Цилиндрический виток конечной ширины с разрезом над идеально проводящим массивным проводником

УДК 621.318

Ю.В. Батыгин, A.B. Гнатов, Д.О. Смирнов

ЦИЛИНДРИЧЕСКИЙ ВИТОК КОНЕЧНОЙ ШИРИНЫ С РАЗРЕЗОМ НАД ИДЕАЛЬНО ПРОВОДЯЩИМ МАССИВНЫМ ПРОВОДНИКОМ

У статті вирішена тривимірна електродинамічна задача просторово-часового розподілу вихрових струмів, збуджених полем плоского незамкнутого кругового витка кінцевої ширини в масивному провіднику з високим значенням питомої електропровідності. Проведено порівняння отриманих результатів з аналогами для нескінченно тонкого витка.

В статье решена трёхмерная электродинамическая задача пространственно-временного распределения вихревых токов, возбуждаемых полем плоского незамкнутого кругового витка конечной ширины в массивном проводнике с высоким значением удельной электропроводности. Проведено сравнение полученныхрезультатов с аналогами для бесконечно тонкого витка.

ВВЕДЕНИЕ

Постановка проблемы. В современной практике магнитно-импульсной обработки металлов в качестве инструментов часто находят своё применение одновитковые индукторные системы цилиндрической геометрии [1-3]. Индукторы в этих инструментах при электродинамических расчётах представляются замкнутыми круговыми контурами. Это позволяет ввести условие аксиальной симметрии и существенно упростить решение задачи [4-6].

В реальных условиях виток индуктора не может быть замкнутым круговым контуром, поскольку он является элементом, последовательно включаемым в цепь источника мощности. Это означает, что виток соленоида - "незамкнут", он имеет "разрыв" и функция, описывающая азимутальное распределение возбуждающего тока, терпит разрыв второго рода.

Допущение аксиальной симметрии нарушается тем больше, чем больше требуемое по конструктивным соображениям расстояние между электрическими выводами к источнику мощности. Нарушение аксиальной симметрии приводит к неадекватности широко применяемой симметричной модели расчёта реальным системам "виток - проводящий объект".

Анализ основных достижений и публикаций.

Проблематике инструментов магнитноимпульсного воздействия на обрабатываемые металлы посвящено довольно много работ, где представлены определённые достижения в этой области [1-7]. Анализ основных публикаций показывает, что при расчете электродинамических процессов, их авторы используют различные упрощающие допущения. Это, в частности, аксиальная симметрия соленоида, бесконечно малая ширина витка индуктора и т.д. [1, 3, 6, 7]. Допущения подобного рода нивелируют тот факт, что, например, нарушение аксиальной симметрии формы источника поля - индуктора ведёт к искажению силового воздействия на обрабатываемый объ -ект. Последний фактор объясняет многие неудачные применения электромагнитных полей для решения насущных технологических задач.

Все это приводит к необходимости качественной оценки протекающих электромагнитных процессов, но уже без аксиальной симметрии источника электромагнитного поля, а также оценки влияния ширины витка соленоида на эти же электромагнитные процессы.

Цель настоящей работы - решение трехмерной электродинамической задачи пространственновременного распределения вихревых токов, возбуждаемых полем плоского "незамкнутого" кругового витка конечной ширины в массивном проводнике с высоким значением удельной электропроводности. Сравнение характеристик электродинамических процессов для витка конечной ширины и бесконечно тонкого витка.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И ЕЁ РЕШЕНИЕ Расчётная модель представлена на рис. 1, где ег, вф, е2 - направляющие орты координат в выбранной цилиндрической системе координат.

ау ____

К источнику мощности

0 ф ь

Виток индуктора

Рис. 1 Плоский "незамкнутый" виток над массивным металлическим листом

Решение поставленной задачи условно разделим на две части.

Сначала рассмотрим возбуждение индуцированных токов идеализированным бесконечно тонким витком. Данное приближение позволит избежать неоднозначности в интерпретации расчётных результатов, обусловленной конечными радиальными размерами индуктора в зоне "разреза".

Последующее рассмотрение будет посвящено

возбуждению вихревых токов витками с заданными поперечными размерами. Полученные здесь выводы не только дополнят результаты предыдущей идеализации, но и позволят приблизиться к решению задач реального проектирования рабочих инструментов магнитноимпульсного метода в современных технологиях.

Для решения поставленной задачи примем следующие допущения.

• Бесконечно протяжённый в поперечных направлениях металлический лист - объект обработки выполнен из немагнитного идеального проводника.

• Виток индуктора расположен над поверхностью пластины на расстоянии - h, его радиус - R, шириной d, и, математически, расположение возбуждающего тока индуктора можно описать произведением дельтафункций Дирака ~ S(z - h)-8(r - R).

• В местах подключения витка к источнику имеет место "разрыв" по азимуту, описываемый функцией

f (Ф) = Л(Ф~Фо) ~Л(Ф~ (2^-0о)),

где "п(ф) - ступенчатая функция Хевисайда, 2ф0 - величина "разрыва" в витке, выраженная в терминах азимутального угла.

• По витку протекает азимутальный ток с плотностью - j\ i(t, r, ф, z),

]ф i ^ Ф, z) = jm J'(t) 'S (r - R) 'S (z - h) • f (Ф) ,

где jm - амплитуда, j(t) - временная зависимость, t -время.

В соответствии с принятыми допущениями в системе возбуяедается магнитное поле с вектором напряжённости И = {Hr Ф 0, Иф Ф 0,И z Ф о}.

Уравнения Максвелла запишутся в вид:

[rot И (t, r ,ф, z) = Уф1 (t, r, ф, z);

Н (1, г ,ф, z) = 0.

Из системы (1) получаем уравнения в частных производных для ненулевых компонент вектора напряжённости магнитного поля [7-9]:

1 д

r dr Г

dr

дф2

д 2 Hz (t, r ,ф, z) dz 2

-A

r dr

(r • j ф, (t, r,Ф, z)),

dHz (t, г,Ф, z) d i TT \

z і: ~ — {r  Ht(f, r ,ф, z))= 0;

дф dz

д і тт ґ \ дИт (ґ, т,ф, z) Л

—(г иф(ґ,г,ф,z))—г>=о.

дт дф

Учитывая азимутальную зависимость тока в витке, его можно представить разложением по косинусам кратных дуг [8]:

І ф, (t, r Ж z) = X j n (t, r, z) •cos (n Ф),

n=0

где in (^ r, z) = jm j(t) • Fn (Фо)-8(r - R) 'S(z - ^

Fn (Фо) =

2• sin

ж  n

n Ф 0,

1

ж

n = 0.

Тогда решение второго уравнения в системе

следует искать в виде ряда:

ТО

Hz

п=0

Подставляя (4) во второе уравнение системы (2), получим неоднородное уравнение Бесселя:

1 _д_(г дHzn(1,г,z)п2 д2Hzn(1,г,z) +

r dr

dr

дф2

д 2 Hzn

1 d

дz г дг

Условию ограниченности радиального распределения Нгп(1, г, z) из уравнения (5) при г = 0, г ^ да и п ^ да удовлетворяет интегральное преобразование Фурье-Бесселя:

Hzn r, z )= j Hzn ^ z\ J n (^-r dX

где Jn(X•г) - функция Бесселя п-ого порядка, X - параметр преобразования.

Правая часть уравнения (5) после аналогичного преобразования принимает вид:

г У „

где

^ 1 Р) / \

Kn w = f - n(t, r, z)Jn o)r dr=Fn (^0) fn W; r cT

0

я

fn w = H(r - r))j n (^r)dr =R

05r

dJn

dr

г=R

(1) =(^_R) .[Jn_-(A. R)_ Jn+-(X. R)].

В соответствии с (6) и (7) уравнение (5) приводится к обыкновенному дифференциальному уравнению второго порядка.

<12 Н (/,Я, z) 2

-----^'-l2Hzn (1,1, z) =

dz

= -(Ш)' Кп (А) -5(z - И).

Решая полученные дифференциальные уравнения относительно нормальной компоненты напряжённости магнитного поля, возбуждаемой в рассматриваемой системе, определяем плотности индуцированных токов.

Пропуская промежуточные вычисления, запишем конечный результат.

Для удобства в расчётах распределения вихревых токов на поверхности пластины целесообразно ввести безразмерную переменную интегрирования -х = Х-Я, хе[0, да), и собственно расчёты производить для относительных величин:

В этом случае для компонент вихревого тока получаем:

j ф- отн (—,Ф) = Z Fn (^0)cos (пФ) х R n=0

~ -х h

jfn(х)^Jn-i[^xRJ-Jn+i[^xRIIe R dx

r

2

r

і т—отн (—,Ф) = Е п • РП (Фв)ып(п ф)>

Я п=1

I /п

'/ПхК ) е" Х' Я

йх

где

Рп (Фо) =

2• зіп

ж  п

п Ф 0,

1 -1° І, п = 0, ж

= (т \п (т -«1)-^(т -^2)])- ^ п (Лт)|о -

-|(т-[7?(т - Я,)-ч(т - «2)])- ^ ^ йт =

о

Я,

dт

ХЯ2

/п (^) = I Т • Jl(lт)йт .

Шнеерсона Г.А. [7]

Опуская промежуточные математические операции, запишем выражения для компонент индуцированных токов в относительных величинах:

і Г (р,Ф) =

V Я2 - Я1 у

Ерп (<Ро)соє (пф)>

п=0

I /п (x)(Jn-1 (хр)~ Jn+1 СхР)) е Я1 ^

і г (р,ф) =

г Я1 л

\Я2 - Я1у

X п • рп (^0)>

п=1

/п (х) = х • [Л-1 (х) - •;п+1 (х)] •

Полный ток, индуцированный в металле пластины, будет равен корню квадратному из суммы квадратов составляющих:

с зіп

dх

р х

где

} ОТН | Я ,ф I І Ф -отн I Я ,^|+ іт -отн I Я ,Ф I •

ВИТОК С КОНЕЧНЫМ РАДИАЛЬНЫМ РАЗМЕРОМ Как было ранее указано, вычисления вихревых токов в проводнике, возбуждаемых полем идеально тонкого кругового соленоида, следует дополнить расчётами для более реального случая, когда виток индуктора обладает конечными радиальными размерами, и плотность возбуждающего тока с равномерным поперечным распределением принимает вид:

і у І т, V, Ю = іі

где "л - ступенчатая функция Хевисайда, Я1 = Я, Я2 = (Я + й) - внутренний и внешний радиусы витка индуктора согласно рис. 1

Не повторяя всех проведенных вычислений, можно ограничиться введением нового Фурье-Бесселевого образа - функции /п(Х) в зависимость для Кп(Х) в выражении (7) и уравнении (8).

/п(^) = Ііг(т Ъ (т -Я1) ~Л(т -Я2)])• J п (Ат) йт =

„ от

. Я я,

/п(х)=(4Ь) ^•у'^п-і(у)_,Іп+і(у)]йу;

і Г (т,Ф) =

і' ф

і °ТН(т,<?) =

і т

= I г<и ",^ 1г = ^{ г[Jn-1(^) -•1„+1(^г)] 1г.

Я1 1г 2 Я1

Отметим, что полученное выражение для Фурье-Бесселевого образа равномерного радиального распределения тока в витке в случае аксиальной симметрии его конструкции с точностью до знака и постоянного множителя принимает вид Я,

Я1

что согласуется с аналогичной зависимостью в известных научных изданиях, например, в монографии

(- 1т ] (0)" г ^ ] «)’

р = г/Я\ - относительная радиальная координата

Сумма квадратов выражений (14) и (15) в формуле (11) представляет собой решение задачи о возбуждении вихревых токов в идеально проводящем объекте полем плоского цилиндрического витка с конечными поперечными размерами и "разрезом", где подключается источник мощности.

ЧИСЛЕННЫЕ ОЦЕНКИ

Вычисления амплитудно-пространственного распределения вихревых токов, возбуждаемых "незамкнутым" одновитковым индуктором в идеально проводящем металлическом объекте, проведём для постоянного воздушного зазора между ними - И/г = 0,1. Варьирование данной величины и исследование её влияния не представляет интереса, поскольку из априорных физических соображений очевидна роль этого параметра системы.

Особый интерес для практики, в первую очередь, вызывают оценки влияния размеров разреза в витке на амплитуды и распределения индуцированных токов.

Как это видно из рис. 1, величина разреза ("разрыва") определяется в терминах азимутального угла -2ф0. При проведении расчётов более предпочтительным и репрезентативным представляется введение относительной ширины разреза, определяемого как 9 = 2ф0/(2я). Фактически, здесь имеет место отношение длины дуги, соответствующей углу разреза, к длине окружности всего витка в целом.

Начнём с идеально тонкого витка над проводящей средой.

Вычисления плотности полного тока, индуцированного в проводнике, проводились по формулам (9) - (11) Наиболее иллюстративные эпюры представлены на рис. 2, 3.

х

И

И

R

1.4 і.г i o.« o.E 0.4 о.г о о.г 0.4 о.е о.в і і.г 1.4

----------------------- -------------------------' 4---------------------------------------------------

ф= л Ф= О

Рис. 2 Распределение плотности индуцированного тока на оси витка, проходящей через центр "разрыва", 9 = 0.1

0=0.2

- Развертка витка с разрезом —

0=0.5

— т

- Развёртка витка с разрезом —

Г

к-1

1.4 1-2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

\_____________________________/ \____________________________/

ф = л ф =0

Рис .4. Распределение плотности индуцированного тока по азимуту, через центр разреза, 9 = 0.2 для ¿/—»О

I отн

Рис. 3 Азимутальные распределения радиальных компонент индуцированных токов на окружности витка (г =1.0) при различных значениях разрыва

Основные результаты проведенных вычислений сводятся к следующим положениям.

• В зоне под разрезом в витке имеет место существенное нарушение однородности пространственного распределения плотности индуцированных токов и снижение их амплитудных значений (рис.3), что делает недопустимым приближение аксиальной симметрии в расчётах одновитковых индукторных систем.

• Следствием отмеченной неоднородности пространственного распределения является, в первую очередь, снижение интегральной величины индуцированного тока в целом.

• В аксиально-симметричной системе (виток без разреза) возбуждается только азимутальная компонента индуцированного тока.

• Нарушение аксиальной симметрии (виток с разрезом) есть причина появления радиальной составляющей индуцированного тока (рис. 2 и рис. 3).

• Пространственные максимумы радиальных токов располагаются вблизи краёв разреза в витке и имеют разные знаки и (рис. 3), что говорит об их протекании в противоположных направлениях.

• В целом, сравнение полученных распределений индуцированных токов показывает, что пространственная форма полного индуцированного тока формируется, в основном, вкладом азимутальной составляющей.

Напомним, что все выполненные и описанные вычисления относятся к идеализации витка достаточно тонким токопроводом.

Теперь обратимся к витку с заданными радиальными размерами.

Наиболее интересным отличием от предыдущего рассмотрения представляется влияние конечной ширины витка на возбуждение вихревых токов в проводнике.

Расчёты проводились с помощью формул (14),

(15), (11) и представлены на рис. 4-6.

1-4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

_________________________________________/ N___________________________________________/

ф = я ф = О

Рис. 5. Распределение плотности индуцированного тока по азимуту, через центр разреза, 9 = 0.2 для d = 0.005 м I отн

1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

Ri

ф = 71 ф = О

Рис. 6. Распределение плотности индуцированного тока по

азимуту, через центр разреза, 9 = 0.2 для 1 = 0.01 м

Как показали вычисления, наибольшей иллюстративностью обладают зависимости плотности полных индуцированных токов от относительного радиуса при движении по азимуту, проходящему от сплошной части витка через центр системы и далее через центр разреза, аналогичные приведенной на рис. 2.

К приведенным зависимостям следует добавить, что в расчётах принималось Я\ = 0.025 м. Соответственно, значения 1 = 0.005 ми 1 = 0.01 м отвечают относительным величинам Я2/Я\ = 1.2 и Я2/Я = 1.4. Относительное расстояние между витком и проводящей плоскостью сохранялось прежним, И = 0.1 (относительно Я1).

Основные выводы по результатам расчётов:

• увеличение радиальных размеров витка приводит к снижению амплитуд возбуждаемых вихревых токов, так при вариации геометрии витка от (Я2/Я1)^1 до (Я2/Я1)^1.4 максимум амплитуды плотности индуцированного тока падает почти в два раза (рис. 4, 6);

• в области разреза изменение ширины витка практически не меняет амплитуды плотности вихревых токов (рис. 4-6);

• в целом, ширина витка индуктора влияет на амплитуды токов, индуцированных в проводнике, но не изменяет физической картины их пространственновременного распределения.

выводы

1. Произведен расчет трехмерной электродинамической задачи пространственно-временного распределения вихревых токов, возбуждаемых полем плоского "незамкнутого" кругового витка конечной толщины в массивном проводнике с высоким значением удельной электропроводности.

2. Выполнено сравнение характеристик электродинамических процессов в рассматриваемой системе при допущении бесконечно тонкого витка и витка конечной ширины.

3. Проведенные исследования показали, что ширина витка индуктора влияет на амплитуды токов, индуцированных в проводнике, но не изменяет физической картины их пространственно-временного распределения.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Туренко А.Н., Батыгин Ю.В., Гнатов A.B. Импульсные магнитные поля для прогрессивных технологий. Том 3. Теория и эксперимент притяжения тонкостенных металлов импульсными магнитными полями: Монография - Харьков: ХНАДУ, 2009. - 240 с.

2. Гнатов A.B. Электромагнитные процессы в индукционной индукторной системе с одновитковым соленоидом, массивным экраном и тонкостенной листовой заготовкой // Електротехніка і електромеханіка. - 2009. - № 6. - C. 46-49.

3. Батыгин Ю.В., Лавинский В.И., Импульсные магнитные поля для прогрессивных технологий. - Харьков: НТУ "ХПИ", 2001. - 270 с.

4. Батыгин Ю.В., Лавинский В.И., Сериков Г.С., Чаплыгин Е.А., Возможности магнитно-импульсной технологии для рихтовки кузовных элементов автомобилей // Труды 13-ой Международной научно-технической конференции "Физические и компьютерные технологии". Харьков, 19-20 апреля 2007 г. - С. 352-355.

5. Батыгин Ю.В., Головащенко С.Ф., Гнатов A.B., Смирнов Д. О. Экспериментальные исследования магнитноимпульсного притяжения тонкостенных листовых металлов // Електротехніка і електромеханіка. - 2010. - № 3. - C. 39-41.

6. Батыгин Ю.В., Гнатов A.B. Магнитно-импульсное притяжение листовых металлов - перспективное направление в развитии электромагнитной штамповки // Технічна електродинаміка.- K.: Технічна електродинаміка, Тематичний випуск. - 2010. - Ч. 1. - С. 175-180.

7. Шнеерсон Г.А. Поля и переходные процессы в аппаратуре сверх сильных токов. - Л.: Энергоиздат, 1981. - 200 с.

8. Дж.Мэтьюз, Р.Уокер. Математические методы физики. -М: Атомиздат, 1978. - 397 с.

9. Атабеков Г.М. Теоретические основы электротехники. -М.: Энергия, 1980. - Ч. 1. - 340 с.

Bibliography (transliterated): 1. Turenko A.N., Bat'igin JU.V., Gnatov A.V. Impulcn'ie magnitn'ie polja dlja progreccivn'ih tehnologi'. Tom 3. Teorija i ekcperiment pritjajenija tonkoctenn'ih metallov impulcn'imi magnitn'imi poljami: Monografija - Harkov: HNADU, 2009. - 240 c. 2. Gnatov A.V. Elektromagnitn'ie protsecc'i v induktsionno' induktorno' cicteme c odnovitkov'im colenoidom, maccivn'im ekranom i tonkoctenno' lictovo' zagotovko' // Elektrotehnika i elektromehanika. -2009. - № 6. - C. 46-49. 3. Bat'igin JU.V., Lavincki' V.I., Impulcn'ie magnitn'ie polja dlja progreccivn'ih tehnologi'. - Harkov: NTU "HPI", 2001. - 270 c. 4. Bat'igin JU.V., Lavincki' V.I., Cerikov G.C., CHapl'igin E.A., Vozmojnocti magnitno-impulcno' tehnologii dlja rihtovki kuzovn'ih elementov avtomobile' // Trud'i 13-o' Mejdunarodno' nauchno-tehnichecko' konferentsii "Fizicheckie i kompjutern'ie tehnologii". Harkov, 19-20 aprelja 2007 g. - C. 352-355. 5. Bat'igin JU.V., Golovaschenko C.F., Gnatov A.V., Cmirnov D.O. Ekcperimen-taln'ie iccledovanija magnitno-impulcnogo pritjajenija tonkoctenn'ih lic-tov'ih metallov // Elektrotehnika i elektromehanika. - 2010. - № 3. - C. 39-41. 6. Bat'igin JU.V., Gnatov A.V. Magnitno-impulcnoe pritjajenie lictov'ih metallov - percpektivnoe napravlenie v razvitii elektromagnitno' shtampovki // Tehnichna elektrodinamika.- K.: Tehnichna

elektrodinamika, Tematichni' vipuck. - 2010. - CH. 1. - C. 175-180. 7. SHneercon G.A. Polja i perehodn'ie protsecc'i v apparature cverh ciln'ih tokov. - L.: Energoizdat, 1981. - 200 c. 8. Dj.Metjuz, R.Uoker. Mate-maticheckie metod'i fiziki. - M: Atomizdat, 1978. - 397 c. 9. Atabekov G.M. Teoreticheckie ocnov'i elektrotehniki. - M.: Energija, 1980. - CH. 1. - 340 c.

Поступила 20.12.2010

Батыгин Юрий Викторович, д.т.н., проф.,

Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет кафедра физики

61002, Харьков, ул. Петровского, 25

тел. (057) 700-368-53, e-mail: batygin48@mail.ru

Гнатов АндрейВикторович, к.т.н., доц.,

СмирновДмитрий Олегович, аспирант Харьковский национальный автомобильно-дорожный университет кафедра "Автомобильная электроника"

61002, Харьков, ул. Петровского, 25

тел. (057) 700-38-52, e-mail: kalifus@yandex.ru

Batygin Yu.V., Gnatov A.V., Smirnov D.O.

A finite-width cylindrical coil with a cut over a perfectly conducting bulk conductor.

In the article, a three-dimensional electrodynamic problem of eddy currents space-time distribution is solved, eddy currents excited by the field of an open final-width flat circular coil in a bulk conductor of high specific conductivity. Comparison of obtained results with analogs for an infinitely thin coil is made.

Key words - width flat circular coil, perfectly conducting bulk conductor, eddy currents space-time distribution.