Программирование пространственных траекторий полёта беспилотных летательных аппаратов

УДК 629.78:351.814.3

В. А. Афанасьев, А. А. Балоев, А. С. Мещанов

ПРОГРАММИРОВАНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ ТРАЕКТОРИЙ ПОЛЁТА

БЕСПИЛОТНЫХ ЛЕТАТЕЛЬНЫХ АППАРАТОВ

Ключевые слова: беспилотный летательный аппарат, координированный разворот, аэродинамическое качество, закон

управления, программная траектория, угол скоростного крена.

Для упрощения математического формирования закона программного управления пространственным полётом в атмосфере беспилотного летательного аппарата (БЛА) вводится понятие координированного разворота, который позволяет получить аналитические решения дифференциальных уравнений пространственного движения, выраженные через интегральные синус и косинус. Результаты используются при решении терминальных задач наведения с различными структурами закона управления. Приводится пример вычисления параметров координированного разворота.

Kew words: unmanned flight vehicle, coordinated return, aerodynamic efficiency, control law, program trajectory, roll velocity angle.

In order to simplify mathematical formation of a program control law for the atmosphere spatial flight of a unmanned flight vehicle (UFV) we introduce a conception of the coordinated turn which allows us to get analytical solutions of differential equations of the spatial motion expressed through the integral sine and cosine. The results are used during solution of the terminal homing problems with various structures of the control law. An example is shown how to calculate parameters of the coordinated return.

Введение

Одна из задач применения беспилотных летательных аппаратов (БЛА) по военному назначению состоит в наведении БЛА в наземную или воздушную, неподвижную или движущуюся цель, расположенную по обе стороны от вертикальной плоскости начального полёта БЛА. В этом случае для наведения в цель необходимо формировать пространственную программную траекторию БЛА с помощью соответствующего закона управления, структура которого определяется величиной и продолжительностью действия угла скоростного крена при заданной величине аэродинамического качества. Для упрощения процесса формирования закона программного управления вводится понятие координированного разворота вектора скорости ВКА, при котором действие подъёмной силы (или аэродинамического качества) направлено перпендикулярно вектору скорости и параллельно к поверхности Земли на той высоте, на которой расположена точечная цель. Координированный разворот выполняется в предположении плоской поверхности, короткой продолжительности, малого значения баллистического параметра и достаточной величины аэродинамического качества.

Благодаря координированному развороту мы получаем такие дифференциальные уравнения движения, для которых удаётся получить аналитические решения, выраженные не только через элементарные функции, но также через интегральные синусы и косинусы. Поскольку последние функции достаточно хорошо изучены, то их применение никак не усложняет формировании программных траекторий БЛА, т.к. элементарные функции в запоминающем устройстве бортового компьютера также представлены в табличном виде.

Математическая модель координированного разворота

При высокой скорости полёта, например, при сходе БЛА с околоземной орбиты, будем считать, что составляющие аэродинамического ускорения преобладают над составляющими гравитационного ускорения. Приходим к следующей системе дифференциальных уравнений движения для аналитического исследования координированного разворота:

V = -СТр V 2;

у = -KapV sin у/cos 8 ;

h = V sin 8 ;

D = V cos 8 cos v ;

z = -V cos 8 sinv ,

где V - скорость; 6 - угол наклона траектории; у - угол пути; И - высота; Б - продольное горизонтальное расстояние полёта; г - боковое отклонение; р - плотность атмосферы; g - ускорение силы земного притяжения; г = Я + И , г - длина радиус-вектора, проведённого из центра Земли до центра масс БЛА; Я - радиус сферической Земли; у - угол

скоростного крена; К = Су / Сх - аэродинамическое качество; Сх - коэффициент силы лобового сопротивления; Су = Су (а) - коэффициент подъёмной силы; а - угол атаки; ст = СхБ /(2т) - баллистический параметр; т - масса; £ - площадь миделевого сечения; р - плотность атмосферы, в экспоненциальной модели которой справедливо дифференциальное соотношение:

pdh = -hedp,

где he = const - константа, входящая в экспоненциальную модель атмосферы.

Систем (1), (2) решается с начальными условиями:

t=to; V (to) = V; 0(/о) = 0o y(to) = у о; h(to) = ho; D(to) = Do ; z(to) = zo . (3) Координированный разворот состоит в том, что угол скоростного крена принимает одно из двух возможных постоянных значений у = ±л /2 в зависимости от направления: вправо у = л/2 и у<o или влево у =-л/2 и у>o. Аэродинамическое качество предполагается достаточно большим, чтобы считать продолжительность разворота достаточно малой, чтобы, в свою очередь, позволяет считать угол наклона траектории неизменным 0 = const = 0o в течение разворота

O

Di

Dk

Рис. 1 - Кинематическая схема координированного разворота

На рис.1 показана система координат ОБг, начало которой расположено в точке «О», параметры движения в которой определяются начальными условиями интегрирования (3). Ось ОБ проходит по касательной к окружности, определяемой радиусом, выходящим из центра Земли до точки «О». Ось Ог проходит по касательной к указанной окружности, повёрнутой на угол п/2 так, чтобы получить правую систему координат ОБг. Для попадания в конечную точку «к» БЛА совершает правый координированный разворот у = я /2 по нисходящей траектории до точки «1», в которой вектор скорости совпадает с направлением на точку «к», т.е. угол пути равен:

У1 = - arctg

Dk - А zk - z1

После достижения точки «1» дальнейшее управление полётом БЛА совершается в зависимости от поставленной терминальной задачи с конечными координатами:

г=гк; у(к)=V; е(/к)=бк у(гк) = ук;

Щк) = Ч; Б

Простейшая терминальная задача, или задача 1, определяется заданием координат конечной точки Бк , гк, кк . Если точка расположена на уровне моря, то кк = 0.

В более сложной терминальной задаче, или задаче 2, дополнительно задаются составляющие конеч-

ного вектора скорости Vk, 0k , У k . Например, величина Vk задаётся, чтобы обеспечить возможно большую скорость подхода к цели. Величина 0k задаётся, чтобы обеспечить наилучшие условия для срабатывания заряда, если большая, или чтобы добиться скрытности подхода к цели, если величина |0k| не большая. Наконец, задавая различные значения уk , можно формировать манёвры уклонения от ударных средств противодействия.

Самая сложная терминальная задача, или задача 3 - это когда задаётся конечное время, т.е. когда решается задача перехвата подвижной наземной или воздушной цели. В последнем случае координаты вектора скорости могут не задаваться, если считать безразличными величину и направление скорости подхода БЛА к цели [1].

Каждая из трёх описанных терминальных задач решается на основе выбранной структуры закона управления, определяемой искомыми управляющими параметрами.

Определение угла пути

Из системы (1) запишем уравнение для угла пути в виде:

КарV . ,

dy =---— sin у at.

cos 0o

Принимая во внимание третье уравнение системы (1), получим:

dy = - sin у

Кар dh cos0o sin0o

С учётом уравнения (2) получаем уравнение с разделёнными переменными:

2Kahe .

ау =-— sin ydp .

sin 28 о

При координированном развороте на нисходящей траектории величина плотности атмосферы монотонно возрастает, её принимаем за переменную интегрирования. Интегрирование уравнения (6) даёт зависимость текущего угла пути от плотности атмосферы на нисходящей траектории: 2Kohe

У = У o +-

-sinу(р - Po).

sin290

Формула (7) показывает, что угол пути отрицателен при правом развороте на нисходящей (6о < 0) и восходящей (9о > 0) траекториях: у < 0. По достижении высоты, заданной своей плотностью Р1, угол разворота вектора скорости по пути определяется соотношением: 2Кстк

У1 =У 0 +

sinу(Р1 -Po).

sin290

Отметим, что при правом развороте на восходящей траектории величина угла пути изменяется в отрицательном направлении, т.е. убывает, как и плотность, и ни одну из величин У или Р нельзя использовать в качестве переменной интегрирования. В этом случае следует интегрировать уравнение (7) в обратном направлении, т. е. на отрезке

ye[yi, у о ]• В результате приходим к такой же формуле (8), для которой на восходящей траектории имеем: 6о > 0 , у = л/2 > 0 , pj < ро и угол yj < 0. На нисходящей траектории справедливо: 6о < 0,

у = л/2 > 0 , pj > р0 и yj < 0 .

Определение боковой координаты

Из последнего уравнения системы (1) запишем дифференциальное уравнение для боковой координаты:

dz = he ctg60 — sin у.

Р

С учётом зависимости (7) приходим к уравнению:

dz = he ctg 90 sin

V о +

2Kohe sin у(р-ро) sin 28 0

dр Р '

Сделаем положительным аргумент у sin26o, 2|60 > 0, имея в виду, что при правом развороте у = л /2 угол пути отрицателен у< 0, а боковая координата положительная г > 0 как на восходящей, так и нисходящей траектории:

dz = he ctg 80 sin

V о

2Kche sin у

dp P

sin 2160|

Отметим, что z > 0 получается при ctg 60 < 0 и отрицательном знаке выражения в квадратных скобках на нисходящей траектории, и за счёт ctg60 > 0 и положительного знака выражения в скобках на восходящей траектории.

Введём новую положительную величину, х > 0 , при правом развороте:

2Kohe sin у х =-:—е. . Р •

Сделаем обозначение:

_ 2Kahe sin у

хо - V0 . ,i„ i Ро • sin2| 80|

Выразим плотность через новую переменную:

sin2| 80|sin у Р --!—!-x,

2Kahe

а затем получим дифференциал плотности:

-dx •

sin2| 80|sin у dp =--—---

2Kahe

Уравнение для боковой координаты разворота принимает вид:

dz = he ctg 80 sin(x0 - x)—.

Учитывая формулу для синуса разности двух аргументов, получим:

dz = he ctg80 (sinx0 cosx - cosx0 sinx)).

x

Вычисление интегралов даёт зависимость текущей боковой координаты через интегральные функции синуса и косинуса:

(

z = z0 + he ctg80

Л

r cosx , r sinx ,

sinx0 I —-dx- cosx0 I ——dx xx

x0 x0

По окончании разворота, момент которого фиксируется разворотом на угол пути (4), величина боковой координаты равна:

г1 = г0 + Ие С1ё60

( xi xi • ^

1 cosx , 1 sinx ,

sinx0 I —-dx- cosx0 I--dx

xx

x0 x0

.

Преобразуем выражение (11), используя свойство аддитивности определённого интеграла:

Í _ _ Л

z1 = z0 + he ctg80

sinx0

f

cos x0

xJsin x

r cosx , ,cosx ,

J-dx - J-dx

V*0 x x x y

x0

sin x sin x

J-dx - J -dx

0

0

Запишем последнее выражение, используя определение для интегрального синуса:

_.. . г sin x , л , sin; Si( x) = J-dx =--J-

0 x 2 x x

dx =

л

1 x3 1 x5

= — + Si(x) = x---+--+ •

2 3! 3 5! 5

и интегрального косинуса при x > 0 , значения которых определены специальными таблицами:

. 7 cos x , x 1 - cos x,

Ci(x) = -J-dx = C + ln x -J-dx =

x x 0 x

_ , 1 x2 1 x4 _

= C + lnx---+--+ ...,

2! 2 4! 4

где C » 0,577216 - постоянная Эйлера - Маскерони [2]. Получаем:

z1 = z0 + he ctg 8 0 {sin x0 [Ci (xl)-Ci(x0 )]-

- cos x0 [Si

Возвращаясь к исходной переменной, приходим к выражению для боковой координаты по окончании разворота:

n L f . 2Kahe siny ^ z1 = z0 + he ctg80 isin sinV0 +-. L, P0

Ci

2Kahe sin 2| 8 0

- cos

Si

sin

_.f 2Kohe •pi - Ci -¡—¡-p0

J I sin2|8 0py

Л

x

2Kohe sin у sin V 0 +—. ^ i P 0

/

1P1

-Si

2Kahe

1P0

0

С новой переменной выражение для текущего угла пути (7) принимают вид:

2КстИе .

у = у 0

sin 2180|

его конечная величина определяется равенством:

sin y

V1 = x0 - x1, весьма удобным при численных расчётах.

x

x

Определение дальности

Определим величину продольной координаты Б1, называемой дальностью выполнения разворота. Для этого преобразуем четвёртое уравнение системы (1) к виду:

dD = -he ctg 8 cos у — .

P

С учётом выражения (7) получаем:

dD = -he ctg80 cos

У о + —

2Kahe

sin280

dp P

Перепишем последнее уравнение, делая положительным второе слагаемое в квадратных скобках:

dD = -he ctg80 cos

2Kohe. dp ,lm

Уо —-^üfj sin Y(P-Po) — .(19) sin2 8 O P

С учётом переменной x, обозначения Xo , выражения для плотности P и дифференциала плотности dP, как это сделано для уравнения боковой координаты (8), приходим к уравнению дальности с разделёнными переменными:

dD = -he ctg80 cos(x0 - x)— .

x

Раскроем косинус разности двух аргументов:

dD = -he ctg 80 (cos x0 cos x + sin x0 sin x)).

x

Выражение для дальности записывается через интегральные функции синуса и косинуса:

( x x Л

D = D0 - he ctg 80

Г cos x r sinx cos x0 J--+ sin x0 J -

x0 x x0 x

По окончании разворота получаем выражение для дальности:

xx

Di = D0 - he ctg80

xi xi 1 cos x 1 sin x cos x0 J--+ sinx0 J -

xx

x0 x0

Перепишем последнее выражение, используя свойства определённого интеграла:

Л. „ Л

+

Di = D0 - he ctg80

cosx0

r cosx , rcosx ,

J-dx - J-dx

vx) x xi x ,

+ sin x0

í xi • x0 • ^ isin x , 0sin x , J-dx - J-dx

о Л о Л Приходим к интегральным функциям синуса и косинуса:

D = Do - he ctg8o{cosio[Cl(x1) - Ci(xo)] +

+ sin x0 [Si

2Kahe sin y

где x0 = У0 +—. 1 P0;

2Kahe sin y

xi =  Pi.

Окончательное выражение для полной дальности разворота в функции начального Р0 и конечного Р1 значений плотности атмосферы имеет вид:

Di = D0 - he ctg 8 0 ^ cos

^ 2Kahe sin y ^ У 0 +——XT"¡— P 0

Ci

2Kohe sinY

-Pi

-Ci

^ 2Kohe sinY ^ У0 + . L 1 P0

si

in^ 80

+ sin

^ 2Kohe sin y ^ У 0 +—. 1 P 0

Si

2Kahe sin y sin2| 80

-Pi

-Si

^ 2Kohe sin y ^ У0 + . ín 1 P0

s

где Si и Ci - интегральные функции синуса и косинуса [2].

Алгебраические уравнения, полученные из решения дифференциальных уравнений координированного разворота для скорости (8), боковой координаты (15) и дальности (2o) дополняются алгебраическими уравнениями, получаемыми из решения дифференциальных уравнений движения на втором промежутке «1-k» двухсоставной траектории пространственного движения. В итоге приходим к совместной системе нелинейных уравнений, искомыми неизвестными в которой является управляющий параметр t1 в структуре закона управления, указывающий момент переключения управления и перехода на вторую часть составной траектории, а также другие параметры движения в точке «1»: D1, Z1, /?1, у 1, V1. Наклон траектории считается неизменным и равным начальному значению угла: 01 = 0o .

Определение скорости

Получим выражение для определения скорости при проведении плоского разворота. Для этого разделим первое уравнение системы (1) на второе:

dV V

-=-cos 0o.

dy К sin у

После разделения переменных получаем уравнение:

dV cos0o ,

-=-— dy,

V К sin у

соответствующее отрезку разворота у е [уo, yj, правого при у 1 < o, и левого при у 1 > o . При правом развороте убывает и скорость, и угол пути. Чтобы решить это уравнение, применим обратное интегрирование на отрезке уе[у1, у o ], противоположном отрезку разворота:

V dV = cos80

V V = K sin Y у!

у

J dy.

После вычисления интегралов получаем:

V = Viexpl y-yi cos80 I.

K sin y

По окончании интегрирования имеем:

V0 = v1expíy°^yicos80 |. ^ K sin y

Из последнего соотношения выразим скорость Vi и подставим её выражение в формулу (23):

У-У 0

V = V0 exp

K sin y

Lcos80 I.

+

x

x

X

X

Получили выражение для определения текущей скорости при координированном развороте. В конце разворота скорость определяется выражением:

V -У0

V1 = Vo exP

-cos 80

K sin у

Отметим, что формулы (24), (25) справедливы только для координированного разворота, при котором 9o = const и скоростной угол крена может принимать только два значения: у = л /2 при у< 0 и у = -л/2 при у > 0.

Определение высоты траектории координированного разворота

Из второго уравнения системы (1) выразим дифференциал времени:

dy

dt = —

KapV sin у

-cos 8

o;

выражение которого подставим в четвёртое уравнение системы (1):

pdh = - sin28o-

dy

2 Ka sin y

С учётом уравнения (2) приходим к уравнению с разделёнными переменными р и у :

dp = —sin28°— dy .

2Kahe sin y

Рассмотрим решение этого уравнения на нисходящей траектории, когда плотность монотонно возрастает и её величина принимается за переменную интегрирования:

í dp =—sin280— г .

Р 2Kahe sin y J P0 e ' Ш0

Вычисление интегралов даёт выражение для определения текущей плотности атмосферы при плоском развороте:

sin280 / \ P = Po+ 2K h

2Kahe sin y По окончании разворота плотность равна:

Pi = Po +-

sin28° / ч -— (1 o j.

2Kahe sin y

Соответствующая высота вычисляется из дифференциального уравнения (2), интегрирование кото-

Подстановка (28) даёт выражение для определения текущей высоты координированного разворота:

sin280

h = ho - he ln

1 + -

2Kahepo sin у В конце разворота высота равна:

h1 = ho - he ln

sin 28 o / ч

1 + 2K~h- • ( oj

2Kahepo sin у

Отметим, что формулы (28) - (31) справедливы только при у = л/2, когда на нисходящей траектории выполняется правый разворот и ^-^о < 0 , и

при у = -л/2 , когда на нисходящей траектории выполняется левый разворот и у - у о > 0 . Полученные формулы также справедливы для определения высоты и на восходящей траектории.

Продолжительность координированного разворота

В уравнение (26) подставим выражения для скорости (24) и плотности (28):

Vo cos8o--у— cos8o

л 2he cos8o eK sinу e K sinу dt = - e o

dy

.

V0 2Kahe sinyp0 + sin280 (у - у 0) Введём новую переменную:

q = 2Kahe sinyp0 + sin280 (у-у 0) dq = sin 280dy . Выразим старую переменную через новую:

q - 2Kahe sin yp 0

у = У 0 +-г-28-•

sin 28 0

Выразим экспоненту в соотношении (32) через новую переменную:

где a = -

eaq

dt = b-dq ,

q

cos8o ;

K sin 28 0 sin y

b = _ 2he COs80 ea

V0 '

Представим решение уравнения (33) через интеграл с переменным верхним пределом:

t = t o + b J

q e aq

qo

q

dq,

где а > 0 на нисходящей траектории, 6 о < 0 , и а < 0 на восходящей траектории, 60 > 0 . Уравнение (34) справедливо при двух значениях угла скоростного крена: у = л /2 и у = -л / 2.

Решение уравнения (34) определяет текущую продолжительность координированного разворота при положительном коэффициенте а > 0 :

^ - Й )!

t = t o + b

ln q

qo

+ E-

k=1

k! k

рого даёт выражение: -

h = ho - he ln-^. po t = to + b ln q qo

и отрицательном коэффициенте a < o :

k

+ K- Г k=1

k!k

, a > o,

a < o .

Продолжительность координированного разворота определяется углом пути у = У1 по соответствующим формулам при положительном а > 0 :

- Я 0 )

ln q1

qo

+ Z-

k=1

t1 = to + b

и отрицательном a < o :

t1 = to + b

k! k

a > o,

ln q1

qo

+ E(-1)k

k=1

Uk (qk qk a \q1- qo

k! k

, a < o ,

где qo = 2Kahe sin ур o;

13o

q1 = 2Kahe sinyp0 + sin280(у1 -у0).

Таким образом, получены аналитические выражения для расчёта параметров координированного разворота, включая продолжительность его проведения (37), (38). Уравнения (8), (15), (20), дополненные уравнения для времени (37) или (38), составляют первую часть системы нелинейных алгебраических уравнений. Вторую часть системы получают, решая дифференциальные уравнения движения на втором промежутке «1-k» двухсоставной траектории «0-1, 1-k» исходя из заданной терминальной задачи 1, 2 или 3.

Построение программной пространственной траектории заканчивается определением параметров движения в точках «1» и «k», включая моменты времени ^ и tk, которые являются управляющими параметрами закона программного управления и однозначно его определяют. При этом значение угла у1 в общем случае может отличаться от значения, вычисляемого по формуле (4). После этого в полёте при формировании программной траектории вместо моментов времени t1 и tk можно использовать любой из параметров движения в этих точках.

Пример

Оценим параметры окончания координированного разворота БЛА с аэродинамическим качеством K = 20 и баллистическим параметром ст = 0,5-10-4 м2/кг, который начинается на высоте h0 = 8 км, где атмосфера имеет плотность Р0 = 0,5258 кг/м3, со скоростью V) = 3000 м/с под углом 80 = -45°. Примем константу he = 7623 м в экспоненциальной модели атмосферы. Координированный разворот заканчивается на высоте h1 , предположим, что она равна h1 = 7 км (Р1 = 0,5900 кг/м3). Вычислим начальное и конечное значения новой переменной в уравнении (20):

x0 ="

2 • 20 • 0,5-10

-4

sin 2

- 45е

x1 =-

2 • 20 • 0,5 -10"

sin 2

- 45°

^sin - 0,5258 = 8,0163. 2

• 7—sin -0,5900 = 8,9951. 2

По таблицам интегральных функций [2] находим значения интегральных синуса и косинуса: Si( x0) = Si(8,0163) = 1,57419, Si( x1) = Si(8,9951) = 1,66504, Ci( x0) = C + ln x0 - £!( x0) =

= 0,5772 + ln 8,0163 - 2,53423 = 0,1245, Ci( x1) = C + ln x1 - £!( x1) =

= 0,5772 + ln 8,9951 - 2,71909 = 0,0548. По формуле (20) рассчитываем значение дальности разворота:

D1 = -7623ctg(- 45° ){cos8,0163[0,0548-0,1245] + + sin 8,0163[1,6650 -1,5742]} =

По формуле (14) получаем значение боковой координаты разворота:

z1 = 7623 45° |^т8,0163[0,0548-0,1245]-- ^8,0163[1,6650 -1,5742]} = = -7623{- 0,9869- 0,0697+0,1616- 0,0908} = 412,5 м. По формуле (17) вычисляем угол пути по окончании разворота:

у1 = Х0 - Х1 = 8,0163 - 8,9951 = -0,9788 (-56,081°). Оценим потерю скорости за время разворота по формуле (25):

-0,9788

V = 3000exp---cos(- 45° )= 2898,0 м/с.

s(- 45° ^

20sin90°

Оценим высоту окончания разворота :

h1 = h0 + д/D12 + z¡ tg 80 =

41

= 8000 -л/7692 + 412,52 4 = 7127,4 м.

м.

Таким образом, разворот завершился на высоте 7,1 км, где плотность стандартной атмосферы р1 = 0,5833 кг/м3, т.е. высота окончания координированного разворота предсказана почти точно (7 км). Если такая точность расчётов считается неудовлетворительной, то следует задать следующее приближение для высоты окончания разворота. Продолжая итерационный вычислительный процесс, можно получить результаты с заранее заданной точностью. Дальнейшее построение программной траектории заключается в расчёте второй части двухсоставной траектории исходя из заданной терминальной задачи наведения в цель.

Заключение

В статье представлены результаты аналитических исследований пространственных разворотов БЛА при наведении в точечную цель, расположенную внизу на поверхности или вверху в атмосфере. Введено понятие координированного разворота, при котором подъёмная сила приложена перпендикулярно вектору скорости и параллельно поверхности. Введение координированного разворота позволяет получить аналитические решения для дифференциальных уравнений разворота, выраженные через интегральные функции синуса и косинуса. Использование координированного разворота позволяет существенно упростить формирование программных траекторий разворота при решении различных терминальных задач наведения БЛА в точечную цель, включая задачи перехвата подвижных наземных и воздушных целей.

Погрешности, вносимые заменой реальных пространственных разворотов, формируемых громоздкими приближёнными численными методами, координированными разворотами, при определённых допущениях (большое аэродинамическое качество, малый баллистический параметр, короткая продолжительность), в реальных условиях полёта имеют порядок внешних и параметрических возмущений и вместе с ними отрабатываются системой стабилизации. Цена эффективности метода конструирования закона программного управления пространственным движением за счёт использования координирован-

4

ного разворота определяется незначительной стоимостью дополнительного расхода топлива рулевыми органами и несущественным ухудшением качества переходных процессов в стабилизируемых угловых движениях.

Публикация осуществлена при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Республики Татарстан в рамках научного проекта №15-48-02040.

Литература

1. Афанасьев В.А., Мещанов А.С., Хайруллин В.Р. Модельная задача перехвата летательного аппарата в однородной атмосфере // Вестник КГТУ им. А.Н. Туполева. -2010. - № 2. - С.118-121.

2. Г. Корн, Т. Корн. Справочник по математике для научных работников и инженеров. - М.: Наука, 1978. -832 с.

© В. А. Афанасьев, канд. техн. наук, доц. каф. прикладной математики и ракетодинамики филиала Южно-Уральского научно-исследовательского ун-та в г. Миасс, Челябинская область, ava46@mail.ru; А. А. Балоев, д-р техн. наук, проф. каф. автоматики и управления КНИТУ им. А.Н. Туполева-КАИ, a.baloev@mail.ru; А. С. Мещанов, канд. техн. наук, ст. науч. сотр., доц. той же кафедры, mas41@list.ru.

© V. A. Afanasyev, Candidate of Science, assistant professor of the applied mathematics and rocket dynamics chair at the South Ural scientific research university, city of Miass, Chelyabinsk region, ava46@mail.ru; А. А. Baloev, Doctor of Science, professor, manager of the automatics and control chair at the Kazan national research technical university after A.N. Tupolev-KAI, a.baloev@mail.ru; A. S. Meshchanov, Candidate of Science, senior staff scientist, assistant professor of the automatics and control chair at the Kazan national research technical university after A.N. Tupolev-KAI, mas41@list.ru.