Сравнение точного и приближенного учета теплового излучения границ при численном решении сопряженной задачи естественной конвекции в вертикальном слое оконных ограждений

Б/2011 ВЕСТНИК

СРАВНЕНИЕ ТОЧНОГО И ПРИБЛИЖЕННОГО УЧЕТА

ТЕПЛОВОГО ИЗЛУЧЕНИЯ ГРАНИЦ ПРИ ЧИСЛЕННОМ

РЕШЕНИИ СОПРЯЖЕННОЙ ЗАДАЧИ ЕСТЕСТВЕННОЙ КОНВЕКЦИИ В ВЕРТИКАЛЬНОМ СЛОЕ ОКОННЫХ

ОГРАЖДЕНИЙ

COMPARISON OF EXACT AND APPROXIMATE CALCULATION

BOUNDARY HEAT RADIATION IN NUMERICAL SOLUTION OF CONJUGATE PROBLEM NATURAL CONVECTION IN WINDOW VERTICAL SLOT

B.H. Варапаев, С.С. Голубев

V.N. Varapaev, S.S. Golubev

ФГБОУ ВПО МГСУ

Приведены результаты численного моделирования сопряженной задачи сложного теплообмена в прямоугольной полости с неизотермическими границами. Сравнивается точный и приближенный учет теплового излучения границ.

This article presents an numerical simulation results of conjugate heat transfer in vertical slot with nonisotermical boundaries. Presents comparison of exact and approximate calculation boundary heat radiation.

В работе изучается движение и теплообмен в прямоугольной полости, разделяющей две среды с заданными различными температурами. Задача решается как сопряженная, когда температура вертикальных границ не задается, а определяется из условия взаимодействия с окружающей средой. В теплопередаче через полость учитываются все три механизма передачи тепла: теплопроводность, конвекция и тепловое излучение границ. Воздух в полости считается прозрачным для теплового излучения стенок. Рассматриваемая задача является математической моделью теплопередачи через окна и необходима для анализа способов улучшения теплозащиты зданий.

С помощью математического моделирования получены: локальные и интегральные тепловые потоки, определяемые теплопроводностью и конвекцией воздушной прослойки и тепловым излучением границ прослойки; распределение локальных и средних температур на вертикальных и горизонтальных границах; характер движения воздуха при естественной конвекции в прослойке на основе уравнений Буссинеска. Проведено сравнение точного и осредненного учета излучения границ прослойки. Проанализировано как отдельное, так совместное влияние механизмов естественной конвекции и теплового излучения границ на характер теплопередачи через вертикальный слой воздуха.

1. Физическая постановка задачи.

На рисунке 1 представлена схема окна с двухслойным остеклением.

Решаются уравнения движения и энергии для воздуха в прослойке, уравнение теплопроводности для перегородок и соответствующие уравнения для теплового излучения. Решать такую задачу необходимо как сопряженную, сопрягая температуры и тепловые потоки на границе раздела воздуха и твердого тела. Задачи такого типа (как сопряженные, так и несопряженные) рассматривались, например, в [1 - 9].

Упрощения, используемые при решении задачи:

- учитывая, что остекление обычно является достаточно тонким (2 - 4 мм), можно вертикальные перегородки считать термически тонкими и вместо двухмерной задачи рассматривать в них одномерную (по у) задачу теплопроводности;

- тепловое взаимодействие перегородок с помещением и внешней средой будем учитывать, задавая коэффициенты теплообмена ав и ан;

- будем учитывать только тепловое излучение твердых границ воздушной прослойки, считая воздух прозрачным для теплового излучения;

- будем считать, что поверхности 1, 2, 3 и 4, являющиеся границей воздушной прослойки, являются серыми неизотермическими со степенью черноты е^ (для оконного стекла £ ~ 0,8^0,95);

- будем считать испускаемое и падающее излучение для каждого элемента поверхности диффузным, а вместо интегрального уравнения для плотности результирующего излучения замкнутой системы поверхностей 1-4 используем алгебраическое приближение [6].

I =Ах+3

2 о.

ае = 3,0 щп/м С

1=20 С

Щ- = 23,0 Вт/м %

I = -30 с

£ =.4х+В

Рис. 1. Схема окна с двухслойным остеклением. Окно отделяет помещение (слева) от внешней среды (справа), температуры и коэффициенты теплообмена которых считаются заданными.

2. Математическая постановка задачи.

При сделанных предположениях стационарная теплопередача через слой описывается системой уравнений Буссинеска в слое, одномерными уравнениями теплопроводности для вертикальных перегородок 1 и 2 и системой линейных уравнений для локальных плотностей результирующего теплового излучения твердых границ прослойки

д(ЦЖ) д(ГЖ) д2Ж д2Ж

дх

ду

дх2 ду2

- + ОТ —

дх

д(ив) д(гв) 1 (д2е 5V

дх

ду

Pr

Зх2 ду2

д2 ¥ 52 ¥

Зх2 5у2

= 0

0+* <' "е' >+ м (11" -0

П20 (ЯА^

ЕГ+м в2+м ^ I -м О 2 -0

N еС к

О-тт - X (1 - е) • Фм] X Ът1 ф;

]=1 Л,

т]тт]

•К -е ])

е =

' -'п

и =

8

и =

« пк 8

и = -

Хк

ХТ 8

От =

Р^к3

('V - 'п ^

Рг = ^,

К

Т 4 — Т 4

-8 Тм т]

Ъш = 10

''{! т т

Подробный вывод этих уравнений приведен в [2, 3].

Здесь все уравнения записаны в безразмерном виде, где в качестве масштабов длины, скорости, температуры и теплового потока приняты величины к, V /к, - 1п ,

Чк - {п)

—--- и введены следующие обозначения: и, V, Ж, ¥, в - проекции скорости на

к

оси х и у, вихрь скорости, функция тока и температура; в1(у), в2(у) - распределение температуры вдоль перегородок 1 и 2; Хт, X — коэффициенты теплопроводности перегородок и воздуха, ¿-ширина перегородок; От — число Грасгофа, Рт — число Прандтля, Д V, к — коэффициенты объемного расширения, вязкости и температуропроводности воздуха; От1(у), От2(у) ~ плотность результирующего теплового излучения поверхностей 1 и 2; Ом~ плотность результирующего теплового излучения м-ого участка поверхности (м = 1, 2,..., N1, где N — общее количество неизотермических участков, на которые разбиваются неизотермические поверхности 1-4 в алгебраическом приближении учета излучения между ними; рм] коэффициент облученности ]—го участка со стороны м-го; С0=108'<7, где а — постоянная Стефана-Больцмана; Ът- температурный фактор, где Тм — размерная абсолютная температура соответствующего участка поверхности.

Уравнения (1)-(6) образуют взаимосвязанную систему уравнений. Уравнения (4), (5) определяют граничные значения температур для уравнения (2), а их решения в

ВЕСТНИК 8/2011

свою очередь зависят от тепловых потоков на границе, определяемых из (2). Система уравнений (6) описывает распределение плотности результирующего излучения на границах слоя и, в частности, величин QTl(y), 2т2(У)входящих в уравнения (4), (5), решения которых в свою очередь входят в правые части системы (6). Получаемая сопряженная задача решается численно методом, описанным в [2, 3]. На торцах 3 и 4 граничные условия для (2) задаются в виде:

в(х,0)= в 1(0) - [в 1(0) - в(0)]-х, в(х, Л) = вг(Л) - [в1(Л) - в(Л)]-х.

Здесь А = И/к - относительное удлинение слоя.

Для уравнений (4), (5) используются граничные условия:

в'1(0)=в'1(Л)=в'2(0)= в'2(Л)=0.

В качестве характерной температуры при вычислении теплофизических коэффициентов принималась величина 0,5-(1+1п). В качестве изотермических участков, на которые разбиваются поверхности 1-4 в системе (6), брались отрезки длины Ах, Ду,-, характеризующие размер сеточной области в слое.

3. Анализ результатов расчета.

Расчеты проводились в следующем диапазоне параметров :1 < Л < 25; 103 < Ог < 106; 1 < ЫV < 9; 3 < Ып < 20; 0,1 < М < 0,5; Рг = 0,71; е = 0,93.

Безразмерные параметры выбирались таким образом, чтобы это соответствовало случаю постоянного значения ^ = 20 °С и различным значениям 1п и к в диапазоне -30°С < П < 20 °С; 0,02 м < к < 0,05 м.

Результаты расчетов показывают, что в рассмотренном диапазоне чисел Грасгофа (Ог <106) тепловое излучение границ при е = 0,93 всюду превосходит тепловой поток за счет конвекции, причем их отношение быстро растет при уменьшении числа Грасгофа.

Интересно отметить, что на большей части перегородки (2 < у < 8), исключая притор-цевые области, величина QR изменяется мало. Это позволяет в воздушных прослойках большого удлинения использовать более простые способы учета излучения вертикальных неизотермических границ.

Для оценки точности более простых моделей были проведены отдельные расчеты, в которых вместо решения системы (6), учет излучения проводился интегрально: поверхности 1-4 считались изотермическими, температура их полагалась равной средней температуре каждой из поверхностей. Тепловые потоки < > (/=1,2,3,4) определялись из решения системы четырех уравнений типа (6) и использовались затем в (4), (5).

Результаты этих расчетов приведены на рис. 2. Здесь показаны плотности размерных тепловых потоков для трех вариантов счет:

- сопряженная задача с полным учетом всех трех механизмов передачи тепла

Кружками показаны результаты для конвективной, радиационной и суммарной

плотности теплового потока в этом случае;

- сопряженная задача с учетом всех трех механизмов передачи тепла, но тепловое излучение считается приближенно, по средним температурам всех поверхностей воздушной прослойки (эти результаты показаны треугольниками);

- сопряженная задача с передачей тепла только конвекцией (эти результаты показаны крестиками).

8/2011_М,ВЕСТНИК

180,00 ---

160,00 -----

140,00 --------

120,00 ---------/у^-

1 У

Вт/м2 -

60,00 --------у?

/ " ' ч/

/...в

40,00 -I--/ , ' у/ --^-

еС* X .....ш"

& / л.,.*''*

20,00 -------

0,00--^—

10 20 30 40 50

М, °С

Рис. 2. Сравнение результатов, полученных при точном и осредненном учете излучения. Суммарные тепловые потоки показаны сплошной чертой, радиационные тепловые потоки - пунктиром, а конвективные - точками.

Суммарные тепловые потоки показаны сплошной чертой, радиационные тепловые потоки - пунктиром, а конвективные - точками.

Результаты показывают, что при таком учете излучения радиационные и суммарные потоки тепла оказываются завышенными на 5—12 %, а конвективные - почти не изменяются. Эти данные имеет смысл использовать при разработке приближенных моделей расчета для задач строительной теплофизики.

Аналогичные результаты для безразмерных тепловых потоков приведены на рис. 3. На этом рисунке используются те же обозначения, что и на рисунке 2. Все тепловые

% -

потоки при записи в безразмерном виде отнесены к-.

И

Следует отметить следующий интересный результат, полученный при решении полной сопряженной задачи с совместным действием излучения и конвекции. Средние по высоте безразмерные температуры горячего и холодного стекла в1(у) и в2(у) остаются почти постоянными в диапазоне 1 < А < 25; - 30 С < 1п < 20 С; 0,02 м < И < 0,05 м и примерно равны: в1(у)=0,65, в2(у)=0,132 для величины И=0,02 м; в1(у)=0,66 и в2(у)=0,126 для величины И=0,05 м (с погрешностью, не превышающей два процента).

В среднем можно считать, что осредненная разность температур горячей и холодной стенки удовлетворяет соотношению в15 - в2= 0,52 с погрешностью, не превышающей двух - трех процентов и почти не зависит от числа Рэлея.

8/2011

и ✓ 3

4 * / Я 51

Л ✓ г; ' А у .....*

< ч * V, ✓ ..... ..... г

........

3,00

2,00

q/qT 1,50

1 \— — s— -/ U—

с }— —n LS-- -fi_ --Ä -

L

С ч t: *

4 t ......^ ) 5

г а...... iif-TE

0,50

10 20 30 40 50

Л1, °С

Рис. 3. Безразмерные тепловые потоки, полученные при точном и осредненном учете излучения. Обозначения на рисунке такие же, как и на рисунке 2.

Öls, Ö2<

0,900 0,800 0,700 0,600 0,500 0,400 0,300 0,200 0,100 о,ооо

3,982 4,283 4,462 4,587 4,684

lg

Рис. 4. Зависимость средних температур на горячей и холодной прослойке от числа Рэлея, построенного по величинам tv - tn и h.

Зависимость средних температур на горячей и холодной границах прослойки от числа Рэлея показана на рис.4. На рисунке приняты следующие обозначения: кружками показа-

—> <r-

—) <— А

а ü Zl . л

7

e i- - - Й i " -4. S-- --i --t »

x- <

Б/2011 ВЕСТНИК

ны результаты решения сопряженной задачи с точным учетом излучения и конвекции; треугольниками показаны результаты для случая приближенного учета излучения, а крестиками показаны результаты решения задачи без учета излучения (в этом случае тепло передается только теплопроводностью и конвекцией). Следует обратить внимание, что перепад температур в последнем случае гораздо больше, чем при учете излучения.

С целью проверки неаддитивности механизмов передачи тепла через слой за счет конвекции и излучения стенок были проведены расчеты как без конвекции, когда тепло через воздушную прослойку передавалось только за счет излучения стенок, так и без излучения (е = 0) при наличии только конвекции и теплопроводности. Сравнение этих результатов с результатами полной задачи при совместном действии конвекции и излучения показывает, что в последнем случае суммарный тепловой поток может быть на 20-30 % меньше, чем сумма тепловых потоков при раздельном действии конвекции и излучения, что обусловлено нелинейностью полной задачи. Это следует учитывать при построении приближенных инженерных методов расчета.

Литература

1. Варапаев В. Н. Конвекция и теплообмен в вертикальном слое с учетом излучения неизотермических стенок. Известия АН СССР, МЖГ, 1987, № 1.

2. Варапаев В. Н. , Китайцева Е. X. Математическое моделирование задач внутренней аэродинамики и теплообмена зданий. - М.: Изд-во СГА, 2008, 338 с.

3. Гебхарт Б., Джалурия И., Махаджан Р., Саммакия Б. Свободноконвективные течения, тепло - и массообмен. В 2-х книгах. : Перевод с англ. -М.: Мир,1990. -678с, -528с.

4. Дроздов А.В., Савин В.К., Александров Ю.П. Теплообмен в светопрозрачных ограждающих конструкциях. М.: Стройиздат, 1979. - 307 с.

5. Корепанов Е.В. Свободная конвекция в воздушных прослойках окон с двойным остеклением. // Известия вузов. Строительство. 2005, №2, с.106 - 112.

6. Спэрроу Э.М., Сесс Р.Д. Теплообмен излучением. Пер. с англ. Л.: Энергия, 1971.

7. Тарунин Е.Л. Вычислительный эксперимент в задачах свободной конвекции. - Иркутск: Изд - во Иркут. Ун - та, 1990.-228с.

8. Густавсен А., Туэ Ю.В.Численное моделирование естественной конвекции в трехмерной воздушной полости с высокой вертикальной пропорцией и низкой горизонтальной пропорцией. Журнал Строительной Физики, 2007, 30(3),217-240.

9. Густавсен А.,Колер К., Арасте Д., Далехау А. Двумерная вычислительная газодинамика и моделирование теплообмена в горизонтальном элементе оконной рамы с внутренними полостями. АОИООК сборник трудов.2007, 113(1): 165-175.

Literature

1. Varapaev V. N. Convection and heat transfer in a vertical layer taking into account radiation of non-isothermal walls. Proceedings of the Academy of Sciences of the USSR, Fluid Dynamics, 1987, №1.

2. Varapaev V.N., Kitaytseva E.H. Mathematical Modeling of the internal aerodynamics and heat transfer in buildings. - M.: Publishing house SGA, 2008, 338 p.

3. Gebhart B., Dzhaluriya I., Mahajan R., Sammakiya B., Free convective flow, heat - and mass transfer. In 2 books.: Translated from English -M.: Mir, 1990. -678 p, -528 p.

4. Drozdov, A.V., Savin V.K., Alexandrov J.P. Heat transfer in translucent fencing construction. M.: Stroyizdat, 1979. - 307p.

5. Korepanov E.V. Free convection in the air gap, double glazed windows. / / Proceedings of the universities. Construction. 2005, № 2, p.106 - 112.

6. Sparrow E.M., Cess R.D. Radiation heat transfer. Translated from English L.: Energiya, 1971.

7. Tarunin E.L. Computational experiment in problems of free convection. - Irkutsk: Publishers of Irkutsk University, 1990. -228p.