Моделирование осцилляционного деформирования сильно сжатых горных пород

Электронное периодическое издание «Вестник Дальневосточного государственного технического университета» 2011 год № 3/4

25.00.00 Науки о земле

УДК 539.37+514

М.А. Гузев

Михаил Александрович Гузев - член-корреспондент РАН, директор

(Институт прикладной математики ДВО РАН, Владивосток).

E-mail: guzev@iam.dvo.ru

МОДЕЛИРОВАНИЕ ОСЦИЛЛЯЦИОННОГО ДЕФОРМИРОВАНИЯ

СИЛЬНО СЖАТЫХ ГОРНЫХ ПОРОД

Предлагается феноменологическая модель для описания периодических осцилляционных структур напряженно-деформированного состояния сильно сжатых горных пород. Построенная модель используется для описания зональной структуры поля напряжений вокруг цилиндрической выработки, а ее параметры определяются на основе сравнения с экспериментальными данными.

Ключевые слова: зональная дезинтеграция, неевклидова модель сплошной среды.

Simulation of oscillatory deformation highly compressed rocks. Mikhail А. Guzev (Institute of Applied Mathematics, FEB RAS, Vladivostok).

A phenomenological model for describing the periodic oscillation patterns of

the stress-strain state of highly compressed rock is proposed. This model is used to describe the zonal structure of the stress field around a cylindrical excavation, and its parameters are determined on the basis of comparison with experimental data.

Key words: zonal disintegration, non-Euclidean continuum model.

Последние десятилетия ХХ века были отмечены открытиями новых геомеханических явлений, которые с позиций традиционных воззрений на

деформирование и разрушение горных пород представляются аномальными. Прежде всего это зональная дезинтеграция пород вокруг подземных выработок, а также реверсивный характер деформирования образцов горных пород при их нагружении в предразрушающей области [14, ч. 1-4; 15, 16]. Эти явления наблюдаются, когда внутренние напряжения в среде превышают величину, характеризующую прочность породы. Возникающее в этом случае напряженное состояние назовем сильным сжатием горной породы. Условия сильного сжатия сопровождаются формированием различного рода периодических трещинных структур в образцах и массиве вокруг выработок. Факт существования таких явлений надежно установлен экспериментально, но среди специалистов по построению геомеханических моделей он до сих пор вызывает дискуссии. Это заставляет исследовать наблюдаемые закономерности, а также разрабатывать новые математические модели для описания геомеханической среды.

Выбор способа описания горных пород в сильно сжатом состоянии определяется тем обстоятельством, что они проявляют способность как к упругому деформированию (неразрушенные части массива), так и к разрушению. С макроскопической точки зрения описание явления зональной дезинтеграции горных пород, естественно, должно основываться на уравнениях механики сплошных сред и на принципах неравновесной термодинамики. Степень детализации такого подхода зависит от необходимости акцентировать внимание на тех или иных особенностях рассматриваемого явления. Поскольку характерной особенностью напряженно-деформированного состояния сильно сжатых пород является наличие периодических осцилляционных структур, а в рамках классической модели упругой сплошной среды нельзя описать немонотонное поведение компонент напряжений, то необходимо модифицировать классическое решение.

В данной работе сначала кратко остановимся на изложении построения

классического решения, поскольку это позволит выбрать путь решения

поставленной задачи. Затем приведем феноменологический подход к описанию

227

периодических осцилляционных структур, основанный на расширении классической модели упругой сплошной среды. Построенная модель используется для описания зональной структуры поля напряжений вокруг цилиндрической выработки, а ее параметры определяются на основе сравнения с экспериментальными данными.

Классическое решение

В механике подземных сооружений [1] массив рассматривается как невесомая среда, ослабленная цилиндрической полостью, моделирующей круглую закрепленную выработку в условиях всестороннего сжатия. Задача о распределении поля напряжений вокруг выработки формулируется в стационарной постановке, т.е компоненты напряжений удовлетворяют уравнению

дап

= 0,

а*у ' с1)

где х1 - декартовы координаты, по повторяющимся индексам здесь и далее подразумевается суммирование. Введем цилиндрические координаты Н1 Ф,2 так, чтобы координата г совпала с осью симметрии полости — кругового цилиндра радиуса г0. Из-за полярной симметрии уравнения равновесия имеют вид:

+

На контуре выработки (г = г0) внешние силы отсутствуют, а на бесконечности они заданы:

<7п. = о при г = г0, сг = при г со.

При малых деформациях напряжения и деформации связаны законом

Гука:

где ^ = ем и /2 = а-,/;,, — инварианты тензора упругой деформации, Я, ¡л — параметры среды. В силу симметрии задачи ег(р = о. Предположим, что мы рассматриваем условия плоской деформации, т.е. еГ2 = ещ =е22 = 0. Тогда компоненты тензора напряжений не зависят от и стпр = аГ2 =<у^= о. Компонента сггг вычисляется через след тензора напряжений а согласно формулам:

— ст = стгг+ст(рд,+(т22.

где г = Л/2(А + ¿и) - коэффициент Пуассона.

В то же время известно [3], что в классической теории упругости компоненты тензора деформаций должны удовлетворять дополнительным условиям, которые в механике называются условиями совместности Сен-Венана. Дело в том, что в линейном приближении тензор еу определяется через компоненты

и1 вектора смещения следующим образом:

_1

£и - 2

ди' ди] +

дХ дх'

Поскольку число компонент е1} равно шести, а число компонент вектора

перемещения — трем, то ясно, что не всякий симметричный тензор можно представить в виде (6). Для этого он должен удовлетворять дополнительным условиям (совместности Сен-Венана) [3]:

а

4

дх]дх

£:, +

д'

дх'дх

] 8зк

А£

д'

Л

' ^Л

дхгдх

О

в которых а - оператор Лапласа. Если тензор еу- имеет структуру (1.6), то

условия Сен-Венана (7) удовлетворяются автоматически. В общем случае не всякий произвольный тензор е1} удовлетворяет условиям (7). Пусть е1} определяется из закона Гука (4):

еи

2 /л

,, Лет

<7 -О -

" УЗЛ + 2М

Тогда условие совместности (7) можно переписать в терминах тензора напряжений следующим образом:

ЗЛ + 2и 4 д2а ЗЛ + 2и д -— Дет + —:—- =-——-

2(1 +/л) 4 дх'дх' 2(1 + /л) дх1

дхк дх'

Поскольку выполняется уравнения равновесия (1), то соотношение (9) редуцируется к виду

ЗЛ + 2ц , д2ст -— ЛСГ.. +-:-- = О

2(Я + //) 9 дх'дх'

1

Выполняя свертку по индексам /, к, получим, что первый инвариант тензора напряжений является гармонической функцией:

Асг = 0.

Это уравнение, с одной стороны, ограничивает класс решений системы уравнений (1). С другой - позволяет замкнуть уравнения (2) для определения компонент напряжений. Тогда полная система уравнений классической модели имеет следующий вид:

Л----— = 0 , <722 — ——— <7 ,

3- г 1 +V

Лс7 = 0, (7 = °ГГ+(Т„ +СГгг. Решение этой системы уравнений с краевыми условиями (3) легко найти. Из-за полярной симметрии уравнение (11) записывается в виде

d a dcr

г—г- +-= 0.

dr dr

Интегрирование дает

сг(г) = ( \ In г + С2

С физической точки зрения функция о-(г) должна быть ограничена на бесконечности, поэтому полагаем с\ = о. Из (5) имеем

тогда уравнение для определения <jrr записывается в виде:

1

о С2

г—гг+ 2стгг = ——

ёг 1 + V

Общее решение этого уравнения дается формулой

С с

2(1 + 1/) г2

Удовлетворяя краевым условиям на границе и на бесконечности (3), получим окончательное представление для компонент тензора напряжений:

<х (г) = Р

ГГ V/ СЮ

Г 2 \

1Л

V Г У

сг (г) = Р

(«р \ / X

С 2 \ 1 + \

V Г У

О- (г) = -^Р .

гг\ / л со •

1 +V

Отсюда видно, что классическое решение является монотонной функцией. Поэтому в рамках классической модели упругой сплошной среды нельзя описать периодические осцилляционные структуры в условиях сильного сжатия горных пород. Тогда возникает естественный вопрос: как физически корректно модифицировать классическое решение, чтобы описать волнообразное поведение компонент тензора напряжений? Более прагматично проблема может быть сформулирована следующим образом: как минимально изменить классическое решение, чтобы получить правильный результат? В чем состоит физический смысл этих изменений?

Эвристический рецепт расширения классического решения

Основными дифференциальными соотношениями, на основе которых получено классическое решение, являются уравнение равновесия (1) и уравнение совместности (7). Если мы ставим задачу модификации

классического решения, то эти уравнения следует изменить. Рассмотрим каждое из них.

Уравнение (1) выражает фундаментальный закон: если среда находится в равновесии, то суммарная сила равна нулю. Как модифицировать это утверждение? Достаточно просто: суммарная сила отлична от нуля. С точки зрения классической механики суммарная сила определяет ускорение точек среды, но в равновесии последнее равно нулю. В противном случае надо не соглашаться со вторым законом Ньютона. Поскольку мы рассматриваем явления для скоростей меньше скорости света, то с точки зрения физики нет причин отказываться от законов классической механики.

Таким образом, возможный путь модификации классического решения связан с изменением уравнений (10), (11). В частности, мы можем отказаться от свойства гармоничности первого инварианта тензора напряжений о-, т.е. Аа ф 0. В каком виде можно записать уравнение для сг? Если предположить, что ненулевая правая часть является функцией а и производных не выше второго порядка, то уравнение на о- записывается в виде:

Дсг = ф

Для простоты дальнейшего анализа ограничимся малыми отклонениями

от классического решения ат, для которого, естественно, полагать Ф(у<тт,<7Ш) = 0. Тогда в линейном приближении разложение в (12) по g принимает вид:

= + +

где Ф, - произвольный постоянный вектор, Ф0 - скаляр. Уравнение допускает редукцию, при которой можно исключить первые производные. Делаем замену

£ = / = /0ехр

Подставляя (2.4) в (2.3), получаем

фп

ф

12 Л

4

Функции ^ и С отличаются на монотонную функцию /. Поскольку в конечном счете мы стремимся получить решение, отличающееся от монотонного, то, без ограничения общности, полагаем = 0. Тогда уравнение (14) для определения g записывается в виде

= (16) где у — феноменологический (подгоночный) параметр модели. Уравнение (16) возникает при решении различных спектральных задач. Математически корректное краевое условие для него можно сформулировать в виде:

дх1

дУ

дп

= 0.

У

где коэффициенты а,р не обращаются в нуль одновременно. Таким образом, модификация классической модели, связанная с отказом от свойства гармоничности первого инварианта тензора напряжений сг, приводит к простейшему представлению для а в виде а = аш +g, где функция g находится как решение спектральной задачи (16), (17).

Связь с макроскопическими параметрами

Ответ на вопрос о физическом смысле функции g дадим в рамках стандартного термодинамического подхода [3], который используется при получении уравнении состояния моделей сплошной среды. В соответствии с принципами термодинамики внутренняя энергия и упругой сплошной среды является функцией энтропии 5 и тензора упругой деформации ¿-;/ [3]:

и = Щег],8).

Если справедливо дополнительное кинематическое предположение теории упругости о том, что тензор упругой деформации еь. совпадает с тензором

полной деформации - тензором Альманси [3], то уравнение состояния модели имеет вид:

аг]=

где р - плотность среды. Соотношение

Т = —

определяет температуру.

При сравнительно малых деформациях ограничимся лишь первыми и вторыми членами разложения внутренней энергии (18) по степеням и

отклонению энтропии от некоторого фиксированного значения ^. С точностью

до аддитивной постоянной, энергия записывается в виде [3]:

рои = р0Т0

Подставляя (21) в (19), имеем приближенные формулы для компонент поля напряжений:

= 5у + -Ф-Зо )ду

Для изэнтропического процесса 5 = и имеем закон Гука в виде (4). Температура в среде определяется согласно (20):

Т = Т0~— 1Х +(5-50). Р0

При изотермическом процессе Т = Т0 и =л!1/сор0. Подставляя в (22), получим

( ^ ^ л

ач =

л—

V <°Ро У

Следовательно, алгебраическая структура закона Гука для изэнтропического и изотермического процессов при малых деформациях имеет вид (4). В общем случае для упругой модели сплошной среды она дается формулой (22), из которой следует что

СГ =

Величина (ЗА + 2/л)еш равна аш в силу (4), поэтому полученное соотношение записывается в виде, аналогичном (13):

Таким образом, решение поставленной задачи о модификации классического решения (4) дается «минимальными усилиями»: достаточно

учесть полный набор термодинамических характеристик в модели упругой сплошной среды.

Структура поля напряжений

Ответим на следующий вопрос: если модифицировать классическое решение указанным выше способом, то какую структуру имеет поле напряжений при условии выполнения условия совместности (7) и уравнения равновесия (1)? С этой целью выразим ег] из (22):

Е„ = - + ф - ].

2/7

Первый инвариант екк тензора деформаций можно вычислить, выполнив свертку по ', } в (24):

а 1 Зл-

3/1 + 2/7 3/1 + 2/7

Подставляя (25) в (24), имеем

еч =

2/7

О- Лег | 3 2ф1

11 11 ЗЛ + 2/7 11 ЗА+ 2/7

Это соотношение определяет тензор упругой деформации еу через компоненты тензора напряжений сг и энтропию s-s¡¡. Поскольку удовлетворяются уравнения равновесия (1), то

1 а2 '

дх'дхк щ 2/7 дхгдх]

Лет 2л/л

31 + 2/7 31 + 2/7

1

2

Подставим (26), (27) в условие совместности (7), тогда получим:

31 + 2 /л . Л Л + ju д2 д2 /ООЛ -— А сг,--ShЛ

2jU y 2ц 4 ц дх'дх] y дх'дх] 0 V 7

Выполним свертку по / = у в (28):

=

Л+ 2/i

Используя (29), выразим А а в (28), в результате (28) запишется в виде

ЗЛ + 2и А Л+и д2 ЗЛ + 2и „ Л 92 /ОАЛ -— ACT,, +-—-:--<7 =--— 7rS, As — 71-:-rS.

2 ju 11 // дх'дх] A + 2jli 11 дх'дх] v '

Теперь посмотрим на уравнения (29), (30) как на систему для определения поля (ту. Система уравнений является линейной относительно компонент

напряжений, поэтому решение представим в виде:

Потребуем, чтобы выполнялись соотношения

Д2 = 0 ,М±2£ду + = о.

2 /и ¡л дх'дх]

Заметим, что система (32) для Е,Еу аналогична (10), (11), поэтому с точки

зрения механики сплошной среды формула (31) реализует представление для поля напряжений в виде суммы классического решения Еу и некоторой

добавки. Тогда для определения С, Т имеем следующую систему уравнений

1 + 2 //

31 + 2ц . „ 1 + ц д2

-—А Т +-—-:--

2II ц дх'дх1

в = -

31 + 2/7 д2

/ТД Лл - ,т —:—- л.

1 + 2//

дх'дх1

Отсюда получаем

1 + 2//

Подставляя (34) в (33), имеем:

АТ

4 1 + 2//

¿..Лл--

Л

б 5

дх'дх1

Если ввести функцию g как решение уравнения

и подставить в (35), то поле т имеет вид

т =

V

Я2 Л

¿А?--^

11 дх'дх1

Выше было указано, что Еу имеет структуру классического решения для поля напряжений, т.е. для него справедлива формула, аналогичная (4):

дп' дп1 + -

дх1 дх'

где тензор деформации ец порождается полем некоторым полем и . Тогда компоненты напряжений (31) равны

=ЛЕкк8г]+2цЕг

Я2 Л

11 дх'дх] ;

Таким образом, при условии выполнения условия совместности (7) и уравнения равновесия (1) поле внутренних напряжений <ху складывается из

поля упругих напряжений и дополнительного поля ту. Распределение полей ту

удовлетворяют уравнениям равновесия (1), не равно нулю внутри тела и для произвольного элемента объема со внутри тела выполняются интегральные условия равновесия:

да) да) а)

Ненулевые решения системы (1), удовлетворяющие соотношениям (40), называются самоуравновешенными. С точки зрения физики [9] первое соотношение (40) означает, что сила, действующая на выделенный объем, может быть представлена в виде суммы сил, действующих на каждый элемент поверхности, т. е. в виде некоторого интеграла по этой поверхности. В этом случае условие обращения в нуль суммарного момента всех сил сводится к требованию, что момент щ сил должен выражаться в виде интеграла по поверхности объема

(см. [9]). Поскольку тензор Ч]1 (37) симметричен: Т1} =Т]г - то из (40) видно, что

тензор Му, естественно, будет выражен в виде интеграла по поверхности. В

общем случае тензор т может быть не симметричным и доказательство

является отдельной задачей [12].

Свойство калибровочной инвариантности

В связи с приведенными выше конструкциями ответим на следующий вопрос: какой произвол в выборе функции g при выполнении условия совместности (7) и уравнения состояния (22)?

Заметим, что соотношение (7) инвариантно относительно преобразования

„ к д2

С,: = /',,,---——— (р

У У

2¡л дх'дх1

с некоторой произвольной функцией <р и параметром у. Преобразуем соотношение (41), записывая его в виде:

д2я

1 д

2дх]

V

2 дх'

1 5 ' +--

2 дх ' у

2 дх1

Введем функции:

и1 = и'

к

2/и дх1

Тогда

11 дх'дх1

= 2 ¡л

1 дУ 1 дУ1

2 дх] 2 дх'

= 2мец

Подставляя (44) в формулу (22), получим

^ = ^Екк+2/1Ег1 +

Л + 2/и -к--А<р- ;т

2 /л

Л 2 Л ГА 5 Ф

4 дх'дх1

Выберем функцию <р как решение уравнения Пуассона

2/и

Тогда поле напряжений равно

V

Д2 Л г л д 9

5 Аср--т2—

11 дхгдх]

Формула (46) совпадает с (39) при к = 1, а уравнение (45) совпадает с (36).

В физике градиентные преобразования, аналогичные (41), возникают, например, в теории поля [8], когда исследуется проблема определения электромагнитного поля через потенциалы. При этом электромагнитное поле инвариантно относительно градиентных (калибровочных) преобразований, а потенциалы определяются неоднозначно. Из-за неоднозначного определения потенциалов их можно выбрать так, чтобы они удовлетворяли одному произвольному условию - условию калибровки. Проводя аналогию с теорией поля, можно сказать, что условие (45) фиксирует выбор функции ср, т.е. выбор калибровки, при введении вектора смещения для точек сплошной среды, а инвариантной величиной являются компоненты тензора напряжений.

Построение решения и переход к неевклидовой модели сплошной среды

Выпишем решение для определения поля напряжений вокруг выработки в условиях всестороннего сжатия на основе полной модели упругой сплошной среды для плоского напряженного состояния. В этом случае аГ2 = о<[Г2 = <т22 = о, а

оставшиеся функции не зависят от угловой координаты <р и осевой координаты

242

г. Поскольку контур выработки является круглым, то задача обладает полярной симметрией и соответствующие уравнения равновесия совпадают с (2). Краевые условия имеют вид (3). В этом случае первый инвариант тензора напряжений равен а = агг + арр и функция я (13) является решением спектрального уравнения (16), которое в предположении полярной симметрии записывается в виде

аг г аг

Если выбрать параметр у > 0, то общее решение уравнения (47) имеет осциллирующий характер и определяется через функции Бесселя первого и второго рода нулевого порядка:

Е

Тогда первый инвариант тензора напряжений определяется соотношением

° = Л (4гГ) + «2^0 фг).

Чтобы найти остальные компоненты тензора напряжений, воспользуемся уравнением равновесия (2). Оно представляется в виде:

дет

г—— + 2(ТГГ = СТ.

дг

Решение этого уравнения легко записать, если воспользоваться следующими справочными формулами для цилиндрических функций

дг

дг

Тогда компоненты тензора напряжений равны

агг(г,<р) = Рх

( 2 Л

1Л

V г У

-^[^Ф^ + а^фг), (50) л] Г г

СТ (г,ф) = Р

<1>м\ ; л со

( 2 \ Г

Сформулируем краевое условие при г = г0 для уравнения (47). Экспериментальные исследования показывают, что на контуре выработки (при г = г0) локализованы зоны разрушения. С точки зрения физики [13] характеристикой упорядоченности в материале является энтропия ^, и она достигает максимального значения для неупорядоченной системы. В нашем случае неупорядоченность существует в зоне разрушения. Условие экстремальности энтропии сводится к требованию: дз/дг- 0 на границе выработки. В модели, которая построена выше, энтропия ^ пропорциональна g, поэтому краевое условие для уравнения (47) совпадает с (17) при а = 0 и имеет вид

дг

= 0.

Подставим сюда решение (6.2) и воспользуемся справочными формулами (6.3), в результате получаем ахЗх Цуг0 ^а2Ых Цуг(] 0. Это соотношение тождественно удовлетворяется, если ах = аЫх (¡уг() = -с/./, (¡уг0 с некоторой постоянной а. Тогда функция g (6.2) дается формулой

г=к

g{r) = а

а решение (50) записывается в виде:

сгт(г,<р) = Ра <гЛг,<р) = Р,

Г г1\ г

V '

а

1 + "

-¡Г г

а

4гг

+

+ а

г

Компоненты напряжений имеют осциллирующий характер. Чтобы в этом убедиться, воспользуемся асимптотическим разложением цилиндрических функций при больших значениях аргумента:

/

3 0(г )* -Ы1(т )* — соз

7ГГ

71 Г--

4

. \

пг

V

71

г--

4

. \

/

Поставленная первоначально при математическом моделировании задача была направлена на описание поведения осцилляционного поведения компонент напряжений вокруг выработки. Принятая математическая модель была ориентирована на адекватное описание явлений пород поведения горных пород. Однако при разработке теоретической модели возникают непростые вопросы. В частности, в реальном массиве существуют микронеоднородности, появление которых зависит от конкретных условий формирования горной породы. Изучение условий «насыщенности» материала микронеоднородностями требует конкретизации диссипативных характеристик материала и дополнительного экспериментального изучения деформационных полей с различным уровнем разрешения при измерениях.

Исследование микрохарактеристик различных материалов физическими

методами обусловили введение в материаловедческую литературу таких

понятий, как дислокации, дисклинации, вакансии и др. характеристики

245

дефектов кристаллического строения. Еще в середине 50-х годов XX века Кондо и Билби [18, 19] показали, что введение «кристалла сравнения» для описания линейных дислокаций приводит к появлению в теории объектов несимметричной связности, запрещенных евклидовой геометрической структурой классической теории. С точки зрения классической механики сплошной среды введенные различными исследователями характеристики для описания внутренней структуры материалов явным образом требовали отказа от условия совместности деформаций (7) и расширения кинематических оснований теории.

В работе [7, 11] предлагается отказаться от классического условия совместности деформаций Сен-Венана для описания наблюдаемых на практике «зон дезинтеграции». Решение задачи о распределении поля напряжений вокруг цилиндрической выработки в рамках неевклидовой Римановой модели сплошной среды было дано в [5]. В дальнейшем неевклидовы геометрические объекты были введены в [10] для параметризации ненулевых внутренних самоуравновешенных напряжений (см. (37)).

При простейших предположениях о зависимости внутренней энергии от

термодинамических переменных детальное доказательство соотношения

выполнено в [4]. Была рассмотрена неевклидова модель сплошной среды, для

которой в качестве дополнительного параметра, характеризующего структуру

дефектов в материале, выбрана внутренняя метрика и скалярная кривизна Я.

На основе вариационного принципа для случая квадратичной зависимости

свободной энергии от термодинамических переменных показано, что

безвихревое поле перемещений V для точек среды складывается из упругих

перемещений и' в отсутствии дефектов и поля <р, характеризующего отличие

внутренней геометрии модели от евклидовой геометрии, что аналогично

формуле (43). Соответствующие компоненты внутренних напряжений

представляют сумму упругих напряжений и самоуравновешенных напряжений,

определяемых скалярной кривизной Я. Во-первых, это доказывает

представление (39). Во-вторых, позволяет выяснить смысл функции g: она

246

совпадает с Я. Показано, что свойство инвариантности свободной энергии относительно калибровочных преобразований (41) определяет общую структуру поля внутренних напряжений, не зависящую от выбора взаимодействия.

Тогда становится ясным смысл соотношения (43). Поскольку мы рассматриваем сплошную среду как идеальный кристалл, то образование дефектов в нем меняет конфигурацию кристаллической решетки, вызывая ее перестройку и формирование более устойчивого состояния равновесия, приводя к росту энтропии. Новое начальное состояние отличается от исходного состояния на вектор Ус/;. При этом <р является решением уравнения Пуассона (45), правая часть которого определяется конфигурационным вкладом в энтропию. Мы получили теорию, похожую на теорию упругости, но, если в классической модели вектор смещения и в начальном состоянии равен нулю, то согласно формуле (43) вектор смещения и построенной модели отличен от нуля в общем случае и определяется через ¥<р.

В условиях плоской деформации скалярная кривизна Я является единственным неевклидовым инвариантом:

Я = 2

{ ^2 ^2 Л

5 ^22 | 11 2 д еи

усЦсЦ дх2дх2 дххдх2 у

= 2

( Я2 Л

д £Г1

Ае--—

кк ~ -

охдх

V 1 1 J

Подставляя сюда (8) и используя уравнение равновесия (1), имеем

Е

Поскольку Дсгта=0, то учитывая (52), получаем формулу для скалярной кривизны

Локализация зон дезинтеграции

Зоны дезинтеграции появляются, когда напряжение в материале достигает некоторой критической величины. С точки зрения физики это означает, что необходимо использовать силовой критерий, выполнение которого в данной области, соответствует возникновению этих зон. В качестве таких критериев мы используем условие Треска, Мизеса и Ивлева [6]:

где сг = <7кк / 3, - компоненты главных напряжений.

В то же время для построенного решения структура поля деформаций отличается от классической, т.к. ЯфО. Поскольку последнее условие означает нарушение сплошности среды, то максимумы |Я| соответствуют тем областям

горного массива, в которых формируются зоны дезинтеграции. Расположение зон дезинтеграции можно отождествить с теми областями горного массива, в которых функции Км, Кт, К1, |Я| одновременно достигают своих максимальных

значений.

Необходимо пояснить выбор критериев. Условие Треска, Мизеса и Ивлева известны как критерии возникновения пластического состояния материала при деформировании. Прямых экспериментальных подтверждений, что массив вокруг выработки находится в этом состоянии, нет. Поэтому предположение о пластической природе зон дезинтеграции является простейшей гипотезой, в рамках которой мы пытаемся описать их расположение.

Кт = А шах | сг - сг К1 = С шах | ст. - сг

Значения Рх,Е,у совпадают с физическими постоянными для эквивалентных материалов [2]. Подгоночными параметрами модели являются а, у и амплитудные коэффициенты А,В,С силовых критериев. Чтобы их выбрать, воспользуемся экспериментальными данными о поведении напряженного состояния горного массива вокруг выработок. В настоящее время установлено [2], что первая зона разрушения расположена на расстоянии, равном примерно радиусу выработки г0. Это позволяет выбрать амплитудные коэффициенты, полагая, что для первой зоны разрушения функции Км, Кт, К1 достигают максимальных значений, и эти максимумы совпадают. Последнее требование задает нормировку этих функций: абсолютное значение максимумов не играет роли для рассмотрения - важно зафиксировать уровень величины первой критической нагрузки.

Рассмотрим выбор параметров а и у. Поскольку было обнаружено чередование областей (зон) сильного разряжения и сжатия, то это свидетельствует о волнообразном характере поведения компонент напряжений. В решении (52) указанное поведение зависит от функций 30, N, , N. Чтобы обеспечить их проявление на фоне монотонного характера классического решения, необходимо подобрать амплитуду функций, сравнимую с рх.

Для плоского напряженного состояния графики функции \я\, Кт, К7 для различных значений параметра рх приведены на рис. 1. На рис. 1,2 по горизонтали откладывается расстояние в единицах радиуса. В частности, на рис. 1а при г ~1Дг0 наблюдается первая зона разрушения. Для графиков на рис. 1 б, в параметр рх увеличен. Отсюда видно, что на расстояниях г «2,1 г0 и г»3,2г0 от края выработки максимумы функций КТ,К1 достигают величины первой критической нагрузки и формируются вторая и третья зона дезинтеграции.

50 40 30 20 10 0

1 кт— км— Л _ У

1

V V V / \ / "А:

н \ ч/< / ^

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 г/г0

40 30 20 10 0

I

50 40 30 20 10 0

и к,— и— 5

1

А р N

Л \\ \ ^ / 1 \ / \ / _ \ N Ч 4 -я

/ \ * 'А / к Л р

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 г/г.

/ \ ч К-р Км— 5 ч

\\ / / / \ \ \ / / * ч \ \ У /

к Л •

\У

V № я 1Л

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 г/г0

Рис. 1. Графики функций Кт, Км, Кг для плоского напряженного состояния при различных Рг

50 40 30

а

20 10 0

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 г/г0 50

40

30

б

20 10

0 - - — - ----,

1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 3,5 4,0 4,5 г/г0

венного напряженного состояния при различных Рг

При учете пространственного характера задачи (влияние о-.) было рассмотрено поведение КМ,КТ,К1:, рис. 2. В этом случае Кт = А \ агг -а22 |, К1 =С. | <у22 -а |, подгоночные параметры остались прежними.

Сравнивая рис. 1 и 2 видим, что расположение зон дезинтеграции не изменяется.

Было рассмотрено поведение зон дезинтеграции при изменении радиуса выработки г0 . Следует учитывать, что из-за стационарной постановки задачи «шевелить» этот параметр можно на небольшую величину. Графики б, в на рис. 3 показывают поведение функций для значения г0, отличающегося от начального (график а) на 10 и 20% соответственно, при этом расстояние от центра откладывается по горизонтали в метрах. Первая зона дезинтеграции

К,— Км— к....... И — 5

\

/ \

\ V \ \ч/ \ч\

/ V"

расположена на расстоянии 4 м от центра. Сравнение графиков для различных значений г0 показывает, что расположение зон при увеличении радиуса выработки изменяется.

Экспериментально этот результат был получен в [17] при наблюдениях в горной выработке после увеличения ее глубины: авторы обнаружили, что разрушения в породе за зоной практически исчезли, поэтому порода стала твердой.

Рис. 3. Графики функций Кт, Км, К1, Щ| для пространственного напряженного состояния при различных г0

Заключение

В работе представлен подход для расширения классической теории упругости с целью описания периодических осцилляционных структур, наблюдае-

252

мых в сильно сжатых породах. Показано, что соответствующая модель сплошной среды требует введения самоуравновешенных полей, геометрическая интерпретация которых приводит к неевклидовой модели сплошной среды. Представленный подход к описанию периодических структур в массиве обладает внутренней замкнутостью и позволяет подойти ближе к данным наблюдений. В то же время мы считаем, что наша работа - это только первый шаг в направлении широкого и целенаправленного моделирования диссипатив-ных трещинных структур сильно сжатых горных пород в массиве. Дальнейшие исследования должны проводиться в направлении изучения эволюционного характера во времени и пространстве таких структур с учетом присущих им закономерностей.

Автор с благодарностью примет все пожелания и конструктивную критику работы.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, проект №11-01-00357.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Булычев Н. С. Механика подземных сооружений. М.: Недра, 1994.

382 с.

2. Глушихин Ф.П., Кузнецов Г.Н., Шклярский М.Ф. и др. Моделирование в геомеханике. М.: Недра, 1991. 240 с.

3. Годунов С.К., Роменский Е. И. Элементы механики сплошных сред и законы сохранения. Новосибирск: Науч. кн., 1998. 268 с.

4. Гузев М.А. Структура кинематического и силового поля в Римано-вой модели сплошной среды // ПМТФ. 2011. Т. 52, № 5. С. 39-48.

5. Гузев М.А., Парошин А.А. Неевклидовая модель зональной дезинтеграции горных пород вокруг подземных выработок // ПМТФ. 2000. № 3. С. 181 -195.

6. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. 232 с.

7. Курленя М.В., Опарин В.Н. О нелинейных процессах в геомеханике // Нелинейный анализ и его приложения: междунар. конгресс, М., 1998, 1-5 сент. М., 1998. С. 78.

8. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля. М.: Наука, 1988. 512 с.

9. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, 1987.

248 с.

10. Мясников В.П., Гузев М.А. Геометрическая модель внутренних самоуравновешенных напряжений в твердых телах // ДАН. 2001. Т. 38, № 5.

С. 627-629.

11. Мясников В.П., Гузев М.А., Макаров В.В. О периодическом характере деформирования трещиноватых горных пород // Проблемы механики горных пород: тр. IX Рос. конф. по механике горных пород. Санкт-Петербург,1997. С. 333-337.

12. Мясников В.П., Гузев М.А., Ушаков А.А. Поля самоуравновешенных напряжений в сплошной среде // ПМТФ. 2004. Т. 45, № 4. С. 121-130.

13. Пригожин И., Кодепуди Д. Современная термодинамика: от тепловых двигателей до диссипативных структур. М.: Мир, 2002. 461 с.

14. Шемякин Е.И., Фисенко Г.Л., Курленя М.В., Опарин В.Н. и др. Зональная дезинтеграция горных пород вокруг подземных выработок. Ч. 1. Данные натурных наблюдений // ФТПРПИ. 1986. № 3. С. 3-15. Ч. 2. Разрушение горных пород на моделях из эквивалентных материалов. № 4. С. 3-12. Ч. 3. Теоретические представления. 1987. № 1. С. 3-8. Ч. 4. Практические приложения. 1989. № 4. С. 3-9.

15. Шемякин Е.И., Курленя М.В., Опарин В.Н., Рева В.Н., Глушихин Ф.П., Розенбаум М.А. Явление зональной дезинтеграции горных пород вокруг подземных выработок. Диплом № 400 // БИ. 1992. № 1. С. 3.

16. Шемякин Е.И., Фисенко Г.Л., Курленя М.В., Опарин В.Н. и др. Эффект зональной дезинтеграции горных пород вокруг подземных выработок // ДАН СССР. 1986. Т. 289, № 5. С. 1088-1094.

17. Adams G.R., Jager A.J. Petroscopic observation of rock fracturing ahead of stop faces in deep-level gold mines // J. South African Inst. Mining and Metallurgy. 1980. V. 80, N 6. P. 204-209.

18. Bilby B.A., Bullough R., Smith E. Continues distributions of dislocations: a new application of the methods of non - Riemannian geometry // Proc. Roy. Soc. 1955. V. 231. P. 263-273.

19. Kondo K. On the geometrical and physical foundations of the theory of yielding // Proc. Jpn Nat. Congr. Appl. Mech. Tokyo, 1953. V. 2. P. 41-47.