Математическая модель распространения инфекции

УДК 519.876.2

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИНФЕКЦИИ

© А.В. Улыбин

Ключевые слова: агент; модель; имитационное моделирование; мультиагентный подход; модель распространения инфекции.

Проведен анализ существующих моделей распространения инфекций. Предлагается использование агентного подхода для моделирования данного процесса. Представлена имитационная мультиагентная модель распространения инфекции.

ВВЕДЕНИЕ

Математическое моделирование является достаточно мощным инструментом для изучения сложных объектов и процессов, происходящих в реальном мире. Особенно незаменимо оно в тех областях исследований, где реальные эксперименты над объектами затруднены или просто невозможны. Примером одной из таких областей является эпидемиология. Проблема распространения различного рода инфекций и эпидемий является актуальной для всего человечества. Разработанные математические модели в основном представляют собой системы дифференциальных уравнений. Данный тип моделей имеет ряд недостатков, а именно: модели являются непрерывными, в то время как процесс распространения инфекции - дискретный; не учитываются индивидуальные свойства объектов; в моделях присутствуют «усредненные» параметры, не относящиеся к физическим свойствам объектов; значения некоторых параметров очень трудно или невозможно определить исходя из данных статистики [1, 2].

Принципы моделирования социальных и эпидемиологических процессов существенно отличаются от моделирования в естественных науках. Здесь нет твердо установленных экспериментом и практикой зависимостей, которые всегда остаются справедливыми и не изменяются. При построении моделей таких процессов необходимо учитывать изначальную неточность задания всех данных, отсутствие четкого математического описания переменных и параметров, используемых при моделировании. Важно понимать возможность отклонения статистических данных от их реальных значений.

В качестве наиболее подходящего аппарата для моделирования процессов в эпидемиологии предполагается имитационное моделирование с использованием мультиагентного метода. Он позволяет, задавшись начальными параметрами по каждому типу объектов, а также системой правил, согласно которой объекты взаимодействуют друг с другом и окружающей средой, вычислить динамические закономерности развития инфекции и выявить наиболее существенные свойства агентов, способствующих изменению темпов распро-

странения. Преимуществом данного подхода является то, что учитываются индивидуальные свойства каждого объекта, составляющего сложную систему. Динамика сложного процесса представляет собой результат функционирования и взаимодействия относительно простых объектов [3]. Основная задача аналитика заключается в формулировке правил взаимодействия.

Необходимо отметить, что мультиагентный подход применялся для исследования процессов распространения инфекций как в России, так и за рубежом. Учеными Guo Zaiyi, Han Hann Kwang и Tay Joc Cing была разработана модель заражения клеток ВИЧ-инфекцией на основе агентного подхода [4]. Данная модель направлена на исследование распространения клеток ВИЧ-инфекции внутри одного организма и не предназначена для изучения распространения инфекции между людьми. Одним из известных способов моделирования распространения инфекций и эпидемий является имитационное моделирование на основе клеточных автоматов [5]. С использованием мультиагентного подхода была изучена динамика распространения ВИЧ-инфекции среди мужчин-гомосексуалистов в Амстердаме [6]. Данная модель рассматривает распространение инфекции в одной группе риска, необходимо отметить, что такой подход часто встречается при моделировании.

Многие приемы, используемые при применении мультиагентного подхода, разработаны в настоящее время в недостаточной степени. В частности, не решались задачи параметрической идентификации указанных моделей, нахождения необходимого числа агентов, обеспечивающих репрезентативность вычислительных экспериментов, проверки мультиагентных моделей на адекватность. По этой причине разработка новых математических моделей, алгоритмов и программ, предназначенных для использования мультиагентного подхода при анализе различных систем, представляет собой актуальную научную задачу.

Данная работа направлена на разработку мультиа-гентной модели распространения инфекции, на основе которой предполагается создание универсального симулятора для моделирования различных инфекций.

ОСНОВНЫЕ ДОПУЩЕНИЯ, ИСПОЛЬЗУЕМЫЕ ПРИ МОДЕЛИРОВАНИИ

Итак, необходимо разработать мультиагентную модель распространения инфекции, позволяющую учесть индивидуальные свойства объектов и проводить вычислительные эксперименты по исследованию процесса распространения.

Основные допущения, принятые при разработке математической модели и алгоритмов, лежащих в основе программного комплекса, имеют следующий вид.

1. Моделирование осуществляется на ограниченной территории, где существует вероятность взаимодействия любого агента с любым другим из системы, т. е. У01,02 е С ^ ЗР(01 П 02) Ф 0 .

2. Время в модели дискретно. Единицей времени является одна итерация. В реальном времени она может представлять собой один день, месяц, год и т. п. в зависимости от значений параметров модели. Отсчет времени начинается с нуля итераций. Шаг времени равен единице.

3. В начальный момент времени формируется множество агентов системы согласно статистическим данным. Свойства и параметры агентов определяются на стадии формирования всего множества.

4. Максимальная продолжительность жизни агента задается количеством итераций, по истечении которого агент умирает. Максимальная продолжительность жизни может быть изменена в процессе моделирования в случае инфицирования агента.

5. Все агенты разбиваются на типы, определяющие его отношение к инфекции: здоровый агент, инфицированный агент, носитель инфекции (способный к инфицированию других агентов, но при этом не испытывающий негативного влияния инфекции). Здоровые агенты в свою очередь могут обладать иммунитетом либо быть склонными к заражению.

6. Для каждого типа объектов определяется система правил, взаимодействие по которым определяет характер динамики распространения инфекции.

7. Взаимодействие одновременно возможно только между двумя агентами системы. То есть невозможно такое взаимодействие, в результате которого изменяются параметры нескольких (более двух) агентов.

8. Замена типа происходит при взаимодействии объектов разных типов. Результатом взаимодействия является тип, определяющий статус инфицирования объекта.

ИМИТАЦИОННАЯ МУЛЬТИАГЕНТНАЯ МОДЕЛЬ РАСПРОСТРАНЕНИЯ ИНФЕКЦИИ

Общее количество инфицированных агентов на любой итерации всегда можно рассчитать по формуле:

км = ку + к - ке,

где Кщ[ - общее количество инфицированных, К - количество инфицированных в результате внутренних процессов, К - количество инфицированных иммигрантов, ке - количество инфицированных эмигрантов.

Количество инфицированных в результате внутренних процессов рассчитывается по формуле:

КV =2 Кг. - Б ,

\

где К- количество инфицированных различными

путями заражений, Б - количество умерших среди инфицированных, 1 - г-й путь передачи инфекции.

В начальный момент времени имеется множество М - множество объектов различного типа: М = {{С1},{С2},...,{Ср}}, где р - количество типов

объектов.

С, = {С1*, ^,..., с* }, к = ~р,

где Ск - множество объектов типа к, пк - общее количество объектов типа к в начальный момент времени.

Каждому объекту из множества, определенного выражением (1), соответствует следующий набор параметров:

ск а {^, ак, атк, ^, рк, И, }, г = ТТПГ,

где sk - пол объекта, ак - возраст объекта в началь-

к

ный момент времени, атг - максимальная продолжительность жизни объекта, wk - количество взаимодействий объекта с другими объектами, рк - вероятность

инфицирования при взаимодействии, Ик - продолжительность жизни инфицированного объекта.

Функционирование объектов подчинено следующим правилам.

Возникновение г-го объекта типа к в момент времени t+1 определяется выражением (2), а его гибель выражением (3).

Система правил (4) определяет изменение ак - возраста объекта типа к за единицу времени. Согласно нашим допущениям, время дискретно и измеряется в итерациях. На каждой итерации будем увеличивать возраст объекта на единицу времени. Согласно второму правилу системы, необходимо исключить объект из множества объектов типа к, если отведенный ему максимальный срок жизни уже истек.

(ск Ь ^ (ск)( : (ак), = (ак)м +1

(ак){>атк ^ (Ск){^ (Ск- {ск }^+1, (4) к = 1, р, г = 1, пк.

Выражение (5) позволяет уменьшать максимальный срок жизни объектов типа к на заданное количество итераций (максимальная продолжительность жизни г-го объекта после изменения типа) в случае изменения типа объекта в результате взаимодействия объектов разных тигаж

{ci є Ck 1 kt+1 * kt} ^ (amk )t+1 =

ami ,(ai )t + hi > ami.

Вероятность нового инфицирования при взаимодействии двух агентов существует, если выполняется условие:

{cf є Ck, cm є Cm | k * m} ^3P( A П B) * 0,

где элементарное событие A - это взаимодействие здорового агента с инфицированным агентом A є W , W -пространство элементарных событий при взаимодействии агентов; элементарное событие B - передача инфекции в результате взаимодействия B є Q, Q - пространство элементарных событий при передаче инфекции; i = 1, n,, j = 1, nm , nk - количество объектов заданного типа k, nm - количество объектов заданного типа m.

Замена i-го объекта типа k на j-й объект типа m происходит при изменении статуса инфицирования в соответствии с выражением:

(Ck )t ^ (Ck - {ci })t+1 (Cm)t ^ (Cm + {c"})t+/

Итак, для имитационного моделирования распространения инфекции на основе агентно-ориентированного подхода необходимо определить начальные параметры по каждому типу объектов.

РЕЗУЛЬТАТНІ МОДЕЛИРОВАНИЯ

Имитационная модель распространения инфекции реализована в среде Lazarus на платформе хб4.

Для проведения вычислительных экспериментов были использованы данные Федерального научнометодического Центра по профилактике и борьбе со СПИДом по распространению ВИЧ-инфекции в России, данные Территориального органа Федеральной службы государственной статистики по Тамбовской области и Управления здравоохранения Тамбовской области по распространению туберкулеза в Тамбовской области [8, 9]. Исходное количество агентов, а также их свойства задавались согласно статистическим данным.

В табл. 1 представлены результаты по моделированию распространения туберкулеза в Тамбовской области.

Относительная погрешность вычислений при этом составила 4,1 %. Результаты моделирования на данных ВИЧ-инфекции были ранее представлены в статье [7]. Было получено, что количество инфицированных агентов в результате эксперимента превосходит статистические показатели. Относительная погрешность вычислений при этом составила 15,5 %. Однако анализ процесса распространения инфекции показал, что характер изменения динамики по модели соответствует данным

Таблица 1

Кумулятивное количество новых случаев заболеваний туберкулезом в Тамбовской области по годам

Год Данные Результат

статистики эксперимента

2000 89б 89б

2001 183б 1733

2002 2728 2599

200З Зб01 3397

2004 4495 4255

2005 5287 5004

200б б025 57б0

2007 б775 б489

2008 7502 7251

2009 82б1 8072

статистики. Более того, согласно Федеральному закону от 30 марта 1995 г. № 38-Ф3 «О предупреждении распространения в Российской Федерации заболевания, вызываемого вирусом иммунодефицита человека (ВИЧ-инфекции)», обязательным освидетельствование на ВИЧ может быть только для доноров крови, иностранных граждан и лиц без гражданства, желающих въехать на территорию Российской Федерации сроком свыше трех месяцев, а так же медицинского персонала, работающего непосредственно с кровью, и лиц, находящихся в местах лишения свободы. Все остальные граждане сдают тест на ВИЧ добровольно. За счет этого и образуется разница между значениями статистических и реальных данных. Нужно отметить, что относительный вклад в распространение инфекции различными путями заражений соответствует статистическим данным. Кроме того, согласно большинству экспертных оценок реальное количество ВИЧ-инфицированных людей превосходит статистические показатели, что предполагает еще меньшую относительную погрешность.

Также необходимо обозначить проблему нехватки вычислительных ресурсов, т. к. для моделирования распространения инфекции в пределах всей России количество агентов имеет порядок 108. Для целей данной работы использовался сервер на базе двух процессоров 1Пе1 Хеоп Е5520 с 24 Гб оперативной памяти и дисковым массивом га1(110 (4хБЛ815к). Наиболее предпочтительным вариантом решения проблемы нехватки вычислительных ресурсов предполагается использование распараллеливания вычислений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Необходимо отметить, что проблема распространения инфекций остается актуальной и требует выявления основных причин и факторов, способных снизить темпы распространения. В данной работе для решения этих задач предлагается использовать дискретную модель распространения инфекции с использованием мультиагентного подхода. Обозначены основные допущения, используемые при моделировании, произведена формализация имитационной модели распространения инфекции на основе агентного подхода. Вычислительные эксперименты, даже при значительном уп-

рощении модели (что отражено в допущениях), позволяют проводить исследования процесса распространения. Таким образом, можно рекомендовать мульти-агентный подход для имитационного моделирования распространения инфекций и иных социальных процессов, в которых поведение сложной системы представляет результат взаимодействия составляющих ее объектов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Perelson A.S. Modelling viral and immune system dynamics // Nature Reviews Immunology. 2002. № 1. P. 28-3б.

2. Жуковский Е.С., Шиндяпин А.И., Плужникова Е.А. Математическая модель динамики распространения ВИЧ/СПИД, учитывающая вероятность прекращения антивирусного лечения // Гаудеамус. Актуальные проблемы информатики и информационных технологий. Материалы XIV-й международной научно-практической конференции. 2010. № 2. С. 350-352.

3. Замятина Е.Б. Современные теории имитационного моделирования: Специальный курс. Пермь: ПГУ, 2007. 119 с.

4. Cing T.J., Kwang H.H., Zaiyi G. Sufficiency Verification of HIV-1 Pathogenesis Based on Multi-Agent Simulation // GECCO. 2005. P. 305-312.

5. Куравский М.Л. Моделирование распространения эпидемий // Экологические системы и приборы. 2003. № 2. С. 49-54.

6. Shan A.M., Sloot P.M.A., Quax R., Zhu Y., Wang W. Complex Agent Networks explaining the HIV epidemic among homosexual men in Amsterdam // Mathematics and Computers in Simulation. 2010. V. 80. № 5. P. 1018-1030.

7. Арзамасцев А.А., Улыбин А.В. Имитационное моделирование развития инфекции с использованием агентного подхода // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. Тамбов, 2010. Т. 15. № 2. С. 614-619.

8. Федеральный научно-методический Центр по профилактике и борьбе со СПИДом. URL: http://www.hivrussia.ru (дата обращения: 21.09.2010).

9. Территориальный орган Федеральной службы государственной статистики по Тамбовской области. URL: http://tmb.gks.ru:8085/ de-fault.aspx (дата обращения: 21.09.2010).

Поступила в редакцию 12 ноября 2010 г.

Ulybin A.V. Mathematical model of infection propagation The analysis of existing models of propagation of infections is carried out. The usage agent based approach for modeling of the given process is offered. The imitative multi-agent model of propagation of infection is presented.

Key words: agent, model, simulation modeling, multi-agent based approach, model of infection propagation.