математическ

"День математической физики" лаборатории Чебышева

В весеннем семестре в лаборатории Чебышева по пятницам будет проходить "день математической физики", когда будут читаться курсы и проводиться семинары по соответствующей тематике.

*************

А. В. Иванов начинает чтение спецкурса

"Введение в симплектическую геометрию и гамильтонову механику"

в ауд. 413 лаборатории Чебышева (14-я линия В.О., 29) по пятницам с 11:00 до 12:40.

Первая лекция состоится 12 февраля. Приглашаются все желающие.

Аннотация. Целью данного курса является знакомство с геометрией симплектических многообразий, т.е. многообразий, на которых задана замкнутая невырожденная антисимметричная 2-форма. Наряду с вопросами линейной теории: структура и классификация с точностью до изоморфизма симплектических векторных пространств, а также лагранжевых подпространств, будут рассмотрены некоторые вопросы глобальной теории: эквивалентность симплектических многообразий, структура лагранжевых подмногообразий, понятие канонической модели. Кроме того, будут введены основные понятия гамильтоновой механики, для которой симплектическая геометрия является естественным языком описания. В частности, будет описана структура фазового пространства интегрируемых гамильтоновых систем, а также ее изменения при малых возмущениях.

*************

А. А. Капаев начинает чтение спецкурса

"Техника задачи Римана-Гильберта и уравнения Пенлеве"

в ауд. 413 лаборатории Чебышева (14-я линия В.О., 29) по пятницам с 13:30 до 15:10.

Первая лекция состоится 12 февраля. Приглашаются все желающие.

Аннотация. В курсе излагаются важнейшие аспекты нескольких тесно связанных областей современной математической физики:

- теории уравнений Пенлеве,

- теории изомонодромных деформаций линейных систем с рациональными коэффициентами,

- метод задачи Римана-Гильберта.

Уравнения Пенлеве - нелинейные партнеры классических функций гипергеометрического типа. Они обладают богатыми аналитическими, алгебраическими и геометрическими свойствами, которые активно изучаются уже более ста лет. Особый интерес к уравнениям Пенлеве и их высшим аналогам подогревается фактом их регулярного обнаружения в самых разнообразных задачах теоретической и математической физики, включая, например, задачи теории поверхностных волн, плазмы, квантовых струн, матричных моделей статистической физики и квантовой гравитации. Все сказанное позволяет считать решения этих уравнений нелинейными специальными функциями.

Одним из важнейших свойств уравнений класса Пенлеве является то, что они описывают сохраняющие монодромию деформации линейных ОДУ с рациональными коэффициентами. В курсе будет изложен современный подход к уравнениям изомонодромных деформаций, в том числе к уравнениям Пенлеве, как к специальному классу вполне интегрируемых систем. Одним из важнейших подходов к интегрируемым системам вообще и уравнениям класса Пенлеве, в частности, является метод задачи Римана-Гильберта. Задача Римана-Гильберта в теории уравнений Пенлеве - это не что иное, как каноническая формулировка обратной задачи теории монодромии для ассоциированной линейной системы. В курсе будет дан унифицированный метод построения задач Римана-Гильберта для линейных ОДУ с рациональными коэффициентами, обсуждены методы доказательства существования и единственности их решений, доказано свойство Пенлеве для уравнений изомонодромных деформаций и объяснено отсутствие свойства Пенлеве для частично интегрируемых систем.

Изложенная теория иллюстрируется конкретными примерами, связанными с классическими уравнениями Пенлеве и квазиклассическими ортогональными полиномами. В этих примерах существенное внимание уделяется построению методом задачи Римана-Гильберта асимптотик трансцендентов Пенлеве и квазиклассических полиномов.

Для успешного освоения данного курса требуется знание основ теории функций комплексного переменного.