоединяются к очереди, а с дополнительной вероятностью мгновенно обходят ее и ведут себя в дальнейшем как обслуженные. Для решения системы разностно-дифференциальных уравнений (РДУ) для нестационарных вероятностей состояний сети, функционирующей в режиме насыщения, предложено использовать метод многомерных производящих функций.

Ключевые слова: G-сеть с обходами систем заявками, нестационарные вероятности состояний, многомерная производящая функция.

СеМО с положительными и отрицательными заявками были введены Э. Геленбе [1, 2]. Основное применение данной сети в качестве модели заключается в ее использовании при моделировании воздействия компьютерных вирусов на исполняемые программы, на сервер или локальный компьютер пользователя. В переходном режиме данная сеть была исследована в работе [3].

Экспоненциальная СеМО с обходами узлов заявками была введена в [4]. В этой работе показано, что такая модель включает возможность обхода систем за счет ограничений на количество заявок или на предполагаемое время ожидания. В ней найдены стационарные вероятности состояний сети в форме произведения. В переходном режиме сеть с обходами была исследована в работе [5]. Применение сети с обходами связано, например, с возможностью клиента, прибывшего в сервисный центр информационной сети, не присоединяться к очереди по тем или иным причинам, а перейти в другой сервисный центр.

В данной работе рассматривается открытая СеМО с отрицательными заявками и обходами узлов положительными заявками, которые учитывают первые две особенности, причем обход систем обслуживания осуществляется только положительными заявками. В стационарном режиме они были исследованы в работе [6]. Ниже для нахождения нестационарных вероятностей состояний сети предложено использовать метод многомерных производящих функций.

1. Система РДУ для вероятностей состояний

Рассмотрим открытую экспоненциальную СеМО с однотипными заявками, состоящую из n однолинейных СМО. Состояние сети в момент времени t описывается вектором размерности п 1:

k = k(t) = (k,t) = (ki,k2,...,kn,t), который образует цепь Маркова с непрерывным временем и счетным числом состояний, где состояние (k , t) означает, что в момент времени t в i-й СМО находятся k положительных заявок, i = 1, n .

В 7-ю систему из внешней среды поступает простейший поток положительных заявок с интенсивностью Х^ и простейший поток отрицательных заявок с интенсивностью Хш , г = 1, п . Все потоки заявок, которые поступают в сеть независимы. Длительности обслуживания положительных заявок в 7-й СМО распределены по показательному закону с параметром , г = 1, п .

Положительная заявка, направленная в 7-ю СМО извне или из другой системы, когда сеть находится в состоянии к , с вероятностью ) присоединяется к очереди, а с дополнительной вероятностью 1 — /() не присоединяется к очереди, считаясь мгновенно обслуженной (т.е. обходит СМО).

Положительная заявка, обслуженная в СМО Б, с вероятностью ру направляется в СМО Б j как положительная заявка, а с вероятностью р— - как отрицательная, и с вероятностью

п _

Рю = 1 — X (Ру + Р—) уходит из сети во внешнюю среду (в СМО Б), г, У = 1, п .

]=1

Отрицательные заявки представляют собой особый тип заявок: они не обслуживаются и поступают непосредственно в СМО (для них /(')(к;) = 1), где уменьшают длину очереди на единицу, если число заявок в системе больше нуля, и не производят никаких изменений, если в СМО нет заявок. После указанных операций отрицательные заявки исчезают и в дальнейшем не оказывают влияния на сеть.

Пусть фг (к^ - условная вероятность того, что заявка, поступающая в 7-ю СМО, когда сеть

находится в состоянии к , не будет обслужена ни одной из СМО и не изменит состояние сети; \|/ (/ | | -условная вероятность того, что положительная заявка, поступающая в 7-ю СМО, когда сеть находится в состоянии к , впервые получит обслуживание в /-и СМО, / = 1, /г: с; (((/с | - условная вероятность

того, что заявка, прибывшая извне в 7-ю СМО, когда сеть находится в состоянии к, впервые окажет воздействие нау-ю СМО как отрицательная заявка, ] = \п ; о., |к| - условная вероятность того, что

заявка, обслуживание которой в 7-й СМО завершено, когда сеть находится в состоянии к, не будет больше обслужена ни в одной из СМО и уйдет из сети; ^ - условная вероятность того, что заявка, обслуживание которой в 7-й СМО завершено, когда сеть находится в состоянии к , впервые после этого получит обслуживание в у-й СМО, /, / = 1,/г: у(; |/с ) - условная вероятность того, что заявка,

обслуженная в 7-й СМО, когда сеть находится в состоянии к, впервые окажет воздействие на у-ю СМО, будучи при этом отрицательной, г, у = 1,п .

На основании формулы полной вероятности получим:

Ф, р)=

V }=1 У

%

г, У = 1, п,

аг

г = 1, п,

Уу\к) = рь-+Ы^

где - символ Кронекера, I - нулевой вектор размерности п, за исключением компоненты с номером /, которая равна 1, и(х) - единичная функция Хевисайда:

/ ч [1, х > 0, и ( хI = 1

У ; [о, х<0.

Пусть р{к, ^ - вероятность состояния сети к в момент времени t. Нетрудно доказать следующую лемму.

Лемма. Нестационарные вероятности состояний рассматриваемой СеМО удовлетворяют системе РДУ Колмогорова:

а!Р

Жг

=-¿Г^о, (1 -Ф, +)(1 -р;1. +^м(^)] +

¿=1 7=1

+Е

i=1

К + +1,) + НА

7= 1

¿=1 7 =1

¿=1 .7=1

2. Нахождение вероятностей состояний и средних характеристик сети, функционирующей в режиме насыщения

Будем считать, что все СМО сети функционируют в режиме насыщения, т.е. к (?) > 0 V > 0, г = 1 ,п, тогда система (7) примет вид:

¿=1 7=1

Ж

+

Е

К + Е К Ал

7=1

" " /- \ /- п п

¿=1 7=1 7

¿=1 7=1

Для решения этой системы применим метод многомерных производящих функций.

Обозначим через (г, ?), где г = (г1, 2 2,.., гп), п-мерную производящую функцию:

да да да

то то да

^ (2, ?) = ££... х р(к1, к2,.., ки, ^ 22к2 •... • ¿а = ЕЕ ••• Е р(к, оП V, N < 1,

к=0 к2 =0 кп =0

к1=1к2 =1 кп=1

¿=1

суммирование берется по каждому к, от 1 до +да, i = 1, п, поскольку сеть функционирует в режиме насыщения.

п

Рассмотрим случай, когда условные вероятности фРу(^)»

__п

г, ] = 1, п, не зависят от состояний сети. Умножим (8) на ^ и просуммируем по всем возможным

I=1

значениям к от 1 до +°о . I = \.п , Тогда получим:

ад ад

¿=1 ¿„=1 dt /=1 1=1 Aj=1 ¿„=1 /=1

z.-.^pp-/,, ОГК' +Z X-X^+vJIK +

1=1 j=1 ^=1 ¿„=1 /=1 1=1 |_ 7=1 J^=l kn= 1 /=1

«COCO n П СО СО и

i, j=1 ¿=1 ¿„=1 l=1 i, j=1 ¿=1 ¿„=1 l=1 i

Рассмотрим суммы, входящие в правую часть соотношения (10):

__п п оо оо п п п

i=1 j=1 k =1 ¿„ =1 /=1 i=1 j=1

j *i

Z 2( ^t)=z

^01 +Z^o j 5 ji + W

j=1

СО СО ч n n 1 n

¿ =1 k„ =1 l =1 i=1 ^ j=1

так как вероятности типа Р (к, к, •••, 1,0, к+1,..., к) = 0, поскольку сеть функционирует в режиме насыщения;

п оо 00 Н п _

-к, ^ ~ ^

Z3M=Z-'„')ГК = ZиЛМ;

i,j=1 Aj =1 ¿„ =1 l=1 i,j=1 Zj

i*j j*i

__п оо оо . , У1 п 1

¿,У=1 к! =1 кп=1 1=1 ¿,У=1 гггу

Таким образом, для производящей функции получаем линейное однородное дифференциальное уравнение

d У „

dt i=j

„

= -Z[

„

-KziZ^ji -1 +Z4^j )"ZZji--"Z^Ъ-1 „

j=i гi j=i j=1 ^ j=i ^j

j

Общее его решение имеет вид:

„

У „

i=1

п 1 п п _ п 1

—ХУг^г — -

1=1 Х У=1 У=1 ХУ У =1 ^У

У*г г*}

Предположим, что в начальный момент времени сеть находится в состоянии (а, а2,...,аи,0), а, > 0, Р(а1,а2,...,ап,0) = 1, Р(к1,к2,...,кп,0) = 0 , Уаг- Ф к, г = 1, п . Тогда начальным условием для

п п

уравнения (12) будет (г,0) = Р(ах,а,...,ап,0)^х« х« . Используя его, получаем Сп = 1.

г=1 1=1

Таким образом, если в начальный момент времени СеМО находится в состоянии (X, х2,..., хп,0), х. > 0, г = 1,п , то выражение для производящей функции (х,^ (12) имеет вид:

i=1

^n (t) = Aq (t) exp

n n

Z^0izi Z^ii t

x exp

1=1 j=i

j *i

Z ^ jP jif^t

i,j=1 zj i*j

n 1 n

exp iZ _ + Z^ 5 ji+wa) t

I i=1 Zi j=1

exp jZ ^j Y i-t [П za ,

I j zizj J 1=1

где

A (t) = exp J -ZZ (x+,. (1 -ф, ) + Ц,- (1 - P„ ) + XOi) t L.

Для нахождения вероятностей состояний сети преобразуем (13) к удобному виду. Разложим в ряд Маклорена входящие в него экспоненты и преобразуем полученные после этого произведения. Тогда справедливо следующее утверждение.

Теорема. Выражение для производящей функции представимо в виде:

со со со со со со со со / (I + а + г.+и }

4=0 /„=0 й=0 дп=0 г1= 0 г„= 0 щ=0 ип= 0 ( п Л / п Л V

П

2 I n n n n

. ,(4)'ГМ ШY.

li! qi ! 1 ! Ui ! j=1 ^ j=1 ^ ^ j=1 ^ ^ j=1 y

a +1 — q -R-U,-U

,

где д=£ г> ^=£ и-.

¿=1 ¿=1

С помощью полученного выражения для производящей функции можно найти вероятности состояний рассматриваемой сети. Вероятность состояния Р(к,к2,..,кл,г) является коэффициентом при

,..., в разложении функции (9) в многократный ряд (14) при условии, что в начальный момент

времени сеть находится в состоянии (а,а2,...,ал,0).

x

i=1

Заключение

В статье проведено исследование открытой экспоненциальной G-сети с обходами систем обслуживания положительными заявками, функционирующей в режиме насыщения. Для решения системы РДУ для зависящих от времени вероятностей состояний сети применуен метод многомерных производящих функций.

ЛИТЕРАТУРА

1. Gelenbe E. Product-form queueing networks with negative and positive customers // Journal of Applied Probability. 1991. No. 28.

P. 656-663.

2. Gelenbe E., Schassberger R. Stability of product-form G-networks // Probability in Engenering and Informational Science. 1992.

No. 6. P. 271-276.

3. Науменко В.В., Маталыцкий М.А. Анализ сетей с положительными и отрицательными заявками в переходном режиме // Вестник Томского государственного университета. Управление, вычислительная техника и информатика. 2013. № 4 (25). С. 61-70.

4. Малинковский Ю.В. Сети массового обслуживания с обходами узлов заявками // Автоматика и телемеханика. 1991. № 2.

С. 102-110.

5. Маталыцкий М.А., Науменко В.В. Анализ сети с обходами систем обслуживания разнотипными заявками // Весшк Гро-дзенскага дзяржаунага ушверсгтэта iмя Яню Купалы. Серыя 2. Матэматыка. Фiзiка. 1нфарматыка, вытчальная тэхшка i юраванне, 2013. № 1. С. 152-159.

6. Малинковский Ю.В., Никитенко О.А. Стационарное распределение состояний сетей с обходами и отрицательными заяв-

ками // Автоматика и телемеханика. 2000. № 8. С. 79-85.

Поступила в редакцию 9 ноября 2019 г.

Kopats D.Ya., Matalytski M.A. (2020) ANALYSIS IN NON-STATIONARY REGIME OF EXPONENTIAL G-NETWORK WITH BYPASS OF QUEUEING SYSTEMS POSITIVE CUSTOMERS. Vestnik Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitelnaja tehnika i informatika [Tomsk State University Journal of Control and Computer Science]. 52. pp. 66-72

DOI: 10.17223/19988605/52/8

The article deals with open Markov G-networks with bypass. Vector describing the state of the network we denote k = k(t) = {kj^j = (kl,k2,...,kn,t'), where h is the number of positive customers in the j'-th QS at time t. DDE system of Kolmogorov for state probability presented in form: dP(k,tj

dt

(l - Ф, (*)« (*, )) + W (*, )(l -ß, (*)) + K«(kt )] P(k,t) -

П " \ / — \ Пt

u{k,)p(k-i„ t + • + tÎ M y ' • ' r !( n - r)\

+z

t=1

j=1 J

•VVu I'v (a- + /. -1,)« (*, )p{k + /. - i„t) +

¡=1 j=1 j *i

¡, j=i

In case, when network operating under a saturation regime and conditional state probabilities s

do not depend on k , the multidimensional generating function = ^^...^P(k1,k2,..,kn,t)z^z2- z*"

V\ /' 'V

has the form:

k1 =0 k2 =0 kn =0

00 00 00 00 00 00 00 00

V

/,=0 /„=0 <7i = 0 q„=a ij =0 ,-„=0 »,=0 »„=0

j=1

h! q! r! u

where ao(t) = expj(Х0Д1 ^¡О + цД1 + ^) t

(л+J Ш1 +1 j+№ I n^jßj 11 njj I г.с

j=1

j=1

j=1

« +l -qi +nr -R-u -U

The non-stationary state probability P(K,K2K, t) can be found as the coefficient of multidimensional generating function in multiple series.

x

Keywords: G-network with bypass of queueing systems; non-stationary state probability; multidimensional generation function.

KOPATS Dmitry Yaroslavovich (Post-graduate Student, Grodno State University, Belarus). E-mail: dk80395@mail.ru

MATALYTSKIMihail Alekseevich (Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Grodno State University, Belarus). E-mail: m.matalytski@gmail.com

REFERENCES

1. Gelenbe, E. (1991) Product-form queueing networks with negative and positive customers. Journal of Applied Probability. 28.

pp. 656-663. DOI: 10.2307/3214499

2. Gelenbe, E. & Schassberger, R. (1992) Stability of product-form G-networks. Probability in Engenering and Informational

Science. 6. pp. 271-276. DOI: 10.1017/S0269964800002539

3. Matalytski, M. & Naumenko, V. (2013) Analysis of networks with positive and negative messages at transient behavior. Vestnik

Tomskogo gosudarstvennogo universiteta. Upravlenie, vychislitel'naya tekhnika i informatika - Tomsk State University Journal of Control and Computer Science. 4(25). pp. 61-70.

4. Malinkovsky, Yu. (1991) Queueing network with customer bypass. Automation and Remote Control. 2. pp. 102-110.

5. Matalytski, M. & Naumenko, V. (2013) Analysis of network with bypass queueing network multiple types customers. Vesnik

Grodzenskaga dzyarzhaynaga yniversiteta imya Yanki Kupaly. Seryya 2. Matematyka. Fizika. Infarmatyka, vylichal'naya tekhnika i kiravanne. 2(1). pp. 152-159.

6. Malinkovsky, Yu. & Nikitenko, O. (2000) Stationary state probability distribution of network with bypass and negative customers.

Automation and Remote Control. 8. pp. 79-85.