Модель плоской волны в бета-плазме с учетом силы трения

диаметре сосудов. Тем не менее важно то, что в первой группе больных высокие цифры разницы скорости кровотока и на уровне БА и на уровне ВБА сохраняются, тогда как в контрольной группе эти изменения значительно ниже.

Таким образом, полученные результаты по разнице скорости кровотока в брюшной аорте и верхней брыжеечной артерии показывают, чтоу больных с аномалиями раз -вития и фиксации ободочной кишки в вертикальном положении происходит смещение внутренних органов вниз. Это приводит к сдавлению сосудов брыжейки и развитию патологических ангуляций ВБА. Снижение скорости кровотока может привести к хронической абдоминальной ишемии, которая клинически проявляется болевым синдромом.

Литература

1. Glenard F.H. Les ptosis vesceralis. Paris, 1883.

2. Романов П.А. Клиническая анатомия вариантов и аномалий толстой кишки. М.: Медицина, 1987.

3. УсВ.Г. Висцероптоз (Клиника, диагностика, лечение): Ав-тореф. дисс... д-ра. мед. наук. М., 1987. 38 с.

4. Плотников В.В. и соавт. Оперативное лечение пациентов с ХТС в сочетании с хроническим желчным рефлюкс-гастритом: Сб. мат. XXV юбил. конф. врачей Курганской обл. Курган, 1992. С. 109-111.

5. АхмедовМ. Сочетанные одномоментные операции при заболеваниях толстой кишки и других органов брюшной полости // Акт. вопр. колопроктологии. Нижний Новгород, 1995. С. 170172.

6. Иванов А.И. Хронический толстокишечный стаз, обусловленный аномалиями развития, фиксации ободочной и прямой кишок (этиопатогенез, классификация, клиника, диагностика и хирургическое лечение): Дисс... докт. мед. наук. М., 1996. 236 с.

7. ТобоховА.В. Диагностика и хирургическое лечение висце-роптоза: Дисс... докт. мед. наук. М., 2003. 240 с.

A. V Tobokhov, D.N. Semenov, PA. Neustroev, VN. Nikolaev, A.I. Protopopova

A syndrome of chronic abdominal ischemia at patients with retention anomalies and segmented intestine development

Viscerotosis can cause chronic abdominal ischemia. We have examined 22 patients: 12 persons with viscerotosis that was roentgenologically confirmed, and 10 persons without pathology of thick intestines as a control group. According to supersonic Doppler sonography, there has been revealed blood stream speed decrease in abdominal aorta and in superior mesenteric artery in standing position. According to the test, the blood stream decrease is higher than in the control group. It showed that patients with viscerotosis suffer from chronic abdominal ischemia.

УДК 533.9:51-73

Е.Р. Егорова

МОДЕЛЬ ПЛОСКОЙ ВОЛНЫ В БЕТА-ПЛАЗМЕ С УЧЕТОМ СИЛЫ ТРЕНИЯ

Рассмотрена модель двух жидкостей столкновительной двухкомпонентной изотропной плазмы в однородном магнитном поле с холодными ионами и нагретыми электронами. Получены уравнения в безразмерной форме, описывающие плоские волны, распространяющиеся вдоль оси абсцисс. Также произведен анализ дисперсионного соотношения для полученных уравнений.

Происходящие в природе процессы, как правило, носят сложный и нелинейный характер. Поэтому математические модели реальных процессов в большинстве случаев оказываются нелинейными. В настоящее время интерес к таким моделям возрос в связи с возрастающими потребностями науки в раскрытии более полного описания характера физических явлений и процессов. В последние годы появилось много работ, посвященных динамическо-

му хаосу, теории солитонов и т.п. [1, 2, 3, 4, 5]. Большой интерес в научной среде вызывают уединенные волны, описывающие волновые процессы в диспергирующих и диссипативных средах. В настоящее время теория солитонов нашла применение во многих областях современной физики, начиная с квантовой теории поля и кончая экспериментальными исследованиями солитонообразных импульсов в электрических цепях [6].

Уравнения модели двух жидкостей столкновительной бета-плазмы в однородном магнитном поле с холодными ионами и нагретыми электронами имеют вид:

-= 1 8 E \т-----------------

rotB----------^ =-(n,v, -neve),

c Ot c

15B „

rot E--------- = 0,

c 8t

div B = 0,

div E = 4ne(n, - ne),

8 n,

dt

+ div(nivi) = 0,

d(i)vi (— 1 — Л mene .— .

= el E + -

dt \ c I xe

8ne

8t

m

+ div(nive) = 0,

d (e) ^ = ei E+x B)l-mene

eiz \ v e ,

dt \ c Jr.

(ve - vi X

dn du

— = -n— dt dx

-1

du

dt

dv

dt

n

d

2

= n Bv

dx

dx - R

_1 d f _i dBz

— n —-dt I dx

da _i SB-

= n Bv

dt

dB

dx

_i d

dt

-y = B„ dv - Bv u + R-1 A d^_s8^_

dt dx y dx dx dt dx

dBz da du _i d dv d2Bz

-----= Bx^r - B- — - Ri — -T.-z^r,

V

dx

у

a2i

dt

dx

dx

dx dt

где В, В, Вг - пространственные компоненты В = В / | В0 '; и, V, V - пространственные компоненты V. = V. /УА; п = щ; Яе и Я. - безразмерные параметры дисперсии; е - введенная в процессе «обезразмеривания» величина,

равная s =

no

*(г) 5 ^ *(е) 5 г- ^

— = -^ + (vг • ётаф, —т = -^ + (ve • grad), dt 81 ш 8Х

где Е и В - векторы напряженности электрического и магнитного поля, пг и пе - плотности числа частиц ионов и электронов, Vг и ve - векторы скорости движения ионов и электронов, т. и т - массы иона и электрона, п.и пе , фе - время движения электронов за 1 сек, - е- заряд электрона, с - скорость света.

Первые четыре уравнения в (1) являются уравнениями Максвелла, пятое и шестое представляют собой уравнение неразрывности и импульса для ионной жидкости, а седьмое и восьмое соответственно уравнение неразрывности и импульса для электронной жидкости [6, 7].

Для выражения уравнений в безразмерной форме вводим характерные величины Ь, УА, Б0 п0 с размерностью длины, скорости, напряженности магнитного поля и длины в минус третьей степени соответственно.

В процессе «обезразмеривания» исходя из полученных соотношений делаем допущения, при выполнении которых плазму в дальнейшем можем считать квазинейтраль-нойт.е. п и п = п.

е г

В итоге для плоских волн, распространяющихся вдоль оси Ох, получим систему уравнений следующего вида:

Для плоских движений вдоль оси Ох компонента В остается постоянной все время движения.

Рассмотрим решение уравнения (2) в виде бегущей плоской гармонической волны:

Г 1 Ї о о о

sin0 0

' n ^ ' n0 "

u u0

V v0

Ф 0

By B о By

V Bz у B о I Bz )

ei(кх-т t) +

\

/

и полагая, что

п = 8п +1, и = 8и, и = до, а = да ,

Ву = 8т в + 5Ву, Вг = 5В2,

получим решение уравнения (2) в виде бегущей плоской волны:

Ґ Sn ^ n о

Su u0

So Ц)

8co 0

SBy B о By

l^Bz J B о V Bz j

i

Отсюда уравнение (2) можно представить в виде:

e* e

ши0 - /£м0 = 0,

1ап0 - ¡кБуо sin 0 = 0,

/юУо + 1кБу0 0080 - Щ1юкБ20 = 0, шй)0 + 1кБх0 0080 + Я~1акБу0 = 0, гаБу0 + /кУ0 0080 - 1ки0 8т 0 + Яг юк0 _ £к Бу0 = 0 1фБ20) + /кю0 0080 - Я~1юку0) - ек2Б^ = 0.

Теперь из (3) можно получить дисперсионное уравнение щ = ^(к), которое представляет собой многозначные аналитические функции. Число ветвей этих функций определяется наивысшими степенями к в дисперсионном уравнении [8].

Выпишем определитель из (3) и приравняем его нулю:

гт - гк 0 0 0 0

0 гт 0 0 - гк 8т в 0

0 0 гт 0 гк 008 0 - Я~1ак

0 0 0 гт Я~1ак гк 008 в

0 - гк 8т в гк 008 в Я71тк г т - ек 2 0

0 0 - Я71тк гк 008 0 0 г т - ек 2

= 0

Получаем дисперсионное соотношение для (2) из (3):

ю4( я;2 яг2 к4 + 2 я;1ягг1к2 +1) +

+ ю^(2 Я;1Я;1ек 4 + 2ек 2) -- (О 2 (Я;2к4 0082 0 + ЯГ2к4 008 2 0 -

- Я£Т1ЯгГ1к 4 8т2 0 + 2к 2 008 2 0

к2 8Ш2 0 + £2к2) + 6)^28к4 0082 0 - ек4 8т2 0)

+ к 4 008 4 I

+ к4 008 2 0 8Іn 2 0 = 0 .

Кривые ^ ^ (к) симметричны относительно оси ординат, поэтому достаточно рассмотреть случай, когда к > 0.

Дисперсионное соотношение (4) распадается на 4 ветви с комплексными значениями. Так как корни уравнения комплексные, действительные части корней попарно симметричны. Поэтому действительную часть щ можно рассматривать с условием Щщ) > 0. Тогда дисперсионное соотношение имеет 2 ветви, которые будем называть в соответствии с названиями длинных волн: медленная магнитозвуковая и быстрая магнитозвуковая [6].

На рис. 1 и 2 приведены ветви дисперсионного соотношения при вариации значений и, е, Я, Я путем построения действительной и мнимой частей щ = щ(к) по отдельности. Кривые Щ(^ 1) и 1(щ 1) соответствуют медленной магнитозвуковой ветви, а Щ(^2) и 1(^2) - быстрой магнитозвуковой ветви.

Рис. 1. Ветви дисперсионного соотношения при в = {0,10°,30°,45°,60}, Ще = 0.1 = 1Щ е= 0.01 ,

где й>!, (»2 - первый и второй корень (4) соответственно

значения Ще имеет сглаживающий эффект для данной кривой при изменении и.

Таким же образом, можно показать графики дисперсионных кривых, меняя значение е, при постоянном угле и (рис. 3, 4).

Рис. 2. Ветви дисперсионного соотношения при

в = {0,10°,30°,45°,60}, Ще = 0.0234352 = 1/Ш, е = 0.01

Рис. 1, 2 показывают, что чем больше значение угла и, тем мягче происходит изменение значений кривых Щ(щ 1), Щ(^2) и 1(^2). И, наоборот, более жесткое изменение значений терпит кривая Цщ 1), что показывает прямо пропорциональную зависимость кривых Щ(^2) и 1(^2) и обратно пропорциональную зависимость кривых Щ(^ 1) и Цщ 1) друг от друга. Таким же образом, можно заметить, что при уменьшении значения Ще происходит резкое увеличение значений Щ(^2) и Цщ 1) и более плавное изменение значений Щ(^ 1) и 1(^2). Относительно 1(^2) следует заметить, что она почти не претерпевает изменений и уменьшение

Рис. 3. Ветви дисперсионного соотношения при

£ = {0.1, 0.01, 0.001}, Ще = 0.1 = 1/Ш, в = 90°

Е (вд1 ) 0.099Ö35 О . 0 9903 0.0998Ê5 О . 0 99í£

О .099¡315 О.О 99 öl 0.099S05

ù _ n i

f 6-0 01

\f

|_l[— V

£ 0 40 60

SO 100

Рис. 4. Ветви дисперсионного соотношения при

е = {0.1, 0.01, 0.001}, Ще = 0.1 = 1/Щл, в = 30°

Рассмотрим рис. 3. В данном случае кривая Щ(^1) почти равняется 0. Когда е = 0.001, таким же образом ведут

себя кривые I(w1) и I(w2). Поэтому при таком значении е можно рассматривать только кривую R(w2). Также следует заметить, что кривые R(w1) и I(w1) ведут себя весьма неустойчиво, что подтверждает наличие некоторого резонанса, который необходимо будет отдельно рассмотреть в дальнейшем исследовании. Что же касается особенностей рис. 4, то в данном случае при е = 0.001 почти нулевыми являются кривые I(w1) и I(w2). Поэтому в рассмотрении можно оставить уже 2 кривые R(w1) и R(w2). Более того, при |и| < 90o кривые R(w2) при различных значениях е совпадают.

Из полученных рисунков следует заключить, что затухание волн не происходит в силу нелинейности уравнения (2). Поэтому следующей задачей исследования необходимо поставить изучение свойств данных нелинейностей, включающее рассмотрение резонансов, скоростей осцилляции уединенных волновых пакетов, а также условия существования солитоноподобных структур при вариации значений и, е. R , R .

7 7 i e

Литература

1. БахолдинИ.Б., Жаров A.A., Ильичев А.Т. Распад солитонов в изотропной бесстолкновительной квазинейтральной плазме с изотермическим давлением // ЖЭТФ. 2000. Т. 118. С. 125-141.

2. Kakutani T., Kawara T., Taniuti T. Nonlinear hydromagnetic solitary waves in a collisional-free plasma with isothermal electron pressure // J. Phys. Soc. Japan. 1967. V.23. P. 1138-1149.

3. KellogPG. Solitary waves in cold collisionless plasma // Phys. Fluids. 1964. V. 7. P. 1555-1571.

4. Patel V.L., Dasgupta B. Theory and observation of Alfven solitons in the finite beta magnetospheric plasma // Physica D. 1987. V. 27. P. 387-398.

5. Рабинович А.Б. Длинные гравитационные волны в океане: захват, резонанс, излучения. Спб.: Гидрометеоиздат, 1993. 324 с.

6. Ильичев А.Т. Уединенные волны в моделях гидромеханики. М.: Физматлит, 2003. 325 с.

7. Егорова Е.Р. Модель плоской волны в столкновительной квазинейтральной плазме с горячими электронами и холодными ионами // Студент и научно-технический прогресс: Тезис. докл. XLIV Международная научная студенческая конференция (1113 апреля 2006 г, г. Новосибирск). Новосибирск, 2006. С. 231233.

8. Габов С.А. Введение в теорию нелинейных волн. М.: Изд-во Московского университета, 1988. 250 с.

E.R. Egorova

Model of flat wave in beta-plasma at consideration of force of friction

The author studies a model of two liquids of collision two-component isotropic plasma in uniform magnetic field with cold ions and heated electrones. There has been obtained equations in dimensionless form that describe flat waves extending along an axis of abscisses. Besides, an analysis of dispersive parity for the obtained equations has been made.

ЩгФФ-