Экспериментальное определение коэффициентовмногопараметрического разложения поля напряженийу вершины трещины: метод фотоупругости

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2017. № 1

МЕХАНИКА

УДК 539.4

Л.В. Степанова, В.С. Долгих1

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНОЕ ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ МНОГОПАРАМЕТРИЧЕСКОГО РАЗЛОЖЕНИЯ ПОЛЯ НАПРЯЖЕНИЙ У ВЕРШИНЫ ТРЕЩИНЫ: МЕТОД ФОТОУПРУГОСТИ

Целью настоящего исследования является многопараметрический асимптотический анализ поля напряжений в непосредственной окрестности вершины трещины в линейно упругом материале и построение полного асимптотического разложения М. Вильямса поля напряжений в окрестности вершины трещины. Многопараметрический анализ поля напряжений основан на поляризационно-оптических методах механики деформируемого твердого тела (методе фотоупругости). Проведена цифровая обработка результатов оптоэлектронных измерений, выполненных на серии образцов с трещинами и надрезами. Были рассмотрены разные классы образцов из оптически чувствительных материалов, в частности образец с двумя коллинеарными трещинами в условиях нормального отрыва. Подготовлен комплекс программ, позволяющий определить масштабные (амплитудные) множители полного асимптотического разложения М. Вильямса поля напряжений у вершины трещины. С помощью основного закона фотоупругости вычислены первые пять коэффициентов полного асимптотического разложения М. Вильямса. Проведено сравнение результатов экспериментов с имеющимися аналитическим решением. Показано, что результаты обработки оптоэлектронных измерений хорошо согласуются с аналитическим решением, полученным для бесконечной пластины с двумя коллинеарными трещинами.

Ключевые слова: асимптотическое разложение М. Вильямса, поле напряжений в окрестности вершины трещины, две коллинеарные трещины, растяжение пластины, многопараметрическое описание поля напряжений, поляризационно-оптические методы механики деформируемого твердого тела.

Введение. О методе фотоупругости

Одной из наиболе важных механики разрушения была [1; 2] и остается задача аккуратного описания поля напряжений у вершины трещины, что связано с построением высших приближений в полном асимптотическом разложении М. Вильямса [3]. М. Вильямсом было впервые предложено многопараметрическое описание поля напряжений в окрестности вершины трещины [4]. С этого времени решение, предложенное М. Вильямсом для задач линейной механики разрушения, стало классическим, но, как показали исследования в этой области [5-7], чаще всего в инженерных приложениях использовался только первое слагаемое полного асимптотического разложения М. Вильямса поля напряжений в окрестности вершины трещины, который получил название коэффициента интенсивности напряжений. В последние годы на основе проведенных теоретических исследований, экспериментов, а так же математического и компьютерного моделирования сложилось четкое понимание необходимости удержания в полном асимптотическом разложении слагаемых более высокого порядка [7-11]. В работе [12] приведен обзор исследований, посвященных оценке Т-напряжений в полном асимптотическом разложении М. Вильямса, и их влиянию на поле напряжений в окрестности вершины трещины. В статье описаны некоторые аспекты влияния Т-напряжений на область пластического течения, теоретическое реконструирование картины изохроматических полос, а так же прогнозирование траектории распространения трещины. Что же касается нахождения самих Т-напряжений, то авторы статьи показывают, что особенно эффекивным для определения Т-напряжений является сочетание конечно-элементного, экспериментального и аналитического методов их нахождения. В статье дан обзор большого количества проведенных исследований, и показан обоснованный вывод: для точного и надежного предсказания направления роста трещины в решении М. Вильямса недостаточно не только коэффициентов интенсивности напряжений, но даже

!© Степанова Л.В, Долгих В.С., 2017

Степанова Лариса Валентиновна (stepanovalv@samsu.ru), Долгих Вадим Сергеевич (vadek13@rambler.ru), кафедра математического моделирования в механике, Самарский национальный исследовательский университет имени академика С.П. Королева, 443086, Российская Федерация, г. Самара, Московское шоссе, 34.

и Т-напряжения. Отсюда следует, что для точного и достоверного прогноза в решении М. Вильямса необходимо удержание не только Т-напряжения, но и слагаемых высших порядков. Трудность определения полей деформаций и напряжений у вершины трещины привела к необходимости разработки и применения экспериментальных методов исследования деформаций и напряжений [13]. В настоящее время достаточно хорошо разработаны и эффективно используются методы фотоупругих покрытий, сеток, муара, тензометрии, рентгеновского анализа, травления, дифракционных решеток, электронной микроскопии, фазовой интерференции, нанесения медных покрытий, голографии, позволяющие исследовать поля деформаций при статическом и циклическом нагружении [7; 14; 15]. Искусственное двойное лучепреломление используется для изучения деформаций в прозрачных телах. Такой метод исследования деформации, называемый методом фотоупругости, нашел широкое применение в различных областях науки и техники. Одним из важных применений фотоупругости является использование данного метода при исследовании распределения напряжений в оптических стеклах, возникающих при их изготовлении, а также при исследовании остаточных напряжений. Также метод фотоупругости, иначе называемый поляризационно-оптическим методом, находит широкое применение в инженерной практике и в области научных исследований [14; 15]. Следует отметить, что применение метода фотоупругости не ограничивается плоскими моделями. Известны методы исследований на объемных моделях, в том числе вращающихся. Известны также методы, используемые для исследования термонапряженных состояний. Сочетание методов фотоупругости и муара дает возможность решать весьма сложные задачи по исследованию напряжений в зонах концентрации напряжений в телах сложной формы, нагружаемых по сложным схемам. В [17] авторы показали, что большому количеству инженерных приложений требуется как можно более точный анализ полей напряжений в окрестности вершины трещины, что в свою очередь показывает, что нельзя пренебрегать слагаемыми высших порядков в решении М. Вильямса. В наше время ситуация не изменилась, и по прежнему остается важным вопрос, сколько слагаемых известного разложения М. Вильямса [19] необходимо использовать для получения наивысшей точности расчетов. Следует отметить, что в настоящее время особое внимание уделяется цифровой обработке изображений, получаемых в рамках метода фотоупругости (например, [17; 18]). Этим обстоятельством и обусловлена мотивация настоящей работы. В статье рассматривается обработка изохроматической картины полос с целью вычисления коэффициентов высших приближений в полном асимптотическом разложении М. Вильямса поля напряжений у вершины трещины.

1. Экспериментальная часть

В данной работе был проведен ряд экспериментов с помощью поляризационно-оптических методов механики деформируемого твердого тела на проекционно-поляризационной установке ППУ-7

Было проведено несколько серий экспериментов на образцах разной конфигурации при разной амплитуде нагружения. Использовались такие образцы как: плоская пластина с двумя коллинеарными трещинами (основной образец), нагружаемая силами 50 кг. и 75 кг (рис. 1), 95 кг. и 100 кг. (рис. 2). Для определения цены изохроматической полосы (оптической постоянной материала)использовался круглый диск из того же материала, нагруженный поочередно силами 140 кг., а так же 180 кг. и 210 кг. Процесс определения цены изохроматической полосы (оптической константы материала) называют тарировкой. Одним из самых простых и точных методов определения разности главных напряжений (тарировки) является метод полос. В данном методе картину изохром наблюдают в виде темных полос. Цена полосы для одного отдельно взятого образца должна быть одинакова при разной степени нагружения. Для каждого шага нагружения фиксируется порядок полосы и приложенная нагрузка. Проводится измерение диаметра и толщины диска, а так же поиск координат точки, лежащей на выбранной изохроматической полосе. Качественная связь между порядком полос и разностью главных напряжений устанавливается по следующей формуле:

- а2 = ^^

h

где N - порядок полосы, h - толщина образца. Отсюда следует, что &01'0'' выражает собой значения разности главных напряжений при заданном номере изохроматической полосы и толщине образца. Это значение и называют ценой полосы материала. Определение значения Cq1'0'1 для данного материала осуществляется из экспериментов, для которых возможно теоретическое решение и напряжения могут быть вычислены. Для определения а01,0) были проведены эксперименты на сжатие кругового диска парой сосредоточенных сил, направленных строго в вертикальной плоскости (по OY), при условии, что начало координат совпадает с

Рис. 1. Картина интерференционных полос, полученная при нагружении плоской пластины с двумя колли-неарными трещинами силой 50 кг

Рис. 2. Картина интерференционных полос, полученная при нагружении плоской пластины с двумя колли-неарными трещинами силой 95 кг

центром диска радиуса Д. Напряжения в точке диска с координатами (х,у) вычисляется по формулам:

2Р

<11 =

пН { 2Д [х2 + (Д - у)2]2 [х2 + (Д + у)2]2

<22 = 2Р/ ±_____

22 пН {2Д [х2 + (Д - у)2]2 [х2 + (Д + у)2]2' ' К '

2Р ( х(Д - у)2 х(Д + у)2 |

<712 =

пН \ [х2 + (Д - у)2]2 [х2 + (Д + у)2]2

Для выбранной полосы порядка N, которая проходит через точку (х, 0) диаметра диска, совпадающего с горизонтальном направлением оси абсцисс заданной системы координат, и для нагружения силами , при

просвечивании диска монохроматическим светом будет иметь место формула:

(1,0) \а22 ~ 7и\ , ,, „ч

<0 = —N—н'

так как в точках диаметра, совпадающего с осью абсцисс, напряжения <722 и ац - главные.

Эксперименты по тарировке были проведены над образцом из эпоксидной смолы ЭД-20. Круговой образец был поочередно нагружен силами в 140 кг, а так же 180 кг и 210 кг. Испытуемые круговые диски показаны на рис 3 и рис 4.

Рис. 3. Нагружение образца силами 140 кг

180 кг 210 кг

Рис. 4. Нагружение образца силами 180 кг и 210 кг

Чтобы убедиться в том, что для любой произвольно взятой точки образца значение константы материала будет приблизительно одинаковым, были взяты 8 экспериментальных точек (по одной на каждой изохроме для каждого из трех экспериментов). С использованием пакета "Waterloo Maple release 17' была написана программа для вычисления значений константы материала. После подстановки координат экспериментальных точек в формулы вычисления главных напряжений, и полученных результатов в формулу разности главных напряжений (1.1), получили следующие 8 значений оптической константы материала: Fa = 18.286 кг/см для точки, взятой на третьей изохроме образца, с приложенной нагрузкой 210 кг.

Fa = 17.926 кг см для точки, взятой на второй изохроме образца, с приложенной нагрузкой 210 кг.

= 18.079 кг см для точки, взятой на первой изохроме образца, с приложенной нагрузкой 210 кг.

= 18.521 кг см для точки, взятой на третьей изохроме образца, с приложенной нагрузкой 180 кг.

Fa = 18.085 кг см для точки, взятой на второй изохроме образца, с приложенной нагрузкой 180 кг.

Fa = 18.139 кг см для точки, взятой на первой изохроме образца, с приложенной нагрузкой 180 кг.

Fa = 18.987 кг см для точки, взятой на второй изохроме образца, с приложенной нагрузкой 140 кг.

Fa = 17.818 кг см для точки, взятой на первой изохроме образца, с приложенной нагрузкой 140 кг.

Среднее значение цены полосы, найденное в данной работе и используемое ниже, равно ¥а = 18.23 кг/см.

2. Обработка результатов экспериментов

В ходе обработки экспериментальных данных было написано несколько комплексов программ с использованием пакета "Waterloo Maple release 17", которые позволили определить любое наперед заданное количество коэффициентов полного асимптотического разложения М. Вильямса.

Первым комплексом стали программы, позволяющие рассчитать коэффициент интенсивности напряжений. Для первой изохроматической полосы выбранного образца под действием сосредоточенной силой 95 кг. были выбраны 50 экспериментальных точек, координаты которых были сначала переведены из глобальных декартовых с началом координат в крайней левой верхней точке выбранного образца в локальные декартовы с началом координат, совпадающим с координатами правой вершины правой трещины, а затем были переведены в полярные координаты, с центром в правой вершине правой трещины.

В ходе работы была написана программа, которая подставляла координаты выбранных нами экспериментальных точек в оптико-механический закон (закон Вертгейма). Следует отметить, что в программе удалось реализовать произвольную выборку любого количества экспериментальных точек, таким образом была предпринята попытка сделать программу более универсальной, не зависящей от точек, выбираемых вручную. В программе задается количество удерживаемых слагаемых в асимптотическом разложении М. Вильямса, количество которых обуславливает количество неизвестных масштабных (амплитудных) множителей полного асимптотического разложения М. Вильямса. Зная количество неизвестных мы определяем необходимое количество уравнений. Программа формирует эти уравнения, и затем объединяет их в систему. Заметим, что уравнения в системе будут нелинейными, что значительно затрудняет точное определение необходимых нам коэффициентов полного асимптотического разложения М. Вильямса. Для решения этой проблемы в программе происходит процесс линеаризации системы, и последующее ее решение с помощью итерационного алгоритма [8]. Используемый алгоритм описан в следующем разделе.

3. Переопределенный метод нахождения масштабных (амплитудных) множителей

В настоящей работе для линеаризации системы нелинейных уравнений используется переопределенный метод нахождения масштабных (амплитудных) множителей.

Для плоского напряженного состояния имеют место формулы:

<11 + <22 , /(<711 - <22)2 , , /о -п

<1,<2 = -2- ^у -4- +

Подставляя выражение главных напряжений в основной закон фотоупругости, определяем функцию д(т), заданную в любой т точке рассматриваемого образца:

д

Далее, если подставить полное асимптотическое разложение М. Вильямса в уравнение для функции д(т), можно получить систему нелинейных уравнений от следующих неизвестных: ац, а^.а^, а21, а22..а21, где к - количество параметров первого вида нагружения(нормальный отрыв), и I - количество параметров второго вида нагружения (поперечный сдвиг). Количество уравнений данной системы полностью зависит от количества слагаемых полного асимптотического разложения, которые хотелось бы вычислить. Заметим, что каждое уравнения будет требовать экспериментальную точку, координаты которой позволят свести разложение М. Вильямса к зависимости только от масштабных (амплитудных) множителей. Рассмотрим трещину нормального отрыва, и проанализируем разложение только для первых пяти коэффициентов а^:

Г/-^ , , 2

<1 - <2 = <1 - 72 = у (<11 - <22)2 +4<22,

(т,в)=^ ак & (д)т 2-1,

к = 1

где /(к\в) - известные аналитические выражения для угловых функций:

Л(к)(в) = 2[(2 + к/2 + (-1)к)ео8(к/2 - 1)в - (к/2 - 1)еоз(к/2 - 3)в],

/2

/( к)(в) = ^[(к/2 - 1)вт(к/2 - 3)в - (к/2 + (-1)к)вгп(к/2 - 1)в]. Раскроем формулу, предложенную М. Вильямсом (3.3) [19]:

<ц

Пользуясь преобразованной формулой для разности главных напряжений:

у/

получаем следующее уравнение, справедливое для трещины только первой моды нагружения. Здесь приведен пример только для первого слагаемого полного асимптотического разложения М. Вильямса:

(а! /в) - а1 -1т/2(21)(в^ 2 + 4 (а(1) / (в)^ = (^тУ '

Теперь удержим несколько слагаемых полного асимптотического разложения высших порядков. Например, необходимо удержать слагаемые до пятого слагаемого включительно. В этом случае основной закон фотоупругости примет следующий вид:

(а1 -^/^(в) + а2/1(2)(в) + аз-т/(3)(в) + а4т/Ц\в) + а5 т2 /^(в)-

\ 2

- а1 -^/2(21)(в) + а2/22)(в) + аз^т/22 (в) + а4т/22(в) + а5т2/^(в)) +

а1 -^/22)(в) + а2/(2)(в) + аз-т/(3)(в) + а^/^в + а5т2 /^ (в)^ = (^т) '

Как можно заметить, угловые распределения зависят от координат, так что, если мы подставим какую либо экспериментальную точку, в этом квадратном уравнении будут известны все слагаемые, кроме масштабных множителей. Сам собой напрашивается вывод, что достаточно просто сделать систему из необходимого количества уравнений, зная необходимое количество экспериментальных точек. В данном конкретном примере необходимо знать пятый член полного асимптотического разложения М. Вильямса, так что достаточно любых пяти экспериментальных точек, необходимых для построения системы пяти квадратных уравнений.

Нелинейность данной системы - одно из самых сложных препятствий в решении задачи об определении коэффициентов интенсивности напряжений. В данной работе был реализован алгоритм, называемый "Метод линеаризации". Суть алгоритма заключается в том, чтобы убрать нелинейность из полученной системы уравнений для д(т). Для реализации этого алгоритма в ходе работы были взяты производные первого порядка от функции д(т) по переменным а1к, где к — количество удерживаемых коэффициентов для нормального отрыва, и по переменным ац, где I — количество удерживаемых коэффициентов для поперечного сдвига. Разложив функцию д(т) в ряд Тейлора получили:

(дт)г+1 = (дт)г + ^Т^ Дай )» + (△а12)» + ... + (Аа,1к )» + (3.9) бац оа12 оа1к

+ ^ (Да21)» + ^ (Ла22)» + ... + ^ (△а,1)г. (3.10) да21 да22 да,21

где г — номер итерационного шага, а Дац, Да12,..Да1к, Да21..,Да2; равны соответсвенно (а1(»+1) - а1(»)) и (а2(»+1) - а2(»)), причем количество итераций зависит от разницы предыдущего и последующего значения

коэффициентов а^ и сиг, то есть итерации продолжаются до тех пор, пока эта разница не достигнет достаточно малого значения 1(Р6.

Показано, что данный алгоритм быстро сходится (достаточно 7-9 итераций). В качестве начального приближения использовалось теоретическое решение задачи о смешанном нагружении бесконечной плоскости с двумя коллинеарными трещинами [7]. В результате работы программы было получено необходимое нам количество коэффициентов полного асимптотического разложения поля напряжений в окрестности вершины трещины М. Вильямса, а так же построены теоретически реконструированные линии равных значений разности главных напряжений. Для определения размерности возьмем уже известную нам формулу полного асимптотического разложения М. Вильямса [4]:

2 оо т = 1 к = — со

(индекс т далее опускается, поскольку рассматривается только трещина нормального отрыва) и представим это разложение в виде суммы первых пяти слагаемых (получая четырехчленное разложение, так как в начальном приближении [7] показано, что четвертый член полного асимптотического разложения М. Вильямса равен нулю):

„ = а^Ц'т + ^ + + (3.12»

В таблице 2 представлены значения первых пяти членов полного асимптотического разложения М. Вильямса, взятых в качестве начального приближения из [7], а также значения этих коэффициентов, полученных в ходе работы программы (решение системы лине йных уравнений), и значения на некоторых итерационных шагах программы.

Таблица 1. значения первых пяти коэффициентов полного асимптотического разложения М. Вильямса

Размерность ацкд/ст3/2 апкд/ст? °13 кд/ст5/2 Я'15 кд/ст7/2

Начальные приближения 18.192 -8.636 8.475 -2.085

Решение системы 27.067 -27.580 36.448 -6.367

1 итерационный шаг 22.217 -17.126 21.440 -2.852

5 итерационный шаг 19.3610515 -14.1150358 14.3460616 -1.0191336

7 итерационный шаг 19.3610441 -14.1150387 14.3460620 -1.0191328

10 итерационный шаг 19.3610414 -14.1150396 14.3460616 -1.0191324

15 итерационный шаг 19.3610487 -14.1150367 14.3460610 -1.0191332

однопараметрическое разложение

двухпараметрическое разложение

Рис. 5. Теоретически реконструированные линии равных значений разности главных напряжений в случае однопараметрического и двухпараметрического разложения М. Вильямса

Experimental points

трехпараметрическое разложение

четырехиараметрическое разложение

Рис. 6. Теоретически реконструированные линии равных значений разности главных напряжений в случае трехпараметрического и четырехпараметрического разложения М. Вильямса

На рис. 5 изображены однопараметрическое и двухпараметрическое разложение поля напряжений в окрестности вершины трещины. Из рис. 5 видно, что теоретически реконструированные линии равных значений разности главных напряжений не соответствуют оригинальной картине изохром (рис. 2, что является подтверждением актуальности исследования и показывает, что при повышении количества удерживаемых слагаемых можно получить более точное решение, что подтверждается рис. 6, на котором показаны трехи пятипараметрическое разложения поля напряжений в окрестности вершины трещины. Для каждого конкретного опыта эти картины будут отличаться, но разница незначительна. В данном опыте теоретически реконструированные картины линий равных значений при пятичленном асимптотическом разложении поля напряжений в окрестности вершины трещины практически совпадают с выбранными экспериментальными точками.

Выводы

С помощью многопараметрического анализа поля напряжений, основанного на поляризационно-оптиче-ских методах механики деформируемого твердого тела (методе фотоупругости), в данной статье была проведена цифровая обработка результатов оптоэлектронных измерений, выполненных на серии образцов с трещинами и надрезами. Были рассмотрены разные классы образцов из оптически чувствительных материалов, в частности - образец с двумя коллинеарными трещинами в условиях нормального отрыва. Подготовлен комплекс программ, позволяющий рассчитать масштабные множители высших порядков полного асимптотического разложения М. Вильямса. С помощью основного закона фотоупругости вычислены коэффициенты полного асимптотического разложения М. Вильямса. Проведено сравнение результатов экспериментов с имеющимися аналитическими решениями, и показано, что результаты оптоэлектронных измерений и их обработки хорошо согласуются с аналитическими решениями.

Литература

[1] Броек Д. Основы механики разрушения. М.: Высшая школа, 1980. 368 с.

[2] Степанова Л.В. Математические методы механики разрушения. М.: Физматлит, 2009. 336 с.

[3] Voyiadjis G.Z. Handbook of Damage Mechanics: Nano to Macro Scale for Materials and Structures. Berlin: Springer. 2015. 1577 p.

[4] Williams M.L. On the stress distribution at the base of a stationary crack // Journal of Applied Mechanics. 1957. Vol. 24. P. 109-114.

[5] Игонин С.А., Степанова Л.В. Асимптотика полей напряжений и сплошности у вершины усталостной трещины в поврежденной среде в условиях плоского напряденного состояния // Вестник Самарского государственного университета. 2013. № 9-2(110). С. 97-108.

6] Кукушкин Е.В., Меновщиков В.А., Ереско Т.Т. Анализ современных представлений и подходов при исследовании усталостных разрушений игольчатых подшипников // Решетневские чтения. 2013. № 17. C. 287-288.

7] Степанова Л.В., Росляков П.С. Полное асимптотическое разложение М.Уильямса у вершин двух коллинеарных трещин конечной длины в бесконечной пластине // Вестник Пермского национального технического университета. Механика. 2015. № 4. С. 188-225.

8] Ramesh K., Gupta S., Kelkar A.A. Evaluation of stress field parameters in fracture mechanics by photoelastisity-revisited // Engineering Fracture Mechanics. 1997. Vol. 56. 25 p.

9] Stepanova L.V., Roslyakov P.S. Multi-parameter description of the crack-tip stress field: analytic de-termination of coefficients of crack-tip stress expansions in the vicinity of the crack tips of two finite cracks in an infinite plane medium // International Journal of Solids and Structures. 2016. № 100-101. P. 11-28.

Stepanova L.V., Roslyakov P.S. Complete Williams asymptotic expansion of the stress field near the crack tip: Analytical solutions, interference-optic methods and numerical experiments // AIP Conference Proceedings. 2016. V. 1785. 030029. DOI: 10.1063/1.4967050.

Stepanova L.V., Roslyakov P.S., Gerasimova T. Complete Williams Asymptotic expansion near the crack tips of collinear cracks of equal lengths in an infinite plane // Solid State Phenomena. 2017. Vol. 258. P. 209-212.

Gupta M., Alderliesten R.C., Benedictus R. A review of T-stress and it's effectsin fracture // Engineering Fracture Mechanics. 2015. Vol. 134. p. 218-241.

Ботвина Л.Р. Разрушение. М.: Наука, 2008. 334 с.

Скалецкая И.Е., Скалецкий Е.К., Прокопенко В.Т., Никущенко Е.М. Поляризационно-оптические методы исле-дования: учебное пособие. СПб.: Университет ИТМО, 2015. 142 с.

Трощенко В.Т., Покровский В.В., Прокопенко А.В. Трещиностойкость металлов при циклическом нагружении. Киев: Наукова думка, 1987. 256 с.

Berto F., Lazzarin P. On higher order terms in the crack tip stress field // International Journal of Fracture. 2010. Vol.161. P. 221-226.

Alsiya S., Jeya Leksmi C., Jishna Priya B.P., Mehta R.C. Image Processing Algorithm for Fringe Analysis in Phototelasticity // Scholars Journa of Engineering and Technology. 2016. V. 4(7). P. 325-328.

Surendra K.V.N., Simha K.R.Y. Digital Image Analysis around isotropic points for photoelastic pattern recognition // Optic Engineering. 2015. V. 54(8).

Williams M.L. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners of plates in tension // Journal of Applied Mechanics. Vol. 19, 1952. P. 109-114.

References

[1] Broek D. Osnovy mekhaniki razrusheniia [Foundations of fracture mechanics]. M.: Vysshaia shkola, 1980, 368 p. [in Russian].

[2] Stepanova L.V. Matematicheskie metody mekhaniki razrusheniia [Mathematical methdos of fracture mechanics]. M.: Fizmatlit, 2009, 336 p. [in Russian].

[3] Voyiadjis G.Z. Handbook of Damage Mechanics: Nano to Macro Scale for Materials and Structures. Berlin: Springer, 2015, 1577 p. [in English].

[4] Williams M.L. On the stress distribution at the base of a stationary crack. Journal of Applied Mechanics, 1957, Vol. 24, pp. 109-114 [in Russian].

[5] Igonin S.A., Stepanova L.V. Asimptotika polei napriazhenii i sploshnosti u vershiny ustalostnoi treshchiny v povrezhdennoi srede v usloviiakh ploskogo napriazhennogo sostoianiia [Asymptotics of stress and continuity fields at the tip of a fatigue crack in a damaged medium in conditions of plane stress state]. Vestnik Samarskogo gosudarstvennogo universiteta [Vestnik of Samara State University], 2013, no. 9-2(110), pp. 97-108 [in Russian].

[6] Kukushkin E.V., Menovshchikov V.A., Eresko T.T. Analiz sovremennykh predstavlenii i podkhodov pri issledovanii ustalostnykh razrushenii igol'chatykh podshipnikov [Analysis of modern views and approaches in the study of fatigue fractures of needle bearings]. Reshetnevskie chteniia [Reshetnev Readings], 2013, no. 17, pp. 287-288 [in Russian].

[7] Stepanova L.V., Roslyakov P.S. Polnoe asimptoticheskoe razlozhenie M.Uil'iamsa u vershin dvukh koltinearnykh treshchin konechnoi dliny v beskonechnoi plastine [Complete asymptotic expansion of M. Williams at the tips of two collinear cracks of finite length in an infinite plate]. [Bulletin PNRPU. Mechanics], 2015, №4, pp. 188-225 [in Russian].

[8] Ramesh K., Gupta S., Kelkar A.A. Evaluation of stress field parameters in fracture mechanics by photoelastisity-revisited. Engineering Fracture Mechanics, 1997, Vol. 56, 25 p. [in English].

[9] Stepanova L.V., Roslyakov P.S. Multi-parameter description of the crack-tip stress field: analytic de-termination of coefficients of crack-tip stress expansions in the vicinity of the crack tips of two finite cracks in an infinite plane medium. International Journal of Solids and Structures, 2016, №100-101, pp. 11-28 [in English].

10

11 12

13

14

15

17

17

18 19

EXPERIMENTAL DETERMINATION OF COEFFICIENTS OF A MULTIPARAMETER DECOMPOSITION OF FIELD OF CRACK TIP STRESSES: PHOTOELASTICITY METHOD

The purpose of this study is multiparameter asymptotic analysis of the stress field in the immediate vicinity of the crack tip in a linearly elastic material and construction of complete asymptotic expansion of M. Williams stress field in the vicinity of the crack tip. Multiparametric analysis of the stress field is based on the polarization-optical methods of mechanics of a deformable solid (the method of photoelasticity). Digital processing of the results of optoelectronic measurements performed on a series of samples with cracks and notches is carried out. Different classes of samples from optically sensitive materials, in particular a sample with two collinear cracks under conditions of normal detachment, were considered. A set of programs has been prepared that makes it possible to determine the scale (amplitude) multipliers of complete asymptotic expansion of M.Villiams for the stress field at the crack tip. Using the basic law of photoelasticity, first five coefficients of complete asymptotic expansion of M. Williams are calculated. The results of the experiments are compared with the available analytical solution. It is shown that the results of processing optoelectronic measurements are in good agreement with the analytical solution obtained for an infinite plate with two collinear cracks.

Key words: M. Williams asymptotic expansion, stress field in the vicinity of the crack tip, two collinear cracks, plate stretching, multiparametric description of the stress field, polarization-optical methods of mechanics of deformable solids.

Stepanova L.V., Roslyakov P.S. Complete Williams asymptotic expansion of the stress field near the crack tip: Analytical solutions, interference-optic methods and numerical experiments. AIP Conference Proceedings, 2016, Vol. 1785. 030029. DOI: 10.1063/1.4967050 [in English].

Stepanova L.V.,Roslyakov P.S., Gerasimova T. Complete Williams Asymptotic expansion near the crack tips of collinear cracks of equal lengths in an infinite plane. Solid State Phenomena, 2017, Vol. 258, P. 209-212 [in English].

Gupta M., Alderliesten R.C., Benedictus R. A review of T-stress and it's effectsin fracture. Engineering Fracture Mechanics, 2015, Vol. 134, pp. 218-241 [in English].

Botvina L.R. Razrushenie [Destruction]. M.: Nauka, 2008, 334 p. [in Russian].

Skaletskaya I.E., Skaletsky E.K., Prokopenko V.T., Nikushchenko E.M. Poliarizatsionno-opticheskie metody issledovaniia. Uchebnoe posobie [Polarization and optical methods of investigation. Tutorial]. SPb.: Universitet ITMO, 2015, 142 p. [in Russian].

Troshchenko V.T., Pokrovsky V.V., Prokopenko A.V. Treshchinostoikost' metallov pri tsiklicheskom nagruzhenii [Crack resistance of metals at cyclic loading]. Kiev: Naukova dumka, 1987, 256 p. [in Russian]. %bibitem[16]godj Godzhaev N.M. Optika. Uchebnoe posobie dlia vuzov [Optics. College textbook]. M.: Vysshaia shkola, 1977, 432 p. [in Russian].

Berto F., Lazzarin P. On higher order terms in the crack tip stress field. International Journal of Fracture, 2010, Vol. 161, pp. 221-226 [in English].

Alsiya S., Jeya Leksmi C., Jishna Priya B.P., Mehta R.C. Image Processing Algorithm for Fringe Analysis in Phototelasticity. Scholars Journal of Engineering and Technology, 2016, Vol. 4(7), pp. 325-328 [in English].

Surendra K.V.N., Simha K.R.Y. Digital Image Analysis around isotropic points for photoelastic pattern recognition. Optic Engineering, 2015, Vol. 54(8) [in English].

Williams M.L. Stress singularities resulting from various boundary conditions in angular corners of plates in tension. J.Appl.Mech, Vol. 19, 1952, pp. 109-114 [in English].

L.V. Stepanova, V.S. Dolgikh2

Статья поступила в редакцию 28////2017. The article received 28////2017.

2 Stepanova Larisa Valentinovna (stepanovalv@samsu.ru), Dolgikh Vadim Sergeevich (vadek13@rambler.ru), Department of Mathematical Modelling in Mechanics, Samara National Research University, 34, Moskovskoye shosse, Samara, 443086, Russian Federation.