О перспективах развития подхода, основанного на использовании алгебраической проблемы квадратичного вида в задачах строительной механики

УДК 624.04: 517.926.7+512.643.4

О ПЕРСПЕКТИВАХ РАЗВИТИЯ ПОДХОДА, ОСНОВАННОГО НА ИСПОЛЬЗОВАНИИ АЛГЕБРАИЧЕСКОЙ ПРОБЛЕМЫ КВАДРАТИЧНОГО ВИДА В ЗАДАЧАХ СТРОИТЕЛЬНОЙ МЕХАНИКИ

А.Н. Потапов

Рассмотрены вопросы реализации краевых задач строительной механики, математическое описание которых связано с оператором Лапласа, бигармоническим оператором или их комбинациями. Построена расчетная схема по интегрированию исходных дифференциальных уравнений краевых задач, основанная на алгебраических подходах. С помощью разработанного математического аппарата задача интегрирования данных уравнений сведена к решению характеристического матричного квадратного уравнения.

Потапов Александр Николаевич Челябинск, зав.каф. стр. механики, ЮУрГУ, д.т.н., профессор

Введение

В монографии [1] предпринята попытка изложения теории временного анализа дискретных (конечномерных) систем, при колебаниях которых учитываются силы внутреннего трения материала и сложный характер динамических воздействий. Показана возможность получения оценок колебаний с нелинейной восстанавливающей силой.

Изложение теории временного анализа ведется с единых математических позиций, основываясь на новых алгебраических подходах. Задача непосредственного интегрирования исходного дифференциального уравнения движения тесно связана с обобщенной алгебраической проблемой квадратичного вида, требующей анализа и решения характеристического матричного квадратного уравнения (МКУ). Для МКУ доказан ряд теорем относительно структуры и спектральных свойств матричных корней и предложен метод его решения. Это позволило создать строгий математический аппарат, который применен к теории динамического анализа дискретных диссипативных систем.

Однако направление исследований, изложенное в [1], не исчерпывает всех возможностей применяемого математического аппарата. Среди обилия краевых задач строительной механики существуют такие их классы, анализ которых может быть осуществлен по предложенной расчетной схеме с использованием алгоритма решения МКУ.

В математическом описании таких задач, представленных дифференциальными уравнениями в частных производных, главенствующая роль принадлежит основным операторам теории упругости: оператору Лапласа и бигармоническому оператору. Переход от сложных уравнений в частных производных к более простым обыкновенным дифференциальным уравнениям (ОДУ) осуществляется различными приемами, достаточно хорошо

освещенными в литературе. Один из приемов -вариационные методы, сводящие многомерную проблему к одномерной проблеме как в классическом варианте (метод Власова-Канторовича [2-4]), так и в форме модификаций (например, [5-8]). Поэтому в качестве исходных уравнений в каждом случае принимается система линейных ОДУ, отвечающая некоторой краевой задаче.

1. Схема приведения системы ОДУ к матричному квадратному уравнению

Рассмотрим матричное ОДУ

ТХ=Р,

дифференциальный оператор которого общем виде представлен выражением

Т=АВ(2к+т)-

(4 =

вп<к+т) + СИ'

2, ... ,т = 0, 1, . .)

,

наиболее

Здесь А, В, С е М„{К) - симметрические квадратные матрицы порядка и, причем А - невырожденная матрица; X, Р - искомый и заданный векторы; - оператор дифференцирования.

Для однородного ОДУ

ТХ= 0,

соответствующего уравнению (1), построение общего интеграла при постоянных матрицах-коэффициентах А, В, С, как известно [9], связано с нахождением фундаментальных матриц. Общий интеграл однородного ОДУ выглядит так:

7(0 = Ф,(0Я, + Ф2(0#2 +  + Ф №г, где Ф,(0 = е@‘г - фундаментальная матрица однородного ОДУ. Здесь матрица (), удовлетворяет характеристическому нелинейному уравнению ,2 к

[/і02і+£дА' + с]0т = о,

Н, - вектор постоянных интегрирования, г = 2к+ т - наибольший порядок оператора Т.

Из анализа уравнения (4) следует, что матричные корни должны удовлетворять следующим двум уравнениям:

А

С помощью замены 5 = $ первое уравнение в (5) приводится к МКУ

А8г+В8+С = 0,

решение которого имеет вид корневой пары 5|,2 - А~\-В + V ± Ц)Г2. Значения искомых матриц V, V определяются с помощью итерационного алгоритма [1], после чего матричные корни вычисляются по формуле: <21 = . Второе уравнение в

(5) дает набор нулевых матричных корней кратности т.

Найденные матричные корни (), позволяют построить фундаментальные матрицы Ф,(/) и получить общий интеграл уравнения (3). Таким образом, при заданной структуре одномерного оператора (2), главная проблема интегрирования уравнения (1) сводится к анализу МКУ (6). Ниже рассмотрим некоторые краевые задачи строительной механики и теории упругости, решение которых в вариационной постановке может быть сведено к такой алгебраической проблеме.

В классическом варианте [2-4] решение вариационной задачи по методу Власова-

Канторовича ищется в форме ряда, представленном в виде суммы функций-сомножителей

и

где У(у), Х(х) - соответственно заданная и искомая вектор-функции одной переменной. Структура вариационных уравнений Власова-Канторовича зависит от вида оператора исходного дифференциального уравнения в частных производных и граничных условий. Поэтому для каждой конкретной задачи система вариационных уравнений имеет свои специфические особенности.

2. Задачи, связанные с уравнением Пуассона

Рассмотрим задачи растяжения мембраны и кручения призматического стержня, математическая формулировка которых однотипна и имеет вид уравнения Пуассона V2 С1(х, у) = ц(х. у), где V2 = д2/дх2 + д2/ду2. В задаче растяжения мембраны требуется отыскать функцию прогибов и(х, у) при заданных граничных условиях на контуре мембраны. Функция правой части ^(х, у) определяет интенсивность нагрузки.

В задаче кручения призматического стержня требуется найти решение уравнения Пуассона -искомую функцию напряжений Щх, у), - обращающуюся в нуль на контуре поперечного сечения (при ц(х, у) = -2). Касательные напряжения в скручиваемом стержне определяются по формулам: = С9-8и/ду, = ве-ди/дх, где б - модуль

сдвига; 0 - относительный угол закручивания.

При решении обеих задач в форме ряда (7) система вариационных уравнений Власова-Канторовича имеет одинаковую структуру [2]

J'у (у) [V2U(x,y)-q(x,y)]dy = О

Р

или в операторной форме

АХ"{х) + СХ

где А — jyfefy; С= JУ (У11)1 dy, F= \yq(x,y)dy.

Р Р Р

В уравнении (8) одномерный оператор Т = AD(2) + CD(0) является частным случаем оператора (2), так как он вытекает из (2) при В = 0, к = 1, m = 0. Поэтому характеристическое уравнение также представляет собой частный случай уравнения (5) при S = Q неполного (без линейной части) МКУ. AS* + С = 0, сразу приводящего к матричным корням 5i 2 = ± V- А~]С .

3. Задачи, связанные с бигармоническим уравнением

Бигармоническое уравнение широко используется в приложениях теории упругости (задачи технической теории пластин, плоская задача и ДР-)-

3.1. Задачи изгиба, устойчивости и собственных колебаний пластин. В задачах технической теории пластин искомая функция прогибов ищется в виде приближенного решения (7): w(x,y) = Y(y)J Х(х). Ниже представлены одномерные проблемы в вариационной постановке Власова-Канторовича для задач изгиба, устойчивости и собственных колебаний ортотропных пластин соответственно:

J У (y)[Lw - 2к\ V2w + k0w - q(x, у)] dy = 0,

Р

' J У (y)[Lw - Nx d2w/dx2 - Ny tfw/dy2] dy = 0,

P

JY (y)[£w - A.w] dy = 0, X = <£>2hy/g.

P

Здесь I = D^/dx4 + 2D3(f/dx2dy2 + D2d4/dy -оператор ортотропной пластины. Обозначения жесткостей изгиба D\, D2 и жесткости кручения D3 приняты в соответствии с монографией [10, с. 155

- 156]. Первая система уравнений относится к задаче изгиба ортотропной пластины на упругом основании с двумя коэффициентами постели (ки ко - характеристики упругого основания [5]). В задаче устойчивости Nx, Ny - суть постоянные продольные сжимающие в направлении своих осей силы. В задаче собственных колебаний ортотропной пластины: ш - собственная частота; h - высота пластины; у - удельный вес материала пластины; g— ускорение свободного падения [10].

Теоретические исследования

Операторные уравнения для указанных типов задач имеют по своей структуре сходный характер, поэтому достаточно ограничиться рассмотрением уравнения изгиба ортотропной пластины на упругом основании с оператором

T=DXA,X1V + 2(D3Bl (АгС, -

— 2к\В\ + ktjA\).

В этом уравнении одномерный матричный оператор имеет вид

Т = ADW + BD

где А = D\AU В = 2(D3Z?i - кхА\),

С = (PiCs — 2к\В\ + коА\),

Аг-jr (y)Y(y)J dy; В, = J> (у)Лу)т dy,

Р Р

C, = j> cfy; Д*) = \y (у)Ф, У) dy.

р р

Нетрудно видеть, что оператор данной задачи формируется из

AQ4+BQ2 + C= 0,

легко сводящемуся заменой S= Q2 к МКУ (6).

3.2. Плоская задача теории упругости. Другой обширный класс задач, сводящийся к решению МКУ, связан с плоской задачей теории упругости. К этой задаче приводит расчет балок-стенок, подпорных стенок, дамб, плотин и других объектов. Во всех приведенных случаях плоской задачи основные математические трудности состоят в проблеме исследования бигармонического уравнения V4cp = 0, заключающейся в отыскании функции напряжения ф.

Задаваясь приближенным решением в предположении вариационной постановки задачи по методу Власова-Канторовича в виде ф(х, у) = Y(y)T Х(х), получим разрешающие уравнения, одномерный дифференциальный матричный оператор которых имеет структуру (9). Поэтому переход к алгебраической проблеме осуществляется по аналогии с пунктом 3.1.

4. Вариационные задачи технической теории оболочек

Применение разрабатываемого алгебраического подхода весьма перспективно при изучении проблем, относящихся к области строительной механики оболочек и тонкостенных пространственных систем. Из множества задач выделим две наиболее важные задачи. Это задачу исследования цилиндрических ортотропных оболочк средней длины, рассчитываемых по полумоментной теории В.З. Власова [4], и задачу расчета пологих оболочек [11]. Оба вида оболочек получили широкое распространение в различных отраслях техники.

4.1. Уравнения цилиндрических ортотропных оболочек средней длины. Для вырезанной цилиндрической полоски (рис. 1) В.З. Власовым были составлены условия равновесия, исходя из принципа возможных перемещений. Перемещения точек срединной поверхности оболочки m(z, j), v(z, s), w(z, s) направлены соответственно вдоль образующей, по касательной к дуге профильной линии z = const и нормали к поверхности. Неизвестные перемещения представляются в виде следующих конечных разложений u(z, s) = U(z)T Ф(^), v(z, s) = F(z)T Т(5). Здесь Ф(^), 4P(s) - заданные, U(z), V(z) - искомые вектор-функции одного переменного. Размерность векторов Ф, U равна да; векторов Ч', V - п. Согласно введенным гипотезам [4], между тангенциальным v и нормальным w перемещениями имеет место зависимость w = R(s)dv/ds, где R(s) - радиус кривизны поверхности, представляющий заданную функцию от координаты s.

Уравнения равновесия получены В.З. Власовым путем приравнивания нулю суммарной работы всех внешних и внутренних сил элементарной полоски на возможных для нее перемещениях. В матричном виде эти уравнения объединены в следующую систему:

j [ЛФГ>

Первое уравнение в этой системе (11) выра-

Рис. 1. Элементарная полоска, выделенная из цилиндрической оболочки сечениями г = const и z + dz = const

жает условия равновесия всех дифференциальных полосок в продольном направлении оболочки, второе (12) - в плоскости поперечного сечения полосок. Операторная форма данной системы размерности m + п выглядит так

"и' У

F =

V „ф.

где T=AD{2) + BDm + CD(0);

А =

4» О

О —Ац,

1 о ГсФ 0

1 О 1 V*

Аф = у |ф(л)ф(5)ТЖ;ЛЧ,= (т(5)ВДт

Р /.

Р р

Н = |ф (^)Ч/(5)ТЖ; Ь = ад£>(3) + £>(П/ВД;

Р

А?) = 1/С? }ф (ф^, <*;

Р

ф(г) = -\Ю 5) +Л(5)Ч//(л)/7„(2, 5) +

Р

+/я(г, л)[/?(5)хР//(5) + Т(5)/Д(5)]}йЬ.

Здесь у = ЕЮ; Е, й - модули упругости и сдвига; J - погонный момент инерции продольного сечения оболочки; т(г, 5) - интенсивность внешнего изгибающего момента, действующего в плоскости, перпендикулярной образующей.

В матричном операторе Т блочной структуры объединены различные по физическому смыслу матрицы. Его первый член содержит матрицы Аф, Ау, в которых заключены геометрические характеристики поперечных сечений. Причем Аф учитывает депланацию поперечных сечений полосок: диагональные элементы матрицы суть бимоменты инерции; побочные элементы - центробежные моменты инерции. Матрица Ау содержит те же самые характеристики, вызванные деформацией контура в плоскости поперечного сечения. Матрицы С, Сч последнего члена оператора отражают статический характер работы оболочки: элементами матриц являются соответствующие реактивные усилия. Наконец, средний член оператора включает матрицу Я, которая учитывает взаимное влияние двух видов деформаций упругой оболочки (продольной и поперечной).

Структура оператора Г соответствует оператору (2) при к = 1, т = 0, поэтому характеристическое уравнение имеет вид МКУ (6), в котором 5 = £>• В том случае, если в расчете цилиндрической оболочки не учитываются деформации сдвига, то средний член оператора Т будет равен нулю

(ввиду Я = 0), и тогда характеристическое МКУ имеет неполный вид (5 = 0: АБ2 + С = 0.

4.2. Уравнения пологих оболочек. На основании введенных гипотез система уравнений пологой оболочки (рис. 2) путем преобразования приводится к двум совместным уравнениям относительно неизвестных функций И ф [11].

Функция перемещений IV определяет деформации изгиба и кручения оболочки, поэтому с функцией № связаны изгибающие и крутящие моменты, а также поперечные силы. Функция напряжений ф так же как в плоской задаче теории упругости определяет компоненты безмоментной группы усилий, действующих на оболочку (тангенциальные силы).

В соответствии с вариационным методом Власова-Канторовича эти функции записываются в виде -|ф> у) = Ду)Т Д*), ф(*: у) = Ф(у)Т где }'(>’), Ф(у) - заданные, Х(х), у¥(х) - искомые вектор-функции одного переменного, причем векторы У(у), Да-) имеют размерность п; Ф(у), Ч'(х) - размерность т. В результате редуцирования задачи система основных уравнений принимает вид

( ]гОО[£>У2У2тф, у) + Ч2к ф(х, у) - ц{х, у)} 4у = 0, /ф(у) [ V* >ф, у) - (1 /ЕИ)Ч2У2 Ф(х, у)] 4у = о,

где V2 - оператор Лапласа; V* = к^сГ/ду2 + к2821дх2 - дифференциальный оператор второго порядка, зависящий от главных кривизн оболочки к] и к2; /г - толщина оболочки; Е - модуль упругости; q{x, у) - интенсивность внешней поперечной распределенной нагрузки; £> = ЕЙ3/12(1 —V2) (V - коэффициент Пуассона).

После подстановки в приведенную систему уравнений функций ц>(х, у) = У(у)тДх), ц>(х, у) - Ф(у)п-¥(х) и выполнения операций интегрирования по переменной у, приходим к двум матричным ОДУ

0[А^?У + 2 ВЛ!' + С,Д] + кх№> + к2Шп = /, к^Х" + к2НТХ- [А^,у + 2В^" + С^УЕк = 0.

Первое уравнение данной системы по своему физическому смыслу выражает условия равновесия всех сил в направлении нормали к поверхности оболочки и поэтому является статическим уравнением. Второе уравнение определяет условия неразрывности деформаций, вследствие чего является геометрическим уравнением [3]. Ниже дана операторная форма вариационных уравнений пологой оболочки

тг=р,

-Х

У

Р =

/

0

Теоретические исследования

где оператор Т, как и в пункте 3.1, имеет блочный вид

Т= AD(4] + BD'AI + CDW\

,(2).

~DA„ 0 Г 2Щ, k,R

А = 0 -A,,!Eh ,5 = U*t -IBqIEh

С-

DCW

КН1

кгН

С.

Ау, = |ГГТ^; В„ = |Г(УУсЬг, СК = 17(^)тф;

Р Р Р

А,р= |ф Фтф; 5Ф= |Ф(Ф7/)Ч; С, = |ф(Ф/1")>;

Р Р Р

Л= |УФТ^; Н= | У(Фп)тс1у; Дх) = 1Уц(х,у)с/у.

Р Р Р

Таким образом, оператор (14) следует из (2) при к = 2, т - 0, поэтому характеристическое уравнение представлено уравнением (6), в котором 5 = £>“. Здесь Q есть решение матричного биквадратного уравнения типа (10).

В том случае, если главные кривизны оболочки равны нулю, то оператор (14) принимает блочно-диагональный вид, и система уравнений распадается на две независимые системы порядка пит. Этим системам соответствуют две основные задачи теории упругости о поперечном изгибе пластинки и плоском напряженном состоянии. Решения каждой из этих задач протекают независимо друг от друга в соответствии с пунктами 3.1 и 3.2.

Выводы

Приведенные в настоящей статье обзоры некоторых постановок задач строительной механики и теории упругости показывают, что область приложения алгебраических подходов может быть весьма обширной. Применение новых аналитических методов, при построении которых задействован аппарат технической реализации нелинейных матричных уравнений, позволяет глубже уяснить теоретическую основу происходящих процессов при деформировании несущих элементов конструкций. Это расширяет возможности практическо-

го анализа сложных систем при оценке их прочности, устойчивости и колебаний.

Литература

1. Потапов, А.Н. Динамический анализ дискретных диссипативных систем при нестационарных воздействиях: монография / А.Н. Потапов.

- Челябинск: Изд-во ЮУрГУ, 2003. - 167 с.

2. Канторович, Л.В. Приближенные методы высшего анализа / Л.В. Канторович, В.И. Крылов. -М.; Л.. Физматгиз, 1962. -708 с.

3. Власов, В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике / В.З. Власов. - М., Л.. ГИТТЛ, 1949. - 784 с.

4. Власов, В.З. Тонкостенные пространственные системы: Избранные труды в 3-х томах / В.З. Власов. - М.. Наука, 1964. - Т 3. - 472 с.

5. Леонтьев, Н.Н. Обобщенный вариант вариационного л-iemoda Власова-Кантаровича и его применение для решения двумерных задач теории тастин и оболочек / Н.Н. Леонтьев // Проблемы расчета пространственных конструкций: Межвуз. сб. науч. тр. - М.. МИСИ им. В.В. Куйбышева, 1980. -Т. 2.-С. 65-78.

6. Леонтьев, Н.Н. Об одном приеме решения некоторых систем обыкновенных дифференциальных уравнений теории упругости / Н.Н. Леонтьев, А.Н. Потапов, В.В. Очинский // Исследования по теории сооружений. - М.. Стройиздат, 1987 - Вып. 25.-С. 209-218.

7 Петров, В.В. Об одном методе расчета пластинок и оболочек путем сведения к обыкновенным дифференциальным уравнениям / В.В. Петров // Проблемы расчета пространственных конструкций: Межвуз. сб. науч. тр. - М.. МИСИ им. В.В. Куйбышева, 1980. -Т 2.-С. 134-142.

8. Петров, В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек: автореферат дис. ... д-ра техн. наук /

В.В. Петров. - М.: МИСИ им. В.В. Куйбышева, 1970. - 15 с.

9. Бибиков, Ю.Н. Курс обыкновенных дифференциальных уравнений / Ю.Н. Бибиков,- М.. Высшая школа, 1991. - 304 с.

10. Огибалов, П. М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок / П.М. Огибалов,- М.. Изд-во МГУ, 1958,- 389 с.

11 Колкунов, Н.В. Основы расчета упругих оболочек / Н.В. Колкунов. - М.. Изд-во Высшая школа, 1972. - 296 с.