Асимтотические частотные оценки амплитуды выходного сигнала для дискретных фазовых систем

2006_ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА_Сер. 1_Вып. 1

МЕХАНИКА

УДК 531

В. Ю. Анисимов

УСТОЙЧИВОСТЬ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ ОБОЛОЧКИ ВРАЩЕНИЯ ПРИ ОСЕВОМ СЖАТИИ

Исследуется на устойчивость произвольная тонкая упругая трансверсально-изо-тропная оболочка вращения при осевом сжатии. В том числе, рассмотрен случай оболочки, имеющей излом срединной поверхности. Исследование основано на методе асимптотического интегрирования. В результате численного решения системы нулевого приближения определяется критическая нагрузка, соответствующая предельной точке на кривой нагрузка-деформация. Полученные результаты позволяют оценить влияние сдвига поперечных волокон на величину предельной нагрузки оболочки. Рассмотрен вариант подкрепления слабой параллели упругим кольцом.

1. Введение. В современной технике широко применяются конструкции, выполненные в виде пластин и оболочек, имеющих слоистую структуру. Несущие слои из материалов высокой прочности и жесткости предназначены для восприятия основной части нагрузки. Связующие слои, служащие для образования монолитной конструкции, обеспечивают перераспределение усилий между несущими слоями. Значительный вклад в широкое распространение многослойных конструкций был внесен прогрессом в области новых композиционных материалов, многие из которых имеют слоистую структуру. Наряду с известными достоинствами этих материалов, к которым следует отнести высокую удельную прочность, относительно малый обьемный вес, стойкость по отношению к агрессивным средам и другие, следует отметить и их недостатки: слабую сопротивляемость сдвигам в поперечных направлениях и сильную анизотропию упругих свойств в других направлениях.

В работах [1-2] подробно рассмотрены общие методы исследования слоистых и анизотропных оболочек. В работе [3] на примере сжатой балки исследуется влияние сдвига на величину предельной нагрузки. В работах [4-5] деформация и величина предельной нагрузки оболочек вращения исследуются на основе классической гипотезы Кирхгофа—Лявы, что ограничивает применение полученных результатов изотропными и близкими к изотропным материалами. Целью данной работы служит исследование на устойчивость произвольных трансверсально-изотропных оболочек вращения, в том

© В. Ю. Анисимов, 2006

числе, оболочек с изломом. В качестве основополагающей гипотезы для вывода уравнений принята гипотеза Тимошенко, учитывающая возникающие поперечные сдвиги, но игнорирующая обжатие по нормали.

2. Геометрия оболочки. Будем рассматривать оболочки вращения постоянной толщины Н, которая предполагается малой по сравнению с характерным размером срединной поверхности Я.

Пусть до деформации форма срединной поверхности описывается функциями Го(5о), во(5о), где во ($1 < во < 52)— длина дуги образующей до деформации, го — расстояние до оси вращения, во — угол между нормалью к оболочке и осью вращения.

При сопряжении двух оболочек в месте их сопряжения образуется излом. Обозначим через 71 и 72 углы, которые образует нормаль к срединной поверхности до деформации с осью вращения слева и справа от точки излома (рис. 1).

После деформации форма срединной поверхности описывается функциями г(в), в (в), где 5(50) — длина дуги образующей после деформации. На рис. 1 показана образующая оболочки до и после деформации.

О

Рис. 1.

Для оболочек вращения справедливы геометрические соотношения

(1г

А = 1, Б = г = Д2 вт 6>, — =сов6>

ав

к1 =

Я1

М

(в

1 +£Г

к2 =

Бт в

Я2

6В_

(в

1+€1

Здесь А, В, Я1, Я2 и к1, к2 — коэффициенты Ламе, радиусы кривизны и кривизны соответственно, а ( У = Выражения для деформаций и изменений кривизн срединной аво

поверхности имеют вид:

£1 = в' - 1, к1 - кю = -

е2 = --1 Го

(ф сое во .

—, к2-к20 =--ф.

аво го

в

в

1

1

Г

3. Соотношения упругости. Будем считать, что оболочки выполнены из линейно-упругого трансверсально-изотропного материала. При написании определяющих соотношений для модели оболочки типа Тимошенко (см. [7]) вводится независимый от

перемещения срединной поверхности угол поворота нормального до деформации волокна р, определяемый как сумма угла поворота нормали к срединной поверхности ф и угла сдвига волокна относительно нормали 6, т. е.

р = ф + 6.

Формулы для тангенциальных усилий и моментов берутся в классическом виде:

Тг =

Ек(е 1 + г/е2) 1^2 !

Т2 =

ЕН

1 - V2 '

ЕН3

12(1 - V2) ' 2 12(1 - V2) '

где Е^ — модуль Юнга и коэффициент Пуассона. Однако, в классической постановке величины кг, к2 в выражениях для моментов суть изменения кривизны срединной поверхности вычисляемые по формулам (1). В случае же гипотезы Тимошенко величины кг, к2 записываются в виде

кг =

¿ю ¿6

— = кг - кю - —, аво аво

сое во , сое во г =---—(р = к2 - к20---—о,

Го

Го

который позволяет учесть сдвиг волокна. Перерезывающее усилие Qг в модели Тимошенко определяется по формуле

Qг = -(О6Н,

где О — модуль сдвига, £ — поправочный коэффициент, учитывающий неравномерность распределения касательных напряжений по толщине и обычно принимаемый равным с = 5/6 (см. [8]).

4. Уравнения равновесия. Предполагаем, что на оболочку не действуют никакие внешние поверхностные нагрузки, но она находится под действием осевой сжимающей силы, приложенной к ее торцам во = вг и во = в2.

Рис. 2.

Уравнения равновесия в проекциях на осевое и радиальное направления

(гоV)' = 0, (гои)' - Т2 = 0,

(гоМг)' - М2 сов в - го (1 + £г )(и вш в - V сое в) = 0,

(5) 71

где

T1 = U cos в + V sin в, Q1 = U sin в — V cos в,

а усилия Ti, Qi и моменты Mi отнесены к единице длины срединной поверхности до деформации.

Система уравнений (5) c учетом соотношений (1)-(4) принимает вид ¡(r0U)' = £2 + jv(U cos в + V sin в), ¡(r0£2)' = (1 + М£1) cos в — cos в0,

¡в' = M1 + [л(о'0 + S' — (v/r0 )(sin в — sin в0 — S cos в0)), ¡(r0M1)' = r0(1 + ¡£1)(U sin в — V cos в) + ¡M2 cos в, где величины V, S,£1, M2 разрешены относительно U, £2, в, M1:

r0

S = —Л (U sin в — V cos в),

£ 1 = —V£2 + ¡(1 — v2)(U cos в + V sin в),

M2 =

и

-f.

а безразмерные величины (с индексом °) связаны с соответствующими размерными величинами по формулам

{s0, r0} = R{s0, r°}, £2 = ¡£02, U = £V2Uo, M1 = EhRji3M°

(после произведенных замен индекс o опущен). Параметр нагружения C связан с осевой силой P (при сжатии P < 0) по формуле

P = —2nEhRj2C,

где j > 0 — малый параметр, определяемый выражением

4= fe2

М 12(1-1/2 )R2'

Такой вариант замен выбран в предположении, что осевая сила P имеет порядок Eh2, что соответствует критической нагрузке при потере устойчивости изотропной цилиндрической оболочки радиуса R при осевом сжатии. Тогда порядок параметра нагружения около единицы (C ~ 1).

5. Краевые условия. Для оболочки с изломом рассмотрим вариант граничных условий, при котором на краях S1 и S2 заданы граничные условия, исключающие перемещение края в радиальном направлении (£2 = 0), при s = s* выполнены условия непрерывности функций £2, M1, для усилия U и угла в ставятся условия

Uso—st-0 = Uso—s*+0 — k£2, / ч

(в — Y1)so-s.-0 = (Y2 — +0 ,

где 71 = в0 (в* — 0), 72 = в0 (в* + 0), к — коэффициент упругого закрепления. Если в качестве упругого закрепления использовать упругое кольцо, то величина к будет связана с параметрами кольца и оболочки по формуле

¡k =

Ефк Eh '

где Ек и к к — модуль Юнга и толщина кольца соответственно.

Для оболочек без излома (71 = 7) рассмотрим два типа граничных условий. Первый тип предполагает, что край оболочки свободен в угловом направлении и упруго закреплен в радиальном, т. е.

Mi (S2) =0, U(S2) = -k£2.

Второй тип граничных условий предполагает, что край жестко закреплен в угловом и упруго в радиальном направлениях:

Y = 0о (S2 ), U (S2 ) = -kS2.

На рис. 3 приведен пример краевых условий для оболочки с изломом (а) и для оболочки без излома (Ь), (с). Следует отметить, что при 71 = 7 и 72 = п — 7, в силу симметрии, поведение оболочки в месте излома в* при граничных условиях (8) совпадает с поведением в окрестности края в2 оболочки без излома при условиях (10).

(Ь) о

Рис. 3.

6. Безмоментное решение. Вдали от краев и точки излома образующей оболочка деформируется как безмоментная. Величины, описывающие безмоментное напряженное состояние, отметим индексом 0 вверху. Для безмоментного решения

T0 =

т,и = -

p (в0)'

2nro sin в0' 2 2п sin2 Деформации e0 и s имеют порядок ¡Í2 и могут быть найдены из соотношений

ei = ¡2(T0 - vT20), s0 = i2(To - vT0).

В формулах (11) можно с погрешностью порядка л считать в0 = во. Остальные неизвестные в безмоментном решении имеют порядки

(«;,«2) = о(л2), (м0,м2о,д°) = о(л4).

7. Асимптотические разложения. Система уравнений равновесия является сингулярно возмущенной. При л ^ 0 она вырождается в безмоментную систему второго порядка. Обозначим через г любую из неизвестных функций, входящих в эту систему. Ее решение в окрестности наиболее слабой точки в* при л ^ 1 будем искать в виде суммы двух асимптотических рядов

г = г0 + гк = ЕГ ¡Ч^о) + ЕГ (О,

во -

Коэффициенты ао, ai являются показателями интенсивности и определяются из условия неравенства нулю старших членов в рядах.

Ряд z0 является внутренним решением и в нулевом приближении совпадает с решением безмоментной задачи

U = V ctg во, в = во, £2 =0.

Ряд zk является интегралом краевого эффекта и экспоненциально убывает при удалении от точки s*.

Заметим, что в случае краевых условий (8) наиболее слабой является точка излома (точка сопряжения двух оболочек), а в случае условий (10) это край оболочки и s* = S2.

8. Краевой эффект. Подстановка ряда z в уравнения равновесия (6) в нулевом приближении дает

TTk _

U0 = £20,

£k0 = cos(7 + ) - cos Y,

Mko - \£%0 sin

hk _ _1V110

y0

1 - X(Csin(7 + в(к) - (U00 - Cctg y) cos(7 + в(к))' Í0 = (U0 - C ctg y) sin(Y + вк) + C cos(y + в0).

Здесь

O^, Y = Oo(s*).

При вк<" ^ 1 система линеаризуется и приводится к уравнению \ -

f XC \ d4e0 / C Л . 2 \ £вк пк ,2

1---ГГТ-+--Л sin 7 ] -г-тг + вп sin 7 = 0. И24)

V sin7У d£4 Vsn7 7 d£2 0 [ '

Разыскивая решение данного уравнения в виде

в0 = C sin ßt,

получаем, что при Л < 1 потеря устойчивости оболочки вследствие перестройки формы прогиба происходит при

2пЕН2 , , 2

Р =----=(2 — А81117) эш 7. /1 ол

у/12(1 -¡у2) ^

Значения Л > 1 соответствуют очень сильной анизотропии материла (/2Е > и не явлются предметом рассмотрения данной статьи.

Для удобства дальнейших операций перепишем уравнение (12) в виде

¿4вк сРвк о „т.

q

" di2

C — X sin3 y sin y

2 sin2 7\/(l - ХС/ sin 7)' ^(1 - ХС/ sin 7)'

При i ^ асимптотика решения уравнения представляет собой осцилирующую

экспоненциально убывающую функцию вида

в§ = exp(-a|i|)(ai cos(b|£|) + «2 sin(6|i|)),

/- /-

a = Vi - q, b = Vq + 1.

При этом значение величины q =1 соответствует величине предельной нагрузки в

ЛС

выражении (13). При найденном 02 величины Mk0, £ko, U2 определяются по формулам

Míь = 0§(1--—) + Лег sin7, sin y

ик_м1_ С

и0 ~  + • 2 ' 0 sin y sin2 y

_ т'тk

£20 = U0 .

9. Численное решение. Будем полагать, что на достаточном удалении от наиболее слабой точки значение величины вк мало. Пусть ^ —удаленная от в* точка. В случае оболочки с изломом таких точки две — слева и справа от в*.

Решение в каждой точке ^ известно с точностью до двух констант 0:1,0:2 в выражении (14), которые определяются условиями сопряжения в точке в*. Константы можно определить численным решением краевой задачи, методом прогонки в сочетании с методом движения по параметру (см. [8]). При этом движение предлагается осуществлять по параметру, характеризующему меру деформации оболочки. В качестве такой величины удобно принять

Ahk = jf

Это интегральное соотношение по формуле

АН2 = /АЬкС

связано с вертикальным укорочением оболочки (ее части в случае оболочки с изломом), вызванным ее деформациями. В дифференциальной форме выражение (15) имеет вид

При движении по параметру Ahg необходимо добавить условие Ahg (0) = Ahg, которое определяет заданную величину вертикального укорочения оболочки. Величину C при этом необходимо рассматривать как величину подлежащую определению наряду с остальными неизвестными параметрами. Движение по параметру следует начинать от малого Ahg, а в качестве начального приближения искомых величин взять нулевой вектор.

10. Потеря устойчивости в окрестности наиболее слабой параллели. Для

оболочки с изломом численным методом, описанным выше, строим два решения уравнения (12), растущих от удаленных точек si и S2 к точке излома s*, в которой их сшиваем. Мы имеем пять искомых параметров — по две константы ai,a2 с каждого края и параметр нагрузки C. Неизвестные определяются из условий непрерывности величин Mg0, ego в точке s*, условия (8) и выражения

р0 2 Ahg =

1 JO

задающего вертикальное укорочение оболочки в окрестности точки излома. Предельная нагрузка Ca определяется условием

dC

= 0, q< 1.

Ahg

При достижении величины ц =1 происходит потеря устойчивости в результате изменения формы прогиба, а величина предельной нагрузки определяется по формуле (13).

В случае, когда в условиях (8) 7 1 = 7 и 72 = п — 7, задача о деформации в окрестности точки излома оболочки, закрепленной в радиальном направлении по краям, сводится к более простой задаче о деформации в окрестности закрепленного в угловом направлении края, на котором выполнены условия (9). В таком случае мы имеем три искомых параметра — две константы а 1,0:2 и параметр нагрузки С. Неизвестные определяются из условий закрепления (9) и условия (15), задающего вертикальное укорочение оболочки в окрестности края в2. Аналогичным образом находится решение в окрестности оболочки со свободным в угловом направлении краем, т.е. при условиях (10).

Таблица 1

Свободный край

hkEk/(hE) 0 2ц 4ц 6 ц 8ц 10 ц

q при Л = 0 0.2156 0.3855 0.5017 0.5830 0.6429 0.6887

q при Л = 0.5 0.0792 0.2499 0.3718 0.4598 0.5261 0.5782

Фиксированный угол

hkEk/(hE) 0 2ц 4ц 6 ц 8ц 10 ц

q при Л = 0 0.4825 0.6908 0.8277 0.9176 0.9658 0.9825

q при Л = 0.5 0.3961 0.6084 0.7543 0.8556 0.9253 0.9637

Оболочка с изломом

hkEk/(hE) 0 2ц 4ц 6 ц 8ц 10 ц

q при Л = 0 0.6277 0.7841 0.8887 0.9567 0.9909 0.9997

q при Л = 0.5 0.5554 0.7122 0.8218 0.8993 0.9517 0.9771

В таблице 1 выведены значения предельной нагрузки ц, полученные для разных значений к при Л = 0 и Л = 0.5, расчитанные для трех типов оболочек, т. е. для оболочки со свободным краем, для оболочки с краем, закрепленным в угловом направлении, и

0.9 0.8 0.7 0.6 0.5

0.4

Az -OS

/X 1 = 0.5

10

15

Рис. 4. Зависимость предельной нагрузки от величины коэффициента упругости кольца при разных значениях Л.

0.8

0.6

0.4

0.2

\

10

Рис. 5. Зависимость предельной нагрузки от величины коэффициента упругости кольца для разных оболочек при Л = 0.5.

для оболочки с изломом. Причем для простой (без излома) оболочки предполагалось, что 7 = 30°, а для оболочки с изломом 71 = 30°, 72 = 90°.

На рис. 4 данные таблицы 1 для оболочки с фиксированным углом представлены в графическом виде. На рис. 5 сравниваются кривые нагрузка-упругость кольца для трех типов оболочек: кривая 1 соответствует оболочке со свободным краем, кривая 2 — оболочке с фиксированным углом, кривая 3 —оболочке с изломом.

Таблица 2

Условия Своб. край Фикс. угол Излом

hkEk/(hE) при A = 0 38 12 10 /1

hkEk/(hE) при A = 0.5 62 16 14

В таблице 2 для разных значений Л приводятся параметры кольца, необходимые для того, чтобы оболочка теряла устойчивость не раньше, чем произойдет бифуркация осесимметричной формы равновесия, т.е. не раньше чем при q = 1. Расчет произведен для простой (без излома) оболочки при 7 = 30°, а для оболочки с изломом при 71 = 30° ,72 = 90°.

Summary

V. Yu. Anisimov. The stability of a transversal-isotropic shell of revolution axially compressed.

Some problems of deformation of a thin elastic transversal-isotropic shell of revolution axially compressed are discussed. The shell stability is studied in the frame of the asymptotic integration method. The critical value of the load on the load-deformation curve is numerically defined from the zeroth-order approximation system. The results are obtained which make it possible to evaluate the shear influence on the critical load value. The variant of the elastic reinforcement is considered.

Литература

1. Родионова В. А., Титаев Б. Ф., Черных К. Ф. Прикладная теория анизотропных пластин и оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1996. 280 с.

2. Болотин В. В., Новиков Ю. Н. Механика многослойных конструкций. М.: Машиностроение, 1980. 375 с.

3. Bazant Z. P. Shear Buckling of Sandwich Fiber Composite and Lattice Columns, Bearings, and Helical Springs: Paradox Resolved // ASME. J. Appl. Mech. 2003. Vol.70. P. 75-82.

4. Товстик П. Е. Осесимметричная деформация тонких оболочек вращения при осевом сжатии // Вестн. С.-Петерб. ун-та. 1995. №1. С. 95-102.

5. Товстик П.Е. Устойчивость оболочек вращения с изломом срединной поверхности // Тр. 18 межд. конф. по теории оболочек и пластин. Саратов. 1997. Т. 2. С. 120-127.

6. Товстик П. Е. Осесимметричная деформация оболочек вращения из нелинейно упругого материала // Прикл. мат. и мех. 1997. №4. С. 660-673.

7. Кабриц С. А., Михайловский Е. И., Товстик П. Е., Черных К. Ф., Шамина В. А. Общая нелинейная теория упругих оболочек. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. 988 с.

8. Валишвили Н. В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. М.: Машиностроение, 1976. 278 с.

9. Товстик П. Е., Бауэр С. М., Смирнов А. Л., Филиппов С. Б. Асимптотические методы в механике тонкостенных конструкций. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 1995. 188 с.

Статья поступила в редакцию 4 октября 2005 г.