О сопряженном к пространству аналитических функций полиномиального роста вблизи границы

Владикавказский математический журнал 2008, Том 10, выпуск 4, С. 17-22

УДК 517.9

О СОПРЯЖЕННОМ К ПРОСТРАНСТВУ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ПОЛИНОМИАЛЬНОГО РОСТА ВБЛИЗИ ГРАНИЦЫ1

В. А. Варзиев, С. Н. Мелихов

Посвящается столетию со дня рождения академика С. Л. Соболева

В настоящей работе с помощью преобразования Коши описано сильное сопряженное к пространству функций, аналитических в ограниченной (не обязательно выпуклой) области G в комплексной плоскости и полиномиального роста вблизи границы G.

Ключевые слова: аналитические функции полиномиального роста, преобразование Коши, сильное сопряженное пространство.

Введение

Основная цель данной работы — описать с помощью преобразования Коши сильное сопряженное к пространству A-1^(G) аналитических в ограниченной области G С C функций одного комплексного переменного полиномиального роста вблизи границы G. Пространство A-1^(G) играет важную роль в теории граничных значений аналитических функций. Подавляющее большинство работ, посвященных этому пространству, относятся к случаю, когда G — единичный круг. Случай, когда G — произвольная ограниченная выпуклая область в C, рассмотрен в [5]. В этой статье получена реализация сильного сопряженного к A-^(G) в виде весового пространства Фреше целых функций посредством естественного в данной ситуации преобразования Лапласа. В настоящей работе доказывается, что при определенных условиях на область G (не обязательно выпуклую) преобразование Коши реализует сильное сопряженное к A-1^(G) пространство как пространство функций, аналитических в дополнении замыкания области G, обращающихся в нуль в бесконечности и бесконечно дифференцируемых вплоть до границы G (теорема 6).

1. Вспомогательные утверждения

Пусть G — ограниченная область в C. Через A(G) будем обозначать пространство всех функций, аналитических в G, с топологией равномерной сходимости на компактах в G. Положим

d(z) = inf |z — t|, z G G. v 7 teaa' 1

© 2008 Варзиев В. А., Мелихов С. Н.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 07-01-00329-а.

Для каждого n G N определим банахово пространство

A-n(G) := {/(z) G A(G) : ||/||„ := sup |/ (z)|(d(z))n < TO}.

L z€G >

Пространство A-^(G) аналитических функций полиномиального роста вблизи границы G определяется следующим образом:

A-~(G) = ind„^A-n(G).

Далее ^ обозначает символ непрерывного вложения.

Замечание 1. (а) Для каждого n G N оператор дифференцирования D(/) := /' непрерывно отображает A-n(G) в A-n-1(G), а значит, A-^(G) в A-^(G).

(б) Для каждого n G N вложение A-n(G) в A-n-1(G) компактно.

Следовательно, индуктивный предел A-^(G) = indn^A-”(G) является (DFS)-

пространством.

< (а): Зафиксируем n G N и / G A-n(G). Из интегральной формулы Коши следует, что для любого z G G

SUP |/(t)| 9ц -и

|/'(z)| < 2|t-zhddz()z)2-< -d^T sup (d(t))-n < 2”+1 II/||n(d(z))-n—1.

d(z) d(z) |t-z|=d(z)/2

Следовательно,

Утверждение (б) следует из теоремы Монтеля. >

В данной работе реализация сопряженного к пространству A-^(G) будет получена для специального класса (не обязательно выпуклых) областей G; выбор такого класса областей имеет технический характер. Далее для множества M С C через M обозначаем замыкание M в C.

Определение 2. Область G С C назовем строго звездной относительно точки z G G,если

G — z С r-1 (G — z) Vr G (0,1).

Очевидно, что всякая область G С C, строго звездная относительно точки z G G, звездная относительно точки z.

Лемма 3. Если G — область, звездная относительно точки z = 0, то d(qz) ^ qd(z) для любых z G G, q G [0,1].

< Зафиксируем z G G. Если d(z) ^ |z|, то неравенство d(qz) ^ q|z| очевидно. Пусть d(z) < |z|, K — окружность радиуса d(z) с центром в точке z, I1, I2 — лучи с началом в нуле, касательные к K в точках z1 и z2 соответственно. Открытый круг с центром в qz радиуса qd(z) содержится во внутренности Q выпуклой фигуры, ограниченной отрезками [0, z1], [0, z2] и дугой окружности K с концами z1 и z2. Вследствие звездности G множество Q содержится в G. Значит, d(qz) ^ qd(z). >

Положим

hz (t) = , z G C\G, t G G.

Отметим, что hz G A-^(G) для любого z G C\G.

Ниже A(G) — пространство ростков всех функций, аналитических на G.

Лемма 4. Пусть G — ограниченная строго звездная область относительно точки z0 G G. Система {hz : z G G} полна в A-°(G).

< Не ограничивая общности, будем считать, что G — строго звездная область относительно нуля. Зафиксируем n G N и / G A-n(G). Положим /r(z) = /(rz), r G (0,1). Функция /r голоморфна в r-1G, а значит, /r G A(G).

Возьмем / G A-°(G). Покажем, что lim /г = / в A-°(G). Из замечания 1 и леммы

r^1-о

3 следуют неравенства:

|/(z) — /(rz)| ^ |z|(1 — r) sup |/'(t)| ^ |z|(1 — r)2n+11|/Цп sup (d(qz))-n-1

t£[rz,z] q€[r,1]

< Dg(1 — r)4n+1 II/||n(d(z))-n-1, r G [1/2,1], где Dg = max |z|. Поэтому для r G [1/2,1]

z6G

Следовательно, A(G) плотно в A-°(G). Поскольку множество H := {hz : z G G} полно в A(G) и A(G) ^ A-°(G), то H полно в A-°(G). >

2. Реализация сопряженного к пространству A-°(G) Определение 5. Преобразованием Коши называется отображение

К(р)(ф= t—z)’ z G G, р G A-°(G)'.

Полагаем </5(z) := K(^)(z). Через A°°(C\G) обозначим пространство всех аналитических в C\G функций, бесконечно дифференцируемых вплоть до границы G и обращающихся в нуль в бесконечно удаленной точке. Топология в Ag°(C\G) задается последовательностью норм

Pn(/) := sup sup_|/(k)(z)|, n ^ 0, / G A°(C\G).

°<k<nz€C\G

С этой топологией Ag°(C\G) — пространство Фреше.

Основным результатом данной работы является следующий.

Теорема 6. Пусть G С C — ограниченная строго звездная область относительно точки z° G G с кусочно-гладкой границей. Преобразование Коши K — линейный топологический изоморфизм сильного сопряженного A-^(G)^ к пространству A-°(G) на Ao°°(C\G). _

< Без ограничения общности будем считать, что z° = 0. Вследствие A(G) ^ A-°(G) и двойственности Кете — Силвы — Гротендика функция K(р) аналитична в C\G и обращается в 0 в то для любого р G A-°(G);.

Зафиксируем р G A-°(G);. Покажем, что функция р = K(р) является бесконечно дифференцируемой вплоть до границы G, т. е. что производная р(к) равномерно непрерывна на C\G для любого k G N°. Для этого покажем, что

р

Пусть k = І. Возьмем z Є C\G. Имеем:

<p/(z) = lim

zG

Vt\—Z

Покажем, что

Лz

І

= lim pt

І

(t — z — Az)(t — z) (t — z)2:

в A-^(G). Действительно, в силу |z —1| ^ d(t), t £ G, если |Az| ^ d(z)/2,

І І = sup 3 І І

z) 1 t z) < 1 z 1 t 2 z) 1 t 1 2 z) 1 t 1 z) 1 t z) < 1 z 1 t

(d(t))3

< |Л^|sup ------d(t) Л < 2|Л^|.

1 1 teG t — z — Лz " 1 1

Отсюда следует, что соотношение (2) выполняется, а значит, равенство (1) выполняется при к = 1. Равенство (1) для произвольного к £ N показывается по индукции.

Далее покажем, что любая производная р(к) равномерно непрерывна в С\С. Зафиксируем к £ N. Пусть К > 0 таково, что |х| < К для любого х £ С. Так как функция р(к) непрерывна на компакте |х| ^ К, то она равномерно непрерывны на нем. Покажем, что она равномерно непрерывна и в дополнении С до круга |х| ^ К. Для любых Х1, Х2 £ С, 1^11 ^ К, |х2| ^ 2, далее в силу (1),

|P(k)(Zl) — P(k)(Z2)| = k!

Pt

І

І

< k!IMIfc+2 sup

tea

(t — Zl)k+1 (t — Z2)k+1

(t — Z2)k+1 — (t — Zl)k+1

2k+2

(4 - г1 )к+1(£ - 22)к+1

При этом ||<Ут := йиРу/||т^1 |<(/)1, т £ N. Вследствие |4 — | ^ ^(£), ] = 1, 2, и ограни-

ченности области С найдется постоянная С такая, что

|<^(к)(х1) — <^(к)(х2) < Ск!Н<Нк+2|х1 — х2|.

Из последнего неравенства следует, что функция р(к) равномерно непрерывна и в дополнении С до круга |х| ^ К. Значит, р(к)(х) равномерно непрерывна в С\С.

Далее покажем непрерывность преобразования К : А-те

Pn

< sup k! sup_ ||pin+l І

G<k<n zec\a

(t — z)k+!

Учитывая неравенство d(z) ^ |z — t|, получим, что

n+l

p„(K(p)) < ||рНП+1 sup sup(d(t))n < сЦрУП+i. р £ A ~(G)/,

o<k<n tgG

где C := sup0<k<n k! sup^G(d(t))n-k < +то. Следовательно, (линейное) преобразование K : A-^(G)^ ^ Ag°(C\G) непрерывно.

В силу леммы 4 преобразование К инъективно.

Докажем теперь, что К сюръективно. Возьмем / £ Ад°(С\С) и построим функционал < £ А-те (С)7 такой, что К(<) = /.

Положим

<

г^1-о 2п /

дс

Из д(г ) £ А(г-1С) и бесконечной дифференцируемости / вплоть до границы С следует существование интеграла в (3). По теореме Уитни [8] существует функция /о £ С(С) такая, что /0 = / в С\С. Тогда

/ /(х)д(гх) ^х = /о(х)д(гх) ^х.

дС дС

По формуле Грина

J /о

дС С

где 2 — мера Лебега в С = Ж2.

Пусть д £ А-П(С), п £ N. Тогда, используя лемму 3, получим:

|д(гх)| < ||д||„(^(гх))-” < ||д||„(гф))-га < ||д||„2п(ф))-п, х £ С, г £ [1/2,1). Поскольку ^=0 =0 в С\С, то существует В ^ 0 такое, что

/ '

Следовательно,

9(гх)ддХ(х) ^ В(ф))“ = 2||9||„В, г є [1/2,1].

Применяя теорему Лебега о мажорантной сходимости, получим:

j /о(х)д(гх) ^(х) ^ 2^ д(х)^х^ ^2(х), г ^ 1 - 0. дс с

При этом существует постоянная Ві > 0 такая, что

|р(д)1 < ВіІМІ™, п Є N,5 Є А-П(С).

Следовательно, р Є А-те(С/. При этом

К

7 Л і - х/ г^1-о 2пі У гі - х

дС

= Ііт / /(і)2 = Ііт 1 /Гх^ = /(х), х Є С.

г^і-о г 2пг У і - ^ г^і-о г \г/ ^

дс г

Таким образом, К — линейное биективное непрерывное отображение А-те(С)^ на Ад°(С\С). По теореме об открытом отображении К : А-те(С)^ ^ А0 (С\С) — топологический изоморфизм. >

Замечание 2. (а) В случае, когда G — единичный круг {z G C : | |z| < 1}, сопряженное к A-^(G) может быть описано в терминах тейлоровских коэффициентов. Такие реализации А-те(G) получены Б. А. Коренблюмом [4, § 1] и З. Моммом [6].

(б) В случае, когда G — ограниченная выпуклая область в C, реализация сильного сопряженного к A-^(G) посредством преобразования Лапласа установлена в [5, утверждение 4]. Для пространств Фреше функций одного и нескольких комплексных переменных, аналитических в выпуклой области и имеющих заданный рост вблизи ее границы, реализация их сопряженных с помощью преобразования Лапласа получена Р. С. Юл-мухаметовым [9], Б. А. Державцем [2], В. В. Напалковым [7], О. В. Епифановым [3], Н. Ф. Абузяровой и Р. С. Юлмухаметовым [1]. Идея доказательства теоремы 6 настоящей работы близка к идее доказательства соответствующего результата в [2]: в [2] использована теорема Дынькина о псеваналитическом продолженни, а мы используем теорему Уитни о бесконечно дифференцируемом продолжении.

Литература

1. Абузярова Н. Ф., Юлмухаметов Р. С. Сопряженные пространства к весовым пространствам аналитических функций // Сиб. мат. журн.—2001.—Т. 42, № 1.—С. 3-17.

2. Державец Б. А. Пространства функций, аналитических в выпуклых областях Cn и имеющих заданное поведение вблизи границы // Докл. АН СССР.—1984.—Т. 276, № 6.—С. 1297-1300.

3. Епифанов О. В. Двойственность одной пары пространств аналитических функций ограниченного роста // Докл. АН СССР.—1991.—Т. 319, № 6.—С. 1297-1300.

4. Korenblum B. A. Beurling-type theorem // Acta Math.—1977.—Vol. 138.—P. 265-293.

5. Melikhov S. N. (DFS)-spaces of holomorphic functions invariant under differentiation // J. Math. Anal. Appl.—1994.—Vol. 297, № 2.—P. 577-586.

6. Momm S. Ideale in gewichteten Algebren holomorpher Funtionen auf dem Einheitskreis. Thesis.— Diisseldorf, 1988.

7. Напалков В. В. Пространства аналитических функций заданного роста вблизи границы // Изв. АН СССР. Сер. мат.—1987.—Т. 51, № 2.—С. 287-305.

8. Whitney H. Analytic extensions of differentable functions defined in closed sets // Trans. Amer. Math. Soc.—1934.—Vol. 36.—P. 63-89.

9. Юлмухаметов Р. С. Пространства аналитических функций, имеющих заданный рост вблизи границы // Мат. заметки.—1982.—Т. 32, вып. 1.—С. 41-57.

Статья поступила 10 сентября 2008 г.

Варзиев Владислав Аликович

Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН, мл. научн. сотр. РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: varzi@yandex.ru

Мелихов Сергей Николаевич

Южный федеральный университет, проф. каф. теории функций и фукцион. ан. РОССИЯ, 344090, г. Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8-А;

Институт прикладной математики и информатики ВНЦ РАН, зав. лаб. компл. ан. РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: melih@math.rsu.ru