Электрические свойства комплексов углеродной нанотрубки (7,7) с одиночными атомами Li, na, s и se

УДК 245.26

ЭЛЕКТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КОМПЛЕКСОВ УГЛЕРОДНОЙ НАНОТРУБКИ (7,7) С ОДИНОЧНЫМИ АТОМАМИ и, Ыа, Э И Эе1

С.А. Созыкин2, В.П. Бескачко3

Приводятся теоретические оценки влияния малых концентраций (~1 ат. %) атомов Ы, 8 и 8е на электрическое сопротивление углеродной

нанотрубки с металлическим типом проводимости. Рассчитанные зависимости сопротивления от разности потенциалов демонстрируют малое изменение сопротивления нанотрубки при взаимодействии с атомами щелочного металла. При внедрении атомов халькогенов в полость нанотрубки ее сопротивление увеличивается на мало зависящую от напряжения величину, в то время как адсорбция на внешней поверхности приводит к заметному увеличению сопротивления, возрастающему с увеличением разности потенциалов.

Ключевые слова: углеродные нанотрубки, электрическое сопротивление, теория функционала плотности, метод неравновесных функций Грина.

Введение

Уникальные свойства углеродных нанотрубок (УНТ) создали перспективу для их использования в элементах электронных устройств [2]. Для конструирования последних важна возможность изменения рабочих свойств в направлении, обеспечивающем наиболее эффективное функционирование устройства - возможность функционализации этих элементов. Для приложений в электронике главными являются электрические свойства элементов. Функционализация нанотрубок в рассматриваемом контексте означает изменение этих свойств за счет направленного изменения химического состава и строения трубок. К настоящему времени опытным путем установлена [2] возможность адсорбции внутренними и внешними поверхностями трубок множества атомных и молекулярных систем различной химической природы, от отдельных атомов до сложных органических молекул [3] и даже простейших биологических систем (вирусов). Из теоретических оценок [4] следует также, что присутствие даже небольших количеств адсорбата на поверхности трубки способно сильно повлиять на свойства образующегося комплекса. Имеющиеся сейчас сведения об адсорбционных комплексах УНТ довольно многочисленны, благодаря, в основном, богатому выбору адсорбатов. Они касаются по большей части возможности существования комплексов, их атомной и электронной структуры, и очень редко - свойств, представляющих интерес для практики, например, электропроводности. Определение этих свойств на опыте сопряжено с целым рядом проблем и поэтому на настоящем этапе исследований целесообразно получить их теоретическую оценку.

В связи с перспективами создания на основе УНТ литиевых батарей нового поколения, рядом научных групп было проведено исследование комплексов углеродных нанотрубок с этим металлом. Работы, в основном, были направлены на определение устойчивых конфигураций атомов лития вблизи поверхности углеродных нанотрубок [5, 6]. Данные об электрическом сопротивлении комплексов в настоящее время отсутствуют.

Известны экспериментальные исследования, продемонстрировавшие уменьшение электрического сопротивления пучков УНТ посредством их интеркалирования соединениями серы (80Бг2 [7] и 80С12 [8]), вызвавшие интерес у теоретиков. Расчеты, описанные в работе [9], указывают на исчезновение запрещенной щели в энергетическом спектре и появление проводящих каналов при наличии цепочек атомов серы на внешней поверхности УНТ (8,0), обладающей полупроводниковой проводимостью. Однако нам не известны работы, в которых изучалось бы влияние серы на УНТ с металлическим типом проводимости.

1 Работа выполнялась при финансовой поддержке ФЦП «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009 -2013 годы (ГК № 14.740.11.1420 от 02 ноября 2011 г.), Минобрнауки (государственное задание № 2012065).

2 Созыкин Сергей Анатольевич - аспирант, кафедра общей и теоретической физики, Южно-Уральский государственный университет. E-mail: sergey.sozykin@gmail.com

3 Бескачко Валерий Петрович - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра общей и теоретической физики, Южно-

Необходимо отметить, что атомы лития и серы являются донорами и акцепторами электронов соответственно. Рассмотрение влияния этих, противоположных в указанном смысле, типов атомов в рамках одной и той же методики расчета представляет особый интерес, поскольку позволяет исключить неопределенности, связанные с выбором метода расчета и его реализацией на компьютере. Для полноты картины были исследованы еще два элемента, обладающие донорны-ми (натрий) и акцепторными (селен) свойствами.

В данной работе оценивается влияние поверхностных атомов лития, натрия, серы и селена на электрическое сопротивление углеродной нанотрубки с металлическим типом проводимости в пределе малых концентраций (< 1 ат. %.), когда взаимодействием этих атомов друг с другом можно пренебречь.

Методика расчета

В настоящее время наиболее зарекомендовавшим себя способом определения проводимости молекулярных структур является метод неравновесных функций Грина, который реализован в ряде коммерческих и свободно распространяемых программных продуктов. В качестве инструмента моделирования в данной работе выбран квантово-механический пакет Siesta (и его модификация TranSiesta).

Расчет электрической проводимости с использованием пакета TranSiesta состоит из следующих этапов:

1. Поиск равновесной конфигурации моделируемого фрагмента. При этом оптимизация его геометрии проводится с использованием периодических граничных условий.

2. Генерация данных о строении и свойствах электродов (TSHS файлов), которые содержат информацию, необходимую для расчета электрического тока, возникающего в системе электрод-трубка-электрод при конечной разности потенциалов.

3. Расчет электрической проводимости, который начинается с обычной процедуры расчета матрицы плотности с использованием схемы Кона-Шэма для периодических систем. Этот расчет используется в качестве входной информации для процедуры самосогласования в методе функций Грина. При этом периодические граничные условия накладываются только в плоскости XOY, тогда как ось нанотрубки ориентируется в направлении оси OZ. С двух концов нанотрубка соединяется с электродами, расчет которых проводился на втором этапе.

При изучении УНТ, адсорбировавшей одиночный атом, размер моделируемого фрагмента должен обеспечить отсутствие взаимодействия адсорбированного атома с самим собой (в результате применения периодических граничных условий). Среди рассмотренных нами адсорбатов максимальным ковалентным радиусом Rc обладает атом натрия (0,166 нм [10]). Выбрав в качестве критерия большой удаленности атомов друг от друга величину 6Rc, получим, что длина фрагмента нанотрубки вдоль оси OZ должна быть около 1 нм. Поскольку атомы предполагается размещать как снаружи нанотрубки, так и в ее внутренней полости, диаметр УНТ не может быть слишком малым. Учитывая конечность толщины стенки нанотрубки (примем ее равной межпло-скостному расстоянию в графите 0,345 нм) получаем условие, обеспечивающее возможность нахождения атома натрия во внутренней полости, при котором несущественно изменяется электронная плотность на стенке трубки: 0,345+2-0,166 = 0,677 (нм). На основании этих соображений в качестве объекта моделирования был выбран фрагмент нанотрубки (7,7) (диаметр углеродного каркаса 0,95 нм), состоящий из 112 атомов углерода (длина фрагмента 0,99 нм).

Требование периодичности, накладываемое на электроды, ограничивает их возможные длины значениями %, 'Л, % и т.д. от длины рассматриваемого фрагмента УНТ. Использование самого короткого из них, хотя и позволяет получать достоверные значения электрической проводимости [11], но приводит к ошибке в сопротивлении полой индивидуальной нанотрубки на уровне 3 %. Использование электрода вдвое большей длины (как показали предварительные расчеты) позволяет добиться уменьшения этой погрешности в 2 раза. Дальнейшее увеличение размера электрода приводит к существенному увеличению времени расчета, из-за чего погрешность, получаемая при его использовании, не была определена. В данной работе применялись электроды, состоящие из 56 атомов углерода, показанные на рис. 1. Таким образом, размер системы составил 225 атомов (224 атома углерода и 1 адсорбированный атом).

Электрические свойства комплексов углеродной нанотрубки

с одиночными атомами и, Л/а, Э и Эе Электрод Фрагмент УНТ (7,7) Электрод

Рис. 1. Модель углеродной нанотрубки (7,7) с электродами

При расчетах использовался обменно-корреляционный функционал Каперлея-Алдера (Серег1еу-АЫег) [12]. В качестве альтернативного функционала рассматривался обменнокорреляционный функционал РВЕ [13]. Выбор в пользу функционала Каперлея-Алдера был сделан потому, что, несмотря на абсолютно одинаковые результаты в предсказании зонной структуры и плотности электронных состояний, при расчете проводимости данный функционал позволял получать лучшую сходимость и точность.

Расчет плотности состояний индивидуальной УНТ (7,7) был проведен для трех базисных наборов: 82, Б2 и Б2Р. При использовании последних двух получались близкие результаты. Использование базиса 82, самого малого из перечисленных, приводит к искаженной плотности электронных состояний. Из-за большой вычислительной сложности задачи нам пришлось ограничиться базисным набором Б2.

Результаты и их обсуждение

Равновесные положения рассматриваемых атомов (Ы, Ка, 8, 8е) определялись во внутреннем канале и на внешней поверхности УНТ (7,7). Поиск равновесной конфигурации систем «нанотрубка + адсорбированный атом» проводился по методу сопряженных градиентов до тех пор, пока силы, действующие на атомы, не становились меньше 0,4 эВ/нм.

Из рассматриваемых в данной работе атомов-адсорбатов детальная информация о расположении относительно УНТ имеется только для лития [5, 6]. Известно также энергетически наиболее выгодное положение серы на внешней поверхности УНТ. Рассмотрим коротко равновесные конфигурации, полученные в данной работе. Для атомов щелочных металлов характерно расположение над центром шестиугольника каркаса нанотрубки. Стоит отметить, что геометрия каркаса нанотрубки нечувствительна к внедрению атомов лития и натрия в ее полость (в сечении - окружность с радиусом 0,478 нм). При расположении этих атомов на внешней поверхности происходит небольшое сжатие УНТ в направлении, проходящем через ось нанотрубки и адсорбированный атом. При размещении на внешней поверхности УНТ атомы лития и натрия находятся на меньшем расстоянии от стенки, чем при размещении в полости (для лития 0,190 и 0,198 нм, для натрия 0,220 и 0,264 нм, соответственно). Для атомов халькогена предпочтительным оказывается расположение над серединой связи С-С каркаса нанотрубки. Однако, это отчетливо видно лишь при расположении атома на внешней поверхности УНТ, когда его расстояния до пары атомов углерода свидетельствуют об образовании ковалентной связи (0,189 нм для серы и 0,207 нм для селена). Длина связи С-8 хорошо согласуется с полученной в работе [14] (0,19 нм). При размещении в полости УНТ расстояние до атомов углерода становится настолько большим (0,350 нм для серы и 0,370 нм для селена), так что говорить о наличии связи, скорее всего, нельзя.

На рис. 2 приведены результаты расчета зонной структуры УНТ. Полученные дисперсионные кривые индивидуальной нанотрубки (7,7) в отсутствие адсорбированных атомов (см. рис. 2, а) согласуются с результатами работ других авторов [15], в которых для всех кресловидных нанотрубок предсказываются две линейно зависящие от волнового вектора дисперсионные кривые, пересекающиеся на уровне Ферми.

В зависимости от вида присоединяемого атома щелочного металла (литий или натрий) и его расположения относительно каркаса УНТ (внутри или снаружи) положение уровня Ферми изменяется, но относительно этого уровня дисперсионные кривые оказываются расположенными

одинаково (см. рис. 2, б и в для Ка).Из этих рисунков можно сделать вывод, что при наличии атома щелочного металла внутри или снаружи УНТ уровень Ферми поднимается выше по энергии относительно точки пересечения дисперсионных кривых, соответствующей уровню Ферми в случае пустой нанотрубки (рис. 2, а). При этом он остается в области, где дисперсионные кривые имеют ту же линейную зависимость от вектора к, что и в идеальной нанотрубке.

При взаимодействии с нанотрубкой атома халькогена (серы или селена) происходят изменения в зонной структуре, отличающиеся от тех, что наблюдались для щелочных металлов. Рассмотрим эти изменения на примере селена (рис. 2, г, е). В случае размещения атома селена на внешней поверхности нанотрубки уровень Ферми оказывается в запрещенной зоне (рис. 2, г). Ее ширина мала (около 0,2 эВ), но все же свидетельствует о смене типа проводимости с металлического на полупроводниковый. При размещении атома серы в полости нанотрубки щель не образуется (рис. 2, д), а характер дисперсионных кривых заметно отличается от всех рассмотренных ранее. При большом увеличении (рис. 2, е) становится видно, что ниже уровня Ферми на 0,03 эВ имеется особенность, приводящая к образованию сингулярности Ван-Хова. Тем не менее, уровень Ферми находится в зоне проводимости, где поведение дисперсионных кривых не имеет заметных отклонений от линейного поведения.

Для выяснения причин таких изменений в зонной структуре УНТ при взаимодействии с атомами халькогенов были рассчитаны парциальные плотности состояний электронов, показанные на рис. 3. Из этого рисунка видно, что при внедрении атомов серы и селена в полость нанотрубки плотность состояний электронов атомов углерода практически не меняется, а электроны халь-когена создают узкий пик несколько ниже уровня Ферми (рис. 3, а, б). При размещении атомов халькогена на внешней поверхности УНТ заметен слабый размытый пик ниже уровня Ферми, обусловленный этими атомами. Плотность состояний электронов атомов углерода в окрестности уровня Ферми обращается в нуль. Подобное изменение в плотности состояний УНТ (5,5) было обнаружено в работе [16] при замещении атомом серы атома углерода в стенке нанотрубки.

На следующем этапе расчетов к полученным эндо- и экзоэдральным комплексам УНТ подводились электроды в виде фрагментов УНТ (7,7) длиной 0,49 нм и определялись зависимости силы тока I от приложенной разности потенциалов и в интервале значений от 0,02 до 0,70 В.

Рис. 2. Зонная структура: а) индивидуальной УНТ

Согласно теории Ландауэра проводимость рассматриваемых объектов определяется форму-

262

лой О = , где М - количество разрешенных каналов проводимости, Т - квантово-

механический коэффициент пропускания, который характеризует вероятность перехода электро-

на от одного электрода к другому. Множитель «2» в этой формуле появляется из-за спинового вырождения. На величину Т могут оказывать влияние дефекты строения УНТ и ее деформации. Две дисперсионные кривые, пересекающиеся на уровне Ферми УНТ (7,7) (см. рис. 2, а) свидетельствуют о наличии двух каналов проводимости. Таким образом, наименьшее возможное сопротивление УНТ (7,7), включая контактное сопротивление, составляет 6,47 кОм. Полученное нами значение этой величины составило 6,56 кОм, что на 1,4 % больше указанного выше значения.

Рис. 3. Парциальные плотности состояний УНТ (7,7) с атомом халькогена: а) атом Эе в полости; б) атом Э в полости; г) атом Эе на внешней поверхности; д) атом Э на внешней поверхности

Описанные выше особенности в зонной структуре комплексов УНТ приводят к изменениям в поведении их электрических свойств. На рис. 4 приведены результаты расчетов элек- 78-трического сопротивления трубок Я = и/1 .

Из него видно, что во всех случаях, кроме двух, изучаемые системы являются омическими проводниками - их сопротивление практически не зависит от приложенной разницы потенциалов. Исключение составляют системы, где атом халькогена находится на внешней стороне трубки. Здесь при увеличении напряжения сопротивление возрастает к краю исследованного интервала напряжений, но довольно слабо - примерно на 4 . Отклик сопротивления УНТ на появление атома лития мало зависит от того, расположен этот атом в полости (6,52 кОм) или на внешней поверхности (6,51 кОм). Оба значения близки

0.3 0.4 0.5

Напряжение, В

Рис. 4. Зависимости сопротивления от приложенной разности потенциалов для комплексов углеродных нанотрубок

к сопротивлению чистой нанотрубки и меньше его примерно на 1 %. Сопротивление нанотрубки, адсорбировавшей атом натрия, хотя и зависит от положения атома, но изменение также оказывается менее 1 % (6,59 кОм и 6,50 кОм при размещении в полости на внешней поверхности, соответственно). При внедрении халькогенов в полость нанотрубки ее сопротивление увеличивается на мало зависящую от напряжения величину не превышающую 3 % от исходного сопротивления пустой нанотрубки (6,74 кОм для серы и 6,69 кОм для селена). В то же время адсорбция этих атомов на внешней поверхности приводит к заметному увеличению сопротивления. Присутствие атома серы увеличивает сопротивление УНТ от 6,56 до 7,26 кОм (при малой разности потенциалов), а атома селена до 7,52 кОм (при том же условии).

Заключение

Таким образом, на основе анализа результатов проведенного исследования можно сделать следующие выводы.

1. Адсорбция лития и натрия внутри и снаружи нанотрубки (7,7) приводит к качественно похожим изменениям в зонной структуре. При взаимодействии УНТ с атомом халькогена подобия в зонной структуре эндо- и экзоэдральных комплексов не наблюдается. Наиболее интересно появление запрещенной щели в зонной структуре УНТ при размещении атома халькогена на ее внешней поверхности.

2. Рассчитанные зависимости сопротивления от напряжения подтверждают наблюдаемые изменения в зонной структуре УНТ: сопротивление эндо- и экзоэдральных комплексов УНТ с литием и натрием, а также эндоэдральных комплексов с халькогенами мало изменяется по сравнению с сопротивлением чистой трубки. В то же время размещение халькогенов на внешней поверхности приводит к большому (до 10 %) изменению сопротивления. Последнее означает, что интеркалирование пучков углеродных нанотрубок халькогенами дожно оказывать заметное влияние на их электрические свойства.

Литература

1. Transparent and Flexible Carbon Nanotube Transistors / E. Artukovic, M. Kaempgen, D.S. Hecht et al. // Nano Letters. - 2010. - Vol. 5. - P. 757-760.

2. Елецкий, А.В. Сорбционные свойства углеродных наноструктур / А.В. Елецкий // Успехи физических наук. - 2004. - Т. 174. - C. 1191-1231

3. Ивановский, А. Л. Гибридные наноматериалы: структура и свойства углеродных пиподов и родственных наносистем / А.Л. Ивановский // Альтернативная энергетика и экология. - 2004. - Т. 7. - С. 28-40.

4. Energetics and Electronic Structures of Individual Atoms Adsorbed on Carbon Nanotubes / E. Durgun, S. Dag, S. Ciraci, O. Gullseren // J. Phys. Chem. B. - 2004. - Vol. 08. - P. 575-582.

5. Interaction and concerted diffusion of lithium in a (5,5) carbon nanotube / M. Khantha, N.A. Cordero, J.A. Alonso et al. // Physical review B. - 2008. - Vol. 78. - P. 115430.

6. Ab initio investigations of lithium diffusion in carbon nanotube systems / V. Meunier, J. Kephart, C. Roland, J. Bernholc // Physical review letters. - 2002. - Vol. 88. - P. 075506.

7. Optimizing single-walled carbon nanotube films for applications in electroluminescent devices / Y. Wang, C.A. Di, Y.Q. Liu et al. // Advanced Materials. - 2008. - Vol. 20. - P. 4442-4449.

8. Effect of SOCl2 Treatment on electrical and mechanical properties of single-wall carbon nanotube networks / U. Dettlaff-Weglikowska, V. Skâkalovâ, R. Graupner et al. // Journal of the American Chemical Society. - 2005. - Vol. 127. - P. 5125-5131.

9. Xu, B. Electronic structures and transport properties of sulfurized carbon nanotubes / B. Xu, Y.P. Feng // Solid State Communications. - 2010. - Vol. 150. - P. 2015-2019.

10. Covalent radii revisited / B. Cordero, V. Gomez, A.E. Platero-Prats et al. // Dalton Transactions.

- 2008. - P. 2832-2838.

11. Созыкин, С.А. Зависимость электрического сопротивления углеродной нанотрубки с

металлическим типом проводимости от механического нагружения и интеркалирования серой / С.А. Созыкин, В.П. Бескачко // Вестник ЮУрГУ. Серия «Математика. Механика. Физика». -

2011. - Вып. 5. - № 32(249). - C. 115-119.

12. Ceperley, D.M. Ground state of the electron gas by a stochastic method / D.M. Ceperley,

B.J. Alder // Physical Review Letters. - 1980. - Vol. 45. - P. 566-569.

13. Perdew, J.P. Generalized gradient approximation made simple / J.P. Perdew, K. Burke, M. Ernzerhof // Physical Review Letters. - 1996. - Vol. 77. - P. 3865-3868.

14. Selected absorption behavior of sulfur on single-walled carbon nanotubes by DFT/ X. Lu,

C. Sun, F. Li, H.-M. Cheng // Chemical Physics Letters. - 2008. - Vol. 454. - P. 305-309.

15. Fathi, D. A review of electronic band structure of graphene and carbon nanotubes using tight

binding / D. Fathi // Journal of Nanotechnology. - 2011. - P. 471241.

16. Denis, P.A. Is it possible to dope single-walled carbon nanotubes and graphene with sulfur? / P. A. Denis, R. Faccio, A.W. Mombru // ChemPhysChem. - 2009. - Vol. 10. - P. 715-722.

Поступила в редакцию 17 июля 2012 г.

ELECTRICAL PROPERTIES OF CARBON NANOTUBE (7,7) COMPLEXES WITH SINGLE ATOMS LI, NA, S AND SE

S.A. Sozykin1, V.P. Beskachko2

The article provides the results of theoretical estimation of the influence of small concentrations of atoms Li, Na, S and Se (~1 at. %) on the electrical resistance of carbon nanotube with metal type of conductivity. The calculated dependences of the resistance on potential difference demonstrate insignificant change in resistance of the nanotube at interaction with atoms of alkaline metal. While introducing chal-cogens in a nanotube cavity its resistance is increased by the size, which is hardly ever depending on voltage, while adsorption on an external surface leads to a sensible increase of resistance, which increases with increasing potential difference.

Keywords: carbon nanotubes, electrical resistance, density functional theory, method of nonequilibrium Green's function.

References

1. Artukovic E., Kaempgen M., Hecht D.S., Roth S., Gruner G. Transparent and Flexible Carbon Nanotube Transistors. Nano Letters. 2010. Vol. 5. pp. 757-760.

2. Eletskii A.V. Sorption properties of carbon nanostructures. Phys. Usp. 2004. Vol. 47. pp. 11191154. DOI: 10.1070/PU2004v047n 11ABEH002017

3. Ivanovskii A.L. Al'ternativnaia energetika i ekologiia. 2004. Vol. 7. pp. 28-40. (in Russ.).

4. Durgun E., Dag V, Ciraci V, Gullseren O. Energetics and Electronic Structures of Individual Atoms Adsorbed on Carbon Nanotubes. J. Phys. Chem. B. 2004. Vol. 108. pp. 575-582.

5. Khantha M., Cordero N.A., Alonso J.A., Cawkwell M., Girifalco L.A. Interaction and concerted diffusion of lithium in a (5,5) carbon nanotube. Physical review B. 2008. Vol. 78. p. 115430.

6. Meunier V., Kephart J., Roland C., Bernholc J. Ab initio investigations of lithium diffusion in carbon nanotube systems. Physical review letters. 2002. Vol. 88. p. 075506.

7. Wang Y., Di C.A., Liu Y.Q., Kajiura H., Ye S.H., Cao L.C., Wei D C., Zhang H.L., Li Y.M., Noda K. Optimizing single-walled carbon nanotube films for applications in electroluminescent devices. Advanced Materials. 2008. Vol. 20. pp. 4442-4449.

8. Dettlaff-Weglikowska U., Skákalová V., Graupner R., Jhang S.H., Kim B.H., Lee H.J., Ley L., Park Y.W., Berber S., Tománek D., Roth S. Effect of SOCl2 Treatment on electrical and mechanical properties of single-wall carbon nanotube networks. Journal of the American Chemical Society. 2005. Vol. 127. pp. 5125-5131.

9. Xu B., Feng Y.P. Electronic structures and transport properties of sulfurized carbon nanotubes. Solid State Communications. 2010. Vol. 150. pp. 2015-2019.

10. Cordero B., Gómez V., Platero-Prats A.E., Revés M., Echeverría J., Cremades E., Barragán F., Alvarez S. Covalent radii revisited. Dalton Transactions. 2008. pp. 2832-2838.

11. Sozykin S.A., Beskachko V.P. Zavisimost' elektricheskogo soprotivleniia uglerodnoi nanotrubki s metallicheskim tipom provodimosti ot mekhanicheskogo nagruzheniia i interkalirovaniia seroi (Electrical resistance of carbon nanotube with a metallic type of conductivity during mechanical loading and intercalation by sulfur). Vestnik YuUrGU. Seriia «Matematika. Mekhanika. Fizika». 2011. Issue 5. no. 32(249). pp. 115-119. (in Russ.).

12. Ceperley D.M., Alder B.J. Ground state of the electron gas by a stochastic method. Physical Review Letters. 1980. Vol. 45. pp. 566-569.

13. Perdew J.P., Burke K., Ernzerhof M. Generalized gradient approximation made simple. Physical Review Letters. 1996. Vol. 77. pp. 3865-3868.

14. Lu X., Sun C., Li F., Cheng H.-M. Selected absorption behavior of sulfur on single-walled carbon nanotubes by DFT. Chemical Physics Letters. 2008. Vol. 454. pp. 305-309.

15. Fathi D. A review of electronic band structure of graphene and carbon nanotubes using tight binding. Journal of Nanotechnology. 2011. p. 471241. Article ID 471241. D0I:10.1155/2011/471241.

16. Denis P.A., Faccio R., Mombru A.W. Is it possible to dope single-walled carbon nanotubes and graphene with sulfur? ChemPhysChem. 2009. Vol. 10. pp. 715-722.

1 Sozykin Sergey Anatolevich is Post-Graduate Student, General and Theoretical Physics Department, South Ural State University.

E-mail: sergey.sozykin@gmail.com

2 Beskachko Valeriy Petrovich is Dr. Sc. (Physics and Mathematics), Professor, General and Theoretical Physics Department, South Ural State