Стереометрия с компьютером

Дубровский Владимир Натанович

СТЕРЕОМЕТРИЯ С КОМПЬЮТЕРОМ

Вопрос, который автору приходилось слышать чаще всего на встречах с учителями, посвященных электронным обучающим изданиям, - какие у вас есть материалы по стереометрии? Это неудивительно: с одной стороны, стереометрия - область школьной математики, вызывающая у учеников наибольшие проблемы, а с другой, - благодаря возможностям трехмерной графики, именно эта область представляется одним из самых очевидных направлений приложения компьютерных обучающих средств.

МОДЕЛИ В ПРЕПОДАВАНИИ СТЕРЕОМЕТРИИ

—__LL

Приступая в 10 классе к изучению нового раздела геометрии - стереометрии, учащиеся, имевшие дело в 7-9 классах с геометрией на плоскости, испытывают серьезные затруднения при переходе из плоскости в пространство, хотя, казалось бы, новый предмет можно начать «с чистого листа». «Лишнее» измерение создает особенные сложности в начале изучения стереометрии, когда учащиеся сталкиваются с необходимостью представить себе столь абстрактные понятия, как бесконечно протяженные прямая и плоскость в пространстве, которым посвящено большинство теорем и задач курса 10 класса.

Второе затрудняющее школьников обстоятельство - как подойти к доказательству теоремы или решению зачастую весьма абстрактной задачи. А проблема учителей - как научить школьников находить нужный подход. Дело в том, что хотя геометрическое, пространственное воображение присуще некоторым школьникам, но таких не так уж много. Большинству школьников требуется помощь в развитии умения представлять и изображать стандартные стереометрические конфигурации; их приходится как-то обучать геометрическому видению - пониманию теорем и условий задач, сформулированных словесно.

Именно поэтому учителя охотно используют наглядные пособия на уроках стереометрии. Модели параллелепипеда, пирамиды, правильных многогранников можно найти в большинстве кабинетов математики. При этом чаще всего такие «реальные» модели используются с чисто иллюстративной целью: все, что с ними можно делать - это разглядывать с разных сторон. Но возможно ли запастись моделями для всего разнообразия решаемых на уроках задач? Вопрос риторический.

Отсюда повышенный интерес к виртуальному трехмерному моделированию и его применениям в школе.

МОДЕЛИ-ИЛЛЮСТРАЦИИ , И МОДЕЛИ-ИНСТРУМЕНТЫ

Имеется много хорошо себя зарекомендовавших программ трехмерной графики, таких как 3D Max и др., в кото-

рых можно создавать красивые и выразительные модели пространственных конструкций. Существует и несколько электронных курсов стереометрии, использующих модели такого сорта. С дидактической точки зрения эти виртуальные модели вполне аналогичны реальным - из пластика или металла: основная их функция - в демонстрации тех или иных пространственных фигур и их комбинаций. И с этой функцией они справляются вполне успешно, достигая высокого трехмерного эффекта. При этом виртуальные объекты гораздо более гибки и разнообразны, а некоторые «стереометрические конструкторы» позволяют и строить их самостоятельно, что весьма полезно (правда, интерфейс таких конструкторов весьма громоздкий).

В то же время, область применения иллюстративных, демонстрационных моделей ограничена. Они помогают лучше понять определения, формулировки теорем и задач. Но развитию пространственного воображения они способствуют лишь на первом этапе. Более того, постоянно снабжая ученика готовыми, пусть очень красивыми и правильными рисунками, тем более 3Э моделями, мы в конце концов начинаем тормозить дальнейшее совершенствование этого навыка, а некоторые задачи вообще почти теряют смысл, если дать к ним готовый рисунок. Вот пример такой задачи:

Найдите объём пересечения двух правильных тетраэдров объема 1, каждыш из который симметричен другому относительно середины1 (их общей) вы1соты1.

Самый главный и трудный момент решения - понять, что представляет собой рассматриваемое пересечение (подсказка: параллелепипед). После того как вид пересечения установлен, вычисления уже не вызывают серьезных трудностей. Поэтому показать правильный чертеж к этой задаче - почти все равно, что сразу объяснить ее решение.

Когда, как и в каком объеме нужно использовать хорошо выполненные готовые иллюстрации (рисунки, реальные или виртуальные модели) в преподавании стереометрии - это отдельный методический воп-

рос, которого мы подробно касаться не будем. Наша основная цель - рассказать о виртуальных моделях стереометрических конструкций другого, инструментального типа, которые открывают перед учителем и учеником новые возможности, базирующиеся прежде всего на высокой интерактивности. Учащиеся получают двумерное изображение пространственной фигуры (каковым и является виртуальная модель), являющееся и объектом, и инструментом, и средой конструирования и исследования. Важнейшей отличительной чертой этих моделей является то, что при работе с ними можно в любой момент произвольно изменить ракурс изображения. Тем самым в одном изображении сочетаются двумерное и трехмерное представления фигуры. Фактически учащийся имеет дело с обычным двумерным представлением фигуры и при этом может выполнять на этом изображении те же операции, что и в своей тетрадке на уроке (дополнительные построения и др.). Но в любой момент построения можно как бы «перейти в 3Э режим», то есть попросту включить виртуальное вращение конструкции вокруг одной или нескольких осей, а также некоторые другие эффекты, создающие ощущение трехмерности. Выбрав новый ракурс изображения по ходу вращения, можно продолжить построения и другую работу с моделью.

Очевидно, что работа в такой «квазитрехмерной среде» отлично развивает пространственное воображение. Появляется возможность по-новому ставить и решать задачи на построение в пространстве, причем проверка правильности решения обеспечивается самой возможностью взглянуть на конструкцию с разных сторон. Да и другие виды задач и методы их решения при переносе на интерактивные модели получают новое качество; в первую очередь здесь следует отметить задачи на метод проекций. Конкретные примеры приведены ниже. В основном они взяты из нового образовательного комплекса «Математика, 5-11 кл.» [1], а также из разрабатываемого в настоящее время набора «стереочертежей» к учебнику геометрии 10-11 кл. Эти модели построены в сре-

де The Geometer's Sketchpad (GSP)1, в основном, 4-й версии. Третья версия этой программы, как и аналогичная программа Cabri, тоже обладают достаточно большими «трехмерными возможностями».

ПРИМЕРЫ ЗАДАНИЙ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ ТРЕХМЕРНЫХ ЭФФЕКТОВ

Задачи на построение сечений.

Этот вид заданий наиболее востребован, потому что построение сечений входит в стандартную школьную программу, но обычно вызывает у школьников немалые затруднения. Открыв задание, школьник видит привычный чертеж - точно такой же, какие он видит в учебнике и рисует в своей тетради; например, призму и три точки на ее поверхности, через которые нужно провести секущую плоскость. Построение тоже производится как обычно - проводятся прямые, находятся точки их пересечения и т. д. (на рисунке 1 показано уже завершенное построение сечения методом следов; «главный» след показан жирной линией).

Отличие состоит в том, что упомянутый выше встроенный в скетч 2 «механизм» позволяет в любой момент построения повернуть всю конфигурацию вокруг одной из двух осей и продолжить построение, глядя на нее с другой стороны. Благодаря этому, можно непосредственно увидеть, пересекаются ли две прямые в пространстве или скрещиваются, и избежать наиболее распространенной ошибки - построения точки пересечения скрещивающихся прямых. Кроме того, включив вращение конструкции после того, как сечение построено, можно проверить правильность построения: верно построенное сечение в некотором положении превращается в отрезок. При этом происходит (имитируется) постоянный переход от пространственной фигуры к ее изображению на плоскости. В какой-то степени можно сказать, что построение производится непосредственно в пространстве, что как раз и служит главным фактором развития пространственного воображения.

Первый опыт работы с этими заданиями показал, что ими охотно пользуются и учителя, и ученики. По словам последних, решать задачи на сечения в компьютерной форме заметно проще. Значит, свою роль -облегчить изучение методов построения сечений - эти задания выполняют.

Г

Д Вращать

Рисунок 1.

Рисунок 2.

1 В России программа русифицирована Институтом новых технологий (Москва) и распространяется под названием «Живая геометрия». Прим. ред.

2 Термин из ОЗР, который можно интерпретировать как динамическую электронную страничку. Прим. ред.

Проверьте себя:

Рисунок 3.

«Проволочные головоломки» (рисунок 3).

Так мы называем серию заданий, относящихся скорее к области занимательной математики. Ее прообразом стали задания, опубликованные много лет назад на 4-й странице обложки журнала «Квант». Требуется восстановить фигурку (пространственную ломаную, вписанную в куб) по ее трем проекциям на координатные плоскости. Особенностью компьютерной версии является то, что программа предоставляет возможность непосредственно строить искомую фигуру в кубе, а затем, пользуясь «механизмом поворотов», посмотреть на три ее проекции.

Задачи на метод проекции.

Основной способ решения стереометрических задач - сведение их к планиметрическим. Для этого есть два пути. Первый - пе-

Исходное положение |

Рисунок 4.

ресечь данную пространственную фигуру подходящей плоскостью и рассмотреть возникающее пересечение. Это метод сечений. Второй -

метод проекции - состоит в проектировании фигуры на подходящую плоскость (см. [2]). При этом, в зависимости от задачи, может применяться как ортогональная, так и более общая параллельная проекция. Разумеется, в конкретных ситуациях любой из двух методов может оказаться более эффективным. Отметим, однако, что метод проекций имеет то преимущество, что он позволяет отобразить на одном чертеже и увязать друг с другом элементы фигуры, не лежащие в одной плоскости. При этом метод проекций идеально реализуется с помощью моделей, о которых мы здесь говорим - ведь изображение фигуры на экране и есть ее проекция, а нужный ракурс выбирается соответствующими поворотами. Рассмотрим примеры.

Пример 1 (рисунок 4). Плоскость, проходящая через середины М и N ребер АВ и СИ тетраэдра А ВС О, пересекает ребра АС и ВБ в точках К и Ь. Доказать, что АК : КС = ВЬ : ЬБ.

Для доказательства достаточно «посмотреть на пирамиду вдоль прямой ММ», то есть построить проекцию пирамиды вдоль этой прямой или, на модели, повернуть пирамиду так чтобы изображения точек М и N совпали (рисунок 5). Ясно, что в этой проекции тетраэдр изображается параллелограммом, а сечение - отрезком, проходящим через его центр. Теперь утвержде-

Рисунок 5.

ние стало очевидным.

р

в

Б

Рисунок 6.

Заметим, что в мо- А

дели используется ортогональная проекция, но в этой задаче можно обойтись параллельной проекцией: построить изображение, аналогичное показанному на рисунке 4, и непосредственно перетащить точку М в точку N. Важно, что при параллельной проекции прямые остаются прямыми, а отношения, в которых делятся отрезки, сохраняются.

Пример 2 (рисунок 6). Найти расстояние между скрещивающимися диагоналями двух смежных граней куба с ребром 1.

Эта задача метрическая и здесь нужна ортогональная проекция. Возьмем плоскость, перпендикулярную одной из диагоналей, например, АВ. Она параллельна общему перпендикуляру й к диагоналям, поэтому его длина сохраняется при проекции на эту плоскость. С другой стороны, при этой проекции сохранится и перпендикулярность й ко второй диагонали CD. Поэтому мы поворачиваем куб так, чтобы точки А и В совпали (рисунок 7); он изобразится прямоугольником высоты 1 и ширины . Искомая величина равна высоте треугольника АСБ на этом рисунке.

Подчеркнем, что в приведенных задачах самих по себе нет никакой особой компьютерной специфики. Виртуальная модель призвана сыграть здесь роль ступеньки, взобравшись на которую, ученику будет гораздо проще шагнуть еще выше и научиться решать аналогичные и гораздо более сложные задачи с карандашом и бумагой. Модели могут и должны помочь в поиске нужного ракурса, они позволяют и непосредственно измерить приближенные значения искомых величин, но окончательной стадией работы должно быть «обычное» решение с полным обоснованием и расчетами.

Еще один обширный класс заданий, продолжающих линию задач на сечения -

Б

А

Рисунок 7.

это разнообразные задачи на построение. Учащимся предоставляется «шаблон» -вращающееся изображение какой-либо пространственной фигуры. Требуется достроить его до какой-то заданной фигуры или комбинации тел, либо модифицировать его так, чтобы получить изображение фигуры с точно заданными свойствами. Вот примеры таких заданий: построить пересечение двух тетраэдров из задачи, приведенной в начале статьи; правильную треугольную пирамиду по углу между боковыми гранями (в шаблоне разрешается изменять только высоту пирамиды); додекаэдр на основе куба (и вообще, Платоновы и архимедовы тела) и др.

Почти любую задачу по стереометрии можно оформить как задачу на построение, попросив начертить фигуру, о которой в ней говорится. А особенно интересно школьникам самостоятельно построить «трехмерные» модели. Ниже мы объясняем, как это делается.

ТЕХНОЛОГИЯ ЭБ ЭФФЕКТОВ

Коротко остановимся на технологии создания 3Э графики в вБР. «Трехмерность» модели обеспечивается такими средствами:

- возможностью динамического изменения ракурса изображения (эффект вращения);

- правильным изображением видимых и невидимых элементов (вершин, ребер,

граней), например, невидимые ребра можно показывать пунктиром или вообще не показывать;

- перспективой (центральной проекцией; для большего эффекта центр проекции также можно сделать управляемым);

- имитацией освещенности.

Эффект вращения.

Достаточно построить изображение вращающегося базиса (тройки ортогональных единичных векторов ОЛ , ОБ , ОС). Тогда для построения изображения любой фигуры достаточно научиться «привязывать» ее точки к базису -они будут повторять все его эволюции. Например, чтобы построить треугольную призму с основанием ОЛБ и боковым ребром ОС, достаточно достроить треугольники ОЛС и ОБС до параллелограммов (см. рисунок 8). Следует учитывать, что построение должно сохраняться при всех положениях базиса. Но если для построения точки Л' использовалась прямая, параллельная ОС, то эта точка вместе со всеми ее возможными «потомками» исчезнет в положении, когда точки О и С совпадают (вид призмы сверху). Поэтому предпочтительнее аналитический подход: зная координаты точки Л' в нашем базисе (они равны (1;0; 1)) и координаты концов базисных векторов на плоскости проекции (то есть на экране), можно вычислить координаты изображения точки Л' на экране и построить его по координатам.

Как же заставить вращаться базис? Опишем простейший способ.

Допустим, что первоначально точка O лежит в плоскости проекции, векторы ОБ и ОС лежат в плоскости проекции и направлены вправо и вверх (можно считать, что этот базис совпадает с базисом стандартной системы координат среды GSP), а вектор ОА перпендикулярен плоскости проекции; такой базис будем называть начальным. Повернем базис вокруг горизонтальной прямой PQ (см. рисунок 9) на угол a, а затем вокруг оси OC. Как ясно из рисунка, вектор ОС образует угол a с плоскостью проекции, поэтому проекция C точки C лежит на вертикальной прямой, проходящей через O, и OC = cos a. (Если угол a тупой, то вектор ОС ' будет направлен вниз.) Построение проекции Б' точки Б иллюстрируется рисунком 10 (проекция точки А строится аналогично). Пусть Б0 - точка, в которую попадет Б, если повернуть плоскость OAB = PQБ до совмещения с плоскостью проекции. Приблизим точку Б0 к прямой PQ с коэффициентом cos (90o- a) = sin a - это и будет точка Б' (то есть на рисунке КБ': КБ0 = КБ': КБ = sin a). Само построение выглядит примерно так, как на рисунке 11: в единичной окружности с центром O проводятся перпендикулярные радиусы OA0 и OB0, к ним применяется сжатие к диаметру PQ с коэффициентом sin a. Чтобы изменять положение базиса «на лету», строятся два «круговых бегунка». В качестве такого бегунка можно взять пару точек на фиксированной окружности, одна из

--"с' /Дс

плоскость

проекции б

O

6 \Ч

Рисунок 8.

Рисунок 9.

Рисунок 10.

Q

P

которых закреплена, а другую можно перемещать по окружности мышью. Угловая величина дуги между этими точками на одном из бегунков берется в качестве а; при ее изменении базис вращается вокруг оси PQ. Второй бегунок контролирует движение точек А0 и В0 по окружности, то есть вращение базиса вокруг оси ОС.

Совсем легко добавить третью ось вращения, перпендикулярную плоскости проекции; однако смысла в ней немного - эффект от нее такой же, как от поворачивания листа бумаги с чертежом на столе.

Имеется и другой способ построения вращающегося базиса - координатный: мы вычисляем пространственные координаты векторов базиса, полученного из начального после нескольких поворотов, углы которых определяются бегунками, а оси задаются заранее, и строим проекции векторов по этим координатам (координаты проекции вектора просто совпадают с двумя последними его собственными координатами). Этот способ открывает гораздо большие возможности. В частности, удается построить модели, в которых можно повернуть фигуру, затем выбрать новую ось и повернуть фигуру вокруг этой оси и т. д., причем каждый раз новую ось можно выбирать произвольно. (Для этого применяется специальный трюк.) Отметим, что обычно вращающиеся трехмерные модели управляются непосредственно: курсор помещается в любое место фигуры и она поворачивается вслед за перемещением курсора. Такой способ управления более пригоден для иллюстратив-

Русунок 11.

ных моделей, но бегунки позволяют более точно задавать ее положение, а значения углов поворота можно использовать в вычислениях, так что эти модели лучше приспособлены к использованию в задачах.

Эффект невидимости.

На рисунке 12 показаны три изображения куба в одном ракурсе. Глядя на рисунок 12 а, невозможно определить, смотрим ли мы на куб сверху или снизу; а при вращении изображения вокруг вертикальной оси, нам будет казаться, что оно происходит, соответственно, то по, то против часовой стрелки. Причем «переключение» точки зрения контролировать очень сложно.

Рисунок 12.

Поэтому правильному восприятию «стереочертежей» очень способствует изображение невидимых линий пунктиром (или их отсутствие), как на рисунке 12 б, А поскольку наши модели вращающиеся, желательно обеспечить правильное чередование сплошного и пунктирного изображения каждой линии, «исчезновение» вершин и граней, попадающих на тытьную сторону фигуры. Поясним, как это делается для точек.

Пусть (a; b) - координаты «мигающей» точки P в экранной системе координат. Допустим, что мы сумели создать параметр v, который равен 1 или -1 в зависимости от того, должна ли быть видна эта точка или нет. Тогда точка P (aVv; b) будет появляться на месте точки P тогда и только тогда, когда точка P видима; саму точу P следует спрятать. Другой путь - построить Pe как образ P при гомотетии с коэффициентом л/v . Чтобы построить «мигающее ребро» PQ, параметр v определяют так, чтобы его знак зависел от видимости или невидимости ребра, строят точку Pe как выше, и точку PH( aV- v; b). Затем строится сплошной отрезок P Q и пунктирный PHQ; они будут вести себя «правильно». Аналогично можно построить и «мигающую грань», взяв в качестве одной из ее вершин точку, существование которой определяется «видимостью» грани.

Параметры видимости v лучше сначала вычислить для граней. Для этого воспользуемся возможностью измерения ориентированных углов в GSP.

На рисунке 12 б угол ABC ориентирован положительно - вращение от BA к BC производится против часовой стрелки, а угол A B' C ', в который переходит угол ABC при повороте на 180°, как и угол CBA, ориентированы отрицательно. Таким образом, ориентация угла с заданным порядком вершин зависит от того, на какой стороне тела - видимой или тыльной - находится при данном положении тела этот угол. То есть в качестве параметра видимости грани можно взять знак величины выбранного в этой грани ориентированного угла. В «координатной» версии моделей ориентированный угол можно заменить определи-

телем, составленным из координат векторов BA и BC.

Ребро или вершина многогранника видимы на изображении тогда и только тогда, когда видима хотя бы одна примыкающая к ним грань. Это замечание позволяет определить параметры видимости вершин и ребер.

Отметим, что это описание рассчитано на случай, когда каждое ребро или грань видимы или невидимы только целиком, как, например, в случае выпуклых многогранников. В случае невыпуклых тел приходится предусматривать возможные взаимоперекрытия частей непосредственно.

Перспектива.

Человеческий глаз видит окружающий мир не в параллельной, а в центральной проекции (по крайней мере, в первом приближении). Поэтому чертежи, построенные в параллельной проекции, иногда производят неловкое впечатление обратной перспективы, когда более далекий из двух равных отрезков кажется длиннее, а не наоборот. Правильное перспективное изображение куба (центральная проекция) приведено на рисунке 13. Центральную проекцию тоже можно строить геометрически или используя координаты. Пусть даны ортогональные проекции Q' и M'(y; z) центра Q и точки M с координатами (x; y; z) в начальной системе координат (где ось x перпендикулярна экрану) на плоскость экрана и расстояние от Q до этой плоскости равно а. Тогда проекцию точки M из центра Q на плоскость экрана можно получить гомотетией точки M ' с центром Q ' и коэффици-а

ентом -.

а - x

Эффект освещения.

Этот эффект, в отличие от предыдущих, можно воспроизвести только в 4-й версии «The Geometer's Sketchpad», в которой имеется возможность раскраски фигур в зависимости от числового параметра. Как изве-

стно, яркость освещения плоской фигуры пропорциональна косинусу угла между направлением света и нормалью к плоскости фигуры. Этот косинус и следует выбрать в качестве параметра. На рисунке 14 показана модель икосаэдра в перспективе и с освещением: предполагается, что свет падает сверху и равномерно со всех сторон.

Рисунок 13.

Рисунок 14.

2003.

Литература.

1. Образовательный комплекс «Математика, 5-11 классы. Практикум», ЗАО «1С»

2. Дубровский В.Н. «Неожиданный ракурс», «Квант» № 2, 1980.

© Наши авторы, 2003. Our authors, 2003.

Дубровский Владимир Натанович, кандидат физико-математических наук, доцент СУНЦ МГУ, член редколлегии журнала «Квант», научно-методический руководитель и главный редактор математических образовательные проектов фирмы1 1С.