Реализация квантового логического вентиля ссnot на основе зеемановской структуры уровней в атомах рубидия

РЕАЛИЗАЦИЯ КВАНТОВОГО ЛОГИЧЕСКОГО ВЕНТИЛЯ ССШТ НА ОСНОВЕ ЗЕЕМАНОВСКОЙ СТРУКТУРЫ УРОВНЕЙ В АТОМАХ РУБИДИЯ

А.И. Трифанов Научные руководители - д.ф.-м.н., профессор И.Ю. Попов, д.ф.-м.н., профессор Г.П. Мирошниченко

В работе строится математическая модель универсального квантового логического вентиля ССМОТ на элементной базе квантового оптического компьютера. Описывается схема построения устройства, использующая эффекты квантовой оптики. Вентиль реализуется на основе ячейки с парами рубидия при низкой температуре, помещенной в сильное магнитное поле. Роль кубитов играет поляризация пучков света, падающих на ячейку (в другом варианте - однофотонное состояние света).

В настоящее время особый интерес представляют работы по созданию квантового компьютера. Квантовые эффекты перепутывания и когерентности делают эту область привлекательной при построении телекоммуникационных систем и сетей, а также при решении задач, которые в классическом компьютере требуют экспоненциального времени расчета, за полиномиальное время [1, 2]. Работы в данной области также востребованы в новой области, называемой квантовой криптографией, которая позволяет создать сверхустойчивые протоколы передачи секретных сообщений.

Квантовой единицей информации служит квантовый бит (кубит), который, в отличие от классического бита, может находиться в суперпозиции состояний нуля и единицы. Благодаря этому достигается параллелизм, которого невозможно достичь в классических компьютерах.

Главная проблема при разработке квантового компьютера - это вопрос создания элементной базы. Логический элемент, осуществляющий преобразование кубита или системы кубитов, называется квантовым вентилем. В настоящее время предложено множество вариантов реализации таких устройств. Однако математическое моделирование вентиля, преобразующего систему кубитов, - очень сложная задача, тем сложней, чем больше система. Также одной из проблем в этой области является выбор интерпретации кубита, т.е. физической величины, используемой для кодирования информации. Наиболее известные - это спин электрона, ядерный спин, поляризация фотона (однофотонное состояние) [3].

В настоящей работе предложена реализация квантового логического устройства ССКОТ (дважды контролируемое НЕ), которое осуществляет преобразование трехку-битового состояния в соответствии с таблицей (см. табл. 1). Данное логическое устройство является универсальным в том смысле, что одних таких устройств достаточно для выполнения любой квантовой логической операции [2, 4].

Описанное преобразование соответствует следующей матрице:

1. Введение

078 = 087 = 1,08,8 = 0

а

Ь

а' Ь'

с

N01

с'

Рис. 1. Логический вентиль ССЫОТ

аЬс а'Ь'с'

000 000

001 001

010 010

011 011

100 100

101 101

110 111

111 110

Таблица 1. Преобразование ССЫОТ

Информация кодируется в поляризации фотона. Данный выбор обоснован тем, что фотон сам по себе является идеальным носителем информации, так как не подвержен эффектам декогерентизации, разрушающим квантовые вычисления. Однако имеется и свой недостаток - фотоны слишком слабо взаимодействуют друг с другом, чтобы построить перепутанное состояние нескольких кубитов. Преодолеть данное затруднение можно, создав специальные условия в среде, называемые вынужденной электромагнитной прозрачностью.

В качестве среды распространения, следуя [5, 6], выбирается ячейка с атомами 87КЬ, помещенная в сильное магнитное поле. В веществе выбирается система зеема-новских уровней, обладающая следующим свойством: переходы между уровнями соответствуют строго определенному виду круговой поляризации фотона. В зависимости от того, сколько пучков в среде распространяется, набег фазы поляризации контролируемого пучка под действием гигантского эффекта Керра меняется. Построенный таким образом контролируемый фазовый сдвиг является основой для реализации вентиля (достаточно лишь на результирующее состояние подействовать однокубитовым преобразованием Адамара, что является несложной задачей).

В работе [5] подобная схема исследовалась для реализации квантового двухкуби-тового вентиля СКОТ (контролируемое НЕ). Там же было использовано пять атомных уровней (так называемая М-схема) с двумя полями (двухкубитовое состояние). В данной статье изучается более общая и сложная динамика системы вещество-свет, включающая три поля. Доказывается возможность построения логического вентиля ССКОТ на базе предложенной физической системы.

2. Описание работы М-схемы

В данной работе логический вентиль реализован на зеемановских уровнях в атомах рубидия, обладающих тем свойством, что переходы зависят от вида поляризации падающего излучения. На рис. 2 изображена схема уровней, получившая название М-схемы.

Через ячейку проходят три хорошо стабилизированных по частоте слабых пучка света с частотами 0)р,Шс и 0)(. Пучки с частотами 0)р и 0)с являются контролирующими, а 0)( - контролируемым. Для этих пучков создаются условия взаимодействия

посредством сильного эффекта Керра. В зависимости от поляризаций входного излучения схема будет вести себя по-разному.

В начальном состоянии заселен только основной, первый уровень. Переход из основного состояния 1 в состояние 12) осуществляет электромагнитная волна с частотой 0)р и круговой поляризацией по часовой стрелке (а+р ), переход из состояния 12 ^ в

13 ^ - с частотой волны й)с и поляризацией против часовой стрелки (а-), а из состояния | з ^ в состояние | 4 ^ переход соответствует частоте й)( и поляризации против часовой стрелки (а- ). Сильное поле с частотой между 14 ^ и 15 ^ уровнями введено для того, чтобы согласовывать прохождение этих трех пучков. Символами

Оу = 2Р^у , (, у = 1..5, г Ф у, I = {р, с, ^, ^}) обозначены частоты Раби соответствующих переходов, где ёу - дипольный момент этого перехода, ё - поле, действующее на переходе у в соответствии с рис. 2.

Рис. 2. Конфигурация уровней в М-схеме

Рассмотрим следующую ситуацию: пусть а>р имеет поляризацию а-, в)с - поляризацию а- и - поляризацию а~ . При такой комбинации поляризаций нелинейный набег фазы наблюдаться не будет, так как световой пучок а>р не является резонансным

для перехода 11) ^ 12}. Световая волна а>р пройдет через вещество, практически не взаимодействуя с ним (т.е. не будет возбуждать электроны до уровня |2^), а значит,

взаимодействие и остальных пучков со средой будет пренебрежимо мало. Суммарный нелинейный набег фазы в этом случае будет также пренебрежимо мал.

Рассмотрим другой случай, когда каждый из трех входных пучков находится в резонансе со своим переходом. Все три поля взаимодействуют с веществом и друг с другом. При этом их групповая скорость мала, а время взаимодействия велико. Наблюдается сильный нелинейный фазовый сдвиг поляризации.

кубиты 1 ^ 2 2 ^ 3 3 ^ 4 Суммарный набег фазы А^

000 - - - 0

001 - - - 0

010 - - - 0

011 - - - 0

100 + - - 0

101 + - - 0

110 + + - 0

111 + + + п

Таблица 2. Наличие переходов между уровнями и суммарный нелинейный набег фазы поляризации в зависимости от поляризации входных пучков

В табл. 2 приведены суммарные набеги фаз для возможных распределений поляризации в пучках. В левом столбце единица соответствует круговой поляризации, вызывающей переход между соответствующими уровнями, нуль - перехода нет. Левая

позиция в тройке чисел соответствует пучку с частотой о?, средняя - (, правая - (с .

Во втором, третьем и четвертом столбцах плюс соответствует наличию резонансного перехода между уровнями, минус - его отсутствию.

Матрица, соответствующая описанному преобразованию, имеет вид [7]

М = diag {1 - 2^,8)8=1

Для получения матрицы преобразования ССКОТ достаточно совершить преобразование

0 =

Г1 1 ^

где Н =1 - матрица преобразования Адамара, а I - единичная матрица.

Таким образом, можно сказать, что возможна реализация квантового логического устройства ССКОТ на базе М-схемы, если будет доказано наличие существенного по сравнению с другими случаями нелинейного набега фазы поляризации в М-схеме. Следующая часть статьи посвящена этому вопросу.

3. Нахождение суммарных нелинейных набегов фаз

Для нахождения суммарного нелинейного набега фазы поляризации Ау = Ау? + Аус + А у необходимо найти восприимчивость на каждом переходе атомной схемы [6,7]:

<¥ ЮМ

х и

dij (, 7 = 1 к 5 i * ]).

После этого нахождение набегов фаз трудности представлять не будет: Аур = к?^ 1 + 4жЫХ12 ,

Ау = к0)Ц 1 + 4пЫХ23 ,

Ау = к^ 1 + 4жЫХ34 ,

где к,0, i = {р, с, {}- волновой вектор соответствующего пучка в вакууме, N - число

атомов среды в единице объема, Ь - длина ячейки, ¥ - волновая функция М-схемы, для нахождения которой будем решать уравнение Шредингера: . д¥

д t

= H ¥ .

Оператор Гамильтона запишем в представлении взаимодействия: H = H 0 + V ,

где H0 = diag {е.} 1 - оператор Гамильтона свободной системы с собственными числами E.. Оператор взаимодействия V имеет вид:

V =

Г 0

dn(t) 0 0 0

dn(t) 0

d*3 (t) 0 0

0

d2з

0

^34 (t) 0

0 0

d34 (t) 0

d45

0 0 0

d45 (t) 0

Л

Элементы матрицы V, представляют собой коэффициенты взаимодействия [17]:

„ iapht .* , . ._* -iwpht

du(t) = Qi2e p , du(t) = П!2e p

i /j\ гл -iocht j* гл* i(cht

d23 (t) = ^23e c , d23(t) = ^23e c

Л /--í\ ГЛ ÍG>t ht J* f\* —ÍG)t ht

d34(t) = £234e t , d34(t) = £234e t

j гл —iosht j* гл* i(sht

d45(t) = Q45e s , d45(t) = Q 45e s

Далее представляется удобным перейти к резонансному приближению. При этом мы будем работать не с самими уровнями атомной системы (собственными числами оператора И0), а с отстройками частот переходов между энергетическими уровнями атома и частотами световых пучков, которые связывают данные уровни. Это приводит к тому, что коэффициенты связи перестают зависеть от времени, что существенно упрощает анализ и решение задачи. Мы будем считать, что отстройки частот световых полей от частот переходов между атомарными уровнями много меньше самих переходов между уровнями. Это позволяет нам правомерно строить решение нашей задачи в резонансном приближении.

Теперь, для удобства и корректности дальнейшего изложения, мы определимся с обозначениями частот, а именно: символами (p, (Ос и (Ot будем обозначать частоты

электромагнитных полей, падающих на ячейку, тогда как символами (ij, i, j = 1..5, i ^ j будут обозначены частоты переходов между энергетическими

уровнями в атомах рубидия.

Волновую функцию будем искать в следующем виде:

¥

где Hq - оператор Гамильтона системы, свободной от внешних возмущений, в резонансном приближении:

И о = diag {Ei, i }5=1.

Матрица e iH°t имеет вид

e~iHo t =

diag {exp (iEjt)}

']=1

и обладает следующими свойствами:

в~ш° <и 0 вш°1 = и 0, [ 'Щи о] = 0.

Далее, чтобы написать уравнение Шредингера в резонансном приближении, необходимо найти элементы матрицы Но . Запишем условия выбранного приближения:

ехрШ|ехр(Е2 -Е^] = 1

ехр[-¡а>сШ]ехр [-¡(Е2 - Е3)^] = 1

г 1 г - - 1

ехр [¡щШ]ехр I-/(Е4 - Е3У I = 1

ехр\-т5Ш]ехр [-(Е4 - Е5У] = 1

Решая данную систему относительно Е] (i = 1к 5) с предположением Е} = Е}, получаем:

Е=е

Е2 = Е + сор %

Е3 = Е^ + < % -<С %

Е4 = Е^ + а>р % - <С % + < % Е4 = Е^ + (Ор % - <С % + < % - со$ %

Преобразуем далее уравнение Шредингера и получим его вид в резонансном приближении. Для этого подставим волновую функцию (3.6) в исходное уравнение (3.3):

/4

Второе слагаемое в (3.10) представляет собой оператор возмущения в резонансном представлении. Учитывая выражения для коэффициентов (г) и ё *^ (г) (3.5),

получим:

е~/Н0 гуе'Н0г =

Г 0 "12 0 0 0 1

„ * "*2 0 "23 0 0

0 * "23 0 "34 0

0 0 * "34 0 "45

V 0 0 0 * "45 0,

Оператор в первом слагаемом в (3.10) - разность двух операторов,

Н0 - Н0 = ёга8 {А/ }5=Р и для удобства введены обозначения А/ = Е/ - Е/, / = 1..5 .

Функцию 4 (г) разложим по собственным векторам атомной системы:

4 (г) = X су|у>.

] = 1

Теперь можно записать получившееся уравнение Шредингера:

Су(?) ^ (АХ * "12 0 0 0 1 Г С1( г) ^

С2

с&3 (г) = 0 _* "23 А3 "34 0 С3(0

С4

с&5(г)) V 0 0 0 * " 45 А5 , V С5 (г) ,

или в векторной форме

гС = НуС .

Из условия начальной заселенности первого уровня получаем начальные условия:

С(0) = (1 0 0 0 0).

4. Решение системы уравнений методом стационарной теории возмущений

Будем решать получившуюся систему дифференциальных уравнений методами стационарной теории возмущений. Для этого представим матрицу Ну в виде суммы

Ну = НУ + ш

V

где

Н 0 =

НУ =

(А1 0 0 0 0 1

0 А2 0 0 0

0 0 А3 0 0

0 0 0 А 4 О45

V 0 0 0 * О45 А5 ,

Элементы матрицы Ш представляют собой частоты Раби соответствующих входных пучков. Выше отмечалось, что эти пучки очень слабые, что позволяет нам рассматривать матрицу Ш как возмущение матрицы Ну :

( 0 О

ш =

12

0

О

12

0 О

V

0

0 0

О

23 0 0

23

0 *

О34 0

0 0

О

34 0 0

0 1 0 0 0

0

у

Найдем собственные значения невозмущенной матрицы:

( А1 ^

А 2 А з

(Ч

Ч4

л5

Л

(А4 + А5 ) + ^(А4 + А5 )2 - 4О

2

45

(А4 + А5 )-д/(А4 + А5 )2 - 4О

2

45

и матрицу ее собственных векторов

0 0

(10 0 0 1 0 0 0 1

г =

0 0 0

0 0 0

0

О 45

0 0 0

О 45

у1о45 + (4 -А4 )2

Л4 - А 4

25 + (% -А4 )2 Ч — А 4

45 + ( — А4 )2 \1О25 + (% — А4 )2

Поправки к собственным векторам будем искать по формуле

Гш =Г|/ + а« + а(2)+ а« + ...

где /5х5 - единичная матрица, а матрицы а(г) получаются из рекуррентной формулы

а,

т, п

1

(М0) \х т ш

Vх

гп°л а(—1)—х1 п т

' к=1 *

Ч Чт

Для поправок к собственным числам имеем:

-

т ^ п.

.

т

Ж

Г

т ^т \х т

к=1

.

т

Нижний индекс Г^) указывает номер собственного вектора в матрице, верхний - порядок величин этого вектора.

Найдя, таким образом, собственные векторы с точностью до третьего порядка величин матрицы по формуле (3.1) можем посчитать значения для восприимчивости на соответствующих переходах ( О- считаем вещественными величинами):

Х12 =

4г

912

1 -

( 5 О!22

О23 , О12 О23

V 2 122

Х23 = 2

И2 О2 ( И23012

122

1 1 -+ —

912913

Л

912913

))

923 913)

2 |О1212 |О23 |2 |О4512 Х34 = И34 ]-—-^-- х

913

VI0451

+

451 +

V93295 9122951)

3234 1241)

В формулах для краткости введено обозначение 9- = Л - Л- .

Для следующих значений: 012 = 023 = 0,01; 045 = 0,1; А! = 0; А2 =-4; А4 = -1; А5 = 1; И- /Ы ~ 1; Ькг0/2ж ^ 2 х 104 (I = {р,с,на рис. 3 построен график зависимости нелинейного набега фазы от величины отстройки А3 .

Рис. 3. Зависимость нелинейного набега фазы поляризации от величины отстройки от третьего уровня для различных круговых поляризаций входных пучков

Из графика видно, что наибольшая разница между набегами фаз поляризации для различных случаев достигается в точке А3 « 0.01006 . Для этого значения отстройки получаются следующие фазы: «0,636 рад; А^»110 « 1,134 рад; А^01 «1,131 рад. Другие значения поляризации не рассматриваются, так как в этих случаях пучки со средой не взаимодействуют, и нелинейный сдвиг фазы не наблюдается. Получить разность суммарных набегов фаз около п в случаях А^ц, А^ю, А^01 и А$>ю0 мы можем контролируя 045 (рис. 4). Из графика видно, что наиболее подходящее значение 045 = 0.685 .

Рис. 4. Зависимость разности нелинейных набегов фаз поляризации от частоты Раби поля подстройки (рассмотрена только одна разность, так как остальные кривые близки

к представленной на рисунке)

5. Заключение

Построена модель квантового логического вентиля CCNOT на основе ячейки с парами рубидия, помещенной в сильное магнитное поле. Уровни в атомах выбирались таким образом, чтобы только один вид круговой поляризации входных пучков был резонансным на данном переходе. Описано взаимодействие М-схемы со входными пучками в зависимости от их поляризации. Получены условия, при которых данная схема осуществляла контролируемый набег фазы - суммарный набег для одной из конфигураций поляризации входных пучков, существенно отличающийся от других. Приведено преобразование, позволяющее получить из контролируемого набега фазы вентиль CCNOT. Решением уравнения Шредингера получены восприимчивости на соответствующих переходах, что позволило посчитать нелинейный набег фазы поляризации для пучков в М-схеме. Наличие такого набега, который существенно отличается от других, доказывает возможность построения логического вентиля.

Литература

1. Садовничий В.А. Квантовые вычисления: за и против. - Ижевск: РХД, 1999.

2. Валиев К.А, Кокин А.А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. - Ижевск: РХД, 2001.

3. M.D. Lukin and A. Imamog'lu, Nonlinear Optics and Quantum Entanglement of Ultraslow Single Photons. // Phys. Rev. Lett. - 2000. - 84. - 1419.

4. Lloyd S. Almost any quantum logic gate is universal // Phys. Rev. Lett. 1995. - 75. - 346.

5. C. Ottaviani et al., Polarization qubit phase gate in driven atomic media// Phys. Rev. Lett. 90, 197902 (2003).

6. C. Ottaviani et al., Quantum phase-gate opetion based on nonlinear optics: full quantum analysis // Phys. Rev. A 73. - 2006. - 010301.

7. Q.A. Turchette et al., Measurement of conditional phase shift for quantum logic // Phys. Rev. Lett. - 1995. - 75. - 4710.