Исследование конвективной устойчивости плоского горизонтального слоя насыщенной пористой среды в двухтемпературном приближении

ИССЛЕДОВАНИЕ КОНВЕКТИВНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ ПЛОСКОГО ГОРИЗОНТАЛЬНОГО СЛОЯ НАСЫЩЕННОЙ ПОРИСТОЙ СРЕДЫ В ДВУХТЕМПЕРАТУРНОМ ПРИБЛИЖЕНИИ

Р.Р. Сираев

Пермский филиал Нижегородской академии МВД России, 614038, Пермь, Веденеева, 100

Для задачи о возникновении конвекции в горизонтальном слое насыщенной пористой среды проведено сравнение двух различных моделей теплопереноса. Однотемпературная модель (thermal equilibrium model) содержит одно уравнение теплопереноса и предполагает равенство температур твердой и жидкой фаз. Двухтемпературная модель (thermal nonequilibrium model) использует два уравнения теплопереноса: отдельно для твердой и жидкой фаз. На основе второй модели исследована зависимость порога устойчивости состояния равновесия от таких параметров пористой среды как интенсивность межфазного теплообмена, отношение коэффициентов теплопроводности твердой и жидкой фаз и пористость. Определены границы применимости однотемпературного приближения. Решение линейной задачи устойчивости состояния равновесия получено аналитически; надкритическая конвекция изучена методом конечных разностей.

Ключевые слова: насыщенная пористая среда, конвективная устойчивость, тепловые модели.

Теоретическое исследование естественной конвекции в насыщенных пористых средах проводится преимущественно на основе однотемпературной модели, в соответствии с которой температура пористой среды и температура насыщающей ее жидкости совпадают. Анализ экспериментальных и теоретических работ гидродина-

© Сираев Р.Р., 2009

мики двухфазных сред [1П3] показывает, что возможность использования и точность однотемпературной модели существенно зависят от таких свойств среды, как коэффициент межфазного теплообмена, пористость и др. В связи с этим представляет интерес изучение конвективной фильтрации на основе более общей двухтемпературной модели и сравнение с результатами, полученными в однотемпературном приближении.

Сравнение тепловых моделей проведем на основе задачи о возникновении конвекции в горизонтальном слое насыщенной пористой среды. Эта задача для случая непроницаемых и идеально теплопроводных границ впервые решалась в работе [4].

Экспериментальное исследование условий возникновения конвекции в плоском пористом слое было предпринято в работах [5, 6]. Интересно, что по результатам работы [5] предсказываемая теорией зависимость критического градиента температуры от параметров качественно подтвердилась, однако имелось значительное (на порядок) количественное расхождение. Возможно, это объясняется тем, что эксперимент [5] проводился в условиях, когда между пористой средой и жидкостью отсутствовало тепловое равновесие.

Рассмотрим горизонтальный бесконечный слой пористой среды, ограниченный твердыми параллельными плоскостями г = 0 и г = Ь . Температура на границах слоя фиксирована, разность температур между плоскостями составляет 0. Пористый материал слоя характеризуется коэффициентами пористости е и проницаемости К.

Уравнения конвективной фильтрации жидкости в приближении Буссинеска и в двухтемпературном приближении для среды Дарси имеют вид [2]:

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

йп V = 0.

В системе уравнений (1.1) - (1.4) используются следующие обозначения: V - скорость фильтрации, Т - температура твердой фазы, Н - температура жидкой фазы, V - вязкость жидкости, /3 -коэффициент теплового расширения жидкости, р - плотность, Ср - теплоемкость, к - коэффициент теплопроводности, g - ускорение силы тяжести, а - коэффициент межфазного теплообмена. Индексы ^ и / обозначают твердую и жидкую фазы, у - единичный вектор, направленный вертикально вверх.

Перейдем к безразмерным переменным. В качестве единиц измерения расстояния, времени, скорости фильтрации, температуры и давления выберем соответственно Ь , Ь¡V , Х//Ь , 0 и р/у%//К , где с - температуропроводность. В дальнейшем нас будут интересовать устойчивость состояния равновесия по отношению к монотонным возмущениям и возникающие в результате кризиса стационарные режимы конвекции. В связи с этим в уравнениях (1.1) -

(1.4) слагаемые с производной по времени могут быть опущены. Уравнения фильтрации примут следующий вид:

-Ур - V + Я2Ну = 0,

АТ + -^—

АН + —

е

й1у\ = 0.

Уравнения содержат несколько безразмерных параметров - число К2, определяющее кризис равновесия в пористой среде (аналог числа Релея), параметр межфазного теплообмена а, отношение коэффициентов теплопроводности пористого скелета и жидкости Ь и коэффициент пористости среды е :

«2=g¿0ЬK, a=аы, ь=к.

УС/ к к,

Граничные условия в безразмерных переменных имеют вид:

г = 0: у2 = 0, Т = 1; г = 1: у2 = 0, Т = 0.

2. АНАЛИЗ КОНВЕКТИВНОЙ УСТОЙЧИВОСТИ

Из уравнений движения видно, что в подогреваемом снизу плоском слое возможно равновесие, при котором температура изменяется с высотой: У Т0 = -Лу . Уравнения малых возмущений равновесия получаются обычным образом. Линейные уравнения возмущений имеют решения, пропорциональные ехр(-1). Как и в случае обычной конвекции, при подогреве снизу имеет место монотонная неустойчивость. Поэтому граница устойчивости определяется из условия равенства нулю декрементов 1 = 0 . Уравнения для критических возмущений получаются из (1.5) - (1.8) заменой в уравнении (1.7) слагаемого ^УН на (VJ). Исключая из уравнений критических возмущений давление и горизонтальные компоненты скорости и вводя нормальные возмущения, получим краевую задачу для амплитуд скорости у , температур твердой в и жидкой И фаз:

( у"-к 2у ) + к2 Я2И = 0,

(в"-к в) + у-е(- И-в) = 0,

(И"-к 2И) + — (в-И ) = 0,

у (0) = у (1) = 0, в(0) = в(1) = 0, И (0) = И (1) = 0.

Решение задачи

Подставляя (2.2) в (2.1), находим границу конвективной устойчивости:

(п2ж2 + к2 )2

+к 2

е e

п р + к +-

-Л

аЬ.

Рассмотрим влияние на порог устойчивости параметров а и Ь , которые возникают в уравнениях конвективной фильтрации при учете раздельного переноса тепла твердой и жидкой фазами среды. На рис. 1 представлены нейтральные кривые основного уровня неустойчивости для Ь = 1, e = 0.3 и различных значений параметра межфазного теплообмена а . Увеличение параметра а приводит к повышению устойчивости и изменению волнового числа наиболее опасного возмущения.

Рис. 1. Нейтральные кривые для различных значений параметра а

+

2

к

На рис. 2 приведены зависимости минимального значения критического параметра Я2т и соответствующего ему волнового числа кт от параметра а . Из графиков видно, что порог устойчивости и длина волны критического возмущения заметно изменяется лишь при а < 100.

Я

2т

100

50

500

а

а 1000

б

Рис. 2. Минимальное критическое число К2т (а) и соответствующее ему волновое число кт (б) в зависимости от параметра а

Анализ выражения (2.3) показывает, что значения критического параметра К2 зависят от отношения коэффициентов теплопроводности пористого скелета и жидкости Ь . На рис. 3 изображены нейтральные кривые основного уровня неустойчивости для различных значений параметра Ь при фиксированных значениях других параметров: а = 10, e = 0.3 . С повышением Ь минимальное значение критического параметра К2 увеличивается линейным образом.

В работах различных авторов по данной проблеме (см. [1, 3]) отмечено заметное влияние на теплообмен в насыщенной пористой среде фильтрационных характеристик среды, таких как коэффициент пористости £ и эффективный диаметр частиц твердой фазы.

В рассматриваемой работе изучается влияние £ на положение и форму нейтральных кривых в предположении, что пористость может изменяться при постоянном значении параметра а . Результаты исследований представлены на рис. 4. Пористость мало влияет на теплообмен, если коэффициент пористости изменяется в диапазоне

0.1 <£< 1. Однако, при малых значениях £ удельный вес жидкости в пористой среде становится слишком низким, и тепло перено-

0

сится в основном твердой фазой. Это повышает порог устойчивости состояния равновесия.

0 10 к 20 Рис. 3. Нейтральные кривые для различных значений параметра Ь

0 10 к 20

Рис. 4. Нейтральные кривые для различных значений коэффициента пористости е

Исследования теплообмена в пористых средах [3] показывают, что параметры а, Ь и £ не являются независимыми. Изменения пористости £ и тепловых свойств твердой и жидкой фаз существенным образом сказываются на коэффициенте межфазного теплообмена. Поэтому изучение прямой зависимости порога конвективной устойчивости от параметров Ь и £ имеет, скорее всего, гипотетический интерес. Основным фактором, влияющим на конвективную устойчивость в пористой среде, является параметр межфаз-ного теплообмена а , в то время как пористость и теплопроводности твердой и жидкой фаз оказывают опосредованное влияние.

Сопоставим результаты данной работы с результатами, полученными на основе однотемпературной модели. В [4] для определения кризиса равновесия в пористой среде введен безразмерный параметр:

= х/шк

1 X ’

где с - эффективный коэффициент температуропроводности насыщенной пористой среды.

Как видно, выражения для Яг и К2 отличаются на величину отношения Х/1X . Эффективный коэффициент температуропроводности пористой среды зависит от многих факторов, в частности, от тепловых свойств твердой и жидкой фаз, от свойств среды (пористость и диаметр частиц), от скорости движения жидкости и т.д. В связи с этим отношение Xf^X не удается выразить в аналитическом виде и, как следствие, не удается напрямую сопоставить нейтральные кривые, полученные для одно- и двухтемпературных моделей пористой среды. Вопрос о сравнении моделей может быть решен изучением критических (или надкритических) возмущений. Легко определить критерий, по которому можно сравнивать модели: если при определенном наборе параметров поля температуры Т и Н примерно одинаковы, то результаты двух моделей совпадают, в противном случае они различаются.

3. НАДКРИТИЧЕСКАЯ КОНВЕКЦИЯ

Для исследования фильтрационной конвекции краевая задача

(1.5) - (1.9) решалась методом конечных разностей. Расчеты выполнялись в двумерной постановке для прямоугольной области,

ширина которой в 10 раз превосходит высоту. На боковых границах по всем физическим полям ставились условия периодичности.

Как показали вычисления, при значениях числа К2, превышающих критическое, в плоском слое вследствие релеевской неустойчивости возникает ячеистая конвекция. Значения параметра К2, при которых развивается конвекция, совпадают с результатами линейной теории.

На рисунках 5 и 6 изображена структура движения (линии тока и изотермы) для различных значений параметра межфазного теплообмена а . При больших значениях параметра а поля температур твердой и жидкой фаз практически совпадают, при малых значениях а они заметно отличаются. С учетом этого можно говорить о двухтемпературном (тепловом неравновесном) или однотемпературном (тепловом равновесном) режимах решения задачи (1.5) -(1.9). Поскольку при больших значениях а реализуется тепловой равновесный режим, то можно считать, что необходимым условием применения однотемпературной модели к исследованию конвекции в насыщенных пористых средах является высокий коэффициент межфазного теплообмена.

Можно получить критерий перехода решения в однотемпературный режим конвекции, анализируя графики на рис. 1 и рис. 2, а. Видно, что при значениях параметра а > 100 нейтральные кривые практически совпадают, а при а < 100 различие между ними быстро растет. Это означает, что критерием справедливости однотемпературного приближения является условие а > 100 или в размерном виде для коэффициента межфазного взаимодействия

100*;

а>—Тл-.

Приведем оценку выполнения этого критерия для различных материалов, составляющих твердую фазу пористого слоя: алюминий (* = 237 Вт/мК), кирпич (* = 0.72 Вт/мК) и асфальт (* = 0.062 Вт/мК). Пусть толщина слоя составляет 1 м. Тогда возможно использование однотемпературного приближения для пористого слоя из алюминия при а > 2.37 • 104 Вт/м3К , для кирпича - при а > 72 Вт/м3К , для асфальта - при а > 6.2 Вт/м3К .

Рис. 5. Линии тока (вверху) и изотермы полей Г и Н конвективного движения для Я2 = 180, а = 10, Ь = 1, £ = 0.3

Рис. 6. Линии тока и изотермы полей Г и Н конвективного движения для Я2 = 180, а = 1000, Ь = 1, £ = 0.3

Следует отметить, что критерий (3.1) содержит масштаб области Ь . В больших областях время тепловых процессов велико. За это время может успеть установиться тепловое равновесие между твердой и жидкой фазами. Поэтому в областях с большим харак-

терным размером условия для установления однотемпературного режима более благоприятные, чем в областях малого размера.

Заключение. Теоретически изучено возникновение конвекции в горизонтальном слое насыщенной пористой среды. Управляющая система уравнений содержит два уравнения теплопроводности: отдельно для пористого скелета и для жидкости. Такая система описывает двухтемпературное приближение, в котором рассматривается перенос тепла отдельно твердой и жидкой фазами и учитывается межфазный теплообмен. Альтернативным приближением является однотемпературная модель, в которой не учитывается вклад фаз в передачу тепла, а рассматривается единый для среды эффективный теплоперенос. Данное приближение, несмотря на то, что часто используется, является менее общим, и применимость выводов, которые оно дает, не является очевидной.

Исследование устойчивости состояния равновесия показало, что порог устойчивости существенно зависит от параметров задачи: коэффициента межфазного теплообмена, пористости, отношения коэффициентов теплопроводности твердой и жидкой фаз. Это говорит о том, что область применения однотемпературной модели переноса тепла в пористых средах ограничена. Как выяснилось в работе, необходимыми условиями применения однотемпературной модели к исследованию конвекции в пористых средах являются высокий коэффициент межфазного теплообмена и большой характерный размер задачи. Получен количественный критерий перехода решения в тепловой равновесный режим конвекции.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Kaviany M. Principles of Heat Transfer in Porous Media. N.Y. Springer - Verlag, 1995. 1000 p.

2. Добрего К.В., Жданок С.А. Физика фильтрационного горения газов. Минск: Ин-т тепло- и массообмена НАНБ, 2002. 203 с.

3. Аэров М.Э., Тодес ОМ., Наринский ДА. Аппараты со стационарным зернистым слоем. Л.: Химия, 1979. 176 с.

4. Horton C. W., Rogers F.T. Convection currents in a porous medium // J. Appl. Phys. 1945. V. 16. P. 367-369.

5. Morisson H.L., Horton C.W., Rogers F.T. Convection currents in a porous medium. II. Observation of conditions at onset of convection // J. Appl. Phys. 1949. V. 20. № 11. P. 1027-1029.

6. Katto Y., Masuoka T. Criterion for the onset of convective flow in a fluid in a porous medium // Int. J. Heat Mass Transfer. 1967. V. 10. № 3. P. 297-309.

INVESTIGATION OF CONVECTIVE STABILITY IN A HORIZONTAL LAYER OF SATURATED POROUS MEDIUM IN THE THERMAL NON-EQUILIBRIUM APPROXIMATION

R.R. Siraev

Abstract. Two different models of heat transfer are compared on the basis of a problem about onset of convection in horizontal a layer of the saturated porous medium. The thermal equilibrium model has only one energy equation which assumes that the solid phase and fluid phase of the porous medium have same temperature. The thermal non-equilibrium model uses two energy equations, one energy equation for solid phase, and one energy equation for fluid phase. The dependence a threshold of stability of an equilibrium state from such parameters of the porous medium as intensity of interphase heat exchange, the relation of factors of heat conductivity of solid and liquid phases and porosity is studied. Borders of applicability of thermal equilibrium model are defined. The solution of a linear problem of stability is received analytically; above-critical convection is studied by a method of finite differences.

Keywords: saturated porous medium, convective stability, thermal models.