Векторные 2-в-1 функции как подфункции взаимно однозначных APN-функций

элемента «<ф>», который вычисляет значение функции ф от элемента кольца, дешифратора (декодера), который записывает значение, полученное сверху, по адресу, полученному справа. Столбец значений функции полностью заполняется за 2т — 1 тактов работы регистра сдвига.

ЛИТЕРАТУРА

1. Былков Д. Н. Об одном классе булевых функций, построенных с использованием старших разрядных последовательностей линейных рекуррент // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2014. № 7. С. 59-60.

2. Былков Д. Н., Камловский О. В. Параметры булевых функций, построенных с использованием старших координатных последовательностей линейных рекуррент // Математические вопросы криптографии. 2012. Т. 3. №4. С. 25-53.

3. Нечаев А. А. Цикловые типы линейных подстановок над конечными коммутативными кольцами // Матем. сборник. 1993. Т. 184. №3. С. 21-56.

4. Нечаев А. А. Код Кердока в циклической форме // Дискретная математика. 1989. Т. 1. №4. С. 123-139.

5. Погорелов Б. А, Сачков В. Н. Словарь криптографических терминов. М.: МЦНМО, 2006.

6. Кузьмин А. С., Нечаев А. А. Линейные рекуррентные последовательности над кольцами Галуа // Алгебра и логика. 1995. Т.34. №2. С. 169-189.

7. Камловский О. В. Частотные характеристики разрядных последовательностей линейных рекуррент над кольцами Галуа // Изв. РАН. Сер. матем. 2013. Т. 77. №6. С. 71-96.

УДК 519.7 Б01 10.17223/2226308X711/11

ВЕКТОРНЫЕ 2-В-1 ФУНКЦИИ КАК ПОДФУНКЦИИ ВЗАИМНО ОДНОЗНАЧНЫХ ЛР^ФУНКЦИЙ1

В. А. Идрисова

Работа посвящена проблеме существования взаимно однозначных АРМ-функций от чётного числа переменных. Рассматриваются свойства подфункций взаимно однозначных АРМ-функций. Доказано, что любая (п — 1)-подфункция произвольной взаимно однозначной АРМ-функции может быть получена при помощи специальных символьных последовательностей. Данные результаты позволяют предложить новый алгоритм построения взаимно однозначных АРМ-функций из 2-в-1 функций и соответствующих координатных булевых функций. Получена нижняя оценка на число таких булевых функций.

Ключевые слова: векторная булева функция, APN-функция, взаимно однозначная функция, 2-в-1 функция, перестановка.

Векторной булевой функцией ^ называется произвольное отображение ^ : ЕП ^ !т. Рассмотрим векторную булеву функцию ^ из РП в Щ. Для векторов а,Ь € РП, где а = 0, определим величину

5(а,Ь) = |{х € : ^(х + а) + ^(х) = Ь}|.

Обозначим за Ар следующий параметр:

Ар = тах 8(а,Ь).

а=0,Ье¥'п

1 Работа поддержана грантом РФФИ, проект №17-41-543364.

40

Прикладная дискретная математика. Приложение

Тогда ^ называется дифференциально Ар -равномерной функцией. Чем меньше параметр Ар, тем более устойчив к дифференциальному криптоанализу блочный шифр, содержащий функцию ^ в качестве ¿"-блока. Для векторных функций из в минимально возможное значение Ар равно 2. В этом случае функция ^ называется почти совершенно нелинейной функцией, или ЛРИ-функцией. Данные понятия введены К. Ньюберг в [1], однако известно [2], что АРК-функции также изучались В. А. Башевым и Б. А. Егоровым в СССР в 60-х годах. Подробнее об АРК-функциях можно прочесть в [3-5].

Одна из самых интересных проблем в данной области связана со взаимно однозначными АРК-функциями [6]. Долгое время имела место гипотеза, что не существует взаимно однозначных АРК-функций от чётного числа переменных. Однако в 2009 г. авторы работы [7] нашли первый и единственный (с точностью до эквивалентности) на данный момент пример взаимно однозначной АРК-функции над Е^. Для больших размерностей вопрос существования по-прежнему открыт.

Векторная функция ^ : ^ ЕП называется 2-в-1 функцией, если её множество значений состоит из 2п-1 элементов и каждое значение она принимает ровно на двух аргументах.

Рассмотрим произвольную векторную функцию ^ = (/1,... , /п) из в Будем называть векторную булеву функцию из в (п — 1)-подфункцией функции ^, если = (/1,... , /^-1, /,+ь ... , /п) для некоторого ] € {1,... , п}. Напомним, что множеству можно сопоставить во взаимно однозначное соответствие целочисленное множество {0,..., 2п — 1}, где каждое число является десятичным представлением вектора из ¥'П . Тогда произвольную (п — 1)-подфункцию ^ из ¥'П в ЕП-1 можно рассматривать как векторную функцию из в принимающую значения из множества {0,..., 2п-1 — 1}.

Рассмотрим произвольную 2-в-1 функцию, принимающую значения из {0,... , 2п-1 — 1}, тогда вектор её значений может быть представлен в виде некоторой перестановки упорядоченного вектора (0,0,1,1,... , 2п-1 — 1, 2п-1 — 1). Будем обозначать множество таких 2-в-1 функций от п переменных через Тп. Можно заметить, что тогда любая (п — 1)-подфункция взаимно однозначной векторной функции принадлежит Тп. Имеет место следующее утверждение [8].

Лемма 1. Пусть ^ — взаимно однозначная АРК-функция от п переменных. Тогда любая её (п — 1)-подфункция является дифференциально 4-равномерной функцией из Тп.

В [8, 9] рассматривается алгоритм построения 2-в-1 АРК-функций при помощи специальных так называемых допустимых символьных последовательностей. В [8] доказана следующая

Теорема 1. Пусть ^ — взаимно однозначная АРК-функция от п переменных. Тогда символьная последовательность, соответствующая вектору значений произвольной (п — 1)-подфункции ^, является допустимой.

Таким образом, любая взаимно однозначная АРК-функция может быть получена из некоторой 2-в-1 дифференциально 4-равномерной функции, построенной при помощи допустимой последовательности. Данное наблюдение позволяет предложить следующий алгоритм для поиска новых взаимно однозначных АРК-функций.

С помощью аппарата допустимых последовательностей строим 2-в-1 векторную функцию Б, принадлежащую Тп (подробнее о данном построении см. в [8]) и про-

веряем её на дифференциальную равномерность. Если S дифференциально 4-равно-мерная, то она может являться (n — 1)-подфункцией некоторой взаимно однозначной APN-функции. Необходимо проверить, существует ли сбалансированная булева функция f, такая, что взаимно однозначная функция H = S U f является APN-функцией. Заметим, что требуется проверить 22" булевых функций, поскольку на каждую пару одинаковых значений 2-в-1 функции S приходится пара {0,1} из значений булевой функции f.

Обозначим через nf (S) число булевых функций f, таких, что H = S U f является взаимно однозначной APN-функцией. Получена следующая нижняя оценка для данной величины:

Теорема 2. Пусть S — векторная функция из 7П, построенная с помощью допустимой последовательности. Тогда если nf (S) = 0, то nf (S) ^ 2n.

С помощью компьютерных вычислений проверено, что данная оценка является точной при n = 3, 5, а также при n = 6 для всех (n — 1)-подфункций APN-функции Диллона.

ЛИТЕРАТУРА

1. Nyberg K. Differentily uniform mappings for cryptography // Eurocrypt 1993. LNCS. 1994. V. 765. P. 55-64.

2. Глухов М. М. О приближении дискретных функций линейными функциями // Математические вопросы криптографии. 2016. Т. 7. №4. С. 29-50.

3. Blondeau C. and Nyberg K. Perfect nonlinear functions and cryptography // Fields and Their Appl. 2015. V. 32. P. 120-147.

4. Тужилин М. Э. Почти совершенные нелинейные функции // Прикладная дискретная математика. 2009. №3(5). С. 14-20.

5. Pott A. Almost perfect and planar functions // Des. Codes Cryptography. 2016. No. 78(1). P. 141-195.

6. Carlet C. Open questions on nonlinearity and on APN functions // LNCS. 2015. V. 9061. P. 83-107.

7. McQuistan M. T., Wolfe A. J., Browning K. A., and Dillon J. F. An apn permutation in dimension six // Amer. Math. Soc. 2010. No. 518. P. 33-42.

8. Idrisova V.A. On an algorithm generating 2-to-1 APN functionsand its applications to "the big APN problem" // Cryptography and Communications. 2018. Published online.

9. Идрисова В. А. О построении APN-функций специального вида и их связи с взаимно однозначными APN-функциями // Прикладная дискретная математика. Приложение. 2017. № 10. С. 36-38.

УДК 519.7 DOI 10.17223/2226308X/11/12

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ КОНСТРУКЦИИ БЕНТ-ФУНКЦИЙ С ПОМОЩЬЮ ПОДПРОСТРАНСТВ ПРОИЗВОЛЬНОЙ РАЗМЕРНОСТИ1

Н. А. Коломеец

Рассматриваются свойства конструкции f  Ind^, где f — бент-функция от 2k переменных, а L — аффинное подпространство, при определённых условиях порож-

хРабота поддержана грантом РФФИ, проект №17-41-543364.