Квазипериодическая динамика системы управления с широтно-импульсной модуляцией

В результате приведенных расчетов получаем, что электромагнит необходимо включить на 5,81 мс. За это время произойдет компенсация внешних возмущающих воздействий.

Описанный способ позволяет заранее рассчитать время, необходимое для компенсации возмущающих воздействий, что сокращает время переходных процессов системы.

Использование автоматизированной системы управления и способа управления перемещением шлифовальных кругов обеспечивает контроль и корректировку параметров обрабатываемой поверхности детали в режиме реального времени. В результате повышаются точность обработки деталей при шлифовании и качество готовой продукции.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пат. 2379169 РФ, В 23р 15/00. Способ и устройство управления точностью обработки деталей / В. С. Титов, М. В. Бобырь, Е. С. Яхонтова. Заявл. 20.09.09; опубл. 20.01.10. 12 с.

2. Бобырь М. В., Титов В. С. Метод коррекции параметров режима резания в системах с ЧПУ // Мехатроника, Автоматизация, Управление. 2010. № 7. С. 49—53.

3. Бобырь М. В., Титов В. С., Тевс С. С. Выбор оптимальных параметров управления технологическим процессом методами нечеткой логики // Промышленные АСУ и контроллеры. 2003. № 5. С. 21—23.

Ирина Евгеньевна Чернецкая Елена Сергеевна Яхонтова

Рекомендована Юго-Западным государственным университетом

Сведения об авторах д-р техн. наук, профессор; Юго-Западный государственный университет, кафедра вычислительной техники, Курск; E-mail: white731@yandex.ru аспирант; Юго-Западный государственный университет, кафедра вычислительной техники, Курск; E-mail: elena-yahontova@yandex.ru

Поступила в редакцию 18.02.13 г.

УДК 534.1

Ж. Т. Жусубалиев, А. И. Андриянов, А. А. Михалев, В. В. Шеин

КВАЗИПЕРИОДИЧЕСКАЯ ДИНАМИКА СИСТЕМЫ УПРАВЛЕНИЯ С ШИРОТНО-ИМПУЛЬСНОЙ МОДУЛЯЦИЕЙ

Исследована динамика системы управления с синусоидальной широтно-импульсной модуляцией. Проведен бифуркационный анализ двумерной модели однофазного инвертора напряжения. Показано, что в такой системе наряду с классической бифуркацией Неймарка—Саккера существует С-бифуркация, приводящая к рождению инвариантного тора из периодической орбиты.

Ключевые слова: инвертор напряжения, инвариантный тор, С-бифуркация, кусочно-гладкие динамические системы.

Введение. Импульсные системы автоматического управления обычно описываются дифференциальными (кусочно-гладкими динамическими) уравнениями с разрывными правыми частями. Фазовые траектории рассматриваемых динамических систем „сшиваются" из отдельных гладких участков [1]. Усложнение колебаний в кусочно-гладких системах связано с двумя типами бифуркаций. Первый тип — как и в гладких системах, это локальные бифуркации, например, „седло—узел", удвоения периода, Неймарка—Сакера, и глобальные — го-моклинические и гетероклинические.

Бифуркации второго типа возникают, когда траектория периодического движения проходит через границу одной из поверхностей сшивания или касается ее. При этом нарушаются

условия существования периодического решения и появляются или исчезают участки траектории в одной из областей кусочной непрерывности [1, 2]. Такие бифуркации получили название С-бифуркаций [1—3] (border-collision bifurcations [4]).

Простейшему бифуркационному процессу при С-бифуркациях соответствует непрерывный переход решения одного типа в решение другого типа [1]. Возможны и более сложные ситуации, например, удвоение, „умножение" периода колебаний, рождение движений с участками скольжения или хаотического аттрактора из периодической орбиты [2, 5—8].

Наряду с каскадом бифуркаций удвоения периода и различными формами перемежаемости переход к хаосу через возникновение и разрушение инвариантного тора является одним из классических сценариев в диссипативных системах. Однако в рассматриваемых системах сценарий может отличаться от классического [9—14].

В работах [9—12] было выявлено, что в импульсных системах инвариантный тор может рождаться из периодической орбиты через С-бифуркацию. В такой бифуркации комплексно-сопряженная пара мультипликаторов устойчивого цикла скачком выходит из единичного круга. Потеря устойчивости приводит к появлению эргодического или резонансного тора. В первом случае бифуркация является аналогом классической суперкритической бифуркации Неймарка—Саккера. Во втором случае из периодической орбиты плавно возникает пара циклов (устойчивый и седловой), лежащих на инвариантном торе. Впоследствии этот феномен был обнаружен при анализе кусочно-линейного отображения [10], а также подтвержден экспериментально на примере систем с многозонной импульсной модуляцией [10, 11]. Оказалось, что подобная бифуркация характерна для широкого класса импульсных систем с квазипериодическими свойствами.

Настоящая статья имеет целью обобщить результаты исследований, представленных в работах [9—12], на класс импульсных систем с синусоидальной широтно-импульсной модуляцией. В качестве базового объекта для бифуркационного анализа рассматривается однофазный инвертор напряжения с широтно-импульсным регулированием.

Постановка задачи. Функциональная схема инвертора напряжения приведена на рис. 1, а, где Eo — входное напряжение, Vref(t) — синусоидальный управляющий сигнал с периодом T, кратным периоду a модуляции (T = ma ); DD, DA1, S / H — инвертор, компаратор, устройство выборки-хранения; DA2 — усилитель сигнала ошибки; ¿1, $2, S3, S4 — полупроводниковые ключи; VS — датчик напряжения; R — сопротивление, характеризующее потери в катушке индуктивности фильтра; L, С — индуктивность и емкость фильтра; Rl — сопротивление нагрузки; — сигнал ошибки; ucon — выходное напряжение устройства выборки-хранения; uout — выходное напряжение преобразователя.

Рис. 1

Временные диаграммы, поясняющие формирование управляющих импульсов, изображены на рис. 1, б, здесь ±и0 — опорное напряжение модулятора; ¥к — напряжение на сопротивлении. Управление осуществляется методом широтно-импульсной модуляции первого рода. Представим математическую модель в безразмерной форме для инвертора:

х = дх -шу -

V = а вт I — I + дх

2Р

П = —тг V-т-1/2];

где

3 =

аО

д + ш

+1) = ),

Р =

д-ш

Ц

рЕ*

(1 -ад+я / яь);

V

а = -т Р;

Ц)

/

а

О = Е0/ Е

1

я

ь + ся,

ь )

ш= а.

ьс

1

я

Л 1 ^

я

ь )

Я

ь ся

>0.

ь )

Безразмерные переменные х и у связаны с исходными динамическими переменными

Х1 и х

2

х1 =-(Я/ь + д/а)у1 -шу2/а; х2 = у1 /С ;

У1 =

У 2 =

а 2 Е0

2шЦд2 +ш2)

а 2 Е0

2шь

[(д + ш)х - (д - ш) у ]; [(д-ш)х + (д + ш) у ] ,

где х1 — ток в катушке индуктивности выходного ьС-фильтра; х2 — напряжение нагрузки.

В приведенных выражениях х, у е №; Кр — сигнал на выходе модулятора; I — безразмерное время; ) — вынуждающее воздействие, представляющее собой периодическую последовательность импульсов пилообразной формы с периодом 1: +1) = ); т = [^] = к-1 (к = 1,2,... ) — дискретное время, [•] — функция, выделяющая целую часть аргумента; а — нормированная амплитуда управляющего синусоидального сигнала с периодом т ; д, ш — действительная и мнимая части собственных значений ^12 =д ± уш , д< 0 матрицы коэффициентов уравнения (1); 3 = (д + ш)/(д-ш) . Параметр Р определяет амплитуду импульсов пилообразной формы ), О — нормированное входное напряжение, а — коэффициент усиления.

Параметры динамической системы (1): Я = 1 Ом, ь = 4-10-3 Гн, С = 3,5-10-6 Ф, Яь = 45 Ом, Vm = 4 В, и0 = 10 В, а> 0 и Е0 > 20, О = Е0/ Е* — нормированное выходное напряжение, где Е* = 1 В.

Систему уравнений (1) можно свести к двумерному кусочно-гладкому стробоскопическому отображению:

xk+1 = ец (xk собо-yk в1по) + 2ец(1 ^^соб9k -Бт9k)-1;

yk+1 = ец(xk Бто + yk собо) + 2ец(1-^) (в1п 9k + СОБ9k) -1,

k = 0,1,2,...,

где 0k =о(1 - ч) и

и = •;

0 Фk <

аО

аО; P

2P Фk + 1 ^ "аО

1,

Фk >

аО,

q . 2пk _

Фk = о 81П-+ ^ - Уk •

О m

Здесь Zk = tk - k +1 — коэффициент заполнения импульсов, tk — момент переключения модулятора.

Период T движения динамической системы (1) в общем случае является кратным периоду внешнего воздействия m : T = mN, N = 1,2,... Такое движение будем называть N -циклом или циклом периода N .

Бифуркационный анализ. На рис. 2 приведена карта динамических режимов в плоскости управляющих параметров (а, О) для m = 10, где Пц, П12 — области устойчивости /-цикла. На рис. 2 через П 41, П 4 2 обозначены резонансные „языки" относительно большой площади, а через Пю — области квазипериодической и хаотической динамики. Область П11

с

ограничена кривой бифуркации Неймарка—Саккера Nф и С-бифуркационной кривой ^

с

рождения инвариантного тора из периодической орбиты. Граница ^ опирается на линию Nф бифуркации Неймарка—Саккера Nф в точке коразмерности два.

56,0

О

40,0

а

Рис. 2

На рис. 3, а приведена бифуркационная диаграмма, иллюстрирующая рождение инвариантного тора через классическую бифуркацию Неймарка—Саккера при т = 200. Зависимость абсолютного значения р комплексно-сопряженной пары мультипликаторов Р12 = рг ± 7Рj

/-цикла от параметра а приведена на рис. 3, б, аф — бифуркационное значение параметра,

соответствующее рождению инвариантного тора.

Характер движения на торе определяется числом вращения. Когда оно иррационально, инвариантный тор плотно заполняется траекториями (сечение Пуанкаре представляет собой гладкую замкнутую кривую) и динамика квазипериодична. При рациональном числе вращения на инвариантном торе имеется четное число периодических орбит, одна часть которых устойчивые, а другая — седловые, тор образован замыканием неустойчивых многообразий седловых циклов.

а)

б)

1,2

1,0

-2,0

О=50 У

аФ

6,45

6,55

6,45

6,50

Рис. 3

Остается рассмотреть С-бифуркацию рождения тора из периодической орбиты. Заметим, что бифуркационный анализ, как и в предыдущем случае, выполнен для m = 200, тогда как карта режимов рассчитана при m = 10. Численные эксперименты показали, что характер бифуркационного поведения системы мало изменяется с увеличением m .

На рис. 4 приведены бифуркационная диаграмма и зависимость абсолютного значения комплексно-сопряженной пары мультипликаторов /-цикла от параметра О при а = 8,785. При увеличении значения О комплексно-сопряженная пара мультипликаторов /-цикла скачком выходит из единичного круга (рис. 4, а). Потеря устойчивости /-цикла сопровождается плавным возникновением квазипериодических колебаний (рис. 4, б).

а)

б) 1,1

1,0

-1,0

0,4

^ с а=8,785 ОфС

38,98

38,986

38,98

38,986

Рис. 4

Как можно видеть из рис. 4, а, характерный размер инвариантного тора („диаметр") при

с

удалении от точки бифуркации О = Оф изменяется почти линейно от нуля, в отличие от параболической зависимости, присущей для классической бифуркации Неймарка—Саккера.

Возникновение квазипериодических (или резонансных) колебаний приводит к ухудшению спектрального состава тока и напряжения нагрузки по сравнению с /-циклом. Это существенно влияет на качество выходного напряжения, которое должно быть синусоидальным с минимальной долей паразитных гармоник.

Для количественной оценки содержания паразитных гармонических составляющих в выходном переменном напряжении используется коэффициент гармоник:

а

а

V2 - V 2

к = \Гвых-^ .Ш0%,

г V

г пг

где V}ых — действующее значение выходного напряжения; Vпг — действующее значение полезной гармоники выходного напряжения.

Численные расчеты показали, что для /-цикла при т = 200, Е0 = 50 В, а = 6, Кг « 2,83 %, а коэффициент гармоник для квазипериодического режима (т = 200 , Е0 = 50 В, а = 6,5 ) составляет примерно Кг « 17 % (см. рис. 3).

Заключение. В данной статье представлены результаты исследований квазипериодической динамики системы управления с синусоидальной широтно-импульсной модуляцией. Выполнен бифуркационный анализ однофазного инвертора напряжения.

Показано, что в такой системе наряду с классической бифуркацией Неймарка—Саккера существует сценарий рождения инвариантного тора, связанный с С-бифуркацией. В такой бифуркации комплексно-сопряженная пара мультипликаторов устойчивой периодической орбиты скачком выходит из единичного круга: устойчивый цикл переходит в неустойчивый того же периода, но другого типа. Потеря устойчивости сопровождается появлением резонансного или эргодического тора.

Работа выполнена при финансовой поддержке ФЦП „Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" на 2009—2013 гг. (Программное мероприятие № 1.3.1, соглашение 14.В37.21.1146).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фейгин М. И. Вынужденные колебания систем с разрывными нелинейностями. М.: Наука, 1994.

2. Фейгин М. И. Удвоение периода колебаний при С-бифуркациях в кусочно-непрерывных системах // ПММ. 1970. Т. 34, вып. 5. С. 861—869.

3. Di Bernando M., Feigin M. I., Hogan S. J., Homer M. E. Local analysis of C-bifurcations in n-dimensional piecewise-smooth dynamical systems // Chaos, Solitions and Fractals. 1999. Vol. 10, N 11. P. 1881—1908.

4. Nusse E. H., Yorke J. A. Border-collision bifurcations including "period two to period three" for piecewise smooth systems // Physica D. 1992. N 57. P. 39.

5. Zhusubaliyev Zh.T., Mosekilde E. Bifurcations and Chaos in Peiecewise-Smooth Dynamical Systems. Singapore: World Scientific, 2003.

6. Leine R. I., Nijmeijer H. Dynamics and Bifurcations of Non-Smooth Mechanical Systems. Berlin: World Scientific, 2003.

7. Di Bernando M., Budd C., Champneys A. R., Kowalczyk P., Nordmark A. B., Olivar G., Piroinen P. T. Bifurcations in nonsmooth dynamical systems // SIAM Review. 2008. Vol. 50, N 4. P. 629—701.

8. Colombo A., Di Bernardo M., Hogan S. J., Jeffrey M. R. Bifurcations of piecewise-smooth flows: Perspectives, methodologies and open problems // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2012. Vol. 241. P. 1845—1860.

9. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E. Torus birth bifurcation in DC/DC converter // IEEE Trans. Circ. Syst. I. 2006. Vol. 53. P. 1839—1850.

10. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., Maity S. M., Mohanan S., Banerkee S. Border collision route to quasiperiodicity: Numerical investigation and experimental confirmation // Chaos. 2006. Vol. 16. P. 023122.

11. Zhusubaliyev Zh. T., Yanochkina O. O., Mosekilde E., Banerjee S. Two-mode dynamics in pulse-modulated control systems // Annual Reviews in Control. 2010. Vol. 34. P. 62—70.

12. Zhusubaliyev Zh. T., Mosekilde E., Yanochkina O. O. Torus-bifurcation mechanisms in a DC/DC converter with pulsewidth-modulated control // IEEE Trans. on Power Electronics. 2011. Vol. 26. P. 1270—1279.

13. Giaouris D., Banerjee S., Imrayed O., Mandal K., Zahawi B., Pickert V. Border Complex interaction between tori and onset of three-frequency quasi-periodicity in a current mode controlled boost converter // IEEE Trans. Circ. Syst. I. 2012. Vol. 59. P. 207—214.

14. Simpson D. J. W., Meiss J. D. Dynamics and bifurcations of nonsmooth systems // Physica D: Nonlinear Phenomena. 2012. Vol. 241. P. 1861—1868.

Жаныбай Турсунбаевич Жусубалиев —

Алексей Иванович Андриянов —

Александр Александрович Михалев —

Владимир Владимирович Шеин —

Рекомендована Юго-Западным государственным университетом

Сведения об авторах

д-р техн. наук, профессор; Юго-Западный государственный университет, кафедра вычислительной техники, Курск; E-mail: zhanybai@gmail.com

канд. техн. наук, доцент; Юго-Западный государственный университет, кафедра электронных, радиоэлектронных и электротехнических систем, Курск; E-mail: ahaos@mail.ru

аспирант; Юго-Западный государственный университет, кафедра вычислительной техники, Курск; E-mail: alex9561@mail.ru аспирант; Юго-Западный государственный университет, кафедра вычислительной техники, Курск; E-mail: sheinv78@gmail.com

Поступила в редакцию 18.02.13 г.

УДК 681.586.76

В. И. Иванов, А. Л. Клюев

ПРИМЕНЕНИЕ ЧАСТОТНО-НЕЗАВИСИМЫХ ЦЕПЕЙ ДЛЯ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ОБОБЩЕННЫХ ПАРАМЕТРОВ МНОГОЭЛЕМЕНТНЫХ RLC-ДВУХПОЛЮСНИКОВ

Рассмотрены способы и устройства определения обобщенных параметров многоэлементных двухполюсников с включением в измерительную схему частотно-независимого двухполюсника. На измерительную схему воздействуют импульсы напряжения, изменяющегося по закону степенной функции времени.

Ключевые слова: частотно-независимые двухполюсники, обобщенные параметры.

Применение импульсов напряжения или тока, имеющих форму степенной функции времени x(t) = Xmtn/t^^ (Xm — амплитуда, ¿имп — длительность, n — целочисленный показатель степени), для возбуждения измерительной схемы (ИС) обеспечивает раздельное уравновешивание измерителя параметров многоэлементных двухполюсников (МДП). Отклик, установившийся после окончания переходного процесса, содержит импульсы, имеющие форму степенных функций с показателями степени от n до нуля [1]:

v(t) = Fo Xmtn + n ! F Xmtn- + + n ! Fn-iXmt + П ! FnXm tn (n -l)!tn 1!tn 0!tn '

'ими V V имп 1-'имп и-'имп

где F0, Fi,..., Fn — обобщенные параметры системной функции ИС, имеющей операторное изображение следующего вида

F (p)= b0 + hp + b2p2 + • •• ao + aip + a2 p2 +...