Кинетическое описание бесстолкновительного электронного потока в скрещенных электрическом и магнитном полях

УДК 537.521

КИНЕТИЧЕСКОЕ ОПИСАНИЕ БЕССТОЛКНОВИТЕЛЬНОГО ЭЛЕКТРОННОГО ПОТОКА В СКРЕЩЕННЫХ ЭЛЕКТРИЧЕСКОМ И МАГНИТНОМ ПОЛЯХ

Н.В. Шумилин, В.П. Шумилин, Е.Н. Чумаченко

В статье рассматривается задача о бесстолкновительном электронном потоке в скрещенных электрическом и магнитном полях. Получено общее решение кинетического уравнения для изотропной в пространстве скоростей начальной функции распределения. Рассмотрена задача о структуре электронного облака вблизи нагретой металлической поверхности в магнитном поле. Проведено сравнение кинетического решения и описания с помощью модели холодной плазмы

Ключевые слова: скрещенные поля, кинетическое уравнение, функция распределения

Электрические ракетные двигатели (ЭРД) в настоящее время широко используются в качестве двигателей коррекции орбиты долгоживущих космических аппаратов. Так принято называть плазменные двигатели на основе электрического газового разряда в скрещенных электрическом и магнитном полях с замкнутым дрейфом электронов [1, 2]. В ЭРД такого типа рабочий газ подается в разрядную камеру, где подвергается интенсивному ионизационному выгоранию под действием потока ускоренных (холловских) электронов. Образовавшиеся при этом ионы ускоряются в электрическом поле разряда, и создают тягу ЭРД. В процессе ионизации рабочего газа принимает участие лишь незначительная доля холловских электронов, поэтому их движение можно считать бесстолкновительным.

В [3, 4] были рассмотрены различные способы описания электронного потока в диодном промежутке с монотонным распределением потенциала без магнитного поля. Было показано, что для корректного описания электронного потока в столь неравновесном состоянии, как в диодном промежутке, следует исходить из кинетического описания.

С точки зрения ЭРД наибольший интерес представляет задача об электронном потоке в скрещенных электрическом и магнитном полях. Рассмотрим более подробно кинетическое описание этой задачи.

Пусть электрическое поле

антипараллельно оси 2 ( Е — (0,0, Е(г)),

Е(£) < 0), а магнитное поле направлено вдоль оси у ( Н = (0,Н(г),0)). Следуя [5], будем предполагать однородность электронного потока в поперечном к оси 2 направлении

А=0;±=о.

дх ду Таким образом, стационарный поток электронов в промежутке описывается функцией распределения по скоростям Я^,у) = /(г,ух,уу,у1).

Рассматривая стационарное,

бесстолкновительное движение электронов, кинетическое уравнение для нашего случая запишем в виде

dL.

dz

df

df

E(z) + —H(z) M- +------------------------------------z-H(z)^- = 0,

m\ с J 8v, m с dvr

где е и т - абсолютное значение заряда электрона и его масса.

В качестве катода будем рассматривать термокатод. В этом случае магнитное поле практически не влияет на характер электронной эмиссии, поэтому, с учетом обратного потока электронов, примем в качестве граничного условия полностью изотропную в пространстве скоростей функцию распределения

/о =/(z,v)L =-

An j~F(y)v2dv

Шумилин Николай Владимирович - МИЭМ, аспирант, e-mail: shumilinhell@mail.ru

Шумилин Владимир Павлович - ФГУП ВЭИ, канд. физ.-мат. наук, e-mail: vladimirshumilin@yahoo.com Чумаченко Евгений Николаевич - МИЭМ, д-р техн. наук, профессор, e-mail: kommek@miem.edu.ru

где

концентрация электронов на

поверхности эмиттера; Е(у) - произвольная функция от модуля скорости, такая что

^Р(у)укс1у<оо; к —1,2,3,....

Поскольку движение электронов вдоль оси у является свободным, можно вообще

V

п

о

о

n

о

о

исключить его из рассмотрения, используя «редуцированную» функцию распределения

g(z,vx,vz)= //(^Г1?ГТ?Г.)<Л’Т •

Тогда вместо уравнения (1) будем иметь

% в Г, 2кя^1^ + ^2кяи)^ = 0.

т с Зу„

V -----------Е

ог т

Из(2) получим

8о =Я(гп’1,у.)и =

2я|^001,2сЛ’

V ,

Іл/у2-«2

2 2 2 и~ -лг.+лг.

где

распределения

Таким образом, функция на катоде изотропна в плоскости (ух , у ) .

Уравнение (3) имеет две характеристики

і і 2ет

К + К-------^ = согЫ .

т

-----А(г) = сопэ!,

тс

где использованы скалярный(

Е{г) - -с!(р{г) 1с1г) и векторный(

Н{г) - с1К(г)/ск) потенциалы. Таким образом, решением кинетического уравнения (3) с граничным условием (4) будет функция распределения

г / М: п.'/м: *

g(zvx,v:) = —^----- ^

F(v)vfi?v

2п ^Р(у)у2 (1у

2«р

Определим область интегрирования Г(г) на плоскости (V’,., ), Из (5) и (6),

очевидно, следует неравенство

2в 2в (в V

V; + V, — А

тс т \тс )

которое выделяет на плоскости

параболическую запрещенную область Г,.

(см. Рис. 1). Зная функцию распределения (7) и область интегрирования (8), можно вычислить любые средние величины для электронного потока. Например, концентрация электронов вычисляется с помощью соотношения

ф) = >

Г

В качестве примера рассмотрим следующую задачу. Пусть имеется постоянное магнитное поле Н0. Внесем в него нагретый металлический стержень так, чтобы магнитное поле было параллельно оси стержня. В результате термоэмиссии металлическая поверхность будет служить источником электронов, которые, развернувшись в

магнитном поле, будут возвращаться обратно на поверхность стержня. Предположим, что все вылетающие с эмиттера электроны имеют одинаковые модули скорости, то есть их функция распределения имеет вид Е(у) - 8(у —(V»

где <у> = >/877 пт - средний модуль

скорости электронов, Т - температура стержня в энергетических единицах. Предположим также, что электрическое поле отсутствует. Тогда для концентрации электронов из (7 - 9) получим

п(1) = —— Э((г)----------------------А(г)) [ агсшз

л(у) 2тс е 3

Т~А^

-А(г)-и

исіи

где 9 -функция Хевисайда.

Если температура стержня не велика, то концентрация электронов и холловский ток вблизи стержня будут малы, то есть мы можем считать, что внешнее магнитное поле практически не искажается. Полагая магнитное поле постоянным А(г) = Н0г,

получим

п

где

*0 =

= 13(1-1-5-) Г ^ 2 Я •>

агссов

--5

,

со

еН„

- ларморовский радиус электронов, имеющих скорость (г), в магнитном поле Н() .

Зависимость концентрации электронов от координаты (10) изображена на рис. 2 (кривая 1). Электронное облако в этом случае имеет конечный размер по оси 2 , равный 2^ -

п

О

е

тс

2 ею(г)/т

и

т

2

п

8

диаметру ларморовской окружности. Концентрация монотонно спадает с увеличением расстояния от эмиттера. На одном ларморовском радиусе

концентрация спадает примерно до 0.371и0. В два раза концентрация уменьшается на расстоянии, равном примерно 0.688^ .

Характер этой зависимости

принципиально отличается от результата, который дает модель холодной плазмы [4] для рассматриваемого случая

п(г) 1 •

т

V

В модели холодной плазмы концентрация монотонно возрастает, а отсечка происходит при г — 1([] 12 . поскольку начальная гидродинамическая скорость электронов равна (г)/2. Рис. 2 иллюстрирует это различие (кривая 2).

Литература

1. Горшков О.А., Муравлёв В.А., Шагайда А.А. Холловские и ионные плазменные двигатели для космических аппаратов. М.: Машиностроение, 2008. 280 с.

2. Морозов А.И. Физические процессы в СПД. В кн.: Энциклопедия низкотемпературной плазмы. Т. III. М.: Наука, 2000. С. 443.

3. Шумилин Н.В., Шумилин А.В. Описание электронного потока в диодном промежутке в электрическом поле. VIII Конференция молодых ученых, посвященная Дню космонавтики и 50-летию полета Юрия Гагарина. Фундаментальные и прикладные космические исследования. Программа. Тезисы докладов. Москва. ИКИ РАН. 14 - 15 апреля 2011. С. 96.

4. Шумилин Н.В., Шумилин А.В. Описание электронного потока в вакуумном промежутке в электрическом поле. XIX международная студенческая конференция-школа-семинар «Новые информационные технологии». Тезисы докладов. Москва, 2011. С. 116.

5. Власов М.А., Жаринов А.В., Коваленко Ю.А. К теории разряда в скрещенных полях. ЖТФ. 2001. Т. 71. Вып.12. С. 34.

6. Биттенкорт Ж.А. Основы физики плазмы. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2009. 584 с.

1-4

V*o

Московский государственный институт электроники и математики

KINETIC DESCRIPTION OF COLLISIONLESS ELECTRIC CURRENT IN CROSSED

ELECTRIC AND MAGNETIC FIELDS

N.V. Shumilin, V.P. Shumilin, E.N. Chumachenko

The paper considers the problem of collisionless electric current in crossed electric and magnetic fields. A general solution to the kinetic equation for an initial distribution function isotropic in the velocity space is achieved. The problem of electronic cloud in the vicinity of a heated metal surface in a magnetic field is being considered. A kinetic solution and a description using the model of cold plasma are being compared

Key words: crossed fields, kinetic equation, distribution function