Модель иерархической сети доступа с учетом повторения заблокированных заявок

Модель иерархической сети доступа с учетом повторения заблокированных заявок

Ключевые слова:

иерархические сети доступа, повторные вызовы, показатели обслуживания заявок, алгоритм конволюций.

Важной особенностью формирования входных потоков заявок в действующих сетях связи является наличие повторных обращений на выделение ресурса передачи информации в ситуации отказа в предыдущей попытке (первичной или повторной). Потоки повторных требований инициируют лавинообразный рост потоков заявок в определённых направлениях, что резко ухудшает качество работы сети. В рассматриваемых обстоятельствах применение традиционных методик планирования сети, основанных на моделях с потерями или ожиданием, приводит к значительным погрешностям. Для устранения этих недостатков в теории телетрафика введён специальный класс моделей, в которых анализируется совместное обслуживание как первичных, так и повторных заявок. Для анализа влияния повторных заявок на уровне доступа построена математическая модель иерархической сети, в которой заявка, получившая отказ в обслуживании из-за недостатка ресурса передачи информации повторяется с некоторой вероятностью через экспоненциально распределенный промежуток времени. Даны определения основным характеристикам качества обслуживания заявок. Среди них общая доля потерянных заявок, средняя величина канального ресурса, занятого на их обслуживание, среднее число повторных вызовов на один первичный и др. Предложена вычислительная процедура оценки характеристик, основанная на использовании итерационных методов.

Степанов С.Н.,

д.т.н., профессор МТУСИ,

директор департамента, ОАО Интеллект Телеком,

Stepanov@i-tc.tu

Осия Д.Л.,

аспирант, МТУСИ, dimaosia@mail.ru

1. Введение

Пользователь услуг сетей связи (в современных ин-фокоммуникационных системах это может быть не только человек, но и устройство, подключённое к сети) с некоторой вероятностью повторяет заблокированную попытку соединения. Потоки повторных вызовов могут многократно увеличить загрузку отдельных линий и в ряде случаев полностью заблокировать работу сети. В абонентских терминалах обычно предусматривается возможность повторения вызова нажатием одной кнопки. Это значительно упрощает процедуру повторения заявки и усиливает отрицательные эффекты, сопутствующие данному явлению. В рассматриваемых условиях традиционные расчётные методики уже не пригодны для решения задач планирования сетей. Очевидно, что при наличии существенной доли повторных заявок в поступающем потоке, оценка канального ресурса на основе модели с потерями, где каждая заявка ассоциирована с новым вызовом, приведёт к сильному завышению требуемого объема канального ресурса.

Для устранения отмеченных недостатков предлагается разделить поступающие заявки на две категории; первичные и повторные и далее вести раздельный анализ процессов их поступления и обслуживания в рамках одной модели. Поток повторных заявок формируется из потока первичных заявок в соответствии с реакцией абонента на недоступность заказываемого сервиса. Рассмотрим в качестве примера общую процедуру построения моделей систем связи, в которых учитывается эффект повторения заблокированной заявки. Для решения сформулированной задачи достаточно взять любую модель распределения ресурса передачи информации и предположить, что в случае отказа в выделении ресурса пользователь может повторить заявку через некоторое время.

Выделим основные причины отказа в обслуживании, которые мО[уг привести к появлению повторных вызовов. К ним следует отнести:

• отказ на этапах установления соединения, предшествующих анализируемому ресурсу, включая ошибки набора адреса и другие причины, ограничивающие доступ пользователя в сеть;

• отказ из-за нехватки анализируемого ресурса для передачи информации пользователя или её скачивании, если речь о доступе к информационным базам;

• отказ на этапах установления соединения, следующих за анализируемым ресурсом, включая повтор обслуживания, если это необходимо по условиям передачи информации.

Количество пользователей, повторяющих заявку, зависит от качества работы сечи и доступности имеющеюся ресурса передачи информации. Чем хуже система связи обслуживает пользователей, тем большее их количество находятся в состоянии повторения заявки. Вероятность повторения вызова и время, через которое поступит повторное требование зависят от того как пользователь интерпретирует причину отказа в обслуживании. При построении модели обычно предполагается, что повторная заявка обслуживается на тех же условиях, что и первичная. Приведённый пример показывает, что в основе любой модели с учётом эффекта повторных вызовов лежит соответствующая модель с потерями заблокированных заявок. Можно сформулировать этот результат и по другому. Модель с потерями — это частный случай модели с повторными вызовами, когда вероятность повторения заявки принята равной нулю. Процесс построения и исследования иерархической модели сети доступа с повторением заблокированной заявки естественно начать взяв за ОСНОву модель иерархической ееги доступа с потерями заблокированных заявок, рассмотренную в [] ].

2. Описание модели

В теории графов иерархические сети доступа называются древовидными. Пример сети, принадлежащий данному классу, показан в верхней части рисунка. Далее будем считать, что сеть имеет нумерацию линий и узлов, использованную на приведенном рисунке. Сеть имеет следующие особенности, обусловленные ее определена-

ем: число узлов сети на единицу больше, чем У— число линий; каждый узел сети, за исключением (./ +1 )-го, имеет одну исходящую линию; псе узлы сети, за исключением концевых, имеют одну или несколько входящих линий; все маршруты передачи информации начинаются в одном из концевых узлов и заканчиваются в корневом узле; Максимальное число узлов в маршруте определяет число уровней иерархии сети. В построенной модели иерархической сети доступа имеется п потоков заявок на передачу трафика от одного из концевых узлов до корневого узла. Поток заявок с номером к, характеризуется интенсивностью поступления заявок Лк, средним временем обслуживания заявки _!_, числом канальных единиц,

Щ

необходимых для обслуживания одной заявки Ьк и маршрутом передачи трафика А'( . Пусть @ — интенсивА

пость поступающих заявок, выраженная в эрлангах.

Уровни иерархии сети

--------------+ 4

Vg

Рис. 1. Схема функционирования модели иерархической сети доступа с учетом повторных вызовов

Поступившая заявка ¿-го потока принимается к обслуживанию, когда во всех линиях маршрута следования трафика имеются не меньше Ьк свободных канальных единиц. Если таковых нет, то заявка получает отказ. Пусть: Нк — вероятность повторения заявки из-за нехватки канального ресурса в маршруте следования фа-

фика. — — средняя длительность промежутка времени

между последовательными повторными заявками одного

абонента, к = 1,2.....п. Будем полагать, что это время

имеет экспоненциальное распределение с соответствующим параметром. Топология сети задаётся маршрутной матрицей R , которая определяет множество N, номеров

потоков заявок, использующих j-ую линию, j = !, 2.....

J, и множество R, номеров линий, составляющих маршрут движения трафика, относящегося к обслуживанию к'ОЙ заявки, к = 1. 2. .... и. Определение структуры маршрутной матрицы приведено в [2]. Любой входной но ток заявок представляет собой сумму пуассоновского потока первичных заявок и потока повторных заявок, вызванных негативной реакцией абонен тов сети на отказ в попытке установить соединение. Таким образом, в структуре каждого из рассматриваемых потоков заявок выделено пуае-соновское ядро, создаваемое неограниченным числом пользователей с малой интенсивностью поступления заявок, и поток повторных заявок от случайного числа пользователей с большой интенсивностью поступления заявок. Число пользователей, повторяющих заявку, определяется качеством работы сети.

Схема образования к-го потока заявок в исследуемой модели сети показана в нижней части рисунка на примере поступления заявок 2-го потока.

Построенная модель даёт возможность исследовать процессы лавинообразного роста потока заявок в условиях перегрузки и наличия гак называемых «узких мест» сети. Её отличительными свойствами являются:

• реконструкция потоков повторных вызовов,

• учёт зависимости между моментами поступления заявок,

• раздельный анализ процессов поступления и обслуживания первичных и повторных заявок.

Область использования модели — расчёт пропускной способности линий связи в условиях перегрузки. Для решения этой задачи необходимо найти долю потерянных первичных и повторных заявок, а также среднее число занятых каналов. Дополнительными показателями качества работы системы связи в условиях перегрузки являются: среднее число повторных попыток соединения на одну первичную, среднее число отказов па одно установленное соединение, доля повторных заявок в общем потоке заявок, поступающих на обслуживание. Эти и другие характеристики могут быть найдены, если известны значения стационарных состояний модели р{А.......,/„), где значения jk, к = 1. 2. . . . , я,

изменяются в интервале |0.°о), а значения i.,,in в совокупности удовлетворяют неравенству

= i,2,..„у.

,te/V,

3. Характеристики модели

Пространство состоянии S анализируемой модели состоит из множества векторов s = ( /,,,.,, jiiJi,...,/„) 9 удовлетворяющих (1). Пусть Uk а S. подмножество состояний недоступности к-ю маршрута для обслуживания поступающих заявок. Введём определения основных ха-

T-Comm, #11-2013

155

рактеристик качества обслуживания заявок. Среди них: доля первичных заявок А-го потока, потерянных из-за нехватки ресурса передачи на одном из звеньев маршрута следования трафика А-го потока,

= .....О;

jeCij

общая интенсивность потока первичных и повторных заявок А-го потока, заблокированных из-за нехватки ресурса передачи на одном из звеньев маршрута следования трафика А-го потока,

wet;,

общая интенсивность потока первичных и повторных заявок А-го потока

weS

доля заявок А-го потока, потерянных из-за нехватки ресурса передачи на одном из звеньев маршрута следования трафика А-го потока,

яс.к - -Г-У

Л*

среднее число заявок А-го потока, находящихся на обслуживании

не J

среднее число повторных заявок А-го потока на одну первичную,

мк= -j-S рЦ.....Jl"'1" '''

At weS

Действуя аналогичным образом можно ввести ряд дополнительных характеристик. Среди них: среднее число отказов на одно установленное соединение, доля повторных заявок в общем потоке заявок, поступающих па обслуживание. Для расчёта лрк ,Ah k,At,паА,yt, Мк необходимо составить и решить систему уравнений статистического равновесия, связывающую знач£-нияpyjx,..., jn,/,,...,iu). Сделать это можно только в простейших случаях.

4. Алгоритм оценки характеристик

Оценку введенных характеристик выполним с помощью приближенных методов, основанных на нуаесопов-ской гипотезе для поступающих потоков повторных вызовов [2]. Сформулируем необходимые утверждения

1, Предполагается, что потоки повторных вызовов для А-ой линии доступа имеют пуассоиовское распределение с неизвестной интенсивностью xt, где А — номер потока к= 1,2,..,,«.

2. Значения Хк находятся из решения системы неявных уравнений, зависящей от характеристик исследуемой системы, без учета повторных вызовов, которая обслуживает п пуассоновских потоков каждый суммарной интенсивности Як +Хк, к= 1,2.....п. Неявные уравнения формируются из соотношений но форме совпадающих с законами сохранения интенспвностей потоков заявок поступающих и обслуженных в исследуемой системе.

3. Значения .у, определяются итерационным методом, Вычислительная сложность оценки характеристик модели с учетом повторных вызовов равна вычислительной сложности многократной оценки характеристик системы, без учета повторных вызовов.

Напомним, что характеристики обслуживания заявок лля модели иерархической сети доступа без учета повторных вызовов находятся с использованием алгоритма свертки. Пусть V — число канальных единиц линии, п — число потоков, Ьк число используемых канальных единиц

для обслуживания заявки А-го потока, ск — максимальное

число одновременно обслуживаемых заявок А-го потока. Основные шаги алгоритма состоят в следующем (2,31:

1. Находятся компоненты Я(/) вектора Рк индивидуального распределения ненормированных значений вероятностей занятости канальных единиц линии на обслуживание заявок А-го потока / ™ 0,\,...,скЬк, к = 1,2,...,/?.

2. В произвольном порядке (в последующих выражениях в порядке нумерации входных потоков) выполняется свёртка всех п ненормированных индивидуальных распределений Р.. Обозначим через Р,п вектор, полученный в результате свёртки первых / векторов Р^к --1,2,..,,/.

3. При выполнении последней свёртки находятся ненормированные значения стационарных вероятностей

= и характеристики обслуживания «-го

потока заявок

Р(0 = ¿/»/""""('"-»Ж» <сА-|'-и ^ Чм).

11=0

Здесь /() — индикаторная функция, а величина м>п1

показывает максимальный объём канального ресурса, который может быть занят заявками первых и-1 потоков. При выполнении данной свёртки также находятся ненормированные значения показателей качества обслуживания заявок п-то потока ли и уп . Значение 7Гп складывается из доли времени

; - . Ь.  1 и - О

пребывания модели в состояниях, когда общего ресурса линии пе достаточно для приёма заявки, и доли времени

'-«А

пребывания модели в состояниях, когда общего ресурса достаточно, но на обслуживании уже находится Сп заявок. В результате получаем

У„ = -»)«/(« <сфп,1-и < 11-^1 )•

11-0

Истинные значения я ,у И значения вероятностей р{)) находятся после нормировки. Величина нормировочной константы определяется из выражения

1=0

Результаты численных расчётов показывают, что разработанный подход обеспечивает приемлемую точность оценки показателей работы сети в ситуации, когда для пользователя предусмотрена возможность повторения заблокированной заявки.

Заключение

11риведено описание иерархической сети доступа, в которой учитывается влияние повторения заблокированной заявки. Даны определения основным характеристикам качества обслуживания заявок. Среди них общая доля потерянных заявок, средняя величина канального ресурса, занятого на их обслуживание, среднее число повторных вызовов на один первичный и др. Предложена

вычислительная процедура оценки характеристик, основанная на использовании итерационных методов и алгоритма оценки характеристик модели иерархической сети без учета повторных вызовов. Применение построенного алгоритма не вызывает больших затруднений и его можно использовать для оценки характеристик обслуживания заявок в иерархических сетей доступа.

Литература

]. Степанов С,Н,. Осия Д.Л. Алгоритм оценки показателей обслуживания заявок и иерархических сетях доступа It T-Comm: Телекоммуникации н транспорт, 2012. - №7. -С. 193-195.

2. Степанов С.Н. Основы телетрафика мультисервисных сетей. - М,: Эко-Трендз, 2010.

3. ¡versen V.tí. Teletraffic Engineering Handbook. 1TU-D, Nov 2002.

The model of hierarchical access network with taking into account the subscriber behavior

Stepanov S.N., Osiya D.L.

Abstract

The important characteristic of forming the input flows of requests in real networks is the existence of repeated attempts for transmission resource in case of blocking in primary or repeated attempts. The flows of repeated requests cause strong increasing of input flows for certain routes. This situation violates the quality of call servicing. In the case considered the usage of traditional dimensioning methods based on the models with losses or waitings leads to great mistakes. To overcome these difficulties the special class of models with retrials is elaborated. To analyze the influence of repeated attempts on the access level the mathematical model of hierarchical network is constructed. In this model the subscriber after getting refusal in primary or repeated attempt with some probability repeats the call after exponentially distributed random time. The definition of main performance measures is given. Among them: ratio of blocked calls, mean number of occupied channel units, the mean number of retrials per one primary calls and so on. The numerical method for performance measures evaluation is constructed based on the iteration procedure.

Key Words: hierarchical access network, repeated attempts, performance measures, convolution algorithm.