Установившиеся движения неуравновешенного роторав подшипниках с радиальным зазором

УДК 531.36:534.1

Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2005, вып. 3

И. А. Пасынкова

УСТАНОВИВШИЕСЯ ДВИЖЕНИЯ НЕУРАВНОВЕШЕННОГО РОТОРА В ПОДШИПНИКАХ С РАДИАЛЬНЫМ ЗАЗОРОМ

Вопросы динамики неуравновешенного жесткого ротора с четырьмя степенями свободы исследовались в [1—3]. В [1] рассмотрена задача о вынужденных колебаниях статически и динамически неуравновешенного жесткого ротора, укрепленного в линейных упругих опорах. В работах [3-4] рассматривается ротор в нелинейных упругих опорах без учета сил сопротивления, получены параметры цилиндрической и конической прецессии уравновешенного ротора. В [5] исследована устойчивость цилиндрической прецессии статически неуравновешенного ротора с двумя степенями свободы в предположении, что ротор совершает плоско-параллельное движение. В работах [6-9] было установлено, что динамически и статически неуравновешенный ротор может совершать движение типа прямой синхронной прецессии, которые могут быть коническими, цилиндрическими или гиперболоидальными. В [10] исследовано влияние радиального люфта на вращение гибкого ротора с двумя степенями свободы (the Jeffcott rotor). В [11] рассмотрено влияние зазора в подшипниках крепления на конические прецессии динамически (моментно) неуравновешенного жесткого ротора в случае, когда на ротор действуют силы внешнего сопротивления и сила реакции со стороны подшипника определяется формулой Герца.

В данной работе продолжается изучение влияния радиального зазора на пространственное движение динамически неуравновешенного ротора в предположении, что силы реакции подшипника являются квазилинейными с кубической нелинейностью, и кроме того, учитываются силы внутреннего трения.

Предполагаем, что ротор представляет собой абсолютно твердое тело. Такое допущение правомерно, по крайней мере, при скорости вращения меньше второй критической. Пусть ротор обладает динамической симметрией, и пусть A — его осевой момент инерции, а B — экваториальный. Масса ротора M, его длина L. Ротор динамически (моментно) неуравновешен, и его дисбаланс равен S. Рассматривается ротор, вертикально укрепленный в нелинейных упругих опорах так, что его центр масс расположен посередине между опор. Пусть ротор приводится во вращение двигателем неограниченной мощности, способным поддерживать постоянную угловую скорость вращения w, и пусть перемещение ротора вдоль оси вращения пренебрежимо мало. При этих предположениях ротор представляет механическую систему с четырьмя степенями свободы. В качестве обобщенных координат можно выбрать декартовы координаты Uj, Vj (j = 1, 2) каждой опоры в плоскости, перпендикулярной оси подшипников. Рассматривается квазилинейная зависимость реакции опоры от величины смятия z в точке контакта вида F(z) = со z + c\ z3, где со > 0, c\ —вещественные постоянные, характеризующие упругие свойства опоры. Предполагается, что подшипник обладает свойством радиальной симметрии, тогда реакция опоры имеет только радиальную составляющую. В подшипнике с зазором (радиальным люфтом) ротор может совершать движения как находясь в контакте с подшипником, так и не имея такого контакта, поэтому сила реакции опоры

© И. А. Пасынкова, 2005

предполагается кусочно-непрерывной [10] и задается в виде

5 _ / -Ро), \Sj\ypo, т

3 '^Г ^ I о, 1^-Кро,

где Б у = и2 + I Уз — смещение центра соответствующей опоры от равновесного положения, 12 = —1. Кроме того, учитываются силы внешнего сопротивления, пропорциональные абсолютной скорости движения центра опоры Н^ = —реБ>з, а также силы внутреннего сопротивления, пропорциональные относительной скорости движения центра опоры [12] ц21) = —р^Б^ — I шБ^), ] = 1, 2.

Систему уравнений движения ротора можно получить на основании теорем о движении центра масс и об изменении главного момента количества движения относительно центра масс [1, 3]. В комплексной форме уравнения движения будут иметь вид:

у

В(ё2 -&) + + (¿2 -¿О-

т2 т2

-1и^ —

Перейдем в системе (2)—(3) к безразмерному времени т = шоЬ, где ш2 = 2 со/М. По существу задачи величины Б \ и зазор ро являются малыми, поэтому в качестве характерного линейного размера возьмем малую величину Ь 6, введем безразмерный зазор р = ро/(Ь6) и безразмерные относительные смещения центров опор = Б^/ро. Как и раньше [11], введем безразмерные параметры

ш Л А МЬ2 МЬ2

\1 = —, Л = —, к

w0' B' 4(B — A) 4B(1 — Л)'

_ 2ße _ 2ßj ^"Jlfwo' Mlüo' [ )

Отметим, что для динамически вытянутого тела (Л < 1) параметр к > 0, а для динамически сжатого (Л > 1) имеем к < 0, так как к (1 — Л) > 0.

Система дифференциальных уравнений (2)—(3) в безразмерных переменных примет вид

si + h + (Pe + Pi)(si + s2) — I О Pi(si + s2) + (pi + p2) = 0,

S2 — si +

-IQpM 1 -Л)(s2 — si) + k(l -X)(p2 -pi) = -(1 - X)Q2 exp (IQt).

P

Безразмерные силы pj определяются по формулам:

p.-p._2L /

где f (|sj| — 1) = (|sj| — 1)(1 + cp2 (|sj| — 1)2) и параметр c = L2 S2 c1/c0. 88

1°. Амплитудно-частотные характеристики установившихся вращений ротора. Система (5) допускает решение вида

ву = Ту ехр

где Ту, фу —вещественные постоянные, Ту > 0. Это решение представляет собой прямую синхронную прецессию ротора, которая может быть гиперболоидальной, конической или цилиндрической. Характер прецессии можно установить по соотношению между фазами фу.

Подставим решение (7) в систему (5), получим линейную неоднородную систему алгебраических уравнений относительно ехрЦру) и разрешим ее относительно этих величин:

п\А2 + юИег2) п2

р Дсопр рДсопр

где введены обозначения

А = I (Ту - 1) - Ту П2, Ву = к I (Ту - 1) - Ту П2,

определитель системы

Дсопр = Д - 2 к (ПМе)2Т!Т2 + т^е(Т1(кА2 + В2) + Т2 (к А! + В!)) = 0

и Д = А\ В2 +А2 В\. Отметим, что полученные выражения не зависят от коэффициента внутреннего трения.

Величина Д = А\ В2 + А2 В\ = д(т! ,т2 , П2) —это определитель системы относительно ехр (Iфу) при отсутствии сопротивления. В пространстве (т!, Т2, П2) множество Д = 0 определяет множество нелинейных резонансов.

Среди решений (7) системы (5) можно выделить решение вида

в2 = -в! = в = т ехр

которое соответствует симметричной конической прецессии ротора, когда его центр масс неподвижен. Здесь т — безразмерная относительная амплитуда, а ф — безразмерная фаза смещения опоры в системе координат, вращающейся с угловой скоростью ротора.

В решении (9) значение т =1 соответствует смещению центра опоры на величину, равную зазору в подшипнике, и переходу от движения без контакта к движению с контактом, или наоборот. При этом для движения ротора с контактом в подшипнике мы имеем уравнение, соответствующее ненулевому значению силы р, а для движения без контакта, когда величина смещения центра опоры меньше величины зазора, сила р = 0. Переход с одного уравнения на другое происходит при значении |в| = т = 1.

Так как | ехр (I ф) | = 1, после несложных преобразований получим зависимости амплитуды и фазы симметричной конической прецессии от частоты, соответствующие двум режимам движения ротора, с контактом и без контакта. Удобно перейти к новым переменным (х, у) по формулам х = П2,у = т. Амплитудно- и фазово-частотные характеристики конической прецессии в переменных (х, у) будут

у/В*+х

У\/х + (/с/хе)2 =

кцеуу/х

у < 1,

в

Множество А = А1 В2 + А2 В1 =0 вырождается в АВ = 0, где А = А = А2 и В = В1 = В2. На плоскости (ж, у) —это две непересекающиеся кривые А = 0, В = 0, исходящие из одной точки (х = 0,у = 1), причем кривая В = 0 является скелетной для

(10).

При увеличении частоты вращения ротора предельное значение амплитуды у, как следует из (10) и (11), отлично от нуля и равно уж = 1/(2р), как для движения с контактом, так и для движения без контакта. Это означает, что при большой угловой скорости вращения происходит самоцентрирование ротора, при этом ось динамической симметрии ротора стремится занять положение оси вращения ротора в равновесии. В зависимости от величины зазора это движение будет либо с контактом, либо без него. Если у ж > 1, т. е. р < 1 /2, то вращение ротора в состоянии, близком к центрированному, будет происходить с контактом в подшипнике. В противном случае, самоцентрирование произойдет в состоянии без контакта. Если вернуться к размерным величинам, то неравенство р < 1/2 означает, что зазор в подшипнике меньше отклонения оси динамической симметрии ротора от оси его вращения в плоскости опоры.

На рис. 1 приведены для сравнения АЧХ конической прецессии ротора с зазором (жирная линия) и без зазора (тонкая линия) при следующих значениях параметров к = 0.8, с = 0.16, р = 0.3, ре = 0.25. Можно заметить, что диапазон частот движения без контакта очень мал. Координата точки перехода с одного типа движения на другой определяется по формуле х^ = 4 р2 (^е )2 к2 /(1 — 4 р2) и при данных параметрах х^ = 0.0225. Кроме того, при наличии зазора значения амплитуд до точки срыва больше, чем у ротора в подшипниках без зазора, хотя «срыв» происходит при меньших значениях амплитуды и частоты. Эта же особенность отмечена в работе [10] для ротора с двумя степенями свободы.

Рис. 1.

Рис. 2.

Амплитудно-частотные характеристики (10) и (11) имеют ряд особенностей. Часть АЧХ (11), соответствующая движению без контакта, это гладкая кривая, идущая от точки (0, 0) до (х = х^, у = 1). На рис. 2 в крупном масштабе представлены АЧХ (10) и (11), скелетная кривая и прямая перехода у = 1. Как видно, АЧХ (10) имеет две ветви, из которых нисходящая является лишним решением, и в точке (х = х^, у = 1) происхо-

дит скачок. Часть АЧХ (10), соответствующая движению с контактом, моожет иметь одну, две или ни одной точки пересечения со скелетной кривой B = 0 в зависимости от значения коэффициента сопротивления це (рис. 3.) Даже при це = 0 АЧХ может иметь разомкнутые ветви.1 Эта же особенность имеет место и в случае динамически неуравновешенного ротора, укрепленного в подшипниках без зазора [13]. Уравнение для определения точки пересечения АЧХ (10) и скелетной кривой представляет собой кубическое уравнение с коэффициентом при третьей степени, равным c — 4 k (ре)2, и остальными положительными коэффициентами. Исследование этого уравнения по правилу знаков Декарта приводит к выводу, что при c — 4 k (ре)2 > 0 имеется единственная точка пересечения, и она находится вблизи (x = 0,y = 1) (рис. 3). Это означает, что при малых значениях це ветви АЧХ с ростом частоты стремятся к скелетной кривой, но не пересекают ее. При c — 4 k (ре)2 ^ 0 точек пересечения две, вплоть до некоторого значения це, а затем с ростом це точек пересечения нет. На рис. 3 представлены АЧХ (10) и (11), скелетная кривая и прямая перехода y = 1 для значений ¡±е, равных 0.15 (кривая с разомкнутыми ветвями), 0.25, 0.35, 0.75.

Рис. 3.

2°. Исследование устойчивости симметричной конической прецессии. В

зависимости от параметров возможны от одного до трех различных режимов симметричной конической прецессии. Проведем исследование устойчивости по линейному приближению сначала для той части АЧХ, которая соответствует движению с контактом, т.е. для y > 1. Пусть безразмерной частоте вращения ротора Q отвечают значения r, ф безразмерной амплитуды и фазы, причем r > 1. Введем для каждой опоры малые возмущения Zj, aj по формулам rj = r + Zj, фj = ф + aj и построим систему уравнений в вариациях, сохранив обозначения x = П2, y = r. Удобно ввести следующие обозначения:

3 = l3 + (Ve+lJ>i)Zj + (f'(y - 1) - x)Zj - Heyy/xaj - 2ул/xàj, C2j = yOLj + (fie + Hi)yàj + Aaj + 2 y/xZj + PeVxZj,

C3j = Zj + (/ie + pi)klzj + l(kf (y — 1) — x)zj — (1 + l)yyfxàj — kliieyy/xaj, C^j = yàj + (/ie + Hi)klyàj + l В aj + (1 + l)yfxzj + ¡±ekl\[xzj,

где l = 1 — Л и f (y — 1) — производная функции f, вычисленная в точке y — 1, т.е.

/' (у 1) = 1 + ?>ср2{у — I)2.

1 Этот результат получен в выпускной работе бакалавра А. С. Ясенского.

Тогда уравнения в вариациях запишутся следующим образом:

Сп — С-12 = 0, С21 — С22 = о, Сз! + С32 = 0, С41 + С42 = 0.

Как видно из системы (5), система уравнений линейного приближения распадается на две независимых подсистемы. Вследствие этого характеристический полином системы (13) восьмой степени приводится к произведению двух полиномов четвертой степени. Рассматривается динамически вытянутый ротор (Л > 0). Опуская промежуточные вычисления, выпишем эти полиномы:

М1 = аор4 + ар + а2 р2 + азр + а4, ао = у, а1 = 2

аз = (Ме + Мг)(ср2(4у — 1)(у — 1)2 + 2у — 1) + 2(ме — Мг)ху, а4 = (/ (у — 1) — х)А + (ме)2ху;

М2 = Ьор4 + 61Р3 + 62Р2 + Ьзр + 64, Ьо = у, 61 =2(Ме + Мг) ^^у, Ь2 = (Ме + Мг)2 к2 I2 у + к1ср2(4у — 1)(у — 1)2 + к1 (2у — 1) + (I2 + 1)ху, (15) Ьз = (Ме + Мг)к2 I2 (ср2(4у — 1)(у — 1)2 +2у — 1) + 2(ме — 1Мг)к1ху, Ь4 = 12(к /'(у — 1) — х)В + (Ме)2 к2 I2 ху.

Бифуркации установившегося движения могут происходить при появлении или исчезновении нулевых и чисто мнимых корней характеристических полиномов М1 и М2. Нулевым корням соответствуют условия а4 =0 и Ь4 = 0, которые не зависят от внутреннего трения, а чисто мнимым — условия обращения в ноль определителей Рауса— Гурвица третьего порядка ёе^М^ = 0, ёе!;3(М2) = 0.

Если не учитывать внутреннего трения = 0), то, как и для ротора без зазора, можно показать, что все коэффициенты полиномов М1, М2, кроме а4 и Ь4, и определители Рауса—Гурвица вплоть до третьего порядка всегда положительны. Границы устойчивости а4 =0 и Ь4 = 0 при Ме = 0 содержат линии нелинейных резонансов А = 0 и В = 0. При малых значениях Ме неустойчивость также проявляется вблизи нелинейных резонансов. На рис. 4 приведены кривые а4 = 0, Ь4 =0 (тонкими линиями) и АЧХ для движения с контактом при к = 2, р = 0.3, с = 0.16 и Ме = 0.18. Участки, соответствующие устойчивым режимам, отмечены жирной линией.

При учете внутреннего трения коэффициенты ао, а1, а2, Ьо, Ь1, Ь2 остаются положительными, а знаки коэффициентов аз и Ьз зависят от соотношения Ме и м. При Ме < М или ме < IМ эти коэффициенты отрицательны при ограниченных значениях у и достаточно больших значениях х. Условия появления мнимых корней detз(Ml) = 0, detз (М2) = 0 не имеет смысла выписывать в силу их громоздкости. Численное построение соответствующих кривых на плоскости х, у не представляет затруднений. Следует, однако, отметить, что при а4 > 0 и Ь4 > 0, т. е. там, где прецессии устойчивы при наличии только внешнего сопротивления, неравенства аз < 0, Ьз < 0 влекут за собой неравенства

detз(Ml) = —а1 а4 — а\ ао + а,1 а2 аз < 0, detз(M2) = —Ь21 Ь4 — Ь\ Ьо + Ь1 Ь2 Ьз < 0.

Отсюда можно заключить, что режим самоцентрирования ротора при больших частотах в условиях контакта с подшипником становится неустойчивым, если коэффициент внутреннего трения больше коэффициента внешнего трения. На рис. 5 показаны зоны устойчивости и неустойчивости при тех же параметрах, что и раньше и ¡г = 0.3. Зона неустойчивости, связанная с переходом через чисто мнимые корни, в этом случае определена границей detз(Мх) = 0. Следует отметить, что неустойчивость различных участков АЧХ имеет различный характер. Так, на участке неустойчивости Ь4 > 0 наблюдается классическое явление «срыва» и при этом характер прецессии (симметричная коническая) сохраняется. В других случаях неустойчивость приводит к качественному изменению характера движения. В этом диапазоне частот вовлекается в движение центр масс ротора, и прецессия перестает быть конической. Такое явление качественного изменения характера движения носит название «пространственной неустойчивости» (по терминологии [14]). Для разных значений параметров явление пространственной неустойчивости может иметь место как в докритическом диапазоне частот (рис. 4, 5), так и в закритическом (рис. 5).

X X

Рис. 4- Рис. 5.

Исследуем устойчивость конической прецессии ротора при вращении без контакта. Характеристический полином Мх в этом случае имеет вид

= р4 + 2

Как и в движении с контактом, коэффициент а3 = 2(1 е — ¡г)х может принимать отрицательные значения, и определитель Гурвица третьего порядка равен

detз

т. е. движение без контакта неустойчиво.

Что касается динамически сжатого ротора (Л > 1), то вращение с контактом возможно только при малых зазорах (р < 1/2), причем резонанса не будет ни при каких значениях частоты, так как tg ф всегда ограничен, что следует из формулы (12). На рис. 6 приведена АЧХ конической прецессии динамически сжатого ротора при к = —2.0, I = —0.7, р = 0.3, ¡¡е = 0.18, ¡1г = 0.3 для значений у > 1. Кривая асимптотически стремится к своему предельному значению у^ = 1/(2 р) = 1.66.

Исследование устойчивости показало, что пространственная неустойчивость может иметь место как вблизи нелинейного резонанса А = 0 (в этом случае наблюдается переход через нулевой корень), так и вследствие влияния внутреннего трения (имеет место

переход через корни с нулевой вещественной частью). В результате самоцентрирование ротора становится неустойчивым.

Если зазор р > 1/2, то ротор при своем вращении не имеет контакта с подшипником, и при наличии внутреннего трения это вращение также неустойчиво. На рис. 7 представлены АЧХ, предельное значение амплитуды у = 1.66, прямая перехода на движение с контактом у = 1 и границы устойчивости а4 = 0 и detз (Ы\) = 0 (пунктирными линиями). Участок асимптотически устойчивых режимов выделен жирной линией.

"5 ' ' 10 ' ' 15 ' 20 ' ° 12 3 4

X X

Рис. 6. Рис. 7.

Аналогичные результаты справедливы для цилиндрической прецессии статически неуравновешенного ротора.

Summary

I. A. Pasynkova. Steady motions of an rigid unbalance rotor supported by bearings with radial clearance.

The existence, characteristics and stability of the conic precessions of a rigid dynamically unbalanced rotor supported by bearings with radial clearance are investigated. It is assumed that the restoring forces are quasi-linear with a cubic non-linear item and the external and internal resistance forces are linear functions of the absolute and relative velocity accordingly. The resonance curves are obtained and compared with the characteristics like these in the case with non-clearance bearings. The stability conditions are received with the Hurwitz criteria.

Литература

1. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. М., 1959. 440 с.

2. Кельзон А. С., Циманский Ю. П., Яковлев В. И. Динамика роторов в упругих опорах. М., 1982. 280 с.

3. Кельзон А. С., Меллер А. С. Динамика статически неуравновешенного ротора в подшипниковых опорах // Докл. АН СССР. 1991. Т. 318, №1. С. 69-72.

4. Меллер А. С. Динамика высокооборотных роторных машин. Автореферат дисс. канд. физ.-мат. наук. СПб., 1997.

5. Меркин Д. Р. Введение в теорию устойчивости движения. М., 1987. 304 с.

6. Пасынкова И. А. Прецессии жесткого неуравновешенного ротора в нелинейных упругих опорах // Проблемы и перспективы прецезионной механики и управления в машиностроении: Материалы международной конференции. Саратов. 1997. С. 83-85.

7. Пасынкова И. А. Гиперболоидальная прецессия ротора в нелинейных упругих опорах // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1997. Вып. 4 (№22). С. 88-95.

8. Пасынкова И. А. Устойчивость конической прецессии жесткого неуравновешенного ротора // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 1998. Вып. 1 (№1). С. 82-86.

9. Архипова И. М., Пасынкова И. А. Исследование прецессионного движения неуравновешенного ротора // Вторые Поляховские чтения: Избранные труды. СПб., 2000. С. 65-72.

10. Pascal M. Non linear vibrations of an unbalanced rotor with radial clearance // Третьи Поляховские чтения: Избранные труды. СПб., 2003. С. 123-131.

11. Пасынкова И. А. Влияние зазора в подшипниках крепления на конические прецессии неуравновешенного ротора // Вест. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1. 2005. Вып. 1. С. 103-110.

12. Диментберг Ф. М. Изгибные колебания вращающихся валов. М., 1959. 248 с.

13. Архипова И. М. Установившиеся движения жесткого неуравновешенного ротора в нелинейных упругих опорах. Автореферат дисс. СПб., 2001.

14. Ганиев Р. Ф., Кононенко В. О. Колебания твердых тел. М., 1976. 432 с.

Статья поступила в редакцию 5 октября 2004 г.