О сходимости итерационного метода решения вариационного неравенства второго рода с обратно сильно монотонным оператором

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 149, кл. 4

Физико-математические пауки

2007

УДК 517.934

О СХОДИМОСТИ ИТЕРАЦИОННОГО МЕТОДА РЕШЕНИЯ ВАРИАЦИОННОГО НЕРАВЕНСТВА ВТОРОГО РОДА С ОБРАТНО СИЛЬНО МОНОТОННЫМ ОПЕРАТОРОМ

II. Н. Исмагилов, II. Б. Бадриев

Аннотация

В работе проведено исследование сходимости итерационного метода решения вариационного неравенства второго рода с обратно сильно монотонным оператором в гильбертовом пространстве. Функционал, входящий в это вариационное неравенство, является суммой нескольких функционалов, каждый из которых представляется в виде суперпозиции полунепрерывного снизу выпуклого собственного функционала и лилейного непрерывного оператора. Подобные неравенства возникают, в частности, при математическом моделировании стационарных задач фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному анизотропному многозначному закону фильтрации с предельным градиентом.

Введение

В работе проведено исследование сходимости итерационного метода решения вариационного неравенства второго рода с обратно сильно монотонным оператором [1] в гильбертовом пространстве. Функционал, входящий в это вариационное неравенство, является суммой нескольких функционалов, каждый из которых представляется в виде суперпозиции полунепрерывного снизу выпуклого собственного функционала и линейного непрерывного оператора. Подобные неравенства возникают, в частности, при математическом моделировании стационарных задач фильтрации несжимаемой жидкости, следующей нелинейному анизотропному многозначному закону фильтрации с предельным градиентом (см.. например. [2. 3]).

Для решения подобных вариационных неравенств в работах [4 6] предложены итерационные методы расщепления. Основную трудность при этом представляет решение возникающих на каждой итерации задач минимизации. В случае задач фильтрации с изотропным законом эту задачу удалось решить в явном виде (см. [7]) благодаря тому, что можно эффективно вычислить субдифференциал функционала, сопряженного к минимизируемому. В случае же анизотропного закона фильтрации, когда минимизируемый функционал является суммой нескольких функционалов, вычисление сопряженного функционала представляет из себя сложную задачу. В настоящей работе предложен алгоритм расщепления, позволяющий обойти указанную выше трудность. Исследована сходимость метода. Доказательство сходимости итерационного метода удалось провести благодаря записи его в виде метода последовательных приближений для отыскания неподвижной точки оператора перехода итерационного процесса. Получены соотношения, связывающие решение исходной задачи с неподвижной точки оператора перехода, получены условия непустоты множества неподвижных точек. Для оператора перехода доказано неравенство более сильное, чем неравенство нерастягиваемости, что и позволило получить результат о слабой сходимости итерационной последовательности. Использовались также результаты о сходимости метода последовательных

приближений для определения неподвижных точек асимптотически регулярных операторов (см. [8]).

1. Постановка задачи

Пусть V, H - гильбертовы пространства то скалярными произведениями (•, и (•, ^)H соответственно, Ao : V ^ V - обратно сильно монотонный оператор с постоянной ст0 > 0 (см. [1]):

Bj : V ^ H, г = 1, 2,..., m, — линейные, непрерывные операторы, Gj : H ^ R1, г =1, 2,..., m, - полунепрерывные снизу, выпуклые, собственные функционалы, f G V - заданный элемент.

Рассматривается задача поиска вектора u G V, являющегося решением следующего вариационного неравенства второго рода

m m

j=1 j=1

Ao

константой 1/ao, функционалы Fj = GjoBj : V ^ R1, г =1, 2,..., m, - полунепре-

m

рывными снизу, выпуклыми, собственными. Функционал F ^^ Fj также являет-

j=1

ся полунепрерывным снизу, выпуклым и собственным. Поэтому при доиолнитель-

Ao

имеет непустое, выпуклое, замкнутое множество решений (см., например, [9, 10]).

2. Итерационный метод

В дальнейшем будем рассматривать абстрактное вариационное неравенство (2), считая, что Bj : V ^ H - линейные, непрерывные операторы, Gj : H ^ R1 -выпуклые, липшиц-непрерывные функционалы, г = 1, 2,..., m. Кроме того, будем предполагать, что выполняется равенство

1m

—

j=1

Для решения вариационного неравенства (2) по аналогии с [5] рассмотрим следующий итерационный процесс.

Пусть u(o) G V, y(o) G H, A(o) G H, г = 0,1,..., m, — произвольные элементы.

Для k = 0,1, 2,..., зная y(k), определим u(fc+1) как

u(k+1) = u(k) - T

m

Aou

j=1 j=1

Затем находим y(k+1), решая задачи минимизации r (y(k+1),Zj - y(fc+1) )я + Gj(zj) - Gj(y(k+1)) >

H

>

m

Наконец, вычисляем A(k+1 по формуле

Af+1) = A(k) + r

BiU

i = 1, 2, . .. ,m.

Здесь т > 0 и r > ^ — итерационные параметры, B* : H ^ V - сопряженные к Bi операторы:

Для исследования сходимости описанного итерационного процесса выпишем явный вид оператора перехода этого процесса.

Обозначим через Hm прямое произведение m пространств H и введем в рассмотрение оператор T : V х Hm х Hm ^ V х Hm х Hm, ставящий в соответствие вектору q = (q0,qi,q2, . . . ,q2m) = (u,yi, . . . ,ym,\i, . . . ,\m), элементы Tq = { T0q, Tiq, ..., T2mq } следующим образом:

Toq = qo - t A0q0 - f + r^B*Bi q0 + ^ B*

i=1 i=1

Ti.q = Prox Gi/r ( Bi T0q + ^ ) , i= 1,2,..., m, Tm+iq = qm+i + r [Bi Toq - Tiq], i = 1, 2,...,m.

Здесь Ргох а : % ^ % - проксимальное отображение, сопоставляющее каждому-элементу р го гильбертова пространства % элемент V = Ргох а (р), являющийся решением задачи минимизации

\ II v ~p\\l + G(v) = mm { 7, II z~p\\l + G(z) |,

которая эквивалентна в случае, когда G - выпуклый, собственный, полунепрерывный снизу функционал, вариационному неравенству

(v - p,z - v)Z + G(z) - G(v) > 0 V z e Z.

Нетрудно проверить, что проксимальное отображение является жестко нерас-тягивающим, то есть

Ргоха(р) — Ргоха(г) < ^Ргоха(р) — Ргоха(г), р — г^ Ур,г €

Используя определение проксимального отображения в виде вариационного неравенства (11), легко установить, что итерационный процесс (4) (6) может быть записан в следующем виде:

qo — произвольный элемент,

д(к+1) = Tq{k), ^

/к) = (п(к),у1к) ,у{2к), Х™ , ...,Х$) , к = 0,1, 2,...,

то есть Т - оператор перехода этого итерационного процесса.

Справедливы

Теорема 1. Точка д = (и, В1и, В2и,..., Вти, А1, А2,..., Ат) является неподвижной точкой оператора Т в том и только в том случае, когда выполнены условия

уг = Вги,

Аг е ^

т

— 53 В** Аг = А0и - /, г = 1, 2 ..., т.

г=1

Лрм этом первая компонента и любой неподвижной точки оператора Т является решением. задачи (2).

Доказательство. Пусть д = (и, ^и, В2и,..., Вт и, А1, А2,..., Ат) является

Т

и = и — т

Аои — / + Г V В*Вги — V В*

уг = Ргох а./г + ^ , % = 1, 2 ..., т,

Аг = Аг + Г

Равенства (18) эквивалентны (13), ибо г > 0. Равенства (17) эквивалентны с учетом (13) неравенствам

( —  :: I!:») +- [Сг(гг)-<Зг(ВгМ) 1>0 V £ Я, г = 1, 2 . . . , Ш, (19) v г /Я г i j

которые эквивалентны соотношениям Аг е 9Сг

т

Аои — / + В* Аг =0,

г=1

т

— В* Аг = Аои — /, г = 1, 2,...,т.

г=1

Таким образом, установлена эквивалентность равенства Тд = д соотношениям (13) (15).

и

ложим гг = Вгп, где п _ произвольный элемент из V. Тогда, с учетом (7), сложив эти неравенства по г = 1, 2,..., т, получим

т т

—

г= 1 У г=1

Складывая (20) и (21), получим, что и решение задачи (2).

Теорема 2. Пусть существует по крайней мере одно решение задачи (2).

Т

т

т

Доказательство. Пусть и - решение задачи (2), у = и, г = 1, 2 ..., ш. Вариационное неравенство (2) эквивалентно следующему включению:

т

/ - Аои е о B¿)

¿=1

Из предложений 5.6. 5.7 [10] следует, что

т т т

о В^

¿=1 ¿=1 ¿=1

Из равенства (23) и соотношения (22) следует, что существуют такие элементы 2 е Вги), для которых справедливо равенство

т

-53 В* 2 = Аои - /.

¿=1

Поэтому для точки д = (и,у1,...,ут,А1,..., Ат ) имеют место соотношения (13) (15). а значит, в силу теоремы 1 д неподвижная точка оператора Т.

3. Сходимость итерационного метода

Из теоремы 1 следует, что исследование сходимости итерационного процесса (4) (6) сводится к исследованию сходимости метода последовательных приближений отыскания неподвижной точки оператора Т.

Введем в рассмотрение гильбертово пространство Q = V х Нт х Нт со скалярным произведением

тт

, , (1 - ШТГ) 1

(•, -)<э = --;-- (•, + Г 53(-, -)н + - 5>> -)н-

¿=1 ¿=1

Для исследования сходимости итерационного процесса (12) нам потребуется следующая

Теорема 3. Пусть Ао : V ^ V - обратно сильно монотонный оператор с константой ао > 0 м выполнено условие:

0 < т < -

2 ш ао г + 1

Тогда оператор Т, определяемый соотношениями (8)—(10), является нерастя-гивающим,.

Более того, для любых р, д е Q справедливо неравенство

|| Тд - Тр ||^ + 6 (Аодо - Аоро, до - Ро)у +

+ —г,—--г 11(1 - тг)(до - Т0д - (р0 - Т0р)) - т(А0до - А0р0)||у+

т

т

+ ^II q¿ - B¿Tоq - ^ - B¿Tоp) " <|| д - Р

2

2

я— -

где 6 = 2 - т/(сто(1 - штг)).

Доказательство. По условию теоремы А0 - обратно сильно монотонный оператор с константой а0 > 0, то есть выполнено (1).

В силу условия (24) выполнены неравенства тг < 1/т и 6 > 0,а значит, из (25) и (1) будет следовать нерастягиваемость оператора Т.

Докажем неравенство (25). С учетом (3) перепишем равенство (8) в виде

m

* /

Toq = (1 - ттг) qo - TAoqo + т f - t^B* (qm+i - rqi) = Sqo - t^B* (qm+i - rqi),

i=l i=l

где оператор S : V ^ V определяется соотношением

Sqo = (1 - mTr)qo - TAoqo + т f. Используя (1), получаем

I Sqo - Spo || V = (1 - mTr)21| qo - po ||V - 2т (1 - mTr) ( Aoqo - Aopo, qo - Po) v+

+ т2 Ц Aoqo - Aopo HV < (1 - mTr)2 Ц qo - po ¡V -

-r 2(1 -ттг)-— (A0q0 - Aopo, qo ~ Po)v- (26) L ao i V

Далее,

m

^ Toq - Top \\V = (Toq - Top, Sqo - Spo - т J^B* (qm+i - Vm+i - r(qi - pi))^J =

i=\

m

= (Toq - Top, Sqo - Spo) v - T^Toq - Top^^B* (qm+i - Vm+i - r(qi - pi))^J .

i=l

Для произвольного числа e имеем равенство

IV - 2 e ( a, b )v + e2 Ц b W]

1 И М2 , у \ e м м2

откуда получаем

Используя равенство (28) с a = Sqo - Spo, b = Toq - Top, преобразуем (27):

II 112 111 112 e 11 112

ГТ1 rri 2 о С' 2 I ГТ! rri 2

1 m

|| (Sqo-Spo)-s (Toq-Top) \\у~т (Т0д-Т0р, В* (qm+i-pm+i-r(qi-pi))^ .

i=l

a

Отсюда с учетом (26) вытекает, что

II Т0д - Тур< ттг (1 — ттг)2 II до - ро \\у~

т 2г

т

2(1 — т т г)--

ао

(Аодо - Аоро, до - Ро)v+

'V

е .. 2 1м 2

+ 7, II т0 <7 - Тор\\у - — ||

т

- т (Тод - Тор, 53 В* (дm+¿ - рт+ - г ^ - Р¿))) v.

После умножения получившегося неравенства на 2/т имеем

'| Т0д - Тур + || (Бд0 - б'ро ) - £ (Т0д - Тур) <

т "г те

(1 - штг)2 и и 2 1

<- <7о ~Ро , , - -

те 11 11 v е

т

2(1— т тг)--

ао

(Аодо - Аоро,до - Ро) v-- 2 (Тод - Тор, 53 В* (дт+ - Рm+¿ - г^ - p¿)) ) v.

Выбирая в этом неравенстве е = 1 - ш т г, на основании определения оператора Б получаем

1м ц2

(1 - 'ттг) [ (до - Т0д) - (ро ~ Тур)] - т (Аодо - А0р0 ) \\у+ т (1 - ттг1" "у

, + ттг) II г гг. ц2 , (1 - ттг) и н2 , ,

Н----|| ¿од-Тур\\у < ---|| до ~Ро \\у -д { Аодо-Аоро, до ~Ро )у~

т

- 2 (Тод - Тор, В*( qm+¿ - Рm+¿ - г ^ - p¿)) ) =

¿=1

(1 - штг) и и2 г н . . \

= ---II до - ро \\у ~ д {Аодо - Аоро, до ~Ро )у~

тт

- 2

Применяя равенство (28) с е = 1, а = q¿ - р^ Ь = B¿(T0д - Тор), г = 1, 2,.... преобразуем (29) к следующему виду:

1 , г, ~ , , „л .......

ш

(1 - штг) [ (до - Тод) - (ро - Тор) ] - т (Аодо - Аоро ) +

т (1 - штг) " ^

т2

я

+ г 53 И (д¿ - B¿Tод) - - B¿Tоp) + 6 (Аодо - Аоро, до - Ро) v+

¿=1 я

, (1+'/ПТГ) II гр гр ||2 , (1-ШТ7') Ц и2 -Ам м2

¿=1

т т 2

- 2 ^¿

0р

¿=1 я ¿=1

Далее, из (9) с учетом жесткой нерастягиваемости проксимального отображения для г = 1, 2,..., ш имеем, что

II Т.1д - ТгР \\н < (ВгТод + ^ <7т+г - В^Тур - ^Рт+г, Тц1 - ТгР) ^

2r

2 r И Ti q - Tip |H < 2 r ( Bi( Toq - Top), Ti q - Tip)H+

+ 2

Из (10) для i = 1, 2,... ,m следуют соотношения

+ r Ц Ti q - Ti p |H + 2

Просуммируем соотношения (31) и (32) no i = 1, 2,... ,m, а затем эти результаты сложим с (30):

(1 + mTr) 2 m 2 1 m 2

- II Toq - Top + 2r^2\\Tiq-Tip\\H + - ^ || Tm+i q - Tm+ip ||я+

i=1 i=1 1 II,- rn м - M|2

H--n-Г 11(1- m T r) [ (<7o - Toq) - (po - Top) ] - т [Aoqo ~ A0p0 ) +

т

m 2

+ || (qi - Bi Toq) - (pi - Bi Top) + S (Aoqo - Aopo , qo - po) V <

i=1

mm

- - I110 -PO \\v +Г II 1i -Pi \\H + - II 1m+i ~P™+i IIЯ +

i=1 i=1 m 2 m 2 m

+ || Bi(Toq - Top) + || Bi(Toq - Top) + || Ti q - Ti p

i=l i=l i=l mm

- 2 (*( Toq - Top), qm+i - Pm+i) + 2 ^ (Bi( Toq - Top), qm+i - Pm+i) . i=l i=l

Учитывая при этом, что в силу условия

m

у^ WB^ Toq - Top) |H = m | Toq - Top |V,

i=1

после несложных преобразований неравенство (33) преобразуем к виду

(1 - mTr) 2 m 2 1 m 2

- || Toq ~ Top + Г ^ || Ti 1 ~ TiP ||Я + ~ XIII Tm+i 1 ~ Tm+iP Ня +

(1 - m т r) [ (qo - T0q ) - (po - Trp) ] - т(А0до - A0p0 ) +

(1 - mTr) " "V

m2

н

• • ~ 11 2 + r X^ || (qi - Bi Toq) - (pi - Bi Top) + S (Aoqo - Aopo, qo - po) V <

i=i

mm

- - I11° ~P° IIV + r Z^ II qi ~Pi WH + ~ Z^ II qm+i ~P™+i IIЯ'

r

i=l i=l

то есть неравенство (25) справедливо. Теорема доказана.

Напомним (см. [8]), что оператор Т : Q ^ Q называется асимптотически регулярным, если Тк+1д - Ткд ^ ^и к ^ для любого д е Q.

Справедлива

Теорема 4. Пусть Ао : V ^ V - обратно сильно монотонный оператор с константой ао > 0, выполнены условия (1), (24), задача (2) имеет по крайней мере одно решение, итерационная последовательность {д(к)}+=о, построенная по формуле

д(к+1) = Тд«, д(о) е Q - произвольно заданный элемент. Тогда эта последовательности сходится слабо в Q при к ^ ее предел д* является

Т

lim

k—

- Bi u

= 0, i = 1, 2,..., m,

lim

k—+ ^

q

= 0.

Доказательство. Воспользуемся неравенством (25), положив в нем д = д(к) рТ бы одна такая точка). Учитывая, что по определению итерационной последовательности Тд(к) = д(к+1), а для неподвижной точки согласно теореме 1 выполнены равенства p¿ - B¿ Тор = p¿ - B¿ро = 0, г = 1, 2,..., ш, Ро - Тор = 0, получаем

q(k+1) -p llQ + <* (Acu(k) - Aopo,u(k) -p„)V +

(1 -'

(1 - mTr)(w(k) - w(k+1)) - r(Ao«(k) - Aopo ) fy+

^E ll y

i=i

Из неравенства (36) следует, что ограниченная снизу (нулем) числовая после-

|| д(к) - р ||ц ^ не возрастает, и следовательно, имеет конечный J к=о

k=o

предел:

lim Ц q(k) - p Уп = Ар

k—+ТО 11 IIQ

и значит, выполнены соотношения:

lim fAow

k—+TO V )y

lim ^

k—+ ^

lim ll y

k—11  IIH

Используя (37) и (1), получаем

lim ll Aou

k—y

Из (38) и (40) следует, что

lim Ц u

k—+ ^

Далее, используя (39), (41), (3) и неравенства || y(k) - BiU(k) ||H < ll y(k) - Bi u(k+1) ||H + || Bi u(k) - u(k+1) ||H , i = 1, 2,...,m,

получаем соотношения (34). из которых с учетом условия (41) и равенств

y(k) - yf+l) = (yf] - Bi u(k)) + (Bi u(k) - Bi u(k+1)) +

+ (Bi u(k+1) - y(k+1)), i = 1, 2,... ,m,

следует, что

Наконец, используя (10) и (34), имеем

Равенства (41)-(43) означают, что условие (35) выполнено, и, поскольку q(0) £ £ Q - произвольный заданный элемент, то оператор T является асимптотически регулярным. Кроме того, оператор T является перастягиваюгцим, и поэтому итерационная последовательность {q(k)} +0 сходится слабо в Q при k ^ и ее предел q* является неподвижной точкой оператора Т. Теорема доказана.

Отметим, что если выполнены условия теоремы 1, то из теорем 2, 4 вытекает,

что последовательности {u(k)}+=0, {yik^}+=°0, построенные согласно (4)-(6), при k ^ сходятся слабо к u в V и к Biu в H, i = 1, 2,...,m, соответственно, где u

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект Х- 06-01-00633-а).

Summary

I.N. Ismagilov, I.В. Badriev. On the convergence of iterative method for solving a variational inequality of the second kind with inversely strongly monotone operator.

In the paper the convergence of the iterative method for solving a variational inequality of the second kind with inversely strongly monotone operator in Hilbert. space is investigated. The functional occurring in this variational inequality is a sum of several functionate. Each of these functionals is a superposition of lower semi-continuous convex proper functional and a linear continuous operator. Such variational inequalities arise, in particular, during mathematical modeling of stationary problems of filtration of a non-compressible fluid follows the nonlinear mult.i-valued anisotropic filtration law with limiting gradient.

Литература

1. Гольште.йи Е.Г., Третьяков H.B. Модифицированные функции Лаграпжа. М.: Наука, 1989. 400 с.

2. Бадриео И.В., Иемагилоо И.Н. Исследование некоторых нелинейных краевых задач с вырождением по градиенту // Сеточные методы для краевых задач и приложения. Материалы 6-го Всерос. семинара. Казань: Казан, гос. уп-т, 2005. С. 50 53.

3. Бадриео И.Б., Иемагилоо И.Н. Математическое моделирование стационарных анизотропных задач теории фильтрации с многозначным законом // Вести. Удмурт, ун-та. Математика. 2007. Л 1. С. 3 8.

4. Бадриео И.Б., Задоориоо О.А. Итерационные методы решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами// Изв. вузов. Математика. 2003. 1. С. 20 28.

100

H.H. ИСМАГИЛОВ, И.В. ВАДРИЕВ

5. Бадриеа И,Б,, Задаориоа O.A. Методы декомпозиции для решения вариационных неравенств второго рода с обратно сильно монотонными операторами // Дифферепц. уравнения. 2003. Т. 39, 7. С. 888 895.

6. Бадриеа И.Б., Задаориоа O.A. О сходимости итерационного метода двойственного типа решения смешанных вариационных неравенств // Дифферепц. уравнения. 2006. Т. 42, Л» 8. С. 1115 1122.

7. Бадриеа И.Б., Задаориоа O.A., Иемагилоа JI.H. Применение метода декомпозиции для численного решения некоторых нелинейных стационарных задач теории фильтрации // Исслед. по прикл. матем. и ипформ. Казань: Казап. гос. уп-т, 2003. Вып. 24. С. 12 24.

8. Browder F.E., Petrushin W. V. The solution by iteration of nonlinear functional equations in Banacli spaces // Bull. American. Mat.li. Soc. 1996. V. 72. P. 571 575.

9. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972. 588 с.

10. Эклаид И., Темам Р. Выпуклый анализ и вариационные проблемы. М.: Мир, 1979. 400 с.

Поступила в редакцию 01.10.07

Вадриев Ильдар Вурханович доктор физико-математических паук, профессор

кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета.

E-mail: Ildar.BadrievQksu.ru

Исмагилов Ирек Наилевич аспирант кафедры вычислительной математики Казанского государственного университета.

E-mail: Irek.IsmagilovQmail.ru