СПОСОБ БЫСТРОДЕЙСТВУЮЩЕГО ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФОРМЫ ПЛАЗМЫ В КАМЕРЕ ТОКАМАКА В ТЕЧЕНИЕ ДИВЕРТОРНОЙ ФАЗЫ ПЛАЗМЕННЫХ РАЗРЯДОВ
METHOD FOR FAST DETERMINATION OF PLASMA SHAPE IN TOKAMAK CHAMBER DURING DIVERTOR PHASE OF PLASMA DISCHARGE

Область техники, к которой относится изобретение
Изобретение относится к способам магнитной диагностики и магнитного управления плазмой в D-образных токамаках, а именно к способам восстановления равновесия плазмы по магнитным измерениям вне плазмы в реальном времени в токамаках (тороидальных камер с магнитными катушками). Заявляемый способ предназначен для быстродействующего определения состояния равновесия плазмы в D-образных токамаках и позволяет оценить зазоры между сепаратрисой и первой стенкой токамака, а также смещения ударных точек на диверторной фазе разряда в реальном времени. Зазоры и смещения ударных точек определяют форму плазмы.
В рамках заявляемого изобретения использованы следующие специальные термины:
Равновесие плазмы
- состояние плазмы в токамаке, задаваемое распределениями полоиального магнитного потока и плотности тороидального тока.
Первая стенка токамака
- внутренняя стенка камеры или бланкета токамака, ограничивающая плазму.
Диверторная фаза разряда
- фаза разряда плазмы токамака, в которой граница плазмы не касается первой стенки токамака. Характеризуется наличием точки нулевого магнитного поля (X-точки) на границе плазмы и ударных (диверторных) точек на камере токамака или на диверторных пластинах, в которые попадают вылетающие из X-точки частицы.
Сепаратриса
- термин для границы плазмы в течение диверторной фазы разряда. Может быть найдена как наибольшая замкнутая линия равного уровня полоидального потока.
Уровень техники
Конструкция токамака (тороидальная камера с магнитными катушками) представляет собой трансформатор, в первичную обмотку которого поступает импульс тока от внешнего источника энергии, а плазменный виток является вторичным витком трансформатора, в котором протекает ток, нагревающий плазму.
Для регулирования формы плазмы в камере токамака необходимо знать распределение плотности тороидального тока, полоидального потока, форму и положение плазмы. Однако эти параметры не могут быть измерены непосредственно в ходе эксперимента и должны быть определены из измеряемых значений полоидального потока вне плазмы, полного тока плазмы и токов в обмотках полоидального поля токамака. Данная задача известна как задача восстановления равновесия плазмы. Имея значения указанных магнитных сигналов, с учетом известных уравнений физики плазмы (в т.ч. уравнение Града-Шафранова), можно восстановить значения параметров внутри плазмы (в частности, распределение тороидального тока). В общем случае, известны такие решения, обеспечивающие восстановление плазмы, однако все они характеризуются значительным (в рамках времени диверторной фазы плазменных разрядов) временем вычисления, что затрудняет применение таких решений при необходимости управления плазмой в режиме реального времени (в темпе наблюдения).
Так, из уровня техники известны следующие средства и методы определения распределения полоидального магнитного потока и тороидального тока по магнитным измерениям вне плазмы.
В источнике (Lao L., John H., Stambaugh R., Kellman A., Preiffer W. Reconstruction of current profile parameters and plasma shapes in tokamaks // Nuclear Fusion. 1985. Vol. 25, N. 11. P. 1611-1622) раскрыт способ решения обратной краевой задачи, плохо обусловленной по Адамару, позволяющий посредством итераций Пикара решать уравнение Града-Шафранова и найти распределение полоидального потока и тороидального тока. Эти распределения дают возможность определить расположение плазменной сепаратрисы и восстановить положение плазмы в камере.
В источнике (Y.V. Mitrishkin, A.A. Prokhorov, P.S. Korenev and M.I. Patrov. Hierarchical robust switching control method with the equilibrium reconstruction code based on improved Moving Filaments approach in the feedback for tokamak plasma shape. Fusion Engineering and Design, 2019, v. 138, pp. 138-150.
https://doi.org/10.1016/j.fusengdes.2018.10.031) раскрыт способ определения равновесия плазмы при помощи аппроксимации тока плазмы подвижными токовыми кольцами (филаментами).
Как уже отмечено, описанные аналоги не позволяют реализовать способ, обеспечивающий максимально возможное быстродействие при определении положения сепаратрисы плазмы: из-за итерационного характера определения равновесия посредством итераций Пикара или из-за процедуры вычисления положения филаментов и токов в них. Таким образом, использование известных способов в режиме реального времени затруднительно.
Источник (Braams B.J., Jilge W. and Lackner K., et al. Fast determination of plasma parameters through function parametrization // Nuclear Fusion. - 1986. - Vol. 26, N 6. - P. 699-708) раскрывает способ регулирования формы плазмы, основанный не на решении уравнения равновесия плазмы, а на регрессионном анализе большого количества экспериментальных данных. Это не дает физического понимания получаемых решений, что затрудняет применение результата для управления формой плазмы в реальном времени.
Наиболее близким к заявляемому изобретению по технической сущности является способ определения формы плазмы в D-образном токамаке, направленный на восстановление равновесия плазмы, т.е. распределения полоидального потока и тока плазмы, раскрытый в источнике (Коренев П.С., Митришкин Ю.В., Патров М.И. Реконструкция равновесного распределения параметров плазмы токамака по внешним магнитным измерениям и построение линейных плазменных моделей. Мехатроника, автоматизация и управление. Том 17, №4, 2016, с. 254-265. DOI: 10.17587/mau.17.254-266).
Однако данный способ имеет относительно низкое быстродействие (время вычислительного шага при использовании данного способа составляет около 200 микросекунд (мкс)), т.к. для восстановления равновесия необходимо применять итерации Пикара при решении уравнения Града-Шафранова.
Технической проблемой заявляемого изобретения является необходимость преодоления технических недостатков, присущих аналогам, за счет создания быстродействующего способа, позволяющего оценить положение и форму плазмы в реальном времени.
Раскрытие изобретения
Техническим результатом заявленного изобретения является сокращение времени определения величины зазоров между первой стенкой токамака и сепаратрисой плазмы, а также смещение ударных точек сепаратрисы в течение диверторной фазы в режиме реального времени.
При известных значениях вычислительного шага прототипа в 200 мкс в результате применения заявляемого изобретения удалось достичь сокращения времени указанного шага до значений 5-50 мкс (в зависимости от используемого типа токамака), что позволит более оперативно реагировать на изменения положения плазмы посредством подачи корректирующего воздействия, а также освобождает дополнительное время внутри каждого шага дискретного управления для применения более сложных и совершенных алгоритмов управления формой плазмы.
Заявляемый технический результат достигается тем, что способ быстродействующего определения формы плазмы в камере токамака в течение диверторной фазы плазменных разрядов включает
- предоставление данных входных экспериментальных сигналов плазменных разрядов, характеризующих ток плазмы и токи в обмотках полоидального поля, имеющих однозначную взаимосвязь с величиной зазоров между сепаратрисой и первой стенкой токамака с учетом ударных точек сепаратрисы,
- восстановление равновесия плазмы посредством преобразования указанных значений входных экспериментальных сигналов в выходные сигналы, характеризующие зазоры между сепаратрисой и первой стенкой токамака, а также смещение ударных точек сепаратрисы, с использованием метода итераций Пикара и последующим формированием зависимости между указанными экспериментальными входными и полученными выходными сигналами,
- настройку средства отображения входных магнитных сигналов в выходные сигналы, характеризующие положение сепаратрисы, с использованием полученной на предыдущем шаге зависимости, при этом в течение диверторной фазы на вход средства отображения подают входные магнитные сигналы, измеряемые в режиме реального времени вне плазмы, по результатам преобразования которых в значения, характеризующие положение сепаратрисы, судят о положении и форме плазмы в камере токамака в течение диверторной фазы плазменных разрядов токамака. В качестве экспериментальных входных сигналов плазменных разрядов, а также входных магнитных сигналов, измеряемых в режиме реального времени, используют значения магнитных потоков на магнитных петлях, сигналы на магнитных зондах Мирнова и сигналы на поясах Роговского. В качестве средства отображения входных магнитных сигналов в положение сепаратрисы используют статическую матрицу, искусственную нейронную сеть, наблюдатель состояния с применением их в обратной связи системы магнитного управления формой плазмы в реальном времени токамака.
Основная идея предлагаемого способа состоит в том, что сначала по данным достаточно большого количества зарегистрированных значений магнитных сигналов плазменных разрядов восстанавливают равновесие плазмы посредством известных методов восстановления равновесия плазмы типа итераций Пикара. При этом получают для этих разрядов связь потоков через магнитные петли, магнитные зонды Мирнова, тока плазмы и токов в обмотках полоидального поля с зазорами между сепаратрисой и первой стенкой и смещений ударных точек. Полученную взаимосвязь используют для получения реальных значений зазоров между сепаратрисой и первой стенкой и значений смещения ударных точек по измеряемым вне плазмы в реальном времени значениям входных магнитных сигналов.
После этого настраивают выбранное средство отображения, использующее полученную зависимость между входными сигналами и параметрами, характеризующими форму и положение плазмы. Например, наблюдатель состояния, статическая матрица или искусственная нейронная сеть. Такой способ после настройки может быть применен в реальном эксперименте для управления формой плазмы в обратной связи по зазорам и ударным точкам.
Краткое описание чертежей
Изобретение поясняется чертежами, где
на фиг. 1 - расположение катушек полоидального поля и магнитных петель в вертикальном сечении токамака ГЛОБУС-М2; плазменная граница с ударными точками g1, g2 и зазорами g3-g6;
а
PF
PF
на фиг. 2 - полоидальный поток на магнитной петле токамака Глобус-М2 в разряде №31648 (), токи в обмотках1 и 2 (б) полоидального поля и ток плазмы (в) в разряде №31648;
на фиг. 3 - определение полоидального магнитного потока в токамаке;
а
б -
на фиг. 4 - линии равного уровня восстановленного распределения полоидального потока в токамаке ГЛОБУС-М2 и точки измерения: - полоидального потока на сепаратрисе;  зазоров между первой стенкой и сепаратрисой;
на фиг. 5 - восстановленное распределение полоидального потока для момента времени мс разряда №31648 токамака Глобус-М2;
на фиг. 6 - восстановленное распределение плотности тороидального тока плазмы для момента времени  мс разряда №31648 токамака Глобус-М2;
на фиг. 7 - оценка величины зазоров в разряде №37320 сферического токамака Глобус-М2 с помощью статической матрицы;
на фиг. 8 - сравнение вариаций зазоров δg, полученных с помощью модели LPV (Linear Parameter Varying - линейное изменение параметров), полученной из кода FCDI (сплошная линия) и оценкой вариаций зазоров , полученной с помощью робастного наблюдателя, синтезированного с помощью LMIs (Linear Matrix Inequalities - линейные матричные неравенства) (прерывистая линия). Разряд токамака Глобус-M2 №37263;
на фиг. 9 - оценка величины зазоров в разряде №37255 сферического токамака Глобус-М2 с помощью нейронной сети.
Осуществление изобретения
1
DIII-D
JET
TCV
ASDEX Upgrade
EAST
KSTAR
В настоящее время в мире действует ряд вертикально вытянутых D-образных токамаков, на которых изучается физика высокотемпературной плазмы и проводятся исследования систем управления плазмой. К таким наиболее прогрессивным токамакам можно отнести  (США, год пуска 1986, R= 1,66; a=0,67),  (Англия, 1992, 3,00; 1,25-2,1),  (Швейцария, 0.88; 0,25-0,7),  (Германия, 1991 1,65; 0,5-0,8),  (Китай, 2006, 1.75; 0,43),  (Южная Корея, 2008, 1,8; 0,5), Глобус-М2 (Россия, 1999, 0,36, 0,24)
Для управления формой плазмы, т.е. расположением в пространстве камеры токамака границы плазмы, необходимо по магнитным измерениям вне плазмы (поскольку внутри высокотемпературной плазмы измерения невозможны) восстанавливать распределение полоидального магнитного потока и положение сепаратрисы плазмы.
Предлагаемый способ состоит из двух частей.
В первой части для определения формы плазмы способ основан на итерационном решении дифференциального эллиптического уравнения равновесия плазмы Града-Шафранова (Шафранов В.Д. Равновесие плазмы в магнитном поле // Вопросы теории плазмы. 1963. Вып. 2. С. 92-131.) в частных производных методом функций Грина. Проводят накопление данных изменений входных магнитных сигналов определенного токамака. На основе восстановленных распределений плотности тороидального тока плазмы и полоидального потока находят сепаратрису плазмы (зазоры и смещения ударных точек). Дальнейшее описание действий способа представлено на следующем примере, не ограничивающем возможность применения заявляемого способа, а лишь раскрывающем один из вариантов его реализации.
Способ определения формы плазмы рассматривается на примере магнитной диагностики токамака Глобус-М2 по следующим входным сигналам:
- 21 магнитная петля, обеспечивающие измерение магнитного полоидального потока в различных точках пространства вокруг плазмы,
- пояса Роговского, обеспечивающие измерение полного тока плазмы, суммарный ток плазмы и ток по вакуумной камере токамака,
- а также токи в 8-и полоидальных обмотках токамака Глобус-М.
Расположение катушек полоидального поля, магнитных петель и элементов вакуумной камеры токамака Глобус-М2 представлены на фиг. 1. Типичное показание магнитной диагностики - величина полоидального потока на магнитной петле - приведено на фиг. 2а; токи в основных обмотках управления токамака - на фиг. 2б, ток плазмы на фиг. 2в.
P
P
Равновесие плазмы в токамаке описывается распределением полоидального магнитного потока  в цилиндрической системе координат  с учетом аксиальной симметрии плазмы. Полоидальный поток  в точке определяется как отношение величины магнитного потока на радиан горизонтальной окружности с центром на оси токамака, проходящей через точку и ограничивающей площадь  (фиг. 3):
,
где  вектор индукции магнитного поля,  - скалярное произведение индукции и нормали элемента поверхности. Из определения полоидального потока следует, что он должен обращаться в ноль на аксиальной оси и на бесконечности (граничные условия).
z
.
X
Граница плазмы (сепаратриса) в полоидальной плоскости (вертикальной плоскости, проходящей через ось ) может быть найдена как наибольшая замкнутая линия уровня полоидального потока (Ariola M., Pironti A. Magnetic control of tokamak plasmas, Springer-Verlag, 2008). В случае, если сепаратриса касается камеры токамака, конфигурацию плазмы называют лимитерной Если плазма не касается стенок токамака, то говорят, что плазма находится в диверторной фазе. Диверторная фаза также характеризуется наличием на сепаратрисе -точки, в которой магнитное поле обращается в ноль. Сепаратриса имеет ветви, которые «входят» в первую стенку токамака, которой может являться первая стенка вакуумной камеры, или диверторные пластины. Вдоль этих ветвей из плазмы выходят примеси и поглощаются диверторными пластинами. Таким образом, для определения формы и положения магнитной оси плазмы достаточно найти распределение полоидального потока.
Из уравнений Максвелла в дифференциальной форме (Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. М.: Высшая школа, 1983. 463 с.):
где  - вектор плотности тока,  - магнитная постоянная, и аксиальной симметрии тороидальной плазмы
можно получить дифференциальное уравнение в частных производных второго порядка, связывающее распределение плотности тороидального тока плазмы  с распределением создаваемого им полоидального потока  (Матвеев А.Н. Электричество и магнетизм. М.: Высшая школа, 1983. 463 с.)
.(1)
Используя уравнение (1), находят распределение полоидального потока при заданном распределении плотности тока плазмы, однако правая часть уравнения (1) неизвестна и должна быть найдена из других условий. Краевая задача является обратной, т.к. в задаче известно следствие, т.е. значения потока вне плазмы, а неизвестной является причина: распределение потока и тороидального тока плазмы. Более того, решение задачи не является единственным.
Комбинируя уравнение (1) с условием баланса между силами Ампера магнитного поля и градиента давления в плазме
,
можно получить уравнение Града-Шафранова (Шафранов В.Д. Равновесие плазмы в магнитном поле // Вопросы теории плазмы. 1963. Вып. 2. С. 92-131), которому подчиняется равновесие плазмы в токамаке:
p
F
где плотность тороидального тока плазмы  выражена через газокинетическое давление плазмы  и функцию , пропорциональную полоидальному току плазмы
Функции  и  также неизвестны, но зависят только от полоидального потока. Ввиду этого, составляющие плотности тороидального тока плазмы  могут быть аппроксимированы функциями полоидального потока:
Для решения задачи восстановления равновесия плазмы используется итерационный метод Пикара. На каждой итерации плотность тока плазмы аппроксимируется линейной комбинацией базисных функций  от полоидального потока, полученного на предыдущей итерации. Полоидальный поток в этом случае вычисляется как сумма, определяемая выбранными базисными функциями:
где
G -
K
E
Здесь функция Грина для уравнения (1), имеющая физический смысл полоидального потока в точке , создаваемого единичным бесконечно тонким кольцевым током с координатами , распределение плотности тока которого имеет вид дельта функции , и выражаемая через эллиптические интегралы первого  и второго рода  (Ariola M., Pironti A. Magnetic control of tokamak plasmas, Springer-Verlag, 2008):
Коэффициенты ,  и токи в катушках  подбираются на каждой итерации через минимизацию суммы квадратов разностей между рассчитанными и измеренными токами и потоками
Здесь  и  - рассчитанный и измеренный полные токи плазмы,  - измеренные токи в обмотках токамака, , ,  - погрешности измерений полоидального потока, тока плазмы и тока в обмотках соответственно.
Х
Х
На фиг. 4 показаны примеры равновесий плазмы в виде линий равного уровня полоидального потока системы вложенных магнитных поверхностей, полученных применением рассмотренного способа к экспериментальным данным токамака Глобус-М2. В эксперименте на Глобусе-М2 наблюдались различные виды равновесий: с нижней -точкой (фиг. 4а) и верхней -точкой (фиг. 4б). На этих же рисунках приведены точки измерений как полоидальных потоков на сепаратрисе (фиг. 4а), так и зазоров между сепаратрисой и первой стенкой (фиг. 4б), которые необходимы для управления формой плазмы.
Таким образом, в результате применения рассмотренного итерационного способа восстановления равновесия плазмы к достаточно большому количеству параметров, характеризующих осуществленные плазменные разряды, т.е. в результате определения формы плазмы по экспериментальной базе данных, получают взаимосвязь входных магнитных сигналов и величин, характеризующих форму плазмы в камере токамака.
j
s
i
N
K
i
На следующем шаге заявляемого способа полученную взаимосвязь применяют для настройки одного из известных средств отображения, обеспечивающих преобразование реальных входных сигналов (сигналы на магнитных петлях, на магнитных зондах Мирнова, на поясах Роговского для токов в обмотках полоидального поля) в выходные сигналы (зазоры между сепаратрисой и первой стенкой, смещения ударных точек). В качестве одного из таких средств отображения может использоваться статическая матрица с ее соответствующей настройкой с учетом вышеуказанной полученной взаимосвязи. Принцип статической матричной оценки формы плазмы заключается в том, что в любой момент времени  [1; ] любого разряда  [1, ], оценка формы плазмы  может быть получена путем умножения измеряемых сигналов в конкретный момент времени  и матрицы , суммирующимися со значениями базовых зазоров . При этом матрица  и вектор  являются постоянными для всех плазменных разрядов:
K
10
Коэффициенты матрицы и вектора настраиваются посредством метода наименьших квадратов по сумме квадратов разностей между выходными сигналами по зазорам и оцененными сигналами посредством итераций Пикара (Y.V. Mitrishkin, P.S. Korenev, A.E. Konkov, V.I. Kruzhkov, N.E. Ovsyannikov. New identification approach and methods for plasma equilibrium reconstruction in D-shaped tokamaks. Mathematics. 2022, , 40, p. 1-23. https://doi.org/10.3390/math10010040).
Правомерность использования в качестве средства отображения статической матрицы показана на стенде реального времени (Y.V. Mitrishkin. Plasma magnetic control systems in D-shaped tokamaks and imitation digital computer platform in real time for controlling plasma current and shape. Advances in Systems Science and Applications. 2022, Vol 22, No 1, pp. 1-15) на достаточно большом массиве матриц плазменных разрядов токамака Глобус-М2 (фиг. 7).
10
По аналогии со статической матрицей может применяться искусственная нейронная сеть (Фиг. 9) (Y.V. Mitrishkin, P.S. Korenev, A.E. Konkov, V.I. Kruzhkov, N.E. Ovsyannikov. New identification approach and methods for plasma equilibrium reconstruction in D-shaped tokamaks. Mathematics. 2022, , 40, p. 1-23. https://doi.org/10.3390/math10010040, Митришкин Ю.В., Кружков В.И. Быстродействующее восстановление формы плазмы в реальном времени в сферическом токамаке Глобус-М2 нейронной сетью по обработанным данным алгоритмом идентификации итерациями Пикара, Ломоносовские Чтения - 2022, Секция Физики, МГУ). Полносвязная нейронная сеть состоит из нескольких матриц и нелинейных функций активации. Элементы матриц настраиваются методом градиентного спуска, минимизируя сумму квадратов разностей между зазорами, восстановленными с помощью итераций Пикара и оцененными нейронной сетью. Сравнивая результаты работы настроенной на тестовых сигналах с различными функциями активации, размерами и числом скрытых слоев - выбирается наилучшая структура сети.
10
Предлагаемый способ определения формы плазмы был проверен посредством и другого подхода, а именно, с использованием наблюдателя состояния (Y.V. Mitrishkin, P.S. Korenev, A.E. Konkov, V.I. Kruzhkov, N.E. Ovsyannikov. New identification approach and methods for plasma equilibrium reconstruction in D-shaped tokamaks. Mathematics. 2022, , 40, p. 1-23. https://doi.org/10.3390/math10010040)]. Для этого получалась модель плазмы в токамаке в пространстве состояний в непрерывном времени:
T
s
Затем эта модель дискретизировалась с периодом
По полученной модели в пространстве состояний в дискретном времени строился наблюдатель состояния
(https://ru.wikipedia.org/wiki/Наблюдатель_(динамические_системы)), который по входным и выходным сигналам объекта определял в темпе наблюдения состояния объекта
в число которых входили и зазоры. Ошибка оценивания состояния  определяется по формуле
.
На фиг. 8 приведены графики восстановления равновесия плазмы посредством наблюдателя состояния в темпе наблюдения на стенде реального времени.
Использование средств отображения применительно к оценке зазоров по данным восстановленных равновесий приводит к существенному снижению времени выполнения задачи (Task Execution Time - TET): для статической матрицы это - 6 мкс, для наблюдателя состояния - 10 мкс, для способа оценки посредством неподвижных филаментов - 30 мкс. Выигранное время особенно важно при относительно коротких плазменных разрядах, длящихся, например, на токамаке Глобус-М2 (Россия), порядка 200-300 миллисекунд (мс) с диверторной фазой в 20-30 мс, на токамаке Damavand (Иран) 50-60 мс. При таких временных промежутках сокращение времени, в течение которого можно получить оценку положения и формы плазмы с целью дальнейшей корректировки и управления, особенно важно. Таким образом, заявляемое изобретение в результате сокращения времени получения информации о состоянии плазмы в токамаке способствует сокращению времени реакции на изменение состояния плазмы.