Использование структурной модели для описания реологических свойств двухфазных сред

УДК 678.5.01:539.214 + 620.22 - 419.8.001.57

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ СТРУКТУРНОЙ МОДЕЛИ ДЛЯ ОПИСАНИЯ РЕОЛОГИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ДВУХФАЗНЫХ СРЕД

О. С. Садаков, С. И. Шульженко

Поведение некоторых двухфазных неупругих сред при повторно-переменном неизотермическом нагружении обладает специфическими особенностями, математическое описание которых феноменологическим путем представляется практически недостижимым. Ниже предложено использовать для этой цели подход, лежащий на грани с онтологическим: формальное моделирование микронеоднородности среды. Этот подход позволяет получить эффективное средство для неупругих расчетов.

1. Известно, что реальные материалы реономны, а наблюдаемые деформации (и вычисляемые напряжения) представляют собой среднее по деформациям и напряжениям в микрообъемах материала. Однако в расчетах принято использовать феноменологическое допущение о сплошной однородной среде, и это вполне оправдывается в большинстве практических задач. Но при моделировании реологических свойств (пластичность, ползучесть), выявляемых опытами при повторно-переменном, непропорциональном, неизотермическом нагружении такой феноменологический подход приводит к непреодоленным пока трудностям. Более реален путь моделирования микронеоднородности, например, на основе структурных моделей, в которых это делается формально, подобно использованию пакета параллельно деформируемых идеально пластических стержней (модель Мазинга).

Простейшее развитие подхода - замена свойства идеальной пластичности на свойство идеальной вязкости. Более того, при моделировании металлов вполне достаточным оказалось принять определяющие функции всех стержней подобными. Это привело к еще большему упрощению анализа и идентификации модели.

Однако названное подобие не оправдывается, если в среде выделяются две (или чуть больше) различных составляющих (например, фаз) с отчетливо различающимися свойствами. К таким средам относятся многие композиционные материалы, пластмассы, некоторые сплавы металлов. Ниже мы постараемся показать, что и эти трудности могут быть преодолены с использованием соответственно модифицированной структурной модели. Для двухфазной среды может использоваться просто параллельное соединение двух базовых моделей с различающимися свойствами. Но для описания особенностей неизотермического нагружения придется ввести дополнительную возможность перехода части структурных составляющих из одного фазового состояния в другое. Это позволит описать не только обычный спектр эффектов деформационной анизотропии, но и хорошо известный эффект температурной памяти материала о предыстории.

2. Расширяющееся применение новых материалов и технологий вызывает необходимость разработки моделей, позволяющих отразить весьма многообразные деформационные свойства различных сред. Как показывает опыт, один из перспективных путей для такого моделирования открывают структурные модели среды. В их основе лежат идея о важной, иногда главной роли микронеоднородности в наблюдаемых сложных эффектах неупругого деформирования конструкционных материалов и идея о том, что эта неоднородность может быть формально отражена в виде конструкционной неоднородности независимо от тех особенностей структуры среды, с ко-юрыми она связана. Поведение элементарного объема тела отображается деформированием некоторой конструкции из связанных между собой подэлементов. Последние наделяются (феноменологически) весьма простыми реологическими свойствами, но их совместное неодинаковое деформирование образует комплекс существенно более сложных явлений, которые могут быть объединены понятием «деформационная анизотропия». Все они связаны с образованием и эволюцией микронапряжений, вызываемых микропластическими деформациями, являющимися материальными носителями памяти материала о предыстории нагружения. Сюда относятся анизотропное упрочнение при быстром нагружении и при выдержках, циклическая ползучесть и циклическая релаксация, взаимное влияние процессов быстрого неупругого деформирования и пол-

зучести, многие особенности, связанные с непропорциональным и неизотермическим нагруже-нием, и другие. Опыт работы с такими моделями показывает, что они вполне адекватно описывают поведение металлов.

3. В модели, разработанной на кафедре ПМиДПМ ЮУрГУ [3] и называемой ниже базовой, предполагается, что элемент объема материала работает подобно набору из N подэлементов (ПЭ), имеющих одинаковую историю деформирования и температуры, но обладающих различающимися реологическими свойствами и, соответственно, имеющих различные истории напряжений и неупругих деформаций. Напряжение сг элемента объема определяется как среднее по подэлементам (с «весами»):

о)

где к - номер подэлемента, gk - его «вес». Деформации подэлементов £к, равные деформации элемента е , складываются из упругих, неупругих рк и тепловых вк составляющих:

£ = £к=Гк+Рк+вк,

причем гк =сгк / Е, Е - модуль упругости; неупругая деформация подэлемента рк определяется законом идеальной вязкости

рк^-Фк

йг

Здесь рк - скорость ползучести подэлемента, Фк - реологическая функция подэлемента, I -время, Т - температура. В базовой модели принято подобие реологических функций:

Фк

где Ф ~ реологическая функция материала, гк - коэффициент «прочности». Подэлемент, у которого значение гк = 2, в среднем имеет вдвое большее напряжение, чем «средний» (ПЭ, имеющий значение гк, равное единице).

Из подобия (4) следует подобие диаграмм деформирования подэлементов (при нагружении с постоянной скоростью деформации ё - с) для различных ПЭ и при различных значениях скорости с . С этим связано и подобие диаграмм деформирования материала при различных значениях скорости деформации. Более того, из независимости от температуры постоянных gk,zк (определяющих в совокупности плотность распределения параметров «прочности» между ПЭ) следует, что диаграммы деформирования материала практически подобны при различных значениях температуры. Таким образом, осуществляется так называемая «слабая» зависимость реологических свойств от температуры - через температурную зависимость характеристик материала. Названное подобие реологических функций ПЭ обусловило предельную простоту базовой модели и удобство работы с ней.

Однако при переходе к другим конструкционным материалам, в частности, к пластмассам, обнаруживается необходимость отказа от упомянутого подобия. Анализ экспериментов [1, 2] показывает, что, например, термопласты обладают весьма выраженной неоднородностью реологических свойств своих составляющих и для их моделирования следует использовать как минимум две неподобные реологические функции.

Заметим, что реологические модели пластмасс пока совершенно недостаточно разработаны. Технические теории ползучести непригодны для циклического неизотермического нагружения; модели наследственного типа идеализируют забывание предыстории нагружения и температуры, что совершенно не отвечает свойствам термопластов, обладающих, в частности, известным свойством: температурной памятью формы.

4. В случае изотермического нагружения простейший путь моделирования двухфазной среды - использовать параллельное деформирование двух базовых моделей, реологические функции которых существенно различаются. Будем считать, что каждый подэлемент относится к одной из двух фаз, I или //; относительные «веса» фаз равны 01 и Сп. Осреднение по подэлементам производится по формуле

индексы к относятся к подэлементам фазы /, т - фазы II.

68

Вестник ЮУрГУ, № 8, 2003

Садаков О.С., Шульженко С.И.

Использование структурной модели для описания _реологических свойств двухфазных сред

5. Наиболее контрастной и, соответственно, удобной для анализа является ситуация, когда одна из фаз реономна, другая - склерономна, то есть состоит из идеально пластических подэле-ментов. Такая модель обнаруживает специфический комплекс свойств, не присущих ни вязкой, ни склерономной базовой модели.

Пусть реологическая функция первой (вязкой) фазы описывается законом Нортона

(Ф(х) = Ахп); тогда диаграммы начального деформирования этой фазы а^е) при различных

значениях постоянной скорости деформации ё = с1 являются центрально подобными:

=Ме) = куМ£/ки)> ки =

Для второй, пластической, фазы скорость деформирования не играет роли; диаграмма деформирования при любой скорости одинакова:

о и =Л/00

Диаграмма деформирования модели в целом при ё - с, представляет сумму (5) диаграмм каждой из фаз:

<т = Ш = вМе) + еМ£).

Естественно, подобия диаграмм с различными значениями ё здесь нет. Ползучесть и релаксация протекают только в ПЭ / фазы и являются ограниченными: напряжение в этой фазе может релаксировать до нуля, но сп не изменяется во времени, а зависит только от деформации.

6. Сказанное позволяет решить проблему идентификации двухфазной модели. Экстраполируя кривые деформирования двухфазной среды при постоянных значениях скорости ё на нулевое значение ё , можно получить диаграмму Ои/и{е) и, вычитая ее из исходных кривых, выделить серию диаграмм вязкой фазы (6), умноженных на вес 01. Для примера на рис. 1 для гипотетического материала (п= 2, С?/=0,4) показаны диаграммы деформирования (1, 2, 3) /¡(е). Кривая 4 - диаграмма деформирования пластической фазы (7). Здесь скорости деформирования равны с, 4с, 9с (коэффициенты подобия - 2 и 3). На рис. 2 показаны диаграммы деформирования вязкой фазы. Как видим, сопоставляя диаграммы (5), можно определить показатель функции Нортона. Множитель А этой функции для «среднего» подэлемента (гс = 1) найдется по асимптотическому значению напряжения <у} . Определение параметров gk для пластической фазы производится по кривой ///(£) стандартным для базовой модели образом. Определение параметров гк, gk (удовлетворяющих нормирующим требованиям ч*Гigk =1, -О ПРИ невысоких показате-

лях степени п в отличие от работы с металлическими сплавами представляет существенно более трудную задачу. Если, как чаще всего бывает, высокая точность не нужна, эти параметры можно найти обычным подбором.

Рис. 1. Диаграммы деформирования

материала с различными скоростями с. диаграмма деформирования пластической фазы

Рис. 2. Диаграммы деформирования пластической фазы при различных скоростях е :

1) ¿ = 2) ¿ = 4с, 3) ¿ = 9с.

7. Наиболее актуальным для двухфазных сред является моделирование особенностей неизотермического нагружения, и здесь ситуация оказывается существенно сложнее, чем в базовой модели. Для моделирования «сильного» влияния температуры на реологические свойства среды и, в частности, для отражения эффекта температурной памяти формы в модель следует ввести возможность перехода подэлементов из одной фазы в другую. Впервые подобная модель была предложена в работе [2], где использовалась структурная модель с «температурными тормозами». Каждый ПЭ имеет свою константу - «температуру стеклования» Тск; те ПЭ, у которых она выше текущего значения температуры, имеют нулевую скорость ползучести. Изменение деформации в них сопровождается изменением напряжения (Аак = ЕЛе). Остальные ПЭ не сопротивляются деформированию, напряжение в них равно нулю, а неупругая деформация равна полной е. Количество подэлементов, находящихся в первой и второй фазах изменяется при изменении текущей температуры Т . В работе [1] иллюстрируется эффект памяти формы, отражаемый такой моделью. Однако в остальном (в частности, при изотермическом нагруже-нии)деформационные свойства такой модели довольно примитивны (линейная упругость с модулем, зависящим от температуры).

Очевидно, более корректна модель, сочетающая названные свойства, связанные с переходом ПЭ из одной фазы в другую, и свойства изотермической двухфазной модели, описанной в п.З. В частности, в первом приближении можно использовать контрастную модель с идеально пластической и идеально вязкой фазами (п.4). Модель упростится, если считать что «веса» и коэффициенты «прочности» не изменяются при фазовом переходе.

8. Итак, полагаем, что элементарный объем среды работает подобно пакету подэлементов, имеющих одинаковые истории деформации и температуры. Деформацию делим на упругую, неупругую и тепловую составляющие; последние в первом приближении примем одинаковыми во всех ПЭ. Модуль упругости примем также одинаковым во всех ПЭ и зависящим от температуры. Каждый ПЭ имеет свой индивидуальный набор двух констант: температуры «стеклования» Тс и параметра «прочности» г.

Реологические свойства к-го подэлемента имеют вид

'л(Т)(гк12кТ^ при Т к <Т

М , I

ерН(\гк | - гТк )Н(гкеР) при Тск > Т.

Здесь £}, - е-аТ - «силовая» деформация (сумма упругой и неупругой), а - коэффициент теплового расширения, Н - функция Хевисайда (Н(х) = 0 при х<0, иначе Н(х) = 1); гк = ак! Е(Т); гГк - предельная упругая деформация в склерономном состоянии ПЭ. При любом значении температуры часть ПЭ являются пластическими (Тск >Т), остальные - вязкими (Тск <Т). С ростом температуры пластичных ПЭ становится меньше , так как часть ПЭ первой группы переходит во вторую и материал становится более вязким. Полагаем, что более «прочные» ПЭ и после перехода в другую группу останутся такими же «прочными», поэтому принимаем г!к = 2кгь(Т). Для определенности в качестве реологической функции здесь принимаем закон Нортона. Напряжения элемента объема определяем, используя обычное осреднение (1).

9. Характеристическими функциями материала в данной модели являются функции одного аргумента Е(Т), гь (Г), а(Т), А(Т), п(Т) и функция плотности распределения параметров разброса свойств ПЭ у(г,Тс). Эта функция двух аргументов, с одной стороны, сильнее всего влияет на качественные закономерности поведения модели и, с другой стороны, в наибольшей степени затрудняет идентификацию модели. Если остальные характеристические функции можно найти из изотермических испытаний при ряде значений температур (модель при этом практически не отличается от рассмотренной в п. 4), то для этой функции пока остается лишь путь подбора. Как для любой феноменологической модели, следует ввести гипотезу о характере функции и затем ее проверить экспериментально.

10. Если речь идет о термопластах, то ситуация несколько упрощается тем, что диапазон рабочих температур ТС<Т <ТЬ для этих материалов достаточно узок, а значения Тс, выходящие за этот диапазон, не играют роли (достаточно знать, что Тс > Ть и ПЭ никогда не становится вязким

Вестник ЮУрГУ, № 8, 2003

Садаков О.С., Шульженко С.И. Использование структурной модели для описания _реологических свойств двухфазных сред

или, наоборот, Тс <Та и ПЭ всегда реономен). Поэтому линии уровня плотности распределения у(г7Тс) на множестве аргументов г, Тс могут быть приняты в первом приближении прямыми и, для простоты, параллельными (рис.3, штриховые линии). Функция плотности распределения имеет вид

у

где к} - константа материала. На рис. 4 показан возможный характер этой функции.

М

Ть

Та

о

Рис

11. Расчеты удобно вести для каждого ПЭ в отдельности, для чего функция (10) должна быть дискретизирована. На плоскости [z,Tc} выбираем ¿Уточек - например, на пересечении двух семейств линий z-k{Tc~ const и Tc-k2z = const. Коэффициент к2 выбирают так, чтобы при возрастании температуры ПЭ переходили в вязкую фазу поодиночке (при к2~ 0 х2~Тс и группы ПЭ, имеющие одинаковые значения Тс, меняют фазу одновременно); каждая точка определяет параметры zk, Тск одного ПЭ, а его «вес» gk зависит от значения z-k{Tc в соответствии с выбранной функцией (10). Значения gk нормируются таким образом, чтобы сумма всех «весов» была равна единице. Тогда, в частности, модуль Юнга Е(Т) может определяться по начальному наклону кривой деформирования при данной температуре.

12. Отметим в заключение, что сказанное не решает проблему идентификации предлагаемой «неизотермической» модели, а лишь обрисовывает возможные подходы к этой проблеме. Идентификация и верификация модели могут быть произведены только в сочетании расчетов и экспериментов.

Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (код проекта 01-01-96416).

Литература

1. Асташкин В.М., Ершов А.Л., Пазушан В.А., Садаков О.С. Моделирование реологических свойств полимеров на основе структурной модели среды // Известия вузов. Строительство. -1995.-№ 11.-С. 48-53.

2. Асташкин В.М., Лихолетов В.В. Формирование остаточных напряжений в пластмассовых элементах конструкций при теплосменах в условиях стесненной деформации // Известия вузов. Строительство и архитектура.- 1985. -№ 10.-С. 128-131.

3. Гохфельд Д.А., Садаков О.С. Пластичность и ползучесть элементов конструкций при повторных нагружениях. - М.: Машиностроение. - 1984. - 256 с.

4. Асташкин В.М., Ершов А.Л., Садаков О.С. Структурная модель деформационных свойств поливинилхлорида при повторно-переменном неизотермическом нагружении//Известия вузов. Строительство. - 1997. - № 6. - С. 143-148.

3. Линии уровня функции распределения y(z,TL) Пунктирные линии - z - к{Гс = const, сплошные линии - Тс- k2z = const

Рис. 4. Функция распределения параметров разброса свойств подэлементов

Поступила в редакцию 17 апреля 2003 г.