Напряженно-деформированное состояние и устойчивость пологих оболочек постоянной и переменной толщины

УДК 539.3

В.Н. Филатов, А.А. Абросимов, И. С. Саенко

НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОЕ СОСТОЯНИЕ И УСТОЙЧИВОСТЬ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК ПОСТОЯННОЙ И ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ

Исследуется напряженно-деформированное состояние гибких пологих подъемистых оболочек прямоугольного плана, жестко заделанных по сторонам прямоугольного контура. Приводятся сравнения напряженно-деформированного состояния оболочек переменной и постоянной толщины, говорящие в пользу оболочек переменной толщины.

Оболочки, переменная толщина, потеря устойчивости,

аппроксимирующие функции.

V.N. Filatov, A.A. Abrosimov, I.S. Sayenko

STRESS-STRAIN STATE AND STABILITY SHALLOW SHELLS CONSTANT

AND VARIABLE THICKNESS

This is a study of stress-strain state of flexible shallow shells of rectangular shape rigidly clamped to the sides of rectangular contour. A comparison of stress-strain state of shells of variable and constant thickness, speaking in favor of shells of variable thickness.

Shells, tapered thickness, instability of equilibrium, approximating functions.

Совершенствование расчетов оболочечных конструкций, имеющих применение в различных областях техники, является актуальным. В работах [1, 2] приводится методика решения нелинейных уравнений теории гибких пологих оболочек, базирующаяся на комплексном методе линеаризации исходных систем дифференциальных уравнений, с последующим сведением их к системам алгебраических уравнений с использованием высоких приближений метода Бубнова - Галеркина, при аппроксимировании составляющих перемещения подобранными нами полными системами функций полиномиального или тригонометрического вида [3, 4]. Исследованы принципиальная возможность и эффективность использования подобранных систем функций, аппроксимирующих составляющие перемещения. Исследованы напряженно-деформированное состояние (НДС) и устойчивость пологих оболочек постоянной толщины с разной кривизной как шарнирно-неподвижно закрепленных, так и жестко заделанных по контуру. Показано, что НДС оболочек большой кривизны (подъемистых оболочек) значительно отличается от такового для весьма пологих оболочек. В отличие от весьма пологих оболочек, которые от действия внешней равномерно распределенной возрастающей нагрузки получают все больший прогиб в центре, подъемистые оболочки на графике «нагрузка-прогиб в центре» имеют петлеобразования, получающиеся за счет того, что такая оболочка за счет резкого увеличения прогиба в четвертях в центре не прогибается, а вспучивается.

В настоящей работе, с использованием методики, описанной выше, анализируются НДС и устойчивость пологих оболочек переменной толщины. Переменность толщины оболочки задается ограничивающими оболочку в вертикальном направлении поверхностями 2Н (х, у) и (х, ,). Уравнения теории гибких пологих оболочек

переменной толщины в перемещениях имеют вид [5, 6]:

{а [ - [+ож; + - кV+0.5Г;)] + ц, } (и, + V,+| = 0,

{ [ (их - к, V + 0.5Ж;)+ V, - к2 V + 0,5Ж; ] + ц,} (и, + } + )} = 0,

(к, + V,, )• {д[ц (и, - к,Ж + 0,5Ж,2)+ V, - к,Ж + 0,5^;|+ 2ц,V,, Д(и, + V + )}-

+ к + %..Ю [ц(и, - к,Ж + 0,5^ )+ V - к2Ж + С),5»^ -П" "х",

[0 2 (Жхх + ЦЖ, )] I -Д2 (ЦК, + Кг £ - 4Ц, [02 1, =-(,-ц2) ч.

Здесь ц - коэффициент Пуассона, ц, = 0,5 •(! -ц); и = и (х,,), V = V (х,,) и V = V (х,,) - искомые компоненты перемещения соответственно в направлении взаимно ортогональных координатных осей ОХ и ОУ, направленных по линиям главных кривизн координатной поверхности оболочки прямоугольного плана (размеров ахЪ), и оси OZ, направленной по нормали к координатной поверхности в сторону вогнутости (вниз); к,, к2 - кривизны оболочки соответственно в направлении осей ОХ и ОУ; ч = д(х, ,) -

2,

распределенная нагрузка, перпендикулярная плану оболочки; Д0 = |Е йі = 0

2,

Д2 = |Е(і - іп)2 йі = 0 , Е - модуль упругости материала оболочки. Индексы х и у при

2,

искомых составляющих перемещения означают дифференцирование по соответствующей координате.

Согласно [7], вводится начальная поверхность таким образом, что если обозначить аппликату этой поверхности, относительно ранее введенной координатной поверхности,

через іп (х, у), то начальную поверхность определит уравнение |Е(і - іп) йі = 0 .

2 в

Напряжения через перемещения определяются по формулам

Е

а„ = --т [[ + —V - ( + —к ) W + 0,5 (Шхг + —W,2 )- ( - 2„) ( + —W,y)] ,

1 - —

°22 = 7^7[ + V,-

1 - —

0-12

Е

К + V + WWУ - 2( --% )ху ] •

,2 2(, + ц)1 , х х , '

Нами были рассмотрены НДС пологих оболочек, как в линейной постановке, так и в геометрически нелинейной постановке, когда толщина оболочки менялась только вдоль одной оси ОХ по параболическому закону симметрично относительно центра плана оболочки, достигая максимума в центре оболочки:

і, = к • 0,5 = к • і,; ів = к

(л Н х2 Н х 1 ^

4-----2 - 4-----

ка ка 2

к\4Н •^2 -4Н ^^-0,5)= к• ів.

При этом показано, что и в том и в другом случаях напряжения вдоль оси ОХ распределяются более рационально, чем вдоль оси ОУ. Напряженное состояние вдоль оси ОХ более близко к равнонапряженному, чем вдоль оси ОУ. Кроме того, в геометрически

нелинейной постановке подъемистые оболочки с безразмерной кривизной к1 = (а2/И) к1 = к2 = к = 32; 64 не имеют петель на графике «безразмерная нагрузка д = (а4/ЕИ4 )д -безразмерный прогиб в центре оболочки Ж (ц) = (1/И) Ж(0,5а; 0,5а)», что, как будет показано ниже, ведет к значительному увеличению критической нагрузки на оболочку.

Ниже приводятся расчеты квадратного плана оболочек переменной толщины, когда толщина изменяется по синусоидальному закону и в направлении оси ОХ, и в направлении оси ОУ:

И тт . п х . п у =---1 - Н • БІЙ--БІЙ——

2

а

а

При этом параметры распределения толщины (к1 и Н) таковы, что объем материала, затрачиваемый на изготовление оболочки переменной толщины, равен объему материала оболочки постоянной толщины (рис. 1).

Рис. 1

=

г

в

Объем материала оболочки постоянной толщины V = а2к . В случае, если оболочка переменной толщины определена по уравнению (3), то ее объем

а

^ = 1

а

I

йу

йх =

На

п х

И1ах - 2—^соб-

п

а

= И а2 + -4-На2 =

а

п

или, при Н = К к , VI = (к1 + 0,405 • К к1) а2 = к1 (1 + 0,405 К). Теперь, если объем материала одинаков, то V1 = V ^ ^(1 + 0,405К) = к ^

к = к1/к = 1/

Полагая в последнем соотношении коэффициент К = 1 (оболочка в центре в два раза толще, чем на краях), имеем к1 = 1/1,405 = 0,712. При К = 0,5 (оболочка в центре в полтора раза толще, чем на краях) - к1 = 1/1,2025 = 0,832. В случае К = 0 имеем оболочку постоянной толщины с к = 1 ^ к = к .

На рис. 2 приводятся графики «д - Ж (ц)» для квадратных в плане, жестко

заделанных по контуру оболочек кривизны к = 32, находящихся под действием равномерно распределенной нагрузки д , перпендикулярной плану оболочки. Линия с К = 0 соответствует оболочке постоянной толщины. Линии с К = 0,5 и К = 1 соответствуют оболочкам переменной толщины со значениями параметра К в формуле (4). Расчеты здесь проводились в 16-м приближении метода Бубнова - Галер кина, когда

и = (а/к-)и = Ц (£) • Г,(п), V =(а/к''У = ЦВшп • X,„(£) • Г,(п),

т п т п

Ж = Ж1Ъ = !!СтпХ 3 т (£) • 4, (П),

/ т п

с аппроксимацией составляющих перемещения по системам, образующими которых являются системы синусов:

а

2

0

X 1т (Е) = X 2 т (Е) = Бт(тП),

Х3т(Е) = 8т(тпЕ) -тп(1 + (-1)т)£3 + тп(2 + (-1)т)^2 -тлЕ,

Аппроксимирующие функции перпендикулярного направления записываются аналогично.

Видно, что кривые оболочек переменной толщины идут без петлеобразования. Верхняя критическая нагрузка у кривой с К = 0,5 стала больше таковой для оболочки постоянной толщины почти в полтора раза (1200 против 840). У оболочки с К = 1 верхняя критическая нагрузка более чем в два раза превосходит верхнюю критическую нагрузку аналогичной оболочки постоянной толщины (1900 против 840).

Рис. 3

На рис. 3 приводятся эпюры прогибов по сечению п = у/а = 0,5 для оболочки с К = 1. Здесь линия с Ж (ц) = 0,8 соответствует докритической точке, когда прогиб в центре ¥(0,5; 0,5) = ¥ (ц) * 0,8 ; линия с ¥ (ц) = 1,4 соответствует верхней критической точке;

линия с ¥ (ц) = 2,0 - закритической точке. Видно, что во всех трех случаях оболочка переменной толщины в центре под действием приложенной равномерно распределенной нагрузки прогибается, а не вспучивается, как оболочка постоянной толщины [2] под действием той же нагрузки.

На рис. 4 приводятся эпюры суммарных напряжений на верхней поверхности 2

оболочек (2 = — = ) по сечению п = 0,5 в верхних критических точках соответственно

к

для оболочки постоянной (К = 0) и переменных (К = 0,5 и К = 1) толщин. Из этого рисунка видно, что хотя критическая нагрузка для оболочки переменной толщины с К = 1 более чем в два раза выше, чем для оболочки постоянной толщины, напряжения в верхней

критической точке меньше у оболочки переменной толщины. Здесь меньше и напряжения сжатия, и напряжения растяжения. Характер распределения напряжений у оболочки переменной толщины с К = 0,5 подобен характеру распределения напряжений у оболочки постоянной толщины. Совсем другой характер распределения напряжений у оболочки переменной толщины с К = 1.

Рис. 4

Штриховая линия на рис. 2 соответствует расчету для оболочки переменной толщины по (3) с К = 1 в (4), выполненному с системами полиномиального вида:

х,„(5) = X2т(5) = (25 - 1)”*2 -0,5(1 -(-1)”( -1)+(1 + (-1)")).

Xзт(5) = (25 -1)*4 + 0,25 {” + 3)((-1)” -1)25 -1)3 -(” + 4)-1)" +1)25 -1)2 -

- (” +1)((-1)" -1)(25 -1)+(” + 2)(- 0" -1)}.

Видно, что это решение практически повторяет решение сплошной линии с К = 1 на этом рисунке, выполненное с аппроксимирующими функциями, образующими которых являются синусы. Таким образом, разные системы функций, подобранные нами, одинаково хорошо работают в рассматриваемых задачах.

40.4(5

2700

Я

1350

-0,4 0,0

/ [-1

к—п

0,8

ЛА

Що,5;0.5)

Рис. 5

2.4

3,2

На рис. 5 приводятся графики «q - Ш (ц)» для квадратных в плане, жестко

заделанных по контуру оболочек кривизны к = 64, находящихся под действием равномерно распределенной нагрузки q, перпендикулярной плану оболочки, соответственно постоянной (К = 0) и переменной (К = 1) толщины. Расчеты здесь проводились в 16-м приближении метода Бубнова - Галеркина с аппроксимацией составляющих перемещения по системам, образующими которых являются системы

синусов. Здесь также демонстрируется, что утолщение оболочки в центре дает график « q - Ш (ц)» без петлеобразования и приводит к значительно большим значениям верхней критической нагрузки по сравнению с оболочкой постоянной толщины. При этом разница в значениях верхних критических нагрузок здесь еще более значительна, чем у оболочек с к = 32.

ЛИТЕРАТУРА

1. Абросимов А.А. Потеря устойчивости и закритическое поведение пологих оболочек, различным образом закрепленных на прямоугольном контуре / А. А. Абросимов, Г. А. Айрапетьянц, В.Н. Филатов // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2007. № 3(26). Вып. 1. С. 7-12.

2. Филатов В.Н. Расчеты подъемистых оболочек с разными системами аппроксимирующих функций / В.Н. Филатов, А.А. Абросимов // Вестник Саратовского государственного технического университета. 2009. № 2(38). Вып. 1. С. 49-55.

3. Филатов В.Н. Построение систем аппроксимирующих функций с помощью модификации статического метода В. З. Власова, служащих для решения задач теории гибких пластин / В.Н. Филатов / Сарат. политехн. ин-т. Саратов, 1985. 26 с. Деп. в ВИНИТИ 20.10.85. № 7427-В85.

4. Филатов В. Н. Исследование НДС пологих оболочек переменной толщины с использованием разных систем аппроксимирующих функций / В. Н. Филатов, А.А. Абросимов, К.В. Молодчиков // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: межвуз. темат. сб. тр. Вып. 11. СПб.: СПбГАСУ, 2005. С. 89-103.

5. Игнатьев О.В. Вариационно-параметрический метод в нелинейной теории оболочек ступенчато-переменной толщины / О.В. Игнатьев, В.В. Карпов, В.Н. Филатов. Волгоград: ВолГАСА, 2001. 210 с.

6. Граничная задача для уравнений термоупругости гибких пологих оболочек переменной толщины при зависимости механических характеристик материала от температуры / В.Н. Филатов, Е.А. Попов, А.А. Абросимов, К.В. Молодчиков // Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ: межвуз. темат. сб. тр. Вып. 11. СПб.: СПбГАСУ, 2005. С. 89-103.

7. Безухов Н.И. Расчеты на прочность, устойчивость и колебания в условиях высоких температур / Н.И. Безухов. М.: Машиностроение, 1965. 587 с.

Филатов Валерий Николаевич -

доктор технических наук, профессор кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета

Абросимов Алексей Анатольевич -

руководитель отдела разработки ООО «Линкорн», г. Саратов

Саенко Иван Станиславович -

аспирант кафедры «Математика и моделирование» Саратовского государственного технического университета

Filatov Valeriy Nikolayevich -

Doctor of Technical Sciences,

Professor of the Department of «Mathematics and Modeling» of Saratov State Technical University

Abrosimov Aleksey Anatolyevich -

Head of Development Department, Linkorn Ltd., Saratov

Sayenko Ivan Stanislavovich -

Post-graduate student of the Department of «Mathematics and Modeling» of Saratov State Technical University

Статья поступила в редакцию 03.12.09, принята к опубликованию 25.03.10