Задача Стефана и тепломассоперенос при испарении

УДК 536.2

ЗАДАЧА СТЕФАНА И ТЕПЛОМАССОПЕРЕНОС ПРИ ИСПАРЕНИИ

Р.П. ШПАКОВСКИЙ

Дзержинский политехнический институт НГТУ им. Р.Е.Алексеева,

г. Дзержинск

Проблема тепломассопереноса при испарении рассматривается как дальнейшее развитие и усложнение задач типа Стефана. В частности, это означает обязательное использование в исходной постановке условия сопряжения на фазовой границе (условия Стефана) с учётом в этом условии роли диффузионной составляющей процесса.

Ключевые слова: тепломассоперенос, испарение, сопряжённая задача.

Й. Стефаном было дано классическое решение задачи о промерзании влажного грунта. Позднее решение этого типа задач (задачи отвердевания-плавления) было усовершенствовано Ф.Нейманом. Соответствующая задача (отвердевания-плавления) известна под названием задачи Стефана (или Стефана-Неймана).

Задачу Стефана можно рассматривать как дальнейшее развитие задач с граничными условиями (ГУ) 4 рода, т.е. как решение сопряжённой задачи с граничными условиями в месте контакта двух сред. При этом, как и в обычной задаче с ГУ 4 рода, в задаче Стефана требуются два условия сопряжения на границе сред: по температурам и по тепловым потокам, т.е. по балансу тепла на этой границе.

Однако для указанных задач существуют и серьёзные отличия: так в обычной задаче с ГУ 4 рода температура на границе двух сред является величиной неизвестной (определяемой в ходе решения задачи), тогда как в задаче Стефана температура на фазовой границе известна (равна температуре плавления), но при этом уравнение баланса энергии на границе раздела сред обязано включать затрату тепла на фазовый переход, связанную с количеством превращающегося вещества; величина же последнего заранее неизвестна. Вследствие этого задача Стефана попадает в разряд задач с нелинейным ГУ. По указанной причине считают, что для задачи Стефана возможны лишь приближённые аналитические решения [1].

Уравнение баланса энергии на фазовой границе в задачах рассматриваемого типа принято называть условием Стефана.

Задачу тепломассопереноса при испарении следует рассматривать как дальнейшее усложнение задач типа Стефана. В этом качестве она представляет собой задачу, сопряжённую по фазам. Но при этом дополнительно к фазовому переходу на границе двух сред (жидкой и газовой, или - в случае сублимации - твёрдой и газовой) процесс осложняется диффузионным переносом, по меньшей мере, в газовой фазе (в случае испарения многокомпонентной жидкости соответственно и в жидкой фазе). Кроме этого, существенную роль играют гидродинамические, геометрические и граничные условия в каждой из фаз.

В общем случае это создаёт большие теоретические трудности даже применительно к стационарному процессу испарения с непрерывной подачей испаряемой жидкости к неподвижной границе раздела фаз.

© Р.П. Шпаковский Проблемы энергетики, 2012, № 9-10

Есть ещё один момент, существенно усложняющий теоретический анализ (и соответственно решение) сопряжённой задачи тепломассопереноса при испарении по сравнению с обычной задачей Стефана: температура поверхности раздела фаз (температура поверхности испарения), вообще говоря, неизвестна и сама зависит от ряда факторов, определяющих процесс (см. в этой связи [3]).

Запишем условие Стефана применительно к задаче испарения чистой жидкости в

форме

Я = 7г + Яж ,

где я — плотность потока тепла от газовой фазы к поверхности испарения; 7 — плотность потока пара; г — удельная теплота фазового перехода; яж - плотность потока тепла от поверхности испарения в жидкость.

Полагая, что процесс переноса тепла с газовой стороны непосредственно на границе раздела фаз имеет чисто молекулярный характер, выразим

Я = {ХдТ/ду\,

где X - коэффициент теплопроводности парогазовой смеси у поверхности испарения; Т - температура; у - координата, направленная по нормали от поверхности испарения в сторону газовой фазы; индекс соответствует поверхности испарения. Запись (1) отвечает тому, что тепловой поток положителен, будучи направлен от газа к поверхности испарения: дТ/ду > 0 , если Т^>ТМ> (индекс «/» соответствует основному

газовому потоку).

Запись (2) в форме закона Фурье отвечает тому, что имеет место и в классических задачах типа Стефана, и хорошо известна по обычным задачам конвективного теплопереноса. Она признана и в задачах испарения (применительно к процессам испарения этот вопрос специально разбирался в работе [4] через запись уравнения баланса энергии для объема, содержащего обе фазы, и стягивания поверхности этого объема к поверхности раздела фаз).

Плотность потока массы пара от поверхности испарения в газовую фазу выразим

в виде

( Бр дС1 ^

] = - , (3) I С2 дУ К

т.е. с учётом стефанова потока от поверхности испарения в в газовую фазу.

Здесь Б - коэффициент взаимной диффузии; р - плотность парогазовой смеси;

С1, С2 - концентрации (массовые доли) соответственно пара и второго компонента

бинарной парогазовой смеси (С + С2 = 1).

При этом для данного испаряемого вещества существует термодинамическая

связь

С1 = С1

Возникает вопрос, как должна решаться рассматриваемая сопряжённая задача. Достаточно естественным ответом представляется изыскание возможности её разделения на две задачи, описывающие процессы в каждой из фаз, получением соответствующих решений и последующей их «стыковкой».

А.В. Лыков писал по поводу сопряжённых задач [5]: «Решение сопряжённых задач теплообмена связано с преодолением принципиальных математических трудностей. Основная трудность состоит в том, что приходится решать систему уравнений в частных производных, имеющих различный вид на различных интервалах; в случае стационарных задач мы сталкиваемся даже с дифференциальными уравнениями различных типов: для жидкости [текучей среды] получается уравнение в частных производных параболического типа, а для твёрдого тела эллиптического типа. Наиболее рациональным подходом к решению сопряжённых задач является введение на границе сопряжения неизвестной функции, равной температуре или тепловому потоку на этой границе, которое позволяет свести систему уравнений в частных производных к двум «несвязанным» краевым задачам. Неизвестная функция определяется в дальнейшем из оставшихся условий сопряжения».

Трудности, возникающие при решении сопряжённых задач, связаны не только с ходом математического решения, но и с самой постановкой таких задач даже при условии, что решение возможно на эмпирической основе.

В частности, аналогично тому, о чём шла речь в вышеприведённой цитате, для проблемы тепломассопереноса в процессе испарения возникает вопрос о возможности при переходе от сопряжённой задачи к рассмотрению задач, разделённых по фазам, использования для каждой из них ГУ первого рода, т.е. условного введения, вообще говоря, неизвестной температуры поверхности испарения.

Ответ на этот вопрос видится положительным, но только в случае, если условие сопряжения (1) остаётся включённым в исходную постановку задачи, а сама температура поверхности идентифицируется в ходе дальнейшего решения.

(Замечание. В настоящее время в теории теплопереноса уже стало общепризнанным, что «граничные условия отображают условия теплового взаимодействия (выделено нами - Р.П.) между окружающей средой и поверхностью тела» [6]. В этой связи понятно, что граничное условие первого рода в любом случае представляет собой упрощенный способ задания ГУ.

Авторы [1] пишут: «...круг таких практических задач [с ГУ первого рода] ограничен и относительно простые граничные условия первого рода используются, в основном, при разработке математических методов и оценочных расчётов». Известна трактовка граничных условий 1 рода как частного случая ГУ 3 рода

Другими словами, не только в ходе теоретического анализа, но и в случае получения решения задачи совместного тепломассопереноса с использованием лишь экспериментальных данных, условие сопряжения (1) остаётся в силе. А это означает, что в общем случае испарения при обобщении опытных данных методами теории подобия условие (1) даёт специфическое число подобия, которое отсутствует (оказывается потерянным), если ограничиться упрощенными способами задания ГУ на фазовой границе.

(В этой связи заметим, что, вообще говоря, любая попытка упрощения задачи может вести к похожему результату, т.е. к выпадению некоторого параметра процесса. Так, искусственная замена граничного условия третьего рода на ГУ первого рода в задачах нестационарной теплопроводности ведёт к выпадению числа Био; применение к задаче Стефана о промерзании влажного грунта приближения Лейбензона, в котором для замёрзшей части грунта принимают линейный характер распределения температур, приводит не только к структурно другому характеристическому уравнению, но и к выпадению из решения критерия-симплекса а1/а2 (а — коэффициент

температуропроводности; индексы 1, 2 здесь относятся к разным частям грунта). Примеры такого рода можно умножить.)

Подставляя в условие (1) выражения для плотности потока тепла (2) и плотности

Правая часть уравнения (5) может рассматриваться как комплексный критерий подобия, вытекающий из условия сопряжения (1).

(Замечание. Совершенно чётко прослеживается усложнение критериев подобия, получаемых на основе ГУ, при переходе от более простых задач и соответствующих формулировок граничных условий к более сложным. Например, для системы из двух полуограниченных тел на основе граничного условия сопряжения четвёртого рода

получается критерий-симплекс ¿1/¿2 , где Ь = Л/ХСр ; индексы 1, 2 соответствуют каждому из тел. В классическом же решении задачи Стефана условие сопряжения даёт, по сравнению с предыдущим случаем, три дополнительных критерия-аргумента, а само это условие переходит в характеристическое уравнение, содержащее сложные числа-комплексы.)

В работах Г.К.Дьяконова [8] общими методами теории подобия для процессов физико-химического превращения в числе других критериев было получено число подобия, применительно к фазовым переходам имеющее вид гС^ , где г —

теплота фазового превращения; С - концентрация превращающегося компонента;

Ср - изобарная теплоёмкость; 0 - температурная разность. Г.К. Дьяконов писал:

«Смысл этого критерия заключается в том, что он устанавливает определенную связь между температурным полем и полем концентрации». В другой трактовке данный критерий определялся им как мера «подобия условий материального и энергетического обмена на границах системы».

Комплекс в правой части уравнения (5) по общему смыслу соответствует

рассматриваемому здесь критерию гСЛ (ср В) и может рассматриваться как его более

частная конкретная форма.

Поэтому в работе [9] указанный комплекс был назван критерием Дьяконова (Бк). Условие (1) «сопрягает» не только две фазы, но и две части совместного процесса тепломассопереноса в газовой фазе. Левая часть уравнения (5) при этом отчётливо отражает смысл числа Бк как критерия, связанного с подобием полей безразмерных температур и относительных концентраций в этой фазе.

Остановимся подробнее на этом вопросе и уточним некоторые детали. В целях анализа запишем дифференциальные уравнения сохранения для стационарного ламинарного пограничного слоя на плоской поверхности при не очень больших скоростях газового потока:

уравнение сохранения массы пара

и

и уравнение энергии

dT dT д (. dT W \ „ дС дТ

pcPvx^T + Рcfvy^T ^l + lcpi -cP2)^Р^Г^Г-

дх ду ду { дУ J ду ду

Положим, что в уравнении (7) можно пренебречь диффузионным переносом энтальпий компонентов, что очевидно возможно, если удельные теплоёмкости компонентов близки между собой (Cpi « Cp2) и/или имеют место слабые изменения

концентраций компонентов в пограничном слое; следует также обратить внимание, что рост интенсивности испарения, как правило, связан с увеличением температуры поверхности испарения и возрастанием относительной роли стефанова потока от этой поверхности (по сравнению с ростом градиента концентраций) [10]. Если принять также теплоёмкость парогазовой смеси Cp «const (что связано с предыдущим) и

положить далее: в каждой точке пограничного слоя XjCp = Dp (т.е. Le = DpCp jX = 1),

то, переходя в уравнениях (6) и (7) к введённым выше безразмерным температурам Т и относительным концентрациям Q, видим, что указанные уравнения формально

становятся идентичными и соответственно должны в отношении T и C1 давать одинаковые решения, если краевые условия к этим уравнениям также формулируются «одинаковым» образом.

Предположим, что каждое из этих уравнений (уравнение (6) либо адаптированное вышеуказанным образом уравнение (7)) может решаться как соответствующее условиям начальной задачи Коши. Тогда в задаче совместного тепломассопереноса начальные условия для этих уравнений должны выглядеть как задание на поверхности испарения значений функций C1 и T и задание величин производных (дС1 /ду) и (дТ/ ду) .

Идентичность решений уравнений (6) и (7) (т.е. совпадение полей безразмерных температур и относительных концентраций) потребует при этом идентичности значений на поверхности испарения величин Qw и Tw (что в данном случае осуществляется «автоматически»: Qw = Tw = 0) и одинаковости производных: (дС1/ ду) = (pT/ ду) , т.е. выполнения условия Dk=1.

Соответствующее решение указанных дифференциальных уравнений единственно в классе аналитических функций (теорема С.В. Ковалевской).

Если число Льюиса Le не равно единице, а также является переменным по слою, то можно говорить о подобии (аналогии) полей концентраций и температур, при котором выполняется соотношение

( я-г/я.. Л

дГ! ду

= Le .

Jw

.Щ/су

При этом остаётся в силе также выражение (5), откуда следует, что в данном случае Бк = Ьеи, или Бк/Ьеп = 1. Одновременно возникает дополнительный вопрос, при каких определяющих условиях (температуре и составе) следует брать число Льюиса.

Этот вопрос в проблеме тепломассопереноса не является до конца решённым. Например, в работе [11] авторы, используя численные методы математического моделирования, для процессов пористого вдувания газов в турбулентный пограничный слой получили соотношение

Г дк/ду )

= ЬеП

-W :

Jw

Щ/ду^

где к = (к - кЦ! )Дк/ - ^) - безразмерная энтальпия; показатель п оказался слабой

функцией критериев Рейнольдса, Шмидта и температурного фактора. При этом принималось, что в турбулентной части пограничного слоя критерии Прандтля и Шмидта равны единице, а в ламинарном (вязком) подслое отличны от единицы, постоянны по сечению и равны их значениям на стенке. Таким образом, число Льюиса в этом соотношении относится к границе: пористая поверхность (стенка) - газ.

Нами в работе [10] за практическую основу подобия тепло- и массопереноса в газовой фазе при испарении было взято соотношение

Ки/

получающееся из аналогии критериальных зависимостей тепло- и массоотдачи при

п!

определяющих условиях в основном газовом потоке. Здесь Ки =

(Т/ - ^ )'

/V/

Ки т =---—у^--—^ - числа Нуссельта соответственно для тепло-

(О Р)/ (

) /

массоотдачи; показатель степени у числа Льюиса зависит от условий обтекания и находится в пределах 0,33...0,43. При этом более удобным становится представление комплекса Бк в форме, где группа Ор/Х входит при определяющих условиях, также отвечающих основному газовому потоку.

Выражение (9) используется в работе [10] для определения температуры «мокрого термометра» по соотношению

Бк/Ье/ = 1,

где Бк , Г + Пж/7 • ^ -С1/ -Г

Т/ - ^ С 2w V Х и при определении температуры «мокрого термометра» также пж =0.

Аналогия в совместном процессе тепло- и массопереноса, отвечающая выражениям (8) или (9), весьма близка случаю соответствующих раздельно протекающих процессов.

В то же время можно видеть, что задача испарения не эквивалентна в общем случае проблеме Коши, рассматриваемой по отношению к отделённой задаче тепломассопереноса в газовой фазе (а также и другим традиционным постановкам), и обусловлено это фактическим игнорированием в этих постановках и соответствующих им решениях сопряжённого по фазам характера задачи: условие Стефана (1) и термодинамическая связь (4) должны изначально входить в постановку задачи. Соответственно условие подобия типа (8) или (9) оказывается важным, но, с точки зрения общей постановки задачи совместного тепломассопереноса, частным случаем.

Величина отношения производных (дТ/ду) и (д^/ ду) в совместном процессе

тепломассопереноса в общем случае должна определяться через решение задачи. При этом очевидно, что величина этого отношения связана с размерной величиной температуры поверхности испарения (от которой зависит также значение поверхностной концентрации).

и

В работах [9,12] комплексное число подобия Бк/Ьеи было применено при анализе и обработке опытных данных (наших и ряда других авторов) по пористому испарению жидкостей с подводом тепла от газовой фазы при различных гидродинамических и геометрических условиях в основном газовом потоке, а также наших данных по сублимации ряда тел на переходном элементе трубопровода. Было получено [12], что тепловое число Нуссельта Ки консервативно в отношении параметра

Бку^Ье" , тогда как его диффузионный аналог КитС2„ пропорционален Бку/Ье" в

степени минус единица (число Бк по выражению (10) и имело место Бку^Ье" > 1;

максимальные значения комплекса Бк^Ье" в представленных опытах до двадцати и более).

Объяснение этим закономерностям заключается в лимитирующей роли параметра Бку/Ье" при его значениях, больших единицы, по отношению к

безразмерной интенсивности испарения, характеризуемой комплексом КитС2м>. Например, для легко испаряющихся жидкостей в экспериментах фактическая температура поверхности испарения превышала температуру «мокрого термометра» Тм , что уменьшало саму величину теплового потока к этой поверхности по сравнению со случаем Т№ = Тм ; в то же время при этом, вследствие экспоненциального характера зависимости (4), имело место достаточно заметное увеличение поверхностных концентраций пара.

С другой стороны, не видно физических оснований для иного характера поведения теплового числа Ки, отличного от "обычного". Что касается роли параметра поперечного потока вещества, то в указанных экспериментах имело место

Ь = -.—-—г- < 0,1. (Если же Ь >0,1, то следует ожидать в целом симметричного СР )-^0

влияния этого параметра на тепло- и массоотдачу).

При испарении жидкостей отклонение комплекса Бк^Ье" от единицы было

связано главным образом с тем, что температура поверхности испарения достаточно заметно отличалась от температуры "мокрого термометра" (анализ этого вопроса см. [3,12]); при сублимации главную роль играл отток тепла с поверхности через слой сублимируемого материала.

Вследствие происходящего при Бк^Ье" >1 «относительного торможения»

процесса испарения можно, используя обычные модельные представления теории пограничного слоя, говорить о том, что в непосредственной близости от поверхности испарения производная концентрации пара по координате меняется более медленно, чем в случае аналогии тепло- и массопереноса [12,13]. Эти представления связаны в том числе с тем, что поверхность испарения рассматривается как чисто геометрическая поверхность раздела фаз.

Однако, возможно, нелишне обратить внимание также на кинетику самого процесса фазового перехода при испарении и, в этой связи, на замечание (Лабунцов Д.А., Крюков А.П.), что описание многих неравновесных обменных процессов на границе конденсированной фазы требует учёта наличия кнудсеновского слоя [15]. Применительно к задаче испарения нельзя исключить, что приповерхностный слой с медленно меняющимися концентрациями пара - это, возможно некоторый промежуточный слой между кнудсеновским слоем и пограничным слоем в обычном понимании.

Учитывая сложную структуру комплексного критерия Бку^Ьеп , остановимся на

некоторых частных случаях, возникающих при его применении.

1. Важный теоретически и достаточно хорошо реализующийся практически (испарение капель, сушка в первом периоде) случай, при котором температура поверхности испарения равна температуре «мокрого термометра» Тм. При этом выполняются условия qж =0 и имеет место подобие процессов тепло- и массоотдачи (О связи этих двух условий см. [3]).

г

В этом случае возникает также равенство групп

cpf

C

2w Lef , что при испарении некоторой жидкости (r = const), а также при

C1w - C1 f f

Lef = const, cpf = const и не очень сильно изменяющихся концентрациях второго

компонента на поверхности испарения (C2w «const), можно интерпретировать как приближённую пропорциональность масштабных величин: разностей температур Tf - Tw и концентраций Qw - Q f.

(Заметим, что в более общем случае о пропорциональности этих групп уместно говорить - опять-таки при соответствующих условиях - лишь принимая какое-либо

вполне определённое значение комплекса Dk/Len .)

В общем случае комплекс DkJLen может быть интерпретирован также как мера

отклонения условий на поверхности испарения от тех, что отвечают определению Тм [12].

2. Процессы сублимации при достаточно заметных величинах qж > 0 или

процессы испарения при Tw, не сильно отличающейся от Тм . Параметр Dk^Le" в

экспериментах, рассматривавшихся в работе [12], мог увеличиваться при этом примерно до двух, соответственно относительная интенсивность испарения NumC2w/(NumC2w)o уменьшаться в два раза (индекс «0» отвечает здесь аналогии

процессов тепло- и массоотдачи).

3. Если велико отношение дж/j, то может возникнуть предельный случай дж/ j >> r, когда роль испарения (сублимации) весьма мала, т.е. имеет место практически чистая теплоотдача.

Если r=0 (испарение отсутствует) и = j^ (Tw - Тж), где Тж - температура текучей среды на «бесконечном» удалении от поверхности, то такой случай хорошо

отвечает процессам вдувания газов через пористые стенки в основной газовый поток (индекс «ж» при этом надо понимать как отвечающий вдуваемому газу). Для указанных процессов реализуется подобие тепло- и массопереноса (в смысле соотношения (8) или близких ему), но может заметную роль играть неоднородность газовой смеси в пограничном слое [16].

4. О практически «чистом процессе» испарения при подводе тепла от газовой фазы можно говорить, если отношение дж/- мало (т.е. мало дж , или велико -). При непрерывном движении жидкости к поверхности испарения температура этой поверхности, как об этом уже шла речь выше, в общем случае не равняется температуре «мокрого термометра». Анализ этого случая содержится в работах [3,12].

Если же в случае дж /- ~ 0, температурные напоры в газовой фазе очень

г + д -

большие, а величины Су = 0 , то группа -——-т- ^ 0 , концентрации на

СР/

поверхности испарения С^ ^ 1, С2^ ^ 0 , группа (с^ -С1 у )уС^ При этом

теплоподвод от газовой фазы не лимитирует испарение. Для испарительного охлаждения стенок рассматриваемая ситуация представляется достаточно близкой высокотемпературному испарению капель при Т№ = Тж, т.е. должна разрешаться в

пользу приближённого подобия тепло- и массоотдачи.

5. Если испарение идёт за счёт тепла, подводимого от жидкой фазы, то в выражении (1) и, соответственно, далее надо полагать дж < 0. Лимитирующая роль

теплоподвода от газовой фазы при этом полностью утрачивается.

В опытах [17] экспериментатор (Нестеренко А.В.) располагал нагреватель в толще жидкости вблизи дна сосуда, с поверхности которого шло испарение. Предпринятая нами обработка данных одного из этих опытов, для которого приводятся результаты измерений температурного поля жидкости (воды) у поверхности испарения и соответственно может быть достаточно надёжно определена величина теплового

потока дж, показывает, что комплекс Бку/Ье" весьма близок к единице; также практически равно единице отношение чисел КиmC2w|(КитС2„^ в газовой фазе.

Указанный опыт проводился при вынужденном обтекании поверхности воздушным потоком.

Анализ данных Нестеренко, приведённый в статье [18], также свидетельствует о том, что в этих опытах имело место подобие процессов тепломассопереноса.

В опытах [19] исследователи, используя подогрев жидкостей (вода, метанол, бензол, СС14), создавали большие интенсивности испарения; значения параметра

(с^ - С1 у")!С2„ достигали величины 36,1. Обработка опытных данных в [19] при

этом в целом соответствовала теории вдувания газов в пограничный слой.

В заключение остановимся на вопросе самостоятельного использования в исследованиях по испарению числа подобия типа Г К С») .

Г.К.Дьяконов, рассматривавший возможности применения полученного им критерия гС¡1 (ср»), полагал, что использовавшуюся исследователями при обработке

опытных данных по кипению жидкостей группу г/(с») можно понимать как частный случай: при кипении концентрация пара С^ = 1.

Возможно, что несколько иная точка зрения была у автора монографии [20] С.С. Кутателадзе: «...Видим, что специфические особенности теплообмена при любом физико-химическом превращении характеризуются величиной введенного в своё время г

автором критерия -». Заметим однако, что речь при этом по сути идёт о

сАг

теплообмене при отсутствии его тесной связи с диффузионным процессом.

г

(Можно обратить также внимание, что число - при теоретическом анализе и в

сАг

теоретических решениях задач с фазовыми переходами является частью более сложных комплексов.)

Л.Д. Берман, анализируя процессы испарения, использовал обозначение г

-= К и понимал при этом данный комплекс как критерий

(т/ -т* у

СР

«адиабатического» испарения (в том смысле, что он соответствует случаю Т* = Тж,; см, например, [21]). Для этого частного случая критерий К заменял критерий поперечного потока пара, предложенный Берманом в форме П* = ц; т.е. данные числа подобия должны были играть роль, аналогичную роли параметра поперечного потока вещества Ь.

Однако применение числа К при обработке опытных данных по испарению (в основном по испарительному охлаждению стенок), начиная с работ [22,23], отклонилось от предложения Бермана, поскольку эти эксперименты в целом не отвечали случаю Т* = Тм. Не должно в такого рода обработке сказаться и влияние,

примерно отвечающее роли параметра Ь, поскольку значения последнего не превышали величины 0,1.

Можно утверждать, что эмпирическая (по существу) обработка данных в экспериментах по испарению с помощью критерия К и некоторых других специфических критериев совместного тепломассопереноса приближённо (но отнюдь не адекватно) чаще всего пыталась описать то же самое, что в полной мере могло быть

учтено только с помощью комплекса Бк/Ьеп . Выводы

1. Задачу тепломассопереноса при испарении следует рассматривать как дальнейшее развитие и усложнение сопряжённых задач типа Стефана. В частности, это означает обязательное использование в исходной постановке условия сопряжения на фазовой границе (условия Стефана) с учётом в нём диффузионной составляющей процесса. Это приводит к появлению специфического критерия (числа Дьяконова, выражения (5) и (10)), связывающего на границе раздела фаз две стороны процесса -теплоперенос и диффузию.

2. Комплексная форма Бк/ьеп характеризует в общем случае степень подобия

(или «неподобия», отклонения от подобия) процессов тепло- и массопереноса в газовой фазе при испарении.

В частном случае Бк/Ьеп =1 имеет место подобие профилей безразмерных

температур и относительных концентраций, при котором выполняются соотношения типа (8,9). При Ье=1, Бк=1 практически имеет место идентичность этих профилей.

3. В результате анализа и обработки экспериментальных данных, в основном отвечавших подводу тепла к поверхности испарения от газовой фазы (пористое

испарительное охлаждение), было получено [12], что тепловое число Нуссельта Ки консервативно в отношении параметра Бку/Ье" , тогда как его диффузионный аналог

КитС2к пропорционален Бку^Ье" в степени минус единица. Последнее может быть объяснено лимитирующим характером теплоподвода от газовой фазы при числах Бку^Ье" >1 по сравнению со случаем, отвечающим подобию процессов

тепломассопереноса (Бк^Ье" =1) при тех же определяющих условиях в основном газовом потоке.

4. Проанализированы частные случаи, возникающие при использовании комплексного числа подобия Бк/ Ье".

Summary

The heat-mass-transfer problem of evaporation is regarded as a further development and sophistication of Stephan type problems. In particular, this means compulsory use in the original staging conditions pairing at the phase boundary (Stephan condition) taking into this condition the diffusion component of process.

Keywords: heat-mass-transfer, evaporation, conjugate problem.

Литература

1. Мучник Г.Ф., Рубашов И.Б. Методы теории теплообмена. Ч. I. М.: Высшая школа, 1970.

288 с.

2. Пехович А.И., Жидких В.М. Расчеты теплового режима твердых тел. Л.: Энергия, 1976.

352с.

3. Шпаковский Р.П. Принцип минимума диссипации и идентификация температуры поверхности испарения // Изв. вузов. Проблемы энергетики. 2012. №7-8. С. 34-45.

4. Самозванцев М.П. Испарение жидкости с поверхности продольно обтекаемой пластины // Теплоэнергетика. 1956. №5. С.34.

5. Лыков А.В. Тепломассообмен: Справочник. М.: Энергия, 1972. - 560c.

6. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы нестационарной теплопроводности. М.: Высшая школа, 1978. 328с.

7. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М.: Высшая школа, 1967. - 599с.

8. Дьяконов Г.К. Вопросы теории подобия в области физико-химических процессов. М.: изд-во АН СССР, 1956. - 206с.

9. Шпаковский Р.П. К применению одного из критериев превращения для процессов испарения и сублимации // Инж.-физ. журн. 1989. Т.57, № 6. С.1029.

10. Шпаковский Р.П. К определению температуры мокрого термометра // Теор. основы хим. технол. 1995. Т.29, №3. С.330.

11. Щукин В.К., Ковальногов А.Ф., Гортышов Ю.Ф. О подобии полей скоростей, температур и концентраций в турбулентном пограничном слое со вдувом // Тепло- и массоперенос, Минск: 1972. Т.1, ч.3. С.39.

12. Шпаковский Р.П., Пастухова Г.В. Массотеплоотдача при испарении в газовый поток // Теор. основы хим. технол. 1998. Т.32, №3. С.256.

13. Шпаковский Р.П. О связи энтальпийной и концентрационной производных в газовой фазе в процессе испарительного охлаждения // Изв. вузов. Авиац. техника. 1986. № 4. С.105.

14. О профиле концентраций в ламинарной плёнке жидкости / А.М.Кутепов, М.Б.Ли, А.В.Соловьев, В.Н.Новожилов // Теор. основы хим. технол. 1998. Т.32, №3. С.250.

15. Лабунцов Д.А., Крюков А.П. Процессы интенсивного испарения // Теплоэнергетика. 1977. №4. С.8.

16. Тепломассообмен и трение в турбулентном пограничном слое / С.С. Кутателадзе, А.И.Леонтьев, Н.А.Рубцов и др. Новосибирск: изд-во СО АН СССР, 1964. 207с.

17. Нестеренко А.В. Тепло- и массообмен при испарении жидкости / В сб.: Тепло- и массообмен в процессах испарения. М.: изд. АН СССР. 1958. С.24.

18. Бобе Л.С., Лебедев П.Д., Пинский Б.Я. Некоторые вопросы тепло- и массообмена в парогазовой фазе при испарении жидкости // Инж.-физ. журн. 1976. Т.30, №1. С.27.

19. Asano K., Fujita S. Mass transfer for a wide range of driving force evaporation of pure liquids // Chem. Eng. Science. 1971. Vol.26, No.8. P.1187.

20. Кутателадзе С.С. Основы теории теплообмена. М.-Л.: Гос. науч.-техн. изд-во машиностр. л-ры, 1962. 456с.

21. Берман Л.Д. О критериях подобия для совместно протекающих процессов тепло- и массообмена в гетерогенных системах // Журн. техн. физики. 1958. Т.28, вып. 11.

22. Исаченко В.П., Взоров В.В., Вертоградский В.А. Теплоотдача при испарении воды из пористой стенки, омываемой воздухом // Теплоэнергетика. 1961. № 1. С.65.

23. Исаченко В.П., Взоров В.В. Массоотдача при испарении воды из пористой стенки, омываемой воздухом // Теплоэнергетика. 1961. № 3. С.57.

Поступила в редакцию 14 сентября 2012 г.

Шпаковский Ростислав Павлович - канд. техн. наук, доцент кафедры «Процессы и аппараты химической и пищевой технологии» Дзержинского политехнического института Нижегородского государственного технического университета им. Р.Е.Алексеева. Тел.: 8 (8313) 224101. E-mail: rst-shp@list.ru.