Стационарное температурное поле при течении жидкости в радиально-расходящемся канале (граничные условия первого рода)

УДК 66.048.37

С. В. Анаников

СТАЦИОНАРНОЕ ТЕМПЕРАТУРНОЕ ПОЛЕ ПРИ ТЕЧЕНИИ ЖИДКОСТИ

В РАДИАЛЬНО-РАСХОДЯЩЕМСЯ КАНАЛЕ

Ключевые слова: температурное поле, удельный тепловой поток, радиально-расходящийся канал, краевая задача,

собственные значения, собственные функции.

Решается задача Дирихле для стационарного потока нагретой жидкости, движущейся в радиально-расходящемся канале. Записывается уравнение теплообмена в движущейся среде (уравнение Фурье) в цилиндрических координатах. Учитывается симметрия канала относительно оси z , перенос тепла только конвекцией в направлении радиальной координаты r и только теплопроводностью в направлении оси z . В результате, получены соотношения для расчета температурного поля и локальных тепловых потоков на стенки канала.

Keywords: temperature field, specific stream of heat, radial-divergency canal, boundary task, characteristic numbers, characteristic

function.

Dirichlet's task is solved for stationary of hot liquid stream moving into radial-divergency canal. Is written equation heatchange for moving of liquid (Furie's equation) in cilindric coordinates. Is taken in consideration the canal simmetration for coordinate z . Heatexchange only by convection in direction of radial coordinate r and only by heatconduction along axal z is taken in consideration. In result were obtained correlations for calculation of temperature field and local heat streams on the walls of canal.

Настоящая статья продолжает серию работ по изучению теплообмена при течении нагретой жидкости в каналах различной формы и конструктивного исполнения. Указанные каналы широко применяются в качестве греющих элементов при передаче тепла через стенку в аппаратах различных типов в промышленности.

Актуальность подобных задач обоснована в ранее опубликованных работах [1-4]. Здесь остается отметить, что теоретическое изучение теплообмена в указанных элементах позволит уточнить методы их расчета, вычислять локальные тепловые потоки и создать предпосылки для обеспечения

энергоресурсосберегающих технологий при подводе тепла.

Постановка задачи

Даны две плоскопараллельные круглые пластины неограниченного радиуса (рис.1).

Г реющая жидкость

Рис. 1 - Расчетная схема

Между пластинами в радиальном направлении г к периферии перемещается нагретая жидкость с переменной средней скоростью Уг , имеющая на входе (при г = Я ) постоянную температуру ТГ.

Температура нижней и верхней пластин, обращенных к жидкости, постоянна и равна Тст и

Тст2 , соответственно. Причем Тст1 < ТГ ,

Тст2 < Тг и Тсті * Тт2 . Расстояние между пластинами равно I . Секундный расход греющей жидкости равен Q . Требуется найти температурное поле в жидкости Т (г, г ) и локальный удельный тепловой поток на каждую из пластин.

Рассматриваемая задача симметрична относительно оси 2 .

Основное уравнение, описывающее теплообмен в движущейся среде - уравнение Фурье-Кирхгофа [5] в цилиндрических координатах, имеет вид.

дT

дT Vv дT

+ Vr + ^~

дт

_ а

д 2Т

дr д 2Т

дф

rz дT

+ Vz — _

д z

+ "

д z 2 д r2

1 дT 1 д 2T

+--------+ •

r дr r2 дф2

Уравнение неразрывности потока вязкой несжимаемой жидкости в этих же координатах будет

дVt

_^ +1 дУ( дr r дф

Vr

д z

z + !£ _ 0.

r

Вследствие осевой симметрии задачи должно быть принято

дТ _ д2Т = 0

дф дф2

Кроме того, по условию = 0, Уф= 0.

Тогда для стационарного режима

дГ_

дт

= 0 I будет

дГ_ д r

С я2.

д 2Т

д z 2 д r

+

д 2Т

_ 1T

2 r дr

У

r

2

a

+ ^ _ 0.

д г г

В условиях конвективного теплообмена основной вклад в тепловой поток в направлении координаты г вносит левая часть уравнения (3), то есть конвективная составляющая теплообмена, а передача тепла к стенкам радиально-расходящегося канала осуществляется только за счет

теплопроводности жидкости в пограничном слое. Поэтому, как показал анализ уравнения

.. дТ 2 дТ

V. — _а -------.

' дг дz2

Интегрирование уравнения неразрывности (4) дает выражение для средней скорости жидкости в радиально-расходящемся канале

V _ г 2жг1

Теперь можно сформулировать граничные условия задачи (рис. 2), подставив одновременно вместо Уг его значение в окончательно записанное

дифференциальное уравнение

Рис. 2 - Граничные условия

Краевая задача

Ь2 дТ

дг

г > Я, 0 < 2 < I.

2

где а _

Ь2 _

о_

2—1

С -щ! /ул/л (УД_- / (Уд,-

Т(Я,г)_ ТГ, 0 < г < I Т(г ,0)_ Тстъ г > Я

Т(г, 1)_ Tcm2, г > Я.

Решение задачи (5)-(8) проводится ее редукцией (расщеплением) на две задачи

Т

Тогда можно получить

Ь2 дТх

дг

д г2

г > Я, 0 < 2 < I.

Т1 (Я, г) _ ТГ - Т2 (2), 0 < 2 < I, Т1 (г,0) _ 0, г > Я,

Т (г,I)_ 0, г > Я.

Л 2Т 2

Лг 2 Т2 (0) _ Тст1,

Т2 () _ Тст2. Решение (14)-(16) имеет вид

Т2 (г)_ Тст1 + (Тст2 - Тст1}

Задача (10) - (13) с учетом (17) решается методом разделения переменных.

Принимается, что

Т \

В результате получено

1

2

г

22 V а

Р (г)---— грг) _ 0,

Ь

р(я)_ Тг .

Классическая краевая задача (19)-(21) позволяет определить соответствующие

собственные функции и собственные значения.

Решением (19) будет функция 2(г)_ С1 cosvz + С2 sinvz.

Применение граничных условий (20)-(21) к полученному решению позволяет последовательно получить: С1 _ 0; С2 Ф 0 (иначе получается

тривиальное решение);

sin vn I _ 0;

—п

^ _—1; Vn _—;

2(г)_ Сп sin —^г, п _ 1,2,3,....

Решение задачи Коши (22)-(23) приводит с учетом выражения для Vn, к соотношению

р (г )_ Тг

ехр

2 2 — п

12 2Ь

В итоге на основании (18), (24), (25) имеет место выражение

Т

_ Г 2 2 2

1(г,2)_ТГIспехР-—2г2ь2(г2 -Я2| х

п_1

. —п

X Sin--------2.

I

Применение условия (11) к выражению (26) совместно с (17) дает возможность определить постоянные Сп

Тг - Тст1 (Тст2 - Тст1) _£ _

Тг Тг I

I

п_1

Сп sin-

Откуда [6]

2

а

г

г

С =

Тг Tcm1 —cm2 Tcml)

T,

Г

. Kn 7 x sin---zdz.

l

Интегрирование (28) дает

C = n

2

Тг _ Tcml

Tr Tcm2 (_ i)n

Здесь учтено, что cos Kn = (_ l)n ,n = 1,2,.... Тогда (26) принимает, с применением (29),

вид

ю г

(r, z) = K у I УТг-Тм ) (г _ Тcm 2 )(-1) K n L

n=1 x exp -

a2n2n2 2b 2l2

r 2 _ R 2

sin-

Knz

l

На основании

z

_ Т )—+ cm2 1 cml) l т

2 ю 1 +— У _

Kn = 1n

Т (r,z) = Т cm1 +(Т c

-Г _ТcmlМТг _Тcm2X"1)7

x exp

a2K2n2 2b 2l2

r 2 _ R 2

x sin-

В случае, если

выражение (31) упрощается

T

cm1

cm2

У

n=1

1—1)"

x exp

2 2 2 a к n

r 2 _ R 2

sin-

l

[ 2Ь2/2

Удельные тепловые потоки соответствующую стенку канала имеют вид:

на

q\z = l = _4

дТ —, z )

dz

'°жу ст2 Тст1)

z=l

2Яж

- У \ъ-Т cm2 ) Т 1) -Г _ Т cm1)

n=1 x exp

2 2 2 a к n

q\z = 0 = 4

2b 2l2 дТ

r 2 _ R 2

д z

4ж — ст2 Тст1)

z = 0

x exp

a2K2n2 2b 2l2

r 2 _ R 2

Если Тст1 _ Тст2 _ Тст , то удельные тепловые потоки на обе стенки будут одинаковыми

_ 2Лж (тг - Тст ) х

г _1,г _й)

ql (z

Х> Г

у-(_ ^

l

exp

n =1

a2K2n2 2b 2l2

r 2 _ R 2

Обозначения

V-, ^z, V9,

г, г - радиальная и аксиальная координаты цилиндрической системы координат, м;

Т(г, г) -текущая температура жидкости, К ;

Тг - постоянная температура горячей жидкости на входе в канал

(г _ Я) , К ;

Тст\, Тст2 - постоянные температуры нижней и верхней стенок канала, обращенных к жидкости, соответственно, К;

Тст - постоянная температура одинаковая для обеих стенок, обращенных к жидкости, К;

радиальная, осевая и тангециальная компоненты скорости жидкости, м/с;

Я - внутренний радиус штуцера на входе в канал, м;

Q - объемный расход жидкости, м3/с;

2 2 а - коэффициент температуропроводности, м /с;

I - ширина канала, М;

Ь 2 - константа, м2/с;

С1, С2 - произвольные постоянные, безразмерные;

2

Ц - удельный тепловой поток, Вт/ м ;

Л- ж - теплопроводность жидкости, Вт/(м К);

ф - тангенциальная координата цилиндрической системы

координат, безразмерная;

Т - время, с;

2 2 V - константа разделения; 1/ м ;

— _ 3,14159... - число пи, безразмерное.

Литература

1. С.В. Анаников, М.Ю. Сорокин, В.П. Бурдиков, Э.В. Чиркунов, Теоретические основы химической технологии (ТОХТ), 38, 6, 655-660 (2004).

2. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 15, 6, 42-46 (2012).

3. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 15, 6, 147-150 (2012).

4. С.В. Анаников, Вестник Казанского технологического университета, 15, 11, 143-145 (2012).

5. А.В. Лыков, Тепломассообмен: справочник. Энергия, Москва, 1978. 408 с.

6. А.В. Лыков, Теория теплопроводности, Высшая школа, Москва, 1967. 599 с.

n=1

© С. В. Анаников - д-р техн. наук, проф. каф. химической кибернетики КНИТУ, ananikovsv@rambler.ru.

l

Г

Г

T

l

cm

n

+

l

+

l

l

93