Об условиях единственности обобщенного критерия в задачах многокритериальной оптимизации

В. В. Розен

УДК 519.4

ОБ УСЛОВИЯХ ЕДИНСТВЕННОСТИ ОБОБЩЁННОГО КРИТЕРИЯ В ЗАДАЧАХ МНОГОКРИТЕРИАЛЬНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ

1, Ключевой проблемой теории многокритериальной оптимизации является проблема построения обобщенного критерия. Под критериальным пространством будем понимать произвольное множество О. на котором задано конечное число отображений /к : О --> Ск, где Ск - некоторое линейно упорядоченное множество, упорядоченное порядком <к (к б К). Всякое такое отображение называется локальным критерием (или показателем качества). На множестве О возникает отношение предпочтения со, определенное условием

а, <ш а2

При отождествлении элементов, имеющих одинаковые показатели качества по всем критериям, отношение со будет отношением порядка. Обобщенный критерий есть строго изотопное отображение ф упорядоченного множества <В,со > в некоторую цепь С. Заметим, что для количественных критериев (когда Ск (к е К) и С есть цепь действительных чисел), отношение предпочтения со становится предпочтением по Парето, а обобщенный критерий превращается в свертывание векторного критерия в скалярный. Нетрудно показать, что любое отношение порядка со на множестве О может быть представлено формулой вида (1). Таким образом, с абстрактно-алгебраической точки зрения построение обобщенного критерия сводится к заданию строго изотонного отображения произвольного упорядоченного множества < Дсо > в некоторую цепь С.

Каждому обобщенному критерию ф соответствует линейный квазипорядок Рф, определенный условием

а] <р" а2 <=>ф(а,)<ф(а2),

причем симметричная часть этого квазипорядка совпадает с ядром отображения ф.

Определение 1. Будем говорить, что два обобщенных критерия ф, и ф7, заданные на упорядоченном множестве <0. со>, естественно эквивалентны, если р0 = рЩ2 .

Для практических целей естественно эквивалентные обобщенные критерии могут быть отождествлены (так как они дают одинаковое «итоговое» линейное упорядочение множества В). Однако на практике суще-

ствует, как правило, множество неэквивалентных между собой обобщенных критериев. Для обеспечения единственности обобщенного критерия (с точностью до естественной эквивалентности) необходимо произвести сужение класса обобщенных критериев. В данной статье такое сужение производится за счет задания дополнительной информации для обобщенного критерия - указания его ядра. Точнее, решается следующая задача: каким должно быть отношение эквивалентности е на упорядоченном множестве, чтобы любые два обобщенных критерия, ядра которых совпадают с 8, были естественно эквивалентными между собой?

2. Для решения сформулированной задачи введем следующие два понятия.

Определение 2. Отношение эквивалентности е на упорядоченном множестве <Дш>, а также соответствующее ему разбиение называется картой, если

a) на < Д ш > существует обобщенный критерий ф, ядро которого Еф совпадает с е;

b) любые два обобщенных критерия ф,, ц>2 на < Д о >, для которых Еф, = Еф1 = Еф, естественно эквивалентны между собой.

Определение 3. Отношение эквивалентности ее. Б2 называется стабильным на упорядоченном множестве < Д ю >, если фактор-

отношение является ацикличным.

Основной результат статьи дает следующая

ТЕОРЕМА. Для того чтобы отношение эквивалентности £ на упорядоченном множестве < Дсо> было картой, необходимо и достаточно, чтобы оно было максимальным по включению среди стабильных эквивалент-носгей, все классы которых — антицепи.

Схема доказательства. Пусть в - карга на < Де>>. По условию а) существует на О обобщенный критерий ф, для которого еф = е . Из условия изотонности отображения ф следует, что его ядро Еф стабильно, а из того, что ф строго изотонно, получаем, что классы £ф - антицепи. Остается проверить условие максимальности. В противном случае отношение порядка, являющееся транзитивным замыканием фактор-отношения ,

не будет линейным на фактор-множестве ^ . Поэтому найдутся два класса С', С" е , не сравнимых по указанному порядку. По теореме Шпиль-райна существуют два таких линейных доупорядочения ст, и а2 данного порядка, что С' <"' С" и С" <"2 С'. Пусть ф^ : О — - каноническое отображение О в цепь < ак > (к = 1,2). Тогда с0| = = с, однако

Рф ф Рф,  Необходимость установлена. Доказательство достаточности основано на следующем вспомогательном утверждении.

ЛЕММА ]. Пусть е - максимальное по включению среди стабильных эквивалентностей в <До>, все классы которых - антицепи. Тогда

транзитивное замыкание фактор-отношения является линейным порядком на , а каноническое отображение О на является обобщенным критерием, ядро которого совпадает с г.

Возникает естественный вопрос о существовании карты для произвольного упорядоченного множества. Этот вопрос решается положительно. В самом деле, нетрудно убедиться, что в произвольном упорядоченном множестве < О, со > любая цепь стабильных эквивалентностей, все классы которых - антицепи, имеет мажоранту (а именно мажорантой цепи (е

таких эквивалентностей является эквивалентность Е=иЕ,). Отсюда по

1е1

лемме Цорна следует существование максимальной стабильной эквивалентности е, все классы которой — антицепи. По доказанной теореме с будет картой в упорядоченном множестве < До >.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Подиновский В.В., Ногин В. Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Наука, 1982.

2. Розен В. В. Цель - оптимальность - решение. М.: Радио и связь, 1982.

УДК 517.927.25

В. С. Рыхлов

О ПОЛНОТЕ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ ПУЧКОВ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ ОПЕРАТОРОВ*

Рассмотрим пучок обыкновенных дифференциальных операторов Цк). порожденный на конечном интервале [0,1] дифференциальным выражением

!(у,Х):= Р%к еС, р0н#О,

х+к=п

и линейно независимыми двухточечными краевыми условиями, которые считаем нормированными:

* Работа выполнена при финансовой поддержке гранта Президента РФ для поддержки ведущих научных школ РФ (проект НШ-1295.2003.1), РФФИ (проект 03-01-000169) и программы «Университеты России» (проект ур.04.01.375).

107