Последовательность Fibonacci(n) mod n

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Математика и механика № 4

УДК 511.17

В.М. Зюзьков ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТЬ FIBONACCI(n) MOD n

Исследуется поведение последовательности Fibonacci(n) mod n. Рассматриваются некоторые подпоследовательности: n пробегает множество простых чисел и случаи, когда n = q х p, где p пробегает множество простых чисел, а q - некоторое фиксированное натуральное число. Проводятся компьютерные исследования с помощью системы Mathematica, высказываются гипотезы, которые затем доказываются.

Ключевые слова: последовательность чисел Фибоначчи, остатки от деления, сравнения, система Mathematica.

Пусть F(n) обозначает n-е число Фибоначчи. Последовательность F(n) mod n (остаток от деления F(n) на n) показывает замечательно сложное поведение. На рис. 1 изображен график первых двухсот чисел этой последовательности.

Рис. 1. График первых двухсот чисел последовательности F(n) mod n

Стивен Волфрам [1] полагает, что возможно провести полный анализ поведения этой последовательности, например представив значение F(n) mod n в терминах стандартных теоретико-числовых функций от n, описать ее поведение простой примитивной рекурсией.

Последовательность F(n) mod n представлена в on-line-энциклопедии Слоана последовательностью целых чисел [2], но там отсутствует анализ ее поведения. Автор исследует подпоследовательности вида F(qxp) mod qxp, где q - фиксированное натуральное число, a p пробегает простые числа. С помощью системы Mathematica вычисляются начальные отрезки подпоследовательностей, высказы-

ваются гипотезы, проводятся эксперименты для проверки. Доказаны достаточные условия на q, при которых значения последовательности F(qxp) mod qxp лежат только на двух прямых. В частности, первые 13 значений q суть 1, 2, 5, 10, 12, 24, 25, 36, 48, 50, 60, 72, 96.

Когда в последовательности F(n) mod n встречаются нули?

Перечислим известные факты.

1. Числа F(5k) mod 5k равны нулю для натурального k [3].

2. Числа F(4x3k) mod 4x3k равны нулю для любого положительного целого k [4].

Но не только для n = 5k или n = 4x3k числа F(n) mod n равны 0. Были рассмотрены первые 250 тысяч чисел Фибоначчи. Отметим, что

F(250 000) = 363561170109395618264261641757984 <<52 180 цифр>> 785699110243516470957309231046875.

Пусть R обозначает множество {F(n) | n < 250 000, F(n) mod n = 0}. Оказывается, это множество состоит из 1406 чисел. Чисел вида F(5k) только восемь, n = 1, 5, 25, 125, 625, 3125, 15625, 78125. За исключением этих восьми чисел и числа F(52x3001) все остальные числа в R имеют вид F(12k). Чисел вида F(4x3k) только десять, n = 12, 36, 108, 324, 972, 2916, 8748, 26244, 78732, 236196. Три числа F(24), F(36) и F(60) из R имеют вид F(12p), где p - простое число. Остальные числа из R имеют вид F(12k), где k - составное число. Но обратное неверно. Среди первых 250 000 чисел Фибоначчи имеется 17094 числа, которые не принадлежат R, хотя номера их имеют вид 12k и k - составное. Первые три таких числа F(12x21), F(12x22) и F(12x26).

Подпоследовательность F(p) mod p, p - простое

Рассмотрим числа Фибоначчи с номерами, которые являются простыми числами. Отложим на оси абсцисс первые 200 простых чисел P(n) (n = 1, 2, ..., 200), а на оси ординат соответствующие значения F(P(n)) mod P(n). График полученных точек (P(n), F(P(n)) mod P(n)) изображен на рис. 2.

F

Изучение графика приводит к предположению, что F(p) mod p может быть равно только 1 или p - 1. Более детальный анализ с помощью системы Mathema-tica приводит к теореме.

Теорема І.

a) Если простое p имеет вид 5t ± 1, то F(p) modp = 1.

b) Если простое p имеет вид 5t ± 2, то F(p) modp = p - 1.

Для доказательство теоремы нам потребуется лемма.

Лемма І [5, с. 53-54].

a) Если простое p имеет вид 5t ± 1, то p делит 5(p-1)/2 -1.

b) Если простое p имеет вид 5t ± 2, то p делит 5(p-1)/2 ± 1.

Доказательство теоремы 1. Если p = 2, то F(p) = F(2) = 1 = -1 (mod 2). Поэтому в дальнейшем предполагаем, что p нечетно.

По формуле Бине имеем

F(p) = ^((^p - (^p) =

= it (Cp ((V5)k - (-1)k (^)k)) =

k=0

= it (2Cp ((J5)k) =

k=1, k нечетно

= ^ t (Cp ((V5)k-1) =

k=1, k нечетно

ZP C 5(k-1)/2 = p

" k=1, k нечетно

= 7^7^ ±Сър5±С5р52 ±...±Cp-25(p-3)/2 ±С15(p-1)/2).

Получаем

2p-1F(n) = С\ ±С35 ±С552 ±...±С1 -25(p-3)/2 ±Cp5(p)/2.

Так как

cp =^^ p k (p - k)!

и, если 0 < k < p, то p в числителе Cp не сокращается. Поэтому все биномиальные коэффициенты в правой части, за исключением последнего, делятся на p, а Cpp = 1. Отсюда имеем 2p-1 F(p) = 5(p-1)/2 (mod p). По малой теореме Ферма 2p-1 = 1 (mod p). Поэтому, используя лемму 1, получаем утверждение теоремы.

Подпоследовательности F(qxp) mod qxp,p - простое

Будем изучать подпоследовательности F(qxp) mod qxp, где q - фиксированное натуральное число, a p пробегает простые числа. Меняя q, имеем разное поведение подпоследовательностей. На рис. 3 - В видим типичные ситуации для некоторых небольших q. На оси абцисс размещаем числа qxP(n) (P(n) - n-е простое число), а на оси ординат соответствующие значения F(P(n)) mod P(n).

F(2P(n)) mod 2P(n) 15 000

10 000

5000

0 5000 10 000 15 000 2P

Рис. 3. График последовательности 2P

F

Рис. 4. График последовательности 3P

F

0 20000 40000 60000 80000 100000 13P

F(17P(n)) mod 17P(n) 120000 100000 80 000 60 000 40 000 20 000

PI'S

** *• •? •* .

0 20 000 40 000 60 000 80 000 100 000 120 000 17P

Рис. 6. График последовательности 17P

F

Рис. 7. График последовательности 24P

F

На рис. 3, 7 и 8 значения (qxp, F(qxp) mod qxp) находятся на двух прямых, начиная с некоторого qxp0. Такие случаи изучены. Для n = 3p и n = 4p высказаны только гипотезы без доказательств.

Ситуации, в которых поведение подпоследовательности F(qxp) mod qxp описывается двумя прямыми, первоначально изучались по отдельности для разных значений q. Затем полученные результаты были обобщены. Мы же сейчас начнем с доказательства общих результатов, а потом приведем следствия.

Теорема 2. Пусть q - такое натуральное число, что выполнено условие

Vp > max

Тогда

a) Если простое p имеет вид 5t ± 1, то F(qxp) mod qxp = F(q).

b) Если простое p имеет вид 5t ± 2, то F(qxp) mod qxp = qxp - F(q).

Для доказательства теоремы 2 нам потребуется две леммы.

Лемма 2 (теорема Десмонда). Пусть p - простое число. Тогда для любого натурального n имеем

F(pxn) = F(n) F(p) mod p.

Оригинал изложен в [6]. Доступное доказательство см. в [3].

Лемма 3. Если сравнение a = b имеет место по нескольким разным модулям, то оно имеет место и по модулю, равному наименьшему общему кратному этих модулей.

Доказательство. Если a = b (mod m) и a = b (mod n), то a - b делится на m и n и значит, что a - b делится на наименьшее общее кратное m и n.

Доказательство теоремы 2. Теорема Десмонда дает F(qxp) = F(q) F(p) mod p. Поэтому по теореме 1:

a1) Если простое p имеет вид 5t ±1, то F(qxp) = F(q) mod p. b 1) Если простое p имеет вид 5t ±2, то F(qxp) = - F(q) mod p.

Если p > max(5, F(q)), то по условию (1) имеем

a2) Если простое p имеет вид 5t ±1, то F(qxp) = F(q) mod q.

b2) Если простое p имеет вид 5t ±2, то F(qxp) = - F(q) mod q.

Так как p - простое и p > q, то наименьшее общее кратное p и q равно qp. Поэтому по лемме 3 имеем

a3) Если простое p имеет вид 5t ±1, то F(qxp) = F(q) mod qxp. b3) Если простое p имеет вид 5t ±2, то F(qxp) = - F(q) mod qxp.

Следовательно, для любого p > max(5, F(q)) выполнено утверждение теоремы.  Чтобы получить следствие из теоремы, нам необходима следующая лемма. Лемма 4. [5] Если n > 2, то F(m) делится на F(n) тогда и только тогда, когда m делится на n.

Следствие 1. Пусть F(q) mod q = 0. Тогда для каждого p > max(5, F(q)) имеем

a) Если простое p имеет вид 5t ± 1, то F(qxp) mod qxp = F(q).

b) Если простое p имеет вид 5t ± 2, то F(qxp) mod qxp = qxp - F(q). Доказательство. Так как q делит ± F(q) и, по лемме 4, F(q) делит F(qx p), то

F(qxp) = ± F(q) mod q. Получили условие (1).

Как мы знаем из введения, среди первых 250 000 значений q условие следствия 1 выполнено для 1406 значений q. Приведем несколько первых пар таких значений (q, F(q)); вторая компонента пары ограничивает снизу начальное значение p, начиная с которого поведение последовательности F(qx p) mod qx p описывается двумя прямыми.

Первые значения q из следствия 1

q F

5 5

12 144

24 46368

25 75025

36 14930352

48 4807526976

60 1548008755920

72 498454011879264

96 51680708854858323072

108 16641027750620563662096

Следствие 2. Пусть q = 2t, причем t не делится на 3 и t - делитель F(q). Тогда для каждого p > max(5, F(q)) имеем

a) Если простое p имеет вид 5t ± 1, то F(qxp) mod qxp = F(q).

b) Если простое p имеет вид 5t ± 2, то F

делит F(2t), то, по лемме 4, имеем 3 - делитель t, что невозможно. Следовательно, F(q) = ± t (mod q). Так как p - простое и p > q, то pq не делится на 3. По лемме 4, F(qp) нечетно, но F(qp) делится на F(q). Отсюда следует, что F(qp) делится на t. Поэтому получаем F(qp) = ±t (mod q). Так как F(q) = ±t (mod q) и F(qp) = ±t (mod q), то F(qxp) = ± F(q) (mod q). Получили условие (1).

Первые шесть значений q, для которых выполнено условие следствия 2, есть

2, 10, 50, 110, 250 и 550.

Предположения без доказательств

Теорема 2 вместе со следствиями дает достаточные условия того, когда поведение подпоследовательностей F(qxp) mod qxp описывается двумя прямыми. В более сложных ситуациях (например, рис. 4 - рис. 6) удалось сформулировать только гипотезы, и то только в двух простейших случаях.

Рис. 9 показывает поведение последовательности F(4p) mod 4p.

То, что точки (4p, F(4p) mod 4p) последовательности F(4p) mod 4p располагаются на четырех прямых обнаружено с помощью системы Mathematica. И с помощью Mathematica были высказаны гипотезы (проверены для первой тысячи простых чисел).

Возможно, для всех простых чисел справедливы следующие утверждения:

Гипотеза 1.

Если p = 1 или p = 19 по модулю 15, то F(4p) mod 4p = 3.

Если p = 7 или p = 13 по модулю 15, то F(4p) mod 4p = 2p - 3.

Если p = 2 или p = 8 по модулю 15, то F(4p) mod 4p = 4p - 3.

Если p = 11 или p = 14 по модулю 15, то F(4p) mod 4p = 2p + 3.

Гипотеза 2.

Если p = 1 или p = 19 по модулю 30, то F(4p) mod 4p = 3.

Если p = 7 или p = 13 по модулю 30, то F(4p) mod 4p = 2p - 3.

Если p = 17 или p = 23 по модулю 30, то F(4p) mod 4p = 4p - 3.

Если p = 11 или p = 29 по модулю 30, то F(4p) mod 4p = 2p + 3.

Поиск подходящего модуля m осуществлялся среди тех т, у которых значение функции Эйлера ф(т) равно 4 или 8. Для m < 10 000 только два значения 15 и 30 оказались подходящими.

Изучалось также поведение последовательности F(3p) mod 3p (см. рис. 10).

То, что точки (3p, F(3p) mod 3p) последовательности F(3p) mod 3p располагаются на шести прямых, обнаружено с помощью системы Mathematica (проверено для первой тысячи простых чисел).

Попытки сделать и в этом случае похожие предположения, как и в случае q = 4, оказались безуспешны. Поскольку прямых шесть, то подходящий модуль т отыскивался среди тех т, для которых функция Эйлера ф(т) была бы кратна 6, точнее, ф(т) должно быть равно 6, 12, 18 или 24. Были просмотрены все m < 10000, но подходящий модуль m не найден.

ЛИТЕРАТУРА

1. Wol/тт S. A New Kind of Science. Wolfram Media, 2002. 1197 p.

2. Sloan's On-Line Encyclopedia of Integer Sequences, http://oeis.org/

3. Koshy T. Fibonacci and Lucas Numbers with Applications. John Wiley & Sons, Inc, 2001.

4. Кгатег J. and V.E. Hoggatt, Jr. Special cases of Fibonacci periodicity // The Fibonacci Quarterly. 1972. 10:5 (Nov.). P. 519-522.

5. ВоробьевН.Н. Числа Фибоначчи. М.: Наука, 1978. 144 с.

6. Dernond J.E. Problem B-182 // The Fibonacci Quarterly. 1970. 20:1 (Feb.). P. 96.

Статья поступила 11.03.2013 г.

Zyuz’kov V.M. FIBONACCI(N) MODULO N SEQUENCE.We study the behavior of the Fibonacci (n) mod n sequence and pay attention to some subsequences: n runs through the set of prime numbers and the cases with n = qp, where p runs through the set of prime numbers and q is a fixed natural number. The behavior of the sequence is investigated using the Mathematica system. Some hypotheses are formulated and proved.

bywords: Fibonacci sequence, remainders, congruence relation, Mathematica.

ZYUZ’KOV Valentin Mikhailovich

E-mail: vmz@math.tsu.ru