Вероятностная интерпретация дробных интегралов Кобера и Эрделйи-Кобера

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

ВЕРОЯТНОСТНАЯ ИНТЕРПРЕТАЦИЯ ДРОБНЫХ ИНТЕГРАЛОВ КОБЕРА И ЭРДЕЛЙИ-КОБЕРА Тарасова С.С.1, Тарасов В.Е.2

1Тарасова Светлана Семеновна - кандидат технических наук, доцент,

кафедра теории вероятностей и компьютерного моделирования, факультет информационных технологий и прикладной математики,

Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет); 2Тарасов Василий Евгеньевич - доктор физико-математических наук, ведущий научный сотрудник, Научно-исследовательский институт ядерной физики им. Д.В. Скобельцына Московский государственный университет им. М.В. Ломоносова,

г. Москва

Аннотация: в статье предлагается вероятностная интерпретация дробного интегрирования Кобера нецелого порядка. Доказывается, что дробный интеграл Кобера является оператором дилатации (растяжения) с бета-распределенным масштабированием с точностью до постоянного множителя. Дробные производные Кобера имеют аналогичную вероятностную интерпретацию. Дробный интеграл и производные Эрделйи-Кобера имеют вероятностную интерпретацию, согласно которой они являются операторами дилатации с непрерывно распределенным масштабированием.

Ключевые слова: теория вероятностей, бета распределение, дробное исчисление, интеграл Кобера, дилатация, масштабирование.

Дробными интегралами и производными называются операторы, являющиеся обобщениями стандартных интегралом и производных целого порядка на случай, когда порядок является произвольным числом [1, 2, 3, 4]. В современной математике известны разные типы дробных интегралов и производные нецелых порядков [1, 2, 3, 4]. Наиболее известными являются операторы, предложенные Лиувиллем, Риманом, Летниковым, Сониным, Вейлем, Риссом, Кобером, Эрделйи, Адамаром, Капуто [1, 2, 3, 4]. История теории дробных интегралов и производных включает более трехсот лет развития [5, 6, 7, 8]. Операторы нецелого порядка имеют широкое применение в разных науках (например, смотрите справочник дробному исчислению и его приложениям, которая будет опубликована в 2019 году в восьми томах [9]). Эти применения включают в себя явления релаксации и диффузии, пространственную нелокальность и затухающую память степенного типа, открытость систем и диссипацию, пространственную и частотную дисперсию степенного типа и многие другие.

Существуют различные интерпретации дробных производных и интегралов, такие как физическая интерпретация [10, 11, 12, 13, 14], геометрические интерпретации [13, 14, 15, 16, 17], экономическая интерпретация [18, 19, 20] и «информационная» интерпретация [21]. Важнейшее значение имеет вероятностная интерпретация дробных производных [22, 23] и дробных интегралов [24, 25].

В этой статье мы предлагаем вероятностную интерпретацию дробного интегрирования Кобера, предложенного Кобером [26] в 1940 году, как обобщение одного из самых известных дробных интегрирований Римана-Лиувилля.

Дробное интегрирование Римана-Лиувилля (КЪ) порядка а > 0 (см. уравнение 2.17 в [1, с. 42] и уравнение 2.1.1 в [4, с. 69]) определяется выражением

о + « )

где Г (а) - гамма-функция, а функция ф (I) считается измеримой на отрезке ( ОД) и удовлетворяющей условию | « (т) | (¿т < со. Для положительного целого о: = пЕИ дробный интеграл Римана-Лиувилля (1) совпадает (например, смотрите уравнение 2.6 в [1, с. 41] и уравнение 2.1.3 в [4, с. 70]) с п-кратным интегралом вида

•>0 •'О •'О

В качестве обобщения дробного интеграла Римана-Лиувилля (1) в 1940 году Кобером было предложено новое дробное интегрирование нецелого порядка [26]. Дробный интеграл Кобера (К) порядка а > О ([1, с. 246] и [4, с. 106]) определяется уравнением

где г| - вещественное число и а > О. Интегральный оператор (3) является ограниченным, если « (т) Е (О , со ) при 1 < р < со, и | > — 1 + 1 /р , [1,с. 323]. Для 1 = 0 , оператор (3) выражается через дробный интеграл Римана-Лиувилля (1) следующей формулой

Используя выражение 2.2.4.8 из [27, с. 296] в виде

гЬ

т"

/

-»о

где - бета функция, получаем

1 Г

г^(Л + 1,а)=г{г1 + а + 1).

Равенство (6) означает, что ядро интегрального оператора Кобера (3) можно интерпретировать как функцию плотности распределения вероятности с точностью до постоянного множителя (6). В вероятностной интерпретации дробного интеграла Кобера переменную т следует рассматривать как случайную величину.

Для того, чтобы дать вероятностную интерпретацию дробного интеграла Кобера, мы сделаем замену переменной. Определив новую переменную х = т / £ вместо переменной , мы можем представить дробный интеграл Кобера (3) в виде

Из уравнения (7) видно, что ядро интегрального оператора (7) может интерпретироваться как функцию плотности распределения вероятности для бета-распределения [28,29,30,31] с точностью до множителя (6). Функция плотности этого распределения определяется выражением

^

для х Е [ 0 , 1 ] и /*. Дх) = 0 для х £ [ 0 , 1 ] , а В (а,/?) - бета-функция. Отметим, что бета-распределение описывает долю суммы двух слагаемых, приходящуюся на каждое из них, если слагаемые являются случайными величинами, распределение которых описывается гамма-распределением. В результате дробный интеграл Кобера может быть представлен в виде

+ а + Г 1

№ ; 0+яФ)

Заметим, что интеграл (9) содержит ф (х Ь) вместо ф (х) . Это позволяет нам предложить интерпретацию, используя масштабирование (растяжение). Рассмотрим оператор растяжения (масштабирования, дилатации) [1, с. 86], [4, с. 11], который определяется уравнением

где х > 0. Оператор расширения (масштабирования) (10) описывает изменение масштаба. Известно, что растяжение евклидовых геометрических фигур меняет размер, но не форму этого рисунка. В физике и экономике дилатация является феноменом изменения масштаба процессов и объектов. Используя масштабный оператор (10), мы можем представить дробный интеграл Кобера в виде

0а-,0+тф)

Из уравнения (11) видно, что дробный интеграл Кобера (3) можно интерпретировать как усреднение дилатации по бета-распределению с точностью до числового множителя (6). В результате интерпретация дробных интегралов Кобера напрямую связана с теорией вероятностей.

Поскольку дробный интеграл Римана-Лиувилля (1) можно выразить через дробный интеграл Кобера с г| — 0 , который умножается на степенную функцию 1И, то мы можем использовать вероятностную интерпретацию и для дробного интегрирования Римана-Лиувилля.

В результате представление (11) позволяет утверждать, что дробный интеграл Кобера (3) является оператором дилатации с бета-распределенным масштабированием (растяжением) с точностью до постоянного множителя (6). Аналогично, можно дать вероятностную интерпретацию и дробной производной Кобера [4, с. 108].

Отметим, что в общем случае можно определять более общие виды операторов с непрерывно распределенным масштабированием (растяжением, дилатацией). Оператор расширения (масштабирования) с непрерывно распределенным масштабированием можно рассматривать как обобщение дробного интеграла Кобера. Обобщенный оператор дилатации с непрерывно распределенным масштабированием может быть определен уравнением

/СО /-СО

-'о 'О

где является функций плотности распределения вероятности, которая

удовлетворяет условию нормировки

)

Гз

В уравнении (12) предполагается, что функции ф (х) и (х) являются кусочно -непрерывными функциями, определенными на вещественной оси , для которых интеграл сходится.

Если функция плотности (х) описывает бета-распределение, то оператор (12) является дробным интегралом Кобера с точностью до численного множителя. В общем случае мы можем использовать другие виды распределений (например, см. [28,29,30,31]). Например, мы можем использовать распределение Вейбулла которое определяется функцией плотности

где коэффициент а> 0 определяет форму распределения, коэффициент в = Я- 1 1 а (Я > 0) определяет масштаб. Заметим, что это распределение впервые применено Розином и Раммлером для описания распределения частиц по размерам [32]. Мы можем использовать гамма-распределение, для которого функция плотности вероятности 2.

ехр (—Я х) х > 0,

Г

где коэффициент определяет форму распределения, и коэффициент определяет масштаб.

Отметим, что одним из примеров оператора (12), который обобщает интеграл Кобера (3), является дробный интеграл Эрделйи_-Кобера порядка а > 0 [4, с. 105], определяемый формулой

оЁКА+;^Р)

Оператор (16) ограничен для функций р (т) Е Ь р ( 0 , оо ) при 1<р<оо, если Т > -1 + 1 /(ра), [1, с. 246]. Для о=1 , оператор (16) принимает вид дробного интеграла Кобера (3). Оператор (16) может быть представлен уравнением (12) с точностью до числового множителя в виде

р (п + а + г 1

Обк;о+)

где функция плотности распределения вероятности определяется выражением

гЕК

При о = 1 функция плотности (18) описывает бета-распределение (8).

Из уравнений (17), (18) видно, что дробный интеграл Эрделйи-Кобера (16) можно интерпретировать как усреднение дилатации по распределению, плотность которого задается выражением (18), с точностью до числового множителя.

В результате дробные интегралы Кобера и Эрделйи-Кобера интерпретируются как операторами дилатации с непрерывно распределенным масштабированием.

Используя оператор дилатации (12), мы можем определить дробные интегралы и производные целых и нецелых порядков с непрерывно распределенной дилатацией (масштабированием). Например, производные целого порядка п Е И с непрерывно распределенной дилатацией могут быть определены как

/ОЭ

)

>о

где Г5(х) >0 - плотность распределения вероятности и р(п)(х) = йпр(х)/йхп.

Дробные производные и интегралы с непрерывно распределенной дилатацией (масштабированием) можно определить аналогично [33]. Например, в таких операторах дробная производная Капуто функции (или другой тип

дробных производных) может быть использована в уравнении (17) вместо производной р(п)(х С). Подробности смотрите в разделе 9 работы [33].

Мы полагаем, что предложенные дифференциальные и интегральные операторы, включая дробные интегралы и производные Кобера, могут быть использованы для описания эффектов масштаба в экономике, физике и других науках. Такие применения дробных интегралов и производных и их обобщений, которые включают

в себя непрерывно распределенное масштабирование (растяжение, дилатацию), могут

дать новые интересные результаты и привести к развитию дробного исчисления.

Список литературы

1. Самко С.Г., Килбас А.А., Марычев О.И. Интегралы и производные дробного порядка и некоторые приложения. Минск: Наука и Техника, 1987. 688 с.

2. Kiryakova V. Generalized Fractional Calculus and Applications. New York: Longman and J. Wiley, 1994. 360 p. ISBN: 9780582219779

3. PodlubnyI. Fractional Differential Equations. San Diego: Academic Press, 1998. 340 p.

4. Kilbas A.A., Srivastava H.M., Trujillo J.J. Theory and Applications of Fractional Differential Equations. Amsterdam: Elsevier, 2006. 540 p. ISBN: 978-0-444-51832-3

5. Летников А.В. Об историческом развитии теории дифференцирования с произвольным указателем // Математический Сборник. 1868. Том .3. № 2. С.85-112. [Электронный ресурс]. Режим доступа: http://mi.mathnet.ru/msb8048/ (дата обращения: 2019.01.14).

6. Ross B. The development of fractional calculus 1695-1900 // Historia Mathematica. 1977. Vol. 4. No. 1. P. 75-89. DOI: 10.1016/0315-0860(77)90039-8.

7. Tenreiro Machado J., Kiryakova V., Mainardi F. Recent history of fractional calculus // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2011. Vol. 16. № 3. P. 1140-1153. DOI: 10.1016/j.cnsns.2010.05.027.

8. Tenreiro Machado J.A., Kiryakova V. The chronicles of fractional calculus // Fractional Calculus and Applied Analysis, 2017. Vol. 20. № 2. P. 307-336. DOI: 10.1515/fca-2017-0017.

9. Handbook of Fractional Calculus with Applications. Edited by J.A. Tenreiro Machado. Volumes 1-8. Berlin: De Gruyter, 2019.

10. Нигматуллин Р.Р. Дробный интеграл и его физическая интерпретация // Теоретическая и математическая физика, 1992. Том 90. № 3. С. 242-251.

11. Рутман Р.С. О физических интерпретациях фрактального интегрирования и дифференцирования // Теоретическая и математическая физика. 1995. Том 105. № 3. С. 393-404.

12. Heymans N., Podlubny I. Physical interpretation of initial conditions for fractional differential equations with Riemann-Liouville fractional derivatives // Rheologica Acta, 2006. Vol. 45. № 5. P. 765-772.

13. Podlubny I. Geometrical and physical interpretation of fractional integration and fractional differentiation // Fractional Calculus and Applied Analysis, 2002. Vol. 5. № 4. P. 367-386. (arXiv: math/0110241).

14. Moshrefi-Torbati M., Hammond J.K. Physical and geometrical interpretation of fractional operators // Journal of the Franklin Institute, 1998. Vol. 335. № 6. P. 10771086. DOI: 10.1016/S0016-0032(97)00048-3.

15. Ben Adda F. Geometric interpretation of the differentiability and gradient of real order // Comptes Rendus de l'Academie des Sciences - Series I - Mathematics. 1997. Vol.326. No.8. P.931-934.

16. Podlubny I., Despotovic V., Skovranek T., McNaughton B.H. Shadows on the walls: Geometric interpretation of fractional integration // The Journal of Online Mathematics and Its Applications, 2007. Vol. 7. Article ID 1664.

17. Tarasov V.E. Geometric interpretation of fractional-order derivative // Fractional Calculus and Applied Analysis, 2016. Vol. 19. № 5. P. 1200-1221. DOI: 10.1515/fca-2016-0062.

18. Tarasova V.V., Tarasov V.E. Economic interpretation of fractional derivatives // Progress in Fractional Differentiation and Applications, 2017. Vol.3. No.1. P.1-7. DOI: 10.18576/pfda/030101 (arXiv:1712.09575).

19. Rehman H. U., Darus M., Salah J. A note on Caputo's derivative operator interpretation in economy // Journal of Applied Mathematics, 2018. Vol. 2018, Article ID 1260240, 7 pages DOI: 10.1155/2018/1260240.

20. Тарасова В.В., Тарасов В.Е. Микроэкономический смысл производных нецелого порядка // Наука и образование сегодня, 2017. № 8 (19). С. 32-39. [Электронный ресурс]. Режим доступа:: http://publikacija.ru/images/PDF/2017/19/Science-and-education-today-8-19.pdf / (дата обращения: 2019.01.14).

21. Tarasov V.E. Interpretation of fractional derivatives as reconstruction from sequence of integer derivatives // Fundamenta Informaticae, 2017. Vol. 151. № 1-4. P. 431-442. DOI: 10.3233/FI-2017-1502.

22. Tenreiro Machado J.A. A probabilistic interpretation of the fractional-order differentiation // Fractional Calculus and Applied Analysis, 2009. Vol. 6. № 1. P. 73-80.

23. Tenreiro Machado J.A. Fractional derivatives: Probability interpretation and frequency response of rational approximations // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2009. Vol. 14. № 9-10. P. 3492-3497. DOI: 10.1016/j.cnsns.2009.02.004.

24. Станиславский А.А. Вероятностная интерпретация интеграла дробного порядка // Теоретическая и математическая физика, 2004. Том 138. № 3. С. 491-507. DOI: 10.4213/tmf34.

25. Тарасова С.С., Тарасов В.Е. Теория вероятностей и интегралы распределенного порядка // Наука, техника и образование, 2018. № 2 (43). С. 5-8. (ISSN 2312-8267) DOI: 10.20861/2312-8267-2018-43-002.

26. Kober H. On fractional integrals and derivatives // The Quarterly Journal of Mathematics. Oxford Series. 1940. Vol.11. No.1. P.193-211. DOI: 10.1093/qmath/os-11.1.193.

27. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Том 1. Элементарные функции. Москва: Наука, 1981. 800 с.

28. Forbes C., Evans M., Hastings N., Peacock B. Statistical Distributions. Fourth Edition. Hoboken, New Jersey: John Wiley & Sons, 2011. 212 p. ISBN: 978-0-470-39063-4.

29. Королюк В.С., Портенко Н.И. Скороход А.В. Турбин А. Ф. Справочник по теории вероятностей и математической статистике. 2-ое издание. Москва: Наука, 1985. 640 с.

30. Кибзун А.И., Горяинова Е.Р., Наумов А.В. Теория вероятностей и математическая статистика. Москва: Физматлит, 2013. 232 с. ISBN: 978-5-9221-0836-2.

31. Тарасова С.С. Теория вероятностей в задачах авиационно-космической техники. Москва: Макс Пресс, 2018. 104 с. ISBN: 978-5-317-05780-0.

32. Rosin P., Rammler E. The laws governing the fineness of powdered coal // Journal of the Institute of Fuel, 1933. Vol.7 . P. 29-36.

33. Tarasov V.E., Tarasova S.S. Fractional and integer derivatives with continuously distributed lag // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation, 2019. Vol. 70. P. 125-169. DOI: 10.1016/j.cnsns.2018.10.014.