Об устойчивости решения в задаче оптимального перестрахования

УДК 511

ОБ УСТОЙЧИВОСТИ РЕШЕНИЯ В ЗАДАЧЕ ОПТИМАЛЬНОГО ПЕРЕСТРАХОВАНИЯ

Ю. В. Гусак1

Рассматривается модель работы страховой компании в дискретном времени при наличии непропорционального договора перестрахования. Совокупные требования, ежегодно поступающие в компанию, образуют последовательность неотрицательных независимых одинаково распределенных случайных величин с конечным математическим ожиданием. Предполагается, что при падении капитала страховой компании ниже заданного уровня производятся дополнительные денежные вливания. Исследуется устойчивость оптимальных вливаний капитала к изменению в распределении страховых требований. Под оптимальными подразумеваются минимальные ожидаемые капиталовложения, которые находятся из соответствующего уравнения Беллмана.

Ключевые слова: модель страхования в дискретном времени, вливание капитала, непропорциональное перестрахование, устойчивость, расстояние Канторовича.

We consider a discrete-time insurance model with stop-loss reinsurance. One-period insurance claims form a sequence of independent identically distributed nonnegative random variables with finite mean. The insurer maintains the company surplus above a chosen level a by-capital injections. We investigate the stability of optimal capital injections to the variability of claims distribution. The term "optimal" means the minimal amount of injections that can be found from the corresponding Bellman equation.

Key words: discrete-time insurance model, capital injections, non-proportional reinsurance, stability, Kantorovich distance.

1. Введение. В настоящей работе исследуется устойчивость модели функционирования страховой компании в течение п ^ 1 лет, введенной в работе [1]. Совокупные годовые иски, поступающие в компанию, образуют последовательность неотрицательных независимых одинаково распределенных (н.о.р.) случайных величин {¿¡гЛга^ъ каждая из которых распределена как случайная величина £ с конечным математическим ожиданием 7, функцией распределения F и плотностью распределения /. В начале каждого года страховщик получает премии размера с, подсчитанные по принципу среднего с нагрузкой безопасности I > 1, т.е. с = ¿7. Требования по страховым случаям, произошедшим в течение года, удовлетворяются в конце этого года. Каждая компания стремится оградить себя от банкротства и применяет для этого различные финансовые инструменты, в нашем случае это непропорциональное перестрахование и вливание капитала.

Мы полагаем, что компания заключает такой договор перестрахования эксцедента убыточности, что уровень собственного удержания на текущий год определяется в начале года. Если z > 0 есть уровень собственного удержания в фиксированный единичный промежуток времени, то в конце промежутка при поступлении требований размера £ страховщик выплачивает величину min(£,z), а перестраховщик — величину max(0, £ — z) = (£ — z)+. Премии, отдаваемые в перестрахование, также рассчитываются по принципу среднего, т.е. равны тЕ{£ — z)+, где т > 1 — страховая нагрузка перестраховщика. Естественно считать, что т > I, так как в противном случае страховщик может реализовать арбитражную стратегию, передав весь риск в перестрахование и получив при этом положительную прибыль. Премии страховщика за год с учетом перестрахования c(z) имеют вид c(z) = с — тЕ(£ — z)+.

В данной модели мы также полагаем, что если при удовлетворении поступивших требований капитал страховой компании опускается ниже уровня а, то в тот же момент производятся дополнительные денежные вливания, восстанавливающие капитал до уровня а. Тогда в момент п ^ 1 капитал страховщика с учетом перестрахования U(п) удовлетворяет следующему уравнению:

U (п) = тах([7 (п — 1) + c(z) — min(£, z),a), U (0) = и,

1 Гусак Юлия Валерьевна — асп. каф. теории вероятностей мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: jul_gusakQmail.ru.

где и — начальный капитал компании. Заметим, что в построенной модели величина капитала компании в начале каждого п-го года, п ^ 2, будет не меньше а.

В связи с восстановлением капитала у страховой компании каждый год возникают дополнительные издержки ,1(и,г) величиной (а — и — с(г) + тт(£, ,г))+, где — начальный капитал, уровень собственного удержания и размер требований в рассматриваемый единичный промежуток соответственно.

Для любого п ^ 0 через кп(и) обозначим минимальные ожидаемые дополнительные издержки на интервале длины п. Согласно принципу оптимальности Беллмана для любого интервала длины в ^ 1, фиксированного начального капитала и и уровня собственного удержания г в первый год данного промежутка имеет место рекуррентное уравнение

где 0 < а < 1 — коэффициент дисконтирования. Выражение, стоящее под знаком инфимума, далее будем обозначать через hn(u,z).

С помощью метода математической индукции несложно доказать, что для любого п ^ 1 инфи-мум по z в правой части уравнения (1) достигается, и кп(и) является непрерывной невозрастающей функцией переменной и. В статье [1] устанавливаются параметры перестрахования, минимизирующие ожидаемые совокупные вливания за п лет.

2. Постановка задачи об устойчивости. Допустим, изначально мы предполагали, что £ ~ law(X). Но оказалось, что требования подчиняются не закону распределения law(X), а отличному от него закону распределения law (К). Далее будем ко всем функциям, зависящим от приписывать индекс X (индекс У), если £ ~ law(X) (соответственно £ ~ law(K)).

В настоящей работе мы оцениваем, как сильно размер вливаемых средств кпу(и) отличается от кпх(и), если расстояние между случайными величинами X и У, вычисляемое с помощью метрики Канторовича и обозначаемое к(Х,У), равно некоторому положительному числу р.

Напомним, что если имеются случайные величины X и У, обладающие конечными математическими ожиданиями, то согласно определению из [2] расстояние между ними, вычисленное с помощью вероятностной метрики Канторовича, равно

где — функции распределения соответственно X и У.

3. Одношаговая модель. Введем обозначение Ап := 8ири>а\кпх(и) — кпу(и)\ для любого п ^ 1. Чтобы получить оценку для Д1, нам потребуется установить справедливость следующих лемм.

Лемма 1. Пусть X, У — случайные величины с конечными математическими ожиданиями, причем п(Х, У) = р. И пусть к : М+ —> М+ — неубывающая липшицева функция. Тогда для, случайных величин к(Х),к(У) имеем п(к(Х),к(У)) ^ Ср, где С — константа Липшица.

Доказательство. Функция распределения случайной величины к(Х) вычисляется как ^н(х)^) = Рх {к™(1)) , где к™(1) = вир^Л,^) = ¿}. Аналогично = (Л.т¥(£)). Можно

заметить, что \ ~ ^(у) (£) I ^ = 0, где и = В силу неубывания функция к порож-

дает меру, и, следовательно, существует интеграл Лебега-Стилтьеса по этой мере. Далее несложно установить, что из липшицевости функции к вытекает абсолютная непрерывность к и ограниченность ее производной почти всюду. Это позволяет записать интеграл /0°° /(з)^/^) по мере к в виде интеграла f(s)k'(s)ds по обычной мере Лебега (см. [3, гл. 6]) и получить следующую цепочку

кп(и) = inf (ЕJ(u, z) + aJEft,ra_i(max(-u + c(z) — min({, z), a))), ko(u) = 0,

неравенств:

K

\Fx(s)-FY(s)\ds^Cp.

Лемма 1 доказана.

Лемма 2. Пусть ¡'(г),д(г) — тлкие функции, что для некоторого 5 > 0 и любого г > 0 верно неравенство \/(г) — д(х)| < 6. Тогда | т^х) /(-г) — т^х)д(г)\ < 5. Утверждение леммы 2 вытекает из определения инфимума.

Теорема 1. Пусть X, У — неотрицательные случайные величины с конечными математическими ожиданиям,и, причем п(Х, У) = р. Тогда

Д1 < (1 + 1 + т)р,

где 1,т, 1 < I < т, — коэффициенты нагрузки на премии страховщика и перестраховщика соответственно.

Доказательство. Вначале оценим величину |ЕJx(u,z) — Ж,1у(и,г)\. Вводя обозначения Сх '= -(и - а) - ШХ + тЖ(Х - г)+, Су := -(и - а) - ЖУ + тЕ(У - г)+ и применяя неравенство треугольника, получаем

\EJxiu, г) - Шу(и, г)\ = |Е (тт(Х, г) + Сх)+ - Е (тт(У, г) + Су)+ | < < |Е (тт(Х, г) + Сх)+ ~ Е (тт(1, г) + Су)+ | + |Е (тт(Х, г) + Су)+ - Е (тт(У, г) + Су)+ \ .

¿х

Замечаем, что 5\(и,г) ^ (I + т)р. Далее, применяя лемму 1 к величинам X, У и функции ¡ъ(х) = (тт(ж, г) + Су)+, получаем 62(11, г) ^ к(к(Х),к{У)) ^ 1р = р. Следовательно, из леммы 2 вытекает оценка Д1 ^ вир^ \EJxiu, г) — Ех)\ ^ (1 + I + т)р. Теорема доказана.

4. Многошаговая модель. Нижеследующая теорема 2 дает представление о том, насколько велика разница между совокупными дополнительными вложениями за п лет, вычисленными для различных распределений исков (близких по метрике Канторовича). При ее доказательстве нам потребуется следующая лемма.

Лемма 3. Для любого п ^ 0; любого и ^ а и коэффициента дисконтирования 0 < а < 1 имеет место оценка

1 - ап

\1гп(и + Аи) — Нп(и)\ ^-А и.

1 — а

Справедливость леммы 3 устанавливается по индукции.

Теорема 2. Пусть X, У — неотрицательные случайные величины с конечным,и математическими ожиданиям,и, причем п(Х, У) = р. Тогда

1 (\-ап \

Ап < -- ---па11) (1 + 1 + т)р,

1 — ск \ 1 — а )

где а, 0 < а < 1, — коэффициент дисконтирования; 1,т,1 < I < т, — нагрузочные факторы на премии страховщика и, перестраховщика соответственно.

Доказательство теоремы 2. Оценим разность \]гпх(и,г) — кпу(и,г)|:

\Кх(и,г) - Ку(и,г)| ^ \Шх{и,г) \ +

"-V-'

<51„

+а |Е/гга_1х (а - (Сх + тт(Х, х))~) - Шп-1У (а - (Су + тт(У, г))~) \ .

Первое слагаемое из правой части неравенства оценивается как в одношаговой модели, поэтому 5\п(и,г) (1 +1 + т)р. Применяя ко второму слагаемому неравенство треугольника, ограничиваем его сверху суммой трех слагаемых:

|ЕЛ,га_1х (а - (Сх + ппп(Х, г))~) - ЕЛ,га_1 у (а - (Су + ппп(У, г))~) \ < < |ЕЛ,га_1х (а - (Сх + тт(Х, г))~) - Е/гга_1у (а - (Сх + тт(Х, г))~) \ +

¿2п

(а — (Сх + тт(Х, г)) - Шп-1у (а- -(Сх + тт(У, г))-)| +

&зп

(а — (Сх + тт(У, г))' ") - Шп-1у (а- (Су + тт(У,г))~)\.

64п

В силу определения Дга_1 для любого и ^ а выполнено неравенство \Кп-\х(у) — кп-\у(у)\ ^ Дга-ъ поэтому

62п(и,г) < Дга_1 [ гШх(1) = Д„_1. Согласно лемме 3 для любого и ^ а имеет место оценка

1 - ап~1

\кп-1 у (и + Аи) - кп-1у(и)\ ^ ^ _ Дм.

Следовательно,

М«,*) < —-|СХ-Су| < —-(/ + Ш)р,

1 — ск 1 — ск

и, применяя лемму 1 к функции ¡ъ{х) = Нп-\у (а — (Сх + шш(ж, г)) ), находим

1 - ап~1 < р.

Из полученных выше оценок вытекает, что

Ап = $,щ>\КПх{и,г) -кПу(и,г)| ^

и

( 1 _ ап-1 \

< (1 + 1 + тп)р + а ( Ап-1 + (1-Н + т)р1 =

1 — ск"- /п-1 ^ _

= --(1 + 1 + т)р + аАп_ 1 < V аг—- (1 + 1 + т)р =

1 — а \ ' 1 — ск /

\г=0 /

1 /1 _ ап \

— пап (1 + 1 + т)р.

1 — а \ 1 — а Теорема доказана.

Полученный результат можно интерпретировать следующим образом. Чем больше расходятся распределения исков (т.е. чем больше к(Х,У)), тем сильнее будут отличаться дополнительные издержки, связанные с этими исками. Коэффициент а является ставкой дисконтирования, т.е. с его помощью вычисляется приведенная к настоящему моменту стоимость будущих денежных потоков. На практике чем больше неопределенности в поведении капитала в будущем, тем выше коэффициент дисконтирования. Полученное в теореме неравенство подтверждает эту зависимость, так как увеличение а влечет рост значения в правой части неравенства при п —> оо, что в свою очередь означает увеличение разброса ожидаемых дополнительных выплат (за время функционирования компании).

В заключение добавим, что проверка устойчивости является актуальной задачей в реальной жизни. Действительно, на практике мы обычно не знаем истинную функцию распределения исков, поэтому при расчетах заменяем ее на эмпирическую. Следовательно, возникает вопрос: как оценить изменение решения нашей задачи при такой замене? Дальнейшие работы будут посвящены ответу на поставленный вопрос.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Bulinskaya E. V., Gusak J. V, Muromskaya A.A. Discrete-time insurance model with capital injections and reinsurance // Methodology and Computing in Applied Probability. 2015. 17, N 4. 899-914.

2. Rachev S.T., Klebanov L., Stoyanov S.V., Fabozzi F. The methods of distances in the theory of probability and statistics. N.Y.: Springer-Verlag, 2013.

3. Колмогоров A.H., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976.

Поступила в редакцию 24.06.2016