ПРИБОР ДЛЯ ДЕМОНСТРАЦИИ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНТРА ИНЕРЦИИ СИСТЕМЫ МАТЕРИАЛЬНЫХ ТОЧЕК
DEVICE FOR DEMONSTRATING INERTIA CENTER MOVEMENT OF SYSTEM OF MATERIAL POINTS

1
2
N
Изобретение относится к лекционным демонстрационным приборам, обеспечивающим углубленное понимание и наглядность при изучении раздела механики в курсе общей физики университетов. Центр инерции С системы материальных точек (тел) m, m, …, m определяется соотношением:
i
i
C
Здесь r - радиус-вектор, определяющий положение частицы m, m - масса системы. В системе координат Декарта проекция r на координатную ось ОХ равна:
Теорема о движении центра инерции системы материальных точек - прямое следствие закона сохранения импульса р, который является фундаментальным законом природы: импульс замкнутой системы материальных точек остается постоянным.
i
i
Из (1) и (3), учитывая, что V=dr/dt, следует:
VC=const
C
Из (4) формулируется теорема: . Центр инерции замкнутой системы материальных точек (тел) или покоится (V=0) или движется прямолинейно и равномерно.
1
1
2
1
0
к
Прибор для демонстрации этой теоремы состоит из двух или трех двуосных тележек (фиг. 1). Основная тележка 2 массой m, длиной 0,6-0,8 м устанавливается на поверхности демонстрационного стола 1. На тележке m распологается тележка 3 массой m, прикрепленная через две растянутые пружины к концевым опорам тележки m. Пружины с коэффициентом упругости  растянуты по длине в 2-3 раза и их деформация равна х. Важным условием успешной демонстрации прибора является уменьшение силы трения в осях вращения. Например, возможно использование шарикоподшипников, закрепленных на корпусе тележек. Чтобы кинетическая энергия вращения колес тележек была значительно меньше энергии их поступательного движения, колеса тележек желательно изготавливать из пластмассы.
0
пр
0
л
0
При относительном смещении тележек на обе тележки действуют в противоположных направлениях одинаковые результирующие силы. При проведении демонстрации пружины всегда должны находиться в растянутом состоянии, что возможно только при Δх<х. Если правая пружина растянута на Δх, то сила ее действия на тележки равна F=к(х+Δх), а сила действия левой менее растянутой пружины F=к(х-Δх). На обе тележки действует результирующая сила:
рез
пр
л
0
0
рез
F=F-F=к(х+Δх)-к(х-Δх)=2кΔх=кΔx.
Получаем, что
0
01
02
0
0
2
Определим потенциальную энергию пружин системы. Энергия пружин при начальной их деформации х равна W=W=W=кх/2.
пр
0
0
2
2
Изменение энергии правой пружины: ΔW=к(x+Δx)/2-кх/2.
л
0
0
2
2
Изменение энергии левой пружины: ΔW=к(х-Δх)/2-кх/2.
пр
л
Для изменения механической энергии системы ΔW=ΔW+ΔW, выполняя алгебраические преобразования, получаем:
2
2
рез
рез
или ΔW=2кΔх/2=кΔх/2, т.е. имеем такое же к=2к, как и в формуле (5). Формулу (6) можно получить и через работу сил, растягивающих пружины.
При проведении демонстрации силы тяжести, действующие на тележки, перпендикулярны поверхности стола и оси ОХ, поэтому относительно оси ОХ систему тележек (тел) можно считать условно замкнутой.
1
2
C
C
i
i
1
1
2
2
1
2
1
2
1А. Рассмотрим вариант, когда массы тележек одинаковы m=m=m. Из формулы (2) следует: центры инерции тележек будут находиться на одинаковом расстоянии от центра инерции системы x (фиг. 2). Если не удерживать тележки при растяжении правой пружины на Δх, то они будут совершать гармонические колебания около неподвижного центра инерции x. В соответствии с законом сохранения импульса p=ΣmV=mV+mV=0, откуда V=-V. Скорости тележек равны и противоположно направлены, что и наблюдается при этой демонстрации и соответствует закону сохранения импульса для двух тел одинаковой массы. Амплитуды колебаний обеих тележек равны: A=A=A=Δx/2.
1m
2m
m
По закону сохранения механической энергии: (V=V=V)
2
2
2
2
2
2
m
m
m
m
ΔW=кΔx=mV/2+mV/2=mV; кΔx=mV.
Максимальная скорость тележек равна:
m
Максимальная скорость связана с амплитудой А и частотой колебаний ω известным соотношением: V=A⋅ω.
Преобразуя формулу (7) в виде  имеем для частоты колебаний  и периода
к
Демонстрация наблюдается наиболее успешно при относительно небольших частотах колебаний, что достигается увеличением m и уменьшением .
Графики координат и скоростей тележек показам на фиг. 3а и фиг. 3б.
*
C
*
1Б. Если при растянутой правой пружине обеим тележкам одновременно сообщить незначительную скорость V вдоль оси ОХ, то, совершая колебания, тележки медленно движутся вдоль оси ОХ. В момент максимальной деформации пружин их скорости равны скорости движения центра инерции V=V. При демонстрации эти моменты можно отмечать фишками на демонстрационном столе. Этот вариант движения системы тележек (тел) показан на фиг. 3в.
C
m
1
1
2
2
C
2
1
1
C
1В. Если обеим тележкам одновременно сообщить скорость, равную максимальной их скорости V=V=V, то при демонстрации будет наблюдаться интересный эффект, показанный на фиг. 3г. В интервалах времени Δt тележка m движется с очень малой скоростью, а тележка m с наибольшей скоростью V=2V. И наоборот, в интервалах времени Δt тележка движется с очень малой скоростью, а тележка m с наибольшей скоростью V=2V. Тележки как бы передают скорость наибольшего движения друг другу.
1
2
С
1
2
C
1
2
i
i
1
1
2
2
1
1
2
2
1
2
1
2
1m
2m
2А. Рассмотрим вариант с разными массами тележек. Пусть m=2m (фиг. 4). Совместим начало координат с центром инерции х=0. Тогда , и используя соотношение (2) для центра инерции, имеем x=Δx/3, x=2Δх/3. Если не удерживать тележки при растяжении Δх, то они будут совершать гармонические колебания в противоположных направлениях около неподвижного центра инерции x. Их амплитуды будут равны: A=Δx/3 и А=2Δх/3. В соответствии с законом сохранения импульса: р=ΣmV=mV+mV=0, откуда mV=-mV и при m=2m получим 2V=-V. Максимальные скорости тележек V и V можно определить, используя закон сохранения энергии:
2
2
2
1
1m
2
2m
1
2
1
2
ΔW=кΔx=mV/2+mV/2. Учитывая, что m=2m и 2V=V,
получаем:  и
Частота колебаний тележек
С
Колебания тележек около общего неподвижного центра инерции х с разными амплитудами и разными скоростями показаны на графиках фиг. 5а и фиг. 5б, что и наблюдается при демонстрации.
2m
1
2
2
1m
2m
2Б. Если обеим тележкам одновременно при деформированной на Δх правой пружине сообщить скорость, равную V, то при демонстрации будет наблюдаться эффект, похожий на вариант 1В. В интервалах времени Δt (фиг. 5в) тележка m движется с очень малой скоростью, а тележка m с наибольшей скоростью V≈V+V.
1
2
3
Возможны различные варианты интересных демонстраций, если на основной тележке массой m расположить на растянутых пружинах две тележки с массами m и m (фиг. 6).
2
3
2
3
2
3
2
3
С
1
C
1
3А. Растянем пружины тележек 2 и 3 (при m=m) на одинаковые расстояния Δх в противоположных направлениях: Δх=-Δх. Если не удерживать тележки в этом положении, то они будут совершать гармонические колебания с амплитудами А=А=Δх=Δх=Δх около общего центра инерции х. При этом незакрепленная тележка 1 будет практически неподвижна: x≈x=const и V≈0.
2peз
рез
2
3pез
рез
3
C
C
3Б. Если растяжения пружин 2 и 3 различны , то на тележку 1 действуют со стороны пружин разные результирующие силы F=к⋅Δx и F=-к⋅Δх. При этом варианте все три тележки, не удерживаемые внешними силами, будут совершать колебательные движения около общего центра инерции x, но вся система перемещаться не будет: V=0=const!
2
3
*
С
1
*
C
3В. Рассмотрим вариант, при котором (после одинаковых и противоположных растяжений пружин тележек 2 и 3 Δх=-Δх) всем тележкам одновременно сообщается одинаковая скорость V вдоль оси ОХ. Тележки 2 и 3 будут совершать колебательные движения около центра инерции х, а сам центр инерции и тележка 1 будут двигаться равномерно вдоль оси ОХ со скоростью V=V=V=const. Вариант 3В, как и варианты 3А и 3Б, наглядно демонстрирует теорему о движении центра инерции замкнутой системы материальных точек (тел).
1
2
3
3Г. Возможны и другие варианты использования системы трех тележек. Например, при соотношении масс тележек 2m=m=m можно демонстрировать варианты 1А и 1В.
Дополнительные методические возможности использования прибора:
воз
рез
упр
тяг
воз
рез
рез
2
1. Колебания под действием упругой силы. Обычно для этой демонстрации используют пружинный маятник - тело, подвешенное на пружине. Возвращающая сила пружинного маятника равна сумме силы упругости и силы тяготения F=F=F+F=кх+mg. При закрепленной неподвижно тележке 1 тележка 2 после деформации пружин на Δх будет совершать гармонические колебания под действием только лишь упругой возвращающий силы F=F=-2кΔх=-кΔх. Частота колебаний , период . Изменяя массу тележки m, можно также показать зависимость периода колебаний от массы тела. При этой демонстрации желательно использовать экран с изображением оси ОХ (см. фиг. 7).
2
1
1
2
2
2. Механический резонанс. Если под действием внешней периодической силы тележка 1 совершает гармонические колебания вдоль оси ОХ, то тележка 2 будет совершать вынужденные колебания под действием упругих сил пружин. При частоте вынужденных колебаний тележки 1, близкой к частоте свободных незатухающих колебаний тележки 2 , установившаяся амплитуда колебаний тележки 2 А будет значительно больше A. Если A=2-3 мм, то амплитуда колебаний тележки 2 может составить A≈100-150 мм. Для этой демонстрации желательно использовать тележку 2 небольшой массы m.
Основной чертеж предлагаемого прибора показан на фиг. 8.