Система автоматизации получения математического описания и численного интегрирования сложных моделей

УДК 519. 87

В.Е. Золотовский

СИСТЕМА АВТОМАТИЗАЦИИ ПОЛУЧЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОПИСАНИЯ И ЧИСЛЕННОГО ИНТЕГРИРОВАНИЯ СЛОЖНЫХ МОДЕЛЕЙ

Как правило, реальные физические системы представляют композицию большого числа объектов. Динамическое поведение каждого объекта описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений, поэтому моделирование сводится к решению общей системы дифференциальных уравнений. С ростом числа компонент, растет порядок общей системы и, следовательно, возрастает трудоемкость формирования и вычисления, полученной математической модели. Персональные компьютеры, как правило, не обеспечивают необходимое время моделирования, а суперкомпьютеры существенно повышают стоимость расчётов. Необходимую эффективность (минимальные затраты на моделирование за заданное время) могут обеспечить только многопроцессорные или многомашинные комплексы. Однако использование многопроцессорных вычислителей создает определенные трудности при программировании задачи. Решение данной проблемы предлагается проводить с помощью понятий и методов структурного моделирования.

Идеи структурного моделирования опираются на следующие принципы. Моделируемая система формируется как некоторое множество компонент, число которых соответствует количеству реальных физических объектов. Каждой подсистеме уравнений, описывающих состояние объекта, ставится определенное количество аппаратных ресурсов, в оптимальном случае каждому объекту ставится в соответствие один процессор системы. Таким образом, моделируемые подсистемы функционируют параллельно, и их взаимодействие обеспечивается за счет обмена данных в многопроцессорной системе. Данный подход отражает естественное функционирование системы и позволяет, во-первых, повысить скорость моделирования за счет параллельных вычислений, во-вторых, упростить программирование задач вследствие уменьшения сложности исходной системы.

Таким образом, моделирование сложной системы сводится к симуляции работы отдельных компонент этой системы и реализации процедур взаимодействия между ними.

Задача симуляции физических объектов методами структурного моделирования требует разработки алгоритмов и специального программного обеспечения, реализующих их. Ниже описывается программная система моделирования. Она имеет структуру, показанную на рис.1.

Далее отдельные модели компонуются в общую модель (систему уравнений). Полученная система уравнений, включающая уравнения обмена, размещается по процессорам в соответствии с архитектурой базового вычислителя. Чаще разбиение проводится по объектам на основе заданной

структуры моделируемой системы. Как будет показано ниже, существуют различные способы формирования математического описания исследуемой системы.

Рис. 1.

Полученная система уравнений решается при помощи численных методов. Поддержка нескольких численных методов позволит проводить оценку точности решения при минимуме затраченного времени. Моделирование сложных систем требует распределённого решения полученной системы уравнений на многопроцессорной или многомашинной системе. Для каждого отдельного процесса определяются его собственные условия завершения процесса моделирования. Ведущий процессор производит проверку условий завершения всех вычислителей, а также осуществляет сбор данных мониторинга. Результатом моделирования являются временные и фазовые графические зависимости параметров исследуемой системы.

Применение структурных принципов предполагает наличие библиотек предопределенных элементов. При этом процесс программирования заключается в композиции библиотечных элементов и определение функциональных связей.

Рассмотрим входной интерфейс системы моделирования. Как уже было сказано, входной интерфейс обеспечивает ввод решаемой задачи в систему. Традиционно основным средством описания исследуемой системы объектов является командный язык среды моделирования. Этот язык обладает высокой гибкостью и значительно облегчает описание больших однородных схем. Однако в системах структурного моделирования целесообразнее использовать

визуальный интерфейс графического ввода схемы. Данный способ позволяет скрыть сложность синтаксических конструкций командного языка, более нагляден и удобен, чем операторный способ описания систем. При вводе в систему моделирования больших сложных схем необходимо использовать принцип группировки моделей - иерархического представления схемы. Эти задачи успешно решаются при помощи визуального интерфейса.

При этом композиция схемы осуществляется из базового множества элементов системы моделирования (библиотеки элементов). Именно наличие библиотеки предопределённых элементов позволяет значительно сократить время описания больших схем.

Таким образом, входной интерфейс представляет собой редактор схемы компонент, позволяющий набирать схему из библиотечных элементов и определять связи и параметры элементов. Так же во входной интерфейс включается редактор библиотеки, позволяющий определять новые компоненты.

Рассмотрим способы представления моделей в системе структурного моделирования. Динамика поведения природных объектов описывается дифференциальными уравнениями. Взаимодействия между объектами могут быть описаны посредством алгебраических уравнений. Таким образом, поведение системы физических объектов, которая сама представляет собой некий физический объект, может быть описано с достаточной точностью системой дифференциально-алгебраических уравнений.

Рассмотрим способ построения описания физических объектов при помощи систем дифференциально-алгебраических уравнений. На рис. 2 представлена упрощенная модель системы, решающей задачу стабилизации положения площадки 2. Платформа 1 установлена на демпфирующем механизме. Площадка 2 связана с платформой 1 посредством стабилизирующего механизма 3.

А2

*х

Рис. 2.

На платформу 1 действует внешняя возмущающая сила, которая изменяет положение платформы. Задача стабилизирующего механизма сохранить положение и координату 70 площадки 2, при повороте платформы 1 на некоторый угол р относительно оси 0Х и угол в относительно оси 0У. Рассматриваемую физическую систему можно представить в виде 4-х моделей: платформа 1, площадка 2, стабилизирующий механизм 3 и модель, отражающая

внешнее воздействие. Необходимыми для описания положения платформы параметрами являются углы р, в, их производные, а так же центр тяжести платформы (на рис. 2 это центр координат). Аналогичные параметры вводятся для описания положения площадки р', в', р’, в’и Ъ0. Стабилизирующий механизм должен на основании связи с платформой формировать управляющее воздействие на площадку для того, чтобы поправлять (сохранять) её параметры.

Таким образом, описание модели физического объекта или подсистемы представляет собой две системы: дифференциальную, описывающую

поведение объекта в динамике, и алгебраическую, учитывающую взаимодействия данного объекта с другими объектами системы. Выделим вектор переменных объекта X, состоящего из двух компонент: Хё -

Г ха'

дифференциальной и ХЬ - линейной компоненты. X =

XX

Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение объекта, может быть представлена следующим образом X а = Р (X).

Система уравнений связи описывает набор параметров объекта 1, как функция от параметров объекта 2. Причем связь направлена от объекта 2 к объекту 1 XXI = Ь( X2).

На основании данных выражений формируется следующая структура объектов:

Объект №1

^ХИ =1_2(Х2

Объект №2

Объект №3

X а1 = Р!^!)

ХЬ2=1_1(ХД

X а2 = Р 2^2)

<Ь2=1_3

Площадка

к

Стабилизирующи й механизм ХИ=1_3

X аз = рз^з) Платформа

ХЬ3=1_3(Х4

Объект №4

X а4 = Р 4

Модель внешенй среды

Рис. 3.

Дифференциальная система описывает уравнения состояния, а линейная система - входные и выходные переменные. На основании вышеизложенного, получаем описание модели в виде вектора X (множество переменных состояния, входных и выходных переменных), а так же двух систем уравнений: дифференциальной X а = Р (X) и алгебраической ХЬ1 = Ь( Х2).

Данный способ представления моделей позволяет описать сложные системы простым и наглядным способом. Это описание является универсальным, что позволяет описывать системы, состоящие из компонент разной природы, например механических и электрических. Очевидно, что такое описание можно использовать, если существует соответствующая математическая модель, записанная в дифференциальной или алгебраической форме.

Структурный метод моделирования предполагает, что каждый объект представляется в форме законченной математической модели и в задачу стенда входит объединение их в единую систему. Здесь возможны следующие случаи. Соединяемые объекты обмениваются данными, вырабатываемые в каждом из

них. Математическое описание объектов задаётся в форме системы дифференциальных уравнений.

X = к | г, X, у

у = к21 г, X, у

где Х-неизвестные, определяемые в первом объекте;

Y-неизвестные, определяемые во втором объекте;

X -переменные, определяемые в первом объекте и воздействующие на второй;

У -переменные, определяемые во втором объекте и воздействующие на первый.

Второй случай возникает тогда, когда системы уравнений, описывающие их поведение, не являются замкнутыми, т.е. одна или несколько переменных входят в один или несколько взаимодействующих объектов и требуются дополнительные преобразования исходных моделей для исключения общих переменных. Рассмотрим, как происходит обмен в рассматриваемом случае. Для простоты изложения будем считать, что оба объекта имеют только одну общую переменную (см. рис. 4).

х=у,г

Объект №1 Объект №2

у=х,г Рис. 4

Системы уравнений, каждого объекта по форме идентичны, за исключением того, что в описании каждого из них содержатся уравнения, в которые входит неопределённая переменная.

X * = к,*

Ры

у * = к*

у П = Р2„

г## * * /*’

- неопределённая переменная, хп = уп - общие переменные.

Последние уравнения каждой из систем обеспечивают однозначное определение неизвестной 7. Эти уравнения могут рассматриваться как уравнения связи объектов. Наиболее простой способ заключается в исключении переменной Ъ из систем уравнений (2а) и (2б). Однако это требует включения в программную оболочку специального модуля символьной обработки. Однако во многих случаях разрешить уравнения относительно Ъ невозможно, поэтому лучшим решением является численное нахождение Ъ в ходе вычислений.

Таким образом, система связывания обеспечивает автоматическое построение как математического описания моделей, так и их численное интегрирование.