Недираковские (0,1)-меры и ст-топологические пространства

НЕДИРАКОВСКИЕ (0,1)-МЕРЫ И а-ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВА*

А.Г. Ченцов

Рассматривается схема построения иедираковских счетно-аддитивных (с.-а.) (0,1)-мер, связанная с использованием а-тоиологических пространств (ег-ТП) А.Д. Александрова. Для а-ТП конструируется измеримое пространство (ИП), порожденное множествами, обладающими свойством пред-компактности (сама компактность множества в а-ТП соответствует, для частного случая топологического пространства, счетной компактности последнего). При условии, что а-ТП не является а-компактным, указан а-мультипликативный ультрафильтр упомянутого ИП, определяющий неди-раковскую с.-а. (0,1)-меру; последняя реализует функционал, сопоставляющий ограниченной измеримой функции (ОИФ) величину, имеющую смысл "главной константы" данной ОИФ. Каждая ОИФ обладает при этом "большим" множеством постоянства своих значений.

Ключевые слова: счетно-аддитивная (0,1)-мера, ультрафильтр.

Статья продолжает исследования [1; 2] . Для случая ст-топологических пространств, восходящих к работам А.Д. Александрова [3], рассматривается схема построения иедираковских (0,1)-мер, в идейном отношении аналогичная конструкции [2]. Исследуются линейные непрерывные функционалы на банаховом пространстве ограниченных измеримых функций, порождаемые упомянутыми мерами. Известно [1], что множество всех иедираковских счетно-аддитивных (0,1)-мер является наростом секвенциально замкнутого (в некоторых нульмерных топологиях пространства ограниченных конечноаддитивных мер на ст-алгебре множеств) множества мер Дирака, возникающим при построении замыкания в смысле оператора, удовлетворяющего четырем аксиомам К. Куратовского. Известно также [1], что действие упомянутых мер на ограниченные измеримые функции всегда сводится к сопоставлению каждой ограниченной измеримой функции некоторой "главной константы" (последняя непременно существует в случае, когда измеримое пространство допускает счетно-аддитивную реализацию недираков-ских (0,1)-мер). В настоящей работе рассматриваются классы измеримых

*Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты № 03-01-00415, 01-01-96450) и Министерства образования России (Е02-1.0-232).

пространств, для которых справедливо и обратное, в естественном смысле, свойство, что приводит (для данного типа измеримых пространств) к утверждению: измеримость ограниченной функции тождественна существованию у этой функции "главной константы".

1. Используем сокращения: б/к (бикомпактное), в/з (веществен-

нозначная), ИИ (измеримое пространство), к.-а. (конечно-аддитивная), п/м (подмножество), с.-а. (счетно-аддитивная), ТП (топологическое пространство), у/ф (ультрафильтр), ёе£ (по определению), = (равно по определению). Семейством называем множество, все элементы которого сами являются множествами. Принимаем аксиому выбора. Если X — множество, то через 'Р(Х) ('Р'(Х)) обозначаем семейство всех (непустых) п/м X. Через Вл обозначаем множество всех отображений из множества А в множество

В. Через Ріп(5) обозначаем семейство всех непустых конечных п/м множества Б. Пусть Ж — вещественная прямая, N = {1; 2;кроме того,

1, п = {і Є N | і < п) Уп Є М.

Фиксируем непустое множество Е; через (^)[Е) и (ст — а 1ё)[Е) обозначаем соответственно множества всех алгебр и всех ст-алгебр п/м Е (см. [4, с. 595]). Через тт[Е] обозначаем множество всех таких семейств С Є Г'(Г(Е)), что

(0 є С)к{Е є С)к{А ПВ є £ ЧАеСЧВ еС),

а через (ст — ТОР)[£'] ^множество всех г Є тт[Е] таких, что

Оі Є т У(Оі)іє,\ґ Є .

і<гЯ

Если г Є (ст — ТОР)]!?], то пару (Е,т) именуем ст-топологическим пространством или, кратко, ст-ТП (в [3] использовался термин "пространство" при описании двойственной структуры замкнутых множеств); ТП является ст-ТП, стандартное ИИ (с ст-алгеброй множеств) также является ст-ТП.

Для % Є ТІТІЕ)) семейство С\Н] определяется в [1, с. 607] (семейство дополнений множеств из 'Н). Естественную, для ст-ТП, двойственность связываем с множеством д^[Е\ всех семейств Т-і Є Т>1{Т>{Е)) таких, что

(0 Є Н)к{Е є Н)к{А иВ є Н УАєПУВ є Н)к к(0 Нг ЄН У(Нг)гШ є Пы).

Именно, С [г] € 3^[Е] при г € (ст — ТОР)]!?]; аналогично, С Щ] Е (ст — ТОР)]!?] при % Е $^[Е\. Компактность ст-ТП, используемая ниже, соответствует, для частного случая ТП, понятию счетной компактности [5, с. 304]: через (стс — ТОР)]!?] обозначаем множество всех те((т- ТОР)]!?] таких, ЧТО У((?г)г&А/ €

т

(Е = У Ог) =^> (Зт Е Я : Е= У^). геЛ/- г=1

Если % Е Т>{'Р{Е)), то через Ъа\Н] обозначаем множество всех последо-

П

вательностей Е Н со свойством: Р| Щ ф 0 Уп Е М. Тогда

г=1

(ас — ТОР)]!?] есть множество всех ст-топологий г € (ст — ТОР)]!?] со свойством: Р| Щ ф 0 ^ Ъа[С[г]]. Компактные множества в ст-ТП

гШ

могут определяться в терминах подпространств, что эквивалентно следующему обычному (для случая ТП) представлению: если г € (ст —ТОР)]!?], то через са[т] обозначаем семейство всех К Е Р(Е) таких, что Е

П

(К С и Ог) =^> (Зп Е Я : КС и^г);

геМ г=1

множества из са[т\ называем компактными в ст-ТП (!?, г). Уместно ввести ст-топологию множества Е, порожденную произвольным семейством п/м Е. Если £ Е Т,{Т,{Е))^ то через (ст — ТОР)о[!? | £\ обозначаем (непустое) множество всех гё(ст- ТОР)]!?] таких, что £ С т; тогда

<.И]£] Д р| т € ^ _ ТОР)0[!? | £\

те(<т-ТОР)о[Е|£]

допускает исчерпывающее описание в терминах счетных объединений и конечных пересечений (подобное упоминаемому в [6, с. 48, 49]). Введем необходимые обозначения.

Если % Е Т,{Т,{Е))^ то через Жп]%] обозначаем семейство всех множеств Р| ЯД е Еш(%), а через а{Н | и) — семейство всех множеств Нек.

и и,. {Нг)г£М Е 4м. Тогда У£ Е Г{Г{Е))

^ [£} = ст(Кп [£} | и) и {0; Е).

По аналогии с леммой 1.6.1 ]6] проверяется

Предложение 1. Если £ Е Р

Замечание 1. Предложение 1 фактически установлено в [7]. Свойство в левой части (1) используется в теории вероятностей при определении компактного семейства (класса) множеств (см. [6, с. 48; 7]). Предложение 1 показывает, что упомянутая компактность семейства тождественна компактности ст-топологии, порожденной семейством, двойственным к исходному. Отметим теперь один совсем простой пример ст-топологического пространства, полагая сейчас (в пределах данного замечания), что Е = [0,1]. Рассмотрим семейство 3 всех отрезков [а, Ь], а Е Е, Ъ Е Е. Пустое множество мы также интерпретируем как отрезок, полагая, например, его совпадающим с [1,0] (при определении семейства 3 мы не ограничивались при "перечислении" множеств — элементов *7", т.е. отрезков, традиционным случаем а < Ъ). В этих условиях имеем свойство | и) € (ст — ТОР)]!?]. Итак, семейство всех счетных объединений отрезков из 3 есть ст-топология единичного промежутка Е. Данное свойство легко следует из соотношения Ь^и]=а(3\и).

Если т Е (ст — ТОР)[!?], то полагаем, что

с° [г] = {Н Е Г

и пусть Са[т\ = ст(ссг[т] | и) (семейство всех счетных объединений множеств из Со-[г]);

с[г] = {НЕ Г(Е) I 35 € Са[т] : Н С 5} есть семейство всех счетных объединений множеств семейства (2). Тогда

((<7,<7С) - ТОР)[£] ={те((7-ТОР)[!?] I Е Е С а [г]} =

= {тЕ(а^ТОР)[Е]\ЕЕСит)}

есть множество всех ст-компактпых ст-топологий Е (в классе топологических пространств аналог данного класса связан с ст-счетно-компактными пространствами).

2. Фиксируем далее т Е (а — ТОР)[!?]. Множества из семейства (2) именуем предкомпактными в ст-ТП (Е,т). Эти множества будут использоваться при построении специальных измеримых структур, для которых

будет исследоваться возможность конструктивного построения недираков-ских с.-а. (0,1)-мер.

Для последующих конструкций важную роль играют ст-мультипликативные ультрафильтры (у/ф) того или иного семейства измеримых множеств. Мы допускаем использование в качестве таких семейств не только традиционных ст-алгебр множеств, но и различных "нестандартных" семейств. Наиболее обший вариант связан с использованием мультипликативных семейств п/м Е с "нулем" и "единицей". Если С € тг[Е\, то обозначения Р*(£), ¥* (£) соответствуют [8, с. 611], а Щ(£) введено в [9, с. 451]; (ст — Р)[£] и (ст — 1Е)[£] соответствуют [8, с. 612]. Элементы 1Е* (£) — фильтры, а элементы Щ(£) — у/ф в (Е, С); (ст — 1Р)[£] — множество всех ст-мультипликативных фильтров в (Е,С). Заметим здесь же, что Р*(£) и (ст — ют определяют некоторые вспомогательные множества, для элементов которых, именуемых далее квазифильтрами и мультипликативными квазифильтрами, ослабляется система аксиом фильтра и ст-мультипликативного фильтра соответственно (не исключается возможность того, что квазифильтр может содержать пустое множество, что доставляет некоторые удобства на этапе промежуточных построений). Полезно иметь в виду шкалу измеримых структур в [4, с. 595].

Легко видеть, что С [с [г]] € ¥*('Р(Е)), причем

(г £ (стс - ТОР)[Е}) ^ (С[с°[т]] € ¥*(Т>(Е))).

Если % € Т>{'Р{Е)), то через ао\Н] и оо\Н\ обозначаем соответственно алгебру и ст-алгебру п/м Е, порожденные семейством 'Н. Мы используем обозначения [4, с. 595] для множеств, элементами которых являются меры, включая случай конечно-аддитивных (к.-а.) мер. Впрочем, основное внимание уделяется мерам в классическом их понимании, т.е. счетно-аддитивным (с.-а.) и неотрицательным функциям множеств (с вещественными значениями). Следуя символике [4, с. 595], введем обозначения для стандартного продолжения с.-а. меры с алгебры п/м Е на ст-алгебру, порожденную этой алгеброй: если С € (а 1ё)[Е] и // е (ст — аёё)+[£], то Х°(ц) € (ст — аёё)+[сто[£]] есть ёе£ такая (единственная) мера, что = ц{Ь) УЬ € С. В частно-

сти (см. [9, с. 452]),

Л = а0[с°[т]] = с°[т] и С[с°[т]] € (аЩЕ].

Полагаем X = Хе[е°[т]]И-] [4, с. 595], получая индикатор [6, с. 56] семейства С[с«[т]], С [с [г]] С Л;

Если же г ^ {о с — ТОР)]!?], то С [с [г]] € Щ(Л) и, следовательно,

Х° G Т

где ЩА) соответствует [1, с. 608] (множество всех мер Дирака на Л). С учетом предложения 2.1 работы [2] и очевидного свойства (стс — ТОР)[1?] С (((т;(тс) — ТОР)[1?] получаем

В (4), (5) даны необходимые и достаточные условия того, что X — чисто к.-а. (0,1)-мера. Справедливо

Предложение 2. Если т ^ ((а; ас) ^ ТОР)[£], mo Х° е Т^Л) \ ГО(Л).

Следствие 1. Условия т £ (с — ТОР)[1?] \ ((а;ас) - ТОР)[£] и Х° е (а -add)+[*4] эквивалентны.

При В = сто [с [г]] € (ст — alg)[E] воспользуемся свойством продолжения Лебега-Бореля для с.-а. (0,1)-мер (см. [10, с. 240]). Именно, из предложения 2 вытекает (см. обозначения [1,с. 608]) следующее свойство: при г ^ ((сг; сгс) — ТОР)[1?] для меры X G Т^Л) корректно определяется мера А°(Х°) Е (о — add)+[$] (продолжение Лебега-Бореля), для которой имеет место

Х°

В (6) даны условия на ст-ТП, при которых на некотором (связанном с этим (т-ТП) ИИ существует недираковская с.-а. (0,1)-мера. Ниже устанавливается структура этой меры.

3. В (3), (5) и в предложении 2 мы имеем все возможные версии функции множеств X в зависимости от исходной ст-топологии т. Наиболее интересна последняя версия, развитие которой дано в (6). Для последующего представления меры (6) заметим, что

(ПН) С С°а[т\ УН Е С°а[т])Н U НгЕ С°а[т\ У{Нг)гШ Е C°ff[rf).

ieAf

Как следствие, получаем свойство С [С [г]] G (а — F )[Р(Е)], которое дополняется цепочкой равенств

В = ао[С«[г]] = а0[С«[г]] = С[г] U С[С°[т]] G (с - alg)[l?].

Предложение 3. Эквивалентны условия: 1) т ^ ((а',ас) — ТОР)]!?]; 2)С[С°а[т]}£(а-¥)[ПЕ)}.

Следствие 2. Если т £ ((а;ас) - ТОР)[£], то

С[г]] 6^(Б)П((т-Р)[В], причем В \ С[С“[г]] = С»[г].

Из следствия 2 получаем, используя очевидную связь v/фи (0,1)-мер, что справедлива (см. обозначения [4, с. 595]) следующая

Теорема 1. При т ^ ((а, ас) — ТОР)[1?] имеет место свойство

xf = хс[с°М]Иетлтод.

Полезно отметить, что каждое из семейств А и В содержит всевозможные синглетоны {ж}, х G Е.

Предложение 4. Если т ^ ((а,ас) - ТОР)[£], то Х° = A(X°).

Итак, в отличие от случая X (см.(З), (5)), для Х° реализуется одна из двух возможностей: либо Х° — неаддитивная функция множеств, либо Х° — недираковская с.-а. (0,1)-мера на В. В этой связи напомним результат

[П].

Всюду в дальнейшем полагаем, если не оговорено противное, что

т£

В этом случае (см. теорему 1) Х° — недираковская с.-а. (0,1)-мера, являющаяся, как видно из предложения 4, продолжением аналогичной меры Х° (см. предложение 2). Известно [1, с. 608], что пространство В(Е,В) всех ^-измеримых ограниченных вещественнозначных (в/з) функций на Е обладает существенной патологией: в обозначениях [1, с. 608] имеем VC G (count)[В(Е,В)} III G СЦт) :

JfdXf = f(y) V/eCVyel?\ff.

Е

Мы учли здесь установленное ранее (см. [1; 4; 10]) свойство: если ИП допускает недираковскую с.-а. (0,1)-меру, то для каждого не более, чем счетного, набора ограниченных измеримых функций существует множество из (ст-мультипликативного) у/ф, соответствующего упомянутой мере, такое, что все функции набора на этом множестве постоянны.

Теорема 2. В(Е,В) есть множество всех ограниченных в/з функций / на Е, для каждой из которых

3S G С°а[т] : /

Следствие 3. B(E,B) есть множество всех ограниченных в/з функций / на Е, для каждой из которых

3S G Са[т] : f

Заметим, что С = <то[ссгИ] G (а — alg)[£^ есть ст-подалгебра В, причем {ж} G С Ух G Е. Сужение (Х°° | С) меры Х°° на с-алгебру С обладает свойством

(Х°° | С) G Та(£)\Щ£);

В

V/ G В(Е, С) 3S G Са[т] : f(Xl) = /(ж2) Vi G Е \ S Vx2 G Е \ S.

4. С учетом следствия 3 введем V/ G В(Е, В) Ш G К

5c[/;i] = {S G Са[т] I /

Предложение 5. V/ G В(Е,В) 3lt G Ж : <Sc[/;t] ф 0.

С учетом предложения 6 введем функционал

с* : В

такой, что имеет место

5С[/; с*

Предложение 6. с*(/) = f /dX°° V/ G В(Е,В).

Е

С учетом (11) получаем, что справедливо представление

/еВ

€ В*

где В*(Е,В) — пространство, топологически сопряженное к банахову пространству В(Е,В). По своему смыслу линейный непрерывный функционал (13) можно интерпретировать как правило, сопоставляющее функции / € В(Е,В) ее "главную константу" (см. в этой связи [2, с. 251]).

В связи с теоремой 2 отметим одно общее положение, которое позволяет охватить единой схемой эту теорему и предложение 4.4 работы [2].

Теорема 3. Если У7 € (а—¥)[Т>(Е)}, то В(Е, соИ) (множество всех ограниченных в/з функций, измеримых относительно а-алгебры сгор7], порожденной а-мультипликативным фильтром Т) есть множество всех ограниченных в/з функций / па множестве Е, для каждой из которых

Доказательство подобно в идейном отношении доказательству предложения 4.4 работы [2]. Сейчас ограничимся кратким обсуждением. Итак, согласно последней теореме, если у нас имеется тот или иной ст-мультипликативный фильтр Т множества Е, т.е. ст-мультипликативный фильтр ст-алгебры Т’(Е) всех п/м Е, то ст-алгебра

порожденная этим фильтром Т, реализует измеримое пространство со следующей "патологией" множества всех ограниченных измеримых функций: для измеримости относительно упомянутой ст-алгебры произвольной ограниченной в/з функции необходимо и достаточно, чтобы ее сужение на некоторое множество фильтра Т было константой.

Для недираковской с.-а. (0,1)-меры // на произвольной ст-алгебре п/м Е семейство //-1({1}) непременно является ст-мультипликативным у/ф упомянутой ст-алгебры множеств. В [1] рассматривались различные свойства ИП, допускающих такие меры. В [2] и в настоящей работе даны конструкции, реализующие ИП с упомянутым свойством.

3 Е ЕТ- /(1) = /(ж2) V! € Е Уж2 € Е.

Е = ЕТ = оь\Т) =ТиСЩ

4. Построения, связанные с Х°°, полезно связать с конструкцией [2], касающейся ТП. Здесь уже не будет предполагаться выполненным условие (7) до тех пор, пока не оговаривается противное.

С точки зрения основных понятий общей топологии, наша ст-топология г (см. разд. 2) является базой следующей топологии множества Е :

М

сед

сед сек.

Разумеется, (15) может использоваться и для определения традиционно понимаемой бикомпактности ТП; (см. [12, с. 226]). Легко видеть, что ст-ТП

(Е, г) б/к т. и т.т., когда б/к ТП (Е, {и}(т)). Для наших построений, однако,

более существенны подпространства ст-ТП и его топологического расширения. Как обычно, для введения б/к и/м Е следует использовать аналог (15). Итак, для Н € Т>(Е) определяем множество тг[//] по аналогии с тт[Е\ раздела 1; при этом, разумеется, в соответствующем определении раздела 1 следует заменить Е множеством Н. Аналогичным образом, определяем множество (ст — Г()!')[//] так же, как и в разделе 1, но при условии, что Е заменено множеством Н. Введем, наконец,

(Н = ис)^ (Э£ € Рш(д) : Н = и (?)} УII е- Г(Е).

сед сек

Тогда (Е,т) является б/к ст-ТП т. и т.т., когда т € (ст^ — ТОР)]!?]; если (Е,т) является б/к ст-ТП, то г € (стс — ТОР)[Е].

Если 5 € Т>{Т>{Е)) н II (г Т{Е), то, как обычно,

5 \н= {Н П в : Г(Г(Н)).

С учетом данного определения множества семейства

(ст<с> - т)[Е\ = {К € Г(Е) | г 1*6 (с7(с) - ТОР)[К]}

называем, следуя традиции, б/к в смысле ст-ТП (Е,т);

(данное свойство подобно соотношению компактных и счетно-компактных множеств в "обычном" ТП). Введем теперь семейство К всех б/к в ТП

(Е, {и}(т)) п/м Е, а также семейство = ст(К | и) всех ст-б/к, в смысле упомянутого ТП, п/м Е. Наконец, пусть

К“ = {I 6 Г(Е) | 35 € Ксг : X Св}.

Легко видеть, что справедливо равенство

(ст(с) -т)[Е\ =К.

С учетом (16) получаем вложение: К С с^т]. Как следствие,

КасСа[т].

В свою очередь, из (17) вытекает вложение

К»сС»[г].

Из (18) следует возможность сравнения конструкций построения с.-а. неди-раковских (0,1)-мер в [2] и в настоящей работе (отметим, кстати, что в случае, когда г является топологией множества Е, непременно г = {и}(г)). Из (18) вытекает, что

С[К°] с С[С?[т]].

Как следствие, из построений [2, с. 246] и определения ст-алгебры В для

семейства

К° = {Яе Г(Е) | 3(7 е К : Н С С}

имеем следующее весьма очевидное свойство:

ст0[К0] = К° и С[К°] с В.

Поэтому корректно определяется след

не является ст-бикомпактным ТП, т.е. Е не является счетным объединением множеств из К : Е ^ К,т. Как следствие (см.[2]),

X?0 = Хс[к°]ЫК0]] € То-(сто[К0]) \ ГО(о'о[К0]).

Мы получили топологическую версию конструкции раздела 3. С другой стороны, из теоремы 1 следует, что (в нашем случае) имеет место

Х°° е Та(В)\ЩВ).

Легко видеть, что справедливо следующее

Предложение 7. Имеет место равенство Х^° = (Х°° | сто [К0]).

Заметим, что вопросы построения недираковских с.-а. (0,1)-мер естественны в свете известной проблемы меры (проблемы существования измеримых кардинальных чисел) (см. [13, с. 314; 14, с. 50, 51]). В этой проблеме речь идет о существовании недираковских с.-а. (0,1)-мер на семействе всех п/м множества той или иной мощности (речь идет о проблеме теории множеств). Переходя к рассмотрению конкретных ИП, мы рассматриваем, следуя [1], некоторую проблему, естественную в теории меры: существуют ли на том или ином ИП недираковские с.-а. (0,1)-меры. Примеры положительного решения такой модифицированной проблемы хорошо известны для "обедненных" множествами ИП. В [2] и в настоящей работе мы наметили путь к построению весьма обширных ИП, допускающих недираковские с.-а. (0,1)-меры. Для всех таких ИП свойство измеримости (ограниченных) в/з функций приобретает вырожденный характер, что приводит к затруднениям при использовании в приложениях. Поэтому, на наш взгляд, весьма актуальной является разработка методов "диагностики" конкретных ИП на предмет самой возможности вышеупомянутых недираковских реализаций в классе с.-а. (0,1)-мер. Настоящая статья содержит некоторые рекомендации на этот счет. Эти рекомендации дополняют схему [2], ориентированную на случай ТП, не обладающих свойством ст-компактности (в традиционном для общей топологии понимании [15, гл.1]). Из положений [15, гл.1] вытекает, что упомянутый случай охватывает обширный класс конкретных ТП, для которых схема [2] реализует измеримые структуры со свойством, обсуждаемым в [1; 2] и в настоящей работе. Стало быть, существование ИП, допускающих счетно-аддитивную реализацию недираковских (0,1)-мер, вовсе не является, в свете утверждений [2] и настоящей работы, какой-либо экзотикой, а, напротив, имеет место в целом ряде конкретных ИП, связанных

с топологическими и ст-топологическими структурами ( см., в частности, [15, с. 37] ).

Список литературы

1. Ченцов А.Г. Об измеримых пространствах, допускающих нсдираковскис счетно-аддитивные (0,1)-меры // Докл. АН. 2002. Т. 384, № 5. С. 607-610.

2. Ченцов А.Г. Об одном классе недираковских счетно-аддитивных (0,1)-мер // Функционально-дифференциальные уравнения: Пермь, 2002. С. 238-252.

3. Alexandroff A.D. Additive set-functions in abstract spaces // Мат. сб. 1940. Т.8 (50), № 2. С. 307-348.

4. Ченцов А.Г. Некоторые свойства двузначных мер и представления пределов по фильтру И Докл. АН. 2000. Т. 370, № 5. С. 595-598.

5. Энгелькинг Р. Общая топология. М.: Мир, 1986. 751 с.

6. Неве Ж. Математические основы теории вероятностей. М.: Мир, 1969. 309 с.

7. Ерохин В.Д. Заметка к теории меры // Успехи мат. наук. T.XVI, Вып. 3 (9).

С. 175-180.

8. Ченцов А.Г. Двузначные меры как обобщенные элементы: проблема расширения системы условий // Докл. АН. 2000. Т.374, № 5. С. 611-614.

9. Ченцов А.Г. Некоторые свойства конечно-аддитивных мер и их преобразование на основе гомоморфизмов измеримых структур // Докл. АН. 2000. Т. 370, № 4. С. 449-452.

10. Chentsov A.G. Two-valued measures: finite additivity and countable additivity //

Functional Differential Equations. 2000. 3-4. P. 231-257.

11. Christensen J.P.R. Finitely additive measure defined on sigma-field is automatically countably additive // Atti Sem. Mat. Fis. Univ. Modena, 2001. II. P. 509-511.

12. Александрян P.A., Мирзаханян Э.А. Общая топология. М.: Высш. шк., 1979. 336 с.

13. Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 с.

14. Окстоби Дж. Мера и категория. М.: Мир, 1974. 158 с.

15. Архангельский А.В. Топологические пространства функций. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1989. 222 с.

Институт математики и механики УрО РАН chentsov@imm.uran.ru