Геометрические модели сопряжений квадрик на фрагментах архитектурных объектов

ВЕСТНИК 9/2012

УДК 514.18:721

Ю.О. Полежаев, А.А. Фаткуллина, А.Ю. Борисова

ФГБОУ ВПО «МГСУ»

ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ СОПРЯЖЕНИЙ КВАДРИК НА ФРАГМЕНТАХ АРХИТЕКТУРНЫХ ОБЪЕКТОВ

Последовательность изложения темы представлена анализом геометрографии фрагмента Исаакиевского собора, его фрагментами с поверхностями куполов. Для детальных рассмотрений введены описания свойств астроидов и последующих эллиптических множеств с ограничением их принадлежностью к сферической базовой поверхности. Далее приведены примеры моделирования трех контуров куполов: пара-циркульного, циркульно-овального, конусно-сопряженного. Представлены аналоги очерков и поверхностей реализованных в зодчестве куполов и данных геометрографических моделей в качестве композиционных вариаций.

Приведено разъяснение «астроидального» порождения и планиметрических свойств рассматриваемых эллиптических множеств, а также взаимосвязей, существующих между ними, если задано условие их принадлежности сферической поверхности.

Статья представляет интерес и практические рекомендации для проектирования купольных фрагментов архитектурно-строительных объектов.

Ключевые слова: геометрографическое моделирование, очерк купола, квадратура круга, целла храма, амфипростиль, гипоциклоида-астроида, многообразия, множества.

Исаакиевский собор Санкт-Петербурга признают лучшим памятником архитектуры Европы второй половины XIX в. Но прежде, после просмотра 24 миниатюрных листов проекта собора, выполненных акварелью, Александр I назначает автора, Огюста Монферрана (1818 г.), ответственным за рождение достойного «наследника» в череде шедевров ваяния и зодчества России. Однако лишь по прошествии сорока лет, уже в правление Александра II, когда конная статуя Николая I заняла уготованное ей место, дата завершения «новоявленного» собора стала официальной. Это случилось, повторим, при участии племянника Александра I, который почтил память дяди и отца, исполняя их волю. Заметим, что «рука об руку» с Августом Августовичем трудилась над рабочим проектом и возведением на месте одноименной церкви многочисленная «комиссия». В нее входили архитекторы В.П. Стасов, К.И. Росси, А.А. Михайлов, А.И. Мельников и др. Назовем также и некоторых из скульпторов: П.К. Клодта, И.П. Витоли, А.А. Логановского.

Эстетическая оценка проектно-архитектурного решения, а также прагматическое воздействие внешних форм Исаакиевского собора Санкт-Петербурга для специалистов и людей с общечеловеческими реакциями восприятия почти не различаются в баллах. Это явление свидетельствует о высоком семиотическом достоинстве объекта. Действительно, во многом «сегодня» он сопричастен с опытом лучших образцов классики архитектуры. Целла храма — в антах, пары которых симметричны в амфи-простиле. Те анты, что ближе к центральной оси, гипертрофированы, а угловые — минимизированы по рельефу. Вид храма в плане представлен двумя ортогональными амфипростилями; их противоположные фасады оформлены восьмиколонными фронтонами. На центральную часть целлы, в соответствии с квадратурой круга, поставлен цилиндрический периптер, который увенчан сферическим куполом на усложненном фризе. Анализ, например, фронтальной проекции целлы собора позволяет выделить, в частности, три квадратных геометрических модуля, уменьшающихся местами с коэффициентом 0,5. Так, в горизонтальном направлении габарит содержит пять крупных модулей. Выше целлы использованы преимущественно дробные модули. Избегая многочисленных мажорных цитат и отзывов, в целом и частном рас-

смотрим несколько подробнее геометрические свойства внешних элементов формы одного из фрагментов собора. Речь пойдет о куполе на цилиндрическом основании (рис. 1).

Рис. 1. Фотография и чертеж разреза фронтальной проекции купольной части Исаакиевского собора

Конфигурация со сферическими поверхностями над основным фризовым поясом повторяется трижды вверх до вознесенного креста. Причем фризы и сферы каждого уровня своеобразны по форме. Средняя конфигурация с Я2 опирается главным фризом на ротонду с ограненными проемами. Верхняя, почти не усеченная сфера Я3, закреплена на конической поверхности, поставленной над полусферой Я2. Рассматриваемая «купольная композиция» определенным образом встроена либо в поверхности трех конусов, либо одного «скользящего конуса» с «золотой пропорцией». Окружность основания купола Я4 разделена на 24 части; поверхность купола, соответственно, имеет 24 «каннелюры». В колоннаде под куполом также 24 опоры. Визуально колонны ротонды переходят в «эллиптизм каннелюр» купола, а это формирует образ «воздушности и невесомости» надстройки собора. Заметим, что в гео-метрографических проекциях при касании (сопряжении) сферы с цилиндром для их очерков эффекта «эллиптизма» не возникает. Дело в том, что «эллиптизм» рассматриваемого купола существует явно для меридиальных каннелюр, в связи с чем возникает «стремление сферической поверхности ввысь...» и еще «выше».

Существуют многочисленные варианты истинно эллиптических форм очерков куполов со сферическими или эллиптическими навершиями. Подобно вышеприведенному примеру они могут содержать меридиональные, спироидальные или же иные каннелюры. Зачастую их роль «исполняют» другие знаки-рельефы [1].

Прежде, чем перейти к рассмотрению очерков эллиптических куполов, композиций с использованием эллиптизма в них, предлагается знакомство с моделями некоторых семейств эллипсов, их геометрографическими свойствами. Так, например,

ВЕСТНИК

9/2012

предлагается рассмотреть три семейства эллипсов, своеобразную «триаду» квадрик, для которых существует условие их принадлежности сферической поверхности. Планиметрическое свойство такого условия состоит в том, что все соответственные эллипсы имеют характерные точки сопряжений с «базовой окружностью» [2]. В качестве огибающей ее легко строить, используя сдвиг этой окружности (рис. 2).

Для задания множества и конкурентной линии эллиптической квадрики в данной работе используется гипоциклоида. Координатный отрезок касательной в каждой точке этой вспомогательной кривой порождает эллиптические параметры. Множества таких значений соответствуют заданию семейства эллиптических кривых. В определенных условиях построение точек гипоциклоиды-астроиды (4) предпочтительно, если используют угловые характеристики взаимопреобразуе-мых окружностей, например R = 4r. В данном случае (рис. 2) при смещении окружности (Ох; r) на угол 9R дуга этого угла равна (1; 1.). Соответственная ей дуга для (O¿ r) будет равна (1; 2), т.е. учетверенной дуге 9R . Для дуги с центром O . строим хорду (1.; 2.= 1;2), при этом точка 2 лежит на астроиде: х2/3 + y2/3 = R2/3; х = cos31;

y = R sin31; (х2 + y2 - 4r2 )3 + 108r2х2y2 = 0.

ГШШШ ГНГЛМ

villi

LlMk^^iiií

líMTAW 1ЛКЯ11

штшш&ц

¡IBBJS ЪЩ

Шк^ШШй

Шъшшли,

кжхт&ШШкъяжУжж

Рис. 2. Проекционно-сопряженные эллиптические множества на примере моделирования формы купола архитектурно-строительного объекта

Есть необходимость проверки того, что касательная астроиды в точке 2. перпендикулярна хорде (1.; 2.). Однако вследствие того, что Я избранной точки / и диаметр 2г для нее являются вложенными, касательная в точке 2. будет проходить через соответственный конец диаметра. Таким образом (1.; 2.) является нормалью астроиды в ее точке 2.. Это обстоятельство в совокупности с координатными прямыми точки / представляет еще один вариант построения гипоциклоиды [3]. Заметим, что каждая из семейства ее касательных может служить в качестве параметрического определителя эллипса, учитывая абсциссу в фиксации фокуса, а ординату — в обозначении позиции малой оси. Ясно, что семейство касательных порождает семейство эллипсов в габаритах квадратуры круга Я. Назовем это семейство «фокально-габаритным».

Если зафиксировать на / касательной астроиды точку в позиции М , не оговоренной выше, то ее траектория в процессе преобразования представит эллипс, габариты которого (а, Ь) совпадут с нею в предельных положениях на х и у. Следственно, можно говорить еще об одном семействе эллипсов, астрогабаритном. Эти эллипсы симметричны относительно биссектрисы координатного квадранта (см. рис. 2). Добавим, что названные виды эллиптических семейств не исчерпывают многообразия квадрик астроидального порождения. В частности, оба семейства рекоменду-

ется «выборочно» использовать в совместных композициях для «многоуровневых купольных» решений.

Далее предлагается пример построения фронтальной проекции «луковичного» купола. Зададим величины (Ь; а) овала (рис. 3) и сопряжение для четверти кривой в точке С. Определим габариты маковки у касательной которая параллельна /'. Последняя строится предварительно в качестве гипотенузы «золотого ортотреуголь-ника» 1). При этом пропорцию 2 можно смоделировать любым геометрогра-

фическим способом [4], но здесь ее удобно вместить в диаметр (-а; а) для последующего преобразования в названный треугольник. Затем покажем хорду (с; у) вместе с нормалью из ее центра т. Инцидент нормали из т и «сопрягающей прямой» (О^ с) фиксирует центр я для недостающей дуги «луковичного контура». Такова «пара-циркульная геометрографическая модель» купола.

Рис. 3. Три модели контуров «луковичных» куполов

Вслед за ней представим «циркульно-овальную модель». Пусть для того же овала (01; с) равно (с; Ои окружность (03; Ь) есть ротация окружности (Ос). Построим касательную (02; д) к окружности (03; Ь), и отметим ортотреугольник (03; д; 02), а затем повернем его вокруг 02 до совмещения катета (02; д) с осью у. Наконец, из центра *03 радиусом (01; а = 03 ; д) достраиваем очерк купола.

Познакомимся еще с одной геометрографической моделью, «конусно-сопряженной». Здесь точка задана касательной аналогично первому примеру. Касательная через точку с принимается за образующую конуса. Из Ь строим нормаль (Ь; п) на образующую. Радиус (03; Ь) равен (01; - а) величина (Ь;*п) — диагональ соответственного квадрата. Радиус (*п; п) позволяет достроить кривую (п; 03) очерка (-а; с; п; 03) купола.

Предложенные модели — лишь «единицы» подобных многообразий, тех, что существуют и могут появляться [5]. Дело «практики» или «практикантов» — возводить их в качество «канонов» или менять «каноны», проходя через конъюнктуры времен, иерархов, талантов, войн и мира. Прилагается изображение (рис. 4), на кото -ром сопоставлены три построенные модели с куполами известных реализованных архитектурных решений: церквей Спаса-Нередицы под Новгородом (1198 г.), Покрова в Филях (1693—1694 гг.), Троицы в Никитниках (1631—1694 гг.).

ВЕСТНИК

9/2012

Рис. 4. Аналогии очерков реализованных в зодчестве куполов и приведенных в качестве композиционных вариаций геометрографиче-ских моделей

«Храм и купол, — данная пара лексем может иметь синонимы, — «личность и лицо». В свою очередь, из этого сопоставления могут правомерно возникать понятия «индивидуальность», «характер», «образ».

Библиографический список

1. Гильберд Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М. : Наука, 1981. 343 с.

2. Гильберт Д. Основания геометрии. М. : ОГИЗ, 1948.

3. Корн Г. Справочник по математике. М. : Наука, 1974. 872 с.

4. Полежаев Ю.О. Рациональные пропорции архитектурно-строительных объектов в проекционной геометрии : монография. М. : Изд-во АСВ, 2010. 200 с.

5. Сапрыкина Н.А. Основы динамического формообразования в архитектуре. М. : Архитектура-С, 2005. 312 с.

Поступила в редакцию в мае 2012 г.

Об авторах: Полежаев Юрий Олегович — доцент кафедры начертательной геометрии и графики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО»МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (499) 183-24-83, grafika@mgsu.ru;

Фаткуллина Алина Алимовна — кандидат архитектуры, доцент, доцент кафедры начертательной геометрии, ФГБОУ ВПО «МАРХИ» (Государственная академия), г. Москва, ул. Рождественка, д. 11;

Борисова Анжелика Юрьевна — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры начертательной геометрии и графики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (499) 183-24-83, grafika@mgsu.ru.

Для цитирования: ПолежаевЮ.О., ФаткуллинаА.А., БорисоваА.Ю. Геометрические модели сопряжений квадрик на фрагментах архитектурных объектов // Вестник МГСУ 2012. № 9. С. 18—23.

Yu.O. Polezhaev, A.A. Fatkullina, A.Yu. Borisova

GEOMETRIC MODELS OF JUNCTIONS OF QUADRICS IN FRAGMENTS OF ARCHITECTURAL PIECES

The subject matter of the article represents a summarized analysis of the geometrography of a fragment of St. Isaac Cathedral, namely, the fragments that include surfaces of its domes. Their detailed analysis has also required an overview of the properties of astroids and other elliptical multiplicities limited by their relation to the spherical surface.

Further, the authors provide sample models of three types of domes, including circular, elliptical and cone-shaped domes. The authors provide sketches and sample surface models of domes and their descriptions. The authors also provide their explanation of the astroid origin and planimet-ric properties of elliptical multiplicities under consideration, as well as interrelations between them, if they are positioned on the spherical surface.

The information provided in the article and recommendations developed by the authors may be used in the design of dome-shaped fragments of pieces of architecture.

Key words: geometrographic modeling, dome sketch, squaring the circle, cella, amphipro-style, astroid, hypocycloid, diversity set.

References

1 Gil'berd D., Kon-Fossen S. Naglyadnaya geometriya [Visual Geometry]. Moscow, Nauka Publ., 1981, 343 p.

2. Gil'bert D. Osnovaniya geometrii [Fundamentals of Geometry]. Moscow, OGIZ Publ., 1948.

3. Korn G. Spravochnikpo matematike [Handbook of Mathematics]. Moscow, Nauka Publ., 1974, 872 p.

4. Polezhaev Yu.O. Ratsional'nye proportsii arkhitekturno-stroitel'nykh ob"ektov v proektsionnoy geometrii [Rational Proportions of Pieces of Architecture in Projective Geometry]. Moscow, ASV Publ., 2010, 200 p.

5. Saprykina N.A. Osnovy dinamicheskogo formoobrazovaniya varkhitekture [Fundamentals of Dynamic Shaping in Architecture]. Moscow, Arkhitektura - S Publ., 2005, 312 p.

About the authors: Polezhaev Yuriy Olegovich — Associate Professor, Department of Descriptive Geometry and Graphics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; grafika@mgsu.ru; +7 (499) 183-24-83;

Fatkullina Alina Alimovna — Candidate of Architecture, Associate Professor, Associate Professor of Department of Descriptive Geometry, Moscow Institute of Architecture (MARHI), 11 Rozhdestvenka St., Moscow, 107031, Russian Federation;

Borisova Anzhelika Yur'evna — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Associate Professor of Department of Descriptive Geometry and Graphics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; grafika@mgsu. ru; +7 (499) 183-24-83.

For citation: Polezhaev Yu.O., Fatkullina A.A., Borisova A.Yu. Geometricheskie modeli sopryazheniy kvadrik na fragmentakh arkhitekturnykh ob"ektov [Geometric Models of Junctions of Quadrics in Fragments of Architectural Pieces]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 9, pp. 18—23.