Исследование затухания поверхностных гравитационных волн в прикромочной зоне дрейфующего льда Баренцева моря

Ключевые слова:

Арктика, шельф

замерзающих

морей,

модель

распространения волн в слое жидкости, дифракция волн, диссипация волновой энергии, радиолокация, эволюция волнового спектра в прикромочной зоне ледяного покрова.

УДК 556.06

Исследование затухания поверхностных гравитационных волн в прикромочной зоне дрейфующего льда Баренцева моря

А.В. Марченко1*, М.М. Чумаков2

1 Университетский центр на Шпицбергене (ЮНИС), Норвегия, Лонгъир, п/я 156 N-9171

2 ООО «Газпром ВНИИГАЗ», Российская Федерация, 142717, Московская обл., Ленинский р-н, с.п. Развилковское, пос. Развилка, Проектируемый пр-д № 5537, вл. 15, стр. 1

* E-mail: Aleksey.Marchenko@unis.no

Тезисы. Рассмотрена модель распространения волн в слое жидкости, на поверхности которой плавает битый лед. В модели закон взаимодействия между льдинами не конкретизируется, а взаимодействие льдин с водой описывается законом вязкости, учитывающим коэффициент вихревой вязкости. При произвольном характере взаимодействия льдин получена формула для расчета диссипации волновой энергии битым льдом. Взаимодействие льдин в формуле характеризуется коэффициентом пропорциональности между амплитудой скорости движения частиц жидкости в волне и амплитудой скорости движения льдин. Выведена формула расчета эволюции волнового спектра вследствие диссипации волновой энергии в битых льдах.

Разработан новый метод анализа радиолокационных снимков высокого разрешения, позволяющий проследить изменение волнового спектра в прикромочной зоне ледяного покрова, состоящей из битого льда. Для конкретного района Баренцева моря двумя методами исследована эволюция волнового спектра и выполнен сравнительный анализ полученных результатов. В расчетах использовано значение коэффициента вихревой вязкости подледного слоя, рассчитанное с учетом результатов натурных измерений скоростей течений в подледном слое к востоку от о. Эдж. Радиолокационный снимок высокого разрешения получен для этого же района, но на четыре дня позже даты проведения полевых работ.

Оба метода показали близкие изменения длин волн, соответствующих спектральному максимуму волновой энергии около кромки льда и на расстоянии 5 км от нее. В обоих случаях длина волны спектрального максимума на расстоянии 5 км от кромки льда больше на 13 м, чем вблизи кромки льда. Таким образом, показано, что при проникновении ветровых волн в ледяной покров процесс их диссипации сопровождается увеличением длины и уменьшением крутизны волн.

Исследование распространения волн под ледяным покровом приобрело особое значение в связи с таянием морских льдов, освоением шельфа замерзающих морей и ростом навигационной активности в Арктике. Поверхностные волны могут распространяться подо льдом на значительные расстояния и производить его разрушение. В связи с высокими энергией и скоростью распространения волн зыби (более 5 м/с) их воздействие на лед реализуется относительно быстро и на большой площади. Разрушенный волнами лед более динамичен и быстрее тает. Вследствие этого исследование воздействия волн на лед важно как для моделирования климата Арктики, так и в задачах прикладного характера, которые связаны с оценкой влияния окружающей среды на объекты обустройства шельфа замерзающих морей.

Взаимодействие волн с плавающим ледяным покровом сопровождается определенными физическими эффектами, среди которых наиболее известны дифракция волн на кромке льда, диссипация энергии волн вследствие вязких эффектов внутри льда и диссипация энергии волн при взаимодействии льда с водой. Дифракция волн на кромках льдин приводит к рассеянию энергии проникающих волн вследствие генерации отраженных волн. Точный расчет рассеяния волновой энергии крайне сложен при учете реальной структуры ледяного покрова, состоящего из льдин непростой формы [1, 2]. Вместе с тем эффект отражения волн незначителен, когда ледяной покров состоит из льдин, размеры которых много меньше длин волн, или когда толщина льда настолько мала, что его упругость при изгибе мало влияет на дисперсию волн.

Диссипация волновой энергии вследствие вязких эффектов, проявляющихся при циклическом изгибе льда, важна в сплошных льдах большой толщины. Опубликованные ранее оценки [3] основаны на данных многочисленных лабораторных экспериментов по циклическому одноосевому нагружению ледового керна [4]. Оценки показывают, что доля диссипируе-мой энергии вследствие вязких процессов внутри льда не превышает 5 % от энергии упругих деформаций. Поэтому указанный эффект становится заметным, когда упругая энергия изгиб-ных деформаций льда достаточно велика.

Влияние вязкости воды на диссипацию волновой энергии под битым ледяным покровом, имеющим свойства вязкой жидкости, исследовалось Дж. Вебером [5]. Показано, что вязкость льда влияет на диссипацию волновой энергии много меньше, чем вязкость воды подо льдом. В связи с этим предложено при моделировании затухания волн подо льдом использовать коэффициент вихревой вязкости вместо коэффициента молекулярной вязкости. Однако такая модель не получила развития, поскольку численные значения вихревой вязкости имеют большой разброс и заранее неизвестны.

Влияние трения между льдинами на затухание волн изучалось Дж. Келлером [6], при этом жидкость подо льдом полагалась идеальной. Эффект затухания волн зависел от эмпирического коэффициента трения между льдинами. Р. Ванг и Х. Шен рассмотрели ледяной покров как среду с вязко-упругими реологическими свойствами, характеризующуюся упругим модулем сдвига и коэффициентом вязкости [7]. Однако применяемая ими достаточно сложная реологическая модель льда не обоснована физически. Попытки определения реологических постоянных модели с использованием натурных данных о затухании волн не могут быть признаны успешными вследствие сильной неоднородности свойств реального ледяного покрова.

В настоящей статье модель Вебера [5] обобщена для случая, когда закон взаимодействия льдин не конкретизируется, а взаимодействие льдин с водой описывается вязким законом с коэффициентом вихревой вязкости. Выведена формула, описывающая диссипацию волновой энергии, и получено уравнение эволюции волнового спектра в битых льдах. Найденные формулы используются для оценки затухания волновой энергии в прикромоч-ной зоне ледяного покрова на северо-западе

Баренцева моря вблизи о. Эдж. Результаты расчетов сравниваются с данными анализа спутникового радиолокационного снимка высокого разрешения, обработанного новым методом, позволяющим определять длину волны, распространяющейся в ледяном покрове.

Уравнения движения льда и воды при распространении волн в битых льдах

Полагается, что движение плавающего битого ледяного покрова под влиянием волн малой амплитуды описывается уравнением

РЛ ^ = -Р„ 8 $ + Л, дt дх

где ил, рл и кл - горизонтальная скорость, плотность и толщина льда соответственно; 8 - ускорение свободного падения; п - отклонение поверхности воды от горизонтального положения равновесия; - сопротивление воды движению льда вследствие вязкого трения в подледном пограничном слое воды; Л - силы взаимодействия льдин; t - время; х - горизонтальная координата в направлении распространения волн.

Горизонтальная скорость ив движения воды вне пограничного слоя и переменная п описываются стандартным решением теории линейных гравитационных волн [8]:

2ив = К С05Ь[к (2+н)] е ч с.с.,

в в собЩ&н ] 2^ = ц0е' е+С.С.,

где С.С. традиционно обозначает комплексное сопряжение; п0 - амплитуда волны; V = 8к п0/ш -скорость движения поверхностных частиц воды; 2 - вертикальная координата; н - глубина жидкости; 9 = кх - шх - фаза волны; / - мнимая единица. Частота волны ш и волновое число к связаны дисперсионным соотношением

ю2 = 8к 1апИ[£Н ].

Внутри пограничного слоя горизонтальная скорость жидкости состоит из суммы скорости потенциального волнового движения ив (см. ф. (2)) и скорости вязкого движения воды в пограничном слое ивп/с, являющейся решением уравнения

ди.

д и

дt

д2 2

где V - кинематическая вихревая вязкость [8].

Граничными условиями для уравнения (4) Осредненная по периоду волны скорость являются: диссипации энергии

-Рв ^ oz

«..„/с ^0;z » s,

; (и + и / )| = и ;

' v В В.п/С ^ Iz = 0 л'

u,rfc = (V - V )e"

A = (1 + ')/ S,

где V - комплексная амплитуда скорости льда, определяемая формулой

2и = V e' е+ C.C.

2R = - kV, e' е+ C.C.,

D' = 1 dz-

И=|< m ; <d:>=-p. V.r.

где рв - плотность воды. Поверхность жидкости в невозмущенном состоянии совпадает с плоскостью г = 0.

В задаче имеются два масштаба длины 5 = 2у/ю и к-1, которые характеризуют толщину пограничного слоя и длину волны соответственно. Полагая, что V ~ 100 см2/с [3], и рассматривая длины волн более 50 м находим, что 5к 1 < 0,016. Свойства решения в горизонтальном направлении обусловливает масштаб 5, характерное изменение ив в вертикальном направлении определяется масштабом к-1. Поэтому в пределах пограничного слоя скорость ив практически постоянна, и в уравнение (4) не включен член д 2ивп/с/ дх2.

Решение уравнения (4) с граничными условиями (5) имеет вид

Если а = 0, то скорость движения льдин равна скорости движения воды, т.е. ил = ив. Формула (11) дает при этом нулевую диссипацию. Этот случай соответствует отсутствию взаимодействия между льдинами. Если а = 1, то ил = 0 - предельный случай, соответствующий сплошному ледяному покрову с маленькой изгибной жесткостью, и формула (11) отвечает формулам, полученным Вебером [5].

Волновая энергия Е определяется [8] формулой

2E = рв g

Скорость затухания амплитуды волны у, рассчитывается следующим образом [10]:

, ,2 _ п _ ^ук7<в

у,=-—- = - а юВ; В = ' 2E

2^2 tanh(kH);

т. е. затухание амплитуды волны определяется множителем ехр(-у,). Безразмерный коэффициент в определяет затухание волны под сплошным льдом при |а| = 1.

Затухание волновой энергии описывается [11] формулой

E = E0e

-2Wx

Положим, что сила взаимодействия льдин в уравнении (1) пропорциональна амплитуде скорости и записывается в виде

где к - коэффициент, определяющийся характером взаимодействия.

Подставляя формулы (6)-(8) в уравнение (1), находим

V =

Оценка затухания волн при распространении в битом льду

Скорость диссипации энергии в пограничном слое рассчитывается [9] по формуле

где E0 - начальное значение волновой энергии; cg = да/дк - групповая скорость.

Эволюция волнового спектра в прикромочной зоне Баренцева моря

Исследование эволюции волнового спектра в прикромочной зоне Баренцева моря проводилось с использованием радиолокационного (РСА, SAR) снимка, полученного с искусственного спутника Земли (ИСЗ) COSMO-SkyMed и выполненного в режиме Stripmap с номинальным пространственным разрешением 3 м и одинарной поляризацией (HH) 6 мая 2016 г. Результаты анализа снимка сравнивались с эволюцией спектра, описывающейся уравнением (14), с учетом данных полевых исследований 1 мая 2016 г. [3, 12]. Рис. 1 отражает изменение ледовой обстановки около о. Эдж под влиянием восточного ветра, скорость которого, по данным Глобальной системы прогноза

Концентрация льда: припай

| очень сплоченный

разреженный (дрейфующий) редкий (дрейфующий) отдельные льдины

БепйпеМ, Рас1агза(-2

изотерма на уровне моря 2 м, °С

район полевых работ на дрейфующем льду (см. а);

область РСА-снимка

Рис. 1. Карты ледовой обстановки в районе Шпицбергена (о. Эдж) в 15:00 11ТС 2 мая (а) и 6 мая (б) 2016 г.

ЩШШрЩй

ф АЧ

направление распространения волн (волновой луч) Р1 иР2

направление волн в данном пункте

Рис. 2. Фрагмент снимка с ИСЗ COSMO-SkyMed и ИСЗ Sentinel от 6 мая 2016 г. и профили P1, P2 измерения длин волн

погоды вР8 ^СЕР^САЯ1), 16 мая 2016 г. превышала 10 м/с.

Фрагмент РСА-снимка (рис. 2) охватывает акваторию, расположенную между кромкой льда и зоной сплошного льда 10-балльной сплоченности в районе 78° с.ш. и 25,38° в.д. Авторы считают, что ледяной покров в этой зоне состоит из битого льда, уплотненного воздействием ветра. Волны проявляются на снимке как чередующиеся полосы темных и светлых оттенков. Спектральный состав волн анализировался на профилях Р1 и Р2 длиной 3322 и 4171 м соответственно: Р1 расположен в районе кромки льда; середина Р2 находится на расстоянии приблизительно 5 км от кромки льда.

По данным1 оперативной модели ветрового волнения ^^АУЕ^АГСН III Национальной службы погоды США (МОАА), 6 мая 2016 г. в районе 77° с.ш., 28° в.д. период волн был равен 7,7 с и высота значительных волн достигала

См. https://earth.nullschool.net

2,35 м. Полагая глубину моря Н равной 160 м, находим волновое число к = 0,068 м 1 и длину волны X = 92 м. Направление распространения волн - 155° на северо-запад. Авторы предполагают аналогичные характеристики волнения около кромки льда в районе фиксации снимка.

Для получения объективной оценки волнового спектра использовался разработанный авторами метод, основанный на спектральном анализе значений коэффициента обратного рассеяния, составляющих амплитудную часть РСА-снимка. Известно, что снимок, получаемый в результате спутниковой радиолокационной съемки, содержит информацию о коэффициенте обратного рассеяния (с0) и фазе электромагнитных импульсов, рассеянных обратно каждым объектом на сканируемой поверхности в пределах элемента пространственного разрешения применяемых сенсоров. Массив значений с0 составляет амплитудную часть РСА-снимка, а массив значений фазы - его фазовую часть. Для визуализации спутниковых

снимков и, соответственно, для получения информации о сканируемой поверхности используется амплитудная часть, поскольку шероховатость поверхности зондирования существенно влияет на значение с0.

Исследования зависимости характера отражения радиолокационных импульсов (радиоволн) от шероховатости поверхности [13] показали, что более гладкие поверхности будут изображены на снимках темными областями разной степени интенсивности, т.е. им соответствуют относительно малые значения с0, а более шероховатые поверхности - светлыми областями с большими значениями с0. На РСА-снимках могут присутствовать области с текстурой яркой зернистости, отражающие наличие спекл-шума в их амплитудной части. Спекл-шум - это мультипликативное искажение (чем сильнее сигнал, тем сильнее искажение), происходящее из-за когерентного характера радиоволн и создающее широкий диапазон значений пикселов даже для однородных поверхностей.

С учетом сказанного, волны на поверхности моря, покрытого битым льдом, отображаются на РСА-снимке в виде чередующихся светлых и более темных полос. При этом гребни волн соответствуют локальным максимумам с0, а подошвы - локальным минимумам. Следовательно, длина волны определяется расстоянием между соседними локальными максимумами с0 в пикселях, расположенных на волновом луче.

Поскольку процесс распространения волн имеет периодический характер, то можно полагать, что расположение локальных максимумов с0 на волновом луче определяется некоторой периодической функцией, для нахождения которой допустимо использовать преобразование Фурье.

Алгоритм нахождения длин волн по данным РСА-снимка состоит в следующем:

1) по амплитудной части снимка строится и записывается в формате GeoTif геолокализо-ванный растр, содержащий значения с0, дБ;

2) построенный геолокализованный растр отображается в среде ArcGis в виде монохромного изображения (снимка);

3) в виде графического объекта в среде ArcGis строится волновой луч;

4) с помощью инструментария ArcGis (3D Analyst) выбираются все пиксели снимка, через которые проходит волновой луч, и для

каждого выбранного пикселя определяются значение с0 и расстояние от начала волнового луча;

5) по этим данным (см. п. 4) строится двумерный массив, в первой колонке которого содержатся расстояния от начала луча, а во второй - соответствующие значения с0, и экспортируется в формат Excel;

6) с целью уменьшения влияния спекл-шума производится медианная фильтрация значений с0;

7) поскольку все пиксели имеют одинаковые пространственные размеры, полученный ряд значений с0 может рассматриваться как временной и к нему допустимо применить стандартное разложение в ряд Фурье и определить спектральную плотность;

8) определяются периоды, соответствующие локальным максимумам спектральной плотности, и с учетом дистанции (размера пикселя) между полученными значениями с0 по ним рассчитываются длины волн.

Данный алгоритм применяется на различных участках (профилях) волнового луча для исследования изменения спектра волн по мере их проникновения в ледяной покров. Профили P1 и P2 (см. рис. 2) используются для сравнения спектрального состава волн вблизи кромки льда и на удалении 5 км от нее в направлении распространения волн. Анализ графиков спектральной плотности с0 (рис. 3) показывает, что на профиле Р1 спектральный максимум находится на длине волны 108 м, а на профиле Р2 -на длине волны 121 м (дистанция между полученными значениями с0 составляла 1,26 м).

Расчет изменения спектра волновой энергии проводился с использованием уравнения (14). При этом спектр E0(k) на открытой воде вблизи кромки задан в виде спектра JONSWAP (см., например, [14]), когда скорость ветра равна 10 м/с, длина разгона волн составляет 200 км, глубина моря H = 160 м. Коэффициент v полагался равным 140 см2/с [3]. Коэффициент а, характеризующий движение льда относительно воды, полагался равным 1, что соответствует предположению об отсутствии периодического движения льдин вследствие воздействия волн. Последнее предположение вытекает из предположения о ветровом сжатии льда в прикромочной зоне.

Эволюция спектра волнения при удалении от кромки льда показана на рис. 4. Видно, что вблизи кромки льда спектральный максимум находится на волновом числе 0,062 м-1 (длина

¡а 1200

м

'1000 " 800 600 400 200 0

¡а 500

и 400

0

300

200

100

1

А л л (Л у , л

л ^Л/ Л и /V1 V \

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

Период соответствующих значений а0, пиксель

а

\ N м V >г

ул) V V

20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

_ Период соответствующих значений а0, пиксель б

Рис. 3. Графики спектральной плотности о0 на профилях Р1 (а) и Р2 (б):

4096 наблюдений; веса Хемминга: 0357, 2411, 4464, 2411, 0357

V 3,0 2,5 2,0 1,5 1,0 0,5 0

0

--0 --1 --2

Г—3 р

ф У

0,1

0,2

9 0,10

0,08

0,06

0,04

0,02

0,3 к, м-1

0 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10

к, м-1

Рис. 4. Плотность спектра волновой энергии на различном удалении (0, 1, 2, 3, 4 и 5 км -см. цифры на графиках) от кромки льда в направлении распространения волн

0

0

0

волны - 101 м) и на расстоянии 5 км от кромки льда - на волновом числе 0,055 м-1 (длина волны - 114 м).

При этом на расстоянии 5 км от кромки льда максимум спектра практически отсутствует, и существует зона между волновыми числами 0,04 и 0,06 м-1, где значения спектральной плотности близки к максимальному, т.е. волны с наибольшей энергией характеризуются волновыми числами в диапазоне 0,04-0,06 м-1. Середине этой зоны соответствуют к = 0,05 м-1 и длина волны X = 125 м.

Очевидно, что полученные расчетные значения длин волн близки к длинам волн, определенным путем анализа спектральной плотности коэффициента с0 (см. рис. 3).

***

При произвольном характере взаимодействия льдин получена формула для расчета диссипации волновой энергии битым льдом. Взаимодействие льдин в формуле характеризуется коэффициентом пропорциональности между амплитудой скорости движения частиц жидкости в волне и амплитудой скорости движения льдин. Выведена формула расчета эволюции волнового спектра вследствие диссипации волновой энергии в битых льдах.

Список литературы

1. Squire V.A. Past, present and impendent hydroelastic challenges in the polar and subpolar seas / V.A. Squire // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. -2011. - V. 369. - P. 2813-2831.

2. Zhao X. A diffusion approximation of ocean waves scatterings by randomly distributed ice floes /

X. Zhao, H. Shen // Ocean modelling. - 2016. -V. 107. - P. 21-27.

3. Marchenko A. Three physical mechanisms of wave energy dissipation in solid ice / A. Marchenko, D.M. Cole // Proc. of the 24th International Conference on Port and Ocean Engineering under Arctic Conditions. - 2017. - POAC17-086. -http://www.poac.com/PapersOnline.html.

4. Cole D.M. A model for the anelastic straining of saline ice subjected to cyclic loading /

D.M. Cole // Philosophical Magazine A. - 1995. -№ 72 (1). - P. 231-248.

Разработан новый метод анализа радиолокационных снимков высокого разрешения, позволяющий проследить изменение волнового спектра в прикромочной зоне ледяного покрова, состоящей из битого льда.

Для конкретного района Баренцева моря проведено сравнение результатов исследования эволюции волнового спектра двумя методами. В расчетах использовано значение коэффициента вихревой вязкости подледного слоя, рассчитанное с применением данных натурных измерений скоростей течений в подледном слое к востоку от о. Эдж. Радиолокационный снимок высокого разрешения получен для этого же района, но на четыре дня позже даты проведения полевых работ. Оба метода показали близкие изменения длин волн, соответствующих спектральному максимуму волновой энергии около кромки льда и на расстоянии 5 км от нее. В обоих случаях длина волны спектрального максимума на расстоянии 5 км от кромки льда больше на 13 м, чем вблизи кромки льда. Таким образом, показано, что при проникновении ветровых волн в ледяной покров процесс диссипации этих волн сопровождается увеличением их длин при уменьшении крутизны.

Исследование выполнено при поддержке гранта РФФИ (проект №15-55-20003 Норва).

5. Weber J.E. Wave attenuation and wave drift in marginal ice zone / J.E. Weber // J. Phys. Oceanogr. - 19S7. - № 17. - P. 2351-23б1.

6. Keller J. Gravity waves on ice-covered water / J. Keller // J. Geophys. Res. - 199S. - V. 103. -P. 7бб3-7бб9.

7. Wang R. Gravity waves propagating in ice-covered ocean: a viscoelastic model / R. Wang, H. Shen // J. Geoph. Res. - 2010. - V. 115. - P. а0б024.

S. Lamb H. Hydrodynamics / H. Lamb. - London: Cambridge University Press, 1975.

9. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. I / Л.И. Седов. - М.: Наука, 19S4.

10. Ландау Л.Д. Гидродинамика / Л.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - М.: Наука, 19S6.

11. Caster M. A note on the relation between

temporally-increasing and spatially-increasing disturbances in hydrodynamic instability / M. Caster // J. Fluid Mech. - 1962. - № 14. -P. 222-224.

12. Marchenko A.V. Characteristics of under-ice

ocean currents measured during wave propagation events in the Barents Sea / A.V. Marchenko, V.V. Gorbatsky, I.D. Turnbull // Proc. of the 22th International Conference on Port and Ocean Engineering under Arctic Conditions. - 2015. -POAC15-00171. - http://www.poac.com/ PapersOnline.html

13. Onstott R.G. Synthetic aperture radar marine user's manual. Chap. 3: SAR measurements of sea ice / R.G. Onstott, R.A. Shuchman. - 2004.

14. Руководство по анализу и прогнозу ветровых волн: технический отчет ВМО № 702. -Женева: ВМО, 1998.

Investigation of surface gravity waves damping in marginal ice zone of the Barents Sea

A.V. Marchenko1*, M.M. Chumakov2

1 The University Centre in Svalbard (UNIS), P.O. Box 156 N-9171, Longyearbyen, Norway

2 Gazprom VNIIGAZ LLC, Bld. 1, Estate 15, Proyektiruemyy proezd # 5537, Razvilka village, Leninsky district, Moscow Region, 142717, Russian Federation

* E-mail: Aleksey.Marchenko@unis.no

Abstract. A model for wave transmission within a layer of a liquid covered with broken drifting ice is studied. The said model does not concretize interaction between ice-floes, and interaction of the ice-floes and water is described by a law of viscosity using a coefficient of eddy viscosity. On account of voluntary interaction of the ice blocks a formula for calculation of the wave energy dissipation by broken ice is composed. It characterizes interaction of ice blocks by means of a constant for proportionality between a peak velocity of liquid particle motion in wave and a peak velocity of the ice blocks. An equation for determination of wave spectrum induced by dissipation of wave energy in the broken ice is derived.

A new method aimed at analysis of the high-resolution radar images is developed. It helps to trace changes of the wave spectrum in a marginal ice zone which consists of the broken ice. Evolution of the wave spectrum in a particular area of Barents Sea is studied using two different methods. Acquired results are compared. For correspondent calculations a subglacial value of the eddy viscosity coefficient is applied. It is calculated using results of the field measurements of drift velocities within a subglacial layer to the east of the Edge island. Four days after the field measurement a high-resolution radar image was made for the same area.

Both methods showed similar changes of wavelengths correspondent to the spectral maximum of wave energy near the ice margin and at a distance of 5 km from it. In both cases the wavelength of the spectral maximum 5 km apart from the ice margin is 13 m longer than that nearby this margin. So, it is shown that when the wind waves penetrate ice cover, their dissipation is being accompanied with increase of wavelengths and decrease of their steepness.

Keywords: The Arctic, shelfs of freezing seas, of wave transmission in a liquid layer, diffraction of waves, dissipation of wave energy, radar, evolution of wave spectrum in marginal ice zone.

References

1. SQUIRE, V.A. Past, present and impendent hydroelastic challenges in the polar and subpolar seas. Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 2011, vol. 369, pp. 2813-2831. ISSN 0261-0523.

2. ZHAO, X. and H. SHEN. A diffusion approximation of ocean waves scatterings by randomly distributed ice floes. Ocean modelling. 2016, vol. 107, pp. 21-27. ISSN 1463-5003.

3. MARCHENKO, A. and D.M. COLE. Three physical mechanisms of wave energy dissipation in solid ice. In: Proc. of the 24th International Conference on Port and Ocean Engineering under Arctic Conditions [online]. 2017, POAC17-086. Available from: http://www.poac.com/PapersOnline.html. ISSN 2077-7841.

4. COLE, D.M. A model for the anelastic straining of saline ice subjected to cyclic loading. Philosophical Magazine A. 1995, no. 72(1), pp. 231-248. ISSN 0141-8610.

5. WEBER, J.E. Wave attenuation and wave drift in marginal ice zone. J. Phys. Oceanogr. 1987, no. 17, pp. 2351-2361. ISSN 0022-3670.

6. KELLER, J. Gravity waves on ice-covered water. J. Geophys. Res. 1998, vol. 103, pp. 7663-7669. ISSN 0148-0227.

7. WANG, R. and H. SHEN. Gravity waves propagating in ice-covered ocean: a viscoelastic model. J. Geoph. Res. 2010, vol. 115, pp. C06024. ISSN 0148-0227.

8. LAMB, H. Hydrodynamics. London: Cambridge University Press, 1975.

9. SEDOV, L.I. Mechanics of continuum [Mekhanika sploshnoy sredy]. Moscow: Nauka, 1984, vol. I. (Russ.).

10. LANDAU, L.D. and Ye.M. LIFSHITS. Hydrodinamics [Gidrodinamika]. Moscow: Nauka, 1986. (Russ.).

11. CASTER, M. A note on the relation between temporally-increasing and spatially-increasing disturbances in hydrodynamic instability. J. FluidMech. 1962, no. 14, pp. 222-224. ISSN 0022-1120.

12. MARCHENKO, A.V., V.V. GORBATSKY and I.D. TURNBULL. Characteristics of under-ice ocean currents measured during wave propagation events in the Barents Sea. In: Proc. of the 22th International Conference on Port and Ocean Engineering under Arctic Conditions [online]. 2015, POAC15-00171. Available from: http://www.poac.com/PapersOnline.html. ISSN 2077-7841.

13. ONSTOTT, R.G. and R.A. SHUCHMAN. Synthetic aperture radar marine user's manual. 2004, chap. 3: SAR measurements of sea ice.

14. WMO-No. 702. Guide to wave analysis and forecasting. Geneva: WMO, 1998.