Рациональная запись ответов при решении тригонометрических уравнений

РАЦИОНАЛЬНАЯ ЗАПИСЬ ОТВЕТОВ ПРИ РЕШЕНИИ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИХ

УРАВНЕНИЙ

Л. Т. Малько, Т. И. Котло, Н. Ф. Семенова

RATIONAL RECORD OF ANSWERS BY SOLVING TRIGONOMETRIC EQUATIONS

Malko L. T., Kotlo T. I., Semenova N. F.

The concept of periodic function is one of the basic notions of Mathematics course, but its study brings certain difficulties for students. The use of periodic function allows simplifying the solution of several mathematical problems, trigonometric equations in particular.

Понятие периодической функции является одним из основных понятий курса математики, однако ее изучение доставляет студентам определенные трудности. Использование периодичности функций позволяет упростить решение ряда математических задач, в частности, тригонометрических уравнений.

Ключевые слова: период функции, период уравнения, тригонометрические уравнения.

УДК 378.147:51

Пусть дано уравнение f(x)=0. Функция f(x) называется соответствующей данному уравнению.

Определение. Периодом уравнения f(x) =0, определенном на множестве Х, называется такое число Т > 0 (где Т наименьший положительный период), которое удовлетворяет следующим условиям:

1) (х + Т) и (х - Т) С Х;

2) f(x + Т) = 0 - f(x) = 0.

Заметим, что периоды функции f(x) и

уравнения f(x) = 0 разные понятия, так как период уравнения часто не совпадает с периодом функции, соответствующей данному уравнению.

Например, периодом функции f(x) = sin (px) является число 2к / p, а периодом уравнения sin (px) = 0 является число К / p.

Действительно,

sin p(x + К )= 0 — sin (px + К) = 0 — Р

- sin (px) = 0 — sin (px) =0.

Рациональная запись ответов при решении тригонометрических уравнений состоит в следующем:

1. Если тригонометрическое уравнение распадается на n простейших тригонометрических уравнений, то оно имеет n серий решений: x¡, х2, ..., xn. Может оказаться, что все серии решений в пределах периода уравнения не имеют общих корней, тогда решения всех простейших уравнений являются решениями исходного уравнения.

Малько Л. Т., Котло Т. И., Семенова Н. Ф.

Рациональная запись ответов при решении тригонометрических уравнений

2. Если все серии решений или часть из них имеют общий корень, то его надо исключить из всех этих серий, кроме одной, имеющей наибольшее число корней в пределах периода уравнения. К оставшимся в пределах периода корням, после исключения общего корня, надо прибавить целое число периодов уравнения. В ответ надо взять формулы решений, которые не содержат общих корней; формулу, в которой оставлен общий корень и вновь составленные формулы.

Надо помнить, что если при решении тригонометрического уравнения применяется метод разложения на множители, то произведение нескольких сомножителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из сомножителей равен нулю, а остальные сомножители не теряют смысла.

Теорема. Если уравнение f(x) = 0 распадается на п простейших уравнений/¡(x) = 0, f2(x) = 0, ..., fn(x) = 0, имеющих смысл, периоды которых соответственно Th Т2, ..., Тп попарно соизмеримы, то период данного уравнения равен наименьшему общему кратному периодов простейших уравнений.

Доказательство. Так как уравнение f(x) = 0 распадается на п простейших уравнений fi(x) = 0, f2(x) = 0, ..., fn(x) = 0, имеющих смысл, то данное уравнение равносильно совокупности этих уравнений и так как периоды простейших уравнений попарно соизмеримы, то существуют взаимно простые числа п1? п2, ..., пп такие что

ni Ti = п2 Т2 = ... = пп Тп =Т.

Следовательно, Т являясь кратным периодов Ti, Т2, ..., Тп, есть период данного уравнения.

Никакое другое число т < Т не будет периодом данного уравнения, так как оно не будет делиться нацело хотя бы на один из периодов простейших уравнений.

Итак, Т есть наименьший период данного уравнения.

Что и требовалось доказать.

Приведем примеры решения уравнений.

Пример 1. cos2 x + cos2 2x + cos2 3x + cos2 4x = 2 1+cos2x 1+cos4x 1+cos6x 1+cos8x

- + -

- + -

2 2 2

cos 2 x + cos 4x + cos 6x + cos 8x = 0 2cos 3x * cos x + 2 cos 7x * cos x = 0 2 cos x (cos 3x + cos 7x ) = 0 2^0, cos x = 0 или

2

= 2

cos 3x + cos 7x = 0

x1 = — + 7m = — (2да+1), m e Z, 2 2K '

1)

2^0,

cos 3x + cos 7x = 0 2cos5 x * cos2 x = 0

cos 5 x = 0 или

—

5 x = —+ —k 2

cos 2 x = 0

—

2 x = — + —

x2 =

——

— + — k

10 5

—

——

x3 = — + — l

42

—

x3 = —(2l+1), l eZ 4

x2 = 10 (2k+1), k eZ

Уравнения cos x = 0, cos 5x = 0 и cos 2x n/5, Т3 = к/2. Период данного уравнения Т = п. В пределах периода уравнения:

0 имеют соответственно периоды Т1 = к, Т2

2

- из первой серии находится корень: к/2;

- из второй серии: п/10; 3 п /10; п/2; 7 п /10; 9 п /10;

- из третьей серии: п/4; 3п/4.

Первая и вторая серии имеют общий корень л/2. Исключаем из первой серии корень л/2

и поэтому формула XI = — (2т+1) в ответ не входит.

p

Ответ: j^(2k+l),p(2/+l),k,/eZj .

Пример 2.

sin x + sin 2x = sin 3x; sin x - sin 3x + sin 2x = 0;

- 2sin x * cos2 x + 2sin x* cos x = 0;

- 2sin x (cos2 x - cos x) = 0; -2ф0, sin x = 0 или

x1 = nn, n e Z;

cos 2x - cos x = 0 (1) -2sin 3x/2 *sin x/2 = 0 -2sin 3x/2 = 0 или 2

-2ф0; x2 = 3pm, meZ;

sin x/2 = 0 x3 = 2nk, ke Z;

Уравнения cos x = 0, sin 3x/2 = 0 и sin x/2 = 0 имеют соответственно периоды Т1 = п, Т2 = 2п/3, Т3 = 2п. Период данного уравнения Т = 2п.

Третья серия решений получается из первой серии при n = 2k, поэтому третья серия исключается из дальнейшего рассмотрения.

В пределах периода уравнения из первой серии находятся корни: 0, п; из второй серии: 0, 2п/3, 4п/3. Из первой серии исключим корень 0. Оставшиеся корни в первой серии выразятся формулой: x1 = p + 2pn = p(2n +1), n e Z.

Ответ: -|p(2n+l);3pm,n,meZj .

Пример 3.

sin2 x + sin2 2x - sin2 3x - sin2 4x = 0

1-cos2x 1-cos4x 1-cos6x 1-cos8x

-+-----

2 2 2 2

- cos 2 x - cos 4x + cos 6x + cos 8x = 0

- (cos 2 x + cos 4x) + (cos 6x + cos 8x) = 0

- 2 cos 3x * cos x + 2 cos 7x * cos x = 0 2 cos x (cos 7x - cos 3x) = 0

= 0

2^0,

cos x = 0 p

x1 = —+ pm . 2

или

cos 7x - cos 3x = 0

m e Z,

(1) cos 7x - cos 3x = 0 - 2sin 5 x * sin 2 x = 0

- 2^0, sin 5 x = 0 или 5 x = pk

sin 2 x = 0 2 x = pn

p

x2 = — k , k e Z 2 5

p

x3 = n 2

ne Z

Малько Л. Т., Котло Т. И., Семенова Н. Ф.

Рациональная запись ответов при решении тригонометрических уравнений_

Уравнения cos x = 0, sin 5x = 0 и sin 2x = 0 имеют соответственно периоды T¡ = к, Т2 = к/5, Т3 = к/2. Период данного уравнения Т = п. В пределах периода уравнения:

- из первой серии находится корень: л/2;

- из второй серии: 0, л/5, 2п/5, 3п/5, 4п/5;

- из третьей серии: 0, л/2.

Вторая и третья серии имеют общий корень 0, очевидно, удобно исключить его из третьей серии. Тогда первая и третья серии будут содержать единственный общий корень л/2, поэтому безразлично, из какой серии его исключить. Исключим корень л/2 из третьей серии. Ответом будет являться первая и вторая серии.

Ответ: \Ж+pm;Жk;m,kezl.

12 5 J

Пример 4.

sin 2x * tg 6x * ctg 4x = 0

Решение этого уравнения сводится к решению уравнений:

ж

а) sin 2x = 0; 2х = nn; x = — n, где n e Z ;

2

ж

б) tg 6x = 0; 6х = nm; x = —m, где m eZ;

6

в) ctg 4x = 0; 4х = к/2 + nk; x = Ж + Ж k = Ж (2k+l), где n e Z ;

8 4 8

Уравнения sin 2x = 0; tg 6x = 0 и ctg 4x = 0 имеют соответственно периоды T¡ = к/2, Т2 = к/6, Т3 = к/4. Период данного уравнения Т = к/2.

В рассматриваемом случае корни уравнения подлежат проверке. В силу того, что если, например, sin 2x = 0 при х=0, то ctg 4x при х=0 не существует. Корни уравнения, подлежащие проверке:

- из первой серии: 0;

- из второй серии: 0, л/6, л/3;

- из третьей серии: л/8, 3л/8.

Первую серию исключаем, так как корень 0 есть во второй серии. Проверка.

sin 0 * tg 0 * ctg 0 Ф 0; х = 0 - не является корнем уравнения, так как

ctg 0 не существует. sin л/3 * tg л * ctg 2л/3 = 0 х = л/6 - является корнем уравнения.

sin 2л/3 * tg 2п * ctg 4л/3 = 0 х = л/3 - является корнем уравнения.

sin л/4 * tg 3п/4 * ctg л/2 = 0 х = л/8 - является корнем уравнения.

sin 3п/4 * tg 9л/4 * ctg 3п/2 = 0 х =3п/8 - является корнем уравнения.

\ЖЖЖЖЖ(\ I

Ответ: í—i— n;—i— m;—(2k+1),n,m,keZ>.

16 2 3 2 8 J

ЛИТЕРАТУРА

1. Глейзер Г. Д., Саакян С. М. и др. Алгебра и начала анализа: Учебное пособие для старших классов. -М.: Просвещение, 1995.

2. Говоров В. М., Дыбов П. Т. и др. Сборник конкурсных задач по математике. - М.: Оникс-21 век, 2006. - 480 с.

3. Методика преподавания математики в средней школе: Межвузовский сборник научных трудов. -Свердловск, 1992.

4. Научно-инновационные достижения ФМФ в области физико-математических и технических дисциплин: Материалы 53-й научно-методической конференции преподавателей и студентов Ставропольского государственного университета «Университетская наука - региону». - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2008. - 252 с.

5. Ученые записки физико-математического факультета Ставропольского государственного университета. - Ставрополь: Изд-во СГУ, 2002. - 123 с.

Малько Лина Тихоновна, Ставропольский государственный университет, кандидат педагогических наук, доцент, доцент кафедры математического анализа. Сфера научных интересов - методика преподавания математики в средней школе и в вузе. kotlo@stavsu.ru

Котло Татьяна Ивановна, Ставропольский государственный университет, кандидат педагогических наук, доцент, доцент кафедры высшей алгебры и геометрии. Сфера научных интересов - методика преподавания математики в высшей и средней школе. kotlo@stavsu.ru

Семенова Наталья Федоровна, Ставропольский государственный университет, кандидат физико-математических наук, доцент, доцент кафедры высшей алгебры и геометрии. Сфера научных интересов -математическое моделирование. kotlo@stavsu.ru

Об авторах