Упругий потенциал резинокордного монослоя

УДК 531

С.В. Шешенин, И.М. Закалюкина*, К.А. Скопцов

ФГБОУВПО «МГУ имени М.В. Ломоносова», *ФГБОУВПО «МГСУ»

УПРУГИЙ ПОТЕНЦИАЛ РЕЗИНОКОРДНОГО МОНОСЛОЯ

Идея, лежащая в основе моделирования больших упругих деформаций ре-зинокордных материалов, основана на использовании упругого потенциала для анизотропной среды. Предложен способ построения упругого потенциала для ре-зинокордного слоя. Резинокордный слой можно рассматривать как трансверсаль-но-изотропный. Поэтому возникает вопрос о числе независимых инвариантов, тип которых необходимо определить.

Предложен один из способов выбора множества инвариантов. Выбраны некоторые инварианты такие же, как в изотропном случае, просто потому, что группа трансверсальной-изотропии принадлежит к группе изотропных преобразований. Затем к этим трем инвариантам добавлены два других инварианта, специфических для трансверсальной изотропии.

После этого сформулирована форма потенциала. Затем предложен численный метод нахождения параметров потенциала, основанный на использовании решений так называемых локальных задач. Последние формулируются для ячейки периодичности резинокордного слоя.

Ключевые слова: гомогенизация, упругий потенциал, большие деформации, резинокордный композит, нелинейность, конечно-элементный анализ.

При проектировании элементов конструкций, содержащих резинокордные слои, приходится проводить множество экспериментов, что занимает много времени и довольно ресурсоемко. Оптимизировать процесс можно, заменив механические эксперименты численными. При моделировании «в лоб» возникает проблема, поскольку количество конечных элементов, на которые необходимо разбить весь резинокордный слой с учетом структуры, слишком велико даже для современных вычислительных машин. Чтобы сократить число элементов, используют гомогенизацию резинокордных слоев. Для многих задач вполне допустимо предположение о малости деформаций резинокордного слоя и применимости для описания его осредненных свойств закона Гука [1—4]. Однако при экстремальных искажениях формы деформации в резинокордных слоях достигают достаточно больших значений. В таком случае геометрическое и физическое описание резинокорда должно быть нелинейным [5, 6]. Для резинокорда модули упругости могут отличаться в тысячи раз, поэтому встает задача разработки адекватного упругого потенциала анизотропного материала и методики определения его параметров. Численные эксперименты позволяют заменить реальные эксперименты, часть из которых затруднительно реализовать.

Рассматривается резинокордный монослой, сечение ячейки периодичности в котором близко к квадратному. Тогда осредненный материал приближенно можно считать трансверсально-изотропным. Для гиперупругого материала напряжения определяются как производные от потенциала по соответствующим компонентам меры деформаций [7—8]

100

@ Шешенин С.В., Закалюкина ИМ., Скопцов К.А., 2013

^ = 2 Щ:

где Sj — компоненты 2-го тензора напряжений Пиолы — Кирхгофа; W —гиперупругий потенциал; C j — компонента меры деформаций Коши — Грина. Потенциал W выражается через инварианты тензора деформаций. Для изотропных материалов потенциал является функцией от трех инвариантов ортогональных преобразований. Например, W = W (I, (c), I2 (c), I3 (c)) или

W = W(I (c),I2 (c), J), где I (c) = Cu + C22 + C33, I2 (c) = |(i,2 -1, (c2)),

I3 (c) = J2, J = detf, а f суть градиент деформации [7, 8]. Чтобы разделить свойства материала на сдвиг и объемное деформирование, вводят девиатор

2 _ _2

меры деформаций следующим образом c = J 3c . Тогда 11 = I, (c) = J 31,,

_ 4

12 = I2 (c) = J 312 [7]. Потенциал можно в общем случае записать как

W = Wh р,I2) + Wvol

Резина при деформациях, не превышающих 20 %, может быть хорошо описана потенциалом Муни, имеющим две константы

Wsh = %

где с10, с01 — материальные параметры. «Объемная» составляющая потенциала часто принимается в виде квадратичного потенциала

Wvol

где K — модуль объемного сжатия.

Моделирование упругой анизотропной среды при больших деформациях может быть основано на использовании упругого потенциала, разработанного для соответствующего типа анизотропии. Как уже отмечалось, в случае изотропной среды инварианты являются таковыми по отношению к любому ортогональному преобразованию системы координат. Потребность именно в таких инвариантах может быть объяснена следующим образом. Очевидно, что правая часть в определяющем соотношении должна выглядеть одинаково в любой декартовой системе координат вследствие изотропии материала. Различные декартовы системы координат связаны ортогональными преобразованиями, образующими группу преобразований, соответствующих изотропии. Следовательно, правая часть должна зависеть от величин, которые инвариантны при ортогональных преобразованиях. Число алгебраически независимых инвариантов равно трем.

Аналогичное рассуждение справедливо для анизотропной среды. Например, трансверсально-изотропной. Согласно определению трансверсаль-но-изотропная среда имеет ось трансверсальной изотропии. Направление оси трансверсальной изотропии обусловлено внутренней структурой материала. Эту ось можно принять за одну из осей декартовой системы координат. Две другие оси ортогональны между собой и ортогональны оси трансверсальной изотропии. Определяющее соотношение должно иметь одинаковый вид в

любой системе координат, полученной из системы, связанной с осями транс-версальной изотропии при помощи преобразований, входящих в группу преобразований трансверсальной изотропии. Этими преобразованиями являются любые повороты относительно оси трансверсальной изотропии и отражения относительно координатных плоскостей, поэтому правая часть в уравнении состояния должна зависеть от величин, инвариантных относительно преобразований трансверсальной изотропии. Если правая часть зависит только от меры деформаций Коши — Грина, то она может зависеть только от пяти инвариантов этого тензора относительно группы преобразований трансверсальной изотропии.

Однако множества независимых инвариантов могут быть выбраны по-разному и все такие наборы независимых инвариантов могут быть получены друг от друга. Выбор множества инвариантов — это в определенной степени вопрос удобства. Кажется, удобно выбрать некоторые инварианты такими же, как и в изотропном случае. Если принять, что ось трансверсальной изотропии направлена вдоль оси 3 декартовой системы координат, то можно выбрать следующий набор независимых инвариантов

I (С) = Си + С22 + С33, 12 (С) = 2(I,2 -11 (с2)), 13 (С) = 3, А (С Ы С,23 + с2з, 15 (С ) = С33.

Эти инварианты действительно имеют одинаковый вид в любой системе координат, полученной с помощью преобразований трансверсальной изотропии. С другой стороны, не любая система координат может быть получена с помощью таких преобразований. Следовательно, целесообразно переписать инварианты 14 (С), 15 (С) в виде, инвариантном относительно любых преобразований, а не только преобразований из группы трансверсальной изотропии. Например, инвариант 15 (С) может быть представлен в виде 15 (С ) = к3ск3, где к3 — единичный вектор, направленный вдоль оси 3. Инвариант 14 (С) так же может быть записан в форме, инвариантной относительно любого преобразования, а именно 14 (С) = ^15 (С2)-152 (С).

Следующим возникает вопрос о том, какую форму выбрать для потенциала, чтобы он описывал резинокордный монослой в среднем. Согласно предыдущим соображениям, его можно выбрать как потенциал для трансвер-сально-изотропной среды. Поскольку резинокорд состоит из изотропной резины и волокон, то представим потенциал в виде суммы изотропной части и дополнительных членов, учитывающих наличие волокон. Наиболее простым представляется следующая формула для потенциала

г =

«Изотропная часть» может быть взята в виде потенциалов (2)—(4). Поскольку деформации продольного сдвига, а тем более растяжения — сжатия малы, то

а 12

можно принять Wr л (14) = — 142, WL (15) = — Ь (15 -1) . Для волокнистого мате

риала выбранная выше форма потенциала соответствует представлению всей энергии деформации в виде суммы энергии, аккумулированной в матрице, и энергии, запасенной в волокнах.

Теперь нужно понять, как определять материальные параметры c10, c01, K, a, b. Первый подход состоит в реализации идеи о том, что модули упругости, вычисляемые в рамках теории малых деформаций, должны совпадать с модулями упругости гиперупругого материала при стремлении деформаций к нулю. Модулями упругости гиперупругого тела называется тензор ce, который входит в определяющее соотношение в скоростях относительно параметра нагружения

s = cE : c,

ге о d2W

причем L..kl = 2-. Поэтому должно выполняться соотношение

j dCpdCk,

2 dW

dCpdCki 'Jkl ' ^

где I — единичный тензор, соответствующий нулевым деформациям; Cml1 — модули упругости при малых деформациях, когда определяющим соотношением является линейное соотношение закона Гука.

Уравнение приводит к следующим соотношениям:

4/3* c10 + 4/3* c01 + K = (« C222f );

4/3* c10 + 4/3* c01 + K + b = CmH;

_?/3*c _ 2/3*c + к = Csmal1 Csmall\ •

10 ^01 т Л _ ^1133 ^2233 )>

small small

10 01 1313 2323

c + c = Csmal1

^10 ^^01 _ M212 •

Модули в правой части уравнений — это трехмерные модули резинокорда при малых деформациях. Способ их вычисления разработан, например в [9]. Таким образом, параметры c10 + c01, K, a, b могут быть определены из этих уравнений. Поскольку модуль волокна существенно больше модулей резины, то второе уравнение приводит к тому, что b = . Сумма c10 + c01 находится из последнего уравнения, константа a — из предпоследнего. Модуль объемного сжатия K можно найти из первого и третьего уравнений. Чтобы найти отношение параметров c10/c01, можно провести численное моделирование опыта на поперечный сдвиг резинокордного слоя.

Более точный подход к определению материальных параметров основан на их вычислении с использованием решения так называемых задач на ячейке. При этом можно найти одновременно константы гиперупругого потенциала и

С small ^

ijkl , решая локальные задачи на ячейке периодичности. Действительно, резинокордный монослой можно с достаточной точностью представлять как периодическую структуру. Вычисления на ячейке можно рассматривать как численную замену реального теста [10].

Нагружая ячейку периодичности различными типами нагрузки, можно получить эффективные диаграммы нагружения, связывающие средние напряжения и деформации для каждого вида нагружения. Можно получить диаграмму нагружения для того же типа нагружения, исходя из потенциала. Аппроксимируя экспериментальную диаграмму нагружения (полученную с

помощью численного эксперимента) кривой, полученной исходя из упругого потенциала, можно получить соотношение для определения неизвестных материальных параметров. Следовательно, нужно использовать столько диаграмм (различных нагружений), чтобы найти все материальные параметры.

Опишем кратко проведенные вычисления на ячейке. Первый тест — эксперимент на поперечный сдвиг в координатной плоскости 1-2 вдоль направления 1 (ось 2 направлена поперек слоя). В этом нагружении существенные компоненты тензора с имеют вид С22 =1 + у2, С12 = у. Напряжение сдвига £12 как

( (

функция деформации сдвига у, выражается S12 = 2c10 у

1 + Y. 3 J

+ 2coiY

i+2Г

или $12 = Gy + g3y . Константу g3 следует находить из сравнения теоретической и экспериментальной кривых при сдвиге для нормального напряжения Б22, равного Б22 = -g3у2. Затем можно определить модуль сдвига G = 2(с10 + с01) из сравнения диаграмм для сдвигового напряжения £12.

1 С 3

Поскольку с10 = — (2С - 3g3), с01 = —— + —g3, то параметры потенциала Муни

полностью определяются из опыта на поперечный сдвиг.

Следующий опыт состоит в растяжении-сжатии резинокорда вдоль оси 1 при фиксированном размере в направлении оси 2. В таком случае компонентой меры деформаций с, отличающей его от единичного тензора, является только С11 = (1 + в)2. Нормальное напряжение равно

4 -8 8 -10 в

£и = — с10в(в + 2)(в +1) 3 + —с01в(в + 2)(в +1) 3 + К-. Сравнение экспери-

3 3 1 + в

ментальной и аппроксимирующей диаграмм для £п позволяет определить параметр К .

Остается определить параметр а, что можно сделать из опыта на продольный сдвиг, например в плоскости 1—3. Существенными компонентами тензора с

i „2\

являются: C11 =1 + у2, C13 = у. При этом S13 = 2c10у

1 J-

2

3 + 2co1Y 3 J v

1+

-ay.

Эта формула позволяет определить последнюю константу упругого потенциала.

Таким образом, оказывается возможным вычислить все материальные параметры, необходимые для задания трансверсально-изотропного упругого потенциала, моделирующего осредненное поведение резинокорда при конечных деформациях. Проведенные вычисления показали, что предлагаемая методика обеспечивает хорошую точность.

Примечание. Работа выполнена при поддержке грантов АФГИР 30017 и РФФИ 13-01-00688.

Библиографический список

1. Akasaka T. Structural mechanics of radial tires. Rubber Chemistry and Technology 1981, vol. 54, no. 3, pp. 461—492.

2. Ridha R.A., Clark S.K. Tire stress and deformation. Mechanics of Pneumatic Tires. Washington, D.C., 1981, pp. 475—540.

3. Sheshenin S.V, Margaryan S.A. Tire 3D Numerical Simulation. Int. J. Comput. Civil and Struct. Eng. 2005, no. 1, pp. 33—42.

4. Шешенин С.В. Трехмерное моделирование шины // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2007. № 3. С. 13—21.

5. England A.H. Finite Elastic Deformations of a Tyre Modelled as an Ideal Fibre-Reinforced Shell. Journal of Elasticity. 1999, vol. 54, no. 1, pp. 43—71.

6. Petrikova I., Marvalova B., Prasil L. Modelling of Mechanical Properties of Cord-rubber Composites. In Proceedings of the 48th International Scientific Conference on Experimental Analysis. 2010, pp. 325—332.

7. ЧерныхК.Ф. Нелинейная теория упругости. Л. : Машиностроение, 1986.

8. Bonet J., Wood R.D. Nonlinear continuum mechanics for finite element analysis. Cambridge : Cambridge University Press. 1997.

9. Определяющее соотношение резинокорда при трехмерном напряженном состоянии / С.В. Шешенин, П.Н. Демидович, П.В. Чистяков, С.Г. Бахметьев // Вестник Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2010. № 3. C. 33—35.

10. Шешенин С.В., СавенковаМ.И. Осреднение нелинейных задач в механике композитов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Математика. Механика. 2012. № 5. С. 58—61.

Поступила в редакцию в сентябре 2013 г.

Об авторах: Шешенин Сергей Владимирович — доктор физико-математических наук, профессор кафедры механики композитов механико-математического факультета, ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова» (ФГБОУ ВПО «МГУ им. М.В. Ломоносова»), 119991, г. Москва, Ленинские Горы, д. 1, 8(495)939-43-43, sheshenin@mech.math.msu.su;

Закалюкина Ирина Михайловна — кандидат физико-математических наук, доцент кафедры теоретической механики и аэродинамики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8(499)183-24-01, irina.zakalyukina@mail.ru;

Скопцов Кирилл Александрович — аспирант кафедры механики композитов механико-математического факультета, ФГБОУ ВПО «Московский государственный университет имени М.В. Ломоносова» (ФГБОУ ВПО «МГУ им. М.В. Ломоносова»), 119991, г. Москва, Ленинские Горы, д. 1, 8(495)939-43-43, arbrk1@ gmail.com.

Для цитирования: Шешенин С.В., Закалюкина И.М., Скопцов К.А. Упругий потенциал резинокордного монослоя // Вестник МГСУ. 2013. № 11. С. 100—106.

S.V. Sheshenin, I.M. Zakalyukina, K.A. Skoptsov

ELASTIC POTENTIAL FOR RUBBER-CORD PLY

The idea of large elastic strain simulation for rubber-cord materials is based on the usage of elastic potential for anisotropic media. The article provides a method of formulating the elastic potential for rubber-cord ply. The rubber-cord ply can be considered as transversally-isotropic. So the question about the number of independent invariants arises. Also it is necessary to determine the type of these invariants.

In case of isotropic media, invariants are functions of strain components and are invariant in regard of any orthogonal coordinate system transformation. In case of trans-versally-isotropic material, the group of transformations is different. Indeed, the constitutive law should look the same in any coordinate system that is obtained by some transformations from the specific coordinate system related to material structure. One of its axes is directed in cord direction and two others lie in the orthogonal plane. These transformations are any rotations around the first axis and reflections in the orthogonal coordinate plane. Right-hand side of the constitutive equation must depend only on invariables that are invariant in regard to any such transformations. Therefore, if right-hand

BECTHMK 11/2013

MfCY_11/2013

side depends on Cauchy-Green strain components, then it must depend on its invariants of the type described.

It is known that there are maximum five algebraically independent invariants in case of transversal isotropy. Of course, the set of independent invariants can be chosen different ways and all such sets can be derived algebraically from each other. In some way the choice of the invariants set is just a question of convenience. One of the sets is suggested in this paper. It seems convenient to choose some invariants same as in isotropic case just because the group of transversally-isotropic transformations belongs to the group of isotropic transformations. Then these three invariants are added by two other invariants specific for transversal isotropy.

After that the potential is formulated. Then numerical method for the potential material parameters determination is suggested. The method exploits the solutions of so-called local problems formulated in the rubber-cord periodical cell.

Key words: homogenization, elastic potential, large strains, rubber-cord composite, non-linearity, finite-element analysis.

References

1. Akasaka T. Structural Mechanics of Radial Tires. Rubber Chemistry and Technology. 1981, vol. 54, no. 3, pp. 461—492.

2. Ridha R.A., Clark S.K. Tire Stress and Deformation. Mechanics of Pneumatic Tires. Washington D.C., 1981, pp. 475—540.

3. Sheshenin S.V., Margaryan S.A. Tire 3D Numerical Simulation. Int. J. Comput. Civil and Struct. Eng. 2005, no. 1, pp. 33—42.

4. Sheshenin S.V. Trekhmernoe modelirovanie shiny [3D Tire Simulation]. Izvestiya RAN Publ. Mehanika tverdogo tela [Mechanics of Rigid Body], 2007, no. 3, pp. 13—21.

5. England A.H. Finite Elastic Deformations of a Tyre Modelled as an Ideal Fibre-Reinforced Shell. Journal of Elasticity. 1999, vol. 54, no. 1, pp. 43—71.

6. Petrikova I., Marvalova B., Prasil L. Modelling of Mechanical Properties of Cord-rubber Composites. Proceedings of the 48th International Scientific Conference on Experimental Analysis. 2010, pp. 325—332.

7. Chernykh K.F. Nelineynaya teoriya uprugosti [Non-Linear Theory of Elasticity]. Leningrad, Mashinostroenie Publ., 1986.

8. Bonet J., Wood R.D. Nonlinear Continuum Mechanics for Finite Element Analysis. Cambridge University Press, Cambridge, 1997.

9. Sheshenin S.V., Demidovich P.N., Chistyakov P.V., Bakhmet'ev S.G. Opredelyayush-chee sootnoshenie rezinokorda pri trekhmernom napryazhennom sostoyanii [Rubber-Cord Constitutive Law in 3D Stress State]. Vestnik Moskovskogo universitetata. Seriya 1. Matema-tika. Mekhanika [Moscow University Bulletin. Series 1. Mathematics. Mechanics]. 2010, no. 3, pp. 33—35.

10. Sheshenin S.V., Savenkova M.I. Osrednenie nelineynykh zadach v mekhanike kom-pozitov [Homogenization for Non-Linear Boundary Problems in Mechanics]. Vestnik Moskovskogo universitetata. Seriya 1. Matematika. Mekhanika [Moscow University Bulletin. Series 1. Mathematics. Mechanics]. 2012, no. 5, pp. 58—61.

About the authors: Sheshenin Sergey Vladimirovich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Department of Composite Mechanics, Faculty of Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University (MGU), 1, Leninskie Gory, Moscow, 119991, Russian Federation; +7 (495) 939-43-43; sheshenin@mech.math.msu.su;

Zakalyukina Irina Mikhaylovna — Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, Department of Theoretical Mechanics and Aerodynamics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; +7 (499) 183-2401; Irina.zakalyukina@mail.ru;

Skoptsov Kirill Aleksandrovich — postgraduate student, Department of Composite Mechanics, Faculty of Mechanics and Mathematics, Lomonosov Moscow State University (MGU), 1, Leninskie Gory, Moscow, 119991, Russian Federation; +7 (495) 939-43-43; arbrk1@gmail.com.

For citation: Sheshenin S.V., Zakalyukina I.M., Skoptsov K.A. Uprugiy potentsial rezino-kordnogo monosloya [Elastic Potential for Rubber-Cord Ply]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 11, pp. 100—106.