Теоретические основы построения нелинейных перспективных изображений

ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ

УДК 347. 77

С.В. Бородулина, Ю.А. Зайцев

ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ПОСТРОЕНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ ПЕРСПЕКТИВНЫХ ИЗОБРАЖЕНИЙ

Понятие «нелинейная перспектива» определяет способ построения перспективного изображения, в аппарате проецирования которого учтены некоторые особенности зрительного восприятия пространства. Нелинейный характер, который имеет зависимость между удалением и размером объекта, позволил ввести термин «нелинейная».

S.V. Borodulina, Y.A. Saizew

NONLINEAR PERSPECTIVE IMAGES CONSTRUCTION THEORETICAL BASES

The notion «nonlinear perspective» defines the way of building nonlinear image, in projecting apparatus of which curtain features (peculiarities) of virtual perception are taken into consideration. Nonlinear character which gives dependence between an object sage and its removal, allowed to introduce the term «nonlinear».

Целью данных исследований является внедрение в практику архитектурного проектирования и дизайна способов построения реалистичных перспективных изображений.

Линейная перспектива является основным методом изображения на плоскости объемно-пространственных свойств геометрических объектов. Это обусловливается рядом существенных достоинств, присущих данной системе перспективы, а именно: «ручные» построения выполняются по достаточно простым и легко запоминающимся правилам, математический алгоритм для компьютерной реализации включает простейшие формулы просчета координат.

Однако, изображения объектов, выполненные по всем правилам линейной перспективы, дают нередко искаженное представление о форме оригинала.

В истории архитектурного проектирования известны такие примеры, когда из-за несоответствия перспективного изображения будущего объекта воспринимаемому образу в натуре, архитекторы были вынуждены перестраивать сооружения, вносить коррективы в проект уже на строительной площадке. Например, М.А. Фомин перестраивал центральную часть особняка Половцева в Санкт-Петербурге. Известный русский архитектор А.В. Щусев два раза перестраивал верхнюю часть башни Казанского вокзала в Москве, которая при возведении воспринималась «заваливающейся».

Пропорции частей объектов в данных случаях определялись с учетом наглядного изображения, построенного по законам линейной перспективы.

С явлением искажений приходится сталкиваться при фотографировании, при реализации перспективных изображений в графических редакторах. Например, воспринимаемые в натуре могучие горные вершины на фотографии изображаются часто небольшими холмиками. Искажения пропорций людей, изображенных на фотографии - довольно часто встречающееся явление. Масса примеров, демонстрирующих искажения пространства на линейных перспективных изображениях, обнаруживается при анализе картин художников.

Причины искажений различны, основными же являются противоречие между трехмерным пространством (объектом в натуре) и двумерным пространством (его плоским изображением) и сложности учета деятельности мозга при формировании образа.

Зрительное восприятие является сложным процессом, в основе которого лежит согласованная работа глаза и мозга. В результате этой работы возникает видимый (перцептивный) образ созерцаемого предмета.

Остановимся на основных закономерностях формирования зрительного образа.

Процесс зрительного восприятия является единством двух противоположно направленных процессов: анализа и синтеза. Анализ заключается в разложении всего объекта на ряд точечных участков и в определении направления на каждый из них и расстояния до них. Полученные сведения передаются в мозг, где происходит синтез полученной информации в зрительный образ объекта. Из возможных координатных систем условиям зрительного восприятия наиболее полно соответствуют полярные координаты. Процесс зрительного восприятия можно представить схемой:

1. Разложение объекта на ряд точечных участков.

2. Определение полярных координат характерных точечных участков.

3. Создание перцептивного образа объекта по воспринятым полярным координатам.

Если координаты (углы и расстояния) восприняты правильно, то образ объекта должен быть адекватен объекту по форме, размерам и положению в пространстве.

Определение полярных координат сводится к определению направления на данную точку относительно ранее воспринятого точечного участка и расстояния до нее, то есть к определению угла зрения и расстояния [2].

Величина угла определяется сознанием на основе анализа раздражений мышц глаз при переводе взгляда с одной точки на другую. Перевод взгляда может сопровождаться поворотом не только глазных яблок, но и головы. Этот фактор также учитывается сознанием в процессе синтеза.

Таким образом, зрительное восприятие угловых величин достаточно простое, следовательно, угловые координаты мозг определяет с высокой степенью точности.

Справедливость предположения полностью подтверждается данными анализа картин и опытов по восприятию, которые проводили Ю.И. Короев и М.В. Федоров. Величина расстояния до воспринимаемого точечного участка определяется на основе синтеза раздражений глазного анализатора при движении глаз, изменения формы хрусталика, а также жизненного опыта, учитывающего изменения степени яркости и тональности поверхности объекта, наличие знакомых форм. Сложность механизма восприятия величины удаления заставляет предположить, что именно эта координата определяется сознанием с ошибкой, которая прогрессивно возрастает с увеличением расстояния до объекта [3].

Для получения линейных перспективных изображений используется аппарат центрального проецирования на плоскость, сохраняющий у изображения проективные свойства оригинала, но, как уже было не раз отмечено, не сохраняющий пропорции между объектами переднего и дальнего плана. Для решения задачи точной передачи пропорций, а, следовательно, глубины пространства создано много теорий и практических способов.

При построении нелинейного перспективного изображения можно также использовать аппарат центрального проецирования на криволинейную поверхность, а затем перенести изображение на плоскость путем развертывания поверхности или путем перепроецирования.

Метод перепроецирования перспективного изображения с поверхности-посредника использован различными авторами для построения перспектив. Созданные методики отличаются обоснованием выбора формы поверхности-посредника, а также способом построения. Общим недостатком является то, что в них не рассматривается изображаемое пространство как единое проективное со своими закономерностями, а также не предложено простого геометрического способа построения изображения.

В работе [1] при помощи ряда теоретических выкладок доказывается, «что ортогональное проецирование по своей сути тождественно операции сжатия подмножества пространства в плоскость, ибо каждая точка плоскости является проекцией всего множества точек, принадлежащих проецирующей прямой.

Нас окружает реальное пространство, за геометрическую модель которого примем евклидово пространство. Многовековая история существования такой модели доказывает, что она в земных условиях является достаточно точным отображением свойств оригинала. Зрительно воспринимаемый образ части реального пространства трехмерен, значит, к нему можно применить термин пространство. Но этот образ возникает в сознании человека в результате двух противоположно направленных процессов: анализа и синтеза, и в силу этого он субъективен.

Анализ экспериментальных данных, приведенных в работах [1, 2, 4 и 5], показывает, что воспринимаемые сознанием человека расстояния до точек и между точками реального пространства уменьшаются. Чем дальше расположен предмет, тем меньших размеров мы его видим. Если расстояние до предмета нам заранее не известно, то воспринимается оно меньшим, чем есть на самом деле. Степень такой недооценки возрастает с увеличением расстояния, нелинейно и зависит от индивидуальных особенностей человека (возраста, наблюдательного опыта и т.д.). При восприятии пространства происходит его визуальная деформация, которая сводится к его центральному сжатию и искривлению прямоугольных элементов, что свидетельствует о нелинейном характере сжатия пространства. Следовательно, субъективное пространство является сжатым пространством, а сжатие - нелинейным.

В дифференциальной геометрии существуют так называемые сжатые отображения, под которыми понимаются такие отображения подмножества в самого себя, при котором расстояния между точками подмножества уменьшаются. Если исходное подмножество пространства было замкнуто, а любой сжатый образ подмножества также принадлежал этому подмножеству, то в результате сжатия подмножество сохранит только одну неподвижную точку. Такую точку иногда называют центром сжатия.

Возвратимся к субъективному сжатому пространству, которое замыкается линией горизонта и содержит, как сжатое отображение, одну и притом единственную неподвижную точку. Эту точку будет правомерно назвать центром сжатого пространства. Если принять при этом, что при сжатии, как движении к центру сжатия, сохраняется принадлежность точек прямолинейным лучам центральной связки, то наложение естественного требования сохранения непрерывности и принадлежности не вступит в противоречие ни со свойствами исходного реального пространства, ни с характером преобразования. При нелинейно-сжатом преобразовании пространства не сохранятся длины линий, величины углов, площади и объемы, но сохранятся непрерывность и принадлежность, следовательно, это топологическое преобразование.

Очевидно, что образ подмножества субъективного пространства на любой стадии сжатия можно определить как совокупность образов точек, а их положение - центральными лучами и числами, характеризующими расстояния от центра до образов точек. Если ввести понятие коэффициента сжатия ц, под которым понимать отношение расстояния от центра сжатия до образа точки а к расстоянию до точки в реальном пространстве Ь, то

ц = а / Ь .

Положение образа любой точки однозначно определится центральным лучом, расстоянием до точки в реальном пространстве и коэффициентом сжатия. В общем случае можно записать:

л=т .

В одной из первых серьезных работ по анализу объемно-пространственной композиции на чертеже и в натуре [3] приводится экспериментально полученная кривая для определения недооценки удаленности объектов. Эта кривая представляет собой графическую зависимость а от Ъ, то есть коэффициент сжатия в выражениях (1) и (2).

С целью получения представления о форме сжатого пространства, отождествляемого с субъективным пространством, рассмотрим поведение параллельных прямых при преобразовании реального пространства в субъективное. При построении сжатого образа пучка параллельных прямых исходим из того, что инвариантами преобразования являются принадлежность, непрерывность, прямолинейность лучей центральной связки и форма сферических поверхностей с центром в точке 5-центре сжатия.

Пусть на горизонтальной плоскости (рис. 1) с центром сжатия (точка стояния наблюдателя) расположены два семейства параллельных прямых I, т, п, /и g, для построения сжатого субъективного образа этих прямых построим ряд сфер с центрами в точке 5 и радиусами 2, 4, 6, 8, и 10 км. Так как форма сферы, в соответствии с принятыми условиями преобразования, не изменится, а только уменьшится ее радиус, построим воспринимаемые образы сфер, для чего воспользуемся кривой из работы [3]. В соответствии с ней расстояние 2 км будет восприниматься как 870 м, 4 км - как 1520 м, 6 км - как 2060 м, 8 км - как 3000 м. Используя эти цифры, легко построить сжатые образы выбранных сфер. На рис. 1 сферы показаны тонкой сплошной линией. Цифрами обозначены величины радиусов этих сфер. Пусть прямая т в точках А пересечет сферу радиусом 6 км. Соединим прямой линией точку А с центром 5. Там, где прямая пересечет сжатый образ сферы радиусом 6 км, получим точку А\.

Через точку А1 и аналогичные ей точки проходит кривая т\ - субъективный образ прямой т.

По аналогии с кривой т1 построим кривые пх, 11 / и gl - субъективные образы прямых

т, I, g и/.

Прямая п расположена симметрично прямой т относительно линии 5С. Точки, определяющие положение образов прямых т и п, с увеличением длины этих прямых интенсивно приближаются к линии 5С. Следовательно, можно ожидать, что образы бесконечно удаленных (несобственных точек) прямых т и п расположатся на линии 5С, а в силу симметрии совпадут в районе точки В, которую, по аналогии с теорией перспективы, назовем точкой схода.

По аналогии с линиями 11, т1 и п1 построены образы параллельных прямых / и g. Из расположения точек, определяющих положение кривых/1 и g1, видно, что они с увеличением длины прямых /и g приближаются друг к другу и сходятся в районе точки Е. Расстояние до этой точки схода БЕ нет основания считать отличным от расстояния 5В, так как ни одно из направлений взгляда при плоской предметной плоскости не имеет преимуществ и все точки схода расположатся на линии Ъ - линии горизонта, имеющей форму окружности и представляющей собой образ несобственной прямой - геометрического места несобственных точек прямых, расположенных на предметной плоскости.

Рассматривая построение точки схода В, можно увидеть, что направление взгляда БВ на эту точку параллельно прямым, образы которых сходятся в данной точке. Положение прямых / и g взято произвольным, однако и в этом случае сохраняется параллельность направления взгляда БЕ на точку схода Е, заданной связки прямых. Из чертежа также видно, что криволинейный образ прямой симметричен относительно перпендикуляра к истинному направлению прямой. Ось симметрии БЖ кривой т1 (нижняя часть прямой не построена) перпендикулярна к прямой т так же, как и ось симметрии БО кривой/ перпендикулярна к прямой /.

Рис. 1. Геометрическая модель субъективного пространства

Анализ рис. 1 позволяет сделать следующие выводы о субъективном сжатом пространстве:

1. Форма сжатого отображения прямых непостоянна. С удалением прямой от точки наблюдения и отклонением ее направления от направления луча зрения кривизна образа прямой возрастает.

2. Прямые, проходящие через центр сжатия - точку S, сохраняют коллинеарность.

3. Образы параллельных прямых имеют криволинейную сходимость.

4. Образы прямых, входящих в отображаемое подмножество евклидова пространства, принимают форму, симметричную относительно нормали, проведенной через точку наблюдения к самим прямым.

5. Прямая, удаленная от центра сжатия на неограниченное расстояние (несобственная прямая), в сжатом отображении принимает форму полуокружности, очерченной линией горизонта.

6. Прямые, проходящие в непосредственной близости от центра сжатия, в точке симметрии почти сохраняют свою прямолинейность, что является следствием отсутствия сжатия в окрестностях центра.

7. Образы прямолинейных отрезков небольшой протяженности или близко расположенные к наблюдателю и охватываемые углом зрения 15-20°, имеют незначительную кривизну и могут быть восприняты без искривления.

Исследования формы и свойств субъективного пространства позволили определить его как нелинейно-сжатое. Преобразование реального пространства в субъективное является топологическим. При определении методики создания изображения образа субъективного пространства на плоскости и выбора аппарата проецирования будем исходить из того, что преобразования, выполняемые таким аппаратом проецирования, должны быть взаимнооднозначными и взаимно-непрерывными. Математической базой нелинейной перспективы является не проективная геометрия, а топология.

В результате исследований, проведенных в работах [1,2], был сделан следующий вывод: метод построения нелинейного перспективного изображения должен основываться на центральном проецировании из одного центра, так как только в этом случае сохранится непрерывность

пространственных образов, с использованием поверхности-посредника. Форма поверхности-посредника зависит от степени сжатия пространства, и при ее использовании пропорциональность углов зрения будет соответствовать пропорциональности линейных отрезков картинной плоскости. Данным требованиям отвечает квадратриса Династрата, которая была получена в IV веке до нашей эры для определения квадратуры круга и трисекции угла.

Как правило, реальные объекты содержат вертикальные прямые. Такие прямые редко бывают большой протяженности, относительно горизонтальных прямых, поэтому вопрос о точке схода вертикальных прямых не имеет смысла рассматривать. Мозг всегда воспринимает вертикальные прямые прямолинейными и перпендикулярными к линии горизонта.

Исследования по восприятию вертикальных прямых, проведенные Ю.И. Короевым и М.В. Федоровым, которые описаны в работе [4], показывают, что при вертикальном угле зрения 30-40° их образы практически сохраняют прямолинейность.

Следовательно, поверхность-посредник при ограниченном до 40° вертикальном угле зрения, с достаточной для практического построения точностью, может быть принята цилиндрической с вертикальной образующей, так как только в этом случае при использовании криволинейной поверхности-посредника сохранится коллинеарность вертикальных прямых.

На рис. 2 дано наглядное изображение такого аппарата проецирования.

Рис. 2. Наглядное изображение аппарата проецирования

72

Перпендикулярно предметной плоскости построена поверхность-посредник Е. В качестве направляющей этой поверхности принята квадратриса Династрата ¡\. Точка зрения, расположенная на высоте Н ортогонально, проецируется на предметную плоскость в полярный центр $1 квадратрисы. $1Р1 - полярная ось квадратрисы. Плоскость картины К расположена вертикально. Все пространство между картинной плоскостью и поверхностью-посредником заполнено проецирующими лучами с центром в точке зрения $ Если в этом пространстве имеется точка, то можно построить центральную проекцию этой точки на поверхность-посредник и затем ортогонально перепроецировать полученную проекцию на картинную плоскость.

Пусть некоторая точка А (рис. 2) лежит на предметной плоскости. Тогда, соединив ее с $1, получим точку А1 как точку пересечения построенной линии с линией ¡1, являющейся направляющей поверхности-посредника.

Проведя вертикальную прямую из точки А1 до пересечения с лучом $А, получим А4 - центральную проекцию точки А на поверхность-посредник. Полученную проекцию А4 ортогонально перепроецируем на картинную плоскость в точку Ак..

Так как при ортогональном проецировании поверхности-посредника на картинную плоскость высоты точек не могут изменяться в силу параллельности проецирующих лучей предметной плоскости, то для построения точки Ак, параллельно Si.Pi, проведем прямую А1А3 до основания картины и восстановим перпендикуляр А3Ак, равный А1А4. Для построения точки Ак на плоскости картины можно также провести горизонтальную прямую ¡к, определяющую высоту к искомой проекции.

Эта прямая в точке Ак пересечется с проецирующей прямой А4Ак. и перпендикуляром АзАк.

Рассмотрим изображения различных прямых на картинной плоскости. Пусть такими прямыми (рис. 3) будут вертикальные прямые а и Ь, высотой ¡, принадлежащие предметной плоскости и перпендикулярные картине, прямые й и прямая g, принадлежащая предметной плоскости и вертикальной плоскости из связки проецирующих лучей с центром проекций $ принадлежащие предметной плоскости, прямая т и прямая п, параллельная плоскости картины.

Отметим на предметной плоскости центр проекций, совпадающий с центром квадратрисы, саму квадратрису и назначенные прямые. На картинной плоскости отметим главную точку и построим образы всех прямых.

Анализ образов прямых, построенных на картинной плоскости, показывает, что прямые й и £ перпендикулярные картине, и прямая g, принадлежащая вертикальной плоскости из связки проецирующих лучей с центром 5, сохранили свою прямолинейность. Вертикальные прямые а, Ь сохранили параллельность и прямолинейность образов. Это согласуется с описанными выше особенностями зрительного восприятия.

Сохранение прямолинейности прямых позволяет значительно упростить геометрические операции при построении изображения.

Прямые общего положения получаются несколько искривленными.

Так как построенное при помощи данного аппарата проецирования изображение реального пространства на картине является взаимно-однозначным и взаимно-непрерывным, и только отдельные прямые сохраняют прямолинейность образов, то данное преобразование является топологическим, с наложенными инвариантами, что соответствует рассмотренной модели субъективного пространства.

Получаемые изображения будут метрически определенными и обратимыми.

X

7=--7

Рис. 4. Система координат нелинейной перспективы

Использование рассмотренных особенностей аппарата проецирования позволит любому человеку, имеющему навык построения линейных перспектив, успешно справиться и с задачей построения нелинейной перспективы.

В случаях, когда не требуется высокой точности построений, или требуется быстрота графического решения, как и в линейной перспективе, удобно использовать метод сетки, который подробно описан в учебном пособии [1].

Для построения изображения с помощью ЭВМ необходимо иметь аналитическую зависимость картинных координат от координат предметной плоскости и констант аппарата проецирования.

Пусть на предметной плоскости (рис. 4) в произвольном месте расположена точка А, а над ней, на высоте к - точка В. В этом случае точку А можно принять за ортогональную проекцию точки В на предметную плоскость.

На предметной плоскости построим проекцию q поверхности-посредника, которой является квадратриса Династрата, с параметром а=8Ы1. В точке N на расстоянии с от точки зрения 5 расположим центр системы координат XXX с осью Z, направленной вверх, перпендикулярно предметной плоскости, и осью X, проходящей через точку 5.

На некотором расстоянии от предметной плоскости, перпендикулярно к полярной оси квадратрисы, расположим плоскость картины с системой координат хкук. Пусть Р - главная точка картины, а Р2 - ее проекция на основание картины. Тогда РР2=Н, где Н - высота горизонта. Используя луч, 5А и линии связи А1А2 и 01Б2, построим проекцию точек А и В на поверхности-посреднике, это точки А1°В1 и, перепроецировав их на картинную плоскость, получим точки АК и ВК.

Пусть х, у, г - координаты точки В на предметной плоскости, хк и ук - ее координаты на картинной плоскости, а хк и у'к - координаты точки А на картинной плоскости. Тогда кК=АКВК - расстояние между точками А и В на картинной плоскости, т.е. кк есть превышение на картине точки В над точкой А.

Луч, проецирующий точки А и В на поверхность-посредник, расположен под углом ф к оси X. Опустив несложные выводы, запишем:

2 а у

хк = с + а- — аг^ хт^,

Н

К = х^С .

Полученные формулы позволяют найти картинные координаты произвольной точки в зависимости от их координат х, у, г на предметной плоскости и параметров Н, а и с.

Выбор высоты горизонта ничем не отличается от выбора ее в линейной перспективе, поэтому, как и в линейной перспективе, в большинстве случаев высоту горизонта Н принимают равной средней высоте человеческого роста или расстоянию от земли до глаз предполагаемого зрителя.

Выбор точки зрения 5 определяется направлением взгляда.

Сравнение изображений архитектурных сооружений, построенных по законам линейной перспективы (рис. 5, б) и предлагаемым методом (рис. 5, а) показывает, что применение этого метода приводит к устранению усиленных сокращений и ракурсов, чрезмерной глубины, свойственных линейной перспективе. На рис. 5, б вертикальные отрезки углов зданий на переднем плане в два раза больше отрезков на заднем плане. На рис. 5, а это соотношение значительно меньше, то есть сокращение высоты объектов в глубину близко к воспринимаемому в натуре. Некоторое искривление прямолинейных отрезков глазом не воспринимается.

Рис. 5. Дом Пашкова. Варианты перспективных построений: а - предлагаемый метод; б - линейная перспектива; в - метод Ю.И. Короева

ЛИТЕРАТУРА

1. Бородулина С.В. Нелинейная перспектива. Теоретические основы и практические способы построения изображений: учеб. пособие / С.В. Бородулина, Ю.А. Зайцев, В.С. Полозов. Саратов: СГТУ, 2004. 76 с.

2. Иванов В.С. Наглядные изображения / В.С. Иванов, Ю.А. Зайцев. Саратов: СГТУ, 1994. 160 с.

3. Короев Ю.И. Архитектура и особенности зрительного восприятия / Ю.И. Короев, М.В. Федоров. М.: Гос. изд-во лит. по строительству и архитектуре, 1954. 134 с.

4. Короев Ю.И. Объемно-пространственная композиция в проекте и в натуре / Ю.И. Короев, М.В. Федоров. М.: Гос. изд-во лит. по строительству, архитектуре и строительным материалам, 1961. 138 с.

5. Раушенбах Б.Г. Системы перспективы в изобразительном искусстве. Общая теория перспективы / Б.Г. Раушенбах. М.: Наука, 1986. 254 с.

Зайцев Юрий Александрович -

кандидат технических наук, профессор,

заведующий кафедрой «Начертательная геометрия и компьютерная графика» Саратовского государственного технического университета

Бородулина Светлана Владимировна -

кандидат технических наук,

доцент кафедры «Начертательная геометрия и компьютерная графика» Саратовского государственного технического университета