Нелинейный резонанс в струнном ЭМР

Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2005. №5(39).

УДК 534.112

125

НЕЛИНЕЙНЫЙ РЕЗОНАНС В СТРУННОМ ЭМР1

© 2005 В.В. Зайцев, А.В. Никулин, В.В. Никулин2

Исследованы нелинейные колебания струны в электромеханическом резонаторе. Экспериментально установлено, что в системе наблюдается явление нелинейного резонанса. Разработана математическая модель струнного резонатора в форме нелинейного интегродиф-ференциального уравнения в частных производных, учитывающая изменения силы натяжения при колебаниях струны. Показано, что при учете лишь одной моды колебаний полученное уравнение переходит в уравнение Дюффинга. Результаты моделирования сопоставлены с результатами эксперимента.

Введение

Явление нелинейного резонанса наблюдается во многих колебательных системах при значительных амплитудах внешнего воздействия [1]. Оно характеризуется скачками амплитуды при плавном изменении параметров внешнего воздействия и асимметрией частотной характеристики. Ранее [2] сообщалось о наблюдениях нелинейного резонанса колебаний струны. В настоящей работе экспериментально и теоретически исследуются нелинейные колебания проводящей электрический ток струны, входящей в конструцию струнного электромеханического резонатора (ЭМР). Помимо общефизического интереса исследование нелинейного резонанса в ЭМР имеет и прикладное значение, т.к. подобного типа резонаторы на протяжении уже длительного времени широко используются в акселерометрах, динамометрах и манометрических устройствах [3].

1. Резонансная характеристика струнного ЭМР

Экспериментальные исследования нелинейных колебаний струны проведены по схеме, представленной на рис. 1. В экспериментах использовался

1 Представлена доктором физико-математических наук профессором В.А. Салеевым.

2Зайцев Валерий Васильевич (zaitsev@ssu.samara.ru), Никулин Андрей Валентинович, (nikulinav@mail.ru), Никулин Владимир Владимирович, кафедра радиофизики и компьютерного моделирования радиосистем Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1

электромеханический резонатор со струной из вольфрамового сплава длиной 6 мм и диаметром 0.1 мм, расположенной в зазоре между полюсами са-марий-кобальтового магнита. Ширина зазора равна 0,5 мм. Резонатор возбуждался источником переменного тока, реализованным путем последовательного подключения к низкоомному выходу генератора Г3-117 резистора сопротивлением 500 Ом.

Рис. 1. Схема эксперимента

На рис. 2 приведен график зависимости амплитуды а напряжения на резисторе от частоты / гармонического тока возбуждения с амплитудой 14 мА. Зависимость а = а(/) характеризуется скачками амплитуды (на графике они отмечены стрелками) и гистерезисом, наблюдаемым при замкнутом цикле изменения частоты. В целом подобная зависимость типична для явления нелинейного резонанса [1]. Широкоизвестная радиосистема этого типа — колебательный контур с варикапом [4].

Отметим, что частотно-независимый ’’пьедестал” на графике зависимости а = а(/) возникает из-за падения напряжения на омическом сопротивлении струны.

Для амплитуд возбуждения, меньших 1 мА, колебания струны близки к линейным. При этом, как показывает эксперимент, резонанс характеризуется частотой /о = 16420 Гц и достаточно высокой добротностью Q = 2705.

2. Математическая модель нелинейных колебаний струны

При разработке математической модели нелинейного резонанса колебаний струны мы исходили из предположения о том, что сила натяжения струны зависит от ее отклонения от состояния равновесия. Колебания вы-

7

6

5

4

3

1 1 1 а, мВ 1 .о? 1 1

.©' : .о' : 0

р Ф - *° •

о' : • • і а : 1 : т

о' : ' ~ -0' : © о--о о - О- О-©-©-..©...©...©...© .0

1 1 1 1 /-16000, Гц

400

420

440

460

480

500

Рис. 2. Частотная зависимость амплитуды колебаний напряжения на ЭМР

зывают удлинение струны

М = 10

( і ]_

1о

V 0

1 + (их)2dx - 1

Это удлинение благодаря упругости струны приводит к дополнительному натяжению ДГ = (БЕ/1о) Д1, так что полная сила натяжения струны равна

Т = Т0 + МТ = т0

1 + Е

( і 1

1о 0

1 + (их)2dx - 1

В формулах (1)—(2) е = 5£/То —безразмерный параметр, То и іо — натяжение и длина невозмущенной струны, S — площадь ее поперечного сечения, Е — модуль Юнга материала, из которого изготовлена струна.

Далее, используя приближение

1 ( ди\2

преобразуем (2) в выражение

Т = То

1 +

і о

а. Г (—У

21 о і \<9х/

dx

С учетом этого выражения, рассматривая движение элементов струны в плоскости, перпендикулярной силовым линиям магнитного поля с индукцией В(х), под действием силы упругости и силы Ампера, для отклонения

струны от положения равновесия и(х, г) получим нелинейное интегродиф-ференциальное уравнение в частных производных, учитывающее изменения силы натяжения при колебаниях струны:

I „ N

д2и „_ди

д2и

дР-

м I2

2 J \дх)

1 + І Л

0

В уравнении (3) отклонение и нормировано на величину 1о/ л/е, координата х — на длину 1о, а временная переменная г — на время т = Іол/рІТо рас-

пространения волнового возмущения по струне с линейной плотностью р. Кроме того, в (3) Ь(х) = В(х)/Втах — нормированная на максимальное значение индукция магнитного поля, і(і) = I(і)//Шах — нормированный на амплитудное значение ток в струне, 6 — показатель затухания волны в струне,

V_^O^maxЛnax / Гг1\

є----------- (см. также [5]).

То

Традиционный подход к исследованию распределенных автоколебательных систем состоит в разложении решения по модам собственных колебаний резонатора (см., например, [6]). Используя разложение

м

и(х, і) = ^ Ат(і)вт(лтх),

т=1

нетрудно получить систему обыкновенных дифференциальных уравнений для модовых коэффициентов (комплексных амплитуд) Ат(і):

й2Ат „„йА

ш г\ о иг1ш 2

+ 26— + со:

йі2 йі

-У

4 ш=

Ат = УХтІ

где шт = пт — нормированная частота колебаний моды нерастяжимой струны, Хт — коэффициенты разложения функции Ь(х) по модам ЭМР [5]. В одномодовом приближении уравнение (4) переходит в широкоизвестное уравнение Дюффинга:

й2А\ <^А1 2 3 , ч

~Ж + + + ТА! = тК°-

Уравнение (5) с гармонической правой частью г(г) = ео8(шг) мы используем для расчета частотной зависимости установившейся амплитуды вынужденных колебаний в резонаторе.

3. Результаты расчетов и сравнение с экспериментом

Как было установлено в ходе экспериментальных исследований, резонансная система имеет относительно высокую добротность Q = 2705. Поэтому для решения нелинейного уравнения (5) вполне применим метод медленно меняющихся амплитуд [7]. Здесь использована численная версия метода, описанная в [8].

На рис. 3 линией изображен график зависимости установившейся амплитуды колебаний напряжения на ЭМР от частоты внешнего воздействия, рассчитанный для ух 1 = 6.7  1 0-5. Значения амплитуды на графике даны в милливольтах, частота указана в относительных единицах о = ///о. Участок кривой, показанный пунктиром, соответствует неустойчивым решениям уравнения (5), не реализуемым на практике. На границах этого участка в реальной физической системе происходят скачкообразные переходы колебаний на устойчивые ветви функции а = а(/).

Рис. 3. Частотная зависимость амплитуды колебаний напряжения на ЭМР

Точками на рис. 3 отмечены значения амплитуды, измеренные в эксперименте. Из экспериментальных значений удален ’’пьедестал”, обусловленный падением напряжения на омическом сопротивлении струны, т.к. модель (5) не предполагает описания этого эффекта. Сопоставление теоретических и экспериментальных данных указывает на их хорошее соответствие и позволяет сделать вывод о том, что предложенная модель (3) адекватно описывает явление нелинейного резонанса при вынужденных колебаниях струны.

Литература

[1] ХайясиТ. Нелинейные колебания в физических системах. М.: Мир, 1968. 432 с.

[2] Зайцев В.В., Никулин А.В., ТрещевВ.М. Нелинейные колебания в струнном резонаторе: Тезисы докладов и сообщений III Международной научно-технической конференции ’’Физика и технические приложения волновых процессов”. Волгоград, 2004. C. 157-158.

[3] Регистрационная аппаратура для вибрационно-частотных датчиков / Под ред. Ю.С. Плискина. М.: НИКИМП, 1967. 356 с.

[4] МигулинВ.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р. и др. Основы теории колебаний / Под ред. В.В. Мигулина. М.: Наука, 1978. 392 с.

[5] Зайцев В.В., Зайцев О.В., Никулин А.В. и др. Моделирование автоколебаний в генераторе с электромеханическим резонатором // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2003. Второй спец. вып. С. 118-126.

[6] ЛандаП.С. Автоколебания в распределенных системах. М.: Наука, 1983. 320 с.

[7] Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974. 503 с.

[8] Зайцев В.В., Зайцев О.В., Никулин А.В. и др. Численная реализация метода ММА и цифровая фильтрация сигналов // Вестник Самарского гос. университета. Естественнонаучная серия. 2004. №2(32). С. 120-130.

Поступила в редакцию 16/ VIII/2005;

в окончательном варианте—16/VIII/2005.

NONLINEAR RESONANCE IN A STRING RESONATOR3

© 2005 V.V. Zaitsev, A.V. Nikhulin, V.V. Nikhulin4

Nonlinear oscillations of a string in an electromechanical resonator are analyzed by theoretical and experimental methods. An effect of nonlinear resonance in the system is observed. A mathematical model of the string resonator in the form of nonlinear integro-differential equation containing partial derivatives and allowing string tension strength variation while oscillating is devised. A transition of the obtained equation in single-mode approximation into Duffing’s equation is demonstrated. Theoretical modelling and the experiment results are compared.

Paper received 16/VIII/2005.

Paper accepted 16/VIII/2005.

3Communicated by Dr. Sci. (Phys. & Math.) Prof. V.A. Saleev.

4Zaitsev Valeriy Vasilievich (zaitsev@ssu.samara.ru), Nikhulin Andrei Valentinovich (nikulinav@mail.ru), Nikhulin Vladimir Vladimirovich, Dept. of Radiophysics and Computer Modelling of Radiosystems, Samara State University, Samara, 443011, Russia.