Связанная задача термомеханического изгиба тонких прямоугольных пластин из изотропных разносопротивляющихся материалов

2. Оценка эффективности индуктора для обжима / А.Е. Киреева [и др.] // Известия ТулГУ. Сер. Актуальные вопросы механики. 2004. Вып.1. С.77 - 81.

V.D. Kuchar, A.E. Kireeva

INVESTIGATION OF TEMPERATURE REGIME OF THE SPIRAL INDUCTOR

CRIMP

The results of a study assessing the impact of the diameter of the inductor, the thickness of the workpiece, the frequency of the discharge current and the geometry of a spiral on the temperature conditions of the inductor are presented.

Key words: inductor, the mathematical model, preparation, crimping.

УДК 539.3

A.A. Трещёв, д-р техн. наук, проф., зав. кафедрой,

(4872) 35-54-58, taa58@yandex.ru,

B.Г. Теличко, канд. техн. наук, доц.,

СВЯЗАННАЯ ЗАДАЧА ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКОГО ИЗГИБА ТОНКИХ ПРЯМОУГОЛЬНЫХ ПЛАСТИН ИЗ ИЗОТРОПНЫХ РАЗНОСОПРОТИВЛЯЮЩИХСЯ МАТЕРИАЛОВ

Предложена математическая модель расчета изгиба тонких прямоугольных пластин, выполненных из разносопротивляюгцихся материалов, свойства которых зависят от изменений температуры. Получены разрешающие уравнения и численное решение методом упругих решений.

Ключевые слова: термоупругость, разносопротивляемостъ, разносопротив-ляющиеся материалы, пластины, термомеханический изгиб.

За сорок лет интенсивного развития механики материалов, учитывающей чувствительность их механических характеристик к виду напряженного состояния, было предложено достаточно большое количество определяющих соотношений разносопротивляющихся сред, базирующихся на различных технических гипотезах. Однако, несмотря на всю глубину теоретических проработок моделей теории деформирования разносопротивляющихся сред, совершенно недостаточно внимания уделено зависимости от вида напряженного состояния такой характеристики материала, как коэффициент линейного теплового расширении, и вообще, разномо-

дульной теории термоупругости. Несмотря на то, что в работах П.Е. Харта [1] было показано, что для некоторых марок графита коэффициенты линейного теплового расширения могут различаться на 100 % и более в зависимости от вида напряженного состояния, реализованного в точке.

В работах Н.М. Матченко и A.A. Трещева в рамках закона теплопроводности Фурье и классических условий динамического равновесия получены основные дифференциальные уравнения разномодульной теории термоупругости: уравнение теплопроводности, включающее в связанном случае учет влияния вида напряженного состояния, и уравнения динамического равновесия. Также в этой работе решены следующие задачи термоупругости: о плоском деформированном состоянии полого разномодульного цилиндра при нестационарных термосиловых воздействиях, об осесимметричном напряженно-деформированном состоянии полого разномодульного цилиндра при стационарных термосиловых воздействиях.

Используя методику нормированных пространств, предложенную в работе Н.М. Матченко и A.A. Трёщева [2], получим систему разрешающих уравнений для тонкой круглой пластины из нелинейных разносопротив-ляющихся материалов, находящихся в условиях термомеханического нагружения. Будем считать, что термодинамический потенциал Гиббса упрочняющегося материала для случая нагружения представляет собой сумму механической и температурной составляющих.

Для построения общей теории термоупругих разносопротивляю-щихся материалов будем рассматривать малые изменения температуры

0^/7q = 1 (где qP=T-Tq - изменение температуры; Т - конечная температура в точке тела; 7q - начальная температура в точке тела в ненапряжённом состоянии), тогда зависимостью механических и теплофизических характеристик материала от температуры можно пренебречь.

Влияние вида напряжённого состояния на деформационные характеристики материалов учитывается на базе методики нормированных пространств напряжений, поэтому термодинамический потенциал Гиббса используется в форме [2]

— Г = ("Ь ¿з^)а + (¿2 ¿42, + ¿5 Л cos Зф)т +

+ Г,

где bn, btm - механические и температурные константы термодинамического потенциала Гиббса [1]; о = огубгу/3 - средние нормальные напряжения; (5¡j - компоненты тензора напряжений; 8гу - символ Кронекера;

-8гу0 - компо-

I = JSijSy /3 - средние касательные напряжения; Sy = огу

Известия ТулГУ. Технические науки. 2011. Вып. 2

ненты девиатора напряжений; = о/З'д и Г| = т/5”о - функции (нормированные нормальные и касательные напряжения на октаэдрической площадке); ¿о =>/о2 +т2 ; собЗф - фазовый инвариант; - температур-

ные слагаемые.

Рассматривается плоское напряженное состояние с параметрами 033 = 013 = 023 = 0, тогда дифференцируя термодинамический потенциал Гиббса в форме еу = -ЭГ/Эагу и Ь = -ЭГ/ЭТ, получим связь между компонентами тензоров деформаций и напряжений:

еу — У ¿2ау + 3

{ "Я "Я ^ (¿4 +65Л созЗф + °^У + ^-64-655/^2)+'

^+(¿4 +Ь5Зл/2 + 3 ^+(б4+б5з/72)Д 3

^ -

где - компоненты тензора деформаций; Яу - нелинейные слагаемые;

Ь - плотность энтропии; г, у = 1,2,3.

Обращая для выражений деформаций (1) линейные члены уравнений, получим зависимости для любой поверхности пластины:

Ъц -

где е = еуЪу/3 - средние деформации; Ну = (О] + - 302;

А = (Ь ~ ь2)/(2Ь\Ь2); п2 = + ъ2)/(2Ь\Ь2); пз = Ь12/2Ь\;

л° -((¿4 - ¿3 )^3 + %Л3 С083ф + ^( 3- - 2Ь4) + ¿4/^)у + —^—.

Для этой же поверхности имеют место гипотезы Кирхгофа в виде:

еу — ^ х3%у; — °.5

где %у,£у - кривизны и деформации срединной поверхности; г/,-, и- - гори-

зонтальные перемещения и прогибы срединной плоскости.

Далее можно перейти к определениям усилий в срединной поверхности по формулам

Л/2 Л/2

Nÿ — | G у d , Му — | Gy-x-^dХ3 .

-h/2 -h/2

Уравнения статики с учетом продольных усилий в случае равномерно распределенной нагрузки имеют вид

Щ11»1 +Щ12»2 = 0; Щ12»1 +N22»2 = 0; ^

Мц,ц +2М12»12 + М22,22 ~~Ч - Щ1 \W»i 1 -2^12W»12 -N22w,22 » где q - интенсивность поперечной равномерно распределенной нагрузки.

Для температуры также имеется уравнение притока тепла в форме [2]

Х0О,Й -Сое0„ -

где X - коэффициент теплопроводности; Са - удельная теплоемкость материала при постоянном напряжении; S = ^ОуОу - вектор полного напряжения; At = 0.5|ос^ + j ; Bt = 0.5^а^ - j ; а^, - коэффициенты ли-

нейного теплового расширения в продольном направлении при растяжении и сжатии соответственно.

Выражение (8) в отличие от классического уравнения теплопроводности остаётся нелинейным, несмотря на проведённую линеаризацию по температуре. Кроме традиционного слагаемого, определяющего связанность полей деформаций и температуры, в уравнение (8) входит нелинейная компонента, учитывающая влияние вида напряжённого состояния на процесс теплопроводности. Уравнение (8) следует переписать в перемещениях при отсутствии локальных источников тепла (U = 0 ) с учётом уравнений (4) и (5).

Подставляя уравнение (6) в (7), учитывая (4) и (5), можно получить замкнутую систему уравнений равновесия пластины прямоугольной формы в перемещениях. Полученные уравнения равновесия и уравнение притока тепла образуют полную систему дифференциальных уравнений, описывающих плосконапряженное состояние прямоугольных пластин в условиях термомеханического нагружения. После выполнения преобразований разрешающая система дифференциальных уравнений в частных производных приобретает следующий вид:

h(Ui»ii(Di - D2) + U2»12(D1/2 - D2) + U1»22 A/2)(Di + AV А = h/2

= \

- h/2

h(u2’22 (Dl - А) + ul’l2(Dl/2 - D2) + u2’ll Dl /2)(Dl + D2)/ Dl -

Л/2

- К H 22’2 + Hl2’l+u33’l D2! Dl)dx3'>

- Л/2

h (w’l 111 +2 w’l122 + w’2222 )(Dl2 - Dl) !12D1

h/2

- q + w’ll i (Hll + H33D2!Dl +90(l + d2!d)D3)dx3 +

- h/2

h/2

h/2

+ w,i2 J(Hi2)dx3 + w,22 J (H22 + H33D2 /Dl + 9°(l + D2 /Dl)D3U)dx3

- h/2

- h/2

- h(ul’l (Dl -d2) - u2’2 D2)w’ll(l + D2/Dl) -

- h(«2’l+Ml’2)w’l2(A + D2)/2 -

- h(u2 ’2 (Dl - D2) - ul’l D2) w’22 (l + D2 / Dl^

^0U’33-

Cc - 2 4TU D3

Dl + d2

D

e% -

l

- AtTU(Dl - 2D2) 1 ^ 2 [(ul’lt +u2’2t ) - x3(w’llt+w’22t )] -

Dl

- Tu

D

- AtH11’t- ЛН 22’t-2 Л — H 33’t+ ^ ’t , Dl .

где U\=ll\(x\,x2,t), «2 = U2 (x\,X2,t) - перемещения в срединной плоскости вдоль оси х\ и Х2 соответственно; w = w(x\,x2,t) - функция вертикального

прогиба; 9°=9°(хз,/) - функция температуры.

Механические граничные условия имеют вид

w = 0, w,j = 0, Uj = 0.

Разрешающие уравнения (10) - (13) с начальными и граничными условиями представлены в форме, когда все нелинейные члены выписаны в правых частях и которая удобна для применения метода «упругих решений», применяемого для конкретных задач. Решение системы дифференциальных уравнений осуществляется в пакете прикладных программ MATLAB (MathWorks Inc., США), используя который, на каждой итерации по методу «упругих решений» ищется частное решение системы разрешающих уравнений.

В процессе решения прослеживается процесс влияния температуры на механические характеристики материалов и напряженного состояния на распределение температуры по толщине пластинки, рассчитывается рас-

пределение температуры по толщине пластинки, характеристики ее напряженно-деформированного состояния с учетом температурного воздействия.

Для демонстрации возможностей предлагаемой математической модели решается задача со следующими исходными данными. Квадратная пластина со стороной / = 100 мм толщиной к = 4 мм жестко защемлена по контуру, нагружается равномерно распределенной нагрузкой с/ = 5...80 кПа, также осуществляется нагрев поверхности пластины с перепадом температур. Температурные условия: на нижней поверхности пластины 7] = 10 °С; на верхней поверхности пластины Т2 — 50 °С; начальная температура 7д = 20 °С. Механические характеристики: материал

графит; модуль упругости при растяжении Е+ = 3750 МПа и при сжатии

Е~ =6130 МПа; коэффициент Пуассона при растяжении у+ = 0,2 и при

сжатии V- = 0,35; плотность р = 1700 кг/м3; коэффициент линейного теплового расширения в продольном направлении при растяжении

X = 150 Вт/(м-К); теплоемкость материала при постоянном напряжении Са = 500 Дж/(кг-К).

На рис. 1-3 приведены наиболее характерные результаты расчета напряженно-деформированного состояния описанной выше модели пластины.

По результатам проведённого анализа сходимости конечноразностной схемы для разных шагов разбиения по осям координат пластины видно, что по мере уменьшения шага разбиения схема уверенно сходится. Также можно отметить, что оптимальным для конкретных условий задачи по результатам проверки сходимости является шаг сетки менее 3 мм. Анализ сходимости метода «упругих решений» показал достаточную точность при 10 шагах по правой части уравнений разрешающей системы.

На рис. 1 изображены зависимости между значениями вертикального прогиба и- и величинами равномерно распределенной нагрузки д. Сплошной линией показаны полученные результаты для связанной задачи с учётом явления разносопротивляемости, пунктирной - с применением модели Неймана - Дюгамеля.

На рис. 2 изображено изменение значения вертикального прогиба вдоль стороны пластины при равномерно распределенной нагрузке д = 80 кПа в момент времени установившегося распределения температуры. Сплошной линией показаны полученные результаты для связанной за-

коэффициент теплопроводности

дачи с учётом явления разносопротивляемости, пунктирной - с применени ем модели Неймана - Дюгамеля.

V* lfM

0.45 оло 0.3Í 0.30 0.25 0.20 0.І5

0.1 о 0.05 0.00

0 10 20 30 40 50 60 70 д.кПа

Рис. 1. Зависимость величины вертикального прогиба в центре плана пластины от величины равномерно распределенной нагрузки

О 10 20 30 40 50 60 70 30 90 I. мм

0.45

0.50

Рис. 2. Распределение величины вертикального прогиба

вдоль пластины

О.йО 17,« 35.3i 53.03 70.71 Si-ЗР Х06.07 Ш. 74

Рис. 3. Распределение напряжений ап при нагрузке q = 80 кПа вдоль

диагонали на верхней поверхности пластины при различных соотношениях коэффициентов линейного теплового расширения

в продольном направлении

На рис. 3 видно, что влияние явления разносопротивляемости на результаты расчетов для напряжений достигает 100 % в зависимости от соотношения коэффициентов линейного теплового расширения в продольном

направлении при растяжении и сжатии .

Полученные результаты указывают на нелинейный характер деформирования конструкций из материалов с усложненными свойствами и подчеркивают важность решения задач термоупругости в связанной постановке с учётом явления разносопротивляемости.

Список литературы

1. Hart P.E. The affect of pre-stressing on the thermal expansion and Young’s modulus of graphite // Carbon. 1972. Vol. 107. P. 233-236.

2. Матченко H.M., Трещев A.A. Теория деформирования разносо-противляющихся материалов. Прикладные задачи теории упругости. Тула: Изд-во ТулГУ, 2004.211 с.

3. Теличко В.Г., Чигинский Д.С., Петров A.A. Решение задачи об изгибе тонкой прямоугольной пластины из разносопротивляющихся мате-

риалов в условиях термомеханического нагружения // Известия ТулГУ. Технические науки. 2009. Вып. 1. Ч. 2. С. 114-120.

A.A. Treshchev, V.G. Telichko, D.S. Chiginskiy

THE CONNECTED PROBLEM OF THE THERMOMECHANICAL BEND OF THIN RECTANGULAR PLATES FROM ISOTROPIC DIFFERENTLY RESISTANT MATERIALS

The mathematical model of calculation of a bend of the thin rectangular plates executedfrom differently resistant materials which properties depend on temperature changes is offered. The resolving equations and the numerical decision are received by a method of elastic decisions.

Key words: thermoelasticity, differently the resistibility, differently resistant materials, plates, a thermomechanical bend.

УДК 621.983

С.С. Яковлев, д-р техн. наук, проф.,

(4872) 35-14-82, mpf-tula@rambler.ru.,

К.С. Ремнев канд. техн. наук, доц.,

ОЦЕНКА ВЛИЯНИЯ АНИЗОТРОПИИ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ ТРУБНЫХ ЗАГОТОВОК НА ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ РАЗДАЧИ

Показано влияние анизотропии механических свойств трубной заготовки на напряженное и деформированное состояния заготовки, силовые режимы и предельные возможности формоизменения раздачи трубных заготовок коническим пуансоном.

Ключевые слова: анизотропия, раздача, трубная заготовка, напряжения, сила, разрушение, пуансон, матрица.

Рассмотрим операцию раздачи трубной заготовки, обладающей цилиндрической анизотропией механических свойств, коническим пуансоном с углом конусности а (рис. 1) и коэффициентом раздачи Кр =гк!г§.

В основу анализа положен метод расчета силовых параметров процесса, основанный на совместном решении приближенных дифференциальных уравнений равновесия, и условия текучести с учетом сопряжений на границах участков, а также изменения направления течения материала [1].