Проектирование программного обеспечения смарт-образовательной системы на примере решения алгебраических и трансцендентных уравнений

УДК 004

А. А. Обади, А. А. Аль-Хашеди, Ф. А. Муршед ПРОЕКТИРОВАНИЕ ПРОГРАММНОГО ОБЕСПЕЧЕНИЯ СМАРТ-ОБРАЗОВАТЕЛЬНОЙ СИСТЕМЫ НА ПРИМЕРЕ РЕШЕНИЯ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ И ТРАНСЦЕНДЕНТНЫХ УРАВНЕНИЙ

Ключевые слова: система, распознавание, распознавание образов, интеллект, модель, уравнение.

При создании автоматизированного образовательного средства для самообучения возникает проблема распознавания правильности решения математических задач без привлечения преподавателя. На основе распознавания образов построен «смарт-блок», позволяющий распознавать класс алгебраических и трансцендентных уравнений а так же правильность их решений и оценивать качество этого решения.

Keywords: system, recognition, pattern recognition, intelligence, model, equation.

When creating an automated educational means for self-learning arises the problem of recognizing the correctness of the mathematical tasks solving without the involvement of a teacher. Based on pattern recognition is built a "Smart Block", allowing recognition the class of algebraic and transcendental equations and their solutions and assess the quality of this solution.

Введение

В ходе подготовки учебный материал может быть освоен как традиционным способом (аудитории, преподаватели, лекции, практика), так и с использованием дистанционных технологий с элементами искусственного интеллекта. На (рис. 1) приводится схема технологического маршрута автоматизированной системы подготовки студентов в метрическом компетеносном формате [1,2]. В этой системе обучение почти все автоматизировано и проходит в интерактивном режиме «студент -компьютер» кроме модуля «оценка качества решения задач». При этом весь учебный материал модулирован, т.е. разбит на модули. Каждый модуль содержит: теоритический материал, практический материал с оценкой его сложности, соответствующие тесты для проверки качества на полноту и целостность усвоенного материала.

Освоение и оценка качества овладения компетенции каждым студентом производится по следующему алгоритму:

Для примера рассмотрим работу модуля 1 (рис. 1).

1. Осваивается теоретический материал (действие 1).

2. Оценка полноты и целостности усвоенного материала из модуля 1 производится с помощью двойного тестирования (действие 2 и действие 3):

> тестирование из 5 случайно выбранных вопросов на полноту усвоенного материала (вычисляется характеризующий параметр POL(1));

> тестирование из 5 случайно выбранных вопросов на целостность усвоения учебного материала (вычисляется характеризующий параметр СНЦ1)).

Комментарий. Например, студент из 10 вопрос из модуля 1 на полноту ответил правильно на 7 вопросов. Значение параметра POL(1)=7/10=0,7. Аналогично, этот же студент из 10 вопросов из модуля 1 на целостность ответил правильно на 6 вопросов. Значение параметра С^(1)=6/10=0,6 [1].

Оценивается значение глубины усвоенных знаний в рамках модуля 1 (характеризующий

параметр GLB(1)) вычисляется по формуле GLB(1)=POL(1)*CHL(1).

Рис. 1 - Технологический маршрут организации в метрическом компетеносном формате учебной деятельности

3. Комментарий. Значение параметра GLB в модуле 1, т. е. GLB(1) для рассмотренного в пункте 2 примера вычисляется так: GLB(1) = POL(1) * СНЬ(1)= 0,7 * 0,6 = 0,42.

4. На основе материалов из модуля 1, студент самостоятельно решает задачи с общей трудоемкостью 8(1) (действие 4) [3].

5. Преподаватель оценивает качество решаемых задач из модуля 1.

Комментарий: функция «оценка качества решения задач» в стадии «действие 4» рис. 1 теперь выполняется автоматически благодаря данному смарт-блоку распознавания правильности решения задач (кружок «оценка качества решения задач» (рис. 1)). Студент может самостоятельно освоить компетенцию без вмешательства преподавателя. На (рис. 1) показано условие, что студент должен получить оценку не меньше 60%, при котором система допускает студенту переходить на следующий уровень. Оценка производится от 0 до 100 процентов и переводится в шкалу от 1 до 5 [2].

Комментарий. Например, студент решил комплекс задач 1-6 по оценке преподавателя на 70%, т.е. его оценка контрольных заданий из модуля 1 - КЗ(1)=0,7.

6. Оценивается значение показателя Q -качество освоения компетенции в рамках модуля 1:

Q(1 )=0,4*POL(1 )*CHL(1 )*0,6*КЗ(1).

Комментарий: Для рассмотренного примера значение показателя g(i;=0,40*0,42+0,6*0,7=0,588. Как показывает практика, «порог» допустимого значения показателя качества освоения компетенции должен быть выше, чем 0,75. В данном случае, студент не освоил компетенцию в рамках модуля 1 с требуемым качеством.

7. Вычисляется уровень развития АВС способностей студента в рамках модуля 1 по формуле АВС(1)=Б(1)*КЗ(1).

Комментарий. Средняя трудоемкость первого задания АВС(1)=24,16

(мин/раб)*0,7=16, 912 (мин/раб) эксперта.

Аналогично модулю 1 делается остальные модули.

Постановка задачи

Требуется создать программное обеспечение смарт-блока, который позволяет сделать автоматизированную образовательную систему автоматической.

В качестве примера рассмотрим реализацию задачи автоматизированного распознавания алгебраических и трансцендентных уравнений, а так же их решения студентами, а так же методы оценки качества решения. Распознавания рассмотрим в следующей постановке:

Требуется решить уравнение такого вида f(x)=0, корны которого отделены в интервале [a,b].

Процесс распознавания в системе происходит в последовательном порядке таким образом: распознается уравнение, распознается решение, и в конечном оценивается качество решения, и каждый из этих шагов выполняет одна из следующих моделей.

1. Модель распознавания трансцендентных и алгебраических уравнений

Система распознает уравнение и интерпретирует ответ выделяя существенные признаки формируя на их основе анализ (проверку) и идентифицирует правильности ответа и дает оценку на данный ответ [5].

Студент берет любое уравнение, что бы найти ее корни. Существуют несколько методов решения данного уравнения. Студент по одному из этих методов решит уравнение и находит значение х, при котором :(х)=7.

Модель выполняет функцию проверки уравнения, где различают два класса уравнений, (алгебраические и трансцендентные уравнения). Система распознает уравнение и классифицирует его, т. е. отнесет его к одному из данных двух классов.

Т= /£4,0;) = /

Здесь класс алгебраических уравнений, а ^з класс трансцендентных уравнений[5,6];

... I -г С'.:у! подклассы принадлежат классу , т.е. любое трансцендентное уравнение и

принадлежат классу . т.е. любое алгебраическое уравнение и т.д.

Уравнение в свою очередь является классом содержащее в себе подмножество объектов (функций), которые по их признакам система распознает и классифицирует их к одному или другому из классов функций.

= хв ... здб&П. где объект

уравнения, а (йО признак объекта.

Комментарий. для трансцендентных

может быть функцией синуса или косинуса и т.д., а для алгебраических например .

Например, для функции Бт(х) система читает выражение, распознает ее и классифицирует ее к классу тригонометрическим функциям как синус от переменного х (рис. 2).

itsrt

уравнения

В систему вводится уравнение, решения для которого требуется проверить. Система представляет студенту возможность написать уравнение используя клавиатуру, и что бы пренебречь ошибки существует возможность строит уравнение с использованием средств конструктора системы выбирая функции, переменные, операторы, знаки и коэффициенты, а система строит уравнение в правильном порядке (рис. 3).

Программный интерфейс модели алгебраических и трансцендентных уравнений

Проверка уравнения

Sings Vare

2(ain0r] )-«**)-О

Ш

Проверяй Проварка пропори

1 котгрччтй рнпиь' а -01?ДИ9ЛвЛЭЗЛа Погрешности 0 1ПвВ74ИЭЗЛг Ouncn 52 ПЯИМВвЩ«*

Рис. 3 - Пример алгебраических и трансцендентных уравнений

В случае трансцендентных уравнений, которые образуются из разных функции, таких как тригонометрических, экспонентов и

логарифмических, уравнение вводится в систему, а система распознает это уравнение, затем система переходит на процесс проверки ее решения.

Система перерезает компоненты уравнения на отдельные части, учитывая их знаки, например для

уравнения V* 1 ' перерезает ее на

и сксСВД После этого система параллельно будет обрабатывать каждую часть отдельно.

После того как система выбрала одну из частей, она будет читать ее справа на лева перебегая через скобки, где известно что функции пишется и читается обычно с лева на право, и конечно же первый внутри скобок справа является переменным

функции, здесь в эт0 переменным

является1 , он может быт без или с коэффициентом или возвышенным в степени, система подставляет значение переменного * и переходит в лево что бы считать значение полученной величины * от функции.

Иногда бывает случае когда в уравнении существуют вложенные функции, т.е. функции от

функции как

первая функция синус, а вторая корень, считается корень г затем для полученного значения от вычисления корня * считается синус и так с права на лева система перебегает до последней левой функции в данной части уравнения т. е. будет выполнять функции по приоритету. Система может считать функцию от

функции от функции сколько бы не было функций. И эта процедура выполняется над всеми компонентами уравнения.

Модель распознает форму уравнения таким образом, получая коэффициенты при переменных и порядок степени каждого переменного от студента, и строит образец для проверки правильного решения.

2. Модель распознавания правильности решения уравнения

После получения значений всех частей уравнения, система их вычисляет, получает результат и принимает его как исходные данные, по которым будет оценивать полученное решения от студента. Система интерпретирует ответ выделяя существенные признаки формируя на их основе анализ (проверку) и идентифицирует правильности ответа и дает оценку на данный ответ.

В случае алгебраических уравнений то есть первого и второго до п порядка

= Орд:*1 4- а^к*-14  + а^ж"

Модель сравнивает решения с образцом, что бы отнести его к одному из классов (правильный, не правильный).

Что бы классифицировать решения к одному из классов считается абсолютная погрешность решения и дается диапазон с верхним и нижним переделами. Если погрешность ответа попадает в данном интервале, то ответ считается правильным и дается оценка решения, а если выходит за переделами, то ответ считается не верным.

3. Модель оценки качества решения

Для оценки качества решения, полученное от студента значение х подставляется в /СО  0 и получаем /От1! = ^ .

Абсолютная погрешность решения находится по известной формуле

Í.V

в данном случае х ~ " по условию задачи и является точным результатом, a s результат полученное при подстановке полученного от студента значения х в исходном уравнении. Вероятность точного ответа

ICO

.

Оценка качества решения считается по данной формуле:

Пример решения

Пусть дано уравнение F

Требуется найти его корни на промежутке (a;b).

Сначала нужно найти промежутки внутри отрезка (a;b) , каждый из которых содержит ровно один корень уравнения (1) [7].

Пример 1. Отделить корни уравнения 2sin x — arctg(x) =0 (2) на промежутке (0; 10).

В заданном промежутке уравнение (2) имеет три корня, расположенные на отрезках (2; 3), (6,5; 7,5) и (9; 10).

Полученные в примере промежутки можно сократить, вычислив значения функции у =2б1п(х^ -вг^д(х) во внутренних точках этих промежутков.

Так, вычислив >-(2,5) =0,006654339 и >-(2,6) =-0,172619749, получим, что первый из полученных корней находится в промежутке (2,5; 2,6). Аналогично можно убедиться, что два других корня расположены в промежутках (7; 7,1) и (8,6; 8,7).

Абсолютная погрешность решения находится по известной формуле

k-sl

в данном случае

х = 0

0-»0066643301 = 0,006664339

Оценка качества решения считается по данной формуле:

/ 100ч

= йх = ^100 % = —а* = <1 - 100 №

=(1-0.006654339)*100%=0.99 *"100 % =99%;

Система для проверки может принимать бесконечное многочленное уравнение, в котором один член может принимать бесконечный массив функции от функции (например

efn

порядка степени в

), и массив бесконечного случае экспоненциальной

функции (например 9 ).

Система выполняет работу преподавателя к самому полному, т.е. проверяет, оценивает и архивирует выходные данные в базу данных, предназначенную для этой цели. Система построена таким образом, что бы проверка происходила по шагам, где студент должен завершить все уровни шагом за шагом. Если он не смог проходить один шаг, то он не сможет переходить на следующий уровень, и следовательно он не прошел контроль.

Система во всех стадиях для проверки использует те же способы и методы как если эту проверку выполнил человек, но система превосходит способность человека по скорости и точности выполнения, и можно сказать, что система опережает человеческий интеллект по скорости понимания уравнения, анализа ее функции и

скоростью выполнения, вывода результата и сравнения его с условным результатом (z), чтобы дать на него оценку.

Заключения

В работе были рассмотрены и решены следующие задачи:

• Анализ характера проблемы.

• Исследованы методы решения данной проблемы.

• Разработка методов анализа оценки решения уравнения.

• Разработка математического, алгоритмического и программного обеспечения компонентов системы распознавания уравнений.

• Разработка математического, алгоритма системы проверки результатов.

• В разработке программного обеспечения использовалась технология объектно-ориентированного программирования.

Литература

1. Нуриев Н.К., Старыгина С.Д. Дидактическая инженерия: проектирование ЭОР для подготовки инженеров в метрическом компетентностном формате // Международный журнал "Образовательные технологии и общество",-2015. -Т.19, №1. -С. 567-577.

2. Нуриев Н.К., Старыгина С.Д., Ахметшин Д.А. Дидактическая инженерия: проектирование программного обеспечения техногенной социально-образовательной среды вуза// Вестник технологического университета -2015. -Т.18, №24. -С. 109-114.

3. Е.А. Печеный, Н.К. Нуриев, С.Д. Старыгина, Экономико-математические модели в управлении: учеб. пособие. -Казань: центр инновационных технологий, 2016. - 224с.

4. ДЖ. Т. Ту, Р. С. Гонсалес. Принципы распознавания образов, перевод с английского И.Б. Гуревича под редакцией Ю.И. Журавлева. Издательство «Мир» Москва 1978.

5. Стюарт Рассел, Питер Норвиг, Искусственный интеллект: современный подход, 2-е изд.. : Пер. с англ. -М. : Издательский дом "Вильямс", 2006.- 1408 с. :ил.-Парал. тит. англ. ISBN 5-8459-0887-6 (рус).

6. Д. Ф. Люгер, Искусственный интеллект: стратегии, методы решения сложных проблем, 4-е изд..: Пер. с англ. - М. : Издательский дом "Вильямс", 2003.- 864 с. :ил.- Парал. тит. англ. ISBN 5-8459-0437-4 (рус).

7. Л. А. Барон, Н.К.Нуриев, С.Д.Старыгина. Численные методы для IT инженеров: учеб. пособие для вузов /Казань, 2012. - 176 с.

© А. А. Обади - асп. каф. информатики и прикладной математики КНИТУ, 19fattah86@mail.ru; А. А. Аль-Хашеди - асп. каф. Информатики и прикладной математики КНИТУ, alhashedi@mail.ru; Ф. А. Муршед - асп. каф. информатики и прикладной математики КНИТУ, fdinfoter@gmail.com.

© A. A. Obadi, PhD researcher degree in Kazan National Research Technological University, Department information science and applied mathematics, 19fattah86@mail.ru; A. A. Alhashedi, PhD researcher degree in Kazan National Research Technological University, Department information science and applied mathematics, alhashedi@mail.ru; F. A. Murshed, PhD researcher degree in Kazan National Research Technological University, Department information science and applied mathematics, fdinfoter@gmail.com.