Нижняя оценка мощности наибольшего метрически регулярного подмножества булева куба

Согласно [8, теорема 2 §2 гл. XII, с. 448-449], случайная величина с законом распределения, соответствующим производящей функции (3), является собственной, если EV2 ^ d + 1, и имеет конечное математическое ожидание, если EV2 > d + 1. Очевидно, EV2 = N. Значит, а(1) = 1 при N ^ d +1 и а'(1) = 1 при N ^ d + 2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Golic J. Dj. Constrained embedding probability for two binary strings // SIAM J. Discrete Math. 1996. V. 9. No. 3. P. 360-364.

2. Михайлов В. Г., Меженная Н. М. Оценки для вероятности плотного вложения одной дискретной последовательности в другую // Дискретная математика. 2005. Т. 17. №3. С. 19-27.

3. Михайлов В. Г., Меженная Н. М. Нижние оценки для вероятности вложения с произвольным допуском // Вестник Московского государственного технического университета им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2012. №2. С. 3-11.

4. Donovan D. M., Lefevre J., and Simpson L. A discussion of constrained binary embeddings with applications to cryptanalysis of irregularly clocked stream ciphers // R. Balakrishnan and C.V. Madhavan (eds.) Discrete Mathematics. Proc. Intern. Conf. on Discr. Math., Indian Institute of Science, Bangalore, December 2006. P. 73-86.

5. Kholosha A. Clock-controlled shift registers for key-stream generation // IACR Cryptology ePrint Archive 2001: 61 (2001). http://eprint.iacr.org/2001/061.pdf

6. Меженная Н. М. О проверке гипотезы о плотном вложении для дискретных случайных последовательностей // Вестник БГУ. Математика, Информатика. 2017. №4. С. 9-20.

7. Меженная Н. М. Предельные теоремы в задачах о плотном вложении и плотных сериях в дискретных случайных последовательностях: диа ... канд. физ.-мат. наук. Московский государственный институт электроники и математики. М., 2009.

8. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения: в 2 т. М.: Мир, 1984. Т. 2. 751 с.

УДК 519.7 DOI 10.17223/2226308X/11/4

НИЖНЯЯ ОЦЕНКА МОЩНОСТИ НАИБОЛЬШЕГО МЕТРИЧЕСКИ РЕГУЛЯРНОГО ПОДМНОЖЕСТВА БУЛЕВА КУБА1

А. К. Облаухов

Исследуются строго метрические регулярные подмножества булева куба. Представлены итеративные конструкции таких множеств. Получена формула для вычисления количества строго метрически регулярных множеств, получаемых с помощью данных конструкций. Построены специальные семейства метрически регулярных множеств и вычислены мощности множеств из этих семейств. Полученные значения дают нижнюю оценку мощности наибольших метрически регулярных множеств при фиксированном радиусе покрытия.

Ключевые слова: метрически регулярное множество, метрическое дополнение.

Рассмотрим Fn — пространство двоичных векторов длины п. Расстояние Хэммин-га d(x,y) между двумя векторами x,y Е Fn равно количеству координат, в которых эти векторы различаются.

1 Работа поддержана грантами РФФИ, проекты №18-31-00479 и 17-41-543364.

Теоретические основы прикладной дискретной математики

15

Пусть X С Fn — произвольное множество, y Е F^ — произвольный вектор. Расстояние от y до X определяется как d(y, X) = min d(y, x). Радиусом покрытия множества X

x€X

называется d(X) = maxd(z,X).

zeFj

Рассмотрим множество Y = {y Е Fn : d(y,X) = d(X)} векторов, находящихся на максимальном расстоянии от X. Это множество называется метрическим дополнением [1] множества X и обозначается X. Если X = X, то множество X называется метрически регулярным.

Задача исследования максимальных и минимальных (по мощности) метрически регулярных множеств возникает на пути изучения бент-функций, множество которых является метрически регулярным [2]. Бент-функции часто используются в криптографии из-за высокой нелинейности [3], обеспечивающей повышенную устойчивость шифров к криптографическим атакам, однако многие связанные с ними задачи остаются открытыми. Например, неизвестно точное количество бент-функций в общем случае, а существующие верхняя и нижняя оценки значительно разнятся по порядку.

В работе изучается особый подкласс метрически регулярных множеств — строго метрически регулярные множества. Множества A,B, такие, что A = B, B = A и d(A) = d(B) = d, называются строго метрически регулярными, если для любого вектора x Е Fn выполнено равенство d(x, A) + d(x, B) = d.

Получены итеративные конструкции строго метрически регулярных множеств.

Теорема 1. Пусть A,B — пара строго метрически регулярных множеств, являющихся метрическими дополнениями друг друга. Тогда C = A U B также является строго метрически регулярным множеством.

Обобщение данной конструкции (теорема 2) позволяет получать больше строго метрически регулярных множеств с различными радиусами покрытия из известной пары строго метрически регулярных множеств A, B.

Теорема 2. Пусть A, B — пара строго метрически регулярных множеств, являющихся метрическими дополнениями друг друга с радиусом покрытия d. Обозначим Ak = {x Е Fn : d(x, A) = k}, k = 0,1,..., d. Пусть ib... , is — последовательность чи-

s

сел, 0 ^ ¿i < ¿2 < ... < is-i < is ^ d. Тогда объединение C = (J Aik является строго

k= 1

метрически регулярным множеством тогда и только тогда, когда существует число r > 0, такое, что выполняются все следующие условия:

1) для любого k Е {1,... , s — 1} разница (ik+1 — ik) равна 1, 2r или 2r + 1;

2) для любого k Е {2,... , s — 1} как минимум одна из разниц (ik+i — ik), (ik — ik—i) больше единицы;

3) i1 равно либо r, либо 0, и если i1 = 0 и s > 1, то i2 — i1 = 2r или 2r + 1;

4) is равно либо d — r, либо d, и если is = d и s > 1, то is — is—1 = 2r или 2r + 1.

Число r является радиусом покрытия множества C.

Получены формулы, позволяющие вычислить количество множеств, получаемых с помощью обобщённой конструкции.

Теорема 3. Пусть A, B — пара строго метрически регулярных множеств, являющихся метрическими дополнениями друг друга с радиусом покрытия d. Тогда количество Gr (d) различных строго метрически регулярных множеств с радиусом покрытия r, которые можно получить с помощью теоремы 2 из пары A, B, вычисляется по следующим реккурентным формулам:

Gr (d) = Gr (d — r) + Gr (d — r — 1), если d > r, Gr (r) = 2,

Gr(d) = 0, если 0 ^ d < r.

При помощи конструкции из теоремы 2, применённой к паре граней в пространствах соответствующих размерностей, построено семейство множеств {У^} (п ^ 2d), имеющих большую (относительно мощности всего пространства) мощность. Индекс п отражает размерность булева куба, в котором лежит соответствующее множество, а d — его радиус покрытия. На основе сферы радиуса d в пространстве построено семейство множеств {Z"} (также для п ^ 2d). Вычислив точные размеры множеств семейств (либо оценив их снизу), получаем нижнюю оценку на мощность наибольших метрически регулярных множеств.

Теорема 4. Пусть A — наибольшее метрически регулярное множество с радиусом покрытия d в булевом кубе размерности п (п ^ 2d), r — остаток от деления п +1 на

2d + 1 Тогда. |A| S шах ^, 2" (^ — } •

Заметим, что при достаточно больших d, п первое число приблизительно равно 1/Vnd от мощности булева куба, второе — 2/(2d + 1) от мощности булева куба.

ЛИТЕРАТУРА

1. Облаухов А. К. О метрическом дополнении подпространств булева куба // Дискретный анализ и исследование операций. 2016. Т. 23. №3. С. 93-106.

2. Tokareva N. Duality between bent functions and affine functions // Discr. Math. 2012. V. 312. No. 3. P. 666-670.

3. Cusick T. W. and Stanica P. Cryptographic Boolean Functions and Applications. Academic Press, 2017. 288 p.

УДК 519.1 Б01 10.17223/2226308X711/5

УЛУЧШЕННАЯ ФОРМУЛА УНИВЕРСАЛЬНОЙ ОЦЕНКИ ЭКСПОНЕНТА ОРГРАФА1

В. М. Фомичев

Улучшена формула универсальной оценки экспонента п-вершинного примитивного орграфа, данная А. Далмэджем и Н. Мендельсоном (1964) с использованием множества контуров, длины которых взаимно простые. Предложенная формула использует в орграфе множество контуров С с множеством длин Ь(С) = = {¡\,...,1т}, где d = (¡1 ,...,1т) ^ 1, и множество длин кратчайших путей К^(С) : в = 0,..., d—1} из вершины г в вершину ], проходящих через множество контуров С и образующих полную систему вычетов по модулю d. Показано, что ехр Г ^ 1 + Р (Ь(С)) + Д(С), где Р(Ь) = d  Р (¡1/d,..., ¡т/Ф; Р (аь...,ат) -число Фробениуса; К(С) = тахтах{г^(С)}. Указан класс орграфов с множеством

(ы) 5

вершин {0,..., 2к — 1}, к > 2, для которых предложенные оценки экспонентов лучше известных на величину к — 2.

Ключевые слова: число Фробениуса, примитивный орграф, экспонент орграфа.

1 Работа выполнена в соответствии с грантом РФФИ №16-01-00226.