Об операторах кривизны метрических групп Ли

УДК 512.81

Об операторах кривизны метрических групп Ли* С.В. Клепикова, Е.Д. Родионов, О.П. Хромова

Алтайский государственный университет

On the Curvature Operators of Metric Lie Groups

S.V. Klepikova, E.D. Rodionov, O.P. Khromova Altai State University

Одной из важных проблем (псевдо)римановой геометрии является задача об установлении связей между кривизной, алгебраической и топологической структурой (псевдо)риманова многообразия. В этом направлении хорошо известны: теорема Адамара — Картана о полном односвяз-ном римановом многообразии неположительной секционной кривизны, теорема М. Громова о ри-мановом многообразии неотрицательной кривизны Риччи, теорема сравнения углов треугольника А.Д. Александрова — В.А. Топоногова, теорема о сфере, экстремальные теоремы в римановой геометрии и ряд других результатов.

В общем случае задача исследования (псев-до)римановых многообразий с ограничениями на кривизну различного типа представляется достаточно сложной. Поэтому естественно рассматривать данную задачу в более узком классе (псев-до)римановых многообразий, например, в классе однородных (псевдо)римановых многообразий и, в частности, в классе метрических групп Ли.

В обзоре приведены результаты по исследованию (псевдо)римановых метрик знакоопределен-ной кривизны, сигнатур операторов кривизны; освещены вопросы существования локально однородных (псевдо)римановых пространств и, в частности, метрических групп Ли с заданным спектром какого-либо оператора кривизны.

Ключевые слова: алгебры и группы Ли, левоин-вариантные (псевдо)римановы метрики, операторы кривизны.

БМ 10.14258/izvasu(2016)1-23

The problem of establishing links between the curvature, the algebraic and topological structure of a (pseudo)Riemannian manifold is one of the important problems of the (pseudo)Riemannian geometry. There are several well known researches and results: the Hadamard — Cartan theorem about the complete simply-connected Riemannian manifold of non-positive sectional curvature, Gromov theorem about Riemannian manifolds of nonnegative Ricci curvature, comparison angles triangle theorem by A.D. Alexandrov — V.A. Toponogov, theorem on the sphere, extreme theorem in the Riemannian geometry and some other results.

In general, the purpose of the research of (pseudo)Riemannian manifolds with restrictions on curvature of various types is rather complicated. Therefore, it is natural to consider this problem in a narrower class of (pseudo)Riemannian manifolds, for example, in the class of homogeneous (pseudo)Riemannian manifolds and, in particular, in the class of metric Lie groups.

The article presents the results of research of (pseudo) Riemannian metrics of sign-definite curvature, signatures of the curvature operators; the questions of the existence of a locally homogeneous (pseudo) Riemannian spaces and, in particular, the metric Lie groups with a given spectrum any operator curvature.

Key words: Lie algebras and Lie groups, left-invariant (pseudo)Riemannian metrics, curvature operators.

1. Об исследовании метрик знакоопре-деленной кривизны. Одной из важных проблем (псевдо)римановой геометрии является задача об установлении связей между кривизной и топологией (псевдо)риманова многообразия.

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты: № 16-01-00336А, № 16—31-00048мол_а), Минобрнауки РФ в рамках базовой части государственного задания в сфере научной деятельности ФГБОУ ВПО «Алтайский государственный университет» (код проекта: 1148).

В этом направлении хорошо известны: теорема Адамара — Картана о полном односвязном ри-мановом многообразии неположительной секционной кривизны [1], теорема М. Громова о рима-новом многообразии неотрицательной кривизны Риччи [2], теорема сравнения углов треугольника А.Д. Александрова — В.А. Топоногова [1], теорема о сфере, экстремальные теоремы в римановой геометрии и ряд других результатов.

Теорема. (Ж. Адамар, Э. Картан [1]) Каждое полное односвязное риманово многообразие неположительной секционной кривизны диффео-морфно евклидовому пространству.

Теорема. (А.Д. Александров, В.А. Топоно-гов [1]) Пусть M — полное риманово многообразие размерности n > 2; Ka > к > 0 для всех касательных к M двумерных плоскостей а; Д = (со, ci, С2 ) — треугольник в M с углами 70, 71, 72. Если к > 0 (к ^ 0), то существует треугольник А = (со, êi,C2) в M = (соответственно

в M = Rn ) с углами 70, 71, 72 и равными соответствующими сторонами, для которого 7i ^ 7i.

Теорема о сфере. (В. Клингенберг [1]) Пусть M — полное односвязное риманово многообразие размерности n ^ 2, и кривизна M S-ограничена с S > j, т.е. j < S ^ К и ^ 1 для всех касательных плоскостей. Тогда M гомеоморфно сфере Sn.

В общем случае задача исследования (псев-до)римановых многообразий с ограничениями на кривизну различного типа представляется достаточно сложной [1]. Поэтому естественно рассматривать данную задачу в более узком классе (псевдо)римановых многообразий, например, в классе однородных (псевдо)римановых многообразий и, в частности, в классе метрических групп Ли. Так, М. Берже, Н. Уоллач, Л.Б. Бер-жери доказали, что однородные пространства, допускающие инвариантную риманову метрику положительной секционной кривизны либо диф-феоморфны компактным симметрическим пространствам ранга 1, либо одному из многообразий конечного списка Алоффа — Берже — Уол-лача [3-5]. Однородные римановы многообразия неположительной секционной кривизны исследовали Д.В. Алексеевский, Е. Хейнце, Л.Б. Бер-жери [6-8].

Изучение топологического строения трехмерных групп Ли, на которых существует левоинва-риантная риманова метрика положительной кривизны Риччи, стало прогрессировать, начиная с работы Дж. Милнора [9].

Теорема. (Дж. Милнор [9]) Связная группа Ли G допускает левоинвариантную риманову метрику положительной кривизны Риччи в том и только том случае, если G компактна и ее фундаментальная группа ni (G) конечна. В таком случае искомой метрикой является биинвариантная риманова метрика.

Позднее В.Н. Берестовский продолжил это исследование в случае однородных римановых пространств [10].

Теорема. (В.Н. Берестовский [10]) Однородное эффективное пространство G/H = M связной группы Ли G по ее компактной подгруппе H допускает G-инвариантную риманову метрику положительной кривизны Риччи тогда и только тогда,

когда пространство М компактно и имеет конечную фундаментальную группу (М). При этом в качестве такой метрики можно взять любую нормальную G-инвариантную метрику на G/H.

Топологическое строение однородных пространств, допускающих однородную риманову метрику положительной одномерной кривизны, изучалось Е.Д. Родионовым и В.В. Славским [11].

Теорема. (Е.Д. Родионов, В.В. Славский [11]) Связная группа Ли G допускает левоинвариант-ную риманову метрику положительной одномерной кривизны в том и только том случае, если G компактна и ее фундаментальная группа конечна. В таком случае искомой метрикой является стандартная риманова метрика.

Напомним, что одномерная кривизна рима-нова многообразия (Мп, д) определяется с помощью квадратичной формы А{Х) = —--

где Ai

1

n2

sgij

2

gksX kXs

тензор од-

номерной кривизны, Гц — тензор Риччи, s — скалярная кривизна, X1 — координаты вектора

X е ТХМ.

Если говорить о строении однородных рима-новых многообразий неположительной кривизны Риччи, то в этом направлении известно немного. Так, И.Д. Миателло в своей работе [12], посвященной исследованию унимодулярных разрешимых групп Ли, на которых существует левоин-вариантная риманова метрика неположительной кривизны Риччи, доказала, что в этом случае метрика является Риччи плоской, а значит плоской согласно классической теореме Д.В. Алексеев-ского — Б.Н. Кимельфельда [13]. Кроме того, известны недавние результаты Ю.Г. Никонорова и Ю.А. Николаевского относительно строения разрешимых групп Ли, допускающих левоинвари-антную риманову метрику отрицательной кривизны Риччи [14].

Теорема. (Ю.А. Николаевский, Ю.Г. Нико-норов [14]) Пусть G — разрешимая группа Ли с левоинвариантной римановой метрикой и алгеброй Ли 0. Пусть п — нильрадикал 0 и 3 — центр п. Тогда

1) если 0 допускает скалярное произведение отрицательной кривизны Риччи, тогда существует У е 0 такой что ^(аёу) > 0 и все собственные значения ограничения оператора аёу на 3 имеют положительную действительную часть;

2) если существует У е 0 такой, что все собственные значения ограничения оператора аёу на п имеют положительную действительную часть, тогда 0 допускает скалярное произведение отрицательной кривизны Риччи.

В случае многообразий с псевдоримановой метрикой ситуация представляется менее понятной. Как пример, приведем недавний результат

r о —

Дж. Кальварузо и О. Ковальского о предписанных значениях оператора Риччи [15].

Теорема. (Дж. Кальварузо, О. Ковальский [15]) Трехмерная унимодулярная группа Ли G с левоинвариантной лоренцевой метрикой, алгеброй Ли типа 0з и оператором Риччи Ric существует тогда и только тогда, когда оператор Риччи Ric имеет тип Сегре {111} с главными значениями г!,г2,гз такими, что либо rir^r^ < 0, либо наименьшие два из r равны нулю.

Напомним, что алгебра Ли типа 0з трехмерной унимодулярной группы Ли G с лево-инвариантной лоренцевой метрикой задается структурными уравнениями вида [ei,e2] = —Yeз, [ei, ез] = —ве2, [e2, ез] = aei, где а, в, y G R, а {ei,e2,e3} — псевдоортонормированный базис 0з, в котором ненулевые компоненты метрического тензора gii = g22 = —дзз = 1.

Также заметим, что тип Сегре некоторого оператора B — это список [di d2 • • • dm] размерностей жордановых блоков при записи оператора B в каноническом виде (подробнее см. [16]).

Учитывая то, что нашей главной целью является установление связей между кривизной, алгебраическим и топологическим строением (псевдо)риманова многообразия, мы сузим круг рассматриваемых пространств до однородных (псевдо)римановых многообразий, в частности, до метрических групп Ли и выделим следующую задачу — исследовать собственные значения операторов кривизны, а также их влияние на алгебраическое и топологическое строение метрической группы Ли (G, д). В частности,

• определить возможные сигнатуры спектров различных операторов кривизны метрических групп Ли малых размерностей;

• решить вопрос о существовании метрической группы Ли с предписанными значениями какого-либо оператора кривизны.

2. О сигнатурах операторов кривизны.

Важную информацию о строении риманова многообразия дает исследование спектров операторов кривизны и, в частности, их сигнатур.

Напомним, что под сигнатурой симметрического оператора B, действующего на n-мерном евклидовом пространстве, понимается упорядоченный набор (sgn(Ti), sgn(T2),..., sgn(r„)), где Ti < ^ т2 ^ ... ^ Tn — собственные значения оператора B, и sgn(x) означает знак (вещественного) числа x.

Оператор Риччи и оператор одномерной кривизны (псевдо)риманова многообразия (M, д) будем обозначать, соответственно, Ric и A и определять равенствами r(X,Y) = g(Ric(X),Y), A(X,Y ) = g(A(X), Y).

В случае трехмерных групп Ли с левоинва-риантной римановой метрикой возможные сиг-

натуры спектра оператора Риччи установлены Дж. Милнором в [9]. Для трехмерных унимо-дулярных групп Ли данный результат приведен в таблице 1.

Теорема. (Дж. Милнор [9]) Оператор кривизны Риччи левоинвариантных римановых метрик на трехмерных группах Ли не может иметь сигнатур (-, 0, +), (-, +, +) и (0, +, +).

Таблица 1

Возможные сигнатуры оператора кривизны

Риччи 3-мерных унимодулярных групп Ли с левоинваринтной римановой метрикой

У нимодулярная группа Ли Сигнатуры оператора Ric

SU

SL

¿7

¿7

Ы - группа Гейзенберга

R © R © R

Возможные сигнатуры оператора Риччи четырехмерных группах Ли с левоинвариантной ри-мановой метрикой указаны Ю.Г. Никоноровым и А.Г. Кремлевым в [17,18].

Теорема. (А.Г. Кремлев, Ю.Г. Никоноров [17, 18]) Оператор кривизны Риччи левоинва-риантных римановых метрик на четырехмерных группах Ли не может иметь сигнатур (0, 0, +, +) и (+, +, +, +).

Аналогичные исследования в размерности 5 и выше проводились лишь для отдельных классов римановых многообразий и могут быть найдены, например, в работах А.Г. Кремлева и М.С. Чебарыкова [19, 20].

Для трехмерных групп Ли с левоинва-риантной римановой метрикой возможные сигнатуры спектра оператора одномерной кривизны, а также области знакопостоянства сигнатур операторов Риччи и одномерной кривизны определены Д.С. Вороновым, Е.Д. Родионовым, В.В. Славским и О.П. Хромовой в [21-24].

Теорема. (Д.С. Воронов, О.П. Хромова [21]) Оператор одномерной кривизны левоинвариант-ных римановых метрик на трехмерных группах Ли не может иметь только сигнатуру (- , 0, 0) .

Исследование спектра оператора кривизны : ЛХМ ^ Л2ХИ, определяемого равенством (X Л У,П(Т Л V))х = ЕХ(Х,У,Т,У), где Ех (Х,У,Т^) = дх (Д(Х,У)Т^) — тензор кривизны, а (•, •) — скалярное произведение в слоях пространства расслоения ЛМ, индуцированное (псевдо)римановой метрикой д и задаваемое правилом (XIЛ .. .ЛХр, У1 Л.. .ЛУр)х = det(gx(Xi, У))),

и его связи с топологией однородного римано-ва многообразия проводилось Д.Н. Оскорбиным, Е.Д. Родионовым, О.П. Хромовой (см. подробнее [25, 26]). В частности, ими определены возможные сигнатуры оператора кривизны четырехмерных групп Ли, снабженных конформно (по-лу)плоской метрикой [27], т.е. у которой либо тензор Вейля Ш = 0, либо часть компонент тензора Вейля равны нулю.

Теорема. (Д.Н. Оскорбин, Е.Д. Родионов, О.П. Хромова [25]) Пусть 0 — вещественная 4-мерная алгебра Ли группы Ли G с конформно полуплоской левоинвариантной римановой метрикой. Тогда в базисе внешних форм (бивекторов) пространства Л± 0 в матрице оператора кривизны на диагонали стоят секционные кривизны. Если, более того, Ш = 0, или, что то же самое, метрика конформно плоская, то матрица оператора кривизны диагональная, и на диагонали стоят секционные кривизны.

Теорема. (Д.Н. Оскорбин, Е.Д. Родионов, О.П. Хромова [26]) Главные значения операторов Риччи [т} и одномерной кривизны [о^} (I = 1, 2,... ,п) на п-мерной конформно плоской метрической группе Ли могут принимать не более двух различных значений. При этом, если т^ = тц (соответственно о^ = оц), то секционные кривизны Кц = 0.

Теорема. (Д.Н. Оскорбин, Е.Д. Родионов, О.П. Хромова [27]) Пусть 0 — вещественная 4-мерная алгебра Ли группы Ли G с левоинва-риантной конформно полуплоской римановой метрикой. Тогда спектр оператора кривизны ^ может иметь только сигнатуры ( — , — , — , — , — , — ), (-, —, —, 0, 0,0), (0, 0,0, 0,0, 0), (0,0, 0, +, +, +).

В лоренцевом случае операторы кривизны Риччи Кге и одномерной кривизны А могут иметь как вещественные, так и комплексные собственные значения. Поэтому задача об исследовании сигнатур корректна лишь для симметрических операторов Я и А, матрицы которых совпадают с матрицами тензоров Риччи и одномерной кривизны соответственно. Их возможные сигнатуры на трехмерных группах Ли с левоинвариантными лоренцевыми метриками указаны С.В. Клепиковой, О.П.Хромовой в [28, 29]. Также С.В. Клепиковой и О.П. Хромовой определены возможные сигнатуры оператора кривизны ^ трехмерных групп Ли с левоинвариантными лоренцевыми метриками [30].

Теорема. (С.В. Клепикова, О.П. Хромова [28-30]) Операторы Я, А, ^ на трехмерных группах Ли с левоинвариантными лоренцевыми метриками могут иметь сигнатуру любого типа.

Так, возможные сигнатуры оператора Я на трехмерных унимодулярных группах Ли с левоинваринтной лоренцевой метрикой исчерпываются таблицей 2.

Таблица 2

Возможные сигнатуры оператора кривизны Я 3-мерных унимодулярных групп Ли с левоинваринтной лоренцевой метрикой

У нимодулярная группа Ли Сигнатуры оператора Я

ви

ЯЬ

¿7

¿7

Я

ммм

3. О предписанных значениях операторов кривизны. По исследованию собственных значений операторов кривизн на локально однородных римановых многообразий размерности 3 хорошо известна работа [31], в которой О. Ковальский и С. Никшевич нашли необходимые и достаточные условия существования метрических групп Ли и римановых локально-однородных пространств с предписанными значениями спектра оператора Риччи.

Теорема. (О. Ковальский, С. Никшевич [31]) Локально однородное трехмерное римано-во многообразие с главными кривизнами Риччи (т!, Т2,тз) существует в том и только в том случае, если числа т удовлетворяют хотя бы одному из условий:

1) все т равны или два из них равны, а последний равен нулю;

2) Т1Т2Т3 > 0 или наименьшие два из т равны нулю;

3) все тI < 0, самое большее один из них нуль, и (с точностью до перестановки) 2т! < Т2 + тз,

Т! (Т2 + Тз) < т2 + Т3.

Аналогичные результаты для операторов одномерной и секционной кривизн получены Д.Н. Оскорбиным, Е.Д. Родионовым, О.П. Хромовой [25, 32]. Например, была доказана следующая теорема.

Теорема. (Д.Н. Оскорбин, Е.Д. Родионов, О.П. Хромова [25,32]) Локально однородное трехмерное риманово многообразие (М, д) с главными значениями оператора секционной кривизны (ст23,0"!3,^12) существует в том и только в том случае, если числа ац (с точностью до перестановки) удовлетворяют хотя бы одному (возможно, нескольким) из условий:

1) два числа ац равны нулю;

2) (а!2 + а2з)(а2з + аз!)(аз! + а^) > 0 или по крайней мере два из чисел а!2 + а23, а23 + а3!, а3! + а!2 нули;

3) а31а12 < (а23)2 < < а23.

В лоренцевом случае хорошо известна работа Дж. Кальварузо, О. Ковальского [15], в которой найдены условия существования трехмерных метрических групп Ли и локально однородных лорен-цевых многообразий с заданными собственными значениями оператора Риччи.

Теорема. (Дж. Кальварузо, О. Ковальский [15]) Локально однородное трехмерное лоренцево многообразие (М, д) с недиагонализируемым оператором Риччи Кге существует в том и только в том случае, если выполняются следующие взаимоисключающие утверждения.

1) Оператор Кге имеет тип Сегре {3} с тройным главным значением Т1 < 0.

2) Оператор Кге имеет тип Сегре {1^1;} с действительным главным значением Т1 < 0.

3) Оператор Кге имеет тип Сегре {21} с главным значением Т1 = т2 < 0, Тз = Т1 в невырожденном случае и с Т1 = Т2 = тз = 0 в вырожденном случае.

Аналогичная задача для трехмерных групп Ли с левоинвариантными лоренцевыми метриками и предписанными собственными значениями оператора одномерной кривизны решена П.Н. Клепиковым [33].

Теорема. (П.Н. Клепиков [33]) Трехмерная унимодулярная группа Ли с левоинвариантной лор. метрикой, допускающая базис типа А1, и оператором одномерной кривизны А существует, если и только если А имеет тип Сегре {111} и собственные значения а1, а2, аз удовлетворяют условиям: либо а,1 = а2 = аз = 0, либо два из чисел а,1, а2, а3 равны друг другу и равны — (а1 + а2 + а3), либо (2а1 + а2 + аз)(а1 + 2а2 + аз)(а1 + а2 +2аз) < 0.

Кроме того, в лоренцевом случае П.Н. Клепиковым, С.В. Клепиковой, О.П. Хромовой полностью исследован вопрос о существовании метрических групп Ли размерности 3 с заданными значениями спектра операторов Я и А [34, 35]. Например, были доказаны следующие утверждения.

Теорема. (С.В. Клепикова, О.П. Хромова

[34]) Унимодулярная трехмерная группа Ли с ле-воинвариантной лоренцевой метрикой и главными значениями Т1, Т2, тз оператора Я существует в том и только в том случае, если либо по крайней мере два из чисел т нули, либо Т1Т2Т3 > 0.

Теорема. (С.В. Клепикова, О.П. Хромова

[35]) Трехмерная унимодулярная группа Ли с ле-воинвариантной лоренцевой метрикой, допускающая базис типа А1, и собственными значениями а1, а2, аз оператора А существует, если и только если либо (2а1 — а2 — аз)(а1 — 2а2 — аз)(а1 — а2 — —2аз) > 0, либо не менее двух множителей произведения (2а1 — а2 — аз)(а1 — 2а2 — аз)(а1 — а2 — 2аз) равны нулю.

4. О конформно (полу)плоских метриках. Напомним, что (псевдо)риманово многооб-

разие (Мп,д), п > 4 является конформно плоским тогда и только тогда, когда его тензор Вейля тривиален.

Конформно плоские метрики представляют интерес в задачах геометрии и анализа, так как допускают эффективное вычислительное преставление. В римановом случае они служат обобщением изотермических координат (см. [36]). Кроме того, в классе конформно плоских римановых многообразий существует базис специального вида, в котором матрицы операторов кривизны диаго-нализируемы [26,37].

Любое двумерное (псевдо)риманово многообразие является конформно плоским (см. подробнее [38]). В трехмерном случае тензор Вейля Ш всегда равен нулю, а его роль играет тензор Схоутена-Вейля, определяемый формулой = А^}к — Лък,], где А^}к — ковариантные производные тензора одномерной кривизны Лij. И многообразие является конформно плоским тогда и только тогда, когда обращается в нуль тензор Схоутена-Вейля. В общем случае задача классификации конформно плоских многообразий до сих пор не решена.

В случае однородных римановых пространств исчерпывающий ответ на эту проблему дали Д.В. Алексеевский и Б.Н. Кимельфельд [39]. Чуть ранее аналог данной классификации получил К. Тсукада [40, 41]. В частности, для од-носвязного случая справедлива следующая теорема (в общем случае, включая неодносвязный, см. [39]).

Теорема. (Д.В. Алексеевский, Б.Н. Кимель-фельд [39]) Всякое связное односвязное конформно плоское однородное риманово многообразие, допускающее транзитивную группу движений, гомотетично евклидову пространству, либо сфере, либо пространству Лобачевского, либо прямому произведению пространства Лобачевского на евклидову прямую, либо прямому произведению пространства Лобачевского на сферу.

В псевдоримановом случае данная проблема является более сложной. Даже в случае однородных лоренцевых пространств классификация, как правило, зависит от формы оператора кривизны. В размерности 3 конформно плоские однородные лоренцевы многообразия были полностью классифицированы независимо К. Хонда, К. Тсукада и Дж. Кальварузо [42,43]. В данной классификации в отличие от римано-ва случая показано существование несимметричных примеров. В размерности 4 задача классификации конформно плоских однородных пространств полностью решена Дж. Кальварузо как для лоренцевой, так и для нейтральной сигнатуры в [45]. Основная идея данной работы заключалась в том, чтобы определить типы Сегре [16] оператора Риччи.

Расширяя результаты [42], К. Хонда и К. Тсу-када решили проблему классификации для однородных лоренцевых многообразий любой размерности с диагонализируемым оператором Риччи [44].

Теорема. (К. Хонда, К. Тсукада [42]) Пусть М^ — п-мерное конформно плоское однородное псевдориманово многообразие. Если оператор Риччи диагонализируем, тогда М£ локально изо-метрично одному из следующих многообразий:

1. мп(к),

2. Mqp(к) х M^-™(-к), к =0, 2 < m < n - 2,

3. М^-1^) х М или М^к) х Мь к = 0, где М^ (к) — многообразие постоянной секционной кривизны к и индекса д.

В четырехмерном случае, наряду с конформно плоскими метриками, можно рассматривать и конформно полуплоские, которые возникают при разложении тензора Вейля в прямую сумму неприводимых компонент относительно действия специальной ортогональной группы (см. [38]). Известна следующая теорема.

Теорема. (Н. Хитчин [38]) Пусть М — компактное конформно полуплоское многообразие Эйнштейна. Тогда

1. Если в > 0, то М изометрично Я4 или СР2 со стандартными метриками.

2. Если в = 0, то М либо плоско, либо накрывается К3-поверхностью с метрикой Калаби —

Яу.

Естественной является задача классификации конформно полуплоских римановых многообразий. В общем случае проблема остается открытой. В [38] приведены примеры четырехмерных римановых многообразий, снабженных конформно полуплоской метрикой. Полная классификация 4-мерных конформно полуплоских метрических групп Ли дана Е.Д. Родионовым, В.В. Слав-ским и О.П. Хромовой в [46, 47].

Теорема. (Е.Д. Родионов, В.В. Славский, О.П. Хромова [46,47]) Вещественная четырехмерная группа Ли с левоинвариантной конформно полуплоской римановой метрикой либо конформно плоская, либо алгебра Ли группы Ли есть алгебра Ав9 (-1 <в < 1) или А?Д1 (а > 0).

5. О (почти)гармоничности тензорных полей. Существуют несколько подходов к определению гармоничности.

Определение. Тензор Т^.л строения (р, 0) называется гармоническим (см. [48, с. 43]), если выполняются следующие три условия:

(1) — кососимметрический,

(2) го^Тх¿2..лр)=0 или

Т1\12--лр ТЫ2--Лр -¿х + -¿2 +

+ • • • + ¿2 ,

(3) ау(Т41 ¿2^р) = -г = 0,

и почти гармоническим (см. [49-51]), если выполняются следующие два условия:

(1) rot(Til i2 ...ip )=0,

(2) divCZU..^ ) = gil1 Tii...ip ;t = 0.

Активное изучение гармонических тензоров,

в смысле данного определения, началось с работы К. Яно и С. Бохнера [48].

Как отмечалось выше, тензор Схоутена-Вейля в размерности 3 является аналогом тензора конформной кривизны. Поэтому изучение его свойств представляет интерес. Поскольку тензор Схоутена-Вейля обладает косой симметрией лишь по последней паре индексов, то корректным является вопрос об изучении его почти гармоничности.

Полная классификация трехмерных метрических групп Ли с левоинвариантными (псев-до)римановыми и почти гармоническим тензором Схоутена-Вейля дана О.П. Хромовой в [49] (см. также [50-53]. В лоренцевом случае часть результатов получена совместно с П.Н. Клепиковым и С.В. Клепиковой [28]. Кроме того, данным коллективом классифицированы трехмерные группы Ли, снабженные (псевдо)римановой метрикой и гармонической сверткой тензора Схоутена-Вейля [28, 49, 54, 55].

Также имеет место

Определение. Риманово многообразие (M, g) размерности n > 4 называется C-пространством или пространством с гармоническим тензором Вейля, если divW = 0.

Простейшими примерами многообразий с гармоническим тензором Вейля являются:

1. Многообразия, локально изометричные произведению многообразий Эйнштейна.

2. Конформно плоские многообразия (W = 0).

Другие примеры многообразий с гармоническим тензором Вейля можно получить с помощью конформных деформаций. При конформной деформации g' = e2f g метрики g в n-мерном случае тензор divW преобразуется по формуле

div Wg, = divW - (n - 3)W (Df,.,.,.).

Поэтому можно взять риманово многообразие, локально изометричное прозведению многообразий Эйнштейна, и искать на нем такую функцию f, что W (Df,.,.,.) = 0.

Также известен следующий общий результат.

Теорема. (Д. Де Тюрк, Х. Гольдшмидт [38]) Пусть (M, g) — риманово многообразие с гармоническим тензором Вейля и dim M = n ^ 4. Предположим, что в некоторой точке x G M тензор rx имеет n различных значений и Wx = 0. Тогда многообразие (M, g) конформно плоско.

В римановом случае Е.Д. Родионовым, В.В. Славским и О.П. Хромовой получена классификация четырехмерных групп Ли с гармоническим тензором Вейля [24, 57-59]. В частности, установлено следующее.

Теорема. (В.В. Славский, О.П. Хромова [57]) Пусть О — действительная четырехмерная уни-модулярная группа Ли с левоинвариантной рима-новой метрикой и алгеброй Ли 0. Тогда = 0

в том и только в том случае, если группа О локально изоморфна либо группе К4, либо прямому произведению Е(2) х К1, либо полупрямому произведению групп БП(2) х К1. Все найденные метрики локально симметрические, а первые две плоские.

Аналогичная классификационная задача для метрических групп Ли размерностей 3 и 4 с гармоническим тензором конциркулярной кривизны решена П.Н. Клепиковым и О.П. Хромовой [60, 61].

Теорема. (П.Н. Клепиков, О.П. Хромова [61]) Пусть О — вещественная четырехмерная унимо-дулярная группа Ли с левоинвариантной рима-новой метрикой и алгеброй Ли 0. Тогда, если ёгу Z = 0, то алгебра Ли есть алгебра М4, либо е(2) ф М, либо вп(2) ф М. Причем в первых двух случаях обязательно выполняется Z = 0.

Напомним, что тензор конциркулярной кривизны

£

определяется равенством 2 = К — ——-т^99

2п

и является инвариантом конциркулярных преобразований (т.е. таких нетривиальных конформных преобразований, которые переводят геодезические окружности в геодезические окружности (см. подробнее [62])).

Библиографический список

1. Громол Д., Клингенберг В., Мейер В. Ри-манова геометрия в целом. — М., 1971.

2. Громов М. Знак и геометрический смысл кривизны. — Ижевск, 1999.

3. Berger M. Les varietes riemannienes homogenes normales a courbure strictement positive // Ann. Sc. Norm. Sup. Pisa. — 1961. — V. 15.

4. Wallach N.R. Compact homogeneous Riemannian manifoldswith strictly positive curvature // Ann. Math. — 1972. — V. 2, №96.

5. Bergery L.B. Les varietes riemannienes invariantes homogenes simplement connexes de dimension impaire a courbure strictement positive // J. Math. Pur. Appl. IX. Ser. — 1976. — V. 55, №1.

6. Alekseevskii D.V. Homogeneous Riemannian spaces of negative curvature // Math. Sb. (N.S.) —

1975. — V. 96.

7. Heintze E. On homogeneous manifolds of negative curvature // Mat. Ann. — 1974. — V. 211.

8. Bergery L.B. Sur la courbure des metriques riemanniennes invariantes des groupes de Lie et des espaces homogenes // Ann. Sci. Ecole Norm. Sup. — 1978. — V. 4, № 11.

9. Milnor J. Curvature of left invariant metric on Lie groups // Advances in mathematics. —

1976. — V. 21.

10. Berestovskii V.N. Homogeneous Rieman-nian manifolds of positive Ricci curvature // Math. Notes. — 1995. — V. 58.

11. Родионов Е.Д., Славский В.В. Одномерная секционная кривизна римановых многообразий // ДАН. — 2002. — Т. 387, №4.

12. Dotti Miatello I. Ricci curvature of left invariant metrics on solvable unimodular Lie

groups // Mathematische Zeitschrift. — 1982. — V. 180.

13. Alekseevskii D.V., Kimelfeld B.N. Structure of homogeneous Riemannian spaces with zero Ricci curvature // Funct. Anal. Appl. — 1975. — V. 9.

14. Nikolayevsky Y., Nikonorov Yu.G. On solvable Lie groups of negative Ricci curvature // Math. Z. — 2015. — V. 280.

15. Calvaruso G., Kowalski O. On the Ricci operator of locally homogeneous Lorentzian 3-mani-folds // Cent. Eur. J. Math. — 2009. — V. 7(1).

16. Stephani H., Kramer D., MacCallum M., Hoenselaers C., Herlt E. Exact Solutions of Einstein's Field Equations. — Cambridge, 2003.

17. Кремлев А.Г., Никоноров Ю.Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных римано-вых метрик на четырехмерных группах Ли. Уни-модулярный случай // Мат. труды. — 2008. — Т. 11, №2.

18. Кремлев А.Г., Никоноров Ю.Г. Сигнатура кривизны Риччи левоинвариантных рима-новых метрик на четырехмерных группах Ли. Неунимодулярный случай // Мат. труды. — 2009. — Т. 12, №1.

19. Кремлев А.Г. Сигнатура кривизны Рич-чи левоинвариантных римановых метрик на пятимерных нильпотентных группах Ли // Сибирские электронные известия. — 2009. — Т. 6.

20. Чебарыков М.С. О кривизне Риччи неунимодулярных разрешимых метрических алгебр Ли // Мат. труды. — 2010. — Т. 13, №1.

21. Воронов Д.С., Гладунова О.П. Сигнатура оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой

метрикой // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2010. — №1/2.

22. Воронов Д.С., Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Славский В.В. Об инвариантных тензорных полях на группах Ли малых размерностей // Владикавказский математический журнал. — 2012. — Т. 14, вып. 2.

23. Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Слав-ский В.В. Области знакоопределенной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2012. — №1/1.

24. Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Слав-ский В.В. Инвариантные тензорные поля на группах Ли // Вестник КемГУ: риманова геометрия. — 2011. — №3/1.

25. Оскорбин Д.Н., Родионов Е.Д., Хромова О.П. О вычислении спектра оператора кривизны конформно (полу)плоских римановых метрик // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2013. — №1/2.

26. Оскорбин Д.Н., Родионов Е.Д., Хромова О.П. О спектре операторов кривизны конформно плоских групп Ли с левоинвариантной рима-новой метрикой // Доклады Академии наук. — 2015. — Т. 461, №5.

27. Оскорбин Д.Н., Родионов Е.Д., Хромова О.П. О спектре оператора кривизны четырехмерных конформно плоских метрических групп Ли // Ломоносовские чтения на Алтае : c6. науч. ст. Междунар. школы-семинара, Барнаул, 5-8 ноября, 2013 : в 6 ч. — Барнаул, 2013. — Ч. 1.

28. Пастухова С.В., Хромова О.П. О сигнатуре оператора тензора кривизны Риччи трехмерных групп Ли с левоинвариантными лоренцевыми метриками // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2015. — №1/2.

29. Пастухова С.В., Хромова О.П. О сигнатуре оператора одномерной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантными лоренцевыми метриками //МАК 2015 : c6. тр. восемнадцатой региональной конф. по математике. — Барнаул, 2015.

30. Пастухова С.В., Хромова О.П. О сигнатуре оператора тензора секционной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантными лоренце-выми метриками // Дни геометрии в Новосибирске : тезисы Междунар. конф. — Новосибирск, 2015.

31. Kowalski O., Nikcevic S. On Ricci eigenvalues of locally homogeneous Riemann 3-mani-folds // Geom. Dedicata. — 1996. — №1.

32. Оскорбин Д.Н., Родионов Е.Д. О спектре оператора кривизны трехмерных групп Ли с ле-

воинвариантной римановой метрикой // ДАН. — 2013. — Т. 450, №3.

33. Клепиков П.Н. О допустимых значениях спектра оператора одномерной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой // Математика и ее приложения: фундаментальные проблемы науки и техники : сб. тр. Всеросс. конф., Барнаул, 24-26 ноября, 2015. — Барнаул, 2015.

34. Пастухова С.В., Хромова О.П. О предписанных значениях операторов тензоров Риччи и одномерной кривизны трехмерных групп Ли с левоинвариантными лоренцевыми метриками // Дни геометрии в Новосибирске : тезисы Между-нар. конф. — Новосибирск, 2015.

35. Клепикова С.В., Хромова О.П. О спектре оператора тензора одномерной кривизны ле-воинвариантных лоренцевых метрик трехмерных групп Ли // Математика и ее приложения: фундаментальные проблемы науки и техники : сб. тр. Всеросс. конф., Барнаул, 24-26 ноября, 2015. — Барнаул, 2015.

36. Никоноров Ю.Г., Родионов Е.Д., Слав-ский B.B. Геометрия однородных римановых многообразий // Современная математика и ее приложения. Геометрия. — 2006. — Т. 37.

37. Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Слав-ский В.В. О спектре оператора кривизны конформно плоских римановых многообразий // ДАН. — 2013. — Т. 450, №2.

38. Бессе А. Многообразия Эйнштейна : в 2 т. — М., 1990.

39. Алексеевский Д.В., Кимельфельд Б.Н. Классификация однородных конформно плоских римановых многообразий // Мат. заметки. — 1978. — Т. 24. — №1.

40. Takagi H. Conformally flat Riemannian manifolds admitting a transitive group of isometries // Tohoku Math. J. — 1975. — V. 27, №1.

41. Takagi H. Conformally flat Riemannian manifolds admitting a transitive group of isometries II // Tohoku Math. J. — 1975. — V. 27, №3.

42. Honda K., Tsukada K. Three-dimensional conformally flat homogeneous Lorentzian manifolds //J. Phys. A: Math. Theor. — 2007. — V. 40.

43. Calvaruso G. Einstein-like metrics on three-dimensional homogeneous Lorentzian manifolds // Geom. Dedicata. — 2007. — V. 127.

44. Honda K., Tsukada K. Conformally flat homogeneous Lorentzian manifolds // Proceedings of the conference "GELOGRA". — Granada, 2011.

45. Calvaruso G., Zaeim A. Conformally flat homogeneous pseudo-Riemannian four-manifolds // Tohoku math. J. — 2014. — V. 66, №1.

46. Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Слав-ский В.В. О конформно полуплоских 4-мерных группах Ли // Владикавказский математический журнал. - 2011. - Т. 13, №3.

47. Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Слав-ский В.В. О конформно полуплоских 4-мерных алгебрах Ли // ДАН. - 2012. - Т. 442, №3.

48. Яно К., Бохнер С. Кривизна и числа Бетти. - М., 1957.

49. Гладунова О.П. Применение пакетов аналитических вычислений для нахождения инва-ринтных тензорных полей на однородных пространствах : дисс. ... канд. ф.-м. наук. - Барнаул, 2008.

50. Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Слав-ский В.В. О гармонических тензорах на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой // ДАН. - 2008. - Т. 419. - №6.

51. Gladunova O.P., Rodionov E.D., Slav-skii V.V. Harmonic Tensors on Three-Dimensional Lie Groups with Left-Invariant Lorentz Metric // Journal of Mathematical Sciences, New York. -2014. - V. 198. - №5.

52. Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Слав-ский В.В. О гармонических тензорах на трехмерных группах Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой // ДАН. - 2009. - Т. 428. - №6.

53. Гладунова О.П., Родионов Е.Д., Слав-ский В.В. О гармонических тензорах на трехмерных группах Ли с левоинвариантной лоренцевой метрикой // Вестник НГУ: Математика, механика, информатика. - 2012. - Т. 12., вып. 1.

54. Родионов Е., Славский В., Гладунова О. О компонентах разложения тензора кривизны на группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой. - Saarbrucken, 2012.

55. Балащенко В.В., Никоноров Ю.Г., Родионов Е.Д., Славский В.В. Однородные пространства: теория и приложения. — Ханты-Мансийск, 2008.

56. Listing M. Conformal Einstein spaces in N-dimensions // Ann. Global Anal. Geom. 2001. — V. 20.

57. Гладунова О.П., Славский В.В. О гармоничности тензора Вейля левоинвариантных рима-новых метрик на четырехмерных унимодулярных группах Ли // Мат. труды. — 2011. — Т. 14. — № 1.

58. Родионов Е.Д., Славский В.В., Хромова О.П. О гармоничности тензора Вейля ле-воинвариантных римановых метрик на четырехмерных неунимодулярных разложимых группах Ли // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2014. — №1/1.

59. Родионов Е.Д., Славский В.В., Хромова О.П. О гармоничности тензора Вейля ле-воинвариантных римановых метрик на четырехмерных неунимодулярных неразложимых группах Ли // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2014. — №1/2.

60. Клепиков П.Н., Хромова О.П. О гармоничности тензора конциркулярной кривизны ле-воинвариантных (псевдо)римановых метрик трехмерных групп Ли // Анализ, геометрия и топология : тр. Всеросс. молодежной школы-семинара, Барнаул, 2-4 октября, 2013 : в 2 ч. — Барнаул, 2013. — Ч. 1.

61. Клепиков П.Н., Хромова О.П. Четырехмерные группы Ли с левоинвариантной римано-вой метрикой и гармоническим тензором концир-кулярной кривизны // Известия Алтайского гос. ун-та. — 2014. — №1/2.

62. Yano К. Concircular geometry, I-IV // Proc. Imp. Acad. Tokyo. — 1940. — V. 16.