Проективографический анализ многогранников Джонсона

ИНЖЕНЕРНАЯ ГЕОМЕТРИЯ И КОМПЬЮТЕРНАЯ ГРАФИКА

УДК 514.8

А.В. Иващенко, Т.М. Кондратьева*

НОУВПО «СФГА», *ФГБОУВПО «МГСУ»

ПРОЕКТИВОГРАФИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ МНОГОГРАННИКОВ ДЖОНСОНА

Проведен анализ возможностей проективографического аппарата, основанного на методе следовых эпюров, в применении к многогранникам Джонсона в задачах формообразования выпуклых многогранных структур. Рассмотрены многогранники Джонсона, для которых указаны типы симметрии. Каждый многогранник может являться ядром одноэпюрной или многоэпюрной системы. Показано как при изменении параметров (углов поворота, осей симметрии, количества ядер) можно получать многообразие форм, интересных с точки зрения архитектуры и дизайна. Для практической реализации метода применена специально разработанная компьютерная программа.

Ключевые слова: проективография, метод следовых эпюров, выпуклые неоднородные многогранники, многогранники Джонсона, одноэпюрность, многоэпюр-ность, типы симметрии, формообразование.

Многогранники Джонсона — это выпуклые неоднородные многогранники, гранями которых являются правильные многоугольники [1—3].

С точки зрения проективографического анализа их можно рассматривать как ядра одноэпюрных или многоэпюрных систем [5, 6].

Многогранники Джонсона можно разделить на простые, т.е. не сводимые к объединению (сумме) других выпуклых многогранников, и составные.

По способу образования многогранники Джонсона можно классифицировать на производные от однородных многогранников (архимедовых и платоновых тел) и независимые. Любой из многогранников Джонсона, производный от однородного многогранника, характеризуется нарушением симметрии исходного многогранника. Это нарушение, в свою очередь, может быть порождено либо за счет добавления новых граней, не принадлежащих симметрии порождающего многогранника, либо за счет исчезновения граней исходного многогранника, но в обоих случаях симметрия исходного многогранника нарушается. На проекти-вографическом чертеже произойдут следующие изменения: 1) количество линий на проективографическом чертеже изменится; 2) возможно, система станет многоэпюрной; 3) число самосовмещений многогранника существенно уменьшится. В результате количество пространственных отсеков изменяется, и трехмерные формы, образуемые продолжениями граней, теряют симметрию.

В [7, 8] показаны многогранники Джонсона, классифицированные по типу симметрии.

Проанализируем образование тел Джонсона из однородных многогранников на примерах тел J1 и J2 из [8].

226

© Иващенко А.В., Кондратьева Т.М., 2013

Инженерная геометрия и компьютерная графика

VESTNIK

JVIGSU

Многогранник Л — «квадратная пирамида» — является половиной октаэдра. В отличие от проективографической одноэпюрной системы октаэдра данный многогранник является ядром двухэпюрной проективографической системы (эпюры для треугольной грани и для квадратного основания), группа симметрии меняется с октаэдрической группы на группу самосовмещений квадрата, и количество порождаемых при продолжении граней пространственных отсеков сокращается до 4.

Многогранник 12 — «пятиугольная пирамида» — является частью икосаэдра. Также как и в предыдущем случае многогранник является ядром двухэпюрной системы (для треугольной грани и для пятиугольника). Группа симметрии изменяется с икосаэдрической группы на группу самосовмещений пятиугольника, и количество порождаемых отсеков тоже уменьшается.

Наиболее просты в проективографическом смысле треугольная и пятиугольная бипирамиды, образующие одноэпюрные системы диэдральной симметрии, а также удлиненные треугольная, четырехугольная и пятиугольная бипирамиды, образующие двухэпюрные системы диэдральной симметрии. Также к диэдральной симметрии относятся многогранники Р3Р3, Р4Р4, Р5Р5, (Я5)2. Кодировка обозначений многогранников приводится в соответствии с [8].

На рис. 1 показана пятиугольная бипирамида и соответствующий ей про-ективографический чертеж.

Рис. 1. Пятиугольная бипирамида и соответствующий ей проективографический чертеж

Большая часть многогранников Джонсона, принадлежащая к известным группам симметрии (группы симметрии указаны в таблице), позволяют получать интересные с точки зрения формообразования объекты.

Кроме того, перспективным представляется исследовать не отдельные многогранники Джонсона, а их совокупности, упорядоченные какой-либо группой симметрии. На рис. 2 показано соединение 6 многогранников Джонсона 126 [8], упорядоченных октаэдрической группой симметрии. Сам многогранник 126 [8] представляет собой две треугольные призмы с общей боковой гранью.

Для формообразования на основе проек- Рис. 2. Соединение шести

тивографического анализа части многогран- многогранников Джонсона 126

ников Джонсона используются алгоритмы и программы, разработанные для подобных задач, позволяющие анализировать многокомпонентные системы многогранников [4].

Результаты представляют практический интерес для задач современной архитектуры и дизайна.

Библиографический список

1. Залгаллер В.А. Выпуклые многогранники с правильными гранями // Зап. науч. сем. ЛОМИ. М. i Наука, 1967. Т. 2. С. 5—221.

2. Гурин А.М. К истории изучения выпуклых многогранников с правильными гранями // Сиб. электрон. матем. изв. 2010. Т. 7. С. 5—23.

3. Венниджер М. Модели многогранников. М. i Мир, 1974.

4. Иващенко А.В., Кондратьева Т.М. Проективографические чертежи многокомпонентных систем многогранников // Вестник МГСУ 2012. № 6. С. 155—160.

5. Гамаюнов В.Н. Проективография. М. i МГПИ, 1976.

6. Гольцева Р.И. Геометрия многогранных n-эпюрных систем // Формообразование в строительстве и архитектуре i сб. М. i МИСИ, 1987. С. 175—222.

7. Weisstein Eric W. Johnson Solid // Wolfram mathworld i MathWorld — A Wolfram Web Resource. Режим доступа: http://mathworld.wolfram.com/JohnsonSolid.html. Дата обращения: 02.04.12.

S. Steven Dutch. Polyhedra with Regular Polygon Faces. Режим доступа: http://www. uwgb.edu/dutchs/symmetry/johnsonp.htm. Дата обращения: 02.04.12.

Поступила в редакцию в марте 2013 г.

Об авторах: Иващенко Андрей Викторович — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры дизайна, НОУ ВПО «Столичная финансово-гуманитарная академия» (НОУ ВПО «СФГА»), 109088, г. Москва, ул. Шарикоподшипниковская, д. 15, ivashchenko_a@inbox.ru;

Кондратьева Татьяна Михайловна — кандидат технических наук, доцент, заведующий кафедрой начертательной геометрии и графики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, (499) 183-24-83, grafika@mgsu.ru.

Для цитирования: Иващенко А.В., Кондратьева Т.М. Проективографический анализ многогранников Джонсона // Вестник МГСУ 2013. № 5. С. 226—229.

A.V. Ivashchenko, T.M. Kondrat'eva

ANALYSIS OF JOHNSON POLYHEDRA USING PROJECTIVE GEOMETRY

TECHNIQUES

The authors analyze the capabilities of projective geometry techniques based on the method of tracing for diagrams, as applied to problems of Johnson polyhedra and formation of convex polyhedral structures. Johnson polyhedra, known as Johnson solids, demonstrate a specific type of symmetry. Each polyhedron can serve as the core for varied shapes capable of preserving their properties. The authors believe that the research into clusters of Johnson solids have a stronger potential than any research into a single Johnson polyhedron. The paper shows how the change of parameters (rotation angles, axis of symmetry, and number of facets) can be preserved for a variety of shapes; this is a very lucrative property in terms of architecture and design. Specialized computer software is used for the practical implementation of the method.

228

ISSN 1997-0935. Vestnik MGSU. 2013. № 5

Инженерная геометрия и компьютерная графика

VESTNIK

MGSU

Key words: projective geometry, non-uniform convex polyhedra, Johnson polyhedral, types of symmetry, shape.

References

1. Zalgaller V.A. Vypuklye mnogogranniki s pravil'nymi granyami [Convex Polyhedra Having Regular Faces]. Moscow, Nauka Publ., 1967, vol. 2, pp. 5—221.

2. Gurin A.M. K istorii izucheniya vypuklykh mnogogrannikov s pravil'nymi granyami [Background of Study of Convex Polyhedra with Regular Faces]. Sib. elektron. matem. izv. [Siberian Electronic News of Mathematics]. 2010, vol. 7, pp. 5—23.

3. Vennidzher M. Modeli mnogogrannikov [Models of Polyhedra]. Moscow, Mir Publ.,1974.

4. Ivashchenko A.V., Kondrat'eva T.M. Proektivograficheskie chertezhi mnogokom-ponentnykh sistem mnogogrannikov [Shape Generation by Means of a New Method of Orthographic Representation ("Proektivografiya",): Drawings of Multi-Component Polyhedra]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 6, pp. 155—160.

5. Gamayunov V.N. Proektivografiya [Projective Geometry Means of Graphic Presentation]. Moscow, MGPI Publ., 1976.

6. Gol'tseva R.I. Geometriya mnogogrannykh n-epyurnykh sistem [Geometry of Polyhedral n-faced Systems]. Formoobrazovanie v stroitel'stve i arkhitekture [Shape Formation in Construction and Architecture]. Moscow, MISI im. Kuybysheva Publ., 1986, pp. 175—222.

7. Weisstein E.W. Johnson Solid. Wolfram Mathworld. Available at: http://mathworld.wol-fram.com/JohnsonSolid.html.

8. Dutch S. Polyhedra with Regular Polygon Faces. Available at: http://www.uwgb.edu/ dutchs/symmetry/johnsonp.htm.

About the authors: Ivashchenko Andrey Viktorovich — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Metropolitan Academy of Finance and Humanities (SFGA); 15 Sharikopodshipnikovskaya st., Moscow, 109088, Russian Federation; ivashchenko_a@ inbox.ru;

Kondrat'eva Tat'yana Mikhaylovna — Candidate of Technical Sciences, Associate Professor, Chair, Department of Descriptive Geometry and Graphics, Moscow State University of Civil Engineering (MGSU), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; grafika@mgsu.ru; +7 (499) 183-24-83.

For citation: Ivashchenko A.V., Kondrat'eva T.M. Proektivograficheskiy analiz mnogogrannikov Dzhonsona [Analysis of Johnson's Polyhedra Using Projective Geometry Techniques]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2013, no. 5, pp. 226—229.