СПОСОБ ОПРЕДЕЛЕНИЯ ИЗМЕНЕНИЯ ДАВЛЕНИЯ АТМОСФЕРЫ С ИЗМЕНЕНИЕМ ВЫСОТЫ
METHOD TO DETERMINE CHANGE OF ATMOSPHERE PRESSURE WITH CHANGE OF HEIGHT

Изобретение относится к области метеорологии, а именно к способам определения изменения давления атмосферы с изменением высоты, и может быть применено для определения значений давления на различных высотах как для накопления статистического материала для изучения, так и для практики, где требуется знание характера изменения давления атмосферы.
Получение достоверной оценки изменения давления в атмосфере с изменением высоты особенно важно для больших высот, где обычные способы непосредственного измерения давления не обеспечивают необходимой точности в силу того, что на больших высотах значения давления отличаются от давления в приземном слое атмосферы на несколько порядков.
Известны способы определения давления атмосферы на различных высотах путем решения уравнения статики атмосферы и уравнения состояния идеального газа при известном законе изменения температуры от высоты [Матвеев Л.Т. Курс общей метеорологии. Физика атмосферы. Изд. 2-е, перераб. и доп. Л.: Гидрометеоиздат, 1984. - 752 с.]:
где Р - давление атмосферы;
Т - температура атмосферы;
Н - геопотенциальная высота;
- стандартное значение ускорения силы тяжести;
г
R - удельная газовая постоянная;
- градиент температуры.
Здесь индекс «0» относит значения параметров к нижней границе рассматриваемого слоя атмосферы.
Таким способом получается оценка давления, если известен закон изменения температуры или получены результаты ее измерения по всему профилю.
Один из недостатков указанного способа заключается в том, что точность измерения температуры различными методами в разряженных слоях атмосферы заметно снижается и расхождения могут достигать порядка 10-15°С. К снижению точности измерений температуры приводит также инерционность тепловых процессов. При изменении высоты датчик, фиксирующий температуру, не успевает приобрести температуру окружающей среды и показывает ее значение, соответствующее собственному состоянию. Такое запаздывание в показаниях пропорционально скорости изменения высоты.
Определение давления на больших высотах путем учета изменения газового состава атмосферы, изменения длины свободного пробега частиц, изменения количества частиц в единице объема газа и определения виртуальной температуры газа требуют знания дополнительных параметров, не поддающихся измерениям или определяемых только косвенными методами. В ряде случаев применение перечисленных способов позволяет повысить точность оценки давления атмосферы.
Таким образом, существующим способам определения давления в верхних слоях атмосферы присущ недостаток, заключающийся в недостаточной адекватности отображения реального состояния атмосферы и, как следствие, - в снижении точности определения значений параметров атмосферы.
Отсюда следует актуальность разработки способа определения давления атмосферы, обеспечивающего приемлемую точность, и прежде всего в областях, где невозможно добиться этого существующими способами.
Настоящее изобретение посвящено баллистическому способу определения изменения давления по результатам внешнетраекторных измерений параметров движения объекта с известным значением баллистического коэффициента на атмосферном участке пассивного полета.
Технический результат, на достижение которого направлено изобретение, заключается в повышении точности определения изменения давления атмосферы при изменении высоты.
Указанный результат достигается на основе аналитического представления зависимости изменения давления атмосферы от параметров, которые могут быть получены по результатам внешнетраекторных измерений характеристик неуправляемого движения объекта с известным значением баллистического коэффициента.
Для определения вида аналитической зависимости изменения давления атмосферы воспользуемся системой дифференциальных уравнений, описывающих движение центра масс объекта в скоростной системе координат. При этом из всей системы дифференциальных уравнений выделим уравнение, описывающее изменение скорости движения объекта [Лебедев А.А., Герасюта Н.Ф. Баллистика ракет. М.: Машиностроение, 1970. - 244 с.]:
где V - относительная скорость движения объекта в скоростной системе координат;
х
С - аэродинамический коэффициент силы лобового сопротивления объекта;
M
S - площадь миделевого сечения объекта;
m - масса объекта;
ρ - плотность воздуха атмосферы;
- ускорение силы притяжения Земли;
θ - угол наклона вектора относительной скорости к плоскости местного горизонта.
Уравнение (2) удобнее выразить через баллистический коэффициент, который представляет собой совокупную оценку аэродинамических, массовых и геометрических характеристик объекта:
где σ - баллистический коэффициент объекта.
С использованием баллистического коэффициента уравнение (2) принимает вид:
Правая часть уравнения (4) характеризуется сложной зависимостью от времени, которую не представляется возможным указать в явном виде. Это затрудняет решение уравнения. Некоторые параметры, входящих в состав уравнения (плотность воздуха атмосферы, ускорение силы притяжения Земли), в неявном виде зависят от высоты траектории полета над поверхностью земного эллипсоида. Исходя из изложенных соображений, для решения дифференциального уравнения (4) перейдем от независимой переменной времени (t) к высоте траектории полета (H). Используем для этого известное соотношение [Лебедев А.А., Герасюта Н.Ф. Баллистика ракет. М: Машиностроение, 1970. - 244 с.]:
или эквивалентное ему:
Для замены переменной t на переменную H умножим уравнение (4) слева на выражение , а справа - на выражение . В результате исходное уравнение (3) преобразуется к виду:
2
Принимая во внимание, что производная по скорости движения объекта в атмосфере отрицательна вследствие торможения объекта в атмосфере, будет справедливо выражение dV=-2VdV [Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. 11-е изд. М.: Наука, 1976. - 872 с.]. Умножив на -2V обе части уравнения (7), получаем:
2
2
Уравнение (8) представляет собой дифференциальное уравнение относительно неизвестной функции V и ее производной. Для его решения обозначим V=Z. При этом уравнение (8) запишется в виде:
Для решения уравнения (9) принимаем допущение, что синус угла наклона вектора скорости (sin θ) и ускорение силы притяжения (g) близки к линейным на каждом интервале траектории. Под интервалом траектории будем понимать интервал между двумя соседними точками измерения параметров траектории. Это позволяет принять величины указанных параметров постоянными и равными их средним значениям на интервале траектории. При таком допущении уравнение (9) представляет собой дифференциальное уравнение первого порядка, линейное относительно неизвестной функции Z и ее производной.
Решение уравнения (9) будем искать в виде произведения двух функций, зависящих от H:
Дифференцируя обе части этого выражения по переменной H, получаем:
Подставляя выражения (10) и (11) в дифференциальное уравнение (9), имеем:
Одну из функций х(Н) и у(H) можно взять произвольной. Тогда вид другой функции определится из решения уравнения (12). Выберем функцию y(H) такой, чтобы выражение в скобках левой части уравнения (12) равнялось нулю:
Разделив переменные в этом уравнении, получаем следующую зависимость:
Для нахождения вида функции y(H) воспользуемся основным уравнением статики атмосферы [Матвеев Л.Т. Курс общей метеорологии. Физика атмосферы. Изд. 2-е, перераб. и доп. Л.: Гидрометеоиздат, 1984. - 752 с.]:
из которого получаем:
где р - давление атмосферы.
Подставив выражение (16) в (14), получаем:
Проинтегрируем (17), принимая постоянным выражение  вследствие принятых допущений, указанных выше. В результате получаем уравнение:
откуда находим его решение относительно искомой функции y(H):
Функцию x(H) определим путем подстановки найденной функции y(H) в выражение (12) с учетом (13), т.е. равенства нулю соотношения, стоящего в скобках.
или
Проинтегрируем последнее выражение и получим зависимость:
Для получения общего решения исходного уравнения (4) запишем выражение (10) с подстановкой в него найденных функций x(H) и y(H):
0
0
0
Из выражения (23) определим произвольную постоянную С при условиях H=H, р=р и V=V:
Учитывая, что второе слагаемое выражения (24) равно нулю, получаем выражение для определения произвольной постоянной:
Подставив выражение (25) в (23), найдем следующую зависимость:
Подынтегральная функция во втором слагаемом непрерывна и монотонна, что позволяет воспользоваться теоремой о среднем [Выгодский М.Я. Справочник по высшей математике. 11-е изд. М.: Наука, 1976. - 872 с.]. При таком допущении решение (26) запишем в следующем виде:
ср
где р - среднее значение давления атмосферы на интервале траектории.
ср
Формульную зависимость для расчета р представим в виде:
ср
После подстановки выражения для р (28) в решение (27) и преобразований получаем:
Анализ величин параметров второго члена решения (29) показывает, что его показательная функция  уточняет не более чем на 1-2% величину второго члена, который сам по себе мал относительно общего решения. Приведенные выкладки позволили принять показательную функцию равной единице. При таком допущении можно получить выражение первого приближения для решения дифференциального уравнения (4), которое принимает следующий вид:
В качестве второго приближения, при необходимости, можно получить выражение, вытекающее из (29), где множитель  можно использовать из решения (30).
Полученные выражения (29) и (30) не предъявляют особых условий применения и охватывают движение тел как малоскоростных (с тормозным парашютом), так и высокоскоростных, при больших числах Маха, как в приземных, так и в верхних слоях атмосферы.
Из решения (29) и (30) нетрудно получить выражение для определения разности давлений:
В силу принятых допущений, под обозначениями g, θ в формулах (31) и (32) следует понимать средние значения величин обозначаемых ими параметров на каждом интервале траектории полета. Поэтому применительно к обработке дискретных значений результатов внешнетраекторных измерений формульная зависимость определения разности давлений в окончательном виде принимает следующий вид:
i
i+1
где p, p - давление атмосферы в i-й и (i+1)-й точках траектории;
- среднее значение ускорения силы притяжения Земли на интервале траектории между i-й и (i+1)-й точками;
i,i+1
_
θ среднее значение угла наклона вектора относительной скорости к плоскости местного горизонта на интервале траектории между i-й и (i+1)-й точками;
σ - баллистический коэффициент объекта;
i
i+1
V, V - относительная скорость движения объекта в i-й и (i+1)-й точках траектории;
i
i+1
H, H - высота i-й и (i+1)-й точек траектории полета над поверхностью земного эллипсоида.
Способ определения изменения давления атмосферы по результатам внешнетраекторных измерений параметров движения объекта на атмосферном участке пассивного полета осуществляется следующим образом.
На атмосферном участке траектории измеряют параметры траектории полета объекта. По результатам обработки внешнетраекторных измерений определяют в каждом i-м такте измерений:
i
- относительную скорость движения объекта (V);
i
- угол наклона вектора скорости к плоскости местного горизонта (θ);
i
- высоту точки траектории полета объекта над земным эллипсоидом (H)
i
По известной высоте точки траектории (H) определяют в этой точке ускорение силы притяжения Земли .
Для каждого интервала траектории, ограниченного парой соседних точек (i-й и (i+1)-й), вычисляют разность давлений в этих точках, используя формулы (33) и (34).
По известному значению давления с приемлемой точностью в одной из точек траектории движения объекта в приземном слое атмосферы можно восстановить значения давления атмосферы по всему профилю атмосферы.
Необходимость расчета первого и второго сближений возникает в силу того, что формула (33) не учитывает вторым членом торможение, обусловленное изменением давления. Оценка методической погрешности определения разности давлений показала, что она возрастает с увеличением высоты и достигает порядка 15% для первого приближения и 2% для второго приближения на высотах 100 км, при шаге измерений по высоте между i-й и (i+1)-й точками, равном 10 км. Уменьшение шага ведет к заметному снижению оцениваемых методических погрешностей. В реальном полете этот шаг может быть уменьшен более чем на порядок.
Кроме рассмотренной методической погрешности на результат оценки разности давлений будут влиять погрешности определения измеряемых параметров (V, Н, θ), а также отклонение средних значений (θ, ), используемых в формулах (33) и (34), от реальных, реализованных в конкретном полете. Степень их влияния на результат оценки разности давлений может быть определена путем расчета производных  по полученным соотношениям (31) либо (32), где k - измеряемые параметры (V, Н, θ) и средние значения (θ, ) на различных участках траектории полета. Эти же производные можно использовать для определения требований к точностным характеристикам средств внешнетраекторных измерений для достижения заданной точности определения разности давлений.
Таким образом, предлагаемый способ определения изменения давления атмосферы от высоты основан на полученном решении изменения скорости баллистического движения объекта на пассивном участке траектории в атмосфере. Методическая погрешность предлагаемого способа обусловлена только использованием средних значений некоторых параметров. Это обеспечивает высокую точность определения текущей скорости, а следовательно, и изменения давления атмосферы в пределах линейного изменения параметров на рассматриваемом участке. В результате этого предлагаемый способ может быть использован для определения давления на различных высотах, прежде всего в тех случаях, когда непосредственное его измерение невозможно либо погрешность непосредственных измерений неадекватно отражает состояние среды.