Кинетические уравнения для процесса лазерного охлаждения протяженных примесных кристаллов c учетом коллективных эффектов

УДК 130.145

КИНЕТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ ДЛЯ ПРОЦЕССА ЛАЗЕРНОГО ОХЛАЖДЕНИЯ ПРОТЯЖЕННЫХ ПРИМЕСНЫХ КРИСТАЛЛОВ C УЧЕТОМ КОЛЛЕКТИВНЫХ ЭФФЕКТОВ1

© 2010 М.П. Ступацкая, Е.С. Тарельник2

Получена система замкнутых кинетических уравнений, описывающих процесс лазерного охлаждения в протяженных кристаллах, легированных примесями редкоземельных ионов с учетом коллективных эффектов.

Ключевые слова: лазерное охлаждение, антистоксов режим охлаждения,

сверхизлучение.

Лазерное охлаждение твердых тел является в настоящее время одной из наиболее важных проблем лазерной физики в связи практической потребностью в создании компактных высокоэффективных твердотельных лазерных рефрижераторов, функционирующих без криогенной жидкости [1—9]. Эффект охлаждения твердых тел может быть достигнут при использовании антистоксового режима флуоресценции. В качестве наиболее эффективной системы для реализации антистоксового режима охлаждения используются примесные редкоземельные ионы в прозрачных кристаллах. В первом эксперименте по лазерному охлаждению твердых тел в режиме антистоксовой флуоресценции в качестве рабочих ионов использовались редкоземельные примесные ионы (УЪ3+) в тяжелометаллическом флюоридном стекле [10]. При этом удалось понизить температуру образца на 3K по сравнению с комнатной. В последние годы с помощью антистоксова режима флуоресценции удалось понизить температуру различных примесных кристаллов до примерно 150 К от комнатной температуры [8]. Для теоретического описания процесса антистоксового охлаждения примесных кристаллов была предложена модель локальных или псевдолокализованных фононов [3]. Детальное описание модели псевдолокализованных фононов можно также найти в обзоре [11].

В работах [12-14] показано, что одним из способов увеличения эффективности лазерного охлаждения может стать использование режима сверхизлучения для примесных ионов в кристалле. Для этого предложено наряду с непрерывной накачкой использовать вспомогательные короткие лазерные импульсы с частотой, резонансной частоте атомного перехода в редкоземельных примесях, позволяющие

1 Работа выполнена в рамках Федеральной целевой программы ’’Научные и научно-педагогические кадры инновационной России” на 2009—2013 годы по лоту ’Проведение научных исследований коллективами научно-образовательных центров в области оптики, лазерной физики и лазерных технологий”, шифр ”2010—1.1—122—084” (номер государственного контракта 14.740.11.0063).

2Ступацкая Мария Петровна (Stupatskaya@NetCracker.com), Тарельник Елена Сергеевна

(noyemy4@mail.ru), кафедра общей и теоретической физики Самарского государственного университета, 443011, Российская Федерация, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

создать инверсную заселенность среды с последующим испусканием коллективного импульса. Однако при теоретическом анализе предложенной схемы авторы работы [12] ограничились только исследованием динамики примесных ионов, исключив из рассмотрения динамику фононных мод. В работе [13], наоборот, исследовалась динамика псевдолокализованной фононной моды примесного кристалла в рамках сосредоточенной модели примесного кристалла (длина волны излучения намного меньше характерных размеров образца). В работе [14] для описания коллективных эффектов в лазерном охлаждении использовались полуфеноменологические кинетические уравнения. Для описания реальных экспериментов по лазерному охлаждению кристаллов, легированных редкоземельными металлами, сосредоточенная модель кристалла неприменима [1-8]. Поэтому представляет большой интерес обобщение результатов работы [13] на случай протяженной модели кристалла.

М

ФОНОН

Q

-2

непрерыная

лазерная

накачка

Фонон

Q

Коротко-

импульсная

лазерная

накачка

Прямые, стоксовы и антистоксовы переходы

ж

ФОНОН .

q

t г

1

Рис. Схема энергетических уровней и возможных переходов в двухуровневом примесном ионе для сверхизлучательного режима антистоксового лазерного охлаждения примесного кристалла. Значками 1 и 2 обозначены основное и возбужденное состояние иона, ш-i —частота непрерывной лазерной накачки, — частота резонансного перехода в двухуровневом ионе и частота короткоимпульсной накачки, использующейся для создания инверсной заселенности уровней в ионе, П — частота псевдолокализованного фонона

Рассмотрим систему N двухуровневых примесных редкоземельных ионов в протяженном кристалле вида вытянутого стержня с резонансной частотой перехода wo, взаимодействующую с двумя когерентными полями накачки — непрерывной накачкой на частоте wi, удовлетворяющей условию wi < wo, и импульсной лазерной накачкой с частотой wo. Примесные ионы также взаимодействуют с псевдолокализованными фононами с частотой О. Частота непрерывной накачки подбирается так, чтобы выполнялось условие wi = wo — Q. Схема энергетических уровней и возможных переходов в примесном двухуровневом ионе представлена на рисунке.

Гамильтониан рассматриваемой системы можно представить в виде

H = Hm + HF + Hmf ,

где

N

HM hw0RZf + hQ.qЪ+ qbq +

f=i q

N

+ 2 h^R (t)^ Ie-i^0t-k0xf )R( + ) + ei^0t-k0xf )Rf-)| f =1

- гамильтониан системы свободных двухуровневых ионов, свободного псевдолокализованного фононного поля и импульсной накачки;

Hf 'У^ hw,

k a к ak

- гамильтониан свободного квантового электромагнитного поля, включающий в себя вакуумное поле и поле непрерывной накачки, и

Haf — hAF + Н

r

laf

гамильтониан взаимодействия, включающий прямое

h

AF

k,f

hgk

ikr*

a,kR+f + e-lkrf a+kR-f

и непрямое ион-фотонное взаимодействие

Н

AF — Е Kkjy el(^f ak R+(b-q + b+q) + e-l(k-^ a+k R—(bq + b+—q)} . q,k,f

Здесь индекс f нумерует двухуровневые ионы, rf — радиус-вектор f-го иона, vo — частота перехода в двухуровневом ионе, R^ —оператор инверсии населенности f-го излучателя, R± — понижающие и повышающие операторы в f-м излучателе, a+(ak) —оператор рождения (уничтожения) фотона с частотой vk, волновым вектором k и поляризацией еа;

gk — vo

2п

' qa

hvk V

— константа прямого диполь-фотонного взаимодействия, V — объем системы излучателей, совпадающий с объемом квантования электромагнитного поля; d — вектор дипольного момента двухуровневого атома, vr(t) — Eo(t)d/h — частота Раби для огибающей поля накачки Ido(t), ko —волновой-вектор поля накачки, b+(bq) — оператор рождения (уничтожения) фонона с частотой Q, волновым вектором q и поляризацией ем,

ken

Kkq —

V2mfih

— константа ион-фотон-фононного взаимодействия и m — масса примесного иона.

Используя метод исключения бозонных переменных и стандартные расцепления для ион-фотон-фононных корреляторов [15], мы получили для кристаллов в форме длинного стержня в случае очень больших (F ^ 1) и очень малых (F ^ 1) значений числа Френеля (где F — Svo/2nL,S - площадь поперечного сечения кристалла и L - длина образца системы марковских кинетических уравнений, описывающих полную динамику лазерного охлаждения с учетом коллективных эффектов

W — i hvR

dt 2 RW

N

E

f=1

,-i(tx ot—koXf ) R+ ei(u0t-k0x f ) R— \ _

T- +

1 + n

, T—)

+

— + Wc 2 W

+ T+ +

1 + n

T+ )

к

+

n

T

—  W i

e

1

1

- М+

M

—^-(1 + n) +----n

T{as) _

LT

K + T+ +

(1 + n) + *+ n

_ T

'(s) J

K,

dn

dt

(1 + n)--1 n\(N + Wc] + J 1— (1 + n)--Vn \ x

Mt- MTas) I \ 2 ) \MT(as) Mt+s) ‘

'

x N - W) + М

, M

' + (1 + nq) - ' +

lT(s) T+ ч T(s)\

nq) K,

dK = _1 W dWc

dt 2 c dt ’

где Wc = 2Zf(Д+) и (Д+Д-,) = ^Kelko(f').

При записи системы уравнений (1) использованы также следующие обозначения:

1

— = 2п V]

q- / J

— = 2k^2 Nk 9ks(wk - wo),

'q

2n

kq

1

T+

= 2n^2 NkKkq/^2S(wk - wo + Q),

kq

1q

= 2n^2(1 + Nk)K2kq/h2S(wk - wo - Q),

kq

1

+

2n^2 NkK2kq/h2S

q(as) kq

— обратные времена излучения и поглощения фотонов для прямого, стоксового и антистоксового переходов:

М = 2пт ^2

1

1

M(s) =2nT(s)^J (1 + Nk)hkq0/fr2r(k - q)S(wk - wo + Q) kq

где

M(as) = 2nT(as)Yl(1 + Nk )nhkq0/^2'Г(к + <T)S(wk - wo - Q), kq

m =i e'(*)rf i2

Nf

Величины g, 9(s), 9(as) представляют собой геометрические факторы, n = (nq(t)) — среднее число фононов в псевдолокализованной моде Q, < — модуль волнового вектора псевдолокализованного фонона и М — число псевдолокализованных фононных состояний, вовлеченных в процесс охлаждения. Для того чтобы система (1) стала замкнутой, необходимо добавить к ней уравнения для средних (R+), (Д-). Указанные уравнения не представлены в настоящей статье ввиду их громоздкого вида. Полученная система уравнений может быть использована для описания

полной динамики лазерного охлаждения в примесных твердых телах в режиме сверхизлучения. Результаты численного моделирования системы коллективных кинетических уравнения (1) будут представлены в нашей следующей работе. Здесь мы ограничимся качественным анализом некоторых частных решений полученных уравнений.

Легко заметить, что при использовании ряда упрощающих предположений уравнения вида (1) переходят в кинетические уравнения, полученные ранее для описания стационарного режима лазерного охлаждения примесных кристаллов в работе [3]. Действительно, опустим в (1) слагаемые, описывающие коллективные процессы излучения и поглощения фотонов на прямых, стоксовых и антистоксовых переходах. Будем полагать также, что испущенные фотоны быстро уходят из образца, т. е. среднее число фотонов в моде к, заданное внешним источником (лазерной накачкой), совпадает со средним числом фотонов в системе, Поскольку непрерывная накачка имеет частоту, совпадающую с частотой стоксового перехода в примеси, положим все числа фотонов, за исключением фотонов частотой шо — Q, равными нулю. В этом случае вынужденные процессы поглощения и излучения на прямом переходе будут отсутствовать. Кроме того, в приближении низких температур можно показать, что антистоксовые процессы проявляют себя лишь во втором порядке малости по среднему числу фононов всевозможных мод, определяемым взаимодействием с термостатом. Поле источника будем считать не слишком малым Nk ^ 1 (Nk — среднее число фотонов в моде непрерывной накачки). В этом случае мы можем пренебречь процессами спонтанного стоксо-вого излучения по сравнению с процессами вынужденного стоксового излучения, тогда 1 + Nk ~ Nk и т-(s) = т + (s) = Ts. Наконец, для описания процесса обмена энергией между выделенной псевдолокализованной модой и остальными фононными модами кристалла во второе уравнение введем феноменологическое слагаемое вида

— (n — neq ),

Tv

где neq — равновесное число резонансных фононов и Tv — время их термализации. В указанных приближениях мы действительно получаем из (1) уравнения, совпадающими с уравнениями, полученными ранее в [3; 4]):

dWc

dt

T- (г + W

1N + -<^ (2n + 1)Wc + —

Ts l 2

dn

dt

1

MTs

(2n +1)Wc + —

— (n — neq ). Tv

Рассмотрим стационарные решения уравнений (2). В приближении низких температур neq ^ 1 и при выполнении условия Ntv ^ Mt - стационарное решение для среднего числа псевдолокализованных фононов есть

nst

т M

N

n

eq

v

Соответственно, для эффективной температуры кристалла в стационарном режиме из (3) имеем

T

Те

eq

1 +

кв Ts Ш

ln

Tv N т-M

В высокотемпературном приближении neq ^ 1 решение для стационарного среднего числа фононов сводится к

nst

т M

Tv N

n

eq

В этом случае эффективная температура кристалла есть

T

T

eq

hQ Tv N 1 кв Ts т-M J

В формулах (3), (4) neq и Teq —значения среднего числа псевдолокализованных фононов и температуры кристалла в состоянии термодинамического равновесия соответственно. Нетрудно также показать, что в случае сосредоточенной модели примесного кристалла уравнения (1) переходят в уравнения, полученные ранее

в I11].

Таким образом, в настоящей работе нами получены замкнутая система кинетических уравнений, описывающих полную динамику процесса лазерного охлаждения протяженного примесного кристалла в режиме сверхизлучения. Численное моделирование полученных кинетических уравнений, а также обсуждение условий, при которых в процессе лазерного охлаждения необходимо учитывать коллективные эффекты, будет являться предметом нашей следующей работы.

Литература

[1] Mungan C.E., Gosnell T.R. Laser cooling of solids // Advances in Atomic, Molecular and Optical Physics. 1999. V. 40. P. 161-228.

[2] Ruan X.L., Kaviany M. Advances in Laser cooling of solids // J. Heat Transfer. 2007. V. 120. P. 3-10.

[3] Андрианов С.Н., Самарцев В.В. Оптическое сверхизлучение и лазерное охлаждение в твердых телах. Казань: Изд-во КГУ, 1988. 132 с.

[4] Петрушкин С.В., Самарцев В.В. Лазерное охлаждение твердых тел. М.: Физматлит, 2005. 252 с.

[5] Petrushkin S.V., Samartsev V.V. Laser cooling of solids. Cambrige: Woodhead Publishing Limited, 2009. 236 p.

[6] Petrushkin S.V., Samartsev V.V. Advances of laser refrrigeration in solids // Laser Physics. 2010. V. 20. № 1. P. 38-46.

[7] Sheik-Bahae M., Epstein R.I. Optical refrigeration. Weinhein: Wiley-VCH, 2009. 520 p.

[8] Laser cooling of solids to cryogenic temperatures / D.V. Seletsky [et al.] // Nature Photonics. 2010. V. 4. P. 161-164.

[9] Nemova G., Kashyap R. Laser cooling of solids // Rep. Prog. Phys. 2010. V. 73. 086501.

[10] Observation of laser-induced fluorescent cooling of a solid / R.I. Epstein [et al.] // Nature. 1995. V. 377. P. 500-502.

[11] Башкиров Е.К. Лазерное охлаждение примесных кристаллов в режиме сверхизлучения // Вестник СамГУ. Естественнонаучная серия. 2005. № 3(37). С. 90-109.

[12] Petrushkin S.V., Samartsev V.V. Superradiant regime of laser cooling of crystals and glasses doped with rare-earth ions // Laser Physics. 2001. V. 11. № 8. P. 948-956.

[13] Bashkirov E.K. Dynamics of phonon mode in superradiance regime of laser cooling of crystals // Phys. Lett. 2005. V. A341. P. 345-351.

[14] Nemova G., Kashyap R. Alternative technique for laser cooling with superradiance / Phys. Rev. A. 2011. V. 83. 013404.

[15] Боголюбов-мл. Н.Н., Шумовский А.С. Сверхизлучение. Дубна: ОИЯИ, 1987. 85 с.

Поступила в редакцию 13/VT/2010; в окончательном варианте — 13/VT/2010.

KINETIC EQUATIONS FOR LASER COOLING OF EXTENDED SOLIDS TAKING INTO ACCOUNT THE COLLECTIVE EFFECTS

© 2010 M.P. Stupatskaya, E.S. Tarelnik3

The system of closed kinetic equations for laser cooling of extensive crystals doped with impurities of rare-earth ions in the presence of collective effects has been obtained.

Key words: laser cooling, antistokes regime of cooling, super-radiance.

Paper received 13/VI/2010. Paper accepted 13/VI/2010.

3Stupatskaya Maria Petrovna (StupatskayaaNetCracker.com), Tarelnik Elena Sergeevna

(noyemy4amail.ru), the Dept. of General and Theoretical Physics, Samara State University, Samara, 443011, Russian Federation.