Методика определения исходных характеристик наиболее неблагоприятных акселерограмм для линейных систем с конечным числом степеней свободы

УДК 624.042.7

О.В. Мкртычев, А.А. Решетов

НИУМГСУ

МЕТОДИКА ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИСХОДНЫХ ХАРАКТЕРИСТИК НАИБОЛЕЕ НЕБЛАГОПРИЯТНЫХ АКСЕЛЕРОГРАММ ДЛЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ С КОНЕЧНЫМ ЧИСЛОМ СТЕПЕНЕЙ СВОБОДЫ*

Предложена методика определения исходных характеристик акселерограмм, необходимых для их синтезирования. Акселерограммы, сгенерированные по ним, передают наибольшую энергию воздействия рассматриваемому сооружению. При этом они являются возможными с определенной вероятностью для данной площадки строительства. Это достигается тем, что учитываются как сейсмические свойства площадки строительства, так и динамические характеристики сооружения.

Ключевые слова: акселерограмма, вероятность, дельта-функция Дирака, дисперсия, импульсная характеристика, корреляционная функция, сейсмическое воздействие, система, конечное число степеней свободы, целевая функция, частотная характеристика, энергия.

1. Постановка задачи. Требуется определить характеристики, используемые в качестве исходных данных для генерирования акселерограмм землетрясений. При этом генерируемые акселерограммы должны быть возможными для площадки строительства и наиболее неблагоприятными для сооружения.

Для решения этой задачи необходимо выполнить две предварительные процедуры: получение сейсмических характеристик площадки строительства, получение динамических характеристик сооружения.

В данной работе под процедурой получения сейсмических характеристик площадки понимается статистическая обработка набора инструментальных акселерограмм. В результате определяются такие характеристики, как спектральная плотность, закон распределения доминантной частоты, огибающая.

Процедура получения динамических характеристик сооружения состоит в определении его импульсных и частотных характеристик.

В качестве сооружения рассматривается линейная система с конечным числом степеней свободы консольного типа.

После того как сейсмические характеристики площадки и динамические характеристики сооружения найдены, строится целевая функция, которую необходимо максимизировать. Характеристики, соответствующие максимуму целевой функции, будут исходными характеристиками наиболее неблагоприятных акселерограмм.

2. Обработка акселерограмм. Известно, что акселерограммы могут рассматриваться как реализации нестационарного случайного процесса. При этом согласно В.В. Болотину, реализации этого нестационарного случайного процесса можно представить в следующем виде [1]:

* Грант в рамках реализации проектной части государственного задания в сфере научной деятельности № 7.2122.2014/К (2014—2016 гг.). Тема научного исследования: Оценка сейсмостойкости и надежности сооружений с заданной обеспеченностью.

й (t) = A(t)y(t),

где и() — акселерограмма; А(О — огибающая (детерминированная функция); — реализация стационарного случайного процесса.

Огибающая А(0, как правило, является функцией, аппроксимирующей множество огибающих инструментальных акселерограмм. В качестве огибающей А(0 можно взять следующую функцию:

A(i) = A,,- е

где А0 — параметр, характеризующий максимальные ускорения; t0 — параметр, характеризующий продолжительность интенсивной фазы воздействия (рис. 1).

2,5 г

2

1,5

1

0,5

5

о

0 5 10 15 20 25

Рис. 1. Огибающая акселерограммы, описываемая формулой

Параметры А ¿0 определяются посредством обработки инструментальных акселерограмм [2, 3].

Спектральная плотность стационарного случайного процесса у(/) может быть аппроксимирована следующей функцией:

2_//

П(/2 - /о" )2 + //2 где /0 — доминантная частота процесса; / — параметр, характеризующий ширину спектра (рис. 2).

Параметры /0, / так же определяются посредством обработки акселерограмм.

Закон распределения доминантной частоты также находится посредством статистической обработки (рис. 3).

Для функций, приведенных на рис. 1, 3, соответствующие параметры равны А0 = 2е1 м/с2, ¿0 = 3 с, продолжительность воздействия 23,01 с, /0 = 3 Гц, /1 = 0,2 Гц, математическое ожидание 3 Гц, среднеквадратическое отклонение 1 Гц.

О способах задания сейсмического воздействия и определении его параметров можно узнать в [4—9].

ВЕСТНИК

МГСУ.

8/2015

3. Определение динамических характеристик системы с конечным числом степеней свободы

1 2 3 4 5 6 7 Рис. 2. Спектральная плотность, описываемая формулой

0,35

0,25

0,15

0,05

0 1 2 3 4 5 6 7 Рис. 3. Закон распределения доминантной частоты

Рис. 4. Система с N степенями свободы

Запишем систему уравнений движения системы в матричном виде [т]{й

где [т]--матрица масс; {й(1)> — вектор ускорений; [с] — матрица затуханий;

{й{1)} — вектор скоростей; [к] — матрица жесткости; {и(1)> — вектор перемещений; {/} — вектор, характеризующий приложение внешнего воздействия; и (1) — акселерограмма.

Найдем импульсные и частотные характеристики системы. Известно, что для линейной системы с одной степенью свободы ее реакция может быть представлена в форме интеграла Дюамеля:

и^) = f ^) ) = | f

Тм

где /(1) — внешнее воздействие; * — обозначение свертки; И(1) — импульсная характеристика системы; Тм — время воздействия.

По импульсной характеристике системы можно определить реакцию на произвольное воздействие. Импульсная характеристика, в свою очередь, является реакцией системы на дельта-функцию (рис. 5).

5(0

ЛС

+ h{t)

Рис. 5. Воздействие дельта-функции на линейную систему вызывает в качестве реакции импульсную характеристику

Для системы с N степенями свободы вместо формулы (5) запишем ее матричный аналог:

[и

или

где и.(1) — перемещение 7 узла; /(1) — воздействие, приложенное к 7 узлу; И () — реакция системы в 7 узле от воздействия дельта-функции в] узле.

Согласно теореме о свертке, мы можем перейти из временной области в частотную:

Щ (t) " A,1 (t) • • \n (t)' * " fl (t)'

UN (t)_ _hn (t) •  hNN (t)_ _ fN (t)_

[U (w)] = [ H (w)]{F (w)}

или

' Ц(ю)" " Hn(w) •  HiN (w) " F»

UN

где

U (w) = J u,(tу iwtdt;

—'Xi

да

H, (w) = J h, (tу iwtdt;

да

Fi

—да

Запишем формулу для перемещения i узла, учитывая инерционный характер внешнего воздействия:

и г

Воспользовавшись свойствами свертки, получим

( N \

-и е а).

и С) = — £ Ш кУ

V }=1 у

Приведенной к г узлу импульсной характеристикой при сейсмическом воздействии назовем реакцию системы в г узле при ускорении грунта, описываемом дельта-функцией.

Обозначим ее через к{,)():

N

Л

С учетом (14), (15) перемещение г узла равно

й^) = h)

Переходя в частотную область, получим

и

где и.(ш) — преобразование Фурье перемещения иИ(')(а)--приведенная

частотная характеристика (преобразование Фурье приведенной импульсной характеристики Н(г)(0); и (а) — преобразование Фурье акселерограммы и^, (^).

Вопросы связанные с динамическим анализом конструкций рассмотрены, например, в [10—15].

На рис. 5 представлен пример найденных приведенной импульсной и частотной характеристик системы (число узлов (этажей) N= 20, узел приведения г = 20, расстояние между узлами 5 м, масса узла ш = 500 т, равномерно распределенная жесткость Е1 = 29 • 109 кНм2, параметр затухания X = 0,05).

хЮ-5

Время [. с

Рис. 5. Приведенная импульсная характеристика и приведенная частотная характеристика для г = 20

101

Частота/ Гц

Рис. 5. Приведенная импульсная характеристика и приведенная частотная характеристика для г = 20

На самом верхнем графике рис. 5 изображена приведенная импульсная характеристика, на двух следующих — модуль частотной характеристики (на втором — увеличенная версия). Расчеты проводились в пакете МаЛаЬ.

4. Построение целевой функции и ее максимизация. Применим операцию модуля к равенству (17) и возведем в квадрат:

\иг (ш)|2 = \Н(г)(ш)|2 (ш)|2.

Возьмем интеграл от равенства (19):

J |U.(w)|2 dw = J |И( °(ш)|2\Ug (ш)|2dw.

Разделив (19) на 2п, мы найдем энергию колебания г узла (с точки зрения теории сигналов):

1 да

К= — I Н (г)(ш)|2 и«(ш)|2d ш.

—да

Известно, что эта энергия равна дисперсии сигнала: В = Е .

и щ 2

Введем в функцию (ш) параметр сдвига О:

Этот параметр можно трактовать как параметр сдвига доминантной частоты, относительно которой развернута спектральная плотность.

Переобозначим параметр сдвига -О ^ О и, учтя (20), (21), запишем дисперсию как функцию аргумента О:

1

D- = 2П J И(°(w)|2\ug(w+w)|2dw.

ВЕСТНИК

МГСУ-

8/2015

\Н (0(га) К

Формула (23) представляет собой корреляционную функцию функций

т.е.

и 1 Н

ДО) = Du (О).

Для того чтобы энергия реакции системы была наибольшей, необходимо чтобы дисперсия (23) (или корреляционная функция (24)) была максимальной. То есть дисперсия (23) является целевой функцией, которую необходимо максимизировать. При этом максимизация должна производиться при наличии вероятностных ограничений, накладываемых на параметр сдвига О. Сформулируем эти ограничения.

Введем две вспомогательные частоты ю юъ такие, что

| /(^ = Рс,

где / (юа ) — плотность вероятности доминантной частоты; юа — доминантная частота; Рс — наперед заданное значение вероятности.

Параметр сдвига О может принимать такие значения, при которых вновь полученная доминантная частота принадлежит интервалу (ю юъ):

ю - ю, < О < ю, - ю ,.

а а Ъ а к '

Таким образом, нужно сдвинуть исходную спектральную плотность сейсмического воздействия так, чтобы дисперсия (23) (или корреляция (24)) была максимальной, а параметр сдвига принадлежал интервалу (26).

Акселерограммы, сгенерированные по вновь полученной спектральной плотности, будут наиболее неблагоприятными для рассматриваемой системы.

Отметим, что моделирование акселерограмм в данной работе производилось с применением метода формирующего фильтра.

О методах моделирования акселерограмм землетрясений можно узнать в [2, 3] и [16—20].

На рис. 6, 7 приведены расчеты для данных, сформулированных в п. 2 и 3.

Рис. 6. Сдвиг исходной спектральной плотности сейсмического воздействия

3 4

Частота Гц

Рис. 7. Сгенерированная наиболее неблагоприятная акселерограмма

На рис. 6 красным графиком изображена плотность вероятности доминантной частоты сейсмического воздействия, синим — приведенная частотная характеристика здания, черным пунктиром — исходная спектральная плотность сейсмического воздействия, черной сплошной линией — сдвинутая по критерию, спектральная плотность сейсмического воздействия. В целях удобства восприятия, на рис. 6 ордината спектральной плотности и плотности вероятности масштабировалась (только на графике).

На верхнем графике рис. 7 красным пунктиром изображена огибающая акселерограммы, синим — акселерограмма, красным пунктиром на нижнем графике изображена спектральная плотность, полученная по критерию, синим — спектральная плотность сгенерированной акселерограммы.

Проанализировав результаты расчета, мы можем увидеть, что ни первая, ни вторая собственная частоты не принадлежат интервалу (ю юь).

Сдвиг исходной спектральной плотности воздействия произошел в сторону первой собственной частоты до момента, пока доминантная частота воздействия не совпала со значением юа. В результате мы получили такое положение доминантной частоты, при которой обеспечивается максимальная энергия перемещения и в то же время она не выходит за пределы, установленные вероятностным критерием.

5. Заключение. В работе были получены следующие результаты:

1. В п. 2 был сформулирован общий подход к определению сейсмических характеристик площадки строительства. Приведен пример их определения. При этом под сейсмическими характеристиками понимались некоторые общие характеристики инструментальных акселерограмм землетрясений, соответствующих площадке строительства.

2. В п. 3 были получены динамические характеристики линейной системы с двадцатью степенями свободы (импульсная и частотная характеристики, соответствующие наивысшему этажу).

3. В п. 4 была сформирована целевая функция, характеризующая энергию, которую передает сейсмическое воздействие сооружению. Эта функция была максимизирована. В результате ее максимизации была модифицирована спектральная плотность мощности сейсмического воздействия. Модификация производилась с учетом вероятностных ограничений, сформулированных на основе статистического анализа набора инструментальных акселерограмм. По модифицированной спектральной плотности было произведено генерирование искусственных акселерограмм.

Таким образом, методика определения исходных характеристик наиболее неблагоприятных акселерограмм для линейных систем с конечным числом степеней свободы заключается в следующем:

определение характеристик инструментальных акселерограмм, соответствующих данной площадке строительства;

определение динамических характеристик сооружения;

формирование и максимизация целевой функции, учитывающей энергию, передаваемую сооружению.

Акселерограммы, сгенерированные по исходным данным, полученным по предложенной методике, будут неблагоприятными для сооружения и возможными (с определенной вероятностью) для площадки строительства.

Данная методика имеет потенциал к обобщению, что и предполагается сделать в дальнейших работах.

Применение методики на практике позволит производить расчеты на сейсмостойкость наиболее полным образом.

Библиографический список

1. Болотин В.В., Радин В.П., Чирков В.П. Моделирование динамических процессов в элементах строительных конструкций при землетрясениях // Известия высших учебных заедений. Строительство. 1999. № 5. С. 17—21.

2. Мкртычев О.В., Юрьев Р.В. Расчет конструкций на сейсмические воздействия с использованием синтезированных акселерограмм // Промышленное и гражданское строительство. 2010. № 6. С. 52—54.

3. Мкртычев О.В., Решетов А.А. Методика моделирования наиболее неблагоприятных акселерограмм землетрясений // Промышленное и гражданское строительство. 2013. № 9. С. 24—26.

4. Назаров Ю.П., Позняк Е.В., Филимонов А.В. Анализ вида волновой модели и получение расчетных параметров сейсмического воздействия для высотного здания // Промышленное и гражданское строительство. 2014. № 5. С. 40—45.

5. Назаров Ю.П., Позняк Е.В. О пространственной изменчивости сейсмических движений грунта при расчетах сооружений // Основания, фундаменты и механика грунтов. 2014. № 5. С. 17—20.

6. Пшеничкина В.А., Золина Т.В., Дроздов В.В., Харланов В.Л. Методика оценки сейсмической надежности зданий повышенной этажности // Вестник Волгоградского государственного архитектурно-строительного университета. Серия: Строительство и архитектура. 2011. № 25. C. 50—56.

7. Cacciola P. A stochastic approach for generating spectrum compatible fully nonstationary earthquakes // Computers & Structures. 2010. Vol. 88. No. 15—16. Pp. 889—901.

8. Hernández J., López O.A. Response to three-component seismic motion of arbitrary direction // Earthquake Engineering & Structural Dynamics. 2002. Vol. 31. No. 1. Pp. 55—57.

9. Shrikhande M., Gupta V.K. On the Characterization of the phase spectrum for strong motion synthesis // Journal of Earthquake Engineering. 2001.Vol. 5. No. 4. Pp. 465—482.

10. АйзенбергЯ.М., АкбиевР.Т., СмирновВ.И., ЧубаковМ.Ж. Динамические испытания и сейсмостойкость навесных фасадных систем // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. 2008. № 1. С. 13—15.

11. Джинчвелашвили Г.А., Мкртычев О.В. Эффективность применения сейсмои-золирующих опор при строительстве зданий и сооружений // Транспортное строительство. 2003. № 9. С. 27—31.

12. Мкртычев О.В., Джинчвелашвили Г.А. Анализ устойчивости здания при аварийных воздействиях // Наука и техника транспорта. 2002. № 2. С. 34—41.

13. Радин В.П., Трифонов О.В., Чирков В.П. Модель многоэтажного каркасного здания для расчетов на интенсивные сейсмические воздействия // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. 2001. № 1. С. 23—26.

14. Тамразян А.Г., Томилин В.А. Несущая способность конструкций высотных зданий при локальных изменениях физико-механических характеристик материалов // Жилищное строительство. 2007. № 11. С. 24—25.

15. Трифонов О.В. Моделирование динамической реакции конструкций при двухкомпонентных сейсмических воздействиях // Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. 2000. № 1. С. 42—45.

16. Thrainsson H., Kiremidjian A.S. Simulation of digital earthquake accelerograms using the inverse discrete Fourier transform // Earthquake Engineering & Structural Dynamics. 2002. Vol. 31. No. 12. Pp. 2023—2048.

17. Lekshmy P.R., Raghukanth S.T.G. Maximum possible ground motion for linear structures // Journal of Earthquake Engineering. 2015. Vol. 19. No. 6. Pp. 938—955.

18. Sanaz Rezaeian, Armen Der Kiureghian. Simulation of synthetic ground motions for specified earthquake and site characteristics // Earthquake Engineering & Structural Dynamics. 2010. Vol. 39. No. 10. Pp. 1155—1180.

19. Soize C. Information theory for generation of accelerograms associated with shock response spectra // Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering. 2010. Vol. 25. No. 5. Pp. 334—347.

20. Zentner I. Simulation of non-stationary conditional ground motion fields in the time domain // Georisk: Assessment and Management of Risk for Engineered Systems and Geohazards. 2013. Vol. 7. No. 1. Pp. 37—48.

Поступила в редакцию в июне 2015 г.

Об авторах: Мкртычев Олег Вартанович — доктор технических наук, заведующий научно-исследовательской лабораторией надежности и сейсмостойкости сооружений, профессор кафедры сопротивления материалов, ФГБОУ ВО «Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет» (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, mkrtychev@yandex.ru;

Решетов Андрей Александрович — кандидат технических наук, инженер научно-исследовательской лаборатории надежности и сейсмостойкости сооружений, ФГБОУ ВО «Национальный исследовательский Московский государственный строительный университет» (НИУ МГСУ), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, andrew331@bk.ru.

Для цитирования: Мкртычев О.В., Решетов А.А. Методика определения исходных характеристик наиболее неблагоприятных акселерограмм для линейных систем с конечным числом степеней свободы // Вестник МГСУ. 2015. № 8. С. 80—91.

O.V. Mkrtychev, A.A. Reshetov

METHOD FOR DETERMINING INITIAL CHARACTERISTICS OF THE MOST UNFAVORABLE ACCELEROGRAMS FOR LINEAR SYSTEMS WITH FINITE NUMBER OF DEGREES OF FREEDOM

The paper proposes a method of determining the baseline characteristics of accelerograms required for their synthesis. Accelerograms generated according to them transmit maximum impact energy of the seismic action to a construction. However, they are possible with a certain probability for a given construction site. To solve this problem were obtained seismic characteristics of the construction site and dynamic characteristics of the structure. Then was formed the target function characterizing the energy transmitted to the structure. Characteristics corresponding to the maximum of the target function will be most unfavorable baseline characteristics of accelerograms. As construction was considered a linear system with a finite number of degrees of freedom. In paper were obtained impulse and frequency responses of the considered linear system. As the seismic characteristics of the construction site have been obtained some characteristics of accelerograms. Such as the spectral density, distribution law dominant frequency, envelope. In paper as the target function is considered the dispersion of the displacement of the highest floor of the system. As varied parameter is considered a shift of the initial spectral density of the impact. On the shift parameter imposed probabilistic restrictions due to the law of the distribution of the dominant frequency. The use of the proposed method when generating accelerograms will allow to calculate seismic stability the most complete way.

Key words: accelerogram, probability, Dirac delta function, dispersion, impulse response, correlation function, seismic effect, system with finite number of degrees of freedom, target function, frequency response, energy.

References

1. Bolotin V.V., Radin V.P., Chirkov V.P. Modelirovanie dinamicheskikh protsessov v el-ementakh stroitel'nykh konstruktsiy pri zemletryaseniyakh [Modeling Dynamic Processes in the Elements of Building Structures in Case of Earthquakes]. Izvestiya vuzov.Stroitel'stvo [News of Higher Educational Institutions. Construction]. 1999, no. 5, pp. 17—21.

2. Mkrtychev O.V., Yur'ev R.V. Raschet konstruktsiy na seysmicheskie vozdeystviya s ispol'zovaniem sintezirovannykh akselerogramm [Structural Analysis on Seismic Effects Using Synthesized Accelerograms]. Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel'stvo [Industrial and Civil Engineering]. 2010, no. 6, pp. 52—54.

3. Mkrtychev O.V., Reshetov A.A. Metodika modelirovaniya naibolee neblagopriyatnykh akselerogramm zemletryaseniy [Methods of Modeling the Most Unfavorable Earthquake Accelerograms]. Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel'stvo [Industrial and Civil Engineering]. 2013, no. 9, pp. 24—26.

4. Nazarov Yu.P., Poznyak E.V., Filimonov A.V. Analiz vida volnovoy modeli i poluche-nie raschetnykh parametrov seysmicheskogo vozdeystviya dlya vysotnogo zdaniya [Wave Model Analysis and Obtaining Estimated Parameters of the Seismic Action for Tall Buildings]. Promyshlennoe i grazhdanskoe stroitel'stvo [Industrial and Civil Engineering]. 2014, no. 5, pp. 40—45.

5. Nazarov Yu.P, Poznyak E.V. O prostranstvennoy izmenchivosti seysmicheskikh dvizheniy grunta pri raschetakh sooruzheniy [On Space Variability of Seismic Movements of Soil at Structural Analysis]. Osnovaniya, fundamenty i mekhanika gruntov [Soil Mechanics and Foundation Engineering]. 2014, no. 5, pp. 17—20.

6. Pshenichkina V.A., Zolina T.V., Drozdov V.V., Kharlanov V.L. Metodika otsenki seysmi-cheskoy nadezhnosti zdaniy povyshennoy etazhnosti [Methods of Estimating Seismic Reliability of High-Rise Buildings]. Vestnik Volgogradskogo gosudarstvennogo arkhitekturno-stroitel'nogo universiteta. Seriya: Stroitel'stvo i arkhitektura [Bulletin of Volgograd State University of Architecture and Civil Engineering. Series: Construction and Architecture]. 2011, no. 25, pp. 50—56.

7. Cacciola P. A Stochastic Approach for Generating Spectrum Compatible Fully Nonsta-tionary Earthquakes. Computers & Structures. 2010, vol. 88, no. 15—16, pp. 889—901. DOI: http://dx.doi.org/10.10167j.compstruc.2010.04.009.

8. Hernández J.J., López O.A. Response to Three-Component Seismic Motion of Arbitrary Direction. Earthquake Engineering & Structural Dynamics. 2002, vol. 31, no. 1, pp. 55—57. DOI: http://dx.doi.org/10.1002/eqe.95.

9. Shrikhande M., Gupta V.K. On the Characterization of the Phase Spectrum for Strong Motion Synthesis. Journal of Earthquake Engineering. 2001, vol. 5, no. 4, pp. 465—482. DOI: http://dx.doi.org/10.1080/13632460109350402.

10. Ayzenberg Ya.M., Akbiev R.T., Smirnov V.I., Chubakov M.Zh. Dinamicheskie ispytani-ya i seysmostoykost' navesnykh fasadnykh sistem [Dynamic Tests and Seismic Resistance of Hinged Facade Systems]. Seysmostoykoe stroitel'stvo. Bezopasnost' sooruzheniy [Antiseismic Construction. Safety of Structures]. 2008, no. 1, pp. 13—15.

11. Dzhinchvelashvili G.A., Mkrtychev O.V. Effektivnost' primeneniya seysmoizoliruyush-chikh opor pri stroitel'stve zdaniy i sooruzheniy [Effectiveness of Seismic Isolation Bearings during the Construction of Buildings and Structures]. Transportnoe stroitel'stvo [Transpot Construction]. 2003, no. 9, pp. 27—31.

12. Mkrtychev O.V., Dzhinchvelashvili G.A. Analiz ustoychivosti zdaniya pri avariynykh vozdeystviyakh [Analysis of Building Sustainability during Emergency Actions]. Nauka i tekh-nika transporta [Science and Technology on Transport]. 2002, no. 2, pp. 34—41.

13. Radin V.P., Trifonov O.V., Chirkov V.P. Model' mnogoetazhnogo karkasnogo zdaniya dlya raschetov na intensivnye seysmicheskie vozdeystviya [A Model of Multi-Storey Frame Buildings for Calculations on Intensive Seismic Effects]. Seysmostoykoe stroitel'stvo. Bezopasnost' sooruzheniy [Antiseismic Construction. Safety of Structures]. 2001, no. 1, pp. 23—26.

14. Tamrazyan A.G., Tomilin V.A. Nesushchaya sposobnost' konstruktsiy vysotnykh zdaniy pri lokal'nykh izmeneniyakh fiziko-mekhanicheskikh kharakteristik materialov [Bearing Capacity of High-Rise Structures under Local Changes of Physical-Mechanical Characteristics of Materials]. Zhilishchnoe stroitel'stvo [Housing Construction]. 2007, no. 11, pp. 24—25.

15. Trifonov O.V. Modelirovanie dinamicheskoy reaktsii konstruktsiy pri dvukhkomponent-nykh seysmicheskikh vozdeystviyakh [Simulation of Dynamic Response of Structures at Two-Component Seismic Impacts]. Seysmostoykoe stroitel'stvo. Bezopasnost' sooruzheniy [Antiseismic Construction. Safety of Structures]. 2000, no. 1, pp. 42—45.

16. Thrainsson H., Kiremidjian A.S. Simulation of Digital Earthquake Accelerograms Using the Inverse Discrete Fourier Transform. Earthquake Engineering & Structural Dynamics. 2002, vol. 31, no. 12, pp. 2023—2048.

17. Lekshmy P.R., Raghukanth S.T.G. Maximum Possible Ground Motion for Linear Structures. Journal of Earthquake Engineering. 2015, vol. 19, no. 6, pp. 938—955. DOI: http://dx.doi. org/10.1080/13632469.2015.1023472.

18. Sanaz Rezaeian, Armen Der Kiureghian. Simulation of Synthetic Ground Motions for Specified Earthquake and Site Characteristics. Earthquake Engineering & Structural Dynamics. 2010, vol. 39, no. 10, pp. 1155—1180. DOI: http://dx.doi.org/10.1002/eqe.997.

19. Soize C. Information Theory for Generation of Accelerograms Associated with Shock Response Spectra. Computer-Aided Civil and Infrastructure Engineering. 2010, vol. 25, no. 5, pp. 334—347. DOI: http://dx.doi.org/10.1111/j.1467-8667.2009.00643.x.

20. Zentner I. Simulation of Non-Stationary Conditional Ground Motion Fields in the Time Domain. Georisk: Assessment and Management of Risk for Engineered Systems and Geohaz-ards. 2013, vol. 7, no. 1, pp. 37—48. DOI: http://dx.doi.org/10.1080/17499518.2013.763572.

About the authors: Mkrtychev Oleg Vartanovich — Doctor of Technical Sciences, head, Research Laboratory "Reliability and Earthquake Engineering", Professor, Department of Strength of Materials, Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; mkrty-chev@yandex.ru;

Reshetov Andrey Aleksandrovich — Candidate of Technical Sciences, engineer, Research Laboratory "Reliability and Earthquake Engineering", Moscow State University of Civil Engineering (National Research University) (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; andrew331@bk.ru.

For citation: Mkrtychev O.V., Reshetov A.A. Metodika opredeleniya iskhodnykh khara-kteristik naibolee neblagopriyatnykh akselerogramm dlya lineynykh sistem s konechnym chislom stepeney svobody [Method for Determining Initial Characteristics of the Most Unfavorable Accelerograms for Linear Systems with Finite Number of Degrees of Freedom]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2015, no. 8, pp. 80—91.