Математическое моделирование процессов ратчетинга при несимметричных циклических нагружениях

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2009. Вып. 1. С. 41-51

^ Механика =

УДК 539.3

Математическое моделирование процессов ратчетинга при несимметричных циклических нагружениях

B.C. Бондарь, С.В. Бурчаков, В.В. Даншин

Аннотация. Рассматривается математическая модель, описывающая процессы вышагивания (ратчетинга) при несимметричных циклических нагружениях конструкционных сталей и сплавов. Приводится расчетно-экспериментальный метод определения материальных функций, замыкающих модель, а также результаты расчетов процессов вышагивания как при пропорциональных, так и непропорциональных несимметричных циклических нагружениях.

Ключевые слова: пластическая деформация, циклическое нагружение, непропорциональное нагружение, ратчетинг.

Введение

При несимметричных циклических как пропорциональных мягких, так и непропорциональных мягких и смешанных режимах нагружения конструкционных сталей и сплавов происходит одностороннее накопление деформации (вышагивание петли пластического гистерезиса), интенсивность которого увеличивается с возрастанием несимметричности процесса нагружения. В работе [1] показано, что явление вышагивания является следствием принципа симметрии циклических свойств материалов. Принцип и следствие говорят, что при жестком несимметричном циклическом нагружении напряженное состояние стремится к напряженному состоянию, соответствующему симметричному циклическому нагружению, а при мягком несимметричном циклическом нагружении деформированное состояние должно увеличивать свою несимметричность. Математическое моделирование явления вышагивания предпринималось в большом количестве работ, обзор и анализ которых содержится в работах [2-4]. В данной работе рассматривается математическое моделирование этого явления на основе варианта одноповерхностной теории пластического течения при комбинированном упрочнении. Смещение поверхности нагружения описывается на основе модели Новожилова-Шабоши [5, 6] подразумевающей, что полное смещение есть сумма смещений, для каждого

из которых имеет место свое эволюционное уравнение. Здесь в качестве первого эволюционного уравнения принимается уравнение Пшлипского-Прагера [7, 8], обобщенное согласно принципу симметрии циклических свойств [1] па процессы вышагивания. В качестве второго эволюционного уравнения принимается уравнение Амстронга-Фредерика [9]. Последующие эволюционные уравнения соответствуют простейшему аналогу модели Оно-Вапга [10].

1. Основные положения и уравнения теории

Материал однороден и начально изотропен. В процессе упругопластического деформирования в нем может возникать только деформационная анизотропия. Процесс циклического деформирования может проходить в условиях мягкого, жесткого или смешанного режимов нагружения, быть стационарным или нестационарным, симметричным или несимметричным, изотермическим или неизотермическим, а также проходить в условиях ионизирующего излучения.

Как и ранее [11], тензор скоростей деформаций представляется в виде суммы тензоров скоростей упругой и пластической деформаций

¿¿.?=£Ч? + £Чг-

Упругие деформации следуют обобщенному закону Гука

^ = 1И ^ р - + ^ + °е^ ф

«¿7 = «т<5у - К? - -

Л/ ил И/ и Л

(ГнФ).

Полагается, что в пространстве составляющих тензора напряжений существует поверхность нагружения, разделяющая области упругого и упругопластического состояний,

f (°"у ) — 2 ) ) \^Р (^м*> Т1 ф)] — 0

/ /, \1/2\ ^ {*Ь = *и-‘Чг < = (Н</) )•

Смещение поверхности нагружения описывается па основе модели Ново-жштова-Шабоши [5, 6], подразумевающей, что полное смещение есть сумма смещений, для каждого из которых имеет место свое эволюционное уравнение

м

а„= ' *<">

т= 1

Здесь в качестве первого эволюционного уравнения принимается уравнение Ишлипского-Прагера [7, 8], обобщенное па пеизотермическое нагружение и ионизирующее воздействие,

В качестве второго эволюционного уравнений принимается уравнение Ам-стропга-Фредерика [9], также обобщенное па пеизотермическое нагружение и ионизирующее воздействие,

Определяющие функции, входящие в уравнения (5) и (6), выражаются через материальные функции следующим образом:

Последующие эволюционные уравнения соответствуют простейшему аналогу уравнений Опо-Вапга [10]

Определяющие функции, входящие в уравнение (8), выражаются через материальные функции следующим образом:

Введение дополнительных уравнений (8) к ранее уже рассмотренному и достаточно апробированному уравнению с трехчленной структурой [11], эквивалентному уравнениям (4)-(7), позволяет описать более топкие эффекты циклического нагружения, возникающие при нестационарных и несимметричных циклических нагружениях. К таким эффектам можно отнести эффект малого цикла в большом [2, 12], заключающийся в том, что петля малого цикла практически возвращается в ту же начальную точку, из которой и начался малый цикл. Окончательно уравнение для смещения поверхности нагружения с учетом (4)-(9) будет иметь вид

а';/ =

• (О

°У

а

ёа

,Т

О, ес

т=3

т=3

т=3

где а* - = а,-'^ + # = Ка + /Зега, = (3 Ка, ga

Я I?

(У Л/д

Т

о*

О £

СГ^Ф), ,т=^£- (г„ф,.

сга <9Т сга (97" ;

При несимметричных циклических как пропорциональных мягких, так и непропорциональных мягких и смешанных режимах нагружения происходит одностороннее накопление деформации (вышагивание петли пластического гистерезиса), интенсивность которого увеличивается с возрастанием несимметричности процесса нагружения.

Описание рассмотренных выше явлений в рамках теории пластического деформирования состоит в том, что параметр На, входящий в первое эволюционное уравнение (5), принимается зависящим от накопленной пластической деформации следующим образом:

гтт

М—1

ка0/[\ + кЕ (в^Гк+1]-

Следует отметить, что по величине параметра пп, входящего в выражение (11) можно классифицировать процесс вышагивания следующим образом:

пп < 0 затухающее вышагивание; пп = 0 — постоянное вышагивание; пп > 0 прогрессирующее вышагивание.

Пластические деформации определяются па основе ассоциированного с (3) закона течения следующим образом:

о*

0/ , _ 3 Ъ р

да,,/ 2 а* *'

Для скорости накоплений пластической деформации соответственно для мягкого и жесткого нагружений можно получить [11] следующие уравнения:

¿р

ГТТ

з Яц сгц 2

ВтТ - ВфФ

<7

тР

3 С

"и си

ВтТ-ВфФ

н* + з с а:

Н* = Яе+ё + ёеери* + ёаО*и + Е 8{т)

м

т=3

М

ф

т=3

дС„

ЧТ=И¥

РР* =

и

Условия упругого и упругопластического состояний имеют вид сг* < Ср и ^ 0 — упругость,

а* = Ср П > 0 упругостичпость.

Здесь скорость накопленной пластической деформации задается выражениями (13) или (14) или любым другим выражением, связывающим скорость накопленной пластической деформации и скорости напряжений и дефор-

МЯгЦИИ.

Таким образом, данный вариант теории пластического деформирования замыкают следующие материальные функции:

Е (Т, Ф), V (Т, Ф), а.т (Т, Ф), а.ф (Т, Ф) — упругие параметры;

Еао (Т, Ф), сга (Т, Ф), (3 (Т, Ф) — модули анизотропного упрочнения;

ФФ

ФФ (гп = 3 . .. М) — модули анизотропного упрочнения, соответствующие аналогу модели Отто-Ванга;

Ф — функция изотропного упрочнения.

Материальные функции определяются по результатам испытаний в условиях упругопластического одноосного напряженного состояния при различных уровнях температуры и флюепса. Базовый эксперимент включает в себя следующий набор данных:

— упругие параметры, которые определяют традиционными методами;

— диаграмма пластического деформирования при растяжении до деформации 0.05-0.1;

— циклические диаграммы при симметричном растяжении-сжатии при постоянной амплитуде деформации 0.005-0.01;

— циклические диаграммы при несимметричном растяжении-сжатии при постоянной амплитуде деформации 0.005-0.01 и средней деформации цикла

Для определения параметров анизотропного упрочнения стабилизированная петля пластического гистерезиса (циклическая диаграмма) перестраивается в координатах: напряжение ег, пластическая деформация ер (рис. 1). Затем па циклической диаграмме выделяется кривая, отвечающая за смещение поверхности нагружения, в координатах: смещение о, пластическая деформация ер (рис. 1).

2. Расчетно-экспериментальный метод определения материальных функций

0.05-0.1.

Далее вычисляется производная ^ и строится кривая в координатах ^ и а (рис. 2). На кривой, показанной на рис. 2, выделяются три участка, характеризующие различное поведение смещения (добавочного напряжения, остаточного микронапряжения).

Рис. 1. Циклическая диаграмма

Рис. 2. Поведение смещения

На первом участке производная имеет практически постоянное значение и здесь для смещения первого типа имеет место эволюционное уравнение (5) Ишлинского Прагера и значение производной равно значению параметра Еао.

На втором участке производная меняется по линейному закону и здесь для смещения первого и второго типов имеют место эволюционные уравнения (6) Амстронга Фредерика и эволюционное уравнение (5) Ишлинского Прагера.

Далее кривая на рис. 2 перестраивается в координатах ^ — Еао)

и а = (а — Еаер), т.е. исключается влияние смещения первого типа. Полученная линейная зависимость (рис. 3) позволяет найти аа и /3 по формулам

(1и,

(IеР м

о,

{ал-ам)12, /3

На третьем участке производная меняется по нелинейному закону и здесь для смещения первого, второго и третьего типов имеют место эволюционные уравнения

с1а

Рис. 3. Поведение смещений второго и третьего типов а

Рис. 4. Поведение смещения третьего типа

частей, и параметры анизотропного упрочнения, соответствующие аналогу модели Опо-Ванга, вычисляются по следующим формулам:

И1"'1 = 2/4).

] \ м — М—\)

_(m) 1 аю — °m —1 °т+1 — °т

°"а ТЙтУ 7? '

Р{,п> L £т - ет-1 т+1 J

(т = М — 1,.... 3, 02 = 0, в2 = 0).

Модули вышагивания определяются по результатам одноосных испытаний при жестком несимметричном циклическом нагружении. Полученная экспериментальная зависимость между средним напряжением цикла сгш и числом циклов N строится в логарифмических координатах

У = k

где efn — средняя пластическая деформация; ер — амплитуда пластической деформации па цикле. Эта экспериментальная зависимость является линейной, что позволяет по углу наклона прямой и точке пересечения прямой с осыо ординат определить модули вышагивания по формулам

lg Kr = Уо, пЕ + 1 = tg а.

Получив параметры анизотропного упрочнения и модули вышагивания, можно теперь вычислить величину смещения или остаточные микропапря-жепия как при одноосном растяжении, так и при циклическом нагружении. Далее вычитая из напряжений остаточные микропапряжепия при соответствующих значениях накопленной пластической деформации, можно получить функцию изотропного упрочнения Ср.

Ниже приводятся материальные функции для стали 1070 при комнатной температуре, полученные по результатам экспериментальных исследований, приведенным в работе [10J,

К = 2-Ю5 МПа, г/= 0.3, Као = 13000 МПа, /3 = 200,

МПа

10000, <7^ u a МПа

4000, rrW u a МПа

2000, u a МПа

1000, u a МПа

= 500, (T™ -u a МПа

II МПа

3. Расчеты процессов вышагивания при несимметричном циклическом нагружении

Результаты расчетов, проведенных на основе предложенной математической модели, процессов мягких несимметричных циклических нагружений стали 1070 при комнатной температуре показаны на рис. 5-7. Здесь сплошные кривые расчет на основе предложенного варианта теории, а кружки экспериментальные данные [10]. Первые два режима (рис. 5, 6) соответствуют

Рис. 5. Вышагивание при пропорциональном симметричном циклическом

нагружении

Рис. 6. Вышагивание при пропорциональном несимметричном циклическом

нагружении

пропорциональному циклическому нагружению, а третий (рис. 7) непропорциональному. Первый режим нагружения состоит из трех ступеней нагружения с одинаковым средним напряжением ат = 280 МПа и различными амплитудами напряжений аа = 375, 425 и 375 МПа. Число циклов на каждой ступени составляет 520 циклов нагружения. Второй режим нагружения состоит из двух ступеней нагружений с одинаковой амплитудой напряжений аа = 403 МПа и различным средним напряжением цикла ат = 208 и 78 МПа. Число циклов на каждой ступени составляет 4100 циклов. Третий

mj 0 0 0 6

Of a

>

0 r

о-1-------------------------------------------------------------------1-------------------------------------------

О 1000 2000 3000 4000 N, cycle

Рис. 7. Вышагивание при непропорциональном циклическом нагружении

режим нагружения состоит также из двух ступеней нагружения с одинаковой амплитудой сдвигового напряжения та = 230 МПа и различным средним осевым напряжением ат = 300 и 60 МПа. Число циклов на каждой ступени составляет 2050 циклов.

Заключение. Предложенный вариант математической модели адекватно описывает процессы вышагивания как при пропорциональных, так и непропорциональных несимметричных циклических нагружениях.

Список литературы

1. Бондарь B.C. Некоторые новые результаты исследования пластичности материалов при сложном нагружении // Упругость и неупругость. М.: ЛЕНАНД, 2006. С. 94-109.

2. Bari S., Hassan Т. Anatomy of coupled constitutive models for ratcheting simulation // International Journal of Plasticity. 2000. V. 16. P. 381-409.

3. Bari S., Hassan T. Kinematic hardening rules in uncoupled modeling for multiaxial ratcheting simulation // International Journal of Plasticity. 2001. V. 17. P. 885-905.

4. Bari S., Hassan T. An advancement in cyclic plasticity modeling for multiaxial ratcheting simulation // International Journal of Plasticity. 2002. V. 18. P. 873-894.

5. Новожилов В.В. О сложном нагружении и перспективах феноменологического подхода к исследованию микронапряжений // ПММ. 1964. Т. 28. Вып. 3. С. 393-400.

6. Chaboche J.L., Dang-Van К., Cordier G. Modelization of the strain memory effect on the cyclic hardening of 316 stainless steel // Proceedings of the 5th International Conference on SMiRT. Div. L, Berlin. 1979.

7. Ишлинский А.Ю. Общая теория пластичности с линейным упрочнением // Укр. матем. журн. 1954. Т. 6. Вып. 3. С. 314-324.

8. Prager W. The theory of plasticity: A Survey of Recent Achievements // Proc. Inst. Mech. Engrs. London. 1955. V. 41. P. 169.

9. Amstrong P.J., Frederick C.O. A mathematical represention of the multiaxial baus-cinger effect // CEGB Report No. RD/B/N 731. 1966.

10. Oh.no N., Wang J.-D. Kinematic hardening rules with critical state of dynamic recovery, part 1: formulations and basic features for ratcheting behavior // International Journal of Plasticity. 1993. V. 9. P. 375-390.

11. Бондарь B.C. Неупругость. Варианты теории. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2004. 144 с.

12. Chaboche J.L. On some modifications of kinematic hardening to improve the description of ra.tchettig effects // International Journal of Plasticity. 1991. V. 7. P. 661-678.

Поступило 24.12.2008

Бондарь Валентин Степанович (tm@mami.ru), д.ф.-м.п., профессор, зав. кафедрой, кафедра теоретической механики, Московский государственный технический университет «МАМИ».

Вурчаков Сергей Владимирович (tm@mami.ru), аспирант, кафедра теоретической механики, Московский государственный технический университет «МАМИ».

//аншин Владимир Васильевич (tm@mami.ru), к.ф.-м.п., доцент, кафедра теоретической механики, Московский государственный технический университет «МАМИ».

Mathematical simulation of ratcheting under asymmetrical cyclic loadings

V.S. Bondar, S.V. Burchakov, V.V. Danshin

Abstract. The mathematical model describing ratcheting under asymmetrical cyclic loadings of constructional steels and alloys is considered. The rat.ed-experimental method of definition of material functions closing model is developed, and also outcomes of calculations ratcheting as is reduced under proportional, and unproportional asymmetrical cyclic loadings.

Keywords: plastic deformation, cyclic loading, unproportional loading, ratcheting.

Bondar Valentin (tru@mami.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of department, department of theoretical mechanics, Moscow State Technical University «MAMI».

Burchakov Sergey (tru@mami.ru), postgraduate student, department of theoretical mechanics, Moscow State Technical University «MAMI».

Danshin Vladimir (tru@mami.ru), candidate of physical and mathematical sciences, associate professor, department of theoretical mechanics, Moscow State Technical University «MAMI».