Общие методы решения уравнений на уроках алгебры и начала анализа в 11 классе

ИННОВАЦИОННЫЕ И ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ПРОЕКТЫ, ПРОГРАММЫ, ПОДХОДЫ

зовательной среды может носить признаки здоровьесберегающих технологий, если:

построение образовательного процесса будет организовано с использованием методов и средств визуализации и интерпретации учебной информации, направленных на включение разных каналов восприятия учащимися новых знаний;

обучение новой области знаний будет организовано по принципу блоков и модулей, каждый их которых будет иметь четкие, логически завершённые структуру и содержание;

каждый новый блок информации будет достраивать формирующуюся картину мира учащегося, представляя возможность учащимся выстраивать взаимосвязи между известными и новыми фактами;

в процессе обучения будут использованы как индивидуальные, так и групповые формы деятельности, направленные на получение итогового продукта учебной деятельности;

основой образовательного процесса будет освоение различных методов обработки информации, получаемой из различных источников и в различной форме.

Литература

1. Балацкий Е. В. Вызовы информационного общества. Электронное периодическое издание «Капитал страны». Режим доступа: http://www.kapital-rus.ru/index.

php/artides/artide/980.

2. Мищериков А. А. Безопасность и свобода личности в информационном обществе: анализ проблемы // Теория и практика общественного развития. - 2011. - № 1.

3. Каюда Г. П., Косарева И. В., Решетников В. А. Программа развития на 2006-2011 гг. «Создание интегрального образовательного пространства школы как модели социума, формирующей готовность всех участников учебновоспитательного процесса к самореализации в информационном обществе». М: Спутник, 2008. - 42 с.

4. Кларин М. В. Инновации в мировой педагогике: обучение на основе исследования, игры и дискуссии (Анализ зарубежного опыта) - Рига, НПЦ «Эксперимент», 1995.- 176 с.

5. Суворова Н. Интерактивное обучение: новые подходы // Учитель. - 2000. - № 1

6. Корнеева Л. И. Современные интерактивные методы обучения в системе повышения квалификации руководящих кадров в Германии: зарубежный опыт / Л. И. Корнеева // Университетское управление: практика и анализ. -2004. - № 4 (32). - С. 78-83.

7. Кругликов В. Н., Платонов Е. В., Шаранов Ю. А. Деловые игры и другие методы активизации познавательной деятельности - М.: Art Pablishers, 2006. - 190 с.

8. http://nrc.edu.ru/razd4/41.html Основные группы методов инновационного обучения по типу коммуникации между обучаемыми и преподавателем.

9. Селевко Г. К. Энциклопедия образовательных технологий. В 2 т. Т 1. М.: НИИ школьных технологий, 2006. - 816 с. (Серия «Энциклопедия образовательных технологий»).

10. Беспалько В. П. Педагогика и прогрессивные технологии обучения.- М., 1995.

Автором предложена разработка урока алгебры и начала анализа в 11 классе. Урок построен с позиции личностно-ориентрованного обучения. В методической разработке предлагается совокупность приемов, методов и форм, влияющих на развитие у учащихся мотивации учебной деятельности через самостоятельное целеполагание, выбор уровня учебных заданий, самооценку собственной деятельности на уроке.

Седнева Ольга Геннадьевна

учитель математики, МОУ «Лянторская СОШ №6». lschool6@rambler.ru

ОБЩИЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЙ НА УРОКАХ АЛГЕБРЫ И НАЧАЛА АНАЛИЗА В 11 КЛАССЕ

Как построить урок математики с позиции личностно-ориентированного обучения?

___________________________________________________________________________________________

Ключевые слова: личностно-ориентированное обучение, дидактическая задача, общие методы решения уравнений, метод разложения на множители, метод введения новой переменной, метод замены уравнения равносильным, функционально-графический метод.

Основной формой организации учебной деятельности учащихся в школе является урок. Основная задача учителя на современном этапе - создать условия для обеспечения собственной учебной деятельности учащихся, учета и развития их индивидуальных особенностей. Рассмотрим построение урока

математики по теме «Общие методы решения уравнений» с позиции личностно-ориентрованного обучения.

Дидактическая цель: создать условия для усвоения новых знаний учащимися с ориентацией на их практическое применение, обеспечить усвоение всеми

38

Муниципальное образование: инновации и эксперимент №4, 2011

ИННОВАЦИОННЫЕ И ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ПРОЕКТЫ, ПРОГРАММЫ, ПОДХОДЫ

учащимися требований образовательного стандарта по теме «Общие методы решения уравнений».

Образовательная цель: способствовать формированию у учащихся предметных компетенций

> выделить общие методы решения уравнений на примере решения иррациональных, показательных, логарифмических уравнений;

> определить насколько хорошо учащиеся умеют применять их при решении иррациональные, показательные, логарифмические уравнения;

> способствовать дальнейшему закреплению навыка учащихся в решении уравнений, использования различных языков математики (словесного, символического, графического).

Развивающая цель: способствовать развитию у учащихся метапредметных компетенций:

> коммуникативных - формирование мыслительной, речевой деятельности, навыка сотрудничества;

> регулятивных - умение управлять собственной деятельностью.

Воспитательная цель: способствовать формированию у учащихся личностных компетенций:

> смыслообразование - умение субъектного целе-полагания (постановка учебных целей самим учеником, сознательно принимает решение);

> самоопределение - самооценка(оценка результатов собственной деятельности на уроке).

Тип урока: урок усвоения новых знаний учащимися

Ход урока.

I. Организационный момент

Дидактическая задача. Обеспечить нормальную внешнюю обстановку для работы на уроке, психологически подготовить учащихся к общению и предстоящему занятию.

Содержание этапа.

Проверка внешнего состояния классного помещения, определение отсутствующих учащихся, подготовленности учащихся к уроку (рабочее место, внешний вид учащихся), организация внимания, взаимное приветствие учителя и учащихся.

Учитель. Ребята, сегодня, как и обычно, будем работать на уроке активно и продуктивно, чтобы «на небосклоне ваших знаний» с каждым днем оставалось все меньше «белых пятен». А для чего нужны вам знания?

Учащиеся. Чтобы быть образованными и успешными людьми, а для этого нужно успешно сдать ЕГЭ, получить хорошие баллы и поступить о то ВУЗ, в кото рое хотим.

Учитель. Совет народной мудрости учащимся: «Знание - сокровище, которое повсюду следует за тем, кто им обладает» (китайская поговорка).

II. Подготовка учащихся к активному сознательному усвоению знаний

Дидактическая задача. Организовать и целенапра-вить познавательную деятельность учащихся, подготовить их к усвоению нового материала. Учить учащихся формулировать цели учения и выбирать конкретные средства для их достижения.

Содержание этапа.

Учитель. Тема нашего урока «Общие методы решения уравнений».

Запишем в рабочих тетрадях число, классная работа, тему урока.

Ребята, поясните, пожалуйста, смысл словосочетаний «методы решения уравнений», «общие методы решения уравнений».

Учащиеся.

- Методы решения уравнений - это способы, приемы, с помощью которых можно решить то или иное уравнение.

- Общие методы решения уравнений - это такие способы, приемы, с помощью которых можно решить уравнения разного типа.

Учитель. Какие цели учения на урок вы поставили бы для себя?

Учащиеся. Повторить какие методы решения уравнений нам известны, выделить общие методы решения уравнений, учиться применять их при решении уравнений разного типа, проверить насколько хорошо мы ими владеем.

Учитель. Где вам могут пригодиться эти знания?

Учащиеся. При написании самостоятельной работы, контрольной работы, на едином государственном экзамене.

III. Этап усвоения новых знаний

Дидактическая задача. Дать учащимся конкретное представление об основной идее изучаемого вопроса.

Содержание этапа.

Учитель. Повторить методы решения уравнений, нам помогут фрагменты презентаций, которые вы готовили ранее,рабнтая в группах.

Учащиеся 1 группы.

Предлагаем взять девизом нашего урока слова

В. Гюго «Я сл ы шу -л я за бываю, я вижу - я запоминаю, я делаю - я понимаю».

Методы решения иррациональных уравнений

1. Замена уравнения равносилиным

Ы Способ л/2х-3 + т/4х + 1 = 4 ыозведеа обе части уравнении в квадрат

2х-3 + 2--2х-3V4x +1 + 4х +1 = 42 о 2.4(2х-3+4х = l) = 16- 6x + 2 о

о2л/8х2 + 2х-12х-3 +18-6х о (8х2 -10х-3 = 9-3х о 8х2 -10х-3 = (9-3х)2 о

о 8х2 - 10х -3 = 81- 54х + +х2 о х2 - +4х + 84 = 0.

Решая данное квадратноеураонение, находим х1 -42 , х2 -2.

Мун ицаполь ное о б р а з о в а н и е : и н н о в а ц и и и э к с пер имент № 4, 2 С0 1 1

39

L L0£ >oN iHawndauDJie и ии^шяонни :aHHDaoeDdgo эоняиоии^инХуу

or

о = Z + X Щ £ - X z Щ

‘ 0 = Z + £ x Щ - x z Щ

MOHHai/\iadau иоаон эинэИэад i MMHaHaedA XH>io0hHHc})HdejoLJ tsHHamad isttoia|/\| чяииАс1г 3 noanYneh^

Z = x !s> - =x iaaio

•£= zx‘.<^‘p— = Tx lAiMtj'oxeH‘aMHaHaedA aoHHet7'Kemad

0 = - * £ + г * Z <=> 9£ = 6 + x£ + zxz 0 9= 6 + *£ + zxZ[^ o± ‘9 = 1 шэд

0 <} ошаоиэА laKdoaiauaotaA эн м i ‘HHadoN MMHHodoioou 1 - онэии •9 = zj‘i~ = li oih 1i/\iMt7'oxeH‘0MH0HaedA 0OHiedt7'ea>i 0OHHet7'Kernad

' 0 = ZP ~ t + zt

fna iai/\mdu 0MH0HaedA эонУохэи etfjoi ‘0 < 1 эй ‘j = g + x£ + zxZf^ чюАи

'OLfOMh aogotu - x :etfo

' ее = 6 + x£ + Zxz[^ + 6 - 6 + ^e + Zxz <=> ее = 6 + *e + Zxzд + *e +

HOHHavuadau иоаон эинэНэад •£

£ iaaio

£ < x ошаоиэА lomdoaiauaotaA эн м i ‘i/iHdoM aMHHodoioou г и 3- еиэи|-,

' £ < *

‘ Z = х

Z - = х

‘ = x

0 < £ - * !> » £ 0 = p - z x

‘0 = £ - *Д

O0=(p-zx)-£~x^ £~x^-P=zx-£-x^

И1/Э1ИЖОН1Л1 вн эинэжоиеВ(] ‘z

£ > x > g£i

z = X <=> ‘ z = X

‘ ZP = x

z iaaio

£>*>£!

г О

' 0 = 178 + * PP

0 < x£ - 6

J- <=> ‘S‘I < x

‘ X х £ - 6) = £ ~ x 01 ~ zx8

S‘l < *

° £*£ - 6 = £ ~ x 01 - z *8Д j 0 ‘x9 - 8I = £-xZl~xZ + z *8Д Z

£ > * ‘g‘l < x

x 6 + x PS ~ 18 = £ ~ x oi ~ z x 8 S‘ I < *

<=>

> <=>

<=>

P

---<x

I

о

S I < x о

‘Z + *9- 9l = (l + xp%£- xz)f^l

0 < I + XP

‘0

<£ - xz \ о

1 + xp + I + xp^£~ XZ/^Z + £ - xz

<=> P = l + xPf+ £~XZЛ

gooouo -Ц

Z iaaio

KMHaHaedA i/\iaHdo>i кэ!экнак эн zp онэиь ‘1иьен£ KMHaHaedA i/\iaHdo>i кэ!экнак z онэиь ‘1иьен£

oudaa ‘ p = p ‘ P = £ + I £ P = I + 8Д + £ ~ frA 01 ‘z = X и 1103 (z

ouddddH ‘ p = ZZ

‘P = £1 + 6 ‘P = 691Д + Т8Д

‘P = I + ZP-pf + e - ZP • гд

oi = x инод (i. MaHdoM eMdaaody

iqffoxffou 'iqwwvdJOdu 'iqixaodu зи>1 DqLr3iv90t3’3ltddи и зннноиУ1уаонни

ir

L LOS >oN iHawndauDJie и ии^шяонни :aHHDaoeDdgo эоня1юии*1ИнАуу

'1+ |g-x-zx |=A ‘|e-x|-3=A BHHaHaedAojoHHetf иэюеи noaedu и noasuMHcfjedj lAinodioou o=L+ |g-x-zx | - |E-x|-3 (Z

\ lo = x :KMH0HaedA ojoHHeta1 wanHamad lAtfAg и ao>lифвdJ BnHahaoadau хами iqoonhogv \z = Л'(|,+x)z6o|+1=A BHH0HaedAojoHHetf иэюеи noaedu и иоаэи >lифedJ lAinodioou \z = (L+x)z6o| + lii

tfoiaw MMHsah^edj-OHSifBHOiitiHHAci) чяи иAdг p нээпУпеь^

4 4

-I = x<=> g = xg = ,-гЯ-1+гЯ

ииэ±ижон1/\1 ен эинэжоиев^ £

£ =Х 10Э1О

•£ = х <=> tz = XZ <=> 8 = XZ 9MH0HaedA i/\inmad ‘oHquaieaotfaLJO •q -< j ошаоиэА laBdoaiauaotfA 0H £- = j qHado»

•§ = zj‘£- = li oih ‘lAmtfoxeH ‘anHaHaedA aoHiedtfeax аоннеУ Bemad Q = pZ~ig-zi tfna iai/\indu anHaHaedA etfjoi^-U aft ‘l= XZ яюАу

'0 = PZ ~ xZ'S ~ xzZ PZ = j-xZ  01 - xt

MOHHai/\iadau иоаон эинэНаад z

Z -iaaio

•£- = x<^ —— = i-x <=> = ,.,5 <=> = !_S- ,S о - Z Ш = z‘0 - xS

I + X£ 1+Г£ I X

i/\ii4H4UM30HSBd KMH0HaedA енэие£ MMH0HaedA х1яняиэ±всвхои BHHamad iqtfoia|/\| nuuAda £ нээпУпеь^

Z !z iaaio

I

<=> (s

‘ £ = X _

X £ ) Z §oj x - ( 5

(g - x £)z 8oi 1

£ 0 -< 5 - x £ j

‘ 0 = x - £

<»0=

X £)Z §01 £ <=> x ( 9 - X £) Z §01 = ( 5 - X £) Z §01 £

Ииа±ИЖОН1Л1 вн эинэжоиввд £

о iaaio

. I - -< х ошаоиэА laBdoaiauaotfA эн > - = х qHado»

р— = zx‘q = 1Х ‘1лшЬ'охен 0 = х р + з х anHaHaedA aoHiedtfeax Bemad

' 0 = х р + х Л

£1 - .

oi =

е

<=>

§oj

= (

о

( e + x X I + X ) j

‘ 0 -< e + X l

‘ 0 -< i + X 1

i = (e + X ) E §oj

+ (I + х ) Е Soj miaHauMOOHaed KMHaHaedA енэие£ z

001- = х !(Н = x iaaio

' 001 = x • 01 = x

‘l = x §j ‘| = i §[ ‘oHquaieaot7,auo

3 = zj‘\ = lj nHdox oja lAintfoxeH‘anHaHaedA aoHiedtfeax аоннвЬ1 anmad

0 = Z + t £ ~ z t

fna iai/\indu anHaHaedA etfjoi ‘ l = X §J ‘qioAy o<x :etfo

iqtfoxtfou 'iqwwvdJOdu 'iqixaodu зи>1 DqLr3iv90t3’3ltddи и зннноиУ1уаонни

ИННОВАЦИОННЫЕ И ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ПРОЕКТЫ, ПРОГРАММЫ, ПОДХОДЫ

\

•Ь ii ь- ь-

/

в /

он /

н

е н

у

Учитель. Какие методы решения уравнений можно выделить как общие?

Учащиеся. 1.Метод разложения на множители.

2. Метод введения новой переменной.

3. Метод замены уравнения равносильным.

4. Функционально-графический метод.

Учитель. Запишом в рабочих тетрадмх опорный конспект.

1. Метод разложения на множители.

Содержание этапа.

Учителн. Что бы выяснить насколько хорошо вы владеете общими методами решения уравнений к сегодняшнему уроку, вам предланается выиолнить семо-стоятельную работу разнйго уров/а сложности. Саао-стоятеляно оп ределите для себя каим из вари антов вы будете решать и приступайте к выполнению работы.

Совет народной мудр ости учащимся: «Берись за то, что по плечу» (узбекская поговорка).

Уравнение f (x)g (x)h (x)=0 заменить сов окупно-стью уравнений f (x)=0, g (x)=0, h (x)=0. Необходима проверка корней.

2. Метод введения новой переменной.

Пусть g (x)=t, тогда уравнение p (g (x_=0 равносильно уравнению p (t)=0.

3. Метод замены уравнения равносильным.

• При решении показательных уоавнений: уравнен ое aOРx) = aН< x ) (а >У aiM) равносилхно f (x) = g(x).

• При решении логарифмических уравнений: уравнение (f (x) > 0, g (>с^>-О, ги>-0, a^1) равносильно ИМ = вк (>л).

• При решени и вррациональмых уравнений (можно применять, если функции монотонны): уравнкние

= л) §(х) равносильно f(x) = (3 (x).

4.Функционально-графический метод. K

- построение графиков функций y=f (x) и y=g (x); определение абсцисс точек пекесечения ирафиков.

- использование свойств функций: монотонности, наибольшего и наименишего значений та пуомежутке X.

IV. Физкультминутка

Дидактическая задача. Снять усталость и напряжение.

Содержание лтапа.

Стоя выполняем упражнения под музыку:

- вытянуть руки вперед;

- дотронуться до кончика носа правой, левой рукой;

- встряхиуть кивтями рук;

- нрклонить голову вперед, назад;

- повернуть туловище налево, направо;

- выпрямить спину, сесть прямо.

V. Закрепление нов ых знаний

Дидактическая задача. Закрепить знание учащимися общих методов решения иррациональных, показательных, логарифмических уравнений; вырабатывать соответствующие навыки и умения; выявить пробелы в знаниях учащихся.

В а р и га н т А . Вариа нт В .

1) 9^ _ 7.3^ = 18,

2) 2х •х_4х_4 + 2х =0,

3) Vl6 + х + х = 5,

4) log^ х 2 = logv3

5) 2х = 6 _ х.

(Далее при подведении итогов важно, чтобы каждый уч емик прсв ел диагностику своих знанкй и оп редвлил, над иакии учебным м/териалом по теме следует больше работать на последующих уроках. Учащиеся провели вьаимопроверк= рабст и заполнили Карту учащегося).

Карта учащихся

Фамил ия___________Вариант

№эадания Вариа пт ответа

1

2

3

4

5

Критерии оценивания:

«5» - 5 «4» - 4 «3» - 3

Тема урока_______________________________

Цели урока_______________________________

VI. Информация о домашнем задании

Дидактическая задача. Сообщить учащимся о домашнем задании, разъяснить методику его выполнения, мотивировать необходимость и обязательность выполнения домашнего задания.

Содержание этапа.

Учитель. Совет народной мудрости учащимся: «Знания, которые не пополняются ежедневно, убывают с каждым днем» (французская поговорка).

1) 4 - х = yjх2 - 8,

2) lg(4x- 3) = 2lg x,

3) x3 + x2 - 9x - 9 = 0,

4) x -y[x - 2 = 0,

5) x3 = 6 + x.

42

Муниципальное образование: инновации и эксперимент №4, 2011

ИННОВАЦИОННЫЕ И ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЕ ПРОЕКТЫ, ПРОГРАММЫ, ПОДХОДЫ

Все учащиеся, которые неверно решили уравнения, выполняют работу над ошибками.

Вам предлагается самостоятельно в зависимости от успешности работы на уроке выбрать вариант домашнего задания:

Вариант 1. Выполнить задания из задачника: § 56 № 1681 (а, б), 1689, 1712.

Вариант 2. Составить работу вариант А или вариант В (с решением).

VII. Подведение итогов урока, рефлексия

Дидактическая задача. Выявить степень осознания учащимися собственной учебной деятельности на уроке.

Содержание этапа.

Учитель. - Какая была тема урока?

- Какие общие методы решения уравнений вы знаете?

- Как прошел для вас урок?

- С каким настроением вы уходите с урока?

Совет народной мудрости учащимся:

1) «Жизни человека есть предел, учению - нет» (китайская поговорка).

2) «Ни один сосуд не вмещает в себя больше своего объёма, кроме сосуда знаний, - он постоянно расширяется» (арабская поговорка).

3) «Не бойся, что не знаешь, бойся, что не учишься»

Спасибо за урок! До свидания.

Предложенная структура подчинена триединой цели урока и содействовала достижению конечного результата. В ходе урока при повторении уже известных учащимся методов решения уравнений использовались фрагменты презентаций учащихся, подготовленные ими ранее в группах, что показывает значимость и востребованность результата их деятельности на предыдущих уроках. При изучении темы был фрагментарно привлечён материал устного народного творчества (пословицы и поговорки) народов мира. Цели, поставленные на уроке, достигнуты. Урок представляет собой целостную систему.

Литература

1. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. 10-11 классы. Ч. 1: учебник для общеобразовательных учреждений, ч. 2 для общеобразовательных учреждений. - М.: Мнемозина, 2007

2. Мордкович А. Г. Алгебра и начала анализа. Методическое пособие для учителя.

3. Черкасов О. Ю. Математика. Пособие для поступающих в вузы: учебное пособие. - М.: Дрофа, 2010

4. Балаян Э. Н. Репетитор по математике для поступающих в вузы. - Ростов н/Д: Феникс, 2005

5. Егерев В. К., В. В. Зайцев, Б. А. Кордемский и др.; Под ред. М. И. Сканави. - М.: ООО «Издательство Оникс»: ООО «Издательство «Мир и Образование», 2009

6. Ковалева С. 7000 золотых пословиц и поговорок. - М.: ООО «Фирма «Издательство АСТ», 1999

7. Селиванова О. Г. Дидактика личностно-ориентированного обучения. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2006.

Учитель использует различные формы работы: тестирование, фронтальный опрос, демонстрация опытов, в ходе которых, ученики самостоятельно делают необходимые выводы, обобщают известные данные и результаты записывают в тетрадь, на уроке также организуется работа с учебником и задачником.

Сысуева Людмила Николаевна

учитель физики 1 категории, МОУ «СОШ №5», г. Курчатов Курская обл. E-mail: sysueva_luda@mail.ru

СЦЕНАРИЙ УРОКА ПО ТЕМЕ: «ИМПУЛЬС СИЛЫ. ИМПУЛЬС ТЕЛА»

Как можно организовать деятельность учащихся для того, чтобы они с увлечением решали задачи урока?

Ключевые слова: Импульс силы, импульс тела, тестирование, фронтальный опрос, физические опыты, решение задачи на закрепление, выводы.

Цель урока: разъяснить учащимся, что при взаимодействии тел движение передаётся от одного тела к другому.

Задачи урока Образовательные:

- дать знания об импульсе силы и импульсе тела; - дать соотношение между этими понятиями, то есть дать другую формулировку второго закона Ньютона;

Воспитательные:

- показать важность введения новых понятий, так как они имеют большое значение не только в механике, но и в других разделах физики.

Развитие мышления:

- формирование умений обобщать известные данные.

Демонстрации:

1. опыт с тележкой и магнитом;

Муниципальное образование: инновации и эксперимент №4, 2011

43