Численное исследование спектра нормальных волн анизотропного диэлектрического волновода

УДК 517.958;621.372.8

DOI 10.21685/2072-3040-2018-1-6

Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур

ЧИСЛЕННОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ СПЕКТРА НОРМАЛЬНЫХ ВОЛН АНИЗОТРОПНОГО ДИЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ВОЛНОВОДА1

Аннотация.

Актуальность и цели. Цель работы - исследование спектра задачи о распространяющихся электромагнитных волнах анизотропного диэлектрического волновода с круговым сечением.

Материалы и методы. Для определения решения использована вариационная формулировка задачи. Физическая задача сводится к решению задачи на собственные значения для системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Для нахождения численного решения задачи применяется метод Галеркина с использованием финитных кусочно-линейных базисных функций.

Результаты. Разработан и реализован численный метод решения задачи распространения нормальных волн анизотропного диэлектрического волновода с круговым сечением, проведен ряд численных экспериментов.

Вывод. Предложенный численный метод является эффективным способом нахождения приближенного решения задачи распространения электромагнитных волн.

Ключевые слова: задача распространения электромагнитных волн, анизотропный диэлектрический волновод с круговым сечением, уравнение Максвелла, дифференциальные уравнения, вариационная формулировка, пространства Соболева, метод Галеркина.

E. Yu. Smol'kin, M. O. Snegur

A NUMERICAL RESEARCH OF A PROPER WAVE SPECTRUM OF AN ANISOTROPIC DIELECTRIC WAVEGUIDE

Abstract.

Background. The aim of this work is to study the spectrum of the problem of propagating electromagnetic waves of an anisotropic dielectric waveguide with a circular cross section.

Materials and methods. To determine the solution, we use the variational formulation of the problem. The physical problem is reduced to solving the eigenvalue problem for a system of ordinary differential equations. To find the numerical solution of the problem, we use the Galerkin method with the use of finite piecewise linear basis functions.

Results. A numerical method for solving the problem of propagation of normal waves of an anisotropic dielectric waveguide with a circular cross-section was developed and implemented; a number of numerical experiments were carried out.

1 Работа написана при поддержке гранта Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.894.2017/4.6).

Conclusion. The proposed numerical method is an effective way of finding an approximate solution to the problem of propagation of electromagnetic waves.

Key words: problem of propagation of electromagnetic waves, anisotropic dielectric waveguide with circular cross section, Maxwell's equation, differential equations, variational formulation, Sobolev spaces, Galerkin method.

Введение

Анализ распространения волн в волноводах представляет собой важный класс векторных электромагнитных задач. Однако нередко требуются среды с необычными свойствами (или заданными свойствами), которые можно получить, используя анизотропные по составу среды. При исследовании процессов распространения волн в таких волноведущих структурах возникают краевые задачи на собственные значения. Для исследования спектральных свойств таких задач оказывается естественным и эффективным метод оператор-функций. После сведения исходной краевой задачи к изучению некоторой оператор-функции, можно использовать аппарат функционального анализа для исследования его спектральных свойств [1, 2].

Численные методы расчета параметров различных типов волноведущих структур описаны в монографиях и обзорных работах [3-5]. Однако следует сказать, что большинство методов, применяемых к однородным волноводам, не являются общими и их трудно реализовать и применять для конкретных анизотропных структур.

В этой работе численное исследование проблемы распространения волн в диэлектрических анизотропных волноводах проведено с помощью метода Галеркина с использованием финитных кусочно-линейных базисных функций [1, 6]. Предложенный численный метод является эффективным способом нахождения приближенного решения задачи распространения электромагнитных волн. Проведен ряд численных экспериментов.

1. Постановка задачи

3

Рассмотрим трехмерное пространство Ш с цилиндрической системой

координат Орфг . Экранированный волновод с образующей, параллельной

3

оси Oz, и круговым поперечным сечением радиуса r помещен в Ш . На рис. 1 представлена геометрия задачи. Волновод неограниченно продолжается в направлении z.

Задача о нормальных волнах волноведущей структуры состоит в отыскании нетривиальных решений однородной системы уравнений Максвелла

в виде бегущей волны [7], т.е. с зависимостью е1тф+от координаты ф и z,

вдоль которых структура регулярна:

frot H = -imeneE,

\ (1) [rot E = irn^Q H,

E = (Ер (р)ер + Еф (р)еф + Ez (p)ez )eim(p+l'Yz,

JpVK^p 1 -^фЧК/^ф 1 ^zyr/^zJ

?р (р)ер + Нф (р)еф + Hz (р)е z t

H =

причем должны быть удовлетворены следующие условия: ограниченность энергии поля в любом конечном объеме волновода и обращение в нуль касательных составляющих электрического поля на поверхности идеального проводника

И = о, е2| = о,

здесь £о и Цо - диэлектрическая и магнитная проницаемости вакуума.

Рис. 1. Геометрия задачи. Оптическая ось 12 волновода лежит под углом а к 2 в плоскости 0рг

Наиболее общий диэлектрический тензор £ для агиротропной среды без потерь является симметричным и имеет шесть независимых элементов £у,

/, ] = 1,2,3. Для простоты мы ограничимся рассмотрением случая, когда среда является одноосной, а оптическая ось 12 лежит в плоскости 0рг под углом а к г . Ссылаясь на эти оси, диэлектрический тензор примет вид

е =

£П 0 0 0 £22 0 0 0 £33

где компоненты тензора определены следующим образом [8]:

£11 = £р,

2 • 2 £22 = £р cos а + £z Sln а,

• 2 2 £33 = £р sin а + £z cos а,

е2 и £р - некоторые константы.

Задача о нормальных волнах является задачей на собственные значения для системы уравнений Максвелла относительно спектрального параметра

у - нормированной постоянной распространения (затухания) волноведущей структуры.

Запишем систему уравнений Максвелла (1) в координатном виде:

m

i Hz - iYHф = -im£0£UEp, p

iYHp - HZ = -i'roe0e22Еф ,

ф

P(рнф) -i

m

p

Hp = -/'юеоезз Ez

m

¡—Ег - /уЕф = /юц0яр , р

¿уЕр - Е'г = /юцояф , Р (рЕф) - / -Р Ер = /ЮЦоН,

и выразим функции Ер , Нр, Еф, Нф через Ег и Нг из 1, 2, 4 и 5-го уравнений последней системы, получаем

Е = H - гХEZ H =-iJL_H' -mme0e22 E

nP ,2 z 1 2 z> P ,2 z 2 z =

Pk k P^2 P^2

E = i&H'+I^E H = ^H -i Ю£0е11 E'

•^ф ' 2 ^ 2 z' Ф 2 z 2 z'

P^2

P^l

1

где = У —0е1Ъ ^2 =У —0 ^ =ю^0е0.

Из последних формул следует, что поле нормальной волны в волноводе может быть представлено при помощи двух скалярных функций:

ие := Е

Тем самым задача сводится к нахождению функций ие и ит - компонент электрического и магнитного полей. Всюду (•)' обозначает дифференцирование по р.

Для компонент поля ие и ит имеем следующую задачу (задача Рт ) на собственные значения: найти такие уе К, что при заданном значении т е Ъ существуют нетривиальные решения следующей системы дифференциальных уравнений

( > \ Pue

1 2

v J

( > \ Pum

V k22 J

1 P

1 P

( 2 ^ £33 p2 +£22 m

en en k22 J

Ymro^o

, 2, 2

k1 k2

£22 £11

Л

-1

f

2 m P2 +-

2 ^

4 J

u = Ymm£0 (£ -£ w

um = —7^(£22 £11)ue,

k2 £2

удовлетворяющие условиям сопряжения на границе г

ие\г = 0, и'т\г = 0

и условиям ограниченности поля во всякой конечной области.

Зная компоненты поля ие и ит как решение задачи Рт, можно определить оставшиеся компоненты по формулам (7). Определенное так поле E, H удовлетворяет всем условиям (1)-(3).

2. Вариационное соотношение

Перепишем систему (9) следующим образом:

Ьеие := Реие + Кеие - деие = /еит, ^тит := ртит + Ктит — дтит = /тие,

где

Ре = к2 Р2, Рт = ^12Р2, К = к%р, К = ^12Р,

Че = £2 ^—Р2 + —т21, дт = ^ (2р2 + т2

I е11 е11 ) К

/е =-утю^0 — -1 Р, /т =утюео(е22-еп)р,

V е11 )

к\ =У2 —0е1Ь =У2 -0е22. Будем искать решения ие и ит задачи Рт в пространствах Соболева И^ (0, г) и И1 (0, г), соответственно, со скалярным произведением и нормой

г г

(/, я )1=\ (/г+^ ) р , | и 12=(/, /)1=\ (|/12+1/\2 Р .

0 0

Определение 1. Если для заданного т е Ъ существуют нетривиальные функции

ие еН0(0, г), ит е И 1(0, г),

отвечающие некоторому у е М, которые являются решением системы уравнений (11), а также удовлетворяют условиям (10), то у называется характеристическим числом задачи Рт .

Основная цель работы: численное исследование свойств характеристических чисел у задачи Рт .

Дадим другую вариационную формулировку задачи Рт . Умножим уравнения системы (11) соответственно на произвольные пробные функции Уе и Ут , считая их пока непрерывно дифференцируемыми на отрезке [0, г]. Используя формулу Грина, получаем

| уЬиЛ р = | руи'Л р +1 КуиЛ р дуиЛ р = 0 0 0 0

г г г

= Рга10 -1(р^ + р'V)р +1Куи'Лр-1дуиЛр = 0 0 0

г г г

0 0 0

где и = иу, V = Vу, К = Ку, р = ру, ч = Чу , у = е или т .

Применяя полученную формулу (12) отдельно для первого и второго уравнений системы (11) на отрезке [0, г ] и складывая результаты, получим

г г

| (Уе^ие + УтЬтит ) Л р = (Че^Уе + Чти^^т ) Л р + 0 0

+1 ((Ке - Р'е )и'еУе + (Кт - Рт )и'тУт ) Р- |(Реи'еУ'е + Рти'тУ'т ) Л Р. (13) 0 0

Принимая во внимание правые части уравнений системы (11), имеем

г г

I

0 0 Из (13) с учетом (14), получаем

j(4eueve + 4mumvm )dР + j(heu'eve + hmu'mvm )dP + 0 0

r

+

0

j

Замечание 1. Вариационное соотношение (15) получено для гладких функций Уе и Ут .

Соотношение (15) распространяется на любые функции Уе еН¿(0, г), Ут е И1 (0, г) по непрерывности.

3. Проекционный метод

Используя проекционный метод [1, 2], сведем вариационное соотношение (15) к системе алгебраических уравнений. Во-первых, разделим отрезок [0, г] на п отрезков длиной К = г / п . Определим набор из (п -1) отрезков:

Ф, = [(, -+ 1)h ], , = 1,..., п -1,

и набор из п отрезков

Т у =[(у - 1)h,(у + 1)h], у = 1,...,п -1 и Тп =[(п - 1)h,г]. Эти отрезки мы назовем носителями.

В соответствии со схемой проекционного метода необходимо ввести базисные функции ф, и ^у, чтобы определить приближенное решение уравнения (15). Базисные функции определены для каждого носителя Ф, и Ту : Базисные функции ф, определены на Ф,, имеют вид

Ф« =

р- (i - 1)h

h

р- (i + 1)h

, р < ih,

i = 1, n -1.

р > ih,

Базисные функции ^ у определены на Т у и имеют вид

р-( у -1^

V j =

h

-, р< jh,

р-( j + 1)h

j = 1, n -1,

, р> jh,

и

Vn =

р- r + I

T~

Так, определенные базисные функции учитывают краевые условия (10). Приближенные решения рассматриваемой задачи будем искать в виде

>) =

n—1

= Z "«Ф«

,(n) =

,=1 п-1

= Z Р j V j

у =1

где а,, Р у - неизвестные коэффициенты.

Подставляя функции м^п) и и^ с представлением

А(у) х = 0, где матрицы А = А( у) и х имеют вид

где

( AU

Aee

ап-Ц

A =

ЛД

An1

V me

Л, n 1

Л, n-1

tn, n-1

1,1

An-1, n-1 ап-1,1 Aee Aem

1,1

4n,1

... A

1, n \

1,n

An, n

mm

X =

( q ^

a-1 в

в

A^eJ = j 4еФгФ jdP+ j PeфiФ jdP+ j he^iФ jdP, i, j = 1, n

-1;

Ф,-

Ф,-

Ф,-

^ = j fm^i¥jdP,i = 1 n - 1, j = 1 n, = j feViФjdP,i = I n, j

= 1, n -1,

Ф,-

Y V

¿mm = j 4mVi¥ jdP+ j hmVi¥ jdP+ j PmViV jdP, j = 1, n

Y,

Y,

Y,

Обозначим через А определитель матрицы A . Если интервал [у, Y ]

таков, что a(y)xA(y)< 0, то это означает, что существует у = Уе[У,У],

которое является спектральным параметром (постоянной распространения) задачи Pm . Это значение может быть вычислено с любой заданной точностью.

4. Численные результаты 4.1. Точное решение

Проведем сравнение результатов численного решения задачи Pm с решением явного дисперсионного уравнения для конкретной структуры.

Пусть £р=£z = £c = const, т.е. волновод заполнен однородной изотропной средой с постоянной диэлектрической проницаемостью. Для такой структуры известно точное дисперсионное уравнение, которое имеет вид

Jm

где h2 = kg£c -У2.

4.2. Численное исследование

Ниже приведены результаты численного решения задачи о распространяющихся электромагнитных волнах анизатропной волноведущей структуры (рис. 2).

частота

Рис. 2. Сравнение точного решения (звездочки) и решения задачи Рт , полученных с использованием проекционного метода (точки).

Значение параметров: г = 2тт, £с = 4, т = 1

На рис. 3 представлены дисперсионные кривые (графики зависимости у(ю) ), построенные для разных значений угла а . При а = 0 дисперсионные кривые не отличаются от известных кривых (сравнение с дисперсионными кривыми в задаче [1, 6]). При увеличении значения а дисперсионные кривые изменяют форму, появляются новые собственные значения (спектральные параметры) отсутствующие в случае а = 0 .

О 0.5 1 1.5 0 0.5 1 1.5

частота частота

а — п/4 я = к/2

Рис. 3. Дисперсионные кривые. Значение параметров: г = 2 шш, £р = 4, £ 2 = 9, т = 1

Заключение

Исходная задача о нормальных волнах анизотропной волноведущей структуры сведена к краевой задаче для продольных компонент электромаг-

нитного поля в пространствах Соболева. Для определения решения использована вариационная формулировка задачи.

Библиографический список

1. Смолькин, Е. Ю. Численный метод решения задачи распространения электромагнитных волн в цилиндрическом анизотропном неоднородном волноводе с продольным намагничиванием / Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2017. - № 2 (42). - C. 32-43.

2. Смирнов, Ю. Г. О дискретности спектра в задаче о азимутальных симметричных волнах открытого неоднородного анизотропного волновода с продольным намагничиванием / Ю. Г. Смирнов, Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2017. - № 3 (43). - С. 50-64.

3. Lifante, G. Numerical methods for optical waveguide devices / G. Lifante, F. Cusso and E. Cantelar // International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. - Kharkiv, 2006. - P. 77-82.

4. Saad, S. M. Review of Numerical Methods for the Analysis of Arbitrarily-Shaped Microwave and Optical Dielectric Waveguides / S. M. Saad // IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. -1985. - Vol. 33, № 10. - P. 894-899.

5. Baumert, J. C. Numerical method for the calculation of mode fields and propagation constants in optical waveguides / J. C. Baumert and J. Hoffnagle // Journal of Lightwave Technology. - 1993. - Vol. 4, № 11. - P. 1626-1630.

6. Смолькин, Е. Ю. Численное исследование спектра нормальных волн открытого неоднородного волновода с круговым сечением / Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур, Э. А. Хорошева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2017. - № 4 (44). - С. 76-86.

7. Смирнов, Ю. Г. Математические методы исследования задач электродинамики / Ю. Г. Смирнов. - Пенза : Инф.-изд. центр ПензГУ, 2009.

8. Lu, M. Anisotropic dielectric waveguides / M. Lu and M. M. Fejer // J. Opt. Soc. Am. A. - 1992. - Vol. 10, № 2. - P. 246-261.

References

1. Smol'kin E. Yu., Snegur M. O. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2017, no. 2 (42), pp. 32-43.

2. Smirnov Yu. G., Smol'kin E. Yu., Snegur M. O. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2017, no. 3 (43), pp. 50-64.

3. Lifante G., Cusso F., Cantelar E. International Conference on Mathematical Methods in Electromagnetic Theory. Kharkiv, 2006, pp. 77-82.

4. Saad S. M. IEEE Transactions on Microwave Theory and Techniques. 1985, vol. 33, no. 10, pp. 894-899.

5. Baumert J. C., Hoffnagle J. Journal of Lightwave Technology. 1993, vol. 4, no. 11, pp. 1626-1630.

6. Smol'kin E. Yu., Snegur M. O., Khorosheva E. A. Izvestiya vysshikh uchebnykh zavedeniy. Povolzhskiy region. Fiziko-matematicheskie nauki [University proceedings. Volga region. Physical and mathematical sciences]. 2017, no. 4 (44), pp. 76-86.

7. Smirnov Yu. G. Matematicheskie metody issledovaniya zadach elektrodinamiki [Mathematical methods of electrodynmic problems researching]. Penza: Inf.-izd. tsentr PenzGU, 2009.

8. Lu M., Fejer M. M. J. Opt. Soc. Am. A. 1992, vol. 10, no. 2, pp. 246-261.

Смолькин Евгений Юрьевич

кандидат физико-математических наук, научный сотрудник, научно-исследовательский центр «Суперкомпьютерное моделирование в электродинамике», Пензенский государственный университет

E-mail: e.g.smolkin@hotmail.com

Smol'kin Evgeniy Yur'evich Candidate of physical and mathematical sciences, research assistant, the research center "Supercomputer modeling in electrodynamics", Penza State University

Снегур Максим Олегович

студент, Пензенский государственный университет

E-mail: snegur.max15@gmail.com

Snegur Maksim Olegovich Student, Penza State University

УДК 517.958;621.372.8 Смолькин, Е. Ю.

Численное исследование спектра нормальных волн анизотропного диэлектрического волновода / Е. Ю. Смолькин, М. О. Снегур // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2018. - № 1 (45). - С. 72-82. - БОТ 10.21685/2072-3040-2018-1-6.