Моделирование дискретно-слоистого покрытия упругого цилиндра радиально-неоднородным слоем в задаче рассеяния звука

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 194-202

Механика

УДК 539.3:534.26

Моделирование дискретно-слоистого покрытия упругого цилиндра радиально-неоднородным слоем в задаче рассеяния звука *

Л. А. Толоконников, Н. В. Ларин

Аннотация. На основе аналитических решений задач о рассеянии плоской звуковой волны однородным упругим цилиндром с дискретно-слоистым и радиально-неоднородным покрытиями проведены численные расчеты диаграмм направленности и частотных характеристик рассеянного поля. Показано, что систему однородных упругих слоев можно моделировать радиально-неоднородным слоем.

Ключевые слова: рассеяние, звуковые волны, упругий цилиндр, неоднородное упругое покрытие.

Изменение характеристик рассеяния звука упругих тел можно осуществить с помощью покрытий в виде системы однородных упругих слоев с различными значениями механических параметров (плотности и упругих постоянных). Формируя такую дискретную многослойную систему слоев соответствующим образом, можно добиться требуемых характеристик рассеяния. Однако в ряде случаев, например, при решении обратных задач многослойное покрытие удобнее моделировать с помощью покрытия в виде непрерывно-неоднородного упругого слоя с последующим определением закона неоднородности. Такое представление эквивалентно аппроксимации кусочно-постоянных функций, описывающих механические параметры однородных слоев, непрерывными функциями, характеризующими переменные параметры неоднородного слоя.

Рассеяние звуковых волн на непрерывно-неоднородных изотропных и анизотропных упругих цилиндрах рассматривалось в ряде работ. В работах [1, 2] решена задача о рассеянии плоских звуковых волн на неоднородном упругом цилиндре. Исследованию рассеяния плоских звуковых волн трансверсально-изотропным неоднородным цилиндрическим

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 13-01-97514-р_центр_а) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.1333.2014К).

слоем посвящена работа [3]. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном анизотропном полом цилиндре в общем случае анизотропии рассмотрена в [4]. Задача дифракции цилиндрических волн на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке решена в [5]. Обобщение резонансной теории рассеяния акустических волн на случай неоднородных трансверсально-изотропных цилиндрических оболочек произвольной толщины осуществлено в [6]. Решения задач

о рассеянии плоской и цилиндрической звуковых волн неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости получены в работах [7, 8]. В работе [9] изучена дифракция плоской звуковой волны на неоднородном термоупругом цилиндрическом слое, граничащем с невязкими теплопроводными жидкостями. Дифракция звуковых волн на неоднородных и анизотропных упругих цилиндрических оболочках произвольной толщины, находящихся в волноводах с мягкими и жесткими границами, обсуждалась в [10-13]. Дифракция звуковых волн на цилиндрических телах с непрерывно-неоднородными покрытиями рассматривалась в работах [14 -17]. Изучено также рассеяние плоской звуковой волны упругим цилиндром с дискретно-слоистым покрытием.

В настоящей работе при изучении рассеяния плоской звуковой волны упругим цилиндром с дискретно-слоистым и радиально-непрерывным покрытиями (с использованием результатов работы [15]) исследуется возможность моделирования покрытия, состоящего из системы однородных упругих слоев, непрерывно-неоднородным покрытием.

Рассмотрим бесконечный однородный изотропный упругий цилиндр радиуса r0, материал которого характеризуется плотностью р0 и упругими постоянными Ао и ^0. Цилиндр имеет покрытие в виде системы N тонких коаксиальных цилиндрических слоев радиусов rj (j = 1, 2,, N). Каждый j - ый однородный изотропный упругий слой имеет плотность Pj и модули упругости А j и цj. Окружающая тело жидкость — идеальная, ее равновесная плотность р, скорость звука с.

Цилиндрическая система координат r,ip,z выбрана таким образом, что координатная ось z является осью вращения цилиндра.

Из внешнего пространства на цилиндр произвольным образом падает плоская монохроматическая звуковая волна, потенциал скоростей которой равен

Ф0 = A0 exp{ik[r sin 90 cos (^ — <^0) + z cos 90] — iut},

где A0 — амплитуда волны; 00 и ^>0 — полярный и азимутальный углы падения волны; k = и/с — волновое число во внешней области; и — круговая частота; t — время.

Потенциал скоростей акустического поля, рассеянного упругим цилиндром с дискретно-слоистым покрытием определяется выражением

то

Ф8 (r,ip,z) = ег

Е

п=—то

An Hn

где Hn(x) — цилиндрическая функция Ганкеля первого рода порядка n; а = = k cos 00; в = k sin 00.

Рассмотрим дальнюю зону акустического поля. Используя асимптотическую формулу для цилиндрической функции Ганкеля первого рода при больших значениях аргумента [18]

из (1) находим

Hn

2

exp

nn

r

где

= \f2rexp i{az + вг - ї) F(^’

2 ^

F(^) = ч/ñWÑ ^ (-i)nAn eXP[in(^ - )]-

Пусть для определенности дискретно-слоистое покрытие состоит из четырех слоев = 4), толщины и расположение которых представлены на рис. 1.

Буквами А, Б, В, Г обозначены виды материалов цилиндра и цилиндрических слоев, физико-механические характеристики которых приведены в таблице. А, Б и В — металлы, Г — полимер. Полагаем, что цилиндрическое тело находится в воде (р = 103 кг/м3, с = 1485 м/с). Радиус

2

цилиндра Го = 1. Отношение внешнего и внутреннего радиусов покрытия Г4/Г0 = 1.1.

Физико-механические характеристики материалов

Материал р, кг/м3 Л, Н/м2 х 1010 ^, Н/м2 х 1010

Алюминий (А) 2700 5.3 2.6

Сталь (Б) 7850 12.0 7.9

Медь (В) 8900 9.5 4.1

Поливинилбутираль (Г) 1070 0.39 0.098

Оценим возможность моделирования системы однородных упругих слоев, составляющих покрытие, радиально-неоднородным слоем, имеющим плотность р = р(г) и модули упругости Л = Л(г), ~р = Д(г). При этом модули упругости Л(г) и Д(г) материала неоднородного цилиндрического слоя должны являться дифференцируемыми функциями цилиндрической радиальной координаты г, а плотность р(г) — непрерывной функцией координаты г [15].

На основе регрессионного анализа, используя данные таблицы, были найдены следующие зависимости:

р(г) = —1924023.2г2 + 3980262.7г - 2048643.2,

Л(г) = —20617036254839.7г2 + 42384292502639.5, г — 21655573460049.1 Д(г) = —7773178458289.3г2 + 15769915522703.2г — 7925285089757.1.

Графики функций, аппроксимирующих эмпирические данные, приведены на рис. 2-4. При построении теоретических кривых на отрезке аппроксимации была введена сетка

1 = ж < ж2 = 1.04 < ж3 = 1.075 < ж4 = 1.1.

Узлы Ж1 и Ж4 соответствуют началу границы первого слоя и концу границы последнего слоя в покрытии, а узлы Ж2 и жз — усредненным значениям границ промежуточных слоев. Такой выбор узлов допустим в силу малости толщины покрытия по сравнению с радиусом цилиндра Го.

Потенциал скоростей акустического поля, рассеянного упругим цилиндром с радиально-слоистым покрытием определяется выражением вида (1) (со своими коэффициентами разложения Ап) [15]. Поэтому выражение для функции ^ (^>) в случае непрерывно-неоднородного покрытия аналогично (2).

Были проведены расчеты амплитуды рассеяния |^(<^)| для дискретнонеоднородного и радиально-неоднородного покрытий. Рассматривалось нормальное падение на цилиндр ($о = 90°) плоской звуковой волны единичной амплитуды в направлении ^о = 0°. На рисунках, представленных ниже, сплошные линии соответствуют радиально-неоднородному покрытию, а штриховые — дискретно-слоистому покрытию.

р{г)

8000

6000

4000

2000

0

1 1.02 1.04 1.06 1.08 г

Рис. 2. Закон изменения плотности по толщине покрытия

Л

ЮхЮ10

8хЮ10

6хЮ10

4хЮ10

2хЮ10

о '

1 1.02 1.04 1.06 1.08 г

Рис. 3. Закон изменения Л по толщине покрытия МП'

6хЮ10 4хЮ10 2хЮ10 0

1 1.02 1.04 1.06 1.08 г

Рис. 4. Закон изменения по толщине покрытия

На рис. 5 представлена зависимость амплитуды рассеянной волны в направлении ^ = п от волнового размера тела кг 4. Частотные характеристики, соответствующие двум видам покрытий, на всем рассматриваемом диапазоне изменения частоты (0 < кг4 ^ 10) отличаются незначительно. Различие становится более заметным с увеличением частоты и в основном проявляется в сдвиге значений коэффициента обратного рассеяния, рассчитанного для непрерывно-неоднородного покрытия, в область меньших частот.

I* (П

0.8

0.4

2 4 6 8 кг4

Рис. 5. Частотная характеристика

На рис. 6-9 представлены зависимости амплитуды рассеяния |^(^)| от полярного угла ^ при различных значениях волнового размера тела (кг4 = 1, кг4 = 3, кг4 = 5 и кг4 = 8). Стрелкой показано направление распространения падающей плоской волны.

90°

180‘

120^^

150/С / \ ^—

кг4 = 1

/ 1 \ 30

60

] 0°

1 0.5 0

Рис. 6. Диаграмма направленности при кг4 = 1

Из рисунков видно, что диаграммы направленности для дискретнонеоднородного и радиально-неоднородного покрытий хорошо совпадают.

Рис. 7. Диаграмма направленности при кг4 = 3

Рис. 8. Диаграмма направленности при кг4 = 5

Рис. 9. Диаграмма направленности при кг4 = 8

При увеличении волнового размера тела наблюдаем некоторое изменение звукоотражающих свойств тела с различными покрытиями.

Таким образом, расчеты показывают возможность моделирования покрытия, сос тоящего из системы однородных слоев, непрерывно-неод нородным покрытием.

0

Список литературы

1. Безруков А.В., Приходько В.Ю., Тютекин В.В. Рассеяние звуковых волн упругими радиально-слоистыми цилиндрическими телами //Акустический журнал. 1986. Т. 32. № 6. С. 762-766.

2. Коваленко Г.П. К задаче о дифракции акустической волны на неоднородном твердом теле //Акустический журнал. 1987. Т. 33. № 6. С. 1060-1063.

3. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн трансверсаль-но-изотропным неоднородным цилиндрическим слоем // Акустический журнал. 1995. Т. 41. № 1. С. 134-138.

4. Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на неоднородном анизотропном полом цилиндре // Оборонная техника. 1998. № 4-5. С. 11-14.

5. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических волн на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке // Оборонная техника. 1998. № 4-5. С. 9-11.

6. Толоконников Л.А. Резонансное рассеяние звука трансверсально-изотропной неоднородной цилиндрической оболочкой // Изв. ТулГУ. Сер. Геодинамика, физика, математика, термодинамика, геоэкология. 2006. № З. С. 106-114.

7. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны неоднородным упругим полым цилиндром в вязкой жидкости // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 61-70.

8. Толоконников Л.А., Романов А.Г. Дифракция цилиндрических звуковых волн на неоднородном полом цилиндре в вязкой жидкости // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 151-160.

9. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном термоупругом цилиндрическом слое, граничащем с невязкими теплопроводными жидкостями // Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73. Вып. 3. С. 474-483.

10. Толоконников Л.А., Садомов А.А. О дифракции звука на неоднородной трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке в слое жидкости // Изв. ТулГУ. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2006. Т. 12. Вып 5. С. 208-216.

11. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Дифракция звуковых волн на неоднородном упругом полом цилиндре в слое жидкости с жесткими границами // Изв. ТулГУ. Технические науки. 2009. Вып. 1. Ч. 2. С. 3-10.

12. Толоконников Л.А., Романов А.Г. Распространение звука в волноводе в присутствии неоднородной цилиндрической оболочки произвольной толщины // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 161-176.

13. Толоконников Л.А. Дифракция звука на трансверсально-изотропной цилиндрической оболочке произвольной толщины в волноводе с акустически мягкими границами // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2009. Вып. 3. С. 154-163.

14. Романов А.Г., Толоконников Л.А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850-857.

15. Толоконников Л.А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып.2. Ч. 2. С. 265-274.

16. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып.3. С. 202-208.

17. Иванов В.И., Скобельцын С.А. Влияние неоднородного покрытия на прохождение звука через упругую оболочку // Изв. ТулГУ. Естественные науки. 2013. Вып.3. С. 179-192.

18. Лебедев Н.Н. Специальные функции и их приложения. М.; Л.: Физматгиз, 1963. 358 с.

Толоконников Лев Алексеевич (tolokonnikovla@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Ларин Николай Владимирович, к.ф.-м.н., доцент, кафедра прикладной математики и информатики, Тульский государственный университет.

Modelling of a discrete-layered coating of the elastic cylinder by a radially non-uniform layer in a sound scattering problem

L. A. Tolokonnikov, N. V. Larin

Abstract. On the basis of analytical solutions of problems on plane sound wave scattering by the homogeneous elastic cylinder with a discrete-layered and a radially non-uniform coatings are spent calculations of directional diagrammes and frequency performances of scattering field. It is shown that system of homogeneous elastic layers it is possible to model a radially non-uniform layer.

Keywords: scattering, sound waves, elastic cylinder, non-uniform elastic coating.

Tolokonnikov Lev (tolokonnikovla@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Larin Nikolai, candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of applied mathematics and computer science, Tula State University.

Поступила 12.05.2014