Генерация пространственных сеток для решений контактных задач методом граничных элементов

ГЕНЕРАЦИЯ ПРОСТРАНСТВЕННЫХ СЕТОК ДЛЯ РЕШЕНИЙ КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧ МЕТОДОМ ГРАНИЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Вахтин А. А.

Воронежский государственный университет, факультет компьютерных наук, кафедра программирования и информационных технологий, Россия, 394000, Университетская пл., 1. тел.:

e-mail: vahtin@vmail.ru

Применение метода граничных элементов для численного моделирования процессов контактного взаимодействия фундаментов с грунтовой средой требует нанесения на контактную поверхность гранично-элементной сетки, от качества которой во многом зависит получаемое численное решение. Так как корректный расчет должен учитывать контактное взаимодействие фундамента и грунта не только по подошве, но и по боковой поверхности, то области контакта, подлежащие дискретизации, имеют для фундаментных конструкций в общем случае неканоническую, кусочно-гладкую форму [1].

В виду актуальности задачи геометрического построения пространственных сеток на поверхностях фундаментов сложных форм, автором разработан программный модуль URAN, обеспечивающий автоматизированную подготовку данных (препроцессор) для решения трехмерных контактных задач, возникающих в фундаментостроении и геотехническом строительстве. Особенность поставленной задачи заключается в том, что требуется строить трехмерную модель фундамента и генерировать на его поверхности пространственную гранично-элементную сетку с заданным правилом обхода узлов.

Благодаря развитию математических подходов, аппаратных возможностей вычислительной техники, программных и операционных систем появилась возможность разрабатывать программные пакеты с удобным пользовательским интерфейсом, трехмерное моделирование стало визуальным и интерактивным. При этом все вычисления возлагаются на компьютер, а пользователю предоставляются возможности выбора методов решения, задания геометрических и механических параметров, а также отказа от предоставленного решения на промежуточном этапе с возвратом к предыдущему шагу. Интенсивное развитие компьютерной индустрии дает расширенные возможности проектирования, но при этом даже современные программные пакеты со временем устаревают и теряют актуальность, что заставляет разработчиков создавать новые программные комплексы.

На основе анализа существующих программных комплексов (COSMOS, ЛИРА, FEM_MODELS, SCAD, ANSYS, Z_SOIL, PLAXIS и др.) и стандартных требований к программам, при разработке программного модуля URAN были учтены следующие условия:

1) работа с программным модулем должна быть как можно более простой и унифицированной;

2) затраты времени на подготовку данных и системные требования к ЭВМ должны быть минимизированы;

3) должна иметься возможность модификации программного модуля при расширении диапазона задач проектирования;

4) учтена возможность сопряжения программного модуля с другими общеизвестными пакетами графических или расчетных программ.

С учетом перечисленных характеристик в программном модуле URAN (рис. 1) разработан стандартный интерфейс, предоставляющий пользователю задание проектных параметров и отображение результатов геометрических построений как в трех проекциях (XY, ZY, ZX), так и перспективе (XYZ).

Рис. 1. Главное окно программного модуля Uran

Число вершин 4 байта

Координата X 8 байт Координата Y 8 байт Координата Z 8 байт Цвет 4 байта Признак граничности 1 байт

Число граней 4 байта

Цвет 4 байта

Число вершин 4 байта

Индекс вершины 4 байта

Рис. 2. Структура данных геометрического объекта в программном модуле Uran

Окна проекций используются как для визуального отображения проекций моделируемой конструкции, так и для возможности проектирования мышью, например, можно менять координаты вершины геометрического объекта с максимальной точностью, поворачивать фигуру относительно осей координат.

Чтобы затраты времени на подготовку данных и системные требования ЭВМ были минимизированы (второе требование, поставленное при разработке программного пакета), моделируемый геометрический объект в программном модуле представлен как динамическая структура (рис. 2), ссылка на которую передается между утилитами и приложением. Это уменьшает затрачиваемый объем памяти и увеличивает быстродействие, но осложняет, в тоже время, технику программирования: корректность заполнения и работы со структурой данных тела возлагается на программиста. Стандартные структуры и подходы программирования высокого уровня (массивы, записи, классы и объекты) позволяют контролировать данную работу, но на это требуется большой объем памяти и время выполнения, что существенно сказывается, когда геометрический объект содержит более 100000 вершин и граней.

Вершины моделируемой конструкции являются также узлами сетки, которые могут находиться как на границе кусочно-гладкой поверхности, так и внутри нее. Данное положение узла может быть использовано в процессе моделирования поверхности тела, для чего в данных задан признак граничности: если узел лежит внутри дискретизированной поверхности - false, иначе - true. Для визуального выделения вершин, в процессе интерактивного проектирования [2] задается цвет вершины. Для визуального выделения плоского макроэлемента (грани), например, это применяется в доразбиении выбранных элементов сетки, каждой грани задается цвет.

Рис. 3. Схема структуры связей в программном модуле Uran

Программно приложение URAN состоит из нескольких взаимосвязанных блоков: основное приложение, встроенные COM-серверы [6] твердотельного моделирования, встроенные COM-серверы работы с файлами и библиотека типов, которая служит

связующим звеном между приложением и COM-сервером (рис. 3). Такая структурная реализация программного модуля URAN позволяет изменять и расширять данный модуль как на стадии инсталляции, так и при последующих обновлениях. При подключении нового COM-сервера текущие настройки программного пакета сохраняются в системном реестре WINDOWS.

Таким образом, в самой программе осуществляется связь и управление процессом геометрического построения, а сами инструменты находятся во встроенных COM-серверах, называемых «утилитами проектирования». На рис. 4 приведены примеры диалоговых окон утилит проектирования для задания определенных параметров. В некоторых утилитах реализована интерактивная работа мышью в окнах проекций (например, в редакторе многогранников выделять или изменять координаты вершины [2]).

Рис. 4. Диалоговые окна утилит генерации гранично-элементной сетки на поверхности стандартных фундаментных конструкций а) блочного типа, б) осесимметричного

Выполнение четвертого требования предложено реализовать на уровне файлов данных, сохраняемых на диске в формате, доступном другим приложениям. С этой целью сохранение данных в приложении осуществляется в встроенных COM-серверах работы с файлами, которые тоже динамически подключаются к программному модулю.

Основным требованием к разбиению контактной поверхности на граничные элементы является отсутствие пересечений и перекрытий, а точки на неплоской поверхности должны быть узлами смежных граничных элементов. Разбиение в общем случае предполагается

смешанным, то есть с одновременным присутствием треугольных и четырехугольных граничных элементов. Используется глобальная нумерация элементов с возможностью предпочтительного выделения определенной группы элементов для удобства последующей обработки численных результатов. Это обусловлено кусочно-постоянной аппроксимацией неизвестных и полностью заполненной структурой матрицы разрешающей системы линейных уравнений. Локальная нумерация узлов на каждом элементе всегда берется против часовой стрелки при наблюдении со стороны внешней к контактной поверхности нормали (то есть со стороны грунта).

Для всех типов поверхностей принята фрагментальная дискретизация, что соответствует предварительному разбиению поверхности фундаментной конструкции на граничные макроэлементы [1]. На следующем этапе производится разбиение граничных макроэлементов на отдельные граничные элементы с автоматической генерацией координат и узлов. В качестве граничных макроэлементов принимаются поверхностные фрагменты, имеющие простейшую топологию. Как правило, это - плоские четырехугольники, части цилиндрических, конических и сферических поверхностей. В отдельных случаях используются граничные макроэлементы, уравнения поверхности которых могут быть заданы детерминировано.

Разбиение граничных макроэлементов на отдельные граничные элементы производится регулярно и не обязательно равномерно. Степень неравномерности разбиения в отдельном граничном макроэлементе по различным направлениям задается параметрически и, по возможности, учитывает предполагаемый характер изменения контактных напряжений.

Важным аспектом фрагментальной дискретизации является согласование по числу граничных элементов на линиях сопряжения сложных граничных макроэлементов. Это необходимо для улучшения численного решения и удобства при обработке и интерпретации полученных результатов.

На практике большинство используемых фундаментов являются осесимметричного (рис. 5) или блочного типа (рис. 6).

Осесимметричная поверхность получается в результате вращения некоторой кривой вокруг оси симметрии, в основном это прямая (конические или цилиндрические конструкции) или окружность (сферические конструкции). Предполагается, что осью симметрии является ось 02.

Полная дискретизация поверхности фундаментной конструкции в виде тела вращения получается в результате объединения граничных макроэлементов перечисленных выше простейших форм. Когда общее число плоских граничных элементов достаточно велико, а размеры их достаточно малы, то исходя из физических представлений, естественно ожидать,

что контактное взаимодействие с грунтом такой фундаментной конструкции (после аппроксимации поверхности ансамблем плоских граничных элементов) под действием внешней нагрузки будет немного отличаться от поведения реального фундамента и что приближенное решение контактной задачи будет сходиться к точному при увеличении числа плоских граничных элементов и уменьшении их размеров. Практические расчеты показывают, что сходимость имеет место, причем достаточно хорошая [1].

На основе приведенных формул разработана утилита генерации гранично-эелементных сеток осесимметричных фундаментных конструкций различных типов: фундаменты из цилиндрических составляющих, фундаменты с уширением ствола, конические фундаменты, и т.п. (рис. 4 б, 5).

в)

Рис. 5. Примеры осесимметричных фундаментных конструкций а) из цилиндрических составляющих, б) с уширением ствола, в) конические,

г) грибовидный

Геометрия каждого плоского граничного макроэлемента определяется заданием его вершин. Разбиение граничных треугольных или четырехугольных макроэлементов на отдельные элементы производим на основе техники изопараметрических элементов. Если на стандартном квадрате взять равномерную или сгущающуюся к границе сетку элементов, то линейное изопараметрическое преобразование переведет их в глобальные граничные элементы без нарушения межэлементной непрерывности и с требуемой регулярной нумерацией узлов и вершин.

На основе данного подхода в программном модуле URAN разработана утилита генерации пространственных сеток на фундаментных конструкциях блочного типа

а) пирамидальные, б) щелевой с боковым уширением, в) ступенчатые

Для возможности геометрического моделирования сложных фундаментных конструкции в интерактивном режиме разработана утилита редактирования многогранников (рис. 7). Моделирование многогранника заключается в добавлении, удалении и изменении координат вершин с учетом ориентации граней (обход вершин грани с лицевой стороны против часовой стрелки).

¿Ihm

r]j-|-4l!u in К- ! Fi r/wu iL* X-Ci

v-i

г-о Z-1

* 7 ± + 5

1 uü ш: К- 1  iu-in-1 II^iihm: Ji-1 Mfl'hli

у-п Y'i

г- р i-1

I * -»- d

Hütt« iipii*»**

в)

Рис. 7. Диалоговое окно редактора многогранников в режиме а) изменения координаты вершины, б) удаления вершины, в) добавления вершины

При добавлении вершины выделяются три вершины редактируемого многогранника, которые будут связаны общими ребрами с добавляемой вершиной. Добавляемой вершиной может быть как новая вершина, так и вершина многогранника, в последнем случае просто

добавляются ребра. Удаление вершины обратное добавлению: выделяются три смежных вершины, и удаляются общие с удаляемой вершиной ребра. Таким образом, осуществляется не само удаление, а «вырезание» пирамиды из редактируемого многогранника.

Разработанные и реализованные в [2] алгоритмы позволяют генерировать модели поверхностей (рис. 8), состоящих из стандартных объектов, которые разбиваются на треугольные и четырехугольные макроэлементы по алгоритму, предложенному в [4]. В процессе дискретизации ищется такая гранично-элементная сетка, в которой четырехугольные элементы были бы выпуклыми, а треугольные - равносторонними.

Реализованные и подключенные к программному модулю URAN, утилиты являются удобным средством генерации гранично-элементных сеток на поверхностях стандартных фундаментных конструкций. Ведется разработка других утилит проектирования, например, пересечение тел, объединение тел и сечение тел плоскостью [3, 5]. Разработанные в будущем утилиты смогут без труда подключаться к данному программному модулю и функционировать как единое целое.

Литература

1. Алейников С. М. Метод граничных элементов в контактных задачах для упругих пространственно неоднородных оснований. - М.: Изд-во «АСВ», 2000. - 754 с.

2. Вахтин А. А. Алгоритмы автоматического моделирования многогранников // Математическое обеспечение ЭВМ: Межвуз. сб. научн. тр. Вып. 4., Воронеж: ВГУ, 2002. С. 27-31.

3. Гардан И., ЛюкаМ. Машинная графика и автоматизация конструирования. - М.: Мир, 1987. - 272 с.

4. Ласло М. Вычислительная геометрия и компьютерная графика на С++: М.: БИНОМ, 1997. 304 с.

5. Райан Д. Инженерная графика в САПР. - М.: Мир, 1989. - 391 с.

6. Роджерсон Д. Основы СОМ. - М.: Русская Редакция, 2000. - 400 с.