Формализованная модель динамических состояний автотранспортного предприятия

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ

УДК 316.48:519.87

Н. Б. Бегов

ФОРМАЛИЗОВАННАЯ МОДЕЛЬ ДИНАМИЧЕСКИХ СОСТОЯНИЙ АВТОТРАНСПОРТНОГО ПРЕДПРИЯТИЯ

Формализуется работа типового автотранспортного предприятия (АТП), оказывающего услуги по перевозке грузов. Предварительно на основе системного подхода сформировано множество возможных состояний автомобиля. Все они поделены на две группы: рабочие и технологические, в первой группе выделено 19 состояний, во второй - 5. Построена диаграмма возможных технологических состояний автомобиля и переходов между ними. Анализ работы АТП осуществляется с применением непрерывных цепей Маркова. Построены две формализованные модели АТП, представленные совокупностью дифференциальных уравнений. Одна модель опирается на рабочие состояния автотранспортного средства, вторая - на технологические состояния. Более предпочтительным оказывается подход, основанный на анализе рабочих состояний автомобиля.

Ключевые слова: автотранспортное предприятие, состояние автотранспортного средства, математическая модель функционирования автотранспортного предприятия, система дифференциальных уравнений для состояний автомобиля.

Введение

Развитие российской экономики за последнее десятилетие привело к существенному росту объема транспортных перевозок. Значительная часть этих перевозок, особенно в пределах населенных пунктов, выполняется с помощью автотранспортных средств (АТС), поэтому повышение эффективности работы АТС является важной предпосылкой и условием повышения эффективности работы экономики в целом. Формализуется работа типового автотранспортного предприятия (АТП), оказывающего платные услуги по перевозке грузов. Рассматриваются основные характеристики указанной системы. Существует достаточно много работ по данной тематике [1-4], однако целью нашего исследования является использование теории марковских цепей для анализа состояний АТП.

Для исследования поведения АТП как системы во времени, а также для оптимизации процесса ее функционирования необходимо прежде всего построить формализованную модель функционирования АТП, ориентированную на решение задач надежности. Для построения модели проведем вначале системный анализ АТП.

Системный анализ состояний АТП

Система, охватывающая объекты, связанные с процессом функционирования АТП, включает в себя пять компонентов:

1. АТП, в состав, которого входят как АТС, так и ремонтно-профилактические подразделения.

2. Дорожная система (сеть дорог, качество дорожного покрытия на отдельных участках и их техническая оснащенность).

3. Внешние условия (погодно-климатические условия, природные препятствия на поверхности дорожного полотна и др.).

4. Государственная система (органы дорожной полиции, система ограничений на дорогах).

5. Заказчики транспортных услуг и работодатели.

Каждый из перечисленных компонентов может оказывать воздействие на процесс функционирования АТП, тем самым влияя на его надежность. В частности, каждый из компонентов определяет те системные состояния, в которых может находиться конкретное АТС и система в целом.

Различают два класса состояний: рабочие, определяемые техническими возможностями автомобиля в текущий момент времени, и технологические, определяемые как рабочим состоянием автомобиля, так и его положением в технологической цепочке функционирования АТП в данный момент времени. Например, одно из основных рабочих состояний АТС -готовность к перевозке грузов, в свою очередь ему могут соответствовать несколько технологических состояний: перевозка грузов, холостой пробег, погрузка/разгрузка, диагностика, нахождение на штрафной площадке и др. Анализ АТС на основе рассмотрения его рабочих состояний позволяет оценить материально-техническую базу АТП, в частности, степень ее готовности (изношенности), динамику изменения количества АТС и время нахождения АТС в парке в различных рабочих состояниях. Анализ же на основе рассмотрения технологических состояний позволяет прежде всего оценить эффективность технологических схем и эффективность системы управления, используемых в АТП. Таким образом, оба аспекта анализа АТП (по рабочим и технологическим состояниям) важны для разработки мероприятий по повышению эффективности работы АТП.

Проведем анализ АТП в каждом из классов состояний. Рассмотрим вначале технологические состояния АТС как более сложные и многочисленные.

Без учета особенностей перечисленных выше компонентов системы, АТС может находиться в одном из следующих рабочих состояний:

- находиться в движении;

- стоять (с работающим или отключенным двигателем);

- находиться на ремонте.

Тогда перечень возможных технологических состояний АТС, с учетом приведенного выше состава компонентов модели, включает следующие состояния:

1. Автомобиль находится в движении: £3 - находится в работоспособном состоянии и выполняет перевозку грузов; £2 - совершает порожний рейс, направляясь либо к месту погрузки/разгрузки, либо в гараж.

2. Автомобиль стоит: £3 - находится в состоянии погрузки/разгрузки грузов; £4 - простой: не может двигаться в соответствии с графиком работ ввиду отсутствия водителя (компонент 1), который либо не явился на работу, либо отстранен, либо не имеет документов, разрешающих управление АТС (водительских прав, медицинских документов и др.); £5 - простой (компонент 1): находится в неподготовленном для выполнения рейса состоянии, т. е. не заправлен горючим или маслом, не может быть выпущен на трассу ввиду отсутствия необходимых сопроводительных документов; £б - простой (компонент 1): стоит в гараже в непредусмотренное для работы время (праздничные дни, ночное время); £7 - простой (компонент 1): находится в неработоспособном состоянии и ждет ремонта; £8 - простой (компонент 2): участок дороги, по которому необходимо двигаться, временно непригоден; ^ - простой (компонент 2): остановился на перекрестке на красный свет светофора либо ввиду возникновения автомобильной пробки; £10 - простой (компонент 2): поломка на трассе и ожидание эвакуации транспортного средства; £ц - простой (компонент 3): ввиду плохих погодных условий (сильный гололед, град, снежные заносы, пыльные бури) либо природных катаклизмов (буря, наводнение от проливных дождей, разрушения на дороге от обвалов, оползней, землетрясений); £12 - простой (компонент 4): отсутствие необходимых разрешительных документов государственного образца (технического паспорта, документы на владение автотранспортом), либо остановка автотранспорта ввиду нарушения правил дорожного движения; £13 - простой (компонент 4): авария на трассе и ожидание прибытия представителей дорожной полиции и страховых компаний; £14 - простой (компонент 4): стоянка на штрафной площадке; £15 - простой (компонент 5): не востребован и стоит в гараже ввиду отсутствия заказов, ожидая вызова для осуществления транспортных перевозок; £16 - профилактика, диагностика, мелкий ремонт; £17 - текущий ремонт; £18 - перевозка автомобиля на ремонтную площадку; £19 - капитальный ремонт.

Перечисленные состояния взаимно связаны между собой: из каждого состояния можно попасть только в определенный ограниченный набор других состояний. Возможная диаграмма переходов изображена на рис. 1. Здесь А. - интенсивность перехода из состояния £ в состояние

£, т. е. среднее число переходов за единицу времени. При этом £ . означает, что рассматривается совокупность всех переходов из состояния £< в £ для всех < е [<1, <2] и . е []ь.2], аналогично и для записей £ , £ .

Тогда процесс формализованного анализа АТП можно свести к построению диаграмм (рис. 1) для всех АТС, имеющихся в АТП, и последующему совместному изучению этой совокупности диаграмм. При этом также могут быть учтены индивидуальные особенности автомашин, приоритеты, взаимосвязи между автомобилями (взаимозаменяемость, возможность совместного использования).

^1,16 ^ 19

Рис. 1. Диаграмма возможных технологических состояний АТС и переходов между ними

Далее рассмотрим анализ работы АТП на основе рабочих состояний АТС.

Для проведения указанного анализа прежде всего выделим следующие рабочие состояния АТС:

- автотранспортное средство находится в работоспособном состоянии, Пь

- проходит профилактический или диагностический осмотр, п2;

- автотранспортное средство неработоспособно и ожидает ремонта, п3;

- текущий ремонт АТС (ввиду поломки), п4;

- капитальный ремонт АТС, п5.

Тогда возможные переходы из одного рабочего состояния в другое могут быть отображены следующим образом (рис. 2).

Профилактика ©

Ожидание ремонта

Капитальный ремонт

Рис. 2. Диаграмма возможных рабочих состояний АТС и переходов между ними

Вывод уравнений для вероятностей состояний

Теоретический анализ АТП может быть проведен путем перебора всех вариантов возможных его состояний. Однако данный подход приемлем только при небольшом количестве автомашин. При увеличении числа АТС количество возможных вариантов увеличивается до такой степени, что осуществление расчета представляется невозможным. Действительно, предположим, что АТП имеет в своём составе п транспортных единиц - автомобилей. Каждый автомобиль в процессе осуществления хозяйственной деятельности АТП может находиться в одном £,г, г = Г п, из п возможных состояний. Обозначим через / = / и) состояние парка автомо-

' 'г, '2, > 1п гГ ,г2> > 'п

билей АТП в текущий момент времени т. е. к-й автомобиль находится в состоянии ^

(Г < k < п). Тогда уже при п = 5 (минимально допустимый набор возможных состояний автомобиля) и п = Г0, общее число состояний равно 5 = 9 7656 25 - почти Г0 млн. состояний. Таким образом, для теоретического анализа при большом числе автомашин (п > 5) данный подход неприемлем, поэтому для формализованного анализа АТП, предлагается другой подход, опирающийся на изучение суммарных количеств однородных автомобилей, где под однородными понимаются автомобили, которые технологически взаимозаменяемы и находятся приблизительно в одинаковом техническом состоянии. Более того, предполагается, что все автомобили в АТП однородны, в противном случае все автомобили можно разбить на классы и изучать каждый класс в отдельности.

Предположим, что все потоки событий, переводящие АТС из одного состояния в другое, являются пуассоновскими (простейшими). Данное предположение приемлемо, поскольку, в силу теоремы Григелиониса [5, 6], при наложении большого числа редких независимых потоков результирующий поток является пуассоновским. Все переходы на диаграмме (см. рис. Г) связаны с наложением целого ряда случайных факторов: состояние отказа АТС формируется в результате наложения потоков отказов отдельных элементов (узлов и агрегатов) в данном автомобиле, а состояние простоя формируется в результате наложения потоков действий отдельных людей, природных и дорожных факторов. Поскольку при наложении и сложении пуассоновских потоков результирующий поток также является пуассоновским, то переходы АТП в целом из одного состояния в другое являются пуассоновскими, при этом интенсивность переходов зависит от времени. Таким образом, случайный процесс, протекающий в АТП и характеризующий случайные переходы динамической системы из одного возможного состояния в другое, может быть описан с помощью аппарата, используемого при анализе пуассоновских потоков. Однако в данном случае классические методы анализа пуассоновских потоков недостаточны ввиду сетевой структуры модели системы (см. рис. Г). Наиболее приемлемым обобщением пуассоновских процессов, позволяющим изучать сетевые структуры, являются марковские процессы, а именно их частный класс - марковские непрерывные цепи.

Как было сказано выше, сведение анализа АТП к анализу состояний каждого отдельного автомобиля практически невозможно. Поэтому предлагается проведение анализа АТП на основе вектора

(вд, х2(1),..„ хп (0),

где Хк - число автомобилей, находящихся в состоянии ^ (k = Г; п ) Величины Хк (/) можно представить в виде

N N

Хк а) = Х х(?. (0 = к) = ХХк аЬ

]=г ]=г

где ^] ^) - состояние ]-го автомобиля в момент времени

Если Хк ^) = . ^) = к), ^] (?) - пуассоновский (в частности, марковский) процесс, то Хк (£) также является марковским процессом. Для события А функция %(А) = Г, если событие А имеет место, х(А) = 0, если событие А не имеет место. Таким образом, для анализа вектора (ХГ(0, Х2^), ..., Хп(¿)) может быть использован аппарат марковских процессов (цепей Маркова) с непрерывным временем.

Вместе с вероятностями начального состояния марковской цепи {Р0( у)} матрица переходов

П = {Р( уг, у+1)},

где Р(у., у.+1) - вероятность одношагового перехода в цепи, позволяющая описать последовательные изменения состояний цепи Маркова.

Нас интересует вопрос определения состояния цепи Маркова в произвольный момент времени t. Для решения поставленной задачи отметим, что цепь Маркова с непрерывным временем, описывающая состояния АТП в произвольный момент времени, может быть сведена к описанию процессов рождения и гибели (частный случай класса марковских цепей с непрерывным временем). Для описания процессов рождения и гибели типовыми методами можно использовать следующую (бесконечную) систему уравнений Колмогорова [7]:

Ср

= Л

dt

с начальными условиями

Р(Ч) = (Р^о),Рг(Ч), ..., Рпа„), -У ,

где «Т» - знак транспонирования; р^) = (p1(t), p2(t), ..., рп (t), ...)Т - вектор-столбец; А = А(0 -

матрица интенсивностей переходов между разными парами состояний в момент времени t. Применительно к АТП матрица Л предполагается независящей от времени t.

Если Л не зависит от t, то при длительном функционировании (соответствует условию t ^ да ) цепь Маркова при определенных дополнительных условиях переходит в так называемое стационарное состояние, когда вероятности р1^),р2(0, ..., рп(0, ... становятся независимыми от

t, т. е. задаются вектором р = (р1, р2, ..., рп, ...)Т. В этом случае стационарные вероятности {рп} представлены как:

= 0.

2 рп = 1

"п

1п>1

Применим описанный аппарат цепей Маркова к анализу АТП, где число возможных состояний цепи Маркова совпадает с возможными состояниями АТП, и, следовательно, конечно. Число возможных эксплуатационных состояний АТП обозначено через п. Тогда система уравнений (1) с учетом взаимосвязей состояний (см. рис. 1) будет записана в виде

^р^)+1>.др.ю+2>,д р.

V г=4 У 1=3 .=8 .=11

dРdГ) = ^ 2Х ^ Р^ ) + ^3,2 Рз(t) + Ч^С) + ^^(О + 2 ,,2 Р1 ^) + А^Р, (t X

с \,'=з У ,=11 ,=16

^ = -(1>з,) Рз(?)+Ч3Р2С);

СР7^ = - Ч 1Р4 ^) + 4Р1 (t) + 4 4Р2 (t) + ^17 4Рп ^X

м

dР57t) = - (0 + Ч5Р1 (t) + 4,5Р2 (t) + 4,5Р17 (t); dt

dp7t) = - (t) + ^1,6Р1 (t) + 4,6Р2 (t) + 4,6Р17 (t); dt

Ср (t) 19

= - 2 ЧР7 (t) + ^1,7Р1 (t) + 4,7Р2 (t) + 4,7Р17 (t); Ct ,=16

сСр (t) 2

= -2ЧР8(t) + 48Р1(0 + 4,8Р2 (0 + 4,8Рl7(t);

С 1=1 ' ' ' '

dt

dp и

dp (t) = (t) + ^pi (t) + ^p2 (t) + Xl7_9pl7 (t);

dt

_ (Vl6 + X10,18 ) piO(t) + 4i0pi(t) + 4lOp2(t) + Viopi7(t);

= _(Vi+X112) pu(t)+impi(t)+i2Mp2(t)+Vnp^t);

= _ ^124.pi2(t) _ *i2,2p12(t) + ^1,12pi(t) + 4^2^) + *i7,12^(tX

dt dpu

dt

dp (t) i9

" = _ ^13,^.?13(t) _ *i3,2pi3(t) _ X* 13,ipi3 (t) + *i,13pi (t) + *2,13p2 (t) + *i7,13pi7 (t); dt 1=16

dpi4

dt

dt

dpi6

^^ = _ *i5,ipi5 (t) + 4i5pi (t) + 4i5p2 (t) + *i7,15pi7 ('X

( 2 15 19 Л

^ = " I + XX16,i + X X16,i ) pi6(t) + (t) + ^2,16p2 (t) + ^7,16p7 (t) + *i0,16pio (t) + *i3,16pi3 (t);

dt V 1=1 1=4 1=17 J

dp (t) ( 2 15 Л

""= - I + Х^Ш I pi7(t) + *i,17 pi(t) + *2,17p2(t) + *7,17p7(t) + *i3,17 pi3(t) + ^ДТ^О;

= _ ( X + X *i8,i I pi8(t) + * 1,18pi (t) + *2,18p2 (t) + *7,18P7 (t) + *13,18Л3 (t) + *i6,18P16 (t);

V1=1 i=4 J

dp 18 (t) dt

ф и) / 2 15 Л

^ = " I ^19,/ + X V- I р19 ) + Vр1 ^) + р2 ) + Ч19р7 (0 + ^13,19Лз ) + ^16,19Аб )•

В правой части ^го уравнения слагаемые со знаком «-» получаются путем сложения ин-тенсивностей всех исходящих потоков на pk(t), а со знаком «+» - путем умножения интенсивности входящего из каждой ий вершины потока на вероятность Pi(t).

Для замкнутых систем, к числу которой относится АТП в контексте исследования (нет внешних состояний), уравнение (3) является системой зависимых уравнений, т. е. решения получаются с точностью до постоянного множителя. При умножении всех уравнений на одну и ту

же константу C набор Cp = (Cp1,Cp2, ..., Cp19)г также является решением системы (3). Для

получения единственного решения система (3) дополняется условием нормировки:

£ pn ^) = 1 для любых t > 0.

n

n

Тогда матрица Л переходных вероятностей для марковской цепи формируется на основе коэффициентов правой части системы (3). Именно на пересечении i-й строки и /-го столбца стоит коэффициент перед Pj(t) в i-м уравнении системы (для pi(t)), если же слагаемого с Pj(t) в уравнении нет, то ставится ноль.

Решение системы (3) и (4) может быть получено на основе классических методов решения линейных систем дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.

Полученная система уравнений (3), описывающая динамику изменений различных технологических состояний системы, достаточно громоздка для содержательного анализа. Более простым и удобным для первичного анализа состояний АТП является изучение изменений рабочих состояний АТС.

i=i

Пусть, как и раньше, интенсивность перехода из /-го состояния в 1-е обозначим через Ау. Тогда графу, изображённому на рис. 2, соответствует система уравнений Колмогорова для вероятностей состояний:

= - Х12Р1 ^) - Х13Р1 ^) + >2^2^) + >3^3^) + >4^4^) + ^51Р5^);

Ф2

= - >2^2^) - >23Р2(:) + >12^); = - А31Р3(:) - >34Р3^) - А35Р3(:) + А13Р1(:) + А23Р2(:);

Ф4^ )

<ф5(0

= - >41Р4(:) + );

= - >51Р5(:) + А35р3(:);

IРк (:) = 1.

I к=1

Решение системы уравнений (5) при конкретных значениях интенсивностей А ^ и значениях вероятностей рк (0) в начальный момент времени может быть найдено аналогично решению системы (3). Однако, во-первых, в работе проводится теоретическое исследование проблемы, что предполагает изучение поведения характеристик АТС при произвольных значениях параметров, во-вторых - характеристики, представляющие наибольший интерес для анализа эффективности работы АТС, могут быть исследованы без решения системы (5). Наибольший интерес представляют значения среднего числа { тк (:), к = 1; 5 } АТС, находящихся в различных рабочих состояниях, поскольку через эти характеристики и оценивается ряд основных показателей эффективности АТП, а именно коэффициент готовности АТС:

кт

,(:) =

т^) N

Среднее число АТС в рабочем и ремонтируемом состояниях в течение заданного интервала времени (Т1; Т2) равны

Т2

| т1 (: )&

т

и

Тъ

| (т3 (:) + т4 (:) + т5 (: .

Т1

Запишем уравнения для нахождения { ш,(:), к = 1;5}. Заметим, что для соотношений, аналогичных (1) для рабочих состояний, выводится равенство:

N N

Шк (:) = м (Хк (:)) = I м (Х(д; (:) = к)) = I р(?, (:) = к) = щк (:).

1=1 1=1

Поэтому после умножения обеих частей уравнений в системе (2)-(5) на N получаем:

dml

dm2

dm3

= - X12m1(t) -X13m1(t) + \2Xm2(t) + X31m3(t) + ^41m4(t) + X51m5(t);

= - \2Xm2(t) -\23m2(t) + X12m1(t);

= - X31m3(t) - \34m3(t) -\35m3(t) + X13m1 (t) + \23m2(t);

dm4

dm5

= - l41m4(t) + X34m3(t);

= - Х51т5^) + ^35т3(t);

м

5

£ тк (0 = N.

I к=1

Таким образом, в (6) неизвестными функциями являются непосредственно средние численности состояний. На основе уравнения (6) можно отбросить любое из уравнений. Отбросим, например, первое уравнение (наиболее сложное), подставив в остальные уравнения вместо тх выражение: тх = N - (т2 + т3 + т4 + т5).

Получится следующая система трёх дифференциальных уравнений:

dm2

= - ^^(t) - ^23m2(t) + ^12(N - £mk(t));

k=2

dm3

= - X31m3(t) - X34m3(t) - l35m3(t) + X13(N -£mk(t)) + X23m2(t);

k=2

dm4

dm5

= - X41m4(t) + \34m3(t);

= - X51m5(t) + X35m3(t).

Или после преобразования:

dm2

= - (X21 + ^23 + X12)m2(t) - X12m3(t) - X12m4(t) - X12m5(t) + ^12N;

dm3

= (^23 - X13)m2(t) - (^34 + ^35 + X13)m3(t) - \X3m4(t) - X13m5(t) + ^13N;

dm4

dm5

= - l41m4(t) + ^34m3(t);

= - X51m5(t) + X35m3(t).

Для решения системы необходимо задать начальные условия при t = 0:

5

«2(0) = «20; тз(0) = тзо; «4(0) = «40; «5(0) = «50; £тко = N.

к=2

Таким образом, проблема анализа поведения состояний АТП во времени свелась к анализу решений систем уравнений (3)-(5), (7).

Заключение

На основе проведенного исследования сделаны следующие выводы:

1. Построены две формализованные модели АТП: рабочие состояния системы, которые не привязаны к технологии функционирования АТП, и технологические, которые детализируют

рабочие состояния АТП по возможным вариантам состояний отдельных АТС в процессе функционирования АТП. Рабочие состояния с учетом особенностей процесса функционирования АТП разбиваются на следующие технологические состояния АТС:

- находится в процессе перевозки грузов;

- совершает порожний пробег;

- находится в процессе погрузки/разгрузки и др.

2. Построены две формализованные модели АТП, представленные совокупностью дифференциальных уравнений.

3. Предложены методы решения полученных уравнений.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Г  Бачурин А. А. Анализ производственно-хозяйственной деятельности автотранспортных организаций /

A. А. Бачурин. М.: Академия, 2007. 320 с.

2. Вельможин А. В Грузовые автомобильные перевозки: учеб. для вузов / А. В. Вельможин,

B. А. Гудков, Л. Б. Миротин, А. В. Куликов. М.: Горячая линия-Телеком, 2007. 560 с.

3. Заруднев Д. И. Методика выбора автотранспортных средств для перевозки грузов: дис. ... канд. техн. наук / Д. И. Заруднев. Омск, 2005. 237 с.

4. ШапироДж. Моделирование цепи поставок / Дж. Шапиро. СПб.: Питер, 2006. 720 с.

5. Гнеденко Б. В. Введение в теорию массового обслуживания / Б. В. Гнеденко, И. Н. Коваленко. М.: Изд-во ЛКИ, 2007. 400 с.

6. Григелионис Б. И. Уточнение многомерной предельной теоремы о сходимости к закону Пуассона / Б. И. Григелионис / Литов. мат. сб. Г962. Т. 2. № 2. С. Г43-Г48.

7. Тихонов В. М. Марковские процессы / В. М. Тихонов, М. А. Миронов. М.: Советское Радио, Г 977. 488 с.

Статья поступила в редакцию 04.03.20Г5

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРЕ

Бегов Надим Бегович - Россия, 367000, Махачкала; Дагестанский государственный технический университет; старший преподаватель кафедры «Организация и безопасность движения»; begnadim@mail.ru.

N. B. Begov

MODELING OF DYNAMIC STATES OF MOTOR TRANSPORT COMPANY

Abstract. The work of typical motor transport company (MTC), providing freight services, is described. Based on the system approach, a plurality of possible states of the vehicle is examined. All of them are divided into two groups: operational and technological, the first group comprises 19 states, and the second one includes 5 states. The diagram of possible technological condition of the car and the transitions between them is designed. The analysis of the MTC work is carried out using continuous Markov's chains. Two formal models of MTC, presented as a set of differential equations, are built. One model is based on the working condition of the vehicle, while the second - on the technological condition. The most preferable is an approach based on the analysis of the operating conditions of the vehicle.

Key words: motor transport company, condition of the vehicle, mathematical model of the functioning of the motor transport company, system of differential equations for the condition of the vehicle.

REFERENCES

1. Bachurin A. A. Analiz proizvodstvenno-khoziaistvennoi deiatel'nosti avtotransportnykh organizatsii [Analysis of economic activity of motor transport companies]. Moscow, Akademiia Publ., 2007. 320 p.

2. Vel'mozhin A. B. Gudkov V. A., Mirotin L. B., Kulikov A. B. Gruzovye avtomobil'nyeperevozki [Motor transport freighting]. Moscow, Goriachaia liniia-Telekom Publ., 2007. 560 p.

3. Zarudnev D. I. Metodika vybora avtotransportnykh sredstv dlia perevozki gruzov. Dis. kand. tekhn. nauk [Methods of choice of motor transport ways of Dis. cand. Tech. sci.]. Omsk, 2005. 237 p.

4. Shapiro Dzh. Modelirovanie tsepipostavok [Modeling of delivery chains]. Saint Petersburg, Piter, 2006. 720 p.

5. Gnedenko B. V., Kovalenko I. N. Vvedenie v teoriiu massovogo obsluzhivaniia [Introduction to the theory of public service]. Moscow, Izd-vo LKI, 2007. 400 p.

6. Grigelionis B. I. Utochnenie mnogomernoi predel'noi teoremy o skhodimosti k zakonu Puassona [Specification of multidimensional limit theorem on adaptability to Poisson's law]. Litovskii matematicheskii sbornik, 1962, vol. 2, no. 2, pp. 143-148.

7. Tikhonov V. M., Mironov M. A. Markovskieprotsessy [Markov's processes]. Moscow, Sovetskoe Radio Publ., 1977. 488 p.

The article submitted to the editors 04.03.2015

INFORMATION ABOUT THE AUTHOR

Begov Nadim Begovich - Russia, 367000, Makhachkala; Dagestan State Technical University; Senior Lecturer of the Department "Organization and Safety of Traffic"; beg-nadim@mail.ru.