Фрактальность пространства и времени

ФРАКТАЛЬНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ

М.Р. КОРОТКИНА, д. ф.-м. н., профессор кафедры физики МГУЛа

Существование фрактальных структур было известно Аристотелю. Фракталь-ность пространства и фрактальность времени наблюдают биологи, химики, физики, географы, геологи и механики в многочисленных экспериментах. Возможность увидеть и исследовать фрактальные структуры началась с работ Бенца Мандельброта [1].

Все эти исследования помогают установить связь между микроскопическим поведением системы на макроскопическом уровне. Определение фрактала по Мандельброту: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому».

Фрактальные структуры возникают в открытых системах, находящих вдали от термодинамического равновесия и связанных с самоорганизацией диссипативных структур. Количественных мер фрактальных структур в настоящее время известно несколько, одной из которых является фрактальная размерность.

Основные книги Мандельброта относительно фрактальной геометрии:

Фрактальные объекты, форма, случай и размерность [2].

Фракталы: форма, случай и размерность [3].

Фрактальная геометрия природы [4].

Мандельброт связывает разнообразные объекты: геометрию деревьев, растений, геометрию ландшафта, структуру наших внутренних органов, некоторые закономерности в экономике и геометрию многих самых разнообразных явлений с фрактальной геометрией. По-видимому, фракталы каким-то образом схватывают суть топографии земной поверхности [2]: «Чтобы предметы отбрасывали тени, необходимо проявить недюжинную изобретательность. Тома понадобились, чтобы описать все подробности. Кроме того, используемый алгоритм сильно

зависит от того, на каком компьютере он реализуется: повторить проделанную работу можно только на таком же компьютере, который был использован нами». Фосс [5, 6] опубликовал основные идеи, заложенные им в программу, создающую различные пейзажи. Компьютерная графика, используемая при создании фрактальных объектов, описана в трудах серии компьютерной графики Ассоциации вычислительной техники [7]. Фрактальные деревья построены Оппенгей-мером [8]. Для применения фракталов к обработке экспериментальных данных достаточно использовать простые фракталы и фрактальные размерности, с которыми связаны скейлинговые размерности или размерности подобия. Экспериментальные данные, обладающие случайной фрактальной структурой, можно исследовать с помощью Я/Б - анализа, предложенного Мандельбротом и Уоллисом [9]. С помощью Я/Б - анализа можно проследить фрактальную зависимость от времени. Фрактальные случайные блуждания служат основой для объяснения фрактальных временных рядов и введения понятия фрактального броуновского движения. При анализе фрактальной структуры временных сигналов необходимо различать фракталы самоафинные и самоподобные. Популярное изложение фракталов дано в книге Пейтгана и Рихтера «Красота фракталов» [10].

Фрактальность пространства

Фрактальность пространства можно изучать с использованием различных фрактальных подходов.

1. Фрактальная размерность

Мандельброт [4] предложил определение фрактала: «Фракталом называется множество, размерность Хаусдорфа-Базико-вича которого строго больше его топологи-

ческой размерности». Мандельброт [11] сузил первоначальное определение: «Фракталом называется структура, состоящая из частей, которые в каком-то смысле подобны целому». Строгого и полного определения фрактала в настоящее время не существует.

Фрактальную размерность Б береговой линии можно вычислить с помощью формулы

*(8) = р-. О).

где 8 - размер квадратной ячейки 8 х 8 ; N{5') - число таких ячеек, необходимых для покрытия береговой линии.

2. Подобие и скейлинг

Зададим точку х =(х,,х2,хз). Рассмотрим прямую, проходящую через точку х0 в направлении а=(а1,а2,а3):

х=х0 + Ш , -оо < ? < +со ,

где 1 - любое действительное число. Изменим масштаб в г раз, тогда получим

х =гх- ( гх{, гх2, гхъ),

х=г(х0 +Ш) = х0 +гШ-{\-г)х0. (3) Эти преобразования можно записать в виде преобразования самоподобия:

х-+х+ап,

где п - любое действительное число. Другие множества точек, например, окружность, не обладают свойством (4).

Множество С самоподобно с коэффициентом подобия г, если

С = г

Для отрезка прямой единичной длины г(АП = — > гДе N - целое число. Пря-N

моугольник можно покрыть прямоугольниками, с уменьшением длины в 1/2

г(Аг) - (¡//У) раз. Аналогично, прямоугольный параллелепипед можно покрыть прямоугольными параллелепипедами,

уменьшенными в г(Лг) = ( 1/Лг)1/3. В общем случае масштабный множитель следует выбрать по формуле

г

В общем случае размерность подобия А вычисляется по формуле

£>5=-1пЛГ/1п г

В случае самоподобия фигур 2) = .

3. Функттия Веерштрасса-Мандельброта

Примером масштабно-инверсной фрактальной кривой является фрактальная функция Веерштрасса-Мандельброта

^(0=Е1 ¿Л  да

п=— СО О

Косинусной фрактальной функцией Веерштрасса-Мандельброта называется действительная часть функции И/(!):

+=° (1 — СОБ ЬПЛ

с

Фрактальная размерность 0{ШЬ) функции Веерштрасса-Мандельброта заключена в пределах

0-

Для достаточно больших В неравенство (10) выполняется и для больших Ь.

Функцию Веерштрасса-Мандельбро-та можно использовать для получения случайных фрактальных кривых, считая (рп -случайными из интервала (0,2л-) .

4. Фрактальная размерность кластеров

Рассмотрим цепочку молекул или мономеров (рис. 1), которые представим в

виде сфер радиуса Л0. Двумерное множество заменяем плоским набором мономеров, а объем заменяем некоторой упаковкой сфер. Число мономеров в цепи (плотная упаковка рис. 1) длиной Ь = 2Я равно

ы =

соосоо

Рис. 1

Для плотной упаковки мономеров радиуса Я0 получим

ЛГ = р

где р = 7Г/2л/3, которое получено при

Я/Д0 = 1.

Асимтотическая формула между числом частиц п и размером «кластера», который оцениваем по радиусу Я наименьшей сферы, содержащей кластер внутри себя, имеет вид

м = Р

где О - размерность кластера.

Фрактальный кластер обладает свойством: с ростом размеров его плотность определятся формулой

р{т)^.А\

где Е - размерность пространства. Плотность р постоянна, когда £> = Е согласно (14). Фрактальные кластеры имеют плотность р, убывающую с увеличением расстояния согласно (14).

Фрактальность времени

Фрактальность времени можно изучать с использованием различных «фрактальных» подходов.

1. Фрактальные временные ряды

Временные последовательности измерений удобно исследовать с помощью ме: Т9Д§_Херста (метод нормированного размаха). На основе экспериментальных данных относительно случайной величины ^ находим средние по времени значения

1

где î - дискретное время с целочисленными значениями, а т - длительность промежутка времени.

Херст использовал отношение R/S, где S - стандартное отклонение (квадратный корень из дисперсии):

(

S =

N 1/2

У

Гипотеза Херста. Получено эмпирическое соотношение

Д/5 =

где Н - показатели Херста.

2. Моделирование случайных рядов

Рассмотрим бросание п монет г раз. Случайной величиной % является число «орлов» или «решек». Для этого процесса

R =

\я

-пт -

1 ; S = 4п .

В пределе больших г получим формулу

Д/5=

В данном случае Я = 1 / 2.

3. Случайные фракталы

Рассмотрим одномерное блуждание случайной величины £ с нормальным законом распределения

1

р{^т)=7Ш ехр

£

2 Л

4 Dr

где D - коэффициент диффузии, подчиняющийся соотношению Эйнштейна

D

--тМУ

<4=7 5»-

* ,=і

Вводим величину X(t,T) формулой

п=1

Определим размах R

Подобия одномерных случайных блужданий

Практически броуновское движение можно наблюдать на основе экспериментальных данных на промежутках времени Ь = Т, где Ь - произвольное число. В случае Ь = 2 рассмотрим

р(?,?,т) = р(?,т)р(4”,т).

1 <1<г

Совместная плотность вероятности вычисляется по формуле

+00

Р& 2т) = т)р{%, т)^' =

1

:ехр

4АтФ1х \4П2тх В этом случае дисперсия увеличивается (^2^ = ЛВт- Обобщим этот результат на интервал Ь т между наблюдениями:

е2

р(£,Ьт) =

1

л/4 яБЬт

ехр

АИЬт

Для всех «Ь» получим ~ О и

где хп- численность популяции в момент времени іп — пт, а параметр « а » определяет связь системы с внешним миром (открытая система, параметр « а » может быть кормом).

Зависимость х„ от а имеет вид

Броуновское движение обладает свойством масштабней инвариантности. Это свойство подобия (скейлинга) можно выразить в явном виде с помощью замены

11 = ¿1/2£, т -Ьт. Для плотности вероятности получим формулу

= т = ы) = Ь-тр

где множитель Ъ 1/2 обеспечивает нормировку:

-Ко +оо

|р(£,т)й7£ = 1.

-оо —со

Преобразования, которые меняют масштабы времени и расстояния в равных пропорциях, называются аффинными. Зависимость, которая в некотором смысле сохраняет свой вид при аффинном преобразовании, называются самоаффинными.

Фрактальность пространства и времени

Фрактальность пространства и времени имеют глубокие физические причины. Связь фрактальных структур пространства и времени образует стрелу пространство -время, которое определяет эволюцию самоорганизующейся системы. Этот процесс проще всего исследовать с помощью ЭВМ для логистического уравнения

Рис. 2

При а = а*к имеет место спонтанное разветвление решения (детерминированный

хаос). При переходе через ак решения размножаются, сохраняя самоподобие. В точках

ак наблюдается фрактальность «пространства и времени». Роль «пространства» играют значения хп, которые группируются по определенному закону. Точки ак,ак+1,...

стремятся к ак по определенному закону. Эти масштабы были получены Фейгенбау-мом, по формуле

( И л

8 = Нгп-^——; а = Нш------------

п-*°ап+2-ап+[

V

и+1 /

В первом интервале 0 < а < а* эти величины имеют значения

8 = 4,66920160910299097.........

а = 2,502978750958928485........

В следующих интервалах ак<а< ак+{ эти величины имеют значения 8к, ак.

Эволюция популяции идет по схеме:

В интервале 0 <а<а\ динамика системы проходит по схеме удвоения (вилке) до бесконечного числа удвоений (детермениро-ванный хаос).

При переходе через а[ возникают три ветки, полностью повторяющие динамику системы при 0 < а < а[

В интервалах ак <а< аш динамика системы определяется масштабами «пространства - времени» ^ак,5к).

Стрела эволюции «пространство -время» определяется формулой

(а1 ’Х\) ^ {^аг>хг ) ^ ^ (ал’^л ) ~^ •  •

где тк - собственное пространство системы

в момент а = а*к. Значения а], а2, ... определяют интервалы собственного времени системы с масштабами 5Я в каждом интервале (а*п, ап+]). Собственное пространство системы определяется последовательностью хп = х(а*и) с масштабами ап.

Литература

1. Федер Е. Фракталы. - М.: Мир, 1991.-254 с.

2. Mandetlbrot B.B. Les Objects Fractals; Form, Hasard et Dimension. - Paris: Flammarion, 1975. - 320 p.

3. Mandetlbrot B.B. Fractals; Form, Chance and Dimension. - San Francisco; W.H. Freeman, 1977. -274 p.

4. Mandetlbrot B.B. The Fractal Geometry of Nature. -New Jork; W.H. Freeman, 1983. - 290 p.

5. Voss R.F. Random fractals; Characterization and Measurement, - In; Scaling Phenomena in Disordered Systems (eds. R. Pynn, A. Skjeltorp) - New Jork; Plenum Press, 1985.-P. 1-11.

6. Voss R.F. Random fractal forgeries, - In; Fundamental

Algorithms in Computer Graphics (ed. Eamshaw). -Berlin; Springer - Verlag, 1985. - P. 805-835.

7. Evans D. C. Athay R.J. Computer Graphics. -Siggraph 1986 Conference Proceeding, Computer Graphics 20 Number 4, August 1986.

8. Oppenheimer P.E. Real time design and animation of fractal plants and tees. - Computer Graphics, 20. - P. 55-64.

9. Mandetlbrot B.B., Wallis J.R. Noah, Joseph and operational hydrology, Water Resour, Res. 4, 1968. -P. 909-918.

10. Peitgen H.O., Richter P.H. The Beauty of Fractals. -Berlin; Springer - Verlag, 1986. - 296 p.

11. Mandetlbrot B.B. Self - affine fractal sets, - In; Fractals in Physics (eds. L. Pietronero, E. Tosatti) -Amsterdam; North - Holland, 1986. - P. 3-28.

Prof. Dr. Nikolai Kojouhov

HAS BEEN CHOSEN FOR DISTINGUISHED STANDING AND HAS BEEN CONFERRED WITH AN HONORARY APPOINTMENT TO

THE

RESEARCH О BOARD OF ADVISORS 1999

U- c.

Director. nl AdviLre. The AmentM bioy&phicAl laaurate, Int.

ПОЗДРАВЛЯЕМ

Кожухова Николая Ивановича, биография которого помещена в сборнике "Кто есть кто в мире".

Включение в этот сборник дает возможность участвовать в конкурсе, проводящемся каждое столетие в различных номинациях (отраслевого, научного, коммерческого и др. характера).

На основании участия в этом конкурсе Н.И.Кожухов получил диплом выдающегося лидера в области лесного сектора в экономике XX века.