Определение области возникновения автоколебаний в системах типа red

Вестник РУДН Серия Математика. Информатика. Физика. № 1. 2010. С. 110-112

УДК 004.021, 519.2, 519.8

Определение области возникновения автоколебаний в системах типа RED

А. В. Королькова

Кафедра систем телекоммуникаций Российский университет дружбы народов ул. Миклухо-Маклая, д.6, Москва, 117198, Россия

Для модели взаимодействия TCP-Reno трафика с узлом, функционирующим по одному из алгоритмов семейства Random Early Detection (RED), предложен метод определения области возникновения автоколебаний и поиска стационарной точки, приведён численный пример для алгоритма RED.

Ключевые слова: алгоритм случайного раннего обнаружения (RED), стохастические дифференциальные уравнения, стационарная точка, релаксационные автоколебания.

1. Предварительные замечания

В данной статье продолжены исследования модели взаимодействия TCP-Reno трафика с узлом, функционирующим по одному из алгоритмов семейства RED [1,2], предложенной в работах [3,4].

TCP-поток задаётся скачкообразным марковским процессом посредством аппарата стохастических дифференциальных уравнений (СДУ) для Пуассоновского процесса. В отличие от модели, предложенной в [5,6], в уравнении для TCP-окна при анализе учитывается возникновение потерь пакетов по тайм-ауту, а в уравнении для мгновенной длины очереди учитывается возникновение сброса пакетов в следствие функционирования управляющего алгоритма семейства RED. Кроме того, полученная система СДУ сведена к системе обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ), проанализированы фазовые портреты системы в зависимости от применяемого в управляющем модуле алгоритма управления. В результате проведённого анализа подтверждено наличие релаксационных колебаний, предложена методика определения области устойчивости решения системы.

2. Стационарные точки и определение области возникновения релаксационных автоколебаний

Система трёх обыкновенных дифференциальных уравнений

dE[w

d

E[T (i)]

+

x

E[w(i - t)]

E[ T( - )] x ( E[pm(q(t - r))] + E[pd(q(t - r))]) +

+ (1 - E[w(i)]) E [PTO(w(t - r))] E[wg - I)] E [pa(q(t - r))] .

= /(Л - EШ])S1 (1 - -*Ш)]) - E[C(*)],

d E[ q( )]

d

E[ T( )]

ln(1 ^E[q(f)] - E[q(t)],

Статья поступила в редакцию 15 февраля 2010 г.

X

Определение области возникновения автоколебаний в системах типа RED 111

описывает параметры модели взаимодействия TCP-Reno трафика с узлом, функционирующим по одному из алгоритмов семейства RED [1,2], предложенной в работах [3,4]. Здесь усреднение по времени некоторой детерминистической функ-

t

ции x(t) определяется как Е[ж(£)] = \ f x(t')dt'.

о

Поскольку функция сброса p(q) = pm(q) + Pd(q) является кусочной функцией [2], то система (1) может быть записана как совокупность нескольких систем нелинейных уравнений, каждая для одного из интервалов значений функции p(q).

Для нахождения стационарной точки qs системы (1) все производные по времени полагаются равными нулю. Легко видеть, что для p(q) =0 и p(q) = 1 стационарные точки отсутствуют. Поэтому эти промежутки могут быть исключены из рассмотрения. Действительные корни получаемой таким образом системы нелинейных уравнения и будут являться стационарными точками системы (1).

При упрощающих предположениях т = 0, N = 1, pm(q(t)) = 0, PTO(w(t)) =

min|l, wft)} [7] методом Рунге—Кутта 4-го порядка было получено численное

решение системы (1), методом Ньютона численно решена соответствующая система нелинейных уравнений, определяющая стационарные точки системы (1).

Решение системы (1) может быть как устойчивым, так и представлять собой автоколебательный процесс (имеют место релаксационные колебания). Для рассматриваемой системы возникновение автоколебаний обусловлено характером разрывов функции p(q(t)). Так, для алгоритмов с кусочно-линейной функцией p(q(t)) (например, RED [1,2]) в точке qmax функция сброса имеет конечные, но не равные друг другу левый и правый пределы: lim<5(t)^qmax-o P(q(t)) = lim<5(t)^qmax+o P(q(t)), т.е. имеет место разрыв 1-го рода. Автоколебания возникают, когда значение стационарной точки qs, вычисленное в рабочей области, попадает на интервал,

где p(q(t)) =1

Для определения области возникновения релаксационных колебаний предлагается построить график поведения стационарной точки qs в предположении, что участок безусловного сброса отсутствует. При этом, если оставить свободными п параметров, то в результате получим поверхность размерности п. Также строится граничная плоскость q(t) = qmax (точка перехода к области p(q(t)) = 1). Тогда область, стационарные точки которой оказываются выше граничной плоскости, определяет область возникновения релаксационных колебаний.

Пример. Для алгоритма RED [1,2] зафиксируем pmax = 0,1 и qmin = 20. Начальные параметры: wmax = 32 пак., R = 100 пак., Тр = 0,01 сек., wq = 0, 0007 сек., С = 1400 пак./сек., S = 1/С сек., N = 1 поток. Изменяя qmax в пределах [gmin, R], получим набор стационарных точек (рис. 1).

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200

4max

t

Рис. 1. Поведение стационарной точки Рис. 2. Поведение E[q(t)] для системы

qs для системы с RED, qmin = 20 с RED, qmin = 20

Если стационарная точка будет лежать в области, расположенной выше прямой = 9тах, то поведение системы будет неустойчивым. Пример устойчивого и неустойчивого поведения системы приведён на рис. 2, 3, 4. Для рассматриваемого

112

Королькова А. В.

примера при дтах ^ 81 система осциллирует вокруг своей стационарной точки, а при 81 < дтах ^ К поведение системы устойчиво (см. рис. 1).

80 60 -40 20 -0

RED, qmax = 75 -

0 2 4 6 8 10 12 14 16 E[w(t)]

RED, qm„ RED, qmax

90 80 70 60 50 40 30 20 10 0

Рис. 3. Фазовый портрет для системы с RED, qmin = 20

Рис. 4. Фазовый портрет для системы с RED, Qmin = 20

Литература

1. Floyd S., Jacobson V. Random Early Detection Gateways for Congestion Avoidance // IEEE/ACM Transactions on Networking. — 1993. — No 1(4). — Pp. 397413. — http://www.icir.org/floyd/papers/red/red.html.

2. Королькова А. В., Кулябов Д. С., Черноиванов А. И. К вопросу о классификации алгоритмов RED // Вестник РУДН. Серия «Математика. Информатика. Физика». — 2009. — № 3. — С. 34-46.

3. Черноиванов А. И., Королькова А. В. Моделирование при помощи стохастических дифференциальных уравнений поведения TCP-трафика при взаимодействии с узлом, работающим по алгоритму RED. — М.: МФТИ, 2009. — Т. 1.

4. Королькова А. В., Черноиванов А. И. Использование стохастических дифференциальных уравнений для моделирования поведения TCP-трафика при взаимодействии с узлом, работающим по алгоритму RED // «Математика. Компьютер. Образование». Тезисы. — Дубна, 2010.

5. Misra V., Gong W.-B., Towsley D. Stochastic Differential Equation Modeling and Analysis of TCP-Windowsize Behavior. — 1999.

6. Misra V., Gong W.-B., Towsley D. Fluid-Based Analysis of a Network of AQM Routers Supporting TCP Flows with an Application to RED // ACM SIGCOMM Computer Communication Review. — 2000. — Vol. 30, issue 4. — Pp. 151-160.

7. Modeling TCP Throughput: A Simple Model and its Empirical Validation: Techrep / J. Padhye, V. Firoiu, D. Towsley, J. Kurose. — Amherst, MA, USA, 1998.

120

75 85

0

UDC 004.021, 519.2, 519.8

Defining the Areas of Self-Oscillation in RED-Like Systems

A. V. Korolkova

Telecommunication Systems Department Peoples' Friendship University of Russia 6, Miklukho-Maklaya str., 117198, Moscow, Russia

The method for self-oscillation area evalution and critical (stationary) point selection is introduced for the interaction model of TCP-Reno traffic with a node operating under one of Random Early Detection (RED) algorithms. The numerical results for RED algorithm are presented.

Key words and phrases: Random Early Detection (RED), stochastic differential equations, critical (stationary) point, self-oscillations.