Модель самоорганизации ближайшей окрестности элементов перколяционных кластеров: зависимость свойств от истории формирования

УДК 51.7 : 53.072 : 519.713 : 538.9

Модель самоорганизации ближайшей окрестности элементов перколяционных кластеров: зависимость свойств от истории

формирования

А.Н. Герега1, Ю.В. Крывченко2

1 Научно-производственный центр, Одесса, 65000, Украина 2 Одесская национальная академия пищевых технологий, Одесса, 65039, Украина

Ближайшая окрестность элемента кластерной системы рассматривается как «описанные» вокруг него в фазовых пространствах свойств перколяционные поля. Наличие у элементов кластера ближайшей окрестности приводит к формированию структур, доминирующей чертой которых становится тотальная мультимасштабность, существенно увеличивает количество параметров, описывающих структуру и свойства исследуемой системы, расширяет возможности аналитического описания. В работе создана компьютерная модель процессов самоорганизации кластеров, составляющих ближайшую окрестность элементов перколяционных систем. В модели рассматриваются такие задачи с самоорганизацией, в которых свойства перколяционного кластера обусловлены также историей развития системы. Для изучения структуры и свойств таких систем решается объемная континуальная пер-коляционная задача с взаимодействующими элементами. Разработаны итерационные алгоритмы движения и взаимодействия частиц и кластеров, допускающие образование перколяционных систем. Для описания взаимодействия частиц на стадии формирования перколяционных систем используются два закона взаимодействия. Исследована структура и свойства перколяционных кластеров, рассчитан ряд стандартных параметров: порог протекания, мощность перколяционного кластера, анизотропия, первые три размерности Реньи, радиус гирации и другие, а также впервые при изучении перколяционных систем введены в рассмотрение и рассчитаны значения коэффициентов заполнения пространства и роста мощности кластеров. Исследована зависимость структуры и свойств кластеров от скорости генерации системы, степени самоорганизации, характерных значений корреляционной длины. Получены аналитические зависимости ряда параметров перколяционных систем. Обсуждается класс универсальности исследованной задачи.

Ключевые слова: ближайшая окрестность, самоорганизующаяся критичность, континуальная перколяция, метод Монте-Карло, итерационные алгоритмы, коэффициент роста мощности, коэффициент заполнения пространства, класс универсальности

DOI 10.24411/1683-805X-2019-14009

Model for the self-organization of the nearest neighborhood of percolation cluster elements: dependence of properties on the formation history

A. Herega1 and Yu. Kryvchenko2

1 Research and Production Center, Odessa, 65000, Ukraine 2 Odessa National Academy of Food Technologies, Odessa, 65039, Ukraine

The nearest neighborhood of an element of a cluster system presents percolation fields constructed around it in the phase spaces of properties. The presence of the nearest neighborhood of cluster elements leads to the formation of structures whose dominant feature is a multiple-scale hierarchy. The concept of the nearest neighborhood significantly increases the number of parameters characterizing the structure and properties of the system under study, and expands the possibilities of analytical description. Here we propose a computer model simulating the self-organization of clusters that make up the nearest neighborhood of percolation system elements. The model considers self-organization problems in which the properties of a percolation cluster are determined, among other things, by the system development history. The structure and properties of such systems are investigated by solving a 3D continuum percolation problem with interacting elements. Iterative algorithms are developed for the motion and interaction of particles and clusters which lead to the formation of percolation systems. Two laws of interaction are used in the model to describe the particle interaction at the stage of formation of infinite clusters. The structure and properties of the percolation clusters are investigated. Standard parameters are calculated, such as percolation threshold, power of an infinite cluster, its anisotropy, first three Renyi dimensions, gyration radius, and others. For the first time, the space filling factor and the power growth factor of a cluster are introduced and calculated for a percolation system. The dependence of the structure and properties of clusters on the rate of system generation, the degree of self-organization, characteristic correlation lengths, and the type of the particle interaction law is studied. Analytical dependences for some parameters of percolation systems are obtained. The universality class of the studied percolation problem is discussed.

Keywords: nearest neighborhood, self-organizing criticality, continuum percolation, Monte Carlo method, iterative algorithms, power growth factor, space filling factor, universality class

© Герега А.Н., Крывченко Ю.В., 2019

1. Введение

Представление о ближайшей окрестности элементов перколяционных кластеров введено в работе [1]. Ближайшая окрестность элемента кластерной системы рассматривалась как «описанные» вокруг него в фазовых пространствах свойств перколяционные поля, каждый элемент которых также обладает ближайшей окрестностью и т.д. (рис. 1). Размерность ближайшей окрестности не зависит от размерности исходной перко-ляционной задачи и, как правило, превышает ее.

Наличие у элементов кластера ближайшей окрестности приводит к формированию структур, доминирующей чертой которых становится тотальная мультимасш-табность: статистическое самоподобие и развитая фрак-тальность перколяционного кластера, характерные для промежуточной асимптотики, наблюдаются теперь во всем диапазоне масштабов. Введение понятия ближайшей окрестности повышает вариативность условий объединения элементов в процессе кластерообразования, расширяет возможности компьютерного моделирования процессов, протекающих в перколяционных системах, существенно увеличивает количество параметров, описывающих структуру и свойства исследуемой системы, расширяет возможности аналитического описания [1, 3-6].

В работах [1, 3-6] методами теории размерности для ближайшей окрестности определены лебеговы меры на множестве проводящих участков перколяцион-ного поля. Рассчитаны индексы, описывающие скей-линговое поведение энтропии их разбиения, введено представление об относительной степени упорядочен-

Рис. 1. Фрактальная кривая [2] (а) и ближайшая окрестность (б) на различных масштабах

ности структуры и лакунарности ближайшей окрестности, показана пригодность этих величин для оценки дрейфа ее свойств, а также исследованы свойства муль-тимасштабной системы перколяционных структур на коврах Серпинского [7, 8] с гибридной разветвлен-ностью.

Все это делает ближайшую окрестность одной из значимых составляющих перколяционных моделей, которая, в частности, ведет к определению новых классов перколяционных задач, к новым приложениям теории.

2. Новые классы перколяционных задач

Тематика приложений перколяционной теории очень обширна. Определяющим признаком, по которому отбирались статьи для приведенного ниже обзора, является наличие в перколяционной системе специфических элементов или описание в работе задачи нового класса универсальности.

2.1. Перколяционные задачи с квазилинейными элементами

В [9] аналитически определено значение порога протекания для системы твердых вытянутых эллипсоидов вращения в континуальной задаче как функции соотношения осей. Положение эллипсоидов в модели задает генератор случайных чисел с равномерным распределением. Два эллипсоида считаются связанными, если расположены достаточно близко [9]. Затем данная фракция эллипсоидов удаляется и исследуется перколяцион-ный кластер оставшихся («окрашенных») эллипсоидов как функция их доли в системе. Показано, что критическая объемная доля окрашенных эллипсоидов является убывающей функцией аспектного отношения и что интенсивность взаимодействия, определяемая площадью поверхности и радиусом вращения эллипсоидальной поверхности, обратно пропорциональна величине этого отношения.

В [10, 11] разработана модель для исследования свойств перколяционных кластеров из вытянутых элементов. Модель позволяет производить поиск пороговой концентрации проводящей фазы, находить контактные кластеры, вычислять фрактальные размерности кластеров, определять длину путей внутри кластера, моделировать динамику роста кластеров. В качестве управляющих параметров в модели используют соотношение между длиной и шириной элементов и максимальный разрешенный угол отклонения элементов от оси, в частности, получена зависимость порога протекания от угловой ориентации элементов для разных соотношений длины и ширины элементов.

В работе показано, что форма вытянутых элементов слабо влияет на характеристики образца: пороговые концентрации для эллипсоидов вращения и для параллелепипедов сходятся при одинаковом соотношении длины к ширине при его стремлении к бесконечности.

Авторы [10, 11] полагают, что элементы перколяционных кластеров модели могут имитировать структуру искрового пробоя: элементы модели соответствуют электронным лавинам и стримерам, которые представляют собой ионизированные участки газа. В работе учтены и на качественном уровне исследованы эффекты, возникающие при множественном одновременном развитии структурных элементов искрового пробоя газов.

Существенная особенность структуры дисперсно-армированных гетерогенных материалов — кластеры фибры, которые при критической концентрации образуют связную область перколяционного типа, вызывая структурный фазовый переход. В работе [12] предложена компьютерная модель упрочняющего структурного перехода в дисперсно-армированных бетонах, позволяющая исследовать кластерные системы, в которых помимо стальной фибры в цементном тесте присутствует железный порошок. Для изучения такого сталефиб-робетона в модели впервые сформулирована перколя-ционная задача с квазиточечными и квазилинейными элементами кластеров. Задача решается методом Монте-Карло в кубе, содержащем 106 ячеек. Элементы, из которых формируется модельный металлический кластер, создаются в кубе по алгоритму, использующему генератор случайных чисел с равномерным распределением. В каждом модельном эксперименте элемент фибры имеет фиксированную длину, а его положение определяет генератор случайных чисел: он задает координату начала и выбирает угол поворота относительно координатных осей. Единичные элементы фибры считаются соединенными, если у них есть общая точка или расстояние между ними не превышает некоторое заданное значение, играющее в модели, как и длина элемента фибры, роль управляющего параметра.

В модельных экспериментах получены зависимости порога протекания и фрактальной размерности перко-ляционного кластера от концентрации наполнителя и процентного содержания в нем элементов. Оказалось, что величина перколяционного порога Рс и фрактальная размерность D кластеров, состоящих из обоих компонентов, при фиксированных значениях концентраций элементов фибры и порошка изменяются в излишне широких пределах, например Рс = 0.09-0.23 и D = 1.411.71 [12]. Авторы специально увеличивали количество модельных экспериментов, но разброс результатов уменьшить не удалось. Вероятным объяснением этого феномена является невозможность обеспечить статистическую устойчивость явления.

В статье [13] описаны исследования электрических характеристик композитных материалов, полученных в результате добавления в полимерную матрицу углеродных нанотрубок. Для нанотрубок с высоким аспект-ным отношением небольшого количества присадки (на уровне 0.01-0.1 %) достаточно для увеличения прово-

димости материала более чем на 10 порядков и перевода его из класса диэлектриков в класс проводников. Показано, что при небольшом количестве присадки перенос заряда в композите осуществляется по перколя-ционному механизму, согласно которому нанотрубки, находящиеся в контакте друг с другом, образуют в материале проводящие каналы. При этом проводимость имеет пороговый характер и скачок проводимости происходит при ничтожном превышении порогового значения содержания присадки. В [13] приведена сводка экспериментальных данных, относящихся к положению перколяционного порога и максимальному значению проводимости для композитов, полученных при использовании различных типов полимеров и углеродных на-нотрубок различной геометрии. Проанализированы факторы, влияющие на электрические характеристики композитов, полученных различными методами. Рассмотрены методы моделирования перколяционной проводимости композитов с присадкой нанотрубок.

2.2. Перколяция на мультифракталах

Авторы [14] исследуют перколяционную задачу для узлов и связей на плоской мультифрактальной стохастической решетке. Численно получены значения для перколяционного порога и показателей параметра порядка, длины корреляции, восприимчивости, фрактальной размерности. В работе показано, что все критические индексы одинаковы в задачах узлов и связей, несмотря на значительные различия в образующихся кластерах. Авторы [14] считают, что полученные результаты позволяют предположить, что перколяция на решетке из узлов и связей принадлежит к новому классу универсальности, т.к. рассчитанные показатели не совпадают ни с одним из значений для любой из существующих плоских решеток.

В статье [7] решена континуальная перколяционная задача на модифицированном ковре Серпинского. Предлагаемые изменения заключаются в том, что соединенными считаются клетки ковра, либо соприкасающиеся сторонами, либо имеющие общую вершину; авторы называют такой аналог известного фрактала ковром Сер-пинского с гибридной разветвленностью. Понятно, что модификация правил образования связности приводит к изменению перколяционных параметров бесконечного кластера ячеек ковра. В работе [7] предложено ре-нормгрупповое преобразование, получена нетривиальная неподвижная точка Рс = 0.5093, определяющая порог протекания. Критические индексы задачи определены из системы равенств двухпоказательного скейлинга.

В статье [15] подробно исследуется влияние топологии сети на параметры перколяционных задач узлов. В частности, показано, как перколяционный порог задачи узлов зависит от топологической и фрактальной размерности сети, от среднего значения координационного числа, от показателя степени ветвления. Значения поро-

гов перколяции на некоторых фрактальных решетках были найдены путем численного моделирования. По мнению авторов [15], наиболее подходящим параметром для правильного описания значений перколяцион-ных порогов задачи узлов на фракталах типа ковра Сер-пинского и «шотландки» Кантора есть среднее значение координационного числа и степени ветвления, но не фрактальная размерность. Авторы предложили эмпирическую формулу, обеспечивающую хорошее приближение для порогов перколяционной задачи узлов в этих сетях, и эмпирическую формулу для порогов на ^-мерных простых гиперкубических решетках.

2.3. Вопросы теории перколяции

В работе [16] изучена иерархия критических микропереходов, совершающихся в моделях континуальной и дискретной перколяции. Предшествующие микропереходы позволяют почти детерминистически определять значение последующих критических точек перехода к глобальной связности. Авторы полагают, что полученные результаты расширяют класс стохастических процессов, для которых возможно предсказание критических точек фазовых переходов в сложных системах.

Авторы [17] обнаружили каскад макропереходов, возникающих в перколяционной системе после достижения порога. Параметр порядка в этом случае растет дискретными макроскопическими шагами со значениями, распределенными случайным образом даже в термодинамическом пределе. Однако эти величины коррелируют и подчиняются законам масштабирования в соответствии с дискретной шкалой инвариантности. С учетом невозможности усреднения в перколяционных системах шкала инвариантности в работе [17] получена путем изменения масштаба отдельных реализаций.

Авторы [18] исследуют аномальную природу перко-ляционного перехода с нулевым порогом. На стохастически соединенных узлах и связях плоских решеток в [18] наблюдают структурные изменения при появлении связного компонента, охватывающего конечную долю системы. Перколяция всегда рассматривалась как зависящая от топологии поля, но не зависящая от модели процесса в том смысле, что критические показатели перехода определяются геометрией системы и идентичны для перколяционных моделей узлов и связей. В [18] авторы сообщают об изменении такого представления и приводят аналитическое и численное подтверждение различия значений критических индексов для задач узлов и связей на решетках с нулевыми перколяцион-ными порогами, а также обсуждают возможные следствия этих результатов в реальных сетях.

2.4. Прикладная перколяция

Топологические и перколяционные эффекты очень существенны при исследовании свойств гетерогенных материалов. В [19] приведены результаты компьютер-

ного моделирования эффективных упругих свойств раз-упорядоченных многофазных материалов. В модели численно и с использованием аналитических методов решены континуальные перколяционные задачи. Определены эффективные модули сдвига в разупорядочен-ных композитах с симметричными ячейками, значительно различающихся фазовым составом, проведено сравнение с результатами по предсказанию упругих свойств перколяционных систем классическими теориями. В работе показано, что эффективный модуль сдвига имеет типичное перколяционное поведение, а также получена зависимость смещения его перколяци-онного порога от уровня различия свойств фаз гетерогенного материала.

В модели [20-22] для изучения эффективных макроскопических свойств реальных дисперсных систем они рассматриваются как совокупность частиц с морфологией типа «твердое ядро - проницаемая оболочка», внедренных в несущую матрицу. В работе анализируются диэлектрическая проницаемость и электрическая проводимость, при этом предполагается, что электрическая проводимость оболочек ст2 = ст2 (г) отличается от электрической проводимости ядер ст1 и матрицы ст0 и в общем случае описывается неоднородным радиальным распределением. Для определения локального значения проводимости системы в точках перекрывания оболочек с другими компонентами вводятся правила доминирования, эквивалентные предположению, что значение проводимости в данной точке определяется расстоянием до ближайшего ядра. Эффективная проводимость системы сте|г находится как решение задачи гомогенизации, в которой исходная система расположена во вспомогательной матрице. Авторы показывают, что поведение сте|Г существенным образом зависит от соотношения между проводимостями компонентов. Для непроводящих ядер (ст1 = 0) и высокопроводящих оболочек (ст2 >> сто) сте|Г возрастает с ростом объемной концентрации ядер, достигает максимума и затем убывает [21, 22]. Первоначальный рост сте|г объясняется перколяцией в подсистеме высокопроводящих оболочек, последующий спад — эффектом блокировки, т.е. уменьшением объемной концентрации проводящих оболочек и возрастанием объемной концентрации непроводящих ядер. В случае когда проводимость ядер высока, а проводимость оболочек ст2 соответствует неравенству ст1 >> ст2 >> Сто, наблюдаются два режима возрастания сте|г, обусловленных перколяцией сначала в системе оболочек, а затем в системе ядер (двойная перколяция) [20]. Установлен критерий для нахождения порога перколяции через относительную толщину оболочек и оценен характер поведения эффективных критических индексов. Решение задачи для сте|г систем твердых неоднородных частиц в рамках указанного подхода приведено в [23].

В [24] исследована перколяционная задача возникновения механической стабильности в неупорядоченных упругих сетях по мере добавления ограничений или компонентов. Авторы изучают упругую сеть с учетом корреляционных эффектов, которые иногда игнорируются в классических теориях, хотя и имеют отношение ко многим переходам «жидкость - аморфная фаза -твердое вещество», в частности таких как коллоидное гелеобразование. Используя решеточную модель, авторы [24] показали, что структурные корреляции сдвигают перколяционный порог в меньшие объемные доли. Методами молекулярной динамики в работе показано, что увеличение интенсивности притяжения при коллоидном гелеобразовании увеличивает структурную корреляцию и, следовательно, снижает величину перколя-ционного порога, что согласуется с экспериментами. По мнению авторов [24], возникновение механической стабильности при коллоидном гелеобразовании, можно понимать как критический переход, который происходит при объемных долях, намного ниже значений, предсказанных в классической теории, в первую очередь, из-за взаимодействий, которые вызывают структурную корреляцию.

В работе [25] предложен алгоритм так называемой взрывной перколяции, предполагающий, что на каждом шаге построения перколяционного кластера порождаются две связи, из которых реализуется лишь одна. Критерий отбора — сравнение произведений размеров кластеров, соединяемых связями: выбирается та, для которой это произведение меньше. В работе [26] в развитие алгоритма взрывной перколяции предложен способ порождения связей в контентной сети, в котором также генерируются по две связи между документами, но критерий отбора иной: случайным образом выбираются два документа и две пары узлов, содержащие их; отбор осуществляется сравнением общего количества документов в кластерах, которым принадлежат выбранные узлы, и выбирается та, для которой сумма документов в кластерах меньше. В [26] показано, что небольшие изменения правил формирования связей приводят к принципиально иному характеру процессов формирования и структуры, и свойств перколяционных кластеров.

Ряд интересных перколяционных задач, опубликованных за последние 20 лет, проанализирован в работе [27]. Кроме того, обширный обзор содержится в работе [15].

3. Имитационная модель самоорганизации кластеров ближайшей окрестности

Для формирования ближайшей окрестности элементов, обладающей заданными свойствами, важно понимать особенности генезиса кластерных структур, законов их взаимодействия и функционирования. В рамках теории ближайшей окрестности создана компьютерная

модель управления структурой перколяционных систем при их формировании в самоорганизующихся процессах. В модели исследовано влияние скорости генерации системы, характерных значений длины корреляции и степени самоорганизации на свойства перколяционных систем, получены аналитические выражения для этих зависимостей.

3.1. Самоорганизующаяся критичность

Понятие самоорганизующейся критичности введено в [28, 29] для осмысления связи между локальной организацией структуры и механизмом развития критичности в больших и сложных системах, для исследования взаимной обусловленности глобального эволюционного механизма и локальных динамических правил, реализующихся в таких системах [1, 7, 29-33], а также для объяснения спонтанного возникновения критических состояний и реализации в них степенных корреляций.

Перколяционные задачи с самоорганизацией — неотъемлемая составляющая теории самоорганизующейся критичности. К наиболее общим закономерностям эволюции перколяционных систем с взаимодействующими элементами относится существование в них неравновесных квазистационарных состояний, возникающих за счет многомасштабных корреляций в пространстве и времени [34].

Известно [34], что пространственные корреляции обнаруживают себя в структуре перколирующих фрактальных множеств вблизи порога протекания, временные — в движении к таким состояниям при медленных воздействиях на систему, позволяющих протекать процессам самоорганизации. При этом стремление к самоорганизующейся критичности приобретает универсальный характер, т.е. не зависит от специфики системы [34]. Важно, что универсальный характер такого стремления можно объяснить в контексте принципа наименьшего действия, регулирующего поведение динамических систем в наиболее общем виде: из всего многообразия неравновесных стационарных состояний при бесконечно медленном внешнем воздействии самосогласованная динамическая система выбирает то, для которого минимально действие [34].

Перколяционное поведение системы проявляется, в частности, в существовании некоего порога, ниже которого связность элементов ограничивается размерами малых кластеров, и лишь при достижении мощностью кластерной системы порогового значения возникает область, пронизывающая всю систему, — бесконечный (перколяционный) кластер. Вблизи порога протекания перколяционный кластер (фрактальное множество, крупномасштабная геометрия которого не зависит от свойств среды [31], которое может быть вписано в дробное евклидово пространство) характеризуется спектром размерности Реньи, в частности фрактальной размерностью, содержит разномасштабные ла-

Рис. 2. Зависимости параметров кластеров от количества актов взаимодействия частиц при действии сил, пропорциональных

1R 2

куны и обладает статистическим самоподобием и другими свойствами [31, 35, 36].

3.2. Модель самоорганизующихся кластеров и ее компьютерная реализация

В модельных и физических системах значения параметров, характеризующих перколяционные кластеры, варьируются в достаточно широких пределах [31, 35-39]. Они определяются физико-химическими свойствами частиц, интенсивностью их взаимодействия, размерностью и типом матрицы, классом универсальности перколяционной системы. В развитие исследования таких систем нами построена компьютерная модель

управления структурой перколяционных кластеров в процессе их формирования. Важно, что в модели рассматриваются перколяционные задачи с самоорганизацией, в которых свойства перколяционного кластера обусловлены также историей развития системы. Для таких задач исследована зависимость структуры и свойств кластеров от скорости генерации системы, степени самоорганизации, характерных значений корреляционной длины. Для этого в модели исследуют их зависимость соответственно от количества частиц, генерируемых на перколяционном поле на очередном шаге создания кластерной системы, от количества актов взаимодействия частиц, от максимального расстояния, на котором в про-

Рис. 3. Зависимости параметров кластеров от максимального расстояния между частицами, на котором возможна агрегация,

1/ R 2

при действии сил, пропорциональных

цессе генезиса элементы модельной системы считаются объединенными в кластеры, а также от максимального расстояния, на котором частицы могут взаимодействовать и вида закона взаимодействия.

Построение перколяционной системы в модели проводится методом Монте-Карло в кубе размером 106 условных единиц длины; частицы, из которых строится кластерная система, — круги диаметром две условные единицы длины. Координаты частиц определяются генератором случайных чисел с равномерным распределением. В процессе моделирования на каждом шаге на поле генерируется фиксированное для данного прогона количество частиц (от десяти до тысячи, а в непо-

средственной близости от порога — по десять), каждая из которых участвует в заданном количестве актов взаимодействия. При изучении зависимости параметров кластерной системы от этого параметра количество таких актов в соответствующих экспериментах варьируется от 5 до 200. Количество экспериментов, проведенных с каждым фиксированным набором параметров, позволило получить результаты с относительной погрешностью <15 %.

Основные особенности реализации взаимодействия элементов системы в модели:

1. Использован итерационный алгоритм; в каждой итерации сначала рассчитывается взаимодействие меж-

Рис. 4. Зависимости параметров кластеров от количества частиц, генерируемых на перколяционном поле на каждом шаге создания бесконечного кластера, при действии сил, пропорциональных 1/ R2

ду одиночными частицами, затем между частицами и кластерами и, наконец, взаимодействие кластеров.

2. Реализуются два варианта закона взаимодействия: притяжение с силами пропорциональными 1/R2 либо 1/ R, где R — расстояние между центрами масс объектов.

3. Если взаимодействуют объекты одинакового размера (массы), они сдвигаются на равные расстояния вдоль прямой, соединяющей их центры, в противном случае пройденные расстояния обратно пропорциональны массам.

4. Расстояние, при котором объекты системы считаются соединенными, задается в диапазоне от 0 до 20 условных единиц длины.

5. При объединении кластеров вновь образовавшийся наследует компонент с большим количеством нереализованных актов взаимодействия.

Ситуации, возникающие на перколяционном поле при реализации модели, нуждаются в некоторых пояснениях.

1. Все частицы, вошедшие в состав кластера, теряют свою индивидуальность, и в дальнейших взаимодействиях участвует только кластер как целое. В этом случае расстояния измеряются от центра масс кластера.

2. Если некая частица в результате взаимодействия с кластером оказалась от него на расстоянии, достаточном для взаимодействия, то она считается присоединенной к кластеру.

Рис. 5. Зависимости перколяционного порога кластерной системы, мощности бесконечного кластера и среднего размера кластеров от расстояния, на котором элементы системы объединяются в кластер: для объемной задачи при силе взаимодействия F ~ 1/R2

3. Частица и поглотивший ее кластер обладают таким же количеством актов притяжения, каким обладали до объединения. При этом сначала реализуется взаимодействие частицы с другими, расположенными внутри кластера, затем кластер как целое взаимодействует с кластерной системой.

4. Частица может присоединиться к кластеру и изнутри в результате очередного набрасывания частиц в лакуне кластера.

Еще одна особенность компьютерной реализации модели связана с повышением быстродействия: в модели реализован алгоритм, позволяющий проверять нали-

чие области, соединяющей произвольную пару противоположных сторон перколяционного поля. Такая возможность объясняется инвариантностью этого процесса относительно поворота осей координат. Несмотря на издержки, связанные с увеличением количества проверок, в итоге это дает выигрыш по времени, особенно в случае многомерных задач [5].

3.3. Результаты и обсуждение

Свойства кластеров, исследуемых в модели, зависят от истории генезиса системы. Для двух законов взаимодействия частиц на стадии формирования самооргани-

Рис. 6. Зависимости перколяционного порога кластерной системы, мощности бесконечного кластера и среднего размера кластеров от количества частиц, генерируемых на каждом шаге моделирования: для объемной задачи при силе взаимодействия F ~ 1/Я2

зующихся перколяционных систем F ~ 1/Я и F ~ 1/Я2 получены зависимости параметров кластеров от количества актов взаимодействия частиц, от максимального расстояния, на котором элементы системы объединяются в кластер, от количества частиц, генерируемых на перколяционном поле на каждом шаге создания бесконечного кластера.

На рис. 2-4 представлены графики этих зависимостей, полученных при действии между элементами системы сил, пропорциональных 1/ Я2, а на рис. 5 и 6 — зависимости перколяционного порога кластерной системы, мощности бесконечного кластера и среднего размера кластеров для объемной и плоской задач при действии обоих законов взаимодействия частиц.

3.4. О некоторых особенностях перколяционных систем, генерируемых в модели

В качестве примера рассмотрим поведение величины среднего размера конечных кластеров перколяцион-ной системы. Сравнение графиков зависимостей этой величины от максимального расстояния, на котором элементы системы объединяются в кластер, для плоской и объемной задач на рис. 5 показывает, что в рамках сделанных предположений поведение систем существенно разнится: в двумерной системе вне зависимости от вида закона взаимодействия между частицами средний размер кластеров уменьшается (растет их количество), в трехмерной — наоборот.

Сравнение графиков зависимостей среднего размера кластеров от количества частиц, генерируемых на каждом шаге создания бесконечного кластера (рис. 6), показывает, что и в трехмерной, и в плоской задаче в случае действия закона взаимодействия между частицами F~l/Я2 скорость роста среднего размера кластеров возрастает, а в двумерной задаче при законе F ~ 1/ Я2 — уменьшается.

В модели введено представление о коэффициентах заполнения кластером пространства и роста мощности кластеров. Известно, что зависимость суммарной мощности кластеров п5, содержащих по 5 элементов, от количества элементов имеет вид п5 ~ 5_т, где т = (й + +В)/D = 1 + d|D, d—размерность пространства; D — фрактальная размерность кластера. Зависимость количества элементов 5 в кластере от величины ребра Ls минимального куба, в который кластер вписан, имеет вид 5 ~ Ls. В модели реализована возможность независимого определения переменных, входящих в эти соотношения, что позволяет найти коэффициент роста мощности к1 и коэффициент заполнения пространства к2 соответственно из равенств п5 ~ и 5 = к2.

3.5. О критических индексах

«Тот исключительный интерес, который вызывает исследование критических показателей, связан с их универсальностью — практически полной независимостью от многих грубых черт выбранной модели и в то же время чувствительностью к таким тонким ее характеристикам, как симметрия, наличие дальнодейст-вующих корреляций и т.п.» [35]. «Утверждение об универсальности состоит в том, что все критические показатели не зависят от выбора модели и определяются лишь размерностью пространства. Это утверждение, проверенное в очень большом ряде численных экспериментов, является основой теории» [35].

Со времени публикации ставшего классическим обзора [35] прошло более 30 лет, и ситуация с критическими индексами существенно изменилась: сегодня существует ряд перколяционных задач в пространствах одинаковой размерности, которые относятся к разным универсальным классам, определяемым по соответствующим наборам критических индексов (см. раздел 2).

В классическом случае [35] критические показатели связаны между собой соотношениями подобия. Такая система равенств соответствует так называемому двух-показательному скейлингу: для получения всех показателей достаточно знать значения двух из них. В качестве таких показателей можно использовать индекс длины корреляции и параметра порядка [35].

В предложенной нами модели эти показатели больше классических: индекс параметра порядка равен в = = 1.1, индекс длины корреляции V = 2.59. Если предпо-

ложить, что в задаче имеет место двухпоказательный скейлинг, то индекс аналога восприимчивости равен у = = 2.98, индекс аналога теплоемкости а = -3.18, а определяющий максимальный размер конечных кластеров индекс А = 4.08. Выполняются ли в нашей задаче такие соотношения подобия, определяют ли указанные показатели самостоятельный перколяционный класс универсальности — предмет дальнейших исследований.

А.Н. Герега благодарен проф. В.Н. Выровому и доц. М.Я. Сушко: уважаемые коллеги привлекли внимание к интересующим их аспектам проблем самоорганизации.

Литература

1. Herega A. Development of the concept of immediate neighborhood at the percolation models of composites // AIP Conf. Proc. - 2015. -V. 1683. - P. 020071(1-4).

2. Зельдович Я.Б., Соколов Д.Д. Фракталы, подобие, промежуточная асимптотика // УФН. - 1985. - Т. 146. - С. 493-506.

3. Herega A., Sukhanov V., Vyrovoy V. Multicentric genesis of material structure: Development of the percolation model and some applications // AIP Conf. Proc. - 2016. - V. 1783. - P. 020072(1-4).

4. Герега А.Н. К модели ближайшей окрестности элементов перколя-

ционного кластера / Сб. трудов VI Всерос. конф. «Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред». - М.: ИПРИМ РАН, 2016. - Т. 2. - С. 96-103.

5. Герега А.Н., Крывченко Ю.В. Компьютерное моделирование много-

мерной ближайшей окрестности элементов перколяционного кластера / Сб. трудов VII Всерос. конф. «Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред». -М.: ИПРИМ РАН, 2017. - С. 289-292.

6. Herega A., Sukhanov V., Vyrovoy V., Kryvchenko Yu. Modeling of self-organizing percolation clusters: Dependence of the structure on history of generation and parameters of the cluster system // AIP Conf. Proc. - 2018. - V. 2051. - P. 020105(1-4).

7. Герега А.Н., Дрик Н.Г., Угольников А.П. Ковер Серпинского с гибридной разветвленностью: перколяционный переход, критические показатели, силовое поле // УФН. - 2012. - Т. 182. - С. 555-557.

8. Herega A. The Selected Models of the Mesostructure of Composites: Percolation, Clusters, and Force Fields. - Heidelberg: Springer, 2018.107 p.

9. Akagawa S., Odagaki T. Geometrical percolation of hard-core ellipsoids of revolution in the continuum // Phys. Rev. E. - 2007. - V. 76. -P. 051402.

10. Ламажапов Х.Д., Рыбаков Д.А. Перколяционная модель лавинно-стримерного пробоя // Прикладная физика. - 2008. - № 6. - С. 8388.

11. Ламажапов Х.Д., Рыбаков Д.А. Перколяционный критерий пробоя / 37 Межд. конф. по физике плазмы: Тезисы докладов. -Звенигород, 2010. - С. 209.

12. Герега А.Н., Крывченко Ю.В. К теории ближайшей окрестности элементов перколяционных систем. Модель самоорганизации кластеров / Сб. трудов VIII Всерос. научн. конф. «Механика композиционных материалов и конструкций, сложных и гетерогенных сред». - М.: ИПРИМ РАН, 2018. - С. 236-243.

13. Елецкий А.В., Книжник А.А., Потапкин Б.В., Кенни Х.М. Электрические характеристики полимерных композитов, содержащих углеродные нанотрубки // УФН. - 2015. - Т. 185. - С. 225-270.

14. Hassan M.K., Rahman M.M. Universality class of site and bond percolation on multifractal scale-free planar stochastic lattice // Phys. Rev. E. - 2016. - V. 94. - P. 042109.

15. Balankin A.S., Martinez-Cruz M.A., Alvarez-Jasso M.D., Patino-Ortiz M., Patino-Ortiz J. Effects of ramification and connectivity de-

gree on site percolation threshold on regular lattices and fractal networks // Phys. Lett. A. - 2019. - V. 383. - No. 10. - P. 957-966.

16. Chen W, Schröder M, D'Souza R.M., Sornette D., Nagler J. Microtransition cascades to percolation // Phys. Rev. Lett. - 2014. - V. 112. -P. 155701.

17. Schröder M., Chen W., Nagler J. Discrete scale invariance in supercritical percolation // New J. Phys. - 2016. - V. 18. - P. 013042(1-9).

18. Radicchi F., Castellano C. Breaking of the site-bond percolation universality in networks // Nature Commun. - 2015. - V. 6. - P. 10196.

19. Chen Y., Schuh C.A. Elasticity of random multiphase materials: Percolation of the stiffness tensor // J. Statistic. Phys. - 2016. - V. 162. -P. 232-241.

20. SushkoM.Ya., SemenovA.K. Conductivity and permittivity ofdispers-ed systems with penetrable particle-host interphase // Condens. Matter Phys. - 2013. - V. 16(1). - P. 13401(1-10).

21. Sushko M.Ya., Semenov A.K. A mesoscopic model for the effective electrical conductivity of composite polymeric electrolytes // J. Mol. Liq. - 2019. - V. 279. - P. 677-686.

22. Sushko M. Ya, Semenov A.K. Rigorously solvable model for the electrical conductivity of dispersions of hard-core-penetrable-shell particles and its applications / arXiv:1811.10591v3 [cond-mat.stat-mech], 29 Jan 2019.

23. Sushko M.Ya. Effective dielectric response of dispersions of graded particles // Phys. Rev. E. - 2017. - V. 96. - P. 062121(1-8).

24. Zhang S., Zhang L., Bouzid M., Zeb Rocklin D., Del Gado E., Mao X. Correlated rigidity percolation and colloidal gels / arXiv:1807.08858v1 [cond-mat.soft], 23 Jul 2018.

25. Achlioptas D., D'Souza R.M., Spencer J. Explosive percolation in emergence of connectivity in networks // Science. - 2009. - V. 323. -P. 1453-1455.

26. Ландэ Д.В., Снарский А.А. Эффект «взрывной перколяции» в кон-тентной сети // XIV Межд. научн. конф. «Интеллектуальный ана-

лиз информации»: Сборник трудов. - Киев: НПУ, 2014. - С. 190195.

27. Herega A. Some applications of the percolation theory: Brief review of the century beginning // J. Mater. Sci. Eng. A. - 2015. - V. 5. -No. 11-12. - P. 409-414.

28. Bak P. Life laws // Nature. - 1998. - V. 391. - P. 652-653.

29. Bak P., Tang C., Wiesenfeld K. Self-organized criticality: An explanation of 1/f noise // Phys. Rev. Lett. - 1987. - V. 59. - P. 381-384.

30. Bak P., Tang C., Wiesenfeld K. Self-organized criticality // Phys. Rev. A. - 1988. - V. 38. - P. 364-374.

31. Манделъброт Б. Фрактальная геометрия природы. - М.: Институт компьютерных исследований, 2002. - 656 с.

32. Sheinman M., Sharma A., Alvarado J., Koenderink G.H., MacKintosh F.C. Anomalous discontinuity at the percolation critical point of active gels // Phys. Rev. Lett. - 2015. - V.114. - P. 098104.

33. Герега A.H. Физические аспекты процессов самоорганизации в композитах. 1. Моделирование перколяционных кластеров фаз и внутренних границ // Механика композиционных материалов и конструкций. - 2013. - Т. 19. - № 3. - С. 406-419.

34. ЗеленыйЛ.М., Милоеаное A.B. Фрактальная топология и странная кинетика: от теории перколяции к проблемам космической электродинамики // УФН. - 2004. - Т. 174. - С. 809-852.

35. Соколов И.М. Размерности и другие критические показатели в теории протекания // УФН. - 1986. - Т. 150. - № 2. - С. 221-255.

36. Федер Е. Фракталы. - М.: Мир, 1991. - 254 с.

37. Шкловский Б.И., Эфрос АЛ. Электронные свойства легированных полупроводников. - М.: Наука, 1979. - 416 с.

38. Эфрос А.Л. Физика и геометрия беспорядка. - М.: Мир, 1982. -176 c.

39. Saberi A.A. Recent advances in percolation theory and its applications / arXiv:1504. 02898v2 [cond-mat.stat-mech], 7 Jun 2015. - P. 132.

Поступила в редакцию 27.05.2019 г., после доработки 27.05.2019 г., принята к публикации 28.06.2019 г.

Сведения об авторах

Герега Александр Николаевич, д.т.н., проф., зам. дир. Научно-производственного центра, Украина, aherega@gmail.com Крывченко Юрий Викторович, асп. Одесской национальной академии пищевых технологий, Украина, yuri_v_k@rambler.ru