Расчет композитных цилиндрических оболочек с применением многосеточных элементов

2. Сенашов С. И., Кондрин А. В. Разработка информационной системы для нахождения упруго-пластической границы стержней прокатного профиля // Вестник СИбГАУ. 2014. Вып. 4 (56). С. 119-125.

3. Senashov S. I., Cherepanova O. N., Kondrin A. V. On elastoplastic torsion of a road with multiply connected cross-section // J. Siberian Federal Univ., Math. & Physics. 2015. Vol. 8. P. 343-351.

4. Расчет напряженного состояния во всех точках упруго-пластического стержня прямоугольного сечения произвольной формы с треугольным отверстием : свид. № 2015614040 о гос. регистрации программы для ЭВМ / А. В. Кондрин, С. И. Сенашов, Е. В. Фи-люшина, О. Н. Черепанова. Зарег. в реестре программ для ЭВМ 03.04.2015.

5. Расчет напряженного состояния во всех точках упруго-пластического стержня прямоугольного сечения произвольной формы с прямоугольным отверстием : свид. № 2015614041 о гос. регистрации программы для ЭВМ / А. В. Кондрин, С. И. Сенашов, Е. В. Филюшина, А. Н. Яхно. Зарег. в реестре программ для ЭВМ 03.04.2015.

References

1. Senashov S. I., Cherepanova O. N., Kondrin A. V. Ob uprugoplasticheskom kruchenii sterzhnya // Vestnik SibGAU, 2013, vyp. 3 (49), рр. 100-103.

2. Senashov S. I., Kondrin A. V. Razrabotka informacionnoj sistemy dlya nahozhdeniya uprugo-plasticheskoj granicy sterzhnej prokatnogo profilya // Vestnik SibGAU, 2014, vyp. 4 (56), рр. 119-125.

3. Senashov S. I., Cherepanova O. N., Kondrin A. V. On elastoplastic torsion of a road with multiply connected cross-section // J. Siberian Federal Univ., Math. & Physics., 2015, vyp. 8, pр. 343-351.

4. Svidetelstvo № 2015614040 o gosudarstvennoy registratsii programmy dlya EVM / Raschet napryazhennogo sostoyaniya vo vsekh tochkah uprugo plasticheskogo sterzhnya pryamougolnogo secheniya proizvolnoj formy s treugolnym otverstiem / A. V. Kondrin, S. I. Senashov, Ye. V. Filyushina, O. N. Cherepanova. Zaregistrirovano v reyestre programm dlya EVM 03.04.2015.

5. Svidetelstvo № 2015614041 o gosudarstvennoy registratsii programmy dlya EVM / Raschet napryazhennogo sostoyaniya vo vsekh tochkah uprugo plasticheskogo sterzhnya pryamougolnogo secheniya proizvolnoj formy s pryamougolnym otverstiem / A. V. Kon-drin, S. I. Senashov, Ye. V. Filyushina, A. N. Yakhno Zaregist-rirovano v reyestre programm dlya EVM 03.04.2015.

© Кондрнн А. В., 2015

УДК 539.3

РАСЧЕТ КОМПОЗИТНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ОБОЛОЧЕК С ПРИМЕНЕНИЕМ

МНОГОСЕТОЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

А. Д. Матвеев1, А. Н. Гришанов2

Институт вычислительного моделирования СО РАН Российская Федерация, 660036, г. Красноярск, Академгородок, 50/44

^Новосибирский государственный технический университет Российская Федерация, 630073, г. Новосибирск, просп. К. Маркса, 20 Е-mail: mtv@icm.krasn.ru

Предложен расчет упругих композитных цилиндрических оболочек (которые широко используются в ракетно-космической технике) с применением криволинейных многосеточных элементов. Предлагаемые элементы учитывают неоднородную структуру оболочек и порождают дискретные модели малой размерности.

Ключевые слова: композиты, упругость, оболочки, многосеточные конечные элементы.

CALCULATING COMPOSITE CYLINDRICAL SHELLS USING MULTIGRID ELEMENTS

A. D. Matveev1, A. N. Grishanov2

institute of Computational Modeling SB RAS 50/44, Akademgorodok, Krasnoyarsk, 660036, Russian Federation

2Novosibirsk State Technical University 20, K. Marx Av., Novosibirsk, 630073, Russian Federation Е-mail: mtv@icm.krasn.ru

Calculating the elastic composite cylindrical shells with curvilinear multigrid elements is proposed. The proposed elements take into account the heterogeneous shell structure and generate a discrete model of small dimension.

Keywords: composites, elasticity, shells, multigrid finite elements.

Решетнеескцие чтения. 2015

Предложен вариант расчета цилиндрических композитных оболочек в декартовых системах координат с применением уравнений трехмерной задачи теории упругости. Базовые дискретные модели оболочек представляем однородными криволинейными конечными элементами (КЭ) Уе 1-го порядка с характерными размерами кех х кеу х ку (рис. 1, где ае - угол раствора КЭ ¥е, 01 х1 у12Х - локальная декартовая система координат, ей - ось оболочки). При построении функций перемещений для КЭ Уе 1-го (2-го, 3-го) порядка используем известные интерполяционные полиномы 1-го (2-го, 3-го) порядка [1; 2], записанные в декартовой системе координат 01 х1 у12Х. Подробно процедуры построения КЭ Уе (рис. 1) рассмотрены в [3; 4]. Сложные МнКЭ проектируем на основе криволинейных двухсеточных КЭ (ДвКЭ).

1. Криволинейные ДвКЭ. Кратко изложим процедуру построения ДвКЭ У % 3-го порядка с характерными размерами кX х кау х к% (рис. 2) в локальной декартовой системе координат Охух . ДвКЭ и МнКЭ

формы прямоугольного параллелепипеда рассмотрены в [5; 6]. Считаем, что между компонентами неоднородной структуры ДвКЭ ¥% связи идеальные. При построении ДвКЭ используем две вложенные сетки: мелкую и крупную. Мелкая сетка порождена базовым разбиением Яа ДвКЭ УЩ , которое учитывает его неоднородную структуру, состоит из КЭ Уе 1-го порядка и порождает мелкую сетку ка .

На мелкой сетке ка определяем крупную сетку На. На сетке На строим аппроксимирующие функции перемещений иа, уа, wa для ДвКЭ Упа, используя известные интерполяционные полиномы 3-го порядка [1, 2], записанные в декартовой системе координат Охуг . Узлы сетки На (рис. 2) отмечены точками (32 узла). Функции иа, уа, wa представим в виде

32

иа =Х Ыгиг,

32

32

где и/ , у, wi - перемещения /-го узла крупной сетки

На, Ы/ = N (х, у, г) - функция формы /-го узла сетки На , / = 1, ..., 32.

На базовом разбиении Яа ДвКЭ УЩ , используя метод конденсации [2], строим суперэлемент О п, полную потенциальную энергию Пп которого запишем в матричной форме:

П =1К [Кп ] 8И - ЪТп Рп

где [Кп ] - матрица жесткости; Рп , 6п - вектор узловых сил, перемещений суперэлемента Оп .

Используя (1), строим равенство 6п = [АЩ ] , где - вектор узловых перемещений крупной сетки На, [Ах ] - прямоугольная матрица. Учитывая связь между векторами 6п, 6% в (2), из условия дПп / дЬа = 0 получаем матричное уравнение вида [К ] Ьап = Fna, где

[ кп ] = [ах ]Т [ Кп ] [ ах ], Fna = [Апа ]Т Рп, где [К% ] - матрица жесткости; FX - вектор узловых сил ДвКЭ Упа .

2. Криволинейные сложные МнКЭ. Кратко покажем процедуру построения криволинейного сложного МнКЭ У у 3-го порядка с характерными разме-

Лт 1 т 1т V

х х ку х к2 , расположенного в локальной декартовой системе координат 02х2у2г2 (рис. 3). Область МнКЭ У у разбиваем на ДвКЭ УXX 3-го порядка (рис. 2), п = 1,...,N, N - общее число ДвКЭ . Для рис. 3 имеем: N = 27 , кт = 3кха, ку? = 3к% , кт = 3к% . На крупных сетках ДвКЭ УЩ определяем более крупную сетку Нт для сложного МнКЭ УУ . Узлы крупной сетки Нт МнКЭ У у на рис. 3 отмечены точками (32 узла). МнКЭ УУ включает множество криволинейных различных мелких и крупных вложенных сеток ДвКЭ У Щ и сетку Нт.

Рис. 1. КЭ Уе

Рис. 2. ДвКЭ У %

Рис. 3. Сложный МнКЭ У т

/=1

/=1

/=1

Так как при мелком разбиении угол раствора ат МнКЭ Ут мал, то формы МнКЭ Ут и прямоугольного параллелепипеда мало отличаются. Поэтому при построении на сетке Нт аппроксимирующих функций перемещений ит, ут, м>т для МнКЭ Ут (3-го порядка) используем известные интерполяционные полиномы 3-го порядка [1; 2], записанные в локальной декартовой системе координат 02х2у212. Функции перемещений ит , ут, wm применяем в виде

32 32

Ч 1 лтт„,т Ч 1 лтт.т

/=1 /=1

^т=£ ы^?,

/=1

где ыт - базисная функция /'-го узла сетки Нт; ит,

т т • тт

у/ , м>/ - перемещения в /-м узле сетки Нт, определяемые в декартовой системе координат 02х2у212.

Обозначим qm - вектор узловых перемещений

сетки Нт , определяемый в декартовой системе координат 02 х2у212. Ось 0у системы координат 0ху2 (рис. 2) параллельна оси 02у2 системы координат 02х2у212 (рис. 3). Пусть векторы Ьап ,

б^ (размерности 96) узловых перемещений ДвКЭ УЩП отвечают соответственно декартовым системам координат 0ху, и 02х2у2г2. Векторы бап, бЩ связаны равенством

бП = Т ] бП,

где [ТЩ ] - матрица вращений [2] размерности 96х96.

Используя (4), строим соотношения [1]:

[ кьп ] = [тЩ ]Т [ кп ] [ТЩ ], Pbn = [ТЩ ]Т Pnn,

где [КЩП ], [Кьп ] - матрицы жесткости; PJп, Pn, - векторы узловых сил ДвКЭ УЩп , отвечающие соответственно декартовым системам координат 0хух и 02 х2у2 г2. Полную потенциальную энергию Wm сложного МнКЭ Ут представим в матричной форме

Wm ^^П )Т К ] бЩ - (бЬ )Т Pbn } . (5) Используя (3), строим равенство

бЩ = [ Ат ] qm ,

где [АЩт ] - квадратная матрица размерности 96 х 96, п = 1, ..., Ы.

Подставляя (6) в (5), из условия дWm / дqm = 0 получим уравнение

[кат ] q т = F^m,

где [Кат ] = £ [АЩ ]Т [Кьп ][АЩ ]; Fam = £ [Ат ]Т Гьп ,

п=1 п=1

где [ Km ], F^ - матрица жесткости и вектор узловых

сил сложного МнКЭ У^ .

Криволинейные ДвКЭ (сложные МнКЭ) 1-го, 2-го порядка строим по процедуре, которая аналогична процедуре п. 1 (п. 2). Сложные МнКЭ подробно рассмотрены в [7; 8].

Библиографические ссылки

1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике : монография. М. : Мир, 1975. 541 с.

2. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов : монография. М. : Мир, 1981. 304 с.

3. Матвеев А. Д., Гришанов А. Н. Двухсеточное моделирование цилиндрических оболочек и панелей переменной толщины // Вестник КрасГАУ. 2014. № 4. С. 90-97.

4. Матвеев А. Д., Гришанов А. Н. Одно- и двухсе-точное криволинейные элементы трехмерных цилиндрических панелей и оболочек // Известия АлтГУ. Сер. «Математика и механика». 2014. № 1/1. С. 84-89.

5. Матвеев А. Д. Некоторые подходы проектирования упругих многосеточных конечных элементов. Деп. в ВИНИТИ, № 2990-В00. Красноярск, 2000. 30 с.

6. Матвеев А. Д. Многосеточное моделирование композитов нерегулярной структуры с малым коэффициентом наполнения // ПМТФ. 2004. № 3.

7. Матвеев А. Д. Построение сложных многосеточных элементов с неоднородной и микронеоднородной структурой // Известия АлтГУ. 2014. № 1/1. Сер. «Математика и механика». С. 80-83.

8. Матвеев А. Д., Гришанов А. Н. Смешанные многосеточные дискретные модели трехмерных цилиндрических композитных панелей и оболочек сложной формы // Сб. ст. XIX зимней шк. по механике сплошных сред. Пермь. 2015. С. 198-211.

References

1. Zenkevych O. The finite element method in engineering [Metod konechnykh elementov v technike]. Moscow, Mir, 1975. 541 p.

2. Norrie D., de Vries J. An Introduction to Finite Element Analysis [Vedenie v metod konechnykh elementov]. Moscow, Mir, 1981. 304 p.

3. Matveev A. D., Grishanov A. N. Double-grid modeling of cylindrical shells and panels of variable thickness // Vestnik KrasGAU. 2014, № 4, pp. 90-97.

4. Matveev A. D., Grishanov A. N. Single- and double-grid curvilinear elements of three-dimensional cylindrical panels and shells // Journal of Altai State University. 2014, № 1/1, pp. 84-89. Edition: Mathematics and Mechanics.

5. Matveev A. D. Some approaches of designing elastic multigrid finite elements [Nekotorye podkhody proektirovania uprugikh mnogosetochnykh konechnykh elementov]. VINITI Proceedings № 2990-B00. Krasnoyarsk, 2000. 30 p.

6. Matveev A. D. Multigrid modeling of composites of irregular structure with a small filling ratio [Mnogosetochnoe modelirovanie kompozitov neregu-larnoi struktury s malym koefitsientom nopolnenia] //

Решетнееские чтения. 2015

Journal of Applied Mechanics & Technical Physics. 2004, no. 3, p. 161-171.

7. Matveev A. D. Construction of the complex multigrid elements of inhomogeneous and microinhomogeneou structure // Journal of Altai State University, 2014, № 1/1, pp. 80-83. Edition: Mathematics and Mechanics.

8. Matveev A. D., Grishanov A. N. Mixed multiugrid discrete models of three-dimensional cylindrical composite shells and panels of complex shape // Collection of Articles of Winter School XIX on continuum mechanics. Perm, 2015, pp. 198-211.

© Матвеев А. Д., Гришанов А. Н., 2015

УДК 532.5.031

РАЗРАБОТКА ГИДРОЛОТКА ХЕЛЕ-ШОУ ДЛЯ ВИЗУАЛИЗАЦИИ ОБТЕКАНИЯ ДВУМЕРНЫХ ТЕЛ

Е. А. Николаева, Я. С. Киунов

Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С. П. Королева (Национальный

исследовательский университет) Российская Федерация, 443086, г. Самара, Московское шоссе, 34 E-mail: nikolaevalizaveta@mail.ru

Ячейка Хеле-Шоу служит для визуализации и исследования обтекания жидкостью аэродинамических профилей. Параметры ячейки таковы, что в ней имитируется идеальное течение. Поскольку течение идеально, то ячейка служит для решения уравнения Лапласа, что в свою очередь позволяет решить множество задач в ракетно-космической сфере (можно говорить о применимости полученных данных для исследования обтекания ракеты в атмосфере).

Ключевые слова: ячейка Хеле-Шоу, идеальное течение, аэродинамический профиль, жидкость.

DEVELOPING HYDROTRAY OF HELE-SHOU TO VISUALIZE THE FLOW OF TWO-DIMENSIONAL BODIES

E. A. Nikolaeva, Ya. S. Kiunov

Samara State Aerospace University 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation E-mail: nikolaevalizaveta@mail.ru

Hele-Shaw's cell serves to visualise and research flows of liquid of around airfoil. Parameters of a cell are that ideal current is imitated. As the current is ideal, the cell serves for the solution of Laplace equation that in turn allows to solve a set of problems in the space-rocket field (it is possible to speak about applicability of the obtained data for research of a flow of the rocket in the atmosphere).

Keywords: Cell, Hele-Shaw, ideal current, aerodynamic profile, liquid.

Ячейка Хеле-Шоу стала знаменитой как своего рода аналоговое вычислительное устройство для решения уравнения Лапласа [1], и в этом качестве она оказалась особенно полезной для визуализации двумерных течений в пористых средах в предположении, что они достаточно медленные, чтобы следовать закону Дарси. Однако на протяжении последних пятидесяти лет гидролоток Хеле-Шоу начал функционировать для визуализации обтекания двумерного потока жидкости около геометрических объектов [2], что служит для решения множества задач в ракетно-космической сфере.

Разрабатываемый гидролоток Хеле-Шоу представляет собой плоский канал с высотой живого сечения 1 мм. Стенками канала для течения жидкости являются прозрачные стекла, через которые можно наблюдать картину течения [3]. Гидролоток имеет размеры 600^300 мм. Разработанный гидролоток

выполнен из композиционных материалов, что позволяет сохранить долговечность и технологичность конструкции. Гидролоток Хеле-Шоу состоит из основного корпуса, прокладки, позволяющей создать толщину стекла, и уплотнительной рамки. По сечению гидролотка вклеены 10 игл для подачи чернил и краски.

3Б-модель гидролотка Хеле-Шоу