МОСТОВОЙ ИЗМЕРИТЕЛЬ ПАРАМЕТРОВ МНОГОЭЛЕМЕНТНЫХ RLC ДВУХПОЛЮСНИКОВ
BRIDGE METER OF PARAMETERS OF MULTI-ELEMENT RLC DIPOLES

Изобретение относится к информационно-измерительной технике, автоматике и промышленной электронике и может быть использовано для контроля и определения параметров объектов измерения, а также физических величин посредством параметрических датчиков.
Известен мостовой измеритель параметров многоэлементных пассивных двухполюсников по патенту РФ 2365921, G01R 17/00, Бюл. №24, 2009, содержащий последовательно соединенные генератор импульсов напряжения, изменяющегося по закону степенных функций, в состав которого входят коммутируемые формирователи импульсов прямоугольной, линейной, квадратичной и кубичной формы, мостовую цепь для определения параметров двухполюсников с разнородными реактивными элементами (R-L-C) и нуль-индикатор. Для расширения функциональных возможностей вторая ветвь содержит многоэлементные двухполюсники и в плече отношения (с фиксированными параметрами элементов), и в плече сравнения (с регулируемыми параметрами). Недостатками такого измерителя являются:
1) наличие потерь и искажение формы питающих мостовую цепь импульсов в цепях коммутации;
2) невозможность измерения параметров двухполюсников с нулевым сопротивлением между полюсами на постоянном токе;
3) отсутствие унифицированной процедуры и сложный вид аналитических выражений для вычисления измеряемых параметров при различных конфигурациях схемы замещения объектов.
Из известных устройств наиболее близким по технической сущности и достигаемым результатам к данному изобретению является мостовой измеритель параметров многоэлементных пассивных двухполюсников по патенту РФ 2144195, G01R 17/10, Бюл. №1, 2000. С целью упрощения аппаратуры мостовой измеритель содержит единственный генератор последовательностей импульсов напряжения кубичной формы. В измерительную диагональ моста включены входы дифференциального усилителя, а к выходу дифференциального усилителя подключены последовательно соединенные три дифференциатора. Выходы дифференциаторов, а также выход дифференциального усилителя подключены к входам нуль-индикатора. Уравновешивание моста осуществляют после окончания переходных процессов в его цепях, последовательно приводя к нулевому значению напряжения на выходах третьего, второго и первого дифференциаторов, а затем и дифференциального усилителя. Недостатками этого мостового измерителя являются:
1) сложная схема ветви с многоэлементным двухполюсником отношения и многоэлементным уравновешивающим двухполюсником, в состав которого входят регулируемые резисторы, конденсаторы и катушки индуктивности;
2) невозможность измерения параметров двухполюсников с индуктивной ветвью между полюсами, т.е. с нулевым сопротивлением на постоянном токе;
3) отсутствие унифицированной процедуры и сложный вид аналитических выражений для вычисления измеряемых параметров при различных конфигурациях схемы замещения объектов.
Задача, на решение которой направлено изобретение, состоит в расширении функциональных возможностей мостовой цепи, упрощении и унификации процедуры вычисления измеряемых параметров многоэлементных пассивных двухполюсников.
Поставленная задача решается тем, что в мостовой измеритель параметров многоэлементных RLC двухполюсников, содержащий генератор импульсов напряжения, изменяющегося по закону n-й степени времени, выход которого подключен ко входу четырехплечей мостовой цепи, первая ветвь которой состоит из последовательно включенных одиночного резистора в первом плече отношения и многоэдементного двухполюсника с уравновешивающими элементами в первом плече сравнения, а вторая ветвь - из одиночного резистора во втором плече отношения и одиночного резистора во втором плече сравнения, общий вывод плеча отношения и плеча сравнения первой ветви образует первый вывод выхода мостовой цепи, а общий вывод плеча отношения и плеча сравнения второй ветви - второй вывод выхода мостовой цепи, свободный вывод плеча сравнения второй ветви моста заземлен; дифференциальный усилитель, входы которого соединены с выходом мостовой цепи, а выход подключен к w-каскадному дифференциатору, состоящему из n последовательно включенных дифференцирующих RC звеньев; нуль-индикатор, первый вход которого соединен с выходом n-го RC звена, второй вход - с выходом (n-1)-го RC звена, и т.д., n-й вход - с выходом 1-го RC звена, (n+1)-й вход - с выходом дифференциального усилителя; устройство управления, выход синхронизации которого соединен с входами синхронизации генератора импульсов и нуль-индикатора, в качестве многоэлементной двухполюсной цепи с уравновешивающими элементами в плечо сравнения первой ветви введен потенциально частотно-независимый двухполюсник, который содержит две последовательно соединенные двухполюсные цепи, одна из которых состоит из параллельно включенных первого резистора и последовательно соединенных первого конденсатора и второго резистора, параллельно которому подключен второй конденсатор, другая двухполюсная цепь содержит параллельно включенные первую катушку индуктивности и последовательную цепь, состоящую из резистора и второй катушки индуктивности; свободный полюс второй двухполюсной цепи соединен с первой клеммой для подключения двухполюсной RLC цепи объекта измерения, вторая клемма для подключения двухполюсной RLC цепи заземлена.
Сущность изобретения поясняется чертежом (фиг.1). Мостовой измеритель параметров пассивных двухполюсников содержит генератор 1 импульсов напряжения, имеющих форму степенной функции времени:
<mrow><msub><mi>u</mi><mi>и</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>U</mi><mi>m</mi></msub><msup><mi>t</mi><mi>n</mi></msup></mrow><mrow><msubsup><mi>t</mi><mi>и</mi><mi>n</mi></msubsup></mrow></mfrac><mo>,</mo></mrow>
m
и
где U - амплитуда, t - длительность импульса, n - целочисленный показатель степени. Выход генератора 1 подключен к диагонали питания четырехплечей мостовой электрической цепи. Первая ветвь мостовой цепи состоит из двух последовательно включенных двухполюсников, первый из которых содержит одиночный резистор 2, а второй - многоэлементную двухполюсную цепь 3. Вторая ветвь мостовой цепи состоит из двух последовательно включенных резисторов 4 и 5. Двухполюсники 2 и 4 являются плечами отношения, а двухполюсники 3 и 5 - плечами сравнения мостовой цепи. Общий вывод двухполюсников 2 и 3 служит первым выводом выхода мостовой цепи, а общий вывод двухполюсников 4 и 5 - вторым выводом вывода моста. Выход мостовой цепи соединен с симметричным входом дифференциального усилителя 6, к выходу которого подключен n-каскадный дифференциатор, содержащий n последовательно соединенных дифференцирующих RC звеньев. На рисунке представлена схема мостового измерителя с питающими импульсами кубичной формы: n=3. Каскады дифференциатора выполнены на конденсаторе 7 и резисторе 8, конденсаторе 9 и резисторе 10, конденсаторе 11 и резисторе 12. Выходы дифференцирующих RC звеньев соединены с 1-м, 2-м и 3-м входами нуль-индикатора 13, 4-й вход нуль-индикатора подключен к выходу дифференциального усилителя 6. Входы синхронизации генератора импульсов 1 и нуль-индикатора 13 подключены к выходу синхронизации устройства управления 14.
Плечо сравнения первой ветви мостовой цепи содержит многоэлементный двухполюсник 3 с регулируемыми элементами. Он состоит из двух последовательно включенных двухполюсных цепей, первая из которых содержит параллельно включенные первый резистор 15 и цепь последовательно соединенных первого конденсатора 16 и второго резистора 17, параллельно с которым включен второй конденсатор 18, вторая двухполюсная цепь содержит параллельно включенные первую катушку индуктивности 19 и последовательную цепь, состоящую из резистора 20 и второй катушки 21 индуктивности. В состав плеча сравнения первой ветви моста входит также RLC двухполюсник 22 объекта измерения. Первая клемма для подключения RLC двухполюсника объекта измерения соединена со свободным полюсом второй двухполюсной цепи, входящей в двухполюсник 3. Вторая клемма для подключения объекта измерения заземлена. В качестве примера объект измерения 22 представлен двухполюсной цепью, содержащей параллельно включенные первый резистор 23 и цепь последовательно соединенных конденсатора 24, второго резистора 25 и катушки 26 индуктивности.
Рассмотрим работу мостового измерителя. При возбуждении мостовой цепи импульсом кубичной формы
<mrow><msub><mi>u</mi><mi>и</mi></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>U</mi><mi>m</mi></msub><msup><mi>t</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><msubsup><mi>t</mi><mi>и</mi><mn>3</mn></msubsup></mrow></mfrac></mrow>
4
5
на выходах первой и второй ветвей моста появляются импульсы напряжения, которые содержат свободные и принужденные составляющие. После окончания переходных процессов в мостовой цепи устанавливаются сигналы, используемые для определения параметров двухполюсника 22. Выходное напряжение резисторного делителя R-R второй ветви имеет форму питающего импульса
<mrow><msub><mi>u</mi><mrow><mi>в</mi><mi>ы</mi><mi>х</mi><mn>.2</mn></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>R</mi><mn>5</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>R</mi><mn>4</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mn>5</mn></msub></mrow></mfrac><mfrac><mrow><msub><mi>U</mi><mi>m</mi></msub><msup><mi>t</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><msubsup><mi>t</mi><mi>и</mi><mn>3</mn></msubsup></mrow></mfrac><mo>.</mo><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mn>1</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>
Выходное напряжение первой ветви содержит импульсы степенной формы с показателями степени от n до нулевой:
<mrow><msub><mi>u</mi><mrow><mi>в</mi><mi>ы</mi><mi>х</mi><mn>.1</mn></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>H</mi><mn>0</mn></msub><msub><mi>U</mi><mi>m</mi></msub><msup><mi>t</mi><mn>3</mn></msup></mrow><mrow><msubsup><mi>t</mi><mi>и</mi><mn>3</mn></msubsup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>3</mn><msub><mi>H</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>U</mi><mi>m</mi></msub><msup><mi>t</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><msubsup><mi>t</mi><mi>и</mi><mn>3</mn></msubsup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>6</mn><msub><mi>H</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>U</mi><mi>m</mi></msub><mi>t</mi></mrow><mrow><msubsup><mi>t</mi><mi>и</mi><mn>3</mn></msubsup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><mn>6</mn><msub><mi>H</mi><mn>3</mn></msub><msub><mi>U</mi><mi>m</mi></msub></mrow><mrow><msubsup><mi>t</mi><mi>и</mi><mn>3</mn></msubsup></mrow></mfrac><mo>,</mo><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mn>2</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>
0
1
2
3
где Н, Н, Н, Н - обобщенные параметры передаточной функции H(p) первой ветви мостовой цепи. Эта функция имеет вид
<mrow><mi>H</mi><mrow><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>Z</mi><mn>3</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msub><mi>Z</mi><mrow><mn>22</mn></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>Z</mi><mn>3</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msub><mi>Z</mi><mrow><mn>22</mn></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo>,</mo><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mn>3</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>
3
22
где Z(p) - операторное изображение комплексного сопротивления двухполюсника 3; Z(p) - операторное изображение комплексного сопротивления измеряемого двухполюсника 22. Если раскрыть выражения числителя и знаменателя в (3), получим представление Н(p) в виде дробно-рациональной функции оператора p:
<mrow><mi>H</mi><mrow><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>b</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub><mi>p</mi><mo>+</mo><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub><msup><mi>p</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>…</mo></mrow><mrow><msub><mi>a</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><mi>p</mi><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msup><mi>p</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>…</mo></mrow></mfrac><mo>,</mo><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mn>4</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>
0
1
2
0
1
2
где величины а, а, а, … в знаменателе и b, b, b, … в числителе определяются конфигурацией схем двухполюсников и значениями параметров элементов. Обобщенные параметры передаточной функции Н(p) первой ветви мостовой цепи (см. Иванов В.И., Титов В.С., Голубов Д.А. Применение обобщенных параметров измерительной цепи для идентификации многоэлементных двухполюсников // Датчики и системы. - 2010. - №8. - С.43-45) равны:
<mrow><msub><mi>H</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>b</mi><mn>0</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>a</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac><mo>;</mo></mrow>
<mrow><msub><mi>H</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>b</mi><mn>1</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>H</mi><mn>0</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>a</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac><mo>;</mo></mrow>
<mrow><msub><mi>H</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>b</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>H</mi><mn>0</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>H</mi><mn>1</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>a</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac><mo>;</mo></mrow>
<mrow><msub><mi>H</mi><mn>3</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>b</mi><mn>3</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>a</mi><mn>3</mn></msub><msub><mi>H</mi><mn>0</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>a</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>H</mi><mn>1</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>a</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>H</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>a</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac><mo>.</mo><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mn>5</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>
вых.1
вых.2
Из выражений (1) и (2) видно, что уравновешивание напряжений u(t) и u(t) в измерительной диагонали моста происходит при следующих условиях:
<mrow><msub><mi>H</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>R</mi><mn>5</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>R</mi><mn>4</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mn>5</mn></msub></mrow></mfrac><mo>;</mo><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mn>6</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mrow><msub><mi>H</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>H</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>H</mi><mn>3</mn></msub><mo>=</mo><mn>0.</mn><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mn>7</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>
0
1
2
3
3
22
Выражения для обобщенных параметров Н, H, H, Н, определяются параметрами элементов первой ветви мостовой цепи, в первую очередь, суммарным комплексным сопротивлением последовательно включенных многоэлементных двухполюсников Z(p)=Z(p)+Z(p), которое также может быть представлено в форме дробно-рациональной функции оператора p:
<mrow><mi>Z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>d</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>d</mi><mn>1</mn></msub><mi>p</mi><mo>+</mo><msub><mi>d</mi><mn>2</mn></msub><msup><mi>p</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>…</mo></mrow><mrow><msub><mi>e</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>e</mi><mn>1</mn></msub><mi>p</mi><mo>+</mo><msub><mi>e</mi><mn>2</mn></msub><msup><mi>p</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>…</mo></mrow></mfrac><mo>.</mo><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mn>8</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>
0
1
2
3
Обобщенные параметры Z, Z, Z, Z комплексного сопротивления Z(p) могут быть найдены с помощью формул (5):
<mrow><msub><mi>Z</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>d</mi><mn>0</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>e</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac><mo>;</mo></mrow>
<mrow><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>d</mi><mn>1</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>e</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>Z</mi><mrow><msub><mrow /><mn>0</mn></msub></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mi>e</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac><mo>;</mo></mrow>
<mrow><msub><mi>Z</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>d</mi><mn>2</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>e</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>Z</mi><mn>0</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>e</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>e</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac><mo>;</mo></mrow>
<mrow><msub><mi>Z</mi><mn>3</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>d</mi><mn>3</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>e</mi><mn>3</mn></msub><msub><mi>Z</mi><mn>0</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>e</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub><mo>−</mo><msub><mi>e</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>Z</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>e</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac><mo>.</mo><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mn>9</mn><mo>)</mo></mrow></mrow>
H-параметры первой ветви мостовой цепи связаны с Z-параметрами многоэлементного двухполюсника, образованного двухполюсниками 3 и 22. В самом деле, учитывая (3), получим:
<mrow><mi>H</mi><mrow><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>d</mi><mn>0</mn></msub><mtext> </mtext><mo>+</mo><mtext> </mtext><msub><mi>d</mi><mn>1</mn></msub><mi>p</mi><mtext> </mtext><mo>+</mo><mtext> </mtext><msub><mi>d</mi><mn>2</mn></msub><msup><mi>p</mi><mn>2</mn></msup><mtext> </mtext><mo>+</mo><mtext> </mtext><mo>…</mo></mrow><mrow><msub><mi>d</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>e</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>d</mi><mn>1</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>e</mi><mn>1</mn></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mi>p</mi><mo>+</mo><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>d</mi><mn>2</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>e</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><msup><mi>p</mi><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mo>…</mo></mrow></mfrac><mo>.</mo><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>10</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
Сопоставляя (5) и (8), можно выразить H-параметры через Z-параметры:
<mrow><msub><mi>H</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>Z</mi><mn>0</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>Z</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub></mrow></mfrac><mo>;</mo></mrow>
<mrow><msub><mi>H</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub></mrow><mrow><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>Z</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mo>;</mo></mrow>
<mrow><msub><mi>H</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>Z</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mrow><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>Z</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub><msubsup><mi>Z</mi><mn>1</mn><mn>2</mn></msubsup></mrow><mrow><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>Z</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mo>;</mo></mrow>
<mrow><msub><mi>H</mi><mn>3</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>Z</mi><mn>3</mn></msub></mrow><mrow><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>Z</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><mn>2</mn><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub><msub><mi>Z</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mrow><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>Z</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>3</mn></msup></mrow></mfrac><mo>+</mo><mfrac><mrow><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub><msubsup><mi>Z</mi><mn>1</mn><mn>3</mn></msubsup></mrow><mrow><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>Z</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>4</mn></msup></mrow></mfrac><mo>;</mo><mtext> </mtext><mo>…</mo><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>11</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
Таким образом, условия уравновешивания (6) и (7) выражаются более простыми формулами:
<mrow><mfrac><mrow><msub><mi>Z</mi><mn>0</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>R</mi><mn>5</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>R</mi><mn>4</mn></msub></mrow></mfrac><mo>;</mo><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>12</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mrow><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>Z</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>Z</mi><mn>3</mn></msub><mo>=</mo><mn>0.</mn><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>13</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
Из выражений (12) и (13) следует, что двухполюсник, образованный последовательно соединенными двухполюсниками 3 и 22, при достижении равновесия в измерительной диагонали моста становится частотно независимым, а его импеданс - вещественной величиной. Покажем это свойство на комплексной частотной характеристике Z(ω), выражение для которой получим, выполнив подстановку в (8)р=jω:
<mrow><mi>Z</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>j</mi><mi>ω</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>d</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>d</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>j</mi><mi>ω</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msub><mi>d</mi><mn>2</mn></msub><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>j</mi><mi>ω</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msub><mi>d</mi><mn>3</mn></msub><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>j</mi><mi>ω</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mo>…</mo></mrow><mrow><msub><mi>e</mi><mn>0</mn></msub><mo>+</mo><msub><mi>e</mi><mn>1</mn></msub><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>j</mi><mi>ω</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><msub><mi>e</mi><mn>2</mn></msub><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>j</mi><mi>ω</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><msub><mi>e</mi><mn>3</mn></msub><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>j</mi><mi>ω</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mo>…</mo></mrow></mfrac><mo>.</mo><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>14</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
Вынесем за скобки свободные члены в числителе и знаменателе:
<mrow><mi>Z</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>j</mi><mi>ω</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>d</mi><mn>0</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>e</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac><mo>⋅</mo><mfrac><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mrow><msub><mi>d</mi><mn>1</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>d</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>j</mi><mi>ω</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mfrac><mrow><msub><mi>d</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>d</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>j</mi><mi>ω</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mfrac><mrow><msub><mi>d</mi><mn>3</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>d</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>j</mi><mi>ω</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mo>…</mo></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mfrac><mrow><msub><mi>e</mi><mn>1</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>e</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>j</mi><mi>ω</mi></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>+</mo><mfrac><mrow><msub><mi>e</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>e</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>j</mi><mi>ω</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>2</mn></msup><mo>+</mo><mfrac><mrow><msub><mi>e</mi><mn>3</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>e</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>j</mi><mi>ω</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>3</mn></msup><mo>+</mo><mo>…</mo></mrow></mfrac><mo>.</mo><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>15</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
0
Сопротивление двухполюсника не зависит от частоты и равно Z=Z при условиях:
<mrow><mfrac><mrow><msub><mi>d</mi><mn>1</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>d</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>e</mi><mn>1</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>e</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac><mo>,</mo><mtext> </mtext><mfrac><mrow><msub><mi>d</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>d</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>e</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>e</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac><mo>,</mo><mtext> </mtext><mfrac><mrow><msub><mi>d</mi><mn>3</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>d</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>e</mi><mn>3</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>e</mi><mn>0</mn></msub></mrow></mfrac><mo>,</mo><mtext> </mtext><mo>…</mo><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>16</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
0
Из выражений (9) следует, что при выполнении условий (16) все Z-параметры многоэлементного двухполюсника, кроме Z, равны нулю.
15
16
17
18
Для достижения свойства частотной независимости многоэлементного двухполюсника в первой ветви мостовой цепи необходимо, чтобы и отдельно взятый двухполюсник 3 с регулируемыми элементами был потенциально частотно-независимым. Двухполюсная цепь 3 состоит из двух последовательно соединенных многоэлементных двухполюсников: резистивно-емкостного, который содержит первый резистор 15, параллельно которому включена последовательная цепь, состоящая из первого конденсатора 16 и параллельно соединенных второго резистора 17 и второго конденсатора 18, и резистивно-индуктивного двухполюсника, в состав которого входят параллельно включенные первая катушка индуктивности 19 и цепь, содержащая последовательно соединенные резистор 20 и вторую катушку индуктивности 21. При последовательном соединении двухполюсников происходит суммирование их Z-параметров с одинаковыми индексами. Это свойство позволяет существенно упростить процедуру нахождения выражений для условий уравновешивания через Z-параметры. Операторное изображение комплексного сопротивления двухполюсника R-C-R-C имеет вид
<mrow><mi>Z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>R</mi><mrow><mn>15</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>p</mi><msub><mi>R</mi><mrow><mn>15</mn></mrow></msub><msub><mi>R</mi><mrow><mn>17</mn></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>C</mi><mrow><mn>16</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>C</mi><mrow><mn>18</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>p</mi><mrow><mo>[</mo><mrow><msub><mi>R</mi><mrow><mn>15</mn></mrow></msub><msub><mi>C</mi><mrow><mn>16</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mrow><mn>17</mn></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>C</mi><mrow><mn>16</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>C</mi><mrow><mn>18</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mo>]</mo></mrow><mo>+</mo><msup><mi>p</mi><mn>2</mn></msup><msub><mi>R</mi><mrow><mn>15</mn></mrow></msub><msub><mi>C</mi><mrow><mn>16</mn></mrow></msub><msub><mi>R</mi><mrow><mn>17</mn></mrow></msub><msub><mi>C</mi><mrow><mn>18</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow>
.
Z-параметры резистивно-емкостного двухполюсника равны
0
15
<mrow><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mo>−</mo><msubsup><mi>R</mi><mrow><mn>15</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><msub><mi>C</mi><mrow><mn>16</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>Z</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><msubsup><mi>R</mi><mrow><mn>15</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>16</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>R</mi><mrow><mn>15</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mrow><mn>17</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
Z=R;
;
;
<mrow><msub><mi>Z</mi><mn>3</mn></msub><mo>=</mo><mo>−</mo><msubsup><mi>R</mi><mrow><mn>15</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>16</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><mrow><mo>[</mo><mrow><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>R</mi><mrow><mn>15</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mrow><mn>17</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>2</mn></msup><msub><mi>C</mi><mrow><mn>16</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mi>R</mi><mrow><mn>17</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><msub><mi>C</mi><mrow><mn>18</mn></mrow></msub></mrow><mo>]</mo></mrow><mo>.</mo><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>17</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
19
20
21
Операторное изображение комплексного сопротивления двухполюсника L-R-L имеет вид
<mrow><mi>Z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>p</mi><msub><mi>R</mi><mrow><mn>20</mn></mrow></msub><msub><mi>L</mi><mrow><mn>19</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msup><mi>p</mi><mn>2</mn></msup><msub><mi>L</mi><mrow><mn>19</mn></mrow></msub><msub><mi>L</mi><mrow><mn>21</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mi>R</mi><mrow><mn>20</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>p</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>L</mi><mrow><mn>19</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>L</mi><mrow><mn>21</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow></mfrac><mo>.</mo></mrow>
Z-параметры резистивно-индуктивного двухполюсника равны
<mrow><msub><mi>Z</mi><mn>0</mn></msub><mo>=</mo><mn>0</mn><mo>;</mo><mtext> </mtext><msub><mi>Z</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mrow><mn>19</mn></mrow></msub><mo>;</mo><mtext> </mtext><msub><mi>Z</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><mo>−</mo><mfrac><mrow><msubsup><mi>L</mi><mrow><mn>19</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup></mrow><mrow><msub><mi>R</mi><mrow><mn>20</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>;</mo><mtext> </mtext><msub><mi>Z</mi><mn>3</mn></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msubsup><mi>L</mi><mrow><mn>19</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup></mrow><mrow><msubsup><mi>R</mi><mrow><mn>20</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup></mrow></mfrac><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>L</mi><mrow><mn>19</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>L</mi><mrow><mn>21</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>.</mo><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>18</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
23
24
25
26
Операторное изображение комплексного сопротивления двухполюсника объекта измерения r-c-r-l имеет вид
<mrow><mi>z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>r</mi><mrow><mn>23</mn></mrow></msub><mo>+</mo><mi>p</mi><msub><mi>r</mi><mrow><mn>23</mn></mrow></msub><msub><mi>r</mi><mrow><mn>25</mn></mrow></msub><msub><mi>c</mi><mrow><mn>24</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msup><mi>p</mi><mn>2</mn></msup><msub><mi>r</mi><mrow><mn>23</mn></mrow></msub><msub><mi>l</mi><mrow><mn>26</mn></mrow></msub><msub><mi>c</mi><mrow><mn>24</mn></mrow></msub></mrow><mrow><mn>1</mn><mo>+</mo><mi>p</mi><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>r</mi><mrow><mn>23</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>r</mi><mrow><mn>25</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><msub><mi>c</mi><mrow><mn>24</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msup><mi>p</mi><mn>2</mn></msup><msub><mi>l</mi><mrow><mn>26</mn></mrow></msub><msub><mi>c</mi><mrow><mn>24</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow>
.
Z-параметры двухполюсника объекта измерения равны
0
23
<mrow><msub><mi>z</mi><mn>1</mn></msub><mo>=</mo><mo>−</mo><msubsup><mi>r</mi><mrow><mn>23</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><msub><mi>c</mi><mrow><mn>24</mn></mrow></msub></mrow>
<mrow><msub><mi>z</mi><mn>2</mn></msub><mo>=</mo><msubsup><mi>r</mi><mrow><mn>23</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><msubsup><mi>c</mi><mrow><mn>24</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>r</mi><mrow><mn>23</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>r</mi><mrow><mn>25</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
z=r;
;
;
<mrow><msub><mi>z</mi><mn>3</mn></msub><mo>=</mo><mo>−</mo><msubsup><mi>r</mi><mrow><mn>23</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><msubsup><mi>c</mi><mrow><mn>24</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><mrow><mo>[</mo><mrow><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>r</mi><mrow><mn>23</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>r</mi><mrow><mn>25</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>2</mn></msup><msub><mi>c</mi><mrow><mn>24</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>l</mi><mrow><mn>26</mn></mrow></msub></mrow><mo>]</mo></mrow><mo>.</mo><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>19</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
Сложим Z-параметры всех двухполюсных цепей, входящих в состав двухполюсников 3 и 22.
<mrow><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>Σ</mi><mn>0</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>R</mi><mrow><mn>15</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>r</mi><mrow><mn>23</mn></mrow></msub><mo>;</mo><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>20</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mrow><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>Σ</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mrow><mn>19</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msubsup><mi>R</mi><mrow><mn>15</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><msub><mi>C</mi><mrow><mn>16</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msubsup><mi>r</mi><mrow><mn>23</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><msub><mi>c</mi><mrow><mn>24</mn></mrow></msub><mo>;</mo><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>21</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mrow><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>Σ</mi><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msubsup><mi>R</mi><mrow><mn>15</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>16</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>R</mi><mrow><mn>15</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mrow><mn>17</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><msubsup><mi>L</mi><mrow><mn>19</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup></mrow><mrow><msub><mi>R</mi><mrow><mn>20</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>+</mo><msubsup><mi>r</mi><mrow><mn>23</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><msubsup><mi>c</mi><mrow><mn>24</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>r</mi><mrow><mn>23</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>r</mi><mrow><mn>25</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>;</mo><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>22</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mrow><mtable columnalign="left"><mtr columnalign="left"><mtd columnalign="left"><mrow><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>Σ</mi><mn>3</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msubsup><mi>L</mi><mrow><mn>19</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup></mrow><mrow><msubsup><mi>R</mi><mrow><mn>20</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup></mrow></mfrac><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>L</mi><mrow><mn>19</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>L</mi><mrow><mn>21</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><msubsup><mi>R</mi><mrow><mn>15</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>16</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><mrow><mo>[</mo><mrow><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>R</mi><mrow><mn>15</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mrow><mn>17</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>2</mn></msup><msub><mi>C</mi><mrow><mn>16</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mi>R</mi><mrow><mn>17</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><msub><mi>C</mi><mrow><mn>18</mn></mrow></msub></mrow><mo>]</mo></mrow><mo>−</mo></mrow></mtd></mtr><mtr columnalign="left"><mtd columnalign="left"><mrow><mo>−</mo><msubsup><mi>r</mi><mrow><mn>23</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><msubsup><mi>c</mi><mrow><mn>24</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><mrow><mo>[</mo><mrow><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>r</mi><mrow><mn>23</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>r</mi><mrow><mn>25</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>2</mn></msup><msub><mi>c</mi><mrow><mn>24</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msub><mi>l</mi><mrow><mn>26</mn></mrow></msub></mrow><mo>]</mo></mrow><mo>.</mo></mrow></mtd></mtr></mtable><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>23</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
Для уравновешивания моста согласно (12)и(13) необходимо обеспечить условия:
<mrow><mfrac><mrow><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>Σ</mi><mn>0</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>R</mi><mn>5</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>R</mi><mn>4</mn></msub></mrow></mfrac><mo>,</mo><mtext> </mtext><mi>и</mi><mi>л</mi><mi>и</mi><mtext> </mtext><mfrac><mrow><msub><mi>R</mi><mrow><mn>15</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>r</mi><mrow><mn>23</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>R</mi><mn>5</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>R</mi><mn>4</mn></msub></mrow></mfrac><mo>.</mo><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>24</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
<mrow><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>Σ</mi><mn>1</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>Σ</mi><mn>2</mn></mrow></msub><mo>=</mo><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>Σ</mi><mn>3</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mn>0.</mn><mtext> </mtext><mrow><mo>(</mo><mrow><mn>25</mn></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow>
3RC
Процесс уравновешивания осуществляется в такой же последовательности, в какой приведены условия равновесия (24), (25). Для того чтобы можно было избирательно регулировать амплитуды кубичной, квадратичной и линейной составляющих напряжения в измерительной диагонали моста, выходное напряжение дифференциального усилителя подается на дифференциатор, который содержит три последовательно включенных дифференцирующих RC-звена: конденсатор 7 и резистор 8, конденсатор 9 и резистор 10, конденсатор 11 и резистор 12. Выходы каскадов дифференциатора и дифференциального усилителя подключены к входам нуль-индикатора (НИ) 13. Работа НИ и генератора 1 импульсов синхронизируется устройством управления 14 (УУ). На выходе третьего каскада дифференциатора после трехкратного дифференцирования выходного напряжения дифференциального усилителя по окончании переходного процесса формируется и поступает на первый вход нуль-индикатора 13 постоянное напряжение u, пропорциональное разности амплитуд кубичных составляющих выходных напряжений первой и второй ветвей мостовой цепи:
<mrow><msub><mi>u</mi><mrow><mn>3</mn><mi>R</mi><mi>C</mi></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>6</mn><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>R</mi><mi>C</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>3</mn></msup><msub><mi>U</mi><mi>m</mi></msub><msub><mi>K</mi><mi>u</mi></msub></mrow><mrow><msubsup><mi>t</mi><mi>и</mi><mn>3</mn></msubsup></mrow></mfrac><mrow><mo>(</mo><mrow><mfrac><mrow><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>Σ</mi><mn>0</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>Σ</mi><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub></mrow></mfrac><mo>−</mo><mfrac><mrow><msub><mi>R</mi><mn>5</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>R</mi><mn>4</mn></msub></mrow></mfrac></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>,</mo></mrow>
u
8
7
10
9
12
11
где K - коэффициент передачи дифференциального усилителя. Полагаем, что все RC звенья имеют одинаковые постоянные времени: RC=RC=RC=RC.
15
2
4
5
5
2
4
15
Компенсация кубичной составляющей осуществляется приведением к нулю выходного напряжения третьего RC звена путем регулирования сопротивления R резистора 15 при установленных значениях сопротивлений R, R, R резисторов 2, 4 и 5 соответственно или регулированием сопротивления R резистора 5 при фиксированных значениях сопротивлений R, R, R резисторов 2, 4 и 15.
2RC
2RC
Затем анализируют напряжение u, поступающее на второй вход НИ с выхода второго RC-звена дифференциатора. В результате компенсации кубичной составляющей и двукратного дифференцирования выходного напряжение дифференциального усилителя по окончании переходного процесса напряжение u будет пропорционально амплитуде квадратичной составляющей выходного напряжения первой ветви моста:
<mrow><msub><mi>u</mi><mrow><mn>2</mn><mi>R</mi><mi>C</mi></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>6</mn><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><mi>R</mi><mi>C</mi></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>2</mn></msup><msub><mi>U</mi><mi>m</mi></msub><msub><mi>K</mi><mi>u</mi></msub></mrow><mrow><msubsup><mi>t</mi><mi>и</mi><mn>3</mn></msubsup></mrow></mfrac><mfrac><mrow><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>Σ</mi><mn>1</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>Σ</mi><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow>
.
<mrow><mi>Σ</mi><mn>1</mn></mrow>
<mrow><mi>Σ</mi><mn>1</mn></mrow>
Компенсация квадратичной составляющей осуществляется приведением к нулю выходного напряжения второго RC-звена путем регулирования емкости конденсатора 16 при фиксированной индуктивности катушки 19, либо регулировкой индуктивности катушки 19 при фиксированной емкости конденсатора 16. При этом параметр Z
приводится к нулю: Z
=0.
1RC
Далее анализируют установившееся по окончании переходного процесса напряжение u на выходе первого дифференцирующего RC-звена, которое после компенсации кубичной и квадратичной составляющих в результате дифференцирования пропорционально амплитуде линейной составляющей выходного напряжения первой ветви моста:
<mrow><msub><mi>u</mi><mrow><mn>1</mn><mi>R</mi><mi>C</mi></mrow></msub><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>6</mn><mi>R</mi><mi>C</mi><msub><mi>U</mi><mi>m</mi></msub><msub><mi>K</mi><mi>u</mi></msub></mrow><mrow><msubsup><mi>t</mi><mi>и</mi><mn>3</mn></msubsup></mrow></mfrac><mfrac><mrow><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>Σ</mi><mn>2</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>Σ</mi><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac></mrow>
.
<mrow><mi>Σ</mi><mn>2</mn></mrow>
<mrow><mi>Σ</mi><mn>2</mn></mrow>
Это напряжение подается на третий вход НИ. Компенсация линейной составляющей напряжения осуществляется приведением к нулю выходного напряжения первого. RC-звена путем регулирования сопротивления резистора 17 при фиксированном сопротивлении резистора 20 или регулировкой сопротивления резистора 20 при фиксированном сопротивлении резистора 17. При этом параметр Z
приводится к нулю: Z
=0.
И, наконец, для компенсации постоянной составляющей напряжения на выходе первой ветви моста приводят к нулю выходное напряжение дифференциального усилителя 6
<mrow><mi>u</mi><mi>д</mi><mi>у</mi><mrow><mo>(</mo><mi>t</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mn>6</mn><msub><mi>U</mi><mi>m</mi></msub><msub><mi>K</mi><mi>u</mi></msub></mrow><mrow><msubsup><mi>t</mi><mi>и</mi><mn>3</mn></msubsup></mrow></mfrac><mfrac><mrow><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>Σ</mi><mn>3</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>Z</mi><mrow><mi>Σ</mi><mn>0</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>2</mn></msup></mrow></mfrac><mo>.</mo></mrow>
<mrow><mi>Σ</mi><mn>3</mn></mrow>
<mrow><mi>Σ</mi><mn>3</mn></mrow>
которое подается на четвертый вход нуль-индикатора, регулируя емкость конденсатора 18 при фиксированной индуктивности катушки 21, либо регулировкой индуктивности катушки 21 при фиксированной емкости конденсатора 18. При этом параметр Z
приводится к нулю: Z
=0.
23
24
25
26
После четырех этапов уравновешивания выходных напряжений первой и второй ветвей моста вычисляют с помощью формул (20)-(23) параметры элементов измеряемой двухполюсной RLC цепи. В частности, для приведенного примера сопротивление r, емкость c, сопротивление r и индуктивность l соответственно равны:
<mrow />
<mrow><msub><mi>r</mi><mrow><mn>23</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub><msub><mi>R</mi><mn>5</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>R</mi><mn>4</mn></msub></mrow></mfrac><mo>−</mo><msub><mi>R</mi><mrow><mn>15</mn></mrow></msub><mo>;</mo></mrow>
<mrow><msub><mi>c</mi><mrow><mn>24</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>L</mi><mrow><mn>19</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msubsup><mi>R</mi><mrow><mn>15</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><msub><mi>C</mi><mrow><mn>16</mn></mrow></msub></mrow><mrow><msubsup><mi>r</mi><mrow><mn>23</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup></mrow></mfrac><mo>;</mo></mrow>
<mrow><msub><mi>r</mi><mrow><mn>25</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><mfrac><mrow><msubsup><mi>L</mi><mrow><mn>19</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup></mrow><mrow><msub><mi>R</mi><mrow><mn>20</mn></mrow></msub></mrow></mfrac><mo>−</mo><msubsup><mi>R</mi><mrow><mn>15</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>16</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>R</mi><mrow><mn>15</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mrow><mn>17</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><msubsup><mi>r</mi><mrow><mn>23</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><msubsup><mi>c</mi><mrow><mn>24</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup></mrow></mfrac><mo>−</mo><msub><mi>r</mi><mrow><mn>23</mn></mrow></msub><mo>;</mo></mrow>
<mrow><msub><mi>l</mi><mrow><mn>26</mn></mrow></msub><mo>=</mo><mfrac><mrow><msubsup><mi>R</mi><mrow><mn>15</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>16</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><mrow><mo>[</mo><mrow><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>R</mi><mrow><mn>15</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mrow><mn>17</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>2</mn></msup><msub><mi>C</mi><mrow><mn>16</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msubsup><mi>R</mi><mrow><mn>17</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><msub><mi>C</mi><mrow><mn>18</mn></mrow></msub></mrow><mo>]</mo></mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><msubsup><mi>L</mi><mrow><mn>19</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup></mrow><mrow><msubsup><mi>R</mi><mrow><mn>20</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup></mrow></mfrac><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>L</mi><mrow><mn>19</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>L</mi><mrow><mn>21</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mrow><msubsup><mi>r</mi><mrow><mn>23</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><msubsup><mi>c</mi><mrow><mn>24</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup></mrow></mfrac><mo>−</mo><msup><mrow><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>r</mi><mrow><mn>23</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>r</mi><mrow><mn>25</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow></mrow><mn>2</mn></msup><msub><mi>c</mi><mrow><mn>24</mn></mrow></msub><mo>.</mo></mrow>
Мостовой измеритель позволяет определять параметры двухполюсников и с нулевым сопротивлением между их полюсами на постоянном токе. Например, двухэлементный двухполюсник, состоящий из параллельно включенных катушки индуктивности L и резистора R имеет комплексное сопротивление в операторной форме
<mrow><mi>Z</mi><mrow><mo>(</mo><mi>p</mi><mo>)</mo></mrow><mo>=</mo><mfrac><mrow><mi>p</mi><mi>R</mi><mi>L</mi></mrow><mrow><mi>R</mi><mo>+</mo><mi>p</mi><mi>L</mi></mrow></mfrac></mrow>
.
0
1
2
0
2
Его Z-параметры равны: Z=0; Z=L; Z=-L/R. При подстановке Z=0 в (24) получим условие равновесия на первом этапе в виде
<mrow><mfrac><mrow><msub><mi>R</mi><mrow><msub><mrow /><mrow><mn>15</mn></mrow></msub></mrow></msub></mrow><mrow><msub><mi>R</mi><mn>2</mn></msub></mrow></mfrac><mo>=</mo><mfrac><mrow><msub><mi>R</mi><mn>5</mn></msub></mrow><mrow><msub><mi>R</mi><mn>4</mn></msub></mrow></mfrac><mo>.</mo></mrow>
На втором и третьем этапах определяем параметры двухполюсника:
<mrow><mi>L</mi><mo>=</mo><msub><mi>L</mi><mrow><mn>19</mn></mrow></msub><mo>−</mo><msubsup><mi>R</mi><mrow><mn>15</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><msub><mi>C</mi><mrow><mn>16</mn></mrow></msub></mrow>
;
<mrow><mi>R</mi><mo>=</mo><mfrac><mrow><msup><mi>L</mi><mn>2</mn></msup></mrow><mrow><msubsup><mi>R</mi><mrow><mn>15</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><msubsup><mi>C</mi><mrow><mn>16</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup><mrow><mo>(</mo><mrow><msub><mi>R</mi><mrow><mn>15</mn></mrow></msub><mo>+</mo><msub><mi>R</mi><mrow><mn>17</mn></mrow></msub></mrow><mo>)</mo></mrow><mo>−</mo><mfrac><mrow><msubsup><mi>L</mi><mrow><mn>19</mn></mrow><mn>2</mn></msubsup></mrow><mrow><msub><mi>R</mi><mrow><mn>20</mn></mrow></msub></mrow></mfrac></mrow></mfrac><mo>.</mo></mrow>
Таким образом, получено расширение функциональных возможностей измерителя, унифицирован процесс измерений на этапах определения обобщенных параметров измеряемого двухполюсника, упрощены аналитические выражения для вычисления искомых электрических параметров элементов схемы: сопротивлений резисторов, емкостей конденсаторов, индуктивностей катушек.