Использование сфероидальных координат при решении задач дифракции методом диаграммных уравнений

Использование сфероидальных координат при решении задач дифракции методом диаграммных уравнений

Ключевые слова: метод диаграммных уравнений, сфероидальные координаты, рассеяние волн, численные методы теории дифракции.

Дано дальнейшее развитие метода диаграммных уравнений (МДУ). В этом методе исходная краевая задача для уравнения Гельмгольца сводится к интегрально-операторному уравнению относительно пространственной спектральной характеристики волнового поля (например, диаграммы рассеяния). Результатом такой формулировки задачи является чрезвычайно высокая скорость сходимости вычислительного алгоритма. Получены уравнения метода диаграммных уравнений в вытянутых сфероидальных координатах для численного моделирования рассеяния волн.Ме-тодика базируется на представлении фундаментального решения и рассеянного поля в виде рядов по угловым и радиальным сфероидальным функциям. Обсуждается сход имость и устойчивость численных алгоритмов, реализованных на основе полученной модификации МДУ. Приведенные результаты показывают, что при использовании сфероидальных координат скорость сходимости практически не зависит от степени вытянутости рассеивателя. Точность вычислений контролируется посредством вычисления баланса потоков мощностей для падающей и рассеянной волн (проверка выполнения "оптической теоремы"). Во всех приведенных в настоящей работе примерах, при использовании вытянутых сфероидальных координат баланс потоков мощностей выполнялся с относительной точностью, не хуже чем 10-5.Показано, что данный метод обладает высоким быстродействием и универсальностью. Приведенные в статье результаты убедительно демонстрируют, что алгоритм расчета, реализованный на основе описанного в работе метода, оказался достаточно эффективным. Это позволило исследовать решение задачи рассеяния в широком диапазоне параметров, характеризующих геометрию рассеивателя. Исследованы различные примеры, демонстрирующие эффективность предлагаемого метода. Исследовано рассеяние плоской волны на суперэллипсоиде вращения с соотношением полуосей, превышающем 100. Результаты расчета сопоставлены с данными, полученными другими методами в той области параметров, в которой они применимы. Проведено сравнение с результатами, полученными методом продолженных граничных условий. Рассмотрен случай, когда на поверхности рассеивателя выполняется граничное условие Дирихле. Обобщение развитой методики на другие случаи также может быть выполнено.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект № 12-02-00062.

Клеев А.И.,

в.н.с., д.ф.-м.н., Институт физических проблем им. ПЛ.Капицы РАН, kleev@kapHza.ras.iv

Кюркчан А.Г.,

зав. кафедрой, д.ф.-м.н., МТУСИ, agkmtvci@yandex.iv Мадекин С.А.,

аспирант, МТУСИ, smadekin@gmail.com Введение

В работах [1, 2] предложен новый метод решения задач раесеяния - метод диаграммных уравнений (МДУ) (см. также [3]). Показано, что данный подход обладает существенными преимуществами перед многими универсальными методиками и весьма эффективен при решении широкого класса задач. Впоследствии в работе [4] МДУ обобщен на случай импедансных краевых условий, показано, что метод сохраняет свою высокую эффективность также в том случае, когда поверхность рассеивателя имеет изломы. В работе [5] МДУ применен для решении задачи о рассеянии волн сплюснутым сфероидом. Было показано, что скорость сходимости МДУ практически не меняется даже при увеличении отношения осей сфероида до 40.

В настоящей работе предлагается использовать вытянутые сфероидальные координаты при решении задачи рассеяния на сильно вытянутых телах методом диаграммных уравнений.

Основные уравнения метода

Рассмотрим задачу рассеяния волнового скалярного поля, задаваемого функцией г/'"1 на препятствии, ограничен-

ном замкнутой поверхностью 5- Рассеянное поле г/1" удовлетворяет однородному уравнению Гельмгольца

Дн

где О - область, ограниченная поверхностью 5,

Полагаем, что полное поле и — г/" + и ' удовлетворяет

граничному условию Дирихле на 5 :

Воспользуемся следующим интегральным соотношением [3,6]:

СП

дп'

где

Са =

4я\г - г'\

- фундаментальное решение уравнения Гельмгольца, символом д/дп' обозначено дифференцирование по направлению внешней нормали в точке интегрирования. Используя граничное условие (2), приходим к следующему выражению для рассеянного поля;

.V ди'

Перейдем к вытянутым сфероидальным координатам £, г) (р, связанными с прямоугольными декартовыми координатами х, у, г, соотношениями [7]:

у = /Vfe2-lXl-^)sin<Р> Z = Мл-

Будем рассматривать случай, когда рассей вате ль является телом вращения. Отметим, что все полученные результаты могут быть обобщены для рассеивателя произвольной формы. Полагаем, что поверхность рассеивателя задается выражением:

и]-

В этом случае

ди

дп

, du

*с!)]с1(р = J(|], <р) с1>]с1<р

Воспользуемся известным (см. например [7]) разложением фундаментального решения уравнения Гельмгольца

2/г„=

где 8тп[с,г/) - вытянутые сфероидальные угловые функции

первого рода, И^Ы) ~

вытянутые сфероидальные радиальные функции первого и второго рода соответственно [7, 8]. Норма N(с) задается

выражением:

ЛГ

Xc>\sl{c,Tj)drc = V

*/ 1

Используя (8) и (9), запишем представление (5) для рассеянного поля в виде:

"тп » г / Д ti=0 т=-п пт 1 )

где

ik

Отметим, что асимптотика рассеянного поля в дальней зоне имеет вид

-¡кг

u

кг

где диаграмма рассеянного ноля g(/],ç) определяется выражением:

Рассмотрим случай, когда падающее поле ¡/'"'(г) является плоской волной:

г/(>){г) = е~'*гик'', cos/ = cos6lcos6îl+sin6'sin6î)cos(iiï-^0)-

В вытянутых сфероидальных координатах для г/п'(г) имеет место следующее представление [7]:

„<»>(?)= 2£ f (-if S™(с'^оК,(с>,

î]a = COS в6

Используя соотношение (8) и представления (11), (15) можно представить J {n, (р ) в виде:

J{JJ,9) = J

где

= 2/1 Î (-/)" EsÎE^Ù^f-^ х

Й W-i Ь««

>:=0т=-,1 ^,„ЛС)

Шч)

(\-,}2 Ь ('?К„ {с,(с,Çs(/7))}

Подставляя разложения (18) и (19) в (12), получаем искомую систему линейных алгебраических уравнений относительно неизвестных коэффициентов д :

6С

а - д(0) + V С а т = 0+1 +п п- 0 1 »

"тя "мя т / , "»щи»-"»»'' ")—1>—)—'»» "

нн

Где

-1(Н'"1

.v

m« V" J .]

Результаты расчетов

Рассмотрим примеры использования описанной выше методики для решения некоторых задач рассеяния. Систему уравнений (20) решали численно, используя способ редукции, описанный в работе [9].

В настоящей работе рассмотрено рассеяние плоской волны на суперэллипсоиде вращения, поверхность которого в декартовых координатах задается соотношением:

*'=1,

/ 2 2 W2

X + у + Z

1 я2 J b

где параметр суперэллиптичности ц -действительное число. При расчетах ограничивались случаем ц >1, Ь а> 1-

Л

Отметим, что при ц = 2 рассеиватель является вытянутым эллипсоидом вращения.

к2(Г, 4тг

10

0.1

32 - = 2 а

а

! У-1 - 1 1 1 4

- К " Г' -' /Л

16

1 ,"/. ^(-К-т-Т 'Г _

- --«.-.г--/- 64 32

-64

128

N

ю

15

к-сГ. 1

;=1уу К

1 I л/

При расчетах контролировали величину нормированной погрешности выполнения оптической теоремы д , задаваемой выражением:

Кр, =

4л" к2сг1

к2^ 4л-

Рис. 1. Зависимость нормированного сечения рассеяния плоской волны на суперэллипсоиде вращения от числа гармоник N  Параметры задачи: кЬ = А, д =16. ва - л 2- <р0 =0. Значения параметра Ь а указаны вблизи соответствующей кривой. Сплошная

линия и звездочки - используются вытянутые сфероидальные координаты, штриховая линия и кружочки - сферические координаты

Рассмотрим результаты, иллюстрирующие сходимость рассматриваемого метода. На рис. 1 приведена зависимость нормированного сечения рассеяния /тег /4/г плоской волны на суперэллипсоиде вращения от числа гармоник N  (максимальное значение индекса п в разложении (11) равно N — 1). Значение к2 и /4л- определяется выражением:

и характеризующую точность выполнения оптическом теоремы. Во всех приведенных в настоящей работе примерах, при использовании вытянутых сфероидальных координат

С целыо дополнительной верификации излагаемого подхода было проведено сравнение результатов, полученных при использовании МДУ в вытянутых сфероидальных координатах с результатами решения аналогичных задач, полученных методом продолженных граничных условий (МПГУ) [11]. На рис. 2 представлена зависимость нормированного сечения рассеяния плоской волны на суперэллипсоиде вращения от числа гармоник N. Пунктиром показаны результаты расчетов из работы [11] для сфероида (нижний пунктир) и цилиндра (верхний пунктир) для тех же параметров задачи.

4 п 2„=0 „=-тМтп

Представленные на рис. ! результаты были получены двумя способами, основанными на МДУ: сплошная линия и звездочки иллюстрирует результаты, полученные при использовании вытянутых сфероидальных координат. Результаты расчета по методике, использующей МДУ, уравнения которого получены в сферических координатах, показаны штриховой линией и кружочками. Приведенные результаты показывают, что при использовании сфероидальных координат скорость сходимости практически не зависит от степени вытянутости рассеивателя (в рассматриваемом случае от отношения Ь а)- Отметим, что использование сферических координат позволяет рассчитывать дифракцию на телах, степени вытянутости которых не слишком велика (до Ь а — 8 в рассматриваемом случае).

При расчетах осуществлялась проверка точности выполнения оптической теоремы [10]. В рассматриваемом скалярном случае оптическая теорема может быть записана в виде:

Рис. 2. Зависимость нормированного сечения рассеяния плоской волны на суперэллнпсоиде вращения от числа гармоник N.

Параметры задачи: кЬ-4, Ь а = 2, вй-л 2, <р0=0. Значения параметра суперэллиптичности q указаны вблизи соответствующей кривой

Алгоритм расчета, реализованный на основе описанного в работе метода, оказался достаточно эффективным. Это позволило исследовать решение задачи рассеяния в широком диапазоне параметров, характеризующих геометрию рассеивателя. Приведем некоторые результаты такого исследования. На рис. 3 приведена зависимость нормированного сечения рассеяния плоской волны на суперэллипсоиде вращения от параметра суперэллиптичности с{ . Как видно

из данного рисунка, влияние параметра суперэллиптичности уменьшается с ростом степени вытянутости рассеивателя (отношения Ь а У- значение нормированного сечения рассеяния на эллипсоиде вращения и на цилиндре мало отличаются при Ь а» 1.

Using the spheroidal coordinates for solving the diffraction problems by pattern equation method

Kleev Andrey I., P.Kapitza institute for Physical Problems RAS, Russian Federation, Moscow, Advanced Research Fellow, kleev@kapitza.ras.ru Kyurkchan Alexander G., Moscow Technical University of Communications and informatics, Russian Federation, Moscow, Head of the Department,

agkmtuci@yandex.ru

Madekin Sergey A., Moscow Technical University of Communications and informatics, Russian Federation, Moscow, Postgraduate, smadekin@gmail.com Abstract

In this paper the further development of the pattern equation method (PEM) is given. In this method, the boundary problem for the Helmholtz equation reduces to the integral-operator equation with respect to the spatial spectral characteristics of the wave field (for example, for the scattering pattern). The result of this formulation of the problem is the extremely high rate of convergence of the computational algorithm. In the present paper we obtain the equations of the PEM in prolate spheroidal coordinates for the numerical simulation of wave scattering. The technique is based on the representation of the fundamental solution and the scattered field in the form of series of angular and radial spheroidal functions. We discuss the convergence and stability of numerical algorithms based on PEM. These results show that when using the spheroidal coordinates, the convergence rate is practically independent of the degree of elongation of the scatterer. The calculations accuracy was controlled by means of calculating the balance of energy flows for the incident and scattered waves (verification of the "optical theorem"). In all of the examples in this paper, when using the prolate spheroidal coordinates, the balance of power flows is good to . It is shown that this method has high speed and universality. The results, presented in this paper clearly demonstrate, that the algorithm for calculating based on the method which is described in the present article, proved to be quite effective. This fact make possible to study the solution of the problem of scattering in a wide range of parameters characterizing the geometry of the scatterer. The various examples, which demonstrates the effectiveness of the proposed method, were studied. As an example, we study the scattering of a plane wave on superellipsoid of revolution with the axis ratio, which exceed 100. The results of calculations are compared with data obtained by other methods to the parameter area in which they can be applied. As an example, a comparison with the results, obtained by the method of continued boundary conditions, was made. In this paper, we considered only the case when the Dirichlet boundary condition is performed on the surface of the scatterer. It should be noted that the generalization of the suggested method on the other cases may also be performed.

Keywords: pattern equation method, spheroidal coordinates, wave scattering, diffraction theory, numerical methods.

References

1. Kyukchan A.G. A new integral equation in the diffraction theory / Soviet Physics-Doklady, No 7, 1992. Pp. 338-340.

2. Kyurkchan A.G. On a method of solution to the problem of wave diffraction by finite-size scatterers / Physics-Doklady, No 8, 1994. Pp. 546-549.

3. Kyurkchan A.G., Smirnova N.i. Mathematical modeling in the theory of diffraction using a priori information about the analytic properties of the solution. Moscow, 2014. 226 p.

4. Tkhang D.D., Kyukchan AG. Efficient method for solving the problems of wave diffraction by scatterers with broken boundaries / Acoustical Physics, No 1, 2003. Pp. 43-50.

5. Kyurkchan A.G., KleyevA.i, Solution of the problem of wave diffraction on finite scatterers with the pattern equations method / Radiotekhnika i elektronika, No 6, 1995. Pp. 897-905.

6. Kolton D., Kress R. Integral Equations Methods in Scattering Theory. New York, 1983. 311 p.

7. IvanovEA. Diffraction of electromagnetic waves by two bodies. Minsk, 1968. 584 p.

8. Handbook of Mathematical Functions, with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, Ed. by M. Abramovitz and I. A. Stegun. New York, 1965. 832 p.

9. Kyurkchan AG., Demin D.B. Modeling the characteristics of wave scattering bodies with dielectric coating using impedance boundary conditions / Electromagnetic waves and electronic systems, No 11-12, 2003. Pp. 22-32.

10. Born M., WolfE. Principles of Optics. Oxford, 1965, 720 p.

11. Kyurkchan A G.; Smirnova N. i. Solution of wave diffraction problems by the method of continued boundary conditions / Acoustical Physics, No 4, 2007. Pp. 426-435.

л