Вопросы численного моделирования двумерного нелинейного нестационарного температурного поля подложки гибридно-пленочного микротермостата

УДК 621.396.6

В.П. Алексеев, В.М. Карабан

Вопросы численного моделирования двумерного нелинейного нестационарного температурного поля подложки гибридно-пленочного микротермостата

Рассмотрены вопросы численного моделирования двумерного нелинейного нестационарного температурного поля термостатируемой подложки в конструкции гибридно-пленочного микротермостата (МТ) и проведено определение зависимости основных параметров его работы: устойчивости, времени выхода на режим и статической ошибки регулирования температуры от воздействующих факторов (мощности источника, диапазона изменения температуры окружающей среды, габаритных размеров и материала термостатируемой подложки, а также от пространственного размещения датчика температуры МТ в области термостатируемой подложки). Для решения двумерного дифференциального уравнения теплопроводности термостатируемой подложки совместно с уравнением схемы пропорционального регулирования мощности микротермостата, начальными и граничными условиями применен метод конечных разностей. Также при решении используется схема расщепления по координатам и метод прогонки. Приведены основные результаты работы.

1. Цель и актуальность постановки задачи

Радиотехнические устройства и системы, работающие в составе бортовых, наземных, морских комплексов радиоэлектронной аппаратуры, подвергаются воздействию самых различных факторов, в том числе температуры среды, которая в значительной степени влияет на параметры как отдельных элементов, так и устройств в делом. Микроэлектронная элементная база III и IV поколений, выполненная с помощью методов интегрально-групповой технологии, позволяет достигнуть высокой стабильности параметров радиотехнических устройств, однако в ряде случаев требования к стабильности таковы, что для обеспечения заданной надежности и режима функционирования требуется применять специальные методы термостабилизации. Обоснованное и рациональное использование микротермостатирования, как перспективного метода термостабилизации, позволяет улучшить параметры радиотехнических устройств и систем различного назначения.

Целью работы являются численное моделирование нелинейного нестационарного температурного поля подложки гибридно-пленочного микротермостата и определение зависимости основных параметров работы МТ: устойчивости, времени выхода на режим и статической ошибки регулирования от воздействующих факторов (мощности источника, диапазона изменения температуры окружающей среды, габаритных размеров и материала термостатируемой подложки, а также от пространственного размещения датчика температуры МТ в области термостатируемой подложки).

2. Постановка задачи теплопереноса в рамках двумерной модели и метод ее решения

Основные допущения, используемые при постановке задачи:

1) тепловыделениями термостатируемых элементов на подложке по сравнению с мощностью нагревателя можно пренебречь;

2) подложка представляет собой однородное изотропное тело, теплофизические параметры которого не зависят от координат и температуры;

3) тепловой контакт на границах между телами (областями) считается идеальным;

4) верхняя и нижняя грани подложки в двумерной постановке теплоизолированны. Сток тепла с этих граней во внешнюю среду за счет радиационного теплообмена учитывается в уравнении теплопроводности дополнительными источниками тепловыделения. Сток тепла с поверхности термостатируемой подложки во внешнюю среду за счет механизмов конвекции отсутствует, это допущение обусловлено небольшим расстоянием до поверхности корпуса МТ.

Обобщенная физическая модель исследуемого класса гибридно-пленочных МТ приведена на рис. 1.

Рис. 1 — Физическая модель гибридно-пленочного МТ: 1 — термостатируемая схема; 2 — схема регулирования температуры; 3 — корпус; 4 — теплоизоляция; 5 — выводы; 6 — термостатируемая подложка

В двумерной постановке задача теплопереноса сводится к решению двумерного нелинейного нестационарного уравнения теплопроводности совместно с уравнением системы пропорционального регулирования мощности нагревателя МТ (рис. 2):

С

дТ_ _д_ Э* ~ дх

Х

дТ дх

¿У

к

дт ду

вк + й

К [Т(х, у,г)-т„],

Р. Вт

-^мах

Зет

т, к

Рис. 2 — Модель пропорционального регулирования мощности нагревателя

где С — удельная теплоемкость; х, у — координаты; р — плотность; Т — температура тела; 4 — время; X — коэффициент теплопроводности; (}(х,у^) — тепловыделение источника; 5 — площадь источника; Л — толщина подложки; Тср — температура окружающей среды; а — постоянная Стефана — Больцма-на; епр — приведенный коэффициент черноты поверхности тер-мостатируемой подложки и окружающей среды; Рв — текущая мощность нагревателя; Ртах — максимальная мощность нагревателя; Тст — температура статирования; Т(х,уЛ) — температура подложки.

Четвертое слагаемое в правой части уравнения теплопроводности (1) учитывает сток тепловой энергии во внешнюю среду за счет механизмов радиационного теплообмена.

Область решения ограничивается следующими временными и геометрическими условиями:

* е [О» ¿тах ] > хе[0 ;ЬХ], уе[0;Ьу],

где х, у — координаты; Ьх,Ьу — размеры подложки по осям х, у соответственно; £шах — время работы.

При задании начальных условий считаем, что температура подложки в начальный момент времени распределена равномерно:

Т\

где х, у — координаты; Т — температура; Ь — время; Т0 — начальная температура.

В граничных условиях учитывается радиационный теплообмен с поверхности подложки по закону Стефана — Больцмана:

дт

дх

-^ = епра(^-Г4), у = О, хе[0-,Ьх];

где х, у — координаты; Ьх,Ьу — размеры параллелепипеда по осям х, у соответственно.

Приведенный коэффициент черноты поверхности тела и окружающей среды вычисляется по [1].

Для решения дифференциального уравнения (1) с начальными (2-3) и граничными (4-7) условиями применяется метод конечных разностей (МКР), для решения разностных аналогов двумерного уравнения использована схема расщепления по координатам [2]. Решение полученных одномерных разностных уравнений проводится в два этапа.

1. Построение итерационного цикла для преодоления нелинейности источника тепловыделения и граничных условий (наличие радиационного теплообмена с внешней средой по закону Стефана — Больцмана) [3].

2. На каждом шаге итерационного цикла решается линейная система уравнений методом прогонки с применением неявной четырехточечной разностной схемы аппроксимации [4], обладающей абсолютной устойчивостью и хорошо себя зарекомендовавшей при решении задач теплопроводности [3, 5, 6-8].

Для построения разностных аналогов исходного дифференциального уравнения введем равномерную прямоугольную сетку с пространственными узлами в точках (^.У;) и временными узлами в точках (*"):

Ьу

х1=Шх, кх=-у, ¿ = 0,1,...,7;

Ьу с/

где т — шаг сетки по времени; Нх,Ну — шаги сетки по пространственным координатам х, у. Разностный аналог температуры

Кип =т[х1,у}^).

Разностный аналог удельной тепловой мощности источника

В соответствии со схемой расщепления [5] переход от (л) к (п+1) осуществляется с помощью двух «дробных» шагов и уравнение (1) заменяется эквивалентной системой урав-

нении:

грП+1/ 2 _ грП

1Ч Ч/

= Ч/

тЛ+1 /2 пгрП+1 /2 , /т,ге+1 /2 11+1,1 ~ '~1.У

1

+ -

2

,л+1/2

О".

г,п+1/2\4

;

с„р,

т;

л+1

'.У

ттЛ + 1 /2

«.у

{грП+1 пгрП + 1 , грП+1 ^

1

+ —

2

я-!1

Епр°

ср

(с1)4

л,-

Уравнение (11) есть сеточная аппроксимация предельно анизотропного процесса теплопередачи, при котором распространение тепла происходит лишь в направлении оси х. Аналогично можно истолковать уравнение (12). Предполагается, что попеременное распространение тепла по направлениям осей х л у будет приближать реальный (изотропный) процес, описываемый уравнением (1).

Способ решения уравнения (11) подробно рассмотрен в [1]. Уравнение (12) решается аналогично.

Адекватность реализованной математической модели и метода решения проверена тестовым экспериментом [9]. Получено хорошее (в пределах погрешности метода измерения и погрешности, заложенных в математическую модель эмпирических формул) согласование с экспериментальными данными, что может свидетельствовать о достоверности результатов численного моделирования температурных полей в таких конструкциях.

3. Основные результаты работы

Рис. 3 — Геометрия области исследований: {З3 — зона источника

тепловыделения; 1, 2, 3 — исследуемые точки

В процессе данной работы проводилось варьирование таких параметров системы гибридно-пленочного микротермостата, как диапазон изменения температуры окружающей среды (ДТср), мощность нагревателя (Рв) и статической ошибки регулирования температуры (ЛТст). Исследование проведено для трех точек размещения датчика температуры МТ в области термостатируемой подложки (рис. 3).

В качестве материала подложки были выбраны материалы со следующими теплофизическими характеристиками:

• бериллиевая керамика (ВеО): С = 1900 Дж/(кг • К), р = = 2840 кг/м3, X = 131 Вт/(м • К);

• керамика ВК-94: С = 1888 Дж/(кг • К), р = 3650 кг/м3, X = = 13,4 Вт/(м • К).

Результаты представим в виде графиков (рис. 4-9). Для наиболее наглядного отображения процессов, происходящих в системе гибридно-пленочного МТ, приведены графики для одного типоразмера (12x16x1,0) подложки.

Г. С

240-

200

Рис. 4 — Керамика ВК-94, точка 1: Ра = 1...10 Вт (шаг 1 Вт); Т„ = const = 10 К; ДГср = const = 100 К

Рис. 5 — Керамика ВК-94, точка 2: Рв = 1; 2; 5; 10 Вт; Тст = const = 10 К; ДТср = const = 100 К

Рис. 6 — Керамика ВК-94, точка 1: Рис. 7 — Керамика ВК-94, точка 2:

ДГС1 = 5...20 К (шагом 5 К); ДТст = 5...20 К (шагом 5 К);

Рв = const = 5 Вт; ДТср = const = 100 К Рп = const = 5 Вт; ДГср = const = 100 К

Рис. 8 — Керамика ВК-94, точка 1: Рис. 9 — Керамика ВК-94, точка 2:

ДГср = 100; 50; 0 К; ДГср = 100; 50; 0 К;

РИ = const = 5 Вт; Д!ГСТ = const = 10 К РП = const = 5 Вт; ДТ„ = const = 10 К

Заключение

На основании полученных результатов и по представленному графическому материалу можно сказать, что на устойчивость, время выхода на режим и статическую ошибку регулирования температуры системы гибридно-пленочного МТ оказывают влияние мощность источника тепловыделения, диапазон изменения температуры окружающей среды, габаритные размеры и материал термостатируемой подложки, а также пространственное размещение датчика температуры МТ в области термостатируемой подложки. Причем необходимо отметить, что каждый из вышеперечисленных факторов имеет свою степень оказываемого на параметры системы микротермостата влияния. Определение такого влияния может лечь в основу последующих работ.

Литература

1. Алексеев В.П. Системное проектирование термоустойчивых радиотехнических устройств и систем / В.П. Алексеев. - Томск : Изд-во Ин-та оптики атмосферы СО РАН, 2004. - 316 с.

2. Берковский Б.М. Разностные методы исследования задач теплообмена / Б.М. Берков-ский, Е.Ф. Ноготов. - Минск : Наука и техника, 1976.

3. Пасконов В.М. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена : учеб. пособие / В.М. Пасконов, В.И. Полежаев, JI.A. Чудов. - М. : Наука, 1984. - 285 с.

4. Дульнев Г.Н. Тепло- и массообмен в радиоэлектронной аппаратуре / Г-Н. Дульнев. -М. : Высш. школа, 1984. - 247 с.

5. Самарский A.A. Численные методы математической физики / A.A. Самарский. - М. : Научный мир, 2000. - 316 с. - ISBN 5-89176-102-5.

6. Самарский A.A. Вычислительная теплопередача / A.A. Самарский. - М. : Едиториал УРСС, 2003. - 784 с.

7. Моделирование тепловыделяющих систем : учеб. пособие для вузов/ А.Р. Дорохов, A.C. Заворин, A.M. Казанов, B.C. Логинов. - Томск : HTJI, 2000. - 233 с. - ISBN 5-89503-083-1.

8. Дульнев Г.Н. Применение ЭВМ для решения задач теплообмена / Г.Н. Дульнев, В.Г. Парфенов, A.B. Сигалов. - М. : Высшая школа, 1990. - 207 с.

9. Карабан В.М. Моделирование нестационарных нелинейных температурных полей подложки гибридных толстопленочных ИМС/ В.М. Карабан // Тезисы всероссийской науч.-техн. конф. студентов, аспирантов и молодых ученых «Научная сессия ТУСУР-2006». Томск. -2006. - С. 179-182.

Алексеев Валерий Павлович

Канд. техн. наук, доцент каф. конструирования и производства радиоаппаратуры ТУСУРа Телефон: (3822) 51 27 71, (3822) 45 34 42 Эл. почта: aav@scalpnet.ru

Карабан Вадим Михайлович

Аспирант каф. конструирования и производства радиоаппаратуры ТУСУРа

Телефон (3822) 52 16 54

Эл. почта: karaban_vm@mail.ru

V.P. Alekseev, У.М. Karaban

Problems of numerical modeling of 2D nonlinear non-stationary temperature field of a substrate of hybrid-film micro-thermostat

Problems of numerical modeling of 2D nonlinear non-stationary temperature field of a thermostated substrate in a design of hybrid-film micro-thermostat (MT) are considered. Such operation characteristics as stability, time of working mode of operation, static error of temperature regulation depending on impact factors (supply power, external temperature range, overall dimensions and material of thermostated substrate, spatial location of MT's temperature sensor in region of the thermostated substrate) are determined. The finite difference method has been used for solution two-dimensional differential equation of heat conductivity of thermostated substrate together with equation of scheme of proportional power regulation of the micro-thermostat, initial and boundary conditions. Scheme of coordinates splitting and sweep method are also used for the solution. The main results of the work are given.