Простейшие одномерные модели хаоса

УДК 519.673

В. Х. Федотов, Н. И. Кольцов

ПРОСТЕЙШИЕ ОДНОМЕРНЫЕ МОДЕЛИ ХАОСА

Ключевые слова: одномерные динамические системы, неустойчивость, хаос, квазихаос.

Приведены примеры сингулярных одномерных динамических систем, описываемых одномерными обыкновенными дифференциальными уравнениями, демонстрирующими непредсказуемую динамику при их численном решении. Наблюдаемое при этом квазихаотическое поведение решений связано с отсутствием достижимых устойчивых равновесий в некоторой сингулярной области фазового пространства с неустойчивыми границами.

Keywords: one- dimensional dynamical systems, instability, chaos, quasi-chaos.

Examples of singular one-dimensional dynamical systems described by one-dimensional ordinary differential equations showing unpredictable dynamics in their numerical solution are given. The quasi-chaotic behavior of the solutions observed in this case is due to the absence of accessible stable equilibria in some singular region of the phase space with unstable boundaries.

Введение

Поведение динамических систем зависит от размерности описывающих их систем обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) [1]. Гладкие динамические системы предполагают отсутствие сингулярностей, т.е. их правые части определены на всей или части фазовой плоскости (регулярны). Такие системы хорошо изучены (модель Лоренца и др.). В гладких трехмерных системах ОДУ возможны сложные нерегулярные движения (истинный хаос, Т-хаос). В гладких двумерных системах ОДУ возможны только простые регулярные движения (автоколебания). В гладких одномерных системах ОДУ возможны только монотонные режимы. Таким образом, гладкие системы не могут демонстрировать хаос при размерности ниже трех. При размерности три и выше в них возможен Т-хаос, который обусловлен, как правило, наличием странных аттракторов и неустойчивых границ фазового пространства. Негладкие системы, допускающие сингулярности, могут

демонстрировать хаотические свойства и при размерностях меньших трех. Примерами таких систем являются двумерные модели Диксона с хаосом сингулярного типа ^-хаосом) [2], который наблюдается при их численном интегрировании. Аналитическое решение моделей Диксона не известно, поэтому истинность S-хаоса трактуется неоднозначно. Вопрос о существовании и природе хаоса в одномерных негладких системах, до настоящего времени также остается открытым.

В работе [3] нами приведены и исследованы две одномерные (Ш) негладкие модели хаоса, описываемые одним автономным ОДУ с линейной сингулярностью в знаменателе. Первая из них характеризуется кубической нелинейностью в числителе х =х(х2-1)/(х-с), здесь с - параметр. Эта модель имеет три равновесия х-|=0, х23=±1 и может демонстрировать нерегулярные колебания даже тогда, когда одно из них устойчиво. Вторая отличается квадратичной нелинейностью в числителе х =(Х—1)/(х—с), допускает только два равновесия х12=+1 и демонстрирует нерегулярные

колебания тогда, когда они оба неустойчивы. Специфика этих колебаний состоит в том, что они наблюдаются на графике зависимости от времени х(0 при численном решении этих ОДУ различными методами и с различной точностью в некоторой области фазового пространства при определенных начальных условиях (н.у.) х(0)=х0. Такой тип хаоса назван нами квазихаосом ^-хаос). Одномерный Q-хаос обусловлен не только наличием сингулярности, отсутствием достижимых устойчивых равновесий и устойчивых границ фазового пространства, но и дискретными алгоритмами численного решения соответствующих ОДУ. Кроме этих моделей, до настоящего времени, не найдено других Ш-негладких моделей с непредсказуемым поведением. Ниже сконструированы и исследованы еще более простые сингулярные Ш-модели хаоса с меньшей нелинейностью (в числителе) и соответственно меньшим числом равновесий. Сформулированы условия существования таких Ш- моделей.

Результаты и их обсуждение

Модель 1. Линейная модель хаоса с одним неустойчивым равновесием. Рассмотрим

сингулярное ОДУ с линейными числителем и знаменателем

х ' =

Качественный анализ. Это уравнение имеет одно равновесие х=1 и одну сингулярную особую точку (о.т.) х*=с, в которой производная не существует. Устойчивость решений (в линейном приближении) определяется знаком собственного числа Х=Рх=(1-с)/(х-с) . Если с<1, то Х>0 и равновесие х=1 неустойчиво, иначе при с>1 - равновесие устойчиво. На бесконечности (х^-да) Х>0 и решения возрастают, т.е. плюс бесконечность (+да) устойчива, а минус бесконечность (-да) -неустойчива. Рассмотрим два случая.

1) Если с<1, то единственное равновесие х=1 неустойчиво и о.т. х*=с расположена в области фазового пространства между этим неустойчивым равновесием и неустойчивой минус бесконечностью. Тогда, при выборе н.у. внутри этой области, т.е. «ниже» равновесия х0<1, траектории

решений обязательно попадут в окрестность о.т. и можно ожидать непредсказуемого поведения на графике зависимости х(/). При н.у. вне этой области, т.е. «выше» равновесия х0>1, траектории решений не попадут в окрестность о.т. и будут монотонно двигаться от неустойчивого равновесия к устойчивой плюс бесконечности.

2) Если с>1, то единственное равновесие х=1 устойчиво и о.т. расположена между устойчивым равновесием и устойчивой плюс бесконечностью. В этом случае сингулярность не оказывает влияние на траектории решений и происходит только вполне предсказуемое монотонное движение к устойчивому равновесию или к устойчивой плюс бесконечности в зависимости от выбора н.у.

Примеры. Пусть с=1/2, тогда равновесие х=1 неустойчиво. Если при этом выбрать н.у. выше равновесия х0>1 система не попадает в сингулярную область и монотонно удаляется от неустойчивого равновесия к устойчивой плюс бесконечности. При н.у. выше о.т. х*=с<х0<1 система вначале удаляется от неустойчивого равновесия, затем попадает в сингулярную область и не может выйти из нее из-за отталкивающего действия минус бесконечности. В результате возникают сложные колебания около о.т., ограниченные сверху неустойчивым равновесием и снизу неустойчивой минус бесконечностью (см., рис. 1).

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Рис. 1 - Зависимость х(И) для модели (1). Начальные условия х0=0.9, особая точка х*=0.5

При н.у. ниже о.т. х0<с система испытывает отталкивающее влияние минус бесконечности и движется вначале в сторону неустойчивого равновесия, затем также попадает в сингулярную область и не может выйти из нее. В результате возникают сложные колебания около о.т. х*=с, ограниченные сверху неустойчивым равновесием и снизу неустойчивой минус бесконечностью. Если н.у. близки к о.т., то монотонный начальный период отсутствует и нерегулярные колебания начинаются сразу.

Аналитическое решение. Уравнение (1) интегрируется в квадратурах при любых с. Так при с=1/2 его решение имеет вид х(0 = 1/2 Щ2(х0-1)ехр(2х0-2)/ехр(-2)ехр(2?-2))+1, где W - специальная функция Ламберта [4]. Это решение вещественно в интервале [0.5,1], монотонно и не допускает колебаний. В момент времени 4рыва вещественная ветвь становится мнимой. При £>^срыва решение остается мнимым и

при численном моделировании воспроизводится как квазихаотическая часть зависимости х(0 на рис. 1.

Модель 2. Модель хаоса нулевого порядка с одним неустойчивым равновесием

х' = -1/(х+с) +а = Р(х), а^0. (2) Качественный анализ. Это ОДУ имеет одно равновесие хда=1/а-с (существует при а^0) и одну особую точку х*= -с (существует, если н.у. не находятся в точке равновесия). Производная Рх=1/(х+с)2>0 при любых с, т.е. система неустойчива при любых н.у. во всей области определения. Следовательно, единственное равновесие тоже всегда неустойчиво. При этом х Ча при хч+да, т.е. при а>0 плюс бесконечность всегда притягивает траектории (устойчива), а минус бесконечность отталкивает их (неустойчива). Поэтому, если выбрать н.у. ниже неустойчивого равновесия х0<хм, то траектории системы обязательно «встретятся» с особой точкой и начнется непредсказуемое поведение. Если же выбрать н.у. выше равновесия, то траектории не встретятся с о.т. и будут двигаться к устойчивой плюс бесконечности «без помех». При а<0 устойчивость бесконечностей и поведение траекторий меняются на противоположные, но качественное поведение не меняется.

Примеры. При с=-1/2, а=1 неустойчивое равновесие хда=3/2, а особая точка х*=1/2. При этом х Ч1 при хч+да, т.е. плюс бесконечность притягивает траектории (устойчива), а минус бесконечность отталкивает их (неустойчива). Тогда при х0<3/2 (ниже неустойчивого равновесия) должны наблюдаться сложные колебания около о.т. х*=1/2 между неустойчивым равновесием хда=3/2 и неустойчивой минус бесконечностью. При х0=3/2 система должна оставаться в покое. При х0>3/2 система должна двигаться к устойчивой плюс бесконечности. Результаты численного решения уравнения (2) приведены на рис. 2.

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

Рис. 2 - Зависимость х(И) для модели (2). Начальные условия х0=0, особая точка х*=0.5

Аналитическое

решение.

Уравнение

интегрируется в квадратурах и его аналитическое решение х(/)=^((ас+х0а-1) ехр(+ас+х0а+ ¿а -1))+ 1+ас)/а содержит одну монотонную вещественную ветвь и не допускает колебаний. Срыв на мнимую ветвь происходит при х*= -с в момент времени ¿=срыва. При £>^срыва решение остается мнимым и при численном моделировании воспроизводится как квазихаотическая часть зависимости х(0 на рис. 2.

0.9

0.7

Модель 3. Модель хаоса нулевого порядка без равновесий (Ранее в [5] исследован дискретный аналог этой модели. Рассмотрим частный случай Модели 3 [5] при а=0:

х ' = -1/

Качественный анализ. ОДУ (3) совсем не имеет равновесий (они смещаются на плюс-минус бесконечность) при любом c и имеет одну особую точку х*=-с. Производная Рх=1/(х+с) >0 всегда положительна, т.е. система неустойчива во всей области определения при любых с и н.у. (как и в предыдущем примере). При этом и плюс и минус бесконечность отталкивают все траектории, т.е. обе всегда неустойчивы (х <0 при х^да и х >0 при х^ -да). Поэтому, при любых н.у. траектории системы обязательно «встретятся» с особой точкой и в окрестности о.т. должно наблюдаться непредсказуемое поведение между двумя неустойчивыми бесконечностями.

Примеры. При с=1/2 срыв на колебания происходит в момент времени 4рь|ва=(1/2+х0)2/2 вблизи вершины параболы, которая соответствует особой точке х*=-0.5. Дальше с ростом t вещественные решения ОДУ перестают существовать (становятся мнимыми) и ведут себя непредсказуемо (в зависимости от алгоритма численного решения ОДУ). Нерегулярные колебания наблюдаются около о.т. между двумя неустойчивыми плюс и минус бесконечностями. Результаты численного интегрирования уравнения (3) показаны на рис. 3.

Рис. 3 - Зависимость х(1) для модели (3). Начальные условия х0=0, особая точка х*= -0.5

Отличительная черта модели 3 состоит в том, что

сложная динамика наблюдается здесь при любых

н.у. при движении по времени в положительную

сторону. Аналогичное поведение будет при

движении по времени в отрицательную сторону,

если парабола направлена вправо. Например, ОДУ

х =1/(х+с) также демонстрирует непредсказуемую

динамику, аналогичную уравнению (3), но при

движении по времени в отрицательную сторону.

Аналитическое решение. Уравнение (3) также

2 1/2

допускает точное решение х©=-с±[(с+х0) -2^ . Его график представляет собой параболу, ветви которой направлены влево вдоль оси времени (монотонная часть кривой на рис. 3). Эти решения вещественны только при ^(с+х0) /2=срь|ва. При £>4рыва решения становятся мнимыми и

воспроизводятся как квазихаотическая часть зависимости х(^ на рис. 3.

Модель 4. Простая хаотическая модель нулевого порядка без равновесий. Рассмотрим ОДУ

х ' = -1/х = Р

Эта модель является частным случаем модели (3) и обладает аналогичными ей свойствами. Как и предыдущая модель, она не имеет равновесий и

имеет одну о.т. х*=0. Аналитическое решение

2 1/2

х(0=±(х0 -2^ существует только при

^х02/2=срьва и становится мнимым иначе. График этого решения также представляет собой параболу, направленную вдоль оси времени. При н.у. х0>0 реализуется верхняя ветвь (плюс), а при н.у. х0<0 реализуется нижняя ветвь (минус). Производная Рх=1/х2>0 всегда положительна, т.е. система всегда неустойчива во всей области определения. При этом и плюс и минус бесконечность отталкивают все траектории, т.е. обе всегда неустойчивы (х <0 при х^да и х >0 при х^-да). Поэтому, при любых н.у. траектории системы обязательно встретятся с особой точкой и около нее должна наблюдаться непредсказуемая динамика между двумя

неустойчивыми бесконечностями.

Результаты численного интегрирования аналогичны, показанным на рис. 3, но расчет модели (4) идет на малых временах быстро, а на больших временах очень долго. Отличительная черта модели (4) состоит в том, что сложная динамика наблюдается здесь всегда (как и в модели (3)) при движении по времени в положительную сторону, но амплитуда колебаний очень мала (заметна только при большом увеличении). Аналогичное поведение будет при движении по времени в отрицательную сторону, если парабола направлена вправо. Например, решения ОДУ х =1/х демонстрируют сложную динамику, которая наблюдается при движении по времени в отрицательную сторону.

Модель 5. Простейшая модель хаоса нулевого порядка

х ' = п ф1, если х<0. Результаты численного интегрирования этой модели показаны на рис. 4 (расчет модели (5) идет долго при х0<1, а при х0 =1 - быстро).

2 1.5 1

0.5 0

-0.5 -1

0 . 9999 1 1. 00011. 00021. 00031. 00041. 00051. 00061. 00071. 00081. 0009 1. 001

Рис. 4 - Зависимость для модели (5) при п=2. Начальные условия х0=1, особая точка х*= 0

Заключение

Рассмотренные выше простейшие непрерывные (не дискретные) сингулярные модели хаоса описываются одномерными негладкими ОДУ и способны демонстрировать необычную динамику, но только при их численном решении ^-хаос). Условиями наблюдения Q-хаоса в одномерных системах являются: 1) наличие сингулярности внутри некоторой области фазового пространства; 2) отсутствие устойчивых равновесий в этой области; 3) неустойчивость границ этой области; 4) подходящий выбор начальных условий внутри этой области; 5) численное решение ОДУ. Специфика численного решения таких ОДУ не связана с наличием странного аттрактора, а обусловлена отсутствием достижимых устойчивых равновесий или исчезновением решений при £>4рыва в некоторой области фазового пространства. Наблюдаемую при этом динамику следует рассматривать как квазихаос (не истинный хаос), т.к. соответствующие аналитические решения не

описывают хаотических режимов. В тоже время квазихаос можно считать истинным хаосом с точки зрения той модели, которая используется для численной имитации динамического процесса. Этот квазихаос подобен истинному хаосу в одномерных дискретных моделях [5-7].

На практике это означает, что если некоторые технические устройства используют алгоритмы численного решения сингулярных ОДУ, например вида (1)-(5), то они могут быть причиной непредсказуемого динамического поведения технической системы. Особенности решения таких ОДУ необходимо учитывать при разработке технических устройств, способных демонстрировать сложную апериодическую динамику, а также соответствующих систем защиты и подавления хаотических режимов.

Литература

1. А.П. Кузнецов, А.В. Савин, Л.В. Тюрюкина, Введение в физику нелинейных отображений, Научная книга, Саратов, 2010. 134 с.

2. D.D. Dixon, F.W. Cummings, P.E. Kaus, Phys. Nonlinear Phenom, 65, 109-116 (1993).

3. В.Х. Федотов, Н.И. Кольцов, Вестник Казан. технол. ун-та, 17, 13, 24-28 (2014).

4. R.M. Corless , G.H. Gönnet, D.E. Hare, D.J. Jeffrey, D.E. Knuth. On the Lambert W function. Adv. Computational Maths, 5, 329-359 (1996).

5. В.Х Федотов, Н.И. Кольцов, Вестник Казан. технол. ун-та, 17, 14, 68-74 (2014).

6. В.Х. Федотов, Н.И. Кольцов, Вестник технол. ун-та, 18, 1, 288-293

7. В.Х. Федотов, Н.И. Кольцов, Вестник технол. ун-та, 18, 1, 302-308 (2015).

x 10

© В. Х. Федотов - канд. хим. наук, доц. каф. информационных систем ЧувГУ, fvh@inbox.ru; Н. И. Кольцов - д-р хим. наук, проф. каф. физической химии и ВМС ЧувГУ, koltsovni@mail.ru.

© V. Kh. Fedotov - Ph.D., associate professor of information systems department, Chuvash State University, fvh@inbox.ru; N. I. Kol'tsov - doctor of chemistry, professor, managing chair of physical chemistry and macromolecular compounds department, Chuvash State University, koltsovni@mail.ru.