Течение упруговязкой жидкости со свободной поверхностью

Б. А. Снигерев, Ф. Х. Тазюков, А. Г. Кутузов,

Амер аль Раваш

ТЕЧЕНИЕ УПРУГОВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

Приведены результаты численного моделирования течения упруговязкой жидкости со свободной поверхностью на примере задачи об экструзии. В качестве реологической модели использована конститутивная модель упруговязкой жидкости ЕЕЫЕ-Р, построенная на основе кинетической теории [3]. Показано влияние на форму струи реологических свойств полимерной жидкости.

Одним из направлений изучения течений со свободной поверхностью является исследование устойчивости поверхности экструдата к образованию волн. Образование регулярных искажений свободной поверхности полимерных жидкостей или эластической турбулентности является следствием многих факторов. Одним из важнейших факторов является проскальзывание экструдата на стенках канала при достижении критических значений сдвиговых напряжений в этой области. В таких задачах при определении формы свободной поверхности также необходимо учитывать влияние линии контакта трех фаз, являющейся фактором, способствующим развитию возмущений. Условия на линии контакта могут существенно влиять на движение жидкости. Несмотря на исключительную важность проблемы, количество публикаций в этой области недостаточно, а происходящие в окрестности межфазных границ процессы и их влияние на величину сдвиговых напряжений до сих пор недостаточно поняты. Экспериментальные исследования весьма затруднены из-за того, что все межфазные эффекты весьма чувствительны к примесям и физическому состоянию поверхности. Особое внимание ученых привлекает изучение причин появления так называемых «спурт-эффектов» - нарушения стабильности истечения жидкости из капилляров и каналов [1-5].

В данной работе теоретически исследуется эластическое восстановление и разбухание струи экструдата. Возрастание диаметра или разбухание - общая особенность процесса экструзии при производстве синтетических волокон и пластмасс.

Целью настоящей работы является исследование течения, деформированного состояния вязкоупругой жидкости на выходе из экструдера в зависимости от расхода и релаксационных свойств полимера.

Постановка задачи

Определяющие уравнения данной модели имеют вид

где р - плотность жидкости, V - вектор скорости, Р - давление, т -девиатор напряже-

д V — — _

р (— + V-V V) =-УР +У-~, д 1

V-V = 0,

ния.

Реологическое уравнение для данной модели имеет вид

т =Т1 +т 2 -

где

т=

П1

X

A

1 -

1 - 1/Ц2

A

1 -

и

+ X A =

1 - 1/Ц2

= 2Л 20.

Здесь A - верхняя конвективная производная от тензора конфигурации A ; п1- - вязкость

полимера; п2 - - вязкость растворителя; X- время релаксации; L - безразмерный параметр модели, FENE-P жидкости, характеризующий степень растяжения данной макромолекулы. В данной модели 1_ должно быть значительно больше 1.

Верхняя конвективная производная от тензора конфигурации A определяется как

V д Д — ~ ________ —

A = ^1 +у-УД -V у-Д - Д•

а тензор скоростей деформации определяется соотношением

~ 1 — —'т

о = _

Течение полимера в расчетной области (рис. 1) описывается уравнениями (1)-(6), на границе входа в расчетную область Б1 задаются профили скорости и полные распределения напряжений V = Уо(у), т = то (у), на выходе из области Б2 - установившийся однород-

, ди дт

ный профиль скорости и напряжений V = 0, — = 0, ^— = 0, условия симметрии на

границе Бз и кинематическое и динамическое условие на свободной поверхности Б5:

V • п = 0, п • т • t = х / Н • п ,

где п , t - - единичные векторы нормали и касательной на поверхности Б5; Н - радиус кривизны свободной поверхности; х - - коэффициент поверхностного натяжения.

2

Рис. 1 - Схема расчетной области для экструзии из плоского канала

Аппроксимация уравнений (1)-(5) и вычисления проводятся методом конечных элементов (МКЭ) второго порядка на нерегулярных сетках, сгущающихся к зоне истечения полимера из насадки. Поскольку искомые функции существенно меняются лишь в окрестности истечения полимера, применение мелких в этой окрестности и разреженных вне ее МКЭ-сеток играет существенную роль в экономии вычислительных затрат. Для расчетов строилась последовательность сгущающихся сеток 9-узловых четырехугольных элементов (число узлов 2000, 8400). Для расчета напряжения использовались линейные четырехугольные элементы. Местоположение деформируемой свободной поверхности находится из аппроксимации кинематического условия (9), затем сетка конечных элементов вблизи нее перестраивается для получения решений уравнений (1)- (6), с помощью которых находится поле скоростей, давлений и напряжений на новом временном слое. Стационарное положение формы выходящей струи находится методом установления эволюционной задачи с использованием традиционных для уравнений данного класса алгоритмов [6-8].

Результаты численного моделирования

Влияние релаксационных свойств экструдата на форму выходящей струи показано на рис.2а. Здесь приведены кривые, соответствующие профилю свободной поверхности для чисел We = 0.1, 1.0, 5.0, 9.0. Увеличение поперечного сечения струи по сравнению с сечением насадки, называемое эластичным восстановлением (ЭВ) составляет 1.6 для наибольшего числа Вайссенберга We = 9.0. Влияние на эластичное восстановление параметра модели L показано на рис 2 б. Численные эксперименты показывают, что с ростом времени релаксации (числа We) высокоэластическое восстановление возрастает. Возрастание также наблюдается при увеличении параметра L - степени растяжения макромолекулы полимера, причем этот рост в этом случае носит асимптотический характер. Распределение давлений, нормальных и сдвиговых напряжений для УУе =5 показано на рис. 3._________

2

1 е

К1 6 .

Г1

1 4 />*

1 2 - //'

/.• ;

0 -2 X

а

Рис. 2 - Зависимость формы выходящей струи от числа We (а): 1 - We = 0.1; 2 - We = 1.0, 3 - We=5.0; 4 - We = 9.0; Зависимость формы свободной поверхности эсктрудата при изменение параметра 1_ (б): 1 - 1_ = 10, We = 2.0; 2 - V. = 100, We = 2.0; 3 - 1_ = 1000, We = 2.0

На этих картинах видно, что как только полимерная жидкость проходит выходное сечение и попадает в зону свободного течения, давление и напряжения начинают немедленно релаксировать. Процесс релаксации происходит до тех пор, пока накопленная высокоэластичная деформация не уменьшится до значения, соответствующего эластической деформации полимера, находящегося в состоянии стационарного течения. Выделим две основные причины изменения сечения струи: - перестройка профиля скоростей от параболического, соответствующего течению в канале, к прямоугольному, соответствующему движению струи как сплошного твердого стержня; - релаксация высокоэластических деформаций растяжения, накопленных в материале струи за время ее прохождения по каналу.

Перестройка профиля скорости приводит к возникновению продольных деформации растяжения или сжатия. Из требования выполнения закона сохранения количества движения следует, что струя, выходящая из канала должна сужаться. Этот эффект известен для низкомолекулярных жидкостей, не проявляющих высокоэластических свойств и составляет 0.87. Для полимерных систем реализуется упругое разбухание, обусловленное высокоэластическими деформациями.

2

Рис. 3 - Картины течения для We = 5.0, 1_ = 100.0, изобары давления Р и линии уровня напряжений т хх , т Ху .

Большой интерес представляет также распределение разности главных напряжений

а, - а2 =/^ + 4т2 , г-де N1, = Xхх - туу.

На рис.4 представлено распределение разности главных напряжений для чисел We = 1.0, 5.0. Видно, что возмущающее влияние выхода очень велико, оно приводит к значительному перераспределению скоростей и концентрации разности главных напряжений вблизи кромок выходного канала.

Более детально данное изменение скорости представлено на рис. 5, где изображены распределения осевой составляющей скорости и по различным горизонтальным сечениям 1-у=0.0, 2-у=0.5, 3-у=0.75, 4-у=0.95.. Из них видно, что при We = 1.0, 1_2 = 100.0 профиль скорости становится почти однородным на расстоянии ширины выходного канала. Из рис. 6, где представлено распределение разности главных напряжений по этим же сечениям, видно, что напряжения полностью исчезают на удалении 1.5 ширины канала для данного числа We . Отметим также зону максимальных напряжений вблизи верхней выходной кромки канала. Увеличение времени релаксации полимера приводит к большему разбуханию экструдата и графики скорости и имеют некоторые особенности. Из рис. 5 видно, что по мере приближения полимера к выходу из головки происходит небольшое увеличение скорости в центральной части, что можно объяснить тем, что вблизи выхода образуется небольшая циркуляционная зона, сужающая зону выхода полимера из насадки. Наличие данной вихревой зоны приводит к небольшому замедлению скорости полимера вблизи стенки (рис. 5 - сечение 4). Влияние вихревой зоны видно и на распределении а, — а 2 по сечениям, представленного на рис. 6, где отметим зону уменьшения

о, — а 2 перед выходом из головки вблизи стенки и более интенсивный пик при выходе. Протяженность зоны релаксации напряжений увеличивается до двух ширин канала.

2

Рис. 4 - Распределение разности главных напряжений а, — а2: а - We = 1.0, Ь = 100.0; б - We = 5.0, Ь2 = 100.0

2

Рис. 5 - Распределение скорости и для We = 5.0, Ь = 100.0 по продольным сечениям:

1 - у = 0.0; 2 - у = 0.5; 3 -у = 0.75; 4- у = 0.95

2

Рис. 6 - Распределение 01 - 02 для We = 5.0, 1_ = 100.0 по продольным сечениям: 1 — у =

0.0; 2 - у = 0.5; 3 -у = 0.75; 4- у = 0.95

Изменение поверхности вытекающей из насадки струи связывают с началом неустойчивого течения.

Более детальное изучение влияния релаксационных свойств полимера на форму выходящей струи и количественная информация о распределении напряжений при сравнении с экспериментальными данными поможет выявить критические значения скорости сдвига, при которых цилиндрическая форма струи экструдируемого полимера нарушается и на ее поверхности появляются вмятины и утолщения [2].

Необходима более детальная информация об ориентации пристенных слоев расплава, вызывающих кристаллизацию (стеклование) и приводящая к возникновению периодического проскальзывания.

Более детальное изучение влияния релаксационных свойств полимера на форму выходящей струи и количественная информация о распределении напряжений при сравнении с экспериментальными данными поможет выявить критические значения скорости сдвига, при которых цилиндрическая форма струи экструдируемого полимера нарушается и на ее поверхности появляются вмятины и утолщения [2].

Выводы

Результаты численного моделирования истечения вязкоупругой жидкости из насадки на основе БЕКЕ-Р модели жидкости показали, что для моделирования данного эффекта необходим выбор нелинейных вязко-упругих моделей, учитывающих первую и вторую разницу нормальных напряжений в сдвиговом течении.

Существование нормальных напряжений также является одной из причин «разбухания»' струи или Баррус-эффекта.

Однако для более адекватного реологического описания данного явления необходимо учитывать также температурные факторы с помощью теории неравновесной термо-

динамики, поскольку известно что эластическое восстановление и усадка резко возрастают при понижении температуры предшествующей деформации.

Результаты данной работы получены с помощью более простой теории, однако они позволяют получить некоторые качественные оценки по форме свободной поверхности и распределению нормальных и сдвиговых напряжений в потоке экструдата. Данная информация будет полезной при инженерном прогнозировании технологического процесса переработки полимеров.

Явление ЭВ и разбухания струи экструдата очень сложны и многообразны, и для адекватности математического описания необходимо также обращаться к эксперименту для более качественного прогнозирования данного явления.

Литература

1. Чанг Дей Хан. Реология в процессах переработки полимеров. М.: Химия, 1979. 368с.

2. Торнер Р.В. Теоретические основы переработки полимеров. М.: Химия, 1977. 467с.

3. Bird R.B., Armstrong R.C., Hassager O. Dynamics of polymeric liquids. Vol 2. Kinetic theory. John Wiley, New-York, 1987, 336p.

4. Нелюбин А.А. Моделирование процессов, происходящих при экструзии неньютоновских жидкостей в условиях неизотермичности: Дисс. канд. техн. наук/ КГТУ. Казань, 2002, 120с.

5. Кутузова Г. С. Численное моделирование течения упруго-вязких жидкостей во входном канале формующей головки экструдера: Дисс. канд. техн. наук/ КГТУ. Казань, 1983. 150c.

6. Б.А.Снигерев, А.Г.Кутузов, Амер-Аль Раваш, Г.Н.Лутфуллина. Математическое моделирование течения жидкости FENE-P из экструзионной головки // Тр. VII Междунар. конф. “Нефтехимия -2005”. Нижнекамск. 2005. С. 218-219.

7. Aboubacar M., Phillips T.N., Jahrom H.R., Snigerev B.A. High order finite volume methods for viscoelastic flow problems// J.Comput. Physics. 2004. V.199. P. 16-40.

8. Белоцерковский О.М. Численное моделирование в механике сплошных сред. М.: Наука, 1984. 520 с.

© Б. А. Снигерев - канд. техн. наук, ст. научн. сотр. ИММ КазНЦ РАН; Ф. Х. Тазюков - д-р техн. наук, проф. каф. теоретической механики и сопротивления материалов КГТУ; А. Г. Кутузов - доц. каф. процессов и аппаратов химической технологии НХТИ; Амер аль Раваш - асп. каф. теоретической механики и сопротивления материалов КГТУ.