Акустические волны в двухфракционной смеси жидкости с пузырьками разных газов и различного начального радиуса

УДК 532.529:534.2

АКУСТИЧЕСКИЕ ВОЛНЫ В ДВУХФРАКЦИОННОЙ СМЕСИ ЖИДКОСТИ С ПУЗЫРЬКАМИ РАЗНЫХ ГАЗОВ И РАЗЛИЧНОГО

НАЧАЛЬНОГО РАДИУСА

Д.А. ГУБАЙДУЛЛИН, А.А. НИКИФОРОВ, Р.Н. ГАФИЯТОВ

Институт механики и машиностроения КазНЦ РАН, Казань

Представлена замкнутая система линейных дифференциальных уравнений движения двухфракционной смеси жидкости с пузырьками разных газов и различных начальных радиусов. Рассмотренная система уравнений сведена к одному дифференциальному уравнению для давления в частных производных с постоянными коэффициентами. Получено дисперсионное соотношение, определяющее распространение слабых возмущений в двухфракционной смеси жидкости с пузырьками разных газов и различных начальных радиусов с учетом межфазного теплообмена. Для случая двухфракционной смеси воды с пузырьками воздуха и пузырьками гелия выявлено два локальных максимума в зависимости коэффициента затухания от частоты в области значений резонансных частот пузырьков. Показано влияние учета двухфракционного состава дисперсной фазы на эволюцию импульса давления малой амплитуды.

Ключевые слова: пузырьковая жидкость, дисперсные системы, волны, межфазный тепломассообмен, дисперсионное соотношение.

Изучению распространения акустических возмущений в смесях жидкости с пузырьками газа посвящен ряд теоретических и экспериментальных работ. Различные аспекты волновой динамики и акустики смесей жидкостей с пузырьками газа и пара рассмотрены в известной монографии [1]. Работа [2] посвящена описанию основных особенностей двухфазных сред пузырьковой структуры. Приведен обзор работ по распространению волн в жидкостях с пузырьками постоянной массы и работ по волновой динамике жидкостей, содержащих пузырьки пара или растворимого газа. В работе [3] показана необходимость учета сжимаемости несущей фазы для задач акустики пузырьковых жидкостей. В [4] получено дисперсионное соотношение, определяющее распространение гармонических возмущений в смесях жидкости с пузырьками газа. В работе [5] в рамках трехтемпературной модели исследуется распространение малых возмущений в двухкомпонентной двухфазной смеси. Показано, что дисперсия определяется неравновесностью тепломассопереноса, а не эффектами скольжения фаз.

Рассмотрим случай двухфракционной смеси жидкости с пузырьками различных газов. В этом случае дисперсная фаза будет представлена двумя типами пузырьков разного газа различного начального радиуса. Линеаризованная система уравнений будет иметь вид, аналогичный системе [3,4], но с учетом двухфракционности состава дисперсной фазы:

дР1 + Р ду 'о

ИТ + Р10 ~дХ = 0,

Ф21 +т 0

"а"+р2° аГ 0

Ф211 +11 0 ~дТ+р2° аГ0

ди'1 Тд» п

-+ и0 — = О

6* дх

ди'11 ц д» _

-+ иО — = О

д* дх

Г ч д»' дР1 „

(Р10 + Р20)--1--= О I ц

1Н10 д дх Р20 = р2о + Р20

9 !

6рр1=- ЗЙрО , ,1 - з(т 2 -1) т (1 а

д* I I W = —

VI «„ Лп

«О а0 д*

9 9

дЕз11=- 3^ п -3(т21 -1) „п , п да11

д «? а? ' W ~

w'I = w'J + wRI

,

w'II = w А + wRI

«/I = * А (п'1 Р ) * I = «О

"'А = 0  (Р2 - р1) *А =-ТТ/Г

Р00«0 С1(а2о)13

9 9

«п

W'II = *А (Р'П Р) *II = «О

^ ~р!«п(р2-р1) *А = станет

Р10«0 С1(а20) '

«О

I ^д = p2I - Р1

д* роо

я. 'П 'II '

«II д"'А = Р2 - Р1

0 д* Ро

д* Р1О

Р1 = С1Р0

Р2 = Р2 + Р0 Р20 Т0

'ТТ ~'0П гр, II + Т2

Р2 Р2

РО РоП Р2О То

а1 + а2 + а2I = 1

I ? I „'I а20 „»I + За20 «I а2 =-т- и +—— «

а'П а20 »П + За20 «П

„2 = „2"и + -«50«

"о "о .

.о

Здесь и далее Р , р, р, и - соответственно истинная и средняя плотность

смеси, скорость, давление и число пузырьков в единице объема; а, - радиус и радиальная скорость пузырьков; ч - интенсивность теплообмена, а - объемное содержание. Нижние индексы 1 и 2 относятся к параметрам жидкой и газовой фаз; штрихи обозначают возмущения параметров, индекс 0 - начальное невозмущенное состояние, верхний индекс I относится к параметрам пузырьков первой фракции, индекс II - к параметрам пузырьков второй фракции.

Известна следующая теорема [6]: «Любую систему п линейных дифференциальных уравнений в частных производных с постоянными коэффициентами для п неизвестных функций можно свести к одному дифференциальному уравнению в частных производных с постоянными коэффициентами для любой из неизвестных функций».

Используя данную теорему, системы уравнений (1) сводим к дифференциальному уравнению для давления в несущей жидкости:

_д_ аА

а0 а01

г 2 2 л д2 п 1 д2 п

дх 2

С2 д'2

да -3

3У2 Роао1,1 + 3У21 Роа0 и + I и

Р10а0

Р10а0

2

д Р1 дх 2

с} Я2

3а1оа2оа01 Л + 3а1Оа20а0 л 'Л +-II-'л

а0

а0I

д 2 Р1

да2

' Л' Л + (1 + ' ) + Яр* (1 + * Л Ч1) + а0 a0I Ч1 411

Р°0а0а0 Р00а0 4 ' Р00а0 4 '

г г 2 л

д2 Р1 _ д2р1

дх2 С} д'2

+ 3а1оа2()а0 Л +' II п +' IIЛ

+-ц-11 + 'Лч + 'Лч I

ао 4 '

I „II

9а10р0 („I ,,II + „II ,, А 'I 'II + 3а10а20а0

а20^ 2 + а20У 2) 'л'л +

Р10а0а0

д2 Р1

д'2

а0

9У2Т2^р|I'I + ,11\ + 3У2Роа0 II + 3У2I Роа0 qI

-оа-й('Л+'ЛГ~оа~4 + Ро ан 4

10а0а0 Х Р10 а0 Р10 а0

9аюа2оУ"Ро (I +'II +'I'II т)+ 9а1оа2оУ2Ро (I +'II +'I'II п) + ——1'л + 'л + 'Л'Л4 1 + ——\'Л + 'Л + 'Л'Л4 1 + Р10а0а0 Р10а0а0

3а10020а0^/41 + 4И + 'I 41411 \ + За10а2"0а0 / I + II + ,II I II \

-1-1ч + 4 + 'лч 4 1 +-II-1ч + 4 + 'лч 4 I

/ 2 2 N

д2 Р1 _ _г_ д2Р1 дх2 С22 д'2

а0

9у2У2 РО

Р-0а0 а0Х

д2 Р1 _ ±_ д2^ дх2 С2 д'2

а0

9а10а20У 2х Р0

д 2 Р1

о^ (1+' Лч1+' л ч1)+

+ Р0 (1 +' II чП +' ) + 3а

Р10а0а0

Р10а0а0 /

10

^о^ , а2оа0 |„^П

V ао

4 4

д2 Р1

д'2

3

2

9а10р0 („I „II л + „II „I „II) дР1 _ 0

--1—ЛПа20^2 „ +а20У2„ _ 0

Р10«0«0П ' д .

Найдем теперь дисперсионное соотношение, используя полученное уравнение, решение будем искать в виде

Р1 _ ^ехр [г ( К* х— га')] Получим:

К* 1 , 3аюа20 , 3аюа2

га

С2 3у2Р0 - («0)2га2Р10 3у2IР0 - (а0*)2га2р10

0 0 ^ ХП ;

с _ -С_

1 „10 %1 _ 1 — (гга)А _ 1 -(г)'".

йк _ 1 — (у2 — 1)((% — 1)/ .у2, к _ I,«

К

Дисперсионная зависимость (2) комплексного волнового числа * от частоты определяет распространение акустических возмущений в двухфракционной смеси

I II

жидкости с пузырьками различных газов (разных начальных радиусов a0, а0 и

начальных объемных содержаний „20, „20).

На рис. 1 и 2 показано сравнение кривых фазовой скорости и коэффициента затухания для одно- и двухфракционной смеси воды с пузырьками воздуха и гелия

С _1500 Т _2941 рО _998

при следующих значениях параметров: 1 _ м/с, 0 _ К, "10 _ кг/м3,

давление в несущей фазе Р10 =0,1 МПа, параметры воздуха:

2

р20 _ 1.19кг / м3, у2 _ 1.4, X2 _ 0.0258 , ср2 _ 1007- м

-3-, Ср2=100/-Т

с3 • К с2 • К

, параметры гелия:

2

р20 _ 0.164кг/м3, у2 _ 1.67, Х2 _ 0.149 , ср2 _ 5190- м

"3-» Ср2=^у»^2-

с3 . к с2 • К

. Рис. 1 и 2 построены

при значениях начальных радиусов пузырьков а° _ 1мм а0 _ °.5мм и начальных

й а20 _ 0.005, а20 _ 0.005 „

объемных содержаниях пузырьков 20 20 . Расчетные зависимости

построены с помощью дисперсионного соотношения (2). Различие значений начальных радиусов пузырьков приводит, соответственно, к возникновению различных значений резонансных частот собственных колебаний пузырька. Это обуславливает образование локальных максимумов на дисперсионных кривых (штриховые и штрихпунктирные линии), что существенно отличает их от характера дисперсионных кривых, описывающих жидкость с пузырьками одного радиуса (сплошные линии).

С, м/с

1000

100

- 2 газа: воздух и гелий

а201=а20П=0-005

а01=1мм, а0п=0.5мм

------ воздух

а20=0.01, а0=1мм

----гелий

а20=0.01, а0=0.5мм

102

103

104

ю, Гц

Рис. 1. Сравнение зависимости фазовой скорости от частоты в одно- и двухфракционной смеси воды

с пузырьками воздуха и гелия

К„, 1/м

1001010,1 0,01

воздух ✓ а20'=0.01, я0:=1мм ----гелий

а20 =0.01, я0 =0.5мм

-2 газа: воздух и гелий

а :=а п=0.005, а0'=1мм, я0п=0.5мм

102

103

104

ю, Гц

Рис. 2. Сравнение зависимости коэффициента затухания от частоты в одно- и двухфракционной

смеси воды с пузырьками воздуха и гелия

Рассмотрим теперь эволюцию импульсов давления типа гауссовой кривой, создаваемых на границе пузырьковой среды, когда начальная форма импульсов описывается функцией вида

р(0,1) = ехр[-((* - 4)/ N )2],

где ** - половина длительности импульса; N - параметр, определяющий ширину пика импульса. Расчеты проводились с помощью дисперсионного соотношения (2) при использовании подпрограмм быстрого преобразования Фурье [7] по методике, изложенной в [8]. Будем рассматривать смесь воды с пузырьками воздуха и гелия.

На рис. 3 показано влияние учета двухфракционного состава дисперсной фазы на эволюцию импульса давления на примере воды с пузырьками воздуха и пузырьками гелия. Расчетные профили построены на расстоянии 1 и 2 м от места инициирования импульса соответственно. Сплошными линиями выполнены расчеты для пузырьковой смеси, когда дисперсная фаза представлена двумя фракциями: пузырьками воздуха и пузырьками гелия. Штриховыми и штрихпунктирными линиями выполнены расчеты для пузырьковой смеси, когда дисперсная фаза представлена либо пузырьками воздуха, либо пузырьками гелия соответственно.

»Л

0,8-

1,0-

I

-2 газа: воздух и гелий

a20I=a20II=0.005, а0:=0.5мм, я0п=2мм

----воздух а20=0.01, я0=0.5мм

------гелий а20=0.01, я0=2мм

0,6-

0,4-

0,2

0,0

0,00

0,01

0,02

0,03 t, c

Рис. 3. Эволюция импульсного возмущения типа гауссовой кривой в смеси воды с газовыми пузырьками. Сравнение одно- и двухфракционных случаев смеси воды с пузырьками газов (воздуха

и гелия)

Итак, в настоящей работе представлена замкнутая система линейных дифференциальных уравнений движения двухфракционной смеси жидкости с пузырьками разных газов и различных начальных радиусов. Рассмотренная система уравнений сведена к одному дифференциальному уравнению для давления в частных производных с постоянными коэффициентами. Получено дисперсионное соотношение, определяющее распространение слабых возмущений в двухфракционной смеси жидкости с пузырьками разных газов и различных начальных радиусов с учетом межфазного теплообмена. Для случая двухфракционной смеси воды с пузырьками воздуха и пузырьками гелия выявлено два локальных максимума в зависимости коэффициента затухания от частоты в области значений резонансных частот пузырьков. Показано влияние учета двухфракционного состава дисперсной фазы на эволюцию импульса давления малой амплитуды.

Работа выполнена при финансовом содействии Совета по грантам Президента Российской федерации для государственной поддержки ведущих научных школ РФ (грант НШ-3483.2008.1) по программе ОЭММПУ РАН№15ОЭ при финансовой поддержки РФФИ (грант № 07-01-00339).

The set of linear differential equations of motion two- fraction mixtures of liquid with bubbles of different gases and different initial radiuses is presented. The considered system of equations is taken to one differential equation for pressure in private derivatives with constant coefficients. The dispersion equation determining propagation of waves in two- fraction mixtures of liquid with bubbles of different gases and different initial radiuses taking into account a heat transfer is received. For the case of two- fraction mixtures of waters with the bubbles of air and bubbles of helium two local maximums are exposed in dependence of attenuation coefficient on frequency in area of values of resonance frequencies of bubbles. Influence of account of two- fraction composition of dispersible phase on the evolution of impulse of pressure of small amplitude is shown.

Key words: bubble liquid, dispersed systems, waves, interphase heat and mass transfer, a dispersion equation

1. Нигматулин Р.И. Динамика многофазных сред. Ч.1,2. М.: Наука, 1987.

2. Губайдуллин А. А. Ивандаев А.И., Нигматулин Р.И., Хабеев Н.С. Волны в жидкостях с пузырьками // В сб.: Итоги науки и техники, сер. МЖГ. ВИНИТИ. 1982. Т. 17. С. 160-249.

3. Нигматуллин Р.И., Шагапов В.Ш., Вахитова Н.К. Проявление сжимаемости несущей жидкости при распространении волн в пузырьковой среде // Докл. АН СССР. 1989. Т.304. № 5. С. 1077-1081.

Summary

Литература

4. Губайдуллин Д.А., Никифоров А.А. Акустические возмущения разной геометрии в смеси жидкости с пузырьками нерастворимого газа. // Известия вузов. Проблемы энергетики. 2005. Т. 1-2. С. 3-10.

5. Азаматов А.Ш., Шагапов В.Ш. Распространение малых возмущений в парогазожидкостной среде // Акустический журнал. 1981. Т. 27. № 2. С. 161-169.

6. Курант Р. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1964. 830 с.

7. Гапонов В.А. Пакет программ быстрого преобразования Фурье с приложениями к моделированию случайных процессов. Препр. АН СССР, Сиб. Отделение: ИТФ, 1976. Т. 5. 19 с.

8. Губайдуллин Д.А. Динамика двухфазных парогазокапельных сред. Изд-во Казанского математического общества, 1998. 153 с.

Поступила в редакцию 19 декабря 2008 г

Губайдуллин Дамир Анварович - д-р физ.-мат. наук, член-корр. РАН, директор Института механики и машиностроения КазНЦ РАН. Тел. 8 (843) 236-52-89. E-mail: gubajdullin@mail.knc.ru.

Никифоров Анатолий Анатольевич - канд. физ.-мат. наук, научный сотрудник Института механики и машиностроения КазНЦ РАН. Тел. 8 (843) 236-90-59. E-mail: anikiforov@mail.knc.ru.

Гафиятов Рамиль Накипович - инженер-исследователь Института механики и машиностроения КазНЦ РАН. E-mail: gafiyatov@mail.ru.