Обнаружение, выделение и визуализация циклов экономической динамики фазовыми методами

яний системы в фиксированный момент времени. Обычно состояние системы задается некоторым набором чисел (фазовых координат) и представляет собой область в многомерном пространстве или «многообразие». Каждому возможному состоянию системы соответствует точка фазового пространства, которая задает состояние всей системы. Сущность и польза понятия фазового пространства заключается в том, что состояние сложной системы представляется в нем одной точкой, а эволюция системы представляется ее движением по фазовому пространству Кривая, описываемая этой точкой, называется фазовой траекторией. Зная полное состояние динамической системы, можно предсказать ее поведение в будущем через координату и скорость в начальный момент. Фазовое пространство такой системы двумерно.

Фазовые траектории на плоскости появляются при геометрическом представлении решений дифференциального уравнения второго порядка

«м=/ (, у, }

которое можно преобразовать в систему двух уравнений первого порядка

«ш УУУ. ^=))

с общим решением У = 7(?); У' = Y'(t). Особый интерес к этому уравнению вызван тем, что его решением оказываются периодические функции 8т(&-ю0^), со5(к-ад^) и их линейные комбинации, так что уравнение описывает периодические во времени t (сезонные или циклические) процессы, столь характерные для современной рыночной экономики.

В общем случае на фазовой плоскости (0, У, У) решение уравнений

= Р(7, 7'); dY'(t)/dt = д(7, 7') (автономная система) представляется так, что их фазовые траектории удовлетворяют дифференциальному уравнению первого порядка dY'/dY = Q(Y,Y')/Р(Y,Y), которое каждой точке (У 7') фазовой плоскости ставит в соответствие наклон проходящей через нее интегральной кривой. Получающееся «поле направлений» дифференциального уравнения на фазовой плоскости позволяет сделать набросок 7 '(У) с начальной точкой, найденной по заданным начальным значениям Ун и 7'н. Можно начать с построения геометрического места точек постоянного наклона (изоклина) dY'/dY = т.

Точка (У 7') фазовой плоскости системы dY(t)/dt = Р; = О

называется обыкновенной точкой, если Р(7, 7') и Q(Y, 7') дифференцируемы и не обращаются одновременно в нуль. Через каждую обыкновенную точку проходит единственная фазовая траектория.

Фазовые портреты играют важную роль в математике и технике. Фазовым портретом называют построенную на плоскости кривую, представляющую собой зависимость первой производной 7'^) от самой переменной 7^), время t играет роль параметра. Отрезок прямой, находящийся над осью абсцисс и параллельный ей на фазовом портрете, на привычном дискретном «решетчатом» графике {^^У)} соответствует линейному росту переменной 7(1), так как первая производная положительна и постоянна, а переменная 7^) растет вдоль оси абсцисс слева направо. Замкнутый цикл фазового портрета указывает на стабильные периодические колебания переменной 7^), спираль «раскручивающаяся» свидетельствует о росте амплитуды колебаний со временем, спираль «сворачивающаяся» соответствует затуханию периодической составляющей. Фазовый портрет может быть трехмерным, координатными осями его будут сама функция, первая производная и независимая переменная (текущее время). Создана энциклопедия фазовых портретов, множество пар соответствующих временных и фазовых картин позволяет лучше понять и «почувствовать» необычность новых подходов.

Следующим инструментом фазового анализа в экономике является получение взаимных непрерывных зависимостей характеристик рынка на параметрических картинах одних показателей от других, параметром выступает время. Это облегчает понимание инерционности, увязки разных процессов. Переход от временных рядов показателей к параметрическим картинам позволяет связать экономические переменные друг с другом в одной координатной системе с новым демонстрационным качеством.

Фазовый сплайн-анализ в новых исследованиях и вычислительных экспериментах показал, что широкий спектр экономических показателей имеет принципиально циклическую природу. Повсюду в экономике мы видим богатство циклических конструкций, которые необходимо обнаруживать, исследовать, объяснять, обсчитывать показатели циклов. Выявленная цикличность позволяет по-новому взглянуть на многие экономические процессы. Складывается впечатление, что тренды как таковые не существуют, они строятся интерполяционно по характерным точкам циклов (по их центрам, точкам пересечения ветвей и пр.).

1995 1996 1997 1998 1999

2000 2001

2002

2003 2004 2005

годы

Рис. 1. Коэффициент вариации годовых цен на бензин А-92 в Южном федеральном округе в 1995-2005 гг., его первая производная

Первый пример. Известно, что цены на нефть и ее производные (бензин, мазут) становятся все более важным макроэкономическим показателем, характеризующим состояние экономик стран. Так, например, непростой период 1970-1975 гг. в США характеризуется как «стагфляция, вызванная повышением цен на нефть». Поэтому в работе была предпринята попытка соотнести цены на бензин с состоянием российской экономики, использовать их как «пробник» или «термометр» экономического развития. Экспериментально в период 1995-2005 гг. эта попытка проверяется годом «большого дефолта» 1998-1999 гг.

На рис. 1 показана динамика коэффициента вариации среднегодовых цен на бензин А-92 в Южном федеральном округе в 1995-2005 гг. Как всегда, первая производная опережает саму функцию. Всего насчитывается четыре событийных составляющих, вторая (слева направо) из них - «большой дефолт» 1998-1999 гг. Третье и четвертое событийные возмущения почти равны по амплитуде. Неожиданно сильно проявился структурный выброс в конце 1996 г., поскольку тогда математическое ожидание было меньшим. Коэффициент вариации, как отношение стандар-

та с(Х) к математическому ожиданию М(Х), а не сами стандарт или дисперсия, в более полной мере выделяет из статистического фона и характеризует структурные скачки экономической динамики.

На рис. 2 приведен фазовый портрет коэффициента вариации годовых цен на бензин. Событийные составляющие в порядке уменьшения амплитуды их коэффициента вариации по годам (справа - налево): 1999, 1996, 2002, 2004. Так сочетание фазового подхода и классического статистического показателя «коэффициент вариации» помогло найти внезапные изменения структуры 1996, 2002 и 2004 гг., следующие в российской экономике с периодом примерно 2.5 года. Коэффициент вариации 1999 г. был равен 0.4, остальные максимумы привнесли заметные и почти равные показатели 0.15.

Методы фазового анализа универсальны и ими можно выделять «круговые» конструкции экономических циклов из любых временных рядов. Поэтому приведем второй пример - фазовый портрет динамики урожайности озимой пшеницы (рис. 3). Урожайность располагается на горизонтальной оси, первая производная урожайности - по вертикальной. Известный круговорот циклов, на фазовом портрете они перемещаются слева - направо к интегральному увеличению урожайности.

коэффициент вариации

Рис. 2. Фазовый портрет коэффициента вариации годовых цен на бензин А-92 в Южном федеральном округе в 1995-2005 гг.

о 10 20 30 00

урожайность, ц/га

Рис. 3. Фазовый портрет динамики урожайности озимой пшеницы по Ставропольскому краю с 1870 по 2007 гг.

В остальном метрический размер циклов за прошедшие 138 лет меняется не очень сильно, хотя сама урожайность повышается с 3-4 до 35-36 ц/га. Длина найденных циклов (годы) заметно отличается от стандартных 11-летних длин. Например, цикл 2001-2007 гг. имеет длину 5.6 лет. Правда, цикличность солнечной активности - сложное понятие. В 1843 г. немецкий астроном Швабе открыл периодичность числа пятен, находящихся на Солнце - 11-летний цикл. В действительности период цикла в среднем равен 10.5 лет, при этом расстояние между экстремумами существенно меняется от цикла к циклу - от 7.3 до 17.1 лет

между максимумами и от 9 до 13.6 лет между минимумами. Однако все они превышают длину сельскохозяйственного цикла, полученную в работе.

Таким образом, систематизируя результаты получения циклических конструкций из разделов экономической динамики, можно утверждать, что рыночной экономике присуща принципиальная, общая, системная, перманентная, глобальная, неслучайная, стабильная, существенная цикличность, которую удается заметить, идентифицировать и рассчитывать новыми для экономики методами фазового анализа.

СПИСОК ЛИТЕАРТУРЫ

1. Кардаш В.А. Конфликты и компромиссы в рыночной экономике. М.: Наука, 2006. 248 с.

2. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике (для

научных работников и инженеров). М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1973. 832 с.

Зубков А. Ф., Деркаченко В.Н., Рыжов Р. В.

дискриминантный анализ и кластерные технологии в исследовании экономической деятельности малых предприятий

Развитие малого предпринимательства является одним из наиболее перспективных направлений рыночных преобразований. Этот сектор экономики является эффективным способом привлечения инвестиций, что приводит к росту производства, увеличению налоговых поступлений и созданию новых рабочих мест.

Экономическая деятельность малых предприятий (МП) оценивается значительным числом показателей. Финансовая устойчивость предприятий малого бизнеса определяется с использованием различных методик и моделей. Однако существующие классификационные модели не могут быть использованы для отдельных регионов, так как они не отражают специфику их экономической деятельности.

В статье предлагаются методика и модели для классификации МП по показателям финансовой устойчивости и платежеспособности отдельных регионов Приволжского федерального округа.

К показателям финансовой устойчивости и платежеспособности МП относятся [1]:

- соотношение заемных и собственных средств - х1;

- коэффициент автономии - х2;

- коэффициент маневренности - х3;

- доля нематериальных активов, основных средств, запасов - х4;

- доля имущества производственного назначения - х5;

- коэффициент обеспеченности собственными материальными оборотными средствами - х6;

- коэффициент обеспеченности собственными оборотными средствами - х7;

- доля долгосрочных обязательств к источнику собственных средств и долгосрочным обязательствам - х8;

- доля источников финансирования (источники собственных средств и долгосрочные обязательства) - х9;

- коэффициент абсолютной ликвидности - х10;

- коэффициент ликвидности - х11;

- коэффициент текущей ликвидности - х12.

Для построения дискриминантных функций

использовались статистические данные по основным показателям финансово-хозяйственной деятельности МП Пензенской области за 2005 год [2]. По методике Федеральной службы госу-