Блочные численно-аналитические методы и новые математические модели в расчете силовых взаимодействий наночастиц

11. Burrowes, K.S. Towards a virtual lung: multi-scale, multi-physics modelling of the pulmonary system [Text]/ K. S. Burrowes, A.J. Swan, N.G. Warren, [et al. ] // Phil. Trans. R. Soc. A 28.-2008.-Vol. 366.- № 1879. - P. 3247-3263.

12. Ching Long Lin. An individual multi-scale image-based lung model and a statistics-based strategy of applying it to population-based assessment of lung functions [Text]/ Lin Ching Long, Kung-Sik Chan, E. Hoffman // Proc. of the ECCOMAS Thematic Intern. Conf. on Simulation and Modeling of Biological Flows (SIMBIO 2011). September 21 - 23, 2011. - Brussels, Belgium: VUB, 2011. -P. 1 - 12.

13. Denny, E. A model of non-uniform lung parenchyma distortion [Text]/ E. Denny, R. Schroter // J. Bio-mech. - 2006. - Vol. 39. - № 4.-P. 652 - 663.

14. Fedosenko, N. Use of time dependent effects for mixing and separation of the two-phase flows

[Электронный ресурс]/ N. Fedosenko, A. Iatcenko, S. Levanov // Proc. of the Int. Conf. on Fluid Mechanics, Heat Transfer and Thermodynamics(ICF MHTT2011).—2011. http://www.waset.org/journals/ waset/v.78pnp

15. Fedosenko, N. Influence of the character of breathing on self-cleaning effects in the airways of the lung [Text]/ N. Fedosenko, A. Iatcenko //Trans. of Aca-demenergo. - 2012. - № 2. -P. 88 - 95.

16. Schröder, F. Multiplane-stereo PIV measurements for steady flow in the first two bifurcations of the upper human airways during exhalation [Text] / F. Schröder, M. Klaas, W. Schröder //Proc. of the ECCOMAS Thematic Intern. Conf. on Simulation and Modeling of Biological Flows (SIMBIO 2011). Sept. 21-23, 2011. Brussels, Belgium: VUB, 2011. - P. 12-24.

УДК 519.632.4

А.В. Пашковский, В.И. Пашковский

БЛОЧНЫЕ ЧИСЛЕННО-АНАЛИТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ И НОВЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ В РАСЧЕТЕ СИЛОВЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ НАНОЧАСТИЦ

В связи с активным освоением новых технологических процессов и разработок по внедрению милли-, микро- и наносред в устройства и системы самой различной направленности все большую актуальность приобретает оценка существующих численных методов на предмет оправданности их использования для расчетов потенциальных полей в перечисленных средах. Прежде всего, это касается точности получаемых оценок и необходимых для расчета вычислительных ресурсов.

Как показали проведенные исследования, такие широко применяемые численные методы, как метод конечных элементов (МКЭ), метод конечных разностей (МКР) и другие показывают хорошие результаты при расчете потенциальных полей в однородных и кусочно-однородных средах, однако испытывают

значительные проблемы при переходе к мелкозернистым средам.

В некоторых работах [1, 2] в полевых расчетах мелкозернистых сред вводятся коэффициенты их осреднения с целью рассмотрения как квазиоднородных и последующего применения для них МКЭ, МКР и других методов. Однако получаемые при этом результаты не всегда адекватны, а само осреднение не всегда возможно. Число работ для случаев, когда осреднение невозможно, а также работ, касающихся расчетов потенциальных полей в специального вида частицах (сферических, эллипсоидальных) является весьма ограниченным.

Для расчета потенциальных полей в мелкозернистых средах значительные перспективы имеет метод стандартных элементов (МСЭ), а также комбинированные методы, на нем осно-

ванные. В частности, в работе [3] показано, что они позволяют достаточно точно рассчитывать стационарные потенциальные поля в мелкозернистых средах при доступных вычислительных ресурсах.

Особый интерес представляют собой среды с включениями и частицами, имеющими особые точки решения, располагающиеся в угловых выступающих зонах на границах частиц. В работе [4] для расчета поля в таких средах были попытки ввести нерегулярные согласованные и несогласованные конечные элементы, что сильно усложняло методику МКЭ. В работе [5] установлено, что метод стандартных элементов на основе рядов Фурье (МСЭФ), в отличие от вышеперечисленных, позволяет получить повышенную точность расчетов при сокращении затрат вычислительных ресурсов благодаря использованию численно-аналитического подхода к решению краевых задач.

Некорректность краевых задач в наносредах

При расчетах силовых электромагнитных взаимодействий в средах, размеры частиц которых стремятся к наноуровню, как оказалось, необходимо учитывать и локальные заряды, связанные с атомарной и молекулярной структурами. В этих условиях краевые задачи расчета полей оказываются некорректными, а их численные решения неустойчивыми. Это становится очевидным при рассмотрении примера (см. далее), предлагаемого авторами и иллюстрирующего некорректность краевой задачи для уравнения, описывающего локальное потенциальное поле в среде при наличии в ней даже одной наночастицы.

Пример некорректности краевой задачи. Пусть для наночастицы сферической формы радиуса г0 , с зарядом в ее центре, поставлена краевая задача Дирихле расчета электростатического поля. Диэлектрическую проницаемость £ наночастицы (рис. 1) определим следующей функцией:

в =

\1/а , г < а;

1/г , г > а.

Использование скалярного потенциала и1 для решения этой задачи приводит к постановке

Рис. 1. Зависимость диэлектрической проницаемости наночастицы сферической формы от ее радиуса

ё^^гаё") = -4я8

и1 |г=г0 = Ь

дельта-функция.

где 8

Известно, что решение задачи (1) — (3) может быть представлено в виде

Л/г + V,

где V — гладкая функция.

Из формулы (4) очевидно, что в центре наночастицы решение и1 имеет особенность. Рассмотрим теперь другую краевую задачу:

ёгу

(1/ г2) gradu2

= -4я8(0),

2 г=Го

ь.

Нетрудно проверить, что выражение

"2 = г

является решением задачи (5), (6). Заметим, что при а ^ 0 коэффициенты уравнений (2) и (5) близки, т. е.

||е-1/г2II£ ^0.

Таким образом, есть уравнения (2) и (5) с близкими коэффициентами (8), для которых поставлена одна и та же краевая задача Дирихле. Несмотря на сколь угодно малое отличие коэффициентов в уравнениях в пространстве Ь, решения задачи Дирихле для этих уравнений кардинально отличаются.

Действительно, в то время как решение (4) краевой задачи (2), (3) не ограничено, решение (7) краевой задачи (5), (6) ограничено. Приведенный пример четко показывает проблему, проявляющуюся именно в полевых задачах для

и

1

сред с частицами иаиоразмеров, ведь для них параметр а (см. рис. 1) очень мал.

В связи с представленной ситуацией, показанной на примере, можно сделать основополагающий вывод: при использовании в на-носредах существующих численных методов, использующих конечно-элементную или конечно-разностную сетки, рассмотренная некорректность краевой задачи вызывает большие погрешности и приводит при вычислении к неустойчивости численных расчетов, а следовательно, для расчета полей в наносредах необходимы разработка и адаптация к соответствующим расчетам новых численно-аналитических методов. Это подтверждается еще и тем, что при расчетах потенциальных полей в наносредах возникает ряд дополнительных трудностей:

в большинстве случаев электромагнитные взаимодействия описываются уравнениями с частными производными, которые содержат быстро осциллирующие коэффициенты;

численные расчеты характеристик поля в некоторых краевых задачах для уравнений, описывающих локальные электромагнитные и тепловые поля в пределах одной наночастицы, являются неустойчивыми (см. пример);

резкие изменения локальных полей в совокупности наночастиц, в силу малости расстояний между ними, приводят к неустойчивости решения в наносреде;

существование наночастиц с острыми выступами на поверхности осложняет проведение полевых расчетов;

физические параметры растворов веществ с различной поляризацией частиц обладают сложным поведением в электрических полях, что влияет на точность вычисления производных потенциала;

проектирование наноматериалов и элементов наноустройств связано с решением обратных задач для дифференциальных уравнений с частными производными, которые являются некорректными.

Как показали проведенные нами исследования, введенные в работе [6] блочные численно-аналитические методы, такие как МСЭ [7, 8], МСЭФ [9 - 11], МСЭБ [12], во многих случаях позволяют преодолеть как перечисленные выше трудности, так и обеспечить не

только повышенную точность расчетов, но и экономию вычислительных ресурсов. Эти преимущества обусловлены использованием аналитического решения внутри выделяемых подобластей расчетной области (наночастиц) и позволяют точно учесть особенности сред, рассмотренных выше. Несомненным достоинством методов является возможное различие выделяемых подобластей по свойствам среды, по особенностям решения в данных подобластях, по возможностям численного или аналитического решения в них краевых задач, по возможности введения в них вспомогательных функций. Последующее использование специальных склеек решений смежных подобластей позволяет получить решение краевой задачи в расчетной области.

В связи с тем, что в указанных численно-аналитических методах используются аналитические формулы решений дифференциальных уравнений, важным является расширение класса дифференциальных уравнений, для которых можно найти аналитические формулы решений.

В связи с этим существенное значение также приобретают разработанные методы связанных операторов и краевых задач [13], а также (р, #)-связанных операторов [14], позволяющие находить решения краевых задач для любого уравнения с частными производными с оператором из узла операторов через решения краевых задач для одного из операторов этого узла.

Зачастую возможность решения прикладной задачи зависит не только от используемых численных методов, но и от вводимой математической модели физической задачи. В электромагнитных расчетах повсеместно используются уравнения Максвелла, в которых ограничены диэлектрическая и магнитная проницаемости. В наносредах подобный подход в некоторых случаях вызывает затруднения. Именно поэтому следующий вопрос, рассматриваемый далее, касается нахождения новых физико-математических моделей, описывающих взаимодействие наночастиц. Предложенная ниже модель использует вырождающиеся уравнения с частными производными и в некоторых случаях может помочь в решении важных прикладных задач.

Использование вырождающихся уравнений для моделирования и расчета электромагнитных полей

Во многих случаях при анализе электромагнитного поля наночастиц, комплексов молекул становится понятным, что их поляризация возникает за счет сдвига облаков электронов. Образованные при этом заряды нельзя считать точечными в классическом смысле и использовать доя расчетов закон Кулона. Возникает необходимость выделения в расчетной области подобластей, заполненных зарядами. В стационарном случае полевые расчеты могут сводиться к решению уравнения Пуассона Ли = р.

Однако часто границы образованного заряда размыты. Данное явление — рядовое в су-прахимии, где можно очень точно определить центр заряда и его величину, но невозможно определить границы облака электронов. Расчеты в подобных случаях, как было объяснено выше, затруднены, а их реализация приводит к большим погрешностям при расчете взаимодействий частиц.

Вырождающиеся уравнения позволяют по-новому подойти к построению математических моделей, реализации методов и численным расчетам в этих случаях. Рассмотрим уравнение (2), для которого справедлива следующая теорема: Теорема 1. Если е = 1/гр, р> 0, р^ 1, где

2 2 2 r = \i x + y + z , то функция u

3-1

является

решением уравнения

div

(1/ r р) gradu

-4л

Б е з д о к а з а т е л ь с т в а. Таким образом, функция u при подстановке в уравнение (9) дает дельта-функцию, и, следовательно, может рассматриваться как потенциал заряда. Этот потенциал отличается от 1/r, а силы взаимодействия между такими зарядами имеют вид const / r. Из формулы (9) также видно, что величина заряда зависит от порядка величины Р, что облегчает использование уравнений типа (9) доя расчета локальных полей. Справедливо и более общее утверждение: Теорема 2. Если функция «u» вне начала координат является решением уравнения

div(s grad u) = 0,

а £ и «u» имеют при Р^1 асимптотики e~r -Р,

1

u--r

4п

з-1

то в области, содержащей начало координат, функция «и» является решением уравнения

div(sgradu) = (1 -Р)8(0).

Б е з д о к а з а т е л ь с т в а.

Приведем простой пример замены модели Пуассона на модель с диэлектрической проницаемостью, имеющей особенность. Можно рассмотреть любую область с произвольно распределенным в ней любым зарядом. Выберем (лишь для конкретики) в виде области некоторый шар с распределением в нем положительного заряда подобно распределению заряда протона. Известно, что распределение заряда в протоне соответствует графику (рис. 2,а), где по оси ординат отложена не плотность р заряда

10-15 Кл/м

]'5 г, 10"

Рис. 2. Распределение заряда в протоне (а) и функция v(г), аппроксимирующая эту зависимость (5); г — расстояние от центра протона

протона, а величина 4л^р. Она представляет собой плотность суммарного по всем направлениям заряда на расстоянии г от центра, поскольку выражение

4яг2р(г)йг

в протоне — полный заряд в сферическом слое толщиной йг.

Аппроксимируем график распределения плотности заряда функцией V (рис. 2, б), где

V = 4ш2р = 15г2 (1,5 - г)310"15.

Несомненно, полученный график на рис. 2,6отличается от графика на рис. 2,а, однако это принципиально не меняет сути дела и служит для упрощения функции р, вводимой в качестве примера. При таком выборе р потенциал поля внутри протона удовлетворяет уравнению Пуассона

Дм = ——(1,5 - г)310"15. (13) 4лв0

Центральная симметрия распределения потенциала легко позволяет его найти:

u = C —15— 10-15 4л8а

( „5

_г_ 9И _9г_

"30 + Ю" 16 +16 ,

V у

„3

„2 Л

где

8 =

C

,J^10"15

'-0

( „3

V

r

~ Т + 10

9r2 27r 9^

16 + 8

Очевидно, что г в начале координат обращается в бесконечность.

Заметим, что поскольку об окружающем мире мы судим по силовым откликам, которые зависят от градиента потенциала, и решения уравнений (13) и (14) одинаковы, то в качестве модели, которая описывает электромагнитное поле внутри области, содержащей распределенный заряд, вместо уравнения Пуассона (13) может быть использовано уравнение (14).

Поскольку уравнения с параметрами среды, которые обращаются в бесконечность, замещают распределенный заряд на точечный, то для отличия от точечных зарядов в вакууме назовем их «фанами» (сокращение от слова фантом). Естественно, что в общем случае, когда необходимо учитывать и добавочные материальные свойства среды, уравнение для фанов будет иметь вид

div

(

V i

Л

+ 8

gradu

= (рг. -1)5(r),

Как нетрудно убедиться, функция и удовлетворяет внутри протона не только уравнению Пуассона, но и уравнению

div

8е0

где гг обращаются в нуль в точках расположения заряда, а г — некоторая гладкая функция.

Таким образом, использование разрабатываемых блочных численно-аналитических методов в полевых расчетах милли-, микро- и наносред позволит минимизировать (вплоть до полного исключения) применение конечно-элементной или конечно-разностной сеток, что позволит избежать неустойчивости численных расчетов в решении некоторых некорректных краевых задач. Использование введенной математической модели электромагнитного поля в частице, на основе вырождающихся уравнений, может побудить к новым физическим экспериментам, в которых вместо нахождения плотности распределения электронов можно воспользоваться определением диэлектрической проницаемости или коэффициента преломления.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Babuska, I. Solution of interface problems by homogenization [Text] / I. Babuska. - Baltimore, Md.: University of Maryland, 1974. - BN-782, BN-787, BN-827.

2. Лионе, Ж.Л. Замечания по некоторым аспектам

гомогенизации в композитных материалах [Текст] / Ж.Л. Лионе // Вычислительные методы в математической физике, геофизике и оптимальном управлении. - М.: Наука, 1978. - C. 5 - 19.

3. Пашковский, В.И. Новый метод расчета электромагнитных полей в мелкозернистых и сплошных средах [Текст] / В. И. Пашковский // Дифференциальные уравнения. — 1981. — Т. 17. — № 2. — С. 345 — 353.

4. Бахвалов, Ю.А. Учет особенности в окрестности угловых точек при расчете электрических полей методом конечных элементов [Текст]: / Ю.А. Бахвалов, А.И. Бондаренко// Изв. вузов. Электромеханика. — 1982. — № 10. — С. 1138 —1146.

3

5. Пашковский, A.B. Метод стандартных элементов в решении задач магнитостатики при особенностях в окрестностях угловых точек [Текст] /

A.B. Пашковский // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Информатика. Телекоммуникации. Управление. - 2010. - № 1. - C. 103 - 106.

6. Пашковский, В.И. BNAM-блочные численно-аналитические методы [Электронный ресурс] /

B.И. Пашковский / URL http://sites.google.com/site/ bnamapl/home (дата обращения: 15.05.12).

7. Пашковский, В.И. Комбинированные методы и их приложения к задачам электромеханики [Текст] / В.И. Пашковский // Изв. вузов. Электромеханика. -1986. - № 9. - C. 5 -10.

8. Пашковский, В.И. Решение полевых задач электромеханики комбинированными методами в сочетании с методом связанных операторов [Текст] / В.И. Пашковский // Изв. вузов. Электромеханика. -1988. - № 1. - C. 5 - 9.

9. Пашковский, A.B. Прямоугольный стандартный элемент в моделировании температурных и электромагнитных полей в кусочно-однородных средах [Текст] / A.B. Пашковский, И.В. Пашковская // Изв. вузов. Электромеханика. - 2003. - № 3. - C. 9 - 12.

10. Пашковский, A.B. «Склеенные» прямоугольные стандартные элементы в решении модельной

полевой задачи [Текст] / A.B. Пашковский, И.В. Пашковская // Изв. вузов. Электромеханика. - 2007. -№ 1. - C. 78 - 80.

11. Пашковский, A.B. Метод стандартных элементов в моделировании полей наложения системы «катализатор-среда-электрод» [Текст] / A.B. Пашковский // «Математическое моделирование, компьютерные и информационные технологии в технике, экономике и образовании». Матер. общерос. научн.-практ. конф. - Невинномысск: СевКавГТУ, 2009. - С. 94 - 98.

12. Пашковский, A.B. Метод стандартных элементов в управлении процессами термообработки электромеханических устройств [Текст] / A.B. Пашковский // Известия Южного федерального университета. Технические науки. - 2010. - № 5. - C. 74 - 79.

13. Пашковский, В.И. Связанные операторы и краевые задачи гиперболических и вырождающихся гиперболических уравнений в частных производных [Текст] / В.И. Пашковский // Дифференциальные уравнения. - 1975. - Т. 11. - № 1. - C. 127 - 136.

14. Пашковский, A.B. Метод (p, д)-связанных операторов в двухфазной модели тепловых процессов электрических машин [Текст] / A.B. Пашковский // Изв. вузов. Электромеханика. -1985. -№ 5. - C. 17 - 23.

УДК. 519.6, 621.515.54

А.С. Фролов, Р.А. Измайлов

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕЧЕНИЯ В ЦЕНТРОБЕЖНОМ КОМПРЕССОРЕ С БЕЗЛОПАТОЧНЫМ ДИФФУЗОРОМ

Современные компрессоры должны довольно часто использоваться в режимах работы, далеких от номинальных, и даже в таких условиях необходимо обеспечивать их безопасную и надежную работу. При этом такие виды неустойчивости, как вращающийся срыв и помпаж, могут привести к существенному снижению надежности, а также к разрушению всей установки. Причиной их неполадок и аварий является внутренняя структура газового потока, а именно — образование вихревых структур и их развитие при уменьшении расхода газа. Образование

и характер таких нестационарных эффектов, как предсрыв и вращающийся срыв, были детально исследованы в различных экспериментальных установках и при разных условиях [2]. Однако высокая стоимость экспериментального исследования препятствует выяснению внутренней природы указанных явлений. Для преодоления этого препятствия и установления причин срывных и помпаж-ных явлений необходимо провести детальные численные исследования структуры потока с их последующим сопоставлением с экспериментальными данными.