Характеристики согласования конечной волноводной решетки с импедансным фланцем при излучении в слоистую среду

УДК 621.372.82

С.А. Комаров, В.В. Щербинин Характеристики согласования конечной волноводной решетки с импедансным фланцем при излучении в слоистую среду

Введение.Широкое применение в технике сверхвысоких частот получили невыступающие волноводные излучатели в виде открытого конца волновода с фланцем. Одной из основных областей применения данного класса антенн является контактное радиоволновое зондирование природных сред и искусственных материалов. В ряде случаев волноводные излучатели объединяются в решетки. При этом может возрасти информативность однократного измерения, появляется возможность исследования локальных неоднородностей в объекте путем регистрации рассеянного сигнала несколькими приемными раскрывами одновременно с различных направлений. Кроме того, можно изменять параметры диаграммы направленности первичного поля за счет вариаций амплитудно-фазового распределения на плоскости антенны. В связи с этим представляет интерес теоретическое рассмотрение процессов в такой системе при излучении сигнала в неоднородную среду. Имеется достаточно большое количество работ, в которых проведен анализ влияния свойств исследуемой среды и параметров волноводной системы на характеристики согласования (коэффициенты отражения, коэффициенты взаимной связи излучателей, входные адмитансы) для волноводов распространенных на практике поперечных сечений [1—3]. Как правило, подобные рассмотрения производятся для идеально проводящих фланцев.

В настоящей работе проведен теоретический анализ взаимного влияния излучателей в волноводной антенной решетке с конечным числом апертур, расположенных на фланце с произвольным сторонним импедансом при излучении в плоскослоистую среду.

При построении решения использован вариационный подход. Применение вариационного принципа к определению характеристик согласования полубесконечного волновода и взаимного влияния двух волноводов с общим импедансным фланцем описано в работах [4-6].

Постановка задачи. Рассмотрим невыступающую антенную решетку диапазона СВЧ, состоящую из N апертурных излучателей на основе открытых концов идентичных полу-бесконечных волноводов произвольного попереч-

ного сечения с идеально проводящими стенками. Раскрывы волноводов расположены на плоском фланце, который совпадает с координатной плоскостью г = 0 и характеризуется сторонним импедансом ЕЕ0, где Е0 - волно-

вое сопротивление свободного пространства, (рис.). Взаимное положение и ориентация рас-крывов задаются произвольным параллельным переносом их по отношению друг к другу на

координатной плоскости /? = {*,>'}. Положение центра п-того раскрыва на плоскости фланца определяется поперечным радиус-вектором р .

5(2) ‘‘2 _/£

^(2) в

г70 Эр Эы

5 0 5

1 XI 4 Т1М

Геометрия задачи

Предположим, что волновод с номером п = р возбуждается волной основного типа с частотой, набегающей на раскрыв вдоль оси г. Временная зависимость полагается вида е-1“‘, для волноводов выполняется условие одномодового режима. Излучение производится в полупространство г = 0, заполненное, в общем случае, произвольным плоскослоистым диэлектриком с поглощением. Требуется определить характеристики согласования и взаимного влияния излучателей в данной системе. Задача полагается линейной, поэтому более общий случай возбуждения нескольких волноводов в системе нетрудно получить на основе частных решений данной задачи с дальнейшим использованием принципа суперпозиции.

Построение решения. Выражения для касательных составляющих электрического и магнитного полей на раскрыве Б каждого из волноводов с текущим номером п могут быть записаны в виде:

ё,п

/г=1

нт (р- о) = /0„» х ^„(р)+-4( (р>

*=1

/7Єі<Ч

ги” 54 0/7 _ 11 + Г И =

где п = 1,2,..., N. Здесь поперечные ортонорми-рованные собственные функции п-того волновода для мод с номером к обозначены как

Фк,,(р) = Фк-(р-р„>

Не нарушая общности решения, можно положить амплитуду первичной возбуждающей волны равной единице. Тогда выражения амплитудных коэффициентов волны основного типа У0п и 1оп для касательного электрического и магнитного полей в (1) представимы записаны в следующем виде:

_ "Го ТппфР

р, 10п _ |}’о^1 _ ^п = р-

Здесь Гр - комплексный коэффициент отражения первичной волны по электрической составляющей от раскрыва; тп - коэффициент передачи в волновод с номером п; У0 - собственный характеристический адмитанс бесконечного волновода рассматриваемого типа. Для высших типов волн (к > 0) связь между амплитудными коэффициентами определяется следующим образом:

где Ук - характеристические адмитансы высших мод.

Граничные условия задачи на плоскости рас-крывов г = 0 записываются для касательных составляющих полей со стороны верхнего и нижнего полупространств следующим образом:

£ДР,+0)-270»хЯДр,+0) = <!

0 р г ре8,г

г/ х Н1п(р, -0) = и хН,(р, + 0) где функции Рп(р) определены как

Подставляя в условие (5) выражения (1), а также учитывая (2) и (3), получим:

(е;

В формуле (6) значения для А связаны с волноводными коэффициентами передачи т и отражения Гр следующим образом:

А„ = ат,

р

п Ф р,

где а = 1- ^0^ р = 1 + 2^.

Кроме того, из соотношений (2) и (7) следует, что:

Амплитудные коэффициенты Укп, с учетом ортогональности поперечных волновых функций волноводов, могут быть определены из

через Р„(,Р) следующим образом:

' —

Граничное условие сшивания магнитного поля (4б) с учетом (1) и (3) записывается следующим образом:

-1оА„(р)+'Е¥кгьА,(р):

к=1

(Ю

= нх #,(/?,+0) р є Л',,

Подстановка в ( 1 0) выражений (9) приводит к следующей записи граничного условия:

В формуле ( 1 1 ) полагается, что поле на раскрывах со стороны верхнего полупространства может быть представлено с помощью граничного условия (4а) через функцию Грина

верхнего полупространства (}(р - р'') таким образом, что

N

-"хЯ,( р,+0) = [ 0( р - р’)¥ш (Р уір

ш=1$

Л =оГ+(! п = р:

После этого условие (11) может быть записано в виде следующей системы из п-век-торных интегральных уравнений относительно неизвестных функций Р (ру~

Векторная система (13) может быть расписана на скалярные составляющие следующим образом:

1»пФот-(р) ~

т=1,$'

л *

и

«/=1>5г

°хх(р-р') +

У1г

к=11 220}^ °тг (р-р') +

тФьгс

р'шЛр'№ +

X

}\

/,=11 ^0}к

-ФыЛр)Фь,Лр')

РшЛр'№'

Система интегральных уравнений (14), содержащая 2п скалярных уравнений, не имеет точного решения. Поэтому получение и анализ физических характеристик системы могут быть проведены приближенными методами, например с использованием вариационного принципа.

Система интегральных уравнений (13) может быть записана в матричном виде. Для этого необходимо определить векторы-столбцы Е и ¥ размерности 2п

Т --

' Р\

р„Ср)

В этом случае система (13) примет вид:

Т = КР ре .V,

где под Б понимается площадь раскрыва волновода, соответствующего последовательно каждому из уравнений системы (16). Через К обозначен линейный интегральный оператор задачи, так что

\М{р,р')Р(р')ёр'

Здесь М(р.р') представляет собой блочную матрицу, каждый элемент которой размерностью 2x2 имеет следующий вид:

М11Ш(р,р') = 0(р-р') + }

.Гг

к=11

Далее необходимо использовать определе-

ние скалярного произведения двух векторов произвольной размерности А и В в виде:

(А,В) = ^АВс1р

Умножая систему интегральных уравнений (16) на вектор-столбец Е, можно получить следующее скалярное равенство:

= (20) Введем функционал задачи путем очевидных преобразований равенства (20):

Ь = ^,Ч') =

Покажем, что определенный таким образом функционал Ь является стационарным по отношению к вариациям функции Е. Вычисление вариации функционала Ь приводит к выражению вида (22).

_ 2(/,Т)(^,Т) - (Р,Г)2[(&, КР) + (/, КдТ)]

" ТШ7 <22>

<£ = -

Необходимо учитывать, что =

— Это справедливо вследствие того,

что для матрицы элементы кото-

рой определены равенством (18), выполняется

условие М(р,р') = Мтгде индекс Т обозначает комплексное сопряжение. Тогда выражение (22) может быть преобразовано к виду:

о!, =

(р,шу

= 0.

Полученное выражение равно нулю, поскольку в скобках числителя дроби (23) образуется интегральное уравнение задачи. Это доказывает стационарность построенного функционала по отношению к решению системы интегральных уравнений.

Приближенное решение задачи может быть найдено с использованием свойства стационарности функционала (21). Задача может быть решена в одномодовом приближении, когда решение предполагается в виде

К(р) = -Ы.Л1), или как вектор-столбец I7 = А ф(Г В этом случае выражение (21) мо-

жет быть преобразовано к следующему виду:

L =

Аф^КАф^)

Проводя вариацию амплитудных коэффициентов А и учитывая, что должно выполняться условие стационарности, можно получить:

ЛУ-

)) = о.

Запись (25) может быть реализована в виде системы алгебраических уравнений, учитывая (19) и приравнивая к нулю множители при первых вариациях каждого из коэффициентов Ап:

N

'^Рииґ^іп 11 ,

(26;

777=1

где

Рит = | |ФоЛрККр-рІФотірУІр'йр 27 )

ЗА '

С учетом связи между коэффициентами (8) система (26) может быть переписана относительно лишь неизвестных значений амплитуд-

ных коэффициентов А :

К + ? }о1, 23^ . V

2- Рт„ + — Д" =------- " = 1....Л '

И=Л «) а

Найденные А как решения системы (28), позволяют вычислить физические характеристики волноводной системы, используя равенства (7):

ГР = -

ах а

Выводы. Решена задача о взаимном влиянии излучателей волноводной решетки с произвольным конечным числом идентичных элементов и импедансным фланцем. Получена система интегральных уравнений задачи. Показана возможность введения стационарного функционала, связанного с характеристиками согласования излучающей системы. В одномодовом приближении задача сведена к решению системы линейных алгебраических уравнений, порядок которой равен числу волноводов в антенной решетке. В частном случае нулевого стороннего импеданса фланца наблюдается совпадение с известным ранее решением задачи.

Литература

1. Воскресенский Д.И., Кременецкий С.Д., Гринев А.Ю., Котов Ю.В. Автоматизированное проектирование антенн и устройств СВЧ. М., 1988.

2. Gajda G.B., Stuchly S.S. Numerical analysis of open-ended coaxial lines // IEEE Trans. on Microwave theory and technique Vol. MTT-31. №5. 1983.

3. Amitay N., Galindo V. Characteristics of Dielectric Loaded and Covered Circular Waveguide Phased Array // IEEE Trans. on Antennas and propagation Vol. AP-17. №6. 1969.

4. Комаров С.А. Вариационный принцип в зада-

чах излучения из полубесконечного волновода с им-

педансным фланцем // Изв. вузов. Радиоэлектроника. 1985 Т. 28. №3.

5. Комаров С.А., Щербинин В.В. Входной адми-танс волновода с импедансным фланцем при излучении в плоскослоистую среду // Известия АГУ. 1997. №1.

6. Komarov S.A., Scherbinin V.V. Self and mutual

admittance of waveguide system with impedance flange // 2000 International Conference

Mathematical Methods in Electromagnetic Theory (MMET-2000) Proceedings, Kharkov, Ukraine, 2000.