Решение прямой задачи геометрии механизмов параллельной структуры с помощью алгебры винтов (моторов)

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

Дамбаев Ж. Г., ГришкоД. В. УДК621.865.8.001

РЕШЕНИЕ ПРЯМОЙ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИИ МЕХАНИЗМОВ ПАРАЛЛЕЛЬНОЙ СТРУКТУРЫ С ПОМОЩЬЮ АЛГЕБРЫ ВИНТОВ

Винт представляет собой комплекс, состоящий из векторной и моментной частей Ф ,г°,у,2,х°,у0,2°Причем Ф является винтом только в случае коллинеарности г и г0, иначе, в общем случае, Ф является мотором, таким образом винт - частный случай мотора[1,2,3].

Механическое значение винта двоякое: кинематическое и силовое.

Во-первых, наиболее общий случай конечного перемещения твердого тела в пространстве реализуется при винтовом движении, которое характеризуется осью, углом поворота вокруг этой оси и поступательным перемещением параллельно этой оси. Если перемещения — бесконечно малые, то соответствующий винт называется кинематическим винтом. Если перемещение — бесконечно малое, то, отнеся его к бесконечно малому промежутку времени, получается мгновенный винт скоростей, вектор которого - угловая скорость, а момент — поступательная скорость тела. Скорость любой точки тела есть момент винта относительно этой точки. При этом возможны «конечные» (т. е. большие) винтовые движения тела, а также изображающие их винты, которые нельзя складывать и вычитать, если они совершаются относительно различных осей.

Во-вторых, наиболее общая система сил, действующих на тело, может быть приведена к силовому винту по правилам приведения системы несвободных векторов, если векторы изображают силы. Сумма всех сил есть вектор винта, а момент системы сил относительно какой-нибудь точки пространства есть момент эквивалентного винта относительно этой точки.

Рассмотрим возможности приложения алгебры винтов к теории рассматриваемых механизмов.

Пусть для механизма с несколькими соединительными кинематическими цепями (рис. 1.) нужно решить прямую задачу о положениях. Сначала нужно задать некоторое начальное положение механизма, при котором известны как обобщенные координаты выходного звена, так и абсолютные координаты шарниров. Затем, давая малые конечные приращения обобщенным координатам, необходимо найти малые конечные перемещения выходного звена. Новое положение принимается за начальное, и относительно него даются новые приращения, после чего расчет повторяется. Расчет ведется до тех пор, пока обобщенные координаты не достигнут заданных значений. Данный алгоритм сходится к точному решению, так как возникающее в ходе итераций виртуальное "движение" можно рассматривать как ломанную Эйлера для соответствующих систем дифференциальных уравнений.

Для примера можно обратиться к 1-коор-динатным механизмам, имеющим шесть соединительных цепей с одной поступательной приводной парой и двумя сферическими неприводными парами (рис.1, рис.2).

В данном случае требуется решить две задачи: определить малое пространственное перемещение твердого тела (выходного звена) из некоторого начального положения по малым приращениям 1-координат и построить итерационную процедуру решения. Считая известным начальное положение тела в неподвижной базовой системе координат и начальные значения 1 -координат, определим кинематический винт Ф = ф + кБ, характеризующий элементарное перемещение тела при заданных элементарных приращениях ё11,...,ё161-координат.

МЕХАНИКА. ТРАНСПОРТ. МАШИНОСТРОЕНИЕ. ТЕХНОЛОГИИ

1

Здесь ф и 5 - вектор и момент винта, выражающие поворот и линейное перемещение; к -множитель Клиффорда.

Пусть Е1,...,Е6 - единичные орты, направленные по звеньям, соединяющим точки Л1,...,Л6 базы с точками В1,...,В6 тела (рис. 1).

Проекция момента искомого винта Ф, приведенного к точке В1 (г = 1...6),наорт Е1 -будет равна относительному моменту Ег и Ф. Перемещение точки Вг , соответствующее винту Ф, характеризуется моментом винта Ф, приведенным к точке Вг. Следовательно, приращение равно относительному моменту Ег и Ф, и можно составить систему уравнений (1), коэффициентами которой являются плюк-керовы координатыхг,уг,zi,х°,у°,ортов Ег

( г = 1 ...6) [1]:

х°х + у°у + z°z + Х1 х0 + У1 у° + Zl zo = 61,,

.......................

_ х6°х + у°у + Z60Z + х6 х° + У6 у° + Z6 Z0 = 616,

где х, у, z, х°, у°, z° - плюккеровы координаты

искомого винта Ф.

Из системы (1) получаем решение первой части задачи.

Рассматриваем решение второй части задачи для заданных значений 1-координат 1{ (г = 1 ...6). При это для ряда структурных схем эта задача решается аналитически. В общем случае требуется решение нелинейной системы уравнений. Далее реализуется итерационный способ («шаг за шагом»), требующий на каждом шаге рассмотрения линейной системы.

В начальный момент зададим некоторое начальное положение тела и определим для него значения 1-координат ¡1,...,I1, где организуем виртуальное "движение" тела, состоящее из N малых шагов, каждый из которых соответствует малым приращениям 1-координат

Рис.1. Механизм с несколькими соединительными кинематическими цепями

А1г (г = 1...6). На каждом шаге определяем малый конечный кинематический винт АФ. При этом используем системы уравнений (1), заменив в ней правые части на А1г (г = 1...6).

Зная АФ, можно найти приращения декартовых координат точек В1,..., В 6. Указанные приращения равны моментам винта АФ относительно этих точек. Таким образом, в конце каждого шага становится известным новое положение тела. Применив рассмотренную процедуру необходимое число раз, можно утверждать, что решена вторая часть поставленной задачи, причем для уменьшения ошибок вычислений требуется увеличение числа шагов.

Отметим, что может быть выбрана любая траектория "движения" тела из их бесконечного множества, соответствующего различным законам изменения 1-координат. На определенном шаге может встретиться особое положение, при котором главный определитель системы уравнений (1) равен нулю. В качестве простейшего способа решения задачи в этом случае предлагается использовать алгоритм "движение по инерции", заключающийся в следующем.

При подходе к особому положению, когда определитель системы (1) становится меньше наперед заданного числае, даем телу "перемещения" по винту, соответствующему последнему шагу выполняемой процедуры. Определяя новое положение тела, находим определитель, составленный из плюккеровых координат ортов Е1,..., Е 6, и делаем это до тех пор, пока определитель не станет больше е. При этом констатируется, что в виртуальном движении тело "пришло" в новое положение, и уже из него, задавая соответствующие приращения 1-координат, следует искать требуемое решение.

Рассмотрим пример использования итерационной процедуры (рис. 3.) - решение пря-мойзадачи для тела-сферы радиусом 1 м, поло-

Рис.2. Кинематическая осесимметричная схема платформы Стюарта

ИРКУТСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ

жение в пространстве для которого определяется шестью расстояниями между точками А1,...,А6 и Б1,...,В6, причем точки Б1 и В4, В2 и В5,

В 3 и Б 6 попарно совпадают. (Здесь не

показаны точки В4, В 5, В6).

В качестве начального принято положение (рис. 3.), при котором 1г — 1м (г = 1...6), а плюккеровы координаты ортов Е1,...,Е6 образуют матрицу

Зададим конкретные численные данные. Для определения положения тела при приращении 11 и 14 на 0,1 м используем лишь одну итерацию.

Из системы (1), полагая Д11 — Д14 — 01 м, Д12 — Д13 — Д15 — Д16 — 0 находим плюккеровы координаты Д \ ^4: х — 0,05 рад, у — 0,05 рад, г — 0; х0 — 0,1м, у0 — 0, г0 — 0,05 м.

Орт оси вращения определяется первыми координатами

0 0 1 0 1 0

0 0 0 -1 0 0

0 0 1 0 -1 0

1 0 0 0 0 0

0 1 0 0 0 0

0 -1 0 0 0 -1

тремя

(

винта

и

равен

л

x

У

l

x2 + У2 + z2

V

x2 + y2 + z2

V

x2 + y2 + z2

ч V -- 'У  - V -  у  - V- У

угол, на который следует повернуть тело, определяется модулем вектора с координатами (х,у,г) и равен ф х2 + у2 + г2. При этом

линейное смещение будет определяться последними тремя координатами винта Ф, таким образом точка О переместится на 0,1 м по оси х и на 0,05 м по осиг, а тело повернется вокруг оси с направляющим вектором (0,707; 0,707; 0) на угол 0,0707 рад. Такое описание поворота является удобным при использовании в дальнейших расчетах кватернионов [4].

Приведя найденный винт ДФ к точкам В1,...,В6 находим их перемещения: точки В1 и В4 переместятся по осям х и г на 0,1 м, а точки В2, В3, В5, В6- по оси х на 0,1 м.

Приведение осуществляется по формуле.

г0м,— т0м + ММ 'хг,

где Ф — ^г,г0 г - векторная часть винта Ф,а 12 -

моментная часть винта Ф, приведенная к точке М, М и М' - начальная и конечная точки приведения моментной части винта Ф.

Вследствие малого, но конечного размера шага, имеет место невязка: по выполнении

Рис. 3. Сфера, ограниченная шестью связями

процедуры значения 1-координат будут отличаться от заданных. Невязки 11 и 14 равны

0.0045.м, а для 12, 13,15,16 они составляют 0,005 м таким образом, невязка составляет примерно 5% от величины шага.

Для механизма с параллельной структурой, отличной от 1-координатной, приведенный алгоритм работоспособен, но должен быть дополнен определением силовых взаимных винтов вместо E1,..., E 6.[1]

Из решения прямой задачи геометрии механизмов параллельной структуры с помощью алгебры винтов (моторов) следует, что при постановке и решении задач механики параллельной структуры целесообразно использовать математический аппарат теории винтов и кватернионов, который до сих пор недостаточно применялся в робототехнике и позволяет единообразно описывать как силовые, так и кинематические характеристики рассматриваемых механизмов.

БИБЛИОГРАФИЯ

1. Глазунов, В. А. Пространственные механизмы параллельной структуры [Текст] / В.А. Глазунов, А. Ш. Колискор, А. Ф. Крайнев. - М. : Наука, 1991. - 95 с.

2. Диметенберг, Ф. М. Винтовое исчисление и его приложения в механике [Текст] / Ф. М. Диметенберг - М. : Наука, 1982. - 200 с.

3. Котельников, А. П. Винтовое счисление и некоторые приложения его к геометрии и механике [Текст] / А. П. Котельников. -2-е изд. - М. : Комкнига, 2006. - 224 с. ISBN 5-484-00657-0.

4. Воробьев, Е. И. Пространственные шарнирные механизмы [Текст] / Е. И. Воробьев, Ф. М. Диментберг. - М. : Наука, 1991. - 264 с.