Исследование отрывного обтекания симметричного профиля в несжимаемой жидкости

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Том IX 197 8

УДК 629.735.33.015.3.025.73:533.6.011.12

ИССЛЕДОВАНИЕ ОТРЫВНОГО ОБТЕКАНИЯ СИММЕТРИЧНОГО ПРОФИЛЯ В НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ

М. А. Брутян

Рассматривается задача о влиянии вязкости на симметричное обтекание профиля крыла при наличии турбулентного диффузорного отрыва пограничного слоя. При расчете характеристик пограничного слоя интегральным методом в области сильного взаимодействия строится процесс последовательных приближений, в котором задается закон изменения трения на поверхности профиля и закон изменения скорости на оси следа, а распределение давления на внешней границе пограничного слоя рассматривается в качестве зависимой переменной. Результаты расчетов удовлетворительно согласуются с имеющимися экспериментальными данными.

Многочисленные экспериментальные исследования обтекания профилей (см., например, [1]) показывают, что в зависимости от условий течения и от геометрии профиля встречаются различные типы срывного обтекания. В настоящей работе рассматривается один из возможных типов отрыва, а именно, небольшой отрыв турбулентного пограничного слоя с хвостовой части верхней поверхности в диффузорной части профиля, так называемый диффу-зорный отрыв. Результаты работ [2, 3] показывают, что в этом случае приближение пограничного слоя является вполне приемлемым для уравнений вязкого течения в области отрыва. Общепринятым методом расчета отрывных течений такого типа стало применение интегральных соотношений, полученных из уравнений пограничного слоя. По существу такой подход является непосредственным продолжением хорошо известных методов расчета безотрывных течений в пограничном слое.

Задача о расчете отрывного течения сводится к интегрированию системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Как показано в работах [4, 5], прямое решение этих уравнений с заданным распределением давления во внешнем потоке не

всегда возможно. Это связано с тем, что уравнения пограничного слоя, записанные в интегральной форме, имеют в некоторой точке особенность типа седла. Наличие этих „критических точек профилей скорости" следует из существования особенности в точке отрыва в классической теории пограничного слоя [6]. Автор работы [5] предложил графический метод нахождения критических точек и обнаружил их во многих семействах профилей скорости, применяемых обычно при исследовании отрывных течений.

Эти трудности можно преодолеть, если рассматривать задачу об отрывном обтекании профиля, как задачу о сильном вязко-невязком взаимодействии с неизвестным распределением давления во внешнем потоке. К первым советским работам, в которых использован такой подход к расчету сверхзвуковых течений с ламинарными отрывными зонами, принадлежат работы [7, 8]. Для расчета течений с турбулентными отрывными зонами в работах [9—12] используются интегральные методы. Следует отметить, что применение интегрального подхода к турбулентным течениям более обосновано, чем к ламинарным. Это связано с тем, что для турбулентных течений до настоящего времени не получено исходной замкнутой системы точных уравнений, и поэтому пока нет возможности для развития более строгих методов.

1. В настоящей работе течение около профиля делится на области слабого и сильного вязко-невязкого взаимодействия (фиг. 1).

Фиг. 1

В области слабого взаимодействия (область присоединенного пограничного слоя) характеристики пограничного слоя рассчитываются методом [13] при заданном распределении давления во внешнем потенциальном потоке. В области сильного взаимодействия (область оторвавшегося пограничного слоя) уравнения стационарного несжимаемого пограничного слоя имеют вид

ди , ди <1ие . дтт

дБ дп е с18 ' ап

ди дх>_

<?5 дп

= 0.

Граничные условия

и = V = 0

ди =0 при я = 0, $>1;

при п = 0, 50<«< 1;

V

дп

и ие при /г8, 5>0.

Здесь и, -у —продольная и поперечная составляющие скорости в пограничном слое; 5, п — ортогональная система криволинейных

координат; sG — координата начала области сильного вязко-невязкого взаимодействия; 8— толщина динамического пограничного слоя; гт — турбулентное напряжение трения.

В соответствии с работой [11] кинематический коэффициент турбулентной вязкости vT в области отрыва при s > s0 определяется по формуле

yT = ktueb*,

где k — постоянный множитель, равный 0,013; т — коэффициент перемежаемости, введенный с целью приближенного описания перемежающегося характера течения в турбулентном пограничном слое.

В формуле (3) коэффициент перемежаемости j определяется с помощью интерполяционной зависимости

7 =----------•

і +5.5JL

Интегрируя поперек пограничного слоя первое уравнение (1), умноженное на произвольную функцию <?(п), с учетом второго уравнения (1), получаем следующее интегральное уравнение:

£' - J?) * w л = 0.

о I о >

Функцию і?(п) представим в виде:

«р

Подобный выбор функции <р(я) соответствует интегральным соот" ношениям Л. Г. Лойцянского, причем значения а = 0 и 1 в урав’ нении [5] эквивалентны удовлетворению интегральным теоремам сохранения импульса и момента импульса соответственно. Профиль скорости в оторвавшемся турбулентном пограничном слое при представим в форме [11]:

и = я, [2,5 In 11 + п+ | + 5,1 - (3,39 п+ + 5,1) е~0'37 п+] +

+ -^-Ир[і — cos^-|-

Здесь п+ = —^—, а — динамическая скорость, которая в случае отрывного обтекания

Ог=8^П(‘Св)1/'р£].

Функция ир = ыр(ит, 8, ие) находится из условия на внешней границе пограничного слоя. В выражении (7) для профиля скорости логарифмический член описывает пристеночную часть турбулентного пограничного слоя, член с косинусом описывает внешнюю часть слоя, а экспоненциальный член добавлен для гладкого сопряжения течения в этих областях. Профиль скорости в следе при я>1 представим в виде:

и

2

где X — скорость на оси следа

Естественно, что принятый закон распределения скоростей в турбулентном пограничном слое (7) и следе (8) является полу-эмпирическим и неизбежно содержит экспериментальные коэффициенты, поскольку до настоящего времени не построена замкнутая теория турбулентного слоя. В последнее время появились экспериментальные работы [14], указывающие, что в окрестности точки отрыва профиль скоростей нуждается в дальнейшем уточнении. К сожалению, эти опыты пока не привели к окончательной рекомендации по выбору распределения скорости в окрестности точки турбулентного отрыва. По мере накопления таких данных в предлагаемую схему расчета могут быть внесены соответствующие количественные изменения.

Подставляя выражения (7) и (8) для профиля скорости при 5 в0 в интегральное уравнение (5), с учетом соотношений (3), (4) и (6), получаем следующие системы обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

Коэффициенты А1}, Вц определяются численно и зависят соответственно от переменных ит, 8, ие и X, 8, ие. При этом все интегралы по п, входящие в А и и Вц, вычисляются стандартным методом Симпсона [15].

Квазилинейные обыкновенные дифференциальные уравнения (9), (И) с граничными условиями (10), (12) решаются численно методом Рунге—Кутта четвертого порядка точности [15], причем на поверхности профиля при 50-<х<1 задается закон изменения динамической скорости и% (х), а в следе задается закон изменения скорости на оси следа X (я). Распределение скорости на внешней границе пограничного слоя не является наперед заданным и определяется из решения системы уравнений пограничного слоя. Окончательное распределение давления по профилю с учетом вязкости при наличии турбулентного диффузорного отрыва определяется в результате процесса последовательных приближений. При этом на каждом шаге для нахождения новых значений и”ов($)и Хнов (в) численно интегрируются уравнения количества движения пограничного слоя, записанные на границе профиля

«о ^ 1 у

(9>

с граничными условиями

^ (50) 80; ие (в0) — ие0

и

е граничными условиями

8(1) — 83. к; ие{\) — ие з. к.

и на осевой линии следа

х£-в.1Г + &- *>*• » = °- <14>

Полученные в результате решения уравнений (13) и (14) значения

Л Л

динамической скорости «*

иГ

Хнов

здесь г — параметр нижней релаксации краевых условий. В практических расчетах г = 0,03.

2. Предлагаемый метод расчета отрывного обтекания симметричного профиля в несжимаемой жидкости окончательно сводится к следующей процедуре (фиг. 2):

1) по заданной геометрии комбинированным методом вихревого слоя [16] рассчитывается потенциальное обтекание исходного профиля. Определяется распределение давления в идеальной жидкости;

Фиг. 2

2) полученное распределение давления используется в методе [13] для приближенного определения положения точки отрыва 5отр и для расчета характеристик пограничного слоя в области слабого взаимодействия на профиле при 0<х<^50. Координата начала области сильного взаимодействия выбирается примерно на расстоянии 5—10 толщин пограничного слоя от точки отрыва. Определяются значения §0 и иг0;

3) в области сильного взаимодействия при $0<5<1 задается закон изменения динамической скорости и^), а при 1<$<2 —50 задается закон изменения скорости на оси следа Х(з). Интегрируется система обыкновенных дифференциальных уравнений (9) с граничными условиями (10). Определяется положение точки отрыва [и* ($отР) = 0] и значения 83. к, иез. к. Затем решается система уравнений (11) с граничными условиями (12). Находится распределение толщины вытеснения 8* пограничного слоя в области сильного взаимодействия;

4) на контур профиля и осевую линию следа наращивается соответственно толщина вытеснения пограничного слоя и следа; при этом в области слабого взаимодействия в следе при s^>2 — s0 толщина вытеснения следа полагается равной значению в начале области слабого взаимодействия, т. е. в точке s = 2 — s0. Рассчитывается потенциальное обтекание полученного полубесконечного тела. При расчете полубесконечный след обрывается на расстоянии хорды за задней кромкой профиля *;

5) полученное распределение давления по профилю используется для расчета характеристик пограничного слоя в области слабого взаимодействия при 0<s<s0 и для нахождения новых значений и?ов(s) и lH0B(s) из уравнений (13)—(16). После этого решаются системы обыкновенных дифференциальных уравнений (9)— (12) и определяется новое положение точки отрыва и новое распределение толщины вытеснения 8* (s);

6) на контур профиля и осевую линию следа вновь наращивается толщина вытеснения пограничного слоя и следа. Рассчитывается потенциальное обтекание полученного полутела и определяется новое распределение ue(s). Последовательность операций 5) и 6) повторяется до тех пор, пока величина интеграла

* В работе [17] приведены оценки влияния отбрасываемой части вихревого следа на распределение скоростей по полутелу при безотрывном обтекании. Показано, что поправка к скорости ДУ(5) мала и в расчетах ею практически можно пренебречь.

Фиг. 3

2—.r0

I— j [u^'+1) (s) — uSp (s)]2 ds не будет меньше наперед заданной

S0 _

величины s. В практических расчетах было принято г =10 3. Сходимость процесса достигается через 15—40 итераций.

Предлагаемый метод позволяет рассчитывать распределенные и суммарные аэродинамические характеристики профиля крыла при симметричном обтекании с учетом вязкости при наличии турбулентного диффузорного отрыва. Хорошая сходимость процесса последовательных приближений и удовлетворительное совпадение расчетных и экспериментальных данных получается для не слишком длинных зон отрыва, не имеющих развитой области с почти постоянной величиной давления.

На фиг. 3 приведены результаты расчета распределения давления по профилю относительной толщины с = 60% с учетом вязкости при числе Re = 0,52*106 и результаты расчета в идеальной несжимаемой жидкости. Дано сравнение с экспериментальными данными, полученными в работе [18] для того же числа Re. Расчет удовлетворительно согласуется с экспериментом; при этом положение точки отрыва пограничного слоя лг0Тр = 92,3%. Расчеты обтекания того же профиля с учетом вязкости при наличии турбулентного диффузорного отрыва проведены в широком диапазоне чисел Re = 106-j-108. По результатам проведенных расчетов построены зависимости профильного сопротивления и сопротивления давления профиля от числа Re (фиг. 4). Видно, что увеличение числа Re и соответствующее движение точки отрыва приводят к заметному уменьшению профильного сопротивления. При этом положение точек перехода ламинарного пограничного слоя в турбулентный меняется слабо вследствие „пикового” характера распределения давления по профилю.

ЛИТЕРАТУРА

1. Gul lough G. R., Gault D. E. Examples of three representative types of airfoil-section stall at low speed. NACA TN, N 2502, 1951.

2. Lees L., Reeves B. Supersonic separated and reattaching laminar flows: I. General theory and application to adiabatic boundary-layer shock wave interaction. „А1АА J.‘, vol. 2, N 11, 1964.

3. Alber I., Lees L. Integral theory for supersonic turbulent base flows. „А1АА J.‘, vol. 6, N 7, 1968.

4. S h a m г о t h S. On integral methods for predicting shear layer behavior. ASME paper 69 — WA/ARM—11, 1969.

5. Gerhart P. H. On prediction of separated boundary layers with pressure distribution specified. „АІАА J.\ vol. 12, N 9, 1974.

6. Goldstein S. On laminar boundary layer flow near a position of separation. .Quart. J. Mech. Appl. Math.vol. 1. part. 1, 1948.

7. E л ь к и н Ю. Г., Нейланд В. Я. О расчете характеристик ламинарных зон отрыва. .Инженерный журнал', вып. 5, 1965.

8. Бондарев Е. Н. Приближенный расчет потока с ламинарным пограничным слоем в области отрывного течения. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1966, № 5.

9. Авдуевский В. С., Бондарев Е. Н., Медведев К. И. Проблема взаимодействия ударных волн с пограничным слоем. Третий Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Сб. аннотаций, М., 1968,

10. Г о г и ш Л. В., С т е п а н о в Г. В. Интегральный метод расчета отрывных течений. Третий Всесоюзный съезд по теоретической и прикладной механике. Сб. аннотаций, М., 1968.

11. Kuhn G. D., N і е 1 s е n J. N. Prediction of turbulent separated boundary layers. „АІАА Paper*, N 73.663, 1974.

12. Klineberg J. М., Steger J. L. Calculation of separated flows at subsonic and transonic speeds. Third Intern. Conf. on Numerical Methods in Fluid Dynamics. Paris, 1972.

13. Me Nall у W. D. Fortran program for calculating compressible laminar and turbulent boundary layers in arbitrary pressure gradients. NASA TN-D-5681, 1970.

14. Simpson R. L., Strickland J. H., Bare P. W. Features of a separating turbulent boundary layer in the vicinity of separation. „J. Fluid Mech.“, vol. 79, № 3, 1977.

15. Хемминг P. В. Численные методы. М., „Наука“, 1968.

16. Блынская А. А., Павловец Г. А. Комбинированный метод расчета обтекания крылового профиля несжимаемым потоком. Труды ЦАГИ, вып. 1347, 1971.

17. Брутян М. А. Влияние вязкости на аэродинамические характеристики профиля при докритических скоростях. Труды ЦАГИ, вып. 1752, 1976.

18. Федяевский К. К., Настюкова Г. К. Цилиндрическое тело с интенсивным кризисом сопротивления. «Журнал технической физики", т. XXVIII, вып. 7, 1958.

Рукопись поступила 17\1 1978