Чистый изгиб балки из разномодульного материала в условиях ползучести

ЧИСТЫЙ ИЗГИБ БАЛКИ ИЗ РАЗНОМОДУЛЬНОГО МАТЕРИАЛА В УСЛОВИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ

Е.Б. Кузнецов, С.С. Леонов

В статье рассматривается решение задачи чистого изгиба балки прямоугольного сечения, изготовленной из авиационного сплава АК4-1Т с различными свойствами на растяжение и сжатие, при постоянной температуре, нагруженной постоянным изгибающим моментом. Проводится исследование данной конструкции на ползучесть и длительную прочность с учетом всей картины перераспределения напряжений вплоть до начала разрушения. Численный расчет задачи, описываемой системой дифференциально - алгебраических уравнений, проводится с использованием уравнений энергетического варианта теории ползучести, а также метода продолжения решения по параметру и наилучшей параметризации, с использованием трех методов численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений: Эйлера, Эйлера-Коши и Рунге-Кутта четвертого порядка точности. Приводится сравнение двух методов решения задачи по результатам численного расчета, а также сравнение полученных численных решений с экспериментальными данными.

Ключевые слова: ползучесть; разрушение; удельная энергия рассеяния; параметр поврежденности; метод продолжения решения по параметру; наилучшая параметризация; системы дифференциально-алгебраических уравнений.

Введение

Одной из простейших конструкций для численного расчета на ползучесть и длительную прочность является балка, нагруженная постоянным изгибающим моментом. Численное решение задачи неустановившейся ползучести изгибаемого бруса получены многими авторами для материалов с одинаковыми свойствами на растяжение и сжатие, например [1, 2, 3]. Для материалов с разными характеристиками ползучести на растяжение и сжатие данная задача решена в предположении установившейся ползучести и неустановившейся ползучести по теории старения [4]. Данная задача с использованием уравнений энергетического варианта теории ползучести была решена для материала с одинаковыми свойствами на растяжение и сжатие [5] и материала с различными свойствами на растяжение и сжатие [5, 6, 7].

1. Энергетический вариант теории ползучести

Теория ползучести - это одно из направлений механики деформируемого твердого тела, сложившаяся во второй половине XX века и занявшая свое место наряду с такими разделами механики, как теория упругости и теория пластичности. Термином «:ползучесть> принято называть всю совокупность явлений, которые можно объяснить, допустив, что зависимость между напряжениями и деформациями содержит время, явно или через посредство некоторых операторов. Свойства ползучести обнаруживают материалы различной природы: металлы, пластмассы, горные породы, бетон, естественные и искусственные камни, лед и другие [1].

Ползучесть у металлических материалов в холодном состоянии практически отсутствует. Но при повышенных температурах, например, в паропроводах, паровых котлах и турбинах авиационных двигателей при длительной эксплуатации ползучесть может достигать

таких значительных величин, при которых металлические материалы могут разрушиться. В связи с этим возникает необходимость расчета элементов конструкций на длительную прочность, т.е. расчета времени, в течение которого рассматриваемый элемент конструкции под действием заданных внешних нагрузок не разрушится. Общепринятая схема расчета на длительную прочность разбивается на две самостоятельные задачи: на базе какой-либо из теорий ползучести, например энергетического варианта теории ползучести, находится напряженно - деформированное состояние, а затем, используя один из критериев длительной прочности, определяется долговечность конструкции. В данной работе расчет ведется по уравнениям энергетического варианта теории ползучести, преимущество которого заключается в том, что две указанные задачи совмещаются [5, 8].

Основные гипотезы, на которых базируется энергетический вариант теории ползучести следующие [5]:

1. Процессы ползучести и разрушения - есть два сопутствующих и влияющих друг на друга процесса.

2. За меру интенсивности процесса ползучести принимается величина удельной мощности W рассеяния, которая определяется выражением W = akiЦы, где aki - компоненты тензора напряжений, щі = dЄkl/dt - компоненты тензора скоростей деформаций ползучести в декартовых координатах, єki - компоненты тензора деформаций ползучести, за меру повреждаемости материала - величина удельной работы A рассеяния,

t

определяемая выражением J Wdt. Разрушение материала наступает при достижении

0

удельной работой рассеяния критического значения A*, являющегося функцией температуры.

3. Предполагается существование уравнения состояния, связывающего оба процесса ползучести и разрушения по выбранным выше мерам в виде [9]

W = F^^^^ i,U2 ,...,Uk),

где T - температура, аг = y/3skiSki/2 - интенсивность напряжений, Ski = aki — aoSki -компоненты девиатора тензора напряжений, ао = akiSki/З - гидростатическая (шаровая) составляющая тензора напряжений, Ski - символ Кронекера, ui,u2,... ,Uk отождествляются с параметрами поврежденности [1]. Здесь предполагается суммирование по повторяющимся индексам.

4. Предполагается справедливым закон течения вплоть до разрушения в виде:

даг

дaгj'

5. Материал считается пластически несжимаемым вплоть до разрушения

Пкг^кг = 0.

Далее ограничимся одним параметром поврежденности и, кинетическое уравнение для которого запишем в виде [9]

А, Т, и), и

Считается, что в случае неповрежденного материала параметр и во всех точках тела равен нулю; если в какой-либо точке с координатами х*к в момент времени Ь = Ь* он достигает значения, равного единице, то говорят, что в этой точке произошло разрушение, а время Ь* называют временем начала разрушения тела.

Экспериментально показано [5], что кривые ползучести А = А(Ь) подобны при различных уровнях напряжений и температур. Учитывая этот факт, можно конкретизировать зависимости (1)—(2) и представить их в виде

йА Г1

йЬ и1(А)и2(и)’

йи = Е2((Гг,Т) йЬ и3(А)и4(и) ’

где функциональные зависимости ^1,^2,^!,..., К4 определяются в экспериментах [9].

2. Применение уравнений в энергетической форме к решению задачи на чистый изгиб балки

Ниже рассматривается чистый изгиб прямоугольной балки шириной Ь и высотой Н (рис. 1), изготовленной из авиационного сплава АК4-1Т, при постоянной температуре, под действием постоянного изгибающего момента М [6, 7]. Расчет проводится с учетом всей картины перераспределения напряжений вплоть до начала разрушения. Под разрушением балки будем понимать не только разделение ее на части, но и исчерпывание несущей способности, происшедшей вследствие неограниченной интенсификации процесса ползучести в некоторой ее области. В данном случае, достижение в некотором волокне параметром поврежденности значения равного единице. Расчет по уравнениям энергетического варианта теории ползучести [9] сводится к решению системы трех интегродифференциальных уравнений.

Рис. 1. Чистый изгиб балки прямоугольного сечения

Считая, что полная деформация в произвольной точке балки в любой момент времени складывается из упругой деформации и деформации ползучести, из уравнений равновесия

к/2 к/2

Ь J а£й£ = М, У ай£ = 0

-к/2 -к/2

с учетом гипотезы плоских сечений, находим кривизну балки к, смещение нейтральной линии 5 и напряжение т, действующее в точке на расстоянии у от срединной поверхности:

й/2

м Ь Г

к = е1 +1 ] є(й(;

-й/2

й/2

5 = - кк

єй£;

-й/2

а = Ек(у — 5) — Еє, у Є [—К/2; К/2],

где Е - модуль упругости материала; 1 = ЬК3/12 - осевой момент инерции сечения балки.

Подставляя выражение для напряжений (8) в уравнения ползучести и поврежденности для чистого изгиба балки (3), (4), получаем

йЛ = Вл

йЬ (1 — и)т ( ) (1 — и)т (

йи Вш

л =-------------(Т—^-----Щт) +-------------(1—^------Щ—т)'

йє 1 йЛ

, йЬ а йЬ ’

где 'д(х) = 1 при х > 0, 'д(х) = 0 при х < 0; В а, (, т, Вш, в - характеристики ползучести на растяжение; Ва, (, т, Вш, в - характеристики ползучести на сжатие, получим систему трех интегро-дифференциальных уравнений относительно Л, и, є.

Разбивая сечение балки по высоте на к равных интервалов и заменяя интегралы конечными суммами по формуле Симпсона [6], получим систему дифференциально - алгебраических уравнений, і = 0, к:

( йЛі ВА(ехР{С<Ті} — 1) л( ВА(ехР{(т2} — 1) л( ,

-Ж =------(Г—иг--------#(Ті) +-----(Г—ит----- ( і]'

йиі Вш

-Ж = —(Т—йТ—#(Ті) + —(Т—йГ—^{—Ті)-

йєі, 1 йЛ-і

„ йЬ ті йЬ

ті = Ек(уі — 5) — Еєі-

Нижний индекс определяет точку разбиения балки по высоте. Выражение для к и 5 имеют вид:

к = М ^ (еоУо + 4(еш +----------------+ ^-1^-1) + 2(£2У2 +-+ ек-2Ук-2) + екУк) ,

Еи 3и

й

5 = -3кН (еоУ0 + 4(е1У1 +--+ ек-1Ук-1) + 2(е2У2 +-+ ек-2Ук-2) + £кУк) ,

где й - длина интервала разбиения, Уг - значение высоты в г-ой точке разбиения.

Подставляя выражения для аг (11) в (10), получим систему 3(к + 1) обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.

В качестве начальных условий для системы (10) берутся однородные:

£ = 0 : £г = Лг = Шг = 0, г = 0, к.

Расчет проводился для балки прямоугольного сечения длиной 200 мм (Ь = 10 мм, Н =

= 20 мм) из авиационного сплава АК4-1Т при температуре 200 °С. Характеристики ползучести для данного материала приведены в табл. 1 и табл. 2. Модуль упругости Е = 60 ГПа, внешний изгибающий момент М = 1, 76589  10-4МН  м, число разбиений по высоте принималось к = 64 [7].

Таблица 1

Характеристики ползучести на растяжение

т Ba  109, МДж/(м3  с), вш  109, 1/с Z  104, МПа-2 в  104, МПа-2

2 3,0 2,014 2,09 1,611

Таблица 2

Характеристики ползучести на сжатие

т Ba  109, МДж/ (м3  с) вш  109, 1/с З  104, МПа-2 в  104, МПа-2

5 8,608 0,84575 1,515 1,2906

Задача (10), (12) решалась в среде Delphi 7 с использованием следующих численных методов интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений:

1) метод Эйлера с переменным шагом интегрирования;

2) метод Эйлера-Коши с переменным шагом интегрирования;

3) метод Рунге-Кутта четвертого порядка точности с переменным шагом интегрирования.

Смена шага в указанных методах производится в соответствии с принципом Рунге -Ромберга - Ричардсона. Шаг уменьшается вдвое, если главный член погрешности с таким шагом R > £\, шаг увеличивается вдвое при R < е2, где £i, е2 - постоянные, характеризующие точность полученных приближенных решений для каждого метода [10]. Счет прекращался при достижении параметром поврежденности на верхнем наиболее нагруженном контуре значения и ~ 1.

Вычисления проводятся на персональном компьютере Intel Core i5 - 2410M CPU 2,30 ГГц; 4,00 ГБ ОЗУ; видеокарта NVIDIA GeForce GT540M 2 ГБ; 64 - разрядная операционная система Windows 7 Домашняя базовая Service Pack 1.

Основные данные о вычислительном процессе приведены в табл. 3, где si - шаг интегрирования в начале вычислений; в2 - шаг интегрирования в конце вычислений; j - количество шагов по независимой переменной; t* - расчетное значение длительной прочности рассматриваемой конструкции; £ - значение деформации ползучести на верхнем слое в конце вычислений; A - значение удельной энергии рассеяния на верхнем слое в конце вычислений; и - значение параметра поврежденности на верхнем слое в конце вычислений; t* - среднее время счета.

Таблица 3

Основные данные о решении задачи

«1, ч «2, ч І ч * є А, МДж/м3 с *

Метод Эйлера

0,01778 5, 556  10 -4 19026 319,07139 0,0353 5,88583 0,99887 73,216

Метод Эйлера-Коши

0,01778 1, 736  10 -5 20122 319,03551 0,03535 5,88683 0,99977 83,239

Метод Рунге-Кутта

0,01778 3, 4722  10-5 24604 319,03781 0,03533 5,88598 0,99943 105,829

Для проверки результатов численного расчета были проведены эксперименты [7] на чистый изгиб балки постоянным изгибающим моментом. В процессе эксперимента измерялся прогиб балки §о = 5о(Ь) в центре на базе 1о = 100 мм, кривизна пересчитывалась по формуле к = 8  5о/12. Все эксперименты на изгиб доводились до разрушения.

Построение графиков производится в вычислительной системе МаЛсаё 14 по результатам, полученным в БеірЬі 7 методом Рунге-Кутта четвертого порядка точности.

На рис. 2 сплошной линией представлены расчетные значения, полученные при решении задачи в среде БеірЬі 7, квадратами - расчетные значения, полученные в работе [7], точками - экспериментальные значения к = к(і) для величины изгибающего момента при максимальном напряжении в начальный момент (г(0)тах = 264, 87 МПа [7].

На рис. 3-5 показано распределение напряжения, удельной энергии рассеяния и деформации ползучести по высоте балки в различные моменты времени (указано в часах против соответствующей диаграммы) в эксперименте с (г(0)тах = 264, 87 МПа.

Рис. 2. Зависимость величины изгиба балки от времени для задачи

На рис. 6 показано распределение поврежденности по высоте балки в различные моменты времени (указано в часах против соответствующей диаграммы) в эксперименте с ^(0)т«х = 264, 87 МПа.

Рис. 3. Распределение напряжений по высоте сечения балки для задачи

у, мм

Рис. 4. Распределение удельной энергии рассеяния по высоте сечения балки для задачи

у. ми

и Ё /з /$ гГ /

> V

У/1

V

- 0.02 0 0.02 £

Рис. 5. Распределение деформации ползучести по высоте сечения балки для задачи

/ » /*7 г/ /# У

ь

О 0.2 0.4 0.6 0.8 (О

Рис. 6. Распределение поврежденности по высоте сечения балки для задачи

Достаточно удовлетворительное совпадение расчетных и экспериментальных значений к = к(Ь) позволяет косвенно судить о достоверности процесса перераспределения внутренних напряжений и накопления повреждений в балке вплоть до разрушения.

3. Применение метода продолжения решения по параметру и наилучшей параметризации к решению задачи на чистый изгиб, описываемой уравнениями энергетического варианта теории ползучести

Как видно из системы уравнений (9), при приближении значения параметра повре-жденности и к единице правые части уравнений неограниченно возрастают. Это приводит к возникновению вычислительных трудностей, а именно, необходимости, для достижения заданной точности, уменьшения шага интегрирования до 10-3 и ниже, что приводит к увеличению времени счета. Этим же недостатком обладает и система уравнений (10).

Параметризуем уравнения системы (10), полагая, что неизвестные ег, Лг, и г и независимая переменная Ь являются функциями параметра Л:

єг = єг( Л), Лг = Лг (Л), шг = шг(Л),і = і(Л), і = 0, к.

В работе [11] показано, что для того, чтобы задачу Коши для нормальной системы обыкновенных дифференциальных уравнений преобразовать в рамках метода продолжения решения по параметру к наилучшему аргументу, необходимо и достаточно в качестве Л выбрать длину дуги, отсчитываемую вдоль интегральной кривой этой задачи:

йЛ2 — (йЛі)2 +    + (йЛк )2 + (dєl )2 +    + (йєк )2 + (йші)2 +    + (йшк )2 + йі2 Используя соотношения системы (10), окончательно получим:

йЛ2 — ( 1 +—2^  (йЛі)2 +    + {1 +—2 )  (йЛк)2 + (йші)2 +

О

О

+ (йшк )2 + йі2

Используя соотношение (15) для параметра Л и выражение для ог (11), получим систему 3к + 4 обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка, і = 0, к:

йЛі

йЛ

= ±-

Яг

(1 — щу

\

=±

йшг

(1 — йєі 1 йЛі

йЛ оі йі ’

йі ± йЛ

к І 1+£^^ з=о

Рі

і К2+Р2

(і-^і )2т

!<

\

1+

о*+р*

3=0

(і-^і )2т

'у

\

1+

(1+і

і )Я2 +р2

3=о

(і-ші )2™

где Яі и Рі имеют вид

Яг = в А (ехр{(о2 } - 1)(1 - Ші )т тїї(оі) + Бл(ехр[(о2} - 1)§(-оі ), Рі = Вш(ехр{во2} - 1)(1 - Ші)т-тд(ог) + Бш(ехр{(Зо2} - !)$(-оі).

к

1

Выбирая положительное направление движения вдоль интегральной кривой задачи и занося множитель (1 — Шг)т под знак корня, получим:

ґ йЛ1 йЛ

йшг

Ж

Яг

^ - Ші)- + £( (і + ^ Я + Р2) (^)2т

Рг

(1 - Шг)2т + е( (1 + і) Я+р|) (Т-^Г

йєг 1 йЛг

йЛ ог йі ’

йі

йЛ =

2т

или, преобразовав правые части системы

йЛг

йЛ

к

Яг П (1 - ШіУ 1=0 1=г

\

йшг

Ж

йєг

к к к п (1 - шг)2т + £ 1 + £) Я2 + Р32 п (1 - ші)2т

1=0 3=0 V V V /1=о

1=3

к

Рг П (1 - ші)т 1=0 і=і

\

к к к

П(1 - Ші)2т + £ 1 + £) Я2 + Р2) П(1 - Ші )2

1=0 3=0 V V і / /1=0

1=3

1 йЛг йЛ ог йі ’

йі

Ж

П(1 - Ші У 1=0

\

к к к

П(1 - Ші)2т + £ 1 + ^ Я2 + Р,2) П(1 - ші)2т

1=0 3=0 V V сті' / /1=0

1=3

В статье [7] показано, что у материалов с различными свойствами на растяжение-сжатие при изгибе постоянным изгибающим моментом разрушение начинается в крайнем волокне, испытывающем растяжение. Таким образом, знаменатели системы уравнений (18) не обращаются в ноль, более того, все правые части уравнений системы (18) по модулю меньше единицы.

В качестве начального напряженно-деформированного состояния берется однородное:

Л = 0 : єг = Лг = шг = і = 0, і = 0, к.

Расчет проводится для балки аналогичных размеров из сплава АК4-1Т. Характеристики ползучести в уравнениях системы (18) те же, что и для уравнений системы (10).

1

к

Задача (18), (19) решалась в вычислительной среде БеірЬі 7 с использованием тех же методов решения, что и задача (10), (12). Расчет проводился при тех же условиях, что и для непараметризованной задачи на персональном компьютере, описанном выше.

Основные данные о вычислительном процессе приведены в табл. 4, обозначения такие же, как и для табл. 3.

Таблица 4

Основные данные о решении задачи

51, ч 52, ч І і*, ч є А, МДж/м3 і*, с

Метод Эйлера

0,01778 5, 556  10 -4 19026 319,07139 0,0353 5,88583 0,99887 86,262

Метод Эйлера-Коши

0,01778 4, 342  10-6 20128 319,03554 0,03535 5,88709 0,99989 135,159

Метод Рунге-Кутта

0,01778 1, 74  10-5 24605 319,02886 0,03534 5,88662 0,99965 215,534

Графические результаты не отличались от представленных выше.

Выводы

1. Вполне удовлетворительное совпадение расчетных и экспериментальных значений для величины кривизны балки подтверждает правильность выбора определяющих уравнений в энергетической форме для описания процесса ползучести балки вплоть до разрушения;

2. Сравнение решений, полученных с использованием уравнений энергетического варианта теории ползучести и параметризованных уравнений в энергетической форме показывает, что метод продолжения решения по параметру и наилучшая параметризация может применяться для исследования конструкций на ползучесть и длительную прочность;

3. По результатам вычислений, приведенных в табл. 3 и 4, видно, что использование метода продолжения решения по параметру и наилучшей параметризации позволяет продвинуться дальше по параметру поврежденности, по сравнению с непараметризованной задачей. Однако, применение метода продолжения решения по параметру усложняет исходную систему уравнений, что приводит к увеличению времени счета.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского Фонда Фундаментальных Исследований, проект 13-08-00473.

Литература

1. Работнов, Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций / Ю.Н. Работнов. - М.: Наука, 1966. - 752 с.

2. Качанов, Л.М. Теория ползучести / Л.М. Качанов. - М.: Физматгиз, 1960. - 455 с.

3. Лепин, Г.Ф. Ползучесть прямого бруса при изгибе с учетом повреждаемости материала / Г.Ф. Лепин, Ю.Д. Бондаренко // Проблемы прочности. - 1970. - № 7. - С. 68-70.

4. Никитенко, А.Ф. Изгиб балки с разными характеристиками ползучести при растяжении и сжатии / А.Ф. Никитенко, О.В. Соснин // Проблемы прочности. - 1971. - № 6. -С. 67-70.

5. Соснин, О.В. Энергетический вариант теории ползучести / О.В. Соснин, Б.В. Горев,

A.Ф. Никитенко. - Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1986. - 95 с.

6. Горев, Б.В. К расчету на неустановившуюся ползучесть изгибаемого бруса из материала с разными характеристиками на растяжение и сжатие /Б.В. Горев // Динамика сплошной среды: сб. науч. тр. - Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1973. -Вып. 14. - С. 44-51.

7. Горев, Б.В. Описание процесса ползучести и разрушения при изгибе балок и кручении валов уравнениями со скалярным параметром повреждаемости / Б.В. Горев, И.Д. Кло-потов // Прикладная механика и техническая физика. - 1999. - Т. 40. - № 6. - С. 157-162.

8. Горев, Б.В. Энергетический вариант теории ползучести в обработке металлов давлением /Б.В. Горев, В.А. Панамарев, В.Н. Перетятько // Изв. Вузов. Черная металлургия. -2011. - № 6. - С. 16-18.

9. Соснин, О.В. К обоснованию энергетического варианта теории ползучести и длительной прочности металлов / О. В. Соснин, А. Ф. Никитенко, Б. В. Горев // Прикладная механика и техническая физика. - 2010. - Т. 51. - № 4. - С. 188-197.

10. Формалев, В.Ф. Численные методы / В.Ф. Формалев, Д.Л. Ревизников. - М.: Физмат-лит, 2004. - 400 с.

11. Шалашилин, В.И. Метод продолжения решения и наилучшая параметризация /

B.И. Шалашилин, Е.Б. Кузнецов. - М.: Эдиториал УРСС, 1999. - 224 с.

Евгений Борисович Кузнецов, доктор физико-математических наук, профессор, кафедра 803 «Дифференциальные уравнения>, Московской авиационный институт (национальный исследовательский университет) (МАИ) (г. Москва, Российская Федерация), kuznetsov@mai.ru.

Сергей Сергеевич Леонов, студент, кафедра 803 «Дифференциальные уравнения>, Московской авиационный институт (национальный исследовательский университет) (МАИ) (г. Москва, Российская Федерация), powerandglory@yandex.ru.

Bulletin of the South Ural State University. Series «Mathematical Modelling, Programming & Computer Software>,

2013, vol. 6, no. 4, pp. 26—38.

MSC Primary 74R20; Secondary 74C20

Pure Bending for the Multimodulus Material Beam at Creep Conditions

E.B. Kuznetsov, Moscow Aviation Institute (National Research University) (MAI), Moscow, Russian Federation, kuznetsov@mai.ru,

S.S. Leonov, Moscow Aviation Institute (National Research University) (MAI), Moscow, Russian Federation, powerandglory@yandex.ru

The paper deals with the solution of pure bending of rectangular beam AK4-1T at constant temperature loaded constant bending moment. The research of construction for creep and long-term strength with the whole distribution pattern of stress until the beginning of destruction is considered. The numerical calculation of the problem is solved with the equations of the energy variant of the creep theory, as well as the solution continuation with respect to a parameter and the best parameterization, using three methods of numerical integration of ordinary differential equations: Euler method, Euler-Cauchy method and fourth-order Runge-Kutta method. The paper also considers the comparison of two methods for the solution of numerical results and a comparison of the numerical solutions with the experimental data as well.

Keywords: creep; fracture; specific dissipation power; damage parameter; method of solution continuation with respect to a parameter; the best parameterization; the system of differential-algebraic equations.

References

1. Rabotnov Ju.N. Polzuchest’ jelementov konstrukcij [Creep Problems in Structural Members]. Moscow, Nauka, 1966. 752 p.

2. Kachanov L.M. Teorija polzuchesti [The Theory of Creep]. Moscow, Fizmatgiz, 1960. 455 p.

3. Lepin G.F., Bondarenko Yu.D. Creep of a Straight Beam Bending with the Damaging Material [Polzuchest’ pryamogo brusa pri izgibe s uchetom povrezhdaemosti materiala]. Problemy prochnosti [Problems of Strength], 1970, no. 7, pp. 68-70.

4. Nikitenko A.F., Sosnin O.V. Bending of Beam with Different Characteristics of Creep in Tension and Compression [Izgib balki s raznymi kharakteristikami polzuchesti pri rastyazhenii

i szhatii]. Problemy prochnosti [Problems of Strength], 1971, no. 6, pp. 67-70.

5. Sosnin O.V., Gorev B.V., Nikitenko A.F. Jenergeticheskij variant teorii polzuchesti [Energy Variant of the Creep Theory]. Novosibirsk, Institut gidrodinamiki SO AN SSSR, 1986. 95 p.

6. Gorev B.V. To Calculation for Transient Creep Beam Bending of Material with Different Characteristics in Tension and Compression [K raschetu na neustanovivshuyusya polzuchest’ izgibaemogo brusa iz materiala s raznymi kharakteristikami na rastyazhenie i szhatie]. Dinamika sploshnoy sredy [Continuum Dynamics], 1973, vol. 14, pp. 44-51.

7. Gorev B.V., Klopotov I.D. Description of the Creep and Rupture of Beams Bending and Shafts Torsion by the Equations with Scalar Damage Parameter [Opisanie protsessa polzuchesti i razrusheniya pri izgibe balok i kruchenii valov uravneniyami so skalyarnym parametrom povrezhdaemosti]. Prikladnaja mehanika i tehnicheskaja fizika [Journal of Applied Mechanics and Technical Physics], 1999, vol. 40, no. 6, pp. 157-162.

8. Gorev B.V., Panamarev V.A., Peretyat’ko V.N. Energy Variant of the Creep Theory in Metal Forming [Energeticheskiy variant teorii polzuchesti v obrabotke metallov davleniem]. Izv. Vuzov. Chernaya metallurgiya [Sci. Iron and steel], 2011, no. 6, pp. 16-18.

9. Sosnin O.V., Gorev B.V., Nikitenko A.F. Justification of the Energy Variant of the Theory of Creep and Long-Term Strength of Metals [K obosnovaniyu energeticheskogo varianta teorii polzuchesti i dlitel’noy prochnosti metallov]. Prikladnaja mehanika i tehnicheskaja fizika [Journal of Applied Mechanics and Technical Physics], 2010, vol. 51, no. 4, pp. 188-197.

10. Formalev V.F., Reviznikov D.L. Chislennye metody [Numerical Methods]. Moscow, Fizmatlit, 2004. 400 p.

11. Shalashilin V.I., Kuznetsov E.B. Parametric Continuation and Optimal Parametrization in Applied Mathematics and Mechanics. Dordrecht, Boston, London, Kluwer Academic Publishers, 2003. 236 p.

Поступила в редакцию 27 апреля 2013 г.