Асимптотическое поведение решения задачи кручения радиально-неоднородной трансверсально-изотропной сферической оболочки

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

УДК 539.3

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КРУЧЕНИЯ РАДИАЛЬНО-НЕОДНОРОДНОЙ ТРАНСВЕРСАЛЬНО-ИЗОТРОПНОЙ СФЕРИЧЕСКОЙ ОБОЛОЧКИ

Н.К. АХМЕДОВ

(Бакинский государственный университет),

Т.Б. МАМЕДОВА

Исследована задача кручения радиально-неоднородной трансверсально-изотропной сферической оболочки методом однородных решений. Получены асимптотические разложения однородных решений, показано, что напряженно-деформированное состояние складывается из проникающего напряженно-деформированного состояния и решения характера пограничного слоя. В случае существенной анизотропии некоторые погран-слойные решения не обладают свойством затухания и могут охватывать всю область, занятую оболочкой. Ключевые слова: радиально-неоднородная сферическая оболочка, пограничный слой, однородные решения.

Введение. В современной инженерной практике широко используются неоднородные тонкостенные конструкции. Сложная природа явлений, возникающих при деформации неоднородных конструкций, приводит к созданию многих прикладных теорий, каждая из которых построена на основе определенной системы гипотез. Несмотря на существование целого ряда прикладных теорий слоистых оболочек, области их применимости мало изучены. Сам факт существования различных прикладных теорий для слоистых оболочек ставит задачу их критического анализа на основе строгого математического подхода. Вопросы, связанные с изучением напряженно-деформированного состояния для слоистых конструкций, могут быть корректно решены только в рамках теории упругости. Вместе с этим требуется дальнейшее развитие методов решения трехмерных задач неоднородных оболочек, наиболее адекватно учитывающих и механическую, и геометрическую структуру.

В статье изучается задача кручения радиально-неоднородной трансверсально-изотропной сферической оболочки.

Постановка задачи. Рассмотрим задачу кручения радиально-неоднородного трансверсально-изотропного сферического слоя. Обозначим через Г = |г е[г1,г2];0е[01,02];фе [0,2л:]} область, занятую оболочкой (г, 0, ф - сферические координаты). Будем считать, что модули сдвига G = G (г), G1 = G1 (г) - произвольные положительные кусочно-непрерывные функции переменной г.

Уравнения равновесия в перемещениях при отсутствии массовых сил имеет вид [1]

д_

дг

а

и

V

дг

+ -

зо (ди,

л

дг

ф

г

О

( я2

+Г7

д2и

- +

де2 де

диФ + ^2Є

^е——г— и,

sin 0

= 0.

Здесь иф = иф( г; 0) - компонента вектора смещения.

Предположим, что лицевые поверхности свободны от напряжений

Гф

= Оі

диФ

дг

%

г

= 0,

г

Г=Г

а на конических поверхностях

G і r )f du,

a-=^^ ~^- UTCtg0

r d0

0=0s

где (г)- достаточно гладкие функции, удовлетворяющие условиям равновесия.

Решение (1) отыщем в виде

иф(Ге) = Ч(г)т(е), где т (е) - решение уравнения Лежандра [2],

1 1

m"(0) + ctg0m,|0) + l z2--------г

4 sin2 0

После подстановки (4) в (1), (2) с учетом (5) имеем:

m

і0)=0

сі r )^

+

3Gi іr)L^ сіr)л

с і r

і r )--

+

+

V 4 --'2 >і' )=о,

f # / \ сіr)і

с і' • ) W

V V r J

(6), (7) представим в следующем виде где

Ac =

= 0.

Ac = ^с,

Glіг) и'іг)-

V

сі r )^

3rG1 і r)

G і r)

с'і r )-

сі r)

f . / ч сіr )і

с і' .)—W = 0 ,

V r J r=rs

Введем гильбертово пространство Н со скалярным произведением

г2

(и, w)Н = |Guwdr .

<1

Лемма. Оператор А: Н ^ Н неотрицателен.

Доказательство. После интегрирования по частям и учета условий (7) получаем

dи и^2 2

іAu,с)н =|G1іг)\-dr-7 і '2drг0

Из (9) вытекает доказательство утверждения леммы.

Ненулевые собственные значения оператора А Xк > 0, Xк ^ да при к ^ да,

во собственных функций (ик }да=0 образует ортогональный базис пространства Н, т. е.

г2

(«к> и»)н = , ак = (Чк>Чк)Н =1 °(ГК (Г)Ф ,

r

r

r

r =r.

r

r

9

2

4

множест-

во)

k>H

и для всех и є Н справедливо представление

ад

и=Е ск и, ск = .

к=0

При этом X = X0 = 0 - собственное значение оператора А : Н ^ Н, и ему соответствует собственная функция и0(г) = г .

Выражение

u

фk '

іr, 0) = mk і0)ck іr)

считаем элементарным решением. Отметим, что

m0 = Д, sin 0 + B0 — sin 0 ln Ictg2 + ctg0^,

2

2 J

m

k = AkPZt-1/2 іc0s 0) + BkQ1k-1/2 іc0s 0) ,

где zk = V9/4 -X, ;P( cos 9), Q1 -1/2 (cos9) - присоединенные функции Лежандра первого и второго рода, соответственно; A,, B, - произвольные постоянные.

Любое решение (1), удовлетворяющее граничным условиям (2), можно представить в виде

V r,

Xr, 0)=uф0 іr, 0)+Z u<* іr 0).

k=1

На основании (11)-(14) имеем

2G і r) B0 +Z іr )і Чі0)- mk І0) ctg0),

• 2 n "0 1 ^k

sin 0 k=1 r

°гф=Е G1іr) ckіr)- r

k=1 V '

ck іr)Л

m

І0).

Из (15), (16) видно, что постоянная A0 соответствует перемещению сферы как абсолютно твердого тела. Поэтому можно считать Ао = 0 .

Докажем, что постоянная Во при отсутствии внешних усилий на боковых поверхностях пропорциональна крутящим моментам Мкр напряжений, действующим в сечении 9 = const. Отметим, что

r2

МКр = 2 л sin2 9j 09/2dr .

ri

Подставляя (15) в (17), получаем

r2 ш f r2 ^

Мкр = -4лВ0 jr2G

k=1

Vr1

Умножая обе части (6) на r3 и интегрируя полученное в [ r1, r2 ], имеем

9 у2 '2

Z2 - 4 |IrG і ' )ck і ' ) dr = I''

с

і r )|V 3G1і r)

+

JJ

ckі r )-

ck іr)л

dr.

r

r

r

С помощью интегрирования по частям и с использованием граничного условия (7) из (19) получаем

| Ю (г )ик (г) dr = 0.

гі

После подстановки (20) в (18) получаем

г2

Мкр = -4тсВ01 г 2G (г ) dr .

Подставляя (15) в (3) и умножая скалярно на ц (t = 1, 2, ...) при учете условий (10),

имеем

І г2

(тк (0)- тк (0) ctge)|e=e = — |^ (г )ик (г) л-

5

М

кр

2%л0лк ^п 0 г

2

2п I ^

Постоянные Ак, Вк определяются из системы (22).

Рассмотрим несколько частных случаев зависимости упругих характеристик от г. Квадратичная зависимость. Допустим, у сферической оболочки малой толщины модули сдвига заданы в виде функций

G

где g0, g1 - постоянные.

С учетом зависимостей (23) из (6), (7) имеем

г2 и"( г) + 4г и'( г) +

и( г) = 0,

( г 2и'( г )- ги( г )) = 0.

Г_гг

Общее решение (24) имеет вид:

и+3)

и(г) = D1r ^ 2'+ D2r 2,

где D1, D2 - произвольные постоянные, t =

25 + * I -! - 9 I •

4 g1

С помощью (26) удовлетворяя граничным условиям (25), относительно ц и D2 получаем

однородную линейную систему алгебраических уравнений. Из условия существования нетривиальных решений этой системы имеем характеристическое уравнение:

г

і

Здесь 8 = — 1п

2

- малый параметр, характеризующий толщину сферической оболочки.

V Г1 У

Проведем анализ корней уравнения (27).

Функция Д1 (z, в) при в —— 0 имеет две группы нулей со следующими асимптотическими свойствами:

- + + з

- первая состоит из нулей zo = +—;

0 2

- вторая состоит из счетного множества нулей:

г

2

zk =±<

9 gl

4 4 go

25 +

_2z г Л

к k

которые при в —— 0 стремятся к бесконечности.

Определим перемещения и напряжения, соответствующие нулям го; = ±3,

0 2

(

1 .

(r, e) = D0r — sin e ln I ctg2 — | + ctge

Л

V'

г )

а(1) = o а(1) = o gor

-Гф = 0 -Єф =---------ГТ7Т

sin e

Перемещения и напряжения, соответствующие второй группе нулей, имеют вид

"І2,і г

(r; e) = Z'

-3/г

k=1

кк

-------cos

s

Л

к* in ( гг

і 2s і r))

+ 5 sin

Kk ln f Гг

\V

-Гф =Z gl'

1

к=1

25 K2k

- + -

І 2 2s2 )

sin

кк, — ln

2s

і2s Іr))

m

а

(2) _

= Z go

Є(р / у 60

k=1

in (Г2 Т Kk f

5 sin cos

2 СО r s І

І r2 ))

r

—ini 12 2s І r y

mk (e),

(e),

(mk (e)- mk (e) ctge).

(29), (30) определяют внутреннее напряженно-деформированное состояние оболочки. Постоянная D0, входящая в (29), (30), пропорциональна крутящему моменту Мкр напряжений, действующих в сечении 9 = const. Таким образом

4ngo

МKp =-------°152 4 Do.

Для второй группы корней главный член асимптотического решения уравнения (5) имеет

вид

m,

(e) =

^к2k2 Y1/4 l

4 go

-s/sin e

exp

І '*0 ) в окрестности e = e1 ;

^к2 k2 Y1/4 1

r fJF(e-el)](1+0(s));

^ V *0

4g

-v/sin e

exp

(e e2 ) |(l + 0 (s)) ;

лк

,2в\ ^0 у

в окрестности 0 = 02.

Напряженное состояние, соответствующее второй группе решений, имеет характер пограничного слоя.

Из (32) видно, что в отличии от изотропной оболочки при фиксированных значениях к и

при больших значениях

— (сильная анизотропия) некоторые погранслойные решения не обладают свойством затухания и могут проникать глубоко и существенно менять картину напряженно-деформированного состояния вдали от торцов [3-6].

2

8

2

Линейная зависимость. Допустим модули сдвига заданы в виде:

G (r ) = gor; Gl (r ) = glr ,

где g0, g1 - постоянные.

С учетом (33) из (6), (7) имеем

r2 и"( r) + 3ru'( r) +

go I 9 - z2 gl 14

-3

u( r) = 0,

(ru'( r )-U( r ))| =r = 0.

Решение (34) имеет вид

u( r ) = D3rp 1 + D4r

где D3, D4 - произвольные постоянные; p =

4 + &0 I г2 — I .

& I 4 У

С помощью (36) удовлетворяя граничным условиям (35), получаем характеристическое уравнение:

9

9

(

А2(z;s) = Iz2 -т |sh

4

= o.

Уравнение (37) имеет две группы корней:

- + + 3

- первая состоит из корней го = +—, которые не зависят от в;

02

- вторая состоит из счетного множества корней

zk =±<

9 g1

(

4 go

которые при s —— 0 стремятся к бесконечности.

4 +

4s2

3

Перемещение и напряжения, соответствующие корню Zq = ±—, имеют вид

2

и

W.

el

(r, e) = E0r — sin e in I ctg2 — | + ctge

Л

2 )

у(ф - I Гф

2E0 go r

-” = 0, -фє = - ““Т“°77Г

sin e

Формулы (39), (40) определяют внутреннее напряженно-деформированное состояние оболочки. Постоянная Eq пропорциональна крутящему моменту Мкр напряжений, действующих

в сечении 9 = const, таким образом,

Mkp =-к?0 (r24 - rl4 ) E0 .

Перемещение и напряжения, соответствующие второй группе корней, по своей структуре имеют вид (31) и соответствующее напряженное состояние имеет характер пограничного слоя.

+ 3

Заключение. Решения, соответствующие корню zoo =±—, определяют внутреннее напряженно-

0 2

деформированное состояние оболочки. Напряженное состояние, соответствующее второй группе корней, с порядком O (s-1) имеет характер пограничного слоя. В случае «сильной анизотропии»

некоторые погранслойные решения не затухают, могут проникать достаточно глубоко и менять картину напряженно-деформированного состояния вдали от торцов.

Библиографический список

1. Лехницкий С.Г. Теория упругости анизотропного тела / С.Г. Лехницкий. - М.: Наука, 1977. - 415 с.

2. Бейтмен Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. - М.: Наука, 1965. - 294 с.

3. Боев Н.В. Пространственное напряженно-деформированное состояние трехслойной сферической оболочки / Н.В. Боев, Ю.А. Устинов // Механика твердого тела. - 1985. - № 3.

- С. 136-143.

4. Устинов Ю.А. Математическая теория поперечно-неоднородных плит / Ю.А. Устинов.

- Ростов н/Д: ЦВВР, 2006. - 257 с.

5. Мехтиев М.Ф. Метод однородных решений в анизотропной теории оболочек / М.Ф. Мех-тиев. - Баку: Чашы-оглы, 2009. - 334 с.

6. Ахмедов Н.К. Анализ структуры пограничного слоя в задаче кручения слоистой сферической оболочки / Н.К. Ахмедов, Ю.А. Устинов // Прикладная математика и механика. - 2009.

- Т. 73. - Вып. 3. - С. 416-426.

Материал поступил в редакцию 01.03.11.

References

1. Lehnickii S.G. Teoriya uprugosti anizotropnogo tela / S.G. Lehnickii. - M.: Nauka, 1977.

- 415 s. - In Russian.

2. Beitmen G. Vysshie transcendentnye funkcii / G. Beitmen, A. Erdeii. - M.: Nauka, 1965.

- 294 s. - In Russian.

3. Boev N.V. Prostranstvennoe napryajenno-deformirovannoe sostoyanie trehsloinoi sfericheskoi obolochki / N.V. Boev, Y.A. Ustinov // Mehanika tverdogo tela. - 1985. - № 3. - S. 136-143. - In Russian.

4. Ustinov Y.A. Matematicheskaya teoriya poperechno-neodnorodnyh plit / Y.A. Ustinov. - Rostov n/D: CVVR, 2006. - 257 s. - In Russian.

5. Mehtiev M.F. Metod odnorodnyh reshenii v anizotropnoi teorii obolochek / M.F. Mehtiev.

- Baku: Chashy-ogly, 2009. - 334 s. - In Russian.

6. Ahmedov N.K. Analiz struktury pogranichnogo sloya v zadache krucheniya sloistoi sfericheskoi obolochki / N.K. Ahmedov, Y.A. Ustinov // Prikladnaya matematika i mehanika. - 2009. - T. 73.

- Vyp. 3. - S. 416-426. - In Russian.

ASYMPTOTIC BEHAVIOR OF SOLUTION TO TORSION PROBLEM

FOR RADIALLY INHOMOGENEOUS TRANSVERSALLY ISOTROPIC SPHERICAL SHELL

N.K. AKHMEDOV

(Baku State University),

T.B. MAMEDOVA

A torsion problem of the radially inhomogeneous transversally sotopc spherical shell is investigated by the method of homogeneous solutions. Asymptotic expansions of homogeneous solutions are obtained. It is shown that the stress-strain state is composed of the penetrating stress-strain state and the boundary layer character solution. In case of the essential anisotropy, some boundary layer solutions don't possess the damping property, and they may cover the whole area occupied by the shell.

Keywords: radially inhomogeneous spherical shell, boundary layer, homogeneous solutions.