Алгоритм решения задач на подобные треугольники

ПРЕДИСЛОВИЕ

Обучение решению геометрических задач — важная составная часть изучения школьного курса геометрии. При решении задач у учащихся закрепляются теоретические знания, вырабатываются навыки применения этих знаний в практической деятельности, развивается творческая активность.

Эффективный метод обучения учащихся решению геометрических задач основан на использовании при отыскании плана решения задачи некоторых выводов, полученных в решениях так называемых базисных задач. Такой алгоритмический подход к отысканию плана решения той или иной конкретной задачи помогает учащимся быстрее найти этот план.

Базисными мы называем задачи на доказательство зависимостей (соотношений), эффективно используемых при решении многих других геометрических задач

Разумеется, нет и не может быть полного перечня базисных задач, которые должен знать учащийся. В каждом конкретном случае объем алгоритмических сведений, сообщаемых учителем. Но какой-то минимум этих сведений учащимся должен быть сообщен, так как без знания такого минимума учащиеся дальше решения легких задач вряд ли продвинутся. Для лучшего запоминания алгоритмических сведений можно рекомендовать учащимся записывать их в отдельную общую тетрадь, в которую они записывают также и другие важные сведения из школьного курса математики. Эта тетрадь должна стать для каждого учащегося его личным справочником по математике, позволяющим легко найти и вспомнить забытую формулу или алгоритм. Ведение такой тетради способствует быстрейшему запоминанию содержащихся в ней сведений.

Как отмечает известный советский психолог П. П. Блонский, мышление учащегося «развивается на основе усвоенных знаний, и если нет последних, то и нет основы для развития мышления...»

Чтобы научиться решать задачи, учащиеся прежде всего должны накопить определенные знания (запомнить основные математические соотношения), из которых затем будут выбирать те, которые нужны для решения данной конкретной задачи.

«Под алгоритмической деятельностью, — пишет немецкий педагог Б. Чада, — мы понимаем все виды деятельности, направленные на решение задач с помощью правил, предписаний, алгоритмов. Она охватывает не только формальное выполнение указанных алгоритмов и предписаний, но и выбор алгоритма для решения данной конкретной задачи, составление из множества изученных правил определенной конечной последовательности шагов, приводящих к решению задачи, формулировку алгоритмического предписания, а также приспособление известного алгоритма к условиям задачи. Таким образом, алгоритмическая деятельность является важной составной частью математического образования»

В частности, хочу показать на примере решения задач подобных треугольников

БАЗИСНЫЕ ЗАДАЧИ ПЛАНИМЕТРИИ

ПОДОБНЫЕ ТРЕУГОЛЬНИКИ

ПРИЗНАКИ ПОДОБИЯ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

1. По двум углам:

Ð A = Ð A1, Ð C = Ð C1

A

B

C

A1

B1

C1

2. По двум пропорциональ ным сторонам и углу между ними:

Ð B = Ð B , AB = BC

1 A B B C

1 1 1 1

B

B1

A

C

A1

C1

3. По трем пропорциональ ным сторонам:

B

B1

AB = BC = AC

A1B1 B1C1 A1C1

A

C

A1

C1

СВОЙСТВА ПОДОБНЫХ ТРЕУГОЛЬНИКОВ

Прямая, параллельная сторо не треугольника, пересекаю щая две его другие стороны, отсекает от него треугольник, подобный данному.

Если l C AC, l Ç AB = A1,

l Ç BC = C1,

тогда  ABC "  A1BC1

A1

A

B

C1

C

l

Соответствующие высоты по добных треугольников отно сятся как соответствющие стороны (k — коэффициент подобия):

BE = AC = BC = AB = k

B1E1 A1C1 B1C1 A1B1

B B1

A E C A1 E1 C1

Периметры подобных тре угольников относятся как их соответствующие линейные измерения (стороны, высоты, медианы, биссектрисы)

PDABC = AB = k PDA1B1C1 A1B1

Отношение площадей подоб ных треугольников равно ква драту коэффициента подобия

S æ AB ö2

DABC = ç ÷ = k2

SDA1B1C1 è A1B1 ø

Важно знать!

Прямая, параллельная сторо не треугольника, пересекаю щая две его другие стороны, делит эти стороны на пропор циональные отрезки

A1

A

B

C1 l C

l C AC BA1 = BC1 AA1 CC1

СВОЙСТВА ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПОДОБИЯ

1. При преобразовании подобия точки, лежащие на одной прямой, переходят в точки, лежащие на одной прямой, порядок их взаимного расположения сохраняется.

2. При преобразовании подобия прямые переходят в прямые, полупрямые — в полупрямые, а отрезки — в отрезки.

3.

При преобразовании подобия сохраняются углы между по лупрямыми.

Задача 2. Доказать, что стороны угла, пересекаемые рядом параллельных прямых, рассекаются ими на пропорциональные части.

Решение:

Пусть стороны угла АВС пересекаются параллельными прямымиa, b и c в точках D и D1, Е и Е1, F и F1 (рис. 1.1). Проведем DК ǁ ВС и ЕL ǁ ВС. Ясно, что DК = D1Е1 как противоположные стороны параллелограмма DD1Е1К. Аналогично, ЕL = Е1F1.

Заметим далее, что

как сумма внутренних односторонних углов при параллельных прямых.

С другой стороны,

как сумма смежных углов.

Из (1) и (2) следует, что

Аналогично доказывается, что

и потому

Следовательно, треугольники ВDD1, DЕК и ЕFL подобны (по признаку подобия треугольников).

Из подобия этих треугольников следует:

Заменив отрезки DК и ЕL соответственно равными им отрезками D1Е1, получаем :

что и требовалось доказать.