О линейном гомеоморфизме пространств непрерывных функций на подмножествах прямой Зоргенфрея

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2012 Математика и механика № 2

УДК 515.12

Н.Н. Трофименко, Т.Е. Хмылева О ЛИНЕЙНОМ ГОМЕОМОРФИЗМЕ ПРОСТРАНСТВ НЕПРЕРЫВНЫХ ФУНКЦИЙ НА ПОДМНОЖЕСТВАХ ПРЯМОЙ ЗОРГЕНФРЕЯ

В статье доказывается, что пространства Cp(I) и Cp(E) являются линейно го-меоморфными. Здесь отрезок I = [0,1] и канторово множество E наделены топологией Зоргенфрея.

Ключевые слова: топология Зоргенфрея, пространства непрерывных функций, линейный гомеоморфизм, дополняемое подпространство.

В данной работе через I обозначается отрезок [0,1], наделенный топологией Зоргенфрея. Базу окрестностей точки x е I образует семейство множеств ßx = {(r,x]: r < x, r e Q>}. Канторово множество Ec[0,1] также наделяется топологией Зоргенфрея. Через Cp(I) (Cp(E)) обозначается пространство непрерывных функций на I (соответственно на E) с топологией поточечной сходимости. Через Cc(I) (Cc(E)) обозначается пространство непрерывных функций на I (соответственно на E) с топологией компактной сходимости.

Если E и I рассматривать в естественной топологии, то по теореме Пестова [1] пространства Cp(I) и Cp(E) не являются линейно гомеоморфными в силу разных индуктивных размерностей E и I (пространство E является нульмерным, а I имеет размерность один). В топологии Зоргенфрея пространства E и I являются нульмерными, поэтому теорема Пестова не дает ответа на вопрос о линейной гомеоморфности пространств Cp(I) и Cp(E).

В данной работе доказывается следующая теорема:

Теорема 1. Пространства Cp(I) и Cp(E) являются линейно гомеоморфными.

Для доказательства этой теоремы потребуются некоторые вспомогательные определения и факты.

Хорошо известно, что канторово множество E в естественной топологии го-

меоморфно степени дискретного двоеточия DK° = (0,1}К° с топологией произве-

к

дения. Введем в произведении D 0 топологию т следующим образом. Для точки

t0 = {} ^ € DK° и neN положим = (t0,¿2¿П,0,0,...). Фундаментальную

систему открытых окрестностей точки t0 в топологии т образуют всевозможные множества вида

On (*0 ) = [*0 ,*0 ] = {* е D 0 : *0 — * — *0 },

где t < t0 означает, что существует п0, такой, что tt = t0 для всех i е {1,... п0 -1}, а t = 0 , = 1. Если существует такой номер п, что t0 = t" , то точка t0 является

изолированной и соответствует правому концу смежного интервала к канторово-му множеству.

Предложение 2. Канторово множество Е, наделенное топологией Зоргенфрея,

гомеоморфно пространству Дк° с топологией т.

Доказательство. Хорошо известно [2], что канторово множество Е - это

^ 2 • г

множество вещественных чисел вида X = ^——, где г; е{0,1}. Определим ото-

1=1 3

к

бражение И : Ю 0 ^ Е по формуле

со -Л ^

"()ы)X

!=1 3

Нетрудно видеть, что это отображение является биективным и возрастающим.

^ 2 • г,

Если и = 0 при г>и+1, то X = ^—— . Множество точек такого вида есть в точно-

,=1 3

сти множество изолированных точек канторового множества, наделенного топологией Зоргенфрея. Кроме того, если возьмем любую точку

*о = (*°, ¿2, ¿П+1,*°+2,•••) е £к° и ее окрестность ип ) = [*0, *0 ] , то применяя отображение И, получим, что И(ип (¡0)) = ), А(0 ) П Е есть окрестность точ-

ки А (^) е Е. Таким образом, отображения И и И-1 являются непрерывными.

Следствие 3. Пространства СР(0*°) и СДЕ) являются линейно гомеоморфными. Предложение 4. Пространство СР(Е) вкладывается линейно гомеоморфно и дополняемо в пространство СР(Г).

Доказательство. Определим отображение ф\СР(£)^СР(Г) формулой

= 1Х (*) ’ еСЛИ * е Е’

[х(*2), если * е(*1,*2), где (*1,*2)пЕ = 0; *1,*2 е Е,

где хеСр(Е). Заметим, что (¿1,^2) - смежный интервал к канторовому множеству, которому принадлежит точка I. Нетрудно видеть, что функция ф(х) непрерывна на отрезке Г, наделенном топологией Зоргенфрея, и оператор ф - это оператор продолжения, который каждой функции х, заданной на Е, ставит в соответствие её продолжение на отрезок Г. Непрерывность и инъективность этого оператора очевидны. Обратный оператор у-1 : у (С (Е)) ^ Ср (Е) - это оператор сужения,

также является непрерывным. Оператор проектирования Р\СР(Г)^ ф (СР(Е)), определяется формулой Р( х) = у (х| £).

Для доказательства того, что пространство СР(Г) вкладывается линейно гомеоморфно и дополняемо в пространство СР(Е), определим подмножество

Е с Дк° = (Дк°, т). Множество

Е = (£к° \ т) и {0},

О линейном гомеоморфизме пространств непрерывных функций на подмножествах 31

где Т = { = (гке : Зп е М, такой, что гк =0 при всех к > п }.

Предложение 5. Отображение & : Е1 ^1 ’ £ ({?к }Г=1)- X —~ , является гомео-

к=1 2

морфизмом, если I и E1 наделены топологией Зоргенфрея.

Доказательство. Покажем, что g: E ^ I строго возрастает. Пусть точки t , f^E1 такие, что /<". Тогда существует номер n0, такой, что tf = t[, i < n0 и ги0 = 1, ln0 = 0 . Поскольку t"e£1 и f^0, то существует k > n0, такой, что t”k = 1. Следовательно, t£ - t'k> 0 . Тогда

ГО fff ff 1 ГО fff ff 1 _ >f ГО fff ff

g(0-g(t') = у^-А=_L + у IlJl=_L+iL_A + у >

S 2! 2”° i =у+1 2! 2”° 2k i =у+1 2!

i Фк

2”° 2

к

ГО tf-1\

у

”

1фк

2l

i=”°+1 2

1 ^ ki - [¿I i ^ ^ i

— у 1 г . ' >— у — >— у —=о

2”° . , 7г 2”° , 7г 2”° , 7г

2 ¿=”° +1 2 2 /=”°+1 2 2 /=”°+1 2

гфк гфк

и, значит, g(t/')>g(t').

Докажем, что отображение g : £х ^ I является сюръекцией. Заметим, что лю” t

бая точка уеI имеет вид у= где гге{0,1}. Если *0 = {г. }=1 е Е, то

г=1 2

у = я(^). Если <0 = {г.}“=1 г Е, то есть ^ = (г°,г°,...,^,1,0,0,...), возьмем точку I' = (г0,г0,...,,0,1,1,...) .Тогда

п го ^ П 1

я('') = £7 + £ ТТ = £ТГ + 2+1 = 8) = У.

¡=1 2 г =п+2 2 г=1 2 2

Следовательно, у^(£{).

Таким образом, отображение g является возрастающей биекцией множества Е

на отрезок I и, следовательно, это отображение непрерывно. Очевидно, что отображение g-1 также является возрастающей функцией и, значит, непрерывно.  Следствие 6. Пространства Ср(1) и Ср(£1) являются линейно гомеоморфными. Предложение 7. Пространство Ср(Е1) вкладывается линейно гомеоморфно и дополняемо в пространство СрфнС).

Доказательство. Определим отображение ф:Ср(Е1)^Ср(ДнС) , по формуле

[х (I), если I е Е

(фх)(<) |х(,....,(п,0,1,1...), если I = (,....,гп,1,0,0...) еТ,

где хеСр(8\).

Нетрудно видеть, что функция ф(х) непрерывна на множестве ДнС, наделенном топологией Зоргенфрея, и ф - оператор продолжения, который каждой функции х,

заданной на E1, ставит в соответствие её продолжение на множество DH°. Непрерывность и инъективность этого оператора очевидны. Обратный оператор ф-1 -это оператор сужения, который также является непрерывным.

Оператор проектирования P:Cp(Dn0) ^ ф(Ср(Е1)) определяется формулой

Рх = Ф(x|E1 ) .

Используя следствие 3 и следствие 6 , имеем

Следствие 8. Пространство Cp(I) вкладывается линейно гомеоморфно и дополняемо в пространство Cp(E).

Доказательство теоремы 1. Поскольку Cp(E) дополняемо вкладывается в пространство Cp(I), согласно предложению 4, то Cp(I)^Cp(£)xN, где N - замкнутое линейное подпространство в Cp(I). Аналогично, используя следствие 8, получаем Cp(£)^Cp(I)xM, где M- замкнутое линейное подпространство в Cp(E). Нетрудно видеть, что оба пространства Cp(E) и Cp(I) линейно гомеоморфны своим квадратам, то есть

Cp(l))~Cp(l)xCp(l) и Cp(E)~Cp(E)xCp(E).

Применяя схему разложения Пелчинского [3], получаем Cp(£)~Cp(I)xM~Cp(I)xCp(I)xM~Cp(I)xCp(£)~Cp(£)xCp(£)xN~Cp(£)xN~ Cp(l).

Используя результат Архангельского ([4], следствие 4) и тот факт, что на прямой Зоргенфрея каждое счетно-компактное множество является компактным, получаем следующий результат.

Теорема 2. Пространства Cc(l) и Cc(E) линейно гомеоморфны в топологии компактной сходимости.

ЛИТЕРАТУРА

1. Pestov V.G. The coincidence of the dimensions dim of l-equivalent topological spaces // Dokl. Akad. Nauk SSSR. 1982. No. 266. P. 553-556.

2. Куратовский К, Мостовский А. Теория множеств. М.: Мир, 1970. 416 с.

3. Kalton N.J., Albiac F. Topics in Banach Space Theory. Springer, 2006. 373 p.

4. Архангельский А.В. О линейных гомеоморфизмах пространств функций // ДАН СССР. 1982. Т. 264. № 6. С. 1289-1292.

Статья поступила 26.04.2012 г.

Trofimenko N.N., Khmyleva T.E. ON A LINEAR HOMEOMORPHISM OF SPACES OF CONTINUOUS FUNCTIONS ON SUBSETS OF THE SORGENFREY LINE. In this paper, it is proved that the spaces Cp(I) and Cp(E) are linearly homeomorphic. Here, the interval I = [0,1] and a Cantor set E are equipped with the Sorgenfrey topology.

Keywords: Sorgenfrey topology, spaces of continuous functions, linear homeomorphism, complemented subspace.

TROFIMENKO Nadezhda Nikolaevna

E-mail: Trofimenko@sibmail.com

KHMYLEVA Tatiana Evgenievna