Улучшение коэффициента мощности асинхронного электропривода с упрощенным ДНПЧ-ШИМ

4. Lin B.R., Lee Y.-C. Three-Phase Power Quality Compensator Under the Unbalanced Sources and Nonlinear Loads // IEEE Transaction on Industrial Electronics. - 2004. - Volume 51, Issue 5. - P. 10091017.

5. Волков А.В., Антонов Н.Л. Быстродействующее векторное регулирование статорного тока в асинхронных электроприводах с двухзвенным непосредственным преобразователем частоты // Елек-тромашинобудування та електрообладнання. - К.: Техшка. - 2004. - Вип. 62. - С. 21-24.

6. Волков А. В., Антонов Н. Л.. Расчет параметров сетевого фильтра двухзвенного непосредственного преобразователя частоты с широтно-импульсной модуляцией // Електро-машинобудування та електрообладнання. - К.: Техшка. - 2006. - Вип. 66. -С. 269-270.

7. Зиновьев Г. С. Основы силовой электроники. - Новосибирск: НГТУ, 2003. - 664 с.

8. Чиженко И. М., Руденко В.С., Сенько В. И. Основы преобразовательной техники. - М.: Высш. шк., 1974. - 430 с.

9. Волков А. В., Антонов Н. Л. Цифровая модель двухзвенного непосредственного преобразователя частоты с широтно-импульсной модуляцией, нагруженного на асинхронный двигатель // Елек-тротехшка та електроенергетика. - 2003. - №2. -С. 67-71.

10. Blaabjerg F. Passive Filters — Potentialities and Limitations // IEEE Transaction on Industry Applications. - Volume 40, Issue 1. - P. 232-241.

11. ГОСТ 13109-97 Электрическая энергия. Совместимость технических средств электромагнитная. Нормы качества электрической энергии в системах электроснабжения общего назначения. - М.: Госстандарт, 1998. - 30 с.

12. Al-Zamil A. M., Torrey D. A. A Passive Series, Active shunt Filter for High Power Application // IEEE Transaction on Power Electronics. - 2001. - Volume 16, Issue 1. - P. 101-109.

Поступила в редакцию 18.05.07 г.

Запропоновано електричну схему, методику розрахунку й приклад розрахунку параметр'^ пасивно-го фльтра мережi для асинхронного електропривода 3i спрощеним дволанковим БПЧ-Ш1М. Для да-ного електропривода до^джеы , залежно вiд швидкостi й навантаження, змiни вхiдного коефiцie-нта потужностi, коефiцieнтiв гармонк, зсуву й спотворення струму мережi, а також гармонйний склад струму мережi при релейному частотно-струмовому керуваннi.

The electric scheme, design procedure and example of parameters calculation of the net passive filter for the asynchronous electric drive with simplified bi-directional frequency converter with PWM are offered. For the given electric drive the change of capacity entrance factor, factors of harmonics, shift and distortion of a source current and also harmonious structure of network current at relay frequency-current control that depend on speed and loading. are investigated.

УДК 621.3

В. В. Костюков, Л. Н. Канов

Численно-аналитическое моделирование переходных процессов в электротехнических системах

Предлагается метод, предназначенный для численно-аналитического моделирования переходных процессов в линейных электротехнических системах. Метод иллюстрируется примером моделирования переходного процесса двухфазного короткого замыкания в системе.

Моделирование переходных процессов занимает важное место при расчете режимов электротехнических систем. К настоящему времени сложилась стройная теория как аналитических, так и численных методов расчета переходных процессов в линейных системах [1,2]. Наиболее наглядным является классический метод, позволяющий получать аналитические выражения для каждой из переменных, описывающих режим системы. Однако, как отмечается, например, в [2], в сложных системах применение классического анализа затруднено излишней громоздкостью вычислений при определении постоянных интегрирования в выра-

© В. В. Костюков, Л. Н. Канов 2007 р.

жениях для переменных. В частности, для анализа системы п -го порядка требуется решать п систем линейных алгебраических уравнений для нахождения

п2 постоянных интегрирования и при этом вычислять начальные значения производных по переменным до (п -1 )-го порядка. Это обстоятельство сужает область применения классического анализа для исследования переходных режимов электротехнических систем [3, 4]. Преодоление указанных затруднений возможно численно-аналитическим решением линейных дифференциальных уравнений. Например, на кафедре «Элект-

роснабжение» УлГТУ успешно разрабатывается метод схемных определителей [5], который пока не доведен до практического расчетного алгоритма. Широко ведутся работы по применению компьютерных аналитических пакетов, таких как: Maple 5, Mathematica 4 и др. [6]. Эти программные средства требуют представления дифференциальных уравнений в определенной форме и не позволяют получить аналитическое решение непосредственно по конфигурации электрической системы. Получили распространение моделирующие программы, такие как: PSPICE, Simulink, COLO [7], -предназначенные для имитационного моделирования динамических процессов. Однако, они не позволяют получить решение в аналитической форме.

Поэтому, несмотря на имеющиеся успехи в области моделирования переходных процессов вопрос создания метода, сохраняющего черты классического метода расчета, является актуальным. Статья посвящена разработке метода решения линейных дифференциальных уравнений, который сочетает преимущества численного и классического методов расчета и позволяет моделировать нестационарные и переходные режимы в сложных линейных электротехнических системах.

Методика и материалы исследований. Идея предлагаемого метода состоит в установлении связи между постоянными интегрирования для всех переменных системы в переходном режиме [8]. Пусть переходный процесс в системе п -го порядка описывается совокупностью m линейных алгебраических и дифференциальных уравнений, связывающих m переменных

Xj(t); j = 1,2, ..., m; n < m. Объединим переменные системы в вектор X(t). Свободная составляющая переходного процесса характеризуется однородными уравнениями, алгебраизация которых (посредством формальной замены производной символом р ) определяет собственные числа посредством приравнивания определителя к нулю: p.; i = 1,2, ..., n . Каждое простое собственное число определяет экспоненциальное слагаемое в выражении свободной составляющей процесса для каждой переменной.

Пусть для определенности это будет собственное число с номером 1, тогда упомянутое слагаемое в записи каждой переменной Xjсв(t) будет иметь вид

xj1 = kj1exp(p1t); j = 1,2, ..., m . Объединим эти слагаемые в вектор частного решения Xt = Kt exp(p1t),

соответствующий p1. Подставляя компоненты вектора Xj в однородные уравнения, после сокращения множителя exp(p1t) получаем систему mлинейных, однородных, алгебраических уравнений для определения компонентов k;1; все они зависят от P1 в виде:

kj1 = kj (p1). Полагая переменную X1(t) за базовую и принимая k11 = 1, из любых (m -1) уравнений определим остальные компоненты вектора Kt в виде:

к] (Р\), ] = 2, ••• , т . Таким образом, вектор Хх частного решения, соответствующего собственному числу рх,

определен с точностью до постоянного множителя.

Выполнив аналогичную процедуру для других собственных чисел рг,г = 2, 3,..., п , получим другие векторы частных решений Х1, г = 2,...,п . Структура коэффициентов к] (рг) сохраняется для всех собственных чисел. Эти коэффициенты зависят только от значений последних и от параметров системы; кроме того

к\( Рг ) -1.

Общее решение однородных уравнений определяется суммой

Хсв (0 = х1 (/) = ¿с,К, ехр(рг1),

г=1 г=1

где сг- неопределенные множители. Окончательное решение неоднородных уравнений с учетом вектора установившихся значений переменных Хуст (?) имеет вид

X(t) = K, exp(p.t) + XycT (t).

i=1

Произведения множителей сг и компонентов векторов К образуют постоянные интегрирования для всех переменных, принятые в классическом методе: Л]г = сгк}-(рг), г = 1,...,п; ] = 1,...,т . Для базовой переменной объединим эти постоянные Л1г = сг в вектор

Ах =[л11 Л12 ... Л1п]Г . В соответствии со структурой уравнения (1) матрица постоянных интегрирования

имеет вид

A =

A

А.

А

111 л12 ^Чп

k2(p1)A11 k2(p2)A12 ... k2(pn )A1n

-km СлМп km (p2)A12 -. km (pn )A1n.

Общее решение уравнения (1) теперь можно записать следующим образом

X

где вектор ер имеет компоненты ехр(р^).

Выбирая в (3) выражения для п переменных X](?), получаем при ? = 0+ уравнение для определения вектора Ах постоянных интегрирования базовой перемен-

ной КЛХ = Х(0+) - Хуст (0+), где матрица к состоит из коэффициентов частных решений:

K =

1 1 ... 1

k2

-К (P\) kn (P2) ... kn (Pn)-

Отсюда находим

Ai = K-1

После определения вектора At из (2) находятся постоянные интегрирования всех остальных переменных, а из (3) - аналитические выражения для всех переменных системы.

Для формализации определения коэффициентов (4) предлагается следующая численная процедура. Поместим в ветвь системы, соответствующую базовой переменной, единичный источник тока, если базовая переменная является током в этой ветви. Если же базовая переменная является напряжением на этой ветви или на ее элементе, заменим эту ветвь или элемент единичным источником ЭДС, направленным встречно напряжению. Индуктивности и емкости в оставшихся ветвях заменим соответственно сопротивлениями P\Lj и проводимостями P\Cj; j = 2,3, ... , m . Источники энергии заменим их внутренними сопротивлениями. Выполнив расчет полученной схемы (например, с помощью существующих моделирующих программных средств Electronics Workbench, Simvlink) относительно переменных Xj, j = 2,3, ... , m , получим первый столбец в матрице (4), соответствующий собственному числу P1 . Заметим, что структура схемы сохраняется и при анализе со следующими собственными числами. А именно, для получения следующих столбцов в матрице (4) следует повторять расчет, придавая упомянутым сопротивлениям и проводимостям

значения соответственно PiLj и PiCj; j = 2,3, ... , m ; i = 2,3, ... , n .

При наличии комплексно-сопряженных собственных чисел вида p12 =-Sj ± получаем комплекс-но-значные сопротивления и проводимости: ZL1 = -51L ± jo1L ; YC1 = -51C ± jo1C. В этом случае элементы матрицы (4) будут сопряженными. Постоянные интегрирования, соответствующие комплексным собственным числам, полученные из выражения (5), также будут комплексно сопряжены.

Достоинством предлагаемого метода является возможность получения численно-аналитического выражения для каждой переменной системы, участвующей в переходном процессе. Эти выражения имеют тот же вид, что и полученные существующими методами. Однако, при предложенном методе за счет примене-

ния коэффициентов (4) вычисление постоянных интегрирования более удобно, чем в существующих методах. Вычисление этих коэффициентов в предлагаемом методе сводится к ряду расчетов схемы постоянного или синусоидального тока, не требует подготовительной работы по составлению уравнений и может быть выполнено существующими программными комплексами. Предлагаемый метод может быть использован для аналитического расчета переходных процессов в линейных и линеаризованных электротехнических системах постоянного и переменного тока, порядок которых ограничивается лишь заданной точностью численного определения собственных чисел системы.

Для иллюстрации предложенного метода рассчитаем с его помощью переходный процесс двухфазного короткого замыкания (через сопротивление г) в электрической системе, изображенной на рис. 1 [4].

Будем полагать, что сопротивления , ^2 имеют

резистивно-индуктивный характер: 21 = Г + ,

22 = г2 + ]аЬ2. Характеристическое уравнение в схеме после короткого замыкания имеет вид

[2^ 2 + г 21 + г 2 ^ + г 2 ) = о,

где 21 = г1 + рЬ1,22 = г2 + рЬ2. Выбирая за базовую

переменную ток и, принимая во внимание индуктивный характер этой ветви, составим схему замещения для определения коэффициентов (4), изображенную на рис. 2. Расчет этой схемы дает соотношения:

к A (P) = IA = -д") [ [ + Z 2) + 2Z\Z 2];

к*( P)=Is=- ä(P)[ (Z\+z 2) - Z\Z 2];

кс (P) = ic =-(A (P) + \);

k4

д( P) = Z 2(4Z\ + 3Z 2) + 2r (Z\ + Z 2).

При этом начальные значения токов определяются из предшествующего короткому замыканию симметрич-

Рис.1. Двухфазное короткое замыкание

Рис.2. Определение коэффициентов системы

ного режима, а установившийся режим определяется с помощью симметричных составляющих.

Задавшись численными значениями: Г\ = 1 Ом ;

г2 = 2 Ом ; г = 0,2 Ом ; х1 = 10 Ом ; х2 = 30 Ом ; Е = 220 В промышленной частоты, - рассчитаем из (6) собственные числа: р1 =-34,796 ; р2 =-21,723 ;

р3 = -23,55. Полная матрица коэффициентов (4), упорядоченная по собственным числам и переменным

1Л, г5 1С,г4 имеет вид

" 1 1 1

кл

К= к5

кс

_ к4

1

1

1

0 0 - 2

0,082 - 4,082 1

-1 -1 1

- 0,082 4,082 1

где начальные значения токов равны: I 0Л = 0,41 - ]5,469 Л ; I 0В = I 04 =-4,942 + ]2,379 Л ; I 0С = 105 = 4,531 + ]3,09 Л, а установившиеся значения:

1Л = 10Л ; 1В =-19,029 + '0,664Л ; 1С = 18,619 + '4,805 Л ;

I 4 = -0,216 + ]2,797 Л ; I 5 = -0,194 + ]2,673 Л .

Причем, элементы полной матрицы (2) постоянных интегрирования являются комплексными (ввиду комплексных значений токов как для начального, так и установившегося режима):

14,946 + ]1,782 - 0,859 - ]0,066 0

А=

0

0

1,221 + ]0,146 3,505 + ]0,271 0 -14,946 - ]1,782 0,859 + ]0,066 0 . -1,221-'0,146 - 3,505 - '0,271 0

Анализ последних выражений показывает, что в неповрежденной фазе А после короткого замыкания переходный процесс отсутствует (ввиду равенства коэффициентов кЛ(р1) и кЛ(р2) нулю). Наиболее интенсивно переходный процесс проявляется в фазах В и С. Элементы первой и четвертой, третьей и пятой строк матрицы К свидетельствуют о том, что свободные составляющие токов в фазах В и С, а также в ветвях 4 и 5 - «противофазны». Собственное число р3, соответствующее последнему множителю характеристического уравнения (6), не влияет на формирование переходного процесса.

На рис. 3 показаны результаты моделирования

фазных токов гЛ,гВ,гС , с помощью найденных постоянных интегрирования. Графики построены в соответствии с зависимостью:

4 ) = 1т 72

2

IЛ ¿1 ехр( ) +1 я уст

ехр( ]'ю0

I=1

при ю = 314 -

1

где я - обозначает индекс рассчитываемого тока в схеме на рис. 2.

I, А

30

15

-15

-30

VI \

0,02

0,04

0,06

0,03

К с

Рис.3. Переходный процесс двухфазного короткого замыкания

Данная зависимость представляет собой численно-аналитическое выражение для переменных системы, участвующих в переходном процессе. К этому же выражению приведет применение существующих методов расчета (однако, при этом вычисления как для классического, так и для операторного методов будут более громоздкими). Сопоставление переходных процессов с результатами численного моделирования показывает их полное соответствие.

Выводы.

1. Предложенный численно-аналитический метод основан на определении полной матрицы постоянных

Куликов Ю.А. Переходные процессы в электрических системах. - Новосибирск: НГТУ, М.: Мир: ООО «Изд-во АСТ», 2003. - 283 с. Символьный анализ и диагностика линейных электрических цепей методом схемных определителей / С.А.Курганов, В.В.Филаретов. - Ульяновск: Изд-во УлГТУ, 2003. - 228 с.

Семененко М.Г. Введение в математическое моделирование. М.: Изд-во «Солон-Р», 2001. - 112 с. Тиховод С.М. Моделирование динамических электромагнитных процессов в трансформаторе с современной электротехнической сталью // Електро-техшка та електроенергетика. - 2006. - № 1. -С.37-41.

Костюков В.В. Связь между постоянными интегрирования при анализе переходных процессов в линейных электрических цепях // Вестник СевН-ТУ. Вып. 55: Механика, энергетика, экология: Сб. научн. тр.; Севастоп. нац. техн. ун-т. - Севастополь: Изд-во СевНТУ, 2004. - С.80-86.

Поступила в редакцию 30.05.06 г.,

После доработки 15.04.07 г.

Пропонуеться метод, призначений для численно-аналiтичного моделювання перехiдних процесв у лiнiйних електротехнiчних системах. Метод люструеться прикладом моделювання перехiдного процесу короткого замикання в системi.

The method, intended for numerically-analytical modelling of transients in single-line electro-technical system are offered.. The method is illustrated by modelling of two-phase short circuit transients in the system.

УДК 621.314.322.001.6: 519.872: 519.622.2

С. М. Тиховод

Совершенствование численных методов расчета электромагнитных процессов в сложных нелинейных электрических и магнитных цепях

интегрирования и предназначен для расчета переходных 4. процессов в линейных электротехнических системах.

2. Предложенный метод является дальнейшим развитием классических методов расчета переходных 5. процессов в линейных системах. Достоинством этого метода является возможность оценки вклада каждого собственного числа системы дифференциальных уравнений в формирование свободной составляющей 6. переходного процесса, а также отсутствие необходимости в определении производных от переменных си- 7. стемы для нахождения постоянных интегрирования.

Перечень ссылок

1. Теоретические основы электротехники. Т.2 / К.С.Демирчян, Л.РНейман, Н.В.Коровкин, В.Л.Че- 8. чурин. - СПб.: Изд-во «Питер», 2003. - 576 с.

2. Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи. - М.: Изд-во «Гардари-ки», 2000. - 638 с.

3. Руководящие указания по расчету токов короткого замыкания и выбору электрооборудования / Под ред. Б.Н.Неклепаева. - М.: Изд-во НЦ ЭНАС, 2004. - 152 с.

Разработаны усовершенствованные методы численного интегрирования систем дифференциальных уравнений, предназначенные для моделирования динамических электромагнитных процессов в электрических и магнитных цепях. Данные методы внедрены в универсальный программный комплекс COLO, с помощью которого выполнен пример расчета переходных процессов в трехфазном трансформаторе.

При моделировании электромагнитных процессов в сложных электротехнических устройствах существует необходимость составления и численного интегрирования систем дифференциальных уравнений. Порядок (т. е. содержащееся в них количество уравнений) этих систем может достигать нескольких сотен. Для моделирования таких процессов широко используются известные программные комплексы: NAP, PSpice, OrCAD, Simulink, Colo и другие [1-5]. Указанные программы по исходным данным, описывающим электрическую цепь, автоматически составляют систему дифференциальных уравнений и с помощью встроенного решателя производят численное интегрирование составленной

системы уравнений. Решатели, включенные в указанные программные комплексы, как правило, предоставляют возможность выбора одного из нескольких известных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений. Наиболее распространенными методами численного интегрирования дифференциальных уравнений являются методы Рунге-Кутта, Хем-минга, Адамса, Башфорта, Маултона, Гира [6]. Однако, применение этих методов для численного интегрирования систем дифференциальных уравнений высокого порядка зачастую приводит к значительным затратам компьютерного времени или к расходимости вычислительного процесса.

© С. М. Тиховод 2007 р.