О нетеровости по совместным системам нижних полурешеток

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2014. № 4. С. 10-13.

УДК 512.53,512.532.3,512.532.5

М.В. Малов

О НЕТЕРОВОСТИ ПО СОВМЕСТНЫМ СИСТЕМАМ НИЖНИХ ПОЛУРЕШЕТОК*

Изучаются бесконечные системы уравнений над полурешетками специального вида. Найдены необходимые и достаточные условия, при которых любая совместная система уравнений эквивалентна своей конечной подсистеме.

Ключевые слова: уравнение, полурешетка.

Введение

Понятие нетеровости по уравнениям является одним из основных в универсальной алгебраической геометрии. В серии статей Э.Ю. Данияро-вой, А.Г. Мясникова, В.Н. Ремесленникова по универсальной алгебраической геометрии [1-3] изучаются различные обобщения свойств нетерево-сти по уравнениям. В данной работе изучается еще одно обобщение - не-теровость по совместным системам. Это свойство не эквивалентно свойству нетеровости по уравнениям, так как в работе А.Н. Шевлякова [4] был построен пример полурешетки в языке, расширенном константами, которая не является нетеровой по уравнениям, но является нетеровой по совместным системам. Это означает, что над заданной полугруппой S существует бесконечная несовместная система, все конечные подсистемы которой совместны. В данной работе мы рассматриваем класс нижних полурешеток, не содержащих следующей подполурешетки:

X

У z

Нами найдены необходимые и достаточные условия, когда полурешетки, принадлежащие этому классу, являются нетеровыми по совместным системам (см. теорему 2.5).

1. Полурешетки. Уравнения над полурешетками

Нижней полурешеткой называется частично упорядоченное множество M с заданным на нем порядком < такое, что для любых х, у е М существует inf[x, у}.

Замечание 1.1. Полурешетку также можно рассматривать как идем-потентную коммутативную полугруппу S = О, для любых х,у е Sxx = х, ху = ух. Частичный порядок определяется следующим образом: х < у ^ ху = х.

Определение 1.2. Рассмотрим язык L = О, операция • в котором определяет частичный порядок в полурешетке M. Расширим его множеством констант С = [с\с еМ}, которое образует подполурешетку в M. Пусть X = {х1,^,хп} - множество переменных (букв). Тогда уравнением в полурешетке M называется равенство двух термов:

t(X) = s(X),

где t(X'),s(X') - термы, в которые входят переменные xt и константы из C.

Замечание 1.3. В каждом терме любая переменная встречается не более одного раза, поскольку соответствующая полурешетке M полугруппа идемпотентна и коммутативна.

* Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект № 14-11-00085).

© М.В. Малов, 2014

О нетеровости по совместным системам нижних полурешеток

11

2. Нетеровость по совместным системам

Бесконечное множество элементов

ci,c2,... полурешетки M называется бесконечной убывающей (возрастающей) цепью, если ci > С2 > ... (ci < С2 < ...).

Элемент c e M следует за бесконечной убывающей цепью (предшествует бесконечной возрастающей цепи) ci, c2,..., если для всех i c < ci (c > c).

Бесконечное множество элементов

c, ci, 02, ... полурешетки M называется веером с ручкой c, если выполнены следующие условия:

1) с;Су = с при i ^ У;

2) для любого с"еМ такого, что с < с < с;, выполнено с = с либо с = ct;

3) для любого с~е М такого, что с t t {с,с1,с2, — }, существует номер i такой, что с;с ^ с.

Вееру с ручкой соответствует следующая полурешетка:

С\ С2   Сп  •

С

Бесконечное множество элементов ci, c2, ..., di, da,... полурешетки M называется елкой, если выполнены следующие условия:

1) элементы co, ci, c2, ... образуют убывающую цепь (co > ci > c2 > ...);

2) элементы di, d2, . попарно несравнимы;

3) для всех i dt> ct, ct + i, ..., но dt й й c1,..., й cl_1;

4) для всех i dtck = ct, k = i, ..., i.

Замечание 2.1. Елка определяется следующей нижней полурешеткой:

со di

1 /.

Cl d'2

\/

сг

Элемент полурешетки ci будем называть прямым предком элемента c2, если ci > c2, и не существует такого с £ М, что ci > c > c2. Аналогично ca будем называть прямым потомком ci.

Замечание 2.2. Любой элемент полурешетки из рассматриваемого в статье класса имеет единственного прямого потомка.

Точка с £ М называется точкой ветвления, если существуют такие ci Ф ca, что c является прямым потомком ci и ca.

Пример 2.3. В веере с ручкой c, (ci,c2, ...) элемент c является точкой ветвления.

Приведем основное определение данной работы.

Определение 2.4. Полурешетка M не-терова по совместным системам, если любая бесконечная совместная система уравнений над ней эквивалентна своей конечной подсистеме.

Критерий нетеровости по совместным системам

Теорема 2.5. Полурешетка M нетерова по совместным системам тогда и только тогда, когда она не содержит следующих подполурешеток:

1) веер c, (ci, С2, ...);

2) бесконечная возрастающая цепь ci < c2 < ...;

3) ель co > ci > c2 > ...,di > ci, d2 > c2,...;

4) убывающая цепь ci > c2 > ... и следующий за ней элемент d.

Доказательство. Покажем, что перечисленные полурешетки не являются нете-ровыми по совместным системам. Из этого будет следовать, что и полурешетка, их содержащая, также не является нетеровой по совместным системам.

Далее, с; £ М, N - произвольное натурально число; S - бесконечная система, S0 - произвольная конечная подсистема S; 7(5),7(50) есть множества решений систем уравнений S,S0 соответственно; I =

= {ц, i2,...,iN} с N - некоторое конечное множество индексов.

1. Веер c, (ci, c2, ).

S = {xct = c | i £ N}, V(S) = {c}.

S0= {xct= cli£l},V(S0) =

= M U {cj\j £ N\I}.

2. Возрастающая цепь ci < c2 < ...

S = {xCi = vet | i £ N}, V (S) =

= {(x, x) | Vi £ M}.

S0 = {xct = yct 1 i£ I},V(S0) =

= {(x, x) | Vi £ M} U U {(x, y) | x,y > supjc,- | j £ /}}.

3. Ель co > ci > c2 > ...,di > ci, d2 > c2,...

S = {xct = xdtl i £ N},7(S) = {c0, c1( ...}.

S0 = {xct = xdtl i £ /},7(50) =

= {c0, Ci, ...} U {d 1 £ {d1,d2,...}, d < inf{dy | j £ /}}.

4. Убывающая цепь ci > ca > ... и следующий за ней элемент d.

S = {xct = x | i £ N}, V (S) = {d}.

S0 = {xct = x 1 i £ I},V(S0) =

= {d} U {x | x < infjcy | j £ /}}.

Во всех случаях выбранные бесконечные совместные системы не содержат эквивалентных себе конечных подсистем. Следовательно, все эти полурешетки не являются нетеровыми по совместным системам.

Пусть далее полурешетка M не содержит указанных выше подполурешеток.

Лемма 2.6. Для любого элемента m из полурешетки M существует лишь конечное множество элементов из M, больших m.

Доказательство. Положим противное. Пусть существуют с1, с2, ... £ М, что с1 > т, с2 > т, ... Любая полурешетка из рассмат-

12

М.В. Малов

риваемого в статье класса не содержит в себе «циклов». Построим подполурешетку, содержащую элементы m, ci, 02,..., поскольку она «ациклическая» и не содержит вееров, к ней можно применить лемму Кенига, из которой следует, что в ней существует возрастающая цепь m < си < Ci2 < ... Но возрастающих цепей в полурешетке M нет по условию теоремы 2.5.

Лемма доказана.

Путем в полурешетке M будем называть убывающую цепь ci > 02 > ..., где для всех ici - прямой предок Ci + 1. Путь, в котором самый наибольший элемент не имеет прямых предков в полурешетке M, называется ветвью.

Лемма 2.7. Для полурешетки из рассматриваемого в статье класса пересечение двух различных ветвей есть путь.

Доказательство. Очевидно, что две ветви Bi,B2 имеют непустое пересечение. Пусть элемент b - наибольший в Bi П B2. У элемента b есть единственный (см. замечание 2.2) прямой потомок с, который обязательно принадлежит ветвям Bi и B2. Аналогично прямой потомок элемента с принадлежит ветвям Bi,B2 и т. д., следовательно, пересечение двух ветвей будет путем.

Лемма доказана.

Лемма 2.8. Количество различных ветвей в полурешетке M конечно.

Доказательство. Возьмем 2 произвольные ветви, пересечем их и получим путь P. Пусть элемент m - наибольший в этом пути. Стоит отметить, что количество ветвей, пересечение которых с P образуют P, конечно по лемме 2.6. Рассмотрим следующую процедуру:

1) выбираем ветвь, которая в пересечении с P образует не P,

2) P заменяем на получившееся пересечение;

3) в качестве m теперь рассматриваем наибольшую точку в новом полученном пути P.

На каждом шаге m будет уменьшаться. Однако бесконечно продолжать эту процедуру мы не можем, в противном случае у нас будет бесконечно много точек ветвления, а значит, полурешетка будет содержать ель, чего не может быть по теореме 2.5. Следовательно, мы переберем все ветви за конченое число шагов.

Лемма доказана.

Основанием кроны в M называется наибольший элемент в пересечении всех ветвей. Кроной M будем называть подполурешетку Сгм, образованную всеми элементами, которые больше основания кроны, и основанием кроны. Соответственно, ствол -подполурешетка Тгм, образованная элементами, строго меньшими основания кроны.

Пример 2.9.

В приведенной выше полурешетке M:

• Сгм = (с11, с12, с13, с14, с15, с21, с22, с3);

• Тгм = [с4, с5, ...};

• с3 - основание кроны Сгм.

Замечание 2.10. Поскольку крона конечна, то множество пар несравнимых элементов полурешетки M конечно.

Замечание 2.11. Свойства ствола:

• ствол - это путь;

• ствол в полурешетке M единственен;

• ствол не содержит точек ветвления в M.

Выше мы привели основные определения, связанные с полурешеткой M, удовлетворяющей условиям теоремы 2.5, и некоторые ее элементарные свойства. Теперь для доказательства нетеровости по совместным системам необходимо рассмотреть всевозможные бесконечные системы над этой полурешеткой и исследовать их совместность. Для каждой совместной системы нужно будет доказать, что она эквивалентна некоторой своей конечной подсистеме.

Для начала рассмотрим бесконечные системы, содержащие уравнения от не более чем двух переменных. Далее I - некоторое множество индексов, M - фиксированный индекс.

1. S = [xct = см | i £ /}. Для всех i таких, что Ci < см, соответствующее уравнение не будет иметь решений. Таких уравнений бесконечное число, поэтому данная бесконечная система уравнений несовместна.

2. S = (хсм = С; | i £ /}. Пусть S = = [хсм = ск | ск £ Тгм} U [хсм = ск | ск £ £ Сгм}. Рассмотрим несколько возможных случаев:

• см £ Сгм, тогда [хсм = ск | ск £ Тгм} не будет иметь решений;

• см £ Тгм, в этом случае подсистема [хсм = ск\ск < см} будет несовместна.

Исходя из вышеперечисленного, подсистема [хсм = ск | ск £ Тгм} несовместна, а следовательно, S тоже несовместна.

3. S = [xct = х | i £ I}. Множество [х | х < С;} будет являться решением i-го уравнения. Пересечение всех таких множеств будет пусто, поскольку полурешетка не содержит следующих за убывающей це-

О нетеровости по совместным системам нижних полурешеток

13

пью элементов, поэтому система не будет совместной.

4. S = [xct = хсм | i £ /}. Поскольку S -бесконечная система, значит, она содержит бесконечно много уравнений, где с; £ Тгм. Пусть Sx = [xck = хсм | ск £ Тгм} - бесконечная подсистема S.

Поскольку M не содержит элементов, следующих за убывающей цепью, то:

• если см £ Тгм, тогда Sx несовместна;

• если см £ Сгм, тогда V(xck = хсм) = = [х | х < ск}.

Пересечение всех таких решений будет пусто, следовательно, ^ не имеет решений.

Таким образом, S несовместна.

S = [xct = С; | i £ I}. Если все с; в системе сравнимы между собой, тогда S совместна и эквивалентна уравнению хст = = ст, где ст - наибольший из всех с;. Если существуют хотя бы два несравнимых элемента, тогда S несовместна.

1. S = [xct = у | i £ /}. Пусть ^ = = [хск = у | ск £ Тгм} - бесконечная подсистема S. Решением уравнения хск = у будут пары [(х, хск)}. Очевидно, что Sx не имеет решений, поэтому S несовместна.

2. S = [xct = yct | i £ /}. Пусть S =

= Si U S2, где S± = {xcj = ycj | с}- £ TrM],

S2 = [xck = yck | ck £ CrM}. Рассмотрим подсистему Sx. Любое ее уравнение хск = = уск имеет решение [ (х, х) | V х } U

U [(х,у) | х, у > ск}. Следовательно, Sx совместна и эквивалентна уравнению хск0 = уск0, где ск0 - наибольший в Sx. Таким образом, если система S совместна, она будет эквивалентна своей конечной подсистеме S2 U [хск0 = уск0}.

3. S = [xct = усм | i £ /}. Пусть Sx =

= [хск = усм | ск < см, ск £ Тгм}. Для любо-

го уравнения этой системы имеем решение: V(xck = усм) = [(х, х) \ X < ск} U [(х, ск) | х > ск}. Очевидно, что система Sx несовместна, следовательно, и S тоже.

Определение 2.12. Бесконечная система S (X) над полурешеткой M называется однородной, если существуют бескоэффициентные термы t(X), s(X) такие, что все уравнения системы S принадлежат к одному из следующих типов:

1) t(X)a.j = s(X)bj;

2) t(X) = s(X)bf,

3) t(X)aj = s(X);

4) t(X)a.j = bj,

где a.j, bj - константы.

Определение 2.13. Однородная система S(X) = [t(X)aj = s(X)bj | j £ J} называется упорядоченной, если выполнено хотя бы одно из условий:

1) a.j < bj для всех уравнений S;

2) a.j > bj для всех уравнений S;

3) Qj = bj для всех уравнений S;

4) все уравнения S имеют вид t(X)aj = = s(X);

5) все уравнения S имеют вид t(X)a.j = = bi

По определению каждая однородная система представима в виде объединения не более чем шести упорядоченных систем. Так как число различных бескоэффициентных термов t(X) конечно, справедлива следующая лемма.

Лемма 2.14. Любая бесконечная система S (X) над полурешеткой M представима в виде конечного объединения S = Sx U S2 U ... U Sm, где системы St являются упорядоченными.

Замечание 2.15. Выше были рассмотрены всевозможные упорядоченные системы над полурешеткой M, зависящие от не более чем двух переменных. Произвольная упорядоченная система [t(X)ak = s(X)bk | k £ К} получается из рассмотренных с помощью замены х = t(X), у = s(X), где x, у -новые переменные.

В завершение доказательства теоремы 2.5 рассмотрим произвольную бесконечную совместную систему S над полурешеткой M. По лемме 2.14 мы можем представить ее в виде S = S1 U ... U Sm. Каждая St является упорядоченной системой. В каждой системе St произведем замену переменных, приводя ее к системе не более чем от двух переменных S,.

Поскольку S совместна, то все S, имеют вид 5 или 7. Однако каждая система вида 5 или 7 имеет эквивалентную себе конечную подсистему St, поэтому исходная система S будет эквивалентна конечной системе S = S-l U ... U Sm.

Теорема доказана.

Автор выражает благодарность А.Н. Шев-лякову за постановку задачи, советы и замечания по оформлению данной работы.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. II. Основания // Фундамент. и прикл. мат. 2011/2012. Т. 17. Вып. 1. С. 65-106.

[2] Daniyarova E., Miasnikov A., Remeslennikov V. Algebraic geometry over algebraic structures. III. Equationally Noetherian property and compactness // Southeast Asian Bull. of Math. 2011. Vol. 35. P. 35-68.

[3] Daniyarova E., Miasnikov A, Remeslennikov V. Unification theorems in algebraic geometry // Algebra Discrete Math. 2008. Vol. 1. P. 80-112.

[4] Shevlyakov A. N. Commutative Idempotent Semigroups at the Service of Universal Algebraic Geometry // Southeast Asian Bull. of Math. 2011. Vol. 35. P. 111-136.