Управление рисками стоимости активов в динамических моделях рынка с трансакционными издержками

Вестник Института экономики Российской академии наук

1/2014

УПРАВЛЕНИЕ ФИНАНСОВЫМИ РИСКАМИ: ТЕОРИЯ, ПРАКТИКА

В. ГИСИН

кандидат физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой « Математика 1» Финансового университета при Правительстве РФ

И. ЯРЫГИНА

доктор экономических наук, профессор, руководитель программ, Финансовый университет при Правительстве РФ

УПРАВЛЕНИЕ РИСКАМИ СТОИМОСТИ АКТИВОВ В ДИНАМИЧЕСКИХ МОДЕЛЯХ РЫНКА С ТРАНСАКЦИОННЫМИ ИЗДЕРЖКАМИ

Рассматривается мировой опыт управления финансовыми рисками. Представлены методы управления активами и пассивами в условиях рынка с трансакционными издержками. Анализируются способы использования математической оценки возможности возникновения финансовых рисков и методы их минимизации.

Ключевые слова: финансовые риски, управление активами и пассивами, количественная и качественная оценка, модели ценообразования.

]БЬ-классификация: А120, С120.

Мировой опыт показал, что одной из основных причин финансово-экономического кризиса являются ошибки финансовых институтов в управлении активами и пассивами.

В современных условиях финансовые институты - предприятия особого рода - осуществляют широкий круг операций по поручению клиентов ими за свой счет с целью получения прибыли. Устойчивая деятельность предприятий основана на соблюдении основных принципов управления финансовыми рисками. Главной целью политики риск-менеджмента является снижение негативного влияния волатиль-ности национальной и мировой экономики и финансовых рынков на результаты работы.

Для достижения целей эффективного управления рисками предприятия:

- анализируют и оценивают риски операций по привлечению, размещению и движению денежных средств;

- осуществляют качественную и количественную (с учетом математических моделей) оценку потенциального влияния различных видов рисков на деятельность и состояние ликвидности;

- разрабатывают и реализуют мероприятия, направленные на снижение влияния рисков на результаты отдельных операций и на деятельность в целом;

- внедряют регламентации и используют модели, обеспечивающие квалифицированный прогноз и управление рисками.

Деятельность предприятия по оценке и управлению рисками направлена на обеспечение сохранности, надежности размещения средств, а также на увеличение прибыльности операций, что соответствует интересам органов регулирования и надзора.

Основные принципы риск-менеджмента распространяются на все виды финансовой деятельности, включая производные финансовые инструменты.

Одно из направлений минимизации рисков спекулятивных операций связано с учетом факторов, которые не являлись существенными при построении классических моделей. Это относится в равной степени как к моделям, опирающимся на принципы равновесия, так и к динамическим моделям. Некоторым особенностям определения цены производных инструментов в динамических моделях рынка и посвящена настоящая статья.

Анализ финансовых временных рядов, например, проводившийся особенно интенсивно в последнее десятилетие, позволил выявить ряд их особенностей (stylized facts или stylized features): тяжелые хвосты распределений, долговременная память, кластеризация волатильности, мультифрактальность и др. Применение классических моделей без учета этих особенностей приводит к недостаточной точности в оценке производных инструментов, к занижению вероятности экстремальных явлений (резкое повышение или падение цены рисковых активов), к избыточным затратам при построении стратегий хеджирования рисков.

В основе классических моделей ценообразования лежат два предположения: гауссовость распределения логарифмической доходности и независимость приращений. Модели рынка, построенные при ослаблении базовых предположений, активно изучаются современной финансовой математикой. Особый интерес вызывают два класса моделей: модели Леви и фрактальные модели. В моделях Леви удается учесть асимметрию и тяжелые хвосты распределений доходности, во

фрактальных моделях - эффекты долговременной памяти (например, персистентность и антиперсистентность финансовых временных рядов). Переход к подобным моделям сопряжен со значительными математическими сложностями. В обоих случаях перестает быть справедливой «основная теорема безарбитражного ценообразования» (БТАР). В моделях Леви, как правило, существует более или менее объемное семейство эквивалентных мартингальных мер и, значит, для справедливых цен производных инструментов могут быть указаны не точечные значения, а интервалы (справедливости ради заметим, что имеются доводы в пользу того, что при расчете цен производных инструментов особую роль играет мартингальная мера, полученная с помощью преобразования Эшера). Вычисление цен производных инструментов в моделях Леви представляет собой трудную математическую и вычислительную задачу. В моделях фрактального рынка без трения мартингальная мера, вообще говоря, не существует и безарбитражный подход для определения справедливых цен невозможен в принципе. Введение в модели трансакционных издержек меняет ситуацию, но вычисление безарбитражных цен остается крайне сложной задачей.

Укажем еще на проблемы, связанные с вычислением цен реальных опционов с использованием классических моделей. Получивший широкое распространение механический перенос формул Блэка-Шоулза с финансовых опционов на реальные не всегда оправдан и достаточно обоснован. Если рассматривать математические модели, сложности связаны в первую очередь со следующими двумя обстоятельствами. Во-первых, динамика цены реального опциона моделируется с помощью финансового опциона. Этим обеспечивается близость цен, но не их совпадение. Во-вторых, при использовании формулы Блэка-Шоулза принимается допущение о том, что поведение базового актива описывается с помощью геометрического Броуновского движения. При таком подходе недооцениваются риски, связанные с экстремальными событиями, ликвидностью и некоторые другие. Этого можно избежать, если ввести в модель трансакционные издержки (или учитывать спрэд между ценой спроса и предложения) и использовать вместо геометрического Броуновского иные распределения, лучше аппроксимирующие эмпирические данные.

Отказ от предположений, положенных в основу классических моделей ценообразования, позволяет получить модели, более адекватно описывающие реальные рынки. Возникающие сложности показывают, что в «неклассических» моделях необходим учет факторов, от которых можно абстрагироваться в моделях классических.

При этом целесообразно осуществлять не только количественную, но и качественную оценку рисков финансовых операций на

базе комплексного подхода к определению вероятности событий на финансовом рынке, учитывая динамику макроэкономических показателей, результаты анализа валютно-финансового положения, уровень инфляции, состояние бюджета, торговый и платежный баланс, внешний долг, валютные резервы, изменения цен на стратегические товары, миграцию капиталов, изменения в законодательстве, политике, показатели ведущих рейтинговых агентств и т.д. Прогноз спекулятивной операции осуществляется на базе комплексного анализа качества активов: их величины, типа, объема, динамики и концентрации балансовых и забалансовых активов, источника доходов, а также влияния рыночных факторов на прибыль. Количественная оценка рисков включает следующие показатели деятельности: ликвидность (мгновенная и общая), достаточность капитала, общий объем активных операций, доходность.

К числу факторов, которые существенно влияют на ценообразование на реальных рынках и должны учитываться в динамических моделях, относят трансакционные издержки. Исследования, посвященные изучению таких моделей, стали проводиться особенно интенсивно в последние годы. Так, число публикаций по финансовой математике, посвященных изучению моделей с трансакционными издержками и зарегистрированных в Макете: выросло с 9 в 1980-х гг. до 52 в 1990-х гг. и до 278 в 2000-х гг. Последние исследования показывают, что в этих моделях удается оценить и эффекты, связанные с ликвидностью, что придает этим моделям дополнительную значимость.

В соответствии с классическими моделями рынка без трения инвестор «непрерывной» торговлей поддерживает оптимальное соотношение активов в портфеле, ориентируясь на отношение Мертона. Соотношение должно оставаться неизменным, пока остаются неизменными неприятие риска и инвестиционные возможности инвестора. Наличие трансакционных издержек (или бид-аск-спрэда) радикально меняет положение дел. «Даже малые трансакционные издержки оказывают заметное влияние на рациональное поведение: инвестор переходит от непрерывной торговли к стратегии «купить и держать».

Несмотря на существенные продвижения за последние несколько лет, проблема ценообразования на рынках с трансакционными издержками до настоящего времени не решена. В практических расчетах получила широкое распространение поправка Леланда. С использованием этой поправки можно вычислять стоимость производных инструментов по формулам Блэка-Шоулза, применяя повышающий коэффициент для волатильности. Однако, как показал Кабанов, в работе Леланда имеются неточности и применение поправки обосновано лишь для узкого класса процессов. Вообще говоря, стоимость производных инструментов можно определять, используя

методы теории оптимального управления. Для этого нужно найти решения соответствующего уравнения Беллмана. Однако в рассматриваемой задаче поиск решения оказывается чрезвычайно сложным. Не спасает положения и применение аппарата вязких решений (viscosity solutions).

Наличие трансакционных издержек расширяет множество стратегий, не допускающих арбитража. Следствием этого является появление системы «справедливых» цен. Характерным для рынков с транс-акционными издержками является то, что справедливая цена производного инструмента определена неоднозначно. Имеется ценовой коридор, выход за который приводит к появлению арбитражных возможностей. В ряде работ, опубликованных в последние годы, предпринята попытка объяснить механизм возникновения такого коридора. Авторами этих работ введены понятия согласованной системы цен (consistent price system) и теневой цены (shadow price).

Опуская технические сложности математического характера, приведем краткое содержательное описание этих понятий. Рассмотрим модель рынка, на котором ценовая динамика рискового актива описывается случайным процессом (St), t е [0,Г], относительно некоторой вероятностной меры P. Пусть Sbt и S? - цены соответственно покупки (bid) и предложения (ask) рискового актива в момент времени t. В моделях с пропорциональными трансакционными издержками предполагается, что Sbt = (1 + е)-1 St и Sat = (1 + е)St, где s - фиксированная положительная величина.

Концепция согласованной системы цен была введена для вычисления приближенного значения справедливой цены платежного обязательства X. Согласованной системой цен (CPS) называется случайный процесс (St), удовлетворяющий следующим двум условиям. Во-первых, цена St в любой момент времени t заключена между ценой покупки и предложения, т.е. в любой момент времени выполняются неравенства S] < St < Sat (точнее - почти в любой момент времени; в дальнейшем мы будем опускать подобные уточнения). Во-вторых, ( St ) является мартингалом относительно некоторой вероятностной меры P, эквивалентной вероятностной мере P. При наличии CPS значением безарбитражной цены производного инструмента может служить математическое ожидание Ep (X) потока платежей X, связанного с этим инструментом, относительно P. Поскольку процесс St и вероятностная мера P определены неоднозначно, образуется спектр (коридор) возможных значений безарбитражной цены производного инструмента.

Сходная ситуация имеет место и в моделях оценки реальных опционов. Обычно динамика цены реального опциона моделируется с помощью финансового опциона. Этим обеспечивается близость цен, но не их совпадение. Пусть St - цена базового реального актива, а

St - соответствующего финансового актива. Можно считать, что цена реального актива и цена финансового актива в каждый момент времени находятся в некотором достаточно узком ценовом интервале [Sht; Sf ]. Таким образом, мы приходим к задаче ценообразования, аналогичной задаче ценообразования на рынке с трансакционными издержками. Цена реального опциона должна равняться цене опциона на финансовый актив на рынке с трансакционными издержками.

Так называемая теневая цена используется для того, чтобы заменить рынок с трансакционными издержками рынком без трения, который в определенном смысле эквивалентен ему в отношении ценообразования. Правда, при этом инвестиционные возможности на рынке без трения имеют стохастический характер. Более точно, теневая цена St лежит в интервале [Sbt;St ] и обладает следующим свойством: для нее должна существовать оптимальная стратегия, имеющая конечную вариацию и такая, что покупки и продажи происходят лишь тогда, когда теневая цена St достигает границ промежутка [S*; Sf ].

Как и CPS, теневая цена может использоваться для построения стратегий хеджирования и соответственно для определения цены производных инструментов. Так же, как и в случае CPS, безарбитражные цены образуют некоторый интервал, и актуальной становится задача оценки границ этого интервала.

В более общем контексте представляется целесообразным отметить спорность понятия «справедливая цена» для неустойчивых и развивающихся рынков. Стандарт учета, основанный на принципе справедливой стоимости - fair value - и требующий от банков и других финансовых институтов регулярно переоценивать стоимость активов, слишком расплывчат. Например, он не расшифровывает, оценка какой торговой площадки (рейтингового агентства, страхового сюрвейера и т.п.) может считаться справедливой, а какой - нет. Кроме того, в период глобального финансового кризиса стало очевидным, что финансовое положение банков и финансовых посредников стран, где не действовало требование учета активов и пассивов по справедливой рыночной оценке, было лучше, чем стран, где оно применялось. По этой причине ряд международных специалистов предложил отказаться от практики ведения финансового учета по текущим рыночным ценам, т.е. с учетом их справедливой стоимости. По-нашему мнению, оперировать этим понятием в рамках математического моделирования ценовых диапазонов возможно в условиях развитых и относительно стабильных рынков.

В работе Герхольда и его соавторов этому дается достаточно ясное математическое объяснение. Ширина коридора безарбитражных цен при достаточно общих предположениях пропорциональна ширине спрэда bid-ask. Ширина коридора «справедливых» цен определяется

(с точностью до бесконечно малых слагаемых) шириной ценового спрэда спроса-предложения. Оптимальными и, следовательно, не допускающими арбитража являются торговые стратегии, при которых сделки не совершаются, если отношение Мертона находится внутри некоторого интервала, ширина которого пропорциональна е , где s - ширина ценового спрэда спроса-предложения. Этим стратегиям соответствуют теневые цены. Таким образом, вместе с шириной коридора для отношения Мертона растет и ширина коридора безарбитражных цен производных инструментов. Следовательно, разброс безарбитражных цен тем больше, чем ниже ликвидность рынка. Ширина коридора зависит также от отношения инвесторов к риску: чем больше относительное неприятие риска, тем уже коридор. Заметим, однако, что и отношение Мертона обратно пропорционально относительному неприятию риска, поэтому объем семейства безарбитражных цен определяется шириной ценового спрэда.

В случае, когда ценовая динамика описывается гауссовским случайным процессом с независимыми приращениями, а функция полезности инвестора вогнута, оценка границ ценового интервала может быть произведена на основе стохастического доминирования. Методы, развитые в работах Константинидеса, тем более актуальны, что некоторые распространенные подходы (например, поправка Леланда) не имеют достаточного обоснования. Метод Константинидеса, с учетом его общности, допускает перенос на более общие модели, чем те, для которых он первоначально был разработан. Так, с его использованием удается оценить границы справедливых цен на фрактальном рынке с трансак-ционными издержками и на рынке, динамика которого описывается процессами Леви.

Распределения доходности, построенные по статистическим данным, в ряде случаев имеют характерные показатели, отличающие их от нормального распределения. К числу таких показателей относятся тяжелые хвосты и асимметрия. Для оценки отклонения от нормальности по первому показателю используется коэффициент эксцесса, второго - коэффициент асимметрии. Например, коэффициент асимметрии, вычисленный для ряда ведущих индексов (S&P 500, Nasdaq-Composite, DAX, CAC-40, SMI), колеблется в промежутке от -0,1 до -0,5, коэффициент эксцесса - в промежутке 1,63 до 4,17. Для индекса РТС коэффициент эксцесса значимо положителен и составляет +8,44, коэффициент асимметрии отрицателен и равен -0,46 (использованы дневные данные за период с 2000 по 2011 гг.). Это соответствует представлениям, известным по рынкам США и Европы. По итогам проверки наиболее ликвидных активов российского фондового рынка гипотезу о нормальности можно принять лишь в отношении акций ВТБ, Лукойла и Норильского никеля.

На Российском фондовом рынке, так же, как и на крупнейших фондовых рынках мира, наблюдаются и фрактальные эффекты. Например, для индекса РТС и фьючерсного контракта на этот индекс в 2011 г. значение показателя Херста колеблется около величины 0,57. Ковари-ация между приращениями доходности становится пренебрежимо малой примерно за двадцать дней. Впрочем, персистентность фондовых рынков и другие проявления фрактальности достаточно хорошо знакомы трейдерам.

Исторически появление гипотезы фрактального рынка (БМИ) в работах Мандельброта предшествовало появлению гипотезы эффективного рынка. Однако построение практически значимых моделей, основанных на БМИ, наталкивалось на значительные математические трудности. Интерес к моделях фрактального рынка усилился последнее десятилетие. В это десятилетие были получены важные математические результаты, открывающие новые перспективы. Прогресс был связан в первую очередь с изучением свойств фрактального Броуновского движения (ФБД) и моделей рынка, в которых ценовая динамика описывается с помощью ФБД.

Согласно БМИ, одним из ведущих факторов ценообразования является наличие на рынке большого числа участников с различными инвестиционными горизонтами. На своих инвестиционных горизонтах участники рынка действуют сходным образом, что обеспечивает своеобразную инвариантность важных характеристик рынка относительно временного масштаба.

Основы математического формализма для описания масштабной инвариантности (самоподобия) случайных процессов были заложены еще А.Н. Колмогоровым, который по существу ввел понятие ФБД еще в 1940 г. Важной характеристикой масштабной инвариантности является показатель Херста Н. При Н > У временные ряды, описываемые ФБД, персистентны, при Н < У - антиперсистентны. Значение Н = У характеризует обычное (не фрактальное) Броуновское движение с независимыми приращениями. Таким образом, благодаря использованию ФБД удается учесть наличие в ценовой динамике долговременных зависимостей.

Важно отметить, что наблюдаемые в современных условиях нарушения гауссовости и фрактальные эффекты заставляют искать более гибкие модели ценовой динамики. Необходимо дополнительно оценивать индикаторы макрофинансовой нестабильности: 1) индикаторы финансовых стрессов, рассчитываемые на основе данных балансовых счетов и отдельных рыночных показателей; 2) индикаторы так называемого раннего оповещения; 3) макростресс тесты.

При использовании индикаторов математического моделирования и сохранении предположения о независимости приращений цен

имеются веские доводы в пользу того, что подходящие распределения следует искать в классе устойчивых распределений. Соответственно динамика цены рискового актива должна описываться процессом Леви. Модели, основанные на процессах Леви, в последнее десятилетие приобрели особую популярность. К их применению в математических финансах проявляют интерес и ученые, и практики. Этот интерес объясняется тем, что процессы Леви позволяют достаточно адекватно описывать наблюдаемые явления. Процессы Леви позволяют моделировать скачки, тяжелые хвосты и асимметрию распределений.

Применение процессов Леви в финансах имеет две особенности. Во-первых, при решении задач ценообразования производных инструментов и задач хеджирования получить явные формулы не удается даже в простейших случаях. Здесь особо важную роль играют численные методы. Во-вторых, рынок (модель рынка), на котором ценовая динамика описывается процессом Леви, допускает, как правило, более одной мартингальной меры. На подобном рынке справедливая цена производного инструмента определена не однозначно. Существует некоторое семейство цен, не допускающих арбитража, и возникает задача определения верхней и нижней границы справедливых цен, некоторого ценового коридора.

Как было показано Шутенсом, хорошие результаты при описании ценовой динамики рискового актива получаются при использовании процессов Мейкснера (Ме1хпег). Плотность распределения Мейкснера имеет следующий вид:

...

/ (х;а,р,8,ц) = ————— ехр1

2ажГ(2£) ^ а

Г| 5 + -а

где а < 0, -п < в < п, 5 > 0, а ц - смещение.

Заметим, что сумма п независимых случайных величин, имеющих распределение Мейкснера с параметрами а, Ь, s, т, также имеет распределение Мейкснера с параметрами а, в, п5, пц.

Выборочную оценку параметров распределения можно производить, используя либо метод моментов, либо метод максимального правдоподобия.

В первом случае оценки параметров являются решением системы уравнений на моменты распределения (с заменой истинных моментов на выборочные):

Б = ц + а5(р/2); V =! а25ос8-2 (р/2);

А™ (р/2) • л/2/5 ; Ех

Метод максимального правдоподобия реализуется с применением численных методов.

Использование распределения Мейкснера для описания доход-ностей мировых фондовых индексов позволяет достичь высокой точности приближения. Распределения Мейкснера обладают свойством бесконечной делимости. Все моменты существуют и при любых допустимых значениях параметров коэффициент эксцесса положителен. На бесконечности плотность распределения Мейкснера убывает, как

|х| ехр(-^|х|) (с разными константами в положительной и отрицательной областях).

Выводы Шутенса о том, что модель с использованием распределения Мейкснера дают достоверные результаты, подтверждаются исследованиями российского фондового рынка. Для российского рынка параметры распределения Мейкснера оценивались для трехлетнего периода, предшествовавшего кризису, и за период с 2000 по 2011 гг. Получены следующие значения параметров:

а = 0,047; в = -0,379; 5 = 0,239; ц = 0,004 для периода 2004-2007 гг.;

а = 0,069; в = -0,372; 5 = 0,220; ц = 0,005 для периода 2000-2011 гг.

Важным свойством модели является ее прогностическая способность. Для того чтобы изучаемая в работе модель с распределением Мейкснера могла считаться качественной и прогностически ценной, необходимо, чтобы она была достаточно устойчива относительно небольших колебаний исходных данных и относительно небольших сдвигов вдоль временной оси.

Анализ данных показывает, что для периодов 25-75 дней модель с нормальным распределением работает лучше модели Мейкснера (нормальность доходностей еще соблюдается). При продолжительности прогнозного периода более 200 дней обе модели часто не соответствуют эмпирическому распределению. Наконец, для периодов в 100-150 дней модель Мейкснера работает определенно лучше классической модели, позволяя учесть отклонения от нормальности, что необходимо учитывать при формировании стратегии управления финансовыми рисками.

Модель, основанная на распределении Мейкснера, была впервые предложена Шутенсом для анализа европейских и американских индексов. Заметим, что применение подобных моделей (взамен классических) для российского рынка более существенно. Например, для индекса распределение Мейкснера очень близко к нормальному, оба теоретических распределения согласуются с эмпирическими данными. Для индексов РТС и ММВБ это уже не так в связи с высокими издержками операций.

Снижению трансакционных издержек способствует совершенствование системы управления финансовыми дисбалансами. Выбор финансовых организаций как объекта управления системными дисбалансами направлен на усиление их устойчивости на основе сочетания мер по повышению пруденциальных требований к капиталу и ликвидности, улучшению практики надзора на микро- и макроуровнях и наложению ограничений на размеры, разнообразие видов деятельности и степени риска. В свою очередь, нормативные требования к размеру собственного капитала, его достаточности и ликвидности включают меры по: а) повышению качества и прозрачности банковского капитала; б) введению предельного допустимого коэффициента левереджа (капитал/активы); в) созданию антициклических резервов капитала; г) усилению контрциклических требований к достаточности капитала с учетом риска, в том числе учитывая операции с производными инструментами (деривативами) и секъюритизации; д) переходу к формированию резервов на возмещение потерь по ссудам, учитывающим фазы кредитного цикла; е) введению глобальных нормативов ликвидности.

Реализация предлагаемых мер будет способствовать совершенствованию ценовой политики финансовых институтов и упорядочит формирование цен на производные финансовые инструменты.

В классической теории Блэка-Шоулза цена производных инструментов определяется с помощью реплицирующих стратегий (портфелей). В случае рынка с трансакционными издержками точная репликация может оказаться слишком дорогой. В этом случае точная репликация заменяется приближенной, полученной в результате решения задачи стохастического управления методами динамического программирования. Практическое определение цены при таком подходе оказывается сложным даже тогда, когда ценовая динамика описывается броуновским движением. Методы вычисления цены производных инструментов на рынке с транзакционными издержками удается получить, как правило, за счет сужения класса допустимых стратегий. Например, если реструктуризация портфеля на классическом рынке с пропорциональными трансакционными издержками допускается только через фиксированные промежутки времени, можно использовать поправку Леланда.

Рынок с трансакционными издержками, как правило, не полон. Совершенное хеджирование производных инструментов на неполном рынке неосуществимо. Для определения цены производного инструмента используются верхние и нижние хеджи, которые позволяют оценить границы, в которых должна находиться цена инструмента. Задача определения границ этого семейства сложна и далека от окончательного решения.

Эффективный алгоритм для получения ценовых границ в случае многопериодного рынка был предложен в работах Константинидеса. Основные результаты были получены для классического рынка с независимыми приращениями доходности. Тем не менее некоторые важные результаты из упомянутых работ могут быть перенесены и на рынок, динамика которого описывается процессом Мейкснера. Отметим, что с некоторыми оговорками эти результаты могут быть использованы и в таких моделях, где приращения доходности не являются независимыми.

Опишем модель для определения границ цен производных инструментов на рынках с трансакционными издержками, основанную на методе стохастического доминирования.

Рассмотрим многопериодный рынок, на котором имеются три вида активов: безрисковый актив (счет), рисковый актив и денежный (cash-settled) опцион колл европейского типа на рисковый актив с ценой исполнения K и сроком исполнения T. Обозначим через r безрисковую процентную ставку. Чтобы приобрести g долей рискового актива в момент t, требуется снять со счета сумму b = (1 + s)gSt. Сняв сумму b со счета, можно приобрести g = (1 - s)b/St единиц рискового актива. Продажа (или короткая продажа) единицы рискового актива увеличивает счет на величину g = (1 - s)St. Мы предполагаем, что ожидаемая брутто-доходность m рискового актива не меняется от периода к периоду и превосходит безрисковую ставку r. Инвестор (трейдер) действует на рынке, максимизируя функцию полезности U(x). Предполагается, что U(x) - возрастающая вогнутая функция.

Используя метод, предложенный Константинидесом, определим верхние и нижние границы опционов, обладающие следующим свойством: сделки по любой цене вне полученного диапазона не могут осуществляться на безарбитражном рынке.

Денежные средства инвестора в момент времени t распределены между акциями и облигациями: он имеет yJSt акций (т.е. yt денежных единиц находится в акциях) и xt денежных единиц в облигациях. Инвестор может перераспределять свои денежные средства между акциями и облигациями, увеличивая (или снижая) свои вложения в акции с yt до yt + ut, снижая (или увеличивая) вложения в облигации с xt до xt - ut - max[£ut; -£ut].

С учетом инвестиционного решения ut динамика вложения в облигации и в акции выглядят соответственно следующим образом (t < T):

xt+i = {xt - ut - max[eut; -£ut]}(1 + r);

yt+i = (yt + ut)St+1/St-

В заключительный торговый день T вложения в акции ликвидируются: Ut = -Ут Чистая стоимость денежных средств инвестора составит:

ШТ = хт + ут - тах[-еут, еут].

Рассмотрим верхние и нижние оценки для границы цены европейского опциона колл с базовым активом в виде акции с ценой исполнения К и сроком исполнения Т.

В любой момент 1;, предшествующий моменту исполнения, цена продажи опциона будет ограничена сверху величиной:

~ _ 1 + 8 Е[(5Т - К)+| ]

--Т—-•

1 -8 (1+Ц)Т ;

Для получения этой оценки вычисляется интеграл: Е[(5Т - К)+] _ | (5ех - К)фТ_(х)ёх,

1п К

Я;

где Фт_}(х) - плотность распределения логарифмической доходности за период Т-Ь.

Оценка снизу получается обратной индукцией. Для момента времени Т имеем:

С _ (_ К) + .

Для момента Ь < Т оценка получается следующим образом:

С _

Е[С{ +1 | , ^ + 1 < ]

1 + г

где величина х определяется из уравнения:

Е [+115,5+1 < ]_ 1+8(1+Г )5.

1 +8

Условное математическое ожидание рассчитывается подобно тому, как это делается при вычислении верхней границы. Уравнение сначала может быть преобразовано к виду:

Е[ех1х < 1п д] _ (1 + г), 1+8

где д _ —, а х _—^— дневная доходность. 5 5

После этого для решения уравнения:

ln q

i

ехф(x)dx

-= + г),

q

i ф(x)dx

где ф(х) - плотность распределения доходности за единицу времени, могут быть применены численные методы.

Можно использовать также некоторые модификации приведенных оценок.

Экспериментальные расчеты проводились для опционов на фьючерс на индекс РТС, торгующихся на ФОРТС в 2011 г. Как верхние, так и нижние границы в предположении о распределении Мейкснера являются более жесткими (диапазон более узкий), чем при нормальном распределении. Нижние границы, полученные по методу стохастического доминирования, для нормального распределения получились тривиальными. Для распределения Мейкснера диапазон между нижней и верхней границами всего лишь в 1,65 раз шире bid-ask спреда.

При оценка с использованием распределения Мейкснера наиболее строгая верхняя оценка безарбитражной цены опциона меньше, чем средневзвешенная цена сделок, т.е. опцион переоценен рынком. В то же время диапазон bid-ask выходит за оцененную верхнюю границу, так что реализовать эту «арбитражную» возможность не удастся. Интересно отметить также, что цена, рассчитанная по формуле Блэка-Шоулза, лежит очень близко к наиболее строгой оценке верхней границы цены (и тоже, разумеется, находится внутри диапазона bid-ask).

Для расчетов в рамках фрактальной модели использовалось интегральное представление фрактального Броуновского движения на конечном интервале:

t

B.H =i z(t, 5 )dBs,

0

t

1 1 -Hr h-1 где z

H -1

и

cH =.

2 H Г

Г

Это представление позволяет получить дискретную аппроксимацию фрактального Броуновского движения аналогично тому, как это делается для Броуновского движения Bt. Приращение dBt в N-шаговом

приближении заменяется величиной ^ где £ - случайная величина со средним 0 и дисперсией 1. В отличие от классической модели повышающий и понижающий коэффициенты зависят от значений случайных величин £ на предшествующих шагах.

Проведенные расчеты показали, что в основном котировки на покупку и продажу, как и цены последних сделок, попадают в интервал между безарбитражными границами цен опциона. Однако в отдельные дни были выставлены котировки, допускающие получение арбитражного дохода. Верхняя граница достаточно адекватно отражает изменения, которые происходили с базисным активом в недавнем прошлом, так как показатель Херста РТС достаточно мал. Оценка для нижней границы в ряде случаев получалась равной нулю, что можно объяснить отрицательной динамикой фьючерса на индекс РТС в рассматриваемый период.

Представляется, что применение распределений Леви (в частности, распределения Мейкснера) и фрактального Броуновского движения в сочетании с методом стохастического доминирования для оценки стоимости активов будет способствовать повышению качества управления рыночными рисками.

В целом для оценки ценового риска и возможных трансакционных издержек финансовому институту необходимо осуществлять мониторинг и управление фондовым риском. Мониторинг ценового риска проводится посредством регулярного анализа конъюнктуры рынка по отдельным видам активов. Управление ценовым риском с учетом трансакционных издержек базируется на соблюдении лимитов и сопутствующих процедур.

Ограничению возможных убытков от ценового риска способствуют следующие виды лимитов:

- stop-loss - определяет максимальный размер убытков от снижения цен по данному инструменту. Определяет, при каком уровне падения цен необходимо принимать решение о прекращении дальнейших операций;

- stop out - устанавливает сумму максимальных убытков по данному виду актива, пассива, портфеля в целом. При получении убытка, равного величине лимита, все операции прекращаются и принимается решение о дальнейших действиях, например, продаже данного актива или его реструктуризации;

- take profit - показывает размер максимального роста цен по данному инструменту. Применяется для того, чтобы при возможном достижении максимального, с точки зрения анализа, негативного результата обеспечить финансовую безопасность банка от возможного резкого снижения стоимости инструмента;

- take out - является дополнением к лимиту take profit, устанавливается на конкретный вид актива, пассива или финансового портфеля в целом.

Эффективным способом управления ценовыми рисками являются встречные сделки с доступными производными финансовыми инструментами, включая индексные фьючерсы. С целью хеджирования ценового риска используется рассматриваемая методология.

Реальный прогресс управления финансовыми рисками, по мнению МВФ, Совета по финансовой стабильности (Financial Stability Board, FSB), группы стран G-20 и Базельского комитета по банковскому надзору (Basel Committee on Banking Supervision, BCBS), должен быть достигнут по пяти ключевым направлениям:

- формирование системы регулирования, обеспечивающей каждому участнику рынка законные и равные шансы для успешной деятельности;

- повышение эффективности государственного контроля;

- создание гармоничных механизмов разрешения проблем финансовых институтов на национальном и трансграничном уровнях;

- формирование всеобъемлющей макропруденциальной системы;

- расширение подхода к финансовому регулированию, которое должно быть ориентировано на учет рисков отдельных институтов и финансовой системы в целом.

Эффективное управление рисками включает использование методов математического моделирования и прогнозирования. Предлагаемая методика способствует государственным и частным институтам в реализации ценовой политики для обеспечения финансовой стабильности.

Литература

1. Борусяк К.К. Применение модели Мейкснера распределения доходности финансовых активов к российскому фондовому рынку // Математические методы анализа финансовых временных рядов: сборник научных статей (В.Б. Гисин, А.Б. Шаповал - ред.). М.: Фина-кадемия, 2008.

2. Гисин В.Б., Марков А.А. Ценообразование производных инструментов европейского типа на фрактальном рынке с транзакционными издержками // Вестник Финансового университета. 2011. № 1 (61).

3. Ярыгина И.З. Международные финансы. М.: Прометей, 2011.

4. Ярыгина И.З. Банковские системы и банки в условиях глобальной экономики. М.: Финакадемия, 2009.

5. Biagini F., Hu Y, Oksendal B., Zhang T. Stochastic Calculus for Fractional Brownian Motion and Applications. Springer, 2008. P. 329.

6. Constantinides G.M., Perrakis S. Stochastic dominance bounds on derivatives prices in a multiperiod economy with proportional transaction costs // Journal of Economic Dynamics & Control. 2002, № 26.

7. Gerhold S., Guasoni P, Muhle-Karbe J. Transaction Costs, Trading Volume,and the Liquidity Premium // amv: 1108.1167 v4 [q-fin.PM] 12 Jan 2013. P. 1-29.

8. Guasoni P. No arbitrage under transaction costs, with fractional Brownian motion and beyond // Mathematical Finance 16. Issue 3. 2006. P. 569-582.

9. Shoutens W. Levy processes in finance. Pricing financial derivatives. John Wiley & Sons, 2003.