О приближении гладких параметрически заданных кривых ломаными

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _____________________________________2011, том 54, №12_________________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.5

Ф.М.Мирпоччоев

О ПРИБЛИЖЕНИИ ГЛАДКИХ ПАРАМЕТРИЧЕСКИ ЗАДАННЫХ КРИВЫХ ЛОМАНЫМИ

Худжандский государственный университет им. Б.Гафурова

В работе найдены точные оценки погрешности приближения гладких кривых, вписанных в них ломанными на классах дифференцируемых функций.

Ключевые слова: параметрически заданные кривые - ломаная - дифференцируемые функции - погрешности приближения.

В статье решается экстремальная задача нахождения точной оценки аппроксимации параметрически заданных гладких кривых на классах дифференцируемых функций. Для указанных кривых экстремальные задачи аппроксимационного характера исследованы значительно меньше, чем для явно задаваемых функций. Некоторые результаты по аппроксимации кривых и поверхностей приведены в работах [1-5] и монографии [6]. Здесь мы решаем задачу приближения плоской спрямляемой кривой ломаной, когда координатные функции кривой являются дифференцируемыми функциями.

Предположим, что на спрямляемой кривой Г установлено положительное направление, так что положение точки М = М(х, у) на кривой может быть определено длиной дуги 5 = АМ, отсчитываемой от начальной точки А. Тогда кривая Г параметрически выразится уравнениями вида

х = х

Обозначим через Н*[0, Ь] множество функций р(х) е С[0, Ь], удовлетворяющих условию | ф') -р(5") |< *(| 5 ' 5 ” |), V*', 5 ” е [0, Ь],

где ) - заданный на отрезке [0, Ь] модуль непрерывности, то есть, непрерывная, неубывающая и полуаддитивная на [0, Ь] функция, в нуле равная нулю. Н* *2[0,Ь] означает множество кривых Г, у которых х(5) е Н*[0,Ь], у(5) е Н*2[0,Ь], где <х>х(1), *(I) - заданные на [0,Ь] модули непрерывности.

Через Ж(1)Н*[0,Ь] обозначим множество функций р(5) е С(1)[0,Ь], у которых производная р'(5) е Н*[0, Ь], а через Ж(1,1)Н**2[0, Ь] обозначим множество кривых Г с параметрическими уравнениями (1), удовлетворяющими условиям х(5) е Ж(1)Н* [0, Ь], у(5) е Ж(1)Н*2 [0, Ь].

Адрес для корреспонденции: Мирпоччоев Фуркат Маруфджонович. 735700, Республика Таджикистан, г.Худжанд, пр. Мавлонбекова 1, Худжандский государственный университет. E-mail: furkat79@mail.ru

Рассмотрим вопрос о величине погрешности, возникающей при приближении кривой Г gW (1,1) H щ ’*2[0, L] вписанной в нее ломаной.

Введём в рассмотрение следующие расстояния:

а) евклидово расстояние

Ре

б) расстояние Минковского

Pm

в) хаусдорфово расстояние

р

H { AeF BgG AeG BgF )

где p(A, B) - какое-нибудь расстояние между точками A(xx,y ), B(x2,У2) g R2, а F,G - два замкнутых множества на плоскости R2.

В формулируемых ниже теоремах расстояния (2)-(4) понимаются в смысле чебышевской метрики, то есть если Г - гладкая спрямляемая кривая с параметрическими уравнениями (1), а Г^ -

вписанная в неё ломаная с N звеньями, то для A( x, у) еГ и B( X, y) g Гд, указанные расстояния (2)-(3) определяются формулами

Ре (A, B) = ^>

' = '1- *11с[0,і] 41У - у\lc[0,L] ,

Рм(А,В) = тах{||х-х||с[ад ,„у у,|С[о,,,

а рн (F, G) определяется по одному из расстояний рЕ (А, В) или рм (А, В) .

Сформулируем основное утверждение данной работы.

Теорема 1. Если (дх (ї) и (д2 (ї) выпуклые модули непрерывности на отрезке [0, Ь], то для любого N = 1,2,..., справедливы равенства

8ир{ря (Г, Г N ) : г є Ж(1,1) Н ^ ^ [0, Ь]} = = 8ир {рн (Г, Г N ) : Г є Ж(1,1) Н ^ ,Ж2 [0, Ь]} =

, 1/2

= — + ^ J o2(t)dt

sup{рм(Г,Гn) :Ге W(1,1)H^^[0,L]}

Y

1

= — • max 4

( LIN LIN Л

J g>x

где Гд, - ломаная, вписанная в кривую Г gW(1,1)H^’2[0, L].

Доказательство. Не умаляя общности, докажем равенство (5) для евклидова расстояния рЕ (Г, ГN ) . С этой целью зафиксируем разбиение отрезка [0,L]:

0 = s0 < s <... < < sN = L, h = sk -sk-1, k = 1,N; h = maxh.

1<k < N

Пусть Г^ - ломаная с вершинами в точках Мк = М(х(5к ), у (5к )), к = 0, N. Параметрические уравнения звена ломаной Г^, стягивающего дугу М^Мк+1, для 5к < 5 < 5к+1 имеют вид:

x(s) = x(sk) + (s - sk) •h • (х(0 -x(sk)), y(s) = y(sk) +(s - S) • ^-2 • (У(0 - y(sk)).

Используя равенства (7) и (8) для произвольной кривой Г еЖ(1,1)Н*,*2[0, Ь] с учетом результата работы [7], запишем

I x(s) - x(s) l< (sk+i - s)(s - sk) • hf • j i(td

1 y(s) - У(S) |< (Sk+1 - S)(S - Sk ) • hк2 • j «2 (t)dt.

0

Пользуясь неравенствами (9) и (10), будем иметь

IIх - xll HI у - yll < max (sk+i- s)(s - sk) •h-2 •<

<s<sk+i

ч у

J G)x(t )dt

+

“к

J co2 (t )dt

Л 2' 1 Л f LN /

j t &

4 V 0 J

LIN

Так как неравенство (11) справедливо для произвольной кривой Г е Ж(1,1)Н*,*2 [0, Ь], то имеет место неравенство

8ир{^ (Г, Г N ) : Г е Ж(1,1) Н *,*2 [0, Ь]}:

<

i ГТ Y ГL'N N

<4j| J ^(t)dt +1 j ^(t)dt

, 1/2

h

0

h

к

Заметим, что до сих пор на модули непрерывности * (^) и *2 (?) не накладывалось никаких ограничений. Считая теперь, что * (^) и *2 (?) - выпуклые модули непрерывности, докажем, что в (12) имеет место знак равенства. Для этого зададим на [0^/№| две функции

(р(і) =

1

—а 2 1

0 < ї <

Ь_ 2 N ’

—а

2 ї -

Ь Ь

— < ї < —, 2 N N

^(ї) =

—а

2 1

—а 2 1

0 < ї <

Ь_ 2Ы!

£

Ь Ь

— < ї <—, 2 N N

и для ї є

положим ф(ї) = ф

2

р

^(¿) периодически с периодом — на всю ось. Введём теперь экстремальную кривую Г со сле-

дующими параметрическими уравнениями

Г0:

о

Х>( о) = \ф(ї

0

о

У0(о) = {^(ї ^,

где 0 < 5 < Ь.

Нетрудно проверить, что х0 (5) е Ж(1)Н*[0,Ь] и у0 (5) е Ж(1)Н*г[0,Ь] , а значит кривая

Г0 еЖ(1,1)Н* *2[0, Ь].

Кроме того, имеем:

р2(Г0,^) НІX0 -

X 0

С [0,Ь ]

+ у0- У

011 С [0,Ь ]

1ЫС[0,Ь] + 11 у0|С[0,Ь]

о о

|ф(ї ~)йї + |^(ї )Л

С[0, Ь]

С[0, Ь]

2

1 Г') Г Ь 0Ь1 1 Г') Г Ь 0Ь1

,-2 | а Ь - 2' іл, + Д | а Ь - )*,

N

2

<

1

2

1

и

0

2

откуда и следует точность неравенства (12). Этим доказано первое равенство в соотношении (5). Таким же путём доказываются остальные утвёрждения теоремы 1.

Теорема 2. Если (дх (t) и (д2 (t) - произвольные модули непрерывности, то для любого N = 1,2,..., справедливы равенства

sup{p£ (Г, Г N ) : г є W (1,1)H ^ ^ [0, L]} = = sup {рн (Г, Гn ) : Г є W(1,1)H^ ,Ж2 [0, L]} =

в

L! N

щ,ю2

Л2 Ґ L/N

J co1(t)dt +1 J (o2(t)dt

0 J V 0

1/2

SUP {P

{рм (Г, Г N ) : Г є W(1,1) H ^2[0, L]}:

в

\ L/N

L/N

,&2

max <

J (ox(t)dt, J o2(t)dt L

где Г„ - ломаная, вписанная в Г є W(1,1)Hс°1’с°2[0,L], — < в„ т < 1.

3

2

Наметим схему доказательства теоремы 2. Оценки сверху для величин (13) и (14) следуют из соответствующих равенств (5) и (6). Для получения оценки снизу величин (13) и (14), полагая 2 2

р1(Х) = — р(7), ^(7) = —у(7) , где р) и у (7) определены равенствами (*) и (**), распространим Р (.) и у (7) периодически с периодом 2 / N на всю ось. Легко проверить, что для 0 < 5 < Ь кривая

s

х* (s) = J^(t )dt,

0

s

/(s) = jVi(t )dt

принадлежит классу W(1,1) H Wl ,ffl2[0, L]. Простые вычисления показывают, что

sup {ре (г, г n ): Г G w (11)h ^ ,0, L]} > Pe (г* ,r„) =

л, HI 2 II .||2 i1/2 2

= < II х + y [ =

llc[0,L] IK llc[0,L] I —

16

L/N

V Ґ L/N V

J ^(t)dt +1 J a>2(t)dt

0 J V 0

1/2

Этим доказано равенство (13) для евклидова расстояния. Аналогичным образом доказываются другие утвёрждения теоремы 2.

Поступило 20.09.2011 г.

4

4

0

ЛИТЕРАТУРА

1. Назаренко Н.А. - В сб. "Геометрическая теория функций и топология" - Киев: ИМ АН УССР, 1981, с.55-62.

2. Вакарчук С.Б. - В сб. "Геометрическая теория функций и топология" - Киев: ИМ АН УССР, 1981, с.15-19.

3. Вакарчук С.Б. - Укр. мат. журнал, 1983, т.35, 3, с.352-355.

4. Вакарчук С.Б. - Изв. вузов. Математика, 1988, 2, с. 14-19.

5. Корнейчук Н.П. - Укр. мат. журнал, 1989, т.41, 4, с.492-499.

6. Завьялов Ю.С., Квасов Б.И., Мирошниченко В.Л. Методы сплайн-функций - М.:Наука, 1980, 352 с.

7. Малоземов В.Н. - Вестник ЛГУ, 1966, 7, вып. 2, с.150-153.

Ф.М.Мирпоччоев

ДАР БОРАИ НАЗДИККУНИИ ХАТ^ОИ КА^И СУФТАИ БО ВОСИТАИ ФОРМУЛАМИ ПАРАМЕТРИ ДОДАШУДА БО ХАТ^ОИ ШИКАСТА

Донишго^и давлатии Хуцанд ба номи Б.Рафуров

Дар макола баходихии хдники хатогии наздиккунии хатхои качи суфта ба воситаи хатхои шикастаи дохили онхо барои синфи функсияхои дифференсиронда шаванда, ёфта шуда-аст.

Калима^ои калиди: хатхои каци ба воситаи формулауои параметри додашуда - хати шикаста -функсияхои дифференсиронда шаванда - хатогии наздиккуни.

F. М.Мirpochchoev

ON APPROXIMATION OF SMOOTH PARAMETRICAL GIVEN CURVES WITH POLYGONAL CURVES

B.Gafurov Khujand State University Then findings in the article present the exact evaluation of errors of smooth curves, with inscribed polygonal curves on differentiated functions.

Key words: parametrical given curves - polygonal curves - differentiated functions - errors of approximation.