Алгоритм построения расширенного базиса Гребнера

СПИСОКЛ

1. Суров, А.Н. Расчет температурных полей в полых слитках при электрошлаковом переплаве. / А.Н. Суров, В.И. Потапов, М.С. Бугаев // Вестник ЮУрГУ, серия "Металлургия". - 2006. - Вып. 7. №10.-С. 73-75.

2. Электродинамические процессы при ЭШП на постоянном токе и их математическое моделирование/ В.И. Потапов, H.A. Игизьянова, И.В.Чуманов,

Д.А. Пятыгин // Современные проблемы электрометаллургии стали: материалы XIII Междуна. Конф. / под ред. В.Е.Рощина. - Челябинск, 2007. -4.3-216 с.

3. Годунов С.К. Разностные схемы (введение в теорию): учеб. пособие/С.К.Годунов. B.C.Рябенький.-М.: Наука. 1973.

Павлов Д. А.

Алгоритм построения расширенного

УНИВЕРСАЛЬНОГО БАЗИСА ГРЕБНЕРА

Введение

Теория базисов Гребнера в настоящее время является основным алгоритмическим инструментом вычислительной коммутативной алгебры. Базисы Гребнера применяются для нахождения нормальных форм полиномов относительно идеала, решения систем полиномиальных уравнений, вычисления размерностей алгебраических многообразий и многих других задач.

Классическая теория базисов Гребнера основана на рассмотрении допустимых упорядочений мономов. То есть, любой базис Гребнера подразумевает некоторое конкретное допустимое упорядочение (или семейство упорядочений), на котором основан алгоритм редукции полиномов относительно идеала.

Однако, классическая теория может быть обобщена различными способами на некоторые другие упорядочения, не являющиеся допустимыми [1]. Мы рассматриваем т.н. слабодопустимые упорядочения, согласованные только с делением мономов. Некоторые слабодопустимые упорядочения позволяют определить базис идеала, который также может использоваться для вычисления нормальных форм полиномов. Конечные слабодопустимые упорядочения в точности соответствуют многомерным таблицам Юнга, а бесконечные — некоторым путям в графе Юнга [2]. Таким образом, комбинаторика мономиальных упорядочений тесно связана с комбинаторикой таблиц и диаграмм Юнга [3].

Обозначения

Обозначим М множество всех мономов от </переменных. Множество переменных обозначим V = {х,, ..., Мы будем рассматривать как тотальные, так и конечные упорядочения на множестве М.

Определение. Тотальное упорядочение < называется слабодопустимым, когда оно согласовано с делением мономов:

/я,, /я, е М /я, < т2.

Определение. Тотальное слабодопустимое упорядочение < называется допустимым, когда оно согласовано с умножением:

т. /Яр /я, е А/ /я, < /я, => /я/я, < /я/я,.

Определение. Конечным слабодопустимым (допустимым) упорядочением степени п называется цепочка КГ - (/я,,.... /яя), удовлетворяющая условию слабодопустимого (допустимого) упорядочения и содержащая с каждым мономом все его делители.

Обозначим за а некоторый идеал в бесконечномерном векторном пространстве полиномов АХ\",......V,]. Обозначим за А факторалгебру

идеала а.

Множество мономов М лежит в таким образом, каждый моном т е А/ имеет канонический образ в А.

Редуцированный базис Гребнера идеала относительно некоторого мономиального упорядочения обозначим С(а).

Определение. Мы будем называть мономы линейно-независимыми относительно а.

если линейно-независимы их образы в его факторалгебре А. Здесь мономы рассматриваются как одночленные полиномы, а линейная независимость мономов означает линейную независимость их образов в факторалгебре А = AXvх J/a.

Определение. Коидеалом в М называется множество мономов, которые не делятся ни на один моном из заданного конечного набора S (т.е. дополнение до возрастающего идеала в решетке мономов). Будем говорить, что коидеал построен на множестве мономов S. Коидеал, построенный на старших членах базиса Гребнера, порождает факторалгебру идеала. Коидеал может быть как конечным, там и бесконечным.

Определение. Идеал а называется нульмерным, если его факторалгебра А имеет конечную размерность, т.е. порождена конечным числом мономов.

Максимальные линсйно-нсзависимыс мономиальные множества

Мы будем изучать максимальные линейно-независимые относительно идеала а множества мономов, которые являются коидеалами в М.

Определение. MLIMS(a) (Maximal Linearly-Independent Monomial Set) — это максимальный по включению коидеал в М. элементы которого линейно-независимы относительно а: dim(L(MLIMS(a))i~ia)=0, где US') обозначает линейную оболочку множества S в векторном пространстве AXx,,...,a:J. Очевидно, у идеала может иметься несколько MLIMS.

Утверждение. Коидеал С. построенный на старших членах какого-либо G(a), является MLIMS(a). Размерность пересечения L(C) с a равна 0, т.к. в ¿(С) нет полиномов из а (если бы в L(C) был полином из а. то С содержало бы его старший член, чего не может быть по определению базиса Гребнера). Сявляется мак-симальным по включению, потому что мономы, которые можно добавить в С - это старшие члены полиномов базиса Гребнера. Поскольку все младшие члены полиномов базиса уже есть в С (по определению редуцированного базиса), то после добавления монома LfC) содержит полином из базиса и dim(L(C) n a)= 1 .

Определение. Диаграммой Юнга базиса Гребнера нульмерного идеала называется множество мономов, являющихся делителями старших членов базиса (но не равные им).

Утверждение. Диаграмма Юнга базиса Гребнера нульмерного идеала a является его MLIMS(a). Это следует из того, что коидеал, построенный на старших членах базиса нульмерного идеала, конечен и является его диаграммой Юнга. Мономы, принадлежащие диаграмме, порождают факторалгебру идеала.

Утверждение. В произвольном MLIMS(a) нульмерного идеала a не больше dim(A) мономов.

В любую диаграмму Юнга всегда можно добавить моном и получить новую диаграмму Юнга. Как правило, добавить моном можно несколькими способами. Если MLIMS(a) является диаграммой Юнга (т.е. имеет конечный размер ), то любое добавление монома образует множество мономов (/и,,.... тк), линейно-зави-симых в идеале, причем есть лишь одно соотношение вида

р =J\m[ + ... +fkmk, такое, что полином pea. Всего таких полиномов столько, сколько мономов можно добавить в MLIMS(a). Мы будем говорить, что MLIMS(a) образует набор полиномов

(Ри~> Распределение. MLIMS(a) называется согласованным с полным упорядочением <, когда все его мономы меньше (в смысле упорядочения <) всех мономов, которые в нем не содержатся. Такое множество мы будем обозначать MLIMS(a, <).

Алгоритм FGLM [4]. разработанный в 1994 году, делает пересчет базиса Гребнера нульмерного идеала из одного допустимого упорядочения мономов в другое допустимое. В этом алгоритме используется тот факт, что набор всех полиномов, образованных MLIMS(a. <) при допустимом < (т.е. согласованным с умножением на моном), является базисом Гребнера идеала. Вообще говоря, для нульмерных идеалов возможно, построение MLIMS(a, <) для всех конечных упорядочений, и вычисление соответствующих базисов [2]. Ансамбль всех базисов называется веером Гребнера Мора-Роб-биано (Grubner fan [5]). и для его эффективного построения есть специализированный алгоритм (Grubner walk), не связанный с диаграммами Юнга и реализованный в пакете GFan [6].

Расширенный универсальный базис Гребнера

Мы рассматриваем базисы полиномиальных идеалов, соответствующие не только допус-

тимым упорядочениям мономов, но принимаем в расчет и слабодопустимые упорядочения, согласованные только с делением мономов. Свойство линейной независимости MLIMS(a. <) как раз является естественным условием для образования базиса, по которому можно вычислять нормальные формы полиномов. При наращивании MLIMS(a. <) любым мономом получается множество мономов, линейно зависимых в а. Некоторая их линейная комбинация образует полином, принадлежащий а. При допустимом упорядочении < набор всех таких полиномов является базисом Гребнера, а MLIMS(a, <) порождает А. Если взять более общий случай слабодопустимого <. то полученное множество полиномов может не порождать исходный идеал. Такие множества полиномов мы будем называть псевдо-базисами. Кроме того, при слабодопустимом < может оказаться |MLIMS(a, <)| < dim(A). Однако даже в случае |MLIMS(a. <)| = dim(A) можно показать, что среди полученных псевдо-базисов могут присутствовать базисы-идеала. отсутствующие в веере Гребнера Мора-Роббиано [2].

Назовем такие базисы обобщенными базисами Гребнера (обычные базисы Гребнера присоединим к ним тоже), а объединение всех таких базисов — расширенным универсальным базисом Гребнера (Extended Universal Grubner Basis. EUGB). Очевидно, что "обычный" UGB(a) Мора-Робиано содержится в EUGB(a), т.к. любое допустимое упорядочение < по определению является слабодопустимым. Можно показать [1]. что EUGB(a) состоит из конечного числа полиномов.

Алгоритм построения EUGB

Мы продемонстрируем алгоритм построения EUGB как множества полиномов, а не как объединения базисов. Необходимое условие принадлежности некоторого полинома к EUGB можно сформулировать в терминах размерности пересечения идеала и некоторого линейного подпространства в кольце полиномов [1].

Определение. Диаграмма Юнга У(р) полинома р - это множество мономов, которые являются делителями термов р (включая их самих).

Утверждение. Для полиномов р из обобщенных базисов и только для них выполняется условие dim(Z.( У) а) = 1. при этом Y(p) является минимальной по включению диаграммой, соблюдающей это условие то есть уменьшение

У(р) на один моном образует множество мономов, линейно-независимых в а.

Отличие этого условия от МЫ МБ в том. что оно описывает минимальные по включению, а не максимальные по включению диаграммы. Если мы возьмем какую-нибудь большую диаграмму Юнга У и вычислим dim(L( Т) п а) > 1, то точно будем знать, что из У можно вычеркнуть как минимум dim(L( Г) п а) - 1 мономов. Какой-то результат в любом случае получится. Из диаграммы Юнга с помощью гауссовой элиминации нетрудно получить полином, являющийся линейной комбинацией ее мономов-неделителей и принадлежащий идеалу. Это и будет первый полином ЕиОВ.

Получить последующие полиномы этой процедурой уже не так просто. Требуется модификация, предотвращающая повторение найденных полиномов. Однако мы рассмотрим модификацию, предотвращающую повторение найденных диаграмм. Она не спасает от повторения полиномов, однако гарантирует, что они будут найдены все и за конечное время а дубликаты можно тривиально удалить.

Пусть на каком-то этапе работы алгоритмом найдено К диаграмм Юнга. При нахождении следующей надо сделать так. чтобы она не совпадала ни с одной из К предыдущих. Это значит, что она не содержит и не содержится ни в одной из них. т.к. искомые диаграммы минимальны по включению. Чтобы исключить совпадение искомой диаграммы с найденной, достаточно из первоначальной "большой" диаграммы удалить один из мономов-неделителей найденной диаграммы, а также все кратные ему (чтобы диаграмма осталась таковой). Чтобы исключить совпадение искомой диаграммы с К найденными, достаточно удалить К мономов-неделителей найденных диаграмм по одному из каждой и все кратные им.

После удаления может оказаться, что мономы в диаграмме уже линейно-независимы, и получить из нее диаграмму с dim(^.( У) п а) = = 1 невозможно. В таком случае надо выбрать другую комбинацию К мономов, удаляемых из начальной диаграммы.

Утверждение. Если ни одна комбинация К мономов не привела к образованию диаграммы с линейно-зависимыми мономами, то значит других диаграмм, отвечающих заданным условиям. нет.

Если же мономы в диаграмме оказались линейно-зависимы (скажем dim(¿(Уr) о а) =

и > 0), то из нее следует удалить u-1 моном и вычислить dim(L( У) па) снова. Когда и станет равно 1, надо по одному удалять мономы из диаграммы, пока не получится минимальная по включению, т.е. когда любое уменьшение диаграммы приведет к тому, что мономы станут линейно-независимыми.

Особое внимание стоит обратить на то, какой должна быть начальная "большая" диаграмма Юнга. Чтобы алгоритм находил все диаграммы Юнга, отвечающие условиям, начальная диаграмма Юнга содержать их всех в себе. Проще говоря, она должна содержать в себе все диаграммы Юнга размера dim(/i), где dim(/l) - размерность факторалгебры идеала. Это то же самое, что диаграмма, содержащая все d-мерные "параллелепипеды" размера не более dim( А). Следует отметить, что для ненульмерных идеалов, размерность факторалгебры которых бесконечна, такой подход работать не будет. Вместо этого необходимо иметь какую-либо оценку на максимальный размер произвольного базиса Гребнера рассматриваемого идеала.

Вычисление псевдобазисов по полиномам EUGB

Среди множества полиномов EUGB. найденных методом из предыдущего раздела, нас интересуют подмножества полиномов, которые порождают идеал а. Для каждого такого подмножества {/J,.....pj необходимо построить

MLIMS(a), который можно нарастить п способами. и получить в результате эти полиномы {ррп). Если такой MLIMS(a) удастся найти, значит {/>,,..., рл) составляют псевдо- базис. Если при этом MLIMS(a)| = dim(/l), то {/>,,..., pj образуют обобщеный базис.

Нахождение MLIMS(a) начинается с того, что в полиномах {/?,,.. .,рп} выделяются старшие члены, так чтобы ни один старший член ни одного р{ не делил ни одного терма, ни одного р., кроме самого себя. Если есть несколько способов выделения старших членов, то перебираются все.

Если после выделения старших членов оказалось, что набор {/>,,...,рп) нарушает условия редуцированного базиса (т.е. если какой-то член одного полинома делится на старший член другого полинома), то этот набор убирается из рассмотрения, т.к. он не может быть обобщенным базисом.

На выделенных старших членах строится коидеал. Поскольку мы знаем, что MLIMS

конечен и в нем не больше dim(/l) мономов, то мы исключаем те случаи, когда коидеал бесконечен или в нем больше dim^) мономов. В противном случае найденный коидеал -кандидат на MLIMS(a). Последняя операция-самая дорогостоящая - проверка линейной независимости мономов найденного коидеала. Если мономы линейно независимы, значит мы нашли MLIMS(a) и соответствующий ему обобщенный базис идеала.

Реализация

Описанный алгоритм был реализован на языке Common Lisp и запущен на ОС Debian GNU/Linux на процессоре Intel Соге 2 Duo с использованием компилятора SBCL. Для вычисления стандартного веера Гребнера использовался пакет GFan [6]. В данной реализации применялась достаточно прямолинейная стратегия отсечения мономов из рассматриваемых диаграмм, поэтому имеются резервы для существенного повышения эффективности работы программ за счет применения более оптимальных стратегий отсечения. Также в дальнейшем предполагается оптимизировать алгоритм построения базисов из полиномов, принадлежащих EUGB.

Пример

Рассмотрим идеал а. порожденный набором полиномов {л-5 + v5, .v2 V'3 ->'5, -vv5 + у6, v7 + + .у5}. Его веер Гребнера состоит только из двух ячеек :

{.V5 + у5, хУ-у\ ху5 + у1 + /},

{л-7 + X5, ХЬу + .Y6, Д-у + X5, у5 + .V5} .

Размерность факторалгебры этого идеала равна 21. Наша процедура нашла еще два обобщенных базиса, которые также могут использоваться для вычисления нормальных форм:

{.v5 + л':>'4 + .y3j'\ v5 - .y:v'\ x4уъ + .v2.y3}

{.v6 + х5у, у5 + л-5, хУ + xs, х}у2 + .v5}.

Расширенный универсальный базис EUGB(a) в этом примере состоит из 10 полиномов.

{.y5 + v5, х2у3 - у\ Ху5 + уь, у1 + у\ X1 + .v5, х5у + + хь, х2у* + .х5, лгу4 + л:3у3, .y4}'3 + ,y2_y3, л'5у: + .y5}. три из которых не принадлежат вееру Гребнера и не могут быть построены пакетом Gfan.

Заключение

Описан метод построения расширенных универсальных базисов Гребнера полиномиальных идеалов. Метод не требует привлечения допустимых упорядочений мономов, а исполь-

зует только естественный частичный порядок, основанный на делимости. В дальнейшем планируется обобщить этот метод с нульмерных идеалов на произвольные, а также сделать ряд оптимизаций производительности.

Благодарности

Автор благодарит H.H. Васильева за большое внимание к проделанной работе и множество ценных советов и находок.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Vasiliev, N.: Monomial Orderings. Young Diagrams and Grubner Bases. Proceedings of the International Conference "Computer Algebra in Scientific Computing"

2. V asiliev, N.. Pavlov, D.: Enumeration of finite monomial orderings and Young tableaux, in "Polynomial Computer Algebra" Proceedings of the International Conference PCA'08, pp. 71-76. St. Petersburg. 2008

3. Stanley, R.P.: Enumerative combinatorics vol. I and 2. Cambridge University Press

4. Faugnre J. C., Gianni P., Lazard D., Mora T. Efficient computation of zero-dimensional Grubner bases by change of ordering. Journal of Symbolic Computation 16. Issue 4 (1993) 329-344

5. Mora T., Robbiano L. The Grubner fan of an ideal. Journal of Symbolic Computation. 6, 2-3 (988) 183-208

6. Jensen, Anders N. Gfan, a software system for Grubner fans, http://www.math.tu-berlin.de/~jensen/ software/gfan/gfan.html

Манцеров Д. И.

Система верификации для параметрических

классов задач по математике

В настоящее время актуальным является процесс компьютеризации школ. Во всех школах, начиная с небольших деревенских и заканчивая большими специализированными городскими школами, создаются компьютерные классы. Идея создания таких классов -научить учеников работать с компьютером. В связи с этим актуальным становится создания специального программного обеспечения(ПО) для школ. В этой статье будет описана система, которая позволяет ученику решать предложенные математические задачи, совершенствовать свои знания в математике. Все это ученик может проделывать с помощью компьютера и без помощи своего учителя.

Система верификации параметрических классов задач включает в себя как средства для создания задач, так и средства для проверки решений предложенных задач на множестве базовых примеров и организации обучающего диалога.

Система построена на параметрических классах объектов и включает в себя набор базовых примеров этих объектов, демонстри-

рующих основные особенности этих объектов, которые входят в школьный курс математики. По техническим соображениям набор примеров подбирается так, чтобы, не перегружая программу, обеспечить верификацию ответов достаточную, чтобы подтолкнуть решающего к собственной идее решения, увидеть в частичном решении противоречия или недочеты. Среда по своей сути не является ни средством обучения, ни средством контроля. Ее роль - поддержка самостоятельной работы ученика в процессе решения задачи.

Примерами классов объектов могут служить. например, изучаемые в школе классы функций: линейные функции у = кх + Ь. логарифмические функции у = 1о^ (6л' + с) и т.д.

Система верификации построена на следующих методических принципах.

• Система допускает несколько форм представления математических объектов[3]: возможно использование формульного, графического и вербального представлений объектов. Это дает возможность использовать в качестве элемента решения задачи переход от одной формы