Математические модели технологических процессов в пространстве состояний смесеприготовительного агрегата

Расчет диаграмм состояния тройных систем органических веществ является этапом расчета и разработки многокомпонентных эвтектических сплавов, которые могут быть использованы как теплоаккумулирующие материалы. Построение диаграммы состояния тройной системы требует проведения значительного

количества измерений методом дифференциально-термического анализа, которые можно с удовлетворительной точностью заменить расчетными данными.

Кафедра физической, коллоидной химии и управления качеством

Поступала 28.02.03 г.

519.2.66-9.621.92

МА ТЕМА ТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТЕХНОЛОГИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ

В ПРОСТРАНСТВЕ СОСТОЯНИЕ! СМЕСЕПРИГОТОВИТЕЛЬНОГО АГРЕГА ТА

Б.А. ФЕДОС'ЕНКОВ, Д.Л. ПОЗДНЯКОВ, В.Н. НВАНЕЦ,

Е.В. АНТИПОВ

Кемеровский технологический институт

пищевой промышленности “

Процессы смешивания широко распространены в пищевой, химической и других отраслях промышленности. Математическое моделирование делает возможным применение хорошо разработанных стандартных математических средств при комплексном исследовании сложных процессов и при создании систем автоматического управления.

Представленный в работе способ моделирования использует для описания сигналов в различных точках смесеприготовительного агрегата (СМПА) аппарат изображений Лапласа, преобразующий математические функции в более удобный дробно-полиномиальный вид, что значительно снижает сложность их обработки.

Объектом исследования является система, включающая в себя блок дозирующих устройств (Ду„ / = 1, АО количество и тип которых определяются рецептурой приготавливаемой смесевой композиции; питающе-формирующий и транспортирующий узел (ПФУ) и смесительное устройство непрерывного действия (СНД). Дозаторы создают входные загрузочные воздействия в виде весовых расходов питающих потоков, поступающих через суммирующий (бункерный) элемент и ПФУ на СНД.

Общая структурно-функциональная схема (СФС) исследуемого СМПА представлена на рис. 1.

I I х„(о, аи(о

*гШ—\сэ1 Г

' ©ч

Хд(‘>

оыо

хм

•ад

&(0

-I Хр

О*?)

/

ХнО-У

ОМ

КкОи

%я(0

Он'^яОм

е«

Рис. 1

Здесь Х^), г = 1, N - сигналы весовых расходов А'-дозаторов; 0,^(1) - масса материала, подаваемого от /-го дозатора на ПФУ и далее на вход СНД; СЭ - сумми-

рующие элементы; СПК - согласно-параллельный канал; ЛРК и РСД - соответственно локальный рецикл-канал и глобальный рецикл (для передачи материала смеси с выхода смесителя на выход блока дозаторов). На СФС обозначены параметры материалопото-ков в виде мгновенных расходов (концентраций) Хф и масс вещества £>($. Рецирьуляция является эффективным средством для улучшения качества готового продукта в процессах смесеприготовления, позволяющим сглаживать ошибки и флуктуации (неравномерности подачи) потоков от дозирующего оборудования. На схеме показано, что на входе в область прямотока СНД (СЭ2) смешиваются исходный материальный поток с массой 2/1) и концентрацией и поток, выходя-

щий из области локального рецикла ЛРК с параметрами Ол(у = Ккдм яХц(0. В итоге в область прямотока смесительного аппарата поступает масса материала смеси Оа(0+ Кк(2м(0 с концентрацией ХамЦ), а выходит из нее с концентрацией Хкм{(), после чего часть этого материалопотока Ккдм(1) = ()к(1) направляется в рецикл-канал, в область ЛРК, и выходит из нее с параметрами О//0 \\Х[(({).

В свою очередь, при наличии согласно-параллельного канала (^-канала) часть потока на входе в СНД равная = К¥(Ол+ поступает из суммирующего блока в этот канал. На выходе /'’-каната мате-риалопоток имеет параметры <2^ и Хкг (?)• В суммирующем элементе СЭЗ материал из зоны прямотока СНД смешивается с материалом из зоны ^-канала (СПК). В результате на выходе СМПА получается смесь с параметрами Хм(() и ()м(0-

На этапе анализа блока ДУ в пространстве состояний, в ходе которого рассматривалось функционирование входящих в его состав элементов, разработаны и исследованы векторно-матричные модели по каждому из типов ДУ

Изменение весового расхода материала на выходе из спирального дозатора описывается следующей временной функцией:

(0=ХМ1 +Х,Щ ьтп^О,

изобр

понент

ЦИЙ.

В1

(рис. звена щихс завис подае Пepe^ раны фуНЕ сигна (1), К ченш преоЁ систе «(

д

МЫ Д]

ЧТО I

обра4

где

Т

СИГН1

ралы

В

тор»

f.'iS fi.itw

ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. ПИЩЕВАЯ ТЕХНОЛОГИЯ, № 5-6, 2003

87

O.'TWirKJCJ-Г Е Г р Н —С Т Fj—

изображение по Лапласу которой имеет вид

о.

я-

X

в которой

х(/) = 8х(/)+Си(ґ); |y(r) = YSx + YCu*,

W

СТ.ПЬГЯ -:П-

Ll(.V jwh .чігє-Ья дпччтл-

;нптопсгг-г,-

* і 1 "jV i

4} к :іффї_аш-

Щ-ПРГі Л|1П-

ьодопдп^пг

LIKtJUDLTU

раніш, hiw гтшГНД

\ІЇ ГОТГ'Т,- с Ж. ВЫХЦ1Н-ГЯ^КСГфН-

продгсъп

Я,П ерЬІІ.'ііІ \ а бьіх*::-ч:го «інсть і: Л С ' її

нее С H0]#r

^^LL'IJtJUb-

L-? L* СіІД • :i -ід'мм H-лмлэ > :rrc-L В С* HM L’

Cp.lilUJu hH

і .ь-^н:ілн П" 7 і: nr. тс гг

r-г опетгмі-ЦЦЩігрОКІ-гі5ггт:імг.ґ Fi ҐҐ- RS^Ofctr

Y.Uf- [С lUji .СїІ J![JI. -

rll

где - величина фонового постоянного расхода дозируемого ком-

понента; Хл , ий - соответственно амплитуда и частота флуктуаций.

Выражение (2) замещается структурной схемой (рис. 2), содержащей два виртуальных формирующих звена (включенных параллельно и тем самым задающих общий сигнал дозирования uxt как сумму двух независимых сигналов), на вход которых одновременно подается фиктивное управляющее воздействие n{t). Передаточные функции формирующих звеньев подобраны таким образом, чтобы при наличии на их входах функции u(t) в виде единичного импульса суммарный сигнал дозирования был бы равен исходно заданному (1), который при этом являлся бы оригиналом, полученным посредством выполнения операции обратного преобразования Лапласа из передаточной функции системы, изображенной на рис. 2.

IV “і.

5і + Юл, *

х„

дОі

/

v “і('>

©—*

Рис. 2

Динамита звеньев описывается посредством системы дифференциальных уравнений

\\,+а\Щ)=Хаща Я); at1

dy2

dt

что в пространстве состоянии запишется следующим образом:

где

lx,(0=-v2(0;

{х7 (о = -<в * х, (о+х dmx м(0;

,хЛ*)=Хао ,м(0,

Г*і (0 = ^(0; Ы(1) = уМ

х3(0 = у2(0-

Так как дозирующий сигнал ищется в виде суммы сигналов Уі (/) и у2((), уравнение наблюдения для спирального дозирующего устройства примет вид

и1

В результате, объединяя

S =

0 1 0

-о ,2 Л 0 0

0 0 0

dm&d 1 1

; ys=

n о.

I

Здесь Я, С, Ув, УС - соответственно матрицы состояния, управления, выхода по состоянию и выхода по управлению СМПА, элементы которых функционально зависят от режимно-конструктивных параметров СМПА.

Таким образом, итоговая модель дозирующего сигнала спирального дозатора в терминах пространства состояний примет вид

Ш/)=х2(0;

х2 (t) = -a2dxl(t)+Xa„t corf_ U(t);

^(0=^о, “(О; ul(t)=xl(0+x,(f).

Изменение весового расхода материала на выходе из шнекового дозатора описывается следующей временной функцией:

Xdt V ) - Х dm, dm2 Sitl((Brfj І ),

изображение по Лапласу которой имеет вид

%Llsy* - fX .у

dm2 2 2

S +G>1

где Х<]т2> (йл - соответственно амплитуда и частота флуктуаций выходного потока шнекового дозатора.

u

ТІ

Х<ь

\ГПі

У А (0

/

Рис. 3

Аналогично тому, как это было сделано в предыдущем разделе, дозирующий сигнал изображается в виде структурной схемы (рис. 3) и описывается системой дифференциальных уравнений

at*

dt іш

которая в пространстве состояний имеет вид х4(Г) = х5(/):

.V Ґ /“V — —гл^ V  ‘*5

«(о.

V (і \-г V її: 1,1 Г V

[5 / “ “V, - Ч І '1 11 !л У ' >

г'.'.'. I  V

где

К (0 = л(0;

3 *5(0 = Л (О;-1*6 (0 = у4 (О-

Дозирующий сигнал в этом случае ищется в виде суммы сигналов ^з(0 иу4(ґ), уравнение наблюдения для шнекового дозирующего устройства примет вид

112 (О ~Х4 (О+*6 (О-

В итоге, объединяя (13), (14) и (15), получаем ВММ вида (7), в которой

8 =

я 1 0 0

-со , 2 2 0 0, с = К,, со с1т2

0 0 0 X , п/п.,

і I

I

: уз=І(і \ \

Таким образом, ВММ дозирующего сигнала шнекового дозатора в терминах пространства состояний примет следующий вид:

%(0=*5(0;

I (!) \Ха

^(/)=х^2и( О;

С (О=*4 (0+*6(0-

. м(0',

/4 п ™ ! -е и} ^

V А, ^-Г+М кИц- .09)

где Аа, Ац, Вы - коэффициенты Фурье-разложения /-го сигнала порционного дозирования; со,*-рабочая частота /-го дозатора.

Аналогично предыдущим разделам, дозирующий сигнал изображается в виде структурной схемы

1 •У- (О ^(1 (.

— а I р I.

Л 2

42 V-

с// сК

й 'Уз(^+сй'х,(0=Д1со,ум(0;

А' ^л(0

Л2

+*юіуЛ*)=а,

с!и( О. с1(

О

+ 4<й^5 (/) = 2£2юйм(/);

Л

СІІ

Заметим, что в данной модели номерные индексы переменных состояния начинаются с цифры 4, что сделано с тем, чтобы отличать друг от друга модели, разработанные для спирального и шнекового дозаторов.

В схеме исследуемого нами СМПА в общей сложности содержится три устройства, предназначенных для формирования порционных потоков дозирования, которые имеют разные конструктивные особенности и принцип действия, а также разные режимные параметры, определяющие характер их функционирования. Однако все они относятся к типу порционных дозаторов, поэтому все сказанное в этом разделе относится к каждому из них.

Процесс формирования доз материма на выходе из дозатора порционного типа ранее был описан с помощью Фурье-разложения десятого порядка, которое во временной области представлено функцией

.V 1<1 - У А. сое—-/ ,'-3,4,5

ь. 'г ^ *1 ГР к\ Ф ' 7

' К Ы - )

что в области изображений по Лапласу запишется следующим образом:

—~ тІУгі (О = Що “і*!X а(

которая в пространстве состоянии примет вид

г%0=4^-«(0;

Й(0=*2ы(0, ]

*2м(0 = Ч(?-1К)Ч/(0+«(0;]

[ «310=*7 (0+ Е х2, (О, і = 4,12;

У = 2|І/ = ^±1)1) + 2І

где I - нормированный индекс переменной состояния; д - переопределенный номер полной гармоники.

я

0 0 0 0 0

0 0 1 0 0

0 ь 0 0 0

0 0 0 0 1

0 0 0 1 о о в 0

с=

V 1

0 1

1 II т > 0

0 1

1 о

Таким образом, была получена итоговая расчетная модель блока дозаторов (рис.5), состоящая из трех ДУ (порционного типа), а также спирального и шнекового дозаторов.

Следует отметить, что такого рода модели по сравнению со структурно-топологическими имеют кроме

ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. ПИЩЕВАЯ ТЕХНОЛОГИЯ, № 5-6, 2003

89

Г'191

и 01

т

ПДУ

СДУ и

ИЙ

ШДУ

+ кт

& &ІТ

преимуществ и некоторые недостатки: во-первых, для описания модели используется аппарат дифференциальных уравнений, порядок которых определяется порядком модели, что связано с определенными трудностями на уровне проведения расчетов; во-вторых, по данной модели невозможно определять частотные характеристики в их привычной форме, что создает некоторые неудобства при анализе; в-третьих, имеет место существенная чувствительность модели к конфигурации рассчитываемого агрегата - введение в схему новых конструктивно-технологических дополнений обязывает перестраивать модель полностью.

Несомненным достоинством данной модели является то, что за один акт моделирования можно рассчитать практически все сигналы, тогда как используя структурно-топологические подходы, приходится производить расчеты многократно, каждый раз внося изменения в базовую модель. Также необходимо отметить оперативность векторной модели СМПА при пе-реконфигурировании блока ДУ, что может иметь место при переходе на иную рецептуру смесевой композиции, при замене дозатора одного типа устройством другого типа и т.д. В данном случае изменяется только вектор входных воздействий, а не сама модель.

Л,-!.*,-123 ----- ~

Чтобы использовать преимущества структурного и топологического подходов, векторная модель подвергалась процедуре скаляризации, в ходе которой ДУ из блока дозаторов представлялись в виде передаточных функций, рассчитанных таким образом, чтобы при одновременной подаче на их вход типового воздействия в виде единичной импульсной функции на выходах появлялись сигналы, соответствующие реальным.

В заключение следует отметить, что анализ функционирования дозирующих устройств целесообразно проводить раздельно от остальных частей агрегата и друг от друга. Эго связано с большой сложностью их моделей ввиду требуемого большого количества переменных состояния (ПС), необходимых для адекватного описания процесса формирования сигналов порционного дозирования. Временные зависимости, получаемые в результате расчета квазискалярных ВММ отдельных дозаторов, рациональнее всего использовать далее как составные части векторного входа и(0 ВММ, скалярной по выходу, для всего СМПА в целом. Таким образом, можно исключить из общей ВММ модели ДУ, что значительно упрощает последующие расчеты, так как блок ДУ вносит очень большой вклад в формирование общей размерности модели. В частности, в рассматриваемом агрегате суммарная модель блока ДУ характеризуется вектором из 129 ПС, в то время как совокупность фрагментов агрегата без блока ДУ описывается посредством лишь 16 ПС. Очевидно, что использование ВММ, содержащей в своем составе модели блока дозаторов, требует описания посредством вектора из 145 ПС, что крайне нерационально с точки зрения проведения расчетов.

Таким образом, методика проведения расчета модели СМПА в технологическом пространстве состояний сводится к поэтапному определению временных сигналов на выходе каждого из дозаторов, их суммированию и расчету потока (потоков) на выходе из смесительного устройства и других узлов агрегата.

Кафедра процессов и аппаратов пищевых производств Кафедра автоматизации производственных процессов и АСУ

Поступила 28.02.02 г.