Матричное описание трансформации квантовых состояний одиночных фотонов в последовательности разбалансированных интерферометров Маха-Цендера

УДК 530.145

А.С. Задорин, Д.А. Махорин

Матричное описание трансформации квантовых состояний одиночных фотонов в последовательности разбалансированных интерферометров Маха-Цендера

Дана матричная модель описания системы из нескольких разбалансированных интерферометров Маха-Цендера (ИМЦ), предназначенная для формирования и измерения временного или TB-кубита (time-bin qubit) как суперпозиции из сдвинутых во времени состояний одиночного фотона в выходных портах системы. Рассмотрено влияние квантового канала на структуру TB-кубита.

Ключевые слова: квантовый вентиль, интерферометр Маха-Цендера, квантовый канал, TB-кубит («time-bin qubit»), кутрит.

Перспективы практической реализации теоретических разработок в области оптических квантовых вычислений и систем квантовой передачи информации во многом определяются уровнем развития элементной базы квантовой оптики, а также соответствующих математических и расчетных моделей квантовых вентилей [1-4]. Специфика квантовых эффектов ограничивает возможности моделирования и оптимизации указанных устройств с помощью существующих оптических CAD-систем, область применения которых лимитируется рамками традиционной волновой оптики. В данных условиях важной задачей становится разработка адекватных моделей квантовых вентилей [2, 5] (квантовых гейтов - quantum gate), т.е. набора логических квантовых устройств, изменяющих состояния кубита |ф) в регистре квантового устройства в соответствии с заданным квантовым алгоритмом.

Одним из распространенных однокубитовых квантовых вентилей вычислительных и коммуникационных квантовых схем является интерферометр Маха-Цендера (ИМЦ), предназначенный для приготовления и измерения фазовых сдвигов между амплитудами вероятности в заданном вычислительном базисе кубита [1, 2]. В ИМЦ на аппаратном уровне объединено несколько логических устройств: однокубитовые квантовые вентили Адамара, представленные волоконными сплиттерами, и фазовращающий вентиль, реализованный в виде волоконно-оптического регулятора фазы а в плечах интерферометра [2].

Модификация указанного вентиля используется также и для формирования на выходе ИМЦ суперпозиции из двух сдвинутых во времени состояний |а), |ß), образующих новый динамический измерительный базис кубита |ф). В литературе такая суперпозиция называется time-bin qubit [6], ниже оно обозначается как временной, или TB-кубит. В соответствии с изложенным выше, приготовление такого TB-кубита сопряжено с разбалансировкой интерферометра, а именно, с введением дополнительного отрезка оптического волокна (ОВ) в одно из плеч ИМЦ и соответствующей задержкой одиночного фотона на время А. Интерферометр такого типа широко используется при решении многих задач квантовой оптики [1, 2 ,7-9], однако для его моделирования используются, в основном, дескриптивные подходы, плохо сочетающиеся с традиционным математическим формализмом описания квантовых систем.

Целью настоящего сообщения является обобщение известной модели симметричного ИМЦ [2] на случай одиночного разбалансированного интерферометра, а также системы из нескольких последовательно соединенных ИМЦ.

Постановка задачи. Рассмотрим вначале одиночный однокубитовый вентиль, структурная схема которого представлена на рис. 1. Будем полагать, что вектор состояния квантовой частицы |ф0) на его входе представляет собой кубит, приготовленный в двумерном ортогональном вычислительном базисе, построенном на векторах |0), |1):

где а, ß - комплексные амплитуды вероятности нахождения фотона в состояниях |0) и |1) соответственно.

Совместим каждый из базисных кет-векторов в (1) с одним из оптических портов ИМЦ. Состояние кубита |ф4) на выходных оптических портах ИМЦ, как видно из рисунка, будет определяться последовательным преобразованием (1) в квантовых вентилях Адамара, фазовращающем вентиле, а также вентиле временного сдвига. Обозначим унитарные операторы указанных логических устройств через Н, Р и Б соответственно. Тогда преобразование кубита |ф0) в ИМЦ будет определяться уравнениями:

|ф1) = Н ^

И=Рф0,1

Задача заключается в отыскании решения уравнений (2) и использовании его для исследования трансформации |ф0) в системе из нескольких интерферометров, представленной на рис. 2.

Рис. 2. Трансформация кубитов в системе из двух ИМЦ

Трансформация кубита |ф0) в ИМЦ. Формальное решение системы линейных уравнений (2) дается как

|ф4) = Н • Р • Б • Н-|фо).

Здесь и далее знак точки между операторами означает свертку матриц по соседним индексам. Далее необходимо задать матрицы Н, Р и Б соответствующих унитарных операторов. Как уже отмечалось, матрица Н волоконного сплиттера без потерь с коэффициентом деления оптического сигнала 50/50 совпадет с квантовым вентилем Адамара [2]

Н

1

1 1 1 -1

Матрица Р фазовращающего вентиля описывает фазовые сдвиги а0 и а1 оптического сигнала в плечах ИМЦ и может быть представлена в виде [2]

е/«0 0

Р

0 е/а

Далее, следуя [10], введем линейный унитарный оператор временного сдвига Б, описывающий относительный временной сдвиг одиночных фотонов в плечах интерферометра на время Д. В дальнейшем будем полагать, что оператор Бт, определяющий соответствующий да-кратный временной сдвиг, выражается через Б как

Бш = ББ Б ... Б = Б™.

Заметим, что при отсутствии сдвига (т=0) Бш представляется единичной матрицей. С учетом сделанных замечаний матрицу Б представим в виде

0"

Б

0 1

Из соотношений (3)—(6) следует, что при |ф0) = |0) вектор состояния кубита |ф4) на выходных портах |0) и |1) ИМЦ определится как

ф4)=2 Ге/«о в+еу«1" 0)+!р«о в - ем 11.

2 Г 1 ' 2 Г 1"

Формула (7) показывает, что состояние |ф4) одиночного фотона в портах |0) и |1) разбалансиро-ванного интерферометра представляется ТВ-кубитами, т.е. двумя разделенными промежутком времени Д его возможными альтернативными состояниями.

Измерение данных временных кубитов осуществляется с помощью интерферометра Б, аналогичного ИМЦ-А, по схеме рис. 2. Формальную модель измерений можно получить путем замены в (3) состояния |ф0)=|0) на входе ИМЦ на соотношение (7). При этом следует учесть, что матрицы Р фазовращающих вентилей интерферометров всегда различны. Эти различия в дальнейшем будем помечать нижними индексами фазовых переменных А и Б, например, как аА0 или аБ1. Кроме этого, обозначим операторы сдвига интерферометров как БА и Бб. При расчете кет-вектора |ф4) системы из двух ИМЦ следует также учесть фазовую матрицу Рцс квантового канала, в общем случае состоящего из двух ОВ, объединяющих соответствующие порты интерферометров (см. рис. 2). Поэтому Рцс определим аналогично (5):

Р

цс

е7адс0 0

0

е/адс1

С учетом введенных обозначений, кубит |ф4) в портах |0) и |1) ИМЦ-Б определится как

е^о Ва + е>аА1

Ю = 2

РЧс • Н б • РБ • Б • Н Б

е]аА0

Б а - е

7аА1

Воспользуемся соотношением (9) для анализа системы интерферометров, соединенных квантовым каналом, состоящим из одного оптического волокна. В данном случае один из членов (7) обращается в 0, поэтому из (9) следует

и=4 ('

аА1

+ Ба е]

]аА0\ цс0 еУаБ1

е7аА1

+ Ба е}

0)( 0)(

\е' ч^е'~Б1 + Ббе~Б0е

УаБ0 ¿аЧс0

]аА0\ | еУаБ1 е]%с1

1^"Б1 е ^' - Бб е"'Б0 е

/аБ0 ¿ачс1

)1

Заметим, что операторы БА и Бб в (10) описывают сдвиги во времени наблюдаемого одиночного фотона при его распространении по длинным (Д) плечам ИМЦ-А,Б, а единичный оператор, 1 = (Ба)0 = (Бб)0 - отсутствие таких сдвигов для коротких (К) плеч интерферометров соответственно. Отсюда следует, что в рассматриваемом случае в каждом из портов |0) и |1) ИМЦ-Б состояние |ф4) представлено куквартами, кет-векторы которых имеют четыре допустимых динамических состояния. Одно из них в (10) представлено состоянием с нулевой задержкой (Бш = 1), реализуемом на оптической траектории КА-КБ, еще два состояния с однократной задержкой (Бш = БА, Бб), реализуемые на траекториях ДА-КБ и КА-ДБ, а также одно состояние с двукратной задержкой (Бш = Ба-Бб) на траектории ДА-ДБ.

При идентичных конструкциях интерферометров, когда Ба=Бб, слагаемые в круглых скобках оказываются вырожденными, т.е. соответствующие им состояния реализуются одновременно, размерность вектора состояний одиночного фотона на выходных портах второго ИМЦ снижается до 3. Указанный объект |ф4) с такой размерностью в литературе называется кутритом [11]. Указанные линейно независимые динамические состояния кутрита выберем в качестве базисных векторов и обозначим как |а), |Р) и |у). Тогда в соответствии с (10), проекции |ф4) на векторы |0) и |1) будут:

</|ф4) = Ыа) + Ш + Ш,

где г = 0,1; ^-р, - комплексные амплитуды вероятности состояний |а), |Р) и |у) кутрита в портах |0) и |1) соответственно.

Наиболее интересным информационным состоянием кутрита является состояние |Р), формирующееся в условиях равенства оптических длин Ь\ и Ь2 траекторий ДА - КБ и КА - ДБ, при которых квантовая частица способна интерферировать сама с собой [10]. Результаты этой интерференции проявляются в зависимости амплитуд вероятности ^¿р состояний |Р) в выходных оптических портах ИМЦ-Б от разности фаз ф = (аБ0 + ам) - (аБ + аА0) и на практике используются для фазовых измерений комплексной амплитуды ^¿р [1, 2, 7, 8]. Действительно, из (10) видно, что при фазовом сдвиге ф оптического сигнала на отрезках Ь\ и Ь2 ИМЦ-А,Б амплитуды вероятностей состояния |Р) в двух выходных портах ИМЦ-Б будут пропорциональны Р1 ~ ео8(ф/2), р2 ~ 8т(ф/2) соответственно. Соответственно вероятности регистрации одиночных фотонов в указанных точках ИМЦ-Б р ~ ео82(ф/2) и Р2 ~ 8ш2(ф/2) зависят от настройки значения фазового сдвига ф фазовращающих вентилей ИМЦ-А,Б.

Недостатком рассмотренной схемы на рис. 2 детектирования ТВ-кубитов с одним ОВ являются большие потери битрейта в квантовом канале, связанные с отбрасыванием направляемых в волоконный терминатор кубитов из порта |1) ИМЦ-А.

Снижение потерь можно получить в схеме рис. 2 с квантовым каналом, состоящим из двух оптических волокон. Отыщем |ф4) для такого канала. Воспользовавшись соотношениями (4)-(10) и по-прежнему полагая, что _0А=0Б, получим

Из полученной формулы следует, что в канале, построенном из волокон с одинаковыми фазовыми характеристиками, когда адс0 = ачс\, амплитуда ^р состояния |Р) кутрита в (11) обращается в ноль вследствие деструктивной интерференции фотона в обоих выходных портах ИМЦ-Б, прошедшего различные альтернативные траектории рассматриваемой схемы. Из (12) видно, что для состояний |а) и |у) указанная интерференция является конструктивной и приводит к двойному увеличению их амплитуд.

Структурой интерференционной картины в выходных портах можно, очевидно, управлять за счет изменения разности фаз ф = адс0 - адс\ в волокнах квантового канала. Так, при ф = п согласно (12) условия конструктивной интерференции будут выполняться для состояния |Р) кутрита, при этом состояния |а) и |у) окажутся подавленными.

Заключение. Изложенный выше матричный метод расчета структуры квантовых состояний одиночных фотонов в системе из двух разбалансированных ИМЦ легко обобщается на произвольное число интерферометров путем последовательного перемножения однотипных операторных матриц интерферометров и соединяющих их квантовых каналов. При этом, как было показано выше, происходит динамическая стратификация состояния фотона в выходных портах интерферометра, превращая его в многоуровневую квантовую систему - кудит

Литература

1. Нильсен М. Квантовые вычисления и квантовая информация: пер. с англ. / М. Нильсен, И. Чанг. - М.: Мир, 2006. - 824 с.

2. Имре Ш. Квантовые вычисления и связь. Инженерный подход / Ш. Имре, Ф. Балаж. - М.: Физматлит, 2008. - 320 с.

3. Прескилл Дж. Квантовая информация и квантовые вычисления. Т. 1. - Москва; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2008. - 464 с.

4. Прескилл Дж. Квантовая информация и квантовые вычисления. - Т. 2. - Москва; Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2011. - 312 с.

5. Емельянов В.И. Квантовая физика: биты и кубиты: учеб. пособие / В.И. Емельянов, Ю.В. Владимирова. - М.: Физический факультет МГУ, 2012. - 176 с.

6. Gisin N. Quantum cryptography / N. Gisin, G. Ribordy, T. Wolfgang // Rev. of Modern Phys. -

2002. - Vol. 74. - P. 145-195.

7. Молотков С.Н. Квантовая криптография и теоремы В.А. Котельникова об одноразовых ключах и об отсчетах // Успехи физических наук. - 2006. - T. 176, вып. 7. - С. 777-788.

8. Килин С.Я. Квантовая криптография: идеи и практика / С.Я. Килин, Д.Б. Хорошко, А.П. Низовцев. - Минск: Белорусская наука, 2008. - 392 с.

9. Задорин А.С. Интерферометрический контроль целостности данных в системе квантового распределения ключей с временным кодированием / А.С. Задорин, Д. А. Махорин // Доклады ТУ-СУРа. - 2014. - № 4 (34). - С. 85-88.

10. Дирак П. Принципы квантовой механики. - М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1979. - 480 с.

11. Maslennikov G. Practical realization of quantum cryptography protocol exploiting polarization encoding in qutrits / G. Maslennikov, A. Zhukov, M. Chekhova and S. Kulik // Journal of Optics B. -

2003. - Vol. 5, № 4. - P. 530-534.

Задорин Анатолий Семенович

Д-р техн. наук, профессор, зав. каф. радиоэлектроники и защиты информации (РЗИ) ТУСУРа

Тел.: 8 (382-2) 41-33-65

Эл. почта: Anatoly.Zadorin@rzi.tusur.ru

Махорин Дмитрий Алексеевич

Аспирант каф. РЗИ

Тел.: 8-913-824-11-11

Эл. почта: mda.tomsk@gmail.com

Zadorin A.S., Makhorin D.A.

Matrix description for transformation of individual photons quantum states in sequence of unbalanced Mach-Zehnder interferometers

A matrix model describing the system of several unbalanced Mach-Zehnder interferometers (MZI) used for forming and measuring time-bin qubit as superposition of time-shifted states of a single photon in output ports of system has been proposed. A quantum channel effect on time-bin qubit structure has been studied. Keywords: quatnum gates, Mach-Zehnder interferometer, quantum channel, time-bin qubit, qutrit.