Математическое моделирование взаимодействия отрезка прямой и базовых геометрических объектов

СИСТЕМЫ И

ПРОЦЕССЫ

УПРАВЛЕНИЯ

УДК 519.859

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ И БАЗОВЫХ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ОБЪЕКТОВ

РОМАНОВА Т.Е., СТУПАК Е.А.________________

Рассматриваются средства математического моделирования взаимодействия двумерных (2D) ориентированных геометрических объектов, один из которых - отрезок прямой (в дальнейшем отрезок), а другой - базовый объект (односвязное или двусвязное точечное множество арифметического евклидового пространства R2 с непустой внутренностью, граница которого является окружностью или многоугольником). Вводится понятие f-функции. Строятся f-функции для отрезка и базовых 2D геометрических объектов.

Введение

Актуальность данного исследования связана с необходимостью аналитического описания взаимодействия (пересечение, касание, непересечение) произвольных многосвязных 2D объектов с границей, образованной объединением линейных и круговых сегментов в классе задач упаковки и раскроя (Packing and Cutting [1]).

В работе [2] приведен достаточно полный обзор публикаций, посвященных методам решения задач размещения таких объектов. Предлагаемые подходы основаны на различных эвристиках и методе последовательно-одиночного размещения.

Разработка эффективных методов решения современных оптимизационных задач упаковки и раскроя требует построения адекватных математических моделей. Фундаментальной основой математического моделирования задач данного класса является аналитическое описание условий размещения и непересечения объектов в области.

Конструктивным средством аналитического описания взаимодействий геометрических объектов, обладающих произвольной пространственной формой, является метод Ф -функций [3]. В статье [4] построен полный класс Ф -функций для следующих пар 2D объектов: кругов, прямоугольников, правильных многоугольников, выпуклых многоугольников, а также их дополнений до всего пространства R2. Теоретикомножественные аспекты построения ф -функций некоторых видов, так называемых составных объектов,

34

порождаемых объединением и пересечением базовых объектов, рассматриваются в [5].

При математическом моделировании взаимодействия составных 2D объектов, порождаемых пересечением базовых объектов с нелинейной границей, возникает проблема построения Ф -функций. В этом случае аналитическое описание взаимодействий отрезка и базовых объектов представляет интерес.

Целью данного исследования является построение вспомогательных функций, так называемых f -функций, отрезка и базовых объектов, как средства математического моделирования их взаимодействий.

Основная часть

Для удобства и краткости введем следующие обозначения: с - круги, K - выпуклые многоугольники, T* = cl(R2 \ T), где cl(T) - топологическое замыкание объекта T = {C,K, C*,K*} [6].

В дальнейшем базовый объект будем задавать в собственной системе координат следующим образом: C = {(x, у) є R2 | x2 + y2 - г2 < 0}, где r - радиус круга C; K = conv{vi,V2,...,vn}, conv - выпуклая оболочка множества {•}, Vi(vxi, vyi) є R2 - последовательность вершин, i = 1,2,..., n, заданных против часовой стрелки.

В дальнейшем отрезок I = [si, S2] прямой рассматривается как непустое пересечение круга

C = {(x, у) є R2 | x2 + у2 - г2 < 0} и прямой

L = {(x,y) є R2 | ax - by + c = 0,a2 + b2 = 1} , т. е. I = C n L .

Не теряя общности, полагаем, что полюс объекта C (C*) совпадает с центром круга C, полюс объекта K ( K * ) - внутренняя точка K , полюс отрезка I совпадает с центром круга C.

В дальнейшем объект T или отрезок I, транслированный на вектор u , обозначим как T(u) или I(u) , где u = (x, y) є R - вектор параметров размещения объекта T или отрезка I .

Заметим, что далее будут рассматриваться только аффинные отображения типа трансляции.

Как известно [7], понятие ф -функции определено только для Ф -объектов. По определению, Ф -объект -канонически замкнутое множество

T = cl * T = cl int T , внутренность (int T) и замыкание (clT) которого имеют один и тот же гомотопический тип.

Поскольку отрезок I , как нигде не плотное множество, не является ф -объектом, то для описания его взаимодействия с базовыми объектами понятие Ф -функции использовано быть не может.

Прежде всего определим отношение касания, пересечения и непересечения отрезка и базового объекта.

РИ, 2006, № 2

Под отношением объектов I и T будем понимать:

1) касание: I n T ^0 и intR I n intT = 0, где intR(-) - относительная внутренность множества (•) [6] (рис.1,а);

2) пересечение: intR InintT ^0 (рис.1,б);

3) непересечение: I n T = 0 (рис.1,в).

а б в

Рис. 1. Отношения (касание, пересечение, непересечение) объектов I и C

Следуя [4], определим основные свойства f -функции:

1. f(ubu2)=f(u! -u2,0)=f(0,u2 -u1) V(u1,u2);

2. Y12 = frT12 >

T12 = {X2 -X1 : X1 є T1(0),X2 Є I2(u2^, где T12 = {u2 є R2|f(0,u2) = 0},

T12 = I1 (0) 0 (-1)T2(u2),

Y 21 = frT21 5

T21 ={X1 -X2 :X2 Є I2(0),X1 є T1O11)};

Построим вспомогательную функцию, которая позволит описать отношение пересечения, касания и непересечения отрезка I и базового объекта T є {C, C*, K, K*} в аналитическом виде.

Более того, желательно, чтобы значения этой функции были, по крайней мере, оценкой евклидового расстояния p(I, T) = min p(XbX2) между объектами

XjeI,X2 eT

I и T в случае их непересечения, где

p(XbX2) = yj(xj -x2)2 + (У1 -y2)2 .

Следуя определению ф -функции [3], найдем понятие f-функции.

Определение 1. Непрерывная, всюду определенная функция f : R4 ^ R1 называется f -функцией отрезка I(u1) и базового объекта T(u2), если она удовлетворяет следующим характеристическим свойствам:

f(uR u2) > 0, если I(u1) n T(u2) = 0 ;

f(u1, u2) = 0 , если intR I(u1) П int T(u2) = 0 ,

I

f(u1, u2) < 0, если intR I(u1) П int T(u2) ^ 0 .

Обозначим y = {(u1,u2) єR4:f(u1,u2) = 0} поверхность 0-уровня f-функции:

у 12 = {(0, u) є R2 :f(0, u) = 0}.

В целях математического моделирования минимально и максимально допустимых расстояний между геометрическими объектами, основываясь на определении нормализованной ф -функции [3], введем понятие нормализованной f -функции.

Определение 2. f-функция называется нормализованной, если ее значения равны евклидовым расстояниям между объектами I(u1) и T(u2), при условии

(u1, u 2) є G,

G = {(u1,u2)|intR I(u1) nintT(u2) = 0}.

РИ, 2006, № 2

здесь у 21 = {u1 є R2 |f (u1,0) = 0},

T21 = T2(0) © (- 1)I1(u1),

где 0 - символ операции суммы Минковского;

3. Va > 0 ,

v є {u є R2 |f(u, 0) = a} »

^-v є {u є R2|f(0, u) =a} ;

4. Y12 = {u є R2 |f (u, 0) = 0} = -y 21.

Далее рассмотрим понятие ориентированного уравнения [4].

Пусть x(u) = 0 определяет кривую у 12 = frT12 с R2, T12 = T1(0) © (-1)T2(0).

2

Осуществим разбиение пространства R2 в виде

Г1 ^ Y12 U Г 2 = R 5 Г1 — i ntr 1,

Г2 = intr2,frrj =y 12 = {u2 єR2 :f(0,u2) = 0}.

Определение 3. Уравнение %(u) = 0 называется ориентированным, если %(u) • %(v) < 0 для любых u є Г1 и v є Г 2.

Построим f -функции отрезка I и базового объекта T e{C,C*,K,K*}.

Моделирование отношений отрезка и объектов с границей окружность

Рассмотрим следующие пары объектов: C(u1)& I(u2), C*(u1)&I(u2).

f -функция круга C

ОбозначимI1 = [S1, S2] и I2 = ^sj, а соответствующие им прямые - L1, L2.

35

Рис. 2. у 12 Для круга C

Пусть уравнения х ;(u) = A;x - B;y + C; = 0 описывают прямые L;, i = 1,2.

Тогда xi(u) = Aix -Biy + Ci = 0 ,

x 2(x,y) = A2X - В2У + C2 = 0,

где Ai = yi -y2, A2 =-Ai, Bi = Xi -X2,

B2 - _Bi 5 Ci - A1X1 _ Bi^i 5 C2 - _Ci 5

Si = (Xi,^i), S2 = (X2,y2). Транслируем li и І2 на векторы

s* = (x*,y*) , s2 = (x2,y2) = -s*(x*,y*),

(xl,yi) =

•Ja? + B,2 l_Bi

Ai

r

• у i(u) = Aix - Biy + C'i,

Ci = Ai(Xi + x*-i) -B'i(yi + y*-i)’ Ai = y* - y*-i>

B'; = x* -x*_i5 i = 1,2.

Заметим, что уравнения xi(u) = 0, %?(u) = 0, i(u) = 0, ю ?(u) = 0, ^i(x, y) = 0, у ?(u) = 0 ориентированы таким образом, что х *(ui) < 0, ю i ( s i) < 0, уi(ui) < 0, i = i,2.

Тогда уi? = {(0,u) є R2: x(u) = 0},

где x(u) = max{min{y;(u),ro;(u)}, max x*(u)}.

i=i,2 i=i,2

Заменяя u = u? -ui, получаем f-функцию круга C(ui) и отрезка I(u?) вида f(ui, u?) = x(u2_ ui).

Для построения нормализованной f -функции используем функцию

X (u) = max{min{y ;(u), <b ;(u)}, max x *(u)}

i=i,2 i=i,2

где (В i (u) =yj (x + X;)2 + (y + y;)2 - r = 0.

Тогда нормализованная f -функция объектов C(ui) и I(u2) примет вид: f (ui, u2) = x(u2- ui).

f -функция объекта C*

Пусть уравнения окружностей frC*(-Si) имеют вид

(Вi(u) = r2 -(x + X;)2 -(y + y;)2 = 0,

В дальнейшем 1;(s*) обозначим как І* .

В этом случае кривая у і? состоит из чередующихся отрезков прямых и круговых сегментов (рис.2), т.е.

у 12 = arci(s2 + 4 S2 + 4Ul* U arc2 (s1 + 4 S1 + S2)U 4 где arc;(s', s") - сегмент окружности, соединяющий

точки S' и S' , І* = [s2 + S*, S1 + S*] ,

* * * l2 - [s1 + S2’ S2 + S2].

Введем следующие функции:

X*(u) = Aix - Biy - C*, C* = Ci - Aix* + Biy*,

• x2(x,y) = A?x - B?y - c4 C2 = C2 _ A2x2 + B2y 2 ;

• i(u) = (x + x;)2 + (y + y;)2 - Г? , І = 1, 2;

где -S; = (-x;, -y;), i = 1,2 . Тогда множество допустимых точек размещения отрезка I(u?) в C(ui) определяется множеством (рис. 3):

D0 = {u є R2 |i(u) = r2 -(x + ті;)2 -(y + Уі)2 >0,І = 1,2}. Таким образом, имеем у і? = frD0 .

Пусть x(u) = min{iBi(u), <в2(u)}.

Тогда у 12 = {u є R2 | x(u) = 0}.

Заменим u = u? - ui, f -функция объектов C*(ui) и I(u?) примет следующий вид: f(ui, u?) = x(u2_ ui).

Для построения нормализованной f -функции объектов C*(ui) и I(u?) используем функцию

x(u) = min{<Bi(u), (B2(u)}, где (Ві(u) = r-1/(x + Xi)2 + (y + y;)2 , i = 1,2.

36

РИ, 2006, № 2

Тогда имеем f(ub u2) =%(u2- uj).

yt

Рис. 3. уі2 дляC*

Моделирование отношений отрезка и объектов с границей выпуклый многоугольник

Рассмотрим следующие пары объектов: K

и K*(u1)&I(u2).

f -функция выпуклого многоугольника K

Определим вершины выпуклой многоугольной области D0, где Dq - множество точек размещения отрезка I(u2) в случае непересечения с Ф -многоугольником K(uj), где frDo =у 12.

Полагаем, что v 1 = Vp -sq = (vxp - xq, vyp -yq) определяет первую вершину У12 , где

Таким образом, кривая У12 - есть объединение отрезков прямых вида [Vі, Vі_ц], l = 1,2,...,L. Не теряя общности, полагаем V l+1 = "V1.

Пусть хl(u) = Aix-Biy + Сі = Q, где Ai = yі+1 -y 1, Bi = x i+1 - Xi, Cl =-AiXi + В1У1, 1 = 1,2,..., L , и

V L+1 = V1.

Определим функцию x(u) = max % i(u).

i=1,2,_, L

Тогда у 12 = {u є R2 | x(u) = Q} (рис. 4).

X2(u)=Q

Рис. 4. У12 для K

Заменим u = u2 -u1, f-функция объектов K(u1) и I(u2) примет следующий вид: f(u1, u2) = %(u _ u1).

Для построения нормализованной f -функции введем следующие функции:

Ю i(u) = -у/ (x - xi)2 + (y - yi)2 ;

Vxp = min Vx;,Vyp = max {Vy; :vx; = Vxp} ;

^ i=1,...,n ^ i=1,...,n ^

Sq = {(^q , ^ q ) I xq = maxx,}.

j=1,2

Пусть Vi = V; -Sj, i = 1,2, ..., L -1. Тогда вершина Vi+1 формируется парой вершин многоугольника K(u1) и отрезка I(u2). Выбор необходимой пары вершин обуславливается значением отклонения S j (u) вершин V; и V;+1 относительно прямой Sj(u) = Q, проходящей через точки sj и Sj+1:

1) если 8j (vx;, Vyi) <8j(Vx;+1,Vy;+1) , тогда Vi+1 = Vi - Sj+1;

2) если sj(Vxi,Vyi) >8j(Vxi+1,Vyi+1), тогда Vi+1 = Vi+1 - sj;

3) если 8 j(Vxi,Vyi) = 8 j(Vxi+1,Vyi+1), тогда V i+1 = Vi+1 - Sj+1,

где 8 j(u) = (^j+1 - y j)(x - xj) - (xj+1 - xj)(y - ;yj).

Фi

xi_1yi -xiy 1 -1

C1 =_Al(x1 + x1-1) + B1(y 1 + y 1—1), Ai = y1 _y 1—1,

* * * * * 1 [ Ai 1

B1 = xi - xi_1, где V1 = (x 1, y 1 ) = , 2 2 I I,

y/Aj + Bj V 1J

i = 1,2,..., L , vq = vl.

Тогда нормализованная функция объектов K(u1) и I(u2) (рис.5) примет вид: f(u1, u2) = %(u2- u1),

где x(u) = max{ min {^(u), ro^u)}, max %i(u)}.

i=1,...,L 1=1,..,,L

Заметим, что yf2 = {u є R2 |f

Для построения кривой у 12 = frT12,T12 = K*(Q)  I(Q) необходимо определить все вершины у 12 . Транслируем прямую Li, i = 1, ..., n, на вектор (xk, yk), для

РИ, 2QQ6, № 2

которого справедливо

37

Xi(xb Ук) = min{Xi(xi, Уі), Xi(x2’ У2)}= k = 1,2.

^2(u) = P

Рис. 5. у^2 для K(ui) и отрезка I(u2) Получим уравнение прямой L* в виде:

X * (u) = Ai(x + xk) - Bi(y + yk) + Ci = 0.

Таким образом,

У12 = fr(u є R2 | х*(u) > 0: i = 1,2,...,n}.

Тогда уравнение x(u) = 0, где x(u) = min Xi (u) ,

i=1,...,n

описывает кривую У12 (рис. 6).

Рис. 6. у 12 для K*

Заменяя u = u2 - u1, f -функцию объектовK*(u1) и I(u2) можно определить так:

f(ubu2) = x(u2-u0 .

В качестве примера рассмотрим базовый объект C*(u1) и составной объект, круговой сегмент S(u 2), вида S = {(x, y) є R2 | x2 + y2 - г2 < 0, ax - by + c < 0}. Тогда у 12 = fr T12 , T12 = C*(0)  (- 1)S2(0). Очевидно, что у 12 (рис.7) состоит из объединения дуг окружностей, порождаемых касанием объекта C*(0) с отрезком I(u2) = [s 1,s2] и касанием объекта C*(0) с кругом (7 = {(x, y) є R2 | x2 + y2 - г2 < 0}.

Таким образом, при построении ф -функции объектов C*(u1) и S(u2) может быть использована f -функция объекта C*(u1) и отрезка I(u2).

Выводы

Научная новизна данных исследований состоит в построении f -функций как средства математического моделирования взаимодействий отрезка и двумерных базовых объектов.

Практическая значимость работы обусловлена необходимостью построения адекватных математических моделей оптимизационных задач размещения многосвязных составных объектов, граница которых состоит из объединений отрезков прямых и дуг окружностей.

Перспективы исследования направлены на математическое моделирование основных геометрических ограничений (принадлежность объекта области размещения и непересечение размещаемых объектов) оптимизационных задач размещения (упаковки и раскроя) произвольных геометрических двумерных объектов.

Литература: 1. DyckhoffH., Scheithauer G., Terno J. Cutting and packing// in: M. Dell’Amico, F. Maffioli and S. Martello Eds. Annotated Bibliographies in Combinatorial Optimization, John Wiley & Sons, Chichester. 1997. P. 393-412. 2. Burke E., Heller R., Kendall G., Whitwell G. A new bottom-left-fill heuristic algorithm for the two-dimensional irregular packing problem//Operational research. 2004. Volume 53, N3. 3. Stoyan Yu. G. ф -function and its basic properties// Докл. АН Украины. Сер. A. 2001. № 8. С. 112-117. 4. Stoyan Y, Terno J., Scheithauer G., Gil N., Romanova T. ф - function for 2D primary objects// Studia Informatica, Paris, University. 2002. Vol. 2, № 1. P. 1- 32. 5. Stoyan Y., Scheithauer G., GilM., Romanova T. ф -function for complex 2D objects// 4OR Quarterly Journal of the Belgian, French and Italian Operations Research Societies. Vol. 2, Number 1, 2004. P. 69 - 84. 6. Kuratowski K. Topology// Vol. I: New York and London, Academic press, 1966. P. 594. 7. Stoyan Y. Mathematical methods for geometric design, in: T.M.R. Ellis and O.J. Semenkoc (Eds.) Advances in CAD/CAM, Proc. of PROLAMAT 82, Leningrad, Amsterdam, 1983. P 67-86.

Поступила в редколегию 10.05.2006 Рецензент: д-р физ.-мат. наук, проф. Яковлев С.В.

38

РИ, 2006, № 2

Романова Татьяна Евгеньевна, д-р техн. наук, старший научный сотрудник отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения им. А.Н. Подгорного НАН Украины. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Пожарского, 2/ 10, тел. (0572) 95 96 77.

УДК519.85

НАБЛИЖЕНИЙ МЕТОД ДЛЯ РОЗВ’ЯЗУВАННЯ КОМБІНАТОРНИХ ТРАНСПОРТНИХ ЗАДАЧ

ЄМЕЦЬ О.О., ПАРФЬОНОВА Т.О.__________________

Для транспортної задачі з умовою, що допустимий розв’язок є переставленням заданих компонент, пропонується наближений метод її розв’язування. Метод обґрунтовується в роботі. Він забезпечує наперед задану точність.

1. Постановка проблеми у загальному вигляді

Розвиток теорії комбінаторної оптимізації останнім часом привів до активного використання апарату ев-клідових комбінаторних множин для моделювання та розв’язування різних типів прикладних задач, в тому числі транспортного типу. Це дає можливість враховувати властивості допустимих розв’язків задачі.

2. Аналіз останніх досліджень та публікацій.

В роботах [1-3] викладені дослідження евклідових комбінаторних оптимізаційних задач. В них досліджуються властивості евклідових комбінаторних множин: загальної множини переставлень, розміщень, множини сполучень; розглядається побудова математичних моделей деяких задач як задач оптимізації на цих множинах; вивчаються властивості задач оптимізації на евклідових комбінаторних множинах та обґрунтовуються методи і алгоритми їх розв’язування. В роботі [4] введена до розгляду транспортна задача комбінаторного типу на переставленнях, побудована її математичну модель.

Методи розв ’язування транспортних задач на загальній множині переставлень ще не розглядалися, отже, залишаються не дослідженими.

3. Мета та задачі дослідження.

Мета дослідження - розвинення підходу до наближеного розв ’язку комбінаторних тр анспортних задач. Для досягнення цієї мети ставиться задача розробки наближеного методу для комбінаторних транспортних задач у випадку, коли точка допустимої множини є переставленням.

Пропонується та обґрунтовується наближений метод розв ’язування транспортних задач на переставленнях.

Ступак Екатерина Анатольевна, аспирантка отдела математического моделирования и оптимального проектирования Института проблем машиностроения НАНУ им. А.Н. Подгорного. Адрес: Украина, 61046, Харьков, ул. Пожарского, 2/10, тел. (0572) 95 95 36.

4. Основний матеріал дослідження з повним обґрунтуванням отриманих наукових результатів

Користуємося термінологію з [1-4]. Мультимножи-ною G = {g1,g2,...,g^} називають сукупність елементів, серед яких можуть бути й однакові. Мульти-множина, всі елементи якої різні, є множиною. Будь-яку мультимножину G = {g1, g 2,..., g р } можна подати її основою S(G) , тобто кортежем (e1,e2,...,en) всіх її n різних елементів, та їх кратністю - числом повторень кожного елемента основи цієї мультимно-жини. Упорядкована сукупність кратностей складає первинну специфікацію [G] - кортеж кратностей. Назвемо k-вибіркою підмультимножину в мульти-множині G, яка містить k елементів. Елементами загальної множини переставлень Ekn(G) є усі упорядковані k-вибірки з мультимножини G, де n -число різних елементів у G, за умови k = р . Нехай Jn - множина n перших натуральних чисел, тобто Jn = {1,2,..., n}.

В роботі [4] побудовано математичну модель задачі про перевезення автомобілями однорідного продукту з мінімальними витратами із заданими об’ ємами в такій постано вці.

Задача. Виробляється, перевозиться і споживається деякий однорідний продукт. Нехай маємо m можливих пунктів виробництва A;, і є Jm . Максимально можливі обсяги виробництва продукції в і -му пункті рівні а; , де і є Jm. Продукт, який виробляється в даних пунктах, розподіляється між r споживачами Bj, j є Jr. Мінімально можливі обсяги споживання в j -му пункті призначення задані і рівні відповідно b j, j є Jr. Вартість перевезення одиниці продукції від і -го пункту відправлення у j -й пункт призначення відома для всіх і є Jm, j є Jr та рівна відповідно cij. Нехай маємо k автомобілів, якими можна перевозити вантаж обсягів g1, g2,..., gk. Цими автомобілями перевозиться даний продукт, причому в кожний пункт призначення можлива тільки одна поїздка. Сумарний обсяг потреб споживачів не перевищує сумарного обсягу вантажу, що може перевозитись автомобілями.

Яким чином здійснити перевезення однорідного продукту, щоб задовольнити всі умови та мінімізувати вартість перевезень?

Наведемо математичну модель цієї задачі.

РИ, 2006, № 2

39