Характеризация графов, вложимых в n-куб и описание строения булевых торов

ХАРАКТЕРИЗАЦИЯ ГРАФОВ, ВЛОЖИМЫХ В « КУБ И ОПИСАНИЕ

СТРОЕНИЯ БУЛЕВЫХ ТОРОВ

А.Н. БОГАТИКОВ, науч. сотр. лаборатории ТВП, Москва

В настоящее время теория графов является сложившейся математической дисциплиной, занимающей видное и во многом ведущее место в дискретной математике. Теория графов имеет обширное применение на практике: в частности, с ее помощью выполняются задачи управления производством и проектирования сетей ЭВМ, разработки современных электронных модулей и проектирования физических систем с сосредоточенными параметрами, решения проблем генетики и проблем автоматизации проектирования. Теория графов является основой математического обеспечения современных систем обработки информации.

В настоящей работе будут рассматриваться графы, обладающие специфической особенностью - все они вкладываются в «-куб. Такие графы получили название булевых графов, они находят свое применение в задании булевых функций, являющихся важным криптографическим объектом, а также при синтезе дискретных автоматов. Булев граф, задающий булеву функцию, является графом связности единичных вершин, т.е. тех вершин п-куба, в которых функция принимает значение «единица».

1. Булевы графы

Теоретический и прикладной интерес представляет задача изучения свойств булевых графов и, в первую очередь, проверки принадлежности графов этому классу. Опубликовано определенное число работ, посвященных проблематике булевых графов, основная часть из них посвящена вложениям графов ([1,3]). Выделим две из них: статью В.Г. Никонова «Пороговые представления булевых функций», а именно §1 «Булевы графы и функции», и раздел монографии В.А. Горбатова «Фундаментальные основы дискретной математики» - §3.6 «Вложение графов». В результате проведенных авторами независимых исследований проблематики булевых

графов образовалось два различных подхода к изучению этой проблемы.

Прежде чем перейти к представлению результатов работы [1], введем следующие определения.

Определение 1.1

Граф G = (V,E) является «-кубом (гиперкубом) тогда и только тогда, когда существует взаимнооднозначное отображение х его вершин во множество вершин n-мерного единичного куба: z:F V", V" ={(xv...,xn)\xl <= {0,1}} такое, что пара его вершин v,,v2 е V соединяется ребром, если || x(Vj) © x(v2) ||= 1, где ©- операция покоординатного сложения векторов по mod 2.

Определение 1.2

Пусть G = {V,E) - п-куб, тогда G, = (FJ,£j) есть подграф G, или булев граф, если V,cV и (v,,v2) е когда v,,v2ePJ и (v„v2)e£.

Определение 1.3

Если Е = {el,...,et} - множество ребер некоторого графа G = (V, Е), то упорядоченный набор различных цветов (переменных) хх,...,хк, поставленный в соответствие ребрам из Е, называется свободной раскраской графа G = (V, Е), а сам граф - свободно раскрашенным.

Определение 1.4

Граф называется раскрашенным, если он является свободно раскрашенным или получен из своего свободно раскрашенного графа путем отождествления некоторых цветов (переменных) [х, = х; ].

Теорема 1.5

Граф G = (V,E) является булевым графом тогда и только тогда, когда для него существует такая раскраска, что:

1) если в графе G = (V,E) существует цикл, то на цикле каждый цвет встречается четное число раз;

2) не существует вершины, инцидентной двум ребрам одного цвета;

3) если П (v,, v2) - количество нечетное число раз встречающихся цветов на пути из вершины V, в вершину v2, то rj(v,,v;) = 1 тогда и только тогда, когда v,, v2 - соседние вершины.

Следующие определения помогут сформулировать иной подход к характериза-ции булевых графов.

Определение 1.6 Разделяющим множеством связного графа G называется такое множество его ребер, удаление которых из G делает его несвязным.

Определение 1.7

Разрезом называется такое разделяющее множество, которое не имеет собственного подмножества, являющегося разделяющим множеством.

Определение 1.8 Множество ребер Е называется пустым реберным подграфом, если любые два ребра из Е не имеют общей вершины, и при добавлении хотя бы одного ребра, не принадлежащего Е, найдется хотя бы одно ребро, имеющее с ним общую вершину.

Определение 1.9 Разрез называется паросочетатель-ным, если его ребра образуют пустой реберный подграф.

Теорема 1.10 (В.А. Горбатов [3]) Граф G является булевым графом тогда и только тогда, когда множество реберных подграфов включает все паросочетательные разрезы этого графа.

Теорема 1.5 построена с использованием терминов раскраски графа, все условия легко проверяемы, что позволяет построить легкий алгоритм вложения графа в «-куб. Теорема 1.10 базируется на основе использования термина паросочетательного разреза графа; построенный на основе теоремы алгоритм имеет большую трудоемкость. Использование различных разделов теории графов не позволяет на первый взгляд увидеть связь между этими критериями. В настоящей работе будет доказана их эквивалентность, для этого описаны все паросочетательные разрезы «-куба.

Утверждение 1.11

Граф 0-{У,Е) \У\=п,\Е\=т является связным, если выполняются условия:

а) Граф й - неориентированный, без петель и кратных ребер;

б) В в нет циклов нечетной длины;

в) т>(—)2.

2

Доказательство. Доказательство проведем методом от противного. Построим несвязный граф, для которого выполняются условия (а) и (б) утверждения и проверим условие (в). Двудольный граф С^ =(¥1,Е]), состоящий из двух компонент связности, при этом одна является отдельной вершиной, а вторая Кп_к к_х. Таким образом, С, удовлетворяет условиям (а) и (б). Очевидно, что другого несвязного двудольного графа, число ребер которого превышает | Ех |= (п - к){к -1), не существует. Неравенство

выполняется для любых натуральных пи к, я поэтому получаем противоречие с условием (в).

Утверждение 1.12

Множество Е = {Е1 ,...,Е"}, где

е' ={(^,у2)\ г ооетод^,...,«„),«,. =1

aJ=0,iФj} (ге\ ,п), образует множество всех паросочетательных разрезов п-куба.

Доказательство. Покажем, что Е' - это разрез «-куба. Удалим из «-куба множество ребер Е' и проверим условия утверждения 1.11. Полученный подграф окажется несвязным, а это означает, что Е' - разделяющее множество. Удалим из «-куба множество ребер Е' \ {ел}, где - произвольное ребро из Е', и, проверив условия утверждения 1.11, убеждаемся, что граф связен, т.е. Е' - это разрез. Любые два ребра из Е' не имеют общей вершины и | Е' |= 2"~}, таким образом, Е' покрывает все вершины «-куба, следовательно, Е' - пустой реберный подграф «-куба. Остается заметить, что Е содержит все ребра «-куба

(£'П Е] =0, []Е'=Е и |£|=«2"4),

>* У '=1

и, следовательно, других паросочетательных разрезов нет.

Теорема 1.13

Условия теоремы 1.5 и теоремы 1.10 эквивалентны.

Доказательство. Пусть G - (V, Е) -«-куб. Сопоставим ребрам G свободную раскраску, удовлетворяющую условиям теоремы 1.5:

£'={(v„v2)| т (vjex (v2) = а :а, = 1, Vi ф j Uj = 0} /е{1,...,«},

при этом

E!f]EJ=0, UЕ' =Е.

Каждое*множество ребер Е', согласно утверждению 1.12, образует паросочетательный разрез G. Непосредственной проверкой убеждаемся в выполнении условий для любого подграфа G.

Для доказательства утверждения в обратную сторону построим множество паросо-четательных разрезов G, раскрашивая каждое из них так, что каждому паросочетательному разрезу отождествляются различные краски. Такая раскраска удовлетворяет условию теоремы 1.5, в чем для любого подграфа G убеждаемся непосредственной проверкой.

Из доказательства теоремы 1.13, очевидно, следует, что раскраска и паросочетательные разрезы в «-кубе строятся одинаково, а также что для любого подграфа «-куба возможно построить раскраску, образующую множество всех па-росочетательных разрезов этого подграфа.

Наряду с задачей поиска классов булевых графов представляет интерес проблема

выявления классов графов, не вкладывающихся в «-куб. На пути решения этой задачи можно отметить, что теорема 1.5 показывает, что только двудольные графы могут обладать способностью вкладываться в гиперкуб.

Утверждение 1.14 Любой полный двудольный граф Кп т при « >2 и т>3 не вкладывается в «-куб.

Доказательство. Действительно, любой такой граф содержит своим подграфом К2 з, не вкладывающийся в «-куб.

Определение 1.15 Суграфом графа С-{Х,Е) называется граф С = (X, Е'), где Е' с Е.

Определение 1.16 Граф называется критическим, если он не вложим в «-куб, и все его суграфы вкладываются в «-куб.

Представленные на рис. 1 критические графы имеют общее свойство - любой их цикл имеет четную длину, т.е. все они двудольные. Кроме того, их объединяет такое свойство, что они не содержат в качестве своего подграфа Кг 3.

В &-значной логике сохраняются многие свойства и результаты, относящиеся к булевой логике, однако имеются и принципиальные отличия. Аналогом булевой функции в А-значной логике является к-значная функция: так же, как и булеву функцию, ее можно задать с помощью графов. Аналогом «-куба является «-мерная ¿-значная решетка.

Рис. 1

Определение 1.17

Граф в = (V, Е) называется «-мерной ¿-значной решеткой тогда и только тогда, когда существует взаимнооднозначное отображение т его вершин во множество вершин: т: V Упк, Упк=«хх,...,хк)\ х, е (0,1,...,к -1)} и пара его вершин V, и у2 соединяется ребром, если существует г е 1, п такое, что для любого у ф г а] = ру. и | а, - {3, |= 1, где х(у,)=а =(а!,...,а„) ит(>2) = р = ((3,,...,Р„).

Определение 1.18

Пусть граф С = (У,Е) - «-мерная к-значная решетка, тогда С, = (У],ЕХ) есть подграф б, если Ух с. V и е Е{, когда

Ух,У2еУх и (ух^2)еЕ.

Сравнивая строение «-куба и «-мерной &-значной решетки, можно убедиться, что «-куб в нее вкладывается. Однако верно и обратное утверждение.

Утверждение 1.19

Если граф (7 = (V, Е) является «-мерной ¿-значной решеткой, то он вложим в гиперкуб.

Доказательство. Так как «-мерная &-значная решетка является прямым произведением булевых графов (определение 2.2), то она сама является булевым графом.

Таким образом, на графы, вкладываемые в ¿-значную решетку, распространяются те же условия критериев вложения, что и для гиперкубов.

2. Булевы торы

Опишем и исследуем интересный и важный класс булевых графов, обобщающий понятие тора. Из определения тора будет видно, что каждая вершина графа лежит на цикле, а уже при степени вершины й > 4 через любую вершину проходит не менее двух циклов, имеющих единственную общую вершину. Такое строение тора позволяет смоделировать на нем некоторые вычислительные алгоритмы.

Определение 2.1

Булев граф С = (Х,Е0) назовем булевым тором, если он регулярен.

Простейшими примерами булевых торов являются: единственная вершина, при о? = 0; ребро, при = 1 (рис. 2 а); цикл чет-

ной длины, при с1 = 2 (рис. 2 б); пояс, при А = Ъ (рис. 2 в). Также булевым тором является гиперкуб (трехмерный куб - рис. 2 г).

— -О 0

а б в г

Рис. 2

Как известно, существует рекурсивное определение «-куба как прямое произведение К2 (полный граф на двух вершинах). Однако следующая теорема показывает, что любой булев тор может быть представлен в виде прямого произведения.

Определение 2.2

Прямым произведением графов = (Х{ ,£,)и 02 - (Х2, Е2) называется граф 0 = (Х,Е),еспи

Х = Хх*Х2 и Е = {((х^х^дхрх^))! если х, = х\, то (х2,х'2)е Е21 если х2 =х2, то (х,,х,') € Ех ]

Определение 2.3

Булевы торы (7, и С2 назовем изоморфными, если существует взаимнооднозначное соответствие между множествами вершин этих торов, сохраняющее отношение связности.

Теорема 2.4

Булев граф С = (Х,Е) является булевым тором тогда и только тогда, когда в представляется в виде прямого произведения вида

С = (щ)*х...хОхя)*-х(К2)', (1) где ц,- цикл четной длины, больше либо равной шести {кх,...,кп^,пе Ид).

Доказательство. Пусть О - булев тор, докажем, что С представляется в виде прямого произведения (1).

При ё = 0, с? = 1, ¿1-2 и ¿7 = 3 справедливость утверждения очевидна. Предположим, что утверждение доказано для й<к, докажем для с1 = к. Пусть все вершины графа О имеют степень к. Найдем в графе С множество ребер Е0 такое, что при его удалении граф распадается на т > 2 изоморфных подграфов, у которых степени всех вершин совпадают,

множество Е0 выберем минимально возможным. Очевидно, что такое множество ребер Е0 существует. Пусть О' = (Х,Е0). Легко понять, что & не содержит цепей длины больше либо равной двум. Действительно, если С содержит цепи длины большей либо равной двум, тогда при удалении С у начальной и конечной вершины цепи степени уменьшатся на единицу, а у остальных на два.

Рассмотрим случаи, которые могут возникнуть при удалении С.

Если т = 2 и С не содержит циклов. Тогда С состоит только из ребер, соединяющих два его изоморфных подграфа, значит, С

- паросочетательный разрез графа С. Отсюда следует, что граф О имеет представление (1).

Если т = 2 и С содержит хотя бы один цикл и хотя бы одно ребро. Тогда при удалении цикла степень вершин, принадлежащих циклу, уменьшается на два, а при удалении ребер на единицу - противоречие с выбором Е0.

Если т = 2 и С состоит только из циклов. Легко понять, что С состоит из циклов длины четыре - противоречие с минимальностью выбора Е0.

Если т = 2п и С не содержит циклов. Тогда С состоит из цепей длины больше либо равной двум. Противоречие - С не содержит цепи длины больше либо равной двум.

Если т = 2п и С содержит хотя бы один цикл. Тогда при удалении цикла степень вершин, принадлежащих циклу, уменьшается на два, а при удалении ребер на единицу

- противоречие с выбором Е0.

Если т-2п и & состоит из циклов одинаковой длины. Если длина циклов меньше 2п тогда в С существует, по крайней мере, два цикла, имеющих общую вершину, значит, при удалении этих циклов степень их общей вершины уменьшится на четыре, а остальных на два - противоречие с выбором Е0. Если длины всех циклов равны 2п, тогда очевидно, что граф (7 имеет представление (1).

Если т = 2п и С содержит циклы различной длины (меньше либо равной 2п). Тогда в С существует, по крайней мере, два

цикла, имеющих общую вершину, значит, при удалении этих циклов степень их общей вершины уменьшится на четыре, а остальных на два - противоречие с выбором Е0.

Если ш = 3 и ^ не содержит циклов. Тогда О состоит из цепей длины больше либо равной двум. Противоречие - С не содержит цепи длины больше либо равной двум.

Если т = 3 и С содержит цикл. Тогда легко понять, что это цикл длины три. Тогда С? не булев граф - противоречие.

Если т = 2п +1 и С не содержит циклов. Тогда С состоит из цепей длины больше либо равной двум. Противоречие - О' не содержит цепи длины больше либо равной двум.

Если т = 2п +1 и С содержит хотя бы один цикл. Тогда при удалении цикла степень вершин, принадлежащих циклу, уменьшается на два, а при удалении ребер на единицу - противоречие с выбором Е0.

Если С состоит из циклов. Если длина циклов меньше 2п +1, тогда в С существует, по крайней мере, два цикла, имеющих общую вершину, значит, при удалении этих циклов степень их общей вершины уменьшится на четыре, а остальных на два - противоречие с выбором С. Если длины всех циклов равны 2п +1, тогда граф С не булев - противоречие.

Таким образом, граф С представляется в виде прямого произведения (1).

Пусть С = (щ)*' х...х (Ю*- х(К2)', докажем, что Б - булев тор. Так как любое прямое произведение счетного числа булевых графов является булевым графом, то С - булев граф. Из определения прямого произведения, очевидно, следует, что О - регулярен.

Следствие 2.5

Класс булевых торов замкнут относительно операции прямого произведения графов.

Пользуясь теоремой 2.4, легко построить формулы, позволяющие находить мощности множества вершин и мощности множества ребер

Утверждение 2.6

Пусть

С = = - булев

тор.

Тогда \Х\=2'122  /„*",

где /, длина цикла ц, / е 1 ,п.

Кроме того, для любого хеХ

¿0(х) = 2(£,+... + &„) + /.

Доказательство. Так как

0 = ((А,)*' х...х(|Х„)4" х(К2)\ то число вершин й равняется числу векторов , где

вершина х1 г е \,1хкх + 1„кп принадлежит одному из циклов, входящих в прямое произведе-ние, а х,, где / € 1хкх + 1пкп +1, /,/с, +1пкп +/* принадлежит одному из К2, входящих в прямое произведение. Число таких векторов, очевидно, равно 2'1хк{122 •...•//". Степень каждой вершины С , очевидно, равна сумме степеней вершин, образующих эту вершину в исходных графах, таким образом, каждая вершина имеет степень с1а (х) = 2(кх +... + кп) + ?. Как известно 21 Е |= ^ ¿с{х), значит,

\Е\=Х-^а{х) = -\Х\с1с{х) =

хеХ ^

= 2Чк1...1К(У2 + кх+... + кп).

Исследуя класс булевых торов, можно выделить некоторые его подклассы, отличающиеся конструктивно.

Первым таким классом является класс «-кубов. Он, как известно, замкнут относительно операции прямого произведения графов. Гиперкубы получаются как прямое произведение К2.

Вторым классом можно выделить булевы торы, полученные прямым произведением исключительно циклов. Легко убедиться, что этот класс торов замкнут относительно операции прямого произведения. Второй класс не пересекается с классом «-кубов.

Легко видеть, что у всех таких торов степени вершин четные. Структура тора в этом случае определяется набором циклов, входящих в представление (1). На рис. 3 приведен пример тора, полученного прямым произведением двух циклов длины шесть.

К третьему классу булевых торов отнесем все оставшиеся торы. Заметим, что любой булев тор из третьего класса получается

прямым произведением торов из первых двух классов. На рис. 4 приведен пример булева тора, полученного прямым произведением двухмерного куба и цикла длины шесть.

Рис. 3.

Рис. 4.

Булев тор, описанный только такими параметрами, как степень вершины и мощность множества вершин, задается неоднозначно. Можно привести пример двух различных булевых торов, обладающих одинаковыми параметрами (рис. 5 и 6). Степень любой вершины этих торов равна четырем, а мощность множества вершин девяносто шесть. Таким образом, необходимо ввести характеристики, которые позволят однозначно задавать булев тор.

Рис. 5.

Рис. 6.

Следующая характеристика в совокупности с параметрами р (степень вершины) и / (число вершин) позволяет определить булев тор однозначно.

Определение 2.7 Диаметром графа G = (X, Е) называется величина

Д(0) = шах d(v, и),

v,uzX

где d(v,u) - длина кратчайшей цепи между вершинами v и и.

Утверждение 2.8 Пусть G = 0i1)*x...x0in)*-x(A:2)' -булев тор, тогда его диаметр равен

Д(0) = / + ф*1+... + ф*|1,

где /, длина цикла ц, i е 1, п.

Доказательство. В каждом цикле и К2, входящих в прямое произведение (1), зафиксируем по одной вершине. Пометим все вершины числом, равным расстоянию от зафиксированной вершины. Тогда задача нахождения диаметра равносильна задаче нахождению вектора у с наибольшим весом из множества векторов _

{(mv...,mhkt+...+/A+I)|w, eO,±...,m,M +lx e

€ °ф™/А+...♦/.*.♦! G e 0,1},

где mt - пометки вершин в циклах и К2.

Очевидно, что вектор, имеющий наибольший вес, - это

Его вес равен I + (-^А:, +... + -)кп.

Утверждение 2.9

Пусть О = (X, Е) - булев тор, диаметр которого равен Д(С), степень вершин р, мощность множества вершин 1. Тогда С задан однозначно с точностью до изоморфизма.

Доказательство. Предположим противное, что существует булев тор С, имеющий такие же параметры. Составим систему уравнений

-VI / к\ 7 к1 . / К — 9'г 7 *1Н1 . . 7 К

<, «2 ... 1п — »п+, ... 1г

5, +2

Упростим эту систему.

1!к[ ], к'т _ 1> к'тЛ _ ук'а ^ Ч •• 'га т+1 ••• '»

В этой системе все /, е 1,/ попарно различны. Далее логарифмируя первое равенство и перенося все в левую часть, получаем

5 + кх /' + ... + к'т 1о§21'т — -к'т+11о%2гт+1-...-к'м21; = о 5+2(к;+...+к'т-к'т+1-...-к;)=о

Решая эту систему однородных уравнений методом Гаусса относительно переменных в,ку,...,кп получаем, что она не имеет решений, которые удовлетворяют условиям /, /' е 1,Г попарно различные больше либо равные шести и 5>0. Таким образом, получаем противоречие с нашим предположением.

Следствие 2.10

Булевы торы б, и 02 изоморфны тогда и только тогда, когда представление (1) этих торов совпадает.

Булев тор является булевым графом, значит, существует такое п, при котором он вкладывается в «-куб. Как известно, «-куб вкладывается в ^-значную решетку, значит, и булев тор также в нее вкладывается. При определении параметров вложения булева тора в «-куб большую роль играет нахождение минимального числа т, при котором цикл ц вкладывается в т-куб. Далее мы оценим это число.

Пусть граф М  состоит из двух цепей длины ] , тогда очевидно, что при ] е 2,4 он вкладывается в пятимерный куб. Опишем способ вложения цикла длины 2к (к>1) в гиперкуб. Эта задача эквивалентна задаче вложения графа Мк_2 таким образом, что соответствующие вершины цепей находились по метрике Хэмминга на расстоянии два. На рис. 7, 8 и 9 показано, каким образом вкладываются в пятимерный куб М4, Мъ и М2.

Вложение будем строить, последовательно вкладывая М4, М2, М3 и М2 (в указанном порядке) до тех пор, пока не останется т < 4 вершин, тогда вложим . Таким образом, остается вложить две вершины, так что первая из них находится по метрике Хем-минга на расстоянии единица от начал цепей, а вторая от концов.

Рис. 7

/

Рис. 8

Теорема 2.11

Если « = 5/ + г > 6, тогда в «-куб вкладывается цикл длины 2к

к< 15;(7/п + 2)-2 1 7 • 2м

где т - число вершин в наибольшей цепи в г-кубе.

Доказательство. В г-кубе есть цепь длины т - 1, тогда рассмотрим в г + 5-кубе цепь, состоящую из пятимерных кубов, длины т - 1, она, очевидно, существует. Любой пятимерный куб из этой цепи имеет соседними не более двух кубов такой же размерности, принадлежащих указанной цепи. Вкладывая в нее МА, М2 и Мъ, получим, что в г + 5-куб вкладывается цикл длины 2кх, 15(7т + 2) — 2

где

7-4

Очевидно, что в г + 5-куб вкладывается цепь длины 2кх -1. Продолжая далее аналогично, получим, что в «-куб вложится цикл длины 2к,,

15'(7т + 2)-2

где к, < —--г-г—

1 7 -2м

Следствие 2.12

Цикл длины I > 22 вкладывается в

«-куб,

где

«>

10

1п

1п 15 — 1п 2 Утверждение 2.13

Пусть С = (^'Х...Х(ЦИ)*<'Х(К2У булев тор, тогда он вкладывается в п-куб,

1п(7 • /,  1п 2) - 1п(91п 15) 1п 15 — 1п 2

Рис.9

гд + 10

1=1

I, > 22 длина цикла г е 1,1.

Доказательство. По утверждению из [1] прямое произведение двух графов вкладывается в «-куб, размерность которого равна сумме размерностей кубов, в которые вкладывались исходные графы. Отсюда и из следствия 2.12 очевидно следует справедливость утверждения.

Определение 2.14 Цикл графа О называется гамильтоно-вым, если он проходит через все его вершины ровно один раз.

Как известно, в «-кубе существует гамильтонов цикл, тогда логично предположить, что произвольный булев тор гамильтонов.

Утверждение 2.15 Пусть О - булев тор, тогда в О существует гамильтонов цикл.

Доказательство. Доказательство утверждения будем проводить методом математической индукции по степени вершины.

Прир = 0,р~ \ ир~ \ справедливость утверждения очевидна. Пусть утверждение доказано при всех р < т, покажем его справедливость при р - т. Рассмотрим два случая. Если в представлении (1) булева тора С I отлично от нуля, тогда существует булев тор С, степени вершин которого равны т - 1, такой, что О = С х К2. По предположению индукции, С гамильтонов. Из определения операции прямого произведения следует, что О содержит два подграфа изоморфных С. В каждом таком подграфе, по предположению индукции, есть гамильтонов цикл. Удалим из этих циклов по одному соответствующему ребру и соединим инцидентные им вершины в этих двух подграфах. Таким образом, мы нашли в С гамильтонов цикл.

Если в представлении (1) булева тора О I равно нулю. Очевидно, существуют булев тор С и цикл такой, что С = С х . Из определения операции прямого произведения следует, что С содержит | ц, | подграфов изо-

морфных G', причем каждая вершина из одного подграфа соединена с соответствующими вершинами из двух других подграфов. В каждом таком подграфе, по предположению индукции, есть гамильтонов цикл. Удалим из этих циклов по одному соответствующему ребру и соединим инцидентные им вершины в этих подграфах. Таким образом, мы нашли в G гамильтонов цикл.

Библиографический список

1. Никонов, В.Г. Пороговые представления булевых функций / В.Г. Никонов // Обзоры прикладной и промышленной математики. - 1994. - № 3. -С. 402-458.

2. Никонов, В.Г. Покрытия булевых графов / В.Г. Никонов // Дискретная математика. - 1994. - № 4. -С. 21-34.

3. Горбатов, В.А. Теория графов и мографов / В.А. Горбатов И Фундаментальные основы дискретной математики. - М.: Наука, Физматлит, 2000. -С. 157-257.

4. Ope, О. Теория графов / О. Ope. - M.: Наука, 1980.

5. Зыков, A.A. Основы теории графов / A.A. Зыков. -М.: Наука, Физматлит, 1987.

6. Берж, К. Теория графов и ее применение / К. Берж. -М.: Изд-во иностр. литерах, 1962.

7. Зайцева, Ж.Н. Исследование графов, вложимых в «-куб и их применение в проектировании / Ж.Н. Зайцева, В.Г. Никонов, Д.С. Шевелев // РЭА. Методы искусственного интеллекта в САПР тезисы докладов. - Воронеж, 1990. - С. 49-52.

8. Никонов, В.Г. Булевы графы и функции / В.Г. Никонов, Д.С. Шевелев // Дискретная математика. - 1991,-№4.-С. 52-61.

ПРОБЛЕМА ВЫБОРА НАЧАЛЬНОЙ ПОПУЛЯЦИИ ГЕНЕТИЧЕСКОГО АЛГОРИТМА, ПРИМЕНЯЕМОГО ДЛЯ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ НЕРАВЕНСТВ С БУЛЕВЫМИ НЕИЗВЕСТНЫМИ

П.Н. СИТНИКОВ, науч. сотр. лаборатории ТВП, Москва

Значительная часть задач дискретной математики и математической экономики сводится к решению систем линейных неравенств. Вследствие этого встающая перед исследователями проблема разработки и исследования эффективных методов решения даже некоторых классов, возникающих на практике систем линейных неравенств, является актуальной.

Одно из направлений поиска решений систем неравенств с булевыми неизвестными основывается на представлении исходной задачи в виде некоторой оптимизационной, для решения которой среди множества разработанных методов дискретной оптимизации можно выделить два подхода, а именно использование алгоритмов направленного перебора и алгоритмов случайного поиска. Однако данные методы