Применение метода граничных интегральных уравнений к решению задач о движущейся нагрузке

УДК 534

ПРИМЕНЕНИЕ МЕТОДА ГРАНИЧНЫХ ИНТЕГРАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ К РЕШЕНИЮ ЗАДАЧ О ДВИЖУЩЕЙСЯ НАГРУЗКЕ

© 2015 г. А.В. Галабурдин

Галабурдин Александр Васильевич - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математики и информатики, Донской государственный технический университет, пл. Гагарина, 1, г. Ростов-на-Дону, 344000.

Galaburdin Aleksander Vitalievich - Candidate of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Department of Higher Mathematics and Informatic, Don State Technical University, Gagarin Sq., 1, Rostov-on-Don, 344000, Russia.

Предлагается метод решения задач теории упругости для тел, ограниченных поверхностями вращения, на которых действует нагрузка, движущаяся вокруг оси вращения. Метод основан на применении метода граничных интегральных уравнений к соответствующей краевой задаче плоской динамической теории упругости в пространстве преобразований Фурье по конечному отрезку времени, длина которого равна периоду изменения нагрузки. Приводятся результаты решения задачи о сферической оболочке, нагруженной двумя подвижными сосредоточенными силами.

Ключевые слова: граничные интегральные уравнения, динамическая задача теории упругости, подвижная нагрузка.

In work the method of the decision ofproblems of the elasticity theory for the bodies limited to surfaces of rotation on which the loading moving around of an axis of rotation operates is offered. The method is based on application of a method of the boundary integrated equations to the appropriate regional problem of the flat dynamic elasticity theory in space of transformations Fourier on a final interval of time which length is equal to the period of change of loading. Results of the decision of a problem about the spherical environment, loaded are resulted by two mobile concentrated forces.

Keywords: boundary integrated equations, dynamic problem of the elasticity theory, mobile loading.

Инженеры и ученые активно используют в последнее время численные методы решения краевых задач. Одним из первых численных методов был метод конечных разностей, в котором дифференциальные операторы аппроксимировались разностями значений неизвестной функции в близко расположенных точках. Другой численный метод - метод конечных элементов, основан на вариационных принципах, при реализации которых сплошная среда разбивается на малые элементы. Используемый в данной работе метод граничных интегральных уравнений (ГИУ) выгодно отличается от указанных выше и многих численных методов своей экономичностью, которая обусловлена тем, что при его реализации приходиться оперировать с данными, определенными только на границе области.

Рассмотрим задачу теории упругости для области О , ограниченной поверхностью вращения Е, отнесенной к цилиндрической системе координат (г, ф, 2).

На поверхности Е приложена нагрузка F(ф-at), движущаяся вокруг оси вращения с угловой скоростью, равной а. Период обращения нагрузки равен

т - 2ж

т а .

а

Данная задача сводится к интегрированию уравнения движения

цДи(к + ц) graddivu = р

5 2u

где и - вектор перемещения; X и ц - константы Ля-ме; р - плотность. Граничные условия

ст • n

= F (ф- at) .

Здесь ст - тензор напряжений; п - вектор внешней нормали к граничной поверхности.

Будем рассматривать установившийся процесс, в силу чего начальные условия в такой постановке будут отсутствовать.

Применим конечное интегральное преобразование

Фурье по времени на отрезке

T T

L a L a 2 ' 2

. Будем ис-

—ikat

кать решение приведенного выше уравнения движения в виде

к=<ю

и(г, ф, 2^) = 2 ик (г, ф, 2)£~

к=_ю

Разлагая в ряд приложенную нагрузку

% ^кф и *кф

| F(ф - at)е1ка'^ = -— | F(т)е_ктёт =F_k -—,

где Fk - коэффициенты разложения в ряд Фурье F (т), получим краевую задачу

цД^ + (к + yC)graddivUk = —рю k Щ,

5t2

Е

-Л

— Л

£= FOe/о .

Здесь ак - трансформанта Фурье, тензора напряжений, ю к = а • к .

Полученная краевая задача решалась методом ГИУ. Для их построения использовалась фундаментальная система решений уравнения движения в цилиндрической системе координат в пространстве преобразований Фурье по времени [1, 2]. Используя известную фундаментальную систему решений в декартовой прямоугольной системе координат, можно с помощью соответствующего преобразования координат получить фундаментальные решения в цилиндрической системе координат, представив ее в виде матрицы и( р, д, ю), элементы и у (р, д, ю) которой представляют собой смещения в точке р пространства в направлении 1-й координаты, возникающие в результате действия единичной сосредоточенной силы, приложенной в точке пространства д и направленной вдоль}-й координаты.

Тогда решение будем искать в виде потенциала простого слоя

У(р,ю) = \и(р,д,ю) • 0(д)^(д), £

Вектор напряжений, действующий на данную площадку с нормалью п в точке р, можно представить в виде

Г„У(р, ю) =|Г1(р, д, ю) • , где Тп - маг-

Е

ричный оператор напряжений, определяющий вектор напряжения на площадке с нормалью п по вектору перемещений.

Используя традиционные методы и учитывая граничные свойства ТпУ(р, ю), получим интегральное уравнение, определенное на границе области,

1

. 0( р) +1 Г1( р, д, юк ) • Q(д)d£(д) = ¥°в~гкф / а. 2 £

Решив приведенное интегральное уравнение и определив р), для значений юк = а • к

можно найти вектор перемещения в любой точке тела для указанных значений юк и, обратив преобразование Фурье, вычислить перемещения и по ним напряжения внутри исследуемой области.

Аналогично можно решать задачи для бесконечных областей Б~, ограниченных поверхностью вращения £.

Для решения представленных выше интегральных уравнений можно использовать известные численные методы.

Изложенный метод использовался при решении задачи о толстостенной сферической оболочке, нагруженной двумя подвижными единичными сосредоточенными силами, направленными перпендикулярно оси и приложенными в двух диаметрально противоположных точках на внешней поверхности оболочки. Область, занимаемая оболочкой, в сферической системе координат задается системой неравенств

Р1 <Р<Р2

2

5 + агссоБ

0 < ф < 2л.

Осевое сечение оболочки и приложенные силы, вращающиеся вокруг оси Ъ, представлены на рис. 1. Интегральные уравнения решались методом коллока-ций, а для вычисления интегралов граница области разбивалась на элементарные подобласти, в пределах которых предполагалось, что подынтегральная функция изменяется по кубическому закону.

Расчеты проводились при следующих исходных данных: скорость распространения продольных волн п1 = 500000 см/с; коэффициент Пуассона V = 1/3 ;

а = 50•л; Р1 = 4,5 см; Р2 = 5,5 см.

При обращении конечного преобразования Фурье удерживались первые 16 членов ряда.

На рис. 1 и 2 представлены осевое сечение оболочки и изменения вдоль линии сечения оболочки, изображенной пунктирной линией, напряжений ст2 (линия 1), стге (линия 2), стг (линия 3) и ст2ф (линия 4).

Рис. 1

Рис. 2

CTi- • n

k

Учитывая симметричность напряжений относительно оси, на чертеже представлено изменение напряжений только в одной половине сечения. На рис. 3 представлены графики изменения напряжений ст7 и ст^ во времени на временном отрезке [0,Га ] в точке с координатами г = 5,12, 7 = 1,17 (расположение этой точки указано на рис. 1 и 2 пунктирной

стрелкой), а на рис. 4 представлены графики изменения во времени стг и ст2ф в той же точке. Полученные числовые значения напряжений стгф и стф значительно меньше значения напряжений, рассмотренных выше, и поэтому не представляют особого интереса.

Рис. 3

Выводы

Рис. 4

Литература

В работе предложен метод решения динамических задач теории упругости для тел вращения, нагруженных подвижной, периодически изменяющейся нагрузкой, в основу которого положено применение метода ГИУ к краевой задаче для уравнений движения в пространстве конечного преобразования Фурье по времени на отрезке, равном периоду изменения нагрузки. Предложенный метод может быть использован для решения указанных задач как для конечных областей, ограниченных поверхностью вращения, так и для областей бесконечных, имеющих в качестве своей границы поверхность вращения.

1. Новацкий В. Теория упругости. М., 1975. 256 с.

2. Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости.

М., 1963. 472 с.

References

1. Novatskii V. Teoriya uprugosti [Theory of elasticity]. Mos-

cow, 1975, 256 p.

2. Kupradze V.D. Metody potentsiala v teorii uprugosti [Po-

tential method in the theory of elasticity]. Moscow, 1963, 472 p.

Поступила в редакцию

10 января 2015 г.