Межпредметные связи математических дисциплин с информатикой как основа формирования математической культуры будущего учителя информатики

МЕЖПРЕДМЕТНЫЕ СВЯЗИ МАТЕМАТИЧЕСКИХ ДИСЦИПЛИН С ИНФОРМАТИКОЙ КАК ОСНОВА ФОРМИРОВАНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ КУЛЬТУРЫ БУДУЩЕГО УЧИТЕЛЯ ИНФОРМАТИКИ

М.С. Мирзоев

Исследования межпредметных связей математических дисциплин с информатикой различаются в зависимости от выбора определенного взгляда на предмет и сферу исследования информатики.

Анализ существующей научной литературы позволяет выделить три основных взгляда на область изучения информатики.

1. Информатика как комплексная техническая дисциплина (прикладная дисциплина), изучающая методы и средства автоматизированной обработки и передачи информации с помощью современных средств информатизации и, в первую очередь, с помощью ЭВМ и телекоммуникационных сетей.

2. Информатика как фундаментальная естественная наука и комплексная область практической деятельности.

3. Информатика как фундаментальная естественная наука, охватывающая своими методами и средствами не только естествознание, но и гуманитарные и социальные аспекты.

Автор этого исследования придерживается третьей точки зрения о предмете исследования информатики.

Предметом изучения современной информатики являются основные свойства и закономерности информационных процессов и процессов информационного взаимодействия в природе и обществе, особенности их проявления в различных информаци-

онных средах (технической, физической, биологической, гуманитарной и социальной), методы и средства их реализации, а также использование этих средств и методов в различных сферах социальной практики.

Ключевыми понятиями современной информатики являются: информация, информационный процесс, информационная модель, алгоритм, программа представления информации (языки и знаковые системы), компьютер как исполнитель алгоритмов, информационная технология, информационная система.

В данной статье рассматриваются межпредметные связи математических дисциплин с информатикой, способствующие формированию математической культуры студентов педагогических вузов. В связи с этим определим основные теоретические положения реализации межпредметных связей математических дисциплин с информатикой в педагогическом вузе и содержательно-технологические цепочки межпредметных связей этих дисциплин в процессе вузовской подготовки.

Теоретические положения межпредметных связей математических дисциплин с информатикой представляют собой одну из конкретных форм общего методологического принципа системности, который детерминирует особый тип мыслительной деятельности — творческое мышление. Этот тип мышления отражает структурно-функциональные и генетические свя-

зи объектов, раскрывающие закономерности проявления информационных систем и процессов в природе и обществе. А содержательно-технологические цепочки включают методы и средства формирования творческого мышления будущих учителей информатики, где формирование научного мировоззрения (представления об информации, информационных процессах и их единстве, строении и функционировании информационных систем и др.) достигается с помощью межнаучных связей основных математических дисциплин (дискретная математика, математическая логика и теория алгоритмов) с информатикой. В учебном процессе развитие творческого мышления и активизация познавательной деятельности студентов происходят на основе межпредметных связей этих дисциплин с информатикой. При этом творческое мышление рассматривается как составной компонент математической культуры учителя информатики.

Межпредметные связи математических дисциплин с информатикой в У профессиональной подготовке будущих учителей информатики выполняют ряд функций.

• Методологическая функция выражена в том, что на их основе возможно формирование у студентов основ научного мировоззрения, истинных представлений о научной картине мира, ее целостности и развитии.

• Образовательная функция состоит в том, что с их помощью преподаватель формирует такие качества знаний у студентов, как системность, научность, глубина, осознанность, гибкость. Межпредметные связи выступают как средство развития у студентов умений и навыков моделирования и формализации математических объектов, способству-

Преподаватель XX

ют усвоению связей и установлению отношений между ними.

• Развивающая функция определяется их ролью в развитии системного и творческого мышления студентов, в активизации их познавательной деятельности, самостоятельности и интереса к познанию научной картины мира. При этом межпредметные связи сопутствуют развитию предметной мотивации, математического мышления (в частности, логическая и алгоритмическая) и пополняют научное мировоззрение студентов.

• Конструктивная функция состоит в том, что с их помощью преподаватель совершенствует содержание учебного материала, методы, средства и формы организации обучения. Реализация межпредметных связей требует совместного планирования и сотрудничества преподавателей разных кафедр педагогического вуза, участвующих в подготовке учителя информатики.

Успешная реализация вышеуказанных функций межпредметных связей обеспечивает развитие фундаментального образования будущих учителей информатики.

Исследование межпредметных связей математических дисциплин с информатикой является одним из основных принципов реализации методической системы формирования математической культуры будущих учителей информатики. При этом необходимо решать следующие задачи:

• выявление ключевых (или общих) понятий содержания математических дисциплин и информатики (алгоритм, рекурсия, функция, множество, величина, графика, формализация, моделирование и др.) для определения сопутствующих межпредметных связей;

• выявление основных предметных понятий, требующих предвари-3 / 2008

тельного изучения в другом предмете, для определения предшествующих межпредметных связей.

Предшествующими математическими понятиями, влияющими на успешное освоение информатики, являются:

• из курса дискретной математики — бинарные отношения, декартовы произведения множеств, рекуррентные соотношения, комбинаторные объекты (размещения, сочетания, перестановки), разбиение, производящие функции, графы и др.;

• из курса математической логики — язык логики, алгебра высказываний (АВ), формулы АВ, логические функции, функциональные схемы, законы формальной логики, исчисление высказываний (ИВ), формальное доказательство, выводимость, предикат, язык первого порядка и др.;

• из курса теории алгоритмов — рекурсивная функция, операция (подстановки, рекурсии, ограниченной минимизации), машина Тьюринга, элементарные машины, рекурсивно перечислимые множества (РПМ), универсальные функции, алгоритмические проблемы (проблемы: самоприменимости, остановки, общерекурсивнос-ти) и др.

В существующих научно-методических работах по проблеме профессиональной подготовки учителя информатики в высших учебных заведениях центральное место отводится программированию, что соответствует первому взгляду на предмет и сферу исследования информатики. Однако современная информатика, кроме деятельности программирования, требует от профессионального учителя умения и навыков моделирования, проектирования, культуры работы с информацией (умение грамотно использовать источ-

ник информации; умение рационально анализировать и синтезировать информацию; способность выделить наиболее существенные свойства информационного объекта; оценка информации), умение использовать ИКТ как необходимое условие перехода к системе непрерывного образования и т.д.

Рассмотрим взаимосвязь математических дисциплин с информатикой на примере дисциплины «программирование», изучаемой студентами педагогических вузов. В этой дисциплине широко применяются математические объекты. Например, в любом из языков программирования особое внимание уделяется математическим величинам, так как при составлении программ важным видится умение правильно описывать используемые данные. Все величины делятся на числовые и нечисловые типы данных. Если в математических дисциплинах рассматриваются в основном числовые величины, то в курсе программирования понятие «величины» расширяется, вводятся новые типы величин: символьные, логические, строковые, ссылочные, табличные и др. Поэтому 3 взаимосвязь предметов математических дисциплин и информатики должна последовательно реализовываться на всех этапах изучения и расширения понятия «величина», при различных видах деятельности студентов.

Фундаментальную основу курса программирования составляет алгоритмизация. Если в математике алгоритм используется как эффективная процедура, то в информатике — это формальная запись. В узком смысле под алгоритмизацией понимают разработку и анализ алгоритмов. В широком смысле к ней добавляют разработку и конструирование программ для исполнителя (человека, компьютера и т.д.).

В связи со всем вышесказанным в профессиональной подготовке будущих учителей информатики актуальным представляется усиление форма-лизационно-моделированного аспекта изучения математических дисциплин в педвузах. С одной стороны, это позволит создать у студентов более полное представление обо всей технологической цепочке решения задач. С другой стороны, усиление формализации и моделирования способствует активизации познавательной деятельности и развитию творчества при исследовании информационных систем.

Аналогичным образом рассматриваются взаимосвязи математических дисциплин с остальными дисциплинами профессиональной подготовки (теоретические основы информатики, основы искусственного интеллекта, информационные системы, компьютерное моделирование и др.) будущего учителя информатики.

С учетом сегодняшнего взгляда на предмет информатики и перспективы ее развития нами предлагаются некоторые коррективы в содержании математических дисциплин (математическая логика, дискретная математика и теория алгоритмов). Следует, по нашему убеждению, усилить раздел «системы булевых функций», поскольку тенденция развития и конструирования аппаратной и программной системы современных компьютеров основана на логике функциональных схем. Особое внимание необходимо также уделить аксиоматическим формальным теориям (формальное доказательство, технология построения доказательства теорем, автоматическое доказательство теорем) и логике предикатов, что особо важно для реализации компьютерной системы обработки знаний, нейронных систем и др.

Аналогичная тенденция проводится и в курсах теории алгоритмов, и в дискретной математике.

По практическим соображениям было бы уместно каждую тему математических дисциплин связать с информатикой. Например, в курсе дискретной математики тему «размещения с повторениями» дополнить ее применениями в теории информации, теории кодирования и т.д. При изучении теории графов показать ее значимость в исследовании объектов информатики, например, в виде наглядности показать различные представления конфигурации локальных сетей (шинная, кольцевая, звездообразная, иерархическая и др.) с помощью графов. При этом раскрыть этапы формализации построения графов.

Если каждую математическую дисциплину изучать в тесной связи с информатикой, то можно у студентов развить интерес к предмету, активизировать познавательную деятельность, развивать гибкость и другие качества ума, что позволяет формировать у них математическую культуру.

По нашему убеждению, процесс Ц изучения математических дисциплин следует построить таким образом, чтобы у студентов развивались следующие качества математического мышления.

1. Вариативность. Для этого необходим широкий подбор разнообразных задач, требующих использования как синтетического, так и аналитического методов решения.

2. Гибкость. Достигается на большом объеме математических задач (в том числе задач с нестандартной формулировкой), где требуется решение задач несколькими способами и выделение наиболее рационального из них.

3. Творческий уровень мышления (проблемно-исследовательский), когда

студент самостоятельно формирует проблему исследования и поэтапно решает ее.

Для достижения этого результата был разработан учебно-методический комплекс по математическим дисциплинам, включающий большое количество задач, сформированных исходя из «лестницы сложности» и направленных на формирование ключевых понятий.

В государственном стандарте высшего профессионального образования такие математические дисциплины, как дискретная математика, математическая логика и теория алгоритмов, относятся к дисциплинам предметной подготовки учителя информатики.

Перейдем теперь к краткому рассмотрению связей этих математических дисциплин с информатикой.

Дискретная математика

Основной целью данного курса является формирование представлений о понятиях и методах в области исследования конечных математических структур и проблемах эффективности и сложности алгоритмов в таких структурах.

Действительно, если учесть дискретный характер обработки, хранения и передачи информации, то дискретная математика является неотъемлемой частью теоретической основы информатики. Дискретное представление информации и ее обработка на ЭВМ состоит из последовательностей элементарных преобразований информационных единиц (слов, букв, цифр и т.п.). Поэтому фундаментальной идеей отображения научной картины мира в информатике и информационных технологиях является идея дискретизации объектов.

Теория конечных множеств и комбинаторика являются базовыми разделами дискретной математики. Частичное упорядочение конечного множества используется в задачах топологической сортировки, которое необходимо при проектировании компьютерных сетей и даже в лингвистике.

Элементы комбинаторики широко применяются в таких областях программирования, где решаются задачи сортировки элементов массива, выбора элементов массива, распознавания объекта, а также в теории информации при упаковке разных типов информации, при шифровании и дешифровании информации и др.

Дискретная математика имеет дело с кодированием и декодированием информации, играет немалую роль в процессах сжатия информации. Например, методы решения линейных рекуррентных соотношений с постоянными коэффициентами можно применять при оценке значений функции Шеннона для схем из функциональных элементов в универсальных методах синтеза.

Мощный толчок развитию теории графов дала кибернетическая наука совместно с развитием электронной вычислительно-информационной техники. Одно из направлений кибернетики — задача синтеза оптимальных управляющих систем, занимающихся переработкой информации, - внесло в теорию графов новые постановки проблем и методы их решения. Основная схема постановки задачи синтеза выглядит следующим образом. В вершинах графа размещаются устройства переработки информации, а его ребра являются информационными каналами, осуществляющими связь между этими устройствами. Теория графов также широко применяется в

Преподаватель XX_

3 / 2008

информационных процессах, в системе управления базой данных, в компьютерных сетях, в объектно ориентированных языках программирования и др.

Теория графов позволяет будущим учителям информатики решать информационные задачи с использованием теоретико-графовых моделей, где результат достигается конструктивным методом.

При изучении дискретной математики у студентов формируются и развиваются такие качества умственной деятельности, как интуиция, гибкость, способность анализировать и классифицировать информацию, умение сжать информацию и представить ее схематическим образом, умение разбить алгоритм сложных действий на более простые эффективные действия, логические, комбинаторные и алгоритмические способности. Главное, дискретная математика представляет будущим учителям информатики широкие возможности формализации и моделирования дискретных объектов, составления алгоритмов решения задач и их реализации средствами языков программирования.

Математическая логика

Математическая логика как основа формирования интеллекта будущего учителя информатики считается ядром и главным инструментом изучения и описания информационных процессов. Искусство рассуждения, строгость математических выводов, доказательств, вычисления, обобщения, интуиция помогают будущему учителю информатики успешно ориентироваться не только в своей профессиональной деятельности, но и в социальных, экономических и других жизненно важных проблемах. Элементы матема-

тической логики присутствуют почти во всех областях компьютерного программирования. Следовательно, для изучения информатики и решения практических задач на компьютере каждому обучаемому необходимо иметь представление о ключевых понятиях математической логики.

Перечислим часто используемые элементы математической логики в некоторых содержательных линиях информатики.

1. В архитектуре ЭВМ

ЭВМ любого поколения построена на основе элементов логики. Например, логический синтез вычислительных схем на основе одноразрядного сумматора (полусумматора); логический блок-схемы отдельного устройства компьютера с помощью логических функций и др. Для логических выражений ИЛИ, И и НЕ существуют типовые технические схемы, реализующие их на реле, электронных лампах, дискретных полупроводниковых элементах и интегральных схемах. В современных компьютерах применяются системы интегральных элементов, у которых с большей унификацией в качестве базовой логической схемы используется всего одна из схем: «НЕ — И» (NAND, штрих Шеффера); «НЕ — ИЛИ» (NOR, стрелка Пирса), а иногда «НЕ — И — ИЛИ» (NANDOR). Среди многих элементарных схем в компьютере наибольшее распространение получила схема триггера — статического запоминающего и логического элемента. На триггерах строятся системы статической памяти, регистры, счетчики, делители частоты и много других компьютерных схем.

2. В «Программировании»

Одним из типов базовых данных в языках программирования является логический тип-boolean. В качестве ло-

гических операций в основном используются (л, V, -) конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, интерпретирующие соответственно and, or, not, а в некоторых языках программирования также используется операция исключение дизъюнкции xor.

Логическое выражение используется в таких структурах программирования, как ветвление, выбор, цикл.

Все языки программирования обладают собственным синтаксисом и семантикой, а самыми близкими из них к математической логике являются языки логического программирования.

Логическое программирование — парадигма программирования, основанная на выводе новых фактов из данных фактов согласно заданным логическим правилам. Наиболее широко используемым логическим языком программирования является PROLOG. Первым логическим языком программирования был PLANNER.

3. В системе искусственного интеллекта

Для процедурной модели представления знаний синтаксис формального языка ИВ описывает допустимые в языке предложения относительно алфавита языка, а семантика определяет смысл этих предложений. В задачах распознавания образов при моделировании изучаемых объектов особое место занимают логические функции, в частности, пороговые функции. Наиболее часто применяемыми на практике алгоритмами распознавания на основе элементов логики являются: алгоритм, основанный на тупиковых тестах; алгоритм, основанный на использовании тестов длинной l, комбинаторно-логические алгоритмы и др. Примерами этого являются: моделирование выявления уровня способности человека к конкретной деятельности,

медицинская диагностика, задача прогнозирования погоды и другие.

В СИИ наиболее часто используемыми языками программирования являются PROLOG и LISP.

В экспертных системах, в модели представления знаний (формальные логические модели, семантические сети, фреймы, продукционные модели) используются элементы математической логики. Формальные логические модели основаны на классической теории языка первого порядка, когда предметная область описывается в виде набора аксиом. В СИИ успешно используется правило логического вывода. При этом под логическим выводом понимают доказательство или опровержение формулы. В современных системах автоматизации логического вывода широко используется метод резолюций.

Теория алгоритмов

Основная цель курса — сформировать у студентов общие представления о формализации понятия алгоритма и вычислимой функции, которые являются фундаментальными понятиями математики и информатики. Систематическое изучение алгоритмов и различных моделей вычислений стало причиной возникновения новой дисциплины, так называемой теории алгоритмов. Теория алгоритмов появилась в 30-е гг. XX века, когда еще не было компьютеров. При изучении дисциплины «Теория алгоритмов» рассматриваются различные варианты математического уточнения понятия алгоритма. Классическими стали формализация алгоритма в виде математической машины Тьюринга, теории рекурсивных функций (ТРФ), машина Поста, нормальный алгоритм Маркова и др. При этом было показано, что для осущест-

Преподаватель XX_

3 / 2008

вления всевозможных преобразований информации вовсе не обязательно строить каждый раз специализированные вычислительные устройства: все это можно сделать на одном универсальном устройстве при помощи подходящей программы и соответствующего кодирования. В обучении информатике такой подход особенно полезен, поскольку он параллельно может решать вопрос об описании основных принципов устройства и о функционировании реальных современных компьютеров.

Аппарат рекурсивных функций считается одним из основных ключевых понятий теоретической основы информатики. На принципах рекурсии строится почти вся информатика.

Теория алгоритмов вместе с математической логикой и дискретной математикой служит основой для построения теории вычислений. Они составляют теоретическую основу для проектирования и применения вычислительных устройств к плохо формализуемым объектам. Именно благодаря этим теориям происходит внедрение математических методов в экономику, лингвистику, психологию, педагогику и другие гуманитарные науки.

Теория рекурсивных функций, изучаемая в дисциплине «Теория алгоритмов», имеет большое значение в информатике.

Рекурсия широко используется в языках программирования разного уровня, начиная с машинно-ориентированных языков программирования, включая объектно ориентированные языки программирования (ООП).

Рекурсия встречается во всех областях математических машин. Строгое описание идентификаторов и имен в языках программирования, записанное в нотации Бекуса-Наура, содержит явные рекурсивные определения. На

принципах рекурсии строятся формальные грамматики, описывающие сами языки программирования. Большинство структур данных, например, деревья, также допускают простое рекурсивное описание. Алгоритм фон Неймана сортировки массива чисел слиянием построен на идее рекурсивного подхода.

Следующими методами программирования, основанными на принципах рекурсии, являются: метод динамического программирования и метод декомпозиции, предполагающий разбиение задачи на несколько аналогичных задач меньшей размерности с последующим объединением решений. Иерархия классов в ООП построена на основе рекурсии.

Таким образом, выявление и исследование межпредметных связей математических дисциплин с информатикой является одним из факторов формирования математической культуры будущих учителей информатики. Щ