Распространение света в искривленном многомодовом оптическом волноводе

УДК 681.586.5.

С. А. Бростилов, С. И. Торгашин, Н. К. Юрков

РАСПРОСТРАНЕНИЕ СВЕТА В ИСКРИВЛЕННОМ МНОГОМОДОВОМ ОПТИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ1

Аннотация. Рассмотрен процесс распространения света в многомодовом оптическом волноводе, который используется в волоконно-оптическом датчике давления. Рассмотрены уравнения Максвелла для упрощенной геометрии изгиба оптического волокна. Использованы методы статистического моделирования, например метод Монте-Карло, для расчета множества траекторий, опираясь на решение чисто геометрических задач нахождения точек пересечения и использования условий Френеля в случае рефрагирующей точки отражения или условия отражения от поверхности с двумя радиусами кривизны в случае туннелирующей точки отражения. Результат работы позволит эффективно спроектировать и смоделировать чувствительный элемент датчика.

Ключевые слова: волоконно-оптический датчик давления, оптический волновод, метод статистического моделирования, туннельный эффект.

Abstract. The article considers a process of light distribution in a multimode optical wave guide which is used in the fiber-optical sensors of pressure. The paper also considers Maxwell's equations for the simplified geometry of a bend of optical fiber.

The authors use methods of statistical modeling, for example the Monte-Carlo method, for calculation of a set of trajectories, relying on the solution of purely geometrical problems of finding intersection points and using conditions of Fresnel in case of a refracting point of reflection or a reflection condition from a surface with two radiuses of curvature in case of a tunneling point of reflection. The result of work will allow to design and simulate a sensitive element of the sensor effectively.

Key words: Fiber-optical sensor of pressure, optical wave guide, method of statistical modeling, tunnel effect.

Введение

Как известно, распространение света с минимальными потерями по оптическому волноводу (оптоволокну) осуществляется за счет эффекта полного внутреннего отражения (ПВО) на границе оптически более плотной сердцевины и менее плотной оболочки волокна в случае ступенчатого профиля и в некоторой области около границы в случае градиентного профиля [1]. Подробное теоретическое исследование ПВО на основе электромагнитной теории света было проведено в начале прошлого века А. А. Эйхен-вальдом [2].

Эффект ПВО, кроме оптоволоконной техники, с успехом применяется во многих прикладных областях оптики - рефрактометры, призмы и т.д. Возникновение и развитие оптоволоконных средств передачи светового сигнала, а также нелинейной оптики сделали явление ПВО еще более мощным и гибким инструментом и стимулировали более глубокое изучение распростране-

1 Статья подготовлена в рамках реализации проекта «Разработка методов и средств неразрушающего диагностирования бортовых радиотехнических устройств космических систем» (ГК № 14.740.11.0840) ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России (2009-2013 гг.)».

ния волн в сильно и слабо неоднородных средах, в частности, в средах с индуцированной неоднородностью [3].

С другой стороны, эквивалентность математических моделей нарушенного ПВО (НПВО) и процесса туннелирования квантовой частицы через потенциальный барьер подняла множество фундаментальных вопросов [4], важных с точки зрения как теории, так и практики.

В связи с этим становятся актуальными разработки новых приборов и датчиков с применением градиентных материалов, принцип действия которых основан на эффектах ПВО и НПВО.

Будем рассматривать многомодовый оптический волновод со ступенчатым профилем (рис. 1), для волнового числа V которого выполняется условие

где гс - радиус сердцевины волновода (10-100 мкм); X - длина волны света в свободном пространстве (0,8-1,6 мкм); пс - коэффициент преломления сердцевины; п0 - коэффициент преломления оболочки.

Рис. 1. Геометрия распространения луча света в оптоволокне: 8z и 8 ф - сферические полярные углы; а - угол между падающим или отраженным лучами

Точное исследование распространения света в оптическом волноводе можно провести с помощью уравнений Максвелла. Однако многомодовые волноводы достаточно хорошо описываются в рамках геометрической оптики и в случае градиентного профиля (ступенчатый является его частным случаем) траектории лучей могут быть построены с помощью уравнения эйконала

[3] (у)2 = п2 (г) или лучевого уравнения [1, 3]:

1. Распространения света в многомодовом оптическом волноводе со ступенчатым профилем

г

—

ds { ds J

В случае оптического волновода со ступенчатым профилем траектории световых лучей можно строить, опираясь только на геометрию волновода и закон Снеллиуса (рис. 1). Лучи, для которых 0ф = 0, принято называть меридиональными, в противном случае их называют косыми. Условие выполнения ПВО определяется неравенством a>acr =arcsin (no/nc), однако направляемыми данные лучи будут только в случае 0 <0z < 0cr = arccos(nojnc), иначе лучи называются туннелирующими. При a < acr лучи называют рефрагиру-ющими. И туннелирующие, и рефрагирующие лучи называют вытекающими.

При рассмотрении геометрических лучей в оптическом волноводе их принято обозначать с помощью так называемых лучевых инвариантов [1]:

“ “ —2 ”2 2 2

в = nc cos 0z, l = nc sin 0z cos 0ф, в +1 = nc sin a.

Условия разделения по данным инвариантам:

- направляемые лучи no < в < nc ;

”9 —9 9

- рефрагирующие лучи 0 < в +1 < no •

2 ^a2 ,T2 s- „2

*0 ’

туннелирующие лучи П) < р2 + I 2 < Пс2, 0 <Р

< п0

Для переменного профиля закон Снеллиуса позволяет также качественно представить формальные траектории для лучей, не прибегая к решению уравнения (1).

Указанную выше классификацию световых лучей можно провести также с помощью анализа различных решений уравнения (1) [1]. Направляемыми лучами (как медианные, так и косые) будут лучи, для которых действительное решение существует только в конечной области сердцевины волокна. Для рефрагирующих лучей непрерывные решения существуют в полубеско-нечной, односвязной области, охватывающей собой часть внутри сердцевины и всю внешнею область волновода (оболочку). Для туннелирующих лучей возникает особая ситуация, когда область решения представляет собой двусвязную область, одна часть корой представляет собой конечную область внутри сердцевины волокна (как и для направляемых лучей), а вторая - полу-бесконечная - начинается на некотором расстоянии во внешнем пространстве (оболочке) от волокна и называется радиусом каустики. Физическое объяснение для туннелирующих лучей можно найти, если рассмотреть данную ситуацию с позиции электромагнитных волн - при отражении от границы волокна часть электромагнитного поля проникает в оболочку, т.е. волна туннелирует через потенциальный барьер в виде неоднородной структуры коэффициентов преломления (диэлектрической проницаемости) среды. В случае направляемых лучей решение во внешней области, если рассматривать распространение волны с позиции эйконала, носит чисто комплексный характер, т.е. экспоненциально затухает в результате постепенного отражения. Для туннелирующих волн на некотором расстоянии решение становится действительным, т.е. появляется возможность для распространения обычных волн. Это приводит к излучению части световой энергии во внешнее пространство.

Если пренебречь поглощением света на сердцевине, то основные потери при распространении электромагнитных волн в волноводе будут происходить за счет рефрагирующих и туннелирующих лучей. Для направляемых лучей затухание все-таки будет происходить в силу того, что часть поля при ПВО выходит за границу сердцевины и поглощается оболочкой. Математически это выражается в виде наличия мнимой части у коэффициента преломления оболочки.

Для прямого оптического волновода возле источника существует область так называемого пространственно-неустановившегося режима, которую можно охарактеризовать как область активного излучения вытекающих лучей в пространство оболочки волокна. На определенном расстоянии г = 20 от источника излучения мощность вытекающих лучей становится пренебрежимо мала. Область оптоволокна г > 20 называют областью с пространственно-установившимся режимом распространения света. Для рассматриваемого случая оптического волновода со ступенчатым профилем и диффузионным источником света область пространственно-неустановившегося режима приближенно можно оценить с помощью следующего соотношения [1]:

где гс - радиус сердцевины оптоволокна; 8СГ = агссо8(по/ пс) - критический угол, при котором выполняется ПВО; V - волновое число оптоволокна.

Таким образом, на расстоянии 20 и более можно рассматривать только направляемые лучи и пренебречь вытекающими лучами, в противном случае в общем потоке излучения необходимо также учитывать составляющую туннелирующих и рефрагирующих лучей. Используя лучевые инварианты, можно определить функцию ¥ (, I ), характеризующую распределение мощности всех направляемых лучей в интервалах от в до в + йв и от I до I + й1 .

Для ступенчатого профиля функция распределения имеет вид

где 10 - интенсивность источника света; П) - коэффициент преломления среды, в которой расположен источник света.

Так как для неискривленного оптоволокна со ступенчатым профилем время прохождения луча не зависит от угла скоса (значения I ) [1], то удобно

Последнее соотношение показывает, что максимальная световая мощность в прямом оптическом волноводе распространяется направляемыми лу-

ввести функцию О(в), которая представляет собой интеграл от ¥(, I ) по I во всем диапазоне значений

О (в) = 2п2Гс2 ^2 в.

п0

чами с углом 82 ~ 0, т.е. вдоль границы сердцевина-оболочка, и линейно уменьшается до минимального значения для лучей с углом 0СГ.

2. Влияние изгибов оптического волновода на распространение света

Будем рассматривать оптоволокно на расстоянии г > 20, однако не настолько большом, чтобы существенно проявило себя поглощение света в материале сердцевины. Даже при наличии небольшого изгиба нарушается условие существования направляемых лучей для искривленного сегмента, несмотря на то, что локально ПВО для некоторых лучей вполне выполняется [4].

Более того, за исключением лучей в плоскости симметрии изгиба (при наличии такового) все лучи становятся косыми и их траектория закручивается по кусочно-ломаным сложно-периодическим спиралям. К тому же к типам туннелирующих и рефрагирующих лучей добавляется тип туннелирующих-рефрагирующих лучей, т.е. таких лучей, которые на некоторых участках своей траектории являются туннелирующими, а на других - рефрагирующими. Наличие туннелирующих-рефрагирующих лучей также характерно для некоторых прямых волноводов с некруговым поперечным сечением (например, с эллипсовидным сечением) [1].

Достаточно малый участок оптоволокна при небольших, по сравнению с диаметром сердцевины волновода, деформациях можно представить как сегмент тора.

К математическому моделированию процесса распространения света в изогнутом оптическом волноводе можно подойти со следующих позиций:

- рассмотреть уравнения Максвелла для упрощенной геометрии изгиба (например, представить его в виде секций из сегментов торов и «сшить» решения в разных сегментах);

- использовать методы статистического моделирования, например метод Монте-Карло, для расчета множества траекторий, опираясь на решение чисто геометрических задач нахождения точек пересечения и использования условий Френеля в случае рефрагирующей точки отражения или условия отражения от поверхности с двумя радиусами кривизны в случае туннелирующей точки отражения [1];

- применить теорию интегральных операторов свертки и представить задачу в виде преобразования входной мощности излучения в выходную мощность через искривленный волновод.

Первый подход является наиболее точным и физически полным, однако аналитическое решение для уравнений Максвелла существует для крайне ограниченного числа случаев простейших геометрий и часто в элементарных функциях не выражается. В частности, для волновода в виде сегмента тора не существует аналитического решения, хотя для прямого круглого волновода такое решение существует как с проводящими, так и с диэлектрическими стенками [1]. Стоит отметить, что для прямоугольного волновода в виде сегмента кольца аналитическое решение существует, это связано с тем, что в цилиндрических переменных оператор уравнения Гельмгольца разделяется, в отличие от переменных, связанных с сегментом тора.

Все же с помощью некоторых упрощений можно найти приближенное решение для поля электромагнитной волны в сегменте тора. Для этого рассмотрим следующую вспомогательную геометрию (рис. 2).

Рис. 2. Геометрия искривленного оптического волокна

В области I (рис. 2) электромагнитное поле будет описываться уравнением Гельмгольца в цилиндрической системе координат, в которой полярные координаты г и ф связаны с прямоугольными координатами х' и у , для вспомогательной скалярной функции ¥(г, ф, г') :

1 Э ( Э¥ ^ 1 Э2¥ Э2¥ ,2 2>тг п

1 Г------ I + —---- +----- + к2пС¥ = 0,

г Эг ^ Эг ) г2 Эф2 Эг где к = 2к/Х , следовательно для V -го порядка вида

¥I

[ sln(vф) ]

В области II (рис. 2) уравнение (5) в силу непрерывности преобразуется к виду

1 Э ( Э¥ ^ 1 Э2¥ Э2¥ ,2 2,и п

1 г------I + ——— +—— + к 2пС ¥ = 0,

г Эг ^ Эг ) г2 Эф2 Эs2

где 5 - длина дуги вдоль деформированной оси волновода в плоскости симметрии деформации, совпадающей с плоскостью хОг .

Как видно из рис. 2, координата 5 не является независимой. Поэтому удобно перейти от координаты 5 к угловой координате Ф, которая определяет преобразование (поворот) прямоугольной системы координат х'О'у' в систему х'О"у", с которыми в свою очередь связаны полярные координаты г и ф. Координата Ф связана с длиной дуги 5 вдоль искривленной оси волновода следующим образом:

s = (R + r cos ф)Ф, что преобразует уравнение (6) к виду

1 Э ( Э¥ ^ 1 Э2¥ 1 Э2¥ ,2 2Wi п

-----1 r I + —----------- +----------------------— + k2n2X¥ = 0 .

r Эг I Эг 1 2 - 2 ' 2 с

r2 Эф2

(( + r cos ф)2 ЭФ2

При условии R > rc (8) можно упростить, если представить, в силу того

_2

что 0 < r < rc , соотношение (( + r cosф) в виде

1 1

2

R

. , 1 _ 2—cos ф

21 R

что в результате даст

1—( r Э¥ , +

-----------1 r

r Эг ^ Эг

_L э 2 ¥

r2 Эф2

R

R

Э-¥ + k2 n2 ¥ = 0.

ЭФ2

На стыке области I и II (рис. 2) решение (5) уравнения (4) должно совпадать с решением точного уравнения (8) или приближенного уравнения (9), т.е. ¥!(г,ф,0) = ¥ц(г, ф,0). Можно показать, что даже если в области I существует решение нулевого порядка, т.е. ¥ ^г, ф, г') = ¥^г, г'), то в области II решение все равно будет зависеть от ф , за исключением условия на границе областей. Это означает, что если даже в области I присутствовали одни меридиональные лучи (ТЕ-, ТМ-поляризации), то после изгиба они все преобразовались в косые лучи (НЕ- или ЕН-поляризации).

Вид уравнения (8) подтверждает факт невозможности разделения переменных при его решении. В самом деле, если попытаться представить решение в области II по аналогии с решением (5) в следующем виде

¥ п (г , ф, Ф) = Gv (r, фУиФ, то его подстановка в (8) приведет к уравнению

r Эг I Эг

+

— Э G r2 Эф2

+

,2 2 k nc

а

Gv = 0

а в уравнение (9) - к уравнению

r

r Эг I Эг

+

1 Э 2gv

г2 Эф2

+

,2 2 k nc

а ( r

—г-1 1 _ 2—cos ф

R2 I R

Gv = 0 •

которые методом разделения переменных не решить.

Однако в случае а2/(Я + г)2 « 1 уравнения (11), (12) можно решить приближенно с помощью методов теории возмущений. Для проведения статистического моделирования потерь излучения в многомодовом оптоволокне сперва нужно задать набор лучей с заданным распределением по лучевым инвариантам. Для волновода со ступенчатым профилем распределение, исходя из выражения (3), будет равномерным по I и линейным по параметру в .

Закон Снеллиуса определен для лучей (падающего, преломленного и отраженного), лежащих в одной плоскости с нормалью к поверхности, что для плоской границы раздела диэлектриков выполняется автоматически. В случае туннелирующих лучей данные соотношения неприменимы, так как туннелирующий через границу раздела луч не лежит в одной плоскости с нормалью.

Таким образом, для оптического волновода со ступенчатым профилем геометрия рефрагирующих лучей (отраженных и преломленных) в данной точке траектории на границе сердцевина-оболочка определяется с помощью классических законов геометрической оптики. Для туннелирующих лучей траектория в оболочке поворачивается от плоскости падения падающего луча и нормали в направлении к оси и на каустике излучения задается выражением [1]

. в в ( )) V(n?-в2)-4(no2-в2) в

tg(вв-в,fed^zr—. 2 _2 p,

в2 +V П -в 2)

не зависящем от скоса луча.

На границе сердцевина-оболочка траектория туннелирующего луча задается классическим выражением в = nc cos вz . Радиус каустики определяется соотношением

riad rc

l

44-в2'

Стоит отметить, что соотношение (13) было получено для случая бесконечной однородной оболочки и при наличии дефектов в оболочке, вообще говоря, не выполняется. Для коэффициента прохождения мощности для рефрагирующих лучей в случае слабонаправляющего волновода (nc = no) отсутствует зависимость от поляризации электромагнитной волны:

V2 2

sin 0z - sin 0cr

Pal1 {n 0z sin2 0z - sin2 0c

T = 1-

2

где рге^ - мощность в отраженном луче; р^ац - мощность в падающем луче. Для туннелирующих лучей данный коэффициент будет иметь вид

T = \Tf exp

-2krc l

ln

rrad

+

rrad

r

V c J

+

rrad 2 -1

V rc J

rrad V rc J

где к = 2п/Х , X - длина волны света; (гга^/гс) = //^п° - в 2 ; |?у| - коэффициент, являющийся аналитическим продолжением классического множителя Френеля и учитывающий скачок профиля на границе сердцевины,

|Tfl „2 „2

в2 - l 2 )(в2 +1 2

Общие потери мощности светового потока в определенном сечении изгиба оптоволокна можно посчитать и без применения методов статистического моделирования. В работе проведен расчет подобных потерь с погрешностью < 5 %, рассмотрены планарные и оптоволоконные волноводы, а также Ламбертов источник излучения. Однако для вычисления светового поля этого недостаточно.

Третий подход позволяет работать со всем распределением лучей в оптоволокне сразу и заключается в следующем. Изогнутую часть оптоволокна можно представить как некоторый преобразователь, воздействующий на распределение Р(в, I) и преобразующий его в новое распределение

Р (в, I) с помощью некоторой функции влияния К (в' , I' , в, I):

12 Р 2

Р

11 в1

Для заданного сегмента изогнутого волокна функцию влияния можно получить на основе статистического моделирования, описанного во втором подходе, либо она может быть выведена на основе анализа.

Соотношение (15) определяет распределение мощности на выходе изогнутого волновода. Однако аналогичное соотношение (16) можно задать для произвольного положения Ф внутри изогнутого волновода, а также перейти от волновых инвариантов к локальным переменным г, ф и углам наклона светового луча 0, у

гС 2п 0СГ 2п

Р

0 0 0 0

Заключение

Стоит отметить, что наличие нарушений в структуре как сердцевины, так и оболочки приводит к усложнению расчетов и требует особого, более тщательного физического и математического анализа. При дальнейшем анализе распространение света в искривленном многомодовом оптическом волноводе позволяет эффективно спроектировать и смоделировать чувствительный элемент датчика механического перемещения. Данный анализ получившейся модели даст конкретные схемы конструкции датчика, оптимальные с точки зрения инженерного приложения.

Список литературы

1. Снайдер, А. Теория оптических волноводов / А. Снайдер, Дж. Лав. - М. : Радио и связь, 1987. - 656 с.

2. Эйхенвальд, А. А. Избранные работы / под ред. А. Б. Млодзеевского. - М. : Гос. изд. технико-теорет. литературы, 1956. - 267 с.

3. Кравцов, Ю. А. Геометрическая оптика неоднородных сред / Ю. А. Кравцов, Ю. И. Орлов. - М. : Наука, 1980. - 304 с.

4. Бростилов, С. А. Волоконно-оптический датчик давления на основе туннельного эффекта / С. А Бростилов, Т. И. Мурашкина, Т. Ю. Бростилова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2010. -№ 4 (16). - С. 106-117.

Бростилов Сергей Александрович аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: ser-brostilov@yandex.ru

Торгашин Сергей Иванович директор по производству, Научно-исследовательский институт физических измерений

E-mail: info@niifi.ru

Юрков Николай Кондратьевич

доктор технических наук, профессор, заведующий кафедрой конструирования и производства радиоаппаратуры, Пензенский государственный университет

E-mail: yurkov_nk@mail.ru

Brostilov Sergey Alexandrovich Postgiaduate student,

Penza State Univeisity

Torgashin Sergey Ivanovich Production manager, Research Institute of Physical Measurements

Yurkov Nikolay Kondratyevich Doctor of engineering sciences, professor, head of sub-department of Radio equipment design and production,

Penza State University

УДК 681.586.5.

Бростилов, С. А.

Распространение света в искривленном многомодовом оптическом волноводе I С. А. Бростилов, С. И. Торгашин, Н. К. Юрков II Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. -2012. - № 1 (21). - С. 141-150.