К вопросу о прогнозируемости выбросов динамических рядов с фрактальными свойствами при использовании информации о линейной и о нелинейной составляющих долговременной зависимости

10. Котельников В. А., Николаев А. М. Основы радиотехники: учебник для вузов. Ч. 2. М.: Связьиздат, 1954. 308 с.

11. Малахов А. Н. Флуктуации в автоколебательных системах. М.: Наука, 1968. 660 с.

12. Рытов С. М. Введение в статистическую радиофизику: Учебник для вузов: в 2 ч. 2-е изд. Ч. 1. Случайные процессы. М.: Наука, 1976. 496 с.

13. Курокава К. Принудительная синхронизация твердотельных СВЧ-генераторов // ТИИЭР. 1973. Т. 61, № 10. С. 12-40.

M. P. Savchenko

The Baltic state academy of fishery fleet

The stationary mode and fluctuation in the oscillator on one-port circuit with negative resistance based on bipolar transistor and two capacities

Method of calculation regime and fluctuation characteristics of the oscillator with any oscillatory system based on an active one-port circuit with negative resistance on bipolar transistor and two capacities is offered. Method opportunities are illustrated by graphic way of the equations decision with use hodographs of the oscillator active and passive parts. Formulas for noise/signal ratio calculation are received.

Transistor oscillator, fluctuations, one-port circuit with negative resistance, noise/signal ratio

Статья поступила в редакцию 10 июня 2009 г.

УДК 621.37

М. И. Богачев

Санкт-Петербургский государственный электротехнический

университет "ЛЭТИ"

К вопросу о прогнозируемости выбросов динамических рядов с фрактальными свойствами при использовании информации о линейной и о нелинейной составляющих долговременной зависимости4

Рассмотрена задача прогнозирования выбросов динамических рядов с фрактальными свойствами над заданным порогом для двух классов случайных процессов с долговременной зависимостью. К первому классу относятся монофрактальные динамические ряды, формируемые при помощи спектрального преобразования и отражающие только линейную составляющую долговременной зависимости процесса, порождаемого анализируемой сложной системой. К второму классу относятся мультифрактальные динамические ряды, формируемые при помощи мультипликативного каскада, способные отражать также и нелинейную составляющую долговременной зависимости.

Прогнозирование динамики, долговременная зависимость, монофрактальные модели, мультифрактальные модели

В последние 10-15 лет было показано, что динамические ряды с фрактальными свойствами порождаются целым рядом разнородных сложных систем, в частности, большими телекоммуникационными сетями (ТКС) в части динамики совокупного трафика при много-

4 Работа выполнена при поддержке Министерства образования и науки РФ в рамках ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России на 2009-2013 годы" (государственный контракт № П702 от 12.08.2009).

© Богачев М. И., 2009 31

пользовательском доступе [1], [2], физиологическими системами в части различных автономно регулируемых ритмов (например, сердечного ритма [3]), в экономических [4], в климатических [5], [6] и во многих других системах. Можно выделить два основных класса фрактальных динамических рядов, применяемых при описании случайных процессов, формируемых сложными системами [7]. К первому классу относятся монофрактальные динамические ряды, представленные формируемыми при помощи спектрального преобразования динамическими рядами и отражающие только линейную составляющую долговременной зависимости процесса, порождаемого анализируемой сложной системой. К второму классу относятся мультифрактальные динамические ряды, представленные формируемыми при помощи мультипликативного каскада динамическими рядами, способные отражать также и нелинейную составляющую долговременной зависимости. Данные классы моделей используют, соответственно, различный объем информации о долговременной зависимости отсчетов динамического ряда, что может влиять на качество прогнозирования [8]. С другой стороны, указанное увеличение объема используемой информации требует вовлечения дополнительных вычислительных ресурсов, что не всегда оправдано с точки зрения получаемого результата. Кроме того, не всегда оправдано использование информации о долговременной зависимости. В частности в работе [9], было показано, что при прогнозировании динамики трафика в больших ТКС при условии квазистационарности трафика на временном интервале анализа при использовании информации о кратковременной зависимости (за последние две минуты) с применением метода распознавания образа предиктора удается достичь результатов прогнозирования не хуже, чем при использовании долговременной зависимости. Актуальность использования информации о кратковременной и долговременной зависимостях, а соответственно, и оптимального выбора метода прогнозирования определяется свойствами динамического ряда.

Настоящая статья посвящена вопросу выбора оптимальной тактики прогнозирования при использовании линейной и нелинейной составляющих долговременной зависимости, а также кратковременной зависимости, в динамических рядах с фрактальными свойствами, порождаемых сложными системами.

В статье рассмотрено шесть примеров динамических рядов: три для монофрактального и три для мультифрактального случаев5. Для синтеза монофрактальных данных использован метод спектрального преобразования [7], [10], заключающийся в том, что исходная последовательность независимых отсчетов переводится в частотное представление при помощи преобразования Фурье, которое умножается на f2 ( АН = Н' - Н , Н' - требуемый показатель Хёрста, Н = 0.5 - показатель Хёрста для исходной последовательности) и затем возвращается во временное представление обратным преобразованием Фурье. Для синтеза мультифрактальных данных использован алгоритм мультипликативного каскада, состоящий

(0) 1 к -

в умножении каждого значения реализации, начиная с х1 = 1, на ^-й итерации на множите-

5 Поскольку понятия и свойства моно- и мультифрактальности применительно к динамическим рядам детально освещены в литературе (см., например, [1], [7], [8]), определения и свойства таких рядов в настоящей статье не приводятся.

(I) (£) —

ли ш^/_1 и ш2/ , I= 1, £, представляющие выборку из совокупности независимых одинаково распределенных случайных величин, с удвоением объема выборки на каждой итерации [11]. Варьируя параметры распределения значений множителей шг, можно изменять значения обобщенных показателей Хёрста [12]. Для предварительной оценки статистических характеристик сформированных динамических рядов использовался метод мультифрактального анализа с исключением тренда (MF-DFA), предложенный в работе [13]. На рис. 1 приведены флуктуационные функции Fq ( ^ ) рассмотренных рядов (' - масштабный коэффициент). Для фрактальных процессов в широком диапазоне значений аргумента Fq (^) ~ 4Н(ц), где Н (ц) - обобщенный показатель Хёрста порядка ц. При этом

основной показатель Хёрста Н (2) , характеризующий линейную связь между отсчетами динамического ряда, для стационарных фрактальных динамических рядов связан с автокорреляционной функцией ряда соотношением R(т) ~ т-у, у = 2 - 2Н (2) [7].

Показатель Хёрста для монофрактальных динамических рядов составлял Н = 0.6, 0.8 и 0.98 (рис. 1, а-в соответственно). Мультифрактальные динамические ряды представлены тремя примерами. Для первого ряда показатель Хёрста составлял Н = 0.5, что характерно для отсутствия линейной составляющей связи между отсчетами динамического ряда. При этом зависимость носит чисто нелинейный характер (см. рис. 1, г). Два других примера соответствуют значениям Н = 0.8 и 0.98 (см. рис. 1, д, е соответственно).

Для прогнозирования выбросов динамического ряда свыше некоторого заранее за-

100 10 1

0.1

0.01 ^

100 10 1

0.1 0.01

h (2) = 0.6 ц = 1 2 5

1 102 104

к (2 ) = 0.5 =1

1 102 104

100 10 1

0.1 0.01

100 10 1

0.1 0.01

к (2) = 0.8

1

102

104

к (2 ) = 0.8

_1_

1

102 10

д

Рис. 1

4

100 10 1

0.1 0.01

100 10 1

0.1 0.01

к (2) = 0.98

1

102 10

в

4

1

10

10

4'

4

4

б

а

'

4

4

г

е

ЯаРа

101

Яд = 500 70 10

10

10

-3

10

-5

10 3 10 1

Ядрд

10

1 -

Яд = 500 70

10

-1 -

10

-3-

10

-5

10-3 10-1

япрП

10

1 _

10

-1 _

10

10

-3_

10-3 10-1

япрП

япрП

Ядрд

10

10

-1

10

-3

-5

10

где

Рис. 2

данного значения 0 важно распределение значений временных интервалов между отдельными событиями, характеризуемое обычно плотностью вероятности интервалов Рд (t).

Вид этого распределения варьируется от экспоненциального для случая независимых отсчетов (когда выбросы формируют пуассоновский поток) и растянутого экспоненциального для монофрактальных динамических рядов до степенного для мультифрактальных динамических рядов [8], [11], [12]. Полученные плотности распределения вероятностей Рд (t) для синтезированных динамических рядов приведены на рис. 26.

Важной характеристикой при прогнозировании является оценка вероятности Ж (I, А1) одно- или многократного превышения значением случайного процесса фиксированного порога 2 в течение интервала Аt (начиная с текущего момента), которая может быть выражена через плотность распределения интервалов Рд (t) между превышениями порога д:

t+Аt

Г Ра (г) dr

, ч \ д Сп (t + А0- Сд (t) Рд (t) Аt

Ж

Г Рд (г) dr

1 - Сд

1 - Сд

1

5

б

а

в

6 В целях сравнения зависимостей для различных рядов на рис. 2 выполнена нормировка осей абсцисс и ординат на среднее значение интервала между превышениями порога Яд.

где t - время, прошедшее с момента предыдущего превышения порога; Cq (t) = J Pq (r) dr

—да

- функция распределения интервалов времени между превышениями порога.

Аппроксимация правым выражением в (1) выполняется при условии At«t и в некоторых случаях позволяет получить аналитическое выражение для W (t, At) . В частности при анализе совокупного трафика в узлах и каналах больших ТКС, когда Pq (t) можно

приближенно описать обобщенным гамма-распределением7 [9], представляющим собой обобщение распределения Эрланга, широко используемого в теории массового обслуживания, зависимость W (t, At) представляет собой степенную функцию, как было показано в [14]. Степенной характер также может быть показан аналитически для широкого класса мультифрактальных данных, синтезированных методом мультипликативного каскада [11], [12]. Поскольку указанные аппроксимации базируются на ряде исходных приближений и могут не учитывать некоторые особенности, в частности ограничения W (t, At)< 1,

lim W (t, At) = 0 , уточнение реального диапазона значений аргументов, в которых выпол-

t

няются требуемые приближения, может быть осуществлено с помощью математического моделирования. Полученные таким образом результаты для At = 1 приведены на рис. 3.

Из рис. 3 видно, что для всех шести рассмотренных примеров удовлетворительное качество аппроксимации в широком диапазоне значений аргумента t может быть получено при использовании степенной зависимости W (t) ~ t—s, что подтверждает полученные ранее аналитические результаты. Наряду с этим следует отметить, что при одинаковых значениях показателя Хёрста h(2) , характеризующего линейную составляющую зависимости между отсчетами анализируемого динамического ряда, зависимость W (t) носит более выраженный характер для мультифрактальных данных, чем для монофрактальных, за исключением случая h(2) ^ 1. Кроме того, для мультифрактальных данных, характеризующихся h(2) = 0.5 (т. е. некоррелированных), эта зависимость наиболее выражена среди всех рассмотренных случаев и в широком диапазоне значений аргумента t характеризуется выражением W (t) ~ 1/1. Указанные обстоятельства свидетельствуют о значительном вкладе нелинейных составляющих долговременной зависимости отсчетов динамического ряда в распределение интервалов между моментами возникновения его выбросов и, следовательно, о возможности прогнозирования таких выбросов.

Оценим прогнозируемость выбросов рассматриваемых динамических рядов, сравнив два подхода к прогнозированию, подробно изложенных в работах [8], [9].

Первый подход использует только информацию о кратковременной зависимости, анализируя предиктор yn k = yn—k, yn—k+1, •••, Уп—1, состоящий из k отсчетов динамического ряда yn, непосредственно предшествующих ожидаемому моменту выброса yn > Q .

7 На рис. 2 аппроксимация показана штриховыми кривыми.

№ ^ ,1)

10

-1

10

-2

10

-3

10

-4

е= 0.07 Яд = 500

№ ^ ,1)

е = 0.37

10

70

10

10

-2

10

к (2 ) = 0.6

10

-4

№ ^ ,1)

8= 0.85

10

-1

10

-2

-3 -

10

-3 -

10

-4

0.01 0.1 1 10 ^Яд 0.01 0.1 1

№ ^ ,1)

8= 1.0

10

-1 -

10

-2

10

-3 -

10

-4

№ ^ ,1)

8 = 0.93

10

-1 -

10

-2

10

-3 -

10

-4

10 t|RQ 0.01 0.1 1 10 ^Яд

в

№

8= 0.85

10

-1-

10

-2

10

-3 -

10

-4

0.01 0.1 1 10 ^Яд 0.01 0.1 1 10 ^Яд

0.01 0.1

10 ^Яд

д

Рис. 3

На первом этапе производится обучение с использованием обучающей выборки анализируемого динамического ряда, в ходе которого рассматриваются все последовательности Уп k = Уп-k, Уп-к+1, •••, УП-1 длительностью k по всем доступным реализациям динамического ряда (в скользящем окне) и оценивается условная вероятность Р(уп >Qynk) превышения заданного порога 0 в момент времени п, следующий непосредственно за последовательностью уп k . На втором этапе на основании полученных в момент времени уп данных

о предикторе уп k выброса в момент времени уп выдается полученная на обучающей выборке оценка вероятности превышения порога Р(уп >Qynk) [9].

Второй подход базируется на использовании долговременной зависимости за счет оценки вероятности выброса, полученной из выражения (1) для № (¿,1)8 [8]. В обоих случаях

эффективность прогнозирования определяется рабочей характеристикой D (а) (D, а -вероятности правильного и ложного прогнозирований выброса соответственно) при сравнении полученных оценок вероятности выбросов (выступающих здесь в роли решающих статистик) с изменяемым решающим порогом Поскольку функции № (t,\) и

1

б

а

1

г

е

8 Несмотря на то, что для построения рабочей характеристики обычно используется оценка вероятности № (¿, 1), конкретная форма этой функции не имеет значения, так как вся информация содержится во времени ^ истекшем после последнего выброса. Следовательно, рабочая характеристика не изменится, если в качестве решающей статистики будет использована любая монотонно убывающая функция требуется лишь корректный выбор диапазона решающих пороговых значений в соответствии с областью значений используемой решающей статистики.

Р(уп >QУnk) являются оценками вероятности и ограничены в интервале [0;1], значения

решающего порога достаточно варьировать в этом интервале.

На рис. 4 приведены рабочие характеристики для трех рассмотренных случаев монофрактальных данных при трех значениях порогов 0, характеризуемых средними интервалами между выбросами Яд, равными 10, 70 и 500. При прогнозировании на основании информации только о кратковременных предикторах выбросов полученные результаты (на рис. 4 показаны сплошными линиями) для k = 2, 3, 4 практически не различались. Это можно объяснить тем фактом, что в монофрактальных данных представлена только линейная зависимость между отсчетами, которая в полной мере отражена уже при значении k = 2. Результаты прогнозирования на основании зависимости (1) представлены штрихпунктирной линией. Сравнение со штриховыми линиями, соответствующими динамическому ряду с независимыми отсчетами (D = а), где прогнозирование невозможно, позволяет оценить влияние прогнозирования.

Рис. 4

Из рис. 4 видно, что, во-первых, с ростом показателя Хёрста h(2) значительно улучшаются возможности прогнозирования с использованием информации как о кратковременной, так и о долговременной зависимостях. Во-вторых, для широкого диапазона значений вероятностей ложной тревоги а значения правильного прогнозирования D, полученные при использовании информации о предикторах, значительно выше, чем аналогичные величины, полученные для прогнозирования на основании выражения (1), учитывающего долговременную зависимость. Таким образом, данные результаты указывают, что в присутствии только линейной, хотя бы и долговременной зависимости, подход на основе распознавания кратковременных предикторов, и, следовательно, использования лишь информации о кратковременной зависимости, является достаточным и даже предпочтительным. В-третьих, с ростом значения порога Q эффективность прогнозирования увеличивается, что подтверждает данные о лучшем прогнозировании более выраженных выбросов, как было показано в [15], [16].

Б

0.75-

0.5

0.25

/

/

/

/

/

/

" //

/ яП =10

к (2) = 0.5

0 0.25 0.5 0.75 а

Б

0.75 0.5 0.25

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

яЗ =10 к (2 ) = 0.8

0.75 0.5 0.25

0 0.25 0.5 0.75 а

Б

/

н /

/

0 0.25 0.5 0.75 а

Б 0.75 0.5 0.25

0 0.25 0.5 0.75 а

Б

0.75 0.5 0.25

0 0.25 0.5 0.75 а Б

/

0.75 0.5 0.25

- / /

/

£_I

/

/

/

/

/

/

/

Яз = 70

к (2 ) = 0.98

0 0.25 0.5 0.75 а Рис. 5

Б 0.75 0.5 0.25

У

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

Яд = 500 к (2) = 0.5

0 0.25 0.5 0.75 а Б

0.75 0.5

^ = 70 0.25 к (2 ) = 0.8

Яд = 500 к (2 ) = 0.8

0 0.25 0.5 0.75 а Б

0.75 0.5 0.25

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

/

Яд = 500 к (2 ) = 0.98

0 0.25 0.5 0.75 а

На рис. 5 приведены рабочие характеристики для трех рассмотренных случаев динамических рядов с мультифрактальными свойствами при трех значениях порогов Q (построение кривых на рис. 5 аналогично их построению рис. 4).

Из зависимостей на рис. 5 могут быть сделаны следующие выводы. Во-первых, эффективность прогнозирования динамических рядов с мультифрактальными свойствами гораздо выше, чем рядов с монофрактальными свойствами (см. рис. 4), что подчеркивает значимость нелинейной составляющей зависимости между отсчетами. Во-вторых, полученные рабочие характеристики прогнозирования слабо зависят от основного показателя Хёрста h (2) , характеризующего линейную зависимость между отсчетами анализируемого динамического ряда. Это связано с тем, что, с одной стороны, при изменении параметров модели мультипликативного каскада зависимость между отсчетами частично перераспределяется между линейными и нелинейными составляющими, а с другой - нелинейная составляющая зависимости является доминирующей при определении прогнозируемости. В-третьих, при равных значениях вероятности ложной тревоги а достигаются примерно равные вероятности правильного прогнозирования D при использовании информации как о кратковременных предикторах, так и о долговременной зависимости. Полученные результаты указывают на то, что для мультифрактальных данных наличие долговременной зависимости играет более важную роль, чем для монофрактальных.

Несмотря на то, что при анализе динамических рядов с мультифрактальными свойствами оба использованных подхода имеют сопоставимую эффективность прогнозирования выбросов, в зависимости от условий решаемой задачи один из них может оказаться предпочтительнее. В том случае, когда знание длительной предыстории динамического ряда невозможно или затруднено, однако известна математическая модель, упрощенно воспроизводящая его кратковременную динамику, на которой может быть произведено обучение алгоритма прогнозирования, предпочтительным является прогнозирование на основе кратковременных предикторов. Вместе с тем в ряде случаев прогнозирование с использованием долговременной зависимости на основе интервальных статистик может быть более предпочтительным, поскольку оно не требует ресурсоемкой процедуры обучения алгоритма и хранения базы данных предикторов и соответствующих им вероятностей превышения порога в следующие моменты времени.

Список литературы

1. Шелухин О. И., Тенякшев А. М., Осин А. В. Фрактальные процессы в телекоммуникациях. М.: Радиотехника, 2003. 576 с.

2. A multifractal wavelet model with application to network traffic / R. H. Riedi, M. S. Crouse, V. J. Ribeiro et al. // IEEE Trans. Inf. Theor. 1999. Vol. IT-45, № 4. P. 992-1018.

3. Multifractality in human heartbeat dynamics / P. Ch. Ivanov, M. G. Rosenblum, L. A. Amaral et al. // Nature. 1999. Vol. 399. P. 461-465.

4. Bouchaud J.-P., Potters M., Meyer M. Apparent multifractality in financial time series // Eur. Phys. J. B.

2000. Vol. 13. P. 595-599.

5. Storch H. V., Zwiers F. W. Statistical analysis in climate research. Cambridge: Cambridge university press,

2001. 448 p.

6. The science of disasters / ed. by A. Bunde, J. Kropp, H. J. Schellnhuber. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 2002. 453 p.

7. Feder J. Fractals. New York: Plenum Press, 1988. 283 p.

8. Богачев М. И. Статистический анализ и прогнозирование динамики случайных процессов в телекоммуникационных сетях с использованием мультифрактальных моделей трафика // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2008. Вып. 2. С. 34-45.

9. Богачев М. И. Сравнительная оценка информативности кратковременной и долговременной зависимостей трафика при прогнозировании его динамики в телекоммуникационных системах // Изв. вузов России. Радиоэлектроника. 2009. Вып. 2. С. 52-59.

10. Schreiber T., Schmitz A. Improved surrogate data for nonlinearity tests // Phys. Rev. Let. 1996. Vol. 77. P. 635-638.

11. Bogachev M. I., Eichner J. F., Bunde A. Effect of nonlinear correlations on the statistics of return intervals in multifractal data sets // Phys. Rev. Let. 2007. Vol. 99. P. 240601-240604.

12. Bogachev M. I., Eichner J. F., Bunde A. The effect of multifractality on the statistics of return intervals // Eur. Phys. J. Spec. topics. Vol. 181. P. 181-193.

13. Multifractal detrended fluctuation analysis of nonstationary time series // J. W. Kantelhardt, S. A. Zschiegner, E. Koscielny-Bunde et al. // Physica A. 2002. Vol. 316. P. 87-114.

14. Bogachev M. I., Bunde A. On the occurrence and predictability of overloads in telecommunication networks // Europhys. Let. 2009. Vol. 86. P. 66002(1-6).

15. Precursors of extreme increments / S. Hallerberg, E. G. Altmann, D. Holstein, H. Kantz // Phys. Rev. E. 2007. Vol. 75. P. 016706 (1-9).

16. Hallerberg S., Kantz H. Influence of the event magnitude on the predictability of an extreme event // Phys. Rev. E. 2008. Vol. 77. P. 011108(1-8).

M. I. Bogachev

Saint-Petersburg state electrotechnical university "LETI"

On the prediction of extremes in dynamical time series with fractal properties by exploiting the information on linear and nonlinear long-range dependence components

Prediction of extremes above a certain threshold Q in dynamical time series with fractal properties is compared for two general classes ofprocesses with long-range dependence. The first class contains monofractal dynamical time series created by spectral transformation and exhibiting solely linear long-range dependence of the process generated by a complex system. The second class contains multifractal dynamical time series created by the multiplicative random cascade and exhibiting also the nonlinear long-range dependence.

Dynamical predictions, long-range dependence, monofractal models, multifractal models

Статья поступила в редакцию 14 августа 2009 г.