Поврежденность и разрушение: модели, основанные на физических теориях пластичности

УДК 539.3

Поврежденность и разрушение: модели, основанные на физических теориях пластичности

П.С. Волегов, Д.С. Грибов, П.В. Трусов

Пермский национальный исследовательский политехнический университет, Пермь, 614990, Россия

Статья является заключительной частью обзора современных (последних 15 лет) работ, посвященных экспериментальным и теоретическим методам и подходам к исследованию вопросов накопления поврежденности и разрушения кристаллических тел. В статье приведен краткий обзор работ, в которых используется подход к описанию поврежденности и разрушения, основанный на применении физических теорий пластичности. В обзор включены работы по исследованию распространения внутри- и межзе-ренных трещин, особенностям зарождения и эволюции микропор в образцах из двухфазной стали, распространению трещин в условиях малоцикловой и многоцикловой усталости, анализу поведения различных материалов, деформируемых в условиях повышенной радиации, существенно влияющей на механические свойства. Значительное внимание уделено работам, в которых рассматриваются особенности численной реализации моделей, основанных на физических теориях пластичности, в том числе необходимость модификации конечно-элементных моделей, используемых в пакетах прикладных программ, на случай описания поврежденности и разрушения.

Ключевые слова: обзор, поврежденность, разрушение, усталость, микроструктура, поликристалл, конструкционные материалы, физические теории пластичности

Damage and fracture: crystal plasticity models

P.S. Volegov, D.S. Gribov, and P.V. Trusov

Perm National Research Polytechnic University, Perm, 614990, Russia

This paper is the final part of the review of recent (last 15 years) publications on experimental and theoretical methods and approaches for studying damage accumulation and fracture in crystalline solids. It summarizes the works that describe damage and fracture using an approach based on crystal plasticity. The summarized works study the propagation of intra- and intergranular cracks, nucleation and evolution of microvoids in two-phase steel specimens, crack propagation under low- and high-cycle fatigue, and analyze the behavior of various materials deformed under high radiation that strongly affects mechanical properties. Much attention is paid to the papers that discuss the numerical implementation of crystal plasticity models, particularly, the necessity to modify finite element models used in application packages to describe damage and fracture.

Keywords: review, damage, fracture, fatigue, microstructure, polycrystal, structural materials, crystal plasticity theories

1. Введение

В последние 15-20 лет все большее распространение получает подход к описанию поврежденности и разрушения, основанный на применении физических теорий пластичности, в основе формулировок определяющих соотношений, гипотез и основных положений которых лежит рассмотрение в явной форме механизмов деформирования на мезо- и микромасштабах (т.е. масштабных уровнях, меньших уровня представительного объема в макросмысле, или представительного объема в инженерном смысле). Указанное обстоятельство со-

ставляет основное отличие физических теорий пластичности от часто применяемых в расчетах теорий пластичности, в которых с самого начала формулировка теории осуществляется в терминах континуальной механики, полей напряжений, деформаций и других параметров. Определенные успехи, достигнутые при построении моделей неупругого деформирования моно- и поликристаллов, побудили исследователей к попыткам использования аппарата физических моделей для описания процессов накопления повреждений и разрушения. Кроме того, возможность записи различных соотноше-

© Волегов П.С., Грибов Д.С., Трусов П.В., 2015

ний на каждом из выделяемых масштабных уровней позволяет использовать прямые дискретные или континуальные дислокационные модели для анализа поведения материала в окрестности кончика трещины. Обзор работ по физическим теориям пластичности приведен в [1-3]. В данной статье приводится обзор статей, в которых методология физических теорий пластичности применяется при исследовании процессов, связанных с возникновением и развитием системы микроповреждений в кристаллических материалах в различных условиях воздействия.

2. Модели для описания иовреждениости и разрушения, основанные на физических теориях пластичности

Следует отметить, что несмотря на интенсивное развитие (особенно в последние 10-15 лет) моделей, основанных на физических теориях упругопластичности и упруговязкопластичности, для описания деформирования и разрушения материалов в отечественной научной литературе практически отсутствуют публикации по данной тематике. В связи с вышесказанным предлагаемая часть обзора, к сожалению, базируется почти исключительно на зарубежных работах (за исключением обзора работ представителей школы академика В.Е. Панина).

Вопросы, связанные с нелинейными закономерностями поведения материалов при деформировании и разрушении, являются предметом исследования томской научной школы под руководством академика В.Е. Панина — одной из ведущих научных школ в России в области физики прочности, разрушения и материаловедения. Уже с середины 80-х гг. прошлого века в монографиях [4-6] на основании многочисленных экспериментальных данных выдвигаются идеи о деформируемом материале как сложной иерархической (а следовательно, многоуровневой) динамической системе. В результате на стыке физики и механики деформируемого твердого тела появилось новое научное направление — физическая мезомеханика. Программными работами для этого нового направления можно назвать статьи [7-10], в которых излагаются основные положения и подходы мезо-механики. Одним из основополагающих в мезомехани-ке является утверждение, что деформируемое твердое тело представляет собой многоуровневую систему, в которой пластическое течение происходит в результате потери сдвиговой устойчивости материала в полях градиентов напряжений на различных структурных уровнях. Экспериментальные и теоретические исследования ме-зоскопических структурных уровней деформации привели к качественно новой методологии описания деформируемого твердого тела как многоуровневой самосогласующейся системы. Отмечается, что формирующие-

ся на различных масштабных уровнях разориентиро-ванные субструктуры являются масштабным инвариантом. Это лежит в основе построения многоуровневой модели деформируемого твердого тела, в которой учитывается вся иерархия масштабов структурных уровней деформации.

Особое внимание в рамках подхода физической ме-зомеханики уделяется поверхностным слоям и внутренним границам раздела. Отмечается, что именно они играют важную функциональную роль в зарождении деформационных дефектов и должны рассматриваться как самостоятельные мезоскопические структурные уровни деформации. Физика в мезомеханике представлена рассмотрением структурных превращений при зарождении деформационных дефектов и формировании разориен-тированных субструктур на различных мезомасштаб-ных уровнях. Многоуровневая модель деформируемого твердого тела в физической мезомеханике описывается полевыми уравнениями, которые качественно подобны уравнениям Максвелла в электродинамике. В ряде работ (например [11, 12]) описаны волны пластических сдвигов в поверхностных слоях нагруженного твердого тела, рассмотрен вопрос о тонкой структуре пластического сдвига на мезомасштабном уровне, описана специфика поведения материала при различных скоростях нагру-жения, в условиях ползучести, знакопеременной деформации.

С точки зрения подходов к описанию поврежден-ности и разрушения в рамках физической мезомеханики следует отметить работу [11], в которой предлагается концепция, согласно которой в деформируемом твердом теле необходимо различать две подсистемы: планарную (поверхностные слои и все внутренние границы раздела) и 3D кристаллическую, причем деформационные дефекты всех типов (т.е. повреждаемость) рождаются только за счет нелинейных потоков в планарной подсистеме. В работе [13], в частности, представлена нелинейная теория генерации такой повреждаемости. Принципиально важную роль в генерации деформационных дефектов, включая трещины, играет локальная кривизна кристаллической структуры нагруженного твердого тела. В работах В.Е. Панина и его соавторов обоснована концепция, что трещины зарождаются и развиваются как структурно-фазовый распад кристаллической решетки в зонах сильной локальной кривизны [14].

В [15, 16] приведены результаты экспериментальных и теоретических исследований распространения трещины вдоль межфазной поверхности бикристалла медь -сапфир, полученного диффузионной сваркой. В слое сапфира на начальной стадии эксперимента наносится надрез, перпендикулярный плоскости межфазной границе, после чего бикристаллический образец подвергается четырехточечному изгибу, надрез расположен в зоне растяжения. Распространяющаяся при нагружении

трещина в сапфире, доходя до межфазной поверхности, разветвляется на две, развивающиеся вдоль поверхности раздела фаз. Эксперименты показали, что одна из трещин («хрупкая») распространяется с большей скоростью, чем другая («вязкая»). Основное отличие условий распространения двух трещин состоит в различной ориентации систем скольжения монокристаллического слоя меди относительно направления распространения трещины. Иначе говоря, различие в вязкости разрушения автор объясняет отличиями в эволюции дислокационной субструктуры, приводящими к разной релаксации напряжений в окрестности кончика трещины. Для проверки этой гипотезы использована прямая модель (1-го типа [17]), основанная на физической теории упру-говязкопластичности, при этом сапфир полагается упругим. В работе использованы два анизотропных закона упрочнения систем скольжения — с насыщением и неограниченным упрочнением; показано, что принимаемая модель упрочнения оказывает существенное влияние на результаты расчетов. Описана процедура идентификации параметров модели упрочнения, позволяющая получить наилучшее приближение к экспериментальным результатам. В то же время отмечается, что приемлемая с вычислительной точки зрения степень дискретизации исследуемой области не позволяет получить достаточно точное соответствие теоретических и экспериментальных данных по геометрии кончика трещины, для этой цели следует использовать методы дислокационной или молекулярной динамики.

В [18] приведены результаты применения модели дискретной дислокационной динамики для анализа поведения материала в окрестности кончика трещины. Рассматриваются только краевые дислокации, линии которых перпендикулярны плоскости моделирования; задача ставится в плоской постановке. Учитываются силы решеточного сопротивления скольжению дислокаций, источники и стоки (аннигиляция), взаимодействия с включениями. Показано, что напряжения в окрестности кончика трещины существенно выше значений, полученных с помощью прямой упругопластической модели.

Результаты теоретических и экспериментальных исследований напряженно-деформированного состояния в окрестности усталостной трещины в монокристалле с ГЦК-решеткой (сплав на никелевой основе) содержатся в [19]. Для теоретического анализа использована прямая (1-го типа [17]) физическая модель упруговязко-пластичности со степенным законом для скоростей сдвига. Расчеты осуществлены для трех ориентаций трещины отрыва (мода I) (001) [110], (110) [001], (001) [100] для температур 20 и 650 °С. Показано хорошее соответствие теоретических и экспериментальных результатов по структуре полос локализации деформаций, полос сброса и ротации решетки в окрестности кончика трещины.

В [20] для анализа поврежденности и разрушения предлагается использовать двухуровневую прямую (1-го типа) упруговязкопластическую модель. Подробно рассматриваются кинематические, динамические и термодинамические соотношения для каждого из уровней. При рассмотрении кинематических соотношений допускается наличие внутренних несплошностей и разрывов полей перемещений на них. Отдельно рассматриваются упруговязкопластическая модель и модель образования трещины (для внутри- и межкристаллитного разрушения). В физической модели использован анизотропный закон упрочнения с учетом влияния температуры. Принимается, что возникновение трещины разрыва в кристаллитах происходит вдоль определенных кристаллографических плоскостей при достижении на них критического значения напряжения растяжения, зависящего от температуры. Аналогичный силовой критерий используется для межкристаллитного разрушения (для межфазных и межзеренных границ одной фазы). Модель используется для анализа поведения при высокоскоростном нагружении двухфазного сплава, состоящего из хрупкой фазы мелкозернистого (10-30 мкм) вольфрама (ОЦК-решетка) и крупнозернистой (200500 мкм) матричной вязкой фазы (50 % № - 25 % Fe -25 % W, ГЦК-решетка). Исследуется влияние на деформирование и разрушение микроструктуры (включая текстуру и удлинение зерен в результате предшествующей обработки), характера разрушения (внутризерен-ное и/или межкристаллитное). Сопоставление результатов расчетов и экспериментов при одноосном растяжении образцов для трех скоростей деформации (0.0001, 0.1, 750 с-1) по кривым напряжение-деформация показывает удовлетворительное соответствие.

В работе [21] рассматривается двухуровневая (макро- и мезоуровни) упругопластическая модель, ориентированная на определение предела усталости при многоцикловом нагружении. Рассматриваются три варианта связи параметров макро- и мезоуровней: основанные на гипотезах Фойгта (Линя-Тейлора), Рейсса (Закса) и самосогласованной модели Кренера. Основным механизмом разрушения считается образование макротрещин, формирующихся на порах. Поры появляются вследствие коалесценции вакансий; последние, в свою очередь, образуются в результате аннигиляции дислокаций в полосах скольжения. Приведены эволюционные уравнения для соответствующих параметров (плотности полных и аннигилирующих дислокаций, вакансий, пор). Рост пор зависит от гидростатического напряжения и накопленных сдвигов по системам скольжения. На мезоуровне в качестве критерия разрушения принимается достижение плотностью пор определенного критического значения. Для перехода на макроуровень применяется одна из трех упомянутых выше схем. Приведены результаты расчетов по определению предела ус-

талости для поликристаллического образца, подвергаемого знакопеременному кручению, для трех используемых схем гомогенизации.

Влияние ориентации зерен, соседствующих с кристаллитом с внесенной в него трещиной, на параметры изменения конфигурации трещины (раскрытие и сдвиг точек в окрестности кончика трещины) анализируется в [22]. Рассматривается случай одноосного растяжения, задача ставится в плоской постановке. Для решения использована прямая (1-го типа) упруговязкопластическая модель. Показано, что на напряженно-деформированное состояние в окрестности трещины существенное влияние оказывают ориентировки кристаллитов в области, размеры которой существенно превышают размер трещины.

Обширный (160 источников) обзор работ по повреж-денности и разрушению поликристаллических материалов приведен в первой части статьи [23]. Отмечается, что значительная часть работ данного направления построена на континуальном подходе, при этом в большинстве случаев полагается, что в рассматриваемом материале уже существуют дефекты (трещины, поры). В цитируемой статье основное внимание сосредоточено на описании возникновения дефектов (микротрещин) при неупругом деформировании, причем основным источником возникновения несплошностей считается наличие присущих поликристаллам несовершенств — границ зерен, разориентаций последних по отношению к соседним кристаллитам. В зависимости от взаимоориентации кристаллографических систем соседствующих зерен и ориентации фасетки границы между ними последние разделяются на три категории: непроницаемые (для дислокаций), частично проницаемые (с оставлением в границе дислокаций ориентационного несоответствия) и легко проницаемые. Приведен перечень модификаций так называемого «параметра начала разрушения», определяемого по взаимоориентациям систем скольжения и систем двойникования граничащих зерен, ориентации границы, ориентации собственного вектора первого главного напряжения по отношению к системам скольжения и системам двойникования. Проведены натурные и численные эксперименты по четырехточечному изгибу образцов. Для детального анализа эволюции напряженно-деформированного состояния при нагружении поликристаллического представительного макрообъема использована прямая модель (1-го типа). На мезоуровне для описания скольжения дислокаций и двойникования принята упруговязкопластическая модель со степенным законом течения и анизотропным законом упрочнения систем скольжения и систем двой-никования. Из сопоставления теоретических и экспериментальных (полученных методами электронной микроскопии) данных отмечается, что интенсивные пластические деформации скорее ведут к релаксации

напряжений и аккомодации формы соседних кристаллитов, чем к зарождению микротрещины. Микротрещины возникают в слабо проницаемых и непроницаемых участках границ зерен. Направления скольжения и двойникования в граничащих кристаллитах оказываются более важными характеристиками, чем ориентации плоскостей скольжения и двойникования.

Для анализа эволюции поврежденности, локализации деформации и разрушения в [24] предлагается использовать физическую самосогласованную модель, предложенную ВегуеШег и Zaoui (1979 г.) (сферическое включение в изотропной матрице). На макроуровне для решения краевой задачи применяется метод конечных элементов, каждой точке интегрирования в элементах приписывается представительный макрообъем, состоящий из нескольких десятков зерен с заданными ориента-циями и начальными несовершенствами (включениями, порами), описываемыми континуальными (осреднен-ными по кристаллитам) характеристиками. Для описания поврежденности на мезоуровне каждой системе скольжения приписывается скалярный параметр, по-врежденность макроуровня определяется осреднением указанных параметров по представительному макрообъему. Неупругие составляющие тензора деформации скорости в зернах определяются вязкопластическим законом степенного вида, учитывающим поврежденность соответствующих систем скольжения. Приведены два примера исследования эволюции напряженно-деформированного состояния и поврежденности при одноосном растяжении плоского образца (1x12x36 мм) и глубокой вытяжке цилиндрического стакана из плоской листовой заготовки.

В [25] приведены результаты применения прямой (1-го типа) физической модели упруговязкопластичнос-ти (со степенным законом для скоростей сдвига и анизотропным законом упрочнения) для исследования деформирования монокристаллических материалов с порами. Анализ осуществлен для ячейки, содержащей одну пору первоначально сферической формы, подвергаемой на-гружению при различных значениях параметра X, характеризующего «трехосность» напряженного состояния (отношение гидростатического напряжения к интенсивности напряжений), и нескольких ориентациях кристаллита относительно осей нагружения. Рассмотрены три варианта начальной концентрации пор (0.1, 0.01 и 0.001). Показано, что при низких значениях X наибольшее влияние на моды неупругой деформации (а следовательно, эволюционирующую форму поры) оказывает кристаллографическая ориентация. При высоких X изменение формы пор управляется величиной трехоснос-ти и долей пор. Отмечается, что с увеличением концентрации пор скорость их роста снижается и уменьшается уровень деформации, при котором начинается взаимодействие пор.

Методика и результаты теоретического и экспериментального исследования неупругого деформирования в режиме малоцикловой усталости двухфазной (аусте-нит + феррит) нержавеющей стали представлены в [26]. Испытания проведены на цилиндрических образцах круглого поперечного сечения с нанесенной на боковой части круговой выточкой; образцы получены ковкой с последующей термообработкой на твердый раствор. Эксперименты осуществлены при комнатной температуре в опытах на симметричное циклическое нагружение (одноосное растяжение-сжатие с амплитудой 0.5 %). Для выделенных зон в области выточки до начала нагруже-ния определялась микроструктура, которая затем использовалась в прямой упругопластической модели (1-го типа). Задача поставлена для условий плоскоде-формированного состояния. Приведены результаты сравнения рассчитанных и экспериментально определенных деформаций в нескольких зернах для разных фаз для одного цикла нагружения. Отмечается, что на второй половине цикла имеет место расхождение теоретических и экспериментальных результатов, что авторы объясняют отсутствием в законе упрочнения монокристаллов члена, отвечающего за кинематическое упрочнение.

В [27] отмечается, что предвестником усталостного разрушения часто являются следы полос сдвига на поверхности образца, в связи с чем авторами проведены теоретические и экспериментальные исследования формирования полос сдвига при циклическом нагружении цилиндрических образцов с надрезом. Теоретические расчеты осуществлены с использованием прямой (1-го типа) модели, в основу которой положена физическая теория упруговязкопластичности. Использован анизотропный закон упрочнения, в который введен дополнительный член, характеризующий влияние геометрически необходимых дислокаций. Показано, что уже на первых циклах нагружения в зернах появляются полосы скольжения по первичной, в некоторых зернах — и по вторичной системе скольжения. При дальнейшем циклическом нагружении возрастают количество и ширина этих полос. Отмечается, что учет упрочнения за счет геометрически необходимых дислокаций приводит к повышению напряжения течения на макроуровне, особенно при малых (порядка 5 мкм) размерах зерен.

Результаты исследования напряженно-деформированного состояния в окрестности надреза со скруглени-ем при нагружении по модам I (трещина отрыва) и II (трещины сдвига) приведены в [28]. Особое внимание уделено исследованию влияния на напряженно-деформированное состояние и распространение трещины текстуры, для чего рассмотрено поведение в условиях плоскодеформированного состояния образца из поликристаллического сплава Al-Mg в состоянии поставки (непрерывная кристаллизация + рекристаллизация — практически изотропный материал) и полученного про-

каткой листа. Для теоретического анализа использованы метод конечных элементов с применением модели Хил-ла для ортотропного материала и прямая конечно-элементная модель (2-го типа [17]). Отмечается существенное влияние на напряженно-деформированное состояние текстуры (в том числе наведенной в процессе нагружения образца), которое приводит к значительному увеличению пластических деформаций в окрестности вершины надреза. Показано также значительное различие результатов расчета, полученных на основе физической двухуровневой модели и макрофеноменологи-ческой теории Хилла. В работе [29] приведены результаты детального исследования развития трещины при нагружении по моде I.

Авторы [30], предполагая, что возникновение усталостных трещин при многоцикловой усталости связано с неоднородностью пластической деформации в интерметаллических включениях и зарождением в них микротрещин, использовали для исследования прямую модель (1-го типа) для локальной области (представительного макрообъема), погруженной в изотропное упругое тело, напряженно-деформированное состояние которого определяется стандартным методом конечных элементов. В прямой модели использована упруговязко-пластическая теория (степенной закон течения, анизотропный закон упрочнения систем скольжения). Конфигурация и ориентация зерен, расположение в них включений устанавливаются на основе микроструктурного анализа для катаного алюминиевого сплава. Результаты расчетов показывают существенную неоднородность пластических деформаций при одноосном циклическом нагружении образцов.

Для исследования роста и слияния микропор в ОЦК-монокристалле в [31] предлагается использовать прямую (1-го типа) конечно-элементную модель, основанную на физической теории упруговязкопластичности со степенным изотропным законом упрочнения. В качестве объекта анализа выступает ячейка периодичности — в отсчетной конфигурации монокристаллический куб с центральной сферической порой. На одной из пар граней (ортогональных так называемой главной оси на-гружения) задано кинематическое нагружение, на двух других парах граней заданы периодические граничные условия. При этом с помощью итерационной процедуры в каждом из численных экспериментов выдерживается априори предписанный «параметр трехосности» X. Исследованы варианты Х = 0.75, 1.00, 1.50, 2.00, 2.50. Варьированию подвергаются также ориентировки кристаллографической системы координат по отношению к главной оси нагружения и показатель степени в законе упрочнения систем скольжения. Приведены критерии момента начала коалесценции пор. Результаты расчетов показали, что при низких значениях X наибольшее влияние на основные параметры процесса — рост размера

и изменение формы пор, деформация начала коалес-ценции — оказывает ориентация кристаллита, при высоких X от ориентации существенно зависит только скорость роста пор.

В работе [32], в значительной мере опирающейся на статью [33], рассматривается модель зарождения трещины в двухфазном (а + в) титановом сплаве, подвергаемом одноосному циклическому нагружению по трапецеидальному циклу (с задержкой нагрузки на максимальном значении на 2 мин, при этом время разгрузки-нагружения составляет 1 с). Для определения напряженно-деформированного состояния использована прямая (1-го типа) упруговязкопластическая конечно-элементная модель с анизотропным законом упрочнения. В последнем учтено влияние на деформационное упрочнение плотности геометрически необходимых дислокаций. Приведен краткий обзор известных в литературе критериев возникновения усталостной трещины. На основе экспериментальных данных (ультразвуковые и микрографические исследования) и численного исследования авторы предлагают модифицированный критерий возникновения трещины. Причину появления трещины авторы видят в существенном повышении концентратора напряжений в зернах с «жесткой» ориентацией (малым фактором Шмида), граничащих с зернами с «мягкой» ориентацией, в которых возникают скопления дислокаций на границе с «жесткими» зернами. Влияние скоплений дислокаций на раскрытие трещины учитывается через градиент пластической деформации. Приведенные результаты расчета для нескольких представительных объемов с различными ориентациями зерен и разориентациями соседних зерен обнаруживают хорошее соответствие экспериментальным данным.

Более детальное изложение вышеуказанной модели содержится в первой части статьи [34]. Отмечается, что прямое вычисление зарождения трещины с помощью пошагового циклического нагружения требует чрезвычайно больших затрат времени ЭВМ. В связи с этим во второй части статьи авторами предлагается новый метод, основанный на применении вейвлет-анализа. Использованы базисные функции Дебеши, по которым раскладываются узловые перемещения и все параметры состояния в конечно-элементной модели. Предлагаемый подход протестирован на стержневой и пространственной моделях поликристаллического образца. Показано, что применение вейвлет-анализа позволяет сократить время расчетов в 80-100 раз.

Результаты экспериментального и теоретического исследования зарождения и эволюции микропор в образцах из двухфазной (феррит + мартенсит) стали обсуждаются в [35]. Приведен обзор работ по данной тематике. В экспериментах рассматривалось одноосное монотонное растяжение образцов, вырезанных (в направлении прокатки) из прокатанных листов. В исходном образце, на промежуточных стадиях деформиро-

вания и в разрушенном образце исследовалась микроструктура (включая определение расположения и конфигурации микропор). Для теоретического анализа используется метод конечных элементов с аппроксимацией каждого зерна несколькими конечными элементами. Зерна мартенсита описываются упругопластичес-кой моделью (теория пластического течения) с изотропным упрочнением. Для анализа напряженно-деформированного состояния аустенитных зерен применяется прямая (1-го типа) упруговязкопластическая модель с анизотропным упрочнением. Индикаторами расположения зарождающихся микропор считаются области концентраторов интенсивностей напряжений и сдвиговых деформаций. При действии в этих областях положительных гидростатических напряжений микропора начинает расти. Зоны концентраторов напряжений и сдвиговых деформаций расположены либо вблизи острых концов зерен мартенсита (особенно для пар близкорасположенных зерен мартенсита), либо на границах ферритных зерен.

Комбинированная «двухмасштабная» модель для исследования распространения усталостной трещины в образце из никелевого суперсплава, подвергаемого циклическому нагружению при температуре 650 °С, рассматривается в [36]. Расчеты проведены для плоского образца с надрезом (моделирующим трещину), подвергаемого циклическому растяжению-сжатию в предположении реализации плоскодеформированного состояния. Для определения напряженно-деформированного состояния в большей части образца использован метод конечных элементов (пакет ABAQUS) с упруговязко-пластическими макрофеноменологическими определяющими соотношениями. Для описания поведения материала в окрестности вершины трещины применяется прямая (1-го типа) упруговязкопластическая модель, учитывающая также температуру в законе для скоростей сдвига по системам скольжения. Проведена серия численных экспериментов для определения числа зерен и числа аппроксимирующих их элементов, обеспечивающих требуемую точность расчетов. При определении направления продвижения трещины предполагается, что она распространяется вдоль системы скольжения с максимальным накопленным сдвигом. Показано, что трещина распространяется по зигзагообразной траектории, что согласуется с экспериментальными данными.

Двухуровневая (макро- и мезоуровни) модель для описания многоцикловой усталости рассмотрена в [37]. Принимается, что на макроуровне образец работает в области упругой приспособляемости. Элементы мезо-уровня могут находиться в области упругой или пластической приспособляемости или испытывать одностороннюю прогрессирующую пластическую деформацию. На мезоуровне использована самосогласованная упругопластическая модель с учетом упругой анизотропии, принят закон линейного кинематического упроч-

нения, в условие пластичности входит гидростатическая составляющая тензора напряжений. Принимается, что поврежденность на мезоуровне определяется накопленной за установившийся цикл пластической деформацией. Детально описана процедура идентификации модели. Результаты расчетов с помощью предлагаемой модели показывают удовлетворительное соответствие известным в литературе экспериментальным данным, полученным для алюминиевого сплава.

В работе [38], основываясь на утверждении, что по-врежденность и разрушение являются следствиями накапливаемой неупругой деформации, отмечается необходимость использования для анализа разрушения более точных моделей материала, позволяющих учитывать эволюционирующую микроструктуру. В связи с этим для исследования процессов усталостного разрушения при малоцикловой усталости для изотермического механического нагружения и термоциклирования монокристаллических образцов из никелевого суперсплава авторы предлагают использовать прямую (1-готипа) модель, ориентированную на применение конечно-элементного пакета ANSYS. На мезоуровне предлагается скорости сдвигов в системах скольжения представлять суммой двух составляющих—за счет ползучести и пластичности. Для рассматриваемых сплавов системами скольжения являются две кристаллографические системы — октаэдрическая {111}(110) и кубическая {100}(110). Составляющая за счет ползучести определяется законом термовязкопластичности со степенной зависимостью от касательного напряжения и экспоненциальной от температуры. Упрочнение описывается анизотропным комбинированным законом, критическое напряжение сдвига определяется плотностью иммобильных дислокаций, для определения которой приведено эволюционное уравнение. Для описания пластической составляющей скоростей сдвига в системах скольжения используется модификация вязкоплас-тического закона, в который множителем вводится функция Мак-Кейли от нормированной (на критическое напряжение сдвига) мощности пластических деформаций. Для идентификации и верификации модели использованы результаты серии экспериментов, проведенных при различных условиях термомеханического одноосного нагружения при нескольких ориентациях кристалла. Демонстрируется хорошее соответствие теоретически предсказанных и экспериментальных результатов.

Описание методики и результатов теоретических и экспериментальных исследований поврежденности внутренней поверхности трубы из нержавеющей стали, подвергаемой циклическому термомеханическому на-гружению, приведены в [39]. Ранее авторами рассматриваемая задача была решена на макроуровне с использованием метода конечных элементов [40], где было показано, что внутренние слои трубы за счет градиентов

температуры испытывают сложное двухосное циклическое нагружение. Полученные результаты были использованы в качестве граничных условий в [39] для исследования поведения представительного макрообъема, примыкающего к внутренней поверхности трубы. Для решения применена прямая модель (1-го типа), основанная на упруговязкопластической физической теории. Для определения критических напряжений сдвига в системах скольжения принят неизотропный закон упрочнения. Для идентификации и верификации модели авторами проведены эксперименты по циклическому одноосному нагружению сплошных цилиндрических образцов и по термоциклированию участка трубы. Для оценки усталостной прочности использованы три критерия: Машоп-СоШп, Fatemi-Socie и диссипи-рованной (за цикл) энергии. Особое внимание уделено анализу влияния на усталостную прочность шероховатости поверхности, предварительного деформационного упрочнения и остаточных напряжений.

Прямая (1-го типа) упруговязкопластическая модель, учитывающая поврежденность, и результаты ее применения для анализа процесса прямого резания титанового сплава Ti-6Al-4V (ГПУ-решетка) представлены в [41]. Для описания внутризеренного разрушения для каждой системы скольжения вводится скалярный параметр поврежденности, предложено кинетическое уравнение, связывающее приращение этого параметра с приращением сдвига в системе скольжения. Указанный параметр вводится в вязкопластический закон для скоростей сдвига. Для анализа межзеренного разрушения также вводится скалярный параметр поврежденности для каждой фасетки границы зерен. Предполагается, что нормальные и касательные напряжения на участках границы пропорциональны соответствующим смещениям зерен. Момент разрушения по границе устанавливается силовым критерием.

Для численной реализации модели (в рассматриваемой работе в плоской постановке) используется метод конечных элементов (пакет ABAQUS). Для описания межзеренных границ вводятся специальные («когезион-ные») конечные элементы с нулевой толщиной. Зерен-ная структура моделируется одинаковыми шестиугольниками с четырьмя дискретными ориентировками систем скольжения относительно направления резания (0°, 30°, 45° и 60 °). Резец полагается упругим телом. Детально анализируется влияние на процесс резания (напряженно-деформированное состояние, образование стружки, шероховатости поверхностей стружки) параметров резания (скорости резания и скорости подачи резца). Отмечается хорошее соответствие теоретических результатов экспериментальным данным для прямого точения тонкого диска.

В [42] рассматривается применение прямой (1-го типа) вязкопластической модели поликристалла с порами. Для повышения вычислительной эффективности ис-

пользовано быстрое преобразование Фурье. Рассмотрены материалы с различными типами решетки (ГЦК, ОЦК, ГПУ) как с равномерным распределением ориен-таций, так и текстурированные. Наряду со скольжением дислокаций существенным механизмом считается также двойникование. Особое внимание уделено исследованию симметрийных свойств материала. Показано, что даже при однородном распределении ориентаций кристаллитов учет двойниковой моды и наличия пор приводит к несимметрии поверхности текучести (в частности, к различию пределов текучести на растяжение-сжатие).

Применение прямых моделей для анализа поведения моно- и поликристаллов, как известно, сопряжено с чрезвычайно большими затратами вычислительных ресурсов. В связи с этим в работе [43] (первая часть статьи) прямую упруговязкопластическую модель (1-го типа), расширенную включением в соотношение для критических напряжений сдвига зависимости от кривизны решетки, обусловленной геометрически необходимыми дислокациями, предлагается использовать для построения критерия текучести анизотропной теории пластичности, формулируемой для представительного макрообъема. За основу взят критерий текучести, предложенный в работах Cazacu и ВагМ и включающий в себя модифицированные второй и третий инварианты тензора напряжений. Проведен тщательный анализ влияния различных параметров микроструктуры на отклик материала, на основе которого в качестве значимых выбраны осредненные по представительному объему значения факторов Шмида вдоль трех взаимно ортогональных осей и размер зерна. Входящие в выражения модифицированных инвариантов тензора напряжений материальные параметры определяются степенными функциями четырех выбранных характеристик микроструктуры. Подробно описана процедура идентификации модели, основанная на серии из 19 типов численных экспериментов по нагружению представительного макрообъема (растяжение, сжатие, простой сдвиг, стесненное растяжение по различным направлениям). Предложена модификация модели для учета зависимости отклика от скорости деформации. Показано хорошее соответствие результатов расчетов эволюционирующей поверхности текучести, полученных по предлагаемой модели и при использовании прямой упруговязкопласти-ческой модели.

Во второй части статьи [44] детально рассматривается механизм образования микротрещины в поликристаллах с ГПУ-решеткой за счет скопления дислокаций одного знака в «мягких» (с высоким значением фактора Шмида на базисной плоскости) зернах на границах с «жесткими» зернами. Определение вектора, характеризующего раскрытие микротрещины, осуществляется с использованием тензора Ная. Скопления дислокаций в «мягких» зернах порождают значительные напряжения

в примыкающих «жестких» зернах, приводящие к возникновению микротрещин в последних. Возможность возникновения микротрещин в плоскостях с максимальным эффективным напряжением, определяемым нормой векторов сдвиговых и нормальных напряжений, устанавливается силовым критерием (достижением эффективного напряжения критического значения). При численной реализации метода конечных элементов определение критических напряжений для каждого граничного (между «жестким» и окружающими его «мягкими» зернами) осуществляется осреднением по всем конечным элементам «мягкого» зерна, содержащим рассматриваемый узел. Модель использована для анализа времени зарождения микротрещины в «жестком» зерне, окруженном кристаллитом «мягкого» зерна. Получена полиноминальная зависимость логарифма времени зарождения в зависимости от размера и фактора Шмида «мягкого» зерна, угла разориентации базовых плоскостей «мягкого» и «жесткого» зерен и величины приложенного одноосного напряжения. Для анализа возможности зарождения макротрещины в представительном макрообъеме предлагается использовать вероятностный подход, согласно которому в прямой модели должны быть исследованы все пары граничащих «мягких» и «жестких» зерен. Вероятность образования макротрещины в некоторый момент времени определяется как отношение суммы площадей границ пар зерен с возникшей на них микротрещиной к суммарной площади границ всех «мягких» и «жестких» зерен. Приведен пример применения модели для анализа вероятности зарождения макротрещин в двух образцах (представительных макрообъемах), отличающихся функциями распределения ориентаций зерен. Модель в целом для анализа разрушения реальных конструкций предлагается интегрировать в изложенную в [44] упрощенную модель поликристаллического тела.

Статья [45] в значительной степени повторяет изложение упомянутой модели. В данной статье большее внимание уделяется процедуре идентификации модели с использованием экспериментальных данных, влиянию на упрочнение систем скольжения размера зерен и двухфазной микроструктуры. Расширен также перечень численных экспериментов, приведен детальный анализ результатов расчетов.

Результаты детального теоретического и экспериментального исследования диссипируемой и запасаемой энергии при циклическом нагружении (одноосное сжатие-разгрузка) образцов из среднеуглеродистой (0.3 8 % С) стали представлены в [46]. Приведено описание методики проведения эксперимента и обработки экспериментальных данных. Для теоретического анализа использована прямая (1-го типа) упруговязкоплас-тическая модель с комбинированным анизотропным законом упрочнения в системах скольжения. Полученные

результаты свидетельствуют о существенной зависимости долей диссипированной и запасенной энергии от величины амплитуды напряжений. При высоком уровне напряжений большая часть механической энергии диссипирует, тогда как при низких амплитудных значениях напряжений большая часть энергии запасается на дефектах. Отмечается также существенная неоднородность пластических деформаций, интенсивности напряжений и диссипированной (запасенной) энергии в кристаллитах, что обусловлено неоднородностью ориента-ций решеток.

Сравнительному анализу применения теории пластического течения и комбинированной модели, в которой для приконтактной области применяется прямая (1-го типа) физическая упруговязкопластическая модель, для исследования фреттинг-усталости посвящена статья [47]. Для сопоставления использованы результаты экспериментальных исследований авторов. Приведено описание методики и установки для проведения фреттинг-испытаний. Рассмотрены соотношения для определения поврежденности, установления момента зарождения и скорости распространения трещины. Приведены результаты расчетов при нескольких случайных распределениях ориентаций зерен в прикон-тактной области, отмечается существенное влияние ориентации зерен на характер фреттинг-износа. Показано также влияние фреттинг-износа на усталостную прочность образца в целом. Показана большая информативность и точность предсказания характера поверхностного разрушения по второй модели, хотя она и требует существенно больших затрат времени счета.

В [48] для анализа зарождения и распространения трещины в поликристаллических образцах из сплавов с ГЦК- и ОЦК-решетками используется прямая (1-го типа) упруговязкопластическая модель с экспоненциальной зависимостью скорости сдвига от температуры и сдвигового напряжения. В эволюционном уравнении для критических напряжений учитывается плотность статистически накопленных и геометрически необходимых дислокаций. Приведены результаты решения задач о трех- и четырехточечном изгибе балки с надрезом (в плоской постановке). Области зарождения трещин расположены в зонах интенсивных пластических сдвигов, что подтверждается экспериментальными данными.

Результаты использования прямой (1-го типа) упру-говязкопластической модели для исследования напряженно-деформированного состояния и усталостной прочности представительного объема поликристаллической меди при одноосном симметричном циклическом нагружении представлены в [49]. Для описания зе-ренной структуры применяется процедура построения многогранников Вороного. Для систем скольжения использован комбинированный анизотропный закон упрочнения. В эволюционное уравнение для остаточ-

ных микронапряжений введены члены, отвечающие за статический и динамический возврат. Значительная часть статьи посвящена описанию алгоритма линеаризации нелинейных соотношений модели при построении матрицы переменной жесткости, используемой в пакете ABAQUS. На основе сопоставления результатов обширных численных и натурных экспериментов выдвинута гипотеза, что моменту усталостного разрушения соответствует постоянное для рассматриваемого материала значение стандартного отклонения продольной деформации при максимальных (на цикле) деформациях растяжения. Отмечается, что предсказанная зависимость числа циклов до разрушения от амплитуды деформаций хорошо согласуется с законом Мэнсона-Коффина.

В последние годы активизировался интерес исследователей к анализу поведения различных материалов, деформируемых в условиях повышенной радиации, существенно влияющей на механические свойства. При этом одной из самых трудноразрешимых проблем является существенное (на несколько порядков) различие в пространственных и временных масштабах размеров и характерных времен эволюции дефектных структур, обусловленных деформацией и облучением. В статье [50] для описания поведения сплавов на основе а^е в исходном и облученном состоянии используется прямая (1-го типа) упруговязкопластическая модель. Характерным дефектом подвергнувшихся радиации сплавов является возникновение дислокационных петель с вектором Бюргерса, не лежащим в плоскости залегания петли, которые образуются вакансионными или межузель-ными дисками, являющихся зародышами микротрещин. Для описания популяции таких дефектов вводится тензорный параметр поврежденности, записано эволюционное уравнение для него. Для идентификации модели использованы известные из литературы результаты, полученные методом дислокационной динамики для деформирования до 1.5 %. Модель, встроенная в пакет метода конечных элементов, применена для исследования деформирования поликристаллического образца в условиях одноосного нагружения. Показано удовлетворительное соответствие теоретических и экспериментальных результатов.

Применение прямой упруговязкопластической модели (1-го типа) для анализа эволюции напряженно-деформированного состояния ячейки, содержащей одиночную пору, рассматривается в [51]. В отсчетной конфигурации ячейка имеет кубическую форму с расположенной в ее центре сферической порой. Нагружение реализуется заданием кинематических граничных условий, при этом ячейка в течение всего процесса нагру-жения остается прямоугольным параллелепипедом. Макронапряжения определяются интегрированием ме-зонапряжений по боковым граням ячейки. Упруговяз-

копластическая модель встроена в качестве отдельного модуля в конечно-элементный пакет ABAQUS. Осуществлена серия численных экспериментов при фиксированном параметре трехосности, равном 1/3, двух значениях начальной пористости (0.01 и 0.1) и трех фиксированных в каждом испытании значениях параметра Ло-де напряженного состояния (-1, 0, 1). Кроме того, для различных вариантов наборов указанных выше параметров варьировался показатель скоростной чувствительности в степенном законе для скорости сдвигов по системам скольжения. Подробно анализируется изменение напряженно-деформированного состояния для различных условий нагружения (до достижения интенсивности накопленной деформации 1.0). Особое внимание уделено эволюции формы и размеров пор.

Результаты исследования влияния анизотропии и ориентации плоской трещины относительно решетки ГПУ-материала (титанового сплава) на напряженно-деформированное состояние в окрестности вершины трещины приведены в [52]. В первой части статьи представлены результаты аналитического и численного решения (метод конечных элементов) упругой задачи. Показано, что нормальные к поверхности трещины напряжения и концентратор напряжений для изотропного и анизотропного случаев и для различных ориентаций не отличаются, хотя компоненты тензоров напряжений не совпадают. Во второй части содержится анализ результатов, полученных численно при использовании феноменологической изотропной и физической (прямая модель 1-го типа) теорий упруговязкопластичности. Оказалось, что и для физически нелинейной задачи напряженное состояние нечувствительно к ориентации и анизотропии, тогда как геометрия и размеры пластической зоны существенно зависят от ориентации трещины относительно решетки. При этом физическая теория демонстрирует более локализованную зону пластических деформаций.

В [53] для исследования поведения поликристаллического никелевого сплава в окрестности вершины транскристаллической трещины при циклическом на-гружении применен метод (дискретной) дислокационной динамики в двухмерной постановке. Для определения напряженно-деформированного состояния образца в целом использовалась либо макрофеноменологи-ческая теория вязкопластичности, либо физическая вяз-копластическая модель. В окрестности вершины трещины выделена подобласть материала (58x58 мкм), содержащая 150 зерен со средним размером 5 мкм, граничные условия для которой определены из решения макрозадачи. Для исследования этой подобласти применен метод дислокационной динамики, в котором наряду со скольжением краевых дислокаций в рассмотрение включены неконсервативное движение (переползание) и пересечение дислокациями границ зерен. Показано, что при повышенных температурах основное

влияние на одностороннюю прогрессирующую деформацию оказывает переползание дислокаций. Отмечается, что в окрестности вершины трещины имеет место множественное скольжение, тогда как на удалении от нее — одиночное скольжение.

Результаты теоретических и экспериментальных исследований накопления поврежденности и разрушения магниевого сплава при циклических нагружениях представлены в [54]. В экспериментальных исследованиях (опыты на одноосное циклическое растяжение-сжатие) использовались методы электронной микроскопии и акустической эмиссии. Теоретические расчеты осуществлены с помощью самосогласованной упруговяз-копластической модели, дополненной эволюционными уравнениями для плотности дислокаций. Особое внимание при анализе зарождения и распространения микротрещин уделено процессам двойникования-раздвойни-кования и вторичного образования двойников.

Как отмечается в [55], усталостное разрушение поликристаллических металлов характеризуется тремя характерными стадиями: зарождение микротрещин, рост трещин и собственно разрушение. Если второй и третьей стадиям посвящено значительное количество работ, то первой в литературе уделено незначительное внимание. В статье [55] для определения зарождения микротрещин в представительном объеме поликристалла применяется энергетический критерий. Для определения накапливаемой за цикл нагружения упругой энергии используется прямая (1-го типа) упруговязкопластичес-кая модель. Для построения геометрической модели (формы, размеров, ориентации зерен) представительного макрообъема поликристаллического образца из алюминиевого сплава АА7075-Т651 проведены экспериментальные исследования (электронная микроскопия). Показано существенное влияние на усталостную прочность микроструктуры (в особенности текстуры) материала.

3. Заключение

Статья является заключительной частью обзора работ, посвященных рассмотрению поврежденности и разрушения, и содержит описание исследований, основанных на методологии физических теорий пластичности. На основе проведенного обзора можно отметить характерные черты всех современных моделей, основанных на физических теориях пластичности и описывающих процессы формирования системы микроповреждений и перехода к разрушению.

Рассматриваемые процессы являются принципиально многомасштабными, в них задействованы механизмы, реализующиеся на различных масштабных (и структурных) уровнях. Исходя из этого, физически обоснованное описание такого рода явлений следует вести в рамках многоуровневых моделей неупругого деформирования, в которые явным образом вводятся пере-

менные, характеризующие поврежденность, и формулируются критерии разрушения.

Почти во всех современных работах в качестве моделей мезоуровня используются (самосогласованные) упругопластические и/или упруговязкопластические модели, учитывающие также температуру в законе для скоростей сдвига по системам скольжения.

Во многих работах отмечается, что принятая модель упрочнения оказывает существенное влияние на результаты расчетов, так как именно в законе упрочнения заложено описание эволюции дефектной структуры материала, которая и «перерастает» в структуру микроповреждений.

Отмечается существенное влияние на картину формирования системы микроповреждений анизотропии свойств кристалла на уровне отдельных зерен, неодно-родностей структуры, а также влияние ротации решетки зерна в окрестности вершины трещины.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты №№ 14-01-96008 р_урал_а, 14-01-00069_а, Министерства образования и науки РФ (базовая часть государственного задания ПНИПУ, № гос. регистрации 01201460 535) и гранта Президента РФ № МК-4917. 2015.1.

Литература

1. ТрусовП.В., ВолеговП.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 1: Жесткопластические и упругопластические модели // Вестник ПНИПУ Механика. - 2011. - № 1. - С. 5-45.

2. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 2: Вязкопластические и упруговязкопластические модели // Вестник ПНИПУ. Механика. - 2011. - № 2. - С. 101-131.

3. Трусов П.В., Волегов П.С. Физические теории пластичности: теория и приложения к описанию неупругого деформирования материалов. Ч. 3: Теории упрочнения, градиентные теории // Вестник ПНИПУ. Механика. - 2011. - № 3. - С. 146-197.

4. Панин В.Е., Лихачев В.А., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел. - Новосибирск: Наука, 1985. - 229 с.

5. Структурные уровни пластической деформации и разрушения / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1990. - 255 с.

6. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / Под ред. В.Е. Панина. - Новосибирск: Наука, 1995. -Т. 1. - 298 с.; Т. 2. - 320 с.

7. Панин В.Е. Методология физической мезомеханики как основа построения моделей в компьютерном конструировании материалов // Изв. вузов. Физика. - 1995. - № 11. - С. 6-25.

8. Панин В.Е. Основы физической мезомеханики // Физ. мезомех. -

1998. - Т. 1. - № 1. - C. 5-22.

9. Панин В.Е., Гриняев Ю.В. Структурные уровни деформации твердых тел // Изв. вузов. Физика. - 1992. - № 6. - С. 5-27.

10. Панин В.Е., Гриняев Ю.В. Физическая мезомеханика — новая парадигма на стыке физики и механики деформируемого твердого тела // Физ. мезомех. - 2003. - Т. 6. - № 4. - C. 9-36.

11. Панин В.Е., Егорушкин В.Е. Солитоны кривизны как обобщенные волновые структурные носители пластической деформации и разрушения // Физ. мезомех. - 2013. - Т. 16. - № 3. - С. 7-26.

12. Панин В.Е., Панин А.В., Елсукова Т.Ф., Попкова Ю.Ф. Фундаментальная роль кривизны кристаллической структуры в пластичности и прочности твердых тел // Физ. мезомех. - 2014. - Т. 17. -№ 6. - С. 7-18.

13. Егорушкин В.Е., Панин В.Е. Физические основы нелинейной механики разрушения // МТТ. - 2013. - № 5. - С. 53-66.

14. Panin V.E. Fracture Mesomechanics of a Solid as a Nonlinear Hierarchically Organized System [электронный ресурс] // Proc. Conf. Fracture 19, Kazan, Russia, 2012. - Kazan: Kazan Sci. Center RAS, 2012.

15. KysarJ.W. Continuum simulations of directional dependence of crack growth along a copper/sapphire bicrystal interface. Part I: Experiments and crystal plasticity background // J. Mech. Phys. Solids. - 2001. -V. 49. - P. 1099-1128.

16. Kysar J.W. Continuum simulations of directional dependence of crack growth along a copper/sapphire bicrystal interface. Part II: Crack tip stress/deformation analysis // J. Mech. Phys. Solids. - 2001. - V. 49.-P. 1129-1153.

17. Трусов П.В., Швейкин А.И. Многоуровневые физические модели моно- и поликристаллов. Прямые модели // Физ. мезомех. - 2011. -Т. 14. - № 5. - С. 5-30.

18. van der Giessen E., Deshpande VS., Cleveringa H.H.M., Needle-man A. Discrete dislocation plasticity and crack tip fields in single crystals // J. Mech. Phys. Solids. - 2001. - V. 49. - P. 2133-2153.

19. Flouriot S., Forest S., Cailletaud G., Koster A., Remy L., BurgardtB., Gros V., Mosset S., Delautre J. Strain localization at the crack tip in single crystal CT specimens under monotonous loading: 3D finite element analyses and application to nickel-base superalloys // Int. J. Fract. - 2003. - V. 124. - P. 43-77.

20. Clayton J.D. Continuum multiscale modeling of finite deformation plasticity and anisotropic damage in polycrystals // Theor. Appl. Fract. Mech. - 2006. - V. 45. - P. 163-185.

21. Monchiet V., CharkalukE., Kondo D. Plasticity-damage based micro-mechanical modeling in high cycle fatigue // C. R. Mecanique. -2006. - V. 334. - P. 129-136.

22. Simonovski I., Cizelj L. The Influence of Crystallographic Orientations of Grains on Microstructurally Small Cracks Using Crystal Plasticity and Random Grain Structure // Proc. PVP2006-ICPVT-11, July 23-27, 2006, Vancouver, BC, Canada. - P. 1-8.

23. Bieler T.R., Eisenlohr P., Roters F., Kumar D., Mason D.E., Crimp M.A., Raabe D. The role of heterogeneous deformation on damage nucleation at grain boundaries in single phase metals // Int. J. Plasticity. - 2009. - V. 24. - P. 1655-1683. - doi 10.1016/j.ijplas. 2008.09.002.

24. Boudifa M., Saanouni K., Chaboche J.-L. A micromechanical model for inelastic ductile damage prediction in polycrystalline metals for metal forming // Int. J. Mech. Sci. - 2009. - V. 51. - P. 453-464.

25. Ha S., Kim K.T. Void growth and coalescence in f.c.c. single crystals // Int. J. Mech. Sciences. - 2010. - V. 52. - P. 863-873.

26. El Bartali A., Evrard P., Aubin V., Herenu. S., Alvarez-Armas I., Armas A.F., Degallaix-Moreuil S. Strain heterogeneities between phases in a duplex stainless steel. Comparison between measures and simulation // Proc. Eng. - 2010. - V. 2. - P. 2229-2237.

27. Schwartz J., Fandeur O., Rey C. Fatigue crack initiation modeling of 316LN steel based on nonlocal plasticity theory // Proc. Eng. - 2010.-V. 2. - P. 1353-1362.

28. Sreeramulu K., Sharma P., Narasimhan R., Mishra R.K. Numerical simulations of crack tip fields in polycrystalline plastic solids // Eng. Fract. Mech. - 2010. - V. 77. - P. 1253-1274.

29. Sreeramulu K., Biswas P., Narasimhan R., Mishra R.K. Ductile fracture by multiple void growth and interaction ahead of a notch tip in polycrystalline plastic solids // Int. J. Fracture. - 2013. - V. 180. -P. 145-161. - doi 10.1007/s10704-013-9807-6.

30. Xue Y., Bode B., BrUckner-Foit A. Micromechanical simulation for texture induced uncertainty in fatigue damage incubation using crystal plasticity model // Proc. Eng. - 2010. - V. 2. - P. 1787-1793.

31. Yerra S.K., Tekoglu C., Scheyvaerts F., Delannay L., Van Houtte P., Pardoen T. Void growth and coalescence in single crystals // Int. J. Solid. Struct. - 2010. - V. 47. - P. 1016-1029.

32. Anahid M., Samal M.K., Ghosh S. Dwell fatigue crack nucleation model based on crystal plasticity finite element simulations of polycrys-talline titanium alloys // J. Mech. Phys. Solids. - 2011. - V. 59. -P. 2157-2176.

33. Kirane K., Ghosh S. A cold dwell fatigue crack nucleation criterion for polycrystalline Ti-6242 using grain-level crystal plasticity FE model // Int. J. Fatigue. - 2008. - V. 30. - P. 2127-2139.

34. Ghosh S., AnahidM., Chakraborty P. Modeling Fatigue Crack Nucleation Using Crystal Plasticity Finite Element Simulations and MultiTime Scaling // Computational Methods for Microstructure-Property / Ed. by S. Ghosh, D. Dimiduk. - 2011. - P. 497-554. - doi 10.1007/ 978-1-4419-0643-414.

35. Kadkhodapour J., Butz A., Ziaei-Rad S., Schmauder S. A microme-chanical study on failure initiation of dual phase steels under tension using single crystal plasticity model // Int. J. Plasticity. - 2011. -V. 27.- P. 1103-1125.

36. Lin B., Zhao L.G., Tong J. A crystal plasticity study of cyclic constitutive behaviour, crack-tip deformation and crack-growth path for a polycrystalline nickel-based superalloy // Eng. Fract. Mech. - 2011. -V. 78. - P. 2174-2192.

37. Maitournam M.H., Krebs C., Galtier A. A multiscale fatigue life model for complex cyclic multiaxial loading // Int. J. Fatigue. - 2011. -V. 33. - P. 232-240.

38. Staroselsky A., Cassenti B. Creep, plasticity, and fatigue of single crystal superalloy // Int. J. Solid. Struct. - 2011. - V. 48. - P. 20602075.

39. Le Pucheur A., Curtit F., Clavel M., Stephan J.M., Rey C., Bom-pard Ph. Polycrystal modelling of fatigue: Pre-hardening and surface roughness effects on damage initiation for 304L stainless steel // Int. J. Fatigue. - 2012. - V. 45. - P. 48-60.

40. Le Pucheur A., Curtit F., Clavel M., Stephan J.M., Rey C., BompardP. Thermomechanical FE model with memory effect for 304L austenitic stainless steel presenting microstructure gradient // Int. J. Fatigue. -2012. - doi 10.1016/j.ijfatigue.2012.05.016.

41. Zhang Y., Mabrouki T., Nelias D., Courbon C., Rech J., Gong Y. Cutting simulation capabilities based on crystal plasticity theory and discrete cohesive elements // J. Mater. Process. Technol. - 2012. -V. 212. - P. 936-953.

42. Lebensohn R.A., Cazacu O. Effect of single-crystal plastic deformation mechanisms on the dilatational plastic response of porous poly-crystals // Int. J. Solid. Struct. - 2012. - V. 49. - P. 3838-3852. -http://dx.doi.org/10.1016/jijsolstr.2012.08.019.

43. Ghosh S., Anahid M. Homogenized constitutive and fatigue nucleation models from crystal plasticity FE simulations of Ti alloys. Part 1: Macroscopic anisotropic yield function // Int. J. Plasticity. - 2013. -V. 47. - P. 182-201.

44. Anahid M., Ghosh S. Homogenized constitutive and fatigue nucleation models from crystal plasticity FE simulations of Ti alloys. Part 2: Macroscopic probabilistic crack nucleation model // Int. J. Plasticity. -2013. - V. 47. - P. 182-201.

45. Ghosh S., Chakraborty P. Microstructure and load sensitive fatigue crack nucleation in Ti-6242 using accelerated crystal plasticity FEM simulations // Int. J. Fatigue. - 2013. - V. 48. - P. 231-246.

46. Mareau C., Cuillerier D., Morel F. Experimental and numerical study of the evolution of stored and dissipated energies in a medium carbon steel under cyclic loading // Mech. Mater. - 2013. - V. 60. - P. 93106. - http://dx.doi.org/10.1016/j.mechmat.2013.01.011.

47. McCarthy O.J., McGarry J.P., Leen S.B. The effect of grain orientation on fretting fatigue plasticity and life prediction // Tribol. Int. -2013. - http://dx.doi.org/10.1016/jj.triboint.2013.09.023i.

48. Dunne F.P.E., Sweeney C. Micromechanical Studies of Deformation, Stress and Crack Nucleation in Polycrystal Materials // Advanced Materials Modelling for Structures / Ed. by H. Altenbach, S. Kruch. -Advanced Structured Materials, 19. - Berlin-Heidelberg: SpringerVerlag, 2013. - P. 133-139. - doi 10.1007/978-3-642-35167-9_13.

49. Zhang K.-S., Shi Y.-K., Ju J.W. Grain-level statistical plasticity analysis on strain cycle fatigue of a FCC metal // Mech. Mater. - 2013. -V. 64. - P. 76-90.

50. Barton N.R., Arsenlis A., Marian J. A polycrystal plasticity model of strain localization in irradiated iron // J. Mech. Phys. Solids. - 2013. -V. 61. - P. 341-351.

51. Srivastava A., Needleman A. Void growth versus void collapse in a creeping single crystal // J. Mech. Phys. Solids. - 2013. - V. 61. -P. 1169-1184. - http://dx.doi.org/10.1016/jjmps.2013.01.006.

52. Kartal M.E., Cuddihy M.A., Dunne F.P.E. Effects of crystallographic orientation and grain morphology on crack tip stress state and plasticity // Int. J. Fatigue. - 2014. - V. 61. - P. 46-58. - http://dx.doi.org/ 10.1016/j.ijfatigue.2013.11.022.

53. Huang M., Tong J., Li Z. A study of fatigue crack tip characteristics using discrete dislocation dynamics // Int. J. Plasticity. - 2014. -V. 54. - P. 229-246.

54. Hazeli K, Askari H, Cuadra J., Streller F., Carpick R.W., Zbib H.M., Kontsos A. Microstructure-sensitive investigation of magnesium alloy fatigue // Int. J. Plasticity. - 2015. - V. 68. - P. 55-76. - http:// dx.doi.org/10.1016/j.ijplas.2014.10.010.

55. Li L., Shen L., Proust G. Fatigue crack initiation life prediction for aluminium alloy 7075 using crystal plasticity finite element simulations // Mech. Mater. - 2015. - V. 81. - P. 84-93. - http://dx.doi.org/ 10.1016/j .mechmat.2014.11.004.

Поступила в редакцию 17.03.2015 г.

Сведения об авторах

Волегов Павел Сергеевич, к.ф.-м.н., доц. ПНИПУ, crocinc@mail.ru

Грибов Дмитрий Сергеевич, асп. ПНИПУ, gribowdmitrii@yandex.ru

Трусов Петр Валентинович, д.ф.-м.н., проф., зав. каф. ПНИПУ, tpv@matmod.pstu.ac.ru