Рассеяние звука неоднородным упругим эллиптическим цилиндром в акустическом полупространстве

УДК 539.3; 534.26

РАССЕЯНИЕ ЗВУКА НЕОДНОРОДНЫМ УПРУГИМ ЭЛЛИПТИЧЕСКИМ ЦИЛИНДРОМ В АКУСТИЧЕСКОМ ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ

С.А. Скобельцын, Н.Ю. Пешков

Представлено решение задачи дифракции плоской звуковой волны на неоднородном упругом эллиптическом цилиндре, находящимся в идеальной жидкости, граничащей с упругим полупространством. Предполагается, что материальные параметры внешнего слоя цилиндра зависят от расстояния от поверхности его внутренней - однородной - части. Решение проводится в предположении малого влияния переотражения звука от упругого полупространства. Получено численно-аналитическое решение задачи с использованием метода конечных элементов (МКЭ). Показано влияние геометрических параметров задачи и параметров неоднородности цилиндра на рассеянное поле в дальней зоне.

Ключевые слова: дифракция звука, гармоническая плоская волна, неоднородный упругий эллиптический цилиндр, упругое полупространство, метода конечных элементов.

В реальных условиях рассеяние звука препятствиями происходит в присутствии различных ограничивающих поверхностей. Поэтому при решении задач дифракции наряду с формой и свойствами материала основного рассеивающего объекта важно учитывать характер таких поверхностей. Решение подобных задач может быть использовано при разработке и анализе инженерных решений в области ультразвуковой диагностики и гидроакустики.

Изучению отражения звука объектами в виде эллиптического цилиндра посвящен ряд работ. В работах [1-5] решается задача о рассеянии звука эллиптическим цилиндром с идеальной поверхностью - акустически жесткой или мягкой. В работе [6] представлено решение для эллиптического цилиндра со смешанными граничными условиями. Случай дифракции на цилиндрических включениях с эллиптическим сечением, заполненных жидкостью, рассмотрен в работах [7-10]. Авторами статей [11-17] решается задача о рассеянии звуковых или упругих волн эллиптическими цилиндрами из упругого материала. Особенности формы сечения цилиндра и свойств содержащей жидкости учтены в работах [5, 18, 19]. В работах [15-17, 20, 21] решаются задачи дифракции звуковых волн на эллиптических оболочках и цилиндрах с полостями. В некоторых работах, например [15], предложено решение для случая неоднородного материала цилиндра.

В большей части работ о дифракции волн на эллиптическом цилиндре предполагается, что поверхность является идеальной или заполнитель препятствия является однородным, а процесс наблюдается в неограничен-

183

ном пространстве. В данной работе рассматривается случай рассеяния звука бесконечным упругим эллиптическим цилиндром с внешним неоднородным слоем, причем предполагается, что цилиндр находится в идеальной жидкости, граничащей с упругим полупространством. Геометрическая постановка задачи показана на рис. 1.

Рис. 1. Геометрия задачи

Символом П обозначена поверхность упругого полупространства , которая также является границей области , заполненной идеальной

жидкостью, имеющей плотность ро и скорость звука сд. Эллиптичекий цилиндр представлен на рисунке двумя нормальными сечениями и двумя образующими. Пунктирными линиями показаны соответствующие элементы для внутренней - однородной - части цилиндра ^. Нормальное

сечение цилиндра представляет собой эллипс с полуосями а и Ь. Ось цилиндра и его образующие параллельны плоскости П. Расстояние от оси

184

сти полагается, что

Y

тР

цилиндра до поверхности упругого полупространства равно d. На рисунке оно показано как длина отрезка, проведенного из центра сечения цилиндра к границе полупространств по нормали к П .

Символом W обозначен внешний - неоднородный - слой цилиндра, который имеет постоянную толщину h . Заметим, что при таком введении неоднородного покрытия цилиндра сечение его внутренней поверхности является эллипсом с полуосями a и b, а сечение внешней поверхности в общем случае не является эллипсом. Плотность и модули упругости Ламе в слое W представляют собой заданные функции координат точки пространства: p(r), 1(r), m(r), где r - радиус-вектор. Соответствующие материальные параметры в Wj и W2 являются постоянными величинами и обозачены pi, Ij, m и Р2, 12, ^2, соответственно.

На цилиндр W U Wj падает плоская гармоническая звуковая вона, потенциал скорости в которой имеет вид [22]

Yp = exp[i

где i - мнимая единица; t - время; w - круговая частота; k0 - волновой вектор, направление которого, определяет направление распространения волны, а длина |k0 = ko = w/со - волновое число. Без ограничения общно-

1. Далее у величин, зависящих от времени, множитель exp(-iwt) будем, как правило, опускать.

При условии, что kо, геометрические характеристики a, b, h , d, а также материальные параметры сред заданы, требуется определить рассеянное звуковое поле вне цилиндра и поле упругих колебаний в области W U Wj. Решение будем искать на основе моделей линейной теории упругости и идеальной жидкости [22, 23].

Предположим, что d >> max(a,b) + h, тогда действием волн, которые получаются в результате отражения от поверхности П волн, отраженных цилиндром (т. н., переотраженных волн) можно пренебречь. В этих условиях совокупность волновых полей в рассматриваемой задаче может быть представлена набором функций, представленных на рис. 2.

В процессе отражения первичной волны Yp упругим полупространством в каждой точке M поверхности П в общем случае формируются три плоские волны. В акустической среде Wo : отраженная звуковая -Yg; в упругой среде W2: прошедшие продольная - Y2 и поперечная - Ф2

. Полагается, что Yg - потенциал скорости; Y2, Ф2 - потенциалы смещения [23]. Тогда поле смещений в упругом полупространстве W2 будет представлено вектором

u2 = grad Y2 + rot Ф2.

185

Рис. 2. Волновые поля

Под действием первичной волны Чр и отраженной от поверхности

П вторичной Чц звуковых волн в цилиндре формируются поля упругих

колебаний, которые будем представлять векторами смещений частиц среды: ц - в однородной части и и - в неоднородном покрытии. Взаимодействие звуковых полей и упругих колебаний цилиндра порождает отраженное звуковое поле, которое будем также характеризовать потенциалом скорости ^. Таким образом, суммарное звуковое поле в акустической среде Од будет определяться линейной комбинацией падающей волны, волны отраженной от упругого полупространства и поля, рассеянного цилиндром

Чо =Чр + ^.

Для математической формулировки задачи введем две декартовых системы координат (рис. 3). Основную систему х, у, £ с началом О введем так, чтобы поверхность упругого полупространства совпадала с коор-

186

динатной поверхностью у = 0, а ось 02 была проекцией на П оси упругого цилиндра. Вторую систему координат Х}, у\, 2} с началом в точке 0\ свяжем с цилиндром так, чтобы ось 0^ была направлена по оси цилиндра, а координатные линии х\, у} содержали полуоси эллипса в сечении цилиндра О} так, что его поверхность Ц описывается каноническим уравнением

х2/ а2 + у2/ Ь2 = 1.

Рис. 3. Введение систем координат

Разместим точку Oj так, чтобы ее координаты в основной системе координат были (0, d ,0).

Тогда связь между координатами x, y, z и xj, yj, zj может быть представлена в виде:

xi = x cos a + y sin a, yj =- x sin a + y cos a- d, zj = z,

где a - угол между осями Oy и Ojyj.

187

Если считать, что x, y¡ удовлетворяют (4) (лежат на поверхности Ц), то координаты точек внешней поверхности неоднородного слоя Г можно получить по соотношениям

Г: x¡ = xi + hnx, y¡ = y + hny, z¡ = zb

,2 2 ~ где nx = xib e, ny = yia e - компоненты единичной внешней нормали к

( 2 4 2 4Vi/2 xi b + yi a J .

В аналогичной (5) форме в системе координат можно представить все точки области неоднородного слоя

W: x{ = xi + qnx, y = yi + qny, z¡ = zi,

где xi, yi удовлетворяют (4); параметр q - действительное число из интервала (0,h].

При указанном порядке выбора систем координат и независимости параметров неоднородного материала от координаты z задача становится "почти" двумерной, поскольку в силу закона Снеллиуса [22] зависимость всех параметров движения от координаты z будет одинаковой и такой, какой она задана в падающей волне. Если представить волновой вектор в потенциале падающей волны (i) в системе x, y, z так

kо = ko (sin 0o cos jo,sin 0o sin jo,cos 0o), (0o - угол между волновым вектором и осью z, а jo - угол между проекцией k o на плоскость z = o и осью Ox),

то эта зависимость будет иметь вид exp(ko z), где ko z = kocos 0o - проекция волнового вектора падающей волны на ось z .

На рис. 4 показано сечение z = o геометрии задачи. Это сечение показывает компоненты постановки задачи, характерные для любого сечения z = const. Падающая, отраженная и прошедшие в W волны здесь представлены проекциями волновых векторов ko, ki, k2, x2 соответствующих волн на плоскость xOy.

Поскольку проекции векторов ko, ki, k2, x2 на плоскость П должны совпадать, то векторы ki, k2, x2 имеют вид:

ki = (ko x, - kosin 0osin j0, ko z ), k 2 = (ko x, - k2 y, ko z ), X 2 = (ko x, -%2y, ko z X

Í2 2 2^/2

где kox = ko sin 0o cos jo - проекция ko на ось x; k2y = ^2 - kox - koz) ;

k2 = w(p2/(I2 + 2^2))i/2 - волновое число продольных волн в W2;

С2y = (c2 -kox -ko2z J/2; C2 = w(p2 /m2)i/2 - волновое число поперечных волн в W2 .

i88

Рис. 4. Компоненты постановки задачи в сечении 1=0

Далее рассмотрим уравнения, которым должны удовлетворять введенные неизвестные функции. Потенциалы скорости и должны

удовлетворять уравнению Гельмгольца [22] в Од :

+ ЦЧ» _ 0

Д^ + ^ = 0.

Потенциалы смещений в продольной и поперечной волнах в однородной упругой среде О2, определяющих смещение (2), удовлетворяют волновым уравнениям [23]:

Д^2 + ^ = 0, ДФ 2 +С 2Ф 2 = 0.

Для описания движения в упругом цилиндре будем использовать уравнения малых гармонических колебаний в напряжениях в системе координат х, у, 2 [23]:

Эа хх Эа ху , Эа_ -Рщх, Эа ух Эауу , Эа у2

Эх н  Эу Т" — Э2 + Эх Эу Э2

Эа 2Х , Эа 2у 1 Эа РЩ2 ,

Эх Эу Э2

= -рщ

у

где общений.

компоненты тензора напряжений; щ - компоненты вектора сме-

Компоненты тензора напряжений выражаются через производные компонент вектора смещений посредством закона Гука [23]. Будем применять уравнения (9) как в области О по отношению к вектору и, так и в области по отношению к вектору и.

На поверхностях взаимодействия идеальной жидкости и упругой среды должны выполняться условия равенства нормальных скоростей и компонентов вектора напряжений. На поверхности упругого полупространства О2 эти условия выражаются соотношениями:

Э

у = 0: -¿шЫ2у =-/Эу 1 , С2уу = -¿юро

где индекс 2 указывает на принадлежность компонент области О2. Заметим, здесь фигурирует не весь потенциал скорости ^о, предполагается, что у поверхности П пренебрежимо мал по сравнению с .

На внешней поверхности цилиндра Г аналогичные условия формулируются в виде:

г е Г: - т ип = Э^о / Эп, опп = -¿юр о^о, спт = 0, ап2 = 0.

где ип нормальная составляющая вектора и; опп, опт, ап2 - нормальная и две касательных составляющих вектора напряжений в области О.

На границе взаимодействия однородной упругой среды цилиндра и внешнего неоднородного слоя потребуем непрерывности деформаций и вектора напряжений:

г е Г1: и1 = и , °1пп = °пп, °1пт = °пт, °1пг = °пг .

Здесь величины без индекса относятся к неоднородному слою, а с индексом 1 - к области О1.

Таким образом, математически задача предполагает решение уравнений (7)-(9) с учетом граничных условий (10)-(12). Кроме того, потенциал скорости в рассеянном поле должен удовлетворять условиям излучения на бесконечности [22].

В соответствии со сделанными предположениями решение первого уравнения (7) и уравнений (8) с учетом граничных условий (10) может быть проведено независимо. Это - известная задача об отражении плоской звуковой волны ^о от упругого полупространства [24]. Представляя потенциалы , ^2, Ф2 в виде:

= Аехр[г(к1  г - Ш)], ¥2 = В ехр[/(к2  г - Ш)], Ф2 = С ехр[(х2  г - Ш)] и используя граничные условия (10), найдем коэффициент А

А = ,

(¡1 - d2

где

di = k0yk2 (k0i - c2y ^2 + 2k0yk2y (2k0l(k2y - %2y ) - k2yC2 К

koi = kox + koz; dl = k2yC2PoW2 .

Представим компонены смещения в цилиндре в виде ux = u

Подставляя (14) в (9), получим следующую систему уравнений относительно функций u , v, w:

(Xu'x+ivy + giw)x+(mvx+muy)y + gm(wx + gu) = -p w u,

(mw'x + gmu )i + (mwy + g^oy + g(lux + ivy + gXw)'=-pw w,

где штрих обозначает частную производную по координате, указанной в нижнем индексе; g = -ikoz.

Решить уравнения (15) аналитически при сделанных предположениях об условиях задачи нельзя потому, что зависимости p(r), l(r), m(r) являются достаточно произвольными функциями координат x, y (или xi, yi), а поверхность Г в общем случае не является координатной поверхностью ортогональной системы координат. Воспользуемся подходом, предложенным в работе [25], позволяющим получить численно-аналитическое решение.

Выделим в окрестности неоднородного эллиптического цилиндра слой окружающей жидкости Wo так, чтобы внешняя поверхность Wo - Г) представляла собой круговой цилиндр радиуса R с осью, совпадающей с Oizi. Уравнение поверхности To представим в виде

ro : x2 + xl = R2.

Теперь область W' = Wo U W U Wi будем рассматривать как неоднородное препятствие для волн Yp, Yq в виде кругового цилиндра. Решение

уравнений движения в W будем выполнять с помощью метода конечных элементов [25, 26]. Для этого в области W'o введем новую неизвестную величину Y - потенциал скорости движения частиц в идеальной жидкости в области W'o . Он должен удовлетворять уравнению вида (7). На границе Г должны выполняться условия вида (ii), в которых вместо Yp надо использовать Y . На внешней границе W должны выполнятся условия непрерывности давления и нормальной скорости:

rе To : Y = Yo, 3Y/dn = 3Yo/dn.

i9i

Для удобства записи последующих соотношений перенесем начало основной системы координат х, у, 2 в точку 0\ и свяжем с ней цилиндрическую систему координат г, ф, 2. Решим второе уравнение (7) в системе систему координат г, ф ,2 методом разделения переменных с учетом уже известной зависимости от 2. Получим ряд [27]

Y = f

m=-¥

Í2 2 F2

где Am - пока неизвестные коэффициенты; ki = ko - koz) ; Hm (x) - цилиндрическая функция Ханкеля первого рода порядка m , которая обеспечивает выполнение условий излучения на бесконечности для Ys ;

f (z) = exp(-ikozz) •

Разложим по функциям Бесселя в форме (17) и сумму плоских волн Yp, Yq [27]:

¥

Yp + Yq = f

m=-¥

где Jm (x) - цилиндрическая функция Бесселя первого рода порядка m ;

gm = im(exp[i(koyd - mjo)] + Aexp[i(mjo - koyd)]); A определяется выражением (13).

В соответствии с методом МКЭ область W разбивается на конечные элементы (пример разбиения см. на рис. 5) и неизвестные функции в ней представляются в виде линейных комбинаций:

K K

Y = f

k=1 k=1

где K - число узлов конечно-элементной сетки; k - номер узла; fk (x, y) -координатная функция узла k ; f (z)yk, f (z)Uk значения искомых функций в узле k .

Подставим (3), (17), (18) и выражение Y из (19) в первое из граничных условий (16) и воспользуемся ортогональностью функций exp(imj) при различных m на отрезке [o,2p]. Получим выражение коэффициентов Am из (17) через узловые значения потенциала Y на окружности To

1 2p

Am = — I Vk ífk

2p kîKo o

где Ko - множество номеров узлов сетки конечных элементов на G .

ОО

Используя (20) во втором граничном условии (16), получим уравнение, которое содержит только узловые значения уk (kе Ko).

Рис. 5. Разбиение области О' конечными элементами

Таким образом, для рядов (19) получаем замкнутую краевую задачу в области О ', которая представлена уравнением Гельмгольца вида (7) для ^, уравнениями движения в форме (15) для и и граничными условиями: (11), (12), второе условие (16).

Решая указанную задачу методом конечных элементов, получим узловые значения уk, иk. Подставляя уk в (20), находим коэффициенты в разложении рассеянного поля (17).

Полученное решение было использовано для проведения численных экспериментов для анализа нормированной форм-функции амплитуды потенциала скорости в рассеянной волне вдали от цилиндра

F (Ф):

2

Л]pkoa,

X

m=¥

где a/ = (я + Ь)/2 + h; величина koa/ - приведенный волновой размер сечения цилиндра - характеризует отношение среднего радиуса цилиндра и длины волны. Величина F (ф) получена на основе асимптотического пове-

193

оо

дения функции Ханкеля при больших значениях аргумента и пропорциональна амплитуде давления в дальней зоне рассеянного поля [27] в плоскости нормального сечения цилиндра (плоскости х0у ).

При расчетах использовались следующие свойства идеальной жидкости в ро = 1000кг/м , Со = 1485 м/с. Упругая среда однородной части цилиндра и упругого полупространства О0 задавалась свойствами:

р2 =р1 = 2700 кг/м3, 12 =11 = 5.3-1010 Н/м2, |12 = т = 2.6 -1010 Н/м2. Базовые характеристики материала неоднородного слоя выбраны такими же, что и в однородной части цилиндра. Здесь представлены варианты неоднородности слоя, когда в нем меняется только плотность. Так что свойства среды в области О имеют вид: р = /(д)р1, 1 = 1-1, т = М1, где д - параметр, введенный в соотношениях (6) и имеющий смысл расстояния до текущей точки неоднородного слоя цилиндра до поверхности его однородной части.

Рассматривались три варианта зависимости /(д):

а) Мд) = 1; б) Л

Случай а) соответствует однородному материалу. В случае б) величина плотности линейно убывает от величины 1.5р1 на внутренней поверхности неоднородного слоя до значения 0.5р1 на внешней поверхности. Функция /2(4) задает вариант линейного возрастания плотности от 0.5р1 до 1.5р1.

Были использованы следующие параметры геометрии задачи: Ь / а = 0.5, И / а = 0.2, й / а = 15. Приведенный волновой размер сечения цилиндра был задан 7.5. В большей части представленных расчетов полагается, что а = 20°, 00 = 90°, ф0 = -20°.

На рис. 6-11 представлены диаграммы зависимостей (21) (фе [0,р]) при некоторых сочетаниях параметров задачи. Штриховой линией на графиках показана зависимость ¥(ф) для случая однородного цилиндра (/(д) = /)(д)) с числовыми значениями параметров, указанными выше. Тонкой пунктирной линией вблизи начала координат изображено сечение цилиндра с внешним слоем. Оно иллюстрирует соотношение а, Ь, И и угол а .

На рис. 6 сплошной линией изображена диаграмма для й = 30а. Таким образом, увеличение расстояния цилиндра от упругого полупространства приводит к небольшому изменению коэффициента отражения (в сторону увеличения в освещенной области и - уменьшения в теневой).

Рис. 7 иллюстрирует влияние на рассеянное поле поворота цилиндра вокруг оси. Сплошной линией показана диаграмма для а= 25°. Увеличение а на 5° изменяет максимум в лепестках диаграммы направленности от 8% до 17%.

Рис. 6. Диаграмма ^(ф) при изменении й

Рис. 7. Влияние угла поворота цилиндра а

195

Полученное решение предполагает в общем случае произвольную ориентацию волнового вектора падающей волны по отношению к оси цилиндра. В большей части представленных расчетов предполагается, что угол между ними прямой (0О = 90°). А на рис. 8 показано изменение диаграммы направленности при 0о = 60° (сплошная линия). Как видно изменение направления распространения волны приводит и к значительным изменениям и коэффициента отражения в максимумах лепестков диаграммы и их углового расположения. Кроме того наблюдается появление узкого лепестка при ф = 0.

Рис. 8. Диаграмма F(j) при изменении 0о

На рис. 9-10 показано влияние неоднородности внешнего слоя цилиндра. Сплошная линия на рис. 9 построена для случая, когда плотность покрытия изменяется по закону (22 б).

Эта неоднородность приводит к уменьшению коэффициента отражения в боковых лепестках диаграммы F (ф) и увеличению в двух основных лепестках.

Рис. 10 показывает, что неоднородность вида р = f2(q)Pl уменьшает максимумы коэффициента отражения в крайних лепестках при ф = 15°, 40°, 155°. При этом в трех центральных лепестках, примыкающих к ф = 90°, коэффициент отражения увеличивается.

196

Наконец, рис. 11 иллюстрирует изменение диаграммы направленности F (ф) при использовании покрытия цилиндра из другого материала. Сплошная линия на нем показывает зависимость (21) для случая, когда ма-

197

териал внешнего слоя цилиндра является однородным со свойствами:

р = 8960кг/м3, 1 = 13.8 1010Н/м2, | = 4.4 1010Н/м2. Приведенная диаграмма показывает, что выбором материала покрытия можно значительно изменить характеристики рассеяния звука цилиндром.

Таким образом, представленные результаты показывают, что при =7.5 на процесс рассеяние заметное влияние оказывают и геометрические параметры задачи и свойства материала внешнего слоя цилиндра. Это может быть использовано при идентификации параметров задачи по рассеянному звуковому полю.

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 18-11-00199).

Список литературы

1. Barakat R. Diffraction of plane waves by an elliptic cylinder // J. Acoust. Soc. Am. 1963. V. 35. N. 12. P. 1990-1996.

2. Лейко А.Г., Омельченко А.В. Дифракция плоской звуковой волны на акустически жестких эллиптических цилиндрах // Акустический журнал. 1976. Т. 22. № 1. С. 171-173.

3. Lauchle G.C., Kim K. Acoustic Intensity Scattered from an Elliptic Cylinder // J. Acoust. Soc. Am. 2001. V. 109. N. 5. P. 2342-2342.

198

4. Mitri F.G. Acoustic backscattering and radiation force on a rigid elliptical cylinder in plane progressive waves // Ultrasonics. 2015. V. 66. P. 27-33.

5. Андронов И.В. Дифракция на эллиптическом цилиндре с сильно вытянутым сечением // Акустический журнал. 2014. Т. 60. № 3. С. 219-226.

6. Андебура В.А. Силецкий С.М. Рассеяние звука эллиптическим цилиндром со смешанными граничными условиями // Акустический журнал. 1973. Т. 19. № 6. С. 897-901.

7. Burke J.E. Low-frequency approximation for scattering by penetrable elliptic cylinders // J. Acoust. Soc. Am. 1964. V. 36. N. 11. P. 2059-2070.

8. Goel G.C. Jain D.L. Scattering of plane waves by a penetrable elliptic cylinder // J. Acoust. Soc. Am. 1981. V. 69. N. 2. P. 371-379.

9. Hong K., Kim K. Natural mode analysis of hollow and annular elliptical cylindrical cavities // J. Sound and Vibration. 1995. V. 183. N. 2. P. 327-351.

10. Hasheminejad S.M., Sanaei R. Acoustic Scattering by an Elliptic Cylindrical Absorber // Acta Acustica united with Acustica. 2007. V. 93. N. 5. P. 789-803.

11. Pillai T.A., Varadan V.V., Varadan V.K. Sound scattering by rigid and elastic infinite elliptical cylinders in water // J. Acoust. Soc. Am. 1982. V. 72. N. 4. P. 1032-1037.

12. Pereira A., Tadeu A., Antonio J. Influence of the cross section geometry of a cylindrical solid submerged in an acoustic medium on wave propagation // Wave Motion. 2002. V. 36. N. 1. P. 23-39.

13. Leon F., Chati F., Conoir J.-M. Modal theory applied to the acoustic scattering by elastic cylinders of arbitrary cross section // J. Acoust. Soc. Am. 2004. V. 116. N. 2. P. 686-692.

14. Seyyed M.H., Sanaei R. Acoustic radiation force and torque on a solid elliptic cylinder // J. Comp. Acoust. 2007. V. 5. N. 3. P. 377-399.

15. Толоконников Л. А., Лобанов А.В. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом эллиптическом цилиндре с полостью // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2011. Вып. 3. С. 126-136.

16. Скобельцын С.А., Ларин Н.В. Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре с неконцентрической эллиптической полостью // Вестн. ТулГУ. Серия: Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. 2011. Вып. 1. С. 38-48.

17. Толоконников Л. А. О рассеянии плоской звуковой волны упругим эллиптическим цилиндром с несколькими полостями // Известия ТулГУ. Естественные науки. 2012. Вып. 2. С. 157-164.

18. Scharstein R.W. Davis A.M.J. Acoustic scattering by a rigid elliptic cylinder in a slightly viscous medium // J. Acoust. Soc. Am. 2007. V. 121. N. 6. P. 3300-3310.

19. Hasheminejad S.M., Sanaei R. Ultrasonic scattering by a fluid cylinder of elliptic cross section, including viscous effects // IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics and Frequency Control. 2008. V. 55. N. 2. P. 391404.

20. Simon M.M., Radlinski R.P. Elastic wave scattering from elliptical shells // J. Acoust. Soc. Am. 1982. V. 71. N. 2. P. 273-281.

21. Chinnery P.A., Humphrey P.A. Fluid column resonances of water-filled cylindrical shells of elliptical cross section // J. Acoust. Soc. Am. 1997. V. 103. N. 3. P. 1296-1305.

22. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.

23. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

24. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973.

344 с.

25. Королев А.Н., Скобельцын С. А. Метод конечных элементов в задаче о рассеянии плоской упругой волны неоднородным цилиндром // Известия ТулГУ Сер. Математика. Механика. Информатика. 2005. Т. 11. Вып. 5. С. 187-200.

26. Ihlenburg F. Finite element analysis of acoustic scattering. New York: Springer Publishing Comp. Inc., 2013. 226 p.

27. Скучик Е. Основы акустики. М.: Мир, 1976. Т. 2. 542 с.

Скобельцын Сергей Алексеевич, канд. физ.-мат. наук, доцент, skbl@,rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Пешков Никита Юрьевич, аспирант, инженер-программист, ni-kita.peshkoff@yandex. ru, Россия, Тула, Developer Express Inc.

SCATTERING OF SOUND BY AN INHOMOGENEOUS ELASTIC ELLIPTIC CYLINDER IN AN ACOUSTIC HALF-SPACE

S.A. Skobel'tsyn, N.Y. Peshkov

A solution of the problem of diffraction of a plane sound wave on a inhomogeneous elastic elliptic cylinder is presented. The body is in an ideal fluid bounded by an elastic halfspace. It is assumed that the media parameters of the outer layer depend on the distance from the surface of the homogeneous part of the cylinder. The solution is carried out under the assumption of a small effect of the reflection of sound from an elastic half-space. A numerical-analytical solution of the problem is obtained using the finite element method (FEM). The influence of the geometric parameters of the problem and the parameters of the cylinder inho-mogeneity on the scattered sound in the far field is shown.

Key words: sound diffraction, harmonic plane wave, inhomogeneous elastic elliptical cylinder, elastic half-space, finite element method.

Skobel 'tsyn Sergey Alekseevich, candidate of physical and mathematical sciences, docent, skbl@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Peshkov Nikita Yurievich, postgraduate, software engineer, ni-kita.peshkoff@yandex. ru, Russia, Tula, Developer Express Inc.