Устойчивость наногофрированной пластинки

УДК 539.3 Вестник СПбГУ. Сер. 1, 2008, вып. 1

В. В. Платонов

УСТОЙЧИВОСТЬ НАНОГОФРИРОВАННОЙ ПЛАСТИНКИ

1. Введение

Для ряда приборов наноэлектроники, например, квантовых клеточных автоматов и квантовых компьютеров необходимы строго периодические квантовые системы. Периодические наноструктуры необходимы также в оптике и наномеханике. Особый интерес представляют системы, составленные из одинаковых элементов одного и того же размера, расположенные с высокой периодичностью в двух или трех измерениях.

Современная молекулярно-лучевая эпитаксия позволяет из отдельных монослоев, монослой за монослоем, создавать сложные гетероструктуры из полупроводников ОаЛв, 1пЛв, Л1Лв и т.д., твердых растворов на их основе, металлов, диэлектриков [1, 2]. Развитие данного подхода позволило создать наногофрированные квантовые системы, квантовые точки, молекулы из квантовых точек, сверхрешетки, кристаллы, нано- волокна и композиционные материалы. На рис. 1 показана простейшая конструкция, содержащая гофрированную пленку. Селективное удаление жертвенных слоев приводит к ее освобождению, из-за наличия жестких ограничений реализуется форма потери устойчивости, показанная на рисунке. Движущей силой формирования гофрированной пленки являются упругие напряжения, существующие в исходных структурах из-за несоответствия параметров решеток пленки и подложки (деформация сжатия достигает 7%). Постоянные решеток материалов слоев различаются значительно, внутренние упругие напряжения могут достигать 1 ГПа. Таких напряжений достаточно для формирования гофрировок с нанопериодом. Период и амплитуда задаются расстоянием между подложкой и верхним слоем.

Рис. 1. Наногофрированная пленка.

В данной статье исследуется устойчивость гофрированной пленки, показанной на рис. 1. Конструкция моделируется тонкой пластинкой, защемленной между двумя жесткими основаниями с зазором. Пластинка сжимается в продольном направлении. При достижении напряжением первого критического значения пластинка теряет устойчивость и прогибается. После соприкосновения с основанием начинает образовываться участок прилегания пластинки к жесткому основанию. Когда участок налегания становиться достаточно большим, он тоже теряет устойчивость. Пластинка «прощелки- вается» второй раз и образуются три зоны прилегания пластинки к основаниям. При последующем нагружении участки налегания также теряют устойчивость. По такому алгоритму получается гофрированная система, показанная на рис. 1. В настоящей работе выполняется поиск критических значений сжимающего напряжения и длин участков пластинки на каждом этапе нагружения. Та же задача решается на основе уточненной © В. В. Платонов, 2008 теории (теории типа Тимошенко). С использованием пакета ЛпвуБ произведен расчет методом конечных элементов.

вид

2. Решение для пластинки Кирхгофа

Рассматривается пластинка, сжатая в продольном направлении. Для упрощения задачи считается, что прогиб пластинки при x = const один и тот же, он не зависит от у, т. е. рассматривается двухмерная задача. Длина пластинки a, толщина h. Края пластинки при x = 0 и x = а защемлены. Величина зазора между пластинкой и основаниями равна A (см. рис. 2).

Рис. 2. Схематическое изображение сжатой пластинки. В этом случае дифференциальное уравнение изгиба пластинки имеет следующий

°£-

А

Г = - I cr^T- I h фиктивная поперечная нагрузка [3, 4],

Eh3

D =

12

цилиндрическая жесткость пластинки. Величина прогиба представляется в виде

w(x) = A sin ax + B cos ax + C + C1 x, а2 =

x

D

Граничные условия имеют следующий вид: т = 0, йт/йх = 0 при х = 0, а. После

подстановки значения величины прогиба '№(х) в граничные условия, учитывая

2

выражение для а , можно получить значение сжимающего напряжения:

4п 2 Б

Ьа2

ах =

Из выражения (1), в частности, следует, что при значении ai = а/2

16n 2 D

&x —

Это означает, что в случае

ha2

< CrX <

ha2

4пЭД

ha2

16n2D

где в нашем случае

cP

w

dx

2

а h

пластинка может соприкасается с основанием только по одной прямой. Положим, что при нагрузке

I Q п 2 Б х На2

образуется зона плотного прилегания пластинки к жесткому основанию [5]. Обозначим длину этого участка вдоль оси Ох: а2 = а — 2а1. Этот участок остается прямым. Когда прямой участок станет достаточно большим, на нем тоже произойдет потеря устойчивости. Критическое напряжение для среднего участка будет

Но, с другой стороны,

Ап

а х х 2 Б

Наї

Приравнивая выражения для напряжений, находим

а 64п2Б

аі = 4' а* = НшА-

После того как средний участок прогнется, величина аі скачком изменит свое значение и станет равной а/6 (Можно провести аналогичные рассуждения, взяв только а2 = а — а/2). Рассматривая каждую треть пластинки как новую самостоятельную пластинку, следует использовать полученные выше уравнения (1)-(3), заменив в них а на а/3. Таким образом, из соотношения (2) получается

а 144п2Б

а і = —

6' х Ьа2 144п2Б

Ух >

Это означает, что при Ьа2

начинается снова прилегание пластинки к основаниям по участкам. При

64тг 2Б ШТг2Б

Ь а 2 Л " х А Ьа2 пластинка соприкасается с основаниями по трем прямым.

На рис. 3 показаны основные формы равновесия пластинки, а в таблице приводятся интервалы изменения напряжения при нагрузке для всех основных форм.

3. Учет деформации поперечного сдвига

Необходимость учета деформаций поперечного сдвига при изгибе балок была отмечена С. П. Тимошенко. Им была введена поправка к кривизне оси стержня, обусловленная перерезывающей силой. Аналогичное уточнение предлагалось и в теории пластин [6]. Рассмотрим задачу, исходя из уточненной теории пластин, но без учета поперечного обжатия, т. е. будем предполагать, что прогиб не меняется по толщине пластины. Разрешающее уравнение уточненной теории для прогиба имеет следующий вид [7]:

БУ4Ш = + т - ал (у2дг + 1у2ш 10 1 — и! 6

а

Рис. 3. Основные формы равновесия пластинки.

Теория Ьїірхгофп Теория Тимошенко

1 4 л3о ~ ка2 сгд <^(1-4я2р(а)) па

2 Ля2 И „ 16я2В < <Т < ка2 ’ ка2 ^(1-4я2/3(а))<ал 6я20(а)) па па

3 16л2 О „ , 64л2 О < гг < ка3 ~ Ла2 ^^а-16я20(а))<огл <^^(1-4я2р(ах)) па па1

4 64^0 144тг20 < <Т < йа2 * Ла’ а-Ая2^)) < сгжй^-(1-4Я3 №,')) Щ к<2, 2

5 144я20 , , 5~6тг20 < С < ка2 ’ ка2 ^(1-4^(а,')) <аЛ ках ка1

дтх дтх т = —------1-

дх

дх

Ь/ + .

тг = +^і )> г = х,у.

Здесь с± —значение напряжения на поверхностях пластины. Знак плюс относится к поверхности z = +Ь/2, минус

— к поверхности z = -Ь/2.

В рассматриваемом случае разрешающее дифференциальное уравнение уточненной теории для прогиба имеет вид

d4w _ о Ь2 2 — V сР-№ аЬ*~ч + їoTЛй~dxЛ'

Граничные условия на краях пластинки такие же, как для пластинки Кирхгофа. После введения безразмерную координату Хг = х/а, уравнение (4) для прогиба принимает вид

Введем дополнительные обозначения

D' ' а2 10(1 — v)'

2 h a x а 2 Л h2 (2 — v) которые позволяют уравнение (5) записать в виде

dAw о? d?w dx4 1 — а2в dxi Решение этого уравнения, как и для пластинки Кирхгофа, имеет вид

2

2 а

w(x) = A sin «1Л1 + B cos «1л1 + C + Ci Ж1, «1

1 — а2в'

Можно получить выражение для критического напряжения

а, = Л

где в — малый параметр порядка O(h2/a2).

Из выражения (6), в частности, следует, что при значении а1 = а/2 напряжение

а, = л^л(1_16 7ТЛ(а)).

Это означает, что в случае

Л(1 _ 4Л(а)) < аж < л£(1 _ 16Л(а)) ha2 ha2 пластинка может соприкасается с основанием только по одной прямой. Примем, что при нагрузке

аж > ^

образуется зона плотного налегания пластинки к жесткому основанию. Обозначим длину этого участка вдоль оси Ох а2 = а

— 2а1. Когда прямой участок станет достаточно большим, на нем также произойдет потеря устойчивости. Критическое напряжение для среднего участка будет

*. = л(1_1бЛ(а,)).

Но, с другой стороны,

л = %Л( 1_4ТТЛ(щ)). Приравнивая выражения для напряжений, находим 1 + V7I - 647Т2л(а) ^z1 , 2 а, л

ai = _______ g_______а' °х = ~ЫГЛ ~ 47r Л(”1))'

После того как средний участок прогнется, величина а1 скачком изменит свое значение. Рассматривая каждую часть пластинки как новую самостоятельную пластинку,

2х а =

пластинка соприкасается с основаниями по трем прямым. можно использовать полученные выше уравнения. Выражение для критического напряжения при этом принемет вид

12

І!)2тг'-Лі«і І7Г-/;, „ 1ч.

—а, <тг - (1 - ЬГ;І{« )).

па[-

Эго шиачант, что при

а' :> ТнИ1 ~ |т' ’’“'І *

4іг-0.

Тар

ттачиттіиїті'я стюпа прилсгаттші пластиттки к основаниям по участкам. 11рт-т

1,14^

На’

На рис. 3 показаны основные формы равновесия пластинки, а на рис. 4 даны интервалы изменения напряжения при нагрузке.

Сравнивая выражения для соответствующих значений критических напряжений в теориях Кирхгофа и Тимошенко, нетрудно увидеть, что напряжения в уточненной теории на величину порядка Ь2/а2 меньше напряжений, полученных в классической теории, в то время как длины прямых участков в теории Тимошенко больше на величину порядка Ь/а.

4. О величине зазора

Аналитическое решение задачи, полученное в линейной теории тонких пластинок, которая применима лишь к достаточно слабым изгибам. Условием применимости этой теории является малость прогиба по сравнению с толщиной пластинки Ь. Величина прогиба соизмерима с величиной зазора Д. Поэтому зазор Д должен удовлетворять следующему соотношению:

Д < Ь.

В реальных конструкциях данное условие не всегда выполняется. Для оценки величины зазора в этом случае

воспользуемся полной системой нелинейных уравнений сильного изгиба:

БЛ2^ (дЪфдЪиГ Д2фД2 И) ДГф(Э^ ) 0О

ь \ ду2 дх2 дх2 ду2 дхду дхду ,0 '

д2ф £ ё 2 ш 1 ]

1 дх2 ду2 \дхду, ,

В этих уравнениях Ф — функция напряжений.

Величина прогиба имеет такой же порядок малости, что и величина зазора, т. е. ~ Д. Оценка порядка малости членов уравнения (8) показывает, что Ф ~ ЕД2. При условии Д А Ь первый член в уравнении (7) мал по сравнению со вторым членом, который имеет следующий порядок малости:

кАФ ЕЬА3------'

Сравнивая второй член равенства с внешним напряжением q0 получаем порядок малости зазора:

А

4 0\ 1/3

crgu '

ЕН

Таким образом, величина зазора Д пропорциональна кубическому корню из напряжения и обратно пропорциональна кубическому корню из толщины пластинки.

5. Расчет задачи методом конечных элементов

Расчет задачи методом конечных элементов производился с помощью пакета Лп- sys 9.0 [8]. Моделировалась двумерная задача. Для упрощения решения был выбран следующий алгоритм: деформация сжатия заменена нагревом пластинки, т. е. создавалось преднапряженное состояние. Для пластинки был задан коэффициент теплового расширения вдоль оси ОХ — 0,0007. Такой коэффициент был выбран из соображений, чтобы деформация в продольном направлении составляла 7%. Пластинка нагревалась, к центральному элементу прикладывалась сила. Как только пластинка прогибалась, сила снималась. При дальнейшем нагреве прогиб увеличивался и пластинка упиралась в жесткое основание. Таким образом, были получены основные формы равновесия пластинки. На рис. 4 показаны графики перемещения и напряжения срединной поверхности для левой половины пластинки. Форма потери устойчивости аналогична форме 5 на рис. 3.

Рис. 4. Перемещение w(x) и напряжение &y для срединной поверхности.

Анализ решения задачи методом конечных элементов показал, что порядок сжимающих напряжений и величины зазора, полученные при решении задачи в пакете Ansys, совпадает с порядком, полученным в аналитическом решении.

Summary

V. V. Platonov. The stability of a nanocorrugated plate.

In this paper thin plate stability is investigated. The plate is built-in between two solid foundations with some gap. The plate is compressed

in a longitudinal direction. Search compressing strain critical values and lengths of plate areas adjoining to the foundations at each stage of

loading is carried out. The problem is solved in Kirhgof theory and Timoshenko theory. Using the software packet Ansys the problem is solved by finite element method.

Литература

1. Принц В. Я. Трехмерные самоформирующиеся наноструктуры на основе свободных напряженных гетероструктур // Известие вузов «Физика». 2003. Вып.6. С.35-44.

2. Prinz V. Ya. A new concept in fabrication building blocks for nanoelectronic and nanome- chanic device // Microelectronic Engineering, 2003. Vol.69. Issues 2-4. P.466-475.

3. Беляев Н. M. Сопротивление материалов // М., Техническая теоретическая литература, 2002. С. 856.

4. Вольмир А. С. Устойчивость упругих систем // М., Физматлит. 1963. С. 880.

5. Феодосьев В. И. Избранные задачи и вопросы по сопротивлению материалов // М., Наука, 1973. С. 400.

6. Тимошенко С. П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки // М., Физматгиз., 1963. С. 636.

7. Григолюк, Э.И., Толкачев В.И. Контактные задачи теории пластин и оболочек // М., Машиностроение, 1980. С.411.

8. Конюхов А. В. Основы анализа конструкций в ANSYS // Казань: Изд-во КГУ, 2001. С. 102.

Статья поступила в редакцию 13 сентября 2007 г.