Изучение содержания термина «Математическое понятие» с помощью методико-математических заданий

Следует отметить еще одну особенность современного курса истории математики. В методологии истории математики важное значение имеет периодизация развития математики, предложенная А.Н. Колмогоровым:

I период - зарождение математики (предыстория математики и эпоха накопления первых ма-

тематических знаний);

II период - математика постоянных величин;

III период - математика переменных величин;

IV период - современная математика.

Каждый из периодов развития математики имеет приоритет при изучении математики в школе и вузе: начальная школа - I период; средняя школа - II период и частично III период; бакалавр - III период; магистр - IY период. Конечно, это деление условно, но оно позволяет выделить приоритет в изучении истории математики в педвузе. Критерий минимизации (ограничение во времени при большой смысловой нагрузке) при отборе содержания курса истории математики предполагает выделение необходимого минимума информации и приоритет тех или иных истори-ко-математических сведений для тех или иных студентов: для специалистов - будущих учителей математики - приоритет имеют первые два периода; для бакалавров - третий период; для магистров - четвертый.

Итак, целесообразность изучения истории математики в педагогическом вузе и необходимость сообщения соответствующих исторических сведений при обучении математике в школе не вызывает сомнения. Свободное оперирование историко-математическими фактами и широкий историко-математический кругозор характеризуют базовый уровень профессиональной компетентности учителя математики, основу которого составляют фактологические знания. Включение в содержание курса истории математики методологического материала как средства усиления фундаментальности образования способствует созданию условий для применения полученных знаний в различных ситуациях, создает предпосылки для использования историко-математических знаний при проектировании учебного содержания для школьников. Формируются все виды знаний в области истории математики: фактологические, методологические и технологические, с учетом сочетания образовательной и профессиональной ориентации студентов при изучении этого курса.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Гнеденко Б.В., Гнеденко Д.Б. Об обучении математике в университетах и педвузах на рубеже двух тысячелетий. М.: КомКнига, 2006. 160 с.

2. Ивин А.А. Философия науки: учеб. пособие для аспирантов и соискателей. М.: Изд-во ЛКИ, 2007. 264 с.

3. Панов В.Ф. Математика древняя и юная. М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. 648 с.

4. Томилова А.Е. Методика отбора содержания курса истории математики и его реализация в педагогическом вузе: автореф. дис. ... канд. пед. наук. СПб., 1998.

Е.А. Корнилова, М.Г. Макарченко

ИЗУЧЕНИЕ СОДЕРЖАНИЯ ТЕРМИНА «МАТЕМАТИЧЕСКОЕ ПОНЯТИЕ» С ПОМОЩЬЮ МЕТОДИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИХ ЗАДАНИЙ

В курсе «теория и методика обучения математике» изучается один из важнейших разделов «Определение математических понятий и методика их изучения». Его изучение начинается с введения терминов «понятие», «содержание понятия» и «объем понятия». Логически грамотное изучение содержаний этих основополагающих понятий создает необходимый уровень мотивации изучения не только указанных понятий, но и всему разделу.

В данной статье приведен вариант методико-математических заданий, направленных на мотивацию и смысловое изучение указанных понятий. К каждому заданию указано его целевое предназначение, приведен текст задания и примерный ответ к нему.

Целью задания 1 является мотивация читающего на необходимость изучения термина «понятие».

Задание 1. Прочитайте отрывок статьи А.В. Жукова «Ускользающие определения» [5].

«...В V-IV веках до новой эры в Греции особую популярность получили так называемые софисты - постоянно гастролирующие учителя красноречия и мудрости, которую и Платон, и его ученик Аристотель не без оснований считали кажущейся, мнимой. Вот небольшой отрывок из диалога Платона «Евтидем», содержащего целый каскад искрометных софизмов:

Начал же Евтидем...

- Скажи мне, Клиний, те из людей, кто идет в обучение, - они мудрецы или невежды?..

В это мгновение Дионисодор, наклонившись чуть-чуть к моему уху и улыбаясь во весь рот, молвил:

- Предсказываю тебе, Сократ, что бы ни ответил мальчик, он будет, все равно опровергнут.

А пока он это говорил, Клиний уже отвечал, так что мне не удалось предупредить мальчика, чтобы он был осторожен, и он сказал, что учатся люди мудрые...

Клиний согласился.

- А разве не обстояло дело таким образом, что, когда вы учились, вы не знали того, чему обучались?

- Именно так, - сказал Клиний...

- Значит, вы были не мудрыми, но невеждами?

- Разумеется...

- Вот и получается, что учатся невежды, а не мудрецы, как ты это думаешь.

Когда он это сказал, все спутники Дионисодора и Евтидема, подобно хору, послушного команде своего наставника, зашумели и засмеялись, и раньше, чем мальчик как следует, успел перевести дух, Дионисодор вмешался и сказал:

- Послушай, Клиний, когда учитель грамматики читает вам что-нибудь, кто из мальчиков запоминает прочитанное - тот, кто мудр, или же тот, кто невежественен?

- Тот, кто мудр, - отвечал Клиний.

- Следовательно, учатся мудрые, а вовсе не невежды, и ты только что неверно ответил Евтидему...

Евтидем снова принялся спрашивать:

- А учащиеся обучаются тому, что они знают, или же тому, чего не знают?..

- Тому, чего они не знают, - отвечал Клиний.

- Как же так? Разве ты не знаком с буквами?

- Знаком, - ответил Клиний...

- А когда кто-нибудь что-то произносит, разве он произносит не буквы?

Клиний согласился...

- Значит, сказал Евтидем, - ты учишься тому, что знаешь, коль скоро ты знаешь все буквы...

И не успел Евтидем это промолвить, как Дионисодор, перехватив слово, как мяч, перебросил его обратно мальчику, говоря:

- Евтидем тебя обманывает, Клиний. Скажи мне: разве учиться не значит получать знание о том, чему ты учишься?

Клиний ответил утвердительно...

- А получающие что-либо уже имеют что-то или не имеют?

- Нет, не имеют...

- Следовательно, обучаются незнающие, Клиний, а вовсе не те, кто знает...

Платон. Евтидем.275-277/пер.С.Я.Шейман-Топштейн.

«Блеск речей головоногих» (так охарактеризовал словесные эксперименты софистов знаменитый древнегреческий поэт и драматург Аристофан) понуждал заядлых спорщиков то и дело обращаться к согласованным определениям... ».

Ответьте на вопросы.

1. Сколько человек участвовало в диалоге? 2. Какие понятия они обсуждали? 3. Все ли участники определяли эти понятия? 4. Кто первый обратил внимание на то или иное понятие? 5. О каком по-

нятии сначала шла речь? 6. Как спорщики договорились определить это понятие? 7. Почему спорщики вынуждены были договориться?

Ответ к заданию 1.

1. В диалоге участвовали три человека, Евтидем, Дионисодор, Клиний. 2. Они обращались к понятиям «мудрецы и невежды», «знающий и незнающий человек», «получать знания», «обучение». 3. Не все участники определяли понятия, Клиний только отвечал на поставленные ему вопросы. 4. Первым обратил внимание Евтидем на понятия «мудрецы и невежды», «обучение». Дионисодор - «знающий и незнающий человек», «получать знания». 5. Сначала шла речь о понятии «мудрецы и невежды». 6. Спорщики договорились дать следующее определение понятию: мудрые - это те, кто учатся, а вовсе не невежды (Дионисодор). 7. Спорщики вынуждены были договориться для того, чтобы между ними возникло понимание.

Договор спорщиков привел их к пониманию «понятий» в рамках одного смысла. Какого субъективного или объективного? Ответить на этот вопрос Вам помогут следующие задания.

Задание 2 направлено на показ существования различного субъектного опыта, а вследствие этого и различного субъективного смысла, придаваемого словам.

Задание 2. В жизни между людьми возникает понимание или не понимание. Как Вы можете истолковать эти термины, основываясь на личном опыте?

Ответ к заданию 2.

Вариантами ответа могут быть:

1. Эти термины противоположны, понимание - это когда люди «находят общий язык», а непонимание - не находят «общий язык».

2. Понимание возникает, когда выражения, использующиеся в диалоге, истолковываются однозначно на доступном, известном всем участникам диалога языке, непонимание - выражения можно истолковать неоднозначно или на неизвестном (малоизвестном) для участников диалога языке.

У разных людей термин «понимание» может иметь разный смысл и даже разное значение, в зависимости от субъектного опыта обучаемого, а он у каждого свой - неповторимый. Кроме этого субъектный опыт человека содержит большое разнообразие житейских и научных понятий, содержание которых, как правило, наполнено субъективными смыслами. Для приведения в соответствие субъективных смыслов к объективным, отвечающим содержанию общественно-исторического опыта, целесообразно сначала понять, как устроено «понятие», каковы могут быть его трактовки.

Задание 3 направлено на осмысление трактовок термина «понятие» в различных дисциплинах, в том числе и в методике обучения математике.

Задание 3. Существуют общепринятые, научные определения термина «понятие». Перед Вами некоторые из них.

1) Прочитайте трактовки (определения) этого термина.

A. «Чтобы понять, что это за объект, достаточно знать его существенные свойства. В этом случае говорят, что имеется понятие об этом объекте. Следовательно, понятие - это целостная совокупность суждений о существенных свойствах соответствующего объекта. Эта совокупность взаимосвязанных свойств объекта (поэтому она называется целостной) называется содержанием понятия об этом объекте» [11].

Б. «Понятие - форма мысли, обобщенно отражающая предметы и явления посредством фиксации их существенных свойств» [6].

B. «Понятие - мысль, фиксирующая признаки отображаемых в ней предметов и явлений, позволяющие отличать эти предметы и явления от смежных с ними» [2].

Г. «Процесс формирования понятий включает следующие этапы: перцепт (образ восприятия); представление (вторичный образ - создается в отсутствие наглядной основы); предпо-нятие (образный концепт, обобщенное представление, концепт, образ - понятие, «система» представлений); понятие; систему понятий (теория). Каждый из этих этапов подчиняется определенным психологическим закономерностям, которые являются основой выделения условий организации деятельности при изучении математики» [4].

Д. «Математическое понятие - это мыслительная структура - носитель всей информации о некотором математическом объекте, главную часть которой составляет сложная система взаимосвязанных, логически упорядоченных суждений о нем. Каждое суждение в этой системе представляет собою свойство или признак понятия. Ядром такой системы является класс равносильных между собою суждений, высказанных об объекте, называемых критериями понятия» [8].

Е. «...под «знаком» или «именем» я понимаю любое обозначение, выступающее в роли имени собственного, значением которого является определенный предмет (в самом широком смысле этого слова), но не понятие и не отношение.... Обозначение одного предмета может состоять также из нескольких слов или иных знаков. Для краткости каждое такое обозначение может быть названо именем собственным.

Смысл имени собственного будет понятен каждому, кто в достаточной степени владеет языком или совокупностью обозначений, к которым оно принадлежит; однако значение имен, если таковое имеется, освещается при этом лишь с одной стороны. Всестороннее знание значения предполагало бы, что о каждом данном смысле мы могли бы сразу решить, относится ли оно к этому значению или нет. Но этого мы никогда не достигнем.

Правильная связь между знаком, его смыслом и значением должна быть такой, чтобы знаку соответствовал определенный смысл, а смыслу, в свою очередь, - определенное значение, в то время как одному значению (одному предмету) соответствует не только один знак. Один и тот же смысл выражается по-разному не только в разных языках, но и в одном и том же языке» (см. рис. 1) [10].

значение >__\

термин -........................ смысл

Рис. 1

2) Установите, к каким дисциплинам (а. философия, б. логика, в. психология, г. методика обучения математике) относятся эти определения. 3) Руководствуясь каким принципом, вы отнесли то или иное определение к выбранной дисциплине? Какие отличительные признаки лежали в основе отбора? 4) Какие ещё определения термина «понятие» вы можете назвать? Дополните список определений и соответствующих дисциплин. 5) В трактовках термина «понятие» с точки зрения методики обучения математики говорится о целостной совокупности суждений, объясните, чем это вызвано.

Ответ к заданию 3.

2. а - В, б-Б, в - Г, г - А, Б, В, Г, Д, Е. 3. В основе лежали признаки принадлежности используемых терминов к дисциплине, например, с логикой связана «форма мысли», мышления; с философией - мысль; с психологией - процесс формирования, обобщенное представление, предпоня-тие, восприятие; с методикой обучения математики - целостная совокупность суждений, вся информация. 4. Например. Понятие - мысль об общих и существенных свойствах и отношениях действительности; знание о сущности и происхождении предметов и явлений окружающего мира [7]. Понятие - мысль, отражающая общие и существенные признаки объекта (объект понимается здесь в широком смысле как любая целостность, включая и вещи, и процессы не только внешнего мира, но и внутреннего вплоть до галлюцинации и вымыслов) [12]. 5. В методике обучения математике в разные моменты приходится обращаться к разным дисциплинам, методика обучения математике, опираясь на другие указанные дисциплины, объединяет их знания.

Таким образом, в методике обучения математике приходится в разные моменты обращаться к разным дисциплинам. Возникают вопросы, «какой трактовкой, с какой точки зрения пользоваться и в какой последовательности?». Чтобы с этим разобраться, нужно обратиться к содержанию признаков принадлежности используемых терминов к дисциплине.

Задание 4 направлено на выявление последовательности, с точек зрения разных дисциплин, изучения термина «понятия».

Задание 4. 1. Установите соответствие между ячейками таблицы 1, понимая их содержание с позиций указанных определений термина «понятие».

Таблица 1

1. Логика А. Форма мышления а. Образ восприятия, представление, предпонятие, понятие

2. Психология Б. Процесс формирования б. Содержание и объем

3. Философия В. Понимание в. Значение, знак, смысл

2. Проиллюстрируйте на кругах Эйлера следующие соотношения между представленными понятиями. А) Содержание и объем понятия, Б) Образ восприятия, представление, предпонятие, понятие, В) Значение, знак, смысл понятия.

3. Из анализа первых двух подзаданий задания 4 сделайте еще один важный вывод, в какой последовательности дисциплин нужно изучать «понятие» в методике обучения математике.

Ответ к заданию 4.

1. 1-А-б, 2-Б-а, 3-В-в.

2.

3. Из анализа первых двух подзаданий задания 4 можно сделать вывод: «понятие» в методике обучения математике нужно изучать в следующей последовательности дисциплин - философия, психология, логика.

А не обладает ли «понятие» какими-то общими для всех этих дисциплин характеристиками? Есть ли какая-то связь между этими характеристиками и субъектным опытом человека?

Целью задания 5 является выявление общих характеристик «понятия» вне зависимости от опыта человека и придаваемого им смысла понятия.

Задание 5. Проанализировав трактовки термина «понятие» с точки зрения субъектного опыта и различных дисциплин (философии, логики, психологии, педагогики, методики обучения математике), назовите его характеристики вне зависимости от точек зрения или укажите, что таких характеристик нет. Ответ обоснуйте.

Ответ к заданию 5.

«Анализ результатов нашего исследования показал, что интегрирование жизненного понятия влияет на процесс усвоения научного понятия: часто содержание научного понятия, не совпадающее со смыслом понятия у человека, не усваивается. Это связано с формированием смысла понятия. Любое понятие (научное) представляет собой, согласно Г. Фреге, логический треугольник, вершинами которого являются термин понятие, смысл понятия и значение понятия. Следуя Г. Фреге, под термином понятия будем понимать его языковое выражение, обозначающее понятие; под значением - определение понятия, обозначенного этим именем (в математике, в основном, это будут идеи); под смыслом - совокупность способов, которыми термин может обозначать понятие» [9].

Схематически это можно представить рисунком 3.

Значение

Рис. 3

В каждой из рассмотренных трактовок термина «понятие» указано, что понятие имеет две характеристики: 1). «Каждое понятие характеризует какие-то объекты, предметы или явления (в указанных трактовках используются следующие термины: «явления», «процессы», «предметы»). 2). В каждом таком понятии перечислены существенные признаки предметов, явлений, объектов, характеризуемых данным понятием (в указанных трактовках используются термины - «существенные свойства», «признаки»).

Эти характеристики имеют специальные названия. Первую принято называть - объемом понятия, а вторую - содержание понятия» [3].

Итак, всякое понятие имеет объем и содержание. Так как эти характеристики имеют отношение к одному и тому же объекту - «понятию», то они взаимосвязаны (в противном случае они не могут относиться к одному и тому же объекту). Связь между объемом и содержанием понятия выражается в следующем.

1. Чем больше объем понятия, тем меньше его содержание, и наоборот: чем меньше объем, тем больше содержание понятия.

2. Объем понятия определяет значимость его содержания: если объем какого-то «понятия» пустое множество, то содержание бессмысленно, а, следовательно, оно не требует изучения.

3. Объем и содержание понятия определяют взаимозначимость, а значит, и взаимосвязь друг с другом. Изменение в содержании понятия влечет за собой изменение в объеме понятия, и наоборот.

Задание 6 направлено на то, чтобы закрепить полученные знания об объеме и содержании понятия, а также связи между ними.

Задание 6. Проиллюстрируйте на понятиях «треугольник», «равнобедренный треугольник», «49-ти градусный треугольник» связь между объемом и содержанием понятия.

Ответ к заданию 6.

1. Так, например, объем понятия «равнобедренный треугольник» меньше объема понятия «треугольник», так как «равнобедренных треугольников» меньше, чем «произвольных треугольников». К объектам первой группы выдвигается «больше» требований, чем к объектам второй группы. А вот содержание первого понятия, очевидно, больше содержания второго - «требований» - свойств больше: равнобедренный треугольник обладает не только всеми свойствами треугольника, но и особыми свойствами, присущими только равнобедренным треугольникам. 2. Если рассматривать трактовку понятия «49-ти градусный треугольник» следующим образом «49-ти градусный треугольник - это треугольник, у которого все углы равны 49°», то можно считать, что содержание понятия, вроде бы, задано, но нетрудно видеть, что объем данного понятия - пустое множество. Возникает вопрос: значим ли (необходим ли, целесообразен ли) данный термин, а значит и понятие? Отвечая на этот вопрос, напрашивается вывод, что поскольку нет ни одного объекта с указанным содержанием, то, наверное, содержание не имеет смысла. 3. Если рассматривать трактовку понятия «49-ти градусный треугольник» следующим образом - «49-ти

градусный треугольник - это треугольник, содержащий один угол в 49°», то, очевидно, что объем данного понятия непустое множество, так как существуют треугольники содержащие угол 490. И, казалось бы, в этом случае, что содержание является значимым. Но возникает вопрос: «Почему данного понятия нет ни в одном учебном пособии по математике?». Отвечая на этот вопрос, приходим к выводу, что никаких других особых интересных свойств, кроме указанных в определении, у данного понятия нет. У понятия «49-ти градусный треугольник» основное содержание совпадает со всем содержанием понятия. В этом случае содержание понятия «не дает право» во множестве всех треугольников выделить объем данного понятия. Другими словами, «узость» содержания понятия не дает право выделить объем данного понятия с целью его целенаправленного изучения. Вывод из этого рассуждения устанавливает связь между содержанием понятия и его объемом.

Как видно из вышесказанного, вопрос о взаимосвязи между объемом и содержанием понятия целиком зависит от содержания понятия. В содержание же понятия входит много различных существенных признаков объектов. Существенными признаками называется такая группа признаков объекта, каждый из которых, отдельно взятый, необходим, а все вместе взятые, достаточны, чтобы отличить данный объект от всех остальных, чтобы опознать его. Выделение существенных признаков и обозначение их словами, приводит к определению понятия.

Итак, представленные в данной статье материалы позволяют сделать ряд выводов. В организацию изучения методических понятий с помощью методико-математических заданий целесообразно включение этапа мотивации. Мотивация студента на изучение методических понятий не может проходить вне опоры на субъектный опыт студента, а, следовательно, в группе заданий должны присутствовать задания, активизирующие профессиональные компоненты субъектного опыта студента. В ходе методической подготовки субъектный опыт студента должен пополняться не столько новым «знаком-термином», а новым смыслом. В связи с этим мотивация изучения нового понятия заключается в необходимости выбора смысловой трактовки термина из набора определений и описаний, имеющихся в общественно-историческом опыте.

Представленный набор методико-математических заданий задает необходимый уровень мотивации, способствует изучению выбранной трактовки термина «понятие» и его конкретизации -«математическое понятие».

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Геометрия: учебник для 7-9 кл. сред. шк. / Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кодомцев и др. 4-е изд. М.: Просвещение, 2002. С. 32.

2. Горский Д.П., Ивин А.А., Никифоров А.Л. Краткий словарь по логике / под ред. Д.П. Горского. М.: Просвещение, 1991.С. 150.

3. Макарченко М.Г. Задачи, определения и теоремы как понятия методики обучения математике: учеб. пособие / в авт. редакции Таганрог: Изд-во Таганрог. гос. пед. ин-та, 2004. С. 72.

4. Методика и технология обучения математике: курс лекций / под науч. ред. Н.Л. Стефановой, Н.С. Подхо-довой. М.: Дрофа, 2005. С. 117.

5. Научно-практический журнал для учащихся старшего и среднего возраста. Математика для школьников. 2010. № 3. С. 56.

6. Новейший философский словарь / сост. А.А. Грицанов. Мн.: Изд-во В.М. Скакун, 1998. С. 533.

7. Педагогика: Большая современная энциклопедия / сост. Е.С. Рапацевич. Мн.: Современ. слово, 2005. С. 447.

8. Профессионально-педагогическая направленность математической подготовки учителя математики в педвузах и университетах в современных условиях: мат-лы 29-го Всерос. науч. семинара преподавателей математики вузов (23-24 сентября 2010 г.) / отв. ред. В.И. Глизбург. М.: Изд-во МГПУ, 2010. С. 23.

9. Фреге Г. Логика и логическая семантика: учеб. пособие для студ. вузов: пер. с нем. Б.В. Бирюкова / под ред. З.А. Кузичевой. М.: Аспект Пресс, 2000.

10. Фреге Г. Смысл и денотат // Семиотика и информатика. М., 1977. Вып. 8. С. 181-210.

11. Фридман Л.М. Теоретические основы методики обучения математике: учеб. пособие. 2-е изд., испр. и доп. М.: Едиториал УРСС, 2005. С. 27.

12. Энциклопедия профессионального образования: в 3 т. / под ред. С.Я. Батышева. М.: АПО. 1999. Т. 2. С. 291.