Математическая модель динамики многокомпонентного газа на примере брутто-реакции пиролиза этана

ГУБАЙДУЛЛИН И. М., ПЕСКОВА Е. Е., ЯЗОВЦЕВА О. С.

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИКИ МНОГОКОМПОНЕНТНОГО ГАЗА НА ПРИМЕРЕ БРУТТО-РЕАКЦИИ ПИРОЛИЗА ЭТАНА

Аннотация. В работе описана модель течений химически активного газа. Математическая модель построена на примере брутто-реакции пиролиза этана.

Ключевые слова: уравнения Навье-Стокса, уравнения Аррениуса, химическая кинетика, пиролиз этана.

GUBAIDULLIN I. M., PESKOVA E. E., YAZOVTSEVA O. S.

MATHEMATICAL MODEL OF MULTICOMPONENT GAS DYNAMICS BASED ON ETHANE PYROLYSIS BRUTTO-REACTION

Abstract. The paper describes a mathematical model of gas flows with chemical reactions. The model is based on the ethane pyrolysis brutto-reaction.

Keywords: Navier-Stokes equations, Arrhenius equations, chemical kinetics, ethane pyrolysis.

Введение. Впервые численное моделирование трехмерной динамики газового потока пиролиза этана и пропана в программном пакете ANSYS Fluent с использованием компактной кинетической модели проведено в работах [1; 3]. Но результаты численных расчетов и экспериментальные исследования по конверсии пропана хорошо согласуются не при всех температурах проведения реакции. С целью адекватного описания процесса динамики химически активного газа при любых температурах нами начата разработка отечественного программного комплекса, который позволит изучить пиролиз легких углеводородов в условиях, труднореализуемых экспериментально. Такие процессы носят сложный нелинейный характер и описываются системой уравнений Навье-Стокса, дополненной уравнениями неразрывности для каждой компоненты газа.

В настоящей статье построена математическая модель для расчета газодинамических параметров брутто-реакции пиролиза этана.

1. Математическая модель. Математическая модель представляет собой уравнения неразрывности, сохранения импульса, сохранения энергии, дополненные уравнениями неразрывности для каждой компоненты газа [4; 5]:

— + V • (pv) = О,

dt

dt

dt

dt iii Уравнение состояния смеси идеальных газов имеет вид:

p = pRT^

Начальные условия задают состояние рассматриваемого объекта в начальный момент времени: р(Х'Го) = рО' = ^ р{х^о) = Г(х^о) = 70'

Y (t0 ) = Yo-

Граничные условия задают состояние газа на границе рассматриваемой области. Это могут быть условия свободного втекания или вытекания, непротекания.

Здесь р - плотность газа (кг!л?- скорость газа (м/с), р - давление (Па), рЕ -

п J

полная энергия в единице объема (Дж/ м3), hj =JT CpjdT - энтальпия (Дж / кг), c  -

Н;

удельная теплоемкость вещества ] (Дж /(К  кг)), ^ = -£-Я; - нагрев (охлаждение) в

результате химической реакции и внешних воздействий (Дж /(с  м3)), у - локальная

N ~

массовая доля вещества г, Я = М • X Я\г ~ объемная скорость образования вещества г

г=1

О Л

(кг/(с м3)), Яг - молярный коэффициент Аррениуса образования (расхода) вещества г в

ходе реакции г (1/(с  м3)), М • - молекулярная масса вещества г (кг), Я - универсальная

газовая постоянная (Дж /(моль  К)), Т - температура (К).

В уравнениях неразрывности для каждой компоненты газа величина Jj - вектор

плотности потока массы г-ой компоненты смеси. В задачах, где бародиффузией и термодиффузией можно пренебречь, он определяется следующим выражением [5, 6]:

о

Здесь И- - коэффициент диффузии вещества г в вещество у (м2 /с), для

нахождения которого широко используется следующая формула [2]:

2

Вт -

N

£ хкМм;к к-1

к

(17 А ¥к/ М^к )•£ хк / % к-1

к-1

к

Здесь Х1г - мольная концентрация к -ой компоненты газа, В^ - бинарный коэффициент

1к

2

диффузии для I -го и к -го компонента (м2/ с):

В.^ -

1 1

-+-

2

Рх(0,5(< +</ )) в - интеграл диффузионных столкновений [4]:

0,1930 1,03587

Л 1,06036

в - —-+

- + -

-+-

1,76474

Тв 0,1651 ехр

( л

* Т* - Т 8

Тв 1 в ( Л Г Л ' и , < /

8 8 V и у ]

Ч V и у / Ч V и у ]

Вектор плотности потока энергии д для многокомпонентной смеси определяется выражением [5; 6]:

I

N

Здесь % - коэффициент теплопроводности смеси: £ X

/-1

Зависимость коэффициента теплопроводности от температуры потока можно определить по формуле Сазерленда:

%1 - %01

Г Т Л3/2

V Т0 у

Т0 +ТБ

Т+Т

S

где - коэффициент теплопроводности при температуре Т^, Т^ - постоянная Сазерленда. Для каждого компонента смеси энтальпия к рассчитывается по следующей формуле:

Т

к - I Ср, (ТУТ+аР

Т

Здесь Н0 - энтальпия образования ( -ой компоненты при температуре Т^, С^ДТ) -

удельная теплоемкость ( -ой компоненты при постоянном давлении, для вычисления которых используется полиномиальная аппроксимация [4].

2. Разностная схема. Будем рассматривать двумерную постановку задачи. В векторной форме уравнения Навье-Стокса, дополненные уравнениями неразрывности для компонент, можно представить в виде:

д

дг

дх

ду

Здесь ¥ (и) - (¥ (1)(и), ¥ (2)(и ))Т - конвективные члены в системе (1), н(и) - (Н(1)(и),н(2)(и))Т - диффузионные члены в системе (1), Q - источник.

и -

( л р ( ры г ру 1

ры ; ¥ (1)(и) - 2 ры + р ; ¥ (2)(и) - рыу

ру рыу ру2 + р

рЕ (рЕ + р)ы (ре+р)у

РУУ V (у рыУ V ( у V ( у

Н (1)(и) -

О

о о

дТ

31

У

дх

Н (2)(и) -

X

о о о

дТ , д

ду 1 щ дУ дУ-

Ш.1

ду

, Я -

( \

о о о

8Н

Для построения разностной схемы введем дискретную сетку, равномерную по каждому направлению. Для аппроксимации системы уравнений газовой динамики используем следующую разностную схему:

г(1) и (2) тг(2) ^

аиу К+)/21 ¥(-1/21 ¥((+1/2 ¥т/-1/ 2

Л

Н

х

Н

(1) (1) (2) (

н() - н(7 н( 7 - н

( +1/21 ( -1/21 ¡1 +1/2 ¡1 -1/2

У

Н

Н

У

,(1) р(2) ¡+1/21' Ру +1/2

Здесь ¥7.(11)/97.,¥7.(2)/<? - дискретные потоки, значения которых находятся по схеме Лакса-

Фридрихса:

¥+Т/2 - 1 [(¥(т)(и^+1/2) + (¥^(и-^))-ат(и++1/2 -и-1/2)], т - 1,2

х

УРа

а .

Ра

ui+1,а | +.

УР

i+1, а

Р,

i+l, у

УРа

Ра

ии а+1 | +

Р а+1

Р

г, а +1

Здесь С,

г+1/2а

С

га +1/2

- "левые" и" правые" значения вектора С/ на грани между г и

г +1 ячейками и а и а +1 ячейками соответственно. Алгоритм вычисления этих значений с высоким порядком точности предложен в [8].

3. Модель химической реакции пиролиза этана. Расчет газодинамических параметров будем проводить на примере брутто-реакции пиролиза этана. В таблице приведена схема реакции, предэкспоненциальный множитель A и энергия активации Е-

для каждой стадии:

Таблица 1

Схема реакции

+

+

Стадия 4,1/с Е, /

С2Н6 — С2Н4 + Н2 1,08Е+16 2,5Е+08

3,16Е+16 2,7Е+08

Последовательность химических превращений и соответствующие кинетические уравнения для реакции запишем следующим образом:

Таблица 2

Кинетические уравнения

А — А2 + А3 ^=к С

^ + ^А^ ™2 = к2С12

Здесь А =

С2 Н6

'А =

C2H4

•Аз =

Н

>А4 =

снл

• С =рК- /М^,,-, к- константа

' I 1 I у

скорости у -ой прямой стадии, размерности: к = [1/с],^ = [л /(моль-с)].

Зависимость константы скорости стадии от температуры выражается из уравнения Аррениуса [9]:

к = 4

Е " __

ЛГ

Объемную скорость образования вещества г определяем из соотношения:

N

Щ = М • £ . Здесь игу - стехиометрические коэффициенты компонента г в реакции г

г=1

Для такого механизма пиролиза этана нагрев или охлаждение в результате химических реакций рассчитывается следующим образом [4]:

$ Ф $

=_(-2 6 ^ ТТ +-2 4 ^ ТТ +-^ +-^ГГ ).

$ 2Н6 2Н4 2 М^,СН. 4

2 6 2 4 2 4

Заключение. В работе построена математическая модель для решения задач газовой

динамики с учетом химических реакций. Модель предназначена для описания двумерной

динамики реагирующего газа с учетом теплообменных и диффузионных процессов, а также

химических реакций пиролиза этана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Nurislamova L. F., Gubaidullin I. M., Novichkova A. V., Stoyanovskaya O. P, Stadnichenko O. A., Snytnikov V. N. Few-step kinetic model of gaseous autocatalytic ethane pyrolysis and its evaluation by means of uncertainty and sensitivity analysis // Chemical Product and Process Modeling. - 2014. - Vol. 9, No. 2. - P. 143-154.

2. Нурисламова Л. Ф. Разработка компактной кинетической модели пиролиза пропана методами анализа чувствительности: автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. - Уфа: Башкирский государственный университет, 2015. - 22 с.

3. Губайдуллин И. М., Маничев В. Б., Нурисламова Л. Ф. Редуктивный подход при моделировании сложных задач химической кинетики // Журнал Средневолжского математического общества. - 2012. - Т. 14, № 4. - С. 26-33.

4. Стадниченко О. А., Снытников В. Н., Снытников В. Н. Математическое моделирование потоков многокомпонентного газа с энергоемкими химическими процессами на примере пиролиза этана // Вычислительные методы и программирование. -2014. - Т. 15. - С. 658-668.

5. Саразов А. В., Зеленский Д. К., Корчажкин Д. А., Никитин В. Ф. Математическое моделирование потоков многокомпонентного газа с энергоемкими химическими процессами на примере пиролиза этана // Тезисы докладов XIV Международной конференции "Супервычисления и математическое моделирование". - Саров, 2012. -С. 513-520.

6. Борисов В. Е. и др. Программный комплекс TCS 3D: математическая модель // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. - 2015. - № 6. - C. 1-20.

7. Poling B. E., Prausnitz J. M., O'Connell J. P. The properties of gases and liquids. - New York: McGraw-Hill, 2001. - 768 p.

8. Жалнин Р. В. О построении параллельного вычислительного алгоритма для прямого численного моделирования сложных газодинамических течений // Журнал Средневолжского математического общества. - 2008. - Т. 10, № 1. - С. 137-146.

9. Штиллер В. Уравнение Аррениуса и неравновесная кинетика. - М.: Мир, 2000. -176 с.