Сравнительное исследование алгоритмов измерения геометрии сложных профилей лопаток компрессора газотурбинного двигателя

УДК 621.431.75

СРАВНИТЕЛЬНОЕ ИССЛЕДОВАНИЕ АЛГОРИТМОВ ИЗМЕРЕНИЯ ГЕОМЕТРИИ СЛОЖНЫХ ПРОФИЛЕЙ ЛОПАТОК КОМПРЕССОРА ГАЗОТУРБИННОГО ДВИГАТЕЛЯ

© 2015 В. А. Печенин, М. А. Болотов, Н. В. Рузанов, Е. Р. Степанова

Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва

В статье приводятся три алгоритма измерения геометрии пера лопаток компрессора газотурбинного двигателя (ГТД) (спинки, корыта, входной и выходной кромок) на координатно-измерительных машинах. Первый алгоритм представляет собой однократное сканирование измерительным наконечником сечений лопатки по высоте. Второй алгоритм основан на предварительном совмещении номинального профиля с измеряемым действительным профилем. Для выполнения процедуры наилучшего совмещения измеренного профиля с его номинальными значениями использовался итеративный алгоритм ближайших точек. В третьем алгоритме координаты измеряемых точек кромок вычисляются с использованием сплайна, задаваемого по координатам центров измерительного наконечника (ИН). Выполнено исследование погрешностей измерения геометрии элементов с использованием рассматриваемых алгоритмов. Для выполнения исследований была разработана модель касания ИН об измеряемую поверхность детали, позволяющая рассчитывать координаты точки касания, координаты центра ИН и координаты измеренных точек. Поиск координат точки касания осуществлялся с использованием метода последовательного квадратичного программирования. Применена методика, позволяющая имитировать отклонение формы и расположения действительной поверхности от номинальной. В ходе моделирования были получены зависимости, позволяющие определить средние, нижние и верхние границы распространения погрешности измерения для любой измеряемой точки пера лопатки.

Контактный метод измерения; метод компенсации; отклонение формы; отклонение расположения; !СР-алгоритм; нелинейная оптимизация; кривизна профиля; погрешность измерения.

doi: 10.18287/2412-7329-2015-14-3-438-447

Точность изготовления лопаток компрессора и турбины значительно влияет на топливную эффективность, надёжность и ресурс авиационного двигателя. Лопатки подвергаются действию статических, динамических и циклических нагрузок.

Рабочими поверхностями лопатки является сложная аэродинамическая поверхность, также называемая пером. Перо лопатки - профилированная часть лопатки, находящаяся в потоке воздуха (газа) [1]. К нему предъявляют высокие требования по точности геометрических параметров.

Для измерения поверхностей пера лопаток в промышленности применяются координатно-измерительные машины (КИМ), которые могут быть оборудованы контактными и бесконтактными измерительными системами. Контактный метод измерения производится посредством касания измерительного наконечника, как правило сферической формы, о поверх-

ность измеряемой детали или изделия. После осуществления касания выполняется фиксация точки центра измерительного наконечника, а затем расчёт точки касания. В результате множества измерений образуется облако точек, по которому определяют поверхности, плоскости, линии и точки детали, необходимые для нахождения геометрических величин изделия. Контроль геометрии пера лопаток компрессора ГТД производится по сечениям вдоль оси Ъ [2] (рис. 1).

В работе приводится описание алгоритмов измерения сечений пера лопатки компрессора на координатно-измеритель-ных машинах. Для сравнения алгоритмов приведена методика, позволяющая оценить погрешность контактного измерения, учитывающая вариацию формы и расположения измеряемых поверхностей, обусловленную производственными погрешностями, проявляющимися в ходе изготовления деталей по определённой технологии.

dF - величина отклонения формы в точ-

ке P

Ось х,мм

Ось у,мы

Рис. 1. Поверхность пера лопатки компрессора ГТД

Методика позволяет имитировать отклонение формы и расположения поверхности, рассчитывать координаты точек касания, центры измерительных наконечников и координаты измеренных точек.

Точки измеряемых поверхностей моделировались из номинальных путём добавления к координатам точек теоретических (CAD) поверхностей отклонения расположения и формы. Величины отклонений формы и расположения выбирались исходя из статистических наблюдений для серии лопаток и справочных данных.

Таким образом, координату точки измеренной поверхности можно выразить формулой:

Pmeas = (cAD + Kl • dF)  ^3 + T

3 з

-алт -эхз>-1хЗ - матриЦа пов°р°та и вектор транспонирования координат точки Ралв •

Матрица Я содержит три угла вращения вокруг координатных осей. Вектор Т содержит значения перемещения вдоль координатных осей. Названные компоненты позволяют моделировать отклонения расположения профилей, вызванных погрешностями изготовления, которые встречаются в практике.

В практике производства деталей встречаются две составляющих отклонения формы: систематическое и случайное

8Г. Соответственно в модель измеряемой поверхности закладывались два этих типа отклонений. Систематическое отклонени-ие состоит из макроотклонения формы 8т и гармонической составляющей отклонения формы 8В. Случайное отклонение вносится инструментальной погрешностью средства измерения.

Таким образом, общую величину отклонения формы в каждой точке можно записать в виде суммы трёх составляющих:

dF = 8+8m + 8r.

где Ртеа,, Ралю - вектор координат точек (х, у, 2) соответственно измеряемой (моделируемой) и номинальной поверхностей;

Ы1х3 - вектор нормали в точке Ралю ;

Рассмотрим каждую из этих составляющих.

Макроотклонение формы представляет собой профиль, уменьшенный по толщине от теоретического профиля. В [3] описаны рекомендации по предельным значениям и характеру этого отклонения. При максимальном отклонении формы имеется так называемый «минимальный» профиль. Значения отклонения неодинаковы для различных частей профиля. Максимальное значение отклонение принимает в месте расположения максимальной толщины профиля и принимает 0.58т тах на сторону, минимальное в местах кромок (рис. 2).

0,5 6

Теоретический профиль

Минимальный профиль

Средняя линия

Рис. 2. Моделируемое макроотклонение формы для корневого сечения

Гармоническое отклонение формы может быть аппроксимировано с использованием композиции функций синуса и косинуса по следующей формуле:

* = Л  - + ^ +

+ В  Ш^з  -X + ^Со8), где Л и В - амплитуды составляющих синуса и косинуса соответственно; ^81п и

^ задано как ^  2ж/ 4 и ксо,  4 соответственно; кз1п, кС08 - частоты гармонических компонентов вдоль оси х; Ьх -опорная длина вдоль оси х; , ^С08 - фазы угла синуса и косинуса.

Для воспроизведения процесса измерения создана модель, позволяющая производить оценку возникающей погрешности определения точки касания измерительного наконечника о поверхности деталей [4].

Алгоритм поиска точки касания и измеренных точек на измерительном наконечнике содержит следующие этапы.

1. Задаются координаты точек измерения на поверхности САО-модели детали.

2. Через измеряемые точки строятся нормали к С АО-поверхности.

3. По нормалям к номинальной поверхности движется измерительный наконечник до касания измеряемой поверхности и определяется точка касания. Измеряемая поверхность математически описывается с помощью кусочных сплайнов [5].

Для расчёта координат точек касания измерительного наконечника о поверхность детали в декартовой системе

координат используется базовый метод [6]. Для удобства расчётов каждой точки производится поворот системы координат таким образом, что нормаль движения измерительного наконечника совмещается с осью Z. Для этого производится два последовательных разворота координат точек поверхностей вокруг координатных осей ОХ и ОУ на соответствующие углы наклона нормали. После этого производится поиск минимального значения целевой функции в новой системе координат:

I (х, У) =

2О - 2я

^ Ш1П,

где 2О и 2п - координаты точки на поверхности щупа и измеряемой поверхности по оси Z.

Координаты х и у точек измеряемой поверхности и измерительного наконечника совпадают и подчиняются ограничениям:

О- - х < Я, Оу - у < Я,

х е Ех,

У е Е у ,

где Я - величина радиуса измерительного наконечника; Ех, Еу - области определения измеряемой поверхности в плоскости ХОУ; Ох, Оу - координаты центра

измерительного наконечника по осям ОХ и ОУ.

Поиск координат точки касания С осуществляется с использованием метода последовательного квадратичного программирования. При реализации этого метода расчёта значений целевой функции с

использованием квадратичной аппроксимации предполагается, что в ограниченном интервале можно аппроксимировать функцию квадратичным полиномом, а затем использовать построенную аппрокси-мационную схему для оценивания координаты точки истинного минимума функции [7].

4. Рассчитываются координаты центров щупа О, лежащих на нормалях подвода измерительного наконечника Nсотр .

В случае, когда при измерении есть эталонная САО-модель, координаты измеренных точек рассчитываются на пересечении нормалей к поверхности САО-модели и сферы измерительного наконечника. На расстоянии радиусов измерительного наконечника Я по направлениям нормалей от точек О рассчитываются координаты измеренных точек Б по формуле:

Б = О + Я ' NСотр .

5. Отклонение координат точки на действительной поверхности С от координат соответствующей точки измеренной поверхности характеризует погрешность компенсации радиуса измерительного наконечника в 1-й точке измерения:

8

Ясотр.

=1 а - б

относительно высокого отклонения расположения и/или формы пера погрешности измерения кромок слишком велики.

Одним из ключевых параметров, характеризующих сложность изготовления и контроля детали, является величина кривизны в точках её поверхностей и скорость изменения этой крвизны. Чем более криволинейна поверхность, тем сложнее её описать конструктору, выполнить обработку поверхности и проконтролировать точность изготовления. Детали типа лопаток ГТД, пресс-формы, штампы, ряд корпусных деталей имеют существенную кривизну.

Формулы для нахождения центров кривизны и радиусов кривизны параметрически заданной кривой / профиля детали в точке Р имеют вид:

(Л'(Р ))2+(/ДР ))2

Хкр = ], (Р ) ~~т<

Укр - /у (Р ) -

/х'

/Ж).

к -

((/х '(Р ))2 + (/у '(Р ))2)3/2

/х '(Р )• /у ""(Р ) - /х ""(Р )• /у '(Р )|

/х '

.

Первый алгоритм представляет собой однократное сканирование измерительным наконечником сечений лопатки по высоте.

При контроле пера лопаток компрессора ГТД на контактных КИМ особую сложность составляют области входной и выходной кромок. Контроль сечения лопаток осуществляется, как правило, методом сканирования и измеряется множество точек вдоль всего профиля (первый алгоритм измерения). Плотность точек измерения на входной и выходной кромках целесообразно брать выше, чем на спинке и корыте. Радиусы кромок близки или даже меньше радиусов измерительных наконечников, и при наличии

Значение кривизны в точках поверхности обратно пропорционально радиусу кривизны.

Наибольшая величина погрешностей измерений возникает в точках кромок. Это связано с более высокими значениями кривизны в точках кромок относительно точек спинки и корыта.

Для снижения погрешности измерения входной и выходной кромок предлагается второй алгоритм измерения, основанный на предварительном совмещении действительного профиля с теоретическим.

1. Предварительно измерить точки спинки или корыта с 5% отступом от границ этих участков и невысокой плотностью точек.

2. Выполнить процедуру наилучшего

совмещения измеренного профиля с его

номинальным значением с использовани-

ем итеративного алгоритма ближайших точек (1СР) [8]. Это часто используемый в координатных измерениях итерационный алгоритм, у которого на каждой итерации методами нелинейного оптимизационного поиска рассчитываются углы поворота и перемещения вдоль координатных осей. Целевую функцию алгоритма можно представить в виде

1 N А

I (Я, о = -Х||Я  р,+ Т - д,\ ^ 0,

п г=1

где п - количество точек совмещения;

- координаты точки на САО-модели;

Рг - координаты точки измеренной поверхности, соответствующей

Таким образом определяются параметры отклонения расположения (матрицы Т и Я из (2)).

3. Произвести компенсацию отклонения расположения измеряемого профиля путём поворота и транспонирования координат точек номинального профиля.

4. Произвести полное измерение профиля.

Таким образом, с помощью рассмотренного выше алгоритма возможно снизить погрешность измерения, вызванную отклонением расположения профиля. Для определения координат точек измеряемых поверхностей кромок лопатки, совмещения теоретического и действительного профилей может применён иной способ вычисления измеренной точки, нежели (6).

В третьем алгоритме помимо предварительного совмещения измеряемого и теоретического профилей применяется способ расчёта координат измеренных точек, основанный на характере действительного профиля, а не теоретического. Векторы нормалей для расчёта координат точек касания определяются по интерполирующей кривой (поверхности), проходящей через координаты центров ИН. Геометрическая постановка модели расчёта представлена на рис. 3. Исходные данные для третьего алгоритма (рис.3): координаты центров ИН Р при измерении реального профиля, количество точек п, радиус ИН Яй.

Рис. 3. Расчёт координат измеренных точек путём аппроксимации массива центров ИН

Рассмотрим этапы третьего алгоритма измерения:

1. По координатам точек Р и их количеству задаётся кусочный сплайн третьей степени.

2. Через точки центров ИН к сплайнам строятся нормали.

3. По направлению движения щупа (найденным нормалям) откладывается расстояние, равное радиусу щупа. Рассчитанные координаты точки Нг на нормалях сплайна характеризуют точки касания ИН о действительную поверхность детали.

Для исследования возникающих погрешностей измерения пера и сравнения перечисленных выше алгоритмов было произведено имитационное моделирование процесса координатных измерений серии профилей с отклонениями формы и расположения, сгенерированных случайным образом.

Было смоделировано 100 сечений корневой, средней и торцевой частей пера лопаток компрессора ГТД, предельные значения отклонения формы которых изменялись по нормальному закону. На основании статистических данных по измерениям этого типа деталей и согласно [3] принято, что максимальное значение отклонения формы не превышает 0. 11 мм в тело детали. Диапазон изменения амплитуды волнистости составил ±0.01 мм. Погрешность измерения определялась как значения расстояний между кривыми измеренного и действительного профиля пера лопатки в точках действительного профиля.

Максимальное смещение сечения относительно системы координат хвостовика лопатки составляет 0.1 мм, угол разворота профиля изменяется в пределах ±9'.

Проводилось измерение спинки и корыта по 30 точкам, входной и выходной

кромок - по 20 точкам. Для третьего алгоритма измерения было рассмотрено два случая: измерение кромок по 20 и 40 точкам. Радиус ИН в исследованиях принят равным 0.5мм.

Распределение погрешностей в точках подчиняется двум основным законам: нормальному и обобщающему бета-распределению, которое представлено экспоненциальным законом. Для выборки погрешностей в каждой измеренной точке проводился тест Лиллиефорса на непротиворечие распределения генеральной совокупности значений случайной величины нормальному закону [9]. Если распределение соответствовало нормальному закону, то определялись числовые характеристики (математическое ожидание и дисперсия случайной величины) для нормального закона. Если нулевая гипотеза о соответствии нормальному закону по тесту Лиллиефорса отвергалась, то производилось нормирование значений выборки случайных погрешностей в каждой точке в диапазон [0,1] и рассчитывались параметры бета-распределения. Соответственно в каждой измеренной точке рассчитывалось математическое ожидание, а также верхняя и нижняя оценка погрешности измерения координат рассматриваемой точки с доверительной вероятностью 99,73%.

По полученным значениям погрешности измерения в точках профиля рассчитывались средние, нижние и верхние границы распространения погрешностей вдоль измеряемого профиля (рис.4).

В табл. 1 приведены максимальные погрешности измерений для участков спинки, корыта, входной и выходной кромок при использовании рассматриваемых алгоритмов.

Mo измеряемой точки вдоль o;-4enu<t пора

а

Мн измеряемой точки вдоль сечения пера

Рис. 4. Вероятностное распределение погрешности измерения сечений 100 лопаток с помощью первого (а), второго (б) и третьего (в) алгоритмов: 1 - наиболее вероятное, 2 - верхняя граница, 3 - нижняя граница значений погрешности

Таблица 1. Математическое ожидание (M), верхние (Max) и нижние (Min) границы

величин погрешностей измерения точек сечений пера лопаток при разных алгоритмах измерения, мм

б

Сечение Вероятностная характеристика Спинка Корыто Входная кромка Выходная кромка

Первый алгоритм - однократное сканирование

Корневое сечение M 0,0046 0,0153 0,0050 0,0159

Max 0,0171 0,0523 0,0173 0,0524

Min 0,0004 0,0019 0,0010 0,0022

Среднее сечение M 0,0055 0,0218 0,0067 0,0210

Max 0,0207 0,0658 0,0213 0,0682

Min 0,0004 0,0028 0,0012 0,0034

Торцевое сечение M 0,0073 0,0311 0,0089 0,0249

Max 0,0273 0,0870 0,0314 0,0764

Min 0,0005 0,0079 0,0008 0,0053

Второй алгоритм - использование частичной компенсации отклонения расположения

Корневое сечение M 0,0038 0,0267 0,0034 0,0123

Max 0,0134 0,0614 0,0116 0,0442

Min 0,0005 0,0070 0,0005 0,0010

Среднее сечение M 0,0057 0,0250 0,0053 0,0160

Max 0,0205 0,0709 0,0187 0,0554

Min 0,0004 0,0036 0,0005 0,0023

Торцевое сечение M 0,0077 0,0305 0,0084 0,0209

Max 0,0290 0,0649 0,0299 0,0682

Min 0,0004 0,0039 0,0007 0,0032

Окончание таблицы 1

Сечение Вероятностная характеристика Спинка Корыто Входная кромка Выходная кромка

Третий алгоритм - использование координат центров ИН для расчёта координат точек касания

Корневое сечение M 0,0038 0,0266 0,0034 0,0110

Max 0,0134 0,0614 0,0116 0,0318

Min 0,0005 0,0070 0,0005 0,0040

Среднее сечение M 0,0057 0,0260 0,0053 0,0163

Max 0,0205 0,0709 0,0187 0,0348

Min 0,0004 0,0062 0,0005 0,0105

Торцевое сечение M 0,0077 0,0582 0,0084 0,0249

Max 0,0290 0,0827 0,0299 0,0433

Min 0,0004 0,0409 0,0007 0,0190

Третий алгоритм - использование координат центров ИН для расчёта координат точек касания. Количе-

ство точек измерения кромок в 2 раза больше, чем в предыдущих случаях.

Корневое сечение M 0,0038 0,0118 0,0034 0,0092

Max 0,0134 0,0329 0,0116 0,0249

Min 0,0005 0,0040 0,0005 0,0065

Среднее сечение M 0,0057 0,0309 0,0053 0,0098

Max 0,0205 0,0551 0,0187 0,0288

Min 0,0004 0,0196 0,0005 0,0024

Торцевое сечение M 0,0077 0,0323 0,0084 0,0150

Max 0,0290 0,0623 0,0299 0,0375

Min 0,0004 0,0023 0,0007 0,0064

В результате исследований получены границы распространения погрешностей компенсации ИН при измерении профилей лопаток компрессора ГТД на КИМ. На основании полученных данных можно сделать вывод, что погрешности измерения рассматриваемых геометрических параметров увеличиваются по высоте пера.

Также можно заключить, что точность измерения кромок по первому алгоритму (однократного сканирования) недостаточна для адекватного расчёта геометрических величин сечения.

При сравнении погрешностей измерения, возникающих при использовании трёх рассматриваемых алгоритмов, можно сделать вывод, что третий алгоритм позволяет производить контроль геометрии

пера с наименьшей погрешностью. При использовании третьего алгоритма для повышения точности компенсации радиуса можно использовать большее количество точек при измерении кромок. Это связно с тем, что при большем количестве точек измерения сплайн, задаваемый по координатам центров ИН, позволяет более точно описать действительную геометрию. При использовании первого и второго алгоритмов величина погрешностей не зависит от количества точек измерения.

Работа выполнена при финансовой поддержке Правительства Российской Федерации (Минобр-науки) на основании Постановления Правительства РФ №218 по договору № 27/13 от 15.02.2013г с использованием оборудования центра коллективного пользования CAM технологий.

Библиографический список

1. ГОСТ 23537-79. Лопатки авиационных осевых компрессоров и турбин. Термины и определения. М.: Издательство стандартов, 1979. 30 с.

2. Savio E., De Chiffre L., Schmitt R. Metrology of freeform shaped parts // CIRP Annals - Manufacturing Technology. 2007.

V. 56, 2. Р. 810-835. doi.org/ 10.1016/ ].агр.2007.10.008

3. ОСТ 1 02571-86. Лопатки компрессоров и турбин. Предельные отклонения размеров, формы и расположения пера. М.: Издательство стандартов, 1986. 36 с.

4. Печенин В.А., Болотов М.А., Рыжков А.В. Модель оценки точности коор-

динатных измерений при контактном методе // Материалы международной научно-практической конференции «Виртуальное моделирование, прототипирование и промышленный дизайн». Тамбов: Тамбовский государственный технический университет, 2015. С. 215-220.

5. Ли К. Основы САПР (CAD/CAM/ CAE). СПб.: Питер, 2004. 560 с.

6. Shunmugam M.S., Radhakrishnan M.S. Comparison of difference methods for computing the two-dimensional envelope for surface finish measurements // Computer-Aided Design. 1976. V. 8, Iss. 2. P. 89-93. doi.org/10.1016/0010-4485(76)90090-7

7. Powell M.J.D., Watson G.A. A fast algorithm for nonlinearly constrained optimization calculations, numerical analysis // Lecture Notes in Mathematics. 1978. V. 630. P. 144-157. doi.org/10.1007/BFb0067703

8. Besl P.J., MckayN.D. A method for registration of 3-D shapes // IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 1992. V. 14, Iss. 2. P. 239-256. doi.org/10.1109/34.121791

9. Lilliefors H. On the Kolmogorov-Smirnov test for normality with mean and variance unknown // Journal of the American Statistical Association. 1967. V. 62, Iss. 318. P. 399-402. doi.org/10.2307/2283970

Информация об авторах

Печенин Вадим Андреевич, аспирант, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет). E-mail: vadim.pechenin2011@yandex.ru. Область научных интересов: координатные измерения, процессы сборки, математические методы.

Болотов Михаил Александрович,

кандидат технических наук, доцент кафедры технологий производства двигателей, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет). E-mail: maikl.bol@gmail.com. Область научных интересов: координатные измерения, процессы сборки, математические методы.

Рузанов Николай Владимирович,

аспирант, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет). E-mail: kinform_@mail.ru. Область научных интересов: координатные измерения, математические методы, разработка информационных систем.

Степанова Екатерина Робертовна, магистрант, Самарский государственный аэрокосмический университет имени академика С.П. Королёва (национальный исследовательский университет). E-mail: ekaterinka198787@mail.ru. Область научных интересов: координатные измерения, процессы сборки, математические методы.

COMPARATIVE RESEARCH OF ALGORITHMS OF MEASURING THE GEOMETRY OF COMPLEX PROFILES OF GAS TURBINE ENGINE COMPRESSOR BLADES

© 2015 V. A. Pechenin, M. A. Bolotov, N. V. Ruzanov, E. R. Stepanova Samara State Aerospace University, Samara, Russian Federation

The paper presents three algorithms for the measurement of gasturbine engine (GTE) compressor blades airfoil (suction side, pressure side, leading and trailing edges) geometry using coordinate measuring machines. The first algorithm is a single scan of the heightwise blade section using a test point. The second algorithm is based on the pre-alignment of the nominal profile with the measured actual profile. An iterative closest-point algorithm is used to carry out the procedure of the best possible alignment of the measured ptofile and the nominal one. In the third algorithm, the coordinates of the measured points of the edges are calculated using the spline defined by the coordinates of the test point (TP) center. The research of errors of measuring the geometry of the

elements using the algorithms mentioned above was carried out. To perform the research a model was developed simulating the contact of the TP and the surface of the part being measured. The model makes it possible to calculate the coordinates of the contact point, the center coordinates and the coordinates of the MT of the measured points. The search for the coordinates of the contact was performed using the method of sequential quadratic programming. A procedure was also used that makes it possible to simulate the deviation of the profile and surface position from the nominal. In the course of the simulation dependences for determining the average, lower and upper boundaries of the measurement error distribution for any airfoil point being measured were obtained.

Contact measurement method; method of compensation; profile and surface position deviation; ICP-algorithm; nonlinear optimization; curvature; measurement uncertainty.

References

1. GOST 23537-79. Vines of aircraft axial-flow compressors and turbines. Terms and definitions. Moscow: Izdatel'stvo standartov Publ., 30 p.

2. Savio E., De Chiffre L., Schmitt R. Metrology of freeform shaped parts. CIRP Annals - Manufacturing Technology. 2007. V. 56, Iss. 2. P. 810-835. doi.org/10.1016/ j.cirp.2007.10.008

3. OST 1 02571-86. Compressor and turbine blades. Tolerances size, shape and location of the blade airfoil. Moscow: Izdatel'stvo standartov Publ., 1986. 36 p.

4. Pechenin V.A., Bolotov M.A., Ryzhkov A.V. Model estimates of the accuracy of coordinate measurements with contact method. Materials of international scientific and practical conference «Virtual simulation, prototyping and industrial design». Tambov: Tambov State Technical University Publ., 2015. P. 215-220.

5. Lee K. Osnovy SAPR (CAD/CAM/ CAE) [Foundations of CAD (CAD/CAM/ CAE)]. Saint-Petersburg: Piter Publ., 2004.

6. Shunmugam M.S. Radhakrishnan M.S. Comparison of difference methods for computing the two-dimensional envelope for surface finish measurements. Computer-Aided Design. 1976. V. 8, Iss. 2. P. 89-93. doi.org/10.1016/0010-4485(76)90090-7

7. Powell M.J.D., Watson G.A. A fast algorithm for nonlinearly constrained optimization calculations, numerical analysis. Lecture Notes in Mathematics. 1978. V. 630. P. 144-157. doi.org/10.1007/BFb0067703

8. Besl P.J., Mckay N.D. A method for registration of 3-D shapes. IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence. 1992. V. 14, Iss. 2. P. 239-256. doi.org/10.1109/34.121791

9. Lilliefors H. On the Kolmogorov-Smirnov test for normality with mean and variance unknown. Journal of the American Statistical Association. 1967. V. 62, Iss. 318. P. 399-402. doi.org/10.2307/2283970

About the authors

Pechenin Vadim Andreevich, postgraduate student of the Department of Engine Production Technology, Samara State Aerospace University. E-mail: vadim.pechenin 2011@yandex.ru. Area of Research: coordinate measurements, assembly processes, mathematical methods.

Bolotov Michael Alexandrovich, Candidate of Science (Engineering), Assistant Professor of the Department of Engine Production Technology, Samara State Aerospace University. E-mail: maikl.bol@ gmail.com. Area of Research: coordinate measurements, assembly processes, mathematical methods.

Ruzanov Nikolay Vladimirovich,

postgraduate student of the Department of Engine Production Technology, Samara State Aerospace University. E-mail: kinform_@ mail.ru. Area of Research: coordinate measurements, assembly processes, software development.

Stepanova Ekaterina Robertovna, external postgraduate student of the Department of Engine Production Technology, Samara State Aerospace University. E-mail: ekaterinka198787@mail.ru. Area of Research: coordinate measurements, assembly processes, mathematical methods.