Измерение электромагнитных параметров наночастиц с помощью информационной системы

УДК 004.925.83

ИЗМЕРЕНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПАРАМЕТРОВ НАНОЧАСТИЦ С ПОМОЩЬЮ ИНФОРМАЦИОННОЙ СИСТЕМЫ

А.С. Зеленков, В.Т. Квасницкий

MEASUREMENT OF ELECTROMAGNETIC PARAMETERS OF NANOPARTICLES USING THE INFORMATION SYSTEM

A.S. Zelenkov, V.N. Kvasnitsky

Аннотация. В статье приведен обзор электромагнитных свойств и применения наночастиц. Предложена информационная система для расчета параметров наночастиц. Выполнено моделирование разомкнутой (U-образной) кольцевой наночастицы и продемонстрирован расчет параметра наноча-стицы на примере магнитного момента. Построена зависимость магнитного момента наночастицы от длины волны (в электростатическом приближении).

Ключевые слова: наноплазмоника, математическое моделирование, магнитный момент, электростатическое приближение.

Abstract. The article provides an overview of the electromagnetic properties and application of nanoparticles. Proposed information system for computation parameters of nanoparticles. Performed modeling for u-shape nanoparticle and demonstrated computation of nanoparticle parameter by using magnetic moment. Plotted the wavelength dependence for magnetic moment in the electrostatic approximation.

Keywords: nanoplasmonics, mathematical modeling, magneto moment, electrostatic approximation.

В мире существует огромное разнообразие наночастиц, и в настоящее время на основе технологий с применением наночастиц создаются устройства для решения различных прикладных задач. Поэтому для прогнозирования результатов и лучшего понимания процессов наноплазмоники необходимо уметь рассчитывать параметры наночастиц. На данный момент, определение параметров наночастиц происходит с помощью аналитических расчетов и из-за большого количества различных наночастиц не всегда выполнимо. В статье предложена информационная система для расчета параметров однородных наночастиц произвольной формы. На основе этой информационной системы рассчитан один из параметров (магнитный момент).

<4Ь

МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МФЮА

1. Обзор наноплазмоники. Электромагнитные свойства наночастиц. Применение наноплазмоники.

Наноплазмоника - новая быстроразвивающаяся ветвь на-нооптики, то есть оптики нанометровых масштабов. Предметом изучения в наноплазмонике являются оптические свойства металлических частиц и наноструктур, которые обусловлены колебаниями электронов проводимости относительно кристаллической решетки. Первые работы, посвященные плазмонным колебаниям в наночасти-цах и наноструктурах, появились в начале ХХ в. В 1902 г. Роберт Вуд обнаружил необъяснимые особенности в спектрах отражения от металлических решеток. Приблизительно в это же самое время Максвелл Гарнетт описал яркие цвета, наблюдаемые в стеклах с металлическими наночастицами, используя теорию металлов Друде и описание свойств наносфер, предложенное Рэлеем.

С формальной точки зрения свойства оптических явлений в наночастицах полностью определяются решениями уравнений Максвелла с соответствующими граничными условиями на поверхности раздела. Решения уравнений Максвелла, найденные Ми, Зоммерфельдом и другими авторами в начале ХХ в., полностью применимы для описания плазмонных явлений в сферических на-ночастицах или на границе раздела «металл-диэлектрик».

Электромагнитные свойства наночастиц и связанная с ними физика, прежде всего, обусловлены их формой, и любые отличия формы наночастиц от тривиальной сферической формы приводят к возникновению новых свойств и особенностей. Практически полный контроль над формами наночастиц позволяет говорить о полном контроле над их оптическими свойствами и, в первую очередь, над их спектрами. Такая настройка плазмонных наночастиц позволяет обеспечивать их эффективное взаимодействие со светом, между собой и с обычными атомами и молекулами. На основании этих взаимодействий можно разрабатывать самые различные наноустройства в первую очередь, сенсоры для применений в биологии и медицине.

Существует целый ряд идей, как на основе плазмонных нано-частиц и наноструктур можно создать полностью интегрированные оптоэлектронные наноустройства, в которых нанометровые размеры отдельных элементов совмещены с оптическими частотами их функционирования. Именно оптические частоты позволяют надеяться на существенное увеличение быстродействия компьютеров,

<j!b

МФЮА МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

процессоры которых уже имеют отдельные элементы нанометровых размеров, но частоты функционирования на пять порядков меньше оптических частот.

Практика показала, что взаимодействие металлов со светом может быть надежно описано с помощью классических уравнений Максвелла. Эти уравнения вполне применимы даже для наночастиц и наноструктур, так как при комнатной температуре, благодаря высокой плотности электронов, расстояния между уровнями электронов остаются малыми по сравнению с энергией термического возбуждения кТ.

В

2. Магнитный резонанс в наночастицах и искусственный магнетизм нанокомпозитов.

Значительный интерес представляет создание метаматериалов, обладающих магнитными свойствами и резонансами в оптической области. Именно магнитные резонансы в оптической области позволяют говорить о создании метаматериалов с отрицательным показателем преломления.

Магнетизм естественных материалов связан с неспаренны-ми спинами электронов, магнетизм метаматериалов полностью обусловлен резонансами, зависящими от геометрии наночастиц, формирующих метаматериал. Особенно интересной в этом смысле является геометрия разомкнутых кольцевых резонаторов. Этот на-ноэлемент состоит из двух концентрических наноколец с разрывами, расположенными в одной плоскости. Пендри показал, что регулярная решетка таких элементов при условии, что размеры элементов и расстояния между ними много меньше длины интересующей нас волны, будет иметь резонансные магнитные свойства.

Переменное во времени магнитное поле индуцирует в разомкнутых кольцах магнитный момент за счет возникновения индукционных токов в основной части кольца. Этот, вообще говоря, малый магнитный момент усиливается через резонанс: так эта структура является наноразмерным LC-резонатором с индуктивностью L и емкостью С и поэтому магнитный момент и магнитная проницаемость ^ испытывают резонанс на частоте ю1С = V LC. Данная система и ей подобные активно исследуются.

Отметим, что для частоты, превышающей резонансную частоту, магнитный момент кольца будет направлен вдоль поля. Таким образом, немагнитная частица может давать магнитный отклик.

cjb

МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ МФЮА

Среда, включающая такие частицы, будет иметь неравную единице эффективную магнитную проницаемость.

Действительно, заметим, что для магнитной восприимчивости х можно получить формулу, аналогичную поляризации шарика, заменив все е на ¡¡. Но проблема в том, что при л = 1 и для среды, и для шарика мы получаем х = 0. Если решать эту задачу вне статического приближения, то оказывается, что магнитный момент есть и у чисто диэлектрического шарика. Это связано с тем, что точное поле шарика содержит, кроме дипольного момента, так же квадру-польный, магнитодипольный и т.д. Наличие магнито-дипольного момента (то есть токов поляризации, текущих по кругу) и создает магнитный момент.

3. Моделирование ассиметричных («магнитных») резонан-сов в электростатическом приближении.

Построим информационную систему, которая позволяет рассчитывать параметры наночастиц, в том числе и магнитные. Для этого разобьем ее на две части: первая информационной системы часть будет рассчитывать распределение заряда по поверхности наночастицы, а вторая часть, исходя из полученного распределения, будет находить необходимые параметры наночастицы.

При построении первой части информационной системы воспользуемся электростатическим приближением и покажем, что этого приближения достаточно. В электростатическом приближении колебания квазистационарные: смещение заряда успевает прийти к равновесию в каждый момент времени. Резонанс в этом случае соответствует безразличному равновесию, когда нет возвращающей силы. В случае, когда резонансная мода наночастицы имеет и диполь-ный, и магнитный моменты, она может быть возбуждена как электрическим, так и магнитным полем. При этом частота и распределение поля не зависят от способа возбуждения. Рассмотрим разомкнутое кольцо. Пусть колебания в частице раскачиваются электрическим полем. Уменьшая размер кольца, переходим в область применимости электростатики. В электростатике отсутствует масштаб, поэтому положение резонанса не зависит от размера частицы. Рассчитав распределение заряда в электростатике, мы можем посчитать ток и магнитный момент.

Для расчета распределения потенциала по поверхности металлической наночастицы произвольной формы с диэлектрической

<4Ь

МФЮА МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

проницаемостью е, находящихся вакууме, необходимо рассчитать ее собственные моды. Эта задача является задачей на собственные значения относительно величины е. В электростатическом приближении дА / дt = 0 и Е = - У ф.

Из уравнений Максвелла следует (V Е) = 4пр, где р = -(VР), а с учетом того, что Е + 4пР = D = еЕ, получаем уравнение для потенциала или в более простом виде: еАф = -(уе,у ф).

Рассматривая правую часть как источник, используем функцию Грина для уравнения Пуассона G = 1 / 4п\~Й |. Домножим полученное уравнение потенциала на функцию Грина, а AG = 3 (~г) на ф и получаем систему двух уравнений: еGAф = -(у е,у ф)G и фAG = 3( ~г-~т')ф.

Домножим второе уравнение на е, вычтем из него первое и проинтегрируем по всему объему:

I [ефAG - еGAф]dr3 = I [3(г*- ~т')еф + (уе, Уф)в]Сг3

Используя интегрирование по частям, преобразуем интеграл слева:

I ефAGdr3 = I [Щ Ув)еф] - I (Ув, Уеф)Сг3 = I [0, Ув)еф] -I (Ув))(еУф + ф Уе)Сг3

- I еGAфdr3 = - I [0, Уф)ев] + I (уев, у ф)Сг3 = I [(с Уф)ев] -I (е ув + ву е)(Уф)Сг3

Интегралы по поверхности стремятся к нулю (так как потенциал на бесконечности стремится к нулю). После подстановки имеем I [в(уе, у ф) - ф(ув, у е)]Сг3 = I [3(Г- г')еф + (уе, Уф)в]Сг3, что в результате простых преобразований сводится к

е(г ') ф(г ') = - I [(Уе, ув)ф]Сг3. Так как Vе ф 0 только на границе вещества со средой, то е(г ') = (1 - х(а))(е - 1) + 1, и е = 3(г- ~т')(1 - е).

Теперь выделим тонкий цилиндр с одним основанием внутри шара, а другим вне и проинтегрируем по направлению оси цилиндра: I [(Уе,Ув)ф]Сг3 = I (1 - е)ф(С а, V в), где а - поверхность вещества. После упрощений получаем:

е(г ') ф(г ') = (е - 1) I [ф(С а У в)]

В точке а= а' возникает трудность с сингулярностью. Поэтому, рассмотрим предел, когда точка а приближается к г, и выделим сингулярность из-под интеграла. Для этого введем систему коорди-

МОСКОВСКИМ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИИ УНИВЕРСИТЕТ МФЮА

нат (т1, т, т), причем т1 и т2 направим вдоль границы раздела. Тогда = (т, т 0), а ' = (0, 0, 2). Теперь преобразуем поверхностный интеграл:

I ф

дп Ут12 + т22 + п2

I dт1 dт2 ф

(т2 + т2 + п2)2

Этот интеграл можно представить как сумму двух: в смысле главного значения и в точке г':

-1 dт1 dт2 ф

2 3

(т2 + т2 + п2)2

( йт, йт^ V. Р. - ф (г') п I - 1 2

(т12 + т22 + п2)2

В последнем интеграле перейдем к полярным координатам. Обозначим через 3 расстояние от поверхности до г', а через р и ф - расстояние и угол до точки интегрирования соответственно. Получаем:

п I -

йт1 йт2

(т12 + т22 + п2) й

-1йфIрйр

3

-2кIрйр

3

= пI -

32

р2 3 р \2

О + # у

= -2п I

1 +

32

2к

С учетом е (г ') = 1 получаем:

ф

2п (е - 1)ф(г ') , е - 1

дв

+ -—- V Р. I ф(

4п 4п дп

или, после преобразований:

ф(г >=2-+п> *Р1 ф(0 §

Таким образом, статическое приближение позволяет свести задачу о распределении потенциала по поверхности любой частицы

п о 0

2П х

х

п о 0

3 о 0

3 о 0

х

3 о 0

0

0

<4Ь

МФЮА МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

к поверхностному интегральному уравнению. Для решения интегрального уравнения поверхность дискретизируется с помощью имеющейся в общем доступе бесплатной программы GMSH. После чего на дискретной сетке получаем систему линейных уравнений:

е - 1 V Г V а дОпк фк = 2л(е+Т) V С ф фп дТ *

Считаем, что потенциал меняется мало на элементе сетки, и получаем следующую систему линейных уравнений:

г а дв к ф __ф | с а пк

Фкп~ 2п (е + 1) V п п ~дп

С помощью триангуляции смоделируем разомкнутую кольцевую наночастицу и найдем распределение заряда по поверхности серебряной (е находится из дисперсии серебра) наночастицы используя полученное уравнение:

фп = - - - ф I сф ФФ-

Ткп 2п (е + 1) Уп п \О\3

пк

где г - радиус-вектор, направленный к центру треугольника, а п -нормаль к поверхности треугольника.

а 1

о -1

Рисунок 1. Распределение заряда по поверхности наночастицы в форме разомкнутого кольца для магнитной моды. Темный цвет соответствует отрицательному заряду, светлый - положительному

4. Магнитный момент кольцевой частицы.

Покажем, что магнитный момент наночастицы можно вычислить на основании распределения заряда, полученного в электростатическом приближении. Предположим, что наночастица состоит из серебра с известной дисперсионной зависимостью.

МОСКОВСКИМ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИМ УНИВЕРСИТЕТ МФЮА

Магнитный момент частицы может быть получен следующим образом. В формулу М = (1 / 2с) I [г. j]dVподставим ток, выраженный через потенциал:

£ - 1 £ - 1

1 = дР / дt = - ¡тР = - ¡ю —-— Е = ¡ю —-— у ф

4п 4п

Тогда магнитный момент выражается через распределение потенциала по объему наночастицы:

М --

£ — 1 8ю

К = 1 [г .уфЖ

Представим векторное произведение в виде [г Vф] = - [V . (гф)] + ф[Ч. г], и учитывая равенство [у. г] = О, получим:

М

М

£ — 1 8т

К = 1 [V . (гф)Щ --

£ — 1 8жi

k0 = 1 ф[г . dS]

Далее, переходя к дискретной сетке:

- 'л1 ^0 I ф - • ^

М / d 15 000

10 000

5000

0

-5000

X, мкм

Вертикальными линиями отмечены резонансы соответствующие следующим модам: 1 - магнито-дипольной, 2 - электро-дипольной, 3 - магнито-квадрупольной, 4 - электро-квадрупольной

Рисунок 2. Действительная и мнимая части магнитного момента

кольцевой частицы, нормированного на единичный дипольный момент, в зависимости от длины волны

<jb

МФЮА МОСКОВСКИЙ ФИНАНСОВО-ЮРИДИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Используя полученную формулу (где dS - площадь треугольника), вычислим магнитный момент кольцевой частицы из серебра и построим зависимость от длины волны (рис. 2). В окрестности асимметричных колебаний (отмечены нечетными цифрами на рис. 2) происходит резонансное возбуждение магнитного момента.

В настоящее время наночастицы получили широкое распространение за счет создания на их основе различных сенсоров и композитных материалов - поэтому важной задачей является расчет параметров наночастиц. На данный момент, расчет параметров наночастиц выполняется аналитически и из-за большого разнообразия геометрий и состава не всегда выполним. В данной статье была представлена информационная система, которая позволяет моделировать однородные наночастицы любой геометрии и вычислять их параметры не прибегая к аналитическим расчетам.

Библиографический список

1. Веселаго В.Г. Электродинамика веществ с одновременно отрицательными значениями е и д // Успехи физических наук. 1967. Т. 92. № 7.

2. Виноградов А.П. Электродинамика композитных материалов // Эдито-риал УРСС. 2001. Т. 208.

3. Виноградов А.П., Дорофеенко А.В., Зухди С. К вопросу об эффективных параметрах метаматериалов // Успехи физических наук. 2008. Т. 178. N° 5.

4. Климов В.В. Наноплазмоника. М., 2009.

A.С. Зеленков

аспирант Научно-исследовательского центра информатики при Министерстве иностранных дел Российской Федерации E-mail: xim.andrew@gmail.com

B.Н. Квасницкий

доктор технических наук, профессор начальник отдела Научно-исследовательского центра информатики при Министерстве иностранных дел Российской Федерации