Компьютерное моделирование электромагнитного рассеяния структурами, составленными из нескольких тонкихнепересекающихся проводников

УДК 537.874.4

Ю.А. Келлер

КОМПЬЮТЕРНОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМАГНИТНОГО РАССЕЯНИЯ СТРУКТУРАМИ, СОСТАВЛЕННЫМИ ИЗ НЕСКОЛЬКИХ ТОНКИХ НЕПЕРЕСЕКАЮЩИХСЯ ПРОВОДНИКОВ

Томский государственный университет

Теория возбуждения и рассеяния электромагнитных волн тонким проводником родилась давно [1]. Первоначально эта теория быша порождена запросами антенной техники. Однако в последнее время всё большее внимание начинает уделяться анализу рассеивающих свойств тонких проводников. Подобные исследования обусловлены потребностями создания объектов с заданными рассеивающими свойствами. Традиционным методом решения задач рассеяния электромагнитной волны тонким проводником является метод интегральных уравнений (см., например, [2-5]). Если рассеивающая структура состоит из нескольких проводников, то решение рассматриваемый задач сводится к решению системы интегральных уравнений, порядок которой равен числу проводников в структуре. В данной работе для решения задач рассеяния на структурах, содержащих тонкие непе-ресекающиеся проводники, использован вариант метода вспомогательных источников, позволяющий исключить этап построения системы интегральных уравнений, упрощая тем самым решение задачи. Даны математическая формулировка варианта и краткое описание возможностей реализованной на его основе компьютерной программы для расчёта распределений тока вдоль проводников и характеристик рассеянного поля различные структур. Приведены результаты численных результатов, характеризующих взаимное влияние проводников на распределение тока вдоль них и бистатические сечения рассеяния (БСР).

1. Формулировка задачи и метод её решения

Геометрия задачи показана на рис. 1. Будем рассматривать стационарную (зависимость от времени выбрана в виде ехр(- ¡Ш)) задачу дифракции электромагнитного поля {Е0,Н0} на структуре, состоящей из и непересекающихся тонких проводников, ограниченные поверхностями Su (и = 1,2,...,и) и расположенных произвольным образом по отношению друг к другу. Под тонким проводником будем понимать идеальный проводник круглого сечения, диаметр которого мал по сравнению с длиной волны и длиной проводника. Эта структура размещена в однородной безграничной среде Бе с диэлектрической и магнитной проницаемостями £е и Це соответственно в декартовой системе координат с началом отсчета, лежащим

внутри проводника с порядковым номером и = 1. Требуется найти рассеянное поле {Ее, Не} в области Б Математическая постановка задачи имеет следующий вид:

[V,Ее] = /юц,Не, [V,Не] = /юв,Ее

в области Б ;

е'

[пы, Ее ] = -[пи, Е0]

на поверхностях Su, где и = 1,2,...,и;

Ее, Я / Я] + ^Не = 0( Я-1),

[^Не,Я/Я] ~^еЕе = 0{Я1)

при Я Здесь пи - единичные векторы нормалей

к поверхностям Su проводников;

Решение сформулированной выше задачи получим следующим образом. Разместим (рис. 1) внутри каждого из тонких проводников на его оси непрерывно распределенный вспомогательный ток 3 Представим неизвестное рассеянное поле {Ее, Не} в области Бе в виде суммы полей введенных вспомогательных токов: и

Ее (М) = кг I [^[У, Пи ]], Не (М) = -X [V, пд

ке Д=1 ^ е д1

Пи = {Т е (М, М,и) 3иМ.

Здесь Те (М,М,и ) = (4пЯмМи )-1 еХР(1кеЯМ,М1и ) , ке = еМ-е, м, - расстояние от точекМ1и на оси

проводников до точки наблюдения М в области Б; 3 - неизвестные осевые вспомогательные токи,

и

и = 1,2,...,и; интегрирование проводится вдоль осе-выгс линий проводников; ¡и - осевая линия проводника с номером и.

Поле (4) удовлетворяет уравнениям Максвелла (1) и условиям излучения (3) в области Б . Для того чтобы удовлетворить граничному условию (2), необходимо соответствующим образом выбрать осевые вспомогательные токи / (и = 1,2,...,Ц).

Введем кусочно-постоянную аппроксимацию осе-выгс токов. Разобьем линию I каждого тока 3 на N

и и и

малых участков, в пределах каждого из которых ток можно считать постоянным. Тогда выфажение для Пи в (4) приближенно можно записать в виде

П = 1 еиI ^. (М,¥,и,

'=! ,„.,-1

где О , - ток на /-м участке проводника с номером и;

- единичный вектор, направление которого совпадает с направлением касательной в средней точке рассматриваемого участка. При таком подходе нахождение неизвестных распределений осевыгс токов сво-

Рис. 1. Геометрия задачи

дится к нахождению

I N

элементов тока.

оси проводника с номером и в точках коллокации на его поверхности.

Решение системы (6) определяется путём минимизации функционала

и К

Для определений значений элементов тока используем граничные условия (2), удовлетворяя им в соответствии с методом коллокаций. Пусть М ( = =1,2,...,Ь ) - точки коллокации на поверхности 5 ; Ь - число точек коллокации на 5 . В силу предположения о малости диаметра проводника по сравнению с длиной проводника и длиной волны будем считать, что вкладом в рассеянное поле азимутальных составляющих токов на поверхностях тонких проводников можно пренебречь. Тогда для нахождения неизвестных элементов токов О (и = 1,2,...,и; / = 1,2,...,#) получим следующую систему линейных алгебраических уравнений с комплексной матрицей размерности

£4

где Е^и1 и Е0 и 1 - значения электрических компонент рассеянного (4) и возбуждающего полей вдоль

Ф=Ц|^И,+El j i2-

и=1 j=l

После решения задачи минимизации (определения неизвестных элементов тока J , и = 1,2,...,U; i =

и,Г

= 1,2,..., Nu) необходимые характеристики рассеянного поля определяем из (4). В частности, для компонент рассеянного поля в дальней зоне имеем

Eefi (M) = (ц. / 8. )1/2 Heíf (M) =

= (exP(ik.R)/ keR) De (0, ф) + 0(RГ1),

E,„(M) = -(ц. / 8.)1/2 Не в (M) =

= (exp(ik.R) / k.R)Dф (0, ф) + 0( R1), где R - расстояние от начала системы координат до точки наблюдения M, а D0 (0, ф), - компо-

ненты диаграммы рассеяния, определяемые выражениями

U Nu

De

= II I. (cos 0 cos Ф cos аui +

и=1 i=1

+ cos 0 sin ф cos Pu,i - sin 0 cos Yu,i )Iu i,

U Nu

D(0, ф) = II Ju ,i(- sin 0 eos au i + COS ф COS Pu ,i) lu ,i,

u=1

где J= mJu. (и = 1,2,...,U; i = 1,2,...,Nu) - решение системы (6); cos au, cos Ри t , cos Yu ¡ - направляющие косинусы единичного вектора e .; 0 и ф -общепринятые угловые сферические координаты точки наблюдения M, а интеграл Iu. имеет следующий вид:

KL

4,i = f exp{-/(sin0COS(pkeX,,u + sin 0sin фkey,,u +

keiu,t-i

+ COS 0kez,u )}d (kel),

где kex¡и, key¡ u, kez,>и - координаты на оси проводника, по которым проводится интегрирование.

Данный метод, как и другие варианты метода вспомогательных источников, позволяет осуществлять апостериорную оценку точности полученного решения. В качестве величины, характеризующей точность, выберем значение относительной нормы невязки граничных условий на поверхностях всех проводников Su в точках, промежуточных по отношению к точкам коллокации:

и L

д=(ф'/фо)1/2, фо =ЕЁ1£<

и=1 j =1

0,u,l I ’

где Ф - значение функционала (7) на указанной выше совокупности точек; Ф0 - значение нормы падающего поля на этой же совокупности точек; Ь'и - число промежуточных точек на поверхности проводника с номером и.

2. Численные результаты

На основании изложенного выше метода создана компьютерная программа для расчета компонент рассеянного поля и контроля точности полученного решения для структур, конфигурация которых представлена на рис. 2 и 3.

Первая структура (рис. 2) представляет собой одиночный прямолинейный проводник длиной £ расположенный в декартовой системе координат 0ХУ2

Рис. 2. Одиночный проводник

таким образом, что его осевая линия направлена вдоль оси 02, а середина осевой линии совпадает с началом системы координат. Вторая структура (рис. 3) состоит из взаимно ортогональных проводников. Осевая линия первого проводника этой структуры длиной Ь1 ориентирована вдоль оси 02, её середина совпадает с началом системы координат. Два других проводника длиной Ь2 и Ь3 расположены на одинаковых расстояниях 8 от первого проводника таким образом, что их осевые линии направлены вдоль оси ОУ. Другие варианты структур, составленных из тонких непересекающихся проводников, представлены в работах [6-7].

Входными величинами программы являются конфигурация структуры, падающее поле {Е0,Н0}, длины и радиусы проводников, расстояние между проводниками 8, а также число элементов разбиения осевого тока N для каждого из проводников.

Рис. 3. Структура из взаимно ортогональных проводников —18 —

Минимизация функционала (7) осуществляется методом сопряженных градиентов; итерационный процесс останавливается при условии, если изменение функционала после выполнения очередной итерации не превышает 10-5.

При помощи данной программы выполнена серия вычислений, направленных на выяснение влияния числа элементов разбиения осевого тока на величину невязки граничных условий, на сравнение получаемых результатов с результатами других авторов, а также на оценку взаимного влияния проводников на распределения тока вдоль них и БСР составленных из них структур. Некоторые результаты представлены ниже.

Предполагается, что структуры возбуждаются таким образом, что векторы Е0 и ке лежат в плоскости 20У и вектор ке образует с осью ОУ угол у (как показано на рис. 2 и 3). Предполагается также, что радиус проводников во всех случаях равен 0.02Х, где X - длина возбуждающей волны.

На рис. 4 представлены результаты сравнения распределения осевого тока вдоль одиночного проводника длиной Ь = 2Х при нормальном угле падения плоской волны (у = 0°).

И.уел.ед.

Рис. 4. Распределение осевого тока вдоль проводника длиной ^ = 2Х

По оси абсцисс отложена координата точки на оси проводника, а по оси ординат - значение тока в этой точке в условных единицах. Кривая 1 - результаты, полученные данным методом, кривая 2 - результаты из работы [8] (получены методом интегральных уравнений). При получении кривой 1 линия тока разбита на 40 участков. При данном числе разбиений значение невязки равно 0.284. Как показывают эти кривые, имеет место хорошее совпадение сравниваемых результатов. Незначительные наблюдаемые отличия можно объяснить ошибками при графическом съеме информации с рисунка работы [8], а также погрешностями вычислений как данным методом, так и методом интегральных уравнений.

Результаты, представленные на рис. 5 и 6, позволяют оценить взаимное влияние ортогональных проводников на токовые распределения и БСР. Оценка взаим-

ке1

Рис. 5. Распределение осевого тока вдоль первого проводника структуры длиной ^ = Х/2 при падении плоской волны под углом у = 30°

о/Х2, дБ

Рис. 6. БСР структуры из взаимно перпендикулярных проводников длиной ^ = Х/2 при падении плоской волны под углом у = 30°

ного влияния осуществлялась путём сравнения токовых распределений и БСР структуры, состоящей из перпендикулярных проводников (см. рис. 3) с соответствующими характеристиками для одиночного проводника (см. рис. 2). При проведении численных расчетов во всех случаях число элементов разбиения осевого тока выбиралось равным 40 на длину волны.

На рис. 5 показаны распределения токов вдоль первого проводника структуры, представленной на рис. 3 при падении плоской волны под у = 30° и различных расстояниях между проводниками. Длина всех проводников структуры равна Х/2. Значение к I соответствует середине проводников; значения к I > 0 относятся к верхней части вертикального (первого) проводника структуры, значения к1 < 0 - к нижней части вертикального проводника.

Кривая 1 характеризует распределение тока вдоль вертикального (первого) проводника структуры при 8 = 0.05Х, кривая 2 - при 8 = 0.2Х, кривая 3 - при 8 = 0.8Х и кривая 4 - при 8 = 1.5Х, кривая 5 характеризует распределение тока вдоль одиночного вертикального проводника.

На рис. 6 изображены БСР в полуплоскости ф = 0° рассматриваемой структуры для того же угла падения плоской волны и расстояний между проводниками. Обозначения кривых аналогичны рис. 5.

Теперь рассмотрим случай, когда падающая волна распространяется нормально, т.е. у = 0°, а длины проводников выбраны равными X. В этом случае вектор электрической составляющей падающей волны направлен вдоль центрального проводника структуры (см. рис. 3) и ортогонален остальным двум проводникам. По этой причине падающая волна возбуждает центральный проводник и не возбуждает боковые проводники. Однако, несмотря на это, на боковых проводниках структуры имеют место токи, величина которых имеет такой же порядок, что и токи на центральном проводнике. Возникновение этих токов можно объяснить только взаимодействием проводников: в ближнем поле центрального проводника имеются составляющие напряженности электрического поля, направленные вдоль осей второго и третьего проводников, которые и наводят токи на этих проводниках, причем эти токи симметричны относительно вертикального проводника. По мере удаления боковых проводников от центрального взаимодействие проводников уменьшается, поэтому уменьшаются и токи, наводимые на боковых проводниках. Несмотря на то, что боковые проводники существенно возбуждаются ближним полем центрального проводника, они оказывают очень малое влияние на распределение тока вдоль центрального проводника. При рассматриваемом типе возбуждения БСР структуры практически совпадают с БСР одиночного проводника при его осевом возбуждении падающей волной.

На рис. 7 и 8 приведены токовые распределения и БСР структуры из взаимно перпендикулярных проводников при таком характере распространения падающей волны.

Л, усл. ед.

к

Рис. 7. Распределение осевого тока вдоль первого проводника структуры длиной I = X при нормальном падении плоской волны

о/Х2, дБ

0, град

Рис. 8. БСР структуры из взаимно перпендикулярных проводников длиной I = X при нормальном падении плоской волны (у = 0°).

Обозначения кривых аналогичны рис. 5 и 6. Выводы

На основе метода вспомогательных источников построен численный алгоритм и реализована компьютерная программа для решения задачи электромагнитного рассеяния на структурах, составленных из конечного числа тонких непересекающихся проводников. Исследовано влияние взаимного расположения проводников на бистатические сечения рассеяния рассмотренных структур, а также на распределения тока вдоль проводников.

При наклонном падении волны к оси центрального проводника структуры падающая волна возбуждает как центральный проводник, так и расположенные рядом перпендикулярно к нему боковые проводники. В этом случае при малых расстояниях между проводниками (8 < 0.02Х) токовые распределения на центральном проводнике зависят от расстояния 8; однако при расстояниях 8 > 0.8Х токовые распределения на центральном проводнике структуры мало отличаются от распределения тока вдоль такого же одиночного проводника. Показано, что бистатические сечения рассеяния рассматриваемой структуры отличаются от таковых для одиночного проводника.

В случае нормального распространения падающей волны (у = 0°), несмотря на то, что боковые проводники существенно возбуждаются падающим полем, токовые распределения на центральном проводнике структуры совпадают с токовыми распределениями для одиночного проводника. При рассматриваемом типе возбуждения бистатические сечения рассеяния структуры практически совпадают с бистатическими сечениями рассеяния одиночного проводника при его осевом возбуждении падающей волной.

Литература

1. Вычислительные методы в электродинамике / Под ред. Р. Митры: Пер. с англ. М., 1977.

2. Richmond J.H. Scattering by a Dielectric Cylinder of Arbitrary Cross Section Shape // IEEE Transactions on Antennas and Propagation.

1965. V. AP-13. No. 3. P. 334-341.

3. Mei K.K. On the Integral Equations of Thin Wire Antennas // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1965. V. AP-13. No. 3. P. 374-378.

4. Лифанов И.К., Ненашев A.C. Новый подход к теории тонких проволочных антенн // Электромагнитные волны и электронные системы. 2003. Т. 8. № 5. C. 25-41.

5. Harrington R.F. Time-Harmonic Electromagnetic Fields. Ch. 3. N.Y.: McGraw-Hill, 1961. P. 358-359.

6. Келлер Ю. A. Моделирование рассеяния электромагнитной волны двумя параллельными проводниками // Материалы XIX Междунар.

науч. конф. «Математические методы в технике и технологиях». Воронеж, 2006. C. 182-185.

7. Келлер Ю. A. Исследование электромагнитного рассеяния структурами, составленными из нескольких непересекающихся проводников // Изв. Томского политехнического университета. 2006. Т. 309. № 4. C. 15-20.

8. Марков Г.Т. Антенны. Л., 1960.

Поступила в редакцию 03. 11. 2006

УДК 004.932

Н.И. Ксенев', В.И. Сырямкин", С.В. Шидлоеский""

ИССЛЕДОВАНИЕ И ОЦЕНКА ДЕФОРМАЦИИ ТВЕРДЫХ ТЕЛ С ПОМОЩЬЮ АЛГОРИТМОВ ОБРАБОТКИ ИЗОБРАЖЕНИЙ ИХ ПОВЕРХНОСТЕЙ НА БАЗЕ ПЕРЕСТРАИВАЕМЫХ СТРУКТУР

Томский государственный университет "Томский государственный университет систем управления и радиоэлектроники

Введение

Перспективной тенденцией при разработке и создании мультипроцессорных вычислительных структур различного назначения является децентрализация их управления, а определяющим принципом их построения является параллельная обработка задач управления. При этом отдельные задачи должны реализовываться специальными вычислительными структурами. Использование подобного подхода дает возможность максимально учитывать специфику отдельных алгоритмов, что повышает эффективность систем в целом.

Одним из путей повышения производительности, вычислительной мощности и надежности функционирования таких систем является создание специализированных вычислительных структур, однако при этом возникает проблема выбора метода решения и оперативного изменения вычислительных структур, обеспечивающих необходимое быстродействие и отвечающих современным требованиям информационных технологий [1].

Указанные принципы заложены при создании перестраиваемой вычислительной структуры [2] исследования алгоритмов обработки изображения поверхности для оценки деформации твердых тел. При этом основные усилия были направлены: а) на получение экспериментальных данных при построении адекватных математических моделей для проведения компьютерного моделирования поведения нагруженных материалов; б) на разработку подхода к неразрушающему контролю, основанному на выявлении стадии

предразрушения; в) на экспериментальное исследование процессов пластической деформации на мезо-уровне, развивающихся в конструкционных материалах при различных условиях нагружения [3]. Последнее должно позволить выработать рекомендации по новым методам упрочнения, созданию оптимальных типов покрытий, определению оптимальных соотношений механических свойств покрытия и матрицы (основы), составам композиционных материалов.

Для получения информации о механическом состоянии нагруженного твердого тела путем анализа изменений топологии поверхности используют ряд алгоритмов, позволяющих оценивать смещения участков поверхности исследуемого материала с пространственным разрешением, достаточным для выявления характера развития пластической деформации на мезоуров-не, в том числе следить за эволюцией напряженно-деформированного состояния поверхности.

Задание алгоритмов управления

Большинство реально созданных вычислительных структур логического управления построено непосредственно по словесному описанию их работы без применения формализованных методов, основанных на использовании автоматных таблиц, графов переходов и т.п., и применяются лишь в некоторых наиболее сложных случаях, как правило, для построения и минимизации отдельных небольших подсистем.

Высокая стоимость разработки топологии интегральных схем диктует необходимость применения повторяющихся модульных структур, т.е. небольшо-