Свойства стационарных многообразий, формируемых в окрестности точки равновесия динамической системы резания

МАШИНОСТРОЕНИЕ

УДК 621.95.08:51-74

свойства стационарных многообразии,

формируемых в окрестности точки равновесия динамической системы резания

© 2011 г. В.Л. Заковоротный, Фам Динь Тунг

Донской государственный технический университет, г. Ростов-на-Дону

Donskoy State Technical University, Rostov-on-Don

Рассматриваются условия формирования и свойства стационарных многообразий, формируемых в окрестности равновесия динамической системы резания. Особое внимание уделяется бифуркационным преобразованиям, в том числе бифуркациям Андронова-Хопфа, удвоения периода и странным (хаотическим) аттракторам. Приводятся примеры.

Ключевые слова: динамические системы резания; стационарные многообразия; бифуркация; предельный цикл; удвоение периода; странные аттракторы.

The conditions of formation and properties of stationary manifolds formed in the neighborhood of equilibrium of the dynamic cutting system. Particular attention is paid to the bifurcation changes, including Andronov-Hopf bifurcation, period doubling bifurcation and strange (chaotic) attractors. Examples are given.

Keywords: dynamic cutting systems; stationary manifolds; bifurcation; limit-cycle; period-doubling; chaotic attractors.

Постановка задачи

В последние годы появился ряд работ, показывающих, что при обработке резанием в динамической системе в окрестности равновесия могут формироваться различные многообразия, в том числе хаотические аттракторы [1]. Однако изучение, например, хаотических аттракторов носит чисто экспериментальный характер [2, 3]. Вместе с тем динамическая система резания является нелинейной [1]. В такой системе возможно образование хаотических аттракторов [4, 5]. В предлагаемой статье на основе методов цифрового моделирования рассмотрены бифуркации динамической системы резания.

Математическая модель системы

Ранее показано, что основные свойства динамической системы резания можно раскрыть, если анализировать базовую динамическую модель, представленную в форме следующей системы [1] (рис. 1):

нормальной к режущему лезвию инструмента;

d2 X »_

dt2

. dX dX

+ h — + cX = F (X,-, S

dt dt

(0) p '

tf),

где X = {Х1, Х2} - деформационные смещения вершины инструмента, рассматриваемые в плоскости,

F (X, а, Ь) = X, ^, Sf\Р1), F2( X, ^, S(f\t(P)}T -

вектор - функции, характеризующие динамическую связь, формируемую процессом резания; ¡Р0), р1-соответственно величина подачи и глубины резания

т 0

dX

без учета упругих деформаций; m =

0 m

h=

h1,1 h2,1 C1,1 c2,1

, c =

h1,2 h2,2 _ c1,2 c2,2 _

- соответственно

матрицы инерционных, скоростных и упругих коэффициентов подсистемы инструмента без процесса резания. Матрицы т, h и с являются симметричными и положительно определёнными. Следовательно, при F(X,0,0,0) = 0 система (1) имеет единственную асимптотически устойчивую точку равновесия X* = {0,0}т .

Ранее показано, что свойства нелинейных функ-сX

ций F(X,-, ¡_р0), /р0)) принципиально зависят от

Л

формы упругих деформационных смещений вершины инструмента. Здесь можно рассматривать два варианта. Первый относится к случаю, когда изгибными деформационными смещениями инструмента можно

пренебречь (рис. 1 а). Тогда силы зависят только от Х1, так как смещения в направлении Х2 не вызывают изменения площади срезаемого слоя. Следовательно,

F (X,—, 40))=хи ^, 40)), л л

К2( xi. —т . sp dt

(0) t(P)}T

{X.. X 2}T

боких отверстий малого диаметра и др. Тогда приращению упругих деформационных смещений Х2 может соответствовать увеличение сил резания и при этом наблюдается перераспределение сил F1 и F2. Причем сила F1 увеличивается непропорционально быстро. Поэтому деформационным смещениям соответствует увеличение объёма пластической деформации в зоне обработки и, как следствие, не уменьшение, а увеличение сил резания. Ранее показано [6], что в этом случае функциональные зависимости суммарных сил от деформационных смещений представимы в виде двух сепарабельных вектор-функций:

{^(1) (Х1, Бр0-1,^) + ^(2) (X 2, ^, Бр0), tP0));

Л Л

к

(X.. ^

tpj') + к2(2)( X

dXi ' dt

, Sp0). tP0))}T.

Основные свойства динамической системы будут сохранены, если первую вектор-функцию представить в линеаризованном виде. Реально зависимость сил от смещений Х1 близка к линейной. Тогда (1) можно представить как

m-

d2 X dt2

+d:+^ x = Fo(1) + к (2)(x 2. ^ dt dt

-).

{X1. X 2}

б

Рис. 1. Система координат, в которой отсчитывается упругое деформационное смещение вершины режущего инструмента и силы резания

дF

Причем, —- < 0,5 = 1,2, т. е. приращению де-

дХ1

формационных смещений соответствует уменьшение сил резания. Подробное изучение свойств такой системы дано в работе [1]. Второй случай: изгибная жесткость инструмента есть величина малая. Тогда деформационные смещения в направлении Х2 за счет дополнительного изгиба инструмента вызывают уменьшение переднего угла резания вплоть до его отрицательных значений (рис. 1 б). Этот случай характерен, например, для процессов растачивания глу-

где f01) = {^(1)(0,0,Бро),40)), F2(1)(0,0,Бро),^)}т -постоянные значения сил резания в предположении, что упругие деформационные смещения и их скорости равны нулю, они определяются постоянными значениями глубины tp0^ и подачи Бр0-1 ;

И: = [\к ] - [д^» / дХк ] = [И^ ] - [И^ ], 5, к = 1,2 -

суммарная матрица скоростных коэффициентов, состоящая из матрицы диссипации подсистемы инструмента и матрицы линеаризованных скоростных коэффициентов процесса резания, причем, И2р) = И2р) = 0 ;

ъ=\_с,к]-^5(1)/дХк] = [С5,к] + [с5Р}];5,к = 1,2 -

суммарная матрица упругости, также состоящая из матриц упругости подсистемы инструмента и процесса резания, здесь также с2р) = с2р) = 0 . Знаки перед

[и^] и ] различны, так как матрица скоростных коэффициентов в этом случае, в основном, формируется за счет влияния запаздывающих аргументов.

Кроме этого коэффициенты матрицы [с5р:1 ] формируют отрицательную обратную связь.

Таким образом, в уравнении (2) справа стоит постоянная составляющая сил, определяемая технологическими режимами, а также нелинейная функция формирования второй композиционной составляющей сил, зависящей от деформационных смещений инст-

а

румента в направлении X2. Как уже отмечено, составляющая ^(2) непропорционально возрастает по мере деформационных смещений, а F2(2) увеличивается практически по линейному закону. Для установившегося состояния нелинейная функция F1(2) (X 2,0) может быть аппроксимирована полиномом Тейлора нечетной степени. Что касается F1(2) (X2, 0), то изменение этой составляющей силы от деформационных смещений практически линейно. Ограничимся случаем, когда F1(2) (X 2,0) =р1( X2)3. Тогда дополнительно для учета запаздывания изменения составляющих сил справедлива система, подлежащая исследованию:

приводит в зависимости от сил F0(-1) = ^о,F0(2}т и параметров системы к ветвлению точек равновесия. В свою очередь силы F0((1) = ^0(11-1, F0(12)}т , а также параметры системы зависят от технологических режимов и условий обработки. При этом наблюдается бифуркация равновесия типа вилки. Для определения точек равновесия X* системы (3) можно воспользоваться следующими уравнениями:

c1>2 X 2* = F0(11) +Pl(X 2 )3

C2,\X\ + C2,2X2 = Fo( 2 +p2X2 .

m-

d2 X

+ u^L + , X = F„(1) + F(2);

Например, для X2 имеем

dt2 ' "E dt

Tpi ^ + F\(2) =P\(X2)3;

dt

dF2

T 2

P,2

+ F2(2) =P2 X 2

dt

X 2*3 + rX * + 5 = 0,

E _ E _ E C1,1C2,2 C1,1p2 C2,1C1,2 где r = —:—:-^-:—— ; s =

P1C2E1

CE F(1) _ CE F(1) 2,1 0,1 4^0,2

PlC2,1

Следовательно,

где р1 - коэффициент, имеющий размерность кг/мм3 ^, характеризующий силу, приведенную к

единице объема деформированного слоя; р2 = с2р,) -жесткость процесса резания в направлении X2; ТР1, ТР2 - постоянные времени процесса резания в секундах. В системе (3) параметры р1, р2 = с2р), ТР1, ТР2

зависят от технологических режимов, условий обработки и геометрических параметров режущего инструмента. Они также изменяются в ходе эволюционных преобразований в динамической системе резания, связанных с работой и текущей мощностью необратимых преобразований в зоне обработки. Причем ТР1Т 2, так как запаздывание сил в направлении X2 в основном определяется переходными процессами в области первичной пластической деформации в зоне резания, а запаздывание сил в направлении X1 обусловлено дополнительно переходными процессами в области вторичной пластической деформации. Система (3) учитывает нелинейную зависимость силы F1(2) от деформационных смещений и их запаздывание. В этом случае в окрестностях равновесий системы формируются притягивающие стационарные многообразия, которые в зависимости от параметров системы претерпевают множество бифуркаций, в том числе, при определенных параметрах, в системе формируются хаотические (странные) аттракторы.

Вначале проанализируем бифуркации точек равновесия системы. Функция F1

FS + (k2 _ C2,2)X*

x; =

Известно [7], что число действительных решений кубического уравнения (5) зависит от знака дискри-1 3 1 2

минанта D = — г + — 5 . Так как р, > 0 и р2 > 0, то 27 4

знак дискриминанта зависит только от параметра р2 при заданных значениях других параметров. В частности, если в системе (5) выполняется условие 5 = 0

или с2^0(11) - с1^1] = 0, то она будет иметь одно нулевое решение X2 = 0 при г > 0 , и три действительных решения X2 = 0 и X2 = ±\/—г при г < 0. Возможность выполнения условия

2 тЧ1) 2 ^ (1) п

с21^о1 - с 2 = 0 зависит от геометрии инструмента и углов ориентации осей эллипсоидов жёсткости подсистемы инструмента, т. е. от конструктивных свойств суппортной группы. В последнем случае мы имеем по мере варьирования р2 ветвление решений,

симметричное относительно точки X2 = 0, как это наблюдается в системе Лоренца [4]. Если 5 Ф 0 , то траектории смещения равновесия и свойства системы не являются симметричными.

Бифуркации динамической системы

Вначале рассмотрим бифуркационную диаграмму равновесия системы в зависимости от параметра р2 , характеризующего интенсивность возбуждения сис-

C

2,1

темы - это отрицательная жесткость р2 = с2р) , характеризующая положительную обратную связь (рис. 2). Диаграмма для точки X* не приводится как малоинформативная. Параметры системы даны в табл. 1, 2. Здесь рассмотрено две группы параметров процесса резания. Первая группа (система № 1) относится к случаю, когда л)0 и г(0. Вторая (система № 2) - к случаю, когда л = 0.

Таблица 1

m, кгс2 /мм h, кгс/мм с, кг/мм

|~0,0394 -10"3 0 " _ 0 0,0394-10"3 _ Г 0,037 0,0025" |_0,0025 0,006 _ Г3500 100" _ 100 250J

На диаграммах смещения точек равновесия для координаты Х2 дополнительно показаны области Кг-параметра р2, отличающиеся топологией фазового

пространства, которая будет рассмотрена в статье ниже.

Необходимо отметить главное свойство равновесия системы: по мере увеличения р2 наблюдается ветвление точек равновесия. Причем средняя ветвь всегда соответствует неустойчивому состоянию. По-

этому она характеризует отталкивающее многообразие. Важно подчеркнуть, что по мере увеличения р2 возможны зависящие от начальных условий принципиально различные значения точек равновесия системы, которые определяют текущие значения точности обрабатываемой детали. В частности, если в ходе функционирования системы р2 изменяется, то после

порогового его значения р20) прогнозирование изменения точности обработки становится невозможным. Оно может развиваться по верхней или нижней ветви. Характерно, что асимметрия верхней и нижней ветвей при заданной структуре и параметрах системы зависит от формируемых сил резания, определяемых технологическими режимами и геометрией инструмента.

Несмотря на то что средняя ветвь траекторий равновесия характеризует отталкивающее многообразие, верхняя и нижняя ветви также могут быть неустойчивыми. В этом случае в окрестности равновесия системы формируются притягивающие многообразия, причем орбиты некоторых многообразий могут находиться в области, включающей все три точки равновесия. Проанализируем эти многообразия по мере увеличения параметра р2 . Вначале удобно рассмотреть

стационарные многообразия для системы № 2, для которой диаграмма смещения точек равновесия является симметричной.

Таблица 2

Система F = {F/0), F2(0)}, кг р1, кг/мм3 T1, с T2, с hp • 10 3, кгс/мм ср, кг/мм

№ 1 {180,150} 1000 10 3 10 3 "1,0 0" 0,8 0 _ "950 0" 800 0_

№ 2 {300,60.43} 1000 10 3 10 3 "1,0 0" 0,8 0 _ "950 0" 800 0_

По мере увеличения р2 вначале единственная точка равновесия является асимптотически устойчивой (множество Х1 = [0 - 298]), затем имеет место бифуркация точки равновесия, при этом верхняя и нижняя точки являются асимптотически устойчивыми (множество Х2 = [298 - 462]) (рис. 3). Причем устойчивость точек равновесия является апериодической. Затем (множество Х3 = [462 - 576]) в системе наблюдается бифуркация Андронова - Хопфа рождения орбитально асимптотически устойчивой пары предельных циклов. Эти предельные циклы являются симметричными в окрестностях верхнего и нижнего положений равновесий. При дальнейшем увеличении р2 (множество Х4 = [576 - 615]) наблюдается каскад бифуркаций удвоения периода (на приведенной иллюстрации показано удвоение

периода орбитально асимптотически устойчивого предельного цикла). Известно [5], что бифуркация удвоения периода характеризует один из сценариев рождения хаотического аттрактора, впервые рассмотренный М. Фейгенбаумом. Хаотические аттракторы формируются на множестве Х5 = [615 - 666,5]. Причем они образуются в окрестностях верхней и нижней точек равновесия. При этом траектории хаотических аттракторов существуют в ограниченном объеме фазового пространства и характеризуют притягивающее многообразие. Далее, за счет увеличения интенсивности возбуждения системы траектории становятся орбитальными относительно всех трех точек равновесия. При этом вначале формируется траектория с каскадом удвоения периодов (множество Х6 = [666,5 - 669]).

Рис. 3. Некоторые примеры проекций стационарных траекторий на фазовую плоскость X2,dX2 / Л по мере увеличения параметра р2 для 5 = 0: а - К2; б - К3; в - К4; г - К5 ; д - К6; е - К9

Затем после каскада бифуркаций удвоения периода вновь формируется хаотический аттрактор (множество К9 = [732 - 739,6]). Однако, в отличие от ранее

рассмотренного хаотического аттрактора, стационарные траектории захватывают все три точки равновесия. В дальнейшем циклы преобразования стационарных траекторий периодически повторяются (множества К10 = [739,6 - 740,5], К11 = [740,5 - 795]), которые

преобразуются в дальнейшем к состоянию системы, в которой все точки равновесия становятся неустойчивыми в целом (множество К12 - [> 795]).

В том случае, когда в (5) л Ф 0 (система № 1) бифуркационная диаграмма является более сложной и разнообразной. Здесь за счет асимметрии динамических свойств в окрестностях верхней и нижней ветви (рис. 2) наблюдается более сложное и разнообразное поведение системы, зависящее от начальных условий. Здесь по мере увеличения р2 система вначале также имеет единственную точку равновесия, которая является асимптотически устойчивой (множество К1 = [0 -190]). Затем в окрестности единственной

3

-2 -0.2

точки равновесия формируется устойчивый предельный цикл (множество К2 = [190 - 445]), бифуркация удвоения периодов (множество КЗ = [445 - 490]), а потом формируется хаотический аттрактор (множество К4 = [490 - 501,8]). Этот процесс удвоения периодов (множества К5 = [501,8 - 502,5] и К7 = [544 - 546]) и формирования хаотических аттракторов (множества К6 = [502,5 - 544] и К8 = [546 - 559,2]) повторяется вплоть до точки, в

которой наблюдается ветвление точек равновесия (бифуркация равновесия типа вилки). Затем свойства системы в окрестностях верхней и нижней ветви равновесия существенно меняются. Вначале в окрестности верхней ветви формируется странный аттрактор, а нижней ветви - асимптотически устойчивая точка равновесия (множество К9 = [559,2 - 580]). Затем в окрестности верхней ветви (множество К10 = [580 - 623,5]) в системе вновь происходит бифуркация удвоения периода циклов, а на нижней ветви устойчивая точка равновесия (рис. 4).

0.2 0.4 х1,мм

0.6

0.8

-0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 х1,мм

-1 -0.5 0 0.5 1 х1,мм

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 х1,мм

3г 2 -1

s 02

2 -1  -2 --3 -

\

/ ч

/ ; • \J

-3 -2

1

2

-1 0 х1,мм ¿1

Рис. 4. Пример преобразования траекторий движения вершины инструмента в плоскости Х1 - Х2 по мере увеличения параметра р2 для л ф 0: а - К11; б - К12 ; в - К14 ; г - К15 ; д - К16

2

0

0

б

а

-3

1.5

г

в

Далее в области нижней ветви наблюдается бифуркация Андронова - Хопфа (множество Х11 = [623,5 - 630]), в области верхней ветви продолжается процесс удвоения периода. Затем в области верхней ветви формируется хаотический аттрактор, а в области нижней ветви - сохраняются автоколебания (множество Х12 = [630 - 649,8]). Важно подчеркнуть, что как предельный цикл, так и хаотический аттрактор характеризуют притягивающие стационарные многообразия, существующие в ограниченном фазовом пространстве. Наконец, в области верхней ветви система теряет устойчивость, и траектории уходят от центральной ветви, в области нижней ветви сохраняются автоколебания (множество Х13 = [649,8 - 710]).

При дальнейшем увеличении р2 система в области верхней точки равновесия остаётся неустойчивой, а в области нижней ветви вначале возникает каскад бифуркаций удвоения периода (множество Х14 = [710 - 728]), а затем образуется хаотический аттрактор, занимающий ограниченную область в окрестности нижней точки равновесия (множество Х15 = [728 - 770]). Характерно, что все бифуркационные преобразования (предельный цикл, бифуркации удвоения периодов, хаотический аттрактор) в области нижней точки равновесия происходят в ограниченной области, включающей нижнюю точку равновесия. За пределами этой ограниченной области система движется по траекториям, отходящим от всех трех точек равновесия. Наконец, при р2 )770 (множество К16) система становится неустойчивой в целом. Принципиальным отличием каскада бифуркаций при 5 Ф 0 от систем 5 = 0 является различное поведение ее в областях верхней и нижней ветви траектории смещения точек равновесия. При этом не образуются стационарные траектории, включающие сразу три точки равновесия, как это наблюдается в системе № 2.

Приведем также для этого случая примеры характерных траекторий в плоскости (рис. 4). В отличие от рис. 3 здесь показаны не проекции траекторий на фазовую плоскость, а траектории движения вершины инструмента в плоскости X1 - X2. Причем приведены примеры траекторий по мере увеличения р2 после бифуркации равновесия типа вилки.

Анализ результатов

Приведенные бифуркационные диаграммы построены на основе цифрового моделирования системы (3). При этом рассматривались различные проекции фазового пространства на фазовые плоскости, временные, пространственные характеристики, а также анализировались их спектры и выполнялись оценки фрактальной размерности стационарных траекторий. Приведем пример изменения автоспектров стационарных многообразий по мере преобразования устойчивого предельного цикла в хаотический аттрактор через механизм удвоения периода (рис. 5). Как видно, достаточно узкополосный спектр колебаний в случае устойчивого предельного цикла через бифуркацию удвоения периода, характеризующегося образованием дополнительных частот с кратными и дробными частотами, трансформируется в достаточно широкополосный спектр при формировании стационарного многообразия типа хаотического аттрактора. При этом фрактальная размерность стационарных многообразий уменьшается от целого числа, равного единице в случае предельного цикла, к фрактальной размерности, равной 0,65. Известно [5], что дробная фрактальная размерность является одним из показателей формирования странного аттрактора. Скрупулезное исследование влияния других параметров системы на формируемые многообразия позволило дополнительно выявить бифуркационные свойства системы при варьировании других параметров. Здесь обратим внимание на значение параметров ТР1 и ТР 2. Проанализированные на рис. 2 свойства системы относятся к случаю, когда ТР1 = ТР 2. Однако обычно

ТР1 )Тр 2. Если обозначить ТР1 = ¥ТР 2, причем k < 1,

то по мере уменьшения k можно проследить следующую тенденцию. Мы также наблюдаем каскад бифуркационных преобразований свойств стационарных многообразий, заключающихся в преобразовании асимптотияески устойчивой системы в систему с устойчивым пределным циклом, а затем через бифуркацию удвоения периода в системе формируются странные аттракторы. Затем система становится неустойчивой.

0.3 г

0.2 -

0.1

200

400 600 Частота, Гц

800 1000

200

400 600 Частота, Гц

б

0.2 г

™ 0.15

0.1

< 0.05 -

lililí 1 Ii

Jill lllw

800 1000

200

400 600 Частота, Гц

800 1000

Рис. 5. Изменение спектрального состава стационарных многообразий, соответствующих рис. 3 б, в, г

0

0

0

0

а

в

В заключение отметим, что рассматриваемая динамическая система резания может служить примером сложных преобразований стационарных многообразий, формируемых в окрестности точек равновесия. При этом характерными являются бифуркации Андронова - Хопфа, удвоения периода колебаний и образование хаотических аттракторов. В рассматриваемой системе не обнаружено формирование многообразий типа инвариантного тора. Необходимо подчеркнуть, что все эти преобразования имеют практическое подтверждение, экспериментально полученное нами и другими исследователями [1 - 3].

Литература

1. Заковоротный В.Л., Флек М.Б. Динамика процесса резания. Синергетический подход. Ростов н/Д., 2006. 876 с.

Поступила в редакцию

2. Кабалдин Ю.Г. Самоорганизация и нелинейная динамика в процессах трения и изнашивания инструментов при резании. Комсомольск-на-Амуре, 2003. 173 с.

3. Математическое моделирование самоорганизующихся процессов в технологических системах обработки резанием / Ю.Г. Кабалдин [и др.]. Владивосток, 2000. 195 с.

4. Синергетика и проблемы теории управления / под ред. А.А. Колесникова. М., 2004. 504 с.

5. Магницкий Н.А., Сидоров С.В. Новые методы хаотической динамики. М., 2004. 320 с.

6. Заковоротный В.Л., Нгуен Суан Тьем, Фам Динь Тунг. Математическое моделирование и параметрическая идентификация динамических свойств подсистем инструмента и заготовки при точении // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. 2011. № 2. С. 38 - 46.

7. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике для инженеров и учащихся вузов. М., 1979. 974 с.

14 июля 2011 г.

Заковоротный Вилор Лаврентьевич - д-р техн. наук, профессор, заслуженный деятель науки РФ, заведующий кафедрой «Автоматизация производственных процессов», Донской государственный технический университет. Тел. 8(863) 2-738-510. E-mail: vzakovozotny@dstu.edu

Фам Динь Тунг - канд. техн. наук, докторант, кафедра «Автоматизация производственных процессов», Донской государственный технический университет. Тел. 8-960-454-03-18. E-mail: phamdinhtung@mail.ru

Zakovorotny Vilor Lavrentevich - Doctor of Technical Sciences, professor, Honoured Scientist Russian, head of department «Computer-Aided Manufacturing», Donskoy State Technical University. Ph. 8(863) 2-738-510. E-mail: vzakovozotny@dstu. edu

Pham Dinh Tung - Candidate of Technical Sciences, post-doctoral student, department «Computer-Aided Manufacturing», Donskoy State Technical University. Ph. 8-960-454-03-18. E-mail: phamdinhtung@mail.ru