К теории интегральных уравнений криволинейных вибраторных антенн

УДК 621.396.6

К ТЕОРИИ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ КРИВОЛИНЕЙНЫХ ВИБРАТОРНЫХ АНТЕНН

А.В.Сочилин, С.И.Эминов FOR THE THEORY OF INTEGRAL EQUATIONS OF CURVED DIPOLE ANTENNAS

A.V.Sochilin, S.LEminov

Институт электронных и информационных систем НовГУ, eminovsi@mail.ru

Разработана теория интегро-дифференциальных криволинейных вибраторных антенн на основе выделения главного положительно-определенного оператора. Построен численный метод решения уравнений. На примерах продемонстрирована высокая эффективность метода.

Ключевые слова: криволинейные вибраторы, интегро-дифференциальные уравнения

We developed a theory of integro-differential curved dipole antennas based on the allocation of the main positive definite operator. The numerical method for the equation solution is evolved and its effectiveness is demonstrated through some examples. Keywords: curved dipoles, integro-differential equations

Введение

Интегро-дифференциальное уравнение криволинейной вибраторной антенны впервые было получено в работе [1]. Интегральные уравнения криволинейных вибраторов исследовались также в работах [2-4]. В этих работах ядро уравнения является приближенным непрерывным.

Интегральные уравнения с точным сингулярным уравнением для линейных вибраторов подробно исследованы в работах авторов [5-6]. В основе этих работ лежит выделение главного положительно определенного оператора и доказательство эквивалентности исходного уравнения к уравнению второго рода в энергетическом пространстве.

Целью настоящей работы является обобщение методов [5-6] на случай криволинейных вибраторов.

1. Одномерное гиперсингулярное уравнение

Рассмотрим криволинейный вибратор, образующая которого в пространстве описывается соотношениями

х = х

Вибратор предполагаем тонким, его радиус a много меньше длины волны и длины антенны. Найдем коэффициент Ламе

HT(x) = V x'2 + y'2 + z'2.

В предположении, что вибратор тонкий, можно пренебречь поперечной составляющей плотности по-

верхностного тока. Переходя от плотности продольной компоненты к полному току по формуле I(г) = 2ла/т(г), как в [5], получим интегро-дифференциальное уравнение

1 1 52

г-11 (t)^- S(x,t)dt -Ы J w drdt v ' '

i

^mkHjfcHtX?x • et)S

4л

-1

4л tA T

-1

Здесь ег и в( — орты, касательные к образующей вибратора в точках г и t,

0

Я = Д2 + 4a2 sin2 -2,

До

к — волновое число.

Ядро (3) имеет неинтегрируемую особенность. При аналитическом выделении особенности воспользуемся интегралом

1 п 1 1 п 1

— —ёф = — —¡= ёф = п J я п J / 02 22 о я о\Яо + а Ф

1

п^ла + 7(ла)2 + R02 j + ln R-

После выделения особенности и несложных преобразований получим одномерное интегро-дифференциальное гиперсингулярное уравнение

1 з V ч з, 1 з2 , ч,

—;-I(0^1п,-Гdt+— I&(х,t)dt-

4л2(1а) Зг J Зt х-^ 4^ ЗxЗt п ' '

1 1 1 1

—-- I(t)(kHх)21п-Т dt+

4я2(*а)^ Д |х-

I (^(х, = Нх^£т0(х),

где

1 V ехр(- /Ж) 1

—~ рщ +

kR;

0

(тх ХШ( )(ех • е)1пТ п1а+л/(^1а)2+(1^0)2

+¿0

Важно отметить, что в записи уравнения (8) указан метод аналитического выделения особенности. Метод приоритетно использует вид расстояния (4) между точкой наблюдения и точкой излучения.

2. Одномерное уравнение в операторной форме

Уравнение (6) можно записать лаконично в операторной форме

РА Хх) +

где р =

1

4л

А обозначает главный оператор задачи

1

А 4 ЗГ^

-1 0 -1

а интегральный оператор К — сумму трех остальных операторов

К = L + М1 + М 2,

ричных элементов зависит эффективность решения всей задачи.

3. Теория интегро-дифференциальных уравнений

Оператор А является симметричным положительно-определенным оператором в гильбертовом пространстве L2[-1,1] и имеет плотную область определения. Положительная определенность означает, что для любой функции и из области определения D(A) оператора А справедливо неравенство

Введем энергетическое пространство Н А симметричного положительно-определенного оператора А как гильбертово пространство со скалярным произведением и нормой

[и, у] = (Аи, у), [и]2 =(Аи, и).

Теорема 1. Положительно определенный оператор имеет ограниченный обратный.

Доказательство. Существование обратного

оператора А-1 следует из (14), так как однородное уравнение Аи = 0 имеет лишь нулевое решение. Далее из неравенства (14), используя неравенство Ко-ши—Буньяковского, получим

У У

Отсюда |Аи|| >у2||и||, поэтому обратный оператор ограничен и |А_1||<—г. Предложение доказано.

1Г II у2

Мы не утверждаем, что обратный оператор определен на всем пространстве L2[-1,1], поэтому он рассматривается на области определения R(A).

Отметим, что ограниченность обратного оператора является следствием положительной определенности. Для нашего конкретного гиперсингулярного оператора будет доказано более сильное утверждение, а именно вполне непрерывность обратного оператора.

Теорема 2. Оператор, обратный к положительно определенному оператору А, определяется по формуле

1 1 1 Ы = ^1 (^Нх)2Н х-t|dt, (11) (А-1 /)х) = ±1 /(^)1п

х-1

- хt + л/1-г2л/1-72

dt

1 1 з2

=4^згз^,^, (12) -1

МД = - ¿{ I Шг t)dt,

е(х) = ^ ^ НхЕт0(х).

При решении уравнения (9) методом Галерки-на или численно-аналитическим методом предстоит вычисление матричных элементов этих четырех операторов. От эффективности способа вычисления мат-

и является вполне непрерывным в пространстве ^[-1,1].

Доказательство. Формула (15) получена в работе [6]. Далее оператор А1 является интегральным оператором, ядро которого имеет логарифмическую особенность. Интегральные операторы с такими ядрами являются вполне непрерывными операторами в пространстве ^[-1,1].

Поскольку оператор А-1 является вполне непрерывным в пространстве /^[-1,1], то для любого оператора В, ограниченного в пространстве /2[-1,1],

+

1

оператор Т = А~1В вполне непрерывен в энергетическом пространстве Н А.

Оператор К представлен в виде суммы интегральных операторов с непрерывными ядрами или с ядрами, имеющими логарифмическую особенность. Такие операторы являются ограниченными в пространстве L2[-1,1]. Отсюда получаем теорему.

Теорема 3. Уравнение (9) эквивалентно уравнению Фредгольма второго рода в энергетическом пространстве НА . Если уравнение (9) имеет единственное решение, то приближенное решение, построенное методом Галеркина, сходится к точному решению в пространстве Н А .

4. Результаты численных расчетов

Продемонстрируем эффективность метода на примерах расчета вибраторных антенн различной геометрии: линейных, дуговых и спиральных.

В табл.1 приведены значения входного сопротивления в зависимости от длины плеча линейного вибратора I и соотношения 1/а (длина плеча / радиус), полученные для N = 40 и Т = Д1 = 0,01.

В табл.2 показана зависимость входного сопротивления дугового полуволнового вибратора

= 0,5^ от кривизны R0 и параметра возбуждения Т.

В табл.3 показана зависимость входного сопротивления спиральной вибраторной антенны от длины при фиксированных параметрах спирали. Характер этой зависимости согласуется с соответствующей зависимостью для линейного вибратора.

Таблица 1

Входное сопротивление линейной вибраторной антенны

Параметры 1 / а = 10 1 / а = 50 1 / а = 100

1 /X гВх, Ом 2вх, Ом 2вх, Ом

0,01 0,034 - 1943,99/ 0,058 - 4949,84/ 0,0649 - 6440,41/

0,05 0,92 - 379,88/ 1,50 - 961,02/ 1,668 - 1245,85/

0,10 4,45 - 170,74/ 6,68 - 426,99/ 7,28 - 552,50/

0,15 14,21 - 88,07/ 18,11 - 217,77/ 19,05 - 282,12/

0,20 42,28 - 35,03/ 42,76 - 79,35/ 42,58 - 106,29/

0,25 106,45 - 28,92/ 100,39 + 44,13/ 92,34 + 48,04/

0,30 112,03 - 98,57/ 249,19 + 154,32/ 210,48 + 209,45/

0,35 63,35 -112,Ш 547,30 + 67,08/ 517,68 + 325,28/

0,40 36,66 - 98,25/ 516,18 - 316,35/ 950,45 - 54,73/

0,45 23,85 - 83,18/ 263,11 - 378,96/ 620,25 - 551,76/

0,50 17,37 - 70,03/ 136,03 - 311,35/ 280,35 - 505,37/

0,55 14,64 - 58,26/ 79,26 - 239,34/ 139,91 - 377,96/

Таблица 2

Входное сопротивление дугового полуволнового вибратора

Д X ka = * , Т = 0,1, 2Д°ф0 = 0,5 120 X ka = * , Т = 0,01, 2Д0ф0 = 0,5 120 X

ReZ, Ом 1т2, Ом ReZ, Ом 1т2, Ом

0,1 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 27,84 57,02 71,40 78,64 82,68 85,15 86,76 87,86 88,66 89,24 89,69 90,04 90,31 90,54 38,04 46,59 49.56 50,36 50.58 50,65 50,65 50,64 50,63 50,62 50,69 50.59 50,58 50.57 29,20 60,47 75,96 83,71 88,01 90,63 92,33 93,50 94,33 94,95 95,42 95,79 96,08 96,31 38.35 45,54 47,32 47.36 47.12 46,87 46,68 46,52 46,41 46,31 46,24 46,18 46.13 46,09

Таблица 3

Ro -ф°

X

0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,40 0,45 0,50 0,55 0,60 0,65 0,70 0,75 0,80

Входное сопротивление спиральной вибраторной антенны

Rl

X

- °A £ = 01 H -120, T - 0,01 a R-05 --01 X 0,5 X 01 H - 60, T - 0,01 a

ReZ, Ом ImZ, Ом ReZ, Ом ImZ, Ом

16,78 -340,25 15,72 -264,98

31,40 -182,27 30,53 -140,86

59,79 -36,51 61,66 -23,78

118,29 113,84 132,82 98,47

255,34 284,70 315,07 211,39

618,43 411,19 672,25 71,02

1129,37 -81,54 576,65 -392,33

673,14 -641,63 275,36 -426,34

295,81 -548,32 143,07 -336,41

155,93 -398,56 89,42 -254,11

102,66 -277,92 68,65 -185,87

86,15 -177,70 66,47 -125,89

92,97 -86,08 81,20 -69,31

125,76 6,28 120,79 -15,22

205,78 103,37 205,07 20,21

5. Выводы

В работе путем выделения особенности получено одномерное интегро-дифференциальное уравнение. Доказано, что это уравнение эквивалентно уравнению Фредгольма второго рода в энергетическом пространстве главного положительно определенного оператора. Развит численный метод решения. На примерах показана эффективность метода как с точки зрения скорости сходимости, так и времени расчета на ЭВМ.

1. Mei K.K. On the integral equations of thin wire antennas // IEEE Trans. 1965. V.AP-13. № 3. P.374-378.

2. Селин В.И. Об интегральных уравнениях тонких криволинейных проводников // Радиотехника. 1981. Т.36. №7. С.74-78.

3. Варывдин В.С., Коломойцев Ф.И., Овсяников В.В. О распределении тока и входном сопротивлении изогнутых вибраторов конечной толщины // Известия вузов. Радиофизика. 1972. Т.15. №9. С. 1398-1406.

4. Рунов А.В., Подиночин В.Е., Назаров И.А. Об одной из форм интегрального уравнения несимметричной криволинейной тонкой проволочной антенны // Радиотехника и электроника. Минск: Вышейшая школа, 1977. Вып.7. С.152-157.

5. Эминов С.И., Сочилин А.В. Численно-аналитический метод решения интегральных уравнений вибраторных антенн // Радиотехника и электроника. 2008. Т.53. №5. С.553-558.

6. Эминов С.И. Аналитическое обращение гиперсингулярного оператора и его приложения в теории дифракции // Докл. РАН.2005. Т.403. №3. С.339-344.

References

1. Mei K.K. On the integral equations of thin wire antennas. IEEE Transactions on Antennas and Propagation, 1965, V. AP-13, no. 3, pp. 374-378.

2. Selin V.I. Ob integral'nykh uravneniiakh tonkikh krivolineinykh provodnikov [On the integral equations of thin curvilinear conductors]. Radiotekhnika - Radioengineering, 1981, vol. 36, no. 7, pp. 74-78.

3. Varyvdin V.S., Kolomoitsev F.I., Ovsianikov V.V. O raspre-delenii toka i vkhodnom soprotivlenii izognutykh vibratorov konechnoi tolshchiny [On electric current distribution and output resistance of folded dipoles with finite thickness]. Izvestiia vysshikh uchebnykh zavedenii. Radiofizika - Radiophysics and Quantum Electronics, 1972, vol. 15, no. 9, pp. 1398-1406.

4. Runov A.V., Podinochin V.E., Nazarov I.A. Ob odnoi iz form integral'nogo uravneniia nesimmetrichnoi krivolineinoi tonkoi provolochnoi antenny [On one type of integral equation for a thin wire curved monopole antenna]. Radiotekhnika i elektronika - Journal of Communications Technology and Electronics, 1977, iss. 7, pp. 152-157.

5. Eminov S.I., Sochilin A.V. Chislenno-analiticheskii metod resheniia integral'nykh uravnenii vibratornykh antenn [A numerical-analytic method for solving integral equations of dipole antennas]. Radiotekhnika i elektronika - Journal of Communications Technology and Electronics, 2008, v.53, no.5, pp.523-528.

6. Eminov S.I. Analiticheskoe obrashchenie gipersinguliarnogo operatora i ego prilozheniia v teorii difraktsii [Analytical inversion of a hypersigular operator and its applications in the theory of diffraction]. Doklady Akademii nauk, 2005, vol. 403, no. 3, pp. 339-344.