Влияние агрегирования на предпрогнозные характеристики микро- и макроэкономических рядов

5. Акишин Б.А., Зубков А.Н. // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. Приложение. 2005. № 9. С. 3-8.

6. Ефимов Н.В., Розендорн Э.Р. Линейная алгебра и многомерная геометрия. М., 1970.

Южно-Российский государственный университет экономики и сервиса (Ростовский институт сервиса), Донской государственный технический университет

(Таганрогский филиал) 31 мая 2006 г.

УДК 510.6:681.3

ВЛИЯНИЕ АГРЕГИРОВАНИЯ НА ПРЕДПРОГНОЗНЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ МИКРО- И МАКРОЭКОНОМИЧЕСКИХ РЯДОВ

© 2006 г. Ф.М. Джашеева, М.А. Темирова, Э.В. Мелихов

In the paper are described method of aggregation micro- and macroeconomic series the purposes of improving of their preprognos characteristics. The value of preprognose characteristic is fulfilled with the help of methods of nonlinear science, in particular of implementation of fractal analysis.

Statistical analysis becomes to fractal analysis. The obtained qualitative and quantitative characteristics of such analysis confirm non adequacy of traditional statistic methods of the preprognose analysis.

Современная экономика вступила в новый цикл своего развития. Это связано с глобализацией макроэкономики, её усложнением, а также с вторжением в науку «математических методов нелинейной динамики» [1, 2]. Важнейшей причиной ее появления является также рождение новейших компьютерных технологий, которые дают возможность исследовать сложные явления и процессы путем визуализации на экране дисплея. Практика показала, что в современных условиях, например, для российской экономики с её упадком и финансовыми кризисами, классические экономическая теория и статистика, построенные на линейных равновесных моделях [2], оказались малопродуктивными или, более того, неадекватными. Это и неудивительно, поскольку переход от социалистического планового хозяйства к свободной рыночной экономике является крупным, можно сказать «бифуркационным» поворотом, влекущим за собой необозримую совокупность «нелинейностей» [1].

Объект и предмет исследования.

Статистический анализ исследуемых временных рядов

Объектом исследования является фондовый рынок ценных бумаг как один из главных финансовых элементов международной экономической системы и магазины торгово-закупочной сети, ориентированные на об-

служивание малоимущих потребителей. Предмет исследования - временные ряды (ВР) финансово-экономических показателей котировок акций крупных российских компаний и трехдневных объемов реализации однородного товара народного потребления. Известно, что рынок ценных бумаг должен быть направлен на выполнение своей главной функции - на преодоление инвестиционного кризиса, аккумуляцию свободных денежных ресурсов для направления их на цели последующего роста производства в России. Вместе с тем проблема насыщения потребительского рынка товарами первой необходимости в настоящее время актуальна. Большой рынок нуждается в регулировании и предупреждении падения не только рынка ценных бумаг, но и в спросе на товары широкого потребления. В связи с вышеизложенным представляет интерес исследование и прогнозирование микро- и макроэкономических ВР. Общеизвестно, что прогнозирование предполагает научно-обоснованное суждение о возможных состояниях экономической системы в будущем, об альтернативных путях и сроках его осуществления. Оно должно предполагать получение качественных оценок этих состояний при помощи математических и инструментальных средств реализации.

К настоящему времени в экономико-математических публикациях уже сложилось представление о том, что показатели фондовых рынков ценных бумаг и товаров народного потребления не могут адекватно быть описаны с помощью традиционных статистических моделей, так как по сути являются существенно нелинейными и имеют либо хаотическую, либо квазипериодическую, либо смешанную основу [1-3]. В такой ситуации адекватным аппаратом для решения задач анализа и прогнозирования может служить инструментарий фазовых портретов, клеточных автоматов и специальные искусственные сети, реализующиеся на базе искусственного интеллекта.

Данная работа посвящена применению инструментария фрактального анализа, методов агрегирования и моделирования исследуемых ВР, которые обладают долговременной памятью, и вместе с тем в характере их поведения появляется хаотичность. Авторы рассматривают процедуру агрегирования в качестве перспективного инструмента для улучшения предпрогнозных характеристик экономических ВР, для которых классические подходы к прогнозированию оказываются недостаточно эффективными.

В настоящей работе исследуются 2 ВР: ежедневные максимальные цены акций Сбербанка Z и трехдневный объем реализации товара одного наименования Z2:

Индексом I = 1,2,..., п занумерованы дни календарного периода с 1 апреля 2002 г. по 31 марта 2005 г., п = 745 для ВР Сбербанка и дни календарного периода с 4 января 1999 г. по 31 декабря 2000 г., п = 238 для ВР. Здесь численные значения уровней (наблюдений) г1, I2 означают максимальную за день стоимость одной акции в рублях и трехдневный объем реализации одного наименования товара в штуках.

Приведем численные значения так называемых рисковых статистических показателей [4] этих ВР: коэффициент вариации кг1 = 0,36 и ¥Т2 = 0,63; коэффициент асимметрии АТ1 = 0,54 и АТ2 = 0,80; коэффициент эксцесса ЕТ1 = 2,12 и ЕТ2 = 3,13.

Основные особенности статистических характеристик рассматриваемых ВР заключаются в следующем. Во-первых, достаточно одной визуализации представленных на рис. 1 а, б эмпирических функций распределения для того, чтобы утверждать, что поведение рассматриваемых ВР не подчиняется нормальному закону. К этому добавим, что они не обладают свойством стационарности. Во-вторых, принимая во внимание факт наличия достаточно частой смены знаков во ВР приращений Дгк = 2к+1 - ,

I = 1, п -1, к = 1,2, можно утверждать, что трендовые компоненты [4], базирующиеся на скользящих средних, фактически не представляют сколь-нибудь ценной информации о дальнейшем поведении рассматриваемых ВР.

5 0,2 -

Ü0,15 -о

6 0,1 -Л '

н

£ 0,05 -

о

$ 0-

яД

В 0,25 т

5 ц

и 0,2 --

6

§ 0,15 --&

ё 0,1

о

н

Цена, руб.

11 21 32 43 53

б

64 75 85 96 Количество, шт.

Рис. 1. Эмпирическая функция распределения ВР Z цен акции Сбербанка и ВР Z объема реализованного товара одного наименования

Таким образом, представленные выше количественные и качественные статистические характеристики являются определенным основанием для следующего предварительного заключения: традиционные (базирующиеся на трендах и регрессии) статистические методы предпрогнозного анализа рассматриваемых ВР не являются адекватными этим рядам.

Агрегирование как способ усиления структурированности данных

Агрегирование (aggregation, aggregation problem) - объединение, укрупнение показателей по какому-либо признаку. С математической точки

а

зрения агрегирование рассматривается как преобразование исходной модели в модель с меньшим числом переменных и ограничений, дающую приближенное (по сравнению с исходным) описание изучаемого процесса или объекта. Его сущность - в соединении исходных однородных элементов в более крупные «элементы - агрегаты» [5].

В некоторых экономических публикациях термин «агрегирование» понимается также как переход от микроэкономического к макроэкономическому взгляду на изучаемые экономические явления. В экономико-математических моделях агрегирование необходимо потому, что ни одна модель не в состоянии вместить всего многообразия реально существующих в экономике продуктов, ресурсов, связей. Существует различные способы агрегирования: сложение показателей, представление группы агрегируемых показателей через их среднюю, использование различных взвешивающих коэффициентов, баллов и т.д. [5].

В настоящем исследовании предлагается ежедневные показатели агрегировать в еженедельные, затем двухнедельные (полумесячные) периоды, используя метод взятия максимального значения показателя за период агрегирования для ВР Сбербанка. Для ВР реализации товара одного наименования предлагается трехдневные показатели агрегировать в недельные (календарные), затем двухнедельные периоды, используя метод взятия суммы объема реализации товара за период агрегирования. В результате проведенного агрегирования из временных рядов 71, 72, представленных соответственно формулами (1) и (2), получены ВР еженедельных значений максимальных цен акций и объема реализованного одного наименования товара 7 , 7 .

г1 =

72 =

где п = 156 для ВР Сбербанка, п = 119 для ВР объема реализации товара; 71, 7 2 представляют собой ВР двухнедельных значений параметров исследуемых ВР:

71 =

72 =

где п = 78 для 71 и п = 59 для 72.

В табл. 1 приведены статистические показатели ВР: исходных 7к, к = 1,2, недельного интервала агрегирования 7к , к = 1,2 и двухнедельного интервала агрегирования 7к, к = 1,2.

Из визуализации табл. 1 с очевидностью вытекает, что для рассматриваемых ВР 7к, к = 1,2 в результате применения к ним одно- и двухнедельного агрегирования фактически не приводит к сколь-нибудь заметному

изменению учитываемых рисковых статистических показателей, т.е. значений коэффициентов вариации V, асимметрии А, эксцесса Е.

Таблица 1

Статистические показатели исходных и агрегированных ВР

Показатель Z1 Z1 Z1 Z2 Z 2 Z2

V 0,36 0,37 0,37 0,63 0,56 0,53

A 0,54 0,46 0,45 0,80 0,61 0,55

E 2,12 2,03 1,95 3,13 2,41 2,00

С точки зрения дальнейшего предпрогнозного анализа этот факт следует считать положительным в следующем смысле: применение указанной выше процедуры агрегирования в достаточной степени сохраняет характер поведения рассматриваемых ВР, точнее сохраняет практически неизменными статистические характеристики динамики их поведения. Особо отметим, что одной из основных целей настоящего исследования является предпрогнозный анализ динамики экономических ВР. В этом смысле на основании полученных выше результатов появляется возможность предположить следующее правило для верхней оценки максимального интервала агрегирования ВР: интервал агрегирования следует считать недопустимо большим, если его использование приводит к существенным изменениям статистических показателей ВР, получаемых на выходе процедуры агрегирования.

Фрактальный анализ ВР котировки акций Сбербанка и объема реализации одного наименования товара

Использование фрактального анализа стало одним из самых полезных подходов к исследованию эволюции финансовых и экономических показателей.

На протяжении более чем полстолетия основным инструментарием фрактального анализа ВР является алгоритм К/^-анализа. Работа этого алгоритма реализуется поэтапно согласно вычислительной схеме, представленной в англоязычных публикациях под названием «алгоритм нормированного размаха Херста» [2] или, в другой терминологии, под названием «К/^-анализ: руководство шаг за шагом» [3].

Целью фрактального анализа какого-либо ВР является обнаружение наличия в нем долговременной памяти, оценка ее глубины, а также значение показателя Херста Н [2]. Кроме того, эта цель предусматривает выявление такой характеристики, как трендоустойчивость, или такого обратного к ней свойства, как «возврат к среднему чаще, чем в случайном поведении ВР» (частое реверсирование спад-подъем). Очень важным для прогнозирования оказывается выявление (периодических) циклов [3], если таковые имеются, или квазициклов [6]. Для последних в других источни-

ках используются термины «дробная квазипериодичность» [7] или «хаотические циклы» [3]. Знание перечисленных фрактальных характеристик рассматриваемого ВР предоставляет аналитику предпрогнозную информацию, т.е. позволяет ему оценить перспективность надежного прогнозирования ВР.

Предложенный в [6] новый подход к обнаружению циклов (квазициклов) в рассматриваемых ВР мы используем для вычисления верхней оценки их глубины памяти [2].

Применим алгоритм последовательного Л/£-анализа к отрезку 7\46 ВР (1) (2(146 =(2г1), ' = 646,745) с целью продемонстрировать «распознавательные» возможности представленного в [6] модифицированного алгоритма по отношению к циклам и квазициклам. На выходе этого алгоритма получим представленные в логарифмических координатах Н- и Л/£-траек-тории. На рис. 2 Л/^-траекгория демонстрирует исчерпание в данном отрезке ВР 11646 цикла тем, что в точке т = 4 этой Л/^-траектории происходит смена тренда («срыв с тренда») без возвращения к первоначальному тренду каких-либо последующих точек.

log

Рис. 2. R/S- и H-траектории отрезка ВР Z1

В точке т = 4 H-траектория получает отрицательное приращение, т.е. во ВР Н(т), т = 3, 4,...,n его уровень Н(4) получает отрицательное приращение. Таким образом, R/S- и H-траектории сигнализируют об исчерпании в ВР Z1646 цикла длины l = 4.

Примечание 1. Рассматривая рис. 2 и исследуя представленные на нем траектории, будем придерживаться утверждения, что по истечении длительности цикла (квазицикла) теряется память о начальных условиях для рассматриваемого ВР [2, 3], т.е. теряется долговременная коррелирован-

ность последующих наблюдений по отношению к начальным. Таким образом, говоря об оценке глубины памяти для рассматриваемого начального отрезка данного ВР, подразумеваем длину первого цикла (квазицикла), который содержится в этом отрезке, и его начало совпадает с началом этого отрезка.

Представленный ниже алгоритм получения нечеткой оценки «глубины памяти ВР в целом» базируется на предложенном в [8] алгоритме последовательного R/S-анализа. Работа этого алгоритма начинается с формирования на базе рассматриваемого ВР семейства S(Z) = {.У}, r = 1, 2,..., m,

состоящего из m < n ВР Zr = ^z, i = 1, 2,., nr, где ряд Zr получается

рекуррентно путем удаления первого элемента z[в ряде Zr-1. Здесь m

определяется как наибольшее значение индекса r = m такое, что ряд zm еще имеет точку смены тренда в его R/S-траектории. Дальнейшая работа алгоритма последовательного R/S-анализа выполняется поэтапно.

Этап 1. Формирование на базе ВР Z семейства S(Z) = {Zr}, Zr = ^z,

i = 1, 2,., nr r = 1, 2,., m, состоящего из m ВР Zr, где индексом i занумерованы элементы r-го ряда, получаемого из (r - 1)-го ВР Zr-1 путем удале -

ния его первого элемента z[-1. Здесь m определяется как указано выше. Исходный ВР Z также принадлежит семейству S(Z), в котором ему присвоено значение индекса r = 0.

Этап 2. С помощью алгоритма последовательного R/S-анализа осуществляет фрактальный анализ ВР из семейства S(Z) и формирование нечеткого множества значений глубины памяти о начале ряда для каждого ВР из этого семейства.

Пусть для каждого из ВР Zr = , i = 1, nr, r = 1, m в результате

применения к нему алгоритма последовательного R/S-анализа построены R/S- и ^-траектории, определяющие собой номер точки lr, который согласно примечанию 1 представляет собой оценку глубины памяти о начале ВР Zr.

Введем следующие обозначения: N(l) - количество всех рядов Zr из семейства S(Z), у каждого из которых номер точки смены тренда lr равен

числу l; l0 = min lr; Г = max lr; m = £ N(l); d(l) = N(l) - доля таких

1<r< m 1<r< m ¡=¡0 m

рядов в S(Z), у каждого из которых потеря памяти произошла на глубине l; L0 = {l} - множество носителей [9], т.е. множество значений номеров точек смены тренда в рядах из семейства S(Z); L(Z) = {(l, fi(l))}, l e L0, L(Z) -нечеткое множество (НМ) «глубины памяти для ВР Z в целом»; fi(l) - значения функции принадлежности «глубины l» НМ L(Z). Значения ¡i(l) пропорциональны числам d(l), l e L0; они получаются путем нормирования значений долей d(l) так, что ]u(l) < 1 для всякого l e L(Z).

Применим описанный выше алгоритм последовательного И/8-анализа к отрезкам исследуемых ВР (1) и (2).

На рис. 3 а, б приведено графическое представление НМ глубины памяти, полученных в результате метода фрактального анализа [3] к отрезкам следующих ВР: г1 - ВР ежедневных котировок акций Сбербанка, 2 -ВР трехдневных объемов реализации одного наименования товара. Визуализируя рис. 3 а, б, можем сформулировать следующее заключение относительно рассматриваемых ВР (1) и (2).

Для каждого ВР 2, к = 1, 2 глубина памяти I = 3 фигурирует в соответствующем ему НМ с максимальным значением функции принадлежности М3) = 0,9.

8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 а б

Рис. 3. Графическое представление НМ: а — Ь(21) глубины памяти отрезка ВР 2 котировок акций Сбербанка; б — нечеткого множества Ь(22) глубины памяти отрезка ВР 2 объема реализации одного наименования товара

Такая глубина памяти с указанным высоким значением функции принадлежности свидетельствует о весьма низкой трендоустойчивости на значительной части протяженности каждого из двух рассматриваемых ВР.

Фрактальный анализ ВР недельного интервала агрегирования

В [3] указаны публикации, в которых представлены результаты об улучшении показателей трендоустойчивости ВР путем использования простого агрегирования уровней, из которых состоят рассматриваемые ВР. Речь идет о следующей процедуре агрегирования. Сначала выбирается

конкретное целое число q > 2 и рассматриваемый ВР 2к , I = 1,п

разбивается на n =

следующих друг за другом интервалов

2к ^), } = 1, П. После чего в зависимости от содержательного смысла задачи вычисляются либо суммы

либо максимумы

= е zk

z^Z'

) k k z , = max z ',

' z^J(q) '

j = 1, n,

J = 1, n,

n

q

(как в настоящем случае для ВР (2)), либо средние значения элементов отрезка. Вычисленные таким образом величины г k представляют собой соответствующие уровни нового ВР

2 k =

В представленной выше процедуре агрегирования число q называем термином «интервал агрегирования». В [3] рассматривается ВР индекса Доу-Джонса для акций промышленных компаний. В процессе анализа стабильности этих ВР использовались следующие интервалы агрегирования: q = 5 (5-дневные прибыли), q = 20 (20-дневные прибыли), q = 60 (60-дневные прибыли). В [3] уровни нового ВР вида (9) представляют собой суммы вида = ^ . В настоящей работе эти уровни мы определяем

как экстремумы видов (7) и (8).

Выбирая конкретное значение параметра агрегирования q, отметим, что исходные ВР (1) и (2) состоят из уровней, которые в календарном смысле относятся к будним дням. Иными словами, эти ВР можно разбить на недельные интервалы, принимая значение q = 5 для Сбербанка и q = 2 для ВР товара одного наименования. Применяя процедуру агрегирования вида (7) и (8) к каждому недельному интервалу в исходных ВР (1) и (2), получаем новые (агрегированные) ВР, которые представлены выражениями (3) и (4).

В результате применения представленного алгоритма последовательного ЛЛ^-анализа к агрегированным ВР (3) и (4) получены оценки глубины памяти этих ВР. Графическое изображение этих оценок в виде соответствующих НМ представлено на рис. 4 а, б.

На наш взгляд, достаточно одной лишь визуализации для осуществления сравнительного анализа НМ глубины памяти неагрегированных ВР и соответствующих им агрегированных ВР.

1

0,8 0,6 0,4 0,2 о

ко

0,90

0,83

0,73

0,40

0д23 0,21 / 0,09

0,03

123456789

Рис. 4. Гистограмма НМ: а — ^ (21) глубины памяти ВР 21 еженедельных максимальных цен на акции Сбербанка; б — НМ ^ (22 ) глубины памяти ВР 2 2 еженедельных объемов реализации товара одного наименования

Фактически имеет место сильновыраженное соотношение подобия в следующих парах: рис. 3 а и 4 а (НМ ВР 2 и НМ ВР 21); рис. 3 б и 4 б (НМ ВР 7} и НМ ВР 22). Из этого соответствия подобия вытекает, что сформулированное выше заключение о низкой трендоустойчивости исходных ВР (1) и (2) в полной мере относится к каждому из двух агрегированных ВР (3) и (4). Иными словами, процедура агрегирования с недельным интервалом фактически не привела к сколь-нибудь заметному улучшению предпрогнозных фрактальных характеристик полученных ВР (3) и (4). По этой причине используем повторную процедуру агрегирования, увеличивая вдвое параметр интервала агрегирования q.

Фрактальный анализ ВР двухнедельного интервала агрегирования

Повторное использование процедуры агрегирования для значения q = 10 ВР (1) и q = 4 для ВР (2) можем осуществить на базе ВР (3) и (4), рассматривая пары соседних уровней и выбирая из них максимум и сумму соответственно:

21 = тах

(ч) 2 2

Применяя процедуры агрегирования вида (10) и (11) к каждому из двух ВР 2к , к = 1,2, получаем соответственно новые агрегированные ВР, которые представлены выражениями (5) и (6). В результате применения алгоритма последовательного Л/^-анализа к агрегированным ВР (5) и (6) получены оценки глубины памяти этих ВР. Графическое изображение этих оценок в виде соответствующих НМ представлено на рис. 5 а, б.

Сравним рис. 4 а и 5 а, которые отражают собой глубину памяти агрегированных ВР соответственно для значений q = 5 и q = 10 (д = 5 - недельный интервал агрегирования, q = 10 - 2-недельный интервал агрегирования). Результат визуализации этих рисунков можно сформулировать следующим образом. Имеются все основания считать, что в контексте предпрогнозных характеристик трендоустойчивость ВР 21 (2-недельное агрегирование) улучшилось самым существенным образом по сравнению с трендоустойчивостью ВР 21 (недельное агрегирование).

Действительно, функция принадлежности для I = 3 уменьшила свое значение с ¡л(3) = 0,9 до ¡л(3) = 0,24. Аналогичное заключение имеет место и для агрегированных ВР 22 и 22 (см. рис. 4 б и 5 б), т.е. функция принадлежности для I = 3 уменьшила свое значение с ¡л(3) = 0,83 до ц(3) = 0,28. Для ВР 2к, к = 1,2, значения ц(1) для всех I > 4 увеличились по сравнению с соответствующими значениями для ВР 2к.

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 0

КО

0,9

0,24

Л

0,46

0,37

0,25

Л*

,03

1,0 0,8 0,6 0,4 0,2 о;

КО

0,90

0,28 П

0,33

0,42 Я47

0,03

4 5 б

ны памяти

Рис. 5. Гистограмма НМ: а — ь (21 ) глубины памяти ВР 21 еженедельных максимальных цен на акции Сбербанка; б — нечеткого множества ь (22 ) глубины ВР 2 2 двухнедельного объема реализации товара одного наименования

Таким образом, с помощью процедуры агрегирования представляется возможным существенным образом улучшить значения фрактальных предпрогнозных характеристик.

Результат сравнительного анализа эффективности агрегирования

Представляемые рис. 3 а, б НМ глубины памяти для ВР (1) и (2) записываются соответственно следующими выражениями:

ь (г1 ) = {(/;/ (/))}, I = 3до, ь (22 ) = {(2 (I))}, / = 3д7,

где функция принадлежности ц1(1) принимает строго положительные значения для всех I е {3, 4,..., 10}, кроме ^(9) = 0. С целью последующих ссылок запишем:

НМ глубины памяти агрегированных с интервалом q = 5 и q = 2 ВР (3) и (4), представляемых соответственно рис. 4 а, б выражениями:

Ь(2) = {(/;/ (I))}, I = 3,9, Ь (22 ) = {((2 (I))}, I = 3,10;

где функция принадлежности // (I) принимает строго положительные значения для всех I е {3, 4,., 9}, а /2 (I) принимает строго положительные значения для всех I е {3, 4,., 10}.

НМ глубины памяти агрегированных с интервалом q = 10 и q = 4 ВР (5) и (6), представляемых соответственно рис. 5 а, б выражением:

Ь

где функция принадлежности /к (I) принимает строго положительные значения для всех I е {3, 4,., 8}.

Наиболее информативным показателем, характеризующим степень трендоустойчивости рассматриваемых ВР, являются представленные для глубины памяти I = 3 значения функций принадлежности ¡М (I), )к (I) и

%к (I), соответствующие НМ 1 (1к), 1 (1к), 1 (1к). При этом условимся считать, что для исходных ВР (1) и (2) длина интервала агрегирования q = 1. Для наглядности на рис. 6 а, б дано графическое представление динамики убывания значений функций принадлежности ¡М (3), )к (3),

%к (3), к = 1,2 с ростом длины интервала агрегирования q.

Рис. 6. Динамика убывания значения функции принадлежности глубины I = 3 с ростом интервала агрегирования: а — для ВР котировки акций Сбербанка; б — для ВР объема реализации товара одного наименования

Вторым по значению информативным показателем, характеризующим степень трендоустойчивости рассматриваемых ВР, является значение центра тяжести НМ (12)-(14).

Значения центра тяжести, обозначаемые через С (1к), С (1к), С (1к), вычисляются с помощью известных формул дефазификации [9]:

C

Z l-ßk

1=3_

10 , ' Z ßk

I =3

C

Z1 - %'

1=3_

10 , ' Z %k

I=3

k = 1,2.

2 1•мк

С

I=3

Чем больше значение тяжести рассматриваемого ВР, тем большая степень трендоустойчивости присуща этому ВР.

Для последующей оценки этой характеристики в зависимости от длины интервала агрегирования в табл. 2 представлены значения центра тяжести НМ глубины памяти рассматриваемых ВР.

Таким образом, в результате использования процедуры агрегирования получено улучшение предпрогнозных характеристик для каждого из двух ВР: котировки акций Сбербанка и объема продаж одного наименования товара. Этот результат не противоречит сути экономического содержания рассматриваемых финансово-экономических показателей. Появляются основания рассматривать

процедуру агрегирования в качестве перспективного инструмента для улучшения предпрогнозных характеристик экономических ВР, для которых классические подходы к прогнозированию оказываются недостаточно эффективными.

Таблица 2

Центры тяжести НМ глубин памяти при различных интервалах агрегирования

Наименование ВР Сбербанк Наименование одного товара

Z 3,99 5,76

Z 4,42 5,88

Z 4,78 5,98

Литература

1. Занг В.Б. Синергетическая экономика. Время и перемены в нелинейной экономической теории. М., 1999.

2. Петерс Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка. М., 2000.

3. Петерс Э. Фрактальный анализ финансовых рынков: Применение теории хаоса в инвестициях и экономике. М., 2004.

4. Сигел Э. Практическая бизнес-статистика. М., 2002.

5. Лопатников Л.И. Экономико-математический словарь. М., 1987.

6. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Узденов Р.Х. // Новые технологии в управлении, бизнесе и праве: Тр. III Междунар. конф. Невинномысск, 2003. С. 159-163.

7. Перепелица В.А., Тебуева Ф.Б., Темирова Л.Г. // Уравнения смешанного типа и родственные проблемы анализа и информатики: Междунар. рос.-узбек. симпозиум. п. Эльбрус, 21-25 мая 2003 г. Нальчик, 2003. С. 59-61.

8. Яновский Л.П. Принципы, методология и научное обоснование урожая по технологии «Зонт». Воронеж, 2000.

9. ЖирабокА.Н. // Соросовский образовательный журнал. 2001. Т. 7. № 2. С. 109-115.

Карачаево- Черкесская государственная технологическая академия 30 ноября 2005 г.

УДК 517.98

О ФУНКЦИЯХ, ПРЕДСТАВИМЫХ ПОТЕНЦИАЛОМ С СИМВОЛОМ, ОСЦИЛЛИРУЮЩИМ НА БЕСКОНЕЧНОСТИ

© 2006 г. А.Н. Карапетянц

We construct an inversion formula within the Lp spaces for potentional type operators with symbols oscillating at infinity.

Введение

Имеется большое число работ, посвященных исследованию операторов

типа потенциала - потенциала Рисса F и его модификаций [1-12]. Ядра