Математические беседы

В ПОМОЩЬ УЧИТЕЛЮ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ

П.М. Красников

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ БЕСЕДЫ

Постановка и решение задач - цель и средство обучения математике. Уместно напомнить высказывание известного математика П. Халмоша: «Задачи - сердце математики, и мы должны подчеркивать все более и более в классе, на семинарах, в книгах и статьях, которые мы пишем, чтобы наши ученики стали лучшими постановщиками и решателями задач, чем мы сами». Решение задач, как отмечалось и многими другими крупнейшими учеными и педагогами, та столбовая дорога в математику, шире которой нет и, видимо, другого способа привить интерес к математике и полюбить эту мудрую науку не существует.

Для активизации работы учащихся при обучении математики в школьной практике используются многие методические приемы. В этой статье будет рассмотрена еще одна возможная форма работы, состоящая в беседе между учителем и учеником, которая ведется на основе решенных им в течение некоторого времени (обычно две-три недели) задач по изучаемой теме.

Такого рода беседы (коллоквиумы; слово «коллоквиум» в переводе с латинского - разговор или беседа) плановым образом проводятся нами в специализированной школе им. А.Н. Колмогорова при Московском государственном университете. Хотя мы и опираемся на опыт работы в специализированной школе, но считаем, что данная форма работы со школьниками может эффективно и успешно применяться в любой школе.

Сразу стоит отметить, что коллоквиум в средней школе по своим целевым установкам (и в представленной нами системе проведения) отличается от аналогичной формы работы в вузе. Главное отличие состоит в том, что школьные коллоквиумы (как мы их понимаем) имеют две составляющие: обучающую и контролирующую. В вузах же, как правило, ограничиваются только контролирующей функцией. Проведение коллоквиумов позволяет в значительной мере соединить процесс обучения и контроля воедино.

Как проводятся коллоквиумы и какие методические принципы положены в основу разработки их заданий?

Для проведения коллоквиума необходим тематический список задач (иногда крупный, чаще не очень), часть из которых изучается на уроках, часть - в ходе самостоятельной работы. Все учащиеся без исключения должны выполнить задание (в течение двух-трех недель) с полными записями решений задач и доказательствами теорем. При этом, неукоснительным требованием является система оформления: четкие чертежи (выполненные циркулем и линейкой с применением различных цветов), полнота аргументации в решениях задач, ясные ссылки на теоремы и ранее решенные задачи. Затем - индивидуальная устная беседа с учителем по решенным и нерешенным задачам. Если есть возможность проводить такие коллоквиумы после уроков, то мы проводим их там, а если такой возможности нет, то они проводятся во время обязательных часов. Эта система довольно эффективна, так как на коллоквиум, во-первых, требуется принести тетрадь с тщательно оформленными записями (что само по себе уже важно и дисциплинирует учащихся). Также не тратится много времени на подробный разбор домашних заданий в классе (при такой схеме - обычных поурочных домашних заданий или вообще нет, или их немного), школьники привыкают к правильному оформлению решений и к полноте необходимой аргументации - «писанию и чистописанию». Ну а сама беседа с преподавателем приносит неоценимую помощь обучающемуся, так как она нацелена на улучшение качества знаний и умений конкретного ученика и на его личные пробелы. Еще один важный плюс при проведении коллоквиумов состоит в том, что нет особой нужды в текущем опросе учащихся с выставлением оценки, что сильно экономит драгоценное время на текущих уроках. По ходу такой (систематической) работы как бы сама собой решается и «проблема накопляемости оценок», решение которой при обычной схеме ориентировано не на весь класс - многие школьники «отдыхают» или начинают заниматься другим делом, а в это время у доски «страдает» вызванный к ней учащийся (а это уже неэффективно использованное учебное время). Бытующее мне-

280

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 2, 2007

© П.М. Красников, 2007

ние (но не у нас в школе) о том, что для сдачи коллоквиума школьники занимаются списыванием решений задач друг у друга не выдерживает серьезной критики, да мы и не препятствуем взаимным консультациям учащихся; опытный учитель всегда легко оценит качество изученного материала и практически всегда определит реальные источники написанных решений задач. Отметим, что ничего страшного нет в том, что на коллоквиуме предъявлены решения не всех задач из списка; общая же организационная схема такова - прием заданий проходит только два раза, во время второй попытки отличную оценку получить нельзя. Еще одной важной компонентой такой работы является то, что в такие списки зачастую включаются задачи исследовательского плана (математические проекты), требующие значительного времени на их продумывание, а это практически невозможно на текущих занятиях. Кроме того, сюда включаются так называемые «задачи на доказательство теорем», которые представлены в виде цепочки вспомогательных задач.

Проведение даже одного коллоквиума требует от преподавателя значительных усилий. Мало разработать его задание (но это уже огромный труд, если к нему подходить с описанных позиций), нужно его еще и принять на коллоквиуме индивидуально у каждого ученика. Задания для коллоквиумов нами отрабатываются постепенно год от года и руководит этой работой лектор (в школе им. А.Н. Колмогорова - лекционно-семинарская вузовская система), а для приема заданий коллоквиума мы приглашаем преподавателей и аспирантов механико-математического факультета МГУ - выпускников нашей же школы, а также и преподавателей школы, которые в данных классах не работают.

Простой подсчет показывает, что в семестр наши школьники только по основным математическим курсам должны решать около 400 задач, не считая задач на контрольных работах, на зачетах и др. А это колоссальная нагрузка для учащихся, имеющих кроме математики еще много дисциплин и, тем самым, много других домашних заданий и практикумов. Система математических коллоквиумов помогает четче и более планово организовать изучение той или иной темы и контроль за ее усвоением учащимися. Подчеркнем еще раз, что беседа с учителем по каждой из задач коллоквиума

играет неоценимую роль и очень многого стоит в процессе обучения, совершенствовании его качества и повышения интереса школьников к изучению математики.

При разработке заданий мы придерживаемся следующих методических принципов:

1. Для проведения коллоквиума выбирается одна тема или ее часть.

2. Задание коллоквиума состоит из нескольких типов задач: на вычисление, теоретического характера (теоремы и задачи на доказательство), исследовательского характера (проекты).

3. По мере возможности в тексты заданий включаются задачи и теоремы, занимающие важное место в истории развития математики.

4. Большинство задач объединены в логические блоки, каждый из которых включает базовые задачи, содержащие в себе методы решения следующих задач, задачи, являющиеся следствиями, обобщениями предыдущих, подготовительные задачи. В каждое задание мы стремимся включить задачи с красивыми рисунками и чертежами, с практическими работами и другими упражнениями, нацеленными на поддержание и развитие интереса к изучению данной темы.

5. Доказательство теорем и решения трудных задач разбиваются в последовательную цепочку более простых утверждений и задач.

6. Задачи исследовательского характера (проекты) нацелены на более углубленное изучение темы коллоквиума и на развитие интереса к творческой деятельности вообще (в частности, для подготовки докладов учащихся на школьные конференции).

Приведем в заключение тематику заданий коллоквиумов, которые проводились нами в последние годы: «По следам теоремы Пифагора», «Бесконечные периодические десятичные дроби», «Площадь многоугольника», «Равносоставленность многоугольников», «Инверсия», «Максимумы и минимумы в геометрии», «Линейная и квадратичная функции», «Задачи с параметрами», «Производная и касательная», «Площадь и интеграл», «Геометрия и тригонометрия триэдров», «Геометрия тетраэдра», «Сечения многогранников», «Классические неравенства», «Центр масс и момент инерции в геометрии», «Площадь круга и его частей», «Принцип Дирихле», «Принцип включения-исключения», «Две прогрессии», «Метод математической индукции в геометрии», «Многоликий алгоритм Евклида».

Вестник КГУ им. Н.А. Некрасова ♦ № 2, 2007

281