Экспертные методы в управлении запасами

М. И. Раскатова

ЭКСПЕРТНЫЕ МЕТОДЫ В УПРАВЛЕНИИ ЗАПАСАМИ

Предлагается метод управления запасами с использованием нечетких параметров, полученных на основе экспертных оценок. Представлена оптимизационная модель управления материальными запасами, в которой присутствуют операции с нечеткими числами. Рассмотрен конкретный пример расчета стратегии закупки листовой стали и дана оценка предлагаемого метода.

Задачи управления запасами на действующих предприятиях характеризуются, как правило, отсутствием «точных» характеристик, создающих неопределенность. Наличие неопределенности исключает возможность применения детерминированных моделей. Уже в 60-е гг. XX в. многие исследователи реализации моделей управления запасами в материально-техническом снабжении производства, строительства и торговли неоднократно отмечали, что понятие точного решения теряет смысл уже потому, что для его расчета используются данные, являющиеся весьма приближенными [2. С. 156]. Как справедливо подчеркивает Ф. Хэнссменн, «некоторые работы, номинально относящиеся к области управления производством и запасами, на самом деле принадлежат к чистой (не прикладной) математике. Подобно этому, деревья, о которых говорится в топологии, не имеют никакого отношения к ландшафту» [3. С. 17]. Первым способом учета неопределенности явилось применение теории вероятностей. Однако использование вероятностных методов затруднено необходимостью знать частотные распределения неопределенных параметров, для которых необходима статистическая информация, которую не всегда можно получить.

В этих условиях весьма перспективным видится подход построения экономико-математических моделей, основанный на применении аппарата теории нечетких множеств. Он позволяет оперировать как с точно заданными параметрами, так и с характеристиками, информация о которых основана на нечетких, субъективных оценках экспертов, то есть оценках, характеризующихся неопределенностью нестатистической природы. Теория нечетких (размытых, мягких) множеств была впервые предложена американским математиком Лофти Заде в 1965 г. и предназначалась для преодоления трудностей представления неточных понятий, анализа и моделирования систем, в которых участвует человек. Подход на основе теории нечетких множеств является, по сути дела, альтернативой общепринятым количественным методам анализа систем. Такой подход дает приближенные, но в то же время эффективные способы описания поведения систем, настолько сложных и плохо определенных, что они не поддаются точному математическому анализу. До работ Л. Заде подобная качественная информация, по существу, просто терялась — было непонятно, как ее использовать в формальных схемах анализа альтернатив. Теоретические же основы данного подхода вполне строги и точны в математическом смысле и не являются сами по себе источником неопределенности. В каждом конкретном случае степень точности решения может быть согласована с требованиями задачи и точностью имеющихся данных. Подобная гибкость составляет одно из важных достоинств рассматриваемого подхода.

В предлагаемой работе рассмотрено применение теории нечетких множеств при решении задачи управления материальными запасами предприятия. Содержательная постановка задачи в предположении, что все ее параметры заданы точно, имеет классическую формулировку. Для обеспечения бесперебойной работы на предприятии создается определенный уровень запасов, который необходимо время от времени пополнять. Большое количество запасов приведет к «замораживанию» оборотных средств, а их нехватка — к перерывам в производственном процессе. Поэтому необходимо найти оптимальную стратегию управления запасами, обеспечивающую минимальные совокупные затраты на создание и пополнение запаса за период планирования. В этом случае под стратегией управления запасами понимается план поставок продукции на рассматриваемый период времени.

В модели для определения оптимальной стратегии управления запасами рассматриваются варианты функционирования складской системы предприятия при различных возможных стратегиях управления запасами 8ТЯГ (г = 1, ... R). В свою очередь, при моделировании очередного у-го шага при осуществлении г-й стратегии управления запасами определяются все необходимые расчетные и контролируемые характеристики складской системы в момент времени при реализации стратегии г. Если при таком моделировании все контролируемые характеристики системы управления запасами удовлетворяют ограничениям, то такая стратегия является допустимой. Для допустимых стратегий определяется величина целевой функции. Целевой функцией в модели является функция затрат, которую надо минимизировать.

где — величина совокупных затрат, возникающих в системе в интервал времени ] при реализации стратегии т.

В модели рассматриваются пять видов затрат, от которых зависит выбор стратегии управления запасами. Остановимся более подробно на каждом из них.

1. Величина затрат на приобретение ву-й интервал:

где q Т — объем поставки продукции на предприятие в конце интервала времени j (1 < j < N при реализации стратегии т;

Срг1— стоимость единицы запаса без скидки;

Ср2— стоимость единицы запаса со скидкой (С р1 >С р2);

Q0 — объем материала, при приобретении которого начинает предоставляться скидка в цене.

2. Величина транспортных затрат в момент времени] определяется как

N

гт = £Г, ^ Ш1П, ] = 1,...,N,

где qrj — объем поставки продукции на предприятие в конце интервала времени у (1 <у < N при реализации стратегии г;

Кат — вместимость тары для перевозки (в единицах);

Уг — вместимость транспортной единицы (в тарах);

С/г-— тариф на транспортировку одним транспортным средством.

3. Величина затрат на хранение ХГу в у-й интервал времени определяется по формуле

^ - ^7,

где эу — текущая величина запаса продукции на складе в конце у-го интервала времени при реализации стратегии г;

„хг

Су — стоимость хранения единицы запаса в у-м интервале времени.

4. Величина затрат, вызванных связыванием оборотных средств (упущенная выгода) ZгЗ/ к концу у-го интервала времени, определяется уравнением

= $ С]г^,

где э*— текущая величина запаса на складе в конце у-го интервала при реализации

стратегии г;

прг

Су — стоимость единицы запаса;

ЬР — ставка расчета упущенной выгоды.

5. Величина затрат, вызванных наличием дефицита на складе гу к концу у-го интервала времени:

\def х эгу, если эГ < 0;

"у =<

г? =\ у’ у ’

0, если Эу > 0;

где def — потери, связанные с нехваткой единицы материала;

э у — текущая величина запаса продукции на складе в конце у-го интервала времени при реализации стратегии .

Потери, связанные с нехваткой единицы материала, рассчитываются пользователем модели как разность в стоимости экстренно приобретенной единицы материала и стоимости материала при обычной доставке (в случае восполнения дефицита с помощью экстренной доставки) либо как разности в стоимости единицы заменяющего и дефицитного материала (при замене материалов).

6. Величина затрат на оформление заказа г у рассчитывается по формуле

гу = к х б у,

где К — стоимость оформления заказа;

|1, если аг > 0,

б у =10 г 0

10, если а у = 0.

Эти затраты не зависят от объема заказа. Если в рассматриваемом интервале времени заказ осуществляется, то имеют место затраты на оформление заказа, в противном случае они равны нулю.

Поскольку все затраты в течение планового периода разнесены во времени, то их необходимо приводить к одному моменту времени (например, к началу планового периода).

В модели имеются ограничения на объем поставки, уровень запаса на складе и минимальный интервал времени между поставками.

Как уже было отмечено, детерминированные описания систем управления запасами практически никогда не бывают адекватными реальным процессам, так как последние обычно имеют стохастический характер. Поэтому только модели с учетом неопределенности параметров складской системы могут повысить качество управления. В условиях неопределенности невозможно четко определить используемые параметры, так как они зависят от разных факторов и изменяются в достаточно широких диапазонах. Поэтому результаты, полученные на основе четкой исходной информации, могут представлять лишь академический интерес. Например, ожидаемая цена приобретения запасов может зависеть от состояния отрасли, политики продвижения товаров различными фирмами, уровня насыщения рынка и т. д. Затраты на транспортировку могут зависеть от погоды, состояния дороги, от квалификации водителя и пр., то есть от широкой группы весьма неопределенных факторов, для которых даже нельзя определить статистические законы распределения. В итоге интервалы значений таких показателей оцениваются на основе опыта и интуиции экспертов.

Возникает проблема адекватной математической формализации и оперирования с неопределенностью нестатистической, или субъективной природы. Поэтому в модель наравне с четкими параметрами, такими как вместимость склада, стоимость хранения единицы запаса, размер начального, конечного и страхового запасов, минимальный и максимальный объемы поставок и др., нами введены три параметра, заданные в форме нечетких чисел, и разработана методика решения данной задачи на основе теории нечетких множеств. К этим параметрам относится потребность в материале Q., стоимость транспортировки одним транспортным средством С/, стоимость приобретения единицы материала СуГ.

Если учесть, что названные параметры обладают «размытостью», то есть их точное планируемое значение неизвестно, то в качестве исходных данных уместно использовать нечеткие числа. Введем понятие нечеткого множества и нечеткого числа. Пусть Х — некоторое множество. Нечетким подмножеством В множества Х называется множество пар В = {л (х), х}, где х е X , л (хх е [0,1]. Функция л : Х ^ ^ [0,1] называется функцией принадлежности нечеткого множества В , а Х — базовым множеством. Под нечетким числом А = <лА~ , К> мы будем понимать совокупность действительных чисел, задаваемых функцией принадлежности .

Самый часто используемый на практике тип нечетких чисел — треугольные нечеткие числа, причем чаще всего их используют в качестве прогнозных значений параметра [1].

Треугольные числа моделируют высказывание следующего вида: «параметр А приблизительно равен а и однозначно находится в диапазоне [ аг, аг ]». Такое описание позволяет получить от экспертов в качестве исходной информации интервал параметра [ аг, аг ] и наиболее ожидаемое значение а, и тогда соответствующее треугольное нечеткое число А = (а1, а, аг ) построено. Здесь а — действительное число, называемое средним значением нечеткого числа, а1 и аг — действительные числа, называемые левой и правой границами нечеткого числа соответственно. Часто параметры ( а1, а, аг) называют значимыми точками треугольного нечеткого числа А. Вообще говоря, выделение трех значимых точек исходных данных весьма

распространено в экономике. Часто этим точкам сопоставляются субъективные вероятности реализации соответствующих («пессимистического», «нормального» и «оптимистического») сценариев исходных данных. Однако мы не в праве оперировать вероятностями, значений которых мы не можем ни определить, ни назначить. Поэтому в рассматриваемой модели мы замещаем понятие случайности понятиями ожидаемости и возможности и взамен теории вероятностей применяем теорию нечетких множеств.

Итак, в модели управления запасами нами используется следующий набор нечетких чисел для определения оптимальной стратегии:

Б у = (Б/, Б у, Бг) — эксперт не может точно оценить, какова будет потребность в материалах на планируемый период;

Су = (С/ , Су , Су ) — эксперт нечетко представляет себе размер будущих транспортных затрат, на которые влияет множество случайных факторов;

Су = ( С, Су , Сг) — эксперт прогнозирует диапазон изменения стоимости запасов в планируемом периоде.

В качестве примера расчета по модели рассмотрим следующую производственно-хозяйственную ситуацию. Для выпуска продукции предприятие приобретает тонколистовую сталь. Требуется составить оптимальный план поставок стали на 1,5 месяца с разбивкой по неделям. В качестве временного интервала будет выступать 1 неделя. Период планирования разбит на 6 временных интервалов.

Имеются следующие четкие исходные данные:

С величина страхового запаса постоянна во всех временных интервалах и равна 10 т;

С максимальная вместимость склада — 250 т;

С стоимость хранения — 2 тыс. р./т в каждый интервал времени;

С начальный запас на складе — 40 т;

С требуемый конечный запас — 30 т;

С вместимость одного транспортного средства — 10 т;

С минимальный объем поставки — 1 т;

С максимальный объем поставки — 100 т.

Нечеткие данные, полученные от экспертов, приведены в табл. 1-3.

Таблица 1

Потребность в материале в каждый интервал времени, т

Временные интервалы Эксперт 1 Эксперт 2

Левая граница Среднее значение Правая граница Левая граница Среднее значение Правая граница

1 34 43 54 36 45 56

2 32 37 53 35 39 53

3 33 44 55 35 46 53

4 37 48 57 35 46 55

5 36 46 56 34 44 54

6 34 53 66 34 49 61

Стоимость транспортировки одним транспортным средством, тыс. р.

Временные интервалы Эксперт 1 Эксперт 2

Левая граница Среднее значение Правая граница Левая граница Среднее значение Правая граница

1 6 8 9 6 7 9

2 7 9 10 6 8 9

3 8 10 12 8 9 10

4 10 12 13 11 12

5 8 10 11 9 10 12

6 8 9 11 8 9 11

Таблица 3

Стоимость приобретения единицы материала (1 т стали), тыс. р.

Временные интервалы Эксперт 1 Эксперт 2

Левая граница Среднее значение Правая граница Левая граница Среднее значение Правая граница

1 24 26 28 23 25 26

2 27 28 30 25 27 28

3 24 26 29 24 26 28

4 21 22 24 22 23 25

5 21 23 25 22 23 24

6 22 24 26 23 24 25

В табл. 4 и на рисунке показаны результаты расчетов.

Таблица 4

Оптимальный план поставки материала

Временной интервал 1 2 3

Запас на начало интервала, т 40 40 40 10 10 10 10 10 10

Потребность в материале, т 35 44 55 33 37 53 34 45 54

Размер заказа, т 5 14 25 33 37 53 34 45 54

Запас на конец интервала, т 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Общие затраты, тыс. р. 161 403 697 983 1095 1561 947 1243 1487

Временной интервал 4 5 6

Запас на начало интервала, т 10 10 10 10 10 10 10 10 10

Потребность в материале, т 36 47 56 35 45 55 34 51 64

Размер заказа, т 36 47 56 35 45 55 54 71 84

Запас на конец интервала, т 10 10 10 10 10 10 30 30 30

Общие затраты, тыс. р. 863 1117 1327 868 1108 1348 1413 1839 2160

Итак, в результате расчетов найдена оптимальная стратегия управления запасами тонколистовой стали с разбивкой по неделям.

ш Размер заказа

Размер заказа

Ш Размер заказа

1 2 3 4 5 6

Временные интервалы

План поставок тонколистовой стали

Для минимизации затрат необходимо осуществить 6 поставок. Итоговые затраты при этом в нечетком выражении составят: (5235; 6805; 8580) тыс. р. Следует отметить, что из-за нечеткости входных данных размер заказа является нечетким числом, исходя из которого, лицо, принимающее решение, осуществляет конкретный четкий заказ.

Итак, выбор нечетких чисел в качестве формы представления параметров моделируемого процесса связан с тем, что нечеткая информация часто является единственным способом использования интуитивных знаний и опыта специалистов по управлению материальными запасами. К тому же нечетко-интервальный метод моделирования реальных процессов, в частности процесса управления запасами сырья и материалов, обладает рядом преимуществ по сравнению с четкими подходами. К этим преимуществам относятся:

С возможность моделирования в случаях со сложным частотным распределением исходных параметров или неизвестным частотным распределением (в последнем случае можно использовать нечеткие интервалы, построенные на основе экспертных оценок);

С возможность учитывать маловероятные события и крайние значения случайных переменных;

С возможность напрямую ставить и решать оптимизационные задачи с использованием нечетко-интервальных расширений соответствующих детерминированных постановок этих задач;

С решения, получаемые на основе нечеткой логики, обладают большей информативностью, гибкостью и правдоподобностью, чем полученные с помощью традиционных методов — детерминированных и вероятностных моделей.

Сегодня теория нечетких множеств является одним из перспективных направлений в экономико-математическом моделировании и решении практических задач управления запасами. С ее помощью осуществляется учет экспертных оценок. Раньше такая важная и ценная информация, по существу, просто терялась.

Список литературы

1. Недосекин, А. О. Финансовый менеджмент на нечетких множествах / А. О. Не-досекин // Аудит и финанс. анализ. 2003. № 3. С. 195-255.

2. Сакович, В. А. Модели управления запасами / В. А. Сакович / под ред. М. И. Ба-лашевича. М. : Наука и техника, 1986. 319 с.

3. Хэнссменн, Ф. Применение математических методов в управлении производством и запасами / Ф. Хэнссменн. М. : Наука, 1966. 282 с.