Классификация узлов в утолщенном торе, минимальные диаграммы которых не лежат в кольце и имеют пять перекрёстков

УДК 515.162.3

Построена таблица узлов в утолщенном торе Тхі, минимальные диаграммы которых не лежат в кольце и имеют пять перекрестков.

Ключевые слова: узел, утолщенный тор, таблица узлов.

Введение

Усиление интереса к узлам в многообразиях типа рх1, где Б - замкнутая ориентируемая поверхность, привело к задаче табулирования узлов в этих многообразиях. Естественным образом возникло продолжение теории узлов в 8' на узлы в утолщенном торе Тх1, где Т = 81 х 81 - самая

лированию узлов в других многообразиях упомянем работы [1, 2] по узлам в проективном про-

Настоящая статья продолжает исследование, начатое в работе [5], руководствуясь её основными

до эквивалентности в смысле гомеоморфизма. Проекция узла К с Тх1 представляет собой регу-

нием (путем разрывов обхода), какой из проходящих через каждую вершину участков узла рас-

ются эквивалентными, если одна получается из другой гомеоморфизмом тора на себя. Эквивалентность диаграмм имеет тот же смысл, но дополнительно разрешается одновременно изменять типы всех перекрестков.

Определение 1. Диаграмма узла К называется минимальной, если ее сложность (число перекрестков) не превосходит сложности любой диаграммы любого узла, эквивалентного узлу К. Проекция всТ называется минимальной, если минимальна хотя бы одна из отвечающих ей диаграмм.

Мы будем рассматривать только примарные узлы, т.е. узлы, отличные от локальных и составных. Локальный узел отвечает узлу в сфере, а составной является либо нетривиальной связной суммой узлов в сфере с уже табулированными узлами в Тх1, либо круговой связной суммой табулированных узлов [6]. Кроме того, мы не включаем в таблицу узлы, минимальные диаграммы которых можно расположить в некотором кольце на Т. Дело в том, что такие узлы близки к узлам в полном торе, табулированным в [3]. Аналогичным образом определяются понятия при-марных, локальных, составных проекций и диаграмм на торе.

Следующая теорема является основным результатом статьи.

Теорема 1. Существуют ровно 69 различных примарных узла в Тх1, минимальные диаграммы которых не лежат в кольце и имеют пять перекрестков. Эти диаграммы изображены на рис. 1.

Доказательство теоремы 1 состоит из четырех частей и аналогично доказательству соответствующей теоремы, подробно описанному в [5]. Сначала мы перебираем все абстрактные регулярные графы с 5 вершинами, потом - все минимальные проекции с 5 перекрестками на торе, не лежащие в кольце, затем - отвечающие им минимальные диаграммы. При этом дубликаты от-

1 Исследования были поддержаны грантом РФФИ 12-01-00748, грантом НШ-1414.2012.1 по государственной поддержке ведущих научных школ, а также грантом 12-Т-1-1003/2 ОМН РАН.

2 Акимова Алёна Андреевна - студент, Южно-Урмьский государственный университет. E-mail: akimova susu@mail.ru____________________

брасываются. На последнем этапе мы доказываем, что отвечающие этим диаграммам узлы в Т/1 различны. Для этого мы используем обобщенные полиномы Кауфмана [7, 8].

•о, / I о(Х ж 1 ч Ж т\ $

5! 52 53 54 55 56 57 58

>с\> П\\ ч я, >сХ Г < $

59 51 о 5ц 612 513 514 515 516

-А у \ $ $ 7\к /х\ /

§17 518 5» 52о 521 522 523 524

$ й л> У) ^ V ( \ / ^ V I \

525 526 527 5гв 52д 5зо 5з1 5 32

-и // ч 15/^ /)! ~7 1 Кк Л I ) л<Г\ / &

^33 534 535 536 5,7 5зв 539 540

йк /I 4е 4 -у] -н \

541 542 543 544 545 54в 547 548

_У\_ \ У т! Ч V "П / -К4

549 5бо 5б1 5 52 55з 554 555 5 56

А -К / / м ь~ Т

$57 5 58 559 5 во 5в1 562 56з 564

7? А/, м /с

5б5 5ве 5б7 568 569

Рис. 1. Диаграммы с 5 перекрестками узлов на торе Т, не лежащие в кольце.

Тор Т представлен в виде квадрата с отождествленными противоположными сторонами

Перечисление графов и проекций

Отметим, что минимальная проекция узла в Т/1, не лежащая в кольце, не может иметь пе-

$ (£& сзхю

Ь с с1

Лемма 1. Существуют ровно 6 регулярных графов без петель, имеющих пять вершин (рис. 2).

Доказательство леммы 1 аналогично доказательству леммы 2 работы [5], в которой был рассмотрен случай графов с п < 4 вершинами.

Теорема 2. Существуют ровно 34 различные примарные проекции узлов в Т/1, которые имеют 5 перекрестков, не имеют тривиальных петель и не лежат в кольце (рис. 3).

Рис. 2. Регулярные графы степени 4 с пятью вершинами, не имеющие петель

Математика

5зз 534

Рис. 3. Проекции с 5 перекрестками узлов на торе Т, не лежащие в кольце.

Тор Т представлен в виде квадрата с отождествленными противоположными сторонами

Доказательство теоремы 2 аналогично доказательству теоремы 2 работы [5], в которой был рассмотрен случай проекций си<4 перекрестками.

Доказательство теоремы 1

Восстановим по проекциям, описанным в теореме 2 (см. рис. 3), диаграммы узлов на Т, указав тип каждого перекрестка. Для проекции с п вершинами это можно сделать 2", то есть в нашем случае 32 способами. Однако перебор можно существенно сократить за счет соображений, описанных в [5]. Например, тип одной вершины можно зафиксировать. Только две, а не четыре, разметки вершин двуугольной грани могут дать минимальную диаграмму. Кроме того, только две разметки вершин треугольной грани, имеющей общее ребро с двуугольной гранью, могут дать минимальную диаграмму.

Различность всех приведенных в таблице узлов доказывается с помощью вычисления их обобщенных полиномов Кауфмана [7, 8]. Точная формула такова:

Х(К) = {-а)~Ъсо(К)^аа(з)-р(з){-а2-а~2)г(з)хё(з) ,

где а(^) и - числа маркеров А и В в состоянии 5, а 7(5) и (5(з) - числа тривиальных и нетривиальных окружностей в торе, полученных в результате разрешения всех перекрестков, которое соответствует состоянию 5. Разумеется, сумма берется по всем возможным состояниям, а со(К) обозначает число скручивания диаграммы.

Все полиномы оказались различными. Отсюда следует, что все узлы, приведенные на рис. 1, различны. Попутно мы получаем доказательство минимальности каждой из 34 проекций, указанных в теореме 2.

Заключительные замечания

1. Таблица содержит ровно 5 гомологически тривиальных узлов: 521, 522, 556-558.

2. Таблица содержит ровно 13 альтернированных диаграмм: 56 , 512, 513 , 517, 521 , 531, 544, 546, 549, 551, 55э, 55б, 5б8.

3. Максимальное число различных узлов, имеющих одну и ту же проекцию, равно 6. Этим свойством обладают проекции 53 и 57.

10 Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика»

Литература

1. Дроботухина, Ю.В. Аналог полинома Джонса для зацеплений в RP3 и обобщение теоремы Кауфмана-Мурасуги / Ю.В. Дроботухина // Алгебра и анализ. - 1990. - Т. 2, № 3. - С. 171-191.

2. Drobotukhina, Yu.V. Classification of links in RP3 with at most six crossings /Yu.V. Drobotukhina// Advances in Soviet Mathematics. - 1994.-V. 18,№ l.-P. 87-121.

3. Gabrovshek, B. Knots in the solid torus up to 6 crossings / B. Gabrovshek, I.M. Mroczkowski // J. Knot Theory Ramifications.-2012.-V. 21,- 1250106. [43 c.] DOI: 10.1142/S0218216512501064

4. Enumerating the k-tangle projections / A. Bogdanov, V. Meshkov, A. Omelchenko, M. Petrov //

J. Knot Theory Ramifications. - 2012. - V. 21, №7. - 1250069. [17 c.] DOI:

10.1142/S0218216512500691

5. Акимова, А.А.Классификация узлов малой сложности в утолщённом торе / А.А. Акимова, С.В. Матвеев // Вестник Новосибирского государственного университета. Серия: Математика, механика, информатика. - 2012. - Т. 12. - Вып. 3. - С. 10-21.

6. Matveev, S.V. Prime decompositions of knots in T*I / S.V. Matveev // Topology and its Applications. - 2012. - V. 159, № 7.-C, 1820-1824. DOI: 10.1016/j.topol.2011.04.022

7. Kauffman, L. State models and the Jones polynomial // Topology. - 1987. - V. 26, №3. -P.395-407.

8. Прасолов, В.В. Узлы, зацепления, косы и трёхмерные многообразия / В.В. Прасолов, А.Б. Сосинский. - М.: МЦНМО, 1997. - 352 с.

CLASSIFICATION OF KNOTS IN THE THICKENED TORUS WITH MINIMAL DIAGRAMS WHICH ARE NOT IN A CIRCULE AND HAVE FIVE CROSSINGS

A.A. Akimova

We compose the table of knots in the thickened torus T*I with minimal diagrams which are not in a circle and have five crossing intersections.

Keywords: knot, thickened torus, knot table.

References

1. Drobotukhina Yu.V. Analog polinoma Dzhonsa dlya zaceplenij v RP3 i obobshhenie teoremy Kaufmana-Murasugi [An analogue of the Jones polynomial for links in RP3 and a generalization of the Kauffman-Murasugi theorem]. Leningrad Mathematical Journal. 1991. Vol. 2, Issue 3. pp. 613-630.

2. Drobotukhina Yu.V. Classification of links in RP3 with at most six crossings. Advances in Soviet Mathematics. 1994. Vol. 18, no. 1. pp. 87-121.

3. Gabrovshek B., Mroczkowski I.M. Knots in the solid torus up to 6 crossings. J. Knot Theory Ramifications. 2012. Vol. 21. 1250106. [43 pages] DOI: 10.1142/S0218216512501064.

4. Bogdanov A., Meshkov V., Omelchenko A., Petrov M. Enumerating the k-tangle projections // J.

Knot Theory Ramifications. 2012. Vol. 21, no. 7. 1250069. [17 pages] DOI:

10.1142/S0218216512500691

5. Akimova A.A., Matveev S.V. Klassifikaciya uzlov maloj slozhnosti v utolshhennom tore [Classification of Low Complexity Knots in the Thickened Torus]. Vestnik Novosibirskogo gosu-darstvennogo universiteta. Seriya: Matematika, mekhanika, informatika. 2012. Vol. 12. Issue. 3. pp. 1021. (in Russ.).

6. Matveev S.V. Prime decompositions of knots in T*I. Topology and its Applications. 2012. Vol. 159, no. 7. pp. 1820-1824. DOI: 10.1016/j.topol.2011.04.022

7. Kauffman L. State models and the Jones polynomial. Topology. 1987. Vol. 26, no. 3. pp. 395407.

8. Prasolov V.V., Sosinskij A.B. Uzly, zacepleniya, kosy i tryokhmernye mnogoobraziya [Knots, linkage, braids and three-dimensional manifold]. Moscow: MCNMO, 1997. 352 p. (in Russ.).

Поступила в редакцию 24 октября 2012 г.

1 Akimova Alyona Andreevna is Student, South Ural State University. E-mail: akimova susu@mail.ru______________________________________