Модель разрушения металлов при высокоскоростной деформации

Вестник Челябинского государственного университета. 2010. № 12 (193). Физика. Вып. 7. С. 12-20.

МЕТАЛЛОФИЗИКА

А. Е. Майер

МОДЕЛЬ РАЗРУШЕНИЯ МЕТАЛЛОВ ПРИ ВЫСОКОСКОРОСТНОЙ ДЕФОРМАЦИИ1

Предложена математическая модель разрушения металлов, основанная на анализе процессов образования, роста и взаимодействия отдельных трещин. Предлагаемая модель содержит всего один эмпирический параметр и учитывает влияние на рост трещин девиаторов напряжений. Приведены результаты моделирования откольного разрушения монокристалли-ческого алюминия при различных начальных температурах в сравнении с экспериментальными данными.

Ключевые слова: математическая модель, откольное разрушение металлов, высокоскоростная деформация, образование и рост трещин, ударно-волновые эксперименты.

Введение

Наибольшее распространение при моделировании разрушения твердых тел в волнах разрежения получил континуальнокинетический подход, при котором разрушение описывается посредством усредненных параметров как непрерывный процесс накопления повреждений [1]. К настоящему времени разработано большое количество эмпирических моделей разрушения, обзор которых можно найти в [1-3]. Обычно такие модели содержат от четырех до шести эмпирических параметров, характеризующих пороговые напряжения зарождения очагов разрушения, начальную концентрацию и скорость роста очагов. В качестве очагов разрушения рассматриваются либо полости почти сферической формы, растущие как пузырьки в вязкой жидкости, либо микротрещины.

В данной статье предлагается модель разрушения, содержащая всего один эмпирический параметр — это свободная поверхностная энергия очагов разрушения, определяющая предельные растягивающие напряжения, при достижении которых очаги развиваются.

1 Работа выполнена при поддержке РФФИ-09-08-

00521-а.

В качестве очагов разрушения рассматриваются микротрещины. Сокращение числа эмпирических параметров достигается за счет записи на основе лагранжева формализма уравнения для роста отдельной микротрещины, а также анализа образования зародышевых микротрещин на основе термофлуктуа-ционного подхода.

Как показано в работах [4; 5], при скоростях деформации 106^108 с-1, соответствующих воздействию на мишень интенсивных потоков электронов и ионов, девиа-торная часть тензора напряжений может существенно превышать статический предел текучести и вносить в растягивающие напряжения в твердом теле вклад, сопоставимый с давлением. Это обусловлено конечным количеством и скоростью движения дислокаций и, как следствие, конечной скоростью пластической релаксации касательных напряжений. Поэтому предлагаемая модель учитывает влияние на рост микротрещин полного тензора напряжений и конечную скорость пластической релаксации как в среднем в материале, так и вокруг микротрещин.

В статье описан вывод уравнений роста и генерации микротрещин, а также вызываемой этим ростом релаксации напряжений. Сформулирована система уравнений

для одномерного случая, приведены расчеты на ее основе откольного разрушения мо-нокристаллического алюминия, в сравнении с экспериментальными данными [6]. Показано, что модель правильно описывает наблюдаемую в [6] температурную зависимость откольных напряжений.

Равновесная форма трещины

Прежде чем приступить к формулировке уравнения роста трещины, рассмотрим задачу о равновесной форме трещины в изотропной упругой среде и создаваемые трещиной поля напряжений и деформаций.

Пусть в недеформированной изотропной линейно упругой среде образуется сферическая пора объемом У0, причем занимавшее объем поры вещество вытесняется в окружающее пространство. Равновесные деформации среды вокруг поры, помещенной в начало координат, могут быть описаны полем смещений ui = У0xi / (рг3) [7].

В силу линейности задачи для трещины произвольной формы в равновесии можно записать:

и =

-f

4р J

x — x.

dV

где V/ — область, занимаемая трещиной. Для тензоров деформаций иЛ и напряжений о]к из (1) получаем

4р

f dV?—зі

x — x')( xk — xk

r—r

dV1

4

где G — модуль сдвига. При записи (2) учтено, что свертка ии = 0.

Поместим теперь трещину в поле внешних напряжений агк. В рамках линейной теории упругости полные напряжения вокруг трещины будут равны сумме ок + о]к .

Для равновесия трещины в поле внешних напряжений необходимо, чтобы вдоль всей её поверхности выполнялось условие (к +о]к)п) = 0, где п1 — нормаль к поверхности трещины.

Рассмотрим цилиндрически симметричную трещину радиуса Я/, поместив ее

в центр цилиндрической системы координат; трещина занимает область -к(г) < 2 < к (г ). Как будет показано далее, отношение максимальной толщины трещины 2к (0) к её радиусу Я/ имеет порядок а/ G « 1, поэтому трещину можно считать локализованной в плоскости г = 0. Тогда в интегралах (1) и (2) г = (г,0,г),

г' = (г' собф, г' БШф, 0) , элемент объема dV' = 2к(г')ёф г'ёг'. Нормаль к поверхности трещины п1 будет совпадать с ± ег для нижнего и верхнего берега трещины соответственно. Введем безразмерные вели-

чины W = r / Rf, W' = r' / R

,

где

,

ст.

j](W' ) =

Подставляя (2) в условие равновесия трещины (агг + а'гг) = 0 и переходя к безразмерным переменным, получаем интегральное уравнение

1 2р

f W' dW'h(W')f

3/2

(2 + (W') - 2WW' cos jj

V W e [0,1].

Решение уравнения (4) позволяет найти равновесную форму трещины в виде безразмерной функции ^(W'), не зависящей

от материала, напряженного состояния и размера трещины. Здесь мы не будем искать решение уравнения (4), воспользуемся лишь тем фактом, что ^(W' )~ 1. Тогда величина kf, определяемая соотношением

(3), задает максимальную полутолщину трещины, отсюда её объем может быть оценен как

Vf = kf

а смещения и деформации вне трещины как

и =

,.

4p

игк =

4p

б.

3x.x,

Уравнение роста трещины

Рассмотрим теперь рост трещины в изотропном упруго-пластическом материале. Энергия внешнего поля напряжений а22

расходуется на увеличение поверхности трещины, ускорение точек среды, окружающих трещину, и на пластическое течение среды вблизи трещины. Используя радиус трещины в качестве обобщенной координаты, запишем уравнение Лагранжа с учетом пластической диссипации энергии:

ё дЬ = дЬ дР

И дЯ^'

Функция Лагранжа Ь равна

Ь = Т - и8 - иу,

где Т — кинетическая энергия, и5 — свободная энергия поверхности трещины, UV — упругая энергия трещины в поле

внешних напряжений. В рассматриваемой задаче диссипативная функция Р определяет потери энергии на пластические деформации материала при раскрытии трещины; по определению [8]

Р = -(1/2)( ёЕ / ),

где Е — полная механическая энергия системы.

Оценим кинетическую энергию Т движения среды, связанного с раскрытием трещины:

2 V-V/

где р — массовая плотность среды, интегрирование ведется по всему пространству, исключая объем трещины. Необходимо учесть, что входящая в (9) скорость движения среды связана исключительно с изменением объема трещины. Из выражения для

смещений (6) получаем и, =(У/ /4р)(xi /|г|3).

Из (5) для изменения объема трещины при постоянных внешних напряжениях следует Vf = 3 л2 Я2/Я/ агг / О. Интегрируем (9) в сферических координатах, взяв в качестве нижнего предела к/ как наименьшее расстояние от центра трещины до области, заполненной материалом. В итоге получаем

Т=8 V

При росте трещины внешние напряжения совершают работу 5А = -dUV, которая

состоит из двух частей: 1) работа 5А(1) на перемещениях поверхностей трещины; 2) работа 5А(2) на дополнительных деформациях 5и,к , вызываемых увеличением объема трещины на 5Vf. Вычисление второй части работы дает 5А(2) = 0, что объясняется симметрией поля смещений вокруг трещины. Вычислим первую часть работы. На элемент поверхности трещины со стороны внешнего поля напряжений действует сила а,кп\ , при этом он смещается

на вектор п)5к, тогда работа на всей поверхности

5А(1) = фст^пк 5к = а гг • 2| 5кё5 = агг 5Vf.

Поэтому для упругой энергии внешних напряжений можно записать

иу = -а„^.

Отметим, что суммарная работа собственных напряжений а,к на перемещениях поверхности и деформациях 5и,к при подсчете дает нуль и, следовательно, не вносит вклад в (11).

Потенциальная энергия, обусловленная образованием двух поверхностей трещины, равна

из = 2л Я/ у, где у — удельная свободная поверхностная энергия металла.

Построим оценку для диссипативной функции Р. Будем считать, что диссипация энергии в системе происходит только за счет пластической релаксации напряжений, создаваемых при росте трещины. Обозначим через ат максимальные касательные напряжения в каждой точке среды вокруг трещины. Избыточные касательные напряжения, превышающие предел текучести У/2, испытывают пластическую релаксацию, которая может быть описана уравнением [4; 5]:

о, = о, - 2G

в

-1І/3

• 1

где ат есть скорость изменения касательных напряжений за счет деформации среды, а второе слагаемое в правой части — за счет движения дислокаций, Ь — вектор Бюргерса дислокаций, рв — плотность подвижных дислокаций, В — коэффициент вязкого трения дислокаций. При этом скорость пластической деформации в каждой точке равна

йР1 = b_pd

в

Решая уравнение (13) на интервале времени t е [0, т] в приближении бТ = const, получаем

(Т)='

- e

- kx

)

где параметр к = 2GЬ р0 / В — характеризует скорость пластической релаксации. Далее под т будем понимать характерное время раскрытия трещины, и обозначим 0 = е-кт. Тогда получается следующая оценка для скорости пластической дефор-

мации:

upl =

2G «і-)o,-k ©(о,-y/2».

При медленном росте трещины т » 1/ к и 0^0 данное выражение описывает мгновенную относительно процесса роста трещины релаксацию всех избыточных касательных напряжений. В противоположном пределе быстрого роста трещин т« 1/к и 0^1 процесс релаксации идет с существенным запаздыванием.

Для работы пластического деформирования запишем

5Лр/ = Ж • |ат ир1ё¥ =

=ё • 2г 1ат (о-0К-к 0к-у/2 ))dv,

2^ V,

р1

где Vp¡ — область пластического течения

вблизи трещины, в которой касательные напряжения больше предела текучести. Из (6) радиус этой области можно оценить как

Яр1 = \_GVf / (У)] . Убыль механической

энергии связана с работой пластического деформирования как ёЕ = -8Лр!, тогда для диссипативной функции справедливо 2Е = 5Лр‘ / ё. После интегрирования с учетом (6) получаем

F =

GVl

12л

Yk ©V ] Rpi

—k ©Vf m——. 4 f Rr

Дифференцируя выражения (10), (11), (12), (14) по соответствующим переменным и подставляя в (7), получим следующее уравнение для скорости роста трещины:

Р

G

= -—Rf (у+у')+4 Rf —,

9л f V ’ 3 fG

где введено обозначение

у' =16

По смыслу у' есть необратимая «поверхностная» энергия, затрачиваемая на пластические деформации, на единицу поверхности трещины. Эта энергия расходуется как при росте, так и при схлопывании трещины, определяя необратимость процесса. Следует отметить линейную зависимость у' от радиуса трещины. Так, взяв для

109 Па и G ~ 1011 Па, получа-

оценки оzz ~

ем при радиусе трещины ~ 0,1 мкм значение у' ~ 1 Дж / см2, сопоставимое с поверхностной энергией металлов у, но уже для трещины радиусом Яf ~ 0,1 мм значение у' ~ 1000 Дж / см2, что сопоставимо с эффективным поверхностным натяжением, используемым в моделях квазихрупкого разрушения [9]. Следует также отметить, что при быстром росте трещин величина 0 стремится к 1 и у' стремится к 0.

Из (15) следует, что при заданных внешних напряжениях агг расти будут трещины с радиусами больше критического:

R = 4 (y + y')G

3л

о.

Термофлуктуационное зарождение трещин

Перейдем теперь к рассмотрению ансамбля микротрещин. Рассмотрим элемент объема V, количество микротрещин в нем обозначим N. Найдем скорость образования dN / dt новых трещин, считая, что они образуются за счет тепловых флуктуаций. Основной вклад будут давать трещины критического радиуса Rcr, поскольку трещины с R < Rcr будут залечиваться, а образование трещин с R > Rcr требует совершения большей работы, потому маловероятно. Для образования трещины критического радиуса необходимо совершить работу

A = Us (Rcr) +Uv (Rcr):

A" = 3 2y')R;,

вероятность такой флуктуации [10]:

P f Atf)

Pcr = exp -— .

I kT J

Оценим количество очагов флуктуации Ng в элементе объема V среды: один возможный очаг занимает объем ~ 8R3, тогда Ng = V / (Rc3r). При этом частота флуктуации может быть оценена как обратное время прохождения звуком диаметра трещины: f = ct / (2Rcr), где ct — скорость поперечной звуковой волны.

В результате для скорости образования трещин можно записать:

dN = р

dt cr

Г ~ / .Л.,2 Л

_VEl

16R4

-exp

• Ng • f = 2л(у- 2у') r2 3kT

Снятие растягивающих напряжений при раскрытии трещин

Рассмотрим ансамбль микротрещин с одинаковой ориентацией в пространстве,

которая задается нормалью п. Направим ось 02' вспомогательной системы координат вдоль п. Для элемента объема вещества можно записать V = ¥с + , где ¥с —

часть объема, занятая сплошной средой, а VSf — суммарный объем всех трещин. Рост

суммарного объема микротрещин со скоростью VSf при постоянном V приводит к уменьшению объема сплошной среды со скоростью Vc = . Соответствующая де-

формация сплошной среды во вспомогательной системе координат описывается единственной ненулевой компонентой тензора деформаций:

„/ ,=^=-і.

22 V V

с с

Преобразуя тензор деформаций в лабораторную систему координат, получаем

ui =-

ус ‘ * ж'

Предполагая, что все N микротрещин в объеме V имеют один и тот же размер Vf ,

можно записать VSf = N • ^ .

Использование и(к в качестве дополнительной деформации сплошной среды при расчете напряжений позволяет учесть релаксацию напряжений, обусловленную раскрытием трещин.

При произвольной ориентации трещин относительно лабораторной системы координат компоненту напряжений агг в соотношениях (15)—(17) следует заменить нормальным к плоскости трещины напряжением ап =агкПгПк .

Как показывают численные расчеты, процесс развития откольного разрушения можно разделить на стадию активного тер-мофлуктуационного образования зародышевых микротрещин и стадию их дальнейшего роста. Причем за время первого этапа существенного роста микротрещин не происходит, а на втором этапе не появляются новые микротрещины. Поэтому разброс микротрещин по размерам и ориентациям в каждом элементе среды минима-

лен, что оправдывает сделанные здесь приближения. В частности, в рассматриваемом далее одномерном случае микротрещины преимущественно будут ориентированы перпендикулярно направлению удара (их нормали п будут совпадать с направлением удара — осью Ох ).

Соседние микротрещины могут объединяться, образуя в конечном итоге магистральную трещину либо область вещества, разрушенную на микрочастицы. В предлагаемой модели считается, что отдельные микротрещины развиваются уединенно до тех пор, пока диаметр микротрещин 2^ не

достигнет величины среднего расстояния между ними / V)1/3. После того как в ка-

ком-либо элементе объема реализуется 2 > (N / V) , вещество в нем считается

разрушенным и все компоненты тензора напряжений приравниваются к нулю.

Система уравнений в одномерном случае. Численная реализация

Запишем в лагранжевых координатах в одномерном случае систему уравнений механики сплошной среды с учетом ансамбля микротрещин:

1 dV ду т

V' & & , Р V - V,

Sf

^ Г/ 50 22

т— = V —22 йі 52

ёи т/

т----= V

°22 =- Р(р,и) + Sz;

dS

= 4 о ^ - 20^

йі 3 52 йі

2о

V-, = N -І — ЯІ о 2

^ п , 2

Здесь т — масса элемента объема V, у — массовая скорость среды, Т — температура, х — коэффициент теплопроводности,

и — удельная внутренняя энергия, Р — давление, — девиатор напряжений.

Уравнение (24) — это закон Гука для деви-аторов напряжений с учетом пластической деформации , а также деформации, связанной с ростом объема трещин VSf. Для нахождения пластической деформации wzz

решались уравнения движения и кинетики дислокаций аналогично [5]. В систему входят также уравнения (15)—(18) для определения количества и размера микротрещин.

Система уравнений механики сплошной среды решалась численным методом, предложенным в [11]. Для шаровой части напряжений Р(р, и) использовались широкодиапазонные уравнения состояния [12]. Для определения температурной зависимости модуля сдвига О использовались данные [13]. Температурная зависимость коэффициента трения дислокаций В бралась из результатов молекулярно-динамического моделирования [14].

Уравнения (15) и (18) для размеров и количества микротрещин интегрировались по времени явной схемой Эйлера с переменным шагом. Использовалось разделение по физическим процессам, и для каждой ячейки сетки гидродинамический шаг Дt мог быть разбит на несколько шагов

решения уравнений (15), (18) исходя из ограничения

Atk < т = Я/ / Я/ .

Численный эксперимент.

Обсуждение результатов

Для верификации предложенной модели проводилось моделирование экспериментов [6] по откольному разрушению монокри-сталлического алюминия при различной начальной температуре образцов. Алюминиевый ударник толщиной 0,4 мм со скоростью 650 м/с бил по алюминиевому образцу толщиной 2,9 мм. На рисунке приведены временные зависимости скорости тыльной поверхности мишени . Данные зависимости отражают картину распространяющихся

мкс мкс

мкс

Временная зависимость скорости тыльной поверхности алюминиевой мишени при различной температуре испытаний: сплошная линия — эксперимент [6], пунктир — наши расчеты

в веществе волн напряжений. Вначале на тыльную поверхность выходит упругий предвестник (А), величина которого существенно зависит от температуры испытаний. Далее следует фронт пластической волны (В), затем волна разрежения. При отражении ударной волны от тыльной поверхности формируется вторая волна разрежения, бегущая вглубь мишени. Интерференция двух волн разрежения, одна из которых движется к поверхности, а другая — вглубь, приводит к образованию области растягивающих напряжений. При достаточно большой величине этих напряжений происходит разрушение материала мишени, что приводит к резкому росту скорости тыльной поверхности — откольный импульс (С).

Как видно из рисунка, модель с приемлемой точностью описывает положение и скорость нарастания откольного импульса. Во всех трех расчетах единственный эмпирический параметр модели — поверхностная энергия металла бралась равной у = 0,3 Дж/м2. В то же время полученное в расчетах критическое значение напряжений сЦ, при котором начинается образование и рост микротрещин, существенно меняется с температурой (таблица). Таким образом, термофлуктуационный механизм способен объяснить экспериментально наблюдаемую [6] зависимость откольного напряжения от температуры.

« 293 680 923

<, ГПа 2,4 1,7 1,4

После формирования откола в расчетах отколотый слой вещества мишени испытывает колебания сжатия-растяжения, удаляясь в целом от основной части мишени (колебания вокруг положительного значения скорости тыльной поверхности на рисунке). В экспериментальных данных таких четко выраженных колебаний не наблюдается, что, по-видимому, связано с быстрым затуханием полей напряжений в отколотом слое. Подобные расхождения расчетных и экспериментальных данных указывают на необходимость в дальнейшем более четкой проработки в модели стадии объединения микротрещин в магистральный дефект, что должно сопровождаться интенсивной пластической деформацией и, как следствие, диссипацией энергии.

Исходя из расчетных данных, в рассмотренном случае разрушается область мишени толщиной 0,4 мм, отстоящая на 0,3 мм от тыльной поверхности мишени. Начальный диаметр микротрещин ~5 нм, диаметр микротрещин на стадии их объединения в магистральный дефект ~0,5 мкм.

Использованное значение поверхностной энергии в три раза меньше справочного значения для алюминия ~1 Дж/м2 [15], что можно объяснить следующим образом. Наиболее существенную роль у играет на стадии образования микротрещин. При диаметре микротрещины-зародыша 2Яс ~ 5 нм расстояние между берегами трещины будет составлять hf ~ лс/ О ~ 0,5 нм, что сопоставимо с межатомным расстоянием в исходной решетке. Такое раскрытие микротрещины должно сопровождаться неполным разрывом связей атомов и, следовательно, меньшими затратами энергии на атом.

Заключение

Проанализированы процессы образования, роста и взаимодействия микротрещин в поле растягивающих напряжений. На основе лагранжева формализма записано урав-

нение роста отдельной микротрещины. Образование зародышевых микротрещин рассмотрено с позиций термофлуктуационного подхода. Это позволило построить модель разрушения при высокоскоростной деформации, содержащую один эмпирический параметр — поверхностную энергию. Результаты проведенных расчетов не противоречат экспериментальным данным.

Показано, что термофлуктуационный механизм позволяет объяснить температурную зависимость откольных напряжений в моно-кристаллическом алюминии. Это свидетельствует в пользу преобладающей роли данного механизма в разрушении при высокоскоростной деформации в той же мере, в какой этот механизм считается доминирующим в квазистационарных условиях разрушения.

Дальнейшим развитием предложенной модели должен стать последовательный анализ стадии объединения микротрещин в магистральный дефект.

Автор выражает благодарность Н. Б. Волкову, В. С. Красникову и А. П. Яловцу за полезные обсуждения.

Список литературы

1. Канель, Г. И. Ударно-волновые явления в конденсированных средах / Г. И. Кан-нель, С. В. Разоренов, А. В. Уткин, В. Е. Фортов. М. : Янус-К, 1996. 408 с.

2. Ахмадеев, Н. Х. Динамическое разрушение твердых тел в волнах напряжений / Н. Х. Ахмадеев. Уфа : БФАН СССР, 1986. 168 с.

3. Бушман, А. В. Теплофизика и динамика интенсивных импульсных воздействий / А. В. Бушман, Г. И. Каннель, А. Л. Ни, В. Е. Фортов. Черноголовка : РИО ИХФ АН СССР, 1988. 201 с.

4. Mayer, A. E. Dislocation Dynamics in Simulations of Metal Irradiation by Intense Electron and Ion Beams / A. E. Mayer, V. S. Kras-nikov, A. P. Yalovets, I. N. Borodin // Physics of Extreme States of Matter-2009. Chernogolovka : IPCP RAS, 2009. P. 102-105.

5. Майер, А. Е. Численное моделирование упрочнения металлов при интенсивном электронном и ионном облучении /

А. Е. Майер, В. С. Красников, А. П. Яловец // Изв. вузов. Физика. 2009. № 8/2. С. 429-433.

6. Kanel, G. I. Dynamic yield and tensile strength of aluminum single crystals at temperatures up to the melting point / G. I. Kanel,

S. V. Razorenov, K. Baumung, J. Singer // Journal of Appl. Phys. 2001. V. 90, № 1. P. 136-143.

7. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. Т. VII. Теория упругости / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М. : Наука, 1987. 248 с.

8. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. Т. I. Механика / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М. : Наука, 1988. 216 с.

9. Черепанов, Г. П. Механика хрупкого разрушения / Г. П. Черепанов. М. : Наука, 1974. 640 с.

10. Ландау, Л. Д. Теоретическая физика. Т. V. Статистическая физика. Ч. 1 / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. М. : Наука, 1976. 584 с.

11. Яловец, А. П. Расчет течений среды при воздействии интенсивных потоков заря-

женных частиц / А. П. Яловец // ПМТФ. 1997. Т. 38, № 1. С. 151-166.

12. Колгатин, С. Н. Интерполяционные уравнения состояния металлов / С. Н. Колгатин, А. В. Хачатурьянец // ТВТ. 1982. Т. 20, № 3. С. 90-94.

13. Tallon, J. L. Temperature dependence of the elastic constants of aluminum / J. L. Tallon,

A. Wolfenden // J. Phys. Chem. Solids. 1979. V. 40. P. 831-837.

14. Куксин, А. Ю. Молекулярно-динамическое моделирование динамики краевой дислокации в алюминии / А. Ю. Куксин,

B. В. Стегайлов, А. В. Янилкин // ДАН. 2008. Т. 420, №. 4. С. 1-5.

15. Физические величины : справочник / под ред. И. С. Григорьева, Е. З. Мейлихова. М. : Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.