Об одном обобщении условия Делоне

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2008 Математика и механика № 1

УДК 514.142.2+514.174.6

В.А.Клячин ОБ ОДНОМ ОБОБЩЕНИИ УСЛОВИЯ ДЕЛОНЕ

Настоящая заметка посвящена условию, аналогичному условию Делоне для построения триангуляций поверхностей в евклидовом пространстве, а также триангуляции в пространствах Финслера. Классическое условие Делоне гласит, что описанная сфера вокруг n-мерного симплекса не содержит вершин других симплексов из данного набора триангуляции [1]. В основе алгоритмов построения триангуляции с условием Делоне лежит теорема о пустой сфере. Это теорема утверждает, что локальное выполнение условия Делоне влечет выполнение глобального условия. Другими словами, если для двух симплексов триангуляции, имеющих общую (n - 1)-мерную грань, описанные сферы не содержат вершин, противолежащих данной (n - 1)-мерной грани, то это справедливо и для произвольных двух симплексов триангуляции. В данной работе представлено условие, налагаемое на семейство выпуклых множеств, для которого справедливо аналогичное утверждение, т.е. условие, при выполнении которого из локального свойства вытекает глобальное.

Ключевые слова: триангуляция Делоне, выпуклая оболочка, симплекс.

1. Алгоритм построения триангуляции Делоне

Пусть в пространстве Rn задан конечный набор точек M. Триангуляцией множества M называется разбиение выпуклой оболочки этого множества на п-мерные симплексы с вершинами в точках из M, у которых внутренности не пересекаются. Симплексом S в вершинах х0,хь...,х„е Rn мы называем выпуклую оболочку точек Xi. Симплекс S называется невырожденным, если векторы x1 - x0, x2 - x0,..., xn - x0 линейно независимы. В дальнейшем, будем рассматривать только такие наборы точек Pi, для которых любой симплекс в вершинах из Pi является невырожденным.

Прежде чем переходить к формулировкам указанных результатов, приведем схему алгоритма построения триангуляции Делоне в классическом варианте (см. [2]). Данная схема позволяет понять существенность теоремы о пустой сферы в указанном алгоритме. Мы следуем книге Шикина Е.В. и Борескова А.В. «Компьютерная графика. Полигональные модели» [2], модифицируя представленный там алгоритм на многомерный случай.

Прежде всего, дадим одно свойство сфер, описанных вокруг симплексов. Рассмотрим два симплекса S1 и S2, имеющих общую (п-1)-мерную грань G. Пусть A и В вершины симплексов, не принадлежащие грани G .Тогда, если сфера, описанная вокруг S1, не содержит внутри себя вершину B симплекса S2, то сфера, описанная вокруг S2, не содержит внутри себя вершины A. Действительно, пусть 2i - сфера, описанная вокруг Si. Пусть - части, на которые разбиваются эти сферы и ле-

жащие в полупространствах П*, определяемых плоскостью П, содержащей грань G. Будем предполагать, что вершина ВеП-, значит, B ёЕ2 . Поэтому Z- лежит

Об одном обобщении условия Делоне

49

внутри Е2 . Если предположить, что вершина А лежит внутри 22, то получается,

что и вся сфера 21 лежит внутри сферы 22, касаясь этой сферы в п точках - вершинах грани G. Откуда следует, что сферы 22 и 21 совпадают. Это противоречит тому, что точка А, по предположению, лежит внутри сферы 22.

Алгоритм состоит из ряда шагов, выполняющихся в цикле. Заметим, что в [3] проведен анализ других существующих алгоритмов, некоторые из которых используют теорему о неполноте сферы.

• Строится выпуклая оболочка данной системы точек р, /=1,2, , N. Предполагается, что никакие п точек данного семейства не лежат на одной гиперплоскости. В предположении, что никакие (п+1) точек не лежат на одной сфере, триангуляция Делоне строится единственным способом.

• Выбирается п точек из данного семейства, лежащие на границе выпуклой оболочки еопу(Р), такие, что (п-1)-мерный симплекс G0 с вершинами в этих точках также лежит на границе выпуклой оболочки.

• Ориентируем этот симплекс относительно внешней нормали к границе выпуклой оболочки еопу(Р). Находим точку из семейства Р, такую, что описанная сфера вокруг полученного симплекса не содержит других точек из р.

• Выбираем произвольную грань построенного симплекса, отличную от G0. Ориентируем эту грань нормалью, направленной в сторону уже построенного симплекса, содержащего эту грань. Из оставшихся точек находим точку из семейства р, такую, что сфера, описанная вокруг нового симплекса, построенного на вершинах грани G0 и найденной точке, не содержит необработанных точек семейства р. Свойство описанных сфер, приведенное в начале данного пункта статьи, и «фундаментальная теорема» Вороного-Делоне [1] обеспечивают «пустоту сферы» относительно и уже включенных в триангуляцию точек.

• Далее процесс повторяется в цикле, пока не будут все точки включены в триангуляцию. Ориентация граней симплексов необходима для правильной организации этого цикла и поиска новых точек в предыдущем шаге цикла.

2. Теорема о пустоте семейства выпуклых множеств

Рассмотрим в R" семейство выпуклых подмножеств -Р(х,г), xeRи, reR, и множество точек {р }^0, расположенных в некоторой области Б с R". Классическое

условие Делоне и соответствующая теорема о пустоте сферы получаются как частный случай, если мы положим -Р(х,г) = {yeR": |у - х| < г}.

Пусть 5 - произвольный невырожденный симплекс. Определим описанное множество (если оно существует) Ф(5) из семейства -Р(х,г) как множество, чья граница содержит все вершины симплекса (значит, Ф(5) содержит весь симплекс в силу выпуклости ^(х,г)).

Определение 1. Рассмотрим произвольную триангуляцию множества точек р. Будем говорить, что триангуляция глобально равномерна относительно семейства ^(х,г), если для любого симплекса 5 этой триангуляции внутренность множества Ф(5) не содержит вершин других симплексов.

Определение 2. Рассмотрим произвольную триангуляцию множества точек р. Будем говорить, что триангуляция локально равномерна относительно семейства

50

В.А.Нлячин

F(x,r), если для любого симплекса S этой триангуляции внутренность множества Ф(^ не содержит вершин других симплексов, имеющих общую (п-1)-мерную грань.

Основным результатом работы является следующая теорема.

Теорема 1. Для того чтобы для семейства выпуклых множеств F(x,r), xeRn, re R, из локальной равномерности следовала глобальная равномерность, достаточно, чтобы указанное семейство обладало свойством: для любого симплекса S существовало и было единственным описанное множество Ф(5).

Доказательство. Рассмотрим некоторую триангуляцию множества точек Pi, обладающую локальным свойством равномерности. Зафиксируем произвольный симплекс S данной триангуляции и вершину A произвольного симплекса, отличного от S. Поступая как и в [1], построим луч OA, соединяющий некоторую внутреннюю точку симплекса S и вершину A и пересекающий границы симплексов по их некоторым (п-1)-мерным граням. Нам необходимо доказать, что вершина A не принадлежит внутренности множества Ф(5). Пусть S1,.SL - последовательность симплексов, которые пересекает луч OA, а G1,.,GL - соответствующие (п-1)-мерные грани, пересекаемые этим же лучом. Рассмотрим симплекс S1. Пусть z1-вершина этого симплекса, не принадлежащая симплексу S. Тогда, в силу локальной равномерности, вершина z1 не принадлежит Ф^. Пусть П1 - гиперплоскость, содержащая грань G1 и разбивающая пространство на полупространство П-, содержащее симплекс S, а также полупространство П+. Тогда, вершина A лежит в полупространстве П+. Предположим, что вершина A принадлежит симплексу S2. Тогда, если предположить, что вершина A лежит в Ф(5), то она должна принадлежать пересечению Ф^пФ^). Действительно, если это не так, то на части луча OA п П существуют точки, принадлежащие Ф(^ п Ф^), и также точки, не принадлежащие этому пересечению. Поэтому найдется точка B ё 5Ф(5) п 5Ф(5]) п П . Построим симплекс S ', вершинами которого являются вершины грани G1, а также вершина В. Тогда найдутся два множества из семейства F(x,r), а именно Ф(^ и Фф), описанные около S '. Последнее противоречит единственности описанного множества Ф^ '). Таким образом, АеФ^пФ^). Но это противоречит локальной равномерности триангуляции относительно F(x,r). Аналогично, по индукции мы получаем, что вершина A не может лежать в Ф(^ при условии, что эта вершина одного из симплексов Si, i = 2,., L. Теорема доказана.

ЛИТЕРАТУРА

1. Делоне Б.П. О пустой сфере. К мемуару Георгия Вороного: Пер. с фр. А.Ю. Игумнова // Записки семинара «Сверхмедленные процессы»: Сб. Вып. 1. С. 147 - 153.

2. Шикин Е.В., Боресков А.В. Компьютерная графика. Полигональные модели. М.: Диалог МИФИ, 2000.

3. Скворцов А.В., Мирза Н.С. Алгоритмы построения и анализа триангуляции. Томск, Изд-во Том. ун-та, 2006, 168 с.

4. Ласло М. Вычислительная геометрия и компьютерная графика на C++. М.: Бином, 1997.

Статья принята в печать 12.03.07.