Преобразование случайного векторного воздействия линейным элементом системы с целью его компенсации при добыче подземных вод

удк 6815 Ю.В. Ильюшин, В.Е. Трушников

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ СЛУЧАЙНОГО ВЕКТОРНОГО ВОЗДЕЙСТВИЯ ЛИНЕЙНЫМ ЭЛЕМЕНТОМ СИСТЕМЫ С ЦЕЛЬЮ ЕГО КОМПЕНСАЦИИ ПРИ ДОБЫЧЕ ПОДЗЕМНЫХ ВОД

Кисловодское месторождение минеральной воды - нарзана имеет ряд особенностей как добычи, так и последующей ее переработки. В процессе добычи минеральной воды возникают случайные векторные воздействия на буровые системы. Это главным образом связано со строением гидролитосферных плит кисловодского месторождения нарзана. Рассматривается вопрос преобразования случайного вектора воздействия на буровую платформу с помощью линейных элементов системы.

Ключевые слова: загрязнение водоносных слоев, математическое ожидание, линейные элементы, система автоматического управления.

Введение

Кисловодское месторождение минеральной воды — нарзана располагается к югу и северу от города Кисловодска. Месторождения, находящиеся в окрестностях рек Березовка и Аликоновка, это предпочтительно холодный доломитный и холодный сульфатный нарзан. Дальше на север располагаются соленые сульфатные источники Ессентуков, горячие сероводородные источники Пятигорска.

Вдоль рек Кабардинка, Кичмалка и других вплоть до «долины Нарзанов» и Главного Кавказского хребта располагаются горячие источники нарзана. Применение данных нарзанов в лечебных целях трудно оценить, его применяют как для ванн, так и для употребления. Однако применение данной воды связано с множеством проблем ее добычи с наименьшей потерей лечебных свойств.

Так в частности в процессе добычи минеральной воды возникает ситуация при которой происходит смещение плит, что

ISSN 0236-1493. Горный информационно-аналитический бюллетень. 2017. № 1. С. 97-103. © 2017. Ю.В. Ильюшин, В.Е. Трушников.

в свою очередь приводит к загрязнению водоносных слоев минеральной воды. Данная проблема решается многоступенчатой нелинейной системой очистки минеральные воды, однако основной особенностью кисловодского месторождение нарзана является его слоистость. Так, например горячие доломитные и сульфатные источники находятся в более глубоком залегании, в то же время холодные сульфатные и доломитные источники могут находиться в непосредственной близости от них — несколькими слоями выше. В процессе бурения создаются случайный векторный воздействие на гидролитосферные плиты, что приводит к их деформации, смешиванию минеральной воды. Эта задача решается путем внедрения линейных элементов системы автоматического управления буровой платформой с целью создания компенсационных воздействие и стабилизации процесса бурения (для предотвращения замутнения воды).

Рассмотрим конкретный пример.

К 2,8 8,6 аддитивных возмущений Ь =

0 ,3 0 ,6

и матрица ковариаций " 7 -0,4" 0,3 5,6

и вектор

Анализ математической модели векторного воздействия

и его преобразование

Заданы статистические характеристики случайного вектор ного воздействия: его математическое ожидание тх = 5,2 2,8

линейный оператор А = ' 0,3 -0,3

Запишем выражение для определения выходного случайного вектора у в векторно-матричной форме (1) и в координатной форме (2) [1].

Г 7 ^ а! Г х 1 Гп я!

-0,3

| у1 = 7х1 - 0,4х2 + 0,3

[у2 = 0,3х1 + 5,6х2 - 0,3

Теперь, основываясь на заданных статистических характеристиках векторного сигнала х построим эллипсоид правдоподобия, в котором с вероятностью р = 0,989 находятся значения вектора х.

Уравнение эллипсоида правдоподобия в общем виде имеет вид (3).

' 7 -0,4" х ' " 0,3 "

у = Ах + Ь = 1 +

0,3 5,6 _х2 _ -0,3

(x - mx)TR-i(x - mx) = %2

[ x1 - 0,3 x2 - 0,6 ]

x2 - 0,6

= 9

Вероятность нахождения случайного вектора в эллипсоиде, описываемом уравнением (3) подчиняется ^-распределению с п степенями свободы, где п — размерность случайного вектора. Вероятности р = 0,989 для случайного вектора второго порядка (п—2) соответствует значение функции ^-распределения, равное 9. Подставим теперь в уравнение (3) численные значения, приняв тх = 0:

~ 0,233 -0,076 -0,076 0,141

Произведя умножение матриц, получим следующее уравнение:

0,233x2 + 0,141x2 - 0,1 52х4х2 - 0,049х1 - 0,124х2 - 8,956 = 0.

Для построения графика эллипсоида правдоподобия разрешим уравнение (4) относительно х2 при фиксированном х1, для чего перепишем его в виде

х22 + рх2 + q = х22 + (1, 0857х4)х2 +

+(1,664x2 - 0,35х4 - 0,88х2 - 64,286) = 0

Определим положение граничных точек эллипсоида правдоподобия по координате х1, решив уравнение (5).

Р--q = 0 .

4

Подставим в уравнение (5) численные значения и найдем его корни.

(1,0857x1)2 4

- 1,664x2 + 0,35x1 + 0,88x2 + 64,286 = 0 (x )u =±6,85

Протяженность эллипсоида по координате x1 от x1 = —6,85 до x1 = 6,85.

Для построения графика эллипсоида правдоподобия, описанного уравнением (4), воспользуемся приложением Advanced Grapher. Полученный график представлен на рис. 1 [2, 3].

Определим теперь статистические характеристики выходного случайного вектора у.

m

=Am+b=

" 7 -0,4" "0,3" " 0,3 " "2,22"

0,3 5,6 0,6 + -0,3 3,15

Рис. 1. Эллипсоид правдоподобия для случайного вектора х

Я = ЛЯЛТ =

7 -0,4" 0,3 5,6 240,496 101,08

"5,2 2,8 2,3 8,6 101,08 " 279,572

" 7 -0,4 0,3 5,6

Построим для случайного вектора у эллипсоид правдоподобия, в котором с вероятностью р = 0,989 находятся значения вектора у. Подставим матрицу ковариаций R в уравнение (3) [4]:

[у - 2,22 у2 - 3,15]

" 0,0049 -0,0018 -0,0018 0,0042

У1 - 2,22

У2 - 3,15

= 9.

Произведя умножение матриц, получим следующее уравнение: 0,0049у2 + 0,0042у22 - 0,0035у1у2 -

-0,011у1 - 0,019у2 - 8,959 = 0 Для построения графика эллипсоида правдоподобия разрешим уравнение (8) относительно у2 при фиксированном у1, для чего перепишем его в виде

у2 + ру2 + Я = у\ + (-0,83 у) у 2 + +(1,167у2 - 2,63у1 - 4,62у1 - 4,52у2 - 2142,857) = 0

Определим положение граничных точек эллипсоида правдоподобия по координате х1, решив уравнение (5). Подставим в уравнение (5) численные значения и найдем его корни.

Рис. 2. Эллипсоид правдоподобия для случайного вектора

4

- 1,167у2 + 2,62у1 + 4,52у2 + 2142,857 = 0, (у\2 =±46,41

Протяженность эллипсоида по координате y1 от y1 = —46,41 до y1 = 46,41.

Для построения графика эллипсоида правдоподобия, описанного уравнением (8), воспользуемся приложением Advanced Grapher. Полученный график представлен на рис. 2. Вектор x преобразуется линейным оператором A, а также подвергается воздействию вектора аддитивных помех b. Линейный оператор оказывает влияние на статистические характеристики случайного вектора x, определяемое выражениями (6) и (7). Из этих выражений также видно, что вектор аддитивных помех b оказывает влияние только на математическое ожидание случайного вектора x, а на матрицу ковариаций влияния не оказывает. Эллипсоид правдоподобия преобразованного случайного вектора оказывается существенно более вытянутым по обеим координатам.

Вывод

В результате проведенных расчетов была спроектирована система автоматического управления воздействия на буровую систему линейным элементом управления с целью компенсации ее импульсных воздействий. Данная система позволяет компенсировать воздействие на буровую платформу и предотвратить смешивание водоносных слоев кисловодского месторождения нарзана [5—13].

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Першин И. М. Анализ и синтез систем с распределенными параметрами. — Пятигорск, 2004. — 212 с.

2. Першин И. М., Малков А. В., Москаленко А. С. Технологически безопасные режимы эксплуатации гидролитосферных объектов / Материалы всероссийской научной конференции Вузовская наука СевероКавказскому федеральному округу. — Пятигорск: СКФУ, 2013.

3. Малков А.В., Першин И.М., Цаплева В.В. Технологическая безопасность эксплуатации гидроминеральных источников // Известия ЮФУ. Технические науки. - 2012. - № 4. - С. 25-31.

4. Ильюшин Ю. В., Кравцова А. Л., Мардоян М. М., Санкин А. В. Исследование устойчивости теплового поля туннельной печи конвейерного типа // Научное обозрение. - 2012. - № 4. - С. 114-120.

5. Ильюшин Ю. В. Методика синтеза нелинейных регуляторов для распределенного объекта управления // Научное обозрение. - 2012. -№ 5. - С. 14-17.

6. Першин И. М. Анализ и синтез систем с распределенными параметрами. - Пятигорск: РИА-КМВ, 2007. -244 с.

7. Чернышев А. Б. Ильюшин Ю. В. Определение шага дискретизации для расчета теплового поля трехмерного объекта управления // Известия Южного федерального университета. - 2011. - № 6. - С. 192-200.

8. Ильюшин Ю. В. Методика расчета оптимального количества нагревательных элементов в зависимости от значений температурного поля изотропного стержня // Научно-технические ведомости СПбгПУ. Информатика. Телекоммуникации. Управление. - 2011. -Т. 2. - № 6-2 (138). - С. 48-53.

9. Ильюшин Ю. В. Проектирование распределенной системы со скалярным воздействием // Научное обозрение. - 2011. - № 4. - С. 85-90.

10. Ильюшин Ю. В. Проектирование системы управления температурными полями туннельных печей конвейерного типа // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Информатика. Телекоммуникации. Управление. - 2011. - № 3 (126). - С. 67-72.

11. Ильюшин Ю.В., Чернышев А. Б. Определение шага дискретизации для расчета теплового поля трехмерного объекта управления // Известия Южного федерального университета. - 2011. - № 6. - С. 192200.

12. Ильюшин Ю. В., Чернышев А. Б. Устойчивость распределенных систем с дискретными управляющими воздействиями // Известия Южного федерального университета. - 2010. - № 12. - С. 166-171.

13. Ильюшин Ю. В. Синтез замкнутой системы управления температурным полем туннельной печи конвейерного типа. - Пятигорск: Издательство ПГГТУ, 2012. - 184 с. ЕШ2

КОРОТКО ОБ АВТОРАХ

Ильюшин Юрий Валерьевич1 - кандидат технических наук, доцент, e-mail: bdbyu@rambler.ru,

Трушников Вячеслав Евстафьевич1 - доктор технических наук, профессор, e-mail: tvye@yandex.ru,

1 Национальный минерально-сырьевой университет «Горный».

UDC 681.5

Gornyy informatsionno-analiticheskiy byulleten'. 2017. No. 1, pp. 97-103. Yu.V. Ilyushin, V.E. Trushnikov

TRANSFORMATION OF ACCIDENTAL EXPOSURE LINEAR ELEMENTS VECTOR SYSTEM EXTRACTION OF GROUNDWATER

Kislovodsk deposit of mineral water - Narzan has a number of features as the production and its subsequent processing. In the process of production of mineral water there are random vector effects on drilling system. This is mainly due to the structure of boards gidrolito-sfernyh. Kislovodsk deposit of mineral water. The question of transformation of random vector effects on the drilling platform with the help of linear elements of the system.

Key words: pollution of aquifers, expectation, linear elements, automatic control system.

AUTHORS

Ilyushin Yu.V.1, Candidate of Technical Sciences, Assistant Professor, e-mail: bdbyu@rambler.ru, Trushnikov V.E.1, Doctor of Technical Sciences, Professor, e-mail: tvye@yandex.ru,

1 National Mineral Resource University «University of Mines», 199106, Saint-Petersburg, Russia.

REFERENCES

1. Pershin I. M. Analiz i sintez sistem s raspredelennymiparametrami (Analysis and synthesis of systems with distributed parameters), Pyatigorsk, 2004, 212 p.

2. Pershin I. M., Malkov A. V., Moskalenko A. S. Materialy vserossiyskoy nauchnoy konferentsii Vuzovskaya nauka Severo-Kavkazskomu federal'nomu okrugu (Academic Science for the North Caucasian Federal District: All-Russian Conference Proceedings), Pyatigorsk, SKFU, 2013.

3. Malkov A. V., Pershin I. M., Tsapleva V. V. Izvestiya Yuzhnogo federal'nogo univer-siteta. Tekhnicheskie nauki. 2012, no 4, pp. 25—31.

4. Il'yushin Yu. V., Kravtsova A. L., Mardoyan M. M., Sankin A. V. Nauchnoe oboz,-renie. 2012, no 4, pp. 114-120.

5. Il'yushin Yu. V. Nauchnoe obozrenie. 2012, no 5, pp. 14-17.

6. Pershin I. M. Analiz, i sintez sistem s raspredelennymi parametrami (Analysis and synthesis of systems with distributed parameters), Pyatigorsk, RIA-KMV, 2007, 244 p.

7. Chernyshev A. B. Il'yushin Yu. V. Izvestiya Yuzhnogo federal'nogo universiteta. 2011, no 6, pp. 192-200.

8. Il'yushin Yu. V. Nauchno-tekhnicheskie vedomosti SPbgPU. Informatika. Telekommu-nikatsii. Upravlenie. 2011. T. 2, no 6-2 (138), pp. 48-53.

9. Il'yushin Yu. V. Nauchnoe obozrenie. 2011, no 4, pp. 85-90.

10. Il'yushin Yu. V. Nauchno-tekhnicheskie vedomosti SPbGPU. Informatika. Telekom-munikatsii. Upravlenie. 2011, no 3 (126), pp. 67-72.

11. Il'yushin Yu. V., Chernyshev A. B. Izvestiya Yuzhnogo federal'nogo universiteta. 2011, no 6, pp. 192-200.

12. Il'yushin Yu. V., Chernyshev A. B. Izvestiya Yuzhnogo federal'nogo universiteta. 2010, no 12, pp. 166-171.

13. Il'yushin Yu. V. Sintez zamknutoy sistemy upravleniya temperaturnym polem tunnel'noypechikonveyernogo tipa (Syntheses of a closed-loop control system for temperature field of belt kiln), Pyatigorsk, Izdatel'stvo PGGTU, 2012, 184 p.