Особенности гидродинамики ламинарного течения вязкой жидкости в проточной части конфузорно-диффузорных элементов вращающего канала

УДК 532.5:621.694

ОСОБЕННОСТИ ГИДРОДИНАМИКИ ЛАМИНАРНОГО ТЕЧЕНИЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ В ПРОТОЧНОЙ ЧАСТИ КОНФУЗОРНО-ДИФФУЗОРНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ ВРАЩАЮЩЕГО КАНАЛА

Т.Ю. ГОРСКАЯ, Я.Д. ЗОЛОТОНОСОВ

Казанский государственный энергетический университет

Авторами предложен метод гидродинамического воздействия на поток в осесимметричных каналах путем влияния на него массовых центробежных сил. Для этого использован вращающийся канал с конфузорно - диффузорными элементами. Построена математическая модель течения жидкости в таком канале и получены численные результаты в виде безразмерных компонент вектора скорости и давления по проточной части. Представлены графики, описывающие особенности гидродинамики в исследуемом канале.

Известно [1-3], что в настоящее время весьма остро стоят вопросы интенсификации процессов конвективного теплообмена. Существует ряд методов для их реализации. К ним относятся методы воздействия на поверхность теплообмена, гидродинамического воздействия на поток жидкости, воздействия на физические свойства жидкости.

Одним из перспективных направлений в этой связи является интенсификация процессов гидродинамики в теплообменнике типа «труба в трубе», внутренним элементом которого является вращающаяся труба, коаксиально расположенная относительно неподвижной трубы, выполненной из конфузорно-диффузорных элементов [4-7].

В связи с этим рассмотрим гидродинамику течения вязкой жидкости в условиях ламинарного и осесимметричного течения в трубе, выполненной из цепочки конфузорно-диффузорных элементов с углом расширения 7...9 (рис.1).

2 ш

Рис.1. Диффузорный элемент трубы

Течение вязкой жидкости во вращающемся волнистом канале рассматривается в цилиндрических координатах (г,ф,г), при этом нулевое значение радиальной

© Т.Ю. Горская, Я.Д. Золотоносов Проблемы энергетики, 2004, № 9-10

координаты г совпадает с осью трубы, осевой координаты I - с входным сечением, а угловой координаты ф - с вертикальным сечением трубы.

Тогда уравнения движения и неразрывности для течения вязкой жидкости в трубе с учетом осесимметричного течения запишутся в виде [8]

dvr

dr

dv

-+ v

dv

Ф

z dz dv

r Ф 1 dp r —i- =--------— + v

э 2 %\2

d vr d vr

p dr

+

1 dvr

dz

+

2 r dr

dr

dvz

+ v

dr

+ v7

dz

dvz

dz

Ф vфvr

^ + —-----= v

fd 2Vф + ^% +1 dvФ

2

1 dp p dz

+ v

dr

dr 2

dz

2

r dr

-+

d 2vz +1 dvz. dz2 r dr

dvr dv

+

dr dz

vr

r

z + -'r

v

v

r

r

r

v

r

r

v

r

0

с граничными условиями

z = 0, vr = 0, vp= 0, vz = uq, p = P0;

dv. dp

r = 0, vr = 0, vp= 0, = 0, -i- = 0;

r ф dr dr

r = R( z), vr = 0, v p = R(z)ffl, vz = 0,

где R(z) = Ro + ztgY в случае диффузора и R(z) = Ro - ztgy в случае конфузора.

Введем уравнение баланса сил трения и давления при движении вязкой жидкости в канале

S'сеч Др = Sбок (pzr + ppz ).

Здесь Sсеч - площадь осевого сечения; - площадь бокового сечения;

pzr, ppz - компоненты тензора напряжения.

В качестве математической модели в области П = {(r, z): 0 < r < R(z ),0 < z < m} рассмотрим стационарную систему уравнений Навье - Стокса для безразмерных составляющих скорости и давления. Для этого представим параметры скоростей, давления, следуя [4,5]: vr = и0 f(z, r), vp=arp(z, r), vz = u0 H(z, r),

p - po =puQ F(z, r)/Re, где Re = dэ uq / v - число Рейнольдса;

dэ = 4cosy(rQ - rQ1 )/(з(г02 - RQ2)) - эквивалентный диаметр трубы; r = r /ro, z = z/L ,

R(z)= R(z)/ dэ - безразмерные переменные; Rq = ro / L, Rq = ro / dэ - безразмерные константы.

Обозначим N = ar / uq - число закрутки, R(z )= R(z) / ro в случае диффузора и R(z )= R(z)/ R0- в случае конфузора.

© Проблемы энергетики, 2004, № 9-10

Тогда имеем следующую систему уравнений:

2 2

//+нщ / - —р

дг ді г

дЖ , д2/ , й 2 д2/ , 1 5/ /

= —-----------~ + Й0 -------- + ~_г^ —"

дг

дг

2

ді2 г дг Г2 ’

йоИеГ / &+нйо дР+ 2/р\=д2р. + йо2 д2р+-^; 0 I/ дг 0 ді г ) дг2 0 ді2 г дг’

£

й0Яе| / — + Нй0 — 0 1 дг 0 ді

дЖ

д 2 Н

= — й0 ^ +

дг дг

1 дН - 2 д2 Н

^ + —^+ й02-----^

2 г дг ді2

/ + /+й0 дН=0.

дг г ді

Анализ системы (1)-(4) показывает, что для однозначной разрешимости системы дифференциальных уравнений необходимо наличие краевых условий. Кроме того, из системы (1)-(4) значения давления удается получить только через

д¥ д¥

компоненты вектора градиент давления -=-,---------- , для нахождения которых

дг дЦ

необходимы дополнительные уравнения, получаемые из законов сохранения вещества и уравнения баланса [9].

Так, из условия постоянства расхода в сечении канала справедливо уравнение Я(г) л

I тог = -[8].

0 2

Для обеспечения краевых условий (определения давления на стенке) приведем уравнение, полученное из условия баланса разности сил давления и силы трения:

й0 й( і) І дг ді

ді

Данная модель отличается простотой уравнений, что само по себе является преимуществом. Кроме того, заданием функции й(і) можно расширить область П, следовательно данная модель может описать процесс гидродинамики при движении вязкой жидкости в осесимметричном канале любой конфигурации. Таким образом, ее можно назвать общей для описания течения во вращающихся осесимметричных каналах.

Задавая граничные условия, данная модель будет описывать течение вязкой жидкости в заданном осесимметричном канале единственным образом.

Для нашей задачи граничные условия выглядят следующим образом:

і = 0, / = 0, <р = 0, Н = 1, Ж = 0; г=0, / = 0, р = 0, =0’ ТР = 0

дг дг

г=ад, / = 0, р = 1, н = 0.

Перейдем от области с криволинейными границами к прямоугольной области. Для этой цели введем замену переменных в уравнениях движения и энергии:

_ I - г г

Ь Я

Представим параметры скоростей, давления, значение числа Рейнольдса, эквивалентный диаметр, число закрутки аналогично модели для криволинейной области й. Введем безразмерные переменные Я = Я(г)/Ь , Я = Я(г)/0 э.

Тогда краевую задачу для безразмерных составляющих скорости в прямоугольной области можно записать в виде [10]

Я Ие^/-+(-1)” нг^^дТ+НЯ / - =- Я дТ+(+г2 %2

+1Т++Я2 ^-X;

г дг дгдг дг,2 г

ЙкЛ/ + (-1)”^^ + НЯ дф + /) = ( + г2 * 2 + 3 дф +

^ 'дг дг г ' ’ дг г дг

+ (-1)” 2тЯ1^ -д-ф + Я 2 д-2; ' ' *г дгдг =2

дгдг дг

Я КеТ (/ + (-1)” )дН + НЯ —1 = - ЯЯ—-(-1)” Яп&— +

У ' ЧТ дг) дг дг

( _2. 2 )д2Н 1 дН , .у, - д2Н -2 д2Н

+ и +г г^-2- + =-^ + 2(- ч —+Я —^;

' ' дг2 г дг дгдг дг

д/ / -дН . л.”_ дН Л

-д= + ^ + Я—+(-1)”^— = 0 дг г дг дг

с граничными условиями

г = 0, / = 0, : = 0, Н = 1, Т = 0;

К Т=(-1) ”+' , к дф=<-•) ”+1 ^;

дг дг дг дг

г = 0, / = 0, ф = 0, =0, =0;

дг дг

г = 1, / = 0, : = 1, Н = 0.

Приведем уравнение, полученное из условия баланса разности сил давления и силы трения при установившемся движении:

¥ (г, г ) = — Я

1 дН д/

=— + + (-1)"^- +

Я дг дг ~

+ям +гМ (-1}прл д(Р дг Я дг

Я дг \

Предложенная краевая задача для безразмерных составляющих вектора скорости и давления рассматривается в области ^ = {(г ,г); 0 < г < 1, 0 < г < 1}, в

которой построим сетку узлов Жт, и = {г^, г): г/ = /И, г-• =-т; / = 0, N= 0, М; И = 1/ N; т = 1/М}. Запишем разностные уравнения, аппроксимирующие уравнения (7) - (10) и (12) на этой сетке узлов. При этом для аппроксимации частных

производных по радиальной переменной применяются центральные разности, по осевой переменной - разности вперед. Заменяя в уравнениях производные на разностные отношения и избавляясь от бесконечно малых, приравнивая левые и правые части уравнений в узлах сетки, получим следующую систему разностных уравнений:

/ /+1 _ / /+1 / /+1 — //

{/!+1+(_1)пн/+4^ +12т /—1 + ну+1 яу+1 н _

Яу+1 Ие

N 2(ф/+1)2 . = _ Яу+1 (др']

г- )

у+1

+

//+1 2 //+1 + //+1 1/1+1 _ 2/- + —1

+

+ -

1 /•/’+1 _ /•/’+1 /•/’+1 _ /•/’ _ /•/’+1 + /•/’

1 +1__1 + (_1)п 2Т:1Я/+1tgy-—+1____________ +1_____ _1______ _1 +

г; 2т 2тН

+ (Яу+1)2

//'+’ _ 2// + //_1 //+‘

г;2

Яу +1 Ие

/+1 т/+1

*/+1

{//+1 + (_1)пн/+1т^*±±12;Ь=1+н/+1 Яу+1 % Н ф; +

+

2 /у +1т/ +11 ту +1 2т/ +1 +ту +1 ту+1 ту +1

2/- <Р- „ 2 - +1 _2Ф; +Ч;_1 ^- +1 ~Ч;_1

- - 1= (1 + гl tg у)—^--------- -----L-L + 3 -+1 _ - 1 +

т2 2тг-

,«/+1 ~/ „./ +1 . „./ ~/+1 '»«./ . ,«/ _1

+ (_1)п 2г-Я/+1tgy - +1 -+1 - _1 - _1 + (ЯУ +1)2 ^------------ -—;

2тН

2

т

И

Н

Я/+1 Ие

/+1 + (_1)пн/+1г^р() Н^ , Н-_1 + Н+1 Я/+1 Н Н

2т

=_Я/+1я/+1

д¥

\дгл

/+1

_ (_1)пЯ/+1т^

^д¥л к* л

/+1

+(1 + г- 2%2у) х

н/+1 _ 2н/+1 + н/+1 1 н+1 _ н+1

- +1

- _ 1

1 нл7 _ н- _1 1 -+1 -_1

н/+1 _ н+ _ нп+н

- +1

- +1

]+1

- _1

2тН

++ 2т

- _1+

(_1)п 2Т-Я+^х

2 н/+1 _ 2н/ + н-

] _1

+1 _ // Л н/ +1 _ н/+1

/1±1—/ЬI +1 / /+1 + (_1)пг^ ^ + Я/+1

2т г- - 2т

н/+1 _ н/ +1 _ +Л н/+1 _ н/

= 0.

х

т

х

2

Н

Н

- = 1, М _ 1 , / = 1, N _ 1,

где /I, ф-/, н-, ¥ / - значения сеточных функций, соответствующих искомым

функциям /, ф, н, ¥ в узлах (, г-), - = 0, М , / = 0, N.

Аппроксимируем граничные условия (5) следующим образом:

/0 = 0, ф0 = 0, н 0 = 1, /1 = 0, ф1 = 0, - = 0, М;

/0/ = 0, ф 0 = 0, н{ = н_1, ¥/ = ¥/;

/М = 0, ф М = 1, нМ = 0, / = 0м.

При построении разностной аппроксимации уравнений

использовалась линеаризация [11], в (13) - (15) /^, н/ суть значений /?, н/ из

предыдущей итерации, так, например, при нулевой итерации используем следующие приближения функций: / (г, г) = 0, ф( г, г) = 1, н (г, г) = 1, значения которых

последующими итерациями будут уточняться.

Таким образом, решения систем уравнений (13) - (15) носят итерационный характер.

Для нахождения компонент вектора скорости разностный аналог уравнения движения (7) - (9) записываем в виде разностного уравнения с соответствующими граничными условиями. Итак, для уравнения (8) запишем неявную разностную схему

а-ф{+1 _ с- ф/+1 + Ь- ф^1 = _ё[, - = 1, М _ 1, / = 1, N _ 1,

ф0+1 = °, ф М =1

где коэффициенты а/, ЬI, €1, gi получены из уравнения (14). Система (18) решается методом прогонки.

Решая разностное уравнение (15), получаем неявную схему

7~\1 +1

аг,и{+ - ані*+Ъ2и{+1 =-і2, -

і+1

і = 1, М -1, і = 1, N -1,

і+1

иі+1 = а20 + Ъ20 иі+1 + 820 + ді+1 (^ 0 с20 1 с20 с20 [дї

0

Коэффициенты а2 I, Ь2/, с 2/, g 2/ получены из уравнения (15). Согласно [13], решение (19) ищем в виде

И'+1 _ С'+1

+

д'+1 (дР ' '+1

+ (-1) "7^

У1

(др 1 1 1 +

\д7 ) і

Б{

і +1

где неизвестные Сі+1, БЦ+1 удовлетворяют разностным уравнениям

а 2 і Сі-1 - с 2іСі+1 + Ъ21СЩ _- 8 2і;

Сі+1 _ а20 + Ъ20 Сі+1 + 8^0 Сі+1 = 0С 0 = с2 С1 + с2 , С М =0;

с20 с20

а2і Бі-1 - с2іб{+Х + Ъ2( бЦ = -1, і = 1,М;

щі+1 = «20+62° б1і+1 +_^, бМм1 = 0.

0 с20 1 с20 М

Уравнения (20), (21) решаем методом прогонки, получаем выражения для значений функции Н через компоненты градиента давления.

После нахождения величин С і+1, Бі+1(і = 0, М) определяем градиент давления

ді+1 С

др Л і+1

[дї

+ (-1) пгіі8і

Г др Л і+1

[ дг ; і

из условия постоянства расхода в сечениях

канала

я

І+1

ді_

дї

І+1

1/2 -

+ (-1) ПП№

М-1

Г д^І+1

(1/2)С0+1 #0 + X СІ+1 ті + (1/2)сМ+1 Тм і=1

. М—1 . .

(1/2)в0+Ч + X +1ті + (1/2)ПМ+1тм

і=1

Подставив полученные из (22) значения градиента давления в (19), окончательно определим значения безразмерной осевой скорости Н.

Приближенное значение безразмерной радиальной составляющей скорости / находим из сеточного аналога уравнения неразрывности, решая неявную разностную схему

в1 і / І-1 - с1і //+1 + Ь1і І+1 = -Е1і -

і+1

і = 1, М -1, і = 0, N -1;

іі+1 = 0 іі+1 = 0

10 = 0, ^М = 0

коэффициенты в1і, Ь1і, с1і, е1і получены из уравнения (16).

Из уравнения (13) получим следующую явную разностную схему вида

І+1 = ГІ+1

2т

Я і+1 Н++1

Е3і, і = М,2,І = 0,N -1,

* І+1 2(НМ+-1 + (-1)П(Е^М+-1) , ГМ N(- 1) ІІГ (. т І +1 ^

*М = ІТ + яі+1 т I1 _Фм-1 >

7і+1 = *І+1

0

1

где граничное условие получено из уравнения (12), а ^ 3; - из уравнения (13).

Последовательно решая системы (18) - (24) с соответствующими граничными условиями, получаем компоненты скорости/, ф, Н и давления ¥ в узлах сетки ю'т,^.

Выбор предложенной разностной схемы для системы уравнений (7)-(12) основан на том, что, аппроксимируя частные производные второго порядка, мы добиваемся второго порядка точности по обеим переменным. Аппроксимируя частные производные по радиальной переменной центральными разностями, мы сохраняем установленную точность по данной переменной. Однако использование центральной разности по осевой переменной привело бы к неустойчивости разностной схемы, поэтому для аппроксимации частной производной по осевой переменной использовалась разностная формула с шагом вперед. При этом порядок

т

точности по осевой переменной уменьшился на единицу, став первым порядком точности.

Согласно теореме о связи аппроксимации и устойчивости разностной схемы со сходимостью [13], в силу линейности разностных операторов можно утверждать о сходимости рассмотренной разностной схемы, причем порядок сходимости совпадает с порядком аппроксимации.

Численная реализация данной задачи позволит определить параметры скоростей и перепады давления в осевом и радиальном направлениях канала при различных значениях критерия Рейнольдса и числах закрутки.

Предложенный алгоритм реализован в виде программы для 1ВМ РС на языке визуального программирования Бе1рЫ, в которой, кроме всего прочего, проверяются условия устойчивости разностных схем.

Полученная математическая модель и методы ее численной реализации позволили определить безразмерные компоненты вектора скорости ф = v(^|&r,

/ = vr/щ, Н = vz|uQ и безразмерное давление ¥ = ЬрИе/риО . На рис. 2-4

представлены кривые распределения составляющих вектора скорости в радиальных сечениях а) = 0,45 т и б) = 0,95 т при различных числах закрутки, Ие=2320.

Общая тенденция изменения давления по проточной части при различных числах закрутки показана на рис. 5.

При этом расчетные сечения поля скоростей в сечениях канала характеризуются типичными кривыми распределения. Осевая скорость представлена в виде усеченной параболы, вследствие интенсивного вихреобразования в диффузоре, и параболическим профилем, вследствие упорядочения потока в конфузоре.

Перепад давления по длине вращающегося канала определяется гидросопротивлением последовательно расположенных в нем элементов, особенностями гидродинамики в них, ростом давления в диффузоре и падением в конфузоре.

а)

б)

Рис. 2. Развитие профиля безразмерной окружной компоненты вектора скорости ф при различных значениях параметра закрутки по длине трубы: а) ї/Ь = 0,45т , б) ї/Ь = 0,95т .

1 - круглый канал, N = 2; 2 - канал типа «конфузор-диффузор», N = 2

а) б)

Рис. 3. Развитие профиля безразмерной радиальной компоненты вектора скорости / при различных значениях параметра закрутки по длине трубы: а) ї/Ь = 0,45т , б) ї/Ь = 0,95т . 1 - канал типа «конфузор-диффузор», N=0; 2 - круглый канал, N=0; 3 - канал типа «конфузор-

диффузор», N=2; 4 - круглый канал, N=2

1,5

1

H 0,5 0

-0,5

r IR

а)

б)

Рис. 4. Развитие профиля безразмерной осевой компоненты вектора скорости Н при различных значениях параметра закрутки по длине трубы: а) ї/Ь = 0,45т , б) ї/Ь = 0,95т .

1 - канал типа «конфузор-диффузор», N=2; 2 - круглый канал, N=2; 3 - канал типа «конфузор-

диффузор», N=0; 4 - круглый канал, N=0

z IL

z IL

а)

б)

Рис. 5. Характер изменения безразмерного давления F в проточной части вращающейся волнистой

трубы при различных угловых скоростях: а) w = 50 с"1; б) ю = 100 с"1. Цифры - номера сечений в радиальном направлении

Кроме того, на кромке стыка диффузора с конфузором имеет место область активной циркуляции, интенсивность которой по длине канала непрерывно возрастает, вызывая в этих зонах “скачок давления”. Это подтверждается и характером изменения осевой скорости, которая в диффузоре падает, в конфузоре растет, что, в свою очередь, подтверждает известные результаты по неподвижным волнистым каналам.

г /И

гт

в) г)

Рис. 6. Характер изменения безразмерной окружной компоненты вектора скорости ф в зависимости от чисел Рейнольдса при числе закрутки N=2 в осевых сечениях: 1) г/Ь = 0,04т; 2) г/Ь = 0,45т;

3) г/Ь = 0,95т. На графиках линии обозначены номерами осевых сечений

Ф

Очевидно, что интенсивность завинчивания потока при постоянной угловой скорости зависит от чисел Рейнольдса. Как видно из рисунка 6, чем меньше число Рейнольдса, тем интенсивнее к центру формируется профиль твердого вращения.

Известно [14, 15], что при течении во вращающихся каналах характер изменения окружной скорости зависит от скорости вращения, что подтверждается результатами расчета. Так уменьшение угловой скорости вращения вызывает формирование профиля твердого вращения лишь вблизи стенки, а рост угловой скорости приводит к формированию профиля твердого вращения далее от стенки. Данная тенденция сохраняется во всех сечениях проточной части канала.

Был исследован канал, состоящий из двух диффузоров и двух конфузоров, причем длина конфузора вдвое больше длины диффузора.

Установлено, что с ростом числа Рейнольдса уменьшается осевая компонента вектора скорости как в диффузорах, так и конфузорах. Кроме того, во втором диффузоре начинают появляться циркуляционные области, более того, при увеличении числа элементов трубы начало образования циркуляционных зон во втором диффузоре остается неизменным.

Сравнивая расчетные значения скорости в неподвижной волнистой трубе (ш = 0) с имеющимися экспериментальными данными [1], установлено

удовлетворительное их совпадение. Расхождение составляет около 25% и объясняется тем, что экспериментальные данные [16] получены для случая

4

Ие=3.5^10 , тогда как наша модель рассматривает ламинарный режим течения. Если в разработанной нами модели положить у = 0 , получим известную модель течения во вращающемся цилиндрическом канале [4,5]. Характер изменения параметров скоростей предложенной модели совпадает с ранее известными теоретическими исследованиями [4,5].

При численной реализации конечно-разностного метода рассматривались случаи решения данной задачи с различными шагами. Полученные результаты свидетельствовали о практической сходимости решений.

Summary

Authors proposed the hydrodynamic reaction method on flow as one of the effective upgrading hydrodynamics method. It was suggested to use the rotated converging-diverging channel. The mathematical models were proposed and obtained numerical results. Peculiarities of hydrodynamics in researching channel are presented on the graphics.

Литература

1. Мигай В.К. Повышение эффективности современных теплообменников. - Л.: Энергия, 1980. - 144 с.

2. Гортышов Ю.Ф., Олимпиев В.В. Теплообменные аппараты с интенсифицированным теплообменом.- Казань: КГТУ, 1999. - 175 с.

3. Авраменко А.А., Шевчук И.В., Халатов А.А.. Теплообмен и гидродинамика в полях центробежных массовых сил. - Киев: Наук думка, 1996. - Том 2.- 228 с.

4. Сайфутдинова А.Р., Золотоносов Я.Д., Шафигуллин Т.Р. Математическая модель течения инжектирующей жидкости во вращающемся осесимметричном конвергентном канале центробежного, струйного подогревателя// Известия вузов. Проблемы энергетики. - 2001.-№5-6. - С. 36-41.

5. Шафигуллин Т.Р., Золотоносов Я.Д. К вопросу исследования сопряженной задачи течения вязкой жидкости и конвективного теплообмена во вращающейся трубе и конвергентном канале пароструйного подогревателя// Известия вузов. Проблемы энергетики.- 2002. - №1-2. - С. 121-123.

6. Горская Т.Ю., Золотоносов Я.Д., Маминов О.В. Математическая модель течения вязкой жидкости во вращающейся трубе, образованной конфузорно -диффузорными элементами// Известия вузов. Проблемы энергетики. - 2002. -№ 11-12. - С.33-39.

7. Горская Т.Ю., Золотоносов Я.Д. Исследование гидродинамических закономерностей течения вязкой жидкости в теплообменнике с вращающейся рабочей поверхностью//Проблемы гидродинамики и теплообмена в энергетических установках: Тезисы докладов 16-ой Школы семинара молодых ученых и специалистов под рук. Акад. РАН А.И. Леонтьева.- Рыбинск: РГТУ, 2003. - Том 1. - С.221-224.

8. Исаченко В.П., Осипова В.А., Сукомел А.С. Теплопередача. - М.: Энергия, 1975. - 488 с.

9. Абрашин В.Н., Жадаева Н.Г. Аддитивные итерационные методы решения стационарных задач для уравнений Навье-Стокса//Дифф. уравнения. - Т. 35. -1999. - №11. - С. 1543 - 1552.

10. Горская Т.Ю., Золотоносов Я.Д. Исследование гидродинамики течения вязкой жидкости в поточной части конфузорно-диффузорных элементов вращающейся волнистой трубы//Известия вузов. Проблемы энергетики. - 2003. - № 5-6. -С. 161-165.

11. Кузьминский А.В., Смирнов Е.М., Юркин С.В. Экспериментальное исследование развивающегося, течения в каналах квадратного сечения, вращающимся вокруг поперечной оси// ИФЖ. - 1983. - Т.45. - №4. - С. 662 - 663.

12. Никифоров А.Н., Паутова Н.А. Численное моделирование сопряженного конвективного теплообмена в каналах// Известия вузов. Элекоромеханика.-1998.-№1.-С. 21-25.

13. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Часть

- II. М.: Наука, 1977. - 400 с.

14. Никольская С.Б. Ламинарное движение жидкости во вращающихся каналах//Известия АН СССР. Механика жидкости и газа. - 1977.- №6. -С. 175179.

15. Мальцев В.В. Исследование движения газа и теплоотдачи во вращающихся роторах//Вестник электропромышленности. - 1960. - №8. - С. 15 -22.

16. Мигай В.К., Быстров П.Г. Интенсификация теплообмена в волнистых трубах // Известия АН СССР. Теплоэнергетика. - 1976.- №11. - С. 74 -76.

Поступила 13.09.2004