Контактное взаимодействие гибких балок Тимошенко при малых прогибах

УДК 539.3

КОНТАКТНОЕ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ГИБКИХ БАЛОК ТИМОШЕНКО ПРИ МАЛЫХ ПРОГИБАХ

1 10 10 О 1

И. В. Папкова , А. В. Крысько , , О. А. Салтыкова ' , А. А. Захарова , В. А. Крысько

'Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., г. Саратов, Россия 2Томский политехнический университет, г. Томск, Россия

DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-1-154-160

Аннотация — Данная работа посвящена исследованию нелинейной динамики контактного взаимодействия двух гибких балок Тимошенко, находящихся под действием поперечной знакопеременной нагрузки. Учет контактного взаимодействия балок осуществлен по модели Кантора. Геометрическая нелинейность учтена по модели Т. фон Кармана. Система дифференциальных уравнений в частных производных двенадцатого порядка методом конечных разностей второго порядка сводится к системе обыкновенных дифференциальных уравнений. Полученная система решается методами типа Рунге - Кутты второго, четвертого и восьмого порядков. Методами нелинейной динамики исследовались хаотические колебания двух гибких балок Тимошенко и найдены оптимальные значения шага по пространственной координате, шага по времени для проведения численного эксперимента. Показано, что получаемые хаотические сигналы являются истинными, так как обеспечивается сходимость по всем применяемым численным методам. В работе доказана и обоснована достоверность численных результатов решения задачи контактного взаимодействия двух балок, описываемых кинематической гипотезой Тимошенко, при малом зазоре между ними.

Ключевые слова: Контактное взаимодействие, балка Тимошенко, хаос, метод конечных разностей, методы типа Рунге - Кутты, геометрическая нелинейность

I. Введение

Исследование нелинейной динамики и контактного взаимодействия балок является одной из наиболее актуальных задач современной науки, ввиду широкого спектра применения балочных структур в различных отраслях современной промышленности. Известно несколько гипотез, описывающих динамику балочного элемента, это теории первого, второго, третьего приближений и другие. К гипотезе первого приближения относится гипотеза Эйлера - Бернулли [1]. Гипотеза второго приближения - гипотеза С.П. Тимошенко [2], позволяет учитывать поворот нормали к срединной линии после деформации. Данная теория позволяет более точно описывать динамику балочного элемента. Исследованиям нелинейной динамики балок, описываемых гипотезами различных приближений, посвящено большое количество российской и иностранной литературы [3-5]. Настоящая работа ставит своей целью доказать истинность хаотических колебаний двух балок Тимошенко с малым зазором, находящихся под действием поперечной знакопеременной нагрузки, с учетом контактного взаимодействия. В отечественной и иностранной литературе решения таких задач нет. Это является принципиально важным вопросом, при решении таких сложных нелинейных систем уравнений численными методами, т.к. может получиться неверное решение из-за погрешности численных методов.

В работе будем опираться на определение хаоса, данного Гуликом [6]. Гулик считает, что хаос существует тогда, когда либо имеется существенная зависимость от начальных условий, либо функция имеет положительный показатель Ляпунова в каждой точке области ее определения и поэтому не является в конечном итоге периодической. В качестве начальных условий, помимо условий, накладываемых на функции, входящие в систему дифференциальных уравнений, будем понимать количество разбиений по пространственной координате, порядок метода Рунге - Кутты, кинематическую гипотезу. Для доказательства достоверности и истинности получаемых решений в хаосе использовались методы анализа нелинейной динамики, такие как построение фазовых портретов, спектров мощности Фурье, псевдо отображения Пуанкаре, вейвлет спектров, сигналов, вычисление значения старшего показателя Ляпунова по трем разным алгоритмам Kantz H. [7], Wolf A. [8] и Rosenstein M.T. [9]. Если результаты, полученные всеми этими методами, давали одинаковый результат, то принималось решение об истинности получаемых результатов. Кроме того, изначально исследовался вопрос о сходимости результатов в зависимости от количества разбиений по пространственной координате и от шага по времени для конечно-разностного метода. В отличие от ранее проводимых исследований [10], в данной работе требовалось достичь сходимости результатов в хаосе не только по спектрам мощности Фурье, но и по сигналам. Отдельным пунктом исследования являлся вопрос о выборе метода Рунге - Кутты для решения контактной задачи.

II. Постановка задачи

Исследуемая структура представляет собой пакет из двух балок одинаковой геометрии, с зазором между балками и при действии на балку 1 внешней знакопеременной нагрузки q (рис. 1). Оси координат введены так, как показано на рис. 1. Уравнения движения балок, а также граничные и начальные условия получены из энергетического принципа Гамильтона - ОстроградскогоДж-ЗП + = 0, где К - кинетическая энергия,

Ч

П - потенциальная энергия, д'ш - сумма элементарных работ внешних сил.

В указанной системе координат структура из двух балок, как двумерная область ^ определяется следующим образом П = {х е [0, а]; - И < г < Ик + Ък}, 0 < t <ю.

Рис. 1. Расчетная схема

Для моделирования контактного взаимодействия балок по модели Б.Я. Кантора в уравнения балок для прогиба необходимо ввести слагаемое (-1)'^(w1 - w2 - hk , i = 1,2 - номер балки, функция Y определена формулой Y = 1 [l + sign(w1 - hk - w2)], то есть Y = 1, если есть контакт между балками - w1 > w2 + hk , иначе контакта нет [11], К - коэффициент жесткости трансверсального обжатия структуры в зоне контакта, hk - зазор между балками.

III. Теория

Тангенциальные перемещения uz, wz распределены по толщине {-h < z < h} по линейному закону uz = u + zyx ; wz = w , где yx = yx (x, t) - угол поворота нормали к линии z = 0. Тогда

z du 1 (dw Y dyr z dw

eL = — + -| — I + z ; e' = Yx + — dx 2 dx dr dx

l/л \ 1_лл- J 1_лл- l/л-

и, если обозначить через s11 - тангенциальные деформации срединной линии, изгибные деформации через

Ии =

dYx dx

дV

деформации сдвига % = ух +--, то выражения для деформаций будут представлены в виде

dx

линейного разложения по степеням z:

elx = £11+zH11; exz = ^13;z 6

Введем деформацию сдвига по формуле:

% ="

-Qxf (z),

1И01з

где Q1 - поперечная сила; 013 - модуль сдвига, /(г) - функция, характеризующая закон распределения касательных напряжений по толщине.

4 = -1 17

к2 2И

Здесь Q1 = 2hGnk2sn , где = -h j f 2(z)dz .

1

2 5

Величина к для такой функции будет равна —.

6

С учетом закона Гука выражение для напряжений запишем в виде а'хх = Е'е^ + Е'хН 1г1, а'х2 = 013е'13.

' ' ' {к ' ' [к ' Тогда Т11 = I сгххС1 - внутренние усилия; 611 = I ахгС2 - перерезывающие силы; М11 = I аххгС2 - изги-З-к З-к З-к

(К1 - П' )dt = 0 , где

1 г   1 г

П1 = ПС + П'и . Энергия срединной поверхности равна ПС = — I Т{1е[1Сх = — I Т1'1

2 2 Зе

1 Г

изгиба выражается следующим образом П'и = — I

2 Ле

I

М11н11 + 611

дм

(диг +1 л2^

дt 21 ^

V '

Сх, энергия

dx, а кинетическая энергия

Кг = 1 (2к)Гг

2 Я'

ди' дt

V ^ ) V дt

ск.

Из принципа Гамильтона - Остроградского запишем уравнения движения структуры из двух балок Тимошенко в перемещениях с учетом диссипации энергии запишутся в безразмерном виде следующим образом:

(я 2

дV , дух

Л

дх2 дх

+ яЯ VЬ[(М''и') + 3Ь2(М''^) + Ьз(М''и) ' +

д V

дм

+ (-1)'К(М1 -М2 -кк+ д(0- —2-= 0:

дt2

дt

д2

и'

д2У:

2 + Ь4(м ', м) -дм

= 0;

дх ' дt2

х' -8Я2+ у. = 0; ' = 1,2,

дх

2

д? 7х' \ дt2

Здесь ' = 1,2 - порядковый номер балок,

А , и') =

д2м ди , 52м (дМ' ^2 дМ' 5, дм 52м

, ^) =.

Ьз(м', и') = -

ц(м', м) = -

' ~2Ь

- нелинейные

дх2 дх дх2 V д? ) дх дх2 дх дх2

операторы, ух{ - функция поперечного сдвига, , и - функции прогибов и перемещений балок соответственно. К системе дифференциальных уравнений (1), следует присоединить граничные условия и начальные условия.

Система уравнений (1), граничные и начальные условия приведены к безразмерному виду с помощью переменных:

_ м _ иа _ х . а _ а 4(1 -V2) м =—-, и =--, х = —, д = д-

2к

2

а

(2к)'

(2к)4 Е

- t а

t = —, г = —, с = г с "

ЕЯ

_ _ а _ _ ^ха

е =е1 С' Гх = (2к)•

Полученная система нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных (1) совместно с граничными и начальными условиями сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений методом конечных разностей с аппроксимацией 0(с2), где с - шаг по пространственной координате. В каждом узле сетки получим систему обыкновенных дифференциальных уравнений. Полученная задача Коши по времени решается методами типа Рунге - Кутты. В работе проведено сравнение различных методов Рунге - Кутты: Рунге - Кутты 4-го (гк4), 2-го (гк2) порядков, Рунге - Кутты - Фелберга 4-го порядка (^45), Кеш - Карпа 4-го порядка (гкск), Рунге - Кутты, Принса - Дорманда восьмого порядка (rk8pd), неявный метод Рунге - Кутты 2-го порядка (rk2imp) и 4-го порядка (rk4imp).

На основании описанного алгоритма создан программный комплекс, позволяющий решать поставленную задачу в зависимости от управляющих параметров {д 0, а> р }. Как уже отмечалось выше, изучаемые задачи являются нелинейными, поэтому встает вопрос о достоверности получаемых результатов.

1

3

IV. Результаты экспериментов Граничные условия для заделки обоих концов балок:

ч ч ч ч (0, П дц>; (1, /) _ , „

(0, г) = (1, г) = и, (0, г) = и, (1, г) == ^^ = 0, , = 1,2.

дх дх

Начальные условия:

„ д^. (х, г) ди, (х, г) дух1 (х, г) *, (х, г) г=0 = и, (х, г)г=0 = уХ1 (х, г )|г=0 = 0, л ' ; = л' ' = /хЛ ' ' = 0.

г г=0 1 г=0 |г=0 дг г=0 дг г=0 дг |г=0

На балку 1 действует поперечная распределенная по поверхности знакопеременная нагрузка вида:

д = д0 эт(рг),

где д0 - амплитуда, о р - частота вынуждающих колебаний.

Для проведения численного эксперимента положили: оор = 5.1, д0 = 5000 , кк = 0.1, Я = а/2к = 50, е1 = 1.

Частота вынуждающих колебаний близка собственной частоте балки. Предварительно исследовался вопрос о сходимости метода конечных разностей. На рис. 2 (а, б) представлены сигналы, посчитанные при различном числе точек деления отрезка п = 40;80;120;240;360;400;440 . Для второй балки сходимость по количеству делений отрезка значительно хуже и полностью не наступает. Погрешность между сигналами, посчитанными при п = 360 и п = 400, составляет 3%, однако сигналы совпадают по форме на всем интервале по времени. Результаты получены при помощи метода Рунге - Кутты 8-го порядка в модификации Принса - Дорманда (гк8рф.

а) б)

Рис. 2. Сигналы прогиба балок (0.5,г) при г е [500..506] для п = 40;360;400 :

а) балка 1; б) балка 2

В работе [10], считалось достаточным показать сходимость по спектрам мощности Фурье для хаотических колебаний. По сигналу достичь сходимости не удавалось. При п = 400 обеспечена сходимость результатов при хаотических результатов даже по сигналу.

Далее была исследована сходимость сигналов в зависимости от типа метода Рунге - Кутты. Для обеих балок результаты решения методами Рунге - Кутты второго, четвертого и восьмого порядков полностью совпали, однако принято решение использовать в дальнейших расчетах метод Рунге - Кутты 8-го порядка Принса -Дорманда (гк8рф, так как этот метод позволяет осуществлять автоматическую регулировку шага по времени.

Исследуем динамические характеристики балок при разном количестве разбиений по пространственной координате. В табл. 1 приведем графики спектров мощности Фурье, 3Б фазовые портреты и псевдоотображения Пуанкаре для обеих балок.

ТАБЛИЦА 1 ДИНАМИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ БАЛОК

V. Обсуждение результатов Анализируя спектры мощности Фурье при различных количествах разбиений п по пространственной координате, для балки 1, можно отметить сначала увеличение, а потом сокращение количества частот и сокращение шумовой составляющей при увеличении п. При п = 40 спектры мощности обеих балок демонстрируют колебания на линейно зависимых частотах а р / 2, а р / 3, а р / 6 и наличие шумовой составляющей на низких частотах.

Обе балки колеблются на одних и тех же частотах, то есть происходит частотная синхронизация колебаний. Увеличение п в два раза приводит к общему хаотическому пьедесталу. При п = 120 в спектре мощности обеих балок вновь появляется частота а/2, а также уменьшение хаотической составляющей по сравнению

с п = 80 . При п = 240 в сигнале первой и второй балок присутствуют частоты ар /2 и ар /4. При п = 360

и п = 400 спектры мощности очищаются от шумовой составляющей, в сигнале обеих балок присутствуют частоты а1 = ар /5 = 1.02, 2а1 и а2 = ар -а1, т.е. можно говорить о синхронизации колебаний на этих частотах.

Как правило рассматриваются 2Б фазовые портреты, но в данной работе предлагается рассматривать 3Б фазовые портреты w(wJ, w"tt ), т.к. в этом случае будем иметь информацию о всех характеристиках динамики. Рассмотрим 3Б фазовые портреты w(wrí, w'\t ). При минимальном количестве узлов п фазовый портрет для балки 1 дает кольцо, но в пространстве видно, что это кольцо имеет толщину и неоднородно. Для второй балки

фазовый портрет представляет собой сплошное пятно, что соответствуют хаотическим колебаниям. При увеличении числа уравнений происходит сжатие фазового портрета и появления колец.

Псевдоотображение Пуанкаре для балки 1 при всех п имеет форму овала, но с небольшими изменениями его толщины. Начиная с п = 360, отмечается их сходимость, так же как и для балки 2, где для п = 40 псевдоотображение Пуанкаре рассеяно.

Проведенный комплексный анализ частотных характеристик, позволяет сделать вывод о достаточности п = 400, для исследования нелинейной динамики и контактного взаимодействия двух балок с зазором, когда обе балки описываются моделью Тимошенко.

В работе посчитаны значения старшего показателя Ляпунова для п = 400, посчитанными методами Вольфа, Розенштейна и Кап^ Н.. Значения получены на основе решений задачи Коши методом Рунге - Кутты 8-го порядка (гк8рф. Разные методы подсчета показателей Ляпунова необходимо использовать для определения истинного хаоса. При количестве делений балки на п = 40; 80, 120; 240, 360, 400 отрезков в методе конечных разностей ляпуновские показатели при любом методе подсчета сходятся до второго или третьего знака после запятой.

В табл. 2 приведем значения старшего показателя Ляпунова для обеих балок при п = 400, посчитанные по методам Кантца, Вольфа, Розенштейна. Во избежание получения ошибочных выводов при исследовании хаотических колебаний ляпуновские показатели получаем несколькими методами, т.к. в настоящее время нет надежного метода определения таковых.

ТАБЛИЦА2 ЛЯПУНОВСКИЕ ПОКАЗАТЕЛИ

n 1 балка 2 балка

метод Вольф Розенштейн Кантц Вольф Розенштейн Кантц

n = 400 Rk8pd 0,01658 0,05646 0,02191 0,02835 0,04617 0,02363

Все значения старшего показателя Ляпунова, независимо от метода решения задачи Коши, от количества интервалов разбиения балки, от алгоритма вычисления положительны. То есть мы имеем дело с истинными хаотическими колебаниями исследуемой балочной структуры.

VI. Выводы и заключение

В работе доказана и обоснована достоверность численных результатов решения задачи контактного взаимодействия двух балок, описываемых кинематической гипотезой С.П. Тимошенко, при малом зазоре между ними.

Проведено комплексное исследование нелинейной динамики контактного взаимодействия балок Тимошенко, находящихся под действием поперечной знакопеременной нагрузки. Обоснован выбор количества разбиений по пространственной координате (n = 400) и выбор метода решения задачи Коши (метод Рунге - Кутты 8-го порядка Принса - Дорманда).

На основании проведенного исследования частотных характеристик можно говорить о явлении хаотической частотной синхронизации колебаний балок.

Источник финансирования. Благодарности

Работа выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации 2.1642.2017/4.6.

Список литературы

1. Euler L. Sur la force des colones // Memories de L'Academie de Berlin. 1757. Vol. 13. Р. 252-282.

2. Timoshenko S. P. On the correction for shear of differential equation for transverse vibration of prismatic bar // Philosophical Magazin. 1921. Vol. 41, no 3 (6). P. 744-746.

3. Zhigalov M. V., Pavlov S. P., Krysko V. A. Nonlinear Dynamics of Multilayer Beam Structures with Gaps between them taking into Account the Geometrical and Physical Nonlinearities // International Journal of Applied Engineering Research. 2016. ISSN 0973-4562. Volume 11. Number 21. Р. 10427-10432.

4. Krysko A. V., Awrejcewicz J., Zhigalov M. V., Pavlov S. P., Krysko V. A. Nonlinear behaviour of different flexible size-dependent beams models based on the modified couple stress theory. Part 1. Governing equations and static analysis of flexible beams // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2017. № 93. Р. 96-105.

5. Krysko A.V., Awrejcewicz J., Zhigalov M.V., Pavlov S.P., Krysko V.A. Nonlinear behaviour of different flexible size-dependent beams models based on the modified couple stress theory. Part 2. Chaotic dynamics of flexible beams // International Journal of Non-Linear Mechanics. 2017. № 93. Р. 106-121.

6. Denny Gulick, Encounters with Chaos. // McGraw-Hill, New York, 1992.

7. Kantz H. A robust method to estimate the maximum Lyapunov exponent of a time series // Phys. Lett. A. i994. i85. P. 77-87.

S. Wolf A., Swift J. B., Swinney H. L., Vastano J. A. Determining Lyapunov Exponents from a time series // Physica ^ D. i985. P. 285-3i7.

9. Rosenstein M. T., Collins J. J., Carlo J. De Luca A practical method for calculating largest Lyapunov exponents from small data sets // Neuro Muscular Research Center and Department of Biomedical Engineering, Boston University, November 20, i992.

10. Awrejcewicz J., Krysko V. A., Papkova I. V., Krysko A. V. Deterministic Chaos in One-Dimentional Continuous Systems. - Singapur, World Scientific series on Nonlinear Science Series, 20^. 561 p.

11. Кантор Б. Я., Богатыренко Т. Л. Метод решения контактных задач нелинейной теории оболочек // Докл. АН УССР. Сер. А. 1986. № 1. С. iS-2i.

УДК 621.01

СОДЕРЖАНИЕ И СТРУКТУРА БАЗЫ ЗНАНИЙ, ИСПОЛЬЗУЕМОЙ ПРИ ВИРТУАЛЬНОМ УПРАВЛЕНИИ ДВИЖЕНИЕМ РУКИ АНДРОИДНОГО РОБОТА В ИЗВЕСТНОЙ ОКРУЖАЮЩЕЙ СРЕДЕ

Ф. Н. Притыкин, В. И. Небритов

Омский государственный технический университет, г. Омск, Россия

DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-1-160-165

Аннотация — В статье предложена организация структуры базы знаний, необходимой при осуществлении интеллектуального управления движением механизма руки андроидного робота с учетом различного расположения известных запретных зон. Предлагаемая структура базы знаний характеризует прошлый опыт синтеза движений руки по вектору скоростей с учётом известных препятствий, а также задает её собственные свойства. Формирование базы знаний основано на исследовании реализаций мгновенных состояний механизма руки. Представлены вычислительные эксперименты, связанные с виртуальным управлением движения руки андроидного робота при наличии известных запретных зон на основе использования разработанной базы знаний. Применение разработанной базы знаний при виртуальном управлении движением руки позволяет сократить время расчета тестовых заданий. Результаты исследований могут быть использованы при разработке систем управления движением автономно функционирующих андроидных роботов в заранее известной окружающей внешней среде.

Ключевые слова: виртуальное моделирование движений роботов, запретные зоны, синтез движений роботов, база знаний, тупиковые ситуации, механизм манипулятора

I. Введение

Создание алгоритма процесса управления андроидным роботом, автономно функционирующим в организованной среде, требует учитывать множество факторов. Данный алгоритм управления реализуется в виде множества правил и соответствующего механизма логического выбора. При этом в заданные интервалы времени на протяжении всего процесса управления должны происходить соответствующие оценки определённых параметров. Данные параметры определяют условия, которые указанный алгоритм должен понимать. Обычно алгоритм управления андроидного робота сталкивается с незапланированными событиями и неизвестными ситуациями, и желательно, чтобы он разумно вел себя в этих ситуациях. Поведение автономно функционирующего андроидного робота может быть улучшено, если система управления станет учитывать и использовать базу знаний или прошлый опыт синтеза перемещений с учётом положения заранее известных запретных зон.

II. Постановка задачи

Рассмотрим методику формирования и структуру базы знаний о прошлом опыте, используемую при виртуальном моделировании движений роботов по вектору скоростей [1, 2]. Заметим, что виртуальное управление движением позволяет накануне реализации движений в приводах оценивать возможности механизма руки при заданном положении запретных зон в начальных и конечных точках синтезируемой траектории движения центра выходного звена (ВЗ) [3-7]. База знаний прошлого опыта представляет собой совокупность параметров, сгруппированных в массивы, определяющие собственные свойства механизма руки андроидного робота, а также свойства определённые с учётом положения известных запретных зон. Данные массивы могут быть вычислены заранее с целью определения прошлого опыта, связанного с синтезом движений по вектору скоростей.