Методика расчета зависимости «Нагрузка-смещение» для болтов и заклепок в многосрезных соединениях

_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И

Том XXI 1990

№ 3

УДК 629.7.015.4.023.8 : 624.078.1

МЕТОДИКА РАСЧЕТА ЗАВИСИМОСТИ «НАГРУЗКА—СМЕЩЕНИЕ» ДЛЯ БОЛТОВ И ЗАКЛЕПОК В МНОГОСРЕЗНЫХ СОЕДИНЕНИЯХ

А. В. Панков

На основе использования модели балки на упругом основании решена задача о взаимодействии болтов и заклепок с элементами многосрезного соединения с учетом деформаций сдвига связей и осевой затяжки. Приведены примеры расчета зависимости «нагрузка-смещение» связи и проведено сравнение с экспериментом.

Одними из наиболее опасных по условиям долговечности элементов авиаконструкций являются продольные и поперечные болтовые и заклепочные соединения. При расчете их напряженно-деформированного состояния необходимо знать зависимость «нагрузка — смещение» связи. Вопросом об определении зависимости «нагрузка — смещение» начали заниматься с конца прошлого века в связи с появлением массивных металлических конструкций. При этом полагалось:

Д = 8-Р,

где А — смещение связи, вызванное передаваемой ею силой Р; 5 — коэффициент пропорциональности.

Коэффициент пропорциональности чаще всего называют податливостью связи. В наиболее полной, для своего времени, постановке задачу об определении податливости решил Блейх |[1] при расчете болтовых и заклепочных соединений железных мостов. Его подходом к решению задачи пользовались многие исследователи в первой половине XX века. Однако наибольшее распространение получила работа Розенфельда [2], который предложил довольно простое аналитическое выражение для определения деформации связи в двухсрезном симметричном болтовом соединении.

В конце 40-х годов И. И. Фаерберг [3] и А. С. Григорьев [4] для исследования контактного взаимодействия стального болта в древесине использовали метод, в котором болт рассматривался как балка, лежащая на упругопластическом основании. В дальнейшем этот метод был развит в ряде работ: Баруа 1[5], П. П. Баранов [6], [7] и С. И. Галкин [8], [9], при этом основание полагалось упругим.

Ввиду сложности поставленной задачи вопрос о нахождении зависимости «нагрузка — смещение» связи чаще всего решался экспериментальным путем. Однако анализ имеющихся в литературе экспериментальных данных затруднен тем, что плохо или вообще не описаны условия их проведения.

Данная работа посвящена разработке метода расчета зависимости «нагрузка — смещение» связи в многосрезном соединении на основе метода, в котором связь рассматривается как балка на упругом основании, с учетом деформаций сдвига и осевой затяжки связи.

На рис. 1 представлена расчетная схема, применяемая в данной работе. Впервые подобная расчетная схема была использована в работах С. И. Галкина. На рис. 1 цифрой 1 обозначена связь, рассматриваемая как балка, работающая на растяжение — изгиб, 2 — абсолютно жесткие крышки, 3 — условная среда, имеющая следующие свойства:

а) она представляет из себя набор независимых друг от друга пружинок, которые одним концом прикреплены к жестким крышкам, а другим к балке;

б) в результате смещения балки относительно г-й крышки на нее со стороны пружинок начинают действовать усилия </г(х), которые являются функцией смещения последних:

?,

здесь <7г (л;) — усилия на связь в сечении х\

№1 (х) — взаимное смещение в сечении х связи;

в) вид функции /г в формуле (1) определяется как геометрическими и физическими параметрами г'-го соединяемого элемента, так и условиями его нагружения и может быть определен решением плоской задачи теории упругости методом конечного элемента или аналитическими методами.

Балка (рис. 1) нагружается растягивающей силой Ызат и через систему «жесткие крышки — условная среда» перерезывающими силами Рг и изгибающими моментами Мг. Предполагается, что крышки могут только перемещаться относительно друг друга, не поворачиваясь:

УР1{х) = у1{х)-а1,

Уг(х) —ПрОГИб СВЯЗИ В СвЧеНИИ Х\ Я* — Смещение £-Й КрЫШКИ.

Это равноценно утверждению, что соединяемые элементы в районе установки крепежных элементов находятся в контакте между собой и

деформируются совместно, как единое целое. В работе [10] было показано, что соединяющий элемент (заклепка, болт) создает в зоне шва участок, весьма жесткий на изгиб, который просто поворачивается как единое целое при деформировании соединения. Для болтовых соединений этот участок имеет длину, примерно равную диаметру головки.

Расчет проводится без учета сил трения между соединяемыми элементами. Для каждого г-го соединяемого элемента 1 выберем свою 1-ую систему координат, как показано на рис. 1.

Используя сделанные допущения и предположения, легко получить дифференциальное уравнение для прогиба участка балки, лежащей на г'-м упругом основании:

У™ (х) + ч\ (х) — у! (*) - -^ ?/(*) = 0,

где б и .Р — модуль сдвига и площадь поперечного сечения балки; и — коэффициент, учитывающий неравномерность распределения напряжений по сечению балки.

Для балки круглого сечения согласно [11]:

5

а = —1——- ,

7 -(- 6ч

где V — коэффициент Пуассона; Е1 — жесткость балки на изгиб.

Примем линейную зависимость (1) с коэффициентом упругого основания который зависит от геометрии и материалов соединяемых элементов и связи:

41

и учитывая (2) получим:

y!V (х) — niiyt (X) + П1у1 (х) = я, at; т.------------" _^зат

aGF El 1 El

Уравнения для перерезывающей силы и изгибающего момента в сечении х:

М, Сх) = Ш(у1 (х) - Wt (х)) ;

Qi (х) = El (уГ (*) - щ у\ (*)) .

Решение уравнения (3) имеет вид:

Л(*)-2 CiRj + ar,

i= 1

R\ = sin (a»£ x) sh Of { x) ;

Ri = sin (a>f x) ch (<p, x); fti = cos (x) sh (<рг x);

RAi = cos (со, x) ch (<ti x).

Здесь C\, — неизвестные константы.

Таким образом, для каждого t-го участка балки будем иметь пять неизвестных, которые можно определить из следующих условий.

7—ученые записки № 3 97

2) первая производная от относительного смещения основания на концах балки является линейной функцией от изгибающего момента:

4) на стыке двух решений должны выполняться условия сопряжения: а) равенство прогибов:

5) перерезывающая сила, действующая в сечении между соединяемыми элементами (СЭ), равна

где Р} — сила в /-м СЭ.

В результате деформирования балки длина ее проекции, которую можно определить, решив систему уравнений (4.1) — (4.8), на ось х уменьшится. Этому уменьшению в реальном соединении препятствуют головки и гайка болта или головки заклепки, которые взаимодействуя с пакетом соединяемых элементов, вызывают появление дополнительной растягивающей балку силы ДN. Ее величину оценим предполагая, что толщина пакета после деформирования остается постоянной, равной /. Удлинение балки равно:

где Е* — приведенный модуль упругости связи. По значению он меньше или равен модулю упругости материала связи из-за податливости резьбы гайки и деформации головки, гайки и соединяемых элементов.

У1 (^)=_Уг+1 (0);

б) равенство первых производных от прогибов:

У\ &) =.УЖ (0);

в) равенство моментов:

М1 (М = М,+1(0);

г) равенство перерезывающих сил:

С}' ы = (0).

(4-8).

і і

Д/ = —/= | (1 + 1/2 (у')')с1х-1 =

о

о

I N 6(

о

і=і о

Тогда:

Определить неизвестные С\, (Ц и ДЛГ с помощью уравнений (4.1) и (4.8) проще всего методом итераций:

шаг 1 — приравняв AN нулю, решить систему линейных уравнений (4) и определить С{ и шаг 2 — вычислить с помощью (5) ДЛ/-; шаг 3 — определив Л^ат = Л^ах+ДЛ/', перейти к шагу 1. Итерационный процесс завершается при достижении требуемой точности. Следует отметить, что для нахождения решения чаще всего требуется только одна итерация, так как растягивающая сила не оказывает значительного влияния на деформацию связи. В этом можно убедиться, сравнив члены в т* (3) для реального соединения.

Таким образом, получена замкнутая система уравнений для определения силовых факторов (перерезывающей силы, изгибающего момента, осевой силы) и прогиба произвольного сечения болтов и заклепок. Зависимость «нагрузка — смещение» связи в многосрезном соединении будет векторной величиной:

где Дт (Д1, Д„ Ддг-1)-- вектор смещений; Дг —взаимное смеще-

ние между г-м и I + 1-м СЭ; 151 — матрица податливости; /7т = = (Г1г..., Р1},/^N-1) — вектор сил; — сила, передаваемая связью в сечении между г-м и г-(-1-м соединяемыми элементами. Она равна перерезывающей силе (8,) в выражении (4.8).

Для определения коэффициентов матрицы податливости следует

N—1 раз решить систему уравнений (4.1) — (4.8), (5) с вектором сил в котором 1, а все остальные компоненты равны нулю. Коэффици-

енты для /-го решения обозначим — оц. Тогда:

01,1 — Я2, 1 • •  а\,]— #2, / • •  #1,ЛГ—1—0.2, N—1 ,

I 51 = а/,1—01+1,1 • • • сц,] — я,-+1,/ . . . а-1, N—1 — а/+1,/у-1,

Ял?-1,1 — аы, 1 • • • 1 — / . . . &лг-1, N—1—а.лг,лг-1-

Таким образом, в многосрезном соединении взаимное смещение двух соседних соединяемых элементов зависит не только от перерезывающей силы в болте или заклепке, действующей в сечении между ними, как принималось ранее, но и от всех остальных усилий, приложенных к связи.

Ниже приводятся примеры расчета с помощью предложенного метода.

1. Сравнение зависимости «нагрузка — смещение» связи в односрезном соединении, полученной экспериментально, с расчетом. Для

сравнения использованы экспериментальные записи диаграмм «нагрузка —смещение» односрезного соединения двух пластин из алюминиевого сплава с помощью стального болта. Посадка болта А/Пл, затяжка гаек проводилась по серийной технологии. Измерялось смещение между точками, лежащими на середине боковой поверхности каждого соединяемого элемента напротив оси болта.

Эксперимент показал, что зависимость «нагрузка — смещение» связи имеет явно выраженный нелинейный характер, причем линия нагружения всегда не совпадает с линией разгрузки, т. е. имеет место явление гистерезиса. При последующих, после первого, циклов нагружения петли гистерезиса незначительно смещаются вдоль оси «смещение связи». Однако этот процесс быстро стабилизируется, и данным изменением жесткости при расчете НДС соединений можно пренебречь. Типичная диаграмма «нагрузка — смещение» приведена на рис. 2. Петли гистерезиса неплохо аппроксимируются прямыми, коэффициенты наклона которых обозначим С0 и С1 для нагрузки и С_0 и С_4 для разгрузки. Следует отметить, что С0 и С-о', С1 и С-1 практически совпадают. Петли гистерезиса имели место при нагрузках, исключающих наличие больших зон пластических деформаций соединяемых и соединяющего элементов. Это можно объяснить наличием сил трения между СЭ. Для этого разобьем процесс нагружения на два этапа:

а) сила трения между соединяемыми элементами /тр не превышает значения Ц-Л/зат (здесь |1 — коэффициент трения покоя). При этом взаимное смещение соединяемых элементов равно:

£изг ^тр

А — С0 Р, С0 — _ - „

'-'ИЗГ "Т

тр

где Сизг, Стр — коэффициенты податливости, обусловленные передачей нагрузки через связь и через площадь контакта между соединяемыми элементами;

Р — общая сила, передаваемая с одного соединяемого элемента на другой;

б) при /тр > [1 Маат:

А = Сизг (Р [А Л^зат) 5

Т. е. С1 = СИЗГ.

Расчет коэффициента С1 проведен для трех значений коэффициента опорной жесткости головки (гайки) болта:

(3 = 0— жесткое закрепление крайних сечений балки, моделирующей болт;

Р = Р* — значения, полученные с помощью зависимостей, предложенных в работе [6];

Р = оо — штифтовое соединение.

Рис. 2

Рис. 3

1 Срасч' Ю7, мм/Н С1 ЭКСП- Ю7.

в2 р=о | р* {3=00 мм/Н

й=6 мм

10 14 4 11,5 11.8 12,4 10,8 0,94 0,91

8 12 3,33 11.1 11.6 13,4 12,7 1,13 1,09

6 10 2,67 10,3 11,1 14,9 11.5 1,10 1,03

8 8 2,67 10,6 11,7 14.9 12.8 1,17 1,09

10 6 2,67 10,3 11,5 14,9 12,8 1.20 1,10

6 8 2.33 10.0 11,1 16,3 11,0 1,09 1.00

6 6 2 9,50 10.7 18,7 13,0 1.27 1,18

6 4 1,67 9,20 10,4 20,9 15,5 1.41 1,33

<1=10 мм

12 16 2,8 6,93 7,50 9,7 8,75 1.21 1,14

10 14 2,4 6,51 7,20 10,7 7,7 1,15 1,06

12 12 2,4 6,57 7,40 10.8 7,75 1,15 1,05

8 12 2 6,12 6,80 12,2 8.25 1,26 1,18

12 6 1,8 6,20 6,90 12,4 9,0 1,31 1,23

10 6 1,6 6,10 6,80 14,2 9,50 1,36 1,28

6 8 1.4 6,10 6,60 16,9 11,2 1,46 1,41

6 4 | 1 7,20 7,50 22,5 12,3 1.41 1,39

Коэффициент упругого основания вычислен с помощью выражения из работы [5]:

Ъ= 1,25 £,(!-*/£),

Е\ — модуль упругости 1-го соединяемого элемента;

Отношение ап-а2} к а,г-йг*

й/В — отношение диаметра к толщине.

Параметры экспериментальных зависимостей «нагрузка — смещение» связей и результаты расчета представлены в таблице и на рис. 3. В таблице: ё — диаметр болта, 6г — толщины соединяемых элементов, £=(61 + 6г)/^ — относительная толщина пакета. На рис. 3 сплошной линией представлены расчетные значения, а точками — эксперимент (цифрой 1 обозначена группа образцов с й = 6 мм, 61 = 6 мм; 2—^=10 мм, б4= 12 мм.

Анализ таблицы и рис. 3 показывает, что хорошее соответствие эксперимента и расчета наблюдается при отношении толщины пакета к диаметру больше 2-х и Р = Р*. Различия, наблюдаемые при |<2, можно объяснить:

— некорректностью представления короткого болта балкой;

— влиянием изгиба соединяемых элементов, возникающего в силу геометрии испытываемого образца, на величину замеряемой деформации;

— неточностями выражений для р.

Следует отметить, что расчетные значения податливости не превышают, за исключением одной точки, экспериментальных значений. Известно, что при определении распределения усилий по связям меньшие значения коэффициентов податливости приводят к большей неравномерности этого распределения. Поэтому расчет с использованием податливости, определенной предлагаемым методом, будет в большинстве случаев проводиться в запас по условиям долговечности.

2. Влияние многосрезности соединения. Как было сказано выше, зависимость «нагрузка — смещение» в многосрезном соединении становится векторной величиной (6). На рис. 4 приведен график зависимости отношения коэффициентов матрицы податливости (ап—а21)/(а12—а22) от размеров соединения трех листов из алюминиевого сплава стальным болтом. При этом 61=62=10 мм, с?=10, 20 и 30 мм для линий /, 2 и 3 соответственно.

Матрица податливости для соединения четырех алюминиевых листов толщиной 10 мм стальным болтом диаметром 40 мм имеет вид:

/ 2,89 —1,34 0,015 0,007\

|5| = 10-мм/Н -1’34 2’9° _1’34 °’°15 •

I 0,015 —1,34 2,90 —1,34 I

\ 0,007 0,015 —1,34 2,89 )

Интересно, что податливость двух аналогичных листов с тем же болтом равна 2,88-10~4 мм/Н.

3. Влияние деформирования болта на осевую затяжку показано на рис. 5 на примере односрезного соединения двух листов толщиной

6 мм из алюминиевого сплава стальным болтом диаметром 10 мм, р = 0, Л^зат = 0. Из графика видно, что NaaT изменилось от 0 до 800 Н при изменении нагрузки среза от нуля до разрушающей, тогда как сила осевой затяжки для болтов такого диаметра, установленных согласна ОСТу, составляет 10 000— 16 000 Н.

В заключение следует отметить, что предложенный метод может быть использован для расчета не только коэффициента податливости изгиба и изменения осевой затяжки связи в многосрезном соединении, но и для определения напряженно-деформированного состояния связей и неравномерности распределения контактных напряжений по толщине соединяемых элементов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Блейх Ф. Теория расчета железных мостов.—М.: Огиз., 1931.

2. Rosenfeld S. Analitical and experimental investigation of bolt-ted joint. — NACA TN 1458, 1947.

3. Ф a e p б e p г И. И. Расчет болтов в дереве. — Труды ЦАГИ,

1944, вып. 555.

4. Григорьев А. С. Метод расчета балки на упругопластическом основании и применение этого метода к расчету болтов в древесине.—

Труды ЦАГИ, 1946, вып. 600.

5. В а г г о i s W. Stress and displacments due to load transfer by fasteners in stractural assemblies. — Eng. Fracture Mechanics, vol. 10, 1978.

6. Б a p а н о в П. П. Влияние жесткости элементов односрезного соединения на изгиб болта.— Вестник машиностроения, 1978, № 1.

7. Б а р а н о в П. П. Взаимодействие потайного болта с деталями односрезного соединения в условиях радиального натяга. — Ученые записки ЦАГИ, 1982, том 13, № 3.

8. Г а л к и н С. И. Взаимодействие болта с элементами односрезного соединения. В кн. Местная прочность конструктивных нерегулярностей планера самолета. — Труды ЦАГИ, 1979, вып. 2018.

9. Г а л к и н С. И., Камышанцев В. Ю. К вопросу о взаимодействии болта с элементами соединения типа вилка—проушина. — Проблемы прочности, 1981, № 8.

10. Григорьев А. С. Исследование работы растянуто-изогнутого стержня за пределами упругости. — Труды ЦАГИ, 1948, вып. 657.

11. Comper G. R. The shear coefficient in Timoshenko’s beam theory.—J. Appl. Mech., 33(2), 1966.

Рукопись поступила 5/IV 1989 г.