Использование комбинации методов cg+ilu при моделировании конвективно-диффузионных процессов в анизотропной среде

УДК 519.6

С.А. Виноградова

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ КОМБИНАЦИИ МЕТОДОВ CG+ILU ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ КОНВЕКТИВНО-ДИФФУЗИОННЫХ ПРОЦЕССОВ В АНИЗОТРОПНОЙ СРЕДЕ

Рассматривалась трехмерная стационарная задача конвекции-диффузии со смешанными производными, описывающая конвективно-диффузионные процессы в анизотропной среде. На тринадцатиточечном шаблоне проведена конечно-разностная противопотоко-вая аппроксимация данной задачи. Для численного решения полученной СЛАУ предложен двухэтапный итерационный метод CG+ILU. Приводятся результаты вычислительных ,

для различных наборов коэффициентов при смешанных производных в случае преобладания одного из процессов. Недостатком указанного метода является нестабильная работа в случае, когда число кососимметрии находится в интервале 0,1 < к < 1.

Уравнение конвекции-диффузии; анизотропная среда; метод CG; метод ILU.

S.A. Vinogradova

USING A COMBINATION OF CG+ILU METHODS FOR CONVECTION-DIFFUSION PROCESSES MODELING IN ANISOTROPIC MEDIA

Three-dimensional stationary convection-diffusion problem with mixed derivatives, describing convective-diffusion processes in anisotropic media, is considered. The upwind finite-difference approximation of this problem is held at thirteen point pattern. The two-step iterative CG+ILU method is proposed for the numerical solution of SLAE. Results of numerical experiments are given, which showed the effectiveness of the method in anisotropic medium for different sets of coefficients for the mixed derivatives in the case of the predominance of one of the processes. The disadvantage of the used method is unstable operation when the number of skew-symmetry is in the range of 0,1 < к < 1.

Convection-diffusion equation; anisotropic media; CG method; ILU-decomposition.

.

большое значение для человеческой деятельности, поскольку присутствуют в таких ее областях, как водоснабжение, добыча энергетического сырья (нефти и газа), борьба с засолением грунтовыми водами сельскохозяйственных площадей и т.д. Также анизотропные вещества, и в первую очередь наиболее яркие их представители - жидкие кристаллы, широко используются в технике при создании разнообразных электронных оптических систем и приборов, термоэлементов и пр. [5], [7].

Краевая задача конвекции-диффузии часто решается в процессе описания аэро- и гидродинамических процессов и является хорошо изученной для того случая, когда физические процессы происходят в изотропной среде. С точки зрения математики, в стационарном уравнении конвекции-диффузии анизотропия обуславливает появление смешанных производных в составе обобщенного эллиптического оператора

В статье [2] на тринадцатиточечном шаблоне была проведена конечноразностная противопотоковая аппроксимация трехмерной стационарной задачи -.

метод ILU-р^ложения, для сходимости которого была доказана необходимость выполнения следующих условий:

I k11 1>1 k12 ^ k13 |, I k22 1>1 k12 ^ k23 |, I k33 М k23 ^ k13 |, kaft — 0, а Ф Р

Здесь kap, а,Р = 1,2,3 - коэффициенты при производных второго порядка в

составе обобщенного эллиптического оператора. Данные ограничения были получены в результате теоретических исследований и не обладают физическим смыс-

. (1) -ностную схему, полученных в [2].

Постановка задачи. Рассмотрим область О, которая является параллелепипедом с размерами [0, А] х [0, ь2] х [0, Будем решать трехмерную стационар-

ную задачу конвекции-диффузии в анизотропной среде, для чего рассмотримурав-нение с обобщенным эллиптическим оператором, определенное на области О, дополненное на границе краевыми условиями первого рода.

- Ьи + а

ох ду дг

и и=р

Построим в области О равномерную сетку. Проведем аппроксимацию смешанных производных в операторе диффузионного переноса стандартным образом [3]. Конвективную часть обобщенного эллиптического уравнения будем аппроксимировать с помощью хорошо исследованной и эффективной в случае изотропной среды конечно-р^ностной схемы «против потока» [6].

Полученная в результате такой аппроксимации конечно-р^ностная схема, построенная на тринадцатиточечном шаблоне, подробно описана в работе [2].

. , -

туральном порядке, разностный оператор преобразуется в СЛАУ вида Sx = f .

Рассмотрим матрицу S как сумму матриц S = А + С , где А и С характеризуют диффузионную и конвективную часть исходной задачи соответственно. При выполнении условий кар = кра, ОСФ /3 матрица А является симметричной и положительно определенной [3]. При выполнении условия й(х, у, г) > 0. матрица С являєтся М-матрицей [2]. Для того, чтобы избежать необходимости

(1), , -дующиеся в рамках внешнего итерационного процесса таким образом, что решение на одном из этапов служит для формирования правой части СЛАУ и в качестве начального приближения для задачи, решаемой на следующем этапе:

I. СЛАУ Ах"+1/2 = Ь — Схп будем решать итерационным методом СО (мето-

), -

жительно определенной матрицы А [4].

II. СЛАУ Схп+1 = Ь — Ахп+112 будем решать итерационным методом ІШ (методом неполного Ш-р^ложения), сходящимся в случае М-ма^ичности матрицы

С [1].

Порядок следования этапов и точность расчета на каждом из них зависит от числа кососимметрии к = Ре • Н / 2 , где Ре - число Пекле, Н - шаг равномерной сетки на области О.

Вариант 1: к < 0,1. В задаче преобладает диффузионный процесс, основной вклад в решение вносит результат работы метода СО. В этом случае во внешнем итерационном процессе сначала решается СЛАУ I методом СО, а после решение корректируется одним шагом метода !Ш при решении СЛАУ II.

Вариант 2: к> 1. В задаче преобладает конвективный процесс, основной вклад в решение вносит результат работы метода !Ш. В этом случае сначала решается СЛАУ II методом !Ш, а после решение корректируется одним шагом метода СО при решении СЛАУ I. Для достижения относительной погрешности минимального порядка достаточно провести одну итерацию внешнего процесса.

Вариант 3: 0,1 <к< 1. В задаче диффузионный и конвективный процессы оказывают примерно равное влияние. В этом случае применимы оба вышеописанных варианта метода, но первый из них не гарантирует сходимости, а второй может давать достаточно большую относительную погрешность.

Вычислительный эксперимент. Производится числен ное решение рассмотренного выше разностного аналога задачи (2), описанным выше методом СО+ІШ. Взята единичная трехмерная область О = [0,1] X [0,1] X [0,1] с равномерной сеткой по пространству в направлениях осей Ох, Оу, 07 с количеством точек разбиения по каждому из направлений, равным п=10, п=30, п=50. Коэффициенты в диффузионной части уравнения брались константами: к11 = к 22 = к33 = 1. В конвективной части использовался наиболее сложный для расчетов набор конвективных коэффициентов из [2]:

А(х, у,г) = 2$,тях, В(х, у,г) = -яусобях, С(х, у,г) = -ягсобях .

Вычислительный эксперимент проводился для точного решения уравнения и = х(х -1)у(у - 1)г(г -1). Задача дополнялась однородными краевыми условиями первого рода. Использовались следующие наборы коэффициентов при смешанных производных в уравнении конвекции-диффузии:

Набор 1. к12 = к21 = -0,2, к13 = к31 = -0,4, к23 = к32 = -0,1,

Набор 2. к12 = к21 = 0,2, к13 = к31 = 0,4, к23 = к32 = 0,6.

Проведенные расчеты показали, что точность представленного метода зависит в первую очередь от числа кососимметрии К . В случае преобладания диффузии (Вариант 1) относительная погрешность численного решения менее О(Н) и уменьшается с увеличением количества узлов разбиения. В случае преобладания конвекции (Вариант 2) относительная погрешность увеличивается, что связано с более высокой погрешностью работы метода ІШ при преобладании конвективного процесса [2]. В отличие от точности решения, количество итераций на разных этапах работы метода от числа кососимметрии напрямую не зависит, а увеличивается с ростом числа узлов разбиения.

3, -

вективный процессы примерно равноценны. При 0,1 < К < 1 метод демонстрирует нестабильную работу на матрицах больших размерностей.

Зависимость относительной погрешности найденного численного решения от К даія различных п отражена на (рис. 1). Зависимость количества числа итераций от п и Ре представлена в (табл. 1).

-8 -7 -6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5

1д К

-♦-Набор 1. п=10 Набор 2. п=10 -±-Набор 1. п=30

-к- Набор 2. п=30 Набор 1. п=50 Набор 2. п=50

Рис. 1. Зависимость относительной погрешности решения от числа кососимметрии и количества узлов разбиения сетки

1

Зависимость количества числа итераций этапов CG и ILU от числа Пекле и количества узлов разбиения сетки

п ^ Ре СО іьи

Набор 1 Набор 2 Набор 1 Набор 2

-5 1108 1912 32 32

-3 815 1421 31 31

-1 461 2140 29 31

10 0 225 457 27 29

1 1002 520 77 21

3 1 1 28 28

5 1 1 28 28

-5 6521 8060 71 46

-3 4372 6021 66 46

-1 2216 3506 62 46

30 0 1078 1774 85 45

1 1 1 43 44

3 1 1 43 43

5 1 1 43 43

-5 8757 16177 56 57

-3 6501 11682 56 56

-1 2845 6506 50 56

50 0 1199 3233 53 56

1 1 1 56 57

3 1 1 56 56

5 1 1 56 56

.

конвекции-диффузии со смешанными производными разностями «против потока» позволяет сформулировать условия симметричности и положительной определенности для диффузионного, а также условия М-матричности для конвективного конечно-р^ностных операторов. Это дает возможность сконструировать двухэтапный итерационный метод, в рамках которого СЛАУ с диффузионным оператором в левой части решается сходящимся для нее методом СО, а СЛАУ с конвективным оператором в левой части решается сходящимся для нее методом ІШ. Конструкция данного метода существенно зависит от числа кососимметрии.

Проведенные вычислительные эксперименты показали эффективную работу данного метода в случаях к < 0,1 и К > 1 в анизотропной среде. Существенным недостатком описанного метода СО+ІШ является его нестабильная работа в случае, когда число кососимметрии находится в интервале 0,1 < к < 1 при больших .

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Meurant G. Computer solution of large linear systems. ELSEVIER, Amsterdam, 1999. - 753 p.

2. Виноградова C.A., Крукиер Л.А. Решение трехмерной стационарной задачи конвекции-диффузии в анизотропной среде методом неполного LU-рюложения // Труды XIV Молодежной конференции-школы с международным участием «Современные проблемы математического моделирования», пос. Дюрсо, 12-17 сентября 2011 г. - С. 74-90.

3. Самарский А.А. Теория разностных схем. - М.: Наука, 1977. - 656 с.

4. Самарский А.А., Николаев КС. Методы решения сеточных уравнений. - М.: Наука, 1978. - 592 с.

5. Снарский А.А., Польши А.М., Ащеулов А.А. Анизотропные термоэлементы // Физика и техника полупроводников. - 1997. - Т. 31, № 11. - С. 1291-1298.

6. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. - М.: Мир, 1980. - 618 с.

7. . . // -

. - 1996. - 11. - . 37-46.

Статью рекомендовал к опубликованию д.ф.-м.н. АЛ. Чикин.

Виноградова Светлана Александровна - Южно-Российский региональный центр информатизации (ЮГИНФО) Южного федерального университета; email: svetlavi@sfedu.ru; 344090, г. Ростов-на-Дону, пр. Стачки, 200/1, корп. 2; тел.: +78632199734; лаборатория вычислительного эксперимента на супер-ЭВМ; младший научный сотрудник.

Vinogradova Svetlana Alexandrovna - Computer Center SFU; email: svetlavi@sfedu.ru; 200/1, Stachki av., build. 2, Rostov-on-Don, 344090, Russia; phone: +78632199734; laboratory of computational experiments on super-computers; junior research fellow.

УДК 519.254.1

Д.В. Иванов, O.B. Усков

РЕКУРРЕНТНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ БИЛИНЕЙНЫХ ДИНАМИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ПОМЕХАМИ НАБЛЮДЕНИЯ ВО ВХОДНОМ И ВЫХОДНОМ

СИГНАЛАХ

Хорошо известно, что метод наименьших квадратов дает смещенные оценки параметров для динамических систем с помехами во входных и выходных сигналах. В работе предложен рекуррентный алгоритм на основе стохастической аппроксимации для оценивания параметров билинейных динамических систем с помехами наблюдения во входном и выходном. Доказана сильная состоятельность, получаемых оценок параметров, при ограничениях, не требующих знания закона распределения помех. Предложенный алгоритм был реализован в среде Matlab и проведено сравнение с рекуррентным методом наименьших квадратов и рекуррентным методом расширенных инструментальных переменных. Результаты моделирования подтвердили высокую эффективность предложенного алгоритма.

Рекуррентное оценивание; стохастическая аппроксимация; модель с ошибками в переменных; билинейные системы; метод наименьших квадратов.

D.V. Ivanov, O.V. Uskov

RECURSIVE ESTIMATION BILINEAR DYNAMICAL SYSTEMS WITH ERRORS-IN-VARIABLES

It is well known that the method of least squares gives biased estimates of parameters for dynamic systems when the observed input-output data are corrupted with noise. Recursive algorithm based on stochastic approximation is proposed for identification single-input-single-output (SISO) bilinear dynamic systems with errors-in-variables. The estimates are proved to be convergent to the true values with probability one, the resulting estimates of parameters under con-