Моделирование поведения стержней в упругой среде с учетом влияния эффекта Пуассона в одномерных элементах

УДК 539.3

Р. А. Каюмов, Ф. Р. Шакирзянов

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПОВЕДЕНИЯ СТЕРЖНЕЙ В УПРУГОЙ СРЕДЕ С УЧЕТОМ ВЛИЯНИЯ ЭФФЕКТА ПУАССОНА В ОДНОМЕРНЫХ ЭЛЕМЕНТАХ

Ключевые слова: метод конечных элементов, стержневая модель, эффект Пуассона, напряжения, деформации.

Разрабатывается методика расчета напряженно-деформированного состояния стрежневых конструкций в упругой среде. Стержни конструкции моделируются одномерными (стержневыми) конечными элементами. Показано, что при моделировании стержней обычными одномерными конечными элементами найденные напряжения и деформации могут значительно отличатся от трехмерной модели, т.к. в одномерных моделях не учитывается эффект Пуассона. Поэтому разрабатывается методика учета в одномерных элементах эффекта Пуассона. Для упругого параллелепипеда с прямолинейным стержнем проводится сравнительный анализ напряженно-деформированных состояний, полученных с помощью трехмерной и различных одномерных моделей стержней. Приведены результаты численных экспериментов.

Keywords: finite element method, rod model, Poisson effect, stress, deformation.

Developed method of calculation the stress-strain state of beam structures in an elastic medium. It is shown that when modeling the rods by conventional one-dimensional finite element stress and deformation may differ significantly from the three-dimensional model, because in one-dimensional models don't take into account the Poisson effect. Therefore, developing a method of accounting in one-dimensional elements of the Poisson effect. For elastic parallelepiped with a straight rod presents a comparative analysis of stress-strain states, obtained by the three-dimensional and one-dimensional models. The results of numerical experiments are presented.

Введение

При расчете напряженно-деформированного состояния (НДС) неоднородных тел типа трубопроводов, свай в грунте, плит на грунте [1] часто используют различные модели конечных элементов. В современных конечно-элементных пакетах наряду с трехмерными элементами применяются одномерные (стержень, балка), двумерные (пластины, оболочки) конечные элементы, с помощью которых моделируется трехмерная стержневая упругая среда. В частности, стержни в простейших случаях моделируются одномерными конечными элементами (рис. 1).

Рис. 1 - Одномерный конечный элемент

Эти элементы воспринимают лишь растяжение или сжатие, связь между напряжением и деформацией записывается по одномерному закону Гука а

е, =—.

* Е

Однако такое моделирование стержней одномерными конечными элементами не всегда правомерно, т.к. они не учитывают поперечное воздействие среды на стержень, т.е. не учитывается эффект Пуассона. Это упрощение может привести к неправильному определению напряженно-деформированного

состояния и стержневой системы, и упругой среды, в которой она находится. Например, в упругой среде из-за наличия эффекта Пуассона напряжения в стержнях под действием внешних нагрузок могут иметь знаки противоположные знакам напряжений в упругой среде. Это, в свою очередь, может привести к неправильной оценке прочности конструкции.

В данной работе предлагается разработать методику применения стандартного одномерного конечного элемента, учитывающую эффект Пуассона, т.е. методику расчета, учитывающую поперечное воздействие упругой среды на стержни. Также проводится сравнительный анализ трех различных моделей: одномерной модели без учета эффекта Пуассона, одномерной модели с учетом эффекта Пуассона и трехмерной модели. На основе численных экспериментов для стержневой упругой среды получены зависимости влияния различных геометрических и механических параметров на НДС неоднородной системы стержневая конструкция и упругая среда.

Основные соотношения

В упругой среде со стержневой конструкцией деформации и перемещения будем считать малыми, т.е. связь между деформациями и перемещениями будем считать линейной, задаваемой соотношениями Коши

=1 (и 2

и + uj i )•

Здесь е - деформации, п1 - перемещения, п]1 -производные от перемещений. В матричной форме соотношение Коши запишется в виде

{£} = №}.

Связь между напряжениями и деформациями по обобщенному закону Гука записывается в виде:

{а} = [ Б]{е},

где {о-} - напряжения, {е} - деформации, [Б] -матрица упругих характеристик. Для трехмерного изотропного тела матрица упругих характеристик матрица [Б] запишется в виде:

-V V V '

V 1 - V V

V V 1 -V

[Б] = к

1 - 2у 2

1 - 2у 2

1 - 2у 2 .

где

к = -

Е

(1 + v)(1 - 2v) Е, V - модуль упругости и коэффициент Пуассона.

Учет эффекта Пуассона в одномерной модели стержня

Согласно (4) продольные деформации для стержня запишутся в виде:

е —-v — -v^^ и Е Е Е

Условие того, что нормальные напряжения на границе стержня и упругой среды совпадают запишем в виде

о — о

п п

Тогда продольные деформации стержня прямого сечения можно определить по формуле:

ех — е'х + е",

где еХ - деформации, которые определяются по формуле (1), еи - деформации в стержне, возникающие от поперечного обжатия упругой средой

Е

Е

Таким образом, линейные деформации в стержне определяются как сумма деформаций от продольных сил и эффекта Пуассона.

Разрешающее уравнение

Запишем уравнение равновесия, для этого воспользуемся вариационным уравнением принципа возможных перемещений

\\\°еу—¡¡¡ази^+\\рш8и^,

V V Ж

где б,, Рп1 - объемные и поверхностные нагрузки, о у - напряжения, ец - деформации, и1 - перемещения.

Для отыскания НДС используем метод конечных элементов. В матричном виде вариационное уравнение принципа возможных перемещений запишется как

¡¡¡{о}т {8е}дУ — ¡¡¡{0}г {Su}dV + [[{Р}Г {ди^.

Деформации стержня определяются как сумма деформаций от продольных усилий и деформаций, возникающих от эффекта Пуассона, которые в матричной форме примут вид:

{е} — {е*} + {е" }.

Тогда вариационное уравнение принципа возможных перемещений (9) с учетом соотношений (4), (10) запишется в виде:

¡¡¡е }т [Б]{8е}с1У — ¡¡¡{0}г {8и)^У-

V

+[[{Р}Г {Зu}dS - ¡¡¡{е" }т [Б]{8и^.

X V

Методика расчета

Методика расчета состоит в следующем. На первом шаге е" принимается равным нулю. Задача решается в обычной постановке, т.е. определяются напряжения и деформации в упругой среде по обычной методике на основе обычных конечных элементов. Аналогично напряжения и деформации в стержнях определяются на основе соотношений теории одномерных элементов. Далее вычисляются напряжения оу, ог в матрице на уровне оси стержня (поскольку ее толщина считается нулевой). После этого определяется деформация е" по формуле (7). Они подставляются в уравнение (11). Заново решается задача определения НДС как и на первом шаге, но с учетом слагаемого

-¡¡¡{е" }т [Б]{8и}с!У.

Снова определяются напряжения оу, ог в матрице на уровне оси стержня и снова находится е". Таким образом, расчет стержневой упругой среды сводится к итерационному процессу. Итерации останавливаются при малом изменении невязки напряжений.

Модельная задача

В качестве модельной задачи рассматривается упругая среда с одним стержнем (волокном) посередине (рис. 2). Сверху и снизу на композит действует распределенная нагрузка.

Рис. 2 - Упругая среда с стержнем

Рассматриваются три конечно-элементные модели композита:

1. трехмерная конечно-элементная модель,

2. модель с одномерными элементами для стержней,

V

а

ж

3. модель с одномерными элементами с учетом эффекта Пуассона.

Механические характеристики и нагрузки для композита приняты следующие: длина композита 1—4 м, высота Н—1 м, ширина Ь—0.5 м, площадь поперечного сечения волокна А<,—0.04 см2, нагрузка у—103 Н/м2, Е =106 Н/м2, ^—0, Еи—106 Н/м2, ги—0.3.

Одномерная модель без учета эффекта Пуассона

Рассмотрим для начала одномерную модель без учета эффекта Пуассона. Приведем аналитическое решение согласно теории плоских сечений (рис. 3).

Рис. 4 - Конечно-элементная модель

Рис. 3 - Плоская задача

Продольные деформации и напряжения определяются из условия равновесия и совместности деформаций (А8 - площадь поперечного сечения волокна, Аи - площадь поперечного сечения матрицы): А о + А о — 0.

е — е .

^ 8 и

Тогда деформации волокна можно выразить через напряжения волокна:

о о

—+ ,

8 Е 8 Е

где

о — -

Е А + К А

ЕиА + еа;

При заданных выше исходных значениях нагрузки и механических характеристиках напряжение в стержне о8 — -400 Н/м 2 , напряжение в упругой среде стержня ои — 0 Н/м2, деформации еи = — 0.

Теперь рассмотрим применение одномерных стержневых элементов без учета эффекта Пуассона в МКЭ. Физические соотношения для одномерного элемента запишется в виде: (Ао} — [ Б](Ае).

Тогда, согласно численным расчетам по МКЭ, напряжения ои (в направлении оси стержня) и в стержне, и в упругой среде отсутствуют. На рис. 4 показана конечно-элементная модель.

На рисунках 5, 6 показаны напряжения ои (вдоль оси стержня).

Рис. 5 - Напряжения ои в упругой среде со стержнем без учета эффекта Пуассона

Рис. 6 - Напряжения ои в стержне без учета эффекта Пуассона

Одномерная модель с учетом эффекта Пуассона

Далее рассмотрим результаты расчета по методике, которая учитывает эффект Пуассона для одномерной модели. Напряжения в стержне близки к расчетам по теории плоских сечений. Для получения напряжений близких к аналитическому достаточно всего лишь 2-5 итерации. Как показано на рис. 7-8, напряжения в стержне вдоль оси близки к расчетам

по теории плоских сечений о„ = -395 Н / м2.

Рис. 7 - Напряжения ои в упругой среде со стержнем

I

ЭдХ -380 -385 -390 -395

Рис. 8 - Напряжения ав стержне

Трехмерная модель

Далее рассматривалась трехмерная модель. Сечение стержня принималось и как прямоугольное

(рис. 9), и как круглое (рис. 10).

Рис. 9 - Конечно-элементная модель с прямоугольным сечением стержня

Рис. 10 - Конечно-элементная модель с круглым сечением стержня

Сложность при расчете по трехмерной модели заключается в необходимости мелкого разбиения на конечные элементы, особенно для круглого стержня.

Нужно отметить, что как видно из рисунков 1114, напряжения внутри стержня по сечению не постоянны.

Рис. 11 - Напряжения вдоль стержня для прямоугольного сечения

Рис. 12 - Напряжения ах в стержне прямоугольного сечения

Рис. 13 - Напряжения ах вдоль стержня круглого сечения

Эор^дУ

500 400 300 200 100 о 100 200 300 400 500 600

Рис. 14 - Напряжения ах для стержня круглого сечения

При увеличении числа элементов этот эффект не исчезает (рис. 15).

ЗоргЗщУ

Р 150 100 50 -50 -100 -150 -200 -250 -300 -350 -400 -450 -500 -550

Рис. 15 - Напряжения ах в стержне прямоугольного сечения

Оказалось, что при рассматриваемой нагрузке стержень из-за эффекта Пуассона удлиняется, но не

равномерно, т.к. по границе контакта его сдерживает матрица (рис. 16).

Рис. 16 - Деформированное состояние

Также было проанализировано влияние коэффициента Пуассона на напряжения (рис. 17).

1 1 1d model ——

2 400 X

О 300

£ 200 *

° 100

0 ш

л 0 с;

§: -юо

т

1

а -300

о. -400 п го

I -500

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 Отношение коэффициентов Пуассона, уа/ут

Рис. 17 - Влияние коэффициента Пуассона на напряжения

Оказалось, что при коэффициентах Пуассона в стержнях меньших коэффициента Пуассона в упругой среде результаты, полученные по одномерной модели с помощью предложенной методике, близки к результатам, полученным по трехмерным моделям.

Выводы

Разработана методика расчета НДС одномерного конечного элемента, находящегося в упругой среде, учитывающая эффект Пуассона.

Проведен сравнительный анализ всех трех моделей. Результаты, полученные по предлагаемой одномерной модели, учитывающие поперечные воздействия, хорошо согласуются с трехмерной моделью.

Напряжения в стержне, полученные по традиционной одномерной модели без учета эффекта Пуассона, могут иметь противоположный знак по сравнению с напряжениями, полученными по трехмерной модели. Это может привести к неправильной оценке несущей способности системы.

Получены результаты численных экспериментов при различных механических параметрах композита.

Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты № 15-08-06018, 16-38-00736) и Министерства образования и науки Российской Федерации, проект №1660 государственного задания в сфере научной деятельности по Заданию № 2014/58 за 2016.

Литература

[1] Каюмов Р.А., Шакирзянов Ф.Р., Шакирзянов Р.А. Расчет совместного деформирования и потери несущей способности грунта и гофрированной полиэтиленовой трубы // Учен. запис. Казан. ун-та. Сер. физ-мат науки. -Казань: КФУ, Т. 157, кн. 1, 2015.

[2] Голованов А.И., Бережной Д.В. Метод конечных элементов в механике деформируемых твердых тел, - Казань: ДАС, 2001. - 301 с.

[3] Образцов И.Ф., Савельев Л.М., Хазанов Х.С. Метод конечных элементов в задачах строительной механики летательных аппаратов. - М.: Высш. шк., 1985. - 392 с.

[4] Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. -М.: Мир, 1975. - 542 с.

[5] Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. - М.: Наука, 1988. - 712 с.

[6] Каюмов Р.А. Расширенная задача идентификации механических характеристик материалов по результатам испытаний конструкций из них // Известия РАН, Механика твердого тела. - 2004.- №2

[7] Каюмов Р.А. Связанная задача расчета механических характеристик материала и расчета конструкций из них // Изв. РАН, Мех. тв. тела. - 1999, №6. - С.118-127.

© Р. А. Каюмов - д.ф.-м.н., профессор кафедры механики КГАСУ; Ф. Р. Шакирзянов - к.ф.-м.н., доцент кафедры механики КГАСУ, romanova_rg@mail.ru.

© R. A. Kayumov - doctor of physical and mathematical sciences, professor of the department «Mechanics» of KSUAE; F. R. Sha-kirzyanov - candidate of physical and mathematical sciences, assistant professor of the department «Mechanics» of KSUAE, romanova_rg@mail.ru.