Высотные атомы с транзитивной на вершинах группой симметрий

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР.1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2016. №6

17

УДК 515.162

ВЫСОТНЫЕ АТОМЫ С ТРАНЗИТИВНОЙ НА ВЕРШИНАХ ГРУППОЙ СИММЕТРИЙ

И. М. Никонов1

Получена полная классификация высотных атомов с транзитивной на вершинах группой симметрий.

Ключевые слова: атом, симметрии атомов, высотный атом.

A complete classification of vertical atoms whose symmetry groups act transitively on the vertices of the atoms is obtained.

Key words: atom, symmetries of atoms, vertical atom.

1. Введение. Понятие атома, появившееся в задачах качественного анализа и классификации динамических систем, находит применение в самых разных разделах современной комбинаторики и маломерной топологии, теории узлов (см. [1-9]). Понятие атома для целей гамильтоновой и сим-плектической геометрии и топологии было введено А. Т. Фоменко [3]. Впервые оно было применено для лиувиллевой классификации интегрируемых гамильтоновых систем [8].

Симметрии атомов отражают дискретные симметрии соответствующих динамических систем, поэтому для их анализа важной является задача описания классов атомов, обладающих заданной группой симметрии. Среди атомов естественно выделяется класс максимально симметричных атомов, имеющих максимально возможный набор симметрий. Классификация максимально симметричных атомов является сложной задачей [10,11], которая решена только для отдельных семейств атомов (атомы малой сложности, атомы малого рода) либо атомов, обладающих некоторым специальным свойством. Так, в работе [12] были полностью описаны максимально симметричные высотные атомы. Целью настоящей работы является классификация высотных атомов с более слабым с точки зрения симметрии условием — группы симметрий транзитивно действуют на вершинах атомов.

Пусть M2 — гладкое компактное двумерное многообразие, f: M2 — R — функция Морса на M2 и {x € M2 : f (x) = k}, где k € R, — ее особый уровень. Тогда существует е > 0, такое, что f-1([k — е, k + е]) не содержит особых точек, кроме лежащих на особом уровне ({f = k}).

Определение. Атомом называется пара (f-1([k — е, k + e]),f-1(k)), состоящая из поверхности с краем f-1([k — е, k + е]) и графа f-1(k), вложенного в данную поверхность. Атом называется ориентируемым, если эта поверхность ориентируема. Граф f-1(k) называется остовом атома. Два атома называются изоморфными, если существует гомеоморфизм пар, который переводит поверхность в поверхность (сохраняя ориентацию, если поверхность ориентирована), остов — в остов, а функцию — в функцию (см. [1]). Будем говорить, что атом (f-1([k — е, k + е])^-1(k)) порожден функцией f. Сложностью атома называется количество особых точек функции f на особом слое.

Определение. Назовем атом, порожденный функцией f, высотным, если существует такое вложение g: M2 — R3, что f(p) = z(g(p)) для каждой точки p € g(M2), где z — стандартная координата в пространстве R3, т.е. z — функция высоты на g(M2).

Все высотные атомы являются ориентируемыми (см. [2]). Так как мы будем рассматривать только высотные атомы, то всюду ниже все атомы ориентируемые.

Пусть дан атом X = (f-1([k — е, k + е]), f-1 (k)). Ясно, что f-1([k — е, k + е]) является некоторым многообразием P2 с краем, причем край его — это набор окружностей. Родом атома X называется род многообразия без края, полученного из P2 с помощью заклеивания всех связных компонент границы дисками. Атомы рода 0 назовем плоскими атомами.

Также нам будет полезно другое определение атома, позволяющее изучать бифуркации независимо, а именно следующее.

Определение. Атомом назовем пару (P2,K), где P2 — компактная ориентированная поверхность с краем, K — непустой конечный связный граф, вложенный в P2 и имеющий вершины степени 0 или 4, причем множество P2 \ K является несвязным объединением колец S1 х (0,1], (S1,1) С dP2. Множество колец и их граничных окружностей разбито на два подмножества (белые и черные кольца) таким образом, что к каждому ребру графа K примыкают ровно одно белое кольцо и ровно

1 Никонов Игорь Михайлович — канд. физ.-мат. наук, доцент каф. дифференциальной геометрии и приложений

мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: nikonov@mech.math.msu.su.

18

ВЕСТН. моек. УН-ТА. СЕР. 1, МАТЕМАТИКА. МЕХАНИКА. 2016. №6

одно черное кольцо. Указанное разбиение колец и соответствующих окружностей на белые и черные называется оснащением пары (Р2,К). Два атома считаются изоморфными, если существует гомеоморфизм оснащенных пар, сохраняющий ориентацию поверхностей и раскраску колец.

Атом, который получается заменой белых колец на черные, а черных колец — на белые, называется двойственным атомом к исходному атому.

Атом может быть определен так же, как /-граф (см. [13]), что в свою очередь дает нам возможность работать с атомами как с комбинаторными объектами.

Определение. Конечный связный граф Г, некоторые ребра которого ориентированы, называется ориентированным /-графом, если все его вершины имеют степень 3, причем к каждой его вершине примыкают ровно два ориентированных полуребра, из которых одно входит в вершину, а другое выходит из нее. Отметим, что вершина может быть началом и концом одного и того же ориентированного полуребра.

Соответствующий /-граф строится по атому (Р2, К) следующим образом: в качестве неориентированного ребра берется Рис. 1. Построение /-графа отрезок, проходящий через вершину графа К и соединяющий

границы противоположных белых колец (см. рис. 1), а в качестве вершин — соответствующие концы отрезка. В роли ориентированных ребер выступают примыкающие к вершинам дуги белых колец с соответствующей ориентацией.

Определение. Назовем /-граф ориентированно вложимым в плоскость, если его можно вложить в плоскость так, что окружности, соединенные одним ребром, лежат одна в другой тогда и только тогда, когда они имеют противоположную ориентацию. Соответствующее вложение также будем называть ориентированным.

Определение. Симметрией атома X = (Р2 ,К) называется сохраняющий ориентацию и оснащение гомеоморфизм оснащенной пары (Р2, К) на себя, рассматриваемый с точностью до изотопии, т.е. класс эквивалентности изотопных гомеоморфизмов оснащенной пары (Р2 ,К) на себя. Отметим, что при таком определении группа Яуш(Х) симметрий атома X = (Р2,К) дискретна (см. [1]).

Определение. Будем говорить, что атом X = (Р2,К) является атомом с транзитивной на вершинах группой симметрии, если для любых двух вершин и, V графа К найдется симметрия атома ф € Яуш(Х), такая, что ф(и) = V.

Определение. Назовем симметрией /-графа Г изоморфизм графа Г на себя, переводящий ориентированные ребра в ориентированные с сохранением их ориентации. Обозначим группу всех таких симметрий /-графа Г через Яуш(Г).

Нам понадобится следующий результат из книги [1].

Теорема 1. Пусть X = (Р2 ,К) — некоторый атом, рассматриваемый как оснащенная пара, а Г — соответствующий ему /-граф. Тогда группа Яуш(Г) изоморфна группе Яуш^).

Переформулируем теперь в терминах /-графа условие, что группа симметрий атома транзи-тивна на вершинах.

Утверждение 1. Пусть X = (Р2,К) — атом с группой симметрий Яуш^), Г — соответствующий ему /-граф. Тогда Яуш^) транзитивно действует на вершинах атома в том и только в том случае, когда группа Яуш(Г) транзитивно действует на неориентированных ребрах / -графа.

Доказательство. Утверждение вытекает из конструкции построения /-графа по атому X:

неориентированные ребра /-графа ставятся в соответствие каждой вершине атома.

Следующее утверждение доказано в статье [12]. Утверждение 2. Атом является высотным тогда и только тогда, когда /-граф ориентированно вложим в плоскость.

Доказательство. Пусть атом является высотным, тогда его остов лежит в плоскости, определяемой особым значением функции Морса. По построению существует вложение /-графа в плоскость (проекция /-графа на плоскость, в которой лежит остов). Посмотрим, как будут ориентированы окружности в /-графе. Для этого достаточно рассмотреть две окружности, соединенные ребром. Возможны два случая, которые показаны на рис. 2 (случаи а, б). Заклеим

Рис. 2. Варианты расположения окружности дисками, а ребро, соединяющее окруж-

окружностей

ности, — полосой и посмотрим, как будут ориентированы наши окружности. Из рис. 2 видно, что окружности нашего /-графа будут ориентированы, как в определении вложимости.

Пусть /-граф ориентированно вложим в плоскость, рассмотрим его ориентированное вложение. Построим по нему высотное вложение атома следующим образом. В окрестности каждого неориентированного ребра приклеим к /-графу восьмиугольник, разделенный на две белые и две черные области, как показано на рис. 3. Затем повернем вертикально стороны восьмиугольника, у которых ровно один конец лежит на ориентированном ребре /-графа, таким образом, чтобы этот конец оказался вверху, а линии, разделяющие восьмиугольник на части разного цвета, остались лежать в плоскости вложения. После этого склеим вертикальные ребра восьмиугольников, соответствующие одному ориентированному ребру /-графа. Получится высотное вложение атома, соответствующего данному /-графу. Ориентированность вложения /-графа обеспечивает согласованность ориентации ребер /-графа с ориентацией белых колец атома. Утверждение доказано.

Рис. 3. Построение атома по /-графу

2. Атомы с транзитивной на вершинах группой симметрий и высотные атомы. Объектом изучения настоящей работы являются атомы, которые одновременно являются высотными и обладающими группой симметрии, транзитивной на вершинах. Прежде чем формулировать теорему классификации, перечислим некоторые примеры атомов такого вида.

Пример 1 (максимально симметричные высотные атомы). Напомним, что атом X = (М, К) называется максимально симметричным, если группа симметрий Буш^) транзитивно действует на ребрах атома X или, что то же самое, группа симметрий /-графа транзитивно действует на вершинах /-графа. Поскольку к каждой вершине /-графа подходит ровно одно неориентированное ребро, то транзитивность на вершинах влечет за собой транзитивность на неориентированных ребрах. Иными словами, каждый максимально симметричный атом является атомом с транзитивной на вершинах группой симметрий.

Классификация максимально симметричных высотных атомов была получена в работе [12]. Оказывается, что максимально симметричный высотный атом либо является плоским максимально симметричным атомом, либо совпадает с атомом А2 (рис. 4). Полный список максимально симметричных плоских атомов (атомов рода 0) можно найти в работе [10]. Он включает две бесконечные серии атомов Сп,п ^ 1, Дп,п ^ 1, и пять атомов Р1 ,Р2,Рэ,Р4,Рб, соответствующих правильным многогранникам (см. рис. 4). Заметим, что С2 =

Пример 2 (атомы, соответствующие квазирегулярным многогранникам). По аналогии с атомами Р1 — Р5, соответствующими правильным многогранникам, можно определить атомы ^1, ^2, ^3, ^4, которые отвечают квазирегулярным многогранникам, т.е. многогранникам, группа симметрий которых транзитивно действует на ребрах, — кубооктаэдру, ромбододекаэдру, икосододекаэдру и триконтоикосаэдру соответственно (см. рис. 4).

Для каждого из этих атомов /-граф получается в результате замены каждой вершины одномерного остова соответствующего многогранника на ориентированный цикл. При этом циклический порядок примыкающих к циклу ребер должен повторять порядок ребер, примыкающих к вершине. Группы симметрий у построенного /-графа и исходного многогранника совпадают. Так как симметрии полуправильного многогранника транзитивно действуют на его ребрах, то группа симметрий /-графа будет транзитивной на неориентированных ребрах /-графа.

Пример 3 (высотные атомы с транзитивной на вершинах группой симметрий, имеющие одно белое кольцо). Рассмотрим случай, когда у атома есть ровно одно белое кольцо, т.е. у соответствующего /-графа имеется ровно один ориентированный цикл. Тогда справедливо следующее утверждение.

Утверждение 3. Любой высотный атом с транзитивной на вершинах группой симметрий, у которого есть ровно одно белое кольцо, изоморфен одному из перечисленных ниже атомов:

1) атому Ап (/-граф представляет собой один цикл и п диаметров в качестве неориентированных ребер) при п = {1,2};

01 <32 <33 о4

Рис. 4. /-Графы высотных атомов с транзитивной на вершинах группой симметрий

2) атому Еп, /-граф которого представляет собой один цикл и 2п (п ^ 2) вершин, занумерованных в порядке обхода ориентированного цикла, с хордами (г2г-1, г2г), 1 ^ г ^ п, где г2, • • • , г2п — вершины /-графа, занумерованные в порядке обхода ориентированного цикла /-графа (см. рис. 4);

3) атому ¥п, /-граф которого представляет собой один цикл и 4п (п ^ 2) вершин, занумерованных в порядке обхода ориентированного цикла, с хордами (г4г-3,г4г), 1 ^ г ^ п, (г4г-1 , г4г+2), 1 ^ г ^ п — 1, и (г4п-1,г2), см. рис. 4.

Заметим, что Е1 = А1 = и = А 2.

Доказательство. Рассмотрим /-граф Г высотного атома с транзитивной на вершинах группой симметрий, у которого есть ровно одно белое кольцо. Тогда в Г есть один ориентированный цикл. Пусть «1, «2, • • • , г2п — вершины Г, занумерованные в порядке обхода ориентированного цикла /-графа. Далее мы будем рассматривать индексы вершин по модулю 2п. Симметрии /-графа переводят цикл в себя и, следовательно, действуют как повороты цикла. Поэтому группа симметрий будет циклической.

Так как симметрии действуют транзитивно на неориентированных ребрах графа Г, то вершины образуют одну или две орбиты относительно группы симметрий. Если действие транзитивно на вершинах, то Г будет максимально симметричным графом, что, согласно работе [12], означает, что атом изоморфен А1 или А2.

Предположим теперь, что вершины образуют две орбиты. Рассмотрим произвольное неориентированное ребро (хорду) /-графа. Если хорда является диаметром, т.е. ее концы — вершины г и «¿+га для некоторого г, то все другие хорды являются диаметрами, а /-граф оказывается максимально симметричным. Таким образом, каждая хорда делит ориентированный цикл на две неравные дуги. Назовем вершину хорды началом, если она является началом (относительно порядка обхода цикла) короткой дуги, и концом, если она является началом длинной дуги (и концом короткой дуги). Тогда одна орбита вершин состоит из начальных вершин хорд графа, а другая — из конечных вершин. При этом две начальные вершины (или две конечные вершины) не могут быть соседними на цикле, так как иначе будет существовать симметрия графа ф, переводящая вершину гг в вершину «¿+1 для некоторого г. Но тогда ф(vj) = +1 для всех индексов ], откуда следует транзитивность действия группы симметрий на множестве вершин. Таким образом, начальные и конечные вершины на цикле чередуются. Отсюда, в частности, следует, что группа симметрий порождается поворотом ф: ф(гг) = гг+2,г = 1, • • •, 2п.

Без ограничения общности можно считать, что VI — начало некоторой хорды. Пусть V2fc, к ^ п/2, есть конечная вершина этой хорды. Тогда в силу транзитивности на хордах неориентируемые ребра /-графа имеют вид г = 1, • • •, 2п. Посмотрим теперь, какие ограничения на значение к на-

кладывает высотность атома. Если к ^ 3, то хорды ^1^2^,^3^2^+2,^5вместе с ориентированным циклом образуют подграф в Г, изоморфный графу К3,3. Тогда по теореме Понтрягина-Куратовского граф Г нельзя вложить в плоскость, что противоречит условию высотности. Таким образом, к ^ 2. Случай к = 1 дает серию Еп, случай к = 2 — серию .

Пример 4 (серии Сп и Нп). Приведем примеры еще двух серий высотных атомов с группой симметрий, транзитивной на вершинах:

1) атомы Сп,п ^ 1, /-графы которых состоят из п ориентированных циклов с одной вершиной, соединенных с циклом, имеющим п вершин (см. рис. 4);

2) атомы Нп, п ^ 1, с /-графом, имеющим три ориентированных цикла с вершинами VI, ^2, • • •, vn на первом цикле, вершинами ^1,^2, • • •, ип на втором цикле и ^1,^2, • • •, ^2п на третьем цикле, занумерованными в порядке обхода циклов, и хордами ,-ип+1—) и vn+1-i), 1 ^ г ^ п (см. рис. 4).

Симметрии на /-графах действуют как поворот цикла, имеющего большее количество вершин; при этом другие циклы циклически переставляются. Заметим, что С = С1 и С2 = Дь

Пример 5 (атомы, полученные из максимально симметричных высотных атомов путем удвоения ребер). Пусть Р — максимально симметричный атом и Г — его /-граф. Мы можем получить из атома Р два новых атома с /-графами Г' и Г'' путем удвоения (неориентированных) ребер /-графа одним из следующих способов (рис. 5): _

либо вставляя ориентированный цикл в середине каждого неориентированного ребра (что дает /-граф

Г'); ^

либо заменяя каждое неориентированное ребро графа Г на пару параллельных ребер (так получаем

/-граф Г''). Рис. 5. Удвоение ребер /-графа

Любая симметрия графа Г естественным образом определяет симметрии /-графов Г' и Г''. Поскольку в /-графе максимально симметричного атома симметрии действуют транзитивно на вершинах графа Г, то они задают транзитивное действие на неориентированных ребрах графов Г' и Г''. С другой стороны, так как атом высотный, граф Г ориентированно вкладывается в плоскость. Тогда конструкция построения графов Г' и Г'' непосредственно дает вложения этих графов в плоскость. Таким образом, соответствующие атомы также будут высотными.

Итак, процедура удвоения, примененная к максимально симметричным высотным атомам А 2, Сп, и Р1, Р2, Р3, Р4, Р5, даст нам четыре серии и двенадцать высотных атомов с транзитивной на вершинах группой симметрии. Заметим, что А2 = Н2, А = ^2, Д'/ = Е2, С1 = С 2, С2 = ^4 и О'п = ^2п, С^ = С2п, П ^ 1.

Замечание. Свойства перечисленных в примерах 1-5 атомов можно охарактеризовать таблицей.

В столбцах "белые/черные клетки" приведено количество клеток с числом сторон, указанным в фигурных скобках. Группа £>п есть п-я диэдральная группа, £4 — группа перестановок из 4 элементов, а А4 и А5 — знакопеременные группы степени 4 и 5 соответственно.

Теперь мы можем сформулировать основной результат данной работы.

Теорема 2. Любой высотный атом с группой симметрий, транзитивной на вершинах атома,

изоморфен одному из атомов следующего списка: Сп,п ^ 1, Дп,п ^ 3, Еп,п ^ 1, Еп, п ^ 1, Сп,п ^

2, Нп,п ^ 2, Сп, п ^ 3, Б'п,п ^ 2, Р1, Р2, Р3, Р4, Р5, Яъ $2, Я3, Яь Р1, Р2, Р3, Р4, Р5, Р1', Р2', Р3', р// р// Р4 , Р5 •

3. Доказательство теоремы классификации. Пусть X — высотный атом с группой сим-метрий, транзитивной на вершинах атома, и Г — его /-граф. Если в графе Г есть только один ориентированный цикл, то согласно утверждению 3 атом изоморфен атому Еп или п ^ 1 (напомним, что А1 = Е1 и А 2 = ). Поэтому в дальнейшем будем предполагать, что в Г есть несколько ориентированных циклов.

Определение. Фиксируем ориентированное вложение /-графа Г в плоскость. Окружность из образа графа Г назовем разделяющей, если после ее удаления граф распадается на несколько компонент связности.

Утверждение 4. В ориентированно вложенном /-графе атома с транзитивной на вершинах группой симметрий есть не более одной разделяющей окружности•

Доказательство. Построим для /-графа граф С смежности окружностей: каждую ориентированную окружность стянем в точку и тем самым получим граф без ориентированных ребер.

Атом Род Сложность Белые клетки Черные клетки Группа симметрии Двойственный атом

А2 1 2 1(4} 1{4} Z4 л2

Pl 0 4 4(3} 4(3} Ä4 Рг

Р2 0 12 8(3} 6(4} 54 Рз

Рз 0 12 6(4} 8(3} 54 Р2

Р± 0 30 20(3} 12(5} Лб Ръ

Ръ 0 30 12(5} 20{3} Лб РА

Я1 0 24 12(4} 8{3}+6{4} 54 Яч

Qi 0 24 8{3}+6{4} 12(4} 54 Яг

Яз 0 60 30(4} 20{3}+12{5} Лб Я4

Qi 0 60 20{3}+12{5} 30{4} Лб Яз

сп 0 те 2 {те} те{ 2} vn Р>п

Dn 0 те те{ 2} 2 {те} vn Сп

Е„,п > 2 0 те 1{2те} те{2} + 1{те} Z„

Fn, те > 2 те — 1 2 те 1{4те} 2 {те} + 1{2те} Z„ нп

G„, n > 2 0 те те{1} + 1{те} 1{2те} Zn Еп

H„,n > 2 те — 1 2 те 2 {те} + 1{2те} 1{4те} Zn К

PI 0 8 8{2}+4{3} 4(6} Ä4 Р'{

Pi 0 24 12{2}+8{3} 6(8} 54 Н'

PL 0 24 12{2}+6{4} 8(6} 54 Р'{

Pi 0 60 30{2}+20{3} 12{10} Лб Ръ

H 0 60 30{2}+12{5} 20{6} Лб р" м

Cn 0 2 те 2те{2} +2{те} те{4} vn ГК

PI' 0 8 4(6} 8{2}+4{3} Ä4 Р'г

P^ 0 24 8(6} 12{2}+6{4} 54 Р'з

Рз 0 24 6(8} 12{2}+8{3} 54 ^

p" M 0 60 20{6} 30{2}+12{5} Лб П

p" Гъ 0 60 12{10} 30{2}+20{3} Лб Рк

D" 0 2 те те{4} 2те{2} +2{те} vn Сп

Назовем вершину графа разделяющей, если после ее удаления граф распадается на несколько непустых компонент связности. Легко заметить, что если окружность в /-графе была разделяющей, то и вершина, полученная стягиванием окружности, будет разделяющей.

Покажем, что в графе смежности есть хотя бы одна неразделяющая вершина. Предположим, что все вершины разделяющие. Если в графе нет циклов, возьмем путь максимальной длины. Его крайние вершины будут иметь кратность один, а следовательно, не будут разделяющими — противоречие. В случае, если в графе есть циклы, возьмем один из них и удалим произвольное ребро цикла, при этом все вершины останутся разделяющими. Так будем делать до тех пор, пока в графе циклов не останется. В конечном итоге мы снова сможем взять путь максимальной длины, на концах которого вершины будут иметь кратность один. Теперь будем действовать в обратную сторону — будем возвращать ребра, которые мы выкинули. При этом выбранные вершины останутся неразделяющими.

Предположим, что у нас есть две или более разделяющие вершины в графе С. Симметрии /-графа Яут(/) индуцируют симметрии графа С и действуют транзитивно на ребрах графа. Так как в графе есть разделяющие и неразделяющие вершины, а сам граф связен, то найдется ребро, соединяющее разделяющую вершину и неразделяющую вершину. Тогда в силу транзитивности каждое ребро соединяет неразделяющую вершину с разделяющей. Возьмем произвольные разделяющие вершины ж, у € С, при выкидывании которых получаются наборы компонент связности [Д, Ца,..., Ц; и VI, У2,..., Ут соответственно. Рассмотрим произвольную компоненту Ц и произвольное ребро а, соединяющее вершину ж с некоторой вершиной из Цг, а также произвольную компоненту Уj и произвольное ребро Ь, соединяющее вершину у с некоторой вершиной из Уj. По условию существует симметрия р € Яут(С), такая, что Ь = р(а), при этом у = р(ж). Так как симметрия графа — это переименование вершин, то Уj = р(Ц), значит, все компоненты связности относительно разделяющей вершины ж имеют то же количество вершин, что и компоненты относительно у, и такую же структуру. С другой стороны, пусть Ц — компонента, содержащая у, а Уj — некоторая компонента, не содержащая ж. Тогда в силу связности Уj и графа С компонента Уj целиком лежит в Цг. Следовательно, Ц Э Уj и {у}, что противоречит тому, что все компоненты связности имеют одинаковое количество вершин.

Таким образом, мы показали, что в графе смежности /-графа возможна максимум одна разделяющая вершина, а значит, и в /-графе не может быть более одной разделяющей окружности.

Теперь вся задача классификации сводится к изучению ориентированно вложимых в плоскость /-графов с заданной группой симметрий, имеющих не более одной разделяющей окружности.

Рассмотрим случай, когда у графа одна разделяющая окружность. Тогда каждая неразделяю-щая окружность соединена с разделяющей, причем любое неориентированное ребро графа Г инцидентно разделяющей окружности и одной неразделяющей.

Обозначим через разделяющий цикл графа Г. Пусть v1, v2, • • • — вершины графа, лежащие на ^о и занумерованные в порядке обхода цикла. Тогда в /-графе будет п неориентированных ребер е1, • • •, еп, где вершина ^ инцидентна ребру е^, г = 1, • • •, п. Так как любая симметрия /-графа переводит разделяющий цикл в себя, то группа симметрий действует как повороты разделяющего цикла, причем в силу транзитивности симметрий на неориентированных ребрах /-графа любой поворот разделяющего цикла продолжается до симметрии всего /-графа.

Пусть — неразделяющий цикл графа Г, соединенный с ^о ребром е\. Возможны два случая:

1) е1 — единственное ребро, соединяющее ^о и Тогда на цикле ^ расположена только одна вершина — конец ребра е1 . В силу транзитивности группы симметрий то же верно и для всех других неразделяющих циклов. Но тогда мы получаем атом, изоморфный Сп;

2) ^о и соединены несколькими ребрами. Пусть к — наименьший номер ребра, отличного от е1, соединяющего ^о и Так как группа симметрий /-графа — это группа вращений цикла ^о, то п делится на к — 1 и ребра, соединяющие циклы Zo и Zимеют номера 1 + г(к — 1), 0 ^ г < -¡р^. Тогда в силу симметричности в графе Г будет к — 1 неразделяющих циклов ^, • • •, 1, причем цикл Zp, 1 ^ р ^ А; — 1, соединяется с Zo ребрами ер^к-х)-, 0 ^ г < ^гу-

Если к = 2, то в графе Г будут только два ориентированных цикла, и, следовательно, цикл не может быть разделяющим. Если к > 3, то циклы и ребра е1,е2,е3,е^, е&+1,ек+2

образуют подграф, в который вкладывается граф К3,3. Следовательно, граф Г не будет планарным, что противоречит высотности атома. Таким образом, к = 3 и в Г есть два неразделяющих цикла.

Рассмотрим ориентирующее вложение /-графа Г в плоскость. Тогда циклы ^ и ^2 должны лежать в разных компонентах плоскости относительно цикла ^о. При этом можно считать, что окружности циклов являются концентрическими (иначе сделаем инверсию с центром в цикле ^ или Поскольку в силу ориентированной вложенности циклы ^о и ^ ориентированы противоположно друг другу, то во избежание самопересечений концы ребер е1, е3, • • •, еп-1 должны лежать на цикле ^ в порядке, противоположном порядку концов этих ребер на цикле ^о. Аналогичное условие возникает для концов ребер, лежащих на цикле ^2. Это означает, что /-граф Г изоморфен /-графу Нп/2.

Осталось рассмотреть случай, когда в /-графе Г несколько ориентированных циклов и среди них нет разделяющих.

Рассмотрим ориентированное вложение Г в плоскость. Так как нет разделяющих окружностей, то с точностью до инверсии относительно одной из окружностей все окружности лежат вне друг друга и имеют одинаковую ориентацию. Как показано в работе [12], высотный атом будет плоским. При этом вложение /-графа продолжается до вложения всего атома в плоскость, а значит, и в сферу, которая получается пополнением плоскости. Если стянуть каждую ориентированную окружность /-графа Г в точку, мы получим граф смежности С, который по построению будет плоским. Будем рассматривать С как граф на сфере. Значит, для него будет выполнено соотношение Эйлера v — е + / = 2, где v, е, / — количество вершин, ребер и граней соответственно.

Симметрии атома индуцируют сохраняющие ориентацию гомеоморфизмы сферы, переводящие граф С в себя. Из транзитивности симметрий атома на его вершинах следует, что построенные гомеоморфизмы сферы будут транзитивно действовать на ребрах графа С. Рассмотрим, как связаны между собой орбиты вершин, ребер и граней относительно группы симметрий.

Лемма. Пусть С — граф, вложенный в сферу, и Яут(С) — подгруппа гомеоморфизмов сферы, сохраняющих ориентацию и переводящих С в себя, которая транзитивно действует на ребрах С. Тогда:

1) количество орбит вершин, а также количество орбит граней относительно группы Яут(С) не превосходит двух;

2) если вершины образуют две орбиты относительно группы Яут(С), то грани образуют одну орбиту, и, наоборот, если грани образуют две орбиты относительно Яут(С), то вершины образуют одну;

3) если группа симметрий действует транзитивно на вершинах и гранях, то соответствующий /-граф является максимально симметричным.

Доказательство. Так как у каждого ребра два конца и к каждому ребру примыкает не более двух граней, то количество орбит вершин, а также количество орбит граней относительно группы симметрий не превосходит двух.

Предположим, что вершины образуют две орбиты. Рассмотрим два последовательных ребра ху и уг на границе некоторой грани. Существует симметрия ф, переводящая ребро ху в ребро уг. Так как концы ребра принадлежат разным орбитам, то вершина х должна перейти в вершину г, а вершина у останется на месте. При этом рассматриваемая грань перейдет в грань, примыкающую к ребру уз с другой стороны. Таким образом, мы нашли ребро, для которого найдется симметрия, переводящая одну грань, примыкающую к ребру, в другую примыкающую грань. В силу транзитивности то же верно для всех ребер. Но тогда любую грань последовательностью таких симметрий можно перевести в любую другую. Обратное утверждение о том, что если грани образуют две орбиты, то вершину образуют одну, доказывается аналогично.

Пусть группа симметрий действует транзитивно на вершинах и гранях плоского графа. Достаточно показать, что для некоторого ребра найдется симметрия, переставляющая концы этого ребра. В силу транзитивности то же верно для всех ребер. Рассмотрим три последовательные вершины х, у, г на некоторой грани ^. Существует симметрия ф, переводящая ребро ху в уз.

Если ф(х) = у, ф(у) = г, то ф действует как вращение грани на минимальный угол. Следовательно, группа симметрий при ограничении на грань ^ дает все вращения грани. Пусть — грань, соседняя с ^ по ребру ху. Согласно транзитивности симметрий на гранях существует симметрия ф, такая, что ф(^") = ^. При этой симметрии вершины х и у перейдут в соседние вершины х' и у' грани ^. Следовательно, существует поворот , переводящий ребро х'у' в ребро ху. Тогда симметрия ф^ф переводит ребро ху в себя, а грань ^ ' — в грань ^. Значит, эта симметрия переворачивает ребро ху.

Случай ф(х) = г, ф(у) = у рассматривается аналогично.

Если группа симметрий действует транзитивно на вершинах и гранях графа С, то по лемме /-граф Г соответствует плоскому максимально симметричному атому, т.е. атому Сп,^п,п ^ 1, или Р%, 1 < г < 5.

Предположим, что вершины образуют две орбиты: одна содержит вершины кратности к1 , вторая — кратности к2, Vl и V2 — их количество соответственно. В этом случае все грани имеют одинаковое количество сторон, равное а Заметим, что число а должно быть четным, так как при обходе грани вершины из разных орбит чередуются. Тогда v = v1 + v2,e = v1k1 = v2k2,d/ = 2е. Выразив г>1, г>2 и / через е, получим + ^ — е + ^ = 2, откуда

12 112 2 к1 к2 а е

Возникает задача перебора возможных значений параметров к1,к2 и а Будем считать, что к1 ^ к2. Посмотрим, какие случаи здесь возможны.

Случай 1: а = 2. Тогда ребра, принадлежащие одной грани, являются параллельными. В силу связности параллельны все ребра графа С. Следовательно, в /-графе Г есть ровно два ориентированных цикла и неориентированные ребра соединяют один цикл с другим, т.е. Г соответствует атому Сп.

Случай 2: а > 2 и к1 = 2. Тогда мы можем перестроить граф С, заменив каждую вершину степени 2 и примыкающие к ней ребра на одно ребро, соединяющее вершины, смежные с данной вершиной. В получившемся графе (С симметрии будут действовать транзитивно на ребрах графа, при этом для каждого ребра будет существовать симметрия, переставляющая концы этого ребра. Следовательно, в /-графе Г, соответствующем графу С, группа симметрий будет действовать транзитивно на вершинах, т.е. /-граф определяет максимально симметричный атом. Этот атом будет плоским, так как по построению Г вложен в плоскость. Тогда, как показано в примере 1, граф Г соответствует одному из атомов Сп, Р1, Р2, Р3, Р4, Р5. Теперь заметим, что обратный переход от /-графа Г к Г представляет собой операцию удвоения ребер (путем вставки ориентированного цикла в середину каждого ребра). Следовательно, Г есть /-граф одного из атомов Сп, ^п, Р1, Р2, Р3, Р4, Р.

Случай 3: й > 2 и к1 ^ 3. Если к1 > 3, то имеем 4 ^ к1 ^ к2 и й ^ 4 (так как й четно). Тогда + + + что приводит к противоречию. Следовательно, к\ = 3.

Так как ^ > 1 - ^ - | ^ 1 - | - 1 = то 5.

Подслучай 3.1: /г2 = 5. Тогда | > 1 — ^ — 5 = откуда получаем с1 ^ 4, значит, с1 = 4. Тогда е = 60, v1 = 20, v2 = 12, / = 30 и С есть остов ромботриаконтаэдра. Следовательно, Г есть /-граф атома $4.

Подслучай 3.2: /г2 = 4. Тогда |>1 — § — 2 = П' откУДа имеем с1 ^ 4, значит, с1 = 4. Тогда е = 24, v1 = 8, v2 =6, / = 12 и С есть остов ромбододекаэдра. Следовательно, Г есть /-граф атома

Подслучай 3.3: /г2 = 3. Тогда ^ > 1 — — ^ , откуда получаем <1 < 6, значит, <1 = 4. Тогда е = 12, Vl = 4, V2 = 4, / = 6 и С есть остов куба. Соответствующий атом — это Р2.

Двойственным образом рассматривается случай, когда симметрии транзитивно действуют на вершинах графа G, а грани графа G образуют две орбиты. Этот случай дает атомы Dn, СП', D^,

p', P2', Pi', Pi', Р5', Qi, Q3 и Рз.

Таким образом, теорема классификации доказана.

Автор приносит благодарность академику А. Т. Фоменко за постановку задачи и внимание к работе.

Работа частично поддержана грантом РФФИ № 14-01-31288-мол-а, программой "Ведущие научные школы РФ", проект НШ-7962.2016.1.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Болсинов А.В., Фоменко А.Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Т. 1. Ижевск: Изд. дом "Удмуртский университет", 1999.

2. Мантуров В.О. Бифуркации, атомы и узлы // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2000. № 1. 3-8.

3. Фоменко А.Т. Топология поверхностей постоянной энергии интегрируемых гамильтоновых систем и препятствия к интегрируемости // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1986. 50, № 6. 1276-1307.

4. Фоменко А. Т. Топологические инварианты гамильтоновых систем, интегрируемых по Лиувиллю // Функц. анализ и его прил. 1988. 22, вып. 4. 38-51.

5. Фоменко А.Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем // Успехи матем. наук. 1989. 44, вып. 1. 145-173.

6. Фоменко А.Т. Теория бордизмов интегрируемых гамильтоновых невырожденных систем с двумя степенями свободы. Новый топологический инвариант многомерных интегрируемых систем // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. 55, № 4. 747-779.

7. Фоменко А. Т. Топологический инвариант, грубо классифицирующий интегрируемые строго невырожденные гамильтонианы на четырехмерных симплектических многообразиях // Функц. анализ и его прил. 1991. 25, вып. 4. 23-35.

8. Фоменко А.Т., Цишанг Х. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. 54, № 3. 546-575.

9. Ilyutko D.P., Manturov V.O. Virtual knots: the state of the art. Series on knots and everything. Vol. 51. Singapore: World Scientific, 2012.

10. Кудрявцева Е.А., Никонов И.М., Фоменко А.Т. Максимально симметричные клеточные разбиения поверхностей и их накрытия // Матем. сб. 2008. 199, вып. 9. 3-96.

11. Кудрявцева Е.А., Никонов И.М., Фоменко А.Т. Симметричные и неприводимые абстрактные многогранники // Современные проблемы математики и механики / Под ред. А. Т. Фоменко. М.: Изд-во МГУ, 2009. 58-97.

12. Волчанецкий Н.В., Никонов И.М. Максимально симметричные высотные атомы // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. № 2. 3-6.

13. Ошемков А.А. Функции Морса на двумерных поверхностях. Кодирование особенностей // Тр. Матем. ин-та РАН им. В. А. Стеклова. М.: Наука, 1994. 131-140.

Поступила в редакцию 16.03.2016

УДК 514.774.8+514.746

ЗАМКНУТЫЕ ГЕОДЕЗИЧЕСКИЕ НА КУСОЧНО-ГЛАДКИХ ПОВЕРХНОСТЯХ ВРАЩЕНИЯ ПОСТОЯННОЙ КРИВИЗНЫ

Р. К. Климов1

В работе развивается исследование, начатое И. В. Сыпченко и Д. С. Тимониной по классификации замкнутых геодезических на кусочно-гладких поверхностях вращения постоянной кривизны. Анализируется случай постоянной отрицательной кривизны. Рассматриваются замкнутые геодезические на поверхности, составленной из двух экземпляров по-

1 Климов Роман Кириллович — студ. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: klroman95@mail.ru.