Линейные пучки в циркульно-эллиптических соответствиях

вестник 6/2012 6/2012

УДК 744

ю.О. Полежаев, А.ю. Борисова, Т.М. Кондратьева

ФГБОУ ВПО «МГСУ»

ЛИНЕЙНЫЕ ПУЧКИ В ЦИРКУЛЬНО-ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ СООТВЕТСТВИЯХ

Композиции, представленные геометрографическими моделями циркульно-эллиптиче-ских фигураций, имеют широкое приложение в практике архитектурно-строительного проектирования, дизайне, малых форм интерьеров. Исследования и вариации циркульно-эллип-тических соответствий актуальны сегодня. Рассмотрены некоторые из возможных названных соответствий и пример практического приложения (геометрографическая модель купола «религиозного» объекта). Рассмотренный фрагмент объекта «увязан» соответственным образом с архитектурой сооружения, рельефа, религиозной теорией и т.д.

Геометрографические взаимосвязи, композиции и фигурации сопряженных диаметров, дуг окружностей и эллипсов, их касания, инциденции и пробелы всегда представляли интерес и активировали поиски гармонических и рациональных решений в строительстве и архитектуре. Современные средства теории и компьютеризации геометрографии расширяют эти возможности.

Ключевые слова: циркульно-эллиптические соответствия, ортодиаметры, концентрические окружности, хорда, золотая пропорция, геометрография, эллипс, квадратура круга.

Примерами простых гармонических пучков прямых являются множества радиальных направлений с угловым интервалом, представленным некоторой константой (ф^-сош^). Для случаев позиций центра в действительной точке радиусы инцидентны в ней. Если же центр циркульной кривой «отнесен» в бесконечность, множество радиусов является семейством параллельных прямых с постоянным интервалом. Орторадиусы или ортодиаметры окружности, поскольку они связаны с фигурацией квадратуры круга, представляют определенный интерес и различные практические приложения.

Прежде чем анализировать сопряженные диаметры эллипса, построим сопряженные, или ортодиаметры, окружности. Пусть из точки уЯ через 0 проходит ортодиаметр й, а через точку хЯ, — ортодиаметр йх. Это главные ортодиаметры окружности (0; Я), но это и направления главных ортодиаметров всех концентричных окружностей с центром 0. Пусть далее для концентрической окружности (0; Я1) задан один из ортодиаме-тров [(¿1; 0) • 2] . Второй ортодиаметр может быть определен, кроме углового, различными способами. На изображении (рис. 1) реализованы два способа.

Первый, приводящий к определению точки й, — прием с использованием отрезка касательной А/ в квадратуре круга. Второй — с применением главной хорды окружности, равной

напомним, сопряженные диаметры окружности ортогональны, взаимно симметричны и делят друг друга пополам. Вследствие этого параллельные им хорды также делятся пополам соответственным диаметром. Для эллипсов, порожденных, например, у-сжатием окружностей, сопряженные диаметры кососимметричны, но также обладают свойством делить друг друга и параллельные им хорды пополам.

Построим хорды из хЯ и -хЯ параллельно ортодиаметрам окружности рис. 1. Назовем их главными хордами /1||й1 и /2||й2. Между ними прямой угол по построению. Вершина угла уЯ принадлежит дуге исходной окружности, так как угол опирается на ее диаметр. Ясно, что пары ортодиаметров и пары их главных касательных порождают соответственные ортопучки в конфигурации квадратуры круга (см. рис. 1). Говоря о сопряженности линейных элементов этих пучков прямыми углами, целесообразно представлять данное явление вращением квадратуры круга с центром 0.

Рис. 1. Элементы квадратуры круга и базовая окружность

Зададим кр константу сжатия по оси у отношениями отрезков между точками уе и уЯ, тогда кр = уе/уЯ. Назовем отрезок (уе; уЯ) линейной величиной сжатия Дур. Константа сжатия кр и ее линейная производная величина Дкр взаимосвязаны выражением кр + Дкр = 1 для единичной окружности.

Построим сжатие циркульных ортодиаметров в сопряженные диаметры

эллипса, используя величину Дур. При этом имеет место сжатие внешнего квадрата окружности в фигуру внешнего (рис. 2) прямоугольника эллипса, а пересечение диагоналей их четвертей лежит на одной ординатной линии связи. Точки пересечения, естественно, делят эти полудиагонали пополам.

Рассмотрим ортодиаметры ^ и окружности (0; Я) (рис. 2), с целью преобразования их в соответственные ортодиаметры эллипса, когда задана величина Дк сжатия окружности в направлении оси у. Для единичной окружности отрезок сжатия Дк < 1, т.е. он может быть каким-либо в интервале от 0 до 1. Если избрать его значение Дк = 0,618, получим преобразование «золотого сжатия» с производным значением Ь, полудиаметра эллипса. Если назначить величину Дк = 1 - 0,618, то отношение Ь : а эллипса будет равно «золотой пропорции», в связи с чем он может именоваться «золотым эллипсом». Итак, преобразования «золотое сжатие» и «золотой эллипс» гео-метрографически различаются, но связаны слагаемыми (0,618 + 0,382 = 1) «золотой пропорции».

На рис. 2 эллиптические точки построены с применением величины Дк = 0,382, т.е. для фигуры «золотого эллипса». Точки сопряженных диаметров эллипса и найдены с использованием упомянутой величины Дк. В отношении к построенным полудиаметрам эллипса выполняется условие (ей\ )2 + (е^2 )2 = а2 + Ь2 — первой теоремы Аполлония [1].

ВЕСТНИК

МГСУ

6/2012

Рис. 2. Взаимосвязи эллиптических и циркульных дуг

Произвольно расположенную точку е в площади круга (см. рис. 2) можно принять за эллиптическую. Проходящая через неё ординатная линия имеет два характерных отрезка: 1) от х до е — эллиптическая ордината; 2) от х до г — циркульная. Отношение этих отрезков задаёт численную величину преобразования сжатия кр, совпадающую с ее традиционной исходной позицией на оси у. Таким образом, произвольная точка е определяет исходную позицию и модель преобразования, а также все множество точек соответственной дуги эллипса. Построения нескольких эллиптических точек показаны на изображении рис. 2.

Пусть (е; 0) — один из диаметров йъ эллипса, тогда (г; 0) соответственный ему диаметр базисной окружности. Используя способ главных хорд, построим «недостающие» сопряженные диаметры окружности и эллипса. Сопряженный диаметр (йз) окружности строится с помощью отрезка Ял/2, который и является величиной главной хорды (г; 3) в отношении к полудиагонали окружности (3; 0) [2]. Пересечение этой хорды с осью х определяет точку Х^ В свою очередь прямая (е; Хй) является направлением главной хорды эллипса. Ее пересечение с ординатной линией 3 определяет точку на эллипсе 3'. Отрезок (0; 3') есть искомый сопряженный полудиаметр ей3 эллипса, в отношении к первоначально заданному ей3 диаметру. Концы большой оси эллипса (а; -а) также могут быть использованы для построения соответственных главных хорд в отношении точек е и г. В этом случае аналогичное решение повторно приводит к решению недостающих сопряженных диаметров. На изображении (см. рис. 2) показан вариант решения с полными сопряженными диаметрами, в отличие от предыдущего, где использовались полудиаметры. Добавим, что известных способов решения названной задачи достаточно много.

Геометрографические взаимосвязи, композиции и фигурации сопряженных диаметров, дуг окружностей и эллипсов, их касания, инциденции и пробелы всегда представ-

ляли интерес и активировали поиски гармонических и рациональных решений в строительстве, архитектуре, прикладном художественном творчестве и т.п. Современные средства теории и компьютеризации геометрографии расширяют эти возможности.

В частности, предложим еще одну вариацию линейных пучков, моделирующих соответствия циркульных и эллиптических кривых. Пусть в квадратуре круга произвольно задана точка е. Сама квадратура круга определяет взаимосвязь двух наложенных полей, одно из которых есть множество точек принадлежащих множеству прямых; а другое — поле множества точек, принадлежащих множеству окружностей [3]. Метрические реперы этих полей могут быть различны, но существует общий синтезированный репер для обеих планиметрий. Само наложение полей известно в качестве «Поля-М» [4]. Итак, в «Поле-М» введена точка е, для которой предназначаются свойства эллиптичности в отношении к другим точкам, порожденным ею. Это значит, что заданная точка будет размножена эллиптическим преобразованием в линию, а далее в плотное множество линий, и покроет «Поле-М» еще одним, эллиптическим точечно-линейным слоем. Наоборот, в этом слое можно будет определить одну из множества эллиптических линий, на которой размещается исходная точка е. Параметрами эллиптической линии являются: параметр квадратуры круга — R и параметр ^-сжатия Ak.

На рис. 3 показаны определённые пучки, связывающие точки прямых, окружности и эллипса. Построения бегущей эллиптической точки е. понятны из чертежа, их последовательность обозначена римскими цифрами. Кроме того, рассмотрим одну из циркульно-эллиптических лунок, построенную преобразованием сжатия Ak окружности. На любой ординатной линии здесь отношения отрезков от х до эллипса и от х до окружности есть const. Линейная разность между ординатами окружности и эллипса показана в виде последовательности (пучка) вертикальных отрезков в фигуре названной лунки. Любой из этих отрезков может быть определен с помощью простого геометрического алгоритма. Так найден отрезок (r; е.).

Рис. 3. Пример эллиптического семейства

Таким образом, предложенный способ является определителем позиций точек эллипса для заданных квадратуры и сжатия. При этом порождаются: 1) пучки радиальных «прямых-уздечек», т.е. парных прямых из центра 0; 2) пучки параллельных прямых к оси х; 3) пучки параллельных прямых к оси у, включающих отрезки внутри

ВЕСТНИК

МГСУ 6/2012

фигуры лунки; 4) семейства эллиптических кривых при изменении параметра Ак, среди которых находится базисная окружность квадратуры (см. рис. 3).

На основании изложенного рассмотрим пример геометрографической модели купола «религиозного» объекта. Пусть задана базовая окружность Я = а (рис. 4). Назначим г = Ь = 0,75Я, что соответствует Ь : а = 3 : 4. Используя известный способ аппроксимации дуги эллипса овалом, построим точку е, т.е. позицию сопряжения двух из четырех характерных циркульных дуг, а также эту пару дуг.

Рис. 4. Пример моделирования контура купола

На диаметре (-а; а) найдем точку 2, делящую его в «золотой пропорции». Построим ортотреугольник с гипотенузой /, катеты которого, совпадая с осями (х; у), соответствуют найденной «золотой пропорции». Зададим ещё одну гипотенузу (7||/) так, чтобы она касалась овала, при этом получим точку *е. Прямая */ пересекает ось у в позиции к. Используя хорду (е; к), определим центр с, из которого радиусом (с; е = с; к) достраиваем контур купола (-а; е; к), встроенного в «золотой ортотреугольник» (р; к; 0).

Рассмотренный фрагмент объекта должен быть увязан соответственным образом с архитектурой сооружения, рельефа, религиозной теорией и т.д. [5]. При этом его частные геометрографические свойства, не выходя за рамки упомянутой дедукции, вполне допустимы. Заметим к тому же, что существуют варианты решения задачи, изложенной выше, и архитектурно-строительная практика дает этому многочисленные подтверждения.

Библиографический список

1. Гильберд Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М. : Гос. изд-во. технико-теоритиче-ской литературы, 1951.

2. Корн Г. Справочник по математике. М. : Наука, 1974.

3. Полежаев Ю.О. Рациональные пропорции архитектурно-строительных объектов в проекционной геометрии: монография. М. : Изд-во АСВ, 2010.

4. Кондратьева Т.М., Полежаев Ю.О. Частные вопросы геометрографии применительно к системе «Поле-М» и квадратуре круга : сб. трудов. М. : МГСУ, 2006.

5. Сапрыкина Н.А. Основы динамического формообразования в архитектуре. М. : Архитектура-С, 2005.

Поступила в редакцию в мае 2012 г.

Об авторах: Полежаев юрий Олегович — доцент кафедры начертательной геометрии и графики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет»

(ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-24-83, grafi-ka@mgsu.ru;

Борисова Анжелика юрьевна — кандидат технических наук, доцент, доцент кафедры начертательной геометрии и графики ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-24-83, grafika@mgsu.ru;

Кондратьева Татьяна Михайловна — кандидат технических наук, доцент, заведующая кафедрой начертательной геометрии и графики, ФГБОУ ВПО «Московский государственный строительный университет» (ФГБОУ ВПО «МГСУ»), 129337, г. Москва, Ярославское шоссе, д. 26, 8 (499) 183-24-83, grafika@mgsu.ru.

Для цитирования: ПолежаевЮ.О., БорисоваА.Ю., Кондратьева Т.М. Линейные пучки в циркульно-эллиптических соответствиях // Вестник МГСУ. 2012. № 6. С. 62—67.

Yu.O. Polezhaev, A.Yu. Borisova, T.M. Kondrat'eva

LINEAR BUNDLES WITHIN THE FRAMEWORK OF COINCIDENCE OF CIRCLE AND ELLIPSE

Compositions represented by geometrical graphic models of circular and elliptical shapes enjoy wide application in architectural and interior design. The research of variations of coincidences of circles and ellipses is a relevant subject of exploration. In the paper, the authors analyze some of the multiplicity of coincidences, and an example of their practical implementation (a church dome model). The section of an object is "amalgamated" into the architectural concept of the structure, the relief and theological ideas.

Geometric interlinks, compositions and figurations of interconnected diameters, circular and elliptical arcs, their tangency, incidences and interspaces have always been of interest to researchers; they have triggered the search for harmonious and rational solutions in civil engineering and architecture. Advancements in theoretical geometrography and its software applications facilitate new solutions.

Key words: circle and ellipse coincidence, orthodiameters, concentric circles, chord, golden proportion, geometrography, ellipse, squaring of circle.

References

1. Gil'berd D., Kon-Fossen S. Naglyadnaya geometriya [Visual Geometry]. Moscow, Gos. izd. tekh-niko-teoriticheskoy literatury [State Publishing House of Theoretical Engineering Literature], 1951.

2. Korn G. Spravochnikpo matematike [Mathematics Reference Book]. Moscow, Nauka Publ., 1974.

3. Polezhaev Yu.O. Ratsional'nye proportsii arkhitektumo-stroitel'nykh ob"ektov v proektsionnoy geometrii [Rational Proportions of Architectural and Civil Engineering Structures in Projective Geometry], a monography. Moscow, ASV Publ., 2010.

4. Kondrat'eva T.M., Polezhaev Yu.O. Chastnye voprosy geometrografii primenitel'no k sisteme «Pole-М» i kvadrature kruga [Peripheral Issues of Geometrography If Applied to Pole-M System and Squaring of Circle], collected works. Moscow, MSUCE, 2006.

5. Saprykina N.A. Osnovy dinamicheskogo formoobrazovaniya v arkhitekture [Basics of Dynamic Shape Formation in Architecture]. Moscow, Arkhitektura-S Publ., 2005.

About the authors: Polezhaev Yuriy Olegovich — Associated Professor, Department of Descriptive Geometry and Graphics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavs-koe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; grafika@mgsu.ru; +7 (499) 183-24-83;

Borisova Anzhelika Yur'evna — Candidate of Technical Sciences, Associated Professor, Department of Descriptive Geometry and Graphics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; grafika@mgsu.ru; +7 (499) 183-24-83;

Kondrat'eva Tat'yana Mikhaylovna — Candidate of Technical Sciences, Associated Professor, Chair, Department of Descriptive Geometry and Graphics, Moscow State University of Civil Engineering (MSUCE), 26 Yaroslavskoe shosse, Moscow, 129337, Russian Federation; grafika@mgsu.ru; +7 (499) 183-24-83.

For citation: Polezhaev Yu.O., Borisova A.Yu., Kondrat'eva T.M. Lineynye puchki v tsirkul'no-ellip-ticheskikh sootvetstviyakh [Linear Bundles within the Framework of Coincidence of Circle and Ellipse]. Vestnik MGSU [Proceedings of Moscow State University of Civil Engineering]. 2012, no. 6, pp. 62—67.