Задачи на формирование математических способностей учащихся 5-6 классов

ЗАДАЧИ НА ФОРМИРОВАНИЕ МАТЕМАТИЧЕСКИХ СПОСОБНОСТЕЙ УЧАЩИХСЯ 5-6 КЛАССОВ

PROBLEMS INTENDED TO FORM MATHEMATICAL ABILITIES OF PUPILS OF 5-6 GRADES

М. Б. Виситаева

В статье представлены серии задач на развитие «геометрического зрения», аналитико-синтетиче-ской деятельности и алгоритмических способностей учащихся. Эти серии задач связаны с разбиением куба или прямоугольного параллелепипеда на части, подсчетом этих частей и другими действиями с трехмерными геометрическими фигурами.

Ключевые слова: математические способности, «геометрическое зрение», «взаимопроникающие фигуры», куб, призма.

M. B. Visitaeva

In the article some series of problems on development of "geometrical sight", analytical-synthetic activity and algorithmic abilities of pupils are presented. These series of problems are associated with splitting of a cube or a rectangular parallelepiped into parts, counting of these parts and other operations with three-dimention-al geometric figures.

Keywords: mathematical abilities, «geometrical sight», «interpenetrating figures», a cube, a prism.

В современной школе задача формирования и развития у учащихся математических способностей, и в частности их «геометрического зрения», является наиболее актуальной.

В психологии под математическими способностями понимается индивидуально-психологические особенности личности, обусловливающие успешность выполнения математической деятельности.

Математические способности рассматриваются нами как индивидуально-психологические особенности личности, обусловливающие успешность выполнения деятельности, направленной на овладение математикой и способной расширить знание, воспринятое или созданное субъектом.

Рассматриваемые в этой статье задачи направлены в первую очередь на выявление «геометрического зрения» (при этом используется термин «взаимопроникающие фигуры»), владение приемами аналитико-синтетической деятельности учащихся (анализ, синтез и т. д.) и их алгоритмических способностей [1-4].

Одним из наиболее серьезных препятствий к усвоению геометрии является недостаточное развитие у учащихся «геометрического зрения», то есть умения видеть на чертеже не только то, что «бросается в глаза», но и все, что там есть [5].

«Взаимопроникающие фигуры» имеют часть общей площади: одними своими частями они перекрывают друг друга, другими частями не совпадают [б].

Мы обобщили это определение «взаимопроникающих фигур». «Взаимопроникающие фигуры» имеют часть общей длины (или площади, или объема): одними своими частями они перекрывают друг друга, другими частями не совпадают.

При оценивании решения задач учитываются не только «количественные характеристики» (число предложенных идей решения; количество шагов, приводящих к правильному ответу), но и умение выбрать наиболее ра-

циональный способ решения, умение найти алгоритм решения той или иной задачи [1].

Количественная характеристика применялась нами при оценке:

1) геометрического зрения - насколько полно и точно учащийся увидел искомые фигуры, количество выделенных фигур из фона;

2) аналитико-синтетической деятельности - наличие и количество идей при решении задач, выбор наиболее рационального способа решения;

3) алгоритмические способности - количество шагов, приводящих к верному решению.

Следует отметить, что пробудить интерес у учащихся к решению задач можно, если задачи будут содержательными, интересными с точки зрения ученика. Наибольший интерес представляют задачи, взятые из окружающей их жизни, естественным образом связанные со знакомыми им предметами.

Работа по формированию математических способностей учащихся должна вестись, на наш взгляд, в двух направлениях: 1) создание в условиях учебного процесса необходимых предпосылок к зарождению интереса к математике; 2) работа с учащимися, проявляющими интерес и способности.

Рассматриваемые геометрические задачи, направленные на формирование математических способностей учащихся, должны удовлетворять, по нашему мнению, следующим требованиям:

- содержать элементы новизны и занимательности, способствовать развитию познавательного интереса и интеллектуальной любознательности;

- содержать элементы исследования и самостоятельной работы;

- побуждать учащихся к поиску новых форм и методов решения, в результате которого «реализация возможности, которая представляет способность одного уровня, открывает новые возможности для дальнейшего разви-

Таблица

Вариант устного решения задачи

№ Учитель Учащиеся

1 Какую геометрическую фигуру вы видите на рисунке? На этом рисунке - куб

2 А еще что можно сказать про этот рисунок? Куб сложен из восьми маленьких одинаковых кубиков

3 Какие вопросы вы составили бы к этой задаче? Сколько кубов изображено на этом рисунке?

4 А еще какой вопрос можно составить к этой задаче? Сколько прямоугольных параллелепипедов изображено на этом рисунке?

5 Так сколько кубов изображено на этом рисунке? На этом рисунке изображено 9 кубов

6 А как у вас получились 9 кубов? Куб разделен на 8 маленьких кубиков и один большой куб

7 Как называются такие фигуры? Такие фигуры называются взаимопроникающими

8 А почему вы решили, что они взаимопроникающие? Потому что они одними частями пересекаются, а другими нет

9 А теперь что осталось найти? Теперь нужно найти, сколько прямоугольных параллелепипедов изображено на этом рисунке

10 Какие способы решения вы предлагаете? Сосчитать сначала, сколько больших параллелепипедов

11 И сколько вы насчитали таких больших параллелепипедов? Шесть

12 А сколько параллелепипедов содержит каждый из них? Большие параллелепипеды содержат по два маленьких

13 И сколько тогда получается больших параллелепипедов? Значит, всего будет 6 + 6 • 2 = 18 параллелепипедов

14 Какой-то другой способ решения задачи вы могли бы предложить? Мы постараемся подумать над этим вопросом, но лучше дайте нам это задание на дом

15 Я соглашусь с вами, но сделаю маленькую подсказку, так как этот случай вызвал затруднение: можете рассмотреть фигуру с трех позиций (спереди, сверху и сбоку) —

тия, для развития способностей более высокого уровня...» (С. Л. Рубинштейн, 1958);

- допускать вариативность результатов решения или отсутствие такового;

- способствовать развитию «геометрического зрения», аналитико-синтетической деятельности и т. д.

Обращение ученика к чертежу не может оцениваться однозначно: выполнение чертежа для одних может быть исходным моментом решения задачи, а для других - результатом уже выполненных в уме преобразований.

Эти отличия учтены при составлении серий задач:

1) задачи на воображение без опоры на восприятие (задачи на мысленное перемещение и реконструкцию геометрических фигур, заданных по описанию и т. д.);

2) задачи на воображение с опорой на восприятие (на осмысление чертежа, на перекраивание фигур и т. д.).

Перейдем к рассмотрению задач.

1. Решение задач на разбиение куба или прямоугольного параллелепипеда на части, подсчет этих частей и т. д.

В этом разделе предложены: а) задачи, в которых выполнено разбиение;

б) нужно выполнить разбиение.

2. Задачи на пересечение и объединение фигур.

Первоначально составление задач проводилось на

интуитивном уровне.

Задачи, в которых выполнено разбиение и задачи на воображение с опорой на восприятие (1, 2, 4, 5, 2*).

Задачи на воображение без опоры на восприятие (3, 2**, 2#).

Задача 1. Сколько одинаковых квадратов надо взять, чтобы из них можно было сложить квадрат с вдвое большей стороной (рис. 1а)? Сколько одинаковых кубиков понадобится для составления куба с вдвое большим ребром (рис. 1 б)?

В этой задаче учащиеся должны увидеть, что большой куб состоит из восьми маленьких кубиков и объем первоначального куба в 8 раз больше объема маленького (на наглядно-интуитивном уровне).

К \

\

\

а) б)

Рис. 1. Чертеж к задаче 1

Задача 2. Посмотрите внимательно на рисунок (рис. 2а). Сколько кубов изображено на этом рисунке? Ответ: 9 кубов.

Для удобства куб можно представить двумя способами (рис. 2а и 2б).

а)

Рис. 2. Чертеж к задаче 2

Задача 3. Вообразите куб, сложенный в два слоя из восьми маленьких одинаковых кубиков. Сколько прямоугольных параллелепипедов из него можно составить?

Ответ: 18 прямоугольных параллелепипедов.

Некоторые из составленных серий задач можно решать устно со всем классом (см. таблицу).

Задача 4. Рассмотрите внимательно рис. 3а. Сколько кубов изображено на этом рисунке? Куб можно изобразить и другим способом - см. рис. 3б.

а)

/

/

/

б)

Рис. 3. Чертеж к задаче 4

4/ /

А / / 3

/

2 /

,-' 5 8 - - - - б 7 7 И

дл> ,.10 / 1/

ТС

д!

..¿аЦ.

/Ш

а)

б)

г

Рис. 4. Ход рассуждений в задаче 4

Схема рассуждений и ход решения

Для решения задачи нужно аккуратно организовать алгоритм подсчета кубов. Прямоугольный параллелепипед состоит из трех слоев.

1. Сосчитаем все маленькие кубы - их 12 (рис. 4а).

2. Можно ли из кубиков одного слоя получить куб? Нельзя.

3. Можно ли из кубиков двух слоев получить куб?

а) Из кубиков первого и второго слоев получаем один куб (рис. 4б), состоящий из восьми маленьких кубов;

б) из кубиков второго и третьего слоев (рис. 4в) получаем тоже один куб, состоящий из восьми маленьких кубов.

Значит, кубов, состоящих из восьми маленьких кубов, всего два.

4. Можно ли из кубиков трех слоев получить куб? Нельзя.

Всего получается 12 + 2 = 14 кубов.

Ответ: 14 кубов.

Задача 5. Посмотрите внимательно на рис. 5а. Сколько кубов изображено на рисунке? Для удобства куб можно представить и другим способом - см. рис. 5б.

б)

<2

-

1

и '

Ьегг:

У

Рис. 5. Чертеж к задаче 5

Рис. 6. Чертеж к задаче 2*

Ответ: 3б кубов.

Целесообразно после решения задач 2, 4 и 5 предложить учащимся перейти к их двумерным аналогам.

К примеру, для задачи 2 двумерным аналогом является задача 2*.

Задача 2*. Сколько квадратов изображено на рис. б?

Ответ: 5 квадратов.

Условия задач (2, 4, 5) и (2*, 4*, 5*) могут быть сформулированы (по усмотрению учителя) таким образом, что их можно отнести и к задачам на воображение без опоры на восприятие.

К примеру, задача 2 может быть сформулирована

так:

Задача 2# Представьте мысленно куб, состоящий из восьми сложенных в два слоя маленьких кубиков. Сосчитайте, сколько всего кубов.

Для задачи 2* составим соответственно задачу 2**.

Задача 2**. Представьте мысленно конфигурацию, являющуюся двумерным аналогом для данного куба, состоящего из восьми сложенных в два слоя маленьких кубиков. Из какой фигуры составлена эта конфигурация? Сосчитайте, сколько в ней таких фигур.

На наш взгляд, здесь можно рассмотреть два пути подготовительных и породивших их задач (индуктивный, дедуктивный): 1) можно по «ступенькам» подготовительных задач подойти к основной (индуктивный); 2) начать с основной и для нее искать и решать подготовительные (дедуктивный).

Второй (дедуктивный) путь учит школьников подступаться к решениям более сложных задач, вооружает их одним из наиболее эффективных приемов поиска решения задач.

К примеру, задачи 2 и 4 являются подготовительными - «ступеньками» для решения более сложной задачи 5. Основываясь на вышесказанное, можно было начать и с основной задачи 5, а затем перейти к решению задач 4 и 2.

Упражнения такого рода нацелены на тренировку умения ориентироваться в сложных конфигурациях, вычленяя из них более простые элементы, не теряя в то же время из виду всю конфигурацию в целом.

После решения задач 2, 4 и 5 можно предложить учащимся сопоставить результаты, полученные для пространственного и их двумерного аналога.

Задача 6. Посмотрите внимательно на рисунок (рис. 7а). Сколько прямоугольных параллелепипедов изображено на этом рисунке?

а)

Рис. 7. Чертеж к задаче б

Схема рассуждений и ход решения а) Рядоположенных фигур (прямоугольных параллелепипедов) всего четыре (рис. 7б);

Рис. 8. Ход решения задачи 6

б) прямоугольных параллелепипедов, состоящих из двух прямоугольных параллелепипедов, тоже четыре: (1-2, 1-3, 2-4, 3-4) (рис. 8);

в) и еще один большой прямоугольный параллелепипед (исходный).

Ответ: 9 прямоугольных параллелепипедов. Задача 7. Посмотрите внимательно на рисунок 9а. Сколько призм изображено на этом рисунке? Призмы изображены на рисунке 10.

а)

Рис. 9. Чертеж к задаче 7

а)

/Т\ /

1 !

б)

\ /

2

Г

Рис. 10. Ход решения задачи 7

Ответ: 3 призмы.

Задача 8. Посмотрите внимательно на рисунок 11

'а) б)

Получившиеся кубики выкладывают в ряд. Чему равна длина ряда?

Задача 11. Какие многогранники могут получиться при разрезании куба на две части?

Следующая задача на воображение с опорой на восприятие, в которой нужно выполнить разбиение.

Задача 12. Придумайте фигуру, которую надо разделить на три параллелепипеда. Найдите несколько решений.

Приведем примеры задач двух уровней сложности, относящиеся к пункту «Задачи на пересечение и объединение фигур».

Задачи на воображение с опорой на восприятие.

Задача 13. Можно ли переложить бруски, изображенные на рисунке 12а, так, чтобы получился куб? Если да, то каковы будут размеры такого куба?

а)

б)

т:

Рис. 12. Ход решения задачи 13

Схема рассуждений и ход решения: для решения задачи нужно переложить верхний брусок, и тогда получится куб (рис. 126).

Ответ: длина ребра куба равна 6 см.

Задача 14. Две фигуры склеены так, что совпали одинаковые метки на их гранях (рис. 13). Изобрази фигуры, которые получились.

=7]

о У-»

а)

б)

Рис. 13. Чертеж к задаче 14

Рис. 11. Чертеж к задаче 8

(а, б, в). Сколько призм изображено в каждом случае?

Ответ: а) 9 призм; б) 16 призм; в) 33 призм.

Как показывают наши исследования, не все ученики выделяют нужную фигуру, отвлекаясь от остальных, переходят зрительно от одной к другой. Задачи эти привлекают своей эстетической стороной, развивая у учащихся «геометрическое зрение».

Далее рассмотрим задачи 9-11 на воображение без опоры на восприятие, в которых нужно выполнить разбиение.

Задача 9. Какое минимальное число плоских разрезов нужно сделать, чтобы разделить куб на 16 маленьких кубиков? После каждого разреза разрешается перекладывать части куба как угодно.

Задача 10. Куб с ребром 1 м нужно распилить на кубики с ребром 1 дм.

Схема рассуждений и ход решения: для решения этой задачи нужно повернуть одну из фигур так, чтобы совпали одинаковые метки на их гранях (рис. 14). Изобразим фигуры, которые получились:

6Ш

£171

ч

а

а)

б) в) Рис. 14. Чертеж к задаче 14

Наибольший интерес вызывают задачи, в которых требуется самостоятельно составить, а затем и решить задачи, развивающие идею исходных задач. Анализ опросов учащихся и результатов их работ позволяют говорить о том, что включение в формулировку задач указаний, наводящих вопросов помогает в поиске правильного решения, задавая его направление. Поэтому проблему восприятия условия и поиска правильного решения удалось решить во многом благодаря специальной формулировке задач.

Приведенный выше материал, естественно, не исчерпывает всего многообразия работы по данному направлению - умению выделять взаимопроникающие элементы геометрических фигур. Однако он показывает определенную систему заданий, при выполнении которых достигается и эта одна из важных задач обучения геометрии в школе.

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Виситаева М. Б. Эксперимент. Об изучении пропедевтического курса геометрии в школах Чеченской Республики // Математика в школе. -2007.- № 5.- C. 26-30.

2. Visitaeva М. Eléménts interpénétrants des figures [Взаимопроникающие элементы геометрических фигур] // Problèmes, exercices et jeux créatifs:

Actes du Colloque International Franze, Saint-Sor-lin d'Arves, 5-9 mai 2008. - Saint-Sorlin d'Arves: Editions du JIPTO, 2008. - S. 78-81.

3. Виситаева М. Б. Классификация содержания математических способностей учащихся 5-6 классов при изучении геометрического материала: Моногр. - Грозный: ФГУП «ИПК «Грозненский рабочий», 2009.

4. Гусев В. А. Психолого-педагогические основы обучения математике. - М.: Академия, 2003.

5. Журавлев Б. Б. О математическом зрении // Математика в школе. - 1940. - № 5. - С. 72-76.

6. Якиманская И. С. Уровни анализа, синтеза и абстракции при чтении чертежа у учащихся IV-VIII классов // Вопросы психологии. - 1959. -№ 1. - С.114-126.

НЕКОТОРЫЕ ПРИЕМЫ ПЕРЕФОРМУЛИРОВАНИЯ ТЕКСТОВ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ ЗАДАЧ В ПРОЦЕССЕ ПОИСКА ИХ РЕШЕНИЯ

SOME REFORMULATION TECHNIQUES OF ALGEBRAIC TASK TEXTS IN THE PROCESS OF PROBLEM SOLVING

Г. Н. Кимаковская

В методической литературе указано, что переформулирование учащимися текста задачи способствует ее пониманию, однако сами приемы переформулирования не указаны. В статье показано, как часть приемов переформулирования, предлагаемых лингвистами, также можно использовать и при переформулировании текстовых задач.

G. N. Kimakovskaya

Methodological literature points out that reformulation of text tasks by pupils contributes to better understanding of the problems, however the reformulation techniques themselves are not stated. The article shows how some of the reformulation techniques suggested by linguists can be also used while reformulating text tasks.

Ключевые слова: алгебраические задачи, переформулирование текстовых задач, приемы переформулирования.

Keywords: algebraic problems, reformulation of text tasks, reformulation techniques.

Наиболее популярно среди педагогических психологов определение, данное Л. М. Фридманом, что текст - это модель реальной ситуации [1, с. 1617]. Ситуация, описанная в тексте задачи, является ее содержанием. Для того чтобы ее представить и построить соответствующую ей модель, ученику приходится текст переформулировать. Л. М. Фридман считает, что процесс переформулирования - это перемоделирование заданной ситуации, результатом которого должна стать ее математическая модель. В алгебраических задачах это уравнение.

Переформулирование, как отмечает К. А. Слав-ская, с одной стороны, является результатом предшествующего хода мысли решающего, а с другой -отправным пунктом ее дальнейшего развития [2].

Психологов и методистов всегда интересовали и интересуют процессы переформулирования. В свое время Н. П. Ерастов в качестве приемов перефразировки выделял следующие: замену одних слов другими, вставки новых слов и оборотов, сокращение фразы, перестановки слов и оборотов [3].

А. В. Шевкин выделяет переформулирование как способ решения нестандартных задач [4]. Как считает автор, переформулирование превращает сложные для решения задачи в более простые. В процессе переформулирования происходит «переосмысление» условия задачи. Таких задач, когда их переформулирование используется как метод решения, не так много, но они встречаются и в конкурсных экзаменах.