Устойчивость деформирования составного шара и итерационная процедура расчета напряженного состояния

УДК 539.3

С.В. Жижерин, В.В. Стружанов Институт машиноведения УрО РАН, Екатеринбург

УСТОЙЧИВОСТЬ ДЕФОРМИРОВАНИЯ СОСТАВНОГО ШАРА И ИТЕРАЦИОННАЯ ПРОЦЕДУРА РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННОГО

СОСТОЯНИЯ

Abstract

A problem of uniform stretching of heterogeneous sphere by soft and hard scheme is considered. The inner part of a sphere is made of damaging material We consider equations of elasticity theory and develop an iterative procedure to determine stressed-strained state. Conditions of its convergence are formulated. Some stability conditions of equilibrium position are discovered by investigation using catastrophe theory methods. It's shown that iterative procedure become divergent and loss of stability occurs under the same condition.

Итерационные методы широко применяются для решения краевых задач механики деформируемого твердого тела. Если итерационный процесс сходится, то напряженно-деформированное состояние определено. Если же расходится, то связь этого явления с физическим состоянием тела, как правило, не проявляется. Конечно, желательно строить такие итерационные процессы, сходимость и расходимость которых отражали бы физическое состояние тел.

В работах [1,2] предложена схема итерационного процесса решения краевых задач для некоторых тел, материал которых обладает эффектом деформационного разупрочнения, который характеризуется падающей ветвью диаграммы деформирования. Введение в рассмотрение разупрочнения (физической неустойчивости материала) приводит к тому, что в определенный момент положение равновесия тела становится неустойчивым, устойчивость деформирования нарушается. В результате такой потери устойчивости тело разрушается.

В [1,2] показано, что положения равновесия определяются разработанным итерационным процессом, если он сходится. В данной работе сделана попытка увязать начало расходимости процесса с потерей устойчивости тела, а именно, на примере расчета составного шара при равномерном его растяжении по мягкой и жесткой схемам показано, что начало расходимости итерационного процесса по схеме, разработанной в [3,2], означает потерю устойчивости деформирования данного тела.

1. Рассмотрим сплошное тело, состоящее из шара с радиусом а и окружающей его толстостенной сферы с внутренним радиусом а и внешним Ъ (рис.1). Деформирование осуществляем либо заданием на внешней границе всестороннего растягивающего усилия р (мягкое нагружение), либо заданием радиального перемещения и/ (жесткое нагружение). Материал сферы идеально упругий с модулем объемного растяжения K = E/(\~ 2v)> где Е - модуль Юнга, v - коэффициент Пуассона. Свойства материала внутреннего шара при всестороннем растяжении

характеризует полная диаграмма в координатах объемное напряжение ст0 ~ объемная деформация £0, состоящая из восходящей и ниспадающей до нуля ветвей (рис.2). На

пр Д «Р Я

диаграмме сг0 ,сг0 ,€0г,г0 — соответственно предел пропорциональности и предел

прочности при всестороннем растяжении и объемные деформации им отвечающие, е%

- деформация разрушения. На стадии упругости свойства материала шара совпадают со свойствами материала сферы, на стадиях упрочнения (восходящая после упругости ветвь) и разупрочнения (падающая ветвь) касательный (мгновенный) объемный модуль

КР=с1<70/<1£о (Кр < К).

При всестороннем растяжении пластических деформаций, понимаемых в традиционном смысле, не возникает. Поэтому нелинейность диаграммы <т0(£Гс) связана с повреждением материала микротрещинами, микропорами и т.п. В этом случае возможны два варианта разгрузки. Первый - без остаточных деформаций с секущим модулем К5 = сг0 / £0 (прямая 1, см. рис.2), когда повреждения абсолютно хрупкие.

Второй ~ с образованием остаточных деформаций, которые будем обозначать , и

модулем разгрузки Ки < К (прямая 2, рис.2), если возле повреждений, например, в

вершинах микротрещин, образуются локштьные пластические зоны.

Аналогично [1,2] запишем уравнение второго закона термодинамики с учетом необратимости и изотермичности процесса деформирования в виде

dF~~ o^0d£0-dq}

Р

где р— свободная энергия, dq>0 - некомпенсированное тепло, р — плотность

материала. Параметрами термодинамического состояния материала являются £%,£% -упругая и пластическая составляющие объемной деформации, определяемые по результатам разгрузки, причем

= £о + ео »

pdq = аціїЄц - р-~с

и параметр ш, характеризующий поврежден ность материала м и кро дефектам и. Если упругие свойства материала не зависят от пластических деформаций, то Р = Р(е%9а>). Тогда, учитывая равенство (2), уравнение (1) можно переписать в виде

(тт - ~)<*о + (-§- <Лсо - — с1ед + <Щ) = 0.

де1 р С/СО р

Отсюда

дР

;0

дР Эй)

Из (4) следует, что р1Ц = <к£+<к['\ где dq>-a^d£^ - механическая диссипация, дР ,

dq"— -p——d(^> - диссипация континуального разрушения. осо

Функция свободной энергии определяет ту часть внутренней энергии, которая остается в теле и не переходит в теплоту. Для рассматриваемого процесса деформирования она равна

где первый член в скобках является потенциальной энергией упругих деформаций после механической диссипации, а второй член - энергией, потерянной из-за континуального разрушения. Тогда, используя формулу (3) и равенство (2), получаем

<т0 = Щ - <Же1 = К

где К{ 1 ~со)~ К11 - модуль разгрузки. Из (5) следует, что £$ = сг0 / К + - £%а + £$0

(рис.2). Так как сг0 = Ки£$, то

Ки

а> = 1-—.

Далее, используя формулу (5), находим

dcr

С другой стороны, справедливо инкрементальное соотношение

daQ=Kpd£Q.

Приравнивая выражения (7) и (8), получаем дифференциальное уравнение

р do) d£l Кр d£n

с начальными условиями £У(0) = 0, (0) = О, ^р(0) = К.

Если = 0 и не изменяется, то из (9) получаем

dco Кр /4ЛЧ

Уравнение (9) определяет кинетику совместного формирования гюврежденности и пластической деформации, а уравнение (10) - кинетику поврежденности при

отсутствии пластической деформации. Непосредственно проверяется, что выражение (6) является общим решением дифференциального уравнения (9) и уравнения (10) при Ки =К\

Наконец, уравнение (9) можно переписать в виде <Ле1(0 - с[£^ф - , где

= с^(те0-е^)),

Здесь с^£рм - приращение псевдопластической деформации, которое могло бы иметь

место, если бы модуль разгрузки был равен К.

Вернемся опять к уравнению (5) и запишем его в виде

*0 - Фо - 4 ~ - 4)] = - « + О] = К

где £$0 - величина полной псевдопластической деформации, определяемой разгрузкой

с модулем К. Кинетика ее формирования зависит от изменения €% и со и описывается с формальной точки зрения уравнением (11).

2. Перейдем к решению задачи о всестороннем растяжении составного шара, используя для внутренней шаровой области формальную связь между напряжениями и деформациями (12), так как эта область в данном случае всегда находится в состоянии всестороннего равномерного деформирования.

Уравнения исходной краевой задачи в сферических координатах имеют вид [3]:

с}а о - <7$

- уравнение равновесия —~ + 2----------= 0, сг,? == <тт;

аг г ^ ч>

с1и и

- соотношения Коши £г = —, £б = £(0 - ;

аг * г

[аС(е-е^),0</-<а,

- физические соотношения а = < '

[осСе, а<г<Ь.

Здесь и - радиальное перемещение (единственно возможное), а~ Е[( 1 + |/)(1~2]/)]-1,

О, е - вектор-столбцы напряжений и деформаций соответственно с компонентами аг9О0,0ф9£г9£0,£р (обозначения традиционны для сферических координат), е£ -

вектор-столбец псевдопластических остаточных деформаций, С - симметричная матрица второго порядка с компонентами Си = С22 = С33 - \- V, С12 = С13 = С23 = V,

Се - произведение матрицы на вектор-столбец, понимаемое в обычном смысле,

Граничные условия в случае жесткого нагружения равны

и\г=ь = ы,

а при мягком нагружении

- Р-

Сформулированная исходная краевая задача разбивается на две, а именно, основную и корректирующую задачи. Основная - это задача о всестороннем растяжении чисто упругого шара (граничные условия (13), (14)), Ее решение для мягкого нагружения

&г = о'# = о'9 = рь £\ =£'# = £'<р = р/ к, м* = рг / К;

а для жесткого нагружения

о\~ р = Км / Ьу е\ = = \и/Ьу и'- \vrfb.

Корректирующая - это задача об определении собственных (остаточных) напряжений в упругом (сплошном) шаре при заданной величине псевдопластической остаточной

деформации внутреннего шара, определяемой вектор-столбцом ер с компонентами

£аг ~ £а)д ~ £охр ~ еоа) ~ £?  Граничные условия в этом случае для мягкого нагружения

Найдем решение корректирующей задачи. Для этого сначала освободим от связей внутренний шар и придадим ему положительную остаточную объемную

деформацию £р. Тогда граница получит радиальное перемещение ир -а£р. Если теперь возвратить шар на прежнее место, то в силу сопротивления толстостенной сферы точки границы внутреннего шара переместятся в обратном направлении на некоторую величину к, а внутренняя граница сферы получит перемещение ир -к. Напряженно-деформированное состояние шара определяют выражения (16) с заменой IV на (-*) и Ь на а. Решение задачи о напряженно-деформированном состоянии сферы при граничный, условиях (17) или (18) и \>\г^а-ир -к хорошо известно в теории упругости [3]. Данные решения позволяют найти потенциальную энергию упругих деформаций во внутреннем шаре Пх{к) и в окружающей его сфере П2{к). Исходя из принципа минимума потенциальной энергии, в положении равновесия должно выполняться уравнение

Производя необходимые действия и преобразования, находим величину к и соответственно напряжения во внутреннем шаре и в толстостенной сфере, его окружающей.

Итак, решение корректирующей задачи для граничных условий (17) имеет вид

дк

V = єр Аг, Пг ~ % = % - еР а а"г = (т"# = (ґ'<р = -КєрВ, 0 < г < а;

о"а = о,'=Е£К 2+~).ер,

Г

а <г <Ь,

2{Ъг - а3)

а для граничных условий (18) имеем

V-єрМгу т]г = щ = щ = єрМ9 а"г~а"#~(т"(р = -~К£рІУі 0<г<а;

у = £рр

Г г г

о"г = ~КР(2^^-:^ + \)єр,  2і.- - \)і:р, а<г<Ь,

(1 + 9 (1 + у)г3

„

где м - -—— —--------, ДГ =---------г----;-----, Е-

ЗЬ\\-у) ЪЪ\\-у) ’ 3&3(1-к)’

Непосредственно проверяется, что решением исходной задачи при заданном значении £р является сумма решений основной и корректирующей задач.

Пусть теперь при некотором р = р* составной шар находится в равновесии и известны вектор-функции а*(^г(г), а^(г), а*ф(г», е.(е*г(г), е*д(г), е*ф(г)), функция

и* (г) и £* - остаточная объемная деформация внутреннего шара. Кроме того,

известны характеристики материала внутреннего шара <о*, Кр, К!. Увеличим нагрузку на Ар и определим параметры нового положения равновесия. Сначала по формулам (15), подставляя вместо р величину Ар, получаем решение основной задачи - векторы С,', и функцию и\ . Тогда вектор-функции = о* +<Тре1 = е* + е[ и функция м1 = и* + и\ представляют собой первое приближение к решению исходной задачи для р] = р* + Ар . Компоненты вектора е, во внутреннем шаре одинаковы и постоянны и равны = % + £*01. Используя это значение, по диаграмме деформирования

(см. рис.2) находим К С, К“ и затем значение ^ = 1 - К” I К.

Далее, используя зависимость (11), куда подставляем ёе0 = е\{,Кр - К* , вычисляем значение (б^)^, которое обозначим По формулам (19), где £р

заменяем на <!€%, получаем решение корректирующей задачи - вектор-функции с,#(а£,оГ^,о*1ф) ‘ПКЛ^'Пи^'П^) и функцию Тогда второе приближение равно о2=с}+а*9 е2=е|+Т1,, и2=:ы1+у1- Опять находим объемную деформацию во внутреннем шаре £02 = £0} + Т]ох и затем К2 ,К“ ,со2, £2 ~ £* +с?£хр. Снова по формуле (11), где уже = щх ,КР ~ К(* , вычисляем прирашение остаточной объемной

деформации внутренней области с?£% и повторяем процесс корректировки, и т.д.

При решении задачи с жесткими граничными условиями увеличиваем перемещение внешней границы составного шара на величину = -ил* + Ли»). Для

определения параметров нового положения равновесия применим ту же итерационную методику, только вместо формул (15), (19) будем использовать формулы (16), (20).

Для исследования сходимости итерационных процессов запишем итерационные ряды для внутреннего шара, так как именно их сходимость и определяет сходимость всего процесса. При мягком нагружении имеем

£0 = £*о* + Ар / К + 2] Д,

ы

где Д,+1 = сЛ, Д=(\-К? I К) А{ 1 -

Ряд (21) сходится, если сп< 1, и расходится, если начиная с некоторого

А — 1

момента, с > 1. Отсюда получаем условие сходимости Кр >--------------К. Так как

А

0<А<\, то при Кр >0 ряд (21) всегда сходится. При Кр < 0 ряд может как

сходиться, так и расходиться. Это зависит от величины Кр и параметра А, то есть от отношения а /Ъ и коэффициента V. Начало расходимости определяет равенство

2

К? -—±------------------’—К.

Ъ\\+у) + 2а\\-2у)

Рассуждая аналогично, получаем условие сходимости при жестком

„ М-1

нагружении Кр > ^ К.Тж. как 0< М< 1, то при Кр >0 итерационный процесс

всегда сходится. Начало расходимости определяет равенство

Отметим, что для расходимости итерационного процесса при жестком нагружении всегда требуется больший наклон падающей ветви диаграммы деформирования (см. рис.2), чем для расходимости при мягком нагружении.

3. В качестве примера произведем расчеты, когда свойства материала внутреннего шара описывает зависимость

I К£0,е0<еор;

0 |(-1345£0 +1825)(297• 1О3£02 -959гг0 + I)"1, епр < е0 < е%,

где ^ = 5-104кг/ ,.е = 2- 104 кг/ ^0,3, е* =0,001, & =0,007.

/мм /мм

Кривые равновесных состояний системы приведены на рис.З (рис.З,а - для жесткого нагружения, рис.3,6 - для мягкого нагружения). Кривые 1,2,3 получены соответственно для а-10 мм, Ъ=\2> 20, 50 мм. Отметим, что приведенные итерационные процедуры определяют только кривые до точки с, так как в этот момент выполняются условия (22) или (23) и последовательные приближения начинают расходиться. Как получены остальные части кривых, будет ясно из последующих рассуждений. В случае жесткого нагружения при а = 10,6 = 12 (кривая 1, см. рис.З,а) условие (23) не выполняется и итерационный процесс сходится. Поэтому возможно проследить все состояния равновесия системы, вплоть до разрушения внутреннего шара, которое происходит постепенно, без скачков.

На рис.4 показано изменение поврежденности материала внутреннего шара в процессе деформирования (рис.4,а - для жесткого нагружения, рис.4,6 - для мягкого

1

нагружения). Кривые 1 рассчитаны по формуле со-\-Ки!К, где Ки -^КК3 , кривые 2 ~ по формуле а)-\- К* I К> При жестком нагружении (а = 10 мм, Ь = 12 мм) поврежденность постепенно стремится к единице, когда внутренний шар разрушается постепенно. Если итерационные ряды начинают расходиться, то кривые поврежденности обрываются в точках N и М (см. рис.4,а). Трактуя начало

расходимости как динамическое разрушение, находим, что при разрушении поврежденность материала не достигает единицы. При мягком нагружении поврежденность никогда не достигает единицы (см. рис.4,б).

Рис.З. Кривые равновесных состояний: (а) - жесткое нагружение, (б) - мягкое нагружение

Рис.4. Кривые поврежденности: (а) - жесткое нагружение, (б) - мягкое нагружение

4. Исследуем поведение составного шара как дискретной системы. Выпишем выражение полной энергии системы для случая мягкого нагружения:

К и>

П ~ Ала2 |Ык)с1к: + Пс

о о

Здесь Пс - потенциальная энергия упругих деформаций толстостенной сферы, к -радиальное перемещение точек поверхности внутреннего шара и внутренней

поверхности сферы (г = а), к(к)~ зависимость усилия равномерного растяжения внутреннего шара от перемещения точек его границы. Функция Ъ(к) определяется диаграммой <т0(£0) (см. рис.2), а именно, И = <т0>лг = £0а.

Для вычисления Пс нужно знать решение упругой задачи для сферы с граничными условиями в перемещениях (перемещение точек внешней границы а внутренней к), которое определяется аналогично решению корректирующей задачи в области а<г<Ъ для случая жесткого нагружения. Производя необходимые вычисления, находим

Пс(у>>,к) - —---------А1аЬ{Ък--ст)2{.\~2у) + {Ь2\у-а2к)2{\ + 1/)],

(1 + у)(Ь-а>у 1

Далее известно [4], что положения равновесия системы определяют решения уравнений

дП дП

лГ°’лГ‘а

Подставляя сюда выражения для П и производя преобразования, получаем, что в

положениях равновесия параметры и>, к, р связывают соотношения

^ 'л[2а\ 1 - IV) + £3

Р~К Ь

аИ(к){ 1 + Л3 - о3) + Кк\2Ь3 (-1 - 2у) + а3 (1 + V)]

уу —--------------------------------------------.

Ш2(\~у)К

При жестком нагружении в выражении для полной энергии (24) отсутствует последний член и положения равновесия определяет только первое уравнение в (25). Решение его дает соотношение (27).

Кривые равновесных состояний, построенные с использованием формул (26) и (27) для приведенных ранее данных, показаны на рис.З. На начальных участках (до точек с) они совпадают с полученными ранее.

Координаты точек, где происходит смена устойчивых положений равновесия на неустойчивые, находятся из уравнений, получаемых приравниванием к нулю детерминанта матрицы Гессе [4]. В случае мягкого нагружения имеем

дгп д2п Г дгп

дк2 дм1 ч дкдл>

>2

= 0,

при жестком нагружении ^ = 0.

дЧ]

дк‘

Решения этих уравнений дают условия потери устойчивости положения равновесия системы, которые совпадают соответственно с условиями (22) и (23) и определяют точку с на графиках равновесных состояний. Таким образом, начало расходимости итерационных процессов определения напряженно-деформированного состояния составного шара при равномерном его растяжении по мягкой и жесткой схемам нагружения отвечает потере устойчивости его равновесного состояния.

Библиографический список

1. Жижерин С.В., Стружанов В.В. Деформирование балки из повреждающегося материала при чистом изгибе // Математ. моделир. систем и процессов: Сб. науч. тр. / Перм, гос. техн. ун-т. ~ Пермь, 1999. - №7. - С.20-27.

2. Стружанов В.В., Жижерин С.В. Модель повреждающегося материала и итерационные методы расчета напряженного состояния при кручении // Вычислительные технологии. - 2000. - Т.5. - №2. - С.92-104,

3. Безухов Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. - М.; Высшая школа, 1988. - 512 с.

4. Стружанов В.В., Миронов В.И. Деформационное разупрочнение материала в элементах конструкций. - Екатеринбург: УрО РАН, 1995. - 190 с.

Получено 15.06.2002