Математическая картина мира философии науки

УДК 1:001 001.8

Н.М. Охлопков

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ КАРТИНА МИРА ФИЛОСОФИИ НАУКИ

Основное внимание уделено процессу создания образа математической картины мира. Смена математической картины мира происходит в результате исторически переходящего процесса революционных преобразований в науке, которые влекут за собой изменения в философии и методологии математики. Эти события в математике приводили появлению новых математических структур, к изменению предмета математики.

Ключевые слова: число, величина, функция, аксиома, алгоритм, математическая структура, актуальная бесконечность, потенциальная бесконечность, теория множеств, классическая математика, интуиционистская математика, конструктивная математика, алгоритмизация, математическая модель.

Математическая картина мира как форма систематизации математического знания отличается от математической теории [1]. Если математическая картина мира описывает объект, отвлекаясь от процесса получения знания, то математическая теория содержит в себе логические средства как систематизации знаний об объекте, так и проверки их истинности. В основе математической картины мира лежит некоторая совокупность исходных фундаментальных математических понятий, отсюда и господствующее положение той или иной отрасли математики. По мере развития науки лидирующая группа понятий уступает свое место другим понятиям, терминам. Математическую картину мира нельзя обнаружить в готовом виде в каких-либо источниках и рассмотреть как самостоятельный объект изучения, то есть ее анализ доставляет значительную трудность. Смена математической картины мира происходит в результате революционных преобразований в науке. Существуют открытия в математике, которые влекут за собой изменения в философии математики, в понимании ее предмета, методов, связи с другими науками. В математике к таким событиям можно отнести следующие:

- появление самой идеи математики как дедуктивной науки;

- открытие несоизмеримых величин;

- открытие анализа бесконечно малых;

- открытие неевклидовой геометрии;

- компьютеризация знания.

В Древнем Египте и Вавилонии весь познавательный процесс проходил путем вычислений, при этом орудием счета были пальцы человека, т.е. счет на пальцах. Предметом практической математики первого уровня являются измерительные и сравнительные действия, опосредованные обучением, в процессе которых появляются новые задачи, не вытекающие из практики (например, обратные задачи). Таким образом, в рамках практической математики первого уровня происходит постепенное внутреннее расслоение типов задач с ориентацией на общие методы

ОХЛОПКОВ Николай Михайлович - к.ф.-м.н., доцент ИМИ ЯГУ

E-mail: Math_jsu@mail.ru

решения типовых задач. Математика Древнего Египта и Месопотамии складывалась из двух составляющих: геометрических и арифметических знаний. Геометрические знания возникали в процессе земледельческой практики, а арифметические знания - из пересчета предметов, отношений обмена. На первом этапе практической математики формируется группа терминов математических объектов и группа терминов операций. Для объектов, отличающихся размерами и числовыми коэффициентами, обнаруживается, что найденные понятия операций одинаково применимы. Постепенно происходит отождествление принципов решения таких задач по признаку подобия геометрических фигур и аналогичности числовых выкладок. Возникают ключевые термины, необходимые для формирования элементов общих методов. Для геометрических задач таким термином является «подобны», а для задач арифметики - термин «пропорциональны». На первом этапе развития математики математические задачи решались арифметически. Геометрия не выделялась в самостоятельную область знания. Классификация задач осуществлялась не по методам, а по их прикладной тематике [2].

В математические тексты ключевые термины и термины логических отношений («если, то», «следовательно», «отсюда», «итак», «значит» и т.д.) проникают в Древней Греции в VI веке до н.э., что означало завершение качественного скачка развития терминологического аппарата и переход математики к теоретическому способу систематизации математического знания. Появление терминов логических отношений открывает возможность роста знания и появления новых математических объектов и операций. В Древней Греции математика впервые стала разрабатываться как самостоятельная отрасль знания. Математика из науки полуэмпирической превратилась в науку дедуктивную. На смену рецептурному изложению пришла система логических доказательств. Впервые были сформулированы системы аксиом, на базе которых строились величественные здания геометрии и теории чисел.

Математическая картина мира выросла из философии Пифагора и Платона. В основе математической картины мира лежит представление о Космосе как упорядоченном выражении начальных сущностей, например, для

Пифагора это были числа. Центральным ядром математической картины мира считалась арифметика, которая трактовалась в раннем пифагореизме как центральное ядро всего Космоса, а геометрические задачи - как задачи арифметики целых, рациональных чисел, геометрические величины - как соизмеримые. Математическая картина мира гармонична: протяженные тела подчинены геометрии, небесные тела арифметике. Платон отделил мир вещей от мира идей. Согласно Платону, арифметика считается идеальной наукой, так как числа образуют идеальные объекты, а геометрия является идеальной только наполовину, ибо она находится между миром идей и миром вещей [3].

Открытие несоизмеримости стороны квадрата и его диагонали (иррациональности чисел) нанесло серьезный удар античной математике. Математики стали задумываться над основаниями своей науки. Основой математики они выбрали геометрию, которая сумела представить отношения, невыразимые с помощью арифметических чисел и отношений. Евдокс Книдский разработал теорию пропорций и ее приложения к геометрии; метод исчерпывания - изучение сложных форм несоизмеримости с помощью беспредельного уменьшения остатков (античный вариант теории пределов).

Геометрия Евклида во многом определила структуру всей науки, где исходные понятия задаются системой аксиом [4]. Главный недостаток «Начал» Евклида - отсутствие понятий непрерывности и функциональной зависимости. Геометрическая алгебра стала тормозить развитие античной математики. В этой алгебре не было места для отрицательных, мнимых чисел. Поэтому необходимо было отказаться от геометрического языка и искать новый, более общий и гибкий язык. Такой язык был найден в первые века новой эры - в эпоху эллинизма.

В трудах ученых «греческого возрождения» наметилась тенденция поворота к вычислительной математике, расширению понятия числа, отказу от геометрической алгебры. Математика в странах Востока представляла собой учение о постоянных величинах и неизменных геометрических фигурах. В основном, это была вычислительная математика со своими алгоритмами для решения арифметических, алгебраических и геометрических задач. Введены отрицательные числа и их простейшая интерпретация. Создание десятичной позиционной системы счисления является выдающимся достижением ученых Индии [5].

Ученые стран Ближнего и Среднего Востока восприняли в "УШ-К веках от греков запас математических знаний и овладели их дедуктивным методом исследования. Эти обстоятельства позволили ученым стран ислама разработать вычислительную математику значительно дальше. Они создали тригонометрию как разветвленную большую науку и выделили алгебру в самостоятельную дисциплину. В становлении теоретических основ вычислительной математики имели большое значение раз-

витие общей теории отношений и введение понятия об иррациональном положительном числе.

Математики средневековой Европы периода ХШ-Х^ веков не только творчески овладели математическими и астрономическими знаниями стран Востока, но в ряде направлений, например, в алгебре, продвинулись дальше. Родились первые идеи функциональной зависимости, ее графического представления и новых инфинитезими-альных приемов. Они явились первыми предвестниками вступления математики в новый период развития (математики переменных величин).

Центральным ядром синтетической практической математики Средних веков выступили алгоритмы для решения стандартных математических задач. Теоретические традиции вычислительно-алгоритмического направления усилили лишь алгоритмический подход. Типы математических задач группировались вокруг задач практики, которые стали структурообразующими элементами практической математики Средних веков. Геометрическая алгебра уступила место «лидера» вычислительным и арифметико-алгебраическим методам.

В развитии математики большое значение имело введение буквенной символики (Ф. Виет, Гэрриот, Р. Декарт), с помощью которой были введены формулы. Только после этого стали возможными разработки общих правил для аналитического и численного решения задач и появилась возможность охватывать все математические операции с конечными величинами.

Введение переменных величин Р. Декартом дало возможность изучать процессы движения и изменения. Развитие анализа получило мощный импульс в работах Р. Декарта и П. Ферма, которые включили в алгебру всю область классической геометрии (алгебраическая геометрия).

Основными источниками развития математики переменных величин в XVII веке являлись: запросы бурно развивающегося естествознания и техники; глубокое изучение классиков античности - Архимеда и Аполлония. Открылась эпоха математики переменных величин, символьной алгебры, аналитической геометрии, дифференциального и интегрального исчисления.

Математика Нового времени совершила диалектический скачок от неизменных величин и фиксированных отношений к подвижным изменяющимся величинам, широкому использованию предельных переходов и функциональных зависимостей. Это сопровождалось повышением уровня точности отображения теоретической математикой сложных процессов и отношений действительности в адекватной математической форме. Проблемы, стоявшие с древности, нашли пути своего решения на базе новых математических структур. Создание математического анализа позволило И. Ньютону сформулировать законы механики и закон всемирного тяготения. Механика стала основой описания естествознания. Это стало возможным благодаря революции понятий, сы-

гравшей решающую роль в становлении теоретической математики Нового времени.

В ХУП-ХУП веках греческий идеал аксиоматического построения математики и систематическая дедукция потеряли свое влияние. Бурными темпами начала развиваться математика переменных величин и функциональной зависимости. Математики того времени в большей степени стремились к получению алгоритмов анализа и его использованию для решения задач физики и механики, хотя к этому времени еще не были четко определены основные понятия анализа, но полученные результаты удовлетворяли нужды практики. Однако основные понятия нового исчисления - бесконечно малая величина и предел переменной величины - так и остались невыясненными. Создатели математического анализа И. Ньютон и Г. Лейбниц не смогли дать рационального объяснения бесконечно малым. Поэтому новое исчисление оставалось необоснованным. Математики отождествляли бесконечно малую величину с конечной величиной, что приводило к непониманию сущности величины вообще. Бесконечно малая величина понималась то как актуально бесконечно малая (т.е. как какая-то неизменная величина, меньшая любой конечной величины), то просто как нуль. Точность результатов анализа объясняется не метафизическим отбрасыванием бесконечно малых, а эффективностью предельных переходов. Бесконечно малая величина по своей количественной определенности не может быть ни нулем, ни актуально бесконечно малой, а только потенциально бесконечно малой величиной. Создатели математического анализа не смогли сознательно сформулировать и понятие предела, а тем более положить его в основу анализа. Отсюда и следовало недопонимание природы бесконечно малых и отсутствие достаточно строгого обоснования анализа. Довольно близко подходил к понятию предела Даламбер, но он не положил его в основу анализа. Эту задачу выполнил О. Коши в «Курсе анализа» (1821, 1823). Использование теоретических положений нового исчисления без осознания границ их применимости приводило к неверным, абсурдным результатам.

В обосновании математического анализа принимали участие почти все крупные математики ХУГ-ХХХ веков, особенно Б. Больцано, О. Коши, Н.И. Лобачевский, П. Дирихле, К. Вейерштрасс, Б. Риман и другие, уточнившие понятия предельного перехода, непрерывности, функции, дифференцирования и интегрирования.

В XIX в. уровень строгости доказательства повысился и создалось «е-5» определение вместо понимания непрерывности как возможности разложения функции в степенной ряд. Идея потенциальной бесконечности оказалась недостаточной для полного обоснования математического анализа. Исследования Г. Кантора и Б. Больцано показали, что математический анализ требует использования идеи актуальной бесконечности, понятия бесконечного множества. Для уточнения основных

понятий математического анализа принимается за его числовой фундамент множество действительных чисел. Теоретико-множественный подход позволил Р. Дедекин-ду, Г. Кантору, К. Вейерштрассу построить теорию действительных чисел - основы математического анализа. Таким образом, появление теории множеств связано с потребностями анализа и с углубленным изучением функций вещественного переменного.

Значительным успехом в XIX веке явилось создание «моделей» новых понятий в терминах классической математики. Первые работы по сближению арифметики с анализом были направлены на рациональные числа (положительные и отрицательные, М. Ом, 1822 г.). Г. Грасс-ман, Г. Ганкель, К. Вейерштрасс получили «модели» положительных рациональных чисел или отрицательных целых чисел в виде классов пар натуральных целых чисел (1860 г.). Г. Кантор, Р. Дедекинд, К. Вейерштрасс нашли «модель» иррациональных чисел в теории рациональных чисел (1870 г.). В 1861 г. Г. Грассман дал определение сложения и умножения целых чисел и доказал их основные свойства: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность. В 1888 г. Р. Дедекинд сформулировал систему аксиом для арифметики. Эта же система аксиом была воспроизведена в 1891 г. Дж. Пеано и известна под его именем. Для комплексных чисел построена «модель» в рамках теории действительных чисел (Ж. Арган, К. Вессел, К. Гаусс). Таким образом, действительные числа интерпретированы в терминах целых чисел, в том же духе интерпретированы комплексные числа, евклидова геометрия (Д. Гильберт) и то же самое верно для всех новых алгебраических объектов, введенных в начале XIX в. Э. Бельтрами и Ф. Клейн получили евклидовы «модели» неевклидовых геометрий Лобачевского и Римана, тем самым полностью их оправдали. Р. Де-декинд показал, каким образом понятие натурального числа могло быть получено из основных понятий теории множеств. В работах Г. Фреге, Б. Рассела, А. Уайтхеда и Д. Гильберта осуществлена формализация логики. На этой основе Д. Гильберт и его ученики разработали несколько формальных систем арифметики.

Чтобы спасти теоретико-множественную (классическую) математику от парадоксов теории множеств и критики со стороны интуиционистов, Д. Гильберт и его школа предприняли ряд новых исследований с целью обоснования классической математики. Методы рассуждения, допускаемые в метаматематике (теория доказательств) [6], Д. Гильберт назвал финитными, которые избегают использование актуальной бесконечности. В теории доказательств финитная точка зрения предполагала конкретно-содержательный способ рассмотрения и конечную установку мышления. Для разработки теории доказательств Д. Гильберту пришлось осуществить формализацию теорий, т.е. замену математической теории соответствующей формальной системой. Фини-тизм Д. Гильберта исключает из употребления в теории

доказательств тех понятий и средств, которые отвергаются интуиционистами в классической математике.

«Модели», основанные на арифметике, приобретают еще большее значение с распространением аксиоматического метода. Дальнейшее употребление «модели» дало возможность в XIX в. объединения математики. К концу XIX века закончилась формализация математики, и использование аксиоматического метода стало свершившимся фактом. В XIX в. использование в математике аксиоматического метода требовало заняться вопросами непротиворечивости математической теории. Возврат к строгости, возникший в начале XIX в., внес некоторое улучшение в этот вопрос. Начиная с работ М. Паша, отказ от всякого обращения к интуиции становится явно сформулированной программой.

Аксиоматически построенная формальная теория перестает быть гипотетической только в том случае, когда для нее находятся содержательные интерпретации либо в виде объектов действительного мира, либо в виде теорий, уже нашедших применение в практике.

Практика является исходным пунктом математических понятий, но в качестве непосредственного критерия истины предложений математики она обычно не выступает. Только в конечном итоге практика определяет пригодность того или иного математического аппарата к описанию конкретных явлений действительности. В качестве критерия истины в математике выступает теория арифметики натуральных чисел, истины которых являются незыблемыми для каждого математика. Использование в качестве непосредственного критерия истины арифметики натуральных чисел означает, что этот критерий непосредственно связан с двумя другими требованиями - точностью в прикладной математике и непротиворечивостью в теоретической математике.

С конца XIX века начался «кризис оснований», продолжавшийся более тридцати лет. Парадоксы теории множеств появились: в теории кардинальных и ординальных чисел (Бурали-Форти, 1897 г.); в «множестве всех множеств» (Г. Кантор, 1899 г.); в «множестве множеств, не являющихся элементами самих себя» (Б. Рассел, 1905 г.). Чтобы исключить возможность появления парадоксов в теории множеств, формалисты стремились предать теории множеств аксиоматическую базу. Э. Цермело в 1908 г. дал первую аксиоматизацию в теории множеств, где он избегал «слишком больших» множеств, введя «аксиому выбора» (отбора). Потом появились и другие аксиоматические системы (Цермело-Френкеля, фон Неймана, Неймана-Бернайса-Геделя). Теория множеств, соответствующая системе Цермело-Френкеля (ZF), используется большинством математиков. Парадоксы в теории множеств связаны с использованием абстракций, выходящих за рамки возможных конкретных приложений, и в этом смысле она оторвана от конкретного. Это значит, что оперирование абстракциями не может быть абсолютно свободным. Оперирование предельно широкими аб-

стракциями не дает возможность указать на какой-либо конкретный объект, связанный с данной абстракцией, или указать возможный способ его построения. Теория множеств оказала плодотворное влияние на развитие математики в целом. Она привела к существенной перестройке почти всех разделов математики и помогла в обосновании современной математики.

Доказав непротиворечивость частных формализованных систем, охватывающих часть арифметики, Д. Гильберт и его школа (А. Аккерман, П. Бернайс, Г. Генцен, Ж. Эрбран, фон Нейман и другие) полагали, что они уже достигли цели и доказали непротиворечивость не только арифметики, но также и непротиворечивость теории множеств. Единая математическая картина мира - попытка Д. Гильберта охватить всю математику посредством аксиоматической теории множеств провалилась ввиду неполноты любой аксиоматической системы [7] (К. Гедель). Согласно теореме о неполноте в достаточно развитой формальной системе, можно сформулировать предложение, которое недоказуемо в ней, как недоказуемо в ней и его отрицание. Теорема Геделя говорит не о полном крахе аксиоматического метода. Потерпели неудачи лишь надежды Гильберта сформулировать такую систему аксиом, из которой можно было бы вывести все истинное предложение математики и логики. Результаты, полученные К. Геделем [8] (1931 г.), указали на принципиальные трудности на пути аксиоматического построения математической теории, на новые границы применимости аксиоматического метода. Тем самым он доказал невозможность построения «всеобщей аксиоматической системы» не только для всей математики, но даже для ее отдельных разделов, например, арифметики. Теорема о неполноте Геделя разбила надежды математиков сделать всю математику формальной, но сами математики от этого не страдают, так как мышление математика-прикладника никогда не бывает формальным.

В течение первой четверти ХХ в. фактически вся математика была перестроена на базе теоретикомножественных концепций. Такой подход позволил установить логическое единство практически всей математики. В конце тридцатых годов XX века французские математики под псевдонимом Никола Бурбаки объединились с целью построения математической картины мира на аксиоматической основе, где фундаментом служила теория множеств [9]. Для них базовыми математическими структурами служили алгебраические, топологические и структура порядка. Таким образом, с помощью наиболее развитых математических структур Н. Бурбаки стремились охватить единым взором унифицированные аксиоматикой области математики. При этом упорядочивающим принципом стала концепция иерархии математических структур, идущей от простого к сложному, от общего к частному. Теперь частные математические теории теряют свою былую автономность, становятся объектами изучения наиболее общих многочисленных математи-

ческих структур. Эта попытка осталась незавершенной. так как сама цель, по-видимому, была нереалистичной.

С точки зрения интуиционистов (Л. Брауэр, А. Гей-тинг, Г. Вейль), главное в математике - это метод построения математических объектов. То есть объекты, которые не могут быть построены исходя из натурального ряда или для построения которых не может быть указан метод, не имеют право на существование в математике. Интуиционисты актуальную бесконечность заменяют потенциальной бесконечностью, т.е. бесконечностью незавершенной (становящейся бесконечностью).

Преемники интуиционистов - представители конструктивного направления (А.А. Марков, Н.А. Шанин, П.С. Новиков и др.) в математике отрицают актуальную бесконечность, ограничивают применение аксиомы исключенного третьего и признают существование только фактически строящихся объектов или для их построения может быть указан соответствующий метод. В основе конструктивной математики лежит абстракция потенциальной осуществимости, которая связывает каким-то образом конечное с бесконечным, исключая возможность появления парадоксов в теории множеств. Из работ сторонников конструктивного направления в математике стало ясным, что аксиоматический метод является не единственным методом построения математического знания. Представители конструктивного направления в математике признают лишь строгое, алгоритмически доказуемое понятие существования, которое более приемлемо с точки зрения прикладной математики, вычислительной математики, математической логики и т.д.

Заметны признаки отхода от стандартного, идущего от Д. Гильберта понимания доказательства как дедуктивного вывода. Начинают осознавать, что доказательства богаче, шире по используемым приемам, чем дедуктивный вывод и конструктивное построение. Одной из особенностей современной математики является широкое использование неконструктивных рассуждений, чистых доказательств существования.

В 20-х годах XX века небывалого расцвета достигла алгебра, произошла алгебраизация математики. Современный успех развития алгебры в большей степени определяется повсеместным использованием ЭВМ и компьютеризацией человеческой деятельности. Все эти факторы требуют алгоритмизации математики. Общая схема изучения многих математических объектов, порой очень далеких от алгебры, состоит в построении алгебраических систем, хорошо отражающих поведение изучаемых объектов. Алгоритмизация знания дает возможность переноса из одной области в другую не только результатов научного исследования, но и методов, приемов их получения в той или иной науке. Отсюда один путь к алгоритмической интеграции, к практической ориентации математического знания, к арифметико-алгебраическому его строению, к повышению роли вычислительных методов. Все это позволяет считать числа как фундаменталь-

ную математическую структуру, органично соединяющую прикладную и теоретическую математику в единое целое. В связи с этим изменяется стандарт доказательности, смещающийся в сторону простоты, наглядности, доступности. Изменения стандартов доказательности в современной математике связаны еще и с проникновением в доказательства численных методов. Проникновение вычислительных методов доказательств в теоретическую математику и массовое использование ЭВМ в прикладной и вычислительной математике приводят к постепенному стиранию методологических расхождений теоретической и прикладной математики [10].

Единство теоретического и прикладного математического знания восстанавливается в процессе алгоритмизации и построения математических моделей, т.е. систематизация вне доказательного типа. Центральным ядром организации математического знания является построение математических моделей конкретных наук, соединяющих вместе различные отрасли теоретической математики, и ориентация на практику проявляется в виде направленности на другие науки. Теперь главными «заказчиками» для математики выступают в первую очередь конкретные науки. Структурообразующими элементами современной математики стали потребности науки как производительной силы [2].

Два принципа математической картины мира: внутренние принципы математики (теоретическая математика), внешние принципы математики (прикладная математика) взаимодействуют между собой, где математическая модель в прикладной математике выступает как экспериментальное средство, с помощью которой проводят вычислительный эксперимент, а в теоретической математике она выступает как объект изучения.

Таким образом, математическая картина мира как форма представления знания посредством математических моделей способствует расширению и распространению знаний во все сферы человеческой деятельности.

Л и т е р а т у р а

1. Салихов М.В. Математическое знание как картина мира // Методологические проблемы развития и применения математики. - М., 1985. - С. 32-36.

2. Барабашев А.Г. Диалектика развития математического знания (закономерности эволюции способа систематизации). -М.: Изд-во МГУ, 1983. - 166 с.

3. Диалектический материализм и естественно-научная картина мира / Отв. ред. П.С. Дышлевой. - Киев: Наукова думка, АН УССР, 1976. - 391 с.

4. Барабашев А.Г. Будущее математики: методологические аспекты прогнозирования. - М.: Изд-во МГУ, 1991. - 160 с.

5. Колмогоров А.Н. Математика // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю.В. Прохоров. - М.: Советская энциклопедия, 1988. - С. 7-58.

6. Гильберт Д., Бернайс П. Основания математики. - Т. 2. Теория доказательств. - М.: Наука, 1982. - 652 с.

7. Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю.В. Прохоров. - М.: Советская энциклопедия, 1988. - С. 141.

8. Адян С.И. Математическая логика // Математический энциклопедический словарь / Гл. ред. Ю.В. Прохоров. - М.: Советская энциклопедия, 1988. - С. 340-343.

9. Бурбаки Н. Архитектура математики // Архитектура математики. Сер. «Математика, кибернетика». - 1972. - № 1. - С. 4-18.

10. Гнеденко Б.В. Математика - наука древняя и молодая // Архитектура математики. Сер. «Математика, кибернетика».

- 1972. - № 1. - С. 19-32.

N.M. Okhlopkov

Mathematical world view of philosophy of science

The article focuses on the process of creating an image of mathematical picture of the world. Mathematical picture of the world changes as the result of historical process of revolutionary transformations in science changing the philosophy and methodology of mathematics. These changes in Mathematics led to emergence of new mathematical structures and to changes of the subject of Mathematics.

Key words: number, size, function, axiom, algorithm, mathematical structure, actual infinity, potential infinity, set theory, classical mathematics, intuition Mathematics, Constructive Mathematics, algorithmic, mathematical model.