Многообразия Эйнштейна с нерелятивистской конформной симметрией

• Ультразвуковой дефектоскоп общего назначения - для выявления внутренних дефектов, определения их координат. Используются дефектоскопы ДУК-66ПМ, УД-24. С их помощью происходит контроль коленчатых, гребных и промежуточных валов; гребных винтов, баллеров рулей и т.д.

Также, с помощью ультразвуковых толщинометров определяют толщину изношенной обшивки корпуса судна.

• Портативный токовихревой дефектоскоп - контроль кромок пазов, отверстий.

• Магнитный дефектоскоп - используется для контроля резьбовых участков шпилек, штоков, поверхностных трещин в зубьях цилиндрических зубчатых колес крупного модуля.

• Магнитный толщинометр - для контроля толщины лакокрасочных покрытий. Измеряемая толщина покрытия на ферромагнитных материалах от 0 до 22 мм [6, 7].

Список литературы / References

1. Hellier CJ. Handbook of nondestructive evaluation. New York, NY: McGraw-Hill, 2001.

2. Cross W., 1990. The Code — An Authorized History of the ASME Boiler and Pressure Vessel Code. New York. N.Y.: ASME International.

3. ГОСТ 18353-79. Контроль неразрушающий. Классификация видов и методов.

4. Технология и организация судоремонта Автор: Малиновский М.А. Издательство: Транспорт, 1973. 264 с.

5. Зоркин А.Я., Масленникова М.В., Ткаченко В.О., Филатов Г.Г. В сборнике: Актуальные вопросы науки и техники сборник научных трудов по итогам III международной научно-практической конференции, 2016. С. 50-52.

6. Пальчик К.Б. Безразборные методы диагностики судовых машин и механизмов: учебное пособие. Новороссийск: МГА им. адм. Ф.Ф. Ушакова, 2010. 96 с.

7. Маницын В.В. Технология ремонта судов рыбопромыслового флота. М.:Колос, 2009. 536 с.

8. Неразрушающий контроль деталей вагонов: учеб. пособие / И.И. Лаптева, М.А. Колесников. Хабаровск: Изд-во ДВГУПС, 2012.

МНОГООБРАЗИЯ ЭЙНШТЕЙНА С НЕРЕЛЯТИВИСТСКОЙ КОНФОРМНОЙ СИММЕТРИЕЙ Чернявский Д.В. Email: Chernyavsky1136@scientifictext.ru

Чернявский Дмитрий Викторович — лаборант, Международная лаборатория математической физики, Национальный исследовательский Томский политехнический университет, г. Томск

Аннотация: применяя метод нелинейных реализаций, проводится построение метрик на факторпространстве l-конформной группы Галилея. Размерность факторпространства зависит от параметра l и каждому генератору ускорений соответствует одно дополнительное измерение. Метрики на факторпространстве деформируются включением дополнительного измерения таким образом, чтобы полученные метрики описывали эйнштейновские многообразия и обладали l-конформной группой изометрии. Также они включают в себя метрику AdS2 и имеют ультрагиперболическую сигнатуру.

Ключевые слова: нерелятивистская конформная алгебра, многообразия Эйнштейна.

EINSTEIN MANIFOLDS WITH NONRELATIVISTIC CONFORMAL

SYMMETRY Chernyavsky D.V.

Chernyavsky Dmitry Viktorovich — Laboratory Assistant, LABORATORY OF MATHEMATICAL PHYSICS, NATIONAL RESEARCH TOMSK POLYTECHNIC UNIVERSITY, TOMSK

Abstract: the nonlinear realization method is applied to construct metrics on the coset spaces of l-conformal Galilei algebra. The dimension of coset grows with l so that to each generator of accelerations of the l-conformal algebra there correspond extra space dimension. In order to construct Einstein manifolds using the metrics on

the coset spaces, we extend them by additional space dimension. The resulting metrics describe Einstein manifolds with l-conformal isometry group. They involve AdS2 metric and have ultrahyperbolic signature. Keywords: nonrelativistic conformal symmetry, Einstein manifolds.

УДК 530.12

DOI: 10.20861/2312-8267-2017-36-002

1. Введение

В последние годы наблюдается растущий интерес к нерелятивистским конформным алгебрам. Алгебра Галилея допускает конформное расширение, которое параметризуется (полу)целым

параметром l и носит название l -конформной алгебры Галилея [1]. Эта алгебра обобщает нерелятивистские алгебры Шредингера и конформную алгебру Галилея. Отличительной особенностью l -конформной алгебры является наличие генераторов ускорений, которые естественным образом

обобщают генераторы галилеевских бустов. До сих пор большинство исследований, касающихся l -конформной алгебры, были направлены на построение и изучение ее динамических реализаций [2]-[4]. В этой связи представляет интерес изучение алгебры в геометрическом и гравитационном контесктах. Основной целью настоящей работы является построение решений уравнений Эйнштейна с

космологической постоянной, также известных как "эйнштейновские многообразия" и имеющих l -конформную группу изометрий. Для этого будет применен теоретико-групповой метод построения инвариантных метрик на факторпространстве l -конформной группы. Затем, деформировав метрики

включением дополнительно измерения, мы построим эйнштейновские многообразия с l -конформной группой симметрии.

1. l-конформная алгебра Галилея

l -конформная алгебра включает в себя генератор трансляций по времени H, генератор дилатаций D, генератор специальных конформных преобразований K, генераторы

пространственных вращений M,- (2l +1) d векторн^1х генераторов С( , где

П = 0,1,2,..,2 l и i = 1,..., d имеет следующий вид [1]:

[H, D] = iH, [H, K ] = 2iD, [D, K ] = iK,

[H, C(n) ] = inC(n-1), [D, C(n) ] = i(n - l)C(n),

[K,C(n)] = i(n-2l)C}n+1), [Mij,Cf] = -i5ikCf + i8jkC(n\

WijMu] = -iïi№ji- iô jMik + fciMjk+fcjkMn 0)

При l = _ алгебра (1) изоморфна алгебре Шредингера; алгебра при

l = 1 может быть получена

2

контракцией релятивистской конформной алгебры.

2. Конструкция метрики на косете

Как обсуждается во введении, построение многообразий Эйнштейна с l -конформной симметрией мы будем проводить, используя формы Маурера-Картана (МК) на факторпространстве соответствующей группы. Определим косет как факторпространство всей l -конформной группы по

подгруппе, генерируемой операторами дилатаций D и вращений M . Для построения

ч

инвариантных метрик относительно действия l -конформной группы Галилея, параметризуем соответствующее пространство косетов следующим образом:

itH irK ix

u = eee' C ,

где t , Г и ХП - координаты на косете. Один-формы МК

-1

u du = '(&hH + œKK + œDD + J(n)Ç(n)) имеют следующий вид:

= dx(n) + 2r(n -1 ) x(n)dt - (n +1) x(n+V)dt - (n - 2l -1) x(n-V)(r 2dt + dr),

л

&H = dt, œK = r dt + dr, &D = -2rdt,

где

x

Для построения инвариантной квадратичной формы рассмотрим в общем случае действие некоторой группы G с подгруппой H на факторпространстве G/H, индуцирующее преобразование координат x ^ x . Как известно, формы Маурера-Картана на факторпространстве не инвариатны относительно действия группы, но преобразуются однородно (см., например, [5]):

œa

где fiC - структурные константы алгебры, Б1 - параметры инфинитеземального преобразования,

Wi - так называемый H -компенсатор. При построении инвариантных квадратичных форм явный

вид H -компенсатора не играет роли и важна лишь структура преобразования (5). Индекс I пробегает значения по всем генераторам алгебры, индекс i пробегает значения по генераторам алгебры, генерирующей подгруппу, по которой взят фактор, в то время как оставшиеся индексы p и q пробегают значения по генераторам алгебры, генерирующим факторпространство.

Используя закон преобразования (5), можно построить инвариантную квадратичную форму на факторпространстве l -конформной группы Галилея

ds2 = aœH œK + Sn,mœ

где матрица Smn подчиняется условию

Smn

Таким образом, квадратичная форма (6), инвариантная относительно действия l -конформной

группы, вовлекает 1 + 2l + 1 независимых постоянных параметров для полуцелого l и 1 + (l + 1) 2

для целого l .

3. Многообразия Эйнштейна

Для построения эйнштейновских многообразий с l -конформной симметрией Галилея перейдем в стандартный AdS -базис, заменив временную координату

1 С 1}

t + - . (8) V r ;

Также для даьнейшего анализа введем обозначения

t

2

a(n) = r (n - l)x(n) -1 (n +1) x(n+1) -1 r 2(n - 2l -1) x(n-1\

b

2r 2 ^ ' ' 2

в которых формы МК Щ имеют вид

ы) ' = 0x1 ' + ау'ОХ +

В этой координатной системе запишем метрику (6), расширив ее включением дополнительной координаты у :

r

= а

Г ^2 ^

+ S

2 т~2 ^Г

Г 2с(~ 2--т

Г

V Г У

где мы полагаем, что коэффициенты матрицы 'т п являются функциями у, а параметр а

постоянен. Мы полагаем, что у остается неизменным под действием I -конформной группы. Также

необходимо отметить, что произвольная функция от у перед dy всегда может быть поглощена переопределением координаты у , оставляя лишь произвол в выборе знака Б = +1. Перейдем к анализу уравнений

Яцу + ^цу =0. 02)

Выпишем компоненты Кхх тензора Риччи

Г) _ Б ггО' О' О' Б О" X О Я

{-}{щ} = 4S Vр,

где мы ввели обозначения щ} = и

Цтп = ^ {ч

Далее будем полагать, что в матрице S(у)т п лишь одна независимая функция от у, и пользоваться обозначением Sm п (у) = y)Sm п. Можно убедиться, что требование пропорциональности компонент Кхх тензора Риччи метрике приводит к требованию равенства нулю матрицы

Это требование, в свою очередь, накладывает реккурентное соотношение на коэффициенты матрицы Sm п

п

ф __'1 С1

'т,п Бтп л Sffl+1,n-1'

т +1

где Бтп принимает значения

± 1.

Алгебраическое условие (15) связывает все компоненты матрицы 'т п и, таким образом, в матрице 'т п остается лишь один независимый параметр. С учетом этих условий, уравнение (13) сводится к следующему ограничению на функцию у) :

б—

^ V 4 2 У 2

Общее решение этого уравнение имеет вид

¿1 = С\ ехр

где

к ,

с произвольными постоянными С1 и С2 . Можно видеть, что требование вещественности

метрики накладывает ограничение на знак произведения: Аб > 0 .

Анализ оставшихся компонент тензора Риччи показывает, что уравнения Эйнштейна (12) выполняются, если наложить следующее ограничение на параметры

а = —,

X )

где константа С определена соотношением

c = е +/

4. Заключение

В настоящей работе был применен теоретико-групповой метод построения метрик на

факторпространстве / -конформной группы Галилея. Построенные метрики были деформированы

включением дополнительной координаты, не нарушая при этом симметрии исходной метрики с / -конформной группой изометрий. Записав анзац, мы нашли общее решение уравнений Эйнштейна с

космологической постоянной, построив таким образом эйнштейновское многообразие с / -конформной группой изометрий.

Работа поддержана грантом Президента РФ МК-2101.2017.2.

Список литературы / References

1. Negro J. Nonrelativistic conformal groups / J. Negro J., M.A. del Olmo, A. Rodriguez-Marco // Journal of Mathematical Physics, 1997. Vol. 38. P. 3786-3809.

2. Galajinsky A. On dynamical realizations of l-conformal Galilei and Newton-Hooke algebras / A. Galajinsky and I. Masterov // Nuclear Physics B., 2015. Vol. 896. P. 244-254.

3. Galajinsky A. Dynamical realizations of l-conformal Newton-Hooke group / A. Galajinsky and I. Masterov // Physics Letters B., 2013. Vol. 723. P. 190

4. FedorukS. Galilean conformal mechanics from nonlinear realizations / S. Fedoruk, E. Ivanov, J. Lukierski // Physical Review D., 2011. Vol. 83-085013.

5. Alonso-Alberca N. Geometric construction of Killing spinors and supersymmetry algebras in homogeneous space-times / N. Alonso-Alberca, E. Lozano-Tellechea and T. Ortin // Classical and Quantum Gravity, 2002. Vol. 19. P. 6009-6024.

С

АНАЛИЗ ЭФФЕКТИВНОСТИ РАСПОЗНАВАНИЯ РУКОПИСНЫХ СИМВОЛОВ НАИБОЛЕЕ ПОПУЛЯРНЫМИ МЕТОДАМИ КОНТРОЛИРУЕМОГО МАШИННОГО ОБУЧЕНИЯ Кузенков Р.С. Email: Kuzenkov1136@scientifictext.ru

Кузенков Роман Сергеевич — магистрант, кафедра прикладной математики, Смоленский государственный университет, г. Смоленск

Аннотация: в статье рассмотрены наиболее распространенные методы классификации, используемые в машинном обучении: дерево принятия решений, логистическая регрессия, наивный байесовский классификатор, метод опорных векторов с линейным и квадратичным ядром, метод ансамблей. Проведен сравнительный анализ их эффективности при решении задачи распознавания цифр из набора данных MNIST. Построена кривая обучения указанным методам и сделаны выводы о скорости их обучения и величине обучающей выборки, необходимой для их обучения. Ключевые слова: машинное обучение, классификация, mnist, эффективность, большие данные.

ANALYSIS OF EFFICIENCY OF RECOGNITION OF MANUSCRIP SYMBOLS BY MOST POPULAR METHODS OF CONTROLLED MACHINE LEARNING

Kuzenkov R.S.

Kuzenkov Roman Sergeevich — Undergraduate, DEPARTMENT OF APPLIED MATHEMATICS, SMOLENSK STATE UNIVERSITY, SMOLENSK