Построение двухуровневой модели для описания поведения сталей при термомеханическом нагружении в интервале мартенситных превращений

УДК 539.3

Построение двухуровневой модели для описания поведения сталей при термомеханическом нагружении в интервале мартенситных превращений

П.В. Трусов, И.Л. Исупова

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, 614990, Россия

Предложена модель для описания поведения сталей при термомеханическом нагружении с учетом мартенситных превращений. При построении модели применяется многоуровневый подход, основанный на использовании в ее структуре внутренних переменных — параметров, характеризующих состояние и эволюцию мезо- и микроструктуры материала. Постановка общей задачи облегчается за счет выделения отдельных подзадач, а именно определения напряженно-деформированного состояния, температуры и объемных долей сосуществующих фаз, для которых формулируются относительно независимые постановки. Представлены общая структура модели и алгоритм ее реализации. С использованием разработанного алгоритма выполнены численные эксперименты и проанализированы результаты расчетов.

Ключевые слова: мартенситные превращения, сталь, многоуровневая модель, внутренние переменные

Two-scale model of thermomechanically loaded steel with martensite transformations

P.V. Trusov and I.L. Isupova

Perm National Research Polytechnic University, Perm, 614990, Russia The paper presents a two-scale model that describes the behavior of steel under thermomechanical loading with regard to martensite transformations. The two-scale model uses internal variables—meso- and microstructural state and evolution parameters of the material. The general problem statement is simplified by specifying individual subtasks to determine the stress-strain state, temperature, and volume fractions of coexisting phases for which relatively independent statements are formulated. The general structure and realization algorithm of the model are described. Data on numerical experiments performed with the developed algorithm are described and analyzed. Keywords: martensite transformations, steels, multiscale model, internal variables

1. Введение

В сталях при термомеханических воздействиях могут происходить различные фазовые превращения, в том числе и мартенситные [1-7]. Возможность протекания тех или иных фазовых превращений и их кинетика зависят как от состава стали, так и от параметров и режимов термомеханического воздействия, таких как температура, условия нагрева, длительность выдержки, скорость охлаждения, механическая нагрузка и т.п. Как показывают многочисленные экспериментальные исследования, фазовые превращения являются причиной появления в сталях определенного набора физических и механических свойств, которые в значительной степени зависят от их микроструктуры, механизмов ее формирования и изменения. Корректное описание изменения струк-

туры дает возможность разработки новых методов получения сталей с заданным набором свойств. Экспериментальное определение режимов термомеханической обработки требует огромных временных и материальных затрат, в связи с чем наиболее эффективным направлением решения данной проблемы представляется создание математических моделей, описывающих состояние и эволюцию структуры сталей с учетом твердотельных фазовых превращений, в том числе мартенситных. На сегодняшний день в литературе представлено большое число моделей различных типов для описания поведения сталей с учетом мартенситных превращений. Краткий обзор работ, посвященных данной проблеме, можно найти в статье [8]. Вместе с тем проблему построения наиболее полной модели неупругого деформирования

© Трусов П.В., Исупова И.Л., 2014

сталей с учетом мартенситных превращений при различных условиях термического и механического воздействия нельзя назвать полностью решенной. Авторами предложена двухуровневая модель для описания поведения сталей при термомеханической нагрузке с учетом мартенситных превращений, основанная на введении в структуру модели внутренних переменных, под которыми понимаются параметры, описывающие состояние и изменение мезоструктуры (разворот кристаллических решеток отдельных зерен) и микроструктуры (изменение дефектной структуры, фазового состава) материала [9, 10]. Внутренние переменные делятся на две группы: явные и неявные. При этом явные внутренние переменные входят в определяющие соотношения рассматриваемого масштабного уровня, а неявные — в эволюционные (кинетические) уравнения в качестве параметров, характеризующих микроструктуру нижележащих масштабных уровней. Для связи внутренних переменных двух групп служат замыкающие уравнения. При использовании подхода с явным введением внутренних переменных принимается гипотеза о том, что реакция материала в любой момент времени определяется его текущими термомеханическими характеристиками, внутренними переменными и параметрами воздействия. Рассмотренная гипотеза позволяет отказаться от достаточно сложных определяющих соотношений в операторной форме, но сохранить свойство памяти материала о предыстории воздействий, носителями которой в данном случае являются эволюционирующие внутренние переменные. При использовании многоуровневого подхода на каждом уровне материальной точке ставится в соответствие неоднородная область на более низком масштабном уровне. На нижнем масштабном уровне путем явного рассмотрения физических механизмов неупругого деформирования, реализующихся в результате приложенных воздействий, установленных на верхнем масштабном уровне, определяются параметры эволюционирующей структуры, текущие физико-механические свойства и неупругие деформации, которые учитываются при уточнении отклика на верхнем масштабном уровне. Также следует отметить, что представленная модель основана на несимметричных мерах напряженного и деформированного состояния [11] в отличие от большинства работ по механике деформируемого твердого тела и моделированию рассматриваемых процессов.

2. Структура двухуровневой модели

При построении модели мартенситных превращений в сталях при термомеханическом воздействии используется двухуровневый подход. В рассмотрение вводятся следующие масштабные уровни: уровень физического тела (макроуровень I), уровень представительного макрообъема (макроуровень II) и мезоуровень.

Следует отметить, что к собственно модели материала относятся только два уровня — макроуровень II и мезоуровень. Элементом мезоуровня является кристаллит (зерно, субзерно), а представительный объем макроуровня состоит из множества элементов мезоуровня.

Связанность рассматриваемой задачи является одной из причин возникновения нелинейности. Так, в задаче определения напряженно-деформированного состояния неупругие деформации определяются не только пластической деформацией, но и трансформационной, связанной с происходящими в материале фазовыми превращениями. При этом напряженно-деформированное состояние зависит и от температурного режима; кроме того, все физико-механические характеристики материала являются функциями температуры и фазового состава. С другой стороны, в задаче теплопроводности тепловые источники определяются напряженно-деформированным состоянием исследуемой области и кинетикой фазовых превращений. Для определения фазовых долей требуется информация об эволюционирующих полях температур, напряжений и деформаций. Постановку общей задачи и последующее решение значительно облегчает выделение отдельных подзадач, а именно определение напряженно-деформированного состояния, температуры, фазовых долей всех сосуществующих фаз, для которых можно сформулировать относительно независимые постановки, т.е. связанная задача «расщепляется» по физическим процессам.

На макроуровне I ставится и решается краевая задача, включающая в свою постановку уравнение равновесия в скоростях, определяющие и кинематические соотношения, уравнение теплопроводности, необходимые граничные и начальные условия. Каждой точке физического тела (конструкции) ставится в соответствие представительный объем макроуровня II. При решении задачи определения напряженно-деформированного состояния элемент макроуровня II представляет собой статистическую выборку элементов мезоуровня [12, 13]. Параметры воздействий на мезоуровне назначаются с макроуровня II, а параметры, характеризующие эволюционирующую структуру, текущие физико-механические свойства, неупругие деформации на макроуровне II, которые в дальнейшем используются при решении краевой задачи на макроуровне I, определяются из условия согласования двух масштабных уровней [14]. В предлагаемой модели назначение с макроуровня II параметров механического нагружения для модели мезоуровня производится с использованием гипотезы Фойгта, т.е. для каждого элемента мезоуровня тензор транспонированного градиента скорости перемещений равен его значению на макроуровне II. В свою очередь, тензор транспонированного градиента скорости перемещений определяется в каждой точке интегрирования (которой и ставится в соответствие представительный объем макроуровня II) из решения краевой задачи на макроуровне I.

Рис. 1. Схематическое представление масштабных уровней для задачи определения напряженно-деформированного состояния

Неупругие составляющие деформаций, эффективные анизотропные упругие свойства, спин на макроуровне II, которые затем используются при решении краевой задачи на макроуровне I, определяются из условий согласования определяющих соотношений двух масштабных уровней. Для построения модели используются две системы координат: условно неподвижная лабораторная система координат и система координат, связанная с решеткой родительской фазы — аустенита. На рис. 1 представлена схема масштабных уровней для задачи определения напряженно-деформированного состояния.

Для температурной задачи каждой макроскопической точке интегрирования (элементу макроуровня II) приписывается совокупность зерен с заданным распределением ориентаций и геометрией, а каждое зерно аппроксимируется совокупностью конечных элементов [12, 13]. С макроуровня I для каждой точки (интегрирования) передаются температура и ее градиент. После решения краевой задачи для представительного объема макроуровня II определяются значения теплоемкости,

тензора теплопроводности и мощности внутренних источников, которые затем используются для решения краевой задачи на макроуровне I. На рис. 2 представлена схема масштабных уровней для задачи теплопроводности. Для осуществления связи задачи определения напряженно-деформированного состояния с температурной задачей производится геометрическая привязка статистических элементов (которым не приписывается конкретная геометрия и местоположение в пространстве), рассматриваемых при определении напряженно-деформированного состояния, к физическим (пространственным) элементам в температурной задаче, т.е. зерна (элементы мезоуровня в задаче определения напряженно-деформированного состояния) «привязываются» к реальным объектам, имеющим конкретную геометрию.

Предлагаемая модель основана на использовании несимметричных мер напряженного и деформированного состояния, что обусловлено следующими соображениями: если симметричность тензора напряжений

Рис. 2. Схематическое представление масштабных уровней для температурной задачи

8

Коши на макроуровне вытекает из уравнения баланса момента количества движения среды при равенстве нулю скорости изменения внутренних моментов количества движения и распределенных пар сил, то использование симметричных мер на мезоуровне является не вполне обоснованным, т.к. в процессе деформирования на мезоуровне имеет место ротация кристаллитов, изменение ориентации их решеток, и пренебрегать массовыми и/или поверхностными моментами нельзя, из чего следует несимметрия тензора напряжений Коши. В качестве меры скорости деформации, которая не зависит от выбора системы отсчета, предлагается использовать градиент скорости относительного движения частиц [11].

2.1. Постановка задачи на макроуровне I

На макроуровне I ставится и решается краевая задача для конструкции в целом (физического тела). В ходе решения происходит определение параметров нагруже-ния (транспонированного градиента скорости перемещений, температуры и ее градиента) для модели нижележащего масштабного уровня и уточнение отклика (тензора напряжений). Таким образом, при решении задачи определения напряженно-деформированного состояния необходимо найти скорости перемещений, удовлетворяющих системе уравнений, приведенной ниже. Будем считать, что под действием всех приложенных нагрузок тело находится в равновесии (т.е. рассматривается квазистатическая задача). Сложность решения задач с различными типами нелинейности (физической и геометрической) заключается в отсутствии информации об актуальной конфигурации, которая в данном случае не может быть принята совпадающей с отсчет-ной, поэтому использование уравнения равновесия в обычной форме, записанного в терминах тензора напряжений Коши, может привести к качественно неверным результатам. Именно поэтому в данной работе используется постановка задачи в скоростях, когда информация об актуальной конфигурации в рассматриваемый момент времени предполагается известной, а определению подлежат скорости изменения параметров процесса. Уравнение равновесия в скоростной форме получается непосредственным дифференцированием уравнения равновесия, при котором учитывается зависимость оператора Гамильтона от времени [15]:

V-Е — V-

а соответствующее начальное условие имеет вид

V-Ео + В о = 0,

где 2 — тензор напряжений Коши макроуровня; У — оператор Гамильтона, определенный в актуальной конфигурации; В — вектор распределенных объемных сил; V — скорость перемещения; нижний индекс 0 указывает на значения величин в начальный момент времени.

Для записи силовых граничных условий также используется непосредственное дифференцирование соотношений Коши, в результате чего получается граничное условие в скоростях: N - Е + N - Е = Т. Производная единичной внешней нормали N выражается через скорость перемещений [15], поэтому силовые граничные условия и соответствующие начальные условия можно записать в следующем виде:

N - Ё —

N - Ео = То,

где N — вектор внешней нормали к поверхности; Т — вектор поверхностных сил; Г Е — часть границы, на которой задаются силовые граничные условия

При постановке задачи также могут использоваться кинематические граничные условия:

V = Уг на Гу, (5) где Гу -часть границы, на которой задаются кинематические граничные условия; Уг -значение скорости перемещения на части границы Гу.

В качестве определяющего соотношения используется закон Гука в скоростной релаксационной форме:

Еск = Е + Е - О + От - Е = П — Zin — А©), (6) где П—тензор упругих свойств; А-тензор термического расширения; Zr, Z¡n-транспонированный градиент относительной скорости перемещений, его неупругая составляющая; й-тензор спина макроуровня;

верхний индекс СR обозначает коротационную производную. Транспонированный градиент относительной скорости перемещений определяется следующим образом [11]:

Zr = Z — О, Z = УУ

Выбор в качестве несимметричной меры скорости деформирования меры относительного смещения материальных частиц позволяет исключить любое движение среды как жесткого целого. Можно показать, что введенная таким образом мера деформированного состояния является индифферентной, т.е. не зависит от выбора системы отсчета. Подробно вопрос о применении несимметричных мер напряженного и деформированного состояния при построении многоуровневых моделей различных классов материалов рассмотрен в статье [11].

При решении температурной задачи на макроуровне I необходимо определить температурное поле, удовлетворяющее уравнению теплопроводности, соответствующим граничным и начальным условиям:

К © — V -

© = ©г на Г©,

N -

N -

©

где ©, ©о, ©г — температура, ее значения в начальный момент времени и на границе; К — теплоемкость; У — мощность внутреннего теплового источника; Л — тензор теплопроводности; Г© — часть границы, на которой задается температура; Ге — часть границы, на которой задается проекция G вектора теплового потока G = Л -V© на внешнюю нормаль; Г© G — часть границы, на которой задается условие теплообмена с окружающей средой по закону Ньютона; h — коэффициент теплообмена; ©^ — температура окружающей среды.

Тензор упругих свойств П, тензор термического расширения А, тензор спина й, неупругая составляющая транспонированного градиента относительной скорости перемещений Zrn, теплоемкость К, мощность внутреннего теплового источника У и тензор теплопроводности Л в каждой точке интегрирования, используемые при решении краевой задачи на макроуровне I, определяются с использованием моделей для представительного объема макроуровня II, о которых будет говориться ниже.

2.2. Определение напряженно-деформированного состояния. Постановка задачи на макроуровне II

Каждой макроскопической точке (интегрирования) макроуровня I ставится в соответствие представительный объем поликристаллического образца (элемент макроуровня II), состоящий из совокупности кристаллитов (зерен, субзерен) — элементов мезоуровня. Для элемента макроуровня II краевая задача для определения напряженно-деформированного состояния не ставится и не решается. Тензор упругих свойств П, тензор спина й, неупругая составляющая транспонированного градиента перемещений Zrn и тензор термического расширения А для представительного объема макроуровня, которые используются при решении краевой задачи на макроуровне I, определяются из условий согласования определяющих соотношений макроуровня и мезоуровня [14] и зависят от неупругой составляющей градиента относительной скорости перемещений ^ тензора спина ю, тензора упругих свойств п и тензора термического расширения а, вычисленных на мезоуров-не для каждого кристаллита, входящего в элемент макроуровня II:

Еск = Е + Е - О + От - Е = П — Zrn — А©),

О = О(ю(г),П(г)Х i = 1, ..., М, П = П(П(г-), О(0), i = 1, ..., М,

= г^Сш, П(П, шш),i = 1 м

, М,

где М — число элементов мезоуровня, необходимых для описания представительного объема макроуровня; i — индекс элемента мезоуровня (далее опускается). Конкретизации соотношений (14)—( 17), связывающих ха-

*г

А = А(а (1 ^«Х i = 1

рактеристики макро- и мезоуровней, будет посвящен отдельный раздел, в котором описывается процедура согласования определяющих соотношений двух масштабных уровней для задачи определения напряженно-деформированного состояния.

2.3. Определение напряженно-деформированного состояния и объемных долей сосуществующих фаз. Постановка задачи на мезоуровне

Взаимодействие элементов двух масштабных уровней при переходе с макроуровня на мезоуровень учитывается в соответствии с гипотезой Фойгта об однородности полного градиента скорости перемещений в рамках представительного объема каждого уровня. Таким образом, с использованием тензора градиента скорости перемещений, полученного из решения краевой задачи, находится тензор градиента скорости перемещений для каждого элемента мезоуровня в рамках представительного объема макроуровня:

? = 2.

В качестве определяющего соотношения на мезо-уровне также используется закон Гука в скоростной релаксационной форме:

осг = о — ю - о + о - ю = п :

где о, осг — тензор напряжений Коши и его корота-ционная производная; = £ — ю = ^ — ю — транспонированный градиент относительной скорости перемещений (индексом г обозначены величины, характеризующие относительное движение, фиксируемое подвижным наблюдателем в жесткой подвижной системе отсчета мезоуровня); V — скорость перемещений; п — тензор упругих свойств; а — тензор термического расширения.

Тензор упругих свойств и тензор термического расширения в многофазной системе определяются с использованием правила смеси:

N

п = ,

¿=1

N

а = 2^а ,

¿=1

где ^ = | У1/1V | — объемная доля соответствующего варианта мартенсита (iV11 — объем, занимаемый г'-м вариантом, |у| — объем области, занимаемый отдельным кристаллитом); значения п1 , а1 соответствуют физическим свойствам г'-го варианта мартенсита.

Необратимые деформации определяются протекающими в материале пластическими деформациями, осуществляемыми сдвигами по системам скольжения зерна, и перестройкой кристаллической решетки, обусловленной происходящими мартенситными превращениями. Неупругая составляющая меры скорости деформации (транспонированного градиента относительной скорости перемещений) для каждого кристаллита устанавливается следующим кинематическим соотношением:

N п

С I Р(к} У ?} + 14

2 •

к=1

где — градиент трансформационной деформации, описывающий превращение начальной фазы в г-ю разновидность мартенсита; N1 — количество фаз, испытывающих пластическую деформацию; И2 — количество разновидностей мартенсита, которые могут образоваться в процессе фазового превращения; у(к) — скорость сдвига по к-й системе скольжения г-й фазы; Р/к) = - Ь(к )п(к >

скольжения; п — число систем скольжения в кристаллите; п(к) — единичный вектор нормали к плоскости скольжения; Ь- — единичный вектор по направлению вектора Бюргерса, характеризующий направление скольжения.

На мезоуровне в качестве модели пластического деформирования кристаллита используется физическая вязкопластическая модель:

сятся соответственно к аустениту и г-му варианту мар-

„.

тенсита; тСА0, тС 0 — начальный предел текучести в к-й системе скольжения; ЕА, Е1 — параметр, играющий роль нормирующего множителя, в качестве которого можно выбрать любую из диагональных компонент тензора упругих свойств; ВА, т1 А, т2 А, Тс А, В-, т1-, т2 -, тс - — материальные константы, определяемые из процедуры идентификации; QA, Qi — энергия активации;

а(к) а(к) а] А' а1 -

- модули упрочнения; уА'\ ур^ — накоплен-

- Ь(к)п(к) — ориентационный тензор к-й системы ный сдвиг по системе скольжения у, у А,- =|у А,- ^т; Н

у

г

г

1/ т

«Еп

где т — критическое напряжение сдвига по к-й системе скольжения; у(к) — материальный параметр;

0- (к) тс 1 — параметр скоростной чувствительности; т- ' -

- Р/к^: о — сдвиговое напряжение, действующее в к-й

системе скольжения г-й фазы.

Для описания упрочнения в аустените и г-м варианте

мартенсита предлагается использовать эволюционные

уравнения вида [14, 16]:

&( к) _

А ЕА

Г п , Г / п ^-1

I а(кА (уА'У 1уАЛ

7-1 / ]-1

\

уР

Г т

- В4

'с А

ехр

Ж

Re

V

П т2

<1уА7)+1Н 47-1 --1

Лт1 А

/

\т2А

- 1

^А > 1, уА7) > 0, тСкАА (0) - тСА)0,

(

&С? - ^-Е-

I а( кк

7-1

(

У-

(7) .

!у(

7-1

-1

- В е

Гт

1т -

у;

\т2

(ехр(- а/^е)))1 - -1

х!у( 7)+4 - <тСТ) -&Ск 0 >,

7 -1

V- > 1, уР >0, т(0)-т. В соотношениях (24), (25) нижние индексы А и г отно-

характеризует скорость упрочнения аустенита из-за увеличения объемной доли образующегося г-го варианта

/„(')(к) „(к) \ „(I)(к) „(к) мартенсита; (т А тС 0 > -т А -&а 0, если разность

принимает положительное значение, и нулю в противном случае.

Физические причины, приводящие к упрочнению, весьма разнообразны: в первую очередь, упрочнение связывают с взаимодействием дислокаций друг с другом, со скоплениями дислокаций и с другими дислокационными субструктурами. Первые члены правых частей (24), (25) описывают активное (к = у) и латентное (к фу) упрочнение за счет взаимодействия дислокаций. Эффекты от перечисленных выше дислокационных реакций, обусловливающих упрочнение, приводят к нелинейному упрочнению, поэтому используется степенной закон. Под знак суммы в первом слагаемом соотношений (24), (25) введен не накопленный в системе скольжения сдвиг, а комплекс величин: отношение накопленного сдвига в данной системе к суммарному накопленному сдвигу. Это делается для учета меры сложности предыдущего деформирования (например, уменьшения плотности мобильных дислокаций в процессе деформирования). Вторые члены в (24), (25) описывают разупрочнение за счет термического влияния. При низких температурах величина второго слагаемого в законах упрочнения невелика, поэтому оно не оказывает значительного влияния на критическое напряжение сдвига. При повышении температуры, когда подвижность дислокаций увеличивается, критическое напряжение сдвига может значительно уменьшиться. Третье слагаемое в (24) позволяет учесть тот экспериментальный факт, что по мере развития фазового превращения сопротивление сдвигу в аустените значительно возрастает и зависит теперь не только от пластической деформации, но и от изменения объемной доли новой фазы [17]. При записи этого слагаемого считается, что наличие новой фазы приводит к одинаковому изменению сопротивления сдвигу во всех системах скольжения. Последнее слагаемое (25) отвечает за упрочнение в процессе предшествующей пластической деформации родительской фазы на упрочнение мартенсита. В этом случае образующаяся фаза наследует дислокационную структуру родительского аустенита [18]. Для учета данного механизма в

закон упрочнения вводится слагаемое, описывающее упрочнение мартенсита на системе скольжения ^ связанное с предшествующей пластической деформацией аустенита.

Изменение ориентации зерна определяется по его спину в результате интегрирования соотношения

ю = о - от,

где о — ориентационный тензор. Тензор спина ю определяется поворотом решетки вместе с материалом зерна при наложенном кинематическом воздействии и описывается с использованием модели полностью стесненного поворота Тейлора:

ю = w* —1/2 Е у А )(ЬАк )пАк) — п^О, ¿=1

где w* = 1/2 ^ — Vv) = 1/2 (; — ^т).

Стоит отметить, что в представленной работе все изменения ориентаций зерен связываются с происходящими в аустените пластическими деформациями, потому что в большинстве случаев вклад пластической деформации мартенсита в разворот решетки пренебрежимо мал.

Изменение объемной доли '-го варианта мартенсита описывается кинетическим соотношением, полученным в рамках термодинамики необратимых процессов

[19]:

д 1

1 /_

08^

1 8/ 'Щ

/¿1 — кинетические коэффициенты; 6 — температура; f— свободная энергия Гиббса, которую можно представить в форме

/ С2,..., де, 6) = /е1 + /сЬ + /

где /е1 — упругая составляющая свободной энергии, представляющая собой квадратичную форму от упругой составляющей меры деформационного состояния яе;

/сЬ = Е^/ (, с2,..., 6) — химическая составляю-1=1

щая; / — свободная энергии для г'-й фазы; /я — поверхностная энергия. Свободная энергия '-й фазы определяется суммой свободной энергии в отдельной фазе, энергии, отвечающей за смешивание компонентов, и энергии, отвечающей за химическое взаимодействие отдельных компонентов. Поверхностная энергия определяется произведением удельной энергии межфазной границы на площадь границы. Вопросы получения кинетического соотношения для изменения объемных долей различных вариантов мартенсита (28) и определения выражения для свободной энергии Гиббса подробно рассмотрены в статье [19].

Выражения для химической и поверхностной составляющих свободной энергии имеют следующий вид [20-22]:

ъ N

/сЬ = Е^ 1=1

п

- Е с'р (х1р + х2р6+ х3р61п(6)) +

V р=1

+ -^6£ сР 1п(сР) +

V р=1 1 п —1 п ...

I ^ V1 III

+ Е Е срс}гр}

V р =11 =р +1

т /у т

/8 = пЕЪ (1) = тЕ^ (1), 1=1 / 1=1

где с р — концентрация р-го компонента стали (железа, углерода, легирующих элементов) в '-й фазе, измеряемая в молярных долях; х/р, х2гр, х3'р — константы; пт — количество молей вещества; (6) — параметр, описывающий взаимодействие между р и j компонентами в соответствующих фазах; ™ = %/ /, % — энергия границы; I — толщина границы.

2.4. Согласование определяющих соотношений в задаче определения напряженно-деформированного состояния

Согласование определяющих соотношений для задачи определения напряженно-деформированного состояния основано на подходе, предложенном в работе [14]. Основная идея данного подхода заключается в том, что при использовании на мезоуровне и макроуровне II однотипных уравнений состояния определяющее соотношение на макроуровне II должно получаться осреднением определяющего соотношения мезоуровня при наложении априорных связей между частью однотипных параметров и установлении связей по остальным параметрам из сопоставления определяющего соотношения макроуровня II и осредненного определяющего соотношения мезоуровня.

Определяющее соотношение макроуровня II записывается в форме

Еск = Е + Е - О + От - Е = П — Zrn — А©), (32) а мезоуровня — в виде

осг = о — ю - о + о - ю = п :( — С — ю — а6). (33) Величины, входящие в описание напряженно-деформированного состояния мезоуровня, записываются в виде суммы средних по представительному объему макроуровня II величин и отклонений от них: П = <п>+п', о = <о>+о', ; = <;>+;',

;Гп =<Сп > + ;Гп', ю = <ю> + ю',

6 = <6> + 6', а = <а> + а', причем

<п'> = о, <о'> = о, <;'> = о, <;Гп'> = о, <ю'> = о, <а'> = о, <6'> = о.

Подставляя (34) в определяющее соотношение мезо-уровня (33) и осредняя получившееся соотношение, получаем

(о > - (п>: ((©-(С11 >- (©> - (а >(ее > - (а 'е>)+

+ (п' : С-с'-©'-а'е ')>-(оН©>-

-

На макроуровне отсутствуют физические причины появления моментных взаимодействий (распределенные поверхностные и массовые моменты), поэтому для согласования определяющих соотношений (36) и (32) необходимо симметризовать определяющее соотношение мезоуровня. С этой целью введем тензор четвертого ранга S -1/2 (Сп + С111) (С11, Сш — изотропные тензоры четвертого ранга [23]), который на произвольный тензор второго ранга Т действует следующим образом:

S: Т - 1/2(Т + Тт) - Т8.

Для симметризации определяющего соотношения (36) умножим его левую и правую части на S. При записи этого соотношения учтем, что напряжения на макроуровне II определяются как осредненные симметризо-ванные напряжения мезоуровня, а для градиента скорости перемещений принимается гипотеза Фойгта:

2 - S :

Z = С,С-0,

тогда получим

£ -(8 : п>: ((;> - (С >-(©>- (а>(> - (а'е'>) -

-(8 :п':(;¡.п'-ю'-а'е')> +

+ 8 :((ш>^(о>-(о>^(ш>) +

+ 8 :

Третий член в правой части (39) может быть преобразован следующим образом: 8 :((Ио>-(оИ>) -

- 8 :((Ио>)- 8 :((оМ©>) -

-(©>•(8: (о>) -(8: (о>) •(©> =

=

Замыкающие уравнения для тензора упругих свойств, градиента скорости перемещений, тензора напряжений, тензора термического расширения и температуры принимаются априори и имеют следующий вид:

П -

г -

£ - 8 :

А -

©-

Соотношение для спина получается в результате согласования определяющего соотношения макроуровня II: О -

Применение соотношений (41)-(46) к осреднен-ному определяющему соотношению мезоуровня (36) с учетом симметризации приводит к выражению £ - П: ^ - (С > - А© - (а'&'>) -

-(8: п': (С' + ©' + а'е')> + О • £ -

- £ • О + 8:

При сопоставлении выражений (47) и (32) получаем соотношение для определения неупругой составляющей градиента относительной скорости перемещений на макроуровне II:

и? - (С >+(а'е> +

+ П-1:

2.5. Постановка температурной задачи для представительного макрообъема

Для температурной задачи каждой макроскопической точке интегрирования (элементу макроуровня II) приписывается совокупность зерен с заданным распределением ориентаций, а каждое зерно аппроксимируется совокупностью конечных элементов. С макроуровня I для каждой точки интегрирования передаются температура и ее градиент. При решении теплоемкость, тензор теплопроводности и мощность внутреннего теплового источника для конечных элементов, покрывающих элемент мезоуровня, берутся одинаковыми. Тензор теплопроводности и коэффициент теплоемкости в каждом кристаллите зависят от фазового состава и вычисляются с использованием правила смеси:

N

ь -14- Ь -,

-- 1

N

к-2 4 к-.

-- 1

Мощность внутреннего теплового источника в зерне определяется как

N п N2

У-14- 1т(к) у (к) + IPigii г, - -1 к -1 - -1

где N — число фаз, испытывающих пластические деформации и фазовый переход; gi — скрытая теплота фазового перехода; р; — плотность.

После решения краевой задачи получаем значение температуры во всех узлах конечно-элементной сетки. Температура в конечном элементе определяется средним арифметическим температур в узлах элемента. Температура в элементе мезоуровня (зерне) находится осреднением по всем элементам, аппроксимирующим зерно. Запишем уравнение теплопроводности:

ке - V • (Ь -Vе) - у,

е^ - 0) -е0,

е0 — значение температуры в начальный момент времени.

Значения температуры и ее градиента в представительном макрообъеме определяются суммами средних по объему элемента макроуровня II величин и некоторыми флуктуациями [24]:

е-

V е -

где оператор осреднения (.) обладает следующим свойством:

<076)'> = о.

Принимается, что средние значения равны значениям температуры и ее градиента в точке макроуровня I: <6> = ©,

поэтому задача теплопроводности для представительного макрообъема сводится к задаче, записанной в терминах флуктуаций температуры. При решении краевой задачи для области, представляющей собой совокупность элементов мезоуровня, граничные условия выбираются таким образом, чтобы равенство (56) выполнялось. В предлагаемой работе использовались периодические граничные условия.

Для решения краевой задачи на макроуровне I необходимы коэффициент теплоемкости, тензор теплопроводности и мощность внутреннего теплового источника. Примем, что данные величины в каждой точке интегрирования физического тела в точности равны значениям, полученным осреднением по объему элемента макроуровня II, т.е. выполняются следующие соотношения:

К =

Л =

у =

3. Алгоритм реализации модели

В силу существенной нелинейности задачи используется пошаговая процедура, согласно которой весь интервал изменения воздействий разбивается на ряд достаточно малых шагов по времени. На макроуровне I ставится и решается краевая задача в обычном смысле (1)-(12). На каждом шаге по времени из решения задачи на макроуровне I определяются поля скоростей перемещений V, градиента VV, а также скорости изменения температуры © и градиента температуры V©. Для задачи определения напряженно-деформированного состояния каждой макроскопической точке интегрирования ставится в соответствие элемент макроуровня II, который представляет собой статистическую выборку элементов мезоуровня — отдельных кристаллитов. Для задачи теплопроводности каждой точке интегрирования приписывается совокупность кристаллитов с заданным распределением ориентаций, каждому из которых, в свою очередь, ставится в соответствие некоторая совокупность конечных элементов.

Для каждой из точек интегрирования макроуровня I решаются три задачи: задача теплопроводности, определения напряженно-деформированного состояния и фазового состава.

Краевая задача теплопроводности ставится и решается для представительного объема макроуровня, т.е.

для элемента макроуровня II. В свою очередь, элемент макроуровня II представляет собой совокупность элементов мезоуровня — отдельных кристаллитов с определенной ориентацией. Каждому кристаллиту ставится в соответствие совокупность конечных элементов, поэтому краевая задача для элемента макроуровня II ставится в терминах переменных мезоуровня. При решении задачи теплоемкость, тензор теплопроводности и мощность внутреннего теплового источника для конечных элементов, покрывающих элемент мезоуровня, берутся одинаковыми. После решения краевой задачи получаем значение температуры во всех узлах конечно-элементной сетки. Температура в конечном элементе определяется средним арифметическим температур в узлах элемента. Температура в элементе мезоуровня (кристаллите) находится осреднением по всем элементам, аппроксимирующим кристаллит. Эти значения температуры используются при решении задач определения напряженно-деформированного состояния и долей сосуществующих фаз на рассматриваемом временном шаге. При решении температурной задачи для рассматриваемой области (52), (53) в качестве входной информации используется температура ©, известная для каждой точки интегрирования в начале нового шага по времени после решения задачи на макроуровне I. Также для решения краевой задачи необходимы теплофизичес-кие характеристики, а именно: теплоемкость и тензор теплопроводности. Эти величины определяются по правилу смеси для каждого кристаллита после нахождения объемных долей сосуществующих фаз. После определения ориентационного тензора для каждого элемента мезоуровня осуществляется переопределение тензора теплопроводности. Температура в каждом узле расчетной сетки определяется как 6 = © + 6'. Значение величины © известно в каждой точке интегрирования из решения задачи на макроуровне I, поэтому уравнение теплопроводности для рассматриваемой области записывается в терминах флуктуаций 6'.

Скорость изменения объемных долей всех сосуществующих в отдельном зерне фаз определяется с использованием кинетических уравнений (28). Для решения кинетического уравнения для определения доли фазы необходимо найти свободную энергию многофазной системы. Свободная энергия зависит от упругой составляющей меры деформационного состояния я6 и температуры, известной из решения задачи теплопроводности на рассматриваемом временном шаге.

На каждом временном шаге решение задачи определения напряженно-деформированного состояния реализуется в три этапа:

1) определение скоростей неупругих и термических деформаций, скоростей напряжений и спинов элементов с использованием разработанной модели мезо-уровня;

2) процедура интегрирования для определения параметров процесса (напряжений, изменения ориентации элементов) в конеце текущего - начале следующего временного шага;

3) изменение ориентаций элементов мезоуровня; переопределение явных внутренних переменных в определяющем соотношении макроуровня из замыкающих уравнений.

В качестве «входной» информации на каждом временном шаге выступает информация о внешнем воздействии — транспонированный градиент скорости перемещений, известный из решения задачи на макроуровне I, температура е и скорость ее изменения, известные из решения задачи теплопроводности на рассматриваемом временном шаге. Также для решения задачи необходимы параметры процесса нагружения (напряжения и тензоры упругих свойств, переопределенные с учетом изменения ориентации решетки), рассчитанные в конце предыдущего шага по времени, и накопленные в процессе деформирования сдвиги по системам скольжения в кристаллитах.

В результате использования модели мезоуровня на «выходе» для каждого кристаллита определяются неупругая составляющая транспонированного градиента скорости перемещений тензор спина ю и скорость изменения напряжений о, а также с учетом ротаций переопределяются тензоры термомеханических характеристик. Кроме того, необходимо определить мощность внутреннего теплового источника (51), которая зависит не только от протекающих фазовых превращений, но и от пластической деформации.

В качестве элемента мезоуровня рассматривается кристаллит. В рамках представленной модели используется гипотеза Фойгта. Поскольку компоненты градиента скорости перемещений для представительного объема макроуровня определены в лабораторной системе координат, для задания воздействия на мезоуровне необходимо осуществить их преобразование в систему координат, связанную с решеткой аустенита, т.к. при рассмотрении мартенситных превращений все величины принято записывать в базисе родительской фазы. Для упрощения записи соотношений модели мезоуров-ня такие величины, как тензор упругих свойств, градиент трансформационной деформации и др. определяются в системе координат, связанной с решеткой кристаллита. Кроме того, вследствие перехода к решеточному базису (аустенита) в законе Гука исчезают слагаемые -© • о, о • ©, поскольку физический смысл коротацион-ной производной — скорость изменения компонент тензора по отношению к подвижному наблюдателю (в данном случае — связанному с решеткой аустенита).

В результате решения трех приведенных выше задач на «выходе» в каждой точке интегрирования вычисляются параметры и характеристики, входящие в закон

Гука, который затем используется при решении краевой задачи на макроуровне I, и в уравнение теплопроводности, а именно: модуль упругих свойств (41), тензор спина (46), неупругая составляющая градиента относительной скорости перемещений (48), теплоемкость (59), мощность внутреннего источника (61), тензор теплопроводности (60).

4. Обсуждение результатов

С применением разработанной модели проведены вычислительные эксперименты на одноосное растяжение для представительного объема макроуровня и сопоставление результатов вычислений и данных натурных экспериментов для стали АК! 304. Все экспериментальные зависимости, используемые в данной работе, взяты из статьи [25]. Рассматриваемые эксперименты проводились при комнатной температуре и полагалось, что градиенты температуры в пределах каждого конечного элемента, аппроксимирующих кристаллит, малы. Изменение температуры образца может происходить как за счет пластической деформации аустенита и мартенсита, так и за счет протекающих фазовых превращений, поэтому для определения этого изменения использовалось соотношение вида

т п т2

ке -14- 1т-к)&(к) +^-4- .

--1 к-1 --1

Выражение для свободной энергии индивидуальной фазы как функции от температуры и состава можно найти в [20]. Материальный параметр w определяется отношением энергии границы (%, Дж • м-2) к толщине границы (I, м). Значение энергии границы устанавливается экспериментально, а толщина границы является подгоночным параметром, характеризующим особенности межфазной границы. В данном примере значение параметра w принято равным 4 • 106 Дж • м-3 для всех разновидностей мартенсита [26]. Кинетические коэффициенты ¡у определяются отношением, связывающим скорость перемещения межфазной границы и движущую силу фазового превращения. В рассматриваемой работе предполагается, что кинетические коэффициенты одинаковы для всех вариантов мартенсита и равны 10 МПа-1 • с-1 [27]. Теплота фазового перехода gi -= 82 •Ю3 Дж • кг-1 также берется одинаковой для всех разновидностей мартенсита. Значения теплоемкости, компонент тензора упругих свойств и тензора термического расширения, скорости сдвига при напряжении, равном критическому, параметра скоростной чувствительности полагались известными и для аустенита, и для мартенсита; также принимается известным начальный предел текучести [28-30]. Значения остальных параметров в законе упрочнения определялись идентификацией. Процедура идентификации предполагала решение задачи минимизации:

Таблица 1

Параметры модели

Аустенит Мартенсит

Параметр решетки а, нм 0.356 0.258

Компоненты тензора упругих свойств, ГПа nfrn = 204.6, м п1111 ^M лоос „M = пзззз = 422.5, П1133 = = 344.3,

(для мартенсита в базисе, связанном п1212 = 126.2, п M П1122 M ОО^ Q ттМ _ П22зз _ 225.3, п2222 " = 524.5,

с собственной решеткой) П2222 = 137.7 пм П1212 „M ОЛО г „M = П2з2з = 223.6, П1з 1з : = 244.0

Скорость сдвига при напряжении равном 10-5 10-5

критическому у о, с-1

Параметр скоростной чувствительности тс 0.02 0.02

Начальный предел текучести тсо, МПа 300 500

Коэффициент теплоемкости к, Дж • м-3/°С 3.925 • 106 3.33925 • 106

Компоненты тензора термического расширения, °С-1 ап =а 22 =а 2з = 10-6 аМ = а52 = 0.15 • 10-6, аЗмз = - 0.6-10 -6

Параметр Т - 1 6.399 • 10-6 6.830 • 10-6

Модули упрочнения а\, а1к 5.494 • 10-5, 7.786 • 10-5 1 .240 • 10-5, 2.031 • 10- 5

Параметр В, МПа/°С 0.162 0.124

Параметр т2 4.034 1.858

Параметр тс, МПа 261.855 465.795

Энергия активации Q, Дж/моль 2370 2915

Е (oU -o* )2 ^ min,

i

где o^ — значение напряжений, определяемое по аппроксимированной экспериментальной диаграмме на-гружения при интенсивности деформации в; oU — интенсивность напряжений, рассчитанная с помощью модели; индекс i обозначает номер точки на аппроксимированной экспериментальной диаграмме нагру-жения.

На стадии идентификации использовались экспериментальные кривые «напряжение-деформация» для аустенита и мартенсита, полученные при одноосном растяжении образца со скоростью деформирования 10-5 с1 при температуре 20 °С.

Все параметры модели, необходимые для описания процессов деформирования с учетом мартенситного превращения, приведены в табл. 1 (компоненты тензоров определены в ортонормированном базисе осей, указанных на рис. 1).

В несимметричном тензоре упругих свойств мартенсита рассматривалось отклонение компонент 1313 и 3131, 2323 и 3232 от их среднего значения: значения компонент 1313, 2323 были увеличены на 5%, а значения компонент 3131, 3232 на 5 % были уменьшены. Для аустенита использовался симметричный тензор упругих свойств.

На стадии верификации модели использовалась экспериментальная кривая «напряжение - деформация» для стали, полученная при одноосном растяжении образца со скоростью деформирования 10-1 с-1 при температуре 20 °С. Предполагалось, что в процессе деформирования может образовываться мартенсит трех вариантов, соответствующих трем возможным деформациям Бейна.

На рис. 2, 3 представлены результаты натурного эксперимента и кривая, полученная в результате реше-

Рис. 1. Превращение кубической решетки аустенита в тетрагональную решетку мартенсита

Рис. 2. Кривая «напряжение - деформация» для аустенита

Рис. 3. Кривая «напряжение - деформация» для мартенсита

Рис. 5. Зависимость доли образовавшегося мартенсита от интенсивности деформаций

ния задачи оптимизации в ходе проведения процедуры идентификации для аустенита и мартенсита.

Стоит отметить, что при qu < 0.35 напряжения для мартенсита экспериментально определены не были из-за небольшой доли образовавшегося мартенсита, поэтому при решении задачи оптимизации производилась экстраполяция имеющихся экспериментальных данных для определения напряжений при qu < 0.35.

На рис. 4 приведена кривая «напряжение - деформация», полученная в ходе верификации модели: численный эксперимент по одноосному растяжению проводился с параметрами, полученными идентификацией, сравнение результатов моделирования производилось с результатами, приведенными в статье [25]. В ходе процедуры идентификации использовались данные, полученные в «локальных» испытаниях (in situ). В «локальных» испытаниях на одноосное растяжение образец помещают в испытательную микромашину. Такой тип эксперимента позволяет проводить испытания с низкой скоростью деформирования и определить напряжения в отдельных фазах, измеряя их на поверхности образца, помещая испытательную микромашину в рентгеновский гониометр [31]. Определение доли образующегося при деформировании мартенсита проводят с использованием метода сканирующей электронной микроскопии. Для макроскопических испытаний на одноосное растяжение используется универсальная испытательная машина. В процессе деформирования для отслеживания мартенситного превращения, происходящего в процес-

Рис. 4. Кривая «напряжение - деформация» для стали

се деформирования, производится съемка с помощью высокоскоростной инфракрасной камеры. Максимальное отклонение кривой, полученной в численном эксперименте, по отношению к экспериментальной составляет порядка 9 %. На рис. 5 приведена зависимость объемной доли образовавшегося мартенсита (берется осредненное по всем вариантам значение) от интенсивности деформаций. Подобной зависимости в экспериментальной работе [25] нет, однако отмечается, что объемная доля мартенсита в различных точках образца колеблется от 25 до 50 %.

5. Заключение

Представлена общая структура двухуровневой модели для описания поведения сталей при термомеханических воздействиях с учетом мартенситных превращений. Постановка общей задачи облегчается за счет выделения отдельных подзадач, а именно определения напряженно-деформированного состояния, температуры и долей сосуществующих фаз, для которых формулируются относительно независимые постановки на всех рассматриваемых масштабных уровнях, приведенные в статье. Для модели мезоуровня применяются несимметричные меры скорости деформации и напряжений. Особое внимание уделено процедуре согласования определяющих соотношений двух масштабных уровней для задачи определения напряженно-деформированного состояния. Предложенная модель демонстрирует хорошее соответствие результатов вычислений с данными натурных экспериментов, проведенных для образца стали AISI 304.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (гранты №№ 13-01-96006-урал_а, 14-01-00069-а), Минобрнауки РФ (базовая часть государственного задания ПНИПУ).

Литература

1. Билби Б.А., Христиан И.В. Мартенситные превращения // УФН. -

1960. - Т. LXX. - № 3. - С. 515-564.

2. Георгиева И.Я., Изотов В.И., Панкова H.H. Структурные и крис-

таллогеометрические особенности изотермического мартенсита

в сплаве Fe - 24 % Ni - 3 % Mn // ФММ. - 1971. - Т. 32. - № 3. -С. 626-631.

3. Изотов В.И. Морфология и кристаллогеометрия реечного мартен-

сита // ФММ. - 1972. - Т. 34. - № 1. - С. 123-132.

4. Курдюмов Г.В., Утевский Л.М., Энтин Р.И. Превращения в железе

и стали. - М.: Наука, 1977. - 238 с.

5. Утевский Л.М., Панкова М.Н. Электронно-микроскопическое исследование кристаллогеометрии мартенситного перехода // Металлофизика. - 1979. - Т. 1. - № 2. - С. 66-85.

6. Хачатурян А.Г. Теория фазовых превращений и структура твердых растворов. - М.: Наука, 1974. - 305 с.

7. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -Т. 2. - 320 с.

8. Исупова И.Л., Трусов П.В. Обзор математических моделей для описания фазовых превращений в сталях // Вестник ПНИПУ. Механика. - 2013. - № 3. - С. 157-191.

9. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Волегов П.С., Швейкин А.И. Определяющие соотношения и их применение для описания эволюции микроструктуры // Физ. мезомех. - 2009. - Т. 12. - № 3. - С. 6171.

10. Трусов П.В., Ашихмин В.Н., Швейкин А.И. Двухуровневая модель упругопластического деформирования поликристаллических материалов // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2009. - Т. 15. - № 3. - С. 327-344.

11. Трусов П.В., Нечаева Е.С., Швейкин А.И. Применение несимметричных мер напряженного и деформированного состояния при построении многоуровневых конститутивных моделей материалов // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. - № 2. - С. 15-31.

12. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Статистические модели // Физ. мезомех. - 2011. - Т. 14. - № 4. - С. 17-28.

13. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Прямые модели // Физ. мезомех. - 2011. -Т. 14. - № 5. - С. 5-30.

14. TrusovP.V., Volegov P.S., ShveykinA.I. Multilevel model of inelastic deformation of FCC polycrystalline with description of structure evolution // Comp. Mater. Sci. - 2013. - V. 79. - P. 429-441.

15. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упруго-пластические деформации: теория, алгоритмы, приложения. - М.: Наука, 1986. - 232 с.

16. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: приложение к описанию упрочнения в поликристаллах // Вестник Тамбов. гос. универ. - 2010. - Т. 15. - № 3. - С. 983-984.

17. Beese A.M. Experimental investigation and constitutive modeling of the large deformation behavior of anisotropic steel sheets undergoing

strain-induced phase transformation. PhD thesis. - Massachusetts: Massachusetts Institute of Technology, 2011. - 146 p.

18. Cherkaoui M., Berveiller M., Sabar H. Micromechanical modeling of martensitic transformation induced plasticity (TRIP) in austenitic single crystals // Int. J. Plasticity. - 1998. - V. 14. - No. 7. - P. 597626.

19. Исупова И.Л., Трусов П.В. Математическое моделирование фазовых превращений в сталях при термомеханической нагрузке // Вестник ПНИПУ Механика. - 2013. - № 3. - С. 126-156.

20. Dinsdale A.T. SGTE Data for Pure Elements // Calphad. - 1991. -V. 15. - P. 317-425.

21. Redlich O., Kister A.T. Algebraic representation of thermodynamic properties and the classification solutions // Ind. Eng. Chem. - 1948. -V. 40. - No. 2. - P. 345-348.

22. Wang J.J., van der Zwaag S. Stabilization mechanisms of retained austenite in transformation-induced plasticity steel // Metall. Mater. Trans. A. - 2001. - V. 32. - No. 6. - P. 1527-1539.

23. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. - М.: Наука, 1980. -512 с.

24. Ozdemir I., Brekelmans W.A.M., Geers M.G.D. Computational ho-mogenization for heat conduction in heterogeneous solids // Int. J. Numer. Meth. Engin. - 2008. - V 73. - No. 2. - P. 185-204.

25. Rodriguez-Martinez J.A., Pesci R., Rusinek A. Experimental study on the martensitic transformation in AISI 304 steel sheets subjected to tension under wide ranges of strain rate at room temperature // Mater. Sci. Eng. A. - 2011. - V. 528. - No. 18. - P. 5974-5982.

26. Turteltaub S., Suiker A.S.J. A multiscale thermomechanical model for cubic to tetragonal martensitic phase transformations // Int. J. Sol. Struct. - 2005. - doi:10.1016/j.ijsolstr.2005.06.065.

27. Cho J.-Y. Finite element modeling of martensitic phase transformation. PhD thesis. - Lubbock: Texas Tech. University, 2009. - 109 p.

28. Иванов Д.А., Куваев Н.В., Куваева Т.В. Расчет теплоемкости низкоуглеродистой низколегированной стали при моделировании неизотермических фазовых превращений // Теория и практика металлургии. - 2010. - Т. 1. - № 2. - С. 43-48.

29. Li Y Fatigue crack initiation (in 304L steel): Influence of the microstructure and variable amplitude loading. PhD thesis. - Paris: Centrale Paris, 2012. - 181 p.

30. Zaera R., Rodriguez-Martinez J.A., Casado A., Fernandez-Saez J., Rusinek A., Pesci R. A constitutive model for analyzing martensite formation in austenitic steels deforming at high strain rates // Int. J. Plasticity. - 2012. - V. 29. - P. 77-101.

31. PesciR., InalK., Berveiller S., PotoorE., Lecomte J. S, EberhardtA. Inter- and intragranular stress determination with Kossel microdiffraction in a scanning electron microscope // Mater. Sci. Forum. - 2006. -P. 109-114.

Поступила в редакцию 30.09.2013 г., после переработки 20.11.2013 г

Сведения об авторах

Трусов Петр Валентинович, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. ПНИПУ, tpv@matmod.pstu.ac.ru Исупова Ирина Леонидовна, асп. ПНИПУ, enotyforever@yandex.ru