Интеграция математической и методической подготовки студентов в обучении элементарной математике

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ^ЙЙЙЙЙЙЙЙЙШ

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ОБРАЗОВАНИЕ

ИНТЕГРАЦИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ И МЕТОДИЧЕСКОЙ ПОДГОТОВКИ СТУДЕНТОВ В ОБУЧЕНИИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ МАТЕМАТИКЕ

И. В. Ульянова, Ж. Л. Сарванова

С целью повышения качества высшего математического образования в контексте его гуманизации авторами предлагается осуществлять интеграцию математической и методической подготовки. Определяются понятие методической направленности обучения студентов элементарной математике в педагогическом вузе, линии и этапы ее практической реализации.

Ключевыге слова: элементарная математика; методическая подготовка; методическая направленность обучения; методические умения; задача; блоки укрупненных задач.

Главной задачей современной школы выступает «...раскрытие способностей каждого ученика, воспитание личности, готовой к жизни в высокотехнологичном, конкурентном мире. обучение должно способствовать личностному росту так, чтобы выпускники могли самостоятельно ставить и достигать серьезные цели, уметь реагировать на разные жизненные ситуации.» [2]. Очевидно, что в полной мере эти слова Д. А. Медведева имеют смысл и для вузовского образования. Интеллектуальный потенциал общества, служащий важнейшим фактором экономического и социального развития страны, ее политической самостоятельности, фактором ее выживания, определяется качеством высшего образования. Задача повышения качества высшего образования является первостепенной для любой страны мира.

В свете сказанного в задачу высших учебных заведений входит не только профессиональная подготовка будущих специалистов, но и развитие у них общечеловеческих ценностей, формирование творческой активности, способности самостоятельно принимать решения в сложных ситуациях и т. д. Решению этой задачи помогут углубление и расширение интегративных связей между различными составляющими профессиональной подготовки студентов на уровне целепо-лагания, содержания, методов, форм и средств обучения. В данной статье в контексте гуманизации образования рас-

смотрим возможности интеграции математической и методической подготовки студентов педагогического вуза в обучении их элементарной математике.

Рассматриваемый нами учебный курс занимает важное место в подготовке будущих учителей математики, служа своеобразным мостиком между циклами математических и методических дисциплин. Если в курсах математического анализа, алгебры и геометрии дается научное обоснование всех понятий, вводимых в школьной математике, и процесс решения задач по этим дисциплинам направлен прежде всего на отработку тех или иных сторон изучаемого понятия, то на практических занятиях по элементарной математике главное внимание уделяется решению задач. При этом студенты не только овладевают приемами решения задачи, но и стремятся раскрыть процесс поиска решения, выбора соответствующих методов рассуждения, моделирования школьных учебных ситуаций, что, в свою очередь, способствует формированию основ методического мастерства будущего учителя математики. Поэтому в силу специфики профессиональной подготовки будущих учителей обучение студентов элементарной математике должно быть методически направленным.

Под методической направленно-стъю обучения студентов элементарной математике в педагогическом вузе мы понимаем целенаправленное формиро-

© Ульянова И. В., Сарванова Ж. А., 2010

№ 3, 2010

вание методической деятелъности, которая, в свою очередь, определяется как деятельность, реализующая функции теории и методики обучения математике: методологическую, прогностическую, объяснительную, описательную, систематизирующую, образовательную, эвристическую, эстетическую, практическую, нормативную и оценочную. Каждой функции соответствует тот или иной аспект методической деятельности. Как утверждает Г. И. Саранцев, сформиро-ванность методических умений, адекватных каждому из этих аспектов, является показателем качества методической подготовки студентов [3].

Анализ компонентного состава методических умений, выделяемых в различных аспектах методической деятельности студентов педагогического вуза, показывает, что при формировании методической направленности обучения их элементарной математике наибольшее внимание должно уделяться прогностическому, эстетическому и эвристическому аспектам деятельности учителя. Это объясняется тем, что совокупности соответствующих им действий: по выдвижению и анализу гипотез, ориентации на поиск новых способов решений и доказательств, разработке и решению творческих задач, раскрытию эстетики решения задач и т. д. — входят в содержание и других аспектов методической деятельности, а значит, в полной мере способствуют методической подготовке студентов. Кроме того, в последнее время актуальными задачами обучения математике в школе признаются эстетическое воспитание учащихся, формирова-

ние исследовательских умений, творческой активности. Решение этих задач и предполагает овладение будущими учителями умениями, адекватными прогностическому, эвристическому и эстетическому аспектам методической деятельности.

В настоящее время согласно учебным стандартам [1] содержание элементарной математики включает в себя изучение арифметико-алгебраических и геометрических тем. Отсюда в реализации методической направленности обучения данной дисциплине студентов педагогического вуза можно выделить две основные линии:

1) формирование методических умений, реализующих функции методической науки, при изучении студентами арифметико-алгебраической части элементарной математики;

2) формирование методических умений, реализующих функции методической науки, при изучении студентами геометрической части элементарной математики.

Вторая линия соответствует систематическому изучению студентами педагогического вуза теории и методики обучения математике на III—IV курсах, тогда как изучение ими арифметико-алгебраической линии элементарной математики происходит на I—III курсах. Поэтому в обучении студентов элементарной математике можно выделить два этапа реализации методической направленности, каждому из которых отвечает определенный уровень сформированно-сти указанных выше методических умений (табл. 1).

Т а б л и ц а 1

Взаимосвязь уровней сформированное™ методических умений и этапов реализации методической направленности обучения элементарной математике

Уровни Этапы

Низкий Формирование методических умений при изучении арифметико-алгебраической части элементарной математики в период, предшествующий систематическому изучению курса теории и методики обучения математике

Средний

Формирование методических умений при изучении геометрической части элементарной математики в период систематического изучения к^са теории и методики обучения математике

Высокий

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

Как видим, на этапе изучения студентами арифметико-алгебраической части элементарной математики методическая деятельность оказывается у них сформированной на невысоком уровне. Они в недостаточной мере владеют навыками выдвижения и анализа гипотез, подбора эвристик, выделения оригинальных способов решения и т. д., нуждаясь в руководстве преподавателя. Сказанное справедливо и для этапа изучения студентами геометрической части элементарной математики на IV курсе. Но поскольку студенты параллельно систематически изучали курс теории и методики обучения математике, формирование у них методических умений на занятиях по элементарной математике можно поднять на более высокий уровень. При этом кроме решения отдельных задач большой эффективностью обладают блоки укрупненных задач.

Блок укрупненных задач — это конструкция из нескольких задач, объединенных в одно целое на основе принципа общности деятельности по их решению. Решение каждой последующей задачи в блоке укрупняет решение какой-либо из предшествующих ей блочных задач посредством выполнения новых действий, дополняющих ее решение.

Приемами образования блоков укрупненных задач выступают замена требования задачи каким-либо новым требованием; расширение чертежа зада-

чи; обращение задач; замена условия задачи каким-либо новым условием.

Такие блоки можно легко образовывать, в частности, развивая тему решаемой задачи на заключительном этапе работы с ней. Указанный этап может служить полигоном для развития творческой инициативы учащихся, эвристич-ности и самостоятельности их мышления, поиска более рационального и эстетически привлекательного способа решения и т. д., так как его реализация, кроме всего прочего, предполагает составление новых задач, в том числе укрупняющих действия по решению исходной задачи.

Продемонстрируем сказанное на примере задач, входящих в блок 1.1—1.3.

1.1. В треуголънике АВС выгсо-та ВН = Н, стороны1 АВ = а, ВС = Ь. Выгчислите площадъ треуголъника (рис. 1). в

Р и с. 1

Математический и методический аспекты решения данной задачи представлены в табл. 2.

Т а б л и ц а 2

Математический и методический анализ решения задачи 1.1

Математические умения Методические умения

Площадь треугольника может быть найдена по формуле Герона (1) или по формулам S = 1/2 h АС (2), S = 1/2 ab sin АВ (3) Получение опережающей информации об объекте

В формулах (1) и (3) нам неизвестны по две величины (сторона АС, периметр треугольника; АВ, sinAB соответственно). В формуле (2) неизвестной является только одна сторона АС. Поэтому для того чтобы найти требуемую в задаче площадь ААВС, более целесообразно найти его сторону АС Выбор основания прогнозирования Выдвижение гипотезы

АС = АН + НС. Поэтому для нахождения АС надо: 1. Найти АН из ААВН по теореме Пифагора; 2. Найти НС из АВНС по теореме Пифагора; 3. Найти А С как сумму АН и НС Планирование предстоящей деятельности

№ 3, 2010

Для развития решения указанной задачи 1.1 студентам можно предложить задачу 1.2.

1.2. В треуголънике АВС выгсота ВН = Н, стороныI АВ = а, ВС = Ь. На отрезке НС взята произволъная точка К. На прямой ВМ, параллелъной АС, взята точка М так, что МВ = КС. Выг-числите отношение площади треу-голъника АВС и трапеции АМВК

(рис . 2). м в

Р и с. 2

При решении задачи 1.2 студенты выполняют те же действия, что и при решении задачи 1.1. Кроме того, им необходимо вычислить площадь трапеции АМВК по формуле 5 = 1/2 Н (МВ + АК) и найти требуемое отношение площадей. Другими словами, решение задачи 1.2 действительно расширяет решение задачи 1.1 посредством выполнения новых действий.

На заключительном этапе работы с задачей 1.2 преподаватель может акцентировать внимание студентов не только на описываемом в задаче способе возникновения трапеции АМВК на основе треугольника АВС, но и на возможном обратном переходе от данной трапеции к данному треугольнику.

Т а б л и ц а 3

Математическая деятельность студентов при решении задач 1.1—1.3

Действия, адекватные решению задачи Математические знания, умения, навыки

1.1 1.2 1.3

Осуществив параллельный перенос стороны МК на вектор МВ, получим сторону ВС; Умение видеть образ объекта при параллельном переносе плоскости

АН — ліа2 - И2 ; не = 4ъг - И2; АС — АН + НЄ; 1 ^е = 2 * АС; Знание теоремы Пифагора Умение находить площадь треугольника

е — иАМВК 1 — ^ к(АК+МВ) — 1 = 2 ^ АС = Є^АВС; Умение находить площадь трапеции

Из предыдущего пункта следует, что искомое отношение площадей равно 1

ИНТЕГРАЦИЯ ОБРАЗОВАНИЯ

Продолжением работы могут стать эвристики:

1) «чтобы найти площадь некоторой фигуры, достаточно найти площадь фигуры ей равновеликой»;

2) «если построить треугольник со стороной, равной сумме оснований некоторой трапеции, то площадь этого треугольника будет равна площади данной трапеции».

Для закрепления данных эвристик студентам логично предложить задачу 1.3, укрупняющую решение задачи 1.2.

1.3. В трапеции АМВК диагонали АВ = а, МК = Ь. Высота трапеции равна

H. Вычислите угол между диагоналями трапеции (см. рис. 2).

Решение задачи показано в табл. 3. Если методическая сторона решения задачи 1.1 включает в себя формируемые у студентов методические умения, реализующие главным образом прогностическую функцию методической науки (прогностический аспект их методической деятельности), то решение задачи

I.2 кроме прогностической функции методической науки реализует и эвристи-

ческую функцию. Простота и неожиданность решения задачи 1.3 с помощью параллельного переноса диагонали МК трапеции на вектор МВ способствует реализации эстетического аспекта методической деятельности (неожиданная взаимосвязь исходной трапеции с равновеликим ей треугольником, о котором изначально в задаче ничего не говорилось).

Таким образом, мы видим, что деятельность по трансформации отдельной задачи по элементарной математике при анализе ее решения позволяет формировать у студентов различные методические умения, в комплексе способствующие реализации методической направленности учебного курса, тем самым осуществляя их методическую подготовку на должном уровне. Последовательная взаимосвязь между такими умениями, реализуемая при решении блоков укрупненных задач, может быть аналогичной той, какая существует между формируемыми при этом компонентами математической деятельности студентов (табл. 4).

Т а б л и ц а 4

Методическая деятельность студентов при решении задач 1.1—1.3

Методические умения, адекватные решению задачи Аспект методической деятельности

1.1 1.2 1.3

Получение опережающей информации об объекте; Выбор основания прогнозирования; Выдвижение гипотезы; Планирование предстоящей деятельности; Прогностический

Усвоение специальных (частных) эвристик; Эвристический

Преобразование математической конструкции; Ориентация на поиск нового, более совершенного и оригинального, способа решения Эстетический

Вузовская практика свидетельствует, что математическая подготовка студентов при решении ими блоков укрупненных задач также осуществляется на фундаментальном уровне, обеспечивая усвоение ими целостных, системных и интегрированных знаний. Как можно видеть, важную роль при этом играет интеграция методической и математиче-

ской подготовки будущих специалистов на всех возможных уровнях; средств обучения (которыми выступают одни и те же задачи элементарной математики и их блоки); приемов обучения (анализ проведенных решений, поиск рациональных методов решения задач, установление зависимостей между компонентами задачи и др.); форм обучения (использо-

ШІШІШІШШИМ № З,

вание на занятиях готовых задач, организация самостоятельного решения задач студентами и пр.).

Такая работа позволяет формировать у студентов как математические умения решать задачи, так и методические умения по обучению школьников решению таких задач. При этом студенты легко приобщаются к исследовательской деятельности, развитию у себя навыков самоконтроля и самообразования, продуктивного распределения учебного времени и т. д., что вкупе с вышесказанным способствует формированию высокоинтеллектуальной технологичной личности будущего учителя в условиях современности.

2010 iiiiilllffl 1%

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Государственный образовательный стандарт высшего профессионального образования [Электронный ресурс]: Специальность 032100.00 Математика с дополнительной специальностью : Квалификация учитель математики и_(в соответствии с дополнительной специальностью).— М., 2005. — 22 с. — Режим доступа: http:// www.edu.ru/ db/portal/spe/archiv.htm.

2. Послание Федеральному Собранию Россий-

ской Федерации (2009) [Электронный ресурс] // Президент России : выступления и стенограммы : [офиц. сайт]. — Режим доступа: http://

www.kremlin.ru/transcripts/5979.

3. Саранцев, Г. И. Методическая подготовка будущего учителя в современных условиях / Г. И. Саранцев // Педагогика. — 2006. — № 7. — С. 61—68.

Поступила 23.03.10.

ОБУЧЕНИЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВУ ТЕОРЕМ В ЕДИНСТВЕ ЭВРИСТИКИ И РЕПРОДУКЦИИ

О. Н. Шалина (Мордовский государственный педагогический институт

им. М. Е. Евсевъева)

В статье обоснована целесообразность сочетания эвристического и репродуктивного методов в процессе обучения доказательству теорем на уроках геометрии, исследованы различные классификации эвристик. Приведены способы определения сложности и трудности доказательства теорем, на основе которых разработаны критерии выбора метода обучения.

Ключевыге слова: обучение доказательству теорем; эвристики; сложность доказательства; трудность

доказательства.

Новые целевые установки в системе современного российского образования предполагают ориентацию обучения на развитие личности, в частности на формирование логического и образного мышления. Ведущее место в развитии данных типов мышления, а также умения аргументировать свои суждения, делать обоснованные выводы принадлежит курсу геометрии.

Важной составляющей процесса обучения геометрии является правильная организация работы по изучению доказательств теорем. Научить учащихся находить логически правильную последовательность доказательства математических утверждений — одна из самых сложных задач, стоящих перед учителем. Деятельность, связанная с доказа-

тельством математических утверждений, обеспечивает сознательность усвоения учащимися геометрического материала, развитие у них самостоятельности, умения рационально применять свои знания, творчески подходить к выполнению задания.

Процесс доказательства опирается на единство логического и эвристического, в нем логика и эвристика взаимосвязаны и взаимообусловлены, поэтому под обучением доказательству теорем необходимо понимать обучение учащихся анализу готовых доказательств, их воспроизведению, самостоятельному открытию факта, поиску и конструированию доказательства, опровержению предложенных доказательств [4]. В рамках данной концепции действия, адекват-© Шалина О. Н., 2010