ОБ ОТРАЖЕНИИ И ПРОХОЖДЕНИИ ПЛОСКОЙ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ ЧЕРЕЗ УПРУГУЮ ПЛАСТИНУ С НЕОДНОРОДНЫМ ПОКРЫТИЕМ, ГРАНИЧАЩУЮ С ВЯЗКИМИ ЖИДКОСТЯМИ

УДК 539.3; 534.26 DOI: 10.24412/2071-6168-2021-5-404-415

ОБ ОТРАЖЕНИИ И ПРОХОЖДЕНИИ ПЛОСКОЙ ЗВУКОВОЙ ВОЛНЫ ЧЕРЕЗ УПРУГУЮ ПЛАСТИНУ С НЕОДНОРОДНЫМ ПОКРЫТИЕМ, ГРАНИЧАЩУЮ

С ВЯЗКИМИ ЖИДКОСТЯМИ

Нгуен Тхи Шанг

Рассматриваются задачи об отражении и прохождении плоской звуковой волны через упругую однородную пластину с неоднородным упругим покрытием, граничащую с вязкими жидкостями, когда покрытие нанесено на разные стороны пластины. Выявлены особенности отражения и прохождения звука при разных законах неоднородности материала покрытия.

Ключевые слова: звуковые волны, отражение и прохождение, упругая однородная пластина, неоднородное упругое покрытие, законы неоднородности.

С помощью непрерывно-неоднородного упругого покрытия можно изменять характер отражения и прохождения звука через упругую пластину. Задача об отражении и преломлении плоской звуковой волны однородной упругой пластиной с неоднородным по толщине упругим покрытием решена в [1, 2]. При этом полагалось, что пластина граничит с идеальными жидкостями, а волна падает со стороны покрытия [1] или с противоположной стороны [2]. В [3] проведено математическое моделирование неоднородного покрытия упругой пластины с оптимальными звукоотражающими свойствами. В [4] осуществлен учет вязкости жидкостей, граничащих с пластиной с неоднородным покрытием, при прохождении через нее плоской звуковой волны, падающей со стороны покрытия.

В настоящей работе исследуется влияние непрерывно-неоднородного покрытия однородной упругой пластины, граничащей с вязкими жидкостями, на отражение и прохождение плоской звуковой волны при расположении покрытия на разных сторонах пластины и при разных законах неоднородности механических параметров материала покрытия.

1. Рассмотрим однородную изотропную упругую пластину толщиной Н, материал которой характеризуется плотностью р0 и упругими постоянными X0 и р0 . Пластина имеет покрытие в виде неоднородного по толщине изотропного упругого слоя толщиной И. Полагаем, что модули упругости X и р материала неоднородного слоя описываются дифференцируемыми функциями координаты г, а плотность р - непрерывной функцией координаты г: X = Х(г), р = р(г), р = р(г) . При этом декартова система прямоугольных координат х, у, г выбрана таким образом, что ось х лежит в

плоскости, разделяющей однородный слой и неоднородное покрытие, а ось г направлена вниз по нормали к поверхности пластины. Пластина с покрытием помещена между двумя полупространствами, заполненными вязкими однородными жидкостями, которые имеют плотности р1 и р2, скорости звука с\ и С2, кинематические коэффициенты вязкости (первый и второй) У1 и у 2, и 2 соответственно.

Пусть из полупространства с отрицательными значениями г на пластину с покрытием падает под произвольным углом плоская гармоническая звуковая волна, волновой вектор k(1) которой лежит в плоскости х, г (рис.1).

Определим отраженную и прошедшую через слой с покрытием волны.

2. Как было отмечено выше, случай падения плоской волны со стороны нанесенного покрытия изучался в [4]. Рассмотрим случай, когда неоднородное покрытие расположено на поверхности пластины со стороны, противоположной падению плоской волны (рис. 1, б).

fa* Р,. с„ v„ 5,

h \ 0 X(z),n(z),p(z) ( х

Н К Мо- Р. )

z V. р,,сг^гД2

РгЛ.^Д;

Рис. 1. Геометрия задачи

Так как волновой вектор к(1) падающей волны лежит в плоскости х, г и, следовательно, возбуждающее поле не зависит от координаты у, а неоднородность материала покрытия проявляется лишь по оси г, то возбужденные волновые поля в жидкостях, в упругом однородном слое и в неоднородном покрытии не будут зависеть от координаты у.

Потенциал скорости падающей волны записывается в виде

^0 = АоехрДО + k£}(z + H)-at]},

где Ao - амплитуда волны; kf1 = kf1 sin во, kf1 = k(1) cos во — проекции волнового

вектора k(1) на оси координат х и z соответственно; к^4 =a/c\--волновое число в

полупространстве z < -H; 6q — угол падения плоской волны, составляемый нормалью к фронту волны с осью z; — круговая частота; t — время. В дальнейшем временной

—iat г

множитель e будем опускать.

Распространение малых возмущений в вязкой жидкости в случае установившихся колебаний описывается системой дифференциальных уравнений, состоящей из скалярного и векторного уравнений Гельмгольца [5]

2

A^j + kfj )2yj = 0, АФ j + k[j )2Ф j = 0,

где у/j и фj — потенциалы скорости продольных и вязких волн соответственно в областях г < — Н (j = 1) и г > к (j = 2); к|^) и к2^) — волновые числа продольных звуко-

вых и вязких волн в

ой среде соответственно;

kjj) « со/Cj, )2 «¡ю/Vj.

При этом

Vl = V0 + Vs ,

где vs — потенциал скорости отраженной звуковой волны, удовлетворяющий уравнению Гельмгольца

AVs + kf1)2 Vs = 0.

Так как рассматриваемая задача является двумерной, то ф j = ф j (x, z) • e y, где

e y - единиЧнЫй вектор оси У . ТоГда векторное уравнение (3) сведется к одному ска-

лярному уравнению относительно функции ф j

АФ j + k2j )2Ф j = 0.

Вектор скорости частиц и акустическое давление в j — ой вязкой жидкости определяются по формулам

V

pj = ¡юрjVj.

Компоненты тензора напряжений в j — ой вязкой жидкости aZZ) и a^l) определяются по формулам [6]

( j) ✓ <- ~ v

°ZZ) = — Pj + Pj tfj — 2/3 Vj) div V(j) + 2pvj ^Z—

dvij) dvZj)

= pjVj

x - + -

dz dx

где vXj) и VZj) — компоненты вектора скорости V(j);

(y) dWi 5Ф (y) dWi 5Ф

V_X = -rj--r^, vZj) =—j + .

dx dz dz dx

Решения уравнений (5), (2) (при j = 2) и (6) будем искать в виде

Vs = Aiexp{i[k1(x) x — k( z + H)]},

^2 = А2ехр{/[^1(Х:)х + к{г2)(г - И)]},

Ф1 = В^хрДО х - ^(г + Н)]}, (12) Ф2 = В2 ехр{/[к22)х + к22}(г - И)]},

где к^, к|2 — проекции волнового вектора прошедшей продольной волны к(2) на

оси х и г; кг =-ук|2)2 — к^р^ ; к2х), к^) — проекции волнового вектора к 22) на оси

х и г в ] — ой жидкости; = к2/)2 — к-^)2 . При этом согласно закону Снеллиуса

[7] к (2) = к (1) = к (2) = к (1) [7] к1х = к2х = к2х = к1х .

Распространение малых возмущений в однородном изотропном упругом слое описывается двумя волновыми уравнениями для продольных и поперечных волн, которые в случае установившихся колебаний переходят в уравнения Гельмгольца [8]

Ар + к2р = 0,

АП + к] П = 0,

где р и П — скалярный и векторный потенциалы смещения; к1 = с/щ и кТ = с/ст — волновые числа продольных и поперечных упругих волн; с\ = ^(Ло + /0)/Ро и ст = л//0 / Ро — скорости продольных и поперечных волн соответственно. При этом вектор смещения частиц упругого однородного слоя

и

Так как П = П

АП + к^П = 0.

Компоненты вектора и(0) записываются через функции р и П следующим образом:

и

ох ог ог ох

Связь между компонентами тензора напряжений и компонентами вектора смещения в однородной упругой пластине имеет вид [8]

а™ =Л0Я1У „^ + 2/0 ^оХ , = „^ + 2/0 о

ох ог

'ОиХ0) +ои(0) Л

аХ° = /0

дг дх \ у

Решения уравнений (13) и (16) будем искать в виде

р = С1 ехр[/

_ П = D1 ехр[1-

где к[г = ^к^ — к^х , ктг к2 — к^х . Согласно закону Снеллиуса Щх = ктх = к^1 .

Распространение упругих волн в неоднородном покрытии описывается общими уравнениями движения сплошной среды [8], которые при отсутствии массовых сил для установившегося режима движения имеют вид

^ + = —с2р

ох ог ох ог

Компоненты тензора напряжений ац связаны с составляющими вектора смещения „ в

и

неоднородном упругом покрытии следующими соотношениями:

ои ои

ахх =Л(ги + 2/(г)—х, а =Л(г)Я1У и + 2/(г)—г,

ох ог

, ч(оих оиг^

ахг = /

х, + г

У

ог ох

Согласно закону Снеллиуса зависимость составляющих вектора смещения „ от координаты х будет иметь вид ехр(/к1Хх). Поэтому составляющие вектора „ будем искать в виде

и х = и1

Подставляя выражения (23) в уравнения (21) с учетом (22), получим систему линейных обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка относительно неизвестных функций и (г) (/ = 1,3) :

Т

где и = (иьиз) ; А, В, С - матрицы второго порядка;

А =

А и + Ви+ С и = 0,

порядка;

'

(и о ^ Г и ¡ка)-- л

0 Л + 2и

В

С =

¡к(Х (Л + /) Л + 2/ Г к (1)2 (Л , ) ,2 к (1) ' л

- к^Х (Л + /) + с р гк^Х/

(1) ' (1) 2 гцх Л - гк1Х и + с р

1х 1х

Здесь штрихи обозначают дифференцирование по координате 2. Коэффициенты А у ,В у ,С у ^ у

подлежат определению из граничных условий.

На поверхностях, соприкасающихся с вязкими жидкостями, граничные условия заключаются в равенстве скоростей частиц упругой среды и жидкости, непрерывности нормальных и тангенциальных напряжений:

г=-н: - сио) = у , - С? = у, ^ = а«, 40> - ^И;

г = к: - ¡сих = уХ2) , - ¡си2 = у22) , ^^^ = а22, ^ = ).

На поверхности 2 = 0, разделяющей однородный слой и неоднородное покрытие, должны быть непрерывны составляющие вектора смещения частиц, а также нормальные и тангенциальные напряжения:

2 = 0: иХ = ^ и2 = и

Подставим выражения (1), (11), (12), (19) и (20) в граничные условия (25), (26) с учетом (4), (8) - (10), (17), (18) и (22).

В результате получим выражения для коэффициентов А у ,В у ,С у ^ у

и четыре условия для нахождения частного решения системы дифференциальных уравнений (11).

Из первых двух условий (25) получаем систему двух уравнений, из которой находим коэффициенты А2 и В2 выраженные через значения функций 2) и

из(2) на поверхности неоднородного покрытия 2 = к:

Л2 =-(с/«)[к<2)и,(А)-к22)из(к)], В2 = (с/м'Як^иКк)-к^(к)], где „ = к}?2 + к к.

Из четырех граничных условий при 2 = -Н и первых двух условий (26) получаем систему уравнений, из которых определяем коэффициенты А1,В1,Су ^у

(у = 1,2) выраженные через значения функций 2) и из(2) на поверхности неоднородного покрытия 2 = 0:

А1 = АПи1(0) + «12из (0) + «13, В1 = Ьци (0) + Ь12из (0) + ¿13,

С = ^(0) + С 2из(0) + ^ Dг = ^(0) + 2из(0) + йв.

Выражения для коэффициентов «1п, ¿1п, Суп, ёуп (у = 1,2; т = 1,2,з) являются

весьма громоздкими и их приводить не будем.

Таким образом, чтобы вычислить коэффициенты А2 и В2 необходимо найти

величины и1(к) и из(к). Эти величины подлежат определению из решения краевой задачи для системы дифференциальных уравнений (24).

408

Краевые условия, получаемые из оставшихся неиспользованными граничных условий, имеют вид

где

Е =

Г е11 ¡к1х/ + е12 Л Е = ( /11 ¡к1х/ + /12 ^

¡к1хЛ + е21 е22 ) \ ¡к1хЛ + /21 /22

V

, D = (е1з е2з )Т =

е1 у = ^0(С1 у -С2у) + у + а2у^ е1з = -50(с13 -С2з)-^13 + ¿23^ е2у = Ч (с1 у + с2у) + у -^2у ^ е2з = -51 (с1з + с2з) - ^2(й1з - ^23^

/1 у = П1«2у + П2^2у , /2у = у + у , ^0 = 2к1хкк/0,

•П = к?хЛ) + к2 (Л0 + 2/0^ ^2 = 2к1хкт2/0, ^3 = (к12х - 4 )/0,

2 (2)2 (2) т1 = к2 + к^2 + к12 (2^2Р2 + t2), т2 = 2к1хк2 2 ^2Р2, ку = ¡Ру С ,

п1 = 2к1хкь)^2Р2, п2 = (к12х -к2?2>2Р2. После решения линейной краевой задачи (24), (27), получаем аналитическое описание акустических полей в жидкостях, а также полей смещений в однородной части пластины и неоднородном покрытии.

3. На основе полученного аналитического решения задачи были проведены численные расчеты зависимостей модулей коэффициентов отражения и прохождения продольных волн от угла падения плоской волны. При этом исследовался случай, когда

жидкости по обе стороны тела являются одинаковыми (к = к|2) = к1). Полагалось, что амплитуда падающей волны А0 = 1, а отношение толщины покрытия к к толщине однородной пластины Н, равно 0.2.

з

Рассматривалась алюминиевая пластина толщиной Н = 0.1 м (Р0 = 2.7 • 10

3 102 ю 2)

кг/м , Л0 = 5.3-10 Н/м , /0 = 2.6-10 Н/м ' с покрытием на основе поливи-

3 3

нилбутираля, находящаяся в воде (Р1 = Р2 = 10 кг/м , с1 = с2 = 1485 м/с,

-6 2 3 3

У1 =у2 = 1 006 -10 м /с, =^2 = 0) ив глицерине (р = Р2 = 1.26 -10 кг/м ,

с1 = с2 = 1920 м/с, у1 =у2 = 1111.11 • 10-6 м2/с, £ =^2 = 0).

Расчеты проводились как для однородного покрытия с плотностью

— 33 — 92 — 82

Р = 1.07 -10 кг/м и модулями упругости Л = 3.9 -10 Н/м , / = 9.8• 10 Н/м , так и

для неоднородных покрытий, механические характеристики которых менялись по толщине слоя по закону

Р = Р/(2), Л = Л/(2), / = //(2) .

для покрытия, расположенного сверху

/1( 2) = а1(-2 / к + 0.5), /2( 2) = «2( 2 / к +1.5), «1 = «2 = 1,

/з( 2) = аз[( 2 / к)2 + 0.5], /4( 2) = а4{[( 2 + ку к]2 + 0.5}, аз = а4 = 6/5;

для покрытия, расположенного снизу

^(2) = ¿1 (-2 / к +1.5), Е2(2) = Ь2 (2 / к + 0.5), Ь1 = Ь2 = 1,

Ез (2) = Ьз{[(2 - к) / к]2 + 0.5}, Е4 (2) = Ь4[(2/к)2 + 0.5], Ьз = Ь4 = 6/5. Множитель а у, Ьу выбран так, чтобы среднее значение функции /у (2) и

Еу (2) (у = 1,2,3,4) по толщине покрытия было равно единице.

Зависимости г) и f2(г) а также fз(г) и fг) выбраны таким, что их графики являются зеркальным отражением друг друга относительно прямой г = — к/2. При этом на внутренней поверхности покрытия (г = — к/2) функций г) и fз(г) достигают максимумов, равных 1.5 «1 и 1.5 «3, а на внешней поверхности - минимумов, равных 0.5а1 и 0.503 соответственно. Функции /2(2) и /4 (г) достигают тех же максимальных и минимальных значений, но уже на внешней и внутренней поверхностях покрытия.

Зависимости г) и г) а также ^3(г) и г) выбраны таким, что их графики являются зеркальным отражением друг друга относительно прямой г = к /2. При этом на внутренней поверхности покрытия (г = к /2) функций г) и ^3(г) достигают максимумов, равных 1.5 ¿1 и 1.5 ¿>3, а на внешней поверхности - минимумов, равных 0.5 ¿1 и 0.5 ¿3 соответственно. Функции г) и г) достигают тех же максимальных и минимальных значений, но уже на внешней и внутренней поверхностях покрытия.

Отметим, что покрытия, расположенные по обе стороны пластины, обладают одинаковыми свойствами для соответствующих законов неоднородности. Если рассматривать изменение свойств покрытий по толщине в направлении оси г , то видим, что плотность покрытий будет одинаково возрастать при законах неоднородности /2 и

р1 (и ^2) и одинаково убывать при законах /4 и Fз (/3 и ^4).

На рис. 4 и рис. 5 приведены зависимости коэффициента отражения от угла падения плоской волны при волновом размере пластины ^Н = 5 для линейных законов неоднородности, когда пластина помещена в воду.

На рис. 6 и рис. 7 приведены зависимости коэффициента отражения от угла падения плоской волны при волновом размере пластины ^Н = 5 для линейных законов неоднородности, когда пластина помещена в глицерин.

Рис. 4. Зависимости коэффициента отражения от угла падения плоской волны для линейных законов неоднородности и /2

Рис. 5. Зависимости коэффициента отражения от угла падения плоской волны для линейных законов неоднородности и ^2

Рис. 6. Зависимости коэффициента отражения от угла падения плоской волны для линейных законов неоднородности и /2

411

Рис. 7. Зависимости коэффициента отражения от угла падения плоской волны для линейных законов неоднородности и ^2

На рис. 8 и рис. 9 представлены частотные зависимости коэффициента прозрачности при наклонном падении плоской волны на пластину (00 = Л /6) для квадратичных законов неоднородности, помещенной в воду.

На рис. 10 и рис. 11 представлены частотные зависимости коэффициента прозрачности при наклонном падении плоской волны на пластину (00 = Л /6) для квадратичных законов неоднородности, помещенной в глицерин.

Рис. 8. Частотные зависимости коэффициента прозрачности для квадратичных законов неоднородности и /4

Рис. 9. Частотные зависимости коэффициента прозрачности для квадратичных законов неоднородности и

Рис. 10. Частотные зависимости коэффициента прозрачности для квадратичных законов неоднородности и /4

Рис. 11. Частотные зависимости коэффициента прозрачности для квадратичных законов неоднородности и

Сплошные линии соответствуют однородному покрытию, пунктирные и штриховые / ((г)) неоднородным покрытиям разных видов, указанных на рисунках.

Сравнение угловых и частотных зависимостей показывает заметное влияние неоднородности материала покрытия на прохождение звука через пластину с покрытием. Это проявляется в смещении максимумов и минимумов коэффициентов отражения и прозрачности и изменении их уровней.

Анализ результатов численных исследований выявил интересную особенность. Угловые и частотные зависимости оказываются идентичными для покрытия сверху при неоднородности вида /2(г)(/1(г)) и для покрытия снизу при неоднородности вида 7<1( ¿)( г)). Тот же эффект наблюдается и для квадратичных законов неоднородности /4(¿)(/3(2)) - покрытие сверху и ^3(г)(^4(г)) - покрытие снизу.

В [4] было обнаружено, что в случае контакта пластины с идеальными жидкостями перенос с переворотом покрытия с одной стороны однородной пластины на другую не изменяет картину отражения и прохождения звука при любых линейных и нелинейных законах неоднородности материала покрытия. Этот же эффект проявляется и в случае, когда пластина с покрытием граничит с вязкими жидкостями.

413

Список литературы

1. Толоконников Л.А., Юдачев В.В. Отражение и преломление плоской звуковой волны упругим плоским слоем с неоднородным покрытием // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2015. Вып. 3. С. 219-226.

2. Толоконников Л.А., Нгуен Тхи Шанг. О влиянии неоднородного покрытия упругой пластины на отражение и прохождение звука // Известия ТулГУ. Технические науки. 2018. Вып. 6. С. 362-372.

3. Ларин Н.В., Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Моделирование неоднородного покрытия упругой пластины с оптимальными звукоотражающими свойствами // Прикладная математика и механика. 2016. Т. 80. Вып. 4. С. 480-488.

4. Толоконников Л.А., Нгуен Т.Ш. Прохождение звука через упругую пластину с неоднородным покрытием, граничащую с вязкими жидкостями // Чебышевский сборник. 2019. Т. 20. Вып. 2. С. 311-324.

5. Толоконников Л. А., Скобельцын С. А. Дифракция звуковых волн на неоднородных и анизотропных телях. Тула: Изд-во ТулГу, 2004. 200 с.

6. Л. Д. Ландау, Лифшиц Е. М. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. 736 с.

7. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973. 344 с.

8. Шендеров Е.Л. Волновые задачи гидроакустики. Л.: Судостроение, 1972. 352

с.

9. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

Нгуен Тхи Шанг, аспирант, nguyensangnb@gmail.com, Россия, Тула, Тульский государственный университет

ABOUT REFLECTION AND TRANSMISSION OF A PLANE SOUND WAVE THROUGH AN ELASTIC PLATE WITH AN INHOMOGENEOUS COATING ADJOINING VISCOUS

LIQUIDS

Nguyen Thi Sang

Problems of reflection and transmission of a plane sound wave through an elastic homogeneous plate with an inhomogeneous elastic coating adjoining viscous fluids when the coating is applied to different sides of the plate are considered. The features of the reflection and transmission of sound are revealed for different laws of inhomogeneity of the coating material.

Key words: sound waves, reflection and transmission, elastic homogeneous plate, non-uniform elastic coating, inhomogeneity laws.

Nguyen Thi Sang, postgraduate, nguyensangnb@gmail.com, Russia, Tula, Tula State University