Управление траекторией космического аппарата с малым аэродинамическим качеством при спуске в атмосфере

Том ХЫН

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 2012

№ 5

УДК 629.195.31.5

УПРАВЛЕНИЕ ТРАЕКТОРИЕЙ КОСМИЧЕСКОГО АППАРАТА С МАЛЫМ АЭРОДИНАМИЧЕСКИМ КАЧЕСТВОМ ПРИ СПУСКЕ В АТМОСФЕРЕ

Ю. М. АНОШИН, А. В. БОБЫЛЕВ, В. А. ЯРОШЕВСКИЙ

Решается задача синтеза закона управления траекторией спуска второго поколения космических аппаратов с минимально возможным разбросом конечной точки. Предложен алгоритм управления, основывающийся на решении обратной задачи механики, позволяющий значительно уменьшить терминальные отклонения. В качестве прототипа рассматривается космический аппарат «Союз».

Ключевые слова: алгоритм, квазистационарное планирование, номинальные траектории, область достижимости, градиентный ветер, статистическое моделирование.

Основной особенностью алгоритмов управления траекториями входа в атмосферу с применением бортовых ЭВМ можно считать включение в эти алгоритмы программы прогнозирования траектории на оставшемся этапе полета. Такое прогнозирование позволяет оценить возможности достижения космическим аппаратом (КА) требуемого района посадки при соблюдении ограничений, наложенных на перегрузочный и тепловой режимы. То есть установить, располагается ли этот район в пределах области достижимости, а также определить закон изменения управляющих параметров (углов атаки и крена), обеспечивающий максимальную вероятность успешного выполнения поставленной задачи.

Здесь возможны два варианта прогнозирования, основанные на решении прямой и обратной задачи механики полета. В первом варианте решается задача о расчете траектории при заданных значениях управляющих параметров на оставшемся интервале времени и начальных условиях, соответствующих текущему положению и текущей скорости КА. Например, в случае управления только путем изменения угла крена следует рассчитывать прогнозируемое расположение области достижимости [1].

АНОШИН Юрий Михайлович

младший научный сотрудник ЦАГИ

БОБЫЛЕВ Анатолий Владимирович

кандидат технических наук, старший научный сотрудник ЦАГИ

ЯРОШЕВСКИИ Василий Александрович

доктор технических наук, член-корреспондент рАн, советник дирекции ЦАГИ

Расположение требуемого района посадки в пределах этой области определяет величину и знак командного угла крена из условия наискорейшего движения этой точки по направлению к центру области возможного маневра. Такой алгоритм, однако, приводит к почти скользящему режиму переключений знака угла крена, что является неприемлемым по многим соображениям. Поэтому здесь вводится некоторая гистерезисная зона, обеспечивающая достижение компромисса между требованиями к точности управления и количеству перекладок по крену [2, 3].

На практике получил развитие другой метод прогнозирования траекторий, основанный на решении обратной задачи механики полета, решение которой позволяет найти закон изменения управляющего параметра (угла крена) по заданному профилю в плоскости «скорость — высота» или, что то же самое, в плоскости «скорость — продольная перегрузка» [4]. При синтезе алгоритмов управления КА полезно использовать опыт разработки алгоритмов управления многоразовых ВКС типа «Спейс Шаттл» и «Буран» [5], рассчитанных на выполнение горизонтальной посадки. Однако величина аэродинамического качества КА (например, для КА «Клипер» она меньше, чем у ВКС «Буран» [6]) привносит определенную специфику в решение задачи управления.

КА «Союз» обладает малым аэродинамическим качеством (около -0.3, при положительных углах атаки подъемная сила отрицательна). Управление спуском КА «Союз» осуществляется на основе опорной попадающей траектории посредством разворота спускаемого аппарата по крену относительно опорного угла. При этом максимальные отклонения от точки посадки достигают величины порядка 18 км. Задача повышения точности посадки КА второго поколения типа «Союз» может быть решена путем использования прогнозирования на оставшемся участке траектории, основанного на решении обратной задачи механики полета. Такой подход позволяет обеспечить полную реализацию маневренных возможностей с выполнением всех ограничений, наложенных на профиль траектории.

В процессе спуска КА прогнозируемая оставшаяся дальность до конечной точки 5пр определяется для номинальных траекторий по формуле [6], [10]:

где 0ном, nx ном — программные зависимости угла наклона траектории и продольной перегрузки от скорости полета; Ук — конечное значение скорости полета. При формировании номинальных траекторий спуска, используемых для расчета дальности на оставшемся этапе полета, обычно выбирают две предельные траектории и несколько промежуточных [6].

Одна из предельных траекторий спуска КА является траекторией квазистационарного планирования (полет с максимальным значением эффективного аэродинамического качества K cos у , для КА «Союз» у = 165°^ 180°), которая обеспечивает максимальную дальность полета с минимальными значениями продольной перегрузки. Другая предельная траектория состоит из участков, на которых достигаются максимально допустимые значения конвективного теплового потока, продольной перегрузки и скоростного напора.

Из формулы (1) следует, что прогнозируемая оставшаяся дальность должна вычисляться с некоторого момента времени, когда знаменатель станет положительным. В качестве такого условия целесообразно использовать nx > 0.05 , которое гарантирует положительность знаменателя при входе КА в атмосферу с околокруговой скоростью. Также следует отметить, что малые значения знаменателя при околокруговой скорости обеспечивают большую дальность полета, а значения разности знаменателей для предельных траекторий спуска определяют размеры области достижимости.

Для рассматриваемого КА наиболее существенным ограничением является величина суммарной перегрузки, которая не должна превышать 3. Значения равновесной температуры не достигают больших значений, поскольку радиус кривизны носовой части (лобового экрана) превышает 2 м. В процессе формирования номинальных зависимостей оказалось, что из-за малого аэродинамического качества КА использование участков с постоянными значениями конвективного теплового потока приводит к неудовлетворительному качеству переходных процессов и, как

к

следствие, к значительному превышению допустимых значений суммарной перегрузки. Значительного улучшения результатов удалось достигнуть при использовании на гиперзвуковом этапе спуска двух переходных участков в виде кубических парабол. Первый участок начинается при достижении порогового значения продольной перегрузки nx = 0.05 и заканчивается выходом на кривую с заданным значением конвективного теплового потока. Сразу за первым переходным участком начинается второй, который заканчивается выходом на изоперегрузочный режим спуска. Следует отметить, что на ВКС «Буран» использовались аналогичные переходные участки в виде парабол, а для КА «Клипер» использовалась аппроксимация предельной траектории в виде полиномов высокого порядка [б].

На изотемпературной кривой должно выполняться соотношение [б, 7]:

p Vб5 = 4 = const, A = ^S0^ VK-3-25,

A2 л/гн

где Чк — значение конвективного теплового потока для ламинарного пограничного слоя; гн — радиус кривизны в критической точке; Укр — круговая скорость.

Выражения для продольной и нормальной перегрузок записываются в виде:

СxaSpV2 , n = cyaSPV2

2mg y 2mg

nx = , , ny = Z .

Здесь сха — коэффициент сопротивления; суа — коэффициент подъемной силы; S — характерная площадь; т — масса аппарата; g — ускорение свободного падения. В то же время зависимость пх (V) для первого переходного участка можно представить в виде кубической параболы:

Пх

где V, — скорость КА при достижении порогового значения продольной перегрузки пх = 0.05.

Для вычисления четырех неизвестных коэффициентов кубической параболы можно выписать че-

- V

тыре граничных условия для перегрузки и производной п х :

(V) = a, + 2a2 (V - V) + 3a3 (V - V )2,

cxaS Чк ma

2mg A2V,4

n

V0 ’ x v w 2mg A2^5'5

V (V0 ) = a, = - 2nx (V0 ) , nVx (V,) = -cxaS 4.5Чк max

где V — скорость КА при выходе на изотемпературную кривую qк max = const.

Задавая значение скорости V и величину максимального значения конвективного теплового потока qкmax, можно вычислить значения неизвестных коэффициентов Й2 и . Будем предполагать, что изменение плотности атмосферы с высотой подчиняется экспоненциальному закону, g = const, поскольку диапазон высот мал, и аэродинамические характеристики КА на гипер-звуковых скоростях полета остаются неизменными. Продифференцируем по времени выражения для nx в (3) и (4) и приравняем полученные выражения. В результате получим формулу для определения угла наклона траектории при движении КА по кубической параболе (4):

- sin 0 = -

V\

Для вычисления скоростного угла крена ус можно воспользоваться уравнением движения для угла наклона траектории и соотношением, полученным при дифференцировании по скорости формулы (6):

n cos у с - cos 0

f v 2 ^

1--------

Rg

dV

-V

—(-sin 0) = - cos 0— , dVv ’ dV

где R — радиус Земли.

Приравнивая производные го угла крена:

cosус =-

dV

в (7) и (8), получим выражение для определения скоростно-

1

V (nx + sin 0) d cos 0 dV

(-sin 0)- cos 0

f V 2 ^

1--------

Rg

Зависимость пх (V) для второго переходного участка можно также представить в виде кубической параболы:

Пх (V) = bo + bi (V - Vi) + b2 (V - Vi )2 + b3 (V - Vi )3.

Для вычисления четырех неизвестных коэффициентов кубической параболы можно выпи-

- V

сать четыре граничных условия для перегрузки и производной пх :

.V/тлЧ 7. . -.7. 1ЛТ ЛТ \ . OL ЛТ \2

(V) = bi + 2b2 (V - Vi) + 3Ьз (V - Vi )2

:(Vi ) = bo =

CxaS Чк

2тг 4.5

2mg A Vi

nx (V2 ) nxmax,

(Vi ) = bi =-

CxaS 4.5Чк

2mg A 2V{

2тл5.5 ’

(V2 ) = 0^

где V2 — скорость КА при выходе на кривую nx = nx max = const.

Задавая скорость V2 и максимальную продольную перегрузку nx max, можно вычислить неизвестные коэффициенты b2 и Ьз . Используя такой же подход, как и на первом переходном участке, получим формулы для определения угла наклона траектории 0 и скоростного угла крена у с, аналогичные формулам (6), (9).

Отметим, что в процессе выбора переходных участков следует проверять выполнение условия |cos yc| ^ i (формула (9)). Необходимо найти области допустимых значений конвективного

теплового потока Чк max и скоростей Vi, V2, при которых возможно получение реализуемой траектории.

На рис. i — 6 приведены четыре номинальные траектории для экспоненциальной атмосферы в координатах nx (V), H(V) , yс (V), 0(V), дк (V) и q(V) . Три траектории получены с различными ограничениями на продольную перегрузку (номиналы пь n2 , Пз ) и траектория с максимальным эффективным аэродинамическим качеством K = K cos y с, Y с = !80° (номинал П4), при этом максимальная продольная перегрузка равна i.9 (при предельном значении 2.87). Такой

Рис. 1. Номинальные программы изменения продольной перегрузки по скорости, соответствующие различным ограничениям на максимальную продольную перегрузку:

max ni = 2.87, max П2 = 2.5, max П3 = 2.1, maxП4 = 1.9

H, км

75

50

25

ni

J

Рис. 2. Номинальные программы изменения высоты полета по скорости, соответствующие различным номинальным программам изменения перегрузки

Ус

150

100

50

n4

3 1 1 i

^ S /

s' / / n1 /

] V, м/с

Рис. 3. Номинальные программы изменения скоростного угла крена по скорости, соответствующие различным номинальным программам изменения перегрузки

м/с

Рис. 4. Номинальные программы изменения угла наклона траектории, соответствующие различным номинальным программам изменения перегрузки

Рис. 5. Номинальные программы изменения скоростного напора по скорости, соответствующие различным номинальным программам изменения перегрузки

Рис. 6. Номинальные программы изменения конвективного теплового потока по скорости, соответствующие различным номинальным программам изменения перегрузки

узкий диапазон максимальных значений nx ограничивает количество промежуточных номинальных траекторий.

На номиналах n1; n2, Щ переходные участки по продольной перегрузке в виде кубических парабол позволяют получить плавные функции без каких-либо изломов на гиперзвуковых участках спуска (рис. 1). В то же время для угла крена (рис. 3) и угла наклона траектории (рис. 4) легко выделить эти переходные участки, поскольку при переходе с одного участка на другой эти переменные изменяются скачком. На рис. 1, 3, 6 пунктиром показаны зависимости траекторных параметров, соответствующие режиму дк = const.

Следует также отметить, что коэффициент сопротивления cxa в широком диапазоне чисел М изменяется незначительно, поэтому режим стабилизации продольной перегрузки эквивалентен режиму стабилизации скоростного напора (рис. 1 и 5). Максимальный скоростной напор достигается на номинале ni и составляет около 1800 кг/м (рис. 5).

Обычно на заключительном участке спуска используется режим стабилизации скоростного напора с разными значениями qmax . Для рассматриваемого КА из-за малого значения аэродинамического качества стабилизация qmax затруднительна. Поэтому при М < 6 номинальные зависимости дополнены траекториями, полученными с использованием набора линейных зависимостей скоростного угла крена от скорости полета.

Номинальные значения траекторных параметров вычисляются из условия равенства фактической дальности и прогнозируемой дальности £пр (1), полученной для всех четырех номинальных траекторий, путем линейной интерполяции. Корректировка номинальных зависимостей производится постоянно в процессе спуска через некоторый промежуток времени At (или уменьшения скорости на AV).

Закон изменения командного угла крена у к имеет вид [6]:

К cos Y к = К cos Y НоМ (V) + cn [nx - nx ном (V)] - ce [sin 0 - sin 0ном (V)] ,

где cn и Ce — передаточные коэффициенты, зависящие от скорости и скоростного напора, которые следует выбирать таким образом, чтобы обеспечить желаемую структуру колебательного переходного процесса в плоскости (V, nx) с логарифмическим декрементом затухания в пределах 0.5 — 0.7.

На рис. 7, 8 приведены переходные процессы, которые были получены при выдерживании продольной перегрузки, соответствующей номиналу n1 . При этом изменение плотности атмосферы с высотой полета соответствовало стандартной атмосфере, движение около центра масс при изменении угла крена учитывалось путем введения апериодического звена с постоянной

Рис. 7. Выдерживание номинальной программы изменения продольной перегрузки n1 по скорости

Рис. 8. Регулирование угла крена, соответствующее выдерживанию номинальной программы изменения продольной перегрузки п1 по скорости

времени Т = 1 с и ограничением на угловую скорость крена (|юх| < 10 °/с). Отклонения по продольной перегрузке небольшие, а колебания по углу крена, возникающие из-за скачков в номинальной зависимости ус (V), затухают достаточно быстро.

Закон управления эффективным аэродинамическим качеством Кэф позволяет изменять

продольную дальность КЛА, а боковая дальность регулируется знаком угла крена. Команда на переворот по крену производилась при выходе ошибки по курсу относительно точки прицеливания за пределы некоторого значения ±Ду, которое составляло 4° для режима управления, близкого к полету на Ктах , и уменьшалось до 1° для режима управления, близкого к номиналу «1. Приращение |Ду| относительно у ном было ограничено величиной 30°. С целью улучшения качества управления боковой дальностью командное значение угла крена имело ограничение 15° < |у к| < 165°.

Расчеты выполнялись для начальных условий Н0= 90 км, Vo = 7810 м/с, 0О = -0.1°, у 0 = 69°. Начальное значение угла крена у 0 = 69° выбрано из условия реализации максимальной боковой дальности для КА с аэродинамическим качеством 0.3 [8]. Расчеты оканчивались при достижении высоты Н = 20 км из-за отсутствия достоверных аэродинамических характеристик на трансзвуковых и дозвуковых скоростях полета. На участке Н < 20 км могут быть рассмотрены различные варианты управления с использованием и без использования парашютных систем, а на конечной стадии спуска — включение двигателей мягкой посадки. С целью повышения точности управления можно рассмотреть раздельное управление продольной и боковой дальностью. За счет отклонения кормового щитка можно управлять продольной дальностью, а путем регулирования угла крена — боковой дальностью. Поскольку траектория спуска на этой части траектории близка к отвесной, возможности компенсации накопленной ошибки весьма ограничены. Кроме того, большую роль в разбросе точки посадки будет играть горизонтальный градиентный ветер.

На рис. 9, 10 в координатах широта-долгота (ф, ф) показана область достижимости, полученная для экваториальной орбиты без учета вращения Земли для стандартной атмосферы при отсутствии возмущений. (В качестве модели атмосферы может быть также использована модель, предложенная в работе [11]). Несмотря на малое аэродинамическое качество, область достижимости по продольной дальности составляет около 1000 км, а максимальное боковое отклонение — 165 км. Практически во всей области достижимости обеспечивается высокая точность приведения КА в конечную точку, ошибка составляет менее 1.3 км (рис. 9). При этом максимальная продольная перегрузка увеличивается от дальней границы области, где в основном используется по-

лет на максимальном аэродинамическом качестве, до ближней границы, где управление осуществляется по номиналу «1 (рис. 10).

1 5

06

06

-16

о 0<Л.у<1 км • 1 <Ал<2 • 3<Лл<4  4<Лл<5км

У

• « « 4 І

0

0 Ар

чг

о

« і «   в

41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52

Рис. 9. Ошибка А і приведения КА к различным точкам области достижимости в плоскости географических координат

Рис. 10. Значения максимальной продольной перегрузки пх при приведении КА к различным точкам области достижимости в плоскости географических координат

Из приведенных выше результатов следует, что для проведения статистического моделирования в качестве конечной точки спуска следует выбрать середину области достижимости, скорректированной с учетом возможных нарушений ограничений по суммарной перегрузке , например, точку с координатами фк = 0, фк = 48°. Для этой точки прежде всего следует провести анализ влияния основных возмущений на точность приведения при управляемом спуске КА.

Результаты расчетов представлены в табл. 1. В качестве возмущений были выбраны:

1. Отклонения начальной скорости ДVo (± 10 м/с);

2. Отклонения начального угла наклона траектории Д00 (± 0.05°);

3. Отклонения аэродинамического качества АК (-0.07 0.2);

4. Отклонения плотности атмосферы Ар (-0.22 ^ 0.3), р = рном (1 + Арея 100 км ) .

Т аблица 1

Влияние возмущений на точность приведения в конечную точку

А с А00 АК ар А , км пЕ тах

0 0 0 0 0.786 2.541

-10 0 0 0 0.298 2.548

10 0 0 0 0.304 2.681

0 -0.05 0 0 0.179 2.557

0 0.05 0 0 0.17 2.714

0 0 -0.07 0 5.267 2.660

0 0 -0.05 0 0.139 2.615

0 0 0.1 0 0.395 2.702

0 0 0.2 0 0.558 2.854

0 0 0 -0.22 14.426 3.024

0 0 0 -0.2 0.293 2.952

0 0 0 0.2 2.152 2.545

0 0 0 0.3 8.087 2.564

Начальные отклонения скорости и угла наклона траектории в рассматриваемых пределах не приводят к заметному ухудшению конечной точности. Наиболее критичным возмущением следует признать уменьшение аэродинамического качества. При АК = -0.05 ошибка А мала, и не превышает 0.139 км, а при АК = -0.07 ошибка увеличивается до 5.267 км. В случае увеличения аэродинамического качества конечная ошибка остается небольшой даже при значительных отклонениях АК . Так при АК = 0.2 А составляет всего 0.558 км.

Отклонения плотности атмосферы задаются в экспоненциальном виде [7], что обеспечивает изменение плотности на больших высотах на 50 и более процентов. Это является определяющим, поскольку именно на больших высотах выбираются номинальные зависимости, необходимые для приведения КА в конечную точку с высокой точностью. При этом оказалось, что в случае разреженной атмосферы ситуация более сложная, чем для атмосферы повышенной плотности. При Ар = -0.22 реализуется перелет более 14 км, максимальная суммарная перегрузка превышает 3.

При Ар = 0.3 реализуется недолет около 8 км, п2 тах = 2.564.

Для оценки точности приведения КА в конечную точку было проведено статистическое моделирования. В качестве точки прицеливания выбрана точка с координатами фк = 0, ф к = 48° (несколько смещенная в сторону дальней границы области относительно середины области достижимости). На основе анализа чувствительности выбраны диапазоны изменения возмущающих параметров для статистического моделирования. Принято, что начальные отклонения АУ0, А00 подчиняются нормальному закону распределения (обычное предположение для подобных задач), а отклонения аэродинамического качества АК и плотности атмосферы Ар распределены равномерно. Таким образом, в процессе моделирования возмущения задавались в следующем виде:

АГ0 = 2^, А00 = -0.01^,

АК = -0.025 + 0.075 ^К, Ар = -0.1 + 0.2^р ,

где с,у, ^р — нормально распределенные случайные числа (0,1); \к , — случайные числа,

распределенные по равновероятному закону на отрезке [0, 1].

Первая серия расчетов проводилась для случая отсутствия ветровых возмущений. Результаты статистического моделирования в объеме 1000 реализаций представлены на рис. 11 и в табл. 2. В первой строке таблицы выписаны обозначения наблюдаемых параметров. Во второй строке приведены минимальные значения этих параметров, в третьей — максимальные значения, в четвертой — их математические ожидания, в пятой — среднеквадратические отклонения.

ф° I---------------------------------------------------------

0.025 __________________________________________________________

0. 000

-0.025

Рис. 11. Область рассеивания на высоте 20 км при приведении КА в точку (фк = 0, фк = 48°), при отсутствии ветра

Т аблица 2

Статистическое моделирование, фк = 0, фк = 48°, Ц = 0

Параметры Ф° ф° Д, км Т к 1 м тах ’ пЕ тах Чтах , кг/М

хтт 47.931 -0.0036 0.0093 1550.62 2.5241 2058.9

Хтах 48.0059 0.0039 7.6625 1830.66 2.8928 2187.35

X 48.0004 0.0001 0.3265 1634.33 2.6264 2116.3

а 0.0043 0.0016 0.3895 58.08 0.0789 22.48

Максимальная ошибка Дя составила 7.66 км, среднеквадратическое отклонение — 0.4 км. Наибольшее значение суммарной перегрузки п2 не превышает 2.9, максимальная равновесная температура Тмтах составила 1831 К, максимальное значение скоростного напора дтах не превысило 2190 кг/м2.

Из 1000 реализаций примерно 9 выпадают из основного пятна (рис. 11), причем во всех случаях происходит недолет из-за неблагоприятных сочетаний возмущающих параметров. Основная масса конечных точек сосредоточена в компактной области, в которой отклонение от расчетной точки не превышает 1 км.

М к

СО СП л -о .90 47 ,35 Н'“ ' Р ф

ф°

0 .025

0. 000

-0.025

Рис. 12. Область рассеивания на высоте 20 км при приведении КА в точку (фк = 0, фк = 48°), при случайном ветре

Т аблица 3

Статистическое моделирование, фк = 0, фк = 48°, W = var

Параметры Ф° ф° As, км T K w max ’ ИЕ max 9max , КГ/м2

xmin 47.9617 -0.0097 0.0063 1549.31 2.5176 2061.31

xmax 48.0146 0.0079 4.255 1826.25 2.8454 2191.56

x 48.0042 -0.0003 0.5744 1640.54 2.6252 2119.65

a 0.0035 0.0025 0.3287 61.68 0.0757 22.59

Вторая серия расчетов проводилась с учетом воздействия горизонтального градиентного ветра. Вертикальный профиль параметров статистической модели горизонтального градиентного ветра для высот от 20 до 50 км был выбран на основе данных, представленных в работах [7, 9]. Для этой модели максимальное значение горизонтального ветра достигается на высоте 50 км и составляет около 50 м/с, при среднеквадратическом отклонении 10 м/с. Результаты расчетов представлены на рис. 12 и в табл. 3.

Максимальная ошибка составила 4.26 км, среднеквадратическое отклонение — 0.33 км. Фактически получилась парадоксальная ситуация: добавление возмущающего параметра привело к уменьшению разброса конечной точки (H = 20 км) траектории КА. Объясняется это тем, что горизонтальный градиентный ветер имеет систематическую составляющую, направленную на восток (траектория полета КА также направлена на восток). В результате, недолетные ситуации в основном улучшились. Это и привело к уменьшению максимальных отклонений. Однако основное пятно заметно сместилось в сторону перелетных ситуаций, увеличились математические ожидания ф и AS (табл. 3, рис. 12).

Таким образом, несмотря на небольшое аэродинамическое качество, может быть достигнута достаточно высокая точность приведения КА в конечную точку.

Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации

ЛИТЕРАТУРА

1. Ярошевский В. А., Иванчихина Л. И. Реализация маневренных возможностей космического аппарата при входе в атмосферу // Космические исследования. 1996. № 5, с. 505 — 512.

2. Deyst J. J., Gustafson D. E., Kriegsman B. A. Optimal lateral guidance for low L/D stuttle vehicle entry // J. of Spacecraft and Rockets, 1972. V. 9, N 10.

3. Дудар Э. Н., Ярошевский В. А. Управление боковым движением космического летательного аппарата в атмосфере // Космические исследования. 1984. № 2.

4. Harpold J. C., Graves C. A. Stuttle entry guidance // J. of Astronautical Sciences.

1979. N 3.

0 fji

„950 'H' 47 ,975 " ' ' “H!  0 ПД№|||| 48  02 5 ' , Ф

5. Семенов Ю. П., Лозино - Лозинский Г. Е., Лапыгин В. Л. и др. Многоразовый орбитальный корабль «Буран». — М.: Машиностроение, 1995.

6. Бобылев А. В., Дядькин А. А., Кобзев В. И., Поединок В. М., Решетин А. Г., Супруненко С. Н., Ярошевский В. А. Проблемы управления возвращаемым аппаратом с умеренным аэродинамическим качеством на этапе входа в атмосферу // Космические исследования. 2008. Т. 46, № 1, с. 75 — 89.

7. Ярошевский В. А. Вход в атмосферу космических летательных аппаратов. — М.: Наука, І988.

8. Ярошевский В. А. Приближенное вычисление потребной и располагаемой боковой дальности, реализуемой при спуске космического аппарата в заданную точку на поверхности Земли // Космические исследования. 2005. Т. 43, № 6, с. 462 — 469.

9. Доброленский Ю. П. Динамика полета в неспокойной атмосфере. — М.: Машиностроение, 1965.

10. Бобылев А. В., Ярошевский В. А. Управление возвращаемым в атмосферу космическим аппаратом на нижнем участке траектории // Ученые записки ЦАГИ. 2007. Т. 38, № 3 — 4, с. 119 — 127.

11. Ярошевский В. А. Модель плотности атмосферы Земли, удобная для проведения расчетов траекторий спуска космического аппарата // Ученые записки ЦАГИ. 2009. Т. ХЬ, № 3, с. 53 — 59.

Рукопись поступила 25/Х 2011 г.