Мастер-класс по решению заданий с параметром в ОГЭ по математике

Мастер-класс по решению заданий с параметром (№22) в ОГЭ по математике

Довольно часто встречаются ученики, пасующие перед второй частью, и, особенно перед 22-м заданием (ОГЭ-2024), где нужно построить график и ответить на вопрос по нему. В чем же его сложность и как подготовить учащихся к его успешному решению – на эти вопросы попробуем найти ответ в ходе данного мастер-класса.

Задание 22 – это задание высокого уровня сложности, оно требует свободного владения материалом и довольно высокого уровня математического развития. Рассчитаны эти задачи на обучающихся, изучавших математику более основательно, например, в рамках углубленного курса математики, элективных курсов в ходе предпрофильной подготовки, математических кружков и пр. Хотя эти задания не выходят за рамки содержания, предусмотренного стандартом основной школы, но при их выполнении ученик должен продемонстрировать владение некоторыми специальными приемами преобразования выражений, проявить умения исследовательского характера, которые помогут успешно продолжать образование в 10-11 классах углубленного или профильного изучения математики, информатики, физики.

Итак, задание №22 представляет собой задачу по теме «Графики функций».
Это задание можно отнести к достаточно сложным, но следует понимать, что
сложность эта относительна и в данном случае обусловлена либо формулой,
задающей функцию и предполагающей предварительные алгебраические
преобразования для получения одной из базовых функций школьного курса
(из области определения которой в некоторых случаях придётся исключить
одну или две точки), либо самим условием, требующим исследования
взаимного расположения графиков двух функций и ответа на определённые
вопросы о числе их общих точек в зависимости от некоторой величины. Что
касается формулы, задающей функцию, то, как уже отмечалось, после
несложных преобразований этой формулы (сокращения дроби, раскрытия
модуля, приведения подобных слагаемых) получается формула, задающая
элементарную функцию, графиком которой (или частью графика) является
прямая, парабола, гипербола или их части, возможно, с удаленными
(выколотыми) точками (последние могут появиться в случае задания
функции с помощью алгебраической дроби, область определения которой
находится из условия неравенства нулю их знаменателя).

При выполнении задания 22 рекомендуется придерживаться следующего алгоритма:

- преобразуем формулу, которая задаёт функцию, и найдём область определения функции;

- определим вид и характерные точки графика функции на каждом промежутке;

- изобразим график функции на координатной плоскости (учитывая точки разрыва функции);

- исследуем график функции, исходя из вопроса к заданию (проведём прямые у=m или у=kx, согласно условию задачи);

- запишем ответ.

В ходе подготовки к ОГЭ для выполнения заданий №11 организуется повторение изученных в основной школе элементарных функций, их графиков и способов построения. Эти знания, конечно же, необходимы и для успешного выполнения №22. Основная же подготовка к выполнению заданий 22 проводится, в основном, на консультациях, т.к. в урочное время на эти задания времени, как правило, не достает.

Выделю несколько, на мой взгляд, важных методических рекомендаций для подготовки учащихся к выполнению 22 задания:

1. Для подготовки учащихся рекомендуется использование обобщающих схем, таблиц, рисунков с графиками элементарных функций, алгоритмов действий.

2. Повторить графический способ решения уравнений, имеющих один из двух видов:1) 𝑓(𝑥) = 𝑚; 2) 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥,

где f(x) – произвольная функция, к и m – произвольные числа.

3. Повторить преобразования алгебраических выражений.

4. Преобразования графиков функций, в том числе с модулями.

5. Построение кусочной функции непрерывной или с разрывами.

6. Исследовать поведение элементарных функций в зависимости от значений коэффициентов.

7. Рассматривать различные формулировки одного и того же задания.

Проанализировав задание 22 ОГЭ по математике можно выделить три основных группы заданий.

1. Функции, при преобразовании которых необходимо раскрыть знак модуля.

2. Кусочные функции.

3.

Дробно-рациональные функции.

Как же оценивается задание 22 экспертами? Требования к выполнению этого задания такие же, как и к прочим заданиям с развернутым ответом. Решение должно быть математически грамотным, полным, лаконичным. В этом случае оно оценивается 2 баллами. Если в решении допущена вычислительная ошибка, погрешность в терминологии или символике, не влияющая на правильность общего хода решения (даже при неверном ответе) и позволяющая сделать вывод о владении материалом, то задание оценивается 1 баллом. При невыполнении предыдущих требований, решение задания 22 оценивается 0 баллов. К счастью, мои выпускники 2023 года, приступавшие к этому заданию, получили за его выполнение максимальные 2 балла.

Общие подходы к проверке и оценке выполнения заданий с развернутым ответом:

Требования к выполнению заданий с развернутым ответом заключаются в следующем: решение должно быть математически грамотным и полным, из него должен быть понятен ход рассуждений обучающегося. Оформление решения должно обеспечивать выполнение указанных выше требований, а в остальном может быть произвольным. Не следует требовать от учащихся слишком подробных комментариев (например, описания алгоритмов). Лаконичное решение, не содержащее неверных утверждений, все выкладки которого правильны, следует рассматривать как решение без недочетов. Если решение заданий 2 части удовлетворяет этим требованиям, то выставляется полный балл – 2 балла за каждое задание. Если в решении допущена ошибка непринципиального характера (вычислительная, погрешность в терминологии или символике и др.), не влияющая на правильность общего хода решения (даже при неверном ответе) и позволяющая, несмотря на ее наличие, сделать вывод о владении материалом, то учащемуся засчитывается балл, на 1 меньший указанного, что и отражено в критериях оценивания заданий с развернутым ответом.

Выделим основные типичные ошибки при выполнении 22 задания:

- не правильно построен график;

- не отмечены выколотые точки;

- записано верное значение параметра, но не указано, как оно получено;

- отсутствует название осей координат, единичный отрезок на координатных осях или направления координатных осей.

Основным условием положительной оценки за решение задания является верное построение графика. Верное построение графика включает в себя:

- масштаб;

- содержательная таблица значений или объяснение построения;

выколотая точка обозначена в соответствии с ее координатами.

Приведу цитату Федеральной службы по надзору в сфере образования и науки ФГБНУ «Федеральный институт педагогических измерений» по организации подготовки учащихся к решению задания №22:
«…При выполнении задачи 23 высокого уровня сложности важно записать все этапы построения графика. Если нужно построить график линейной функции, то в решении должно быть записано название графика – прямая (по рисунку, выполненному от руки, можно и «не узнать» прямую). При построении графика нужны дополнительные точки, которые должны быть описаны и отмечены на графике».
Методические рекомендации относительно 23 задания в 2021 году остались неизменными относительно 22 задания в 2024 году.

В заключении выступления назову основные моменты из моего личного опыта подготовки к ОГЭ учащихся 9-х классов, которых я стараюсь придерживаться:

• Индивидуальный подход к каждому обучающему;

• Систематический и регулярный мониторинг знаний;

• Использование различных источников при подготовке к ОГЭ;

• Работа с бланками ОГЭ;

• Работа с родителями обучающихся;

• Психологическая подготовка обучающихся к экзамену.

В качестве дополнения предлагаю ряд учебных пособий и конкретных тренировочных заданий, помогающих подготовиться к восприятию №22 ОГЭ и №11 ЕГЭ по профильной математике (смотри на слайдах 26-33).