Бильярды и интегрируемость в геометрии и физике. Новый взгляд и новые возможности

Кратность 2 (n = 3). Количество классов эквивалентности атомов, рассматриваемых с точностью до двойственности, равно 5. Хордовые диаграммы, соответствующие атомам, приведены на рис. 5, сами атомы — на рис. 6. Первые три атома являются ориентируемыми, остальные два неориентируемы. Все ориентируемые атомы обратимы, причем первые два атома самодвойственные. Самодвойственным является также четвертый атом.

Кратность 3 (n = 4). Количество классов эквивалентности атомов, рассматриваемых с точностью до двойственности, равно 17. Хордовые диаграммы, соответствующие атомам, приведены на рис. 7, сами атомы — на рис. 8. Первые пять атомов ориентируемы, все они обратимые и не самодвойственные. Остальные 12 атомов неориентируемы, из них атомы 6, 7, 8, 9 самодвойственные.

Работа выполнена при поддержке программы Президента РФ "Ведущие научные школы РФ" (грант № НШ-6399.2018.1) и РФФИ (грант № 16-01-00378-а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фоменко А.Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // Докл. АН СССР. 1986. 287, № 5. 1071-1075.

2. Болсинов A.B., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Т. 1,2. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999.

3. Khruzin A. Enumeration of chord diagrams. URL : arxiv.org/abs/math.CO/008209, 1998.

4. Манойло Т.О., Cipa M.I., Кадубовский O.A. Про число не1зоморфних та неекв1валентних хордовыхдоаграм // Пошуки i знахвдки. 2010. 1, № 10. 61-70.

5. Sevada J. A fast algorithm to generate necklace with fixed content // Theor. Comp. Sei. 2003. 301. 477-489.

6. Gort R., Marcus M. Counting non-isomophic chord diagrams // Theor. Comp. Sei. 1998. 204. 55-73.

7. Мантуров В. О. Атомы, высотные атомы, хордовые диаграммы и узлы. Перечисление атомов малой сложности с использованием языка Mathematica 3.0 // Топологические методы в теории гамильтоновых систем: сб. статей. М.: Факториал, 1998. 203-212.

Поступила в редакцию 14.03.2018

УДК 517.938.5

БИЛЬЯРДЫ И ИНТЕГРИРУЕМОСТЬ В ГЕОМЕТРИИ И ФИЗИКЕ.

НОВЫЙ ВЗГЛЯД И НОВЫЕ ВОЗМОЖНОСТИ

А. Т. Фоменко, 1 В. В. Ведюшкина 2

К 80-летию Виктора Антоновича Садовничего

Описание бифуркаций и симметрий интегрируемых систем — важный раздел геометрии, имеющий множество приложений. В последнее время получены существенные результаты в описании бифуркаций интегрируемых бильярдов и в моделировании бильярдами гамильтоновых систем механики и динамики. В работе собраны интересные задачи, а также указана программа исследований на ближайшее время. В завершение статьи как пример одной из работ, близкой к бильярдной тематике, приведены результаты, позволяющие описать скрытые симметрии бифуркаций гамильтоновых систем.

Ключевые слова: интегрируемая система, бильярд, лиувиллева эквивалентность, инвариант Фоменко-Цишанга.

Description of bifurcations and symmetries of integrable systems is an important section of geometry that has many applications. Recently, important results have been obtained in

1 Фоменко Анатолий Тимофеевич — академик РАН, зав. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: atfomenkoQmail.ru.

2Ведюшкина Виктория Викторовна — канд. физ.-мат. наук, ассист. каф. дифференциальной геометрии и приложений мех.-мат. ф-та МГУ, e-mail: arinirQyandex.ru.

the descriptions of bifurcations of integrable billiards and in billiards modeling of Hamiltonian systems of mechanics and dynamics. The article contains important interesting problems, as well as a research program for the near future. At the end of the paper, as an example of one of the works of a cióse billiard subject, the results allow us to describe the hidden symmetries in the description of Hamiltonian bifurcations.

Key words: integrable system, billiard, Liouville equivalence, Fomenko-Zieschanginvariant.

1. Введение. Настоящая статья опирается на доклад академика А.Т. Фоменко, сделанный в МГУ 12 декабря 2018 г. Доклад "Бильярды и интегрируемость в геометрии и физике. Новый взгляд и новые возможности", состоявшийся на научном семинаре "Время, хаос и математические проблемы", руководимом академиком В.А. Садовничим, открыл серию докладов в рамках научной школы "Современные проблемы фундаментальной математики и механики", руководителем которой является В.А. Садовничий. Тематика доклада посвящена новому научному направлению, созданному несколько лет тому назад и активно развиваемому кафедрой дифференциальной геометрии и приложений механико-математического факультета МГУ. Речь идет о новом объекте — классе топологических интегрируемых бильярдов, которые, как оказалось, "моделируют" многие важные интегрируемые гамильтоновы системы с двумя степенями свободы (а точнее, лиувиллево эквивалентны им), известные в симплектической геометрии и топологии, математической физике и механике. Здесь в первую очередь следует назвать работы учеников А.Т. Фоменко, а именно: В.В. Ведюшкиной (Фокичевой)[1-7], И.С. Харчёвой [8], Е.Е. Каргиновой [9, 10], В.А. Москвина [11], И.Ф. Кобцева [12], С.Е. Пустовойтова [13], В.А. Трифоновой [14], В.А. Кибкало [15, 16], К.И. Солодских [17]. Важные результаты по топологии бильярдов получены В. Драговичем и М. Раднович [18, 19].

Напомним, что бильярд в плоской области, ограниченной дугами софокусных квадрик одного и того же семейства, интегрируем. Более точно: прямые, содержащие звенья любой траектории-ломаной, являются касательными к некоторой квадрике, софокусной с квадриками границы (см. классическую работу Дж.Д. Биркгофа [20] и книгу В.В. Козлова и Д.В. Трещева [21]). Параметр этой квадрики, называемой каустикой, сохраняется вдоль траектории системы. В работе [4] В.В. Фо-кичева ввела новый класс интегрируемых бильярдов, рассмотрев двумерные кусочно-гладкие поверхности, склеенные из элементарных бильярдов. При попадании на ребро склейки материальная точка переходит с одного элементарного бильярда на другой по обычному закону отражения. Этот класс бильярдов можно расширить, рассмотрев более сложные клеточные комплексы, склеенные из элементарных бильярдов, включая так называемые бильярды-книжки [8], см. ниже. Мы называем указанный класс топологическими интегрируемыми бильярдами.

В статье мы формулируем новые задачи, возникшие в рамках направления "Интегрируемость и бильярды" и представляющие, по нашему мнению, значительный интерес.

2. Бильярдные гипотезы А.Т. Фоменко. Напомним гипотезу Фоменко (шесть пунктов) о моделировании топологическими бильярдами интегрируемых невырожденных систем с двумя степенями свободы.

Гипотеза А (атомы). Любые бифуркации двумерных торов Лиувилля в изоэнергетическом многообразии любой интегрируемой невырожденной системы с двумя степенями свободы моделируются при помощи интегрируемых бильярдов. Иными словами, любые ориентируемые 3-атомы (см., например, работу А.Т. Фоменко [22]) реализуются подходящими бильярдами. Это означает, что сравниваемые слоения Лиувилля на трехмерных многообразиях послойно диффеоморфны (т.е. лиувиллево эквивалентны).

Гипотеза В (грубые молекулы). Любые грубые молекулы — инварианты Фоменко [23], задающие множество всех интегрируемых систем с точностью до грубой эквивалентности и содержащие хотя бы один атом, — моделируются интегрируемыми бильярдами.

Гипотеза С (меченые молекулы). Существует большой класс меченых молекул (это инварианты Фоменко-Цишанга [24, 25], задающие множество всех интегрируемых систем с точностью до лиувиллевой эквивалентности), которые моделируются интегрируемыми бильярдами. Иными словами, многие слоения Лиувилля невырожденных интегрируемых систем на изоэнергетических 3-поверхностях послойно диффеоморфны (т.е. лиувиллево эквивалентны) соответствующим слоениям некоторого топологического бильярда.

Гипотеза D (изоэнергетические 3-многообразия). Любая трехмерная замкнутая изоэнер-гетическая поверхность любой интегрируемой невырожденной системы с двумя степенями свободы реализуется как изоэнергетическая поверхность некоторого интегрируемого бильярда. Напомним, что класс изоэнергетических 3-многообразий невырожденных интегрируемых систем совпадает со-

гласно теореме A.B. Браилова и А.Т. Фоменко с классом граф-многообразий (многообразий Вальд-хаузена).

Любой ответ на эти гипотезы Фоменко представляет интерес. Например, поскольку не все "меченые молекулы" (т.е. инварианты Фоменко-Цишанга) реализуются бильярдами, то полезно было бы описать класс реализуемых молекул. При этом обнаружатся топологические препятствия, различающие реализуемые и нереализуемые слоения Лиувилля. То есть станет ясно, какие невырожденные интегрируемые системы лиувиллево эквивалентны интегрируемым бильярдам, а какие — нет. И в чем причина. Напомним, что лиувиллева эквивалентность означает, что две сравниваемые системы имеют одинаковые замыкания почти всех решений (т.е. интегральных траекторий).

Гипотеза Е (бильярды = слоения = меченые молекулы). Согласно гипотезе С существует достаточно большой класс лиувиллевых слоений (т.е. меченых молекул), реализуемых топологическими бильярдами. Для этого класса инвариант Фоменко-Цишанга, по-видимому, "эквивалентен" самому соответствующему бильярду. Более точно: рассмотрим интегрируемый бильярд как двумерный клеточный комплекс, где границы двумерных клеток образованы ребрами (дугами склейки) элементарных бильярдов и отрезками фокальных прямых. Тогда, по-видимому, имеется взаимно однозначное соответствие между мечеными молекулами (кодирующими слоения Лиувилля с точностью до послойных диффеоморфизмов) и интегрируемыми бильярдами (рассматриваемыми с точностью до клеточных гомеоморфизмов клеточных 2-комплексов).

Гипотеза F (монотонность функций вращения). Каждая невырожденная, интегрируемая по Лиувиллю система с двумя степенями свободы характеризуется в том числе своими функциями вращения [26] на ребрах молекул (т.е. на однопараметрических семействах 2-торов Лиувилля). Они важны для траекторной классификации систем. Гипотеза состоит в том, что для бильярдов эти функции вращения строго монотонны (на каждом ребре молекулы). Это означает, что траекторный инвариант — вектор вращения на ребре молекулы — полностью задается значениями (пределами) функции вращения на концах ребра.

3. Гипотеза А Фоменко доказана, гипотеза В доказана "почти полностью". Назовем семейством софокусных квадрик на евклидовой плоскости R2 с координатами (x, y) множество кривых, заданных уравнением

x2(b - Л) + y2(a - \) = (а - Л)(b - Л),

где через а > b > 0 обозначены параметры семейства, Л — параметр, определяющий квадрику.

Определение. Элементарным бильярдом назовем связную компактную область на евклидовой плоскости, ограниченную дугами софокусных квадрик, такую, что граница содержит только углы, равные ^ (т.е. не содержит углов

Замечание. В работе В.В. Фокичевой [3] на множестве элементарных бильярдов было введено следующее отношение эквивалентности. Эквивалентные бильярды могут быть получены друг из друга не только стандартными движениями плоскости, но и деформацией их границ в классе софокусных квадрик так, чтобы изменяемая дуга не попадала на фокальную прямую.

Элементарными бильярдами назывались бильярды, склеенные из простейших вдоль границ так, чтобы склеиваемые бильярды были по разные стороны от сегмента склейки. В этом случае к множеству таких бильярдов относятся, например, накрытия над областью, ограниченной двумя эллипсами.

Элементарные бильярды интегрируемы (см. подробнее [20, 21]): для любой траектории всегда найдется каустика — эллипс или гипербола семейства софокусных квадрик, такая, что звенья

Л

дополнительный интеграл динамической системы бильярда.

Определение. Фиксируем элементарный бильярд Q и число n € N. Каждой дуге границы Q, являющейся связной частью квадрики, припишем произвольную перестановку а порядка n так, чтобы в каждом угле бильярда дугам границы, его образующим, были приписаны коммутирующие перестановки. Рассмотрим несвязное объединение n элементарных бильярдов (листов) Qj, i € {1,... ,n}. Изготовим из этих листов некоторый клеточный комплекс. Рассмотрим дугу l границы бильярда Q

а. а

отождествим дуги l бильярд ob Qj, если их номера i лежат в одном цикле перестановки а.

Получившийся клеточный комплекс B назовем бильярдной книжкой (или книжкой). Вообще говоря, книжка B может оказаться несвязной. Ограничимся такими наборами перестановок а на границах Q, чтобы книжка B была связной.

Бильярдное движение по книжке B определим так. Внутри каждого листа Qj движение прямо-

Элементарные бильярды А0 и Во

.линейно, а при ударе о границу происходит отражение, при котором точка продолжает движение но листу а (г), где а — перестановка, приписанная этой дуге границы. При попадании в угол точка продолжает движение по листу (а1 о а2)(г), где а1 и а2 — коммутирующие перестановки, приписанные

сторонам этого угла.

Элементарные бильярды были классифицированы В.В. Фокичевой в работе [3]. Рассмотрим два элементарных бильярда, внутренность которых не содержит точек фокальной прямой: бильярд А0, ограниченный двумя дугами гипербол, дугой эллипса и фокальной прямой, и бильярд Во, ограниченный двумя эллипсами и двумя гиперболами (см. рисунок).

Теорема (Ведюшкина-Харчёва). Гипотеза А Фоменко верна. А именно: для, любого ориентируемого седлового 3-атома (со звездочками или без) алгоритмически строится бильярдная, книжка, склеенная, из про-

Ао

интеграла Л = Ь в изоэнергетической поверхности Q3 этой книжки послойно гомеоморфно данному атому.

Слоение Лиувилля прообраза окрестности особого значения Л = 0 для любой бильярдной книжки послойно гомеоморфно минимаксному атому А.

Л=Ь

прямых, проходящих через фокусы.

Замечание. Вообще говоря, один и тот же 3-атом можно промоделировать различными бильярдными книжками.

Теорема (Ведюшкина-Харчёва). Гипотеза, В Фоменко верна для, грубых .молекул, не содержащих атомов со звездочкалт. А именно: для, любой грубой молекулы, содержащей атомы,

(

) Во,

•такая, что ее инвариант Фо.иенко Циишнга, имеет структуру графа,, совпадающего с данной грубой .молекулой. Более точно: изоэнергетическая поверхность такой бильярдной книжки склеена, из кусков наперед заданных атомов в порядке, задаваемом, грубой .молекулой.

4. Бильярды и перспективы. Перечень интересных задач. Программа дальнейших исследований. Вот список наиболее интересных, по нашему мнению, задач, связанных с интегрируемыми бильярдами.

(1) Моделирование бильярдами важных интегрируемых тамильтоновых систем, известных в геометрии, топологии, физике и механике. В этом направлении получены существенные результаты (см. работы В.В. Ведюшкиной и А.Т. Фоменко, например [27, 28]).

(2) Теория топологических бильярдов разветвляется на несколько тем.

(2.1) Бильярдные книжки: моделирование с их помощью всех 2-атомов (а потому и всех 3-атомов). Это гипотеза А Фоменко. Эта теорема уже доказана В.В. Ведюшкиной и И.С. Харчевой [8, 29]. Следует выделить вопрос о связи бильярдов с /-графами атомов и с хордовыми диаграммами (задающими узлы вК3). Далее, сколько бильярдных книжек могут моделировать один и тот же атом?

(2.2) Описать бильярды, моделирующие: а) максимально симметричные высотные атомы (Е.М. Никонов, Н.В. Волчанецкий [30]); б) высотные атомы с транзитивной на вершинах группой симмстрий (И.М. Никонов) [31|; в) высотные атомы с транзитивной на кольцах одного цвета группой симмстрий (В.А. Трифонова [14]); I') другие классы максимально симметричных атомов, не обязательно высотных (Е.А. Кудрявцева, И.М. Никонов, А.Т. Фоменко [32, 33|).

(2.3) Бильярдные книжки: гипотезы В, С, Б Фоменко (см. выше). Уточнить, как топология изоэнергетического 3-многообразия Q зависит от топологии бильярда. Например, чему гомеоморфно ^ ^^^ ^^^^^^^^ склеенного из к эллипсов? Какие бильярды реализуют линзовые пространства?

(2.4) Описать бильярды, реализующие изоэнергетичеекие 3-многообразия, являющиеся многообразиями Зейферта. Онисать операции над бильярдами, которые порождают связные суммы соответствующих изоэнергетичееких 3-многообразий.

(2.5) Бильярдные книжки и бильярдные узлы. Как известно, любой узел в трехмерном евклидовом пространстве моделируется некоторой "книжкой". Выяснить, какие именно узлы "живут" на бильярдных книжках. Такие узлы мы называем бильярдными узлами. Вопрос: какими свойствами

выделен подкласс бильярдных узлов в классе всех узлов в R3? Как связаны инварианты таких узлов и инварианты Фоменко-Цишанга соответствующих им бильярдов-книжек? Это вскроет связи между классической теорией узлов и гамильтоновыми системами с двумя степенями свободы.

(2.6) Бильярды и спайны. В теории 3-многообразий хорошо известны спайны — 2-комплексы, "кодирующие" 3-многообразия. Теория спайнов существенно развита C.B. Матвеевым [34, 35]. Особенности этих комплексов разбиваются на два типа — трехкратные и четырехкратные. Спайны можно представить в виде топологических интегрируемых бильярдов. Вопрос: как связаны классы бильярдов-спайнов и бильярдных книжек? Какие известные динамические системы моделируются бильярдами-спайнами?

(2.7) Согласно классической теории [34, 35], каждый специальный спайн однозначно задает некоторое компактное замкнутое 3-многообразие. Вопрос: как оно связано с изоэнергетическим 3-многообразием бильярда, задаваемого данным спайном?

(2.8) Описать условия на перестановки бильярдной книжки, при которых соответствующий комплекс связен.

(3) Топологические бильярды (книжки), получаемые невыпуклыми склейками элементарных бильярдов.

(3.1) Многие из перечисленных выше вопросов следует выяснить для бильярдов, образуемых в том числе невыпуклыми склейками.

(3.2) В случае невыпуклых склеек траектории материальной частицы на бильярде не всегда корректно определены. Однако это не влияет на факт существования слоения Лиувилля на кусочно-гладкие 2-торы. Но на некоторых торах интегральные траектории системы ведут себя сложнее, чем в случае выпуклых склеек. Требуется описать эти различия.

(4) Бильярды и симметрии.

(4.2) Выше речь шла о невырожденных 2-атомах. Аналогичный вопрос: как устроены симметрии вырожденных 2-атомов, например атомов сложности 1, отвечающих вырожденному нулю порядка n? Более того, так как такие атомы, по-видимому, также моделируются с помощью бильярдных книжек, вопрос симметрии интересен и для реализующих их бильярдов.

(5) Бильярды с метрикой Минковского.

(5.1) Для этих бильярдов ставятся все те же вопросы, что и для перечисленных выше для бильярдов с локально плоской (евклидовой) метрикой. В этом направлении существенное продвижение получено в работах В. Драговича, М. Раднович [37] и Е.Е. Каргиновой [9, 10].

(5.2) Рассмотреть бильярды с сохранением длины вектора скорости частицы в смысле Минковского. Рассмотреть бильярды с сохранением евклидовой длины вектора скорости частицы. Евклидова длина вектора при отражении точки от стенок может меняться. Замечание Е.А. Кудрявцевой: молекула с сохранением евклидовой длины получается из двух молекул с сохранением длины в смысле Минковского: одна — для пространственноподобных векторов, другая — для времениподоб-ных векторов.

(6) Бильярды со сложной границей.

(6.1) Неограниченные (некомпактные) бильярды с углами 90°, такие, что их неособые поверхности уровня гомеоморфны торам Лиувилля, цилиндрам и плоскостям. Классифицировать перестройки, возникающие на критических уровнях интеграла. То есть построить теорию некомпактных бильярдных атомов. Многочисленные примеры получены в работах [2, 27] авторов.

(6.2) Бильярды с невыпуклыми углами (т.е. 270°). Здесь регулярные слои (уровни интеграла) — это сферы с ручками и проколами. Как зависит род этих поверхностей (число ручек) и число проколов от топологии бильярда? Классифицировать перестройки, возникающие на критических уровнях интеграла. То есть построить теорию бильярдных атомов. В этом направлении довольно много сделано в недавней работе В.А. Москвина [11]. В отличие от классического случая перестроек 2-торов Лиувилля здесь перестраиваются сферы с ручками и проколами. Нужно понять, как наиболее оптимально выбирать базис (циклы) в фундаментальной группе такой поверхности (эта группа некоммутативна, в отличие от случая тора). От выбора базиса будет зависеть тип инварианта лиувиллевой эквивалентности. В случае 2-торов это была целочисленная матрица, связывавшая допустимые базисы. Здесь же будет более сложная картина.

(6.3) Бильярды с невыпуклыми углами. Важный пример: границы бильярда принадлежат семейству взаимно перпендикулярных прямых (отрезков) на евклидовой плоскости. Другой важный класс бильярдов — двумерная поверхность (с краем или без края), составленная из локально плоских областей с углами 90 и 270°, границами которых являются отрезки прямых.

(6.4) Здесь выделим два случая: бильярды в односвязных областях и бильярды в неодносвязных областях.

(6.5) Для бильярдов, ограниченных софокусными квадриками, отдельно рассмотреть случаи, когда область содержит фокусы и когда область фокусов не содержит. Для бильярдов, граница которых не содержит невыпуклых углов, слоения Лиувилля в этих двух случаях (с фокусами или без) принципиально различаются.

(6.6) Изучить бильярдные лабиринты — локально плоские области (поверхности) со сложной структурой границ.

(7) Бильярды с потенциалами.

(7.1) На сегодняшний день обнаружено довольно много интегрируемых бильярдов с потенциалом, т.е. когда материальная точка движется в каком-то потенциальном поле. Например, бильярд в плоской области, ограниченной параболой (более общо: дугами софокусных квадрик), и с гравитационным потенциалом. Для всех таких бильярдов весьма интересно было бы ответить на большинство из перечисленных выше вопросов.

(7.2) Например, И.Ф. Кобцевым изучена топология слоения Лиувилля для интегрируемого бильярда в плоском эллипсе в поле центрального потенциала (как притягивающего, так и отталкивающего). Найдены грубые молекулы (т.е. инварианты Фоменко), но пока работа не завершена: необходимо вычислить инварианты Фоменко-Цишанга (т.е. меченые молекулы).

(7.3) В работе С.Е. Пустовойтова [13] исследован интегрируемый плоский бильярд, ограниченный двумя софокусными эллипсами (т.е. в "кольце"), под действием гуковской центральной силы. Интегрируемость бильярда с таким потенциалом в области, ограниченной эллипсом, была замечена В.В. Козловым. Далее, С.Е. Пустовойтов показал интегрируемость произвольного бильярда с центральным гуковским потенциалом, ограниченного дугами софокусных квадрик. Вычислены инварианты Фоменко-Цишанга лиувиллевой эквивалентности. В случае этого бильярда с потенциалом обнаружились новые топологические эффекты, ранее неизвестные. Эти исследования очень перспективны.

(7.4) В работе И.В. Кобцева [12] изучена топология интегрируемого бильярда на двумерном эллипсоиде в поле упругой силы (как притягивающей, так и отталкивающей). Также И.В. Кобцев исследовал движение материальной точки по эллиптическому параболоиду в трехмерном пространстве под действием силы тяжести. Эта интегрируемая система известна как задача Чаплыгина о параболоидном маятнике. Найдены грубые молекулы (инварианты Фоменко). Теперь следует вычислить меченые молекулы (инварианты Фоменко-Цишанга).

(7.5) Интересный вопрос: какие типы точек ранга 0 реализуются в интегрируемых бильярдах с потенциалом?

(8) Бильярды с кусочно-линейными границами.

(8.1) Бильярды в плоских треугольниках с "табличными углами" (45 — 90 — 45° и 60 — 60 — 60°), соответствующие решеткам на плоскости. Исследовать интегрируемость и соответствующую топологию.

(8.2) Проблема интегрируемости и топологии слоений Лиувилля для бильярдов на выпуклых многогранниках с "табличными углами".

(9) Бильярды с проскальзыванием. Рассмотрим для примера плоский бильярд в эллипсе, где бильярдный "шар" (материальная точка), ударившись о границу в точке X, "перескакивает", "проскальзывает" в точку У, удаленную вдоль границы от точки X на расстояние ^(X), где ^ — некоторая функция, после чего бильярдный "шар" выходит из точки У под тем же углом, с каким он вошел в точку X. Впрочем, можно рассматривать случай, когда "угол выхода" тоже является некоторой функцией от "угла входа". Вопрос: когда такой бильярд с проскальзыванием будет интегрируем? Эту же задачу можно понимать еще так. Рассмотрим, например, два изометричных плоских эллипса и склеим их границы посредством некоторой изометрии (т.е. изометрично наложив друг на друга граничные дуги). Здесь получившийся бильярд гомеоморфен сфере. Бильярдный шар, попав на границу первого эллипса, переходит на второй эллипс, движется по нему, достигает границы и в результате вновь появляется в первом эллипсе. С точки зрения первого эллипса возникает "проскальзывание шара" вдоль границы. Например, если склеить границы двух изометричных эллипсов с поворотом на 90°, то получившийся бильярд с проскальзыванием будет интегрируем. Изучить

этот вопрос. В общем случае следует склеивать интегрируемые бильярды с помощью изометрий их границ (т.е. одномерных дуг).

(10) Виртуальные бильярды с полупрозрачными стенками. Предположим, что на пути бильярдной частицы возникла преграда. Какие законы движения здесь были бы естественны? Ранее были изучены два основных варианта: сохранение вектора скорости (стенка прозрачная) и отражение вектора скорости относительно нормали к стенке в данной точке так, чтобы падающий вектор и отраженный находились по разные стороны от касательной плоскости к стенке (стандартный закон отражения Ферма). Однако существуют еще два варианта отражения: замена вектора на противоположный и отражение таким образом, чтобы падающий вектор и отраженный находились по

-1).

Интересен последний вариант. Такой тип отражения уже рассматривался в бильярдах в треугольниках (произвольных) и встречается в так называемых метаматериалах. В случае интегрируемого бильярда в области, ограниченной софокусными квадриками, интересно рассмотреть случай, когда полупрозрачная стенка также принадлежит этому семейству квадрик. Очевидно, что при этом динамика системы изменится, хотя по-прежнему сохранится интегрируемость. Интересен вопрос: как влияет полупрозрачность стенок на топологию слоения Лиувилля? По-видимому, добавление полупрозрачной стенки в бильярд не меняет его слоение Лиувилля, т.е. не меняет меченую молекулу. Хотелось бы получить ответ на вопрос: изменятся ли функции вращения? Также интересно, как влияет появление потенциала или проскальзывания на слоение Лиувилля бильярда с полупрозрачными стенками.

(12) Комплексные бильярды и квантование бильярдов. Этой теме посвящена, например, работа A.A. Глуцюка [39]. Установить возможные связи с интегрируемыми топологическими бильярдами. В комплексных бильярдах нет реального движения материальной точки, а заданы инволюции на множестве комплексных прямых.

(13) "Химические реакции" интегрируемых бильярдов. Понятие "химических реакций" применительно к меченым молекулам, классифицирующим 2-слоения Лиувилля, было введено А.Т. Фоменко в работах [40, 41]. Рассмотрим деформацию границ бильярдов в классе софокусных квадрик. При этом бильярд заменяется на ему эквивалентный. Однако в некоторый момент происходит бифуркация и топологический тип бильярда "скачком" меняется. Возникает "бордизм с особенностями", соединяющий две грубые и меченые молекулы. Его можно назвать "химической реакцией", преобразующей грубые и меченые молекулы. Интересно изучить типичные "химические реакции".

(14) Накрытия бильярдов.

(14.1) Поскольку интегрируемые бильярды являются клеточными двумерными комплексами, то можно рассматривать их накрытия, тоже являющиеся интегрируемыми бильярдами. Как накрытие влияет на молекулы (грубые и меченые)? Построить примеры.

(14.2) Рассмотрим инволюцию, задаваемую на трехмерной изоэнергетической поверхности интегрируемого топологического бильярда отражением: вектор скорости v (материальной точки) пе-

-

торизации по инволюции? Пусть на изоэнергетическом 3-многообразии задана инволюция слоения Лиувилля. Более общий вопрос: как реагирует меченая молекула на факторизацию по инволюции, т.е. как "факторизуется" меченая молекула? И как при этом факторизуется моделирующий ее бильярд?

(14.3) Бильярдные книжки и накрытия. Согласно замечанию A.A. Ошемкова, поскольку атомы моделируются подходящими бильярдами (см. выше доказательство гипотезы А Фоменко), то накрытия над атомами соответствуют накрытиям бильярдных книжек. Следует подробно разобраться в этом интересном соответствии.

потребуются и другие траекторные инварианты, введенные A.B. Болотовым и А.Т. Фоменко в [26]. Вопрос: как они устроены для интегрируемых бильярдов?

(16) Геодезические бильярды на двумерных квадриках в трехмерном пространстве, ограниченные кривыми, высекаемыми на них квадриками того же семейства. Например, изучить бильярд на эллипсоиде в области, ограниченной софокусными двумерными квадриками. Интегрируемость является следствием теоремы Якоби-Шаля. Гипотеза: геодезический поток (бильярд) в области на эллипсоиде, ограниченной софокусными квадриками, траекторно эквивалентен случаю Эйлера (для всех трех изоэнергетических 3-многообразий). Далее, рассмотреть не только компактные, но и некомпактные области на квадриках.

(17) Многомерные бильярды. Теорема Якоби-Шаля порождает интегрируемые бильярды в размерности три и выше. Нужно построить теорию топологической (лиувиллевой и траекторной) классификации таких многомерных бильярдов. Например, грубый лиувиллев анализ бильярда в трехмерном эллипсоиде был сделан В. Драговичем и М. Раднович [19].

5. Программа на ближайшее будущее. Планируемые результаты и направления. Завершение доказательства гипотезы В Фоменко о моделировании бильярдами слоений, задаваемых молекулами Фоменко. В настоящий момент данная гипотеза доказана для слоений, содержащих 3-атомы, слоение Зейферта которых не содержит особых слоев. Опишем краткую схему доказательства. Пусть дана молекула, не содержащая атомов со звездочками. Предположим, что между всеми седловыми атомами метки r = то. Тогда на объединении всех седловых атомов структура слоения Лиувилля такого многообразия является прямым произведением окружности на некоторую двумерную базу. Эта двумерная база в свою очередь может быть получена как естественная склейка 2-атомов по граничным окружностям. Фактически такая поверхность является склейкой так называемых "крестов" — окрестностей седловых особенностей функций Морса. Каждый "крест" реализуем с помощью окрестности особого слоя бильярда Ao (такой бильярд состоит из двух бильярдов AQ, склеенных вдоль сегмента фокальной прямой). Склейка "крестов" позволяет определить склейку бильярдов Ao, в окрестности особого слоя которых данная база реализуется. Для того чтобы получить нужную молекулу, необходимо отделить особые значения разных атомов друг от друга. Это можно сделать с помощью перехода от бильярдов Ao к топологическим бильярдам A(2Bo), полученным склейкой двух бильярдов Bo вдоль невыпуклого сегмента эллипса. Особый слой соответствующего атома лежит в прообразе значения, соответствующего параметру склеенного эллипса. И, более того, по-прежнему реализует "крест".

Планируется исследовать гипотезы С и D Фоменко. С одной стороны, по-видимому, существует слоение Лиувилля, нереализуемое с помощью бильярдов. Это слоение задается молекулой A — A, где метка r = то, а метка е = —1. Такое слоение реализуется как слоение Лиувилля одного из трех типов изоэнергетических поверхностей волчка Лагранжа. Далее, хотелось бы получить ответ на вопрос: какие именно слоения Лиувилля трехмерных изоэнергетических поверхностей для случаев динамики твердого тела (и их обобщений) реализуются бильярдами, а какие — нет? С другой стороны, в рамках третьей гипотезы интересна и следующая задача. Фиксируем значение некоторой метки. Можно ли получить бильярд, молекула которого содержит метку с таким значением? Этот факт очевиден для метки е и уже установлен для метки r. Остается вопрос, верен ли он для метки n.

В рамках гипотезы D Фоменко планируется в первую очередь реализовать изоэнергетические многообразия, получаемые в задачах динамики твердого тела (и их обобщениях). Согласно теореме Смейла, каждая его компонента связности гомеоморфна многообразию из следующего списка: S3, RP3, #S1 х S2. Так как первые два случая уже были реализованы бильярдами ранее, остается показать, что связная сумма любого числа S1 х S2 реализуется как изоэнергетическая поверхность бильярда. Далее планируется вычислить, каким 3-многообразиям гомеоморфны изоэнергетические поверхности бильярдных книжек.

Планируется исследовать гипотезу F Фоменко. Для начала вычислить траекторные инварианты для элементарных и топологических бильярдов с выпуклыми склейками. При этом опираться не только на уже выполненные исследования бильярдных функций вращения, но и на результаты работ В.В. Козлова, A.B. Болсинова и А.Т. Фоменко.

В настоящий момент школой Фоменко получены яркие результаты в следующих сюжетах теории интегрируемых бильярдов: бильярдная книжка (И.С. Харчёва), центральный потенциал типа Гука (С.Е. Пустовойтов), бильярд в софокусных квадриках в метрике Минковского (Е.Е. Каргино-ва). В дальнейшем планируется посмотреть, как эти задачи взаимодействуют между собой и какие при этом слоения Лиувилля могут быть получены.

6. Близкое к бильярдам исследование В.А. Трифоновой. Симметрии атомов-бифуркаций. Задача классификации максимально симметричных атомов является довольно сложной и

может быть решена только для отдельных семейств атомов (атомов малой сложности, атомов малого рода) либо атомов, обладающих некоторым специальным свойством.

Классификация максимально симметричных высотных атомов получена Н.В. Волчанецким и И.М. Никоновым [30]. Она включает атом Л^ две бесконечные серии атомов Бп, п ^ 1; Сп, п ^ 1, и пять атомов Р\, Р2,Рз, Р4,Р5, соответствующих правильным многогранникам.

И.М. Никоновым [31] получена классификация высотных атомов с группой симметрий, транзитивной на вершинах атома. Она включает серии следующих атомов: Сп,п ^ 1; Бп,п ^ 3; Еп,п ^ 1;

Рп,п > 1; Сп,п > 2; Кп,п > 2; С'п,п > 3; Б^п ^ 2; ¿также Ръ Р2, Рз, Р4, Р5, Яъ Я2, Яз, Яь Р{, р/ р/ р/ р/ р// р// р// р// р//

Р21 Р 3 > Р41 Р\1 Р2 1 Р'3 1 Р4 1 Р5 •

В работе В.А. Трифоновой [14] рассматривается важный частный случай высотных атомов — высотные атомы с группой симметрий, транзитивной на кольцах одного цвета (белого). Для таких атомов удалось получить полную классификацию: предъявлена 21 бесконечная серия.

Определение 1. Атомами РЬп, п ^ 1, назовем атомы, /-графы которых представляют собой один цикл с VI,... ,У4п+2 вершинами, занумерованными в порядке обхода ориентированного цикла, И С хордами ^4г-3,V4i), 1 ^ г ^ п, ^4—^4+), 1 ^ г ^ п, И ^4п-1 ,V2).

Утверждение 1. Любой атом,, имеющий одно белое кольцо, является высотным тогда и только тогда, когда его /-гщф не содержит в себе /-гщфа атома РЬп, п ^ 1.

Определение 2. Атомами Лп, п ^ 1, называется серия атомов, имеющих одно белое кольцо, п/ себе /-графа атома РЬп, п ^ 1.

Группа симметрий

Атом Группа симметрий ориентированного

цикла

А^п > 1) Zfc

Вп{к,1,р}(п^ 3) Т>п(к = 1), Ык = 1),

Щ

Сп{р}(п > 1) Т>и где t € {1; ...;п}

Рг{к,1,р} Т>2(кф1), 21 (кф1),

Ал

Р2{к,1,р} Ъ4(кф1), Ыкф1),

Б4

Рз{к, 1, т,р} Б4(к = 1 = ш), Ъ4 (к = 1 = ш),

А4(к = 1 = ш), Z2 (к = 1 = то),

% Zl

Р4{к,р} Аъ z3

Р5{к, /, т,р} Аъ{к = 1 = то), Z5 (к = 1 = ш),

а4 Zl

13.1 {к, 1,р} а4 Zl

Я2{к,1,р} А4(кф1), Zl(к ф 1),

Б4

К3{к,1,р} <54 Zl

Н4{к,1,р} <54

Ык,1,р} <54

Нб{к, 1, т,р} <54

К7{к,р} л5 Z2

К8{к,1,р} л5 Zl

К 9{к,1,р} л5

К 1о{к, 1,р} а5

К и {к, 1, т,р} Ав

ъп

1^п{к, 1, т,р}(п ^ 4) Т>п

Утверждение 2 (критерий высотности атома, имеющего ровно два белых кольца). Атом,, имеющий два белых кольца, является высотным тогда и только тогда, когда цикл (г1 ,...,гп) совпадает с циклом, (п,п — 1,..., 1), ребра кла,сса Л1 (соответственно В1) попарно не зацеплены,

/ С1

/

РЬп, п ^ 1.

Определение 3. Атомами СП{р}, п ^ 1, называется серия высотных атомов, которые имеют

два белых кольца и симметрия которых транзитивно действует на этих кольцах. Здесь число р со/

п

этой серии см. в работе В.А. Трифоновой [14]).

Определение 4. Построим /-графы следующих серий атомов: БП{к,1,р}, п ^ 3; Р1{к,1,р}, Р2{к, 1,р}, Рз{к,1,т,р}, ^4{к,р},Рб{к, 1, т,р}, Я1{к,1,р}, Я2{к,1,р}, Яз{к,1,р}, Я4{к, 1,р}, Дб{к, 1,р}, Яб{к,1,р}, Е7{к,р},Ез{к,1,р}, Яд{к,1,р}, Яю{к,1, р}, Яп{к, 1, т,р}, {к, 1,р}, п ^ 3,п = 4; ЯП {к, 1, т,р}, п ^ 4; здесь к, 1, т ^ 1; р € Z+. Эти /-графы получаются из /-графов соответственно атомов Бп, п ^ 3; Рь Р2, Рз, Р4, Р5, ЯЬЯ2,Яз,Я4, Я5, Яб, Я7, Яв, Я9, Яю, Яи, ЯП, п ^ 3,п = 4; ЯП, п ^ 4, путем добавления кратных ребер (подробнее см. работу [14]).

Полное описание серии атомов, групп симметрий соответствующей серии и групп симметрий ориентированного цикла /-графа атома из серии представлено в таблице, где £>П — группа диэдра порядка 2п, 5 — группа перестановок, А — знакопеременная группа.

Теорема (В.А. Трифонова). Высотный атом,, группа симметрий которого транзитивно действует на кольцах белого цвет,а, изоморфен одному из атомов следующего списка: А}п, п ^ 1;Бп{к,1,р}, п ^ 3; СП{р}, п ^ 1; Р1{к,1,р}, Р2{к,1,р}, Рз{к,1,т,р}, Р4{к,р},Р5{к,1,т,р}, Я1{к,1,р}, Я2{к,1,р}, Яз{к,1,р}, Я4{к,1,р},Я5{к, 1,р}, Яб{к,1,р}, Я7{к,р},Яв{к,1,р}, Яд{к,1,р}, Я10{к, 1, р}, Я11{к, 1, т,р}, ЯП {к, 1,р}, п ^ 3, п = 4; ЯП {к, 1, т,р}, п ^ 4; здес ь к, 1, т ^ 1; р €

Исследование выполнено в рамках Программы Президента РФ для государственной поддержки ведущих научных школ РФ (грант НШ-6399.2018.1, соглашение № 075-02-2018-867) и РФФИ (грант № 16-01-00378-а).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Фок/ичева В. В. Описание особенностей системы "бильярд в эллипсе" // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2012. №5. 31-34.

2. Фокичева В.В. Классификация биллиардных движений в областях, ограниченных софокусными параболами // Матем. сб. 2014. 205, №8. 139-160.

3. Фокичева В.В. Описание особенностей системы бильярда в областях, ограниченных софокусными эллипсами и гиперболами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2014. №4. 18-27.

4. Фокичева В. В. Топологическая классификация биллиардов в локально-плоских областях, ограниченных дугами софокусных квадрик // Матем. сб. 2015. 206, №10. 127-176.

5. Ведюшкина В.В. Слоение Лиувилля невыпуклых топологических биллиардов // Докл. РАН. 2018. 478, №1. 7-11.

6. Ведюшкина В.В. Инварианты Фоменко-Цишанга топологических бильярдов, ограниченных софокусными параболами // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2018. №4. 22-28.

7. Ведюшкина В. В. Инварианты Фоменко-Цишанга невыпуклых топологических биллиардов // Матем. сб. 2019. 210, №3. 17-74.

8. Ведюшкина В.В., Харчева И.С. Биллиардные книжки моделируют все трехмерные бифуркации интегрируемых гамильтоновых систем // Матем. сб. 2018. 209, №12. 17-56.

9. Каргинова Е.Е. Биллиарды, ограниченные дугами софокусных квадрик на плоскости Минковского // Матем. сб. 2019. 210.

10. Каргинова Е.Е. Слоение Лиувилля топологических биллиардов на плоскости Минковского // Фунд. и прикл. матем. 2019.

11. Москвин В.А. Топология слоений Лиувилля интегрируемого бильярда в невыпуклых областях // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2018. №3. 21-29.

12. Кобцев И.Ф. Геодезический поток двумерного эллипсоида в поле упругой силы: топологическая классификация решений // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2018. №2. 27-33.

13. Пустовойтов С.Е. Топологический анализ биллиарда в эллиптическом кольце в потенциальном поле //Фунд. и прикл. матем. 2019.

14. Трифонова В.А. Высотные частично симметричные атомы // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2018. №2. 33-41.

15. Кибкало В.А. Топология аналога случая интегрируемости Ковалевской на алгебре Ли во(4) при нулевой постоянной площадей // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2016. №3. 46-50.

16. Кибкало В.А. Топологическая классификация слоений Лиувилля для интегрируемого случая Ковалевской на алгебре Ли во(4) // Матем. сб. 2019. 210, №5. 3-40.

17. Солодских К.И. Граф-многообразия и интегрируемые гамильтоновы системы // Матем. сб. 2018. 209, №5. 145-165.

18. Dragovic V., Radnovic М. Bifurcations of Liouville tori in elliptical billiards // Regul. Chaotic Dyn. 2009. 14, N 4-5. 479-494.

19. Драгович В., Радпович M. Интегрируемые биллиарды, квадрики и многомерные поризмы Понселе. М.; Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 2010.

20. Биркгоф Дж.Д. Динамические системы. Ижевск: Издательский дом "Удмуртский университет", 1999.

21. Козлов В.В., Трещев Д.В. Генетическое введение в динамику систем с ударами. М.: Изд-во МГУ, 1991.

22. Фоменко А.Т. Теория Морса интегрируемых гамильтоновых систем // Докл. АН СССР. 1986. 287, №5. 1017-1075.

23. Фоменко А. Т. Симплектическая топология вполне интегрируемых гамильтоновых систем // Успехи ма-тем. наук. 1989. 44, №1(265). 145-173.

24. Фоменко А. Т., Цишанг X. О типичных топологических свойствах интегрируемых гамильтоновых систем // Изв. АН СССР. Матем. 1988. 52, №2. 378-407.

25. Фоменко А. Т., Цишанг X. Топологический инвариант и критерий эквивалентности интегрируемых гамильтоновых систем с двумя степенями свободы // Изв. АН СССР. Матем. 1990. 54, №3. 546-575.

26. Волеинов А.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые гамильтоновы системы. Геометрия, топология, классификация. Т. 1,2. Ижевск: НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", 1999.

27. Ведюшкина В.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые топологические биллиарды и эквивалентные динамические системы // Изв. РАН. Матем. 2017. 81, №4. 20-67.

28. Ведюшкина В.В., Фоменко А. Т. Интегрируемые биллиарды моделируют важные интегрируемые случаи динамики твердого тела // Докл. РАН. 2015. 465, №2. 150-153.

29. Ведюшкина В.В., Фоменко А. Т., Харчева И.С. Моделирование невырожденных бифуркаций замыканий решений интегрируемых систем с двумя степенями свободы интегрируемыми топологическими биллиардами // Докл. РАН. 2018. 479, №6. 607-610.

30. Волчанецкий Н.В., Никонов И.М. Максимально симметричные высотные атомы // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2013. №2. 3-6.

31. Никонов И.М. Высотные атомы с транзитивной на вершинах группой симметрии // Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2016. №6. 1-10.

32. Кудрявцева Е.А., Никонов И.М., Фоменко А. Т. Максимально симметричные клеточные разбиения поверхностей и их накрытия // Матем. сб. 2008. 199, №9. 3-96.

33. Кудрявцева Е.А., Никонов Н.М., Фоменко А. Т. Симметричные и неприводимые абстрактные многогранники // Современные проблемы математики и механики / Под ред. А.Т. Фоменко. М.: Изд-во МГУ, 2009. 58-97.

34. Матвеев С.В., Фоменко А.Т. Алгоритмические и компьютерные методы в трехмерной топологии. М.: Изд-во МГУ, 1991.

35. Матвеев С.В. Алгоритмическая топология и классификация трехмерных многообразий. М.: МЦНМО, 2007.

36. Кудрявцева Е.А., Фоменко А. Т. Группы симметрии правильных функций Морса на поверхностях // Докл. РАН. Матем. 2012. 446, №6. 615-617.

37. Драгович В., Раднович М. Топологические инварианты эллиптических биллиардов и геодезических потоков эллипсоидов в пространстве Минковского // Фунд. и прикл. матем. 2015. 20, №2. 51-64.

38. Plakhov A., Tabachnikov S., Treschev D. Billiard transformations of parallel flows: A periscope theorem // J. Geom. and Phys. 2017. 115, N 5. 157-166.

39. Glutsyuk A. On quadrilateral orbits in complex algebraic planar billiards // Mosc. Math. J. 2014. 14, N 2. 239-289.

40. Фоменко А.Т. Теория бордизмов интегрируемых гамильтоновых невырожденных систем с двумя степенями свободы. Новый топологический инвариант многомерных интегрируемых систем // Изв. АН СССР Матем. 1991. 55, №4. 747-779.

41. Fomenko А. Т. The theory of invariante of multidimensional integrable Hamiltonian systems (with arbitrary many degrees of freedom). Molecular table of all integrable systems with two degrees of freedom //Providence, Rhode Island. Amer. Math. Soc. Topological Classification of Integrable Systems. Advances in Soviet Mathematics. 1991. 6. 1-36.

Поступила в редакцию 23.01.2019