О движении твердого тела в вязкой жидкости

МЕХАНИКА

УДК 532.591 Ю. З. Алешков

О ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА В ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

1. Работы К. И. Страховича о движении вязкой несжимаемой жидкости.

Проблема взаиодействия твердого тела с жидкостью представляет значительный интерес для практики в связи с необходимостью определять нагрузки на различного рода преграды.

Выдающийся ученый в области механики жидкости, газа и плазмы, замечательный педагог и крупный организатор науки Константин Иванович Страхович родился в С.-Петербурге 1.10.1904 г. В 1913 г. он поступил в Третью гимназию (Соляной переулок, 12), которая с начала основания в 1823 г. и до 1831 г. носила название С.-Петербургской. Гимназия имела филологическую направленность и готовила будущих учителей и студентов Университета. Большое внимание уделялось и точным наукам [1].

В период 1920-1924 гг. К. И. Страхович — студент Петроградского университета на отделении математики. Получив классическое образование в гимназии, он успешно освоил университетские курсы по математике и механике. По окончании университета (специальности прикладная математика и теоретическая физика) ему двадцать лет, но еще будучи студентом, он включился в научную работу. Он нашел свое призвание в применении математики к изучению движения жидкости, как в природных условиях, так и в технических устройствах различного назначения. Этому, несомненно, способствовало влияние выдающегося ученого и педагога Николая Максимовича Гюнтера (1871-1941), у которого он слушал курс по интегрированию уравнений с частными производными.

Российский гидрологический институт (с 1926 г. ГГИ) был открыт в 1919 г. [2]. Его назначение — объединять научную деятельность по изучению вод страны. В число членов Оргкомитета по управлению деятельностью института вошел проф. А. А. Саткевич, который руководил гидравлико-математическим отделом. В 1925 г. его приглашают читать лекции по гидроаэромеханике в Ленинградском университете. Свой взгляд на вопросы механики жидкости он изложил в фундаментальном труде «Аэродинамика как теоретическая основа авиации», который был подготовлен уже в 1912 г., а издан лишь в 1923 г. С 1929 г. А. А. Саткевич — заведующий кафедрой гидроаэромеханики в ЛГУ.

© Ю.З. Алешков, 2005

Работая в ГГИ (1921-1932), а с 1929 г. и в университете, Константин Иванович Страхович постоянно находился в атмосфере научного поиска, решения насущных задач развития авиационной техники и гидротехнического строительства. Его творчество широко и разнообразно. Его ранние работы посвящены вопросам движения вязкой жидкости. Часть этих работ опубликована в Известиях ГГИ, а позднее — в сборнике «Гидро- и газодинамика» (К. И. Страхович. Гидро- и газодинамика. М. 1980), где помещена обширная библиография его трудов.

В 1934 г. вышел сигнальный экземпляр учебника «Механика сплошной среды», который объединил материал курсов, читаемых на математико-механическом и физическом факультетах Ленинградского университета. Его авторы — выпускники ЛГУ К. И. Страхович (1924) и С. А. Христианович (1929) талантливые ученые, авторы многих замечательных работ в области механики и математической физики. Как говорится в предисловии, «Назначение курса состоит в обобщении методов, применяемых в различных разделах механики сплошных сред и в применении этих методов к решению ряда конкретных задач... Этот курс мыслится как введение в специальные курсы гидромеханики, теории упругости и т. п.» В заключение авторы приносят свою благодарность проф. Н. В. Розе за ряд ценных советов и указаний. Этот курс мог стать первым учебником на математико-механическом факультете Университета. В его основе лежат классические труды в области механики сплошных сред Н. Е. Жуковского, А. А. Сатке-вича, С. А. Чаплыгина, Л.Прандтля и др. Издание этого курса «Механики сплошных сред», являющегося научно-педагогическим наследием Ленинградского—Санкт-Петер-бургского университета, составляет благородную задачу нынешнего поколения ученых.

Подробному исследованию вопросов движения сжимаемой жидкости К. И. Страхо-вич посвятил руководства «Газодинамика в приложении к задачам артиллерии» (Л., 1934). и «Прикладная газодинамика» (Л.-М., 1936). Придавая большое значение теории движения вязкой жидкости, он опубликовал обзорные статьи «Классическая гидромеханика вязкой жидкости» (Часть I. Основные типы решений уравнений движения вязкой несжимаемой жидкости. ПММ, т. II, N 1, 1934. Часть II. Обтекание твердых тел жидкостью и сопротивление вязкой жидкости движению твердого тела при малых числах Реймольдса. ПММ, т. II , вып. 2, 1935).

Находясь на должности профессора по кафедре гидроаэромеханики ЛГУ (с 1939 г. — заведующий этой кафедрой), К. И. Страхович с 1931 г. читал курс по теории движения вязкой жидкости по специальности «механика». В 1940 г. издано его руководство «Механика вязкой жидкости».

2. Движение твердого тела в вязкой несжимаемой жидкости с конечной скоростью. Л. Эйлер ввел понятие о сплошной среде. Исходя из законов механики для материальной точки, сформулированных И. Ньютоном в его «Математических началах натуральной философии», изданных на латинском языке в 1986 г. и переведенных А. Н. Крыловым в период 1914-1916 гг., Л. Эйлер выделяет в пространстве элементарный параллелепипед и следит за изменением соответствующих механических величин: массы, количества движения [3, 4]. Для того, чтобы использовать законы механики, необходимо определить взаимодействие выделенной массы жидкости как сплошной среды с остальной массой. Это взаимодействие определяется посредством силы, отнесенной к единице площади, и действующей на касательную к частице площадку с фиксированной нормалью. Если эта сила направлена вдоль нормали, то жидкость считается идеальной, в противном случае — вязкой.

Уравнения движения вязкой жидкости Навье (1822) и Стокса (1845) позволили ставить задачи о воздействии потока вязкой жидкости на твердые поверхности.

Сопротивление жидкости движению в ней тела представляет значительный интерес для практики — морские суда, самолеты. Пусть гидродинамическая сила

Рп

где Б — поверхность тела или системы тел; рп —напряжение, приложенное к поверхности тела со стороны жидкости; п — орт нормали, направленный внутрь жидкости.

Абсолютное движение жидкости отнесем к неподвижным осям £, п, £. Пусть V — скорость жидкости; р — ее плотность; Е — массовая сила. Законы сохранения массы и количества движения записываются соответственно в виде

В случае несжимаемой жидкости <ііуу = 0, однако VР = 0- При VР = 0 жидкость считается однородной- В случае неоднородной жидкости, что характерно для гидросферы Земли, —

Параметрам жидкости вдали от тела придадим индекс то: vто, рто, р“. Рассмотрим разность

Проинтегрируем по объему Уд, ограниченному поверхностью тела и сферой Бд, К ^ то, Уд ^ У. При последующих вычислениях учтем, что

где г — относительный радиус-вектор, "Уо(і) — скорость полюса связанной с телом системы координат 0хуг, ш(і) —угловая скорость тела.

<ііуу = 0.

р\уп ¿Б + J р\юп ¿Б.

вя

/

Тогда для гидродинамической силы получим выражение

А — — / — {р\ — Роо^оо) — (р — Роо) (1т — II (р-

)У^п р^у^'Ужп + рп ) ¿Б.

У

в

На поверхности тела следует учесть условие

V = V(t) = V0(t) + ш(і) х г, г = (х, у, г) Є Б,

Для определения скорости и плотности по уравнениям неразрывности и движения необходимо привлечь реологические соотношения между компонентами тензора напряжений и тензора скоростей деформации. В случае ньютоновской жидкости

P«

dve

-р + 2р^г> д£

dv^ dvn

+

дп д£

Для получения остальных компонент векторов , рп, р^ следует воспользоваться

круговой перестановкой £ ^ п ^ С. Здесь р — давление, р коэффициент вязкости.

При сделанных предположениях имеем систему уравнений

м(С) —динамический

Pv = р

др

- + v.V)> = o,

dv

ы + <” v)v

divv = 0.

dv v2

91 at + VY _ v x rotv

pF-x/p + p(() Д V + p'(() + v«c) •

dZ

Эта система уравнений описывает абсолютное движение жидкости в неподвижной системе координат. Однако граничное условие на поверхности тела удобно записывать в подвижной системе координат, связанной с телом, ибо тогда в уравнение поверхности тела S не войдет время. Поэтому запишем уравнения для определения абсолютного движения жидкости в подвижной системе координат 0xyz. Для этого прежде всего заметим, что операторы v-у, div, rot, Д являются инвариантными при преобразованиях, обусловленных переносом и вращением системы координат. Для выражения частных производных по времени от скаляра и вектора соответственно имеем

др

dt

д'р

д\

~dt

)=const dt

d'v

(i,n,C)=const dt

— ve • Vp>

(x,y,z) = const

+ w(t) x v - (ve • v) v,

(ж,y,z) = const

где ує = Vo(t) + ^(і) х г — переносная скорость, а штрихом обозначена производная в подвижной системе координат.

Задача для определения абсолютного движения жидкости в системе координат, связанной с телом, принимает вид

О

^7 + (у - уе) • уР = 0, divv = 0.

д'\ ( у2 \ 1 р р' (д\

~К7 + у £/+^--уе-у -(у-Уе)хгсЛу = — у р + ~ Ау-\---------------------^- + У«<

ді \ 2 у Р Р Р \ог

v = Vo(t) + ^(t) x r, r Є S; v|

li=0

vo(r).

Здесь U — потенциал массовых сил, F = — у U.

Далее рассматриваем случай однородной жидкости, р = const, р = const: d'v fTT v2 p \

-Qj~ + У ( 1U + — + - - ve • v j - (v - ve) x rot v = v Д v,

v

v

OO 1

oo

divv = 0, v=-p) v|oo=v00, v|t=0=v0(r), r =(x,y,z).

Параметры движения жидкости вдали от тела vL, pL удовлетворяют приведенной системе уравнений. Введем u = v—vL, q = p—pL. Составив соответствующие разности, получим

d'u ( и2 q \

^ + v(vv°o-u+y + --^-и)-

— u х rot (vL + u) — (vL — ve) x rot u = v Д u, divu = 0,

uL=0, uL=o= u°(r)-

Вводя y = rot u и применяя операцию rot, получим д'7

— - V Д 7 = rot [u X (rot Voo +7) + (Voo - Ve) X 7]. dt

Используя операцию div, придем к уравнению для определения q:

Л ^+Voo • u+ y-ve • =div [u x (rotv00+7) + (v00-ve) X 7].

Представим u = уф + rot A. Тогда скалярный потенциал ф удовлетворяет уравнению Лапласа, Дф = 0, а 7 = rot u = rot rot A = —ДА + ydivA. При divA = 0 имеем

Y = — Д A. Таким образом, если 7 известна, то векторный потенциал A удовлетворяет уравнению Пуассона.

Приведенные рассуждения можно видоизменить, используя представление u = уф + rot A в уравнении для u. Тогда, полагая

дф и2 . . q .

~di + Y + (Voo-Ve)-U+-=/(t),

получим

r°t - V Д А^ = U X (rot Voo + 7) + (Voo - Ve) X 7.

Применяя операцию rot к этому уравнению и учитывая, что rot rot A = — Д A = —7, получим вышеприведенное уравнение для 7.

Другая форма уравнений абсолютного движения жидкости имеет вид

d'v ( р \

— + х V + [(v - ve) • V] v = -v [и + -j +v Д V, divv = 0.

Задача о медленном поступательном движении шара в вязкой жидкости решена А. И. Лурье [6]. При движении тела вдоль оси z с конечной скоростью V(t) получаем линейный вариант задачи:

д 'v д v ( р \

_-V(t)_ = -V^ + £j+,Av> divv = 0,

vL = V (t)k, v I =0.

15 4 ' 7 I L

Представим скорость жидкости в виде

V = ур + тк,

где р,т — функции координат х,у,г и времени Ь. Из уравнения неразрывности получаем

дт

А'р+ Э1=°

Подставляя выражение для скорости в уравнение движения жидкости, получим соотношение, где будут присутствовать слагаемые под знаком градиента и члены при к. Определим

где ](Ь) —производная функция времени. Тогда для функции т = т(х, у, г,Ь) получим уравнение

дт т г. . дт _-УЙ- = „ Д,„.

Положим

дФ

(р = —, го = - Д Ф,

соотношение между р и т будет удовлетворено, а для Ф = Ф(х, у, г,Ь) получим уравнение

дФ дФ

Из этого уравнения следует, что

дФ дФ дФ .дФ

а-1(‘)э;-‘/ЛФ=1н-'тэ;-

где Ф = Ф(х,у, г,Ь) —гармоническая функция, ДФ = 0. Вводя Г = Ф — Ф, получим уравнение

дГ дГ

т-у^-"АР = 0-

Это уравнение с переменным коэффициентом. Используя замену

С = ^ + [ V (т)с!т,

¿0

при которой

Г (х,у,С — ^ V (т )йт, ^ = х(х, у, С, ь), дГ дх дГ д^ дГ

!н~1н+

получаем уравнение теплопроводности в пространстве х,у,£ с постоянными коэффициентами:

Ж-"**“0

Скорость и давление будут выражаться через Ф следующим образом:

дФ Л Ж1

v = ---

дz

р д (дФ дФ \

7, + и+а;Ы-т^^&Ф)^т

Решение задачи по определению Ф известно только для случаев медленного движения шара и для случая установившегося обтекания [6, 7]. Переменность коэффициента в уравнении для Ф усложняет процесс аналитического построения решения.

Summary

Y. Z. Aleshkov. On the motion of a rigid body in the viscous fluid.

Alternate versions of the problem of the rigid body motion in the viscous fluid are considered.

Литература

1. Мирошин Р. Н. Константин Иванович Страхович. Сб. Гидроаэромеханика. СПб., 1999. С. 27-39.

2. Краткий очерк возникновения и развития государственного гидрологического института. Изв. ГГИ. Л., 1927. №20. С. 5-60.

3. Эйлер Л. Общие законы движения жидкостей. МЖГ РАН. М., 1999. №6. С. 26-54.

4. Алешков Ю. З. Начала гидромеханики // Аэродинамика. СПб., 2001. С. 7-18.

5. Алешков Ю. З. Течение и волны в океане. СПб. 1996.

6. Лурье А. И. Опреационное исчисление в приложениях к задачам механики. Л.; М., 1938.

7. Страхович К. И. Механика вязкой жидкости. Л., 1940.

Статья поступила в редакцию 4 мая 2004 г.