О моделях оптимизации производственного процесса предприятия

теоретические поиски и предложения

УДК 338.3

о моделях оптимизации производственного процесса предприятия*

А.Е. Бахтин, Ю.н. Владимиров

Новосибирский государственный университет экономики и управления «НИНХ» E-mail: a.e.bahtin@edu.nsuem.ru, y.n.vladimirov@nsuem.ru

Работа посвящена разработке методики определения экономической стратегии предприятия с учетом взаимовыгодного обмена ресурсами с другими предприятиями. Введены в рассмотрение функции спроса и предложения ресурсов в зависимости от норм обмена, изучены их свойства и на их основе разработан итеративный метод нахождения взаимовыгодного обмена ресурсами между предприятиями. Суть метода состоит в следующем: одно предприятие устанавливает норму обмена ресурсов, а другое определяет объемы ресурсов, которые оно готово обменять по этой норме. Такой переговорный процесс непосредственно между предприятиями заканчивается достижением неподвижной точки, определяющей равновесные норму обмена, спроса и предложения.

Ключевые слова: предприятие, оптимизация, обмен, спрос, предложение, равновесие.

optimization of production of enterprise with regard to interaction with other enterprises

A.E. Bahtin, Yu.N. Vladimirov

Novosibirsk State University of Economics and Management E-mail: a.e.bahtin@edu.nsuem.ru, y.n.vladimirov@nsuem.ru

The paper discusses development of methodology of determination of economic strategy of enterprise with regard to mutually beneficial exchange of resources with other enterprises. Demand and supply functions depending on exchange norms are introduced, their properties are examined and the iterative method of determination of a mutually beneficial exchange of resources between enterprises is developed on their basis. Principle of the method is as follows: one enterprise establishes a rate of exchange of resources, and the other determines volumes of resources it is ready to exchange at that rate. Such negotiating process directly between enterprises ends at fixed point that defines balanced norm of exchange rate, demand and supply.

Key words: enterprise, optimization, exchange, demand, supply, balance.

* Работа выполнена при поддержке гранта НГУЭУ № 12г/2014 по НИР «Математическое моделирование взаимодействия между предприятиями при оптимизации производства: поиск равновесия».

© Бахтин А.Е., Владимиров Ю.Н., 2015

При разработке эффективной экономической стратегии развития предприятия необходимы всесторонний анализ и учет не только возможностей в области технологии производства, но и совершенствование управленческой деятельности предприятия путем организационно-управленческих нововведений. Эффективность деятельности предприятия в значительной мере зависит от степени активизации взаимодействия с другими предприятиями отрасли, которые могут быть весьма разнообразными.

Одной из форм взаимодействия является взаимовыгодный обмен имеющимися у предприятий производственными ресурсами или совместное их использование, причем термин «обмен» здесь имеет широкое толкование. В частности, обменом ресурсов считается использование оборудования предприятия-партнера взамен на предоставление возможности использования необходимого ему другого оборудования.

Другой формой взаимодействия предприятий является взаимовыгодное сотрудничество предприятий при производстве продукции путем вложения на договорных условиях некоторой части денежных средств в производство другого предприятия, выпускающего более рентабельную продукцию, что приводит к получению дополнительной прибыли, которая распределяется между фирмами-партнерами на обоюдовыгодных условиях, предусмотренных предварительным соглашением. В выигрыше оказываются каждый из участников сотрудничества [9, 10, 12, 13].

В данной статье рассматриваются вопросы математического моделирования процессов обмена ресурсами между предприятиями при оптимизации производства, построения и изучения свойств, введенных в рассмотрение функций спроса и предложения в зависимости от нормы обмена, а также опирающийся на эти функции метод поиска взаимовыгодного равновесного обмена ресурсами.

Математическое моделирование таких процессов приводит к трудным математическим задачам нелинейной оптимизации и проблеме поиска равновесия в условиях множественности спроса и предложения, обусловленного наличием различных технологий производства.

В экономической литературе описание процесса обмена товарами, ресурсами или услугами между субъектами сопровождается ящиком Эджуор-та. Количественное определение положения равновесия при обмене обычно находится в задачах, где участники обмена осуществляют свой выбор на основе хорошо изученных классических функций полезности, обладающих хорошими свойствами. Для них в аналитической форме найдены простые однозначные функции спроса и предложения в зависимости от цен и доходов.

Проблема количественного определения равновесия при многопродуктовом производстве и обмене ресурсами в ситуации, когда однозначного спроса на них нет, может быть преодолена благодаря ее специфической особенности. В рассматриваемой ситуации участниками обмена являются фирмы, производящие различные продукты с помощью линейных технологий, которые с целью повышения прибыли заинтересованы в обмене имеющимися у них ресурсами на взаимовыгодных условиях. Эффективность деятельности фирмы оценивается величиной получаемой ею прибыли, включающей и ту дополнительную прибыль, которая может быть получена за счет перераспределения ресурсов в результате обмена.

Рассмотрим задачу оптимизации производства на предприятиях с учетом возможного взаимовыгодного обмена их производственными ресурсами. Для этого к технологиям производства продуктов в модели предприятий добавляются возможные способы обмена ресурсами по коэффициентам (нормам) обмена, которые заранее неизвестны и являются искомыми величинами. Выгодные для предприятия способы обмена находятся с помощью коэффициентов технологической нормы замещения ресурсов на предприятиях. Такое расширение моделей приводит к тому, что наряду с неизвестными объемами продуктов в моделях с обменом появляются переменные спроса и предложения ресурсов при их обмене по нормам, подлежащим определению.

Зависимость чистого спроса и предложения ресурса от нормы обмена выражается кусочной дробно-линейной функцией, а ее график представляет собой своеобразную лесенку, составленную из чередующихся вертикальных прямых ступенек с криволинейными ступеньками, являющимися участками ветвей некоторых гипербол. Равновесие определяется точкой пересечения таких ступенчатых кривых линий спроса и предложения.

Рассмотрим два предприятия и их задачи оптимизации производства сначала без обмена ресурсами:

шах{РХ|АХ < а, X > 0},

шах{лУ|£У< Ь, У > 0},

P, р - векторы цен на производимые продукты,

A(2xn), £(2хт) - технологические матрицы затрат ресурсов,

a, Ь - векторы объемов имеющихся у предприятий собственных ресур-

Пусть оба предприятия автономно на собственных ресурсах решили свои задачи по оптимизации производства, в результате чего определили объемы выпуска продукции и ожидаемые доходы. Одновременно найдены и оптимальные двойственные оценки и* и и** ресурсов предприятия 1 и оценки w*1 и м* ресурсов предприятия 2.

С помощью этих оценок определим предельные технологические нор*

и

мы замещения первого ресурса вторым в точках оптимума: MRTS12 = =

м>: м2

= а0 для предприятия 1 и MRTSl2 = —7 = Р0 для предприятия 2.

щ

Будем считать а0 > Р0. Покажем, что в этом случае предприятию 1 выгоден обмен второго ресурса на первый, а предприятию 2 выгоден обмен первого ресурса на второй по коэффициенту (норме) обмена е12, если Р0 < е12 < а0. Величина е12 показывает количество второго ресурса при обмене его на 1 ед. первого ресурса.

Перейдем к задачам 1(е12) и П(е12), полученным из автономных задач I и II добавлением способов обмена ресурсами по норме е12:

Задача 1(е12) YdPjXJ —> тах,

Задача П

]

^а2]х]+епё<а2,

}

х} >0, Й? > 0,

й - спрос на первый ресурс,

впй - предложение второго ресурса

предприятия 1 взамен первого.

з

^а2]У1~епз<Ь2,

]

У]>0, *>о,

5 - предложение первого ресурса, е125 - спрос на второй ресурс предприятия 2.

Задача 1(е12) получена добавлением к технологиям производства

А1 =

Вк =

'а ^

у

I Я, ;

V гз) С и >

\bikj

способа обмена Еп =

\е\и

, а в задаче II (е12) к технологиям

добавлен способ обмена -Еи =

"е12.

. При е < а0 использование

добавленного способа обмена Е12 выгодно для предприятия 1. Формально это вытекает из того, что

(Е12,и") = -и1+е12и2 =

—т + еп

V "2

и2 = (-а0 + е^щ < 0, если е12 < а0 .

Выгоден обмен первого ресурса на второй по норме е12 и предприятию 2, если Р0 < е12 , так как

ж

12

: (Ро - е12)^2 < 0, если Ро < е12 .

Возьмем какое-либо значение нормы обмена е12 в промежутке [Р0, а0] и решим задачи 1(е12) и П(е12). Обозначим оптимальные значения переменных й и 5 через й* = й(е12) и 5* = 5(е12).

Задача оптимизации производства предприятий с учетом взаимовыгодного обмена ресурсами сводится к поиску равновесия при обмене, т.е. в нахождении такой нормы обмена ё12, при которой й(ё12) = 5(ё12). Равенство спроса и предложения для второго ресурса достигается автоматически.

построение и анализ функций чистого спроса d(e12) и предложения £(е12). При отыскании равновесия в процессе обмена ресурсами будем опираться на функцию спроса й(е12) на первый ресурс предприятия 1 и функцию предложения 5(е12) этого ресурса предприятия 2. Поэтому выясним характерные особенности таких функций и покажем способ их нахождения.

Пусть при некотором фиксированном значении нормы обмена е12 оп-

на Еп =

'а Л

ч

а,

V 2))

тимум задачи 1(е12) определяется технологией А} =

'-Л

. Рассмотрим соответствующую базисной матрице

^12/

прямую систему уравнений:

а\]Х] = а1,

а2]х] ~е12с1 = а2,

и способом обме-

(а

:

а,,. V 21

ч ^

а2, е12

откуда

аи а2--- ах

ах]а2-ауах _ аи

=-^ =

аМеП +аи „ , е\2 +Г\2

12 ~Г

а,,

где г1,2 - относительная норма потребления второго ресурса, показывающая, сколько потребляется второго ресурса на единицу первого ресурса по технологии ].

Найдем оптимальные двойственные оценки ресурсов из системы:

+а2]и2=Рр -щ + е12и2 = 0,

и\Ы =——. "2

При некоторых значениях е12 в задаче 1(е12) могут быть не одна, а несколько оптимальных технологий, отличающихся относительной нормой потребления г] . В этом случае спрос на ресурс будет множественным.

Рассмотрим формулу (1) для определения спроса d(e12) при фиксированном значении е12 с изменяющейся непрерывно относительной нормой потребления г 1Г т.

е. ^^ = (а2 - Г!2а1)/(е12 + Г12). Производная по параметру Г12 этой функции равна

¿> = ~аЛеп + Гп) - («2 - = а\еп +а2 <0

^ О^+Ъ)2 (^12+12)2 '

Следовательно, спрос на первый ресурс снижается при увеличении г12 и растет при уменьшении г12 .

Поэтому нижняя граница для величины спроса первого ресурса ¿(е12) в случае не единственности оптимальных технологий определяется по технологии с наименьшей относительной нормой потребления первого ресурса, а верхняя граница d(e12) по технологии с наибольшей относительной нормой потребления первого ресурса. Промежуточный спрос на отрезке .О (е12) = [¿(е12), d(e12)] отвечает смешанной технологии.

Показано, что функция спроса d(e12) строго монотонно убывает в интервале устойчивости оптимального базиса, т.е. с увеличением нормы е12 спрос на первый ресурс снижается, поэтому существует обратная к ней функция, которая определяется дробно-линейной функцией

а

и по величине спроса можно однозначно определить соответствующую ему норму обмена.

Отметим, что при увеличении нормы обмена е12 эффективность 1 ед.

второго ресурса, равная щ{е12) =-—- снижается и предприятие 1

аиеи+ау

переходит к технологиям производства с меньшим относительным потре-

блением второго ресурса, высвобождая тем самым в большем количестве второй ресурс для обмена его на первый. При уменьшении е12, наоборот, эффективность обмена снижается, и предприятие 1 переходит на технологии с большей относительной нормой потребления второго ресурса, снижая тем самым спрос на первый ресурс.

Функция спроса на первый ресурс d(e12) является кусочной дробно-линейной функцией. Ее график представляет собой ниспадающую ступенчато-гиперболическую линию при увеличении е12. Ее криволинейные ступени являются кусками гипербол, а вертикальные отрезки между кусками гипербол соответствуют множественному спросу. Чем левее гиперболический кусок линии спроса, тем он выше, тем ближе от начала координат отстоит вертикальная асимптота е12 = - г1,2 соответствующей ему гиперболы и тем больше коэффициент ее растяжения k . = а2 - г^2а1. Это означает, что вышележащие куски гипербол круче нижележащих.

Рассмотрим задачу П(е12) второго предприятия, предлагающего первый ресурс в обмен на второй. Пусть при некотором значении е12 оптимальная

' 1 \

. Найдем соответствующие этому бази-

базисная матрица равна

Ъ - е,

V 2*

12

су функцию спроса и двойственные оценки ресурсов. Из прямой системы

КкУк-^г^К

находим

ъ.

1к\-Ъг

л _ Ъ2кЪ\ - КЪ2 _ К 1 2 _ РпЬ1 - Ъ2

) и , и ~ А _ , к »

"и ^+Р12 2 Ь1к

а из двойственной системы

получаем оценки

ЬиЩ+Ь2кЩ

, =

Ь1ке12+Ь2к °1кеП + Ь2к

В случае не единственности оптимальных технологий в задаче П(е12) имеет место множественность предложения S(e12). Заменив в формуле (4) р12 непрерывной величиной р12, получим функцию я(р12) = (р12Ь - Ь2)/

(е12 + Р12).

Производная sр = (Ь1 е12 + Ь2)/ (е12 + р12)2 > 0, поэтому предложение снижается при уменьшении р12 и растет при увеличении р12 .

Следовательно, наименьшее предложение первого ресурса £(е12) соответствует оптимальной технологии с наименьшим относительным потреблением второго ресурса р12 , а наибольшее предложение s(e12) первого ресурса определяется оптимальной технологией с наибольшим относительным потреблением второго ресурса. Промежуточное предложение на отрезке S(e12) = [£(е12), я(е12)] относится к выпуклой линейной комбинации двух таких крайних технологий.

Формула (5) определяет предложение s(e12) предприятия 2 при изменении нормы обмена е12 в интервале устойчивости оптимального базиса по параметру е12. График функции s(e12) представляет собой ниспадающий вниз кусок гиперболы, как график функции спроса предприятия 1. Вся функция предложения при изменении е12 в промежутке [Р0, а0] является кусочной дробно-линейной функцией, а ее график состоит из кусков гипербол и вертикальных отрезков, отображающих множественное предложение на границах интервалов устойчивости оптимальных технологий.

Существенное отличие рассматриваемых функций спроса и предложения состоит в том, что функция спроса является монотонно убывающей на всем отрезке [Р0, а0], а функция предложения нет. Если для заданной величины спроса d однозначно можно определить соответствующую ей норму обмена, то одной и той же величине предложения может отвечать не единственная норма обмена.

нахождение взаимовыгодного равновесного обмена ресурсами. Все указанные выше свойства функций спроса и предложения лежат в основе предлагаемого метода нахождения взаимовыгодного равновесного обмена ресурсами между предприятиями, суть которого состоит в следующем:

- предприятие, предъявляющее спрос на ресурс, предлагает норму обмена, т.е. указывает, сколько единиц имеющегося у него другого ресурса оно готово отдать взамен на единицу запрашиваемого ресурса,

- предприятие-партнер по взаимовыгодному обмену рассчитывает предложение по запрашиваемому ресурсу, определяемому по указанной норме обмена, руководствуясь критерием максимизации своего дохода.

Процесс такого согласования заканчивается достижением неподвижной точки, т.е. получением равновесной нормы обмена, спроса и предложения.

Первоначальная норма обмена может быть выбрана произвольно из промежутка [Р0, а0], а на последующих шагах переговорного процесса норма обмена определяется с учетом сделанного предложения. Предлагаемая норма обмена должна обеспечивать получение максимального дохода предприятию при равенстве спроса на запрашиваемый ресурс сделанному предложению партнером по обмену. Такой итеративный процесс приводит к неподвижной точке, определяющей взаимовыгодный обмен и равновесие.

Ниже на условных данных двух предприятий построим графоаналитическим способом функции спроса и предложения ресурсов в зависимости от нормы обмена, продемонстрируем отмеченные их свойства и найдем оптимальные решения задач предприятий по описанному выше методу (табл. 1, 2).

Таблица 1 Таблица 2

исходные данные по предприятию 1 исходные данные по предприятию 2

Цена продукта 10 7 10 Объем Цена продукта 11 19 10 14 Объем

ресурса ресурса

Технологии 1 1 2 50 Технологии 3 2 1 1 200

4 1 1 170 1 3 2 3 30

Обозначим через х1, х2, х3 - объемы выпуска продуктов на предприятии 1, d - величину спроса предприятия 1 на первый ресурс, е12 - норму

обмена второго ресурса на единицу первого, а через uv u2 - двойственные оценки ресурсов и выпишем по данным табл. 1 исходную и двойственную задачи предприятия 1.

Двойственная задача I'(e12): 50«! + 170м2 —» min,

Исходная задача I(e12): 10х, + 7jc2 + 10jc3 -> max,

x, + x2 + 2x3 - d < 50, 4xt +x2+x3+ ^d < 170,

X! > 0, JC2 > 0, jc3 > 0, d > 0.

ux +4m2 >10, Mj + u2 > 7, 2mj +u2 >10, —ux + el2u2 > 0, Mj >0, u2> 0.

Проведем параметрический анализ двойственной задачи Г(е12) графическим способом. На рисунке показана ОДР(е12) задачи Г(е12), нормаль к линиям уровня целевой функции и линия уровня, проходящая через начало координат.

Если рассмотреть автономную задачу I, где нет переменной спроса d, и соответствующую ей двойственную задачу, то точкой минимума в такой задаче будет вершина С = (6,1), а минимальное значение двойственной функции равно 50 • 6 + 170 • 1 = 470. Это максимальный доход предприятия 1, который может быть получен без обмена с использованием собственных ресурсов.

Он достигается при следующих объемах выпуска продуктов: х1 = 40, х2 = 10, х3 = 0; доход = 10 • 40 + 7 • 10 = 470.

Предельная технологическая норма замещения первого ресурса вто-

и * 6

рым в точке оптимума С равна МЯТ8и=-^ = — = 6. Поэтому для предпри-

и, 1

Геометрическая интерпретация задачи Г

ятия 1 выгоден обмен второго ресурса на первый только в том случае, если за единицу приобретаемого первого ресурса оно будет отдавать меньше 6 единиц второго, т.е. при норме обмена e12 < 6.

Если, начиная с e12 = 6 норма обмена уменьшается, то линия обмена (Е) будет поворачиваться влево. Точка минимума двойственной задачи будет находиться на пересечении линии обмена (Е) с ломаной линией АВС и смещаться по ней вверх и влево, начиная с вершины C = (6,1) сначала по отрезку CB до вершины В = (3,4) ломаной, а затем по отрезку ВА вплоть до вершины A = (0,10) при e12 = 0.

На графике видно, что при e12 = 6 оптимальными технологиями являются первая и вторая технологии, а так как такая норма обмена совпадает с предельной нормой технологического замещения ресурсов MRTS12 , то обмен по этой норме второго ресурса на первый не изменит величину дохода. Однако обмен по такой норме приведет к необходимости увеличения объема потребления первого ресурса с одновременным уменьшением потребления второго, что может происходить при увеличении выпуска второго продукта и снижении выпуска первого, так как относительная норма потребления первого ресурса при производстве второго продукта больше, чем при выпуске первого:

lÍ2-1>/Í2-4- •

Максимальный спрос на первый ресурс становится в момент прекращения выпуска первого продукта. Как только коэффициент обмена станет чуть меньше 6, оптимальной останется единственная вторая технология, причем с уменьшением нормы обмена спрос на первый ресурс увеличивается. Одновременно увеличивается и доход.

При норме обмена e12 = 0,75 точкой минимума становится вершина B, которая находится на пересечении второй и третьей граничных прямых линий, т.е. оптимальной наряду со второй технологией становится третья

3 2 2 1

технология, которая вытесняет вторую, так как rn- — > rn - j.

При e12 < 0,75 остается оптимальной третья технология вплоть до e12 = 0.

Параметрический анализ показал, что с уменьшением нормы обмена e12 спрос на первый ресурс увеличивается с одновременным ростом дохода.

При совпадении нормы обмена с предельной нормой технологического замещения ресурсов имеет место множественный спрос, обусловленный множественностью оптимальных технологий.

Определим теперь с помощью найденных оптимальных технологий функцию спроса в зависимости от нормы обмена. Так как при изменении нормы обмена в интервале (0,75; 6) спрос определяется единственной второй технологией, то для нахождения его величины необходимо решить систему уравнений:

х2 - d = 50,

х2 + e2d = 170, откуда 120

При в12 е (0; 0,75) величина спроса определяется третьей технологией, поэтому она удовлетворяет системе уравнений:

х3 - 2С = 50, х3 + е12сС = 170,

откуда

м л 145 = тгт-

е12 +0,5

При в12 = 6 нижняя граница множественного спроса определяется автономным решением и равна ¿(6) = 0, а верхняя граница определяется по формуле ¿(6) = 120/(6 + 1) = 17, т.е. промежуток изменения множественного спроса равен D(6) = [0, 17].

Наименьший спрос при в12 = 0,75 равен ¿(0,75) = 120/(0,75 + 1) = 69, а наибольший ¿(0,75) = 145/(0,75 + 0,5) = 116. Следовательно, промежуток изменения спроса равен D(0,75) = [69, 116].

Найденную зависимость спроса от нормы обмена представим в табл. 3.

Таблица 3

зависимость спроса предприятия 1на первый ресурс от нормы обмена

Норма обмена 6 6 > в„ > 0,75 0,75 0,75 > в12 > 0

Оптимальные технологии 1,2 2 2,3 3

Спрос [0, 17] 120 [69, 116] 145

в„ + 1 в„ + 0,5

Так как функция спроса ¿(в12) монотонно убывающая функция, то она имеет обратную, т.е. по величине спроса можно однозначно определить соответствующую ей норму обмена.

Так как дальше в процессе поиска равновесного обмена обратная функция в12 (¿) потребуется, то представим ее в табл. 4.

Таблица 4

зависимость нормы обмена от величины спроса для предприятия 1

Спрос [0, 17]

Оптимальные технологии 1,2 2 2,3 3

Норма обмена 6 120 а 0,75 ^-0,5 а

Выпишем по табл. 2 задачу предприятия 2, которое по предлагаемой норме обмена в12 определяет предложение первого ресурса

Задача П(е12) 10^ +17^2 + 15^з + 14у4 -» тах, 3 у1 + 2у2+у3+у4+я< 210, у1 + Зу2 + 2у3 + 2у4 - е12я < 40, Л>0,^2>0,Л>0,;;4>0,5>0.

Неизвестными являются объемы выпусков продуктов у,, предложение первого ресурса s. Автономное решение задачи: уг = 40, у2 = 0, у3 = 0, у4 = 0, доход = 400, оценки ресурсов равны w1* = 0, w2* = 10. Предельная норма технологического замещения первого ресурса вторым равна МКТБп = ^ = 0 и

предприятие 2 заинтересовано в обмене первого ресурса на второй. Равновесная норма обмена ё12 находится на отрезке [0, 6].

Равновесие будем находить по описанному выше алгоритму. Пусть предприятие 1 первоначально предложило норму обмена е12 = 3. Покажем, как в этом случае будет проходить переговорный процесс последовательного приближения к равновесному обмену ресурсами, который существенно увеличит доходы обоих предприятий.

Итерация 1: предприятие 2, решив задачу 1(3), находит предложение первого ресурса s(3) = 76;

предприятие 1 по табл. 4 находит, что спрос d = 76 определяется второй и третьей его технологиями и соответствует норме обмена е12 = 0,75.

Итерация 2: предприятие 2, решив задачу 11(0,75), находит предложение s(0,75) = 138;

предприятие 1 находит, что его спрос на первый ресурс d = 138 определя-

145

ется третьей технологией и соответствует норме обмена е,2 =--0,5 = 0,55.

138

Итерация 3: предприятие 2, решив задачу 11(0,55) находит предложение s(0,55) = 149;

предприятие 1 из табл. 4 находит, что спрос d = 149 соответствует тре-

145

тьей технологии и норме обмена е^ = ^^ - 0,5 = 0,47.

Итерация 4: предприятие 2, решив задачу 11(0,47), находит предложение s(0,47) = 154;

предприятие 1 определяет с помощью третьей технологии норму обме-145

на е,7 ---0,5 = 0,44.

12 154

Далее приводим численные результаты еще трех итераций, начиная с четвертой: 5) s(0,44) = 156; е12 = 0,429; 6) s(0,429) = 156,4; е12 = 0,427; 7) s(0,427) = 156,6; е12 = 0,426.

Таким образом, практически достигнута неподвижная точка, определяющая равновесную норму обмена ё12 = 0,426 и равновесные спрос и предложение ¿ = ,? = 156,6.

Равновесные чистые спрос и предложение по второму ресурсу равны 0,426  156,6 = 66,7

Валовые объемы ресурсов после обмена для предприятия 1 определяются вектором а = (206,6; 103,3), а для предприятия 2 вектором Ь = (53,4;106,9).

Если решить задачи предприятий с полученными после обмена объемами ресурсами, то получим такие результаты: для предприятия 1 доход увеличился до 1033, что превышает доход до обмена, равный 470, на 120 %; для предприятия 2 доход увеличился до 801, что больше дохода до обмена, равного 400, на 100 %.

литература

1. Бахтин А.Е. Анализ модели взаимодействия фирм при оптимизации производства продукции с помощью собственных и заемных денег // Совершенствование институциональных механизмов в промышленности: сб. науч. трудов; ИЭ и ОПП СО РАН. Новосибирск, 2005. С. 136-155.

2. Бахтин А.Е. Взаимовыгодный обмен ресурсами при оптимизации своих производств фирмами. Определение равновесия // Вестник НГУ Серия Социально-экономические науки. Т. 2. Вып. 1. Новосибирск, 2007. С. 81-92.

3. Бахтин А.Е., Владимиров Ю.Н. Математические методы оценки эффективности взаимодействия между предприятиями при оптимизации производства // Инновационная и промышленная политика региона (Экопром - 2014) / труды международной научно-практической конференции (15-23 сентября 2014 г.). СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2014. С. 451-463.

4. Бахтин А.Е., Владимиров Ю.Н. Нахождение равновесного обмена ресурсами между предприятиями при оптимизации производства // Математические методы в прикладных исследованиях» / сб. науч. трудов. Вып. 5. Новосибирск: НГУЭУ 2012. С. 3-23.

5. Бахтин А.Е. Нахождение взаимовыгодного обмена ресурсами между предприятиями при оптимизации производства // Инновационная фирма: теория и практика развития» / сб. науч. трудов; ИЭ и ОПП СО РАН. Новосибирск, 2011. С. 291-311.

6. Бахтин А.Е. Нахождение взаимовыгодного обмена ресурсами между предприятиями при оптимизации производства // Стратегическое планирование и развитие предприятий. Секция 3. Опыт стратегического планирования на российских и зарубежных предприятиях / мат-лы симпозиума № 12; ЦЭМИ РАН. М., 2011. С. 24-25.

7. Бахтин А.Е. Нахождение равновесия в обменном процессе ресурсами между предприятиями при оптимизации производства // Модернизация экономики и формирование технологических платформ (инпром-2011). Секция 6. Экономика и менеджмент инновационного развития предприятий (организаций) / труды междунар. науч.-практ. конф. СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2011. С. 342-347.

8. Бахтин А.Е. Нахождение взаимовыгодного обмена ресурсами между предприятиями при оптимизации производства // Инновационная фирма: теория и практика развития / сб. науч. трудов; ИЭ и ОПП СО РАН. Новосибирск, 2011. С. 291-311.

9. Гальперин В.М., Игнатьев С.М., Моргунов В.И. Микроэкономика. Т. 1, 2. СПб.: Экономическая школа, 2000.

10. Замков О.О., Черемных Ю.А., Толстопятко А.В. Математические методы в экономике: учебник. М.: Дело и сервис, 1999.

11. Инновационная фирма: теория и практика развития / под ред. В.В. Титова, В.Д. Марковой. Новосибирск: ИЭ и ОПП СО РАН, 2011.

12. Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики: учеб.-практ. пособие для вузов. М.: Изд-во УРАО, 1998.

13. Пиндайк Р., Рубинфельд Д. Микроэкономика. М.: Дело, 2001.

14. Совершенствование институциональных механизмов управления в промышленных корпорациях / под ред. В.В. Титова, В.Д. Марковой. Новосибирск: ИЭ и ОПП СО РАН, 2013.

15. Управление инновационной деятельностью экономических систем (ин-пром-2014) / труды междунар. науч.-практ. конф. (2-7 июня 2014 г.). СПб.: Изд-во Политехн. ун-та, 2014.

16. Черемных Ю.Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень. М.: ИНФРА-М, 2008.

Bibliography

1. Bahtin A.E. Analiz modeli vzaimodejstvija firm pri optimizacii proizvodstva produkcii s pomoshh'ju sobstvennyh i zajomnyh deneg // Sovershenstvovanie institucional'nyh

mehanizmov v promyshlennosti / sb. nauch. trudov; IJe i OPP SO RAN. Novosibirsk, 2005. P 136-155.

2. Bahtin A.E. Vzaimovygodnyj obmen resursami pri optimizacii svoih proizvodstv firmami. Opredelenie ravnovesija // Vestnik NGU. Serija Social'no-jekonomicheskie nauki. T. 2. Vyp. 1. Novosibirsk, 2007 P 81-92.

3. Bahtin A.E., Vladimirov Ju.N. Matematicheskie metody ocenki jeffektivnosti vzaimodejstvija mezhdu predprijatijami pri optimizacii proizvodstva // Innovacionnaja i promyshlennaja politika regiona (Jekoprom - 2014) / trudy mezhdunar. nauch.-prakt. konf. (15-23 sentjabrja 2014 g.). SPb.: Izd-vo Politehn. un-ta, 2014. P 451-463.

4. Bahtin A.E., Vladimirov Ju.N. Nahozhdenie ravnovesnogo obmena resursami mezhdu predprijatijami pri optimizacii proizvodstva // Matematicheskie metody v prikladnyh issledovanijah / Sb. nauch. trudov. Vyp. 5. Novosibirsk: NGUJeU, 2012. P 3-23.

5. Bahtin A.E. Nahozhdenie vzaimovygodnogo obmena resursami mezhdu predprijatijami pri optimizacii proizvodstva // Innovacionnaja firma: teorija i praktika razvitija / cb. nauch. trudov; IJe i OPP SO RAN. Novosibirsk, 2011. P 291-311.

6. Bahtin A.E. Nahozhdenie vzaimovygodnogo obmena resursami mezhdu predprijatijami pri optimizacii proizvodstva // Strategicheskoe planirovanie i razvitie pred-prijatij. Sekcija 3. Opyt strategicheskogo planirovanija na rossijskih i zarubezhnyh predprijatijah / mat-ly simpoziuma № 12; CJeMI RAN. M., 2011. P 24-25.

7 Bahtin A.E. Nahozhdenie ravnovesija v obmennom processe resursami mezhdu predprijatijami pri optimizacii proizvodstva // Modernizacija jekonomiki i formirovanie tehnologicheskih platform (inprom-2011). Sekcija 6. Jekonomika i menedzhment innovacionnogo razvitija predprijatij (organizacij) / trudy mezhdunar. nauch.-prakt. konf. SPb.: Izd-vo Politehn un-ta, 2011. P 342-347

8. Bahtin A.E. Nahozhdenie vzaimovygodnogo obmena resursami mezhdu predprijatijami pri optimizacii proizvodstva // Innovacionnaja firma: teorija i praktika razvitija / sb. nauch. trudov; IJe i OPP SO RAN. Novosibirsk, 2011. P. 291-311.

9. Gal'perin V.M., Ignat'ev S.M., Morgunov VI. Mikrojekonomika. T. 1, 2. SPb.: Jekonomicheskaja shkola, 2000.

10. Zamkov O.O., Cheremnyh Ju.A., Tolstopjatko A.V. Matematicheskie metody v jeko-nomike: uchebnik. M.: Delo i servis, 1999.

11. Innovacionnaja firma: teorija i praktika razvitija / pod red. VV Titova, VD. Markovoj. Novosibirsk: IJe i OPP SO RAN, 2011.

12. Malyhin V.I. Matematicheskoe modelirovanie jekonomiki: ucheb.-prakt. posobie dlja vuzov. M.: Izd-vo URAO, 1998.

13. Pindajk R., Rubinfel'd D. Mikrojekonomika. M.: Delo, 2001.

14. Sovershenstvovanie institucional'nyh mehanizmov upravlenija v promyshlennyh kor-poracijah / pod red. VV Titova, VD. Markovoj. Novosibirsk: IJe i OPP SO RAN, 2013.

15. Upravlenie innovacionnoj dejatel'nost'ju jekonomicheskih sistem (inprom-2014) / trudy mezhdunar. nauch.-prakt. konf. (2-7 ijunja 2014 g.). SPb.: Izd-vo Politehn. un-ta, 2014.

16. Cheremnyh Ju.N. Mikrojekonomika. Prodvinutyj uroven'. M.: INFRA-M, 2008.