Устойчивость ребристых пологих оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей

Расчеты на устойчивость

устойчивость ребристых пологих оболочек

с учетом геометрической и физической нелинейностей

В.М. ЖГУТОВ, канд. техн. наук

ООО «Архитектурно-строительная компания «Китеж», Санкт-Петербург

Известно, что при решении задач устойчивости оболочек в физически линейной постановке анализ наступления пластических деформаций производится с помощью критерия Мизеса, исходя из определенного коэффициента запаса прочности. Известно также, что для получения истинной картины деформирования оболочки наряду с геометрической нелинейностью (проявляющейся при достаточно больших перемещениях) важно учитывать и физическую нелинейность, что связано с серьезными математическими трудностями.

Исследование устойчивости оболочек с учетом физической нелинейности проводилось В.А. Крысько [1], рассматривавшим пологие оболочки без ребер жесткости при шарнирно-подвижном закреплении их контура. При этом использовались уравнения равновесия в смешанной форме (т.е. упрощенная математическая модель технической теории оболочек) и решались задачи устойчивости в геометрически линейной постановке. В работе [1] на примере оболочек, выполненных из металла, показано, что учет физической нелинейности приводит к снижению критической нагрузки (в сравнении с критической нагрузкой, найденной при учете только геометрической нелинейности) на 60-70 %.

В настоящей работе устанавливается, что при совместном учете геометрической и физической нелинейностей процент снижения критической нагрузки еще более возрастает. Будем рассматривать пологие оболочки толщиной h, закрепленные по контуру определенным способом и находящиеся под действием поперечной нагрузки q. Срединную поверхность оболочки принимаем за отсчет-ную поверхность г = 0. Оси х и у криволинейной ортогональной системы координат направляем по линиям кривизны отсчетной поверхности, а ось г - по нормали к поверхности г = 0 в сторону ее вогнутости. Оболочка может быть подкреплена ребрами, расставленными (со стороны ее вогнутости) перекрестно вдоль координатных линий. Ребра задаем дискретно с помощью функции Н(х, у), характеризующей распределение ребер по оболочке и их высоту [2]. Будем учитывать геометрическую и физическую нелинейности, дискретное расположение ребер, их сдвиговую и крутильную жесткости, поперечные сдвиги.

С учетом геометрической нелинейности деформации в отсчетной поверхности оболочки принимают вид

ди 1 (дж У дv 1 (дж^

вх =--КхЖ + -|-I , 8 у =--КЖ +--

дх 2 \ дх ) ду 2 ^ дУ

= ди + дУ + дЖ дЖ х ду дх дх ду где и, V и Ж - перемещения точек координатной поверхности вдоль осей х, у и г соответственно; Кх =1/Л] и Ку =1/Л2 - главные кривизны (Ль Я2 - главные радиусы кривизны) отсчетной поверхности в направлении осей х и у.

Деформации поперечных сдвигов определяем по формулам

, г, / дЖ) ( дЖ^

У хг = kf (г)[У х +~х ) , У Уг = kf( г)[У У +

где ух и уу - углы поворота отрезка нормали к отсчетной поверхности оболочки

в плоскостях х л г и у л г соответственно; /г) - функция, характеризующая закон распределения напряжений тхг, туг вдоль оси г (г изменяется в пределах от -Ь/2 до Ь/2 + Н); k - константа.

Будем полагать, что /г) имеет вид [2]:

/(г) =--^т(г + Ь¥г - Ь - Н

) (Ь + Н)2 I 2Л 2

Эта функция при г = - Ь/2 и г = Ь/2 + Н обращается в нуль и удовлетворяет условиям

1 И / 2+Н 1 Ь/2+Н 1

-— { /(;)сЪ = 1; —— { /2(z)dz = - где k = 5/6.

Ь + Н -И/2 Ь + Н -И/2 k

Перемещения в слое, отстоящем на расстоянии г от отсчетной поверхности, имеют вид иг = и + гух, = V + гуу, = Ж, откуда для деформаций в слое

г * 0 вX, В у и у Ху имеем в X = в х + ^ В у =Ву + ^ 2, уХу = Уху + 2 zXl2, где Хь Х2

и Х12 - функции изменения кривизн и кручения, определяемые с помощью соотношений

Л1 _ - 5 Л2 _ - ' ЛЛ2 _

ôr ây ôy ôx

В случае физически линейных задач модуль упругости данного материала Е = const, что и обуславливает линейную зависимость между напряжениями и деформациями. Как показывает опыт, зависимости «напряжение и - деформация s» для многих материалов оболочек имеют ярко выраженный нелинейный характер, а модуль упругости материала следует считать, вообще говоря, переменной величиной. В этом случае на основании экспериментальной (для данного материала) кривой «о - в» находится аппроксимирующая её кривая о = о(в), которая при сложном напряженном состоянии заменяется зависимостью о, = Двг), где а, и в, - интенсивности напряжений и деформаций.

Представим эту зависимость в виде [3] а, =BiE[1 -ю(в, )], где ю(вг) - функция А.А.Ильюшина; Е - начальный модуль упругости.

Для металлов функцию ю(в,) удобно принять в виде

ю(в,) = т(в,)2, где m - константа (в частности, m = 105 ).

В качестве модуля упругости принимаем величину а, /в, («секущий» модуль упругости):

Ес = Е[1 - ю(в,)].

Интенсивность деформации в, определяем с помощью выражения [4]

2 '' z\2 . „z z . /„z\2 . 1 г/ z \2 . 2 . 2

В' г )2+е г ву + (в; )2+4к у ;у )2+у:+у ; ].

Функционал полной энергии деформации оболочки запишем в виде

Э = Эу - Эп ,

где функционал

Эу =. Е

у 1Л ..2

2

(h + F ) L + 2SL2 +

> - ..2,

-+ J

12

/

L3 - «L-£l> qW

3 E

dxdy

соответствует линейно упругой постановке задачи, а функционал 66

a

ь

X

0

Эп = Е ^ Г+ 2I2L2 +1зLз(3) 2(1 -ц ) J о

о

описывает нелинейную упругость. В соотношениях (2) и (3):

2 ( дЖ^9

2 ^ 2 2 ,1 дЖ ,

L1 = 8 2 + 2ц8 х8 у + 8 у +Ц1Уху Ух I +

У > +ду

L2 = 8хХ1 + ц8хХ2 + 8уX2 + ц8уХ1 + 2^УхуХ12 ;

(й/2)+Н

Lз =х2 + 2ЦХД2 + X2 + 4Ц1Х?2; 1т = |ю(8г)(т = 1,2,3);

- й/2

F, S и J - жесткостные характеристики ребер (площадь поперечного или продольного сечения ребра, приходящаяся на единицу длины сечения, статический момент и, соответственно, момент инерции этого сечения); ц1 = 0,5(1 - ц), где ц - коэффициент Пуассона; а и Ь - размеры оболочки в плане. Перейдем к безразмерным параметрам (более удобным для представления и анализа решения), введенным в [2], в частности:

- безразмерным координатам £ = х/а, п = у/Ь ;

- безразмерным кривизнам ^ = а2 Кх / й, ^ = Ь2 Ку / й ;

- безразмерным перемещениям и = аи /й2, V = ЬV/й2, Ж = Ж/й;

- безразмерной нагрузке Р = а4 q / Ей 4 .

Получим функционал (1) в виде

Э = Эу - Эп.

Для отыскания стационарного значения функционала (4) применяем метод Ритца при разложении искомых функций и л) , V л), Ж л) , Ух (£, Л), У у (£, Л) в виде

_ N _ N _ N

и = ^и

/=1 /=1 /=1

— N _ N

¥ х = £ PS (I) X 4(7)7 4(7); ¥ у =£ PN (7)Х 5(7 )7 5(7).

7=1 7=1

Здесь и(7), V(7), Ж(7), PS(7), PN(7) - неизвестные числовые параметры; Х 1(7) - X5(7) - известные (аппроксимирующие) функции безразмерной координаты \, удовлетворяющие заданным краевым условиям при ^ = 0, ^ = 1; 71(7) - 75(7) - известные (аппроксимирующие) функции безразмерной координаты л , отвечающие заданным краевым условиям при л = 0, Л = 1.

В результате применения метода Ритца к функционалу (4) при разложении (5) получим систему нелинейных алгебраических уравнений, которую кратко запишем в виде [5 - 8]

Fл

где Х = [ и (7), V (7), Ж (7), PS (7), PN (7) ]т - вектор неизвестных параметров; ср • Р - нагрузочный член (ср - коэффициент); Х), Fn(Х) - линейная и нелинейная (геометрически) части системы, соответствующие вместе с нагрузочным членом функционалу Эу ; ^(Х) - часть системы, описывающая физическую нелинейность (отвечающая функционалу Эп ).

а

Для решения уравнений (6) применяем метод итераций [5 - 8].

При рассмотрении физически линейной задачи система уравнений (6) будет иметь вид

Fл

Последовательно увеличивая нагрузку Р методом итераций находим решение системы (7) при Р1, Р2, ..., Рк:

Fл(Хl) - ср • Р = ^(ХМ). _

После этого строим кривую «нагрузка Р - прогиб W » в какой-либо характерной точке оболочки (например, в центре оболочки). Нагрузку, соответствующую максимальному значению Р на кривой « Р - W », принимаем за критическую нагрузку Ркр . Указанным способом исследуем устойчивость оболочки в

физически линейной постановке (при учете геометрической нелинейности).

Исследуя устойчивость оболочки при совместном учете геометрической и физической нелинейностей, методом итераций находим решение нелинейной системы

Fл (Х ) - ср • Р = - Fu (Хм ) + Fп (Х--) . _

За начальное приближение (при каждом значении нагрузки Р ) в этом случае берем решение физически линейной задачи (при том же значении нагрузки).

Поскольку по мере роста напряжений модуль упругости материала уменьшается, деформации растут; стало быть, критические нагрузки, найденные в линейно упругой постановке задачи, будут уменьшаться.

Вычислительный эксперимент выполнен для некоторых вариантов пологих оболочек положительной гауссовой кривизны, представленных в табл.1.

Таблица 1. Параметры проанализированных оболочек

Вариант оболочки Параметры оболочки Возможные реальные размеры, м

a = b Ri = R2 k = kл a = b R1 = R2 h

I 60h 225h 16 18 67,5 0,3

II 100h 251h 40 18 45,3 0,18

III 200h 503h 79,5 18 45,3 0,09

IV 600h 1510h 238 18 45,3 0,03

Для каждого варианта были рассмотрены гладкие оболочки (не имеющие ребер) и ребристые оболочки, подкрепленные регулярным набором из 6-ти либо 18-ти ребер.

Считалось, что ребра расставлены вдоль координатных линий х и y соответственно по 3 ребра либо по 9 ребер в каждом из указанных направлений. Высота ребер принималась 3h. Ширина ребер полагалась равной 2h, 3,3h, 6,6h и 20h соответственно для вариантов оболочек I, II, III и IV.

Кроме того, при проведении расчетов предполагалось, что:

- поперечная нагрузка q равномерно распределена, q = const (q >0);

- контур оболочки закреплен шарнирно-неподвижно;

- число членов разложения (5) N = 9.

В табл. 2 приведены для рассматриваемых вариантов гладких и ребристых оболочек расчетные значения безразмерных критических нагрузок P , найденные при решении физически линейной задачи (при учете только геометрической нелинейности). 68

Таблица 2. Расчетные значения безразмерной критической нагрузки Рк

кр

Вариант оболочки Значения безразмерной критической нагрузки Ркр

при числе ребер

0 6

I 190 - -

II 1140 2800 3610

III 5130 13770 20220

IV 71380 141480 212420

При совместном учете геометрической и физической нелинейностей критические нагрузки РкП весьма значительно уменьшаются (в сравнении с Ркр).

В табл.3 для различных вариантов гладких оболочек представлены расчетные значения безразмерных критических нагрузок Ркр и РкП , а также снижений (безразмерных) критических нагрузок, вычисляемых по формуле

Р - Рп кр_ кр100%.

Р

кр

Таблица 3. Расчетные значения безразмерных критических нагрузок Ркр и РкП, а также снижений критических нагрузок

Вариант гладкой оболочки Р кр Рп кр Снижение критической нагрузки, %

I 190 32 83

II 1140 250 78

III 5130 1800 65

IV 71380 40430 43

Для ребристых оболочек варианта III процент снижения критической нагрузки составляет 67 % при 6-ти ребрах подкрепления и 70 % при 18-ти ребрах. Таким образом, учет физической нелинейности (совместно с учетом геометрической нелинейности) приводит к весьма значительному снижению критической нагрузки. Мы видим, что процент снижения критической нагрузки растет с увеличением толщины оболочки, а также числа ребер, подкрепляющих оболочку. Полученные результаты дают возможность аргументировано задавать коэффициенты запаса прочности при решении задач устойчивости оболочек в физически линейной постановке.

Л и т е р а т у р а

1. Крысько В.А. Нелинейная статика и динамика неоднородных оболочек. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1976. - 216 с.

2. Карпов В.В., Игнатьев О.В., Сальников А.Ю. Нелинейные математические модели деформирования оболочек переменной толщины и алгоритмы их исследования. - М.: АСВ; СПб: СПбГАСУ, 2002.- 420 с.

3. Безруков Н.И. Основы теории упругости, пластичности и ползучести. М.: Высшая школа, 1968. - 448 с.

4. ВольмирА.С. Гибкие пластины и оболочки. М.: Гостехиздат, 1956. - 419 с.

5. Жгутов В.М. Исследование прочности и устойчивости ребристых оболочек с помощью вычислительного эксперимента// Проблемы прочности материалов и сооружений на транспорте: Сб. докладов VII Межд. конф. по проблемам прочности материалов и сооружений на транспорте 23-24 апреля 2008 года. - СПб.: Петербургский государственный университет путей сообщения, 2008. - С. 110-131.

6. Жгутов В.М. Математические модели и алгоритмы исследования устойчивости пологих ребристых оболочек при учете различных свойств материала // Изв. Орловского гос. техн. ун-та. Сер. «Строительство, транспорт». - 2007. - № 4. - С.20-23.

7. Жгутов В.М. Математическая модель и алгоритм исследования прочности и устойчивости ребристых оболочек с учетом различных свойств материала// «Инженерные системы - 2008»: Всероссийская научно-практическая конференция: Тр. конференции. Москва, 7-11 апреля 2008 года, РУДН. - М.: Изд-во РУДН, 2008. - 380 с. - С. 341-346.

8. Жгутов В.М, Мухин Д.Е., Панин А.Н. Прочность и устойчивость пологих ребристых оболочек с учетом геометрической и физической нелинейности// Сейсмостойкое строительство. Безопасность сооружений. - 2008.- № 2.- С. 41-44.

steadiness of depressed ribbed shells taking into account the geometrical and physical nonlinearities

Zhgoutov V.M.