Асимптотическая нормальность оценок квантилей функции эффективности

_МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №9/2016 ISSN 2410-6070_

УДК 519.21

М.В. Ярощук

к.ф.-м.н., доцент НИУ ННГУ им.Н.И. Лобачевского г. Нижний Новгород, Российская Федерация

АСИМПТОТИЧЕСКАЯ НОРМАЛЬНОСТЬ ОЦЕНОК КВАНТИЛЕЙ ФУНКЦИИ ЭФФЕКТИВНОСТИ

Аннотация

В работе обсуждаются понятия эффективных доз-оценок функции эффективности в зависимости доза-эффект, строится оценка для квантилей функции эффективности. Оценка квантилей строится с помощью непараметрических методов математической статистики, а именно используются ядерные оценки регрессии. В работе показывается, что данные оценки являются асимптотически нормальными.

Ключевые слова

Зависимость доза-эффект, средне-эффективная доза, функция эффективности, ядерные оценки регрессии, асимптотическая нормальность.

При оценивании зависимости доза-эффект наиболее часто оценивают дозы LD5a и ED50: LD50 - это доза, при которой 50% от количества объектов, получивших дозу, погибает (средняя летальная доза), ED50 -

это средне-эффективная доза (для 50% объектов наблюдается эффект). На современном этапе во многих разделах медико-биологических наук востребованными являются величины доз, которые вызывают появление эффекта, учитываемого в экспериментальной группе тест-объектов с заданной вероятностью 0,01 - 0,1; 0,9 - 0,99. Такие дозы получили название доз ED — EDW, ED^ — ED99. Потребности практики обуславливают необходимость одновременного определения как полного перечня категорий эффективных доз от EDj до ED99, так и вида самой функции эффективности. Нас интересует проблема нахождения

функции эффективности и оценка доз EDW0Ä, в широком диапазоне значений 0 <Л< 1, по результатам

наблюдений: введенным дозам и наличию или отсутствию эффекта. Мы рассматриваем математическую модель зависимости доза-эффект ([1], стр. 22), в которой считаем минимальную границу, с которой начинается реакция организма, латентной случайной величиной (с.в.). Если нижняя граница чувствительности X и введенная доза U — независимы как случайные величины, то функция эффективности является функцией распределения F(x) с.в. X. Однако даже в этом случае для оценки функции эффективности и категорий эффективных доз мы не можем воспользоваться классическими методами математической статистики, поскольку исследуемая величина ненаблюдаема, а вместо нее

наблюдаются менее информативные величины: индикаторы эффекта Wi = I (U; > X) и введенные дозы

U, i = 1,...,n. Для оценки функции эффективности мы используем непараметрические методы математической статистики, а именно, ядерные оценки регрессии.

Оценку доз EDl00Ä в диапазоне значений 0<Л< 1 по выборке |(U,W),1 — i -n} мы будем

производить, оценивая квантили функции распределения F(x) . Именно, пусть хд = F *(Л) — квантиль порядка 0 < Л < 1 функции распределения F(x), где плотность распределения f (x) > 0 . В силу строгого возрастания F(x) квантиль определяется однозначно.

Построим оценку для квантиля порядка Л строго монотонной функции распределения F(x), т.е. для квантильной функции F~ (Л), 0 < Л < 1, считая, что F-40) = 0, F-41) = 1. Именно, рассмотрим для F(0) < Л < F(1) оценку

МЕЖДУНАРОДНЫЙ НАУЧНЫЙ ЖУРНАЛ «ИННОВАЦИОННАЯ НАУКА» №9/2016 ISSN 2410-6070

n

1 1 n YWK,

КЛЛ) =1 JlK, (Fn (U)-и)du, где U e R[0,1], F (x) = Z ' ^ '

По Лемме 2.1 ([2], стр. 505) F*-\1) = x +1 vX (F1(l))"+ о [h20) + O

Z K*

. Здесь K(x) - ядерная

' 1 ^

nhn

1

функция, К,

ад ад

следующие характеристики: у2 = | х2К(x)dx, ||К||2 = | К2(х) ёх . В следующей теореме мы утверждаем,

что оценка квантиля ^ - (Л) асимптотически нормальна при п ^ад.

Теорема. Пусть плотности с.в. X и и — /(х)> 0 и g(х) > 0 непрерывны, ограничены и имеют ограниченные производные до второго порядка включительно. Кроме того выполнены условия Их ^ 0,

к 1

И0 ^ 0, пИх ^ ад, пИй ^ад, ——> 0 при п ^ад и-- = о(1). Тогда

И0 пИхИ0

если lim ho = с, то . /nOF*-1!) - b)——— N io,1(1 -1К(1)^

g

^ = c, то A/nh0 (FT1!) -b)————N h

= 0 , T0 Vnh0(F""'!) - b)——£— N

V 6v ^ v ^ у

если lim — =

01(1 -1)1 K2

, g

где b = . ^l^V f

b = xi+ 2 A2 (F41))- -Ч2 g (x) .

a\ (1) = JJJ K (w + cf (x )(v - u) ) K (w)K (u)K (v)dw du dv.

Доказательство этой теоремы в основных чертах напоминает доказательство теоремы 3.1 ([2] стр.507). Отличие состоит в схеме наблюдений - в работе [2] наблюдения имеют вид:

Y = m( Xi) + Xi , i = 1,2,..., п, где (Xi, Yi )n - двумерная выборка независимых одинаково распределенных случайных величин, причем с.в. X имеет положительную дважды непрерывно дифференцируемую плотность f (x) на компактном носителе, именно на [0,1]; функции <х:[0,1] ^ R+ и m: [0,1] ^ R предполагаются непрерывными и дважды непрерывно дифференцируемыми. Список использованной литературы:

1. Криштопенко, С.В. Доза-эффект / С.В. Криштопенко, М.С. Тихов, Е.Б. Попова - М.: Медицина, 2008. -288 с.

2. Dette, H. A Note on Nonparametric Estimation of the Effective Dose in Quantal Bioassay / H. Dette, N. Neumeyer, K.F. Pilz // Journal of the American Statistical Association. - 2005. - V. 100. - P. 503- 510.

© Ярощук М.В., 2016