Абелевы подгруппы группы гомеоморфизмов, порожденные скручиваниями Дэна

жадный алгоритм с абсолютными ошибками дает сколь угодно большое предельное уклонение остатков при фиксированном ограничении на предельную норму ошибок limsup ||2.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Friedman J.H., Stueuzle W. Projection pursuit regression //J. Amer. Statist. Assoc. 1981. 76. 817-823.

2. Jones L.K. On a conjecture of Huber concerning the convergence of PP-regression // Ann. Statist. 1987. 15. 880-882.

3. Mallat S., Zhang Z. Matching pursuit with time-frequency dictionaries // IEEE Trans. Signal Process. 1993. 41. 3397-3415.

4. DeVore R.A., Temlyakov V.N. Some remarks on greedy algorithms // Adv. Comput. Math. 1996. 5. 173-187.

5. Temlyakov V.N. Weak greedy algorithms // Adv. Comput. Math. 2000. 12. 213-227.

6. Галатенко В.В., Лившиц Е.Д. Обобщенные приближенные слабые жадные алгоритмы // Матем. заметки. 2005. 78.186-201.

7. Gribonval R., Nielsen M. Approximate weak greedy algorithms // Adv. Comput. Math. 2001. 14. 361-368.

8. Галатенко В.В. Сходимость слабых ортогональных жадных приближений // Мат-лы Воронеж. зимней матем. школы "Современные методы теории функций и смежные проблемы". Воронеж, 2011. 62-63.

9. Dubinin V.V. Greedy algorithms and applications // Ph. D. Thesis. Univ. South Carolina, 1997.

10. Стечкин С.Б. Об абсолютной сходимости ортогональных рядов // Докл. АН СССР. 1955. 102. 37-40.

11. Barron A. Universal approximation bounds for superposition of n sigmoidal functions // IEEE Trans. Inf. Theory. 1993. 39. 930-945.

Поступила в редакцию 11.01.2012

УДК 511

АБЕЛЕВЫ ПОДГРУППЫ ГРУППЫ ГОМЕОМОРФИЗМОВ, ПОРОЖДЕННЫЕ СКРУЧИВАНИЯМИ ДЭНА

Д. А. Пермяков1

Изучается подгруппа группы классов гомеоморфизмов компактной поверхности, порожденная скручиваниями Дэна вдоль семейства простых, замкнутых, попарно негомотопных кривых с некоторыми условиями. Доказано, что эта группа изоморфна свободной абелевой группе ранга k, где k — количество кривых семейства. В случае ориентируемой поверхности результат является классическим.

Ключевые слова: скручивание Дэна, индекс пересечения кривых, группа классов гомеоморфизмов.

The subgroup of mapping class group generated by Dehn twists along the set of simple closed pairwise nonhomotopic curves with some conditions is studied. It is proved that this group is isomorphic to a free Abelian group of rank k, where k is the number of curves in the set. In the case of an oriented surface, this result is classic.

Key words: Dehn twist, intersection index of curves, mapping class group.

1. Введение. Пусть M — компактная поверхность. Рассмотрим двустороннюю (т.е. сохраняющую ориентацию) простую замкнутую кривую y на M. Скручиванием Дэна [1] вдоль 7 называется гомеоморфизм M на себя, который есть результат разрезания поверхности M вдоль 7, скручивания одного из полученных концов на 2п и приклеивания обратно. Носитель гомеоморфизма (т.е. замыкание множества точек, не являющихся неподвижными точками гомеоморфизма) лежит в цилиндре, основания которого гомотопны y как кривые в этом цилиндре. В координатах (в, h), в G [0;2п], h G [0; 1], на цилиндре гомеоморфизм имеет вид (в, h) ^ (в + 2nh, h).

1 Пермяков Дмитрий Алексеевич — асп. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail:

dimap@mccme.ru.

Для задания скручивания Дэна необходима локальная ориентация в окрестности кривой 7. Для данной локальной ориентации можно выбрать координаты (9,h), 9 £ [0;2п], h £ [0; 1], на цилиндре возле кривой y положительно ориентированными. При замене локальной ориентации построенное таким образом скручивание Дэна будет меняться на гомотопное обратному.

Скручивание Дэна является одним из простейших гомеоморфизмов, негомотопных тождественному (если кривая y не ограничивает на поверхности M диск, цилиндр или лист Мебиуса), поэтому оно часто используется (подробнее см. [2]).

В статье [3] рассматривается пространство M(M) классов изотопий автоморфизмов ориентируемой поверхности M отрицательной эйлеровой характеристики, переводящих каждую граничную окружность в себя. Доказывается, что любая абелева подгруппа в M(M) конечно порождена, не содержит кручения и ранг ограничен числом 3g + b — 3c, где g — род поверхности, b — количество граничных окружностей, c — количество компонент связности. Скручивания Дэна вдоль набора простых попарно непересекающихся окружностей порождают абелеву подгруппу максимального ранга. Согласно [1], скручивания Дэна вдоль всевозможных кривых порождают группу M(M).

Основной результат статьи — теорема 1. В случае ориентируемой поверхности M он является уточнением классического (см. [3, лемма 2.1(1)]), хотя автору не удалось найти опубликованное доказательство. В случае неориентируемой поверхности M результат новый. Поводом для написания статьи послужила серия работ [4-7], в которых используется ориентируемый случай теоремы 1 (см. [5, § 3.2, шаг 7]). Для обобщения результатов этой серии работ на случай неориентируемой поверхности понадобится теорема 1 в общем виде.

2. Формулировка основного результата. Обозначим через Homeo(M; dM) пространство гомеоморфизмов поверхности M, тождественных на dM, а через Homeo0 (M; dM) С Homeo(M; dM) компоненту связности тождественного гомеоморфизма в Homeo(M; dM). Пусть пм := nfr(M) U n(M,dM), где nfr(M) — пространство классов свободных петель, т.е. гомотопических классов отображений окружности в M, а n(M, dM) — пространство классов путей в M с концами на dM с точностью до гомотопий с фиксированными концами.

Теорема 1. Пусть M — компактная поверхность отрицательной эйлеровой характеристики (ориентируемая или нет, с краем или без). Пусть {Yi} — конечный набор простых, замкнутых, попарно непересекающихся двусторонних кривых в int (M), такой, что любая компонента связности множества M \ (UYi) не является ни открытым диском, ни открытым цилиндром, ни внутренностью листа Мебиуса. Пусть t7i £ Homeo(M; dM) — скручивания Дэна вдоль кривых yi  Тогда

1) классы [t7i] £ Homeo(M; dM)/Homeo0(M; dM) этих гомеоморфизмов порождают свободную абелеву подгруппу ранга, равного количеству кривых;

2) любая нетождественная композиция целых степеней этих гомеоморфизмов нетривиально действует на пространстве пм;

3) существует набор простых кривых Yi £ пм, 1 ^ i ^ n, такой, что кривые yi и Yj не пересекаются при i = j и кривые Yi и tYy.Yi негомотопны при k = 0.

Далее будем считать, что каждая кривая Yi, гомотопная компоненте связности края, вся проходит по краю. Набор кривых Yi можно дополнить до такого набора, что каждая компонента связности множества M \ UiYi является либо сферой с тремя проколами, либо открытым цилиндром с пленкой Мебиуса, либо открытым диском с двумя пленками Мебиуса (т.е. имеет эйлерову характеристику —1). Такой набор кривых назовем максимальным. Теорему достаточно доказать для максимального набора.

Замечание 1. Проверим, выполнена ли теорема для поверхности с x(M) ^ 0. Если поверхность M является сферой, диском, проективной плоскостью или листом Мебиуса, то на ней возможен только пустой набор кривых Yi. Если поверхность M является тором, то максимальный набор состоит из одной кривой Yi. Тогда выберем кривую Yi с единичным индексом пересечения с кривой Yi. Кривая ti^Yi имеет индекс пересечения k с кривой Yi, поэтому при разных k такие кривые негомотопны и теорема остается справедливой. Если поверхность M является цилиндром, то теорема также верна. Доказательство аналогично, только кривая Yi идет от одной граничной окружности до другой. Случай, когда поверхность M — бутылка Клейна, является единственным, когда теорема не выполняется. Максимальный набор состоит из одной кривой Yi, дополнение до которой является цилиндром. Представим t^ как композицию двух скручиваний Дэна в примыкающих цилиндрах. Пронесем один из цилиндров вместе с соответствующим скручиванием через всю бутылку Клейна. Ориентация цилиндра изменится, а значит, скручивание Дэна заменится на противоположное. Получилась гомотопия tY/1 ~ t71 t— ~ id. При этом одно скручивание Дэна негомотопно тождественному, так как существует кривая Yi, индекс пересечения которой с собой равен 1 mod 2, а индекс пересечения с t7l Yi равен 0 mod 2. Таким образом, скручивание Дэна порождает группу, гомеоморфную Z2.

Замечание 2. В [8] дано определение маркировки на компактной ориентируемой поверхности 5 без края с проколами. Если в случае ориентированной поверхности М удалить из М все компоненты края, а из набора {(71,71),---, (7™,7™)} выкинуть все кривые 7^, гомотопные краю, и соответствующие кривые 7г (описанные в доказательстве теоремы), то получится маркировка оставшейся поверхности. В частности, если дМ = 0, то набор {(71,71),..., (7™,7™)} является маркировкой на М. В общем случае набор {(71,71),..., (7™, 7™)} является обобщением понятия маркировки для неориентируемой поверхности с краем.

3. Граф В, двойственный набору окружностей 7^. В пп. 3-5 поверхность М ориентируема, {7г}™=1 — максимальный набор. Построим граф В = Вм1|7;|- Каждой компоненте связности множества М \ и^Тг будет отвечать вершина степени 3, каждой компоненте связности множества дМ — вершина степени 1. Две вершины соединим к ребрами, если замыкания отвечающих вершинам множеств пересекаются по к окружностям. Каждой окружности 7г, лежащей в замыкании только одного множества, соответствующего вершине, сопоставим петлю с концами в этой вершине. Заметим, что замыкания множеств, соответствующих вершинам, пересекаются только по окружностям Тем самым окружности 7г находятся во взаимно однозначном соответствии с ребрами графа В.

Построим (неоднозначно) сюръективное непрерывное отображение £ : М — В. Пусть 2 — подмножество М, отвечающее вершине графа В. Если 2 — компонента связности дМ, то отображение £ переводит все 2 в соответствующую вершину степени 1. Если 2 — сфера с тремя дырками, то в ней можно выделить (неоднозначно) букет из двух окружностей, дополнение до которого является несвязным объединением трех открытых цилиндров. Отображение £ переводит этот букет в соответствующую вершину степени 3. Больше прообразов у вешин нет. Дополнение объединения прообразов всех вершин в поверхности М является несвязным объединением открытых цилиндров, замыкание каждого из которых содержит ровно по одной окружности 7г, а значит, соответствует некоторому ребру графа В. Отображение £ определим на цилиндре следующими условиями:

£ отображает цилиндр сюръективно на соответствующее открытое ребро;

£ непрерывно на замыкании цилиндра.

Назовем граф Во топологическим подграфом графа В, если Во является топологическим подпространством графа В и каждая вершина графа Во является вершиной такой же степени графа В. При этом точка, являющаяся вершиной графа В и лежащая в Во, необязательно вершина графа Во. Граф Во может не быть подграфом В с комбинаторной точки зрения, но он гомеоморфен некоторому подграфу, и этот подграф может быть получен из Во добавлением вершин на некоторых ребрах. Ясно, что любой топологический подграф графа Во является топологическим подграфом графа В.

По произвольному топологическому подграфу Во графа В построим поверхности М©0 и М©0 С М©0. Поверхность М©0 С М является малой регулярной окрестностью множества £-1(Во) в М. Рассмотрим замыкание поверхности М©0 в М и стянем в точку каждую компоненту края, не являющуюся компонентой края для М. Полученную поверхность обозначим М©0. Ясно, что М©0 С М©0 и М©0 получается из М©0 выкалыванием конечного числа точек. На поверхности М©0, а значит, и на М©0 Э М©0 определен индуцированный набор окружностей 7г,©0 — это те окружности 7г на поверхности М, которые лежат в М©0. Как и в случае с графом В, окружности 7г,©0 находятся во взаимно однозначном соответствии с ребрами графа Во.

Поверхность М©0 с набором окружностей {7г,©0} допускает и комбинаторное описание. Каждой вершине степени 3 графа Во соответствует сфера без трех открытых дисков, каждой вершине степени 1 — цилиндр. Каждому ребру графа Во соответствует склейка граничных окружностей поверхностей, соответствующих вершинам. Для определения направлений склейки сфер без дисков достаточно задать ориентацию на каждой поверхности, соответствующей вершине, и делать склейку в согласовании с выбранными ориентациями. Кривые 7г,©0 совпадают с окружностями склейки. Гомеоморфным топологическим подграфам соответствуют гомеоморфные поверхности М©0. Комбинаторное описание позволяет строить поверхность М©0 с набором окружностей {7г,©0} по любому графу Во с вершинами степени 1 и 3, а не только по топологическому подграфу графа В.

Лемма 1. Пусть Во — связный топологический подграф графа В. Тогда существует непрерывная сюръекция А©0 М — М©0, такая, что отображение А©0 |м0 совпадает с отображением включения

М©0 — М©0 .

Для доказательства леммы 1 нам понадобится

Утверждение 1. Пусть Во — связный подграф связного графа В, отличный от всего В. Тогда найдется открытое ребро е в В \ Во, такое, что либо е не мост, т.е. граф В \ е связен, либо е ведет в вершину степени 1 графа В.

Здесь и далее под ребром понимается открытое ребро.

Расстоянием от вершины графа В до подграфа ©о назовем минимальное количество ребер, необходимое для того, чтобы добраться от вершины до ©о. Если связный подграф ©о содержит все вершины графа В, то ребро вне ©о не может быть мостом. Далее считаем, что найдется вершина вне ©о. Пусть V — любая из наиболее далеких от ©о вершин графа ©, е — любое из выходящих из V ребер. Предположим, что е — мост. Если вершина V лежит в той же компоненте связности графа © \ е, что и подграф ©о, то в графе © расстояние от второй вершины V' ребра е до графа ©о на единицу больше, чем от вершины V, так как любой путь от V' до ©о проходит через ребро е. Значит, вершина V лежит в компоненте связности графа © \ е, не содержащей подграф ©о. Если вершина V имеет степень больше 1, то она соединена с некоторой вершиной V'' (возможно, совпадающей с V) ребром е', отличным от е. Если V'' = V, то любой путь от V'' до ©о проходит через вершину V, поэтому V'' дальше от ©о, чем V, что противоречит выбору вершины V. Если V'' = V, то ребро е' С © \ ©о — петля, а значит, не мост. Утверждение 1 доказано.

Теперь докажем лемму 1. Если ©о = ©, то А©0 = к1м. Пусть ©о С ©. Будем строить отображение А©0 по индукции. Пусть отображение А©1 построено для некоторого связного топологического подграфа ©1 графа ©, содержащего ©о в качестве своего топологического подграфа. Согласно утверждению 1, в ©1 \ ©о найдется ребро е графа ©1 либо ведущее в вершину степени 1, либо не являющееся мостом. Опишем максимальный по включению топологический подграф ©2 С ©1, не содержащий ребра е. Если ребро е не является петлей, то ©2 получается из ©1 удалением внутренних точек ребра е, удалением концевой вершины степени 1, если такая есть, и заменой каждой концевой вершины степени 3 с двумя не входящими в е ребрами на одно ребро. Если ребро е является петлей, то найдется ребро е', выходящее из концевой вершины петли е и заканчивающееся в вершине V степени 3. Граф ©2 получается из ©1 удалением ребер е и е' вместе с их общей вершиной и заменой вершины V и двух оставшихся выходящих из нее ребер на одно ребро.

Из включения поверхностей М©2 С М©1 С М©1 следует, что достаточно построить непрерывную сюръекцию А©ь©2 : М©1 ^ М©2 с условием А©ь©2|м02 = и определить А©2 := А©ь©2 о А©1.

Если ребро е является петлей или ведет в вершину степени 1, то определим А©ь©2|Мо \м0 как

отображение, образом которого является одна точка М©2 \ М©2. Полученное отображение А©ь©2 будет совпадать со стягиванием подмножества М©1 \ М©2 С М©1 в одну точку, а значит, непрерывно. Пусть вершины ребра е различны и имеют степень 3. Тогда множество М©1 \ М©2 является замкнутым цилиндром, а множество М©2 \ М©2 состоит из двух точек. Ребро е в этом случае не является мостом графа ©1, поэтому найдется путь между вершинами ребра е по графу ©2, а значит, найдется путь т : [0,1] ^ М©2 между двумя точками множества М©2 \ М©2 по поверхности М©2. Определим ограничение отображения А©ь©2 на множество М©1 \ М©2 как композицию отображения в отрезок, переводящего основания цилиндра в концы отрезка, и отображения т. Таким образом, сюръекция А©ь©2 построена на всей поверхности М©1. По индукции будет получено отображение А©0. Лемма 1 доказана.

4. Леммы о негомотопности кривых. Для доказательства леммы 3 нам понадобится следствие из теоремы о сопряженности в свободных произведениях с амальгамированной подгруппой [9, теорема 2.8], а именно

Утверждение 2. Пусть С, Н — группы, А С С — подгруппа, порожденная одним элементом д, ф : А ^ Н — мономорфизм. Рассмотрим группу Р = С * Н. Пусть а, с £ С \ А, Ь, С £ Н \ ф(А) и

9=Ф

элементы аЬ и сй сопряжены в группе Р. Тогда найдутся и = дт,и2 = дп, такие, что в группах С и

Н выполняются равенства а = и-1си2 и Ь = и-1йи1 соответственно.

Доказательство. По теореме о нормальной форме для свободных произведений с амальгамированной подгруппой [9, теорема 2.6] группы С и Н естественно вложены в Р, поэтому все элементы можно рассматривать как элементы из Р. По теореме 2.8 из [9] найдется элемент и £ А, такой, что аЬ = и-1сйи или аЬ = и-1йси. Случай аЬ = и-1йси невозможен по теореме 2.6 из [9]. Обозначим с = и-1с £ С, С = Си £ Н, тогда (с-1 а)  (ЬС-1) = 1. По теореме 2.6 из [9] получаем с-1а £ А, ЬС-1 £ А. Отсюда а = и~[1см2 и Ъ = и21(1и\ для щ = с~1а £ А.

Лемма 2. Пусть и — граничная окружность поверхности М, поверхность М является замыканием компоненты связности множества М \ и^, содержит и и отлична от цилиндра. Тогда найдется замкнутая кривая и в М с закрепленными концами на и, такая, что кривые с закрепленными концами и и и не гомотопны в М ни при каком целом к = 0. В частности, кривая и негомотопна ик.

Доказательство. Поверхность Мс является либо сферой без трех открытых дисков, либо тором с дыркой. Сначала рассмотрим случай, когда М является сферой без трех открытых дисков. Обозначим через 71 и 72 две граничные окружности М, отличные от и. Выберем кривую и так, чтобы кривые 71

и 72 лежали в разных компонентах связности множества М \ и, а кривая и лежала в одной компоненте связности с кривой 71. Кривая ^и гомотопна икии-к, покажем, что она негомотопна и.

Предположим, что замыкание множества М\ М несвязно, т.е. является объединением двух поверхностей М1 и М2. Тогда группа П1(М) изоморфна свободному произведению групп П1(М1) и П1(М2). Чтобы зафиксировать изоморфизм П1(М) = П1(М1) *П1(М2), достаточно дополнить кривые 71 и 72 отрезками до замкнутых кривых 71 и 72 с концами, совпадающими с концом кривой и. Отрезки выберем так, чтобы 71 и 72 пересекали и только в конечной точке. Кривая с закрепленными концами и гомотопна 72 € П1(М2), а

и гомотопна 7172. Кривая икии-к гомотопна (7172)^и(7172)-к и не принадлежит П1(М2), поэтому кривые

к — к

с закрепленными концами и и икии к негомотопны.

Предположим теперь, что замыкание множества М \ М связно. Тогда в графе В найдется топологический подграф В', являющийся объединением незамкнутого ребра и петли, в котором вершина степени 1 соответствует и, а вершина степени 3 (как вершина графа В) — поверхности М. Если кривые и и ик7и-к гомотопны, то и их образы при отображении Л©' гомотопны в поверхности М©'. Поверхность М©' является тором с дыркой. Фундаментальная группа поверхности М©' свободна. Негомотопность кривых Л©' о и и Л©' о икии-к доказывается рассмотрением образующих фундаментальной группы.

Случай, когда поверхность М является тором с дыркой, аналогичен случаю связного множества М \ М. Лемма 2 доказана.

Лемма 3. Пусть М1 и М2 — компактные поверхности с краем, поверхность М получается из М1 и М2 склеиванием вдоль одной граничной окружности, и. Замкнутая кривая 7(г) = 7(г)  72, г = 1, 2, получается объединением замкнутых кривых 7(г) : Б1 ^ М1 и 72 : 51 ^ М2. Пусть кривые 7(1) и 7(2) негомотопны как петли с фиксированными концами в М1, а кривые 72 и ик не гомотопны как петли с фиксированными концами в М2 ни при каком целом к (в частности 72 не стягиваема). Тогда

(a) кривые 7(1) и 7(2) негомотопны как свободные петли в М;

(b) кривая 7(1) не гомотопна никакой замкнутой кривой в М1.

Доказательство. Предположим, что 7(1) и 7(2) гомотопны как свободные петли. Тогда они сопряжены как элементы П1(М). Из утверждения 2 следует, что для некоторых целых т и п в П1(М1) выполнено

равенство 7(1) = и-т"7(2)ип, а в П1(М2) — равенство 72 = и-""72ит. Если т = п = 0, то 7(1) и 7(2) гомотопны как кривые с фиксированными концами, что противоречит условию. Значит, числа т и п не равны одновременно нулю. Выберем в М2 образующие так, чтобы и была одной из них. Тогда записи кривых 72 и и-га72ит через образующие группы П1(М2) заведомо различны.

Предположим, что 7(1) гомотопна некоторой кривой в в М1. Стянем поверхность М1 в точку. Получим, что кривая 72 стягиваема в поверхности М2/и. Следовательно, кривая 72 гомотопна степени и в М2, что противоречит условию леммы. Лемма 3 доказана.

Следствие 1. Пусть ребро е% графа В является мостом. Тогда найдется кривая 7^ € пм, не пересекающая т^ при j = г, такая, что кривые 7г и ^7г, к = 0, задают разные элементы в пм. Более того, любая кривая из пм, не пересекающая 7^ задает элемент пм, отличный от 7г.

Доказательство. Пусть ребро е^ ведет в вершину степени 1. Тогда следствие 1 сразу получается из леммы 2.

Пусть каждая вершина ребра е^ имеет степень 3. Кривая 7^ разбивает поверхность М на две поверхности М1 и М2. Рассмотрим замкнутые кривые 71 и 72 в поверхностях М1 и М2 соответственно, получаемые по лемме 2, а также замкнутую кривую 7^ = 71  72. Считаем, что носитель скручивания Дэна лежит в М1. Согласно лемме 3(а), примененной к кривым 71 и 71 в поверхности М1 и к кривой 72 в поверхности М2, свободные петли 7^ и 7^ к = 0, негомотопны. Негомотопность 7^ и любой кривой, не пересекающей 7г, сразу следует из леммы 3(Ь). Следствие 1 доказано.

5. Доказательство теоремы 1 для ориентируемой поверхности М. Достаточно доказать, что для любого ребра е^ найдется кривая 7^ € пм, не пересекающая 7^ при j = г, такая, что кривые ^г и 7г негомотопны при к = 0. Если ребро е^ является мостом, то это утверждение доказано в следствии 1. Рассмотрим случай, когда ребро е^ не является мостом.

Построим связное двулистное накрытие В графа В. Рассмотрим две копии графа В. Удалим обе копии -1г>2 и « ребра е^ и добавим ребра г>1 -2' и -г'/г>2. Так как ребро е не является мостом связного графа В, полученный граф В также будет связным. На графе В естественным образом определено отображение р : В ^ В, задающее структуру двулистного накрытия.

Непрерывная сюръекция £ : М© ^ В индуцирует ассоциированное двулистное накрытие р* : М© ^ М© и отображение £© : М© ^ В. Здесь поверхность М© является поверхностью, построенной по графу В аналогично поверхностям М©0 для топологических подграфов Во С В.

Пусть e(1) и e(2) — два ребра графа В, накрывающие ребро e¿ С В. Тогда ребро e(1) является мо- - (2) -стом топологического подграфа В о = В \ e¿ (указано равенство подмножеств В как топологических

пространств). Рассмотрим кривую 7¿ ©0 G пм§0, построенную по следствию 1. Малой гомотопией можно добиться, чтобы кривая 7¿, ©0 не проходила через двухточечное множество Mq0 \ Mq0. Таким образом, можно считать, что эта кривая совпадает с некоторой кривой 7¿ © на поверхности M©0 С M© .

Обозначим 7¿ = Р* ◦ 7i © G пм. По построению эта кривая не пересекает окружности 7j при j = i. Докажем, что кривые 7¿ и ¿Yi7i негомотопны при k = 0. Предположим противное. Используя теорему о накрывающей гомотопии, поднимем гомотопию кривых 7¿ и ¿Yi7¿ до гомотопии кривых в M© . Получится гомотопия кривых 7i © и ¿k- б 7i ©. После взятия непрерывного отображения Л ©0 : Mq — Mq0 будем иметь гомотопию кривых 7i ©0 и ¿Y- q 7i ©0, что противоречит выбору кривой 7j ©0. Полученное противоречие доказывает негомотопность кривых 7г и 7¿. Теорема 1 для ориентируемой поверхности M доказана.

Теперь докажем, что кривая 7¿ не гомотопна никакой кривой tj7j, j = i, k G Z. Это понадобится при доказательстве теоремы для неориентируемой поверхности M. По построению tíj. 7j не пересекает 7¿. Если ребро e¿ является мостом, то негомотопность 7¿ и ¿Y^7j сразу получается из следствия 1. Пусть далее e¿ не мост. Если кривые 7¿ и ¿Y^7j гомотопны, то гомотопны и накрывающие их кривые 7¿ © и в, где в — одна из двух кривых, накрывающих ¿Y^7j. Тогда гомотопны кривые 7¿ ©0 = Л о 7¿ © и Л о в, что неверно, согласно следствию 1.

6. Доказательство теоремы 1 для неориентируемой поверхности M. Пусть M — неориен-тируемая поверхность. Каждая компонента связности множества M \ U¿7¿ является либо сферой с тремя дырками, либо открытым цилиндром с пленкой Мебиуса, либо открытым диском с двумя пленками Мебиуса. В каждой неориентируемой компоненте связности множества M \ U¿7¿ выберем одну или две окружности Wfc, дополнение до которых является сферой с тремя дырками (окружности соответствуют пленкам Мебиуса).

Рассмотрим ориентируемое двулистное накрытие p : M — M поверхности M. Каждая окружность 7¿ сохраняет ориентацию, а значит, накрывается двумя окружностями 7(1) и 7(2). Каждая окружность Wfc меняет ориентацию, а значит, накрывается одной окружностью свк. Каждая компонента связности множества M\U¿7¿, являющаяся сферой с тремя дырками, накрывается двумя сферами с тремя дырками. Цилиндр с пленкой Мебиуса (соответственно диск с пленкой Мебиуса) накрывается двумя сферами с тремя дырками, склеенными по одной (соответственно по двум) окружности сск. Таким образом, набор

окружностей 7(1), 7(2), в для всех i, k разбивает поверхность M на сферы с тремя дырками. Согласно уже

доказанной теореме 1 для ориентируемой поверхности M, найдется набор кривых 7(1) , 7(2), Bfc, каждая

из которых может пересекать только соответствующую кривую набора 7(1), 7(2),с&. Можно считать, что

кривые p о 7(1) и p о 7(2) совпадают. Положим 7г = Р о 7(1) G пм. Предположим, что кривые 7¿ и ¿Yi7¿ гомотопны при некотором k = 0. По теореме о накрывающей гомотопии поднимем эту гомотопию на

поверхность M. Получится гомотопия кривой 7(1) и одной из кривых ¿к(1) 7(1) и ¿к(2) 7(2). Кривые 7(1) и

Yi Yi

¿k(1) 7(1) негомотопны по выбору кривой 7(1). Негомотопность кривых 7(1) и ¿к(2) 7(2), вытекающая из того, Yi Yi что они не пересекаются, доказана в предыдущем пункте.

Автор приносит благодарность Е. А. Кудрявцевой за постановку задачи и ценные замечания,

А. А. Ошемкову за обсуждения и идею использовать накрытия и А. Т. Фоменко за внимание к работе.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Dehn M. Die Gruppe der Abbildungsklassen // Acta Math. 1938. 69, N 1. 135-206.

2. Farb B., Margalit D. A primer on mapping class groups. URL: http://www.math.utah.edu/ margalit/primer.

3. Birman J.S., Lubotzky A., McCarthy J. Abelian and solvable subgroups of the mapping class group // Duke Math. J. 1983. 50. 1107-1120.

4. Кудрявцева Е.А., Пермяков Д.А. Оснащенные функции Морса на поверхностях // Матем. сб. 2010. 201, № 4. 33-98.

5. Кудрявцева Е.А. О гомотопическом типе пространств функций Морса на поверхностях. URL: http://arxiv.org/abs/ 1104.4796.

6. Кудрявцева Е.А. Топология пространств функций Морса на поверхностях. URL: http://arxiv.org/abs/1104.4792.

7. Кудрявцева Е.А. Специальные оснащенные функции Морса на поверхностях. URL: http://arxiv.org/abs/1106.3116.

8. Duchin M., Rafi K. Divergence of Geodesies in Teichmiiller space and the Mapping Class Group // Geometric and Funct. Anal. 2009. 19, N 3. 722-742.

9. Lyndon R., Schupp P.E. Combinatorial group theory. Berlin: Springer-Verlag, 1977.

Поступила в редакцию 20.04.2012

УДК 511

ОБРАТНАЯ ТЕОРЕМА КОДИРОВАНИЯ ДЛЯ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ КВАНТОВЫХ КАНАЛОВ

А. А. Кузнецова1

В работе формулируется гипотеза о квантовой пропускной способности для каналов с бесконечномерными входным и выходным пространствами. Дается доказательство обращения этой гипотезы, использующее определения и свойства когерентной информации для бесконечномерных каналов.

Ключевые слова: когерентная информация, квантовый канал, квантовая пропускная способность.

In this paper we make a conjecture about the quantum capacity of an infinite-dimensional quantum channel. The proof of the inverse theorem is given based on definitions and properties of the coherent information in the infinite-dimensional case.

Key words: coherent information, quantum channel, quantum capacity.

1. Введение. Одним из основных результатов квантовой теории информации является теорема кодирования, в которой квантовая пропускная способность канала выражается через когерентную информацию /с, а именно

<2(Ф) = lim — max/c(p, Фга). и^ж n Р

Неравенство соответствующее обратному утверждению теоремы кодирования, было доказано в работах [1, 2]. Доказательство прямого утверждения было получено позднее в [3]. Эти доказательства проведены в случае, когда входное и выходное пространства канала Ф имеют конечную размерность.

Представляет интерес обобщение этой теоремы кодирования на бесконечномерные каналы; отметим, что к этому случаю относятся важные для приложений бозонные гауссовские каналы [4, гл. 11]. Однако до недавнего времени соответствующая гипотеза даже не была сформулирована, так как не существовало удовлетворительного определения когерентной информации бесконечномерного квантового канала. Подходящие определения когерентной информации и взаимной информации были предложены в работе [5] для входного состояния с конечной энтропией. Это дает возможность сформулировать гипотезу для бесконечномерных каналов, рассмотрев супремум когерентной информации по состояниям с конечной энтропией. При этом обращение теоремы кодирования удается доказать практически аналогично конечномерному случаю, используя свойства когерентной информации в бесконечномерных пространствах (также доказанные в [5]). Однако тот факт, что когерентная информация в бесконечномерном случае определена лишь на состояниях с конечной энтропией, может значительно усложнить доказательство прямого утверждения соответствующей теоремы кодирования. В данной работе сформулирована гипотеза для бесконечномерных каналов и приведено доказательство обращения теоремы кодирования. Доказательство в основном следует [4], но содержит необходимые уточнения, относящиеся к различиям конечномерного и бесконечномерного случаев.

2. Основные определения. Пусть H — гильбертово пространство. Будем использовать следующие обозначения: T+(H) — конус положительных операторов в H с конечным следом, S(H) — выпуклое подмножество операторов плотности, т.е. положительных операторов с единичным следом: р ^ 0, Trр = 1.

1 Кузнецова Анна Александровна — асп. каф. математической статистики и случайных процессов мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: kuznetsova.a.a@bk.ru.