Нелокальная на полуоси задача для вырожденных эволюционных уравнений

Математические заметки СВФУ Январь—март, 2015. Том 22, № 1

УДК 517.9

НЕЛОКАЛЬНАЯ НА ПОЛУОСИ ЗАДАЧА ДЛЯ ВЫРОЖДЕННЫХ ЭВОЛЮЦИОННЫХ УРАВНЕНИЙ Н. Д. Иванова, В. Е. Федоров

Аннотация. Получены необходимые и достаточные условия однозначной разрешимости в классическом и обобщенном смыслах нелокальной по времени задачи с интегральным условием на полуоси для линейного однородного дифференциального уравнения первого порядка в банаховом пространстве с вырожденным оператором при производной. Предполагаются выполненными условия на операторы в уравнении, гарантирующие экспоненциальное убывание его сильно непрерывной разрешающей полугруппы. Получена оценка экспоненциального убывания обобщенного решения. Абстрактные результаты использованы при рассмотрении нелокальной по времени краевой задачи для класса уравнений в частных производных с многочленами от оператора Лапласа, включающего в себя некоторые уравнения теории фильтрации, теории полупроводников.

Ключевые слова. нелокальная задача, вырожденное эволюционное уравнение, полугруппа операторов, классическое решение, обобщенное решение, краевая задача.

N. D. Ivanova and V. E. Fedorov. A Nonlocal Problem on the Semiaxis for Degenerate Evolution Equations.

Abstract: We obtain necessary and sufficient conditions of the unique solvability in the classical and generalized sense of a time nonlocal boundary value problem with an integral condition on the semiaxis for a linear homogeneous differential equation of the first order in Banach space with a degenerate operator at the derivative. The conditions on the operators in this equation ensure the exponential decay of the respective strongly continuous resolving semigroup. An estimate exhibiting the exponential decay of a generalized solution is given. The abstract results are used to examine a time nonlocal boundary value problem for a class of partial differential equations with polynomials of the Laplacian, including some equations of filtration theory and the theory of semiconductors.

Keywords: nonlocal problem, degenerate evolution equation, operator semigroup, classical solution, generalized solution, boundary value problem.

1. Введение

Рассмотрим нелокальную задачу

сю

J u

o

Работа выполнена при финансовой поддержке Лаборатории квантовой топологии Челябинского гос. университета (грант правительства РФ Na14.Z50.31.0020).

© 2015 Иванова Н. Д., Федоров В. Е.

для вырожденного эволюционного уравнения

ьи

Здесь Ь € (И; V) — линейный оператор, непрерывно действующий из банахова пространства И в банахово пространство V, кег Ь = {0}, М 1(И; V) — линейный замкнутый оператор с областью определения _0(М), плотной в И, действующий в V, п : (0, го) ^ К — неотрицательная невозрастающая функция. Предполагается выполнение условия сильной (Ь, р)-радиальности оператора М [1], гарантирующее существование экспоненциально убывающей вырожденной сильно непрерывной разрешающей полугруппы уравнения (1.2).

Задачи для уравнений такого вида — с вырожденным оператором при производной, а потому не разрешимых относительно нее — представляют собой удобную для исследования операторными методами абстрактную форму начально-краевых задач для уравнений и систем уравнений в частных производных [1—4]. В частности, полученные в данной работе необходимые и достаточные условия разрешимости задачи (1.1), (1.2) использованы для установления однозначной разрешимости краевых задач для класса уравнений вида (1.2) с операторами Ь и М, представляющими собой многочлены от эллиптического по пространственным переменным оператора. Этот класс включает в себя некоторые уравнения теории фильтрации и теории полупроводников.

Результаты данной работы являются продолжением на случай вырожденных эволюционных уравнений вида (1.2) результатов из работы [5], в которой получены необходимые и достаточные условия разрешимости в обобщенном и классическом смыслах задачи (1.1) с неотрицательной невозрастающей функцией п для уравнения

и

разрешенного относительно производной, где А — линейный оператор, порождающий в банаховом пространстве X сильно непрерывную полугруппу класса Со [6]. В то же время они дополняют касающиеся вырожденного уравнения (1.2) результаты работы [7], в которой исследована однозначная разрешимость нелокальной задачи

т

! и

о

для неоднородных уравнений вида (1.2) и (1.3). В [7] также отмечено, что в отличие от однородного уравнения поведение на бесконечности решения неоднородного уравнения не определяется лишь свойствами операторов А или Ь, М, поэтому для такого уравнения нельзя гарантировать в терминах этих операторов корректность нелокального условия (1.1). Именно по этой причине в данной работе рассматривается лишь однородное уравнение.

Отметим также работы И. В. Тихонова о единственности решения задач (1.2), (1.4) и (1.3), (1.4) [8], об однозначной разрешимости задач (1.1), (1.3) и (1.3), (1.4) [9], а также касающиеся близких по форме нелокальных задач работы А. А. Керефова [10], В. В. Шелухина [11], А. И. Кожанова [12] и многих других авторов, например, [13-15]. Несколько более подробную историографию вопроса можно найти в [7].

2. Предварительные сведения

Пусть задана функция п : (0, +то) ^ К. Рассмотрим нелокальную задачу

J х

о

для однородного эволюционного уравнения

х

где А — линейный замкнутый оператор с плотной областью определения О (А) в банаховом пространстве X, порождающий сильно непрерывную полугруппу {X(г) е &(X) : г > 0} класса Со.

Следуя [5], обобщенным решением уравнения (2.2) будем называть функцию х(г) = X(г)г>, г > 0, V е X. В данном случае такая функция непрерывна, но может быть недифференцируемой.

Функция х е С1([0, то); X) называется классическим решением уравнения (2.2), если для нее выполняется равенство (2.2) при каждом г > 0. Понятно, что для данного оператора А всякое классическое решение уравнения (2.2) является обобщенным, обобщенное решение является классическим при V е О(А).

Обобщенным или классическим решением задачи (2.1), (2.2) называется соответственно обобщенное или классическое решение уравнения (2.2), если для него выполняется условие (2.1).

Теорема 2.1 [5]. Пусть оператор А порождает сильно непрерывную полугруппу {X(г) е (X) : г > 0} класса С0, справедливо неравенство ||Х(г)||^(х) < Ке-а* при г > 0 с константами К > 0, а > 0, функция п неотрицательная и неубывающая на (0, то), п(г) > 0 при г ^ 0+. Тогда

(1) для любого хо е О (А) существует единственное обобщенное решение х(г) = X(г^ задачи (2.1), (2.2), при этом ||х(г)||х < Се-а*||Ах0||х, где константа С не зависит от хо и г;

(И) обобщенное решение задачи (2.1), (2.2) является классическим тогда и только тогда, когда хо е О (А2);

(ш) если хо е X\ О(А), то не существует обобщенного решения задачи (2.1), (2.2).

Перейдем к вырожденному эволюционному уравнению

ьи

Здесь И и V — банаховы пространства, Ь е (И; V), кег Ь = {0}, М е ^1(И; V). Обозначим Мо = {0} и М, рь(М) = {р е С : (рЬ - М)-1 е %(V;И)}, аь(М) = С \ рь(М), Д^(М) = (рЬ - М)-1Ь, Ь£ = Ь(рЬ - М)-1.

Пусть р е Мо. Оператор М называется сильно (Ь,р)-радиальным с константами К > 0, а е К, если (1) За е К (а, то) С рь(М); (И) ЗК > 0 Ур е (а, то) Уп е N

тах {|| (М))п{р+1]\\щи), || (Ь^(М))п{р+1) } < {р_*)п{р+1);

(ш) существует плотный в V линеал V, такой, что

IIМ(РЬ - М)-1(^(М))^1/||Ш < т^Ш V/ е я,

уЬглуг\\Р+1Г - ----1М - К

|(д£(М))Р+ (МЬ - М)-1|| <

^ >> ^ > 1Щ;Я) " (^ - а)Р+2

при любом ^ € (а, го).

Замечание 2.1. Эквивалентность условий данного определения аналогичным более громоздким условиям, использованным в [1], доказана в [16].

Семейство операторов {и(г) € (И) : г > 0} называется разрешающей полугруппой уравнения (2.3), если

(1) и (в)и (г) = и (в + г), в, 4 > 0;

(И) при любом ио из некоторого плотного линеала в пространстве И функция и(г) = и(г)ио есть классическое решение уравнения (2.3);

(ш) для любого семейства операторов {V(г) € (И) : г > 0} со свойствами (1), (и) выполняется 1т V(0) С 1т и(0).

Положим И0 = кег (й£(М))Р+1, V0 = кег (Ь^(М))Р+\ И1 - замыкание образа оператора 1т (й^(М))Р+1 в пространстве И, V1 — замыкание образа 1т (Ь^(М))Р+1 в пространстве V. Обозначим через Ьк (Мк) сужение оператора Ь (М) на Ик (0(Мк) = £(М) П Ик), к = 0,1.

Теорема 2.2 [1]. Пусть оператор М сильно (Ь, р)-радиален с константами К > 0, а € М. Тогда

(I) И = И0 © И1, V = V0 © V1;

(II) Ьк €&(Ик; Vk), Мк € %Л(Ик; Vk), к = 0,1;

(Ш) существуют операторы М0-1 € ^(V0;И0) и Ь-1 € &(V1;И1);

(1у) оператор Н = М—1^ нильпотентен степени не больше р;

(у) существует разрешающая уравнение (2.3) сильно непрерывная полугруппа операторов {и(г) € (И) : г > 0}, при этом У и(г)||^?(у < Кеа* для всех I > 0;

(у1) оператор Б = Ь-1М1 порождает С0-непрерывную полугруппу операторов {и1(г) = и(г)|У1 € ^(И1): г > 0}.

Замечание 2.2. В случае кегЬ = {0} в условиях теоремы 2.2 единицей и(0) разрешающей полугруппы является нетривиальный проектор, для кото-рогокег Ь С кег и(0) = И0, 1т и(0) = И1.

3. Нелокальная задача для вырожденного эволюционного уравнения

Рассмотрим нелокальную задачу

сю

У и

0

для однородного вырожденного эволюционного уравнения

Ьи

в предположении сильной (Ь, р)-радиальности оператора М. Используя теорему 2.2, задачу (3.1), (3.2) редуцируем к двум задачам

сю

У х

о

х

и

с

У у

о

ну

где х(г) = и(0)и(г), у(г) = (/ - и(0))и(г) при г > 0, 5 = Ь-1М1 е ^¿(и1), Н = Мо-1Ьо е ^(Ио).

В силу нильпотентности оператора Н (утверждение (1у) теоремы 2.2) уравнение (3.6) имеет только тривиальное решение у(г) = 0 (см., например, [1]). Поэтому задача (3.5), (3.6) разрешима тогда и только тогда, когда (/-и(0))ио = 0. Следовательно, при ио е И1 задача (3.1), (3.2) эквивалентна задаче (3.3), (3.4).

Обобщенным решением уравнения (3.2) будем называть функцию и(г) = и(г^ при V е И. Функция и е С 1([0, то); И) называется классическим решением уравнения (3.2), если для нее равенство (3.2) выполняется непосредственно. Всякое классическое решение и уравнения (3.2) является классическим решением уравнения (3.4) в силу проведенных выше рассуждений, поэтому

и(г) = = и(г^1 = и(г)^о + V!) = и(гК где vо е Ио, V! е И1, V = vо + V1,

следовательно, оно является обобщенным решением уравнения (3.2). Здесь также использован тот факт, что в силу замечания 2.2 и(г^о = и(г)и(0^о = 0 при любом Vо € Ио.

Из тех же соображений и равенства О(5) = О(М1), справедливого в силу непрерывной обратимости оператора Ь1, следует, что обобщенное решение и(г) = и(г)v уравнения (3.2) является классическим в случае, когда V е Ио +О(М1).

Обобщенным или классическим решением задачи (3.1), (3.2) называется соответственно обобщенное или классическое решение уравнения (3.2), если для него выполняется условие (3.1).

Теорема 3.1. Пусть оператор М сильно (Ь, р)-радиален о константами К > 0, а < 0, функция п : (0, то) ^ К неотрицательная и невозрастающая, не равная тождественно нулю. Тогда

(1) существует единственное обобщенное решение и е С([0, +то); И) задачи (3.1), (3.2) для ио е О(М1), при этом ||и(г)||у < Се-|а|*||Мио|| для всех г > 0, где константа С не зависит от и0 и г;

(и) если ио е И \ О(М1), то не существует обобщенного решения задачи (3.1), (3.2);

(ш) обобщенное решение задачи (3.1), (3.2) является классическим тогда и только тогда, когда ио е О^Ь^М^2).

Доказательство. Как было замечено, условие и0 € И1 необходимо для обобщенной разрешимости задачи (3.1), (3.2), при этом задача (3.1), (3.2) равносильна задаче (3.3), (3.4). Согласно теореме 2.2 оператор Б = Ь-1М1 € ^(И1) порождает полугруппу {и1(г) € (И1) : г > 0}, удовлетворяющую неравенству

1|и1(г)Ь(и1) < ||и(г)Ь(и) < Кеа = Ке-|а|*

в силу отрицательности а по условию данной теоремы. Применив к задаче (3.3), (3.4) теорему 2.1, получим утверждения данной теоремы, учитывая, что

1|и(г)|и = Уи(г)Уи1 < С^^^Ни

< С1|Ь-1^(ЗД1;И1)е- 1 а 1 ^М^Н^ = Се- 1 а 1 ^М^Н.

4. Нелокальная по времени краевая задача для одного класса уравнений в частных производных

п т

Пусть многочлены Рп(А) = ^ сДг, дт(А) = ^ djА3 таковы, что с^, dj € С,

г=0 3=0

г = 0,1,..., п, ] = 0,1,..., то, сп, dm = 0, т > п. Далее, О С Мв — ограниченная область с границей дО класса Сс, п : [0, го) ^ М, А — оператор Лапласа, в € М. Рассмотрим краевую задачу

сю

!г

0

Рп

д

в—Акг(х, I) + (1 - в)Акг(х, I) = 0, к = 0,..., то - 1, (ж, £) € Ш х [0, го). (4.3) дп

Положим

¿(•,г) = и(г), г > 0,

И = Я02п(О) = Ь € Я2п(0) : в^-Аку{х) + (1 - 9)Аку(х) = 0,

дп

к = 0,..., п — 1, ж € дО V = Ь2(О), Ь = Рп(А), М = дт (А),

я

= € Н2гп(П) : 9^-Аку(х) + (1-9)Аку(х) = 0, к = 0,..., то - 1, ж €

Таким образом, задача (4.1)—(4.3) редуцирована к задаче (3.1), (3.2).

Обозначим через Ак, к € М, занумерованные по невозрастанию с учетом кратности собственные значения оператора А1, определенного на

Я02(О) = ¡V € Н2(П) : в^-Ау{х) + (1 - 6)Ау(х) = 0, ж € <9о|

равенством Aiu = Au и действующего в L2(0). Кроме того, пусть {^k : k £ N} — ортонормированная в смысле скалярного произведения (•, •}l2(o) в L2(0) система соответствующих собственных функций этого оператора. Будем считать, что Pn(Ak) = 0 при некоторых k £ N, т. е. уравнение (4.2) не разрешимо относительно производной по времени zt.

Обобщенным решением для задачи (4.1)—(4.3) является любая функция вида

Ej. Qmi^k. ) 0

е (v, <pk)L2{n)<pk(x), v £ Яе2™(0).

Pn(Afc)=0

Теорема 4.1. Пусть m > n, ( — 1)m-n Re(dm/cn) < 0, а спектр ct(A1) не содержит общих корней многочленов Pn и Qm,

Т-, Qm(Ak) „

а = sup Re < 0,

Pn

функция п : (0, то) ^ R неотрицательная и невозрастающая, не равная тождественно нулю. Тогда при любом zo £ ff2m(fi)nspan{^k : Pn(Ak) = 0} существует единственное обобщенное решение задачи (4.1)-(4.3), при этом

3C> 0 Vi > 0 ||z(^)||Я2П(П) < Ce-|a|tyzoyH2m(о).

Если z0 £ H|m(О) П span{<^k : Pn(Ak) = 0}, то обобщенного решения не существует. Если zo £ Я"4™-2" П span{^k : Pn(Ak) = 0}, то существует классическое решение задачи (4.1)-(4.3).

Доказательство. При условии, что m > n, (—1)m-n Re(dm/cn) < 0, а спектр c(Ai) не содержит общих корней многочленов Pn и Qm, оператор M сильно (L, 0)-радиален согласно теореме 5.1 из [17]. При этом <rL(M) = {р/с = p^Afc)"1 : О}, следовательно, в определении сильной (L, 0)-

радиальности можно выбрать

Т-, Qm

а= sup Re

Pn

В [17] также доказано, что в рассматриваемой ситуации

P =53 (^k}L2(0) <^k, Q =^3 }L2(0) <^k

Pn (Afc )=0 Pn (Afe )=0

(сходимость ряда понимается в смысле нормы пространства U для оператора P ив смысле нормы пространства V для оператора Q), U1 и V1 — замыкания одного и того же множества span{<^k : Pn(Ak) = 0} по норме пространства U или V соответственно. Осталось сослаться на теорему 3.1 и заметить, что в данном случае норма ||Mz0||l2(o) эквивалентна норме ||z0||H2m(o).

Пример 4.1. Пусть

Pi(A) = 1 + A, Q2(A) = A + 2A2, О = (0, п), в = 0.

Тогда

2k4 — k2 1

А к = —к2, <Pk{x) = sin кх, к £ N, sup -— = -9- < 0,

k=2,3,... 1 — k2 3

поэтому задача

сю

/.(м)п(г) *=.°(ж), ж € (0,п), 0

д 2£ д2^ дж2 дж2

д2 \ д,г ( д2 д4 \

1 + = [а* + ^ е ^ х 1°'°°)'

удовлетворяет всем условиям теоремы 4.1.

Замечание 4.1. В случае т < п теорема 4.1 также верна, при этом условие ( —1)т-п И,е^т/сп) < 0 можно опустить без потери результата, оператор М будет непрерывным на Н|п(О), а значения индекса к в формулировке краевых условий (4.3) должны изменяться до величины п - 1.

Замечание 4.2. Частными случаями уравнения (4.2) являются уравнение переходных процессов в полупроводниках [3]:

д^

(А — А) —(ж, Ь) = аг(х, Ь),

уравнение фильтрации в трещиновато-пористой среде [18]:

д^

(А - А) —(ж, Ь) = аАг{х,Ь),

уравнение движения грунтовых вод со свободной поверхностью [19]:

д^

(А - А) —(ж, = аАг{х,Ь) -/ЗА2,г(ж,

Замечание 4.3. В рассуждениях этого раздела можно заменить оператор Лапласа А1 действующим в Ь2(О) самосопряженным эллиптическим оператором, вообще говоря, высокого порядка

(А1и)(х) = ^ аа{х)Оаи{х), аа €

с областью определения Д(А1) = Н2Вг}(О) (обозначение см. в [20]), где (В, и)(ж) Ь,а(ж)Ваи(ж), Ь,а € Сс(дО), I = 1, 2,..., г,

при условии регулярной эллиптичности набора операторов А, В1, В2,..., Вг [20] и ограниченности справа спектра ).

ЛИТЕРАТУРА

1. Федоров В. Е. Вырожденные сильно непрерывные полугруппы операторов // Алгебра и анализ. 2000. Т. 12, № 3. С. 173-200.

2. Демиденко Г. В., Успенский С. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной. Новосибирск: Науч. книга, 1998.

3. Свешников А. Г., Альшин А. Б., Корпусов М. О., Плетнер Ю. Д. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа. М.: Физматлит, 2007.

4. Федоров В. Е. Обобщение теоремы Хилле — Иосиды на случай вырожденных полугрупп в локально выпуклых пространствах // Сиб. мат. журн. 2005. Т. 46, № 2. С. 426—448.

5. Тихонов И. В. О разрешимости задачи с нелокальным интегральным условием для дифференциального уравнения в банаховом пространстве // Дифференц. уравнения. 1998. Т. 34, № 6. С. 841-843.

6. Хилле ЭФиллипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: Изд-во иностр. лит., 1962.

7. Федоров В. Е., Иванова Н. Д., Федорова Ю. Ю. Нелокальная по времени задача для неоднородных эволюционных уравнений // Сиб. мат. журн. 2014. Т. 55, № 4. С. 876-891.

8. Тихонов И. В. Теоремы единственности в линейных нелокальных задачах для абстрактных дифференциальных уравнений // Изв. АН. Сер. мат. 2003. Т. 67, № 2. С. 133-166.

9. Тихонов И. В. Нелокальная задача с «периодическим» интегральным условием для дифференциального уравнения в банаховом пространстве // Интегральные преобразования и специальные функции. 2004. Т. 4, № 1. С. 49-69.

10. Керефов А. А. Нелокальные граничные задачи для параболических уравнений // Дифференц. уравнения. 1979. Т. 15, № 1. С. 74-78.

11. Шелухин В. В. Вариационный принцип в нелокальных по времени задачах для линейных эволюционных уравнений // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 2. С. 191-207.

12. Кожанов А. И. Нелокальная по времени краевая задача для линейных параболических уравнений // Сиб. журн. индустр. математики. 2004. Т. 7, № 1. С. 51-60.

13. Byszewski L., Lakshmikantham V. Theorems about the existence and uniqueness of solutions of a nonlocal abstract Cauchy problem in a Banach space // Appl. Anal. 1991. V. 40, N 1. P. 11-19.

14. Agarwal R. P., Bochner M., Shakhmurov V. B. Linear and nonlinear nonlocal boundary value problems for differential-operator equations // Appl. Anal. 2006. V. 85, N 6-7. P. 701-719.

15. Уварова М. В. О некоторых нелокальных краевых задачах для эволюционных уравнений // Мат. тр. 2010. Т. 13, № 2. С. 179-207.

16. Федоров В. Е. Свойства псевдорезольвент и условие существования вырожденной полугруппы операторов // Вестн. Челяб. гос. ун-та. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2009. Т. 11, № 20. С. 12-19.

17. Федоров В. Е., Рузакова О. А. О разрешимости возмущенных уравнений соболевского типа // Алгебра и анализ. 2008. Т. 20, № 4. С. 189-217.

18. Баренблатт Г. И., Желтов Ю. П., Кочина И. Н. Об основных представлениях теории фильтрации в трещинноватых средах // Прикл. математика и механика. 1960. Т. 24, № 5. С. 58-73.

19. Дзекцер Е. С. Обобщение уравнения движения грунтовых вод со свободной поверхностью // Докл. АН СССР. 1972. Т. 202, № 5. С. 1031-1033.

20. Трибель Х. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980.

Статья поступила 4 ноября 2014 г.

Федоров Владимир Евгеньевич, Иванова Наталья Дмитриевна

Челябинский гос. университет,

ул. Бр. Кашириных, 129, Челябинск 454001;

Южно-Уральский гос. университет,

пр. Ленина, 76, Челябинск 454080

kar@c su.ru, nat alia.d.ivanova@gmail.com