О некоторых свойствах оптимального управления пространственным движением материальной точки в однородном центральном поле тяготения

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Томі 1970

№ 5

УДК 521.1

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ОПТИМАЛЬНОГО УПРАВЛЕНИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫМ ДВИЖЕНИЕМ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ В ОДНОРОДНОМ ЦЕНТРАЛЬНОМ ПОЛЕ ТЯГОТЕНИЯ

Г. Е. Кузмак

Рассматривается задача об оптимальном управлении материальной точкой при движении ее в пустоте в тонком сферическом слое центрального поля тяготения. Исследование основывается на приближенных уравнениях движения, записанных в векторной форме. Такая форма записи позволяет получить ряд новых общих свойств оптимального управления при непосредственном рассмотрении функционала и граничных условий.

Получено правило для определения ориентации неизменной в пространстве плоскости, которой при оптимальном управлении параллелен вектор тяги, и показано, что задача оптимизации пространственной траектории всегда сводится к плоской задаче оптимизации ее проекции на эту плоскость.

Рассмотрен класс задач, в которых при оптимальном управлении вектор тяги параллелен некоторому неизменному в пространстве направлению. •

Вопросам оптимального управления материальной точкой в пустоте в центральном поле тяготения посвящено большое число работ. Основные конструктивные результаты получены в них для задачи о межпланетных перелетах. В значительной степени это Связано с возможностью использовать импульсные схемы.

В течение последнего времени возрос интерес к задачам оптимального маневрирования в окрестности планеты при угловых дальностях, не превышающих тс/2. Именно при таких условиях происходит выведение на орбиту и спуск космических и орбитальных летательных аппаратов. Для этого класса задач импульсные схемы обычно неприменимы, что усложняет задачу синтеза оптимального управления. В то же время при угловых дальностях порядка радиана необходимо учитывать влияние центральности поля тяготения, и большое количество конструктивных результатов, полученных ранее [1, 2] для плоскопараллельного поля тяготения, нуждается в уточнении. Исследования оптимизации траекторий выведения с учетом центральности поля тяготения проводились ранее, как правило; с помощью численных методов [1, 2]

для фиксированных граничных условий. В настоящее время состояние этой проблемы таково: достаточно хорошо изучены возможные типы оптимального управления как величиной, так и направлением тяги [1—5] и указаны с точностью до произвольных постоянных оптимальные законы изменения величины и направления тяги. Однако установление связи между оптимальным законом управления и граничными условиями в каждом конкретном случае требует специального исследования. В настоящее время нет регулярных методов, позволяющих эффективно проводить такие исследования. Поэтому большой интерес по-прежнему представляет доведение этой задачи до конца, особенно в связи с увеличением маневренности летательных аппаратов и необходимостью создания систем управления траекториями, обеспечивающих возвращение из произвольного возмущенного состояния в номинальное по оптимальной траектории.

Целью настоящей работы является решение ряда задач синтеза оптимального управления в рамках модели однородного центрального поля [4]. Исследование основывается на детальном рассмотрении свойств решения для радиус-вектора, записанного в интегральной форме. Как оказалось, такой подход позволил установить ряд новых свойств оптимального управления с помощью геометрических приемов [6]. Показано, что оптимальное управление пространственным движением в однородном центральном поле всегда сводится к задаче об оптимальном управлении плоским движением, и установлено простое правило, позволяющее всегда сформулировать соответствующую плоскую задачу.

Рассмотрен класс задач, в которых вектор управляющего ускорения при оптимальном управлении параллелен некоторому фиксированному в пространстве направлению. Для двух задач из этого класса детально исследована структура оптимального управления. Полученные результаты справедливы при произвольных законах регулирования величины тяги и могут быть использованы для создания систем управления, обеспечивающих выполнение заданных граничных условий при случайных возмущениях в величине тяги.

1. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ

Рассматривается задача об оптимальном управлении материальной точкой при движении ее в пустоте в тонком сферическом слое ньютоновского поля тяготения. Толщина слоя Дгт предполагается малой по сравнению со средним радиусом слоя гср. Векторное уравнение движения в декартовой системе координат Охуг, начало которой располагается в центре притяжения, имеет вид

сРг , г Р

-3?+йМт = -- О)

а

Здесь g(r)=-yi--ускорение СИЛЫ тяжести, (л. — постоянная тяготе-

ния планеты, Р—вектор тяги, т — масса, г — радиус-вектор точки, г — его модуль, ¿ — время.

В силу малой толщины слоя величина ускорения силы тяжести близка к постоянной величине g{rcp), а зависимость ускорения силы тяжести от г может быть заменена произвольной малоизменяю-щейся внутри сферического слоя функцией от г. Существенное

упрощение уравнения (1) получается в случае, когда зависимость £ (г) аппроксимируется следующим образом:

S

g{r)^g{r )

г.

ср

ср

При условии (2) уравнение (1) может быть переписано в виде

іі2 г

v2 г = а (¿),

где

V,

ср

кр

'ср

V =

v Кр

V

круговая скорость для сред-

ср

ней точки слоя, а(() = —.

' ’ т

В указанной постановке задача об оптимальном управлении точкой переменной массы с помощью тяги, величина которой не превосходит постоянного значения, рассматривалась в работе [4] с помощью принципа максимума Л. С. Понтрягина. Там в силу указанных выше допущений рассматриваемое центральное поле тяжести было названо „однородным“. В результате детального исследования общего решения сопряженной системы уравнений были выяснены основные качественные особенности оптимального управления для случая плоского движения. Позднее аналогичный анализ был выполнен для случая пространственного движения [5].

Выпишем выражения для г и его производной — вектора скорости V:

г

V

Здесь

г

V "

t

V(t) = V0 (t) + j a (?) eos v (t - i) d\.

r0 (í) = r00 eos vi -f ^ sin vt; V0 (t) — V0o eos VÍ — vr00 sin vt.

Через r00 и l/00 обозначены значения радиус-вектора и вектора скорости при t = 0. Функции (5) описывают свободное движение в однородном центральном поле. .

Запишем равенства (4) для конечного момента времени t=T в следующем виде: г

[a(£)sin v(7’ — I)d^ = ')Ar(Ty,

°т <6)

ja(É)cosv(T —5)«8 = ДУ(Г),

' О ,

где

Д 7(Т) = Г(Т)-?0(Т); }

AV(T)=V(T)-V0(T). }

Входящие в эти равенства векторы Дг(Т) и AV(T) представляют собой прогнозируемые значения промаха по радиус-вектору и вектору скорости, или, другими словами, невязки в граничных условиях, которые должны быть выбраны путем рационального

определения закона изменения управляющего ускорения a(t). Граничным условиям (6) можно удовлетворить с помощью достаточно

широкого класса зависимостей a(t). Для того чтобы сделать задачу

определенной, потребуем, чтобы зависимость a(t), удовлетворяя

условиям (6) и ограничениям, налагаемым на a{t) = \a(t)\, одновременно минимизировала интеграл

т

I=\a{t)dl

Ô

Решение этой вариационной задачи для различных случаев

7Г

будет проведено при При околокруговых скоростях

движения это условие ограничивает угловую дальность перелета четвертью оборота. При больших угловых дальностях приближенное уравнение (3) может оказаться недостаточно точным.

2. СВЕДЕНИЕ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЗАДАЧИ К ПЛОСКОЙ. ОРИЕНТАЦИЯ ПЛОСКОСТИ УПРАВЛЕНИЯ

Свяжем с материальной точкой систему координат O'x'y'z'. Оси ее параллельны осям системы Oxyz, в которой рассматривается движение, а начало О' совпадает с движущейся точкой (фиг. 1).

Предположим, что векторы Дr(t) и \V(T) известны и что они не коллинеарны. Отложим из начала системы координат O'x'y'z'

векторы Д г(Т) и Д V(T) и проведем через них плоскость. Обозначим эту плоскость буквой Ù.

Докажем, что при оптимальном управлении, минимизирующем интеграл / и обеспечивающем выполнение граничных условий (6) и ограничений, налагаемых на a(t), вектор управляющего ускорения a(t) при 0<г< Г располагается в плоскости U.

Введем в рассмотрение вектор v(t) с помощью формулы

du /и.\ /г\\

-¡t-Mt).

Будем откладывать вектор v(t) из начала системы координат O'x’y'z'. В процессе движения конец этого вектора опишет некоторую, вообще говоря, пространственную кривую Г — годограф вектора. Очевидно, что длина этой кривой [см. (8) и (9)] равняется /. Каждая кривая Г определяет закон изменения управляющего ускорения а (t). Будем далее рассматривать только такие кривые Г, для которых выполняются условия (6), и налагаемое на a(t) ограничение,

которое ограничивает скорость движения конца вектора по кривой Г. Ясно, что решение рассматриваемой вариационной задачи определяется той из этих кривых, которая имеет наименьшую длину. Обозначим через Гу проекцию кривой Г на плоскость и. Если для кривой Г выполняются условия (6), то они также выполняются И ДЛЯ ее проекции Гу. Для того чтобы в этом убедиться, достаточно векторные равенства (6) спроектировать на плоскость и

и учесть то, что компонента вектора а (¿) по нормали к плоскости и никак не влияет на выполнение условий (6).

Точно так же обстоит дело и с ограничениями, налагаемыми на

величину вектора а(£). Ясно, что длина кривой всегда не превышает длины кривой Г. Поэтому минимальное значение / достигается среди плоских кривых, расположенных в плоскости и. Таким образом, доказано, что при оптимальном пространственном

движении вектор а{Ь) расположен в плоскости, сохраняющей свою ориентацию в пространстве

и проходящей через векторы Дг

и Д V{Т). В работе [5] такая плоскость была названа „плоскостью управления“. Там существование плоскости управления было установлено в результате анализа сопряженной системы уравнений.

Изложенный же выше метод обладает тем преимуществом, что позволяет непосредственно связать ориентацию плоскости управления с граничными условиями, чего в работе [5] сделано не было.

Метод доказательства с использованием годографа вектора ю(Ь) применялся ранее В. М. Шурыгиным [6] для определения оптимального управления при плоском движении в однородном плоскопараллельном поле тяготения.

При известной ориентации плоскости управления задача об оптимальном управлении пространственным движением сводится к плоской задаче. Для этого ориентацию системы координат Охуг следует выбрать таким образом, чтобы плоскость Оху была параллельна плоскости управления. При такой ориентации системы координат проекция траектории на плоскость Оху должна по-прежнему удовлетворять ограничениям, налагаемым на а(^), граничным условиям (6), где все входящие в эти условия векторы являются двумерными, и минимизировать интеграл I. Таким образом, задача построения оптимальной пространственной траектории всегда сводится к оптимизации ее проекции на плоскость Оху, параллельную плоскости управления.

Остановимся, далее, на случае, когда векторы Дг

зависят от некоторых неопределенных параметров, которые будем обозначать через х,, . . . , хп\

д7(Г) - д7(Т, Х1; . . . , т„);

Д V(T, т„ . . . , т„).

Неопределенность в определении векторов Дг(7’) и Д1/(7') может появиться вследствие того, что в конечный момент не задаются некоторые из компонентов радиус-вектора и вектора скорости. Момент времени Т также может быть не задан. В этом случае ориентация плоскости управления известным образом зависит от параметров т,, тл и Т. Указанная выше плоская вариационная задача оказывается в этом случае задачей с параметрами,

которые входят в правые части равенств (6). После того как она решена и параметры определены, плоскость управления может быть построена так же, как и ранее. Таким образом, отличие этого случая от предыдущего состоит лишь в том, что ориентация плоскости управления окончательно определяется не до решения плоской задачи, а после.

В заключение остановимся на

случае, когда либо векторы Дг

и Д V(T) коллинеарны, либо принимается во внимание лишь одно из граничных условий (6). Также, как и ранее, свяжем с движущейся точкой систему координат O'x'y'z', начало которой совпадает с этой точкой, а оси параллельны осям системы Oxyz. Проведем через начало координат этой системы прямую U параллельно

обоим векторам — &г(Т) и Д1/(Г) — в случае, если они коллинеарны, или одному из них — тому, который принимался во внимание при задании граничных условий (фиг. 2).

Докажем, что в рассматриваемом случае при оптимальном

управлении вектор a{t) при располагается на прямой U.

В процессе движения возможны лишь изменения ориентации этого вектора на противоположное.

граф v (t) [cm. (9)]. Длина этого годографа, равная /, должна быть минимальна. Рассуждая так же, как и выше, нетрудно установить, что минимальное значение / достигается в случаях, когда годограф v состоит из отрезков, совпадающих с прямой U, причем на отдельных участках прямой U эти отрезки могут совпадать. В последнем случае конец вектора v может проходить вдоль кривой U сначала в одном, а затем в противоположном направлении. При

наличии у годографа vit) слившихся отрезков в процессе опти-

мального управления происходят мгновенные изменения ориентации a(t) на л.

Таким образом, доказано, что в случае, когда граничные условия определяют лишь одно фиксированное направление U в пространстве, оптимальное управление является одномерным. По аналогии с плоскостью управления прямую U можно назвать „прямой управления“.

3. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРИ ЗАДАНИИ В КОНЕЧНЫЙ МОМЕНТ РАДИУС-ВЕКТОРА

Рассмотрим задачу, в которой при t=T задан вектор г{Т)у

а вектор V(Т) произволен. В этой задаче вектор a(t) должен удовлетворять условиям

т

[a

b

где величина amax(t) дана, и минимизировать интеграл / [см. (8)]. В соответствии со сказанным в разд. 2 вектор a(t) при оптимальном управлении параллелен вектору Дг(Т). Из равенства (11) видно,

тс

что при когда sin v (T — I) > 0, направление a(t) должно

совпадать с направлением &г(Т). Изменения направления a(t) на противоположное могут только привести к увеличению I. Далее из рассмотрения равенств (11) и (9) следует, что минимальное значение / будет в том случае, если активный участок один, длина его минимальна и он соответствует тем значениям £, при которых величины sinv(7’ — ?) в равенстве (11) наибольшие. Это будет в том случае, если a(t) принимает граничное значение и активный участок примыкает к началу траектории. Если активный участок располагается в интервале то условие (11) с учетом того, что

a{t) — #max (t) и вектор a(t) направлен по вектору Дг(7'), записывается в виде

tк

j Яшах

о

где tK — момент выключения двигателя. Так как этот результат справедлив при произвольных вариациях в величине управляющего ускорения, то его можно использовать в системе управления в качестве условия, определяющего момент выключения двигателя. Отметим еще одну форму равенства (12):

sin vT./c

где

(^k)— j йщах (?) COS yídí] 0 ,

4(¿k)= j amax(£) sin Ædc.

Эта форма более удобна в тех случаях, когда Т варьируется. Рассмотрим далее случай, когда атах(0 = СОП81;- С учетом того,

ЧТО V:

у и gcp = -у-, равенство (12) нетрудно привести

' ^"ср ~

' ср

к следующей форме:

Ьг(Т)!гср Япіах/Яі

ср

Через Дздесь обозначена продолжительность активного

Дг (Т)/гср

участка, в данном случае равная /к- Зависимость от ------------------------

^гаах/^ср

построена на фиг. 3 для различных значений v7,. Видно, что с уве-

т>Г=2

Фиг. 3

Ьг(Т)1гср

личением -------:---- продолжительность активного участка увели-

Ятах/£ср

чивается до тех пор, пока он не становится равным Т. Этот момент

ЩТ)/гс

определяет максимальные значения ----------г~~Р’ ПРИ которых решение

Ятах/ё’ср

существует. В соответствии со сказанным равенство (15) позволяет записать условие существования в виде

Ятах/^ср 2 4 '

4. ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПРИ ЗАДАНИИ В КОНЕЧНЫЙ МОМЕНТ ВЕКТОРА СКОРОСТИ

Рассмотрим далее задачу, когда в конечный момент задан вектор У(Т), а вектор г(Г) прбизволен. В этом случае вектор а(^) должен удовлетворять условиям г

а

о

и минимизировать I. В соответствии с выводами разд. 2 в данной задаче вектор а{Ь) параллелен вектору Д1/(Г).

7С

Из равенства (17) и (8) следует, что при направле-

ние a(t) совпадает с направлением Д 1/(7), активный участок один и он соответствует наибольшим значениям cosv(7 — Е), т. е. в отличие от предыдущей задачи активный участок располагается в конце траектории, величина же а (¿) = атах (/)• Таким образом,

граничное условие (17) может быть переписано в виде т

Jamu

где tK — момент включения двигателя. Это равенство можно рассматривать как условие для момента окончания работы двигателя после того, как будет достигнуто нужное значение Д1/(7). Важным является то, что этот результат справедлив при произвольных вариациях в величине

Остановимся на случае amax(0 = const. После вычисления интеграла равенство (18) может быть записано в виде

W(T)IVкр

sin =----------;---,

amax/gcp

где Дt& = T — t„ — продолжительность активного участка.

Очевидно, что должно быть меньше Т. Основываясь на этом, условие существования решения можно записать в виде

W(T)IVKp

<Jmax/gcp

С sin v7.

Формулы, полученные в разд. 3 и 4, при малых значениях чТ переходят в формулы, полученные ранее [1, 2, 6] для случая плоскопараллельного поля тяготения.

ЛИТЕРАТУРА

1. Исследование оптимальных режимов движения ракет. Сб. статей. М., Оборонгиз, 1959.

2. Методы оптимизации с приложениями к механике космического полета. Сб. статей. М., „Наука“, 1965.

3. Охоцимский Д. Е., Энеев Т. М. Некоторые вариационные задачи, связанные с запуском искусственного спутника Земли. .Успехи физ. наук“, т. XIII, вып. 1а, 1958.

4. Кузмак Г. Е , Исаев В. К., Давидсон Б. X. Оптимальные режимы движения точки переменной массы в однородном центральном поле. ДАН СССР, т. 149, № 1, 1963.

5. И с а е в В. К., Давидсон Б. X. Об одном свойстве оптимальной программы ориентации реактивной силы при пространственном движении точки переменной массы в'центральном гравитационном поле. Труды III чтений памяти К. Э. Циолковского. Секция механики полета. ВИНИТИ, 1970.

6. Шурыгин В. М. Метод годографа скорости и некоторые задачи движения в пустоте точки переменной массы. Труды ЦАГИ, вып. 802, 1960.

Рукопись поступила 9jX 1969 г.