О демпфировании колебаний механических систем с гистерезисом

ЭЛЕКТРОТЕХНИКА

УДК 534.1

О ДЕМПФИРОВАНИИ КОЛЕБАНИЙ МЕХАНИЧЕСКИХ СИСТЕМ С ГИСТЕРЕЗИСОМ

А.Н. Данилин

В соответствии с подходом силовые и кинематические параметры механической системы связываются обыкновенным дифференциальным уравнением первого порядка. Правая часть уравнения подбирается из кчасса функций, обеспечивающих асимптотическое приближение решения к кривым объемлющего (предечъного) гисте-резисного цикла установившихся колебаний. Идентификация коэффициентов уравнения осуществляется по экспериментальным данным для объемлющего цикла. Статья является развитием [1], где предложен феноменологический подход к описанию гистерезиса энергорассеяния в механических системах при нестационарных колебаниях.

Ключевые слова: нестационарные колебания, демпферы, гистерезис энерго-рассеяния, кинематический подход, объемлющий цикл, идентификация параметров.

Установление физической зависимости, определяющей форму петли на диаграмме гистерезисного процесса, выражает соответствующую гипотезу диссипации энергии. Для описания гистерезиса постулируются определяющие соотношения между параметрами процесса на основе соответствующих теоретических представлений и экспериментальных данных. Таким образом строятся модели магнитного и диэлектрического гистерезиса [2], гистерезиса пластического деформирования [3 - 5], термоупругого гистерезиса в сплавах с памятью формы [6-8], гистерезис реологического поведения вязких сред [9-11], и т.п.

В динамике деформируемых систем широкое распространение получила гипотеза Фойгхта [12, 13], в соответствии с которой рассеяние энергии зависит от частоты процесса деформирования системы. Однако для большинства конструкционных материалов, и тем более, сложных механизмов с трением, это не подтверждается экспериментально [14]. Физически обоснованной являются модель H.H. Давиденкова [15], предложен-

ная в 1938 г. при анализе причин зависимости поглощения звука в кристаллических твёрдых телах от амплитуды колебаний. Автор выдвинул гипотезу, что эта зависимость есть результат гистерезиса микропластической деформации и что нелинейность микропластической деформации может быть аппроксимирована степенной функцией.

Рид Т. [16, 17] впервые связал амплитудные зависимости внутреннего трения (АЗВТ) и дефект модуля упругости в цинке и меди непосредственно с движением дислокаций. Поскольку микропластическая деформация есть результат малого и, как правило, обратимого перемещения дислокаций, можно сказать, что эксперименты Т. Рида явились первым подтверждением гипотезы Н. Давиденкова. Кроме того, Т. Рид впервые экспериментально обнаружил пропорциональность между амплитудно-зависимым декрементом и дефектом модуля упругости. Это положение было развито далее в работах А. Новика [18]. Пропорциональность также следовала из теории Гранато - Люкке [19].

Наибольшее распространение получили теории АЗВТ, основанные на струнной модели дислокации Келера - Гранато - Люкке [19, 20]. В таких теориях дислокационный гистерезис формируется по механизму «отрыв-перезакрепление» в каждый из полупериодов колебаний от одних и тех же точечных стопоров. В других теориях АЗВТ дислокация преодолевает не один, а несколько рядов стопоров [21], а также поля внутренних напряжений [22]. По классификации Асано [23], теории первого типа называют теориями отрыва, а второго - теориями трения, поскольку торможение дислокаций в этих теориях можно ассоциировать с некоторой эффективной силой трения.

В динамике сложных механических систем, составные элементы которых взаимодействуют друг с другом силами различной природы, построение теоретических моделей крайне затруднительно. В таких случаях механическую систему рассматривают как «черный ящик» с известными из эксперимента значениями входных и выходных параметров. Взаимосвязи между этими параметрами устанавливаются на основе феноменологических моделей, параметры которых идентифицируются с использованием экспериментальных данных [24 - 26].

В этом направлении особое место занимают модели, которые строятся с использованием спектральных разложений по релейным нелинейно-стям. Такой подход был предложен в 1935 г. немецким физиком Ф. Прей-захом (Бегепе РгаБасИ) в работах по магнетизму [27 - 29], в которых процесс намагничивания рассматривается как статистический результат пере-магничивания отдельных элементарных областей (частиц). Считается, что каждая такая область может находиться только в состоянии насыщения с направлением намагниченности вдоль или против действия внешнего поля. Соответственно этому намагниченность каждой области описывается с помощью функций-переключателей, определяющих петлю гистерезиса в

виде прямоугольника. Важной составляющей модели Ф. Прейзаха является функция распределения частиц, с помощью которой определяются значения намагниченности в произвольном поле.

В настоящее время идеи Ф. Прейзаха превращены в строгий математический аппарат и развиваются в различных областях механики [28 - 31]. Однако для идентификации параметров таких моделей часто требуются сложные экспериментальные исследования и интерпретации полученных данных. Общим недостатком указанных моделей является также то, что они не позволяют получить простые аналитические представления или алгоритмы, позволяющие моделировать произвольные гис-терезисные петли при нестационарном движении.

В данной статье физическая связь между силовыми и кинематическими параметрами механических систем устанавливается с использованием обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, коэффициенты которого определяются по экспериментальным данным для объемлющего (предельного) цикла установившихся колебаний.

1. Модель гистерезиса

Как известно, для динамических систем с гистерезисом зависимости между силовыми и кинематическими параметрами имеют циклический характер. На диаграммах деформирования траектория каждого цикла имеет форму петли, которая образуется двумя кривыми, соответствующими процессам роста и убывания параметра внешнего воздействия (нагрузки). Начальная точка (точка «старта») цикла определяется предысторией нестационарного процесса. Она может находиться в любой точке пространства изменений исследуемых параметров. В условиях неустановившихся колебаний гистерезисные петли процесса могут значительно отличаться друг от друга как по форме, так и по относительному расположению. Поэтому аналитическое согласование гистерезисных кривых соседних циклов представляет собой непростую задачу. Такие математические модели часто оказываются не только сложными, но и весьма ограниченными для описания реальных процессов.

Однако опыты показывают, что для многих процессов кривые локальных гистерезисных циклов (ветви), соответствующие росту или убыванию параметра внешнего воздействия, подобны друг другу в асимптотическом смысле, т.е. асимптотически приближаются с изменением (увеличением или убыванием) параметра процесса к кривым объемлющего цикла, которые строятся по экспериментальным данным для максимально возможных или допустимых интервалов изменения параметров. Это свойство используется в настоящей работе для построения модели гистерезиса.

Предлагаемый подход заключается в использовании обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка в виде df (д)/dq = Я(д, /), устанавливающего зависимость между параметром нагрузки f и соответствующим кинематическим параметром д для каждой ветви диаграммы

269

деформирования. Правая часть этого уравнения ^(д, /) подбирается из класса функций, обеспечивающих асимптотическое приближение решения к кривым объемлющего цикла. В этом случае удаётся описать бесконечное множество подобных ветвей «нагрузки» или «разгрузки», имеющих разные точки «старта», но приближающиеся к соответствующим ветвям объемлющего цикла в зависимости от направления процесса.

В работе для описания гистерезиса при нестационарных колебаниях механической системы предлагается обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка в виде

d = ЕЕ сд*/]+,

¿=1 ]=1

где коэффициенты С7 определяются методами приближения, минимизируя

невязку аналитического представления Я(д, /) к множеству значений

\dfldq}, полученных из экспериментов для кривых объемлющего цикла.

Числа к и т подбираются в результате простых численных экспериментов.

Матрица С7] имеет два набора значений, соответствующих процессам

возрастания и убывания параметра д.

Будем считать, что в результате экспериментальных измерений получена последовательность т точек (дг, /), где г - текущий номер точки.

Для построения последовательности точек {дг ,(/^д)} можно воспользоваться конечно-разностным выражением (/ - /1_1)/(д1 - дг-1). Однако таким способом пользоваться нельзя, если экспериментальных точек мало или если измеряемые величины имеют сильный разброс своих значений. Предварительно можно получить аналитическую аппроксимацию /(д) по измеренным значениям, например, методом наименьших квадратов. Дифференцирование полученной зависимости даст искомую производную df ^д . Например, при использовании полиномиальной зависимости в виде

У-

Е сд-1

]=1

¿=1

минимизация функции невязки F = Е (Уг - / )2 приводит к системе п уравнений для определения С]

п

Е сjajp=ъ

р = 1,..., п.

7=1

где

а

]р

=Е д,

]+Р-2

ър = Е /др-1, причём если ] > р

то

¿=1

а], р = а

] -1, р+1 ... ар+1,7-1

= а.

р , ]

Тогда из (2) следует df|dq = X (у - ^С^7-2, где С7 определяются

7=2

из решения системы (3). Отсюда, полагая q = ql, где I = 1,...,т, приходим к искомому множеству точек ,(df |dq)l} .

Далее символом f' будем обозначать величину (^/dq)i. Множество этих величин может быть получено вышеописанным способом.

В соответствии с методом наименьших квадратов построим функцию невязки в виде

Р = У

I=1

где

к т

уг = Я^, ) = XI СдТУ/-1;

1=1 7=1

п - число экспериментальных точек.

Минимизация (4) приводит к системе алгебраических уравнений относительно величин С7

УУСм = Ь ,

17 l7pq pq 5 V /

I=1 7=1

с коэффициентами

7 = УХР-2Я+<?-2, Ьрч = ¿qГ1fq-1f'; р = 1,...,к; q = 1,...,т .

1=1 1=1

Систему (5) можно также свести к обычной форме записи системы линейных алгебраических уравнений. Для этого введем вектор неизвестных х с элементами

Хк

и вектор правых частей г с элементами

^к

,=1

Тогда вместо (5) получим

Бх = г,

где элементы квадратной матрицы В имеют вид

dk

,=1

После определения С77 из (8) с учетом обозначений (6), (7) и (9) правая часть дифференциального уравнения (1) сформирована, и его можно интегрировать любым численным методом с начальной точкой ( Я0 ) внутри области предельного цикла.

Уравнение (1) должно быть введено в общую систему уравнений, описывающих движение механической системы. В этой связи использование кинематического уравнения в виде (1), где в левой части имеется производная по обобщенной координате q, вряд ли удобно. Более рациональной формой будет запись с учётом связи df/dq = (df jdt)•(dt/dq), где t -параметр времени, которая позволяет переписать (1) в виде

f=f • § § qqv".

Знак dq/dt определяет направление движения по траектории гистерезиса

(процессы «нагрузки» и «разгрузки»).

Полная система разрешающих уравнений, включающая (10), является существенно нелинейной. Она может быть решена лишь с использованием различных методов дискретизации по пространственным координатам и времени.

2. Гистерезис гасителя низкочастотных колебаний

В качестве примера использования предложенного подхода рассмотрим вынужденные низкочастотные колебания гасителя маятникового типа, описанного в [1].

При построении математической модели гистерезиса использовались данные, полученные в результате экспериментальных исследований гасителей низкочастотных колебаний маятникового типа [26, 34, 35].

В общем случае, константы C tj для ветвей «нагрузки» и «разгрузки»

отличаются. Вычисляются они, следуя вышеизложенной методике, с использованием экспериментальных данных для прямого и обратного процессов объемлющего цикла. Будем обозначать их соответственно как Cj и

C-. Выбор между ними осуществляется по правилу C l} = C+, если

w= djdt > 0; C ц = Cj}, если w < 0. Тогда (10) можно записать в виде

^ = § § [

dt 2 l=1 j=1

В рассматриваемом и многих других случаях можно считать, что прямой и обратный процессы протекают одинаково, т.е. отличаются лишь направлением изменения параметра внешнего воздействия. В этом случае кривые объемлющего цикла симметричны относительно начала координат. На диаграмме произвольной точке k с координатами (qk, fk) кривой прямого процесса отвечает точка к с координатами (-qk, - fk) кривой обратного процесса и наоборот.

Следовательно, обратный процесс описывается уравнением прямого процесса

ИМ к т

Ф=ИсГМ-1

Иф 1=17=1 7

с переменными ф = -ф, М = -М . Обратный переход к ф и М вместо (12) даёт

НАЛ к т

Шг=X 1С

Иф 1=17=1 7

Уравнения прямого (10) и обратного (13) процессов можно объединить и записать аналогично (11) в виде

= Т XX[1 + ^ + 0-аЧР)

Ш 2 г=1 7=1 |-

Для рассматриваемой задачи в результате численных экспериментов были найдены т = 2 и к = 6. Для этих значений процедура минимизации невязки к экспериментальным точкам дала следующие значения коэффициентов: С11 = 650,9; С21 = 1422,2; С31 = 10,027; С41 = 1,088; С51 = 0,103; С61 = 0,015; С12 =-23,9; С22 =-4,1; С32 = -2,0; С42 = -0,35; С52 = 143,2; С62 = 419,8.

3. Результаты моделирования

Ниже представлены результаты расчётов эффективности энергорассеяния двух вариантов гасителя, схематично изображенных на рис. 1 и обозначенных латинскими буквами I и О.

Рис. 1. Конструктивные варианты гасителя маятникового типа

По характеру их работы вариант I был назван инерционным, О -гравитационным. Для варианта I расстояния между осью вращения и центрами масс грузов 11 = 0,6 м, /2 = 0,4 м; массы грузов т1 = 5 кг, т2 = 7 кг.

273

Для варианта О расстояние ,3 = ,1 = 0,6 м; масса т3 = т1 + т2 = 12 кг . Масса и момент инерции ведомого диска принимались соответственно т0 = 1,15 кг и 10 = 0,004 кг  м2.

На рис. 2 показаны результаты сравнительного анализа эффективности энергорассеяния гасителей I и О при внешнем гармоническом воздействии на ведущий диск с амплитудой Ф = 0.3 рад и частотой с= 0.2 Гц. Траектории зависимостей момента М от угла поворота ведомого диска ф внутри обрасти, ограниченной кривыми объемлющего цикла, показаны на графиках 1-1 и О-1. В увеличенном масштабе эти же зависимости отражены ниже на графиках 1-2 и О-2. Последняя строка с графиками 1-3 и О-3 показывает зависимости <).

20 40 60 80 100 1, с 20 40 60 80 100 с

Рис. 2. Результаты сравнительного анализа двух вариантов гасителя при Ф= 0.3 рад, со= 0.2 Гц

274

Зависимости мощности диссипации энергии Ж от времени ? при гармонических колебаниях ведущего диска с частотами ( = 0.2,0.4 Гц и амплитудой Ф = 0.2 рад показаны на рис. 3. Как видно, с течением времени графики приближаются к соответствующим горизонтальным асимптотам, соответствующим установившимся колебаниям.

IV, Вт Вт

1.2

0.8

0.4

а) Ф = 0.2рад, со- 0.2Ги

; ;

Ы.........1........1.........

-----

V : :

0.8 0.6 0.4 0.2

б) Ф = 0.2рад, й> = = 0.4 Гц

Vе

\Л : --- 1 ----:-

0 20 40 60 80 100 с 0 20 40 60 80 100 с

Рис. 3. Зависимости мощности диссипации энергии от времени с различными частотами и заданной амплитудой гармонических

колебаний ведущего диска

Следуя этому алгоритму, были получены зависимости мощности диссипации энергии Ж при квазистатическом увеличении частоты ю гармонических колебаний ведущего диска. Примеры Ж ((), соответствующие амплитудам 0,2 и 0,3 рад при изменении частоты в интервале от 0 до 0,8 Гц, показаны на рис. 4.

Ж, Вт IV, Вт

2.5

0.8 0.6 0.4 0.2

Ф: = 0.2 рад

....... С I у

2 1.5 1

0.5

ф = = 0.3рад._1______1_____]_______

\

} \

1У

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 щ Гц 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 <у, Гц

Рис. 4. Зависимости мощности диссипации энергии от частоты при двух значениях амплитуды колебаний ведущего диска

Из последних графиков видно, что в диапазоне частот от 0,1 до 0,5 Гц гравитационный гаситель эффективнее инерционного. Именно в этом диапазоне частот происходит галопирование проводов ЛЭП («пля-

ска») - низкочастотные нестационарные изгибно-крутильные колебания большой амплитуды, приводящие, как правило, к серьезным повреждениям линий электропередачи.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского научного фонда: код проекта № 14-19-01653.

Заключение

В работе предложена математическая модель для описания гистерезиса различных физических зависимостей, в том числе диаграмм деформирования при нестационарных колебаниях механических систем. В качестве определяющего соотношения предложено использовать обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка со специальной правой частью, обеспечивающей асимптотическое приближение искомой зависимости к гистерезисным кривым объемлющего цикла, известным из экспериментов. Коэффициенты в правой части определяются методами приближения, минимизируя невязку аналитического представления к множеству значений, полученных в экспериментах.

Разработанный подход может быть использован при решении различных задач о нестационарных колебаниях различных конструкций и механизмов с гистерезисным характером рассеяния энергии. Подход может оказаться полезным и при решении иных задач механики, в том числе об упругопластическом циклическом деформировании различных материалов и конструкций.

Список литературы

1. Моделирование гистерезиса энергорассеяния на примере колебаний гасителя пляски проводов ЛЭП / А.Н. Данилин, Н.Н. Курдюмов, С.С. Тарасов, А.Д. Шалашилин // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2014. Вып. 6. С. 110-118.

2. Bertotti G. Hysteresis in Magnetism: for Physicists, Materials Scientists and Engineers (Ch. 2). Elsevier, Academic Press, 1998.

3. Rieger M.O. Young measure solutions for nonconvex elastodynamics // SIAM J. Math. Anal., 2003, 34 (6). P. 1380 - 1398.

4. Rieger M.O. A model for hysteresis in mechanics using local mini-mizers of Young measures // Progress in Nonlinear Differential Equations and Their Applications. 2005. 63. P. 403 - 414.

5. Mielke A. Analysis of energetic models for rate-independent materials / Proc. of the International Congress of Mathematicians (Beijing, 2002). III. 2002. P. 817 - 828.

6. Mielke A., Roubicek T. A rate-independent model for inelastic behavior of shape-memory alloys // Multiscale Model. Simul. 2003. 1 (4). P. 571 -597.

7. Mishustin I.V., Movchan A.A. Modeling of phase and structural transformations occurring in shape memory alloys under nonmonotonically varying stresses // Mechanics of Solid. 2014. 49 (1). P. 27 - 39.

8. Mishustin I.V., Movchan A.A. Analog of the plastic flow theory for describing martensitic inelastic strains in shape memory alloys // Mechanics of Solid. 2015. 50 (2). P. 176 - 190.

9. The investigation on the nonlinearity of plasticine-like magnetorheo-logical material under oscillatory shear rheometry / X. Gong, Ya. Xu, S. Xuan, C. Guo, L. Zong // J. Rheology, 2012, 56 (6). P. 1375 - 1391.

10. Large amplitude oscillatory shear rheology for nonlinear viscoelas-ticity in hectorite suspensions containing poly(ethylene glycol) / Z. Tong, W.X. Sun, Y.R. Yang, T. Wang, XX. Liu, C.Y. Wang // Polymer. 2011. 52 (6). P.1402-1409.

11. Кинематическая модель реологического поведения неньютоновских жидкостей в условиях нестационарного циклического нагружения / А.Н. Данилин, Ю.Г. Яновский, Н.А. Семёнов, А.Д. Шалашилин // Механика композиционных материалов и конструкций. 2012. Т.18. № 3. С. 369 -383.

12. Meyers M.A., Chawla K.K. Mechanical behavior of materials. Cambridge University Press, 2009.

13. Reiner M. Rheology. Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer-Verlag OHG, 1958.

14. Пановко Я.Г. Внутреннее трение при колебаниях упругих систем. М.: Физматгиз, 1960. 193 с.

15. Давиденков Н.Н. О рассеянии энергии при вибрациях // Журнал техн. физики. 1938. Т. 8. № 6. С. 15 - 21.

16. Read T.A. The internal friction of single metal crystals // Phys. Rev. 1940. 58 (4). P. 371 - 380.

17. Read T.A. Internal friction of single crystals of copper and zinc // Trans. AIME. 1941. 143. P. 30 - 44.

18. Nowick A.S. Variation of amplitude-dependent internal friction in single crystals of copper with frequency and temperature // Phys. Rev. 1950. 80. P. 249 - 257.

19. Granato A., Lücke K. Theory of mechanical damping due to dislocations // J. Appl. Phys. 1956. 27. P. 583 - 593.

20. Imperfections in Nearly Perfect Crystals. Ed. by Shockley W., Hol-lomon J.H., Mauerer R., Seitz F. N.Y.: John Wiley & Sons, Inc.; London: Chapman & Hall, Limited, 1952.

21. Ishii K. Modulus change associated with amplitude-dependent internal friction in crystals // J. Phys. Soc. Japan. 1983. 52 (1). P. 141 - 148.

22. Lazan B.J. Damping of Materials and Members in Structural Mechanics. Oxford: Pergamon Press, 1968.

23. Asano S. Theory of nonlinear damping due to dislocation hysteresis // J. Phys. Soc. Japan. 1970. 29 (4). P. 952 - 963.

24. Visintin A. Differential Models of hysteresis (Applied Mathematical Sciences). Berlin: Springer, 1995.

25. Nova I., Zemanek I. Änalytical model with flexible parameters for dynamic hysteresis loops modeling // J. Electrical Engineering. 2010. 61 (7). P. 46 - 49.

26. Данилин А.Н., Захаров А.П. Подход к описанию гистерезиса с использованием данных серии типовых экспериментов на примере гасителя пляски проводов // Механика композиционных материалов и конструкций. 2008. Т.14. № 4. С. 604 - 622.

27. Preisach F. Über die magnetische Nachwirkung // Zeitschrift für Physik. 1935. P. 277 - 302.

28. Lane Preisach modeling of magnetization changes in steel / S.F.H. Parker, C.A. Faunce, P.J. Grundy, M.G. Maylin, J.L.C. Ludlow, R. // J. Magn. and Magn. Mat. 1995. 145. P. 51-56.

29. Torre E.D. A Preisach model for accommodation // IEEE Trans. Magn., 1994. 30 (5). P. 2701 - 2707.

30. Smith R. Smart material systems: model development - Philadelphia: SIAM, 2005.

31. Leenen R. The Modeling and Identification of a Hysteretic System. The Wire-Rope as a Nonlinear Shock Vibration Isolator - Dept. Mechanical Engineering, Eindhoven University of Technology, DCT 2002.72, 2002.

32. Rosensweig R.E. Ferrohydrodynamics. London: Univ. Press, Cambridge 1985; republished by Dover. Publ. Inc., New York, 1997.

33. Magnetic Fluids and Applications Handbook / ed. by Berkovski B. and Bashtovoy V. Wallingford: Begell House, 1996.

34. Vinogradov A.A., Lilien J.-L. Damper for Galloping Conductors for Overhead Power Transmission Lines. Patent Appl. No PCT/RU2005/000302. Filed 25.05.2004.

35. Vinogradov A.A., Danilin A.N., Sergey I.I. Control of Galloping on High Voltage Overhead Electrical Lines. Final Report. Grant INTAS No 03-513736. Project coordinator: Prof. Dr. Jean-Louis Lilien. Moscow-Almaty-Minsk, 2007.

Данилин Александр Николаевич, д-р физ.-мат. наук, гл. науч. сотр., проф., an-danilin@yandex. ru, Россия, Москва, Институт прикладной механики РАН

ON THE DAMPING OF MECHANICAL SYSTEMS VIBRATIONS

WITH HYSTERESIS

A.N. Danilin