Обобщенная функция кольцевого зазора в коническо-цилиндрических каналах с учетом макроотклонений поверхностей и перекосов

The article presents the results of the effects of ambient air pollution by automobile transport in the city of Bishkek. It is established that the large share of pollutants emitted into the atmosphere by motor transport. Based on the analysis of the organization of traffic the necessity ofprocessing of a curriculum for training and retraining of drivers.

Key words: air, pollution, road transport, contaminants, security, traffic.

Atabekov Kalamat Karimovich, candidate of technical sciences, docent, head of the chair "Transport Management", talai m@bk.ru, Kyrgyz Republic, Bishkek, Kyrgyz State Technical University named I. Razzakov

УДК 621.822

ОБОБЩЕННАЯ ФУНКЦИЯ КОЛЬЦЕВОГО ЗАЗОРА В КОНИЧЕСКО-ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ КАНАЛАХ С УЧЕТОМ МАКРООТКЛОНЕНИЙ ПОВЕРХНОСТЕЙ И ПЕРЕКОСОВ

А.Ю. Кольцов, А.В. Просекова, Л. А. Савин

Проведен анализ факторов влияния на формирование функций кольцевого зазора образованного произвольными осесимметричными поверхностями. Рассмотрены различные варианты макроотклонений поверхностей, включая некруглость, нецилинд-ричность, корсетность, бочкообразность и углы перекоса осей. Сформирована обобщенная функция для расчета радиальных зазоров, образованных коническими и цилиндрическими поверхностями, имеющими технологические и монтажные отклонения.

Ключевые слова: функция радиального зазора, коническо-цилиндрические каналы, макроотклонения поверхностей, углы Эйлера, параметры поверхностей, цилиндрическая и полярная система координат, уравнение конуса.

Выполнение проверочных расчетов гидромеханических систем, в частности, проточных каналов насосов, компрессоров, двигателей и детандеров связано с моделированием гидродинамических течений рабочих тел в подшипниках, уплотнениях, демпферах, муфтах и т.д. Реальные размеры каналов в результате неточности механической обработки и сборки элементов машин имеют значительные отличия от номинальных значений, что требует анализа и учета при выполнении проверочных расчетов машин. Целью данной работы является формирование функций для проведения комплексного исследования влияния макроотклонений поверхностей и относительных перекосов на гидромеханические параметры сдвигово-напорных течений рабочих сред и эксплуатационных характеристики гид-

ромашин. На рис. 1 представлена условная схема (продольный разрез) кольцевого канала, образованного цилиндром с номинальным диаметром и конуса с минимальным диаметром й2тп и углом конусности а, ось которого наклонена к оси цилиндра под углом у. На представленной схеме поверхности канала имеют произвольные отклонения от идеальной формы.

Рассмотрим образующие канал поверхности в цилиндрической системе координат, такой, что ось 07 совпадает с осью опоры. Пусть Я(ф,г) -функция условного радиуса опоры, то есть длина вектора в пространстве Я , перпендикулярного оси 07 и составляющего с осью 0У угол, равный ф. Приняв неизменность данной функции по времени, рассмотрим задачу определения геометрии канала в заданный момент времени как задачу отыскания функции г(ф,г), описывающей положение поверхности ротора в заданной системе координат. Очевидно, что искомая функция зазора И(ф,г) может быть определена как к(ф,г) = Я(ф,г) - г(ф,г).

I У е_ г

5 6=

Рис. 1. Схема кольцевого зазора

Наиболее удобно при описании поверхности ротора считать, что ось 07 проходит через его условную ось симметрии. Преобразование перемещения, действующее на данную поверхность, может быть представлено как композиция преобразований поворота относительно некоторой точки пространства и переноса на заданный вектор. При этом очевидно, что такое преобразование инвариантно относительно некоторых характеристик поверхности. В простейшем случае, когда поворот отсутствует и ротор имеет строго цилиндрическую форму, функция г не зависит от г и может быть получена из канонического уравнения окружности со смещенным центром:

2 2 (* + *о) +(У + Уо) = 1;

Я2 Я2 '

* = Я соб(Ф), у = Я Бт(ф);

г(ф) = х0 соз(ф) + у0 sin((j)) +

í(

2XQ соз

2

Аналитически поверхность вала представляет собой множество точек в трехмерном евклидовом пространстве, удовлетворяющих уравнению поверхности второго порядка

2 2 2 ацх +CÜ22 У +a33z + 20^2*7+ 2a23.yz + 2a3izx +

+ 20С14Х + 2СИ24У + 20L34Z + ОС44 = 0.

Перекосу вала вследствие действия на него некоторой силы соответствует воздействие на элементы данного множества некоторого линейного оператора - оператора поворота (линейность в данном случае следует из определения операции поворота, которая требует сохранения расстояния между любыми двумя точками). Поворот в общем случае может характеризоваться тремя классическими углами Эйлера - углом рыскания \|/ (в горизонтальной плоскости), углом тангажа 0 (в вертикальной плоскости) и углом вращения £ (собственное вращение). Вращение тела относительно каждого угла записывается в виде матриц перехода А1у А2, Аъ, которые имеют следующий вид:

cos^ — sin ^ О Ао = О cos 9 - sin 0 , А-х = sin £ cos £ О

О 0 1

Ал =

cosvj/ — sin ц/ О sinvj/ COSVJ/ О

О 0 1

1 О О О cos 9 - sin 9 О sin 9 cos 9

Матрица А, соответствующая искомому оператору вращения, определяется как Л=А1-Л2-Лз, тогда после преобразования матрица имеет вид

А =

COS \\f cos £ - sin 1|/ cos 9 sin £ - COS 1|/ sin £ - sin V|/ eos 9 eos £ sin \|/ sin 9 sin Ц/ eos ^ + eos \\f eos 9 sin £ - sin V|/ sin £ + COS \|/ eos 9 eos £ - COS l|/ sin 9 sin 9 sin £ sin 9 eos £ eos 9

Примененяя оператора поворота к множеству точек, удовлетворяющих уравнению поверхности второго порядка, получим

»010101 ? I I I !

Я'г + + 2ал ~ху + 2а. -у1 + 2а. л IX + 2ал . х + 2а. . у + 2а. л1 + алл

11 22- 33 12 7 23* 31 14 24* 34 44

ап=а11°п + а22а21 + а33а31 + 2а12а1 \°2 \ + 2а23°2\°3 1 + 2а3Л Л1'

/ 2 2 2 а22 = а1 \а\2 + а22а22 + аЗЗаЪ2 + 2а12а12а22 + 2а23а22а32 + 2а31а12а32> щ

ООО

«33 =а11а13 +а22а23 +аЗЗ«зЗ + 2а12а13а23 + 2а23а23а33 +2а31а\3а33> «12 = «11«12 + «22а21а22 + «33«31а32 + а12й11^22 + а12а12а2\ + + а23а21а32 + а23а22а31 + «31а11а32 + а31а12а31 -

«31 = «11a11a13 + « 22a21a23 + «33a31a33 + «12a11a23 + «12a13a21 +

+ a23a21a33 + «23a23a31 + «31a11a33 + «31a13a31, «23 = «11a12a13 + «22a22a23 + «33a32a33 + «12a12a23 + «12a22a13 +

+ ^23022^33 +«23^23^32 +«31^12^33 +«31^13^32,

«14 =«14 «11 + « 24^21 +«34 #31,

«24 =«14#12 + «24 #22 +«34#32, «34 = «14a13 + «24a23 + «34a33, x = x + px, y = y + Py, z = z + zo + px.

Раскрывая скобки и приводя подобные аналогично тому, как это было сделано для уравнения конуса, получим уравнение

О О

«1 1Х + «22 У + 2« 2 xy + Х-[ A = 2(«{ 4 + «11 Px + «12 Py + «3)] + + y-[ B = 2(«24 + «22 Py + «12 Px + «23 z)] +

O o

+ [Q = («44 + «11 Px + «22 Py + «33 z + 2«12 PxPy + 2«31 Pxz +

+ 2«14 Px + 2 «24 Py + 2«34 z )] = 0,

которое в цилиндрической системе координат имеет вид

r («11 cos j + «22 sin j + 2«12 sin j cos j) + r(A cos j + B sin j) + Q = 0. (2) Выражение (2) может быть непосредственно использовано как для описания поверхности ротора, так и для поверхности опоры (при этом оператор поворота A соответствует тождественному преобразованию):

Д =

a11 a21 a31

а 41

а12 а22 a32 a42

a13 a23 а33 a43

a14 a24 a34 a44

5 =

a11 a12 a13 a21 a22 a23 a31 a32 a33 a41 a42 a43

a23

a21

a122.

5 = аи + «22 + а33; Т = а22 а33 + а33а11 + а11а22

Соответствия виду макроотклонения и инвариантов поверхности 2-го порядка даны в табл. 1.

Для построения функций зазора для конкретных макроотклонений форм рабочих поверхностей может быть удобнее вместо использования общей функции формы (2) ее частных форм, полученных применением аналогичных рассуждений для конкретного канонического уравнения поверхности второго порядка. Для перечисленных в табл. 1 типов макроотклонений формы рабочих поверхностей удобно записать уравнение (1) в следующей форме:

2 2 (а11* + а12 У + а13г) + (а21* + а22 У + а23г) +

а2 Ь2

2

+ 1

с 2

где коэффициенты 1 и п определяются по табл. 2.

Таблица 1

Соответствие между типами макронеровностей и поверхностями второго порядка

Тип макронеровности Тип поверхности Инварианты Примечания

Корсетность Однополостный гиперболоид А > 0, 55 или Т < 0 Начало координат поверхности совпадает с положением «стягивающей» окружности

Бочкообразность Эллипсоид А > 0, 55 > 0, Т > 0 —

Конусность Конус А = 0, 55 или Т < 0 —

Таблица 2

Значения коэффициентов в уравнении

Тип макронеровности к п

Корсетность -1 1

Бочкообразность 1 1

Конусность -1 0

В формуле (3) аг] - элементы матрицы поворота. Раскрыв скобки и

приведя подобные, получим следующее уравнение для повернутого относительно начала координат тела:

( 2 2 2 ^ а11 + 02! + к а31

*

а

Ь

с

+ У

( 2 2 2 ^ а31 + а22 + к а32

а

Ь

с

+ г

( 2 2 2 ^ а13 + + к а33

а

Ь

с

+

+ *У

2а11а12 , 2а21а22 + к 2а31а32

+

V а

Ь

+ У^

с

+

2а11 а13 , 2а21а23 + к 2а31а33

+

V а

Ь

с

+

2а12а13 , 2а22а23 + к 2а32а33

2

+

2

2

п.

V а" Ь" с"

Добавив дополнительно перенос системы координат, сохраняющий неподвижной заданную точку р (переход в систему координат Х17171 посредством линейного переноса на вектор р, рис. 2) и приводящий в систе-

му координат, ассоциированную с подшипником (переход в систему коор-

т

динат Х2У272, путем переноса на вектор [0,0,г0] (рис. 2), получаем следующее окончательное уравнение для повернутого тела в декартовой системе координат:

( 2 2 2 ^ а11 + а21 + ка31 ~ ,2

22 а Ь

с

+

( 2 2 2 ^ а12 + а22 + к а32

2

а

Ь

2

2

с

+

+

+

( 2 2 2 ^ а13 + а23 + к а33

2 2 2 V а Ь с у

+

2а11а12 , 2а21а22 + к 2а31а32

2

2

2

+

V а" Ь~ с~ у

^2а11а13 + 2а21а23 + к 2а31а33Л

2

2

2

+

V а~ Ь~ с~ у

^2а12 а13 + 2а22а23 + к-.2а32 а33Л

V а

2

Ь

2

с

2

п;

где

б*2 + Ьу 2 + С*У + Л* + Еу + ^ - п = 0,

2 2 2 2 2 2

б = + °21 + к.°31; Ь = °12 + °22 + к.°32

^ о о о' о о о

а

с

а

= 2а11а12 + 2а21а22 + к-2а31а32 .

С = —+ —21 22 +.. „ 2 2 2 а Ь с

Б = 2 Р*б + Ру С +

2а11а13 + 2а21а23 + к_2а31а33

Л

2

2

2

V а~ Ь~ с~ у

„ „ о„ „ л

2а12 а13 + 2а22 а23 + к-2а32 а33

2

V а

Ь

2

с

2

у

^ = Р2хб + Р УУЬ + (г + 20 + Рг )2

2 2 2 ^ а12 + а23 + ка33

2 7 2 2

ч а Ь с у

+

+ Р*РуС + Р* (г + г0 + Рг ) + Ру (г + г0 + Рг >

2а11а12 + 2а21а23 + к 2а31а33

Л

2

2

2

V а~ Ь~ с~ у

„ „ о ~ ~ Л

2а12 а13 + 2а22 а23 + к-2а32 а33

V а

2

Ь

2

с

2

у

с

Рис. 2. Переход между системами координат при повороте рабочего тела

В цилиндрической системе координат уравнение (4) примет вид

2 2-2- • г

При z = const уравнение (6) определяет заданную в полярной системе координат кривую, образованную пересечением повернутого тела и соответствующей плоскости. Возможные сочетания корней уравнения соответствуют случаям, когда прямая, составляющая угол (р с осью ОХ сопряженной декартовой системы пересекает кривую - сечение конуса в двух точках (подкоренное выражение положительно), в одной точке (подкоренное выражение равно нулю) и ни в одной точке (подкоренное выражение отрицательно, оба корня мнимые). Применительно к рассматриваемой задаче достаточно ограничиться корнем

_-р + л/р2-4сJ

--2а--

в предположении, что корни являются действительными для любого угла ср. Первое допустимо, поскольку г2((р)=г1(л;+(р), второе следует из малости зазора между подшипником и ротором, что не позволяет полюсу оказаться вне любого сечения тела. Решение Г\ уравнения (7) удобно записать как функцию ri=r(z,cp).

Определение функций рабочих поверхностей в форме (7) позволяет описать широкий спектр макроотклонений, деформаций и смещений. Однако для их практического применения необходимо увязать параметры

геометрических поверхностей с конструктивными параметрами ротора и опоры и с параметрами идеализированных макроотклонений. Рассмотрим ряд случаев, соответствующих наиболее значимымым идеализированным макроотклонениям (табл. 3).

Таблица 3

Сопоставление конструктивных и геометрических параметров опоры при определении функции зазора

Конструктивные параметры

Параметры поверхности

Симметричная конусность

Длина /, угол конусности а, малый радиус Лщш

с-1; а-Ь-Ят,и: ¿0 = ак^

а

Длина /, малый радиус Ящш, большой раДИуС Лтах

с=]• П=Ь=Р . ^ _ г) . ____^тах ^тш

с I, а и Лщщ. ¿0 -Лццд ап^---

Симметричная относительно оси опоры бочкообразность

Длина /, левый малый радиус Яи правый малый радиус Яг, большой радиус

-^тах

а=Ь=Кт

(Г/, 1Г, Го, С) =

ло/У

— ' "0' -4 -ч)

2 0

-я)

2£>

, с)+ </£>(- = = > ' с) ~~ • 40(^(2 = = > ' с) ~ -Ч).

Я

Я,

Щс)

я

-Г

го - -о -

здесь £>(г, го, с), го, с), £)(с) - функции, определяемые в соответствии с (5), где переменные г, г0 и с считаются независимыми.

Поскольку при фиксированной длине опоры тройки величин (г0, Яшах, и (го, Дтш, однозначно определяют кривизну поверхности, система уравнений в общем случае оказывается переопределенной и следует искать ее квазирешение в смысле минимального квадрата отклонения геометрических параметров от конструктивных параметров

Окончание табл. 3

Симметричная относительно оси опоры корсетность

Длина /, левый большой радиус правый большой радиус Кг, малый радиус Лщш

а—Ь—К ши^

ло/У

— -/' -о' с) -4 0

20

= ¿г'2 0'С) -4 0

2ш

= 9 , с) - -4 =-0'-0'с)~~ -я)

2 ею 2 г = /

-к

здесь £>(5, го, с), го, с), Q{c) - функции, определяемые в соответствии с (5), где переменные г, го и с считаются независимыми.

«Сплющенный» цилиндр

Длина /, радиус по оси ОХИх, радиус по оси ОУ

-о = 0; г/ = 7?х/ Ъ = Ку; с —>со; используется уравнение эллипсоида или однополостного гиперболоида

Рассмотренная методика позволяет в удобном виде описать геометрию канала в роторно-опорных узлах с учетом основных типов технологических дефектов рабочих поверхностей, и, таким образом, обеспечить большую точность при расчете основных динамических характеристик роторных систем, а также оценить степень влияния технологических и монтажных отклонений на характеристики опоры.

Список литературы

¡.Корнеев А.Ю., Савин Л.А., Соломин О.В. Конические подшипники жидкостного трения: монография. М.: Машиностроение-1, 2008. 172 с.

2. Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. 5-е изд., перераб. М.: Наука, 1984. 320 с.

3. Данчин И.А. Влияние отклонений формы опорных поверхностей гидростатодинамических подшипников на динамические характеристики роторных систем: дис. ... канд. техн. наук 2007.

4. Кольцов А.Ю, Корнеев А.Ю. Определение обобщенной функции зазора при перекосе ротора в конических подшипниках жидкостного тре-

ния // Известия ОрелГТУ. Фундаментальные и прикладные проблемы техники и технологии. 2013. №6/302, С. 11-15.

Кольцов Александр Юрьевич, инженер-исследователь, alexkolzovagmail. com, Россия, Орел, Госуниверситет - УНПК,

Просекова Анастасия Владимировна, ассист., prosekova.anastasiaayandex.ru, Россия, Орел, Госуниверситет - УНПК,

Савин Леонид Алексеевич, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой, savin@ostu.ru, Россия, Орел, Госуниверситет - УНПК

GENERALIZED FUNCTION OF A RADIAL GAP IN CONICAL-CYLINDRICAL CHANNEL WITH THE MACROSCOPIC SURFACE IRREGULARITIES AND DISTORTIONS

A.J. Koltsov, A. V. Prosekova, L.A. Savin

The analysis of the factors influencing the formation of the functions of the annular gap formed by arbitrary axially symmetric surfaces. Different variants of macroscopic surface irregularities, including roundness, corsetry, barrel-shaped, with the possible presence of misalignment of the rotor and the bearing. Formed a generalized function to calculate the radial clearance formed conical and cylindrical surfaces having technological and mounting deviations.

Key words: function of radial gap, conical-cylindrical channels, the macroscopic roughness surfaces, Euler angles, surface parameters.

Koltsov Aleksandr Yuryevich, research engineer, alexkolzovagmail. com, Russia, Orel, State University - UNPK,

Prosekova Anastasia Vladimirovna, assistant, prosekova. anastasiaayandex. ru, Russia, Orel, State University - UNPK,

Savin Leonid Alekseevich, doctor of technical sciences, professor, head of chair, sa-vin@ostu.ru, Russia, Orel, State University - UNPK