Анализ и моделирование в сосредоточенных параметрах динамики реальных физико-химических процессов методами современной неравновесной термодинамики с использованием системного анализа

4. Гнеденко Б.В., Беляев Ю.К., Соловьев А.Д. Математические методы в теории надежности и их статистический анализ / Б.В. Гнеденко, Ю.К. Беляев, А.Д. Соловьев.- М.: URSS. 2013. - 584 c.

5. Герасимов О.Н., Затылкин А.В., Юрков Н.К. Способ организации производственного контроля и диагностики РЭС с заданным уровнем остаточного ресурса/ О.Н. Герасимов, А.В. Затылкин, Н.К. Юрков// Надежность и качество сложных систем. - 2016. - N1(13). -С. 94-98.

УДК 51.73

Старостин1 И.Е., Быков2 В.И.

1ООО «Экспериментальная мастерская «НаукаСофт», Москва, Россия

2Институт биохимической физики им. Н.М. Эмануэля, РАН, Москва, Россия АНАЛИЗ И МОДЕЛИРОВАНИЕ В СОСРЕДОТОЧЕННЫХ ПАРАМЕТРАХ ДИНАМИКИ РЕАЛЬНЫХ ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ МЕТОДАМИ СОВРЕМЕННОЙ НЕРАВНОВЕСНОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ СИСТЕМНОГО АНАЛИЗА

В настоящей работе разрабатываются основы методологии анализа и математического моделирования на основе экспериментальных данных динамики реальных физико-химических систем. Для описания реальных физико-химических процессов в настоящей работе используются методы современной неравновесной термодинамики (макроскопический подход описания физико-химических процессов). Эти методы основываются на известных из эксперимента свойствах веществ и процессов, которые определяются на основе экспериментальных исследований лабораторных систем (снятых экспериментально показаний датчиков этих систем). Обратно, зная свойства веществ и процессов, внешние потоки и начальное состояние анализируемой системы, методами современной неравновесной термодинамики получаем динамику этой системы, в том числе и ее выходных параметров, имеющих практическое значение (в том числе и показания датчиков системы). Однако для некоторых практических задач достаточно получить лишь связь между выходными параметрами и входными потоками, а полную динамику физико-химических систем знать необязательно. Для этого достаточно получить из экспериментальных данных лишь более узкий класс свойств веществ и процессов. Настоящая статья посвящена разработке основ методологии решения этих описанных задач

Ключевые слова:

ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ, СОВРЕМЕННАЯ НЕРАВНОВЕСНАЯ ТЕРМОДИНАМИКА, ПРЯМЫЕ ПОСТРОЕНИЕ МОДЕЛЕЙ

Введение

Анализ и моделирование реальных физико-химических процессов является важнейшей задачей современной техники и технологии. Одним из методов описания реальных физико-химических процессов является макроскопический подход, основанный на современной неравновесной термодинамике, базирующийся на экспериментально исследуемых свойствах веществ и процессов [1 - 6], который имеет широкое практическое применение [2 - 4].

В соответствие с современной неравновесной термодинамикой для получения динамики реальных физико-химических систем, в том числе и их выходных параметров (имеющих практическое значение, в том числе и показаний датчиков) необходимо знать следующие характеристики этих систем [6]:

потенциалы взаимодействия (исследуемые экспериментально);

И ОБРАТНЫЕ ЗАДАЧИ, матрицы (исследуе-

коэффициенты кинетической мые экспериментально); коэффициенты баланса; внешние потоки;

условия протекания физико-химических процессов;

флуктуации в системе; начальное состояние системы.

Получение динамики заданной физико-химической системы, в том числе и ее выходных параметров, по описанным только что характеристикам является прямой задачей современной неравновесной термодинамики. Для решения прямой задачи также используются методы, изложенные в [7, 8]. В случае неизвестных потенциалов взаимодействия и коэффициентов кинетической матрицы физико-химических процессов встает задача определения этих характеристик (а параллельно и внешних потоков, начального состояния) по показаниям датчиков лабораторных систем [9].

Рисунок 1 - Факторы, определяющие динамику реальных физико-химических процессов

Эта задача является обратной задачей современной неравновесной термодинамики. Поиск описанных выше характеристик физико-химических систем осуществляется в заданном классе соответствующих характеристик [10, 11]. В общем случае по показаниям с датчиков можно определить лишь более узкий класс функций состояния для потенциалов взаимодействия и коэффициентов кинетической матрицы [10, 11]. В таком случае возможно получить лишь множество возможных реализаций динамик реальных физико-химических систем [11]. На этом множестве реализаций методами системного анализа возможно определение связи между выходными параметрами системы и входными потоками [11]. Эта задача является задачей получения модели системы.

В настоящей работе разрабатываются основы методологии решения прямых и обратных задач, а также задач получения моделей реальных физико-химических систем.

Факторы, определяющие динамику реальных физико-химических процессов

В соответствие с современной неравновесной термодинамикой динамика протекания физико-химических процессов определяется факторами, показанными на рисунке 1, [6].

Потенциалы взаимодействия и кинетическая матрица определяются также и состоянием системы (ее

(

координатами состояния) [6]. Внешние потоки и флуктуации в общем случае определяются также и координатами состояния системы и временем. Исходя из этих зависимостей, задаем класс функций состояния для потенциалов взаимодействия и обратимых и необратимых составляющих [6] кинетической матрицы, через которые мы и определим кинетическую матрицу [6]. Аналогично задаем класс функций для внешних потоков и флуктуаций.

Задание функций состояния для свойств веществ и процессов

По теореме Вейерштрасса о равномерном приближении функции полиномами [12] описанные выше классы функций состояния для потенциалов взаимодействия и обратимых и необратимых составляющих кинетической матрицы задаем в виде полиноминальных функциональных разложений с точностью до постоянных коэффициентов [10, 12]. Обозначив координаты состояния физико-химической системы как X, индивидуальные параметры как р , условия

протекания физико-химических процессов как и , зададим функциональное разложение потенциалов взаимодействия ц, а также обратимых а и необ-

ратимых виде:

составляющих кинетической матрицы в

ц ( х, и, р) = ц(0)( х, и, р ) + 2>Г

7 = 1

П^-

1 = 1 Пх.

!

"и (и П^-=1

-и'

(«П

™р [р! П^-=1

V

(х, и, р) = а(0)( х, и, р ) + £ у,а

п-

1=1

п

]=1

V

? (х, и,р ) = ?(0)( х, и,р ) + £ у?

п

1=1

п

1=1

р„

, (х,и,р),

= 1, т^

й} = й} (и,р), г7<°) = й} (и(0)5р(°))5 j = 1 ,тл

Р; = Р] (и,р), рЫ = Р] (и(°)5р(°))5 / =

а также области возможных значений индивидуальных параметров р из экспериментально снятых показаний датчиков лабораторных систем.

Имея функциональные разложения (2), (3) для обратимой а( х, и, р) и необратимой ?(х, и, р) составляющих кинетической матрицы, мы в соответствие с формализмом, изложенном в [6], получим задающие коэффициенты; функциональные разложения для кинетической мат-

зовые со-

Ц (х,И,р) , а(0)(х,И,р) , ? (х,И,р) - ба

ставляющие потенциалов взаимодействия, обратимых и необратимых составляющих кинетической матрицы соответственно. Задав класс функций состояния для потенциалов взаимодействия, а также обратимой и необратимой составляющей кинетической матрицы в виде (1) - (3), обратная задача сводится к определению коэффициентов уЦ , уа, У? ,

рицы (с точностью до постоянных коэффициентов). Функциональные разложения для потенциалов взаимодействия (1) должны удовлетворять условию полного дифференциала [6].

Задание функций для внешних потоков По теореме Вейерштрасса описанный выше класс

функций внешних потоков

й

X

¿г

задается функцио-

нальным разложением:

¿-X = г (0)( X, и, р, р, г ) + Х ТХ йг /=1

(

п-

1=1

п

1=1

П !

ПР„

\\pi-py)

ПР,1

('-'оГ

-,

где р - индивидуальные параметры среды, с которой взаимодействует рассматриваемая физико-Г(0)Г

химическая система

; f(0)( X, и,р, р) - ба

зисная со-

деляются согласно:

= I, (и,р,р), |<0) = (и(°);р(0),Р(0)); 1

! = 1,тр .

(х, и,р, рсл, г ) = ?£)( X, и, р,рсл, г) +

^ У?

М°Т

Задав согласно (3) - (5) класс функций для внешних потоков, обратная задача сводится к

определению коэффициентов yX , а также оценке области возможных значений индивидуальных параметров р .

Задание функциональных разложений для флук-туаций

Класс функций для флуктуаций ?

задается

аналогично классу функций для внешних потоков:

\{

"«\Uj-U)' ,

пи—и.

1= При!

й/

^ [Рсу -РУ)

п ПР1!

('"'„Г

р

N

Пи.. !

N.

Пи.. !

П

1=1

ч

1=1

V

У

р

ц

а

а

7

7

7

т

Пг !

Пи !

П

г .1

и

ч

ставляющая внешних потоков; а величины pJ опре

N

X

П

П

П

1=1

и

г ,1

х

Ч

ч

У

V

V

где рс„ - случайные параметры флуктуаций; и, р, рт,0) - базовая составляющая флуктуа-

Рау = Рщ (иРР, ) Рщ! = Рау (и(0);Р(0);Р^); ' =

Задав согласно (3), (6), (7) класс функций для внешних потоков, обратная задача сводится к

определению коэффициентов С и у, а также оценке области возможных значений индивидуальных параметров рсл .

Основы методологии решения обратных задач Итак, мы рассмотрели задание классов функций состояния для свойств веществ и процессов, функций для внешних потоков и флуктуаций. С использованием задания классов функций (1) - (7) решение обратных задач сводится к составлению системы уравнений физико-химических процессов в соответствие с формализмом, изложенном в [6], заданию функциональных разложений (1) - (7) с точностью до входящих в них постоянных коэффициентов, и поиску этих коэффициентов (или областей возможных значений этих коэффициентов) из снятых экспериментально показаний датчиков лабораторных установок.

Рисунок 2 - Ансамбль экземпляров системы

Для поиска значений описанных постоянных коэффициентов (или областей возможных значений этих постоянных коэффициентов) а также диапазонов вышеописанных индивидуальных параметров необходим ансамбль лабораторных систем (см. рисунок 2). На каждую систему этого ансамбля подается семейство контрольных входных воздействий

(а (*)х I

(контрольных потоков

N - число систем в ансамбле) и снимается соответствующее семейство показаний датчиков "Э (/) ,

э

, ' = 1, I = 1, N этих лабораторных систем

Ж

} = 1> Nк.п.1 , ' = 1, Nк

1 = 1, N в соответствие с функциона-

I = 1, N , где Nк

число контрольных потоков, а

"и (0 = Ки (^ °

Ц

а «х

л

, ' = 1,Nкп. 1 , i = 1,Nc ,

„

С

Ц

а <*>х л

, ' = 1, Nк . п ., , 1 = 1, Nc ,

где х0 - начальное состояние системы, получаемыми путем составления в соответствие с [6] системы уравнений физико-химических процессов в

системах и применении методов численного интегрирования этой системы [7, 8], а также (1) -(7). Затем выполняем минимизацию целевой функции, определяемой согласно [10]:

1N1N (г *0 +Т л

о = ^ (' - ' А(0) (' - ' + I К (0 - "Ъ (0)г А, (0 ("5 (0 - "у (0)4

2Лс <=1 Лк.пЛ '=1 ^ о0 )

где А (о) , А( ) , i = 1, N. - положительно определенные матрицы; отсюда, приращение целевой функции примет вид:

Nc

ао = -—У

1

N,

к.п.1 j = 1

$0) - $ ) А0^ +00Г ("Э (О) - (О))Т А, (О) ^ (О) аоЛ

Оо )

Выражение (10) представляет собой статистическую оценку математического ожидания квадрата отклонения расчетных показаний датчиков от экспериментальных [10, 13].

Как видно из (1), (2), (4) - (11), связь приращения целевой функции (10) с приращениями соответствующих аргументов с учетом разных аргументов р для разных систем ансамбля, разных аргументов

р , рсл , х0 для разных контрольных кривых разных лабораторных систем ансамбля имеет вид:

ао = -у] (хц )Т ащ -у (ха )Т ау," - у (х? )Т а7? - у (х? )Т ау? -у (ху )Т ауу -

ар,.

- ± у( хр) т хр

-£УС = 1 / = к.п.1 J = 1

1 ^с 1 ^к п 1 г

-± уу;(ХХ0') ахо-',

± у с 1=1 * к.п.1 '=1

I=1

л 1\с л 1\к п I _ 1

(Хррсл) ^

^с 1=^* к . п. 1 '=1

где: 212

ции; а величины . определяются согласно:

х? =— У — У

1 1 М; „ , '

X- = —У— У

1 М у N п ., у

1 «с Л М„.,

Xе = ±-у^ у

1 «с У «к. п У У

ау?

^ (0))Т

аг0

а/ а

аг,(°))Т

) (»)-г,,(»

(0)(г^0)-г( о»)-»0 Г (— ТА- с Ж (»)-г, (»

а/ в

А(0)(г(0))+ |

— I А,(»)(гЭ(»)-г .(»

1 «с Л «кп.,

Xх = — у^ у

1 «с У «к. п , у

1 ^ , М,.,,.,

х? = — У— У

1 «с у «к. в. , у

'Гя^У

аг0 а/ X

сП

а/ ?

(0)(г50)-$)+ г »0

(0)(гЭТ- г„0))+»0 Г

хр = -

1

к

Х1

аР

ар

ч

(0)^0)- г(0))+ 01

к. п., ' = 1

Гяг(0))^ ч »0 +Т

аг,. ,

ар,

ау X ^

ау ?

Т

А, (»)(г А, (»)(г

' (»)- г.' (»

I (»)- г.' (»

(»1(£ (»)-г,.' (»)) а»

а»

а»

а»

а»

а»

I = 1.М? ,

I = 1.М„ ,

/ = 1.М, ,

I = 1.Мх ,

/ = 1.Ма ,

'= 1. «с ,

У

Хрсл =

аг

аР с

А(0)(гЭ,(0)- $)+01

»0+Т л »0 V арсУ

А, (»(»)- г.' (»))а» , '=1 ,, i =1 .Мс,

А (»)(гЭ (»)- г(»))а» , '=1 ,, i =1 .Nс,

Хх0 -

хи =

Г аг'0' 1 ¿0)1*0) <0^, »0+Т

ах

, ах0,'

»0 V 0.

А (»)(гЭ' (»)- (»))а», ' = 1>, , =1.

М„

Используя соотношения

(21), получим минимизирующие итерации [14]:

УГ

УР

У?

I = р,,. I +ТК1.' ' , р смл, I = Р с«.,. - +ТК смл, I , ' = М к.п, , г= Мс ,

, , ' гсм.г.-х х (п) +

х0.,.' = х0.1.' +

см.1.1 1.1 • ' = 1. Мкп.1 , / = 1, Мс ,

где матрицы X с индексами являются положительно определенными.

Частные производные, входящие в (13) - (21), определяются из (1) - (9).

Следует отметить, что в (13) - (21) берется также статистическая оценка математического ожидания [13].

Минимизирующая последовательность, полученная в силу (1) - (9), (13) - (26), дает в общем случае локальный минимум. Для получения множества локальных минимумов необходимо воспользо-

возможность получить множество возможных реализаций динамик исследуемой реальной физико-химической системы, и на этом множестве методами теории систем [11], статистического анализа [12], а также машинного обучения [15] получить связь между выходными параметрами и входными потоками.

Для этого аналогично обратным задачам мы также задаем ансамбль экземпляров исследуемой

заться методами Монте-Карло, задавая случайным реальной физико-химической системы, которые ра-

образом начальные значения искомых постоянных коэффициентов. Методы Монте-Карло и дадут множество (более узкое) функций состояния для свойств веществ и процессов, функций для внешних потоков и флуктуаций (и соответствующих начальных состояний). [14]

Таким образом, соотношения (1) - (10), (13) -(26) дают математический аппарат, являющийся математической основой методологии решения обратных задач теории неравновесных процессов.

Основы методологии решения прямых задач и построения моделей

Получив путем решения обратных задач множество реализаций функций состояния для свойств веществ и процессов, внешних потоков, мы имеем

*) =

?

ботают в заданных режимах. Каждому экземпляру мы случайным образом задаем индивидуальные параметры р , а также для каждого режима работы каждого экземпляра - случайным образом параметры р , р , ^ . Эти параметры задаем из областей, полученных при решении соответствующих обратных задач. Затем согласно (1) - (9) получаем динамику системы и ее показаний датчиков (для каждого режима работы каждого экземпляра рассматриваемого ансамбля экземпляров исследуемой системы). Неизмеряемые выходные параметры каждого режима работы каждого экземпляра рассматриваемой

системы , 2(<0) , ' = 1.Мкп1, 1= 1.Мс мы опре-

делим аналогично (8) и (9):

а (е)х

а»

• ' = 1=. ¿ = 1.Мс ,

N

,

м

ц

¿«X

¿г

, 1 = 1, Nк.

I = 1, N.

Получив описанным способом множество возможных реализаций выходных параметрах при соответствующих входных потоках, мы далее методами, изложенными в [10 - 12, 15], получим модель рассматриваемой системы (связь выходных параметров между собой и со входными потоками).

Заключение

Итак, мы рассмотрели основы методологии моделирования динамики реальных физико-химических систем на основе экспериментальных данных с использованием современной неравновесной термодинамики. Эта методология дает возможность определять на основе экспериментальных данных не

наблюдаемые непосредственно в эксперименте выходные величины путем получения связи между наблюдаемыми и ненаблюдаемыми параметрами. Это в свою очередь дополняет экспериментальные исследования систем, что расширяет возможности экспериментатора. Также эта методология, дающая возможность моделирования динамики реальных физико-химических систем, позволяет сократить количество натурных экспериментов.

Однако для дальнейшего использования рассмотренной методологии необходима ее компьютерная реализация [11].

ЛИТЕРАТУРА

1. Жоу Д., Каскас-Бескес Х., Лебон Дж. Расширенная необратимая термодинамика.

Москва-

Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика»; Институт компьютерных исследований, 2006. - 528 с.

СПб: Наука,

А. Энергодинамика (синтез теории переноса и преобразования энергии). -Р. Термодинамика необратимых процессов. - М.: Гос. изд.-во техн.-теор. лит.

2. Эткин В. 2008. - 409 с.

3. Гроот С. Р. Термодинамика необратимых процессов. - М.: Гос. изд.-во техн.-теор. лит., 1956. - 281 с.

4. Крутов В. И., Исаев С. И., Кожинов И. А. и др. Техническая термодинамика. - М.: Высшая школа, 1991. - 384 с.

5. Квасников И. А. Термодинамика и статистическая физика: теория неравновесных систем. Т. 3. -М.: Едиториал УРСС, 2003. - 448 с.

6. Старостин И. Е., Быков В. И. Кинетическая теорема современной неравновесной термодинамики. -Ралей, Северная Каролина, США: Открытая наука, 2017. - 229 с.

7. Старостин И.Е. Алгоритм численного интегрирования потенциально-потоковых уравнений в сосредоточенных параметрах с контролем корректности приближенного решения // Компьютерные исследования и моделирование. - Т.6. - № 4. - 2014. - С. 479 - 493.

8. Старостин И.Е. Выбор шага интегрирования по времени при численном решении потенциально-потоковых уравнений неравновесных процессов в сосредоточенных параметрах // Труды международного симпозиума «Надежность и качество», т. 1. - Пенза: Издательство ПГУ, 2015. - С. 156 - 160.

9. Старостин И. Е., Степанкин А. Г. Об идентификации в лабораторных установках входящих в потенциально-потоковые уравнения характеристик свойств веществ и процессов // Труды международного симпозиума «Надежность и качество», т. 1. - Пенза: Издательство ПГУ, 2015. - С. 161 - 164.

10. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. - М.: Мир, 1975. - 680 с.

11. Антонов А. В. Системный анализ. - М.: Высшая школа, 2004. - 454 с.

12. Ильин В. А., Садовничий В. А., Сендов Б. Х. Математический анализ. Продолжение курса / Под ред. А. Н. Тихонова. — М.: Изд-во МГУ, 1987. — 358 с.

13. Орлов А. И. Прикладная статистика. - М.: Издательство «Экзамен», 2004. - 656 с.

14. Черноруцкий И. Г. Методы оптимизации в теории управления. - СПб.: Питер, 2004. - 256 с.

15. Вьюгин В.В. Математические основы теории машинного обучения и прогнозирования. - М.: МЦНМО, 2013. - 390 с.

УДК 004.942

Старостин1 И.Е., Степанкин2 А. Г.

гООО «Экспериментальная мастерская «НаукаСофт», Москва, Россия

2Федеральное государственное унитарное предприятие «Научно-исследовательский институт стандартизации и унификации», Москва, Россия

КОМПЬЮТЕРНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ МЕТОДОВ СОВРЕМЕННОЙ НЕРАВНОВЕСНОЙ ТЕРМОДИНАМИКИ В ВИДЕ ПРОГРАММНОГО МОДУЛЯ

Моделирование и анализ реальных физико-химических систем является важнейшей задачей, имеющей практическое применение. Однако ввиду большого количества реальных физико-химических процессов в реальных технических системах очевидна сложность задач моделирования реальных физико-химических систем. Этим и обусловлена необходимость компьютерной реализации методов современной неравновесной термодинамики, являющимся макроскопическим подходом анализа и моделирования динамики реальных физико-химических систем. Этот подход имеет практическое применение. Ранее авторами в рамках современной неравновесной термодинамики был разработан потенциально-потоковый формализм построения системы уравнений, описывающий физико-химические процессы в произвольной заданной физико-химической системе. Этот формализм применим в общем случае макроскопических физико-химических систем, в том числе и технических объектов, характеризующихся протеканием в них физико-химических процессов, живых клеток, процессов в природе. Поэтому в настоящей работе речь пойдет о компьютерной реализации методов современной неравновесной термодинамики, в том числе и потенциально-потокового формализма. Эта реализация представляет собой библиотеку, которая может быть расширена до модулей расширения моделирующих пакетов (ЫаХЬаЪ, Сотсо1 МиШрНузгся, LabView, и т. д.).

Ключевые слова:

ФИЗИКО-ХИМИЧЕСКИЕ ПРОЦЕССЫ, СОВРЕМЕННАЯ НЕРАВНОВЕСНАЯ ТЕРМОДИНАМИКА, ПОТЕНЦИАЛЬНО-ПОТОКОВЫЙ МЕТОД, ПРОГРАММНАЯ РЕАЛИЗАЦИЯ, БИБЛИОТЕКА РАСШИРЕНИЯ

Введение

Моделирование и анализ динамики реальных физико-химических процессов является важнейшей задачей, имеющей практическое значение для проектирования, управления, диагностики технических систем, анализе физико-химических процессов в природе и в живых организмах. Для описания и математического моделирования этих подходов в общем случае может быть использована современная неравновесная термодинамика (макроскопический подход описания реальных физико-химических процессов) [1 - 5], которая имеет широкое практическое применение [1 - 4].

В работе [5] разработан в рамках современной неравновесной термодинамики формализм описания в общем случае реальных физико-химических процессов. В соответствие с этим формализмом формируется список этих процессов, записываются уравнения баланса этих процессов, определяются через потенциалы взаимодействия термодинамические силы, движущие эти процессы, а также кинетическая матрица - шкала кинетических свойств неравновесных систем [5]. Зная термодинамические силы и кинетические свойства, определяются скорости протекания физико-химических процессов, а затем скорости изменения координат состояния [5]. Так