Исследование функций на убывание и возрастание в контексте фундаментализации математического образования

ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИЙ НА УБЫВАНИЕ И ВОЗРАСТАНИЕ В КОНТЕКСТЕ ФУНДАМЕНТАЛИЗАЦИИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ОБРАЗОВАНИЯ

А. Д. Новиков

Аннотация. В качестве альтернативного подхода в аспекте фундаментализации математического образования автором статьи предлагаются новая методическая концепция, инструментарий и схема исследования функций на убывание и возрастание на основе классификации точек их областей определения. Приведены предложения и методические рекомендации практической реализации нового подхода при изучении математики в высшей и средней школе.

Ключевые слова: методика преподавания математики, возрастание, убывание и постоянство функций, фундаментализация математического образования.

Summary. As an alternative approach in the context of fundamentalization of mathematical education, the author proposes a new teaching theory, tools and scheme of studying functions on the decrease and increase based on the classification of points in the functions ' domain. The author presents suggestions and guidelines of practical implementation of the new approach in the study of mathematics in universities and schools.

Keywords: methods of teaching mathematics, increase, decrease and constant state of functions, fundamentalization of mathematical education.

207

Стремительное расширение информационного пространства, процессы всемирной глобализации и конкурентная борьба стран за лидерство в развитии инновационных технологий придают особую актуальность наращиванию их научного потенциала, что, в частности, требует хорошо поставленной подготовки высококвалифицированных специалистов. При этом взаимодействие образовательных систем различных стран существенно осложняется различиями образовательных стандартов, уровней подготовки специалистов, содер-

жания и качества учебных программ. Поэтому представителями 29 стран Европы была составлена и подписана Болонская декларация, основной целью которой провозглашено построение единого Европейского пространства высшего образования к 2010 г. В декларации подчеркивается ведущая роль университетов в укреплении интеллектуального, культурного, социального, научно-технического потенциала, а также в создании так называемой «базы европейских знаний».

Одной из основных целей Болон-ской декларации является формиро-

208

вание европейской системы обеспечения качества подготовки специалистов с высшим образованием. Важнейшим условием, обеспечивающим высокое качество образования, является непрерывный процесс его фундамен-тализации. Фундаментализация общего и высшего образования - это сложный и многогранный процесс, в основе которого лежат сближение и интеграция образовательного процесса с научными знаниями в соответствующей области специализации. Несомненно, что значительную роль в этом процессе отводится методике обучения и воспитания.

В высшей школе и старших классах средней школы фундаментализация математического образования предполагает все более широкое использование в процессе глубокого и основательного изучения математических дисциплин новых научных исследований и достижений математики, создание оптимальных условий для воспитания у студентов и школьников гибкого научного мышления. Существенную роль в таком образовательном процессе играют современные достижения методики обучения математике как научной области педагогики. Дело в том, что методами методики преподавания математики можно не только оптимизировать процесс обучения, но и в контексте фундаментализации математического образования находить, исправлять и даже менять те традиционные подходы к изучению конкретных тем и разделов математики, которые по тем, или иным причинам начинают входить в противоречие с современным ее содержанием. Основными критериями такой методической работы являются требования, предъявляемые к любой научной

теории - это требования полноты и непротиворечивости предлагаемых новых концепций и соответствующих подходов к изложению отдельных тем и целых разделов математики при обязательном соблюдении преемственности высшего и среднего образования.

Введение во второй половине прошлого века элементов математического анализа в школьный курс математики позволило не только существенно расширить и углубить математическую подготовку выпускников школ, но и открыло возможность детально проанализировать традиционные концепцию и подход к исследованию функций на убывание и возрастание. Как будет показано ниже, этот подход содержит неустранимые в его рамках логические противоречия. Однако, использовав понятия точек убывания и возрастания функции, введенные в математику значительно позднее понятий убывающей и возрастающей функций, мы разработали новую концепцию и соответствующий подход к исследованию функций на убывание и возрастание, позволяющий полно и без противоречий проводить это исследование.

В учебно-методической литературе по математическому анализу и высшей математике под основной задачей исследования функций на возрастание и убывание понимается определение множеств, на которых рассматриваемая функция соответственно возрастает и убывает. В школьном курсе алгебры и начал математического анализа [см., напр.: 1] под этими множествами понимаются промежутки убывания и возрастания функций. В вузовских курсах математического анализа и высшей математики кроме про-

межутков убывания и возрастания функций находят также отдельные точки возрастания и убывания функции. Покажем далее, что в обоих случаях такая постановка задачи исследования функций неизбежно ведет к неустранимым противоречиям, искажающим результаты исследования.

Прежде всего, заметим, что различия в постановке основной задачи исследования функций на убывание и возрастание в средней школе и вузе появилось лишь в конце 80-х гг. прошлого столетия. Именно тогда понятия точек возрастания и убывания функции, впервые введенные в школьный курс математики выдающимся российским ученым академиком РАН А. Н. Колмогоровым, были без какого-либо обсуждения в печати и объяснения причин изъяты из учебников алгебры и начал анализа. Это привело к невозможности полноценного исследования функций на возрастание и убывание в школе и вызвало серьезную озабоченность и справедливые нарекания учителей математики средней школы и преподавателей математики вузов.

Рассмотрим пример, наглядно подтверждающий сказанное выше. Дело в том, что современный выпускник средней школы оказывается не в состоянии правильно исследовать на убывание и возрастание даже несложную функцию

У =

1, где х Ф 0,

Л

0, где х = 0.

Действительно, старшеклассники, исследовав эту функцию, напишут, что она убывает на промежутках (— да, 0) и (0, + да). Причем, точку X = 0 (точка возрастания) они никак не классифицируют, поскольку не зна-

комы с понятиями точек убывания и возрастания функции, которые, как было сказано выше, были изъяты из школьных учебников алгебры и начал анализа. И лишь студенты вузов, изучившие полные курсы математического анализа, смогут правильно классифицировать эту точку.

Этот контрпример позволяет сделать нам следующий вывод: изъятие из учебников алгебры и начал анализа понятий точек убывания и возрастания функций необосновано, поскольку привело к невозможности полноценного исследования функций на убывание и возрастание.

Рассмотрим теперь наиболее существенный изъян традиционного подхода к исследованию функций на убывание и возрастание.

Отвечая на вопрос учителей о включении или нет точек экстремума в промежутки возрастания (убывания) функции, А. Я. Блох пишет: «...одна и та же экстремальная точка принадлежит сразу двум множествам: одному из промежутков возрастания и одному из промежутков убывания функции» [2]. И далее автор приводит пример исследования на монотонность функции у = X2. По его мнению, исследование функций на монотонность должно сводиться к нахождению их промежутков убывания и возрастания [см., напр.: 1]. Поэтому данная функция, как он считает, убывает на полуинтервале (— да; 0] и возрастает на полуинтервале [0; + да).

Получается, что точка х = 0, не являясь ни точкой убывания, ни точкой возрастания функции у = х2, тем не менее входит как в промежуток убывания функции, так и в ее промежуток возрастания. Отнесемся к этому выводу критически и рассмотрим сам процесс получения такого результата. Первая

209

часть утверждения получена в результате применения определения функции, убывающей на множестве, к функции у = х2 с областью определения (— да; 0] , а вторая - в результате применения определения возрастающей на множестве функции к функции у = х 2 и областью определения [0; + да). Другими словами, исследуется не функция у = х2 с областью определения (— да, + да), а две другие функции: у = х2 с областью определения (— да, + да) и у = х2 с областью определения (— да, + да). Спрашивается, а где же исследование заявленной функции у = х 2 с областью определения (—да, + да)? Его просто нет, и не было. Ведь в ходе такого «исследования» потерян сам его объект - исследуемая функция. Все дело в том, что исследованием двух, отличных от заявленной функции, нельзя заменить исследования данной функции. Даже если эти две функции задаются той же формулой, что и исследуемая, поскольку все они имеют различные области определения.

Если же определения монотонных на множестве функций применить к функции у = х2 с областью определения (— да, + да), то единственный результат, который может быть получен на основе этих определений таков: функция у = х2 с областью определения (— да, + да) не является монотонной. Таким образом, исследуемая на возрастание и убывание функция у = х2 с областью определения у) = (— да, + да) так и осталась неисследованной.

Более того, как будет показано ниже, выбор инструментария исследования (определения монотонных функций и определения точек убывания и возрастания функции) неадекватен поставленной задаче. Дело в том, что, пользуясь определениями возрастающей и убывающей на множестве функции, можно

лишь выяснить, является ли исследуемая функция возрастающей или убывающей. И не более того, что следует из самой сути этих определений.

Опираясь на изложенное выше, приходим к двум выводам:

1) используемая ныне постановка основной задачи исследования функций на возрастание и убывание некорректна, поскольку поиск промежутков возрастания и убывания функции автоматически приводит к потере объекта исследования;

2) инструментарий исследования функций на убывание и возрастание (определения монотонных функций) недостаточен, поскольку он позволяет исследовать только монотонные функции.

Сказанное выше говорит в пользу актуальности нашего предложения исследовать функции на возрастание и убывание на основе другой, непротиворечивой системы определений, считая основной задачей такого исследования классификацию точек области определения функции. То есть определение областей возрастания, убывания и постоянства исследуемой функции, а также ее точки экстремума [3].

Определение 1. Областью возрастания (убывания) функции называется множество точек возрастания (убывания) этой функции.

Определения точек возрастания и убывания функций приведены в ряде исследований [4, с. 224; 5, с. 175] и используют понятие 5-окрестности точки. Однако в силу симметрии 5 -окрестности относительно исследуемой точки в случае дискретных функций с ее помощью далеко не всегда можно найти все точки возрастания (убывания) функции, что показывает следующий пример.

Пусть требуется выяснить, является ли точка х = 1 точкой возрастания функции у (х) = х2 с областью определения В(у) = {- 3; - 2; -1; 0; 1; 3 . Требуется также найти области возрастания и убывания данной функции.

В этом примере (рис. 1) с помощью определения точки возрастания функции на основе понятия 8 -окрестности точки невозможно классифицировать точку х = 1 как точку возрастания данной функции, поскольку не существует такой 8 -окрестности этой точки, в которой у (х1) < у (х) < у (х2) , где х1 е (1 - 8; 1) и х2 е (1; 1 + 8 ). В то же время, как видно, например, из графика данной функции, точка х = 1 есть точка возрастания заданной функции. Рассмотренный пример позволяет сделать вывод, что определения точек возрастания и убывания функций, базирующиеся на понятии 8 -окрестности, позволяют успешно находить эти точки только при исследовании непрерывных функций и могут оказаться недостаточными в случае дискретных функций. Если же обобщить эти определения, заменив в них понятие 8 -окрестности на понятие окрестности, которая может быть и несимметричной относительно исследуемой точки, то точка х = 1 в рассмотренном выше примере будет классифицирована как точка возрастания функции. Сформулируем обобщенные определения точек убывания и возрастания функции.

Определение 2. Точка х0 области определения функции у = у(х) называется точкой убывания, если существует такая окрестность этой точки (х0 - 81; х0 + 82), в которой у(х) > у(хо) при х < хо, х е Б(у) и у(х) < у(хо) при х > хо, х е Б(у).

Определение 3. Точка х0 области определения функции у = у(х) на-

10

У

1 X

Рис. 1. График функции

зывается точкой возрастания, если существует такая окрестность этой точки (х0 - 81; х0 + 82), в которой у(х) < у(хо) при х < хо, х е у) и у(х) > у(хо) при х > хо, х е Б(у).

В соответствии с этими определениями, где у) - область определения функции, точка минимума функции х = о в примере не может быть включена ни в область возрастания, ни в область убывания исследуемой функции. Аналогичные заключения, очевидно, будет иметь место и для точек экстремума любых других функций.

Исследуем далее точки х = -3 и х = 3 из предыдущего примера. Ясно, что поскольку функция не определена слева от точки х = -3 и справа от точки х = 3 , определения 2 и 3 для этих точек неприменимы. Поэтому для их классификации потребуются еще два определения.

Определение 4. Точка хо называется точкой убывания функции у = у (х) справа (слева), если существует такая правосторонняя (левосторонняя) окрестность этой точки

^хо 8 5 . в которой

У(х)<У(х0) (/(х)>/(х0)) при х > хо ( х < хо ), х е

В

211

Определение 5. Точка х0 называется точкой возрастания функции у = /(х) справа (слева), если существует такая правосторонняя (левосторонняя) окрестность этой точки [х0, х0 + 8 ) ((х0 - 8, х0 ]), в которой /(х)>/(х0) (/(*)</(*„)) при х > х0 (х < х0), х е О(/).

Применяя определения 4 и 5 соответственно к точкам х = —3 и х = 3 , приходим к выводу, что точка х = —3 -это точка убывания справа, а точка х = 3 - точка возрастания слева. Следовательно, областью убывания функции из предыдущего примера является множество О х = {— 3, — 2,— 1} а областью возрастания - О ^ = {1, 3}.

При этом понятно, что при первоначальном введении функциональной зависимости и изучении свойств функций в 7 классе средней школы, сразу же вводить такое, далеко не самое простое для усвоения понятие, как понятие окрестности точки, могло бы привести к некоторым методическим трудностям. Поэтому строго это понятие разумнее было бы ввести при последующем изучении функций в 8-ом и 9-ом классах. И все же, если в 7-ом классе при изучении функций, заданных на множествах изолированных точек, за-

Рис. 2. Функция с областью нестрогого убывания и областью нестрогого возрастания

менить определения 2-4 на эквивалентные им определения, в которых используются гораздо более простые для усвоения понятия - понятия предшествующей и последующей точек дискретного множества, то такая пропедевтика позволила бы сформировать правильные начальные представления учащихся о точках убывания и возрастания функций. Это предложение тем более уместно, что графики функции строятся с помощью таблиц значений функции, составаленных для отдельных точек ее области определения.

Определение 2'. Точка х называется точкой возрастания функции у = /(х) , если выполняется неравенство /(х,—1) < /(х,.) < /(х,.+1) , то есть если значение функции в данной точке больше значения функции в предшествующей точке, но меньше значения функции в последующей точке.

Определение 3'. Точка х, называется точкой убывания функции у = /(х) , если выполняется неравенство /(х,—1) > /(х,) > /(х,+1).

Определение 4'. Точка а = х1 функции у = /(х) называется точкой убывания (возрастания) справа, если выполняется неравенство /(х1) > /(х2) ( /(х1) < /(х2) ).

Определение 5'. Точка Ь = хп функции у = /(х) называется точкой убывания (возрастания) слева, если выполняется неравенство /(хп ) < /(хп—1) (

/(хп ) > /(хп—1) ).

Заметим, что определения 4, 5, 4', 5' можно использовать при исследовании функций на возрастание и убывание, лишь применяя их к наименьшему и наибольшему значениям независимой переменной из области определения функции.

Остановимся далее на выявлении множеств точек, в которых функция не-

строго убывает или возрастает. Для этого достаточно воспользоваться системой определений, аналогичной системе определений 2-5 с заменой знаков < и > соответственно на < и >.

Рассмотрим пример исследования такой функции, график которой изображен на рис. 2. и которая имеет область нестрогого убывания О э = |а, с] и область нестрогого возрастания О & = [й, с1 ]. Отсюда видно, что отрезок, параллельный оси абсцисс входит как в область нестрогого убывания функции, так и в область нестрогого ее возрастания, то есть точки этого отрезка не классифицируются, а значит, функция недостаточно детально исследована. Поэтому разумно ввести понятие области постоянства функции О-.

Определение 6. Областью постоянства функции называется объединение множеств точек области определения функции, каждое из которых включает в себя не менее двух точек, значения функции в которых одинаковы.

Как и для выявления точек убывания и возрастания функции, в качестве инструментария определения точек постоянства функции используются окрестности точек (в общем случае - замкнутые).

Система определений 2-6 вместе с определениями точек экстремумов позволяет при исследовании функции на возрастание и убывание разбить все точки ее области определения на шесть непересекающихся классов точек: область убывания, область возрастания, область постоянства, точки

Рис. 3. Схема классификации точек области определения функции

минимума, точки максимума и точки, не входящие в первые пять классов.

Таким образом, предлагаемый нами подход к исследованию функций на возрастание и убывание представляет собой не только полноценную и, скорее всего, безальтернативную схему, позволяющую классифицировать все точки области определения исследуемой функции (рис. 3).

Пользуясь системой определений 2-6 в соответствии со схемой рис. 3, исследовав функцию у = х2 , получим следующие результаты: область убывания О х = о), область возрастания О = (о, + да), {)} - множество минимумов функции.

Аналогично, используя определения 2-6, нетрудно получить следующие результаты исследования функции, график которой изображен на рис. 2: область убывания О х = [а, Ь), область постоянства О = [й, с], область возрастания -О- = (с, с[\. Здесь точки х = Ь и х = с включены в область постоянства функции, поскольку существуют их односторонние окрестности, содержащие эти точки, во всех точках которых значения функции одинаковы. Определения нестрого возрастающих и убывающих функций, как видно из приведенного

213

ф

214

примера, становятся излишними в процессе исследования, ввиду того, что выполнено более детальное исследование.

Заметим также, что при определении области убывания (возрастания) функции в качестве инструмента классификации необходимо пользоваться двусторонней окрестностью исследуемой точки. И только при классификации точек, соответствующих наименьшему и наибольшему значениям аргумента (если они существуют) используются односторонние окрестности этих точек. В качестве универсального инструмента выявления точек постоянства функции следует в общем случае пользоваться замкнутыми окрестностями исследуемых точек.

При дальнейшем изучении свойств функций важно обратить внимание на необходимость уточнения терминологии при исследовании функций на непрерывность и с помощью производных. А именно:

• при исследовании функций на непрерывность вместо термина «промежутки непрерывности» следует пользоваться термином «область непрерывности»;

• при вычислении производной функций действительной переменной вместо терминов «промежутки диф-ференцируемости» функции следует пользоваться термином «область диф-ференцируемости» функции;

• при исследовании функций действительной переменной на выпуклость (вогнутость) вместо терминов «промежутки выпуклости функции» и «промежутки вогнутости функции» правильно использовать термины «область выпуклости функции» и «область вогнутости функции».

Таким образом, в результате детального анализа традиционного подхода к исследованию функций на убы-

вание и возрастание в средней школе и вузе приходим к следующим выводам и предложениям:

1) традиционный подход содержит неустранимые внутренние противоречия, связанные с некорректной постановкой основной задачи и неадекватностью инструмента исследования;

2) предложены новая концепция исследования функций на убывание и возрастание, соответствующий ей подход и адекватный инструментарий;

3) в рамках нового подхода сформулирована основная задача исследования функций на убывание и возрастание, разработана схема исследования функций на основе классификации точек ее области определения;

4) разработаны методические рекомендации реализации нового подхода в средних школах и вузах.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10-11 кл. общеобразоват. учреждений / А. Н. Колмогоров, А. М. Абрамов, Ю. П. Дудницын и др. / Под ред. А. Н. Колмогорова. - 14-е изд. - М.: Просвещение, 2004.

2. Блох А. Я. Возрастание функции в точке и на множестве // Математика в школе. - 1978. - № 6.

3. Новиков А. Д. Возрастание и убывание функций на дискретных множествах // Высшее образование сегодня. -2008. - № 12.

4. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сен-дов Бл. Х. Математический анализ. Начальный курс: В 3-х т. - Т. 1. - М.: Изд-во МГУ, 1985.

5. Райков Д. А. Одномерный математический анализ: Учеб. пособие. - М.: Высш. школа, 1982.