Нестационарные одномерные течения невязкого излучающего газа

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м III 197 2

№ 2

УДК 533.6.071.8.08

НЕСТАЦИОНАРНЫЕ ОДНОМЕРНЫЕ ТЕЧЕНИЯ НЕВЯЗКОГО ИЗЛУЧАЮЩЕГО ГАЗА

Ю. Г. Елькин

Проведено исследование нестационарных одномерных течений невязкого селективно излучающего газа, моделирующих условия в ударной трубе. Методом последовательных приближений получены распределения газодинамических параметров потока за распространяющейся в воздухе прямой ударной волной, а также толщина нагретого слоя и распределения радиационного теплового потока в различные моменты времени. С помощью асимптотических решений при / н> 0 получена оценка начального распределения параметров потока в момент времени, близкий к началу возникновения такого течения.

Для расчета обтекания тел при гиперзвуковых скоростях полета, когда вследствие уноса энергии газа излучением существенно изменяются газодинамические характеристики потока, необходимы сведения о поглощательных и излучательных свойствах нагретых газов. Ударная труба является одним из основных приборов для их изучения. Из экспериментальных исследований в ударных трубах получен ряд констант, необходимых для расчета обтекания тел в интересующей исследователей области режимов.

Однако при определенных условиях параметры потока за падающими и отраженными ударными волнами становятся переменными вследствие уноса части энергии газа излучением. Как отмечено в работах [1—4], экспериментальные данные об излучательных способностях слоев воздуха различной толщины, полученные в ударных трубах, практически не отличаются от теоретических значений, вычисленных в предположении изотермичности и изобаричности излучающего слоя при температурах до 12 000° К, и значительно отличаются при более высоких температурах. В ряде работ было проведено исследование нестационарных одномерных течений невязкого излучающего газа за отраженной ударной волной [5—7] и перед поршнем [8—11], движущимся с постоянной или переменной скоростью. При этом предполагалось, что при

наличии излучения давление [5] и скорость газа [7] за отраженной ударной волной являются постоянными и газ за падающей ударной волной не излучает. При расчете использовались двух- и пятиступенчатая модели [5—7] для коэффициентов поглощения или делались предположения об объемном высвечивании [8, 11] и сером излучении [9, 10]. Однако получить экспериментальные данные об излучательных свойствах газов в ударной трубе за отраженной ударной волной для наиболее интересной области режимов полета трудно, поскольку химическая неравновесность газа за падающей ударной волной оказывает существенное влияние на параметры течения за отраженной ударной волной [6]. Поэтому желательно получить те же условия непосредственно за падающей ударной волной, но тогда возникает рассматриваемая задача о расчете параметров течения за падающей ударной волной с учетом уноса энергии газа излучением.

Для упрощения анализа были сделаны следующие допущения: вязкость и теплопроводность газа пренебрежимо малы; в нагретом газе между ударной волной и контактной поверхностью происходят равновесные физико-химические реакции; газы перед распространяющейся ударной волной и за контактной поверхностью идеальные и неизлучающие; давление и плотность излучения пренебрежимо малы; нет уноса энергии излучением через боковые стенки. При этих предположениях задача сводится к расчету параметров нестационарного одномерного течения излучающего газа. Реальное течение в ударной трубе из-за небольшого ее диаметра не одномерно, и необходим учет вязкости газа, уноса энергии через боковые стенки трубы и неравновесности химических реакций на начальном участке развития течения. Однако решение одномерной нестационарной задачи можно использовать для оценки характеристик течения в ударной трубе, пока толщина пробки будет меньше диаметра трубы. Кроме того, из этих решений можно определить, при каких режимах течения становится необходим учет потерь энергии за счет излучения.

Таким образом, рассматривается задача о нестационарном одномерном течении невязкого излучающего газа, которое возникает в плоской ударной трубе в случае мгновенного удаления бесконечно тонкой и плоской диафрагмы, ограничивающей слева камеру высокого давления, а справа — рабочую камеру. Система уравнений, описывающая это течение, в неподвижной системе координат имеет следующий вид:

др дщ __п. дЬ + дх ~ ’

дри . д

дх

: 0;

с1р

м

сНу<7= 0;

Р(р, Т); А = А(/», Т)\

Ьк

хя

где р — плотность; и — скорость; р — давление; Л — энтальпия; Т — температура газа; Ь — время, отсчитываемое от начала возникновения течения; х — координата (х = 0 при ^ = 0), Л —интенсивность излучения с длиной волны X; 5 — луч, вдоль которого

рассчитывается интенсивность излучения; & —коэффициент поглощения; В\—функция Планка; 2— телесный угол.

Граничными условиями для этой системы на ударной волне при х = х1 будут следующие соотношения:

где г'оо — скорость ударной волны, индексом „оо“ отмечены параметры газа перед ударной волной. Первые три условия являются соотношениями Ренкина—Гюгонио, а условие для /Г означает, что интенсивность излучения газа перед ударной волной равна нулю для всех длин волн X.

Граничные условия на контактной поверхности при х — х2 имеют вид

(с3 — скорость звука, р3 — давление газа и у, - отношение удельных теплоемкостей в неподвижном газе из камеры высокого давления). Так как скорость и давление газов слева и справа от контактной поверхности не изменяются, то из соотношений в волне разрежения следует первое из граничных условий (3). Второе из этих условий означает, что толкающий газ является неизлучающим.

Для решения этой задачи используем метод последовательных приближений. В этом случае член сНV#, описывающий сток тепла за счет излучения, в каждом приближении является заранее заданной функцией координат х и Ь. Система из первых пяти уравнений имеет гиперболический характер. Поэтому для вычисления параметров течения используется метод характеристик. В начальный момент 10, с которого начинается расчет методом характеристик, должны быть заданы все параметры потока в области х2<а:<х1:

Таким образом, ставится задача об отыскании решений системы уравнений (1) с граничными (2), (3) и начальными (4) условиями при использовании спектральных коэффициентов поглощения воздуха, рассчитанных в работе [12].

Начальный момент времени t0 можно выбрать так, чтобы за промежуток времени от нуля до излучением уносилась незначительная доля энергии газа и параметры потока в области практически не отличались от вычисленных без учета потерь энергии за счет излучения. Однако для расчета начального участка развития течения требуется большое время счета на ЭЦВМ. Поэтому при Ь^-0 можно использовать методы теории возмущений и оценить распределения газодинамических параметров течения при t—t0. В качестве характерного размера в этой задаче выбирается толщина нагретого слоя газа 80 и в качестве параметра малости — оптическая толщина слоя х = с условием, чтобы

= О для всех X

т<1. При получении асимптотических решений система (1) приводится к безразмерному виду следующим образом:

Р — Ро р; h — h0 h\ р — Ps)P\ и = ийи\ х — Ь0х\ t = div q - div q\ voo = u0v.

U 0 Oq

Здесь индексами „0“ отмечены параметры потока между ударной волной и контактной поверхностью, вычисленные без учета потерь энергии. Кроме того, если р незначительно отличается от р0, а р от р0, то можно ввести некоторое эффективное число •(, так что уравнение состояния можно записать в виде

h =

7

7— 1 Р

Тогда с.

= 7Ро

Ро

М„

—. Например, при 13000° К

и /?0^0,5 атм эффективное число т равно 1,1268 и вычисленные значения с0 и М0 отличаются от действительных не более чем на 0,5%.

Обезразмеренная система (1) имеет следующий вид (в дальнейшем используются безразмерные величины, черточки над ними опущены):

др

dt

дои

дх

п ди 7 р dt

р и

ди

1 др дх ^ тМо дх

= 0;

dh

dt

pa

dh

дх

1

7

др

dt

др

дх

+ и -тт I + div q =0; h-

7— 1 р '

Решение системы уравнений (7) ищется в виде асимптотиче ских разложений по степеням параметра:

р(х, 0 = 1 + тР1 (х, ?) + . . .; р = 1 + *р1 + . . .; и = 1 + + . . .

Л = 1 + т/г1 + . . . ; V = а XVг + • •  ; <11V д = тЛ + •. • ,

где а =

Vo

А = const — 0(1), зависящая от р0, Т0. Тогда для

первого приближения система (7) принимает следующий вид:

dpi

dpi . dut

dt

dt

dx

7— 1

dx

dux

dt

дил

1 dpi

0;

dx TMo dx PiІ + Л = 0; Лх=/?,—pt.

Общее решение системы

7- 1

К

Pi+fi(x - t) - Ах]

Р\= — Mt + fi (fl21 — X) •+ /з (Os t - x); 1

7M0

[- /2 (*2 t — x) + f3 (a3 t—x)],

где а2 = 1 — М0 \ а3 = 1 + М0 \ (х — 0, /2 (а21 — х) и /3(а3Ь — х) — произвольные функции своих аргументов, вид которых опреде-

ляется из граничных условий. При £ = 0 величина рх = р1 — к1 = = и, = 0.

Согласно принципу переноса граничных условий на невозмущенную границу течения [13] на линии х — & из условий (2) получаем

у1 = а[и1 — {а— 1) рх]; 2(а—1)^

А,

-^г + (а-1)*р1;

тМо

‘°1— 9

(т-1)М I а из условий (3) при х = 1

и, =

-(а — 1 )ии йхрх

V ТТз м0 ’

где <1^-

1/2

_Ро_ (^У3 _ Рз \ Ро У _

При подстановке" (10) в (11) и (12) определяется вид функций /и /г> /а. и решение запишется следующим образом:

Т- 1

/г,

7

р1 = — А^+Съ(а^ — х)-\-С9{агЬ — х)-,

1 [—Ci(ait — x)-\-C3(a3t — x)\,

й, =

ТМ0

где С1( С2, С3 — константы, определяемые из следующих соотношений:

о — —

А __ и Г иЦ и

г* _ з 2 . /~> о о/~». __ 1

Ъ] ’ 2 _ ~ иГ

М6

Ьп-^-Ь3 + ВхВ3

*ю 4~ ^2 *з

*8 *2------*9

р___*1*7 *3*4 . р __ ~1~6 . р

01 М5~*2*4 ’ 2_ *1*5-*2 *4 ’ 8 *1

'’=^г/т+1; **=

ЛтМ0;

а, — а

[(2а - 1)М0“! - М0~2 - а (а - 1)];

а — а*

1(2а - 1) Мо + Мо + а (а - 1)];

Ь6 = (а - 1) [- (Т - 1П М0~2 + а (а - 1)];

*, = А [— Мо2 — а (•[ — I)-1 М0 ^ + а (а — I)2];

-2

*«

*о =

а, — я

& — До

[2 (а — 1) Мо-1 - М^2 - (а — I)2]; [2 (а — 1) Мо"2 + Мо"2 + (а — I)2];

*10 = (а- I)3; *ц = -Д [— Мо"2 + (а — I)3].

При этом

а _ Ро _ _ т

а— 1 Рсо т-1

В,= 1

(Too — 1) М;

2 ’

Мо

Vo

; .вА=\

"ifсо Ра

ТооМ,

2 ’

Мо 2:

•((а — 1 )(аВ4 — а + 1).

Т + 1

с» величина а

При 7со = const и Мо Ро . Т + 1

роо 1— 1 ‘

Необходимо отметить, что в статье [11] рассмотрен один из частных случаев общего решения, когда т = const, Мот-^со, и, = 0 при x = t. В этом случае из формул (13) —(16) следует:

- ^1~------о~Т"Гг!+ /о., iwl--------гг (JC —

/V

2Т - 1 * ‘ Лт

(2Т- 1)(т— 1) At

2т-1

На ударной волне при Л:

и

1 2т-1 Т+1

t

Al

4(2v~-l) 2».=Л=А.=

(X - *).

^т

2т — 1

t,

а на контактной поверхности при х

Лт

«1 = 0; /V

2Т- 1

Лт2

2Т-1

Если учесть, что в [11] и в настоящей статье нормировки для р и dlv<7 различны, то в основном полученные результаты совпадают. В случае, когда линия x — t является границей раздела двух газообразных сред, то на ней Mj^O. Изменения скоростей газа и ударной волны, давления и энтальпии вдоль линии ^=const меньше, чем в аналогичном случае при постоянной скорости раздела (поршня). Кроме того, в случае постоянной скорости поршня (и —0 при x = t) давление газа вдоль линии £ = const будет постоянным, а если граница является контактной поверхностью, то давление переменно.

Для .примера на фиг. 1 представлены распределения возмущений скорости ии давления рх и энтальпии газа между ударной волной и контактной поверхностью при t = 3,319. Расчет проведен для г>оо=13 км)сек, Тсо=М, /?со = 0,2 мм ртп. ст., Тсо = 300°К,

7з=-^-, р3 = 100 атм, Т3 = 5569,6°К. В этом случае у= 1,1268,

а = 1,064, М0 = 3,715, А = 0,77, т = 0,04. •

Для оценки величин т и Л использовались спектральные коэффициенты поглощения и степени черноты из работы [12|. Как видно из фиг. 1, учет уноса энергии излучением приводит к уменьшению скорости газа ударной волны, давления и энтальпии газа в ударном слое за исключением небольшой области около контактной поверхности, где скорость газа выше, чем и0.

3—Ученые записки № 2

33

Подобный анализ проведен и для режима, близкого к режиму объемного высвечивания, когда А не является константной, а зависит от например, Л = Л1£П-1, где показатель степени п изменяется в интервале 0,5</г< 1. В этом случае качественно параметры изменяются так же, как и в режиме объемного высвечивания, но количественные изменения несколько меньше.

Необходимо отметить, что в работе [7] делалось предположение, что давление и скорость газа не изменяются при учете излучения, и затем из уравнения энергии рассчитывалось изменение энтальпии газа. Из асимптотических решений видно, что

Рл

А (( — 1), и это предположение

скому предельному переходу М0

соответствует > 1.

ньютонов-

-^оо, кС помощью асимптотического решения (13) —(16) были оценены изменения газодинамических характеристик потока на начальном участке развития течения. Это необходимо для получения решений полной задачи (1) —(4) при режимах, когда требуется учет неавто-модельности этих решений.

Интегро-дифференциальная система уравнений решалась методом последовательных приближений. По известному распределению параметров потока и divq в т-м сечении (tm = const) и распределению div<7 в (/га-|-1)-м сечении определяются методом характеристик все газодинамические функции течения в (т + 1)-м сечении. Затем по полученному распределению температуры и давления газа между контактной поверхностью и ударной волной и толщине нагретого слоя8 = Х; — х2 проводится интегрирование уравнений переноса излучения для всех рассматриваемых длин волн X и всех лучей S, уточняется распределение div# в этом сечении и рассчитывается новое приближение для параметров потока. Процесс вычисления продолжается до тех пор, пока параметры потока в двух соседних приближениях будут отличаться друг от друга лишь с заданной степенью точности.

Характеристические соотношения для этой существенно неавтомодельной задачи будут следующими:

на .^-характеристике

dp + р+ c+du + N+dt = 0 «а ^-характеристике

dp — р_ с_ du -f- N_ dt = 0 на линии тока х0

Mdp -\-dt -f Fdt = О

и

dxA

dt

dx-

dt

dxn

C;

dt

u,

где

ЛГ±

р

Р „ (Ну <7

-------; /=• =-----------------^

Р

/Р

Термодинамические функции и их производные

’ \к~д7г) вычисляются по аппроксимационным формулам,

предложенным В. В. Михайловым [14]. Поскольку все газодинамические функции потока в т-м сечении (начальном) известны, то, используя соотношения (18), записанные в конечноразностной форме, можно вычислить параметры потока в последующие моменты времени, если предположить, что известно распределение стоков тепла (Ну#. Схема вычисления практически не отличается от схем расчета методом характеристик для неизлучающего газа [15]. Так как значения (Ну# в любом приближении были известны лишь в т-м и (т + 1)-м сечении, то для вычисления (Ну # в требуемой точке линия тока, проходящая через эту точку, продолжалась до пересечения с сечениями Ь = и 1 = определялись координаты пересечений с этими сечениями и значения (Ну# в точках пересечения. Затем линейной интерполяцией по координатам пересечений и величинам (Ну# в этих точках определялось искомое значение сНу#.

В рассматриваемом случае предполагалось, что толщина 8 значительно меньше диаметра ударной трубы О. Для расчета (Ну# излучающий объем представлялся в виде бесконечного плоского слоя и использовалась десятиступенчатая модель для коэффициентов поглощения воздуха [16], которая позволяла при сохранении точности расчета параметров течения значительно сократить время счета приближений. Окончательный расчет радиационного теплового потока # был проведен по полным спектральным коэффициентам поглощения к.\ [12].

Этим методом был проведен расчет параметров течения за лрямой ударной волной, распространяющейся в неподвижном воздухе. На фиг. 2—8 приведены результаты численного расчета для случая 1>оо = 13 км/сек, роо = 0,2 мм рт. ст., 7,Со = 300°К, ^=1,4, Тз = 5/3, р3 = 100 атм, Т3 = 5569,6° К. При расчете все независимые переменные и их функции в уравнениях (18) были обезразмерены следующим образом: скорость газа и, скорость ударной волны -Рос я скорость звука с отнесены к максимальной скорости ътах, плотность р отнесена к рсо, температура Т — к Газ, давление р — к рсо^ах’ энтальпия А — к г^ах, значение х отнесено к некоторой характерной

г / 1

длине I, время Ь— к --------, дивергенция радиационного потока

^ шах

рсо

<Иу# — к—. В данном случае Ь = 1 м, vmax= 13023 м/сек.

На графиках фиг. 2 — 8 штриховыми линиями показаны параметры течения без учета уноса энергии газа излучением (сНу# = 0), а сплошными — с учетом этого явления ((Ну дфО).

Фиг. 4 Фиг. 5

На фиг. 2—5 показаны для различных моментов времени распределения температуры Т, давления р, скорости и и дивергенции радиационного потока сНу# (значения длч д на фиг. 5 отнесены

к сИу<70

ккал мг • сек

в излучающем слое по

л: — хч

На фиг. 6 представлены изменения толщины нагретого слоя 8 ^кривая / — при (Ну# = 0, кривая 2—при ймдфО) и радиационного теплового потока д при наблюдении со стороны ударной волны {кривая 4), при наблюдении со стороны контактной поверхности (кривая 5) и при сИу^^О (кривая 3) в зависимости от времени.

На фиг. 7 представлено распределение радиационного теплового потока д, поступающего к боковой стенке ударной трубы, по I в различные моменты времени для диаметра Г), равного 6 см. В этом случае предполагалось, что распределение температуры и давления газа в пробке за ударной волной, распространяющейся в ударной трубе, подобно представленным на фиг. 2 и 3.

На фиг. 8 показано изменение скорости ударной волны в зависимости от времени. Штрих-пунктирной кривой представлено изменение “Усо от Ь в предположении объемного высвечивания.

Результаты численного исследования процесса распространения прямых ударных волн в неподвижном воздухе показали, что вследствие уноса энергии газа излучением изменяются все газодинамические характеристики потока газа за ударной волной. Интересно отметить, что при одинаковой толщине излучающего слоя изменения температуры при нестационарном распространении прямых ударных волн и установившемся обтекании затупленного тела (в критической точке) примерно одинаковы, а изменение

давления газа в первом случае-более значительно, чем во втором. Как видно из приведенного примера расчета, излучение нагретого ударной волной газа существенно изменяет газодинамические параметры течения при скоростях, превышающих 12 км1сек, и при интерпретации полученных экспериментальных результатов в ударных трубах и других импульсных установках необходимо учитывать существенную неоднородность по-'>"'0 0,5 w^(cex] тока, возникающую вследствие

фиг g уноса энергии газа излучением.

‘ В заключение автор искренне

благодарит В. Я. Нейланда и Ю. А. Пластинина за советы в решении рассмотренной задачи.

ЛИТЕРАТУРА

1. Page W. A., Compton D. L., Borucki W. J., Ciffori e D. L., Cooper D. M. Radiative transport in inviscid nonadiabatic stagnation-region shock layers. AIAA Paper, No 68—784, 1968.

2. G о 1 о Ы с R. A., Nerem R. M. Shock tube measurements of end-wall radiative heat transfer in air. AIAA J., vol. 6, No 9, 1968.

3. Knott P. R., Carlson L. A., Nerem R. M. A further note on shock tube measurements of end-wall radiative heat transfer in air. AIAA J., vol. 7, No 11, 1969.

4. Bengtson R., Miller М., Koopman D., Wilkerson T. Comparison of measured and predicted condition behind a reflected shock..

Physic of Fluids, vol. 13, No 2, 1970.

5. Anderson J. D., Jr. Radiative transfer effects on the flowfield-and heat transfer behind reflected shock wave in air. Physics of Fluids, vol.

10, No 8, 1967.

6. Carlson L. A. Radiative-gasdynamic coupling, two-temperature and chemical nonequilibrium effects behind reflected shock waves. AIAA Paper. No 70-774, 1970.

7. Chien Kuel-Yuan, Compton D. L. Radiative cooling of shock-heated air in cylindrical shock tubes. AIAA J. vol. 8, No 10, 1970.

8. Hay G. D. An approximate small-time solution for a transparent radiating gas behind a reflected shock wave. M. Sc. Thesis, The Ohio State University, Columbus, Ohio, 1968.

9. Finkleman D. A characteristic approach to radiation gasdyna-mics. AIAA Paper, No 68—163, 1968.

10. Wang C. P. Effects of thermal radiation on the propagation of plane shock waves. Physics of Fluids, vol. 13, No 7, 1970.

11. Ватажин А. Б. Нестационарное течение газа в канале, вызванное движением поршня, при магнитогидродинамическом отводе энергии и высвечивании газа. Изв. АН СССР — МЖГ, № 5, 1970.

12. Нейланд В. Я., Коньков А. А., Николаев В. М., Пластинин Ю. А. Проблемы лучистого теплообмена в гиперзвуковой аэродинамике. „Теплофизика высоких температур*, т. 7, вып. 1, 1969.

13. В а н-Д а й к М. Методы возмущений в механике жидкости.

М., „Мир”, 1967.

14. М и х а й л о в В. В. Приближенное аналитическое представление термодинамических функций воздуха. „Инженерный сборнику т. 31. М., Изд. АН СССР, 1961.

15. Наумова И. Н. Метод характеристик для равновесных течений несовершенного газа. Труды ВЦ АН СССР, 1964.

16. Боголепов В. В., Елькин Ю. Г. Обтекание сферически затупленных конусов гиперзвуковым потоком невязкого излучающего газа. „Ученые записки ЦАГИ“, т. II, № 2, 1971.

Рукопись поступила 6/VII 1971 г.