2002. 02. 017. Оливер А. Логика, математика и философия. Oliver A. logic, Mathematics, and philosophy//Brit. J. for the philosophy of Science. Aberdeen, 2000. Vol. 51, N4. P. 857- 873

2002.02.017. ОЛИВЕР А. ЛОГИКА, МАТЕМАТИКА И ФИЛОСОФИЯ. OLIVER A. Logic, mathematics, and philosophy//Brit. j. for the philosophy of science. - Aberdeen, 2000. - Vol.51, N4. - P.857-873.

Статья Алекса Оливера (Королевский колледж, Кембридж, Великобритания) представляет собой обзор впервые изданного сборника работ Дж.Буля (1815-1864) «Логика, логика и логика»\ Сборник касается проблем философского значения логики, логицизма и логической истины, причем некоторые из вошедших в него работ публикуются впервые. Книга состоит из трех частей, но в своей статье Оливер подробно останавливается только на двух из них и лишь кратко обрисовывает постановку вопроса о логических кавычках из третьей части. Внимание автора к работам, относящимся к вопросам логицизма, обусловлено их философским характером, а что касается Буля, то именно эти его работы принесли ему наибольшую известность среди философов. (При этом Оливер как бы переносит рассуждения Буля в контекст рассуждений более поздних логиков, математиков и философов, с которыми Буль, естественно, не мог полемизировать при своей жизни. -Реф.). Вводные статьи к каждому разделу книги, а также заключение написаны Джоном Бёрджесом (J.Burgess). Оливер высоко оценивает его вклад в подготовку сборника статей Буля.

Основной темой обзора является вопрос о том, заслуживает ли логика второго порядка права называться логикой. По мнению Буля, считает автор, этот вопрос можно решить, обосновав программу логицизма, нацеленную на сведение формальных наук к логике. Для этого достаточно показать, например, справедливость логицизма для арифметики. Сначала Буль обращается к проблеме построения Р.Дедкиндом (1831-1916) арифметики первого порядка. Дедекинд утверждал, что для построения ряда натуральных чисел необходима абстракция от элементарной инфинитной системы - прогрессии. Но абстракция не может быть произведена от идеальных (мысленных) объектов Дедекинда, так как физически число мысленных объектов конечно. В своих рассуждениях Буль часто игнорирует некоторые моменты работ Дедекинда, в результате чего неправильно понимает его способы построения как натуральных, так и иррациональных чисел. В

1 Boolos G. Logic, logic, and logic. - Cambridge (Ma): Harvard univ. press, 1998. -(ISBN 0674537661).

рассуждениях Буля содержатся те же логические ошибки, которые он и сам отмечал в работах других ученых, интерпретировавших теорию Дедекинда.

Обсуждая теорию Дедекинда, Буль формулирует необходимые условия сводимости арифметики к логике, наиболее важным из которых является тезис о доказуемости, который звучит так: «Математические теоремы могут быть сведены к логическим аксиомам посредством одной только логики». Этот тезис входит в более общее понятие «развитого логицизма», введенного Булем. С этих же позиций рассматриваются и работы Г.Фреге (1848-1925) и Б.Рассела (1872-1970), обсуждению которых посвящена вторая часть книги. Если экстраполировать мнение Буля, то ни одному из этих ученых не удалось обосновать тезис доказуемости и, следовательно, положения логицизма. Основная проблема заключается в том, что арифметика подразумевает объекты, существование которых не следует из аксиом логики и, более того, принципиально не может быть предметом рассмотрения логики, так как не в ее компетенции говорить о существовании каких-либо объектов.

Если ограничить набор арифметических истин постулатами арифметики второго порядка Дж.Пеано (1858-1932), то и в этом случае имеющихся аксиом логики второго порядка недостаточно для обоснования тезиса доказуемости. Ситуацию можно исправить, добавив в логику еще одну аксиому - принцип Юма, который записывается так:

VFVG(#F = #G ^ F и G),

где # - «число», F и G - второпорядковая формула, репрезентирующая взаимно соответствует Gs».

Но при более тщательном анализе выясняется, что данный принцип невозможно назвать ни логической аксиомой, ни логической истиной, ибо он тоже требует существования бесконечного множества объектов.

Буль предпринимал попытки свести арифметику к аналитике. Если принцип Юма нельзя считать логической истиной, то почему бы ему не быть истиной аналитической? Об этом Буль рассуждает в статье «Является ли принцип Юма аналитическим?». Он обращается к И.Канту и указывает на синтетическую, а не аналитическую природу принципа Юма (вопреки мнению Фреге). Но и здесь Буль неверно интерпретировал бы Фреге, заявив, что, по Фреге, логика влечет за собой (создает) существование. Тем не менее, Булю удалось показать, что вопрос об

аналитичности принципа Юма сводится к проблеме независимости законов аналитики и законов существования, т. е. к философской проблеме соотношения идеального мира понятий, которому принадлежат аналитические и логические истины, и конкретных объектов.

Аналитичность принципа Юма не подтверждается без доказательства его непротиворечивости. В этом вопросе Буль постоянно меняет свою точку зрения от «не вызывает сомнений» до полного отрицания возможности достоверно говорить о предмете. Все его рассуждения о недостатке знания кажутся, по крайней мере, не относящимися к делу. Применив рассуждения Буля к «доктрине Цермело - Френкеля» как наиболее совершенной теории чисел, можно прийти к выводу, что под сомнением оказывается даже сам принцип Юма, не говоря уж о его аналитичности. Столь же непоследовательными оказываются рассуждения Буля о теории множеств и теории кардинальных чисел, приведенные в статье «Итеративное понятие множества».

Оливер, следуя Булю, констатирует тот факт, что ни Рассел, ни Фреге по различным причинам не смогли свести арифметику к логике. Буль вместо того, чтобы пытаться найти и исправить их ошибки, предложил бы обратиться к логическому анализу как альтернативе логицизма. Хотя логический (и математический) анализ был практически полностью разработан Б.Расселом и Г.Фреге, они не осознали значение своих работ. В логическом анализе логика, математика и философия пересекаются между собой. Но Буль недооценивал значение философии, рассматривая ее лишь как особую форму концептуального анализа. Он считал, что аналитические рассуждения имеют только внутреннюю философскую ценность.

По мнению Буля, логика второго порядка является логикой, как и логика первого порядка, хотя до 1997 г. такое мнение даже не обсуждалось. Работы Буля убедительно показывают в то же время, что логика второго порядка, несмотря на видимое сходство с теорией множеств, имеет существенные отличия от нее. В доказательство этого вывода автор приводит примеры утверждений теории множеств, которые не имеют аналогов в логике второго порядка, и наоборот. Буль сказал бы, что эти несоответствия можно свести к ограничениям, накладываемым на область изменения переменных в логике второго порядка, и поэтому теория множеств может быть выведена на основе логики второго порядка. Однако это не так. Существенным ограничением теории множеств является недопустимость существования множества всех

множеств (парадокс Рассела). Из этого следует, что если применять логику второго порядка к множествам, то накладываемые на нее ограничения оказываются весьма существенными, а главное, нарушается основной принцип, что логика не должна зависеть ни от того, к каким объектам ее применяют, ни от существования каких-либо объектов.

Продолжая рассуждения о связи логики второго порядка и теории множеств, Буль приходит к идее выразить все утверждения второго порядка с помощью языковых конструкций, а потом с их помощью попытаться сформулировать законы теории множеств. Так появляется метаязык второго порядка, так мы приходим к лингвистике. Можно считать, что здесь для решения логической задачи Буль снова пытается воспользоваться философским подходом.

Основная проблема, с которой мы сталкиваемся при попытке выразить логическую истину на обычном языке, - это проблема множественного числа. В монадической логике второго порядка, каковой она обычно и является, любое утверждение, относящееся к нескольким объектам (или бесконечному числу объектов), неоднозначно выражается языковой конструкцией. Дело в том, что в обычном языке мы можем говорить и о действии на множество объектов, и о действии на объекты, что воспринимается нами как одно и то же. В зависимости от этого сказуемое во фразе будет либо во множественном, либо в единственном числе. Но если мы попытаемся поставить в соответствие этой фразе некое логическое утверждение, то немедленно обнаружим, что его смысл будет существенными образом зависеть от множественной или единственной формы сказуемого.

Приведенные рассуждения напрямую относятся к широко обсуждаемой философской проблеме языка науки. Они еще раз показывают невозможность точного воспроизведения в языковых конструкциях математических или логических истин, что неоднократно отмечалось философами постпозитивизма. По мнению Оливера, это связано с заложенной в логике второго порядка способностью оперировать только объектами единственного числа. Поставленная проблема должна стать стимулом к разработке логики другого типа, которая могла бы иметь дело с множественностью объектов, а не с множеством как единичным объектом.

И.В.Морозов, А.И.Панченко, В.А.Яковлев