Анализ задачи кручения трансверсально-изотропного полого цилиндра малой толщины с переменными модулями сдвига

УДК 539.3

С.Б. АКПЕРОВА АНАЛИЗ ЗАДАЧИ КРУЧЕНИЯ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОГО ПОЛОГО ЦИЛИНДРА МАЛОЙ ТОЛЩИНЫ С ПЕРЕМЕННЫМИ МОДУЛЯМИ СДВИГА

На основе метода однородных решений изучена задача кручения трансверсально-изотропного полого цилиндра малой толщины с переменными модулями сдвига. Получены асимптотические разложения однородных решений и проанализировано напряженно-деформированное состояние цилиндра.

Ключевые слова: радиально-неоднородный цилиндр, пограничный слой, краевой эффект Сен-Венана.

Введение. Важное место в теории пластин и оболочек занимают исследования неоднородных тонкостенных конструкций. Сложность явлений, возникающих при деформации неоднородных оболочек, привели к созданию различных прикладных теорий, каждая из которых построена на основе определенной системы гипотез. Несмотря на существование целого ряда технических теорий неоднородных оболочек, области их применимости изучены мало. Сам факт существования различных прикладных теорий для неоднородных конструкций ставит задачу их критического анализа на основе позиций трехмерных уравнений теории упругости.

Постановка задачи. Рассмотрим задачу кручения для радиально-неоднородного трансверсально-изотропного полого цилиндра малой толщины. Отнесем цилиндр к цилиндрической системе координат г, ф, г:

Г < г < г2, 0 <ф< 2 л, - L < г < L.

Уравнение равновесия в перемещениях при отсутствии массовых сил имеет вид [1]:

_д_

бр

О

( бы,

и.

V

Ф_________ф_

бР Р

+

2О (р)( быф ыф

Л

бР Р

+ О

бЧ

б;2

- = 0.

Здесь р = г/г0, ; = z/r0 — новые безразмерные переменные, г0 =(г, + г2)/2 — радиус

срединной поверхности цилиндра, ре[р,;р2] (ря = г3/г0, я = 1,2), £є[-/; /] (I = L|r0);

ыф = ыф(р, ;) — компонента вектора смещения; О = О(р), О, = О, (р) — безразмерные упругие

характеристики (модули сдвига), рассматриваемые как произвольные положительные кусочнонепрерывные функции переменной р.

Предполагаем, что боковая часть цилиндра свободна от напряжений, т. е.

с

рф

= О

(быф «ф

бр р

= 0, (я = 1,2),

р=р^

а на торцах цилиндра заданы следующие граничные условия:

= / ±(р) ,

Сф,= °1 (р)б«ф

;=±і

где ^ (р) — достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям равновесия. Решение (1) будем искать в виде:

иф(^ ^) = и(р)т (£), где функция т (^) подчинена условию

т

"(^)-ц 2т (;) = 0.

Р

После подстановки выражения (4) в уравнения (1) и (2) с учетом условия (5) получим:

G(р) и'(р)-

(

)

Р )

л

+

2G

и

'(р)----— + Ц^ (р)и(р) = 0,

G(р) и'(р)-I р

= 0.

р=р*

Рассмотрим несколько частных случаев зависимости упругих характеристик от р. Квадратичная зависимость. Допустим у цилиндра модули сдвига заданы в виде функций

G

где g0, g1 — постоянные.

С учетом зависимостей (8) из уравнений (6) и (7) имеем:

и

"(р)+р3 и'(р)+^ ^ ц2-4 !и(р)=o,

р I go р )

(р2и'(р)-ри(р)) I = °.

Л ’ !р=р^

Уравнения (9) и (10) можно представить в следующем виде:

Аи = ц 2и,

где

Аи = ^-^° gl

Т +-------7 и

} р d р р )

2 d и р -—ри

= о!

р=р*

А — самосопряженный оператор в гильбертовом пространстве L2 (р1;р2) с весом р3. Все собственные значения Хк (А) — вещественные, а соответствующие им собственные функции — ортонормированные:

р2

(ик , и„ ) = | ик (р) и„ (р)р^р =5к„ . р1

Общее решение (9) имеет вид:

и(р) = р-1 (А^2 (Рр) + BY2 (Рр)),

где Р=р- ц; J2 (Рр), Y2 (Рр) -

функции Бесселя первого и второго рода

соответственно; А, В — произвольные постоянные.

С помощью уравнения (13), удовлетворяя граничным условиям (10), относительно А и В получаем однородную линейную систему алгебраических уравнений. Из условия существования нетривиальных решений этой системы имеем характеристическое уравнение:

(

Л(Р р^ р2 ) =

п2 64

Р р1р2 + ^2--------

Р р1р2

8 (р2 +р2 )^

р1р2

+

32

32

где

4Рр1 -Р L10 (Р)+ 4Рр2 -Р L01 (Р) + 16^ (Р) = 0,

рр1 ) V рр2 )

(Р) = JI (Рр1 ^ (Рр2 ) - JJ (Рр2 )Y (Рр1 ), (и 1 = о, 1).

и

р

Левая часть трансцендентного уравнения (14), как целая функция параметра ц, имеет счетное множество нулей с точкой сгущения на бесконечности.

Проанализируем характеристическое уравнение (14). Положим

Р1 =1 -в; Р2 =1 + в,

Г2 - г1

где в = ——1 — малый параметр, характеризующий толщину цилиндра.

2го

Подставляя выражения (15) в уравнение (14), получаем

Л1

Функция D(ц, в) при в —— 0 имеет две группы нулей со следующими асимптотическими

свойствами:

а) первая группа состоит из двукратного нуля ц = 0;

б) вторая группа состоит из счетного множества нулей, которые имеют порядок О (в-1). Приведем схему доказательства этих свойств. Представим D (ц, в) в следующем виде:

D (ц, 6) = ISHiSL +f16 _ М. у +[ Ц4 _ 2а + 32

[ +

л§0

\

15g0 go 3

s4 + ..Л.

Отметим, что

D

и lim D0 (ц,s) = C (0 < C <да).

То есть ц = 0 является двукратным нулем D(ц,s).

Покажем, что все нули D0 (ц,s) неограниченно возрастают при s^ 0. Предполагаем обратное. Допустим цk ^ц^ ^да при s^ 0. Тогда справедливо предельное соотношение D0 (ц k, s) = sD* (ц*) при s ^ 0. Предельные точки множества нулей цк при s ^ 0 определяются

из уравнения D* (цк ) = 0. В рассматриваемом случае D* (цк ) = —§L. Следовательно,

V ’ V ’ Kg0

предположение о существовании ограниченных при s ^ 0 нулей несправедливо.

Определим характер стремления цк к да при s ^ 0. При s ^ 0 возможны следующие случаи: 1) s^ ^ 0; 2) s^ ^const; 3)s^ ^да. Аналогично методу [2] можно показать, что

случаи 1 и 3 здесь невозможны.

Для построения асимптотики нулей второй группы отыскиваем их в виде:

о

цк =-*- + О

s

После подстановки выражения (18) в характеристическое уравнение (14) и преобразования его с помощью асимптотических разложений функций Jv (Рр), Yv (Рр) (v = 0,1) для Sk получим:

f

sin

Sk

Л

J

=0' 8‘ = тп= <19>

Ч gj §0

50

Из уравнений (19) видно, что в отличие от изотропной оболочки при фиксированных значениях k и при больших значениях (сильная анизотропия) показатель изменяемости

напряженного состояния 5, стремится к нулю. В этом случае некоторые погранслойные решения не обладают свойством затухания и могут охватывать всю область, занятую оболочкой.

Приведем асимптотическое построение однородных решений, соответствующих группам нулей, которые рассмотрены выше.

Перемещение и напряжения, соответствующие корню ц2 = 0, определяются следующими формулами:

u (1) (^ S) = Ap^ ^ф = ° аф^ = gl Ap3.

Полагая p = 1 + єл (-1 <л< 1) и раскладывая по малому параметру є решения второй

группы, находим для них следующие асимптотические выражения:

(2) =

а

=I

k=і

2) _ gl

l—5k cos

(

І

Л

m

00,

PФ

= - I

k=і

s2 sin

V

m

00,

а

= gl I

k=і

—Skcos

( \--- л '

^

m

где т, (У = ¥^А + Е^‘г.

Укажем характер построенных решений. Перемещение представим в виде:

ад

мФ ^ £) = Ар£>+(р) т (^).

k=і

Во второе слагаемое включены перемещения, определяемые вторыми группами решений. На основе уравнения (22) для напряжений получим:

о* = gl Ap3 + gl Ip4

k=1

ад

%Ф = goI(p24 (p) - P4k (p)) mk (S).

k=l

Для крутящих моментов Мёа напряжений, действующих в сечении £, = const, имеем:

M ёб = 2л

Подставим уравнение (23) в выражение (25):

P2

1 j аФ^P.

P2

Л

пр, (p2 -pf) г

мёб =----- -----А+2л?11 jp4^k (p)dp ІЧШ.

3

k=1

Умножим обе части уравнения (9) на р4 и проинтегрируем полученное выражение в пределах [р1; р2 ]:

g P2

g1 ..2 Г „4,

P2

P2

P2

V {рХ

рі рі рі рі

С помощью интегрирования по частям и с использованием граничного условия (10) из выражения (27) получим:

P2

j p4t (p)d p =0.

u

2

Подставим зависимость (28) в уравнение (26):

Формулы (20) определяют внутреннее напряженно-деформированное состояние цилиндра. Напряженное состояние, соответствующее второй группе решений, имеет характер пограничного слоя и первые члены его асимптотического разложения эквивалентны краевому эффекту Сен-Венана в теории трансверсально-изотропных плит [2].

Рассмотрим вопрос о снятии напряжений с торцов цилиндра. Как было показано, несамоуравновешенную часть напряжений можно снять при помощи проникающего решения (20), причем связь постоянной А0 с крутящим моментом определяется равенством (29).

Подставим уравнение

Умножая выражение (30) на рип (р) и интегрируя в пределах [р1; р2 ], с учетом уравнения (12) получаем:

ад

& Ер2 ик (р) = /*(р) *

к=1

где

т. е.

01Р1

После решения уравнения (31) определим неизвестные постоянные Fn и Еп:

^ ____п_________п_____ Е _______—___________п____

п 2^п8ь (2^и/) ’ п 2мп^ (2^и/) '

Линейная зависимость. Допустим модули сдвига заданы в виде:

G (р) = ^ор; °1 = glр,

где g0, g1 — постоянные.

С учетом зависимости (32) из уравнений (6) и (7) имеем:

р ^&о р ;

(ро,(р)-о(р))|р_р _ 0.

Общее решение (33) имеет вид:

где С1, С2 — произвольные постоянные.

С помощью выражения (35), удовлетворяя граничным условиям (34), получаем

характеристическое уравнение:

Л2 (.PbР2) =

х sin

Ц ,+ 9PlP2 - 3Р2 - 3Р2 S0_ Ц-1 +

9 g0

.-3

P1P2

33

plp2

gl

233 g1 p1 p2

Ц

. —

3(P2 -p1) . 9g0 (p2 -p1 )..-2

+ 00.

Л^2 pi p2

gip3p2

х cos

.

—

= 0.

Трансцендентное уравнение (36) имеет счетное множество корней цк.

Подставляем выражение (15) в характеристическое уравнение (36):

Л2

Уравнение (37) имеет две группы корней: а) первая группа состоит из двукратного корня

g

ц = 0, который не зависит от е; б) вторая — из счетного множества корней цк = — + O(в),

в

которые при в ^ 0 стремятся к бесконечности.

Перемещение и напряжения, соответствующие корню ц 2 = 0, имеют вид:

^

Формулы (38) определяют внутреннее напряженно-деформированное состояние цилиндра. Постоянная В0 пропорциональна крутящему моменту Меб напряжений, действующих в сечении

£, = const таким образом:

2*&

5

B0.

Перемещение и напряжения, соответствующие второй группе корней, по своей структуре имеют вид (21) и соответствующее напряженное состояние имеет характер пограничного слоя.

Выводы. Решения (20) и (38), соответствующие корню ц2 = 0, определяют внутреннее

напряженно-деформированное состояние цилиндра. Напряженное состояние, соответствующее

второй группе корней, с порядком O(в-1) имеет характер пограничного слоя. В этом случае

некоторые погранслойные решения не обладают свойством затухания и могут охватить всю область, занятую цилиндром.

Библиографический список

1. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела. — М. : Наука, 1977. — 415 с.

2. Мехтиев М.Ф. Метод однородных решений в анизотропной теории оболочек. — Баку : Чашыоглу, 2009. — 334 с.

References

1. Lehnickii S.G. Teoriya uprugosti anizotropnogo tela. — M. : Nauka, 1977. — 415 s. — in

Russian.

2. Mehtiev M.F. Metod odnorodnyh reshenii v anizotropnoi teorii obolochek. — Baku : Chashyoglu, 2009. — 334 s. — in Russian.

х

х

Материал поступил в редакцию 14.04.10. S.B. AKPEROVA

ANALYSIS OF THE TORSION PROBLEM ON TRANSVERSALLY ISOTROPIC LIGHT GAUGE CYLINDER WITH VARIABLE SHEAR MODULUS

A torsion problem on the transversally isotropic hollow light gauge cylinder with variable shear modules is studied on the ground of the homogeneous solution method. Asymptotic expansions of homogeneous solutions are obtained, and cylinder stressstrain state is analyzed.

Key words: radially nonuniform cylinder, boundary layer, Saint-Venant edge effect.

АКПЕРОВА Севда Бакир кызы, старший преподаватель кафедры «Математика, информатика и методики их преподавания» Азербайджанского института учителей. Окончила Бакинский государственный университет (1989).

Область научных интересов — асимптотическая теория оболочек.

Автор 6 научных публикаций. seriye@yandex.ru

Sevda B. Akperova, Senior Lecturer of the Mathematics, Informatics and the Teaching Methodology Department, Azerbaijan Institute of Teachers. She graduated from Baku State University (1989). Research interests — asymptotic theory of shells.

Author of 6 scientific publications. seriye@yandex.ru