Сравнительный анализ двумерных и трехмерных численных решений для двухвероятностных законов при двухфазной неизотермической фильтрации в слоистых пластах

УДК 532.546

С. П. Плохотников, О. И. Богомолова, Е. Н. Белова, В. А. Богомолов, А. С. Климова

СРАВНИТЕЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДВУМЕРНЫХ И ТРЕХМЕРНЫХ ЧИСЛЕННЫХ РЕШЕНИЙ

ДЛЯ ДВУХВЕРОЯТНОСТНЫХ ЗАКОНОВ ПРИ ДВУХФАЗНОЙ НЕИЗОТЕРМИЧЕСКОЙ

ФИЛЬТРАЦИИ В СЛОИСТЫХ ПЛАСТАХ

Ключевые слова: неизотермическая фильтрация, фазовые проницаемости, вычислительный эксперимент, осредненная

модель.

В работе проведен сравнительный анализ численных решений осредненных двумерных моделей с модифицированными относительными фазовыми проницаемостями и лабораторными фазовыми проницаемостями, а также трехмерных моделей при неизотермической двухфазной фильтрации нефти в слоистых пластах.

Keywords: filtration, phase permeability.

The comparative analysis of two-dimensional models with the modified relative phase permeability and not modified relative phase permeability has done. Three-dimensional models are also carried out at not isothermal two-phase filtration of oil in stratified beds.

Введение

Для повышения коэффициента нефтеотдачи нефтяных месторождений, часто применяют горячее заводнение. Тогда гидродинамические расчеты проводят с учетом изменения температуры в самом пласте и в окружающих пласт породах. По аналогии с изотермической фильтрацией в расчетах используют известные осредненные модели [1-12]. Некоторые из них - модели с модифицированными относительными фазовыми проницаемостями. Эти модели называются осредненными так, как в них используют характеристики пласта и жидкостей, которые осреднены по толщине.

В публикациях [7, 13] используют среднюю по толщине пласта абсолютную проницаемость и исходные относительные лабораторные

проницаемости фаз. Расчеты по этой модели дали желаемые результаты только для малых значений коэффициента вариации слоистой неоднородности пласта.

Другой метод основан на схеме струй. Он впервые был применен в условиях двухфазной изотермической фильтрации для линейных лабораторных относительных проницаемостях фаз В.Я. Булыгиным [7], и обобщен на нелинейный случай в работах [8 - 12]. В нем используют среднюю по толщине пласта абсолютную проницаемость и модифицированные

проницаемости фаз. Этот метод дает хорошие результаты и для больших (максимальных) значений коэффициента вариации.

В работе рассматриваем двухфазную неизотермическую фильтрацию в рамках модели Баклея - Леверетта [7 - 9] для площадного заводнения в слоистом пласте в условиях закачки горячей или холодной воды. Рассматривался полосообразный пласт, который был разработан тремя скважинами, - из которых нагнетательная - 1 и эксплуатационные - 2. Используем для вычислений,когда задан перепад давлений, трехмерную математическую модель и две

известные двумерные модели [8 - 12], которые были осреднены по толщине пласта. Абсолютная проницаемость по толщине слоистого пласта задана вероятностным законом - равномерным или экспоненциальным. Проведен сравнительный анализ трехмерных решений с двумерными решениями для каждого из этих двух вероятностных законов. А также проанализированы погрешности отклонения в каждом из некоторых основных показателей разработки при различных фиксированных видах функций относительных фазовых проницаемостей в сравнении между собой для этих двух законов. Сделаны соответствующие выводы и рекомендации по практике применения этих осредненных моделей.

Цель работы - определить погрешность каждой из двух осредненных двумерных моделей относительно эталонных трехмерных решений с помощью широкого ВЭ (вычислительного эксперимента). Получить численные решения осредненной двумерной модели со средними абсолютными проницаемостями и лабораторными проницаемостями фаз. А также - осредненной модели с модифицированными проницаемостями, полученными ранее с учетом модели струйного течения для заданного вероятностного законараспределения абсолютной проницаемости пропластков изучаемого слоистого пласта. Провести сравнительный анализ и оценку погрешности двух осредненных моделей с помощью вычислительного эксперимента путем сравнения трехмерных и двумерных решений при двухфазной неизотермической фильтрации для случаев горячего и холодного заводнений. При этом результаты численного решения трехмерных моделей принимаем за эталонные решения. Абсолютная проницаемость изучаемого слоистого пласта задана равномерным или экспоненциальным

вероятностным законами. Провести сравнительный анализ численных двумерных и трехмерных решений для этих двух законов распределения при

фиксированных различных видах лабораторных проницаемостей фаз.

функций

Описание математических моделей

В работе рассматриваем двухфазную неизотермическую фильтрацию нефти и воды в рамках Баклея - Левереттапри площадном заводнении в полосообразном слоистом пласте - 1 нагнетательная скважина в центре прямоугольника, а на противоположных краях - две добывающие скважины симметрично. В работе [12] схематично даны расчетные блоки слоистого пласта в двумерной и трехмерной постановках при пяти точечной системе заводнения. Аналогичные расчетные блоки используются в данной работе для полосообразного слоистого пласта. В работах [8 -12] были представлены математические выражения модифицированных проницаемостей фаз для осредненной модели В двухфазной неизотермической фильтрации, которые основаны на поправочных коэффициентах струйного течения. И вместе с этим на простейшей модели C, широко применяющейся в расчетах.

При помощи эксперимента в этой работе исследуем погрешность осредненных моделей в сравнении с эталонными трехмерными решениями -A7,A8 , если в пласт закачана горячая вода, а также при закачке холодной воды, для двух вероятностных законов распределения абсолютной проницаемости по толщине слоистого пласта, - равномерного и экспоненциального. На представленных в статьерисунках даны кривые только этих двух граничных эталонов, в то время как расчеты были проведены для всех восьми эталонов, детально описанных в [8 - 12].

Математическое представление трехмерной (х.з^-задачи двухфазовой неизотермической фильтрации, краевые условия которой известны, приведено в [13]. Вычисления были проведенына гидродинамическом симуляторе Tempest фирмы Roxar [14].

Численные расчеты были произведены для 8 модификаций эталонных 3-х мерных моделей и двухосредненных 2-х мерных моделей. На графиках №1-4 показаны кривые 2-х видов решений трехмерной модели, определяющие для всех показателей разработки пороги сверху и снизу. А также награфиках приводятся кривые решений для обеих осредненных моделей.

Будем использовать следующие трехмерные (x,y,z) - модели:

1. Модель с изолированными пропластками (A8-модель) - эталонное численное трехмерное решение задачи для десятислойного пласта с изолированными пропластками (отсутствуют перетоки), с абсолютной проницаемостью подчиненной равномерному закону распределения. Было задано 10 пропластков высотой Hj = H2 = H3 = H4... H10 = 1м, которые изолированны друг от друга непроницаемыми перемычками;

2. Модель с неизолированными пропластками (Ат-модель) - представляет из себя предыдущее решение, но с неизолированными пропластками.

Было задано 10 пропластков гидродинамически связанных, и они размещены так, что снизу - вверх -лучший (максимальное значение абсолютной проницаемости) рядом с худшим (минимальное значение абсолютной проницаемости), лучший из оставшихся рядом с худшим из оставшихся снизу-вверх и т.д.

В таблице 1 дано распределение абсолютной проницаемости по слоям в этих двух эталонах для экспоненциального закона, а в таблице 2 - для равномерног.

Относительные лабораторные функции фазовых проницаемостей слоистого пласта Кв

заданы в общем случае нелинейными. Они имеют параболический вид

К в

5п(5) = (~ - 5*)/(5* - 5*).

Осредненные двумерные (х,у) - модели:

1. С-модель - задача была решена с линейными, квадратичными и кубическими лабораторными относительными проницаемостями - Кв(5), Кн(5) вида Ошибка! Источник ссылки не найден. и средней К =0.5дарси в двумерной постановке. Было задано по вертикали 1 пропласток, высотой Н= 10м;

2. 5-модель - задача была решена с модифицированными относительными

проницаемостями КМ (5), КМ (5) вида (2) и

средней К =0.5дарси для равномерного закона распределения задания абсолютной проницаемости К(г) рассматриваемого слоистого пласта. Был задан 1 пропласток, высотой Н= 10м.

Модифицированные проницаемости для экспоненциального закона распределения функции К(г) выглядят следующим образом:

Sп(S) = (S -S*)/(S* -S*), км (S)=к (~) •

км (S)=Кн (S).

1- ln Sn (~)]

Sn

1+-

1 - Sn

ln Sn

Так выглядят модифицированные

проницаемости для равномерного закона

распределения: К(К = К ^л/э^(1-5П (К))]

КТ(К) = К&Ъ-У ^ 5п (~)],

5П

Результаты вычислений при экспоненциальном распределении

В расчетах были использованы следующие модели:

1. трехмерные (х,у^) - модели с экспоненциальным распределением абсолютной проницаемости по пропласткам (табл. 1), а также с равномерным распределением (табл. 1). В конечно -разностной схеме применяли сетку из блоков

11x5x10;

2. двумерные осредненные модели со средней по толщине пласта абсолютной проницаемостью, и лабораторными относительными проницаемостями - модель C, а также - с модифицированными относительными проницаемостями - модель В, конечно-разностная схема имеет сетку из блоков 11x5x1.

Таблица 1 - Распределение проницаемости по слоям для трехмерной модели, мдарси

Ki K2 Кз К4 К5 Кб К7 К8 К К10

Экспоненциальный закон распределения

30 40 21 52 14 69 82 95 2 165

Равномерный закон распределения

45 55 35 65 25 75 15 85 5 950

Результаты вычислений при закачке в пласт горячей воды 100°С, или холодной воды 22°С при начальной температуре в пласте 30°С

Значения заданных физических параметров: 128 - начальное пластовое давление, атм; 30 - температура пласта, С 100 (или 22) - температура закачиваемой воды, С 1230 - глубина пласта, м; 50 - давление насыщения, атм; 1000 - плотность воды, кг/м3; 850 - плотность нефти, кг/м3; 55 - забойное давление на добывающей скважине, атм.;

170 - забойное давление на нагнетательной скважине, атм.

Рассматриваемые пласты имели следующие физические параметры:

КВ0=0.5 - максимальная ОФП (относительная фазовая проницаемость) воды; КН0=0.7 - максимальная ОФП нефти;

=0.8 - максимальная водонасыщенность на нагнетательной скважине;

5*=0.3 - минимальная остаточная

водонасыщенность;

5 - водонасыщенность, ;

Ин = 15.1 МПа - вязкость нефти;

цВ = 0.77 МПа - вязкость воды;

т= 0.2 - пористость.

При расчетах внутри пласта использовали сетку из блоков: 11x5x10 (х,у,2) для трехмерного случая, и 11x5x1 для двумерного случая.

Для рассматриваемых слоистых пластов брали такие физические параметры Н =10 м, Н=1

(] = Ц0), Ь = 300 м., К*= 0.5мкм2, це (30°С) = 0,77

*

мПа с, /ин (30° С) = 15.1 мПа с, т = 0.3, 5 = 0.8, 5* = 0.3, Ле =100 (Ккал/мс град), Лн = 75, Се = 1000, сн = 750 (Ккал/м3град), сп = 650, Хп = 65, с0 = 650, Л0 = 50, Тп = Т0 = 30° С. Вязкости фаз выглядят следующим образом [1]:

Н, (Т)=151/(Т - 20^ /ив (Т)=35/(Т+15,7).

В таблице 2 приводятсяих числовые значения.

На рис.1,2 показаны графики зависимости коэффициента нефтеотдачи от времени разработки для кубических лабораторных проницаемостей фаз вида (1) при экспоненциальном и равномерном законах распределения при горячем заводнении. А на рис.3,4 - аналогичные графики для холодного заводнения.

Таблица 2

T(oC) juH [мПа сJ ¡и6 [мПа с J Цн1 Не

21 151 0.96 157.3

22 75.5 0.93 81.2

25 30.2 0.86 35.1

30 15.1 0.77 19.6

60 3.8 0.46 8.3

100 1.9 0.30 6.3

150 1.2 0.21 5.7

200 1.84 0.16 5.3

Л

С

т/ у '

/ / / Р 4 с» В-*, модель «одель в А 8

V А модель и зол.

О 200 400 800 800

Рис. 1 - Коэффициент нефтеотдачи, экспоненциальный закон, горячее заводнение, кубические лабораторные проницаемости фаз

На этих двух рисунках получено следующее. Графики эталонных трехмерных решений при горячем заводнении образуют множество, граничными значениями которого являются эталонные решения A8 - ограничение снизу, и решение A7 - ограничение сверху. Осредненные двумерные решения формируют вилку, с вписанными в нее множествами эталонов на рис.1 -4 показанных здесь. В тоже время кривая простейшей модели C является верхним ограничением и завышает значения эталонов. Кривая модели В представляет из себя ограничение снизу.

П

V

с X у✓ А/ //^ А

/о /// // X ///1 / / | / В

С-модепь

В-модель

А+- А модель не изол,

А - А модель и зол.

О 200 400 600 ООО юоо

Рис. 2 - Коэффициент нефтеотдачи, равномерный закон, горячее заводнение, кубические лабораторные проницаемости фаз

На этих двух рисунках получено следующее. Графики эталонных трехмерных решений при горячем заводнении образуют множество, граничными значениями которого являются эталонные решения А8 - ограничение снизу, и решение А7 - ограничение сверху. Осредненные двумерные решения формируют вилку, с вписанными в нее множествами эталонов на рис.1 -4 показанных здесь. В тоже время кривая простейшей модели С является верхним ограничением и завышает значения эталонов. Кривая модели В представляет из себяограничение снизу.

Коэффициет конечной нефтеотдачи в момент отключения обеих работающих эксплуатационных скважин при достижении 98% обводненности составляет в среднем по вилке разброса эталонов для экспоненциального закона 40% и по вилке осредненных моделей - 41%. А для равномерного закона имеем - 39% и 40%, соответственно. При этом эталонные вилки и вилки осредненных моделей для первого закона получились более широкими по сравнению со вторым. Это различие объяснимо существенной разницей значений коэффициента вариации слоистой неоднородности, равного 0,94 и 0,57 соответственно для этих двух законов распределения.

Рассмотрим ниже соответствующие графики при холодном заводнении на рис.3,4. На этих рисунках имеют место аналогичные результаты, полученные при холодном заводнении. При этом закачиваем воду с температурой 22 С, а начальная температура пласта 30 С. Получено, что коэффициет конечной нефтеотдачи в момент отключения обеих работающих эксплуатационных скважин при достижении 98% обводненности составляет в среднем по вилке разброса эталонов для экспоненциального закона 32% и по вилке осредненных моделей - 33%. А для равномерного закона - 35% и 36% соответственно. По сравнению с горячим заводнением имеем существенное уменьшение значений коэффициента нефтеотдачи

при обоих законах. При этом по-прежнему эталонные вилки и вилки осредненных моделей для первого закона получились более широкими по сравнению со вторым законом. При горячем заводнении для обоих законов разница в значениях коэффициента итоговой нефтеотдачи

незначительна, а при холодном заводнении - имеем значительное отличие.

П

Рис. 3 - Коэффициент нефтеотдачи, экспоненциальный закон, холодное заводнение, кубические лабораторные проницаемости фаз

П

Рис. 4 - Коэффициент нефтеотдачи, равномерный закон, холодное заводнение, кубические лабораторные проницаемости фаз

Выводы

Обе осредненные модели в совокупности можно рекомендовать для приближенных гидродинамических расчетов в слоистых пластах при неизотермической двухфазной фильтрации и для проведения сравнительного анализа численных результатов для различных вероятностных законов задания функции абсолютной проницаемости по толщине пласта при горячем или холодном случаях, а также при изотермической фильтрации для обоих вероятностных законов.

Литература

1. Плохотникое С.П. Методика построения модифицированных относительных фазовых проницаемостей в моделях трехфазной фильтрации в слоистых пластах/ Богомолова О.И., Плохотников Д.С., Богомолов В.А., Белова Е.Н., Харина М.В., Низаев Д. Д.// Вестник Казанского технологического университета, 2013, т. 16, № 21, с. 287-289

2. Плохотникое С.П. Математическое моделирование неизотермической двухфазной фильтрации с модифицированными относительными фазовыми проницаемостями/ Богомолова О.И., Плохотников Д.С., Богомолов В.А., Плохотникова О.Р., Нурсубин М.С.// Вестник Казанского технологического университета. - 2013. - т. 16. -№ 21. -с. 122-124.

3. Плохотникое С.П. Осреднение моделей трехфазной фильтрации в неоднородных слоях, подчиняющихся равномерному распределению / Богомолов В.А., Белова Е.Н., Богомолова О.И., Плохотников Д.С., Булгакова О.Р.// Вестник Казанского технологического университета. - 2012. - т. 15. - № 1. - с. 63-67.

4. Плохотникое С.П. Модифицированные ОФП в осредненных моделях фильтрации при закачке в пласт поли- мерных растворов различной концентрации / Богомолов В.А., Белова Е.Н., Богомолова О.И. // Вестник Казанского технологического университета. - 2012.- т. 15.- № 1. - с.55-58.

5. Плохотникое С.П. Оценка погрешности двух осредненных моделей при двухфазной неизотермической фильтрации для экспоненциального закона распределения/ Плохотников С.П., Богомолова О.И., Белова Е.Н., Богомолов В.А., Низаев Р.Х.// Вестник Казанского технологического университета. - 2014. - т. 17. - № 21. - с. 390-393.

6. Плохотникое С.П. Осреднение моделей трехфазной фильтрации в неоднородных слоях, подчиняющихся равномерному распределению/ Плохотников С.П., Богомолов В.А., Белова Е.Н., Богомолова О.И., Плохотников Д.С., Булгакова О.Р.// Вестник

Казанского технологического университета. - 2012. -т. 15. - № 4. - с. 99-102.

Булыгин В.Я. Гидромеханика нефтяного пласта / В.Я. Булыгин - М.: Недра, 1974. - 232 с. Bogomolov V.A. Mathematical simulation of three-phase filtration in stratified beds with account for the scheme of jets / V.A. Bogomolov, S.P. Plokhotnikov, O.R. Bulgakova, D.S. Plokhotnikov // Journal of Engineering Physics and Thermophysics. - Springer. - 2011. - Vol. 84. - No. 5.- pp. 975-979.

Плохотников С.П. Осреднение трехмерной модели двухфазной фильтрации при закачке в пласт полимерно-дисперсных систем / Богомолов В.А., Белова Е.Н., Богомолова О.И.// Вестник Казанского технологического университета. - 2012.- т. 15. - № 1. - с. 63-67.

Плохотников С.П. Модифицированные офп в осредненных моделях фильтрации при закачке в пласт полимерных растворов различной концентрации / Богомолов В.А., Белова Е.Н., Богомолова О.И. // Вестник Казанского технологического университета. - 2012. - т. 15. - № 1. - с. 55-58.

Плохотников С.П. Осреднение моделей трехфазной фильтрации в неоднородных слоях, подчиняющихся 5 равномерному распределению / Богомолов В.А., Белова Е.Н., Богомолова О.И., Плохотников Д.С., Булгакова О.Р.// Вестник Казанского технологического университета. - 2012. - т. 15. - № 4. - с. 99-10267.

Плохотников С.П. Математическое моделирование неизотермической двухфазной фильтрации с модифицированными относительными фазовыми проницаемостями / Богомолова О.И., Богомолов В.А., Плохотников Д.С., Нурсубин М.С. // Вестник Казанского технологического университета. - 2013.

- т. 21, с.122-125.

Методические указания по созданию постоянно действующих геолого-технологических моделей нефтяных и газонефтяных месторождений. ( Часть 2. Фильтрационные модели). - М.: ВНИИОЭНГ, 2003.

- 228с.

Tempest - MORE. Руководство пользователя, версия 6.3, Roxar, 2006. - 373с.

© С. П. Плохотников - д.т.н. проф. каф. ИПМ КНИТУ, plokhotnikov@kstu.ru; О. И. Богомолова - асс. той же кафедры; Е. Н. Белова - асп. той же кафедры; В. А. Богомолов - к.т.н., доц. той же кафедры, bogomolov@kfti.knc.ru; А. С. Климова -к. т.н., доц. той же кафедры.

© S. P. Plohotnikov - doctor of technical sciences, professor, Department of Informatics and Applied Mathematics, KNRTU, plokhotnikov@kstu.ru; O. 1 Bogomolova - assistant, the same Department; E. N. Belova - post-graduate student, the same Department; V. A. Bogomolov - PhD, associate professor, the same Department, bogomolov@kfti.knc.ru; A. S. Klimova - - PhD, associate professor, the same Department.