Математическое моделирование теплофизических процесов в полупроводниковых термоэлектрических преобразователях

Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. №4 (35), 2014

УДК 681.382 Кобзаренко Д.Н.

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕПЛОФИЗИЧЕСКИХ ПРОЦЕСОВ В ПОЛУПРОВОДНИКОВЫХ ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯХ

Kobzarenko D.N.

MATHEMATICAL MODELING OF THE THERMOPHYSICAL PROCESSES IN SEMICONDUCTOR THERMOELECTRIC CONVERTERS

Рассмотрена математическая модель слоистого термоэлектрического преобразователя энергии, рассчитанного на большие токи питания. Получены тепловые поля и поля термомеханических напряжений в нем. Показаны преимущества сильноточной слоистой конструкции термоэлементов перед классической П-образной.

Ключевые слова: математическая модель, температурный режим, полупроводниковый термоэлектрический преобразователь, температурное поле, теплообмен, термомеханические напряжения.

This paper presents a mathematical model of layered thermoelectric energy Converter, designed for high current power supply. The obtained thermal fields and fields of thermo-mechanical stresses in it. Advantages of high-current layered design elements before the classic U-shaped.

Key words: mathematical model, temperature mode, semiconductor thermoelectric Converter, temperature field, heat transfer, thermo-mechanical stress.

При проектировании термоэлектрических холодильных установок средней мощности, рассчитанных на величину холодопроизводительности до 1,0-1,2 кВт целесообразным является использование сильноточных термоэлектрических батарей (ТЭБ), надежность которых повышается за счет уменьшения количества паяных соединений в термоэлементах (ТЭ). Однако при реализации сильноточных ТЭБ в классическом П-образном виде возникает проблема, связанная с обеспечением их термомеханической надежности. В данном конструктивном исполнении ТЭ при увеличении значения тока питания, и, соответственно удельных тепловых потоков на его холодных и горячих спаях, резко возрастают термомеханические напряжения вследствие теплового расширения (сужения) материалов, что во многом сказывается на надежность функционирования ТЭБ. В этих условиях необходимо принятие определенных конструктивных мер для снижения их величины.

В настоящей работе предлагается к рассмотрению расчет тепловых полей и полей термомеханических напряжений в данной конструкции ТЭ.

Расчетная схема определения теплового поля в слоистом ТЭ приведена на

Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. №4 (35), 2014

рис.1. Области 1, 3 и 5 - коммутационные пластины. 2 и 4 - термоэлектрический материал.

Система дифференциальных уравнений теплопереноса для этой схемы имеет вид:

А,^ + + С дТ1

1 дх2 1 су2

Л + а д2Т2 . ,2

д/ дТ,

, А + I2 П = С

'2 ^.2 А2 ^.2 ^ П2 С2 ^ ,

А

дх ду

д2Т, „ д2Т  +А,

3 дх2 3 ду2

3 + ]2п3 = с дТз

д 2 Т д 2 Т дТ А -Г- + А ——4 + /А = С

3- 3 а '

дТ

= с, д/ ,

где А - коэффициент теплопроводности, П - удельное электрическое сопротивление, у - плотность электрического тока, С - объемная теплоемкость, Т -температура, t - время.

Начальные, граничные условия и условия сопряжения имеют вид:

4 дх2 4 ду2

Ы ' дТ

д2Т д2Т

а5 ^+а5 ^+]2п5 = с 5

5 дх2 5 ду2

5

4

3

2

\Ъ

И

И

И

0

У

1

Рисунок 1 - Расчетная схема

Т1234 = ТсрПРи * = 0 ,

-Т -Т- = ¡тсТ - Ттс)при х = 0,0 < у < £, дх

-Т -Т Л1 —1 = Л2 —2 + а12]Т2 при х = Н1 , 0 < у < £, -х -х

-Т -Т Л2—2-а23]Т2 = Л3—3при х = к2,0 <у <£, -х -х

-Т -Т Л3 —3 = Л4 —- - а34]Т4 при х = к3,0 < у < £, -х -х

-Т -Т Л4 —- + а45]Т4 = Л —3 при х = к4,0 < у < £, -х -х

-Т Л "Г =5тс Т - Ттс ) при х = к5, 0 < у < £ , -х

= ¡Т - ТСР ) при у = 0 и £, 0 < х < к, -у

Л2 Т =5Т Тср )при у = 0 и £, к1 < х < к2 > -у

дТ Л3 —3 = ¡{тз - Т ) при у = 0 и £, к2 < х < к3, -у

Л4 —4- = р

дт Л5 —3 = р

где Тср - температура окружающей среды, а- коэффициент термо-э.д.с., ¡- коэффициент теплообмена с окружающей средой, ¡тс - коэффициент теплообмена с системой теплосброса, Ттс - температура системы теплосброса.

Решение системы уравнений (1)-(5) с соответствующими начальными и граничными условиями (6)-(17) аналитическим методом затруднительно, при этом полученное решение будет непригодно для анализа ввиду большой сложности. В этом случае целесообразно использовать численные методы решения. Для задач со сложной геометрией наиболее оптимальным подходом является поиск решения с помощью метода конечных элементов [4].

Общее решение данной задачи методом конечных элементов осуществляется в следующей последовательности.

Вводится конечно-элементное представление:

к

~{х,у,Г)= ~0

к=1

к = 1,2,... ,К

где чертой сверху обозначено приближенное решение; K - суммарное число узловых точек; ~0 (х,у^) выбирается так, чтобы точно удовлетворялись начальные и граничные условия; функция N (х,у) - пробная функция; коэффициент р ) - неизвестны и определяются из системы уравнений, получаемых из ис-

Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. №4 (35), 2014

ходного уравнения.

Каждое из исходных уравнений (1)-(5) можно записать в символьном виде

L

Если подставить (19) в (18), то оно не будет тождественно удовлетворяться. Следовательно, можно записать

L(T) = R,

где величина Я - невязка уравнения. Для определения коэффициентов рк(/) используется система уравнений Галеркина:

| ^ {x,y)R{x,y,t)dxdy = 0, т = 1,... К

в

Для поиска решения стационарной задачи использованы изопараметриче-ские элементы треугольной формы. На рис.2 представлены изопараметрические треугольные элементы двух типов. Приближенное решение в этом случае может быть представлено в виде:

(P(x, у) = (С, л) + Ръ^ъ (С, л) + (С, л\ если х,у е еаъ^

Р(X, у) = (С,л)+ Ре^е (С,л)+ <Р/М/ (С, Л ) если х,у е edef,

где базисные функции (С,л) определяются как

к

ЫС=1. п=1)

-

/

р.

> С

С

Рисунок 2 - Треугольные изопараметрические элементы двух типов

N

КБ

W

^-- Б / N

Б

е„

SW

Рисунок 3 - Шесть треугольных элементов е5№, окружающих точку

сетки к

п

п

а

5

= 1 "Л, = =

Выбирая для уменьшения невязки функцию Щх,у) ортогональной ко всем базисным функциям N (х,У), и учитывая, что они обладают локальным носителем только на элементах, расположенных вокруг точки сетки к, имеем:

(Я,Мк ) = КА + кв + кс + кв + КЕ + кр,

где

к, .

д~ дЫк , д~ дЫк

+ 2Ы,

Ск Су, р = А,В,С,Б,Е,Е.

е, ^ дх дх ду ду

Элементы А, ... , Б, как показано на рис.3, окружают точку сетки к.

По данной методике осуществлен численный расчет температурного поля слоистого ТЭ. Основные результаты вычислительного эксперимента приведены на рис.4-8.

На рис.4 приведена структура ТЭ с геометрическими размерами и наложенной на нее конечноэлементной сеткой.

Рисунок 4 - Структура слоистого ТЭ с конечноэлементной

сеткой

Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. №4 (35), 2014

Размер ячейки сетки подбирается исходя из определяющего размера.

На рис. 5-6 показано соответственно двумерное температурное поле слоистого ТЭ, а также распределение плотности теплового потока после выхода его на стационарный режим работы.

В качестве исходных данных принималось: Л1=Л3=Л5=395 Вт/(м-К), ¿2=^4=1,5 Вт/(м-К), а=А=А=0,0172-10-6 Ом-м, ^2=^4=10,65-10-6 Ом-м, С= С3= С5=383 Дж/(кг-К), С2= С4=123 Дж/(кг-К), Тср=293 К, Т0=291 К, о=0,2-10-3 В/К, /3=10 Вт/(м2-К), Ттс=291 К, /тс=70 Вт/(м2-К).

Величина теплового потока определялась из соотношения:

дх ду

Т

302.0

297.1

292.2

287.3

282.4

277.5

272.6

267.7

262.8

257.9

I

253.0

Рисунок 5 - Температурное поле слоистого ТЭ

где /=1,...,5.

На рис.7-8 показано соответственно распределение температуры ТЭ вдоль его продольной оси при различной величине тока питания, а также изменение во времени температуры в различных точках слоистого ТЭ.

Как следует из полученных данных, при использовании ТЭ в слоистом исполнении можно получить значительный перепад температур между холодной и горячей коммутационной пластиной при большой величине теплового потока.

?

. _.-.,»-.__. __1.840

__1.657

,1.473

,1.290

,1.106

.0.923

.0.739

0.556

0.372 .0.189

. -.--- < ---.--. __0.005

Рисунок 6 - Картина распределения тепловых потоков в

слоистом ТЭ

Как следует из рис.6-7, при перепаде температур между коммутационными пластинами в 47 К тепловой поток на холодном спае ТЭ, пропорциональный его холодопроизводительности, составляет порядка 18000 Вт/м , что соответствует при данной геометрии ТЭ току питания в 140 А. С уменьшением величины питающего электрического тока значение теплового тока на холодном спае ТЭ и перепад температур между его спаями также уменьшаются. Согласно рис.7 при снижении тока питания ТЭ с 140 А до 80 А перепад температур между спаями ТЭ уменьшается с 47 К до 31 К, соответственно тепловой поток на

9 9

холодном спае уменьшается с 18000 Вт/м до 12000 Вт/м .

Т

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14

L

Рисунок 7 - Распределение температуры ТЭ вдоль продольной оси слоистого ТЭ при различное величине тока питания: 1 - 140 А, 2 - 120 А, 3 - 100 А, 4 - 80 А

На рис.8 приведены данные об изменении температуры холодной и горячей коммутационной пластин, а также различных точек ветви ТЭ во времени при токе питания 140 А. Согласно приведенным данным, температура в указанных точках выходит на установившийся режим примерно через 900 с. Данное обстоятельство связано с достаточно большими габаритными размерами ТЭ. При толщине коммутационных пластин 2 мм и высоте ветвей ТЭ 4 мм площадь

4

поперечного сечения равняется 400-10-6 м2. При этом, как следует из расчетных данных, целесообразным будет являться предусмотреть съем теплоты не только поперечного сечения равняется 400-10-6 м2. При этом, как следует из расчетных данных, целесообразным будет являться предусмотреть съем теплоты не только с горячих коммутационных пластин, но и также с близлежащей к ним поверхности ветвей ТЭ. В данном конструктивном исполнении может быть предложен

дополнительный теплосъем примерно с 1/3 боковой поверхности ТЭ. т (К) 310

308

306

304

302

300

298

296

294

292

290

288

286

284

282

280

278

276

274

272

270

268

266

264

262

260

258

256

254

3

2

300

600

900

1200

1500

1800 Время

Рисунок 8 - Изменение температуры в различных точках слоистого ТЭ

вдоль продольной оси во времени Для оценки термомеханических характеристик ТЭ слоистой конструкции был произведен расчет возникающих в нем механических напряжений и деформаций, являющихся следствием теплового расширения материалов.

0

Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. №4 (35), 2014

Расчет производился также с использованием метода конечных элементов. При этом, математическая формулировка задачи имела следующий вид.

Температурная деформация материала определяется коэффициентами линейного расширения и изменением температуры относительно температуры недеформированного состояния. Составляющая начальной термической деформации для изотропного материала (для упрощения расчетов термоэлектрический материал, из которого изготавливались ветви ТЭ, также принимался изотропным) имеет вид:

{е0 }-(1 V

ЛТ

где V- коэффициент Пуассона, у- коэффициент линейного расширения материала, ЛТ - перепад температуры между деформированным и недеформирован-ным состоянием.

Соотношение между механическими напряжениями и деформациями выражается зависимостью:

где [о]=

Е

1 -V2

1 V 0

V 1 0

1 -V

0 0

2

И=№}-К}),

- матрица упругости, Е - модуль Юнга,

М =

дх ду дх ду

- деформация, ¡^

компоненты вектора перемещений.

Уравнения статического равновесия имеют следующий вид:

дх ду х

ху . д°У _ /

дх ду

где ^, ^ - компоненты вектора плотности объемной силы, ст <уу, т^ - нормальные и касательное механические напряжения по осям.

Решение уравнений (20)-(22) совместно с граничными условиями, определяющими наличие по всем граням системы нулевого нормального давления, распределение температуры, определяемого при решении уравнений (1)-(19), а также наличие упругих подвесов в крайних точках ТЭ, дает возможность полу-

Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. №4 (35), 2014

чить двумерную картину механических напряжений, деформаций и перемещений.

Рисунок 9 - Картина распределения механических напряжений в

слоистом ТЭ

Результаты вычислений приведены на рис.9-10. Расчеты выполнены при следующих исходных данных: Е=1,2-106 Н/м2, у=0,3 у=22,2-10-6 1/К для термоэлектрического материала и Е=1,2-1011 Н/м2, у=0,34 у=16,8-10-6 1/К для медных коммутационных пластин. Предел прочности термоэлектрического материала

7 2 8 2

составляет 1,0-10 Н/м , коммутационных пластин - 3,2-10 Н/м .

На рис.9 показано двумерное поле механических напряжений для слоистого ТЭ при токе питания 120 А, что соответствует величине теплового потока 16000 Вт/м . Как следует из приведенных данных для указанного конструктивного исполнения ТЭ величина механических напряжений не выходит за допустимые значения. Наибольшая нагрузка приходится на места контакта комму-

тационных пластин с ветвями ТЭ. Здесь величина механической нагрузки до-

7 2

стигает значения 0,9-10' Н/м2 для коммутационной пластины. Наибольшие механические напряжения в термоэлектрическом веществе не превышают 0,2-10 Н/м2. На

рис.9 также показана деформированная граница ТЭ. Как следует из рисунка, в случае слоистой конструкции ТЭ деформации относительно незначительны и связаны, прежде всего, с удлинением и расширением ТЭ с боков, что объясняется отсутствием его жесткой фиксации по краям. При этом максимальная величина перемещений не превышает 0,18 мм.

а

б

Т

,311.0

,306.3

,301.6

,296.9

292.2

,287.5

_.282.8

_.278.1

_.273.4

_.268.7

,264.0

0.273

0.125

,-0.024

-0.172

,-0.320

,-0.4

,-0.617

-0.765

-0.913

-1.062

-1.210

Рисунок 10 - Температурное поле (а) и поле механических напряжений (б) классической П-образной конструкции ТЭ

Для сравнения на рис.10 рассмотрена картина механических напряжений при тех же условиях для классического П-образного ТЭ. В данном случае деформации достаточно велики, и при величине тока питания 120 А без применения специальных мер по снижению термомеханических нагрузок механические усилия превышают соответствующий предел прочности материала. Например, для коммутационных пластин в стыке с ветвью ТЭ значение механических

Вестник Дагестанского государственного технического университета. Технические науки. №4 (35), 2014

напряжений свыше 7-108 Н/м2, что более чем в 2 раза превышает величину предела прочности меди, для термоэлектрического материала соотношение механических нагрузок и предела прочности в данном случае еще выше.

При этом, в соответствии с проведенными расчетами установлено, что для данной конструкции ТЭ наибольшим током питания без превышения допустимого значения механических нагрузок в системе является электрический ток, не превышающий величины 82 А, т.е. почти в 1,7 раза меньше, чем в случае использования слоистого ТЭ, для которого максимальная величина тока питания по расчетам составляет 140 А.

Таким образом, проведенные расчеты в полной мере подтверждают преимущества слоистой ТЭБ перед ТЭБ, выполненной из ТЭ П-образной формы. В первом случае можно получить более мощную ТЭБ без снижения ее термомеханических характеристик и надежности работы.

Библиографический список:

1. Патент РФ на изобретение № 2269183. Термоэлектрическая батарея / Ис-маилов Т.А., Вердиев М.Г., Евдулов О.В., Меркухин Н.Е., опубл. 27.01.2006, БИ №3.

2. Патент РФ на изобретение № 2269184. Термоэлектрическая батарея / Ис-маилов Т.А., Вердиев М.Г., Евдулов О.В., Меркухин Н.Е., опубл. 27.01.2006, БИ №3.

3. Патент РФ на изобретение № 2280919. Термоэлектрическая батарея / Ис-маилов Т.А., Вердиев М.Г., Евдулов О.В., опубл. 27.07.2006, БИ №21.

4. Ши Д. Численные методы в задачах теплообмена. Перевод с англ. - М.: Мир, 1988. - 544с.

УДК 681.382

Кобзаренко Д.Н., Рашидханов А.Т., Юсуфов Ш.А.

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ ЭЛЕКТРОННОГО БЛОКА С ТЕРМОЭЛЕКТРИЧЕСКИМ ОХЛАЖДЕНИЕМ В СОСТАВЕ ШКАФА ДЛЯ ТЕЛЕКОММУНИКАЦИОННОГО ОБОРУДОВАНИЯ

Kobzarenko D.N., Rashidkhanov A.T., Yusufov Sh.A.

MODELING OF A TEMPERATURE FIELD OF THE ELECTRONIC BLOCK WITH THERMOELECTRIC COOLING AS A PART OF A CASE FOR THE TELECOMMUNICATION EQUIPMENT

В статье рассмотрена математическая модель электронного блока с термоэлектрическим охлаждением в составе шкафа для телекоммуникаци-