Формирование ожиданий в моделях с гетерогенными агентами и эндогенной нормой временных предпочтений

Математические методы и модели

УДК 332.012.2+332.1

ФОРМИРОВАНИЕ ОЖИДАНИЙ В МОДЕЛЯХ С ГЕТЕРОГЕННЫМИ АГЕНТАМИ

И ЭНДОГЕННОЙ НОРМОЙ ВРЕМЕННЫХ ПРЕДПОЧТЕНИЙ

Леонид Александрович Серков,

кандидат физико-математических наук, доцент, заведующий кафедрой прикладной информатики, Уральский институт бизнеса, Екатеринбург, Российская Федерация dsge2012@mail.ru

Предмет/тема. Одним из недостатков динамических стохастических моделей общего равновесия является формирование ожиданий в этих моделях репрезентативными агентами с постоянной нормой временных предпочтений, т.е. субъектами рынка, поведение которых отражает в среднем поведение индивидуальных агентов, выполняющих на рынке одинаковую функцию. Поэтому актуальным является рассмотрение процесса формирования ожиданий в моделях с гетерогенными агентами и с эндогенной нормой дисконтирования.

Цели/задачи. Целью авторского исследования является изучение влияния эндогенной нормы временных предпочтений на динамику стохастических моделей с гетерогенными агентами с помощью алгоритма формирования ожиданий, ассоциируемого с обучением агентов методом проб и ошибок.

Методология. С помощью математического моделирования исследовано влияние эндогенной нормы временных предпочтений на волатильность переменных в динамической стохастической модели с гетерогенными агентами и на сходимость алгоритма формирования ожиданий в этих моделях. Источником гетерогенности в исследуемой модели являются идиосинкратические шоки доходов агентов. Наряду с этими шоками агенты испытывают агрегированные технологические шоки.

Результаты. В результате исследования получены результаты по декомпозиции дисперсии

эндогенных переменных. Также проанализирована сходимость алгоритма формирования ожиданий. Показано, что наличие обратной связи для нормы временных предпочтений приводит к снижению во-латильности исследуемых переменных. Кроме того, в моделях с эндогенной нормой временных предпочтений скорость схождения алгоритма формирования ожиданий значительно превышает скорость схождения алгоритма в моделях с постоянной нормой временных предпочтений.

Выводы/значимость. Полученные результаты могут представлять интерес при анализе крупномасштабных моделей общего равновесия, являющихся одним из основных инструментов макроэкономического анализа. Вывод о механизме формирования ожиданий в моделях с гетерогенными агентами может быть полезен при эконометрическом анализе экономических систем.

Ключевые слова: гетерогенные агенты, ожидания, эндогенная норма временных предпочтений, обучение методом проб и ошибок

В работе автора [3] была cформулирована идея о том, что формирование ожиданий на основе адаптивного обучения при ограниченной информации является одним из механизмов самоорганизации ожиданий экономических агентов на микроэкономическом уровне. Саморазвитие этого процесса

определяет эволюцию экономическом системы на макроэкономическом уровне [2, 4]. Все результаты, представленные в работе [3], относятся к формированию ожиданий репрезентативными агентами, т.е. субъектами рынка, поведение которых отражает в среднем поведение индивидуальных агентов, выполняющих на рынке одинаковую функцию. Данный принцип является одним из недостатков динамических стохастических моделей общего равновесия (DSGE-моделей), в которых он используется, так как представляет собой, по сути, методологический редукционизм, сводящий сложные экономические системы к отдельным элементам. Поэтому интересно рассмотреть процесс формирования ожиданий на примере моделей с гетерогенными агентами. В данной статье показано, что формирование (самоорганизация) ожиданий в подобных моделях может ассоциироваться с обучением индивидуальных агентов методом проб и ошибок.

Исследование DSGE-моделей с гетерогенными агентами вызывает затруднения в связи с тем, что кроме идиосинкратических шоков (несистемные шоки, связанные с различием в индивидуальных доходах экономических агентов) агенты испытывают системные агрегированные шоки (например, технологические шоки). Наличие агрегированных неопределенностей приводит к зависящей от времени функции распределения доходов индивидуальных агентов, т.е. к переменным состояния бесконечной размерности. Для анализа подобных моделей необходима соответствующая аппроксимация функции распределения, приводящая к принятию решений экономическими агентами в условиях ограниченной информации.

Следует отметить, что исследованию моделей с гетерогенными агентами при наличии агрегированной неопределенности посвящено немало работ, в том числе [5, 7, 12-15, 17]. Особенностью всех цитируемых работ является предположение о постоянстве нормы временных предпочтений (нормы дисконтирования) для всех индивидуальных экономических агентов, сглаживающих свое потребление. Данное предположение, по мнению автора, является необоснованным для агентов с различными индивидуальными доходами. Поэтому целью авторского исследования является изучение влияния эндогенной нормы временных предпочтений на динамику стохастических моделей с гетерогенными агентами с помощью алгоритма формирования ожиданий, ассоциируемого с обучением агентов методом проб и ошибок.

Исследуется динамическая стохастическая модель общего равновесия с агрегированным шоком производительности, подобная моделям, описываемым в упомянутых ранее работах. Она описывает экономику с неполными рынками, агрегированной неопределенностью и с бесконечным числом экономических гетерогенных агентов (домашних хозяйств). Источником гетерогенности являются идиосинкратические частично не страхуемые шоки доходов агентов. Агенты могут частично страховать сами себя против рисков уменьшения доходов, создавая определенные запасы капитала.

В описываемой модели с эндогенной нормой временных предпочтений индивидуальные агенты являются составной частью континуального множества единичной массы (агенту присваивается индекс i е [0,1]). В каждом периоде времени , агенты решают задачу максимизации ожидаемой дисконтированной суммы значений функции полезности

и С, К):

оо

{cif,k",f+i,} t =o

е„+1 =Р* с, К)ей, ею = 1, г > о,

где с. - индивидуальный уровень потребления

и

агента;

kit - запас капитала агента на начало периода; К, - затраченное на труд количество часов каждым агентом; Е{ - оператор ожиданий; Et - фактор субъективных предпочтений; Р., (сй, К) - эндогенная норма временных предпочтений.

Бюджетное ограничение этой задачи для индивидуальных агентов записывается в следующем виде:

сш + К,м = г

Для упрощения будем считать в дальнейшем время, затраченное на труд, одинаковым для всех агентов. Кроме того, уровень занятости будем считать равным единице (100%). Фактор субъективных предпочтений еи изменяется в соответствии с уравнением (2), где эндогенная норма временных предпочтений р (с, К) (индексы , опущены) удовлетворяет соотношениям р^ < 0, в > 0 (в, в - производные функции р (с, К) по переменным с, К)1.

1 При постоянной норме временных предпочтений Р(с, К) = Р из уравнения (2) следует, что ед = р^

Норма прибыли от капиталовложений г (К, ^, zt) и заработная плата индивидуального агента м/( К(, Ь, zt) являются функциями от агрегированных значений капитала К( (на одного агента), затрат времени на труд ht (как отмечалось ранее, ht = hi) и агрегированного технологического шока z Различие в трудовых доходах агентов обеспечивается наличием идиосинкратических шоков е1и ~ N(0, с1). Параметр 5 в бюджетном ограничении (3) является нормой обесценения капитала.

Фирмы действуют в интересах собственников -агентов на конкурентных рынках. Технология фирм описывается производственной функцией Кобба - Дугласа Х{ = ztKa , где а и 1 - а - доли факторов производства в общем объеме выпуска. При этом арендная стоимость капитала для фирм (норма прибыли от капиталовложений для агентов) г (К,\, zt) = а zt(Kt / Ь)а-1 и стоимость труда ^(К,\,zt) = (1 -а)zt(К /)а. Агрегированный технологический шок zt является экзогенным стохастическим процессом и изменяется в соответствии с авторегрессионным уравнением

^ =

где р- коэффициент сглаживания, 0 <р< 1,

е^ ~ N(0,о2).

Как уже отмечалось, для решения задачи оптимизации (1)-(4) необходима соответствующая аппроксимация функции распределения доходов (запасов капитала) индивидуальных агентов. В предлагаемой публикации используется подход, предложенный авторами работ [14, 15] и заключающийся в замене динамики функции распределения доходов динамикой моментов этой функции. Этот подход ассоциируется с алгоритмом формирования ожиданий путем обучения агентов методом проб и ошибок (более подробно алгоритм рассматривается далее). В общем случае функция распределения характеризуется статистикой моментов т = (т1, т2,..., тг), где I- порядок момента. Авторы работ [14, 15] показали, что игнорирование моментов порядка выше первого приводит к экстремально малой ошибке. Поэтому рассмотрим простейший случай аппроксимации динамики функции распределения запасов капитала индивидуальных агентов динамикой ее первого момента, т.е. агрегированного капитала К. Таким образом, для решения задачи оптимизации к условиям (1)-(4) необходимо добавить воспринимаемый агентами закон изменения агрегированного капитала Кг = f (Кг-1, zt). Если при адаптивном обучении для формирования ожиданий

репрезентативные агенты прогнозировали значения впередсмотрящих переменных [3], то в исследуемой модели с гетерогенными агентами последние делают предположение о законе движения агрегированной переменной (капитала). Так как этот закон движения одинаков для всех индивидуальных агентов, то агенты считаются ex post гетерогенными и ex ante идентичными (репрезентативными).

Как и при адаптивном обучении [3, 8-10, 21], для воспринимаемого агентами закона изменения агрегированного капитала в подходе авторов работ [14, 15] используются сокращенные формы линейных функций. Для решения задачи оптимизации будем использовать воспринимаемый закон изменения агрегированного капитала в следующем виде [7]:

Kt=b0+bKKt_l+bs(zt-z), (6) где b0, bK, bz - параметры, характеризующие убеждения агентов относительно закона изменения агрегированного капитала; они могут изменяться при обучении методом проб и ошибок. z - стационарное (долгосрочное) детерминированное состояние технологического шока z Рассмотрим пошагово алгоритм, описанный в работе [14], применительно к исследуемой модели.

1. Задаем начальный вектор параметров убеждений агентов b из компонент b0, bK, bz. Генерируем временную последовательность агрегированного шока zt длиной T. Задаем начальные значения запасов капитала kjt для N индивидуальных агентов. Генерируем для каждого агента временную последовательность идиосинкратического шока длиной T.

2. Для заданного вектора параметров b и закона изменения агрегированного капитала (6) решаем задачу (1)-(6) для индивидуального агента.

3. Используя полученные на втором шаге поведенческие функции (правила) для индивидуальных агентов, проводим имитационное моделирование с помощью метода Монте-Карло индивидуальных запасов капитала k для совокупности N агентов. Агрегируя на каждом периоде симуляции запасы капитала индивидуальных агентов, получаем временной ряд K..

4. С помощью регрессионного анализа для переменной K,, полученной на предыдущем шаге, находим вектор регрессионных параметров b, компонентами которого являются параметры

bo,Ьк ,bZ .

5. Задаем вектор параметров Ьпек для следующей возможной итерации по правилу Ьпгк = ЯЬ + (1 -Я) Ь, где Я е [0,1] - параметр обновления.

6. Повторяем шаги со второго по пятый, до тех пор пока норма вектора разности Ьпек - Ь не будет превышать заданной величины ошибки.

Таким образом, рассмотренный алгоритм можно ассоциировать с обучением агентов методом проб и ошибок, которое можно считать одним из механизмов формирования ожиданий в моделях с гетерогенными агентами.

Остановимся более подробно на втором шаге. Задача оптимизации (1)-(6) решается в данном случае методами теории возмущений второго порядка [19, 20]. Для абстрагирования от ограничения (5) в виде неравенства следует заменить это ограничение стандартным добавлением в условие максимизации (1) штрафной функции [7] вида

р +1) = — ехР(-Пс^- ,,+1) - П2 К,+1 , Пс

где п0, П1, П2 - параметры штрафной функции.

Условие максимизации (1) в этом случае примет следующий вид:

оо

{ таХе ЕЪе,и(с,К)+р(^).

Реализация описанного алгоритма для анализа модели с гетерогенными агентами и эндогенной нормой временных предпочтений осуществлялась в пакете прикладных программ МА^АВ2. Функция полезности и(си,К) = сх- /(1 -с) -К+ф / (1 + ф), где с - параметр, обратный эластичности межвременного замещения, ф - параметр, обратный эластичности предложения труда. Примем, что с = 1 и ф = 43. Явный вид функции Р (сй, К) примем аналогичным предложенным в работе [20]: р (сй,К) = (1 + сй - ю-1 Кш , где параметры ю = 1,455, у = 0,11. Параметры штрафной функции п0 = 0,4, п1 = 0,3, п2 = 0,4 (выбраны из условий устойчивости и максимальной скорости схождения алгоритма). Другие значения параметров: а = 0,25,5 = 0,025, р = 0,95, Я = 0,5.Начальные значения параметров убеждений обучающихся

2 Ввиду специфического формата публикации промежуточные выкладки результатов решения задачи оптимизации методами теории возмущений опущены и могут быть представлены автором вместе с программными кодами при запросе по электронной почте.

3 Эти значения параметров наиболее часто используются при калибровке ББОЕ-моделей [6, 11, 16, 18].

агентов: b0 = 1,4, bK = 0,6, bz = 0,95 (выбраны из условий максимальной скорости схождения алгоритма). Число гетерогенных агентов, участвующих в накоплении капитала N = 1 000, длина временного ряда Т = 10 000. Начальные значения запасов капитала для всех индивидуальных агентов равны запасам капитала в стационарном детерминированном (долгосрочном) состоянии.

Результаты реализации описанного алгоритма для модели с гетерогенными агентами и эндогенной нормой временных предпочтений сравнивались с аналогичными результатами для подобной модели с постоянной (экзогенной) нормой временных предпочтений. Результаты исследования моделей для ошибки схождения алгоритма, равной 0,0001, представлены в табл. 1, 2.

При анализе данных, представленных в табл. 1, прежде всего следует обратить внимание на гораздо меньшую волатильность (определяемую дисперсией) всех переменных в модели с эндогенной нормой временных предпочтений. В частности, меньшая волатильность потребления означает, что индивидуальные агенты более эффективно сглаживают свое потребление в модели с эндогенной нормой временных предпочтений по сравнению с моделью с постоянной нормой дисконтирования. Следует отметить, что одним из недостатков современных DSGE-моделей является, в частности, несоответствие между фактической и получаемой при моделировании волатильностью потребления домашних хозяйств. Значение последней намного превышает фактическую волатильность потребления. Для устранения этого несоответствия в уравнения DSGE-моделей вводят не совсем реалистичную предпосылку о формировании у агентов привычек в потреблении (habit formation). Агенты стараются поддерживать одинаковый уровень потребления при изменяющемся доходе в силу своих привычек и сглаживают свое потребление.

Введение в модель эндогенной нормы временных предпочтений для сглаживания потребления является, по мнению автора, более реалистичной предпосылкой, чем предпосылка о формировании привычек в потреблении. Следствием меньшей волатильности потребления агентов в исследуемой модели являются меньшие средние значения запасов капитала индивидуальных агентов и агрегированного капитала по сравнению с соответствующими значениями в модели с постоянной нормой временных предпочтений.

Таблица 1

Результаты исследования моделей с гетерогенными агентами

Переменная Модель с постоянной нормой дисконтирования Модель с эндогенной нормой дисконтирования

Значение переменной в стационарном состоянии Среднее значение Стандартное отклонение Дисперсия Значение переменной в стационарном состоянии Среднее значение Стандартное отклонение Дисперсия

k 13,3108 13,341 0,8059 0,6495 5,25588 5,2643 0,2065 0,0426

K 13,264 13,264 0,3735 0,1395 8,000 8,000 0,1748 0,0305

c 1,514 1,5173 0,0470 0,0022 1,34554 1,3448 0,0368 0,0014

r 0,0347774 0,0347 0,0021 0,0000 0,0357993 0,0358 0,0005 0,0000

w 1,44747 1,4498 0,0483 0,0023 1,43356 1,4337 0,0401 0,0016

h 0,956054 0,9535 0,0733 0,0054 0,899003 0,8991 0,0128 0,0002

Таблица 2

Декомпозиция дисперсий в моделях с гетерогенными агентами

Модель с постоянной нормой Модель с эндогенной нормой

Переменная дисконтирования дисконтирования

el e2 e1 e2

k 80,19 19,81 91,86 8,14

K 0 100 0 100

c 35,42 64,58 60,66 39,34

r 89,93 10,07 37,26 62,74

w 32,79 67,21 0,87 99,13

h 99,49 0,51 53,78 46,22

z 0 100 0 100

В табл. 2 приведены результаты декомпозиции дисперсии эндогенных переменных, т.е. доля дисперсии этих переменных, которая вызывается идиосинкратическим е 1 и агрегированным е2 шока-ми. Интересно отметить, что технологический шок оказывает меньшее влияние на индивидуальные запасы капитала и потребление в модели с эндогенной нормой дисконтирования по сравнению с моделью с постоянной нормой временных предпочтений. Гораздо большее влияние на волатильность этих переменных в моделях с эндогенным фактором дисконтирования оказывает идиосинкратический шок, что является более реалистичным результатом. В большей мере данный результат характерен для потребления индивидуальных агентов.

Как отмечалось ранее, алгоритм моделирования можно ассоциировать с формированием ожиданий на основе обучения индивидуальных агентов методом проб и ошибок. Поэтому представляется интересным сравнить сходимость этого алгоритма для моделей с эндогенной и постоянной нормами временных предпочтений. Результаты сравнения представлены на рисунке.

Графики показывают, что скорость схождения коэффициентов убеждений обучающихся агентов к

целевым значениям для модели с эндогенной нормой временных предпочтений намного превышает аналогичную скорость для модели с постоянной нормой временных предпочтений (см. рисунок). Таким образом, наличие обратной связи для нормы временных предпочтений ускоряет формирование ожиданий обучающихся агентов.

Следует отметить, что все сравнительные выводы качественно сохраняются при изменении параметров функции р (си, \) = (1 + си-ю-1^ш )-у. Параметр ю при этом изменялся в интервале 0,9 < ю < 1,8, а параметр у изменялся в интервале 0,07 < у < 0,14. Выбранные интервалы изменения параметров соответствуют области устойчивости решений уравнений модели (наличию единственного равновесного состояния) [1, 4].

Таким образом, исследовано влияние эндогенной нормы временных предпочтений на динамику стохастических моделей с гетерогенными агентами. При анализе применялся алгоритм формирования ожиданий, ассоциируемый с обучением агентов методом проб и ошибок. В моделях с эндогенной нормой временных предпочтений скорость схождения этого алгоритма значительно превышает скорость схождения алгоритма в моделях с постоянной нор-

1,5 -

bo

0.5

1С

10

10 43

Число итераций

а

за

1,5

0,5 -

10

20

30

40

50

Число итераций

б

1,5

1 bK

10

20

30

40

55

Число итераций

в

Примечание. Жирной линией обозначены модели с эндогенной нормой временных предпочтений, тонкой линией - с постоянной нормой временных предпочтений. Ошибка схождения алгоритма равна 0,0001.

Зависимость коэффициентов убеждений обучающихся

агентов от числа итерации:

а - b„; б - b„; в - b

0' К z

мой временных предпочтений. Кроме того, наличие обратной связи для нормы временных предпочтений приводит к снижению волатильности исследуемых переменных. Полученные результаты могут представлять интерес при анализе крупномасштабных DSGE-моделей.

Список литературы

1. Андреев М.Ю., Поспелов И.Г. Принцип рациональных ожиданий: обзор концепций и примеры моделей. М.: ВЦ РАН, 2008. 79 с.

2. РуденкоА.П. Теория саморазвития открытых каталитических систем. М.: МГУ им. М.В. Ломоносова, 1969. 216 с.

3. Серков Л.А. Самоорганизация ожиданий с ограниченной рациональностью как механизм саморазвития экономических систем // Экономический анализ: теория и практика. 2014. № 33. С. 49-55.

4. Серков Л. А. Синергетические аспекты моделирования социально-экономических процессов. Екатеринбург: Институт экономики УрО РАН, 2008. 215 с.

5. Aiyagari S. Uninsured Idiosyncratic Risk and Aggregate Saving //The Quarterly Journal of Economics. 1994. Vol. 109. № 3. P. 659-684.

6. ClaridciR., GaliJ., GertlerM. Monetary Policy Rules and Macroeconomic Stability: Evidence and Some Theory // The Quarterly Journal of Economics. 2000. № 115. P. 147-180.

7. Den Hacm W.J., Rendahl P. Solving the Incomplete Markets Model with Aggregate Uncertainty Using Explicit Aggregation // Journal of Economic Dynamics and Control. 2010. № 34. P. 69-78.

8. Evans G. W.. Honkapohja S. Adaptive Learning and Monetary Policy Design // Journal of Money, Credit and Banking. 2003^ № 35. P. 1045-1072.

9. Evans G. W.. Honkapohja S. Learning Dynamics // Handbook of Macroeconomics. Ed. by J.B. Taylor, M. Woodford. 1999. Vol. 1С. Elsevier-Academic Press, p. 449-542.

10. Evans G.. McGoiigh B. Monetary policy, indeterminacy and learning // Journal of Economic Dynamics and Control. 2005. № 29. P. 1809-1840.

11. Gali J., Monacelli T. Monetary Policy and Exchange Rate Volatility in a Small Open Economy // Review of Economic Studies. 2005. Vol. 72. № 3. P. 707-734.

12. HuggettM. The Risk-Free Rate in Heterogeneous-Agent Incomplete-Insurance Economies // Journal of Economic Dynamics and Control. 1993. № 17. P. 953-969.

b

13. Kim S., Kollmann R., Kim J. Solving the Incomplete Markets Model with Aggregate Uncertainty Using a Perturbation Method // Journal of Economic Dynamics and Control. 2010. № 34. P. 50-58.

14. KrusellP., SmithA.A. Income and Wealth Heterogeneity in the Macroeconomy // Journal of Political Economy. 1998. № 106. P. 867-896.

15. Krusell P., Smith A.A. Income and Wealth Heterogeneity, Portfolio Choice, and Equilibrium Asset Returns // Macroeconomic Dynamics. 1997. № 1. P. 387-422.

16. Kydland F., Prescott E.C. Time to build and aggregate fluctuations // Econometrica, 1982. № 50. P. 1345-1370.

17. Maliar L., Maliar S., Valli F. Solving the Incomplete Markets Model with Aggregate Uncertainty Using the Krusell - Smith Algorithm // Journal of Eco-

nomic Dynamics and Control. 2010. № 34. P. 42-49.

18. Monacelli T. Into the Mussa Puzzle: Monetary Policy Regimes and the Real Exchange Rate in a Small Open Economy // Journal of International Economics. 2004. № 62. P. 191-217.

19. Schmitt-Grohe S. Closing Small Open Economy Models // NBER Working Paper. 2002. № 9270. P. 1-19.

20. Schmitt-Grohe S., Uribe M. Solving dynamic general equilibrium models using a second-order approximation to the policy function // Journal of Economic Dynamics and Control. 2004. № 28. P. 755-775.

21. Slobodyan S., Wouters R. Learning in a Medium-Scale DSGE Model with Expectations Based on Small Forecasting Models // American Economic Journal: Macroeconomics. 2012. Vol. 4. Iss. 2. P. 65-101.

Economic Analysis: Theory and Practice Mathematical Methods and Models

ISSN 2311-8725

FORMATION OF EXPECTATIONS IN MODELS wITH HETEROGENEOUS AGENTS AND ENDOGENOUS RATE OF TIME PREFERENCES

Leonid A. SERKOV

Abstract

Importance One of the drawbacks of dynamic stochastic general equilibrium models (DSGE models) is the formation of expectations in these representative agent models with a constant rate of time preference. Therefore, it is relevant to consider the process of formation of expectations in models with heterogeneous agents and endogenous discount rate. Objectives The purpose of the work is to study the effect of endogenous rate of time preference on the dynamics of stochastic models with heterogeneous agents using the algorithm of formation of expectations associated with training the agents under the trail-and-error method.

Methods Using the mathematical modeling, I investigated the effect of endogenous rate of time preference on the volatility of variables in a dynamic stochastic model with heterogeneous agents. Results The study delivered the results on decomposition of the variance of endogenous variables. Furthermore, I analyzed the convergence of the algorithm of expectations formation. The study shows that the availability of feedback for time preference rate

reduces the volatility of variables under consideration. In addition, in models with endogenous rate of time preference, the convergence of the algorithm of expectations formation is much higher than the rate of convergence of the algorithm in models with a constant rate of time preference.

Conclusions and Relevance The findings may be of interest to those involved in the analysis of large-scale DSGE models, which are one of the basic tools of macroeconomic analysis. The conclusion on the mechanism of expectations formation in models with heterogeneous agents may be useful for the econometric analysis of economic systems.

Keywords: heterogeneous agents, expectations, endogenous rate, time preference, trial-and-error method

References

1. Andreev M.Yu., Pospelov I.G. Printsip ratsional'nykh ozhidanii: obzor kontseptsii i primery modelei [The rational expectations principle: an overview of concepts and examples of models]. Moscow,

Institution of RAS Dorodnicyn Computing Centre of RAS Publ., 2008, 79 p.

2. Rudenko A. Teoriya samorazvitiya otkrytykh kataliticheskikh sistem [The theory of self-development of open catalyst systems]. Moscow, Lomonosov Moscow State University Publ., 1969, 276 p.

3. Serkov L.A. Samoorganizatsiya ozhidanii s ogranichennoi ratsional'nost'yu kak mekhanizm samorazvitiya ekonomicheskikh sistem [Self-organization of expectations with limited rationality as a mechanism of economic systems' self-development]. Ekonom-icheskii analiz: teoriya i praktika = Economic Analysis: Theory and Practice, 2014, no. 33, pp. 49-55.

4. Serkov L.A. Sinergeticheskie aspekty mod-elirovaniya sotsial 'no-ekonomicheskikh protsessov [Synergistic aspects of modeling of socio-economic processes]. Yekaterinburg, Institute of Economics, Ural Branch of RAS Publ., 2008, 215 p.

5. Aiyagari S. Uninsured Idiosyncratic Risk and Aggregate Saving. The Quarterly Journal of Economics, 1994, vol. 109, no. 3, pp. 659-684.

6. Clarida R., Gali J., Gertler M. Monetary Policy Rules and Macroeconomic Stability: Evidence and Some Theory. The Quarterly Journal of Economics, 2000, no.115, pp. 147-180.

7. Den Haan W.J., Rendahl P. Solving the Incomplete Markets Model with Aggregate Uncertainty Using Explicit Aggregation. Journal of Economic Dynamics and Control, 2010, no. 34, pp. 69-78.

8. Evans G.W., Honkapohja S. Adaptive Learning and Monetary Policy Design. Journal of Money, Credit and Banking, 2003, no. 35, pp. 1045-1072.

9. Evans G.W., Honkapohja S. Learning Dynamics. In: Handbook of Macroeconomics. Ed. by J.B. Taylor, M. Woodford. Elsevier Academic Press, 1999, vol. 1C, pp. 449-542.

10. Evans G.W., McGough B. Monetary policy, indeterminacy and learning. Journal of Economic Dynamics and Control, 2005, no. 29, pp. 1809-1840.

11. Gali J., Monacelli T. Monetary Policy and Exchange Rate Volatility in a Small Open Economy. Review of Economic Studies, 2005, vol. 72, no. 3, pp. 707-734.

12. Huggett M. The Risk-Free Rate in Heterogeneous-Agent Incomplete-Insurance Economies. Journal of Economic Dynamics and Control, 1993, no. 17, pp. 953-969.

13. Kim S., Kollmann R., Kim J. Solving the Incomplete Markets Model with Aggregate Uncertainty Using a Perturbation Method. Journal of Economic Dynamics and Control, 2010, no. 34, pp. 50-58.

14. Krusell P., Smith A.A. Income and Wealth Heterogeneity in the Macroeconomy. Journal of Political Economy, 1998, no. 106, pp. 867-896.

15. Krusell P., Smith A.A. Income and Wealth Heterogeneity, Portfolio Choice, and Equilibrium Asset Returns. Macroeconomic Dynamics, 1997, no. 1, pp.387-422.

16. Kydland F., Prescott E.C. Time to build and aggregate fluctuations. Econometrica, 1982, no. 50, pp.1345-1370.

17. Maliar L., Maliar S., Valli F. Solving the Incomplete Markets Model with Aggregate Uncertainty Using the Krusell - Smith Algorithm. Journal of Economic Dynamics and Control, 2010, no. 34, pp. 42-49.

18. Monacelli T. Into the Mussa Puzzle: Monetary Policy Regimes and the Real Exchange Rate in a Small Open Economy. Journal of International Economics, 2004, no.62, pp. 191-217.

19. Schmitt-Grohe S. Closing Small Open Economy Models. NBER Working Paper, 2002, no. 9270, pp. 1-19.

20. Schmitt-Grohe S., Uribe M. Solving dynamic general equilibrium models using a second-order approximation to the policy function. Journal of Economic Dynamics and Control, 2004, no. 28, pp. 755-775.

21. Slobodyan S., Wouters R. Learning in a Medium-Scale DSGE Model with Expectations Based on Small Forecasting Models. American Economic Journal: Macroeconomics, 2012, vol. 4, iss. 2, pp. 65-101.

Leonid A. SERKOV

Ural Institute of Business, Yekaterinburg, Russian Federation dsge2012@mail.ru