Численные исследования неравновесной критической релаксации сильно неупорядоченной модели Изинга с точечными дефектами

ФИЗИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2012. № 2. С. 101-105.

УДК 544.344

В.В. Прудников, П.В. Прудников, А.Н. Вакилов, Е.А. Поспелов, А.Ю. Питеримов, А.В. Чабров

ЧИСЛЕННЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ НЕРАВНОВЕСНОЙ КРИТИЧЕСКОЙ РЕЛАКСАЦИИ СИЛЬНО НЕУПОРЯДОЧЕННОЙ МОДЕЛИ ИЗИНГА С ТОЧЕЧНЫМИ ДЕФЕКТАМИ*

Проведено численное исследование методами Монте-Карло трёхмерной сильно неупорядоченной модели Изинга с концентрацией спинов р = 0,6 и 0,5. Проведён анализ её критической эволюции и расчёт критических характеристик данной системы.

Ключевые слова: коротковременная динамика, структурно неупорядоченная модель Изинга, критическое поведение.

Одной из актуальных проблем физики конденсированного состояния является исследование влияния структурного беспорядка на критическое поведение магнитных систем при фазовых переходах второго рода. Практически все реальные вещества характеризуются структурной неупорядоченностью. Дефекты структуры нарушают трансляционную симметрию кристалла, значительно затрудняя теоретическое описание подобных систем. Их влияние особенно важно вблизи критической точки, поскольку в этой области можно ожидать большой отклик систем на малое возмущение. Вследствие флуктационной природы фазовых переходов

второго рода, при приведённой температуре т = (Т — Тс) / Тс, где Тс - критическая температура, наблюдаются аномально большие флуктуации некоторых термодинамических функций.

Дефекты принято разделять на два вида по тому, как они распределены в матрице. Если способ приготовления образца таков, что дефекты структуры находятся в равновесии с матрицей системы, то их принято называть расплавленными, или равновесными. Как правило, при приготовлении образца дефекты не успевают прийти в термодинамическое равновесие с матрицей и как бы «замораживаются» в ней в виде конфигурации, несущей память о способе приготовления системы. Такие дефекты принято называть замороженными [1].

Влияние расплавленных дефектов было изучено Фишером [2]. Он показал, что присутствие атомов примеси такого типа приводит к перенормировке критических показателей «чистой» системы с множителем

1/(1 - ариге), где ариге - критический индекс теплоемкости С(Т) ~ Та системы, не содержащей примесей.

В данной работе исследуется влияние некоррелированных (точечных) немагнитных атомов примеси на критическое поведение трёхмерного ферромагнетика, описываемого моделью Изинга.

Влияние точечных дефектов на критическое поведение определяется критерием Харриса [3]. Согласно ему, положительность показателя теплоёмкости однородной системы ариге > 0 приводит к новому типу критического поведения в системе с некоррелированными дефектами, при сохранении характера фазового перехода второго рода. Теоретико-полевое описание критического поведения модели Изига дает значение ариге = 0,109(4) [4], поэтому присутствие точечных примесей приводит к новому типу критического поведения в ней.

* Работа поддержана грантом Министерства образования и науки РФ 02.740.11.0541 и грантами РФФИ 10-02-00507, 10-02-00787

© В.В. Прудников, П.В. Прудников, А.Н. Вакилов, Е.А. Поспелов, А.Ю. Питеримов, А.В. Чабров, 2012

Возникает вопрос о зависимости характеристик критического поведения системы от концентрации примесей. Ответ на него связан с вопросом о классе универсальности критического поведения неупорядоченной системы. В теории критических явлений под классом универсальности понимается наличие у разных типов систем совпадающих в пределах погрешностей критических показателей. Многочисленные теоретические, численные и экспериментальные исследования неупорядоченных систем показали, что при малой концентрации дефектов (1-р), где р - концентрация спинов, реализуется новое критическое поведение для разбавленных изинговских магнетиков [4]. В то же время вопрос о влиянии сильного разбавления системы дефектами остаётся открытым. Из теории перколяции известно, что при превышении некоторой концентра-

ции спинов рс , называемой порогом спиновой перколяции, спины на двумерной или трёхмерной решётке могут образовывать протекающие структуры с возникновением спонтанной намагниченности при Т < Тс(р) и

р > рС5^ Дефекты структуры также могут образовывать протяженные протекающие структуры при превышении порога перко-

~(Шр) т—> _

ляции примесей рс . В терминах концентрации спинов, в трёхмерной кубической решётке порог перколяции дефектов равен р

М( )(ґ,т,Ь,Шо) =

(ипр) = і _ рС5) о,69 . Системы с концентра-

цией спинов р(сгтр) < р < 1 можно называть

слабо неупорядоченными, с р? < р < р(7) -сильно неупорядоченными.

Гамильтониан структурно неупорядоченной модели Изинга записывается в виде

н = —* Е р^Р^з,

<1, з>

где J - константа обменного взаимодействия, б; - спин узла, р; - числа заполнения, определяющиеся функцией распределения:

Р(рг) = (1 — р)$(рг) + р^(1 — рг) .

Анализ данных в работе проводился с помощью метода коротковременной динамики (далее - МКД), который интенсивно используется для исследования критического поведения различных систем [5]. В основе МКД лежит работа Янссена [6], в которой показано существование универсальных временных зависимостей для термодинамических величин в неравновесном коротковременном режиме. Для этого этапа эволюции характерно, что система ещё не достигла состояния термодинамического равновесия. На основе ренормгруппового анализа было показано, что для к-го момента намагниченности системы реализуется скейлин-говая форма

кр

= Ь *М(к)(Ггґ,Ь*Т,Ь~Ч,ЬХоШг

где t - время, Ь - масштабный фактор, то -приведённая намагниченность, Ь - размерность системы. В МКД различают два типа начального состояния системы: то = 1 и то << 1, где то - приведённая намагниченность; то = 1 соответствует состоянию системы с Т = 0, которое можно назвать низкотемпературным, а состояние то << 1 - высокотемпературное.

На ранней стадии эволюции системы корреляционная длина ещё достаточно мала и конечность размера моделируемой системы оказывается несущественной. Рассматривая то = 1 и полагая Ь = Р/г, получаем намагниченность (к = 1) в виде

М

~ ґ^

_Р/

В критической точке (г=0) М(ґ) ~ ґ /уі. Релаксация системы из начального низкотемпературного состояния используется для определения временных зависимостей логарифмической производной намагниченности дт 1п М (ґ) и кумулянта Биндера второго

порядка и2(ґ) = М2(ґ)/(М(ґ,Ь))2 _ 1:

дт 1п М(ґ) ~ ,

и2(ґ)~ Vі.

Анализ данных величин позволяет определить значения динамического г и статических критических индексов в и V.

При то << 1 имеет место эффект возрастания намагниченности на начальном этапе эволюции системы. В этом случае намагниченность характеризуется следующей скейлинговой зависимостью:

М (г,т, т0) = т0^’ (1 + а^^г) + О (г2, т^) ,(5) где в’ - новый независимый критический индекс. В критической точке М(^)~ т^9 . Временной интервал увеличения намагниченности: ~ т—2/х°.

Второй момент намагниченности и автокорреляционная функция имеют следующие скейлинговые зависимости:

М(2) ~ ґС2, А(ґ)~ ґ~с‘.

Также для вычисления индекса z использовался метод, предложенный в работе

[7]. Он основан на вычислении кумулянта

р2=м 2(? )|т _о/( м (от=1)2, в котором используются комбинированные начальные состояния. Скейлинговая зависимость К2

^2 ~ &.

Для реализации динамической эволюции в данной работе использовался алгоритм Метрополиса. Вычисление характеристик проводилось на кубической решётке с линейным размером Ь = 128 при критических температурах Тс = 2,42413(9) и

Тс = 1,84509(6) для спиновых концентраций р = 0,6 и 0,5 соответственно [8]. Вычисление намагниченности и автокорреляционной осуществлялось по формулам:

М(к\ґ) =

(рЬ \

X рД

А(ґ) =

-Ь рд

На рис. 1 приведено поведение намагниченности при моделировании из низкотемпературного начального состояния. Рис. 2 демонстрирует поведение логарифмической производной намагниченности и кумулянта Биндера второго порядка. Все графики представлены в двойном логарифмическом масштабе.

На рис. 3 и 4 представлено поведение термодинамических функций при моделировании из начального высокотемпературного состояния (т0 << 1). На рис. 3 приведено поведение намагниченности и автокорреляционной функции, рис. 4 - второго момента намагниченности и кумулянта Кг для систем со спиновой концентрацией р = 0,5 и 0,6.

Анализируя представленные зависимости и используя формулы (3) - (7), мы получаем значения искомых критических индексов. В данном случае вычислялась намагниченность для трёх различных начальных состояний с то для вычисления асимптотической зависимости показателя в’(то ^ 0).

Рис. 1. Временная зависимость намагниченности при моделировании из начального состояния то = 1 для спиновых концентраций р = 0,5 и 0,6

1 10 I, МСв/в 100 1000

Рис. 2. Временная зависимость логарифмической производной намагниченности

Рис. 3. Временная зависимость намагниченности для р = 0,6 при моделировании из начального состояния с то << 1

Рис. 4. Временная зависимость второго момента намагниченности (а) и кумулянта F2 (Ь) для систем со спиновой концентрацией р = 0,6 и 0,5

Применение МКД выявило существенное влияние размера решётки на поведение термодинамических функций системы. Поэтому даже при критической температуре, поведение намагниченности с течением времени начинает отличаться от степенного закона. Таким образом, для правильного анализа полученных данных необходимо введение скейлинговых поправок к асимптотической зависимости для исследуемых термодинамических и корреляционных функций. В данной работе осуществлялась

аппроксимация полученных временных зависимостей выражением

Х

где 5 - искомый показатель, а - индекс поправки к скейлингу. Для расчёта индексов варьировались показатели 5 и а/ г и данные аппроксимировались выражением (9) на различных временных интервалах. Далее с помощью метода наименьших квадратов находилась погрешность аппроксимации. И выбором показателей с минимальной погрешностью аппроксимации определялись значения искомого индекса.

Итоговые значения критических показателей в сравнении с результатами других работ

Источник Р в' в/У в V 2 ШІ2

Данная работа 0,5-0,6 0,193

сильно неупорядоченные системы

Parisi в! а1, 1999

Муртазаев, 2006

Heuer, 1993

Shehr, 2006

слабо неупорядоченные системы

Prudnikov в! а1, 2010

Prudnikov в! а1, 2010 (ТПО) [13] 0,1203

Pelissetto, Vicari, 2000

Прудников и др., 2006

Rosovв! а1, Гвр7п1-рр2, 1992,

В таблице представлены усреднённые значения критических индексов, вычисленных в данном исследовании, в сравнении с результатами других работ. Как следует из таблицы, значения динамических критических показателей в' и г существенно различаются для слабо и сильно неупорядоченных систем. Это позволяет сделать вывод, что данные системы принадлежат к двум различным классам универсальности критического поведения структурно неупорядоченных систем. В связи с тем, что время релаксации системы определяется критическим

л. — IV

показателем г: 1гЛ ~ т , - можно утвер-

ждать, что сильно неупорядоченные систе-

мы характеризуются более медленными релаксационными свойствами, по сравнению со слабо неупорядоченными и однородными системами. Эти особенности сильно неупорядоченных систем необходимо учитывать при постановке и проведении экспериментальных исследований фазовых превращений в твёрдых телах.

Численные исследования были проведены с привлечением ресурсов СКИФ МГУ «Чебышев».

ЛИТЕРАТУРА

[1] Ма Ш. Современная теория критических явлений. М. : Мир. 1980. 295 с.

[2] Fisher M.E. // Phys. Rev. 1968. V. 176. P. 257272.

[3] Harris A.B. // J. Phys. C: Solid State Phys. 1974. V. 7. Nr. 6. P. 1671-1692.

[4] Фольк Р., Головач Ю., Яворский Т. // УФН. 2003. Т. 173. № 2. С. 175-200.

[5] Albano E.Vet al. // Rep. Prog. Phys. 2011. V. 74. P. 026501.

[6] Janssen H.K., Schaub B., Schmittmann B. // Z.

Phys. B. 1989. V. 73. P. 539-549.

[7] Alves N.A., Da Silva R., Drugowich de Felicio J.R.

// Phys. Lett. A. 2002. V. 298. P. 325.

[8] Прудников В. В., Прудников П. В. Ваки-лов А. Н., Криницын А. С. // ЖЭТФ. 2007. Т. 132. № 2. С. 417-425.

[9] Parisi G., Ricci-Tersenghi F., Ruiz-Lorenzo J.J. // Phys. Rev. E. 1999. V. 60. P. 5198-5202.

[10] Муртазаев А. К. // УФН. 2006. Т. 176. № 10. С. 1119-1124.

[11] Heuer H.-O. // J. Phys. A. 1993. V. 26. P. 333339.

[12] Schehr G., Paul R. // J. Phys: Conf. Series. 2006. V. 40. P. 27-35; URL: arXiv:cond-mat/0511571.

[13] Prudnikov V.V., Prudnikov P.V., Pospelov E.A., et.al. // Phys.Rev. E. 2010. V. 81. Р. 011130.

[14] Pelissetto A, Vicari E. // Phys. Rev. B 62, 6393 (2000).

[15] Прудников В. В., Прудников П. В., Крини-цин А.С. // ТМФ. 2006. Т. 147. № 1. С. 137-154.

[16] Rosov N., Eibschutz M., Hohenemser C. // Phys. Rev. B. 1992. V. 46. P. 3452-3457.