О нильпотентности энгелевой алгебры Лейбница

6. Lau D. Function Algebras on Finite Sets. Berlin: Springer-Verlag, 2006.

7. Угольников А.Б. О глубине и сложности формул, реализующих функции из замкнутых классов // Докл. АН СССР. 1988. 298, № 6. 1341-1344.

8. Гашков С. Б. О параллельном вычислении некоторых классов многочленов с растущим числом переменных // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 1990. № 2. 88-92.

9. Захарова Е.Ю. Реализация функций из Pk формулами // Матем. заметки. 1972. 11, № 1. 99-108.

10. Ложкин С.А. О сложности реализации функций fc-значной логики формулами и квазиформулами // Мат-лы XI Междунар. конф. "Проблемы теоретической кибернетики" (Ульяновск, 10-14 июня 1996 г.). М.: Изд-во РГГУ, 1996. 125-127.

11. Угольников А.Б. О сложности реализации формулами одной последовательности функций 4-значной логики // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2004. № 3. 52-55.

12. Угольников А.Б. О замкнутых классах Поста // Изв. вузов. Сер. матем. 1988. № 7. 79-88.

13. Васильев Ю.Л., Глаголев В.В. Метрические свойства дизъюнктивных нормальных форм // Дискретная математика и математические вопросы кибернетики. Т. 1 / Под ред. С. В. Яблонского и О. Б. Лупанова. М.: Наука, 1974. 99-148.

14. Угольников А.Б. Синтез схем и формул в неполных базисах // Докл. АН СССР. 1979. 249, № 1. 60-62.

Поступила в редакцию 18.02.2011

УДК 512.8

О НИЛЬПОТЕНТНОСТИ ЭНГЕЛЕВОЙ АЛГЕБРЫ ЛЕЙБНИЦА

Ю.Ю. Фролова1

В работе доказано, что энгелева алгебра Лейбница в случае поля нулевой характеристики является нильпотентной.

Ключевые слова: алгебра Лейбница, тождество, энгелевость, нильпотентность.

It is proved that a Leibniz algebra over a field of zero characteristic with the Engel condition is nilpotent.

Key words: Leibniz algebra, identity, Engel condition, nilpotency.

Основным результатом работы является обобщение результата Е. И. Зельманова о нильпотентности энгелевой алгебры Ли для поля нулевой характеристики на случай алгебр Лейбница. Алгебры Лейбница являются естественным обобщением алгебр Ли и были определены в работе [1], хотя свое название получили позже.

Все неопределяемые понятия можно найти, например, в монографии [2]. Характеристика основного поля F на протяжении всей работы предполагается равной нулю. Напомним, что векторное пространство над полем F называется линейной алгеброй, если на нем задана бинарная билинейная операция. В работе не предполагается ассоциативность, поэтому при более чем двух сомножителях имеет значение расположение скобок. Договоримся опускать скобки в случае их так называемой левонормированной расстановки, т.е. будем писать просто abc для (ab)c.

Напомним, что алгеброй Лейбница над полем F называется линейная (неассоциативная) алгебра, удовлетворяющая тождеству Лейбница

Отметим, что любой элемент алгебры Лейбница может быть записан как линейная комбинация ле-вонормированных элементов. Например, из тождества (1) следует, что x(yz) = xyz — xzy. Если вместо z подставить y, то получим следующее тождество:

х{уу) ЕЕ 0.

1 Фролова Юлия Юрьевна — асп. каф. алгебро-геометрических вычислений Ульяновск. гос. ун-та; e-mail: yuyufrolova@mail.ru.

Пусть А — произвольная линейная алгебра. Для всякого элемента а € А определим оператор правого умножения Ка : А — А на элемент а следующим образом: Ка : х — ха. Будем обозначать действие этого

"а

оператора как xRa, тогда xyy...y = xRm

у '

т

Выделим в виде предложения простой, но важный для данной статьи результат, касающийся алгебр Лейбница.

Предложение. Пусть А — алгебра Лейбница, а I = < а2\а € А > — линейная оболочка квадратов элементов из алгебры. Тогда I — идеал алгебры А, такой, что факторалгебра А/1 является алгеброй Ли. Кроме того, Ьс = 0 для Ь € А, с € I; в частности, идеал I является алгеброй с нулевым умножением.

Доказательство. Элемент вида аЬ + Ьа принадлежит множеству I, так как аЬ + Ьа = (а + Ь)2 — а2 — Ь2. Пусть Ь — элемент А, тогда произведение а2Ь = (аЬ)а + а(аЬ) принадлежит множеству I. Поэтому I является правым идеалом. Из тождества (2) следует, что произведение Ьа2 является нулевым и поэтому также принадлежит идеалу. Таким образом, I является двусторонним идеалом; кроме того, этот идеал является правым аннулятором алгебры А, т.е. произведение аЬ = 0, если а — элемент алгебры А, а Ь принадлежит идеалу I. В частности, идеал I является алгеброй с нулевым умножением.

Рассмотрим произведение (а + а + I) = а2 + I = I. Значит, в факторалгебре A/I выполняется тождество антикоммутативности, по модулю которого тождество (1) эквивалентно тождеству Якоби, т.е. факторалгебра A/I является алгеброй Ли. Предложение доказано.

Напомним, что алгебра Ли называется энгелевой, если она удовлетворяет тождеству хКт = 0. Если же в алгебре А выполняется тождество Х1Х2---Хс+1 = 0, но не выполняется тождество Х1Х2---ХС = 0, то А называется нильпотентной алгеброй ступени нильпотентности с. Сохраним эти определения на случай алгебр Лейбница. Совокупность всех алгебр, в которых выполняется некоторый фиксированный набор тождественных соотношений, называется многообразием линейных алгебр.

Обозначим через А многообразие абелевых алгебр Ли, через ] — многообразие нильпотентных алгебр ступени нильпотентности не выше с. Тогда ] А — многообразие алгебр Ли, коммутанты которых нильпотентны ступени не выше с. Последнее многообразие определяется тождеством

Для обозначения многообразий алгебр Ли и алгебр Лейбница, выделяемых одинаковыми тождествами, будем использовать волну. Например, многообразие алгебр Лейбница, определенное тождеством (3), обозначим ]МСА.

Как обычно, обозначим квадрат алгебры, состоящий из линейных комбинаций произведений элементов, через А2. Понятно, что

А2

является идеалом алгебры А. Рассмотрим цепочку идеалов А(1) = А2, А(2) = (А2)2 и А(к) = (А(к-1))2 для к = 2, 3,... и по аналогии со случаем алгебр Ли будем называть алгебру Лейбница А разрешимой алгеброй ступени разрешимости к, если идеал не равен нулю, а

А(к) = 0.

Пусть V — некоторое многообразие алгебр Лейбница. Относительно свободную алгебру многообразия V со счетным множеством свободных образующих X = {Х1,Х2,...} обозначим через А = А

— Ха(г) симметрической группы Бп естественным образом продолжается до автоморфизма алгебры А(Х, V). Пространство Рп становится при этом £п-модулем. Модуль симметрической группы Рп является вполне приводимым, рассмотрим разложение его характера в целочисленную комбинацию неприводимых характеров х\ с кратностями т,\, где Л Ь п — разбиение числа п:

Xn

Xhn

Рост многообразия V определяется ростом последовательности чисел (cn (V)), где cn(V) = dimPn(V) — размерность полилинейной части степени п. Многообразие имеет полиномиальный рост, когда существуют такие неотрицательные числа C, r, что для любого п выполняется неравенство cn (V) < Cnr. Говорят, что многообразие V имеет почти полиномиальный рост, если рост самого многообразия не является полиномиальным, а любое собственное подмногообразие многообразия V имеет полиномиальный рост.

В работе [3] Е. И. Зельманов доказал, что m-энгелева алгебра Ли над полем нулевой характеристики нильпотентна.

Основным результатом данной работы является

Теорема. В случае нулевой характеристики основного поля энгелева алгебра Лейбница является нильпотентной.

Доказательство. Рассмотрим алгебру Лейбница и идеал I = < a2\a Е A >. Так как A/I является энгелевой алгеброй Ли, то A/I нильпотентна (см. теорему [3, с. 265]). Пусть ступень нильпотентности равна s — 1. Тогда по определению факторалгебры получаем, что произведение x\X2---Xs элементов алгебры A принадлежит идеалу I. Так как идеал I является правым аннулятором, то в алгебре A выполняется тождество Xo(X1X2...xs) = 0. Поскольку любой элемент сводится к линейной комбинации левонормирован-ных элементов, то A — разрешимая алгебра ступени разрешимости не выше чем k, где k — наименьшее натуральное число, такое, что 2k > s.

Для дальнейшего доказательства используем индукцию по ступени разрешимости. Если ступень разрешимости равна 1, то алгебра A является алгеброй с нулевым умножением и поэтому нильпотентной. Предположим, что теорема доказана для разрешимых алгебр ступени разрешимости менее k. Так как алгебра A2 является разрешимой ступени k — 1, то она по предположению индукции является нильпотентной. Таким образом, в алгебре выполняется тождество (3), а также его следствие

Xo(XiX2) . . . (X2c+lX2c+2) = 0,

т.е. алгебра A принадлежит многообразию NcA.

По критерию, доказанному в статье [4], многообразие V имеет полиномиальный рост тогда и только

тогда, когда существует такое число с, что выполнено условие N2A, Vi С V С NcA, где Vi — многообразие алгебр Лейбница, которое определяется тождеством Xo(XiX2XX3X4) = 0.

Многообразия N2 A, Vi хорошо изучены. В частности, известно, что N2 A, Vi не удовлетворяют условию энгелевости. Пусть V = var A — многообразие, порожденное алгеброй A, тогда, как было показано выше, многообразие V удовлетворяет условию критерия и поэтому имеет полиномиальный рост.

Согласно теореме 1 статьи [4], для многообразия V, имеющего полиномиальный рост, существует такое число t, что в сумме (4) m,\ = 0 в случае, если выполнено условие n — Ai > t. Для определенности положим, что алгебра A m-энгелева. Рассмотрим n > m(t + 1), зафиксируем некоторое разбиение A n, такое, что n — Ai ^ t и кратность m\ в сумме (4) не равна нулю. Построим по этому разбиению таблицу Юнга и рассмотрим полилинейный элемент Д относительно свободной алгебры многообразия V, соответствующий этой таблице. Пусть элемент gx получен из элемента Д отождествлением образующих с номерами из первой строки таблицы Юнга. Хорошо известно, что тождества Д = 0 и g\ = 0 эквивалентны между собой. Каждый моном элемента g\ содержит в своей записи конечное число (меньшее или равное t) различных образующих, а все остальные были отождествлены и совпадают с образующей, которую обозначим X. Так как для степени монома выполняется неравенство n > m(t + 1), то моном содержит фрагмент вида ... хх ... ж .... Таким образом, в силу тождества энгелевости получаем, что тождество

m

gx = 0 выполняется в многообразии V, а следовательно, и тождество Д = 0 выполняется в V вопреки предположению. Полученное противоречие доказывает, что все кратности равны нулю, а следовательно, полилинейная часть Pn = 0, т.е. V С Nc, где с = m(t + 1). Теорема полностью доказана.

Автор приносит благодарность научному руководителю профессору С. П. Мищенко за постановку задачи и внимание к работе.

Работа частично поддержана грантом РФФИ № 10-01-00209-a.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Блох А.М. Об одном обобщении понятия алгебры Ли // Докл. АН СССР. 1965. 18, № 3. 471-473.

2. Бахтурин Ю.А. Тождества в алгебрах Ли. М.: Наука, 1985.

3. Зельманов Е.И. Об энгелевых алгебрах Ли // Докл. АН СССР. 1987. 292, № 2. 265-268.

4. Мищенко С.П., Череватенко О.И. Необходимые и достаточные условия полиномиальности роста многообразия алгебр Лейбница // Фунд. и прикл. матем. 2006. 12, № 8. 207-215.

Поступила в редакцию 29.10.2010