Модели алгоритмов и устройств параметрической идентификации многоэлементных RLC-датчиков на основе обобщенных параметров двухполюсников. Часть 2

136

В. И. Иванов

УДК 621.317.7

DOI: 10.17586/0021-3454-2015-58-2-136-142

В. И. Иванов

МОДЕЛИ

АЛГОРИТМОВ И УСТРОЙСТВ ПАРАМЕТРИЧЕСКОЙ ИДЕНТИФИКАЦИИ МНОГОЭЛЕМЕНТНЫХ RLC- ДАТЧИКОВ НА ОСНОВЕ ОБОБЩЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ ДВУХПОЛЮСНИКОВ.

ЧАСТЬ 2

Представлены результаты исследований алгоритмов и устройств преобразования параметров многоэлементных двухполюсников с нулевым и бесконечным сопротивлением на постоянном токе. Рассмотрены преобразователи параметров RLC-двухполюсников с дифференцированием сигналов в измерительной схеме.

Ключевые слова: многоэлементный двухполюсник, степенной импульс, обобщенные параметры, преобразователь параметров.

Введение. Рассмотренные в первой части статьи алгоритмы идентификации пассивных датчиков, основанные на методе обобщенных параметров, разработаны для объектов с конечным (ненулевым и небесконечным) сопротивлением между полюсами на постоянном токе. Два способа воздействия на двухполюсники (ДП) — импульсами напряжения или импульсами тока, имеющего вид степенной функции, — равноценны и по аппаратной реализации, и по сложности аналитических выражений [1, 2]. Однако среди различных датчиков важное место занимают двухполюсники с коротким замыканием или обрывом цепи на постоянном токе между полюсами. Рассмотрим влияние конфигурации схемы ДП и вида тестового сигнала на аппаратные издержки измерительных устройств и сложность вычислительных процедур [3—5].

Преобразование параметров ДП с нулевым сопротивлением на постоянном токе.

Если в схеме замещения ДП присутствует индуктивный элемент, включенный между полю-~ сами, он закорачивает внешние выводы для постоянного тока.

В этом случае в знаменателе формулы комплексной проводимости Y(p) свободный член а0 равен нулю. А в числителе формулы комплексного сопротивления Z(p) нулю равен свободный член b0. Рассмотрим особенности применения метода обобщенных параметров сопротивления и проводимости двухполюсника с коротким замыканием между полюсами при возбуждении его импульсами тока и напряжения на примере четырехэлементного двухполюсника (рис. 1). Операторное изображение сопротивления имеет вид

L1

C1

R1

R2

Рис.1

Z (Р ) =

pR1L1 + p R1R2 L1C1

R1 + p (L1 + R1R2C1) + p (R1 + R2 ) L1C1

В числителе выражения для Z(p) отсутствует свободный член, поэтому Zo = 0. Следовательно, при возбуждении ДП импульсом тока /Дл (t) = Imtn /в реакции двухполюсника всегда будет отсутствовать составляющая напряжения n-й степени. Для определения N параметров ДП потребуется повысить степень импульса тока, по меньшей мере, до N-й. Например, для преобразования параметров рассматриваемого четырехэлементного ДП требуется импульс четвертой степени. Обобщенные Z-параметры ДП равны

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2015. Т. 58, № 2

Модели алгоритмов и устройств параметрической идентификации RLC-датчиков. Часть 2 137

Z0 = 0, Z, = Lj; Z2 =-L^/Ri, Z3 = L,(l, -RjC,)/R?; Z4 = Ri + R2)l2C,2 -L2(Lj -RjCj)7R,3.

Напряжение на двухполюснике содержит четыре составляющие импульса:

иди R) = 4ZllJl'i + 12Z2'2 /t4 + 24Z3VAh4 + 24Z4ijti .

При возбуждении ДП импульсом напряжения в качестве системной функции объекта служит операторное изображение проводимости:

Rl + p (Ll + RlR2Cl) + p2 (Rl + R2

PRlLl + p 2 RiR2 LlCl

В знаменателе этого выражения отсутствует свободный член, поэтому применение формул [l, 2] для определения Y-параметров невозможно. Вынесенный из выражения для Y(p) оператор p отнесем к выражению входного воздействия — импульса напряжения. Операторное изображение тока в двухполюснике от этого не изменится:

1 ДП

n\Um Ri + p(Li + RiR2Ci) + p2 (Ri + R2)LiCi

tlpn+2 RjLj + pRR L,Ci

Здесь U*(p) и Y*(p) — модифицированные выражения для входного воздействия и проводимости двухполюсника:

и •

U (Р),

5

p

Y*

R1 + p (L1 + R1R2C1) + p2 (R1 + R2 ) L1C1 R1L1 + pR1R2 L1C1

Обобщенные параметры проводимости Y*(p) равны

Y-i = 1/L,; Yo* = 1/Rj; Y,* = C,; Y2* ^C,2.

Оператор интегрирования 1/р повышает показатель степени тестового сигнала, поэтому старшая степень импульса тока на единицу больше степени импульса напряжения. Так, для определения четырех Y-параметров достаточно импульсов напряжения второй степени

идп (t) = Umt2 /. Ток двухполюсника содержит четыре составляющие

'дп R) = Y-iUmtУ(з<и ) + YoUmtV'и2 + 2^'/^ + 2Y2UjtJ .

Для унификации моделей ДП обозначения индексов Y-параметров сдвинуты на единицу в меньшую сторону, чтобы параметру Y0 соответствовала степень выходного импульса, совпадающая со степенью входного сигнала. Таким образом, при возбуждении „короткозамкну-того“ ДП импульсом напряжения процедура измерения обобщенных параметров и вычисления измеряемых величин упрощается.

Преобразование параметров ДП с бесконечным сопротивлением на постоянном токе. Если в схеме замещения ДП между полюсами присутствует емкостной элемент, он создает обрыв цепи для постоянного тока. В этом случае свободный член а0 в знаменателе формулы комплексного сопротивления равен нулю. Рассмотрим на примере четырехэлементного ДП (рис. 2) особенности применения метода обобщенных Y- и Z-параметров двухполюсника с бесконечным сопротивлением между полюсами на постоянном токе при возбуждении его импульсами напряжения или тока.

Если в качестве тестового сигнала используется импульс напряжения, следует обратить внимание на вид операторного изображения проводимости:

R2

Y

__________pR2C1 + Р 2 L1C1________

R2 + p (L1 + R1R2C1) + p2 (R1 + R2 ) L1C1

Рис. 2

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2015. Т. 58, № 2

138

В. И. Иванов

Так как в числителе выражения Y(p) отсутствует свободный член, параметр Y0 тождественно равен нулю. При возбуждении ДП импульсом напряжения ИдП (t) = Umtn/в реакции

двухполюсника будет отсутствовать составляющая тока n-й степени. Для определения N параметров ДП потребуется импульс тока, по меньшей мере, N-й степени. Например, для преобразования параметров четырехэлементного ДП (см. рис. 2) требуется импульс четвертой степени. Обобщенные Y-параметры ДП равны

Yo = 0; Y, = С,; Y2 =-RiCl, Y3 = C,2 (R^C, -ц);

Y4 = C,2 (RC + L, )2/R2 - R,2 ( + R2 )C,4.

Если для возбуждения ДП применяется импульс тока, следует учитывать особенности операторного изображения сопротивления ДП:

Rl + p ( + RlR2Cl) + p 2 (Ri + R2

pR,L, + p 2 R,R2 LiC,

В знаменателе этого выражения отсутствует свободный член, поэтому следует применить модифицированные выражения для входного тока и операторного сопротивления. Вынесенный из выражения для Z(p) оператор p отнесем к выражению входного воздействия — импульса тока:

Z* ( )= R1 + p (L! + R1R2C1) + p2 (R1 + R2 ) L1C1

[p) = R1L1 + pRR L1C1

Обобщенные параметры сопротивления Z*(p) равны

Z-1 = V C1; Z0 = R1; Z1 = L1; Z2 = -Ll/R2 .

Двухполюсник с a0 = 0 обладает свойством интегратора, что повышает показатель степени тестового импульса. При воздействии на двухполюсник импульсом тока квадратичной формы напряжение содержит четыре составляющие импульса

иДП (t) = Z-1Imt3/(3t^ ) + Z0ImtV^ + 2Z1Imtltk + 2Z2^Ли .

Как видно, при измерении обобщенных параметров двухполюсников с разрывом цепи между полюсами приоритет следует отдать измерителям с возбуждением ДП импульсами тока.

Преобразователи параметров ДП с дифференцированием сигналов. Представляют интерес разработки преобразователей обобщенных параметров RLC-двухполюсников с применением операций дифференцирования сигналов на входе и выходе измерительной схемы [3, 5, 6]. Предлагаемый способ преобразования параметров ДП поясняется на примере четырехэлементного двухполюсника. Измерительная цепь на рис. 3 представляет собой делитель напряжения Z0—Z(p), составленный из последовательно включенных образцового, обычно одноэлементного, двухполюсника Z0 и ДП объекта измерения с комплексным сопротивлением Z(p). Генератор импульсов напряжения (ГИН) формирует тестовые импульсы, имеющие форму кубической параболы:

u10

Принужденная составляющая реакции ИС состоит из импульсов кубической, квадратичной, линейной и прямоугольной формы:

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2015. Т. 58, № 2

Модели алгоритмов и устройств параметрической идентификации RLC-датчиков. Часть 2 139

U20

где Ho, Hi, H2, H3 — обобщенные параметры передаточной функции делителя Z0-Z.

Рис. 3

Для реализации предлагаемого алгоритма преобразования необходимо, чтобы в знаменателе и числителе передаточной функции делителя присутствовали свободные члены а0 Ф 0 и bo Ф 0. С этой целью, если ДП имеет конечное (ненулевое и небесконечное) сопротивление для постоянного тока, в качестве образцового двухполюсника используют образцовый резистор R0, при нулевом сопротивлении ДП — образцовую катушку индуктивности L0, а если на постоянном токе ДП имеет бесконечное сопротивление — образцовый конденсатор С0. Для определения обобщенных параметров четырехэлементного ДП применяется п-кратное дифференцирование питающих импульсов ui0(t) и сигнала u20(t) с выхода ИС. Каждый канал дифференцирования состоит из п последовательно включенных идентичных дифференцирующих каскадов. Положим, что все дифференцирующие каскады в обоих каналах имеют идеальную передаточную функцию K(p) = рт с одинаковыми значениями постоянной времени т. Напряжение на выходах первого канала дифференцирования имеет форму квадратичного, линейного и прямоугольного импульсов соответственно:

Uii

Ui2

ui3

Напряжения на выходах дифференцирующих каскадов второго канала соответственно равны

u2i

U22

U23

Из уравнений (i)—(8) можно определить обобщенные параметры ИС с включенным в нее двухполюсником:

H0 - и2з1 Ui3 •

5

Hi - (U22 /Ui2 _ U231Ui3 ) 't;

H2 - (U2i/Uii _ 2 U22 /Ui2 + U23 /Ui3 ) 't /2 ;

H3 -{11мдп1 ^имп _ 3 U2ilUii + 3 U22 /Ui2 _ U23 /Ui3 )'t /6

Как видно, процедура определения обобщенных параметров H0, Hi, H2, H3 имеет универсальный характер и не привязана к конкретной модели пассивного многоэлементного

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2015. Т. 58, № 2

140

В. И. Иванов

двухполюсника. Кроме того, в выражения (9)—(12) для обобщенных параметров не входит значение амплитуды питающих импульсов, следовательно, устраняются погрешности измерений, обусловленные ее нестабильностью.

Дифференцирующие каскады с передаточной функцией K(p) = рт, построенные на операционных усилителях, работают неустойчиво, и для стабилизации применяют частотную коррекцию ОУ в области высоких частот. Для этого во входную цепь ОУ включают корректирующий резистор с небольшим сопротивлением ^кор << R, или в цепь обратной связи включают корректирующий конденсатор небольшой емкости Скор << C. Обозначим R^ = mR, Скор = mC (m << 1). В обоих случаях передаточная функция одного каскада дифференциатора имеет вид

К1

pRC 1 + pmRC

px

1 + pmx ’

где x= RC — постоянная времени дифференцирующего каскада.

Передаточные функции двух и трех последовательно включенных дифференциаторов перемножаются:

К 2

(Pxf ^

2 2

p x

1 + 2 pmx + p 2m2x2

Кз (p) =

(px)3

3 3

p3x3

(1 + pmx)3 1 + 3 pmx + 3 p2 m2x2 + p3m3x3

Сигналы на выходах каскадов первого дифференциатора в момент времени t равны

ln (t) _

3xUm

t

3

12

(t ) =

6x2Um

П3

(t )=

6x3Um

tT3

Сигналы на выходах каскадов второго дифференциатора после окончания переходного процесса в измерительной цепи равны

*21

(t ) =

3xH0Um (t2 - 2mxt + 2m2x2) 6xHxUm (t- mx) 6xH2Um ;

22

(t ) =

tH tH

6x2HoUm (t - 2mx) 6x2HUm.

3

3

u

6x H0Um 23 (t)~ 3

:(t ) =

Из уравнений (16)—(21) можно определить обобщенные параметры ИС с включенным в нее двухполюсником:

t

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2015. Т. 58, № 2

Модели алгоритмов и устройств параметрической идентификации RLC-датчиков. Часть 2 141

H _ u23 . H0 _ ;

H _

V U12

u

U13

13

H 2 _

(t - 2mx);

Л

U21 - 2 U22 + U23 t 2 2 mxt + m x + U22 U23

V Un U12 U13 у v 2 J V U12 U13 J

mxt;

H з _

u2 - з U21 + з U22 - U23

V U1

П1

42

43 J

' t3 ----+

6

U21 - 2 U22 + U23

V U11

12

mxt2 - m2x2t | +

13 J

2 2. m x t.

V “12 “13

22 U23

Рассмотренный способ прямого преобразования обобщенных параметров пассивных двухполюсных цепей RC-, RL- и RLC-типа может найти применение при создании измерителей параметров многоэлементных двухполюсников с широкими функциональными возможностями и повышенным быстродействием.

Для упрощения аппаратуры вместо дифференцирующих каскадов на ОУ в устройствах прямого преобразования параметров ДП с дифференцированием сигналов можно использовать пассивные дифференцирующие RC-звенья [6]. При равных значениях постоянной времени т в каждой RC-цепи устанавливают разные емкости и сопротивления: C2 = mC1; C3 = mC2; R2 = R1/m; R3 = R2/m, где m < 1. Обобщенные параметры делителя Z0-Z(p), в который включен ДП объекта измерения, равны

H

_ U23 . 0 - ;

U13

H1 _

U22 V U12

H 2 _

U21 - 2 U22 + U23 V-( 1 + m) xt + (1 + m)2 x2 + U22 U23

V Un U12 U13 J V2 J V U12 U13 J

(1 + m )xt;

H3 _

U20 - 3 U21 + 3 U22 - U23

V U10

11

12

13 J

Л t3 f

— +

6

U21 - 2 U22 + U23

V U11

12

13 J

(1 + m ) xt2 - (1 + m )2 x2t).

Заключение. В настоящей работе предложен ряд алгоритмов и устройств параметрической идентификации многоэлементных RLC-двухполюсников с коротким замыканием и разрывом цепи между полюсами на постоянном токе, а также рассмотрено применение операции дифференцирования измерительных сигналов, позволяющих расширить функциональные возможности и повысить быстродействие измерительной аппаратуры.

Работа выполнена в рамках гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ НШ-2357.2014.8.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Иванов В. И., Титов В. С., Голубов Д. А. Применение обобщенных параметров измерительной цепи для идентификации многоэлементных двухполюсников // Датчики и системы. 2010. № 8. С. 43—45.

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2015. Т. 58, № 2

142

В. И. Иванов

2. Иванов В. И., Титов В. С. Эквивалентные преобразования обобщенных параметров двухполюсников при идентификации сложных измерительных цепей // Датчики и системы. 2012. № 5. С. 11—16.

3. Иванов В. И. Теория и применение обобщенных параметров RZC-двухполюсников. Курск: Юго-Западный гос. ун-т, 2013. 136 с.

4. Иванов В. И., Титов В. С., Петров А. С. Преобразователи параметров многоэлементных двухполюсников с коротким замыканием и разрывом цепи между полюсами на постоянном токе // Измерительная техника. 2014. № 3. С. 58—61. Ivanov V. I., Titov V. S., Petrov A. S. Converters of the parameters of multicomponent two-terminal networks with a dc short circuit and a break in the circuit between poles // Measurement Techniques. 2014. Vol. 57, N 3. P. 340—345.

5. Иванов В. И., Титов В. С., Петров А. С. Преобразователи параметров многоэлементных двухполюсников с дифференцированием сигналов // Измерительная техника. 2012. № 9. С. 51—54; Ivanov V. I., Titov V. S., Petrov A. S. Conversion of the parameters of multicomponent two-terminal networks with signal differentiation // Measurement Techniques. 2012. Vol. 55, N 9. P. 1071—1076 .

6. Ivanov V. I., Titov V. S. Direct Conversation of Generalized Parameters of Multicomponent Two-Terminal Networks Using Capacitive Differentiator RC-Chains // Published by Canadian Center of Science and Education. Mechanical Engineering Research. 2014. Vol. 4, N 1. P. 36—42.

Сведения об авторе

Владимир Ильич Иванов — канд. техн. наук, доцент; Юго-Западный государственный университет,

кафедра вычислительной техники, Курск; E-mail: viva37@mail.ru

Рекомендована Юго-Западным Поступила в редакцию

государственным университетом 10.09.14 г.

ИЗВ. ВУЗОВ. ПРИБОРОСТРОЕНИЕ. 2015. Т. 58, № 2