К расчету собственных частот крутильных колебаний моторно-трансмиссионной установки транспортных и тяговых машин

УДК 629.114.2

К РАСЧЕТУ СОБСТВЕННЫХ ЧАСТОТ КРУТИЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ МОТОРНО-ТРАНСМИССИОННОЙ УСТАНОВКИ ТРАНСПОРТНЫХ И ТЯГОВЫХ МАШИН

Б.М. Позин

CALCULATION OF THE NATURAL FREQUENCY OF TORSIONAL VIBRATIONS OF ENGINE-TRANSMISSION UNIT OF TRANSPORT AND TOWING VEHICLES

B.M. Pozin

Предлагается метод расчета собственных частот крутильных колебаний моторно-трансмиссионной установки транспортных и тяговых машин без составления и решения частотных уравнений.

Ключевые слова: тяговая машина, моторно-трансмиссионная установка, крутильные колебания, собственная частота.

Method is proposed for calculating the natural frequencies of torsional vibrations of a motor vehicle transmission setting and traction machines without setting up and solving the frequency equations.

Keywords: traction machine, the motor-transmission unit, torsional oscillations, the natural frequency.

В практике машиностроения крутильные колебания, возникающие в двигателе внутреннего сгорания (ДВС) или моторно-трансмиссионной установке (МТУ) транспортных и тяговых машин, неоднократно становились непреодолимым препятствием при создании разного рода машин. Известен опыт Челябинского тракторного завода, Курганмашзавода и др., когда неверное задание некоторых параметров этих систем на ранней стадии проектирования серьезно задержало, а в ряде случаев сделало невозможным доводку машин.

Существуют методы оптимального совмещения характеристик ДВС и гидротрансформатора (ГДТ), обеспечивающие машине наивысшую эффективность путем введения между ними согласующего редуктора [1], однако в практике отечественного и зарубежного тракторостроения не удалось решить проблему крутильных колебаний в системе ДВС - редуктор - ГДТ даже при постановке довольно мощных гасителей.

Методы расчета крутильных колебаний сложных машинных систем достаточно хорошо разработаны. Однако они довольно трудоемки. Расчет включает в себя два основных этапа: составление уравнений движения колебательной системы и нахождение частот собственных колебаний как результат решения частотного уравнения [2, 3].

Покажем, как упростить нахождение собственных частот, если известна динамическая модель системы, без составления и решения частотных уравнений, сведя задачу к нахождению корней характеристического уравнения некоторой матрицы, численное решение которой дается в пакете Mathcad, встроенными процедурами.

Рассмотрим для примера динамическую модель МТУ (рис. 1).

I I сі I3 с2 In- 1 In- сп-1 1-

Рис. 1. Динамическая модель МТУ

Расчет и конструирование

Математическая модель движения этой динамической системы может быть представлена в виде системы п дифференциальных уравнений второго порядка:

/1(р1 = сх (2 -ф1 );

12ф2 = _С1 (ф2 - ф1 ) + c2 (ф3 - ф2 );

4—1фn—1 = cn—1 (n (n—1 ) cn—2 ( (n—1 (n—2 );

In ф n =—cn—1

где сi - жесткость i-го участка трансмиссии; I - момент инерции i-й массы; фг- - угол поворота i-й массы.

Решениями системы (1) являются уравнение равномерного вращения ф0 = a0 + roí и уравнения упругих колебаний:

фг- = a, sin

Подставляя (2) в (1) получим: c1 p2—a1 )=— 11 p 2a1;

c2(a3 - a2) -c1(a2 - a1) = -I2p a2;

cn-1 (n - an-1 ) - Cn-2 (n-1 - an-2 ) = -In-lP4-1;

- cn-l(°n - an-1 )=- InP 2an

Элементарными преобразованиями система (3) приводится к виду:

2 *

(-c1 +11 p )а1 + с1а2 = 0;

2

с1а1 + (- c1 - c2 +12p )а2 + с2а3 = 0; с2а2 + (-c2 - c3 +13p )а3 + с3а4 = 0;

сп-2аn-2 + (-Cn-2 - cn-1 + In-1 p H-l = 0; сn-1аn-1 + (-cn-1 + Inp 2)аn = 0

Система (4) есть система однородных алгебраических уравнений относительно неизвестных амплитуд. Условием существования ненулевого решения этой системы является равенство нулю определителя матрицы А (рис. 2).

Рис. 2. Матрица А

Это обстоятельство и служит основанием для составления частотного уравнения. Действительно, вычисляя определитель матрицы А, получаем алгебраическое уравнение порядка п относительно квадратов частот. Решая это уравнение тем или иным способом, получим п - 1 час-

Позин Б.М.

К расчету собственных частот крутильных колебаний моторно-трансмиссионной установки...

тот собственных колебаний и одну скорость общего вращения. Можно, однако, предложить другой способ нахождения собственных частот системы без составления и решения частотного уравнения.

Разделим в матрице А каждый /-й столбец на -1/.

Матрица А преобразуется к виду (рис. 3).

7 с Л

А1 :=

/'-о Л

( -о1 1

ч :2 у

о1 + о21

^ у

"(-о)2_

_ :2 _

/'-о Л

Г с2 + оз1

I

( -о 2 1

п-2

о о + о і

п-2 п-1

I

2

Р

п-1 у

(о Л (о Л

п-1

п-1

п-1

I

Рис. 3. Матрица А1

Ясно, что определители этих матриц равны.

Матрица А1 является характеристической матрицей матрицы А2 (рис. 4) [4].

(оЛ /'-сЛ

Г-сЛ

о + о 1 2

-о

'(-о)2' (о + о ^ 2 3 ( -о3 1

Л2:=  _ Д2 _ ч Т3 у Ч *4 У

п-2

п-2 п-1

п -1

Рис. 4. Матрица А2

Характеристические корни А2 имеют, таким образом, в рассматриваемой задаче смысл квадратов собственных частот колебаний.

В пакете Mathсad имеется встроенная программа нахождения характеристических корней матрицы eigenvals, применив которую к матрице А2 получим весь спектр квадратов собственных частот.

Пример. Путь имеется трехмассовая система с характеристиками: с = 211 • 106; с2 = 14,8 • 106;

1\ = 17 000; 12 = 85 000; 13 = 27 000; р = ю = 122,166 (пример заимствован у Я.Г. Пановко [4]).

Составим матрицу А2 и применим к ней встроенную процедуру eigenvals (рис. 5).

1

2

Р

I

2

2

Р

I

I

3

2

Р

I

3

I

2

Р

п

1

I

2

1

2

I

I

2

3

Расчет и конструирование

Извлекая квадратные корни из членов результирующей матрицы, получим собственные частоты: р1 = 26,303 (26,3) с-1; р2 = 122,147 (122,5) с-1; частоту общего вращения р3 = 0. В скобках приведены собственные частоты, вычисленные Я.Г. Пановко.

( 4 ^

1.492 • 10

eigenvals A2) :=

-3.305 • 10 691.833

- 13

V

У

А2 :=

-С,

^2

-с

2

L

С

2

L

2 3

Рис. 5. Применение процедуры eigenvals к матрице А2

С

1

Литература

1. Бабаков, И.М. Теория колебаний /И.М. Бабаков. - М. : Наука, 1963. - 559 с.

2. Злотник, М.И. К вопросу оптимального совмещения характеристик двигателя и гидротрансформатора /М.И. Злотник // Тракторы и сельхозмашины. - 1967. - № 6. - С. 18-19.

3. Курош, А.Г. Курс высшей алгебры / А.Г. Курош. - М. : Физматгиз, 1968. - 431 с.

4. Пановко, Я.Г. Основы прикладной теории упругих колебаний /Я.Г. Пановко. - М. : Машиностроение, 1967. - 316 с.

Поступила в редакцию 27 февраля 2012 г.

Позин Борис Михайлович. Доктор технических наук, профессор кафедры «Автомобили», Южно-Уральский государственный университет. Область научных интересов - колесные, гусеничные и дорожно-строительные машины (теория движения, устойчивость, оптимальное проектирование). Тел.: (351) 772-83-40; e-mail: POBOR1@mail.ru

Boris M. Pozin. The doctor of engineering science, professor of “Automobile” department, South Urals state university. The area of scientific interests - wheel, track and road-construction vehicles (the theory of motion, stability, optimum design). Tel.: (351) 772-83-40; e-mail: POBOR1@mail.ru