Напряжённо-деформированное состояние двухслойных плит

УДК 624.073.11

НАПРЯЖЁННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ ДВУХСЛОЙНЫХ ПЛИТ

Э.Д. Чихладзе, профессор, д.т.н., А.Г. Кислов, доцент, к.т.н., ХНАДУ

Аннотация. Разработана теория расчета двухслойных плит с учетом податливости контакта между слоями, трещинообразования и нелинейности деформирования верхнего слоя.

Ключевые слова: пластина, контакт.

Введение

Двухслойные плиты находят все большее распространение в различных конструкциях и особенно в мостостроении, так как они оказываются значительно легче однослойных плит, имеющих ту же изгибную жесткость.

Цель и постановка задачи

Настоящая статья содержит основные положения теории двухслойных плит, учитывающей податливость контакта между слоями. В основу теоретических исследований положены следующие предпосылки: рассматривается простое синхронное загружение. Материал нижнего слоя (£) имеет высокие механические характеристики; материал верхнего (легкого) слоя (В) считается нелинейно деформируемым, условно сплошным; составляющие компоненты плиты в горизонтальном направлении соединяются упругоподатли-выми связями сдвига, а в вертикальном направлении - абсолютно жесткими поперечными связями (поэтому толщина нижнего слоя не превышает 1/20-1/100 высоты плиты); высота плиты принимается малой по сравнению с другими размерами. Предполагается, что плита загружена только поперечной нагрузкой.

Реализация задачи

Зависимость между напряжениями и деформациями в главных направлениях при двухосном напряженном состоянии принята в следующем виде:

Коэффициенты А1к, А2к(к = 1, 2, ..., N) находятся из условий минимизации квадратов отклонений напряжений, полученных в экспериментах при заданном п от напряжений, полученных по аппроксимирующим зависимостям (1).

Рассмотрим вырезанный из плиты малый прямоугольный элемент (рис. 1). Считаем, что трещины пройдут по площадкам главных растягивающих напряжений. В этом случае при достижении Ых значения Мсгс в направлении действия момента М1 образуется трещина, а в направлении действия момента М 2 верхний слой будет работать без трещин. Согласно гипотезе плоских сечений, справедливой для части сечения „ В ", имеем

8ы = 28'ы / X

84й = 28Ш / х11

где х, ха - высоты сжатых и растянутых зон; 8ы, 8Ыя - фибровые деформации в сжатых и растянутых зонах.

Ак (8к)к, I = 1, 2:

к=1

где аь 2/ ам = п

Рис. 1. Элемент плиты

Положение нейтральных осей определяется значениями х1, которые находятся из условия равновесия

£ Р = 0, , = 1,2.

Из условия равновесия изгибающих моментов получим

Ле;1 = Ле^ sin2 а + Ле;х cos2 а +

М1 В\ В,

М 2 В, В2

где К =е'ы / х = еъ,- /(ко - х);

в,= В + В, 2)/2;

В, = х3Еъ / (3 (1 - VI// + х3Кы/ (3(1 - VI,)) +

+Е*Л; (к - х,. )2 X,. / (1 - (V;)2);

В,, =vъx2хЕ /(3 (1 -V,2 //-+VъX хуЕы/ (3 (1 // +

+Лу ;ху sin а- соя а ; Ле;2 = Ле;х cos2 а + Ле^ sin2 а --Лу^ sin а - cos а ;

Ле;х = 8(52ах / дх2 +52тху /(дх -ду)//£ ;

Ле;у =8(д2ау /ду2 +д2тух /(дх-ду))/£ ;

ЛУху =8(д2ах /(дх-ду) + д2Тух /ду2 + +д2ау /(дх-ду) + д2тух /дх2) .

Произведя известные преобразования тензоров кривизны и изгибающего момента, из выражения (2) получим

мх Вп В\2 Аэ кх

Му = В21 В22 В23  ку

Му В31 В23 В33 2кху _

+^Е*Л; (к0 - х,. )(к0 - xj )Х,. / (1 - (V* )2) ; где Вп = Дят2 а+ Д шэ2 а ;

Л; - площадь нижнего слоя на единице длины;

, = 1, 2; ] = 2, 1.

Параметры деформирования Еъ, Еы, vъ, vъ, получены приведением сжатого и растянутого верхнего слоя к условно изотропному, а напряженного состояния - к условно однородному. Например, для сжатой зоны верхнего слоя

Еъ = Еъ1(1 ^ ъ п); ^ =п(1 - Еъ,/ Еъ 2) /(1 -П2 Еъ,/ Еъ 2);

Еъ, = 3£ ЛЛ (ек)к /(2 + к), , = 1, 2,

к=1

Е*, v; - параметры деформирования слоя, „ £ "с учетом работы за пределом упругости.

Влияние податливости контакта нижнего слоя с верхним учитывается введением поправочного коэффициента

Х = ( -Ле)/ е;, = = [ (к0 - х, ) - Ле, ] / [ (к0 - х, )]

где Ле- деформации контакта (рис. 2), которые в направлении главных осей будут иметь следующий вид:

А2 = В21 = В,;

В\ъ = В31 = В23 = В32 = ,

= (В1 - В2) соя а - sin а /2

В22 = В1 соя2 а+ В2 ят2 а ;

В33 = (В + В2 -2В,)/4 .

Используя условие равновесия элемента плиты, получим необходимое число уравнений для решения задачи о напряженно-деформированном состоянии двухслойности плиты. Жесткостные коэффициенты, входящие в уравнение (4), определяются в соответствии со стадией работы плиты, уровнем напряженного состояния с учетом деформации по контакту. При этом различают следующие стадии: упругую, упругопластичес-кую без трещин, упругопластическую с трещинами. Момент трещинообразования Мсгс определяется для полоски плиты единичной ширины с учетом нелинейных деформаций в растянутой зоне. Численно предложенное решение реализуется методом конечных разностей при шаговом нагружении плиты. Для замены дифференциальных операторов используются центральные и односторонние разностные операторы одного порядка с погрешностью аппроксимации о [к2].

а) е*„ б) ч>

Рис. 2. Деформации (а) и напряжения (б) контакта слоя „ £ " со слоем „ В "

Процесс последовательных приближений организован таким образом, что в каждом п -ном приближении уточняются жесткостные характеристики в соответствии с деформированным состоянием (п -1) -го приближения. Итерационный процесс сходится не во всех случаях. При малых нагрузках, непосредственно после образования первых трещин, вследствие резкого падения же-сткостей в местах локального трещинообразова-ния и сильных перераспределительных усилий, итерационный процесс расходится. Это объясняется тем, что трещины в процессе перехода от расчетного цикла к циклу то раскрываются, то закрываются и, соответственно, жесткости то уменьшаются, то увеличиваются. Такое явление характерно в статически неопределимых железобетонных конструкциях и имело место при расчете рамных систем [1], двухветвевых колонн [2] и плит [3].

Для обеспечения сходимости процесса последовательных приближений в [1] рекомендуется уменьшать величину воспринимаемых бетоном растягивающих напряжений и выводить таким образом систему из состояния неустойчивого распределения усилий. Однако, как свидетельствуют исследования [2], искусственное снижение сопротивляемости бетона растяжением незначительно сказывалось на действующих в системе усилиях, действительно улучшают сходимость, но при этом искажается остальная картина деформаций конструкции. В работе [2] предложено для улучшения сходимости итерационного процесса усилия, вводимую в последующую итерацию, определять как среднее арифметическое усилий, полученных на всех предыдущих итерациях. Такой прием нашел отражение в расчетах железобетонных плит. Нами применяется упомянутая процедура не к усилиям, а к жесткостям, для чего жесткости, участвующие в процессе формирования матрицы коэффициентов СЛАУ, определяются по формуле

Б'п = (Б-1 • п + Бп )/(п +1),

где Бп - жесткость, полученная в процессе формирования матрицы коэффициентов СЛАУ в (п -1) итерации, п - номер текущей итерации.

Такой прием обеспечивает уверенную сходимость процесса последовательных приближений, хотя вызывает его замедление. На первом шаге нагру-жения в начале производится расчет плиты с абсолютно жесткими связями сдвига (Х1 = 1, i= 1,2). Линеаризация нелинейной стороны задачи осуществляется в процессе последовательных приближений, переменными параметрами которого являются жесткости Би (5) в каждой точке. Процесс последовательных приближений продолжается до достижения удовлетворительной сходимости по прогибам, после чего вычисляются значения напряжений в нижнем слое стет (I, 3), ст^ (I, 3), тху (I, 3), и определяются

параметры X 1 (3). При переходе к следующему шагу нагружения жесткости вычисляются в соответствии с деформированным состоянием, полученным на последней итерации предыдущего шага, с учетом соответствующих значений Х1. Несущая способность плиты определяется следующими факторами, имеющими место в какой-либо точке конечно-разностной сетки; прочностью верхнего слоя, нижнего слоя, и прочностью контакта между слоями [1], [2].

Для проверки достоверности расчета его результаты сравнивались с данными, полученными при испытании двухслойных плит толщиной 50 мм из бетона прочностью Яе = 40 МПа на опорном контуре 980x980 мм. Плоский лист, имея толщину 5 =1 мм из стали с физическим пределом текучести 230 МПа.

Таблица 1 Сравнение экспериментальных и теоретических значений прогибов плиты при сетке МКР 5-х5

Шаг нагрузки Нагрузка, кН Прогиб середины плиты, мм

теоретич. эксперим.

1 10 0,24 0,3

2 20 0,77 0,7

3 30 1,30 1,30

4 40 1,94 2,0

5 50 2,42 2,6

6 60 3,04 3,4

7 70 3,82 4,2

8 80 4,91 5,2

9 90 6,47 6,2

10 100 8,90 8,0

Начальные значения модуля упругости бетона и стали Ее = 3,3-104 и Е5 = 2,1-105 МПа. Выполненное наклонными петлевыми анкерами объединение стального листа с бетоном имело жесткость | = 8-105 т/м. Нагрузка на плиту передавалась

через штамп размером 180x180мм в середине плиты (см. таблицу).

Вывод

Разработан математический аппарат, позволяющий учесть развитие анизотропных свойств двухслойной плиты, вследствие трещинообразования и нелинейности деформирования верхнего слоя, а также податливости контакта слоев.

Литература

1. Козачевский А.И., Крылов С.Н. Исследование перераспределения усилий в сложных стержневых системах с учетом неупругих свойств железобетона// Труды ин-та / НИ-ИЖБ. Совершенствование расчета статиче-

ски неопределимых железобетонных конструкций. - М.: Стройиздат, 1968. - С.43-62.

2. Дыховичный А.А. О сходимости метода после-

довательных приближений при расчете статически неопределимых железобетонных конструкций//Вычислительная техника и организация в строительстве и проектировании. Серия II. Автоматизация строительного проектирования. - Вып. 1. - М.: Гипротис. 1967. - С. 32-35.

3. Бондаренко В.М., Бондаренко С.В. Инженер-

ные методы нелинейной теории железобетона. - М.: Стройиздат, 1982. - 287 с.

4. Карпенко Н.И. Теория деформирования желе-

зобетона с трещинами. - М.: Стройиздат. 1976. - 208 с.

5. Чихладзе Э.Д., Арсланханов А. Д. Несущая спо-

собность сталебетонных плит // Изв. вузов. Строительство и арх. - № 4. - 1989. - С.5-8.

Рецензент: А.Л. Шагин, профессор, д.т.н., ХГТУСА.

Статья поступила в редакцию 10 января 2005 г.