О напряженном состоянии тонкого диска с учетом зависимости предела текучести от температуры

О напряженном состоянии тонкого диска с учетом зависимости предела

текучести от температуры

М. А. Артемов, Е. С. Барановский, Г. Г. Бердзенишвили, И. И. Переяславская

Воронежский государственный университет

Аннотация: Рассматривается задача определения напряженного и деформированного состояния тонкого кругового диска, проявляющего упругие и пластические свойства при тепловом и силовом воздействиях. В центральной части диска поле температур однородное. На границе диска задано давление и постоянная температура. Выбирается условие пластичности Треска. Учитывается зависимость предела пластичности от температуры. Пластические деформации определяются по теории пластического течения. Установлены условия, позволяющие определять величину температуры центральной части диска и его радиус, в зависимости от которых пластическая область может формироваться в центральной части диска или на его границе. Приведены графики для напряжений. Для верификации полученных результатов предлагается рассматривать графики эквивалентного напряжения для допустимых режимов пластичности и график годографа вектора напряжений.

Ключевые слова: математическое моделирование, упругопластическое тело, плоское напряженное состояние, кусочно-линейные условия пластичности, теория пластического течения, термоупругопластичность.

Математическому моделированию напряженного и деформированного состояния дисков, испытывающих силовое и тепловое воздействия, посвящено значительное количество работ. Практически во всех последних публикациях учитывается зависимость параметров тел от температуры. Отметим работы [1-5], в которых изучаются задачи, близкие к задаче, рассматриваемой в данной статье.

Постановка задачи

Рассматривается тонкий круговой диск, подверженный полярно-симметричному тепловому и силовому воздействиям. Поле температур центральной части диска 0 < г < а является однородным Т = Та. На внешней границе диска г = Ь задано давление рЬ и температура Ть = 0.

Все величины приводятся к безразмерному виду. В качестве масштаба напряжений выбран предел пластичности к при начальной температуре,

в качестве масштаба длины - радиус а. Для безразмерных величин принято обозначение размерных величин, что не привносит путаницу, поскольку не вводятся безразмерные комплексы.

Для определения напряженного, деформированного и температурного состояния диска выбирается цилиндрическая система координат, ось которой перпендикулярна срединной поверхности диска и является осью симметрии диска. Поле температур определяется по формуле [1]

Г1, 0 < г < а,

Т = Та/, / =

1п

1п

Упругое состояние

Обозначим через с,, се радиусы границ области, в которой диск находится в упругом состоянии, через р, и ре - давления на этих границах. В этой области компоненты тензора напряжений определяются по формулам [1]:

/ л

г В 1 г

| /гФ + А - —, а(р= ТааЕ — | рФ - /

ТааЕ г _ В

^ г 2 J 2' Р

г с г

с,

т V с'п У

В

+ А +

г2

где А = ТаЕ1 )>г + ^ - Р2С2 , В = С^ГоОЕ)мг + ЩР,-^, с — с с — с с — с2 с — с

Е - модуль Юнга, а - коэффициент линейного теплового расширения.

Упругопластическое состояние диска

Задача плоского напряженного состояния идеального упругопластического тела в области пластического состояния является локально статически определимой. Поэтому, если граничные условия не содержат перемещений, то определение напряжений не зависит от деформированного состояния.

Выберем условие пластичности Треска, в котором учитывается зависимость предела пластичности от температуры. Учитывая, что напряжения аг, а^, <а2 являются главными, запишем это условие

в виде тах{| - аг |,| с2 -аг \,\а(-а2 |} = к, к = к0(1 - ), где к0 - предел пластичности при Г = 0, % - коэффициент, определяющий зависимость предела пластичности от температуры.

В области 0 < г < а реализуется однородное напряженное состояние аг =&(, поэтому в этой части диска при переходе в пластическое состояние

будет выполняться условие аг = а(=-к; из формул (2) (полагая сI = 0, се = Ь) следует, что это условие будет выполнено, если

Га = Г = 2Ь2(Рь -к0)/

г ( Ь \

аЕ

2| /гиг - Ь

2Ь2к0%

/гиг - Ь2

V V 0

Для диапазона к < Рь < 0 давления на границе г = Ь может реализоваться только режим с( -с г = к . Учитывая (2), находим температуру, при которой на границе г = Ь будет выполняться этот режим

Га = Ге = (Ь2 к0)/

Ь

2аЕ | г/иг .

0 )

Приравнивая правые части (3), (4) и учитывая (1), получим уравнение, позволяющее определить радиус диска Ь = Ьк, для которого одновременно на границах г = а и г = Ь зарождается пластическая область.

Когда Ьк < Ь и Га < Г, или Ь < Ьк и Га < Ге, диск находится в упругом состоянии; в формулах (2) следует полагать сг- = 0, се = Ь, ре = рЬ .

Внутренняя пластическая область

Если Ь > Ьк и Г1п < Га, то в области диска 0 < г < а реализуется режим полной пластичности: аг =а(=-ка, ка = к0(1 -%Га). Несложно проверить,

что в области а < г < ci из возможных режимов пластичности реализуется режим: а( = -к0(1 - ), - к0(1 - £,Га) <аг < 0, для которого

= -к - к0Г

Для области сг- < г < Ь, где диск находится в упругом состоянии, в формулах (2) следует полагать се = Ь, ре = рЬ . Радиус упругопластической границы г = сг определяется, например, из условия непрерывности

окружного напряжения на этой границе

к

Из равенств (а(-аг) |г=Ь = к0 и (6), учитывая формулы (2) и (5), определяются значения с1 и температура Га = Г1, при которой на границе

г = Ь зарождается пластическая область.

На рис. 1 приведены графики распределения напряжений, эквивалентного напряжения для возможных режимов пластичности и годографа вектора напряжений, для следующих значений параметров: а = 1,Ь = 7,к0 = 1,рЬ = 0,аЕ = 0.012,Га = 330,^ = 0.0008, с1 = 2.1.

Рис. 1

Деформации

В рамках теории пластического течения для кусочно-линейных функций пластичности определение деформаций в пластической области обсуждалось в работах [8-10], в которых объясняются разрывы радиальной и осевой компонент пластических деформаций.

Две пластические области

Если Та > Т1, Ь > Ьк и рь > 0, образуется внешняя пластическая область

се < г < Ь, в которой реализуется режим пластичности ар-аг = к и

<тг =- рЬ +

В области ci < г < се упругого состояния диска напряжения определяются по формулам (2), в которых величины А, В и сг-, се определяются из условия непрерывности напряжений на упругопластических границах г = с1 и г = се.

Второй сценарий образования пластических областей

В случае, когда Ь < Ьг, при достижении температуры Та значения Те на

границе г = Ь зарождается внешняя пластическая область; при дальнейшем увеличении температуры происходит зарождение и расширение внутренней пластической области. Обозначим через Т2 значение температуры Та, при

которой область диска 0 < г < а переходит в пластическое состояние. В области се < г < Ь напряжения определяются по формулам (7).

Если сг = а, температура Та = Т2, радиус упругопластической границы

г = се и величины А, В в формулах (2) определяются из условий

непрерывности напряжений на границах г = а и г = се .

Если Ta > T2, радиус упругопластической границы ci > a. В пластической области a < r < ci напряжения определяются по формулам (5). Радиусы упругопластических границ r = ci и r = ce определяются из условия непрерывности напряжений на этих границах.

Выводы

В работе показана правомерность использования условия пластичности Треска при решении задачи о тепловом воздействии на диск, когда учитывается зависимость предела пластичности от температуры.

Литература

1. Timoshenko S. R, Goodier J. N. Theory of Elasticity. New York: McGraw-Hill, 1970. 506 p.

2. Gamer U. Elastic-Plastic Deformation of a Centrally Heated Disk // Journal of Thermal Stresses. 1985. V. 8. pp. 41-51.

3. Orcan Y., Gamer U. Elastic-Plastic Deformation of a Centrally Heated Cylinder // Acta Mechanica. 1991. V. 90. pp. 61-80.

4. Dats E., Murashkin E. On Unsteady Heat Effect in Center of the Elastic-Plastic Disk // Lecture Notes in Engineering and Computer Science Сер. "WCE 2016 - World Congress on Engineering 2016". pp. 69-72.

5. Артемов М. А., Барановский Е. С. Об одном алгоритме решения задач термопластичности // Порядковый анализ и смежные вопросы математического моделирования: тезисы докладов XIV Международной научной конференции (с. Цей, 3-8 июля 2017 г.). Владикавказ: ЮМИ ВНЦ РАН, 2017. C. 137-138.

6. Полетаев Ю. В. Механизм локального разрушения зоны термического влияния сварных соединений при малоцикловом нагружении // Инженерный вестник Дона, 2011. №4 URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2011/606.

7. Полетаев Ю.В., Полетаев В.Ю. Методика оценки склонности сварных соединений низколегированных сталей к образованию трещин при термической обработке // Инженерный вестник Дона, 2014 №4 URL:ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2014/2583.

8. Артемов М. А., Барановский Е. С. Математическое моделирование пластического состояния тел. Плоская деформация // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И.Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2015. № 2 (24). С. 72-87.

9. Артемов М. А., Барановский Е. С., Якубенко А. П. Альтернативные формы записи кусочно-линейных условий пластичности и их обобщения // Вестник Воронежского государственного университета. Серия: Физика. Математика. 2015. № 1. С. 71-82.

10. Переяславская И. И., Артемов М. А., Барановский Е. С. К вопросу математического моделирования осесимметричного плоско-напряженного состояния сжимаемого упругопластического тела // Вестник Чувашского государственного педагогического университета им. И. Я. Яковлева. Серия: Механика предельного состояния. 2017. № 1 (31). С. 22-39.

References

1. Timoshenko S. R, Goodier J. N. Theory of Elasticity. New York: McGraw-Hill, 1970. 506 p.

2. Gamer U. Journal of Thermal Stresses. 1985. V. 8. pp. 41-51.

3. Orcan Y., Gamer U. Acta Mechanica. 1991. V. 90. pp. 61-80.

4. Dats E., Murashkin E. Lecture Notes in Engineering and Computer Science. WCE 2016. World Congress on Engineering 2016. pp. 69-72.

5. Artemov M. A., Baranovskii E. S. Vladikavkaz, Southern Mathematical Institute RAS, 2017. pp. 137-138.

6. Poletayev Yu. V. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2011, №4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2011/606.

7. Poletayev Yu. V., Poletayev V. Yu. Inzenernyj vestnik Dona (Rus), 2014, № 4. URL: ivdon.ru/ru/magazine/archive/n4y2014/2583.

8. Artemov M. A., Baranovskii E. S. Proceedings of Yakovlev Chuvash State Pedagogical University. Serie: Mechanics. 2015. № 2 (24). pp. 72-87.

9. Artemov M. A., Baranovskii E. S., Yakubenko A. P. Proceedings of Voronezh State University. 2015. № 1. pp. 71-82.

10. Pereyaslavskaya I. I., Artemov M. A., Baranovskii E. S. Proceedings of Yakovlev Chuvash State Pedagogical University. Serie: Mechanics. 2017. № 1 (31). pp. 22-36.