О квадратичных показателях иррациональности некоторых чисел

результат содержит не большее число многочленов, чем другие инкрементальные алгоритмы, возвращающие S-базис;

время работы алгоритма оказывается не больше, чем у других инкрементальных алгоритмов, основанных на сигнатурах.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Faugere J.-С. A new efficient algorithm for computing Grobner bases without reduction to zero (F5) // Proc. 2002 Int. Symp. on Symbolic and Algebraic Comput. N.Y.: ACM, 2002. 75-83.

2. Kreuzer M., Robbiano L. Computational commutative algebra. 1. Berlin: Springer-Verlag, 2000.

3. Arri A., Perry J. The F5 criterion revised // J. Symbol. Comput. 2011. 46, N 9. 1017-1029.

4. Герман О. Доказательство критерия Фожера для алгоритма F5 // Матем. заметки. 2010. 88, № 4. 502-510.

5. Зобнин А. Обобщение алгоритма F5 вычисления базиса Грёбнера полиномиальных идеалов // Программирование. 2009. № 2. 21-30.

6. Sun Y., Wang D. The F5 algorithm in Buchberger's style //J. Systems Sci. and Complexity. 2011. 24, N 6. 1218-1231.

7. Gao S., Guan Y., Volny F. A new incremental algorithm for computing Grobner bases // Proc. 2010 Int. Symp. on Symbolic and Algebraic Comput. N.Y.: ACM, 2010. 13-19.

8. Eder C., Perry J. Signature-based algorithms to compute Grobner bases // Proc 36th Int. Symp. on Symbolic and Algebraic Comput. N.Y.: ACM, 2011. 99-106.

9. Eder C., Perry J. F5C: A variant of Faugere's F5 algorithm with reduced Grobner bases //J. Symbol. Comput. 2010. 45, N 12. 1442-1458.

10. Huang L. A new conception for computing Grobner basis and its applications. URL: http://arxiv.org/abs/1012. 5425v2.

11. Roune В., Stillman M. Practical Grobner basis computation // Proc. 2012 Int. Symp. on Symbolic and Algebraic Comput. N.Y.: CM, 2012.

Поступила в редакцию 18.05.2012

УДК 511.36

О КВАДРАТИЧНЫХ ПОКАЗАТЕЛЯХ ИРРАЦИОНАЛЬНОСТИ

НЕКОТОРЫХ ЧИСЕЛ

А. А. Полянский1

Приводятся оценки сверху квадратичных показателей иррациональности чисел вида л/2к + 11п((к + 1 - л/2к + 1)/к) и у/2к - 1 arctg(V2A; - 1 /{к - 1)), где к G N. В частности, улучшена оценка квадратичного показателя иррациональности ln 2.

Ключевые слова: квадратичный показатель иррациональности.

The paper presents upper estimates for the non-quadraticity measure of the numbers л/2 к + 1 Ы((к+1-\/2к + 1 )/k) and у/2k - 1 arctg(V2 к - l/{k-l)), where к e N. In particular,

ln 2

Key words: non-quadraticity measure.

Для каждого числа, не являющегося корнем квадратного уравнения с целыми коэффициентами, можно ввести характеристику того, насколько оно может быть приближено корнями квадратных уравнений. Эта характеристика, называемая квадратичным показателем иррациональности числа а, определяется как точная верхняя грань множества чисел к, таких, что неравенство |а — в| < H(в)-к имеет бесконечное количество решений в квадратичных иррациональностях в- Здесь H(в) — наибольший по модулю из целых коэффициентов неприводимого в Z[x] квадратного трехчлена, корнем которого является число в-Обозначается квадратичный показатель иррациональности через (а).

1 Полянский Александр Андреевич — асп. каф. теории чисел мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alexander.polyanskiiQyandex.ru. 13 ВМУ, математика, механика, №5

В статье М. Хата [1] получена оценка ^2(1п2) ^ 25, 0463.... В статье Р. Марковеккио [2] доказано и в статье автора [3] передоказано, что ^2(1п2) ^ 15, 6514... . Данная статья является продолжением ряда работ [3-6], в которых рассматривалась общая интегральная конструкция.

В статье приводятся оценки сверху квадратичных показателей иррациональности чисел вида

г--, к + 1 - у/2 к + 1 , ЛТ

ак = л/2к + 1 т---, где к е М;

к

\/2 к — 1

/Зк = л/2к — 1 агс!^ —-, где к е N.

к — 1

Некоторые численные результаты данной статьи занесены в табл. 1, 2.

Таблица 1

к (ak) ^ к (ak) ^ к (ak) ^ к (ak) ^ к ß2 (ak) ^

2 18,5799... 8 10,3786... 13 245,5913... 16 9,03034 ... 19 55,9694...

4 12,8416... 10 9,86485... 14 9,23973... 17 71,3960... 20 8,7192...

6 11,2038... 12 9,50702... 15 105,4297... 18 8,86054... 21 47,1243...

Таблица 2

к ß2 (ßk) < к ß2 (ßk) < к ß2 (ßk) < к ß2 (ßk) <

2 _ 8 14,12... 14 10,8879... 19 318,0352...

4 32,2697... 10 12,4938... 16 10,4229... 20 9,78724...

6 17,6493... 12 11,5312... 18 10,0683... 21 131,7821...

Исходя из табл. 1 при k = 4 мы получаем, что ^(ln2) ^ 12, 8416.... Пусть n — четное натуральное число и определен многочлен

/х + 10n + 1\ /х + 9n + 1\ /х + 8n + Л /ж + 7n + 1

~ (10п + 1)! (8n + l)! (671 + 1)! (4n + l)! '

Определим также многочлены Ai(x) = A(x), A.2(x) = A(x — n), Аз(х) = A(x — 2n). Рассмотрим интегралы

Li

^Ssr/Ms^y*"4'

L2

t-5n-1 f / _ \ 3

L3

здесь z = 0 a вертикальные прямые L1,L2,L3 задаются равенствами ReZ = ci, ReZ = c2, ReZ = c3, где —10n — 2 < ci < 0 —9n — 2 < C2 < — n, —8n — 2 < C3 < —2n, и проходятся снизу вверх. Также мы полагаем, что (—t)-Z = e-Zln(-i) и t-Z = e-Zlnгде выбирается ветвь логарифма ln(—t) = ln |t| + i arg t + in и ln t = ln |t| + i arg t с условиями —2п < arg t < 0 для интеграла (1), с условиями —2п < arg t < 2п для интеграла (2) и —4п < arg t < 2п для интеграла (3).

Предложение 1. Для любого t £ C с условия ми 0 < |t| ^ 1 справедливы, равенства

Ji

J2

J3

Здесь функции U(t),V(t),W(t) £ Q(t) задаются следующими равенствами:

, \ 10n+2 28n+4 , \j—10n—1 j+1 /

Е «ПгУ , А.<»= j: (-!)-%(-*)( i

7 j=10n+1 V 7 fc=10ra+2 V

/ , \ 8n+2 28n+3 , , j—8n—1 j+ /

V 7 j=8n+1 V 7 fc=8ra+2 V

/ , \ 6n+2 28n+2 , 4j—6n— 1 j+1 /

H--(i) = Ш E e? (t1I) .<? = E (-ц'-чч-ч (* i!

4 7 j=6n+1 4 7 fc=6ra+2 4

Ветвь логарифма выбирается в обеих частях (4)-(6) так, что

ln(—t) = ln |t| + i arg t + in, ln t = ln |t| + i arg t,

—2n < arg t < 0 для равенства

Доказательство предложения 1 основано на том, что данные интегралы равны сумме вычетов подынтегральной функции в целых точках Z = — k где k > 10n + 1. После этого бесконечные суммы преобразуются к выражениям (4)-(6) (подробности см. в предложении 1 статьи [4] и в лемме 2 статьи [6]).

Будем использовать обозначения: [ж] и {ж} — целая и дробная части числа ж; dm — наименьшее общее кратное натуральных чисел, не превосходящих m; vp(r) — степень вхождения простого числа p в разложение рационального числа r на простые множители.

Обозначим через ^множество у, 0 ^ у < 1, таких, что при любом ж выполняется неравенство

Мж, у) = [ж] — [ж — 10у] — [10у] + [ж — у] — [ж — 9у] — [8у] + [ж — 2у] — [ж — 8у] — [6у] + [ж — 3у] — [ж — 7у] — [4у] ^ 1.

Обозначим через ^множество у 0 ^ у < 1, таких, что при л юбом ж выполняется неравенство ^(ж, у) ^ 2. Также определим

ii = | простые р : р > \/10п + 1, | —| G Qi | , = | простые р : р > \/10п + 1, | — | G ,

d

Ai =Цр, А2=Цр, Д1 = [] р, А = (4n + l)(6n + l)(8n + l)(10n+l), Dra = ¿WÄ^^A.

pesx pes2 pesx 1 2

p>8n+1

Можно вычислить Q 1, Q2 (см. подробности вычисления в лемме 2 статьи [4]). В итоге получаем

Qi = [1/9; 1/2) U [5/9; 9/10),

Q2 = [1/7; 1/6) U [2/9; 1/4) U [2/7; 3/10) U [3/7; 1/2) U [4/7; 3/5) U [5/7; 3/4) U [6/7; 7/8).

То есть d8n+iA 1 = dgn. В дальнейшем вместо параметра t мы будем подставлять следующие значения:

k + 1 - V2k + 1 к- 1 - W2 к - 1 _tarctg^l М,к =-^-, А2,к =--= е fc-i ; где к G N.

Пусть Rk>ra = m-3n-1, если k = 2m, m G N, и = 214n+3k = 2m — 1,m G N, а

K = lim M = lim

га^+те ' га^+те

Лемма. Пусть k G N; тогда

Rk>nDnMJ(\l>k) V2k + l G Z, Rk,nDnkV(\l>k) G Z, Efc)il^raA^(A1)fc)V2k + 1 G Z; Rk>nDnKU{\2>k)W2k - 1 G Z, Rk>nDnKV{\2>k) G Z, RktnDnkW(\2>k)W2k - 1 G Z.

Доказательство леммы почти полностью совпадает с доказательством леммы 2 в работе [6]. Рассмотрим функцию

( (г + 10)1О(г + 9)д(г + 8)8(г + 7)т \

- Ш _ _ _ З)31О10886644)

и уравнение

— Л1 ь-

Предположим, что оно имеет в качестве корней ¿цк € ^ и 22,1,к = с + ^ такие, что ¿цк < —5, —8 < с < —2, ^ > 0. Тогда справедливо предложение 2, в котором мы определим также числа Ш1 и М1. Предложение 2. Имеют место следующие утверждения:

Ит — 1п \и(\\ = 11еЛ,(,г11 — 51п Лх ^ = М\, Нтэир — 1п |«7з(Л1 ^ КеИ(г2 1 — 51п А1 & = ть

га^+те П ' ' ' и^+те П

Рассмотрим уравнение

(,г+ 10) (,г+ 9) (,г+ 8) (,г+ 7) (-*)(-*-1)(-г-2)(-г-3) "

Оно имеет в качестве корней г^дь £2,2,к, 23,2,к, 24,2,к) такие, что И,е 21;2;к = — 5, где I € {1,2,3,4}, и 1т ¿\>2>к > 11т ¿4,2,к | > 1т ¿2,2,к > 11т гз,2,к| > 0. Тогда справедливо предложение 3, в котором мы определим также числа Ш2 и М2.

Предложение 3. Имеют место следующие утверждения:

Ит - 1п |Зх(Л2,к)I = Ке= М2, Ит - 1п \,]2{\2>к)\ = 11е= т2,

и^+те П и^+те П

Ит — 1п |«7з(А2,&)| =ЪвЪ,{г2у2ук) <т2.

и^+те П

Доказательство предложений 2 и 3 почти полностью совпадает с доказательством предложений 2 и 3 из работы [4].

Теорема 1. Пусть числа, М1,т1 определяются в соответствии с предложением 2, числа К и М определяются формулой (7). Если К + М + т1 < 0; то справедливо неравенство

. К + М + М1

^Х1"К + М + тГ

Доказательство. Рассмотрим последовательности Ьп = Пк,пОпМ2к + 1) ^М^зОМ)^ = КкпВпК (и(\1>к)у/ы + 1ак - У(Х1>к)(2к + 1)) = Япак + Рп,

мп = Rk,nDn(2к + l)V2k + lA ^2Re(J3(A1;fc)) - 2Im(J^Al'fc)) lnA1;fc^

= Rk,nDnAU(\hk)V2k + lal - Rk,nDnA(2k + l)W(\ltk)y/2k + 1 = Q„a| + Rn Из леммы следует, что Pn, R G Z. Из предложения 2 и формулы (7) имеем

lim — In\Qn\ = К + M + Mi, lim sup-In I Lra I ^ К + M + mb lim sup — In \Mn\ ^ К + M + mi.

га^+те n п^+те n п^+те n

Отсюда в соответствии с леммой 2.3 из работы [1] получаем требуемое. Теорема 1 доказана. Верна фактически аналогичная теорема для ß^.

Теорема 2. Пусть числа, M2,m2 определяются в соответствии с предложением 3, числа, K и M определяются формулой (7). Есл и K + M + m2 < 0, то справедливо неравенство

К + м + м2

Доказательство теоремы 2 полностью аналогично доказательству теоремы 1. Замечание. Следует отметить, что для небольших нечетных k (и k = 2 в случае вй) не удается получить оценку показателя квадратичной иррациональности чисел вида и поскольку чпела K + M + mi и K + M + m2 при так их k неотрицательны, поэтому нельзя применять лемму 2.3 из работы [1].

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю Ю. В. Нестеренко за постоянный интерес к работе.

Результаты статьи получены при частичной поддержке РФФИ (грант № 09-01-00743).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Hata М. C2-saddle method and Beukers' integral // Trans. Amer. Math. Soc. 2000. 352, N 10. 4557-4583.

2. Marcovecchio R. The Rhin-Viola method for log 2 // Acta Arithm. 2009. 139, N 2. 147-184.

ln 2

№ 1. 25-30.

ln 2

5. Bashmakova M.G. Estimates for the exponent of irrationality for certain numbers // Moscow J. Comb, and Number Theory. 2011. 1, N 1. 67-78.

6. Polyanskii A. On the irrationality measure of certain numbers // Moscow J. Comb, and Number Theory. 2011. 1, N 4. 80-90.

Поступила в редакцию 28.11.2012

УДК 517.938.5 -

ЧИСЛО СВЯЗНЫХ КОМПОНЕНТ В ПРООБРАЗЕ РЕГУЛЯРНОГО ЗНАЧЕНИЯ ОТОБРАЖЕНИЯ МОМЕНТА ДЛЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ПОТОКА ЭЛЛИПСОИДА

С. С. Николаенко1

В статье рассматривается слоение Лиувилля геодезического потока эллипсоида общего положения. Основной целью является демонстрация разных подходов к подсчету числа связных компонент в прообразе регулярного значения отображения момента. При этом используется метод булевых функций М. П. Харламова, а также результат Н. Т. Зунга о представлении гиперболической особенности в виде почти прямого произведения 2-мерных атомов.

Ключевые слова: интегрируемая гамильтонова система, геодезический поток, эллипсоид, слоение Лиувилля, булева функция.

A Liouville foliation of the geodesic flow of a generic ellipsoid is considered in the paper. The main goal is the demonstration of various approaches to computation of the number of connected components in the preimage of a regular value of the moment map. This is done with the use of the Boolean functions method of M. P. Kharlamov and also N. T. Zung's result on the decomposition of a hyperbolic singularity to an almost direct product of 2-dimensional atoms.

Key words: integrable Hamiltonian system, geodesic flow, ellipsoid, Liouville foliation, Boolean function.

1. Введение. Рассмотрим в Rra+1 эллипсоид En = = 1}, 0 < a\ ^ ... ^ ara+i- Известно,

что его геодезический поток является интегрируемой по Лиувиллю гамильтоновой системой на T т.е. допускает n функционально независимых (почти всюду) первых интегралов в инволюции. Первое доказательство этого факта принадлежит Якоби [1] и основывается на разделении переменных в эллиптических координатах. Другой подход представлен в [2]. Таким образом, на Tопределено слоение Лиувилля, слоями которого являются связные компоненты совместных поверхностей уровня первых интегралов Топологию слоения Лиувилля удобно изучать при помощи отображения момента

Николаенко Станислав Сергеевич — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: nikostasQmail.ru.