Modeling of wave phenomena in periodic structures

Моделирование волновых явлений в структурированных средах

М.В. Айзенберг-Степаненко, Е.Н. Шер1

Университет им. Бен-Гуриона, Беер-Шева, 84715, Израиль 1 Институт горного дела СО РАН, Новосибирск, 630091, Россия

Приведены результаты физического и математического моделирования процессов распространения упругих волн в породном массиве блочного строения. Экспериментально получены характеристики маятниковых волн в зависимости от параметров образцов. Показано, что простейшая модель — периодическая цепочка масс и пружин — описывает качественную картину распространения маятниковых волн. Исследованы волноводные свойства периодических моделей блочных сред различного строения: полосовые фильтры, распространение импульсов и вибраций в зонах пропускания и непропускания, резонансные явления. Рассчитаны пространственно-локализованные волны, распространяющиеся без затухания в двумерной модели блочной среды — прямоугольной решетке — в направлении линейного дефекта.

Modeling of wave phenomena in periodic structures

M.V. Ayzenberg-Stepanenko and E.N. Sher1

Ben-Gurion University of the Negev, Beer-Sheva, 84715, Israel 1 Institute of Mining SB RAS, Novosibirsk, 630091, Russia

The results of physical and mathematical modeling of elastic wave propagation in rock with block structure are given. The main pendulum wave characteristics are obtained experimentally depending on sample parameters. It is shown that the simplest periodic mass-spring model allows qualitative description of pendulum wave propagation. The waveguide properties of various block-periodic models are analyzed: band gaps, pulse and vibration propagation within the pass and stop bands, resonance phenomena. We calculate spatially localized waves propagating without attenuation along a linear defect in a rectangular lattice.

1. Введение

До последнего времени в геомеханике и геофизике широкое применение имеет теория деформирования породного массива как однородной среды, динамика которой описывается хорошо разработанной линейной теорией распространения упругих волн. На базе этой теории построены методологические основы расчета напряженного состояния горных пород вблизи выработок, обработки сейсмических данных и интерпретации сейсмологической информации в разведочной геофизике и горном деле.

Серьезный повод к пересмотру сложившихся взглядов (или, по крайней мере, к необходимости их существенного дополнения) дают результаты последних двух десятилетий, свидетельствующие о необходимости учета в математических моделях, предназначенных для геомеханики и сейсмики, блочного строения горных пород.

1.1. Блочная структура породного массива

За последнее время в Институте горного дела СО РАН выполнен большой комплекс натурных исследований по изучению особенностей горного давления, проявляющихся при отработке месторождений полезных ископаемых на больших глубинах, а также реакции горных пород на взрывные воздействия различной мощности. На развитие этих исследований большое влияние оказала фундаментальная концепция блочно-иерархического строения объектов геосреды [1]. Согласно этой концепции горный массив представляет собой систему вложенных друг в друга блоков разного масштабного уровня. Анализ размеров блоков в масштабах от кристаллов, фракций породного массива до геоблоков земной коры показал, что отношение размеров блоков, соседних по масштабу, а = 1Н+1 / 1Н, обладает определенной устойчивостью, хотя однозначного определения

© Айзенберг-Сгепаненко М.В., Шер Е.Н., 2007

этого коэффициента среди ученых нет: например, по данным [1] а ~ 2.5, по данным же [2] а ~ 1.4.

Другим важным экспериментально найденным статистическим инвариантом блочной структуры является |1, отношение толщины прослойки между блоками одного масштаба к характерному размеру блока. Было, например, найдено [2], что для пород рудников Норильска М, ~ (0.5...2) • 10-2.

Часто прослойки между блоками представлены более слабыми, трещиноватыми породами. Наличие таких податливых прослоек приводит к тому, что деформирование блочного массива как в статике, так и в динамике происходит в основном за счет деформации прослоек.

Настоящая статья нацелена на построение блочных моделей динамики породного массива, способных качественно (по крайней мере) описать волны маятникового типа (ниже маятниковые волны) и другие волновые эффекты, обязанные своим проявлением дискретности проводящей среды.

1.2. О моделях динамики породного массива

Отметим, что понимание необходимости привлечения блочных моделей к описанию динамики массива возникло достаточно давно. Так, например, на первых страницах работы [3] в главе, посвященной механическим моделям твердого тела, приводится пример простейшей периодической дискретной модели — одномерной атомной кристаллической решетки: точечные частицы одинаковой массы М, соединенные упругими безынерционными пружинами жесткости g. Скорость длинноволновых возмущений С = у[^М (впервые полученная в [3]) применительно к системе с относительно массивными блоками и податливыми прокладками может оказаться на порядки меньше, чем скорость волн (объемных или сдвиговых) в материале блока. Надо, однако, сказать, что эта модель служила авторам [4] примером дисперсии волн в атомной решетке и не была предназначена для описания динамики блочного породного массива. Как будет показано ниже, именно эта модель оказывается способной не только вполне адекватно описать качественные особенности маятниковой волны, но и быть хорошей основой для построения иерархических моделей блочных сред более сложного строения.

В последнее время наблюдается растущий интерес исследователей в смежных областях геомеханики, геофизики и инженерной сейсмологии к использованию дискретных моделей для описания породного массива [5-10]. Как новое научное направление динамические аспекты физической мезомеханики массива, включая глобальные вопросы физики землетрясений, успешно разрабатываются в [11-15].

Математическое моделирование нестационарных процессов в массиве блочного строения встречает ряд естественных трудностей. Компьютерные модели, нацеленные на адекватное описание конкретной структуры,

сградаюг огсугсгвием общности, полученные с их помощью результата зачасгую не позволяюг усгановигь физические следствия изучаемых явлений. В свою очередь, простые модели, позволяющие привлечь для своего анализа богагый опыг решения нестационарных задач в конгинуальных средах, ограничены рядом жестких гипогез (периодичносгь, линейносгь, пониженная размерность модельных задач и г.д.) и гребуюг экспериментального гесгирования для оценки пределов приме-нимосги модели и получения эффекгивных управляющих парамегров. Ниже, основываясь на данных экспериментов, мы сгроим огносигельно просгые модели, позволяющие получигь аналигические решения для большинства рассматриваемых задач.

1.3. Маятниковые волны

Могивацией к насгоящему исследованию часгично послужили эксперименгальные и георегические резуль-гагы, полученные в рабогах [16-26], в часгносги, выявление волн «маягникового гипа», огвегсгвенных за передачу колебаний в сисгеме массивных блоков и подаг-ливых прослоек. Огличигельными особенносгями маяг-никовых волн являюгся их огносигельно большая длина, малая скоросгь распросгранения (сущесгвенно меньшая, чем скоросги волн в материале блока) и огносигельно слабое загухание в массиве [17-20]. При ма-гемагическом моделировании распросгранения маягни-ковых волн [23, 24, 26] использовался мегод Л.И. Сле-пяна [27] двумерных интегральных преобразований с асимпгогическим обращением изображений на луче x = C*t (где C* — скоросгь длинной волны), а блочная среда (как и в рабогах [28, 29], прямо не связанных с анализом маягниковых волн) предсгавлялась одномерными периодическими сгрукгурами. Ниже полученные в [23, 24, 26] результата будуг сущесгвенно использованы при сравнении моделей различного блочно-иерархического сгроения массива.

1.4. Волноводные свойства периодических структур

Несмогря на очевидную ограниченносгь периодических сгрукгур в описании реальных объектов привле-каег их способносгь описагь динамические явления, свойственные эгим объекгам, и возможносгь направленного посгроения иерархических моделей. Теория волн [3, 30, 31] в периодических сгрукгурах находила основное применение в механике композигов [32-34], но получила развигие в конце 1980-х [35-40] благодаря промышленному использованию гак называемых band-gap кристаллов — сгрукгур, обладающих полосовым спекгром: зонами пропускания/запирания акустических («phononic crystals») и элекгромагнигных («photonic crystals») волн. С конца 1980-х по насгоящее время ко-личесгво рабог, посвященных исследованию band-gap крисгаллов, расгег экпоненциально [39], увеличиваясь вдвое каждые два года. Насколько извесгно авгорам,

п=1 2 3 - N-1 N

Рис. 1. Схема испытываемого волновода, состоящего из стержней и прослоек

полосовые спектры в моделях периодического строения, которые, в частности, могли бы быть привлечены для описания динамики блочного массива, до сих пор специально не исследовались.

В одномерном случае зоны пропускания и запирания разделяются особыми точками — резонансными частотами ю = (к = 1, ... К, где К — количество мод),

в которых групповая скорость волн равна нулю (ёю/ёд = 0, ш — частота, q — волновое число) и энергия источника распространяется на периферию не как волна, а, грубо говоря, как тепло (более точно, закон распространения зависит от порядка п первой ненулевой производной ё”ю/dqn в точке , соответствующей (лк на дисперсионной плоскости q, ш). Одной из целей данной работы является построение дисперсионной картины для предлагаемых моделей блочных структур, выявление зон пропускания и запирания и анализ распространения волн широкого спектра, в том числе и резонансных.

1.5. Нестационарные волновые процессы в периодических структурах

Если задачи дисперсии волн в периодических средах изучены достаточно широко, то работ, где получены аналитические решения нестационарных задач [24-29, 36, 41-43] существенно меньше. В этой связи отметим, что идеи и методы, развитые Л.И. Слепяном в [27] для однородных (в основном) по оси систем, с успехом используются при получении аналитических решений периодических задач. Ниже мы также опираемся на аналитический метод [27].

вода кабелей, регистрирующих сигнал акселерометров, встроенных продольно в некоторые из стержней.

По свободному торцу верхнего стержня производился удар, интенсивность которого фиксировалась акселерометром, установленным на ударнике. Длина конструкции (2 м, N = 20) позволяла регистрировать колебания стержней с акселерометрами до прихода волн, отраженных от нижнего торца. В экспериментах варьировались материал прослоек, длительность нагружающего импульса и его амплитуда. Часть экспериментов проводилась в условиях поджатия системы внешними натянутыми резиновыми тягами.

Характерным для экспериментальных данных явилось выделение двух типов волн: низкочастотных и отстающих от них высокочастотных. Частота последних (25 кГц) совпадает с частотой собственных колебаний единичного свободного стержня. Типичная картина распространения импульса по системе представлена на рис. 2. Отметим основные особенности процесса.

1. Высокочастотный процесс, зафиксированный акселерометром в месте удара (х1) довольно скоро преобразуется в существенно низкочастотный с исчезающей высокочастотной наводкой (х3 и х11).

2. Затухание амплитуды ускорений, очень резкое в стержнях, близких к ударному, с удалением от места воздействия существенно замедляется.

Эксперименты показали, что динамика системы существенно зависит от свойств материала контактных прослоек. Отметим, что свойствам блочных соединений как определяющим параметрам динамики породных структур уделяется пристальное внимание геомеха-

2. Физическое моделирование маятниковых волн

Моделирование распространения сейсмических волн в блочном породном массиве при ударно-взрывном воздействии является достаточно сложной трехмерной задачей для экспериментальных исследований. Для моделирования блочной структуры нами использовались две периодические одномерные системы, элементами которых являлись стальные стержни и силикатные блоки-кирпичи.

2.1. Система стальных стержней

Система сплошных стержней, каждый диаметром 25 мм и длиной 100 мм (рис. 1), разделена прослойками из листовой плотной и пористой резины, линолеума и пенопласта [24]. Система располагалась в вертикально установленной трубе с продольными прорезями для вы-

Рис. 2. Экспериментальные осциллограммы ускорений на первом, третьем и одиннадцатом стержнях при коротком ударном импульсе

ников [44-50]. Стремление адекватно описать реальные свойства соединений привело к большому числу разнообразных моделей, параметры которых должны определяться в результате специальных опытов. Ниже мы остановимся на двух из них: линейной вязкоупругой и нелинейной «двухмодульной». Первая из них использовалась в [24, 26] при теоретико-экспериментальном исследовании маятниковых волн на основе одномерных блочных моделей и в [51] для прямоугольной решетки, которую можно трактовать как простейшую двумерную блочную модель. Вторая применялась в задачах анализа фазовых переходов и разрушения в одномерных и двумерных решетках [52-56].

2.2. Вязкоупругая модель прослоек-соединений

Эксперименты с медленным (квазистатическим) и быстрым (динамическим) нагружениями материалов прослоек захватывали диапазоны скоростей деформации е = 5 • 10-3... 1.2 и 1...50 с-1 соответственно. Ква-зистатические испытания показали (рис. 3), что для плотной резины и линолеума характерен нелинейный рост модуля сжатия, гистерезис при разгрузке и значительное влияние £ на вид диаграммы нагружения. Для пористой резины и пенопласта это влияние оказалось слабым (также незначительно отличие ветвей нагружения и разгрузки).

В опытах на динамическое нагружение наблюдается аналогичная картина. Для описания нелинейных свойств деформирования прослоек была использована модель, представленная на рис. 4 в виде комбинации упругих и демпфирующих элементов.

4 6

Сжатие, мм

10

Рис. 4. Вязкоупругая модель прослойки

Для медленных нагружений силы, создаваемые демпфирующими элементами, малы и поведение прослойки определяется упругим элементом К2. Таким образом, можно принять К2 = К8(. Для больших скоростей жесткость прослойки приближается к суммарной К1 + К 2. Параметры К1, Л1 и X 2 определяются из условия наилучшего согласования экспериментальных и теоретических данных. Особое внимание при этом обращается на соответствие величин скорости распространения низкочастотной волны, ее периода и коэффициента затухания.

2.3. Система силикатных блоков

Система силикатных блоков составлена из стандартных силикатных кирпичей (рис. 5) [26]. Отличительной особенностью такой модели по сравнению со стержневой является более реалистичный для блочной горной породы характер распределенного контактного взаимодействия блоков, которые укладывались друг на друга большими гранями.

На рис. 6 приведены характерные осциллограммы (2-6, нумерация справа) ускорений отдельных блоков в системе с демпфирующими прослойками от действия импульса 1, передаваемого ударником верхнему блоку.

Несмотря на существенные отличия моделей, описанных в 2.1 и 2.2, основная качественная картина прохождения маятниковых волн вдоль оси системы остается одинаковой: после прохождения первых блоков высокочастотная составляющая быстро убывает, а период низкочастотной составляющей увеличивается.

Сжатие, мм

Рис. 3. Диаграммы сжатия-растяжения прослоек из плотной резины при разных скоростях нагружения 8 = 1.2

Рис. 5. Расположение блоков и датчиков ускорения в экспериментальной сборке

Рис. 6. Пример движения волны по системе блоков с прослойками из вакуумной резины толщиной 1 мм. Скорость низкочастотной волны — 164 м/с; длительность удара — 0.21 мс

В качестве основных параметров, определяющих поведение маятниковых волн, исследованы скорость распространения VM и затухание амплитуды первой полуволны в системе 2.2 с резиновыми прослойками и без таковых (в последнем случае блоки были прижаты собственным весом). Результаты приведены на рис. 7, 8 (а = ап/а0, где а0 —максимальное ускорение ударника; ап — ускорение, зафиксированное датчиком, закрепленным на п-м блоке).

Полученные данные использованы для определения параметров вязкоупругих межблочных контактов. В результате для резиновых прослоек получено:

К1 = 5.3-106Н/м, К2 = 107 Н/м,

Х1 = 104 Н-с/м, X2 = 2-103 Н-с/м.

Для контакта без прослоек:

К1 = 15 • 106 Н/м, К2 = 59-106 Н/м,

Х1 = 75-103 Н-с/м, X 2 = 4-103 Н-с/м.

3. Математическое моделирование маятниковых волн

3.1. Простейшая модель: цепочка из масс и пружинок

Точечные частицы одинаковой массы т расположены вдоль продольной оси х на единичном расстоянии друг от друга и последовательно соединены упругими безынерционными пружинами жесткости g так, что произвольная частица (далее масса) взаимодействует только со своими ближайшими соседями слева и справа (рис. 9, а). Обозначим перемещение произвольной массы ип (п = 0, ± 1, ±2, ...). Пусть в нулевом сечении системы приложена продольная сила Q(t), t—время. Начальные условия нулевые.

Уравнение движения системы имеет следующий вид:

ип - Со К+1 - 2ип + ип-1) = Q

С0 =ygm, ип(0) = йп(0) = 0,

Рис. 7. Скорость маятниковой волны в системе с резиновыми прослойками (нижняя линия и квадратики) и без них (верхняя линия и кружки) в зависимости от п

Рис. 8. Затухание амплитуды первой полуволны в системе с резиновыми прослойками

где с0 — скорость длинных волн, аналог скорости звука в континуальной модели; 5(п) — дельта-функция Дирака.

Общее решение однородной задачи Q(t) = 0 ищем в виде бегущей волны:

ип = иеКчп±т)

В результате подстановки (2) в (1) получим дисперсионное уравнение как зависимость частоты (й от волнового числа q. Запишем также выражения для фазовой, с(д) и групповой cg (д) скоростей, которые нам понадобятся в дальнейшем:

ю = 2с0 зт(д/2),

С

е% (д) = йю/йд = с0 cos(g/2).

Полоса действительных частот (полоса пропускания) имеет своим пределом ю = 2, волны с частотами ю > 2 в системе цепочки из масс и пружинок не распространяются. На рис. 9, б приведены дисперсионные кривые системы цепочки из масс и пружинок. Штриховая кривая — длинноволновая асимптотика фазовой скорости, полученная из (3) при условии д ^ 0 (это соответствует X = 2я/д ^^, X — длина волны):

q ^ 0: с = с0[1 - aq2 + О^4)], а = 1/24.

т 9 и„ 0

а/шжж>-

п-1 п п+1

б ^0)

л/2

Ч

х = + п(Со«0

Рис. 9. Простейшая модель цепочки из масс и пружинок и результаты ее анализа: а — схема и обозначения; б — дисперсионные зависимости: частота ш, фазовая с и групповая с% скорости (3) свободных волн в зависимости от волнового числа, штриховая кривая — длинноволновая асимптотика фазовой скорости (4); в — форма волны смещения (верхняя кривая) и деформации (нижняя кривая) при распространении импульса.

Расплывание области квазифронта

13

Возвращаясь к нестационарной задаче (1), предположим, что нагрузка представляет собой импульс длительности г0: Q(t) = 2f (г)Н(?0 -г)Н(?), где/(і) — форма импульса; Н(х) — функция Хевисайда. Имея в виду моделирование маятниковых волн, нашей целью будет поиск решения задачи (1) в длинноволновом приближении. Для этого мы используем метод Л.И. Слепяна [27] двукратных интегральных преобразований с последующим асимптотическим ^ ^ <^) обращением изображений в окрестности луча х = с0^

Опуская вычисления, приведем конечный результат для волны смещений м(х, і), деформаций єх (х, t), массовых скоростей и(х, і) и ускорений а(х, і):

и ~ 1с,

1 л

- -} Ai( г №

3 А

Л =

-ел

^/3

є х =- V с0 =-

, Аі(г) = - І ^(гу + у3)4у,

со1

2с31

(coat )1/3

ЗАі

'Аі(л),

3(c0at )2/3 Эл '

Здесь I — величина импульса; Ai(z) — функция Эйри. Формы волн показаны на рис. 9, в.

Полученный результат имеет следующий физический смысл. Со скоростью с0 движется квазифронт х = с^ с низкочастотным пакетом колебаний в своей окрестности. За ним с убывающей скоростью движутся более высокочастотные составляющие. Распространяю-

щиеся от области воздействия волны имеют колебательный характер и расплываются со временем (расстоянием от источника) как 113( х13). Смещения осциллируют относительно среднего значения иау = 1с0 с амплитудой и периодом максимальными вблизи квазифронта, там же достигаются максимумы скоростей и деформаций, но последние, в отличие от смещений, убывают со временем как t13. Ускорения же убывают со временем как t23 и получают максимальные амплитуды не в районе квазифронта, а на некотором (увеличивающемся как t13) расстоянии от него. На рис. 10 представлены деформации и ускорения, полученные численно. В сечении п = 0 действует импульс в виде полусинусоиды.

Рис. 10. Распространение маятниковой волны при действии полуси-нусоидального импульса: 8 — деформация, а — ускорение

Параметры системы т и g служат единицами измерения. Видно, как с удалением от места воздействия численные результаты приближаются к асимптотике (5).

Основная особенность процесса — расплывающаяся со временем низкочастотная волна и отстающие от нее высокочастотные составляющие — соответствует свойствам маятниковых волн, выявленным в экспериментах (см. раздел 2).

3.2. Общий случай модели периодической блочной структуры

Ниже наша цель — показать, что маятниковые волны могут быть описаны длинноволновым приближением динамики одномерной структуры практически произвольного строения, требуется только ее периодичность. Пусть схематически изображенная на рис. 11 иерархическая система состоит из одинаковых структурных блоков (верхний уровень), каждый из которых, в свою очередь, содержит конструкции нижних уровней различного типа (начиная, например, с простейшей ячейки цепочки из масс и пружинок и кончая трехмерными телами конечных размеров). Общее движение системы происходит в продольном направлении.

Конструкция узлов (возможно иерархическая) также произвольна — безынерционные связи, дискретные конструкции с многими степенями свободы или континуальные элементы — требуется лишь возможность ассоциировать «смещение узла» ип(^ (п = 0, ±1, ±2, ...) со смещением какой-нибудь, принадлежащей ему материальной точки. Если, например, таковая не находится (безынерционная связь между блоками), то смещением узла можно назначить смещение любой из двух стыковочных плоскостей соседних блоков.

Итак, мы имеем систему динамических уравнений элементов блока и необходимый набор граничных условий. Для решения задачи мы используем тот же подход, что и в предыдущем пункте, с тем лишь отличием, что вначале мы отделяем временную координату или при помощи гармонического множителя (если нас интересует дисперсионный анализ):

[ы(^ х,...)]п = [й(x, ...)]neг“t,

ип

([ы(^ х, ...)]п — смещения, входящие в уравнения движения внутренних элементов блока), или при помощи преобразования Лапласа (если решается нестационарная задача; в этом случае в полученных с помощью (6) уравнениях для ип и ип над заменить ш на ip, гдер — параметр преобразования). Далее предположим, что нам каким-то способом (как это сделано, например, в [23, 38-40, 43] при решении частных задач) удалось решить полученные уравнения и найти силы

(> ип, ип+1) и ^ (ю, ип, ип_1), действующие на п-й контактный узел со стороны соседних блоков справа (-) и слева (+). Отметим, что смещения ип, ип+1 и ип_1 неизбежно будут присутствовать в выражениях для сил,

Рис. 11. Одномерная блочно-иерархическая структура

т.к. входят в граничные условия для уравнении внутренних элементов блока, примыкающих к узлу.

Теперь задача сводится к решению бесконечной системы уравнении:

Ф

где Ф(...) — линеИная функция йп, йп+1 и йп_1, а Qn — внешняя нагрузка. Далее, если требуется получить дисперсионное уравнение, то правую часть (7) приравниваем нулю и ищем решение (7) в виде гармони-ческоИ функции йп = Uelqn, если же ищется нестационарное решение, то (7) сворачивается при помощи дискретного преобразования Фурье (с параметром q). Здесь, как и выше, q — волновое число.

Можно показать, что низкочастотное приближение дисперсионного уравнения примет следующии вид:

cos q = cos[y

у

(a1, a2 e R, a1, a2 >0), а его длинноволновая асимптотика в точности соответствует структуре (4) со своими константами — скоростью длинных волн С» и параметром дисперсии а:

c = С* [1 -aq 2 + O(q 4)],

С =

1

1 + 2а1

а =-

С4

а1(а1 + 2) 12

+ а,

> 0.

Понятно теперь, что и асимптотика нестационарной волны, качественно описывающая маятниковую волну, остается той же (с точностью до константы), что и для простейшей системы цепочки из масс и пружинок. Отсюда можно сделать вывод, что длинная маятниковая волна в произвольной блочно-иерархической периодической структуре описывается решением (5), в которое надо подставить два определяющих параметра конкретной структуры: С* и а.

3.3. Моделирование маятниковых волн на модели «стержни - пружинки»

Ниже приведены некоторые результаты расчета модели «стержни - пружинки» (рис. 1) и их сравнение с опытными данными.

0.4-

0.0

-0.4

^ = 5//С. \2

10

мс

15

20

I, мс

Рис. 12. Деформации в сечениях системы п = 5 (а) и 10 (б). Пунктирные линии указывают времена ^ и t2 прихода квазифронтов низкочастотной маятниковой волны и высокочастотной составляющей, связанной с собственными колебаниями стержней

Если взять параметры порождающего элемента (стержня) — длину, плотность материала и модуль Юнга — единицами измерения, а податливость связи обозначить |1, то аналог однородного уравнения (7) в нашем случае примет вид:

ии+1 - ип

а дисперсионное уравнение и параметры низкочастотной асимптотики (8) будут

. .

cos q - cos ю-----------sm ю = 0 ,

2

С =-

1

г, а =

24

Заметим, что (10) и (11) остаются теми же для системы таких же стержней, но со стыковочными узлами в виде инерционных точечных элементов массы ц.

На рис. 12 представлены рассчитанные осциллограммы деформаций в средних сечениях 5 и 10 стержней и в случае идеально упругих прослоек [24]. Рассчитывалась симметричная система: начало координат помещено в середине первого стержня. В этом сечении действует импульс силы:

Q(t) = зіп(ю* t)Но (л - ю* t)Но ^).

х)0, м/с2

0 5 10 15 1, мс

Л Л б

; 1^ г \ / \ / \

0 5 10 15 1, мс

Параметры системы: плотность р = 7 800 кг/м3; длина стержня I = 0.5 м; площадь поперечного сечения 5 = 0.00125 м2; жесткость прослойки g = 48.75 кг/м2.

Анализ результатов показывает, что асимптотика (5) с параметрами (11) количественно верно описывает низкочастотную маятниковую волну при п > 5.

На рис. 13 приведено сравнение экспериментальных (1) и расчетных (2, 3) кривых ускорений на втором (а) и десятом (б) стержнях. Кривые 2 соответствуют расчету по упругопластической модели прослоек, параметры которой подобраны так, чтобы обеспечить удовлетворительное согласие данных теории и эксперимента. Кривые 3 рассчитаны по упругой модели с учетом лишь статической жесткости прослоек: К1 = Х1 = Х2 = 0, К 2 = К8(. Сравнение данных показывает, что неучет вязкости прослойки приводит к значительному расхождению теории и эксперимента.

4. Монохроматическое возбуждение периодической системы

Выше были рассмотрены длинноволновой низкочастотный процесс ^ ~ ю ^ 0), характерный для маятниковых волн. В этом разделе рассматриваются произвольные длины волн X, в том числе минимальная [27], определяемая в периодической системе: X = Xш|п = 2 (в единицах длины периода), что дает q = qшax = 2п/Х ш|п = = п. Интересным здесь является анализ монохроматического возбуждения (обозначим его частоту ю0), где качественно различаются три случая: ю0 находится в полосе пропускания, запирания или является границей раздела этих полос.

Вначале мы рассмотрим простейшую одномодовую систему цепочки из масс и пружинок. Нам надо решить задачу (1) с правой частью в виде: Q(t) = 2sm(ffl0t) Н (г). Как и прежде, за единицы измерения примем параметры ячейки: массу, жесткость и длину. У системы, как показано выше, полосой пропускания будет 0 < ю0 < 2, а запирания — ю0 > 2, частота же ю0 = 2 (q = п) является резонансной, при этом соседние массы колеблются в противофазе. Это можно сразу увидеть из формы реше-

/о\. гпп г'(п+1)п

ния (2): в =—вк .

В зоне пропускания, 0 < ю0 < 2, у нестационарной задачи (1) существует стационарный предел — решение, которое будет справедливо за зоной квазифронта (где происходит переходный процесс). Методика получения стационарных решений в задачах такого типа развита в [55]. Запишем это решение для деформаций (скоростей частиц), опуская выкладки:

*п(г) =~^п(г) = Кп sin(Юot),

-сЛ

К = с-'Н (п-

с„ =

V1 о/4,

где №п — огибающая волны с несущей частотой ю0; с- — ее групповая скорость.

Видно, что амплитуды достаточно низкочастотных волн мало отличаются от амплитуды источника (двойка в выражении для нагрузки взята потому, что ее интенсивность делится пополам на волны, распространяющиеся симметрично влево и вправо), а их скорость близка к единице. Что соответствует простому физическому факту, что структура слабо влияет на низкочастотную волну. С ростом ю0 скорость бегущей волны уменьшается и стремится к нулю при ю0 ^ 2, ее амплитуда растет и стремится к бесконечности: энергия волны как бы запирается в малой окрестности источника. При ю0 = 2 групповая скорость равна нулю, бегущей волны не существует, стационарное решение соответствует стоячей волне, которая энергии не переносит, нестационарное же решение приводит к резонансу [37]. Количественные оценки резонанса мы получим, решая полную задачу (1). Опуская промежуточные выкладки, представим точное решение: г

гп (0 = ~^п (0 = 1 ^п(2(г - 1)У2п 0

где / (7) — функция Бесселя первого рода порядка V. Используя асимптотическое представление / ^) для 7 >> т2, 7 , получим, например, для нагру-

жаемого узла следующие асимптотические формулы

(г ^ ^):

dм0

dt

d2мl

si

“Л - 2#

sin(2t -ф),

cos(2t -ф),

cos

dt2

' 7л

Тот же рост (как ) будет и в других узлах системы,

однако волна одинаковой амплитуды движется от места воздействия с замедлением, ее скорость ~ гт.е. процесс напоминает распространение тепла, описываемое параболическим уравнением.

е (00 = 2.00 10.0

Рис. 14. Распространение возмущений в системе цепочки из масс и пружинок при периодическом возбуждении: а — модуляция сигнала в полосе пропускания

Аналитические результаты, приведенные выше, ввиду своей асимптотической природы дают качественные оценки. Так же, как и выше, в случае низкочастотных волн, мы проведем сравнение асимптотик с результа-

тами численного моделирования с целью выявить возможные отличия и рамки применимости формул (12) и (13). Кроме того, для зоны запирания мы не имеем никаких аналитических оценок, так что судить об особенностях процесса при ю0 > 2 мы сможем только после анализа численного решения.

На рис. 14 представлены осциллограммы деформаций в различных сечениях системы, рассчитанные при значениях ю0 = 1.90, 2.00, 2.05. При ю0 < 1.5 вклад нестационарных возмущений практически не заметен и решение (12) можно считать точным. С ростом ю0 не-стационарность процесса выражается в росте частоты колебаний огибающей (стационарное решение имеет своей огибающей прямую — штриховая линия на рисунках) и увеличении переходной зоны. Однако вплоть до частот, мало отличающихся от резонансной ю0 = 2, стационарное решение вполне удовлетворительно описывает волновой процесс. Асимптотика (13) достигается в самые начальные времена формирования резонанса. В случае ю0 > 2 волновой процесс быстро затухает с расстоянием от источника, хотя в его окрестности амплитуды могут быть сравнительно велики, если ю0 несущественно превосходит 2 (чувствуется близость резонанса).

5. Выводы

На примере одномерных блочных систем показано, что рассмотрение блоков как массивных недеформи-руемых тел, позволяет выделить из сложного динамического деформирования блочной среды ту ее часть, которая определяется деформированием прослоек между блоками. При этом в волне деформации, вызванной ударной нагрузкой, выделяются низкочастотные волны маятникового типа с относительно слабым затуханием.

Сравнение данных расчетов по разработанным моделям с экспериментом показало следующее:

- скорость распространения маятниковых волн, период, степень их затухания существенно зависят от реологических свойств прослоек — увеличения их жесткости с ростом скорости и уровня нагружения, наличия гистерезиса;

- удовлетворительное согласие теории и эксперимента получено с использованием вязкоупругой модели деформирования прослоек, состоящей из двух пар упругих и демпфирующих элементов, соединенных последовательно и параллельно.

Получены аналитические оценки стационарных и переходных процессов в простейшей модели (цепочка из масс и пружинок) и описаны физические явления, наблюдаемые в различных областях спектра (полосы пропускания и запирания, резонансная частота).

Проанализирован ряд моделей блочно-иерархического строения, найдены их дисперсионные уравнения, определены свойства спектральных полос в зависимос-

ти от параметров структуры и рассчитаны нестационарные волновые процессы. Приведен анализ длинных волн в одномерной периодической системе произвольного иерархического уровня, и показано, что структура маятниковой волны (длина волны и степень затухания) определяется по асимптотически эквивалентной модели цепочки из масс и пружинок с двумя интегральными параметрами, зависящими от свойств конкретной системы.

На основе анализа динамических явлений, реализующихся в моделях различного уровня, показано, что с помощью простейшей модели цепочки из масс и пружинок могут быть успешно описаны не только длинноволновые составляющие процесса, но и коротковолновые высокочастотные возмущения. Сделан вывод, что модель цепочки из масс и пружинок является базовой в построении моделей более высокого уровня.

Авторы признательны С.В. Гольдину за внимание к работе и благодарят Э.А. Кошелева и А.Г. Черникова за помощь в проведении экспериментов, Н.И. Александрову за проведение расчетов.

Литература

1. Садовский М.А. Естественная кусковатость горной породы // ДАН СССР. - 1979. - Т. 247. - №4. - С. 829-831.

2. КурленяМ.В., ОпаринВ.Н., ЕременкоА.А. Об отношении линейных размеров блоков горных пород к величинам раскрытия трещин в структурной иерархии массива // ФТПРПИ. - 1993. - № 3. -С. 3-9.

3. Lord Rayleigh R.S. On the maintenance of vibrations by forces of double frequency, and the propagation of waves through a medium endowed with periodic structure // Phil. Mag. - 1887. - V. 24. - P. 145159.

4. Родионов В.Н., Сизов И.А., Цветков В.М. Основы геомеханики. -М.: Недра, 1986. - 301 с.

5. Augusti G., Sinopoli A. Modelling the dynamics of large block structures

// Meccanica. - 1992. - V. 27. - P. 195-211.

6. Andreaus U., Casini P. Dynamics of three-block assemblies with uni-

lateral deformable contacts // Earthquake Engng. Struct. Dyn. - 1999. -V. 28. - P. 1621-1649.

7. Cheng Y.M., Zhang Y.H. Rigid body rotation and block internal discretization in DDA — Discontinuous Deformation Analysis // Int. J. Numer. Anal. Meth. Geomech. - 2000. - V. 24. - P. 567-578.

8. Spanos P.D., Roussis PC., Politis N.P.A. Dynamic analysis of stacked rigid blocks // Soil Dyn. Earthquake Engng. - 2001. - V. 21. - P. 559578.

9. Numerical Modelling in Micromechanics via Particle Methods-2004: Proc. of 2nd Symp., Kyoto, Japan / Ed. by Y. Shimizi, R. Hart, P. Cun-dall. - London: Taylor & Francis Group, 2004. - 448 p.

10. Deluzarche R., Cambou B. Discrete numerical modelling of rockfill dams // Int. J. Numer. Anal. Meth. Geomech. - 2006. - V. 30. - P. 10751096.

11. Голъдин С.В., Колесников Ю.А., Полозов С.В. Распространение акустических волн в грунтах в условиях изменяющегося сдвигового напряжения (вплоть до разрушения образцов) // Физ. мезо-мех. - 1999 . - Т. 2. - № 6. - С. 105-113.

12. Голъдин С.В., Псахъе С.Г., Дмитриев А.И., Юшин В.И. Переупаковка структуры и возникновение подъемной силы при динамическом нагружении сыпучих грунтов // Физ. мезомех. - 2001. -Т. 4. - № 3. - С. 97-103.

13. Голъдин С.В. Деструкция литосферы и физическая мезомеханика // Физ. мезомех. - 2002. - Т. 5. - № 5. - С. 5-22.

14. Голъдин С.В. Дилатансия, переупаковка и землетрясения // Физика Земли. - 2004. - № 10. - С. 37-54.

15. Голъдин С.В. Макро- и мезоструктуры очаговой области землетрясений // Физ. мезомех. - 2005. - Т. 8. - № 1. - С. 5-14.

16. Курленя М.В., Адушкин В.В., Опарин В.Н. Знакопеременная реакция горных пород на динамическое воздействие // ДАН СССР. -1992. - Т. 323. - № 2.

17. Опарин В.Н., Востриков В.И., Жилкина Н.Ф., Тапсиев А.П. О пульсирующем режиме сейсмоэнерговыделения из напряженных участков шахтных полей // Физ. мезомех. - 2005. - Т.8. - № 1.-С. 15-22.

18. Курленя М.В., Опарин В.Н., Востриков В.И. Волны маятникового типа. Ч. I. Состояние вопроса и измерительно-вычислительный комплекс // ФТПРПИ. - 1996. - № 3. - C. 3-8.

19. Курленя М.В., Опарин В.Н., Востриков В.И. Волны маятникового типа. Ч. II. Методика экспериментов и основные результаты физического моделирования // ФТПРПИ. - 1996. - № 4. - C. 3-38.

20. Курленя М.В., Опарин В.Н., Востриков В.И. Волны маятникового типа. Ч. III. Данные натурных измерений // ФТПРПИ. - 1996. -№ 5. - С. 3-27.

21. Курленя М.В., Опарин В.Н., Балмашнова Е.Г., ВостриковВ.И. О динамическом поведении «самонапряженных» блочных сред. Ч. I. Одномерная механико-математическая модель // ФТПРПИ. -2001.- № 1. - C. 3-11.

22. Опарин В.Н., Балмашнова Е.Г., Востриков В.И. О динамическом поведении напряженных блочных сред. Ч. II. Сравнение теоретических и экспериментальных данных // ФТПРПИ. - 2001. - № 5. -C. 12-17.

23. Александрова Н.И. О распространении упругих волн в блочной среде при импульсном нагружении // ФТПРПИ. - 2003. - № 6. -C. 38-47.

24. Александрова Н.И., Шер Е.Н. Моделирование процесса распространения волн в блочных средах // ФТПРПИ. - 2004. - № 6. - C. 4957.

25. Опарин В.Н., Востриков В.И., Жилкина Н.Ф., Тапсиев А.П. О пульсирующем режиме сейсмоэнерговыделения из напряженных участков шахтных полей // Физ. мезомех. - 2005. - Т. 8. - № 1. -С. 15-22.

26. Александрова Н.И., Черников А.Г., Шер Е.Н. Экспериментальная проверка одномерной расчетной модели распространения волн в блочной среде // ФТПРПИ. - 2005. - № 3. - С. 46-55.

27. СлепянЛ.И. Нестационарные упругие волны. - Л.: Судостроение, 1972. - 376 с.

28. Maradudin A.A., MontrollE.W., Weiss G.H. Theory of Lattice Dynamics in the Harmonic Approximation. - New York: Academic Press, 1963. - 319 p.

29. MeadD.J. Vibration response and wave propagation in periodic structures // J. Eng. in Industry. - 1971. - V. 93. - P. 783-799.

30. Lee E.H., Yang W.H. On waves in composite materials with periodic structure // SIAM, J. Appl. Math. - 1973. - V. 25. - Р. 492-505.

31. Achenbach J. Vibrations and Waves in Directional Composites // Mechanics of Composite Materials-2. - New York: Academic Press, 1975.

32. Yablonovitch E. Photonic band-gap crystals // J. Phys. Condens. Matter. - 1993. - V. 5. - P. 2443-2468.

33. Mead D.J. Wave propagation in continuous periodic structures // J. Sound Vibr. -1995. - V. 190. - P. 495-523.

34. Johnson S.G., Joannopoulos J.D. Photonic Crystals. The Road from Theory to Practice. - Boston: Kluwer Academic Publishers, 2002. -156 p.

35. Jensen J. Phononic band gaps and vibrations in one- and two-dimensional mass-spring structures // J. Sound Vibr. - 2003. - V. 266. -P. 1053-1078.

36. Photonic & Sonic Band-Gap Bibliography. - 2006. - http:// www.phys.lsu.edu/~jdowling/pbgbib.html.

37. Слепян Л.И., Царева О.В. Поток энергии при нулевой групповой скорости несущей волны // ДАН СССР. - 1987. - Т. 294. - № 4. -С. 818-822.

38. СтепаненкоМ.В., Царева О.В. Эволюция ударного импульса при его распространении по составным упругим системам // ФТПРПИ. - 1987. - № 3. - C. 43-52.

39. Царева О.В. Динамика упругих сред кусочно-однородного строения при высокочастотных воздействиях // ФТПРПИ. - 1987. -№ 6. - C. 3-12.

40. Сарайкин В.А., Степаненко М.В., Царева О.В. Упругие волны в средах с блочной структурой // ФТПРПИ. - 1988. - № 1. - C. 14-

21.

41. Brillouin L. Wave Propagation in Periodic Structures, Electric Filters and Crystal Lattices. - New York: Dover Publ., 1953. - 255 p.

42. Langley R.S. On the forced response of one-dimensional periodic structures vibration localization by damping // J. Sound Vibr. - 1994. -V. 178. - P. 411-433.

43. Ayzenberg-Stepanenko M.V. Wave Propagation and Fracture in Elastic Lattices and Composites // Personal Armor Systems. - London: British Crown Copyright, 1998. - P. 405-416.

44. Heuze F.E., Barbour T.G. New models for rock joints and interfaces // J. Geotechn. Eng., Div. Proc. ASCE. - 1982. - V. 108. - P. 757776.

45. Bandis S.C., Lumsden A.C., Barton N.R. Fundamentals of rock joint deformation // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. Geomech. Abstr. - 1983. -V. 20. - P. 249-268.

46. Leichnitz W. Mechanical properties of rock joints // Int. J. Rock Mech. Min. Sci. Geomech. Abst. - 1985. - V. 22. - P. 313-321.

47. Plesha M.E. Constitutive models for rock discontinuities with dila-tancy and surface degradation // Int. J. Numer. Analyt. Meth. Geo-mech. - 1987. - V. 11. - P. 345-362.

48. Rock Joints / Ed. by N. Barton. - London: Taylor & Francis, 1990. -820 p.

49. Mandl G. Rock Joints: The Mechanical Genesis. - Berlin: Springer, 2005. - 221 p.

50. Cheng Y.M., Chen W.S., Zang Y.H. New approach to determine threedimensional contacts in blocks system: penetration edges method // Int. J. Geomech. - 2006. - V. 6. - P. 303-310.

51. Слепян Л.И., Троянкина Л.В. О волне разрушения в цепочке // ПМТФ. - 1984. - Т. 25. - № 6. - С. 921-927.

52. Slepyan L.I., Ayzenberg-Stepanenko M.V, Dempsey J.P. A lattice model for viscoelastic fracture // Mech. Time-Dep. Mater. - 1999. - V. 3. -P. 159-175.

53. Puglisi G., Truskinovsky L. Mechanics of a discrete chain with bistable elements // J. Mech. Phys. Solids. - 2000. - V. 48. - P. 1-32.

54. Charlotte M., Truskinovsky L. Linear chains with a hyper-pre-stress // J. Mech. Phys. Solids. - 2002. - V. 50. - P. 217-239.

55. Slepyan L.I. Models and Phenomena in Fracture Mechanics. Chapter 3. Waves. - Berlin: Springer, 2002. - 576 p.

56. Slepyan L.I., Ayzenberg-Stepanenko M.V Localized transition waves in bistable-bond lattices // J. Mech. Phys. Solids. - 2004. - V. 52. -P. 1447-1482.

Поступила в редакцию 14.12.2006 г.