О числе совершенно уравновешенных булевых функций с барьером длины 3

2011

Теоретические основы прикладной дискретной математики

№1

УДК 519.7

О ЧИСЛЕ СОВЕРШЕННО УРАВНОВЕШЕННЫХ БУЛЕВЫХ ФУНКЦИЙ С БАРЬЕРОМ ДЛИНЫ 31

С. В. Смышляев

Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова, г. Москва, Россия

Рассматривается класс булевых функций с барьером длины 3, вложенный в множество совершенно уравновешенных булевых функций. Получены нижняя и верхняя оценки для мощности класса булевых функций с правым барьером длины 3, существенно зависящих от последней переменной, а также новая нижняя оценка логарифма числа совершенно уравновешенных булевых функций п переменных, существенно и нелинейно зависящих от крайних переменных:

Серьезные продвижения в исследовании свойств совершенно уравновешенных булевых функций были получены в работах [1, 2]. В частности, в них доказан критерий совершенной уравновешенности, связывающий это свойство со свойствами отсутствия запрета и отсутствия потери информации. Кроме того, в работе [2] впервые был приведен пример совершенно уравновешенной булевой функции, не являющейся линейной по первой (или последней) переменной. Ряд результатов о совершенно уравновешенных булевых функциях был получен в работах [3-7], в частности в [6] было выделено достаточное условие совершенной уравновешенности — наличие у булевой функции барьера. Свойства функций с барьером изучались позже в работах [8-10]; методы построения классов совершенно уравновешенных булевых функций без барьера рассматривались в [11, 12].

Одним из предложенных в работе [6] подходов к исследованию класса совершенно уравновешенных булевых функций является последовательное изучение множеств функций с барьерами длины 1, 2, 3,... Множества функций с барьерами длины 1 и 2 описываются тривиальным образом и не представляют существенного интереса.

Настоящая работа посвящена получению мощностных оценок для класса функций с барьером длины 3. Производится модификация полученного в [6] критерия принадлежности произвольной булевой функции, существенно зависящей от последней переменной, данному классу. С помощью выделения независимого множества вершин большой мощности в графе де Брейна и выбора определенного класса разметок вершин данного независимого множества удается получить широкий класс функций с правым барьером длины 3. Кроме того, небольшая модификация этого построения приводит к получению нижней оценки мощности множества совершенно уравновешенных функций, существенно и нелинейно зависящих от крайних переменных,—множества, для

E-mail: smyshsv@gmail.com

Ключевые слова: совершенно уравновешенные функции, барьеры булевых функций, криптография.

Введение

хРабота поддержана РФФИ (номер проекта 09-01-00653-а).

мощности которого ранее не было известно никаких оценок, кроме тривиальных. Вводится понятие правильной тройки разметок подграфа графа де Брейна, соответствующее набору необходимых условий, которым удовлетворяет всякая булева функция с правым барьером длины 3, существенно зависящая от последней переменной. С помощью построения подграфа специального вида и оценивания числа правильных троек его разметок получается требуемая верхняя мощностная оценка.

1. Основные определения и обозначения

Для множества двоичных наборов длины п будем использовать обозначение = = {0,1}п. Через Тп будем обозначать множество булевых функций от п переменных, через Фп — множество функций из Тп, существенно зависящих от первой и последней переменной.

Для всякой функции / € Тп через /(о),/(1) € Тп-\ будем обозначать функции, определяемые следующим равенством:

/(Ж1,Ж2, . . . ,Хп) = /(0)(Х1,Х2, . . . ,Жп-1) 0 Жп/(1)(Ж1 ,Х2, . . . ,хп-‘).

Аналогично,

У(0) (х1, х2, . . . ,хп-1) = У(00) (х1, х2, . . . ,хп-2) 0 хп- 1У(01) (х1, х2, . . . , хп-2);

У(1) (х1, х2, . . . ,хп-1) = У(10) (х1, х2, . . . ,хп-2) 0 ^-‘/"(И^Ъ ^ . . . ,хп-2);

/(00)(хЪ ^ . . . , хп-2) = /(000)(хЪ ^ . . . , хп-3) 0 хп-2/^(001) (х1, х2, . . . , хп-3^

У(01) (х1, х2, . . . , хп-2) = У(010) (х 1, х2> . . . , хп-3) 0 хп-2У(011) (х1, х2, . . . , хп-3).

Пусть п, т € N / € Тп. Обозначим для / € Тп через /т следующее отображение из Кт+п-1 в ^т:

/т

Определение 1 [6]. Булева функция / € Тп называется совершенно уравновешенной, если соотношение

/‘(у)! = 2”-1

выполняется для любого т € N и любого у € ^. Множество совершенно уравновешенных функций из Тп обозначим через РВп.

Понятия, эквивалентные совершенной уравновешенности булевых функций, рассматривались и широко изучались в работах [1] (сюръективные эндоморфизмы символических динамических систем) и [2] (сильно равновероятные булевы функции).

Определение 2 [6]. Булева функция / € Тп называется функцией с правым барьером длины Ь, Ь € N если система уравнений

/6/ (х1, х2, . . . , хЬ'+п-1) /б' (^1, ^2, . . . , +п-1) ,

х ‘ ^‘ , . . . , хп-1 ^п-1, хп 0, ^п 1

имеет решение при всяком Ь' € М, таком, что Ь ^ Ь — 1, а система уравнений

Л(хЪ х2, . . . , хЬ+п-1) /б(^1, ^2, . . . , ^6+п-1) ,

х 1 ^1, . . . , хп-1 ^п-1, хп 0, ^п 1

решений не имеет.

Булева функция / € Тп называется функцией с левым барьером длины Ь, если /;(х‘,... , хп) = /(хп,... , х‘) является функцией с правым барьером длины Ь.

Булева функция / € Тп имеет барьер, если она имеет правый или левый барьер, или оба сразу. При этом длиной барьера функции называется соответственно длина правого барьера, левого барьера или меньшая из длин барьеров.

Замечание 1. Нетрудно заметить, что наличие правого (левого) барьера длины 1 означает линейность функции по последнему (первому) аргументу. Заметим также, что для всяких п, Ь € М, Ь ^ п, верно, что любая функция из Тп, линейно зависящая от хп-ь+1 (линейно зависящая от хь) и не зависящая от переменных хп-ь+2, хп-ь+3, ... ,хп (не зависящая от переменных х‘, х2, ..., хь-1), имеет правый (левый) барьер длины Ь.

Замечание 2. Для всех утверждений, в которых упоминается длина правого барьера некоторых функций, могут быть очевидным образом построены аналоги с использованием понятия левого барьера. Ввиду этого далее будем говорить только о правых барьерах функций.

2. Предварительные результаты

Теорема 1 [6]. Наличие барьера у булевой функции является достаточным условием совершенной уравновешенности функции.

Замечание 3. В работе [6] было установлено, что наличие барьера не является необходимым условием совершенной уравновешенности. Позже в работах [5, 8, 12] был предложен ряд методов построения совершенно уравновешенных булевых функций без барьера.

Теорема 2 [6]. Функция / € Тп, такая, что /(‘) ф 0, имеет правый барьер длины 3 тогда и только тогда, когда для любых х‘, х2,... , хп-1 выполнены следующие условия:

1) /(11)(х‘,... ,хп-2) = 0;

2) если /(10) (х‘,... ,хп-2) = 1, то

/(10) (х2, . . . ,хп-2, 0) = /(10) (х2, . . . ,хп-2, 1) = 0,

/(10) (0, х‘ . . . ,хп-3) = /(10) (1, х‘,. . . ,хп-3) = 0,

У(011) (х2, . . . , хп-2) = 0,

У(001) (х2, . . . , хп-2) 0 У(01) (x1, . . . , хп-2)/(01) (х2, . . . , хп^ 0) = 1;

3) если /(10) (х‘, . . . ,хп-2) = /(10) (х2, . . . ,хп-‘) = 0, то

У(01) (х2, . . . ,хп-1) = 1.

Через ОБт будем обозначать граф де Брейна порядка т: ориентированный граф на 2т вершинах, поставленных в соответствие элементам множества ^ и соединенных дугами так, что дуга из вершины, соответствующей набору (а‘, а2,... , ат) € ^т, в вершину, соответствующую набору (Ь‘, Ь2,..., Ьт) € ^т, присутствует в графе ОБт в том и только в том случае, когда (а2, а3,... , ат) = (Ь‘, Ь2,... , Ьт-1) (см. [13]). Обозначим через СВт неориентированный граф на тех же вершинах, что и граф ОБт, получаемый из него заменой всех дуг на (неориентированные) ребра и удалением петель.

Обозначим через ш отображение из ^ в множество вершин графа ОБт и графа ОБт, переводящее двоичные наборы в соответствующие им вершины. Через П будем обозначать аналогично определяемое отображение из множества всех подмножеств ^ в множество всех подмножеств вершин графов ОБт и ОБт.

Теорема 3 [14]. В графе СБ^ существует независимое множество вершин (т. е. множество вершин, никакие две из которых не соединены ребром), не содержащее ш(0,0,... , 0) и ш(1,1,... , 1) и имеющее следующую мощность:

Обозначим для всяких п, Ь Є N через Ж&,п множество функций из с правым барьером длины Ь, существенно зависящих от хп.

Из результатов работы [6] вытекает, что множество Ж2,га пусто при всяком п. С учетом этого нетрудно установить, что все функции с правым барьером длины 3, не принадлежащие Ж3,га, не зависят существенно от жга-1 и жга и линейны по жга-2. Таким образом, учитывая замечания 1 и 2, при исследовании функций с барьером длины 3 достаточно ограничиться изучением множества ЭДз,п.

Перепишем условия, сформулированные в теореме 2, выделив отдельно свойства каждой из функций /(П), /(ю), /(01), /(оо). Получим: / Є Жз,„ тогда и только тогда, когда для всяких Х1 , Х2, . . . , Хп-1 выполняются следующие условия:

1) /(11) (Х1,... ,жга-2) = 0;

2) /(10) (Х1,... ,Хп-2)/(10)(Х2, . . . ,Хп-1) = 0;

3) если /(10) (Х1,... ,Хп-2) = /(10) (Х2,... ,хп-1) = 0, то /(01) (Х2,... ,хп-1) = 1;

если /(10) (Х1, . . . ,Хп-2) = 1, то /(01) (Х2, . . . ,Хп-2, 0) = /(01)(х2, . . . ,Хп-2, 1);

если /(10)(0,Х2, . . . ,Хп-2) = /(10) (1,Х2, . . . ,Жга-2) = 1 и /(01) (Х2, . . . ,Жга-1) = 1, то

/(01) (0, х2, . . . ,хп-2) = У(01) (1, х2, . . . ,хп-2);

4) если /(10) (Х1, . . . ,Хп-2) = 1, то /(00)(Х2, . . . ,Хп-2, 0) 0 /(00) (Х, . . . , Хп-2, 1) = = /(01) (Х1, . . . ,Хп-2)/(01)(Х2, . . . ,Х„-1) 0 1.

Лемма 1. Пусть £ — независимое множество вершин графа СБ^_2, не содержащее вершин ш(0, 0,..., 0) и ш(1,1,..., 1). Тогда любая функция /(10), равная нулю на всех наборах из ^-2 \ П-1(£), удовлетворяет условию 2.

Доказательство. Так как £ является независимым множеством вершин графа СБП-2 и не содержит ш(0, 0,..., 0) и ш(1,1,... , 1), то в графе СБп-2 никакая дуга не соединяет две вершины из £. Следовательно, при указанном выборе функции /(10) не существует ни одного набора (х1,... , хп-1) Є ^га-1, такого, что /(10)(х1,... , хп-2) = = /(10)(х2,..., хп-1) = 1. Таким образом, для функции /(10) выполняется условие 2.

Лемма 2. В графе СБ^ существует не содержащее ш(0, 0,..., 0) и ш(1,1,..., 1) независимое множество вершин £ мощности 2т-1 — О (2™/^^), такое, что для любых х2,... , вершины ш(0, х2,... , хт) и ш(1, х2,... , хт) входят или не входят в £ одновременно.

мы 3 следует существование множества Т7 С ^т-1 \ {(0, 0,... , 0), (1,1,... , 1)} мощности 2т-2 — 0(2т-1/^т — 1), такого, что £ = П(Т') —независимое множество вершин графа ОБт-1.

1 )—4 т—3

)/^ ^т — 1)/2 — 2

, если т четно;

, если т нечетно.

3. Основные результаты

Доказательство. Представляя (при четном т) разность

формулу Стирлинга, легко показать, что из теоре-

Положим Т = |(жі, ж2,... , жт) Є ^ : (ж2, ж3,... , жт) Є Т'}, £ = П(Т). Очевид-

но, что |£| = |Т| = 2т-1 - О (2т/^т) и ш(0, 0,... , 0) Є £, ^(1,1,... , 1) Є £. Пока-

жем, что вершины из £ образуют независимое множество в графе СБП Заметим, что две вершины ш(х1, х2,... , жП), ш(хї, х'2',... , жП) соединены ребром в СВт тогда и только тогда, когда выполнено условие (ж1,ж2 ,...,жП-1) = (ж2,ж3,... ,жП) либо условие (ж2, ж3,... , жП) = (ж", ж2,... , жПП-1). Таким образом, легко видеть, что если множество вершин £ не является независимым в графе СБП, то и множество £' не является независимым в СВП_".

Используя приведенные утверждения, докажем следующую нижнюю оценку.

Доказательство. Зафиксируем произвольную функцию /(10)Е^га-2, /(10) ф 0, удовлетворяющую условию 2. Очевидно, что произвольная функция /(01) € ^га-2, удовлетворяющая при всяких Х1, Х2, . . . , Жга-1 условию

3') если /(10) (XI,... ,Хп-2) = /(10) (Х2,... ,хп-1) = 0, то /(01) (^2,... ,хп-1) = 1;

если /(10)(0,Х2, . . . ,Хп-2) 0 /(10)(1,Х2, . . . ,Хп-2) = 1, то /(01) (^2, . . . , Хп-2, 0) = = У(01) (х2, . . . , хп-2, 1) = 1;

если /(10)(0,Х2, . . . ,Хп-2) = /(10)(1,Х2, . . . ,Ж„-2) = 1, то /(01) (^2, . . . , Хп-2, 0) = = /(01) (Х2, . . . ,Жга-2, 1) = 0, удовлетворяет также и условию 3. Оценим число функций /(01), /(00), удовлетворяющих условиям 3' и 4.

Нетрудно проверить, что при любой фиксированной удовлетворяющей 2 функции /(10) условие 3' однозначно определяет значение /(01) на тех и только тех наборах, на которых /(10) обращается в нуль. Таким образом, удовлетворяющих 3' функций /(01) в точности 2№*(^10)).

При всяких удовлетворяющих условиям 2 и 3' функциях /(10) и /(01) условие 4 не накладывает ограничений на выбор функции /(000) и определяет значение функции /(001) на наборе (х1, ж2,... , жга-3) тогда и только тогда, когда /(10)(0, х1,... , жга-3) = 1 или /(10)(1,х1,... , жга-3) = 1. Таким образом, удовлетворяющих 4 функций /(00) в точности

22п-2-’^

С учетом равенства ’^/(ю)) - ’^/(ю) (0, жь ... , хп-з) V /(ю)(1,Ж1, ...,хп-з)) = = ’1(/(10)(0, х1,... , хп-3)/(10)(1, х1,... , жга-3)) получаем: при всякой удовлетворяющей 2

удовлетворяют условиям 3 и 4.

Пусть £ — независимое множество вершин графа СБ^_2, определяемое леммой 2. Рассмотрим все возможные отличные от тождественного нуля функции /(10), определенные в соответствии с леммой 1. С учетом полученных выше результатов имеем

О

функции /

1^3 п| ^ ^2 22" 2+"*

/(10)е^п-2\{0},

f(10)(x)=0>^(x)^/s

Логарифмируя получившееся неравенство, получаем

1с«2 |Жз,„| > 2”-М 1 + ^ - 0

Через (£^) обозначим множество функций п переменных, линейно зависящих от

первой (последней) переменной. Как следует из результатов работ [3, 4, 6], наибольший интерес среди элементов представляют функции из (РВП П Фп) \ (£^ и £^).

Для получения нижней оценки мощности данного множества вернемся к доказательству теоремы 4. Требуя дополнительно от функции /(000) нелинейной существенной зависимости от х1, получим, что при этом при всяких удовлетворяющих условиям 2 и 3' функциях /(10) и /(01) число удовлетворяющих условию 4 функций /(00) в точности равно ^22"-2 - 22"-з+2П-4+1) 2-wt(/(l°)(0,Xl,...,xn-з)v/(l°)(1,Xl,...,xn-з)). Пользуясь цепочкой неравенств, аналогичной (2), и логарифмируя, приходим к следующему утверждению.

->£ I I I \ ого—2 Л I 1°§2 5

Теорема 5. 1о§2 |

Для получения верхней оценки мощности Ж3>га введем следующее понятие.

Определение 3. Пусть Н — некоторый подграф графа СВт. Будем называть тройку (<^(10), ^(01), ^(00)) разметок вершин графа Н элементами множества {0,1} правильной, если для любых трех вершин 'У1,г’2,г'3 графа Н выполняются следующие условия:

1) если в Н есть дуга из ^1 в г>2, то ^(10)(^1) = 0 или <^(10)(г>2) = 0, причем если ^(10)^1) = ^(ю)М = 0, то ^(01)(^2) = 1;

2) если в Н из г>1 в вершины г>2 и г>3 ведут дуги и г>2 = г>3, то если ^(10)(г'1) = 1, то

^(01)(^2) = ^(01) (Ш) и ^(00)(^2)  ^(00)(^3) = <£(01) (^1)^(01) (^2)  1

Непосредственно из определения 3 и теоремы 2 вытекает следующее утверждение.

Утверждение 1. Если / Є Ж3)П, то тройка (/(10) * ш-1, /(01) * ш-1, /(00) * ш-1) разметок вершин СВп-2 является правильной относительно любого подграфа СВп-2, содержащего все вершины СВп-2.

Опишем для всех т подграфы Нт графа де Брейна СВт, для которых далее получим верхние оценки числа правильных троек разметок. Удалим из графа СВт вершину ш(0,0,... , 0), затем выделим в получившемся подграфе остовное дерево, представляющее собой полное двоичное дерево высоты т — 1, на г-м уровне которого (г = 0,1,... , т — 1) находятся все вершины множества

О ({ (ж1, ж2, . . . , Хт) Є ^т, : (ж1, ж2, . . . , жт—1—і) (0, 0, . . . , 0), жт—і 1}) .

Обозначим получившийся подграф через Нт. Добавим к Нт вершину ш(0, 0,... , 0) и

обе исходящие из нее в графе СВт дуги; получившийся подграф обозначим Нт. На рис. 1 приведен пример такого графа для т =3.

Обозначим через ст число правильных троек разметок Нт. Пусть среди правильных троек разметок графа Н'т есть ровно 4ат таких, что <^(10)(ш(0, 0,... , 0,1)) = 0, и 4Ьт таких, что <^(10)(ш(0, 0,... , 0,1)) = 1.

Учитывая структуру графов Нт и Нт, приходим к следующему утверждению.

(1,0,0) (1,0,1) (и,°) (и,0

Рис. 1. Граф Н3

Утверждение 2. Значения ат , Ьт,ст, т = 1, 2,..., удовлетворяют следующим равенствам:

а1 = Ь1 = 1;

«т+1 = 4(ат + 2Ьт)2, т =1, 2,...;

Ьт+1 = 4а;т, т =1, 2,...;

Ст = 4ат + 8Ьт, т = 1, 2,...

С учетом полученных результатов докажем верхнюю оценку.

Теорема 6. Для всякого п ^ 3 верно

^2 |W3.nI < 2п-2  2,100641.

Доказательство. Из утверждения 1, определений графа Нт и величины ст следует, что IW3.nI ^ Сп-2.

Обозначим для всякого т = 1, 2,... отношение ат/Ьт через ^т. Получим выражение ст+1 через ст и ^т:

Ст+1 4ат+1 + 8Ьт+1 16ат + 64атЬт + 64Ьт + 32ат

2 48ат + 64ат6т + 64Ьт 2 3^т + 4^т + 4 Ст 16а;т + 64атЬт + 64Ьт Ст ^ + 4^т + 4 .

Выражая ^т+1 через ^т, получим ^т+1 = 1 + 4 т +—. Найдем отрезок числовой

т

оси, которому принадлежат все значения ^т, начиная с некоторого номера т*. Покажем, что в качестве такого отрезка можно выбрать отрезок от 2,867 до 2,882. Для этого заметим, что если для некоторого т* верно 2,867 ^ ^т* ^ 2,882, то и для всех т ^ т* верно 2,867 ^ ^т ^ 2,882. Учитывая, что ^1 = 1 и вычисляя явно все ^т вплоть до ^32, получим, что указанные неравенства выполняются при т* = 32. Таким образом, для любого т ^ 32 верно неравенство ст+1 ^ 1,697  ст и, следовательно, ст ^ 1,697—1 (1,697  с32)2т 32, log2 ст ^ 2m(log2 1,697 + к^2 с32)/232 — log2 1,697. Вычисляя ^2 с32, получаем log2 ст < 2т  2,100641 для всех т ^ 32. Проверяя явным образом выполнение данного соотношения для всех т = 1, 2,..., 31, приходим к требуемому утверждению.

Из теорем 4 и 6 окончательно получаем следующие оценки мощности W3)n:

2п-2 (С — О(1/^П)) ^ log2 lW3.nI < 2п-2  С2, где С1 = 1 + (log2 5)/4 « 1,58048; С2 = 2,100641.

ЛИТЕРАТУРА

1. Hedlund G. A. Endomorphisms and automorphisms of the shift dynamical system // Math. Sys. Theory. 1969. No.3. P. 320-375.

2. Сумароков С. Н. Запреты двоичных функций и обратимость для одного класса кодирующих устройств // Обозрение прикладной и промышленной математики. 1994. Т. 1. Вып. 1. С. 33-55.

3. Anderson R. J. Searching for the Optimum Correlation Attack // LNCS. 1995. V. 1008. P. 137-143.

4. Golic Dj. J. On the Security of Nonlinear Filter Generators // LNCS. 1996. V. 1039. P. 173-188.

5. Смышляев С. В. О некоторых свойствах совершенно уравновешенных булевых функций // Материалы Четвертой Междунар. науч. конф. по проблемам безопасности и противодействия терроризму (МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 30-31 октября 2008). М.: МЦНМО, 2009. С. 57-64.

6. Логачев О. А., Смышляев С. В., Ященко В. В. Новые методы изучения совершенно уравновешенных булевых функций // Дискретная математика. 2009. Т. 21. Вып. 2. С. 51-74.

7. Логачев О. А. Об одном классе совершенно уравновешенных булевых функций // Материалы Третьей Междунар. науч. конф. по проблемам безопасности и противодействия терроризму (МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 25-27 октября 2007). М.: МЦНМО, 2008. С. 137-141.

8. Смышляев С. В. Барьеры совершенно уравновешенных булевых функций // Дискретная математика. 2010. Т. 22. Вып. 2. С. 66-79.

9. Смышляев С. В. О преобразовании двоичных последовательностей с помощью совершенно уравновешенных булевых функций // Материалы Пятой Междунар. науч. конф. по проблемам безопасности и противодействия терроризму (МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 29-30 октября 2009). М.: МЦНМО, 2010. С. 31-41.

10. Смышляев С. В. О криптографических слабостях некоторых классов преобразований двоичных последовательностей // Прикладная дискретная математика. 2010. №1(7). С. 5-15.

11. Смышляев С. В. О совершенно уравновешенных булевых функциях без барьера // Материалы Восьмой Междунар. науч. конф. «Дискретные модели в теории управляющих систем» (МГУ им. М. В. Ломоносова, Москва, 6-9 апреля 2009). М.: МАКС Пресс, 2009. С.278-284.

12. Смышляев С. В. Построение классов совершенно уравновешенных булевых функций без барьера // Прикладная дискретная математика. 2010. №3(9). С. 41-50.

13. Холл М. Комбинаторика. М.: Мир, 1970.

14. Lichiardopol N. Independence number of de Bruijn graphs // Dicrete Mathematics. 2006. V.306(12). P. 1145-1160.