Преобразование нелинейных систем управления к эквивалентным линейным в канонической форме Бруновского

теория и практика автоматизированного электропривода

УДК 681.5

Дмитриенко В.Д., Заковоротный А.Ю.

преобразование нелинейных систем управления к эквивалентным линейным

в канонической форме бруновского

Для универсального пакета моделирования Ма1ЬаЬ разработана специализированная программа, которая автоматизирует преобразование широкого класса нелинейных систем управления к эквивалентному линейному виду в канонической форме Бруновского с помощью инволютивных распределений геометрической теории управления в пространстве «вход - состояние». В статье приводится пример применения программы для получения линейного эквивалента математической модели движения дизель-поезда, которая состоит из десяти обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений с четырьмя управлениями и описывает привод с двумя параллельно работающими тяговыми асинхронными двигателями. При этом синтезированная линейная модель в форме Бруновского имеет четыре клетки и индекс управляемости, равный четырем. Полученная линейная модель движения дизель-поезда может использоваться для поиска оптимальных управлений, а также для исследования процессов буксования и юза.

Ключевые слова: форма Бруновского, геометрическая теория управления, математическая модель движения дизель-поезда.

Введение

Вопросами оптимизации движения железнодорожного транспорта на протяжении десятилетий занималось множество ученых [1 - 7]. При этом многие исследования выполнялись с помощью математического моделирования на сложных моделях, описываемых системами обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений высокого порядка. Это приводило к серьезным трудностям при поиске оптимальных управлений тяговым подвижным составом, так как большинство из известных методов эффективно применимо лишь для объектов, которые описываются системами обыкновенных нелинейных дифференциальных уравнений не выше 2-3 порядка [8, 9]. В связи с этим в работах [7, 10, 11] была решена задача поиска оптимальных управлений с помощью динамической линеаризации исходной нелинейной модели, методами геометрической теории управления, при этом были получены законы оптимального управления для объектов, которые описывались системами нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений 5-6 порядка. Однако аналитическое преобразование исходных нелинейных систем к линейному виду в форме Бруновского требует трудоемких аналитических преобразований. Поэтому для поиска оптимальных законов управления реальным приводом, который учитывает параллельную работу нескольких электродвигателей, необходима разработка специализированных программных средств, которые могли бы автоматизировать процесс преобразования нелинейных систем к линейному виду.

Целью статьи является разработка программных средств, автоматизирующих в пакете МайаЬ преобразование нелинейной математической модели движения дизель-поезда к эквивалентному линейному виду в форме Бруновского с помощью инволютивных распределений геометрической теории управления.

Теоретические, экспериментальные,

технические и технологические методики

Подход, основанный на геометрической теории управления, динамической линеаризации обратной

связью в пространстве «вход - состояние» нелинейной математической модели движения дизель-поезда, с помощью последовательности инволютивных распределений, может быть представлен в виде алгоритма: Шаг 1. Задание исходной системы нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Шаг 2. Построение векторных полей, связанных с нелинейной системой дифференциальных уравнений. Шаг 3. Проверка последовательности распределений на выполнение условий инволютивности. В случае выполнения условий инволютивности последовательности распределений - переход к шагу 5 алгоритма. Шаг 4. В случае невыполнения условий инволютивно-сти последовательности распределений - увеличение размерности пространства, путем введения дополнительных фазовых координат в каналы, связанные с управлениями. Переход к шагу 2 алгоритма. Шаг 5. Определение индекса управляемости для рассматриваемой системы управления, используя теорему о линейном эквиваленте для нелинейной аффинной системы с векторным управлением. Шаг 6. По индексу управляемости системы определяется форма линейного эквивалента, т.е. определяется количество клеток канонической формы Бруновского. Шаг 7. Построение системы дифференциальных уравнений, из которой путем последовательного дифференцирования, вдоль соответствующих векторных полей, определяются функции перехода к канонической форме Бруновского.

Шаг 8. Нахождение функций перехода к канонической форме Бруновского.

Шаг 9. Определение управляющих воздействий для линейной системы уравнений в канонической форме Бруновского.

Шаг 10. Переход от управлений линейной системой в форме Бруновского к управлениям для исходной нелинейной системы уравнений. Шаг 11. Останов.

Этот алгоритм программно реализован в пакете МаНаЪ.

Рассмотрим применение разработанного программного продукта для линеаризации математической

модели движения дизель-поезда.

Математическая модель движения дизель-поезда, учитывающая работу двух тяговых приводов, может быть описана следующей системой обыкновенных дифференциальных уравнений:

dx2 dt

dxx _ _f

—— — ai2X2 — f1; dt

a235X3X5 a246X4X6 +

+ a289X8 X9 a2,7,10X7 X10 a200

— a220X2 — a222X2 — f2;

dXj i i - ^33X3 + ^34X4 + - f + ;

dt

dx4

dt dX5

dt

— a43X3 + a44X4 + a425X2X5 — f4;

— a55X5 + a56X6 + a524X2X4 — f5;

dX

—Г — a65X5 + a66X6 + U1 — J6 + и dt

dX7 _ _

— — a7^'X7 + a78X8 + a729X2X9 — J 7; dt

dXs 22

— — aS7X7 + a88X8 + U1 — ./s + U1 ; dt

dX9 r .

— — a99X9 + a9 10X10 + a9 2 7X2X7 — f9; dt

dX,

1° — a X + a X + TT2 — f + TT2 a10,9 X9 + a10,10x10 + U 2 f10 + U 2 ,

dt

где х - расстояние, отсчитываемое от начала перегона; t - время; «2,агъ,«246, «ю9,а1010 - постоянные коэффициенты, определяемые параметрами привода; X - скорость движения состава; хъ, х4 их, X -потокосцепления по оси и соответственно первого и второго двигателей; х5, х6 и х9, х10 - потокосцепления по оси V соответственно первого и второго двигателей; Щ, Щ (д = 1, 2) - питающие напряжения первого и второго тяговых двигателей.

С системой дифференциальных уравнений (1) связаны векторные поля:

X(X) = |/1, Л, /з, /4, /5, Л, /7, /8, /9, /10т,

у = |0, 0, 1, о, о, о, о, о, о, о|т, у = |о, о, о, о, о, 1, о, о, о, о|т, у = |о, о, о, о, о, о, о, 1, о, о|т, у = |о, о, о, о, о, о, о, о, о, 1|т,

которые в пакете Ма1ЬаЬ могут быть заданы следующим образом:

f1 = зут('а12 * х2');

12 = 8ут('а235 * х3 * х5 - а246 * х4 * х6 + а289 * х8 * х9 - а2710 * х7 * х10 - а200 - а220 * х2 - а222 * х2Л2');

13 = зут('а33 * х3 + а34 * х4');

14 = зут('а43 * х3 + а44 * х4 + а425 * х2 * х5');

15 = зут('а55 * х5 + а56 * х6 + а524 * х2 * х4');

16 = зут('а65 * х5 + а66 * х6');

17 = 8ут('а77 * х7 + а78 * х8 + а729 * х2 * х9');

18 = 8ут('а87 * х7 + а88 * х8');

19 = 8ут('а99 * х9 + а910 * х10 + а927 * х2 * х7'); 110 = 8ут('а109 * х9 + а1010 * х10');

X = [11; 12; 13; 14; 15; 16; 17; 18; 19; 110];

У1 = [0; 0; Бут(Т); 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0];

У2 = [0; 0; 0; 0; 0; зут(Т); 0; 0; 0; 0];

У3 = [0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; зут(Т); 0; 0];

У4 = [0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8ут('1')];

х = [зут('хГ) 'х2' 'х3' 'х4' 'х5' 'х6' 'х7' 'х8' 'х9' 'х10'].

Система уравнений (1) может быть преобразована к форме Бруновского только в случае, если инволю-тивны распределения Мо = Брап{у,у ,у ,у}, М1 = = 8рал{у,у,у,у,Ьху, Ьху, Ьху, ЬХУ4} и М2 для этой системы [11], где 8рап{у,у,у,у} - линейная оболочка векторов у,у,у,у, Ьху (к = 1, 4) - производные Ли вдоль векторного поля Х векторных полей у (к = 1, 4). Производные Ли вычисляются следующим образом:

ах„ ах.

, , — I V VI—_к У —

OX OX OX

O/1 O/1 Of

Ox OX2 OX10

O/2 Of2 f

Ox Ox2 . . Ox10

Of10 Of10 Of10

Oxj Ox2 Ox10

Yk, k — 1, 4.

В пакете MatLab разработаны функции для вычисления производных Ли (DifLi) и проверки условий инволютивности последовательности распределений (involutivity). Функция Dif_Li(X, Y, x, N) возвращает N-ю производную Ли вдоль векторного поля Х векторного поля Y, по элементам вектора x, а функция involutivity(M, x) возвращает 1, если для распределения M условия инволютивности выполняются и 0 -если нет.

Проверку инволютивности распределения M0 в пакете MatLab можно осуществить следующим образом:

M0 = [Y1,Y2, Y3,Y4]; involutive = involutivity(M0, x); >>involutive = 1.

Поскольку векторные поля Yt (i — 1, 4) постоянны, то распределение M0 - инволютивно и размерность распределения dim M0 — 4 .

Проанализируем распределение М1, для этого сначала осуществим вычисления производных Ли:

С1_1 = Dif_Li(X, Y1, к, 2);

M1_1 = С1_1(:, 1 : ^е(С1_1, 2) - 1));

С1_2 = Dif_Li(X, Y2, х, 2);

М1_2 = С1_2(:, 1 : (size(C1_2, 2) - 1));

С1_3 = Dif_Li(X, Y3, х, 2);

М1_3 = С1_3(:, 1 : (size(C1_3, 2) - 1));

С1_4 = Dif_Li(X, Y4, х, 2);

М1_4 = С1_4(:, 1 : (size(C1_4, 2) - 1));

М1=[М1_1(:,1), М1_2(:,1), М1_3(:,1), М1_4(:,1),

М1_1(:,2), М1_2(:,2), М1_3(:,2), М1_4(:,2)];

шуо1ийуе = туо1Ш:т1у(М1, х);

>>туо1иИуе = 0

Непосредственная проверка скобок Ли [ X, X ], где X, X - векторные поля из множества {У,У , ЬхУг, КУ , ЬХУЪ, КУ } и ранга матриц В = | Ъ, У<, ЬХУ2, ЪхУъ, ЬХУ4,[X,X1 ]|| показывает, что распределение М1 не является инволю-тивным, однако все его подраспределения М\ = 8рап{|,У2,у,у,Ьук}, к = 1, 4 , являются инво-лютивными:

М11=[М1_1(:,1), М1_2(:,1), М1_3(:,1), М1_4(:,1),М1_1(:,2)]; шуо1ийуе = туо1Шт1у(М11, х); >>шуо1ийуе = 1

М12=[М1_1(:,1), М1_2(:,1), М1_3(:,1), М1_4(:,1),М1_2(:,2)]; шуо1ийуе = туо1Шт1у(М12, х); >>1пуо1иИуе = 1

М13=[М1_1(:,1), М1_2(:,1), М1_3(:,1), М1_4(:,1),М1_3(:,2)]; шуо1ийуе = туо1Шт1у(М13, х); >>шуо1ийуе = 1

М14=[М1_1(:,1), М1_2(:,1), М1_3(:,1), М1_4(:,1),М1_4(:,2)]; шуо1ийуе = туо1и1т1у(М14, х); >>шуо1ийуе = 1.

Поэтому дополнительные переменные или интеграторы можно вводить в любой канал управления. Однако введение одного, двух или трех интеграторов в любые каналы не позволяет решить проблему получения инволютивного распределения М1 для расширенной системы. Распределение М1 становится инволю-тивным только при введении одного интегратора в каждый канал объекта управления.

Для расширенной модели объекта управления введем следующие обозначения:

у, = " I = 13; У4 = и}; и, =

аг

у 5 = *4; Уб = у7 = "; Ув = и1; и2 = Шу8;

аг

2. ТТ _ ЛУ14

у9=^7; Ую="в; Ун=и12; из =

ЩУп. лг '

У12 = "9; У13 = "*10; У14 = и4 =

Л

В этих обозначениях расширенная модель объекта записывается следующим образом:

йг

= Ф1 = «12У2;

ау2

—2 = Ф2 = «2з5УзУб - «24бУ5У7 + ^УюУ^

ш

— /

«2,7,\оУ9 У13 «200 «220У2 «222У ;

йу^

—3 = фз = «33У3 + «34У5 + У4;

ш

Л4 = и, Ф4 = о; ш

йу5

—- =Ф5 = «43У3 + «44У5 + «425У 2 Уб;

ш

йу6

-77 = Фб = «55-У6 + «5бУ7 + «524У2 у-; ш

йу-,

—- = Ф7 = «65Уб + «6бУ7 + Ув;

аг йу-,

—- = Ф7 = «65У6 + «66-У7 + Ув;

шХ

ЩУВ = и2; Фв = 0;

аг

йу, йг

= Ф, = «77У9 + «7&У10 + «729У2 У12;

йу10

= Ф10 = «в7У9 + «в&У10 + У11;

Лг

ау11 йг

= из; Фп =0;

ЩУг аг

413

Лг

= Ф12 = «99У12 + «9Д0У13 + «927У2 У9;

= Ф13 = «10,9 у12 + «10,10у13 + у14; = и4; Ф14 = 0

ЛУ 14

Лг

С этой моделью объекта управления в обозначениях пакета Ма1ЬаЬ связаны следующие векторные поля:

Y_new = [ф1; ф2; ф3; ф4; ф5; фб; ф7; ф8; ф9; ф10; ф11; ф12; ф13; ф14];

Y1_new = [0; 0; 0; зут(Т); 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0]; Y2_new = [0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; зут(Т); 0; 0; 0; 0; 0; 0]; Y3_new = [0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; зут(Т); 0; 0; 0]; Y4_new = [0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 0; 8ут('1')]; y_new = [зут('уГ) 'у2' 'у3' 'у4' 'у5' 'у6' 'у7' 'у8' 'у9' 'у10'

'у11' 'у12' 'у13' 'у14'], где

ф1 = зут('а12 * у2');

ф2 = 8ут('а235 * у3 * у6 - а246 * у5 * у7 + а289 * у10 * у12 - а2710 *у9*у13 - а200 - а220 * у2 - а222 * у2Л2'); ф3 = 8ут('а33 * у3 + а34 * у5 + у4'); ф4 = 8ут('0');

ф5 = 8ут('а43 * у3 + а44 * у5 + а425 * у2 * у6'); ф6 = 8ут('а55 * у6 + а56 * у7 + а524 * у2 * у5'); ф7 = 8ут('а65 * у6 + а66 * у7 + у8'); ф8 = 8ут('0');

ф9 = зут('а77 * у9 + а78 * у10 + а729 * у2 * у12'); ф10 = зут('а87 * у9 + а88 * у10 + у11'); ф11 = 8ут('0');

ф12 = зут('а99 * у12 + а910 * у13 + а927 * у2 * у9'); ф13 = зут('а109 * у12 + а1010 * у13+ у14'); ф14 = 5ут('0').

Поскольку вектора У1_пеш = у*, У2_пеш = у* , У3_пеш = у*, У4_пеш = у* постоянны, то распределение Мо* = эрап^*,У*,У*,У*} инволютивно.

M0_new=[Y1_new,Y2_new, Y3_new,Y4_new]; 1пуо1иЙуе = involutivity(M0_new, y_new); >>invo1utive = 1.

Так как производные Ли вдоль векторного поля У векторных полей у* (к = 1, 4) являются постоянными векторами:

ьу=[у ,у/]=аууг у-дуу* =

ду ду

= |о, о, -1, о, о, о, о, о, о, о, о, о, о, о|т;

ау

Ьу¥* = [у, у*] = -ауу; =

ду

= |о, о, о, о, о, о, -1, о, о, о, о, о, о, от;

ау

ьуз = [у у*] = -дууз* =

ду

= |о, о, о, о, о, о, о, о, о, -1, о, о, о, о|т;

ду

Ьуу4* = [у X] = -дуу4* =

ду

= |о, о, о, о, о, о, о, о, о, о, о, о, -1, о|т,

то распределение М'* для расширенной системы является инволютивным.

Проверка инволютивности распределения М2* =

= 8рап{у;*,у2*,у3*,у;, ьуу*,Ьуу2*, Ьуу3*,Ьуу4*, туу*,

Ь2уу\ Ь2Х,туу*}, где ьуук (к = 14) - производные Ли второго порядка, показывает, что оно не является инволютивным.

M2_new = [M1_1_new(:,1), M1_2_new(:,1), M1_3_new(:,1), M1_4_new(:,1), M1_1_new(:,2), M1_2_new(:,2),M1_3_new(:,2), M1_4_new(:,2), M1_1_new(:,3), M1_2_new(:,3),M1_3_new(:,3),

M1_4_new(:,3)];

invo1utive = invo1utivity(M2_new, y_new); >>invo1utive = 0

Однако инволютивными являются подраспределения распределения М2*:

М* = эр ап{у *, у*, у*', у*, Ьу *,

* -г-2 -щ-т* ->

т у т у т у т у }•

ьуу 2 , ьуу 3 , ьуу 4 , ьуу 1 };

м**=Брап{у *,у;,у;,у;, ту *,

Ьуу2 , Ьууз , Ьуу4 , Ьуу2 };

м2=Брап{у *,у;,у;,у;, цух *,

Ьу'у2 ,Ьууз ,Ьуу4 ,Ьууз };

м42*=зрап{у;,у;,у;,у;, ту*, т у* т у* т у* т2 у*}

ьуу 2 , ьуу3 , ьуу 4 , ьуу 4 }.

M21_new = [M1_1_new(:,1), M1_2_new(:,1), M1_3_new(:,1), M1_4_new(:,1), M1_1_new(:,2),M1_2_new(:,2), M1_3_new(:,2), M1_4_new(:,2), M1_1_new(:,3)]; invo1utive = invo1utivity(M21_new, y_new); >>invo1utive = 1

M22_new = [M1_1_new(:,1), M1_2_new(:,1), M1_3_new(:,1), M1_4_new(:,1), M1_1_new(:,2),M1_2_new(:,2), M1_3_new(:,2), M1_4_new(:,2), M1_2_new(:,3)]; invo1utive = invo1utivity(M22_new, y_new); >>invo1utive = 1

M23_new = [M1_1_new(:,1), M1_2_new(:,1), M1_3_new(:,1), M1_4_new(:,1), M1_1_new(:,2),M1_2_new(:,2), M1_3_new(:,2), M1_4_new(:,2), M1_3_new(:,3)]; invo1utive = invo1utivity(M23_new, y_new); >>invo1utive = 1

M24_new = [M1_1_new(:,1), M1_2_new(:,1), M1_3_new(:,1), M1_4_new(:,1), M1_1_new(:,2),M1_2_new(:,2), M1_3_new(:,2), M1_4_new(:,2), M1_4_new(:,3)]; invo1utive = invo1utivity(M24_new, y_new); >>invo1utive = 1

Этого оказывается достаточно для осуществления динамической линеаризации и получения системы линейных дифференциальных уравнений в форме Бру-новского. На основании теоремы о линейных эквивалентах для нелинейных аффинных систем с т управлениями [11] получим, что каноническая форма Бру-новского имеет четыре клетки, а индекс управляемости ктях для данного объекта равен четырем. Математическая модель объекта управления в форме Бруновского в пространстве «вход - состояние»:

dz -

= I = 1, 13, I * 4, 8, 11;

dt

-2л.

—4=V; —8=V; —11=V; —14 dt ' dt ' dt ' dt

= V4.

где Vj (у = 1, 4) - управления.

Поскольку модель объекта в форме Бруновского имеет четыре клетки, то необходимо определить четыре функции T (у) ( j = 1, 4 ), преобразующие переменные расширенной модели объекта управления в переменные модели в форме Бруновского:

zi = Ti(y); z5 = T2(j); z9=тз(у); zi2=T4(y)-

Методика определения этих функций известна [8, 11]. В данном случае они являются однокомпонентны-ми составляющими вектора у = (y, yv ...,y14). Из этих функций путем последовательного дифференцирования вдоль векторного поля Y* = Y + U1 Y' + U2 Y* + + U3Y* + UY* можно получить выражения для определения соответственно z2, z3, z4 (из функции T (У) ), z6, z7, z8 (из функции T2(у) ), zw Zii (из функции T(у) ) и zз, z14 (из функции T(У) ). В качестве примера рассмотрим получение зависимостей для определения z2, z3, z4 с помощью функции T (У). Для исследуемого объекта управления имеем: T(у) = У, поэтому zi = yi •

T1 = [sym('yl')];

[Z_2_3_4, Vl] = brunovsky(Y_new, [Y1_new], Tl, y_new, 4);

Z_2_3_4 = simple

Дифференцируя функцию T ( у) вдоль векторного

•W7-*

поля Y * и учитывая, что z , z и их производные не зависят от управлений, c помощью программы получим:

>>Z_2_3_4 = [a12*y2;

-a12*(a222*y2A2 + a220*y2 + a200 - a289*y10*y12 -a235*y3*y6 + a2710*y13*y9 + a246*y5*y7); a12*(a220 + 2*a222*y2)*(a222*y2A2 + a220*y2 + a200 -a289*y10*y12 - a235*y3*y6 + a2710*y13*y9 + a246*y5*y7) - a12*a246*y7*(a43*y3 + a44*y5 + a425*y2*y6)- a12*a2710*y13* (a78*y10 + a77*y9 + a729*y12*y2) + a12*a235*y3* (a55*y6 + a56*y7 + a524*y2*y5) + a12*a289*y10*(a910*y13 + a99*y12 + a927*y2*y9) - a12*a2710*y9*(y14 + a109*y12 + a1010*y13) + a12*a235*y6*(y4 + a33*y3 + a34*y5) + a12*a289*y12*(y11 + a88*y10 + a87*y9) -a12*a246*y5*(y8 + a65*y6 + a66*y7)];

Таким образом, функции перехода к канонической форме Бруновского могут быть записаны следующим образом:

z2 = 'it = ^^ у) =

= Ly Ti( у) = £

T у)

fyi

Фг = Wi,

dz

z, = d-2 = Ly* ( LT у)) = dt Y

i4

= LY = E

i=i

d

дУг

Фг = ai2^2 =

= ai2(a235y^.y6 - а246У5У7 + a289yi0yi2 -2,7,i (^9yi3 -

- a2oo a220y2 a222y2);

dz3 dt

= Ly* (LYTi(у)) =

= Ly (ада) = £ =

i=i dyt

= ai2[(-a220 - 2a222y2)Ф2 + a23sW3 -- a24&y7Ф5 + а2зЛФб - a24&y5Ф7 -

— a2,7,i0yi3^ + a289yi2^0 + + a289yi0^2 — a2,7,i0y9^3].

Аналогичным образом, задавшись значениями функций T2(у) = y5 = z5 , T3 (у) = y9 = z9 , T4 (у) = = y12 = z12, с помощью программы получены соотношения для определения остальных переменных модели Бруновского:

dzs

z6 = — = ^3 + a44y5 + a42^y2 y6; dt

dz6

z7 =— = а43Ф3 + а44Ф5 + a425y6Ф2 + ^25У2Ф6; dt

а43ф3 + а44ф5 + a42^y 6Ф2 + ^25У2Ф6 m . z8 = dt ' ^;

dУ

dz„

zi0 ,, a77y9 + a78yi0 + a729y2 yi2,

dt

dz,

i0

zii , a729yi"$2 + а77ф9 + а78фЮ + a729y2^2;

dt

dzi2 dt

a99yi2 + a9,i00yi3 + a927y2 y9;

dz,

i3

zi4 = "T" = а92^^9Ф2 + а92^^2Ф9 + 0^i2 + a9 K^W dt

На рис. 1 и 2 приведены процессы, полученные с помощью математических моделей (1) и (2). На рис. 1 с помощью переменных x1 (модель (1)) и z (модель (2)) показано изменение во времени пройденного дизель-поездом расстояния при разгоне состава до 60 км/ч на ровном участке железнодорожного пути. Как следует из рисунка, x1 = z . На рис. 2 показаны изменения скорости дизель-поезда, полученные с помощью модели (1), переменная x2, и модели (2), переменная z2. Как видно из рисунка, x2 = z2. Таким образом, линейная математическая модель в форме Бру-новского (2) эквивалентна исходной нелинейной модели объекта (1).

Заключение и обсуждение

Разработаны программные средства для автоматизации преобразования широкого класса нелинейных систем к линейному виду в пакете Matlab с помощью инволютивных распределений геометрической теории управления. Получена линейная математическая мо-

z4 =

г=i

zi3 =

г=i

дель движения дизель-поезда в канонической форме Бруновского, которая учитывает параллельную работу двух тяговых двигателей. Полученная модель может использоваться для поиска оптимальных управлений, а также для исследования процессов буксования, юза и параллельной работы двигателей.

xb zb м + 700

600

500

400

300

200

100

0 10 20 30 40 50 60 t, c Рис. 1. Поведение переменных х1 и z1 во времени

x2, z2, км/ч

60

50

40

30

20

10

0 10 20 30 40 50 60 t, С

Рис. 2. Поведение переменных х2 и z2 во времени

Список литературы 1. Бауэр Х.П. Оптимальное использование сцепления на электровозе с трехфазным тяговым приводом // Железные дороги мира. 1987. № 8. С. 10-23.

Information in English

2. Ohishi K., Ogawa Y. Adhesion control of electric motor coach based on force control using disturbance observer // IEEE, Advanced Motion Control. April, 2000. P. 323-328.

3. Шапран Е.Н. Совершенствование микропроцессорных систем управления с высоким использованием сил сцепления // Вюник НТУ "ХШ". 2006. № 23. С. 145-154.

4. Моделирование и оптимизация систем управления и контроля локомотивов / Носков В.И., Дмитриенко В.Д., За-половский Н.И., Леонов С.Ю. Х.: ХФИ "Транспорт Украины", 2003. 248 с.

5. Артеменко А.Н. Система автоматического выравнивания нагрузки тягового электропривода карьерного электровоза // Вюник Кременчуцького державного утверситету iм. Михайло Остроградського. 2010. Вип. 4. Частина 3. С. 5658.

6. Притула М.Г., Шпакович Р.Р. Моделювання та роз-рахунок оптимальних параметрiв руху погдав // Фiзико-математичне моделювання та шформацшш технологи. 2007. Вип. 5. С. 139-145.

7. Дмитриенко В.Д., Заковоротный А.Ю. Синтез оптимальных законов управления тяговым электроприводом методами дифференциальной геометрии и принципа максимума // Системи обробки шформацп. 2009. Вип. 4 (78). С. 42-51.

8. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-ти томах. Т. 4: Теория оптимизации систем автоматического управления / Под ред. К.А. Пупкова и И.Д. Егунова. - М.: МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. - 744 с.

9. Методы классической и современной теории автоматического управления: Учебник в 5-и томах. Т. 5: Методы современной теории управления / Под ред. К.А. Пупкова, Н.Д. Егунова. - М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2004. -784 с.

10. Дмитриенко В.Д. Моделирование и оптимизация процессов управления движением дизель-поездов / В.Д. Дмитриенко, А.Ю. Заковоротный. - Харьков: Изд. центр "HTMT", 2013. - 248 с.

11. Краснощёченко В.И., Грищенко А.П. Нелинейные системы: геометрический метод анализа и синтеза М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана. 2005. 520 с.

Conversion of Nonlinear Control Systems to Equivalent Linear Ones in Canonical Brunovsky Form

Dmitrienko V.D., Zakovorotnyj A.Ju.

The authors developed a specialized program for the universal package of simulation MatLab that automates the conversion of a wide class of nonlinear control systems to the equivalent linear form in the canonical Brunovsky form using involutive distributions of geometric control theory in the space of "input - state". This article provides an example of an application program to obtain the equivalent linear mathematical model of the motion of diesel trains, which consists of ten ordinary nonlinear differential equations with four control circuits and describes the drive with two parallel running traction asynchronous motors. Thus the synthesized linear model in Brunovsky form has four cells and controllability index equal to four. The resulting linear motion model of a diesel train can be used to find the optimal controls and to study the slipping and skidding processes.

Keywords: Brunovsky form, geometric control theory, mathematical model of diesel train movement.

References

1. Baujer H.P. Optimalnoe ispolzovanie stceplenija na jelektrovoze s trehfaznym tjagovym privodom [Optimum application of coupling at electric locomotive with a three-phase traction drive]. Zheleznye dorogi mira, 1987, no. 8, pp. 10-23.

2. Ohishi K., Ogawa Y. Adhesion control of electric motor coach based on force control using disturbance observer. IEEE, Advanced Motion Control. April, 2000, pp. 323-328.

3. Shapran E.N. Sovershenstvovanie mikroprocessornyh sistem upravlenija s vysokim ispolzovaniem sil stseplenija [Improvement of microprocessor control systems with intensive application of adhesive forces]. Visnik NTU "HPI", 2006, no. 23, pp. 145-154.

4. Noskov V.I., Dmitrienko V.D., Zapolovskij N.I., Leonov S.Ju. Modelirovanie i optimizacija sistem upravlenija i kontrolja lokomotivov [Simulation and optimization of locomotive control system] Harkov, HFI "Transport Ukrainy", 2003,248 p.

5. Artemenko A.N. Sistema avtomaticheskogo vyravnivanija nagruzki tjagovogo elektroprivoda karyernogo elektrovoza [System of automatic load balancing for traction electric drive of open-cast electric locomotive]. Visnik

Kremenchuc'kogo derzhavnogo universitetu im. Mihajlo Ostrograds'kogo. Kremenchuk: KDN im. Mihajlo Ostrograds'kogo. 2010, vol. 4, part 3, pp. 56-58.

6. Pritula M.G., Shpakovich R.R. Modeljuvannja ta rozrahunok optimal'nih parametriv ruhu poïzdiv. Fiziko-matematichne modeljuvannja ta informacijni tehnologiï. 2007. Is. 5, pp. 139-145.

7. Dmitrienko V.D., Zakovorotnyj A.Ju. Sintez optimalnyh zakonov upravlenija tjagovym elektroprivodom metodami differencialnoj geometrii i principa maksimuma [Synthesis of optimum control laws for traction electric drive using differential geometry methods and maximum principle]. Sistemi obrobki informaciï, 2009, vol. 4(78), pp. 42-51.

8. Metody klassicheskoj i sovremennoj teorii avtomaticheskogo upravlenija [Methods of classical and modern theory of automatic control]. Textbook in 5 vol., vol. 4: Theory of automatic control systems optimization. Under the editorship of

K.A. Pupkov and I.D. Egunov. Moscow: Bauman MSTU, 2004, 784 p.

9. Metody klassicheskoj i sovremennoj teorii avtomaticheskogo upravlenija [Methods of classical and modern theory of automatic control]. Textbook in 5 volumes. Vol. 5: Methods of modern control theory. Under the editorship of K.A. Pupkov and N.D. Egunov. Moscow: Publishing house of Bauman MGTU, 2004, 784 p.

10. Dmitrienko V.D. Modelirovanie i optimizacija processov upravlenija dvizheniem dizel-poezdov [Simulation and optimization of control processes of diesel-trains movement] / V.D. Dmitrienko, A.Ju. Zakovorotnyj. Kharkov: Publishing house of "HTMT", 2013, 248 p.

11. Krasnoschjochenko V.I. Nelinejnye sistemy: geometricheskij metod analiza i sinteza [Nonlinear systems: geometrical method of analysis and synthesis] / V.I. Krasnoschjochenko, A.P. Grischenko. Moscow: Publishing house of Bauman MSTU, 2005, 520 p.

УДК 621.3.07, 681.5.015 Мезенцев Н.В., Гейко Г.В.

Идентификация параметров асинхронного привода

с использованием генетического алгоритма

Качественное управление системой асинхронного электропривода предполагает знание точного значения его параметров. Однако часть параметров (это относится в основном к роторной оси) напрямую получить нельзя. В статье описан математический алгоритм, с помошью которого можно выполнять оценку физических параметров тягового асинхронного электродвигателя путем измерения значений токов и напряжений статорной обмотки двигателя, а также частоты вращения ротора. В основану алгоритма положена математическая модель тягового асинхронного привода с учетом ограничений, представленная в неподвижных осях (а, в, 0). Приведено получение математической модели тягового привода, в которой исключены неподдающиеся прямому измерению величины. Определение части параметров электродвигателя реализовано с использованием метода наименьших квадратов. Для нахождения оставшихся параметров предложено использовать генетический алгоритм. Данный подход может быть использован для построения наблюдателя с целью коррекции существующих законов управления в системе управления движением тягового подвижного состава.

Ключевые слова: тяговый асинхронный привод, метод наименьших квадратов, генетический алгоритм.

Введение

В приводе дизель-поезда используются тяговые асинхронные двигатели с короткозамкнутым ротором, определение части фазовых координат которых напрямую невозможно [1]. Поэтому для улучшения статической и динамической работы электродвигателей в системе управления необходимо решать задачу идентификации фазовых координат (это относится в большей степени к роторным переменным). Данная задача решается за счет построения различного рода наблюдателей, которые реализуются на базе известных математических моделей. Однако параметры привода, в частности сопротивления и индуктивности обмоток статора и ротора, могут изменяться в процессе эксплуатации, что приводит к ошибкам в определении фазовых координат. В связи с этим возникает задача идентификации параметров привода. При этом для идентификации может быть использован ряд методов, большинство из которых основано на использовании фильтров Калмана [2,3] и метода наименьших квадратов [4 - 8]. Так, в работе [4] по методу наименьших квадратов может быть получена часть параметров привода. Для этого необходимо иметь измеренные значения тока и напряжения статора, их производных первого и второго порядков. В то же время получение остальных параметров (в частности, сопротивления и индуктивности

роторной обмотки и взаимной индуктивности) затруднено решением системы из двух нелинейных уравнений с тремя неизвестными. Однако в связи с тем, что диапазон изменения данных параметров по отношению к номинальным значениям известен, то в работе предлагается выполнять поиск этих параметров на основе генетического алгоритма. В работе [9] предлагается осуществлять поиск всех параметров генетическим алгоритмом, однако это приводит к большим временным затратам.

Целью статьи является идентификация параметров тягового асинхронного привода на основе метода наименьших квадратов и генетического алгоритма.

Теоретические, экспериментальные,

технические и технологические методики

Математическая модель тягового асинхронного привода при общеизвестных допущениях может быть представлена в неподвижной системе координат (а, в, 0) следующим образом:

di 1

dt

disp 1

dt gL,

Usa-yis

1 r

Р

+ ррш^,

гР>

1

гР

s