Моделирование электромеханических переходных процессов в асинхронных двигателях на основе использования полиномов Чебышёва

УДК [621.3.011+621.3.013]::519.6

Токмаков И. В.

Аспирант, Запорожский национальный технический университет

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕКТРОМЕХАНИЧЕСКИХ ПЕРЕХОДНЫХ ПРОЦЕССОВ В АСИНХРОННЫХ ДВИГАТЕЛЯХ НА ОСНОВЕ ИСПОЛЬЗОВАНИЯ ПОЛИНОМОВ ЧЕБЫШЁВА

Статья посвящена разработке численного метода ускоренного расчета электромеханических переходных процессов в асинхронных двигателях, что является актуальной задачей. Электромеханические переходные процессы могут быть весьма продолжительными, что приводит к значительному времени расчета и накоплению погрешности расчета при использовании современных программных средств. Цель данной работы — разработка более быстродействующего метода расчета переходных электромеханических процессов в асинхронных двигателях, а также разработка удобной для практики схемной модели метода. Метод основан на аппроксимации решения уравнений состояния путем его разложения по ортогональным полиномам Чебышё-ва. Предложена схемная интерпретация разработанного метода, в которой частота вращения ротора рассматривается как некоторый ток. Данный метод позволяет заменить операции с мгновенными значениями токов операциями с их изображениями, которые интерпретируются как постоянные токи в предложенной схеме замещения. В результате этого исходные интегро-дифференциальные уравнения состояния заменяются алгебраическим уравнениями для изображений токов. Предложен способ вычисления изображения произведения токов, которые присутствуют в модели электрической машины. При расчете предложенным методом переходного процесса в асинхронном двигателе процессорное время сокращается более чем в два с половиной раза по сравнению с расчетами известными методами. Предложенный метод удобен для расчета переходных процессов в сложных цепях, содержащих не только асинхронные двигатели, но и другие электрические машины.

Ключевые слова: полиномы Чебышёва, переходные электромеханические процессы, схемная интерпретация, асинхронные двигатели.

ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Во время пуска или резкого изменения режима асинхронных двигателей (АД) возникают электромеханические переходные процессы. При этом могут возникать значительные броски тока, которые могут повредить двигатель или повлиять на другие устройства. Это должно учитываться на стадии проектирования электрических машин. Поэтому изучение электромеханических переходных процессов не потеряло актуальности.

Для моделирования переходных процессов в электрических цепях, в которые включены асинхронные машины, в настоящее время используется ряд готовых программных комплексов, предназначенных для анализа электрических процессов в электрических и электронных схемах. Наиболее известными из них является EMTP [1], PSpice [2], Micro Cap [3], Simulink [4]. В указанных пакетах автоматически по схеме составляется система дифференциальных уравнений состояния и выполняется ее решение известными численными методами.

Электромеханические переходные процессы состоят из быстрых электромагнитных процессов и весьма медленных механических процессов. При моделировании шаг интегрирования должен выбираться исходя из самых быстрых процессов. Электромеханические переходные процессы могут быть весьма продолжительными, что приводит к значительному времени расчета и накоплению погрешности при использовании современных программных средств. Поэтому внедрение новых методов численного решения интегро-дифференциаль-ных уравнений, приводящих к сокращению времени и

повышению точности расчета, является актуальной задачей. В статье [5] Тиховодом С.М. предложен быстродействующий метод расчета переходных электромагнитных процессов в трансформаторах, использующий полиномиальную аппроксимацию решения, а также разработана удобная для практики схемная модель метода. Этот метод целесообразно распространить и на моделирование процессов в электрических машинах.

Цель данной работы - использование и модификация метода Тиховода С. М. для расчета переходных электромеханических процессов в асинхронных машинах.

ИЗЛОЖЕНИЕ МАТЕРИАЛА

В одноконтурную цепь переменного тока, содержащую резистивный (Я), индуктивный (X) и емкостный (С) элементы, включенные последовательно, в момент времени подключается источник ЭДС еф и в цепи происходит переходный процесс тока 1(1). На основании второго закона Кирхгофа можно записать:

di 1 t L— + Ri + с {i

Ставится условие, чтобы уравнение, составленное по закону напряжений Кирхгофа, соблюдалось точно в заданном ряде N узловых временных точек

в некотором сегменте [а,Ь] для функции, которая аппроксимирует зависимость тока от времени. В других точках второй закон Кирхгофа соблюдается с некоторой по-

0

© Токмаков И. В., 2015

грешностью. Для аппроксимации решения интегро-диф-ференциального уравнения (1) предлагается его разложение по ортогональным полиномам Чебышёва Тп (х) ,

которые обладают свойством равномерности погрешности при аппроксимации искомых функций этими полиномами [5].

В результате интегро-дифференциальное уравнение (1) заменяется алгебраическим уравнением для изображения тока С:

(ЬБ + ЯУ + Б8)С = е - иС0 - Я,0 - ЕМ,

где С = [с1 С2~. ск_1 ]т - вектор значений коэффициентов разложения тока по полиномам Чебышёва без коэффициента сд; В - величина, обратная емкости конденса-тора, е - вектор значений ЭДС источника в точках 1, 2, ..., N-1 временного сегмента;

иС0 = [иС0 иС0 — иС0 ]Т ; исд- значение напряжения на конденсаторе во временной точке /д, соответствующей

точке хд на отрезке [-1, 1]; А = [ 82 ••• -

вектор отклонений опорных точек от нулевой точки; ,- значение тока при / = /д;

у =

Т1

Т2

TN-1

T1

Б

1 Т2

1 Т2

TN

^

Компоненты матрицы 8 вычисляются по следующим формулам:

^т! ==Д \Т2(хт ) - Т2(х0)]-Т1(х0)8я

ции функции тока. Тогда при известном начальном значении тока 1д можно определить значения тока во всех

произвольных точках временного сегмента [а,Ъ] :

,(/) * ,0 + С1 (7 (/) - Т1 «0)) + С2 (Т2 (/) - Т2 (/0)) +.

+ ••• СN_1

В статье [5] предложена и схемная интерпретация метода, а также доказано выполнение законов Кирхгофа для изображений С. Это означает, что исходную цепь, в которой происходит переходный процесс, для расчета можно заменить цепью постоянного тока. Показано высокое быстродействие предложенного метода. Учитывая большую продолжительность электромеханических переходных процессов, применим этот метод для их моделирования.

В [6] показано, что моделирование трехфазной электрической машины может быть заменено моделированием двухфазной электрической машины. Наиболее просто уравнения двухфазной электрической машины записываются в системе координат dq , которая вращается с частотой вращения ротора О. В этом случае отсутствуют коэффициенты, изменяющиеся в зависимости от угла поворота ротора. Система уравнений имеет вид [6-7]:

иа = + + м^

Ж Ж

Ж

^аг

Ж

т Жъг ^ . , г Жъг

иъ = ь^^Ът++ м-5;

Ж Ж

0 = -ОМР^ - ПЬгР,аг + ЬгЖ^ + Яг'ъг + (М + Ьт) ^ Ж Ж

К системе (4) следует присоединить уравнение динамики ротора:

Р Л О + ЯтормО + Мторм

тРМ 2

Ьът^аг ¿ая^Ъг ],

^т, к

Тк+1

N-1

2

2

-Тк ( х0)8«

TN

2N

- TN-1(х0)8я

2

т =1, 2, ..., N-1.

В результате решения уравнения (2) определяется вектор С коэффициентов полиномиальной аппроксима-

где ,ат, 1ъ8, ,аг, ¿Ъг - токи в обмотках статора и ротора

фазы «а» и «Ь»; О - частота вращения ротора; М - взаимная индуктивность обмоток; Ьт , Ьг - индуктивности рассеяния обмоток статора и ротора; Я , Я - активные сопротивления обмоток статора и ротора; М - вне-

А торм

шний момент, приложенный к валу ЭМ; Я - тормоз-

торм

ное сопротивление ротора; Р - число пар полюсов; т -число фаз обмотки ротора; 3 - приведенный момент инерции вращающихся частей машины и связанных с ними тел.

Если исследования электромеханических переходных процессов проводят в системах моделирования электрических цепей, например, в Р8р1се [7] или 81шиИпк, то этом случае системе уравнений (4-5) целесообразно

д

г

поставить в соответствие схему замещения, которая имеет вид, представленный на рис. 1.

Система уравнений (4-5) является нелинейной системой, так как в нее входят произведения независимых переменных. К сожалению, изображение произведения двух функций не равно произведению изображений этих функций. Однако это затруднение можно преодолеть следующим образом. Пусть в уравнении присутствует элемент, состоящий из произведения некоторого постоянного коэффициента к и значений двух токов и :

к1х(1) 12(1) . Тогда в уравнении для изображений это произведение можно заменить следующей комбинацией:

к 11 С2 / 2 + к12  С1 / 2 - к Т1/20 / 2 -,

предыдущего сегмента, а затем итерационным путем вычислять эти значения уже на текущем сегменте.

Поскольку значения частоты вращения О изменяются значительно медленнее, чем значения токов, то произведение к ОД в уравнении для изображений можно заменить следующей комбинацией:

к П  С! - к т-

''10'

где

О _

вектор значений частоты вращения во всех точ-

к12/'ю / 2

где I и 12д - значения токов в нулевой точке текущего временного сегмента; С1, С2 - изображения токов; I и 12 - векторы значений токов во всех точках текущего временного сегмента; знак  означает поэлементное произведение вектора на каждый столбец матрицы.

Поскольку значения и 12 на текущем временном сегменте изначально неизвестны, то их следует брать из

ках текущего временного сегмента, С1- изображение тока IА);

Представленная уравнениями (4-5) математическая модель асинхронной электрической машины является наиболее компактной. Однако, искусственный прием, в соответствии с которым реально вращающийся ротор рассматривается как неподвижный относительно координатной системы ротора, приводит к отличию некоторых результатов моделирования от реальных показателей электрической машины. В частности, частота токов в обмотках ротора в данной модели не изменяется при изменении частоты вращения самого ротора и остается равной частоте напряжения питания.

Учитывая сказанное, изобразим на рис. 2 схему замещения двухфазного АД для изображений.

Система уравнений, составленная по законам Кирхгофа для схемы, изображенной на рис. 2, имеет вид (8):

Рисунок 1 - Схема замещения двухфазного АД

Рисунок 2 - Схема замещения двухфазного АД для изображений токов и частоты вращения

((M + Ls )D+RsV)Cas + MDCar - eA -Rsias0;

((M + Lr )D + Rr V)Car + (M + Lr )PA  VCbr + MPA  VCbs + MDCas -

= -Rr iar0 - SMPibsQ - A((M + Lr )Pibr0; ((M + Ls )D+RsV)Cbs + MDCbr = eB - Rs^; ((M + Lr )D + Rr V)Cbr - (M + Lr )A  VC ar - MA  VCas + MDCbs -= -Rr ibr0 + AMPiasO + A((M + Lr )P iaro ';

(J/pD + RmopMV)CQ + KeibrVCas + KeiasVCbr - KeibsVCar - KeiarVCb

-R

торм Q0 - Keibrias0 - Keiasibr0 + Keibsiar0 + Keiaribs0 -Mn

,

где Ke -

mPM 4

Система линейных алгебраических уравнений (8) имеет единственное решение - векторы

Cas, C ¿s, Car, C ¿r, Cq , содержащие значения коэффициентов разложения функций токов и частоты вращения по полиномам Чебышёва для всех ветвей схемы рис. 2. Зная для любой ветви эти коэффициенты, значения токов и частоты вращения в начальной точке t0, мы можем согласно (3) получить значения токов и частоты вращения во всех узловых точках в заданном интервале времени [a,b] .

Для проверки адекватности предложенного метода составлена компьютерная программа Мо1ог_а8_аЬ_УБ8_С в системе МаИаЬ.

Алгоритм вычислений, на основании которого составлена программа, заключается в выполнении следующей последовательности действий:

1. Выполняется ввод исходных данных, задается временной сегмент [а,Ъ] , длиной т , в котором исследуется переходный процесс, количество узлов N на этом сегменте (4<^Ю), количество сегментов N на всем исследуемом временном интервале.

2. Согласно методике, изложенной в [5], задаются положения опорных точек хк на отрезке [-1,1] . Затем вычисляются временные границы сегмента: а = — т(х0 + 1)/2 ; Ь = а + т и вычисляются матрицы V, Б, 8, Д.

3. Вычисляются значения вектора ЭДС во всех точках сегмента [а,Ь] .

4. Составляется матрица Z системы уравнений (8). Матрица Z кроме постоянных коэффициентов содержит значения токов и частоты вращения в узловых точках текущего временного сегмента. Эти значения, как начальные, берутся из предыдущего временного сегмента. Затем их расчет выполняется в итерационном цикле.

5. Выполняется итерационный цикл, в котором при каждом изменении параметра цикла выполняется следующее:

- вычисляется вектор правых частей Р системы (8);

- решается система алгебраических уравнений и определяется общий вектор полиномиальных коэффициентов С и подвекторы Сж, Сь, , СаГ, СЬг, Сп;

- согласно (3) вычисляются значения токов и частоты вращения в узловых точках текущего временного сегмента;

- с учетом полученных значений токов ветвей и частоты вращения корректируется матрица Z и вектор правых частей Р системы (8);

- итерационный цикл заканчивается, если значения токов смежных итерационных циклов не превышают заданной погрешности.

6. После выхода из итерационного цикла выполняется следующее:

2000 г

1аБ, А 1500 -

8 10 1, с

Рисунок 3 - Расчетная осциллограмма: ток г (1) фазы статора «А»

м/, рад/с -20

10 12 1, с

Рисунок 4 - Зависимость частоты вращения ротора от времени

1000

500

0

0

2

4

6

12

0

0

2

4

6

8

{zyyP{zyyU{zzy7{{zzzy7{{zyyU{zzyU{{zzzyP{{zyyU{zzyU{zzzzyP{{zyP{{zyy"{zzyyyP{zzyU{{z

- вычисляются конечные значения токов и частоты вращения данного сегмента, которые являются начальными значениями для следующего сегмента;

- текущему времени процесса добавляется значение т , выполняется переход на п. 5 и следующий временной сегмент.

В качестве примера выполнено моделирование пуска массивной шаровой мельницы, приводимой асинхронным двигателем с числом пар полюсов P = 4. На рис. 3 и рис. 4 представлены расчетные осциллограммы тока ias(t) и частоты вращения, полученные в результате расчета по разработанной программе Motor_as_ab_VDS_C, с которой можно познакомиться на сайте [8]. Там же дана инструкция по пользованию этой программой.

Для сравнительной оценки разработанного метода в системе Matlab разработан ряд программ решения рассмотренной задачи различными методами.

Сравнение времени расчета задачи в разных системах моделирования некорректно, так как Matlab является весьма медленным интерпретатором. Так как в этой статье сравниваются не компьютерные программы, а методы расчета, то для данной задачи на основе уравнений (4-5) составлена программа, в которой вычисления проводились методом Гира. Результаты расчета при одинаковой заданной погрешности по программе Motor_as_ab_VDS_C не имеют видимых различий от результатов, полученных расчетом с использованием численного метода Гира, то есть различие составляет десятые доли процента. С помощью операторов tic/toc оценивалось процессорное время расчета. Сравнение процессорного времени расчета модельной задачи предложенным методом и методами Гира показало следующее. Предложенный метод показал сокращение процессорного времени более чем на 250% по сравнению с методом Гира.

ВЫВОДЫ

Использованный метод расчета переходных электромеханических процессов позволяет заменить операции

с мгновенными значениями токов операциями с постоянными токами в предложенной схеме замещения, в результате чего интегро-дифференциальные уравнения состояния заменяются алгебраическим уравнениям. При расчете пуска асинхронного двигателя предложенным методом процессорное время расчета существенно сокращается по сравнению с известными методами.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Dommel Hermann W. EMTP theory book / Hermann W. Dommel. - British Columbia.: Microtran Power System Analysis Corporation Vancouver, 1996. - 631 p.

2. Кеоун Д. OrCAD Pspice. Анализ электрических цепей / Дж. Кеоун. - сПб,: Питер. - 2008. - 640 с.

3. Разевиг В. Д. Система схемотехнического моделирования Micro Cap 6 / В. Д. Разевиг. - М.: Горячая линия-Телеком, 2001. - 344 с.

4. Черных И. В. Simulink среда создания инженерных приложений / И. В Черных. - М. : ДИАЛОГ-МИФИ.

- 2003. - 496 с.

5. Тиховод С. М. Расчет переходных процессов в трансформаторах на основе магнитоэлектрических схем замещения с использованием полиномов Чебышёва / С. М. Тиховод // Електротехтка та електроенер-гетика. - 2015. - № 2. - С. 5-11.

6. Копылов И. П. Математическое моделирование электрических машин / И. П. Копылов. - М. : ВШ. - 2001.

- 327 с.

7. Компьютерные модели электромеханических систем. . - [Электронный ресурс] . - [режим доступа]: http://ecio.mpei.ac.ru/SBook/Contents.htm

8. Помощь студентам-электрикам. Научные разработки, программы. Программы для расчета электромеханических переходных процессов в асинхронном двигателе.- [Электронный ресурс] . - режим доступа: http://www.electricity.zp.ua/

Статья поступила в редакцию 30.11.2015

Tokmakov I. V.

Aspirant, Zaporozhye national technical university

MODELING OF ELECTROMECHANICAL TRANSIENTS IN ASYNCHRONOUS MOTORS BASED ON THE USE OF TCHEBYSHEV'S POLYNOMIALS

The article is dedicated to development of numerical method of electromechanical transient processes calculation in asynchronous motors. Electromechanical transient processes might be quite continuous that causes the calculation time increase and accumulation of errors due to use of modern software solutions. The aim of this work is to design more accelerated method of calculation of electromechanical transient processes in asynchronous motors and to create the convenient and practical model scheme of method. The method is based on approximation of state equations solution with the help of expansion of the solution with orthogonal Chebyshev's polynomials. The scheme interpretation of this method is presented; it considers the rotor rotation frequency as some current. The given method allows to substitute operations with momentary values of currents by operations with currents images, which are interpreted as constant currents at equivalent circuit. As the result the initial integro-differential equations of state are substituted by the algebraic equations of current images. Also there is method of calculation ofproduction image of the currents which are present at electrical machine. CPU time is decreased more than twice compared to common methods due to calculation of transient process in asynchronous motor according to the given method. Considered method is convenient for calculations of transient processes in complex circuits that include not only asynchronous motors but other electrical machines.

Key words: chebyshev's polinomial, transient electromechanical processes, scheme interpretation, asynchronous motors.

Токмаков I. В.

Астрант, Запорiзький нацюнальний техшчний ушверситет

МОДЕЛЮВАННЯ ЕЛЕКТРОМЕХАН1ЧНИХ ПЕРЕХ1ДНИХ ПРОЦЕС1В В АСИНХРОННИХ ДВИГУ-НАХ НА ОСНОВ1 ВИКОРИСТАННЯ ПОЛ1НОМ1В ЧЕБЫШОВА

Стаття присвячена розробц числового методу прискореного розрахунку електромеханчних nepexidHux проце^в в асинхронних двигунах, що е актуальною задачею. Електромехатчт переxiднi процеси можуть бути доволi довгими, що призводить до значного часу розрахунюв та накопиченню помилки розрахунку при викори-стант сучасних програмних засобiв. Мета даног роботи — розробка бтьш швидкодючого методу розрахунюв переxiдниx електромеханчних проце^ву асинхронних двигунах., а такожрозробка зручног для практики схем-ног моделi методу. Метод засновано на апроксимаци виршення рiвнянь стану шляхом розкладу його за орто-гональними полтомами Чебишова. Запропонована схемна ттерпретащя розробленого методу, у якш частота обертiв ротора розглядаеться як деякий струм. Цей метод дозволяе замтити операци з миттевими величинами струмiв на операци з гх зображеннями, яю ттерпретуються як постшш струми в запропонованш сxемi замщення. Як результат, виxiднi iнтегрально-дiференцшнi рiвняння стану замщуються алгебрагчними рiвнян-нями для зображень струмiв. Запропоновано спо^б розрахунку зображення добутку струмiв, присуттх в моделi електричног машини. При розрахунку переxiдного процесу у асинхронному двигун запропонованим методом, процесорний час скорочуеться бтьше тж в два с половиною рази у порiвняннi зрозрахунками звичайни-ми методами. Запропонований метод зручний для розрахунку переxiдниx проце^в у складних колах, що включа-ють до себе не ттьки асинхронн двигуни, але й iншi електричн машини.

Ключов1 слова: полтоми Чебишова, переxiднi електромеханчж процеси, схемна ттерпретащя, асинхронн двигуни.

REFERENCES

1. Dommel Hermann W. EMTP theory book. Hermann W. Dommel, British Columbia.: Microtran Power System Analysis Corporation Vancouver, 1996, 631 p.

2. Keoun D. OrCAD Pspice. Analiz elektricheskikh tsepey. Dzh. Keoun, sPb, Piter, 2008, 640 s.

3. Razevig V. D. Sistema skhemotekhnicheskogo modelirovaniya Micro Cap 6. V. D. Razevig. M, Goryachaya liniya-Telekom, 2001, 344 s.

4. Chernykh I. V Simulink sreda sozdaniya inzhenernykh prilozheniy. I. VChernykh, M, DIALOG-MIFI, 2003, 496 s.

5. Tikhovod S.M. Raschet perekhodnykh protsessov v transformatorakh na osnove magni-toelektricheskikh

skhem zameshcheniya s ispolzovaniyem polinomov Chebysheva. S.M. Tikhovod. Elektrotekhn ika ta elektroyenergetika, 2015, № 2, S. 11-24.

6. Kopylov I.P. Matematicheskoye modelirovaniye elektricheskikh mashin. I. P. Kopy-lov, M, VSh, 2001, 327 s.

7. Kompyuternyye modeli elektromekhanicheskikh sistem. http://ecio.mpei.ac.ru/SBook/Contents.htm

8. Pomoshch studentam-elektrikam. Nauchnyye razrabotki. programmy. Programmy dlya rascheta elektromekhanicheskikh perekhodnykh protsessov v asinkhronnom dvigatele. rezhim dostupa: http:// www.electricity.zp.ua/