Оптимизация раскроя сегмента с выпиливанием двух обрезных досок

ОПТИМИЗАЦИЯ РАСКРОЯ СЕГМЕНТА С ВЫПИЛИВАНИЕМ ДВУХ ОБРЕЗНЫХ ДОСОК

OPTIMIZATION OF CUTTING SEGMENT WITH SAWING TWO EDGED BOARDS

Агапов А.И.

Поставлена и решена задача определения оптимальных размеров обрезных досок из сегмента, получаемого при брусовом способе раскроя пиловочника.

Formulated and solved the problem of determining the optimal sizes of the cut parts from segment, the resulting bare method of cutting of timber.

Ключевые слова: пиловочник, способ, сегмент, обрезные доски, целевая функция, уравнения связи, оптимальные размеры, пифагорическая зона.

Keywords: sawlogs, way of cutting, segment, edged boards, the target function, the equations of communication, the optimal size, Pythagoras zone.

В моей работе /1/ была рассмотрена задача определения оптимальных размеров доски, получаемой из сегмента, образованного во время раскроя пиловочника брусовым способом. Возможны также варианты, когда из получаемого сегмента целесообразно выпиливать одновременно две доски. Наиболее актуальная постановка такой задачи возникает при распиловке пиловочника диаметром 30см и более. В этом случае толщина сегмента после выпиливания бруса может достигать (0,3... 0,4) от диаметра бревна. Тогда выпиливание из сегмента одной боковой доски будет не рационально, так как будут большие потери древесины в рейку. В этом случае также возникает задача определения оптимальных размеров получаемых досок (рисунок 1).

Рисунок 1 - Схема раскроя сегмента с выпиливанием двух обрезных досок

В качестве критерия оптимальности выбираем выход обрезных досок, получаемых из сегмента. Целевую функцию можно написать в виде суммы площадей поперечных сечений обрезных досок:

Z = Tlbl + T2b2,

где Ть T2 - толщины первой и второй досок, Ь1, Ь2 - ширины первой и второй досок.

Для написания уравнений связи воспользуемся теоремой Пифагора. Полагаем, что размеры пиловочника и выпиливаемого бруса известны. Тогда для первой доски уравнение связи будет иметь вид:

d2 -Ь2 -

где d - диаметр пиловочника в вершинном торце;

Н - толщина бруса.

Для второй доски уравнение связи будет иметь вид:

d2 -Ь2 - (H + 2Т + 2Т2)2 = 0.

Полагаем, что математическая модель составлена.

Для ее решения воспользуемся методом множителей Лагранжа. Функцию Лагранжа можно записать в следующем виде:

L = ь/т + Ь212 + к (а2 - ь2 - H2 - 4нт - 4Т2)+ + к2((12 - Ь2 - н2 - 4Т2 - 4Т22 - 4НТ - 4НГ2 - 8ТТ) где К, К2 - множители Лагранжа.

Находим частные производные от функции Лагранжа и приравниваем их к

нулю:

аь а^ аь аь аь ат аь ат

Т - 2\ ь = о,

т2 - 2К 2Ь2 = о,

ь - 4\н - 8\Т - 8^2т - н - 8К2Т = 0,

Ь - 8КТ - 4КН - 8КТ = 0.

Решаем полученную систему уравнений (5) совместно с уравнениями связи. Из первого уравнения системы (5) можно написать:

Т = 2АА,

К

А

2Ь

Из второго уравнения системы (5) можно определить второй множитель Лагранжа:

Т

Т = 2К Ь

2 2;

2Ь

Рассматриваем последнее уравнение системы (5), в которое подставляем равенство (7), получим:

Ь2 = 4Т22 + 2НТ2 + 4Т1Т2 = 2Т2

В равенство (8) подставляем уравнение связи (3), получим квадратное уравнение:

<

з т н2 н 2

Т22 + 3

Решая полученное квадратное уравнение (9), получим:

Т2 =1

8

Рассматриваем третье уравнение системы (5), в которое подставляем выражение (6), а также последнее уравнение системы (5), получим

Т Т2

Ь = 2нТ + 4^ + Ь2.

Ь1 Ь1

Последнее выражение (11), можно представить в виде

Ь2 - ЬЬ - 2нГ1 - 4Т2 = 0.

В уравнение (12) можно подставить уравнение связи (2), получим

ЬЬ = а2 - н2 - 6БТ - 8Т2.

Таким образом, рассмотрены все уравнения системы (5), а также уравнения связи. Однако по полученным формулам определить непосредственно оптимальные размеры боковых обрезных досок не представляется возможным, так как размеры досок в формулах взаимосвязаны.

Для определения оптимальных размеров досок можно использовать численный метод или сформулировать дополнительные условия. Более упрощенный вариант решения задачи получается при использовании дополнительных условий, но при этом обеспечивается меньшая точность определения оптимальных размеров досок. Так как целевая функция вблизи экстремума изменяется плавно и медленно, то такое допущение вполне приемлемо.

В связи с этим задаемся дополнительными требованиями (условиями), с помощью которых можно определить размеры боковых досок. Одно из требований, которое должно соблюдаться при раскрое сегмента, толщина внешней доски Т2 должна быть меньше толщины внутренней доски Т1. Тогда можно написать

Т = аТ2,

где а - величина увеличения толщины внутренней доски по сравнению с толщиной наружной доски.

Величина «а» по исследованиям автора /2/ может находиться в пределах 1,2... 1,8 и в среднем может быть принята равной 1,5. Подставим равенство (14) в уравнение (9), а затем, решив его, получим

т _

Т = 4

Второе условие, которое можно использовать при решении такой задачи -это размер пифагорической зоны Е, который должен находиться в пределах (0,85... 0,95^ /3/. Тогда можно написать

Е = н + 2Т + 2Т =

Используя равенство (14), можно написать

Е - н

Т2 " 2

Подставим выражение (17) в формулу (15), получим

а = Е

а2 - е2

Для анализа и выбора рациональных размеров боковых обрезных досок рекомендуется представленные выше формулы использовать в относительных единицах, полагая H/d=mн. Задаваясь величиной пифагорической зоны Е по формуле (18) определяем параметр «а», а затем размеры досок. Толщину второй боковой доски определяем по формуле

т = Т2 = л/4

Толщину первой боковой доски определяем по выражению

Т

тТ1=-7 = а " тТ2.

а

Ширину второй боковой доски можно определить по формуле

тЬ2 =ЬГ = V1 -

а

Ширину первой боковой доски можно определить по формуле

тЬ1=Ь1 = л/1 -

а

Таким образом, используя полученный алгоритм решения задачи, можно определить оптимальные размеры боковых обрезных досок, получаемых из сегмента.

Список использованных источников

1. Определение оптимальных соотношений размеров боковых досок при брусово-развальном способе раскроя пиловочника [Текст] / А. И. Агапов // Наука - производство - технологии - экология : всерос. науч.-техн. конф. : сб. материалов. В 3 т. Т. 2. ХФ, БФ, ФАМ. - Киров: Изд-во ВятГУ, 2009. - С. 192-195.

2. Оптимизация брусово-развального способа раскроя пиловочника с выпиливанием двух брусьев [Текст] / А.И.Агапов // Киров: Изд-во ВятГУ, 2011 - 77с. Деп. в ВИНИТИ РАН 08.07.2011, №333 - В2011.

3. Определение пифагорической зоны пиловочника [Текст] / А. И. Агапов // Наука -производство - технологии - экология : всерос. науч.-техн. конф. : сб. материалов. В 6 т. Т. 3. ФАМ, ИСФ. - Киров: Изд-во ВятГУ. - 2005. - С. 113-115.