Теория кратковременной ползучести анизотропного материала

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 297-310

Механика

УДК 539.374; 621.983

Теория кратковременной ползучести

*

анизотропного материала *

С. С. Яковлев, С. Н. Ларин, Е. В. Леонова

Аннотация. Приведены основные уравнения и соотношения для анализа процессов изотермического деформирования анизотропных высокопрочных материалов в режиме кратковременной ползучести. Рассмотрены задачи о свободном и стесненном деформировании элементов ячеистых листовых конструкций квадратного поперечного сечения в режиме кратковременной ползучести.

Ключевые слова: анизотропия, кратковременная ползучесть, напряжение, деформация, повреждаемость, температура, время, давление, разрушение.

В машиностроительном производстве формоизменение высокопрочных труднодеформируемых титановых, алюминиевых, магниевых сплавов и ряда сталей часто осуществляется при медленном деформировании в изотермических условиях при повышенных температурах. Реализация медленного горячего деформирования позволяет значительно снизить удельные силы и достичь больших степеней деформации. Это обстоятельство связано со значительной ролью вязкого течения материала при деформации [1-5].

Листовой металл, используемый для изотермического деформирования, как правило, обладает анизотропией механических свойств, которая зависит от физико-химического состава сплава, технологии его получения и температуры обработки. Анизотропия механических свойств заготовки проявляется как при пластическом деформировании, так и при деформировании в режиме кратковременной ползучести и оказывает существенное влияние на силовые, деформационные параметры процессов обработки металлов давлением, на качество получаемых изделий [6-9].

Назначение рациональных параметров деформирования листовых материалов должно быть основано на теории формоизменения, в которой учитываются в полной мере механические свойства материала (анизотропия,

* Работа выполнена в рамках федеральной целевой программы «Научные и научнопедагогические кадры инновационной России», государственного задания Министерства образования и науки Российской Федерации на 2012-2014 годы и грантов РФФИ.

скоростное и деформационное упрочнение, напряженное и деформированное состояние, неоднородность), а также должно опираться на критерии разрушения заготовок. При медленном деформировании листовой заготовки в условиях повышенных температур предельное формоизменение может ограничиваться как локальной потерей устойчивости (шейкообразованием), так и накоплением повреждаемости материала.

Ниже приведены основные уравнения и соотношения, необходимые для теоретического анализа процессов обработки металлов давлением анизотропных материалов, протекающих в условиях кратковременной ползучести, критерии деформируемости (энергетический и деформационный), локальной потери устойчивости листового анизотропного материала при кратковременной ползучести.

Основные уравнения и соотношения. Рассмотрим деформирование анизотропного материала в условиях кратковременной ползучести. Упругими составляющими деформации пренебрегаем. Под кратковременной ползучестью будем понимать медленное деформирование в условиях вязкого или вязкопластического (ползуче-пластического) течения [1-3]. Считаем, что если величина эквивалентного напряжения ое меньше некоторой величины (Ге о, соответствующей эквивалентной степени деформации £е0 при эквивалентной скорости деформации «е0, то процесс деформирования будет протекать в условиях вязкого течения материала (деформации ползучести) и уравнения состояния с учетом повреждаемости, описывающие поведение материала, подчиняющегося энергетической теории ползучести и повреждаемости, могут быть записаны в виде [5]

_ В {(Ге/(Ге0Т , с _ (1

«е

а применительно к группе материалов, подчиняющихся кинетическим уравнениям ползучести и повреждаемости, так:

«ес _ В

е пр

ъе ^ \ _ } (л , ,с\ш'> е

Яео) (1 — ше) '

а если величина ое больше значения оео, то будет осуществляться процесс деформирования в условиях вязкопластического течения.

При вязкопластическом течении материала (ое > аео) уравнения

состояния имеют вид

ср \ ^ / ЛСР \ & £Ср

£^\ «^) (1 - „,ср)г • ,;,ср _ °е«е

Ое _ о-еИ ^ ^

,£е0) V «ео / АПр

если поведение материала описывается энергетической теорией нелинейного вязкопластического течения и разрушения, и

^cp \ d ^ £СР \ k ^cp

fip f \ С I V-1- ) 5 ^c cp

°c = Veoi 3* ПЧ

. £co / V S,ea / £enp

если поведение материала описывается кинетическом теориеи нелинейного вязкопластического течения и разрушения.

Здесь B, n, m, k, d, r — константы материала, зависящие от температуры испытаний; еТ и е% — величины эквивалентной деформации при вязкопластическом и вязком течении материала; Acnp, АПР, e%np и e%pnp — удельная работа разрушения и предельная эквивалентная деформация

СР С СР С

при вязком и вязкопластическом течениях материала; ¿е , и ¿Д, ¿Д — повреждаемость материала при вязкопластической и вязкой деформации по деформационной и энергетической моделям разрушения соответственно.

Величину аео, разделяющую вязкое и вязкопластическое течение, будем назначать в зависимости от механических свойств материала при заданной температуре деформирования, чувствительности материала к деформационному упрочнению при соответствующей скорости деформации Сео.

Заметим, что в зависимости от температурно-скоростных условий деформирования поведение материала может описываться уравнениями состояния (1) и (2) или (1) и (4) соответственно.

Введем потенциал скоростей деформации анизотропного тела при кратковременной ползучести в виде

2f (aij) = H(ax — ay)2 + F(ay — az)2 + G(az — ax)2 +

+2NTXy + 2LTyz + 2Mтzx,

который совпадает с условием перехода материала из вязкого состояния в вязкопластическое, когда 2f (aij) = 1, где H, F, G, N, L, M — параметры анизотропии при кратковременной ползучести; aij — компоненты тензора напряжений; x, y, z — главные оси анизотропии.

В этом случае компоненты скоростей деформации определяются в соответствии с ассоциированным законом течения

^ '

где Л — коэффициент пропорциональности.

При вязком и вязкопластическом течениях материала вводятся понятия эквивалентного напряжения ае и эквивалентной скорости деформации £е при формоизменении в условиях кратковременной ползучести по аналогии с работами Р. Хилла и Н.Н. Малинина [1, 9].

Экспериментальные исследования анизотропных свойств материалов в различных термомеханических условиях показали, что, как правило, эти свойства различны при вязком деформировании

и вязкопластическом (ползуче-пластическое деформирование). Поэтому в дальнейшем характеристики вязкого течения будем обозначать с индексом

Предельные возможности формоизменения в процессах обработки металлов давлением, протекающих при различных температурноскоростных режимах деформирования, часто оцениваются на базе феноменологических моделей разрушения [1-3, 10, 11].

Предлагается условие деформируемости материала при вязкопластическом течении без разрушения записать в виде

вязкопластической и вязкой деформации по деформационной и энергетической моделям разрушения соответственно.

При справедливости деформационного критерия деформируемости выражения для определения предельной эквивалентной деформации при

о

а при вязком течении — в виде

ь

если справедлив деформационный критерий разрушения, и в виде

ь

о

и

ь

если справедлив энергетический критерий разрушения.

Здесь шс<?, Ш и шАр, шА — повреждаемость материала при

ср с

вязкопластическом еепр и вязком еепр течениях материала можно записать в следующем виде:

^ х

где С, А1, А2; а0, а1, а2, а3 и Б, Ъ0, Ъ1, Ъ2, Ъ3 — экспериментальные константы материала; а = (а\ + а2 + а3)/3 — среднее напряжение; о\, а2 и а3 — главные напряжения; а, в, 7 — углы ориентации первой главной оси напряжений а1 относительно главных осей анизотропии х, у и г соответственно.

При рассмотрении критерия разрушения в энергетической постановке предельная величина удельной работы разрушения при вязкопластической и вязкой деформации может быть вычислена по аналогичным формулам с заменой буквенных коэффициентов С, А1, А2, Б, а^, ^ на соответствующие им коэффициенты С', А1, А'2, В', Б', а'^ и Ъ[, а еееПР и еепр на АПр и АПр.

Константы материала, входящие в уравнения состояния (1)—(4) и в выражения для определения предельной эквивалентной деформации (11), (12) или предельной

величины удельной работы разрушения предложено определять путем обработки результатов экспериментальных исследований по растяжению стандартных плоских образцов, вырезанных в пределах одного листа под углами 0°, 45° и 90° к направлению прокатки, до разрушения в условиях вязкого и вязкопластического течения материала [4-6].

При изготовлении ряда изделий ответственного назначения из листового материала по условиям эксплуатации не допускается локализация деформации, которая проявляется в образовании местного утонения. Поэтому степень формоизменения, при которой начинается шейкообразование, в этом случае может считаться предельной. Обеспечение отсутствия шейкообразования в процессах медленного формоизменения при повышенных температурах является важной задачей.

На основе постулата Друкера для реономных сред установлен критерий локальной потери устойчивости анизотропного материала при плоском напряженном состоянии заготовки (аг = 0) в режиме кратковременной ползучести [4, 6]:

I - А)

г1 А )\ А г2 ) а \гз ^ \ А г4 )

где А = л/ах - 2аХуШ1 + ауш2; а = ах - аХуШ1; Ъ = ау - аХуШ1; Ш1 = ^;

г^; а =

3Ку {Кх + 1) 3 {Ку + 1) Кх

2 {Кх + Ку + КхКу) 2 {Кх + Ку + КхКу)

ЗКхКу

У 2 {Кх + Ку + КхКу)

Кх и Ку — величины коэффициентов анизотропии при рассматриваемых условиях деформирования; ах и ау — главные напряжения, которые совпадают с главными осями анизотропии х и у, а г1, г2, гз, г4 — величины подкасательных к графикам зависимостей функций А, ^Аг, т^е и от времени,

а

х

1 А й / ае \ 1 А й (а£е

г1 ае йЬ V А ) г2 а£е йЬ \ А

1 А й / ш1ае л 1 А й / Ъ£е

г3 ш1 ае йЬ V А ) ’ г4 Ъ£е йЬ \ А

В случае деформирования анизотропной листовой заготовки в условиях плоского напряженного и плоского деформированного состояний (ах = 0; £у = 0) неравенство (13) преобразуется к виду

1 - ^)

г1 А А г2

где а = ах - ауш2; А = д/ах - ауш2.

Величины г1, г2, гз и г4 связаны между собой принятой формулировкой уравнений состояния в зависимости от условий деформирования.

Поскольку неустойчивость деформирования всего тела и неустойчивость его отдельных элементов наступает неодновременно, то в исследованиях технологических процессов важно изучать локализацию деформаций в наиболее напряженных элементах заготовки.

Изотермическое деформирование элементов ячеистых листовых конструкций квадратного поперечного сечения. В многослойных листовых конструкциях квадратные элементы получают изотермической пневмоформовкой листов (заполнителей), предварительно жестко соединенных по контуру с наружными листами (обшивками) до полного их прилегания к последним. Принимается, что процесс формообразования осуществляется в две стадии: свободное деформирование оболочки и стесненное деформирование при формообразовании угловых элементов конструкций. Свободная формовка оболочки осуществляется до момента времени ¿1, когда оболочка достигнет обшивки.

Деформирование тонкостенной листовой анизотропной заготовки в квадратную матрицу. Рассмотрим свободное деформирование тонкостенной листовой заготовки в квадратную матрицу со сторонами 2а в режиме ползучести под действием гидростатического давления р = ро + арЬПр, где р0, ар, пр — константы нагружения; Ь — время деформирования. Заготовка закреплена по внешнему контуру (рис. 1).

Принимаем, что напряженное состояние заготовки плоское (ах = 0). Радиусы кривизны окружностей в плоскостях х0г и х0у равны

Р Р = Н2 + а2

рх = Ру = 2Н ‘

Допускаем, что траектории точек ортогональны в данный момент образующемуся профилю. В этом случае в полюсе срединной поверхности (точка «с») скорости деформаций будут определяться по формулам

Рис. 1. Схема формообразования квадратной ячейки

2НН

Н2 + а2 ’

где Н = сіН/сіі; Н = с!Н/сИ.

Так как мембрана закреплена по внешнему контуру, то в точках «а» и «Ь» с координатами х = а, у = 0 и х = 0, у = а соответственно имеем

где Пх и Пу — коэффициенты анизотропии листовой заготовки.

Примем для простоты анализа, что в каждый момент деформации в сечении оболочки х0г скорость деформации £<у от купола к стороне х = а вдоль оси х изменяется по линейному закону от максимальной величины в вершине купола до нуля в точке х = а, а величина скорости деформации £Х постоянна по величине. Аналогичное предположение имеет место в сечении у0г относительно скоростей деформации £Х и £У.

Величина толщины заготовки в точках «с», «а» и «Ь» может быть определена по выражениям

где Но — начальная толщина мембраны.

Принимая, что напряжения равномерно распределены по толщине, компоненты напряжений определим из совместного решения уравнения равновесия безмоментной оболочки, нагруженной равномерным давлением Р,

-------= ---------- £

Г + Н 1 + Яу ; ^

и

Уу Сх Р /х

— + — = т,

Ру рх П

и отношение скоростей деформаций £ХС и £уС в точке купола заготовки «с»

из ассоциированного закона течения (6):

£хс = Яу Ях

Окончательно будем иметь

РРу

ухх = Хаух5 Уух = ь

где

Кх (1 + Ку) + КхЕу ,0„ч

х = и,

В случае плоского напряженного состояния эквивалентная скорость деформации £е и напряжения ае вычисляются по известным соотношениям [3].

Силовые режимы и предельные возможности формоизменения. Рассмотрим в качестве примера медленное изотермическое деформирование в режиме вязкого течения (ае ^ уео) материала, для которого справедливы уравнения энергетической теории ползучести и повреждаемости (1).

Получим уравнения для определения давления р. Поскольку величина давления Р в каждый момент деформирования равномерно распределена по поверхности оболочки, то будем определять его величину в полюсе сферы (точка «с»).

Учитывая, что в полюсе

Схх =

выражение для определения эквивалентной скорости деформации £е в точке «с» может быть представлено в виде

£еХ = С1£

где

С1 ==\1^^Я^ ШПУ + 1) + 2ЯхЯу + Яу

у 3 ЯхЯу

Величина эквивалентного напряжения ае в точке «с» оценивается по выражению

Уес = 01<7ус

где

^ = Г 3 Яу

\ 2 Ях + ЯхЯу + Яу /

Из уравнения состояния материала (2) с учетом величин ае, £е получим

= С1

Второе уравнение состояния (4) позволяет найти выражение для определения величины повреждаемости

•1-Ах = °‘Т2 Н^°^2р и .

Л,оа (1 + Х)Апрс

Аналогичным образом могут быть получены основные уравнения и соотношения для решения поставленной задачи в предположении, что поведение материала подчиняется уравнениям кинетической теории ползучести и повреждаемости, при известном законе давления от времени.

Формирование угловых элементов оболочки. Проанализируем вторую стадию деформирования. Рассмотрим формирование углового элемента оболочки в плоскостях симметрии у0г и х0г. Считаем, что а > Нь Предполагаем, что нам известны давление р1, высота оболочки И1, накопленная повреждаемость ио и распределение толщины оболочки Л-1 = ^(р) в момент Ь = ¿1, где р — угол, характеризующий положение точки на угловом элементе заготовки.

Будем считать, что процесс формообразования угловых элементов конструкций осуществляется в соответствии с рис. 2.

Предлагается следующая схема деформирования оболочки на второй стадии деформирования при Ь > ¿1. После контакта вершины купола с обшивкой предполагается, что реализуется равномерное деформированное состояние, то есть толщина оболочки меняется равномерно в каждой точке оболочки от начальных размеров при Ь = Ь1, а форма деформируемой угловой части оболочки в плоскостях х0г и у0г сохраняет форму части окружности.

На первом этапе второй стадии деформирования в плоскостях у0г и х0г формируется плоский участок в окрестности вершины купола до момента, когда £1 = £1* = а — Н1. В дальнейшем на втором этапе второй стадии происходит симметричное деформирование оболочки относительно новых осей симметрии О3О4 и 03О4 с образованием симметрично плоских участков в угловой части оболочки; при этом форма деформируемой свободной угловой части в указанных выше плоскостях имеет форму части окружности (рис. 2).

Рис. 2. Формообразование угловых элементов в плоскостях у0г и х0г

Получены необходимые уравнения и соотношения для теоретического анализа напряженного и деформированного состояния заготовки при формообразовании угловых элементов конструкции.

Обсуждение результатов исследований. Приведенные выше соотношения для анализа процессов изотермического деформирования квадратной оболочки, закрепленной по контуру, позволили установить влияние закона нагружения, геометрических размеров заготовки, анизотропии механических свойств исходного материала на напряженное и деформированное состояния, силовые режимы и предельные возможности исследуемого процесса изотермической пневмоформовки в режиме кратковременной ползучести, связанные с накоплением микроповреждений и локальной потери устойчивости.

Расчеты выполнены для алюминиевого сплава АМг6 при температуре обработки Т = 450°С, поведение которого описывается энергетической теорией ползучести и повреждаемости, и для титановых сплавов ВТ14 и ВТ6С при температурах обработки Т = 950°С и Т = 930°С соответственно, поведение которых описываются кинетической теорией ползучести и повреждаемости. Механические характеристики этих материалов при формоизменении в условиях вязкого течения материала приведены в работе [6].

Графические зависимости изменения относительных величин толщины заготовки в куполе Нс = Нс/Н0 и в месте ее закрепления На = На/Н0, высоты заготовки Н = И/Но (Но = 1мм) и максимальной величины повреждаемости в куполе заготовки ид от времени деформирования £ для алюминиевого сплава АМг6 (Т = 450°), поведение которого описывается энергетической теорией ползучести и повреждаемости, при заданном законе нагружения

Р = Ро + арЬПр представлены на рис. 3 (Ех = Еу = 0, 7). Точками обозначены результаты экспериментальных исследований, описанных ниже.

20

15

10

Н

1.00

0.75

0.50

0.25

0.00

1.00

0.75

0.50

соА

0.25

0.00,

* / г

/ V

н \ 1 1/ у О

\ \Ш4

200 400 С 800

t------->

Рис. 3. Зависимости изменения величин Н, Н и ид в рассматриваемых точках от времени деформирования £ для алюминиевого сплава АМг6

Из анализа графических зависимостей следует, что с ростом времени деформирования £ до определенного предела осуществляется резкое увеличение относительной высоты заготовки Н и уменьшение относительной толщины заготовки в куполе Нс ив месте ее закрепления На. В момент времени £, близком к разрушению заготовки, происходит резкое изменение относительных величин Н, Нс и На. Это связано с интенсивным ростом накопления микроповреждений в заключительной стадии процесса.

Установлено, что изменение относительной толщины в куполе заготовки Нс происходит более интенсивно по сравнению с изменением относительной толщины в месте ее закрепления На. С ростом времени деформирования £ эта разница увеличивается и может достигать 30%. Сопоставление результатов расчетов с результатами экспериментальных исследований по геометрическим размерам на этапах деформирования при заданном законе нагружения указывает на удовлетворительное их согласование (до 10%).

При исследовании установлены зависимости изменения относительных величин толщины заготовки в вершине мембраны Нс* = Нс*/Но и в точках защемления На* = На* /Н0, высоты заготовки Н* = Н* / Н0 в момент разрушения заготовки, предельного времени деформирования £* от параметров закона нагружения (ар, пр) для алюминиевого сплава АМг6 (а = 25мм).

Предельные возможности свободной пневмоформовки квадратной мембраны ограничиваются феноменологическим критерием по накоплению микроповреждений (и>А = 1) в зависимости от условий деформирования. Анализ результатов расчетов показывает, что увеличение параметров закона нагружения ар, пр приводит к уменьшению времени разрушения £* и

относительной высоты заготовки Н*, а также к увеличению относительной толщины в куполе заготовки Нс*. Установлено, что для исследуемых материалов при условиях нагружения (ар, пр) разрушение оболочки по критерию накопления повреждений происходит в куполе заготовки (точка «с»).

Предельные возможности формоизменения в режиме вязкого течения материала, поведение которого подчиняется кинетической теории ползучести и повреждаемости, не зависят от условий нагружения заготовки. Показана существенная зависимость времени разрушения £* от параметров нагружения ар и пр.

Графические зависимости изменения коэффициента заполнения ¿р = ^/^о и максимальной величины накопленных микроповреждений и а от времени деформирования £ представлены на рис. 4. Здесь ^ и — текущая и полная площадь верхней части матрицы. Расчеты выполнены для алюминиевого сплава АМг6 для ячейки а = 15мм при ар = 0, 06МПа/сПр, пр = 0, 4. Анализ графических зависимостей показывает, что процесс заполнения угловых элементов условно можно разделить на три стадии: стадия плавного увеличение величины ¿р, последующая стадии интенсивного его роста и стадию плавного увеличения величины ¿р.

В работе также проанализированы зависимости относительных предельных величин радиуса закругления углового элемента оболочки г* = г*/Н0 и времени разрушения £* от параметров закона нагружения ар и пр для алюминиевого сплава АМг6 (Т = 450°С). Расчеты выполнены при следующих геометрических размерах а = 25мм; Н = 10мм; Но = 1мм.

1

0,8

А

0,6

5^0,4 юА

0,2 0

1550 1650 1750 1850 1950 с 2050

I -------

Рис. 4. Зависимости изменения 6р и максимальной величины накопленных микроповреждений ид от £

Из анализа графических зависимостей следует, что с ростом параметров закона нагружения пр и ар наблюдается увеличение относительной величины критического радиуса закругления г*. Установлено, с увеличением

параметров нагружения np и ap время разрушения t* существенно уменьшается.

Показано, что для материалов, подчиняющихся кинетической теории ползучести и повреждаемости, например титановый сплав ВТ6С (T = = 930°C), относительный критический радиус закругления г* не изменяется, а время разрушение уменьшается с ростом параметров нагружения np и ap.

Приведенные выше соотношения могут быть использованы для анализа процессов изотермического деформирования высокопрочных анизотропных материалов в режиме кратковременной ползучести.

Список литературы

1. Малинин Н.Н. Ползучесть в обработке металлов. М.: Машиностроение, 1986. 216 с.

2. Работнов Ю.Н., Милейко С.Т. Кратковременная ползучесть. М.: Наука, 1970. 224 с.

3. Романов К.И. Механика горячего формоизменения металлов. М.: Машиностроение. 1993. 240 с.

4. Изотермическое деформирование высокопрочных анизотропных материалов / С.П. Яковлев [и др.]. М.: Машиностроение, 2004. 427 с.

5. Изотермическое формоизменение анизотропных материалов жестким инструментом в режиме кратковременной ползучести / С.С. Яковлев [и др.]. М.: Машиностроение, 2009. 412 с.

6. Изотермическая пневмоформовка анизотропных высокопрочных листовых материалов / С.С. Яковлев [и др.]. М.: Машиностроение, 2009. 352 с.

7. Гречников Ф.В. Деформирование анизотропных материалов. М.: Машиностроение. 1998. 446 с.

8. Яковлев С.П., Яковлев С.С., Андрейченко В.А. Обработка давлением анизотропных материалов. Кишинев: Квант. 1997. 331 с.

9. Яковлев С.С., Кухарь В.Д., Трегубов В.И. Теория и технология штамповки анизотропных материалов. М.: Машиностроение, 2012. 400 с.

10. Колмогоров В.Л. Механика обработки металлов давлением. М.: Металлургия, 1986. 688 с.

11. Богатов А.А. Механические свойства и модели разрушения металлов. Екатеринбург: Изд-во УГТУ-УПИ, 2002. 329 с.

Яковлев Сергей Сергеевич (mpf-tula@rambler.ru), д.т.н., профессор, зав. кафедрой, кафедра механики пластического формоизменения, Тульский государственный университет.

Ларин Сергей Николаевич (mpf-tula@rambler.ru), к.т.н., доцент, кафедра механики пластического формоизменения, Тульский государственный университет.

Леонова Евгения Витальевна (mpf-tula@rambler.ru), аспирант, кафедра механики пластического формоизменения, Тульский государственный университет.

Theory of short-term creep of anisotropic material

S. S. Yakovlev, S. N. Larin, E. V. Leonova

Abstract. The basic equations and relations for the analysis of processes isothermal deformation of anisotropic materials with high mode a short-creep. We consider the problem of the free and constrained deformation element mesh sheet structures of square cross-section in the short-mode variable creep.

Keywords: anisotropy, short-term creep, stress, deformation, defect, temperature, time, pressure, destruction.

Yakovlev Sergey (mpf-tula@rambler.ru), doctor of technical sciences, professor, head of department, department of mechanics of plastic forming, Tula State University.

Larin Sergey (mpf-tula@rambler.ru), candidate of technical sciences, associate professor, department of mechanics of plastic forming, Tula State University.

Leonova Evgeniya (mpf-tula@rambler.ru), postgraduate student, department of mechanics of plastic forming, Tula State University.

Поступила 16.05.2013