К вопросу анализа вероятностных свойств компонентов бинарной перестановочной процедуры

Оригинальная статья / Original article УДК: 519.233.5

DOI: 10.21285/1814-3520-2016-11-102-109

К ВОПРОСУ АНАЛИЗА ВЕРОЯТНОСТНЫХ СВОЙСТВ КОМПОНЕНТОВ БИНАРНОЙ ПЕРЕСТАНОВОЧНОЙ ПРОЦЕДУРЫ

© А.В. Петров1

Иркутский национальный исследовательский технический университет, 664074, Россия, г. Иркутск, ул. Лермонтова, 83.

РЕЗЮМЕ. ЦЕЛЬ. Целью исследования является нахождение методов оценивания нелинейных вероятностных зависимостей. МЕТОДЫ. Основными методами исследования являются теоретический вероятностный анализ и численные методы. РЕЗУЛЬТАТЫ. Исследуются методы оценивания характеристик вероятностной взаимосвязи для бинарного случайного процесса. Рассматривается перестановочная процедура генерирования бинарного случайного процесса. Особое внимание уделено рассмотрению механизмов, определяющих поведение компонентов вектора претендентов. Представлены результаты численных экспериментов по оценке моментных функций, оценивающих характеристики взаимосвязи компонентов вектора претендентов. ЗАКЛЮЧЕНИЕ. Перестановочная процедура генерирования бинарного процесса обеспечивает возможность генерирования случайных процессов с неописанными на настоящее время вероятностными свойствами.

Ключевые слова: бинарный случайный процесс, характеристики взаимосвязи, генерирование, моментные функции, корреляция, метод вычисления.

Формат цитирования: Петров А.В. К вопросу анализа вероятностных свойств компонентов бинарной перестановочной процедуры // Вестник Иркутского государственного технического университета. 2016. Т. 20. № 11. С. 102-109 DOI: 10.21285/1814-3520-2016-11-102-109

ON THE ANALYSIS OF PROBABILISTIC PROPERTIES OF BINARY PERMUTATION PROCEDURE COMPONENTS A.V. Petrov

Irkutsk National Research Technical University, 83 Lermontov St., Irkutsk, 664074, Russia.

ABSTRACT. The PURPOSE of the study is to find the estimation methods of nonlinear probabilistic dependencies. METHODS. The basic research methods are theoretical probabilistic analysis and numerical methods. RESULTS. The estimation methods of probabilistic relationship characteristics for a binary random process are studied. The permutation procedure of binary random process generation is considered. Special attention is paid to the examination of the mechanisms determining the behavior of the components of the candidate vector. The results of numerical experiments on the estimation of moment functions that measure the relationship characteristics of the candidate vector components are given. CONCLUSION. The permutation procedure of binary process generation provides the possibility to generate random processes which probabilistic properties are not described yet.

Keywords: binary random process, relationship characteristics, generation, moment functions, correlation, calculation method

For citation: Petrov A.V. On the analysis of probabilistic properties of binary permutation procedure components. Proceedings of Irkutsk State Technical University. 2016, vol. 20, no. 11, pp. 102-109. (In Russian) DOI: 10.21285/18143520-2016-11-102-109

Введение

В работах [1, с. 18-48; 2-4] представлены результаты исследований вероятностных свойств, имеющих место при генерировании бинарного случайного процесса посредством элементарной перестановочной процедуры. Суть последней состоит в организации перестановок значений исходной реализации случайного процесса с задаваемым пользователем законом распределения вероятностей. Правила перестановок и условия их реализации опреде-

Петров Александр Васильевич, доктор технических наук, профессор кафедры автоматизированных систем, e-mail: petrov@istu.edu

Petrov Alexander, Doctor of technical sciences, Professor of the Department of Automated Systems, e-mail: petrov@istu.edu

ляют форму и значения автокорреляционной функции генерируемого процесса. Справедливо предполагается, что случайный процесс на выходе процедуры будет при г ^да иметь закон распределения вероятностей исходного процесса. Количество правил перестановки математически ограничено [1, с. 18-48; 2], но физических трактовок математически записанных правил может быть предложено значительное количество. При этом необходимо помнить, что такое физическое толкование есть описание реального, если угодно, природного механизма воспроизведения корреляционной зависимости. Примером такого реального механизма служит правило перестановок «Минимизация модуля первой разности», которое можно истолковать как подбор ближайшего значения к ранее прогенерированному.

Правила перестановок базируются на возможности выбора значения исходной реализации из некоторого числа претендентов, удовлетворяющих этому правилу, которое и становится очередным генерируемым значением. Для осуществления выбора претенденты помещаются в некоторый бункер, урну или, строго говоря, образуют вектор претендентов, размерность которого определяет силу вводимой корреляционной зависимости (вектор и (г) в [1-4]). Правила обновления вектора не критичны, а расположение компонентов вектора и нового значения, замещающего выбранное, может формироваться исследователем каким-либо удобным для него образом, например, как это сделано в [1].

Механизм отбора претендентов

Вероятностный анализ компонентов вектора и (г), остающихся в нем после отбора претендента по тому или иному правилу, позволил выявить новые функциональные возможности перестановочной процедуры при двумерном векторе и(т) и генерировании бинарного случайного процесса [3] - получены условия генерирования случайного процесса с показательной автокорреляционной зависимостью.

Распространение исследований перестановочной процедуры на более сложные случаи (не бинарный процесс или вектор претендентов с размерностью больше двух) выявило серьезные трудности для анализа [4]. Изучение вероятностных свойств компонентов вектора претендентов позволит продвинуться в получении новых знаний в области генерирования случайных процессов.

Обозначим {ц(г),г ет} ,т = {0,1,..} исходный бинарный некоррелированный случайный процесс с р{ц(г) = 1} = р, {^^^геГ}- генерируемый бинарный процесс,

и(1) = \и1(1),и2(1)}~ двумерный вектор претендентов, Р;(к],к2) = Р{^(г)=к],и](г + 1)=к2}, Р/-,к2) = Р{щ(г +1) = к2} и Рг(кь-) = р{Ъ(г) = к}

И тогда совместные вероятности компонентов такой перестановочной процедуры определяются выражением

Р&г) = к1,щ

= Р{^(г) = к1,и1(г +1) = к,}-Рк3 = Р{к^}-ркз, кьк2,к3 = 0,1.

Обозначим для процесса {ц(г ),г ет} р0 = q, р1 = р и д = 1 - р.

Обратим внимание, что правило обновления вектора претендентов здесь состоит в том, что компонент данного вектора, оставшийся после отбора генерируемого значения £,(г +1), занимает первую позицию, то есть становится и1(г + 2), а вновь поступающий - вто-

рую u2(t +1). Это не влияет на вероятностные свойства компонентов двумерного вектора

претендентов, но существенно облегчает конструирование его вероятностного описания. Рассматривая вероятностные свойства компонентов перестановочной процедуры (1), заключаем, что определяющими в этом описании являются все возможные комбинации Р({к1,к2) и рк

для всех к =0,1;у = 1,2, 3. Для двумерного вектора Щг) таких комбинаций 8:

(1 -p)  Pt(0,0) и p Pt(0,0); (1 -p)Pt(0,1) и p Pt(0,1); (1 - p)  Pt(1,0) и p  Pt(1,0); (1 - p)  Pt(1,1) и p  Pt(1,1).

Так как совместных вероятностей Pt {к1,к2} 4, то:

P (0,0 ) = f [ P ( kj,k2 )• pk3 Pt (0,1) = f2 [Pt-1 (kj,k2) pk3

Pt (1,0) = f3 [Pt-1 (kj,k2) pk3 Pt (1,1) = f4 [Pt-1 (khk2) p.

Функции /1 и /4 всегда зависят только от определенных комбинаций из (2) и не могут выглядеть иначе как:

Pt (0,0) = (1 - p)  Pt_ 1 (0,0) + (1 - p)  Pt_ 1 (1,0), Pt (1,1) = p  Pt -1 (0,1) + p  Pt -1 (1,1),

тогда оставшиеся функции /2 и /3 определяют результат перестановочной процедуры. Обратим внимание, что в (4) отражена важная роль компонента u1(t), представленного комбинациями (1 -р)13г_1(1,0) ирР1_1(0,1).

Таким образом, общее количество возможных вариантов правил выбора генерируемого значения определяется числом комбинаций из элементов формулы (2): 24 = 16. Эти варианты для бинарной перестановочной процедуры с двумерным вектором претендентов представлены в соответствующих таблицах работ [1, 4].

Обратимся к рассмотрению случая трехмерного вектора и(т), но все также для бинарного случайного процесса. Совместные вероятности компонентов такой процедуры будут определяться соотношением

P {£,(t ) = k1,u1(t +1) = k2,u2(t +1) = k3,u3(t +1) = k4 } =

= P {£,(t) = k1,u1(t +1) = k2,u2(t +1) = k3}^ P {v(t +1) = k4 }

= Pt {k1 ,k2,k3^' pks k1,k2,k3,k4 = 0,1

Таким образом, общее количество функций, определяющих результат перестановочной процедуры с трехмерным вектором претендентов для бинарного случайного процесса,

о

равно 23 = 8. Из них две функции - /1 и /8 - будут всегда одинаковыми (по аналогии с (4)):

Р {0,0,0 ) = (1 - р) - Р {^(г) = 0,и1(г+1) = 0,и2( г+1) = 0} + + (1 - р) - Р {^(г) = 1,и1(г +1) = 0,и2(г +1) = 0} = = (1 - р) - Р-1 {0,0,0) + (1 - р) - Р-! {1,0,0);

Р {1,1,1) = р - Р {£,(г) = 0,и1(г +1) = 1,и2(г +1) = 1} + + р - Р г) = 1,и1(г +1) = 1,и2(г +1) = 1} = = р - Р-! (0,1,1) + р - Р-! (1,1,1).

Оставшиеся функции /2 - /7 будут определяться комбинациями совместных вероятностей:

р - Р(0,0,0); (1 -р) - Р(0,0,1) и р - Р(0,0,1); (1 -р)-Р(0,1,0) и р-Р(0,1,0); (1 -р)-Р(0,1,1) и р-Р(0,1,1); (1 -р)-Р( 1,0,0) и р-Р(1,0,0); (1 -р)-Р( 1,0,1) и р-Р(1,0,1); (1 -р)-Р( 1,1,0) и р-Р(1,1,0); (1 -р)-Р(1,1,1).

И тогда для одной функции f, = 2,3,4,5,6,7 количество вариантов будет 214 = 16384, а

с учетом того, что функций ^, участвующих в построении комбинаций из составляющих (7),

шесть, вопрос прямого перебора всех вариантов, их анализа и обобщения теряет смысл из-за необходимости выполнения гигантских объемов работы.

Одним из путей решения данной проблемы является трансформация правила обновления вектора и(г). В двумерном случае правило обновления простое и приведено выше. А при размерности больше двух можно провести ранжирование остающихся элементов вектора претендентов и новое значение всегда записывать третьим, то есть последним. И тогда число составляющих в (7) сократится за счет устранения компонентов (1 -р)-Р(0,1,0),

р-Р(0,1,0), (1 -р)-Р(1,1,0) и р-Р( 1,1,0). Общее число возможных вариантов отдельной

и п

функции f,j = 2,3,4,5,6,7, будет 2 = 1024 что, очевидно, радикально не решает проблему.

Вместе с тем изменение правила пополнения вектора претендентов изменяет вероятностные свойства компонентов этого вектора при его размерности, превосходящей 2.

Исходя из вышесказанного, можно констатировать, что вероятностные свойства компонентов вектора и(г) играют определяющую роль в понимании механизмов работы перестановочных процедур. Это обеспечивает целенаправленное формирование условий перестановок для генерирования случайных процессов с заданными законами распределения вероятностей и широким спектром возможных автокорреляционных функций.

В [4] приведены результаты исследований одного (первого) компонента и1(г) вектора

претендентов в бинарной перестановочной процедуре. Получены выражения для законов распределения вероятностей и автокорреляционных функций. Выявлено, что в некоторых случаях процесс {и1(г)} может рассматриваться как генерируемый процесс с показательной

автокорреляционной функцией. Этот результат расширяет функциональные возможности перестановочных процедур и принципиально переводит такой способ генерирования случайных процессов на иной уровень - уровень большего спектра генерируемых вероятностных свойств в сравнении с ранее обозначенными.

Анализ результатов, изложенных в работе [4], указал и на ранее не проявлявшиеся проблемы. Например, для ряда комбинаций функций при г ^да закон распределения вероятностей процесса {и1(г)} вырождался в ноль или единицу, случайный процесс переставал

быть случайным. В ряде случаев закон распределения вообще становится неопределенным, а автокорреляционная функция - дельтаобразная или вырождается в единицу.

Для изучения вероятностных свойств компонентов вектора и(г) полезным инструментом является аппарат моментных функций. В [2] рассматривались различного рода характеристики взаимосвязей значений реализаций бинарного случайного процесса и устанавливалось для перестановочной процедуры, что эти характеристики определяются совместными вероятностями Р{^(г) = 1,\(г + т) = 1}. Результаты численных экспериментов полностью совпали с результатами анализа в [1, с. 18-48].

Аналогичный подход был применен и при изучении процесса {и1(г)}. Для расчета теоретических значений моментных функций этого процесса использовались выражения, приведенные в табл. 4 [4]. Анализ полученных результатов позволил сформулировать предположение о более глубоком влиянии правила отбора компонента вектора претендентов в качестве генерируемого значения.

Так, для варианта 8, определяемого функциями ^ и ^:

Р {0,1) = р-Р - ^ (1,0) + (1 - р)-Р - ^ (1,1) ;

Р (1,0 ) = р-Р - ^ (0,0 ) + (1 - р)-Р - ^ (0,1),

нормированные моментные функции и их срезы (автокорреляционные функции) процесса {и1(г)} имеют вид, представленный на рис. 1.

Обратим внимание на некие «площадки», свидетельствующие о потенциальном равенстве коэффициентов корреляции процесса {и1(г)}: г (1) « г (2); г (3)« ги(4) и так далее. Такого рода автокорреляционные функции носят название периодических [5]. В работе [6] рассмотрены перестановочные процедуры генерирования периодически коррелированных случайных процессов.

Схожие результаты получены и для вариантов 13 и 15, которые определяются функциями f2 и f3 соответственно:

p(0,1) = p-p(0,0) + p-p_J (1,0) + (1 -p)-p(1,1);

P (1,0) = (1 -p)-p-! (0,1) Pt (0,1) = p-p-! (1,0);

P(1,0) = p-p-! (0,0) + (1 -p)-p-! (0,1) + (1 -p)-p-! (1,1).

и

p=0.75

Рис. 1. Нормированные моментные функции процесса {u1

при различных вероятностях р Fig. 1. Normalized moment functions of the process \u1(t)} for the functions f2 and f3 of (8) type

with different probabilities p

Рис. 2. Автокорреляционные функции процесса {uj(t)} для функций f2 и f3 вида (8) Fig. 2. Autocorrelation functions of the process {щ( t)} for the functions f2 and f3 of the (8) type

Выводы

Таким образом, изложенные в [1-4] и настоящей статье результаты анализа вероятностных свойств компонентов перестановочной процедуры генерирования бинарных случайных процессов свидетельствуют о необходимости дальнейшего углубленного исследования. В связи с тем, что свойства исходного и генерируемого случайного процессов в достаточной степени изучены, то основным объектом исследования должно быть поведение вектора претендентов, его компонентов в отдельности и в комбинациях друг с другом. И, конечно же, при размерностях вектора претендентов больше двух.

Библиографический список

1. Петров А.В. Основы теории полиномиальных стохастических взаимосвязей. Иркутск, Изд -во ИРНИТУ, 2016. 170 с.

2. Петров А.В. Моментные функции бинарного процесса // Вестник ИрГТУ. 2016. Т. 20. № 9. С. 65-73. DOI: 10.21285/1814-3520-2016-9-65-73

3. Петров А.В. Новые функциональные возможности перестановочной процедуры бинарного случайного процесса // Вестник ИрГТУ. 2016. Т. 20. № 10. С. 119-127. DOI: 10.21285/1814-3520-2016-10-119-127

4. Петров А.В. О подходах к вероятностному анализу перестановочных процедур генерирования случайных процессов // Вестник ИрГТУ. 2016. № 2 (109). С. 29-38.

5. Гладышев Е.Г. О периодически коррелированных случайных последовательностях // Доклады АН СССР, 1961. Т. 137. № 5. С. 1026-1029.

6. Петров А.В., Хамитов Г.П. О двух алгоритмах упорядочения // Автоматизированные системы управления. Теория, методология, моделирование, технические средства: сб. науч. трудов. Иркутск: Изд -во ИПИ, 1974. С. 115-125.

References

1. Petrov A.V. Osnovy teorii polinomial'nykh stokhasticheskikh vzaimosvyazei [Fundamentals of the theory of polynomial stochastic relationships]. Irkutsk, IRNITU Publ., 2016, 170 p.

2. Petrov A.V. Momentnye funkcii binarnogo processa [Momentary functions of a binary process]. Vestnik IrGTU [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2016, vol. 20, no. 9, pp. 65-73. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-35202016-9-65-73

3. Petrov A.V. Novye funcionalnye vozmognosty perestanovochnoj procedury binarnogo sluchjnogo processa [New functionalities of a permutation procedure for a binary random process]. Vestnik IrGTU [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2016, vol. 20, no. 10, pp. 119-127. (In Russian) DOI: 10.21285/1814-3520-2016-10-119-127

4. Petrov A.V. O podhodah k veroaytnostnomu analizy perestanovochnyh procedur generirovanya slychajnyh pro-cessov [On approaches to the probabilistic analysis of permutable procedures of random processes generation]. Vestnik IrGTU [Proceedings of Irkutsk State Technical University]. 2016, no. 2

5. Gladyshev E.G. O periodicheski korrelirovannykh sluchainykh posledovatel'nostyakh [On periodically correlated random sequences]. Doklady AN SSSR [Reports of the USSR Academy of Sciences]. 1961, vol. 137, no. 5, pp. 1026-1029.

6. Petrov A.V., Khamitov G.P. O dvukh algoritmakh uporyadocheniya [On two sequencing algorithms]. Avtomatiziro-vannye sistemy upravleniya. Teoriya, metodologiya, modelirovanie, tekhnicheskie sredstva [Automated control systems. Theory, methodology, modeling, technical equipment]. Irkutsk, IPI Publ., 1974, pp. 115-125.

Критерии авторства

Петров А.В. сформулировал задачу, провел исследования механизмов, определяющих поведение компонентов вектора претендентов, получил результаты численных экспериментов по оценке моментных функций, оценивающих характеристики взаимосвязи компонентов вектора претендентов, подготовил статью к публикации и несет ответственность за плагиат.

Authorship criteria

Petrov A.V. formulated the problem, studied the mechanisms determining the behavior of the components of the candidate vector, obtained the results of numerical experiments on the estimation of moment functions that evaluate the characteristics of the relationships of candidate vector components, prepared the article for publication and is responsible for plagiarism.

Конфликт интересов

Автор заявляет об отсутствии конфликта интересов.

Conflict of interests

The author declares that there is no conflict of interest regarding the publication of this article.

Статья поступила 16.09.2016 г. The article was received 16 September 2016