Поверхностные волны в нематических жидких кристаллах

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2012. №3

71

УДК 532.6

ПОВЕРХНОСТНЫЕ ВОЛНЫ В НЕМАТИЧЕСКИХ ЖИДКИХ КРИСТАЛЛАХ

А. Г. Калугин1

Представлено решение задачи о распространении гармонических волн малой амплитуды вдоль поверхности несжимаемого нематического жидкого кристалла. Исследовано приближение, когда эволюция вектора ориентации определяется вязкими напряжениями, а упругостью ориентации можно пренебречь. Получено аналитическое решение и выведено дисперсионное соотношение в случаях планарной и гомеотропной начальной ориентации директора.

Ключевые слова: поверхностные волны, нематические жидкие кристаллы.

The problem of small-amplitude harmonic wave propagation along the surface of a nematic liquid crystal is considered when the evolution of the orientation vector is specified by viscous stresses and the orientational elasticity can be ignored. An analytic solution and a dispersion relation are obtained in the case of the planar and homeotropic initial orientation of this vector.

Key words: surface waves, nematic liquid crystals.

1. В модели нематических жидких кристаллов анизотропия жидкости описывается единичным вектором n, задаваемым осредненной ориентацией длинных осей молекул частицы среды или, возможно, более сложных структурных образований [1]. В условиях равновесия необходимо учитывать внутреннюю ориентационную энергию, квадратично зависящую от пространственных производных директора с коэффициентами порядка K ~ 6 пН. Но уже при наличии течения жидкого кристалла с числом Рейнольдса Re ^ pK/n ~ 10"6 [1, 2], где n — характерный коэффициент вязкости, можно пренебречь упругостью ориентации в уравнениях движения и рассматривать модель вязкой анизотропной несжимаемой жидкости с тензором вязких напряжений Лесли [3], компоненты которого имеют вид

rij = alninj nqnr eqr + a2 Ninj + a3Nj ni + a4eij + a5ninqejq + a6nj nq eiq,

где eij — компоненты тензора скоростей деформаций; аг — коэффициенты вязкости Лесли; dni 1

N% = —--— [rotv,]!]1 — производная Яуманна, описывающая вращение директора относительно частицы среды. Система уравнений движения при этом имеет вид

vy = 0, p — + V\p-U)=V^,

где v% — компоненты скорости, p — плотность, p — давление, U — потенциал гравитационных сил, 71 = аз — а2, 72 = аб — а5, причем из трех уравнений (2) независимыми являются только два в силу условия единичности директора n.

2. Рассмотрим задачу о распространении простой гармонической волны малой амплитуды вдоль поверхности ориентируемой жидкости с бесконечной глубиной в однородном гравитационном поле. Выберем декартову систему координат x, y, z так, чтобы ось z была направлена противоположно силе тяжести g, а ось x — вдоль горизонтальной составляющей волнового вектора k. При этом для линеаризации уравнений (1), (2) достаточно заменить в них компоненты директора n общего положения на их начальное значение, а полную производную по времени — на частную.

Будем искать решение линеаризованных уравнений (1), (2) вида уг = Re (ui(z) E)), p — U = Re (q(z) E), при этом форма свободной поверхности задается уравнением z = Re (QE), где k — вещественное положительное число, Q — комплексная постоянная и E = exp(i(ut — kx)). В случае произвольной начальной

1 Калугин Алексей Георгиевич — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. гидромеханики мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

kalugin@mech.math.msu.su.

72

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2012. №3

ориентации директора система уравнений движения сводится к системе двух обыкновенных дифференциальных уравнений седьмого порядка относительно щ и U3. Однако в двух наиболее часто изучаемых начальных распределениях ориентации — планарной и гомеотропной, когда начальное положение директора имеет вид A) (1, 0, 0), B) (0,1, 0), C) (0, 0,1), — уравнения для этих функций разделяются:

ап33у — и3

fou'i + и2

что позволяет получить аналитическое решение задачи о волнах. Здесь для начальной ориентации директора в случаях A и C имеем а = а4/2 + а5/2 + а6/2 — 72(а2 + а3)/(271), ¡31 = а1 + 2а4 + а5 + а6 — 2а, для ориентации B уравнения (3), (4) совпадают с уравнениями для изотропной жидкости [4], коэффициенты ^2, вз зависят от ai и начального распределения директора.

Граничные условия в данной постановке сводятся к требованию затухания решений при z —ж и изотропному поверхностному натяжению на поверхности z = 0, что в вышеуказанных случаях приводит к соотношениям для касательных т13 = 0, т23 =0 и нормальной т33 — p + U = —pgZ + yZxx составляющих тензора поверхностных напряжений, где 7 — коэффициент поверхностного натяжения, и к кинематическому условию w = Zt; давление отсчитывается от внешнего, вязкость и инерционность внешней среды не учитываются. При этом граничные условия на v2 отделяются от условий на v1, v3, p.

С учетом граничных условий получаются решения v2 = 0 и U3 = C1exp(k1z) + C2exp(k2z), где k1, k2 — корни характеристического уравнения (3), при этом Re k1 > 0, Re k2 > 0, а C1, C2 — произвольные комплексные постоянные. Далее из уравнений (1) вычисляются v1 и p. Требование существования нетривиального решения для vi, p приводит к дисперсионному соотношению, связывающему волновое число k и частоту и, которая в данном случае будет комплексной. В случае B решение совпадает с решением для изотропной жидкости, а в случаях A и C дисперсионное соотношение принимает вид

(k1 k2 — k2 )(ри2 — iuk2(e1 + а)) = k2(k1 + k2 )(pg + 7k2) + ia(k2 k| + k^k2 + k|k2 + k1k2k2).

Таким образом, для отдельных случаев начальной ориентации директора возможно аналитическое решение задачи о распространении поверхностных волн в слое нематического жидкого кристалла. При этом существенную роль в дисперсионном соотношении играют коэффициенты вязкости, что может быть использовано для их экспериментального определения в соответствии с методикой, предложенной в [5].

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 11-01-00188).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Де Жен П. Физика жидких кристаллов. М.: Мир, 1977.

2. Беляев В.В. Вязкость нематических жидких кристаллов. М.: Физматлит, 2002.

3. Leslie F.M. An analysis of a flow instability in nematic liquid crystals //J. Phys. D: Appl. Phys. 1976. 9. 925-937.

4. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Гидродинамика. М.: Наука, 1985.

5. Акопян Р.С., Алавердян Р.Б., Мурадян Л.Х, Сеферян Г.Е., Чилингарян Ю.С. Возбуждение светом конвективных движений в изотропных и анизотропных жидкостях // Квантовая электроника. 2003. 33, № 1. 81-89.

Поступила в редакцию 27.04.2011