Синхронизация системы стохастических осцилляторов модой круглой мембраны с большим азимутальным индексом

РАДИОФИЗИКА И НЕЛИНЕЙНАЯ ФИЗИКА

В. Н. Корниенко, А. П. Привезенцев, А. А. Ревякин

СИНХРОНИЗАЦИЯ СИСТЕМЫ СТОХАСТИЧЕСКИХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ МОДОЙ КРУГЛОЙ МЕМБРАНЫ С БОЛЬШИМ АЗИМУТАЛЬНЫМ ИНДЕКСОМ

Исследуется синхронизация системы стохастических осцилляторов колебаниями круглой мембраны. Волновое поле мембраны моделируется двумерной решеткой, в узлах которой находятся цифровые резонаторы. Показана возможность формирования в рассматриваемой системе синхронных режимов в виде мод мембраны с азимутальным индексом, кратным числу осцилляторов.

Ключевые слова: двумерная решетка, синхронизация, стохастичность.

Исследование волновых процессов в распределенных системах, содержащих большое число активных элементов с регулярной или хаотической динамикой, представляет интересный объект для ученых различных областей естествознания. При этом, в силу сложности задачи в общей постановке, особый интерес представляет рассмотрение простых эталонных модельных систем, которые дают возможность получить аналитические результаты или провести достаточно подробное численное исследование [1].

Одной из возможностей, позволяющих построить достаточно простой алгоритм для численного моделирования взаимодействия волн с ансамблем активных нелинейных элементов с вероятностной динамикой, является представление волнового поля цепочкой связанных рекурсивных фильтров второго порядка с комплексными полюсами (цифровых резонаторов) [2], а в качестве активного элемента использовать дискретную модельную систему, называемую стохастическим осциллятором. Вероятностная динамика стохастического осциллятора представляет модификацию известной модели случайных блужданий. В работе [3] исследована взаимная синхронизация ансамбля стохастических осцилляторов, взаимодействующих с пространственно однородным полем резонансной системы, которая представляла собой пару связанных цифровых резонаторов.

В настоящей работе эти дискретные по времени и пространству модельные системы используется для исследования процесса формирования распределенных автоколебательных структур, формирующихся при самосогласованном взаимодействии ансамбля стохастических осцилляторов с волновым полем, которое они возбуждают в круглой мембране. При этом основное внимание направлено на исследование возможности возбуждения мод мембраны с большим азимутальным числом. Такая постановка задачи представляет интерес для качественного анализа механизма генерации в приборах сильноточной СВЧ-электроники, использующих пространственно развитые электродинамические структуры [4].

Волновое поле круглой мембраны, возбуждаемое ансамблем N стохастических осцилляторов, было аппроксимировано прямоугольной сеткой взаимодействующих между собой ячеек — цифровых резонаторов. Границей области служила ломаная линия, аппроксимирующая окружность радиуса р0. Система неоднородных уравнений в конечных разностях, описывающая динамику волнового поля с учетом действия осцилляторов, имеет вид

и

где и(г, t) = и(х, у, t) — функция дискретных аргументов, изменяющихся с единичным шагом, которая определяет состояние волнового поля в звене мембраны с координатами х, у в момент времени I = 0, 1, 2, ..., М (х ± 1, у ± 1, t) = и(х - 1, у, t) + и(х + 1, у, t) + +и(х, у -1, t) + и(х, у + 1, t); д — коэффициент связи осцилляторов и поля; р (х, у, t) — функция, описывающая действие осцилляторов на поле. Коэффициенты уравнения (1) следующим образом зависят от фазовой скорости волны в свободном пространстве — с и декремента затухания — у :

а = 2(1 - 2с2) еу, а = е 2у, ь = о2ву.

Параметры системы (1) выбирались так, чтобы она представляла решетку осциллирующих, слабо связанных звеньев: о < 1, у << 1. При этом имели место неравенства

|а| < 2, а - 1. На границе области Г были заданы нулевые условия и(х, у, t) = 0 для

(*, у) еГ.

В простейшем случае однородной сетки без границ свободные колебания ( д = 0) системы (1) имеют решения в виде бегущих волн с затуханием:

и

где волновой вектор к (кх, ку) и частота ш связаны дисперсионным уравнением:

ап2

В области длинных волн к << 1,, при выбранных значениях параметров, уравнение

(3) переходит в закон дисперсии монохроматической плоской волны ш2 = 02к2.

Стохастический осциллятор представляет модельную автоколебательную систему, в динамике которой периодическая компонента сочетается с достаточно интенсивной стохастической составляющей [5]. Колебательное движение в стохастическом осцилляторе совершает центр масс потока частиц, которые равномерно с единичным интервалом в принятой дискретной сетке времени инжектируются в пространство взаимодействия (пролетный промежуток) 0 - т - 1. Координата к-й частицы осциллятора, взаимодействующего с ячейкой волнового поля в точке Г(х, у) с координатами х, у, для дискретного времени I определяется итерационным уравнением:

г,

где скорость частицы задается выражением

Щ

где Щ — постоянная составляющая скорости частиц; д — коэффициент связи «поле-

поток»; Ди(х, у, 0 = и(х, у, t) - и(х, у, t -1) — приращение переменной, описывающей состояние волнового поля.

Далее при описании динамики стохастического осциллятора будем для краткости опускать координаты ячейки волнового поля, в которой он находится, если это не повлияет на ясность изложения.

Положительный параметр Дt < 1 в выражении (4) задает масштаб приращения координаты при данной скорости, случайная функция дискретного времени |0(t)| представляет модуль гауссовского случайного процесса с нулевым средним и единичной дисперсией.

При инжекции частицы в пространство взаимодействия постоянная составляющая скорости равна единице ( Щ = 1). В момент первого прохождения частицей через точку

Тс (£) с координатой, равной значению координаты центра масс потока

каждая частица может случайным образом изменить направление постоянной составляющей скорости (отразиться Щ ^ -Щ). Разделение частиц на пролетные и отраженные определяется вероятностью движения без изменения знака скорости р и вероятностью изменения знака скорости q при переходе частицы через координату центра масс потока ( р + q = 1). Для определенной таким образом вероятностной динамики центр масс потока из некоторого начального состояния персистентно дрейфует в направлении точки равновесия:

Координата (Р) определяет положение центра масс потока, если допустить, что

разделение частиц на пролетные и отраженные происходит строго в пропорции р / Ц .

Точка т (Р) является аттрактором случайных блужданий центра масс, вблизи которой

он совершает антиперсистентные флуктуации.

Режим колебаний с интенсивной периодической компонентой в рассматриваемой модельной системе достигается путем введения гистерезисной зависимости вероятностей перехода от положения центра масс Ц):

где ^ ^ границы гистерезиса, рг > 1/2, рь < 1/2. В проведенных расчетах при-

нято равенство рь = 1 - рг. Двум возможным значениям вероятности перехода соответствуют две точки равновесия т (Рг) и т (Рь), Т (Рь) < го (Р1) . Величины рг, рь, т , т являются феноменологическими параметрами модели. При выполнении неравенств г(Рь) < г < т« < Т(Рг) центр масс потока совершает персистентный дрейф, направление которого изменяется каждый раз, когда значение f) переходит через

одну из границ гистерезиса. Период регулярной компоненты движения центра масс можно оценить как удвоенное среднее значение времени персистентного, вероятностного дрейфа f) между границами гистерезиса ( 2^, 2^ ). Для вероятности перехода достаточно близкой к единице, дисперсия периода невелика. Спектральные характеристики свободных колебаний стохастического осциллятора рассмотрены в работе [5]. Слагаемое, связанное с влиянием волнового поля в выражении для скорости частиц (5), при выполнении определенных соотношений между периодом изменения поля и периодом колебаний свободного осциллятора позволяет обеспечить их синхронизацию. При этом для сохранения описанного выше вероятностного характера динамики осциллятора в среднем по времени должно выполняться неравенство

При выполнении обратного неравенства осциллятор переходит в режим, когда движением частиц полностью управляет возбуждаемое им поле.

Возбуждение автоколебательного режима в исследуемой распределенной системе можно рассматривать как формирование пространственно-временной структуры из начального неупорядоченного во времени состояния [6]. При численном решении уравнений (1) и (4) для всех ячеек волнового поля были приняты нулевые начальные

го( Р) = Р(^/1 - 2 Р / Ц -1)/ 2Ц.

^СДи(х, у, t)Д£^ (0| << .

условия и(х, у, ^ = 0) = 0. Направления персистентного дрейфа или знаки разности центра масс

ДХС(гп, t) = То(гп, t) - То(гп, t -1), которые определи начальные фазы колебаний, осцилляторов ансамбля, расположенных в точках Г , п = 1, 2,..., N, имели случайное распределение. Осцилляторы имели также

некоторый разброс по частотам, обусловленный разными значениями параметра Д£ в уравнении (4). Функция в правой части уравнений (1) имела вид

р(х, у, t) ^^(Г, Г„)дг0(Гп, Г),

8(г, Гп) = 1 для Г = Г„ и нулю в противном случае.

По результатам вычислений определяли зависимость от времени (реализации) центров масс осцилляторов Тс(Гп, t) и распределение волнового поля и(х, у, t) на плоскости мембраны.

Критерием синхронизации системы служила величина средней по времени мощности Рт колебаний усредненного по системе осцилляторов центра масс:

«) = -1 Ц=;1 го (Г,, Í).

Соотношение Планшереля дает возможность вычислить мощность реализации Тт (f) по значению квадратов модулей амплитуд ^ (спектра мощности) ее дискретного преобразования Фурье. Значение Рт для переменной составляющей усредненного

центра масс системы стохастических осцилляторов с учетом симметрии по сопряжению комплексных амплитуд Фурье вещественных последовательностей дает выражение

= N/2 _

Рт = N ^ п=1 .

Осцилляторы на поверхности мембраны располагались в ячейках прямоугольной сетки так, чтобы аппроксимировать их равномерное распределение по углу на окружности радиуса р5 < р0. Это давало возможность выбором р5 и скорости волны о получить распределение волнового поля мембраны, совпадающее с формой одной из ее собственных мод, которые, как известно, имеют вид

и,,х, у) = ,,«Р/ Ро)яп

где п — азимутальный; т — радиальный индексы моды; р = 4х2 + у2, ф = агсап( у / р), — т-й корень уравнения Зп (^) = 0.

Рассмотрим результаты численного решения системы (1)-(4), представляющие синхронизацию системы N = 6 стохастических осцилляторов модой круглой мембраны с индексами п = 12, т = 1. На рис. 1, а представлены спектры мощности 8„ колебаний

центра масс Тс(Гп, t) для одного из осцилляторов системы в режиме свободных колебаний (кривая 1) и режиме синхронизации (кривая 2).

В режиме свободных колебаний шесть осцилляторов имели попарно максимумы спектров на 7, 8-й и 9-й гармониках. В режиме синхронизации спектры всех осцилляторов имели максимум на 8-й гармонике. На рис. 1, б представлены спектры мощности колебаний центра масс ХТ ^) усредненного по системе. В режиме свободных колебаний (кривая 1 на рис. 1, б) разброс по частотам и фазам осцилляторов приводил к формированию двугорбого спектра с максимумом на 15-й гармонике. В режиме синхрони-

зации колебания Zr (£) имеют более низкий уровень шумов и достаточно высокий максимум на 8-й гармонике (кривая 2 на рис. 1, б).

Рис. 1. Спектры мощности: (а) колебаний центра масс парциального потока;

(б) колебаний усредненного по ансамблю центра масс. Кривые 1 получены для режима свободных колебаний, 2 — соответствуют режиму синхронизации

Зависимость средней по времени мощности РТ колебаний усредненного центра масс от коэффициента связи, представленная на рис. 2, демонстрирует пороговый характер процесса синхронизации. Для малых значений параметра связи уровень мощности невелик. При переходе величины д критического значения наблюдается резкий рост мощности, вызванный синхронизацией.

Рис. 2. Зависимость средней по времени мощности колебаний от коэффициента связи

Распределение интенсивности колебаний стоячей волны, формируемой мембраной в процессе синхронизации, представлено на рис. 3. Белым цветом обозначены участки с

высоким уровнем амплитуды колебаний, черный цвет показывает области с амплитудой колебаний, близкой к нулю.

Рис. 3. Распределение интенсивности колебаний по плоскости мембраны

Распределение интенсивности колебаний мембраны, представленное на рис. 3, с высокой степенью точности совпадает с результатами расчета этого распределения на используемой сетке для моды U12 1 (х, у) по формуле (6). Изменение радиуса, на котором

расположены осцилляторы, и фазовой скорости волны С, которая определяет частоту мод, дает возможность получить режимы синхронизации с числом азимутальных вариаций поля, существенно превосходящих число осцилляторов.

Список литературы

1. Гапонов-Грехов, А. В. Л. И. Мандельштам и современная теория нелинейных колебаний и волн / А. В. Гапонов-Грехов, М. И. Рабинович // Успехи физ. наук. 1979. Т. 128, вып. 4. С. 579-624.

2. Отнес, Р. Прикладной анализ временных рядов / Р. Отнес, Л. Эноксон. М. : Мир,

1982. 428 с.

3. Корниенко, В. Н. Синхронизация в ансамбле глобально связанных стохастических осцилляторов / В. Н. Корниенко, А. П. Привезенцев // Радио и электроника. 2005. Т. 50, № 3. С. 321-327.

4. Черепенин, В. А. Релятивистские многоволновые генераторы и некоторые их применения / В. А. Черепенин // Успехи физ. наук. 2006. Т. 176, № 10. С. 1124-1130.

5. Корниенко, В. Н. Стохастическая модель колебаний виртуального катода / В. Н. Корниенко, А. П. Привезенцев // Радио и электроника. 2002. Т. 47, № 8. С. 10081010.

6. Ланда, П. С. Автоколебания в распределенных системах / П. С. Ланда. М. : Наука,

1983. 320 с.