Ориентационные переходы в ферронематике с отрицательной анизотропией диамагнитной восприимчивости

ВЕСТНИК ПЕРМСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

2013 Серия: Физика Вып. 1

УДК 532.783; 539.22

Ориентационные переходы в ферронематике с отрицательной анизотропией диамагнитной восприимчивости

А. Н. Захлевных, Д. А. Петров

Пермский государственный национальный исследовательский университет 614990, Пермь, ул. Букирева, 15

Исследованы вызванные магнитным полем ориентационные переходы в ферронематике -суспензии однодоменных магнитных частиц в нематическом жидком кристалле. Рассмотрен случай отрицательной диамагнитной восприимчивости жидкого кристалла и мягкого планарного сцепления примесных частиц с жидкокристаллической матрицей. Обнаружено трикри-тическое поведение перехода из возмущенного в однородное планарное состояние под действием магнитного поля. Показано, что этот переход может быть первого или второго рода в зависимости от параметра сегрегации магнитной фазы. Аналитически получено выражение для трикритического параметра сегрегации, определяющее характер перехода. Проведено сравнение результатов с экспериментальными данными.

Ключевые слова: жидкий кристалл; магнитная суспензия; ферронематик; наночастицы; переход Фредерикса; эффект сегрегации

1. Введение

Как известно, жидкие кристаллы (ЖК) обладают малой анизотропией диамагнитной восприимчивости, поэтому для управления их ориентационной структурой требуются достаточно большие магнитные поля (Н ~ 1 кЭ). В 1970 г. Брошар и де Жен [1] предложили создать высокодисперсные суспензии однодоменных феррочастиц на основе нематических жидких кристаллов (НЖК). Новый вид мягких конденсированных сред получил название ферронематик (ФН). Даже при малой (~0.01% по объему) концентрации дисперсной фазы начальная магнитная восприимчивость суспензии повышается на несколько порядков по сравнению с беспримесным НЖК, что позволяет управлять ориентацией ФН полями с напряженностью Н ~ 10 Э. В отличие от беспримесных ЖК такие среды обладают двумя механизмами влияния магнитного поля: квадрупольным (диамагнитным), связанным с диамагнитной анизотропией НЖК-матрицы, и ферромагнитным (дипольным), обусловленным взаимодействием магнитных моментов частиц с внешним магнитным полем. Эти механизмы вследствие ориентационного взаимодей-

ствия дисперсных частиц с матрицей оказываются взаимосвязанными: под влиянием магнитного поля частицы изменяют свою ориентацию и из-за сил сцепления поверхности феррочастиц с НЖК-матрицей, созданное механическое вращение передается матрице. По той же причине искажения поля директора НЖК-матрицы вызывает повороты магнитных частиц.

В работе [1] в рамках континуальной теории рассмотрен ФН с абсолютно жестким сцеплением феррочастиц с ЖК-матрицей. Позднее Бурылов и Райхер в работах [2; 3] обобщили теорию [1] путем учета конечной энергии сцепления ЖК-матрицы с феррочастицами в реальных ФН. Они предложили потенциал мягкого поверхностного сцепления, позволяющий рассматривать поля директора и намагниченности как независимые переменные. Континуальная теория [2; 3] хорошо описывает известные экспериментальные данные по ориентационным переходам в ФН и послужила основой дальнейших теоретических работ [4-18].

В настоящей работе рассматриваются индуцированные внешним магнитным полем ориентационные переходы в ФН с отрицательной анизотропией диамагнитной восприимчивости %а < 0. Сцепление директора с границами слоя предпола-

© Захлевных А. Н., Петров Д. А., 2013

гается абсолютно жестким и планарным, а сцепление феррочастиц с ЖК-матрицей мягким и планарным. Магнитное поле направлено ортогонально границам слоя. Заметим, что ориентационное поведение ФН с Ха < 0 почти не исследовано. В работах [4; 5] в рамках континуальной теории изучены ориентационные переходы из однородного в неоднородное состояние под действием электрического и магнитного полей в пределе абсолютно жесткого планарного сцепления примесных частиц с ЖК-матрицей в отсутствие сегрегации, а также солитонные состояния ФН. В работе [14] рассмотрены индуцированные магнитным полем переходы между состояниями ФН с гомеотроп-ным сцеплением частиц с НЖК-матрицей и ха < 0 в слое с бистабильным сцеплением директора с поверхностью слоя. В работе [6] экспериментально исследован ФН, синтезированный на основе НЖК 2Ы-1695 с отрицательной анизотропией диамагнитной восприимчивости. В ней изучены ориентационные переходы в ФН под действием магнитного поля при различных концентрациях магнитной дисперсной фазы. Отметим еще работу [7], в которой изучены ориентационные переходы в ФН без учета диамагнитных свойств ЖК-матрицы, что справедливо лишь для малых значений напряженности магнитного поля, когда квадрупольный механизм влияния магнитного поля на ориентационные переходы незначителен.

Отметим, что существенный вклад в искажения поля директора вносит сегрегация магнитной примеси [1; 10-14], она же является причиной трикри-тического поведения ФН во внешних однородных магнитных полях [15-18].

2. Уравнения равновесия

Рассмотрим плоскопараллельную ячейку толщиной Ь , заполненную ФН. Ось х системы координат направим вдоль ограничивающих пластин, ось г - перпендикулярно им, начало координат выберем в центре слоя (рис. 1). Будем предполагать, что директор фиксирован на границах и направлен вдоль оси легкого ориентирования е = (1,0,0) (жесткое планарное сцепление), а сцепление директора с поверхностью феррочастиц мягкое и планарное, так что в отсутствие магнитного поля директор и намагниченность ФН сона-правлены. Направим магнитное поле Н = (0,0, Н) перпендикулярно границам слоя. Равновесное искажение ориентационной и магнитной структуры ФН отвечает минимуму свободной энергии

Я =-

К/ = Я + Я + Я + Я + Я

К1 (V • п)2 + К2 (п -Ух п)2 + К3 (п X V X п)2

Я = 1 Ха\

w

¥а =—р/

Я = к^/іп / .

Здесь Кі, К 2, К з - модули ориентационной упругости Франка; п - директор жидкого кристалла; / — объемная доля частиц с магнитными моментами ^ = М ^ т, направленными вдоль директора п в отсутствие магнитного поля; т — единичный вектор намагниченности; Мв — намагниченность

насыщения материала феррочастиц; %а — анизотропия диамагнитной восприимчивости жидкого кристалла (мы полагаем %а < 0, поэтому директор стремится повернуться ортогонально полю); wp —

плотность энергии сцепления магнитных частиц с ЖК-матрицей (будем считать wp > 0, в этом случае в отсутствие магнитного поля свободная энергия минимальна при п || т , что соответствует планарному сцеплению директора и магнитных частиц); ё — поперечный диаметр частицы; V — объем частицы; кв — постоянная Больцмана; Т —

температура. Мы полагаем / = Ш/¥ << 1 (N — число магнитных частиц в суспензии, V — объем ФН), что позволяет пренебречь межчастичными магнитными диполь-дипольными взаимодействиями в суспензии.

где объемная плотность свободной энергии ФН имеет вид [1, 3]:

Рис. 1. Слой ФН во внешнем магнитном поле. Выбор системы координат

Слагаемое Я в выражении (2) представляет собой плотность свободной энергии ориентационно-упругих деформаций поля директора (потенциал Озеена-Франка). Второй (Я2 ) вклад характери-

2

V

е

зует взаимодеиствие диамагнитного нематика, а третий (F3) взаимодействие магнитных моментов частиц с внешним магнитным полем H . Четвертое слагаемое (F4) учитывает энергию сцепления НЖК-матрицы с поверхностью феррочастиц, пятое слагаемое (F5) описывает вклад энтропии смешения идеального раствора частиц суспензии.

В отсутствие поля ФН имеет однородную структуру с директором и намагниченностью, направленными вдоль оси легкого ориентирования e = (i, 0,0). Включение поля, перпендикулярного e, вызывает поворот магнитных частиц, и структура ФН искажается. В рассматриваемом нами случае (рис. 1) возникающая в магнитном поле деформация ориентационной и магнитной структуры ФН отвечает комбинациям поперечного и продольного изгиба директора, так что решение можно искать в виде

n = [cos р (z), 0, sin р (z)],

m = [cos^

здесь p(z) и i//(z) - углы отклонения директора и намагниченности от оси легкого ориентирования e = (1,0,0) соответственно. Выбор углов и координатных осей показан на рис. 1. Определим безразмерную координату Q = z/L , напряженность

магнитного поля h = HL^\ха\/К , приведенную

объемную долю феррочастиц g = f/f и параметр анизотропии ориентационной упругости к = K3/Ki. Введем согласно [19-21] безразмерные параметры

b=

MsfL

kBTfL2

K1v

WpfL2

Kd

.

Параметр Ь описывает влияние магнитного поля на ФН [19; 22; 23] и представляет собой отношение двух характерных полей Ь = Нц1Н^ , где ве-

ны квадрупольным механизмом. Параметр сегре-

V2 _ / „ Л --W2

:(L/Ls)2 , где Ls =(vKjkBTf)/

- так

гации к = уь/ь^) , где ь$ = укцкВ1 называемая сегрегационная длина [1], характеризующая масштаб области концентрационного расслоения. Для к >> 1 сегрегационные эффекты слабы, так как характерный размер области концентрационного расслоения Ь$ меньше толщины слоя Ь . Последний параметр - ст - безразмерная энергия сцепления феррочастиц с директором.

Как уже отмечалось, дипольный (^) и квадру-польный (^2) механизмы влияния магнитного поля на ФН взаимосвязаны посредством ^4 : магнитные частицы ориентируются полем, а из-за наличия сцепления частиц с директором (^4) происходит искажение ориентации ЖК-матрицы, и наоборот, искажения ориентационной структуры директора вызывают поворот магнитных частиц в матрице и приводят к перераспределению концентрации магнитной фазы в слое ФН (эффект сегрегации [1]).

Подставляя выражения (3) в (1), находим свободную энергию в безразмерном виде

1/2

F = FL/ KS )= J FydC,

-1/2

FV =1 к(у)( у + іh 2ш,2 y

2

- bhg sin^- ag cos (y-^) + Kg lng

где £ - площадь границ слоя и введено обозначение

K(у) = cos2 у + k sin2 у .

личина Hq = Ь ^К^\ха\ выбрана в качестве

единицы напряженности магнитного поля и характеризует появление искажений в ориентационной структуре ФН из-за квадрупольного (диамагнитного) механизма влияния магнитного поля. Величина

На = К1/{м^ь2) характеризует дипольный

(ферромагнитный) механизм влияния магнитного поля на ориентационную структуру ФН. При Ь >> 1 (Н^ << Hq) ориентационные искажения

обусловлены преимущественно дипольным механизмом, а в случае Ь << 1 (Hq << Н^) они вызва-

Равновесному состоянию ФН отвечает минимум свободной энергии Ё, представляющей собой функционал относительно трех функций - угловых распределений ^(с) и Ис), а также концентрации магнитной примеси g(с) . Минимизируя Ё по р, получим уравнение для угла ориентации директора

к (у)у-+1 ^(yf

2 dy

-1 h 2 sin 2у - ag sin 2(у - t^) = 0;

здесь и далее штрихом обозначено дифференцирование по безразмерной координате С . Минимизация по и дает уравнение связи между ориентациями директора и намагниченности

к

сг =

ЬН со8^+ст8ш2

Минимизация свободной энергии по g с дополнительным условием постоянства числа феррочастиц в суспензии

| fdV = Ыу ,

V

или в терминах приведенных объемных долей 1/2

I gdQ = 1,

-1/2

дает

g

1/2

q _l = j expj~ sin^(c)+acos2 (у(с)-Ис))рс.

y(- 1/2) = y(l/2) = 0

ние магнитных частиц с матрицей [20]; в рассматриваемой задаче ей отвечает состояние магнитного насыщения (т || Н).

Наряду с однородным решением (12), система уравнений (7), (8), (10), (11) допускает также и неоднородные решения для полей директора, намагниченности и концентрации. Для их нахождения умножим уравнение (7) на р, а уравнение (8) на

ц и сложим; в результате получим

d_

~dC

K(у)(у ' )2 + h 2 cos2 у + 2Kg

= 0.

В центре слоя угол отклонения директора максимален (р' = 0 при ^ = 0) и первый интеграл этого

уравнения принимает вид

y' = +R 1/2(у,ц).

Здесь

-1/2

Формулы (10) описывают так называемый эффект сегрегации [1], заключающийся в том, что магнитные частицы накапливаются в тех областях слоя, где минимальна сумма их магнитной энергии в поле Н и ориентационной энергии в ЖК-матрице. В отличие от магнитофореза, эффект сегрегации имеет место в однородном магнитном поле.

В отсутствие поля система уравнений (7), (8), (10) с условиями жесткого планарного сцепления директора с границами

имеет решение р(с) = 0, ^(с) = 0, g(с) = 1, отвечающее невозмущенной структуре ФН с однородным распределением директора, намагниченности и концентрации дисперсной фазы. Такое состояние ФН характеризуется планарным (т || п) типом сцепления магнитных частиц с матрицей. Это решение, однако, теряет устойчивость, как только сколь угодно слабое поле начинает действовать на ФН, вызывая искажения ориентационной структуры. В такой неоднородной структуре угол между намагниченностью и директором становится отличным от нуля (т.н. угловая фаза [20]) и растет с ростом поля.

Вместе с тем система уравнений (7), (8), (10) с граничными условиями (11) допускает решение

р

которое соответствует однородной планарной текстуре ФН (п || е , т 1 п и т || Н) с директором, направленным вдоль оси легкого ориентирования е и намагниченностью, параллельной полю. В этой фазе имеется гомеотропное (т 1 п) сцепле-

Rp,y) = K(р)/ h2(cos2 Р0 -cos2р)+ 2^(g0 -g)]

и введены обозначения g0 = g (р00) и р00 = р(0) для приведенной объемной доли частиц и угла поворота директора в центре слоя соответственно.

Интегрирование уравнения (13) для С > 0 с граничными условиями (11) дает неявную зависимость р (С):

R112

Для определенности в левой части уравнения (15) выбран знак плюс, что отвечает повороту директора против часовой стрелки (ро > 0 ).

В центре слоя (С = 0) угол р = ро и уравнение (15) примет вид

уо

r1/2 у w) dy =1.

Оно определяет значение угла поворота директора Р0 в центре слоя.

Переходя в выражении (9) для 2 от интегрирования по координате к интегрированию по углу р с помощью соотношения (13), получим уравнение для 2 в виде

уо

J g

Таким образом, уравнения (8), (15)-(17) и граничные условия (11) определяют углы р(с) и

м(С) поворота директора и намагниченности, распределение концентрации магнитной примеси g (с) = f (с)/ f в слое ФН в зависимости от напряженности магнитного поля Н и безразмерных параметров к, Ь , к и ст .

Под действием магнитного поля однородная текстура ФН нарушается, и ФН беспороговым образом намагничивается в направлении поля. Рассмотрим поведение углов отклонения директора и намагниченности от оси легкого ориентирования в слабых полях, когда появляются искажения ориентационной и магнитной структуры. Линеаризуя уравнения (7) и (8) по малым р(с) и м(С), получим

ЬН

М = р + —.

2ст

р

"- 2ст(р-ц) = 0,

Р = Ро (і - 4С2),

я 2ст

8ш =------------------р .

Ькг - 2ст

Вместе с граничными условиями (11) уравнения (18) имеют решение

Уравнения (20) с граничными условиями (11) имеют нетривиальное решение р = р0СОБ (яС). Из условия его существования находим уравнение для порогового поля Нг:

, 2 2стЬкг 2

к2 +--------------г— + п2 = 0.

г 2ст- Ьк„

В пределе абсолютно жесткого сцепления директора и феррочастиц (ст ^ да) решение уравнения (21) имеет вид

, 2ст

кг и—. г Ь

Для слабого сцепления (ст ^ 0) из уравнения (21) можно получить

, 2ст 4 2

к и--------і—-—ст .

г Ь пН

где р0 = ЬН / 8 - угол отклонения директора от оси легкого ориентирования в центре слоя.

Сделаем оценку безразмерных величин (4) для типичных значений материальных параметров НЖК и магнитных частиц ФН [2; 24; 25]. Примем

(в единицах СГСЭ) | %а |~10-7, К1~10_7 дин, f ~10_5, Wp = 10-4 -10_2 динсм-1, ~ 102

Гс, d ~10-6 см, к = 1.5, Т = 300 К и, полагая

-3

толщину слоя Ь ~ 10 см, получим Ь и 10,

-2

ст и 10 -1, к и0.1. Малые значения параметра

к свидетельствуют о важности магнитных сегрегационных эффектов в рассматриваемой задаче.

3. Переход из неоднородного

состояния в состояние насыщения

Выше было рассмотрено решение системы уравнений (7), (8), (11) р(с) = 0, м(С) = я/2 и g (с)= 1, соответствующее однородной планарной текстуре ФН, для которой п || е , т 1 п и т || Н. Найдем пороговое поле Нг, при котором исчезают искажения директора и намагниченности, т.е. происходит переход из неоднородного состояния в состояние насыщения. Вблизи Нг угол отклонения

директора от оси легкого ориентирования р(с) мал, а угол ориентации намагниченности м(С) близок к я/2, т.е. м(С) = я/2 -5м(с), где Мс) << 1 , тогда в низшем порядке разложения уравнений (7)-(8) получим

Результаты численного решения уравнения (21) представлены на рис. 2. Расчеты проведены для дипольного ( Ь = 10 ), промежуточного ( Ь = 1 ) и квадрупольного (Ь = 0.1) режимов воздействия поля на ФН.

Ь ьг

р" - к^р + 2ст(р + 8ц) = 0 .

ст

Рис. 2. Пороговые поля Нг как функции энергии сцепления ст магнитных частиц с ЖК-матрицей для Ь = 10

Ь = 0.1

В отсутствие внешнего магнитного поля устойчивому состоянию ФН отвечает однородная планарная текстура, для которой п || т || е , ей соответствует прямая Н = 0 (рис. 2). Наличие магнитного поля, ортогонального слою, приводит к искажению ориентационной и магнитной структуры и ФН беспороговым образом намагничивается в направлении поля. Область, ограниченная снизу прямой

h = 0 и сверху кривой h = hr (рис. 2), отвечает неоднородной структуре ФН. Здесь феррочастицы начинают ориентироваться в направлении поля и увлекают за собой директор, который в свою очередь из-за отрицательной диамагнитной восприимчивости и жесткого сцепления на границах стремится остаться в первоначальном планарном состоянии (так называемая угловая фаза [20]). Наличие конечной энергии сцепления ЖК-матрицы с поверхностью феррочастиц приводит к их отрыву от директора, и при h > hr ориентационные искажения исчезают, что соответствует однородной планарной текстуре с директором, направленным вдоль оси легкого ориентирования, и намагниченностью, параллельной полю (n || e , n L H и m || H ). Чем сильнее влияние квадрупольного механизма (малые b), тем быстрее растет величина порогового поля с увеличением энергии сцепления а (см. рис. 2).

Вблизи точки перехода hr между неоднородным состоянием и состоянием магнитного и ориентационного насыщения отклонения директора от оси легкого ориентирования и намагниченности от поля малы и свободная энергия (5) может быть разложена в ряд по р = р00 cos(nQ) и = sp, где

Р0 << 1 и введено обозначение

S =

2а

bhr - 2а

В четвертом порядке по р0 свободная энергия (5) принимает вид разложения Ландау

F = F0 + у (hr - h)у02 + ~у0 + •

где

Fo = -bh,

1

а = — \2hr + bs 2

4л 2k + 3bhrs2 (2 + s)2 ] (к - к*).

Здесь мы определили величину

к=

(ж2 + h2 )2

4^2k + 3bhrs2

2

h - hr Уо =+У r

у=

Sк

4л 2k + 3bhrs2 (2 + s )2

> 0.

Из формулы (28) видно, что к* является значением параметра сегрегации, соответствующим трик-ритической точке. При к > к* ориентационный переход является фазовым переходом второго рода, а при к < к* - первого (в этом случае ФН проявляет ориентационную бистабильность).

В случае слабого сцепления магнитных частиц с матрицей (ст << 1) выражение (27) принимает вид

2

к* и—г-,

л2 к

а угол отклонения директора в магнитных полях, близких к кг, с помощью выражений (28) можно записать

У и +

2b2 + 8а

л2kb V r

(hr - h) cos(C),

где Нг и 2ст/Ь. Из выражения (30) видно, что при малых значениях ст ориентационный переход всегда является переходом второго рода.

В случае перехода второго рода Нг (21) является полем равновесного перехода. При переходе первого рода имеет место ориентационный гистерезис и поле равновесного перехода Не определяется из условия равенства свободных энергий неоднородного состояния Р (5) и состояния ориентационного и магнитного насыщения (р (с) = 0,

М(с) = я/2 и g(с)= 1):

Р0 = Р0

Записывая это условие

Р = Р

и производя интегрирование в выражении (5) с

помощью

УО

F = 2 JK(y)R_1/2(у, y/)dy

Минимизация свободной энергии (25) по р0 дает выражение для угла отклонения директора в центре слоя

+1 к2 бій2 р0 +к

где К (р) и д определены формулами (6) и (10), а в - основание натурального логарифма, приходим к уравнению для кв

р0

1 1.2-2

2 JK(у)R 1/2(y,y)dy + -h,

+ - he sin уо

к -к

+ к(іп^ )-go) + bhe = 0.

Для нахождения поля перехода ке между возмущенным состоянием и состоянием насыщения это уравнение должно решаться совместно с уравнениями ориентационного равновесия (8), (15)—(17).

4. Результаты расчетов

Результаты численного решения системы уравнений (8), (10), (15)—(17) и (34) представлены на рис. 3—5 для дипольной моды Ь = 10 (анизотропия упругости к = 1.5, энергия сцепления директора с поверхностью феррочастиц ст = 2.5). В этом случае кг = 0.94 и трикритический параметр сегрегации к* = 0.27 .

И

Рис. 3. Зависимость угла ориентации директора в центре слоя от напряженности магнитного поля И и различных значений параметра сегрегации к для к = 1.5,

Ь = 10, ст = 2.5, И = 0.94,

Ие = 1.196

В отсутствие внешнего магнитного поля рассматриваемая система уравнений имеет решение Фо = 0 , цц = 0 и go = 1, отвечающее исходной однородной планарной текстуре с директором и намагниченностью, направленными вдоль оси легкого ориентирования, и однородным распределением феррочастиц. Под действием поля это однородное состояние становится неустойчивым и в ФН, согласно (19), беспороговым образом появляются ориентационные и магнитные искажения. Как видно из рис. 3 и 4, углы отклонения директора ф0 и намагниченности цц увеличиваются с ростом поля, т.е. магнитные частицы поворачиваются в направлении поля, увлекая за собой директор ЖК-матрицы вследствие ориентационной связи ^4 (см. свободную энергию (2)). Угол между намагниченностью и директором с ростом поля увеличивается (происходит отрыв намагниченности от директора — угловая фаза [20]). По мере роста поля диамагнитный вклад ^2 становится сущест-

венным, и вследствие Ха < 0 директор стремится вернуться в исходное состояние, т.е. стать ортогональным полю. По этой причине с ростом поля Ф0 достигает максимума, а затем уменьшается. Значение Ф0 в точке максимума увеличивается по мере роста энергии сцепления ст частиц с матрицей и уменьшения параметра к , т.е. при увеличении интенсивности процесса сегрегации магнитной примеси. Дальнейшее поведение ф и Ц0 с ростом

поля существенно зависит от значений сегрегационного параметра к .

При к > к* угол Ф0 монотонно уменьшается и обращается в нуль (п || е ± Н) при к = кг, а цц монотонно увеличивается и принимает значение л/2 (т || Н) при к = кг. При к > кг это однородное состояние (п || е , т ± п и т || Н - состояние

ориентационного и магнитного насыщения), соответствующее решению (12), остается термодинамически устойчивым. Таким образом, в диапазоне полей 0 < к < кг происходит изменение характера сцепления дисперсных частиц с матрицей от планарного ( т || п ) при к = 0 к угловому при 0 < к < кг, а выше кг ферронематик находится в фазе с гомеотропным типом сцепления (т ± п) между директором и магнитными частицами. Переход от угловой фазы к гомеотропной происходит при к = кг по типу перехода второго рода.

При к < к* и к > кг на кривых ф (к) и цц (к) на рис. 3 и 4 появляются области неоднозначности, свидетельствующие о существовании метаста-бильных и неустойчивых состояний (пунктирная кривая), характерных для переходов первого рода. Здесь состояние ФН при переходе от неоднородной фазы к фазе ориентационного и магнитного насыщения меняется скачком, показанным вертикальными отрезками на рис. 3 и 4. Иными словами, при к = ке ферронематик проявляет ориентационную бистабильность. Поле равновесного перехода первого рода ке определяется системой уравнений (8), (15)—(17), (34). Для выбранных значений материальных параметров равновесное поле перехода К = 1196.

И

h

h

Рис. 4. Зависимость угла ориентации намагниченности в центре слоя от напряженности магнитного поля И и различных значений параметра сегрегации к для к = 1.5, Ь = 10, ст = 2.5,

hr = 0.94,

he = i.i96

h

Рис. 5. Зависимость концентрации феррочастиц в центре слоя от напряженности магнитного поля И для к = 1.5, Ь = 10, ст = 2.5, Иг = 0.94, Ие = 1.196 и различных значений параметра сегрегации к

Для приведенных в [6] значений материальных па-

раметров

г,-2

получаем

оценки

b И i - io

2

Согласно (10) с ростом магнитного поля происходит перераспределение магнитных частиц по слою ФН (эффект сегрегации). Частицы мигрируют в центральную часть образца, где минимальна сумма их магнитной энергии в поле Н и ориентационной энергии в ЖК-матрице (рис. 5). Наибольшее значение концентрации go достигается при максимальном значении угла ориентации директора , который ведет себя немонотонно с ростом поля (рис. 3), и в случае к > к* при к = кг, когда директор вновь направлен вдоль оси легкого ориентирования, go становится равным единице (см. рис. 5). При к < к* (сильная сегрегация) переход из неоднородного состояния в состояние ориентационного и магнитного насыщения происходит по типу перехода первого рода, и при к = ке имеет место скачок концентрации дисперсной фазы, показанный вертикальным отрезком на рис. 5.

В работе [6] экспериментально изучен ФН, приготовленный на основе НЖК 2Ы-1695, с аномально малой отрицательной диамагнитной анизо-—8

тропией Ха = —2.55 х 10 .

ст и 10 — 1, к и 0.1 — 1. В [6] приведена объемная

доля феррочастиц / ~ 10_3 — 2 х 10—4 , но из-за ди-поль-дипольного взаимодействия часть феррочастиц образуют агрегаты с замкнутой конфигурацией магнитных моментов, что уменьшает объемную долю частиц, участвующих в намагничивании суспензии, примерно на два порядка [16]. Поэтому

для расчетов мы полагали / ~ 10—4 —10_6 .

На рисунке 6 изображена зависимость электрической емкости ячейки ФН от напряженности магнитного поля для экспериментальных данных, взятых из работы [6] и результаты нашего расчета по формуле [26]

м

C — C0 = C

0 s±+sa sin р

где Co - емкость ячейки, заполненной ФН в отсутствие поля; C - емкость пустой ячейки в отсутствие поля; £ц, е_|_ - диэлектрические постоянные ЖК, параллельные и перпендикулярные оптической оси, соответственно; sa = £ц - s_l - анизотропия диэлектрической проницаемости. Для нематика ZLI-1695 согласно [27] еа и 10, £ц = 15,

s_L = 5. Емкость пустой ячейки найдена по формуле C = ssoS/L = 49.17 пФ с помощью данных, представленных в [6]. Теоретическая кривая, изображенная на рис. 6, получена при к = 1.5, b = 1.15 , к = 0.7 , ст = 1.65 и Н = 3.5 Т.

Рис. 6. Зависимость емкости ФН от напряженности магнитного поля Н для к = 1.5, Ь = 1.15 , к = 0.7 , ст = 1.65,

Нг = 3.5 Т . Сплошная линия - результаты расчетов; пунктирная линия - экспериментальные данные [6]

Из рис. 6 видно, что теоретическая кривая удовлетворительно согласуется с экспериментальной. В слабых полях с помощью выражений (35) и (19) находим

С - С0 =— СеаЬ2И2 0 120 а

Из формулы (36) и рис. 6 видно, что при малых искажениях директора емкость квадратично зависит от напряженности поля. Согласно (4), разность

4 _2

С — С пропорциональна Ь и / , поэтому изменение толщины слоя или концентрации примеси приводит к существенному изменению характера поведения емкости в зависимости от магнитного поля. Формула (36) описывает поведение кривой, изображенной на врезке рис. 6. Так как в проведенном расчете параметр Ь = 1.15 , то дипольный и квадрупольный механизмы влияния магнитного поля оказываются одного порядка, что означает необходимость учета диамагнитных свойств ЖК-матрицы.

Как видно из рис. 6, начальный участок экспериментальной кривой является более пологим по сравнению с результатом расчета, что объясняется уменьшением объемной доли частиц, участвующих в намагничивании суспензии, из-за их агрегирования.

В работе [6] найдена энергия сцепления ферро—3 — 1

частиц с ЖК-матрицей: wp = 2.02 х10 дин см .

Для построения теоретической кривой на рис. 6

—2 — 1

было выбрано значение wp ~10 дин см , что

отвечает условию мягкого сцепления

о = dwp|Kl << 1 [2].

Отметим, что в эксперименте в полях Н > Нг в отличие от построенной нами теории не происходит возвращения директора к первоначальной планарной текстуре (см. рис. 6), так как в этой области емкость ячейки не равна нулю.

5. Заключение

В работе изучены индуцированные магнитным полем ориентационные переходы в плоском слое ферронематического жидкого кристалла с отрицательной анизотропией диамагнитной восприимчивости. Рассматривались условия жесткого планарного сцепления на границах слоя, а сцепление ЖК-матрицы с поверхностью магнитных частиц предполагалось мягким и планарным. Магнитное поле было приложено ортогонально границам слоя, а возникающие искажения ориентационной структуры отвечали деформациям поперечного и продольного изгиба.

В рамках континуальной теории получены уравнения для углов ориентации директора и намагниченности, распределений концентрации магнитных частиц ФН как функций материальных параметров и напряженности магнитного поля. Исследованы ориентационные, магнитные и концентрационные искажения для центральной части слоя ФН, вызванные магнитным полем.

Показано, что в изучаемой геометрии в магнитном поле деформация ориентационной и магнитной структуры возникает беспороговым образом. С ростом поля ориентационные искажения ведут себя немонотонно, а ФН намагничивается в направлении поля. Выяснено, что переход из неоднородного в однородное состояние может быть фазовым переходом первого или второго рода в зависимости от параметра сегрегации дисперсной фазы. Аналитически найдено значение трикрити-ческого параметра сегрегации, определяющее границу между переходами первого и второго рода. Получено удовлетворительное согласие результатов расчетов с экспериментальными данными [6].

При Ха < 0 директор стремится располагаться в плоскости, ортогональной полю. Все его направления в этой плоскости вырождены. В рассматриваемой задаче вырождение по ориентациям директора снимается осью легкого ориентирования на границах слоя, с которой директор жестко связан. В эксперименте для этих целей часто используют подмагничивающее поле смещения, величина этого поля мала (Н ~0.5 Э) и в наших расчетах она не учитывалась.

Показано, что с ростом поля меняются условия сцепления магнитных частиц с матрицей и ферронематик, первоначально имеющий планарный тип сцепления, последовательно проходит через угловой тип сцепления и далее путем перехода второго

или первого рода к гомеотропному типу сцепления.

В заключении отметим аналогию между рассмотренной задачей и работами [24, 28], в которых исследован ФН с гомеотропным сцеплением директора на границах слоя и на поверхности феррочастиц, а магнитное поле было направлено ортогонально слою. В этом случае магнитное поле также оказывает стабилизирующее действие на директор из-за положительной анизотропии магнитной восприимчивости и дестабилизирует намагниченность, что качественно похоже на рассмотренную нами задачу. В работах [24, 28] показана возможность существования переходов первого и второго рода из возмущенного в невозмущенное состояние с ростом поля, однако в этих работах не учитывалась диамагнитная анизотропия среды.

Работа выполнена при частичной поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (гранты № 13-02-00210 и 13-02-96001).

Список литературы

1. Brochard F., Gennes P. G. de. Theory of magnetic suspensions in liquid crystals // J. Phys. (France). 1970. Vol. 31. P. 691-708.

2. Burylov S. V., Raikher Yu. L. Macroscopic properties of ferronematics caused by orientational interactions on the particle surfaces. I. Extended continuum model // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1995. Vol. 258. P. 107-122.

3. Burylov S. V., Raikher Yu. L. Macroscopic properties of ferronematics caused by orientational interactions on the particle surfaces. II. Behavior of real ferronematics in external fields // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1995. Vol. 258. P. 123-141.

4. Sunil Kumar P. B., Ranganath G. S. Ferronematics in magnetic and electric fields // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1989. Vol. 177. P. 123-130.

5. Sunil Kumar P. B., Ranganath G. S. On some topological solitons in ferronematics // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1991. Vol. 196. P. 27-37.

6. Kopcansky P, Tomasovicova N., Koneracka M., TimkoM., Zavisova V., EberN., Fodor-Csorba K., Toth-Katona T., VajdaA., Jadzyn J., Beaugnon E., Chaud X. The structural instabilities in ferrone-matic based on liquid crystal with negative diamagnetic susceptibility anisotropy // J. Magn. Magn. Mater. 2010. Vol. 322. P. 3696-3700.

7. Zadorozhnii V.I., Reshetnyak V.Yu., Kleshchonok A.V., Sluckin T.J., Thomas K.S. Inverse Frederiks effect and bistability in ferronematic cells // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2007. Vol. 475. P. 221-231.

8. Burylov S. V., Zadorozhnii V. I., Pinkevich I. P., Reshetnyak V. Yu., Sluckin T. J. Weak anchoring effects in ferronematic systems // J. Magn. Magn. Mater. 2002. Vol. 252. P. 153-155.

9. Buluy O., Ouskova E., Reznikov Yu., Glushchenko A., West J., Reshetnyak V. Magnetically induced alignment of FNS // J. Magn. Magn. Mater. 2002. Vol. 252. P. 159-161.

10. Petrov D. A., Zakhlevnykh A. N. Freedericksz transition in compensated ferronematic liquid crystals //Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2012. Vol. 557. P. 60-72.

11. Zakhlevnykh A. N., Petrov D. A. Influence of the segregation effect on the magnetic and optical properties of a compensated ferronematic liquid crystal // Technical Physics 2012. Vol. 57. P. 1208-1218.

12. Захлевных А. Н., Петров Д. А. Пороговые эффекты в компенсированном ферронематике // Вестн. Перм. ун-та. Сер.: Физика. 2011. Вып. 3 (18). С. 25-33.

13. Захлевных А. Н., Петров Д. А. Намагничивание компенсированного ферронематика с мягким сцеплением коллоидных частиц с матрицей // Вестн. Перм. ун-та. Сер.: Физика. 2012. Вып. 3 (21). С. 66-76.

14. Zakhlevnykh A. N., Semenova O. R. Orientational transitions in a ferronematic layer with bistable anchoring at the boundary // Technical Physics. 2012. Vol. 57, No. 2. P. 157-166.

15.Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Tricritical phenomena at the Freedericksz transition in ferronematic liquid crystals // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 81. P. 051710 (9 pp.).

16. Zakhlevnykh A. N., Semenova O. R. First order orientational transitions in ferronematic liquid crystals // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2011. Vol. 540. P. 219-226.

17. Zakhlevnykh A. N., Semenova O. R. Tricritical phenomena in ferronematic liquid crystals // Technical Physics. 2012. Vol. 57, N. 8. P. 1041-1050.

18.Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Interplay between dipole and quadrupole modes of field influence in liquid-crystalline suspensions of ferromagnetic particles // Soft Matter. 2012. Vol. 8. P. 6493-6503.

19. Zakhlevnykh A. N., Sosnin P. A. Ferrocholesteric-ferronematic transition in an external magnetic field // J. Magn. Magn. Mater. 1995. Vol. 146. P. 103-110.

20. Zakhlevnykh A. N. Threshold magnetic fields and Freedericksz transition in a ferronematic // J. Magn. Magn. Mater. 2004. Vol. 269. P. 238-244.

21.Makarov D. V., Zakhlevnykh A. N. Magnetic field-induced orientational phases of ferronematics in shear flow // J. Magn. Magn. Mater. 2008. Vol. 320. P. 1312-1321.

22. Zakhlevnykh A., Shavkunov V. Structure of the domain walls in soft ferrocholesterics // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 1999. Vol. 330. P. 593-599.

23. Zakhlevnykh A. N., Shavkunov V. S. Magnetic properties of ferrocholesterics with soft particle

anchoring // J. Magn. Magn. Mater. 2000. Vol. 210. P. 279-288.

24. Zadorozhnii V. I., Sluckin T. J., Reshetnyak V. Yu., Thomas K. S. The Frederiks effect and related phenomena in ferronematic materials // SIAM J. Appl. Math. 2008. Vol. 68. P. 1688-1716.

25. Chen S. H., Amer N. M. Observation of macro scopic collective behavior and new texture in magnetically doped liquid crystals // Phys. Rev. Lett. 1983. Vol. 51. P. 2298-2301.

26. Salamon P., Eber N., Seltmann J., Lehmann M., Gleeson J. T., Sprunt S., Jakli A. Dielectric technique to measure the twist elastic constant of liquid

crystals: The case of a bent-core material // Phys. Rev. E. 2012. Vol. 85. P. 061704 (9 pp.).

27. Kopcansky P, Potocova I., Koneracka M., Timko M., Jadzyn J., Czechowski G., Jansen A. M. G. The structural instabilities of ferronematic based on liquid crystal with low negative magnetic susceptibility // Phys. Stat. Sol. 2003. Vol. 236. P. 450-453.

28. Burylov S. V., Zadorozhnii V. I., Pinkevich I. P., Reshetnyak V. Yu., Sluckin T. J. Magnetic field induced orientational bistability in a ferronematic cell // Mol. Cryst. Liq. Cryst. 2002. Vol. 375. P. 525-534.

Orientational transitions in a ferronematic with negative diamagnetic anisotropy of magnetic susceptibility

A. N. Zakhlevnykh, D. A. Petrov

Perm State University, Bukirev St. 15, 614990, Perm

Magnetic field induced orientational transitions in a ferronematic, i.e. suspension of single-domain magnetic particles in a nematic liquid crystal, were studied. The case of negative diamagnetic susceptibility of liquid crystal and soft planar coupling of impurity particles with a liquid crystal matrix was considered. Tricritical behavior of the threshold transition in a magnetic field from perturbed state into uniform planar state was found. It was shown that the transition can be first or second order, depending on the parameter of the magnetic phase segregation. An expression for the tricritical segregation parameter that determines the nature of the transition was derived analytically. A comparison of obtained results with experimental data was done.

Keywords: liquid crystal; magnetic suspension; ferronematic; nanoparticles; orientational transitions; segregation effect