Уравнения G-минимальных расслоений на коники степени 4

УДК 512.774.42

УРАВНЕНИЯ G-МИНИМАЛЬНЫХ РАССЛОЕНИЙ НА КОНИКИ СТЕПЕНИ 4

В. И. Цыганков1

Памяти

Василия Алексеевича Исковских

Рассматривается первый нетривиальный случай относительно G-минимальных расслоений на коники, являющихся G-минимальными, с числом вырожденных слоев r = 4. Классификация проведена вплоть до явного задания уравнениями минимальных расслоений на коники (S, G) и явного указания действия группы G на группе Пикара Pic(S) и на самой поверхности S.

Ключевые слова: группа Кремоны, расслоение на коники, группа автоморфизмов.

The first nontrivial case of relatively G-minimal conic bundles being G-minimal is considered. The number r of singular fibers equals 4. Classification gives explicit equations of minimal conic bundles (S, G) and an explicit action of the group G on the Picard group Pic(S) and on the surface S.

Key words: Cremona group, conic bundle, group of automorphisms.

1. Введение. В работе [1] выполнена классификация с точностью до сопряженности конечных подгрупп G С Cr2(C) в группе Кремоны плоскости над полем C. Ответ получен в терминах действия G на поверхностях Дель Пеццо и расслоениях на коники, точнее, классифицируются неособые проективные рациональные G-минимальные поверхности с точностью до G-эквивариантных бирациональных отображений.

Цель настоящей заметки — продолжить классификацию вплоть до явного задания уравнениями минимальных рациональных G-поверхностей (S, G) и явного указания действия G на группе Пикара Pic(S) и на самой поверхности S.

Рассмотрим случай G-минимальных расслоений на коники. Напомним (см. [1, п. 3.7]), что рациональная G-поверхность (S, G) обладает структурой расслоения на коники, если существует G-эквивариантный морфизм ф : S P1, каждый слой которого Ft = ф-1(£), t G P1, либо невырожденная плоская коника (изоморфная P1), либо приводимая приведенная коника, т.е. пара пересекающихся прямых.

Известно (см. [1]), что не существует относительно G-минимальных расслоений на коники (определение см. ниже), являющихся G-минимальными, с числом вырожденных слоев r = 1, 2, 3, 5. В данной работе рассматривается первый нетривиальный случай относительно G-минимальных расслоений на коники, являющихся G-минимальными, с числом вырожденных слоев r = 4.

Всюду используются обозначения статьи [1].

2. Предварительные (известные) результаты. Расслоение на коники (S, G) называется относительно G-минимальным, если в слоях ф нет G-инвариантных (—1)-кривых (т.е. компонент приводимых слоев, что равносильно Pic(S)G = ф* Pic(P1)  Z). Напомним, что G-поверхность (S,G) называется G-минимальной, если любой G-эквивариантный бирациональный морфизм Г : S ^ Y на гладкую G-поверхность Y является G-изоморфизмом. Так что G-минимальная поверхность, обладающая структурой расслоения на коники, является и относительно минимальной. Обратное верно не всегда.

Пусть ф : (S, G) ^ P1 — относительно минимальная G-поверхность, расслоенная на коники. Известно (см. [1]), что при K?2 = 8 отображение ф — гладкое P1-расслоение над P1 и S ~ Fn — рациональная линейчатая поверхность (поверхность Хирцебруха). Не существует относительно G-минимальных (и, значит, просто G-минимальных) расслоений на коники при Kg = 7. Известно, что относительно G-минимальные расслоения на коники не являются G-минимальными в точности в случаях KS = 6, 5, 3. Для остальных значений Kg = 4 и Kg ^ 2 относительно G-минимальные поверхности, расслоенные на коники, являются G-минимальными (см. [1]).

1 Цыганков Владимир Игоревич — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: vova_cygankov@list.ru.

Напомним (см. [1, п. 5]), что для любого относительно О-минимального расслоения на коники группа О представляется в виде

1 — Ок — О — Ов — 1,

где О к — нормальная подгруппа, действующая послойно инвариантно на пучке коник \ (т.е. ее образ действует тривиально на базе Р1), а О в действует перестановками слоев (т.е. образ О в на Р1 действует эффективно).

Пусть (Б,О) — рациональная О-поверхность и а : О — 0(Р1е(Б)), д — д* — естественное представление О в ортогональной группе автоморфизмов группы Р1е(Б). Обозначим через Оо ядро этого представления.

Дадим определение исключительных расслоений на коники. Это поверхности, задаваемые во взвешенном проективном пространстве Р(1,1,д + 1,д + 1) для целого д ^ 1 уравнением вида

Гд : ^2Я+2

где ^2д+2 — бинарная форма без кратных множителей степени 2д+2 от ^,¿1. Для удобства будем называть точку (а : Ь) € Р1 корнем бинарной формы р(^о, ¿1), если р(а,Ь) = 0. Проекция на Р1 с координатами (¿о, ¿1) является расслоением на коники ф : Уд — Р1 с приводимыми слоями над точками Р1, являющимися корнями формы F2g+2(¿о, ¿1) = 0. Поверхность Уд содержит две непересекающиеся рациональные (—д — 1)-кривые, заданные уравнениями ¿2 = 0 и ¿3 =0.

Теорема 1 [1, предложение 5.5]. В вышеприведенных обозначениях предположим, что Оо = {1}. Тогда поверхность Б имеет структуру исключительного расслоения на коники.

Теорема о структуре минимальных конечных групп на общем расслоении на коники доказана в [1, теорема 5.7].

3. Случай К| = 4. Здесь ф : Б — Р1 имеет четыре приводимых слоя. Рассмотрение делится на два случая: когда антиканонический дивизор поверхности обилен и когда нет.

3.1. Дивизор —Ks обилен (т.е. Б — поверхность Дель Пеццо). Докажем следующую теорему.

Теорема 2. Пусть (Б, О) — расслоение на коники с обильным дивизором —Ks степени 4. Расслоение (Б, О) минимально тогда и только тогда, когда Б представляется в виде О-эквивариантного двулистного накрытия п : Б — Б/г = Ро, где г € О к — инволюция, переставляющая компоненты всех вырожденных слоев. Накрытие разветвлено вдоль гладкой кривой С рода 1, двулистно накрывающей Р1. Имеет место изоморфизм О — 2.О', где группа 2 порождена г, а группа О' — любая подгруппа группы Аи^С, Ро) (определение см. ниже). Если группа Аи^С, Ро) нетривиальна, то заменой переменных кривую С можно привести к виду (5) и тогда Аи^С,Ро) — 2.^4, 23 или к виду (6) и тогда Аи^С,Ро) — 22.

Здесь через Аи^С,Ро) мы обозначаем группу автоморфизмов поверхности Ро, оставляющих инвариантной кривую С С Ро и действующих тривиально на Р1е(^о).

Прежде всего из формулы присоединения следует, что поверхность Б не содержит (—2)-кривых. В частности, Б не может быть исключительным расслоением на коники (см. выше), и поэтому О о = {1}. Из теоремы [1, теорема 5.7] следует, что минимальная группа О содержит инволюцию г € О к, переставляющую компоненты всех вырожденных слоев. Пусть п : Б — X = Б/г — отображение факторизации. Поверхность X неособая, поскольку множество фиксированных точек инволюции является гладкой кривой С. Ввиду того что компоненты вырожденных слоев переставляются инволюцией г, факторрасслоение не имеет вырожденных слоев. Поэтому X — минимальная линейчатая поверхность Ре. Легко видеть, что е = 0.

Ясно, что для элемента д € О определено индуцированное действие на X = Ро, только если д коммутирует с г. Но из точной последовательности (1) следует, что г коммутирует со всей группой О. Поэтому накрытие п индуцирует гомоморфизм групп п* : О — О', где Кегп* = (г). Накрытие п также определяет на Ро структуру Р1-расслоения. Ясно, что группа О' должна его сохранять. В дальнейшем без дополнительных напоминаний мы будем пользоваться тем, что группа всех автоморфизмов Ро, действующих тривиально на Р1е(^о), изоморфна РОЬ(2, С) х РОЬ(2, С).

Кривая С задается следующим уравнением в Ро:

Ро

где рр^Ьо^1),г = 0,1, 2, — бинарные формы степени !. Из того что род кривой С равен д = 1 = с! — 1, следует, что ! = 2. Обозначим через а двулистное накрытие С — Р1, индуцированное проекцией на второй множитель. Из [1, лемма 5.11] следует, что неособое двулистное накрытие поверхности Ро, разветвленное вдоль кривой С, всегда существует и любые подгруппы Н С Аи^С, Ро) поднимаются до подгруппы автоморфизмов поверхности Б.

Теперь перейдем к изучению группы Аи^С, Ро).

Лемма. Пусть группа Аи^С, Ро) содержит элемент д = е, действующий тривиально на базе двулистного накрытия а : С ^ Р1. Тогда кривая С представляется уравнением вида

Ро

Изучим группу Аи1;(С, Ро) для кривой С, представимой уравнением (4).

Теорема 3. Пусть кривая С представима уравнением (4). Тогда это равносильно тому, что в Ро существует прямая вида схо — йх1 =0, с,й € С, на которой лежат две точки ветвления двулистного накрытия а : С ^ Р1. Кривая С приводится некоторым автоморфизмом Н € Аи1р (Ро) к виду

ЫХ +

И наоборот, любое уравнение вида (5) задает кривую С. При а = ±1 группа Аи^С, Ро) изоморфна 2.0 и порождена отображениями

(хо : Х1,Ьо : ¿1) ^ (Х : хь£о : —¿1), (хо : Х1, ¿о : ¿1) ^ (2x1 : Хо, (¿о + ¿¿1) : (¿¿о + ¿1)).

При а = ±г группа Аи^С, Ро) изоморфна 23 и порождена отображениями

(хо : Х1) ^ (—хо : Х1), (¿о : ¿1) ^ (¿1 : ¿о),

(хо : х^о : ¿1) ^ (х1/а : хо/(1 — а2), (¿о — а^) : (а£о — ¿1)).

Изучим оставшийся случай.

Теорема 4. Пусть кривая С представима уравнением (3). Группа Аи^С, Ро) нетривиальна и не содержит элемента д = е, действующего тривиально на базе двулистного накрытия а : С ^ Р1, тогда и только тогда, когда кривая С приводится к виду

Группа Аи1;(С, Ро) изоморфна 22 и порождена отображениями

(хо : хь£о : ¿1) ^ (хо : —хь£о : —¿1), (хо  : ¿1) —(х\ : а\Хо^1 : а2£о), а\ = = а\  с.

Объединяя полученные результаты, получаем теорему 2.

3.2. Дивизор —Ks не является обильным. Из [1, предложение 5.2] следует, что 5 — исключительное расслоение на коники. Поверхность 5 задается уравнением (2). Воспользуемся обозначениями из работы [1, разд. 5.2, 5.3].

Так как = 4, то д = 1. Из [1, предложение 5.3] следует, что Аи1;(У1) — N х Р, где Р — подгруппа РОЬ(2, С), оставляющая множество корней формы ^4(¿о, ¿1) инвариантным2, а N — множество матриц размера 2 х 2 с определителем ±1, оставляющих ¿2^3 инвариантным. Ясно, что N — С* : 2. Легко проверить, что группа Р изоморфна 2 х 2, О4 или А4.

Группа О минимальна тогда и только тогда, когда она переставляет исключительные сечения Ео и Е^ (см. [1, разд. 5.2]). Для описания группы О С N х Р будем использовать лемму Гурса (см. [1, разд. 4.1]). Обозначим через р1 и Р2 проекции прямого произведения N х Р на N и Р соответственно. Тогда группа О — ОпАвР', где 0п = р1(О), Р' = р2(О), а группа В — общий фактор 0п и Р'. Найдем классы изоморфизма для групп В. Рассмотрим точную последовательность (1). Ясно, что О к = Кег(р2) — 0т. Из [1, лемма 4.3] следует, что В — 1 или В — 2, причем последний вариант возможен, только если группа Р' содержит нормальную подгруппу индекса 2. Имеет место включение Р' С Р, поэтому Р' может быть одной из следующих: 1, 2, 3, 4, 2 х 2, О или А4. Эта группа обладает нормальной подгруппой индекса 2 только в случаях, когда она изоморфна 2, 4, 2 х 2 или 04. Итак, нами доказана

В отличие от работы [1] в данной работе для группы диэдра используется стандартное обозначение ПГ1.

Теорема 5. Пусть (S,G) — расслоение на коники степени 4. Предположим, что —Ks не является обильным. Тогда S имеет структуру исключительного расслоения на коники У\ и Aut(Yi) ~ N х P. Пара (S, G) минимальна тогда и только тогда, когда группа G изоморфна одной из следующих групп:

1) Dn, Dn х 2, DnA22, Dn х 2 х 2, DnA2(2 х 2), n ^ I, при P ~ 2 х 2;

2) Dn, Dn х 2, DnA22, Dn х 4, DnA24, Dn х 2 х 2, DnA2(2 х 2), Dn х D4, DnA2D4, n ^ l, при P ~ D4;

3) Dn, Dn х 3, Dn х 2 х 2, DnA2(2 х 2), Dn х A4, n ^ l, при P ~ A4. Работа выполнена при поддержке гранта "Научные школы" НШ-1987.2008.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Dolgachev I., Iskovskikh V. Finite subgroups of the plane Cremona group // Algebra, Arithmetic, and Geometry. Vol. 1. Boston: Birkhaüser, 2010. 243-319.

Поступила в редакцию 11.03.2009

УДК 512.555.4

СПЕЦИАЛЬНЫЕ КЛАССЫ /-КОЛЕЦ И ЛЕММА АНДЕРСОНА-ДИВИНСКОГО-СУЛИНСКОГО

Н. Е. Шавгулидзе1

В статье изучаются специальные классы решеточно упорядоченных колец (/-колец) и доказывается лемма Андерсона-Дивинского-Сулинского для специальных радикалов /-колец, т.е. доказывается, что специальный радикал /-идеала /-кольца является /-идеалом, причем выполняется равенство p(I) = IП p(R).

Ключевые слова: решеточно упорядоченное кольцо, специальный радикал /-кольца, лемма Андерсона-Дивинского-Сулинского.

If р is a radical in the class of rings and I is an ideal of a ring R, then p(I) is an ideal of R (the Anderson-Divinsky-Sulinski lemma). Let p be a special radical in the class of /-rings (lattice-ordered rings) and I be an /-ideal of an /-ring R. In this paper we prove that p(I) is an /-ideal of the /-ring R and p(I) = p(R) П I.

Key words: lattice-ordered ring, special radical of an /-ring, Anderson-Divinsky-Sulinski lemma.

Напомним необходимые определения и факты (см. [1-3]).

Пусть R — ассоциативное решеточно упорядоченное кольцо (/-кольцо). Обозначим R+ = {r Е R\ r ^ 0}; \r\ = r V 0 - r Л 0.

Для любых a,b Е R выполняются неравенства \a + b\ ^ \a\ + |b|, \ab\ ^ \a\\b\.

(Правый) идеал I /-кольца R называется (правым) /-идеалом, если из того, что a Е I, x Е R, \x\ ^ \a\, следует x Е I.

Тот факт, что I является (правым) /-идеалом /-кольца R, будем обозначать в виде I < R (I <r R).

Если I, J — /-идеалы /-кольца R, то I + J и I П J также являются /-идеалами /-кольца R.

Пусть R, S — /-кольца. Гомоморфизм колец f : R ^ S называется /-гомоморфизмом, если для любых a,b Е R выполняются равенства

f (a V b) = f (a) V f (b), f (a Л b) = f (a) Л f (b).

Если I <R, то факторкольцо R/I является /-кольцом, причем порядок задается следующим образом: a + I ^ b + I тогда и только тогда, когда a' ^ b' для некоторых a' Е a + I, b' Е b + I. Естественный гомоморфизм п : R ^ R/I, n(r) = r +1 является /-гомоморфизмом.

1 Шавгулидзе Наталия Евгеньевна — асп. каф. высшей алгебры мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: nathalia_s@mail.ru.