Об одной алгебре сингулярных операторов в пространстве гладких функций

УДК 517.9

об одной алгебре сингулярных операторов

в пространстве гладких функций

© 2006 г С.В. Горин

An algebra of operators acting in the space of all infinitely differenciable functions on the unit circle is considered. For this algebra we construct symbolic calculus and obtain necessary and sufficient conditions for Fredholmness of operators from this algebra.

Важным моментом в исследовании фредгольмово-сти сингулярных операторов в банаховых пространствах является построение символического исчисления. В терминах символа обычно формулируется критерий фредгольмовости оператора и вычисляется индекс фредгольмова оператора.

В более общем случае локально выпуклых пространств ситуация иная. Например, в случае сингулярных интегральных операторов на окружности с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами (в пространстве всех бесконечно дифференцируемых функций на этой окружности) уже давно получен критерий фредгольмовости и вычислен индекс [1]. Однако здесь не было построено символическое исчисление.

В данной работе рассматривается некоторая алгебра операторов, действующих в пространстве всех бесконечно дифференцируемых функций на окружности. Эта алгебра содержит все сингулярные интегральные операторы с бесконечно дифференцируемыми коэффициентами (но не совпадает с множеством таких операторов). Основным результатом работы является построение для этой алгебры символического исчисления, в терминах которого дается критерий фредгольмовости принадлежащих алгебре операторов.

1. Предварительные сведения и обозначения

Ниже при использовании терминологии и некоторых результатов теории локально выпуклых пространств мы следуем [2]. Введем важные для дальнейшего обозначения.

Пусть X и У - пространства Фреше. Множество всех линейных непрерывных операторов, действующих из пространства X в пространство У, в дальнейшем будем обозначать через Ь(Х,У); множество всех компактных линейных операторов, действующих из пространства X в пространство У -через К(Х,У).

В том случае, когда Х = У, будем вместо Ь(Х,Х) и писать Ь(Х) и К(Х) соответственно.

Для А е Ь(Х) через кег А (т А) будем обозначать ядро (образ) оператора А.

Оператор А называется Ф+-оператором, если он обладает конечномерным ядром и замкнутым образом. Оператор А называется Ф-оператором или фред-гольмовым оператором, если он имеет конечномерное ядро, замкнутый образ и конечномерное коядро. Эквивалентным является определение фредгольмовости с точки зрения регуляризуемости оператора: А называется фредгольмовым, если существуют линейные непрерывные операторы Я1 и Яъ называемые соответственно левым и правым регуляризаторами оператора А , такие, что

Я1А = I + Т1, АЯ2=1 + Т2, где I - единичный оператор в X, а Т1 и Т2 - компактные операторы в X.

Рассмотрим частный случай пространств Фреше, а именно, счетно-нормированные пространства. Топология в таких пространствах порождается счетной

такой, что для любого эле-

- 0

системой норм

мента х пространства X имеют место неравенства:

Обозначим через Xп пополнение пространства X относительно п-й нормы. Очевидно, что для любого натурального числа п имеет место непрерывное вложение Xn с Xn.1. Кроме того, пространство X является проективным пределом последовательности пространств Xп.

Последовательность элементов хкеХ (к = 1,2,...) будем называть абсолютно некомпактной, если она не содержит сходящихся подпоследовательностей. Для любого п>0 обозначим через Оп(Х) класс всех абсолютно некомпактных последовательностей элементов пространства X, ограниченных относительно п-й нормы.

2. Критерий полуфредгольмовости и критерий компактности

Теорема 1 (Критерий Ф+-свойства). Пусть А -линейный непрерывный оператор в счетно-нормированном пространстве ХТогда следующие условия эквивалентны:

1. А является Ф+-оператором.

2. Для любого числа п > 0 найдется число т > 0, такое, что для любой последовательности {хк} класса О^) последовательность {Ахк} принадлежит классу Оп (X).

3. Существует число т > 0 такое, что для любой последовательности {хк} класса Dm(X) последовательность {Ахк} принадлежит классу О0(К).

Доказательство. Пусть А является Ф+-оператором. Так как кег А конечномерное подпространство X, оно обладает топологическим дополнением Х1 [1]. Определим оператор А ¡: Х1 ^ т А по правилу: V х е X А1х = Ах. Легко видеть, что А - линейный непрерывный оператор, взаимно однозначно отображающий х1 на т А.

Из непрерывности оператора А следует, что для любого п > 0 найдутся число т > 0 и константа Ст, такие, что для всех элементов х е X выполняется

Возьмем произвольную последовательность {хк} е От(^). Тогда последовательность {Ахк} их образов ограничена относительно п-й нормы. Допустим,

что последовательность образов содержит сходящуюся подпоследовательность. Не нарушая общности, считаем, что сама последовательность {Ахк} сходится. Представим элементы хк в виде хк=ук+2к, ук е кегА, 2кеХ\. Так как Ахк=АХ2к и оператор А\ обратим, заключаем, что последовательность {к} сходится. Тогда последовательность {ук} ограничена и, поскольку ее элементы содержатся в конечномерном пространстве, из нее можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Но тогда и из последовательности {хк} можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Полученное противоречие доказывает, что из условия

I следует условие 2. Условие 3 является частным случаем условия 2.

Пусть выполнено условие 3 теоремы. Допустим, что ядро оператора А бесконечномерно. Тогда существует последовательность хк е кегА такая, что х^ = 1 и \хк - хЛ > 1/2 при к ФI [3]. Но

II Нт II Нт

{хк} е Вт(Х), а Ахк=0. Таким образом, ядро оператора А конечномерно и, следовательно, обладает топологическим дополнением Х1. Рассмотрим оператор А1, определенный выше. Очевидно, образы операторов А и А1 совпадают. Докажем замкнутость гт А1. Пусть последовательность элементов ук е т А1 сходится к у.

Обозначим хк = А-1 ук . Так как {ук} г В0(Х), то {хк} г От (X). Допустим, что

lim ||x^m = :. Рассмотрим после-

довательность ¿;к =

xk

. Так как A1xk сходится, то

С другой стороны, Л1£, = 0, что противоречит триви-

альности

ядра оператора А1. Поэтому ||xk||m содержит

пусть

1«

11«,Х>п=0 " У"1п,у-'п=0

ждающие топологии в X и У соответственно.

Теорема 2 (Критерий компактности оператора). Линейный непрерывный оператор К, действующий из

системы норм, поро-

пространства X в пространство У, является компактным тогда и только тогда, когда существует число т > 0, такое, что для каждого п > 0 существует такая константа сп > 0, что для всех элементов х е X выполняется неравенство

1и«,У * Сп||хщX .

Доказательство достаточности основывается на отмеченном выше свойстве пространств. В них всякое ограниченное множество относительно компактно. Если неравенство (1) выполняется, то образ окрестности и = {х е X |||х|| X * 1} при отображении К ограничен и, следовательно, относительно компактен.

Докажем необходимость. Рассмотрим в пространстве х следующий базис окрестностей нуля:

Ут,« ={х е ^Ит,X * П

Так как оператор К компактен, он переводит некоторую окрестность Ут,п в относительно компактное множество. В силу линейности оператора К образ окрестности Ут,1 при отображении к также компактен. Предположим, что утверждение теоремы неверно. В этом случае найдутся число п0 > 0 и последовательность элементов хп Ф 0, для которых выполняются

довательность xn = -

последовательность А\%к сходится к нулю. Таким образом, {&}ёОт (X) и ||#к||т = 1. Следовательно, из

последовательности можно выделить сходящуюся подпоследовательность. Предельный элемент % этой

подпоследовательности отличен от нуля ( к = 1|).

ограниченную подпоследовательность \\xk .

II l Ilm

Последовательность x^ также не принадлежит

классу Dm (X) и, следовательно, содержит сходящуюся подпоследовательность. Очевидно, предел этой подпоследовательности является прообразом элемента у. Теорема доказана.

Будем рассматривать частный случай счетно-нормированных пространств, а именно, пространства X, удовлетворяющие условию (обозначим его А): пространство X является проективным пределом последовательности банаховых пространств Xn такой, что для любого натурального числа п пространство Xn компактно вложено в пространство Xn-1.

Пусть X и У являются счетно-нормированными

пространствами, удовлетворяющими условию А, и ' ' '

. Так как она содержится

х

II' «Пю, X

во множестве Ут1, последовательность К ~хп относительно компактна. С другой стороны, ||Кхп||п у > п .

Полученное противоречие доказывает теорему.

Заметим, что из теоремы 2, в частности, следует, что компактный оператор К допускает продолжение до линейного непрерывного оператора, действующего из банахова пространства Хт в банахово пространство Уп, где т указано в формулировке теоремы, а п произвольно.

3. Классы А и В, их свойства

Пусть Г - единичная окружность в комплексной плоскости. Рассмотрим множество Сх (Г) комплекс -нозначных функций, бесконечно дифференцируемых на Г. Определим на этом множестве систему норм

= 2 max

^

n > 0, относительно которой

к=0 /еГ

Сх (Г) является счетно--нормированным пространством, удовлетворяющим условию А. Для любого открытого связного множества и с Г через С0° (и) обозначим подпространство Сж (Г), состоящее из всех бесконечно дифференцируемых на Г функций, носители которых содержатся в и.

Рассмотрим действующий в пространстве Сж (Г) оператор сингулярного интегрирования

(Бу)) = — | ^) ёт и связанные с ним проекторы

т г

Р = (I + Б)/2 и 0 = (1-Б)/2.

Пусть '0 е Г. Определим действующий в пространстве Сж(Г) оператор Я{ по правилу:

) -ff(tp) t - to

Отметим некоторые свойства введенных операторов. 1. Для любого натурального числа п и для любой

функции р е Сж (Г) имеет место равенство

*) - г'е^

r; v\(t)=

k=o

k!

({ - to )n

2. Для любых двух точек '1, '2 еГ , таких, что '1 Ф '2 справедливо равенство Я^ Я12 = —-— ( - Я^).

i=0 j=1

Зафиксируем точку '0 е Г . Произвольный оператор А е А представим в виде

А = Я"0Я...Я"к а

'0 '1 'к

Выберем такую окрестность и с Г точки '0, в замыкании которой не содержится точек '1, '2 ,...'к. Тогда из представления (2) следует, что для любой

функции ф, принадлежащей пространству Сж (Г),

справедливо равенство

(Ag)(t) = Яг,

(

a

(t - ti) ni...(t - tk)nk

(t) + (Tg)(t).

Обозначим a(t) =

a

(t - ti)ni...(t - tk)nk

и определим

П~12

3. Для любых двух точек '1, '2 е Г справедливо равенство Яч Я'2 = Я'2 Яч .

4. Пусть '0 еГ .Тогда Яп ((- '0 )т1 = Яп-т, если

'0 '0

п > т иЯп ((-'0)т1 = у('-'0)т-п, если п < т .

'0

5. Для любой точки '0 е Г и любой функции с е С" (Г) ( - Я'0 с1 )е К (с»(Г)).

6. Для любой точки '0 е Г справедливо равенство

БЯ, = Яг Б . '0 '0

7. Для любой функции с е С(Г) (сБ-Бс1 )е К (Сх(Г)).

Пусть А - подалгебра алгебры Ь( Сх (Г)), порожденная всеми операторами умножения на функции из пространства Сх (Г), операторами Я( '0 е Г и компактными операторами. Из отмеченных выше свойств следует, что любой оператор А е А можно предста-р mi ,

вить в виде А = 2 2 Я^с^ (') I + с(') I + К , где

символ ( (А) оператора А в точке '0 следующим

образом: ( (А) = г"п» ^^кр^^ .

Данное определение корректно, т. е. не зависит от способа представления оператора в виде (2).

Обозначим через В алгебру операторов, порожденную оператором Б и операторами алгебры А. Из свойств 6,7 следует, что любой оператор Ж е В представим в виде Ж = СР + DQ, где С, О е А.

Определим символ оператора Ж равенством

Ч (С) ^

Co(W) =

ct

с, с^ е С ™ (Г), К е К (С ™ (Г)), а точки еГ попарно различны.

С помощью свойства 4 от данного представления можно перейти к более удобному

А = Я"1 Я"2... Я"ка (') I + Т , где а е С^ (Г), '1 ' 2 'к

Т е К (Сх (Г)) и точки е Г попарно различны.

Определим символ операторов из алгебры А. Рассмотрим множество формальных рядов Лорана от неизвестной г, каждый из которых содержит лишь конечное число отрицательных степеней г, т. е. мно-

+<ю

жество рядов вида 2ап2п , ап еС. Относительно

п=-к

операций сложения и умножения это множество является полем. Обозначим его через ¥. Нам также потребуется множество ¥2 упорядоченных пар элементов из ¥ с покомпонентными операциями сложения и умножения. Поскольку ¥ является полем, то ¥2 является коммутативным кольцом с единицей.

Данное определение также корректно, т. е. не зависит от представления оператора W в виде суммы

W = СР + DQ. Символ оператора из алгебры В явля-

1—2

ется элементом кольца ¥ .

Лемма 1. Справедливы следующие утверждения.

1. Для любой точки to е Г отображение

crt : В ^ ¥2 является гомоморфизмом.

2. Пусть А е А. Если для всех точек to е Г, ct (А) = o , то оператор А компактен.

3. Пусть Wе В. Если для всех точек to еГ, ct (W) = o , то оператор W является компактным.

Теорема 3 (Локальные свойства символа). Пусть +<» k

А е А, ct

k=-m

удовлетворяют следующим свойствам:

1. Для любого отрицательного индекса k ak(t) отлично от нуля лишь в конечном числе точек.

2. Если точка to е Г такова, что

a-m,(t0) = ... = a-1(t0) = o, то существует некоторая окрестность U этой точки, в которой коэффициенты ak(t), k > 0 являются бесконечно дифференцируемыми, причем для всех t е U справедливы равенства

ak (t) = 1 a (ok )(t).

3. Если точка to е Г такова, что

a-m,(t0) = ... = a-n-1(t0) = o,, то справедливы равенства

min{k, n} l

ak-n(to) = lim 2 Cln(t - to) ak-(t). f^fo l=o

o

Указанные в теореме 3 свойства являются характеристическими в следующем смысле.

+<» к

Теорема 4. Рассмотрим ряд £ак(/)2 , / еГ .

к=-т

Если коэффициенты этого ряда удовлетворяют свойствам 1-3 теоремы 3, то существует оператор А е А,

символ которого в каждой точке окружности совпада-

+<» к

ет с рядом £ ак (/)2 .

к=-т

тельность функций, имеющих вид hn (t) =

последовательность

Lh

стремится к беско-

последовательность

hn не может содержать схо-

дящихся в Сх (Г) подпоследовательностей.

Для доказательства второго утверждения заметим, что

ahJL = max" n"0 llt-toi <n-1/4

max

toi-

I«(t )hn (t )|,

max

4\a(t)hn (t)| \.

4. Фредгольмовость операторов из алгебры В

Ниже приведены некоторые дополнительные утверждения, которые вместе с уже изложенными используются для доказательства основного результата работы. Непосредственной проверкой устанавливает-

+<» к

ся, что, если ряд £ ак (/)2 удовлетворяет свойст-

к=-т

вам теоремы 3 и является обратимым в каждой точке единичной окружности, то обратный ему ряд также удовлетворяет свойствам теоремы 3. Из этого замечания и теоремы 4 следует

Теорема 5. Пусть А е А и символ оператора А обратим в каждой точке / е Г. Тогда существует

некоторый оператор В е А, символ которого в каждой точке совпадает с рядом, обратным к символу оператора А.

Теорема 6. Если оператор Wе В является Ф+-оператором в пространстве Сх (Г), то его символ обратим в каждой точке / е Г.

Доказательство теоремы 6 основывается на следующем утверждении.

Лемма 2. Пусть функция аф является бесконечно дифференцируемой на Г и имеет в точке /0 е Г нуль бесконечного порядка. Пусть Нп - последова-

/ \п

(£+*0.А 2/0

С помощью несложных оценок устанавливается, что оба этих максимума стремятся к нулю при n ^ : . Таким образом, lim ||ahn||0 =0. Рассмотрим

n^: 0

последовательность {\ahn\|j}. Воспользуемся очевидной оценкой Функция а' (t), как и a(t), имеет в точке t0 нуль бесконечного порядка, поэтому lim ш' hnn 0 =0. Кроме

n^: 0

того, аналогично устанавливается, что lim ||ahn||0 =0.

n^: 0

Продолжая эти рассуждения далее, получим, что для любого k > 0 последовательность ||а hn || стремится к нулю. Но это и означает утверждение леммы.

Доказательство теоремы 6. Допустим, что утверждение теоремы неверно, т. е. существует оператор W е B , который является Ф+-оператором и символ которого необратим в некоторой точке to е Г . Представляя оператор W в виде W = CP + DQ, где операторы С и De А, заключаем, что необратим один из символов ato (C) и ato (D). Допустим для определенности, что это at (C). Поскольку множество F является полем, crt (C) = 0. Как следует из свойств

операторов алгебры А, существуют некоторая окрестность и точки t0, функция a(t), бесконечно дифференцируемая в окрестности U, и компактный оператор Т

такие, что для любой функции <p(t) е С0° (U) имеет

место

равенство СИ)) = RJ (И (t) + (l)(t) .

Тогда

1. Для любого неотрицательного числа к последовательность -^-гкп принадлежит классу Ок (Сх (Г)).

пк

2. Последовательность функций акп сходится к нулю в топологии пространства Сх (Г).

Первое утверждения леммы основывается на том, что для любого неотрицательного числа к числовая

нечности. Так как эта числовая последовательность не содержит сходящихся подпоследовательностей, то и 1

Из определения символа и последнего равенства заключаем, что функция a(t) имеет в точке t0 нуль бесконечного порядка. Возьмем произвольную функцию ß е С: (U), равную единице в некоторой окрестности точки t0. Пусть hn -последовательность функций, рассмотренная в лемме 2. Из нее следует, что последовательность aßhn стремится к нулю в пространстве C: (Г).

Легко видеть, что (W (ßhj ))(t) = RJo (aßhj))(t) + (Khj )(t), где оператор К компактен в пространстве C: (Г). По теореме 2

заключаем, что существует число s > 0, такое, что для любого m > 0 выполняется неравенство

INIm < Cm |Иs где Cm>0.

Из последнего неравенства следует, что если последовательность {ип } такова, что lim Ип|| =0, то

n^: s

последовательность Kq>n стремится к нулю в пространстве C: (Г). Отсюда заключаем, что последова-1

тельность W

.S+1

ßhn

стремится к нулю в про-

странстве C: (Г). Тогда и для всех l>s последова-

тельность W | -у ркп | стремится к нулю в простран-

-.п

стве Сх (Г). С другой стороны, как следует из леммы 2, последовательность -У ркп принадлежит клас-

п1

су (с х (Г)). Но в силу теоремы 1 это противоречит тому, что W является Ф+-оператором. Теорема доказана.

Основным результатом работы является следующее утверждение.

Теорема 7 (Критерий фредгольмовости операторов алгебры В). Оператор W, принадлежащий алгебре В, является фредгольмовым в пространстве

Сх (Г) тогда и только тогда, когда его символ обратим в любой точке кривой Г. При этом регуляризатор оператора W также принадлежит алгебре В.

Доказательство. Необходимость непосредственно следует из теоремы 6. Докажем достаточность условия. Представим оператор W в виде W=CP + Б0, где С и О е А. Поскольку символ оператора W обратим в любой точке кривой Г, символы операторов С и О также

обратимы в любой точке. По теореме 5 найдутся операторы RC и Rd е A, символы которых в каждой точке t е Г совпадают с рядами, обратными к символам операторов С и D соответственно. Следовательно, символы операторов CRC-I, RCC—I, DRd-I и RdD~I тождественно равны нулю. В силу леммы 1 все эти операторы компактные. Учитывая это, непосредственной проверкой устанавливается, что оператор Rw =RCP + RDQ является одновременно и левым, и правым регуляризато-ром оператора W. Теорема доказана.

Автор считает своим приятным долгом выразить благодарность научному руководителю B.C. Пилиди не только за труд, способствовавший улучшению данной статьи, но и за постоянную поддержку на протяжении всего процесса работы над ней.

Литература

1. Прёсдорф 3. Некоторые классы сингулярных уравнений. М., 1979.

2. Робертсон А., Робертсон В. Топологические векторные пространства. М., 1967.

3. Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М., 1965.

Ростовский государственный университет

12 апреля 2005 г.