Геометрография ортопрямых, моделирующих кривизну некоторых линий, связанных преобразованиями

Б/2011 М1ВЕСТНИК

ГЕОМЕТРОГРАФИЯ ОРТОПРЯМЫХ, МОДЕЛИРУЮЩИХ КРИВИЗНУ НЕКОТОРЫХ ЛИНИЙ, СВЯЗАННЫХ ПРЕОБРАЗОВАНИЯМИ

GEOMETROGRAFIYA ORTOPRYAMYH SIMULATING THE CURVATURE OF SOME LINES, CONNECTED BY THE TRANSFORMATION

А.Ю. Борисова, Ю.О. Полежаев

A.Y. Borisova, J.O. Polezhayev

ФГБОУ ВПО МГСУ

Рассматриваются геометрические модели дифференциальных прямых и порождаемых ими огибающих на примере эллиптической кривой. Затрагиваются вопросы сопряжения дуг окружностей кривизны, представляющих в пределе линию квадрики.

We propose a geometric model of differential lines and is generated by observables of the envelopes as an example of an elliptic curve. Address issues pairing of circular arcs of curvature of the limit line of the quadric.

Рассмотрение моделей построения дифференциальных ортопрямых, их семейств и огибающих для окружности, эллипса и его эвольвенты можно осуществлять [1] обособленно по каждой из названных кривых, либо комплексно, учитывая их взаимосвязи вследствие композиций известных преобразований.

Так, например, используя характерную точку (F) эллипса, можно построить соответственную точку окружности (i) и её ортоэлементы. Далее, комплексно, определяются взаимосвязанная точка (Ti) эллипса с её ортопрямыми, и, наконец, через них реализуется построение дифференциальных прямых в точке (ri) эволюты эллипса. Алгоритм обнаружения некоторой точки эволюты можно было бы построить и от исходной точки базовой окружности (Ra).

Начнем обсуждение темы с комплексного алгоритма, для которого исходными являются величины эллипса (a;b;^-c). Среди них (с) - производная от (a;b) величина, определяющая позиции (F1;F2) эллипса. Если (a;b) заданы в квадратуре круга, есть много способов обнаружения (F1;F2), - например, используя инциденции пары окружностей (Ra), или построения треугольников Пифагора, когда его катеты (Рис.1) совмещены с (x,y).

Итак, для заданного эллипса (a,b,c) из точки (F2), например, построим секущую к «сопряженной» окружности (Ra) в её точке (i). Точка принимается за вершину прямого угла (Рис.1), вторую сторону которого (i3;Pi), необходимо построить ортогонально к (F2;i). Диагональ (i1;o;i3) окружности квадратуры позволяет это сделать. Заметим, точка (Pi) должна принадлежать оси (x). Будем называть её «полярной» в отличие от соответственной ей «фокальной». Полярную точку определяет также инцидент оси (x) и дуги окружности с центром (0,5P;) на (x) и, следовательно, радиусом (o;0,5P;). Позиция

ВЕСТНИК 8/2011

названного центра определяется построением отрезка (^;Р0) равного (Р^0), в качестве диагонали соответственного прямоугольника (0Ц0;Р^Р0). Таким образом (РьО, - есть касательная эллипса в его точке (Т^.

Но поскольку указать инцидент касательной и дуги эллипса не достаточно удобно из-за эффекта параксиальности в окрестности точки касания (Т^, необходимых ещё, какие либо линии, достоверно определяющие искомую точку. Такими линиями являются вертикаль через (Да) полигона эллиптической пропорциональности (Рис.1) в совокупности с дугой (К=0;0,5Р^. Будем называть полигоном эллиптической пропорциональности треугольник (а;ук;уь) в квадратуре круга для которого (а;ук), - диагонали четвертей базовой окружности и заданного эллипса.

Рис.1

Треугольник можно рассматривать в качестве разности площадей двух прямоугольных треугольников: (а;ук;0) и (а;уь;0). Дуга окружности на диаметре (Р^0), например (Рц;0), является «полярной», вспомогательной окружностью, точка (0) которой соприкасается с началом репера. По этой причине для каждой точки базовой окружности (цКа) найдется своя соприкасающаяся окружность, чётко определяющая соответственные инциденции (а^) и (Т^, подтвержденные прямыми линиями эллиптической пропорциональности (Рис.1). После операции нахождения позиции (Т^ необходимо строить нормаль (п^ в отношении прямой для рассматриваемой точки (Т^.

Для этого построив прямую (ц0), определим на (Ка) точку (^). Из центра проводим дугу радиусом (Т^2) и производим на ней засечку ещё одной дугой с радиусом (Ь;Т) из центра (^), - в итоге получим точку (г^ на искомом (Т^) направлении (п^. Существуют варианты решения этой задачи. На изображении (Рис.2) показаны семейства взаимосвязанных (щ) нормалей эллипса, которые являются касательными порождаемой ими эволюты. Таким образом, на у-положительной дуге (е) от положительного фокуса образуются два семейства прямых:

1) касательных, огибающих эту дугу,

2) нормалей, огибающая которой имеет точку возврата.

8/2011

ВЕСТНИК _МГСУ

штж

Рис.2

После нахождения направления (п;)остается найти на нём величину ( г), радиуса кривизны в точке (Т;) эллипса. Для этого имеем следующее аналитическое решение. Кривизна линий класса:

— + — -1

~+Ь" ~

в некоторой фиксированной точке (Т;) определяется из уравнения:

(т -1 )(аЬут (хуУ 2

к = -

(р2"х2"-2 + а2"у 2т-2 ^

Для эллиптической квадрики соответственное выражение, определяющее радиус кривизны будет иметь вид:

г

* " (аЬ)4

Таким образом, просчитанный массив координат точек квадрики моделирует соответственный массив на эволюте заданной квадрики. Разумеется, интересны её характерные точки. Если переменным присвоить значения

Гу " Ь

на оси (х): _ Ь! . Между этими точками возврата следует считать характерными,

а

поменьшей мере, ещё две. Одна порождающая точка лежит на оси (у) в инциденте с базовой окружностью, и производит далее характерную точку на эволюте. Вторая порождающая точка также лежит на базовой окружности в тождестве с диагональю квадратуры, но её преобразование в эллиптическую может быть варьировано. Следовательно, на эволюте для названных точек определяются разные геометрические места, но по признаку различных преобразований, - это характерные точки.

Рассмотрим далее некоторые геометрографические модели названных точек. Для определения позиции центра кривизны (гх) на оси (х) необходимо воспользоваться фокальным параметром, совместив его с (х) так, чтобы конец радиуса совпал с (а) эллипса (Рис.3). Тогда геометрографический алгоритм решения соответствует выражению:

Ь

Ь •-

при этом

Позиция другой величины, центра кривизны (гу), при-

X =

а

а

ВЕСТНИК МГСУ

8/2011

надлежит оси (у). Модель её построения показана на том же изображении (Рис.3), и соответствует выражению | а. — |. Координата (у) центра кривизны (гу) равна геомет-

Ь

рографической величине выражения

У, =

а 2 - Ь2

Ь

В данном изложении темы нет не-

обходимости приводить доказательства вследствие достаточной очевидности геомет-рографических построений; а также возможности развернуть логику этих обоснований в специальной статье.

Рис.3

Далее предлагается аппроксимация дуги эллипса сопряжениями пяти дуг окружностей для интервала (0,5 71), т.е. четверти дуги исходной окружности (Яа) между осями (х;у). Построение базируется на свойствах эволюты эллипса (Рис.3). Её пиковые точки (хэ) и (уэ), повторим, находятся следующим образом. Определив фокальный параметр (Р;уР), и построив дугу этим радиусом из центра (а), получим (хэ), первый центр сопряжения с его радиусом кривизны (хэ;а). Вторая пиковая точка лежит на инциденте оси (у) и прямой, являющейся диагональю «фокального прямоугольника» со сторонами (а;хэ) и (а;уэ). Диагональ проходит через первую пиковую точку (хэ).

Первая дуга окружности сопряжения начинается из (а) и заканчивается на пересечении с диагональю фокального прямоугольника в точке (1). Вслед за первым интервалом (а;1), вторая дуга сопряжения лежит в секторе между точками (1) и (2) эллипса. Позицию точки (2) определяет вертикальная координатная линия (у) для точки (Р). Второй центр сопряжения ( 2) находится пересечением пары прямых (1; 1) и биссектрисы угла (Р1;2;Р2) в вершине (2), которая является нормалью эллипса в названной точке. Таким образом, инцидент прямых (1; 1) и (2;х2) есть искомый центр ( 2). Далее, точка (3) дуги эллипса соответствует диагональной точке исходной окружности и концу следующего интервала сопряжения (2;3). Продолжение предыдущего отрезка (2; 2) до соответственной нормали из (3) (Рис.3) определяет на ней точку ( 3), которая явится центром следующего сопряжения для означенного интервала дуги эллипса (2;3). Отрезок (3; 3), повторим-нормаль в точке (3) эллипса. Построим, наконец, прямую через центр сопряжения (*5 = —\ и точку эллипса над (0,5хэ) принадлежащей оси (х), ко-( 5 " Ь ;

Б/2011 М1ВЕСТНИК

торая на дуге эллипса зафиксирует точку (4) для интервала сопряжения (3;4). Инцидент прямых (3; 3) и (4; 5), - есть центр сопряжения ( 4) на интервале (3;4). Центр сопряжения ( 5) известен. Как видим, - найденные центры сопряжений в известной мере соответствуют точкам эволюты, или определяют окрестности позиций этих точек. Здесь усматривается экспресс-способ построения точек эволюты в связи с аппроксимацией эллипса дугами сопрягающих окружностей. Разумеется, это один из многочисленных способов преобразования эллиптической кривой (ke) в кривую её эволюты (кэ).

В заключение отметим, что практическая потребность данной тематики исследований связана и с проектированием, и с конструированием объектов, когда используют в качестве необходимых средств лекала, шаблоны, работы на плазе и т.д.

Переходя к некоторым выводам, вышеизложенного фрагмента по теме приведем лишь три очевидных соображения.

1. Теоретически «идеальным и последовательно плотным» массивом сопряжений между точками эллипса является соответственный нуль-интервал для каждых соседних пар точек эволюты и эллипса. Иными словами, - дуга эллипса есть оптимальная модель сопряжений между всеми его образующими точками.

2. На эллипсе, исходной окружности (Ra), либо на эволюте - можно задавать те или иные интервалы, каждый из которых порождает ряды или является следствием онтогенетическим для соответственно связанных точек названных кривых.

3. Могут быть избраны, назначены различные композиции «интервалов сопряжений» с той или иной целью: их построения, точности, визуальных и других оценок; например, соотношений с величинами «золотой пропорции» [2].

Литература

1. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. «Наглядная геометрия». - М-Л: Издательство Т.Т.Л., 1951г.,

350с.

2. Полежаев Ю.О. «Рациональные пропорции архитектурно-строительных объектов в проекционной геометрии» - М.: Издательство АСВ, 2010г., 195с.

Literatura

1. D. Hilbert, S. Cohn-Vossen, "Geometry" - M-L: T.T.L. Publishing, 1951, 350s.

2. Polezhayev JO "Rational proportion of architectural and engineering facilities in the projec-tive geometry" - M.: Publishing ASV, 2010, 195s.

Ключевые слова: геометрография, ортопрямая, эвольвента, фокальная точка, квадратура круга, инциденция, эллиптическая квадрика, «золотая пропорция».

Keywords: geometrografiya, ortopryamaya, involute, the focal point of squaring the circle, the incidence, the elliptic quadric, "goldenproportion".

e-mail автора: grafika@mgsu.ru

Рецензент: Фаткуллина A.A., кандидат архитектуры доцент, кафедры начертательной геометрии, МАРХИ