Аппроксимационные формулы для локальных аэродинамических характеристик тел типа крыла в вязком гиперзвуковом потоке в широком диапазоне параметров подобия

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м XII 19 8 1

№ 4

УДК 533.6.011.8

АППРОКСИМАЦИОННЫЕ ФОРМУЛЫ ДЛЯ ЛОКАЛЬНЫХ АЭРОДИНАМИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК ТЕЛ ТИПА КРЫЛА В ВЯЗКОМ ГИПЕРЗВУКОВОМ ПОТОКЕ В ШИРОКОМ ДИАПАЗОНЕ ПАРАМЕТРОВ ПОДОБИЯ

В. С. Николаев

На основе асимптотических формул для локальных аэродинамических характеристик пластины в предельных областях вязкого взаимодействия получены аппроксимационные соотношения для коэффициентов давления, трения и теплопередачи пластины под углом атаки в широком диапазоне параметров подобия. Предлагается использовать полученные формулы (в рамках теории полое и гипотезы локальности) для быстрых оценок аэродинамических характеристик гиперзвуковых летательных аппаратов типа крыла и для пересчета на натурные условия данных аэродинамического эксперимента.

Аэродинамические характеристики гиперзвуковых летательных аппаратов на больших высотах полета в связи с сильным влиянием-вязкости очень сложны для расчета и зависят от многих параметров. Достаточно точный расчет обтекания тел сложной формы сопряжен с большими трудностями, связанными с адэкватной постановкой задачи и созданием соответствующих математических моделей. Результаты экспериментальных исследований моделей этих аппаратов в связи с неполным моделированием натурных условий на имеющихся установках не могут быть непосредственно использованы для оценок летных аэродинамических характеристик при отсутствии надежных методов пересчета. В связи с этим оказываются полезными приближенные подходы, позволяющие проводить быстрые оценки аэродинамических характеристик, определять степень влияния различных параметров на эти характеристики и на основе полученных оценок осуществлять пересчет экспериментальных данных на натурные условия.

В работе [1] были предложены достаточно простые аппроксимационные формулы для коэффициентов сопротивления и подъемной силы плоской пластины под малым углом атаки в вязком гиперзвуковом потоке в зависимости от чисел Маха, Рейнольдса, угла атаки, температуры поверхности пластины и температуры торможения набегающего потока.

В настоящей работе получены простые формулы для расчета коэффициен тов давления, трения и теплоотдачи плоской пластины под малым углом атаки в широком диапазоне параметров подобия. Использование теории полос и гипотезы локальности, когда местные характеристики принимаются зависящими лишь от локальных условий обтекания малого элемента поверхности (угол наклона поверхности к вектору скорости набегающего потока, местное число Рейнольдса по расстоянию до передней кромки в сечении по потоку) и считаются совпадающими с соответствующими характеристиками некоторого эталонного тела

(в данном случае плоской пластины), позволяет проводить более детальные, чем по работе [I], расчеты тел типа крыла*. Так, помимо силовых, могут быть получены моментные характеристики. Небольшая модификация соотношений, полученных с использованием постановки тонкого тела, позволяет существенно расширить область применимости предлагаемой методики по углам атаки. Вопросы влияния разреженности и эффектов реального газа на аэродинамические характеристики в работе не рассматриваются.

1. Местные аэродинамические характеристики пластины для предельных областей параметров подобия. Рассмотрим обтекание плоской пластины под малым углом атаки гиперзвуковым потоком с числом М на режиме вязкого взаимодействия. Используем безотрывную схему обтекания подветренной стороны пластины, влияние разреженности и эффекты реального газа не учитываем, пограничный слой считаем ламинарным. Обсуждение пределов применимости данного подхода содержится в работе [3], там же приводятся результаты расчетов местных и суммарных аэродинамических характеристик в широком диапазоне параметров подобия. Эти результаты использованы в работе [I] и в настоящей работе при получении численных коэффициентов в аппроксимаци-онных формулах и для контроля точности этих формул в промежуточных областях параметров.

Аппроксимационные зависимости для локальных характеристик получить сложнее, чем для суммарных характеристик. Величина интеграла может слабо зависеть от конкретного поведения функции на части области интегрирования и аппроксимировать интеграл легче. Определение приближенных формул для местных коэффициентов давления, трения и теплопередачи основано в настоящей работе на использовании асимптотических зависимостей для соответствующих коэффициентов в предельных областях сильного и слабого взаимодействия. Учет двух членов разложения по малому параметру (в некоторых случаях даже одного) оказался достаточным для получения приближенных формул с приемлемой для практических целей точностью.

В дальнейшем считаем я местным углом атаки, принимающим отрицательные значения для подветренной стороны поверхности. Принимаем

| а | « 1, М » 1, Re„»l.

DllX

Здесь Re0=— °° -——число Рейнольдса; р , — плотность и скорость набе-

ло

гающего потока; х— расстояние до носка пластины; pi0 — коэффициент вязкости при температуре торможения набегающего потока Т0.

2р

Приведем выражения для коэффициентов давления ср =---------g—> трения

Рот «ос

2т 2Л

Сг=-------о— и теплоотдачи с* = --------§—• В этих соотношениях р — давление,

’ РоО оо РооЫоо

т — напряжение трения, h—удельный тепловой поток к поверхности.

В области сильного взаимодействия с учетом первых двух членов разложения получим (индекс 0 у ср, Ср Cfi соответствует сильному взаимодействию):

Ьх Ь2 0L

c/0==iJW +

Ref -г Ref ’ Ref ReJ4 ’

Коэффициенты Ьі зависят от отношения удельных теплоемкостей х, числа Прандтля а, температурного фактора іт= Та1 Т0, где Тт — температура стенки и температуры торможения набегающего потока Т0. При степенном законе зависимости коэффициента вязкости от температуры (а — Тт вместо параметров и Т0 используются и т.

* У тела типа крыла характерный размер в одном направлении существенно меньше, чем в двух других [2]. В работе этот термин используется и для более толстых несущих тел с местными углами атаки порядка 30—40°.

Коэффициенты имеют следующий вид: Г 9 У- (х — 1) ]1/4/^Г0\3/4 [ 4(х— 1) ] у р-о 7^ /

X - 1

Г х(х + 1) 11/2/ [1и,Т0у/2 » з / *2 _ 1 \ 1/2 / ^ у0 \ Х/2

Л

24

2х

_1_ _а/ _2_ <Уц,

1 д$+ С

С у <эв Л

1*0 Л

Г л '/

, _ *+± Г 36(х-1) 11/4 ш^Г0\1/4 Г 5“ 2 [ х(х + I) ] 7 [

7

12

(х — 1) 5/

х/ <№

&1У

"2Г

13 * — 1/1 дг 2 дё'т\

24 2* I7 * шт о? у]

В формулах (3) (лда — коэффициент вязкости при температуре стенки; р—параметр Фолкнера — Скэн в уравнениях пограничного слоя. Значения параметров I, f^w> ёхы получены в работе [3]. Параметр I пропорционален толщине вытеснения пограничного слоя,/", ^—производным скорости и температуры на стенке. Численные значения &г приведены в табл. 1, 2.

В области слабого взаимодействия местные аэродинамические характеристики зависят от давления на пластине при невязком обтекании рь. Обозначим р* — — Рь1Роо’ где Роо ~ «этическое давление набегающего потока, К— Ма, К принимает отрицательные значения на подветренной стороне.

Таблица 1

т = 0,67 д =/Д,*ю = 7 Я=7

0,02 0,05 0,15 0,4 0,8005 0,15 0.4 0,8194 0,7796

/1 1,080 1,119 1,240 1,507 1,890 0,8250 1,147 1,918

Ь 1,110 1,084 1,015 0,9057 0,8205 0,8076 0,7637 0,7310 0,7787

и 0,5924 0,6404 0,7887 1,122 1,596 0,6019 0,9454 1,503 1,857

0,9122 0,9472 1,046 1,248 1.522 0,9293 1,156 1,485 1,820

<7 С,4972 0.4900 0,4551 0,3166 0 0,3029 0,2423 0 0

и 0,591? 0,5592 0,4649 С,2720 0 0,3721 0,2359 0 0

Таблица 2

11,05 , = 0,15 1ю - 0,8150

То 2000° 500° 1000° 2000° 290° 500° 1000° 290° 500°

1, 1,079 1,010 1,153 1,215 1,244 1,374 1,465 1.770 1,845

6г 1,074 0,9214 0,9898 1,006 0,8057 0,8562 0,8886 0,7649 0,7909

1« 0,6235 0,6886 0,7527 0,7792 0,9973 1,064 1,106 1,553 1,588

15 0,9353 0,9878 1,026 1,036 1,178 1,215 1,234 1,496 1,508

н 0,4728 0.3707 0,4236 0,4464 0,2628 0,2904 0,3103 0 0

0,5552 0,4241 0,4564 0,4634 0,2482 0,2640 0,2716 о- 0

10—„Ученые записки" № 4

145

При выполнении условий (1) зависимость р* от К и х дается формулами

при К> О,

1+ *<х4+1> к(к+У& +

16

1 +•

(х + 1)*

2 -К) при К>—^~

2х

х— 1 \»-1

О при

х— 1

ж.

)

Приведем выражения для местных аэродинамических коэффициентов в области слабого взаимодействия (индекс со у ср ср, сд соответствует слабому взаимодействию). Для С!, с* используется один член разложения, для ср—два первых члена

Ь М.

ь3Ур* 2р* , 6 ак

МИе''2 ’ СР'°~~ *М2 ^ Ур* Цвд12 ’ С/гс

ь9Ур*

М ИеР

Как и в случае сильного взаимодействия коэффициенты 6/ зависят от величин /т, g'w, /, которые находятся из автомодельных решений уравнений пограничного слоя [3]:

2 ( у-ш То У12 г" , (*-1)1/2/ /^М1'2

Ьз~ _ л)1/2 V Т"* У 6~ » \1*вГ«

*»= •

Иго М1/2

(М-и) Гр \

Ио ) 2а

Численные значения 6/, определенные по формулам (6), приведены в табл. 3, 4.

Таблица 3

Л т-0,61 N II О К' т=1

0,02 0,05 ' 0,15 0 4 0,8172 0,15 0,4 0,8357 0,8022

1з 2,033 *1,999 1 1,915 I 785 1,658 1,485 1,485 1,485 1,297

06 0,2679 0,2892 0,3555 0 5074 0,7400 0,2755 0,4319 0,7045 0,8006

{9 1,036 0,9824 0,8189 0 4774 0 0,6410 0,4073 0 0

Таблица 4

Ьц)-0}05 Ьт =0)15 Гт Ги ’0,Ю03

2000° 500° О о о о н 2000° 290° 500° 1000° 290°- 500°

е, 1,962 1,696 1,839 1,891 1,567 1,672 1,745 1,546 1,601

*1 0,2829 0,3149 0,3419 0,3520 0,4555 0,4848 0,5017 6,7261 0,7393

е9 0,9685 0,7324 0,7931 0,8133 0,4305 0,4578 0,4750 0 0 .

На основе анализа данных табл. 1 — 4 в случае х = 1,4 были получены интерполяционные формулы для 6г = йг(<то, Т0), использующие опорные значения 6( при степенных законах зависимости [л от Т и понятие характерной температуры

Приведем интерполяционные формулы для &г = &г

р1оо *2оо=Ы17

1,060 + 1185*.-0,1784;

0,686*,,

'0,3944;

= 2,036 — 0,798*. + 0,4-104,;

64оо = 0,567+ 1,486*. —0,2484;

&5оо = 0,900 + 0,961** -0,2284;

Ьвоо = 0,256 + 0,661*. - 0,0844;

Ь7оо = 0,507 - 0,318#. - 0,3934;

*8 со - 0 1604 - 0,905*. + 0,1884;

69оо = 1,062 - 0,618#. + 0,3894.

При т = 1 (малые температуры, индекс 0 у Ь{) формулы для 6/ = Ьс (#да) имеют вид

*10 = 0,629 + 1,314^ -0,0444;

*20 = 0,843 — 0,257^ + 0,1474;

*30 = 1,485: >

*40 ; = 0,392 + 1,411*. -0,0674;

*50 - 0,783 + 1,006*. -0,1834;

*60. = 0,182 + 0,625*.;

*7о = 0,309 + 0,033*. -0,5014;

*80 = 0,452 — О СП со о - 0,0264

*90 = 0,781 — 0,935*..

При промежуточных температурах значения находятся по интерполяционным формулам

6/о+ *;с

150°

1 +

150°

Сравнение результатов расчетов по формулам (7) — (10) с данными табл. 2, 4 показало, что погрешность аппроксимации во всем исследованном диапазоне параметров не превышает 3%. Последовательное использование формул (7)—(10) и (2), (4), (5) позволяет получить численные значения ср, Cf, Сд в предельных областях сильного и слабого вязкого взаимодействия в зависимости от параметров подобия а, Ие0, М, tw, Т0.

2. Местные аэродинамические характеристики для всей области вязкого гиперзвукового взаимодействия. На основе анализа предельных соотношений для сс*, ср в области сильного и слабого взаимодействия и с учетом их численных значений в промежуточной области умеренного взаимодействия, полученных при некоторых параметрах подобия в работе [3], в настоящей работе предложены аппроксимационные формулы для всей области вязкого взаимодействия при изменении параметра а2^Ие0 (или ККе0М-2 при а = 0) от 0 (сильное взаимодействие) до оо (слабое взаимодействие).

Для коэффициента трения формула имеет весьма простой вид

; VР* Ьа \ 2 , Ь2 а

-V

К

+

М Ие’/2 йе1'2

Аналогичную структуру имеет формула для коэффициента теплопередачи

^ |/ 1 _ ч А I 1 1 . . 1 О — 1 О I ' ^0І/2

( Ь7 у + ( ' Ь9 Ур* 1 О 00 Я

і КеГ ) [ , МИеі'2 Ие’'2 )

Видно, что в предельных областях параметров подобия выражения (11), (12) переходят в асимптотические соотношения (2), (5). В промежуточной области взаимодействия относительная ошибка аппроксимаций не превышает 4%. Требования к точности определения местных характеристик на подветренной стороне должны быть меньше в силу их меньшего влияния на общие аэродинамические характеристики, и за относительную ошибку здесь принята абсолютная, деленная на величину соответствующего коэффициента на наветренной стороне пластины при тех же остальных значениях параметров.

Выражение для коэффициента давления не удалось представить единой формулой для всех значений параметров подобия. В зависимости от величин параметров ^ИеоМ-2 и К соотношения для ср имеют различный вид, зависящий от значений некоторой функции у = , Т0, К)- Влияние параметра К

удалось отделить от влияния других параметров, представив ср в виде ?=о'Р-Функция <р0 зависит от к., Г0 и дается соотношением

/ %

<Ро = ~2 — х6в)-

Величину 9 можно приближенно считать универсальной функцией от К = Ма 2,19

К2

1 — 0,314а: — 0.270/С2 при — 2</С< 1, 1 23

К2 + 3,40а-— 1,43 при Ар- при

Л=1^,ҐШ=0,05 ,/4=0,61

В формулы для ср входит также еще одна универсальная функция Д от К

Д =

0,75 при К <; — 2,

0,213 — 0,134/С -Ь0,067/Сз при _2<А:<1, 0,175 — 0,032/С + 0,003/С3 при1</С<5,

0,09 при 5К-

Приведем окончательный вид аппроксимационных формул для коэффициента давления

'р 00

М2 <рд

тжг

при >У и к >— 2,

М2

ср О

1 — Г, (Ь, + ЬЪКУ<()(\ -Д) 1 КИе0

2р* ? Ьв йр* Ма ср

* VР* с1К

при и к>~2’

4*4.

4й

9 +

2р*

О.М2

1 _ -:?МЗ при -^е° > V и К<-2,

ср О

----------- при

VИе0 А

М2 С

УЖ

УЖо

м*

М2

<<р и /<< — 2.

Формулы (13) в предельных областях параметров переходят в зависимости (2), <5) и обеспечивают хорошую точность аппроксимации во всей области взаимодействия. Относительная погрешность не превоеходит 5% во всем исследованном диапазоне параметров. На рисунке некоторые результаты расчетов по аппрокси-мационным формулам (12) и (13) сопоставлены с численными данными работы [3].

3. Расчет аэродинамических характеристик тел типа крыла. В предположениях гипотезы локальности и теории полос выражения для местных коэффициентов трения, давления и теплопередачи, полученные в настоящей работе для плоской пластины, могут быть использованы для оценок суммарных аэродинамических характеристик тонких тел типа крыла. В соответствии с теорией полос расчеты обтекания отдельных сечений тела по потоку могут быть выполнены независимо друг от друга. При определении местного числа Рейнольдса в качестве линейного размера берется расстояние до передней кромки в данном сечении. Согласно гипотезе локальности местные аэродинамические характеристики зависят в основном от локальных условий: параметров набегающего потока, температуры поверхности, местного числа Рейнольдса, местного угла атаки элемента поверхности.

Формулы настоящей работы позволяют проводить более точные и детальные оценки аэродинамических характеристик, чем по результатам работы [1]. Помимо -силовых можно определять моментные характеристики и тепловой поток. Результаты работы могут быть использованы для оценок влияния различных параметров подобия на аэродинамические характеристики гиперзвуковых летательных аппаратов типа крыла при пересчете данных эксперимента в аэродинамических трубах на натурные условия.

Предположение о малости местных углов атаки (1) существенно ограничивает пределы применимости предлагаемой методики. Уже при углах атаки около 20° скорость около тела и5 почти на 10% ниже скорости набегающего потока «оо (по теории тонкого тела иь=иоа). При этих же углах атаки давление вычисляется по теории тонкого тела достаточно точно (погрешность менее 4%). Если учесть, что при больших углах атаки основной вклад в суммарные аэродинамические •силы дает давление, то использование формул теории тонкого тела вполне оправдано для местных углов атаки порядка 20°.

Использование результатов данной работы можно продлить до еще ббльших углов атаки (порядка 30°), если интересоваться не абсолютными величинами, а поправками на влияние несовпадения по некоторым параметрам подобия, которые рекомендуется вносить по результатам сравнительных расчетов по формулам настоящей работы.

Кроме того, возможна некоторая достаточно простая модификация предлагаемых в работе соотношений на режиме слабого взаимодействия [формулы (5)], состоящая в уточнении давления р*при невязком обтекании и введении поправки на отличие скорости на теле и5 от скорости набегающего потока. Существенное уточнение для значения угла наклона скачка уплотнения 6 дает использование вместо формулы тонкого тела

* + 1

0 = ---------------------- а. +

другого соотношения, в котором а и 0 формально заменены на sin а и sin (

х+1

sin о =

/7х + 1\2 1

sin а+ у J sin2a+ —

После определения sin0 давление и скорость на теле можно находить по точным формулам для косого скачка

Ръ 2х х — 1

р* = — = —г—г М2 sin2 0 — —г—г; г Роэ X + 1 X 1 ’

ч Ps _________________________________X -f- 1

Р = Роо

X— 1 +

М2 Sin3 0

Ий\8 5

\uooJ - 1 -(х_1)МЧр*

В результате дело сведется к замене в (5) (кроме второго'слагаемого у срх\ значений р* на более точные (/(=М5та вместо Ма) и умножении с^ и второго /и5\3/2 /Ив\ 1/2

слагаемого в сроо на . а С/гет на / • После указанной модификации

формулы настоящей работы могут быть использованы вплоть до углов атаки а = 30° — 40° (кроме расчета второго слагаемого у сРоо при больших значениях tw, когда погрешность значительна).

ЛИТЕРАТУРА

1. Николаев В. С. Аппроксимационные формулы для аэродинамических коэффициентов плоской пластины в широком диапазоне параметров подобия. „Ученые записки ЦАГИ“, т. X, № 4, 1979.

2. Черный Г. Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М., Физматгиз, 1959.

3. Галкин В. С., Ж б а к о в а А. В., Николаев В. С. Аэродинамические характеристики пластины под углом атаки в вязком гиперзвуковом потоке и вопросы моделирования в вакуумных аэродинамических трубах. Труды ЦАГИ, вып. 1187, 1970.

,f4-i

Рукопись поступила 27jIII 1980 г.