ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ В ПАРАБОЛИЧЕСКОМ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ УРАВНЕНИЯХ

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2022. Том 29, № 3

УДК 517.95

ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ ВОССТАНОВЛЕНИЯ ПАРАМЕТРОВ В ПАРАБОЛИЧЕСКОМ И ГИПЕРБОЛИЧЕСКОМ УРАВНЕНИЯХ А. И. Кожанов, Л. А. Телешева

Аннотация. Работа посвящена исследованию разрешимости новых обратных задач определения вместе с решением параболических или гиперболических уравнений некоторого коэффициента самого уравнения. Особенностью изучаемых задач является, во-первых, то, что неизвестный коэффициент ищется в классе постоянных функций, во-вторых — то, что применяется новое, не используемое ранее условие переопределения. Для изучаемых задач доказываются теоремы существования регулярных решений, т. е. решений, имеющих все обобщенные по С. Л. Соболеву производные, входящие в соответствующее уравнение.

Б01: 10.25587/8УРи.2022.85.24.005

Ключевые слова: параболические уравнения, гиперболические уравнения, обратные задачи, регулярные решения, существование.

Введение

В работе изучается разрешимость некоторых новых обратных коэффициентных задач для параболических и гиперболических уравнений второго порядка.

Обратными коэффициентными задачами для дифференциальных уравнений называют в последнее время задачи, в которых вместе с решением соответствующего дифференциального уравнения требуется определить также тот или иной коэффициент самого уравнения или коэффициент, определяющий правую часть (внешнее воздействие). Подобные задачи естественным образом возникают в математическом моделировании физических, биологических и т. п. процессов, протекающих в средах с заранее неизвестными характеристиками, поскольку именно характеристики среды определяют те или иные коэффициенты соответствующего дифференциального уравнения.

Различным аспектам теории обратных коэффициентных задач посвящена обширная литература (см., например, монографии [1-10] и имеющуюся в них библиографию; как близкие по методам и применяемой технике к настоящей работе отметим также статьи [11-19]).

Работа А. И. Кожанова выполнена в рамках государственного задания Института математики им. С. Л. Соболева СО РАН (проект Р'№КР-2022-0008).

© 2022 Кожанов А. И., Телешева Л. А.

Изучаемые в настоящей работе задачи имеют две особенности. Первой из них является то, что в них неизвестный коэффициент есть величина постоянная, а не функция, зависящая от тех или иных независимых переменных. Подобная ситуация возникает, например, в случае, когда среда однородная и соответствующие характеристики являются постоянными числами. Исследования разрешимости обратных задач с неизвестными постоянными коэффициентами начались сравнительно недавно (см. статьи [20-29]), и настоящую работу можно рассматривать как их продолжение.

Второй особенностью изучаемых в работе задач является то, что в них применяется новое, не используемое ранее, условие переопределения.

Все построения и рассуждения будут вестись на основе пространств Лебега Ьр и Соболева Wp. Необходимые определения и описание свойств элементов из этих пространств можно найти в монографиях [30-32].

В работе будут изучаться некоторые модельные задачи. Возможные усиления и обобщения полученных в работе результатов приведены в конце статьи.

1. Постановка задач

Пусть ф — прямоугольник (0,1) х (0,Т), Т < го. Далее, пусть /(х,Ь), N(Ь), и0(х), их(ж) — заданные функции, определенные при х € [0,1], Ь € [0,Т], м0 — заданное число.

Обратная задача I. Найти функцию и(х, Ь) и число м такие, что в прямоугольнике ф выполняется уравнение

Щг - ихх + ми = /

и при этом для функции и(х, Ь) выполняются условия

и

и*

т

У^

о

Обратная задача II. Найти функцию и(х, Ь) и число м такие, что в прямоугольнике ф выполняется уравнение (1), условия (2), (4), а также условие

их

Обратная задача III. Найти функцию и(х, Ь) и число м такие, что в прямоугольнике ф выполняется уравнение

иг - ихх + ми = /

и при этом для функции и(х, Ь) выполняются условия (3), (4), а также условие

и

Обратная задача IV. Найти функцию и(ж, 4) и число м такие, что в прямоугольнике Q выполняется уравнение (6) и при этом для функции и(ж, 4) выполняются условия (7), (5), (4).

Особенностью предлагаемых постановок задач является то, что условие переопределения (4) новые по сравнению с условиями переопределения из работ предшественников.

2. Разрешимость обратной задачи I

Для простоты изложения формулировок и выкладок введем некоторые обозначения. Обозначим через Ь оператор, действующий следующим образом: Ьад = Шц — 'хх. Положим далее

1

Ь = /N(4)/(0,4) /(ж, 4) = Ь/(ж, 4),

с-х = (2т2+4т)?\т)\\Ь2{0Х)тх,ть2(я)-

Теорема 1. Пусть функции /(ж, 4), N(4) таковы, что /(ж, 4) € /х(ж, 4) € Ь2^), N(4) € С([0,Т]). Кроме того, пусть выполняются условия

Мо = 0,

/

/х

и0

С < Ь.

Тогда обратная задача I имеет решение {и(ж, 4),м} такое, что и(ж,4) €

м > 0.

Доказательство. Рассмотрим следующую начально-краевую задачу: найти функцию г>(ж, 4), удовлетворяющую в прямоугольнике Q уравнению

Vtt — «хх +

1

Мо

1

Ь — ^ N(т)«(0,т) ¿г

V = /

и условиям

«(ж, 0) = «4(ж, 0) = 0, ж € (0,1), «х(1,4)= «х(0,4) = 0, 4 € (0,Т).

Разрешимость данной задачи докажем с помощью метода неподвижной точки и метода регуляризации. Определим пространство

V = {«(ж,4) : «(ж,4) € Ьто(0,Т; Ж>2(0,1)),^ (ж, 4) € Ьто(0,Т; ^(0,1)),

(ж, 4) € Ь2^),«хх^ж,4) € Ь2^)},

с нормой, определяемой естественным образом:

1мк = [1м|£„(0,т;и?(0,1)) + 1ы1£оо( 0,7^(0,1)) + 1ыи2(<э) + ii'^ ii12 (о) ] *

Пусть М и е — фиксированные числа такие, что М € (0, Ь], е > 0. Далее, пусть т

ад(х, Ь) € V, = / N(Ь)ад(0, Ь) Определим срезающую функцию См(0): о

если |0| < М, См (0) = { М, если 0 > М, -М, если 0 < -М.

Рассмотрим задачу: найти функцию г>(х, Ь) удовлетворяющую в прямоугольнике ф уравнению

Уи - Ухх + —\Ь - См{ф{'ш))]у - £Ухх1 = ]{х,г)

Мо

при выполнении условий (14), (15).

Задача (16,), (14), (15) при фиксированном положительном е является второй начально-краевой задачей для псевдогиперболического уравнения с постоянными коэффициентами. При выполнении условий теоремы 1 данная задача разрешима в пространстве V (см. например, [6]). Следовательно, она порождает оператор Ф(ад), переводящий пространство V в себя. Далее покажем, что оператор Ф в пространстве V имеет неподвижную точку.

Поскольку для существования неподвижной точки и (в дальнейшем) для предельного перехода при е, стремящемся к нулю, необходимы «хорошие» априорные оценки, покажем вначале их наличие. Рассмотрим следующее равенство: т 1

Уи -"ххН--[Ь- См{ф{™))}у - £УХХ1 ) (То - йхйг

Мо )

оо

т 1

J У /(х,Ь)(То - Ь)гг

где То > Т.

Используя условия (14), (15) и то, что М < Ь, проинтегрируем по частям слагаемые в левой части. К полученному выражению применим неравенство Юнга, придем к неравенству

т 1 т 1 т 1

г2(х,Ь) + 2 J у г2(х, Ь) + 4е J ^(То - Ь)гХг(х, Ь) о о о о о о

т 1

< 4То2 У У /2 (х, Ь) = К. оо

Рассмотрим равенство

Т 1

Уи -"ххН--[Ь- См{ф{™))}у - £УХХ1 ) {I - т0)ухх1 йхМ

Мо /

оо

Т 1

У У/(ж, — Тэ)«хх^

оо

Повторяя действия, выполненные при доказательстве предыдущего неравенства и в правой части применяя неравенство Юнга, получим оценку

Т 1 Т 1 Т 1

«24

о о о о о о

Т 1

" 2в(То- Г) / / УГ2(Ж' ^ = ^ о о

Для получения следующей оценки рассмотрим равенство

Т 1 Т 1

«и - ^хх + ^-[Ь - - et'xxt^ = J J Дж> ¿Н* ¿хМ.

оо оо

Перенесем в правую часть знаконеопределенные слагаемые, используем неравенство Юнга и полученные выше оценки, придем к неравенству

Т 1 / Т 1

у%{х,Ь)с1хсИ < 4 ( / I /2(х, г) ¿хМ + К2 + —(Ь-М)2К1+£2К2] .

1

М2

0 0 \о о

Следствием полученных неравенств будет оценка всевозможных решений «(ж,4) задачи (16), (14), (15):

< Я^/М^д) = До,

где До — число, зависящее только от Т и е.

Прежде всего заметим, что полученная оценка (17) означает, что оператор Ф переводит замкнутый шар радиуса До пространства V в себя. Покажем, что оператор Ф непрерывен на пространстве V. Пусть {адт(ж, 4)}„=1 — последовательность функций, сходящаяся в V к функции ' 0( ж, 4) € V, {«т(ж,4)}^=1 последовательность образов функций адт(ж, 4) при действии оператора Ф, «о(ж, 4) — образ функции адо(ж, 4) при действии оператора Ф. Обозначим

гйт(ж, £) = £) - йт(ж, £) = ут{х,1) - у0{х,1).

Последовательность функций г1т(ж, £) представляет собой решение задачи

Углы - Вши + — [Ь-СМ(Ф('Шт))}ут-£Утххг = — К?м(<?К^т)) - СМ (Ф(ыо ) )]«0 , М0М0

vm(x, 0) = vmt(x, 0) = 0, же (0,1), vmx(l,t) =vmx(0,t) =0, t G (О,T).

Повторяя доказательство оценки (17), получим, что для vm(x,t) выполняется неравенство

\\vm\\v < Rl\\GM(<i>(wm)) - GmWw0))\\2l2.

Для функции Gm (ф(ад)) выполняется условие Липшица. Далее, имеет место сходимость ф(адт) — ф(ад0) ^ 0 при m ^ ж (последнее следует из свойства непрерывности нормы и из того, что из сильной сходимости следует слабая). Учитывая эти факты, получим, что следствием последнего неравенства при n ^ ж будет сходимость

ll^mllv 0.

Эта сходимость и означает, что оператор Ф непрерывен в пространстве V.

Покажем, что оператор Ф компактен.

Пусть {wm(x,t)}^=1 — ограниченное семейство функций из V. Обозначим vm(x,t) = Ф(адт(ж, t)). Из ограниченности функций wm(x, t) в пространстве V следует, что функции wmx(x, t) принадлежат некоторому ограниченному множеству пространства W21(Q). Согласно теоремам вложения (см. [30-32]) существует подпоследовательность {wmk(x,t)}^!=1 такая, что последовательности {wmk(ж, t)}j!=1, {wmfcX(x, t)}j!=1 сходятся сильно в L2(Q). Из оценки (17) и липшицевости функции GM(0) следует, что последовательность {wmk(x,t)}^!=1 фундаментальна в V, а это и означает, что оператор Ф компактен на замкнутом ограниченном множестве пространства V.

Согласно теореме Шаудера в указанном шаре найдется по крайней мере одна неподвижная точка — функция v(x, t). Для неподвижной точки v(x,t) выполняется уравнение

vtt ~ Vxx + —\b - Gm

Mo

и выполняются условия (14), (15). Покажем, что для функции v(x, t) при дополнительных условиях на функцию /(x,t), будут выполняться равномерные по е оценки. Повторим действия, выполненные при доказательстве оценки (17), но при рассмотрении равенства, полученного умножением на vxxt в правой части, применим интегрирование по частям по переменной ж, получим

T 1 T 1 T 1

У У vXt(x, t) dxdt + 2 J J v^x(ж, t) dxdt + 4е J J(T0 — t)vXxt(x, t) dxdt о о о о о о

T 1

< 4To J J fx(x, t) dxdt = K3. о 0

При умножении на ««(ж, 4) с учетом полученного выше неравенства имеем

Т 1 2 2 Т 1

г) Лхйь < (4 + 2(6 т0\ г г ^ ^^

М0

0 0 0 0

T 1

+ (8T02 + 4eT0^ у /X(x, t) dxdt. 00

Из выведенных выше неравенств следует, что норма функции v(x, t) в пространстве V ограничена постоянной, не зависящей от е:

Теорема о рефлексивности гильбертова пространства означает существование последовательности {vk(x, t)} такой, что

Vk(x,t) ^ v(x, t), Vkt(x,t) ^ vt(x, t), Vktt(x, t) ^ vtt(x,t),

Vkx(x,t) ^ vx(x,t), vfexx(x, t) ^ vxx(x, t), £Vfexxt(x,t) ^ 0

почти всюду в V [31]. Вследствие непрерывности функции Gm (<^(v)) и указанных сходимостей почти всюду имеет место сходимость Gm (^(vk)) ^ Gm (^(v)). Из всего изложенного следует, что функция v(x,t) является решением уравнения

- + — [Ь - = 7

М0

и для нее выполняются условия (14), (15). Далее, используем неравенство

T T 1 T 1

J v2(0, t) dt< + ^ J J v2 dxdt + S2 J j v2x dxdt, 0 0 0 0 0

выберем £ минимальным из всех возможных (например, используя (20)), оценим

/ 2

правую часть через выражение вида \/Д]"((1 + ^-)Т2+<52) , которое принимает

минимальное значение при S2 = применим неравенство Гёльдера, оценим <^(v):

l¥>(v)| =

N(t)v(0, t) dt

< |y N2(t) dtl iy v2(0, t) dtl < Ci.

В силу условия (12) и выбора числа М получаем Gм(^(«)) = Тогда

вспомогательная начально-краевая задача будет разрешима в пространстве V. По функции «(ж,4) определим функцию и(ж,4) как решение задачи

и« — ихх = «(ж,4), (ж, 4) € Q,

2

2

u(x, 0) = ut(x, 0) = 0, x G (0,1),

их(0,г) = их(м) = о, 4 е (0,т).

Покажем, что, зная функцию и(ж,4), мы можем построить решение исходной обратной задачи I. Определим функцию

ъи(х,г) = ии - ихх +

Мо

Ь - J N(т)«(0,г) ¿т

и - /(ж, 4).

Очевидно, что для данной функции ад(ж,£) выполняются условия

- Вдхх = 0, (ж, 4) е ф, ад(ж, 0) = 0) = 0, ж е (0,1), »х(М) = ^х(0,4) = 0, I е (0,Т). Следовательно, ад(ж,£) — тождественно нулевая в ф функция.

Определим число

М :

1

Мо

1

Ь - / N(тМ0,т) ¿т

Покажем, что для построенной функции и(ж, 4) выполняется условие переопределения (4). Для этого в уравнение (1) вместо м поставим его представление, положим ж = 0, умножим на N(4)м0 и проинтегрируем по 4 на промежутке [0,Т ]:

Ь - N(^(0,4) ^11/ N(4)и(0,4) ^ - Мо I = 0.

Из того, что первый множитель в нуль не обращается, следует, что для функции и(ж, 4) выполняется условие переопределения (4). Значит, {и(ж, 4), м} — решение обратной задачи I.

3. Разрешимость обратных задач 11—1У

Полностью аналогично доказываются теоремы о разрешимости обратных задач 11-1У.

Теорема 2. Пусть функции /(ж, I), N(4) такие, что

/(ж,4) е ^22(ф), /хМ) е ¿2(3), N(4) е С([0,Т]).

Кроме того, пусть выполняются условия (8), (9), (11), (12),

/

Тогда обратная задача II имеет решение {и(ж, 4), м} такое, что и(ж, 4) е ^2!(ф), М > 0.

Для формулировки следующих теорем определим оператор действующий следующим образом: Ьад = - адхх.

1

Теорема 3. Пусть функции f (x,t), N(t) таковы, что

f (x,t) G W22(Q), fx(x,t) G L2(Q), N(t) G C([0,T]).

Кроме того, пусть выполняются условия (8), (9), (10), (12), а также условие u(x, 0) = 0 при x G [0,1].

Тогда обратная задача III имеет решение {u(x,t),M} такое, что u(x,t) G W|(Q), м > 0.

Теорема 4. Пусть функции f (x, t), N(t) таковы, что

f (x,t) G W|(Q), fX(x,t) G L2(Q), N (t) G C([0, T]).

Кроме того, пусть выполняются условия (8), (9), (12), (22), а также условие u(x, 0) = 0 при x G [0,1].

Тогда обратная задача IV имеет решение {u(x, t), м} такое, что u(x,t) G W2(Q), М > 0.

4. Комментарии и дополнения

4.1. Уравнения (1) и (6) имеют модельный вид. В целом вполне аналогично, но с более громоздкими выкладками и условиями можно изучить разрешимость обратных задач I—IV для уравнений

Ut — ß(x, t)uxx + b(x, t)ux + c(x, t)u + MU = f (x, t),

utt — a(x, t)uxx + b(x, t)ux + c(x, t)u + mu = f (x, t), (при выполнении естественного условия a(x,t) > ß0 > 0).

4.2. Нулевые начальные условия в обратных задачах I—IV можно заменить ненулевыми. Но тогда также количество выкладок и условий существенно увеличится.

4.3. Приведем примеры входных данных, для которых выполняются все условия теорем.

Пусть N(x) = 1, f (x, t) = t2. Очевидно, что для этих функций выполняются условия (8)-(10). Имеем

T ~

Ь=—, f{x,t) = 2, Ci = (2Т2 + 4Т)52Т.

3

При достаточно больших T (например, при T > 10) неравенство Ci < b выполняется. Таким образом, для данных функций выполняются все условия теоремы 1.

Аналогичные примеры можно привести ко всем теоремам.

ЛИТЕРАТУРА

1. Prilepko A. I., Orlovsky D. C., Vasin I. A. Methods for solving inverse problems in mathematical physics. New York: Dekker, 1999.

2. Ivanchov M. Inverse problems for equations of parabolic type. Lviv: VNTL Publ., 2003 (Math. Stud. Monogr. Ser.; V. 10).

3. Belov Yu. Ya. Inverse problems for partial differential equations. Utrecht: VSP, 2002.

4. Anikonov Yu. E. Inverse problems for kinetic and other evolution equations. Utrecht: VSP, 2001.

5. Кабанихин С. И. Обратные и некорректные задачи. Новосибирск: Сиб. книж. изд-во, 2009.

6. Kozhanov A. I. Composite type equations and inverse problems. Utrecht: VSP, 1999.

7. Lorenzi A. An introduction to mathematical problems via functional analysis. Utrecht: VSP, 2001.

8. Романов В. Г. Устойчивость в обратных задачах. М.: Науч. мир, 2005.

9. Isakov V. Inverse problems for partial differential equations. New York: Springer, 2006.

10. Hasanov H. A., Romanov V. G. Introduction to inverse problems for differential equations. New York: Springer, 2017.

11. Кожанов А. И. Нелинейные нагруженные уравнения и обратные задачи // Журн. вы-числ. математики и мат. физики. 2004. Т. 44, №4. С. 694—716.

12. Кожанов А. И. Об одном нелинейном нагруженном параболическом уравнении и о связанной с ним обратной задаче // Мат. заметки. 2004. Т. 76, вып. 6. С. 840—853.

13. Кожанов А. И. Параболические уравнения с неизвестными коэффициентами, зависящими от времени // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 2005. Т. 45, № 12. С. 2168— 2184.

14. Кожанов А. И. Параболические уравнения с неизвестными коэффициентами поглощения // Докл. АН. 2006. Т. 401, №6. С. 740-743.

15. Прилепко А. И., Костин А. Б. О некоторых обратных задачах для параболических уравнений с финальным и интегральным переопределением // Мат. сб. 1992. Т. 183, №4. С. 49-68.

16. Прилепко А. И., Костин А. Б. Об обратных задачах определения коэффициентов в параболическом уравнении. II // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 33, №3. С. 146-155.

17. Пятков С. Г. Некоторые обратные задачи для параболических уравнений // Фундамент. и прикл. математика. 2006. Т. 12, вып. 4. С. 187-202.

18. Cannnon J. R., Lin Y. Determination of a parameter p(t) in some quasi-linear parabolic differential equations // Inverse Probl. 1988. V. 4, N 1. P. 35-45.

19. Kozhanov A. I. On solvability of an inverse problems for parabolic equation with coefficient and right-hand side. II // J. Inverse Ill-Posed Probl. 2003. V. 11, N 5. P. 505-522.

20. Lorenzi A. Recovering two constants in a linear parabolic equatin // Inverse Probl. Appl. Sci.. 2007. V. 73. P. 1-15.

21. Lorenzi A., Mola G. Identification of real constant in linear evolution equation in a Hilbert spaces // Inverse Probl. Imaging. 2011. V. 5, N 3. P. 695-714.

22. Mola G. Identification of the diffussion coefficient in linear evolution equations in Hilbert spaces // J. Abstr. Differ. Equ. Appl. 2011. V. 2. P. 18-28.

23. Lorenzi A., Mola G. Recovering the reaction and the diffusion coefficients in a linear parabolic equation // Inverse Probl. 2012. V. 28, N 7. Article ID 075006.

24. Lyubanova A. Sh. Identification of a constant coefficient in an elliptic equation // Appl. Anal. 2008. V. 87, N 10-11. P. 1121-1128.

25. Любанова А. Ш. Идентификация коэффициента в старшем члене псевдопараболического уравнения типа фильтрации. Сиб. мат. журн. 2013. T. 54, №6. C. 1315-1330.

26. Кожанов А. И., Сафиуллова Р. Р. Определение параметров в телеграфном уравнении // Уфим. мат. журн. 2007. Т. 9, № 1. С. 63-74.

27. Кожанов А. И. Обратные задачи определения параметра поглощения в уравнении диффузии // Мат. заметки. 2019. Т. 106, вып. 3. С. 395-408

28. Kozhanov A. I. Hyperbolic equations with unknown coefficients // Symmetry. 2020. V. 12, N 9. 1539. doi.org/10.3390/sym12091539.

29. Кожанов А. И. Уравнение теплопроводности с неизвестным коэффициентом теплоемкости // Сиб. журн. индустр. математики. 2020. Т. 23, № 1. С. 93—106.

30. Соболев С. Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. М.: Наука, 1973.

31. Ладыженская О. А., Солонников В. А., Уральцева Н. Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

32. Triebel H. Interpolation theory. Function spaces. Differential operators. Berlin: VEB Deutcher Verl. Wiss., 1978.

Поступила в редакцию 22 августа 2022 г. После доработки 22 августа 2022 г. Принята к публикации 31 августа 2022 г.

Кожанов Александр Иванович

Институт математики им. С. Л. Соболева СО РАН, пр. Академика Коптюга, 4, Новосибирск 630090 kozhanov@math.nsc.ru Телешева Любовь Александровна

Бурятский государственный университет им. Д. Банзарова, ул. Смолина, 24а, Улан-Удэ 670000 love_20_09@mail .ru

Математические заметки СВФУ Июль—сентябрь, 2022. Том 29, № 3

UDC 517.95

INVERSE PROBLEMS OF RESTORING PARAMETERS IN PARABOLIC AND HYPERBOLIC EQUATIONS A. I. Kozhanov and L. A. Telesheva

Abstract: The work is devoted to the study of the solvability of new inverse problems of determining, together with the solution of parabolic or hyperbolic equations, a certain coefficient of the equation itself. A feature of the problems under study is, firstly, that the unknown coefficient is sought in the class of constant functions and, secondly, that a new, previously unused redefinition condition is applied. For the problems under study, existence theorems are proved for regular solutions, which are the solutions having all the derivatives generalized in the Sobolev sense entering the corresponding equation.

DOI: 10.25587/SVFU.2022.85.24.005 Keywords: parabolic equation, hyperbolic equation, inverse problem, regular solution, existence.

REFERENCES

1. Prilepko A. I., Orlovsky D. C., and Vasin I. A., Methods for Solving Inverse Problems in Mathematical Physics, Dekker, New York (1999).

2. Ivanchov M., Inverse Problems for Equations of Parabolic Type, VNTL Publ., Lviv (2003) (Math. Stud. Monogr. Ser.; vol. 10).

3. Belov Yu. Ya., Inverse Problems for Partial Differential equations, VSP, Utrecht (2002).

4. Anikonov Yu. E., Inverse Problems for Kinetic and Other Evolution Equations, VSP, Utrecht (2001).

5. Kabanikhin S. I., Inverse and Ill-Posed Problems [in Russian], Sib. Knizh. Izdat., Novosibirsk (2009).

6. Kozhanov A. I., Composite Type Equations and Inverse Problems, VSP, Utrecht (1999).

7. Lorenzi A., An Introduction to Mathematical Problems via Functional Analysis, VSP, Utrecht (2001).

8. Romanov V. G., Stability in Inverse Problems [in Russian], Nauch. Mir, Moscow (2005).

9. Isakov V., Inverse Problems for Partial Differential Equations, Springer, New York (2006).

10. Hasanov H. A. and Romanov V. G., Introduction to Inverse Problems for Differential Equations, Springer, New York (2017).

11. Kozhanov A. I., "Nonlinear loaded equations and inverse problems," Comput. Math. Math. Phys., 44, No. 4, 694-716 (2004).

12. Kozhanov A. I., "A nonlinear loaded parabolic equation and a related inverse problem," Math. Notes, 76, No. 6, 840-853 (2004).

13. Kozhanov A. I., "Parabolic equations with an unknown time-dependent coefficient," Comput. Math. Math. Phys., 45, No. 12, 2168-2184 (2005).

14. Kozhanov A. I., "Parabolic equations with an unknown coefficient of absorption," Dokl. Math., 74, No. 1, 573-576 (2006).

15. Prilepko A. I. and Kostin A. B., "On certain inverse problems for parabolic equations with final and integral observation," Sb. Math., 183, No. 4, 49-68 (1992).

16. Prilepko A. I. and Kostin A. B., "On inverse problems of determining a coefficient in a parabolic equation, II," Sib. Math. J., 33, No. 3, 146-155 (1993).

© 2022 A. I. Kozhanov, L. A. Telesheva

17. Pyatkov S. G., "Certain inverse problems for parabolic equations," J. Math. Sci., 12, No. 4, 187-202 (2006).

18. Cannon J. R. and Lin Y., "Determination of a parameter p(t) in some quasi-linear parabolic differential equations," Inverse Probl., 4, No. 1, 35-45 (1988).

19. Kozhanov A. I., "On solvability of an inverse problems for parabolic equa- tion with coefficient and right-hand side, II," J. Inverse Ill-Posed Probl., 11, No. 5, 505-522 (2003).

20. Lorenzi A., "Recovering two constants in a linear parabolic equation," Inverse Probl. Appl. Sci., 73, 1-15 (2007).

21. Lorenzi A. and Mola G., "Identification of a real constant in linear evolution equation in a Hilbert spaces," Inverse Probl. Imaging, 5, No. 3, 695-714 (2011).

22. Mola G., "Identification of the diffussion coefficient in linear evolution equations in Hilbert spaces," J. Abstr. Differ. Equ. Appl., 2, No. 1, 14-28 (2011).

23. Lorenzi A. and Mola G., "Recovering the reaction and the diffusion coefficients in a linear parabolic equation," Inverse Probl., 28, No. 7, Article ID 075006 (2012).

24. Lyubanova A. Sh., "Identification of a constant coefficient in an elliptic equation," Appl. Anal., 87, No. 10-11, 1121-1128 (2008).

25. Lyubanova A. Sh., "Identificacion of a coefficient in the leading term of a pseudoparabolic equation of filtration," Sib. Math. J., 54, No. 6, 1046-1058 (2013).

26. Kozhanov A. I. and Safiullova R. R., "Determination of parameters in telegraph equation," Ufa Math. J., 9, No. 1, 63-74 (2007).

27. Kozhanov A. I., "Inverse problems of finding the absorption parameter in the diffusion equation," Math. Notes, 106, No. 3, 395-408 (2019).

28. Kozhanov A. I., "Hyperbolic equations with unknown coefficients," Symmetry, 12, No. 9, 1539 (2020).

29. Kozhanov A. I., "The heat transfer equation with an unknown heat capacity coefficient," J. Appl. Ind. Math., 23, No. 1, 93-106 (2020).

30. Sobolev S. L., Some Applications of Functional Analysis in Mathematical Physics [in Russian], Nauka, Moscow (1973).

31. Ladyzhenskaya O. A., Solonnikov V. A., and Uraltseva N. N., Linear and Quasilinear Equations of Parabolic Type [in Russian], Nauka, Moscow (1967).

32. Triebel H., Interpolation Theory, Function Spaces, Differential Operators, VEB Deutcher Verl. Wiss., Berlin (1978).

Submitted August 22, 2022 Revised August 22, 2022 Accepted August 31, 2022

Aleksandr I. Kozhanov Sobolev Institute of Mathematics, 4 Koptyug Avenue, 630090 Novosibirsk, Russia kozhanov@math.nsE.ru

Lyubov A. Telesheva

Banzarov Buryat State University,

24a Smolin Street, 670000 Ulan-Ude, Russia

love_20_09amail.ru