Existance of boundary problem solution for quasilinear functional and differential equation

УДК 517.929

СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ КВАЗИЛИНЕЙНОГО ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

© П. М. Симонов, А. С. Ларионов

Ключевые слова: функционально-дифференциального уравнение второго порядка, знак функции Грина.

Статья посвящена актуальной проблеме разрешимости нелинейных краевых задач для дифференциальных уравнений. На основе дифференциального неравенства, являющегося аналогом известного дифференциального неравенства Чаплыгина для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, доказывается теорема о существовании и ограниченности решения краевой задачи для квазилинейного функционально-дифференциального уравнения с последействием. В ходе доказательства исходная краевая задача редуцирована к некоторому операторному уравнению с вполне непрерывным оператором.

Нелинейные краевые задачи для дифференциальных уравнений давно уже являются объектом интенсивного изучения (см., например, обзор [1] или монографию [2]). В основе доказательства разрешимости и построения оценок решений краевых задач для нелинейных дифференциальных уравнений часто лежат теоремы о дифференциальном неравенстве типа теоремы Чаплыгина [3]. Ниже приводится теорема о существовании и ограниченности решения двухточечной краевой задачи для квазилинейного функционально-дифференциального уравнения с последействием.

Будем пользоваться обозначениями: IR+ = {а £ R, а ^ 0} , W^[a, 6] (W^\a, 6]), п— 1,2 — пространство функций х : [а, Ъ\ —> R с абсолютно непрерывной производной (п — 1) -го порядка, причем х^ £ L(Loo), п = 1,2. Здесь L — L[a,b] — пространство классов суммируемых на [а, 6] функций х : [а, b] —> R; Loo = ^ос [а, Ь] — пространство классов функций х : [а, Ь] —» К измеримых и ограниченных в существенном. Предполагается, что во всех пространствах естественным образом введена полуупорядоченность.

Рассмотрим двухточечную краевую задачу для уравнения

где д, h : [a, b] R измеримы, g(t) ^ t, h(t) ^ t для почти всех t е [а, Ь]; / : [а, b] xR xR —> R удовлетворяет условию Каратеодори.

x(t) = f(t,x(g(t)),x(h{t))), х{£) = 0, ж(0 = 0, если £ ф [а, Ь\,

с краевыми условиями

х(а) = а, x(b) = Р а, (З Є R,

Обозначим

y{r(t)), если r(t) Є [a,b], 0, если r(t) $ [а, 6].

Теорема. Пусть выполнены условия:

___ _____________________________ _ ________________Вестник ТГУ, т. 15, вып.2, 2010

1. Существуют функции v, z € W1 [a, Ь\, удовлетворяющие неравенствам v(t) sj z(t),

где

«(*) > Ж «*(*)> «*(*)), Щ < Ж 2e(t), **(*)),

и(а) < а < 2(а), г?(Ь) < /3 ^ z(b).

Существуют суммируемые функции г\, г2 : К+ —> М+ такие, что для почти всех

1£ € [а, 6], с£ [0, +оо) справедливо неравенство

fit, щ,й2) - f(t,ui,u2) < r-i(c)(wi - ui) +Г2(с)(Й2 - иг) всякий раз, когда —с^щ ^ й\ ^ с,

min < U2 ^ йг < max г(<).

i6[a,6] *е[а,Ь]

5. Существует непрерывная возрастающая функция и : R+ —> М+ такая, что

\f(t,u1,u2)\ < w(|«i|), min v(t) < u2 ^ max z(t).

t€[a,b] t€[a,b]

6^9

4. Существует с > ---------- такое, что для всех с ^ с выполняется неравенство

о — а

7(c) 2

С2 ^ Эр’

р = max< max |u(i) — z(t)|, max |v(£)|, max U(f)l > ,

[<е[а,Ь] te[a,6] te[a,b] J

7(c) = a>(c) + 2cr\(с) + pr2(c).

5. Функция Грина G(t, s) краевой задачи

x{t) - ri{c)xg

x

неположительна в квадрате [а, 6] х [а, Ъ].

Тогда существует решение х задачи (1), (2), удовлетворяющее неравенствам

v(t) ^ x(t) ^ z(t), |ж(£)| ^ с, i е [а, Ь].

Для доказательства сформулированного утверждения обозначим

FC}S{t,Xg(t),Xh(t)) = f(t, Sg(t),Sh(t)) +r1(c)(xg(t) ~ 5g(t)) + Г2(с) (x h(t) ~ 5h(t)),

где

v(t) < 6h(t) ^ z{t), 16g(t)\ ^ c, te [a, b],

и рассмотрим линейную краевую задачу

x

x

Нам понадобится следующая

Лемма. Пусть выполнены условия 3 и 4 теоремы. Пусть, далее, x(t) решение задачи (3), (2), удовлетворяющее неравенствам v(t) ^ x(t) ^ z(t). Тогда |ж(£)| ^ с, t G [a,b].

Вестник ТГУ, т.15, вып.2, 2010

Доказательство. Пусть Ь Е [а, 6] — точка максимума функции |ж(£)| и пусть

Ье[а,Ь]

где с определено в условии 4 теоремы. Выберем действительное ЧИСЛО /1 так, чтобы

Тогда

М2

x(to + ц) = x(to) + /ii(t0) + yi(to + Vfi), где 0 < v < 1. Отсюда получаем

|/i|co < 2р + у | |/(i0 + иц, Sg(t0 + vp), 5h(t0 + vp))\+

+n(co) + \xg(t0 + vp) - Sg(to + vp)\ + r2{co)\xh{to + иц) - 5h(t0 + vfi)||

ИЛИ

\fi\co ^ 2p+'^~-p2.

Если p таково, что co\p\ = Ър, то последнее неравенство принимает вид

7(со) > _2_

4 "9 р

Полученное противоречие показывает справедливость утверждения леммы.

Доказательство теоремы. Для каждого 5 £ W1 такого, что 5 6 [и, z], |5| ^ с определим оператор А равенством

Ъ

(A£)(t) = J G(t, s)[f(s, 6g{s), 5h{s)) - ri(c)5s(s) - r2(c)6h(s)]ds + C(t),

a

где ((t) — решение задачи

x

x

Так как ri(c) ^ 0, r2(c) ^ 0, то краевая задача (3), (2) однозначно разрешима и ее единственное решение х имеет вид

x(t) = (AS)(t).

Используя условия 1, 2, 5 теоремы, покажем, что решение задачи (3), (2) удовлетворяет неравенствам

v(t) < x(t) ^ z(t), t е [а, Ь].

Действительно,

x(t) - v{t) = f(t,6g(t),6h(t)) + ri(c)(xg(t) - 6g(t))+

+r2(c){xh{t) - Sh{t)) - f{t,Vg{t),Vh{t)) < ri{c)(5g(t) - Vg(t))+

+r2{c)(6h(t) - vh(t)) +ri(c)(xg(t) - 6g(t))+r2{c)(xh{t) - 5h(t)) =

= ri(c)(xg(t) - Vg{t)) + r2(c)(xh(t) - vh(t)).

Обозначив х — v = £, получим

£'(*) ~ Ыс)Ш ~ r2(c)£h(t) = <p(t) < 0, е(а)> о, т> О,

откуда следует £ ^ 0, или v(t) ^ x(t), і Є [a. b]. Аналогично устанавливается справедливость неравенства z(t) ^ ^' (0  На основании леммы заключаем, что для производной решения х задачи (3), (2) справедлива оценка |ж(і)| < с.

Таким образом, оператор А переводит множество

A={(5GVKi:5Gb,z], |5|<с}

в себя. Представим оператор А в виде А = GM + £, где операторы G и М определяются соответственно равенствами

Ь

(Gy)[t) = J G(t, s)y(s)ds,

а

(M5)(t) = f{t, 6g(t), Sh(t)) - ri(c)Sg(t) - r2(c)6h(t),

a ( - решение задачи (4), (2).

Оператор M : Д —> непрерывен, а оператор G : Loo ограничен и компактен

как оператор из L00 в . Следовательно, оператор А : А —> вполне непрерывен. В

силу принципа Шаудера существует неподвижная точка оператора А, которая и является решением задачи (1), (2).

ЛИТЕРАТУРА

1. Аз белев Н. В. Краевые задачи для нелинейных функционально-дифференциальных уравнений // Дифференциальные уравнения с отклоняющимся аргументом. Киев: Наукова Думка, 1977. С. 5-11.

2. Laksmikantham V., Leela S. Differential and integral inequalities: Theory and applications. New York: Akad. press, 1969. I. 390 p.

3. Чаплыгин С. А. Новый метод приближенного интегрирования дифференциальных уравнений. М.;Л.: Гостехиздат, 1950. 102 с.

БЛАГОДАРНОСТИ: Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и администрации Пермского края (грант № 10-01-96054-р-урал-а), и ЗАО "ПРОГНОЗ".

Поступила в редакцию 05 февраля 2010 г.

Simonov P.M., Larionov A.S. Existance of boundary problem solution for quasilinear functional and differential equation.. The article is devoted an actual problem of solvability of nonlinear boundary value problems for the differential equations. On the basis of the differential inequality, which are analogue of a known differential inequality of Tchaplygin, for the ordinary differential equation of the first order, the theorem of existence and limitation of the solution of a boundary value problem for the quasilinear functional differential equation with aftereffect is proved. During the proof the original boundary value problem is reduced to some operational equation with completely continuous operator.

Key words: functional differential equation of the second order, sign on Green’s function.