Моделирование образования и развития зон предразрушения при контакте секторов полого цилиндра с цилиндрической оболочкой

Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2011. Вып. 1. С. 113-118

Механика

УДК 539.3

Моделирование образования и развития зон предразрушения при контакте секторов полого цилиндра с цилиндрической оболочкой

В.А. Левин, А.В. Кукушкин

Аннотация. Представлена модель образования и развития зоны предразрушения. Приведено решение контактной задачи c материалом, изменяющим свойства при нагружении. Коротко приведен алгоритм решения контактной задачи.

Ключевые слова: метод конечных элементов, зона предразрушения, критерий образования зоны предразрушения, контактная задача.

Введение

Рассматривается конструкция, состоящая из полого цилиндра и окружающей его цилиндрической оболочки, внутренний радиус которой до деформации меньше внешнего радиуса деформированного цилиндра (рис.1). Предполагается, что полый цилиндр в результате внешних воздействий разделяется на несколько одинаковых секторов, которые далее деформируются вследствие неравномерного нагрева и вступают в контактное взаимодействие с оболочкой. При этом из-за неравномерности нагрева возникают зазоры между секторами (полости).

Рис. 1. Начальное и деформированное состояние

При решении задачи о контактном взаимодействии секторов полого цилиндра с цилиндрической оболочкой при температурной деформации этих секторов [3] были выявлены концентраторы напряжений вблизи зон контакта. Наличие этих концентраторов напряжений на практике приводит к разрушению деталей конструкции. В настоящей статье выполнено исследование НДС этой конструкции на основе более сложной модели, учитывающей образование и развитие зоны предразрушения.

Модель основана на следующих допущениях. В некоторой области, где выполняется критерий образования зоны предразрушения, происходит изменение свойств материала, в результате чего напряженное состояние меняется. При этом область выполнения критерия может тоже увеличиться. Происходит рост зоны предразрушения.

1. Задача о контактном взаимодействии сектора полого цилиндра с цилиндрической оболочкой

Рис. 2. Граничные условия

Оболочка закреплена ползунами вдоль образующих сектора, сверху и снизу (рис. 2). Сектор закреплен ползунами сверху и снизу, по образующим — условие непроникновения (контакт с абсолютно жестким телом без трения). Сектор нагревается неравномерно — температура в секторе задана параболическим законом в зависимости от радиуса

Т(г) = 700 - 32г2.

Сектор имеет характеристики: модуль упругости Е = 200000 кПа, коэффициент Пуассона п = 0.3, коэффициент теплового расширения а = 0.0002, внутренний радиус Яо = 1 мм, внешний радиус = 4 мм, угол сектора а = 45° Оболочка: модуль упругости Е = 80000 кПа, коэффициент Пуассона п = 0.35, коэффициент теплового расширения а = 0, внутренний радиус Я2 = 4.15 мм, внешний радиус Яз = 4.4 мм.

Сектор и оболочка контактируют без проскальзывания.

При решении этой задачи была учтена односторонняя природа контакта, т.е. сектор «отлип» от образующих ближе к внешнему радиусу, в результате чего сектор воздействует на оболочку по поверхности меньшей, чем поверхность оболочки и в оболочке возникает концентратор напряжений.

Контактное взаимодействие реализовано по модели узел — узел [1,2, 6, 7]. Нагружение происходит пошагово. На каждом шаге нагружения происходит корректировка актуальной области контакта. В области, где поверхности сектора и оболочки касаются друг друга или проникают сквозь друг друга, создаются стержневые элементы, реализующие модель узел — узел. Если в контактных элементах возникают растягивающие напряжения, то такие элементы уничтожаются, и происходит уменьшение области контакта. Аналогичным образом реализовано и условие одностороннего контакта вдоль образующих сектора.

2. Зона предразрушения

Материал под действием высоких напряжений начинает изменять свойства. Это связано с миграцией дислокаций и образованием пор. В результате этого процесса материал теряет свою несущую способность. Подробно описывается модель разрушения посредством последовательного образования зон предразрушения в [8].

Нагревание цилиндра происходит пошагово (статически). Отслеживается изменение напряженного состояния оболочки, и в области, где превышается определенный критерий происходит изменение механических свойств материала. В качестве критериальной величины используется либо распределение интенсивности напряжений, либо главные напряжения или их комбинации.

Интенсивность касательных напряжений вычисляется по формуле X = —^=^(а 11 — 022)2 + (а22 — а33)2 + (а33 — а11)2 + 6 (СТ22 + О^з + СТ21),

где — компоненты тензора напряжений, г = 1,..., 3, ] = 1,..., 3, X = = Х(х,у,г) — распределение критереальной величины.

Разность максимального и минимального главных напряжений

х = а* — а3,

где а* — главные значения тензора напряжений, г = 1,..., 3.

3. Модель образования зоны предразрушения

Если в определенной точке выполняется условие

Х(х,у,^) — Хкрит

то в области Х(х,у,г) > 0.9Хкрит образуется зона предразрушения. Для зоны предразрушения модуль Юнга Е = 0.6Емат, где Емат — модуль Юнга

Э "Н- 31е55_едіпуа1иез тах-тіп

Рис. 3. Тангенциальные напряжения и концентратор напряжений (слева). Разность максимального и минимального главных напряжений вблизи

концентратора

исходного материала. Для зоны предразрушения возможно дальнейшее изменение свойств, если в ней будет достигнуто критическое напряжение. Для зоны предразрушения критическое значение отличается от значения для исходного материала.

4. Задача с материалом, изменяющим свойства при нагружении

Задача аналогична описанной ранее, с тем только отличием, что при превышении критерия критического значения в некоторой области свойства материала в этой области будут изменяться. В материале будет образовываться только одна зона предразрушения. Нагрузка (температура) прикладывалась пошагово. При этом при достижении в точке Екрит (по формуле (1)) в области где Е > 0.9Екрит образовалась зона предразрушения. Было получено решение для задачи с зоной предразрушения. Изменение свойств материала привело к увеличению деформаций и снижению напряжений в точке наибольшей концентрации напряжений. Однако критерий образования зоны предразрушения стал выполняться в другой точке — на границе первой области предразрушения. Таким образом зона с измененными свойствами несколько раз увеличивалась. Достигнув определенного размера, зона предразрушения перестала увеличиваться и система оболочка — сектор пришла равновесие. Далее представлены изображения области предразрушения конечном состоянии.

Выводы

Получено решение контактной задачи с материалом, изменяющим свойства при нагружении. Это решение может служить основой для моделирования разрушения посредством последовательного образования зон предразрушения и дальнейшего уничтожения материала. Програмный

Рис. 4. Область, в которой материал поменял свойства, на изображении слева — две половинки секторов (получены отражением по условию симметрии), справа та же область крупным планом

Рис. 5. Графики тангенциальных напряжений (слева) и деформаций (справа) (кПа). Графики приведены вдоль образующей сектора оболочки вдоль радиуса (г = 4.12... 4.5). Пунктир — без зоны предразрушения, сплошная линия для зоны предразрушения E = 0.9Емат, сплошная линия с точками — для зоны предразрушения E = 0.6EMaT

модуль реализующий решение данной задачи может быть использован для мониторинга в сфере ядерной энергетики.

Список литературы

1. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.:Мир, 1975.

2. Кузьменко А.Г. Основные уравнения теории упругости и пластичности и метода конечного элемента. Тула: ТулПИ, 1980.

3. Кукушкин А.В. Разработка алгоритма и программного модуля CAE FIDESYS для решения одной контактной задачи термоупругости. ТверГУ, 2011.

4. Сигерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.:Мир, 1979.

5. Амосов А.А., Дубинский Ю.А., Копченова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. М.: Высш. школа, 1994.

6. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L. The finite element method. Solid mechanics. V.2. 2000.

7. Wriggers P., Zavarise G. Computational Contact Mechanics. Encyclopedia of Computational Mechanics, Edited by Erwin Stein, Rene de Borst and Thomas J.R. Hughes. V.2: Solids and Structures. John Wiley & Sons. 2004.

8. Левин В.А., Морозов Е.М., Матвиенко Ю.Г. Избранные нелинейные задачи механики разрушения. М.:Физматлит, 2004.

Левин Владимир Анатольевич (v.a.levin@mail.ru), д.ф.-м.н., профессор, кафедра вычислительной механики, Московский государственный университет им. Ломоносова.

Кукушкин Алексей Викторович (kukushkinav@mail.ru), аспирант, кафедра математического анализа, Тульский Государственный Университет.

Modeling the appearance and propagation of prefracture zones in contact sector of a hollow cylinder with a cylindrical shell

V.A. Levin, A.V. Kukushkin

Abstract. The model of appearance and expansion prefracture domain is described. A solution of contact problem with the material, changes the properties under loading. A shot description of algorithm contact problem solving.

Keywords : finite element method, prefracture domain, the criterion of appearance prefracture domain, contact problem.

Levin Vladimir (v.a.levin@mail.ru), doctor of physical and mathematical sciences, professor, department of computational mechanics, Lomonosov Moscow State University.

Kukushkin Alexey (kukushkinav@mail.ru), postgraduate student, department of mathematical analysis, Tula State University.

Поступила 30.01.2011