О растекании тонкого пластического слоя

Литература

1. Дятлова Н.М., Темкина В.Я., Попов К.И. Комплексоны и комплексонаты металлов. М.: Химия 1988. 554 с.

2. Дятлова Н.М., Горичев И.Г. и др. Влияние комплексонов на кинетику растворения оксидов металлов. // Координационная химия. 1986. Т. 12. № 1. с. 3-27.

3. Марченко З. Фотометрическое определение элементов. М.: Мир. 1971. 501 с.

4. Blesa M.A. ,Weisz A. D., Morando P.J., Salfity J.A., Magaz G. E., Regazzoni A.E. The interaction of metal oxide surface with complexing agents dissoived in water. // Coordination Chemistry Reviews. 2000. V.196. р. 31-61.

5. Frenier W.W., Growcock F.B. Mechanism of Iron Oxide Dissolution. A Review of Resent Literature. // Corrosion (NACE). 1984. V.40. № 12. р. 663-668.

6. Nowack B., Sigg L Adsorption of EDTA and Metal-EDTA Complexes onto Goethite. // J. Colloid Interface Sci. 1996. V177. № 2. р. 106-121.

7. Suter D., Stumm W. Dissolution of Hydrous Iron(III) Oxides by Reductive Mechanisms. // Langmuir. 1991. № 7. р. 809-813.

8. Stumm W., Sulzberger B., Sinniger J. The coordination chemistry of the oxide-electrolyte interface: the Dependence of Surface Reactivity (Dissolution, Redo Reactions) on Surface Structure. // Croat. Chem. Acta. 1990. V.63. № 242 3. р. 277-312.

9. Blesa M.A., Boch E.B., Maroto A.J.G., Regazzoni A.E. Adsorption of EDTA and Iron-EDTA Complexes on Magnetite and the Mechanism of Dissolution of Magnetite by EDTA. // J. Colloid Interface Sci. 1984. V.98. № 2. р. 295-305.

10. Borchi E.B., Regazzoni A.E., Maroto J.G., Blesa M.A. Reductive Dissolution of Magnetite by Solutions Containing EDTA and Fe2+. // J. Colloid Interface Sci. 1989. V.130. № 2. р. 299-309.

11. Blesa M.A., Marinovich H.A., Baumgartner E.C., Maroto A.J.G. Mechanism of Dissolution of Magnetite by Oxalic Acid-Ferrous Ion Solutions.// Inorg.Chem. 1987. V.26. р. 3713-3717.

12. Rueda E.H., Grassi R.L., Blesa M.A. Adsorption and Dissolution in the System Goe-thite/Aqueous EDTA. // J. Colloid Interface Sci. 1985. V.106. № 1. р. 243-246.

О растекании тонкого пластического слоя

к.т.н. доц. Бодунов М.А., к.ф.-м.н. Бодунов Д.М., к.ф.-м.н. доц.Исаев В.П.,

к.ф.-м.н. доц. Кийко Л.К.

МГТУ «МАМИ» d-bodounov@mail.ru

Работа выполнена при поддержке гранта РФФИ № 09-08-00799-а Ключевые слова: течение в тонком слое, линии тока, контур области, уравнение растекания.

Задача о форме контура тонкого пластического слоя, сжимаемого параллельными сближающимися плоскостями, впервые поставлена в диссертации В.Н. Безухова; математически это задача Коши для нелинейного эволюционного уравнения. В [1] получены некоторые решения этой задачи и доказана предельная теорема: если начальный контур - замкнутая кусочно-гладкая кривая, то при больших степенях сжатия он как угодно мало отличается от окружности. Результаты [1] обобщены на случай сжимаемого материала [2], упруго-деформируемых плоскостей [3], анизотропии материала слоя и контактного трения [4]. Исследованы некоторые задачи о возможной неустойчивости течения.

В представленной работе приводится общая постановка задачи течения в тонком слое [5, 6]; выделяется, как основная, кинематическая часть задачи - определение линий тока и контура области, поскольку давление со стороны слоя на поверхности контакта находится простой квадратурой.

Уравнение растекания изучается в классе автомодельных решений; под ними подразумеваются такие решения нелинейных уравнений в частных производных, конкретный вид

которых определяется интегрированием некоторых обыкновенных дифференциальных уравнений.

1. Постановка задачи. Представим себе тонкий слой идеально-пластического материала, который в начальный момент времени занимает в плоскости 0ху область 5, ограниченную кусочно-гладким контуром Г{): У0 = (х° ). Слой сжимается жесткими поверхностями,

движение которых задано, поэтому толщина слоя И(x, t) - известная функция координат и времени. Состояние в слое определяют три функции: давление со стороны слоя на поверхно-

_ 11И/ , дк/ сти р(х,у,() и вектор скорости У = Мх,у,t), у(х,у,()). При условиях эти функции подчиняются системе уравнений [5, 6]

дИ/ 2 дх

<< 1

<< 1

^ Р = + = 0 (1.1) • И ш

Обозначим Г : Уо ^(x0, t) - контур в момент времени t > 0; функция ^) определяется в процессе решения задачи, индексом «ноль» помечаются точки, принадлежащие контуру. Внутри области существует линия разветвления течения у = Y(x, Xо,t), на которой

У = 0 и которая также находится в процессе решения задачи. Система (1.1) дополняется граничным условием:

^У0 = P

<уя = V 3г. л

здесь: 5 5 - предел текучести материала слоя, Л - множитель порядка единицы.

Отметим важное для дальнейшего следствие уравнений (1.1): линии тока и уровня ортогональны контуру.

Задача об определении давления Р (при известном контуре Г ) выделяется; действительно, из (1.1) и (1.2) имеем

.2

\grad р\2 = И- Р

= Ли

5

дР/ V ъ(дР/

после чего У находится из последнего уравнения (1.1) и соотношения V / ду) ч /дх

Обозначим ^ = ( Л°)(2т); тогда нетрудно показать [7,8], что решение задачи (1.3) записывается в форме функционала

= Г шя = "

в котором  - линия тока: у = ^

Иу"+(1 + у'2 ) -ддку Л

* v М ду дх*

=0

а в

параметры находятся из граничных условий

/

Линия разветвления течения У определяется как проекция на плоскость ху ребра эпю-

ры давления.

Г

Для завершения постановки задачи необходимо определить контур Г в произвольный момент времени г > 0 (будем называть это задачей о растекании). Выделим элементарную

dS0

полоску, ограниченную соседними линиями тока, отрезком 0 дуги контура и соответствующим отрезком проекции ребра; условие сохранения массы имеет вид:

,Л& = 0

ЯР),

здесь а - боковая поверхность выделенной полоски, п - внешняя нормаль к ней. После элементарных преобразований получим [9]

• = Уo, г ^ = дри

Х1 0 , при этом учтено, что вследствие условий (1.6) уравнение линии тока может быть записано в

виде: У = /^ Х). Нижний предел интегрирования х в общем случае не определяется, поскольку построить общее решение уравнения (1.5) не представляется возможным.

Итак, представлена полная система уравнений (1.4), (1.5), (1.7), граничных и начальных условий, на основе которых задача о течении в слое может быть исследована, во всяком случае, современными численными методами. Видно, что основную трудность составляет «кинематическая» часть задачи, поскольку давление определяется простой квадратурой (1.4). Именно кинематика течения - задача о растекании - будет предметом последующего изложения. Рассмотрим только частный случай

И = И

, в котором оказывается возможным заметно продвинуть аналитическое исследование задачи и получить новые точные или приближенные решения. Из (1.5) следует, что линии тока - это двухпараметрическое семейство нормалей к контуру; на основании (1.6) получаем

/

др/ ' //

/ сх / сх

здесь и далее штрих обозначает производную ' 0 . Для производной ' 0 находим

д/ х - х0 1 + р'2

я =-^ +

дх0 р р у '

След ребра определяется контуром, поэтому его уравнение будет иметь вид

у = у(х,х0,X) ,л оч х

^ /ч 0 приравняв это к (1.8), получим неявное уравнение для определения 1;

у^ ^ х) = хрх1 + р

Подставим (1.9) в (1.10) и проинтегрируем

к-х1 р+(х1 - х0 )1+р

2 12 N 1 и/ I

Р Р

дИ = и др

дг~ дг

Введем степень деформации соотношением: ^ ' , 0 - начальная толщина слоя; из (1.11) окончательно получим

х, -х0 р" / \2 1 + р'2 др

р +

2 р р дт

?

вместе с начальным условием: р(х°,0) = р° (х0) это составляет задачу Коши.

а

Предположим, что область $ симметрична относительно оси х и такова, что след ребра - конечный или бесконечный ее отрезок; тогда Xo, *0, и из (1.10) следует

х1 = х0 + (- (

, уравнение (1.12) приобретает вид

,2 12 ,,

-Т = р + р-

2. Решение в форме «бегущей волны».

Будем искать автомодельное решение уравнение (1.13) в следующем виде

р = ¡

после подстановки в (1.13) получим

('-Р2 - * - а(_- *' = * * ,2 +1 * 2- * и

р23 у & J J J г у

Для того, чтобы это уравнение стало обыкновенным дифференциальным уравнением относительно функции , следует положить

Р2-Р2 = С1 а(1 = С2

(( 2 р( 2

из (2.2) после этого будем иметь

/2 - /42/ - Г = е2/Ч-с* .

Как видно, уравнение (2.4) не зависит явно от переменной поэтому допускает понижение порядка заменой * Р(); для второй производной имеем * = р-р , поэтому (2.4) обращается в уравнение Абеля второго рода

/2РР' =-2*Р2 + с2р + с* .

Стандартной заменой ™ = и

это уравнение приводится к виду

. г3

ии = с2и + с1 /

К сожалению, общее решение этого уравнения построить не удается, поэтому рассмотрим частные случаи.

с = 0

а) 1 ; уравнение (2.4) приобретает вид

(/ 7 ')'= с2/'

и интегрируется

/2/' = с2/ + ак

Это уравнение с разделяющимися переменными имеет общее решение

• /2# , 1 ——-— = £ + а2 = —

с2./+а с2

- 2а1 (с2 / + а1) + (с2* + а) + а21п| с2 / + а,

2 I с2/ )„ 2*

= 0 = * ( = а -\ 2/4а \е~

Отметим, что при с1 = из

может быть исследовано численно.

/1 — П 7/7/'— /"* 3

б) 2 _ ; из уравнения (2.6), которое приобретает вид _ ^ , получаем после интегрирования

С ,4 . .. - -U f4

Уг

= ^f4 + ^ u = ±\^f + a

u = — f + a,

2J ^ г

5

Функция u() введена заменой )f = u(f ), поэтому имеем далее

1/

n(f)= f = uif) ,1 2 f4 +

f2 "" / .

Функцию / (i) отсюда находим в форме эллиптического интеграла

г / 2df

L ^ =±i+ a2 ( If 4 + ai I

Исследование этого решения следует проводить в зависимости от области изменения

„А с а а

переменной ь и параметров 1 1 2

Литература

1. В.Н. Безухов. Об осадке пластического слоя некруговой формы в плане// Дисс... канд. физ.-мат.н., М., 1955, 78 с.

2. П.М. Огибалов, И. А. Кийко, Л.К. Кийко. Растекание тонкого пластического слоя// Прикл. механика, 1988, т. 24, № 10, с. 88-94.

3. В. А. Кадымов, С.К. Быстриков. Некоторые новые решения нестационарных задач пластического слоя по деформируемым поверхностям// Известия ТулГУ, Сер. Матем. Мех. Информ., 2006, т. 11, в. 2, с. 54-60.

4. И.А. Кийко. Анизотропия в процессах течения тонкого пластического слоя// Прикл. матем. мех., 2006, т. 70, в. 2, с. 345-351.

5. А.А Ильюшин. Вопросы теории течения пластического вещества по поверхностям// Прикл. матем. мех., 1953, т. 18, в. 3, с. 265-288.

6. А.А. Ильюшин. Полная пластичность в процессах течения между жесткими поверхностями, аналогия с песчаной насыпью и некоторые приложения// Прикл. матем. мех., 1955, т. 19, в. 6, с. 693-713.

7. И. А. Кийко. Вариационный принцип в задачах течения тонкого слоя пластического вещества// Докл. АН СССР, 1964, т. 157, № 3, с. 551-553.

8. И.А. Кийко. Теория вязкопластических течений// Упругость и неупругость, М., Изд-во URSS, 2006, 480 с.

9. И. А. Кийко. Некоторые вопросы теории вязкопластических течений// Проблемы фундаментальной механики в теории обработки давлением. Труды расширенного научного семинара, М., МГТУ «МАМИ», 2008, с. 227.

Бигармонические модулированные осесимметрические формы цилиндрических оболочек и критические линии и точки на траектории

нагружения по линейной теории

к.ф.-м.н. проф. Король Е.З.

МГТУ «МАМИ» (495) 369-96-65, 8-916-852-30-09

Ключевые слова: критическое состояния оболочек, действие осесимметрических продольных нагрузок

Введение

При непрерывном параметрическом нагружении оболочки [1-6] наблюдается прежде