Дискретность пространства и времени

ДИСКРЕТНОСТЬ ПРОСТРАНСТВА И ВРЕМЕНИ

М.Р. КОРОТКИНА, МГУЛ и МГУ

Во вступительном слове на открытии биоматематического кружка в 1930 г. [1] В.И. Вернадский сформулировал его основную задачу:

«Нашей задачей должно быть ознакомление с происходящим сейчас вхождением в биологическую мысль математического мышления - с одной стороны, а с другой -ознакомление с теми математическими проблемами, которые ставятся нашей научной работой: изучение жизни с геохимической точки зрения... Та новая постановка проблем, которая должна вытекать из математического охвата новых явлений природы, должна иметь значение и для математики, вызывать интерес и в их среде; это исконный путь развития математического мышления, величайшей силы человеческого разума; математик исходит не только из логики, но и из новых задач, которые ему ставятся изучением при-

родных явлений, в том числе и явлений жизни в возможно широком ее охвате».

В своем письме В.И. Вернадский к С.А. Чаплыгину от 2 апреля 1929 г. писал:

«Мне, кажется, удалось подойти к обобщениям и новым представлениям, которые мне кажутся важными, но, думаю, потребуется много усилий, пока они войдут в общее сознание. Может быть, конечно, я уже стал фанатиком этих идей и теряю перспективу, но не думаю, т.к. найденные мною законности - числовые и выражены в числовых формулах. В истории планеты живые тела в своем геохимическом эффекте - в размножении - столь же охватываются числом, как охвачены им движения небесных тел.»

В своем письме Н.Н. Лузин к В.И. Вернадскому писал:

«... Я ознакомился с работами Pierre Curie о симметрии [2, 3], поражен их силой

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2005

79

и философской значительностью. Теперь только я понял Ваш важный намек на глубочайшую, не выявленную еще изначальную роль симметрии в явлениях природы. Очевидно, что вроде того, как теория вероятностей охватывает «законы хаоса» (= законы больших чисел), так и теория симметрии охватывает какие-то изначальные законы, но чего? Что им соответствует в реальности?

Вообще дожидаюсь с нетерпением окончания составления обещанного мною трактата по теории функций, чтобы уйти в поразительной красоты и пленительной общезначимости законы кристаллографии».

Из письма Н.Н. Лузина к В.И. Вернадскому от 13 мая 1937 г. [1, 4]:

Для меня Ваша проблема звучит так: «Узнать, можно ли чисто логическим путем в евклидовом пространстве 3-х измерений, отправляясь от его аксиом, отличить левое вращение от правого?»

Следовательно, геометрически начертив, нужно логически отличить друг от друга оба вращения, переводящие ось ОХ в ось ОУ, ось ОУ - в ось ОХ и ось ОХ - в ось ОХ, т. е.

Для полного разрешения этого вопроса, очень трудного и глубокого, надо прежде всего иметь перед глазами список аксиом трехмерного евклидова пространства.

Логически представляются лишь две возможности:

1) или логическое различение правого вращения от левого вполне возможно на основе списка аксиом трехмерного пространства;

2) или такое различение невозможно.

Самым интересным был бы, конечно, второй случай, т. е. случай логической неразличимости обоих вращений друг от друга. Ибо это, с одной стороны, показывало бы, что список аксиом неполон, потому что не позволяет дедуцировать столь важного и столь простого факта, каково различение обоих указанных вращений. А с другой стороны, это показывало бы, что скелет аксиом не охватывает нашей физиологии, ибо различение обоих вращений есть эффект чисто физиологический и, по крайней мере для наблюдателя, стоящего на плоскости ХОУ , имеющего голову на положительной части оси ОХ и наблюдающего вращение оси ОХ до совмещения ее с осью ОУ. Здесь эффект есть чисто физиологический, связанный, может быть, с помещением сердца в левой стороне нашего тела, - словом, связанный с дисимметрией, которая делает иллюзорным известный опыт профессора Боыпёап'а (извините за шутку!).

Но даже если будет иметь место первая возможность, т.е. случай осуществимости формальной дедукции из аксиом различения правого вращения от левого, то здесь возникает соблазнительная и дерзкая мысль: исследовать природу этих аксиом и указать, какие именно связаны с дисимметрией нашего организма.

Это исследование не слишком пустячное, ибо, раз Pierre Curie выставил свои три аксиомы относительно симметричного и дисимметричного в причинах (causes) и следствиях (effets) - аксиомы, чудесно выражающие своеобразный закон сохранения симметрии (или инвариантность симметричности), то, право, извинительно спросить себя, какие именно аксиомы геометрии Евклида трехмерного пространства связаны тесно с симметрией и с физиологией различе-

ния правого от левого? Я с большим удовольствием и живым интересом прочел первые три главы Вашей книжки «Les grands hommes de France. Pierre Curie», но нахожу изложение идей гениального Pierre Curie слишком популярным, беглым и недостаточно глубоким, здесь надо взяться за «Ou-vies» самого P. Curie.

Обращаюсь теперь к системе аксиом трехмерного пространства Евклида такой, какая дана Давидом в его знаменитых «Grundlagen der Geometrie». Мы видим, что аксиомы эти делятся на 5 групп.

Из письма Н.Н. Лузина к В.И. Вернадскому от 14 мая 1937 г. [1, 4]:

«...Я зашел к Сергею Павловичу Фи-никову и имел с ним беседу относительно Вашей проблемы».

Его мнение совпало с моим, т. е. что аксиомы геометрии Евклида позволяют установить существование двух различных вращений, не сводимых одно к другому с помощью непрерывного движения.

Он указал на следующий факт: если возьмем триэдр, т. е. три взаимно перпендикулярные полупрямые, исходящие из одной точки О, то мы можем одну полупрямую назвать ОХ, другую полупрямую OY, и третью полупрямую OZ. Всего у нас будет таких способов 3! = 1 + 2 + 3 = 6. И СП. Фиников указал, что три из этих именованных триэдра будут тождественны друг другу, т. е. переводимы один в другой простым наложением и что три других триэдра тоже будут наложимы друг на друга, но что можно строго доказать, что никакой представитель первых трех триэдров не накладывается на представителя последних трех триэдров, потому что последние три триэдра суть зеркальные отражения первых трех триэдров:

Он сообщил, что невозможность наложения триэдра второй группы на триэдр первой группы строго доказана.

Со своей стороны, я думаю, что было бы интересно найти в точности те аксиомы, благодаря которым получается доказательство невозможности такого наложения. Но при этом думаю, что работа эта, конечно, утонченная, не будет для Вас представлять большого значения, потому что результат ее негативен и притом формален. Действительно, раз Вы ищете связей - в некотором новом смысле между явлением жизни и вращением левосторонним и правосторонним, -то Вам утонченное отыскание (вернее, отбор) системы аксиом, производящих различение между вращениями правым и левым, покажется лишь ненужным топтанием на месте.

Я еще укажу на то, что при выходе в пространство 4-х измерений триэдр второго рода совместим наложением на триэдр первого рода. Следовательно, непрерывное движение триэдра как твердой системы совмещает наложением любой именованный триэдр на любой другой именованный триэдр, но при условии выхода из рассматриваемого пространства 3-х измерений в пространство 4-х измерений и снова возвращения в первоначальное пространство 3-х измерений.

Это как на плоскости два равных ди-симметричных треугольника ABC и А'В'С' совместимы наложением при условии переворачивания треугольника А'В'С' на другую сторону путем вращения около прямой L, причем это вращение уже выводит треугольник А'В'С' за пределы первоначального пространства 2-х измерений. Возможно, что явления жизни, связанные с различением вращений правого и левого как-то связаны с таким преобразованием правых и левых

кристаллов. Но наше формальное математическое мышление о таком преобразовании с помощью ухода в пространство 4-х измерений и возвращения в наше первоначальное пространство 3-х измерений, мне кажется, в корне неприложимым к Вашей проблеме, потому что пространство 4-х измерений существует лишь в формальном мышлении математика, но я не верю в его реальное существование (ибо тогда надо верить и в пространство - реальное - 5,6,7,..., п,... измерений, а это мне кажется не имеющим большого вкуса). Возможно, впрочем, что истинное пространство просто безмерно и что 3-мерность создана лишь нашей организацией. Это было бы хорошим решением некоторых загадок стереохимии.

В дальнейшем путь, естественно, намечается такой: надо доказать, что на плоскости а имеется два и только два различных вращения пучка прямых:

причем эти два различные вращения непри-водимы одно к другому непрерывным перемещением в плоскости, но переводимы выходом в 3-мерное пространство и переворачиванием плоскости на другую строну.

И, наконец, последний этап - это доказательство того, что в пространстве 3-х измерений имеется два и только два различных вращения пучка плоскостей:

причем эти два различные вращения непереводимы одно к другому непрерывным перемещением в пространстве 3-х измерений, но переводимы выходом в 4-мерное пространство.

Из письма Н.Н. Лузина к В.И. Вернадскому от 28 июня 1937 г. [4, 1]:

«... Ваш вопрос о вращениях очень глубок. Вопрос в том, имеются ли два пространства Евклида, одно из которых лево-вращающее, а другое - правовращающее? И какими безупречными аксиомами характеризовать то или другое пространство?

Ведь вводит же Эйнштейн новое пространство, имеющее кручение в каждой точке!

Ваши же проблемы - классического натурфилософского характера: именно наблюдение над предпочтением Природы к вращениям определенного типа не означает ли свойств самого пространства в тех частях, где проносится наша Солнечная система, и нет ли иных его частей, где геометрически вращение должно быть противоположным, в зависимости отчего и физические феномены должны быть иными?»

Из письма Н. Н. Лузина к В. И. Вернадскому от 20 сентября 1938 г. [1]:

«... В новом естествознании для меня нет ничего более увлекательного, как идея космического времени и взаимоотношения жизни и пространства. Восточное учение о силе символов также получит со временем место в нем».

Из письма Н.Н. Лузина к В.И. Вернадскому от 8 июля 1940 г. [1]:

«... Лично я думаю, что число измерений пространства - вещь очень, очень тонкая. Вероятно, истинное пространство -просто безмерно. Но с идеей числа измере-

ний связаны глубочайшие проникновения в теорию целых чисел.

Сейчас у меня создается вот какая картина: свойства натуральных чисел 1, 2, 3, ..., п, ... т Пбывают двух родов: (а) индуктивные и (б) неиндуктивные. Официальная (классическая?) теория чисел свойств второго рода (б) совсем не признает. По ее мнению, все свойства натуральных чисел индуктивны, т.е. могут быть доказаны «математической индукцией», иначе говоря рассуждением от п к п + 1. Лично я этого не думаю, и, по-моему, свойства второго рода (б) вполне реальны. Может быть, утраченные методы Fermat и Frenicle также были неиндуктивной природы, я думаю, что смутное, очень трудное созерцание в гиперпространствах является источником неиндуктивных свойств натуральных чисел. Но здесь вот курьезно, что мы напрягаемся видеть в гиперпространствах и выносим оттуда глубокие свойства натуральных чисел, которые не умеем доказать «индуктивно».

Но спрашивается, что в нас натягивается в момент видения в гиперпространствах? Физическая реальность гиперпространств? Не думаю. Просто, какая-то реальность гиперпространств? И этого не думаю. Мне думается, это своеобразный метод, природа которого не разгадана, которым надо идти и который отнюдь не связан с определенным числом измерений реального пространства. Таковое мне представляется бесконечно глубоким понятием и вполне безмерным».

Из письма Н.Н. Лузина к В.И. Вернадскому от 7 августа 1940 г. [1, 4]:

«На этом мне, собственно, следовало бы закончить мое письмо, еще раз поблагодарив Вас за присылку Вашей работы, доставившей огромное удовольствие и живейшим образом заинтересовавшей меня, если бы не один пункт в Вашей работе, который не терпит, по моему мнению, отлагательства и на который следует немедленно реагировать каждому, кто сколько-нибудь понял важность его. Это самый последний пункт, 18-й, Вашей работы. Ввиду исключительно-

го его значения и обусловленной им спешности, я прошу Вашего разрешения остановиться на нем сейчас же.

В этом пункте Вы предлагаете сделать проверку правой и левой закрученно-стей небесных спиральных туманностей в интересах проверки научной гипотезы Пас-тера. Это настаивание и эта Ваша идея столь важны, что проверка, в самом деле, должна быть осуществлена немедленно. И вовсе не в интересах только теории Пастера, но и теории Эйнштейна. Судите сами:

1. Предположим, что спиральные туманности суть диски или нечто вроде двояковыпуклой чечевицы. Тогда правизна и левизна закручивания зависит лишь от положения наблюдателя: перед диском или за диском. Назовем на мгновение ту сторону диска, где спираль кажется закручивающейся вправо, положительной и в обратную сторону - отрицательной.

Речь теперь идет об объективном, т.е. не зависящем от наблюдателя распределении спиральных туманностей в мировом пространстве. Без сомнения, есть спиральные туманности, видимые с «ребра». Таковые в расчет не берутся. Но остальные туманности повернуты друг к другу положительными или отрицательными сторонами, и среди таковых, вероятно, можно наметить течения, струи или потоки в мировом пространстве. Ведь вряд ли распределение положительных и отрицательных сторон дисков являет закон Гаусса, т.е. равнораспреде-ленную вероятность. Более вероятно, что здесь нет броунова движения, но именно струи положительных и отрицательных сторон дисков. Все это, - предполагая пространство классическим (т.е. евклидовым) и держась старых точек зрения.

2. Новая точка зрения начинается с теории Эйнштейна. Если мировое пространство эйнштейново, т. е. конечное, то тогда Вы каждую туманность должны видеть по крайней мере два раза: один раз с положительной стороны, другой раз - с отрицательной, конечно, в двух противоположных направлениях и тогда Ваша проверка должна дать следующее:

СВЕТ

НАБЛЮДАТЕЛЬ

если в каком нибудь конусе зрения преобладают положительные туманности, то в противоположном конусе должны преобладать отрицательные туманности.

Если это явление подтвердится наблюдением, теория Эйнштейна верна. На такую проверку идти нужно.

3. Но есть еще пункт, связывающий воедино теорию Пастера и Эйнштейна. Это следующее. Мы исходим из дискообразно-сти спиральной туманности. И тогда, конечно, нет положительной спиральной туманности fur und an sich, а каждая из них, будучи диском, являет одновременно лишь две стороны, положительную и отрицательную, для разных наблюдателей. Но если спиральная туманность являет, например, сферическую чашку, с выпуклостью в одну сторону и с вогнутостью - в другую, то тогда различение спиральных туманностей уже не относительное (т. е. для наблюдателя), но абсолютное, как в конхиологии. В этом случае мы имеем право классифицировать спиральные туманности абсолютным образом. Но если пространство эйнштейново, то оно имеет различную кривизну, и одна и та же спиральная туманность, попадая в различные части пространства, изгибается различ-

но - и из положительной становится отрицательной, как и обратно, правда, в конхиоло-гическом смысле.

Это размышление есть лишь интерпретация Вашего, ибо Ваш текст невозможно понимать буквально. Вы пишете: „В проекцию на плоскость мы спиральное пространственное тело отличить не можем, правое от левого, но в проекции на кривую поверхность - небосвод - и при сложности явления, расстояние частей которого от нее явно очень различное, - задача, мне кажется, небезнадежная". Буквально понимать нельзя, ибо небосвод нематериален, и расстояние от него мерить нельзя. Но если мое понимание Вашего текста правильное, то тогда кривизна пространства обусловливает самые важные на свете вещи: тяготение и жизнь.

Эйнштейн учит, что ньютоново тяготение обусловлено кривизною пространства. Вы указываете, что кривизною пространства, может быть, обусловливается и жизнь (через правизну и левизну).

Вы видите, что в проверке спиральных туманностей содержатся все элементы спешности, ибо изошедшая от Вас идея имеет важность, которую даже приблизительно оценить невозможно».

Из письма В.И. Вернадского к Н.Н. Лузину от 14 августа 1940 г. [1]:

«... Как раз сейчас я обдумываю одну из проблем биогеохимии - о «ноосфере». Мне представляется неубедительным ее образование - переход биосферы в ноосферу. Он подготовлялся всем миллионным прошлым человечества (сотнями тысяч поколений) и не может быть изменен случайностями человеческой истории - отдельными личностями и течениями. ...

...Без вашего разъяснения мне трудно разобраться и в отличии натуральных чисел от других, и в мерах пространства, но я как эмпирик и натуралист, опирающийся на понимание мира, созданное тысячами тысяч поколений, считаюсь с реальностью, где разные геометрические пространства - трехмерные, в реальности явно отличаются от многомерных и никоим образом не могут быть поставлены в единый ряд.»

Из письма Н.Н. Лузина к В.И. Вернадскому от 30 октября 1940 г. [1, 4]:

«... А в отношении появления живого из неживого, я не удивлюсь, если Ваши идеи о правом и левом и их связи с жизнью соприкоснутся с обнаружением роли кривизны пространства. Эта кривизна велика вблизи белых карликов. И если она такова, что правый кристалл может быть внутренне изогнут и преобразованным в левый, то это значило бы, что имеются участки пространства, жи-воносные по существу, создающие жизнь из мертвого. Это же как раз Ваши идеи и Paste/ a».

Из письма В.И. Вернадского к П.Л. Драверту от 1 мая 1942 г. [1, 4]:

«... Я все это время был чрезвычайно занят, очень интенсивно работал над своей книгой и, между прочим, совершенно неожиданно для себя понял вдруг, что такое симметрия, над которой я думал с 1881 г., следовательно, более 60 лет тому назад. Симметрия в природе, т.е. на нашей планете, есть проявление геометрических свойств природных тел и дает нам возможность судить о геометрии природных тел, т. е. об их пространстве. Для меня это особенно важно, т.к. Вы, может быть, помните, я считаю, что пространство, занятое телами живых орга-

низмов, может быть объяснено не эвклидовой, а одной из римановых геометрий и как раз у них существуют оси симметрии 7-го, 10-го и т.д. порядков, а вместе с тем явление дисимметрии, открытое Пастером, которое в пространстве 3-х измерений, по-видимому, не может существовать.

Обратили ли Вы внимание на кристаллографию Падурова, Александрова и Делоне? Они там правильно доказали, что в монокристаллах существует 240 федоровских групп, но если поставить вопрос, каким же эвклидовым, трехмерным, векториальным пространствам они отвечают, то окажется, что таких пространств всего 219. Я считаю одним из важнейших достижений наших кристаллографов и геологов то, что они ввели понятие о кристаллических пространствах. Я хочу выделить из книги моей и отдельно напечатать экскурс о геохимическом значении симметрии. Один из таких экскурсов, о котором я Вам, кажется, писал, - „О геологических оболочках Земли как планеты" печатается сейчас в „Известиях Академии"».

Дискретность пространство и время можно изучать с помощью фракталов [5].

Зависимость хп от а представлена на

рис. 1.

Рис. 1

Рис. 2

При a = ак имеет место спонтанное разветвление решения (детерминированный

Ч Т-Г *

хаос). При переходе через ak решения размножаются, сохраняя самоподобие. В точках ak наблюдается фрактальность «пространства и времени». Роль «пространства» играют значения хп, которые группируются по

определенному закону. Точки ak, ak+1,...

*

стремятся к ak по определенному закону. Эти масштабы были получены Фейгенбау-мом, по формуле

í 1 Л

5 = 11т an+1 a2 ; а = 11т

a _a

п+2 п+1

п+1

В первом интервале 0 < a < a1 эти величины имеют значения

5 = 4,66920160910299097............

а = 2,502978750958928485..........

* *

В следующих интервалах ak < ak+1 эти величины имеют значения 5с, ak.

Эволюция популяции идет по схеме:

*

- в интервале 0 < a < a1 динамика системы проходит по схеме удвоения (вилке) до бесконечного числа удвоений (детер-менированный хаос);

*

- при переходе через a1 возникают

три ветки, полностью повторяющие динами*

ку системы при 0 < a < a1 ;

**

- в интервалах ak < a < ak+1 динамика системы определяется масштабами «пространства - времени» (ак, 5к);

- стрела эволюции «пространство -время» определяется формулой

( * _

I а0, X'

(al1,х )^(а1,х2. . . ^(а„*,хп. . ., где хк - собственное пространство системы

в момент о = ак .

Значения а1, а*, ... определяют интервалы собственного времени системы с масштабами 5п в каждом интервале (ап , ап+1 ). Собственное пространство системы определяется последовательностью хп = х(а*) с масштабами а*.

*

В точках «хаотических структур» ак построены фракталы рис. 2.

При а = 4 фрактальных структур нет.

Они появляются при а1 ,..., ап , изменяют свою форму, но сохраняя число основных элементов, из которых они состоят.

Таким образом, научная гипотеза о структуре пространства и времени, предложенная В. И. Вернадским и развитая в математических исследованиях Н. Н. Лузина, находят подтверждения при исследовании движений в «хаотических структурах» через фракталы [6].

Многомерность пространства и времени можно доказать через биотелепорта-цию, подробно рассмотренную в работах [6, 7]

Библиографический список

1. Вернадский В.И. Переписка с математиками / (составитель М.И. Кратко).- М.: МГУ, (мех.-мат. ф-т.), 1996. - С. 112.

2. Кюри П. Избранные труды. - М., 1966.

3. Шубников А.В. О работах П. Кюри в области симмтрии // УФН. - 1956. - Т. 59. - Вып 4.

4. Рыбников К.К., Короткина М.Р. Николай Николаевич Лузин // Вестник МГУЛ - Лесной вестник. - 2005. - №3.

5. Короткина М.Р. Фрактальность пространства и времени // Лесной вестник (специальный выпуск физика). - 2000. - № 2(11). - С. 158-162.

6. Короткина М.Р. Стрела пространство - время // Лесной вестник (специальный выпуск физика). -2002. - № 3.

7. Короткина М.Р., Бурлаков А.Б. Биофотонная эмиссия // Вестник МГУЛ - Лесной вестник. -2004. - Вып. 4. - С. 89-100.

*