Расчет индуктивности образца в сверхпроводящем состоянии и ее влияние на переход в критическое состояние

ФИЗИКА

УДК 538.945

Л. А. Суворова, А. Р. Буев

РАСЧЕТ ИНДУКТИВНОСТИ ОБРАЗЦА В СВЕРХПРОВОДЯЩЕМ СОСТОЯНИИ И ЕЕ ВЛИЯНИЕ НА ПЕРЕХОД В КРИТИЧЕСКОЕ СОСТОЯНИЕ

Аннотация. Показано, что в приближении тонкого сверхпроводящего кольца его внутренняя (связанная с собственным объемом) индуктивность существенна по отношению к индуктивности, связанной с отверстием кольца. Учитывались три функциональные зависимости, описывающие затухание магнитного поля по мере его проникновения в объем сверхпроводящего кольца. Ключевые слова: керамические высокотемпературные сверхпроводники, тонкое кольцо, критическое состояние, собственное магнитное поле, джозефсо-новская глубина проникновения, самоиндукция сверхпроводящего кольца, поток магнитной индукции.

Abstract. The authors consider the fact that the internal inductance (volume-dependent) of a thin superconducting ring in approximation is significant compared to ring hole-dependent inductance. The researchers take into account three functional dependencies, describing magnetic field damping as it penetrates the volume of the superconducting ring.

Key words: ceramic HTSC, thin ring, critical state, self-magnetic field, Josephson penetration depth, superconducting ring inductance, magnetic flux.

Введение

Данная работа дополняет статью [1]. С помощью аппарата символьной математики Wolfram Mathematica 8 (WM8) рассчитывается возможное влияние потока собственного магнитного поля (внутренней индуктивности) через объем образца (сверхпроводящего кольца) на ход кривой (рис. 1), измеряемой в эксперименте работы [1]. Одним из следствий [1] является модель критического состояния керамического высокотемпературного сверхпроводящего (ВТСП) кольца, находящегося под непосредственным воздействием только собственного магнитного поля.

Одним из экспериментальных фактов, лежащих в основе модели критического состояния, является строгая линейность участка кривой 0-1 (рис. 1).

В условиях эксперимента [1] участок 0-1 может быть линейным только при постоянстве индуктивности (коэффициента самоиндукции) сверхпроводящего кольца на всем протяжении этого участка. В свою очередь это возможно только при том условии, что в момент его включения магнитное поле проникает в сверхпроводящее кольцо на определенную глубину и эта глубина не меняется на протяжении участка 0-1 (рис. 1).

Главным основным обоснованием вышесказанного является тот факт, что в условиях эксперимента [1] сверхпроводящий ток в кольце наводится индуктивно от вставленного в кольцо соленоида с током.

Рис. 1. Зависимость напряжения Пн на датчике Холла от тока соленоида / :

1

Цель данной работы - показать, что даже в случае тонкого кольца значения внутренней индуктивности существенны по отношению к индуктивно-

Ф 2 ¿2

сти, связанной с отверстием кольца. Расчет ------= — для различных зависи-

Ф1 ¿1

мостей затухания магнитного поля в объеме кольца осуществлен аналитически с помощью WМ8.

В условиях рассматриваемого эксперимента [1] и вследствие двухсвяз-ности образца сверхпроводящий ток в нем наводится в результате эффекта самоиндукции. Основную роль при этом играет индуктивность сверхпроводящего кольца.

1. Численная модель кругового контура с током

1.1. Магнитное поле кругового контура с током

2-составляющая магнитного поля, создаваемого тонким кольцом с током в точке (Я, Н, х), найденного с помощью методов магнитостатики из закона Био - Савара - Лапласа (см., например, [2]), определяется выражением

я/2 2 г. • / \

В20

Я/2 (Я 2 + х2 + 2Ях 8ш( У) + Н 2 )3/2

где Н, Я - координаты точки: Н - расстояние от точки до плоскости кольца; Я - расстояние от точки до оси кольца; х - радиус кольца. Размерный множитель перед интегралом принят равным 1, интегрирование осуществляется по угловой переменной У.

Решение интеграла (1) представляется соотношением

В2 о( Я, Н, х) = - 1

Д2 -2Ях + х2 + Н2}4я2+2Ях + х2 + Н2

х|Дя2 - х2 + Н2 )• ЕШрйеЕ

4Ях

ч Я2 + 2Ях + х2 + Н2 у

- Дя2 - 2Ях + х2 + Н2 ) • ЕШрйеК

4Ях

Я2 + 2 Ях + х2 + Н2

где ЕШрйеК, ЕШрйеЕ - эллиптические интегралы первого и второго рода соответственно.

Зависимости В%о(Я,Н, х) изображены на рис. 2 для различных значений Н при х = 3.

В10

Я

ВЪ0

Я

Рис. 2. 320 -компонента собственного магнитного поля тонкого кольца Бг

X

ВЪ0

Рис. 2. Окончание 1.2. Затухание магнитного поля внутри кольца

В данной работе рассматривается настолько тонкое ВТСП кольцо, что для него несущественным является его профиль (форма поперечного сечения), и поэтому для проведения расчетов можно принять, что кольцо имеет круглую форму сечения. Реальные же, используемые в экспериментах ВТСП кольца производятся, как правило, методом осевого прессования и поэтому имеют сечения прямоугольной формы.

Для вычисления индуктивности в настоящей работе круглое кольцо можно заменить идеально тонким кольцом, для которого магнитное поле уже известно (см., например, [2], формулы (1), (2)). Проведенный расчет показывает, что зависимость, описывающая затухание магнитного поля в объеме кольца, сильно влияет на его индуктивность и может повлиять на ход кривой (рис. 1). Расчет индуктивностей производится для трех зависимостей, описывающих затухание магнитного поля внутри кольца:

1. Линейная зависимость:

Бц = Б20 • gl

а

2. Нелинейная зависимость:

Бг2 = Б20 • g2

а

3. Экспоненциальная зависимость:

Бг3 = Б20 • gз

1 - ехр

В формулах (3)-(5) Б2 0 - величина магнитного поля на внутренней поверхности кольца; gl, g2, gз - весовые функции, описывающие затухания; Я - расстояние от оси кольца до точки; х - радиус центральной линии кольца; а - радиус поперечного сечения кольца; к - параметр затухания. Переменная Я меняется в диапазоне от х - “ до х (рис. 3).

Рис. 3. Кольцо круглого сечения

На рис. 4 показаны зависимости весовых функций gl(Я), g2(Я). g3 (Я) для двух случаев: к = 2, к = 10 при х = 3, “ = 2.

і£і- £2- гз і

1.0

к = 2

0.8

дз

0.6 / 92

\ / / д1

0.4

0.2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 !_ К

1.5 2.0 2.5 3.0

а)

[£1- Й' £3 ]

б)

Рис. 4. Весовые функции для различных вариантов затухания: gl(Я) - линейное, g2(Я) - нелинейное, gз(Я) - экспоненциальное; а - к = 2; б - к = 10. Линейной зависимости соответствует к = 1 (кривая gl( Я)). Радиус средней линии кольца х = 3, полуширина “ = 2

2. Расчет индуктивностей сверхпроводящего кольца

Для расчета индуктивностей с помощью формул (1), (2) в аналитическом виде предполагается, что используемые кольца удовлетворяют следующим требованиям:

1) кольцо имеет круглое сечение;

2) ток по сечению кольца распределен равномерно;

2d

3) кольцо является тонким, т.е. — < 0,1.

x

В данной работе все расчеты производятся с помощью символьной математики WM8. Достоинством WM8 является то, что в нем используются символьные алгоритмы, а не численные, такие как Maple, MathCAD и MatLab. При этом с результатом расчета можно осуществлять дальнейшие математические операции (дифференцирование, интегрирование и т.д.) аналитических зависимостей.

Полная индуктивность (и, соответственно, магнитный поток) сверхпроводящего кольца равна

L = Li + L2,

где Li - индуктивность, связанная с отверстием кольца; L2 - его собственная индуктивность.

Показано, что зависимость O^a) для предполагаемого сверхпроводя-

d

щего кольца, где a - относительный поперечный размер кольца, a = —

x

(d << x), задается соотношением

x-d

0>l

0

где Bz o( R,0, a) - магнитное поле в отверстии кольца, определяется с помощью формулы (2) при H = 0.

Зависимость Oi(a) представлена на рис. 5 для x = 15.

Фі

a

Рис. 5. Зависимость потока магнитной индукции, пронизывающий отверстие кольца 5>1

Вследствие (3)-(5) магнитное поле в объеме кольца определяется соотношением

Bz(R,0,a) = Bzо(R = х -й,0,a) • g(R),

где Bz о(R = х - й,0, а) - значение магнитного поля в плоскости кольца (Н = 0) на внутренней поверхности кольца ^ = х - й); g(R) - весовая функция, определяющая магнитное поле внутри кольца (см. формулы (3)-(5));

1

Bz о (R = х - й ,0, а) = —----------------- —х

а(2 - а) • х

х<! (2 - а) • ЕШрйсЕ

((4 - 4а)^ (2 - а)2

а • ЕШрйсК

((4 - 4а)^ (2 - а)2

Расчет потока через объем кольца Ф2(а) для трех зависимостей затухания с помощью весовых функций (3)-(5) представляется формулой (8) и на рис. 6-8.

а

Рис. 6. График зависимости потока магнитной индукции через отверстие

й

кольца Ф21 (а) при линейном распределении (3), а =--относительный

х

поперечный размер кольца

1. Для линейной зависимости (3):

х

Ф21 = | Bz0(R = х-й,0,а) • gl(R)2%RйR =

х-й

Г В20(R = х - й,0, а) •(х ^ 2%RйR .

й

х-й

2. Для нелинейной зависимости (4):

Ф22 = Г Bz0^ = х - й,0,а) • g2 (R)2%RйR =

х-й

| В20(Я = х - С,0, а) •(Х ^ 2%ЯСЯ

х—С

ф22

а

Рис. 7. Зависимость Ф22 (а) потока магнитной индукции через отверстие

й

кольца при нелинейном распределении (4), а =------относительный

х

поперечный размер кольца

Ф 23

а

Рис. 8. Зависимость Ф23 (а) потока магнитной индукции через отверстие

й

кольца при экспоненциальном распределении (5), где а =--относительный

х

поперечный размер кольца

3. Поток при экспоненциальном затухании (5):

х

Ф23 = Г Bz0(R = х - й,0, а) • gз(R)2%RйR =

х-й

= Г Бг0

/ 0 1 - ехр

х-Л

Поток Ф22(а) (рис. 7> представляет особый интерес. Для него зависимость от относительного поперечного размера кольца а при нелинейном затухании поля с различными к практически отсутствует. В то же время при экспоненциальном и линейном затухании Ф2з(а) (рис. 8) и Фц(а) (рис. 6) эта зависимость существует и имеет обратный характер. С увеличением а при линейном распределении поток Фц(а) (рис. 6) увеличивается, а при экспоненциальном распределении (рис. 8) - уменьшается.

3. Оценка относительной собственной индуктивности сверхпроводящего кольца

Вычисление относительных собственных индуктивностей сверхпроводящего кольца осуществляется посредством вычисления отношений потоков

Ф11 Ф

11

Ф

13

Ф1

Ф1

Ф1

, где Ф11 , Ф11 , Ф13 - потоки магнитного поля через соб-

ственный объем кольца, Ф1 - поток через отверстие кольца.

Эти отношения для коэффициентов затухания к = 1 и к = 10 представлены на рис. 9-11.

Фц Ф11

Из рис. 9 следует, что при линейном ----- и нелинейном ------ распре-

Ф1 Ф1

делениях отношения потоков имеют линейную зависимость от поперечного размера а, в отличие от экспоненциального распределения.

/ $21^ ^22 ^23

Ф1 Ф]

к=2

а)

Рис. 9. Кривые отношений потоков:

1 -

Ф

11

Ф1

1 -

Ф

11

Ф1

3 -

Ф

13

Ф1

4*21 Ф?2 і

$1 Ф; '

б)

Рис. 9. Окончание

0.00

Ф11

Рис. 10. Зависимость ——

Ф1

Также с увеличением поперечного размера кольца заметно возрастает отношение индуктивностей, из чего следует, что для колец реальных размеров это отношение окажется больше. Исходя из рис. 9, зная отношение пото-

Ф1

ков магнитной индукции ------- (индуктивностей), можно сказать о характере

Ф1

проникновения магнитного поля в объем сверхпроводящего кольца. Для большей наглядности зависимости, отображенные на рис. 8 и 9, показаны в 3,0-представлении.

В результате расчетов при экспоненциальном распределении результат

Ф13

получился неожиданный. Оказалось, что отношение --------------

Ф1

уменьшается с ростом радиуса х, т.е. оно зависит от размера кольца, в отличие от остальных распределений (рис. 10 и 11). Также значения при нелиней-

Ф 11 Ф 13

ном —11 (х, а) и экспоненциальном -----------(х, а) распределениях убывают

Ф1 Ф1

с ростом к .

0 00

б)

Ф 99

Рис. 11. Зависимость —11

Ф1

Вычисления индуктивностей (рис. 9-11) показывают, что изменения относительных индуктивностей в зависимости от условий по порядку величины могут достигать 10 %, т.е. заметно влиять на ход кривой и^ (?) - зависимость напряжения от тока соленоида (рис. 1) [1].

Выводы

1. Подтвердились результаты работы [1]. Показано, что возможное изменение индуктивности сверхпроводящего кольца достаточно для того, что-

1. Относительная собственная индуктивность сверхпроводящего кольца существенно зависит от функции затухания магнитного поля в собственном объеме кольца. Из результатов эксперимента можно сделать выводы относительно функции затухания магнитного поля в образце. В статье [4] рассматриваются функции затухания внешнего магнитного поля. Отличительной особенностью данной работы является то, что сверхпроводящее кольцо взаимодействует только с собственным магнитным полем, и поэтому функции распределения относятся именно к данной особенности взаимодействия.

3. В данной работе рассматривается идеализированное тонкое кольцо

с относительным диаметром < 0,1. Следовательно, чем толще кольцо

х

(т.е. чем больше а), тем отношение индуктивностей значительнее растет (до 6 % при а = 5 %). Для реальных колец, используемых в эксперименте

с относительным диаметром — « 0,1 - 0,5, относительная собственная ин-

х

дуктивность увеличивается в несколько раз. При этом собственное магнитное поле кольца, а следовательно, и собственная индуктивность будут сильно зависеть от профиля кольца и распределения сверхпроводящего тока в нем. Результаты данной работы к подобным кольцам не применимы. Для таких колец необходимо вычисление тройных интегралов по объему кольца с учетом весовой функции с током. В данной работе интегрирование идет только по угловой переменной (см. формулу (1)). Расчеты реальных колец, очевидно, по своей сложности значительно превосходят расчеты данной работы. Поэтому представляется целесообразным и полезным произвести вычисления для реальных колец с применением WM8 и получением результатов в символьном, аналитическом виде.

Список литературы

1. Суворова, Л. А. Модель процесса перехода поликристаллического высокотемпературного сверхпроводника в критическое состояние / Л. А. Суворова, А. Р. Буев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. - 1010. - № 3 (15). - С. 101-114.

1. Матвеев, А. Н. Электродинамика / А. Н. Матвеев. - М. : Высшая школа, 1980. -383 с.

3. Пат. 1144317 Российская Федерация, МПК7 в01Я031/00. Способ бесконтактного измерения тока ВТСП и устройство для его реализации / Буев А. Р. ; заявитель и патентообладатель Марийский гос. ун-т. - № 100113136/18 ; заявл. 01.11.1001; опубл. 1005, БИ № 1.

4. Белодедов, М. В. О проникновении магнитного поля в гранулированный сверхпроводник / М. В. Белодедов, С. В. Черных // Журнал технической физики. -1003. - Т. 73, № 1. - С. 75-80.

Суворова Людмила Алексеевна аспирант, Марийский государственный университет

E-mail: suv87L@mail.ru

Буев Андрей Романович доктор технических наук, профессор, кафедра теоретической и прикладной физики, Марийский государственный университет

E-mail: suv87L@mail.ru

Suvorova Lyudmila Alekseevna Postgraduate student,

Mari State University

Buev Andrey Romanovich

Doctor of engineering sciences, professor,

sub-department of theoretical and applied

physics, Mari State University

УДК 538.945 Суворова, Л. А.

Расчет индуктивности образца в сверхпроводящем состоянии и ее влияние на переход в критическое состояние / Л. А. Суворова, А. Р. Буев // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 1011. - № 1 (11). - С. 106-118.