Численно-аналитическое моделирование электрических цепей

УДК 621.372.6

Л.А.Зинченко

ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ

Моделирование электрических цепей является основополагающей задачей при расчете и проектировании различных радиоэлектронных устройств. В настоящее время при всем разнообразии подходов к построению моделей в последние десятилетия наметилась тенденция перехода к макромоделям. Это объясняется постоянным усложнением цепей и широким распространением интегральных микросхем.

Под макромоделью обычно понимают такое описание системы, которое связывает только выделенные переменные. При этом остальные переменные исключаются из описания. Системы уравнений, описывающие функционирование современных схем, содержат большое число переменных, поэтому макромодельный подход позволяет существенно упростить задачу моделирования эксплуатационных характеристик.

В настоящее время не существует регулярных приемов, позволяющих исключить в системе п уравнений с п неизвестными внутренние переменные и перейти таким образом к макромодельному описанию. Поэтому возникает задача определения в общем случае нелинейного оператора, связывающего внешние переменные. Определение искомого оператора в численно-аналитическом виде позволяет, помимо упрощения модели, установить связей между параметрами схемы и ее эксплуатационными характеристиками. Определение этих соотношений в указанном виде позволяет решить задачу синтеза электрических цепей с заданными свойствами.

В литературе подробно рассмотрены приемы численного моделирования схем замещения электрических цепей. Решение задачи численно-аналитического моделирования электрических цепей с учетом линейных и нелинейных свойств схемы в настоящее время находится в стадии разработки.

Известно [1, 2], что передаточные характеристики линейных схем замещения с сосредоточенными параметрами являются дробно-рациональной функциями комплексной переменной р

n к

2 akP

H( p) = k=0-------

m (

ks 0 bkPk

к=0

где akbk — вещественные числа, зависящие от параметров схемы замеще ния;

n, m - степень числителя и знаменателя соответственно.

Задача численного моделирования частотных характеристик подробно рассмотрена в литературе [1]. На основании известных алгоритмов разработаны программа анализа частотных характеристик в численном виде с использованием метода LU-разложения с использованием алгоритма Краута и программа численно-символьного анализа частотных характеристик. Искомые коэффициенты дробно-рациональной функции определяются с использованием дискретного преобразования Фурье и метода LU-разложения с использованием алгоритма Краута.

Разработаны методики определения частотных характеристик в символьном виде с использованием новых информационных технологий.

Они реализованы в виде программ в среде MAPLE.

Изображение реакции y(t) на заданное произвольное воздействие x(t) по известной передаточной характеристике при нулевых начальных условиях определяется следующим соотношением [1,2]

Y

Во временной области связь реакции и входного воздействия определяется интегралом свертки да

y(t) = J h(S\r)x(t — T)dr

—да

где h(S)(t) - импульсная характеристика.

В работах [3-6] обоснованы приемы, позволяющие получить численноаналитическое описание электрических цепей в слабонелинейном режиме на основе рядов Вольтерра

n да да r г2 к

У(t) = 2 J ••• Jh(t,T1,T2,...,Tk)Пх1(т.п) ПХ2(т,)... Пх„,(тn)dTx..dTkгде

к=0 —да —да П=1 П= Г +1 П= rm-1 +1

h(t ,T 1,T 2,...,T к.) -функция, характеризующая свойства нелинейной

динамической схемы (ядра Вольтерра). Они являются многомерными

импульсными функциями [1]. Ряд Вольтерра является обобщением интеграла свертки на случай нелинейных динамических цепей.

Используя преобразование Лапласа для функции многих переменных, можно установить связь между изображениями реакции и воздействия

к П

у(д,Рг...Рк) = 2H(pl,p2,...,Рп) ПX(р,),

П=1 ,=1

где Н( Рр р2,..., РП ) - изображение ядра п-го порядка.

Коэффициент гармоник по второй гармонике определяется следующим соотношением при гармоническом воздействии [4]

К2 = 0.5^ Н(^,

\ Н

где Н(]Ш ,уш) - изображение ядра второго порядка при Р1 = р^ = уШ

Н(уШ ) - изображение ядра первого порядка при Р = у Ш .

При определении связи между параметрами схемы и ядрами Вольтерра можно оценить влияние элементов схемы на коэффициент нелинейных искажений.

В работе [5] рассмотрены приемы определения ядер Вольтерра на основе итераций Пикара. Они применимы только при слабонелинейном режиме работы.

В данной работе решение задачи численно-аналитического моделирования нелинейных динамических схем основано на решении нелинейного операторного уравнения в матричной форме

Н

методом Ньютона с использованием итераций Пикара. Итерационное выражение имеет вид

У

Д<к*(Р)=Н-1( рКО - у0(» - Н-1( Р)^( У0(0) - Н-1( Р)д у=у0 д(1к-1)(0 г

д

де у00 ) - начальное приближение к решению;

Д<0>(/) = 0.

Известно [7], что метод Ньютона отличается большей скоростью сходимости по сравнению с итерациями Пикара. При сильнонелинейном режиме работы схем для улучшения сходимости итераций необходимо выбирать и сильнонелинейное начальное приближение. Показано, что выбор сильнонелинейного начального приближения позволяет уменьшить количество итераций при сохранении заданной точности. Это позволяет получить

упрощенную модель в численно-аналитическом виде - виде полиномов Вольтерра-Пикара. Подобное представление позволяет довольно легко перейти к описанию нелинейных цепей на основе рядов Вольтерра и оценить нелинейные искажения.

Проиллюстрируем вышеизложенное на примере. Необходимо определить зависимость коэффициента нелинейных искажений для тока 1(1) от амплитуды входного воздействия в схеме (рис.1).

кривая 1 кривая 2 кривая 3

U m

рис.1 рис.2

Здесь: L=1 мГн, вольт-амперная характеристика нелинейного сопротивления

♦ ♦ 2

описывается следующим соотношением u = i + i . Схема находится при негармоническом воздействии e(t) = 1+ Um sin(1000t). На рис.2 приведены

графики зависимости коэффициента гармоник (для второй гармоники) от амплитуды входного воздействия при изменении последней в диапазоне 0.25-1 В. Кривая 1 рассчитана с использованием программы схемотехнического проектирования PSPICE 5.1 for WINDOWS. Кривая 2 определена на основе численно-аналитического выражения для коэффициент гармоник (по второй гармонике), полученного при использовании итераций Пикара при слабонелинейном начальном приближении [5]

K2 = 50 U 1

-^1+4(m L)2^5+(mL)2-4cos(arctg(m L))^1+(a>L)2

Кривая 3 рассчитана с использованием изложенного выше метода при сильнонелинейном начальном приближении. Коэффициент гармоник (по второй гармонике) определен в следующем численно-аналитическом виде

_____________________л/1+(m L)2125.5 Um__________________________

K =

где

дД+4(m L)2z(m)^43.7+6.3(mL)2-10z(m) cos(arctg(0.398rnL)) z(m) = д/6.3+(m L)2 .

Анализ представленных результатов позволяет сделать вывод, что метод Ньютона с использованием итераций Пикара при сильнонелинейном начальном приближении позволяет с достаточной степенью точности моделировать нелинейные динамические схемы при сильнонелинейном режиме работы.

На основе полученных результатов выполнено моделирование характеристик транзисторных аналогов негатронов. Для получения их характеристик в символьном виде была использована среда MAPLE V RELEASE 3 for WINDOWS.

1. Влах И., Синхгал К. Машинные методы анализа и проектированяи электронных схем. М.:Радио и связь, 1988. -580 с.

2. Попов В.П. Основы теории цепей. М.: Высшая школа, 1985. - 496 с.

3. Богданович Б.М. Нелинейные искажения в приемно-усилительных устройствах. М.: Связь, 1980. - 280с.

4. Данилов Л.В. Ряды Вольтерра-Пикара в теории нелинейных электрических цепей. М.: Радио и связь, 1987.- 224 с.

5. Chua L.O., Ng C.-Y. Frequency-domain analysis of nonlinear systems: general theory // IEEE J. Electronic Circuits and Systems. -1979. - Vol.3, N4. - p.165-185.

6. Богданович Б.М., Черкас Л. А. и др. Методы нелинейных функционалов в теории электрической связи. М.: Радио и связь, 1990. - 280 с.