Прогнозирование кризисных ситуаций на финансовых рынках методом мультифрактального анализа

Д-р техн. наук В. П. Романов канд. физ.-мат. наук Ю. Г. Бачинин И. Н. Московой М. В. Бадрина

ПРОГНОЗИРОВАНИЕ КРИЗИСНЫХ СИТУАЦИЙ НА ФИНАНСОВЫХ РЫНКАХ МЕТОДОМ МУЛЬТИФРАКТАЛЬНОГО АНАЛИЗА

Повышенная нервозность инвесторов в периоды, предшествующие кризисам на финансовых рынках, благодаря теории хаоса проявляется в виде увеличения ширины мульти-фрактального спектра временного ряда. В статье приводятся экспериментальные данные анализа индексов Dow Jones Industrial, Nasdaq Composite, PTC.

Ключевые слова: финансовые рынки, финансовый анализ, теория хаоса, мультифрактальный анализ, фондовые индексы.

При формировании портфеля реальных и финансовых инвестиций инвесторам необходимо максимально точно спрогнозировать соотношение таких показателей, как риск и доходность. В условиях нестабильности риски повышаются, особенно велики они в период кризисов. Поэтому важной задачей является разработка надежной методики предсказания кризисных ситуаций.

Развитие современных информационно-аналитических технологий открывает новые возможности прогнозирования кризисных ситуаций. Многие технологии современного финансового анализа основываются на предположениях, связанных с гипотезой эффективного рынка, которая гласит, что изменения приращений цен активов на рынке ценных бумаг в логарифмических координатах представляют собой га-уссовский случайный процесс. Однако последние исследования свидетельствуют, что финансовые рынки ведут себя не так, как предсказывает теория случайных блужданий.

Первое подробное изучение дневных приращений было предпринято Фамэ [2], который нашел, что функции распределения приращений имеют асимметрию. На рынке акций происходит намного больше сильных скачков цен, чтобы их можно было объяснить как эффекты шума. Волатильность доходности активов имеет разные корреляционные свойства в различных временных горизонтах.

Таким образом, обычная статистическая модель, основанная на предположениях эргодичности и стационарности, не пригодна для анализа кризисов на рынке, поскольку статистические свойства таких нестационарных временных рядов в этих условиях отличаются от обычных. Краху рынка предшествуют увеличенная нервозность трейдеров и появление сигналов, которые предсказывают критическую нестабильность динамики рынка. Ряд исследователей считает, что в период кризисных ситуаций происходит деформирование времени, периоды конденсации (ускорения времени) перемежаются с периодами разрежения. В периоды конденсации (более быстрого трейдинга) ликвидность активов существенно возрастает в ту же самую единицу времени, что и в период разрежения.

В экстремальных условиях приращение распределения доходов имеет сильную положительную корреляцию, причем изменчивость приращения цен проявляет различные долговременные свойства при переходе от больших к малым временным шкалам. Поведение рынка накануне краха связано с переходным периодом, предшествующим множеству устойчивых состояний. Прогнозирование резких катастрофических изменений финансовых рынков осложняется нелинейностью процессов, не позволяющих эффективно применять такие классические методы, как ARIMA, MACD.

Обнаружившееся несоответствие теоретических моделей экспериментальным данным стало одной из причин смены парадигмы. На смену гипотезе эффективного рынка (EMH) [4], основанной на модели случайных блужданий, приходит фрактальная теория и гипотеза фрактального рынка (FMH) [1]. В соответствии с этой теорией рынки обычно являются монофракталами, т. е. временные ряды имеют самоподобие при разных временных шкалах и характеризуются определенным значением экспоненты Хёрста, оцениваемой как отношение размаха временного ряда Я к стандартному отклонению S на некотором интервале (Л/5-анализ). Свойство самоподобия математически выражается следующим образом:

х

где х(?) - функция, описывающая временной ряд; ? - время; а > 0 - масштаб; Н - экспонента Хёрста.

Графически фрактальные временные ряды отличаются тем, что при переходе от рядов, взятых с шагом в минуту, к рядам, взятым с шагом в год, мы не видим, чтобы они стали более плавными. Они остаются такими же изрезанными, т. е. самоподобными, при различных мас-

штабах. ^/5-анализ является непараметрическим, так как он не предполагает никаких гипотез о форме распределения.

В случае если 0,5 < Н < 1, временной ряд является персистентным, характеризующимся наличием долговременной памяти. В обычные периоды рынок выглядит более регулярным из-за согласованности поведения большого числа агентов на рынке. В случае если 0 < Н < 0,5, мы имеем антиперсистентный временной ряд. Визуально антиперсистент-ные временные ряды выглядят более плотными и более изрезанными. Смена тренда в них происходит наиболее часто. Персистентные ряды выглядят менее плотными и более гладкими.

В соответствии с фрактальной моделью здоровый рынок - это во-латильный рынок, а справедливые цены не являются необходимым условием. Фрактальный рынок действует как система с обратной связью и включает долговременные корреляции и тренды, потому что система наделена памятью о давних событиях, которые влияют на решения в настоящем.

Применение фрактальной модели вскоре обнаружило, что значение экспоненты Хёрста на разных временных шкалах может отличаться, т. е. в диапазоне минут временной ряд может быть антиперсистент-ным, а в диапазоне месяцев - персистентным. Позже была предложена мультифрактальная модель финансовых рынков, согласно которой финансовые временные ряды представляют собой сплетение многих монофракталов (возможно, их бесконечного числа). Следует отметить, что в то время как фрактал есть множество, мультифрактал есть распределение или мера.

Математически мультифрактал определяется следующим образом:

E

где E - оператор математического ожидания;

x(t)q - q-й момент функции x(t);

д - вещественное число;

с(д) - предиктор - медленно изменяющаяся функция д.

Скейлинг-функция т(д) представляет собой долю приращений временного ряда х(0, которые описываются моментом, или полиномом, степени д. Скейлинг-функция, оценку которой можно получить логарифмированием выражения (2), служит индикатором мультифракталь-ности временного ряда. Для монофрактального процесса функция т(д) является линейной.

С точки зрения теории хаоса кризис наступает тогда, когда действия участников финансового рынка становятся согласованными, так сказать, когерентными. Например, многие участники берут длинные

ипотечные кредиты на сравнительно небольшом интервале времени, либо начинают скупать доллары, либо каким-то иным образом начинают действовать согласованно, изменяя хаотическую природу рынка. В этом случае рынок как нелинейная динамическая система восстанавливает фрактальную хаотическую структуру посредством того, что мы называем кризисом.

Удивительным, однако, представляется не сам факт наступления кризисной ситуации, а реакция бизнес-сообщества на нее как на стихийное бедствие. Между тем согласно теории хаоса и нелинейных динамических систем то, что называется кризисом, является всего лишь одним из состояний динамической системы. Вспомним кризисы 1970, 1987, 1998 гг. и, наконец, текущий кризис 2008 г. в этом ряду и примерно с тем же интервалом.

Нормальное состояние рынка в соответствии с гипотезой фрактального рынка является хаотическим, когда его участники осуществляют инвестиции в различные виды активов и различных объемах, открывают и закрывают позиции в разные моменты времени. Предкризисные участки временных рядов содержат большое число сингулярно-стей в виде узких высоких пиков или резких мгновенных отвесных обрывов большой амплитуды на почасовых графиках. Одним из результатов данной работы стало предсказание, а впоследствии и фактическое обнаружение подобных сингулярностей на почасовых графиках индексов РТС (рис. 1).

9:0 900

I 571 1141 1711 22Е1 7851 3471 3991 4561 5171 5701 6771 6341 7411 7981 8551 9171

Рис. 1. «Иглы», определяющие расширение мультифрактального спектра на почасовом графике РТС

В качестве индикатора раннего предупреждения о надвигающемся кризисе на финансовом рынке было принято увеличение ширины муль-тифрактального спектра (основные теоретические положения метода опубликованы в работе [3]).

На рис. 2 приведены графики оценки ширины мультифрактально-го спектра сингулярности на российском индексе РТС и на американских индексах Dow Jones Industrial и Nasdaq Composite за период с 7 октября 1999 по 12 января 2008 г.

2,5 -т- 2,5

РТС Dow Jones Industrial

Nasdaq Composite

Рис. 2. Расширение фрактального спектра временных рядов накануне кризиса

Из приведенных графиков видно расширение фрактального спектра в период ипотечного бума и кризиса в США и бума кредитования в России, когда в 16 раз возрос объем выданных кредитов. На графиках в виде полос выделен интервал дат, в пределах которого происходит нарастание упреждающего сигнала кризисной ситуации.

В качестве альтернативного варианта выработки упреждающих сигналов предстоящего кризиса был использован R/S-анализ, вейвлет-анализ по вейвлетам Добеши (db-4) и программный пакет Matlab

(рис. 3). Для анализа был взят временной ряд индекса Dow Jones Industrial за период с 7 октября 1999 по 8 ноября 2008 г.

Зона перси-стентности Н = 0,5

График экспоненты Хёрста Зона антиперси-стентности

Коэффициенты

вейвлет-

разложения

Рис 3. Изменение состояний рынка в преддверии кризиса

Предлагаемая методика позволяет предсказать негативные тенденции на рынке за 50 дней до первых серьезных событий. Мы должны иметь в стране механизм своеобразного «финансового МЧС», который располагает ресурсами, имеет заранее заготовленные сценарии действий в случае кризиса, с тем чтобы использовать их для воздействия на параметры динамической системы и максимально быстро и с наименьшими потерями вернуть ее в нормальное хаотическое состояние.

Список литературы

1. Петере Э. Хаос и порядок на рынках капитала. Новый аналитический взгляд на циклы, цены и изменчивость рынка : пер. с англ. -М. : Мир, 2000.

2. Fama E. F. The Behavior of Stock Market Prices // Journal of Business (Chicago). - 1965. - N 38.

3. Romanov V., Slepov V., Badrina M., Federyakov A. Multifractal Analysisband Multiagent Simulation for Market Crash Prediction // Computational Finance and its Applications III. Third International Conference on Computational Finance / M. Constantino, M. Larran, C. A. Brebbia (eds.). - Southhampton, UK : WIT Press, 2008.

4. Samuelson P. A. Proof that Properly Anticipated Prices Fluctuate Randomly // Industrial Management Review. - 1965. - N 6.