Взаимосвязь философии и математики в учении И. Канта

УДК 1

ВЗАИМОСВЯЗЬ ФИЛОСОФИИ И МАТЕМАТИКИ В УЧЕНИИ И. КАНТА

© 2014 В. В. Мороз

докт. филос. наук, профессор каф. философии e-mail: vicmoroz@mail.ru

Курский государственный университет

В статье реконструируется вариант философско-математического синтеза из учения И. Канта, выражающийся в антиномико-синтетическом взаимодействии философии и математики при формировании эстетического идеала. Представляя различные и даже противоположные пути духовного освоения человеком мира, философия и математика, согласно Канту, отражают соответственно аксиологический и познавательный аспекты человеческой культуры. Разведя мир природы и мир свободы, показав их несводимость друг к другу, их автономность и противоположность, Кант производит их синтез на более высоком уровне, где познание и нравственность выступают как стороны единого процесса культуры, ядром которого выступает эстетический идеал.

Ключевые слова: взаимосвязь философии и математики, И. Кант, рассудок, созерцание, сила воображения, мир природы и мир свободы, синтез, эстетический идеал

Родоначальник немецкой классической философии Иммануил Кант предложил оригинальный подход к проблеме взаимосвязи философии и математики. Продолжая софийную линию понимания философии и видя в математике образец научного знания, Кант утверждал принципиальную неприменимость математических методов в области философии. Антиномии чистого разума, согласно немецкому мыслителю, как раз и возникают при попытке решать философские вопросы научными (т.е. физикоматематическими) методами. Однако анализ произведений великого немецкого мыслителя позволяет реконструировать своеобразный вариант философскоматематического синтеза, отличный от образцов классического рационализма.

Один из главных вопросов «Критики чистого разума» звучит так: «Как возможна чистая математика?», и именно проблемы гносеологического обоснования математики и естественных наук являются центральными в трансцендентальной философии Канта. Наиболее отличительной чертой кантовской философии вообще и его философии математики в частности является принцип активности субъекта в познании, согласно которому мы можем иметь наиболее достоверное знание об объекте лишь в том случае, если можем построить его в уме с помощью присущих нам конструктивных способностей или указать способ такого построения. Познание здесь понимается как деятельность субъекта по созданию и перестройке объекта из материала, получаемого от внешних воздействий или производимого самим субъектом.

Математика основывается, по Канту, на синтетическом интуитивном суждении a priori. В соответствии с принципом активности субъекта, главная проблема философии математики Канта выглядит следующим образом: как возможны синтетические интуитивные суждения a priori? Какие познавательные способности необходимо предположить у субъекта, чтобы обосновать возможность математического знания? Или, другими словами говоря, что значит конструировать понятия?

Конструировать понятие по Канту - значит a priori сопоставить понятию единичный объект в чистом неэмпирическом созерцании, то есть конструкцию понятия. Термин «конструкция понятия» подробнейшим образом анализируется

Мороз В. В. Взаимосвязь философии и математики в учении И. Канта

В.Т. Мануйловым в статье «Конструктивность обоснования математического знания в философии математики И. Канта» (см.: [Мануйлов 2001]).

Процесс конструирования математического понятия предполагает три важнейшие познавательные способности:

1) рассудок (спонтанную, самопроизвольную деятельность разума по образованию понятий, активную способность оперировать понятиями по законам формальной логики);

2) созерцание (способность получать представления, поскольку они каким-то образом возбуждены (аффицированы) внешними предметами и деятельностью рассудка); различается эмпирическое и чистое созерцание: в эмпирическом созерцании предмет строится из материала ощущений, доставляемого нашими органами чувств в опыте; в чистом созерцании субъект представляет формы всех явлений природы -пространство и время - как единичное созерцание; такое представление есть необходимое условие возможности всякого опыта, но само явление не зависит от эмпирического переживания (хотя обнаруживается только в эмпирических объектах);

3) продуктивную и репродуктивную силу воображения (синтезирующую активность, деятельность рассудка и восприимчивость созерцания, синтез рассудка и чувственности; это способность создавать в созерцании представления единичных предметов согласно формальным правилам рассудка из эмпирических данных или из чистых интуиций пространства и времени). Ни созерцание, ни рассудок сами по себе не могут дать знания (рассудок без чувственности пуст, чувственность без рассудка слепа); знание появляется тогда, когда эти две познавательные способности работают вместе, что и обеспечивается продуктивной и репродуктивной силой воображения. Сила воображения позволяет субъекту конструировать в созерцании предмет a priori по формальным правилам рассудка или реконструировать предмет в созерцании a priori из эмпирического материала по формальным правилам рассудка. Таким образом, рассудок оказывается действующим в созерцании: созерцание оказывается уже не пассивным восприятием предмета, а активным действием по его конструкции и реконструкции.

Тема «Что такое математика?» имеет в философии длинную историю. Она восходит к Платону и как определенная концепция, явившаяся результатом развития взглядов на природу математики и темы воображения начиная с Платона и Аристотеля и заканчивая неоплатонической школьной традицией, была впервые предложена Проклом Диадохом. Согласно его концепции, математика существует на стыке подлинного умозрения - «умственной прикидки», которая есть способность познавать без очертаний и образов, и чувственного восприятия. В математике мысль, овеществляясь, предстает как рациональное построение, а материя чувственного восприятия, очищаясь, обращается в математическую «воображаемую материю».

Таким образом, по Проклу, природа математики оказывается двойственной, она возникает как компромисс между чистой мыслью и чистой чувственностью. Математическая мысль, «обладая рациональными построениями, но не обладая силой рассматривать их как сложные сочетания, разбивает из на простые компоненты и переводит в другую область рассмотрения, - передает их воображению, или и уже в нем - или с его помощью - дает о них развернутое знание» [Прокл 1994: 137, 143]. Математическое мышление, по Проклу, имеет дело, таким образом, с рациональными построениями, которые оно мыслит посредством силы воображения, то есть отразив в воображаемой материи. В дальнейшем различение Р. Декартом «чистого понимания» и воображения и идея Г. Лейбница о математическом знании, создаваемом при помощи двух различных способностей - воображения, или общего чувства, и разума, - вносят свой вклад в раскрытие вопроса о сущности математики. Однако важнейший шаг после Прокла в осмыслении природы математической мысли делается Кантом.

ФИЛОСОФСКИЕ НА УКИ

Если у Прокла оставалось недостаточно проясненным различение воображения чувственного (создающего, например, кентавра или пегаса) и воображения математического, то Кант восполняет этот недостаток. Согласно философии математики Канта, предметы, изучаемые в геометрии, не являются эмпирическими объектами. Мы можем, например, доказывать теорему о тысячеугольнике, опираясь на построения, хотя для этого не нужно проводить эти построения актуально. Для утверждения в геометрии существования единичного предмета, являющегося репрезентантом общего понятия «правильный тысячеугольник», совсем не нужно чертить эмпирический тысячеугольник; достаточно лишь указать метод построения соответствующей фигуры, основанный на некоторых исходных легко осуществимых построениях.

Чтобы обосновать возможное в действительности существование объекта в геометрии, независимо от того, могут ли они быть эмпирически построены, Кант и вводит понятие чистого созерцания. И так как построения объектов в чистом созерцании осуществляются независимо от возможности их эмпирического построения (а часто такое построение эмпирически вообще невозможно), эти построения, а также основанные на них суждения Кант называет a priori.

Итак, прокловскому различению чувственного восприятия и «воображаемой материи» у Канта соответствует противопоставление эмпирического и чистого созерцания. Причем Кант явно называет это чистое созерцание - «пространство и время», представляющие тот универсальный фундамент, который мысленный эксперимент обнаруживает в основе всякого нашего представления [Кант 1994b: 64]. Математическое мышление, по Канту, есть пространственно-временное

конструирование, а предмет математики - пространство и его отношения, временная динамика пространственных конструкций [Кант 1994b: 67, 76-77, 528-529].

Рассмотрим подробнее это представление.

В познавательном процессе Кант различает содержание и форму. Содержанием чувственного созерцания (или чувственности) являются ощущения; чистое созерцание представляет собой всеобщее и необходимое условие восприятия - пространственновременную сетку, имеющуюся у всякого познающего субъекта. Однако пространство и время - не только формы, но и сами воспринимаются как предметы в чистом виде, составляющие содержание пустого созерцания. Рассудок работает в чувственности только через пространственно-временную сетку при помощи категорий. Последние являются всеобщими и необходимыми формами познавательной деятельности, составляют принципы трансцендентальной логики, учения о границах опытного познания.

В «Критике чистого разума» Кант ставит и решает задачу нахождения этих категорий и разбивает их на четыре группы: 1) количество (единичность,

множественность, целостность); 2) качество (полагание, отрицание, ограничение); 3) отношение (субстанция, причина-следствие, взаимодействие); 4) модальность (возможность-невозможность, необходимость-случайность, действительность-

недействительность). Как работают категории? Между ними и понятиями науки, образуемыми по законам формальной логики, существуют логические отношения. Каждой категории, а значит, и каждому понятию, подчиненному этой категории, может быть сопоставлена трансцендентальная схема - алгоритм построения предмета, попадающего под данное понятие в интуиции времени.

Чистая математика возможна как наука о построениях в чистом созерцании из интуиций пространства и времени по правилам, заключенным в понятиях, подчиненных категориям «качество» и «количество». Она имеет дело с абстракциями. Познание есть деятельность, в которой абстракция понимается как восстановление по

Ученые записки: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2014. № 3

Мороз В. В. Взаимосвязь философии и математики в учении И. Канта

объекту познания трансцендентальной схемы его построения. Обратная процедура называется конструированием. Это построение предмета в чувственности по правилу, заключенному в понятии. Если предмет строится из интуиций пространства и времени, то процесс называется конструированием понятий. Это возможно только в математике.

Результаты познания формулируются в виде суждений, аналитических или синтетических. Такую классификацию проводит еще Лейбниц, рассматривая аналитические суждения как a priori, истинность которых устанавливается без обращения к опыту, и синтетические как a posteriori, полученные через опыт. Кант, в свою очередь, различает синтетические суждения a posteriori (он называет их эмпирическими) и синтетические суждения a priori (истинность которых основывается на логической форме категорий). Математика как раз возможна как суждения синтетические a priori интуитивные (в отличие от теоретического естествознания, которое возможно как суждения синтетические a priori дискурсивные, так как категории отношения и модальности имеют трансцендентальные схемы, позволяющие строить объекты не из чистых форм созерцания, а из материала чувств). Как справедливо отмечает В.Т. Мануйлов, «априорность евклидовой геометрии означает у Канта только то, что ее постулаты не могут быть обоснованы эмпирически; поэтому открытие неевклидовых геометрий («воображаемых», как и евклидова) не опровергает кантовскую философию математики» [Мануйлов 2001: 40]. Более того, открытия в области математики не отрицают, а позволяют углубить мысль Канта. Когда он говорил о пространстве как об априори заданной нам форме восприятия чувственного опыта, то, естественно, имел в виду только известные в его время двумерные и трехмерные пространства, задаваемые геометрией Евклида. Теперь (благодаря работам Н.И. Лобачевского, Я. Больаи, Б. Римана, Ф. Клейна и др.) мы можем сказать, что априори нам задана возможность интерпретировать воспринимаемый нами мир через пространство различных геометрий. С развитием культуры (а математика как никакая другая наука является ярким и емким ее отражением) наше сознание расширяется путем новой, фундаментальной априорности. Однако «фильтры», через которые мы воспринимаем мир, математичны по своей природе, ибо они опираются на базовые математические представления (см. также: [Налимов 1993]).

Кантовский познающий субъект обладает двумя исходными способностями: способностью различать и отождествлять действительные предметы (чувственное созерцание) и способностью рассуждать о предмете по правилам формальной логики (рассудок). Две эти способности не зависят от эмпирического материала и друг от друга.

Принцип априорности математического знания абсолютизирует относительную независимость математического знания от опытных наук. Чувственность и рассудок реального человека влияют друг на друга через язык и практическую деятельность, понимаемую в самом широком смысле; в процессе практической деятельности и языкового общения людей эмпирический материал также влияет на формы чувственности и рассудка.

Вопросы о соответствии математики внешнему миру, о происхождении математических знаний требуют для своего решения посылок, от которых кантовская идеализация субъекта отвлекается, что вполне объяснимо и приемлемо. Ведь Кант занимается обоснованием возможности математического знания «самого по себе», что с неизбежностью требует идеализаций, так как в действительности ничто не существует само по себе, более того, все связано со всем. «Человеческое познание с самого начала развивается из двух источников - из опыта и из глубинных очевидностей разума, имеющих деятельностную основу, образуя два принципиально различных типа науки. С этой точки зрения математика и опытные науки различаются не степенью

ФИЛОСОФСКИЕ НА УКИ

абстрактности, а прежде всего своей интуитивной основой, будучи ориентированы соответственно на содержание и форму знания. Не вся математика может быть истолкована как априорная и непосредственно связанная с ней универсальная онтология, но это, вне всякого сомнения, относится к ее исходным представлениям, составляющим содержательное ядро и логическое основание математической науки в целом» [Перминов 2003: 68].

Необходимым условием всякого опыта является, по Канту, трансцендентальное единство апперцепции (т.е. самосознание, «Я» субъекта познания). Однако «Я» не есть объект эмпирический. Оно не может изучаться рассудком в чувственности при помощи категорий. Поэтому Кант противопоставляет мир природы и мир человека. Он различает феномены и ноумены. Феномены - явления, с которыми мы сталкиваемся в опыте. Они принадлежат миру природы, где господствует причинность и необходимость. Поэтому в естествознании не может быть обращения к свободе воли, здесь нет таких явлений, как человеческое «Я». Ноумены - умопостигаемые сущности, которые нельзя эмпирически воспринять. Познание человека ограничено чувственным опытом, включая и возможный опыт; оно дает нам представления о вещах такими, какими они на нас воздействуют. Познание ничего не говорит о том, что представляют вещи сами по себе, объективно, за пределами нашего восприятия.

Однако у нас есть основания предполагать, что вещи сами по себе существуют. Таким основанием является то, что человеческий разум, как говорит Кант, неудержимо доходит до таких вопросов, на которые он не может дать ответа в режиме опытного применения. Речь идет о трех идеях - свобода воли, существование Бога и бессмертие души. Откуда у человека эти идеи, если ничего в опыте им не соответствует? Из мира, лежащего за пределами опыта, - отвечает Кант. Он называет его миром вещей в себе, или ноуменов. Может ли человек изучать ноумены? Кант отвечает на этот вопрос положительно, выдвигая как средство познания ноуменов сам разум. Он отличается от рассудка тем, что способен ставить мировоззренческие вопросы. Однако «чистый разум» (можно назвать его разумом научным), пытаясь мыслить ноумены как опытные объекты, непременно впадает в антиномии. Таким образом, научный метод при решении вопросов ноуменального характера оказывается несостоятельным. Научный же метод, согласно Канту, означает метод математический - вспомним знаменитое изречение мыслителя: «Так как во всяком учении о природе имеется науки в собственном смысле лишь столько, сколько имеется в ней априорного познания, то учение о природе будет содержать науку в собственном смысле лишь в той мере, в какой может быть применена в нем математика» [Кант 1966: 59]). Та непроницаемая стена, которая отделяет мир явлений от мира «вещей в себе», тот последний рубеж, достигнув которого «чистый разум» исчерпывает свои возможности, есть таинство свободы.

Тем не менее кроме «чистого разума» человек наделен разумом практическим, так как он способен выбирать цель своего поведения. Животные способны действовать целесообразно. Уже имея цель, они методом проб и ошибок находят программу для ее достижения. Человек, наделенный практическим рассудком, способен находить средства для достижения цели, но сам поставить ее он не в силах. Способность выбрать цель основана на свободе выбора. А свобода - это идея разума. Выбор цели внеприроден. Отсюда Кант заключает, что человек живет в двух мирах. Как существо чувственное, человек принадлежит миру явлений, включен в поток времени, ничем в этом отношении не отличаясь от любой другой вещи. Человек подчинен необходимости - целиком и полностью, без какого либо изъятия. Человек свободен -опять-таки в полном и серьезном смысле этого слова, ибо быть свободным не полностью нельзя.

Ученые записки: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2014. № 3

Мороз В. В. Взаимосвязь философии и математики в учении И. Канта

Кант считает, что свобода и необходимость существуют в разных отношениях, они нигде и никогда не пересекаются. Это две точки зрения на человека, две его ипостаси. Когда мы говорим о свободе человека, мы отвлекаемся от факта его причинной обусловленности, и наоборот. «Понятие умопостигаемого мира есть, следовательно, только точка зрения, которую разум вынужден принять вне явлений для того, чтобы мыслить себя практическим» [Кант 1965: 304]. Свобода и необходимость -два различных типа причинности. Кант предположил, что между ними нет настоящего противоречия, поскольку они не встречаются. Человек в силу необходимости становится злодеем, однако в силу свободы он может квалифицировать свои действия как злодеяние. Таким образом, существует четкая граница между миром необходимости, подвластным естественным наукам и математике, и миром свободы, вопросы относительно которого - это вопросы нравственности, и они не могут быть решены научными методами.

Однако Кант пытается связать эти не сводимые друг к другу миры, и между природой и свободой находит промежуточное звено - своеобразный «третий мир» -мир эстетического. Ему посвящена «Критика способности суждения». В размышлениях об оценочном суждении у Канта речь идет о способности оценки, приговора, который человек прямо или косвенно выносит окружающей действительности и самому себе. В деятельности человека Кант обнаружил сферу, где результаты представляют собой нечто органическое, - искусство: «Воспринимая произведения прекрасного искусства, следует сознавать, что это искусство, а не природа; однако целесообразность его формы все-таки должна представляться столь свободной от всякого принуждения произвольных правил, будто оно есть продукт природы» [Кант 1994a: 176]. Таким образом, синтез математического знания (как эталона научного знания) и нравственного поведения реализуется в сфере эстетического.

В «Критике способности суждения» доказывается специфичность эстетического, его несводимость ни к знанию, ни к морали. «Эстетическое чувство» - сложная интеллектуальная способность. Чтобы насладиться красотой предмета, надо уметь оценить его достоинства. Иногда это происходит «сразу», а иногда требует времени и интеллектуальных усилий. Чем сложнее предмет, тем специфичнее его эстетическая оценка. Кант расчленяет эстетическое на две части: прекрасное и возвышенное. Первая обращена преимущественно к знанию и связана (хотя и опосредованно, как «оживление» познавательной способности) с чистым разумом (рассудком), законодателем научного знания. Вторая обращена преимущественно к морали и связана с разумом практическим, законодателем нравственности. И в то же время эстетическое представляет собой нечто целое. Таким образом, истина, добро и красота поняты в их своеобразии и сведены воедино - формула синтеза найдена.

Кант придавал большое значение эстетически осмысленному подходу к природе: «Я утверждаю, что непосредственный интерес к красоте природы (не только наличие вкуса, чтобы судить о ней) всегда служит признаком доброй души...» [Кант 1994a: 171]. Природа - своего рода произведение искусства, гармоничное целое. Как нельзя вторгаться в жизнь художественного организма, так нельзя нарушать гармонию природы, сложившееся в ней целесообразное равновесие.

Телеология у Канта - это не теология, но и не естествознание; с ее помощью философ не отыскивает бога в природе, но и не открывает законов, ею управляющих. Только человек может ставить перед собой сознательные цели, в результате чего возникает мир культуры, понимаемой Кантом как то, что способствует благу человека (в современной терминологии, система гуманистических ценностей). Таким образом, телеология перерастает в теорию культуры. Культура по своей природе органична, человек в ней выступает не только как средство, но и как цель. Здесь проявляет себя

ФИЛОСОФСКИЕ НА УКИ

принцип «субъективной целесообразности», индикатором которого служит «чувство удовольствия и неудовольствия», понимаемое Кантом как ценностная эмоция. Именно на ней основана эстетическая способность суждения (художественная интуиция), создающая искусство в качестве среднего звена между свободой и природой. «Критика способности суждения» с ее выходом на проблемы телеологии и культуры, указывала «дорогу надежды», по которой следует идти индивиду. Культура - последняя цель природы, человек призван создать ее. Вера в Бога и бессмертие души - это прежде всего надежда на собственную нравственную силу.

В трактате «Религия в пределах только разума» Кант говорит о необходимости дополнить три основных философских вопроса четвертым. «Давно задуманный план относительно того, как нужно обработать поле чистой философии, состоял в решении трех задач: 1) что я могу знать? (метафизика); 2) что я должен делать? (мораль); 3) на что я могу надеяться? (религия); наконец, за этим вопросом должна была последовать четвертая задача - что такое человек? (антропология, лекции по которой я читаю более чем двадцать лет)» (цит. по: [Гулыга 1994: 33]). В другом месте Кант уточняет: «:...в сущности, все это можно было бы свести к антропологии, ибо три первых вопроса относятся к последнему». Первое и последнее слово зрелого Канта - о человеке: «человек есть конечная цель творения» [Кант 1994a: 130].

Таким образом, философско-математический синтез у Канта приобретает форму антиномико-синтетического взаимодействия двух противоположностей, философии и математики. Разведя мир природы и мир свободы, показав их несводимость друг к другу, их автономность и противоположность, Кант производит их синтез на более высоком уровне, где познание и нравственность выступают как стороны единого процесса культуры, понимаемого Кантом как то, что служит благу человека, ядром которого выступает эстетический идеал.

Тем не менее мысль Канта о том, что философские вопросы не могут быть решены ни математическими средствами, ни средствами естествознания, что метод философии принципиально отличен от метода математики и «функции» этих двух феноменов человеческой культуры должны быть разведены, нашла своих последователей, предложивших для решения философских вопросов особые способы: диалектику (Г. Гегель), феноменологию (Э. Гуссерль), «интуицию» (А. Бергсон), «понимание» (В. Дильтей), герменевтику (Х. Гадамер) и др.

Библиографический список

Гулыга А. Эстетика Канта // Кант И. Критика способности суждения. М., 1994. С. 9-35.

Кант И. Критика способности суждения. М.: Мысль, 1994. 591 с.

Кант И. Критика чистого разума // Кант И. Собр. соч: в 8 т. Т. 3. М.: Чоро, 1994. 741 с.

Кант И. Основы метафизики нравов // Кант И. Соч.: в 6 т. Т. 4(1). М.: Мысль,

1965. С.219-310.

Кант И. Метафизические начала естествознания // Там же. Т. 6. М.: Мысль,

1966. С. 53-176.

Мануйлов В. Т. Конструктивность обоснования математического знания в философии математики И. Канта // Проблема конструктивности научного и философского знания: сб. ст. Курск, 2001. Вып.1. С. 29-61.

Налимов В.В. В поисках иных смыслов. М.: Прогресс, 1993. 260 с.

Перминов В.Я. Праксеологический априоризм и стратегия обоснования математики // Математика и опыт / под. ред. А.Г. Барабашева. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2003. С. 56-95.

Прокл. Комментарий к Первой книге «Начал» Евклида. Введение. М.: Греколатинский кабинет, 1994. 224 с.

Ученые записки: электронный научный журнал Курского государственного университета. 2014. № 3