О некоторых свойствах предфрактальных графов

УДК 519.17

О НЕКОТОРЫХ СВОЙСТВАХ ПРЕДФРАКТАЛЬНЫХ ГРАФОВ1

А. А. Кочкаров, Л. И. Сенникова, Н. Н. Болуров

Фрактальные графы [1, 2] используются для моделирования структур, растущих по одним и тем же правилам независимо от точки роста. Не исключается множественный одновременный рост во всей структуре системы. Формальным отражением этих правил является операция замены вершины затравкой (ЗВЗ) [1, 2], она же лежит в основе определения фрактальных графов.

Термином «затравка» условимся называть какой-либо связный граф Н = (Ж, ф). Суть операции ЗВЗ заключается в следующем. В данном графе С = (V, Е) у намеченной для замещения вершины V Є V выделяется множество У = {vj : і = 1, 2,..., | V|} смежных ей вершин. Далее из графа С удаляется вершина V и все инцидентные ей ребра. Затем каждая вершина Vj Є у соединяется ребром с одной из вершин затравки Н = (Ж, ф). Вершины соединяются произвольно (случайным образом) или по определенному правилу.

Предфрактальный граф будем обозначать через Сь = (УЬ,Еь), где Уь — множество вершин графа, а Еь — множество его ребер. Определим его рекуррентно, поэтапно, заменяя каждый раз в построенном на предыдущем этапе І = 1, 2,..., Ь — 1 графе Сі = (VI, Ег) каждую его вершину затравкой Н = (Ж, ф). На этапе І = 1 предфрак-тальному графу соответствует затравка Сі = Н. Об описанном процессе говорят, что предфрактальный граф Сь = (УЬ,Еь) порожден затравкой Н = (Ж, ф). Процесс порождения предфрактального графа Сь, по существу, есть процесс построения последовательности предфрактальных графов С1, С2,..., Сі,..., Сь, называемой траекторией. Фрактальный граф С = (V, Е), порожденный затравкой Н = (Ж, ф), определяется бесконечной траекторией. Ранг Ь определяет «возраст» (число этапов порождения) и размер (число вершин) предфрактального графа.

Использование операции ЗВЗ в процессе порождения предфрактального графа Сь для элементов Сі = (VI, Ег), І Є {1, 2,..., Ь — 1}, его траектории позволяет ввести отображение <£, такое, что <^(У) = Уі+1, <£*(У) = Уі+І, і = 1, 2,..., Ь — І.

Обобщением описанного процесса порождения предфрактального графа Сь является случай, когда вместо единственной затравки Н используется множество затравок Н = {Н1, Н2,... , Н4,... , Ну}, Т ^ 2. Суть этого обобщения состоит в том, что при переходе от графа Сг-1 к графу С г каждая вершина замещается некоторой затравкой Н Є Н, которая выбирается случайно или согласно определенному правилу, отражающему специфику моделируемого процесса или структуры.

Последовательное выделение подграф-затравок ^ на графах С1,С2,...,Сь из траектории предфрактального графа Сь разбивает множество ребер Еь на непере-секающиеся подмножества подграф-затравок X(Сь) = |г(і) : І = 1,Ь,й = 1,пі-1|, где

п = |Ж |. Такое разбиение на подмножества позволяет сохранить информацию о смежности старых ребер на момент их появления в предфрактальном графе. В траектории переход от графа Сі-1 к Сі осуществляется |Уі-1| = пі-1 операциями ЗВЗ, поэтому общее число использованных затравок в порождении предфрактального графа Сь равно

хРабота поддержана грантом РФФИ № 10-01-00786-а.

пь 1

1+п+п2 + ...+пЬ-1 =----------. Тогда мощность множества X(Сь) всех подграф-затравок

п — 1

из траектории графа Сь также равна---------.

п — 1

Число точек сочленения графа Н = (Ж, ф) обозначим через т(Н).

Теорема 1. Для всякого предфрактального графа Сь, порожденного затравкой Н = (Ж, ф), справедливы верхняя и нижняя оценки числа точек сочленения

пь п

т(Н)пь-1 ^ т(Сь) ^ т(Н)пь-1 +-----------—, если смежность старых ребер одного ранга

п1

не нарушается.

Число мостов графа Н = (Ж, ф) обозначим через ^(Н).

Теорема 2. Для всякого предфрактального графа Сь = (Уь,Еь), порожденного затравкой Н = (Ж, ф), справедливы верхняя и нижняя оценки числа мостов:

пь п

п — 1 ЛИТЕРАТУРА

1. Кочкаров А. М. Распознавание фрактальных графов. Алгоритмический подход. Нижний Архыз: РАН САО, 1998.

2. Кочкаров А. А., Кочкаров Р. А. Параллельный алгоритм поиска кратчайшего пути на предфрактальном графе // Журн. вычислит. матем. и матем. физики. 2004. Т. 44. №6. С.1157-1162.

УДК 519.17: 681.3

КОМПАКТНЫЕ ГРАФЫ И ДЕТЕРМИНИРОВАННЫЙ АЛГОРИТМ ИХ СИНТЕЗА

В. А. Мелентьев

Проблема анализа и синтеза структур вычислительных систем (ВС) традиционно решается методами теории графов. При этом между множествами модулей ВС и вершин V графа С( V, Е) и между множествами линий связи и ребер Е графа устанавливают биективные соответствия; задержки при этом оценивают метрическими характеристиками соответствующих графов — их диаметром d или радиусом. В рамках решения проблемы синтеза структур ВС рассматривается синтез ^-регулярного графа порядка п = IV | с минимально возможным при значениях п и в диаметром d. Такие графы далее называем п(в)-компактными.

Решение задачи основано на предложенном в [1] описании графа проекциями. Проекция Р(vj) графа С(^ Е) является многоуровневой конструкцией, на нулевом уровне которой расположена ракурсная вершина Vj из V. Порожденное ею подмножество вершин первого уровня VIj содержит все вершины ее окружения N(vj), а г-й уровень (г ^ 1) представляет собой совокупность подмножеств вершин, каждое из которых порождено вершиной (г — 1)-го уровня и является окружением этой вершины без вершин, предшествующих ей в проекции. Вершине Vij к-уровневой проекции Рк) соответствует упорядоченное множество вершин Ж(^) = (v0, Vl0,..., vij), представляющее собой простую цепь из ракурсной вершины V0 нулевого уровня этой проекции в вершину vij г-го уровня (г ^ к); длина этой цепи ¿^0, vij) = г. В общем случае некоторые вершины проекции Рк (зд) могут быть т^--кратными (1 ^ т^-). Значение кратности т^- соответствует числу простых цепей из ракурсной вершины v0 в вершину vij. Номер г уровня