Гладкие инварианты особенностей типа фокус-фокус

правности по значениям на выходе схемы на наборах из Т номер неисправного блока устанавливается однозначно.

Рассмотрим следующую многошаговую процедуру деления исходной схемы 5 на подсхемы. На первом шаге делим схему 5 на две подсхемы первого уровня: первая подсхема 50 содержит 2к-1 левых в 5 блоков, а вторая подсхема 51 содержит остальные не более чем 2к-1 блоков. По значению на выходе схемы 5 на наборе Й1, как нетрудно заметить, можно определить, какая из подсхем первого уровня содержит неисправный блок; пусть это будет подсхема 5^, ¿1 € {0,1}.

На втором шаге делим схему 5 на подсхемы второго уровня, каждая из которых, кроме, быть может, крайней справа, содержит 2к-2 блоков, а крайняя правая — не более чем 2к-2 блоков. Результатом такого деления схемы 5 является и деление подсхем первого уровня 5о и 51, полученных на предыдущем шаге. Если подсхема 5г1 содержит не менее чем 2к-2 + 1 блоков, то на втором шаге процедуры она делится на две подсхемы: первая подсхема 5^,о содержит 2к-2 левых в 5¿1 блоков, а вторая подсхема 5^1;1 — остальные не более чем 2к-2 блоков из 5^. Если же подсхема 5^ содержит не более чем 2к 2 блоков, то 5^,о совпадает с 5г1, а 5г1,1 окажется пустой подсхемой. По значениям на выходе схемы 5 на наборах И и и2, как нетрудно заметить, можно определить, какая из подсхем второго уровня содержит неисправный блок; пусть это будет подсхема ,г1 ,¿2 € {0,1}. Действуя таким образом, на к-м шаге мы получим подсхему , которая будет содержать ровно один блок схемы 5, и этот блок неисправен. Двоичным

набором (¿1,12,...,1к) однозначно определяется номер неисправного блока. При нашей нумерации блоков набор (¿1,12,...,1к) оказывается двоичной записью числа, равного номеру неисправного блока. Теорема доказана.

Замечание. Фактически повторяя доказательство теоремы, легко убедиться в справедливости приведенной верхней оценки и для функции 1п(х) — Х1 ф ... ф Хп ф 1.

Автор выражает огромную благодарность научному руководителю профессору Н. П. Редькину за постановку задачи и внимание к работе.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 08-01-00863) и программы фундаментальных исследований ОМН РАН "Алгебраические и комбинаторные методы математической кибернетики и информационные системы нового поколения" (проект "Задачи оптимального синтеза управляющих систем").

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лупанов О.Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем. М.: Изд-во МГУ, 1984.

2. Редькин Н.П. Дискретная математика. М.: Физматлит, 2009.

3. Чегис И.А., Яблонский С.В. Логические способы контроля работы электрических схем // Тр. Матем. ин-та АН СССР. 1958. 51. 270-360.

4. Редькин Н.П. Надежность и диагностика схем. М.: Изд-во МГУ, 1992.

5. Яблонский С.В. Введение в дискретную математику. 2-е изд. М.: Наука, 1986.

Поступила в редакцию 03.12.2010

УДК 517.938.5

ГЛАДКИЕ ИНВАРИАНТЫ ОСОБЕННОСТЕЙ ТИПА ФОКУС-ФОКУС

А. М. Изосимов1

Рассматриваются особенности типа фокус-фокус интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы. Известно, что если две такие особенности имеют одинаковое число особых точек, то они послойно гомеоморфны. Однако оказывается, что этот гомеоморфизм, вообще говоря, нельзя сделать гладким. В работе строится инвариант, позволяющий классифицировать фокусные особенности с точностью до С1-диффеоморфизма.

Ключевые слова: гамильтоновы системы, особенности, интегрируемость.

We consider focus-focus singularities of integrable Hamiltonian systems with two degrees of freedom. It is known that if two singularities of this kind have the same number of singular

1 Изосимов Антон Михайлович — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: alifesin@gmail.com.

points, then they are fiber-wise homeomorphic. However, it may happen that this homeomorphism cannot be made smooth. An invariant has been constructed, which makes it possible to classify focus-focus singularities up to a C1-diffeomorphism.

Key words: Hamiltonian systems, singularities, integrability.

Особенности интегрируемых гамильтоновых систем. Гамильтонова система x = sgrad H на симплектическом многообразии (M2и,ш) называется интегрируемой, если она обладает n интегралами в инволюции, функционально независимыми почти всюду, причем косые градиенты этих интегралов полны. Основные понятия теории интегрируемых гамильтоновых систем можно найти в работах [1, 2].

Пусть x = sgrad H интегрируемая гамильтонова система, fi,..., fn ее интегралы (обладающие указанными выше свойствами). Отображение F : M2n ^ R, сопоставляющее точке x точку (fi(x),...,fn(x)), называется отображением момента, а слоение M2n на связные компоненты множеств уровня F — слоением Лиувилля. Слой слоения Лиувилля называется особым, если он содержит хотя бы одну особую точку отображения момента. В противном случае слой называется неособым.

Поскольку слои слоения Лиувилля являются интегральными поверхностями нашей системы, изучение топологии этого слоения важно для понимания качественной картины динамики. Теорема Лиувилля (см. [1, 2]) утверждает, что все неособые компактные слои слоения Лиувилля являются торами, а динамика на них условно-периодична.

Несмотря на то что неособые слои заполняют в M2n открытое всюду плотное множество, важно понимать также и топологию слоения Лиувилля в окрестности особых слоев. Дело в том, что именно особенности главным образом определяют то, как устроено слоение в целом (а значит, и то, как устроена динамика в целом). Кроме того, особые слои слоения Лиувилля соответствуют особым режимам движения (таким, как положения равновесия).

Теория качественного анализа интегрируемых систем на основе изучения множества особенностей была развита А. Т. Фоменко и его школой ([3, 4], см. также [2, 5]).

Понятно, что нельзя описать всевозможные особенности слоений Лиувилля, как нельзя описать всевозможные особенности гладких функций. Поэтому необходимо выделить некоторый класс "типичных" особенностей и ограничиться только ими, ожидая при этом, что именно такие особенности будут встречаться в реальных системах. Наиболее типичными особенностями слоений Лиувилля являются так называемые невырожденные особенности. Точное определение можно найти в [2, 5].

Особенности типа фокус—фокус. Невырожденные особые точки ранга нуль в случае двух степеней свободы бывают четырех типов: центр-центр, центр-седло, седло-седло и фокус-фокус. Нас будут интересовать точки типа фокус-фокус. Приведенное ниже следствие из теоремы Элиассона [6] (полное доказательство см. в [7], см. также [2, 5]) может быть принято за определение.

Теорема 1. В окрестности особой точки типа фокус-фокус существует симплектическая система координат pi, p2, qi, q2, в которой гамильтониан H и дополнительный интеграл f имеют вид

H = H (fi, f2 ), f = f (fi,f2 ),

где fi = piqi + P2q2, f2 = Piq2 — qiP2 и замена fi, f2 ^ H, f невырождена.

Таким образом, особые точки типа фокус-фокус локально всегда устроены одинаково. Топология особого слоя описывается следующей теоремой.

Теорема 2 [8, 9]. Предположим, что особый слой L слоения Лиувилля компактен, а все особые точки на нем имеют тип фокус-фокус. Тогда L представляет собой объединение n лагранжевых сфер, трансверсально пересекающихся в особых точках, где n — число особых точек на L (см. рисунок).

Далее под особенностью типа фокус-фокус мы будем понимать слоение Лиувилля в окрестности особого слоя, все особые точки на котором имеют тип фокус-фокус. Также будем предполагать, что все слои слоения Лиувилля компактны. Из теоремы 2 следует, что если две особенности типа фокус-фокус имеют одинаковое число особых точек на слое, то их особые слои устроены одинаково. На самом деле имеет место более сильное утверждение.

Теорема 3 (Nguyen Tien Zung [9]). Если две особенности типа фокус-фокус имеют одинаковое число особых точек на особом слое, то они послойно гомеоморфны.

Оказывается, что если число точек на слое больше одной, то этот послойный гомеоморфизм, вообще говоря, нельзя сделать даже ^-гладким. Это обстоятельство было отмечено в [2, с. 379]. В настоящей работе фокусные особенности классифицируются с точностью до Ci-диффеоморфизма.

С1-классификация фокусных особенностей. Пусть х — особая точка типа фокус-фокус. Из теоремы 1 следует, что собственные значения линеаризации sgrad Н в точке х имеют вид Л, Л,—Л,—Л. Укажем канонический способ выбрать одно из четырех собственных значений для каждой из особых точек на слое.

Каждой из пар Л, Л и —Л, —Л соответствует двумерное инвариантное подпространство. Эти подпространства являются касательными плоскостями к трансверсально пересекающимся в особой точке сферам. Таким образом, выбор одной из пар соответствует выбору одной из сфер, а выбор представителя внутри пары — выбору ориентации на соответствующей сфере.

Без ограничения общности можно считать, что вещественные части собственных значений линеаризации sgrad H отличны от нуля в каждой из особых точек. Если это не так, то в качестве гамильтониана можно выбрать другую функцию от H, f, для которой это условие выполнено (поскольку нас интересует лишь слоение, выбор гамильтониана не имеет значения).

Теперь для каждой особой точки можно выбрать пару собственных значений с положительной вещественной частью. Геометрический смысл этого условия состоит в следующем.

Рассмотрим поток sgrad H на особом слое. Для каждой особой точки x этот поток втекает в x по одной сфере, а вытекает по другой. Необходимо выбрать пару собственных значений, соответствующую той сфере, по которой поток вытекает.

Чтобы выбрать одно собственное значение из пары, выберем ориентацию на сфере. Она выбирается исходя из требования положительной ориентации пары векторов sgrad H, sgrad f (вне особых точек эти векторы независимы).

Пусть F — особенность типа фокус-фокус с двумя особыми точками xi,x2. Обозначим через Ai,A2 собственные значения линеаризации sgrad H в точках xi и x2 соответственно, выбранные описанным выше способом. Положим

{F) =

Основными результатами работы являются следующие две теоремы.

Теорема 4. Две фокусные особенности Fi ,F2 с двумя особыми точками на слое послойно C1-диффеоморфны тогда и только тогда, когда j(Fi) = j(F¿). Кроме того, для всякого jo £ [0,1) найдется фокусная особенность F с двумя особыми точками на слое, такая, что j(F) = jo.

Теорема 5. Фокусная особенность с n> 1 особыми точками на слое имеет 2n — 3 C1 -инварианта. Таким образом, гладкие инварианты фокусных особенностей, в отличие от топологических, не являются дискретными. Это обстоятельство выделяет фокусные особенности среди других типов невырожденных особенностей, для которых гладкие инварианты совпадают с топологическими.

Работа выполнена при поддержке РФФИ (грант № 10-01-00748), программы "Ведущие научные школы РФ" (грант НШ-3224.2010.1), АВЦП "Развитие научного потенциала высшей школы" (проект РНП-2.1.1.3704), ФЦП "Научные и научно-педагогические кадры инновационной России" (контракты 02.740.11.5213 и 14.740.11.0794).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. М.: Наука, 1989.

2. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Т. 1, 2. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999.

3. Фоменко А.Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // Докл. АН СССР. 1986. 287, № 5. 10711075.

4. Фоменко А. Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. 50, № 6. 1276-1307.

5. Bolsinov A.V., Oshemkov A.A. Singularities of integrable Hamiltonian systems // Topological methods in the theory of integrable systems. Cambridge: Cambridge Sci. Publ., 2006. 1-67.

6. Eliasson L.H. Normal forms for Hamiltonian systems with Poisson commuting integrals — elliptic case // Comm. math. helv. 1990. 65. 4-35.

7. Miranda E. On symplectic linearization of singular Lagrangian foliations. Ph.D. Thesis. Universitat de Barcelona, 2003.

8. Матвеев В.С. Интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы. Топологическое строение насыщенных окрестностей точек типа фокус-фокус и седло-седло // Матем. сб. 1996. 187, № 4. 29-58.

9. Nguyen Tien Zung. A note on focus-focus singularities // Differential geomerty and applications. 1997. 7. 123-130.

Поступила в редакцию 24.12.2010