Влияние частоты дискретизации на устойчивость цифровой системы автоматического регулирования тока с широтно-импульсным преобразователем

ВЛИЯНИЕ ЧАСТОТЫ ДИСКРЕТИЗАЦИИ НА УСТОЙЧИВОСТЬ ЦИФРОВОЙ СИСТЕМЫ АВТОМАТИЧЕСКОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ ТОКА С ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНЫМ

ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЕМ

В.А. Толмачев, Д.В. Осипов

Системы автоматического регулирования (САР) с широтно-импульсными преобразователями (ШИП) постоянного напряжения находят широкое применение в современной преобразовательной технике. Одной из перспективных областей применения САР с ШИП являются источники тока для нестационарного электролиза. Непрерывное повышение требований к статическим и динамическим характеристикам таких источников ставит перед теорией САР новые, все усложняющиеся задачи. К ним в первую очередь относятся задачи синтеза и анализа САР.

Основной задачей синтеза САР тока для нестационарного электролиза является обеспечение в нагрузке импульсов тока требуемой формы. При этом выбор конкретной структуры САР и значений ее параметров связан с решением ряда задач анализа САР, в частности, с задачей анализа ее устойчивости. Эта задача сводится к определению в пространстве параметров САР границ областей, в которых обеспечивается нормальный режим ее работы. Нормальным для САР с ШИП является режим установившихся в ней колебаний с периодом, равным периоду коммутации силовых ключей (СК) ШИП.

При эксплуатации САР или ее настройке возможны как незначительные, так и значительные изменения ее параметров, которые могут привести к нарушению ее устойчивости. В результате нарушения устойчивости в САР возникают так называемые особые (ненормальные) режимы ее работы с периодом колебаний, не равным периоду коммутации СК. Характерными для САР с ШИП особыми режимами работы являются скользящий режим и режим автоколебаний на субгармонических частотах [1, 2].

Современный этап развития преобразовательной техники характеризуется широким внедрением в информационные каналы САР микроконтроллеров (МК), реализующих цифровые алгоритмы управления. Существующие в настоящее время МК объединяют на одном кристалле практически все устройства сопряжения с объектами регулирования, а именно аналого-цифровые преобразователи (АЦП) и широтно-импульсные модуляторы (ШИМ), необходимые для построения замкнутых САР с ШИП [3]. Аналогичная ситуация складывается и при построении энергетических каналов САР. Современные силовые модули ШИП включает в себя, помимо СК, также формирователи импульсов (ФИ), необходимых для управления СК, и различные датчики для организации обратных связей и реализации функций защиты СК [4]. Здесь также необходимо отметить, что построение САР с ШИП на основе МК позволяет исключить скользящий режим ее работы. Но при этом актуальным остается вопрос об устойчивости такой САР к автоколебаниям на субгармонических частотах.

Объектом исследования в данной работе является цифровая одномодульная САР тока, структурная схема которой приведена на рис. 1. САР содержит ШИП и МК. ШИП состоит из ФИ и силового каскада мостового типа на четырех СК (СК1 - СК4) с напряжением питания и на входной диагонали. В выходную диагональ каскада включен датчик тока (ДТ) с коэффициентом передачи Кдт, сглаживающий дроссель с

индуктивностью Ь, и резистивный элемент с сопротивлением Я, учитывающий активные сопротивления ДТ, нагрузки, обмотки дросселя, внутреннее сопротивление источника напряжения питания силового каскада, а также дифференциальные сопротивления открытых СК.

Рис. 1. Структурная схема цифровой САР

МК включает в себя АЦП1, АЦП2, регулятор тока (РТ) и ШИМ первого рода (ШИМ1). АЦП1 преобразует с некоторой частотой дискретизации /д непрерывный

сигнал задания из тока нагрузки ¡() в дискретный сигнал из (кТд), где Тд = 1/ /д -период дискретизации, к = 0, да . АЦП2 синхронно с АЦП1 преобразует непрерывный сигнал ДТ идт (() = Кдт/'() в дискретный сигнал ДТ идт (кТд). РТ преобразует сигнал ошибки е(кТд )= из (кТд )- идт (кТд ) в сигнал управления иу (кТд ) согласно цифровому

пропорционально-интегральному (ПИ) алгоритму управления, заданному следующими разностными уравнениями [5]:

иу

где ип (кТд) и ии (кТд) - пропорциональная и интегральная составляющие сигнала

управления иу (кТд); Кп и Ки - коэффициенты передачи пропорционального и

интегрального каналов РТ, соответственно.

На выходе ШИМ 1 формируется маломощный сигнал иш (^) в виде однополярных импульсов с амплитудой, равной напряжению питания МК имк (обычно +5В), частотой следования, равной частоте коммутации СК /к, и длительностью пауз между ними, пропорциональной значениям сигнала управления иу (кТд). При этом осуществляется

модуляция как фронтов, так и срезов этих импульсов (двухстороння модуляция). ФИ преобразует выходной сигнал ШИМ 1 иш (^) в импульсы, необходимые для управления СК и обеспечения требуемого закона их коммутации. В данном случае обеспечивается несимметричный закон коммутации так, что выходной сигнал ШИП и( ) = иш ()и / имк есть копия сигнала ШИМ 1 иш ((), но с амплитудой и .

Сигнал управления иу (кТд) может принимать на периоде коммутации Тк = 1/ /к одно или более значений в зависимости от взаимного соотношения частот / и /к. Далее рассматриваются два случая. В первом случае fд = /к, и сигнал управления иу (кТд) принимает только одно значение на периоде Тк. Во втором случае /д = 2/к, и сигнал управления иу (кТд) принимает два значения на периоде Тк. Временные

диаграммы работы исследуемой САР в переходном процессе для обоих случаев приведены на рис. 2. Длительности интервалов времени внутри п -ого периода Тк, в конце которых формируются срезы и фронты импульсов ШИП и (^), обозначены через и tф п соответственно. При /д = /к (рис. 2 а) длительности обоих интервалов, как 1СП, так и tф п, пропорциональны значению сигнала управления иу (кТд) в начале периода Тк. А при / = 2/к (рис. 2 б) длительность интервала ^ п пропорциональна значению сигнала управления иу (кТд) в начале периода Тк, а длительность интервала

ф, п

значению сигнала управления иу ((к + 1)Тд) в середине периода Тк. В обоих случаях, как при /д = /к, так и при /д = 2/к, начало интервала п совпадает с началом периода Тк, а начало интервала tф п совпадает с серединой периода Тк.

а

б

Рис. 2. Временные диаграммы работы цифровой САР: а - при /Д = /; б - при /Д = 2/

Задачей данного исследования является определение в пространстве параметров рассматриваемой САР областей ее устойчивости при / = /к и / = 2/к. Для решения

поставленной задачи требуется наличие расчетных соотношений, задающих границы указанных областей. Для получения требуемых расчетных соотношений необходимо располагать математическими моделями исследуемой САР.

С точки зрения теории автоматического управления САР с ШИП представляют собой нелинейные дискретные системы. Для анализа устойчивости таких САР широко применяются различные методы линеаризации нелинейных математических моделей САР с дальнейшим применением теории линейных дискретных или непрерывных систем. Но эти методы имеют ряд существенных ограничений и пригодны лишь при решении локальных задач на различных этапах нелинейного анализа. Перспективны в этом отношении методы теории бифуркаций и метод точечных отображений [2]. Поставленная задача решается на основе этих методов и сводится к анализу математических моделей исследуемой САР, заданных в виде точечных отображений.

На этапе формирования математических моделей САР приняты следующие допущения. При рассмотрении процессов в ее энергетических каналах каждый СК представлен последовательным соединением идеального ключа и резистивного элемента, учитывающего дифференциальное сопротивление включенного СК. При этом принято, что сопротивления всех СК равны друг другу. Не учитываются индуктивности и емкости СК, поскольку время затухания переходных процессов, возбуждаемых этими параметрами в моменты переключений СК, составляет незначительную часть периода коммутации СК. Не учитываются нелинейности сглаживающего дросселя и источника напряжения питания и, а их схемы замещения приняты последовательными.

При рассмотрении процессов в информационных каналах САР принято, что сигнал задания из изменяется в начале периода коммутации СК, а АЦП1 преобразует

его в сигнал из (кТд), а также АЦП2 преобразует сигнал ДТ мдт ) в сигнал мдт (кТд),

мгновенно. Разрядности АЦП1, АЦП2 и ШИМ1 приняты бесконечно большими. Не учитывается также нелинейность ДТ и принято, что он безынерционный.

Формирование математических моделей исследуемой САР тока основывается на рассмотрении процессов в ее линейной непрерывной части (ЛНЧ), на вход которой подается сигнал ШИП u ((), а также процессов в РТ и ШИМ1. На каждом n -ом периоде Тк в нормальном режиме работы САР можно выделить три следующих интервала времени, внутри которых ее структура остается постоянной:

1. nTK < t < nTK + tc, n, где u(() = U;

2. пТк + tc n < t < (n + 0.5)) + ^ n, где u(t) = 0 ;

3. (n + 0.5)) +1^ n < t < (n +1)) , где u (t) = U.

На каждом из этих интервалов времени процессы в ЛНЧ, состоящей в данном случае из дросселя с индуктивностью L и резистивного элемента с сопротивлением R, описываются следующим дифференциальным уравнением состояния ЛНЧ

L^ + Ri

dt

Применяя метод припасовывания к решениям уравнения (2) на каждом из этих интервалов, получаем следующее разностное уравнение состояния ЛНЧ

i

где d(t) = e-RIL; I = U/R - максимально возможное значение тока нагрузки i(t).

Аналогичным образом, рассматривая процессы в РТ на каждом из указанных интервалов и применяя метод припасовывания к уравнениям ПИ-алгоритма управления (1) с учетом уравнения сигнала ошибки е(кТд ) = Us (кТд )-u^ (кТд ), получаем следующие разностные уравнения:

^

uy(nTK) = ^(nTK) + Кп(Uз -KдTi(nTк)); uy((n + 0.5)ТК) = u(nTK) + K(U3 -K>TK));

u((n + 1)) = ^(nTK) + 2ВД -KKДт((1 + d(0.5TK))i(nTK) + (d(0.5TK - tc,„)-d(0.5TK))l);

/ л

uу (nTK) = ua (nTK) + Kп (Uз - Kдтi(nTK)); Uy ((n + 0.5)TK) = Uи(nTK) + (K + KпUKдт x

x

где (4) и (5) - уравнение интегральной составляющей u^ (кТд) сигнала управления uy (кТд) (уравнение состояния РТ) и уравнения самого сигнала управления uy (кТд) на выходе РТ в начале и в середине n -ого периода Тк при /д = /к, когда к = n и Тд = Тк (рис. 2 а), а (6) и (7) - соответственно при /д = 2 /к, когда к = 2n и Тд = 0.5Тк (рис. 2 б).

Исходя из принципа действия ТТТИМ1, получаем следующие уравнения замыкания САР (уравнения длительностей интервалов tc n и tф n):

tc,n = ^у

где Kia = 0.5Тк / Uy max - коэффициент передачи ШИМ1; Uy max - максимальное значение сигнала управления uy (кТд ), соответствующее насыщению ШИП.

Подставляя уравнения (5) в уравнения (8), получаем уравнения замыкания САР пРи /д = f :

tc, я = Kш(uи(nTK) + Kп(U3 -K>TK))); tф, „ = 0.5TK -Kш(u,(nTK) + Kп(U3 -Kj())).(9) Аналогично, подставляя уравнения (7) в уравнения (8), получаем уравнения замыкания САР при / = 2/к:

tc,n = Кш(и,(nTK) + КпU -К>Гк))); „ = 0.5TK -Кш х

х(ии(nTK)+ (К, + Кп)изКдт(((, + Кпrf(0.5TK)))) + Кп(rf(o.5TK -t^)-^(0.5TK))/)). (i0) Здесь необходимо отметить, что длительности интервалов tc n и tф n ограничены

"снизу", так KaK они не могут быть отрицательными, и "сверху", в силу возможности насыщения ШИП. Данное обстоятельство учитывается следующими неравенствами:

0 < fc,n * 0.5Tk ; 0 < fф, n < 0.5Tk .

Итaк, совокупности выражений (3), (4), (9) и (11) и выражений (3), (6), (10) и (11) являются математическими моделями исследуемой САР соответственно при f = fK и

/д = 2 fK и представляют собой нелинейные двумерные отображения первого порядка.

Дальнейший анализ устойчивости рассматриваемой САР сводится K анализу устойчивости однокрaтной неподвижной точки ее отображения, которая соответствует нормальному режиму ее работы. Для этого необходимы уравнения координат iN , ии N,

tG N и tф N этой точки, а также уравнения матрицы Якоби отображения САР. Матрица

рой функцией расширенного вектора состояния

и представляет собой следующую матрицу

Якоби J отображения является некото САР x(nTK )=[ ); Ии (nTK); n ; tф, n частных производных

J = f (x(nTK )) =

j1, 1 j1, 2

j2, 1 j2, 2

" di((n + 1)Tk )/&(nTK) di((n + 1)Tk )/ дИи (nTK) "

дИи ((n + 1)TK)) di(nTK) дИи ((n +1) )/ дИи (nTK)_

причем уравнения элементов j1 1, j1 2, j21 и j2 2 этой матрицы могут быть получены

путем дифференцирования, сначала по di(nTK), затем по дии (nTK), уравнений (3), (4) и

(9) при f = fK и уравнений (3), (6) и (10) при f = 2fK, соответственно. Этими же

уравнениями можно воспользоваться и для вычисления координат неподвижной точки. Для этого в них необходимо произвести следующую замену:

i

и далее решить их совместно относительно искомых координат iN , ии N, tc N и tф N .

Условия устойчивости неподвижной точки отображения САР заключаются в том, чтобы собственные числа X и матрицы J, вычисленные в этой точке, т. е. при i(nTK ) = iN, и и (nTK ) = Ии, N, to, n = to, N и t^ n = tф, N, были по модулю меньше единицы. Представим эти условия в виде следующих неравенств [6]:

|X=X J < 1; 2 |X= X J < 1,

где XN = [iN; ии N ; to N ; tф N ] Т - вектор координат неподвижной точки.

Перед построением границ областей устойчивости САР необходимо провести предварительный ее синтез. Методика синтеза рассматриваемой САР, исходящая из условия обеспечения ее предельного быстродействия при ограниченной частоте fK, приведена в работе [5]. В результате синтеза по данной методике получены следующие значения параметров САР: TK = 1 мс, R = 0.25 Ом, L = 1.33 мГн, U = 50 В, U3 = 10 В,

Uу,тах = 10 В, Кп = 1, Ки = 0.158 и КДТ = 0.2 .

Рассмотрим границы областей устойчивости САР в пространстве ее параметров из, R и Кп. В качестве бифуркационного параметра примем Кп. Расчет его

граничного значения Кп гр, при котором происходит нарушение устойчивости САР, организован следующим образом. При фиксированных значениях параметров Us и R и

Кп, гр = root!

изменении параметра Кп с определенным шагом на каждом шаге вычисляются координаты неподвижной точки iN, ми N, tc N и , элементы матрицы J и ее

собственные числа в этой точке до тех пор, пока не нарушится какое-либо из неравенств

относительно Кп следующего нелинейного уравнения

= l).

Граничные поверхности областей устойчивости САР, рассчитанные при / = f и

/д = 2/к по уравнению (15) в диапазонах значений параметра U3 от 1 В до 15 В и

параметра R от 0.05 Ом до 0.35 Ом, приведены на рис. 3. Области устойчивости САР располагаются ниже соответствующих поверхностей. Здесь необходимо отметить, что при значениях Кп, больших его граничного значения Кп гр, в указанных диапазонах

значений U3 и R наблюдается классический механизм потери устойчивости САР, а

именно бифуркация удвоения периода колебаний, причем только за счет нарушения второго из неравенств (14).

Рис. 3. Граничные поверхности областей устойчивости цифровой САР

Исследование микроструктуры полученных граничных поверхностей показывает, что при /д = /к граничное значение Кп гр параметра Кп практически не изменяется, а

при /д = 2/к претерпевает незначительные изменения при изменении параметров из и

Я относительно их расчетных значений Я = 0.25 Ом и из = 10 В. Исследование

макроструктуры этих поверхностей показывает, что при /д = 2/к граничное значение

Кп гр параметра Кп примерно в два раза больше, чем при /д = /к. При этом, как видно

из рис. 3, расчетное значение Кп = 1 параметра Кп, полученное в результате синтеза,

располагается значительно ниже граничной поверхности при f = f, а, следовательно, и ниже граничной поверхности при f = 2fK.

Таким образом, на основе полученных результатов можно сделать следующие выводы:

1. выбор значения коэффициента передачи пропорционального канала регулятора, большего, чем его расчетное значение, получаемое в результате синтеза по методике, приведенной в работе [5], и меньшего, чем его граничное значение, получаемое в результате анализа, позволяет повысить ее быстродействие, не приводя при этом к возникновению в ней автоколебаний на субгармонических частотах в широких диапазонах возможных изменений сопротивления нагрузки и сигнала задания тока нагрузки относительно их расчетных значений;

2. увеличение частоты дискретизации аналого-цифровых преобразователей микроконтроллера вдвое по отношению к частоте коммутации силовых ключей широтно-импульсного преобразователя приводит к значительному расширению областей устойчивости системы, что позволяет еще более повысить быстродействие системы.

Литература

1. Глазенко Т.А., Синицын В.А., Толмачев В.А. Сравнительный анализ динамических характеристик транзисторных широтно-импульсных преобразователей. // Электротехника. 1988. № 3. С. 70-75.

2. Белов Г.А. Динамика импульсных преобразователей. Чебоксары: Изд-во Чуваш. унта, 2001. 528 с.

3. Micro Converter ADuC831, 12-Bit ADCs and DACs With Embedded 62 kBytes Flash MCU. Data Sheet. Analog Devices. 2002.

4. A DMOS 3A, 55V, H-Bridge: The LMD18200. Data Sheet. National Semiconductor Corporation. 1999.

5. Гурьянов В.А., Кротенко В.В. Цифровая система управления источника тока, построенного на основе транзисторного ШИП // Научно-технический вестник СПбГИТМО. Выпуск 3. СПб: Изд-во СПбГИТМО (ТУ), 2001. С. 120-125.

6. Охоткин Г.П. Анализ и синтез САР тока с ПИ-регулятором и ШИМ-1 // Информационные технологии в электротехнике и электроэнергетике / Материалы III Всерос. науч.-техн. конф. Чебоксары: Изд-во Чуваш. ун-та, 2000. С. 153-159.