Вычисление оценок практической устойчивости на конечном интервале времени

УДК 517.977.1

А.Н. Рогалев

канд. физ.-мат. наук, доцент, ФГБУН Институт вычислительного моделирования Сибирского отделения Российской академии наук,

г. Красноярск

А.А. Рогалев

апирант,

Институт космических и информационных

технологий,

ФГБОУ ВПО «Сибирский федеральный университет», г. Красноярск

ВЫЧИСЛЕНИЕ ОЦЕНОК ПРАКТИЧЕСКОЙ УСТОЙЧИВОСТИ НА КОНЕЧНОМ ИНТЕРВАЛЕ ВРЕМЕНИ

Аннотация. Практическая устойчивость на конечном интервале времени означает равномерную ограниченность решений относительно множества начальных значений и совокупности возмущающих воздействий. Для практической устойчивости требуется не только существование ограничивающей постоянной для решений, но и то, чтобы эта постоянная имела такие значения, что решения, начинающиеся во множестве Y0, все время

оставались в Y0. В статье рассмотрены новые результаты вычисления гарантированных границ множеств решений и их применения для исследования практической устойчивости. Эти границы решений вычисляются при помощи методов, основанных на аппроксимации оператора сдвига вдоль траектории, и учитывают влияние на решения постоянно действующих возмущений.

Ключевые слова: практическая устойчивость, устойчивость на конечном интервале времени, метод сдвига вдоль траектории.

A.N. Rogalyov, Institute of Computational Modeling, Krasnoyarsk

A.A. Rogalyov, Siberian Federal University, Krasnoyarsk

COMPUTING OF ESTIMATES OF TECHNICAL SYSTEMS STABILITY ON FINITE INTERVAL OF TIME

Abstract. The practical stability on the finite time interval means that the solutions are uniformly bounded with respect to the set of initial values and a set of disturbances. To provide the practical stability it is requires not only the existence of the bounding constant for solutions, but also that the values of this constant are sufficient small to ensure that solutions starting in the set Y0, all the time remained in the set Y0. This report describes new results of applying the guaranteed boundaries of the solution sets for the study of practical stability. These boundaries are computed using the methods based on the approximation of the shift operator along the trajectory. The impact of permanent perturbations on the solutions is included into the method.

Keywords: practical stability, stability over a finite interval of time, the method of shift along a trajectory.

1. Введение

Постановка задач об устойчивости на конечном промежутке времени [1], [2], [3] принадлежат Четаеву Н.Г., Моисееву Н.Д., Каменкову Г.В. и получили дальнейшее развитие как теория практической или технической устойчивости на конечном интервале времени. Практическая устойчивость на конечном интервале времени означает равномерную ограниченность решений относительно множества начальных значений и совокупности возмущающих воздействий. Эти границы решений вычисляются при помощи методов, основанных на аппроксимации оператора сдвига вдоль траектории [4]-[7] и учитывают влияние на решения постоянно действующих возмущений. Обеспечивается возможность формулировать математически строгие результаты, касающиеся практической устойчивости для достаточно широких классов задач.

2. Гарантированный метод оценки множеств решений

Пусть имеется система:

f - >•

yЮ = У0 е Y>.

Требуется проверить выполнение условий у (?) е N для любого движения у () (траекторию движения будем обозначать символом у(), показывающим, что речь идет о функциональной зависимости, а не о конкретном значении функции), исходящего из точек области допустимых начальных позиций С0 при переборе всех возмущений, удовлетворяющих ограничению

V

Правые части f системы (1) удовлетворяют условиям существования, единственности решений, продолжаются на всю вещественную ось и непрерывно зависят от начальных данных всех решений у (?) задачи Коши (1).

Методы, строящие гарантированные границы множеств решений систем дифференциальных уравнений [1]-[6], основаны на символьном представлении формул, аппроксимирующих оператор сдвига вдоль траектории. Кратко опишем основные действия, при исполнении которых строятся гарантированные включения следующей задачи (1).

Здесь величина У0 = [У°,У°] представляет прямоугольный параллелепипед, хранящий все точные значения начальных значений.

Шаг 1. Начало работы алгоритма - присвоение значений переменным, идентифицирующим систему: размерность, правая часть, начальные данные.

Шаг 2. Реализуется запись символьных формул 5 -решений как векторных функций с символьными компонентами 5(?к,У0), зависящими от символьных начальных данных У10,У20,к,Уп0. Каждая компонента символьного вектора 5,(?к,У0),/ = 1,...,п определяется заново в каждой точке ?к как функция, зависящая от символьных стартовых значений У10,^,уп0. Построенная символьная формула является основой, по которой вычисляется область значений функций У5(?,У0) по всем у0 е У0.

Шаг 3. Последовательно исполняется метод хранения и переработки символьной информации при продвижении вдоль траектории. Решение производится на основе статичного хранения этой информации, работы с адресацией памяти с помощью функций поточной обработки.

Шаг 4. Символьная формула приближенного решения преобразуется к виду, который позволяет эффективно и быстро вычислять оценки областей значений приближенных решений (5 - решения), соответствующие изменениям параметров задачи (1). Для этого используется кусочно-полиномиальное представление символьных формул и опорные функции для многозначных функций, описывающих области значений.

Шаг 5. К границам 5 -решений добавляется оценка глобальной ошибки.

Символьный метод (аналитический метод) - запись численного метода как метода преобразования символьной информации (символьных формул) на языке математического анализа. В дальнейшем при записи символьных формул, аппроксимирующих оператор сдвига вдоль траектории, допускается включение в них числовых констант, с отложенным выполнением арифметических действий над ними.

Поэтому в общем случае предлагается модель вычислений (преобразований и вычислений) символьных формул, основанная на поэтапном статичном хранении информации и преобразовании ее в завершающей стадии метода. Для записи такой формулы в компьютере используются линейные динамические структуры.

В силу этого модель вычислений (преобразований и вычислений) символьных формул осуществляется без явного выписывания суперпозиций компонент формулы, определяемых на каждом шаге. Связь между этими компонентами определяется посредством задания механизма адресации. Ссылки на адреса различных уровней хранятся в стековой памяти в виде дерева. Генерация кода вычислений

по символьной формуле осуществляется в процессе обхода этого дерева, начиная с вершин.

Границы областей точных решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений строились для систем, у которых параметры исходной задачи были заданы неравенствами как интервалы. Числовые значения параметров этих задач приведены в надписях к графикам множеств решений и границ этих множеств.

3. Примеры использования

Обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка Ван-дер-Поля записываем в виде системы двух уравнений:

= У 2 ,

^ = У,-НА - У?)У2,

где т = 2 параметр.

Хорошо известно, что начало координат асимптотически устойчиво при т > 0 , и область притяжения ограничена неустойчивым предельным циклом. На рисунке 1 изображена проекция на оси t, у2 гарантированной оценки множества решений возмущенного уравнения Ван-дер-Поля. Показаны верхняя и нижняя границы. График имеет вид области в полярной системе координат, где ось времени совпадает с угловой осью.

Рисунок 1 - Гарантированные границы решений уравнения Ван-дер-Поля в проекции на оси t, у,

На рисунке 2 представлена проекция на плоскость у,, у2 гарантированной оценки множества решений возмущенного уравнения Ван-дер-Поля. Показаны верхняя и нижняя границы. График имеет вид области в декартовой системе координат.

Рисунок 2 - Гарантированные границы решений уравнения Ван-дер-Поля в проекции на оси у,, у2

Система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений

^ = -2у1 + 4у 2 уз + 4у 4 у 5, С*. = _9у 2 + 3у1уз,

^ = -5уг - 7уу + 25,

Су 4 с

= _5у4 - У1У4,

сП

получена при разложении системы уравнений Навье-Стокса в ряд по ортогональной системе базисных функций и удержании 5 членов этого разложения.

На рисунке 3 изображена проекция гарантированных границ решений системы ОДУ (4) на плоскость у1, у2 .

"ЗТ = у5 - 3у1У4

Рисунок 3 - Гарантированные границы решений системы ОДУ (4) в проекции на оси у1, у2

4. Выводы

Практика использовании гарантированных методов для нахождения границ областей устойчивости систем дифференциальных уравнений, описывающих динамику многомашинных электроэнергетических систем, систем экономического роста и систем управления движением, показала эффективность этих методов.

Список литературы:

1. Моисеев Н.Д. О некоторых методах теории технической устойчивости // Труды Военно-воздушной академии им. Жуковского. 1945. Вып. 135. С. 3-17.

2. Каменков Г.В. Об устойчивости движения на конечном интервале времени // Прикладная математика и механика. Т. XVII, вып. 5. 1953. С. 529-540.

3. Абгарян К.А. Введение в теорию устойчивости движения на конечном интервале времени. М.: Наука, 1991. 160 с.

4. Рогалев А.Н. Исследование практической устойчивости при постоянно действующих возмущениях // Вычислительные технологии. 2002. Т. 7, ч. 5. С. 148-150.

5. Рогалев А.Н. Гарантированные методы решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений на основе преобразования символьных формул // Вычислительные техно-

логии. 2003. Т. 8, № 5. С. 102-116.

6. Рогалев А.Н. Гарантированные оценки и построение множеств достижимости для нелинейных управляемых систем // Вестник Сибирского государственного аэрокосмического университета имени академика М.Ф. Решетнева. 2010. № 5 (31). С. 148-154.

7. Rogalev A.N. Calculation of Guaranteed Boundaries of Reachable Sets of Controlled Systems // Optoelectronics, Instrumentation and Data Processing, Allerton Press. 2011. V. 47, №3. P. 287-296.