Симметрии одного класса квазилинейных уравнений псевдопараболического типа. Инвариантные решения

СИММЕТРИИ ОДНОГО КЛАССА КВАЗИЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ ПСЕВДОПАРАБОЛИЧЕСКОГО ТИПА. ИНВАРИАНТНЫЕ РЕШЕНИЯ

Проведен симметрийный анализ одного квазилинейного псевдопараболическо-го уравнения со свободным элементом, зависящим от второй производной по пространственной переменной. Найдено четырехмерное ядро основных групп уравнения и спецификации свободного элемента, приводящие к пятым симметриям. Вычислены оптимальные системы одномерных подалгебр основных алгебр Ли уравнений и их некоторые инвариантные решения.

Ключевые слова: группа симметрий дифференциального уравнения, групповой анализ, алгебра Ли, оптимальная система подалгебр, инвариантное решение.

1. Введение

Допускаемая группа локальных преобразований характеризует свойства симметрии дифференциального уравнения, обыкновенного или в частных производных, и используется для его полного интегрирования или построения отдельных классов точных решений и качественного исследования уравнения [1-4]. Симметрии различных уравнений и систем уравнений механики, электродинамики, квантовой физики и других разделов естествознания исследовались такими авторами, как Л. В. Овсянников [1], Н. Х. Ибрагимов [2; 3], и многими другими исследователями (см., например, монографии [5-7] и ссылки там же).

Аналогичные исследования для псевдопараболических уравнений, часто встречающихся в теории фильтрации [8], в последнее время — при описании различных процессов в теории полупроводников [9], ранее не проводились, насколько это известно авторам. Данная работа посвящена проведению группового анализа квазилинейного псевдопараболического уравнения

ащ

с двумя независимыми переменными х, с одной зависимой переменной и, с произвольной константой а = 0 и с произвольной функцией /. Такой вид при /(г) = г имеет, например, уравнение Баренблатта-Желтова-Кочиной [10], моделирующее динамику давления жидкости, фильтрующейся в трещиноватопористой среде.

Методом Ли-Овсянникова [1; 7] в случае а = 0 найдено четырехмерное ядро основных групп уравнения (1.1) и три спецификации свободного элемента

Работа выполнена при поддержке РФФИ и Министерства образования и науки Челябинской области (грант 10-01-96007-р_урал_а).

f, дающие дополнительные, пятые симметрии. Для этих спецификаций исследована соответствующая пятимерная алгебра Ли, найдены внутренние автоморфизмы и оптимальные системы одномерных подалгебр. Последние использованы для нахождения некоторых инвариантных решений рассматриваемых квазилинейных уравнений. Затем, с помощью многомерных допускаемых групп преобразований в каждом случае из инвариантных решений получены многопараметрические семейства решений уравнений, применение которых удобно на практике при использовании дополнительной информации о решениях (начальные, краевые условия и др.).

2. Группа преобразований эквивалентности

Рассмотрим класс уравнений вида

aut — — f

содержащий функцию u = u(x,t) от двух переменных, ее частные производные,

производный элемент a G R\{0} и произвольную функцию f. Сразу заметим, что в случае линейной функции f или при a = 0 рассматриваемое уравнение имеет бесконечномерную допускаемую группу и исследование этих случаев выходит за рамки интересов данной работы.

Найдем обобщенные преобразования эквивалентности уравнения (2.1). Для этого запишем его в виде

aut — utxx — f = 0

подразумевая, что a, f — это дополнительные переменные, зависящие от t, x,

u, ut, ux, utt, utx, uxx. Генераторы групп преобразований эквивалентности будем искать в виде

д д д д д

Y = T5t + саХ + 45U + .f + "si'

где функции т, £, п зависят от t, x, u, функции ., v зависят от t, x, u, f, a, ut, ux, utt, utx, uxx. Дополним уравнение (2.2) уравнениями

ft = 0, fx = 0, fu = 0, fut = 0, fux = 0, futt = 0, futx = 0,

at = 0, ax = 0, au = 0,

aut 0, aux 0 autt 0, autx 0, auxx 0,

означающими, что в исходной постановке задачи f зависит только от uxx, а a является постоянной величиной.

Будем рассматривать систему (2.2)-(2.5) как многообразие N в расширенном пространстве соответствующих переменных. Подействуем на левые части уравнений системы (2.2)-(2.5) продолженным оператором

Y , .J д , ,-txx д , ..t д , ..x д , ..u д ,

К Y + ^я-------+ ^ я-------------+ . яГ + . яГ" + . яГ"+

дut дutxx дл д/х S/u

д д д д д д д

+ .ut_ + .u^^^ , uutt^_ , .utx д , , vu^ ,

д f + . д f + . д f + . д f + vдa + v дa + V дa +

д/ut S7«x д/utt д/шх дat дax дau

д д д д д

+v«-------+ v--------+ v« “---------+ v--------+ v« xx------,

1 r\ 1 О 1 О I r\ I 5

даи£ даи x даи££ да «tx даи xx

сузим результат действия на многообразие N и получим уравнения

vu* + а<£* — ^*хх — v|N = 0,

V^n = 0, V^n = ° V« |n = °

vux |n = 0, vutt |n = 0, vutx |n = 0, vuxx |n = 0.

Коэффициенты оператора Y могут быть вычислены по формулам продолжения, использующим операторы дифференцирования:

д д д д д д д д д D* = 777 + u*^-----+ 7*^7 + а*^-+ u** о-----------+ + а**^-+ и*х^----------+ Лх^Т- + . . . ,

c)t ди д / да ди* д /* да* дих д /

— д д j д д д / д д д „ д

—х — Тч + их Тч + ^ /. + ах + и*х о + Jtx ГЛ  + а*х о + ихх ^ + „хх ^ + . . . ,

дх ди д / да ди* д /* да* дих д /х

Y д д д Y д д д

D* = 777 + + а* о + . . . , —х = т; + + ах^---+ . . . ,

д£ д/ да дх д/ да

Y = д f д д - = д f д д

Dи т; + 7 ^ <• + а«^ + ..., D«t т; + Jut о i* + аш ^ + ...,

ди д / да ди* д / да

- = д 7 д д - = д 7 д д

Dux = дих +/ux 57 + ^ да +..., Dutt = ди; + /utt д/ + а«“ да +...,

Y = д 7 д д

-utx = ди*х + 7utx 7 + ^ да + ...,

- = д/д д / д

«xx ди + 7«x1 д / + ^xx да + 7uxx«xx д / + ...

XX J J«xx

Согласно формулам продолжения

<£* = D*(n) — и*—*(т) — UxA(£ ), ^х = -х(п) — и*—ж(т) — их—х(С),

^XX = Д*М — и*х-х(т) — ихх-х(С), ^ = -*(^хх) — и*хх-*(т) — ихххА(£),

поэтому

^* = n* + и*n« — и*т* — utT« — ихС* — и*их^и,

^х = пх + ихп« — и*тх — и*ихт« — ихСх — их 2Cм,

^ Пхх + 2ихПх« + их П«« + иххП« и*тхх

— 2ихи*тх« — 2и*хтх — и*их2т«« — 2ихи*хт« — и*иххт« —

ихСхх 2их Сх« 2иххСх их С«« Зuжuжжlъ«,

^*хх = п*хх +

ихП*х« и*т*хх и*их Т*х« ихС*хх их С*х« +

+ их П* ж« + их П*«« и*ихТ*х« и*их Т*«« их С*х« их С*«« и*хт*х

их и*хт*« + иххП*« и*иххт*« ижж С*х 2и хиххС*« и*хт*х

Мхи*хт*„ Мхх С*х ижижжС*« + М*П хх« х«« <тхжи

<ижтхии М*МхСхх« М*Мх Сх«« + М*Мхпх«« + М*Мх ^адиад

2 2 2 2с 3с

- М ижтжии - М Мх тиии

м* Мх Цх««

м* Мх С««« и*и*х тх«

и*ихи*ХТии + М* Мххп «« Мххтии М*МххСх« 2м* ихиххС««

М* М*хтх« М*ихи*хт«« М*МххС х« иіихихх^пп Мйтхх

2 I

МхМ**тхи МхМ**тхи Мх М**т«« М**Мххти + М*х^хи М*М*хтхи

М*хЦхх 2мх М*хЦхи + М*х ^хи + 2мхм*хпии М*М*хтхи 2М*МхМ*хГии

2мхМ*хСхМ 3мх М*хСии М*х т« 2и*хиххСи М*х т« М*х МххЦи

М**хТх МхМ**хТ« М**хТх МхМйхТ„ + М*ххП« М*М*ххти

М*ххЦх 3МхМ*ххС« М*ххЦх ШххП

М*М*ххти МхххЦ* М*МхххСи-

Аналогично,

^ — /*-^*(Г) — /х-О* (С) — /м-С)*(П) — /«4 А(^*)-

- /«х АМ — /„44 А(^) — /«4х А(^) — /ихх А(^),

^х = -°х(^) — /*-°х(т) — /х-°х(С) — /«-°х(п) — У« -А(^) —

— Ах 1 х(^х) — /М44 А^О — /„4х 1 х(^*х) — /ИіІ А^^-

= А(^ — ЛА(т ) — /х-°„(С ) — /„-°„(п) — Уи А(^) —

—/их АМ — У„44 А(^) — /«4х А (^) — /„хх А^),

^“4 = (^) — //А« (т) — Ух-0„4 (С) — /„-0„4 (п) — У„4 А4 (^*) —

— У„х А4 (^х) — У«44 А4 (^*4) — У«4х А4 — У«хх А4

^„х = °)„х (^) — /*_0„х (т) — /г1„х (С) — У«1«х (П) — У«4 1«х (^*) —

— У„х 1«х (^х) — У«44 1«х (^*4) — У«4х 1«х (^*х) — У«хх 1«х

^“44 = А44 (^) — /і-0„44 (т) — /х-0„44 (С) — /„-і„44 (п) — У«4 -^«44 (^І) —

— /„х і«44 (^х) — /„44 і«44 (^“) — /„4х ^0„44 (^) — /„хх ^0„44 (^хх),

^„4х = _1«4х (^) — «4х (г) — ух1 „4х (С) — /«_1«4х (п) — у„4 О^ (^) —

— У„х О«4х (^х) — У«4х О«4х (^** ) — У«4х О«4х — У«хх -0«4х ),

= -°*(^) — а*-°*(т) — ахО*(С) — а«-° *(П) — • • • -

^х = -°х(^) — а*-° х(т) — ах-° х(С) — а«-°х(п) — • • • -

«(У) — а*-° «(т) — ах (С) — а« (п) — • • • -

^«4 = «4 ) — а*-°«4 (т) — ах-°«4 (С) — а«-°«4 (п) — • • • -

^„х = ^°«х ) — а*_0„х (т) — ах-0„х (С) — «„-^„х (П) — • • • -

= 0ии (V) — а*-0«44 (г) — аж°ии (С) — аи°и44 (п) — • • • ,

^и4* = 2^и(х (V) - а£°и4х (т) - «1-0и41 (С) — «и-0и4х (п) — • • •,

^и** = °ихх (V) — а4°>ихх (т) — «Ж0и** (С) — аи-°и** (п) — • • •

Уравнениям (2.7)—(2.10), таким образом, можно придать более простой вид, учитывая, что в определение многообразия N входят уравнения (2.3)—(2.5):

Г~\ Г~\ гу>гу> г~\ Г~\ гу>гу> Г~\ Г~\ гу>гу>

д^_ * д^жж _ * д^ = 0 _ * д^ = 0

д* /ихх д* ’ дх /ихх дх , ди /ихх ди ,

Г~\ Г~\ гу>гу> Г~\ Г~\ гу>гу>

д^!! = 0 д^!! = 0

ди ^ихх дш 0 ди ^ихх ди

!!

д^ * д^!! 0 д^ * д^ 0

'д-----/и**^— = 0, ~------/и*х^---- = 0, ^ ^

ди« д«Й ди^ж ди^ж

^и** + /и*х V/ = 0

Перейдем к уравнению (2.6), подставив в него найденные и ^¿жж и выразив

«¿жж из уравнения (2.2):

+ а(П* + «¿Пи — — и2ти — иж^ — и*ижСи) —

^¿ЖЖ и! п*жи + и4т4жж + и4ижт4жи + «Ж^ЖЖ + иж Ц£жи

2 2 2 / 3 /

«ж^жи иж п*ии + иижт4жи + и4иж т4ии + иж Ц^жи + иж Ц^ии + и*жт*ж +

+ижи4жт4и «жжП/и + и ижжт/:и + «жж^ж + 2ижижжЦ4и + и4жт4ж +

+ижи4ж т4и + ижж&ж + ижижж6и «¿Пжжи «¿«ж^жии + тжжи+

+и2 'ижтжии + «¿«жС жжи + ииж Цжии иижП жии ииж пиии+

+М*2МжТжии + «^«ж^иии + «¿«ж^жии + «¿«ж^иии + «и4жТги+

+и*ижи*жтии «¿«жж^ии + и£ ижжтии + uíuжжСжu + 2и^ижижжЦии +и4и4жтжи + uжuíжтuu + UÍUЖЖСЖU + «¿«ж^жж Ции + «¿¿тжж +

+ижи«тжи + uжuííтжu + иж Uííтuu + uííuжжтu uíжnжu + и^жтжи +

+uí жЦжж + 2иж UÍЖСЖU uíжnжu 2uжuíжnuu + UÍUÍЖTЖU + 2и^и

жи4жтии+

+ 2uжuíжСжu + 3иж UÍЖСUU + «¿ж ти + 2uíжuжжСu + «¿ж Ти + UÍЖUЖЖСU +

+и**жГж + ижи«ж ти + «¿¿жтж + ижи«ж ти — (аи* — * )Пи + и*(аи* — * )ти+

+ 2(аи* — * )Цж + 3иж(аи* — * )Ци + (аи* — * )т +

+и*(аи* — * )ти + ижжжС* + «¿«жжж^и — ^ = 0^

Сразу заметим, что коэффициентами при выражениях «¿¿ж, мжм**ж, ижжж, м*мжжж являются соответственно выражения 2тж, 2ти, ^¿, Ци. Поэтому т = т(*), Ц = Ц(х). Тогда многие производные в полученных выражениях обнулятся и останется уравнение

+ а(П + и* Пи — и*т*) — Пжж — 2ижП*жи — «ж2П*ии — ижжП*и-

uuu uixnxu +

+uix£xx — ^ix^xu — 2uxuix Пии — (aui — / )nu+

+2

При этом уравнения (2.12)—(2.14), учитывая вид функции ^xx в (2.11), можно расписать в виде

ßt f

ßx f

ßu f

ßux f

ßut ßutt ßutx 0.

Учитывая, что в силу (2.21) в уравнении (2.16) uix — свободная переменная, приравняем коэффициент при ней к нулю:

Cxx 2^xu 2ux^uu °.

Здесь свободной переменной уже является ux, поэтому nuu = 0, n(t,x,u) — a(t, x)u + b(t,x), где a, b — некоторые функции. Тогда £w(x) — 2ax(t,x), aix(t,x) = 0, n(t,x,u) — c(t)u + 1 ^(x)u + b(t,x). Тогда уравнения (2.16)-(2.21) примут вид

vut + a(nt + ut^u — utTt) — ntxx — uxx^iu — utnxxu —

—

ßi f (uxx) (nixx + uxxniu) — 0, ßx f (uxx) (nxxx + ^xx^xu 2uxxCxx) 0,

ßu f (uxx)nxxu 0, ßux = 0.

Коэффициент при ut в уравнении (2.22) дает равенство

V + 2<' (x) — 1 C"/(x) = 0.

Тогда vuxx = Vf = 0. В силу (2.14) vx = 0, поэтому £/w(x) — 4a£"(x) = 0,

£ = 2cix + c2 + c3e^A'/ax + c4e-2V“x,

П = c(t)u + c1u + c^Väe^A'/axu — c4^/ae-2A,/axu + b(t, x), v = —4ac1. Остались уравнения

a (bt (t,x) + С (t)u) — btxx (t, x) — UxxC (t) +

+/

^ У (ижж) (Ь4жж(^ х) + ижжс (*)) 0,

^ж - /'(«жж)(Ьжжж(*,х) + 8сза2е2л/“жи + 8с4а2е-2л/“жи—

—6ижжс3ае2л,/аж — 6ижжс4ае-2л,/аж) = 0,

^и — /,

Выразим ^ из уравнения (2.23) и подставим в (2.24). Получим

с (*) — / (ижж)(4сз^ае2^аж — 4с4^ае-2^аж) = 0-

Продифференцировав по х, получим равенства с3 = с4 = 0, С(*) = 0,

С = 2с1х + с2, п = (с + с1)и + Ь(*,х),

^ = а64(*,х) — 64жж(*,х) + /(ижж)(с — 3С1 — т (*)),

^ — /

^Ж У ^ЖЖ^ЖЖЖ^ х) ------- 0

Подставим ^ в последнее уравнение. Если Ьжжж = 0, то / линейно зависит от

ижж. Такой случай нас не интересует, поэтому Ьжжж = 0, а значит, и 64ж(*, х) = 0. Следовательно, &(*, х) = ^х2 + дх + Л(*), п(*, х, и) = (с + с1)и + ^х2 + дх + Л(*), и, подставив ^ в уравнение (2.25), получим

аЛ"(*) — / (мжж)т"(*) = 0^

Так как //(ижж) = 0, дифференцируя это уравнение по ижж, получим т/;(*) = 0, т = к* + /. Тогда Л, = т* + п, п(*, х, и) = (с + с1)и + ^х2 + дх + т* + п,

^ = ат + (с — 3с1 — &)/•

Получено девятимерное пространство решений. Отметим, что в процессе вычислений не выявилось нелинейных спецификаций функции / или ненулевых спецификаций а, приводящих к расширению искомой группы. Поэтому найденные обобщенные преобразования эквивалентности совпадают с универсальными преобразованиями эквивалентности. Выбирая в пространстве решений базис подходящим образом, получим следующее утверждение.

Теорема 1. Базис алгебры Ли инфинитезимальных операторов групп преобразований эквивалентности уравнения аи — «¿жж = /(ижж) образуют операторы

У д V д V д V д

^1 = 777, ^2 = — , ^3 = —, V = х — ,

д* дх ди ди

д , д д д д д д ^ 5 = ¿ — — / 7—7 , Уб = А + а^— , У7 = « —---------+ / -7— + Мжж"

— б 7 жж

д* д/ ди д/ ди д/ ди

д д д д д

+ 2— , Уд = х— + 2и— 2а—•

ди дмтт дх ди да

жж

Отсюда следует, что базис ядра основных алгебр Ли уравнения (2.1) составляют операторы У1, У2, У3, У4, которые не содержат дополнительных переменных

f, иЖЖ.

Следствие 1. Базис ядра основных алгебр Ли уравнения аи — = f

образуют операторы

д д д д

X = X = тт, Хз = —, Х4 = ж—. дг дж ди ди

3. Дополнительные симметрии

Возьмем фактор-алгебру алгебры Ли из теоремы 1 по ядру основных алгебр. Она имеет базис

7 7 7 _ 9 7 _ 9 7

71 _ 72 _ а^7) 73 _^-----) 74 _ --) 75 _ а^~•

д/ д/ дихх дихх да

Заметим сразу, что для любого элемента ^ этой алгебры с ненулевым коэффициентом при ^5 при разложении по базису равенство X(А — а)|/=^,а=А _ 0 означает, что а _ А _ 0. Нас этот случай не интересует, поэтому сразу исключим ^5 из рассмотрения. Таблица коммутаторов [Zi,Zj] _ ZiZj — Zi для оставшейся четырехмерной алгебры Ли имеет вид

Х2 X со 4

0 — Х2 0 0

^2 Х2 0 0 0

^3 0 0 0 X со

Х4 0 0 — 3 со 0

Ненулевыми структурными константами являются с^2 = —1, с^1 = 1, с34 = 1, с33 = —1. По формуле Еа = с^ евд“7 найдем генераторы внутренних автоморфизмов алгебры Ли

д д д д

Еі = — е2^, Е = е1 —, Ез = е4 —, Е = — е3 —.

де2 де2 де3 де3

Интегрируя системы уравнений Ли, вычислим сами внутренние автоморфизмы е2 = е2е-а1, е2 = е2 + а2е1, е3 = е3 + а3е4, е3 = е3е-“4.

Найдем оптимальную систему одномерных подалгебр, базис которых будем

4

задавать в виде X = ^ ек^ или, эквивалентно, X = (е1,е2,е3,е4).

к=1

1. Пусть е1 = 0, тогда действием второго из внутренних автоморфизмов

(3.1) можно добиться равенства е2 = 0.

1.2. Если е4 = 0, получается базисный вектор X = (1, 0,0,6), где 6 Є К,

6 = 0.

1.2. Если е4 _ 0, то базисный вектор имеет вид Z _ (1, 0,1, 0) или Z _ (1, 0, 0, 0).

2. Пусть е1 _ 0, тогда возможны следующие случаи.

2.1. При е4 _ 0 имеем е3 _ 0, Z _ (0,1, 0,1) или Z _ (0, 0, 0,1).

2.2. Для случая е4 _ 0 получаем возможные значения базисного вектора Z _ (0,1,1, 0), Z _ (0,1, 0, 0), Z _ (0, 0,1, 0).

Оптимальную систему 01 одномерных подалгебр образуют подалгебры с базисными векторами

Z2, Zз, Z4, Zl + Zз, Z2 + Zз, Z2 + Z4, Zl + 6Z4, Ь Е К.

Для каждого из этих операторов Z вычислим выражение

Z (Г (мжж) — / )|/=^ («хх},а=А.

Приравнивая его к нулю, найдем следующие нелинейные спецификации Г свободного элемента / (см. [3; 7]).

Оператору Z1 + Z3 соответствует уравнение Г' _ Г, т. е. спецификация / _ Г (мжж) _ Се“хх. В алгебре Ли генераторов преобразований эквивалентности этот оператор является проекцией оператора — У5 + 2У8. Его проекцией на пространство переменных (¿,ж,и) с точностью до множителя является

X» — х2Г-

дм

Для оператора Z2 + Z4 получим уравнение м^Г' _ А, спецификацию / _ Г(мжж) _ а 1п |мжж| + С и соответствующие операторы У5 + У6 + У7,

дд х +<( + и) дМ-

Оператору Z1 + ЬZ4 соответствует уравнение Ьм^Г' _ Г и при Ь _ 0 спецификация / _ Г (мжж) _ См^ж, а _ Ь-1. В этом случае имеем соответствующие операторы (Ь — 1)У5 + ЬУ7,

дд х _(Ь — 1)(д; + Ь

В первом и третьем случаях с помощью преобразований эквивалентности, соответствующих оператору У5, получим константу С _ 1 для специализаций /. Во втором случае константу С _ 0 получим с помощью преобразования эквивалентности из группы, порождаемой оператором У6.

Найдем теперь оптимальную систему 02 двумерных подалгебр. Для этого будем выбирать поочередно базисные векторы одномерных подалгебр и искать второй приемлемый базисный вектор для двумерной алгебры.

Пусть операторы Z2 и е1 Z1+e3Z3+е^4 образуют базис двумерной подалгебры. Тогда, используя таблицу коммутаторов и условие замкнутости подалгебры относительно умножения Ли, получим

^2, e1Zl + e3Zз + e4Z4] _ e1Z2 _ аZ2 + в(е1 Zl + e3Zз + е4Z4)•

Отсюда а = е1, в = 0. При е4 = 0 с помощью автоморфизма (3.1) можно сделать е3 = 0. Тогда получится подалгебра с базисом (Х2, 6Х1 + Х4), Ь Є К. Если е4 = 0, то базисами будут (Х2, Х1 + Х3), (Х2, Х1), (Х2, Х3).

Теперь базис будем искать в виде (Х3, е1Х1+е2Х2+е4Х4). Получим [Х2, е1Х1 + е2Х2 + е4Х4] = е4Х3 = аХ3 + в(е1Х1 + е2Х2 + е4Х4). Тем самым в = 0, а = е4. С учётом внутренних автоморфизмов допустимы новые базисы двумерных подалгебр вида (Х3, Х1 + ЬХ4), (Х3, Х2 + Х4), (Х3, Х4).

Рассмотрим базис двумерной подалгебры вида (Х4, е1Х1 + е2Х2 + е3Х3). Тогда [Х4,е1Х1 + е2Х2 + е3Х3] = —е3Х3. Новым базисом будет (Х4, Х1).

Пусть базис имеет вид (Х1 + Х3, е2Х2 + е3Х3 + е4Х4). Тогда

[^1 + ^3, е2^2 + е3^3 + е4^4] = —е2^2 + е4^3 =

= а(^1 + ^) + в(е2^2 + е3^3 + е4^).

Отсюда следуют уравнения а = 0, (в + 1)е2 = 0, ве3 — е4 = 0, ве4 = 0. Если в = 0, то е2 = е4 = 0 и новых подалгебр не получится. Если в = 0, то е4 = е3 = 0 и также не будет новых подалгебр.

Если базис имеет вид (Х2 + Х3, е1Х1 + е2Х2 + е4Х4), то

[^2 + ^3 ,е1^1 + е2^2 + е4^4] = е1^2 + е4^3 = а(^2 + Х?) + в(е1^1 + е2^2 + е4^).

Поэтому ве1 = 0, а + ве2 = е1, а = е4, ве4 = 0. Пусть в = 0, тогда е1 = е2 = е4 = 0 и подалгебр нет. Если в = 0, то е1 = е4. Новый базис — (Х2 + Х3, Х1 + Х4).

Рассмотрим базис двумерной подалгебры вида (Х2 + Х4, е1Х1 + е2Х2 + е3Х3). Тогда

[^2 + ^4, е1^1 + е2^2 + е3^3] = е1^2 — е3^3 = а(^2 + ^4) + в(е1^ + е2^2 + е3^).

Новых подалгебр нет.

Осталось рассмотреть базис вида (Х1 + ЬХ4, е2Х2 + е3Х3 + е4Х4). В этом случае

[^1 + Ь^4, е2^2 + е% + е4^4] = —е2^2 — Ье3^3 =

= а(^1 + Ь^) + в (е2^2 + е3^3 + е4^).

Следовательно, а = 0, (в + 1)е2 = 0, (в + Ь)е3 = 0, ве4 = 0. Перебор возможных вариантов с точностью до действия внутренних автоморфизмов (3.1) в данном случае также не дает подалгебр, отличных от уже полученных.

Итак, оптимальную систему 02 двумерных подалгебр образуют подалгебры с базисами

(^1,^2), (^1,^4), (^2,^3), (^2,^1 + ^), (^2,Ь^1 + ^4),

(^3,^4), (^3,^1 + Ь^), (^3,^2 + ^4), (^2 + ^3, ^1 + ^4).

Рассуждениями, аналогичными тем, которые проведены с использованием одномерных подалгебр, устанавливается, что двумерные подалгебры не задают новых спецификаций свободного элемента f, при которых исследуемое уравнение

(2.1) имеет дополнительные симметрии. То же самое можно сказать про трехмерные подалгебры, поиск которых мы здесь опускаем.

Теорема 2. (і) Уравнение ащ — иіхх = еихх при а = 0 имеет пятимерную

основную алгебру Ли с базисом

д д д д д д

Хі = X = —, Хз = —, Х4 = х—, Х5 = 2І- — х2 —.

ді дх ди ди ді ди

(ii) Уравнение аи* — иіхх = а 1п |ихх| при а = 0 имеет пятимерную основную алгебру Ли с базисом

д д д д д д

Х1 = я7 , Х2 = Я-, Х3 = ТГ“ , Х4 = х^~, Х5 = І— + (І + и)^—.

ді дх ди ди ді ди

(iii) Уравнение аи* — иіхх = и£х при а = 0, а = 0, а =1 имеет пятимерную основную алгебру Ли с базисом

ла д д ^ д . . д д

Х1 = Я+, Х2 = Я- , Х3 = тр, Х4 = х^““ , Х5 = (1 — а)^^7 + и^Т.

ді дх ди ди ді ди

Дополнительных симметрий уравнения аи* — и*хх = f (ихх) при спецификациях свободных элементов а, f, где а = 0, f — нелинейная функция, не эквивалентных перечисленным спецификациям, не существует.

4. Инвариантные решения уравнения с экспоненциальной функцией

Рассмотрим операторы

д д д д ^ д 2 д я7’ X2 = TT“, X3 = TT“, X4 = х^~, X5 = 2i— — x —.

ді дх ди ди ді ди

Согласно утверждению (i) теоремы 2 они образуют базис алгебры Ли уравнения

aut - utxx = eUxx.

Вычислив таблицу коммутаторов данной алгебры Ли

X2 X со X4 5 X

Xi 0 0 0 0 2X1

X2 0 0 0 X3 —2X4

X со 0 0 0 0 0

X4 0 —Хз 0 0 0

X5 — 2X1 2 4 rfb. 0 0 0

найдем внутренние автоморфизмы _і і 5 і e3 = e3 + е4а2 — е5а2, _3 3 2 { е1 = e1e-2“4,

е = е + 2е аь •{ _4 4 2 5 е = е — е аз, 4 2

е = е — 2е а2, е = е + 2е а4.

Найдем оптимальную систему одномерных подалгебр с базисом вида X = ,е3,е4,е5).

1. Пусть е5 = 0, рассмотрим возможные варианты.

1.2. Если е2 = 0, то получим равенства е1 = е4 = 0, и поэтому базисный вектор имеет вид X = (0, 0, Ь, 0,1), Ь € К.

2. Пусть е5 = 0, тогда возможны следующие случаи.

2.1. При е2 = 0 имеем е3 = 0, е4 = 0, и тогда X = (Ь, 1, 0, 0, 0), Ь € К.

2.2. Для случая е2 = 0, е4 = 0 получаем возможные значения базисного

вектора X = (1, 0, 0, 0,0), X = (0, 0,1, 0,0), X = (1, 0,1,0, 0).

2.3. Если е2 = 0, е4 = 0, то е3 = 0. В этом случае X = (0,0, 0,1, 0) или X = (1, 0,0,1, 0).

Таким образом, оптимальную систему одномерных подалгебр образуют подалгебры с базисными векторами

Будем искать инвариантные решения для этих операторов.

Найдем инварианты оператора X2 + ЬX5 при Ь = 0. Для этого решим уравнение

возможность интегрирования которого может быть исследована, например, после понижения порядка и нахождения основной алгебры Ли такого уравнения

[12]. Далее аналогичные подмодели будем оставлять без комментариев, подразумевая по умолчанию, что аналогичное исследование их интегрируемости также возможно.

Для оператора bX3 + X5 имеем уравнение

1.1. Если при этом е2 = 0, то действиями внутренних автоморфизмов (4.2) можно добиться равенств е1 = е4 = е3 = 0. Получается базисный вектор X = (0,1,0, 0, Ь), где Ь € К \{0}.

XI, Xз, X4, XI + Xз, XI + X4, Ь^ + X2, bXз + X5, X2 + bX5 (Ь = 0).

Характеристическая система этого уравнения имеет вид

1 2Ьі — Ьх2 ’

ее решения — 71 = и + ЬX3, </2 = іе 2Ьх. Из уравнения 71 = <^(72) найдем функцию и = ^(¿е-2Ьж) — ЬX3. Тогда

и его характеристическую систему

2£ Ь — х2 ’

решениями которой являются функции /1 = х и /2 /2 = <^(^1) выразим функцию

2и Ъ—х2

— 1п |і|. Из уравнения

и =

2> ^(х) +1п |і|

Найденное и подставляем в уравнение (4.1), которое после преобразований дает

равенства

отсюда

а

— (Ь — х2) + 1 = е(^^(х)) -1п 141 = е----

2Г ; і і

2 \" 2^ ^

(Ь_2тх- ^(х)) = 1п (I(Ь—х2) + 0 •

Для удобства переобозначим а = — а = 0 и Ь = От + 1, тогда для того, чтобы уравнение выполнялось в точке х, необходимо, чтобы было ах2 + Ь > 0. Это невозможно при а, Ь < 0, всегда выполняется при а, Ь > 0 и выполняется локально в остальных случаях. Далее уравнение рассматривается в окрестности точки, в которой ах2 + Ь > 0.

Перепишем уравнение в виде

^(х) ) = 1п (ах2 + Ь).

Ь х2

Интегрированием его получаем уравнение

Ь — х2 .V , , 2 [ 2ах2 , п . 2

-------и(іП = х 1п (ах + Ь) — / —-— -------------------

2 Ч 1 ; I ах2 + Ь

+2Ь

-^х = х 1п (ах + Ь) — 2х + 2

^х = х 1п (ах + Ь) — 2х+ ^х

а х2 + 1

ах2 + Ь

х 1п (ах2 + Ь) — 2х + 2y//Ъarctgy'/^x + С1, при а, Ь >

0,

х 1п (ах2 + Ь) — 2х + л —Ъ 1п

-а х-1

+ С1, при а и Ь разного знака.

Далее,

Ь х2

х 1п |ах2 + Ь| — 2х + 2 у Ьarct^W/^|x + С1 ) ^х,

^(х) = <

Ь

х 1п |ах + Ь| — 2х + —1п

—а х + 1

+ С1 I ^х,

2

//

-а х+1

х 1п (ах2 + Ь)ах = — 1п(ах2 + Ь) —— + — 1п (ах2 + Ь), [ ¡а , [а [ \Ръхах

I агС^/-хах = xarctg^/ -х — / ----=

х2 Ь

Ь

, „ . л/1хах

= xarctgW -х — Ь -У—2—-

Ь ах2 + Ь

х 1п

Тогда

1п

ах = х 1п

xarctgл /ах-\ — 1п(ах2 + Ь) + С,

Ь 2 V а

-2Ы1

хах

Ь ах2 + Ь

х 1п

2 , —а г хах

Ь У Iх2 + 1

—1 х- 1

+ \/ —Ь 1п(ах2 + Ь) + С. а

Ь х2

^

ах2 — Ьп. 2 , ч п [Ь , [а 3х2^, ^

— -----1п(ах + Ь) + 2\ -xarctgW -х-----— + С1х + С2

2а а Ь 2

при а, Ь > 0;

——Ь 1п(ах2 + Ь) + а /—Ьх 1п 2а а

—1 х + 1

3х2

-----2----+ С1х + С2

при аЬ < 0

и решение уравнения имеет вид при а < 0, аЬ + 2 > 0

и(і,х) = 1 ^х2 + Ь + а) 1п( 2 (Ь — х2) + 1) + 2x^1 — (Ь + а) arctgy^b—2х—

3х2 Ь — х2

—2—+ С1х + С2 + 2— 1п |і|.

При а(аЬ + 2) > 0

и(і,х) = 1 (х2 + Ь + 2 ) 1п (а(Ь — х2) + Л + х\/Ь + 2 1п

2 \ а/ V 2 / V а

х + л/Ь + а

х - л/Ь + 2

3х2 „ „ Ь — х2 ..

—2 + С1х + С2 + 2 1п И-

Наконец, при а> 0, аЬ + 2 < 0 решения уравнения не существует ни в одной точке.

Для одномерной подалгебры с базисным оператором ЬХ1 + Х2 имеем функцию и = <^(£ — Ьх). Отсюда получается подмодель, описываемая обыкновенным дифференциальным уравнением а^ — Ь2^//; = еь2^”.

Если Ь = 0, это уравнение имеет вид а^(£) = 1. Тогда решение уравнения

(4.1) имеет вид и(£,ж) = а + С1.

В случае оператора Х1 + Х4 имеем и = ж£ + <^(ж). Подставим эту функцию в уравнение (4.1) и получим уравнение 1п(аж) = ^(ж) при а и ж одного знака. Отсюда

^ (ж) = ж 1п(аж) — ж + С1.

ж2 3ж2

<^(ж) = — 1п (аж)----— + С1ж + С2.

Тогда решение уравнения имеет вид

ж2 з ^ж2

и(£, ж) = — 1п (аж)-----4—+ С1ж + С2 + ж£, аж > 0.

Если а и ж разного знака, решения в окрестности этой точки ж не существует.

Для подалгебры, порождаемой оператором Х1 + Х3, имеем и = <^(ж) + £. Найденное и подставляем в уравнение (4.1) и получаем

ж2

и(£, ж) = £ + — 1п а + С1ж + С2 при а > 0.

При а < 0 уравнение не имеет действительных решений.

Нетрудно убедиться, что остальные подалгебры из оптимальной системы инвариантных решений не имеют.

Таким образом, найдены следующие инвариантные решения уравнения

(4.1):

и(£, ж) = 1 Гж2 + Ь + 1п а(Ь — ж2) + 1

2 V а / 2

+ 2^ I — ( Ь + О2) агс!^ ь-1^ж—

3ж2 Ь ж2

—2—+ С1ж + С2 +-2— 1п |£| при а < 0, аЬ + 2 > 0,

и(£,ж) = 1 (ж2 + Ь + 2 ) 1п 2а

а

2(Ь—ж2) +1

+ ж\1Ь +— 1п а

ж + л/Ь + а

ж — л/Ь + 2

3ж2 ^ ^ Ь — ж2, . .

—2—+ С1ж + С2 +-2— 1п |£| при а(аЬ + 2) > 0,

22

ж2 з ^ж2

и(£, ж) = — 1п (аж)-4—+ С1ж + С2 + ж£ при аж > 0,

ж2

и(£, ж) = — 1п а + С1ж + С2 + £ при а > 0.

и(£, ж) = —+ С1. а

Используя допускаемые группы преобразований

£ = ¿в2“6,

£ = £ + &1, ж = ж + ^2, и = и + аз, и = и + а4ж, ^ _ 2

и = и — ж а5,

рассматриваемого уравнения, получим пятипараметрическую группу

£ = £е2“6 + а1, ж = ж + а2,

и = и + аз + а4ж — а5ж2.

С ее помощью из инвариантных решений получим многопараметрические семейства решений:

и(£, х) = 1 | (х + а2)2 + Ь + 2 ) 1п 2 \ а

а

2(Ь — (х + а2)2) + 1

+

-1

— 2 х + аэх + &4 +

а

Ь — (х + Я2)2 2

Ь + 2(х + а2) ) —

1п |і + а11 при а < 0, аЬ + 2 > 0;

и(£, х) = 1 ( (х + й2)2 + Ь + 2 ) 1п а(Ь — (х + й2)2) + 1

2 V а / 2

+

+ (х + Й2Ь/Ь + 2 1п

а

х + а2 + Л Ь + а

х+й2 — л ь+а

3 2

— 2 х + йзх + Й4 +

Ь — (х + Й2)2 2

1п |і + аі| при а(аЬ + 2) > 0;

, . (х + Й2)2 і / / чч /" 3 \ 2 / \ 2“

и(£, х) =-1п (а(х + а2)) + а1----------х + а3х + а4 + (х + а2Нв 1

2 \ 4а

при а(х + а2) > 0;

1п а

и(£, х) = ( ——+ а1 ) х2 + а2х + а3 + ¿в2“1 при а > 0

5. Инвариантные решения уравнения со степенной функцией

Базисом алгебры Ли уравнения

С+1

аи£ иІХХ

в силу утверждения (111) теоремы 2 при а = с +1, с = —1, с = 0, с = 1 является набор операторов

ла д 5 5 ^ 5 5

Х1 = 77Т , Х2 = ТГ“ , Х3 = ТГ“ , Х4 = ж^~, Х5 = ит;--------------с£

д£ дж ди ди ди д£

Таблица коммутаторов в данном случае имеет вид

Xl X2 X со 4 X 5 X

Xl 0 0 0 0 —0X1

X2 0 0 0 Xз 0

X со 0 0 0 0 Xз

X4 0 — X со 0 0 X4

X5 0X1 0 1 X со 4 X — 0

Внутренние автоморфизмы рассматриваемой алгебры Ли есть преобразования

( -3 _ 3 _ 2 Г — _ е1еС“Б,

-1 _ е1 — се5а1, е3 _ е 3 + е 4а2, е3 _ е 3 + е 5а3, <_4 4 5 4 ’ < е3 _ е 3е-“Б,

I- _Є +Є ^ (-4 _ е 4 е-“^.

Так же, как и в предыдущем параграфе, будем искать оптимальную систему

5

одномерных подалгебр, базис которых будем задавать в виде X _ ^ е к.

к=1

1. Если е 5 _ 0, то с помощью внутренних автоморфизмов можно получить е1 _ е 3 _ е4 _ 0 и X _ (0, Ь, 0,0,1), где Ь Є К.

2. Пусть е 5 _ 0, е4 _ 0, тогда е 3 _ 0 и при е1 _ 0 получаем X _ (0, 0, 0,1, 0) для случая е 2 _ 0, X _ (0,1, 0,1, 0) для е 2 _ 0. Если е1 _ 0, то получим подалгебру с базисным вектором X _ (1, Ь, 0,1, 0), Ь Є К.

3. В случае е 5 _ 0, е4 _ 0, е 2 _ 0 имеем е3 _ 0 и базисным вектором является X _ (0,1,0, 0, 0) при е1 _ 0, X _ (1,1, 0, 0, 0) при е1 _ 0.

4. При е 5 _ 0, е4 _ 0, е 2 _ 0 получаем один из вариантов: X _ (1, 0, 0, 0, 0),

X _ (0, 0,1, 0,0), X _ (1, 0,1, 0,0).

Получена оптимальная система одномерных подалгебр

X!, X2, Xз, X4, X! + X2, X! + Xз, X2 + X4, ЬX2 + X5, X! + ЬX2 + X4.

Для оператора bX2 + X5 инвариантами являются /1 _ иі с, /2 _ сж + Ь 1п |і|, поэтому будем искать инвариантное решение в виде и _ і-с^(сж + Ь 1п |і|), где ^ — некоторая функция. Имеем

иі — ------------ (сЬ^ — , ихж — с І с ^ , и*жж — сі с (сЬ^ — ^ ) .

с

Получаем подмодель

а (сЬ^ — <^) — с2 (сЬ^/;/ — <р'') _ с2с+3^/с+1.

2

Для X2 + X4 инвариантное решение ищем в виде и _ + ^(¿)- Из уравнения

(5.1) получим и(і,ж) _ Х22 + а + С1.

Инвариантами оператора X1 + ЬX2 + X4 при Ь _ 0 являются функции /1 _ 2Ьи — ж2, /2 _ ж — Ьі. Поэтому инвариантное решение будем искать в виде

ж2 + <^

и _ 2Ь '

Из (5.1) получаем подмодель

/ /// 2і 1 + 4 с+1

—а^ — _ 2 (

Ь

Если Ь _ 0, то /1 _ и — жі, /2 _ ж, и _ жі + <^(ж), аж _ ^//с+1,

/ \ (с + 1)2 2с+3 „ „

^<ж) _ а'+1 (с + 2)(2с + 3)ж'+‘ + С1ж + °2'

, , 1 (с ++ 1) 2с+3

и(і, ж) _ а^+1 у---------- -----------— ж+ С1ж + С2 + жі,

либо 2

и(^,ж) = (-а) "+1 (с +(‘2)(21с)+ 3)(-Х) 2С+3 + С1Х + С ^

Для одномерной подалгебры с оператором Х2 инвариантным решением является постоянная функция и(^ж) = С1.

Для подалгебры с базисным оператором Х1 + Х2 инвариантное решение имеет вид и = <^(£ — ж), где функция ^ является решением уравнения

/ III //С+1

а^ — ^ .

Если базисным вектором является Х1, то инвариантным решением — функция и(£, ж) = С1ж + С2.

Итак, уравнение (5.1) при а = 0 имеет инвариантные решения

/, \ (с + 1)2 2с+3 .

и(^, ж) = ас+! ----—-------— ж с+! + С1Ж + С2 + ж^,

и(^ж) = (—а) С+1 (с +(‘2+2с)+ 3)(—ж)2С+3 + С1ж + С2 + ж^

1 ж2

и(£, ж) = а "+1 — + С1ж + С2 + I,

ж2 t

и(*,ж) = — +------+ СЬ

2а

u(t, ж) = С1ж + С2.

Используя допускаемые группы преобразований

£ = t + Й1, ж = ж + $2, и = и + аз, и = и + а4ж,

получим пятипараметрическую допускаемую группу

? = te-c“Б + а1, ж = ж + а2, и = ие“Б + а3 + а4ж.

—с“б

- _ іе

и _ ие“5,

Действуя преобразованиями этой группы на найденные инвариантные решения уравнения (5.1), построим многопараметрические семейства решений:

и(^ ж) = а =+1-—(с+—)-------- (ж + а2) ^с+гв“1 + а3ж + а4 + (ж + а2Нв(с+1)а1,

u(t, ж) = (—а) —(с+—)-- (а2 — ж) ~с+г в“1 + а3ж + а4 + (ж — а2Нв(с+1)а1,

и(^ ж) = а =+1 в“1 ж2 + а2ж + а3 + 2с+4в(с+1)а1,

2с+ив(с+1)“1

/ \ “ 2

u(t, ж) = в 1 ж +--------------+ а2ж + а3,

а

u(t, ж) = а1ж + а2.

6. Инвариантные решения уравнения с логарифмической функцией

Операторы

5 5 5 5 5 5

Х1 = "Ёй , Х2 = ТГ-, Х3 = , Х4 = ж^~, Х5 = t^7 + ^ + и)7Т

5t 5ж 5и 5и 5t 5и

по теореме 3 при а = 0 образуют базис алгебры Ли уравнения

аи4 и4жж а 1п |ижж1.

Таблица коммутаторов имеет вид

*1 *2 *3 *4 *5

*1 0 0 0 0 *1 + *3

*2 0 0 0 *3 0

*3 0 0 0 0 *3

*4 0 -*3 0 0 *4

*5 1 1 1 3 со 0 -*3 -*4 0

Ненулевыми структурными константами являются

с15 = 1, с35 = 1, С24 = 1, С3б = 1, С42 = — 1, с45 = 1 с51 = —1, с!51 = — 1 с53 = —1 с!54 = — 1

Генераторы внутренних автоморфизмов данной алгебры Ли имеют вид

E — р5 д + р5 д E = р4 д E = р5 д E1 — р 7ГТ + р , Е2 — р тгр) Е3 — р )

др1 др3 др3 де3

д д д д д E — -Р2 — + Р5— E — -- (е1 + Р3) — -Р4 —

E Р де3 +Р де4 , E Р де1 (Р +Р j де3 Р де4 ,

а сами внутренние автоморфизмы —

~3 3 1 5’ , е3 — е3 + а2е4, е3 — е3 + а3е5,

е — е + а1е ,

{е1 = е1е “5 , е3 = в-“5 (е3 - а5в1),

ё4 = е‘в-“=.

Найдем базисные векторы X = (е1, е2, е3, е4, е5) одномерных подалгебр из оптимальной системы.

1. Если е5 = 0, то действием внутренних автоморфизмов получим е1 = е3 = е4 = 0, X = (0,6, 0, 0,1), Ь € К.

2. При е5 = 0, е4 = 0 получим е3 = 0. Рассмотрим следующие случаи.

2.1. Если е1 = 0, е2 = 0, то базисный вектор X = (0,0, 0,1, 0).

2.2. Для случая е2 = 0 получаем X = (Ь, 1,0,1, 0), Ь € К.

2.3. В случае е2 = 0 имеем X = (Ь, 0, 0,1, 0), Ь € К.

3. При е5 = 0, е4 = 0 возможны следующие варианты.

3.1. Если е2 = 0, е1 = 0, то е3 = 0, X = (1,0, 0, 0, 0).

3.2. Для случая е2 = 0, е1 = 0 имеем X = (0,0,1, 0, 0).

3.3. При е2 = 0 получим е3 = 0, X = (0,1, 0,0, 0) или X = (1,1, 0,0, 0). Получена система одномерных подалгебр:

X!, X2, Xз, X4, X! + X2, Ь^ + X4, bX2 + X5, Ь^ + X2 + X4.

Оператор ЬX2 + X5 имеет инварианты

и

Инвариантные решения ищем в виде

Имеем и = ^ + Ь^' + 1п |£| + 1, иХХ = £^//, и4хх = + Ь^"'. Получаем подмодель

а^ + аЬ^' + а — ^ — Ь^' = а 1п |^|.

Для оператора bX1 + X4 ищем инвариантное решение в виде и = при

Ь = 0. Из (6.1) получаем уравнение | = 1п |^"(ж)| — 1п |Ь|. Тогда

и(£, ж) = ±Ь2е ь + — + С1х + С2.

Ь

2

Оператор ЬX1 + X2 + X4 при Ь = 0 имеет инварианты 71 = и — , ^2 = £ — Ьж,

поэтому инвариантное решение будем искать в виде

ж2 + <^(£ — Ьж) и = 2 '

Тогда уравнение (6.1) примет вид

2 + ЬУ'

а^ — 62^//; = 2а 1п

При b = 0 имеем

x2

и = — + Ci.

Для оператора X1 + X2 получим подмодель

Таким образом, найдены инвариантные решения

u(-, x) = ±b2eb + — + C1x + C2, b

x2

u(-,x) = ± — + C2

уравнения (6.1) при a = 0.

Допускаемые группы преобразований

í = - + ai, x = x + a2, u = u + a3, u = u + a4x,

í = -e“6, u = (u + a5-)e“

образуют пятипараметрическую группу пребразований уравнения

í = -e“6 + а1, x = x + а2,

u = (u + a5-)e“6 + a4x + a3.

C ее помощью построим многопараметрические семейства решений:

, ч ,2 x+a2 -x Й2

u(-, x) = ±b e b + — + a1x + — - + a3,

bb

u(-, x) = a1x2 + a2x + a3 + - ln(2a1).

Список литературы

1. Овсянников, Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений / Л. В. Овсянников. — М. : Наука, 1978. — 400 с.

2. Ибрагимов, Н. Х. Группы преобразований в математической физике / Н. Х. Ибрагимов. — М. : Наука, 1983. — 280 с.

3. Ibragimov, N. H. Selected Works. Vol. 1, 2 / N. H. Ibragimov. — Karlskrona, Sweden : Alga Publications, Blekinge Institute of Technology, 2001.

4. Лагно, В. И. Симметрийный анализ уравнений эволюционного типа / В. И. Ла-гно, C. В. Спичак, В. И. Стогний. — М. ; Ижевск : Ин-т компьютер. исслед., 2004. — 392 с.

5. Андреев, В. К. Применение теоретико-групповых методов в гидродинамике /

В. К. Андреев, О. В. Капцов, В. В. Пухначев, А. А. Родионов. — Новосибирск : Наука, 1994.

6. Grigoriev, Y. N. Symmetries of Integro-Differential Equations: With Applications in Mechanics and Plasma Physics / Y. N. Grigoriev, N. H. Ibragimov, V. F. Kovalev,

S. V. Meleshko. — Dordrecht : Springer, 2010.

7. Чиркунов, Ю. А. Элементы симметрийного анализа дифференциальных уравнений механики сплошной среды / Ю. А. Чиркунов, С. В. Хабиров. — Новосибирск : НГТУ, 2011. — 659 c.

8. Демиденко, Г. В. Уравнения и системы, не разрешенные относительно старшей производной / Г. В. Демиденко, С. В. Успенский. — Новосибирск : Науч. кн., 1998. — 438+xviii c.

9. Свешников, А. Г. Линейные и нелинейные уравнения соболевского типа / А. Г. Свешников, А. Б. Альшин, М. О. Корпусов, Ю. Д. Плетнер. — М. : Физмат-лит, 2007. — 736 c.

10. Баренблатт, Г. И. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах / Г. И. Баренблатт, Ю. П. Желтов, И. Н. Ко-чина // Приклад. математика и механика. — 1960. — Т. 24, вып. 5. — С. 852-864.

11. Овсянников, Л. В. Программа «Подмодели». Газовая динамика // Л. В. Овсянников // Приклад. математика и механика. — 1994. — Т. 58, вып. 4. — С. 30-55.

12. Ибрагимов, Н. Х. Практический курс дифференциальных уравнений и математического моделирования / Н. Х. Ибрагимов. — Н. Новгород : Изд-во Нижегород. ун-та им. Н. И. Лобачевского, 2007. — 421 c.