О ГЕОМЕТРИИ ПОЧТИ КВАЗИ-ПАРА-САСАКИЕВЫХ МНОГООБРАЗИЙ, ОСНАЩЕННЫХ КАНОНИЧЕСКОЙ N-СВЯЗНОСТЬЮ

УДК 514.763

О геометрии почти квази-пара-сасакиевых многообразий, оснащенных канонической N-связностью

С.В. Галаев, Е.А. Кокин

Саратовский государственный университет им. Н.Г. Чернышевского

On the Geometry of Almost Quasi-Para-Sasakian Manifolds Equipped with a Canonical N-Connection

S.V. Galaev, E.A. Kokin

Saratov State University

Вводится понятие почти квази-пара-сасакиева многообразия. В отличие от известной ранее квази-пара-сасакиевой структуры почти квази-пара-саса-киева структура не является нормальной структурой. Свойство нормальности в исследуемом в статье случае заменяется на более слабое свойство почти нормальности. Почти нормальные структуры аналогичны по своим свойствам интегрируемым тензорным структурам. Приводятся необходимые примеры. В частности, приводится пример почти квази-пара-сасакиевой структуры, естественным образом определяемой на распределении нулевой кривизны субриманова многообразия контактного типа. На почти квази-пара-сасакиевом многообразии определяется связность с кручением специального строения, названная в работе продолженной связностью. Продолженная связность определяется с помощью внутренней связности и эндоморфизма, сохраняющего распределение почти (пара)контакт-ного многообразия. Доказывается, что продолженная связность с кососимметрическим кручением определена однозначно и является метрической связностью. Находятся условия, при которых почти квази-пара-сасакиево многообразие является ^-Эйнштейновым многообразием относительно продолженной связности с кососимметрическим кручением.

Ключевые слова: почти квази-пара-сасакиево многообразие, внутренняя связность, продолженная кососимметри-ческая связность, ^-Эйнштейново многообразие.

DOI: 10.14258/izvasu(2023)1-13

This paper introduces the concept of an almost quasi-para-Sasakian manifold, which differs from the previously known quasi-para-Sasakian structure in that it is not a normal structure. Instead, it possesses a weaker property called almost normality, similar in properties to integrable tensor structures. Several examples are given, including an almost quasi-para-Sasakian structure defined on the distribution of zero curvature of a sub-Riemanni-an manifold of contact type.

An extended connection with skew-symmetric torsion is defined on an almost quasi-para-Sasakian manifold, which is unique and defined using an intrinsic connection and an endomorphism that preserves the distribution of an almost (para-)contact manifold. The paper proves that the extended connection is a metric connection, and it is also demonstrated that an almost quasi-para-Sasakian manifold can be an n-Einstein manifold with respect to an extended connection with skew-symmetric torsion, provided certain conditions are met.

Key words: almost quasi-para-Sasakian manifold, intrinsic connection, extended skew-symmetric connection, n-Einstein manifold.

Введение

В настоящей статье рассматриваются так называемые продолженные связности или, по-другому, — М-связности VN, определяемые на почти (пара)кон-тактном метрическом многообразии или, более общо, на субримановом многообразии контактного типа, с заданной на нем парой (V, N), где V — внутренняя

метрическая связность, N:TM^ TM — эндоморфизм касательного расслоения многообразия M такой,

что N £ = 0, N (D) С D [1]. К настоящему времени первым из авторов настоящей статьи опубликованы десятки работ, посвященных разным аспектам геометрии продолженных связностей (см., например,

[2, 3]). Особое место в этих работах уделяется продолженным связностям с кососимметрическим кручением. Такие связности находят богатые приложения в теоретической физике [4, 5]. С.В. Галаеву в настоящей статье принадлежит следующий результат: на всяком субримановом многообразии контактного типа существует, причем единственная, продолженная связность с кососимметрическим кручением. Отсюда, в частности, следует, что если на почти (пара)контакт-ном метрическом многообразии существует единственная связность с кососимметрическим кручением, то эта связность является продолженной связностью. Примером такого многообразия служит многообразие Сасаки. Связности с кососимметрическим кручением на почти параконтактных метрических многообразиях подробно исследованы в работе С. Замкового [6]. При этом С. Замковой рассматривает класс канонических связностей V хУ. Каноническая связность (по С. Замковому) — это метрическая связность такая, что V х п = V х £ = 0. Полученные С. Замковым результаты повторяют в контексте геометрии почти параконтактных структур известные результаты из геометрии почти контактных метрических многообразий [7, 8].

Почти квази-пара-сасакиевы структуры введены авторами настоящей статьи. Такие структуры относятся к классу почти нормальных структур. Понятие почти нормальной структуры введено в работе [7]. Мотивацией для введения понятия

почти нормальной структуры послужил тот факт, что именно такие структуры естественным образом возникают на распределениях нулевой кривизны субримановых многообразий контактного типа [9]. Класс почти квази-пара-сасакиевых структур расширяет класс квази-пара-сасакиевых структур, изучение которых, по-видимому, начинается с работы [10]. Во многом источником идей здесь являются классические работы по квази-сасакиевым многообразиям [8, 11, 12, 13].

Почти параконтактное метрическое многообразие (AQPS-многообразие) названо С.В. Галаевым в настоящей работе почти нормальным, если оказывается справедливым равенство Nр = + 2р*йп 0 £ = 0. Под почти квази-пара-сасакиевым многообразием понимается почти нормальное почти параконтактное многообразие нечетного ранга с замкнутой фундаментальной формой. Для почти (пара)контактных метрических многообразий нечетного ранга справедливо равенство йг/(£,•). В частности, нормальные почти (пара)контактные метрические многообразия являются многообразиями нечетного ранга. AQPS-многообразие является обобщением квази-пара-са-сакиева многообразия и сводится к последнему, если йг/ = -р*йг/. В предлагаемой работе на AQPS-многообразии изучаются связности с кручением V специального вида. А именно: пусть V — связность Леви-Чивита. Определим связность V следующем образом:

VXY = Vx Y + (VXn)(Y)| - n(Y)Vx| - r,(X)(C + ф - N)Y.

Настоящая работа состоит из двух основных частей. В первой части приводятся основные понятия геометрии AQPS-многообразий. Во второй части вводится понятие М-связности с кососимметрическим кручением. Находятся условия, при которых AQPS-многообразия являются многообразиями п-Эйнштейна относительно канонической связности.

1. Геометрические свойства почти квази-пара-сасакиевых многообразий

Рассмотрим почти параконтактное метрическое многообразие М нечетной размерности п = 2т + 1. Пусть (М, £, п, р, Я) — заданная на многообразии М почти параконтактная метрическая структура, где ф — тензор тип а (1,1), называемый структурным эндоморфизмом, £ и п — вектор и ковектор, называемые, соответственно, структурным вектором и контактной формой, я — псевдориманова метрика. При этом выполняются следующз ие услозвия: 1) р2 = I - п 0 £ , 2) п(£) = 1, 3) я (рх ,рУ) = - я (X, У) + п( х)п(У), где Х,У е Г (ТМ).

Гладкое распределение D = ker(n) называется распределением почти параконтактной структуры.

Для параконтактных метрических многообразий выполняются также следующие условия:

5) <р£ = 0, 6) п ° ф = 0, 7) n(X) = g(X, |), х е г(TM) [6, 14].

Кососимметрический тензор Q( X ,Y) = g (X ,y>Y) называется фундаментальной формой структуры. Почти параконтактная метрическая структура называется параконтактной метрической структурой, если выполняется равенство Q. = än. Гладкое распределение D1 = Span(i), ортогональное распределению D, называется оснащением распределения D. Имеет место разложение TM = D 0 D1. Иногда, если отпадает необходимость использования эндоморфизма ф, мы говорим не о почти параконтактной метрической структуре, а о субримановой структуре контактного типа [15, с. 58-62].

Карту k(X) (i, j, k = 1, ..., n; a, b, c = 1, ..., n - 1) многообразия M будем называть адаптированной к распределению D, если дп = £ [11]. Пусть P:TM^D — проектор, определяемый разложением TM = D 0 D1, и k(xi) — адаптированная карта. Векторные поля

Р(д ) = е = д - Гпд линейно независимы и в обла-

4 а' а а а п

сти определения соответствующей карты порождают распределение й-й = $рап(еа).

Для адаптированных карт к'(х') и к'(х') выполняются следующие формулы преобразования координат.

X = ха(ха), хп = хп + хп(ха).

Тензорное поле 1 типа (р, q), заданное на почти (пара)контактном метрическом многообразии, назовем допустимым (к распределению Б) или трансвер-сальным, если 1 обращается в нуль каждыйраз, когда среди его аргументов встречаются £ или ц. Координатное представление допустимого тензорного поля в адаптированной карте имеет вид.

верждение. условие йг/(£, X) = 0 эквивалентно справедливости равенства дп ГП = 0.

Пусть V — внутренняя линейная связность [15, 16] на многообразии с почти (пара)контактной метрической структурой.

Коэффициенты внутренней линейной связности определяются из соотношения Vг еЬ = ГсаЬес. Из ра-

з  дха венства е = Аае ,, где Аа =-, обычным образом

а а а' м а дха

следует формула преобразования для коэффициентов внутренней связности.

ГС, = A"AbhAc,Р,,, + Ac,e Ah.

a h a h c a h 1 c a h

t = t,'.., pe 0... 0 e 0dx 1 0... 0dxh

h1 ha ai ap

Преобразование компонент допустимого тензорного поля в адаптированных координатах подчиняется следующему закону:

дх"'

fh = A\ Ah 'С, где A"' =

h a h h ' ^ a

dxa

Имеет место равенство [еа еЬ ] = 2шЬадп. Отсюда, в частности, вытекает важное для дальнейшего ут-

Отсюда следует, что производные дпГас являются компонентами допустимого тензорного поля.

Ранг субримановой структуры полагается равным 2р, если (йг/)р ^ 0, пЛ(йг/)р = 0, и равным 2р + 1, если П Л (йг/)р ^ 0 , (йп)р+1 = 0. Легко проверяется, что ранг субримановой структуры равен 2р + 1 тогда и только тогда, когда дп Г"а = 0.

Пусть V связность Леви-Чивита и Г ¡к — ее коэффициенты. В результате непосредственных вычислений, основанных на применении равенства

2Г; = gkm(e,gjk +е)ял -ekgtj +Я[А ) + Ц™ =2^,П"ап = дпГ"а),

убеждаемся в справедливости следующего предложения.

Предложение 1. Коэффициенты Г связности Леви-Чивита субриманова многообразия в адаптированных координатах имеют вид.

Гch = ГС,, Г" = ivh -Ch, Г =Гh =C" +ф", Гn = -д Гп, г" = gahd г,

ah ah1 ah ha ahJ ah na a 1 т a ' na n a ' nn о n h '

где г"с = 2gad Qgcd + ecgbd - edgbc ) , Ф"а = gh4c , Cah = 1 дngah , c1 = g^Cac •

Здесь эндоморфизм у-ТМ^ ТМ определяется из равенства и>(Х, У) = g(fX, У). Выполняются также

следующие соотношения- С(X, У) = g)(X, У),

g(CX, У) = (CX, У). Из условия йг/(£, X) = 0 следует, что Гп = -д Гп = 0 и Гп = аЬд Г", = .

па па пп п Ь

Почти параконтактное метрическое многообразие М называется нормальным многообразием, если выполняется условие Nm = N -2йп <8> £ = 0, где N (X, У) = Ун^^, У]-фpX, У]-^, у>У] — тензор Нейенхейса эндоморфизма ф. Многообразием пара-сасаки называется нормальное параконтактное метрическое многообразие.

Назовем почти параконтактное метрическое многообразие почти квази-пара-сасакиевым многообразием (AQPS-многообразием), если выполняются сле-

дующие условия- йП = 0, N= N ^ + 2(р*йп <8> £ = 0, йп(£ ,•) = 0. Многообразие, для которого выполняется условие N<Р = Nv + <8> £ = 0, названо нами почти нормальным многообразием.

Таким образом, почти нормальное многообразие является нормальным многообразием тогда и только тогда, когда йп = .

Замечание 1. В работе [11] введено понятие интегрируемой допустимой тензорной структуры. В той же работе было доказано, что почти контактная метрическая структура почти нормальна тогда и только тогда, когда поле структурного эндоморфизма представляет собой интегрируемую тензорную структуру.

Пусть Р-ТМ ^ й — проектор, определяемый разложением ТМ = й  й1. Тогда имеет место следующее предложение.

Предложение 2. Для любого почти параконтакт-ного метрического многообразия выполняется следующее равенство: РЛ*,1' = N у.

Отметим, что выполняется следующее соотношение:

Ny' (X , Y) = N у (X, Y) - 2(d,( X ,Y) + d,(yX ,yY )) £ .

Приведем два примера почти параконтактных метрических многообразий.

Пример 1. Пусть М = {(х,у,2,и,у) е Л5: у ^ 0} — гладкое многообразие размерности 5, оснащенное почти параконтактной структурой (М,£,г/,у,^,й). Здесь: 1) й =<е1,е2,е3,е4, где е1 = уд5, е2 = д2, е3 = д3, е4 = д4, (д1, д2, д3, д 4, д5) — естественный ба-

зис пространства R5, 22) £ = д5, 3) ^ = dz + ydx,

4) ув; = вз , ув2 = e4, уеъ = -в;, yei = -ej, у| = 0 ,

5) g;; = gj2 =g33 =^44 = ^55 = 1 ЕсЛИ 1 * j, TO gj = 0.

Непосредственно проверяется, что почти контактное многообразие M не является нормальным, но является почти нормальным многообразием. Действительно,

NiV;, е2) = у2[в;, е2] + [вз, е41-у[^, e1]-2dr,(e1, е2)% = г([в;, &J) = r)(Z X = ^.

Таким образом, рассматриваемая структура не является нормальной структурой. В то же время Лу (е1, е1) = 2йп(е3, е4)£ = 0. Тем самым мы имеем дело с почти нормальной структурой. Далее, пусть теперь структура (М, £, г/,у, g,й) отличается от рассматриваемой ранее структуры другим задани ем эндоморфизма у: уе1 = е1, уе2 = -е2, уе3 = -е3, уе4 = -е4, у£ = 0 и другим заданием метрического тензора:

gl4 = g41 = - g23 = - gз2 = g55 = 1. ДляЭТ°й струКТуры

й/ = -у'йг/. Действительно, йп(уе1,уе1) = -йп(уе1,уе1).

Пример 2. Пусть й — распределение субримано-ва многообразия контактного типа [15]. Адаптированной карте к(Х) многообразия М поставим в соответствие адаптированную карту к(х').

(х1) = (х*,хп+а). Если р е Вх, то к: р ^ (X,хп+а), где р = хп+аеа.

Векторные поля (е = д -Гпд -ГЬ хп+сд +Ь,

г ^ а а а п ас п+Ь'

дп, дп+а) = (Л1) определяют [16] на распределении й как на гладком многообразии неголономное (адаптированное) поле базисов, а формы (йха, Оп = йха + +Г>а, еп+а = йхп+а +ГаЬсхп+сйхЬ) — соответствующее поле кобазисов

Пусть V — внутренняя связность с тензором кривизны Схоутена Я(Х, У)2.

Определим на многообразии й почти паракон-тактную структуру (й,],и,А = п о пг,й), полагая ¡ХИ = Ху, ]Х = Xй. Здесь п: й ^ М — естественная проекция. Определим далее на многообразии М метрику к, посредством равенства:

g(Xh ,Yh) = -g(Xv,Yv) = g(X, Y), g(Xh ,Yv) = g(Xh,u) = ^(Xv,U) = 0 .

Легко проверяется, что структура (й,],и = дп, А = попг,к,й) является почти параконтактной метрической структурой. Более того, если М — суб-риманово многообразие с нулевым тензором Схоутена, то продолженнаяз почти параконтактная метрическая структура (й, ], и = дп, А = п о пг, к,й) является почти квази-пара-сасакиевой структурой.

Как известно, для нормальных почти параконтактных многообразий справедливы следующие равенства [6]:

Предложение 3. Пусть М — почти нормальное почти параконтактное многообразие, тогда равенство

N у (X, Y) = Ny (X, Y) + dn(y X ,yY )£ = 0

Ny( X, Y) = Ny (X, Y) - 2dn( X ,Y )£ = 0; Ny2)(X,Y ) = (LyX n )Y -(LyY r, )£ X = 0;

Ny( X) = (Ly)X = 0; N(f( X) = L r)X = 0.

При этом равенство (1) влечет равенства (2)-(4). Следующие два предложения уточняют приведенное выше утверждение в случае почти нормальной структуры.

влечет выполнение равенств (3), (4).

Доказательство. Подставляя в равенство (5) Y = £, получаем:

0 = Лу

или, (Х) = (1гу)Х = 0. Обратимся к равенству (4). Имеем:

а? п)х = йп(£, Х) + Хп(£) = йп(£, х) = 0.

Предложение 4. Пусть М — почти нормальное почти параконтактное многообразие, тогда равенство Л<2) (Х, Y) = (ЬуХ п^ -(1^ п)Х = 0 выполняется тогда и только тогда, когда йг/ = у*йг/.

Справедливость предложения 4 подтверждается равенством

(Ь^ п)У = йг,(<.р X ,У).

2. Почти контактные кэлеровы многообразия с канонической кососимметрической связностью

На субримановом многообразии, наделенном эндоморфизмом №ТМ ^ ТМ касательного расслоения многообразия М, определим продолженную М-связность V, следующим образом выражающуюся через связность Леви-Чивита V -

V%У = VxУ + (VXп)(У)£ - п^)(С + ф - N)У.

Имеет место

Предложение 5. Линейная связность V, заданная на субримановом многообразии контактного типа, кососимметрична тогда и только тогда, когда N = 2ф.

Доказательство. Непосредственно проверяется, что в адаптированных координатах отличные от нуля коэффициенты 0\к связности V имеют вид

= 1 gad + - е^Ьс ), СЬ„ = К, С1 = -д„Гп .

Тензор кручения XX, У) связности V имеет следующий вид-

,У) = 2ш( X ,У )£ + ,(X)NУ - п(У )NX,

X,У,г €Г(ТМ).

Его не нулевые компоненты представлены в адаптированных координатах следующим образом-

S\ = 2ш„, Sb = N ь.

ab ab na a

Положим S(X,y,Z) = £(S(X,y),Z), X,У,Z g г(ТМ). Здесь Г( ТМ) — модуль гладких векторных полей на многообразии M. В адаптированных координатах ненулевые компоненты тензора S( X ,У, Z ) будут иметь следующий вид:

S(e ,е ,d ) = 2w ,,

v a> a> nJ ab '

S(ea, d„eb) = - £ (Ne., eb), S(dn, ^a, ^b ) = - £ (Ne,, еь ).

Тензор S( X ,У, Z) кососимметричен тогда и только тогда, когда 2uab = £ (Nea, еь ). Тем самым предложение 5 доказано.

В случае, когда N = 2ф, связность V будем называть канонической связностью.

Заметим, что каноническая связность в случае субри-мановой структуры четного ранга не является метрической связностью. Действительно, V £ = -Gn =д Гп.

n na na n a

Пусть K(X, У Z), X,У,Z G Г(ТМ) тензор кривизны канонической связности V. Вычислим ненулевые компоненты тензора K(X, У, Z). Имеем:

Kabc Rabc + йЬФc .

Kd = 2V фй.

anc a c

Здесь R1 = 2e[a rbc + 2ГЦ«]ГЬ]с — компоненты

тензора кривизны Схоутена [16], определяемого равенством

R( X ,У, Z) = VX VУZ - Vy VXZ - VP[X У ]Z - P[Q[ XJ ], Z], Q = 1 - P. Инвариантное представление тензора K ( X^ )Z имеет вид:

K(X,T)Z = R(X,У)Z + )Z - n(X)(VУN)Z + 4w(X^(Z), X,У,Z G Г(ТМ).

Тензорное поле г^ ,У) = 1г(У ^ R(X,У)Z, X,У, 2 € Г(Б) будем называть тензором Риччи — Схоутена.

Назовем почти квази-сасакиево многообразие П-Эйнштейновым многообразием относительно канонической связности, если выполняется равенство к = Xg + л,  ,, А, л € Я.

Используя адаптированные координаты, выпишем компоненты тензора Риччи k(X, У) связности VN-

каЬ = ГаЬ + 4Чй ^

к = к = 0,

ап пп

к =-V, фй.

па й ' а

Из определения эндоморфизма у следует, что равенство Vw = 0 выполняется тогда и только тогда, когда имеет место равенство Vф = 0. Таким образом, компоненты тензора Риччи к(X, У) связности V с параллельным эндоморфизмом у принимают вид-

каЬ = ГаЬ + 4Чй ФЬ,

к = К = К = 0.

ап па пп

Тем самым оказывается справедливой следующая теорема.

Теорема. Почти квази-пара-сасакиево многообразие является ^-Эйнштейновым многообразием относительно канонической связности с параллельным эндоморфизмом у тогда и только тогда, когда

А + л = 0,

г(X,У) + 4ш(X,фУ) = Аg(X,У). X,У € Г(Б).

Заключение

Как следует из теоремы, существование г|-Эйн-штейновой метрики на почти квази-сасакиевом многообразии относительно канонической связности существенно зависит от строения тензора Риччи —

Схоутена — комитанта тензора кривизны Схоутена. геометрии почти (пара)контактных метрических мно-Представляется интересным исследовать зависимость гообразий от строения тензора кривизны Схоутена.

Библиографический список

1. Галаев С.В. Почти контактные метрические пространства с N-связностью // Известия Саратовского ун-та. Новая серия: Математика. Механика. Информатика. 2015. Т. 15. №3. DOI: 10.18500/1816-9791-2015-15-3-258-264.

2. Галаев С.В. Геометрическая интерпретация тензора кривизны Вагнера для случая многообразия с контактной метрической структурой // Сибирский математический журнал. 2016. Т. 57. № 3. DOI: 10.17377/smzh.2016.57.310.

3. Галаев С.В. Гладкие распределения с допустимой гиперкомплексной псевдоэрмитовой структурой // Вестник Башкирского ун-та. 2016. Т. 21. № 3.

4. Agricola I., Ferreira A.C. Einstein manifolds with skew torsion // Q. J. Math. 2014. Vol. 65. № 3. DOI: 10.1093/qmath/ hat050.

5. Friedrich T., Ivanov S. Parallel spinors and connections with skew-symmetric torsion in string theory // AsianJ. Math. 2002. Vol. 6. https://doi.org/10.48550/arXiv.math/0102142.

6. Zamkovoy S. Canonical connections on paracontact manifolds // Ann. Glob. Anal. Geom. 2009. Vol. 36. https://doi. org/10.48550/arXiv.0707.1787.

7. Blair D.E. Riemannian Geometry of Contact and Symp-lectic Manifolds // Progress in Mathematics. Birkhauser. Boston. 2002. Vol. 203.

8. Kanemaki S. Quasi-Sasakian manifolds // Tohoku Math. J. 1977. Vol. 29.

9. Букушева А.В. Многообразия Кенмоцу с распределением нулевой кривизны // Вестник Том. гос. ун-та. Математика и механика. 2020. № 64. DOI: 10.17223/19988621/64/1.

10. Kupeli Erken I. Curvature Properties of Quasi-Para-Sasakian Manifolds // International electronic journal of geometry. 2019. Vol. 12. № 2. https://doi.org/10.48550/ arXiv. 1807.04138.

11. Blair D.E. The theory of quasi-Sasakian structures // J. Differential Geom. 1967. Vol. 1.

12. Olszak Z. Curvature properties of quasi-Sasakian manifolds // Tensor. 1982. Vol. 38. https://doi.org/10.48550/ arXiv. 1209.5886.

13. Tanno S. Quasi-Sasakian structures of rank 2p + 1 // J. Differential Geom. 1971. Vol. 5.

14. Welyczko J., On Legendre Curves in 3-Dimensional Normal Almost Paracontact Metric // Manifolds. Result. Math. 2009. Vol. 54. https://doi.org/10.1007/s00025-009-0364-2.

15. Букушева А.В. Нелинейные связности и внутренние полупульверизации на распределении с обобщенной лагранжевой метрикой // Дифференциальная геометрия многообразий фигур. 2015. № 46.

16. Galaev S.V Intrinsic geometry of almost contact kahlerian manifolds // Acta Mathematica Academiae Paedagogicae Nyiregyhaziensis. 2015. Vol. 31.