Дифракция звука на трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке произвольной толщины в волноводе с акустически мягкими границами

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 154-163 ^ Механика

V IК 534.26

Дифракция звука на трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке произвольной толщины в волноводе с акустически мягкими границами*

Л. А. Толоконников

Аннотация. Получено приближенное аналитическое решение задачи дифракции звука на трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке произвольной толщины в волноводе с акустически мягкими границами.

Ключевые слова: звуковая волна, неоднородный упругий цилиндр, дифракция звука.

Исследованию распространения звука в волноводах, содержащих упругие цилиндрические тела, посвящен ряд работ. Дифракция звуковых волн на сплошном однородном упругом цилиндре в плоском слое жидкости исследована в работах [1,2]. Задача дифракции звука на неоднородном траневереально-изотропном полом цилиндре в плоском волноводе с акустически мягкими стенками решена в [3]. В работе [4] изучена дифракция звука на неоднородной анизотропной цилиндрической оболочке произвольной толщины в волноводе с жесткими границами. При этом в [3, 4] рассматривался случай симметричного расположения тела и симметричного распределения источников звука первичного поля возмущений относительно оси волновода. Кроме того, в этих работах для определения поля смещений в упругом цилиндре предлагается численное решение краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений с использованием громоздкого вычислительного алгоритма. В работах [5, 6] найдены приближенные аналитические решения задач дифракции звуковых волн на неоднородном упругом полом цилиндре в плоском волноводе с акустически мягкими и жесткими стенками при произвольном расположении тела и произвольном распределении источников звука в волноводе.

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (проект № 09-01-97504).

В настоящей работе находится приближенное решение задачи дифракции звуковых волн на трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке произвольной толщины в плоском волноводе с акустически мягкими границами.

Полагаем, что в плоский волновод с акустически жесткими границами помещена трансверсально-изотропная цилиндрическая оболочка с внешним радиусом п и внутренним радиусом гъ- Волновод и полость цилиндра заполнены идеальными сжимаемыми жидкостями, плотности (невозмущенные звуком) и скорости звука которых равны pi, с\ и p<¿, сч соответственно.

Систему прямоугольных координат ж,y,z выберем так, чтобы ось ж была направлена по нижней стенке волновода, ось у — перпендикулярно стенкам, ось z — параллельно оси цилиндра. При этом нижняя стенка соответствует плоскости у = 0, верхняя — у = d. где d — ширина волновода. Положение оси оболочки определяется уравнениями: ж = Хо, у = Yo, —оо < ,г < оо.

В волноводе вдоль оси х распространяется гармоническая звуковая волна давления pi с круговой частотой ш, возбуждаемая заданным распределением источников звука на сечении волновода, расположенного на расстоянии Xq от оси цилиндра. В дальнейшем временной множитель е~гш1 будем опускать.

С цилиндрической оболочкой свяжем цилиндрическую систему координат r,<p,z с началом на оси оболочки. Введенные прямоугольные и цилиндрические координаты связаны между собой соотношениями

х = Xq + г eos (р; у = Yq + г sin <р- z = z.

Определим давление полного акустического поля p¡ в волноводе и акустическое давление р2 в полости цилиндра, а также найдем поле деформаций в упругой оболочке.

В рассматриваемой постановке задача является двумерной. Все искомые величины не зависят от координаты г.

Искомые давления р\ и р-> являются решениями уравнений Гельмгольца:

&pj{r,<p) + tfpj{r,<p) = 0; J = 1,2,

где kj = — — волновые числа в волноводе ( j = 1) и полости цилиндра ( j = 2). сз

При этом

Pi=Pi+Ps,

где ps — давление рассеянного цилиндром акустического поля в волноводе.

В области х > 0 давление первичного поля возмущений может быть представлено совокупностью распространяющихся в направлении оси ж собственных волн волновода [2]:

ОО

Рг{х, у) = ^2 Лпег7пХ sin хпу,

п=0

где 7„ = у/к\ — А^; А„ = ; Ап — заданные амплитуды.

Разложение (3) описывает общий случай произвольного расположения источников звука на сечении волновода х = 0.

В цилиндрической системе координат, связанной с цилиндром, падающая волна может быть записана следующим образом:

ОО

рг{к,

тп=—оо

где am = %т ^ AnellnXo sin Í Л„Уо — т arcsin; Jm — цилиндрическая

п=0

функция Бесселя порядка т.

Уравнения движения упругого слоя в случае установившихся колебаний в цилиндрической системе координат имеют вид:

д а гг 1 darv о гг (г(п(п о

~я I--------Т) I---------------= —ш 1П1г'

ОТ Г Oíd Г

д(т<р(п 1 davv 2 о

“я Н--------'п + _сг^ = “ш Pu<pi

ОГ Г 0(р г

где р — плотность материала оболочки; иг,и,р — компоненты вектора смещения u в цилиндрической системе координат; — компоненты тензора

напряжений. При этом компоненты иг,и,р вектора смещений не зависят от цилиндрической координаты г, и itz = 0.

Компоненты тензора напряжений и компоненты тензора деформаций eij связаны между собой обобщенным законом Гука, который для траневереаль-но-изотропного тела в двумерном случае записывается следующим образом:

aij = + Ajj22e22 + 2A¿ji26i2,

где Xijki — модули упругости анизотропного материала тела.

Симметрия тензора модулей упругости по индексам i,j, а также индексам к, I позволяет ввести двухиндекеное обозначение модулей упругости A ¿fe, где г, к = 1, 2,... , 6. При этом значениям индексов 1,2,3,4,5,6 отвечают соответственно пары индексов 11,22,33,23,13,12.

Тогда в цилиндрической системе координат обобщенный закон Г ука записывается в виде

а.

ГГ

Ац£гг ~f” Ai2^'<^,<^) @ípíp — Ai2^rr ~f” ^22^ipip) — 2А55^'Т,<^*

Компоненты тензора деформаций связаны с компонентами вектора смещения соотношениями

_ диг _ 1 диу иг _ 1 /1 диг диу \

£тт дг ’ £{рч> г д<р г ’ £г1р 2 \г д<р вг г )

Искомые функции р3, рг и иг, и у, должны удовлетворять граничным условиям на стенках волновода и на поверхностях оболочки.

Граничные условия на акустически мягких стенках волновода (при у = О и у = (1) заключаются в равенстве нулю акустического давления:

Р1

Г раничные условия на цилиндре заключаются в непрерывности нормальных скоростей частиц упругой среды и жидкости на внешней и внутренней поверхностях оболочки; равенстве на них нормального напряжения и акустического давления; отсутствии на этих поверхностях касательных напряжений:

—гшиг = у^г] агг = —ру] сгГ

1 др3

где (!./,. =-—— — радиальная компонента вектора скорости частиц жид-

iшpj дг

кости в волноводе (] = 1) и полости цилиндра (] = 2).

Кроме того, давление р8 должно удовлетворять условиям излучения на бесконечности по оси ж, а давление рч — условию ограниченности.

Давление рассеянного акустического поля р8 будем искать в виде потенциала простого слоя

Рз{х,у)= щ{хо,уо)С{х,у\хо,уо)с11о,

" Ьо

где г/1(жо,уо) — неизвестная функция, описывающая распределение источников поля р3 на внешней поверхности цилиндра; С?(ж, у|жо, Уо) — функция Грина; ¿о — окружность радиуса г\ с центром в точке (Хо, Уо); е?1о = П^о — Элемент Ь().

Функция Грина имеет вид [3]

“ I („¿7п(ж-жо) г > Тп

С

Вводя обозначение г/(жо,уо) = ^1^1 (о5 Уо) и переходя от декартовых координат ж, у к полярным координатам г, <р, выражение (10) запишем в виде

р2тг

Рз{г,

./о

При этом функция плотности распределения ИСТОЧНИКОВ V на внешней поверхности цилиндра зависит только от одной угловой координаты, так как на этой поверхности Го = Г\.

Благодаря представлению функции Грина в виде (11) функция р8, определенная формулой (12), удовлетворяет уравнению Гельмгольца, граничным условиям (8) и условиям излучения на бесконечности. В результате задача определения рассеянного поля р8 сводится к нахождению функции распределения источников 1/((ро), обеспечивающей выполнение граничных условий (9) на поверхностях оболочки.

Акустическое давление р2 в полости цилиндра, удовлетворяющее уравнению Гельмгольца (1) и условию ограниченности, будем искать в виде

Очевидно, что вектор смещения и в упругом слое является периодической функцией (р С периодом 2-7Г. Поэтому функции иг(г, <р) И и,р(г, <р) представим следующими рядами Фурье:

иг

Подставляя выражения (14) в уравнения (5) с учетом (6) и (7), получим следующую систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций «1ш(г) И и2тп{1') Для каждого то (то = 0, ±1, ±2,...):

Представим функцию плотности распределения источников в виде разложения в ряд Фурье:

Коэффициенты Вт и Ьт разложений (13) и (16), а также четыре краевых условия для нахождения частного решения системы дифференциальных уравнений (15) подлежат определению из шести граничных условий (9).

Для определения коэффициентов Ьт подставим в первое граничное условие (11) выражения (16) и

ОО

т=—оо

ОО

ОО

т=—оо

т=—оо

+ Вт^'т + Стит — О,

т

где ит = («1то(г), 112т{г))Т; Ат, Вт, Ст — матрицы второго порядка;

ОО

771— — ОО

VI г =

Из теории потенциала известно [7], что потенциал простого слоя (10) непрерывен на поверхности, по которой распределены источники, а его нормальная производная на этой поверхности имеет разрыв, равный по величине —7П/1. Интеграл (12) и производные от него следует понимать в смысле главного значения с переносом операции дифференцирования непосредственно на подынтегральную функцию.

Таким образом, учитывая, что

7Г

=-----1>(<р)+ 1>(<ро)М(<р,<ро)(1<ро,

Т—^*1 «/ О

0ps

дг

из первого граничного условия на цилиндре получаем соотношение

ОО ОО

^Р1 £ «1 ш(гг)е^= X аткМЬъУ™*-

т=—оо т=—оо

/*2тг

----Н

П Jo

д

Здесь М

Г=г\

Подставим разложение (16) в (17), умножим обе части полученного уравнения на е~гпч> и проинтегрируем по (р в пределах от 0 до 2тт. Учитывая, что

jf27r e™vе~™<рdp = j

0, тф п

2тг. то = її.

получим бесконечную систему линейных уравнений относительно неизвестных Ь„,. Для регуляризации системы выполним замену неизвестных по формуле [8]: bm = bmJ'm(kiri).

В результате бесконечная система принимает вид

ОО

У" anmbn = fm

п=—оо

ГДв СХпт — 5nrn i CXjimj ^nm ~~ СИМВОЛ КрОНекер&,

=- & iM) С См(9'

f

J 771 —

7Г

JL(Cn)Ulm{ri) amk\

Из второго граничного условия (9) также получаем бесконечную систему линейных уравнений относительно неизвестных Ьп. Для регуляризации системы проведем замену неизвестных по формуле [8]: Ьп = Ьп^(кігі).

Будем иметь

X @пт~Ьп = Ет {т = 0,±1,±2,...),

ОО

где

Г*2ТГ /»27Г

/Зпш = л(^т) / / К(1р,1ро)егп,рое~гт,р<£1ро<£1р;

¿0 ¿0

К{<Р-, <Ро) = С(п, <р\п, (р0у,

gm = -2п ^атп^(к1г1) + Лци,1то(г1) + ^ [и1ш(п) + *т«2т(п)]| •

Замечаем, что коэффициенты Ьп в системах (18) и (19) выражаются через величины «1ш(г1) И «2то(п)-

Запишем системы (18) и (19) в усеченном виде, выбрав порядок усечения N. Получим

N

X апш'Ьп = л? + /^}«1т

П——1V

N

X fЗnmbn = g{m)+g{m)mm

п=—М

(ш = 0,±1,±2,...,±Л0,

где

4^ = = _27га™'/™(А;1г1);

^т=-27Г —5 = -2тггто —; =-2тгАп.

Г1 Г1

В матричном виде система (20) имеет вид

<36 = /(°) + /««!,

где

<2 = (апш)(2ЛГ+1)х(2ЛГ+1); /(0) = (/1% Л+1, • • •, /Г, /1(0), • • •, Л0))т;

/(1)И1 = (/1лгИ1 -лг(п), /1лг+1«1 -лг+1(п), • • • , /о^^юСп), • • •, /]у)«ш(п))т; 6 = (6-ЛГ, 6-ЛГ+1, • • • , Ьо, £>1, . . . , 6лг)Т-

Методом обратной матрицы находим

ь = (<3)_1/(0) + (<5)_1/(1)и1

или в координатной форме N N

~bn = Е ^njf^ + Е

j=-N j=—N

где qnj — элементы обратной матрицы Q-1.

Подставим (22) в систему (19). Получаем

N N

^)«lm(ri) + ^)«2m(ri)+^)«im(ri)- Е @пт Е Яп] Uij(n) =

n=—N jz=—N

N N

= Е Р™ Е <lnjff}-g{£}

n——N j=—N

Подстановка выражений (14) в третье граничное условие (9) приводит к соотношению

% ш 1

--Uim

Г1 Г1

Из четвертого граничного условия (9) находим

LÜ2p2Ulm(r2) , , , .

В™= L, TU и------Г

K2Jn\k2r2)

Замечаем, что коэффициенты Вт выражаются через величины и\т{г2). Из пятого граничного условия (9) находим

^ци'1т{г2) + — [uim{r2) + imu2m{r2)} = -BmJm{k2r2) (т = 0, ±1, ±2,...). Г2

Подставляя в последнее уравнение выражение (25), получим An«'lm(r2) + — [«im (гг) + гти2ш{г2)] +

Г2

+ Ши1^Г2) = о

K2Jn\k2r2)

Подстановка выражений (14) в шестое граничное условие (9) дает соотношение

%тп 1

Ulm

Г2 Г2

Таким образом, нахождение поля смещений в упругом цилиндрическом слое сведено к решению системы обыкновенных дифференциальных уравнений (15) с краевыми условиями (23), (24), (26), (27) при m = 0, ±1, ±2,... , N. Эта краевая задача может быть решена каким-либо методом, например, как в [9].

После нахождение поля смещений определяются коэффициенты bm и Вт. В результате акустические поля вне и в полости цилиндра описываются выражениями (12) и (13).

Список литературы

1. Рассеяние акустических волн упругими цилиндрами в многомодовых слоистых волноводах / В.Е. Белов [и др.] // Формирование акустических полей в океанических волноводах. Реконструкция неоднородностей. Н.Новгород: ИПФ РАН, 1994. С. 63-88.

2. Применение метода интегральных уравнений к задаче о дифракции акустических волн на упругих телах в слое жидкости / В.Е. Белов [и др.] // Акустический журнал. 1994. Т. 40, № 4. С. 548-560.

3. Толоконников JI.А., Садомов A.A. О дифракции звука на неоднородной транс-версально-изотропной цилиндрической оболочке в слое жидкости // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12. Вып. 5. С. 208-216.

4. Садомов A.A. Дифракция звука на неоднородной анизотропной цилиндрической оболочке в волноводе с жесткими границами при симметричном распределении источников первичного поля // Вестник ТулГУ. Сер. Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2007. Вып. 1. С. 76-83.

5. Толоконников JI.А., Романов А.Г. Распространение звука в волноводе в присутствии неоднородной цилиндрической оболочки произвольной толщины // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 161-176.

6. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на неоднородном упругом полом цилиндре в слое жидкости с жесткими границами // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2009. Вып. 1. С. 81-88.

7. Тихонов A.H., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

8. Иванов Е.А. Дифракция электромагнитных волн на двух телах. Минск: Наука и техника, 1968. 584 с.

9. Толоконников Л.А., Ларин Н.В. Рассеяние звука неоднородными термоупругими телами. Тула: ТулГУ, 2008. 232 с.

Поступило 27.05.2009

Толоконников Лев Алексеевич (tolla@tula.net), д. ф.-м. н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Diffraction of the sound by a transversely-isotropic cylindrical shell with the any thickness in waveguide with acoustic soft boundaries

L. A. Tolokonnikov

Abstract. The approximated analytical solution of the problem of diffraction of the sound by a transversely-isotropic cylindrical shell with the any thickness in waveguide with the acoustic soft boundaries is obtained.

Keywords: sound wave, inhomogeneous elastic cylinder, diffraction of a sound.

Tolokonnikov Lev (tolla@tula.net), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.