Единственность решения одной нелокальной задачи для вырождающегося гиперболического уравнения

УДК 517.95

ЕДИНСТВЕННОСТЬ РЕШЕНИЯ ОДНОЙ НЕЛОКАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩЕГОСЯ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

© 2008 М.Г.Волынская1

В этой работе доказана единственность классического решения нелокальной краевой задачи для вырождающегося гиперболического уравнения в прямоугольной области. Нелокальное условие является интегральным. Доказательство проведено спектральным методом.

Введение

В настоящее время теория нелокальных задач интенсивно развивается и представляет собой важный раздел теории дифференциальных уравнений с частными производными. Большой интерес в этой области представляют задачи с нелокальными интегральными условиями. Такие задачи служат удобным способом описания условий на искомое решение в тех случаях, когда, например, невозможно непосредственное измерение каких-либо физических величин на границе, но известно их среднее значение внутри области. Последние несколько десятилетий появилось немало работ, в которых исследованы задачи с интегральными условиями, однако неклассические задачи для вырождающихся уравнений остаются, пожалуй, наименее изученными. Вырождающиеся гиперболические уравнения возникают при решении многих важных задач прикладного характера в газовой динамике, теории бесконечно малых колебаний поверхности вращения, безмоментной теории оболочек, что более подробно изложено, например, в [5,6].

Некоторые нелокальные задачи для вырождающихся гиперболических уравнений с интегральными условиями изучены Л.С.Пулькиной в [7,8]. Доказательство единственности в этих работах базируется на полученной априорной оценке.

Одним из эффективных методов исследования разрешимости нелокальных задач для уравнений смешанного типа является спектральный метод, разработанный Е.И.Моисеевым и изложенный им в монографии [2].

Метод доказательства единственности решения в предложенной работе существенно опирается на статью Е.И. Моисеева [1], в которой доказана разрешимость нелокальной задачи для вырождающегося эллиптического уравнения.

1 Волынская Мария Геннадьевна (volyn79@mail.ru), кафедра уравнений математической физики Самарского государственного университета, 443011, Россия, г.Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

1. Постановка задачи

Рассмотрим вырождающееся гиперболическое уравнение:

утихх - Ыуу = 0

и поставим для него в области Q = {(х, у) :0 < х < 1,0 < у < а} задачу с граничными условиями:

ы

ы

ы

и нелокальным интегральным условием:

1

I

ы

Под решением задачи (1.1)—(1.5) будем понимать такую функцию ы(х, у) € С1((9)П ПС2^), которая удовлетворяет в области Q уравнению (1.1) и условиям

(1.2)-(1.5).

Условие (1.5) является нелокальным интегральным условием первого рода, то есть не содержит значений искомого решения в точках границы. Сведем его к нелокальному условию другого вида.

Лемма. Если функция ы(х, у) удовлетворяет уравнению (1.1) и выполняются условия согласования

1 1

^ ^(х)йх = 0, ^ у(х)йх = 0,

то условие (1.5) эквивалентно условию

Ых

Доказательство. Пусть ы(х, у) — решение задачи (1.1)—(1.5). Проинтегрируем уравнение (1.1), учитывая условие (1.5), мы получаем:

1 1

^ Ыуу

0 0

Таким образом, если функция ы(х, у) удовлетворяет уравнению (1.1) и условию (1.5), то эта функция удовлетворяет и условию такого вида:

Ых

Пусть теперь функция ы(х, у) — решение уравнения (1.1), удовлетворяющее условию (1.8). Проинтегрируем уравнение (1.1) по х, и, учитывая условие (1.8), получим:

1

д2

ду7 0

^ ы(х, у)йх = 0.

Тогда, в силу условий согласования, мы приходим к краевой задаче относительно

1

неизвестной функции = / «(*, уМх:

о

<(У) = 0,

v„

Vn(a) = 0.

Так как задача (1.9) имеет только тривиальное р_, т° / И(х, у>Ъ=0. Таким

о

образом, если функция и(х, у) удовлетворяет уравнению (1.1) и условию (1.8), то эта функция удовлетворяет и условию (1.5). Лемма доказана.

2. Основной результат

Теорема. Существует не более одного решения задачи (1.1)—(1.5). Доказательство.

Как известно [1], системы функций

{со8 2япх)^=1, 1, {х 8т2япх)^=1

и

{4

являются биортонормированными. Кроме того, системы функций (2.1) и (2.2) замкнуты в пространстве ¿2(0,1), минимальны в нем и образуют базис Рисса [3]. Пусть и(х, у) — решение задачи (1.1)—(1.5). Рассмотрим системы функций:

1

ип

0

1

U0(y) =

J~u

0 1

vn

0

Дифференцируя vn(y) дважды и учитывая уравнение (1.1), получим:

1 1 v"(y) = J" uyy(x, y) cos 2nnxdx = ym J" uxx(x, y) cos 2nnxdx. 00 Проинтегрировав дважды по частям последний интеграл и приняв во внимание условие (1.8), будем иметь:

1 1 ym J" uxx(x, y) cos 2nnxdx = -(2nn)2ym J" u(x, y) cos 2nnxdx = -(2nn)2ymvn(y).

Таким образом, функция vn(y) удовлетворяет уравнению:

v':

и краевым условиям:

1

vn

о

1

vn

о

Общее решение уравнения (2.6) имеет вид [9. С. 401]:

/ 2jt nyq \ ( 2жпуд

vnKy> = cnyyj±

m + 2

Vn

гДе Ч =

Применив условия (2.7) и (2.8), найдем из (2.9) постоянные сп и йп. Для этого удобно использовать представление степенным рядом функций Бесселя [10. С. 240] и записать (2.9) виде:

vn

"him+mk+i + j-) ь? щ + 1)щ

k=0 ^ 1 ^ 1 * 1 2q' k=0 1 1 * 2q>

Применим условие (2.7) к последнему равенству и заметим, что при y = 0 в правой части (2.10) остается единственное ненулевое слагаемое. Получаем, что

1 1 121 Г v„(0) = а„ - —;-г = I \|/(х) cos 2лпхах,

Ы ГН) »

следовательно

1 1

l2q - 1 \ 12кп\2" Г

dn = Г - • - I \|/

\ 2q I \ q I J

о

Далее, из условия (2.8) имеем

2q-\\ i _ / 2jt naq \

Г —- (2л;и)2« л/aJ-i - i

12л mfi\ \ 2 q j" Jy*\q Г vn(a) = cn yaJ± - н--;- I \|/(x) cos 2nnxdx,

2П 9 J

- , -- (2jtn)л/aJ-i -

/2лпач\ \ 2q j 2Л 4 j

Л 4 J q

следовательно

1

1

cn =

1

1 Г

- I ф(х) cos 2imxdx-

'2nnaq\ J

2«\ q

л/а J |-J

I \|/(x) cos 2jtnxdx.

i. / 2jt naq \

(q)2«J i. - о

2П 4 }

Итак, решение задачи (2.6)—(2.8) существует, единственно и имеет вид:

i

Vn(у) = (- Г <P(X)cos2jtnxdx-

J \ п 2жпаЛ J *

vaJ± - о

2Л ч } г(— ___________

- — q

i т /2жпаЛ J / М q

2а — 1 i

Г(4-— )(2лл)5 1

2д I , \ ^ j п I ЖПУ \

Г <

J 2П <? /

Далее получим краевую задачу для функции un

i i

и"(y) = J" uyy(x, y)x sin 2nnxdx = ym J" uxx(x, y)x sin 2nnxdx,

0 0

то

un'(y) = 4nnymVn(y) - (2nn)2ymUn(y). Учитывая (2.3), (1.3) и (1.4), получим следующую краевую задачу относительно un(y):

u'n'

i

un

0

i

un

0

Так как представление функции vn(y) известно, можно записать (2.14) в виде:

<'(y) + (2nn)2ymun(y) =

или:

un'(y) + (2nn)2ymun(y) =

4 unc^-h^^ + 4 und^-h^^j

так как т = 2д — 2 в силу обозначений, сделанных выше.

Исходя из вида правой части уравнения (2.17), будем искать частное решение этого уравнения в виде:

ипо(у) = ип(у) + Ш(у),

где ип(у) — частное решение уравнения:

<00 +

ип(у) — частное решение уравнения:

<00 +

Будем искать частное решение уравнения (2.18) в виде

1

где А — неизвестная константа.

Непосредственной подстановкой функции ип(у) в уравнение (2.18) находим, что —Сп

А = -, где коэффициент с„ определен по формуле (2.12).

Ч

Будем искать частное решение уравнения (2.19) в виде

1

где В — неизвестная константа.

Непосредственной подстановкой функции ип{у) в уравнение (2.19), находим, что

В= —, где коэффициент ¿п определен по формуле (2.11). Ч

Так как уже найдено общее решение уравнения (2.6), которое имеет вид (2.9), то аналогично запишем общее решение соответствующего (2.14) однородного уравнения:

12жпу<1\ и ГТ ¡2жпу<1\

т,\

Общее решение уравнения (2.14) имеет вид:

=

ип(у) = ип(у) + им(у),

т.е.:

Г1 (2жпуЛ _ (2жпуЛ ип(у) = апЩ—} + Ьф^—у

ч ч I ч ч I

Для нахождения неизвестных констант ап и Ьп вновь будем использовать представление степенным рядом функций Бесселя [10. С. 240) и запишем (2.21) в виде:

ип(у) = ап^

к=° Г(к + 1)Г (к + 1 + — \ 2Ч

+Ъп --,-Г-Г + и„о(у).

к=° Г(к+ 1)П£ + 1 - — |

+

Применим условие (2.15) к последнему равенству и заметим, что при у = 0 в правой части (2.22) остается единственное ненулевое слагаемое. Получаем

i i (2жп\ 2* 1 Г и„(0) = Ьп - —--- = I \if(x)x sin 2imxdx,

1 9 ' r^-tí Jo

следовательно

i i

2q

Далее, из условия (2.16) получаем:

г (2imaq \ _ 12imaq \ ип(а) = ап yaJ± - + bn vaJ± - + ипо(а) =

2*\ Ч I 2Л Ч }

о

следовательно

1

= J" ф (x)x sin 2nnxdx,

1

Cln —

J~ хф(х) sin 2jt nxdx+ —

12nnaq \

d„ „, i / 2jtnaq \ , _ / 2.T/W \

—-íz«+ 2 7. _ j. - - va-zj. -

q q I 2A 4 j

В силу отмеченных свойств систем функций (2.1) и (2.2) решение задачи (1.1)—(1.5), если оно существует, можно записать в виде биортогонального ряда:

то то

u(x, y) = 4 ^ vn(y)(1 - x) cos 2nnx + 4 ^ un(y) sin 2nnx + 2u0(y)(1 - x),

n=1 n=1

u(x, y) = 4 2 c„ JyJ± 1( i - x) cos 2jtnx+

n= 1 2 q\ q I

+4 i 1(1 -x)cos23twx+

n= 1 2?\ q J

+4 Ц an л fyJ± hSOÍL1 sin 2жпх+

n= 1 2«\ ? '

+4 2

n=l 2?\ ? /

-4 2 Sin2jt/w+

+4 2 y^i-il^lsinto,

У 2 q \ 4 '

n=

где коэффециенты сп, ап и Ьп находятся по формулам (2.12), (2.11), (2.24) и (2.23) соответственно.

Пусть и1(х, у) и и2(х, у) — два различных решения задачи (1.1)—(1.5), тогда функция и(х, у)=и1(х, у) — и2(х, у) будет решением поставленной задачи при у(х)=0 и ф(х)=0.

т.е.:

Из формулы (2.25) сразу следует единственность задачи (1.1)-(1.5), так как

если y(x) = 0 и ф(х) = 0 на отрезке [0,1], то un(y) = 0 для n = 1,2... и vn(y) =

= 0 для n = 0,1,2... на отрезке [0, а]. Таким образом, в силу полноты системы

(2.1) функция u(x, y) = 0 в области Q. Следовательно, единственность решения

поставленной задачи доказана.

Литература

[1] Моисеев, Е.И., О решении спектральным методом одной нелокальной краевой задачи / Е.И. Моисеев. // Дифференц. уравнения. 1999. - Т. 35. - №8. -С. 1094-1100.

[2] Моисеев, Е.И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е.И.Моисеев. - М.: Издательство Московского Университета, 1988. - 152 с.

[3] Ильин, В.А. Необходимые и достаточные условия базисности подсистемы собственных и присоединенных функций пучка М.В. Келдыша обыкновенных дифференциальных операторов / В.А.Ильин // Докл. АН СССР. - 1976. -Т. 227. - №4. - C. 796-798.

[5] Нахушев, А.М. Уравнения математической биологии / А.М.Нахушев. - М.: Высш. шк., 1995. - 301 с.

[6] Смирнов, М.М. Уравнения смешанного типа / М.В.Смирнов. - М.: Наука, 1970. - 156 с.

[7] Пулькина, Л.С. Об одной нелокальной задаче для вырождающегося гиперболического уравнения / Л.С. Пулькина // Матем. заметки. - 1992. - Т. 51. -№3. - C. 91-96.

[8] Евдокимова, Н.Н. Нелокальная задача для одного вырождающегося гиперболического уравнения / Н.Н.Евдокимова, Л.С.Пулькина // Вестник Самарского госуниверситета. Естественнонаучная серия. - 1999. - №2(12). - C. 67-70.

[9] Э. Камке, Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. - М.: Наука, 1976. - 576 с.

[10] Толстов, А.Н. Ряды Фурье / А.Н. Толстов. - М.: Наука, 1972. - 425 с

Поступила в редакцию 13/IX/2007; в окончательном варианте — 13/IX/2007.

TOE UNIQUENESS OF SOLUTION OF A NONLOCAL PROBLEM FOR A DEGENERATE HYPERBOLIC

EQUATION

© 2008 M.G. Volynskaya2

The uniqueness of the solution to the nonlocal problem with integral condition for a degenerate hyperbolic equation is proved. The proof is based on a spectral approach.

Paper received 13/IX/2007. Paper accepted 13/IX/2007.

2Volynskaya Mariya Gennadievna (volyn79amail.ru), Dept. of Partial Differential Equations, Samara State University, Samara, 443011, Russia.