Сюжетные задачи в обучении математике

С.В. Турунтаев, А.В. Ястребов

скольким различным областям науки, какими являются математика, психология и физика, присущи общие черты, которые относятся к числу имманентных свойств каждой из них: деятельностно-продук-

тивный дуализм, личностно-социальный дуализм, индуктивно-дедуктивный дуализм, теоретико-эмпирический характер источников их развития. Можно предположить, что этими же свойствами обладают и другие области знания. Было бы це-

лесообразно выявить специфику отражения этих свойств в процессе преподавания ряда научных дисциплин другой природы.

Авторы убеждены, что иллюстрация дуалистических свойств науки в преподавании других дисциплин не окажется чрезмерно трудной, а также в том, что она будет весьма полезной как для создания эффективных методов изучения конкретных тем, так и для формирования научного мировоззрения студентов.

Библиографический список

1. Ястребов А.В. Дуалистические свойства математики и их отражение в процессе преподавания // Ярославский педагогический вестник. 2001. № 1. С. 48-53.

2. Корнеева Е.Н., Ястребов А.В. Инвариантные свойства психологии и их отражение в процессе ее преподавания // Ярославский психологический вестник. 2004. Вып. 12. С. 124-134.

3. Ястребов А.В. Междисциплинарный подход к преподаванию математики // Ярославский педагогический вестник. 2004. № 3. С. 5-15.

4. Касьянов В.А. Физика. 10 кл.: Учебн. для общеобразоват. учеб. заведений. М.: Дрофа, 2002.

О.П. Шарова

Сюжетные задачи в обучении математике

Необходимая терминология

Существуют различные подходы к определению самой задачи. Остановимся на точке зрения Л.М. Фридмана: «Задача представляет собой требование или вопрос, на который надо найти ответ, опираясь и учитывая те условия, которые указаны в задаче» [3]. Таким образом, задача состоит из условия и требования.

Задача, в которой зависимость между условием и требованием сформулирована словами, называется текстовой. При этом главным отличием задачи от примера является не только наличие текста, а наличие части условия или требования, выраженного на естественном (нематематическом) языке, которая требует в процессе решения перевода на математический язык. Например, задание «уменьшить сумму чисел 18 и 11 на 9» является текстовой задачей, а задание

«вычислить ((267-219)+33):3» является примером.

Если в текстовой задаче речь идет о реальных объектах, процессах, связях и отношениях, то она называется сюжетной. Реальные процессы - это движение, работа, покупки, смеси, сплавы и т. д. Поэтому среди сюжетных задач обычно выделяют задачи на разностные и кратные отношения, на движение, совместную работу, смеси, сплавы и концентрации. Такая типология традиционна, хотя и несколько условна. Говорят также о типологии задач по методам решения: арифметический (по действиям или составлением выражения), алгебраический (составление уравнения, системы уравнений, неравенств), геометрический (использование подобия, площадей фигур и т. п.). Однако, по нашему мнению, здесь было бы правильным говорить не о типологии

задач, а о типологии методов решения, поскольку одна и та же задача может быть решена и алгебраическим, и геометрическим, и арифметическим методами.

Под решением задачи будем понимать процесс, представляющий собой поиск необходимой последовательности действий на основе анализа условия и требования задачи, направленных на определение результата задачи, а также выполнение этих действий, получение результата, его анализ и оценку.

В методике обучения математике выделены четыре основных этапа процесса решения математической задачи:

• осмысление текста задачи и анализ её содержания;

• осуществление поиска решения и составление плана решения;

• реализация плана решения;

• анализ найденного решения, поиск других способов решения.

При работе с сюжетной задачей на первом этапе предполагается первоначальная работа с целью понимания сюжета, выявление величин, которыми описывается ситуация, установление различных зависимостей между этими величинами, определение отношений, заданных условием задачи. Результаты такого предварительного анализа часто бывает удобно зафиксировать в схематической записи (иногда говорят - краткой модели) текста задачи.

Второй этап работы над задачей является самым трудным для учащихся. Его результатом должна являться математическая модель ситуации, причем в качестве такой модели могут служить формула, уравнение, система уравнений, график и т. п.

Третий этап работы с задачей предполагает исследование построенной математической модели, интерпретацию результата исследования математической модели в заданную ситуацию, запись ответа.

На четвертом этапе работы с задачей можно предложить другие варианты решения.

Мы видим, что сюжетные задачи есть первый класс задач, на которых раскрывается идея моделирования реальных процессов. Суть метода моделирования заключается в том, что «для исследования какого-либо явления или объекта выбирают или строят другой объект, в каком-то отношении подобный исследуемому. Построенный или выбранный объект изучается, и с его помощью решают исследовательские задачи, а затем результаты решения этих задач переносят на первоначальное явление или объект» [3].

Таким образом, моделирование

включает в себя: 1) построение модели, 2) исследование модели, 3) анализ полученных результатов и перенос их на объект изучения.

Процесс решения сюжетной задачи -это теоретическое исследование, представляющее собой процесс математического моделирования.

Методы решения сюжетных задач

Обычно рассматривают арифметический, алгебраический и геометрический методы решения сюжетных задач. Самым распространенным и наиболее общим является алгебраический. Не случайно при модернизации школьного курса математики в 70-е годы ведущей была тенденция решения всех сюжетных задач алгебраическим методом. Однако авторы реформы не учли, что для овладения общими методами решения задач ребенку нужно пройти школу развития содержательного мышления на простых типовых задачах, решаемых арифметическим методом, точнее, на системе задач, выработанной опытом лучших отечественных учителей и методистов. Поэтому начнём рассмотрение методов решения сюжетных задач с арифметического метода.

Арифметический метод решения сюжетных задач

Известно, что любая задача, сводящаяся к уравнению первой степени, мо-

жет быть решена арифметически. Рассмотрим процесс решения задачи арифметическим методом.

Первый этап решения задачи представляет собой анализ её текста. На первом этапе учитель должен добиться того, чтобы учащиеся «приняли» задачу, то есть поняли ее смысл, сделав целью своей деятельности. Для этого полезно найти более удобную, более компактную и наглядную форму записи текста задачи. Такой формой является схематическая запись. В зависимости от условия задачи это может быть словесная запись, запись в форме таблиц, отрезочных или столбчатых диаграмм, схем, рисунков и т.д. Такая запись служит схематизации условия, дает возможность одновременно видеть все связи между данными.

Приведём несколько примеров. Задача 1. Три пятых класса собрали 700 кг макулатуры: 5-а - 130 кг, 5-б - в 2 раза больше, чем 5-а. Сколько килограммов макулатуры собрал 5-в класс?

Здесь удобна словесная форма записи условия:

5-а - 130 кг м-г ]

5-6 - в 2 раза больше \ ^700 кг

5-в - ?

Задача 2. Расстояние от станции А до станции В товарный поезд прошел за 9 часов, двигаясь со скоростью 40 км/ч. За какое время пройдет это расстояние почтовый поезд, если его скорость равна 60 км/ч? С какой скоростью должен двигаться пассажирский поезд, чтобы пройти это расстояние за 4 часа?

Краткую запись этой задачи удобнее сделать в виде таблицы:

Скорость Время Расстояние

Товарный поезд 40 км/ч 9 ч. Одинаковое

Почтовый поезд 60 км/ч ?

Пассажирский поезд ? 4 ч.

за квартиру. Что больше: плата за телефон или плата за электричество, и на сколько?

Кратко условие этой задачи можно записать с помощью отрезочной диаграммы, где длины отрезков соответствуют данным и искомым величинам.

? | 555 р.

1300 р.

Квартира Телефон Электричество

Задача 4. Сыну и дочери вместе 31 год. Отец старше сына на 28 лет, а мать старше дочери на 23 года. Сколько лет отцу и матери вместе?

Словесная запись: с + д = 31

о = с + 28 о + м = ? м = д + 23

Можно сделать графическую схему: отец + мать = ?

+28 [ ] + 23

сын + дочь = 31 Второй этап процесса решения сюжетной задачи арифметическим методом целесообразно начинать с анализа, который проводится по схеме: «чтобы узнать -надо знать». Он начинается с вопроса задачи. Приведём соответствующий пример. Задача 5. Полярникам действующей станции сбросили с самолета два контейнера. В первом было 32 бочки с топливом, а во втором - 24 ящика с продуктами. Чему равен вес одного ящика, если каждая бочка весила 70 кг, а суммарный вес всего груза составил 3440 кг? Краткая запись условия:

Вес Количество Общий вес 3440 кг

Топливо 70 кг 32 бочки

Продукты ? 24 ящика

План рассуждений:

Задача 3. Плата за квартиру на 555 р. больше платы за телефон, а плата за электричество на 1300 р. меньше платы

Чтобы узнать: Необходимо знать:

1) вес одного ящика

2) вес продуктов (М2) общий вес (М) (изв.) и вес топлива (М^

3) вес топлива

Схематическая запись поиска:

Ш2

Мі .

П2

Пі

Иногда поиск решения осуществляется синтетическим методом. Его суть может быть описана следующим образом: исходя из условия, составляют первую промежуточную (вспомогательную) задачу. Полученный при её решении результат и одна из величин основной задачи позволяют составить и решить вторую промежуточную задачу; так поступают до тех пор, пока ответ на последнюю вспомогательную задачу не будет ответом на вопрос основной задачи. Приведём соответствующий пример.

Например, задача: Из двух сел вышли одновременно навстречу друг другу два пешехода и встретились через 4 часа. Расстояние между селами 36 км, скорость одного пешехода 4 км/ч. Найти скорость второго пешехода.

Краткая запись условия дана в виде таблицы.

V X Б

1 4 км/ч ^) 4 ч (Хі) 36 км

2 ? ^2) 4 ч

План рассуждений:

1) Зная VI (км/ч) и 11 (4 ч), можно узнать б1 (путь 1-го);

2) Зная б и б1, можно найти б2 (путь

2-го);

3) Зная б2 и 12, можно найти v2. Схематическая запись поиска

В процессе поиска решения обычно одновременно используют и анализ, и

синтез, то есть аналитико-синтетический метод. При этом ученик должен УМЕТЬ:

1) Переводить отношения между величинами на язык равенств.

Например, отношение «а составляет % от Ь» ученик должен уметь записать в виде а = % • Ь и выразить из него Ь = а : % и % = а : Ь.

2) Записывать зависимости между величинами с помощью формул известных процессов и выражать величины из формул.

Так, зависимость между выполненной работой А, производительностью N и временем выполнения работы X ученик должен записать в виде формулы А= N4 и уметь выражать из этой формулы N и X.

При арифметическом способе решения необходимо умение поставить вопрос, взаимосвязывающий три величины, то есть сформулировать элементарную задачу, в которой по двум величинам можно найти третью. Для поиска совокупности таких задач, как мы уже отмечали, можно использовать классический анализ или синтез. При решении многих сюжетных однотипных задач последовательность действий не изменяется, меняются лишь числовые данные. Поэтому имеет смысл выделить некоторые ключевые задачи и рассмотреть способы их решения. Подходы к выделению ключевых задач могут быть различны. Обычно выделяют: задачи на нахождение двух (или нескольких) чисел по их сумме и разности; задачи на нахождение двух (или нескольких) чисел по их сумме (разности) и отношению; задачи на предположение; задачи на движение (в одну или разные стороны); по течению и против течения; задачи на совместную работу; задачи на проценты; задачи на тройное правило (простое и сложное); задачи на смешение и сплавы и др.

Рассмотрим один из этих типов - задачу на предположение:

Задача 7. Торговец продает орехи двух сортов: одни по 90 центов, другие по 60 центов за килограмм. Он хочет полу-

чить 50 килограммов смеси по 72 цента за килограмм. Сколько для этого потребуется орехов каждого сорта?

Запишем условие задачи в виде таблицы.

торую хочет получить торговец, можно определить, зная цену смеси и количество проданных орехов: 72 х 50 = 3600 (цт). Получили задачу на предположение. Предположим, что все орехи торговец продает по цене 1-го сорта, тогда 90 • 50=4500 (цт) - выручил бы торговец;

1. 4500 - 3600 = 900

2. 90 - 60 = 30 (цт) - переплачивал бы торговец за каждый килограмм орехов 2-го сорта;

3. 900 : 30 = 30 (кг) - орехов 2-го сорта продал торговец;

4. 50 - 30 = 20 (кг) - орехов 1-го сорта продал торговец.

Геометрический метод

Этим методом можно решать задачи на равномерные процессы, на стоимость, на совместную работу, на смеси и т. д. Решение таких задач можно выполнить с помощью графика линейной функции. При этом в отличие от графического решения уравнений, где используется постоянная система координат, при решении сюжетных задач удобнее пользоваться переменной системой координат, то есть иметь на одном чертеже две системы координат для построения графиков заданных в условии задачи зависимостей, причём график каждой зависимости строится в своей системе координат. Так, при решении задач на равномерное движение строятся в переменной системе координат (по оси абсцисс - время (их две), по оси ординат - расстояние) графики движения - два графика линейных функций. Абсцисса точки их пересечения указывает время встречи, а ордината - место встречи.

Задача 8. Из двух пунктов А и В одновременно навстречу друг другу выходят два туриста. При встрече оказывается, что турист, вышедший из А, прошел на 2 км больше, чем второй турист. Продолжая движение с той же скоростью, первый турист прибывает в В через 1 ч 36 мин., а второй в А - через 2 ч 30 мин после встречи. Найдите расстояние АВ и скорость каждого туриста.

Пусть х км - расстояние, пройденное 2-м туристом до встречи, тогда (х+2) км -расстояние, пройденное 1-м туристом до встречи.

АОСВ ~ ДОМА: х/х+2 = 1,6/АМ,

АВОС ~ ААОМ: х/х+2 = ВС/2,5,

отсюда 1,6/АМ = ВС/2,5,

Но АМ = ВС, следовательно, 1,6/АМ = АМ/2,5, тогда АМ2 = 4, таким образом, АМ=ВС=2ч., следовательно х/х+2 = 1,6/2, откуда х=8.

То есть расстояние, пройденное до встречи 2-м туристом, равно 8 км, а расстояние, пройденное до встречи 1-м туристом, равно 10 км. Тогда скорость 1-го -10:2=5(км/ч), скорость 2-го - 8:2=4(км/ч), а расстояние АВ=10+8, то есть АВ = 18 км.

Ответ: 18км, 5км/ч, 4км/ч. Алгебраический метод решения сюжетных задач

Решим эту же задачу алгебраическим методом.

1 этап. Осмысление текста задачи.

• О каком процессе идет речь в задаче? -

О равномерном прямолинейном движении навстречу друг другу.

• Какие величины характеризуют этот процесс? - V, 1 Б.

• Как они связаны между собой? - Б = V!

Цена Количество Стоимость

1 сорт 90 центов ?

2 сорт 60 центов ?

Смесь 72 цента 50

Стоимость смеси или выручку, ко-

Выполним краткую запись условия задачи в виде чертежа:

, ^ > 2 км С

А------------------1-----1-------------- В

= 2,5 ч I = 1,6 ч

ч---------------- Э - ? --------------И

• Что требуется определить в задаче? -Расстояние АВ и скорости туристов.

• Какие данные задачи помогут нам это сделать? - АВ = АС + СВ, АВ >СВ на 2км. По условию задачи расстояние СВ первый турист пройдёт за 1,6 часа, а расстояние СА - второй за 2,5 часа.

2 этап. Осуществление поиска решения и составление плана.

Естественно

расстояние СВ принять за х (км), тогда

расстояние АС = (х+2) (км), скорость 1-го туриста = х /1,6 (км/ч), скорость 2-го туриста = (х+2)/2,5 (км/ч),

время 1-го туриста до встречи =

(х+2) - 1,6/х (ч),

время 2-го туриста до встречи = 2,5х/

Так как до встречи оба туриста находились в пути одно и то же время, то это и является основанием для составления уравнения, таким образом математической моделью ситуации является уравнение: 1,6(х +2)/х = 2,5 х/(х+2), х Ф 0, х Ф -2.

3 этап. Реализация плана решения -исследование построенной модели.

После преобразований данное уравнение примет вид: (х+2)2 1,6 = 2,5 х2; или 9х2 - 64х - 64 = 0, откуда х1= 8, х2= - 8/9 Интерпретация результата: х2 не

удовлетворяет условию задачи, так как расстояние не может быть отрицательным. СВ = 8 км; АС = 10 км; АВ = 18 км; у1 = 8/1,6; у1 = 5км/ч; у2 = 10/2,5; у2 = 4 км/ч.

4 этап. Анализ найденного решения, поиск других способов решения.

Прежде всего, необходимо сделать проверку. Проверка делается либо по условию задачи, либо задача решается другим способом, либо составлением новой задачи.

Проверка по условию задачи показана выше, равно как и показан геометрический способ решения данной задачи. Рас-

смотрим один из вариантов составления новой задачи: Из двух пунктов, расстояние между которыми 18 км, навстречу друг другу выходят два туриста. Скорость 1-го - 5 км/ч, скорость 2-го - 4км/ч. Сколько времени потребуется каждому туристу, чтобы преодолеть расстояние после встречи, если первый до встречи прошел на 2 км больше?

18 - 2 = 16 (км) - прошли бы оба туриста, если бы до встречи их путь был одинаковым (как у 2-го);

16 : 2 = 8 (км) - прошел второй до встречи;

18 - 8 = 10 (км) - прошел первый до встречи;

8 : 5 = 1,6 (ч) - время 1-го после встречи;

10 : 4 = 2,5 (ч) - время 2-го после встречи.

Заметим: чтобы решать задачу алгебраически, необходимо, кроме умений переводить отношения между величинами на язык формул и записывать зависимости между величинами с помощью формул имеющихся процессов, уметь выполнять еще два действия: выбирать неизвестную величину, через которую выражать другие величины, и выбирать условие, на основе которого составляется уравнение (система уравнений). При этом составленная модель зависит как от выбора неизвестных, так и от выбора условия составления уравнения. Так, к следующей задаче можно составить четыре модели.

Задача 9. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 60 км, выехал автобус, а через 20 мин вслед за ним выехал легковой автомобиль, скорость которого на 20 км/ч больше скорости автобуса. Автобус пришел в пункт В на 10 мин. позже легкового автомобиля. Найдите скорости автобуса и легкового автомобиля.

\/авт -------ь

через 20 мин.. Ул.а.

------------- \/л.а. > \/аот на 20 км/ч

После такого рисунка данные задачи можно свести в таблицу:

Проверка 8 км

10 км 5 км/ч 4км/ч

2 ч

2 ч

Рас- стоя- ние Скорость Время

Автобус 60 км 1а на У ч больше

Легковой автомобиль 60 км Ула на 20 км/ч больше 1 л.а.* ^

1) Если в качестве неизвестной выбираем величину уа, тогда, зная, что ул.а -уа = 20, получаем ул.а. = уа + 20, и искомое уравнение примет вид:

60/Уа - 60/(Уа + 20) = 1/2

2) Если в качестве неизвестной выбираем величину 1а, то из условия 1л.а. = 1;а -У получим уравнение.

60/0* - 1/2) - 60Ла = 20

3) Если в качестве неизвестной выбираем Ул.а., то из условия ул.а. - Уа = 20 будем иметь:

60/(ул.а. - 20) - 60/ ул.а. = 1/2

4) И, наконец, если в качестве неизвестной принимаем 1л.а., то, зная, что 1 =

1л.а. + 1/2, получим уравнение:

60Лл.а - 60/(1л.а. + 1/2) = 20.

Видим, что каждая из четырёх составленных моделей зависит не только от выбора неизвестной, но и от выбора условия составления уравнения.

Алгебраический метод решения сюжетных задач является универсальным. С помощью составления уравнения или системы уравнений можно практически решить любую сюжетную задачу. В данной статье мы показали также возможности использования арифметического и геометрического методов, причём арифметический метод мы считаем целесообразным использовать в качестве пропедевтического, способствующего более сознательному формированию умений решать любую задачу. С этой целью рассмотрены анализ и синтез в процессе поиска решения задачи. Геометрический метод практически не используется в средней школе, так как мало знаком учителю. Тем не менее, при решении задач на равномерные процессы иногда он даёт более простое и компактное решение, как было показано в статье. На примере предложенной задачи оказалось возможным проиллюстрировать алгебраические и геометрические связи.

Умение решать задачи является одним из основных показателей уровня математического развития учащихся, глубины усвоения ими учебного материала.

Библиографический список

1. Методика работы с сюжетными задачами: Учебно-методическое пособие / Н.А. Малахова, В .В. Орлов, В.П.Радченко, В.Е.Ярмолюк; под ред. к.п.н., доц. Радченко, к.п.н. В.В.Орлова. СПб.: Образование, 1992.

2. Теоретические основы обучения математике в средней школе: Учебное пособие/ Т.А. Иванова, Е.Н. Перевощикова, Т.П. Григорьева, Л.И.Кузнецова; под ред.проф.Т.А.Ивановой. Н.Новгород: НГПУ, 2003.

3. Фридман Л.М., Турецкий Е.Н. Как научиться решать задачи: Кн. для учащихся ст. классов сред. школы. 3-е изд., доработ. М.: Просвещение, 1989.

4. Шарова О.П. О некоторых аспектах методики обучения учащихся решению сюжетных задач арифметическим методом // Вопросы методики обучения математике в средней школе: Учебное пособие / Отв. ред. Т.Н. Карпова, Т.М. Корикова. Ярославль: Изд-во ЯГПУ им. К.Д.Ушинского, 2002.

А.М. Жихарев

Морфометрические параметры как инструмент классификации и учета региональной специфики малых рек

Малые реки представляют собой став в последнее время объектом при-один из важнейших элементов ландшафта, стального внимания не только гидрологов, Стр. 126