Математическая модель микрополярных упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений

УДК. 539.3

С.О. Саркисян

Гюмрийский государственный педагогический институт

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ МИКРОПОЛЯРНЫХ УПРУГИХ ТОНКИХ ОБОЛОЧЕК С НЕЗАВИСИМЫМИ ПОЛЯМИ ПЕРЕМЕЩЕНИЙ И ВРАЩЕНИЙ

In the present paper, on the basis of the hypothses method of asymptotical origin, the general mathematical model of micropolar thin elastic shells with independent fields of transition and rotation is constructed based on the equations of the three-dimensional equations of the micropolar theory of elasticity.

As a result the basic system of equations of the theory of micropolar thin elastic cylindrical shells is demonstrated. The problem of axial-symmetricly loaded hinged cylindrical shells is solved. Numerical results are obtained and the behavioral peculiarities of shells from micropolar material is exposed.

Прогресс в микро- и нанотехнологии ставит перед механикой деформируемых тел новые проблемы, которые способствуют развитию исследований по микрополярной (несимметричной, моментной) теории упругости и структурной механики в целом [1-3].

В связи с этими современными проблемами весьма актуально построение общих математических моделей для тонких стержней, пластин и оболочек на основе микрополярной теории упругости [4-9].

Основная задача общей теории микрополярных упругих тонких стержней, пластин и оболочек заключается в приближенном, но адекватном сведении трехмерной задачи микрополярной теории упругости к одномерной или двумерной краевой задаче.

В работе [10] на основе асимптотического анализа граничной задачи трехмерной микрополярной теории упругости [11] формулируются предположения (гипотезы), на основе которых трехмерная задача приведена к двумерной теории микрополярных пластин, при которой полностью учитываются поперечные сдвиговые и родственные им деформации.

В данной работе обобщается подход, предложенный в работе [10], и при использовании результата асимптотического анализа граничной задачи микрополярной теории упругости в тонкой области оболочки [12] формулируются предположения (гипотезы), на основе которых построена математическая модель микрополярных упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений с полным учетом поперечных сдвиговых

и родственных им деформаций. Аналогом этой модели в рамках классической теории упругости является известная уточненная теория упругих тонких оболочек Тимошенко-Рейсснера [13, 14].

1. Постановка задачи

Рассмотрим изотропную оболочку постоянной толщины 2Н как трехмерное упругое микрополярное тело. Будем исходить из основных уравнений (тензорных) пространственной статической задачи линейной микрополярной теории упругости с независимыми полями перемещений и вращений [15-17].

Уравнения равновесия:

У^тп а Х"7 .. тп . птк „.а /лл\

тО = 0, УтЦ + е Стк = 0.

Соотношения упругости:

Кп = (1+а)Утп +(^-а)Упт + ХУккЬпт >

{1тп = (У + £)Ктп + (У-£)Кпт + РКкк 5пт • Геометрические соотношения:

У тп =?тК - етп^, Ктп = ^ тЮп -

Здесь с, (1 - тензоры силовых и моментных напряжений; у, “К - тензоры деформации и изгиба-кручения; V, ю - векторы перемещения и независимого поворота, X, 1, а, в, у, £ - упругие константы микрополярного материала оболочки. Индексы т, п, к принимают значения 1, 2,3.

К определяющим уравнениям (1.1)—(1.3) трехмерной несимметричной теории упругости присоединим соответствующие граничные условия.

На лицевых поверхностях оболочки примем граничные условия первой граничной задачи микрополярной теории упругости со свободным вращением, а на поверхности края оболочки X будем рассматривать следующие три основные типы граничных условий: 1) когда заданы силовые и моментные напряжения, 2) когда точки поверхности X закреплены, 3) когда заданы трехмерные смешанные условия типа шарнирного опирания.

Следует отметить, что основной физической постоянной, придерживающей уравнения (1.1)—(1.3) на уровне микрополярной теории упругости, является модуль упругости а (при а = 0 из указанной системы будут отделяться уравнения классической теории упругости).

В дальнейшем будем использовать криволинейные ортогональные координаты, принятые в теории оболочек, при этом для физических составляющих тензоров и векторов оставим прежние обозначения, которые приня-

ты в уравнениях (1.1)-(1.3). Тогда граничные условия на лицевых поверхностях оболочки а3 = ±И примут вид:

с3,- =±Ч±, с33 = ±Я±, 1эг =±т±, 133 =±т3±

Предполагается, что толщина оболочки мала по сравнению с характерными радиусами кривизны срединной поверхности оболочки. Будем исходить из следующей основной концепции [12]: в статическом случае общее напряженно-деформированное состояние (НДС) тонкого трехмерного тела, образующего оболочку, состоит из внутреннего НДС, охватывающего всю оболочку, и погранслоев, локализирующихся вблизи поверхности края оболочки X. Построение общей прикладной - двумерной теории микропо-лярных упругих тонких оболочек тесно связано с построением внутренней задачи.

Считая, что метод гипотез наряду с чрезвычайной наглядностью очень быстро и относительно просто для инженерной практики приводит к окончательным результатам, будем строить теорию микрополярных оболочек на основе метода гипотез. Сами гипотезы будем формулировать на основе результатов асимптотического анализа поставленной трехмерной граничной задачи микрополярной теории упругости в тонкой трехмерной области оболочки [12].

При определении внутреннего НДС (так и краевого НДС) оболочки [12] большую роль играют значения физических констант материала оболочки, с этой точки зрения вводится следующие безразмерные физические параметры:

4а’ в ’ у ’ £

где Я - масштабный фактор, представляющий собой характерный радиус кривизны срединной поверхности оболочки.

С учетом качественных результатов асимптотического решения системы уравнений (1.1)-(1.3) с указанными выше граничными условиями и самого процесса асимптотического интегрирования этой краевой задачи [12] в случае, когда безразмерные параметры (1.4) принимают значения:

1 Я21 Я21 Я21

2. Модель микрополярных упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений

4а в У У

в основу предлагаемой теории микрополярной упругой тонкой оболочки ставим следующие достаточно общие предположения (гипотезы):

1) в процессе деформации первоначально прямолинейные и нормальные к координатной поверхности волокна свободно поворачиваются в пространстве как жесткое целое на некоторый угол, не изменяя при этом своей длины и не оставаясь перпендикулярными к деформированной срединной поверхности;

2) для силового напряжения с33 и для моментных напряжений 133, 13 примем формулы линейного распределения по толщине оболочки;

3) сначала для определения перемещений, поворотов, деформаций, изгиба-кручения, силовых и моментных напряжений, для силовых касательных напряжений примем

0

°3,- =°3,-

После вычисления указанных величин, значения с3; окончательно определим прибавлением к значениям (2.2) слагаемых, получаемых интегрированием соответствующих уравнений равновесия (1.1), для которых потребуем условия, чтобы усредненные по толщине оболочки величины были равны нулю;

4) величинами — по сравнению с единицей будем пренебрегать.

При формулировании предлагаемых гипотез исходили из тех соображений, что построенные ниже двумерные уравнения микрополярных оболочек должны в первую очередь учитывать следующие важнейшие факторы, а именно свободные вращения и поперечные сдвиги, и в то же время они должны иметь достаточно простую форму и насколько возможно минимальный порядок, чтобы в дальнейшем использовать их при разработке эффективных методов решения практически важных задач.

Отметим, что при следующих значениях безразмерных параметров

(1.5) [12]:

_1_ << 1, я V ~ 1, Я21 ~ 1, Я21 ~ 1,

4а в У У

1 >> 1, я V ~ 1, я V ~ 1, Я21 ~ 1,

4а в У Т

в случае а имеет место теория микрополярных упругих тонких оболочек со стесненным вращением, в случае б - теория «с малой сдвиговой жесткостью» (в данной работе эти теории не приводятся).

Математически принятую первую гипотезу запишем так: тангенциальные перемещения и нормальный поворот распределены по толщине оболочки по линейному закону I,у = 1,2, г Ф у:

V = и1

а нормальное перемещение и тангенциальные повороты не зависят от поперечной координаты а3, т.е.

V = w

Кинематические гипотезы (2.3),(2.4) дополняются статическими гипотезами 2), которые с учетом соответствующих граничных условий из (1.4) можем записать так:

+ — + —

Я3 — Я3 а^ + — \ т3 — т3 а^ + — \

°33 =-2— + 2Л (д3 + д3), Ц33 =---------2-+ 2Л (т3 + т3),

т+ — т— а3 / + — \

^ = ~+ й(тг + т ).

В соответствии с кинематическими гипотезами (2.3),(2.4) компоненты тензоров деформации и изгиба-кручения примут вид

Уй =Ггг (аl, а2 ) + а3Кй (а^ а2 ), У. = Гу (а1, а2 ) + а3Ку (а1, а2 ),

У/3 =Гг3

Хг3 = Кг3 (а1, а2 ) ,

где

1 ди, 1 ЭД _ 1 Эи, 1 ЭД ,

——г- +----------^-и, + —, Г,, =— —у---------------------—^и, —(—1) .

Д1 Эаг АДу Эау У Я - Д Эаг ДДу Эау

1 Эш, 1 ЭД ^ 1 Э^, 1 ЭД , ^

=------— +-----------— Ш,, К,, =------------------------^ ш —(—1)у I,

Д Эа,- ДД Эа, у у Д Эа,- ДА. Эа,

Г,3

п 1 ЭЖ и, , ч 1 ЭП, 1 ЭД „ П3

Д. =---+ —, к,,.(а,,а2) =-----------------L+------------— П, +—,

ДЭа, Я Д Эа, ДДЭа, у Я

к, (а1, а2 ) = — ^ Ц, к3 (а1, а2 ) = — Ц

,у ( 1, 2) Д Эа, ДД, Эа, " ,3 ( 1, 2) Д Эа, Я,

3

На основе обобщенного закона Гука, уравнений равновесия и принятых гипотез для компонентов силового и моментого тензоров напряжений получим следующие определяющие формулы:

=

+а3

Е

1 — V

+

+ — 43 — 43 1 —V 2

+

_Е_ (К,+УК11 )+-Х_

1 —Vй “ 11' 1 —

О,

1 — V 2Л

= [(Ц + а)Г/ + (ц — а)Гуг ] + а3 [(Ц + а) Ку + (Ц — а)К, ],

Ц = 4у(Р + у)к + _2ур

в + 2у “ р + 2у 11 р + 2у 2

ку +^^т3 от3, Цу =(у+е)к! +(т—е)кй,

Цй

4уе

у+е

к,-3 +

у — е т, — т, у+е 2

О33 = О33 (а1, а2) — а3

°г-3 =°г-3 (аl, а 2 )=(Ц + а)Гг-3 +(ц —а)Г3

С о о Л"

Д1Д2

Э

Эа1 Эа

О11 О22

--------1--------

Я1 Я2

V V

©3,- = 031 (а1, а2) — а

о о

1 Эа,-,- 1 ЭДй 0 1 Эау 1 ЭД 0

—-—+-----------а,-,-+———+----------------—а у, +

Д. Эа,- ДД Эа,- Д Эау ДД Эау

+

1 ЭД. 0 а,-3 1 ЭД 0

-Ой + -

-ч ~1/ +---------------------------------т— а //

ДД Эа/ Я ДД Эа,-

а3

1 Эа,, 1 ЭД 1

+

Д Эа,- ДД Эа,

-а,-,-+

Д Эа, ДД Эа, ДД Эа, М/ Эа,

Ц3,- = Ц3,- ( а1, а2 ) а

1 ЭД

1 ЭЦй , 1 эдй

+

+

ДД,. Эа,

1 3 J

Д Эа,- ДД Эа,

+

+

(ц -+Ц/)+Я+(-1)'

а 3 — а3

Ц33 = Ц33 ( а1, а2 ) + а3

Ц11 + Ц22

я, я

2 V

Д1 Д2

Э

Эа1

Эа

2

С 0 0

О12 — О21

V

и

1

0

2

3

0

1

0 0 1 1

Здесь Он, а», Он, а,. представляют собой постоянную или линейную по

V

а3 часть силовых напряжений а, и О-, определяемых по соответствующим формулам (2.8).

Из условий эквивалентности для усредненных по толщине оболочки внутренних продольных сил (Ти,Б-), поперечных сил (Ы13, Ы31), изгибающих и крутящих моментов от силовых напряжений (Ыи, Ну), изгибающих и крутящих моментов от моментных напряжений (Ьи, Ь-, Ьв), с учетом предположения 4, будем иметь следующие формулы:

Т3 = I ОЛаз, Б у = I ауЛаз, N-3 = I О13Лаз, #3,- = I а3Лаз,

—к

—к

—к

Мц = I айа3Ла3, Н// = I а,1 а3Ла3, Ьи = I Цййа

—к

Ьу = I Ц/Ла3, Ь13 = | Ц,-3Ла3

—к

Основная система уравнений микрополярных упругих тонких оболочек с независимыми полями перемещений и вращений будет выражаться так. Уравнения равновесия:

1 ЭТ 1 ЭД/

-+-

Д Эа,- 44 Эа,

+

1 ЭБ« . 1 ЭД

-+-

(+Б/)+Я=-( 4* + 4).

1 Эм,.,. 1 ЭД.

-+-

Д Эа,- AІAJ Эа,

+

ЭН/

Эал

+

+

Т11 + Т2 — 1 Я, Я2 ДД

Э

Эа, Эа2

= 43 + 4—,

1 ЭЬ 1 ЭД,

+

Д Эа,. ДД/ Эа,

1 ЭЬ/

1 ЭД

Д. Эа, ДД, Эа,

1 1 1 3 J

(—1)1 («V 3 — #3 / ) = —(т++ т—),

Я

Ь11 + Ь22

1

Я, Я2 ДД2

Э( Д2 Ь13 ) + Э ( 4Ь23 ) Эа, Эа 2

к

к

к

к

Соотношения упругости:

Т- = [Г + ] + ~^к (43+— 4—), Б/ = 2к [(Ц + а)Г/ +(ц — а) Г- ],

1 — V 1 — V

2Ек3 г ] к1 V / + —\

М = 3(1 .2 ) [К К ] ( 43 + 43 ) ,

3

3

4^Ж-

Ь , = 2к

2 к

Ну = “3“ [(Ц + а) Ку +(Ц —а) Кл],

4У(Р + У) к + 2ур к + в т3+ — т3

в + 2у й в + 2у л в + 2у 2

Ьу = 2к [(У+е)к у +(У—е)кл] >

«3 = 2к(Ц + а)Г,3 + 2к(ц — а)Гз;, Ь-3 = 2к+ у + £ к(т,+ — т ), «3, = 2к (ц+а)гз; + 2к (Ц — а)Г, з,

р + у тз+— т— — _1 в

у(3р + 2у) 2 2к 2у(3р + 2у)( 11 22^

Геометрические соотношения:

„ 1 Эи, 1 ЭД ^ 1 Эш, 1 ЭА,

Г.. =------ +-------^-и, +—, К,, =-----^- +-----,,

Д ^ ДА Эа/ 1 Я А ^ ДА Эа/ 1

Г,з=—д+(—1)1 пй , д=—д Эа-+Я ’ ^=ш,'—(—1) 1П/,

Гй = — ^-------------------— — (—1)й П3,

й А Эа, ДА/ Эа/ - 1 ' 3’

Кй = — ЭШл-----— -ЭД ш,—(—1) й I

й а, Эа, ДА/ Эа/- 1 ' ’

1 ЭП , 1 ЭА, ^ П3

к,. =------ +-------------П, + —,

Д Эаi ДАл Эал 1 Я

к..= ± ЭПл—_ЭА П к = 1 ЭЦз — Ц

у Д Эа Д Ду Эау 3 Д Эа Я

Представим «смягченные» граничные условия на граничном контуре Г срединной поверхности оболочки, считая, что этот контур совпадает с координатной линией а, = const:

Zt 'Т'* * О О* * Л Т Л г* *

п = 1и или Щ = Щ, 0,2 = 0,2 или П2 = Щ, Nu = N,3 или w = w ,

Ml1 = M* или у, = у*, H12 = H* или у2 = у2,

Ln = Ll, или П, = П*, L12 = 4 или П2 = fl*2, L13 = 4 или П3 = ^3-

Система уравнений (2.10)—(2.12) (она представляет системой дифференциальных уравнений 16-го порядка) и граничные условия (2.13) составляют математическую модель микрополярной упругой тонкой оболочки с независимыми полями перемещений и вращений.

3. Основные уравнения и граничные условия микрополярной упругой круговой цилиндрической оболочки с независимыми полями перемещений и вращений

Будем под а, подразумевать соответственно безразмерную длину образующей и безразмерную длину дуги направляемого круга, тогда коэффициенты первой квадратичной формы Д и главные радиусы кривизны Я срединной поверхности определятся формулами:

Из общих уравнений и соотношений теории микрополярных упругих оболочек (2.10)—(2.12) для круговой цилиндрической оболочки получим:

- уравнения равновесия:

а, = г^, а2 = г0, Лх = A2 = г, Rl = ^, R2 = r.

Э^ де

гЫз, =-Л (З+- З-),

ЭМ™ ЭН,,

Эе д^

гЫз2 = -Л (д+- д2);

соотношения упругости:

Т- = [гй + уГ, ] + -^Л (<?з+-^з-), ^ = 2Н [(ц + а)Г. +(ц-а)Гл ],

1 - V 1 - V

м., =

2ЕЛ

,2

[ Ки + уКц ] + (^3+ + ^),

3(1 - у2) 2Л

3 1 - у'

Ну =-у [(М- + а) К. + (ц-а) К, ],

Д,- = 2Л

4у(р + у) ^ + 2ур ^ + р т+- т в + 2у й р + 2у 1 р + 2у 2

Х, = 2Л [(у+е)к . +(у-е)к,.]

4уе

N,3 = 2Л (Ц + а)Г-з + 2Л (ц - а)Гз,, = 2Л —-— к-з + —— Л (т+ - т,

1 =

у+е у+е

N3i = 2Л (Ц+^Г,; + 2Л (Ц-^!: в + у т+ - т- 1 в

I I

у

( А1 + Х22 ) ;

геометрические соотношения:

1

Г

1 Эи, Г Э^

г =^ г = ±

1 11 ля ’ 1 22

Эи V Эе

1 Эи2

Г "Э^

^^ I, Г,2 =-^2+«з, Г21 =1 %-«з,

К = — Т1 К = 1 ЭУ2 К = 1 ЭУ , К = — Т1 ,,

Кц =--------, К^ =----------------------, К19 =----------------1, К91 =---------------+1

11 Г Э£ 22 Г эе 12 Г э^ 21 Г Эе

Г д^

Гз; =¥,--(-1)7 «,,

Э^

Эе

-----I

1 Эи, 1 эа

Г.. =

1 А Эаi ААЭа.

( 1) 1 «3 , Ку =

1 Эу 1 1 ЭА

А Эаi АА Эа1

Эе

к, =-

= 1 д« = Эе ,

)

2

и

Г

к13 =- 3

1ЭП3 1

г г

эп3

Э0

К системе уравнений (3.2)-(3.4) необходимо присоединить граничные условия (2.13).

Рассмотрим задачу шарнирно-опертой микрополярной упругой круговой замкнутой цилиндрической оболочки в осесимметричной постановке, нагруженной нормально приложенной поверхностной нагрузкой интенсивно. ПГ г

сти д =

а

Для поставленной задачи получено точное решение. Численные результаты приведены в таблице.

Физические параметры материала балки: а = 1,6 ГПа, ц = 2 ГПа, А = 3 ГПа, у = е = 2 КН; интенсивность нагрузки: д0 = 0,1 МПа

Максимальный прогиб

№ Размеры балки Классическая уточненная теория (с учетом поперечных сдвигов) Микрополярная теория

а, мм к, мм 1, мм Жтах, мм Жтах, мм

1 0,5 0,005 1 0,0004807 0,0001775

2 1 0,01 2 0,0009613 0,0003588

3 1,5 0,015 3 0,001442 0,0005439

Отметим, что расчеты выполнены для гипотетического материала. Как убедимся, по микрополярной теории оболочек максимальный прогиб полчу-чается 60-65 % ниже, чем по классической теории, который говорит о том, что микрополярный материал имеет высокую жесткостную характеристику.

Библиографический список

1. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов / отв. ред. В.Е. Панин. - Новосибирск: Наука, 1995. - Т. 1. - 298 с.

2. Морозов Н.Ф. Структурная механика материалов и элементов конструкций. Взаимодействие нано-, микро-, мезо- и макромасштабов при деформировании и разрушении // Известия РАН. Механика твердого тела. -2005. - № 4. - С. 188-189.

3. Ерофеев В.И. Волновые процессы в твердых телах с микроструктурой. - М.: Изд-во Москов. ун-та, 1999. - 328 с.

4. Пальмов В.А. Простейшая непротиворечивая система уравнений теории тонких упругих оболочек // Механика деформируемого тела. - М.: Наука, 1986. - С. 106-112.

5. Жилин П.А. Основные уравнения неклассической теории упругих оболочек // Динамика и прочность машин: тр. Ленингр. политех. ин-та. -1982. - № 386. - С. 29-42.

6. Шкутин А.И. Механика деформаций гибких тел. - Новосибирск: Наука, 1988. - 128 с.

7. Амбарцумян С.А. Микрополярная теория оболочек и пластин. -Ереван: Изд-во НАН Армении, 1999. - 214 с.

8. Еремеев В.А., Зубов Л.М. Механика упругих оболочек. - М.: Наука, 2008. - 280 с.

9. Altenbach H., Eremeyev V. On the linear theory of micropolar plates // Z Angew. Math. Mech (ZAMM). - 2009. - Vol. 89. - № 4. - P. 242-256.

10. Саркисян С.О. Общая теория тонких пластин на основе несимметричной теории упругости // Известия РАН. Механика твердого тела. - 2010. -№ 4 (в печати).

11. Саркисян С.О. Краевые задачи тонких пластин в несимметричной теории упругости // Прикладная математика и механика. - 2008. - Т. 72, № 1. -С. 129-147.

12. Саркисян С.О. Общая теория упругих тонких оболочек на основе несимметричной теории упругости // Доклады НАН Армении. - 2008. -Т. 108, № 4. - С. 309-319.

13. Пелех Б.Л. Теория оболочек с конечной сдвиговой жесткостью. -Киев: Наукова думка, 1973. - 248 с.

14. Перцев А.К., Платонов Э.Г. Динамика оболочек и пластин (нестационарные задачи). - Л.: Судостроение, 1987. - 316 с.

15. Пальмов В.А. Основные уравнения теории несимметричной упругости // ПММ. - 1964. - Т. 28. - Вып. 6. - С. 1117-1120.

16. Аэро Э.Л., Кувшинский Е.В. Основные уравнения теории упругости сред в вращательным взаимодействием частиц // ФТТ. - 1960. - Т. 2. -Вып. 7. - С. 1399-1409.

17. Новацкий В. Теория упругости. - М.: Мир, 1975. - 862 с.

Получено 12.07.2010