Граничные задачи для эллипсоидально статистического уравнения

Владикавказский математический журнал Октябрь декабрь, 2002, Том 4, Выпуск 4

Посвящаяется 60-летию X. П. Дзебисова

УДК 517.958, 533.72

ГРАНИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПСОИДАЛЬНО СТАТИСТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ

А. В. Латышев, А. А. Юшканов

Развивается метод аналитического решения полупространственных граничных задач для эллипсоидально статистического уравнения с частотой, пропорциональной скорости молекул. Решена классическая задача Смолуховского о скачке температуры в разреженном газе и о слабом испарении (конденсации). Проведены численные расчеты полученных выражений. Проводится сравнение с предыдущими результатами.

1. Введение.

Постановка задачи и основные уравнения

Известное кинетическое БГК-уравнение (Бхатнагар, Гросс, Крук) обладает тем недостатком, что оно приводит к неправильному числу Прандтля. Чтобы избежать этого недостатка прибегают к моделям (при аналитическом решении) более высокого порядка — уравнению Шахова и эллипсоидально статистическому уравнению (ЭС-уравнению), или прибегают к полному уравнению Больцмана при численном решении.

Для всех модельных уравнений с постоянной частотой столкновений v = const были развиты аналитические методы [1-4] решения граничных задач.

Наряду с кинетическими уравнениями с v = const применяются и уравнения с частотой столкновений, пропорциональной молекулярной скорости. Такие уравнения отвечают более адекватной гипотезе о постоянстве длины свободного пробега молекул I = const.

В [5] показано, что ЭС-уравнение при I = const в задачах скольжения приводит к результатам, наиболее близким к полученным с использованием полного уравнения Больцмана для молекул — твердых сфер. Там же в [5] был разработан метод аналитического решения ЭС-уравнения в применении к задачам скольжения. Отметим, что до сих пор отсутствует метод аналитического решения общих граничных задач для ЭС-уравнения. К таким задачам относится и задача Смолуховского, объединяющая задачи о температурном скачке и о слабом испарении (конденсации). Цель настоящей работы — восполнить этот пробел.

В настоящей работе развивается аналитический метод решения полупространственных граничных задач для ЭС-уравнения с частотой столкновений v = isqV, V = \/l'f' + \ 'г + I'f' — модуль молекулярной скорости. Получено точное решение задачи Смолуховского.

© 2002 Латышев А. В., Юшканов А. А.

Задача о скачке температуры в газе относится к числу важнейших во всей проблематике взаимодействия газа с твердым телом (или конденсированной фазой). Этой задаче посвящен целый ряд работ, основанных на использовании как численных, так и аналитических методов. Отметим, что в связи с фундаментальным характером рассматриваемой проблемы интерес к аналитическим методам остается высоким (см. статью [6] и цитируемые в ней работы).

Отметим, что имеющиеся по данной проблеме аналитические результаты получены с использованием БГК-уравнения (с постоянной и переменной частотой столкновений) и ЭС-уравнения cv = const. Представляется актуальным развить аналитический метод для ЭС-уравнения в случае I = const и применить его в задаче Смолуховского. Важно иметь ввиду, что именно аналитические методы дают полное решение задачи, так как позволяют получить не только величины скачков макропараметров (температуры и концентрации), но и полную функцию распределения.

Возьмем стационарное линеаризованное ЭС-уравнение с частотой v = v0V (см. [1, 7]) в безразмерных переменных

CV<P + CV

При этом используется безразмерная скорость молекул С = у/т/2кТ8 V (Т, температура поверхности, к — постоянная Больцмана) и безразмерная координата г' = щг. Здесь и далее штрих у безразмерной координаты опускается. Ядро уравнения (1.1) определяется выражением

ЦС,С) + + т £ (сгсз - (С/С/ - ^С'2^ ,

р{С) = 7Г_3//2Сехр(^С2), 7 — параметр, который можно найти из определения числа Прандтля, 8ij — символ Кронекера (8ц = 1; Sij =0, г ф j).

Отметим, что при 7 = 0 уравнение (1.1) переходит в БГК-уравнение, ибо ЭС-ядро к переходит в БГК-ядро к0( С, С') = 1 + f С С' + \{С2 - 2 ){С'2 - 2).

Будем рассматривать класс задач, в которых функция распределения зависит от одной пространственной переменной х и обладает изотропией в плоскости С\ = const, Сг,Сз. Для этих задач все недиагональные компоненты тензора вязких напряжений

1

з(

р(С)(СгС3 - -8гзС2)ф, С) d3C

равны нулю. Кроме того, при данных предположениях функция (р(х, С) зависит только от х, С и ¡л = С\/С. Следовательно, уравнение (1.1) упрощается:

1 оо

р-^-+ <р

-1 о

где

*(С, С') = МС, с') + ^7С2С'2 ^ - 0 - 0 .

Воспользуемся определением числа Прандтля: Рг = Ъкг]/(2тж). Здесь тгь масса молекулы, г] — коэффициент вязкости, ж — коэффициент теплопроводности. Выражая коэффициенты вязкости и теплопроводности через параметр 7, получаем

40

7 =

288 Рг ^256 + 75тг

При часто используемом значении числа Прандтля Рг = 2/3 из этой формулы следует 7 = ^0,466148.

В задаче Смолуховского газ занимает полупространство х > 0 над плоской стенкой, с которой происходит испарение (конденсация) молекул газа (пара), а также происходит теплообмен между конденсированной фазой и газом (паром). Предполагая, что вдали от поверхности существует градиент температуры, перпендикулярный поверхности (и соответствующий поток тепла), а также некоторая среднемассовая скорость газа, направленная от или к поверхности (испарение или конденсация), т. е. Т(х) = Т0 + Ktx, п(х) = п0 - (nQKt/Ts)x, Kt = (dT/dx)ос, и(ж) = {С/ооДО}, х ^ +оо. Задача Смолуховского состоит в нахождении относительного скачка температуры et = (То — Ts)/Ts как функции относительного градиента температуры kt = Kt/T\ и скорости испарения (конденсации) U = ^/m/2fcTs?700. Учитывая линейный характер задачи, можно записать: et = Ttkt + TUU. Безразмерные величины Tf, Ти называются коэффициентами скачка температуры. Другой важнейшей характеристикой газа является величина относительного скачка концентрации е„ = (щ — ns)/n. (ns — концентрация насыщенного пара, соответствующая температуре Ts), для которой: en = Ntkt + NUU, Nt, Nu — коэффициенты скачка концентрации.

Предполагая отражение молекул от стенки чисто диффузным, сформулируем граничные условия в задаче Смолуховского:

S

(р(0,/л,С) =0, 0 < ¡л < 1,

9?(0, С) = has(0, С) + о(1), х +00, —1 < ¡л < О,

где

has =еп + 2ИцС + ( С2 - | ) et + kt

('-"Hc-f)-^

Уравнение (1.2) имеет четыре Частных решения: три — это инварианты столкновениц 1 ^ 12С\ С ; четвертое решение (ж — ¡л){С2 — 5/2) — 2//С/(Зу/7г) описывает перенос тепла в неоднородно нагретом газе.

Учитывая структуру ядра уравнения (1.2), будем искать решение задачи (1.2), (1.3) в виде

<р(х, ¡л, С) = /г1 (ж, ¡л) + СНг(ж, ¡л) + (С2 — 2)/13(ж, ¡л). Получим задачу, состоящую из уравнения

1

дк 1 [ , , ¡л-—Ь/¿

дх v 2

-1

и граничных условий:

/г(0, ¡л) = 0, 0<ц<1;

h(x, ¡л) = has(x, ¡л) + о(1), х —У +оо, —1 < ¡л < 1.

Здесь Н = со\{к\{х, //), /12 (ж, //), /13 (ж, //)} — вектор-столбец, К (/л, ¡л,') — ядро уравнения,

Г

К (/л, ¡л ) = К0 + З/л/л К1 + 371//

3

,2 1 \ 3 г

"1 4а 0" ' 0 0 0" "2 10а 2"

К0 = 0 0 0 , Кг = 2а 1 а , К2 = 0 0 0

0 а 1 0 0 0 1 5а 1

Ке{х,ц) = со1 { еп + -ег - -кг(х - /л), 211

к )//,£* + кг

2. Разделение переменных.

Собственные векторы и собственные значения

Разделение переменных в уравнении (1.4) согласно общему методу Фурье приводит к решениям кп{х,ц) = ехр(—ж/т7)Ф(т7,//), в которых г/ — спектральный параметр, или параметр разделения, а вектор Ф является решением характеристического уравнения

(77 -/л)Ф(т],1л) = ^г]Р(ц,г])п(г]), п(г]) = со\{п1(г]),п2(г]),п3(г])} = I

-1

Здесь £>(//, 77) = АД/л?) - -у{ц2 - с!{г}) = 1 + 3с?72,

Р() =

1 4а О О '&сцг} О О а 1

2 Юаф) 2'

000

1 5аё(г]) 1

с = 1 — 9а2.

При г/ е (—1,1) решение характеристического уравнения возьмем в пространстве обобщенных функций [8]: Ф(?7, /л) = Р(г], р)п(г]), где

1 1

Р(г,,ц) = -0(ц,г,)Р-

2 Л ~ №

А

собственная матрица-функция, символ Рх 1 означает распределение — главное значение интеграла от ж-1, д(х) — дельта-функция, А(г) — дисперсионная матрица,

А(г) = А0(г) -= ^ + (г2 - ^ | Л0(г),

Ло(г) =

Л0(г) 4 аТ(г) О' О ш{г) О О аТ(г) О

Ло(г) = 1 +Т(г),Т(г) = / -^г, ш(г) = 1 + Зсг2Ло(г), Ао(г) — дисперсионная функ-

-1

ция Кейза [9].

1

1

Ниже понадобится представление дисперсионной матрицы в следующем виде: 1

Л(г) = Хо(г)Б(г) — \М(г), где

М{г) =

27 2а(6 + 57ф)) 27' О ^3 О

7 а(3 + Б'уё(г)) 7

Дисперсионная функция данной задачи имеет вид

А(г) = с1е1;Л(;г) =

где Ш1 (г) = 7_1Ло(г) — Ъш*{г) = Л0(г)5(г) — 1, «(г) = ^Зг2 + 1 + 7-1.

По определению (см., например, [1, 10]), дискретный спектр задачи составляет множество нулей дисперсионной функции. Нулем \о(г) является (см. [9]) точка г = оо кратности 2, нулями оо{г) являются (см. [1, 7]) две точки ±770(770 = 1 + 1,12 • Ю-48). Из разложения

До/ _ К 8о/ _ 7

7^1 (г) = _ „ + , +

35г4

видно, что и>1 (г) имеет нуль кратности 2 в точке г = оо. Применение принципа аргумента [11] показывает, что других нулей ш\{г) не имеет. Нулю щ отвечает собственное решение

1 1

Мж,//) = ехр(^ж/т7)-77о1)(//,77о)-п(т70).

2 770 - ц

Подставляя это решение в уравнение (1.4), получаем, что вектор п{щ) определяется из уравнения

Л

Используя равенства

= 1 + Зс77оАО(Т7О) = 0, й{щ)\0{щ) = Т{щ), А0(т7о) - = 7^1(770),

матрицу Л(г) в точке щ представим в виде:

Л(т7о) =7

<¿1 (770) +ш*(т]о) 4а<],(г]0) [0^1(770) +ш*(т]о)/2] ^2ш*(г]0) ООО

о>й{щ)[ш1{щ) - 2ш*{щ)\ 0^1

Возьмем «2(770) = Ло(т7о). Тогда из уравнения (2.1) получаем два уравнения: [<¿1(770) + ^*Ы)]п1(щ) ~2ш*{щ)пз{щ) = -АаТ{щ)[ш1{щ) + ш*{щ)/2],

-ш*{щ)гц{щ) + [0^1(770) + 2ш*{щ)]пз{щ) = -аТ{щ)[ш1{щ) - 2ш*{щ)\.

Из этих уравнений получаем: «1(770) = ^4аТ(щ),щ(г]а) = —аТ{щ). Итак, вектор 71(770) построен:

п(г70) = со1{^4аТ(77о),Ло(77о),^аТ(77о)}.

Заметим, что -Di(%)n(^o) = 0, следовательно,

1

D

= DQ(fir]Q)n(r]Q) = col {4a, -ц/щ,о).

Таким образом, последнее частное решение построено:

1 ехп

h0(x,fj.) = --col {4 ar)0,-fj,,ar)0}.

2 щ - z

Отметим, что линейная комбинация четырех частных решений уравнения (1.4), отвечающих точке z = оо, составляет вектор has{x,ji).

3. Однородная краевая задача

Ниже нам понадобится решение векторной однородной краевой задачи Римана Гильберта:

Х+(ц) = G(n)X~(n), G(n) = [Л+(^)]-1Л"(^), 0 < ц < 1

с матричным коэффициентом (?(//), который можно представить в виде (?(//) = [Р+ Р~ (у), где Р{г) = г); Х{г) — неизвестная матрица, Х±(ц) —

граничные значения сверху/снизу в интервале (0,1).

Ясно, что Р{г) = Ао{г)Е — |М(г)1)_1(г, г), Е — единичная матрица, или Р{г) = Ао(г)В - щ^Ег(г), где

Ei{z) =

2 ei(z) 2

0 e2(z) О

1 e3(z) 1

ei(z) = 2a(5 - 2e2(z)),

e2(z) = ~s(z)/cz2, e3(z) = a(5 - e2(z)).

Матрица Р(г) аналитична в комплексной плоскости, за исключением точек разреза [0,1], а также простых мнимых полюсов ±¿771, 771 = ^/—1/37 —1/3, являющихся нулями «(г)• При 7 0 (когда ЭС-уравнение переходит в БГК) полюсы ±¿771 исчезают, убегая в бесконечность вдоль мнимой оси.

Для приведения к диагональному виду матрицы Р(г) достаточно диагонализовать матрицу Е\{г). Рассматривая задачу на собственные значения для матрицы Е\{г), построим диагонализирующую матрицу Б,

Б =

1 ^4а 2 О 1 О -1 ^а 1

Ч~1 — -ь "3

1 2а ^2

0 3 0

1 5а 1

Из определения матрицы Б вытекает, что Б~гЕ \{г)Б = diag {0, е2(г), 3}. Будем искать решение задачи (3.1) в виде Х{г) = БХ0(г)Б~1, где Х0(г)= diag{?7(г), У(г), УУ{г)} — неизвестная матрица. Учитывая проведенную диагонализацию, получаем матричную краевую задачу:

= О </*<!,

где Щг) = 5_1Р(г)5 = diag (Л0(г),сф)/Зсг2,ил{г)/«(г)}.

Матричная краевая задача (3.2) эквивалентна теперь трем скалярным краевым задачам:

и+(р) = [Ао (Л*)/А+ (Л*), 0 < ц < 1,

= 0 < ц <1.

Первые две задачи уже были решены в [7], третья задача решается аналогично первой. Приведем решения сразу всех задач:

и {г) = гехр(—«(г)), = гехр(—?;(.г:)), = г ехр(—го(г)),

111 1 /* Со(и)ёи . . 1 Г ((и)ёи . . 1 Г Сх «¿гл «(«) = - / , «(«) = - / , Цг) = - / ,

здесь

7Г У и — г о

Со(«) = -ам^ СП«) = -амя

7Г У и — г о

7Г

и — £

2Л0

жи

7Г

2

(АоЫ

1

2сф) ЗсТО3

_7та «(и;

Таким образом, матрица Х(г) построена и в явном виде определяется равенством:

А"(г) =

/' + 211' 2п(Г - (¡V + 5И') + 21V

О 2^ О

^и + Ш а(-2и~ЗУ + ЫУ) 21' + IV

Заметим, что А"(г) = гЕ + Х^ + о( 1), г оо, где 1

Здесь

3

Г, + 211', 2п

О V! О

-£/1 + IV, п(-2Г, - 31', + Г)IV,) 2Г, + IV,

=

7Г

Со(«)<& = 0,710446,

V, =

7Г

С(«)йи = 0,997747,

=

7Г

Напомним, что зависит от параметра 7, т. е. от числа Прандтля. При числе Прандтля Рг = 2/3 значение = 0,812276. При 7^0 —> ибо (1(11) —> (о(и)-

о

1

1

о

1

1

о

1

1

о

4. Разложение по собственным векторам

Будем искать решение задачи (1.4), (1.5) в виде разложения по собственным векторам характеристического уравнения:

1

к(х, ¡л) = Ла8(ж, ¡л) + АоИо(х, ¡л) + / е

Здесь Ао — неизвестная постоянная, А(г/) — неизвестная вектор-функция с элементами Aj{r¡),j = 1,2,3; неизвестными также являются величины входящие в

Используя граничные условия (1.5), сведем разложение (4.1) к векторному сингулярному интегральному уравнению с ядром Коши:

1 [ t¡D

MO,/Í) + AoMO,/Í) + 2 J J A(ri)drl + A(rl)A(rl) = 0, 0 < f, < 1.

о

Введем вспомогательную вектор-функцию

i

N

2 J r¡ - z

0

и сведем сингулярное уравнение к неоднородной векторной краевой задаче:

P+

= p-(n)[N~(n) + hae(0,n) + A0h0{0,ii)], 0 < /л <1.

С помощью соответствующей однородной задачи (3.1) сведем неоднородную задачу к задаче определения аналитической вектор-функции по ее нулевому скачку на разрезе:

[^МГ^+М + МО^ + ЛМСЫ]

_i I4-3)

= [Х~(ц)] [JV-(/í) + /iee(0,/í) + A0/i0(0,/í)], 0 < /л<1.

Учитывая особенности матриц и векторов, входящих в (4.3), получим его общее решение:

N

где С, В неизвестные векторы с постоянными элементами Cj, b3 (j = 1, 2, 3). Устраним полюс у решения (4.4) в точке щ условием:

1

Х{щ)В + А0-щ col {4а,-1, а} = 0,

откуда

В = -А^щХ г(щ) col {4а, — 1, а} = -^j^y col {4а,-1, а}.

о

Вспомогательная вектор-функция (4.2) и общее решение (4.4) имеют полюс в точке z = оо. Выделим главные части разложений этих функций в окрестности точки z = оо. Представим (4.2) в виде

i i nh = i / «m м - 7 - ±)  i / з£Ммч)

о о

Нетрудно проверить, что Di{rj)A{rj) = a{r¡) col {2,0,1}, где

a{q) = 01(77) + 5ad(i])a2(r]) + 03(77). Следовательно, функция (4.2) имеет разложение

N

здесь

дг(1) = j( 1) со112,0,2}, = J(2) col {0,1,0} - 42) col {0,1,0},

1 1

jC?) = Ь1 /rfaWd'n (i = M), 42) = у/^a^di],

o o

Теперь разложим правую часть

N

Сравнивая разложения (4.5) и (4.6), получаем две системы уравнений

5 2

Cl = 2c3 + -ku с2 = 2Í7 — —=kt, с3 = J

2 оу 7Г

11 2 2-/(2) = - е„ - -ег + 61 - -Г,(г, + 2ас2 - 2с3) + 1пг-_> V, - -IV,(г, + 5ас2 + с3),

= -\а0 + Ь2-с2У1,

1 1

,/(2) = - £1 + ь3 + -Г, (г, + 2ас2 - 2с3) + ПГ-Л ', - -IV, (г, + 5ас2 + с3).

Из систем уравнений (4.7) и (4.8) находятся все неизвестные коэффициенты решения (4.4) и разложения (4.1). Неизвестная вектор-функция А(г]) находится из формулы Сохоцкого, примененной к вектор-функции (4.2), после подстановки в нее решения (4.4):

7^

Таким образом, все неизвестные из разложения (4.1) найдены.

5. Скачки температуры и концентрации

Найдем в явном виде все параметры решения (4.4) и разложения (4.1). С учетом того, что

1 5

С1 + с3 = 3,/(1) - -кг, с 1 - 2с3 = -кг,

г>1 + ЪоЬ2 + Ь3 = 0, + 2аЪ2 - 2Ь3 = О, равенство (4.9) представим в виде трех скалярных:

1мг][а1(г]) + 4аа2(г]) - 2р(г])а(г])} = + ^«с2 | [и+{г]) - и~(г])}

2 - ^ + |ас2^) [Ш+(г/) - Ш-(г/)] - 4а (с2 +

Ь2

П-'По 1

шфо]3а2(г]) = ( с2 +-— ) [У+(г]) - V (г])}, р(г]) = 7(г]2 - -

т) — т)0/ а

игг][аа2{г]) + а3(г/) - р{г])а{г])} = - + ^«сг^ [и+(г/) - II (г/)]

+

Согласно (5.2) находим:

7(2) _ «О -

2ти

Ь

'2

ц-щ) V

д,г]

Для вычисления этого интеграла образуем функцию

¿ф) = [У(г) - г + V!]

с2

+

Возьмем трехсвязную область 1)е, ограниченную сложным контуром, состоящим из окружности 7д достаточно большого радиуса Д = 1/е, е > 0, окружности 70 радиуса е с центром в точке щ, и контура 7е, проходимого по часовой стрелке, отстоящего от разреза [0,1] на расстоянии е и переходящего в окружность радиуса 2е с центром в начале координат.

По теореме Коши для многосвязных областей

7Я

70

7е

Перейдем к пределу в этом равенстве при е ^ 0. В силу асимптотики У{г) = г — + о(1), г оо, интеграл по окружности 7д исчезает. В результате приходим к равенству

1 1 ¿-/- г-М]л, = ¿-/[!'-+(.,) - (2 +

о о

д,г]

^ = Иея + Иея 0¿ф).

1

1

о

Вычисляя эти вычеты, получаем:

42) = V(0)(c2 - Ъ2/щ) + FlC2 + У(щ)Ь2/щ - Ь2.

Сравнивая это равенство со вторым из (4.8), имеем: Ь2 = щс2, AQ = 2У{щ)с2. Следовательно, вектор В окончательно построен:

В = —щс2 col {4а, — 1, а}.

Сложим уравнение (5.1) с уравнением (5.3) и с уравнением (5.2), умноженным на 5а. В результате получаем

inr]^s{r])a{r]) = ( З«/^1- — -kt + 5ас;

W+

Следовательно,

jü) = ( 3J(1) - ^kt + 5ас2) Jj, J3 =

W+

i? 1du s{u) '

i = 1,2.

Для вычисления интегралов «7^ образуем функции

= ^ 1 3 =

Эти функции аналитичны в четырехсвязной области 1)е, ограниченной сложным контуром. Этот контур состоит из окружности 7д достаточно большого радиуса Я = 1/е, е >0, двух окружностей 71 : \г — Щх \ = е и 7_1 : \г + гщ | = е, и контура 7е, охватывающего разрез [0,1] по часовой стрелке, и отстоящего от него на расстоянии е. По теореме Коши для многосвязных областей

i

о

„ . , РЛг) (1/4? - 1^/68 27?! (¿»у | 1^/68 _1711

(г)--/ РЛг)йг.

2т У 2жг }

7 Я Те

Перейдем в этом равенстве к пределу при е ^ 0. В силу асимптотики Fj{z) = о(г-?_3),У = 1,2, получаем, что интеграл в левой части предыдущего равенства исчезает. Имеем:

i

1

2ni J 1 1 о

[Ff(r]) - Fr¡ Ш di] = Jj = Res irilFj(z) + Res _irilFj(z).

Следовательно,

Ji = Res im-^-+ Res -^-= [W(ir]1)^W(-vr]1)^2vr]1}

72 = Иея

\¥(г) - г + И7!

гг!1 / ч " \ —гт

Теперь из уравнений (5.4) находим:

7« =

1-371

5ас

2

т(2) _ _^2

2 / ' и "1

Этими равенствами заканчивается нахождение всех параметров решения (4.4). Из первого и третьего уравнений (4.8) выведем формулы для вычисления скачка температуры и концентрации:

= ас2

2 5 VI - т + -т -

5

72 + 7^1 1-371

+ Л*

'5 + 372

6 1 6

3 5

е» = -е* + 2ас2(У1 - щ - Л{) - -кг11г.

Граничная задача (1.4), (1.5) полностью решена.

6. Численные расчеты и обсуждение результатов

Представим формулы (5.5) в стандартном виде: = Т¿А^ + Ти(211), еп = + Ж„(2?7). Коэффициенты скачков температуры и концентрации вычисляются по следующим формулам:

3^1 + 18111 + ЮР^

Щ),

1

Ъ = 24(3 г/о

(У

ти = — [—->//() + 31', + 2Г, - ШИ', + 511','].

Щ = —[7гю - 71', - 18Г, + ШИ', - IV','].

(У

= ^К'/о + "V, - 2Г, - ШИ', + И','].

В этих формулах

= -щ 1

+ ¿Г71)

причем —> при 7^г>0.

Отметим, что при 7 ^ 0 (когда ЭС-уравпепие переходит в БГК-уравнение) формулы (5.5) переходят в соответствующие формулы, выведенные на основе БГК-уравнения:

1

е* = Ь^о - V + ВД + {2и)а{-щ +у1~и1),

1 7а

еп = кг — (7гю - 7Уг - 9Щ) + (2и)-(-щ + Т^ - Щ).

16 2

Отметим, что число Прандтля несколько отличается от значения 2/3. Для модели молекул — твердых сфер Рг = 0,66072 [13]. При этом 70 = ^0,483427. Численные расчеты по приведенным формулам, выполненные при значении 70, отвечающем данному числу Прандтля, приводят к следующим результатам:

Т4(7о) = 0,826285, Та(7о) = -1,09308,

ЛГ4(7о) = —0,35851, ЛЦ7о) = ^0,93760

Для сравнения приведем результаты из [7] для БГК-модели с частотой столкновений, пропорциональной скорости молекул (т. е. с постоянной длиной свободного пробега молекул): Т* = 0,79954, Ти = -1,0239, Щ = ^0,39863, Ни = ^0,82905.

Перейдем к размерным переменным. Отметим, что в задаче о скачке температуры принято использовать определение длины свободного пробега молекул через коэффициент теплопроводности (температуропроводности) [12]. Будем использовать определение длины свободного пробега, совпадающее с соответствующим определением согласно [1] при Рг = 2/3:

При этом полученный в данной работе коэффициент скачка температуры имеет следующую величину: С\ = 2,06571. Напомним, что ЭС-уравнение с постоянной частотой столкновений [4] дает: = 2,20576.

Приведем для сравнения результат, полученный численно с использованием полного уравнения Больцмана [12] для модели молекулы — твердые сферы: Ct = 2,1133, а также приведем результат из [14], где использовалась 13-моментная кинетическая модель с постоянной частотой столкновений молекул. В этой работе получен следующий результат: С г = 2,20576. В работе [6] было проведено численное исследование с использованием метода дискретных координат БГК-модели с частотой столкновений, соответствующей модели молекулы — твердые сферы. При этом был получен следующий результат С\ = 2,0421. Отметим, что результаты, приведенные в указанных работах пересчитаны с учетом принятого в данной работе определения длины свободного пробега молекул газа.

Таким образом, рассматриваемая ЭС-модель приводит к более точному результату, нежели ЭС-уравнение с постоянной частотой столкновений или другие известные модели.

Остановимся на отличительных особенностях изложенного аналитического решения. Декомпозиция функции распределения сводит задачу Смолуховского к типичному векторному уравнению переноса с матричным 3x3 ядром. Точные решения уравнений с такими ядрами отсутствуют. Исключение составляет наша работа [7], в которой рассматривалась эта же задача для БГК-уравнения. Одним из центральных моментов, обеспечивающих аналитическое решение, является диагонализация матричной векторной краевой задачи Римана — Гильберта, к которой сводится исходная граничная задача. Матричный коэффициент задачи Римана — Гильберта имеет особенности — простые полюсы на мнимой оси. Когда ЭС-уравнение переходит в БГК-уравнение (7 ^ 0) эти полюсы пропадают — убегают в бесконечность по мнимой оси. Впервые для аналитических методов в условиях разрешимости для общего решения

здесь х — коэффициент температуропроводности.

Тогда выражение для скачка температуры запишется в виде

Т. Заключение

задачи Римана — Гильберта пришлось использовать значения фактор-матрицы не только в точках дискретного спектра, но и в упомянутых полюсах.

Полученные в работе результаты могут быть использованы при анализе поведения аэрозольных частиц в неоднородно нагретых газах, а также в самых разнообразных проблемах кинетической теории газа и плазмы, в теории переноса нейтронов, электронов, в теоретической астрофизике и других областях.

Благодарности. Свыше десяти лет назад А. В. Бобылев призвал нас не ограничиваться развитым аналитическим методом для БГК-уравнения и обратил наше внимание на важность разработки аналитических методов для кинетических уравнений высшего порядка. Выражаем ему свою признательность.

Литература

1. Черчиньяни К. О методах решения уравнения Больцмана // В сб. Неравновесные явления. Уравнение Больцмана. Под ред. Дж. Л. Либовица и Е. У. Монтролла.—М.: Мир, 1986.

2. Латышев А. В. Применение метода Кейза к решению линеаризованного кинетического БГК уравнения в задаче о температурном скачке // Прикл. математика и механика.—1990.—Т. 54, вып. 4,—С. 581-586.

3. Латышев А. В. Аналитическое решение уравнения Больцмана с оператором столкновений смешанного типа // Журнал вычисл. матем. и матем. физ.—1991.—Т. 31, № 3.—С. 436-447.

4. Латышев А. В. Аналитическое решение эллипсоидально-статистического уравнения Больцмана // Известия АН СССР. Сер. МЖГ,—1992,—№ 2,—С. 151-164.

5. Латышев А. В., Юшканов А. А. Задача Крамерса для эллипсоидально статистического уравнения Больцмана с частотой, пропорциональной скорости молекул // Журнал вычисл. матем. и матем. физ.—1997.—Т. 37, № 4,—С. 483-493.

6. Baricheüo L. В., Bartz А. С. R., Camargo М., Siewert С. Е. The temperature jump problems for a variable collision frequency model // Physics of Fluids.—2002.—V. 14, No. 1.—P. 383-391.

7. Латышев А. В., Юшканов А. А. Граничные задачи для модельного уравнения Больцмана с частотой, пропорциональной скорости молекул // Изв. РАН. Сер. МЖГ.—1996.—№ 3.—С. 140153.

8. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики.—М.: Физматлит, 2001.

9. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса.—М.: Мир, 1972.

10. Гермогенова Т. А. О полноте системы собственных функций характеристического уравнения переноса // Ин-т прикл. мат-ки им. М. В. Келдыша. Препринт № 103.—1976.

11. Гахов Ф. Д. Краевые задачи.—М.: Наука, 1977.—640 с.

12. Loyalka S. К. Kinetic theory of planar condensation and evaporation // Transport theory and statist, phys.—1991.—V. 20, No. 2-3.—P. 237-249.

13. Чепмен С., Каулинг Т. Математическая теория неоднородных газов.—М.: ИЛ, 1960.

14. Soga Т. A kinetic analysis of thermal force on a spherical particle of high thermal conductivity in a monoatomic gas // Physics Fluids.—1986.—V. 29, No. 4,—P. 976-985.

г. Москва

Статья поступила 16 сенября 2002 г.