Об одном классе «Латинских квадратов»

Приведем пример расчета. Для случая протаивания мерзлого песчаника вокруг

газодобывающей скважины ориентировочно принимаем: q=60 Вт/м; To = -60С; 2 = 1,4

'0

Вт/м/К; 2= 1,16 Вт/м/К; ре0 = 1,58МДж/м3 /К; р,е = 1,81МДж/м3 /К; шрл3 = 37,5МДж/м3. Для безразмерных комплексов получаем: Ж1=—0,14; ж2 = 0,55; ж3 = 1,38 . По таблице 2 интерполяцией находим £ = 0,21. Фронт таяния движется согласно закону f = 2,211/2 (расстояние в метрах, время в годах). Через 25 лет растает зона радиусом 11 м, через 50 лет - зона радиусом около 16 м. Если увеличить поток тепла в горную породу в 2 раза, сохранив при этом значения остальных параметров, то как следует из формулы (8), абсолютные значения первых двух критериев ж и ж2 уменьшаются в 2 раза: ж = —0,07; ж2 = 0,28. По таблице 2 можно прогнозировать оценку £ = 0,35. Фронт таяния движется согласно закону г = 3,711/2. Через 25 лет растает зона радиусом около 18,5 м, а через 50 лет - 26 м.

Проведенные численные расчеты показали, что для одиночных геотермальных скважин зону возможного таяния можно оценить по автомодельному решению, если известен примерно из каких то соображений средний поток в горную породу через колонну скважины, например по замерам температуры добываемого флюида на забое и устье.

Формулы (6) позволяют оценить время, начиная с которого автомодельное решение непригодно. За таковое может быть принято время прихода температурных возмущений к границе мерзлого массива. Поскольку для больших значений аргумента x E (х) - exp (—х) / х, то можно считать T(г, t) - T0 при £2 > 4 + £2 . Для практически важных случаев параметр £ мал, El (£2) ~ 1 и можно полагать, что возмущения отсутствуют, если £2 > 4. Положив г = г, получаем для времени прихода температурного возмущения t = г 2 /(16а2) . Если принять для мерзлых горных пород а2 = 25 м2/год, то будем иметь оценку времени, в течении которого автомодельное решение пригодно: 100 лет при радиусе контура г = 200 м и лишь один год для мерзлого массива радиусом 20 м. При небольших расстояниях между скважинами автомодельное решение неприемлемо. В этом случае задачу протаивания необходимо решать численными методами с учетом ограниченности мерзлого массива и изменяемости потока тепла из скважины в пласт.

Список литературы:

1. Мерзлотные исследования. М.: МГУ, 1969. Вып. 9. С.19-90.

2. Веригин Н.Н. О термодинамическом расчете замораживания грунтов // Докл. АН СССР, 1951. Т.81, N 5. С.803-806.

3. Справочник по специальным функциям с формулами, грфиками и математическими таблицами / Под ред. М.Абрамовица и Н.Стигана. М.: Наука, 1979, 832 с.

УДК 681.34

ОБ ОДНОМ КЛАССЕ «ЛАТИНСКИХ КВАДРАТОВ»

Кадиев П.А., проф. каф. «Управление и информатика в технических системах»

ДГТУ,

Кадиев И.П., ведущий эксперт Управления по инспектированию кредитных

организаций ЦБ РФ по РД

Аннотация: Исторически латинские квадраты в числовой записи относятся к магическим или волшебным квадратам, в которых сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и обеих диагоналях одинакова и называется магической константой.

Ключевые слова: латинский квадрат.

A CLASS OF "LATIN SQUARE"

Abstract: Historically, Latin squares in numerical entries are logical or magic square in which the sum of the numbers in each row, each column and the two diagonals of the same and called magic numbers.

Keywords: Latin square.

Латинским квадратом в комбинаторике принято называть математическую конфигурацию в виде таблицы nxn, заполненную n различными символами, образующими некоторое конечное множество, таким образом, чтобы в каждой строке и в каждом столбце встречались все n элементов этого множества по одному разу. Исторически латинские квадраты в числовой записи относятся к магическим или волшебным квадратам, в которых сумма чисел в каждой строке, каждом столбце и обеих диагоналях одинакова и называется магической константой.

Одним из первых известных магических квадратов является квадрат китайского монаха Ло Шу.

4 9 2

3 5 7

8 1 6

Рис 1. Квадрат Ло Шу

В латинских квадратах это условие справедливо только для строк и столбцов, поэтому они относятся к полумагическим конфигурациям.

Впервые в математике термин «латинский квадрат» появился в трудах Л.Эйлера и относится к 1723 году. Название предположительно исходит из использованных Эйлером в качестве элементов квадрата символов -латинских букв вместо цифр. Предложенный Л.Эйлером «латинский квадрат» стал новой математической конфигурацией, одним из объектов исследования в комбинаторике.

В последние годы наблюдается повышенное внимание к «латинским квадратам», что объясняется возможностью их применения для решения задач в различных прикладных областях исследований. Например, оказалось, что таблица умножения элементов конечной группы является «латинским квадратом», «латинский квадрат» может быть использован в качестве таблицы при построении сеточных методов интегрирования в вычислительной математике, в качестве моделей при планировании сельскохозяйственных экспериментов и построения кодов, обнаруживающих и исправляющих ошибки, для борьбы с ошибками типа «пакетов» и устранения статистических связей между символами в сообщениях, для защиты информации от несанкционированного доступа и др.

Области применения «латинских квадратов» могут быть расширены при наличии достаточно простых алгоритмов их построения и наличии разработанных машинных программах.

В данной работе рассматривается «латинский квадрат» построенный, не для одного множества, как принято при построении классических «латинских квадратов», а для п множеств, образующих nxn - матрицу, и является дальнейшим обобщением понятия «латинский квадрат» на более сложные исходные конфигурации - массивы символов, каждый символ которого имеет свою позицию, характеризуемую его индексами, указывающими номер строки и номер столбца в матрице.

Как отмечалось выше, в данной работе в качестве исходной конфигурации, на основе которой строятся «латинские квадраты», рассматривается не одно конечное множества и конфигурации, составленные на ее основе, с чем чаще всего имеют дело в комбинаторике, а матрица, строки (или столбцы) которой являются множествами, образованными из п элементов (п - множества). Ставится задача создания комбинаторной конфигурации в виде матрицы, путем преобразования исходной, в которой в каждом столбце и в каждой строке имеется один и только один элемент из каждого п- множества, образующих строку и столбец в исходной матрице. Предложены способы формирования указанной выше конфигурации, определено число возможных подобных конфигураций и некоторые их свойства.

Перед исследователями комбинаторных конфигураций в математике ставятся задачи известные как задачи существования и построения. Подлежит ответить на вопрос, существуют ли исследуемые конфигурации, как они строятся и сколько их. Из литературы по математической комбинаторике не известны ни конфигурации, обладающие свойствами предлагаемых конфигураций, ни способы их построения, ни число подобных конфигураций.

Циркулянт конечного п - множества - комбинаторная конфигурация, представляющая собой матрицу, строки которой являются перестановками элементов этого множества, каждая строка получается из расположенной сверху строки циклическим сдвигом ее элементов в одном и том же направлении на одну позицию. Так, если первая строка циркулянта представляет собой исходное конечное множество, то строки ниже - результаты циклических ее сдвигов в одном и том же направлении.

Ниже, в качестве примера, приведен циркулянт А ц конечного множества А = (А1А2А3А4А5).

А1А2А3А4А5 А2А3А4А5А1 А ц = А3А4А5А1А2

А4А5А1А2А3 А5А1А2А3А4

Верхняя строка циркулянтной матрицы - элементы исходного конечного множества А. Каждая нижестоящая строка является результатом циклического сдвига влево элементов вышестоящей строки.

В литературе по комбинаторике нет ответа на вопрос о том, существует ли циркулянт для исходного объекта - матрицы, образованной из п- множеств, которые образуют ее строки или столбцы. Если да, то как его построить и какими свойствами он обладает.

Рассмотрим некоторую 5x5 матрицу А, элементами которой могут быть объекты произвольной природы Ац и принадлежат некоторому конечному множеству, образующую 1 - ую строку матрицы, второй индекс ] - определяет местоположение элемента в этом конечном множестве и в столбце матрицы.

А11А12А13А14 А15 А21А22А23 А24А25 А = А31А32А33А34А35 А41А42 А43А44А45 А51 А52А53А54А55

Воспользуемся правилом построения циркулянта, который рассмотрен выше -циклическими сдвигами элементов строк матрицы. Полученная при этом матрица А* имеет вид:

А11А12А13А14А15 А22А23А24А25А21 А* = А33А34А35А31 А32

А44А45 А41А42 А43

А55 А51А52А53А54

Матрица А* обладает тем свойством, что ни в одном столбце нет элементов, стоящих в исходных множествах, образующих строки матрицы А, на одноименных позициях и каждая строка образована только перестановкой элементов исходных множеств, образующих строки матрицы А.

По аналогии выполним циклические сдвиги элементов столбцов, оставив без изменений первый столбец в матрице А*. Образованная матрица А** имеет вид, приведенный ниже.

А11А23А35А42А54 А22А34А41А53А15

А* * = А33А45А52А14 А21 А44А51 А13А25 А32 А55 А12А24А31А43

В результате циклических сдвигов элементов строк и столбцов матрицы, получена комбинаторная конфигурация - матрица, каждая строка и каждый столбец которой образуют множества, содержащие по одному элементу из каждого из исходных множеств, образующих строки или столбцы матрицы, при этом ни в одном из них нет элементов, расположенных на одноименных позициях в исходных множествах.

Если на этапе построения матрицы А* выполнить циклические сдвиги элементов не в строках , а столбцах, то будет получена вместо матрицы А** ее транспонированное значение - А ** Т.

Матрица А** получена в результате циклических сдвигов строк и столбцов исходной матрицы, сама представляет конфигурацию из п - множеств, образующих ее строки (или столбцы), представляет матрицу, образованную подмножествами, обладающую определенными свойствам, которая в комбинаторике не исследована.

Общность правил построения предлагаемой конфигурации и циркулянтной матрицы позволила авторам предложить для нее два различных определение -«двухиндексный латинский квадрат» или «циркулянта матрицы».

К числу свойств, полученной комбинаторной конфигурации, относится:

- каждая строка и каждый столбец - подмножество, которое включает один и только один элемент из каждого исходного подмножества - строк исходной матрицы;

- ни в строках и ни в столбцах нет элементов, занимающих одноименные места в множествах-строках исходной матрицы;

- любые перестановки местами строк и столбцов в полученной матрице не меняет ее свойств, приведенных выше.

Из последнего пункта свойств полученной комбинаторной конфигурации следует, что общее число возможных вариантов построения подобной конфигурации равно числу вариантов перестановок строк - п! и числу вариантов перестановок столбцов, при каждой перестановке строк - (п-1)!, т.е. общее число вариантов построения циркулянты матрицы равно п! x (п-1)!.

Все указанные варианты существования конфигураций этого класса могут быть получены из приведенного выше циркулянта матрицы. Поэтому циркулянт матрицы и приведенный выше алгоритм его построения, следует рассматривать как базис класса комбинаторных конфигураций - «двухиндексных латинских квадратов», из которого, путем перестановок строк и столбцов, могут быть получены все остальные конфигурации этого класса, те которые обладают указанными выше свойствами.

В качестве примера практического применения предлагаемой конфигурации можно указать использование ее при решении таких важных вопросов как перемежение путем перестановки элементов двумерных информационных массивов для :

- организации скремблирования, имеющего назначением защиту информации от несанкционированного доступа;

- защиты от пачек ошибок, вызывающих стирание большой группы последовательно следующих символов в потоках данных;

- устранения статистических связей между символами источников дискретной информации с целью устранения естественной избыточности их сообщений, повышения энтропии и эффективности процессов сжатия данных, передачи и хранения информации.

В заключение следует отметить, что разработана и получила государственную регистрацию программа формирования предлагаемого класса комбинаторных конфигураций [3]. На международном салоне инновационных технологий «Архимед 2010», прошедшим в Москве, работа удостоена серебряной медали.

Список литературы:

1.Дж. Кларк,мл.,Дж.Кларк Кодирование с исправлением ошибок в системах цифровой связи. Статистическая теория связи. Выпуск 28. М. Радио и связь, 1987

2. В.Е. Тараканов Комбинаторные задачи и (0,1) - матрицы.

М.; Наука, 1985

3. П. А. Кадиев, М. З. Зейналов Программа для ЭВМ преобразования матриц методом латинских квадратов. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ №2009616143 от 9.11.2009