О прогнозировании прочности и деформации древесно-цементных материалов

ХИМИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ

О ПРОГНОЗИРОВАНИИ ПРОЧНОСТИ И ДЕФОРМАЦИИ ДРЕВЕСНО-ЦЕМЕНТНЫХ МАТЕРИАЛОВ

В.И. ЗАПРУДНОВ, проф. каф. геодезии и строительного делаМГУЛ, д-р техн. наук

Свойства древесно-цементного материала, сочетающие такие качества, как высокая прочность, низкая деформированность, малая средняя плотность, трещиностойкость и другие, определяются его структурой [1].

Прогнозирование физико-механических свойств древесно-цементного композита позволяет свести к минимуму экспериментальные работы по выбору оптимального состава компонентов и геометрических параметров структуры. Для этого модель механической смеси древесно-цементного композита представляется как многокомпонентное образование, на границе компонентов которого выполняется условие непрерывности усилий и перемещений. Если свойства каждого компонента известны, то, пользуясь уравнениями механики деформируемого твердого тела, можно в принципе определить распределение напряжений и деформаций в древесно-цементном материале и его эффективные или макроскопические свойства. Однако практическое решение указанной задачи связано с серьезными математическими трудностями.

Древесно-цементный композит имеет случайную, или стохастическую структуру, характерными особенностями которой являются дискретность включений частиц древесного заполнителя, цементного камня и пор, их хаотичное расположение в пространстве, а также случайная форма. Поэтому для адекватного описания напряженно-деформированного состояния в древесноцементном материале необходимо привлекать методы теории случайных функций.

Определить эффективные линейно-упругие постоянные древесно-цементного композита с учетом геометрических параметров, формы поперечного сечения органического заполнителя и его расположения позволяет применение метода условных моментов.

Схемы механических моделей структуры древесно-цементного материала представлены на рисунке.

Исходные представления. Точное описание механического поведения упругого тела из древесно-цементного материала в линейной постановке сводится к уравнениям сохранения импульса

о . + F. = р й .;

v, j i ’

соотношениям упругости и Коши

о = X.. в ;

J ijmn mn

в = й ч = 1/2(й. . + й. ),

V (i, J) v i, J J, i7’

где о - тензор напряжений, Па;

Bv - тензор деформаций;

Хутп - тензор упругих модулей четвертого ранга, Па;

F - вектор объемных сил, Н/м3; й. - вектор перемещений; р - плотность, кг/м3.

Уравнения (1-3) и входящие в них параметры относятся к микроточкам, т.е. элементарным объемам и площадкам, размеры которых значительно меньше характерных размеров структурных параметров.

Характеристики X. , р древесно-цементного материала являются регулярными или случайными функциями координат в зависимости от характера расположения структурных элементов. При этом внутренняя энергия в микроточке определяется выражением

U = 1/2о в . = 1/2X в . в = 1/2s.. о о ,

j j ijmn iy тп iymn iy тп 4 '

где s.. = X.. _1 - тензор упругих податливостей.

Решение уравнений (1-3) в общем случае связано с серьезными математическими трудностями. Однако для практической задачи, в которой изучается изменение напряжений и деформаций в древесно-цементном материале на расстояниях, значительно превышающих размеры структурных элементов, но достаточно малых в сравнении с размерами тела, можно ввести макронапряжения, макродеформации и макроперемещения, т.е. средние по элементарным макрообъемам и макроплощадкам от соответствующих параметров. При этом исходим из того, что размеры элементарных макрообъемов и макроплощадок значительно больше размеров структурных элементов и их можно рассматривать как микроточки. Тогда соответствующие уравнения относительно макроскопических параметров имеют вид

<о.>. + <F> = <р>< й. >;

у у 1 , i

<о.> = X.. *<в >;

iy iymn mn 7

<в.> = й д.

V

126

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2007

ХИМИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ

Рисунок. Схема механической модели структуры древесноцементного материала: а - с минеральным наполнителем; б - с разориентированными частицами; в - с однонаправленными (ориентированными) частицами

При этом внутренняя энергия в микроточке определяется формулой

<U> = 1/2<с.><s.> = 1/2Я.. *<s.> <s > =

ij ij ijmn ij mn

= 1/2s.. *<c.><a >,

ijmn ij mn ’ v '

где Я.. *, s.. * = Я.. *-1 - соответственно тензоры

ijmn ’ ijmn ijmn г

эффективных модулей упругости и упругих податливостей.

Согласно уравнениям (5-8), эффективные постоянные упругого древесно-цементного ком-

позитного материала могут быть определены на основе решения простейшей задачи о напряженно-деформированном состоянии в микроточках макрообъема при условии, что он находится в условиях однородного статического нагружения, т.е. <а. > = const, <s > = const.

j j

В этом случае уравнение сохранения импульса (5) удовлетворяется тождественно, а при условии, что жесткое перемещение и вращение равны нулю, из соотношений Коши (7) следует

<и > = <s. >x..

Постановка задачи. Пусть макрообъем линейно-упругого древесно-цементного композитного материала стохастической структуры находится в условиях заданных однородных макронапряжений <а. или макродеформаций <Sj>. Задача о напряженно-деформированном состоянии в микроточках тела сводится к уравнениям равновесия

а . = 0;

^J, j ’

соотношениям упругости

а. = Я.. s ;

ij ijmn mn

и соотношениям Коши

s = U v

j

где тензор упругих модулей я.. является заданной случайной функцией координат.

В уравнениях (10) - (12) по повторяющимся индексам ведется суммирование, а индекс после запятой означает дифференцирование по соответствующей координате.

Подставляя (11), (12) в (10), приходим к стохастическим дифференциальным уравнениям относительно перемещений

при этом граничные условия на поверхности макрообъема при условии, что жесткое перемещение и вращение равны нулю, имеют вид

и | = <s.>x..

Из соотношений Коши (3) следует уравнение совместности микродеформаций

e..e s = 0,

где e..p - единичный антисимметричный тензор.

Если соотношения (11) подставить в уравнение совместности деформаций (15), то приходим к стохастическим дифференциальным уравнениям относительно напряжений

e ..e

удовлетворяющим граничным условиям

a n | =<а.>n,

где n. - направляющие косинусы нормали к поверхности.

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2007

127

ХИМИЧЕСКИЕ ТЕХНОЛОГИИ

Тензорное поле модулей упругости \..mn

принимаем статистически однородным, поэтому

микронапряжения а и микродеформации в.. бу-i. i. дут также статистически однородными. Так как

масштаб корреляции случайных полей X.. , а ,

i.mn i.

в. пренебрежимо мал по сравнению с размерами макрообъема, то они удовлетворяют свойству эргодичности, т.е. осреднение случайных полей по области определения совпадает со статистическим осреднением по ансамблю реализации. В этом случае выполняются равенства

<X.. (1)> = <X.. >; <а.(1)> = <а.>;

i.mn i.mn i. i.

<в.

ij ij ’ ijmn pq ijmn pq ’ v '

<s.. (1)а (1)> = <s.. а >.

. mn pq . mn pq

Здесь слева - статистические средние в точке, справа - статистические средние по макрообъему. Следует отметить, что ансамбль реализаций представляет собой совокупность полей для большого количества макрообъемов, находящихся в одинаковых условиях внешнего воздействия и имеющих один и тот же вид структуры.

Методы решения краевых задач (13, 14,

16-18) идентичны, поэтому рассмотрим задачу в перемещениях. Представим случайные поля X а. , в. в виде сумм математических ожиданий и флуктуаций

X.. = <X.. > + X.. 0, а.. = <а.> + а 0, в.. = <в.> + в.0.

Тогда, проводя статистическое осреднение соотношений упругости (11) и учитывая равенства (18), получаем

<а..> = <Х..

. . mn mn . mn mn . mn mn

Из (20) следует, что для определения эффективных упругих постоянных необходимо из краевой задачи (13), (14) найти одноточечные моменты второго порядка <Х (1)в (1)> = <Х в > или <Х 0(1)в 0(1)> = <Х.. 0в 0> как функции математи-

. mn mn . mn mn

ческих ожиданий деформаций <в.(1)> = <вл.

Представляем вектор перемещений в виде суммы математического ожидания и флуктуации и. = <u > + и0

и учитываем, что для статистически однородных деформаций имеют место равенства

Подставляя (23) в уравнение (13), приведем его к виду

X. . си 0 + [

утп т, п. Lv утп утп ' mnJ,. 4 '

<и > = <в. >х, ..jj и. = <в. >х. + и0.

V . i

Здесь X.j

некоторый тензор модулей

Из соотношений (14), (23) следует, что на границе макрообъема флуктуации перемещений должны обращаться в нуль

иХ = 0.

Поскольку макрообъем древесно-цементного композитного материала существенно превосходит размеры структурных элементов, то занимаемую им область можно рассматривать как бесконечную. Поэтому задача о напряженно-деформированном состоянии макрообъема древесно-цементного композитного материала сводится к решению стохастического дифференциального уравнения (24) для бесконечной области при условии, что на бесконечности выполняется условие

и-\т = 0.

Если воспользоваться тензорной функцией Грина, удовлетворяющей дифференциальному уравнению

X .. G . . (х Р - х <2>) + 5(х (1) - х (2))5k = 0 (27) то, подставляя (25), (27) в соотношение взаимности Бетти, приходим к интегральному соотношению

и0(1) = [ G . (х (1) - x(2))(X (2)'в (2)) du(2);

i J ip' i i '' pqmn тп 7, q ’

упругости с независящими от координат компонентами, называемый тензором модулей упругости тела сравнения.

X

Подставим (28) в соотношения Коши (12) и проведем интегрирование по частям. Тогда получим стохастические интегральные уравнения относительно деформаций

в ,

р р Ppqx i i / pqmn тп 4 '

или флуктуаций деформаций

в.0

Здесь действие интегрального оператора K .pq определяется равенством

K (х (1) - х (2))m(2) = [ G( . (х (1) - х (2)W2)du(2) +

vpqx i i J (ip,})qx i i ' ~

U<2)

+ j Giip,Рг

s2

где s - бесконечно удаленная граница области и; п - направляющие косинусы нормали к ней. Если учесть, что интегрирование по бесконечно удаленной границе вследствие эргодичности поля деформаций эквивалентно статистическому осреднению, то соотношение (31) можно привести к виду

K (х Р - х <2))ф2) = j G. . .) (х (1) -

vpqx i i J (ip, .)q\ i

U

-х.(2))ф(2)^и(2), ф0(2) = ф(2) - <ф>. (32) Библиографический список

1. Запруднов, В.И. Трехслойные конструкции с древесно-цементными теплоизоляционными слоями: Монография - 2-е изд. - М.: МГУЛ, 2006. - 322 с.

с

128

ЛЕСНОЙ ВЕСТНИК 4/2007