Моделирование гексагональных намагничивающихся самоподобных структур в магнитных коллоидах с учетом температуры

МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕКСАГОНАЛЬНЫХ НАМАГНИЧИВАЮЩИХСЯ САМОПОДОБНЫХ СТРУКТУР В МАГНИТНЫХ КОЛЛОИДАХ С УЧЕТОМ ТЕМПЕРАТУРЫ

В.И. Дроздова, В.В. Кушнарев, Г.В. Шагрова

MODELING OF HEXAGONAL MAGNETIZABLE SELF-SIMILAR STRUCTURES IN MAGNETIC CALLOIDS SUBJECT TO THE TEMPERATURE

Drozdova V.I., Kushnarev V.V.,

Shagrova G.V.

The paper presents the interaction model of magnetic fluid microdrop aggregates in external magnetic field. The results ofmodeing hexagonal microdrop structure in the plain layer of magnetic fluid subject to the temperature effect upon the nnterfacial tension coefficient.

Представлена модель взаимодействия микрокапельных агрегатов магнитной жидкости во внешнем магнитном поле. Приведены/ результаты/ моделирования гексагональной микрокапельной структуры/ в плоском слое магнитной жидкости с учетом влияния температуры/ на коэффициент межфазного натяжения.

УДК 004.94:537.622

Самоподобные периодические структуры, обнаруженные в тонких слоях намагничивающихся коллоидов, обладают способностью к пороговым многократным изменениям в слабых магнитных полях [1]. Математическое моделирование таких структур позволяет не только установить физические границы их существования, но и расширить возможности экспериментальных методов, в частности, оптических, за счет исследования структур, период решетки которых меньше, чем длина волны видимого света. Актуальность исследования самоподобных намагниченных структур связана с задачей получения управляемых дифракционных решеток, в которых уменьшение периода решетки должно приводить к увеличению энергии взаимодействия между намагниченными объектами.

В данной работе построена модель образования периодической гексагональной намагничивающейся микроструктуры в плоском слое магнитного коллоида и исследована ее стабильность при нагревании. Формирование самоподобных намагничивающихся структур происходит под действием внешнего магнитного поля в результате многократных пороговых разрывов намагниченных объектов - микрокапельных агрегатов, которые обладают уникальными для жидких сред магнитными свойствами: их магнитная проницаемость / ~ 50, межфазное натяжение на границе раздела микрокапельный агрегат - окружающая жидкость а ~ 10 7 Н/м.

111111

Дроздова В.И., Кушнарев В.В., Шагрова Г.В.

«Моделирование гексагональных намагничивающихся самоподобных структур...»

В плоском слое при наложении магнитного поля макрокапельные агрегаты вытягиваются [ 1 ]. Если стенки препятствуют удлинению, то увеличение поля приводит к разрывам макрока-пельных агрегатов. Разрывы при увеличении поля носят пороговый характер и происходят, когда суммарная энергия двух полученных агрегатов меньше, чем энергия Б 1 одного микрокапельного агрегата до разрыва. Регулярные самоподобные структуры формируются в том случае, когда количество агрегатов возрастает настолько, что начинает проявляться их отталкивание. В этом случае каждый разрыв сопровождается изменением периода решетки.

Разработанная модель позволяет получать графическое изображение решетки и вычислять ее параметры как для монодисперсных, так и для полидисперсных систем.

Для монодисперсных коллоидных систем получены пороговые многократные изменения периода структуры, а в случае полидисперсных систем разрывы отдельных агрегатов происходят не одновременно при увеличении поля, и период структуры уменьшается плавно.

Для моделирования самоподобных периодических структур использован итерационный метод, повторяющий следующие две операции:

1 . Проверяется стабильность агрегата по отношению к разрыву по неравенству

2 ^ + ^; < ^ , ( 1 ) где Б2 - энергия микрокапельного агрегата после разрыва; Б 1 и Б2 определены как энергии намагниченных эллипсоидов в магнитном поле; Б 1 2 - энергия взаимодействия двух агрегатов, полученных в результате разрыва:

^2=-; м0м2 я3со;е- 1 ^ ^.

Если неравенство ( 1 ) выполняется, агрегат разрывается на две одинаковые части. Процесс продолжается до тех пор, пока все агрегаты, размеры которых удевлетворяют условию ( 1 ), будут разделены. Двойной интеграл (2) определяется методом Монте-Карло.

Метод Монте-Карло позволяет брать интегралы любого порядка с точностью, зависящей лишь от числа точек, а не от порядка интеграла. Точки выбираются случайным образом внутри микрокапельных агрегатов. Если все точки содержатся внутри агрегатов, то в декартовой системе координат двойной интеграл определяется по формуле:

Зсоэ2©

ЯЗсоэ ^

Я3 '"г" 2 N¿1 Я3

О,О, г=! 1

^ 3сов^ 1,

1 2 АТ^ О3

где а = jjdV1 - произведение объемов эллипсоидов.

2

о1о2

Для вычисления интеграла перейдем к сферическим координатам. Учитывая, что микрокапельные агрегаты представляют собой в отсутствии внешнего магнитного поля сферы, переходим от эллиптических капель к сферическим. Для этого вводим пропорциональные коэффициенты по осям координат а (г) и Ь (х, у) так, чтобы получившиеся новые координаты лежали в пределах полусфер единичного радиуса.

к = а; хг = Ь;уг = у'г Ь; г = г,'• а Ь

Ь = I '• Ь,

Я ' = -у1

сое ' 0 =

Я

Я = ц ^^(

о1о2 о1о2 '

Для получения независимых координат перейдем к сферическим координатам при помощи коэффициентов перехода, выраженных следующим образом:

У = п1 зп

у' = п зт

2 = П1 СС«

Перевод дифференциалов ёУ; в новую систему координат производится при помощи коэффициентов перехода от декартовой системы координат к сферической. Части интеграла (4) можно записать в виде:

Р' =

сов' =

(П11 в/п() соэ(2ппз1) •ь - П12 в1'п(пп22) сов(2ппз2) • Ь + I'-ь) +(П11 в/п(пп21) в/п(2ппз1) • Ь -П12 в/п(пп22) в/п(2ппз2) • ь)2 +(П11 сов(пп21) • а -П12 сов(пп22) • а) П11 сов(пп21) • а -П12 сов(пп22) • а

2

1/2

Р'

с^ = (П1.2 в/п(ПП2,) ^П1^П2^Пз|) Вынося за скобки общие множители, получим следующие выражения:

Ь2 • (П11 З1п(пп21) С0в(2ппз1) - П12 з!П(пп22 ) С0в(2лПз2) +1') +Ь2 • (П11 ^(п^) Э1п(2ппз1) - П12 Э1п(пп22) э!п(2ппз2 ))* +

(

Р' =

21

+а2

соэ' 0 =

• (п-ц С0э(пП21)- П12 С05(ПП22 ))2

(ТЦ С°в(пП21 ) -ГЬ2 С0в(пП22 )) Р

=

о, о2

(К)2

VI 12

2

^1^2, Пз, П12П22Пз2 ^

где Пг- изменяются в пределах 0.. 1 .

Ш ШIП11 ) к ) 81п(пп21 )Ьш22 )3(°08('())-1 ^ 121 ¿V 1222^

(К)2

/ 22 /32

2. Производится поиск конфигурации микрокапельных агрегатов с минимальной энер-

гией взаимодействия. Для этого определяется положение капли, при перемещении в которое энергия всей решетки уменьшается. Изменение положения капель продолжается до тех пор,

пока уменьшается энергия.

Построенная математическая модель использует следующие положения:

1 ) изменения интенсивности внешнего равномерного магнитного поля Н квазистатич-

ны;

2) потоками внутри жидкости можно пренебречь;

+

+

111111

Дроздова В.И., Кушнарев В.В., Шагрова Г.В.

«Моделирование гексагональных намагничивающихся самоподобных структур.»

3) намагниченностьМжидкости - линейная функция напряженности магнитного поля;

4) форма свободной поверхности близка к эллипсоиду;

5) температура постоянна;

6) массообменом в жидкости можно пренебречь.

На рис. 1 приведена микроструктура, полученная с помощью данной модели. На рис. 2 представлена фотография гексагональной структуры, полученная экспериментально при 900-кратном увеличении.

Рис. 1 . Структура, полученная при моделировании. Рис. 2. Фотография гексагональной структуры.

Найденные значения напряженности внешнего магнитного поля, при которых происходит разрыв капель и гистограмма размеров капельных агрегатов при текущих параметрах образца и внешнего поля регистрируются в соответствующих окнах приложения. На рисунке 3 приведены соответствующие окна для отображения: полученной в результате моделирования гексагональной структуры; значений напряженности поля разрыва капель; гистограмма размеров.

При моделировании установлено существование области критических значений напряженности магнитного поля, при которых построенная решетка сначала может иметь вид квадратной, и лишь с увеличением напряженности поля решетка перестраивается в гексагональную, так как в результате разрывов капель происходит уплотнение упаковки.

Для построения графиков зависимостей среднего периода решетки от напряженности магнитного поля применяется программа ТОга1:Хт, которая использует для построения данные из файлов, получаемых при расчете по модели.

Если структура образца близка к монодисперсной, то в модельном эксперименте разрывы происходят в небольшом диапазоне значений напряженности магнитного поля, а при эксперименте на реальном образце это воспринимается как один разрыв. В промежутках между разрывами образец остается стабильным, его структура определяется минимумом энергии взаимодействия капель и период решетки не изменяется.

На рис. 4 показана зависимость среднего периода решетки от значения внешнего магнитного поля для близкого к монодисперсному образца.

Если размеры капельных агрегатов в образце изначально имеют большой разброс, то разрывы происходят практически на каждой итерации напряженности поля и производят впечатление плавного изменения периода решетки. Однако после множественных разрывов образец становится близок к монодисперсному, так как размеры капель имеют меньший разброс и на графике (рис. 5) становятся более выраженными области стабильной конфигурации, которые представлены горизонтальными линиями.

Рис. 3. Окна приложения с результатами моделирования.

Рис. 4. Зависимость среднего периода решетки от значения внешнего магнитного поля для образца с размерами агрегатов отличающимися не более чем на 1 5%.

и

У 'Ч Дроздова В.И., Иушнарев В.В., Шагрова Г.В.

ГЙИИ «Моделирование гексагональных намагничивающихся самоподобных структур.»_

Модель решетки для полидисперсного образца при визуальном наблюдении ведет себя следующим образом:

- при увеличении напряженности магнитного поля разрывам сначала подвергаются отдельные крупные капли, что практически не сказывается на общей картине распределения,

- при дальнейшем увеличении поля доля капель, одновременно подвергающихся разрыву, растет, что приводит к появлению гексагональной решетки и заметному уменьшению ее периода.

¿

Рис. 5. Зависимость среднего периода решетки от значения внешнего магнитного поля для сильно полидисперсного образца.

В работе [5] экспериментально установлено, что нагревание не тренированного образца от 293 К до 323 К приводит к уменьшению межфазного натяжения. По экспериментальным данным получена полиномная аппроксимация зависимости а от Т. Эта зависимость использована при моделировании температурной стабильности гексагональных намагничивающихся самоподобных структур для одного и того же образца, содержащего микрокапельные агрегаты при различной температуре. На рисунке 6 показана полученная при моделировании зависимость периода структуры монодисперсного образца, содержащего микрокапельные агрегаты для трех различных температур. Параметры образца следующие: магнитная проницаемость микрокапельных агрегатов 60, намагниченность насыщения 70 кА/м, а = 6-10 7 Н/м, изменяется в соответствии с найденными зависимостями коэффициента межфазного натяжения от температуры [5]. Толщина плоского слоя 2,76-10 5 м, начальный диаметр микрокапель - 4,8-10 6м. Кривая 1 соответствует 293 К, кривая 2 - 305 К, кривая 3 - 323 К.

d, м*10

24-I--

1

19

— 3

14

Н, А/м*102

6 9 12 15

Рис. 6. Период решетки при различных температурах монодисперсного образца. Кривые 1, 2, 3 соответствуют 293 К, 305 К, 323 К.

В результате моделирования установлено понижение стабильности гексагональных самоподобных структур при нагревании.

Результаты модельного эксперимента вполне согласуются с данными, полученными на реальных образцах [3]. Программа написана на языке С++ с использованием среды разработки Dev-C++ 4.9.9.0 и компилятора gcc version 2.95.2 19991024 (release) (порт MinGW32 3.3.0).

ЛИТЕРАТУРА

1. Bacri J.C., Satin D. Optical Scattering on Ferroftuid Agglomerates // J. Physique-LETTRES. -1982. - V.43. -N2.-P.L. 771 - L. 777.

2. Berkovsky B.M., Kalikmanov V.I. Topological Instability of Magnetic Fluids//J.Physique-LETTRES.-1985.-V.46.-P.L-483 - L-491.

3. Дроздова В. И., ШагроваГ.В. Магнитные нестабильности микрокапельных агрегатов в переменном магнитном поле /Магнитная гидродинамика. 1994. -N2. - С.188-193

4. Дроздова В. И. Дифракция света на гексагональной микрокапельной решетке, образованной в поле магнитной головки. // VI Всесоюзная конференция по магнитным жидкостям. -М..МГУ, 1991. -Т.1.- С. 126-127.

5. Дроздова В. И., Кушнарев В. В., Шагрова Г. В. Температурные зависимости межфазного

натяжения и вязкости микрокапельных агрегатов // 11-я Международная Плесская конференция по магнитным жидкостям. -Сентябрь, 2004, Плесс, Россия, Сборник научных трудов, Ивановский государственный университет. - С. 214-219.

Об авторах

Дроздова Виктория Игоревна - доктор физико-математических наук, профессор, заведующая кафедрой Информационных систем и технологий Северо-Кавказского государственного технического университета. Сфера научных интересов: математическое моделирование и исследование структуры и физических свойств магнитных коллоидов, применение информационных и коммуникационных технологий в образовании и научных исследованиях.

Кушнарев Виталий Викторович, ассистент кафедры Информационных систем и технологий

и

цнц Дроздова В.И., Иушнарев В.В., Шагрова Г.В.

ГЙИИ «Моделирование гексагональных намагничивающихся самоподобных структур...»

Северо-Кавказского государственного технического университета. Сфера научных интересов: математическое моделирование и исследование структуры и физических свойств магнитных коллоидов, применение информационных и коммуникационных технологий в образовании и научных исследованиях.

Шагрова Галина Вячеславовна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры

ИТОиУ Ставропольского государственного университета. Сфера научных интересов: математическое моделирование и исследование структуры и физических свойств магнитных коллоидов, применение информационных и коммуникационных технологий в образовании и научных исследованиях.