О радикалах систем уравнений над строгими линейными порядками

МАТЕМАТИКА MATHEMATICS

УДК 512.577

DOI 10.24147/1812-3996.2019.24(4).4-8

О РАДИКАЛАХ СИСТЕМ УРАВНЕНИЙ НАД СТРОГИМИ ЛИНЕЙНЫМИ ПОРЯДКАМИ А. Ю. Никитин

Институт математики им. С. Л. Соболева, г. Омск, Россия

Аннотация. В последние 20 лет активно развивается так называемая универсальная алгебраическая геометрия, в которой изучаются системы уравнений над произвольными алгебраическими системами. Одними из важнейших алгебраических систем являются частично упорядоченные множества и графы. В данной статье предпринята попытка построения алгебраической геометрии для строгих частично упорядоченных множеств. Проблема определения радикала для системы уравнений заключается в том, что множество решений системы может задавать дополнительные связи на переменные, которых не было в изначальной системе. В статье исследуются такие системы уравнений и такие конечные строгие линейные порядки, над которыми радикал системы уравнений может быть получен наивным в определенном смысле образом (то есть системы уравнений с просто устроенным радикалом).

множество, система уравнений, радикал, дерево, корона

Финансирование

Исследование автора выполнено за счет гранта Российского научного фонда

RADICALS OF SYSTEMS OF EQUATIONS OVER STRICT TOTAL ORDERS A. Yu. Nikitin

Sobolev institute of mathematics, Omsk, Russia

Abstract. In the last 20 years, the so-called universal algebraic geometry has been actively developed, in which systems of equations over arbitrary algebraic systems are studied. Some of the most important algebraic systems are partially ordered sets and graphs. This article attempts to construct algebraic geometry for strict partially ordered sets. The problem of determining the radical of system of equations is that solutions' set of the system can specify additional relationships on variables that aren't in the original system. The article Available online explores such systems of equations and such finite strict total orders over which the radical

25.12.2019 of the system of equations can be built in a naive, in a certain sense, way (that is a system

of equations with a simply constructed radical).

Keywords

Strict poset, total order, system of equations, radical, tree, crown

Acknowledgements

This research of the author was supported by Russian Science Foundation

Информация о статье

Дата поступления 17.09.2019

Дата принятия в печать 08.10.2019

Дата онлайн-размещения 25.12.2019

Ключевые слова

Строгое частично упорядоченное множество, линейно упорядоченное

Article info

Received 17.09.2019

Accepted 08.10.2019

ISSN 1812-3996-

В данной работе изучаются радикалы систем уравнений над строгими линейными порядками.

Для нестрогих частичных порядков алгоритм построения радикалов достаточно прост (см. [4]). Для построения радикала последовательно берутся три замыкания системы: транзитивное, рефлексивное и антисимметричное. Если проводить аналог для строгих порядков, то из данных трех замыканий останется только транзитивное. К сожалению, взятие транзитивного замыкания у системы уравнений в языке строгих частичных порядков не всегда дает все следствия системы.

В данной статье решается проблема: над какими строгими линейными порядками будет достаточно взятия транзитивного замыкания системы уравнений для получения радикала этой системы?

Вначале напомним некоторые определения из универсальной алгебраической геометрии [1], теории частичных порядков [2] и теории графов [3].

Строгое частично упорядоченное множество (строгий порядок) - это алгебраическая структура Т = < Р | <(2)> с предикатом строгого порядка, удовлетворяющая следующим аксиомам:

1) Vp ЕР"(р < р) (иррефлексивность);

2) Vpi, Р2ЕР (pi < р2) ^ \р2 < pi) (асимметричность);

3) Vp1} Р2, Р3ЕР (pi < р2) Л (р2 < р3) ^ (р1 < р3) (транзитивность).

В статье рассматриваются конечные строгие порядки.

Элементы q,p частичного порядка Т называются сравнимыми, если либо р < q, либо q < р. В противном случае элементы q и р называются несравнимыми (обозначается как р + q).

Определим три типа строгих порядков, которые имеют ключевую роль. Строгим линейным порядком называется строгий порядок, в котором каждый элемент сравним со всеми элементами, кроме себя самого.

Строгие порядки, диаграммы Хассе которых являются двудольными графами, называются двудольными строгими порядками, или коронами. Пример короны изображен на рис. 1. Если в некоторой короне для двух элементов р и q выполнено р < q, то говорят, что элемент р принадлежит нижней доле короны, а элемент q - верхней.

Элемент а частичного порядка Т называется максимальным, если Vb ЕР в Т верно (а > b)v V (а = b)v (а + Ь). Элемент а частичного порядка Т называется наибольшим, если Vb Е Т в Т верно

(а > Ъ)У (а = Ь). Видно, что в строгом порядке может быть несколько максимальных элементов, но наибольший элемент, если существует, единственный. Аналогично определяются минимальный и наименьший элементы.

Рис. 1. Корона с пятью элементами в верхней и нижней долях

Деревом будем называть такой строгий порядок, диаграмма Хассе которого является деревом, и в таком строгом порядке определен наибольший элемент, который называется корнем.

Путем между элементами а и Ь в строгом порядке называется последовательность элементов (а,рг, ...,рт,Ь), где а<р1<-<рт<Ь или а > р1> ••• > рт> Ь. Длиной пути называется количество элементов в пути.

Высотой элемента строгого порядка назовем наибольшую длину пути среди путей между этим элементом и минимальными элементами. Высотой строгого порядка назовем наибольшую высоту среди максимальных элементов этого порядка. Высота дерева будет равна высоте корня дерева.

Глубиной элемента в дереве назовем длину пути между этим элементом и корнем дерева.

Уравнением в языке строгих частичных порядков Ь от переменных Хп = [х1,.,хп} называется выражение одного из двух типов:

1) х^ = х], где Х1:Х; е Хп;

2) х1 < х], где Х1:Х; е Хп.

Системой уравнений 5 в языке Ь от переменных Хп называется произвольное множество уравнений в языке Ь. Систему уравнений, состоящую только из уравнений типа х^ < ху, обозначим как Бх<х. Аналогично вводится множество уравнений Бх=х. Произвольную систему уравнений 5 над строгим порядком можно разбить на два множества -

^ = $Х=Х и $х<х.

Все множество уравнений от переменных Хп в языке Ь будем обозначать как АЬЪ(ХП).

Естественным образом определяется решение и множество решений системы уравнений 5(ХП), которое обозначается как У.р(5).

ISSN 1812-3996

Определим несколько понятий, характеризующих пополнение системы 5 от переменных Хп. Замыканием системы 5 относительно равенства назовем такую систему [5], которая содержит саму систему 5, равенства Ух1 Е Хп XI — х^ и для каждых равенств х^ — х^, х) — хк содержит равенство XI — хк. Транзитивным замыканием системы уравнений 5 называется такая система уравнений Тг(Б), в которой содержится система 5 и вместе со всеми уравнениями х^ < х^ и х) < хк содержится уравнение XI < хк.

Системе уравнений 5 можно поставить в соответствие строгий порядок в5. Для простоты положим, что 5 = Бх<х. Случай 5 = Бх=х и Бх<х сводится к рассматриваемому через замену переменных и исключение равенств из исходной системы. Для системы 5 определим ориентированный граф Г5, в котором вершины графа - это переменные, и если в 5 есть уравнение х1 < х^, то в графе Г будет дуга (Х^Х)). Если полученный граф Г является ациклическим, то его транзитивному замыканию, как хорошо известно [3], можно поставить в соответствие строгий порядок С5. Если же граф Г содержит циклы, то это означает, что система 5 несовместна (не имеет решений). Далее, через в5 будем обозначать и строгий порядок, построенный по системе 5, и все уравнения, которые получаются из в5 обратным преобразованием от строгого порядка к системе уравнений.

Пример. Пусть дана система 5(х1,х2,х3) — — [х1 < х2, х2 < х3,х4 — х4]. Граф Г для данной системы изображен на рис. 2. Транзитивное замыкание Гг(Г5) изображено на рис. 3. Данному транзитивному замыканию соответствует частичный порядок в5. Сама система в5 состоит из трех уравнений: х1 < х2, х2<х3 и х1 < х3. И, наконец, замыкание относительно равенства будет [С5] = [х1 < х2,

< х3, < , — , — , — , — }.

Пусть даны 2 частичных порядка С и Н. Гомоморфизмом частичного порядка Н в частичный порядок С называется такое отображение ф-.Н^в, в котором для двух элементов и,р е Н, если и<у в Н, то ф(и) < ф(у) в С. Как известно из работы [1], для системы 5 — Бх<х множество всех гомоморфизмов взаимно однозначно соответствует множеству решений системы уравнений 5 над Г.

Радикалом системы уравнений 5(Хп) в языке Ь называется следующее множество уравнений

ИайР(5) — [Г Е А1ь(Хп) | УР(Б) с УР([)].

Рис. 2. Граф Г

Рис. 3. Граф Тг

Данная статья посвящена проблеме равенства [С5] — Иай£(5) для систем уравнений 5 над конечными строгими линейными порядками X. Как уже было сказано, обычное взятие транзитивного замыкания для некоторых систем уравнений не дает радикала этой системы. Следующий пример показывает это.

Пример. Пусть дана система уравнений 5(х1,х2,х3) — [х2 < х1, х3 < х1] над строгим линейным порядком X, состоящим из двух элементов. Данная система разрешима над таким строгим порядком, но в радикале системы будет равенство х2 — х3. Несмотря на то что система 5 транзитивно замкнута, в радикале этой системы появляется равенство между переменными х2 и х3, потому что так устроено множество решений системы над данным строгим порядком.

Теорема 1. Пусть строгий порядок в5, соответствующий системе уравнений 5 — Бх<х от переменных Хп, представляет собой корону. Тогда [С5] —

— Иай£(5), где X - строгий линейный порядок, мощность которого > 3.

Доказательство. Докажем, что множество решений системы уравнений 5 не определит дополнительных отношений равенств и неравенств для переменных в изначальной системе, если она решается над строгим линейным порядком, в котором не меньше трех элементов.

Очевидно, что над строгим одноэлементным порядком X система 5 неразрешима. Рассмотрим систему 5 над строгим линейным порядком X, состоящим из двух элементов. Система 5 состоит из уравнений х^ < У], где х0у] Е Хп. Переменные х^ принадлежат нижней доле частичного порядка С5, а уу

- верхней. Тогда Иай^Б) содержит уравнения XI — ху и ук — у1 для всех пар переменных Х^.Х] и

Ук,У1.

ISSN 1812-3996 "

Пусть система 5 решается над строгим линейным порядком X, состоящим из трех элементов (Р3 < Р2 < Р1). Первое, что необходимо показать, это отсутствие равенств, отличных от х^ = х^, в радикале Яай^Б). Пусть в короне в5 п переменных в нижней доле (х1,.,хп) и т переменных в верхней доле (у1,.,ут). В множестве решений системы содержатся следующие точки:

Р1 = (P1,...,P1,P2,P3,...,P3), Р2 = (Pl,...,Pl,Pз,

р2,...,рз), Рп = (Р1,.,Р1,Рз,.,Р2), где первые т координат, соответствующие верхней доле, принимают значение р1. Следовательно, в радикале Яай^Б) не будет равенств между п переменными нижней доли. Аналогично доказывается, что не будет равенств между переменными верхней доли. Также по виду предложенных решений видно, что в радикале системы не будет равенств типа х^ = уу.

Теперь осталось показать, что в радикале Яай^Б) не будет отношения строгого порядка для несравнимых в в5 переменных. Допустим, XI несравнима с У] в 5, где х^ принадлежит нижней доле и У] - верхней. Тогда во множестве решений системы 5 будут содержаться следующие точки:

( Р1, .  Р1 ,Р2,Р1..  ,Рг,Рз, .  Рз,Р2,Рз..  ^Л где

V т п /

значение р2 стоит на i и j координатах, и

( р1,...,р1 ,р3,...,р3 ). Иными словами, в У£(Б) будут

\ m

решения,

п /

одном

в одном из которых Хь = У] =р2 и Х1 = Р1,У) = Р3 в другом. Это означает, что в радикале нет уравнений х^ < уу и х^< уу.

Пусть строгий порядок С5, соответствующий системе уравнений 5 = Бх<х, представляет собой дерево. Определим минимальное число элементов строгого линейного порядка X, при котором Яайх^) = [С5].

Введем следующие обозначения: к(Б) - высота дерева С5, соответствующего системе 5, к(х) -высота элемента х в С5, д(х) - глубина элемента х в С5, й(Б) - множество элементов с глубиной, равной к(Б).

Теорема 2. Пусть дана система уравнений 5 = Бх<х от переменных Хп в языке строгого линейного порядка Ь, у которой соответствующий строгий порядок является деревом, но не является линейным порядком. Из множества й(Б) выбирается любой элемент а. Равенство [С5] = Яай^Б) выполнено тогда и только тогда, когда минимальное число

элементов строгого порядка X определяется по следующей формуле:

!к(Б) + тах(й(х)} — 1,еслитах{к(х)} > 1,

х^а х^а

или тах[И(х)} = 1 и |^(5)| = 1;

х^а

И(5) + 1, иначе.

Доказательство. Сначала опишем три гомоморфизма из в X. Положим, что X - бесконечный линейный порядок и диаграмма Хассе этого порядка изображена на рис. 4. Его наибольший элемент 11, и в X не определен наименьший элемент. Первый гомоморфизм /(г) = 1д(2), где д(г) - глубина элемента г в дереве С5. Данный гомоморфизм работает таким образом, что д(г) определяет индекс элемента в X.

tx,v(z) =

Рис. 4. Строгий линейный порядок X Второй гомоморфизм:

У1д(г) + 1,2 < х.

И, наконец, третий гомоморфизм:

11д(г) + (д(х)-д(у)),г < у.

Для бесконечного строгого линейного порядка X всегда выполнено [С5] = Яай^Б) при условии, что - дерево. Рассмотрим два произвольных несравнимых элемента х и у в дереве в5 и зафиксируем глубины д(х),д(у) этих элементов в дереве С5. Для элементов х и у может быть 3 уравнения в АЬъ(Хп): х = у,х<у и у < х (на самом деле 4, но отношение равенства симметричное, не указываем его здесь). Элементы х и у будут несравнимы в радикале Яай^Б), если в нем содержится 2 из 3 указанных уравнений.

Пусть д(х) = д(у). Гомоморфизм /(г) определяет решение, в котором х = у, и гомоморфизм гх(г) определяет решение, в котором х < у.

Вестник Омского университета 2019. Т. 24, № 4. С. 4-8

-ISSN 1812-3996

Если д(х) > д(у), то гомоморфизм /(г) определяет решение, в котором х <у, и гомоморфизм £х,у(2) определяет решение, в котором х — у.

В бесконечном порядке X все гомоморфизмы будут определены корректно, так как для всех элементов г < х для гх и г < у для в X найдутся элементы 1д(2)+1 и 1д(2)+(д(х)-д(у)) соответственно. Но сколько должно быть элементов в конечном порядке X, чтобы все гомоморфизмы, определяющие решения х — у и х <у, были определены?

Далее, значения гомоморфизмов Ьх_у и гх будут отождествляться с индексами строгого порядка X, в которые они (гомоморфизмы) переводят элементы.

Для гомоморфизма Ьху экстремальный случай будет для г < у, то есть ¡ху(г) — д(г) + (д(х) -

- д(у)) — д(х) + (д(г) - д(у)). Элементы х и у в данном гомоморфизме - параметры, поэтому подберем такие параметры, которые максимизируют данное выражение. Максимальное значение д(х) — к(Б), которое достигается в точке х — а. Условие на у таково, что этот элемент не сравним с х в С5. Разница д(г) - д(у) будет максимальной, когда г - лист в дереве С5. Следовательно, выражение д(г) — д(у) можно заменить на к(у) — 1. Константа -1 появляется из-за того, что в путях от г и у

до корня присутствует элемент у. Поэтому он исключается из разности. И данный параметр нужно максимизировать с учетом того, что у — х. Из всего сказанного получается, что максимальным значением ^х,у(г) будет к(Б) + тах[к(у)} - 1.

у-а

Для гомоморфизма гх максимальное значение будет га(а) — к(Б) + 1 при г — х — а. Если значение тах[й(у)} >1, то Ьху> гх. Это означает, что

у-а

при таком условии гомоморфизмы [,гх и Ьху действуют на конечном строгом порядке как на бесконечном и 1X1 — к(Б) + тах{й(у)} - 1. Пусть

у-а

тах{й(у)} — 1. Рассмотрим несравнимые эле-

у-а

менты х и у, у которых д(х) > д(у). Тогда гомоморфизм [ определяет решение, где х < у, и гомоморфизм Ьху определяет решение, в котором х — у. Если же д(х) — д(у), то гомоморфизм [ определит решение, в котором х — у. Теперь пусть д(х) Ф к(Б). Тогда гомоморфизм гх определит решение, в котором х < у. Но если д(х) — к(Б), тогда гомоморфизм гх не определен на строгом порядке X с к(Б) элементами. Поэтому порядок строгого порядка должен быть больше на единицу. Но такая ситуация возможна только в том случае, когда существует два различных несравнимых элемента с максимальной глубиной в С5, то есть |^(5)| >1.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Даниярова Э. Ю., Мясников А. Г., Ремесленников В. Н. Алгебраическая геометрия над алгебраическими системами. Новосибирск : СО РАН, 2016. 288 с.

2. Gratzer G. General Lattice Theory. Birkhauser, 1998. 663 p.

3. Оре О. Теория графов. М. : Наука, 1980. 336 с.

4. Nikitin A. Yu. On radicals and coordinate partial orders // Journal of Physics: Conference Series. 2019. Vol. 1260: Algorithms and calculations in mathematical models. P. 022004.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Никитин Алексей Юрьевич - инженер-исследователь лаборатории комбинаторных и вычислительных методов алгебры и логики, Омский филиал института математики им. С. Л. Соболева, 644043, Россия, г. Омск, ул. Певцова, 13; e-mail: nikitinlexey@gmail.com.

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ

Никитин А. Ю. О радикалах систем уравнений над строгими линейными порядками // Вестн. Ом. ун-та. 2019. Т. 24, № 4. С. 4-8. DOI: 10.24147/1812-3996. 2019.24(4).4-8.

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Nikitin Aleksey Yur'evich - Research engineer, laboratory of combinatorial and computational methods of algebra and logic, Omsk Department of Sobolev Institute of Mathematics, 13, ul. Pevcova, Omsk, 644043, Russia; e-mail: nikitinlexey@gmail.com.

FOR GTATIONS

Nikitin A.Yu. Radicals of systems of equations over strict total orders. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2019, vol. 24, no. 4, pp. 4-8. DOI: 10.24147/1812-3996.2019.24(4).4-8. (in Russ.).