Применение пакетов символьных вычислений к исследованию оператора одномерной кривизны на нередуктивных однородных псевдоримановых многообразиях

УДК 514.76

Применение пакетов символьных вычислений к исследованию оператора одномерной кривизны на нередуктивных однородных псевдоримановых многообразиях*

О.П. Хромова

Алтайский государственный университет

Application of Symbolic Computation Packages to Investigation of One-Dimensional Curvature Operator on Non-Reductive Homogeneous Pseudo-Riemannian Manifolds

O.P. Khromova

Altai State University

Изучение свойств операторов кривизны, в частности оператора одномерной кривизны, представляет интерес в понимании геометрического и топологического строения однородного (псевдо)риманова многообразия. В общем случае эта задача достаточно сложна. Поэтому приходится накладывать ограничения на класс рассматриваемых многообразий или их размерность. Если размерность многообразия конечна, то представляется возможным применение систем аналитических вычислений. Разработаны математические и компьютерные модели для определения компонент оператора одномерной кривизны и его спектра (множества собственных значений) нередуктивных однородных (псевдо)римановых многообразий конечной размерности. С помощью реализации этого алгоритма в среде пакета Maple исследован спектр оператора одномерной кривизны нередуктивных однородных лоренцевых многообразий размерности 4. Кроме того, определен симметрический оператор, матрица которого соответствует матрице тензора одномерной кривизны, и изучен вопрос о возможных сигнатурах данного оператора на четырехмерных нередуктивных однородных лоренцевых многообразиях.

Ключевые слова: пакеты символьных вычислений, нередуктивные однородные многообразия, оператор одномерной кривизны.

DOI 10.14258/izvasu(2017)1-28

The study of curvature operator properties, in particular, the one-dimensional curvature operator, is interesting for the understanding of the geometrical and topological structure of a homogeneous (pseudo)Riemannian manifold. In general case, this problem is quite difficult. Therefore, it is necessary to impose restrictions either on the class of manifolds or their dimension. An application of analytical calculation systems is possible if the dimension is finite. In this paper, mathematical and computer models for determining the components of the one-dimensional curvature operator and its spectrum (the set of eigenvalues) of non-reductive homogeneous (pseudo)Riemannian manifolds of a finite dimension are developed. The investigation of one-dimensional curvature operator spectrum on non-reductive homogeneous Lorentzian manifolds of dimension 4 is performed by implementing this algorithm in Maple software. Also, a symmetric operator with a matrix corresponding to a matrix of the one-dimensional curvature tensor is defined, and the problem of this operator possible signature existence on four-dimensional non-reductive homogeneous Lorentzian manifolds is studied.

Key words: symbolic computation packages, non-reductive homogeneous pseudo-Riemannian manifolds, one-dimensional curvature operators.

Обозначения и факты. Пусть (M = G/H, g) — нередуктивное однородное псевдорима-ново многообразие размерности n. Обозначим через g алгебру Ли групп Ли G, через — h подалгеб-

* Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты № 16-01-00336А и № 16-31-00048мол_а).

ру изотропии, а через т = Q/h — векторное подпространство (необязательно инвариантное) дополнительное к ^ в д. Пара (0, ()) однозначно определяет представление изотропии р : [) ^ 0'(т) правилом р(х)у = [х, у]т, Ух € [), У € т. Инвариантной псевдоримановой метрике на М соответ-

Применение пакетов символьных вычислений.

ствует невырожденная билинейная форма д на т такая, что р

Л

где отображение v : 0 х 0 ^ т определяется формулой 2д^(х,у),2т) = д(хт, [г,у]т) + д(ут, [г,х]т), для всех х,у,г € 0.

Тензору кривизны связности Л соответствует отображение Д : т х т ^ 01(т) такое, что

Д

Пусть {Нх, Н2,..., Нр, их, М2,..., ип} — базис 0, где {Нд} и {м} базисы [) и т соответственно. Положим [м^мд]т = Мк, [Мг,Мд= АдНе, [Не,Мд]т =

djufc, [ht, Uj]h

jufc, v

Dj Hq, v(Uj,Uj ) wjUk, A(uj)uj

rjufc, A(Ht)uj = Gjuk, g(ui,Uj) = gjj, где i, j, k = 1, 2,. .., n; t, q = 1, 2,. .. ,p.

Тогда из (1), очевидно, выполняется

rk = 24+vj, Gk = 24+vkj,

где ^ = ^»д^ v¿js = 2 Кдд^г + ддч), ^ =

VtjSgsk, Vtjs = -14дддг, г,.?, к, I, в = 1,2, ...,п; 4 = 1,2, . ..,р, и ||дкя|| есть матрица, обратная к ||дкя||.

Равенство (2) может быть записано в виде

) = [ЛЮ, Л(мд)] - (4Л(мк) + ЯДЛ(Не)),

где г, к = 1, 2,..., п; 4 = 1, 2,... ,р.

Тензор Риччи г и оператор кривизны Рич-чи Дгс определяется, соответственно, так: гд = г(м4,мд) = ЕГ=1 Д«г(м8,мд), д(Дге(м4),мд) = г(м»,мд), г,^ = 1, 2,..., п.

Скалярная кривизна вычисляется по формуле вса/ = гд дд, = 1, 2,..., п.

Тензор одномерной кривизны (или тензор Схо-утена) А и оператор одномерной кривизны А определяются, соответственно, равенствами

— A

n2

_1_ ^ _ scal  ffjj

- 2(n - 1)У (4) g(A(uj), Uj) = A(uj, Uj), i, j = 1, 2,..., n.

Изучение свойств оператора A представляет интерес в понимании геометрического и топологического строения однородного (псевдо)риманова многообразия (см. подробнее [2, 3]). В римано-вом случае подобные исследования проводились Д.Н. Оскорбиным, Е.Д. Родионовым, В.В. Слав-ским, О.П. Хромовой [2-4]. Некоторые результаты по исследованию оператора кривизны трехмерных групп Ли с левоинваринтной лоренцевой метрикой получены П.Н. Клепиковым, С.В. Клепиковой, О.П. Хромовой [5,6].

В отличие от случая римановой метрики, где всегда существует ортонормированный базис, в котором матрица оператора А диагональна, в лоренцевом случае могут возникнуть различные варианты, известные как типы Сегре и представляющие собой список размерностей жордановых блоков при записи оператора А в каноническом виде (см. подробнее [7]). Кроме того, для метрики лоренцевой сигнатуры оператор А, вообще говоря, не является симметрическим и, как следствие, может иметь как действительные, так и комплексные собственные значения. Поэтому задача об исследовании сигнатур оператора одномерной кривизны может оказаться корректной лишь для симметрического оператора А, матрица которого соответствует матрице тензора одномерной кривизны.

Теорема 1. [8]Пусть (М = С/Н,д) — однородное лоренцево 4-мерное многообразие, и Н связна. Если М нередуктивно, то пара алгебр Ли (0, [)) изоморфна одной паре из следующего списка.

А1. Алгебра Ли 0 есть алгебра в/(2, М) ф в(2) размерности пять (где в(2) — двумерная разрешимая алгебра) с ненулевыми структурными уравнениями [в1,в2] = 2в2, [ех,ез] = -2ез, [е2, е3] = ех, [е4, е5] = е4. Алгебра изотропии Ь = врап{ез + в4}.

А2. Алгебра Ли 0 есть однопараметрическое семейство пятимерных разрешимых алгебр Ли А-5,30 с ненулевыми структурными уравнениями [в1,в5] = (а + 1)в1, [в2,в4] = в1, [в2, в5] = ав2, [вз,в4] = в2, [ез, в5] = (а - 1)ез, [в4, в5] = в4, где а € М. Алгебра изотропии [) = врап{е4}. А3. Алгебра Ли 0 есть одна из пятимерных разрешимых алгебр Ли А5,з7 или А_5,зв с ненулевыми структурными уравнениями [ех,е4] = 2ех, [е2,ез] = еь [е2,е4] = е2, [е2,е5] = -еез, [ез, е4] = ез, [ез,е5] = е2, где е = 1 для А5,з7 и е = -1 для А5,зв. Алгебра изотропии Ь = врап{ез}.

А4. Алгебра Ли 0 есть алгебра в/(2, М) к п(3) размерности пять (где п(3) — трехмерная алгебра Гейзенберга) с ненулевыми структурными уравнениями [ех,е2] = 2е2, [ех,ез] = -2ез, [е2,ез] = еь [еье4] = е4, [еье5] = -е5, [е2,е5] = е4, [ез,е4] = е5, [е4,е5] = ев.

Алгебра изотропии [) = врап{ез + ев,е5}. А5. Алгебра Ли 0 есть алгебра в/(2,1 размерности семь с ненулевыми структурными уравнениями [ех,е2] = 2е2, [ех,ез] = -2ез, [е2,ез] = еь [еье5] = -е5, [еьев] =

ев, [е2,е5] = ев, [ез, ев] = е5, [е4,е7] =

2е4, [е5,ев] = е4, [е5,е7] = е5, [ев,е7] = ев. Алгебра изотропии [) = врап{ех + е7, ез - е4, е5}.

Основные алгоритмы. В решении задачи об исследовании спектра оператора одномерной

К о

V

кривизны на нередуктивных однородных псевдо-римановых многообразиях можно выделить следующие основные этапы: 1) вычисление компонент тензора одномерной кривизны Л; 2) нахождение оператора одномерной кривизны А; 3) определение собственных значений (спектра) оператора А.

Таким образом, для нахождения оператора одномерной кривизны конечномерных нередуктив-ных однородных псевдоримановых многообразий необходимо реализовать следующую схему:

Задача: найти компоненты оператора кривизны

Математическая модель:

A = Ajj gjl, _ 1 f seal  gij

Aij = о

n — 2

seal

ij

= ri

jg

E

ij

ij 2

S=1 Rsi(us, uj )?

= 1, 2,..

,n,

где Aj - компоненты оператора одномерной кривизны,

R(ui,uj) - компоненты оператора кривизны, Aij - компоненты тензора одномерной кривизны, rij - компоненты тензора Риччи, seal - скалярная кривизна,

gij ^sk

компоненты метрического тензора, компоненты кометрического тензора

Математическая модель:

R(uj,uj) = [ЛМД^)] - (dkjЛ(ик) + DjЛ(Ы)),

гк

Г ij

Л(щ) = (rkj), Л(Ы) = (Gkj),

ij 'ij'

vk = vijsgsk

1 dk 2 dij

Gkj

vkj =

1 dk 2 dtj

s

V.

vtjsg

1 (dsjgil + d'sigjl) , vtjs = - 1 dltsgjU

структурные константы,

(ij ijs js = 2 \dsj _

где dkj, Dj, dj

gij и gs - компоненты метрического

и кометрического тензоров соответственно, V-, - компоненты отображения V, Т%, О^у - компоненты связности Л, К(щ,Пу) - компоненты оператора кривизны, р и п - размерности подалгебры изотропии и ее дополнения соответственно, г,2,к,1, в = 1, 2,.. . ,п; Ь = 1, 2, .. . ,р

Применение систем компьютерной математики:

1) пишем процедуру для отыскания компонент оператора кривизны; 2) задаем массивы структурных констант (<к^), (Б^), (<1^), метрический тензор (д^) и находим компоненты тензора кривизны

Задача: найти компоненты оператора одномерной кривизны А нередуктивных однородных псевдоримановых многообразий

Применение систем компьютерной математики:

1) пишем процедуру для отыскания компонент оператора одномерной кривизны; 2) используя найденные выше компоненты оператора кривизны и метрического тензора, находим оператор одномерной кривизны

Решение задачи на каждом этапе проводилось согласно следующему алгоритму. Первоначально строилась удобная для вычислительной работы модель исследуемого объекта. Далее разрабатывалась программа в среде пакета аналитических вычислений Maple. На следующем шаге производился анализ полученных результатов. После чего делался вывод о структуре изучаемого объекта или о возможности уточнения модели.

Оператор одномерной кривизны нередуктивных однородных лоренцевых многообразий размерности 4. При помощи описанных алгоритмов и пакета символьных вычислений Maple вычислен и исследован спектр оператора одномерной кривизны A нередуктивных однородных лоренцевых многообразий размерности 4. Кроме того, определен симметрический оператор A, матрица которого соответствует матрице тензора одномерной кривизны, и изучен вопрос о возможных сигнатурах данного оператора на четырехмерных нередуктивных однородных лоренце-вых многообразиях.

Теорема 2. Пусть (M = G/H,g) — нередук-тивное однородное лоренцево 4-многообразие, и H связна. Тогда спектр оператора одномерной кривизны A на M содержится в конечном списке.

I

I

I

I

Применение пакетов символьных вычислений...

Доказательство. Проверим истинность теоремы 2 для случая А2. В силу теоремы 1 подалгебра изотропии h = span{hi = e4}. Возьмем m = span{ui = ei,U2 = e2 ,из = €3,44 = e5}. Тогда ненулевые структурные уравнения будут иметь вид [ui,u4] = (а + 1)ui, [u2,u4] = аи2, [u3, u4] = (а — 1)u3, [hi,u2] = -ui, [hi,u3] = —u2, [hi,u4] = hi. Используя инвариантность псевдоримановой метрики, находим форму метрического тензора относительно базиса {ui} g = / 0 0 —а 0\

0 а 0 0 ,/пгг

, , ad = 0. Применяя изложен-

—а 0 bc

\0 0 c d) ный выше алгоритм и его реализацию в среде пакета символьных вычислений Maple, вычисляем ромпоненты оператора одномерной кривизны A =

0 -

а d

0 0

b(3a-2) 2ad 0

а2 d

0

\

7

где ad = 0, а G

Приведя матрицу оператора A к жордано-

вой форме A

1

af. d

0

\

d=

0 о

V 0 0 0 - от)

0, а € М,получаем требуемое.

Теорема 3. В качестве сигнатур оператора тензора одномерной кривизны А на четырехмерном нередуктивном однородном лоренцевом многообразии типа А2 реализуются только сигнатуры

вида (—, 0, 0, 0), (0,0, 0, 0), (0,0, 0, +), (-, -, -, +), (-, -, +, +).

Доказательство. Характеристический многочлен матрицы оператора А имеет вид — ц^з (2х1 + аа2)В(х), где В(х) = рх3 + дх2 + гх + в, р = —812 < 0, д = —41, (а2(Ь + 1) + 6(2 — 3а)) ,г =

2а2(а2(а2 + с2 — Ь1) — Ь1(2 — 3а), в = а2а6, а1 =

2

0, а € М. Откуда, очевидно, а\ = — аз и а2аза4 =

2 6

а8ат > 0. При этом равенство нулю достигается только при а = 0.

Пусть а = 0. Тогда характеристический многочлен преобразуется к виду ^Т (12х3 + Ь1х2 ), и собственные значения = а,2 = аз = 0, а4 = — 3. Таким образом, реализуются сигнатуры ( — , 0,0, 0), (0,0, 0, 0), (0,0,0, +). Если же а = 0, то а2а3а4 = аТрт > 0, и для В(х) необходимо проверить возможность сигнатур (+, +, +) и (—, — , +).

Покажем, что сигнатура (+, +, +) не реализуется для В(х). Предположим противное, т.е. а1 > 0, г = 2,3,4. По тео-

4<1

реме Виета имеем----- >

п а2(а2(а2 + с2-ЬЗ)-ЪЗ(2-3а) ^ п тт

0,---—-—!—---'- > 0. Что приводит

к противоречию и доказывает невозможность сигнатуры (+, +, +) для В(х).

Непосредственной подстановкой проверяется, что при а = а = 1 =1, Ь = с = 0 собственные значения = а2 = аз = — ^, а4 = ^, а при а = а = 1, 1 = — 1, Ь = с = 0 выполняется а! = а4 = 1, а2 = а3 = — 1. Это подтверждает возможность сигнатуры ( — , —, +) для В(х) и завершает доказательство теоремы.

2

а

Библиографический список

1. Кобаяси Ш., Номидзу К. Основы дифференциальной геометрии. Т. 2. — М., 1981.

2. Родионов Е.Д., Славский В.В. Одномерная секционная кривизна римановых многообразий // ДАН. — 2002. — Т. 387, №4.

3. Воронов Д.С., Гладунова О.П. Сигнатура оператора одномерной кривизны на трехмерных группах Ли с левоинвариантной римановой метрикой // Известия Алтайского гос. ун-та. —

2010. — № 1/2.

4. Оскорбин Д.Н., Родионов Е.Д., Хромова О.П. О спектре операторов кривизны конформно плоских групп Ли с левоинвариантной рима-новой метрикой // Доклады Академии наук. — 2015. — Т. 461, №5.

5. Клепиков П.Н. О допустимых значениях спектра оператора одномерной кривизны трех-

мерных групп Ли с левоинвариантной лоренцевой

метрикой // Математика и ее приложения: фундаментальные проблемы науки и техники : сборник трудов Всерос. конф., Барнаул, 24-26 ноября, 2015. - Барнаул, 2015.

6. Клепикова С.В., Хромова О.П. О спектре оператора тензора одномерной кривизны ле-воинвариантных лоренцевых метрик трехмерных групп Ли // Математика и ее приложения: фундаментальные проблемы науки и техники : сборник трудов Всерос. конф., Барнаул, 24-26 ноября, 2015. - Барнаул, 2015.

7. Stephani H., Kramer D., MacCallum M., Hoenselaers C., Herlt E. Exact Solutions of Einstein's Field Equations. — Cambridge, 2003.

8. Fels M.E., Renner A.G. Non-reductive Homogeneous Pseudo-Riemannian Manifolds of Dimension Four // Canad. J. Math. — 2006. — Vol. 58 (2).