К расчету гидродинамического взаимодействия с плоской поверхностью испаряющейся капли в собственном перегретом паре при малых числах Рейнольдса и Кнудсена

УДК 511

К РАСЧЕТУ ГИДРОДИНАМИЧЕСКОГО ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ С ПЛОСКОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ ИСПАРЯЮЩЕЙСЯ КАПЛИ В СОБСТВЕННОМ ПЕРЕГРЕТОМ ПАРЕ ПРИ МАЛЫХ ЧИСЛАХ РЕЙНОЛЬДСА И КНУДСЕНА

И.Д. Бреславич1, A.M. Головин2

Получено выражение для силы взаимодействия с плоской поверхностью испаряющейся капли, движущейся по нормали к плоскости, при малой величине зазора между ними в приближении гидродинамической теории смазки. Рассматривается влияние эффектов скольжения, скачка температуры и скорости испарения капли на время изменения зазора между каплей и плоской поверхностью, температура которой превышает температуру кипения капли.

Ключевые слова: испарение капли, перегретый пар, гидродинамическая теория смазки, скольжение пара.

An expression for the interaction force with the flat surface of an evaporating drop moving along the normal to this surface at a small gap between them is obtained in the approximation of the hydrodynamic lubrication theory. The effects of the slip, the temperature jump, and the evaporation rate of the drop on the time of variation of this gap are considered under the assumption that the temperature of the flat surface exceeds the boiling temperature of the drop.

Key words: drop evaporation, superheated vapor, hydrodynamic lubrication theory, vapor

slip.

В работе fl] рассматривается движение сферической частицы по нормали к плоской поверхности в приближении гидродинамической теории смазки без учета скольжения и массового потока с поверхности частицы. Эффект скольжения учитывался в работах [2, 3]. В настоящей работе рассматривается движение испаряющейся при температуре кипения капли в собственном паре вблизи плоской поверхности со, температура которой превышает температуру кипения капли.

Пусть а — радиус сферической капли, движущейся со скоростью Wo по направлению к плоской поверхности. Пусть h — кратчайшее расстояние между каплей и плоской поверхностью.

Введем цилиндрическую систему координат (г, z), в которой ось z проходит через центр капли и перпендикулярна плоскости со, a г — расстояние от оси z. Плоскость z = 0 совпадает с поверхностью со, нагретой до температуры Т^. Температура поверхности капли принимается равной температуре кипения Т'а. Уравнение поверхности капли в окрестности нижней точки при г<й имеет

2 2 а

Температура пара в зазоре между каплей и плоскостью определяется уравнением

вид z = h + ^ + 0(г4

d2T/dz2 = 0

с граничными условиями, учитывающими скачок температуры на границах пара с каплей и пара с плоскостью со при условии Kn = X/h <С 1:

дТ г2 дТ

Т = Та = Т'а-1а\— при z = h + —; Т = Tw=T'w+lw А— при z = 0.

Здесь А — средняя длина свободного пробега молекул пара; ja, jw — численные коэффициенты 0(1), определяющие величины температурных скачков на поверхности капли и плоскости со соответственно. Из (1) и (2) следуют выражения для поля температуры и перепада температуры в паре:

(j1 — j1 jz Т1 — Т1 А

T = Tw + h + г2/ (2 а); Tw ~ Т" = ITIÍTÍW/? = + ^ +

Бреславич Илья Дмитриевич — соискатель каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: br_iQinbox.ru.

2 Головин Александр Мефодиевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. аэромеханики и газовой динамики мех.-мат.

ф-та МГУ, e-mail: algol 37Q yandex.ru.

Пусть }¥ — скорость движения пара вблизи капли относительно плоской поверхности из в области зазора г "С а. Тогда скорость испарения капли \¥ — \¥о определяется из уравнения баланса энергии. А поэтому

Ш = Шо + С2/{к + Т), УЬ = -% С2 = ^{Т1,-Т>), Г =

где £ — время; р, к — плотность и теплопроводность пара; Ь — удельная теплота испарения жидкости.

Движение пара в рассматриваемом зазоре между каплей и плоскостью должно удовлетворять системе уравнений

дУг 1 д , о др д2Уг др

ТГ + ~ 7г(гУг"> = °> 7Г = 0'

дг г дг дг дгг дг

где Уг,Уг — проекции скорости движения пара на оси координат х, г; ¡л, р — динамическая вязкость и давление пара за вычетом давления вдали от капли. Граничные условия, учитывающие скольжение пара, а также скачки температуры на поверхности капли и плоской поверхности, имеют вид

дУ т дУ т2

у = 0, Уг = (311)Хпри г = 0] Уг = -Уг-\У, Уг = ~ра\ —1 при г = Н + —. (5) дг а дг 2 а

Здесь Рп, [За — численные коэффициенты 0( 1), определяющие коэффициенты скольжения пара на границах с плоскостью и каплей. Из уравнений (4) можно получить

¡лУг

+ гА

с1р

йг'

цУх = -

2_д_

ак дх

г3 г2

+ — А(х) + гВ(х) о 2

йр (¿Ж '

где х = а функции А{х) и В(х) определяются из граничных условий (5):

В(х)=13ш\А(х), А(х) = ~Н{^+Е))' н = К± + х), Е = (13а + 13ш)\. Отсюда следует, что при г = Н имеют место выражения

2 Ф , пгтт , о \\ л ф

цгУг = Н2х + 2(Я + /Зи,Х)Ах

а1г[л

дУ дх

(1х

О \JvJU

х

йр йх

йр йх

— 2

(1х

-

(1х

хА хА

йр

(1х

йр

йх

аЬ,ц,\¥ =

йх

Я3 йр 3 йх

й_

йх

(Н2 + 2НртХ)хА^ йх

В результате получим

й_

йх

Я2(Я + С)(Я + Р) йр Н + Е Х йх

где

С = 2Е + 2\у/р%-РаР1и+Р1, Б = 2Е - 2\у/Р1 - рар-ш + /З2.

Последнее уравнение с граничным условием р = 0 при х —> оо позволяет рассчитать распределение поправки к давлению р на поверхности сферической частицы в приближении гидродинамической теории смазки. Превышение давления пара на поверхности капли над давлением пара вдали от капли имеет вид

, Е 1

р = 6ца\¥ { +

СОН Б-С

С — Е / С\ Б-Е. / О — Ч1 + я " —1п 1 + я

Сила сопротивления, возникающая при квазистационарном движении сферической частицы к плоской поверхности в приближении гидродинамической теории смазки, определяется формулой

^ =

р — 2/1 ) 2-лт йг.

Из (6)-(8) имеем

а поэтому

\2/(На) <1,

^ = 2тг аН J pdx = 2тг а J р (Ш = о н

= —12ттц,аШ

Е

+

СБ И-С

(С — Е) (С + К) С2

1п ( 1 + - ) -

С^

Б2

, , о Ы1 + -

Если движение капли происходит в изотермической среде, то сила сопротивления будет описываться формулой, аналогичной (9), но с заменой \¥ на И^о- В этом случае в отсутствие скольжения пара (Дщ = ра = 0) формула (9) принимает вид

а2

^ = бтг/х— И^о, п

что совпадает с ранее известным результатом [4] и другими результатами, указанными в [2].

Учет скольжения при допущении /Зт = (За, как следует из (9) при \¥ = И^о, приводит к следующему выражению для силы:

1 +

к 6р\

1п 1 +

6/?Л

- 1

согласующемуся с полученными раннее в работе [2].

От результата, представленного в [3] для случая ф /За и Ш = И^о, формула (9) отличается знаком перед всем выражением и коэффициентом при первом члене в фигурных скобках.

Сопротивление испаряющейся капли при ее движении вблизи нагретой поверхности в случае Л <С Л,, как следует из формул (3) и (9), имеет вид

^ = 67Г/Х

с2

к У/г + Г

<Ш\

на)

1 +

Е

Л

В случае квазистационарного падения капли на горячую поверхность под действием силы гравитации необходимо приравнять разность гравитационной и архимедовой сил к силе вязкого сопротивления (10). Отсюда получим

гШ

С2 2а{рл - р)дк2

Н + Г 9/х

где Ра — плотность капли, д — ускорение свободного падения.

Пусть /го и йо — начальные значения величины зазора и радиуса капли.

Максимальная плотность потока пара с поверхности капли равна ^'о = рО2/(/г + Г) ~ рС2/к при /г »Г.

Плотность потока на нижней полусфере (г < к + а) можно приближенно представить в виде j = рС2/1, где I ~ (а + к)/л/1 — г2/а2 — а. Тогда полный поток пара через поверхность нижней полусферы капли можно записать как

2 „2

3- К. 27Г рс а

к + а(1 - УГ^С)'

£ =

Поток пара через поверхность верхней полусферы можно представить как J+ ~ 2тгрС2а. Таким образом, полный поток пара с поверхности капли будет иметь вид

J = J- + J+ к> 2ттрафС2, ф = (1 + e)ln (1/е), e = h/a.

б = 0,05 0,04 0,03 0,02 0,01

ф = 3,20 3,34 3,61 4,01 4,66

В таблице приведены значения ф при различных значениях е.

Среднее значение ф в рассматриваемом диапазоне изменения е равно 3,9, что позволяет считать полный поток пара с поверхности капли приближенно равным .] ~ 8тг раС2. Отсюда следует, что

47xpda

da ~dt

= -J,

ao

1 -

t

Td

Td

pdd ApG2'

Тогда при условии выполнения соотношений ко Г, ко Е, ко <С а и pd р уменьшение зазора со временем согласно (11) и (12), будет описываться уравнением

dh' =2C/'-h-

dt

Th

1 -

t

1

Td

Th

9/i

4a0pdg'

решение которого имеет вид

к2 = ко ехр < —

2 та

3 Th

Отсюда следует, что

1-1-

Td)

3/2'

+ 2 G2 ехр

2та 3Th

1 -

iV/2'

Td)

ехр

_2та 3Th

1-!Г

Td)

dt.

к2 = ко ехр

t

Th

--+ 2 G2rh

1 — exp--

Th

t^Td]

k2

I 2l~d

+ 2G Th

2тЛ 3Th)

1/3

7

2 2ra

3' 3 Th

t

Td,

где 7(а,х) — неполная гамма-функция [5].

Если та 2> г/г, то выражение (13) обобщает ранее полученные результаты [1, 2] на случай падения медленно испаряющейся капли.

В окрестности зазора (г ^ к + г2/(2а), г < а) скорость натекающего потока пара на поверхность падающей испаряющейся капли при С2¡к >С И^о составляет величину порядка И^о = 2арадк/(9р,). При а = 5 • 10"5 м, к = 10"5 м, Тш - Та = 10 К, к = 0,025 Вт/(м-К), р = 0,6 кг/м3, Ь = 2,3 МДж/кг, pd = Ю3 кг/м3, ц, = 1,3 • Ю-5 Па-с можно получить И^о ~ 0,1 м/с, С2/к ~ 0,02 м/с. Отсюда видно, что аналог числа Рейнольдса, определяемый по величине зазора, равен 11е = р\¥ок/ц, 0,05 <С 1, а потому изменение давление пара, обтекающего каплю, будет величиной порядка ¡лШо/к ~ 0,1 Па, что существенно меньше перепада давления, создаваемого поверхностным натяжением а/а ~ 103 Па При (7 % 0,06 Н/м. Следовательно, форму испаряющейся капли в рассматриваемых условиях следует считать сферической.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Cooky M.D.A., О'Neil М.Е. On the slow motion generated in a viscous fluid by the approach of a sphere to a plane wall or stationary sphere // Mathematika. 1969. 16. 37-49.

2. Hocking L.M. The effect of slip on the motion of a sphere close to a wall and of two adjacent spheres //J. Eng. Math. 1973. 7, N 3. 207-221.

3. Vinogradova O.I. Drainage of a thin liquid film confined between hydrophobic surfaces // Langmuir. 1995. 11, N 6. 2213-2220.

4. O'Neill M.E , Stewartson K. On the slow motion of sphere parallel to a nearby plane wall //J. Fluid Mech. 1967. 27. 705-724.

5. Справочник по специальным функциям / Под ред. М. Абрамовица и И. Стиган; пер. с англ. М.: Наука, 1979.

Поступила в редакцию 17.04.2015