Рыночные теоремы и их продолжение

Канд. физ.-мат. наук Н. В. Попова

РЫНОЧНЫЕ ТЕОРЕМЫ И ИХ ПРОДОЛЖЕНИЕ

В статье предлагаются две теоремы о свойствах цены облигации, сформулированные и доказанные как математические теоремы при тех же условиях, что и известные рыночные теоремы. Первая из теорем рассматривает влияние уровня доходности рынка на изменчивость цены облигации. Теорема существует в настоящее время в виде рыночного наблюдения и как задача в существующей литературе не рассматривалась. Вторая теорема посвящена ранее не изученной зависимости величины изменения цены облигации при изменении срока до погашения от уровня доходности рынка. Установлено наличие максимумов абсолютного и относительного изменений цены. Доказанные в теоремах утверждения подтверждаются вычислениями.

Ключевые слова и словосочетания: рыночные теоремы, математические методы, влияние уровня доходности рынка.

Известны пять рыночных теорем1. Это теоремы о свойствах цены облигации. Теоремы сформировались в результате наблюдений на рынке облигаций. Позже они были сформулированы и доказаны как математические теоремы2. Свойства цены, сформулированные в этих теоремах, «важны для прогнозирования влияния процентных ставок на курсы облигаций»3. В настоящее время эти теоремы являются основой теории финансовых инвестиций с фиксированным доходом в условиях определенности. Очевидно, что развитие и углубление этой теории имеют значение не только для самой теории, но и для практического инвестирования, так как способствуют обоснованности инвестиционных решений.

В данной статье приводятся формулировки и доказательства двух теорем о свойствах цены облигации. Это теоремы о влиянии уровня доходности рынка на изменчивость цены облигации (теорема 1) и на величину изменения цены облигации при изменении срока до погашения (теорема 2). Теоремы сформулированы и доказаны при тех же условиях, что и известные теоремы. Это условия определенности. В связи с этим предлагаемые теоремы можно рассматривать как продолжение известных рыночных теорем.

Основные требования условий определенности: облигация является справедливо оцененной4, не имеет кредитного риска и не может быть отозвана

1 См.: Шарп У. Ф., Александер Г. Дж., Бэйли Дж. В. Инвестиции. - М. : Инфра-М, 1999. -С. 456-458.

2 См.: Барбаумов В. Е., Гладких И. М., Чуйко А. С. Финансовые инвестиции. - Ч. 1. Инвестиции с фиксированными доходами : учебное пособие. - М. : Изд-во Рос. экон. акад., 2000. - С. 46-57; Мельников А. В., Попова Н. В., Скорнякова В. С. Математические методы финансового анализа. - М. : Анкил, 2006. - С. 121-136.

3 Шарп У. Ф., Александер Г. Дж., Бэйли Дж. В. Инвестиции. - С. 458.

4 Там же. - С. 421.

эмитентом до установленной даты погашения. Для доказательства теорем использованы свойства дифференцируемых функций и числовых последовательностей. При доказательстве теоремы 2 использован результат, полученный ранее автором при изучении свойств дюрации Маколея.

Первая теорема посвящена влиянию уровня процентных ставок рынка на изменчивость цены облигации. Изменчивостью цены облигации называют

относительное (процентное) изменение цены облигации ^(r) при изменении

P

ее доходности1. Под доходностью облигации, или рыночной доходностью, понимается доходность к погашению2. Рыночной доходностью называют «уровень рыночной доходности финансовых инструментов со сравнимым

риском»3. По величине ^(r) оценивают чувствительность цены облигации к

P

„ 4

изменению рыночной процентной ставки на заданную величину , т. е. процентный риск облигации — одну из важнейших ее характеристик как объекта инвестирования. Поэтому задачи о факторах, влияющих на данный показатель, представляют как теоретический, так и практический интерес. Уровень процентных ставок рынка - один из таких факторов. «Чем выше уровень доходности, тем ниже изменчивость цены»5. Это утверждение сформулировано на основе рыночных наблюдений и является эмпирическим. Задача о влиянии уровня доходности на изменчивость цены облигации в существующей литературе не рассматривалась6. Формулировка этой зависимости в виде математической теоремы и ее доказательство выглядят следующим образом.

Теорема 1. Чем выше уровень процентных ставок рынка, тем меньше относительное изменение цены облигации при изменении ее доходности на заданную величину.

Доказательство. Пусть r и Р(г) - доходность и цена облигации с потоком платежей (Сь С2, ..., Сп; t1, t2, ..., tn ) в момент t = 0. Уменьшению доходности в этот момент на величину Дг > 0 соответствует рост цены облигации на величину Д+Р(г) = Р(г - Дг) - Р(г), а увеличению доходности на Дг > 0 соответствует снижение цены облигации на величину Д-Р(г) = Р(г) - Р(г + Дг). Таким образом, величина изменения цены облигации при изменении ее доходности Д Р(г) или Д Р(г) положительна по определению. Это абсолютное изменение цены облигации, взятое со знаком «+» (абсолютный рост или абсолютное

Л п Л+ P(r) д- P(r) снижение цены). Отношение -— или -— является соответственно

P

1 См.: Фабоцци Ф. Дж. Управление инвестициями. - М. : Инфра-М, 2000. - С. 505.

2 Там же. - С. 504.

3 Там же. - С. 925.

4 См.: Шарп У. Ф., Александер Г. Дж., Бэйли Дж. В. Инвестиции. - С. 461-462.

5 Фабоцци Ф. Дж. Управление инвестициями. - С. 507.

6 Заметим, что влияние уровня доходности на абсолютное изменение цены облигации при изменении ее доходности на заданную величину рассмотрено в работе А. В. Мельникова, Н. В. Поповой и В. С. Скорняковой «Математические методы финансового анализа» (М. : Ан-кил, 2006. - С. 131).

относительным ростом или относительным снижением цены облигации при изменении ее доходности на величину Дг > 0.

Пусть для определенности доходность облигации увеличилась на Дг > 0.

Покажем, что относительное снижение цены облигации А Р(г) —

Р

это убы-

вающая функция г (исходного уровня доходности). Преобразуем ее производную к виду

Р

С

и установим монотонность функции Р (г). Так как Р(г) = X

Р(г) , (1 + г)'

1 п 1 п

Р'(г) = - Т'С(0), Р"(г) = ТгЦгЕ',+ 1)С(0),

1 + г

то

где С, (0) =

по облигации. Тогда

С

— , , = 1, 2, ..., п - приведенные к моменту ^ = 0 платежи

( Р'(г) 1 ' Р" (г)Р(г) - (Р '(г))2

Р

1

Р \г )(1 + г ) Выражение в квадратных скобках равно

I Р 2

Л ( п \ п Л 1 г п 1 п Л

- [X

2 м=1 Л ./=1 у 2 V/=1 У

. ¿=1

- i

А /=1

п \( п I 1

Xг,С,(0) I Xг£}(0) = -ХХС(0)С/(0)((г, -)2 + (г, + )) >

. ,=1 /V /=1 У 2 ,=1 /=1

Отсюда

Р"

> 0 . Значит, - - возрастающая функция г. Так

Р

Р"

<

Р

Р

. Тогда из (1) получаем

А-Р

< 0.

как г < (г + Дг), то Теорема доказана.

В табл. 1 показано поведение величины А Р(г) купонной облигации в

Р

зависимости от г для Дг = 0,1%. Вычисления подтверждают доказанное утверждение теоремы и соответствуют рыночным наблюдениям.

Т а б л и ц а 1 А = 100, т = 1, / = 10%, п = 5, Аг = 0,1%

г, % Р

1 143,681 139,269 0,0307

2 137,708 135,463 0,0163

3 132,058 130,581 0,0112

4 126,711 125,625 0,0086

5 121,647 120,798 0,0070

6 116,849 116,159 0,0059

7 112,301 111,723 0,0051

8 107,985 107,492 0,0046

9 103,890 103,462 0,0041

10 100,000 99,625 0,0038

11 96,304 95,971 0,0035

12 92,790 92,493 0,0032

15 83,239 83,017 0,0027

18 74,983 74,810 0,0023

20 70,094 69,945 0,0021

Следующая теорема (теорема 2) является естественным продолжением одной из рыночных теорем1 и посвящена ранее не изученной зависимости величины изменения цены облигации при изменении срока до погашения от уровня доходности рынка. Теорема доказана для купонной облигации. Пусть дана облигация номиналом А, купонные выплаты по которой производятся т раз в году по годовой купонной ставке /. Будем считать, что т = 1 (влияние параметра т можно изучить в отдельной задаче). При торговле на бирже информация о ценах на купонные облигации дается в виде котируемой цены. Поэтому дальше будем рассматривать только котируемые цены облигации. Пусть г _ доходность облигации в момент ^ = 0. Котируемая цена облигации в момент, когда до ее погашения остается п купонных периодов, равна

"а А

Рп = У-^ + , п = 0, 1, 2, ...,

у(1 + ) (1 + гТ

где q = /А — купонный платеж по облигации.

Предположим, что при уровне доходности облигации г срок до ее погашения сократился с п до (п — 1) купонных периодов. Тогда котируемая цена облигации, продающейся с премией, снизится на величину АРп = Рп - Рп _ 1, а цена облигации, продающейся с дисконтом, поднимется на величину АРп = Рп _ 1 _ Рп. Для облигации, продающейся по номиналу, АРп = 0. Таким образом, величина изменения цены облигации, продающейся с премией или

1 См.: Шарп У. Ф., Александер Г. Дж., Бэйли Дж. В. Инвестиции.

дисконтом, при уменьшении срока до погашения на один купонный период положительна по определению. Это абсолютное изменение цены облигации, взятое со знаком «+». Далее будем рассматривать положительные абсолютные

А P

АРп и относительные —- изменения цены облигации при изменении срока

Pn

до погашения на один купонный период. Напомним, что одна из известных теорем рассматривает зависимость АРп от п при фиксированном r.

Облигация может продаваться при разных уровнях доходности рынка.

А P

Следующая теорема устанавливает зависимость величин АРп и —- от уров-

Pn

ня процентных ставок рынка r при фиксированном значении п. Абсолютную

А P

АРп и относительную —- величину изменения котируемой цены облигации

Pn

при изменении срока до погашения на один купонный период будем рассматривать как функцию доходности r .

Теорема 2. При фиксированном п > 1 справедливы следующие утверждения:

А P

1) АРп и —- являются убывающими функциями на отрезке 0 < r < f

Pn

(облигация продается с премией при r < f и по номиналу при r = f);

А P

2) существуют точки максимумов ra функции АРп и ro функции —-

Pn

на множестве r > f (облигация продается с дисконтом при r > f).

Доказательство. Докажем утверждения теоремы для абсолютного изменения цены облигации. Для облигации, продающейся с премией, функция АРп непрерывна на отрезке [0, f и дифференцируема на интервале (0, f). Так как производная (АРп)'г = (Рп - Рп.1)'г = P'n - P^ < 0 на множестве 0 < r < f , то функция АРп является убывающей на отрезке 0 < r < f, причем АРп (r = 0) = q, АРп (r = f) = 0.

Для облигации, продающейся с дисконтом, функция АРп непрерывна на полуинтервале [f +да) и дифференцируема на интервале (f, +да). Тогда

(АРп)'г = (Рп - 1 - Рп)'г = PL - P: = К Г К ,

[ <0, г >ra

где

ra =

n -1

Следовательно, ra - точка максимума функции АРп на полуинтервале [f +«), причем АРп(г = f) = 0, АРпЫ = A^-- > 0, lim АPn(г) = 0. Утвер-

ждения теоремы для абсолютных изменений цены АРп доказаны.

г > /.

На рис. 1 показано поведение величины ДРп на множествах 0 < г < /и

ДРп

п > 1

/

Рис. 1. Зависимость величины ДРп от г

Докажем утверждения теоремы для относительного изменения цены об-

лигации. Пусть / > г. Рассмотрим производную по г функции

А Р

_п_

Р

где

ДРп = Рп - Рп - 1. Получим (АР^

\ Р ,

V п у г

1 -

Р.-1

Р

Г» V

п У г

Р1

Рп-1

Р

V п У г

Р

Р.,

Р' Р'

1 п 1 п-1

РР

п V п п-1 У

р:

1

Используем соотношения — = - О (г)—1— и —— = - О х(г)-

Рп " 1 +г Рп-1 п- 1 +г

где Бп(г) и Бп—1(г) - дюрация Маколея облигации при сроках до погашения п и (п — 1) купонных периодов и уровне доходности г. Тогда

^АР^

Р

Р

Рп

Ц- ( О-1(г ) - Бп (г ) ).

V п У г

При уровне доходности г </последовательность [Оп(г)} является воз-

растающей1 . Следовательно,

Р

К Рп У

<

0 на интервале (0, / - отношение

А Р

_п_

Р

является убывающей функцией доходности г на отрезке [0, /], причем

д А—п (г = /) = 0. Утверждение теоремы для облигации,

АР ,

(г = 0) = .

Рп ) А + пд Рп

продающейся с премией / > г), доказано.

ч

0

г

г

1 См.: Барбаумов В. Е., Гладких И. М., Чуйко А. С. Финансовые инвестиции. - Ч. 1. Инвестиции с фиксированными доходами : учебное пособие. - М. : Изд-во Рос. экон. акад., 2000. - С. 79; Мельников А. В., Попова Н. В., Скорнякова В. С. Математические методы финансового анализа. - М. : Анкил, 2006. - С. 149.

Пусть / < г. Дифференцируем по г функцию

А Р

_п

Р

, где ДРп = Рп - 1 - Рп.

Получим

^ АР ^

V Рп

Р

— ( (г) - Вп-,(г)).

Рп

Установлено, что для облигации, продающейся с дисконтом при уровне доходности г > /, существует срок п0 = п0(г) - такой, что для сроков до погашения п < п0 последовательность [Оп(г)} является возрастающей, а для п > п0 последовательность [Оп(г)} является убывающей1. При условии п0 >> 1 получено приближенное значение срока п0:

1 1 + г

пп ~ --

г г - /

На рис. 2 показана зависимость точки максимума п0 от г по формуле (4). Тогда для фиксированного п > 1 получаем:

^ АР ^ "

_п

V Рп У

> 0, / < г < г < 0, г > г

где г0 является решением уравнения п0(г) = п (рис. 2). Отсюда следует, что го -

АР

точка максимума функции —- на множестве / +<»), причем

АР АР г (г - /) (г = /) = 0, (г ) =-'^-Ц.-

Р Р (г - /) + /(1 + г )п

АР

> 0, 11т —п- = 0 .

г « Р

п0

п0(г) > п - 1(г) < Д,(г),/< г < г(

0 / г го г г'

Рис. 2. Зависимость срока п0 от уровня доходности г

1 См.: Попова Н. В. О некоторых свойствах дюрации Маколея // Вестник финансового университета. - 2011. - № 1 (61).

Для п0(г) по формуле (4) приближенное решение уравнения п0(г) = п имеет следующий вид:

^ ^ (п/ + 2) + Vп2/2 + 4 + 4/ 0 ~ 2(п -1) .

Утверждение теоремы для облигации, продающейся с дисконтом (/ < г), доказано. Теорема доказана полностью.

В табл. 2 приведены вычисления абсолютного ДРп и относительного

А—

—- изменений котируемой цены облигации при уменьшении срока до пога-

—п

шения на один купонный период для фиксированного п и различных значений г облигаций с / > г и / < г. В области г > / в таблице выделены точки максимумов га и г0 . Как видно из табл. 2, результаты вычислений подтверждают доказанные утверждения 1 и 2 теоремы 2.

Т а б л и ц а 2 А = 100, т = 1, / = 10%, п = 10

г, % ДРп ДРп / Рп

1 8,147583 0,04398351

2 6,562786 0,03818667

3 5,208657 0,03261293

8 0,926387 0,00816775

9 0,422411 0,00396937

10 0,000000 0,00000000

11 0,352184 0,00374223

12 0,643946 0,00725986

13 0,883765 0,01055604

22,1 1,642967 0,03118583

22,2 1,643039 0,03132813

22,3 1,643011 0,03146879

34,0 1,285770 0,03873566

34,1 1,281531 0,03873607

34,2 1,277292 0,03873571

В табл. 3 приведены значения точек максимумов га и го для/< г и различных п. Ставки га и го, полученные из непосредственных вычислений ДРп и А Р

—- для различных г, близки к значениям по формулам (3) и (5) соответст-

—п

венно (с увеличением п значение го точнее).

Т а б л и ц а 3

A = 100, m = 1, f = 10%

n 10 20 30 40 50 100

Га, % 22,2 15,7 13,8 12,8 12,2 11,1

ra (3), % 22,20 15,80 13,80 12,80 12,20 11,10

Го, % 34,1 18,8 15,2 13,6 12,7 11,2

Го (5), % 29,58 18,15 14,93 13,48 12,68 11,22

Обсуждение результатов. Основной результат данной работы - математические доказательства теорем и их подтверждение результатами вычислений. Согласно теореме 1, чем выше уровень доходности рынка, тем меньше процентное изменение цены облигации при изменении ее доходности на заданную величину, а следовательно, тем меньше ее процентный риск. Таким образом, теорема 1 устанавливает влияние уровня доходности рынка на инвестиционные свойства облигации, что может представлять интерес для инвестора.

Теорема 2 устанавливает влияние уровня доходности рынка на величину изменения цены облигации при изменении срока до погашения на один ку-

А Р

понный период. Доказано наличие максимумов функций ДРп и —- и полу-

Рп

чено подтверждение этого факта с помощью вычислений. Значения доходно-стей га и го, близкие к значению купонной ставки, соответствуют большим значениям п. Из этого можно заключить, что результаты теоремы 2 могут иметь практическое значение для долгосрочных бумаг.

Как видим, применение математических методов позволяет получить продолжение известных рыночных теорем. Результаты получены в рамках теории финансовых инвестиций с фиксированным доходом в условиях определенности, в основе которой лежат указанные теоремы. Предложенные теоремы позволяют дополнить данную теорию.

Список литературы

1. Мельников А. В., Попова Н. В., Скорнякова В.С. Математические методы финансового анализа. - М. : Анкил, 2006.

2. Попова Н. В. О некоторых свойствах дюрации Маколея // Вестник финансового университета. - 2011. - № 1 (61).

3. Попова Н. В. Рыночные теоремы как математические // Материалы Международной VIII научно-практической конференции «Образование и наука XXI века - 2012». 17-25 октября 2012 г. Республика Болгария. - София : ООД «Бял ГРАД-БГ», 2012.