Точный анализ распределения напряжений у вершины трещины нормального отрыва в условиях пластического плоского напряженного состояния

336 Вестник СамГУ — Естественнонаучная серия. 2007. №4(54).

УДК 539.374

ТОЧНЫЙ АНАЛИЗ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ НАПРЯЖЕНИЙ У ВЕРШИНЫ ТРЕЩИНЫ НОРМАЛЬНОГО ОТРЫВА В УСЛОВИЯХ ПЛАСТИЧЕСКОГО ПЛОСКОГО НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ

© 2007 Ю.Н.Радаев1

В работе рассматривается математическая модель распределения напряжений в пластической зоне у вершины трещины нормального отрыва (трещины типа I) в идеально пластическом теле в условиях плоского напряженного состояния. В качестве критерия текучести принято условие текучести Мизеса. Опираясь на формальную статическую определимость задачи, получены точные формулы для вычисления напряжений в пределах локализованной у вершины трещины пластической зоны. Приводится сравнение полученных в работе точных результатов с результатами численного анализа распределения напряжений, проведенного Хатчинсоном в 1968 г.

1. Вводные замечания

Пластическая зона у вершины трещины нормального отрыва в условиях плоского напряженного состояния часто моделируется по схеме Даг-дейла (D.S. Dugdale) узкой полосой на продолжении трещины, поскольку для большинства мягких металлов экспериментально наблюдается именно такая картина локализации пластических деформаций. Модель Дагдейла локализации пластических деформаций у вершины трещины нормального отрыва в упруго идеально пластическом теле в условиях плоского напряженного состояния детально рассматривается в большинстве руководств по механике разрушения (см., например, [1, 2]). Схема Дагдейла основана на использовании критерия текучести Треска. Ясно, что интерес также представляет расчет локализации пластических деформаций у вершины трещины нормального отрыва при условии текучести в форме Мизеса. В представляемой работе обсуждаются модель ’’диффузионного” пластического течения у вершины трещины, предложенная в [3], построение на ее основе

хРадаев Юрий Николаевич (radayev@ssu.samara.ru), кафедра механики сплошных сред Самарского государственного университета, 443011, Россия, г. Самара, ул. Акад. Павлова, 1.

сетки скольжения и распределения напряжений у вершины трещины нормального отрыва в идеально пластическом теле в условиях плоского напряженного состояния. Анализ напряжений будет проведен по неполной схеме в рамках формально статически определимой постановки. В отличие от работы [3], в настоящем исследовании будут найдены точные формулы для напряжений и дано сравнение полученных точных результатов с результатами численного анализа распределения напряжений, проведенного Хатчинсоном в 1968 г.

Кратко остановимся на содержании работы. Сразу же после введения, во втором разделе, следуя [4], приводятся основные уравнения теории пластического плоского напряженного состояния на основе критерия текучести Мизеса. Дана классификация уравнений для напряжений и скоростей и определены (в области гиперболичности) характеристические направления и соотношения вдоль характеристических линий. В третьем разделе приводится решение [3], описывающее распределение напряжений в пластической зоне у вершины трещины нормального отрыва (трещины типа I) в идеально пластическом теле в условиях плоского напряженного состояния. Это решение требует расчета двух угловых величин, определяющих форму пластической зоны, которые удовлетворяют системе двух тригонометрических уравнений. Указанная система так же, как и в статье [3], но с большей степенью точности анализируется численно. Внимательное рассмотрение полученных результатов позволяет выдвинуть дополнительное соотношение между упомянутыми углами. В четвертом разделе статьи дается строгое обоснование этого дополнительного соотношения, а затем и точное решение той тригонометрической системы уравнений, точное решение которой не удавалось получить ранее. В итоге появляется возможность вывести точные формулы, описывающие распределение напряжений в пределах пластической зоны. Заключительный раздел работы посвящен доказательству еще одного соотношения, связывающего угловую величину, определяющую положение одного из трех составляющих пластическую зону элементов, с углом наклона одного из семейств характеристических линий.

2. Основные соотношения теории пластического плоского напряженного состояния при условии текучести Мизеса

Уравнения пластического плоского напряженного состояния были получены и исследованы В.В. Соколовским (1945 г.), а также Р. Хиллом (1949 г.). Основные соотношения теории пластического плоского напряженного состояния рассматриваются в монографиях [4-7]. Известно, что уравнения теории плоского напряженного состояния (в отличии от случая плоской деформации) не могут быть получены как частный случай пространственных уравнений. (Это обстоятельство отмечалось многими авторами.

См., например, [6, с. 261.]) Поэтому уравнения плоского напряженного состояния не могут рассматриваться как частный случай трехмерных уравнений теории пластичности. Плоское напряженное состояние идеально пластического тела характеризуется формальной статической определимостью. Уравнения равновесия, сформулированные с помощью условия текучести Мизеса, имеют переменный тип.

Рассмотрим, следуя [4], плоское напряженное состояние идеально пластического тела, характеризующееся условиями О13 = 0, О23 = 0, О33 = 0. Будем считать, что критерий текучести принят в форме Мизеса:

Ojj - О11О22 + о22 + 3о12 = 3к2.

Это же условие может быть сформулировано с помощью главных нормальных напряжений

о2 - О1О2 + о2 = 3к2,

или

Ясно, что это уравнение определяет эллипс, расположенный в плоскости О1О2 (так называемый эллипс текучести).

Условие пластичности удовлетворяется, если ввести угол ш (0 ^ ш ^ п), определяющий напряженное состояние на эллипсе текучести согласно

1 1 /т

-(oi - 02) = к sin со, -(oi + 02) = У Ък cos со.

Следовательно, главные нормальные напряжения могут быть представлены как

01,2 = 2&cos ^со + — j .

Ясно, что О1 > О2, если 0 < ш < п.

Учитывая, что

Он = ^(01 + о2) + ^(01 - о2) cos 20,

1 1 О22 = ^(Ol + 02) - 2 (°1 " °2) COS 20’

О12 = 2^°! - O2)sin20, поле напряжений в пластической зоне можно представить как

Oi 1 = k( V3 cos со + sin со cos 20),

°22 = k

О12 = к sin ш sin 20,

где 0 — угол наклона главной оси тензора напряжений, соответствующей наибольшему главному напряжению О1, к оси Х1.

Дифференциальные уравнения равновесия в случае плоского напряженного состояния сводятся к двум уравнениям

дай + дап _ 0

дхх дх2 ’ (9

dOl2 + 3022 _ 0 дх\ дх2

Уравнения равновесия и условие пластичности содержат три компоненты напряжений Оц, О12, 022- Следовательно, эта система соотношений может рассматриваться независимо от уравнений, содержащих перемещения. Таким образом, напряжения могут быть проанализированы по формально статически определимой схеме.

Соотношения ассоциированного закона течения имеют вид (di, д2 — частные прозводные по декартовым координатам xi, Х2):

д\У\ _ д2У2 _ div2 + d2v\ ^ ^

20ii - О22 2022 - Oil 6012

Здесь Vi, V2 —декартовы компоненты скорости.

Уравнения статики и кинематики с учетом (2.4)—(2.6) приводятся к

(V3 sin со - cos со cos 20)<9i со - cos со sin 20<9гсо+

+2 sin w(sin 20di 0 - cos 20d20) = 0,

Г

-(V3 sin ш + cos ш cos 20)д2ш + cos ш sin20diw+

+2 sin ш(cos 20д10 + sin 20д20) = 0;

- (cos со + V3 sin со cos 20)(<9iv2 + <92vi) + 2 V3 sin со sin 20<9ivi = 0,

j— # j— # #

- (cos ш - V3 sin ш cos 20)(дlV2 + д2Vl) + 2 V3 sin ш sin 20д2V2 = 0.

Уравнения плоского напряженного состояния, как известно, гиперболичны при условии

n 5n

6 < “ < ~6

и эллиптичны, если

Значения

п 5п

0 ^ со < —, — < со ^ jt.

66

п 5п

CO = —, CO = — 6 6

соответствуют параболическому вырождению уравнений плоского напряженного состояния. Рассмотрим далее лишь гиперболический случай. Характеристики статической и кинематической систем, как нетрудно проверить, совпадают.

Для определения характеристических линий составим характеристическое уравнение, например, для системы кинематических уравнений (2.8). Характеристический определитель есть

-(cosco + V3 sin ш cos 29)v2 + 2 V3 sin со sin 20V! -(cos со + V3 sin со cos 20)vi

-(cosco- V"3 sin CO COS 29)^2 -(cosco- V3 sin CO COS 20)Vi + 2 V3 sinco sin29v2

| Здесь Vi , v2 — декартовы компоненты единичного вектора нормали к характеристической кривой. Раскрывая определитель и приравнивая его нулю, приходим к характеристическому уравнению

/

V3(cosco- V3 sin со cos 29) I— I -6sincosin29-н V3(cosco + V3 sin <x> cos 29) = 0,

W/ V2

откуда после ряда преобразований находим дифференциальные уравнения характеристик ________

dx2 V3sin29± -^3 - ctg2co

dxi Уз cos 29 - ctg со

п

Введем угол \|/ (0 ^ \|/ ^ —) согласно

0 ctg ш

2\|) = к — arccos——.

V3

Можно показать, что выполняется соотношение

tg ¥ =

А

п

sin | со н—

____6

л

sin | со---

6

а дифференциальные уравнения характеристик приводятся к виду

dx2 dx2

— = tg (0 + \|/) , — = tg (0 - \|/) dxi dxi

или

дx2 дxl дx2 дxl

Выведем далее соотношения вдоль характеристических линий, следующие из статических уравнений плоского напряженного состояния. С этой целью удобнее всего воспользоваться уравнениями равновесия в форме Ламе—Максвелла, т.е. уравнениями равновесия, сформулированными в изоста-тической координатной сетке

да1 <90 _

—— + (oi - о2)—— - 0,

до i до 2 (О 1

да2 дв2

-----1- (oi - о2)--= 0,

dS2 к JdS1

где

дд -----= 1 • V, -----= m-V,

dSi dS2

l, m — единичные векторы, касающиеся изостатических траекторий. Преобразуем уравнения Ламе—Максвелла, учитывая

j п \ j п

oi - о2 = 2к sin со, Oi = 2&cos ^со - — j , о2 = 2кcos + —

В результате получим систему уравнений

I п N дш д0

sin со - — ------sin со-— = О,

j 6 / до i до 2

j п\ дш1 д02

sin со н—--------------sin со-= 0.

I 6 )dS2 dSi

Преобразуем далее операторы производных по направлениям изостати-ческих траекторий

dt = .L, ъ = —

dS\ dS2

к производным вдоль характеристических линий, обозначая соответствующие операторы через di и d2. Начнем с несколько более общего случая, когда первая из траекторий отклоняется на угол Yi по ходу часовой стрелки от первой изостатической траектории, а вторая — на угол Y2 против хода часовой стрелки. Оба угла считаются неотрицательными и Yi + Y2 Ф 0, Yi + Y2 Ф п. Несложные вычисления приводят к следующим формулам:

COS \|/i - COS \|/2 COS(\|/i + \|/г)- COS \\f2 - COS \|/i COS(\|/i + \|/2) —

d\ = -------------7.-----------------------d\ +---------------------------d2,

sin2

- sin\|/i - sin\|/2 cos

d2 =---------------------------------------d\ +---------------------------d2.

sin2

Замечая, что первая характеристическая линия отклоняется на угол Y по ходу часовой стрелки от первой изостатической траектории, а вторая — также на угол Y, но против хода часовой стрелки, имеем

1 — —

d\ - ------------{d\ + d2),

2cfV______________

d2 = —-----------(~d\ + d2).

2 sin Y

Вводя полученные для производных вдоль изостатических траекторий выражения (2.13) в систему (2.12), приходим к системе

V3 . - - - -

^ sin2\|/(^/i + d2)(i) — (d2 — d\)Q — 0,

V3 . - - - -

^ sin2\|/(^2 — ^i)co — (d\ + d2^Q — 0.

Складывая и вычитая уравнения этой системы, приходим к соотношениям вдоль характеристик

V3 - -

sin2\|/<5?iсо + d\Q = 0,

V3 - -

sin 2\|/й?2С0 - d2Q = 0,

ИЛИ

V3 . „ д(х> <90 п

— sin2\|/— + — = О,

2 да да

V3 . „ <9со дв

-----sin 2vr—----------- = О,

2 v<9|3 ар

где

ctgco = -л[3 cos 2\|/.

Замечая затем, что

V3

^  sin 2\|/й?со = - ^3 - ctg2co<ico, и вводя функцию X = Х(ш) согласно

— -^3 — ctg2co<ico = —dk,

имеем интегрируемые соотношения вдоль характеристик

Поскольку

д

—о, - 0) = о,

5^ + в> = °-

3 sln2 2¥d¥

dk =

1 + 3 cos2 2¥

то

2

. Г 3 sin2 2YdY _ 4

^ = 1---о-----Т^Г~ = -arctg(2ctg2\|/) - \|/ + const,

J i + 3 cos2 2y

и, полагая значение постоянной равным п/2, после несложных преобразований находим

tgX = tg3¥ =

sln(№ + п/б) ]3/2

sin

Рассмотрим далее кинематические соотношения для случая плоского напряженного состояния. Для этого обратимся к уравнениям ассоциированного закона течения (2.6) (или (2.8)). После ряда простых преобразований система кинематических уравнений может быть представлена в виде

sin(0 - у) sin(0 + у)(д^2 + д^О + sin 20^1 VI = 0, cos(0 - у) cos(0 + у)(д^2 + д2Vl) + sin 20д2V2 = 0

или

д^2 + д2у1

1ё20 = ---------—,

д1 VI - д2У2 sin20 дlV2 + д2Vl

cos2у дlVl + д2V2

Для перехода к дифференцированиям вдоль характеристик в полученных уравнениях можно воспользоваться формулами

д

--- = cos Qd\ - sin Qd2,

д xl д

--- = sin Qd\ + cos Qd2,

д xl

которые в сочетании с

1 — —

d\ - ------{d\ + d2),

2 cos ¥

d2 = —-----

2 sln ¥

позволяют заменить частные дифференцирования по декартовым координатам согласно

д 1 — —

— = . (sin(0 + \|/)й?і - sin(0 - \|f)d2),

д х1 2 sln 2¥

д 1 — —

— = ———(- cos(0 + \|/)й?і + cos(0 - \|f)d2).

д х2 2 sln 2¥

Вдоль характеристик могут быть получены неинтегрируемые уравнения для скоростей

fl + tg(e+Y)^ = 0, ^+tg(e-^=0. (2.17,

Преобразуем уравнения (2.17), вводя в них вместо декартовых компонент скорости Vl, V2 компоненты v<a>, v<p>, представляющие собой ортогональные проекции вектора скорости на характеристические направления (см. рис. 1). Для этого заметим, что

VI = ^2 + V2 сое у, у2 = л1у21 + у2 У’ где у — угол наклона к оси Х1 вектора скорости, а также

V<a> = -yjvj + v2 COs(Y - 0 + \|/), V<p> = -yjvj + V2 cos(y - 0 - \|/),

откуда сразу же находим

V<a> = Vl cos(0 - ¥) + V2 sln(0 - ¥), v<e> = Vl cos(0 + ¥) + V2 sln(0 + ¥)•

Рис. 1. Ортогональные проекции вектора скорости на характеристические направления, отклоняющиеся на угол от первой главной оси тензора напряжений

Разрешив полученные уравнения относительно vi, V2, имеем

vi = — (v<a> sin(0 + \|/) - v<p> sin(0 - \|/)),

sin 2y

Vo = —— (-V<a> COS(0 + \|/) + V<R> COS(0 - \|/)).

sin 2y

Подставляя эти выражения в характеристические соотношения

dvi dv2

cos(0 - \|/)—-----1- sin(0 - = 0,

da da

dvi dv2

cos(0 + \|/)—— + sin(0 + \|/)—f = 0, dp dp

учитывая, что

д0 дХ 3 sln2 2¥ д¥

dp dp i + 3cos22y dp’

d0 dX 3 sin2 2\|/ d\|/

da da i + 3 cos2 2y da ’

и выполняя необходимые преобразования, приходим к характеристическим соотношениям для скоростей в форме

dv<a> „ cos 2ш dw

—7— + 2 .

dv<p> cos 2ш dy l-J

---- о (c°s 2\|/v<p> - v<a>)— = 0,

dp sin 2^ dp

в которых угол ш исключается с помощью

3 cos2 2y - i

cos 2ш =

3 cos2 2¥ + 1

Заключая этот раздел работы, приведем необходимые для дальнейшего уравнения в полярной системе координат г, ф.

В полярной системе координат уравнения равновесия в случае плоского напряженного состояния приобретают вид

дОгг 1 догф Огг — Офф

~Г~ + ~ я +----------- = °’

дг г дф г

дОгф 1 дОфф 2Огф

—я----1---я----1------=

дг г дф г

При переходе к полярной системе координат имеем

Огг = ^(ОП + 022) + ^(Оц - О22) COS 2ф + Оі28Іп2ф,

1 1

Офф = г(Оц + о22) - -(Он - о22) cos 2ф - 012 Sin 2ф,

1

оГф = _2('°11 ~~ °22') sin 2(р + °12 COS 2(р’

и, следовательно, в условиях плоского напряженного состояния огг = к "V3 cos со + sin со cos!

к [ V3 cos со + sin со cos 2(0 - ф)], Офф = к [ V3 cos со - sin со cos 2(0 - ф)],

огф = к sln ш sln 2(0 - ф).

3. Напряжения в окрестности вершины трещины нормального отрыва в условиях плоского напряженного состояния в идеально пластическом теле

Определим распределение напряжений в окрестности вершины трещины типа I (трещина нормального отрыва) в условиях плоского напряженного состояния, когда начало текучести соответствует условию Мизеса, исследуя статически определимую задачу, состоящую в отыскании решения системы дифференциальных уравнений равновесия для случая плоского напряженного состояния.

Введем полярные координаты г, ф, поместив полюс координатной системы в вершину трещины. Через огг, оГф, Офф будем обозначать физические компоненты тензора напряжений.

Полагая, что у вершины трещины напряжения имеют при г ^ 0 асимптотику вида

О;/г, ф) = о[0)

и подставляя (3.1) в дифференциальные уравнения равновесия и условие текучести, можно в принципе получить поле напряжений в окрестности вершины трещины в идеально пластическом теле. На самом деле первый

член асимптотики (3.1) уже дает точное распределение напряжений, и присутствие слагаемого O(ra) в этой формуле чисто номинально.

Условие текучести Мизеса при плоском напряженном состояния имеет форму

а2гг - а,.гафф + о2ф + 3a^ = 3k2,

где к — предел текучести при сдвиге.

Уравнения равновесия сводятся к двум уравнениям

darr 1 d°™ arr - °фф

д r а Л r

д°™ 1 дофф 2огф

—я-------------1-я-1-=

dr r дф r

Условие текучести и уравнения равновесия, в частности, удовлетворяются, если положить

arr = к cos ф, Офф = 2к cos ф, оГф = к sin ф.

Эти соотношения определяют решение для напряжений (см. [7, с. 237, 238]) в веерообразной области простой волны с криволинейными характеристиками вида r2 sin ф = const, примыкающей к области равномерного напряженного состояния. Для декартовых компонент напряжений, связанных с физическими компонентами arr, О,-ф, Офф соотношениями

ап = arr cos2 ф + Офф sin2 ф - оГф sin 2ф,

а22 = arr sin2 ф + Офф cos2 ф + оГф sin 2ф,

1 2*

при этом справедливы формулы

a11 = к cos3 ф, a22 = к cos ф

Заметим, что полярная ось ф = 0 является асимптотической линией

криволинейного семейства характеристик и соответствует параболическому вырождению уравнений статики плоского напряженного состояния. Компоненты напряжений на указанной оси вычисляются в виде arr = к, Офф = 2к.

Известно [3] и иное представление компонент тензора напряжений, позволяющее удовлетворить условию текучести (3.2),

arr = a + b cos 2§(ф) + c sin 2§(ф),

Офф = a - b cos 2§

оГф = -b sin 2§(ф) + c cos 2§(ф),

где a, b, c — такие постоянные, что

°12 = ^ (arr — Офф) sin 2ф + ar ф cos 2ф,

a

2 + 3b2 + 3c2 = 3к2.

Действительно, выполняя подстановку (3.6) в (3.2), убеждаемся в необходимости выполнения равенства (3.7).

Подставляя (3.6) в уравнения равновесия (3.3), находим, что

т.е. 'Э’(ф) = ф - фО, где фО — постоянная.2

Необходимо отметить, что найти решение задачи, удовлетворяющее граничным условиям на берегу трещины и условиям симметрии на продолжении трещины, используя лишь одно из представлений (3.4) или (3.6), не удается. Поэтому предполагается, что поле напряжений описывается формулами (3.4) или (3.6) в различных характерных областях3 полуплоскости

О ^ ф ^ п. Границы областей определяются из условия непрерывности компонент тензора напряжений ОГф и Офф при переходе через эти границы. Компонента Огг может в принципе претерпевать разрыв.

Установлено, что существуют три характерные клинообразные области (рис. 2) с границами ф = ф^ и ф = ф^. В области О < ф < ф^ решение имеет форму простой волны (3.4). В областях ф^ < ф < ф^ и ф^ < ф < п реализуется равномерное напряженное состояние, и поле напряжений определяется формулами (3.6). В секторе ф^ < ф < п, примыкающем к свободному от нагрузок берегу трещины, напряжения без труда определяются (здесь реализуется состояние равномерного сжатия величины ЛІЗ к) и, следовательно, постоянные а, Ь, с известны: "&(ф) = ф, а = b = — V3&/2, с = 0. В секторе же ф^ < ф < ф^ необходимо определить другой набор констант a, b, c в представлении для напряжений (3.6).

Условия непрерывности компонент тензора напряжений ОГф, Офф на лучах ф = ф^ и ф = ф^ выполняются за счет выбора постоянных a, b, c и положений ф^, ф^. Действительно, на пять постоянных a, b, c, фob, ф^ накладываются пять условий: требование (3.7) и четыре условия, следующих из непрерывности компонент тензора напряжений ОГф, Офф при переходе через границы ф = ф^ и ф = ф^ рассматриваемых характерных областей.

Если теперь удовлетворить двум условиям непрерывности при ф = ф^ за счет выбора постоянных a, b, c в решении для напряжений в секторе

2Последнее обстоятельство позволяет вместо представления (3.6) получить также представление

Огг = a + b cos 2ф + c sm2ip,

Офф = a - b cos 2ф - c sln 2ф,

Огф = -b sln2ф + c cos 2ф, где a', b, o' — постоянные, удовлетворяющие условию

a'2 + 3b'2 + 3c'2 = Зк2.

3Ясно, что решения уравнений в каждой из характерных областей должны иметь форму простых волн.

1( п — алхо1) = 54,70

Рис. 2. Поле характеристик в окрестности вершины трещины нормального отрыва в условиях пластического плоского напряженного состояния

фоЪ < ф < фос, связанных также уравнением (3.7)4, то величины углов фос

4Упомянутые постоянные вычисляются в виде

Заметим также, что

а 1

—— = - (-1 + 3 сое 2фос),

л[Ъ к 4

Ъ 1

—=Г = т(1 + сое 2фос),

л/Зк 4

с 1

—=Г = - 8т2фос.

л/Зк 2

а' 1

—— = -(-1 + 3 сое 2фос), л/Зк 4

Ъ' 1 2

—— = -(сое 2фос + 3 сое- 2фос - 2),

-УЗ к 4

= —(8Іп2фос + 3 сое2фос він2фос). -УЗ к 4

и фой в итоге находятся из условии непрерывности при ф = ф0ь:

2 1

— cos (pob = - (-1 + 3 cos 2фое) -

V3 4

-- (1 + cos 2фое) cos 2 (фоЬ - фое) - - sin 2фое sin 2 (фоЬ - фое),

1 1

— sin (fob = -- (1 + COS 2фое) sin 2 (фоЪ - фос) +

V3 4

+ - sin 2фое COS 2 (фоЪ - фое) •

Численное решение приведенной системы тригонометрических уравнении было выполнено с помощью Maple V и дает следующий результат5:

фоЪ = 79, 84497189° = 1,393557651... рад, фос = 151,2377253° = 2,639596260... рад.

Можно показать, что система тригонометрических уравнений (3.8) имеет единственное решение. На рис. 3 изображены кривые, неявно определяемые каждым из уравнений указанной системы. Они имеют единственную точку пересечения внутри квадрата [0, п] X [0, п].

Vo,

ab

Рис. 3. К единственности решения системы тригонометрических уравнений

Интересно отметить, что в точке пересечения рассматриваемых кривых происходит их касание. Окрестность точки касания представлена на рис. 4.

5 Мы приводим весьма точный результат для величин углов фос и ф0ь. Погрешность при вычислении указанных углов приводит к существенному изменению величины напряжения 0п в клинообразной зоне ф0ь ^ ф ^ фос.

Кривая, неявно определяемая первым уравнением системы (3.8), имеет нулевую кривизну в точке касания. Общая касательная имеет нулевой наклон к оси абсцисс. Ясно поэтому, что для вычисления углов фос и фоъ при численной реализации необходимо весьма точное представление тригонометрических уравнений, образующих систему (3.8): в противном случае точки пересечения не будет существовать или возникнут два близких решения рассматриваемой системы.

<Р0

2.6396

639598

639596

639594

639592

2.63959

1.393 1.3932 1.3934 1.3936 1.3938 1.394

об

Рис. 4. Касание кривых, неявно определяемых системой тригонометрических уравнений (3.8), в точке их пересечения

Распределение напряжений в окрестности вершины трещины нормального отрыва в условиях плоского напряженного состояния в упругом идеально пластическом материале, подчиняющемся критерию текучести Мизеса, в каждой из трех характерных клинообразных областей задается формулами (физические компоненты тензора напряжений относятся к величине УЗ к, где к — предел текучести на сдвиг) [3]:

0 ^ ф ^ фоъ, фоЪ = 79,84497189°

2 1 .

0(| (| — 2агг — соз ф, оГф — зш ф,

уз уз

фoЪ ^ ф ^ фoc, фoc = 151,2377253°

Огг = ^(-1 + Зсоз2фое)+

+ ^(1 + cos 2фое) cos 2(ф - фое) + ]- sin 2фое sin 2(ф - фое), 4 1 2

Orf

1

-'qpqp — гг + гу ( 1+3 COS 2фос),

2 1

О™, = --(1 + cos 2фое) sin 2(ф - фое) + - sin 2фое cos 2(ф - фое);

4

2

агг = --(1 + cos 2ф),

1

ФФ = -^(1 - cos 2ф),

огф = - віп 2ф.

Полученное распределение напряжений показано на рис. 5. Видно, что напряжения агг разрывны при ф = ф0С, однако остаются непрерывными при переходе через луч ф = ф0у.

Декартовы компоненты тензора напряжений в секторе ф0ь < ф < ф0С вычисляются в форме

О11

1

= -(4 cos 2фое - 3 sin 2фое),

V3£ 4

= ^(1 + 2 cos 2фое - 3 cos2 2фое), 12 = - sin 2фое(1 + 3 cos 2фое).

V3£ 4

Для декартовых компонент напряжений в секторах равномерного напряженного состояния фоь < ф < фос и фос < ф < п можно получить соответственно значения

011 = a + b cos 2фос - с sin2фoe = 0.0054822196...k, о22 = a - b cos 2фос + с sin2фoc = 0.5234987241...k,

012 = b sin2фoc + с cos2фoc = -0.9537275934...k;

Оц = - л[Ък, о22 = °12 = 0.

Поле характеристик, соответствующих локальному пластическому течению вблизи вершины трещины, изображено на рис. 2. Линия трещины является асимптотической линией криволинейных характеристик в области центрированного поля 0 < ф < ф0ь, для которого решение уравнений равновесия имеет форму простой волны.

Вычислим наклон характеристик в областях равномерного напряженного состояния ф0ь < ф < ф0С и ф0С < ф < п. Для этого заметим (см., например,

[4]), что характеристики имеют наклон к горизонтальной оси, равный

е ± у,

¥

0

2

Рис. 5. Угловое распределение компонент тензора напряжений в окрестности вершины трещины нормального отрыва в условиях пластического плоского напряженного состояния

где 0 — наклон изостаты, соответствующей наибольшему главному нормальному напряжению,

1 п

СОЗ 2\|/ =--СО, 012 = 2А'соз(со ч—).

Уз 6

Углы у и ш должны находиться в следующих пределах:

п 5п п

6 < Ш < ~6~’ °<’|'<Г

у— л 2 те

В зоне фос < ф < л имеем: (3\ = 0, 02 = -уЗк, 0 = —, со = —, \|/ =

1 1

= — агееоз —, следовательно,

11

0 + \|/ = -(л + агееоз -).

23

В зоне фоъ < ф < фос наклон первой главной оси напряжений

2012 Ъ sm2фoc + с cos2фoc Ъ tg2фoc + с

011 - 022 Ъ COs2фoc - с SІn2фoc Ъ - с tg 2фо

Учитывая, что

т.е.

получаем также

а Ь с 1 .

— н---= сое 2фог, —— = — 8іп2фог,

УЪк л[Ък ^ л[Ък 2 фое’

2с

2фое = tg 20 =

а + Ь’ 3Ьс + ас

Ь2 - 2с2 + аЬ

Далее определяем главные напряжения

в\ 2 = а ± л/ь2 + с2,

откуда сразу же находим

л а + ЛІЬ2 + с2

со = — + агссов---------------------,

6 2 к

следовательно,

а + УЬ2 + с2 1

1 2^ л/3 А

сое 2\|/ =-----------— со = -

Уз

1

а + л/Ь2 + с2 2к

VЪ2 + с2

а + "V Ь2 + ~2к

+

Уз

А

1

а + Уй2 + с2 2£

В результате наклон характеристик в зоне ф0Ь < ф < ф0с вычисляется в виде

1 3Ьс + ас

0 ± \|/ = — агс^

2 Ь2 — 2с2 + аЬ

л - агссов

а + Уй2 + с2 1

2£ л/З А

Уй2 + с2

а + "V Ь2 + ~2к

Уз-

Заметим, что наклон характеристик в рассматриваемой зоне может быть определен также из следующей формулы:

tg(0 ± V) =

УЗ віп 20 + УЗ - сі<і2ш УЗ сое 20 - с^со

Углы наклона характеристик в зоне ф0Ь < ф < ф0с были найдены численно:

0 + V = 84,9623° = 1,48287... рад,

2

2

+

Полученные численные данные, касающиеся поля скольжения, несколько отличаются от тех, которые обычно приводятся в литературе, а их интерпретация приводит к ряду новых результатов. Так, на основании только что проделанного численного анализа, для угла наклона одного из семейств характеристик6 по отношению к лучу ф = фоь имеем

фоЬ - (Q - ¥)1фоЬ<ф<фос = 89,9"..Л

а это позволяет выдвинуть предположение о том, что

п

фob -

т.е.

tg(0 - У^фоЬ = -1

или

V3 sin 20 - V3 -ctg2co

-ctg9 оЪ =--------------------------------------------.

V3 cos 20 - ctg№

Таким образом, характеристики в зоне ф0ь < ф < фос, имеющие наклон 0 - у к горизонтальной оси, ортогональны лучу ф = ф0ь.

Воспользуемся далее тем обстоятельством, что (см. рис. 3) в точке касания кривых вдоль каждой кривой

^ = 0.

^фоЬ

Поэтому, дифференцируя оба уравнения системы (3.8) по переменной ф0ь соответственно вдоль кривых, неявно определяемых этими уравнениями, и учитывая приведенное выше равенство, получим

22 ---Р sin Ц)оЬ = cos Ц)ос sin 2(ф0ь - (jfw) - sin 2(foc cos 2(<fob - ц>ос),

г 2

---- cos ФоЬ = cos фое cos 2(ф0ь - фое) + sin 2фое sin 2(ф0ь - фое).

V3

Нетрудно заметить, что второе уравнение системы (3.8) будет совпадать с первым из уравнений в системе (3.15), а из первого уравнения в (3.8) с учетом второго уравнения системы (3.15) находим

21

— совфоь = соз2фое--.

уз з

Отметим также, что в точке касания кривых, неявно определяемых уравнениями системы (3.8), как показывает численный анализ, кривизна

6Имеются в виду характеристики, наклоненные к горизонту под углом 0 - у.

первой кривой равна нулю (см. рис. 4). Следовательно, в точке касания рассматриваемых кривых для первой из них

d2ф,

ос

dy

2 = 0.

ob

Двукратное дифференцирование первого уравнения системы (3.8) по переменной фой вдоль кривой, определяемой этим уравнением, с учетом (3.14) и (3.17) дает уравнение, совпадающее со вторым уравнением системы (3.15).7

Уравнение (3.16) позволяет устранить угол фоь из расчетной схемы и свести анализ поля характеристик к решению одного уравнения относительно угла фос.

Таким образом устанавливаются соотношения между неизвестными углами, не усматриваемые из численных результатов невысокой точности.8 Мы сейчас дадим строгое обоснование всех выдвинутых предположений и полученных на их основе соотношений. Оказывается, что могут быть получены точные значения для углов фоь, фос, а следовательно, и точные формулы для распределения напряжений.

4. Точные формулы для напряжений

Снова рассмотрим тригонометрическую систему

21

— cos ФоЪ = -(-1 + 3 cos 2фое)-

V3 4

--(1 + cos 2фое) cos 2(ф0ь - фое) - - sin 2фое sin 2(цоЪ - фос),

14 1 2

— sin ц>оЪ = --(1 + COS 2фос) sin 2(фоЪ - Фос) +

3 1

+ - sin 2фое COS 2(фob - Фос)-

Для удобства введем следующие обозначения:

21

А = — cos фоЪ ~ ^(-1 + 3 cos 2фое),

1

В = — sin ((.„/„

V3

С = --(1 + cos 2фое),

D = i sin 2фос.

7Поэтому отсюда уже нельзя извлечь никаких новых соотношений для углов фоь и фос.

8В известной нам литературе по рассматриваемой проблеме приводятся численные результаты, обладающие весьма заметной погрешностью.

В этих обозначенях система (4.1) приобретает вид

A = C cos 2^ъ - фoc) - D sin 2^ъ - фoc), B = D cos 2^ъ - фoc) + C sin 2^ъ - фoc)•

Ясно, что система (4.3) линейна относительно со$2(фоь-фос), $т2(фоь-фос). С помощью (4.3) выразим их через А, В, С, О. Вычисляя необходимые определители

C -D D C

= С2 + D2 = (i(l + cos 2фое))2 + (і sin 2фос)2 =

16'

= —(5 + 2 cos 2фое - 3 cos2 2фое) =

16

(1 + cos 2фoc)(5 - 3 cos 2фoc),

находим

A -D B C

C A D B

= AC + BD,

= BC-AD,

cos 2^ъ - фoc) = sin 2^ъ - фoc) =

AC + BD

C2 + D2 ’ BC-AD

C2 + D2'

Возведем каждое из уравнений (4.5) в квадрат и почленно их сложим. Затем, умножив полученное равенство на (С2 + О2)2 и перенеся все слагаемые в левую часть, имеем:

(AC + BD)2 + (BC - AD)2 - (C2 + D2)2 = (AC)2 + (BD)2+

+ (BC)2 + (AD)2 - (C2 + D2)2 = (A2 + B2)(C2 + D2)-

- (C2 + D2)2 = (C2 + D2)((A2 + B2) - (C2 + D2)) =

= 2^4^ + cos 2(Poc)(5 - 3 cos 2фос)((-8 л[ъ cos (pob - 3 + 9 cos 2фое)2+

+ 48(1 - cos2 ф^) - 9(5 + 2 cos 2фoc - 3 cos2 2фoc)) = 0.

Равенство 3 cos 2фос - 5 = 0 выполняться не может. Уравнение cos 2фос + + 1 = 0 дает корни, не удовлетворяющие исследуемой системе тригонометрических уравнений. Следовательно, остается лишь вариант:

12(12 cos2 ф0у + 4 ЛІЗ cos ц>0у - 12 ЛІЗ cos 2фое cos ц>0у + 9 cos2 2фое-

- 6 cos 2фое + 1) = 12(12 cos2 фob - 4 л[3(3 cos 2фое - 1) cos ф0ь+

+ (3 cos 2фое - І)2) = 12(2 л[ь cos фаь - 3 cos 2фое + І)2 = 0.

Отсюда находим, что

2 V3 cos ф0ь - 3 cos 2фое + 1=0,

или

3 cos 2фое - 1

совф^ =------------------.

2 V3

Нетрудно видеть, что полученное соотношение в точности совпадает с

(3.16), и приведенные рассуждения могут служить его строгим обоснованием.

Снова рассмотрим исходную систему тригонометрических уравнений (4.1). Преобразуем ее с помощью соотношений

- sin 2фoc sin 2^ъ - фoc) = cos 2фoЪ - cos 2фoc cos 2^ъ - фoc),

sin 2фос cos 2(фоЬ - фос) = sin 2фоЬ - cos 2фос sin 2(фоЬ - фос).

Перенося затем члены, не включающие множители cos 2(ф0ь - фос) и sin2(фob - фос), в левые части уравнений системы (4.1) и учитывая, что cos2фob = 2 cos2 ф0ь - 1, получим:

Г 2 13 1 2

— COS фоЪ + -7 - -7 COS 2фое - -(2 COS фоЪ - 1) =

V3 44 2

= --

-J= sin фоЪ - sin фоЪ COS (pob = -^(1 + 3 COS 2фое) sin 2(ф0ь - фос).

Далее возведем оба уравнения системы (4.10) в квадрат и сложим. В результате имеем

1 2 2 3 3 2 2

((— - COS ф0ъ) Sin ф0ь) + (— COS фоЪ+ -7 - -7 COS 2фое - COS Ц)оЬ) -

V3 V3 4 4

-

4 6 2 V3 V3

г 3 3 2

- V3 cos ф„6 cos 2ф„,. - - cos 2ф„ + - cos фЛ cos 2ф„,. = 0.

Подставим в уравнение (4.11) полученное выше соотношение (4.9):

5 1/3 cos 2фое - 1 \2 1 13 cos 2фое - 1

6 2 \ 2V3 / V3 V 2V3

2 / 3 cos 2фое - 1 \3 к (Ъ cos 2уос - 1\

~Vl( 2V3 ) -^[ 2V3 Г2ф“~

3 3 / 3 cos 2фое - 1 \2

- - cos 2фое + - ^-----—------j cos 2фое =

3 . 9 2 7 53

= - cos 2фое - - cos 2фое - - cos 2фое + — =

= ^(27 cos3 2фое - 81 cos2 2фое - 63 cos 2фое + 53) =

= ^((3 cos 2фое)3 - 9(3 cos 2фое)2 - 21(3 cos 2фое) + 53) = 0.

Относительно переменной х = 3cos2фoc уравнение (4.12) является кубическим

х3 - 9х2 - 21х + 53 = 0.

Совершая в уравнении (4.13) подстановку х = 8у + 3, после ряда преоб-

разований получим

х3 - 9х2 - 21 х + 53 = (8y + 3)3 - 9(8y + 3)2 - 21(8y + 3) + 53 =

3 3 1

= 512_у - 384_у - 64 = 128(4у^ - Зу - -) = 0,

или

cos(?)= \ = 4у3 ~3y' ^4'15^

В соответствии с формулой

cos а = 4cos3

3

корнями уравнения (4.15) будут:

л \ / п 2п\ /2п

У\ = COS — , У2 = cos I —I-------------= — cos — ,

п I9/ \9 3 / \ 9 1

п 4п\ /4л

Три указанных корня находятся также следующим образом. Как известно, корни кубического уравнения

у3 + ру + д = 0

при условии

2 3

д р

——н < о

4 27

вещественны и в тригонометрической форме определяются как

„ 1~Р У + 2пл , „ , „ч

y = 2J — cos -------- (и = 0,1,2),

где

q

cos у =

2,4

В исследуемом нами случае

P = ~4’ q = ~8’

следовательно,

П

Y=3’

откуда корни рассматриваемого кубического уравнения (4.14) сразу же находятся в форме (4.17).

Из трех корней (4.17) решение исходной системы (4.1) дает только корень

_y3 = -cos|yj.

Но тогда справедливо соотношение

cos2qpoe = —^cos|^j + 1,

с помощью которого точно определяется угол фос. Прямой подстановкой в

систему (4.1) находим, что указанный угол определяется как

фос = 71 ~ 2 314X08 cos

Поскольку

3^2фое - 1 1 / /4п\ \

cos

то угол фоь определяется как

фоЪ = arccos

3

1

Сравнение с данными численных расчетов (3.9) указывает некоторое заметное расхождение в величине угла ф0^.

Постоянные a, b, с вычислятся в виде

a 1 1 ( (4п

= -(-1 + Зсоз2фое) = - 1 - 4cos

V3 к 4 — 2 \ \ 9

b 1 , ~ 1 Л (4п

= —(1 + cos 2фое) = — 3 - 4 cos

V3 к 4 " 6\ \ 9

с 1 1 Г / 8 /4я\ Л2 ^4'23^

-^-к = 2^с = -2у-[-3С08[т) + 1) =

= -if0if)(-4c0S(f]+3

Точные формулы для вычисления распределения напряжений в области фоЬ < ф < фос имеют вид

Оц = k^y (l6cos2(|^) - 20cos j + з| = 0,0054822181...*,

о22 = cos(y)(_1 +2cos(y^l = 0,5234987239...*,

012 = к^Г Tos (у) (“4cos (у)+ 3) (_1 + 2cos (f^1 =

= -0.9537275931...*.

Эти напряжения, как показывает сравнение с (3.10), были достаточно точно определены выше.

Таким образом, анализ напряжений в окрестности вершины трещины нормального отрыва в условиях плоского напряженного состояния в идеально пластическом теле, если следовать схеме формальной статической определимости, выполняется точно.

5. Доказательство соотношения

В этом разделе работы мы приводим строгое доказательство соотношения (3.12). Оказывается удобным сначала несколько преобразовать его9.

Прежде всего, на основании (4.16) находим

з /4зт\ 3 /4я\ 1

cos —I = — cos I—--. (5.1

\ 9 / 4 \ 9 / 8 V ’

Подставляя в

п

ФоЬ - е + V = -

Преобразования в этом разделе работы были выполнены с помощью Maple V.

значения углов из (4.22), (3.11) и пользуясь (4.23), получим

агссов | -^= 4сое + 111 -

- 2 '

Г&\9П

4л)

-4сое | ^| + 31-1 + 2 сое (у

4п

32 сое2 — - 28 сое — + 3

4п

9 ) \ 9

а + Уй2 + с2 1

2к

— агссов 2

Уз А

і -

: + Уй2 + с2 2к

а + л/Ь2 + с2 2к

Уз*

= 0.

1 -

: + Уй2 + с2 2*

Введем вспомогательные обозначения для углов

а = агссов (|-4 сое ) + 1)),

8

4я\

\С08Ы\

4п

32 сое2 — - 28 сое — + 3

9

4п

9

= агссов

УЗ Л/4соз + 1

= аі^іп

8 УЗ (-1 +2 со

3 ^ /4л\

4 сое I — I + 1

С08

4л

~9

Введем еще одно вспомогательное обозначение

а +

Уй2

+ с2

2к

т =

1

у! А

і -

а + Л/Ь2 + с2

2к

а+

У&

~2к

2 + с2

Уз

і -

: + У Ь2 + с2 2к

8

2

і

+

2

2

+

В результате доказательство соотношения (3.12) можно заменить доказательством равенства

т = со8

Поскольку

cos(2a - в) = (2 cos2 a - l) cos в + 2 sin a cos a sin в,

то равенство (5.6) эквивалентно

Шсо8(?1+2/31 _i

л/318 cos I — 1 - 1

-4 cos I — I + 3

3^/4 cos ( + 1

1

6 + 24 cos I £) - 4W (£)(-§ cos (£)+§)(-!+ 2 cos

cos

4п

З -і /4 cos(^) + 1

После возведения в квадрат последнего равенства остается только вида

jЗI-4 cos I ^ j + з||б + 24 cos - 48cos2cos Пользуясь формулой (5.1), находим

(5.7) радикал

4п

9

4п

9

З I -4 cos I I + 3116 + 24 cos I I - 48 cos21 11 cos I I =

4п

9

4п

9

= 576 cos21 I - 558 cos І -г- I + 90 =

4п

9

4п

9

= 112 cos21^1-18 cos 1^1 + 6

4п

9

4п

9

Квадратный корень, таким образом, извлекается точно. На основании (5.1) имеем также

1

. /4п

4 cos I — I + 1

16 2/4я\ 4 /4я\ 11

= -т^ cos Кг + ттт cos Кг +

19 \ 9 19 \ 9 19

Еще раз используя (5.1), получим равенство

2 224 /4я\ 49 320 ,/4я

т = ~у cos I — I + — —— cos

9 57 57

эквивалентное (5.6).

Рассмотрим далее величину

l=

: + V&2 + с2 2к '

m=

9

2

Принимая во внимание формулы (4.23), находим

/ЛУЗ- Узсо8М+тл 3 + 8со8(^)-16со82(^1

Возведем в квадрат обе части полученного равенства

3

4п

9

4п

9

♦ (А-іібсо.МіУз.

4п

9

-16 сое2 — + 8 сое — + 3.

4п

9

Так как

то

т=

/ - VI - /2 Уз

/+ Уз VI - /2 ’

/2(4 + 12т2) = 9т2 + 6т + 1.

Таким образом, необходимо доказать, что выполняется равенство (5 I2 и т2 даны соответственно как (5.13) и (5.11).

На основании (5.11) имеем

(5.15) 15), если

272 896

4 + 12т =---------------------сое,

19 19 \ 9

4я\ 1280

Обозначая

2

19

4п

сое

4п

2 672 /4я\ 166 960

9т + 6т + 1 =-------------сое — +--------------------сое" I — | +

19 1 9 19 19 1 9

2 /4П\ /4л

+ — Л -12768сое — +2793- 18240сск2 — 19 V 9 9

41 =

4я\ 166 960

672 2

------сое I — I +--------------------сое"

19 \ 9 19 19

2 /4П\ /4П

д2 = —^1-12768 сое у + 2793 - 18240 сое2 —

Положив

9т + 6т + 1 = 41 + д2.

3 /4я\ Л4л\

^ = д-е°8І—) + 2с°8 —

^ = (I _ I Уз С08 (Уз , I-16 С082 (^) + 8 С08 (^] + 3,

имеем

/2 = ^1 + W2.

9

и

Пользуясь формулой (5.1), находим:

3 /4я\ 2/4n\.

----cos — + 2 cos — х

8 9 9

/272 896 /4я\ 1280 ,/4n\.

х--------------cos —-------------cos — =

I 19 19 I 9 I 19 I 9 II

672 /4я\ 166 960 2/4я

------cos — +--------------------cos -------

19 \ 9 19 19 \ 9

3(|-iV3oos(f)) (-16cos2(f) + 8coS(|| + 3|x

V 2 I IV

2 \ / ___ /4я\ ____ __ .,/4л

-12768 cos — + 2793 - 18240 cos

,19/\ \ 91 \ 9

Следовательно,

w1(4 + 12т2) = д1, ^2(4 + 12т2)2 = ^

т.е. (5.15) выполняется, откуда заключаем, что соотношение (3.12) выполняется.

и

Литература

[1] Качанов, Л.М. Основы механики разрушения / Л.М. Качанов. - М.: Наука, 1974. - 312 с.

[2] Черепанов, Г.П. Механика хрупкого разрушения / Г.П. Черепанов. -М.: Наука, 1974. - 640 с.

[3] Hutchinson, J.W. Plastic stress and strain fields at a crack tip / J.W. Hutchinson // J. Mech. Phys. Solids. - 1968. - V. 16. - P. 337-347.

[4] Соколовский, В.В. Теория пластичности / В.В. Соколовский. - М.: Высш. школа, 1969. - 608 с.10

[5] Хилл, Р. Математическая теория пластичности / Р. Хилл. - М.: Госте-хиздат, 1956. - 407 с.

[6] Фрейденталь, А. Математические теории неупругой сплошной среды / А. Фрейденталь, Х. Гейрингер. - М.: Физматгиз, 1962. - 432 с.

[7] Качанов, Л.М. Основы теории пластичности / Л.М. Качанов. - М.: Наука, 1969. - 420 с.11

10Это последнее третье издание; второе издание: Соколовский, В.В. Теория пластичности / В.В. Соколовский. - М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1950. - 396 с.

11Первое издание этой книги: Качанов, Л.М. Основы теории пластичности /

Л.М. Качанов. - М.: Гостехтеоретиздат, 1956. - 324 с. Более ранний источник: Качанов, Л.М. Механика пластических сред / Л.М. Качанов. - М.; Л.: Гостехтеоретиздат,

1948. - 216 с.

[8] Фрохт, М.М. Фотоупругость. Поляризационно-оптический метод исследования напряжений / М.М. Фрохт. - М.; Л.: Гостехтеоретиздат, 1948. -Т. I. - 432 с.

Поступила в редакцию 31/ VIII/2006; в окончательном варианте — 31/^11/2006.

EXACT FORMULAE FOR STRESS DISTRIBUTION NEAR A MODE I CRACK TIP IN A PERFECTLY PLASTIC SOLID UNDER PLANE STRESS CONDITIONS

© 2006 Y.N. Radayev12

The mathematical model proposed by Hutchinson of stress distribution near a mode I crack tip in a perfectly plastic solid under plane stress conditions is considered. Exact formulae for the stress distribution within the plastic zone near a crack tip are obtained. Comparison with the numerical data obtained by Hutchinson for the stress distribution is given.

Paper received 31/VIII/2006. Paper accepted 31/ VIII/2006.

12Radayev Yuri Nickolaevich (radayev@ssu.samara.ru), Dept. of Continuum Mechanics, Samara State University, Samara, 443011, Russia.