Гносеологический статус математических моделей

Е. М. Вечтомоб

ГНОСЕОЛОГИЧЕСКИЙ СТАТУС МАТЕМАТИЧЕСКИХ МОДЕЛЕЙ

В статье анализируются общее понятие модели и понятие математической модели. Выясняется роль метода моделирования в научном познании и в математике.

The paper analyzes a general notion of model and a notion of mathematic model, investigates a role of method of Simulation in scientific Cognition and in mathematics.

Ключевые слова: познание, математика, модель, математическая модель, моделирование, математическое моделирование.

Keywords: Cognition, mathematics, model, mathematic model, simulation, mathematic simulation.

Что такое модель. В научном обиходе термин «модель» (латинское "modulus" означает «мера», «образец», «норма») появился во второй половине XIX в. в работах Э. Бельтрами, Ф. Клейна и А. Пуанкаре, давших интерпретации неевклидовых геометрий в рамках евклидовой геометрии. Несколько позднее термином «модель» воспользовались Г. Фреге и Б. Рассел в математической логике. Широкое использование понятия модели началось в середине прошлого века. Тогда же оформилась теория моделей как неотъемлемая часть математической логики (А. Тарский, А. И. Мальцев, А. Робинсон). К настоящему времени понятие модели стало не только общенаучным, но и приобрело статус фундаментальной философской категории.

В науке существуют различные толкования и употребления слова «модель». Приведем некоторые из них. Основными видами моделей могут быть названы следующие: предметные (натуральные), математические и эвристические. Так, Ю. А. Гас-тев в [1] рассматривает отношение «быть моделью», а под моделью понимает гомоморфный образ оригинала. Л. А. Друянов [2] выделяет четыре типа моделей: материальные, идеальные (образные и знаковые), математические и теоретические. В [3] приводится 30 синонимов и характеристик термина «модель». В [4] авторы анализируют математические и лингвистические модели в контексте системного подхода.

Уже в обыденном сознании присутствуют два главных смысла понятия модели. Возьмем, например, следующую цепочку:

этот большой дуб 6 дуб 6 дерево 6 конкретные деревья. В ее первых двух звеньях предмет «указанный дуб» замещается соответствующим (у нас более широким) понятием, которое обозначается словом «дуб», а затем еще более общим понятием «дерево». Это примеры «идеального моделирования». Третье звено: переход от общего понятия «дерево» к конкретным деревьям - дает пример «материального моделирования.

Отметим, что переходы «понятие 6 его термин» и «термин 6 его знак, обозначение» (например, результат сложения элементов 6 сумма 6 3) также можно назвать материальным моделированием. Известный математик и логик Н. Н. Непей-вода высказывается так: «Понятие - это языковая единица, имеющая достаточно четко определенный смысл; термин - слово, смысл которого фиксирован» [5]. Как-то О. М. Аншаков остроумно заметил, что «термин есть монумент понятия».

На каждом этапе научного познания следует выделить и разделить понятия объект и его модель. В общем виде модель выступает как аналог, двойник, копия, заменитель, заместитель, след, слепок, образ, изображение, описание данного объекта. А объект служит прототипом, прообразом, «исходной вещью», оригиналом для своей модели. Соответствия

человек - его портрет, скульптура или маска, дом 6 его макет или план дают примеры переходов от объекта к модели. А соответствия

фотография или отпечатки пальцев человека 6 сам человек,

чертеж дома 6 построенный по нему дом суть переходы от модели к объекту.

Фактически имеет значение только то, от чего мы отталкиваемся и к чему стремимся.

В истории науки мы обнаруживаем два истолкования понятия модели:

1) модель как идея вещи (по Платону, форма вещи);

2) модель как овеществленная идея (тень Идеи).

Гносеологически определения 1) и 2) принципиально отличаются друг от друга. Однако в научной деятельности их различие проявляется главным образом в степени абстрактности и конкретности исследуемых объектов и их моделей. Ведь наука оперирует понятиями, замещающими реальные вещи.

© Вечтомов Е. М., 2011

Рассмотрим цепочку: строительство домов 6 теория домостроения 6 чертеж дома 6 макет дома 6 дом 6 схема дома.

Первая и пятая стрелки трактуются в смысле определения 1), а вторая, третья и четвертая стрелки - в смысле определения 2). Обратим внимание на то, что все переходы обратимы, скажем, чертеж 6 дом и дом 6 чертеж, и такое обращение переводит 1) и 2) друг в друга. Нужно иметь в виду также то, что одна «вещь» может иметь различные модели и сама - служить моделью многих «исходных вещей».

Таким образом, в общем плане можно принять релятивистское понимание соотношения «объект -модель». В конкретной же познавательной ситуации может фиксироваться либо ситуация «вещь 6 идея», либо «идея 6 вещь».

В толковании 1) модель условимся относить к теории (или идее) некоторого объекта, или вещи. Построение модели-теории называется формализацией исходной ситуации, или идеальным, знаковым, или символическим, моделированием - этот подход преобладает в естественных и гуманитарных науках. В случае 2) переход к модели-объекту называется интерпретацией теории, материальным, или предметным, моделированием, распространенным в математике, физическом эксперименте, технике. Заметим, что в науке, в частности в математике, любая модель есть абстракция того или иного логического уровня, выражаемая на определенном языке. Как уже отмечалось, различие между объектами и теориями является несколько условным, или относительным. Считается, что модели-объекты более конкретны и материальны, а их язык более содержательный. Модели-теории более абстрактны и идеализированы, их язык более формальный.

В процессе познания важно не только создание той или иной модели, но и движение к новым моделям более высокого уровня. Поэтому необходимо рассмотрение модельных схем

объект 6 теория - объект и теория 6 объект 6 теория,

чем-то напоминающих гегелевскую триаду-спираль «тезис 6 антитезис 6 синтез». Такое познание можно назвать вертикальным, поскольку третья ступенька всегда возвышается над первой. Под горизонтальным же познанием подразумевается исследование модели на одном уровне, то есть вычисления, преобразования, дедукция внутри самой модели. Но и горизонтальное познание, обо-

снования и доказательства, касающиеся фиксированной модели, есть последовательная смена актов абстрагирования и конкретизации, формализации и интерпретации, гипотез и контрпримеров, о чем хорошо и ярко написал И. Лакатос в своей книге [6].

От модели к модели. Теоретическое познание представляет собой процесс восхождения к истине по чередующимся взаимосвязанным ступенькам идеальных образов, или моделей, имеющих большую или меньшую степень абстрактности и наглядности. Математическое познание в полной мере соответствует этому тезису.

Каждый уровень познания есть модель, выступающая или в качестве объекта (вещи, чего-то материального, наглядного), или в качестве теории (идеи, абстрактного, логического). В этом смысле процесс познания означает моделирование. Шаг вверх со ступеньки-объекта на ступеньку-теорию является индуктивной стадией познания, использующей мыслительные операции абстрагирования, аналогии, идеализации, обобщения, отождествления и заканчивающейся формализацией данного объекта (знаковое моделирование). Переход от ступеньки-теории к следующей ступеньке-объекту означает конкретизацию, овеществление, новую интерпретацию (предметное моделирование). Понятие интерпретации можно понимать как в строгом теоретико-модельном смысле слова, так и в метаматематическом смысле. Перепрыгивать через ступеньки не рекомендуется. Движение по такой винтовой лестнице (спирали) есть вертикальное познание.

Отдельными завершенными этапами вертикального познания служат схемы «объект 6 теория 6 объект» и «теория 6 объект 6 теория». В первой схеме воплощается общенаучный дедуктивный метод, трактуемый нами как «через общее к частному», а не «от общего к частному». Существует и другое понимание дедукции как означающей «выведение», переход «от общего к общему». Такая дедукция относится к горизонтальному познанию, протекающему на самих уровнях: логический вывод в теориях, преобразования в математических структурах, метаматематические рассуждения. Для продуктивного процесса математического познания необходимо разумное чередование вертикального и горизонтального типов познания.

Вторая схема «теория 6 объект 6 теория» охватывает процесс расширения, обобщения, уточнения, обогащения той или иной теории. Здесь в

качестве модели выступает метатеория, содержательно изучающая свойства данной предметной теории (аксиоматизируемость, непротиворечивость, категоричность, полноту, разрешимость), ее выразительные возможности и границы применимости.

При вертикальном познании происходит открытие качественно нового знания, выдвижение и исследование гипотез, отыскание и формулировка новых результатов. Вертикальное математическое познание подчиняется диалектическому закону отрицания отрицания, задающему и обосновывающему спиралевидный характер смены моделей. Толчком к переходу от модели-тезиса к следующей ступеньке могут послужить подспудное размышление, интеллектуальная интуиция, а также аргумент и апелляция к красоте.

В математике горизонтальное познание заключается в дедуктивном обосновании предполагаемых результатов, в разработке содержательных и формально-логических методов такого обоснования, в доказательстве уже сформулированных теорем.

Постоянное чередование моделей-образов и моделей-теорий - это закономерность научного познания, имеющая глубокие психологические корни. Психология познания такова, что интуитивные образы и логические законы необходимо выстраиваются в цепочку мысленных процедур (индукция и дедукция, анализ и синтез), в цепочку содержательных и формальных понятий. Интуиция озаряет разум человека, а логика закрепляет завоевания интуиции. Каждая теория имеет «материальную» основу, она должна отталкиваться от наглядных, чувственных прообразов, доопытных или эмпирических предпонятий: прежде вербального идет визуальное. И наоборот, вслед теории выстраиваются ее интерпретации, представления и реализации в виде конкретных систем, среди которых находятся и исходные объекты («большое видится на расстоянии»). Психологическая теория познавательной деятельности базируется на принципе предметности. Согласно С. Р. Когаловскому [7], предмет есть то, на что нацелено действие субъекта, что выделяется им из объекта в процессе его познания и преобразования. Предмет - это модель объекта. Тем самым идея моделирования выражает также суть принципа предметности.

Принципиальную роль в человеческом познании играют эвристические модели. Одной из самых ярких «эвристик» является планетарная модель атома и ядра атома, предложенная Н. Бо-

ром. Другим важным примером служит так называемый «мысленный эксперимент», которым активно пользовался Г. Галилей при создании классической механики. Так, при решении вопроса о том, какое тело быстрее падает - легкое или тяжелое, Галилей рассмотрел мысленную модель: систему из двух шариков разной массы, соединенных легчайшим шарниром. Его размышление показало, что все тела падают одинаково быстро, что опровергло чисто умозрительную «физику» Аристотеля. Полученную таким образом гипотезу Галилей подтвердил физическими испытаниями (в частности, бросая различные предметы с Пизанс-кой башни), определив и вычислив ускорение свободного падения § . 9,8 м/сек2. Физические эксперименты можно отнести к натуральным моделям и к предметному моделированию.

Математическое моделирование. Метод моделирования, являясь общенаучным и универсальным, широко применяется в естественных, технических и социальных науках. Модель реального явления - это приближенный идеализированный образ данного явления, выраженный на предметном языке, скажем, на языке физики. Вспомним, к примеру, классическую механику, геометрическую оптику или планетарную модель атома.

Метод математического моделирования применяется к научному исследованию действительности, то есть к решению реальных задач, по следующей схеме:

(1) реальная задачная ситуация заменяется ее предметной моделью;

(2) для полученной предметной модели ищется адекватная математическая модель, включающая четкую формулировку исходной задачи;

(3) решается соответствующая математическая задача;

(4) найденное решение интерпретируется в предметной модели.

Несколько комментариев. Шаг (1) требует хорошего знания своего предмета и носит интуитивно-содержательный характер. Шаг (2) является творческим актом, предполагающим свободную ориентацию как в данной дисциплине, так и в математике. Шаг (3) чисто математический вопрос. Шаг (4) дает искомый ответ. Иногда качественное решение задачи может быть получено уже в предметной модели. Однако в точных науках следует считать обоснованным лишь математизированное знание. На этапе (2) обычно обходятся известным математическим аппаратом.

Математические модели в приложениях математики понимаются в первом смысле. Математическая модель реальной ситуации - это вполне определенное описание данного явления, выраженное на языке математических формул. Математическое моделирование представляет собой построение разнообразных математических моделей реальности. Метод математического моделирования служит мощным способом научного познания действительности. Это обусловлено специфическим характером самой математики, являющейся самостоятельной универсальной формой познания мира.

Рассмотрим некоторые важные свойства математических моделей. Модели должны быть - в большей или меньшей степени - адекватными и применимыми. Адекватность есть теоретическое соответствие реальности, применимость - практическая польза. А это несколько разные вещи. Свойство адекватности модели предполагает определенную ее структурную сложность, в то время как свойство применимости модели (к описываемой ею ситуации) означает осуществимость модельных вычислений, которые легче провести в более простой модели.

Простота и сложность модели - понятия достаточно условные. Однако если взять две различные модели одного и того же явления, то сравнить их по сложности вполне возможно. Возьмем, например, геоцентрическую систему Птолемея и гелиоцентрическую систему Коперника. Они одинаково хорошо описывают звездное небо, то есть применимы для расчетов в астрономии. Но неадекватная модель Птолемея гораздо сложнее адекватной модели Коперника.

Математические модели подразделяются также на количественные и качественные, непрерывные и дискретные, одномерные и многомерные, жесткие и мягкие, грубые и тонкие и т. п. Жесткая модель примитивна и проста, учитывает небольшое число информационных параметров, являющихся, как правило, константами. Мягкая модель более сложна, содержит большее число параметров. При этом параметры модели являются функциями, учитывающими меняющееся состояние системы и тем самым обеспечивающими обратную связь. Жесткие модели применимы на определенных отрезках времени, их экстраполяция на большие периоды времени может вести к потере адекватности и применимости. Математику академику В. И. Арнольду принадлежит фраза:

«Жесткие модели как путь к ошибочным предсказаниям».

Гибкое математическое моделирование реальных объектов и процессов - залог и инструмент эффективных приложений математики. Математические модели необходимы, во-первых, для описания однотипных явлений из различных областей знания, во-вторых, они позволяют уловить то, что трудно сделать при словесном описании.

Физик профессор Д. С. Чернавский отмечает [8], что многие явления из разных областей знания имеют одинаковые базовые модели. Упрощенные базовые модели, улавливая существенное и отвлекаясь от второстепенного, обладают свойством грубости, жесткости, или структурной устойчивости. В грубой модели малые изменения параметров (динамической системы уравнений) мало влияют и на ее результаты (решения системы). Грубые модели, и только они, способны описывать действительность. Дело в том, что в тонких моделях в стадии неустойчивости предсказать поведение системы практически невозможно. Малейшее изменение параметров может вызвать хаотический скачок (катастрофу), качественно меняющий состояние системы. Проследить любое малое изменение условий можно только тогда, когда мы знали бы значения всех параметров абсолютно точно, то есть со всеми десятичными знаками непосредственно.

Выбираемая или конструируемая модель изучаемого явления должна удовлетворять следующим условиям: во-первых, она не должна быть чрезмерно простой, чтобы достаточно адекватно отражать ситуацию; во-вторых, она не должна быть и слишком сложной, чтобы ей можно было реально пользоваться; наконец, из нескольких моделей, с примерно одинаковой точностью описывающих данное явление, выбирают наиболее простую (так, гелиоцентрическая система Коперника предпочтительнее более сложной геоцентрической системы Птолемея, даже если не касаться их физической достоверности). Укажем на модели динамики популяции, начиная с жесткой одномерной экспоненциальной модели Мальтуса и заканчивая мягкими моделями, зависящими от целого ряда параметров. С развитием дискретной математики и компьютерных вычислений все большее значение приобретают дискретные модели. Заметно выросла роль моделирования в теории и методике обучения (см. книгу Ю. А. Саурова [9]). [10] показывается роль основополагающих моделей (называемых автором модельными примерами) при обучении студентов

математике. Подчеркнем, что модельные примеры теории позволяют реконструировать и строить саму теорию.

В математике обычно под моделью понимается модель-объект. Моделью математической теории является конкретная математическая структура (объект), удовлетворяющая всем положениям (аксиоматике) этой теории; они появляются в процессе конкретизации, при интерпретации аксиоматических теорий. Так, аддитивная группа Ъ целых чисел служит моделью теории групп. Математическое познание, с одной стороны, есть движение от имеющих нечто общее конкретных математических объектов к созданию соответствующей теории, а с другой стороны, это построение различных моделей той или иной теории. Поэтому в математике модель-объект (или модельный пример) может выступать и как образ, и как прообраз математической теории.

Модели в математике. В математике моделями-объектами служат математические структуры, определяемые как множества с заданными на них отношениями и операциями, а моделями-теориями являются самые разные математические теории, как содержательные, так и формальные. Математические структуры образуют математическую реальность - предмет науки математики, объектом исследования которой выступают фундаментальные категории количества и формы и всевозможные их проявления, взятые в самом общем и чистом виде.

В математическом познании в триаде

исходный объект 6 теория 6 новый объект исходную модель объявим тезисом, соответствующую теорию - антитезисом; тогда новая модель будет их синтезом.

Рассмотрим важнейший пример: натуральный ряд чисел (см. [11]). В качестве исходного объекта определенного этапа познания возьмем натуральные числа. Их простейшей теорией является арифметика натуральных чисел (антитезис), созданная древними греками и представляющая собой неак-сиоматизированную содержательную элементарную теорию чисел. В результате появляется новый синтезированный объект - натуральный ряд N с заданными на нем операциями сложения и умножения и естественным отношением порядка. Следующий акт моделирования - содержательная аксиоматизация натурального ряда, осуществленная Дж. Пеано и Р. Дедекиндом после подготовительной работы, проделанной У. Гамильтоном и Г. Грас-

сманом. Аксиоматика Пеано натурального ряда выступает как теория натурального ряда (антитезис к новому тезису). Всякая модель аксиоматической теории Пеано называется системой Пеано (новый синтетический объект). В метатеории теории Пеано доказывается изоморфизм любых двух систем Пеано. Далее, систему Пеано можно считать тезисом очередного витка познания. Ему отвечает антитезис - формализация системы Пеано на языке логики предикатов первого порядка, то есть формальная арифметика. Содержательная метатеория формальной арифметики допускает кроме стандартной модели натурального ряда модели любой бесконечной мощности (в силу классической теоремы Левенгейма - Сколема). Это обстоятельство существенно отличает содержательную аксиоматическую теорию натуральных чисел от формальной арифметики. Мы вкратце рассмотрели познавательную цепочку, состоящую из семи уровней развития наших представлений о математической модели натуральных чисел.

Отправляясь от натурального ряда, можно выстраивать и другие познавательные цепочки, например:

мультипликативная полугруппа N 6 теория гауссовых полугрупп 6

6 другие гауссовы полугруппы 6 понятие свободного коммутативного моноида 6 свободный коммутативный моноид со счетным множеством свободных образующих (как абстрактная характе-ризация исходной полугруппы

И. М. Яглом [12] рассматривает геометрическое познание как последовательность взаимоотношений физического и логико-математического типов моделей, называемых им «геометрией-физикой» и «геометрией-математикой». При этом «геометрия-математика» выступает как математическая модель физической вселенной, а «геометрия-физика», являющаяся естественной наукой о размерах и форме реальных тел, есть физическая модель абстрактного математического пространства.

Горизонтальное познание в рамках отдельной математической теории также протекает в форме смены абстракций содержательного и формального характера. Образец такого познания дан английским логиком И. Лакатосом [13] при разборе доказательства формулы Эйлера для многогранников, описанном автором как диалог учителя с учениками воображаемого класса. И. Лакатос убедительно обосновывает, что формирование и развитие математической теории есть постоянное чередование

определений и контрпримеров, доказательств и их опровержений; в рассматриваемом случае это постепенно приводит к точной формулировке и строгому доказательству теоремы Эйлера о соотношении числа вершин, числа ребер и числа граней произвольного выпуклого многогранника.

В. В. Мадер отмечает: «Сначала выдвигается гипотеза и идет поиск доказательства, в ходе которого выявляются и фиксируются все необходимые предпосылки. Затем начинается поиск контрпримеров, поиск возможных опровержений и обобщений. Полученная информация позволяет провести более глубокий анализ доказательства. Достигается более полное понимание как самого доказательства, так и значения исходных допущений. Модификация этих допущений приводит к обобщению теоремы. После этого начинается следующий виток: поиск новых контрпримеров, анализ доказательства, ревизия исходных посылок, попытка дальнейшего обобщения теоремы. Затем идет следующий виток и т. д. и т. п.» [14].

Остановимся теперь на упрощенной схеме моделирования самого процесса познания. Вот как описывает ее американский математик и логик Р. Линдон в [15]: «Формальное изучение любого круга вопросов, связанных с нашим повседневным опытом, начинается с замены реальных объектов некоторыми подходящим образом выбираемыми их абстрактными описаниями, идеализациями, выбираемыми таким образом, чтобы в этих идеализаци-ях были отражены именно те свойства исходных объектов, которые мы собираемся изучать. В нашем случае речь пойдет об абстрактных "заместителях" для таких понятий, как мышление, реальная действительность и связь между мышлением и действительностью. Вместо мышления мы будем рассматривать язык, точнее говоря, формализованный вариант некоторых аспектов естественного языка. Можно показать, что все чисто формальные аспекты мышления адекватным образом отображаются в таком языке. Вместо реальной действительности мы будем рассматривать так называемую структуру, грубо говоря, представляющую собой совокупность предметов, которые могут быть сопоставлены в качестве значений различным выражениям языка. Наконец, роль связи между языком и действительностью будет у нас играть интерпретация, то есть функция, приписывающая некоторым языковым выражениям в качестве их значений некоторые определенные предметы, входящие в данную структуру».

В математической логике четко определяются понятия языка, формальной аксиоматической теории, интерпретации. При этом моделью формальной аксиоматической теории Т называется любая математическая структура 5, такая, что при каждой интерпретации Т в 5 все аксиомы данной теории оказываются истинными в структуре 5. Сама теория строится синтаксически и определяется как множество высказываний (замкнутых формул) символического языка. Наряду со строгим определением понятия интерпретации теории Т интерпретацию можно понимать более широко, как метатеорию этой теории, то есть семантику теории Т, содержательные рассуждения о свойствах и моделях Т.

Между синтаксисом и семантикой формально аксиоматизируемых математических теорий существует тесная взаимосвязь. Будем рассматривать теории, выраженные на фиксированном языке логики первого порядка. Для произвольной теории Т обозначим через М(Т) класс всех ее моделей. Можно доказать, что две теории Т и Тг эквивалентны, то есть имеют одни и те же теоремы, тогда и только тогда, когда М(Т) = М(Т'). Частными случаями являются две основополагающие метатеоре-мы: теорема о полноте, утверждающая, что высказывание служит теоремой теории Т, если и только если оно выполняется на каждой модели из М(Т), и теорема о том, что дедуктивная непротиворечивость теории Т равносильна существованию у нее модели, то есть непустоте класса М(Т) [см. 16].

Предложенная схема чередования моделей допускает разное наполнение. В гносеологии можно говорить о постоянной смене материального и идеального, содержательного и формального. В психологии и дидактике это необходимость и осуществление последовательных интуитивных и рациональных актов мышления. Математика предстает как нескончаемый дискретный поток знаковых и предметных моделей, «знакопеременный» процесс образования понятий и теорий и построения новых объектов.

Может сложиться впечатление, что «все на свете есть модель», и тогда понятие модели оказалось бы бесформенным и бессмысленным. Мы отклоняем это сомнение. Во-первых, в познавательном плане оппозиция «объект - модель» так же необходима, как и бинарные связки «материальное - идеальное» или «практика - теория». Во-вторых, понятию модели присущ принципиальный дуализм, выраженный нами в определениях 1) и

Теория познания

2). Как показано выше, такой подход продуктивен. В-третьих, широкое использование терминов «модель» и «моделирование» в науке и жизни означает, что понятие модели действительно стало важной, признанной и неотъемлемой общенаучной и философской категорией.

Примечания

1. Гастев Ю. А. Гомоморфизмы и модели. М.: Наука, 1975.

2. Друянов Л. А. Законы природы и их познание. М.: Просвещение, 1982. С. 52-60.

3. Чжао Юань-жень. Модели в лингвистике и модели вообще // Математическая логика и ее применения. М.: Мир, 1965. С. 281-292.

4. Шрейдер Ю. А, Шаров А. А. Системы и модели. М.: Радио и связь, 1982. Гл. 2.

5. Лакатос И. Доказательства и опровержения. М.: Наука, 1967. С. хь

6. Непейвода Н. Н. Прикладная логика. Новосибирск: Изд-во НГУ, 2000.

7. Когаловский С. Р. Поиски метода и методы поиска (онтогенетический подход к обучению математике). Шуя: Изд-во Шуйского гос. пед. ун-та, 2005.

8. Чернавский Д. С. Синергетика и информация. Динамическая теория информации. М.: Едиториал УРСС, 2004. С. 83.

9. Сауров Ю. А. Основы методологии методики обучения физике. Киров: Изд-во Киров. ИУУ, 2003.

10. Вечтомов Е. М. Модельные примеры в обучении современной математике // Вестник ВятГПУ. 2001. № 5. С. 79-82.

11. Вечтомов Е. М. Математические очерки. Киров: Изд-во ВятГГУ, 2004. Ч. 1.

12. Яглом И. М. Математические структуры и математическое моделирование. М.: Радио и связь, 1980. П 7.

13. Лакатос И. Доказательства и опровержения. М.: Наука, 1967.

14. Мадер В. В. Введение в методологию математики. М.: Интерпракс, 1995. С. 420.

15. Линдон Р. Заметки по логике. М.: Мир, 1968. С. 12.

16. Справочная книга по математической логике: в 4 ч. М.: Наука, 1982-1983.