ТЕХНИЧЕСКОЕ СРЕДСТВО ОБУЧЕНИЯ

Предложенное решение относится к математическим моделям и может быть использовано для обучения.
Известно техническое решение №2282891.
Изобретение относится к специализированным средствам вычислительной техники и может быть использовано для создания генераторного оборудования, а также при решении краевых задач математической физики. Техническим результатом является расширение функциональных возможностей за счет воспроизведения всех классов ортогональных функций, являющихся решениями дифференциальных уравнений второго порядка. Устройство содержит три интегратора, блоки перемножения, сумматор, инвертор, аналого-цифровой преобразователь, пять цифро-аналоговых преобразователей первой группы, три цифро-аналоговых преобразователя второй группы и два блока памяти.
Однако, и по настоящее время мнимому числу не найдена физическая интерпретация. В связи с этим и по сей день, отсутствует действительная функция от комплексного аргумента w=f(z) и ее графическое представление.
В школьной практике также возникает проблема при решении квадратных уравнений, ах2+bx+с=0 как в аналитической, так и в графической форме. Так, в случаях получения отрицательного дискриминанта D=b2-4ас, т.е. когда b2<4ас, говорят, что данное уравнение решения не имеет. В таких случаях нельзя утверждать, что решения данного уравнения не существует. Все эти недостатки, недоработки и противоречия устранены в Математическом аппарате диалектической логики (МАДЛ).
Также известно техническое решение №2121166.
Изобретение относится к математическим моделям. Устройство состоит из двух перфорированных плит. В перфорации перемещаются вертикальные стержни. Фиксаторы высоты размещены между двумя плитами. Гибкая (эластичная) сеть натянута между концами вертикальных стержней. Данное устройство позволяет наглядно решать двухмерное уравнение Лапласа.
Однако, также по настоящее время мнимому числу не найдена физическая интерпретация. В связи с этим и по сей день, отсутствует действительная функция от комплексного аргумента w=f(z) и ее графическое представление.
В школьной практике также возникает проблема при решении квадратных уравнений, ах2+bx+с=0 как в аналитической, так и в графической форме. Так, в случаях получения отрицательного дискриминанта D=b2-4ас, т.е. когда b2<4ас, говорят, что данное уравнение решения не имеет. В таких случаях нельзя утверждать, что решения данного уравнения не существует. Все эти недостатки, недоработки и противоречия устранены в Математическом аппарате диалектической логики (МАДЛ).
В современном математическом аппарате формальной логики (МАФЛ) в разделе «Теория функций комплексного переменного» (ТФКП), до сих пор сохранился (прижился) термин «мнимое число» , и по настоящее время мнимому числу не найдена физическая интерпретация. В связи с этим в ТФКП и по сей день отсутствует действительная функция от комплексного аргумента w=f(z) и ее графическое представление.
Заметим, что очень многие положения аналитической геометрии не имеют существенной важности, как аналитические и ценны именно как графические: полезно усмотреть их пространственный смысл, а не утверждать таковой только на словах.
2
2
2
В школьной практике также возникает проблема при решении квадратных уравнений, ах+bх+с=0 как в аналитической, так и в графической форме. Так, в случаях получения отрицательного дискриминанта D=b-4ас, т.е. когда b<4ас, говорят, что данное уравнение решения не имеет. В таких случаях нельзя утверждать, что решения данного уравнения не существует. Напротив, решение данного уравнения существует, но оно находится за границей формальной исходной материнской системы одномерного пространства оси - Х0Х и поэтому является неформальным иначе мнимым, поэтому и не учитывается. Все эти недостатки, недоработки и противоречия устранены в Математическом аппарате диалектической логики (МАДЛ).
Методология решения алгебраических квадратных уравнений в МАФЛ
Пример 1. Решение кв. уравнения х<sup>2</sup>-6х+5=0,
(1)
где: a=1, b=-6, c=5, действительные коэффициенты.
1
2
Корни уравнения x=5, х=1.
2
Для построения функции используем табличный способ задания функции f(x)=х-6х+5.
Таблица 1.
x
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
F(x)
12
5
0
-3
-4
-3
0
5
12
2
По табличным данным построим график функции f(x)=x-6х+5.
Нам достаточно задать область изменения аргумента на интервале от [-1, 7] (рис. 1), чтобы найти корни уравнения и показать их графический смысл, построив функциональную кривую.
1
2
2
2
2
2
На рис.1 функциональная кривая - парабола, точнее, ее вершина, смещена на 3 ед. от начала координат т.0 в положительную область оси - Х0Х, и опущена на 4 ед. в отрицательную область функциональной оси f(x). Ветви параболы направлены в положительную область функционального двухмерного пространства и пересекают корпускулярную ось - Х0Х в двух точках х=5 и x=1, которые и являются корнями данного уравнения. Заметим, что корни однозначно принадлежат интервалу [-∞, +∞] аргумента х действительной оси - Х0Х. Этот факт отражен и в символической записи формулы квадратного уравнения x-6x+5=0 и в самой функциональной зависимости f(x)=х-6х+5. В данном случае решение квадратного уравнения, его корни и график функции находятся внутри формальной исходной системы, заданного материнского множества {X} и не выходят за его границы. В этой же системе координат построим график функции f(x)=х-6х+9, квадратного уравнения х-6х+9=0.
(2)
1,2
его корни х=3.
2
Как видно из рис.1, график функции и корни (2) также находятся внутри формальной исходной системы, заданного материнского множества оси {X} и не выходят за его границы. Поэтому создается впечатление, что решения уравнений вида ax+bx+с=0 всегда разрешимы в формальной исходной системе и не являются частным случаем.
Но варьируя лишь свободным коэффициентом С квадратного уравнения (1), мы непроизвольно изменяем внутренние свойства исходной формальной системы на внешние свойства иного измерения.
Так, положим значение коэффициента С=13 и решим уравнение:
2
Пример 2. Решим квадратное уравнение х-6х+13=0 (3)
Подкоренное выражение дискриминант: D<0, т.е. отрицательный. В результате неформальной операции (радицирование) корни уравнения телепортировали в другое, неучтенном нами измерение.
1
2
Корни уравнения x=3+2i, х=3-2i, комплексные.
1
2
1
2
1
2
Символическая запись корней уравнения x, x, или их аналитическое решение, казалось бы, принадлежат формальной исходной системе, т.е. находятся в одномерном геометрическом пространстве координатной оси - Х0Х. На самом деле символическая запись корней «x, х» не соответствует реальности: в результате неформальной операции решение квадратного уравнения (3) - его корни «z, z» переместились за пределы исходной одномерной материнской системы (оси - Х0Х) - в другое измерение - в пространство второго ранга, т.е. на комплексную плоскость X0Y. Поэтому полученные решения относительно формальной исходной системы {X} являются мнимыми, софическими, невозможными.
В данном случае виновата в этом не объективная формальная система, а субъективный фактор, заложивший неформальные принципы в формальную систему. Чтобы исключить возникшее логическое противоречие, надо перейти от частного к общему, включить неучтенное измерение в новую формальную систему или в ее оболочку и выполнить следующие условия:
1. Записать исследуемую функцию от комплексного аргумента:
2
f(z)=z-6z+13, где z=ex+iy.
2. Построить график функции в функциональном трехмерном комплексном
пространстве.
Для построения функции используем табличный способ задания функции
2
f(z)=z-6z+13.
Построим таблицу:
Таблица 1
X
-1
0
1
2
3
4
5
6
7
f(x)
20
13
8
5
4
5
8
13
20
z
3-4i
3-3i
3-2i
3-i
3+0i
3+i
3+2i
3+3i
3+4i
F(z)
-12
-5
0
3
4
3
0
-5
-12
2
По табличным данным построим график функции f(z)=z-6z+13, т.е. действительную функцию от комплексного аргумента.
Заметим, что построения графика действительной функции от комплексного аргумента до этого момента не существовало в действующем математическом аппарате формальной логики (МАФЛ).
Ниже ее график приводится в МАДЛ.
2
2. График функции f(z)=z-6z+13,
где: е - орт (корпускулярный единичный вектор оси - Х0Х);
i - орт (волновой единичный вектор оси - Y0Y);
z=е·х+i·y (комплексный корпускулярно-волновой вектор);
X0Y - комплексное векторное пространство второго ранга;
2
f(z)=f(x, y)=z-6z+13 - действительная функция от комплексного аргумента;
X0Yf(z) - трехмерное функциональное пространство с входящим в него двухмерным качественным пространством, векторной комплексной плоскостью X0Y.
Как видно из рис.2, функциональная зависимость f(z) состоит из двух кривых - парабол, находящихся в объеме.
2
3
Одна из них - f(x) - лежит во фронтальной плоскости π, приподнята над комплексной плоскостью X0Y, не имея с ней контакта, другая парабола - f(z) - находится в профильной плоскости Y0f(z) - π, т.е. повернута вокруг функциональной оси на 90° относительно оси 0Х.
1
1
2
Экстремум функции находится в т.0. Ветви параболы направлены вниз, в отрицательную область функциональной оси f(z). Ввиду того, что данная кривая находится в плоскости Y0f(z), она не пересекает ось - Х0Х, а охватывает ее дугой, прокалывая своими ветвями комплексную плоскость в двух точках z=3+2i, z=3-2i, которые и являются реальными корпускулярно-волновыми корнями алгебраического квадратного уравнения (3).
Производная функции f(z)=2z-6, откуда z=3+0i.
mах
Максимум функции со значением этой точки f(3)=4 имеет положительную величину, т.е. приподнят над комплексной плоскостью на 4 ед.
Нахождение корней квадратного уравнения (3) осуществляется при помощи неформальной операции, или количественно-качественного перехода из формальной исходной системы - Х0Х первого ранга в высшую систему X0Y второго ранга. Как видим, такой подход к формализации алгебраических уравнений дает возможность получить не только частное, но и общее решение данных уравнений с их физической интерпретацией.
Заметим, дифференциальные модели с такой инновацией характеристического уравнения приобретают иной физический смысл.
Описание
Предложенное решение относится к математике и является техническим средством обучения (ТСО). Техническим результатом данного решения является устройство (прибор), который позволяет графически определять решение квадратных уравнений и посмотреть действительную функцию от комплексного аргумента f(z), т.е. функциональную кривую (параболу) в функциональном трехмерном пространстве.
Описание устройства макета (прибора)
На рис.3, 4, 5 представлены фотографии ТСО. Физический прибор состоит из 9 деталей.
1. Основание - металлический диск ⌀110 мм является платформой прибора.
2. Пластмассовый Диск ⌀200 мм, s=5 мм - имитирует Комплексную Плоскость X0Y. В диске ортогонально по диаметрам прорезаны пазы шириной s=4 мм, интерпретирующие оси координат - Х0Х и - Y0Y.
3. Пластмассовый диск подвешен в пространстве на трех стальных шпильках ⌀2,5 мм длиной 200 мм, которые закреплены в металлическом основании.
4. В центре металлического основания вертикально установлена стальная ось ⌀3 мм длиной ℓ=400 мм, проходящая через центр пластмассового диска т.(о) к.п., имеющая на конце стрелку и флюгер с надписью функциональной оси «f(z)».
5. На стальную функциональную ось надета медная трубка ⌀6 мм с цангами на концах, длина трубки ℓ=170 мм.
6. Две функциональные кривые (параболы), выполненные из медной проволоки ⌀3 мм. Их вершины закреплены ортогонально в средней части медной трубки, ветви парабол направлены в противоположные стороны. Для наглядности в параболу фронтальной плоскости X0Z вставлено красное оргстекло, в параболу профильной плоскости Y0Z вставлено синее оргстекло. С цанговой трубкой эти кривые имеют возможность перемещаться вверх, вниз по функциональной оси - Z0Z. На пазы диска и на функциональную ось нанесена разметка (шкала).
РАБОТА ПРИБОРА
2
2
2
1
2
3
Описанный демонстрационный прибор графически решает определенный класс квадратных уравнений вида аz+с=0, которые являются частным случаем кв. ур-ния az+bz+с=0. Однако и решения указанного вида уравнений позволяют проследить динамику перехода от корпускулярных корней к волновым корням. Рассмотрим работу прибора для трех вариантов свободного члена «с» уравнения z+с=0, c=-4, c=0, с=4.
Вариант 1.
2
Графическое решение кв. уравнения z-4=0.
1
2
Опускаем вершину (связку парабол) на 4 ед. по функциональной оси вниз под плоскость X0Y в отрицательную область функционального пространства. Мы видим, что функциональная кривая f(x) прокалывает плоскость или что тоже ветви параболы красного цвета пересекают корпускулярную ось - Х0Х в двух точках, x=2 и x=-2, которые и являются корнями данного уравнения, а функциональная кривая расположена во фронтальной плоскости X0f(x).
2
1
2
Аналитическое решение кв. уравнения z-4=0, имеет те же два корня z=2е+0i и z=-2е+0i (в комплексной векторной форме корни корпускулярные).
Вариант 2.
2
Графическое решение кв. уравнения z=0.
1
2
Установив вершину (связку парабол) в точку «0» начала координат, мы видим, что функциональные кривые-параболы, f(x)-сверху, а f(у) - снизу, касаются плоскости в т.0, тогда x=0 x=0, и являются корнями данного уравнения. Функциональные кривые расположены соответственно во фронтальной X0f(x) и профильной Y0f(y) плоскостях.
2
1
2
Аналитическое решение кв. уравнения z=0, имеет два корня z=0 и z=0 (не в векторной форме).
Вариант 3.
2
Графическое решение кв. уравнения z+4=0.
1
2
Поднимаем вершину (связку парабол) на 4ед. по функциональной оси вверх над плоскостью X0Y в положительную область функционального пространства. Мы видим, что парабола красного цвета, функциональная кривая f(x), не имеет контакта с комплексной плоскостью, значит, решения данного уравнения не находятся в формальной системе одномерного пространства оси Х0Х. Другая парабола синего цвета своими ветвями прокалывает плоскость или что тоже ветви параболы пересекают волновую ось - Y0Y в двух точках, y=2i и y=-2i, которые и являются корнями данного уравнения, а соответствующая функциональная кривая расположена во фронтальной плоскости Y0f(y).
2
1
2
Аналитическое решение кв. уравнения z-4=0, также имеет два корня z=0е+2i и z=0е-2i (в комплексной векторной форме корни волновые)
В системе ТСО
1. Рассмотренная работа физического прибора по графическому решению кв. уравнений позволяет проследить и понять диалектику перехода, для решения уравнений, из одной формальной системы в другую, на примере перехода от корпускулярных корней к волновым и далее к комплексным корням.
2. Визуально наблюдать действительную функцию от комплексного двумерного аргумента.
3. Данный прибор физически исключает из математического аппарата термин «мнимый».
4. Данный прибор физически вводит в математический аппарат термин «волновой элемент»
или i=i·Sin90°, коэффициент «i» связан с круговой функцией синуса, а значит с колебательными акустическими процессами - является реальной физической величиной, амплитудой синусоидального колебания.
Предложенное решение обеспечивает приведенная ниже совокупность существенных признаков.
Техническое средство обучения, включающее
основание в виде металлического диска, являющегося платформой прибора,
пластмассовый диск, имитирующий комплексную плоскость X0Y,
в диске ортогонально по диаметрам прорезаны пазы, интерпретирующие оси координат - Х0Х и -Y0Y,
пластмассовый диск подвешен в пространстве на трех стальных шпильках, которые закреплены в металлическом основании,
в центре металлического основания вертикально установлена стальная ось, проходящая через центр пластмассового диска, имеющая на конце стрелку и флюгер с надписью, на стальную функциональную ось надета медная трубка с цангами на концах,
имеются две функциональные кривые (параболы), выполненные из медной проволоки,
их вершины кривых (парабол) закреплены ортогонально в средней части медной трубки, ветви парабол направлены в противоположные стороны,
причем,
для наглядности в параболу фронтальной плоскости X0Z вставлено красное оргстекло, в параболу профильной плоскости YOZ вставлено синее оргстекло,
с цанговой трубкой эти кривые имеют возможность перемещаться вверх, вниз по функциональной оси - Z0Z. На пазы диска и на функциональную ось нанесена разметка (шкала),
при этом, основание - металлический диск ⌀110 мм является платформой прибора;
- пластмассовый Диск ⌀200 мм, s=5 мм - имитирует Комплексную Плоскость X0Y, в диске ортогонально по диаметрам прорезаны пазы шириной s=4 мм, интерпретирующие оси координат - Х0Х и - Y0Y;
- пластмассовый диск подвешен в пространстве на трех стальных шпильках ⌀2,5 мм длиной 200 мм, которые закреплены в металлическом основании;
- в центре металлического основания вертикально установлена стальная ось ⌀3 мм длиной ℓ=400 мм, проходящая через центр пластмассового диска т.(о) к.п., имеющая на конце стрелку и флюгер с надписью функциональной оси «f(z)»;
- на стальную функциональную ось надета медная трубка ⌀6 мм с цангами на концах, длина трубки ℓ=170 мм;
- две функциональные кривые (параболы), выполненные из медной проволоки ⌀3 мм, их вершины закреплены ортогонально в средней части медной трубки, ветви парабол направлены в противоположные стороны, для наглядности в параболу фронтальной плоскости X0Z вставлено красное оргстекло, в параболу профильной плоскости Y0Z вставлено синее оргстекло, с цанговой трубкой эти кривые имеют возможность перемещаться вверх, вниз по функциональной оси - Z0Z, на пазы диска и на функциональную ось нанесена разметка (шкала).