Газодинамика сильного испарения смеси при большой разнице в массах испаряемых частиц

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И Том XIV 19 8 3

М 3

УДК 533.6.011

ГАЗОДИНАМИКА СИЛЬНОГО ИСПАРЕНИЯ СМЕСИ ПРИ БОЛЬШОЙ РАЗНИЦЕ В МАССАХ ИСПАРЯЕМЫХ ЧАСТИЦ

Н. К. Макашев

Рассмотрены свойства течения испаряемой плоской поверхностью бинарной смеси при сильно различающихся массах испаряемых частиц. Получены соответствующие уравнения движения смеси. Испарение предполагается „сильным*—параметры смеси паров над поверхностью существенно отличаются от равновесных.

К настоящему времени явления над испаряющейся поверхностью исследованы достаточно хорошо во всем диапазоне отклонения параметров пара над поверхностью от равновесных (см., например, работы [1—6] и библиографию к ним). Основная цель перечисленных работ —дать граничные условия к макроскопическим уравнениям движения.

Для многих приложений интересен случай одновременного испарения нескольких компонентов с большой разницей в массах испаряемых частиц. При значительном отклонении параметров смеси паров от равновесных сильное различие в массах частиц приводит к тому, что течение над поверхностью является существенно неравновесным даже вне кнудсеновского слоя (многотемпературным, например). В силу этого процедура получения граничных условий к обычным макроскопическим уравнениям движения здесь не ограничивается только решением кинетических уравнений в слое Кнудсена, а включает в себя анализ внешнего неравновесного течения.

В реальных случаях, когда необходимо рассматривать одновременное испарение (эмиссию) частиц с резко различающимися массами, этими частицами являются электроны, ионы и атомы, хотя возможны ситуации, когда легкими являются атомные компоненты, а тяжелыми —микроскопические включения в испаряемый материал. При этом полное решение задачи о таком испарении не может быть получено без рассмотрения вклада излучения, химических реакций, электрического поля и т. п. в процессы над поверхностью. Большая сложность подобных явлений вынуждает на начальном этапе ис-

следования ограничиться рассмотрением влияния на сильное испарение одной только разницы в массах испаряемых частиц. Это и является предметом работы, в которой проведено последовательное рассмотрение свойств течения над поверхностью для различных диапазонов значения параметра о0 = реу, м lpev, т , где ptv,m и pQ'v, м

— давления насыщенных паров легкого и тяжелого компонентов соответственно при температуре поверхности Tw.

1. Большая разница в массах частиц, составляющих испаряемую смесь, может явиться причиной столь же большой разницы в массах частиц, падающих на поверхность и образующих ее. Следствие — возможное значительное отличие коэффициента аккомодации ът легких частиц от единицы [7]. Поэтому необходимо еще раз вернуться к получению решения в слое Кнудсена, поскольку известные решения построены в предположении а = 1.

Последующий анализ показал, что необходимость в рассмотрении течения какого-либо из компонентов в слое Кнудсена возникает только в тех случаях, когда это течение соответствует испарению однокомпонентного газа без взаимодействия его с другим газом. Такое решение было получено моментным методом с использованием сохранения потоков массы и энергии поперек слоя Кнудсена и в предположении, что /+ — функция распределения частиц, покидающих поверхность, и /~ — функция распределения частиц, падающих на нее, имеют вид

/+=a«ev (ftj^)3/2exp (— hw ?) + «ДА»3'2 exp (—/г, S2)= j

= /ev +/,,

f- = «со {hnjit)312 exp {— hoo {<ty — UyY + I2 -f Ц]}, A = m/2kT. j

Здесь «еу и /г,= 2(1 — а) {к А,)1/2 — плотность насыщенного

пара и плотность отраженных частиц; Ус — интенсивность частиц, падающих на поверхность; а — коэффициент испарения, А — постоянная Больцмана, т— масса частицы, Тг — температура отраженных частиц, определяемая коэффициентом аккомодации а [5], \—скорость частицы, у — ось координат, направленная по нормали к стенке; Поо, Та,, их — плотность, температура и макроскопическая скорость пара на внешней границе слоя Кнудсена. С учетом сказанного для этих параметров были получены связи:

К

Т*

«о,

2]/ ~ S+ >., ( 1 - (I - а) (1 - а)]__________________________

У* S (2,5 + S*) + Х2 [l — (1 — я) (Г— «)]

Л/оо =

(a li + 2У к S) »,

\п

X, = exp (- S-) — У~ S (1 — erf 5) ;

= (1 + 0,5 S2) exp (- S2) — V* S (2,5 + Л'3) (1— erf S)j2 .

Рассчитанные по (1.2) зависимости и от расхода т = = А^оо 5 V* представлены на рис. 1. Штриховыми линиями показано численное решение для л—1 [6]. Величина 5<(5/6)1/2, поскольку число Мес = «оо (3?п/5й7'оо)1/2< 1 [3, 4]. Видно, что решение (1.2) удовлетворительно соответствует точному, отклоняясь от него для

предельных расходов. Аналитическая форма решения (1.2) позволяет просто установить влияние а и а на течение.

Функции распределения /т и /м частиц с массами т и М удовлетворяют уравнениям:

% дМдУ = 4 + г> } = т, М,

где интегралы столкновения У(-;- в случае I ф} можно разложить в ряд по е — (т/УИ)1,2<^ 1:

Лу - А? (/ь /у) + А1} (//> /у) + (Л- /;) +

Это разложение для условий Тт ~ Г.и— Тт, ит~им~смш —

~ (кТт/М)112, причем Г; и — температура и средняя скорость г-г о

компонента, имеет вид [8, 9]:

!%

л о ^ ь

^/о

7*

Л2)Ж (4. /-«) = ] (22 ^ [/,„ (Т) (с к) к^] + д2 V (32/т а/т (-

11 ' 1

Рм 1. 2

) (3 V дс,0

т 1 дс1 о дсо 1 <?сЛ о дсг 0

ДО. (и и = о, уа)т (/ж, /т) =- 2е2 ^

д/м — I /я (со *)2 ^1 к] а°й Й </с,

/т (С0 &) 0° Й 9*0,

'Ж» (/*./«) = 2е<

- 2г2 ^ 1/;. 01 ^ к, (с0ку (Н2с1с0- 2в'/м ^Дс0А)а^ 2 *0.

Здесь использованы обозначения:

Го = ^0> Ко = §ЛГ И0, ( М./Ц й0 ] ~ | ит «о | ^ СЖш|

Т = с0 — 2

а°с1Я = с0Ьс1Ьйч, 0°—а0 (с0, с&), ^=л,/ца°, Рми = М§/мУ10У; 0 ЙК0.

Единичный вектор й входит в определение относительной скорости частиц после столкновения: g' = g~2{gk)k\ Ь—прицель-

ный параметр, 7 — азимутальный угол, р£ = /«,«(— массовая плотность г-компонента. Разложение (1.4) и (1.5) проведено в системе отсчета, связанной со скоростью и0.

Испарение при ит,м~Смт далее будем называть испарением в режиме I. Существуют условия, когда испарение происходит при Тт — Тм — Тт, ит и и — Стш — Слы< 5-4 (режим II). Здесь разложение У;;. удобно проводить в системе отсчета, связанной с иг. Для членов разложения получаются выражения, аналогичные (1.4) и (1.5), если в них вместо некоторых из обозначений (1.6) использовать такие:

Со = 1т — им, с = Ът — ит, х = с — 2 (с0к) А,

/т = /т (С)> У0 = — Им, /и = и (Уй)> А = °'

Если и1 <с с„,к и А„,,ц <с стш, Атм = ит — им, ТО интегралы соответствующие режиму II, можно разложить в ряд по Ат,и. Представляющее для работы интерес разложение /тм таково:

СО

/тМ (/т, /м) = ^ /тЛ1 (/т, /м), г=о '

причем Ушаг —обычный оператор Лорентца, /тм формально совпадает по виду с /тм из (1.4) после замены в .нем с0 на с = §т — ит, А на Д.мт =—Д„ш и определения -и как с — 2 (ск) к. Третий член разложения был вычислен в предположении, что /т —/т0 = = пт (/гтЬ)312 ехр (— Ат с2), кт = т\2кТт.

Результат имеет вид:

а {/т о, /и) = 2* 4 о /4 [4 (V»!) - 3>(*)/4) (с Д„ш)2 +

4- v(2) с2 -‘21г7п Д/и.и,/ Дшж, / д/дс, (г^1))],

где чМ=Пм Ф£«, Ф(7= | (1 —соз'х)^

2. В случае значительного отклонения параметров смеси паров над поверхностью от их равновесных значений среднемассовая скорость по нормали к поверхности и сравнима со скоростью звука в смеси при температуре Г~ Тт:

и ~ Смхи [

Сначала рассмотрим испарение, когда 80 = ре^м /реу, т 2^ 1. Здесь

в силу свойств процесса диффузии легкого компонента в тяжелом, а также в силу соотношения (2.1) средние скорости компонентов по нормали к поверхности ит и И и имеют величину ~СМш, т. е. испарение происходит в режиме I. Поскольку Смт^.Стю, такой режим испарения для УИ-компонента характеризуется сильным отклонением от равновесия, а для легкого — слабым, когда над поверхностью:

/т т [1 “Ь О ()], /еу, т — <%т «еу, т (Ат, да/71)3'2 ехр ( А„г, ха ?‘я),

пт = пеу, т [1 + О

Считая в (1.5) скорость й, = 0 и учитывая (2.2), найдем, что

в слое Кнудсена толщиной порядка /0 — (/ге¥, м о)-1, где а — сечение столкновения, с погрешностью О (е/о0) уравнение для /и имеет вид

чму д/м/ду — /им,

т. е. в главном приближении параметры Пм и Тм на внешней границе кнудсеновского слоя задаются зависимостями (1.2). Течение при этом становится многотемпературным, так как Тм Ф Тш^Тт.

Из (1.4) при выборе и0 = им и уравнения (1.3) для/ш, записанного в предположении, что (у, с0),

, , т ,

(им + с0у)-^ — (им

ди н д/„,

1У’ ду 1 0 У’ ду дс0 у'

можно получить следующие выводы. Во-первых, так как обмен энергией между компонентами описывается интегралом /тм> масштаб многотемпературного течения определяется оценкой Им д/т.ду — Си™/„,/Хе — ^т]м ~/,„ пеу,М стт о г2, откуда /_е ~ 10/г. Далее, течение смеси с масштабом Ьс может быть описано в рамках макроскопических уравнений, если функции распределения обоих компонентов принадлежат классу нормальных решений уравнения Больцмана. Между тем при 80^£“2 „нормализация11 /„, (этим термином обозначим переход /т в класс нормальных решений) обусловлена также /тм и происходит на масштабе Ье. В последнем можно убедиться, если, заметив, что на произвольном масштабе £;>/<, решение (2.4) имеет вид /т = /<£> (с2) + (/„/£) /£> (с0)+ . . . , где /^ — произвольная функция с\, сравнить в (2.4) справа и слева изотропные по с0 слагаемые. Аналогичная процедура позволяет установить, что в случае 1-<30Сг~2 нормализация /,„ обусловлена Jmm и происходит на масштабе 1*п~10 §У2<С£е-

Таким образом, в случае испарения смеси при 1<А<^г~2 многотемпературное течение вне кнудсеновского слоя толщиной /0 может быть описано уравнениями газодинамики. Соответствующие уравнения получены в [10]. Запишем их в предположении, что потенциал взаимодействия частиц является максвелловским:

(1пм и <*У

= 0,

ёу

и =-[2,

1т,м и

ЛТ

м

йи

с1у +Р*ЛУ

ЛТ,п

и

<гг,„

Рп

(1и 1 Лу

— °> 77 (рм + р,п +?м и'^ ~ °’

Им Рш фтм]-1 Лрт!йу, р1 = п1 кТ

— 6- пп Пм е2 к ФтЖ (тт — Тм) = Е,

с1 3 . _ с1п,„ V,,,

Я т

ту "

X

Лу

/у

х =

кТ„

йу

Е.

2- ш

ФтМ + 2 ~Ф

п т

тМ

В (2.5) учтено, что с погрешностью — г2 скорость им ~ и. Парциальные температуры Т1 вычисляются по (§г— и)2. Соответственно уравнения энергии записаны в системе отсчета, связанной с и.

Если масштаб внешней задачи превышает Ье, то граничные условия для газодинамических уравнений должны быть получены в результате решения системы (2.4) с граничными условиями на поверхности (1.2) для УИ-компонента и Т,„ = Гто, пт = печ,т для т-компонента. В бесконечно удаленной точке Тт— Тм, м —ияг.

В случае 80^>з-2 (здесь рт^£4 рм) состояние от-компонента в /,е-слое не определяется системой (2.5). Поскольку изменение Тм в 1е-слое из-за присутствия легких частиц здесь составляет^в2 7да, то при описании движения М-компонента или можно пренебречь.

3. Перейдем теперь к противоположному случаю и рассмотрим, как влияет малая примесь тИ-частиц на испарение легких от-частиц, Здесь 80<С1.

Непосредственно около поверхности столкновения УИ-частиц редки, а влияние легких те-частиц на движение М-компонента незначительно. Поэтому здесь Um~Cmw, пт~ nev<m,um —

~нот0, причем величина ит0 пока неизвестна.

На некоторой длине Le происходит выравнивание 7’;, причем Tt~Tw. Сохраняется по порядку величины и пт. Тогда ит0~ите= = ит

Величина Ье определяется по 80 и е из условий сохранения парциальных расходов:

Из (3.2) следует, что 80J^>s соответствует S,~§q^i22. При 80^s величина 8в— 80с^ег. Но во всех случаях оД 80 из-за разгона УИ-частиц легким компонентом до скоростей, много больших тепловой cmw Особенностью этого разгона является то, что энергия забирается у теплового движения от-частиц и передается в основном в направленное движение УИ-газа.

Действительно, энергия, передаваемая в единице объема от легких частиц к тяжелым, не превышает по величине пт, е kTe~

— пт,е kTw, что на одну уИ-частицу составляет —kTJbe^>kTw. Поскольку Тт, Тм, е ~ Tw, эта энергия в основном используется на разгон УкГ-компонента, а оценка ие получается из равенства kTJbe cs. Mu2J2, откуда ие ~ cmw S—12. Однако Ые Cmwi и, распространяя рассмотрение на случай 8е^г2, получаем такую окончательную оценку ие, совпадающую с (3.1),

Масштаб выравнивания температур определяется по скорости ие и интенсивности энергообмена между от- и М-компонентами:

Lе ' Ue

Масштаб выравнивания скоростей компонентов Lu найдем из уравнения импульса для М-частиц, учтя, что ие^>Смш, и использовав известное выражение для обменного слагаемого j JmMXm dZM

Для у^£„ разница в средних скоростях компонентов Дмт~ие, при У^>1„ имеем Д.ИтСй,.

Выясним теперь, при каких условиях описание всех этих явлений над испаряющейся поверхностью возможно в рамках макроскопических уравнений, а также установим вид этих уравнений.

Для 80<^1 нормализация /т происходит на масштабе 10. При этом в случае 80^$, когда 8е^г2, скорость ит — стщ и испарение от-частиц является сильным. В главном приближении /п в слое Кнудсена толщиной /0 удовлетворяет уравнению:

8е~80 (е2 + 8е)>/2.

ие — min (cMw 8->/2, cmw) ~ cMw (г3 + 5е)“1/2.

[Ю]:

£2 М Им, е flm, е 3 cmw, La ~ А> г ' (е + £”) ' 2 ^е-

%ту dfm/dy — 4и1

б—«Ученые записки» Ш 3

81

а параметры пт, 7т и ип на внешней границе этого слоя (или на дне слоя толщиной Le) связаны соотношениями (1.2).

Если г<80 и 8е'~8о^>г2> скорость um<^cmw. Тогда с погрешностью S(f1 <С 1 на дне слоя Le в главном приближении

Тт — Tw, nm — neVi т-

Нормализация /м при 80^в (8с^в2) происходит в столкновениях УИ-частиц с легкими да-частицами на длине Ье — 1^. Этот процесс описывается интегралом Jmm, причем в главном приближении после его завершения Тм = Тт и им — ит, так как решением уравнения

fm о) = 0. = exp [— hm (Хт — UmY] ЯВЛЯвТСЯ

функция fM о = Пм {М/2т. kTm)m exp [-М (\м - um)2/2kTm}.

В результате видим, что для 80^е, когда о^е2 и рм,е <рт,е, распределение макропараметров в слое Le не может быть найдено в рамках макроскопических уравнений. Однако для 80<^;е с погрешностью— 80/е в получаемом решении для /га-компонента можно пренебречь присутствием тяжелых частиц и свести задачу получения граничных условий к известной для однокомпонентного газа.

Когда е<80^е>/*, нормализация /м происходит в столкновениях М и т-частиц на длине Le, поскольку в этом случае интеграл Jmm в уравнении (1.3) для fM не превосходит дифференциальной части этого уравнения, которая, в свою очередь, много меньше .1{м'т при L-^s>Le.

Таким образом, наиболее трудны для решения задачи об определении граничных условий к макроскопическим уравнениям движения случаи сильного испарения при e^80^£l/2) когда слой Le — /q/в 80;^>/0, гДе параметры газа претерпевают конечные изменения, является существенно кинетической областью течения из-за особенностей движения тяжелого компонента, который составляет основную массу испаряющегося газа.

Для 80^>е1/2 максвеллизация/ж обеспечивается столкновениями УИ-частиц на длине 1мо = 10/\, разгон тяжелого компонента от им~

— Cmw до им ~ ие — Cmw/^o происходит на расстояниях от 0— /0 Vs до Lu — Le~lje 80> выравнивание Тг — на длине Le. Поскольку 1Мо<С <^.Lu,o<s^.Lu — Le, переход течения к одной температуре и скорости может быть описан в рамках макроскопических уравнений.

Заметим, что при переходе от 80 — £1/2 к 80 s1/2 кинетическая

область течения для М-компонента уменьшается от Le~l0/z312 до 1м о — /0/8о "d ^о/1/2- Такой „скачок11 обусловлен тем, что в потоке происходит разгон УИ-частиц, в результате чего для §0 — е12, вплоть до L^Le, справедлива оценка Хм у д/м/ду ^Jmm. Если же 30^>еМ2, неравенство Хм у д/м/ду^^м справедливо только при L^Imo-UI^o-

В условиях, когда е1,2<80< 1, над поверхностью /m = /ev, m[l+ + О (е/80)], пт = Ие у, т [1 + о (e/80)J, Tm = Tw [1+0 (е/80)]. По этой причине аналогично п. 2 можно показать, что уравнение главного приближения для /м в слое Кнудсена для УИ-частиц совпадает с (2.3), а параметры УИ-компонента на внешней границе этого слоя (или на дне 1е-слоя) удовлетворяют связям (1.2).

Макроскопические уравнения в /,й-слое при е1/2<С80<С 1 получим методом Чепмена — Энскога, применив его к уравнениям для fm и /м, записанным в этом элементе течения. Обезразмеренные уравнения имеют вид:

^ ! П /ТГ,

Dt

<Ут

дх1

£3 От и

т ит ,(

<Уп

дс„

д/„,

дх, ^ дст

.2 дит Л

тт “Ь 80 УтМ £ °о ^тМ + е2 !тМ + £2 °0 Ам + • . .;

М 1М | * д/:

I £ °0 СМ, I

Ж

т

дх1

+ 8 80

1 дрм и ж

г М

<3м л

Ж, г

:5о/

ММ

дх;

I . /

-- С 7

<?С,

•у - -Ж, г

Жт ~Ь • • • •

сЪс,-

й/ж Сж. / д~ =

Ж, (

Здесь Сщ, М -= %т, Ж й//г, Ж, 1П)1 ~ д/дt —|— Ца

При записи (3.3) и (3.4) учтены следующие обстоятельства. Во-первых, из-за малости величины 80 испарение происходит в условиях, когда в /,е-слое ит — им сМю и разложение Jlj ведется по методу, соответствующему испарению в режиме II (см. п. 1). Однако ДлиСся, ЧТО позволяет упростить /тМ за счет разложения по ДМт-

Во-вторых, большая величина отношения ит/смт и отмеченные свойства Jmм делают более удобными запись уравнения для /т в «^-системе отсчета и использование для получения решения многоскоростного подхода, когда /а=/а(у, са), с* = %« — иа, а = т, М. Результат затем с помощью переразложения по Дмт1стт может быть преобразован к односкоростному виду. И, наконец, при выводе (3.4) производная Ом им/Ъ( исключена с помощью выражения для ]{мт и уравнения импульса УИ-частиц [9].

Решение уравнений (3.3) и (3.4) имеет структуру:

/|л“/шО + Е °0 (/т 10 + 8о fmU + • •  ) + е2 /т 2 + •

/ж = /ж О + е {мх + Ь О"1 fм 2 + • • • ,

/ао = Па (/г,>)3/2 ехр (— ка с2), а = т, М.

С помощью (3.3), (3.4) и (3.5) обычным путем получаются уравнения главного приближения, которые для газа частиц, взаимодействующих по максвелловскому закону, имеют вид:

дрп

ду

0,

дпм им

0,

ди

р М Им

ж

ду

ду

2г. рт пмФ

ду

= 2тг

Рт Ям ФтМ Д

Мгп.)

(1) д

тМ &Мту

к пт птд^+рт^=2* р „им Ф' Оу оу

- , дТм дим

к Пм Им -0Г- + Рм ду -

(1) д2

тМ **Мт)

6- £2 Пт/1мк ФтАГ (Тт — Тм).

Система (3.6) может быть записана для тех же переменных, что и уравнения (2.5), если учесть, что в рассматриваемых условиях среднемассовая скорость и незначительно отличается от им-В получившейся системе изменение и связано с изменением давления р = рт + рм~рт, а разница между ит и и ~ им, как и в (2.5), обусловлена диффузией легкого компонента в тяжелом (несмотря на малость §„!),.

Сопоставление систем уравнений (2.5) и (3.6) показывает, что уравнения, справедливые в интервале 1/2 <С! <0~2, совпадают с

(2.5). Решение системы (2.5) будем строить так. С помощью интегралов трех первых уравнений, обезразмеривания дту —ртоо <7,

пм = пмсо ы, рт = ртсо р, Тт — Т<х х, Т,и = Гк, 6 и замены переменной

"*] = (бЗоэ 5ос/Гоо) | (<7туЛ) йу, 8,

У

ос '— И-Мос/Пщсо, $оэ — Иоо ^Мсс

-2

Рис. 3

система (2.5) сводится к уравнениям первого порядка для q, N, р и %, определенным на конечном интервале изменения т,. В точке Ч—О неоднородные частицы уравнений для N, р и q в силу условий при у-^оо содержат неопределенность типа „0/'0“, которая раскрывается с помощью разложений

Р — 1 + Ч + •  - . Л/= 1 -f ijv rj-l- , q == г) -j- . . . ,

т = 1 -f- O,2ri/Soo §<x>.

Физически содержательному решению соответствует наименьший положительный корень алгебраического уравнения четвертой степени для If .

На рис. 2 и 3 показаны построенные таким образом интегральные кривые, которые дают целые семейства решений, соответствующих заданным 5а, и §со и различным значениям еще одного параметра, например, т]шах или т. Увеличение числа параметров задачи в сравнении со случаем сильного испарения однокомпонентного пара связано с влиянием высокой теплопроводности легкого компонента.

При Soo > (5/6)1/2 интегральные кривые проходят через особую точку типа „седло11, где им равна локальной скорости звука для тяжелого компонента.

В заключение благодарю В. С. Галкина за внимание к работе и полезные дискуссии.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кучеров Р. Я., РикенглазЭ. Л. О гидродинамических граничных условиях при испарейии и конденсации. ЖЭТФ, 1953. т.

37, в. 1 (7).

2. Муратова Т. М., Лабунцов Д. А. Кинетический анализ процессов испарения и конденсации. ТВТ, т. 7, № 5, 1969.

3. Анисимов С. И., И м а с Я. А., Романов Г. С., Ход ы-к о Ю. В. Действие излучения большой мощности на металлы. М., „Наука*, 1970.

4. Коган М. Н., Макашев Н. К. О роли слоя Кнудсена в теории гетерогенных реакций и в течениях с реакциями на поверхности. „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1971, № 6.

5. Абрамов А. А., Макашев Н. К. О влиянии возбуждения внутренних степеней свободы молекул на процесс слабого испарения или конденсации „Изв. АН СССР, МЖГ“, 1979, № 6.

6. А б р а м о в А. А., Коган М. Н., Макашев Н. К. Численное исследование процессов в сильно неравновесных слоях Кнудсена.

„Изв. АН СССР, МЖГ“, 1981, № 3

7. Каминский М. Атомные и ионные столкновения на поверхности металла. М., „Мир*, 1967.

8. Митчнер М., Кругер И. Частично ионизованные газы.

М., .Мир", 1976.

9. Галкин В. С. К выводу уравнений двухтемпературной газодинамики модифицированным методом Чепмена—Энскога. ,Изв.

АН СССР. МЖГ“, 1981, № 1.

10. Галкин В. С. Применение метода Чепмена—Энскога к случаю двухтемпературной смеси газов. „Изв. АН СССР, МЖГ‘, 1967,

№ 6.

I -----------

Рукопись поступила 221X11 1981 г.