Базис свободной алгебры многообразия разрешимых коммутативных альтернативных алгебр

УДК 512.554.5

© А.В. Бадеев

БАЗИС СВОБОДНОЙ АЛГЕБРЫ МНОГООБРАЗИЯ РАЗРЕШИМЫХ КОММУТАТИВНЫХ АЛЬТЕРНАТИВНЫХ АЛГЕБР

В этой работе изучается многообразие D коммутативных альтернативных ниль-алгебр A индекса 3 с соотношением (A2)3 = 0 . Построен базис пространства полилинейных многочленов свободной алгебры F(D). Ключевые слова: альтернативная алгебра, многообразие алгебр, базис свободной алгебры.

A. V. Badeev

A BASIS OF FREE ALGEBRA OF THE VARIETY OF COMMUTATIVE ALTERNATIVE ALGEBRAS

In this paper the variety D of commutative alternative nil-algebras A of index 3 is studied with ratio (A2)3 = 0 . A basis of the polylinear polynomials space in the free algebra F(D) has been built. Keywords: alternative algebra, variety of algebras, basis offree algebra.

Введение

Автором ранее изучались вопросы конечной базируемости тождеств многообразия коммутативных альтернативных алгебр А над полем характеристики 3 с соотношением (A2)k = (Am)3 = 0 . В этой работе более детальному изучению подвергается частный класс при k =3, m=2, построен базис его свободной алгебры. Для этого строится вспомогательный пример алгебры порождающей многообразие D. Построен базис свободной алгебры центрально-метабелевого многообразия, т.е. многообразия заданного соотношением ((A2)2) • A = 0 . Затем построен базис полилинейной части свободной алгебры многообразия D (теорема).

1. Вспомогательная алгебра A

Построение вспомогательной алгебры AeD проведём с помощью конечномерной супералгебры. Положим, E0 ={a,b}, E\ ={x, ax, bx}, E=E0uEb В=Ф(Е0)+Ф(Е1). Суперкоммутативное умножение на базисных элементах: a • a = b, a^x = ax, b^x = ax •a = bx, ax^x = a, bx^x = - b. Остальные произведения полагаем нулевыми.

Легко видеть, что В \ В2 = Ф^}, В 2\ В(2) = Ф{о, ax}, В(2) = Ф{Ь, bx}, (В2)3 = 0. Утверждение. В - коммутативная альтернативная супеpалгебpа. rpассманова оболочка A = G(E) - коммутативная альтернативная ниль-алгебра индекса 3 с соотношением (A2)3 = 0 .

2. Базис свободной метабелевой и центpально-метабелевой алгебр

Положим Mс D - многообразие метабелевых алгебр, т.е. алгебр А с соотношением (A2)2 = 0. Лемма 1. Пусть F = F(M) - свободная алгебра многообразия M метабелевых алгебр. Тогда множество полилинейных одночленов вида

xjxhxi2...xvi,i <i2 <... < Vl, J >i1

образуют базис пространства U(F).

Пусть F=F(D) - свободная алгебра многообразия D с множеством свободных порождающих

X = {xl,x2xn,...} .

Тождество центральной метабелевости имеет вид [(x1 x2)( x3 x4)]x5 = 0.

Пусть A - свободная алгебра от множества порождающих X, I - идеал A. Обозначим через P(I) пространство полилинейных многочленов алгебры A, содержащихся в идеале I, Pn (I) с P(I) - подпространство полилинейных многочленов от множества порождающих Xn длины n .

Обозначим, Zn = {1,2,...,n},n > 4, (pi j = x't ...x' - операторное слово длины n - 4, где

V.^ in-4 } = Zn \{1,2, i, i1 < ... < in-4 .

Лемма 2.

1. Базис пространства Рп (F(2)(С)) при п = 4 или п = 4 + 3 составляют полилинейные одночлены вида

а) ХХЪ,] (х2х} ),2 < г < ],

б) х1х1^1з(Х2Хз),г > 3,

2. При п = 41 + 1 или п = 41 + 2 базис составляют элементы типа а) и б) и полилинейный одночлен

в) Х^^ДХ2Х4).

3. Базис свободной алгебры F

Положим F0(2) = F(2), и далее по индукции Рр2)х = Рр2) • Р. Будем считать, что множеством свободных порождающих алгебры Р / служит X. Заметим тогда, что Р(F(2)) = Ф P(F';2) / F';2¡l).

р=0

В этом пункте мы построим базис каждого из пространств Р(рр2) / рр2{). Ясно, что

^(2)/ F|r) = F (2)(С).

Положим, Нп - система элементов а) - в) из леммы 2, т.е. система базисных элементов пространства Рп (Fo(2)/ ^(2)).

Обозначим р = <-р+1... Х'п - операторное слово длины p, еп = Х1Х5^5,4 • Х2Х4 е Нп , еп,р = еп-/п,р ,

Н'п= {Х1Х4^4,• Х2Х} е Нп }.

Действие перестановок симметрической группы на пространстве многочленов длины п определим стандартным образом.

Основным результатом является следующее утверждение.

Теорема. Базис пространства Рп (рр2)/ Рр(+1), где 1<р<п-4, составляют элементы следующей системы (обозначим эту систему Еп ):

1) НП р = [Ь^п,р | Ь е НПр},

2) Н'п,р(и) = [Ь(^) | Ь е Н'п,р}, где k=n-p+¡,

3) еп, р (¡г)(2 ] )для всех г, ] е[1,2} и 2п, р, г < ] [ г,] }Ф[1,2}.

Для фиксированных п, р назовем правильными числа множества {¡,2} и Хп , регулярными - остальные числа 2п . Переменные из Xп = [х1,х2,...,Хп} с правильными (регулярными) индексами назовем также правильными (регулярными).

Элементы системы ^ Нп р (¡0(2]) порождают пространство Рп р (Рр2) / рр^).

г, ] - прав.,

г< ]

Система Еп1 линейно независима и порождает Рп (F¡/ F2). Доказательство теоремы в общем случае проведём индукцией по р. Для р=1 теорема верна. Предположим, что для р>1 и произвольного п такого, что р<п-4, система Еп-1 р-1 является базисом пространства Рп-1 р-1 . Покажем, что Еп р является базисом пространства Рп р .

Заметим, что по определению Еп р для р > 1

Еп,р = |>п,р (1г)(2п)} и Еп-1,р-1 Хп .

г -прав., г <п

Проверив соотношение Ф( ^НПр(1г)(2])) с Ф(Епр), покажем, что система Еп р порождает Рп р .

г,]-прав.,

г<]

По индуктивному предположению Еп-1 р-1 порождает Рп-1 р-1 . Следовательно, при] Ф п, г<]

Ф( Нп, р (1г)(2 ])) = Ф( Нп-1,р-1 Хп (1г)(2 ])) =

= Ф(Нп_1 р_! (1/)(2])х„) с Ф(Еп_1р_!хп) с Ф(Еп р). Осталось показать, что для правильных г < п

Ф(НП р (1г)(2 п)) с Ф(ЕП р).

Перерабатывая следующие одночлены, получаем для %

(ххгху' • ух)%у = ±(х1хгху' • ух)= 0 , (хууу" • х2х4)^х = ±(хууф" • х2х4)= 0 . Линеаризовав оба соотношения по переменным х и у, получим для одночленов пространства Рп соответственно

(хх^' • х2х] % + (х1хгх;^ • х2х4)%хп + g'%С2 = 0 , (х1 хгх3ф" • х2х4)%хп + (х1 х3хгф" • х2х4)%хп + g"%x1 = 0 , где £ % - многочлен от Хп \{х2} , g"% - многочлен от Хп \{х1}. Далее, положив % = %п_1 р_, запишем эти соотношения в виде

(х1хгФг,] • х2х] )%п_1,р_1 хп = ±(х1хг^4,г ' х2х4)%п_1,р_1 хп ± £ %п_1,р_1х2, (х1 хг^4,г • х2х4)%п_1,р_1 хп = ±(х1 х3^3,4 • х2х4)%п_1,р_1 хп ± £ %п_1,р_1х1 . ОтсюДа, (х1 хгУг,, • х2х, )%п_1,р_1 хп = : ±(х1 х3^3,4 • х2х4%п-1,р_1 хп ± &%п-1,р-1 х2 ± £ %п-1,р_1 х1 .

Действуя на обе части последнего соотношения перестановкой (1г)(2п), получим

(х1 ЪФи] • х2х] )%п_1,р_1 хп (1г)(2п) е

е Ф(еП р (1г)(2 п)) 0 Ф(НПр (2 п)(1г)(2 п)) 0 Ф(НП р (1п)(1г)(2 п)) = = Ф(еП р (1 г)(2 п)) 0 Ф(НП р (1 г)) 0 Ф(НП р (2 г)) с Ф(Еп^). Следовательно, для г<п

Ф(НП р (1г)(2п)) с Ф(и{(х1 х^г ] • х2xj)%п_1,р_Л (1г)(2п)} с Ф(ЕП р).

Это соотношение завершает доказательство требуемого. Т.е. система Еп р порождает пространство Рп, р .

Докажем линейную независимость системы Еп . Пусть / - линейная комбинация элементов сис-

/ = ^аг (х1х3^3,4 • х2 х4)%п, р°гп + Гхп ,

темы Еп р . Тогда

г _прав, г<п

где /' - линейная комбинация элементов системы Еп_1 р_1. Рассмотрим в многообразии Dp соотношение / = 0.

Специализации хг ^ ху, хп ^ zt для каждого правильного г < п приводят к тождествам

аг (хух3?3,4 • ^^п,р°гп = 0 .

Эти соотношения выполняются в алгебре AеD только в случае аг = 0. Таким образом, коэффициенты аг = 0 и тогда / = /' хп = 0 в многообразии Dp . Это равносильно соотношению /' = 0 в многообразии Dp_1. По индуктивному предположению система Еп_1 р_1 линейно независима, следовательно, /' , а значит, и/тривиальны. Таким образом, линейная независимость системы Еп доказана.

Заключение

В теореме указан базис свободной алгебры D многообразия коммутативных альтернативных алгебр над полем характеристики 3. Доказательство проведено с помощью редукции к базису свободной алгебры С многообразия центрально-метабелевых алгебр.

Литература

1. Кольца, близкие к ассоциативным / К.А. Жевлаков, А.М. Слинько, И.П. Шестаков, А.И. Ширшов. М., Наука, 1978.

2. Пчелинцев С.В. Разрешимые индекса 2 многообразия алгебр // Матем. сб. 1981. №115. С. 179-203.

3. Шестаков И.П. Супералгебры и контрпримеры // Сиб. матем. журн. 1991. №6. С. 32.

Бадеев Александр Валерьевич, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры информационных технологий Бурятского государственного университета, e-mail: badeev@mail.ru, тел. 8(9025)655834.

Badeev Aleksander Valerevich, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, information technology department, Buryat State University, e-mail: badeev@mail.ru, tel. 8(9025)655834.