Использование фрактальной размерности при описании структур высыхающих капель

ХИМИЯ

Вестн. Ом. ун-та. 2015. № 3. С. 62-67.

УДК 532.78+548.523+544.022.51

Е.С. Чиканова, В.Б. Федосеев, О.А. Голованова

ИСПОЛЬЗОВАНИЕ ФРАКТАЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ ПРИ ОПИСАНИИ СТРУКТУР ВЫСЫХАЮЩИХ КАПЕЛЬ*

Исследована возможность применения фрактальной размерности при описании структур высыхаюших капель модельных водно-солевых растворов с различным пересыщением по двуводному гидрофосфату кальция CaHPO4  2Н2О, а также реальных образцов ротовой жидкости спортсменов-бадминтонистов. При анализе морфологии высохших капель использован расчет фрактальной размерности на основе фотографий, полученных с помощью цифрового микроскопа. Зависимость фрактальной размерности от состава анализируемого раствора предполагается использовать в качестве количественного критерия структурообразования капли.

Ключевые слова: высыхающие капли, фрактальная размерность, фосфаты кальция, слюна.

Введение

Высыхание капель - неравновесный и сложный физико-химический процесс, интерес к которому связан с задачами в первую очередь медицинской диагностики. В последние десятилетия все большее применение в этой области находят методы исследования структур, образованных при кристаллизации солей из капель биологических жидкостей (БЖ) (слюна, плазма, лимфа и т. д.) [1-4]. Эти методы обладают преимуществами: простотой в исполнении, дешевизной, экспрессностью, что позволяет обследовать большое количество людей при малых временных затратах.

Чаще всего для этих целей используют метод клиновидной дегидратации - быстрое высушивание капель образца БЖ (1-4 ч) заданного объема на открытой поверхности (предметное стекло) [1]. В результате образуются кристаллические структуры сложной морфологии, которые подвергаются описанию.

В отличие от отдельных запатентованных способов диагностики заболеваний по особенностям структуризации БЖ [5], большая часть исследований находится на стадии простого описания вследствие трудностей количественного анализа получаемых паттернов, а это сильно затрудняет применение статистических методов анализа. Высокая степень субъективизма в оценке результатов также не способствует решению данной проблемы. Большим минусом методов является и малая обоснованность механизмов самоорганизации БЖ, а ведь в данном случае особо ценным является не описание типа «вид патологии - наблюдаемые структуры», а анализ обменных процессов, обусловливающих особенности механизмов формирования определенной структуры твердой фазы БЖ. И наконец, тормозит развитие применения в медицине методов анализа морфологии твердой фазы БЖ значительное количество авторских методик, зачастую не имеющих принципиальных различий, но предполагающих собственные алгоритмы анализа результатов.

На основе вышеизложенного можно сделать вывод, что актуальной задачей является развитие количественных методов исследования характера самоорганизации структуры высыхающих капель. Одним из возможных решений названных выше проблем может быть использование фрактальной геометрии. Фрактальная геометрия - математический аппарат, позво-

* Работа выполнена в рамках проекта мол_нр РФФИ № 15-33-50072.

© Е.С. Чиканова, В.Б. Федосеев, О.А. Голованова, 2015

Использование фрактальной размерности при описании структур высыхающих капель

63

ляющий описывать различные структуры неправильной формы. Микроскопический анализ продуктов, возникающих в результате протекания неравновесных физико-химических процессов (высыхание капли), показывает, что для целого ряда систем основным структурообразующим элементом является фрактальный кластер - объект дробной размерности [6; 7]. Фрактальный кластер образуется в результате быстрой конденсации конденсированных фаз из раствора. Когда этот процесс протекает при условиях, далеких от равновесных, в системе возникает пространственная неоднородность концентрации, температуры и свойств раствора, которая отражается на морфологии образуемого кластера или структуры.

Изучение фрактальных кластеров интересно с нескольких точек зрения. Прежде всего, фрактальная размерность - это количественная характеристика геометрической формы образующегося кластера. Можно полагать, что геометрическая форма образовавшейся фазы определяется свойствами системы (состав, концентрация, летучесть и диффузионная подвижность компонентов и т. п.) и условиями, в которых она сформировалась [8]. При этом естественно ставить задачу поиска взаимосвязи между фрактальной размерностью полученной структуры и характеристиками анализируемой системы.

Современные цифровые технологии позволяют получить качественные микроскопические изображения, необходимые для поиска корреляции между свойствами исследуемого макрообъекта и его микроскопическим отображением в капле БЖ, и выполнить их численную обработку.

Цель работы - анализ фрактальных размеров морфологии высохших капель модельных водно-солевых растворов и биологических жидкостей (смешанной слюны человека).

Материалы и методы

Методика приготовление препаратов. Известно, что все БЖ, в том числе смешанная слюна, пересыщены по фосфатам кальция [9]. Поэтому для изучения применимости концепции фрактальной геометрии к описанию структур высыхающих капель БЖ были приготовлены бинарные водно-солевые растворы с различным пересыщением (S) по двуводному гидрофосфату кальция СаНР04-2Н2О (S = 5-20). Анализируемый раствор готовился при смешении растворов нитрата кальция Ca(N0a)2'4H20 (ч.д.а.) и гидрофосфата аммония (NH4)2HP04 (ч.д.а.), рН = 5,50 ± 0,05 в соответствии с уравнением

Ca(N0a)2 + (NH4)2HP04 + 2ШО ^

^ СаНР04-2ШО | + 2NH4N03.

Исследуемый раствор наносили на предварительно подготовленную (промытую и обезжиренную) смачиваемую поверхность (предметное стекло) различными методами:

1 - кнопочным распылителем, 2 - пенициллиновым шприцом (V = 10-20 мкл). После чего оставляли высушивать на ровной поверхности при атмосферных условиях в течение 0,5-1 ч.

Для анализа реальных БЖ было отобрано 40 проб ротовой жидкости спортсменов-бад-минтонистов. Образцы слюны наносили на чистое обезжиренное стекло в виде трех капель объемом 10-20 мкл. Полученные таким образом препараты изучали на микроскопе XSP-104 при различных увеличениях: 40, 100, 400. Делали микрофотографии морфологии высохших капель с помощью USB-ви-деооккуляра Toupcam ucmos 3.1 МР. Все изображения заносили в базу данных.

Методика анализа фрактальной размерности. Алгоритм анализа фрактальной размерности полученных цифровых изображений был реализован на основе системы компьютерной алгебры MathCad [10]. Программа позволяет анализировать как фрактальные кластеры (пространственно ограниченные объекты), так и фрактальные структуры (непрерывные объекты). Особенность алгоритма связана с решением проблемы субъективности, возникающей обычно при анализе полутоновых изображений. Результаты расчета зависят от выбора порогового уровня Iw при бинаризации изображения (преобразовании полутонового изображения в черно-белое). Согласно [10], зависимость фрактальной размерности от порогового уровня имеет особенности, которые позволяют определить приемлемое значение. Расчет ведется на основе фрактальной зависимости, которой связаны площадь S и линейный размер L исследуемого объекта:

S = ^-LD,

здесь а - коэффициент пропорциональности, зависящий от геометрической формы (для квадрата а = 1, для круга а = п/4), фрактальная размерность D при анализе двумерного изображения не превышает 2. Чем сложнее форма объекта, тем меньше величина D.

Для цветных и полутоновых изображений с низкой контрастностью величины а и D могут существенно зависеть от выбора порога яркости Iw. Минимумы или плато на зависимости D(Iw) указывают область оптимальных значений Iw, в которой следует искать величину фрактальной размерности D(Iw). Дополнительный учет среднеквадратической ошибки позволяет оценить достоверность получаемого результата.

Результаты и их обсуждение

В результате анализа изображений высохших капель, полученных при распылении (рис. 1), установлено, что при исследуемых пересыщениях в водно-солевых растворах даже при большом увеличении не удается зафиксировать кристаллоподобные структуры. При высыхании капли образуются кольцевые осадки из частиц коллоидного размера.

64

Е.С. Чиканова, В.Б. Федосеев, О.А. Голованова

Это можно связать со сложностью изучаемой системы Ca(NO3)2 - (NH4)2HPO4 - Н2О, в которой при заданных условиях возможно существование нескольких форм фосфатов кальция различной стехиометрии. При большом числе центров зародышеобразования и малом количестве раствора возникающие частицы не могут вырасти до больших размеров.

Более информативны микрофотографии капель большего объема (20 мкл), представленные на рис. 2. Именно они были взяты для расчета фрактальной размерности по описанному алгоритму.

Пример оценки фрактальной размерности приведен на рис. 3-5. На рис. 3 показана зависимость фрактальной размерности D от

порога яркости Iw. Для всех вариантов пересыщения и увеличения значение фрактальной размерности снижается с увеличением Iw. Это характерно для не очень контрастных изображений с объектами разной яркости. Приведенная на рис. 3 зависимость позволяет предположить, что фрактальные свойства анализируемой структуры наиболее отчетливо проявляются в интервале D = 1,9551,96 (в области Iw = 100-140). В этом интервале погрешность вычисления D, показанная на рис. 5, в области Iw = 100-140 мала (~0,05 %) и не сильно выделяет эту область от других. В этом случае наиболее информативна зависимость D(Iw). Значения параметра а (рис. 4) позволяют говорить о небольшой асимметрии рассматриваемого объекта.

Рис. 1. Микрофотографии капель водно-солевого раствора с различным пересыщением, полученные с помощью кнопочного распылителя:

1 - увеличение 40, 2 - увеличение 100, 3 - увеличение 400; А - S = 10, Б - S = 15, В - S = 20

D

Использование фрактальной размерности при описании структур высыхающих капель

65

Рис. 2. Микрофотографии капель водно-солевого раствора с различным пересыщением, полученные с помощью пенициллинового шприца V = 20 мкл:

1 - увеличение 40, 2 - увеличение 100, 3 - увеличение 400; А - S = 10, Б - S = 15, В - S=20

1,965

1,960

1,955

1,950

1,945

1,940

1,935

1,930

1,925

1,920

100 110 120 130 140 150 160 170 180

Iw

о

190 200

Рис. 3. Зависимость фрактальной размерности D структуры высохшей капли водно-солевого раствора S = 15 (увеличение 40) от порога яркости I,

66

Е.С. Чиканова, В.Б. Федосеев, О.А. Голованова

0,700 -|

0,650 -

0,600 -

0,550 -

0,500

а 0,450 -

0,400 -

0,350 -

0,300 -

0,250 -

0,200 — 100

о

110

о

120

о

130

о

140

о

о

о

150 160

Iw

О

170

о

180

о

190 200

Рис. 4. Зависимость коэффициента а структуры высохшей капли водно-солевого раствора S = 20 (увеличение 40) от порога яркости Iw

1,60E-03 -|

1,40E-03 -1,20E-03 1,00E-03 8,00E-04 6,00E-04 4,00E-04 -I о

2,00E-04

0,00E+00 -I--------,------,---------,-------,-------,--------,-------,------,---------,--------,

100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200

Iw

Рис. 5. Зависимость стреднеквадратической погрешности структуры высохшей капли водно-солевого раствора S = 15 (увеличение 400) от порога яркости

При изменении объектива микроскопа, осветителя, настроек микроскопа или программы для записи изображений область оптимальных значений Iw меняется. Она индивидуальна для отдельных фотографических изображений. При одинаковом для всех случаев или визуальном (субъективном) выборе Iw можно получить изменение фрактальной размерности в более широком диапазоне, маскирующее реальные закономерности.

При исследовании изображений высохших капель ротовой жидкости спортсменов (в центре капли, рис. 6) установлено, что после тренировки микрокристаллизация ухудшается. Это объясняется изменением в химическом составе слюны в процессе физической нагрузки. Такие изменения оказывают влияние на рассчитанные значения фрактальной размерности и коэффициента а. До тренировки отмечается большая величина

D = 1,820-1,850 и меньшая а = 1,260-1,420. После физической нагрузки микрофоторафии капель слюны имеют меньшую фрактальную размерность D = 1,750-1,780 и высокие коэффициенты а = 2,190-2,210.

Этот результат можно интерпретировать так, что уменьшение фрактальной размерности (более сложная форма, рост площади межфазных границ) соответствует росту избыточной свободной энергии исследуемой системы, которая не успела релаксировать за время высыхания капель. Подобный вклад в избыточную энергию может дать изменение химического состава системы, которое влияет на химические потенциалы кристаллизующихся компонентов. Дополнительный вклад может быть связан и с отклонениями от квазиравновесного химического состава, соответствующего состоянию покоя организма.

Использование фрактальной размерности при описании структур высыхающих капель

67

Рис. 6. Изменение микрокристаллизации в тренировочном процессе: а - тренировка 1; б - тренировка 2

Таким образом, полученные данные указывают на то, что фрактальная размерность может зависеть от физико-химических условий структурообразования высыхающих капель.

Заключение

Полученные результаты показывают перспективу применения фрактальной размерности для количественной характеристики самоорганизации структуры в процессе высыхания капель модельных водносолевых растворов и БЖ.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Шабалин В. Н., Шатохина С. Н. Морфология биологических жидкостей человека. М. : Хризостом, 2001. 304 с.

[2] Яхно Т. А. и др. Метод изучения фазовых переходов в испаряющейся капле и его применение для оценки физико-химических свойств воды и водных растворов // Биофизика. 2012. Т. 57. № 6. С. 933-938.

[3] Tarasevich Y. Y., Pravoslavnova D. M. Segregation in desiccated sessile drops of biological fluids // European Physical Journal E. 2007. Vol. 22. P. 311-314.

[4] Тарасевич Ю. Ю. Механизмы и модели дегид-ратационной самоорганизации биологических жидкостей // Успехи физических наук. 2004. Т. 174. № 7. С. 779-790.

[5] Пат. РФ. Способ лабораторной диагностики гипертонической болезни и сахарного диабета / Л. В. Бельская, О. А. Голованова, Л. М. Ломиа-швили. № 2407018(370), опубл. 20.12.2010.

[6] Смирнов Б. М. Физика фрактальных кластеров. М. : Наука, 1991. 156 с.

[7] Федер Е. Фракталы. М. : Мир, 1991. 260 с.

[8] Федосеев В. Б. Использование фрактальной геометрии при термодинамическом описании трёхмерных элементов кристаллической структуры // Письма о материалах. 2012. № 2. С. 7883.

[9] Бельская Л. В., Голованова О. А. Исследование химического состава слюнной жидкости с целью диагностики заболеваний полости рта. Химия в интересах устойчивого развития. 2008. № 3. С. 269-274.

[10] Федосеева Е. Н., Федосеев В. Б. Взаимодействие хитозана и бензойной кислоты в растворе и пленках // Высокомолекулярные соединения. Серия А. 2011. Т. 53. № 11. С. 1900-1907.