Простое доказательство "геометрической теоремы о дробной монодромии"

5. Комбаров Ю.А. О минимальных реализациях линейных булевых функций схемами из функциональных элементов в базисе {х —> у, ж&у} // Тр. VIII Междунар. конф. "Дискретные модели в теории управляющих систем" (Москва, 6-9 апреля 2009 г.). М.: МАКС Пресс, 2009. 145-149.

6. Редькин Н.П. О минимальной реализации линейной функции схемой из функциональных элементов // Кибернетика. 1971. 6. 31-38.

7. Шкребела И.С. О сложности реализации линейных булевых функций схемами из функциональных элементов в базисе {х —> у, х} // Дискретн. матем. 2003. 15, № 4. 100-112.

8. Комбаров Ю.А. О минимальных схемах для линейных булевых функций // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2011. № 6. 41-44.

9. Редькин Н.П. О минимальных и асимптотически минимальных схемах для некоторых индивидуальных булевых функций // Мат-лы IX Междунар. семинара "Дискретная математика и ее приложения", посвященного 75-летию со дня рождения академика О.Б. Лупанова (Москва, 18-23 июня 2007 г). М.: Изд-во ЦПИ при мех.-мат. ф-те МГУ, 2007. 11-19.

10. Редькин Н.П. О минимальной реализации двоичного сумматора // Проблемы кибернетики. Вып. 38. М.: Наука, 1981. 181-216.

11. Редькин Н.П. Дискретная математика. М.: Физматлит, 2009.

Поступила в редакцию 25.04.2012

УДК 514.853, 517.938.5, 515.146.2

ПРОСТОЕ ДОКАЗАТЕЛЬСТВО "ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРЕМЫ О ДРОБНОЙ МОНОДРОМИИ"

Д. И. Тонконог1

Приводится простое доказательство "Геометрической теоремы о дробной монодро-мии" (Broer-Efstathiou-Lukina, 2010). Дробная монодромия интегрируемой по Лиувиллю гамильтоновой системы над кривой 7 С R2 — обобщение классической монодромии на случай, когда слоение Лиувилля имеет особенности над кривой 7. "Геометрическая теорема о дробной монодромии" позволяет найти с точностью до целочисленного параметра дробную монодромию для систем типа резонанса 1 : (-2). Для доказательства дается удобное эквивалентное определение дробной монодромии в гомологических терминах.

Ключевые слова: интегрируемая по Лиувиллю гамильтонова система, дробная монодромия, бифуркация.

We present a simple proof of the "Geometric fractional monodromy theorem" (Broer-Efstathiou-Lukina 2010). The fractional monodromy of a Liouville integrable Hamiltonian system over a loop 7 С R2 is a generalization of the classic monodromy to the case when the Liouville foliation has singularities over 7. The "Geometric fractional monodromy theorem" finds, up to an integral parameter, the fractional monodromy of systems similar to the 1 : (-2) resonance system. A handy equivalent definition of fractional monodromy is presented in terms of homology groups for our proof.

Key words: Liouville integrable Hamiltonian system, fractional monodromy, bifurcation.

Введение. Пусть (M, u,fi,f2) — интегрируемая гамильтонова система с двумя степенями свободы. Это значит, что (M,u) — симплектическое 4-многообразие, функции fi,f2 : M ^ R коммутируют относительно и (т.е. u(Xfx ,Xf2) = 0, где Xf. — гамильтоново поле функции f¿) и dfi, df2 почти всюду независимы. Мы обозначаем через F : M ^ R2 отображение момента: F(x) : = (fi(x),f2(x)), x Е M. Множество уровня {x : fi(x) = ci,f2(x) = C2} называется слоем Лиувилля (оно может быть несвязным). Точка x Е M называется особой точкой ранга k = 0,1, если rk dF(x) = k. Образ особых точек при отображении F называется множеством особых значений F или бифуркационной диаграммой.

1 Тонконог Дмитрий Иванович — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: dtonkonog@gmail.com.

Пусть 7 С Т(М) С М2 — замкнутая кривая. Если 7 целиком состоит из регулярных значений для Т, вдоль этой кривой определена классическая гамильтонова монодромия [1], которая исследовалась в многочисленных работах (см. книгу [2] и ссылки в ней). Если кривая 7 содержит особые значения отображения момента, то в некоторых случаях существует дробная гамильтонова монодромия. Она была впервые определена в [3] и затем была подсчитана в некоторых примерах, например для системы резонанса 1 : (—2) [3] и резонанса т : ( —п) [4]. Как классическая, так и дробная монодромии могут быть вычислены по решетке переменных действие и поэтому интересны в физике с точки зрения квантовых интегрируемых систем [2, 3, 5].

Недавно появился общий результат, который позволяет найти с точностью до целого числа дробную монодромию для интегрируемых систем типа резонанса 1 : (—2) — это "Геометрическая теорема о дробной монодромии" [6], которая в настоящей статье сформулирована как теорема 2.

В настоящей работе мы приводим простое доказательство этой теоремы, которое использует идеи теории Фоменко [7] (см. также [8-10]). Для доказательства мы сформулируем гомологическое определение дробной монодромии, которое эквивалентно исходному определению из [3], но удобнее в применении.

В последующей статье мы получим обобщение теоремы 2 на интегрируемые системы с более сложными бифуркациями, например для систем с особенностями типа резонанса т : (— п).

Гомологическое определение дробной монодромии.

Определение 1 (разрезание многообразия вдоль подмногообразия). Пусть N — замкнутое ориентируемое п-многообразие и Т — замкнутое ориентируемое (п — 1)-подмногообразие. Пусть и(Т) — замкнутая трубчатая окрестность Т в N. Будем говорить, что N' := \ и(Т)) получено из N разрезанием вдоль

Т. Здесь С1 обозначает замыкание.

Топологически и(Т) есть расслоение [—1; 1] х Т. Обозначим Т := {( — 1)г} хТ С и(Т). Тогда ди(Т) = Т1 и Т2. Существуют естественные диффеоморфизмы ф^ : {0} х {х} ^ {( — 1)г} х {х} из Т в Т^, класс гомотопии которых каноничен. Имеем:

1) дN = Т1 и Т2,

2) заданы диффеоморфизмы ф^ : Т ^ Т^, единственные с точностью до гомотопии.

Определение 2 (дробная монодромия). Пусть N — замкнутое ориентируемое 3-многообразие и Т —

замкнутое ориентируемое 2-подмногообразие. Обозначим через N' многообразие, полученное разрезанием N вдоль Т, дN' = Т1 и Т2, и пусть ф^ : Т ^ Т — канонические диффеоморфизмы. Обозначим через г^ : Н1(Тк; <) ^ Н1^'; <), к = 1, 2, гомоморфизмы, индуцированные включением. Предположим, что

1) г1, г2 инъективны,

2) 1т г1 = 1т г2.

Тогда отображение 1%1 корректно определено. Композиция

Н1(Т; <) ФЛ Н1Т1; <) ^ Н1Т2; <) 1 Н (Т; <) называется дробной монодромией M(N, Т). Это отображение Н1(Т; <) ^ Н1(Т; <).

Определение 3 (матрица дробной монодромии). Зафиксируем базис а1,...,а^ в Н1(Т;<), такой, что а1 £ Н1(Т; Ъ) и а1 порождают над Z всю группу Н1(Т; Ъ). В этом базисе М(^ Т) можно записать матрицей. Замена целочисленного базиса а1,...,аи влечет СЬ(к; Ъ)-сопряжение матрицы. Поэтому БЬ(к; Ъ)-сопряженные матрицы задают одну и ту же монодромию М(^,Т).

Пример 1 (классическая гамильтонова монодромия). Пусть (М, ш,/1,/2) — интегрируемая система и петля 7 С М2 состоит из регулярных значений для Т. Предположим, что прообраз каждой точки на 7 связен (и поэтому является тором). Тогда Т-1(7) — торическое раслоение над 7, и классическая монодромия [2] над 7 совпадает с вышеопределенной монодромией М(Т-1(7),Т), где Т — произвольный тор Лиувилля, Т (Т) £ 7 .В этом случае матрица М(Т-1 (^),Т) целочисленна.

Пример 2 (дробная гамильтонова монодромия). Теперь предположим, что (М,и,/1 ,/2) — интегрируемая система и петля 7 С М2 произвольна, Т С Т_1(7) — некоторый тор Лиувилля. Вышеопределенная дробная монодромия М(Т-1 (7),Т) эквивалентна дробной гамильтоновой монодромии, определенной в [3]. В этом (и предыдущем) примере ориентация на кривой 7 канонически задает ориентацию на Т, и матрица монодромии определена даже с точностью до БЬ(2, Ъ).

В дальнейшем мы всегда будем находиться в ситуации последнего примера. Для доказательства теорем о монодромии мы будем пользоваться определением монодромии, приведенным в этой статье.

Геометрическая теорема о дробной монодромии и ее простое доказательство. Пусть 7 С М2 — гладкая замкнутая кривая, Т С М — тор Лиувилля, такой, что Т(Т) есть точка на 7. Обозначим Я := Т_1(7). Мы будем исследовать дробную монодромию М(ф,Т). Обозначения (М,ш,/1 ,/2), Т, 7, Я, Т глобальны и будут использоваться далее. Введем некоторые условия, при которых будет выполнена теорема 2.

Условие 1. Отображение Т является собственным (т.е. его слои компактны).

Условие 2. Траектории гамильтонова поля Хд1 замкнуты и имеют период, кратный п. Таким образом, М4 имеет гамильтоново действие Б1, необязательно свободное. Следующее утверждение является простым.

Лемма 1 (собственное значение). Пусть выполнены условия 1, 2 и определена дробная монодромия М^,Т). Тогда дробная монодромия М^,Т) имеет собственное значение 1, ее собственный вектор задает любая замкнутая траектория поля Xв Т, а также ёе1М(^,Т) = 1.

Значит, в условиях леммы матрицу М(^, Т) в некотором базисе можно записать так:

M(Q,T) =

1 0

p/q 1

Условие 3. Петля y С R2 пересекает бифуркационную диаграмму в единственной точке a Е Y. Прообраз F-1(a) связен и помимо регулярных точек содержит ровно одну окружность невырожденных особых точек ранга 1 гиперболического типа, которые задают неориентируемую сепаратрисную диаграмму [7, лемма 3.1].

Из классификационной теоремы Болсинова-Фоменко [7, разд. 3.6 и табл. 3.1] следует, что это условие однозначно (с точностью до лиувиллевой эквивалентности) определяет окрестность особого слоя Лиувил-ля. Нам понадобится более слабое следствие из этой теоремы.

Теорема 1 (следствие из классификации Болсинова-Фоменко). Пусть B — поверхность с краем, изображенная на рисунке (закрашена серым), и т — инволюция на B, заданная поворотом на 180°. Рассмотрим косое произведение B х S1 по инволюции т. Это 3-.многообразие, край которого — несвязное объединение двух торов.

Пусть U(a) С y — окрестность (внутри кривой y) точки a из условия 3. При условии 3 существует гомеоморфизм между F-1 (U(a)) и B X S1. При условии 2 этот гомеоморфизм можно выбрать таким, что он переводит орбиты Xf1 в слои {*} X S1.

На рисунке, a изображена поверхность B и одна из двух компонент границы 3-многообразия B х S1.

Теорема 2 (Геометрическая теорема о дробной монодромии [6]). Пусть выполнены условия 1-3. Тогда имеется k Е Z, такое, что для любого тора Лиувилля T С Q

M(Q,T)=[k\

Мы приведем простое доказательство этой теоремы. Главная часть доказательства — следующая лемма.

Лемма 2. Пусть В хБ1 — многообразие из теоремы 1 и Т1 и Т2 — его край (два тора). Тогда гомоморфизмы : Н1(Тк; 0>) ^ Н1В хБ1; о^, к = 1, 2, индуцированные включением, инъективны и их образы совпадают. Для любых целочисленных базисов (Iк ,Шк) в Н1(Тк; 2) С Н1(Тк; к = 1, 2, таких, что Iк гомологичны циклу {р1} хБ1, выполнены следующие соотношения в Н1ВхБ1;0>):

i1

I1 m1

1 0

l2 m2

для некоторого г Е Ъ.

Доказательство леммы 2. Очевидно, что 11,12 инъективны. Заметим, что любые два целочисленных базиса (¡к,Шк), (¡к,ш'к) из условия теоремы связаны следующим образом: ¡к = ¡к, т'к = шк + ^^ 1к, Е 2. Отсюда видно, что требуемые соотношения достаточно доказать только для одного выбора базисов

(¡к ,тк).

В качестве ¡к, к = 1, 2, возьмем циклы вида {р1} х Б1, лежащие на Тк. В качестве Ш1 возьмем связную компоненту внутренней части границы поверхности В. Обозначим через ^2 внешнюю границу поверхности В. (Циклы Ш1,^2 изображены на рисунке, б.) Естественно, Ш1 Е Н1Т1; 2) и ^2 Е Н1Т2; 2). Легко

видеть, что (¿1, Ш\) образует целочисленный базис в Н\(Т\; Z). Однако (¡1,^2) не образует целочисленного базиса в Н^Тг; Это значит, что не любой элемент Н1Т2; можно представить в виде целочисленной комбинации циклов (¡1,^2)-

Чтобы убедиться в этом, обозначим через [Ь] точку, отмеченную на рисунке. Это особая точка для остова поверхности В- Пусть Л2 — цикл на Т2, гомологичный в Н1(В хБ1; циклу [Ь] хБ1- (Цикл [Ь] хБ1 изображен на рисунке, б-) Тогда (Л2,^2) образуют целочисленный базис в Н1(Т2; и ¡2 = 2Л2 + Ц2- Отсюда видно, что (¡2, Ш2) не образует целочисленного базиса, поскольку det (21) = 2 = ±1.

Обозначим Ш2 = Л2 + Ц2- Тогда циклы (¡2,Ш2) образуют целочисленный базис в Н1Т2; так как det (21) = 1- Очевидно, что

Легко вычислить, что ^2 = 2ш2 — ¡2- Таким образом,

mi) v—1 ^/ \тп2/ \—\т2

Доказательство теоремы 2. Пусть и (а) — замкнутая окрестность (внутри кривой 7) точки а-Прообраз Q = Г-1(^) разобьем на две части: Q = и и V, и := Т-1(и(а)), V := С1 ^ \ и)-

Тогда и П V = ди = дV = Т1 и Т2 (два тора), V = Т2 х [0; 1], и ^ ВXБ1 (см- теорему 1)- Без ограничения общности можем считать, что Т = Т1- Обозначим индуцированные включением гомоморфизмы через г^ : Н^Т^;0>) ^ Н1(и;0>), : Н1(Т^;^ Н1(У;0>)- Из определения 2 очевидно, что дробная монодромия М^,Т) равна композиции (г%)-1(ги)-1ги-

Зафиксируем целочисленные базисы (¡1, Ш1) в Н1Т1; С Н1(Т1; 0>) и (¡2, Ш2) в Н1Т2; С Н1(Т2; о^, где ¡к гомологичны орбите периодического гамильтонова потока X- По лемме 2

Г/( 1Л ( 1 0\ П2

2 1 \ nil) 1 / Vm2

Поскольку ¡1, ¡2 гомологичны орбитам периодического гамильтонова потока Xд, они гомологичны друг другу не только в многообразии и, но и в многообразии V- То есть )-1 (¡2) = ¡1- Значит,

) 1iV im) = Ц 1) (mi

к,й € Но V = Т2 х [0; 1], поэтому определитель вышестоящей матрицы должен быть равен 1- Следовательно, й = 1В результате получаем, что

(^Г1^)"1^ = (I^ = (л+Г-^) (ш!

^ + г £ 2. Теорема 2 доказана.

Автор приносит благодарность научному руководителю А-Т- Фоменко, а также А-В- Болсинову, Е-А- Кудрявцевой, А-А- Ошемкову и А-Ю- Коняеву за полезные обсуждения и замечания-

Работа частично поддержана грантами РФФИ № 12-01-00748-а, программы "Ведущие научные школы РФ" НШ-1410-2012-1, программы ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" 14-740-11-0794 и грантом Правительства РФ по договору № 11-034-31-0054-

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Duistermaat J.J. On global action angle coordinates // Communs Pure and Appl. Math. 1980. 33. 687-706.

2. Efstathiou K. Metamorphoses of Hamiltonian systems with symmetries // Lect. Notes Math. Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2005.

3. Nekhoroshev N, Sadovskii D., Zhilinskii B. Fractional Hamiltonian monodromy // Ann. Henri Poincare 2006. 7. 1099-1211.

4. Nekhoroshev N. Fractional monodromy in the case of arbitrary resonances // Sbornik Math. 2007. 198, N 3. 91-136.

5. Sadovskii D, Zhilinskii B. Quantum monodromy, its generalizations and molecular manifestations // Mol. Phys. 2006. 104. 2595-2615.

6. Broer H., Efstathiou K., Lukina O. A geometric fractional monodromy theorem // Discrete and continuous dynamical systems. 2010. 3, N 4. 517-532.

7. Bolsinov A.V., Fomenko A.T. Integrable Hamiltonian systems. Geometry, topology, classification. Boca Raton, Florida: Chapman and Hall/CRC, 2004.

8. Фоменко А.Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // Докл. АН СССР. 1986. 287. 1071-1075.

9. Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. 50, № 6. 1276-1307.

10. Фоменко А.Т, Цишанг Х. О типичных топологических свойствах интегрируемых гамильтоновых систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1988. 52, № 2. 378-407.

УДК 517.544.72+517.574

ОБ ОГРАНИЧЕННОСТИ НОРМАЛЬНЫХ ГАРМОНИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

В работе при некоторых условиях, накладываемых на последовательности точек, лежащих в единичном круге, рассматривается ограниченность нормальных гармонических функций, определенных в единичном круге. Важной задаче исследования ограниченности нормальных голоморфных функций посвящены работы В. И. Гаврилова.

Ключевые слова: единичный круг, нормальные гармонические и голоморфные функции.

The boundedness of normal holomorphic functions determined in a unit circle is considered in the paper under some conditions imposed on sequences of points lying in this unit circle. An important problem on the boundedness of normal holomorphic functions was studied by V. I. Gavrilov.

Key words: unit circle, normal harmonic and holomorphic functions.

В настоящей статье изучается вопрос ограниченности нормальных в смысле Монтеля функций в случае, когда известно, что эти функции ограничены на некоторых последовательностях точек, лежащих в единичном круге. Задачи, связанные с ограниченностью различных классов функций, рассматривались, в частности, в работах [1-4].

В дальнейшем будем придерживаться общепринятых обозначений. Обозначим через О, Г и Ь(£, ф) соответственно единичный круг \г\ < 1, единичную окружность \г\ =1 и хорду единичного круга О, оканчивающуюся в точке £ = егв € Г и образующую с радиусом в этой точке угол (р, ^ < (р < Пусть Д(£, ф1, ф2) обозначает подобласть круга О, ограниченную хордами Ь(£, и Н(£, ф2). Область Д(£, , ф2) называют обычно углом Штольца с вершиной в точке £ = егв Е Г, и, если нас не интересует размер угла Штольца, мы будем обозначать его кратко Д(£). Интерпретируя круг О как модель плоскости в геометрии Лобачевского, обозначим через а(х1 ,Х2) неевклидово расстояние между точками из круга О:

Рассмотрим действительнозначную функцию /(г), определенную в единичном круге О. Для произвольного подмножества Б круга О, для которого точка £ Е Г является предельной точкой, обозначим через С(/,£,Б) предельное множество функции / (г) в точке £ относительно множества Б, т.е.

Поступила в редакцию

20.06.2012

С. Л. Берберян

1

Z1 - Z2

где и = --—

1 - Zl¿2

1 Берберян Самвел Левонович — доктор физ.-мат. наук, и.о. проф. каф. математики и математического моделирования ф-та прикладной математики Российско-Армянского (Славянского) университета, e-mail: samvel357@mail.ru.